Diferansiyel Denklemler

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Diferansiyel Denklemler"

Transkript

1 Difrsil Dklmlr

2

3 Doç. Dr. Slhi MADEN Ord Üivrsisi F dbi Fkülsi Mmik Bölümü DĐFERANSĐYEL DENKLEMLER Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr Birii Mrbd Yüksk Drd Difrsil Dklmlr Yüksk Mrbd Bzı Özl Difrsil Dklmlr Yüksk Mrbd Lir Difrsil Dklmlr Difrsil Dklm Sismlri v Toplm Difrsil Dklmlr Difrsil Dklmlri Srilrl Çözümü Bssl Lgdr v Gss Difrsil Dklmlri Forir Srilri Lpl Döüşümü Yömi SEÇKİN F Bilimlri

4 Difrsil Dklmlr Slhi MADEN SEÇKİN F Bilimlri No: ISBN Birii Bskı: Elül Akr Birii Bskı: 8 Sf Tsrımı: Ömr Cd Kpk Tsrımı: İsmil Çm 76 Sf 65 m.. Difrsil Dklmlr. Yüksk Drd Difrsil Dklmlr. Birii Drd Difrsil Dklmlr. Lir Difrsil Dklmlr 5. Dklm Sismlri 6. Toplm Difrsil Dklmlr 7. Forir Srilri 8. Lpl Döüşüm Yömi Sçki Yıılık S. v Ti. A.Ş. B kibı hr ürlü ı hkkı Sçki Yıılık S. v Ti. A.Ş iir. Yıvii zılı izi olmd ıım mçlı oplm bir sfı gçmk lıılr hriç olmk üzr hiçbir şkild kibı ümü v bir kısmı hrhgi bir ormd ımlmz v çoğlılmz. Sış v Dğıım: Mrkz Sğlık Sok. No: Sıhhi / Akr Tl : 5 Fks: 5 7 Wb Sisi: Şb Srzbrg Cd. No: /B Sıhhi / Akr Tl: 5 6 Sçki Yıılık Srifik No: 6 Şb Akr Adl Srı K-Blok Zmi K Sıhhi / ANKARA Tl: Şb Abid-i Hürri Cd. No: 9/A Şişli / İSTANBUL Tl : 77 Fks: 69 Bskı: Sözks Mbılık Ti. Ld. Şi. Srifik No: 68 İVOGSAN 57 Sok. M-Si İşmrkzi No: / Yimhll /ANKARA - Tl: 95 Şb Adol Adl Srı C Blok Zmi K No: 9 Krl / İSTANBUL Tl : 6 Fks: 6

5 Ösöz Difrsil Dklmlr üivrsilrimizi birçok birimid bir v iki sömsrlik drslr hlid oklmkdır. Difrsil Dklmlr drslrii dh kol lşılbilmsi içi öd difrsil v igrl hsbı z iki sömsrlik bölümüü oklmş olmsı grkmkdir. B kip dğişik üivrsilrd görv pığım klşık o bş ıllık sür içrisid birçok dğişik kk kllrk olşrdğm v okm çlışığım drs olrıd v blrı gişlmsid olşmkdır. Bgü Difrsil Dklmlr v o glmlrı bş Fizik v Mühdislik olmk üzr pk çok ld grksiim dl ömli bir bilim lı hli glmişir. Üivrsilrimizi birçok fkül v üksk okllrıd liss düzid dğişik isimlr lıd oklmk ol Difrsil Dklmlr drslrii müfrd progrmlrı çrçvsid drs kibı v rdımı drs kibı olrk kllılmk mıl hzırlıl b kip lı bölümd olşmkdır. Dil v rmioloji bkımıd kol okp lşılbilmsi içi ld gl hr ürlü çb v özi gösrm çlışmış olmkl birlik şüphsiz bzı hlrı blbilğii d bş kbl diorm. Siz oklrd glbilk üm olml lşiri v ol gösrii rdımlrıızı bklr kibı bş öğrilr olmk üzr üm okrlr v ğiim misı fdlı olmsıı mi drim. B kibı hzırlbilk bilgi v dim ship olmmd mği gç üm holrım b kibı mmlmsı v bilgisrd zımı sırsıd vdki gi hoşgörü v dsğid dolı şim v çoklrım rdımlrıd dolı Ord Üivrsisi F Edbi Fkülsi Mmik Bölümü öğrim lmlrıd Sı Yrd. Doç. Dr. Erdl ÜNLÜYOL v rı b kibı bsımıı grçklşir Sözks Mbılık Ti. Ld. Şi. çlışlrı iç şkkürlrimi srım. ORDU- Doç. Dr. Slhi MADEN

6

7 Đçidkilr Ösöz... 5 BÖLÜM I BĐRĐNCĐ MERTEBEDEN BĐRĐNCĐ DERECEDEN DĐFERANSĐYEL DENKLEMLER.. Giriş..... Difrsil Dklmlri Sııfldırılmsı..... Difrsil Dklmlri Çözümü Çözüm Yömlri Dğişklr Arılbil Dklmlr Homoj Dklmlr Homoj Dklm Döüşürülbil Dklmlr Tm Difrsil Dklmlr Đgrso Çrpı Lir Difrsil Dklmlr Dğişk Dğişirm Brolli Difrsil Dklmi Rii Difrsil Dklmi Eğri Aillrii Yörüglr... 8 BÖLÜM II BĐRĐNCĐ MERTEBEDEN YÜKSEK DERECEDEN DĐFERANSĐYEL DENKLEMLER.. Giriş gör Çözülbil Difrsil Dklmlr... 9 p.. Gör Çözülbil Difrsil Dklmlr Gör Çözülbil Difrsil Dklmlr Clir Difrsil Dklmi Lgrg Dklmi... 7

8 8 Difrsil Dklmlr BÖLÜM III YÜKSEK MERTEBEDEN BAZI ÖZEL DĐFERANSĐYAL DENKLEMLER.. Giriş Bğımsız Dğişki Blmmsı Hli Bğımlı Dğişki Blmmsı Hli... 9 d.. f Difrsil Dklmi... d d.5. g Difrsil Dklmi... 5 d k k.6. d d d F Difrsil Dklmi... 7 k k d d d BÖLÜM IV YÜKSEK MERTEBEDEN LĐNEER DĐFERANSĐYEL DENKLEMLER.. Giriş..... Doğrsl Lir Bğımsızlık Sbi Ksılı Đkii Trfsız Doğrsl Difrsil Dklmlr Sbi Ksılı Đkii Trflı Doğrsl Difrsil Dklmlr Prmrlri Dğişimi Mod Mrbi Düşürülmsi Mod Ch-Elr Dklmi... 7 BÖLÜM V DĐFERANSĐYEL DENKLEM SĐSTEMLERĐ VE TOPLAM DĐFERANSĐYEL DENKLEMLER 5.. Giriş Difrsil Dklm Sismlri Lir Difrsil Dklm Sismlri Toplm Difrsil Dklmlr... 6

9 Đçidkilr 9 BÖLÜM VI DĐFERANSĐYEL DENKLEMLERĐN SERĐLERLE ÇÖZÜMÜ 6.. Giriş Tml Kvrmlr Sri Çözümlri Blmsı Blirsiz Ksılr Yömi Frobis Yömi... 9 BÖLÜM VII BESSEL LEGENDRE VE GAUSS DĐFERANSĐYEL DENKLEMLERĐ 7.. Bssl Difrsil Dklmi Lgdr Difrsil Dklmi Gss Difrsil Dklmi... 9 BÖLÜM VIII FOURĐER SERĐLERĐ 8.. Forir Srisii Ksılrıı Blirlmsi Forir Srisi Açılbilm Koşllrı Tk v Çif Foksiolrı Forir Srilri Hrhgi Priodl Foksiolrı Forir Srisi Priodik olm Foksiolrı Forir Srisi... BÖLÜM IX LAPLACE DÖNÜŞÜM YÖNTEMĐ 9.. Lpl Döüşümü Trs Lpl Döüşümü Lpl Döüşümüü Difrsil Dklmlr Uglmsı Kklr Özgçmiş... 76

10

11 .. Giriş BÖLÜM I BĐRĐNCĐ MERTEBEDEN BĐRĐNCĐ DERECEDEN DĐFERANSĐYEL DENKLEMLER 676 ılıd Libiz rfıd kllılm bşlıl Difrsil Dklm bğımlı dğişk il bir v dh fzl bğımsız dğişk gör b bğımlı dğişki ürvlrii içr bir dklmi ifd mkdir. Doğdki pk çok olı çıklmsıd difrsil dklmlr kllılmkdır. B çıklmk içi bir doğr üzrid zm bğlı olrk f dklmi gör hrk d bir prçığı ıdki hızıı ımlm çlışlım. ıı kılrıd bir zmı lıırs prçığı ldığı ol f f olp b rd gç zm is olkır. B so olrk gç sür içid prçığı orlm hızı f f ]/[ ] [ olkır. Ak bizd b prçığı ıdki hızı isirs b kdird olmk üzr ld dil üm orlm hızlrı ik limii olrk vrs f lim f. zılbilği çıkır. m şklid bir doğr vrildiğid m sısı b doğr ğimi dildiğii biliorz. B ş şkild ormlbiliriz. B doğr grfiği üzrid v gibi iki dğişik ok lıdığıd m m m m α

12 Difrsil Dklmlr ld dilir. Böl m ğimi doğr ksii poziif öül pığı α çısıı jı şi olkır. α Şkil Bir doğr foksio olm foksiolr içi d bzr işlmi pılbilğii blirlim. B içi bzr bir mhkm il m α zılbilir. Diğr rf. bğıısı bkılırs b ürv ımı gör f il vril foksio oksıdki ürvi oldğ çıkır... Difrsil Dklmlri Sııfldırılmsı Tım..: bğımsız dğişki f foksio v bğımlı dğişki v b foksio bğımsız dğişk gör... ürvlri rsıdki hrhgi bir bğıı bir difrsil dklm dı vrilir. Böl bir difrsil dklm v F.... d d d d F... d d d d smbolü il gösrilir.. d çkilbiliors b ri bz

13 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr gösrimi d kllılır. ϕ.... Bir difrsil dklmd bir bğımsız dğişk vrs difrsil dklmdki ürvlr orml di ürv olğıd böl bir dklm di difrsil dklm dir. Biz b kip gl olrk di difrsil dklmlri l lğız. B dl d di sıfıı kllmksızı difrsil dklm dirk söz dğiz. Ö d bğımlı dğişki bird çok bğımsız dğişk gör ürvlrii içr dklmlr d kısmi ürvli difrsil dklmlr dı vrilğii d blirlim. Örği dklmi. ipid bir di difrsil dklmdir. dklmi. ipid bir di difrsil dklm ik d d d dz dklmi is bir kısmi ürvli difrsil dklm olkır. Brd so dklmd z biçimiddir. Tım..: Bir difrsil dklmd bl üksk mrbd ürvi mrbsi o difrsil dklmi mrbsi v bsmğı dı vrilir. Örği dklmi birii mrbd dklmi ikii mrbd bir difrsil dklmdir. B gör birii mrbd bir difrsil dklmi gl şkli F biçimid olkır.

14 Difrsil Dklmlr Tım..: Bir difrsil dklmdki büü ürvlri drlri m hl girildik sor üksk mrbd ürvi drsi o difrsil dklmi drsi dı vrilir. Örği 5 dklmi ikii drd dklmi birii drd bir difrsil dklm v 5 dklmi is üçüü drd bir difrsil dklmdir. Bz difrsil dklmlrd söz dilirk lir doğrsl sıfı d birlik kllılır. Lir difrsil dklmlr ss iibril difrsil dklmlri ömli v sık kllıl kısmıı olşrmkdır. Tım..: Bir difrsil dklmd bğımlı dğişk v ürvlri lız birii drd olp blr dklmd çrpım v rsd foksio biçimid blmors dklm lirdir dir. bğımsız dğişk v bğımlı dğişk olmk üzr. mrbd lir bir difrsil dklm gl şkild... b. biçimid zılbilir.. formd zılm difrsil dklmlr is lir olm difrsil dklm dı vrilir. Örği dklmi. mrbd bir lir difrsil dklm 5 os dklmi 5. mrbd bir lir difrsil dklm olp dklmi is bir lir olm difrsil dklmdir.

15 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 5.. Difrsil Dklmlri Çözümü Difrsil dklmlr ilirk çok üzrid drl hss olrı çözümlri kosdr. Bir difrsil dklmi çözümü dimi il ürv hriç bğımlı v bğımsız dğişklri rsıdki ilişkii gösr bir şilik lşılmkdır. Bşk bir ifd il bir difrsil dklmi çözmk dmk ürvlri il birlik difrsil dklmd ri koldğ zm dklmi özdş olrk sğl büü foksiolrı blmsı dmkir. Bir difrsil dklmi çözümlrii hr zm lmr foksiolr il v bili foksiolrı çık bir ifdsi olrk gösrilmsi mümkü olmbilir. Tım..:. mrbd bir F... difrsil dklmii göz öü llım. B kdird ımlı oldğ hr dğişki içi F f f... f d ımlı v F f f... f olk şkild. mrbd ürvlbil bir f foksio blbilirs b foksio difrsil dklmi bir çözümü dı vrilir. Yi v ürvlri ri f foksio v ürvlri zıldığıd vril dklm özdş olrk sğlıors b f foksio difrsil dklmi bir çözümü diğiz. Difrsil dklmlri çözümlri gl özl v kil çözümlr olmk üzr üç ürlüdür. ii mrbd bir F... dklmii gl çözümü sı idirgm kfi prmr içrir. Özl çözümlr is gl çözümd sözü gç prmrlr özl dğrlr vrilrk ld dilir. Ö d bzı difrsil dklmlrd is b dklmi sğl k gl çözümd ld dilm bir v dh fzl çözümü d blbilir. B ip çözümlr is kil v sigülr çözümlr dı vrilmkdir. Özl olrk f.5 bğıısı il ıml bir prmrli düzlm ğri ilsii göz öü llım. B ild prmrsii hr bir dğri içi bir ğri ld dilir. i sbi rk f kplı foksio gör kısmi ürvii lırsk f f.6

16 6 Difrsil Dklmlr ld dilir..5 v.6 dklmlrid prmrsi ok dilirs birii mrbd F biçimid bir difrsil dklm ld dilir. Trsi olrk F difrsil dklmii gl çözümü bir prmrli f ğri ilsi olrk ifd dilbilir. Örği difrsil dklmii göz öü llım. B dklm içi os lıırs si olğıd blr dklmd ri zılırs dklm özdş olrk sğlır. O hld f os foksio b dklmi bir çözümüdür. Aı şkild si lıırs os olp b drmd d i vril dklm sğlır. Dolısıl f si foksio d b dklmi bir çözümü olkır. Ö rf bir sbi olmk üzr si foksio d vril dklmi sğlr. Yi si foksio d dklmi bir çözümüdür. Üslik b foksiod lıırs si v π / lıırs os çözümlri d ld dilir. Dh gl olrk ğr f... foksio sı dh şğı idirgm... gibi kfi prmr içriors i düzlmid prmrli bir ğri ilsi gösriors b kdird vril foksiod. mrb kdr ürvlr rdımıl... prmrlri ok dilbilir. B sod il dhil büü ğrilri ork bldğ gomrik özlliği ifd d. mrbd bir difrsil dklm ld dilmiş olr. Yi f... ğri ilsii sğlğı difrsil dklm olrk F... şklid bir ifd blmş olr. Örk..: difrsil dklmii göz öü llım. B drmd sğlır. Brd foksio içi şiliği foksio vril difrsil dklm içi bir çözümdür. Diğr rf bir kfi prmr olmk üzr. foksio d vril dklmi sğlkır. O hld b foksio vril difrsil dklmi gl çözümüdür.

