FUZZY İDEAL TOPOLOJİK UZAYLAR. Fadhil ABBAS YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ OCAK 2011 ANKARA

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "FUZZY İDEAL TOPOLOJİK UZAYLAR. Fadhil ABBAS YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ OCAK 2011 ANKARA"

Transkript

1 FUZZY İDEAL TOPOLOJİK UZAYLAR Fadhil ABBAS YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ OCAK 2011 ANKARA

2 Fadhil ABBAS tarafından hazırlanan "FUZZY İDEAL TOPOLOJİK UZAYLAR" adlı bu tezin Yüksek Lisans tezi olarak uygun olduğunu onaylarım. Prof. Dr. Cemil YILDIZ.. Matematik Anabilim Dalı, G.Ü. Bu çalışma, jürimiz tarafından oy birliği ile Matematik Anabilim Dalında Yüksek Lisans tezi olarak kabul edilmiştir. Doç. Dr. Erdal GÜNER... Matematik Anabilim Dalı, A. Ü. Prof. Dr. Cemil YILDIZ... Matematik Anabilim Dalı, G. Ü. Doç. Dr. Çetin VURAL... Matematik Anabilim Dalı, G. Ü. Tarih:././. Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans / Doktora derecesini onamıştır. Prof. Dr. Bilal TOKLU.... Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü

3 TEZ BİLDİRİMİ Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm. Fadhil ABBAS

4 iv FUZZY İDEAL TOPOLOJİK UZAYLAR (Yüksek Lisans Tezi) Fadhil ABBAS GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Ocak 2011 ÖZET Çalışmamız dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, konunun uygulamalarıyla ilgili genel bilgilere değindik. İkinci bölümde; ideal tanımından yararlanarak ideal topolojik uzayını tanımladık. Bu topolojiye bağlı lokal fonksiyonunu verdik. Üçüncü bölümde; fuzzy kümelere bağlı fuzzy topolojik uzaylarına ilgili bazı bilgiler verdik. Dördüncü bölümde; fuzzy ideal topolojik uzaylarıyla ilgili temel kavramları verdik. Daha sonra fuzzy semi-i-regülar küme, fuzzy regülar- I-kapalı küme, fuzzy -mükemmel küme ve fuzzy τ-kapalı küme olarak adlandırdığımız yeni küme kavramlarını verdik. Daha sonra fuzzy A I - küme, fuzzy AB I -küme, fuzzy B I -küme ve fuzzy I-local kapalı küme olarak adlandırdığımız yeni küme kavramlarını verdik. Sonra da fuzzy semi-i-regülar sürekli, FRIC-sürekli, fuzzy -mükemmel sürekli ve fuzzy contra-sürekli fonksiyon olarak adlandırdığımız yeni sürekli fonksiyon kavramlarını vererek fuzzy regülar-i-sürekli fonksiyonlarının ayrışımlarını elde ettik. Son olarak fuzzy A I -sürekli, fuzzy AB I -sürekli, fuzzy B I -sürekli ve fuzzy I-LC-sürekli fonksiyon olarak adlandırdığımız yeni sürekli fonksiyon kavramlarını vererek fuzzy A I -sürekli fonksiyonlarının ayrışımlarını elde ettik.

5 v Bilim Kodu : Anahtar Kelimeler : fuzzy semi-i-regülar küme, fuzzy regülar-i-kapalı küme, fuzzy - mükemmel küme, fuzzy τ-kapalı küme, fuzzy A I -küme, fuzzy AB I -küme, fuzzy B I - küme ve fuzzy I-local kapalı küme. Sayfa Adedi : 94 Tez Yöneticisi : Prof. Dr. Cemil YILDIZ

6 vi FUZZY İDEAL TOPOLOGICAL SPACES (M.Sc. Thesis) Fadhil ABBAS GAZİ UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY October 2011 ABSTRACT This study cosist of four sections. In the first section, outlines of the topic regarding applications are discussed. In the second section, we defined topological space of ideal by using concept of ideal. We gave local function depending on this topology. In the third section, we reported some information about fuzzy topological spaces depending on fuzzy sets. In the fourth section, we gave the basic concepts regarding fuzzy ideal topological spaces. Then we gave new cluster concepts that we named as fuzzy semi-i-regular set, fuzzy regular-iclosed set, fuzzy -perfect set and fuzzy τ -closed set. Then we gave new cluster concepts that we named as fuzzy A / -set, fuzzy AB / -set, fuzzy B / -set and fuzzy I-local closed set. Then we obtained degradations of fuzzy regular -I-continous function by giving new constant functions that we named as fuzzy semi -I-regular continous, FR/C - continous, fuzzy - perfect continous and fuzzy contra -continous function. Consequently, we obtained degradations of fuzzy A / - continous function by giving new constant functions that we named as fuzzy A / - continous, fuzzy AB / - continous, fuzzy B / - continous and fuzzy I-LC - continous function.

7 vii Science Code : Key Words : fuzzy semi-i-regular set, fuzzy regular-i-closed set, fuzzy - perfect set, fuzzy τ- closed set, fuzzy A I -set, fuzzy AB I -set, fuzzy B I -set and fuzzy I-local closed set. Page Number : 94 Adviser : Prof. Dr. Cemil YILDIZ

8 viii TEŞEKKÜR Tez çalışmamı büyük bir titizlik ve sabırla takip ederek çalışmamın her bir safhasında daima bana yol gösteren ve yardımlarını esirgemeyen değerli hocam Prof. Dr. Cemil YILDIZ a sonsuz teşekkürlerimi ve saygılarımı sunar, ayrıca her zaman yanımda olan sevgili aileme, arkadaşım Sercan Güner'e ve maddi ve manevi desteklerinden dolayı Türkmeneli Kültür Merkezi'ne teşekkür etmeyi bir borç bilirim. Fadhil ABBAS

9 ix İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET... iv ABSTRACT... vi TEŞEKKÜR... viii İÇİNDEKİLER... ix ŞEKİLLERİN LİSTESİ... x SİMGELER...xi 1.GİRİŞ İDEAL TOPOLOJİK UZAYILAR VE TEMEL KAVRAMLAR İdeal Topolojik Uzay İçin Temel Kavramlar Kümenin Lokal Fonksiyonu FUZZY TOPOLOJİK UZAYLARI İÇİN TEMEL KAVRAMLAR Fuzzy Kümeler Fuzzy Kümeler Üzerinde İşlemler Fuzzy Topolojik Uzaylar FUZZY İDEAL TOPOLOJİK UZAYLARI Fuzzy İdeal Topolojik Uzayı İçin Temel Kavramlar Fuzzy semi-i-regülar Kümeler Fuzzy AB I -regülar Kümeler Fuzzy regülar-i-sürekliliğin Ayrışımı Fuzzy A I -Sürekliliğin Ayrışımı SONUÇ VE ÖNERİLER KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ.. 94

10 x ŞEKİLLERİN LİSTESİ Şekil Sayfa Şekil 4.1. fuzzy regülar-i-kapalı kümenin diğer kümelerle ilişkisi Şekil 4.2. fuzzy fuzzy semi-i-regülar kümenin diğer kümelerle ilişkisi Şekil 4.3. Şekil.4.4. için gerekli olan şekil Şekil 4.4. fuzzy fuzzy semi-i-regülar kümenin diğer kümelerle ilişkisi Şekil 4.5. fuzzy AB I -kümenin diğer kümelerle ilişkisi Şekil 4.6. fuzzy AB I -kümenin diğer kümelerle ilişkisi Şekil 4.7. fuzzy regülar-i-sürekliliğin ayrışımı Şekil 4.8. Şekil.4.9. için gerekli olan şekil Şekil 4.9. fuzzy regülar-i-sürekliliğin ayrışımı Şekil fuzzy A I -sürekliliğin ayrışımı... 88

11 xi SİMGELER VE KISALTMALAR Bu çalışmada kullanılmış bazı simgeler ve kısaltmalar, açıklamaları ile birlikte aşağıda sunulmuştur. Simgeler Açıklama Her Ait Ait değil = Eşit X P(X) A B A B A B A B A c A - B I τ (X, τ) Eşit değil Gerek şart Yeter şart Ancak ve ancak Boş küme Evrensel küme Güç kümesi B, A kümesini kapsar B, A kümesini kapsamaz A kesişim B A birleşim B A kümesinin tümleyeni A fark B X kümesi üzerindeki herhangi bir ideal Topolojik yapı Topolojik uzay

12 xii Simgeler Açıklama N(x) τ A (X, τ A ) (X, τ, I ) A' I X A μ A (x) (X, τ) topolojik uzayında x noktasının açık komşuluklar ailesi A X kümesi üzerindeki alt uzay topolojisi Alt topolojik uzay İdeal topolojik uzay (X, τ) topolojik uzayındaki A X alt kümesinin yığılma noktaların kümesi X [0,1] e tüm fuzzy kümeler A fuzzy kümesi x in A ya ait olma derecesi 1 x X kümesindeki en büyük sabit fuzzy küme 0 x X kümesindeki en küçük sabit fuzzy küme A B AB A B A fuzzy kümesi birleşim B fuzzy kümesi A fuzzy kümesi kesişim B fuzzy kümesi B fuzzy kümesi kapsar A fuzzy kümesini 1 x -A A fuzzy kümesinin tümleyeni x α x α qa AqB N q (x α ) fuzzy nokta x α fuzzy noktasi ile A fuzzy kümesi çakışığımsıdır A fuzzy kümesi ile B fuzzy kümesi çakışığımsıdır (X, τ) fuzzy topolojik uzayındaki x α fuzzy noktasının q-komşuluklar ailesi

13 1 1. GİRİŞ Fuzzy küme kavramını Prof. Dr. Lütfi Asker Zadeh tarafından1965 yılında [1] çalışması ile ortaya koymuştur. Bundan sonra, (1968) Chang tarafından fuzzy topoloji bilgileri belirlenmiştir. (1976) fuzzy topoloji alternatif tanımı olarak Lowen tarafından yayımlanmıştır. İlk defa (1933) yılında Kuratowski bir topolojik uzayda ideal kavramını kullanarak kümenin lokal fonksiyonu kavramını tanımladı ve bu fonksiyonun sağladığı özellikleri inceledi.12 yıl sonra Vaidyanathaswamy (1945) lokal fonksiyon kavramı yardımıyla bir kapanış işlemi tanımladı, bu işlemden yeni bir topoloji oluşturdu ve bu topolojinin tabanını elde etti. (1964) yılında Hayashi kendi adını verdiği Hayashi uzayını tanımladı. Daha sonra (1975) yılında Samuels lokal fonksiyon kavramının ideallerin değiştirilmesiyle genel topolojide de bilinen kapanış noktası, yığılma noktası, yoğunlaşma noktası ve ikinci kategoriden nokta kavramına eşit olduğunu gösterdi. Böylece lokal fonksiyon kavramının bu nokta kavramının bir genellemesi olduğu sonucuna vardı. Ardından (1990) yılında Janković ve Hamlet lokal fonksiyon kavramı ile ilgili o zamana kadar yapılan tüm çalışmaları ayrıntılı incelediler ve bu kavramla ilgili yeni özellikler elde ettiler. İdeal topolojik uzay (1990) yıllından günümüze kadar pek çok topolojist için önemli bir çalışma konusu oldu. Genel topolojideki pek çok topolojik kavram, bu çalışmalarla ideal topolojik uzaya taşındı. Bu konu ile ilgili çalışmalar günümüze kadar davem etti ve hala da devam etmektedir. Sarkar (1997) fuzzy topolojik uzayda genel topolojidekine benzer şekilde fuzzy ideal kavramını vererek fuzzy lokal fonksiyonunu tanımladı ve özelliklerini inceledi. Ardından Sarkar (1997) fuzzy lokal fonksiyonu kavramından yararlanarak yeni bir kapanış işlemi tanımladı ve yeni bir

14 2 topoloji oluşturdu. Bu konu ile ilgili günümüze kadar çeşitli çalışmalar yapıldı, [3, 4, 6, 7, 11, 12]. Bu çalışmada; ilk olarak ideal tanımından yararlanarak ideal topolojık uzayın tanımı ve bu topolojıye bağlı lokal fonksiyonun tanımı verilecektir. Sonra fuzzy kümelere bağlı fuzzy topolojık uzaylarıyla ilgili bazı bilgiler verilecektir. Daha sonra fuzzy ideal topolojik uzaylarıyla ilgili temel kavramlar verilecektir. Sonra da fuzzy semi-i-regülar küme, fuzzy regülar-i-kapalı küme, fuzzy - mükemmel küme ve fuzzy τ-kapalı küme olarak adlandırdığımız yeni küme kavramları verilecektir. Daha sonra fuzzy A I -küme, fuzzy AB I -küme, fuzzy B I -küme ve fuzzy I-lokal kapalı küme olarak adlandırdığımız yeni küme kavramları verilecektir. Sonra da fuzzy semi-i-regülar sürekli, FRIC-sürekli, fuzzy -mükemmel sürekli ve fuzzy contra-sürekli fonksiyon olarak adlandırdığımız yeni sürekli fonksiyon kavramlarını vererek fuzzy regülar -Isürekli fonksiyonlarının ayrışımlarını elde ettik. Son olarak fuzzy A I -sürekli, fuzzy AB I -sürekli, fuzzy B I -sürekli ve fuzzy I-LC-sürekli fonksiyon olarak adlandırdığımız yeni sürekli fonksiyon kavramlarını vererek fuzzy A I -sürekli fonksiyonlarının ayrışımlarını elde ettik.

