ÖZEL EGE LİSESİ PEDAL DÖRTGENLERİNDE GEOMETRİK EŞİTSİZLİKLER

Transkript

1 ÖZEL EGE LİEİ PEDAL DÖRTGENLERİNDE GEOMETRİK EŞİTİZLİKLER HAZIRLAYAN ÖĞRENCİLER: Güneş BAŞKE Zeynep EZER DANIŞMAN ÖĞRETMEN: ereny ŞEN İZMİR 06

2 İçindekiler yf. Giriş.... Amç.... Ön Bilgiler Yöntem Bulgulr Pedl Dörtgenleri onuçlr ve Trtışm Öneriler.. 6 Kynklr. 6

3 . Giriş ABC bir üçgen, P düzlemde herhngi bir nokt olsun. P noktsındn [BC], [CA], [AB] ye inilen dikme yklrı sırsıyl X, Y, Z noktlrı (Şekil ) olmk üzere köşeleri X, Y, Z noktlrı oln üçgene P noktsının pedl üçgeni dı verilir (Coxeter & Greitzer, 967; Johnson, 007). Şekil Benzer bir kvrm çokgenler için de mevcuttur: P düzlemde bir nokt olmk üzere, P noktsındn bir A A A 3 A n çokgeninin kenrlrın inilen dikmelerin yklrını köşe kbul eden çokgene A A A 3 A n çokgeninin P noktsın göre pedl çokgeni ve P noktsın d pedl noktsı dı verilir (Coxeter & Greitzer, 967). Düzlemde pedl üçgenine it çok syıd çlışm mevcut iken pedl çokgenine it oldukç z syıd özellik incelenmiştir (Coxeter & Greitzer, 967; Johnson, 007; Şhin, 000; Honsberger, 995; Mmmn, Micle & Penisi, 00; Ferrrello, Mmmn & Penisi, 03). Bir ABC üçgeninin bir pedl üçgeninin kenr uzunluklrı ve lnı, ABC üçgeninin kenr uzunluklrı cinsinden ifde edilmiştir (Johnson, 007). P pedl noktsı, üçgenin çevrel çemberi üzerindeki herhngi bir nokt olrk seçildiğinde, P noktsındn üçgenin kenrlrın indirilen dikmelerin yklrının ynı doğru üzerinde olduğu gösterilmiştir (Coxeter & Greitzer, 007). Bu doğru, litertüre imson doğrusu olrk geçmiştir. (Ferrrello, Mmmn & Penisi, 03) de ise bun benzer bir yklşıml bir noktdn bir çokgenin kenrlrın inilen dikmelerin yklrının doğrusl olmsı için gerek ve yeter koşullr rştırılmıştır. Yine bu çlışmd, bir üçgenin pedl üçgeninin dr, geniş vey dik çılı bir üçgen olduğu durumlr incelenmiştir. Bu projede ise, bir ABC üçgeninin P pedl noktsın it iyi bilinen özelliklerinin, pedl çokgenlerine tşınmsı mçlnmıştır. Bu mç doğrultusund, bir kirişler dörtgeninin pedl dörtgeninin kenr uzunluklrı, pedl noktsının köşelere oln uzklıklrı, kirişler dörtgeninin çevrel çemberinin yrıçpı ve köşegen uzunluklrı cinsinden ifde edilmiştir. Pedl dörtgenlerine ve bzı durumlrd pedl çokgenlerine it ilginç geometrik eşitsizlikler elde edilmiştir. Özel olrk bir üçgenin pedl noktsın göre ifde edilen ve Erdös-Mordell Eşitsizliği (Alsin & Nelsen, 007; Bnkoff, 958; Erdös, 935; Kzrinoff, 957; Mordell & Brrow, 937) olrk bilinen eşitsizlik, bir kirişler dörtgeni üzerine tşınmıştır... Amç ABCD kplı ve konveks bir dörtgen, P noktsı ABCD dörtgeninin iç bölgesinde yer ln bir nokt olsun. Bu projenin mcı, üçgende pedl noktsının sğldığı özelliklerden yol çıkrk, P noktsın göre ABCD nin pedl dörtgeninin sğldığı özellikleri belirlemektir. Bzı durumlrd ABCD dörtgeni yerine n kenrlı çokgen üzerinde çlışılmıştır. Özel olrk, Bir ABC üçgeninin iç bölgesinde lınn herhngi bir P noktsının üçgenin kenrlrın oln uzklıklrı toplmı, üçgenin köşelerine oln uzklıklrı toplmının yrısındn küçük vey

