Hafta 7: Sürekli-zaman Fourier Dönüşümü

Transkript

1 Hf 7: Sürli-zmn ourir Dönüşümü

2 El Alınc An Konulr Sürli-zmn ourir dönüşümü Sürli-zmn priyodi işrlr için ourir dönüşümü Sürli-zmn ourir dönüşümünün özllilri Doğrusl, sbi syılı difrnsiyl dnlmlrl nımlnn sismlr

3 Sürli-zmn ourir Dönüşümü Priyodi olmyn priyodi bir işri, priyodu sonsuz oln priyodi bir işr gibi düşünbiliriz. Priyodi bir işrin priyodu büyüdüç, ml frns üçülür v dolyısıyl ourir srisi gösrilimindi hrmoni ilişili üsl işrlrin frnslrı yınlşır. Priyodun sonsuz olmsı limi durumund frns bilşnlri sürli hl glir v ourir srisi oplmı ingrl şi olur. Hırlm : Priyodi işrinin. S çılımı: π / T ourir srisinin, priyodun sonsuz gimsi durumundi limi hlin OURIER DÖNÜŞÜMÜ dnir.

4 Sürli-zmn ourir Dönüşümü Aşğıd vriln priyodi r dlgnın ourir srisi syılrını hsplmışı sin T T Sbi bir T v dğişi T dğrlri için ourir srisi syılrını çizrs, priyodun syılr üzrindi isini blirlmiş oluruz. Alrnif olr, sin T T dğrlrini çizbiliriz. sint / fonsiyonu, T nın zrfını msil mdir v syılrı bu zrfın şi rlılı örnlridir.

5 sin T T Sürli-zmn ourir Dönüşümü

6 Sürli-zmn ourir Dönüşümü T rıç vy şdğr olr ml frns π/t zldıç, zrf dh sı örnlnmdir. T limi durumund, oriinl priyodi r dlg didörgn drby v T il çrpılmış ourir srisi syılrı zrf şi olur. Bu örnği gnllşirm mümündür. Apriyodi bir işr, priyodi bir işrin priyod sonsuz gidrn limi hli gibi düşünülbilir. Priyodi işr ourir srisin çılır v priyodun sonsuz gimsi durumund srinin dvrnışı inclnir. Aşğıd, priyodi olmyn sonlu sürli bir işr il bu işrn üriln v bir priyodu sonlu sürli işr şi oln priyodi bir işr ~ vrilmişir. lim

7 ~ Sürli-zmn ourir Dönüşümü ourir srisin çılbilir. <T/ için, v rlığın dışınd olduğundn % T / T / % d d ~ d T T / T T / T T nın zrfı, O hld, T d şlind nımlnsın. Zrf cinsindn bulunn syılr, ourir srisind yrin onulur v π/t olduğu göz önünd bulundurulurs % T π

8 Sürli-zmn ourir Dönüşümü in, şğıdişildn görüldüğü gibi n son oplm ingrl yınsr. Toplmdi hr bir rim, yüsliği v gnişliği oln bir didörgnin lnıdır. limi durumund, oplm fonsiyonunun ~ ingrlin yınsr. O hld, T için grçğini ullnırs, şğıd vriln ourir dönüşüm çifini ld driz. % d π π d

9 Sürli-zmn ourir Dönüşümü Şimdiy dr ypıln rışmdn, priyodi bir işrin ourir srisi syılrının, işrin bir priyodunun ourir dönüşümü cinsindn ifd dilbilcği nlşılmdır. ~, T il priyodi olsun v ourir srisi syılrı il gösrilsin. nin bir priyodun şi sonlu sürli bir işr v ourir dönüşümü il blirilsin. O hld, T ~ Trışm, sonlu sürli işrlr için ypılmışır. İşr sonlu olms bil, nliz dnlmindi ingrl yınsybilir v bu ür işrlr için ourir dönüşümü bulunbilir. ourir dönüşümünün yınsmsı için yrli oln oşullr Dirichl oşullrı dnir v şğıd lislnmişir.