15 3 2. İDEAL TOPOLOJİK UZAYILAR VE TEMEL KAVRAMLAR Bu bölüm iki kısımdan oluşmaktadır. Birinci kısımda bu çalışma için gerekli olan temel kavramlar verilecektir. İkinci kısımda ise Kuratowski [18] tarafından tanımlanan kümenin lokal fonksiyon kavramı ve [14] de ispatsız olarak verilen bu fonksiyon kavramının sağladığı özellikler ispatlarıyla verilerek yorumlanmıştır İdeal Topolojik Uzay İçin Temel Kavramlar Bu kısımda konunun temelini oluşturan, kümenin lokal fonksiyonu tanımına geçmeden önce gerekli olan bazı tanımları verelim Tanım Boş olmayan bir X kümesi ve P(X), X' in kuvvet kümesi olmak üzere ; boş olmayan bir I P(X) ailesi, (i) Her A, BI kümeleri için, A BI (sonlu toplamsallık özelliği), (ii) Her AI kümesi ve B A alt kümesi için, BI (kalıtımsallık özelliği) özeliklerini sağlıyorsa; bu takdirde I ailesine, X kümesi üzerinde bir ideal denir [18] Örnek X={a,b,c} olsun. Bu takdirde I={, {a}, {c}, {a,c}} X kümesi üzerinde bir idealdır. Gerçekten (i) (1) I için, {a}={a}i, {c}={c}i, {a,c}={a,c}i, (2) {a}i için, {a} {c}={a,c}i, {a} {a,c}={a,c}i,

16 4 (3) {c}i için,{c} {a,c}={a,c}i olduğundan. Sonlu toplamsallık özelliğini sağlıyor. (ii) (1) I için, I, (2) {a}i için, {a} ve I, (3) {c}i için, {c} ve I, (4) {a,c}i için, {a,c} ve I, {a} {a,c} ve {a}i, {c} {a,c} ve {c}i dır. Kalıtımsallık özelliğini sağlıyor. (i) ve (ii) den I ailesi X üzerinde bir idealdır Tanım P(X), X' in kuvvet kümesi olmak üzere ; : P(X) P(X) fonksiyonu, (i) ( )= (ii) AP(X) A (A) (iii) A,BP(X) (A B)= (A) (B) (iv) AP(X) ( (A))= (A) şartlarını sağlıyorsa; bu taktirde, küme değerli fonksiyonuna Kuratowski Kapanış işlemi denir. K={ AP(X) : A= (A)} ailesine, X kümesi üzerinde oluşturulan topolojiye göre Kapalılar ailesi denir [18] Örnek P(X) kümesi, X' in kuvvet kümesi olmak üzere ; d: P(X) P(X) fonksiyonu, (a) d( )= (b) d(a B) = d(a) d(b)

17 5 (c) d(d(a)) d(a) şartlarını sağlıyorsa; bu takdirde, (A)=A d(a) şeklinde tanımlanan : P(X) P(X) fonksiyonu, P(X) kuvvet kümesi üzerinde bir Kuratowski kapanış işlemidir [14]. İspat.(i) (A)=A d(a) ifadesinde A= alırsak ( )= d( ) olur. (a) 'dan d( )= olduğundan ( )= bulunur. (ii) Herhangi bir AP(X) elemanı için, küme değerli fonksiyonu tanımından (A)=A d(a) dır. Birleşim işlemi gereği, A A d(a)= (A) ifadesi elde edilir. Böylece A (A) olur. (iii) Herhangi bir A, BP(X) elemanları için, küme değerli fonksiyonu tanımı ve (b) 'den (A B)=(A B) d(a B) =(A B) (d(a) d(b)) =(A d(a)) (B d(b)) = (A) (B) ifadesi bulunur. Böylece ; (A B)= (A) (B) olduğu elde edilir. (iv) Herhangi bir AP(X) elemanı için, küme değerli fonksiyonu tanımından (A)=A d(a) olur. (c) 'den, ( (A)) = (A d(a)) = (A) (d(a)) = (A d(a)) (d(a) d(d(a))) bağıntısı bulunur. (c) 'den d(d(a)) d(a) olur. Böylece ( (A))=A d(a)= (A) olduğu görülür.

18 6 Sonuç olarak, : P(X) P(X), (A) =A d(a) şeklinde tanımlanan küme değerli fonksiyonu Tanım 'de verilen Kuratowski kapanış işlemi şartlarını sağlar Tanım (X, τ) bir topolojik uzayı, A X alt kümesi ve xx noktası verilsin. Her NN(x) komşuluğu için, A N ise, xx noktasına A kümesinin bir değme noktası denir [18] Tanım (X, τ) bir topolojik uzayı, A X alt kümesi ve bir xx noktası verilsin. Her NN(x) komşuluğu için, A (N-{x}) ise, xx noktasına A kümesinin bir yığılma noktası denir. A' nın bütün yığılma noktalarının kümesi A' ile gösterilir [18] Tanım (X,τ) bir topolojik uzay ve A X olsun. A = { U X : U A ve Uτ } yukarıdaki şekilde tanımlanan A alt kümesine, A kümesinin içi denir [18] Tanım (X,τ) bir topolojik uzay ve A X olsun. A = {K X : A K, K c τ } yukarıdaki şekilde tanımlanan A alt kümesine, A kümesinin kapanışı denir.

19 Kümenin Lokal Fonksiyonu Tanım (X, τ) topolojik uzayı ve bir A X alt kümesi verilsin. I ailesi, X kümesi üzerinde bir ideal olsun. Bu takdirde; A(I,τ) = {xx :NN(x) için, (N A) I} kümesine, A kümesinin I ideali ve τ topolojisine bağlı lokal fonksiyonu denir [18]. A(I, τ) = A(I) sembolü yerine A sembolünü kullanacağız Örnek X ={a,b,c} kümesi üzerinde τ= {, X, {a}} topolojisi ve I = {, {c}} ideal olsun. Herhangi A ={a,c} X olsun. Bu taktirde A kümesinin I ideali ve τ topolojisine bağlı lokal fonksiyonu A = {xx :N N(x) için, (N A) I} aşağıdaki gibi bulunur. (1) ax için XN(a) ve X A=A={a,c}I, {a}n(a) ve {a} A={a}I aa dır. (2) bx için XN(b) ve X A=A={a,c}I ba dır. (3) cx için XN(c) ve X A=A={a,c}I ca dır. Böylece A = {a,b,c} dır.

20 8 X bir küme olmak üzere X kümesinde I={ } ise minimal ideal ve I=P(X) ise maksimal ideal olup, A lokal fonksiyonu bu ideallerde aşağıdaki gibidir. A({ }, τ) = {xx : N N(x) için, (N A) { }} = {xx : NN(x) için, (N A) } = A A(P(X), τ)={xx :NN(x) için, (N A) P(X)}= Teorem (X, τ) topolojik uzayı, X kümesi üzerinde I 1, I 2 idealleri ile birlikte verilsin. Herhangi A, B X olsun. Bu taktirde, (a) Eğer A B ise; A B (b) Eğer I 1 I 2 ise; A(I 2 ) A(I 1 ) (c) A= A A (A kümesi kapalı bir kümedir) (d) (A) A (e) (A B)=A B (f) (A B) A B (g) A-B=(A-B)-B (A-B) (h) Eğer Uτ ise; U A=U (U A) (U A) (i) Eğer CI ise; (A C)=A=(A-C) [14].

21 9 İspat. (a) Herhangi bir xa noktasını alalım. Tanım 'den her NN(x) açık komşuluğu için, A N I olur. Eğer A B ise, A N B N olup B NI elde edilir. Eğer B N I olsaydı I idealın kalıtımsallık özelliğinden A NI olurdu. Bu ise, bir çelişkidir. O halde her NN(x) açık komşuluğu için, B NI ise, Tanım 'den xb olur. Böylece alt küme tanımından A Bdır. c (b) I 1 I 2 ise, I 2 I c 1 olur. (1) A( I 2 ) = {xx :NN(x) için, (N A) I 2 } = {xx :NN(x) için, (N A) I c 2 } (2) (1) ve (2) ifadeleri ve Tanım kullanılarak, A(I 2 ) {xx :NN(x) için, (N A) I 1 c } ={xx : NN(x) için, (N A) I 1 } = A(I 1 ) elde edilir. Buradan, A(I 2 ) A(I 1 ) dır. (c) Öncelikle A= A eşitliğini gösterelim. Her A X alt kümesi için, A A bağıntısı her zaman sağlanır. Bu ifade A X alt kümesi için de gerçekleşeceğinden A A (3) Şimdi de A A olduğunu gösterelim. Herhangi bir x A noktasını alalım. Varsayalım ki xa olsun. A = {F X :F kapalı küme ve A F} ifadesinden ve x A olduğundan A F olan her F kapalı kümesi için, xf olur. A F ve F kapalı küme olduğundan X-F X-A olup X-F açık

22 10 kümedir. Buradan (X-F) A= bulunur. xa ifadesinden x (X-A) elde edilir ve xf olduğundan F (X-A) olur. (X-F) A= ve F (X-A) olması F A olduğunu gösterir. Bu ise bir çelişkidir. O halde, (3) ve (4) den A A (4) A = A (5) A({ }, τ)= A, A(P(X), τ)= dır. (b) 'den kümenin lokal fonksiyonu en büyük değerini I={ } minimal ideali için, en küçük değerini de I=P(X) maksimal ideali için alır. O halde her I ideali için I P(X) ifadesi sağlandığından, A(I, τ) A (6) (5) ve (6) ifadelerinden A= A A bağıntısı elde edilir. (d) Herhangi bir x (A) noktasını alalım. Varsayalım ki xa olsun. Tanım 'den, (A)={xX:NN(x) için, (N A)I} olur. Her NN(x) açık komşuluğu için, N AI ifadesi ve idealin kalıtımsallık özelliği gereğince, N A olduğu bulunur. Kapanış noktası tanımından x A elde edilir. (c) şıkkı gereğince, A =A olması xa olduğunu gösterir. Bu ise, bir çelişkidir. O halde x (A) noktası için xa olduğundan (A) A elde edilir. (e) Tanım 'den A ve B kümelerinin lokal fonksiyonları, A={xX : NN(x) için, (N A)I} (7)

