Hafta 8: Ayrık-zaman Fourier Dönüşümü

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Hafta 8: Ayrık-zaman Fourier Dönüşümü"

Umut Avcı
6 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Hafta 8: Ayrı-zama ourir Döüşümü

2 El Alıaca Aa Koular Ayrı-zama ourir döüşümü Ayrı-zama priyodi işartlr içi ourir döüşümü Ayrı-zama ourir döüşümüü özllilri Doğrusal, sabit atsayılı far dlmlriyl taımlaa sistmlr

3 Ayrı-zama ourir Döüşümü Apriyodi bir işart, priyodi bir işarti priyod sosuza gidr limit hali gibi düşüülbilir. Priyodi işart ourir srisi açılır v priyodu sosuza gitmsi durumuda srii davraışı iclir. Aşağıda, priyodi olmaya solu sürli bir işart il bu işartt türtil v bir priyodu solu sürli işart şit ola priyodi bir işart ~ vrilmiştir. lim ~

4 ourir srisi açılabilir. içi, v aralığı dışıda olduğuda ~ % < > a Ayrı-zama ourir Döüşümü / a % ~ / / / < > şlid taımlası. O hald, a Bulua atsayılar, ourir srisid yri oulur v / öüd buludurulursa olduğu göz ~ < > < >

5 Ayrı-zama ourir Döüşümü So toplamadai hr bir trim, yüsliği v gişliği ola bir didörtgi alaıdır. limit durumuda, toplama fosiyouu ~ itgrali yaısar. O hald, içi grçğii ullaırsa, aşağıda vril ayrı-zama ourir döüşüm çiftii ld driz. d

6 Ayrı-zama ourir Döüşümü Sürli-zama v ayrı-zama ourir döüşümlri icldiğid ömli farlar olduğu göz çarpmatadır. İl olara, sürli-zama durumuda aaliz v stz dlmlrii iisi d itgral olup, itgral aralığı sosuzdur. Ayrı-zama durumuda, aaliz dlmi sosuz bir toplama i stz dlmi aralığıda solu bir itgraldir. İici olara, sürli-zama ourir döüşümü priyodi dğil özl durumlar hariç, ayrı-zama ourir döüşümü il priyoditir. Bu farlılıları di, ayrı-zamada harmoi ilişili solu sayıda armaşı üstl işart olmasıdır. Ayrıca, ayrı-zamada vya ı atlarıa yaı fraslar yavaş dğiş işartlrd, i atlarıa yaı fraslar is hızlı dğiş işartlrd ayalamatadır.

7 Ayrı-zama ourir Döüşümü Şimdiy adar yapıla tartışmada, priyodi bir ayrı-zama işarti ourir srisi atsayılarıı, işarti bir priyoduu ayrı-zama ourir döüşümü cisid ifad dilbilcği alaşılmatadır. ~ ~, il priyodi olsu v ourir srisi atsayıları a il göstrilsi. i bir priyodua şit solu sürli bir işart v ourir döüşümü il blirtilsi. O hald, a Tartışma, solu sürli işartlr içi yapılmıştır. İşart solu olmasa bil, aaliz dlmidi toplama yaısayabilir v bu tür işartlr içi ayrı-zama ourir döüşümü buluabilir. Ayrı-zama ourir döüşümüü yaısaması içi ytrli ola oşullar sürli durumdaid farlıdır.

8 Ayrı-zama ourir Döüşümü Ayrı-zama Harmoi ourir ilişili döüşümü armaşı içi üstlyaısama işartlrioşulu doğrusal ombiasyou şlid yazıla bir sürli-zama işarti l alalım: Koşul :İşart mutla toplaabilir vya solu riy sahip olmalıdır: t / T t t a a, < < Stz dlmi içi yaısama problmi yotur çüü stz dlmi solu bir itgraldir. O hald, stz dlmi hsaplaır sürli-zama durumuda arşılaşıla Gibbs olayı il ayrı-zama durumuda arşılaşılmaz.

