T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ"

Transkript

1 T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN İLİMLERİ ENSTİTÜSÜ POZİTİF TNML MTRİSLERİN RİTMETİK GEOMETRİK VE EİNZ ORTLMLR ÜZERİNE SNRLR Öğrecii dı SOYD İrhim lil GÜMÜŞ DOKTOR TEZİ Mtemtik ilim Dlı Temmuz- KONY er kkı Sklıdır i

2

3 . i

4 ÖZET DOKTOR TEZİ POZİTİF TNML MTRİSLERİN RİTMETİK GEOMETRİK VE EİNZ ORTLMLR ÜZERİNE SNRLR Öğrecii dı SOYD İRİM LİL GÜMÜŞ Selçuk Üieritei Fe ilimleri Etitüü MTEMTİK ilim Dlı Dışm: YRD. DOÇ. DR. NECTİ TŞKR 7 Syf Jüri Yrd. Doç. Dr. Necti TŞKR Prof. Dr. hmet Si ÇEVİK Doç. Dr. hmet TEKCN Prof. Dr. şır GENÇ Doç. Dr. Glip OTURNÇ u tezde ir kler eşitizliği mtri formu iceleip igüler değer e zı uitrily iryt ormlrı hepldı. u değerler içi yei ıırlr elde edildi. htr Kelimeler: ritmetik ortlm geometrik ortlm eiz ortlm pozitif tımlı mtri igüler değer uitrily iryt orm ii

5 STRCT Ph.D TESS OUNDS ON RTMETC GEOMETRC ND ENZ MENS OF POSTVE DEFNTE MTRCES Öğrecii dı SOYD RM LL GUMUS TE GRDUTE SCOOL OF NTURL ND PPLED SCENCE OF SELCUK UNVERSTY MTEMTCS dior: t. Prof.Dr. NECTİ TSKR 7 Pge Jury t. Prof. Dr. Necti TŞKR Prof. Dr. hmet Si ÇEVİK oc. Dr. hmet TEKCN Prof. Dr. şır GENÇ oc. Dr. Glip OTURNÇ thi thei the mtrix form of clr iequlity i ietigted d it igulr lue d ome uitrily irit orm re clculted. For thee lue ew oudrie re otied. Keyword: rithmetic me geometric me eiz me poitie emidefiite mtrix igulr lue uitrily irit orm iii

6 ÖNSÖZ u çlışm Yrd. Doç. Dr. Necti TŞKR trfıd yöetilerek Selçuk Üieritei Fe ilimleri Etitüüe Doktor tezi olrk uulmuştur. Çlışmm oyuc deteklerii eirgemeye değerli ileme e değerli hocm Yrd. Doç. Dr. Necti TŞKR y e içte teşekkür e ygılrımı urım. İrhim lil GÜMÜŞ KONY- ix

7 İÇİNDEKİLER ÖZET... ii STRCT... iii ÖNSÖZ... ix İÇİNDEKİLER... x SİMGELER... xi. GİRİŞ.... KYNK RŞTRMS ÖNİLGİLER Özdeğerler ezerlik döüşümü Köşegeleştirme Sigüler Değerler Mtri Normlrı Uitrily iryt ormlr Pozitif Yrı Tımlı Mtriler Pozitif yrı tımlı mtri çifti Mtri Ortlmlrı RŞTRM SONUÇLR VE TRTŞM..... Mtri Youg Eşitizlikleri ritmetik-geometrik Eşitizlikleri Diğer Türleri POZİTİF TNML MTRİSLERİN RİTMETİK GEOMETRİK VE EİNZ ORTLMLR İÇİN SNRLR Pozitif Tımlı Mtrileri ritmetik Geometrik e eiz Ortmlrı içi Sigüler Değer Sıırlrı Pozitif Tımlı Mtrileri ritmetik Geometrik e eiz Ortlmlrı Üzerie zı Norm Sıırlrı SONUÇLR VE ÖNERİLER Souçlr Öeriler... 7 KYNKLR... 7 ÖZGEÇMİŞ x

8 C R : Komplek yılr kümei : Reel yılr kümei : mtriii teri T : mtriii trpozei : mtriii eşleik trpozei : mtriii igüler değeri SİMGELER : mtriii krekökü : ile mrtii direkt toplmı M C : Elemlrı komplek yılr kümeie it ol ütü mtrileri kümei iz : mtriii izi det : mtriii determitı : mtriii mutlk değeri : mtriii uitrily iryt ormu : mtriii ilert-schmidt ormu : mtriii pektrl ormu k : mtriii iz ormu : mtriii Ky F ormu : mtriii l p p ormu ey Schtte p-ormu λ : mtriii özdeğerleri λ : mtriii krkteritik poliomu ο : ile mtriii dmrd çrpımı rk : mtriii rkı : ile yılrıı ritmetik ortlmı : ile yılrıı hrmoik ortlmı G : ile yılrıı geometrik ortlmı L : ile yılrıı logritmik ortlmı : ile yılrıı eiz ortlmı # : ile mtrilerii geometrik ortlmı Re : mtriii reel kımı xi

9 . GİRİŞ Skler eşitizlikleri mtri formlrı mtemtik ilimide e diğer diiplilerde o zmlrd öemli ir çlışm lı hlie geldi. Mtemtikçiler çok iyi ilie kler eşitizlikleri mtri formlrıı u mtri formlrı igüler değerlerii e ormlrıı icelemekte e özellikle ritmetik geometrik eşitizlikleri mtri icelemeleri ir çok ilim iı trfıd değişik yöleriyle çlışılmktdır. u çlışmd çok iyi ilie ritmetik-geometrik eşitizliğii dh geiş ir eriyou ol eşitizliği üzeride duruldu. u eşitizliği kler olrk iptı ypılrk u eşitizlikte değişik kler eşitizlikler elde edildi. yrıc mtri formlrıı yzıp igüler değerlerii e uitrily iryt ormlrı iceledi e u çlışmlr oucud ritmetik geometrik e eiz ortlmlrı üzerie yei ıırlr elde edildi. Çlışmlrımız u ekede hle dem etmektedir.

10 . KYNK RŞTRMS Skler eşitizlikleri mtri formlrı üzerie çlışmlr -5 yıllık ir geçmişe dymktdır. u ldki çlışmlr ritmetik-geometrik eşitizlikler gii çok iyi ilie eşitizlikleri mtri formlrıı igüler değerleri e ormlrı üzerie olmuştur. hti e Kitteh 99 çlışmlrıd e mtrileri içi eşitizliğii iptlmışlrdır. Zh çlışmıd e pozitif yrı tımlı mtrileri e... içi eşitizliğii götermiştir. To 6 d M M m M N mtrileri e r mi { m } içi pozitif yrı tımlı M K K N lok mtriii lıp M K K eşitizliğii götermiş e K N yrıc içi çık prolemii iptlmıştır. Zh de herhgi e mtileri içi eşitizliğii frklı ir iptıı erip pozitif tımlı mtrii e... pozitif yrı k tımlı mtrileri içi iz k i < iz i eşitizliğii elde etmiştir. hti e Di 993 de herhgi ; keyfi mtrileri e ütü uitrily iryt ormlr içi eşitizliğii götermişlerdir. Kitteh 993 de p q > p q e pozitif yrı tımlı mtrileri e p p q q komplek mtrii içi eşitizliğii iptlmıştır. Koki 99 deki çlışmıd pozitif yrı tımlı mtrileri komplek mtrii e ütü uitrily iryt ormlr içi eşitizliğii pozitif tımlı fokiyolr yrdımıyl götermiştir. p q > p q

11 3 şrtı ile p q p q eşitizliğii iptlmış e değişik uygulmlrıı elde etmiştir. do 995 de p q > p q içi p q eşitizliğide p q hreketle pozitif mtrileri e iptlmıştır. p q... içi eşitizliğii p q irzllh e Kitteh deki çlışmlrıd p q > e p q pozitif yrı tımlı mtriler e r mx { p q} içi ilert-schmidt ormu olmk üzere p p q p q eşitizliğii iptlmışlrdır. q r udeert 7 de pozitif yrı tımlı mtrileri e... içi eşitizliğii iptlmıştır. hti e Kitteh de uitrily iryt ormlr içi pozitif yrı tımlı mtrileri e ütü eşitizliğii iptlmışlrdır. Kitteh 7 de pozitif tımlı mtrileri e ütü uitrily iryt ormlr içi pektrl ormuu götermek üzere eşitizliğii iptlmıştır. Kitteh deki çlışmıd Y pozitif tımlı mtrileri e pektrl ormu içi Y Y Y eşitizliğii iptlmıştır. Kitteh e Mrh d e r mi{ } içi r eşitizliği üzeride çlışmışlr e u eşitizlik yrdımıyl iz r iz iz iz ifdeii iptlmışlrdır. iz ormuu götermek üzerie u yı zmd r şeklide de yzılilir.

12 3. ÖNİLGİLER u ölümde öcelikle özdeğerleri tıtıp ulrı zı özellikleride hedeceğiz. Üiter mtriler ezerlik döüşümleri e köşegeleştirme koulrı değieceğiz. So olrk d tezimizi temel öğeleride iri ol igüler değerlerde hedeceğiz. 3.. Özdeğerler M x C e λ ir kler olu. Eğer x λx 3. deklemi ir λ kleri e x ıfır olmy ektörü içi ğlır λ y mtriii özdeğeri x de λ özdeğerie krşılık gele özektörü deir. M mtriii ütü özdeğerlerii kümei ı pektrumu olrk dldırılır e σ ile göterilir. ir mtrii mutlk değerce e üyük özdeğerie o mtrii pektrl yrıçpı deir. Spektrl yrıçp egtif olmy ir reel yıdır. Spektrl yrıçp komplek uzyd ı özdeğerlerii kpy orii merkezli e küçük diki yrıçpıdır. M mtriii özdeğerleri hkkıdki öemli orulrd iri kç te olduklrı diğeri ie ıl krkterize edilecekleridir. 3. ile göterile özdeğer- özektör deklemi x içi λ x 3. şeklide yzılilir. u deklemi x çözümüde şk çözümüü olmı içi det λ 3.3 olmı gerekir. u determit çıldığı zm. derecede λ y ğlı ir poliom elde edilir. u poliom mtriii krkteritik poliomu deir e... λ 3. λ λ λ şeklide yzılilir. λ 3.5 deklemie de mtriii krkteritik deklemi deir. u deklemi kökleri mtriii özdeğerleridir. yrıc ir mtrii özdeğerleri toplmı o mtrii izi özdeğerleri çrpımı ie mtrii determitıdır or e Joho 95.

13 5 Teorem 3... λ λ herhgi ir kre mtriii özdeğerleri e k ir tmyı λ... ie tekil mtri ie k pozitif olmlı şeklidedir or e Joho 95. İpt: k mtriii özdeğerleri k k λ λ... x λx deklemii her iki yıı mtrii ile çrprk x λ x λ x λ x elde ederiz. yı işleme dem ederek λ k k k k k x λ x λ x λ x uluur ki ipt tmmlır. Teorem 3... herhgi ir kre mtri olu. u tkdirde e özdeğerleri yıdır or e Joho 95. İpt: T mtriii özdeğerleri T T mtrilerii det λ deklemii kökleridir. erhgi ir T T kre mtri içi det det olduğud det λ det λ olcktır. Deklemler eşit olduğud kökleri de eşit olcktır. Yi iki mtrii özdeğerleri yıdır ezerlik döüşümü M C e S M tekil olmy mtrii içi S S 3.6 eşitliği r mtrilerie ezer mtriler deir. ezerlik M üzeride ir deklik ğıtııdır. Yım imetri e geçişme özelliklerii ğly ir ğıtıdır. Teorem 3... M C olu. Eğer e mtrileri ezer mtriler ie krkteritik poliomlrı yıdır or e Joho 95. İpt: λ det λ det λs det S dır..det λ det S S S det S S det S det S λ S det λ det λ λ Souç olrk e ezer mtriler ie yı özdeğerlere hiptir. m teri doğru değildir. Yi özdeğerleri yı ol mtriler ezer olmyilirler. yrıc iz e determit ezerlik döüşümleri ltıd iryttır. Yi izs S iz eşitlikleri mecuttur. Teorem 3... ezer mtrileri kuetleri de ezerdir. İpt: İptı tümerıml yplım. k içi; det S S det e

14 6 P P P P P P 3.7 k - içi; P P 3. eşitliğii doğru olduğuu kul edelim. k içi eşitliği doğruluğuu göterelim. 3. eşitliğii her iki trfıı ile çrprk olur. P P P P P P Köşegeleştirme Verile ir ezerlik döüşümlerii özdeğer prolemlerii çözmek içi kulliliriz. mtriie ezer ol e özdeğer prolemi it ol ir mtriii ulmk ize kolylık ğlr. Özdeğer prolemi e koly ol mtri köşege mtritir. M mtrii ir köşege mtrie ezer ie mtriie köşegeleştirileilir mtri deir. Diğer ir deyişle P P D 3. olck şekilde tekil olmy ir P mtrii r mtriie köşegeleştirileilir mtri deir. kre mtriii köşegeleştirileilir olmı içi gerek e yeter şrt mtriii te lieer ğımız özektöre hip olmıdır. u durumd D köşege mtriii köşege elemlrı mtriii özdeğerleridir. Tım 3... U mtrii tekil olmy ir mtrii olmk üzere U U UU olck şekilde ir U mtrii r ie U mtriie üiter mtri deir. yrıc dir. Özel olrk U reel mtri e deir. Tım 3... Eğer U T 3. U U T U UU ie U mtriie ortogol mtri U U 3. olck şekilde ir U üiter mtrii r o tkdirde e mtrilerie üiter olrk ezerdir deir. Öreği M hermitye ir mtri ie tüm özdeğerleri reeldir e üiter olrk köşegeleştirileilir or e Joho 95.