23 11 B={xX: NN(x) için, (N B)I} (8) olur.(7) ve (8) ifadelerinde birleşim işlemi alırsak, A B ={xx : NN(x) için, (N A) I veya (N B) I} ={xx :NN(x) için, [(N A) (N B)] I} ={xx :NN(x) için, [N (A B)] I} =(A B) dır. O halde A B=(A B) dır. (f) A B A ve (a) 'den (A B) A (9) A B B ve (a) 'den (A B) B (10) (9) ve (10) 'dan (A B) A Bdır. (g) A B=(A-B) B eşitliği her zaman doğrudur. Bu eşitlikte () işlemi uygulanırsa, (e)' den, (A B)=[(A-B) B]=(A-B) B eşitliği elde edilir. Bu eşitliğin her iki tarafın B c kümesi ile kesisim alınırsa, (A B) B c = [(A-B) B ] B c (A B) B c = [(A-B) B ] B c (A B c ) (B B c )=[(A-B) B c ] (B B c ) olur. B B c = olduğundan, A B c =(A-B) B c eşitliği elde edilir. Fark işlemi tanımı gereği, A-B=(A-B)-B

24 12 eşitliği yazılır. Bu son eşitlikten A-B=(A-B)-B (A-B) bulunur. (h) Herhangi bir xu A noktasını alalım. Kesişim işlemi tanımından xu ve xa dır. Tanım 'den her NN(x) açık komsuluğu için, N AI olur. xu ve Uτ olduğundan komşuluk tanımından UN(x) olur. Bir noktanın komşulukların kesişimi yine o noktanın komşuluğu olduğundan N UN(x) olur. xa olup, [(N U) A]=[N (U A)] I ifadesi elde edilir. Tanım 'den x (U A) bulunur. xu A noktası için, x (U A) olduğundan U A (U A) (11) bulunur. (11) ifadesinde her iki tarafın U kümesi ile kesişimini alırsak, [U (U A)] [ U (U A)] U A A bağıntısı ve (a) 'dan (U A) [U (U A)] (12) (U A) A (13) olur. (13) ifadesinin her iki tarafının U kümesi ile kesişimi alınırsa, bulunur. (12) ve (14) ifadelerinden, [U (U A)] U A (14) eşitliği yazılır. O halde (11) ve (15) ifadelerinden, U A=U (U A) (15)

25 13 U A=U (U A) (U A) dır. (ı) A C=(A-C) C eşitliği her zaman doğrudur. Bu eşitlikte her iki tarafın () işlemi alınırsa, (A C)=[(A-C) C] olur. (e) 'dan, (A C)=A C=(A-C) C (16) elde edilir. Tanım ve CI olduğundan C={xX :NN(x) için, (N C) I }= olur. (16) ifadesinde C= yazılırsa (A C)=A=(A-C) elde edilir Tanım (X, τ) topolojik uzayı ile X kümesi üzerinde bir I ideali verilsin. Herhangi bir A X alt kümesi için, Cl(A)= A A şeklinde tanımlanan Cl: P(X) P(X) fonksiyonu, Tanım deki şartları sağlıyorsa buna Kuratowski kapanış işlemi denir [14]. Çalışma boyunca; Cl(A) sembolü yerine, A sembolünü kullanacağız Tanım (X, τ) topolojik uzayı ile X kümesi üzerinde bir I ideali verilsin. Bu taktirde, τ(i)={u X : X-U =(X-U)} şeklinde tanımlanan τ(i) ailesi, X kümesi üzerinde bir topolojidir. Bu topoloji, τ topolojisinden daha ince yapılı bir topolojidir [18]. Jankovic ve Hamlet (1990) önce; minimal ideali (I={ }) ve maksimal ideali (I=P(X)) kullanarak τ(i) topolojilerini elde ettiler. Sonra; diğer idealler, bu iki

26 14 ideal arasında yer aldığından, onlara karşılık gelen τ(i) topolojileri ile ilgili sonuçları veridi: (i) I={ } minimal ideali için, A({ })= A ve τ(i) = τ, (ii) I=P(X) maksimal ideali için, A(P(X))= ve τ(i) = P(X) elde edilir. A = A olduğundan; A = A olduğundan; (i) ve (ii) ifadelerinden faydalanarak, şu sonuçlar verilebilir: (X, τ) topolojk uzayı verilsin. X kümesi üzerindeki her I { } I P(X) olduğundan; ideali için, τ = τ({ }) τ(i) τ(p(x)) = P(X) dır. Üstelik (X, τ) topoiojik uzayı ile X kümesi üzerinde, I J olacak şekilde I ve J gibi iki ideal verildiğinde; τ(i) τ( J ) bağıntısı vardır Tanım (X, τ) topolojik uzayı ile X kümesi üzerinde bir I ideali verilsin. Bu taktirde; β(i, τ)={u-v : Uτ,VI } ailesi τ(i) topolojisi için, bir topoloji tabanı dır [15] Tanım (X, τ) topolojik uzayı ile X kümesi üzerinde bir I ideali verilsin. I ideali ile birlikte (X, τ) topolojik uzayına, ideal topolojik uzay denir ve (X, τ, I ) şeklinde gösterilir [15].

27 15 İdeal topolojik uzaylar üzerinde süren çalışmalar, bazı özel uzayların da tanımlanmasına imkan verir. Şimdi bu uzaylardan bazılarını ele alalım: Tanım (X, τ,i) ideal topolojik uzayı verilsin. Eğer X=X ise, bu taktirde (X, τ, I) ideal topolojik uzayına Hayashi uzayı denir [14] Tanım (X, τ,i) ideal topolojik uzayında τ I ={ } ise, bu taktirda (X, τ,i) ideal topolojik uazyına Samuels uzayı denir [15] Lemma (X, τ) topolojik uzayı ile X kümesi üzerinde bir I ideali verilsin. Bu taktirde; aşağıdaki özelikler denktir: (i) X=X (ii) τ I ={ } (iii) Eğer UI ise; U = (iv) Her Vτ kümesi için, V V [16]. İspat. (i) (ii) X={xX :NN(x) için, (N X) I }=X olsun. NN(x) için, (N X) =N olduğundan NN(x) için NI dır. Böylece τ I ={ } dır. (ii) (iii) UI olsun.

28 16 τ I ={ } olduğundan Uτ dır. Tanım ' den U = dır. (iii) (iv) Vτ olsun. Tanım ' den V ={xx :NN(x) için, (N V) I } dır. τ I ={ } ve Vτ olduğundan N V VI dır. BöylecexX ve NN(x) için, N VI dır. Tanım 'den V= V dır. Böylece V V (iv) (i) Her zaman X X (1) Her Vτ kümesi için,v V ve Xτ olduğundan (1) ve (2) den X=X dır. X X (2)

29 17 3. FUZZY TOPOLOJİK UZAYLARI İÇİN TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde fuzzy küme tanımını verilerek bu kümelerle ilgili cebirsel işlemler verilecektir. Sonra da fuzzy topolojik uzay ve bu uzaya ilgili temel kavramlar verilecektir Fuzzy Kümeler Tanım X boştan farklı bir küme ve I =[0,1] kapalı aralık olmak üzere X den I ya tanımlanan bütün fonksiyonların kümesini I X ile gösterilir. I X kümesinin her elemanına da, X kümesinde bir fuzzy kümesi denir [1] Tanım X boştan farklı bir küme ve I =[0,1] olmak üzere μ A : X I üyelik fonksiyonu ile karakterize edilen; A={( x, μ A (x)) : xx} XxI kümesine X' in bir A fuzzy alt kümesi denir Tanım X ve klasik kümeleri birer fuzzy kümesi olup 1 x =X ={( x,1 x (x) =1) : x X} XxI 0 x = ={( x,0 (x) =0) : xx} XxI şeklinde ifade edilir.

30 18 Alışılmış kümeler için kullanılan kapsama birleşim ve kesişim sembolleri yerine, fuzzy kümeler için sırayla,, sembolleri kullanılır. Bir A fuzzy kümesinin tümleyeni de 1 x - A =A c ile gösterilir. X kümesinin herhangi bir A fuzzy alt kümesi A X ile gösterilir Tanım α[0,1] olmak üzere her xx fonksiyonu ile karakterize edilen denir [1]. için μ A (x) = α olsun. Burada μ A üyelik A fuzzy alt kümesine sabit fuzzy küme Tanım Herhangi A, B X fuzzy alt kümeleri ve μ A ile μ B de sırasıyla A ile B nin üyelik fonksiyonları olsun; (i) (ii) (iii) (iv) (v) A B Her xx için, μ A (x) μ B (x) A= B Her xx için, μ A (x) = μ B (x) C= A B Her xx için, μ C (x) =Maks { μ A (x), μ B (x)} D= AB Her xx için, μ D (x) =Min { μ A (x), μ B (x)} A c =1 x -A Her xx için, μ c A (x) =1 x - μ A (x) Tanım X kümesinin fuzzy alt kümelerinin bir ailesi {A j } j J aşağıdaki ifadeler sağlanır: olsun. Bu takdirde (i) C= (ii) D= j A j Her xx için, μ C (x) = J j A j Her xx için, μ D (x) = J Sup{ μ Aj (x) } jj Inf { μ Aj (x) } jj

31 Teorem X ve herhangi A, B X fuzzy alt kümeleri için aşağıdaki ifadeler sağlanir: (i) (ii) (iii) A B B c A c (A B) c =A c B c, (AB) c = A c B c AB= A B c (iv) ( (v) ( j A j) c = J j A c j J j A j) c = J j A c j J İspat. A fuzzy alt kümesinin üyelik fonksiyonu μ A, B nin üyelik fonksiyonu da μ B olsun; (i) Her xx için, μ A c (x) = 1 x - μ A (x) ve μ B c (x) = 1 x - μ B (x) olduğu biliniyor. A B Her xx için, μ A (x) μ B (x) Her xx için,1 x - μ B (x) 1 x -μ A (x) Her xx için, μ B c (x) μ A c (x) B c A c olur ve ispat tamamlanır. (ii) μ A, μ B : X [0,1] olsun. O halde A B=C fuzzy alt kümesinin üyelik fonksiyonunun her x X için, μ C (x)=maks {μ A (x), μ B (x)} ile tanımlandığı ve (A B) c =C c fuzzy alt kümesinin üyelik fonksiyonunun da her xx için, μ C c (x)= 1 x - maks {μ A (x), μ B (x)} ile tanımlandığı biliniyor.

32 20 Her xx için, 1 x - maks {μ A (x), μ B (x)} = min {1 x -μ A (x), 1 x -μ B (x)} olduğu göz önüne alınırsa (A B) c =A c B c olduğu görülür. Benzer şekilde, Her xx için, 1 x - min {μ A (x), μ B (x) }= maks {1 x -μ A (x), 1 x -μ B (x) } olduğu göz önüne alınırsa (A B) c = A c B c olduğu görülür. (iii) AB = olsun. Her xx için, min { μ A (x), μ B (x)}= 0 x Her xx için, μ A (x) =0 veya μ B (x) = 0 x Eğer Her xx için, μ A (x) =0 x ise μ A (x) μ B c (x) A B c olur. Eğer Her xx için, μ B (x) =0 x ise B c =X A B c olur. (iv) Her xx için, μ ( Aj) (x) = j J Sup{ μ Aj (x) } jj Her xx için, μ ( Aj) c (x)=1 x -Sup{ μ Aj (x)} j J jj Her xx için, μ ( Aj) c (x)= j J Her xx için, μ ( Aj) c (x)= j J Inf jj Inf jj {1 x - μ Aj (x)} { μ Aj c (x)} ( j A j) c = J j A j c J dir. (v) Her xx için, μ ( Aj) (x) = j J Inf { μ Aj (x)} jj

33 21 Her xx için, μ ( Aj) c (x)=1 x - j J Her xx için, μ ( Aj) c (x)= j J Her xx için, μ ( Aj) c (x)= j J jj Inf { μ Aj (x)} jj Sup{ 1 x -μ Aj (x)} Sup jj { μ Aj c (x)} ( j A j) c = J j A j c J dir Teorem X ve A, B ve C X de fuzzy alt kümeler olsun. Bu takdirde aşağıdaki ifadeler sağlanır: (i) A(BC) =( AB)C, A (B C) =( A B) C (ii) A (B C)= ( AB) (AC ) (iii) A (BC) = (A B) (A C) İspat. (i) (AB) C = M Her xx için, μ M (x) = min {min {μ A (x), μ B (x)}, μ C (x)}} =min {μ A (x), μ B (x), μ C (x)} A(B C ) = N Her xx için, μ N (x) = min {μ A (x), min {μ B (x), μ C (x)}} = min {μ A (x), μ B (x), μ C (x) } A(BC)= (AB )C olur. A (B C) = K Her xx için,

34 22 μ K (x) = maks {μ A (x), maks {μ B (x), μ C (x)}} = maks {μ A (x), μ B (x), μ C (x)} (A B) C = K Her xx için, μ K (x) = maks { max {μ A (x), μ B (x) }, μ C (x)}} = maks {μ A (x), μ B (x), μ C (x)} A (B C)= ( A B) C olur. (ii) Her xx icin, μ A (x) μ B (x) μ C (x) ise, A (B C) = K Her xx icin, μ K (x)= min {μ A (x), maks {μ B (x), μ C (x)}}= μ A (x) dır. (AB) (AC) = L Her xx icin, μ L (x) = maks { min {μ A (x), μ B (x) }, min {μ A (x), μ C (x)}} =μ A (x) dır. K= L olur. Benzer şekilde Her xx için ; μ A (x) μ C (x) μ B (x) ise, μ K (x) = μ L (x) = μ A (x) K= L dır. μ B (x) μ A (x) μ C (x) ise, μ K (x) = μ L (x) = μ A (x) K= L dır. μ C (x) μ A (x) μ B (x) ise, μ K (x) = μ L (x) = μ A (x) K= L dır μ B (x) μ C (x) μ A (x) ise, μ K (x)= μ L (x) = μ C (x) K= L dır. μ C (x) μ B (x) μ A (x) ise, μ K (x) = μ L (x) = μ B (x) K= L dır.