10 Sürli-zmn ourir Dönüşümü Sürli-zmn Hrmoni ilişili ourirrmşı dönüşümüüsl için Dirichl işrlrinoşullrı doğrusl ombinsyonu şlind yzıln bir sürli-zmn işri l llım: Koşul :İşr mul ingrllnbilir olmlıdır: π / T d < Koşul Hrmoni : Hrhngi ilişilibir üsl sonlu işrlrin rlı, hrbirinin işrin sonlu T ilsyıd priyodi minimum olduğunu v msimumu görmüşü. olmlıdır. O hld, d T il priyodiir. Koşul 3: için, Hrhngi oplmdi bir sonlu üsl rlı, işr sbiir. işr sonlu ±syıd için üsl sürsizli işrlrin olmlı ml v yrıc frnsı sürsizli dır v nolrınd bu rimlr işrin TEMEL dğri vy dbirinci sonlu olmlıdır. HARMONİK bilşn Özl, mul ingrllnbilir sürli vy sonlu syıd sürsizliğ ship işrlrin ourir dönüşümü hsplnbilir.

11 Sürli-zmn ourir Dönüşümü ÖRNEK: u, > v fz sprumunu çiziniz. işrinin ouir dönüşümünü hsplyınız, gnli ÇÖZÜM: ourir dönüşüm dnlmindn d d, > Görüldüğü gibi, işr grçl olmsın rğmn ourir dönüşümü rmşı dğrli olbilmdir. O hld, nın fonsiyonu olr ourir dönüşümünün gnliğini gnli sprumu v fzını fz sprumunu blirlybilir v çizbiliriz., n p

12

13 ÖRNEK: işrinin ouir dönüşümünü hsplyınız v frnsın fonsiyonu olr çiziniz. ÇÖZÜM: ourir dönüşüm dnlmindn Sürli-zmn ourir Dönüşümü, > u u, > d d d d Bu durumd ourir dönüşümü grçl çımışır. İşr v ourir dönüşümü şğıd çizilmişir.

14 Sürli-zmn ourir Dönüşümü ÖRNEK: Sürli-zmn impuls işrinin ouir dönüşümünü hsplyınız ÇÖZÜM: d δ d İmpuls işrinin ourir dönüşümü üm frnslrd şi bilşnlr shipir. ÖRNEK: Didörgn drbnin ourir dönüşümünü hsplyınız ÇÖZÜM: d sin T T d T,, < T > T

15 Sürli-zmn ourir Dönüşümü ÖRNEK: ouir dönüşümü şğıd vriln sürli-zmn işrini bulunuz.,, < W > W ÇÖZÜM: Trs ourir dönüşüm dnlmindn W sin W d dw π π W π

16 Sürli-zmn ourir Dönüşümünün Özllilri

17 Sürli-zmn ourir Dönüşümü Sürli-zmn ourir dönüşümü v LTI sismlrin nlizind sinθ/bθ şlind özl bir fonsiyonl sılıl rşılşılır v böyl fonsiyonlr sinc fonsiyonu dnir. Sinc fonsiyonu mmisl olrşöyl nımlnır: sin πθ sinc θ πθ Sinc fonsiyonu şğıd çizilmişir.

18 Aşğıd sincw fonsiyonu v ourir dönüşümü, dğişi W dğrlri için çizilmişir. W rıç ourir dönüşümü gnişlrn, sinc fonsiyonunun n lobunun gnişliği drlşır. Yni, zmn uzyı il frns uzyı rsınd rs bir ilişi vrdır. Zmnd dh z yr plyn bir işrin ourir dönüşümü, dh fzl yr plyn bir işrinin gör dh gniş bir frns rlığınd frns bilşnlrin shipir.

19 Priyodi İşrlrin için ourir Dönüşümü Sürli-zmn priyodi işrlrin d ourir dönüşümünü hsplm mümündür. Görcğimiz gibi, priyodi işrlrin ourir dönüşümü impuls fonsiyonu içrm zorunddır. ourir dönüşümü πδ- oln işri, rs ourir dönüşümü ullnr rhlıl bulbiliriz. πδ d π Dh gnl olr, sonsuz d impulsun oplmındn oluşn bir ourir dönüşümünün rsi, sonsuz d üsl işrin oplmı olmlıdır: π δ O hld, priyodi bir işrin ourir dönüşümü, şiddlri işrin ourir srisi syılrı v onumlrı ml frnsın lrı rfındn blirlnn impulslr içrmdir.