15 7 Teorem 3... i e i M C mtrileri üiter ezer ieler i i 3.3 i dır. or e Joho 95 İpt: i i i iz olduğud iz iz eşitliğii iptlrk iteile elde edilir. U U eşitliği e ezerliği iz ltıd iryt olmıd dolyı iz izu UU U izu U iz elde edilir e ipt tmmlır. Tım M C llım. O zm C mtriie ile mtrilerii direkt toplmı deir e ile göterilir. 3. yrıc C mtriii köşegeleştirileilir olmı içi gerek e yeter şrt e mtrilerii köşegeleştirileilir olmıdır. 3.. Sigüler Değerler hedeceğiz. u kıımd öcelikle igüler değerleri tıtıp or zı öemli özellikleride M mtriii llım. ı özdeğerleri λ olmk üzere içi λ yılrı mtriii igüler değerleri deir e ile göterilir. Yi λ 3.5 dir. Şimdi de igüler değerleri zı öemli özelliklerii erelim. M mtriii x llım. mtriii igüler değerlerii... şeklide ırldığıı kul edelim. u durumd şu özellikler mecuttur. mecut yi tekil olmy ir mtri ie α C içi α α

16 λ i iz k iz i k mi m i det i k i Geellikle i i 3.3 Mtri Normlrı Mtemtikte zı krmlrı ir tek yı ile ifde etmek o derece öemlidir. Determit e orm krmlrı mtrileri tek ir yı ile ifde etme yollrıd zılrıdır. iz u ölümde öcelikle mtri ormlrıı tıtıp dh or tezimizde öemli ir yere hip ol uitrily iryt ormlr geçeceğiz. içi : M R fokiyouu mtri ormu olrk dldırılmı M içi şğıdki eş kiyomu ğlmı gerekir. c C içi c c. İlk dört kiyom ğlıyor u orm geelleştirilmiş mtri ormu deir. Eğer eş kiyomu hepi ğlıyor u orm d mtri ormu deir or e Joho 95. Şimdi de zı mtri orm türlerii erelim. Tım 3.3. m mtri olmk üzere m i i

17 9 ormu mtriii Froeiu Euclide Schur ey ilert-schmidt orm olrk d iliir ormu mx{ λ : λ ı özdeğerleri} şeklide tıml orm mtriii pektrl ormu e < p < içi p m i i p p şeklide tıml orm d mtriii l p ormu deir. l p ormud p olmı durumud orm ütu ormu p olmı durumud orm Froeiu ormu e p olmı durumud d orm tır ormu olrk kul edilir or e Joho 95. Şimdi de tezimizde öemli ir yere hip ol uitrily iryt ormlr hkkıd ilgi erelim Uitrily iryt ormlr tıtcğız. u ölümde lizde öemli ir yere hip ol uitrily iryt ormlrı M üzeride ir orm olu. Eğer her mtrii e U V üiter mtrileri içi UV 3.6 şrtı ğlıyor u orm uitrily iryt orm deir. u trz ormlrı özellikle iki ııfı çok öemlidir. ulrd iri Ky F ormlrıdır. u orm k içi k k 3.7 içimide göterilir. Diğer ir öemli öreği ie Schtte-p ormlrıdır e p ile göterilir. p p 3. Yukrıd hettiğimiz orm türleride çok iyi ildiğimiz zı ormlrı elde edeiliriz. Öreği pektrl orm opertor orm Schtte-p ormud F ormud k lırk şğıdki şekilde elde edileilir: p ey Ky

18 . 3.9 urd pektrl ormu ir uitrily iryt orm olduğu orty çıkr. yı şekilde iz ormu p ey k lırk iz iz 3. olrk uluilir. u orm türü de ir uitrily iryt ormdur. Tezimizde öemli ir yere hip ol ilert-schmidt orm Froeiu orm d ir uitrily iryt ormdur. u orm F iz p i 3. i şekilleride göterileilir. Uitrily iryt ormlr lt çrpıml özelliğie hiptirler. Yi herhgi mtrileri içi. 3. dır hti 996; hti 7. Şimdi de uitrily iryt ormlr içi öemli ol üç te teorem erelim. Teorem e mtriler olu. k içi ie ütü k k uitrily iryt ormlr içi eşitizliği de rdır. u teorem F Domice teoremi olrk d iliir hti 996. Teorem M üzeride herhgi ir uitrily iryt orm olu. ο dmrd çrpımı götermek üzere e ütü mtrileri içi ο mx 3.3 ii eşitizliği geçerlidir hti 7. Teorem orm içi M mtrilerii llım. M üzerideki her uitrily iryt eşitizliği rdır hti

19 3.. Pozitif Yrı Tımlı Mtriler u ölümde mtri teoride öemli ir yere hip ol pozitif tımlı mtriler e pozitif yrı tımlı mtriler üzeride durcğız. u mtrileri özdeğerleri pozitif olduğud uygulmlı mtemtikte irçok kolylıklr ğlmktdır. tipide ir hermitye mtri olu. mtrii ıfırd frklı x C içi x x > 3.5 şrtıı ğlıyor u mtrie pozitif tımlı mtri deir e > ile göterilir Eğer her x C içi x x 3.6 şrtıı ğlıyor mtriie pozitif yrı tımlı mtri deir e ile göterilir. er pozitif tımlı mtri yı zmd pozitif yrı tımlı mtritir. Fkt ir pozitif yrı tımlı mtrii pozitif tımlı mtri olmı içi gerek e yeter şrt mtrii ter çerileilir olmıdır. Öreği pozitif tımlı değildir. mtrii pozitif yrı tımlıdır m mtrii ie hem pozitif tımlı hem de pozitif yrı tımlı ir mtritir. Pozitif tımlı mtrileri eşleiği trpozei eşleik trpozei e teri de pozitif tımlıdır or e Joho 95. Pozitif tımlı mtrileri kullışlı e it irçok krkterizyou rdır. Şimdi ulrı zılrıı erelim. Teorem 3... M hermitye mtriii pozitif tımlı olmı içi gerek e yeter şrt özdeğerlerii pozitif olmıdır. Pozitif yrı tımlılıkt ie gerek e yeter şrt özdeğerleri egtif olmmıdır or e Joho 95. İpt: mtrii pozitif tımlı mtri λ mtriii özdeğerleride irii e x de λ y krşılık gele özektör olu. u tkdirde x x x λ x λx x 3.7 eşitliği yzılilir. urd x x λ elde edilir. x x e x x x x orlrı d pozitiftir. öylece itee elde edilmiş olur. pozitif olduğud D köş λ... λ mtrii ı özdeğerleride oluş köşege mtri olu. mtriii özdeğerleri pozitif ie ıfır olmy x C içi

20 y Ux x x x U DUx y Dy di yi yi d i yi > 3. i i elde edilir ki iteedir or e Joho 95. Souç 3... Pozitif tımlı mtrileri izi e determitı pozitiftir or e Joho 95. İpt: ir mtrii izi özdeğerlerii toplmı determitı ie özdeğerlerii çrpımı olduğud hem iz e hem de determit pozitif değerlerdir. Yi pozitif tımlı mtrii içi iz λ > i i det λ > i i dır. Pozitif yrı tımlı mtrileri izi e determitı ie egtif olmy yılrdır. Souç 3... M pozitif yrı tımlı mtri ie yrı tımlıdır or e Joho 95. İpt: mtriii özdeğerleri Dolyııyl u özdeğerler de pozitiftir. λ...λ ie k mtrii de k içi pozitif k mtriii özdeğerleri λ...λ k k dır. Teorem 3... hermitye mtriii pozitif tımlı olmı içi gerek e yeter şrt e miörlerii pozitif olmıdır. Pozitif yrı tımlı olmı içi gerek e yeter şrt e miörlerii egtif olmmıdır Zhg 999. Teorem tipide ir mtri olmk üzere ütü m komplek mtrileri içi mtriii pozitif yrı tımlı olmı içi gerek e yeter şrt olmıdır Zhg 999. Teorem 3... komplek mtriii pozitif yrı tımlı olmı içi gerek e yeter şrt U üiter mtrii e egtif olmy λ i özdeğerleri içi U köş λ... λ U olmıdır Zhg 999. Teorem mtriii pozitif yrı tımlı mtri olmı içi gerek e yeter şrt zı mtrileri içi mtri olmı gerekir Zhg 999. olmıdır. Pozitif tımlılık içi ie i tekil olmy Teorem mtriii pozitif yrı tımlı olmı içi gerek e yeter şrt zı üt üçge mtrileri içi T T olmıdır. yrıc T egtif olmy köşege elemlrı hip ir mtri olrk eçileilir. pozitif tımlı mtri ie T tektir.

21 3 er egtif olmy yıı ir te egtif olmy krekökü rdır. u durum mtriler içi şöyle geelleştirileilir Zhg 999. Teorem er içi olck şekilde ir te mtrii rdır Zhg 999. İpt: içi U köş λ... λ U olduğuu iliyoruz. Öyleye U köş... λ λ U 3.9 mtrii rdır. u mtrii özdeğerleri de pozitif olduğud mtrii pozitif yrı tımlıdır. mtriie mtriii krekökü deir e ile göterilir Pozitif yrı tımlı mtri çifti Eşitizlikler moder mtri teorii koulrıd iridir. u ölümde tezimizde de öemli ir yere hip ol iki pozitif yrı tımlı mtri içere eşitizlikler üzeride durcğız. e yı merteeli iki mtri olu. - pozitif yrı tımlı ie ey yziliriz. urdki eşitizliği ir kımi ırlmdır. ermitye mtriler üzerideki u ırlmy Löwer kımi ırlmı d deir. u ırlmyı şu şekilde götereiliriz: er hermitye mtrii içi e ie e C ie C. yrıc Teorem 3..3 de yer l olmı içi gerek e yeter şrt eşitizliği olmı içi gerek e yeter şrt olrk geelleştirileilir Zhg 999. erelim. Şimdi de pozitif yrı tımlı mtriler içi öemli eşitizlikler içere ir teorem Teorem 3... e yı merteeli iki mtri olu. O hlde şğıdki eşitizlikler rdır: i. ii. iii. iz iz. iz

22 i. i özdeğerleri egtif olmy yılrdır. i pozitif yrı tımlı mtri olmı içi gerek e yeter şrt olmıdır. Zhg 999 İpt: i İpt çıktır. ii olduğud ipt kolylıkl elde edilir. iii U DU üiter ezerliğide iz iz U DU iz DUU yzılilir.... elemlrıı mtriii köşege elemlrı olrk llım. yrıc köş λ... λ olrk frz edelim. Öyleye λ iz iz iz λ... λ λ. 3.3 elde edilir i e Y yı merteeli kre mtriler olu. Y e Y mtrilerii özdeğerlerii yı olduğu ilgiide mtrii ile mtrilerii özdeğerlerii yı olduğu uluur. ii de mtriii özdeğerlerii egtif olmy yılr olduğuu iliyoruz. Dolyııyl mtriii özdeğerleri de pozitiftir. Şimdi de i eşitizliğii ikici kımıı iptıı yplım. çrpımı geelde pozitif yrı tımlı değildir. u mtri hermitye mtri olrk uluur pozitif yrı tımlılığı elde edilmiş olur. e değişme özelliğie hipe 3.3 uluur ki hermitye mtri olur. öylece dır. ie hermitye mtri olur. Öyleye 3.3 elde edilir ki i ü ikici ifdeii iptı d tmmlmış olur Zhg 999. mtriii pozitif yrı tımlılığı e mtrilerii değişme özelliğie hip olmı yeide olur ki u çok kııtlyıcı ir durumdur. Fkt u durum dmrd çrpım içi o kdr kııtlyıcı değildir. u kouyl ilgili olrk Schur çrpım teoremi dıyl ilie ir teorem erelim. Teorem 3... M pozitif yrı tımlı mtriler ie hdmrd çrpımı d pozitif yrı tımlıdır. yrıc e mtrileri pozitif tımlı ie de pozitif tımlı mtritir or e Joho 95. Şimdi de rk determit e mtrileri terlerii içere ir teorem erelim.

23 5 Teorem Zhg 999 ie i. rk rk ii. det det iii. e tekil olmy mtrileri içi Pozitif tımlı mtriler içi temel determit eşitizliği dmrd eşitizliği olrk iliir. u ldki irçok eşitizlik u eşitizliği geelleştirmeide irettir. Şimdi u eşitizliği erelim. Teorem 3... [ i ] M i pozitif yrı tımlı mtri ie det 3.33 ii dır. yrıc pozitif tımlı mtri olduğud eşitlik durumu mtriii köşege mtri olmı ile elde edilir or e Joho 95. er pozitif yrı tımlı mtrii pozitif yrı tımlı ir krekökü olduğuu iliyoruz. Pozitif yrı tımlı mtriler içi krekök lm işlemi mtri mooto fokiyodur. Yi krekök lm işlemi Löwer i kımi ırlmıı korur. m uu iptlmd öce iptımız içi gerekli ol ir Lemm erelim. Lemm 3... hermitye mtriler e pozitif tımlı olu. S ymmetrized imetrik çrpımı pozitif yrı tımlı ie mtrii de pozitif yrı tımlıdır hti 7. Şimdi teoremimize geçelim. Teorem e pozitif yrı tımlı mtriler olu. Öyleye 3.3 dir hti 7. İpt: Y Y Y Y 3.35 Y eşitizliği doğrudur. e Y pozitif tımlı mtriler ie Y mtriii de pozitif tımlı olduğuu iliyoruz. öylece de -Y mtrii de pozitif yrı tımlıdır. Yi Y pozitif yrı tımlı ie Lemm 3... Y Y dir.

24 6 Fkt uu teri doğru değildir. Yi e mtrileri içi doğrudur. Fkt doğru değildir hti 7. Y Y yzılmz. eşitizliği p p Teorem p 3.36 hti 7. Teorem Oppeheim eşitizliği e pozitif yrı tımlı mtriler ie det ii det 3.37 i dir or e Joho 95. Teorem 3... e [ det ] det det pozitif yrı tımlı mtriler ie 3.3 dir or e Joho Mtri Ortlmlrı u kıımd çlışmmızd öemli ir yere hip ol mtri ortlmlrıd hedeceğiz. Syılr içi iyi ilie u ortlmlrı mtriler içi de geçerli olup olmdığıı irdeleyeceğiz. ritmetik ortlm geometrik ortlm hrmoik ortlm logritmik ortlm e eiz ortlm u ortlm türlerii öde geleleridedir. iz tezimizde özellikle ritmetik geometrik e eiz ortlmlrıı üzeride durcğız. Mtriler içi frklı ir geometrik ortlm ereceğiz. hettiğimiz diğer ortlm türleride ie kıc hedeceğiz. e pozitif yılr olu. u yılrı ritmetik geometrik hrmoik logritmik e eiz ortlmlrı ırıyl ritmetik ortlm G Geometrik ortlm rmoik ortlm t t L dt log log Logritmik ortlm

25 7 eiz ortlmı şeklide göterileilir. u ortlmlrı hepii M ile göterip özelliklerii şu şekilde ereiliriz.. M >. ie M 3. M M. e ler içi M mooto rtdır 5. e α pozitif yılrı içi M α α αm 6. e ler içi M üreklidir. u ortlm türleri rıd çok iyi ilie ırlmlrd zılrı G L G olrk erileilir. Güümüzde u ırlmlrı mtri eriyolrı üzerie çlışmlr ypılmktdır. m iki temel oru rdır. ulrd iri mtrii ıl eçileceği diğeri ie eşitizliğii mtriler rıd e olcğıdır. Ypıl çlışmlrd mtriler pozitif tımlı olrk eçilmiş eşitizliği ie Löwer kımi ırlmı olrk lımıştır. c yukrıd hedile -6 şrtlrı mtriler içi ıl düşüülmelidir? u şrtlrd 5 i yei ir yorumuu ypmmız gerekir. 5 şrtı pozitif yılrı e ıfır olmy x komplek yıı içi M x x x x x M x _ olrk yzılilir. u ifdei mtri eriyou ie > e tekil olmy mtrii içi 5 M M olrk lıilir. u şrt kogrü iry olrk dldırılır. u ifde doğru ie M ye kogrü ltıd iryttır deir. Şimdi de yukrıd hettiğimiz ortlm türlerii mtriler içi u şrtlrı ğlyıp ğlmdığı geel olrk klım. pozitif tımlı mtriler içi ritmetik ortlm M

26 ifdeidir. Dikktlice iceleire u ortlm türüü mtriler içi -6 şrtlrıı hepii ğldığı görülür. O hlde geometrik ortlm içi e öyleeilir? pozitif tımlı mtriler olrk lı ile çrpımı pozitif tımlı değildir. Çrpımı pozitif tımlı olmı içi e mtrilerii değişme özelliğie hip olmı gerekir. u durumd geometrik ort mtriidir. m u durum mtriler içi çok ıırlyıcı ir durumdur. Dolyııyl frklı ir geometrik ortlm tıtmmız gerekir. Tezimizde de öemli ir yere hip ol u ortlm # 3.39 olrk lıilir. u geometrik ortlm -6 şrtlrıı ğlr. yrıc e değişme özelliğie hip ol mtriler ie # 3. olduğu rhtlıkl görülür hti 7. Şimdi de u geometrik ortlm içi ir teorem erelim. Teorem e pozitif tımlı mtriler olu. # olrk lıır i. # # ii. # deklemii tek pozitif çözümüdür. iii. yrıc # mx : ifdeleri doğrudur hti 7. # # olduğu d elde edileilir. tt u geometrik ortlmı frklı göterimleri rdır. Şimdi ulrı erelim. Teorem e pozitif tımlı mtriler U U pozitif tımlı olck şekilde ir üiter mtri ie # U 3. dir hti 7.