35 23 Böylece kesişimin birleşim üzerine soldan dağılma özelliği vardır. Yani A (B C) =(AB) (AC) dır. (iii) Her xx için, μ A (x) μ B (x) μ C (x) ise, A (B C) = K Her xx icin, μ K (x) = maks {μ A (x), min {μ B (x), μ C (x) }}=μ B (x) (A B) (A C) = L Her xx için, μ L (x) = min{maks {μ A (x), μ B (x) }, maks{μ A (x), μ C (x) }} =μ B (x) dır. K= L olur. Benzer şekilde Her xx için ; μ B (x) μ A (x) μ C (x) ise, μ L (x) = μ K (x) = μ A (x) L= K dır. μ B (x) μ C (x) μ A (x) ise, μ L (x) = μ K (x) = μ A (x) L= K dır. μ C (x) μ A (x) μ B (x) ise, μ L (x) = μ K (x) = μ A (x) L= K dır μ C (x) μ B (x) μ A (x) ise, μ L (x) = μ K (x) = μ A (x) L= K dır. μ A (x) μ C (x) μ A (x) ise, μ L (x) = μ K (x) =μ C (x) L= K dır. Böylece birleşimin kesişim üzerine soldan dağılma özelliği vardır. Yani A (B C) =(A B) (A C) dir Teorem X ve A X fuzzy alt küme olsun. AA c = ve A A c = X olmak zorunda değildir.

36 24 İspat. A, X de bir fuzzy alt küme ve A nın üyelik fonksiyonu μ A olsun A c fuzzy alt kümesinin üyelik fonksiyonu da 1 x - μ A ile tanımlıdır. (1) A= ise, B =AA c Her xx için, μ B (x) =min {μ A (x), μ A c (x)} = μ (x) =0 x AA c = (2) A=X A c =X c = dır. B =AA c Her xx için, μ B (x) =min {μ A (x), μ A c (x)} = μ (x) =0 x AA c = (3) A X ve B =AA c = olsun. Eğer Her xx için, μ B (x) =min {μ A (x), μ A c (x)} =0 x = μ A (x)= μ (x) A= Bu bir çelişkidir. O halde; AA c Eğer Her xx için, μ B (x) =min {μ A (x), μ A c (x)} =0 x = μ A c (x)= μ (x) A=X Buda bir çelişkidir. O halde; AA c Diğeri benzer şekilde yapılır Örnek X ={a,b} olmak üzere X de bir fuzzy alt kümesi

37 25 A={ (a,0.2), (b,0.9)} olarak verilsin. (i) AA c = midir? (ii) A A c = X midir? Çözüm: A c =A-1 x ={ (a,0.8(, (b,0.1)} (i) AA c =B Her xx için, μ B (x) = min {μ A (x), μ A c (x)} dır. Böylece AA c =B={ (a,0.2(, (b,0.1)} AA c dır. (ii) A A c =CHer xx için, μ C (x) = min {μ A (x), μ A c (x)} dır. Böylece A A c =C ={ (a,0.8(, (b,0.9) } A A c X dır Teorem X ve A, B X fuzzy alt kümeler olsun. Bu takdirde aşağıdaki ifadeler sağlanır: (i) (ii) A B fuzzy alt kümesi A ve B yi kapsayan en dar fuzzy alt kümedir. AB fuzzy alt kümesi A ve B kümelerin kapsadığı en geniş fuzzy alt kümedir. İspat. (i) A ve B fuzzy alt kümelerinin üyelik fonksiyonları sırasıyla μ A ve μ B olsun. A B =C Her x X için, μ C (x) = maks {μ A (x), μ B (x)}

38 26 olduğundan A C ve B C dır. Kabul edelim ki A ve B yi kapsayan en dar fuzzy alt küme D olsun. D fuzzy alt kümesinin üyelik fonksiyonu μ D olmak üzere A D Her xx için, μ A (x) μ D (x) B D Her xx için, μ B (x) μ D (x) dir. Buradan maks { μ A (x), μ B (x)} μ D (x) μ AVB (x) =μ C (x) μ D (x) A B =C fuzzy alt kümesi A ve B yi kapsayan bir küme olup kabulden dolayı μ A (x) μ D (x) μ C (x) ve μ B (x) μ D (x) μ C (x) O halde her xx için, μ C (x) =μ D (x) C=D Buna göre A ve B yi kapsayan en dar fuzzy alt küme A B dir. (ii), (i) şıkkına benzer şekilde ispat görülür Özellikler X ve herhangi A, Bve C X fuzzy alt kümeleri için aşağıdaki ifadeler sağlanır: (i) A =A (ii) A = (iii) A X =X (iv) AX =A

39 27 (v) (A c ) c =A (vi) A A c veya A c A olmak zorunda değildir Örnek X= {a,b} olmak üzere X de bir fuzzy alt kümesi A={ (a,0.1(, (b,0.8)} olarak verilsin. Bu taktirde, (1) ={( x,0 (x) =0) : x X} olduğundan, ={(a,0(, (b,0)} dır.böylece A ={ (a,0.1(, (b,0.8)} = A dır. (2) A ={ (a,0(, (b,0)}= dır. (3) X ={( x,1 x (x) =1) : x X} olduğundan, X={(a,1), (b,1)} dır. Böylece A X={ (a,1(, (b,1)} =X dır. (4) A X= {(a,0.1(, (b,0.8)}=a dır. (5) A c =1 x - A olduğundan, A c ={ (a,0.9 (, (b,0.2)} ve (A c ) c =1 x - A c olduğundan, (A c ) c ={ (a,0.1(, (b,0.8)} dır. Böylece (A c ) c =A (6) A={ (a,0.1(, (b,0.8)}, A c ={ (a,0.9(, (b,0.2)} olduğundan, A A c veya A c A olmak zorunda değildir Fuzzy Kümeler Üzerinde İşlemler Tanım A, B X fuzzy alt kümeleri verilsin. A ve B nin üyelik fonksiyonları sırasıyla μ A ve μ B olsun. Budurumda A ile B nin çarpımı A.B ile gösterilir ve her x X için, μ A.B (x) = μ A (x). μ B (x) üyelik fonksiyonu ile tanımlanır. Yani

40 28 A.BHer x X için, μ A.B (x) = μ A (x). μ B (x) dır [1] Teorem A, B X için A.B AB dir [1]. İspat. A, B X ve her xx için 0 x μ A (x) 1 x ve 0 x μ B (x) 1 x olduğundan. Her x X için, μ A.B (x) = μ A (x). μ B (x) min{ μ A (x), μ B (x) } dır. O halde A.B AB dır Tanım Herhangi A, B X fuzzy alt kümeleri verilsin. A ve B nin üyelik fonksiyonları sırasıyla μ A ve μ B olsun. A+B Her x X için, μ A+B (x)= μ A (x)+ μ B (x)- μ A (x).μ B (x) şeklinde tanımlanan fuzzy alt kümeye, A ile B fuzzy kümelerinin toplamı denir [1] Tanım A, B X fuzzy alt kümeleri olsun. A ve B nin üyelik fonksiyonları sırasıyla μ A ve μ B olsun. A-B=AB c Her x X için, μ A-B (x)=min {μ A (x),1 x - μ B (x)} üyelik fonksiyonu ile tanımlanan fuzzy alt kümeye A ile B fuzzy kümelerinin farkı denir [1].

41 Tanım A, B X de bir fuzzy alt kümeleri olsun. (AB)(x, y) Her x X için, μ AoB (x, y) = sup {min{μ A (x, z), μ B (z, y)}: zx} şeklinde tanımlanan X deki fuzzy kümeleri A ile B fuzzy kümelerin bileşkesi denir ve genellikle AB ile gösterilir [1]. X kümesinde A, B, C fuzzy alt kümeleri verildiğinde; (AB) C = A(BC) dir [1] Tanım A X bir fuzzy alt kümesi ve B Y bir fuzzy alt kümesi olsun. A B(x,y) Her (x,y) X Y için, μ A B (x,y)= min{ μ A (x), μ B (y) } şeklinde tanımlanan fuzzy alt kümeye A ile B fuzzy alt kümelerinin kartezyen çarpımı denir ve genellikle A B ile gösterilir. Burada μ A B : X Y [0,1] bir fonksiyondur ve A B X Y dir Tanım X, Y boştan farkli iki küme ve f : X Y bir fonksiyon olsun. B, Y de bir fuzzy alt küme ve üyelik fonksiyonu μ B olsun. B nin f altındaki ters görüntüsü f -1 (B)

42 30 de X de bir fuzzy alt kümedir ve üyelik fonksiyonu da her xx için μ -1 f (B)(x)= μ B (f (x)) şeklinde tanımlanır. A, X de bir fuzzy alt küme ve üyelik fonksiyonu μ A olsun. A nın f altındaki görüntüsü f(a) Y de bir fuzzy alt kümedir ve üyelik fonksiyonu her y Y için Sup xf -1 (y) { μ A (x) }, f -1 (y) ise μ f(a) (y) = 0, f -1 (y) = ise dir. Burada f -1 (y)={x: f(x)=y} dir Örnek X={1,2,3,4}, Y={a,b,c} nokta kümeleri verilsin. f: X Y, f(1)= f(2)=a, f(3)=b, f(4)=c iken Y de üyelik fonksiyonu μ B olan B={(a, 0.1), (b, 0.3), (c, 0.6)} fuzzy kümesi tanımlansın. Bu takdirde X de f -1 (B) fuzzy kümesi ve üyelik fonksiyonu μ f -1 (B) ise, f -1 (B) aşağıdaki gibidir. f -1 (B) = {(1, 0.1),(2, 0.1),(3, 0.3),(4, 0.6)} μ f -1 (B)(1)= μ B (f(1))=μ B (a)=0.1 μ f -1 (B)(2)= μ B (f(2))=μ B (a)=0.1 μ f -1 (B)(3)= μ B (f(3))=μ B (b)=0.3 μ f -1 (B)(4)= μ B (f(4))=μ B (c)=0.6

43 Örnek X={1,2,3}, Y={a,b} ve f:x Y fonksiyonu f(1)=a, f(2)=a ve f(3)=b olacak şekilde X de bir A fuzzy kümesi A={(1,1),(2,0.3),(3,0.7)} şeklinde verilsin. A nın üyelik fonksiyonu μ A : X [0,1] olsun. Bu taktirde Y deki f(a) fuzzy kümesi aşağıdaki gibidir. f -1 (a) =1, f -1 (a) =2 ve f -1 (b) =3 dır. f -1 (y) için, μ f(a) (y) = Sup xf -1 (y) { μ A (x) } olduğundan, μ f(a) (a) = μ f(a) (b) = Sup xf -1 (a) Sup xf -1 (b) { 1,0.3 } { 0.7 } dır.böylece f(a)= {(a,1),(b, 0.7)} dır Fuzzy Topolojik Uzaylar Tanım X kümesinin fuzzy alt kümelerinin bir ailesi τ I x olsun. Eğer τ ailesi, (i) (ii) (iii) 0 x,1 x τ A,B τ ise, AB τ Her jj için A j τ ise, j A j τ J yukarıdaki şartları sağlıyorsa; τ ailesine, X kümesinde bir fuzzy topoloji, (X, τ) ikilisine fuzzy topolojik uzay, τ ailesinin her elemanı fuzzy açık küme ve fuzzy açık kümenin tümleyenine de fuzzy kapalı küme denir [10].