17 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 7 Örk..: difrsil dklmii göz öü llım. B drmd dır. Bzr şkild foksio içi foksio içi d şiliği sğlır. O hld hr iki foksio d vril dklmi bir çözümü olkır. Ö rf v kfi iki prmr olmk üzr. v. foksiolrı d vril dklmi sğlkır. O hld b iki foksio oplmı olrk.. foksio ğri ilsi vril difrsil dklmi gl çözümüdür. Örk..: difrsil dklmii l llım. B kdird d d d d d ld dilir. Eşiliği birii rfıd gör v ikii rfıd is gör igrl lıırs b kdird ilsi vril difrsil dklmi gl çözümü olkır. Örk..: ğri ğri ilsii çözüm olğı difrsil dk- lmi ld dlim. d ld dilir. B şiliklrd birid prmrsi v isid çkilip diğrid ri kolrs isil difrsil dklmi ld dilmiş olr. B drmd d olp b diğr dklmd ri korsk ğri ilsi krşılık gl difrsil dklmi olğı görülür. Örk..5:. os. si ğri ilsii çözüm olğı difrsil dklmi bllım. B kdird os. si si. os... os. si ld dilir. B şiliklrd isil difrsil dklm olrk ld dilir. Örk..6: f il vril ğri ilsii çözüm olğı difrsil dklmi ld dlim. B kdird f f ld dilir.

18 8 Difrsil Dklmlr Örk..7: f..si il vril ğri ilsii çözüm olğı difrsil dklmi bllım. B kdird..si..os..si ld dilir. B üç ifdd v prmrlrii ok mk mümküdür. B içi..si v..si şiliklrd dğrlr / v / si ld dilir. B..os şiliğid ri kop grkli düzlm pılırs r difrsil dklm olrk F si os si si os ld dilir... Çözüm Yömlri B kısımd difrsil dklmlr içi çözüm ömlri vrilkir. Birii mrbd difrsil dklmlri çözümü içi gl bir öm vrilmmkl birlik çşili ip birii mrbd difrsil dklmlr içi bzı özl krllr vrilmişir. B dl bir difrsil dklmi çözbilmk içi ölikl difrsil dklmi hgi ip oldğ bkılmsı v dh sor d o ip g çözüm ömii kllılmsı dh g olkır. Brd çşili ip difrsil dklmlri v çözüm ömlrii dlı bir şkild ilğiz. Birii mrbd bir difrsil dklm gl şkild F v f formd vrilir. Eğr f foksio f P / Q biçimid is b dklm P d Q d.7

19 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 9 şklid d vrilbilir. B kısımd böl bir difrsil dklmi P v Q foksiolrıı özl drmlrı gör kdi rlrıd sııflr ırıp hr bir sııf içi çözüm ömlri or koğız. Eğr f foksio f P / Q şklid is b kdird Q koşl sğl oklrd f sürksiz v P Q koşl sğl oklrd is f blirsizdir dir. f i sürksiz v blirsiz oldğ oklr.7 difrsil dklmii kil oklrı dir.... Dğişklr Arılbil Dklmlr Tım..: Eğr birii mrbd bir difrsil dklm h olmk üzr f g. h.8 biçimid v b dk olrk P d Q d.9 şklid zılbiliors b dklm dğişklr rılbilir difrsil dklm dir. B drmd dklmi çözmk içi rim rim igrl lmk rli olkır. B gör çözüm P d Q d ifdsi il ımlır. Eğr b igrllr çözülbilirs ld dil ğri ilsi dklmi gl çözümü olkır. Aksi kdird dklmi çık bir çözümü vrilmz. Örk..:. os difrsil dklmii çözlim. Vril dklm d. os d. os. d d d os. d şklid d zılbilir ki b dğişklr rılbilir ip bir difrsil dklmdir. Brd rim rim igrl lımk sril dklmi gl çözümü olrk

20 Difrsil Dklmlr d d os. l si ld dilir. Örk..: d d difrsil dklmii çözlim. Söz kos dklmd d d d d ld dilir ki b dğişklr rılbilir ip bir difrsil dklmdir. Brd rim rim igrl lımk sril dklmi gl çözümü olrk d d d d d d d l ld dilir. Örk..: si dklmii çözlim. Söz kos dklmd d d si d si. d ld dilir. Brd rim rim igrl lımk sril dklmi gl çözümü d si. d os olrk blmş olr. Örk..: difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B dklmd d d d d

21 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr ld dilir ki brd rim rim igrl lımk sril d d olğıd d d d d d d l l l l l ld dilir.... Homoj Dklmlr içi Tım..: f iki dğişkli bir foksio olmk üzr hr f λ λ λ. f λ> zılbiliors b kdird f foksio v dğişklri gör. drd homojdir dir. Örği f foksio içi f λ λ λ λ λ λ λ. f oldğd b foksio. drd homoj bir foksiodr. Tım..: Hrhgi bir difrsil dklm P d Q d şklid vrildiğid P v Q foksiolrı v dğişklri gör ı drd homoj is b dklm birii mrbd homoj difrsil dklm dı vrilir. B gör ğr P v Q foksiolrı m. drd homoj is m m P λ λ λ P v Q λ λ λ Q

22 Difrsil Dklmlr olğıd b şiliklrd λ / lıırs m m P P v Q Q ld dilir. Brd d P P / Q Q / d b dk olrk g. blr. Böl bir difrsil dklmi çözbilmk içi dğişk dğişimi pılrk dklm dğişklr rılbilir bir difrsil dklm döüşürülbilir. B dğişk dğişimi lıd. difrsil dklmid d d d g g d d d g d l l g d g. ld dilir. Brd g oldğ vrsılmkdır. B so şilik / zılmk sril vril difrsil dklmi v gör gl çözümü blmş olr. Örk..5: d d difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B dklm içi P v Q olp hr iki foksio d. drd homojdir. Dolısıl vril difrsil dklm dğişk dğişimi pılrk d. d. d olp

23 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr d. d. d v b dk olrk d d. d şklii lır. Grkli sdlşirm pılrk d. d d d gl çözümü ld dilmiş olr. d d l l l l / / Örk..6: d / d difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B dklmd P v Q foksiolrı / isid ifd dilmiş oldklrıd vril dklm bir homoj difrsil dklm olkır. Dolısıl dğişk dğişimi pılrk d. d. d olp vril difrsil dklm v. d. d d d d d şklii lır. Grkli sdlşirm pılrk d d d d d d

24 Difrsil Dklmlr l l l d l l d d / / d / d gl çözümü ld dilmiş olr. Örk..7: d d difrsil dklmii gl çözümüü bllım. P v Q foksiolrı v gör birii drd homoj foksiolr oldklrıd vril dklm bir homoj difrsil dklm olkır. dğişk dğişimi pıldığıd d. d. d olğıd vril difrsil dklm d. d. d v b dk olrk d d d şklii lır. Grkli sdlşirm pılrk. d. d d d d d gl çözümü ld dilmiş olr. l rsi l rsi

25 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 5... Homoj Dklm Döüşürülbil Dklmlr d d b α β γ şklid sbi ksılı bir difrsil dklm il krşılşılırs b drmd. β α.b ifdsii dğri bkılır. B drmd ğr i. β α. b is b kdird b v α β γ şklid ıml doğrlr birbiri prll olkır. Bşk bir dişl α. k v b β. k olrk zılbilir. B kdird b k. α β ld dilir. Brd α β döüşümü pılırs d d d d α β d d α d β d blr. Böl vril difrsil dklm d k. α β d γ d k. β α d γ şkli glir ki b dklm dğişklr rılbil ip bir difrsil dklmdir. B içi is çözüm ömii dh öd vrmişik. ii. β α. b is b kdird X h v Y k dğişk dğişimi il dklm şğıdki gibi homoj difrsil dklm döüşürülrk çözülbilir. X h v Y k d dx v d dy olğıd dklm dy dx X by h bk α X βy αh βk γ d d olrk zılbilir. Brd h bk v αh βk γ olk şkild h v k sbilri blirlbilir.. β α. b oldğd b mümküdür. Böl dklm dy dx X by α X βy dy dx

26 6 Difrsil Dklmlr homoj difrsil dklmi döüşmüş olr. B drmd dh öd vril öml gl çözüm ld dilir. Diğr rf ğr dklm d d b f α β γ biçimid is b drmd i krıdki öm glır. d 5 Örk..8: şklid vril difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B dklm içi d. β α. b.. olr. B kdird d d d d d d d d döüşümül dklm d 5 d olrk zılbilir. Brd d d d d d d d 5 d d d d d d d 7 d d d d 7 d d 7 l 6 7 l 6 ld dilir.

27 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 7 d Örk..9: şklid vril difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B dklm d içi. β α. b.. 5 dır. Dolısıl X h v Y k d dx v d dy döüşümü pılrk dklm d d dy dx dy dx X Y h k X Y h k şklid zılbilir. Brd h v k sbilri h k v h k olk şkild blirlirs h v k blr. Böl dy dx X Y X Y Y X dğişk dği- homoj difrsil dklmi ld dilir. Brd şimil X d dx X X X X X d dx d dx X d d d d dx X dx X r l l X

28 8 Difrsil Dklmlr ld dilir. B kdird X Y v vril dklmi gl çözümü olrk r l v dh sd şkild r l ld dilir..l C C Y olğıd X d Örk..:. difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B d dklm d d. f biçimid d zılbilğid. β α. b.. dır. O hld döüşümül d d d d d d d d d d d d d d d d d d. d. d d d d d

29 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 9 l d l ld dilir. Alışırmlr. Aşğıdki ğri illrii çözüm kbl d difrsil dklmlri blz. b... os.si. d 5 f. Aşğıdki dğişklr rılbilir difrsil dklmlri çözüüz.. b d d d si.os d.os d. π / 6 f d d g d d h l l d d

30 Difrsil Dklmlr. Aşğıd vril homoj difrsil dklmlri çözüüz. Arı homoj olmlrı d homoj hl girrk gl çözümlrii blz. d d b d d d d d d os d f d g d d / / h d d ı d d i d d d j d d k d d l d d m d d 6 o

31 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr ö p r 5 s 6 9 ş ü 5... Tm Difrsil Dklmlr Tım..: Bir difrsil dklm d Q d P. formd zıldığıd U P v U Q. olk şkild düzlmi blli bir B bölgsid ımlı v sürkli ürvlbilir bir U foksio blbilirs b kdird d Q d P difrsil dklmi bir m difrsil dklm dı vrilir. B drmd U foksio is d Q d P difrsil dklmii bir m difrsili v oplm difrsili dir.

32 Difrsil Dklmlr Torm..: P v Q v ürvlri düzlmi blli bir B bölgsid sürkli olmk üzr ğr v kıs P Q P Q. is P d Q d difrsil dklmi bir m difrsil dklmdir. Đsp: B bölgsid sbi bir oksı lırk U P s ds Q d foksio göz öü llım. B şkild ıml U i dğişki gör kısmi ürvi lıırs b kdird U P Q d P P d P P P P ld dilir. Bzr düşül U P s ds Q d il ıml U foksio gör kısmi ürvi lıırs b kdird U P s ds Q

33 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr Q ds s s Q Q Q Q Q ld dilir. O hld d Q d P ifdsi bir m difrsildir. Torm..: Eğr P v Q ürvlri düzlmi blli bir B bölgsid sürkli olmk üzr d Q d P difrsil dklmi m difrsil is Q P şiliği sğlır. Đsp: d Q d P difrsil dklmi m difrsil oldğ-d U P v U Q olk şkild düzlmi blli bir B bölgsid ımlı v sürkli ürvlbilir bir U foksio vrdır. B drmd U P v U Q olkır. Ö rf P v Q foksiolrı sürkli oldğd U U Q P şiliği ld dilir. Soç..: d Q d P difrsil dklmi bir m difrsil dklm v

34 Difrsil Dklmlr U P v Q U olk şkild bir U foksio mv ols. B kdird F foksio vril difrsil dklmi bir çözümü olmsı içi grk v r şr U dklmii sğlmsıdır. Ykrıdki bilgilri ışığı lıd bir difrsil dklmi m difrsil olp olmdığıı lmk içi P Q özdşliğii sğlıp sğlmdığı korol dilir. Eğr b özdşlik sğlıors Torm.. gör dklm m difrsil olkır. O hld b özdşliğ m difrsillik koşl d dir. Ykrıdki soç is bir m difrsil dklmi çözümü hkkıd biz bir fikir vrmkdir. Örk..: os d si d difrsil dklmii çözlim. B dklm içi P os v Q si olğıd P si Q olkır. Yi vril difrsil dklm m difrsildir. O hld dklmi çözümü U biçimid olkır. Ö d U P os şiliğid U os d h os h olp h bilim foksio blmk içi b ifdi dğişki gör kısmi ürvii lrk Q ifdsi şillim. Böl U si h Q si h h k ld dilir. Brd r U foksio

35 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 5 U os k olp difrsil dklmi gl çözümü os olrk blmş olr. Örk..: 6 d d şklid vril difrsil dklmii çözlim. B dklm içi P 6 v Q olğıd P 6 Q olkır. Yi vril difrsil dklm m difrsildir. Şimdi dklmi gl çözümüü bllım. B drmd U P 6 şiliğid U 6 d h h olp h i blmk içi b ifdi gör ürvii lıp Q şillim. Böl U h Q h h k ld dilir. Brd U k

36 6 Difrsil Dklmlr olp vril difrsil dklmi gl çözümü olrk blmş olr. Örk..: d d gl çözümüü bllım. B dklm içi difrsil dklmii P v Q olğıd P Q olp vril difrsil dklm m difrsildir. B drmd U P şiliğid U d h h ld dilir. h bilim ifdsii blmk içi b ifdi gör ürvi lııp Q şilirs U h Q h k h ld dilir. Brd U olp vril difrsil dklmi gl çözümü dklmi il ımlır. k

37 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 7 Örk..: os d d dklmii gl çözümüü bllım. B dklm içi P os v olr. B drmd P dklm m difrsildir. Dolısıl U P os olğıd U os d h Q Q oldğd vril difrsil d os d h si h ld dilir. B drmd U h Q ld dilir. Brd h h k U si k olp vril difrsil dklmi gl çözümü si şklid blmş olr...5. Đgrso Çrpı Birii mrbd bir difrsil dklmi P Q olmk üzr P d Q d şklid vrildiğii vrslım. B drmd dklm bir m difrsil dklm dğildir. Bir çok df böl bir dklm λ λ gibi bir foksiol çrpılrk dklmi m difrsil hl girilmsi müm-