27 9 Teorem e pozitif tımlı mtriler e özdeğerlere hip ol krekökü olu. u tkdirde mtriii pozitif # 3. dir hti 7. Teorem pozitif tımlı mtriler ie # [ ] 3.3 dır. Köşeli prtezi içideki mtrii pozitif özdeğerlere hip olduğuu e kreköküü pozitif olduğuu kul ediyoruz. hti 7. Teorem e pozitif tımlı mtriler yrıc her iki mtrii determitı ie # 3. det dir hti 7. Frklı ritmetik e geometrik ortlm türleri de rdır. ν ğırlıklı ritmetik ortlm e ν ğırlıklı geometrik ortlm diye ilie u ortlm türlerii şu şekilde çıklyiliriz. M C mtrilerii llım. pozitif tımlı de pozitif yrı tımlı mtri olu. içi # mtrii # şeklide lıilir. içi mtriie e mtrilerii - ğırlıklı ritmetik ortlmı # 3.7 mtriie e mtrilerii -ğırlıklı geometrik ortlmı deir. Özellikle içi # e mtrilerii geometrik ortlmıdır Kuo e do 9. M C pozitif tımlı mtriler ie içi # # 3. olduğu görüleilir. yrıc e değişme özelliğie hip mtriler ie içi

28 # 3.9 yzılilir. Ter çerileilir M C mtrii ile pozitif yrı tımlı M C mtrii e içi eşitizliği rdır. Eşitlik durumu 3.5 durumud geçerlidir. Özellikle 3.5 eşitizliğide pozitif tımlı olrk lııp yerie yzrk # 3.5 eşitizliği elde edilir. Eşitlik durumu Pierce 97. olmı durumud geçerlidir Merri e Şimdi de eiz ortlmıd hedelim. içi 3.5 ortlmı eiz ortlmı olrk iliir. eiz ortlmı ile ilgili zı özellikler erelim... içi 3.. pozitif yılr olmk şrtıyl [ ] rlığıd i koek fokiyoudur e miimum değerii de lır. öylece 3.53 olduğu görülür. 5. d L eşitliği de doğrudur. içi e mtrilerii -ğırlıklı eiz ortlmı ie # # 3.5 olrk lıilir. urd 3.55

29 olduğu kolylıkl görüleilir. yrıc 3.5 de 3.56 yzılilir hti 7.

30 . RŞTRM SONUÇLR VE TRTŞM Çlışmmızı u ölümüde ritmetik-geometrik eşitizlikleri frklı mtri eriyolrı eiz ortlmı ile ol ilişkileri iceleecek yrıc u ortlm türlerii igüler değerleri e uitrily iryt ormlrı üzeride durulcktır. e pozitif yılrıı ritmetik-geometrik eşitizlikleri irçok yoll ifde edileilir. ulrd zılrı eşitizlikleridir. u eşitizlikleri her iri diğeride elde edileilir. u çlışmdki mcımız e pozitif yılrıı yerie e pozitif yrı tımlı mtrilerii yerleştirdiğimizde u eşitizlikleri doğru olup olmdığıı rştırmktır. Fkt krşımız temel olrk iki prolem çıkr. ulrd iri e mtrilerii geelde çrpmy göre değişme özelliğie hip olmmıdır. u mtriler değişme özelliğie hip olmdığıd çrpımı pozitif yrı tımlı olmmktdır. u orud kurtulmmızı yollrıd iri mtrileri krşılştırmk yerie igüler değerlerii e ormlrıı krşılştırmktır. İkici prolem ie mtrileri krekök e kre lm fokiyolrıı yrı yrı mootoluk özelliklerie hip olmıdır. Dolyııyl.. e.3 eşitizlikleri hepii frklı mtri eriyolrı rdır. Öreği. i igüler değer eriyou.. i igüler değer eriyou.5 e.3 ü igüler değer eriyou ie.6 dir.

31 3 Dikktlice iceleire. e.6 eşitizliklerii yı olduğu görülür. yrıc olduğud. eşitizliğii.5 eşitizliğide dh kuetli olduğu öyleeilir. u ritmetik-geometrik eşitizlikleri orm eriyolrı ie ırıyl.7..9 e. olrk erilir. iz çlışmmızd u eşitizlikleri zılrıı iptlrıı erip geelleştirmelerii ypcğız. Dh kuetli eriyolrıı olup olmdığıı iceleyeceğiz. zı eşitizlikler ie hl çık prolem olrk durmktdır. u iptlr geçmede öce üzeride durmmız gereke ir kou r. Mtri eşitizlikleri igüler değer eşitizlikleri e orm eşitizlikleride hgii dh kuetlidir? u oruu ceıı ir örekle ltlım. e pozitif yılrı içi. eşitizliği doğru ir eşitizliktir. Pozitif tımlı mtriler içi u eşitizliği mtri eriyou. olrk düşüüleilir. m u eşitizlik her zm doğru değildir. Öreği e mtrilerii llım. u iki mtrite 3 5 e 3 mtrileri elde edilir. mtriii 5 determitıı ıfırd küçük olmı eeiyle olmdığı kolylıkl görülür. c. eşitizliğii igüler değer eriyou doğru mudur? igüler değer eriyou olck

32 .3 eşitizliğii yziliriz. Lki - mtriii igüler değerleri { 33 } mtriii ki ie { 9 } olrk uluur ki iddimız oş çıkmış olur.. eşitizliğii orm eriyou d. olrk yzılır ki u doğrudur. urd çıkrcğımız ouç; ir kler eşitizliği mtri eriyouu güçlü ir iddi olduğudur. u durum iptlmz igüler değerlere geçilir. Eğer u d ylış olur e zyıf durum olrk orm eşitizliklerie geçilir. m ir eşitizlik ormlr içi iptlmıyor diğer durumlr kılmz. Fkt igüler değerler içi doğru ol ir eşitizlik r öreği.3 doğru ie U üiter mtrii içi U U yzılilir. Çlışmmızı demıd çoğulukl. eşitizliğii lıp mtri eriyouu igüler değerlerii e ormlrıı iceleyecek e zı geelleştirmelerii ypcğız. Dh kuetli eşitizlikleri rlığıı iceleyeceğiz. yrıc eiz ortlmı ile krşılştırmlr ypcğız.. dışıdki diğer kler eşitizlikleri mtri eriyolrıd ie kıc hedeceğiz. e pozitif yılrı içi ritmetik-geometrik eşitizliği llım. u eşitizliği mtri eriyou pozitif yrı tımlı mtriler içi olrk.5 eşitizliğidir. Eğer e mtrileri değişme özelliğie hipe çrpımı pozitif yrı tımlı olup eşitizlik doğru olur. Fkt geel durumd pozitif yrı tımlı değildir. İfdeyi korumk içi eşitizliği.6 şeklide yziliriz. m u eşitizlikte doğru değildir. Öreği mtrileri içi

33 5 e 3 mtrilerii elde ederiz. u mtrileri eşitizliği ğlmdığı kolylıkl görülür. Şimdi mtriler rıd ğlmy u eşitizliği igüler değerler rıd ğlıp ğlmdığı klım. Teorem.. e mtriler e içi.7 dir hti e Kitteh. İpt: e U mtrilerii llım. urd e mtrilerii elde edeiliriz. mtriii köşege olmy kımı U U Y. şeklide ifde edileilir. urd U U mtrii pozitif yrı tımlıdır. öylece Y olur. Weyl i mootoluk preiide... içi λ Y λ elde edilir.... içi Y λ λ şeklide yzılilir. mtrii ile.9 mtriii özdeğerleri yıdır..9 eşitizliğii mtriii özdeğerleri te ile erer mtriii özdeğerleridir. Y mtriii özdeğerleri de egtifleriyle erer igüler değerleridir. Öyleye yukrıdki eşitizlik içi olrk yzılır ki ipt tmmlmış olur hti e Kitteh.. u teoremde e yi pozitif yrı tımlı mtriler olrk lırk içi. i

34 6 eşitizliğii elde ederiz ki. eşitizliğii mtri eriyouu igüler değerler içi ğldığı görülür. Sigüler değerler içi ğl u eşitizliği uitrily iryt ormlr içi ğldığı şikrdır. Souç.. M C e uitrily iryt ormlrı göteri. u tkdirde. eşitizliği doğrudur. u eşitizliği ir geelleştirmeii şeklide ifde edeiliriz. u eşitizliği ipt geçmede öce ir teorem erelim. Teorem.. çrpımı hermitye mtri olck şekilde M C mtrilerii llım. ütü uitrily iryt ormlr içi Re.3 eşitizliği doğrudur. urd Re mtriii reel kımıdır. Kitteh 99 Teorem.3. içi mtriler olu. u tkdirde uitrily iryt ormlr. dir Kitteh 99. İpt: M C mtrileri içi T e Y mtrilerii T e Y olck şekilde eçelim. T e Y hermitye mtriler olduğud TYT hermitye mtritir..3 TY e T mtrileri içi uygulır mtrii de T Y TYT Re.5 eşitizliği elde edilir. öylece T Y YT TYT.6 yzılilir. u eşitizlikte yrrlrk

35 7 T Y YT e TYT olur. urd.7 ilie eşitliğii de kullrk eşitizliği elde edilir Kitteh 99.. eşitizliğii igüler değer formu ie yoktur. yrıc. eşitizliğide mtrilerii pozitif yrı tımlı olrk eçerek. eşitizliği yzılilir. pozitif yrı tımlı mtrileri yerie pozitif yrı tımlı mtrileri yzılır.9 eşitizliği elde edilir. Dh öce tıttığımız ortlm türleride iri de eiz ortlmı idi. u ortlm türü geometrik ortlm ile ritmetik ortlm rıd yer lır. Yi.3 eşitizliğidir. uu mtri eriyou.9 u yei ir formu olduğu kolylıkl görülür. u eşitizliği ir teorem olrk erelim. Teorem.. pozitif yrı tımlı mtriler M C e uitrily iryt ormlrı olu. O zm

36 .3 şeklide lıilir hti e Di 993. yrıc.3 eşitizliğii frklı ir eriyouu şu şekilde ifde edileilir: Teorem.5. e M C içi r r r r t t.3 eşitizliği r 3 < t şrtlrıı ğly rt reel yılrı içi doğrudur Zh..3 eşitizliğii ğ trfıı igüler değer formu Zh de çık prolem olrk uuldu. u eşitizlik içi dir. u eşitizliği.33 içi iptı To 6 de erildi. m geel iptı udeert 7 de ypıldı. u iptı ypmk içi öce ir teorem erelim. Teorem.6. f [ yrı tımlı e mtrileri içi rlığıd mtri mooto ir fokiyo olu. ütü pozitif f f f f.3 dir hti e Kitteh. İpt: Tımd dolyı f fokiyou yrıc mtri kokdır e g t tf t mtri koektir. g fokiyouu mtri koekliği yeide f f f.35 eşitizliği yzılilir. u eşitizliği ğ trfı f ifdeie eşittir. urd.35 eşitizliği f f f olur. yrıc f fokiyouu koklığı f f f.36.37

37 9 eşitizliğii elirtir e.37 de kolylıkl elde edilir hti e Kitteh. Şimdi.33 ü iptı geçeiliriz Teorem.7. pozitif yrı tımlı mtrileri e içi dir udeert 7. İpt: r t t f fokiyou r içi mtri mootodur..35 de r r r r λ λ.3 olur. dışıd r r mtriii özdeğerleri Y ile Y mtriii özdeğerlerii yı olduğud r r mtriii özdeğerleri ile yıdır..3 de e K C C K C.39 eşitizlikleride r r r r r r λ. elde edilir. e yerie ırıyl r e r yzrk r içi r r r r r r. olur. Diğer ir deyişle 3 içi ulumuş olur. Yie dışıd r r mtriii özdeğerleri ile r r r r mtriii özdeğerleri yıdır. Yukrıd uygul rgümlrı yıı uyguldığıd 3 içi eşitlik iptlmış olur udeert 7.

38 3 c.3 eşitizliğii ol trfıı igüler değer formu r mıdır? u oruu ceıı udert 7 de 3 3 tipide e mtrileri içi > <<.3 öreğiyle ermiştir. Şimdi de.7 ye dek ol iki frklı eşitizlik erelim. u eşitizlikleri öce iptlyıp or dekliklerii göterelim. Teorem.. M C pozitif yrı tımlı mtriler ie. dır Zh. İpt : e Y mtrilerii llım. urd Y e YY elde edilir. içi u mtriler.7 de yerie yzılır.3 eşitizliğii elde edilir ki u ifde eşitizliğii erir Zh. İpt : M hermitye mtri içi λ.... ilie eşitliğide hreketle [ ] λ....5 ifdei yzılilir..6 olduğud Weyl i mootoluk preiide [ ] λ λ....7 olur. yrıc... içi λ olduğud... içi dır Zh.