44 Teorem (X, τ) fuzzy topolojik uzay olmak üzere κ = { K : K fuzzy kapalı K c τ } şeklinde tanımlı κ (kapalılar) ailesi aşağıdaki şartları sağlar : (k 1 ) 0 x,1 x κ (k 2 ) K 1,K 2,..,K n κ n K i κ i=1 (k 3 ) jj için K j κ K j κ [10]. jj İspat. (k 1 ) Tanım (i) 'den 0 x,1 x fuzzy kümeleri fuzzy açık kümelerdir. (0 x ) c =1 x - 0 x =1 x ve (1 x ) c =1 x -1 x =0 x olduğundan 0 x,1 x fuzzy kapalı kümelerdir. Böylece ; 0 x,1 x κ dır. (k 2 ) K 1,K 2,..,K n X 'in fuzzy kapalı alt kümeleri olsun. n K= K i diyelim. K=1 x ise (k 1 ) 'den K fuzzy kapalıdır. K 1 x ise i=1 n Teorem (ii) 'den K c =1 x -K= K c i dır. i=1,2,...,n için K i fuzzy kapalı i=1 olduğundan K c i fuzzy açıktır. Tanım (ii) 'den K c fuzzy açıktır. O halde n K= K i fuzzy kapalıdır. Böylece i=1 n K i κ dır. i=1 (k 3 ) {K j } j J X' in fuzzy kapalılar ailesi olsun. K= K i diyelim. K=0 x ise jj (k 1 ) den K fuzzy kapalıdır. K 0 x ise Teorem (v)' den

45 33 K c =1 x -K= K c j ij olur. i J için K j c fuzzy açıktır. Tanım (iii)' den K c fuzzy açıktır. O halde K= K j fuzzy kapalıdır. Böylece K j κ dır. jj jj Tanım x X ve α (0,1] olsun x α (y) = yukarıdaki şekilde tanımlanan X kümesindeki x α fuzzy alt kümesine X kümesinde bir fuzzy nokta denir. x α fuzzy noktasının sıfırdan farklı değer aldığı x X noktasına x α fuzzy noktasının dayanağı ve α (0,1] sayısını x α fuzzy noktasının değeri denir [5] Tanım A,B X olsun. A(x) + B(x) >1olacak şekilde bir xx noktası varsa, A ile B fuzzy kümeleri çakışığımsıdır denir ve AqB şeklinde gösterilir [5] Tanım A X ve x α fuzzy noktası olsun. α + A(x) >1 olacak şekilde bir xx noktası varsa, A fuzzy kümesi ile x α fuzzy kümeleri çakışığımsıdır denir ve x α q A şeklinde gösterilir [5].

46 Tanım (X,τ) fuzzy topolojik uzay, A X ve x α fuzzy nokta olsun. Eğer x α q B ve B A olacak şekilde bir B τ fuzzy açık kümesi varsa, A fuzzy kümesine x α fuzzy noktasının bir q-komşuluğu denir ve x α fuzzy noktasının tüm q-komşuluklarının ailesi N q (x α ) ile gösterilir [5] Teorem ( X, τ) fuzzy topolojik uzay, x α bir fuzzy nokta ve x α nin fuzzy q-komşuluklar ailesi N q (x α ) olsun. Bu durumda aşağıdaki ifadeler vardır. (N 1 ) N N q (x α ) x α q N dır (N 2 ) N 1, N 2 N q (x α ) N 1 N 2 N q (x α ) (N 3 ) N N q (x α ) için N M ise MN q (x α ) (N 4 ) N N q (x α ) olsun. U N olacak şekilde bir U N q (x α ) var öyle ki x β q U şartını sağlayan her x β fuzzy noktası için NN q (x β ) dir [1]. İspat. N 1 ) N q (x α ) nın tanımından N N q (x α ) x α q N dır. N 2 ) N 1, N 2 N q (x α ) ise x α qn 1 ve x α q N 2 dır. O halde α + N 1 (x) >1 ve α + N 2 (x) >1 dır. N 3 = min{ N 1 (x), N 2 (x) } ve N 3 = N 1 N 2 denirse α + N 3 (x) >1olur. Bu da x α q (N 1 N 2 ) = x α q N 3 olması demektir. O halde N 1 N 2 N q (x α ) dır. N 3 ) N N q (x α ) ve N M olsun. Komşuluk tanımından α + N(x) >1 ve her xx için N(x) M(x) olduğundan α + M(x) >1 dır. Bu da x α q M olmasıdır. O halde M N q (x α ) dır. N 4 ) x α q N için U τ ve x α q U ve U N olsun. U τ olduğundan x β qu dır. U N olduğundan (N 3 ) den x β qn dır. O halde N N q (x β ) dır.

47 Tanım (X, τ) fuzzy topolojik uzay, A X ve x α fuzzy nokta olsun. Eğer x α fuzzy noktanın her q-komşuluğu A ile çakışığımsıysa x α fuzzy noktasına A fuzzy kümenin bir değme noktası denir, yani (x α,a nın değme noktası.) N N q (x α ) için N(x) + A(x) >1 olacak şekilde bir xx vardır [10] Tanım (X, τ) fuzzy topolojik uzay ve A X olsun. A = { B : B A, B τ } = Sup { B : B A, B τ } yukarıdaki şekilde tanımlanan denir [10]. A fuzzy alt kümesine, A fuzzy kümesinin içi Teorem (X, τ) fuzzy topolojik uzayı ve A, B X olsun. Bu akdirde aşağıdaki özellikler sağlanır. (1) (2) (3) A fuzzy açıktır A A A fuzzy küme A' nın kapsadığı en geniş fuzzy açık alt kümedir (4) A = A (5) A B ise, A B

48 36 (6) A B (A B) (7) (AB) = (8) 1x İspat. (1) A B = 1 x ve 0x = 0 x A fuzzy açıktır. Gerçekten, τ fuzzy topolojiye ait fuzzy açıkların birleşimi Tanım (iii) özelliğinden açıktır. (2) Tanım 'den açıktır. (3) Aksini kabul edelim, yani A'nın kapsadığı A dan daha geniş fuzzy açık bir küme V' olsun.yani A V' A dır. Diğer taraftan her V A fuzzy açığı için Tanım 'den V A dır. Özel olarak V=V' için de V' A dır. O halde V' = A olur. Böylece kümedir. A fuzzy küme A'nın kapsadığı en geniş fuzzy açık alt (4) B= A olsun. (2) ve Tanım 'den B= B olur. O halde A = A dır. (5) A B ve A A olduğundan A B dır. (2) den B fuzzy kümenin kapsadığı en geniş fuzzy açık küme A B B olur. O halde A (6) A A B dır. (5) 'den B A B dır. (5) ' den (1) ve (2) den A B bulunur. B B dır. (3) 'den B olduğundan A (A B) (1) B (A B) (2) B (A B) dır. (7) AB A ve AB B dır (5) ' den (AB) A ve (AB) B dır. O halde (AB) A B (3)

49 37 Diğer taraftan (2) 'den A A ve B B dır. Buradan A B AB bulunur. A, B fuzzy açık ve Tanım (ii) ' den A B fuzzy açık ve AB tarafından kapsanır (3) 'den AB 'nın kapsadığı en geniş fuzzy açık küme (AB) olduğundan A B (AB) AB dır. Böylece A B (AB) (4) (3) ve (4) den A B = (AB) dır. (8) (2) ' den 1x 1 x (5) Tanım (i) 'den 1 x τ dır.yani 1 x fuzzy açıktır. Böylece 1 x 1 x olup (3)'den 1 x 1 x (6) (5) ve (6) 'den 1 x =1 x (2) 'den 0x 0 x (7) Tanım (i) ' den 0 x τ dır.yani 0 x fuzzy açıktır. Böylece 0 x 0 x olup (3) 'den 0 x 0x (8) (7) ve (8) 'den 0x =0 x dır Teorem (X, τ) fuzzy topolojik uzayı ve A X olsun. A fuzzy alt kümesinin açık küme olması için gerek ve yeter şart A= A olmasıdır.

50 38 İspat. ) A fuzzy açık küme olsun. Teorem (2) 'den A A dır. Diğer taraftan A fuzzy açık olduğundan A A olup Tanım 'den A A dır. O halde A= A dır. ) A= A olsun. A fuzzy açık küme ve A= A olduğundan A fuzzy açık kümedir Tanım (X, τ) fuzzy topolojik uzay, A X ve x α fuzzy nokta olsun. Eğer x α fuzzy noktasının her q-komşuluğu x α hariç A ile çakışığımsıysa x α fuzzy noktasına A fuzzy kümenin bir yığılma noktası denir. A fuzzy kümenin bütün yığılma noktalarının kümesi A' ile gösterilir [1] Tanım (X, τ) fuzzy topolojik uzayı ve A X olsun. A = {B : A B, (1 x - B) τ } = İnf {B : A B, (1 x - B) τ } yukarıdaki şekilde tanımlanan kapanışı denir [10]. A fuzzy alt kümesine, A fuzzy kümesinin Teorem (X, τ) fuzzy topolojik uzayı, A X ve x α fuzzy nokta olsun. x α A N N q (x α ) icin Nq A dır. İspat. x α A A yı kapsayan her F fuzzy kapalı kümesi için x α F veya F(x) > 1- α olmasıdır. Başka bir deyişle

51 39 x α A B A c fuzzy açık kümesi için x α B veya B(x) 1- α dır. Buradan B A c fuzzy açık kümesi için x α B veya B(x) > 1- α olur.yani Bq A c olur. Buradan Bq(A c ) c =A dır. Böylece, x α A x α bulunduran her B fuzzy açık kümesi için Bq A dır. Böylece ispat tamamlanır Teorem (X, τ) fuzzy topolojik uzayı ve A, B X olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler sağlanır: (1) A fuzzy kümesi fuzzy kapalıdır (2) A A dır (3) A fuzzy kümesi A'yı kapsayan en küçük fuzzy kapalı kümedir (4) A = A (5) A B ise A B (6) A B A B (7) A B = A B (8) 1 x = 1 x ve 0 x = 0 x İspat. (1) A fuzzy kümesi fuzzy kapalı kümelerin arakesiti olduğundan Teorem (k 3 ) özelliğinden A fuzzy kapalıdır. (2) Tanım ' den açıktır.