38 8 Difrsil Dklmlr küdür. B kdird ld dil i dklm il vril dklmi gl çözümlri ı olkır. B şkildki λ λ foksio P d Q d difrsil dklmi içi bir igrso çrpı igrl çrpı dı vrilir. B so olrk [ P d Q d] λ. v b dk olrk [ P ] d [ λ Q ] d λ. ld dilir. B drmd m difrsillik koşl gör [ P ] λ [ Q ] λ.5 zılbilir. Brd λ P P λ λ Q Q λ v dh kıs olrk λ P P. λ λ Q Q. λ. d bşk bir zılışl. λ. P Q λ. Qλ P.6. bğıısı blr. Diğr rf b şr sğlk şkild bir λ λ foksio blmsı problmi bir kısmi difrsil dklm çözm problmidir. B is vril difrsil dklmi çözmk dh d zordr. B dl b kısımd sd bzı özl drmlr içi bir igrso çrpı blrk dklmi gl çözümüü ld m çlışğız. I. λ λ biçimid bir igrso çrpıı blmsı. Birii mr-bd bir difrsil dklm P Q olmk üzr P d Q d

39 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 9 şklid vrildiğid ğr λ λ biçimid sd dğişki bğlı bir igrso çrpı mv olks.6 bğıısıd λ olğıd λ. P Q λ Q. λ P Q λ Q dλ P Q λ Q d zılbilir. B drmd ğr b so şiliği ikii rfıdki ifdsi sd bğlı is r igrso çrpı P Q Q P Q d Q λ.7 bğıısı il hsplır. Örk..5: d d il vril difrsil dklmi m difrsil hl girrk gl çözümüü bllım. Vril dklm içi P Q P Q P Q olp dklm m difrsil dğildir. Ö rf P Q Q oldğd difrsil dklmi sd bğlı igrso çrpı λ PQ d Q d olrk ld dilir. Böl vril dklm λ / il çrpıldığıd d d ld dilir ki b dklmi m difrsil oldğ çıkır. Brd d dklmi gl çözümüü blbiliriz.

40 Difrsil Dklmlr U d h l h ld dilir. Dolısıl U h h h k olp vril dklmi gl çözümü U l olrk blmş olr. Örk..6: d d il vril difrsil dklmi m difrsil hl girrk gl çözümüü blz. B drmd P Q P Q P Q olp dklm m difrsil dğildir. Ö rf P Q Q. oldğd difrsil dklmi sd dğişki bğlı igrso çrpı mv olkır. B çrp λ P Q d Q d olrk ld dilir. Böl vril dklm λ il çrpıldığıd d d [ ] v dh çık şkild d d ld dilir ki b difrsil dklmi bir m difrsil dklm oldğ çıkır. Brd d dklmi gl çözümüü blbiliriz.

41 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr U d h d d. d h d d. ld dilir. Dolısıl U. h. h h olp vril dklmi gl çözümü U olrk blmş olr. d h h k II. λ λ biçimid bir igrso çrpı blmsı. Tm difrsil olm birii mrbd bir difrsil dklm P d Q d şklid vrildiğid ğr dklmi λ λ biçimid sd dğişki bğlı bir igrso çrpı mv olks b kdird.6 bğıısıd λ olğıd λ P Q λ. P Q λ. P λ P dλ P λ Q d P P Q zılbilir. Brdki so şiliği ikii rfıdki ifdsii P sd dğişki bğlı olmsı drmd r igrso çrpı d P λ.8 bğıısı il hsplır. P Q Örk..7: d d il vril difrsil dklmi m difrsil hl girrk gl çözümüü blz. B drmd P v Q

42 Difrsil Dklmlr olğıd P v Q v dolısıl P Q olp dklm m difrsil dğildir. Ö rf P Q P oldğd difrsil dklmi sd dğişki bğlı igrso çrpı λ PQ d P d olrk ld dilir. Böl vril dklm λ / il çrpıldığıd d d d d ld dilir ki b dklmi m difrsil oldğ çıkır. Brd d dklmi gl çözümüü blbiliriz. B drmd U d h U h h h olğıd vril dklmi gl çözümü U l olrk blr. Örk..8: d d d h l k difrsil dklmii m difrsil hl girrk gl çözümüü blz. B difrsil dklm d d biçimid zılbilğid P Q

43 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr Q P P Q olp dklm bir m difrsil dklm dğildir. Ö rf P Q P oldğd difrsil dklmi sd dğişki bğlı ol igrso çrpı λ PQ d P d olrk ld dilir. Böl vril dklm λ / il çrpıldığıd d d d d ld dilir ki b difrsil dklmi bir m difrsil dklm oldğ çıkır. Brd d dklmi gl çözümüü blbiliriz. B drmd U d h h U h h h k olğıd vril dklmi gl çözümü U olrk blr. III. λ λ biçimid igrso çrpıı rmsı. Tm difrsil olm birii mrbd bir difrsil dklm P d Q d şklid vrildiğid ğr λ λ biçimid sd bğlı bir igrso çrpı mv olks dh ö vril

44 Difrsil Dklmlr λ P P. λ λ Q Q. λ v λ. P Q λ. Qλ P... ifdsid λ λ.. λ v λ λ.. λ olğıd λ P Q dλ λ. P Q Q P. λ λ Q P λ P Q d Q P P Q zılbilir. B so şiliği ikii rfıdki ifdsii sd Q P bğlı olmsı drmd r igrso çrpı bğıısı il hsplır. P Q d QP λ.9 Örk..9: d d il vril difrsil dklmi m difrsil hl girrk gl çözümüü blz. Vril dklm içi P Q P Q P Q olp b difrsil dklm m difrsil dğildir. Diğr rf P Q Q P oldğd difrsil dklmi sd çrpı λ d bğlı igrso olrk ld dilir. Böl vril dklm λ / il çrpıldığıd [ d d] v grkli sdlşirmlr pılrk d d

45 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 5 ld dilir ki b dklmi bir m difrsil dklm oldğ çıkır. Brd d difrsil dklmi gl çözümüü blbiliriz. U d h d d h l h ld dilir. Brd U h h h l k olp vril difrsil dklmi gl çözümü U l l olrk blmş olr. Örk..: dklmii m difrsil hl girip gl çözümüü blz. Vril difrsil dklm d d biçimid zılbilğid b difrsil dklm içi P v Q P Q olp rf P Q dir. Yi vril dklm m difrsil dğildir. Diğr P Q Q P 6 6 6

46 6 Difrsil Dklmlr oldğd difrsil dklmi sd çrpı bğlı igrso λ d olrk ld dilir. Böl [ d d] v grkli sdlşirmlr pılrk d d ld dilir ki b difrsil dklmi bir m difrsil dklm oldğ çıkır. Brd difrsil dklmi gl çözümüü blbiliriz. U d h ld dilir. Brd d d h h U h h h k blr v böl vril difrsil dklmi gl çözümü U şklid ld dilmiş olr. Örk..: d d şklid vril difrsil dklmi bir m difrsil dklm döüşürrk gl çözümüü blz. B drmd

47 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 7 P Q P Q olp P Q dır. Dolısıl vril difrsil dklm m difrsil dğildir. Ö rf P Q Q P oldğd difrsil dklmi sd d λ olrk ld dilir. Böl vril difrsil dklm il çrpılmk sril d d v grkli sdlşirmlr pılrk d d bğlı igrso çrpı ld dilir ki b difrsil dklmi bir m difrsil dklm oldğ çıkır. Brd d difrsil dklmi gl çözümüü blbiliriz. U d h ld dilir. Brd d d h h U h h h k olp vril difrsil dklmi gl çözümü U şkliddir.

48 8 Difrsil Dklmlr IV. λ λ biçimid igrso çrpı rmsı. Tm difrsil olm birii mrbd bir difrsil dklm P d Q d şklid vrildiğid ğr λ λ biçimid sd dğişki bğlı bir igrso çrpı mv olks dh ö vril λ P P. λ λ Q Q. λ v λ. P Q λ. Qλ P... ifdsid λ λ. λ v λ λ. λ olğıd λ P Q λ. P Q Q P. λ λ Q P dλ P Q d λ Q P P Q zılbilir. B so şiliği ikii rfıdki ifdsii sd Q P dğişki bğlı olmsı drmd r igrso çrpı bğıısı il hsplır. P Q d QP λ. Örk..: d d dklmii m difrsil hl girrk gl çözümüü blz. Vril dklm içi P Q P Q P Q olp difrsil dklm m difrsil dğildir. B dl P Q Q P oldğd vril difrsil dklmi sd bğlı ol igrso çrpı λ d dğişki

49 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 9 olrk ld dilir. Böl vril difrsil dklm λ / il çrpıldığıd [ d d] v grkli sdlşirmlr pılrk d d ld dilir ki b difrsil dklmi bir m difrsil dklm oldğ çıkır. Brd d difrsil dklmi gl çözümüü blbiliriz. U d h d d d h l h ld dilir. Brd U h h h k olp vril difrsil dklmi gl çözümü olrk U l ld dilir. Örk..: d d dklmii m difrsil hl girrk gl çözümüü blz. Vril dklm içi P Q P Q P Q

50 5 Difrsil Dklmlr olp difrsil dklm m difrsil dğildir. B drmd P Q Q P oldğd vril difrsil dklmi sd bğlı igrso çrpı dğişki λ d λ / il çr- olrk ld dilir. Böl vril difrsil dklm pıldığıd [ d d] v grkli sdlşirmlr pılrk d d d d ld dilir ki b difrsil dklmi bir m difrsil dklm oldğ çıkır. Brd d dklmi gl çözümüü blbiliriz. U d h ld dilir. Brd l h U h h l k olp vril difrsil dklmi gl çözümü olrk U l l blmş olr. V. λ λ biçimid igrso çrpı rmsı. Tm difrsil olm birii mrbd bir difrsil dklm P d Q d

51 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 5 şklid vrildiğid ğr λ λ biçimid sd dğişki bğlı bir igrso çrpı mv olks dh ö vril λ P P. λ λ Q Q. λ v λ. P Q λ. Qλ P... ifdsid λ λ. λ v λ λ. λ olğıd λ. P Q Q P. λ λ λ P Q Q P dλ λ P Q Q P d zılbilir. B so şiliği ikii rfıdki P Q Q P bğlı olmsı drmd r igrso çrpı P Q ifdsii sd d Q P λ. bğıısı il hsplır. Örk..: d d dklmii m difrsil hl girrk gl çözümüü blz. Vril difrsil dklm içi P Q P Q P Q olp dklm m difrsil dğildir. Ö rf P Q Q P oldğd difrsil dklmi sd igrso çrpı dğişki bğlı ol λ d olrk ld dilir. Böl vril difrsil dklm çrpıldığıd [ d d] / λ il

52 5 Difrsil Dklmlr v grkli sdlşirmlr pılrk d d ld dilir. B difrsil dklmi bir m difrsil dklm oldğ kol görülbilir. Dolısıl b difrsil dklmi gl çözümüü blbiliriz. U d h ld dilir. Brd d d h d d h l h U h h h k olp vril difrsil dklmi gl çözümü olrk U l blr. VI. λ λ biçimid igrso çrpıı rmsı. Tm difrsil olm birii mrbd bir difrsil dklm P d Q d şklid vrildiğid ğr b difrsil dklmi λ λ biçimid sd dğişki bğlı bir igrso çrpı mv olks b kdird dh ö vril λ P P. λ λ Q Q. λ v λ. P Q λ. Qλ P...

53 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 5 ifdsid λ λ. λ v λ λ. λ olğıd λ P Q λ. P Q Q P. λ λ Q P dλ P Q d λ Q P P Q zılbilir. B so şiliği ikii rfıdki ifdsii sd Q P bğlı olmsı drmd r igrso çrpı bğıısı il hsplır. P Q d Q P λ. Örk..5: d d difrsil dklmii bir m difrsil dklm hli girrk gl çözümüü blz. Vril difrsil dklm içi P Q P Q P Q olp dklm m difrsil dğildir. Ö rf olmk üzr P Q Q P oldğd difrsil dklmi sd çrpı bğlı igrso λ d olrk ld dilir. Böl vril difrsil dklm igrso çrpı il çrpıldığıd λ / [ d d]

54 5 Difrsil Dklmlr v grkli sdlşirmlr pılrk d d d d ld dilir ki b difrsil dklmi m difrsil oldğ çıkır. Brd U d h l h ld dilir. Diğr d h U h h k olp vril difrsil dklmi gl çözümü olrk U l blr. Örk..6: d d dklmii bir m difrsil dklm hli girrk gl çözümüü blz. Vril difrsil dklm içi P Q P Q P Q olp vril difrsil dklm m difrsil dğildir. Ö rf olmk üzr P Q Q P oldğd difrsil dklmi sd igrso çrpı bğlı λ d

55 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 55 olrk ld dilir. Böl vril dklm λ / il çrpıldığıd [ d d] v grkli sdlşirmlr pılrk d d ld dilir. B difrsil dklmi bir m difrsil dklm oldğ çıkır. Brd d U d h d d h r l h ld dilir. Böl U h h h k olp vril difrsil dklmi gl çözümü U l şklid blmş olr. VI. λ λ biçimid igrso çrpı rmsı. Tm difrsil olm birii mrbd bir difrsil dklm P d Q d şklid vrildiğid ğr b difrsil dklmi λ λ biçi- mid sd bğlı bir igrso çrpı mv olks dh ö vril λ P P. λ λ Q Q. λ v λ. P Q λ. Qλ P...