20 Priyodi İşrlrin için ourir Dönüşümü ÖRNEK: Aşğıd vriln priyodi işrin ourir dönüşümünü hsplyınız. sin T T ÇÖZÜM: sin T π δ δ

21 Priyodi İşrlrin için ourir Dönüşümü ÖRNEK: Aşğıd vriln priyodi işrin ourir dönüşümünü hsplyınız. T / δ T / T d T ÇÖZÜM: π π δ T δ π T No: Zmn uzyı il frns uzyı rsındi rs ilişiy di diniz. İmpulslr zmn uzyınd birbirindn uzlşırs frns uzyınd yınlşmdır. T limi durumund işrini v ourir dönüşümünü inclyiniz.

22 Priyodi İşrlrin için ourir Dönüşümü ÖRNEK: sin v cos priyodi işrlrinin ourir dönüşümlrini hsplyınız. ÇÖZÜM:,,, cos,,, sin πδ πδ δ π δ π δ π δ π δ π δ π ± ±

23 Sürli-zmn ourir Dönüşümü İşr ourir Dönüşümü ourir Srisi Ksyılrı π δ π [ δ δ ] cos sin πδ,, π / [ δ δ ] /,, ± /,, ± πδ,, Priyodi r dlg,, T < T < < T / sin T δ sin T T T sinc π π π n π π δ nt δ T T, T

24 İşr ourir Dönüşümü ourir Srisi Ksyılrı,, sin W π δ < T > T sin T,, u π πδ δ < W > W İşr priyodi dğil İşr priyodi dğil İşr priyodi dğil İşr priyodi dğil İşr priyodi dğil { } u, R > İşr priyodi dğil u, R{ } > n n! u, R { } > n İşr priyodi dğil İşr priyodi dğil

25 Sürli-zmn ourir Dönüşümünün Özllilri Kolylı olmsı bımındn, sürli-zmn ourir dönüşümü v rsini blirm için sırsıyl {} v - {} ıs gösrilimini ullncğız. Ayrıc, sürli-zmn ourir dönüşüm çifini blirm için nosyonunu ullncğız. Sürli-zmn ourir dönüşümünün şğıd vriln özllilri rcılığıyl, ourir dönüşümü bilinn işrlrdn çoğu işrin ourir dönüşümünü ld m olylşmdır. Aşğıd sdc n önmli özllilrin ispı vrilcir. Diğr özllilrin ispı bnzrşild ypılbilir.

26 Sürli-zmn ourir Dönüşümünün Özllilri Zmnd ölm: İsp: Trs ourir dönüşüm dnlmindn Eşiliğin hr ii rfınd yrin - yzılırs Yorum: Bir sürli-zmn işr ölndiğind, ourir dönüşümünün gnliği dğişmz, fzı is ölm il doğru ornılı birşild ölnir. π d π π d d { } { } [ ] p p

27 Zmn-frns ölçlm: İsp: ourir dönüşüm dnlmindn İngrld, dğişn dönüşümü ypılırs Yorum: Zmn uzyı il frns uzyı rsınd rs bir ilişi vrdır. Zmnd dr gniş yr plyn işrlrin ourir dönüşümü gniş dr bir rlı frns bilşnlrin shipir. Ayrıc, - sçilirs, zmnd rsin çvrilmiş işrin ourir dönüşümünün d rsin çvrilcği nlşılmdır. Sürli-zmn ourir Dönüşümünün Özllilri { } d { } < >,, / / d d

28 Sürli-zmn ourir Dönüşümünün Özllilri d Zmnd ürv lm: d İsp: Trs ourir dönüşüm dnlmindn d π Eşiliğin hr ii rfınd y gör ürvi lınırs d d [ ] d π Yorum: Zmn uzyınd ürv lm, frns uzyınd il çrpmy rşılı glmdir. Bu özlli, sbi syılı difrnsiyl dnlmlrl nımlnmış LTI sismlrin nlizind ço önmli rol oynycır. Çözümü zor oln difrnsiyl bir dnlm, ourir dönüşümünün bu özlliği sysind çözümü ço oly oln bir cbirsl dnlm hlin girilir, dnlm isniln dğişn için çözülür v rs ourir dönüşümü lınr çözüm ld dilir.