52 40 (3) A fuzzy kümesi (1)' den fuzzy kapalı ve (2) 'den A yı kapsar. O halde A κ A dır. Kadul edelim ki A' yı kapsayan A dan daha küçük fuzzy kapalı K' olsun.yani A K' A dır. Diğer taraftan A, A' yı kapsayan bütün fuzzy kapalıların arakesitine eşit olduğundan A K' dır. O halde A = K' dır, yani A fuzzy kümesi A' yı kapsayan en küçük fuzzy kapalı kümedir. (4) B= A alalım. A fuzzy kapalı olduğundan B fuzzy kapalıdır. (2) ve(3) 'den B= B = A olur. Böylece A = A dır. (5) A, B X ve A B olsun (2) 'den B B dır. O halde A B dır. B (2) 'den fuzzy kapalıdır. (3) 'den A 'yı kapsayan en küçük fuzzy küme A olduğundan A A B A B dır. (6) AB A olduğundan ve (5) 'den A B A (1) AB B olduğundan ve (5) 'den A B B (2) (1) ve (2) 'den A B A B dır. (7) (2)' den A A ve B B dır. Buradan A B A B olur. (1)' den A, B fuzzy kapalıdır. Teorem (k 2 ) özelliğinden A B fuzzy kapalıdır. O halde (4)' den A B = A B olur. Böylece A B A B= A B (3) A A B ve B A B olduğundan (5)' den A A B, B A B olur. Böylece A B A B (4) (3) ve (4)' den A B = A B dır. (8) (2)' den 1 x 1 x (5)

53 41 Teorem (k 1 )' den 1 x κ olur.yani 1 x fuzzy kapalıdır.böylece 1 x 1 x olup (3)' den 1x 1 x (6) (5) ve (6)' den 1 x = 1 x dır. (2)' den 0 x 0 x (7) Teorem (k 1 )' den 0 x κ olur.yani 0 x fuzzy kapalıdır. Böylece 0 x 0 x olup (3) den 0x 0 x (8) (7) ve (8) 'den 0 x = 0 x dır Teorem (X, τ) fuzzy topolojik uzayı ve A X olsun. A fuzzy alt kümesinin kapalı küme olması için gerek ve yeter şart A= A olmasıdır [10]. İspat. ) A fuzzy kümesi fuzzy kapalı küme olsun. Teorem (2) 'den A A (1) Diğer taraftan A fuzzy kapalı olduğundan A A olup Tanım ' den A A (2) (1) ve (2) den A= A dır. ) A= A olsun. A fuzzy kapalı küme ve A= A olduğundan A fuzzy kapalı kümedir.

54 Tanım (X, τ) fuzzy topolojik uzay ve β τ olsun. Her A τ için A = şekilde {B i } i I β alt ailesi varsa, β ya τ için bir taban denir. Yani; β, τ için taban A τ için β' β, A = B β' B dır [10]. i B i olacak I Tanım (X, τ) fuzzy topolojik uzay ve fl τ olsun. fl ailesinin elemanlarının her sonlu kesişimlerinin oluşturduğu aile, τ için bir taban oluşturuyor ise, fl ailesine τ topolojisi için bir alt taban denir, Yani; { S θ S : θ fl ve θ sonlu} ailesine τ topolojisi için bir taban ise, fl ailesi τ için bir alt tabandır [10] Tanım (X, τ) fuzzy topolojik uzay ve A X olsun. Bu durumda τ A= {W'=AW : W τ } ailesi A fuzzy alt kümesi üzerinde bir fuzzy topolojidir [10].

55 43 4. FUZZY İDEAL TOPOLOJİK UZAYLAR Bu bölüm beş kısımdan oluşmaktadır. Birinci kısımda fuzzy ideal topolojik uzayı ile ilgili temel kavramları verilecek. İkinci kısımda fuzzy semi-i-regülar küme, fuzzy regülar-i-kapalı küme, fuzzy -mükemmel küme ve fuzzy τ- kapalı küme olarak adlandırdığımız yeni küme kavramları verilecektir. Üçüncü kısımda fuzzy A I -küme, fuzzy AB I -küme, fuzzy B I -küme ve fuzzy I- local kapalı küme olarak adlandırdığımız yeni küme kavramları verilecektir. Dördücü kısımda fuzzy semi-i-regülar sürekli, FRIC-sürekli, fuzzy -mükemmel sürekli ve fuzzy contra-sürekli fonksiyon olarak adlandıdığımız yeni sürekli fonksiyon kavramları verilerek fuzzy regülar-i-sürekli fonksiyonun ayrışımı bulunacaktır. Beşinci kısımda fuzzy A I -sürekli, fuzzy AB I -sürekli, fuzzy B I -sürekli ve fuzzy I-LC-sürekli fonksiyon olarak adlandıdığımız yeni sürekli fonksiyon kavramlarını verilerek fuzzy A I -sürekli fonksiyonun ayrışımı bulunacaktır Fuzzy İdeal Topolojik Uzayı İçin Temel Kavramlar Öncelikle, fuzzy ideal topolojik uzay için gerekli bazı kavramları verelim: Tanım Boş olmayan bir X kümesi velirsin. P(X) kümesi X kümesindeki tüm fuzzy kümelerin ailesi olmak üzere; boş olmayan bir I P(X) ailesi, (i) A, B I ise, (A B) I (sonlu toplamsallık özelliği) (ii) A I ve B A ise, B I (kalıtımsallık özelliği) şartlarını sağlıyorsa; I ailesine, X kümesi üzerinde bir fuzzy ideal denir [6]. I ={0 x } ve I = P(X) aileleri X kümesindeki en basit fuzzy ideallerdir [6].

56 Tanım (X, τ) fuzzy topolojik uzayı ve bir A X fuzzy alt kümesi verilsin. Ayrıca; I ailesi, X kümesi üzerinde bir fuzzy ideal olsun. Bu takdirde, A( I, τ) kümesi ; N N q (x α ) ve E I iken bir y X noktası vardır öyleki N(y)+A(y)-1> E(y) olacak şekildeki x α fuzzy noktalarının birleşimidir. A( I, τ) kümesine A kümesinin I ideali ve τ fuzzy topolojisine bağlı fuzzy lokal fonksiyonu denir [6]. Eğer y X için, N(y) +A(y)-1 E(y) olacak şekildeki bir NN q (x α ) ve E I varise, x α A(I, τ) dir. Bu çalışma boyunca, karışıklığa neden olmadıkça; A( I, τ) sembolü yerine, A sembolünü kullanacağız. I ={0 x } için, A( {0 x }, τ)= A, I =P(X) için, A( P(X), τ)=0 x olur Lemma (X, τ) fuzzy topolojik uzayı, X kümesi üzerinde I 1 ve I 2 fuzzy idealleri ile A, B X fuzzy kümeleri verilsin. Bu taktirde; aşağıdaki özellikler vardır: (i) Eğer A B ise; A B (ii) I 1 I 2 ise; A( I 2, τ) A( I 1, τ) (iii) A= A A (iv) (A) A (v) (A B) = A B (vi) Eğer U I 1 ise; ( U A) = A [6]. İspat. (i) Herhangi bir x α A fuzzy noktasını alalım. Tanım 'den N N q (x α ) ve E I iken bir y X noktası vardır öyleki N(y) +A(y)-1> E(y)

57 45 dir. A B olduğundan ve fuzzy kümelerin özelinden, A(y) B(y) olur. Böylece N(y) + B(y) -1> E(y) dır. Tanım 'den x α B olur. x α keyfi olduğundan A B bağıntısı bulunur. (ii) I 1 I 2 ve herhangi bir x α X fuzzy noktasını alalım kabuledelim ki x α A(I 1,τ) olsun. Tanım 'den her y X için N(y)+A(y)-1 E(y) olacak şekildeki bir N N q (x α ) ve E I 1 vardır. I 1 I 2 olduğundan E I 2 dir. Buradan x α A( I 2, τ) olur. x α keyfi olduğundan A( I 2, τ) A( I 1, τ) dır. (iii) Öncelik A= A eşitliğini gösterelim. Her A X fuzzy kümesi için, A A bağıntısı her zaman sağlanır. Bu ifade A için de gerçekleşeceğinden A A (1) Şimdi de A A olduğunu gösterelim. Herhangi bir x α A fuzzy noktasını alalım. Tanım 'dan her N N q (x α ) için, N(y) +A(y) >1 olacak şekilde bir y X noktası vardır. Bu da A(y) 0 x olduğunu gösterir. Kabuledelim ki A (y)= t (t (0,1] ) olsun. O zaman y t A ve t + N(y) >1 bir N(y) N q (y t ) vardır. Şimdi y t A olduğu için her N 1 N q (y t ) ve E I için en az bir x'x noktası vardır öyleki N 1 (x') +A(x')-1 > E(x') dir. Bu da N için doğru olduğundan her N N q (x α ) ve E I için en az bir x''x noktası vardır öyleki N(x'') +A(x'')-1 > E(x') dır. N N q (x α ) keyfi olduğundan x α A olur. x α keyfi olduğundan A A (2) I ={0 x } için, A( {0 x }, τ)= A, I =P(X) için, A( P(X), τ)=0 x olduğundan fuzzy lokal fonksiyonun en büyük değerini I ={0 x } için, en küçük değerini de I= P(X) için, {0 x } I P(X) ifadesi sağlandığından, (1), (2) ve (3) ifadelerinden bağıntısı elde edilir. 0 x A A (3) A= A A (iv) (iii) 'den, (A)= (A) A = A dır. (v) Herhangi bir x α fuzzy noktasını alalım. Kabuledelim ki x α A B olsun. Buradan x α A veya x α B dır. Tanım 'den her y X noktası için

58 46 N 1 (y)+a(y)-1 E 1 (y), N 2 (y)+b(y)-1 E 2 (y) olacak şekilde bir N 1, N 2 N q (x α ) ve E 1,E 2 I vardır. N= N 1 N 2 alalım. O zaman N N q (x α ) dir. Tanım 'den her yx için, N(y)+(A B)(y)-1 (E 1 E 2 )(y) olacak şekilde (E 1 E 2 ) I vardır. Bu da x α (A B) olduğunu gösterir. Böylece ; (A B) A B (4) A A B, B A B olduğundan, (i) 'den A (A B), B (A B) A B (A B) (5) (4) ve (5) ifadelerinden A B = (A B) dır. (vi) U I 1 olsun. Tanım 'den U= 0 x (A U)= A U= A 0 x = A dır Tanım (X, τ) fuzzy topolojik uzayı, X kümesi üzerinde bir I fuzzy ideal ve P(X) X kümesindeki tüm fuzzy kümelerin ailesi olsun. Herhangi bir A X fuzzy kümesi için, α: P(X) P(X) fonksiyonu, (i) (ii) (iii) (iv) α (0 x ) = 0 x A P(X) ise; A α(a) A,B P(X) ise; α(a B) = α(a) α(b) A P(X) ise; α(α(a)) = α(a) şartları sağlasın. Bu takdirde, α fonksiyonuna fuzzy kapanış işlemi ve K={ A P(X) : A= α(a)} ailesi de X kümesi üzerinde oluşturulan fuzzy topolojiye göre fuzzy kapalılar ailesi denir [6].

59 Örnek (X, τ) fuzzy topolojik uzayı, X kümesi üzerinde bir I fuzzy ideal ve P(X) X kümesindeki tüm fuzzy kümelerin ailesi olsun. Herhangi bir A X fuzzy kümesi için, d: P(X) P(X) fonksiyonu, (a) (b) (c) d(0 x )= 0 x A,B P(X) ise; d(a B)= d(a) d(b) A P(X) ise; d(d(a)) d(a) şartlarını sağlasın. Bu takdirde, α(a)=a d(a) şeklinde tanımlanan α: P(X) P(X) fonksiyonu fuzzy kapanış işlemidir [6]. İspat.(i) α(a)=a d(a) ifadesinde A=0 x alırsak α (0 x )= 0 x d(0 x ) olur. (a) 'dan d(0 x )= 0 x olduğundan α (0 x )= 0 x bulunur. (ii) Herhangi bir AP(X) fuzzy kümesi için, α fonksiyonu tanımından α (A) = A d(a) dır. Fuzzy küme özeliğinden, A A d(a)= α (A) ifadesi elde edilir. Böylece A α (A) olur. (iii) Herhangi bir A, BP(X) fuzzy kümeleri için, α fonksiyonu tanımı ve (b) 'den α (A B)=(A B) d(a B) =(A B) (d(a) d(b)) =(A d(a)) (B d(b)) ifadesi bulunur. Böylece ; α (A B)= α (A) α (B) olduğu elde edilir. = α (A) α (B) (iv) Herhangi bir AP(X) fuzzy kümesi için, α fonksiyonu tanımından α (A)=A d(a) olur. (c) 'den,

GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE

GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE ÖZEL EGE LİSESİ GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Berk KORKUT DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL İZMİR 2013 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI 3.33 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM 3 4.