39 3 Teorem.9. M M m M lok mtriii llım. O hlde M K N e r mi{ m } içi K N... r içi pozitif yrı tımlı M K K. K N eşitizliği doğrudur To 6. İpt: K K mtriii llım. m M K m M K M K Q K N K N K N.9 M K eşitizliği doğrudur. öylece Q olur. Weyl i mootoluk preiide K Q M K λ Q λ.5 K Q olur. u eşitizlik dikktlice icelediğide λ Q K... K... K... K T r r m r dır ki M K K... r K N olduğu görülür. Şimdi.7. e. ifdelerii dek olduğuu ir teoremle erelim Teorem.. şğıdki durumlr iririe dektir. i. pozitif yrı tımlı mtriler içi... ii. Y M içi iii. Y Y Y... M K M N M e pozitif yrı tımlı lok mtrii içi K N M K K... To 6 K N İpt: i ii

40 3 M Y içi Y C e Y D mtrilerii llım. i de Y Y Y Y D D C C DD CC DD CC Y Y Y Y.5 dır. öylece... içi Y Y Y eşitizliği elde edilir. ii iii N K K M olduğud M T S mtrileri r olmlıdır ki N K K M T T S T T S S S T S T S.5 eşitizliği rdır. ii de... içi N K K M T T S T T S S S TT SS T S K.53 dir. iii i M pozitif yrı tımlı mtrileri içi üiter ezerlik döüşümü rdır. iii de... içi eşitizliği iptlmış olur. yrıc eşitizliğii doğru olmı eşitizliği uitrily iryt ormlr içi de doğru olduğu oucuu orty çıkrır. uu ir ouç olrk erelim.

41 33 Souç.. e pozitif yrı tımlı mtriler olmk üzere.5 eşitizliği geçerlidir. u ölümü şıd olduğuu öylemiştik. Şimdi.5 eşitizliği ile u eşitizliği ğ trflrıı krşılştırlım. Teorem.. e pozitif yrı tımlı mtriler olmk üzere.55 dir hti e Kitteh. İpt: olu. u mtrite e mtrileri yzılilir. direkt toplmı mtriii prçıdır. Dolyııyl her uitrily iryt orm içi eşitizliği doğrudur. Diğer trft olduğud.56 eşitizliği elde edilir. u eşitizlik şeklide de yzılilir ki ipt tmmlmış olur..5 eşitizliğii geelleştirmeleri ol frklı eşitizlikler litertürde mecuttur. ulrd irkçıı iptız olrk erelim. Teorem.. uitrily iryt ormlrı e pektrl ormuu götermek üzere M mtrileri içi.57 eşitizliği doğrudur Kitteh 7. Teorem.3. uitrily iryt ormlrı e pektrl ormu götermek üzere pozitif yrı tımlı mtrileri içi eşitizliği geçerlidir Kitteh 7..5

42 3 Teorem.. M e pozitif yrı tımlı mtriler olu. pektrl ormu götermek üzere ütü uitrily iryt ormlr içi mx.59 dır. Kitteh 7 Teorem.5. M e pozitif yrı tımlı mtriler olu. pektrl ormu götermek üzere... içi.6 dır Kitteh 7. Teorem.6. pektrl ormu olmk üzere pozitif yrı tımlı mtrileri içi mx mx mx.6 eşitizliği doğrudur Kitteh. Teorem.7. e pozitif tımlı mtrileri ter çerileilir olulr. tmyıı e ütü uitrily iryt ormlrı içi dir irzllh e Kitteh. Teorem.. e pozitif tımlı mtrileri ter çerileilir olulr. M C tmyılrı e ütü uitrily iryt ormlr içi.6 dır irzllh e Kitteh. Teorem.9. e pozitif tımlı mtrileri ter çerileilir olulr. M C m tmyılrı e ütü uitrily iryt ormlr içi m m m m m m.63 dir irzllh e Kitteh. Teorem.. e pozitif tımlı ter çerileilir mtriler olulr. r> reel yıı e ütü uitrily iryt ormlr içi

43 35 r r r r r dır irzllh e Kitteh... Mtri Youg Eşitizlikleri r eşitizliğii lizde ıklıkl kullıl ir geelleştirmei rdır. Youg eşitizliği olrk ilie u eşitizlik e içi.6 eşitizliğidir. Eşitlik hli olmı durumud ğlır. urd / lırk ritmetik-geometrik eşitizliğii elde ederiz. pq> e içi.6 eşitizliği p q p q.65 p q hlie gelir. do 995 de u eşitizliği mtri eriyouu igüler değer formuu pozitif yrı tımlı mtriler e içi p q p q.66 p q şeklide iptldı. u eşitizliği doğruluğu p q.67 p q eşitizliğii de doğru olduğuu göterir. yrıc do 99 de u orm eşitizliğii kuetli eriyou ol p q.6 p q eşitizliğii her zm doğru olmdığıı göterdi. Koki 99 de.6 eşitizliğide dh zyıf ol p q.69 p q eşitizliğii iptldı. yrıc u eşitizlikte yrrlrk

44 36 p p q q.7 eşitizliği de göterildi. u eşitizlik dh öce Kitteh 993 e hti e Di 995 de iptldı. yrıc.66 d Youg eşitizliğii iz eriyou M C pozitif yrı tımlı mtrileri e içi tr tr şeklide yzılilir. Youg eşitizliğii determit eriyou ol det det.7.7 eşitizliğii do 99 de iptldı. hti e Prthrthy yılıd e Koki 99 de ilert-schmidt ormuu götermek üzere M C e pozitif yrı tımlı mtrileri içi.73 eşitizliğii iptlmışlrdır. urd dikkt edilmelidir ki diğer orm türleri dece değeri içi ğlmktdır. Dh öce hettiğimiz.3 eşitizliğii ğ trfı eiz eşitizliği olrk iliir. Kitteh e Mrh yılıd e irzllh e Kitteh de Youg e eiz eşitizliklerii geliştirmişlerdir. u kıımd irz uu üzeride durcğız. Teorem... e içi r.7 dır. urd r mi { -} dir Kitteh e Mrh. İpt: ie.7 eşitizliği eşitlik hlie gelir. < olu. Youg eşitizliğii de yrdımıyl.75 dir. öylece.76 eşitizliği elde edilir. -</ içi

45 37.77 eşitizliğide.7 elde edilir. öylece i ütü durumlrı içi r uluur ki ipt tmmlır. Şimdi.7 de yrrlrk Youg eşitizliğii iz e determit eriyolrıı yei düzelemelerii ereiliriz. m uu içi öce ir lemm erelim. Lemm... M C olu. O zm.79 dır Kitteh e Mrh. Teorem... M C pozitif yrı tımlı mtriler e içi tr r tr tr tr. dır. yrıc e pozitif tımlı mtriler ie r det # det det dır. urd r mi{ } dir Kitteh e Mrh.. İpt:.7 eşitizliğide... içi r. dır. O zm Lemm.. de e Cuchy-Schwrz eşitliğide tr tr tr r tr r r tr tr tr tr.3 olur ki ipt tmmlır.... içi

46 3 r. eşitizliğii iliyoruz. det [ r det r r det ] dir. Souç ollrk r det # det det.5 ulumuş olur ki ipt tmmlır. p q Dikkt edilmelidir ki eşitizliğii orm eriyou p q.6 dir. ck ütteki teoremi iz ormu yeide r eşitizliği elde edilir ki u.6 d dh kuetlidir..7 Şimdi.7 ü mtri eriyouu uitrily iryt ormlr içi ğlıp ğlmdığı klım. m uu içi öce ir lemm erelim. Lemm... e pozitif yrı tımlı olck şekilde M C mtrilerii eçelim. içi. dir Kitteh e Mrh. Teorem..3. e pozitif yrı tımlı olck şekilde M C mtrileri erili. e r mi{ } içi r dir Kitteh e Mrh. İpt: Lemm.. de e.7 eşitizliğide

47 39 r r.9 eşitizliği elde edilir ki ipt tmmlmış olur. Kitteh e Mrh.7 eşitizliği r şeklide de yzılilir. u eşitizlik.7 eşitizliği ile trf trf toplır.9 r.9 eşitizliği elde edileilir. u eşitizliği mtri eriyouu orm hli ouç olrk şğıdki gii erileilir. Souç... e pozitif yrı tımlı mtriler olmk üzere M C mtrilerii llım. e r mi{ } içi dır. r.9 yrıc.7 te yerie e yerie yzrk r eşitizliği elde edilir. irzllh e Kitteh de.93 r.9 eşitizliğii iptlmışlrdır..93 e.9 ifdelerii krşılştırdığımızd.93 eşitizliğii ğ e ol trfıı.9 de yı trftki değerlerde dh üyük olduğu görülür. Yi u iki eşitizlik içi irii diğeride dh kuetli olduğu öyleemez. Şimdi.9 eşitizliğii iptıı e mtri eriyouu ilert-schmidt ormu içi iptıı erelim. Teorem... p q > e içi r mx{ p q} olmk üzere p q p p q r q p q.95 eşitizliği doğrudur irzllh e Kitteh. İpt: pq içi.95 eşitlik hlie döer. q>p ie q> dir. öylece

48 p q p q p p p q q q q eşitliği yzılilir..6 ifdeii kullrk kolylıkl görülür ki q.96 q p p q p q q q q.97 q q dır. Souç olrk p q q p p q p q p q q.9 elde edilir. öylece p p q q q p q.99 dır. p>q içi ezer işlemlerle p p q p q p q. elde edilir ki ipt tmmlır. Şimdi de u eşitizliği mtri eriyouu ilert-schmidt ormu içi iptı klım. Teorem..5. M C olck şekilde e pozitif yrı tımlı mtriler olu. yrıc p q > e p q içi rmx{p q} olmk üzere p p q p q. q r dır irzllh e Kitteh. İpt: ütü pozitif yrı tımlı mtriler üiter olrk köşegeleştirileildiğide öyle U V M C üiter mtriler rdır ki λ i µ i içi köş Uλ U λ λ λ... λ VMV M köş µ µ... µ yzılilir. yrıc Y U V y ] de de yrlrk [ i p q µ U V p q p q p q p q p q λi λ Y YM V U yi.

49 p q U p q [ λ y ] V p q λ Y YM V U i µ.3 e U λ YM V [ ] U λ y V i µ i. ifdeleri elde edilir. i.95 i i e UV ilgileride yrrlrk p r r p q i p q λ µ p i q q y i i p q λ µ i p q uluur ki ipt tmmlır. i λ µ i y i y i.5.. ritmetik-geometrik Eşitizlikleri Diğer Türleri u ölümü şıd çlışmmız eşitizliği ile şlmış mtri eriyolrıı u eşitizlik üzerie kurmuştuk. u kıımd ie çlışmmız e eriyolrıı iceleyeceğiz. mtriler içi eşitizlikleri ile şlyck u eşitizlikleri mtri eşitizliğii igüler değer formu e pozitif yrı tımlı.6 uitrily iryt formu ie.7 şeklide yzılır. igüler değer formu eşitizliğii pozitif yrı tımlı mtriler içi.

50 e yı mtriler içi uitrily iryt orm formu d.9 eşitizliğidir. Dikktlice icelediği zm.6 e. ifdelerii yı olduğu görülür. yrıc.7 ifdeii doğru ulilirek.9 ifdeii Schtte p- ormlrıı p ormlrı içi doğru olduğuu öyleyeiliriz..7 ile.9 ü temelde frklı olmlrıı eei ie kre fokiyou zyıf morizyou korurke krekök fokiyou korummıdır. yrıc olduğud dolyı eşitizliğii eşitizliğide dh kuetli olduğuu öyleyeiliriz. Teorem... iryt ormlr içi M mtrileri pozitif yrı tımlı olu. ütü uitrily. dır hti e Kitteh. İpt: eşitizliğide yrrlrk 3 3. ifdei yzılilir. O hlde.7 i iptı içi 3 3. eşitizliğii iptlmk yeterlidir. Dh iyiii ypıp u eşitizliği igüler değer formuu iptlylım. Yi içi eşitizliğii göterelim. olu. u mtrite

51 3 T e G mtrilerii yzlım. T e G mtrileri üiter olrk dektir. Dolyııyl T e G mtrileri iririe dektir. Özellikle T e G mtrileri yı özdeğerlere hiptir. olck şekildeki U mtriii llım. eşitizliğide de yrlrk G G U UT T U UT T. elde edilir ki ipt tmmlmış olur..7 i doğru olmı.9 u Schtte p-ormlrı p içi doğru olmı lmı gelir. Fkt w.5 zyıf morizyou r olduğuu iliyoruz. u eşitizliği ğ trfı ile ütte ıırlıdır. urd iz iz.6 yzılır. Dolyııyl.9 u iz ormu Schtte p-ormuu p olmı içi doğru olduğu orty çıkr. urd.9 u ütü uitrily iryt ormlrı içi doğru olup olmdığı kl gelir. u hle çık ir prolemdir. Şimdi de. üzeride durlım..7 e.9.7

52 eşitizliğii elirtir. O zm. eşitizliğii doğruluğuu iceleyelim. ey mtrii ter çerileilir olmdığıd eşitizlik doğrudur. Frz edelim ki e ter çerileilir olu. Öyleye λ λ.9 dır. yrıc λ λ. olduğud λ λ λ. dır.. eşitizliğide.3 yzılilir. Dolyııyl. olur. içi eşitlik iptlmıştır. Diğer merteeler içi eşitliği doğru olup olmdığı hle çık ir prolemdir hti e Kitteh.

53 5 5. POZİTİF TNML MTRİSLERİN RİTMETİK GEOMETRİK VE EİNZ ORTLMLR İÇİN SNRLR Tezimizi u ölümüde D.S. Mitrooic i litik eşitizlikler dlı kitıd erile 5. eşitizliğii lıp u eşitizliği değişik mtri formlrı üzeride durcğız. u mtri formlrıı igüler değerlerie e uitrily iryt ormlrıı iceleyelim. 5.. Pozitif Tımlı Mtrileri ritmetik Geometrik e eiz Ortmlrı içi Sigüler Değer Sıırlrı İşleme igüler değerleri icelemeiyle şlylım. lizimize şlmd dh öce erdiğimiz iki lemmyı tekrr erelim Lemm 5... M C pozitif yrı tımlı mtriler olu. ie < içi dir hti 7. Lemm 5... M C mtrileri değişme özelliğie hip pozitif yrı tımlı mtriler olu. ie > içi Şimdi ilk teoremimize geçelim. dir hti 7. Teorem 5... M C mtrileri erili. pozitif tımlı e pozitif yrı tımlı olu. pozitif reel yıı e içi # dir. # İpt: mtrii ter çerileilir olduğud e # eşitizliğide 5. yzılır. e mtrileri değişme özelliğie hip pozitif yrı tımlı mtriler olduğud Lemm 5... de > içi

54 yzılilir. yrıc 5.5 de 5.7 yzılilir. So eşitizliği çrk 5. elde edilir. u eşitizliği her iki trfı ekleyerek gerekli düzelemeler ypılır 5.9 eşitizliğii elde ederiz. e mtrileri pozitif yrı tımlı e değişme özelliğie hip olduklrıd e Lemm 5... de 5. eşitizliği urd d 5. elde edilir. u eşitizlikte e Weyl i mootoluk preiide içi

55 7 5. yzılilir. Şimdi 5. eşitizliğii ol trfıı düzeleyelim. olck şekilde llım. içi eşitliği ilie ir eşitliktir. u eşitlikte yrlrk # 5.3 uluur. Şimdi de 5. eşitizliğii ğ trfıı düzeleyelim.