29 Sürli-zmn ourir Dönüşümünün Özllilri Konvolüsyon özlliği: İsp: Konvolüsyon dnlmindn Eşiliğin hr ii rfının ourir dönüşümü lınırs Zmnd ölm özlliğindn prnz içindi rim dir. O hld, Yorum: İi işrin onvolüsyonunun ourir dönüşümü, ourir dönüşümlrinin çrpımın şiir. Yni, ii işrin onvolüsyonunu bulm için, ourir dönüşümlri çrpılır v çrpımın rs ourir dönüşümü lınır. * H Y h y d h y { } d d h d d h y Y } { } { H H d H d H Y

30 Sürli-zmn ourir Dönüşümünün Özllilri ÖRNEK: -b u b> v h - u > işrlrinin onvolüsyonunu ourir dönüşümündn yrrlnr hsplyınız. ÇÖZÜM: Y bsi sirlr çılırs y yi ld m için rs ourir dönüşümü lm yrlidir.,, H Y b b b b b B A Y { } [ ] u u b b b Y y b

31 Sürli-zmn ourir Dönüşümünün Özllilri Çrpm modülsyon özlliği: r s p R π [ S * P ] Yorumlr:. Zmn uzyınd çrpm, frns uzyınd onvolüsyon rşılı glmdir.. Zmn uzyınd onvolüsyonun frns uzyınd çrpmy rşılı gldiğini hırlyınız. Zmn v frns uzylrı rsındi bu ilişiy DÜALLİK dnilir. Dulliğin ndni, ourir v rs ourir dönüşüm dnlmlrinin şi olmml birli olduç bnzr olmsıdır. 3. Vriln bir ourir çifi için, zmn v frns dğişnlrinin rollri dğişirilr DÜAL çif ld dilir. 4. Dülli özlliği ullnılr, diğr p ço özlli ld dilbilir. Örnğin, zmn uzyınd ürv lm il çrpmy rşılı gldiğin gör, zmn uzyınd ingrl lm il bölmy rşılı glmlidir. 5. Dülli özlliği, drb v sinc ourir dönüşüm çifi için şğıd vrilmişir v diğr fonsiyon çiflrin uygulnbilir.

32 Sürli-zmn ourir Dönüşümünün Özllilri

33 Sürli-zmn ourir Dönüşümünün Özllilri ÖRNEK: Bir s işrinin sprumu şğıd vrilmişir. p cos olm üzr, r sp işrinin sprumunu ourir dönüşümünün çrpm modülsyon özlliğindn yrrlnr bulunuz. ÇÖZÜM: { } [ ] * πδ πδ π πδ πδ S S S R P

34 Sürli-zmn ourir Dönüşümünün Özllilri Özlli Apriyodiİşr ourir dönüşümü Doğrusllı Zmnd ölm rns ölm Eşlni lm Zmnd rsin çvirm Zmn v frns ölç Konvolüsyon Zmnd çrpm y Y by by * * * y Y π y * Y

35 Özlli Priyodi İşr ourir Srisi Ksyılrı Zmnd ürv lm Zmnd ingrl lm rns ürv lm Grçl işrlr için şlni simrili Grçl v çif işrlr Grçl v işrlr Grçl işrlrin çif- yrışırmsı d d d grçl grçl v çif grçl v Ev{ } Od{ } o [ grçl] [ grçl] Apriyodi İşrlr için Prsvl İlişisi d π π δ d d * R{ } R{ } Im{ } Im{ } p p grçl v çif sf rmşı v R{ } Im{ } d

36 Doğrusl, Sbi Ksyılı Difrnsiyl Dnlmlrl Tnımlnn Sismlr Girişi-çıış ilişisi şğıd vriln sürli-zmn sismin frns ynıını bullım Konvolüsyon özlliğindn, Difrnsiyl dnlmin hr ii rfının ourir dönüşümü lınır v ourir dönüşümünün ürv özlliği ullnılırs frns ynıı bulunbilir: M N d d b d y d Y H H Y N M M N M N M N b H b Y d d b d y d d d b d y d

37 Doğrusl, Sbi Ksyılı Difrnsiyl Dnlmlrl Tnımlnn Sismlr ÖRNEK: Giriş-çıış ilişisi şğıd vriln sismin frns ynıını v impuls ynıını bulunuz. ÇÖZÜM: Hr ii rfın ourir dönüşümü lınırs H nın rs ourir dönüşümü lınırs impuls ynı ld dilir. 3 4 d d y d dy d y d Y H Y Y Y { } 3 / / 3 u u h H h