4 eşittir olrk ifde edilen ve üçgende Erdös-Mordell Eşitsizliği olrk bilinen geometrik eşitsizliğinin bir ABCD kirişler dörtgenine uyrlnmsı hedeflenmiştir... Ön Bilgiler Önerme.. Her,, 3, n ve b, b, b 3, b n reel syılrı için ( b + b + + n b n ) ( n )(b + b + + b n ) bğıntısı geçerlidir. Bu bğıntıy Cuchy-chwrz Eşitsizliği denir (Hurşit, 003). Önerme.. Bir ABC üçgeninde bir P noktsının pedl üçgeni XYZ ve R, ABC üçgeninin çevrel çemberinin yrıçpı olmk üzere XY = CP. AB, YZ = AP. BC BP. AC, ZX = dir (Şhin, 000). Önerme..3 (Erdös-Mordell Eşitsizliği) Bir ABC üçgeninin iç bölgesinde lınn herhngi bir P noktsının üçgenin kenrlrın oln uzklıklrı toplmı, üçgenin köşelerine oln uzklıklrı toplmının yrısındn küçük vey eşittir. Diğer bir deyişle, A, A ve A 3 noktlrı, P noktsındn üçgenin kenrlrın inilen dikmelerin yklrı olmk üzere PA + PB + PC ( PA + PA + PA 3 ) eşitsizliği sğlnır (Alsin & Nelsen, 007; Bnkoff, 958; Erdös, 935; Kzrinoff, 957; Mordell & Brrow, 937). Bu çlışm boyunc üzerinde çlışıln ABCD dörtgenleri ve A A A 3 A n çokgenleri kplı ve konveks çokgenlerdir.. Yöntem Bu projede, öncelikle litertürde yer ln pedl üçgenlerine it özellikler rştırılmıştır ve pedl çokgenlerine it özellikler belirlenmiştir. Pedl üçgenleri üzerine kurulu oln nck pedl dörtgenleri, bzı durumlrd pedl çokgenleri, üzerinde inş edilmemiş geometrik eşitsizlikler, doğrudn ispt tekniğiyle knıtlnmıştır. 3. Bulgulr 3. Pedl Dörtgenleri Önerme 3.. ABCD bir kirişler dörtgeni ve P noktsı ABCD dörtgeninin iç bölgesinde yer ln bir nokt olsun. P noktsındn [AB], [AD], [BC] ve [DC] ye inilen dikmelerin yklrı sırsıyl K, L, M, N noktlrı ve ABCD dörtgeninin çevrel çemberinin yrıçpı R olmk üzere 3

5 dir. İspt: AC. PB KM = BD. PC MN =, KL =, LN = BD. PA AC. PD Şekil Şekil ye göre m(bkp ) = m(pld ) = m(pnc ) = m(pmb ) = 90 olduğundn BKPM, PLDN, PNCM ve PLAK dörtgenlerinin her biri kirişler dörtgenidir. KPM ve ABC üçgenlerinde sinüs teoremi uygulnırs eşitlikleri elde edilir. Burdn olrk bulunur. Benzer şekilde, olduğu kolyc görülebilir. PB = KM sin(kpm ) AC = sin(π KPM ) = AC sin(kpm ) AC. PB KM = BD. PA BD. PC KL =, MN =, LN = AC. PD 4

6 Önerme 3.. Çevresi Ç oln bir ABCD dörtgeninin iç bölgesinde bir P noktsı lınsın. P noktsındn [AB], [BC], [CD] ve [AD] ye inilen dikmelerin yklrı sırsıyl A, B, C, D olsun. Bu durumd, A B C D pedl dörtgenine teğet oln AA D, A BB, CB C, DC D üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin yrıçplrı sırsıyl r, r, r 3, r 4 ve M = mx {, cos A +, cos B +, cos C + } cos D + olmk üzere r + r + r 3 + r 4 M. Ç dir. ABCD bir kre ve P noktsı ABCD kresinin ğırlık merkezi olrk seçildiğinde eşitlik durumu sğlnır. İspt: Şekil 3 e göre A BB üçgeninde kosinüs teoreminden A B = A B + BB. A B. BB. cos B () dir. Diğer trftn, sinüs teoremine göre A BB, A BB üçgeninin lnı olmk üzere A BB = A B. BB. sin B () elde edilir. Ayrıc A BB = ( A B + BB + A B )r olduğund dir. r = A BB A B + BB + A B (3) Şekil 3 5