56 # # 5. dır. öylece içi # # 5.5 uluur. 5. eşitizliği e 5.5 de kolylıkl elde edilir. yrıc 5. de Teorem 5.. deki şrtlr ltıd # # 5.6 yziliriz. Eşitlik durumu olmı durumud elde edilir. içi 3.5 eşitizliği # 5.7 şeklide yzılilir. u eşitizlikte her iki trfı ile toplyıp ikiye ölerek # 5. elde edilir ki 5.6 e 5. eşitizlikleride # # 5.9 uluur. u d izim eşitizliğimizi dh iyi olduğuu göterir. Souç 5... M C mtrilerii llım. mtrii pozitif tımlı mtrii pozitif yrı tımlı e olu. u tkdirde U U # # 5. olck şekilde ir U M C üiter mtrii rdır.

57 9 İpt: 5.9 d # # # 5. yziliriz. içi # # # 5. dır. Teorem 5.. e 5. de # # 5.3 eşitizliğii yziliriz. 5.3 eşitizliği de U U # # 5. şeklide yzılilir. Souç olrk U U # # 5.5 elde edilir. Teorem 5... M C mtrileri pozitif tımlı e pozitif ir reel yı olu. içi # # # 5.6 dir. İpt: mtrii ter çerileilir olduğud e 5.7 eşitizliğide 5. yzılır. e mtrileri değişme özelliğie hip pozitif yrı tımlı mtriler olduğud > içi

58 5 yzılilir. yrıc 5.9 d 5.3 yzılilir. zı heplmlr oucud 5.3 eşitizliği elde edilir. u eşitizliği her iki trfıdki mtriler pozitif yrı tımlı e değişme özelliğie hip olduklrıd e Lemm 5.. de 5.33 eşitizliği urd d 5.3 elde edilir. Weyl i mootoluk preiide içi 5.35 yzılilir. Y olck şekilde llım. içi YY Y Y eşitliğide yrlrk

59 5 # Y Y YY 5.36 elde edilir. Şimdi de 5.35 eşitizliğii ol trfıı düzeleyelim. # # 5.37 dır. öylece 5.6 eşitizliği e 5.37 eşitizlikleride elde edilir. Şimdi 5. eşitizliğii mtri uygulmı geçelim. u yı zmd Teorem 5.. e Teorem 5.. i ir uygulmıdır. Teorem M C mtrileri pozitif tımlı e olu.... içi

60 5 # 5.3 e # 5.39 eşitizlikleri geçerlidir. İpt: 5. eşitizliğide lırk # # # 5. elde edilir. # olduğud # 5. elde edilir ki 5.3 iptlmış olur. 5.6 eşitizliğide de lıır # # # 5. elde edilir. # # e # olduğud # 5.3 uluur ki 5.39 iptlmış olur. Souç 5... M C mtrileri pozitif tımlı e 5.3 eşitizliği doğru olu. # U U 5. olck şekilde ir U M C üiter mtrii rdır. yrıc 5.39 eşitizliği doğru olduğud # V V 5.5 olck şekilde ir V M C üiter mtrii rdır.

61 eşitizliği e içi # 5.6 eşitizliğii ter yölü ir öreğidir. Souç 5... M C mtrileri pozitif tımlı e e Öyleye... içi olu. # # # 5.7 dır. İpt: içi # # eşitliğii iliyoruz. Öyleye # # içi e # # yziliriz. O zm 5.6 eşitizliğide u eşitlikler yerie yzılır 5.7 eşitizliği elde edilir. Souç M C değişme özelliğie hip mtriler olu. pozitif tımlı pozitif yrı tımlı e pozitif reel yı olmk üzere... içi 5. dır. yrıc pozitif tımlı ie dır. Özellikle ie uluur ki Mitrooic trfıd öe ürüle kler eşitizliği mtri formuu igüler değerler içi ol ifdei elde edilir. İpt: e değişme özelliğie hip mtriler ie # e # olduğuu iliyoruz. Teorem 5.. e Teorem 5.. deki eşitizliklerde u ifdeleri yzrk itee elde edilir. Teorem 5.. M C mtrileri erili. pozitif tımlı pozitif yrı tımlı e olmk üzere içi

62 5 5.5 dir. İpt: mtriii llım. u mtri 5.5 şeklide yzılilir. olrk llım. 5.6 e 5.9 eşitizlikleride içi 5.53 yziliriz de yerie - yzrk 5.5 yziliriz e 5.5 eşitizliklerii trf trf toplrk 5.55 elde edilir. olduğud 5.55 eşitizliği 5.56 olrk yzılilir eşitizliğii her iki trfıdki mtriler değişme özelliğie hip olduğud Lemm 5.. e 5.56 d içi 5.57 elde edilir. u eşitizliği her iki trfıı ile çrprk 5.5 uluur. Weyl i mootoluk preiide... içi

63 55 yzılır. olduğud olrk llım. dır. yrıc 5.59 dır. O zm uluur ki ipt tmmlır. Souç 5... M C mtrileri pozitif tımlı e olu. Öyleye U U 5.6

64 56 olck şekilde ir U M C üiter mtrii rdır. İpt: olduğu şikrdır. # eşitizliğide 5.6 e 5.6 eşitizlikleri elde edileilir. urd 5.63 yzılilir. e değişme özelliğie hip ol pozitif tımlı mtriler olduğud Lemm 5.. e 5.63 eşitizliğide 5.6 e öylece 5.65 uluur. u eşitizliği her iki trfı eklerek

65 olur. Teorem 5.. de mtriii pozitif tımlı mtri olduğuu iliyoruz. Teorem 5.. e 5.66 eşitizliğide... içi 5.67 elde edilir. Souç olrk 5.67 de U U 5.6 yzılır. urd d U U 5.69 elde edilir. Teorem M C mtrileride pozitif tımlı pozitif yrı tımlı e olu. O zm... içi 5.7 dir.

66 5 İpt: : mtriii llım. u mtri 5.7 şeklide yzılilir. yrıc lıır 5.3 e 5.3 eşitizlikleride e içi 5.7 olur. 5.7 de yerie - yzrk 5.73 yziliriz. 5.7 e 5.73 eşitizliklerii trf trf toplrk 5.7 elde edilir. olduğud 5.7 eşitizliğii 5.75 şeklide yziliriz eşitizliğii her iki trfıdki mtriler değişme özelliğie hip olduğud Lemm 5.. e 5.75 de içi 5.76 olur. u eşitizliği her iki trfıı ile çrprk 5.77 uluur. Weyl i mootoluk preiide... içi 5.7

67 59 yzılır. olduğud olrk llım dır. yrıc dır. O hlde e 5. de 5. uluur ki ipt tmmlmış olur. u ölümdeki çlışmlrı ir kımı Gumu e rk. - de yyılmıştır.

68 6 5.. Pozitif Tımlı Mtrileri ritmetik Geometrik e eiz Ortlmlrı Üzerie zı Norm Sıırlrı Tezimizi u ölümüde D.S. Mitrooic i litik eşitizlikler dlı kitıd erdiği eşitizliğii tekrr iceleyeceğiz. u eşitizliği mtri formuu yzıp iz ormu içi iptlycğız. Sor u eşitizliği üzeride zı kler işlemler ypıp düzeleyeceğiz. So olrk d u eşitizlik üzeride ilert-schmidt orm içi zı eşitizlikleri iptlrı üzeride durcğız. Lemm 5... Eğer < ie 5. dır. İpt: Öcelikle eşitizliği ol trfıı iptlylım. 5. elde edilir ki ol trfı iptı tmmlmış olur. Sğ trfı iptı d 5.3 şeklide elde edililir. Şimdi u kler eşitizlik yrdımıyl mtrileri izlerie geçelim. u yede iz ormuu d iptlmış olcğız. Teorem 5.. > pozitif tımlı mtriler e iz ormu olmk üzere iz iz 5.

69 6 dır. İpt: Lemm 5.. de 5.5 yziliriz. 3. e 5.5 de iz 5.6 olur. Lemm.. e Cuchy-Schwrz eşitizliğide iz iz iz iz iz iz iz iz iz iz elde edilir. Eğer 5. eşitizliğide m R içi yerie m e yerie yzrk > m içi m m m m m 5.7 eşitizliğii elde ederiz. u eşitizliği düzelerek m m m m 5. olup

70 m m m m ifdeii elde edeiliriz. 5.9 eşitizliğii mtri formuu > mtrileri içi 5.9 olur. urd mtrii eşitizliği dh geel ir hle getire ir mtritir. u mtri formuu ilert-schmidt ormuu şeklide yziliriz. Şimdi 5. eşitizliğii iptıı erelim. Teorem 5... m > içi 5.9 m m m 5.9 m eşitizliği geçerlidir. m m İpt: m > içi e öylece dir. u eşitizliği her iki m m trfıı m ile çrprk 5.9 ü ol trfıdır. m m m eşitizliğii elde ederiz ki u m m > içi m e öylece dir. u eşitizliği her iki trfıı m ile çrprk m 5.9 ü ğ trfıdır. m Şimdi de 5.9 eşitizliğii iptı geçelim. eşitizliğii elde ederiz ki u d Teorem M C mtrilerii erili e > olu. yrıc mtriii ütü özdeğerleri mtriii ütü özdeğerleride üyük olu. u tkdirde dır. 5.93

71 63 İpt: Eşitizliği ol trfı ile ipt şlylım. er pozitif yrı tımlı mtri üiter olrk köşegeleştirileildiğide Uλ U e VMV olck şekilde U V M C üiter mtrileri rdır. urd λ köş λ λ... λ e M köş µ µ µ... köşege mtriler olup λ i e µ ler pozitiftir. Y U V [ ] i y i lıır Uλ U Uλ U UYV UYV VM V λ λ λ λ i µ U yi V λ i λ U U U YV UYM V U Y YM V elde edilir. yrıc UλU UYV UYV VMV λ U Y YM V λ i µ i U y V dır. UV i... içi i i λ y i µ i i e 5. eşitizliğide yrrlrk i λi µ λi y i 5.96 uluur ki u eşitizliğimizi ol trfıı iptıdır. ezer olrk λ λ λ i µ U yi V µ U U UYV UYV VM V VM V λ U YV UYM V VM V U Y YM M V elde edilir. öylece 5.97

72 6 λi µ λi i µ µ i y i y i elde edilir ki u d eşitizliğimizi ğ trfıdır. içi eşitizliğii doğru olmı kl şu oruyu getitirir. > e geelleştirmei doğru mudur? u eşitizliği doğruluğuu iptlmk içi > e içi eşitizliğii iptlmlıyız. Teorem 5... > e doğl yılrı içi dir. İpt: Eşitizliği ol trfıı idükiyo metodu ile iptlylım. içi; kreii lırk 5.99 olduğu ilie ir gerçektir. u eşitizliği her iki trfıı ile çrpıp uluur ki iteedir. içi; 5. olur. er iki trfı ile çrpıp kreii lırk

73 65 elde edilir ki iteedir. Eşitizliğimiz k içi k k k doğru olu. 5. yi düzelerek k 5. k k k 5.3 eşitizliği elde edileilir. k içi doğru olduğuu göterelim. 5.3 de k k k k k k k k dır. er iki trf k k k k k k k k ekleyip y ölerek; k k elde edilir. So olrk d her iki trfı kreii lırk k k k k 5.6 uluur ki ipt tmmlır eşitizliğiii ğ trfı d ezer şekilde iptlilir. iptlylım. Şimdi u eşitizliği mtri formuu yzıp ilert-schmidt orm içi Teorem M C > e mtriii ütü özdeğerleri mtriii ütü özdeğerleride üyük olu. u tkdirde k k dir. k k k k 5.7 İpt: Eşitizliği ol trfı ile ipt şlylım. er pozitif yrı tımlı mtri üiter olrk köşegeleştirileildiğide Uλ U e VMV olck şekilde U V M C üiter mtrileri rdır. urd λ köş λ λ... λ e... köşege mtrilerdir. urdki λ i e M köş µ µ µ [ ] Y U V lıır y i µ i ler pozitif yılrdır.

74 66 k k k k Uλ U Uλ U UYV UYV VM V λ k k λ λ k k λ i µ U yi V λ i k k λ U U U YV UYM V U Y YM V elde edilir. yrıc k k k k Uλ U UYV UYV V Μ V k k λ k k λ i µ i U Y YM V U y V dır. UV i... içi k k i i k k k k λ i µ yi i e 5.99 eşitizliğide yrrlrk i λ k i µ λ i k y i 5. uluur ki u eşitizliğimizi ol trfıı iptıdır. ezer olrk k k k k λ U λ Y YM M V k k λ i µ U yi V µ U U UYV UYV VM V VM V k k λ U YV UYM V VM V elde edilir. öylece k k k k λi µ i λ k i µ µ k i elde edilir ki ipt tmlmış olur. y i y i k k 5. 5.

75 67 hti ı 7 de erdiği ir kler eşitizliği lemm olrk erelim. Lemm 5... e < içi dir. İpt:.6 de e < içi uluur. 5.3 ü kreii lırk; elde edilir. Şimdi 5.5 eşitizliğii mtri eriyouu ilert-schmidt ormuu iceleyelim. Teorem M C > < e mtriii ütü özdeğerleri mtriii ütü özdeğerleride üyük olu. u tkdirde dir. İpt: M C > e < olu. O hlde λ U U UYV VM V U U UYV VM V λ λ U YM V U YM V λ λ λ i µ λ i µ i U YM YM V U y V dır. urd orm geçerek λ λi µ yi i i λi µ λ i µ y i 5.