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

NEUTROSOPHIC TOPOLOJİK UZAYLARDA SÜREKLİLİK GÜLŞAH KAYA

NEUTROSOPHIC TOPOLOJİK UZAYLARDA SÜREKLİLİK GÜLŞAH KAYA T.C. ORDU ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ NEUTROSOPHIC TOPOLOJİK UZAYLARDA SÜREKLİLİK GÜLŞAH KAYA YÜKSEK LİSANS TEZİ ORDU 2017 ÖZET NEUTROSOPHIC TOPOLOJİK UZAYLARDA SÜREKLİLİK Gülşah KAYA Ordu Üniversitesi

Detaylı

Topolojik Uzaylarda Süreklilik Çeşitleri Üzerine

Topolojik Uzaylarda Süreklilik Çeşitleri Üzerine S Ü Fen Ed Fak Fen Derg Sayı 26 (2005) 43-50, KONYA Topolojik Uzaylarda Süreklilik Çeşitleri Üzerine Kemal USLU 1, Şaziye YÜKSEL Selçuk Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Kampüs-Konya

Detaylı

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SOFT TOPOLOJİK UZAYLAR ÜZERİNE Uğur ÇOŞKUN YÜKSEK LİSANS Matematik Anabilim Dalı HAZİRAN-2014 KONYA Her Hakkı Saklıdır TEZ BİLDİRİMİ Bu tezdeki bütün bilgilerin

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

SEZGİSEL BULANIK ESNEK TOPOLOJİK UZAYLARDA BAĞLANTILILIK

SEZGİSEL BULANIK ESNEK TOPOLOJİK UZAYLARDA BAĞLANTILILIK T.C. ORDU ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SEZGİSEL BULANIK ESNEK TOPOLOJİK UZAYLARDA BAĞLANTILILIK Mehmet Akif İŞLEYEN Bu tez, Matematik Anabilim Dalında Yüksek Lisans derecesi için hazırlanmıştır

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.

1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır. 1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

T.C SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ FUZZY TOPOLOJİK UZAYLARDA GENELLEŞTİRİLMİŞ SÜREKLİLİKLER ÜZERİNE BİR ARAŞTIRMA SIDDIKA MERT YÜKSEK LİSANS TEZİ ORTAÖĞRETİM FEN VE MATEMATİK ALANLARI EĞİTİMİ

Detaylı

Grup Homomorfizmaları ve

Grup Homomorfizmaları ve Bölüm 7 Grup Homomorfizmaları ve İzomorfizmalar Bu bölümde verilen gruplar arasında grup işlemlerini koruyan fonksiyonları ele alacağız. Bu fonksiyonlar yardımıyla verilen grupların cebirsel yapılarının

Detaylı

Ayşe GİR YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ OCAK 2011 ANKARA

Ayşe GİR YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ OCAK 2011 ANKARA FUZZY NORMLU LİNEER UZAYLAR VE SÜREKLİLİK Ayşe GİR YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ OCAK 2011 ANKARA Ayşe GİR tarafından hazırlanan FUZZY NORMLU LİNEER UZAYLAR VE

Detaylı

Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b

Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri

Detaylı

1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi

1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi 1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi Euclidean R uzayının tabanının B = {(a, b) : a, b R} olduğunu biliyoruz. Demek ki bu uzayda belirleyiçi unsur açık aralıklar. Her açık aralık (a, b) için, olmak üzere, d

Detaylı

KÜMELERLE YENİ KURULUMLAR ÜZERİNE DOÇ. DR. ERDAL EKİCİ

KÜMELERLE YENİ KURULUMLAR ÜZERİNE DOÇ. DR. ERDAL EKİCİ KÜMELERLE YENİ KURULUMLAR ÜZERİNE DOÇ. DR. ERDAL EKİCİ 1 TOPOLOJİK UZAYLARIN NE OLDUĞUNU HEMEN HEPİMİZ BİLMEKTEYİZ. TOPOLOJİK UZAYLARLA İLGİLİ TEMEL BİLGİLER [KUR, ENG, NAG] KAYNAKLARINDAN BAKILABİLİR.

Detaylı

DEĞİŞMELİ BANACH CEBİRLERİNİN GELFAND SPEKTRUMLARI ÜZERİNE

DEĞİŞMELİ BANACH CEBİRLERİNİN GELFAND SPEKTRUMLARI ÜZERİNE Ekim 25 Cilt:3 No:2 Kastamonu Eğitim Dergisi 547-554 DEĞİŞMELİ BANACH CEBİRLERİNİN GELFAND SPEKRUMLARI ÜZERİNE Hayri AKAY, Ziya ARGÜN Gazi Üniversitesi, Gazi Eğitim Fakültesi, Matematik Eğitimi Bölümü,

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Nuray GÜL İKİ TOPOLOJİLİ UZAYLARDA BAZI AYIRMA AKSİYOMLARI MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 2011 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SOFT BAĞLANTILI UZAYLARIN BAZI ÖZELLİKLERİ ÜZERİNE Büşra AYDIN YÜKSEK LİSANS TEZİ Matematik Anabilim Dalını Haziran-2016 KONYA Her Hakkı Saklıdır TEZ BİLDİRİMİ

Detaylı

14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir.

14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 14.Konu Reel sayılarının topolojisi 1.Teorem: cismi tamdır. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 2.Tanım: ve verilsin. nın her komşuluğunda

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

T.C. NEUTROSOPHİC TOPOLOJİK UZAYLAR. Cemil KURU. Bu tez, Matematik Anabilim Dalında Yüksek Lisans ORDU 2016 TEZ ONAYI

T.C. NEUTROSOPHİC TOPOLOJİK UZAYLAR. Cemil KURU. Bu tez, Matematik Anabilim Dalında Yüksek Lisans ORDU 2016 TEZ ONAYI T.C. ORDU ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ NEUTROSOPHİC TOPOLOJİK UZAYLAR Cemil KURU Bu tez, Matematik Anabilim Dalında Yüksek Lisans derecesi için hazırlanmıştır ORDU 2016 TEZ ONAYI TEZONAY Ordu Oniversitesi

Detaylı

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011 ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Doktora 2010913070 Nisan, 2011 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup teorisi cebirin en temel dallarından biridir. Yarıgrup terimi ilk olarak 1904

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı

Bu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz.

Bu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz. Bölüm 3 Gruplar Bu bölümde ilk olarak bir küme üzerinde tanımlı işlem kavramını ele alıp işlemlerin bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Daha sonra kümeler ve üzerinde tanımlı işlemlerden oluşan cebirsel

Detaylı

T.C. BULANIK ESNEK TOPOLOJİK UZAYLARDA BAĞLANTILILIK

T.C. BULANIK ESNEK TOPOLOJİK UZAYLARDA BAĞLANTILILIK T.C. ORDU ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BULANIK ESNEK TOPOLOJİK UZAYLARDA BAĞLANTILILIK Merve TELLİOĞLU YÜKSEK LİSANS TEZİ ORDU 2016 TEZ ONAY Ordu Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü öğrencisi

Detaylı

Kuantum Grupları. Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara. Münevver Çelik. Feza Gürsey Enstitüsü, İstanbul 10 Şubat, 2010

Kuantum Grupları. Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara. Münevver Çelik. Feza Gürsey Enstitüsü, İstanbul 10 Şubat, 2010 Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara Feza Gürsey Enstitüsü, İstanbul 10 Şubat, 2010 Kuantum grubu örgülü bir Hopf cebridir. Cebir Tanım Bir k-vektör uzayı A için, µ : A A A ve η : k A birer k-doğrusal

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ SOFT BAĞLANTILI UZAYLAR Zehra ER YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Matematik Anabilim Dalı Eylül-2015 KONYA Her Hakkı Saklıdır ÖZET YÜKSEK LĠSANS TEZĠ SOFT BAĞLANTILI

Detaylı

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c 0. Küme Cebri Bu bölümde verilen keyfikümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi özellikleri sağlayan eşitliklerle ilgilenceğiz. İlk olarak De Morgan kurallarıdiye bilinen bir Teoremi ifade

Detaylı

DERS 2 : BULANIK KÜMELER

DERS 2 : BULANIK KÜMELER DERS 2 : BULNIK KÜMELER 2.1 Gİriş Klasik bir küme, kesin sınırlamalarla verilen bir kümedir. Örneğin, klasik bir küme aşağıdaki gibi belirtilebilir: = { x x > 6 }, Kapalı sınır noktası burada 6 dır.burada

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR

1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR 1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR Bu bölümde ilk olarak Matematikte çok önemli bir yere sahip olan Bağıntı kavramnı verip daha sonra ise Fonksiyon tanımı verip genel özelliklerini inceleyeceğiz. Tanım 1 A B

Detaylı

TOPOLOJİK ROUGH KÜMELERİ ÜZERİNE. Hatice Kübra SARI

TOPOLOJİK ROUGH KÜMELERİ ÜZERİNE. Hatice Kübra SARI TOPOLOJİK ROUGH KÜMELERİ ÜZERİNE Hatice Kübra SARI Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı Topoloji Bilim Dalı Prof. Dr. Abdullah KOPUZLU 2014 Her hakkı saklıdır ATATÜRK ÜNİVERİSTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

1.3. Normal Uzaylar. Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak. baz temel özellikleri incelenecektir.

1.3. Normal Uzaylar. Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak. baz temel özellikleri incelenecektir. 1.3. Normal Uzaylar Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak baz temel özellikleri incelenecektir. Tan m 1.3.1. (X; ) bir Hausdor uzay olsun. E¼ger, 8F; K 2 F; F \ K = ;

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: ve iki grup ve f : G H bir fonksiyon

Detaylı

Esnek çoklu topolojide bazı sonuçlar. Some results on soft multi topology

Esnek çoklu topolojide bazı sonuçlar. Some results on soft multi topology SAÜ. Fen Bil. Der. 17. Cilt, 3. Sayı, s. 371-379, 2013 SAU J. Sci. Vol 17, No 3, p. 371-379, 2013 Esnek çoklu topolojide bazı sonuçlar İsmail Osmanoğlu, Deniz Tokat * Nevşehir Hacı Bektaş Veli Üniversitesi,

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

ab H bulunur. Şu halde önceki önermenin i) koşulu da sağlanır ve H G bulunur.

ab H bulunur. Şu halde önceki önermenin i) koşulu da sağlanır ve H G bulunur. 3.ALT GRUPLAR HG, Tanım 3.. (G, ) bir grup ve nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. Eğer (H, ) bir grup ise H ye G nin bir alt grubu denir ve H G ile gösterilir. Not 3.. a)(h, ), (G, ) grubunun alt grubu

Detaylı

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Kümeler Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Kümeler Kümeler Ayrık Matematiğin en temel konularından biridir Sayma problemleri için önemli Programlama dillerinin

Detaylı

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50 Modül Teori Modüller Prof. Dr. Neşet AYDIN ÇOMÜ - Matematik Bölümü [01/07] Mart 2012 Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart 2012 1 / 50 Giriş M bir toplamsal değişmeli

Detaylı

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

1. Analitik düzlemde P(-4,3) noktasının eksenlerden ve O başlangıç noktasından uzaklığı kaç birimdir?

1. Analitik düzlemde P(-4,3) noktasının eksenlerden ve O başlangıç noktasından uzaklığı kaç birimdir? HAZİNE- HAZİNE-2 O başlangıç noktasında dik kesişen iki sayı ekseninin oluşturduğu sisteme koordinat sistemi denir. Bir noktanın x-eksenindeki dik izdüşümüne karşılık gelen x sayısına noktanın apsis i

Detaylı

L-BULANIK ESNEK GRUPLAR

L-BULANIK ESNEK GRUPLAR Ordu Üniv. Bil. Tek. Derg., Cilt:7, Sayı:, 207,98-0/Ordu Univ. J. Sci. Tech., Vol:7, No:,207,98-0 L-BULANIK ESNEK GRUPLAR Yıldıray ÇELİK *, Sevgi DEMİR Ordu Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik

Detaylı

Bulanık Küme Kavramı BULANIK KÜME. Sonlu ve Sonsuz Bulanık Kümeler. Sonlu ve Sonsuz Bulanık Kümeler

Bulanık Küme Kavramı BULANIK KÜME. Sonlu ve Sonsuz Bulanık Kümeler. Sonlu ve Sonsuz Bulanık Kümeler ULNIK KÜME ulanık Küme Kavramı Elemanları x olan bir X evrensel (universal küme düșünelim. u elemanların ÌX alt kümesine aitliği, yani bu altkümelerin elemanı olup olmadığı X in {0,1} de olan karakteristik

Detaylı

L-BULANIK ESNEK GRUPLAR

L-BULANIK ESNEK GRUPLAR Ordu Üniv. Bil. Tek. Derg., Cilt:7, Sayı:, 207,98-0/Ordu Univ. J. Sci. Tech., Vol:7, No:,207,98-0 L-BULANIK ESNEK RUPLAR Yıldıray ÇELİK *, Sevgi DEMİR Ordu Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik

Detaylı

ASYMMETRIC TOPOLOGICAL SPACES ESRA KARATAŞ

ASYMMETRIC TOPOLOGICAL SPACES ESRA KARATAŞ ASİMETRİK TOPOLOJİK UZAYLAR ASYMMETRIC TOPOLOGICAL SPACES ESRA KARATAŞ HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ Lisansüstü Eğitim-Öğretim ve Sınav Yönetmeliğinin Matematik Anabilim Dalı için YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak hazırlanmıştır.