7 () ve (3) numrlı eşitliklerden r = A B. BB. sin B A B + BB + A B olrk bulunur. Aritmetik-Geometrik Ortlm Eşitsizliğinden, A B + BB ( A B. BB ) (4) (5) olduğundn () ve (5) numrlı eşitliklerden A B = A B + BB. A B. BB. cos B A B. BB. A B. BB. cos B A B. BB cos B (6) dir. Aritmetik-Geometrik Ortlm Eşitsizliğinden A B + BB A B. BB (7) olrk bulunur. Burdn (6) ve (7) numrlı eşitsizlikler trf trf toplnrk A B + BB + A B A B. BB + A B. BB cos B (8) eşitsizliği elde edilir. (4) ve (8) numrlı eşitsizlikler birlikte düşünüldüğünde sin B r A B. BB.. A B. BB cos B + A B. BB sin B A B. BB.. A B. BB ( cos B + ) sin B A B + BB A B. BB. ( cos B + ) ( cos B + ) (9) elde edilir. M = mx {, cos A +, cos B +, cos C + } cos D + olsun. Bu durumd, (9) numrlı eşitsizlikten olrk bulunur. Benzer şekilde, r M. ( A B + BB ) (0) 6

8 r M. ( A A + AD ) r 3 M. ( C C + CB ) r 4 M. ( C D + DD ) eşitsizlikleri elde edilir. O hlde, (0) ve () numrlı eşitsizlikler trf trf toplnırs ABCD dörtgenin çevresi Ç olmk üzere olrk bulunur r + r + r 3 + r 4 M. Ç Şimdi ABCD bir kre ve P noktsı ABCD nin ğırlık merkezi olrk seçilsin (Şekil 4). Bu durumd D AA, D AA üçgeninin lnı olmk üzere olduğundn r = elde edilir. D AA = ( + ) r = elde edilir. r (+ ) = r = r 3 = r 4, Ç = 8 ve M = olduğundn + ) + 8. ( r + r + r 3 + r 4 = 4 ( + ) = Ç. M = () Şekil 4 Önerme 3..3 Çevresi Ç oln bir A A A 3 A n çokgeninin iç bölgesinde bir P noktsı lınsın. P noktsındn [A A ], [A A 3 ],, [A n A ] e inilen dikmelerin yklrı sırsıyl H, H,, H n olsun. 7

9 Bu durumd, H H H n pedl çokgenine teğet oln A H H n, H A H,,H n A n H n üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin yrıçplrı sırsıyl r, r,, r n ve olmk üzere M = mx { cos A +, cos A +,, cos A n + } r + r + + r n M. Ç dir. Eşitlik durumu, A A A 3 A n çokgeni bir kre ve P noktsı bu krenin ğırlık merkezi olrk seçildiğinde sğlnır. İspt Önerme 3.. nin isptın benzer şekilde ypılır. Önerme 3..4 Alnı oln bir ABCD teğetler dörtgeninin iç teğet çemberinin merkezi P noktsı, yrıçpı ise r birim olsun. P noktsındn [AB], [BC], [CD] ve [AD] ye inilen dikmelerin yklrı sırsıyl K, L, M ve N olsun. Bu durumd, BL =, LC = b, MD = c, AN = d ve KLMN pedl dörtgeninin lnı pedl olmk üzere pedl dir. Eşitlik durumu, ABCD bir kre iken sğlnır. 4r + b + c + d İspt:,, 3 ve 4 sırsıyl KPL, LPM, MPN ve NPK üçgenlerinin lnlrını belirtmek üzere Şekil 5 e göre eşitlikleri elde edilir. =. r. sin B = b. r b. sin C 3 = c. r c. sin D 4 = d. r d. sin A 8