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

DERS 4. Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi

DERS 4. Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi DERS Determitlr eotief Girdi - Çıktı lizi.. ir Kre Mtrisi Determitı. Determit kvrmıı tümevrıml tımlycğız. mtrisleri determitıı tımlyrk şlylım. Tım. tımlır. mtrisiidetermitı olrk Örek. mtrisii determitı

Detaylı

GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE. Abdullah AKKURT 1, Hüseyin YILDIRIM 1

GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE. Abdullah AKKURT 1, Hüseyin YILDIRIM 1 IAAOJ, Scietific Sciece, 23,(2), 22-25 GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE Adullh AKKURT, Hüseyi YILDIRIM Khrmmrş Sütçü İmm Üirsitesi, Fe-Edeiyt Fkültesi

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 1 BÖLÜM 1 KÜMELER VE SAYILAR 1.1 KÜMELER 1.1.1. TEMEL TANIMLAR Kesi ir tımı ypılmmkl erer,sezgisel olrk,kümeye iyi tımlmış iri iride frklı eseler topluluğudur diyeiliriz. Kümeyi meyd getire eselere kümei

Detaylı

7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER 7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER Bir V ektör uzyıı bir bşk W ektör uzyı döüştüre foksiyolr şu şekilde gösterilir: : V W Burd kullıl termioloji foksiyolrl yıdır. Öreği, V ektör uzyı foksiyouu

Detaylı

DETERMINANTLAR. 1. Permütasyon. 1. Permütasyon ) permütasyonundaki ters dönüşüm. 1. Permütasyon 2. BÖLÜM ( )

DETERMINANTLAR. 1. Permütasyon. 1. Permütasyon ) permütasyonundaki ters dönüşüm. 1. Permütasyon 2. BÖLÜM ( ) . BÖÜM. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {,,, } kümesideki elemlrı tekrr olmksızı frklı DETERMINNTR sırlmlrıı düzelemesie permütsyo deir. Örek: {,, 3} tm syılr kümesii ltı frklı permütsyou vrdır: (,, 3), (,,

Detaylı

Trace ve Kellogg Yöntemleri Kullanılarak İntegral Operatörlerinin Özdeğerlerinin Nümerik Hesabı

Trace ve Kellogg Yöntemleri Kullanılarak İntegral Operatörlerinin Özdeğerlerinin Nümerik Hesabı Trce ve Kellogg Yöemleri Kullılrk İegrl Operörlerii Özdeğerlerii Nümerik Hesı Erk Tşdemir () ; Yüksel Soyk () ; Melih Göce (3) (¹)Kırklreli Üiversiesi, Kırklreli, Türkiye, erksdemir@homil.com (²)Büle Ecevi

Detaylı

BÖLÜM DETERMINANTLAR SD 1

BÖLÜM DETERMINANTLAR SD 1 SD 1 2. BÖLÜM DETERMINANTLAR 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 1. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {1, 2,, } kümesideki elemlrı tekrr olmksızı frklı sırlmlrıı düzelemesie

Detaylı

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme SYISL ÇÖZÜMLEME SYISL ÇÖZÜMLEME 6. Hft LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ İÇİNDEKİLER Doğrusl Deklem Sistemlerii Çöümü Mtrisi Tersi ile Bilimeyeleri Bulm Örek uygulm MTLB t mtrisi tersii (iv komutu) lm Crmer Yötemi

Detaylı

ÜSLÜ SAYILAR. (-2) 3 = (-2). (-2). (-2) = (-8) Kuvvet Tek; NEGATİF. (-2) 4 = (-2). (-2). (-2). (-2) = 16 Kuvvet Çift; POZİTİF.

ÜSLÜ SAYILAR. (-2) 3 = (-2). (-2). (-2) = (-8) Kuvvet Tek; NEGATİF. (-2) 4 = (-2). (-2). (-2). (-2) = 16 Kuvvet Çift; POZİTİF. SINIF ÜSLÜ SAYILAR www.tyfuolcu.co Üslü Syı : ifdesi ı te çrpıı lı gelektedir. =.... te =.. = 8 =. = 4 =. = 9 4 =... = 81 10 6 = 10.10.10.10.10.10 Teel Kvrlr ile. ifdeleri çok sık krıştırıl ifdelerdeir.

Detaylı

7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ

7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ Prof. Dr. Özc Klederli SAYISAL YÖNTEMLER 7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ Syısl itegrsyo vey itegrl lm işlemi, litik olrk ir itegrli lımsıı çok zor vey olksız olduğu durumlrd vey ir işlevi değerlerii sdece

Detaylı

2. Geriye doğru Yerine Koyma (Back Substitution): Bu adımda, son denklemden başlayarak herbir bilinmeyen bulunur.

2. Geriye doğru Yerine Koyma (Back Substitution): Bu adımda, son denklemden başlayarak herbir bilinmeyen bulunur. Guss Elimisyou Lieer deklem sistemlerii çözmede kullıl e popüler tekiklerde birisi Guss Elimisyou yötemidir. Bu yötem geel bir deklemli ve bilimeyeli lieer sistemi çözümüe bir yklşım getirmektedir....

Detaylı

DERS 3. Matrislerde İşlemler, Ters Matris

DERS 3. Matrislerde İşlemler, Ters Matris DES Mrislerde İşleler, Ters Mris Mrisler Mrislerle ilgili eel ılrııı ıslı e sır ve e süu oluşurk içide diiliş e sıı oluşurduğu lo ir ris deir ir ris geellikle şğıdki gii göserilir ve [ ij ], i ; j risii

Detaylı

YILLAR ÖSS-YGS ) a 0 ve b 0 olmak üzere; 8) Üslü Denklemler: a -1, a 0, a 1

YILLAR ÖSS-YGS ) a 0 ve b 0 olmak üzere; 8) Üslü Denklemler: a -1, a 0, a 1 YILLAR 00 00 00 00 00 00 008 009 00 0 ÖSS-YGS Böle: i,( 0 ÜSLÜ İFADELER R ve Z olk üzere te ı çrpıı deir. ii, (b 0 b b... te Not:.... dır. te... 0 ve... 0. 0 te 0 te ÜSLÜ ÇOKLUKLARLA İLGİLİ ÖZELLİKLER

Detaylı

= + + = ETKİNLİK: ( n ) ( ) ETKİNLİK:

= + + = ETKİNLİK: ( n ) ( ) ETKİNLİK: ERİLER Cebir kurllrı ile ck olu te yıyı toplybiliriz. Bu krşılık mtemtik de ouz yıd yıı toplmı ile de ık ık krşılşmktyız. Öreği; 3 yııı odlık çılımı; 3 3 3 = 0,333... = + + +... gibi bir ouz toplmdır.

Detaylı

4. DEVİRLİ ALT GRUPLAR

4. DEVİRLİ ALT GRUPLAR 4. DEVİRLİ ALT GRUPLAR Tım 4.1. M, bi G gubuu bi lt kümei olu. M yi kpy, G i bütü lt guplıı keitie M i üettiği (doğuduğu) lt gup dei ve M ile göteili. M i elemlı d M gubuu üeteçlei (doğuylı) dei. Öeme

Detaylı

a bir reel (gerçel) sayı ve n bir pozitif tam sayı olsun. 1 dir. n a ye üslü ifade

a bir reel (gerçel) sayı ve n bir pozitif tam sayı olsun. 1 dir. n a ye üslü ifade ÜSLÜ İFADELER A. Tı bir reel (gerçel syı ve bir pozitif t syı olsu.... te olck şekilde, te ı çrpıı ol deir. ye üslü ifde Kurl. sıfırd frklı bir reel syı olk üzere,. 0 0 0 ifdesi tısızdır.. ( R... 0 7..

Detaylı

Pr[ ] 1 Pr[ ] 1 ( ) 1 ( ) What if not known?

Pr[ ] 1 Pr[ ] 1 ( ) 1 ( ) What if not known? 1 Mrkov ve Chebychev Eşitsizlikleri Pr [ ] = 1 Pr [ < ] = 1 f ( ) dx = 1 () x dx F Pr[ ] 1 Pr[ ] 1 ( ) 1 ( ) Wht if ot kow? bilimiyor olbilir r.d. i sdece ortlmsıı ve vrysıı bildiğimizi vrsylım. Ortlm

Detaylı

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0

Detaylı

ORAN ORANTI 2 1 3 - - 4 4 2 1 1 2 ÖYS. = = yazılabilir. veya ALIŞTIRMALAR

ORAN ORANTI 2 1 3 - - 4 4 2 1 1 2 ÖYS. = = yazılabilir. veya ALIŞTIRMALAR YILLAR 00 003 00 00 006 00 008 009 00 0 3 - - ÖYS ORAN ORANTI ve t. t. t.e zılilir. f Or: E z iri sıfır frklı ı iste iki çokluğu ölümüe or eir. Or irimsizir. Ortı : iki ve h fzl orı eşitliğie ortı eir.

Detaylı

BÖLÜM 3 3. REGRESYON İÇİN MATRİS VE VEKTÖR CEBRİ 3.1 VEKTÖRLER VE MATRİSLER

BÖLÜM 3 3. REGRESYON İÇİN MATRİS VE VEKTÖR CEBRİ 3.1 VEKTÖRLER VE MATRİSLER BÖLÜM. REGRESYON İÇİN MRİS VE VEKÖR CEBRİ Bölüm de, doğrusl regreso tek değişkeli sit model olrk ele lırk çıklmıştı. Bölüm 4 de ise çok değişkeli (k değişkeli) model içi giriş pılcktır. Çok değişkeli modelde

Detaylı

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.

Detaylı

2. BELİRLİ İNTEGRALİN TANIMI ve TEMEL ÖZELLİKLERİ

2. BELİRLİ İNTEGRALİN TANIMI ve TEMEL ÖZELLİKLERİ DERS: MATEMATİK II MAT II () ÜNİTE: BELİRLİ İNTEGRALLER KONU:. ARALIKLARIN PARÇALANMASI. BELİRLİ İNTEGRALİN TANIMI ve TEMEL ÖZELLİKLERİ GEREKLİ ÖN BİLGİLER. semolü ve temel toplm ormülleri. Limiti temel

Detaylı

THÉVENİN, NORTON, MAKSİMUM GÜÇ TEOREMİ ve DEVRE PARAMETRELERİ

THÉVENİN, NORTON, MAKSİMUM GÜÇ TEOREMİ ve DEVRE PARAMETRELERİ DENEY NO: 4 THÉENİN, NORTON, MAKSİMUM GÜÇ TEOREMİ ve DERE PARAMETRELERİ Mlzeme ve Cihz Litei:. 330 direnç det. k direnç 3 det 3.. k direnç det 4. 3.3 k direnç det 5. 5.6 k direnç det 6. 0 k direnç det

Detaylı

MAT 202 SAYISAL YÖNTEMLER. Bahar Hafta 1. Bu Hafta. Ders Hakkında Bilgiler. Özet. Ders Hakkında Genel Bilgiler. Matris işlemlerine giriş

MAT 202 SAYISAL YÖNTEMLER. Bahar Hafta 1. Bu Hafta. Ders Hakkında Bilgiler. Özet. Ders Hakkında Genel Bilgiler. Matris işlemlerine giriş MAT 202 SAYISAL YÖNTEMLER Bhr 2005-2006 Hft Bu Hft Özet Ders Hkkıd Geel Bilgiler Mtris işlemlerie giriş 2 Öğretim Üyesi: Öğr. Gör. Od No: 442, Tel: 293 3 00 / -- E-mil: ltuger@itu.edu.tr Ders Stleri: Slı

Detaylı

c

c Mtemt ık Ol ımp ıytı Çlışm Sorulrı c www.sbelin.wordpress.com sbelinwordpress@gmil.com Bu çlışm kğıdınd mtemtik olimpiytlrı sınvlrın hzırlnn öğrenciler ve öğretmenler için hzırlnmış sorulr bulunmktdır.

Detaylı

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:

Detaylı

http://www.metinyayinlari.com Metin Yayınları

http://www.metinyayinlari.com Metin Yayınları LİMİT İÇ KAPAK Bu kitbı bütü ı hklrı sklıdır. Tüm hklrı, zrlr ve METİN YAYINLARI ittir. Kısme de ols lıtı pılmz. Meti, biçim ve sorulr, ıml şirketi izi olmksızı, elektroik, mekik, fotokopi d herhgi bir

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları... İÇİNDEKİLER Ön Söz... Mtris Cebiri... Elementer İşlemler... Determinntlr...7 Lineer Denklem Sistemleri...8 Vektör Uzylrı...6 Lineer Dönüşümler...48 Özdeğerler - Özvektörler ve Köşegenleştirme...55 Genel

Detaylı

İKİNCİ TÜREVİ PREQUASİİNVEKS OLAN FONKSİYONLAR İÇİN HERMITE-HADAMARD TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ

İKİNCİ TÜREVİ PREQUASİİNVEKS OLAN FONKSİYONLAR İÇİN HERMITE-HADAMARD TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ Ordu Üniv. Bil. Tek. Derg.,Cilt:,Syı:,,3-4/Ordu Univ. J. Sci. Tech.,Vol:,No:,,3-4 İKİNCİ TÜREVİ PREQUASİİNVEKS OLAN FONKSİYONLAR İÇİN HERMITE-HADAMARD TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ İmdt İŞCAN *, Selim

Detaylı

MERAKLISINA MATEMATİK

MERAKLISINA MATEMATİK TRİGONOMETRİ : Siüs i b c R si si y si z İsptı : m(ëo).m(ëa) m(ëo).m(ëb) m(ëo).m(ëc) m(ëo) m(ëo) y m(ëo) z b c b c & si & si y & si y R R R R R R si si y b si z c & & & R R R & R.si & b R.siy & c R.siz

Detaylı

ORAN VE ORANTI. Aynı birimle ölçülen iki çokluğun bölme yoluyla karşılaştırılmasına oran denir. a nın b ye oranı; b

ORAN VE ORANTI. Aynı birimle ölçülen iki çokluğun bölme yoluyla karşılaştırılmasına oran denir. a nın b ye oranı; b 1 ORAN VE ORANTI ORAN: Ayı irimle ölçüle iki çokluğu ölme yoluyl krşılştırılmsı or eir. ı ye orı; şeklie gösterilir. 3 00gr 15m Örek 1:,,... 3 300gr 0m irer orır. 00gr 30m 5000TL Örek :,,,... ifeleri irer

Detaylı

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24.