56 56 Difrsil Dklmlr ifdsid λ λ. λ v λ λ. λ olğıd λ. P Q Q P. λ λ P Q λ Q P dλ λ P Q d Q P P Q zılbilir. B so şiliği ikii rfıdki ifdsii sd Q P dğişki bğlı olmsı drmd r igrso çrpı bğıısı il hsplır. P Q d Q P λ. Örk..7: d d difrsil dklmii bir m difrsil dklm hli girrk gl çözümüü blz. B drmd P Q P Q P Q olp vril difrsil dklm m difrsil dğildir. Ö rf olmk üzr P Q Q P oldğd difrsil dklmi sd ol igrso çrpı dğişki bğlı λ d olrk ld dilir. Böl vril dklm λ / il çrpıldığıd

57 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 57 [ d d] v grkli sdlşirmlr pılrk d d ld dilir ki b difrsil dklmi m difrsil oldğ çıkır. Brd U d h d d h l h ld dilir. Ö d U h h h k olp vril difrsil dklmi gl çözümü U l şklid blmş olr. Alışırmlr. Aşğıd vril difrsil dklmlri m difrsil oldklrıı gösrip gl çözümlrii ld diiz. d d b d d d d d d d f d d g os d os dsi d

58 58 Difrsil Dklmlr h l l d l d ı d d. Aşğıd vril difrsil dklmlri m difrsil hl döüşürrk gl çözümlrii ld diiz. d d d b d d d d d d d d d f 8 d 6 d g d d h d d ı d d i d d..6. Lir Difrsil Dklmlr Birii mrbd bir difrsil dklmd v ü çrpımlrı birii drd büük üslri v lir olm diğr kombizolrı blmors böl bir difrsil dklm birii mrbd lir difrsil dklm dı vrilir. B drmd birii mrbd bir lir difrsil dklm. bğıısı gör v dh gl şkild biçimid zılbilir. b. d P Q d P Q.5 d

59 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 59 Lir difrsil dklmlr içi dğişik çözüm ömlri mvr. Brd biz sd igrso çrpı ömii vrrk b öml vril difrsil dklmlri çözğiz. B içi ö vril difrsil dklm.5 biçimid zılır..5 i birii rfıdki ifdd v rimlri bldğ gör b drm söz kos ifdi λ. şklid bir çrpımı ürvil ilgili olbilğii gösrmkdir. Brd dğişki gör ürv lıırs d dλ λ..6 d d ld dilir. Şimdi.5 ifdsii hr iki ıı λ il çrplım. B drmd d λ. λ. P. λ. Q.7 d blr. B so şiliği birii rfıı [ λ.] ifdsii ürvi şklid düşübiliriz. B isi olrk d d dλ d λ. λ. λ. P. d d d şiliğid dλ λ. P d ld dilir ki b difrsil dklm rık dğişklr rılbilir ip bir difrsil dklmdir. B dl b so difrsil dklmi çözümü dλ dλ P d λ λ P d lλ P d lλ P d λ P d olrk ld dilmiş olr. B şkild bl λ ifdsi igrso çrpı dı vrilir. B kdird.5 dklmii hr iki rfı bl b λ igrso çrpı il çrpılırs

60 6 Difrsil Dklmlr P d P d P.. P d Q. v d P d P d Q. d ld dilir. Brd d P d P d Q. d d λ. λ. Q d zılbilir. Böl brd ld dilk ol P d P d Q. d.8 ifdsi vril difrsil dklmi gl çözümü olkır. Diğr rf.8 şiliğii.5 il vril lir difrsil dklmi gl çözümü olrk hırlmsı d zbrlmsi grk okr. B içi bir lir difrsil dklmi çözmk içi şğıdki sır kip dilbilir. P d i Ö igrso çrpı olrk dğri hsplmlıdır. ii Vril difrsil dklm hspl igrso çrpı il çrpılmlıdır. iii Eld dil şiliği hr iki rfıı igrli lımlıdır. B drmd birii rfı igrlii igrso çrpı il i çrpımı şi olğı dikk dilmlidir. Örk..8: d d difrsil dklmii çözüüz. iv Soç ld dil şilik gör çözülmlidir.

61 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 6 Vril difrsil dklm d d d d d d d gl şkli glir. B drmd P v Q d d olkır. Böl r igrso çrpı d P d l λ şkliddir. Şimdi vril difrsil dklmi d d il çrplım. B gör ld dilir. Brd difrsil dklmi gl çözümü olrk d d d d ld dilmiş olr. d Örk..9: difrsil dklmii çözüüz. Vril difrsil dklm d d biçimid d zılbilir. B drmd P v Q

62 6 Difrsil Dklmlr olkır. Böl r igrso çrpı d P d l l λ olrk blr. Şimdi vril difrsil dklmi gör il çrplım. B v d d d d ld dilir. Brd difrsil dklmi gl çözümü olrk d d.. d.. d ld dilmiş olr. Örk..:.. d. os si. os difrsil dklmii çözüüz. Vril difrsil dklm içi P os v Q si. os olkır. Böl r igrso çrpı λ P d osd si olr. Şimdi vril difrsil dklmi si il çrplım. B gör si d d si os. si os.si ld dilir. Dolısıl difrsil dklmi gl çözümü P d P d Q. d

63 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 6 bğıısıd os d os d si.os. d si si.os. si d si si si si. si şklid ld dilir. Örk..: difrsil dklmii çözüüz. Vril difrsil dklm içi P v Q olkır. Böl r igrso çrpı d P d l λ ld dilir. Dolısıl vril difrsil dklmi gl çözümü P d P d Q. d bğıısıd d d olrk ld dilir. Örk..:. [ ] Vril difrsil dklm içi P v Q [ ] difrsil dklmii çözüüz.

64 6 Difrsil Dklmlr olkır. Böl r igrso çrpı d P d l λ ld dilir. Dolısıl b difrsil dklmi gl çözümü P d P d Q. d bğıısıd. d şklid blmş olr. Örk..: difrsil dklmii koşl sğl çözümüü blz. Vril difrsil dklm şklid zılırs P v Q olkır. Böl r igrso çrpı d P d l λ ld dilir. Dolısıl difrsil dklmi gl çözümü P d P d Q. d bğıısıd. d d [ l ] l

65 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 65 olrk blr. Diğr rf koşl göz öü lıırs olkır. Dolısıl r çözüm l olrk ld dilir. Alışırmlr:. Aşğıd vril difrsil dklmlri çözüüz. b si si l d 6 f 6 os π g ı h si d i d j k d l o m r d si/ o ö p r r s..7. Dğişk Dğişirm Birii mrb birii drd olmsı rğm dh ö vrdiğimiz difrsil dklm ürlrid hiçbiri m dklmlr d mvr. B ip difrsil dklmlri çözbilmk içi dğişklrd birii d hr ikisii d g bir döüşüm rdımıl dğişirmk bz dklmi çözümüü kollşırbilir. B dğişk dğişimi rdımıl çoğ zm vril difrsil dklm bili bir difrsil dklm ipi idirgbilir. Örği homoj difrsil dklmi çö-

66 66 Difrsil Dklmlr zümüd döüşümü pılrk difrsil dklm dğişklr rılbilir bir difrsil dklm ürü döüşür. B ıd bili iplrd hiçbiri idirgm difrsil dklmlr oldğ gibi vril hr difrsil dklm içi g döüşüm formülü blmk d bz mümkü olmbilir. Aslıd döüşüm formüllrii blmsıı blli bir krlı d mv dğildir. B sbpl vril difrsil dklm gör g döüşüm formülü rmk dh g olkır. Örği ğr vril difrsil dklmd d d şklid bir ifd vrs b drmd ri i bir dğişk lmk g düşkir. Y d vril difrsil dklmd d d ifdsi vrs / ri i bir dğişk lbiliriz. Ö d ğr vril difrsil dklmd v ürüd ifdlr vrs g döüşüm r osθ r siθ kpsl koordi döüşümüdür. Şimdi ömi çıklmk mıl P d Q d şklid bir difrsil dklmi vrildiğii vrslım. B difrsil dklm içi G v H v.9 şklid bir dğişk dğişimi formülüü gldığıı vrslım. B kdird d G d G dv d H d H dv. olğıd vril difrsil dklm v P G v H v G d G dv Q G v H v H d H dv şklid zılbilir. Brd grkli düzlm pılrk v P v d Q v dv. ld dilir. Eğr b difrsil dklm bili ip is gl çözümü F v şklid olrk ld dildik sor.9 bğıısıd çözülk ol v v dğrlri b çözümd ri zılrk bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü blmş olr. v v

67 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 67 Örk..: d d çözümüü bllım. B dklmd difrsil dklmii v v döüşümlri pılırs b kdird d d v dv d olğıd vril difrsil dklm vd dv olkır. B is dğişklr rılbilir ip bir difrsil dklmdir. B difrsil dklmi gl çözümü is v olrk bldk sor bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü olkır. difrsil dklmii çözümüü bl- Örk..5: lım. B difrsil dklmd döüşümü pılırs b kdird d d d d d d d d olğıd vril difrsil dklm d d d d d d d d r r şklid bir gl çözüm ship olkır. Örk..6: d d difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B difrsil dklmd pılırs b kdird d. d. d. d d. d döüşümlri

68 68 Difrsil Dklmlr olğıd vril difrsil dklm d d d d d d d d d d d d d d d d d d d şkli glir ki b difrsil dklm dğişklr rılbilir ip bir difrsil dklmdir. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü olrk d ld dilir. d l l l l l Örk..7: d d dklmii çözlim. Brd difrsil dklmi ö [ ] d [ ] d şklid zlım. B şilik v

69 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 69 döüşümlri pılırs b kdird d dv d d d dv d d d v olğıd vril difrsil dklm d dv d d dv dv d v v v d dv v dv d vd d vdv dv vdv dv vd d d vdv d vdv şkli glir. B dklm dğişklr rılbilir ip bir difrsil dklm gl çözümü d olrk blr. Alışırmlr: vdv l Aşğıd vril difrsil dklmlri çözüüz. v l d d b d d d d d d d 6 d d d f 6 g h ı i d d j d d k 7 d 8 d

70 7 Difrsil Dklmlr..8. Brolli Difrsil Dklmi P v Q foksiolrı bğımsız dğişkii sürkli foksiolrı v olmk üzr d d. P Q şklid zılbil bir difrsil dklm Brolli difrsil dklmi dir. Dikk dilirs Brolli difrsil dklmii bir lir difrsil dklm olmğı çıkır. Ak böl bir difrsil dklmi çözmk içi. dğişk dğişimi pılrk vril difrsil dklm bir lir difrsil dklm döüşürülbilir. B kdird d d d d d d olğıd vril difrsil dklm d d. d P Q d v şiliği hr iki rfı il bölüüp il çrpılrk d P. Q.5 d şklii lır ki b difrsil dklm bir lir difrsil dklmdir. Dh ö vril öml b difrsil dklm çözüldük sor grkli dğişk dğişimi pılrk bşlgıç vril difrsil dklm çözülmüş olr. Böl.8 bğıısı gör P d olkır. P d [ Q. d ] Örk..8: l dklmii gl çözümüü bllım. B dklmi ölikl

71 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 7 d d l şklid zlım. B kdird d d d d döüşümü pılırs vril difrsil dklm d d d d l l d d l şkli glir. B difrsil dklm bir lir difrsil dklm olp gl çözümü d l. d d l l olrk blr. Böl bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü l olkır. Örk..9: difrsil dklmii çözlim. B kdird d d d d döüşümü pılırs vril difrsil dklm d d d d d d şkli glir. B difrsil dklm bir lir difrsil dklm olp d d gl çözümü d [. d ] [ ]. d d

72 7 Difrsil Dklmlr olrk blr. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü olkır.. Örk..: l difrsil dklmii çözlim. B difrsil dklmi hr iki rfı il bölüürs l ld dilir. B kdird d d d d d d döüşümü pılırs vril difrsil dklm d l d d d l şkli glir. B difrsil dklm bir lir difrsil dklm olp gl çözümü d l. d d d d l l d l olkır. Böl bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü l olrk blmş olr. Örk..: difrsil dklmii çözlim. B dklmi hr iki rfı il bölüürs ld dilir. B kdird d d d d d d d d

73 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 7 döüşümü pılırs vril difrsil dklm d d d d şkli glir. B difrsil dklm bir lir difrsil dklm olp gl çözümü d. d d d olr. B kdird bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü olrk ld dilmiş olr. Alışırmlr: Aşğıd vril difrsil dklmlri çözüüz. 6 b d d d d d d d f g ı h i j k 5 os si l 5 m os..9. Rii Difrsil Dklmi P Q v R foksiolrı dğişkii sürkli foksiolrı v R olmk üzr d P Q R d.6 şklid zılbil bir difrsil dklm Rii difrsil dklmi dir. B ip bir difrsil dklmi bzı özl drmlr dışıd çözmk

74 7 Difrsil Dklmlr oldkç zordr. Ak b difrsil dklmi bir v dh fzl özl çözümü biliiors b drmd gl çözümü blbilir. Şimdi b drmlrı rı rı illim. I. Eğr.6 şklid vril bir Rii difrsil dklmii gibi bir özl çözümü biliiors b drmd döüşümü il vril difrsil dklm v dğişklri gör bir lir difrsil dklm döüşürülür. B gör olp b dğrlr vril difrsil dklmd rlri zılırs.. R Q P v dh çık olrk Q P P R Q P.7 ld dilir. Diğr rf vril difrsil dklmi bir özl çözümü oldğd R Q P olkır. B kdird.7 ifdsi Q P P v [ ] P Q P difrsil dklmi idirgmiş olr. B difrsil dklm is v dğişklri gör bir lir difrsil dklmdir. B difrsil

75 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 75 dklmd ld dilk ol F G çözümü / ifdsid ri zılmk sril bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü ld dilmiş olr. Örk..: difrsil dklmii bir özl çözümü oldğ gör gl çözümüü bllım. B drmd ld dilir. B dğrlr vril difrsil dklmd ri zılırs b kdird difrsil dklm şkli glir. B difrsil dklm is bir lir difrsil dklm olp gl çözümüü d d d. olğı görülbilir. Böl bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü olkır.

76 76 Difrsil Dklmlr Örk..: difrsil dklmii bir özl çözümü oldğ gör gl çözümüü bllım. Ölikl vril difrsil dklmi şklid zlım. B drmd ld dilir. B dğrlr vril difrsil dklmd ri zılırs b kdird difrsil dklm şkli glir. B difrsil dklm is bir lir difrsil dklm olp b gl çözümüü olğı görülbilir. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü olkır.