10 L b K r b d 4 r r 3 M c d N c Burdn, Şekil = r. ( + b + c + d) (. sin B + b. sin C + c. sin D + d. sin A ) olduğu çıktır. Diğer trftn, = ( + b + c + d). r olduğundn pedl = ( ) bulunur. Cuchy-chwrz Eşitsizliğinden = (. sin B + b. sin C + c. sin D + d. sin A ). r( + b + c + d) () + b + c + d =. + b. + c. + d. + b + c + d b + c + d ve dolyısıyl + b + c + d + b + c + d dir. () numrlı eşitliğe tekrr bkılck olunurs elde edilir. pedl = (. sin B + b. sin C + c. sin D + d. sin A ) r. ( + b + c + d) + b + c + d 4r. + b + c + d = 4r + b + c + d ABCD bir kre ve AB = BC = CD = AD = olsun. Bu durumd, Şekil 6 y göre 9

11 r =, = 4, pedl = olduğundn pedl eşitliği elde edilir. = 4 = = = 4r + b + c + d r r r r Şekil 6 Önerme 3..5 P, bir A A A 3 A n çokgeninin iç bölgesinde bir nokt ve A A =, A A 3 =,, A n A = n olsun. P noktsındn A A A 3 A n çokgeninin kenrlrın inilen dikmelerin uzunluklrı sırsıyl h, h,, h n, A A A 3 A n çokgeninin lnı ve çevresi sırsıyl ve Ç olmk üzere Ç. ( + + n ) h h n dir. Eşitlik durumu, = = = n = ve h = h = = h n = h iken sğlnır. İspt: Şekil 7 ye göre = h + h + + n h n olduğu çıktır. Cuchy-chwrz Eşitsizliği nden elde edilir. ( h + h + + n h n ). ( h + h + + n h n ) ( n ) 0

12 Dolyısıyl olduğundn dir. Burdn olrk bulunur. Şekil 7. ( h + h + + n h n ) ( n ) ( n ) ( n ) = Ç ( n ) h h h n h h h n Ç. ( + h h + + n = = = n = ve h = h = = h n = h olsun. Bu durumd h n ) = n h, Ç = n. olduğundn dir. Ç = nh. n = h n =. ( ) =. ( n h h h h h h n ) Önerme 3..6 P, bir A A A 3 A n çokgeninin iç bölgesinde bir nokt ve A A =, A A 3 =,, A n A = n olsun. P noktsındn A A A 3 A n çokgeninin kenrlrın inilen dikmelerin uzunluklrı sırsıyl h, h,, h n ve A A A 3 A n çokgeninin lnı olmk üzere h + h + + n h n n

13 dir. Eşitlik durumu, = = = n = ve h = h = = h n = h iken sğlnır. İspt: Cuchy-chwrz Eşitsizliği nden (. h + h + + n h n ). ( ) ( ) h h n h n n tne dir. Diğer trftn, Şekil 7 ye göre = h + h + + n h n olduğundn olrk bulunur n h h n h n = = = n = ve h = h = = h n = h olsun. Bu durumd, = n h dir. elde edilir. Önerme = h h n h n nh = n nh = n A A A 3 A 4, bir ABCD kirişler dörtgenin bir P noktsın göre pedl çokgeni olsun. Bu durumd, dir. 4 PA + PB + PC + PD > 4 PA. PA. PA 3. PA 4 Şekil 8

14 İspt: PA = h, PA = h, PA 3 = h 3 ve PA 4 = h 4 olsun. Şekil 8 e göre A PA, A PA 3, A 3 PA 4 ve A 4 PA üçgenlerinde kosinüs teoreminden sırsıyl eşitlikleri elde edilir. Burdn A A = h + h h h cos (π B ) A A 3 = h + h 3 h h 3 cos (π C ) A 3 A 4 = h 3 + h 4 h 3 h 4 cos (π D ) A A 4 = h + h 4 h h 4 cos (π A ) A A = h + h h h cos (π B ) = h + h h h cos (A + C + D π) = h + h + h h cos (A + C + D ) = h + h + h h cos(a + C ) cos D h h sin(a + C ) sin D = (h sin D h sin(a + C )) + (h cosd + h cos(a + C )) dir. A + C = π olduğundn A A = (h sin D ) + (h cosd h ) elde edilir. (h cosd h ) = 0 ise cosd = h dir. m(a h PA ) = m(d ) olduğundn A PA üçgeninde kosinüs teoremi uygulnırs A A = h + h h h cos (D ) = h + h h h h h = h h elde edilir. Burdn h = A A + h olrk bulunur. O hlde m(pa A ) = 90 0 dir. Bu ise m(ba P) = 90 0 olmsı ile çelişir. Dolyısıyl, (h cosd h ) 0 dır. Burdn, elde edilir. Benzer şekilde, A A > h sin D A A 3 > h 3 sin A A 3 A 4 > h 4 sin B A A 4 > h sin C (3) (4) (5) (6) eşitsizlikleri elde edilir. Ayrıc, PA BA, PA CA 3, PA 3 DA 4 ve PA 4 AA dörtgenleri birer kirişler dörtgeni olduklrındn AA A 4, BA A, CA A 3, DA 3 A 4 üçgenlerinde sinüs teoremi uygulnırs sırsıyl PA = A A 4 (7) ina PB = A A (8) inb PC = A A 3 (9) inc 3