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24. DENKLEM ÇÖZME + + = 0 + = 0 + = 0 + y = 0 İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden İki ilinmeyenli

Detaylı

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com III - SAYI ÖRÜNTÜLERİ Htırltm: Syılrı virgülle yrılrk, birbirii rdı dizilmesie syı dizisi, dizideki her bir syıy d terim deir. hrfi verile örütüde syılrı sırsıı belirte semboldür ve ici syıy örütüü geel

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI ., ÖZEL EGE LİSESİ OKULLR RSI 8. MTEMTİK YRIŞMSI 8. SINI TEST SORULRI 5. 0,0008.0 b 0,0000.0 ise; b.0 kç bsmklı bir sıdır? olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisine eşittir? ) 80 ) 8 ) 8 ) 8

Detaylı

Cebir Notları. Diziler Mustafa YAĞCI,

Cebir Notları. Diziler Mustafa YAĞCI, www.mustfygci.com, 006 Cebir Notlrı Mustf YAĞCI, ygcimustf@yhoo.com Diziler Mtemtiği e zevkli ve sürükleyici koulrıd birie geldik. Pek zorlcğımı thmi etmiyorum, çükü yei esil diziler e oldukç merklı. Kurtlr

Detaylı

İçindekiler 1. Analiz 3 Ders Notları. Taylan Şengül. 21 Aralık Lütfen gördüğünüz hataları bildiriniz.

İçindekiler 1. Analiz 3 Ders Notları. Taylan Şengül. 21 Aralık Lütfen gördüğünüz hataları bildiriniz. Aliz 3 Ders Notlrı Tyl Şegül 2 Arlık 28 Lütfe gördüğüüz htlrı bildiriiz. İçidekiler İçidekiler Ö Bilgiler 3. Supremum ve İfimum................................... 3 Foksiyo Dizileri 5. Reel Syı Dizileri.......................................

Detaylı

OLİMPİYAT SINAVI. a ise b 2006 b 2005 =? A) 1330 B) 1995 C) 1024 D) 1201 E) 1200

OLİMPİYAT SINAVI. a ise b 2006 b 2005 =? A) 1330 B) 1995 C) 1024 D) 1201 E) 1200 ., b, c, d Z olmk üzere / + /b + /c + /d = ½ ve ( + b + c + d) =.b + c.d + ( + b ).(c +d) + dekliklerii sğly kç (, b, c, d) dörtlüsü vrdır? A) 48 B) 4 C) D) 6 E) 5. Alı 40 birim kre ol bir ABC üçgeii AB,

Detaylı

BASİT RASSAL ÖRNEKLEME. Örnekleme ve Tahmin Teorisi. Örnekleme RASSAL ÖRNEKLEME

BASİT RASSAL ÖRNEKLEME. Örnekleme ve Tahmin Teorisi. Örnekleme RASSAL ÖRNEKLEME BASİT RASSAL ÖRNEKLEME Örekleme ve Thmi Teorii Solu Kitle BüyüklüğüN ol olu bir kitlede büyüklüğüde lıck bir öreği eçilme şı, büyüklüğüdeki bir bşk öreği eçilmei şı ile yı ie bu tür öreklemeye bit rtl

Detaylı

MATEMATİK CANAVARI MATEMATİK FORMÜLLERİ. Devirli Ondalık Sayıyı Rasyonel Sayıya Çevirme:

MATEMATİK CANAVARI MATEMATİK FORMÜLLERİ. Devirli Ondalık Sayıyı Rasyonel Sayıya Çevirme: Ardışık Syılr Toplm Formülleri Ardışık syılrı toplmı: 1 + + 3 +...+ =.(+1) Ardışık çift syılrı toplmı : + 4 + 6 +... + =.(+1) Ardışık tek syılrı toplmı: 1 + 3 + 5 +... + ( 1) =.= Ardışık tm kre syılrı

Detaylı

Bu denklem, kapalı-döngü kutbunun var olma koşulunu, açı koşulu ve modül koşulu olmak üzere iki koşulu belirler. Burada G ( s)

Bu denklem, kapalı-döngü kutbunun var olma koşulunu, açı koşulu ve modül koşulu olmak üzere iki koşulu belirler. Burada G ( s) Kök-Yer Eğrileri: Kplı-dögü deeti iteii geçici-duru dvrışıı teel özellikleri kplı-dögü kutuplrıd belirleir. Dolyııyl probleleri çözüleeide kplı-dögü kutuplrıı - krşık yı düzleideki dğılıı rştırılı gerekir.

Detaylı

KIVIRMA İŞLEMİNİN ŞEKİL ve BOYUTLARI

KIVIRMA İŞLEMİNİN ŞEKİL ve BOYUTLARI 2011 Şut KIVIRMA İŞEMİNİN ŞEKİ ve BOYUTARI Hzırlyn: Adnn YIMAZ AÇINIM DEĞERERİ 50-21 DİKKAT: İyi niyet, ütün dikkt ve çm krşın ynlışlr olilir. Bu nedenle onucu orumluluk verecek ynlışlıklr için, hiçir

Detaylı

Rasyonel Çekirdekli Belirli İntegral Operatörlerin Özdeğerlerinin Farklı Nümerik Yöntemler Kullanılarak Yaklaşık Hesabı

Rasyonel Çekirdekli Belirli İntegral Operatörlerin Özdeğerlerinin Farklı Nümerik Yöntemler Kullanılarak Yaklaşık Hesabı Krel Fe ve Mü Derg 6():9-, 06 Krel Fe ve Müedilik Dergii Dergi we yfı: p://fdeuedur rşır Mklei Ryoel Çekirdekli Belirli İegrl Operörleri Özdeğerlerii Frklı Nüerik Yöeler Kullılrk Yklşık Heı Te pproxie

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 9. MATEMATİK YARIŞMASI 6. SINIFLAR TEST SORULAR ve YANITLAR

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 9. MATEMATİK YARIŞMASI 6. SINIFLAR TEST SORULAR ve YANITLAR 1) 2, 8, 26, 80... şeklideki ir syı örütüsüde 30. teri kçtır? A) 3 30 + 1 B) 3 30 1 C) 2 30 1 D) 2 30 + 1 5) Adylrı oy kulldığı ir seçide 889 öğrei oy kullktır. Seçie ktıl 8 dyd irii kzilesi içi e z kç

Detaylı

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN EXCEL İLE ÇÖZÜMÜ

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN EXCEL İLE ÇÖZÜMÜ C.Ü. İktisdi ve İdri Bilimler Dergisi, Cilt 5, Syı 5 DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN EXCEL İLE ÇÖZÜMÜ Öğr. Gör. Dr. Mehmet Ali ALAN Cumhuriyet Üiversitesi İktisdi ve İdri Bilimler Fkültesi Öğr. Gör.

Detaylı

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7.

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7. MC. + + +.. Rsyonel Syılr TEST I sonsuz kesrinin eşiti kçtır? A) B) C) D) E) 4 www.mtemtikclu.com, 006 Ceir Notlrı. 8. Gökhn DEMĐR, gdemir@yhoo.com.tr 0;0 0;0008 = 0; x ise x kçtır? A) 0,0 B) 0,000 C)

Detaylı

BENZERLİK VE MODELLEME

BENZERLİK VE MODELLEME BENZEİK E OEEE Boyut lizide sıl yrrlırız? Bir fiziksel olyı etkileye prmetre syısı çok fzl olilir. Boyut lizi ile hem çok syıd ol prmetre syısı zltılmkt hem de prolemi krmşık ypısı oyutsuz gruplr yrılrk

Detaylı

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR ÜNİTE - 7 BÖLÜM Polinomlr (Temel Kvrmlr) -. p() = 3 + n 6 ifdesi bir polinom belirttiğine göre n en z 5. p( + ) = + 4 + Test - olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı p() polinomund terimlerin kuvvetleri

Detaylı

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev 7 3.1 Türev Kurllrı.......................... 8 3.1.1 Sbit

Detaylı

İkinci Türevi Preinveks Olan Fonksiyonlar İçin Hermite-Hadamard Tipli İntegral Eşitsizlikleri

İkinci Türevi Preinveks Olan Fonksiyonlar İçin Hermite-Hadamard Tipli İntegral Eşitsizlikleri İkinci Türevi Preinveks Oln Fonksiyonlr İçin Hermite-Hdmrd Tili İntegrl Eşitsizlikleri İmdt İŞCAN*, Selim NUMAN*, Kerim BEKAR* *Giresun Üniversitesi, Fen Edeiyt Fkültesi, Mtemtik Bölümü, Giresun, TÜRKİYE

Detaylı

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005 8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi

Detaylı

a R, n tek ve Örneğin, a, b R + ve m, n Z + olmak üzere; 1. n a b a b dir. 2. n m n m a a n n n 5. m n m 6. 0 a b n a n b dir. Örnek 4.

a R, n tek ve Örneğin, a, b R + ve m, n Z + olmak üzere; 1. n a b a b dir. 2. n m n m a a n n n 5. m n m 6. 0 a b n a n b dir. Örnek 4. Bölü. Köklü Syılr Muhrre Şhi. Köklü Syılr.. Köklü Syılrı Tıı Bu bölüde, kök dediğiiz sebollerle gösterile gerçek syılrı köklü syılr olrk tıtck ve bulrı gerçek syılrı rsyoel kuvvetleri olduğuu göstereceğiz.

Detaylı

ENERJİ İLETİMİ DERSİ (DERS NOTLARI) Fırat Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik - Elektronik Mühendisliği Bölümü

ENERJİ İLETİMİ DERSİ (DERS NOTLARI) Fırat Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik - Elektronik Mühendisliği Bölümü Fırt Üiversitesi Mühedislik Fkültesi Elektrik - Elektroik Mühedisliği Bölümü ENERJİ İLETİMİ DERSİ (DERS NOTLARI) Hzırly: Arş. Gör. Göky BAYRAK ELAZIĞ-008 İletim Htlrıı Elektriksel Ypısı ) Sürekli Durum:Nomil

Detaylı

TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK

TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 5 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testleri her hkkı sklıdır. Hgi mçl olurs olsu, testleri tmmıı vey ir kısmıı

Detaylı

DİZİLER... 213. Dizilerde İşlemler... 213. Dizilerin Eşitliği... 214. Monoton Diziler... 215. Alt Dizi... 216. Konu Testleri (1 6)...

DİZİLER... 213. Dizilerde İşlemler... 213. Dizilerin Eşitliği... 214. Monoton Diziler... 215. Alt Dizi... 216. Konu Testleri (1 6)... ÜNİTE GERÇEK TOPLAM SAYI ÇARPIM DİZİLERİ ARİTMETİK SEMBOLÜ DİZİ Böüm Dizier GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ GEOMETRİK DİZİ SERİLER DİZİLER..................................................................

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d

Detaylı

ORTĐK ÜÇGEN ve EŞ ÖZELLĐKLĐ NOKTALAR

ORTĐK ÜÇGEN ve EŞ ÖZELLĐKLĐ NOKTALAR ORTÖĞRETĐM ÖĞRENĐLERĐ RSI RŞTIRM ROJELERĐ YRIŞMSI (2008 2009) ORTĐK ÜÇGEN ve EŞ ÖZELLĐKLĐ NOKTLR rojeyi Hzırlyn Öğrencilerin dı Soydı : Sinem ÇKIR Sınıf ve Şuesi : 11- dı Soydı : Fund ERDĐ Sınıf ve Şuesi

Detaylı

(THE REARRANGEMENT INEQUALITY ) DERS NOTLARI

(THE REARRANGEMENT INEQUALITY ) DERS NOTLARI YENİDEN DÜZENLEME EŞİTSİZLİĞİ (THE REARRANGEMENT INEQUALITY ) DERS NOTLARI www.selin.wordpress.om 7 Şut 009 Bu ders notund re-rrngement inequlity konusu ele lınrk olimpiyt sınvınd çıkmış zı eşitsizlik

Detaylı

BİR STURM-LIOUVILLE PROBLEMİNİN BAZI ÖZELLİKLERİ VE GREEN FONKSİYONU

BİR STURM-LIOUVILLE PROBLEMİNİN BAZI ÖZELLİKLERİ VE GREEN FONKSİYONU T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BİR STURM-LIOUVILLE PROBLEMİNİN BAZI ÖZELLİKLERİ VE GREEN FONKSİYONU Yaemi KUZU YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIRŞEHİR HAZİRAN T.C. AHİ

Detaylı

KLASİK LEBESGUE UZAYLARINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI. Fatma İÇER

KLASİK LEBESGUE UZAYLARINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI. Fatma İÇER T.C. DİCLE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KLASİK LEBESGUE UZAYLARINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI Ftm İÇER YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI DİYARBAKIR Hzir 203 TEŞEKKÜR Çlışmmı her

Detaylı

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Diziler. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi bir dizinin genel

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Diziler. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi bir dizinin genel ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: Dersi Adı SINIFI: KONU: Diziler Dersi Kousu. Aşğıdkilerde kç tesi bir dizii geel terimi olbilir? I. II. log III. IV. V. 7 7 9 9 t 4 4 E). Aşğıdkilerde hgisi bir dizii geel

Detaylı

DRC üst taban, 6 alt taban olmak üzere 12 mavi kare vardır. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat.

DRC üst taban, 6 alt taban olmak üzere 12 mavi kare vardır. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat. Deneme - / Mt MATEMATİK DENEMESİ. 6 üst tn, 6 lt tn olmk üzere mvi kre vrdır. Ypının tüm yüzeyi kreden oluştuğun göre, 6 7. 0,.., f -, 0, p. 0,. c- m.,,. ^- h.. 7. ^- h 7 - ulunur. +. c m olur. ( ) 9 c

Detaylı

UFUK ÖZERMAN- 2012-2013 Page 1

UFUK ÖZERMAN- 2012-2013 Page 1 - GÜZ P,Q,R fokiolrı poliom olmk üzr d d P Q R d d v P d d Q d P d R P p q dklmi içi P şrıı ğl = okı di ok dir, çözümlri di okıı civrıd şklid rrız. =+-+- +... = = okı; p=q/ P, q= R/ P fokiolrı okıd liik

Detaylı

0 1 2 n 1. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Mate 322

0 1 2 n 1. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Mate 322 Bölüm 3. İkici Mertebede Lieer ve Sabit Katsaılı Diferesiel Deklemler 4 3. Geel Taımlar ( ) ( ) ( ) a ( ) + a ( ) + a ( ) +... + a ( ) + a ( ) = f ( ) () 0 şeklideki bir deklem. mertebede lieer deklem

Detaylı

İŞ ETKİ ÇİZGİSİ TEOREMİ. Balıkesir Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi İnşaat Müh. Bölümü Balıkesir, TÜRKİYE THEOREM OF WORK INFLUENCE LINE

İŞ ETKİ ÇİZGİSİ TEOREMİ. Balıkesir Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi İnşaat Müh. Bölümü Balıkesir, TÜRKİYE THEOREM OF WORK INFLUENCE LINE BAÜ Fen Bil. Enst. Dergisi (006).8. İŞ ETKİ ÇİZGİSİ TEOREMİ Scit OĞUZ, Perihn (Krkulk) EFE Blıkesir Üniversitesi Mühendislik Mimrlık Fkültesi İnşt Müh. Bölümü Blıkesir, TÜRKİYE ÖZET Bu çlışmd İş Etki Çizgisi

Detaylı

KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ KOMPLEKS FONKSİYONLARDA REZİDÜ VE BAZI UYGULAMALARI

KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ KOMPLEKS FONKSİYONLARDA REZİDÜ VE BAZI UYGULAMALARI KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ KOMPLEKS FONKSİYONLARDA REZİDÜ VE BAZI UYGULAMALARI SEVGİ İŞLER EYLÜL 5 ÖZET KOMPLEKS FONKSİYONLARDA REZİDÜ VE

Detaylı

İNTEGRAL 6 RİEMANN TOPLAMI : ALT TOPLAM,ÜST TOPLAM VE RİEMANN ALT TOPLAM ÜST TOPLAM. [a, b] R ARALIĞININ PARÇALANIŞI VE RİEMANN TOPLAMI

İNTEGRAL 6 RİEMANN TOPLAMI : ALT TOPLAM,ÜST TOPLAM VE RİEMANN ALT TOPLAM ÜST TOPLAM. [a, b] R ARALIĞININ PARÇALANIŞI VE RİEMANN TOPLAMI [, ] R ARALIĞININ PARÇALANIŞI VE RİEMANN TOPLAMI f : [, ] R sürekli ir foksio olsu. Bu [,] kplı rlığı = <

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIMLAR :, b, R ve 0 olmk üzere denklem denir. b = 0 denklemine, ikini dereeden bir bilinmeyenli Bu denklemde, b, gerçel syılrın

Detaylı

LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖETLİ ÇÖÜMLÜ SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Limit Kvrmı ve Grfik Sorulrı... Limitle İlgili Bzı Özellikler...7 Genişletilmiş Reel Sılrd Limit... Bileşke Fonksionun Limiti...