77 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 77 Örk..: difrsil dklmii bir özl çözümü biçimid oldğ gör gl çözümüü bllım. olğıd b dğrlr vril difrsil dklmd ri zılırs şiliğid oldğ görülür. Böl r özl çözüm olkır. B drmd ld dilir. B dğrlr vril difrsil dklmd ri zılırs b kdird difrsil dklm şkli glir. B difrsil dklmi gl çözümüü olğı görülbilir. Böl bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü olkır. II. Eğr bir Rii difrsil dklmii v gibi iki özl çözümü biliiors b kdird gl çözümü ş şkild blbilir. v foksiolrı R Q P

78 78 Difrsil Dklmlr Rii dklmii iki özl çözümü oldğ gör R Q P R Q P olkır. Brd bsi bir işlml Q P Q P şiliklri ld dilir. B iki dklmd biriisii il v ikiisii is il bölrsk b kdird Q P Q P dklmlri ld dilir. Böl P zılbilir. B ifdd rim rim igrl lıırs d P l l v b dk olrk d P l.8 ld dilir. Brd blk ol bşlgıç vril Rii difrsil dklmii gl çözümü olkır. Örk..5: Rii difrsil dklmii k şklid bir özl çözümüü blrk gl çözümüü ld diiz. k k

79 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 79 olğıd b dğrlr vril difrsil dklmd rlri zılrk k k k k k oldğ görülür. Böl difrsil dklmi iki özl çözümü blmş olr. Blr v olkır. B drmd.8 bğıısı gör difrsil dklmi gl çözümüü blbiliriz. Brd l P d l d l d l l ld dilir. Brd l C lıbilir. Böl gl çözüm l l C l l C. C. şklid d zılbilir. III. Eğr bir Rii difrsil dklmii v gibi üç özl çözümü biliiors b kdird difrsil dklmi gl çözümüü ş şkild kol blbiliriz. / döüşümüü vril difrsil dklmi v dğişklri gör bir lir difrsil dklm döüşürğii dh öd ifd mişik. Brd / zılbilir. B drmd v özl çözümlri krşılık gl lir difrsil dklmi iki özl çözümü sırsıl / v / olkır. Diğr rf iki özl çözümü bili b lir difrsil dklmi gl çözümü

80 8 Difrsil Dklmlr şklid zılbilir. Dolısıl Rii dklmii gl çözümü v..9 olkır. Örk..6: Üç özl çözümü v / şklid vril bir Rii difrsil dklmii gl çözümü. / /. olkır. IV. Eğr bir Rii difrsil dklmii v gibi dör özl çözümü biliiors b dör özl çözüm içi.. bğıısı sğlır. B drm krıd vril.9 bğıısıd ri lırk kollıkl ld dilbilir. Alışırmlr: Aşğıdki Rii difrsil dklmlrii lrıd vril özl çözümlrii kllrk gl çözümlrii blz. b

81 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 8 d f / g h ı. i j k l k. m difrsil dklmii k. formd bir özl çözümüü blrk koşl sğl çözümüü ld diiz.... Eğri Aillrii Yörüglr Đki ğri rsıdki çı b iki ğrii ksişm oklrıd hr iki ğri çizil ğlr rsıdki çı olrk ımlır. Eğr b çıı ölçüsü 9 dr is b iki ğri birbiri dikir v orogoldir dir. θ

82 8 Difrsil Dklmlr B bölümü bşıd F şklidki birii mrb birii drd bir difrsil dklmi çözümüü f şklid bir ğri ilsi olğıı v rsi olrk koordi düzlmid bir sbi bğlı olrk vril hr bir ğri ilsi bir difrsil dklmi krşılık girilbilğii ifd mişik. Şimdi düzlmd f v g şklid iki ğri ilsi göz öü llım. Eğr birii ğri ilsii hr bir lmı ikii ğri ilsii hr bir lmıı sbi bir çı lıd ksiors b iki ğri ilsi birbirii örüglri dı vrilir. B drmd çıı dik çı olmsı drmd örüglr dik örüglr v ksi kdird ğik örüglr dı vrilmkdir. Örği mrkzi orijid bl çmbr illrii dik örüglri orijid gç doğr illridir. B kısımd ö f şklid vril bir ğri ilsii ğik örüglrii ld dilmsii ilğiz v dh sor d dik örüglrd söz dğiz. B içi α f ilsii P oksıd gç lmıı ğii ksi il pığı çı v β is g ilsii P oksıd gç lmıı ğii ksi il pığı çı ols. Brd α β θ olkır. B kdird β θ α β θ β.θ zılbilir. θ m dilim. f ilsii P dki ğimi α i birii ili difrsil dklmidki dğridir. β

83 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 8 is g il-sii difrsil dklmidki dğri olkır. O hld f ğri il-sii difrsil dklmi F α is b kdird g ilsii difrsil dklmi β θ m F i F β.θ m olkır. B gör vril bir ğri ilsii θ çılı örügsii blmk içi ölikl vril ğri ilsi krşılık gl difrsil dklmi ld mliiz. Dh sor b difrsil dklmd gördüğümüz r m / m zmk sril ld dil i difrsil dklmi gl çözümüü blmlıız. θ β α Özl olrk dik örüglri ismsi drmd is θ π / olğıd vril ğri ilsii difrsil dklmid gördüğümüz r / zılrk ld dil difrsil dklmi gl çözümüü blmk rli olkır. Şimdi bzı örklri göz öü llım. Örk..7: bllım. B kdird.. ğri ilsii. o θ 5 drlik örüglrii difrsil dklmi ld dilir. B difrsil dklmd /

84 8 Difrsil Dklmlr dğişirmsi pılrk d d difrsil dklmi ld dilir. B difrsil dklmi gl çözümüü blbiliriz. Brd d d d ld dilmiş olr. d d d d d C l C o Örk..8:. ğri ilsii θ drlik örüglrii bllım. B kdird difrsil dklmi ld dilir. B difrsil dklmd o dğişirmsi pılrk o / / / / d d

85 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 85 homoj difrsil dklmi ld dilir. B difrsil dklmi gl çözümüü blbiliriz. d d d d dğişk dğişimi pılırs dklmi gl çözümü d d d d d d d d r l d l C olrk blr. Örk..9: ğri ilsii drlik örüglrii dklmii bllım. B kdird o θ 5 ld dilir. B difrsil dklmd / dğişirmsi pılrk homoj difrsil dklmi ld dilir. Brd

86 86 Difrsil Dklmlr d d d d dğişk dğişimi pılırs b difrsil dklmi gl çözümü d d d d d d d d r l d l l C olrk blr. r l C l Örk..5: ğri ilsii dik örüglrii dklmii bllım. B kdird b ğri ilsi krşılık gl difrsil dklm olkır. B difrsil dklmd / dğişirmsi pılrk / ğri ilsi ld dilir. d d d d C C C Örk..5: ğri ilsii dik örüglrii dklmii bllım. B kdird b ğri ilsi krşılık gl difrsil dklm

87 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 87 olkır. B difrsil dklmd / d d d / dğişirmsi pılrk d l C l l l C C / ğri ilsi ld dilir. B örüglri bir görüümü şğıdki şkild vrilmkdir. Örk..5. çmbr ğri ilsii dik örüglrii blz. Vril ğri ilsii difrsil dklmii bllım. olp b dğr vril ğri ilsid ri zılırs r difrsil dklm olrk ld dilir. B difrsil dklmd ri / zılırs b kdird r ğri ilsii difrsil dklmi

88 88 Difrsil Dklmlr olrk blmş olr. B difrsil dklm homoj bir difrsil dklm olp dğişk dğişimi rdımıl gl çözümü blbilir. B drmd gl çözümü hld r dik örüglr Örk..5. k şklid olğı görülbilir. O k şklidki çmbr ğri ilsidir. ğri ilsii dik örüglrii blz. Vril ğri ilsii difrsil dklmii bllım. olp b dğr vril ğri ilsid ri zılırs r difrsil dklm olrk ld dilir. B difrsil dklmd ri / zılırs r ğri ilsii difrsil dklmi d d olrk blmş olr. B difrsil dklm dğişklr rılbilir ip bir difrsil dklm olp çözümü k şklid olğı görülbilir. O hld r dik örüglr ğri ilsidir. k şklidki Örk..5. doğr ilsii θ 5 o lik ğik örüglrii dklmii blz. B drmd oldğd vril doğr ilsi krşılık gl difrsil dklm biçimid dğişklr rılbilir ip bir difrsil dklmdir. o 5 B difrsil dklmd ri zılrk o. 5

89 . Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 89 ld dilir. B difrsil dklm is bir homoj difrsil dklmdir. dğişk dğişimi pılrk b difrsil dklmi gl çözümüü r / k. biçimid oldğ görülbilir. Böl r ğri ilsi blmş olr. Alışırmlr: Aşğıd vril ğri illrii lrıd vril çılr lıdki örüglrii blz. o θ 5 b o θ 9 o θ 5 d θ 5 o f o θ 9 o θ 9 g o o θ 5 h. si θ 9 ı j l o θ i o θ k o θ 6 o θ 6 o θ 5 m o θ 9 θ 9 o

90

91 .. Giriş BÖLÜM II BĐRĐNCĐ MERTEBEDEN YÜKSEK DERECEDEN DĐFERANSĐYEL DENKLEMLER Birii bölümd F şklidki birii mrb birii drd bir difrsil dklmi gl çözümüü f şklid bir ğri ilsi olğıı v rsi olrk koordi düzlmid bir sbi bğlı olrk vril f biçimidki hr bir ğri ilsi F formd bir difrsil dklmi krşılık girilbilğii ifd mişik. F biçimid sd v bğlı ol bir difrsil dklm birii mrbddir dmişik v dklmi gör birii drd oldğ kbl mişik. Eğr F ifdsi gör. drd is b kdird dklm birii mrbd. drddir dir. Böl bir difrsil dklm gl olrk olmk üzr d p. d p Q p Q p... Q p Q. şklid gösrilbilir. Örği p p difrsil dklmi birii mrb ikii drd bir dklmdir. Bzr şkild 5 p p p p dklmi birii mrb bşii drd bir difrsil dklmdir. Birii mrb üksk drd bir difrsil dklm şğıd vril ömlrd biri il çözülbilir. B ömlri hr birid problm bird fzl birii mrb v birii drd difrsil dklmi çözülrk çözümlri birlşirilmsi grçği dmkdır.

92 9 Difrsil Dklmlr.. p gör Çözülbil Difrsil Dklmlr p i bir poliom olrk göz öü lı. dklmii p F p F... p F. şklid çrplrı rılbildiğii vrslım. Brd F i... foksiolrı v dğişklrii foksiolrı olkır. B drmd. dki çrplrd hr birisi sıfır şilrk birii mrbd birii drd difrsil dklm ld dilir. B kdird d F d d F F. d d d dklmlrii çözümlri sırsıl f f f.5 şklid blbilir. Böl. il vril difrsil dklmii gl çözümü b çözümlri çrpımı olrk biçimid olkır. f. f... f.6 Örk..: p p difrsil dklm p p p p biçimid d zılbilir. Brd d d p d d d p d d d difrsil dklmii çözlim. B d d [ d ] d d i

93 . Bölüm: Birii Mrbd Yüksk Drd Difrsil Dklmlr 9 [ ] ld dilir. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü olrk. blr. Örk..: p p p difrsil dklmii çözlim. B drmd p p p p p p zılbilir. Dolısıl d p d d d d d d p d d d d d d p d d d d d

94 9 Difrsil Dklmlr ld dilir. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü.. biçimid blr. Örk..: p p 6 difrsil dklmii çözlim. Vril difrsil dklmi 6 p p p p zılbilir. Dolısıl p p d d d d d d l l l d d d d d d l l l ld dilir. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü olrk blr.. Örk..: p 6 p difrsil dklmii çözlim. B drmd p 6 p p p ld dilir. Dolısıl

95 . Bölüm: Birii Mrbd Yüksk Drd Difrsil Dklmlr 95 p p d d d d d d d p d d d d d ld dilir. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü olkır. Örk..5: p p p difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B drmd p p p p p zılbilir. Brd d p d d d d d d p d d d d d l

96 96 Difrsil Dklmlr ld dilir. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü olrk blmş olr. l Örk..6: p p difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B difrsil dklmi p p p p biçimid çrplrı ırdığımızd birii mrb birii drd iki difrsil dklmi çrpımı olrk zmış olrz.. Brd birii çrpd d d p d d şklid bir lir difrsil dklm ld dilir. B difrsil dklmi çözümü ld dilir. Đkii çrpd is p d d gl çözümü ld dilir. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü olrk blmş olr... Gör Çözülbil Difrsil Dklmlr p i bir poliom olrk göz öü lı. dklmii. şklid çrplrı rışımıı blmk bz oldkç güç h imksız olbilir. B drmd dklmi dğişki gör v dğişki gör çözüp b gör işlm pılır. Şimdi F difrsil

97 . Bölüm: Birii Mrbd Yüksk Drd Difrsil Dklmlr 97 dklmii dğişki gör çözülbildiğii vrslım. p lıırs difrsil dklm f p şklii lkır. Brd dğişki gör ürv lırk d d zılbilir. B is df df dp dp p G p.7 d dp d d p i foksio v i d dğişk lrk birii mrb v birii drd bir difrsil dklm döüşmkdir. B difrsil dklmi çözümü blrk b çözüm v f p dklmi rsıd p ok dilmk sril vril F difrsil dklmii gl çözümü blmş olr. Eğr b difrsil dklmlrd p i ok mk mümkü dğils b kdird difrsil dklmi p p şklid prmrik çözümlri vrilbilir. Örk..: p p difrsil dklmii çözlim. B drmd p olp vril difrsil dklmi p il bölmk sril p p p p zılbilir. Brd dğişki gör ürv lırk d d p p dp d p zılbilir. B drmd dp. d p p dp p p d dp d dp p p d p dp dp dp d p d p p d p p dp p d l l p l l. p p dp ld dilir. Diğr rf ifdsi rimi içrmdiğid b d ifd dikk lımbilir. Böl p / olp b vril difrsil dklmd ri zılırs difrsil dklmi gl çözümü olrk

Eğitim-Öğretim Güz Yarıyılı Diferansiyel Denklemler Dersi Çalışma Soruları

Eğitim-Öğretim Güz Yarıyılı Diferansiyel Denklemler Dersi Çalışma Soruları - Eğiim-Öğrim Güz rıılı Difril Dklmlr Dri Çlışm Sorlrı 6 // Aşğıd vril kvv rilrii kıklık rıçplrıı lirliiz. = = di ok civrıd kvv rii rdımıl vril difril dklmlri çözüüz. - -= - + -= - + += dklmii kil oklrıı

Detaylı

UFUK ÖZERMAN- 2012-2013 Page 1

UFUK ÖZERMAN- 2012-2013 Page 1 - GÜZ P,Q,R fokiolrı poliom olmk üzr d d P Q R d d v P d d Q d P d R P p q dklmi içi P şrıı ğl = okı di ok dir, çözümlri di okıı civrıd şklid rrız. =+-+- +... = = okı; p=q/ P, q= R/ P fokiolrı okıd liik

Detaylı

ELM207 Analog Elektronik

ELM207 Analog Elektronik ELM7 Alog Elkroik Giriş Bir Fourir srisi priyodik bir ) oksiyouu, kosiüs v siüslri sosuz oplmı biçimid bir çılımdır. ) cos b si ) Bşk dyişl, hrhgi bir priyodik oksiyo sbi bir dğr, kosiüs v siüs oksiyolrıı

Detaylı

SMMM STAJ BAŞLATMA FİNANSAL MUHASEBE/TİCARİ ALACAKLAR. f u a t h o c a. n e t. DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1 stajbaslatmasinavi@gmail.com

SMMM STAJ BAŞLATMA FİNANSAL MUHASEBE/TİCARİ ALACAKLAR. f u a t h o c a. n e t. DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1 stajbaslatmasinavi@gmail.com DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1 sjbslmsivi@gmilm DEĞİŞİME AÇIK OLUN 2 sjbslmsivi@gmilm DEĞİŞİME AÇIK OLUN 3 sjbslmsivi@gmilm 1 Bir işlmi bzı bilgilri şğıdki gibidir: (Bi TL) Öki Döm Cri Döm Alıılr 940 610 Alk Slri

Detaylı

DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1 stajbaslatmasinavi@gmail.com

DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1 stajbaslatmasinavi@gmail.com 1 v 2 SORULARI AŞAĞIDAKİ BİLGİLERE GÖRE CEVAPLAYINIZ 20082006 riid ypıl ks syımıd ksd 585 ABD Dlrı ($) ldğ blirlmişir Ayı ri iibriyl Dlr Kssı l sbıı brç plmı 26845 $, lk plmı 26320 $ lrk izlmkdir B rkı

Detaylı

İNTEGRAL KONU ANLATIMI ÖRNEKLER

İNTEGRAL KONU ANLATIMI ÖRNEKLER İNTEGRL KONU NLTIMI ÖRNEKLER Ġtgrl lmk, türi ril ir oksio lmk tır d,, d oksio olrk rildiğii =F i istdiğii rslım d içi i cid idsi: d = + dir, hrhgi ir sit df d koģl sğl = F oksio i gör itgrli dir d F içimid

Detaylı

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir.