15 PD = A 3A 4 ind (0) olrk bulunur. (3), (4), (5) ve (6) numrlı eşitsizlikler sırsıyl (7), (8), (9) ve (0) numrlı eşitlikler ile birlikte düşünüldüğünde PB = A A inb PC = A A 3 inc PD = A 3A 4 ind PA = A A 4 ina > h sin D inb > h 3 sin A inc > h 4 sin B ind > h sin C ina eşitsizlikleri elde edilir. Bu eşitsizlikler trf trf toplnrk Aritmetik-Geometrik Ortlm Eşitsizliği uygulnırs PA + PB + PC + PD > h sin C + h sin D + h 3 sin A + h 4 sin B ina inb inc inc eşitsizliği bulunur. 4. onuçlr ve Trtışm 4 > 4 h sin C ina. h sin D inb 4 > 4 PA. PA. PA 3. PA 4. h 3 sin A h 4 sin B inc inc Çlışmnın sonund pedl üçgenlerine it şğıdki bğıntılr elde edilmiştir: ) Bir kirişler dörtgeninin pedl dörtgeninin kenr uzunluklrı; pedl noktsının köşelere oln uzklıklrı, kirişler dörtgeninin çevrel çemberinin yrıçpı ve köşegen uzunluklrı cinsinden ifde edilmiştir: ABCD bir kirişler dörtgeni ve P noktsı ABCD dörtgeninin iç bölgesinde yer ln bir nokt olsun. P noktsındn [AB], [AD], [BC] ve [DC] ye inilen dikmelerin yklrı sırsıyl K, L, M, N noktlrı ve ABCD dörtgeninin çevrel çemberinin yrıçpı R olmk üzere AC. PB KM =, KL = BD. PC MN =, LN = BD. PA AC. PD ) Bir dörtgenin pedl dörtgeni ile kendisi rsınd kln üçgenlerin iç teğet çemberlerinin yrıçplrının toplmı için dörtgenin iç çılrı ve dörtgenin çevresi cinsinden bir üst sınır belirlenmiştir. Bu eşitsizlik dış bükey çokgenler için de sğlnmıştır: ) Çevresi Ç oln bir ABCD dörtgeninin iç bölgesinde bir P noktsı lınsın. P noktsındn [AB], [BC], [CD] ve [AD] ye inilen dikmelerin yklrı sırsıyl A, B, C, D olsun. Bu durumd, A B C D pedl dörtgenine teğet oln AA D, A BB, CB C, DC D üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin yrıçplrı sırsıyl r, r, r 3, r 4 ve 4