Detaylı

... SERİLER Tanım: 2 3 toplamı kaçtır? Çözüm: serisinde 10. kısmi terimler. Ör: bir reel sayı dizisi olmak üzere

... SERİLER Tanım: 2 3 toplamı kaçtır? Çözüm: serisinde 10. kısmi terimler. Ör: bir reel sayı dizisi olmak üzere SERİLER Tım: bir reel syı dizisi olm üzere...... 3 toplmı SERİ deir. gerçel syısı serii geel terimi deir. S 3... toplmı SERİNİN N. KISMİ (PARÇA) TOPLAMI deir. S dizisie SERİNİN N. KISMİ TOPLAMLAR DİZİSİ

Detaylı

BİR STURM-LIOUVILLE TİPİNDE PROBLEMİN ÇÖZÜM FONKSİYONLARININ ASİMPTOTİĞİ VE GREEN FONKSİYONU

BİR STURM-LIOUVILLE TİPİNDE PROBLEMİN ÇÖZÜM FONKSİYONLARININ ASİMPTOTİĞİ VE GREEN FONKSİYONU T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BİR STURM-LIOUVILLE TİPİNDE PROBLEMİN ÇÖZÜM FONKSİYONLARININ ASİMPTOTİĞİ VE GREEN FONKSİYONU Oka KUZU YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIRŞEHİR

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

ANALİZ III DERS NOTLARI. Prof. Dr. Nurettin ERGUN

ANALİZ III DERS NOTLARI. Prof. Dr. Nurettin ERGUN ANALİZ III DERS NOTLARI Prof. Dr. Nuretti ERGUN İ Ç İ N D E K İ L E R Syf No BÖLÜM Foksiyo Dizi ve Serileri... BÖLÜM Fourier Serileri... BÖLÜM 3 Özge Olmy Tümlevler...48 BÖLÜM 4 Dik Poliom Serileri...7

Detaylı

Çözüm Kitapçığı Deneme-1

Çözüm Kitapçığı Deneme-1 KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ 5-7 KASIM 6 Çözüm Kitpçğ Deeme- Bu testleri her hkk skldr. Hgi mçl olurs olsu, testleri tmm vey bir ksm Merkezimizi

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal II / 27 Kasım Matematik Sorularının Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal II / 27 Kasım Matematik Sorularının Çözümleri Akdemik Personel ve Lisnsüstü Eğitimi Giriş Sınvı ALES / Sonbhr / Syısl II / 7 Ksım 0 Mtemtik Sorulrının Çözümleri. Bölüm şeklindeki kreköklü ifdenin pydsını krekökten kurtrmk için py ve pydyı, pydnın

Detaylı

TYT / MATEMATİK Deneme - 2

TYT / MATEMATİK Deneme - 2 TYT / MTMTİK eneme -. 7 ^7h ^h $ bulunur. evp : 6. b b c 6 c 6, b ve c nin ritmetik ortlmsı O b c 6 bulunur.. y z y z ^ h $ bulunur. evp : 7. y çift ne olurs olsun çift syı olduğundn in yd çift olduğundn

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı., b olduğun göre, b. b ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisidir?,,,9 8... b b ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir?.. Bun göre, verilior. ifdesinin değeri kçtır? 8. b b c 8 c d

Detaylı

TG 6 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK

TG 6 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 6 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testleri her hkkı sklıdır. Hgi mçl olurs olsu, testleri tmmıı ve ir kısmıı

Detaylı

İKİ DEĞİŞKENLİ ARİTMETİK FONKSİYONLAR. Funda ÇETİN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HAZİRAN 2007 ANKARA

İKİ DEĞİŞKENLİ ARİTMETİK FONKSİYONLAR. Funda ÇETİN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HAZİRAN 2007 ANKARA İKİ DEĞİŞKENLİ ARİTMETİK FONKSİYONLAR Fund ÇETİN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HAZİRAN 2007 ANKARA iv İKİ DEĞİŞKENLİ ARİTMETİK FONKSİYONLAR (Yüksek Lisns Tezi)

Detaylı

Yarım Toplayıcı (Half Adder): İki adet birer bitlik sayıyı toplayan bir devredir. a: Birinci Sayı a b c s. a b. s c.

Yarım Toplayıcı (Half Adder): İki adet birer bitlik sayıyı toplayan bir devredir. a: Birinci Sayı a b c s. a b. s c. Syıl Devreler (Lojik Devreleri) Tümleştirilmiş Kominezonl Devre Elemnlrı Syıl itemlerin gerçekleştirilmeinde çokç kullnıln lojik devreler, klik ğlçlrın ir ry getirilmeiyle tümleştirilmiş devre olrk üretilirler

Detaylı

Her hakkı Millî Eğitim Bakanlığı na aittir. Kitabın metin, soru ve şekilleri kısmen de olsa hiçbir surette alınıp yayımlanamaz.

Her hakkı Millî Eğitim Bakanlığı na aittir. Kitabın metin, soru ve şekilleri kısmen de olsa hiçbir surette alınıp yayımlanamaz. MİÎ EĞİTİM BAKANĞ YAYNAR... 4 DERS KİTAPAR DİZİSİ... 68.4.Y..8 Her hkkı Millî Eğitim Bklığı ittir. Kitbı meti, soru ve şekilleri kısme de ols hiçbir surette lııp yyımlm. GENE KRDİNATÖR Yurdgül GÜNEŞ İNCEEME

Detaylı

Tanım : Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere trigonometrik çember veya birim çember denir. y B(0,1) C(1,0)

Tanım : Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere trigonometrik çember veya birim çember denir. y B(0,1) C(1,0) BÖLÜM TRİGONOMETRİ.. TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR... BİRİM ÇEMBER Tnım : Merkezi orijin ve yrıçpı birim oln çembere trigonometrik çember vey birim çember denir. Trigonometrik çemberin denklemi + y dir.yni

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

TYT / MATEMATİK Deneme - 6

TYT / MATEMATİK Deneme - 6 . Herbir hücrenin sol üst köşesinde kreler içine yzıln syılrın işlemin sonucunu verdiğine dikkt ederek syılrı yerleştirmeliyiz. 7 6 T N M 5 6 T X. ^ h ^ h bulur. M N. 0 6 6 6 0 5 5 5 6 6 5 5 ^5h ^5h ^h

Detaylı

B - GERĐLĐM TRAFOLARI:

B - GERĐLĐM TRAFOLARI: ve Seg.Korum_Hldun üyükdor onrım süresinin dh uzun olmsı yrıc rnın izole edilmesini gerektirmesi; rızlnmsı hlinde r tdiltını d gerektireilmesi, v. nedenlerle, özel durumlr dışınd tercih edilmezler. - GERĐLĐM

Detaylı

Üslü İfadelerde İşlemler (Temel Kurallar) - Çalışma Kağıdı Ortaokul Matematik Kafası $ = k) 81 $ 243 = Kerim Hoca. p) 125 $ 625 = w) 3

Üslü İfadelerde İşlemler (Temel Kurallar) - Çalışma Kağıdı Ortaokul Matematik Kafası $ = k) 81 $ 243 = Kerim Hoca. p) 125 $ 625 = w) 3 .Sınıf Mtemtik ÜSLÜ İFADELER Yyın No : / Kznım :... + Üssün Üssü ve Sırlm Bir üslü ifdenin üssü lındığınd üsler çrpılır.. Alıştırmlr Aşğıdki işlemlerin sonuçlrını üslü biçimde yzınız. y ^ h y ) ^ h b)

Detaylı

ÜÇGENDE ALAN. Alan(ABC)= 1 2. (taban x yükseklik)

ÜÇGENDE ALAN. Alan(ABC)= 1 2. (taban x yükseklik) ÜÇGN LN Üçgende ln Şekilde verilen üçgeninde,, üçgenin köşeleri, [], [], [] üçgenin kenrlrıdır. c b üçgeninin kenrlrı dlndırılırken, her kenr krşısınd bulunn köşenin hrfi ile isimlendirilir. üçgeninin

Detaylı

ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM

ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM YILLAR 00 003 004 00 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - ASAL SAYILAR ve kendisinden bşk pozitif böleni olmyn den büyük tmsyılr sl syı denir Negtif ve ondlıklı syılr sl olmz Asl syılrı veren bir

Detaylı

A) EÐRÝ ALTINDAKÝ ALAN

A) EÐRÝ ALTINDAKÝ ALAN Belirli Ýtegrli Ugulmlrý A) EÐRÝ ALTINDAKÝ ALAN. f:[, ] R e týmlý ve sürekli olmk þrtýl = f() eðrisi = ve = doðrulrý ve o eksei rsýd kl düzlemsel ölgei lý A = f() d itegrli ile uluur. i) [, ] rlýðýd f()

Detaylı

İntegral Uygulamaları

İntegral Uygulamaları İntegrl Uygulmlrı Yzr Prof.Dr. Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cimlerinin elirli integrl yrdımı ile esplnileceğini, küre, koni ve kesik koninin cim

Detaylı

DRC. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat. c m. m m. y Cevap A. Cevap D 21, 25, = = =. 21.

DRC. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat. c m. m m. y Cevap A. Cevap D 21, 25, = = =. 21. Deneme - / Mt MATMATİK DNMSİ. - + -. 0,.., f -, 0, p. 0,. c- m.,,. ^- h.. 7. ^- h 7 - ulunur. +. c m olur.. + + ulunur. ( ) c m + c m. cc m m. c m.. ulunur. evp evp. Sekiz smklı herhngi ir özel syı cdefgh

Detaylı

3. BÖLÜM: ÜSLÜ İFADE VE DENKLEMLER KONU ÖZETİ

3. BÖLÜM: ÜSLÜ İFADE VE DENKLEMLER KONU ÖZETİ . BÖLÜM: ÜSLÜ İFADE VE DENKLEMLER KONU ÖZETİ A. ÜSLÜ İFADELER 6.,, c R olmk üzere. Üslü İfdeler. +. c. = ( + c) dir. Bir syıı kedisi ile tekrrlı çrpımı o syıı kuvvetii lm y d üssüü lm deir. R ve Z + olmk

Detaylı

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ ESKİŞEHİR OSMNGZİ ÜNİVERSİESİ Müendislik Mimrlık Fkültesi İnşt Müendisliği Bölümü E-Post: ogu.met.topu@gmil.om We: ttp://mmf.ogu.edu.tr/topu Bilgisyr Destekli Nümerik nliz Ders notlrı met OPÇU n>m 8 8..

Detaylı

1981 ÖYS. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın. ü satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığı- 3. na göre, kumaşın tümü kaç metredir?

1981 ÖYS. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın. ü satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığı- 3. na göre, kumaşın tümü kaç metredir? 98 ÖYS. Bir top kumşı öce i, sor d klı ü stılıyor. Geriye 6 m kumş kldığı- göre, kumşı tümü kç metredir? 70 6 60 0., y pozitif iki tmsyı olmk üzere, (+y)(-y)=88 dir. Bu eşitliği soludki çrplrd üyüğü, küçüğüü

Detaylı

Bazı bağımlı aktüeryal risk süreçlerinin deneysel sonuçları

Bazı bağımlı aktüeryal risk süreçlerinin deneysel sonuçları www.isttistikciler.org İsttistikçiler Dergisi (8) 5-4 İsttistikçiler Dergisi Bzı ğımlı ktüeryl risk süreçlerii deeysel souçlrı Selim Dğlıoğlu T.C. Kültür ve Turizm Bklığı Strteji Geliştirme Bşklığı 63

Detaylı

ÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 1

ÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 1 ÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 1 1) ( y) (y ) ifdesinin çrpnlrındn biri şğıdkilerden hngisidir? A) y B) y C) y D) y E) y 1) ( y) (y ) ifdesini düzenleyip, ortk prnteze lmy çlışlım. ( y) (y ) ( y)( y) (

Detaylı

MUTLAK DEĞER. Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile. gösterilir. x x. = a olarak tanımlanır.

MUTLAK DEĞER. Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile. gösterilir. x x. = a olarak tanımlanır. gösterilir. MUTLAK DEĞER Syı doğrusu üzerinde syısının sıfır oln uzklığın in mutlk değeri denir ve ile B O A 0 OA = OB =, 0 =, < 0 olrk tnımlnır. < 0 < y için y = y işleminin eşitini bulunuz. < 0 için

Detaylı

7.SINIF: PARALELKENARIN ve ÜÇGENİN ALANI

7.SINIF: PARALELKENARIN ve ÜÇGENİN ALANI 7.SINIF: PRLLKNRIN ve ÜÇGNİN LNI ikdörtgen şeklindeki ir krtonu şekildeki gii işretlenen yerden kesip diğer trf eklediğimizde krtonun eksilmediğini,sdece görüntüsünün değiştiğini görürüz. Prlelkenrd Yükseklik

Detaylı

1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57

1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57 99 ÖYS. si oln si kçtır? A) 9 B) 8 C) D) 6 E) 5 6. Bir nın yşı, iki çocuğunun yşlrı toplmındn üyüktür. yıl sonr nın yşı, çocuklrının yşlrı toplmının ktı olcğın göre ugün kç yşınddır? A) 5 B) 5 C) 55 D)

Detaylı