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir. LOGARİTMA I. Üstl Fonksiyonlr v Logritmik Fonksiyonlr şitliğini sğlyn dğrini bulmk için ypıln işlm üs lm işlmi dnir. ( =... = 8) y şitliğini sğlyn y dğrini bulmk için ypıln işlm üslü dnklmi çözm dnir.

Detaylı

DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1 stajbaslatmasinavi@gmail.com

DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1 stajbaslatmasinavi@gmail.com Tiri ml rklrii rlıklı vr yömi gör izly bir işlmd döm s iibriyl sk rklrii drm şğıdki gibidir DB Ml Mvd 2 000 Döm içi Ml Alışı 50 000 Alış İd 3 000 Tiri Ml Hs Al Tp 5 000 Tiri Ml Hs Brç Klı 52 000 Yriçi

Detaylı

Sistem Dinamiği ve Modellemesi

Sistem Dinamiği ve Modellemesi Sitm Diamiği v Modllmi aplac Traformayou v Trafr Fokiyou aplac Traformu : Bir itmi diamik davraışı, o itmi matmatikl modlii ifad d difraiyl dklmlri çözümüd kullaıla bir matmatikl yötmdir. f(t foiyouu aplac

Detaylı

D (5 1) Benzer biçimde integral için de bir operatör gösterimi düşünülebilir: a

D (5 1) Benzer biçimde integral için de bir operatör gösterimi düşünülebilir: a BÖÜM 5 APACE DÖNÜŞÜMÜ Şu kdr öğrdiklriizd, gl olrk difriyl dklmlri çözmi cbirl dklmlri çözmd dh zor olduğuu frk mişiizdir. O hld cb difriyl dklmlri cbirl hl döüşürck bir yol vr mıdır? Ev, vrdır. Alıd buu

Detaylı

DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1

DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1 İiylılık : Olsı Gidrlr içi iiylı dvrılıp krşılık yrılır Olsı glirlr içi krşılık yrılmz 120 ALICILAR HS 128 HS 121 ALACAK SNT HS 129 ALACAK KARŞ HS (-) Alğı şüpli drm glmsi 128 ŞÜP TİC HS XXX 120 ALICILAR

Detaylı

DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1 stajbaslatmasinavi@gmail.com

DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1 stajbaslatmasinavi@gmail.com Mliy Msbsi : Bir işlmd üril ml v izm birimlrii ld dilmsi v blrı lıılr lşırılıp pry çvrilmsi içi, işlmi ypığı dkârlığı prsl ölçüsüü gösr mliylri, gi gidrlrd lşğ blirly, söz ks gidrlri; ürlri, ksiylrı v

Detaylı

İşaret ve Sistemler. Ders 10: Sistem Cevabı

İşaret ve Sistemler. Ders 10: Sistem Cevabı İşar v Sismlr Drs 0: Sism Cvabı Sismi İmpuls Cvabı Lir, zamala dğişmy bir sism v işarii uyguladığıı düşülim v işari lir, zamala dğişmy bir sism uyguladığıda çıkış işari bilimiyrsa, sismi lirlik özlliğii

Detaylı

İNTEGRAL DENKLEM SİSTEMLERİNİN YAKLAŞIK ÇÖZÜMLERİ

İNTEGRAL DENKLEM SİSTEMLERİNİN YAKLAŞIK ÇÖZÜMLERİ İEGRAL DEKLEM SİSEMLERİİ YAKLAŞIK ÇÖZÜMLERİ İil ULGA Yükk Li zi MAEMAİK AABİLİM DALI ISPARA 6 ii.c. SÜLEYMA DEMİREL ÜİVERSİESİ FE BİLİMLERİ ESİÜSÜ İEGRAL DEKLEM SİSEMLERİİ YAKLAŞIK ÇÖZÜMLERİ İSMAİL ULGA

Detaylı

BÖLÜM 4 LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ

BÖLÜM 4 LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ BÖLÜM LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ GİRİŞ Dnklm sismlrin linr cbir drsindn şin olmlısınız Anck bu ür dnklmlrd hrhngi bir difrnsiyl büyüklük vy ürv bulunmz Bşk bir dyişl cbirsl dnklm sismi, y (

Detaylı

5. ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN FONKSİYONLARININ DAĞILIMI. 5.1 Kümülatif Dağılım Fonksiyonu Tekniği

5. ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN FONKSİYONLARININ DAĞILIMI. 5.1 Kümülatif Dağılım Fonksiyonu Tekniği 5 ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN ONKSİONLARININ DAĞILIMI Pk çok ld ıml v kllıl sdü dğşklr büük br kısmı br bşk sdüü dğşk d dğşklr oksolrı olblr B bölümd br d dh zl şs dğşk okso ol br şs dğşk olsılık d dğılım okso

Detaylı

DERS 3. Matrislerde İşlemler, Ters Matris

DERS 3. Matrislerde İşlemler, Ters Matris DES Mrislerde İşleler, Ters Mris Mrisler Mrislerle ilgili eel ılrııı ıslı e sır ve e süu oluşurk içide diiliş e sıı oluşurduğu lo ir ris deir ir ris geellikle şğıdki gii göserilir ve [ ij ], i ; j risii

Detaylı

BÖLÜM 2 FOURİER SERİLERİ (FS)

BÖLÜM 2 FOURİER SERİLERİ (FS) BÖÜM FOURİER SERİERİ (FS) Bir ısı kyğıı ml bir çubuk (vy lvh) dğılımıı hsplmsı içi, bird çok rigomrik işlvlri kullılmsı Josph Fourir (768-83) rıd düşüülmüşür. ısı dğılımı, prçlı bir dirsiyl dklmdir. Fourir

Detaylı

a. Asal Maliyet Yöntemi b. Değişken Maliyet Yöntemi c. Normal Maliyet Yöntemi d. Tam Maliyet yöntemi

a. Asal Maliyet Yöntemi b. Değişken Maliyet Yöntemi c. Normal Maliyet Yöntemi d. Tam Maliyet yöntemi Asl Mliy Yömi b Dğişk Mliy Yömi Nrml Mliy Yömi d Tm Mliy yömi Üril mmllri mliyi üç srd lşmkdır: 1 Dirk İlk Mdd v Mlzm Gidrlri 2 Dirk İşçilik Gidrlri 3 Gl Ürim Gidrlri Blrd ilk ikisi ürim mi bğlı dğişk

Detaylı

Deney 2: Fark Denklemleri ve Sayısal Süzgeçlerin Geçici Davranışları Ve DZD Sistemlerin Frekans Yanıtının Frekans Bölgesinde Gösterilimi

Deney 2: Fark Denklemleri ve Sayısal Süzgeçlerin Geçici Davranışları Ve DZD Sistemlerin Frekans Yanıtının Frekans Bölgesinde Gösterilimi TEL - D : Fark Dklmlri v Saısal Süzgçlri Gçici Davraışları V DZD Sistmlri Frkas Yaıtıı Frkas Bölgsid Göstrilimi Amaç Bu di amacı, doğrusal, zamala dğişm (DZD) arık zamalı sistmlri fark dklmi göstrimii

Detaylı

2013 BİRİNCİ SEVİYE AKTÜERLİK SINAVLARI MATEMATİK

2013 BİRİNCİ SEVİYE AKTÜERLİK SINAVLARI MATEMATİK 03 BİRİNCİ SEVİYE AKTÜERLİK SINAVLARI MATEMATİK A SORU : lim x 8x 9 (x 3) x ifadsii dğri aşağıdaki sçklrd hagisid vrilmiştir? 0 5 7 SORU : cosax x f x foksiyouu x=0 oktasıda sürkli olması içi f(0) ı dğri

Detaylı

DERS 9. Grafik Çizimi, Maksimum Minimum Problemleri

DERS 9. Grafik Çizimi, Maksimum Minimum Problemleri DERS 9 Grafik Çizimi, Maksimum Minimum Problmlri Bundan öncki drst bir fonksiyonun grafiğini çizmk için izlnbilck yol v yapılabilck işlmlr l alındı. Bu drst, grafik çizim stratjisini yani grafik çizimind

Detaylı

DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1 stajbaslatmasinavi@gmail.com

DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1 stajbaslatmasinavi@gmail.com Mliy Msbsi : Bir işlmd üril ml v izm birimlrii ld dilmsi v blrı lıılr lşırılıp pry çvrilmsi içi, işlmi ypığı dkârlığı prsl ölçüsüü gösr mliylri, gi gidrlrd lşğ blirly, söz ks gidrlri; ürlri, ksiylrı v

Detaylı

5. Ders. Dağılımlardan Rasgele Sayı Üretilmesi Ters Dönüşüm Yöntemi

5. Ders. Dağılımlardan Rasgele Sayı Üretilmesi Ters Dönüşüm Yöntemi 5. Drs Dağılımlarda Rasgl Sayı Ürtilmsi Trs Döüşüm Yötmi sürkli bir rasgl dğişk v bu rasgl dğişki dağılım foksiyou olsu. Dağılımı dstk kümsi üzrid dağılım foksiyou arta v bir-bir bir foksiyo olmaktadır.

Detaylı

Magnetic Materials. 4. Ders: Paramanyetizma-2. Numan Akdoğan.

Magnetic Materials. 4. Ders: Paramanyetizma-2. Numan Akdoğan. Mgntic Mtrils 4. Drs: Prmnytizm-2 Numn Akdoğn kdogn@gyt.du.tr Gbz Institut of Tchnology Dprtmnt of Physics Nnomgntism nd Spintronic Rsrch Cntr (NASAM) Kuntum mkniği klsik torinin özlliklrini dğiştirmdn,

Detaylı

LYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ

LYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ LYS / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ Dnm. ^ h ^ h ^h ^^h h ^^h h. ^ h ^ h ^ h Cvp C m. ^ h ^ h Cvp C 9 9 9, ulunur.. Cvp A Cvp B. İfdlri trf trf topllım.. n n n _ n n,,,,, için ifd tmsı olur. 9 ulunur. ^ h

Detaylı

1 stajbaslatmasinavi@gmail.com STAJ BAŞLATMA MUHASEBE STANDARTLARI

1 stajbaslatmasinavi@gmail.com STAJ BAŞLATMA MUHASEBE STANDARTLARI 1 Türkiy msb sdrlrı gör; krşılıklı pzrlık rmıd, bilgili v iskli grplr rsıd bir vrlığı l dğişirmsi yd bir br ödmsi drmd ry çıkmsı grk r d vrilir? A) Mliy dğri B) N grçklşirilbilir dğr C) Alış dğri D) Dr

Detaylı

Sistem Dinamiği ve Modellemesi

Sistem Dinamiği ve Modellemesi 8..0 Sit Diiği v Modlli Doğrul Sitlri Z Dvrışı II. Mrtbd Gili Sitlr Giriş: Sit diiği çözülid, frlı fizil özllilr tşıy doğrul itlri rtritilrii blirly tl bğıtılr rıd bzrli (oloji) urulbili ouud itlri blirli

Detaylı

AKM 205-BÖLÜM 4-UYGULAMA SORU VE ÇÖZÜMLERİ

AKM 205-BÖLÜM 4-UYGULAMA SORU VE ÇÖZÜMLERİ AKM 5-BÖÜM -UYGUAMA SORU VE ÇÖZÜMERİ 1. Aşğıd erilen dimi, iki otl ız lnını dikkte lınız: V (, ) (.66.1) i (.7.1) j B kış lnınd ir drm noktsı r mıdır? Vrs nerededir? Kller: 1. Akış dimidir.. Akış -otldr.

Detaylı

7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER 7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER Bir V ektör uzyıı bir bşk W ektör uzyı döüştüre foksiyolr şu şekilde gösterilir: : V W Burd kullıl termioloji foksiyolrl yıdır. Öreği, V ektör uzyı foksiyouu

Detaylı

DENEY 5 İkinci Dereceden Sistem

DENEY 5 İkinci Dereceden Sistem DENEY 5 İkici Drcd Sitm DENEYİN AMACI. İkici drcd itmi karaktritiklrii alamak.. Söüm oraı ζ i, ikici drcd itm üzridki tkiii gözlmlmk. 3. Doğal frka i, ikici drcd itm üzridki tkiii gözlmlmk. GENEL BİLGİLER

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER Sf No..................................................... - 7 Denklem ve Eşitsizlikler Konu Özeti............................................. Konu Testleri ( 0)..........................................................

Detaylı

MENKUL KIYMET DEĞERLEMESİ

MENKUL KIYMET DEĞERLEMESİ MENKUL KIYMET EĞERLEMESİ.. Hiss Sdii Tk ömlik Gtirisii Hsaplaması Bir mkul kıymti gtirisi, bkl akit akımlarıı, şimdiki piyasa fiyatıa şitly iskoto oraıdır. Mkul kıymti özlliği gör bu akit akımları faiz

Detaylı

BÖLÜM 3 : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ

BÖLÜM 3 : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ BÖLÜM : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ (Rndom Vribles Giriş: Bölüm de olsılık fonksionu, denein örneklem uzını oluşurn sonuçlrın erimleri ile belirleniordu. Örneğin; iki zr ıldığınd, P gelen 6 olsı sırlı ikilinin

Detaylı

{ } { } Ters Dönüşüm Yöntemi

{ } { } Ters Dönüşüm Yöntemi KESĐKLĐ DAĞILIMLARDAN RASGELE SAYI ÜRETME Trs Dönüşüm Yöntmi F dağılım fonksiyonuna sahip bir X rasgl dğişknin dağılımından sayı ürtmk için n çok kullanılan yöntmlrdn biri, F dağılım fonksiyonunun gnllştirilmiş

Detaylı

Sistem Dinamiği ve Modellemesi

Sistem Dinamiği ve Modellemesi 5..3 Sistm Dimiği v Modllmsi Doğrusl Sistmlri Frks Dvrışı Giriş: Drs ksmıd şu kdr yıl çözümlmlrd, doğrusl sistmlri imuls girdi, bsmk girdi gibi çşitli girdilr krşı zm cvlrıı icldik. Bzı durumlrd doğrusl

Detaylı

Cebir Notları Mustafa YAĞCI,

Cebir Notları Mustafa YAĞCI, wwwygimustom, 6 Cbir Notlrı Must YAĞCI, ygimust@yhooom i hikysi Biz ltıl mtmtiği, trihtki buluuş sırsı gör ltıldığıı smıyorsuuz dğil mi? Bizlr hr kdr logritm drsii türvd ö görsk d, türvi ilk tohumlrı logritmd

Detaylı

DETERMINANTLAR. 1. Permütasyon. 1. Permütasyon ) permütasyonundaki ters dönüşüm. 1. Permütasyon 2. BÖLÜM ( )

DETERMINANTLAR. 1. Permütasyon. 1. Permütasyon ) permütasyonundaki ters dönüşüm. 1. Permütasyon 2. BÖLÜM ( ) . BÖÜM. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {,,, } kümesideki elemlrı tekrr olmksızı frklı DETERMINNTR sırlmlrıı düzelemesie permütsyo deir. Örek: {,, 3} tm syılr kümesii ltı frklı permütsyou vrdır: (,, 3), (,,

Detaylı

SMMM Staja Giriş Sınavı Finansal Muhasebe. f u a t h o c a. n e t

SMMM Staja Giriş Sınavı Finansal Muhasebe. f u a t h o c a. n e t SMMM Sj Giriş Sıvı Fisl Msb VI MENKUL KIYMETLER VE YATIRIMLAR A Mkl Kıymlr 110Hiss Slri 111Özl Ksim Tvil, S v Blrı 112Km Ksimi Tvil, S v Blrı 118Diğr Mkl Kıymlr 119Mkl Kıymlr Dğr Düş Krşılığı (-) İşlmlri

Detaylı

LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır.

LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır. LİNEER CEBİR MTRİSLER: i,,,...,m ve j,,,..., n için ij sılrının. m m...... n n mn şeklindeki tblosun mn tipinde bir mtris denir. [ ij ] mn şeklinde gösterilir. m stır, n sütun sısıdır. 5 mtrisi için ;

Detaylı

BÖLÜM DETERMINANTLAR SD 1

BÖLÜM DETERMINANTLAR SD 1 SD 1 2. BÖLÜM DETERMINANTLAR 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 1. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {1, 2,, } kümesideki elemlrı tekrr olmksızı frklı sırlmlrıı düzelemesie

Detaylı

DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1

DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1 STAJ BAŞLATMA FİNANSAL /DÖNEM AYIRICI HESAPLAR Dömsllik kvrmı; işlmi sürkliliği kvrmı yrı sıırsız kbl dil ömrüü, blli dömlr bölümsi v r dömi liy sçlrıı diğr dömlrd bğımsız lrk spmsıdır Glir v gidrlri kkk

Detaylı

DERS 11. Belirsiz İntegral

DERS 11. Belirsiz İntegral DERS Blirsiz İnral.. Blirsiz İnral. B rs ürvi bilinn bir onksiyonn ynin inşasını l alacağız. Türvi bilinn bir onksiyonn ynin inşası işlmin rs ürv işlmi aniirniaion nir. v F onksiyonlar, F is, F y nin rs

Detaylı

Trace ve Kellogg Yöntemleri Kullanılarak İntegral Operatörlerinin Özdeğerlerinin Nümerik Hesabı

Trace ve Kellogg Yöntemleri Kullanılarak İntegral Operatörlerinin Özdeğerlerinin Nümerik Hesabı Trce ve Kellogg Yöemleri Kullılrk İegrl Operörlerii Özdeğerlerii Nümerik Hesı Erk Tşdemir () ; Yüksel Soyk () ; Melih Göce (3) (¹)Kırklreli Üiversiesi, Kırklreli, Türkiye, erksdemir@homil.com (²)Büle Ecevi

Detaylı

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 18 Haziran Matematik Soruları ve Çözümleri

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 18 Haziran Matematik Soruları ve Çözümleri Lisans Yrlşirm Sınavı (Lys ) 8 Haziran Mamaik Soruları v Çözümlri. (,5) işlminin sonucu kaçır?, A) 5 B) C) 5 D) E) Çözüm (,5), 5 ( ) ( ) 5 ( ) ( ).( ) 5 ( ) 5 5 6 . < < olduğuna gör, aşağıdakilrdn hangisi

Detaylı

3.4 İşlem. 3.4.1 İşlem Kavramı. Etkinlik 3.53. Etkinlik 3.52

3.4 İşlem. 3.4.1 İşlem Kavramı. Etkinlik 3.53. Etkinlik 3.52 . İşlm.. İşlm Kvrmı Etkinlik.5 A,,, B,, v C,,5, kümlri vriliyor.. AxB kümsini yzınız.. AxB n C y f ğıntısı f x, y x il y n, küçük olmynı içimin tnımlnıyor. AxB f C f ğıntısını ynki gii ir Vnn şmsı il göstriniz.

Detaylı

Tanım : Bir rassal deney yapıldığında bir deneyin sonucu sadece iki sonuç içeriyorsa bu deneye Bernoulli deneyi denir.

Tanım : Bir rassal deney yapıldığında bir deneyin sonucu sadece iki sonuç içeriyorsa bu deneye Bernoulli deneyi denir. BRNOULLİ DAĞILIMI Broulli dağılımı bir rassal dy yaıldığıda yalızca iyi öü olumlu-olumsuz başarılı-başarısız gibi sadc ii souç ld dildiğid ullaılır. Taım : Bir rassal dy yaıldığıda bir dyi soucu sadc ii

Detaylı

VİNÇTE ÇELİK KONSTRÜKSİYON

VİNÇTE ÇELİK KONSTRÜKSİYON 0 Haziran www.guvn-kua.h VİNÇTE ÇEİ ONSTRÜSİON ÖZET _09 M. Güvn UT Smbollr v anaklar için "_00_ClikonsruksionaGiris.do" a bakınız. oordina ksnlri "GENE GİRİŞ" d blirildiği gibi DIN 8800 T gör alınmışır.

Detaylı

DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK KLÜBÜ FEN LİSELERİ TAKIM YARIŞMASI 2007 SORULARI

DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK KLÜBÜ FEN LİSELERİ TAKIM YARIŞMASI 2007 SORULARI DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK KLÜBÜ FEN LİSELERİ TAKIM YARIŞMASI 007 SORULARI Doğuş Ünivrsitsi Matmatik Kulübü tarafından düznlnn matmatik olimpiyatları, fn lislri takım yarışması sorularından bazıları

Detaylı

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev 7 3.1 Türev Kurllrı.......................... 8 3.1.1 Sbit

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI ., ÖZEL EGE LİSESİ OKULLR RSI 8. MTEMTİK YRIŞMSI 8. SINI TEST SORULRI 5. 0,0008.0 b 0,0000.0 ise; b.0 kç bsmklı bir sıdır? olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisine eşittir? ) 80 ) 8 ) 8 ) 8

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

BÖLÜM 3 SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL

BÖLÜM 3 SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL BÖLÜM SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL. Blgsyrl türe.. Bölümüş rk tblolrıyl türe.. Eşt rlıklı er oktlrı ç türe.. Eşt rlıklı er oktlrı ç er oktlrıd türe.. Yüksek mertebede türeler. Syısl tegrl.. Trpez krlı.. Romberg

Detaylı

Ünite 5 ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. 5.1. Üstel Fonksiyon. 5.2. Logaritma Fonksiyonu. 5.3. Üstel ve Logaritmik Denklem ve Eşitsizlikler

Ünite 5 ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. 5.1. Üstel Fonksiyon. 5.2. Logaritma Fonksiyonu. 5.3. Üstel ve Logaritmik Denklem ve Eşitsizlikler Ünite ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR f() g() log.. Üstel Fonksion / / / /.. Logritm Fonksionu.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR KAZANIM ve İÇERİK.

Detaylı

DERS 9. Grafik Çizimi, Maksimum-Minimum Problemleri. 9.1. Grafik çiziminde izlenecek adımlar. y = f(x) in grafiğini çizmek için

DERS 9. Grafik Çizimi, Maksimum-Minimum Problemleri. 9.1. Grafik çiziminde izlenecek adımlar. y = f(x) in grafiğini çizmek için DERS 9 Grafik Çizimi, Maksimum-Minimum Problmlri 9.. Grafik çizimind izlnck adımlar. y f() in grafiğini çizmk için Adım. f() i analiz diniz. (f nin tanım kümsi, f() in tanımlı olduğu tüm rl sayıların oluşturduğu

Detaylı

Bir Kompleks Sayının n inci Kökü.

Bir Kompleks Sayının n inci Kökü. Prof.Dr.Hüsy ÇAKALLI Br Komplks Sayıı c Kökü. hrhag br sab doğal sayı olmak ür, br komplks sayıı c kökü, c kuvv bu sayıya ş ola komplks sayıdır. ( r(cos s olsu v (cos s dylm. Bu akdrd ( [ (cos s] dr v

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları... İÇİNDEKİLER Ön Söz... Mtris Cebiri... Elementer İşlemler... Determinntlr...7 Lineer Denklem Sistemleri...8 Vektör Uzylrı...6 Lineer Dönüşümler...48 Özdeğerler - Özvektörler ve Köşegenleştirme...55 Genel

Detaylı

DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1

DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1 İLK MADDE VE MALZEME MALİYETLERİNİN SAPTANMASI Dirk ilk mdd v mlzm gidrlri - Mmlü ss ypısıı lşr v gi mml içi kdr kllıldığı kly spbil ilk mdd v mlzmi mliyidir - Dirk ilk mdd v mlzm gidrlri dğrd dğry mmlü

Detaylı

LYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ

LYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ LYS / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ Deneme -. A) - - + B) - 7 - + C) 5-5 - 5 +. + m ; + me + > H + D) - 5 - + E) 7- - + Sılrın plrı eşit olduğun göre, pdsı en üük oln sı en küçüktür. Bun göre A seçeneğindeki

Detaylı

y xy = x şeklinde bir özel çözümünü belirleyerek genel

y xy = x şeklinde bir özel çözümünü belirleyerek genel Difransil Dnklmlr I / 94 A Aşağıdaki difransil dnklmlrin çözümlrini bulunuz d d -( + ) 7 + n( ) +, () + n ( + ) 4 + - + 5 6 - ( - ) + 8 9 - - + + - ( -) d- ( + ) d + Not: Çözüm mtodu olarak: Tam difdnk

Detaylı

UYGUNLUK TESTİ. Müşterinin Adı Soyadı / Ticari Unvanı: Yaşınız 18-30 yaş 31-50 yaş 51-65 yaş 66 ve üzeri Kurumsal Müşteri

UYGUNLUK TESTİ. Müşterinin Adı Soyadı / Ticari Unvanı: Yaşınız 18-30 yaş 31-50 yaş 51-65 yaş 66 ve üzeri Kurumsal Müşteri UYGUNLUK TESTİ Bu nktin mı siz sunulk ürün vy hizmtin risklrini nlyilk ilgi v trüy ship olup olmığınızın nlşılmsı, öyl siz h uygun hizmt sunulmsının sğlnmsıır. Bu konu ir ğrlnirm ypılilmsi sizn grkli ilgilrin

Detaylı

İntegral Uygulamaları

İntegral Uygulamaları İntegrl Uygulmlrı Yzr Prof.Dr. Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cimlerinin elirli integrl yrdımı ile esplnileceğini, küre, koni ve kesik koninin cim

Detaylı

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com III - SAYI ÖRÜNTÜLERİ Htırltm: Syılrı virgülle yrılrk, birbirii rdı dizilmesie syı dizisi, dizideki her bir syıy d terim deir. hrfi verile örütüde syılrı sırsıı belirte semboldür ve ici syıy örütüü geel

Detaylı

MERAKLISINA MATEMATİK

MERAKLISINA MATEMATİK TRİGONOMETRİ : Siüs i b c R si si y si z İsptı : m(ëo).m(ëa) m(ëo).m(ëb) m(ëo).m(ëc) m(ëo) m(ëo) y m(ëo) z b c b c & si & si y & si y R R R R R R si si y b si z c & & & R R R & R.si & b R.siy & c R.siz

Detaylı

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü,

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü, 005 ÖSS SIN KPYSI SYISL ÖLÜM İKKT! U ÖLÜME EVPLYĞINIZ TPLM SRU SYISI 90 IR. İlk 45 Soru Son 45 Soru Mtemtiksel İlişkilerden Yrrlnm Gücü, Fen ilimlerindeki Temel Kvrm ve İlkelerle üşünme Gücü ile ilgilidir.

Detaylı

TG 12 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK

TG 12 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞREMENLİK ALAN İLGİSİ ESİ İLKÖĞREİM MAEMAİK ÖĞREMENLİĞİ G ÖA İLKÖĞREİM MAEMAİK u tstlrin hr hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, tstlrin tamamının va bir kısmının İhtiaç

Detaylı

Hafta 10: z -Dönüşümü

Hafta 10: z -Dönüşümü Hft : -Döüşümü Ele Alıc A Kolr -döüşümü -döüşümüü yıslı bölgesi Ters -döüşümü -döüşümüü öellileri -döüşümü llr LTI sistemleri lii -Döüşümü İmpls yıtı h ol bir LTI sistemi, girişie ol yıtıı y =H oldğ görmüştü.

Detaylı

katsayıları sabit katsayılardır. Bir kez t t 0 için u(t), t=t 0 ve türevlerinin başlangıç koşulları belirlenmiş ise t t 0 için y (t)

katsayıları sabit katsayılardır. Bir kez t t 0 için u(t), t=t 0 ve türevlerinin başlangıç koşulları belirlenmiş ise t t 0 için y (t) Dfrl Dkl ol Trfr Foko ol v Dr zı ollr:. kl oll: r fzkl k vrışıı l kl kllr kl ol r. orol lk k kl oll lz v l rıı öl r ıı olşrr. orol l r vrlğ ölkl k özllklr lrl r ğşk kııı ılk rkr. Örğ korol k ğz r lkrk

Detaylı

BÖLÜM 3 LAMİNER SINIR TABAKANIN DİFERANSİYEL DENKLEMLERİ VE TAM ÇÖZÜMLERİ

BÖLÜM 3 LAMİNER SINIR TABAKANIN DİFERANSİYEL DENKLEMLERİ VE TAM ÇÖZÜMLERİ BÖLÜM 3 LAMİNER SINIR TABAKANIN DİFERANSİYEL DENKLEMLERİ VE TAM ÇÖZÜMLERİ - Nair Stos dnlmlri - Nair Stos dnlmlrinin tam çözümlri - Daimi, ii-botl, laminr sınır tabaa dnlmlri - Daimi, ii-botl, laminr sınır

Detaylı

ÖRNEK - 1 ÖRNEK x 3 4x 2 + 6x. 2x 3 4x 2 + 6x ifadesinde her terimdeki ortak çarpan 2x tir. 2x(x 2 2x + 3) ÖRNEK - 3.