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

Mustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü

Mustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü * Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü SAYILAR Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, N={0,1,2,3,,n, } Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Q={p/q: p,q Z ve q 0} İrrasyonel Sayılar, I= {p/q

Detaylı

BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı

BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1 Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı Mart 2015 0 SORU 1) Bulanık Küme nedir? Bulanık Kümenin (fuzzy

Detaylı

f fonksiyonuna bir üç değişkenli fonksiyon adı verilir. Daha çok değişkenli fonksiyonlar benzer şekilde tanımlanır.

f fonksiyonuna bir üç değişkenli fonksiyon adı verilir. Daha çok değişkenli fonksiyonlar benzer şekilde tanımlanır. Çok Değişkenli Fonksiyonlar Tanım 1. D düzlemin bir bölgesi, f de D nin her bir (x, y) noktasına bir f(x, y) reel sayısı karşılık getiren bir fonksiyon ise f fonksiyonuna bir iki değişkenli fonksiyon adı

Detaylı

2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k Ba¼glant l Topolojik Uzaylar. Tan m (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k

2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k Ba¼glant l Topolojik Uzaylar. Tan m (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k 2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k 2.1. Ba¼glant l Topolojik Uzaylar Tan m 2.1.1. (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k iki aç ktan oluşan bir örtüsü yok ise, (X; ) topolojik

Detaylı

Kafes Yapıları. Hatırlatma

Kafes Yapıları. Hatırlatma Kafes Yapıları Ders 7 8-1 Hatırlatma Daha önce anlatılan sıra bağıntısını hatırlayalım. A kümesinde bir R bağıntsı verilmiş olsun. R bağıntısı; a. Yansıma (Tüm a A için, sadece ve sadece ara ise yansıyandır(reflexive)).

Detaylı

T.C. NEUTROSOPHİC TOPOLOJİK UZAYLARDA KOMPAKTLIK. Burak KILIÇ

T.C. NEUTROSOPHİC TOPOLOJİK UZAYLARDA KOMPAKTLIK. Burak KILIÇ T.C. ORDU ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ NEUTROSOPHİC TOPOLOJİK UZAYLARDA KOMPAKTLIK Burak KILIÇ YÜKSEK LİSANS TEZİ ORDU 2017 TEZONAY Ordu Oniversitesi Fen Bilimleri Enstitilsti ogrencisi Burak KILI

Detaylı

10. DİREKT ÇARPIMLAR

10. DİREKT ÇARPIMLAR 10. DİREKT ÇARPIMLAR Teorem 10.1. H 1,H 2,, H n bir G grubunun alt gruplarının bir ailesi ve H = H 1 H 2 H n olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir. a ) dönüşümü altında dır. b) ve olmak üzere her yi tek türlü

Detaylı

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin

Detaylı

ESNEK TOPOLOJİK UZAYLARDA

ESNEK TOPOLOJİK UZAYLARDA T.C. ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI 2015-YL-039 ESNEK TOPOLOJİK UZAYLARDA SÜREKLİLİK Yücel ÖZDAŞ Tez Danışmanı: Yrd. Doç. Dr. Süleyman GÜLER AYDIN iii T.C.

Detaylı

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI

DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI T.C ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI ÖĞRETİM ÜYELERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR:

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

SORU 1: Herbir A R kümesi için A G ve λ (A) = λ (G) olacak şekilde. ÇÖZÜM 1: B sayılabilir bir küme olsun. Bu durumda λ (B) = 0 gerçeklenir.

SORU 1: Herbir A R kümesi için A G ve λ (A) = λ (G) olacak şekilde. ÇÖZÜM 1: B sayılabilir bir küme olsun. Bu durumda λ (B) = 0 gerçeklenir. 2.4 Lebesgue Dış Ölçüsü ve Lebesgue Ölçüsü SORU : Herbir A R kümesi için A G ve λ (A) = λ (G) olacak şekilde G R kümesinin varlığınıgösteriniz? ÇÖZÜM : B sayılabilir bir küme olsun. Bu durumda λ (B) =

Detaylı

FONKSİYONLAR. Örnek: (2x-2,y-3)=(10,-3) olduğuna göre x ve y sayılarını bulunuz.

FONKSİYONLAR. Örnek: (2x-2,y-3)=(10,-3) olduğuna göre x ve y sayılarını bulunuz. 1 FONKSİYONLAR Sıralı İkili: A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, aa ve bb iken (a, b) ifadesine bir sıralı ikili denir. Burada a ya, sıralı ikilinin birinci bileşeni, b ye de ikinci bileşeni denir.

Detaylı

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: KARDİNAL SAYILAR ÖĞRETİM GÖREVLİLERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR: DİRENCAN DAĞDEVİREN ELFİYE ESEN

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48 İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri

Detaylı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı 1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna

Detaylı

Leyla Bugay Haziran, 2012

Leyla Bugay Haziran, 2012 Sonlu Tekil Dönüşüm Yarıgruplarının Doğuray Kümeleri ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Haziran, 2012 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup terimi ilk olarak 1904 yılında Monsieur l

Detaylı

Parametric Soft Semigroups

Parametric Soft Semigroups Ordu Üniversitesi Bilim ve Teknoloji Dergisi / Ordu University Journal of Science and Technology Ordu Üniv. Bil. Tek. Derg., 2018; 8(1): 91-99 Ordu Univ. J. Sci. Tech., 2018; 8(1): 91-99 e-issn: 2146-6459

Detaylı

T.C. İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI KÜME-DEĞERLİ FONKSİYON UZAYLARI VE BU UZAYLAR ARASINDAKİ OPERATÖRLERİN ANALİZİ ÜZERİNE Fatih TEMİZSU YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI MALATYA

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI ÇUKUROV ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSNS TEZİ BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ MTEMTİK NBİLİM DLI DN,2010 ÇUKUROV ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ YÜKSEK LİSNS TEZİ

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı 9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,

Detaylı

2. SİMETRİK GRUPLAR. Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir.

2. SİMETRİK GRUPLAR. Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir. 2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. X boş olmayan bir küme olsun. S X ile X den X e tüm birebir örten fonksiyonlar

Detaylı

1. KÜMELER TEORİSİ 1. Giriş. Modern matematiğin en önemli kullanım araçlarından birisi kümeler teorisidir. Kümeler teorisi çalışmaları matematiğin temelinde kullanılışı 20. yüzyılın başlangıcında Frege,

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

DÜZGÜN ÖLÇÜM. Ali DÖNMEZ Doğuş Üniversitesi, Fen Bilimleri Bölümü. Halit ORHAN Atatürk Üniversitesi, Matematik Bölümü

DÜZGÜN ÖLÇÜM. Ali DÖNMEZ Doğuş Üniversitesi, Fen Bilimleri Bölümü. Halit ORHAN Atatürk Üniversitesi, Matematik Bölümü DÜZGÜN ÖLÇÜM Ali DÖNMEZ Doğuş Ünirsitesi, Fen Bilimleri Bölümü Halit ORHAN Atatürk Ünirsitesi, Matematik Bölümü Özet: Düzgün ölçüm üzerine bazı teoremler ispatlandı. Anahtar sözcükler: Ölçüm, düzgün ölçüm,

Detaylı

Küme Temel Kavramları

Küme Temel Kavramları Kümeler Kümeler Küme, matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram "nesneler topluluğu veya yığını" olarak yorumlanabilir. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir; fakat her ne olursa

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

KÜMELER. İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Bir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. Bu nesneler somut veya soyut olabilir.

KÜMELER. İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Bir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. Bu nesneler somut veya soyut olabilir. 1 KÜMELER İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. ir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. u nesneler somut veya soyut olabilir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine eleman(öğe) denir.

Detaylı

SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A

SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A 2.2 Ölçüler SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X kuvvet kümesi veriliyor. P (X üzerinde 0 ; A (A : 1 ; A şeklinde tanımlanan dönüşümü ölçü müdür? ÇÖZÜM 1: (i Tanımdan ( 0. (ii A

Detaylı

Örnek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu yazınız.

Örnek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu yazınız. KÜME KAVRAMI Küme matematiğin tanımsız bir kavramıdır. Ancak kümeyi, iyi tanımlanmış kavram veya nesneler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi

Detaylı

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve düzlem Geçen ders doğrusal cebir aracılığıyla izdüşümsel geometri için bir model kurduk. Şimdi bu modeli daha somut bir şekle sokalım, F = R durumunda kurduğumuz

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

Cahit Arf Matematik Günleri 10

Cahit Arf Matematik Günleri 10 Cahit Arf Matematik Günleri 0. Aşama Sınavı 9 Mart 0 Süre: 3 saat. Eğer n, den büyük bir tamsayı ise n 4 + 4 n sayısının asal olamayacağını gösteriniz.. Çözüm: Eğer n çiftse n 4 +4 n ifadesi de çift ve

Detaylı

Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz.

Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz. 1 BİR İŞLEMLİ SİSTEMLER Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz. 1.1 İŞLEMLER Bir kümeden kendisine tanımlı olan her fonksiyona birli işlem denir. Örneğin Z

Detaylı

Soru Toplam Puanlama Alınan Puan

Soru Toplam Puanlama Alınan Puan 18.11.2013 No: Ad-Soyad: İmza: Soru 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Toplam Puanlama 20 20 20 20 20 20 20 20 100 Alınan Puan 405024142006.1 CEBİRSEL TOPOLOJİ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI (ÖRGÜN ÖĞRETİM) Not: Süre 90

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 4.KONU Latisler, Boole Cebri 1. Kısmi sıralı kümeler 2. Hasse Diyagramı 3. Infimum, Supremum 4. Latis (Kafes Lattice) 5. Latis (Kafes) Yapıları ve Özellikleri

Detaylı

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Gruplar...3 Alt Gruplar...9 Simetrik Gruplar...13 Devirli Alt Gruplar...23 Sol ve Sağ Yan Kümeler (Kosetler)...32 Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 Grup Homomorfizmaları...41

Detaylı

KABA KÜME TEORİSİ (Rough Set Theory) Dr. Sedat TELÇEKEN

KABA KÜME TEORİSİ (Rough Set Theory) Dr. Sedat TELÇEKEN KABA KÜME TEORİSİ (Rough Set Theory) Dr. Sedat TELÇEKEN Giriş Bilgi teknolojisindeki gelişmeler ve verilerin dijital ortamda saklanmaya başlanması ile yeryüzündeki bilgi miktarı her 20 ayda iki katına

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

Örnek...3 : P(x+4)=x 7 +6.x 6 +2x 3 polinomu için P(2) kaçtır? Örnek...4 : P(2x 1) = x 2 olduğuna göre, P(3)+P(5) kaçtır? Örnek...

Örnek...3 : P(x+4)=x 7 +6.x 6 +2x 3 polinomu için P(2) kaçtır? Örnek...4 : P(2x 1) = x 2 olduğuna göre, P(3)+P(5) kaçtır? Örnek... POLİNOMLAR n N, a n, a n 1, a n 2,a 1,a 0 R ve a n 0 olmak üzere, a n x n +a n 1 x n 1 +a n 2 x n 2 +...+a 1 x+a 0 ifadesine x in bir polinomu denir ve genellikle bu ifade P(x),Q(x) gibi bir ifadeye eşitlenerek

Detaylı