16 M = mx {, cos A +, cos B +, cos C + } cos D + olmk üzere r + r + r 3 + r 4 M. Ç dir. ABCD bir kre ve P noktsı ABCD kresinin ğırlık merkezi olrk seçildiğinde, eşitlik durumu sğlnır. b) Çevresi Ç oln bir A A A 3 A n çokgeninin iç bölgesinde bir P noktsı lınsın. P noktsındn [A A ], [A A 3 ],, [A n A ] e inilen dikmelerin yklrı sırsıyl H, H,, H n olsun. Bu durumd, H H H n pedl çokgenine teğet oln A H H n, H A H,,H n A n H n üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin yrıçplrı sırsıyl r, r,, r n ve olmk üzere M = mx { cos A +, cos A +,, cos A n + } r + r + + r n M. Ç dir. Eşitlik durumu, A A A 3 A n çokgeni bir kre ve P noktsı bu krenin ğırlık merkezi olrk seçildiğinde sğlnır. 3) P pedl noktsı olrk bir teğetler dörtgeninin iç teğet çemberinin merkezi lınsın. Bu teğetler dörtgeninin pedl dörtgeninin lnının, teğetler dörtgeninin lnın ornı için iç teğet çemberinin yrıçpı ve teğet uzunluklrı cinsinden bir üst sınır belirlenmiştir: Alnı oln bir ABCD teğetler dörtgeninin iç teğet çemberinin merkezi P noktsı, yrıçpı ise r birim olsun. P noktsındn [AB], [BC], [CD] ve [AD] ye inilen dikmelerin yklrı sırsıyl K, L, M ve N olsun. Bu durumd, BL =, LC = b, MD = c, AN = d ve KLMN pedl dörtgeninin lnı pedl olmk üzere pedl dir. Eşitlik durumu, ABCD bir kre iken sğlnır. 4r + b + c + d 4) Dış bükey bir çokgenin lnının, çevresinin kresine ornı için bu çokgenin pedl noktsının kenrlr oln uzklıklrı ve çokgenin kenr uzunluklrı cinsinden bir lt sınır belirlenmiştir: P, bir A A A 3 A n çokgeninin iç bölgesinde bir nokt ve A A =, A A 3 =,, A n A = n olsun. P noktsındn A A A 3 A n çokgeninin kenrlrın inilen dikmelerin uzunluklrı sırsıyl h, h,, h n, A A A 3 A n çokgeninin lnı ve çevresi sırsıyl ve Ç olmk üzere Ç. ( + + n ) h h n dir. Eşitlik durumu, = = = n = ve h = h = = h n = h iken sğlnır. 5) Bir çokgenin kenr syısının kresinin ve çokgenin lnın ornı için bu çokgenin pedl noktsının kenrlr oln uzklıklrı ve çokgenin kenr uzunluklrı cinsinden bir üst sınır 5

17 belirlenmiştir: P, bir A A A 3 A n çokgeninin iç bölgesinde bir nokt ve A A =, A A 3 =,, A n A = n olsun. P noktsındn A A A 3 A n çokgeninin kenrlrın inilen dikmelerin uzunluklrı sırsıyl h, h,, h n ve A A A 3 A n çokgeninin lnı olmk üzere n h h n h n dir. Eşitlik durumu, = = = n = ve h = h = = h n = h iken sğlnır. 6) Bir dörtgenin pedl noktsının dörtgenin köşelerine oln uzklıklrı toplmı ve pedl noktsının dörtgenin kenrlrın oln uzklıklrı üzerine bir geometrik eşitsizlik belirlenmiştir: A A A 3 A 4, bir ABCD kirişler dörtgeninin bir P noktsın göre pedl çokgeni olsun. Bu durumd, dir. 5. Öneriler 4 PA + PB + PC + PD > 4 PA. PA. PA 3. PA 4 Çlışmmızd elde ettiğimiz sonuçlrın pedl çokgenleri üzerine ypılck diğer rştırmlr kynklık edeceği düşüncesindeyiz. Kynklr Alsin, Cludi & Nelsen, Roger B. (007). A visul proof of the Erdős-Mordell inequlity, Forum Geometricorum, 7, Bnkoff, L. (958). An elementry proof of the Erdős-Mordell theorem, Americn Mthemticl Monthly, 65 (7), 5. Coxeter, H..M. & Greitzer,.L. (967). Geometry Revisited, Mth. Assoc. Americ. Erdős, P. (935). Problem 3740, Americn Mthemticl Monthly, 4, 396. Ferrrello, D. & Mmmn, M. F. & Pennisi M. (03). Pedl Poygons, Forum Geometricorum, Volume 3, Honsberger, R. (995). Episodes In Nineteenth nd Twentieth Century Eucliden Geometry, Mth. Assoc. Americ. Hursit, R. (003). Cuchy nin Bir Eşitsizliği, Mtemtik Dünysı Dergisi, 3, Johnson, R.A. (007). Advnced Eucliden Geometry, Dover Publictions. Kzrinoff, D. K. (957). A simple proof of the Erdős-Mordell inequlity for tringles, Michign Mthemticl Journl, 4 (), Mmmn, M. F. & Micle B. & Pennisi, M. (00). Orthic Qudrilterls of Convex Qudrilterl, Forum Geom., 0, Mordell, L. J. & Brrow, D. F. (937). olution to 3740, Americn Mthemticl Monthly 44,

18 Şhin, M. (000). Mtemtik Olimpiytlrın Hzırlık Geometri, Plme Yyınlrı, Ankr. 7