ÖRNEK - 1 ÖRNEK x 3 4x 2 + 6x. 2x 3 4x 2 + 6x ifadesinde her terimdeki ortak çarpan 2x tir. 2x(x 2 2x + 3) ÖRNEK - 3. ÇARPANLARA AYIRMA çerisinde bilinmeen bulunn ve bilinmeenlerin her de eri için dim do ru oln eflitliklere özdefllik denir. Örne in; ÖRNEK - Afl dki ifdeleri ortk çrpn prntezlerine lrk çrpnlr r n z. ) +

Detaylı

GELİR TABLOSU NET SATIŞLAR BRÜT SATIŞ KARI/ZARARI ESAS FAALİYET KARI/ZARARI. fuathoca.net 1

GELİR TABLOSU NET SATIŞLAR BRÜT SATIŞ KARI/ZARARI ESAS FAALİYET KARI/ZARARI. fuathoca.net 1 İlk Mdd Mlzm DB Dirk İlk Mdd Mlzm Sğ Döm içi Dirk İlk Mdd Mlzm lımı (+) Kllılbilir Dirk ilk Mdd Mlzm DS Dirk İlk Mdd Mlzm Sğ(-) Kllıl Dirk İlk Mdd Mlzm Kllıl Dirk İşçilik Gidri Kllıl Gl Ürim Gidri Tplm

Detaylı

Sönümlü Serbest Titreşim

Sönümlü Serbest Titreşim .5.. Söülü Srbs Tirşi Sosza kadar dva d sabi glikli irşilrl grçk hayaa karşılaşılaakadır. Bilidiği gibi, sis irşi harki başladıka bir sür sora hark yavaş yavaş zayıflar. olayısıyla hark dklii aşağıdaki

Detaylı

SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ

SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ SAYISAL ANALİZ Doç.Dr. Cüe BAYILMIŞ Doç.Dr. Cüe BAYILMIŞ Sısl Aliz SAYISAL ANALİZ SAYISAL İNTEGRAL Numericl Iegrio Doç.Dr. Cüe BAYILMIŞ Sısl Aliz İÇİNDEKİLER Sısl İegrl Trpez Ymuk Yöemi Simpso Yöemi /

Detaylı

TG 6 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK

TG 6 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 6 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testleri her hkkı sklıdır. Hgi mçl olurs olsu, testleri tmmıı ve ir kısmıı

Detaylı

Bölüm 7.2: Matrisler. Transpoz. Konjuge. Adjoint

Bölüm 7.2: Matrisler. Transpoz. Konjuge. Adjoint ölü.: Mrsler ugüü derszde rs eors err edeeğz. Mrs ouud ddörge elelrd oluş r eledır sır ve süu zı öre rsler şğıddır: j C Trspoz j ı rspozu T j dır. Öre T T T Kojuge j ı Kojuges j dır. Öre djo ı djo T dır

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.

Detaylı

İMALAT ZAMANLARI HESABI

İMALAT ZAMANLARI HESABI İMAAT ZAMANARI HESABI Bilimi gereği olrk lş kldırm işlemi, ekik ve ekoomik koşllr bğlı olrk gerçekleşirilmekedir. Tekik koşllr, prçy, resim üerideki ögörüle işleme kliesi çerçeveside şekil vermek içi ygl

Detaylı

Vektörler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Yrd.Doç.Dr.Nevin MAHİR

Vektörler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Yrd.Doç.Dr.Nevin MAHİR Vektörler zr rd.doç.dr.nevin MAHİR ÜNİTE 3 Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; Düzlemde vektör kvrmını öğrenecek, İki vektörün eşitliği, toplmı, doğrusl bğımlılığı ile bir vektörün bir gerçel syı ile çrpımı,

Detaylı

DOĞRUDA AÇILAR GEOMETRİ KAF01 TEMEL KAVRAMLAR NOKTA: AÇI ÖLÇÜ BİRMLERİ: DERECE: = 360 2π DOĞRU: RADYAN: KOMŞU AÇI: KAPALI DOĞRU PARÇASI: TÜMLER AÇI:

DOĞRUDA AÇILAR GEOMETRİ KAF01 TEMEL KAVRAMLAR NOKTA: AÇI ÖLÇÜ BİRMLERİ: DERECE: = 360 2π DOĞRU: RADYAN: KOMŞU AÇI: KAPALI DOĞRU PARÇASI: TÜMLER AÇI: ĞRU ÇILR GMTRİ 01 TML VRMLR NT: ĞRU: ÇI ÖLÇÜ İRMLRİ: R: RYN: R = 360 2π PLI ĞRU PRÇSI: MŞU ÇI: YRI ÇI ĞRU PRÇSI: TÜMLR ÇI: ÇI ĞRU PRÇSI: ÜTÜNLR ÇI: PLI YRI ĞRU (IŞIN): R ÇI: ÇI YRI ĞRU: İ ÇI: ÇI: GNİŞ

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIMLAR :, b, R ve 0 olmk üzere denklem denir. b = 0 denklemine, ikini dereeden bir bilinmeyenli Bu denklemde, b, gerçel syılrın

Detaylı

Hafta 8: Ayrık-zaman Fourier Dönüşümü

Hafta 8: Ayrık-zaman Fourier Dönüşümü Hafta 8: Ayrı-zama ourir Döüşümü El Alıaca Aa Koular Ayrı-zama ourir döüşümü Ayrı-zama priyodi işartlr içi ourir döüşümü Ayrı-zama ourir döüşümüü özllilri Doğrusal, sabit atsayılı far dlmlriyl taımlaa

Detaylı

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ Müdslk Mmrlık Fkülts İşt Müdslğ Bölümü E-Post: ogu.mt.topcu@gml.com W: ttp://mmf.ogu.du.tr/topcu Blgsr Dstkl Nümrk Alz Drs otlrı 0 Amt TOPÇU I f ( x I x x ( x [ ( x f (

Detaylı

YILLAR ÖSS-YGS /LYS /1 0/1 ÇÖZÜM: 1) xοy A ise ο işlemi A da kapalıdır.

YILLAR ÖSS-YGS /LYS /1 0/1 ÇÖZÜM: 1) xοy A ise ο işlemi A da kapalıdır. YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS /LYS - - - 0/ 0/ ĐŞLEM ( ) ( ) (+ ) ( ) 7 6 76+ bulunur ve e bğlı bütün tnımlı fonksionlr bir işlem belirtir i göstermek için +,,*, gibi işretler kullnılır

Detaylı

GELECEĞİ DÜŞÜNEN ÇEVREYE SAYGILI % 70. tasarruf. Sokak, Park ve Bahçelerinizi Daha Az Ödeyerek Daha İyi Aydınlatmak Mümkün

GELECEĞİ DÜŞÜNEN ÇEVREYE SAYGILI % 70. tasarruf. Sokak, Park ve Bahçelerinizi Daha Az Ödeyerek Daha İyi Aydınlatmak Mümkün www.urlsolar.com S L D-S K -6 0 W ile 1 5 0 W St an d art S o kak L a m ba sı F iya t K arşılaşt ırm a sı kw h Ü c reti Yıllık Tü ke tim Ü cre ti Y ıllık T ü ketim Fa rkı kw Sa at G ü n A y Stan d art

Detaylı

a R, n tek ve Örneğin, a, b R + ve m, n Z + olmak üzere; 1. n a b a b dir. 2. n m n m a a n n n 5. m n m 6. 0 a b n a n b dir. Örnek 4.

a R, n tek ve Örneğin, a, b R + ve m, n Z + olmak üzere; 1. n a b a b dir. 2. n m n m a a n n n 5. m n m 6. 0 a b n a n b dir. Örnek 4. Bölü. Köklü Syılr Muhrre Şhi. Köklü Syılr.. Köklü Syılrı Tıı Bu bölüde, kök dediğiiz sebollerle gösterile gerçek syılrı köklü syılr olrk tıtck ve bulrı gerçek syılrı rsyoel kuvvetleri olduğuu göstereceğiz.

Detaylı

ÖZET. ANAHTAR KELİMELER: Schrödinger denklemi, Dalga fonksiyonu, Potansiyel, Hipergeometrik fonksiyon.

ÖZET. ANAHTAR KELİMELER: Schrödinger denklemi, Dalga fonksiyonu, Potansiyel, Hipergeometrik fonksiyon. i ÖZET Bu çlışd irgorik oksiyolrı ölliklri kullılrk Srödigr dklii çöüü ol dlg oksiyolrı osiyl oksiyou S- risii liriği döüşü ilişir. Birii ölüd irgorik dkl il ilgili ı ilgilr rilişir. Posiyl oksiyouu gl

Detaylı

ESM 406 Elektrik Enerji Sistemlerinin Kontrolü

ESM 406 Elektrik Enerji Sistemlerinin Kontrolü 8. KAALILIK ESM 6 Elktrik Erji Sitmlrii Kotrolü 8. Kouu Amaç v Kapamı Bir itmi ıırlı hr giriş cvabı ıırlı i o itm kararlıdır. Sitm giriş, rfra dğrid vya bozucu dğrd olabilir. Karalılığı diğr bir taımı

Detaylı

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =?

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =? Lisns Yerleştirme Sınvı (Ls ) 6 Hirn Mtemtik Sorulrının Çöümleri 8 sı tnınd verilen ( ) 8 sısının sı tnınd ılışı? Bu durumd ( ) 8 sısı önce tnın çevrilir Sonr tnınd ılır ( ) 8 8 8 8 Bun göre ( ) 8 ( )

Detaylı

e sayısı. x için e. x x e tabanında üstel fonksiyona doğal üstel fonksiyon (natural exponential function) denir. (0,0)

e sayısı. x için e. x x e tabanında üstel fonksiyona doğal üstel fonksiyon (natural exponential function) denir. (0,0) DERS 4 Üstl v Logaritik Fonksionlar 4.. Üstl Fonksionlar(Eponntial Functions). > 0, olak üzr f ( ) = dnkli il tanılanan fonksiona taanında üstl fonksion (ponntial function with as ) dnir. Üstl fonksionun

Detaylı

1982 ÖSS =3p olduğuna göre p kaçtır? A) 79 B) 119 C) 237 E) A) 60 B) 90 C) 120 D) 150 E) 160

1982 ÖSS =3p olduğuna göre p kaçtır? A) 79 B) 119 C) 237 E) A) 60 B) 90 C) 120 D) 150 E) 160 8 ÖSS. Bir çiftlikte 800 koun 00 inek ve 600 mnd vrdır. Bu hvnlrın tümü bir dire grfikle gösterilirse ineklerle ilgili dilimin merkez çısı kç derece olur? A) 60 B) 0 C) 0 D) 0 E) 60 6. 0 - =p olduğun göre

Detaylı

BÖLÜM II 2. FOURIER DÖNÜŞÜMÜ. 2.1 Giriş

BÖLÜM II 2. FOURIER DÖNÜŞÜMÜ. 2.1 Giriş BÖLÜM II. FOURIER DÖNÜŞÜMÜ. Giriş Yr ürmizd gözl joizi olaylar zamaa yada uzalığa bağlı olara glişir. Gözl joizi olay zamaı bir osiyou is zama oramı im Domai uzuluğu bir osiyou is uzalı oramı Spac Domai

Detaylı

e i n b u l b u b u b u b u

e i n b u l b u b u b u b u ŞEHRİN KODU YENİDEN TANIMLANIYOR 4 5 YEŞİLİN YENİ KODU 7 %80 YEŞİL ALAN 36 MUTLU GELECEĞİN YENİ KODU 8 9 310 11 SPORTMEN YAŞAMIN YENİ KODU 2 Bk 90 Lük Dr Rpy Hzmr 7/24 Güvk (Kpı Dvr Kmr Sm) 210 Arçık Oprk

Detaylı

TLE 35128R Serisi CATV Hat Tekrarlayıcılar

TLE 35128R Serisi CATV Hat Tekrarlayıcılar TLE 35128R Srisi CATV Hat Tkrarlayıcılar Modl Frkas Badı 5-30 / 47-870 MHz 5-42 / 54-870 MHz 5-65 / 85-870 MHz srisi CATV Hat Tkrarlayıcılar, koaksiyl şbk üzrid bslbilm (30-90VAC) özlliği sahip olarak,

Detaylı

ML65X HİDROLİK ŞEMALAR INDEKS

ML65X HİDROLİK ŞEMALAR INDEKS HİOLİK ŞML IK Şema o _07 _09 _0 6 _7 _8 _9 5 _6 6 35_d _35_y-u _36 _39 _40 _4 _4 _43 _44 çıklama Hidrolik (4 Valfli ağlantı) MLK Hidrolik Kabin esisatı Kat esisatı üvenlik evresi Kapı çık eviyelemeli Hidrolik

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?

Detaylı

( ) ( ) ( ) Üslü Sayılar (32) 2. ( ) ( 2 (2) 3. ( ) ( ) 3 4. ( 4 9 ) eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır? (0) 0,6 0,4 : 4,9 =?

( ) ( ) ( ) Üslü Sayılar (32) 2. ( ) ( 2 (2) 3. ( ) ( ) 3 4. ( 4 9 ) eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır? (0) 0,6 0,4 : 4,9 =? Üslü Sılr. +.4 8 (8) 4. ( ) (. ). ( ) 4 6 ( ) :( ) () + + 5..4. ( ) ( ) () 4. 5 5 ( 4 9 ) 5. 9 + + 9 = + eşitliğini sğln değeri kçtır (0) 6. ( ) ( ) ( ) 0,6 0,4 : 4,9 (-6) 4 8.. c 7. 4.. c ( c ) 8. 6 8

Detaylı

TLE 35128R Serisi CATV Hat Tekrarlayıcılar

TLE 35128R Serisi CATV Hat Tekrarlayıcılar TLE 35128R Srisi CATV Hat Tkrarlayıcılar Modl Frkas Badı 5-30 / 47-870 MHz 5-42 / 54-870 MHz 5-65 / 85-870 MHz srisi CATV Hat Tkrarlayıcılar, koaksiyl şbk üzrid bslbilm (30-90VAC) özlliği sahip olarak,

Detaylı

ÜSTEL DAĞILIM. üstel dağılımın parametresidir. Birikimli üstel dağılım fonksiyonu da, olarak bulunur. olduğu açık olarak görülmektedir.

ÜSTEL DAĞILIM. üstel dağılımın parametresidir. Birikimli üstel dağılım fonksiyonu da, olarak bulunur. olduğu açık olarak görülmektedir. ÜSTL DAĞILIM Tanım : X > olma üzr sürli bir rasgl dğişn olsun. ğr a > için X rassal dğişni aşağıdai gibi bir dağılıma sahip olursa X rasgl dğişnin üsl dağılmış rassal dğişn v onsiyonuna da üsl dağılım

Detaylı

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.

Detaylı

formundadır. Burada verilen bir f fonksiyonu F fonksiyonuna dönüşür ve F fonksiyonuna f in fonksiyon dönüşümü denir. K(s,t) ye çekirdek denir.

formundadır. Burada verilen bir f fonksiyonu F fonksiyonuna dönüşür ve F fonksiyonuna f in fonksiyon dönüşümü denir. K(s,t) ye çekirdek denir. LPLCE DÖNÜŞÜMÜ Lpl dönüşümü yrdımı il ğ rflı difrniyl dnklmin ğ rfınd bulunn fonkiyonun ürkliliği bozul bil(bmk,impul fonkiyonu) difrniyl dnklmlr çözülbilkir. Bu ip dnklmlrl lkrik imlrini çözrkn krşılşılır.

Detaylı