9 Ayrı-zama ourir Döüşümü ÖREK: a u, faz sptrumuu çiziiz. a < işartii ouir döüşümüü hsaplayıız, gli v ÇÖZÜM: ourir döüşüm dlmid a a a Görüldüğü gibi, işart grçl olmasıa rağm ourir döüşümü armaşı dğrli olabilmtdir. O hald, ı fosiyou olara ourir döüşümüü gliğii gli sptrumu v fazıı faz sptrumuu blirlybilir v çizbiliriz. Pozitif v gatif a dğrlri içi gli v faz sptrumları aşağıda çizilmiştir. Hr ii durumda da sptrumları il priyodi olduğua diat diiz. + q q Hatırlatma: q, q q

10 > a > - <a < <a< içi işarti tüm dğrlri pozitif olup işart yavaş dğiştiğid ourir döüşümü v i atlarıda bilşlr sahiptir. -<a< içi işarti dğri bir pozitif, bir gatif olup işart hızlı dğiştiğid ourir döüşümü i atlarıda fras bilşlri sahiptir.

11 Ayrı-zama ourir Döüşümü ÖREK: a, a < fosiyou olara çiziiz. işartii ouir döüşümüü hsaplayıız v frası ÇÖZÜM: ourir döüşüm dlmid a, a < a u + a u a + a a a + a a + a a a cos + a Bu durumda ourir döüşümü grçl çımıştır. İşart v ourir döüşümü aşağıda < a < içi çizilmiştir. + q q Hatırlatma: q, q q

13 ÖREK: Ayrı-zama impuls işartii ouir döüşümüü hsaplayıız ÇÖZÜM: Ayrı-zama ourir Döüşümü İmpuls işartii ourir döüşümü tüm fraslarda şit bilşlr sahiptir. ÖREK: Didörtg darbi ourir döüşümüü hsaplayıız,, < > ÇÖZÜM: / si / si +

14 içi Sürli durumda olduğu gibi, darbi ourir döüşümü sic fosiyoudur. Aca, sürli-zamada ya lobları gliği dvamlı azalır ayrı-zamada priyodilit dolayı bu durum gçrli dğildir.

15 Priyodi İşartlri içi ourir Döüşümü Ayrı-zama priyodi işartlrid ourir döüşümüü hsaplama mümüdür. priyodi işartlri ourir döüşümü impuls fosiyou içrm zorudadır. ourir döüşümü δ m m ola işarti bulalım δ m d δ d m itgrali -, aralığıda hsapladığıa diat diiz Priyodi bir ayrı-zama işart ourir srisi açılabilir: < > a / Açılımıdai armaşı üstl trimlri ourir döüşümü tml frası atlarıda impulslardır. Doğrusallı özlliğid, sosuz adt işarti toplamıı ourir döüşümü, t t ourir döüşümlrii toplamıa şittir. O hald, priyodi işartlri ourir döüşümü aşağıdai gibi yazılabilir. aδ aδ

16 Priyodi İşartlri içi ourir Döüşümü ÖREK: il vril priyodi işarti ourir döüşümü dir? ÇÖZÜM: ourir srisi atsayıları tüm dğrlri içi / olara bulumuştu. δ a δ δ

17 Priyodi İşartlri içi ourir Döüşümü ÖREK: cos priyodi işartii ourir döüşümü dir? ÇÖZÜM: cos + a δ m + a δ + m m m δ m + δ + m m m

18 İşart ourir Döüşümü ourir Srisi Katsayıları a cos si / Priyodi ar dalga,, < < < / aδ a δ l l δ l + + l δ l δ l + l l δ l δ l δ a δ δ m / priyodi a, m, m ±, m ±,..., asi hald m / priyodi /, ± m, ± m ±, ± m ±,... a, asi hald m / /, a /, a a a priyodi m, m ±, m ±,... m, m ±, m ±,..., asi hald,, ±, ±,..., asi hald si / + /, si / + /,,, ±,,..., ±,,...

19 İşart ourir Döüşümü ourir Srisi Katsayıları a u, a <,, > si W W W sic δ a + / si si /,, W W < İşart priyodi dğil İşart priyodi dğil İşart priyodi dğil İşart priyodi dğil u + δ δ İşart priyodi dğil İşart priyodi dğil + a u, a < a İşart priyodi dğil + r! a! r! u, a < a r İşart priyodi dğil

20 Ayrı-zama ourir Döüşümüü Özllilri Kolaylı olması baımıda, ayrı-zama ourir döüşümü v trsii blirtm içi sırasıyla {} v - { } ısa göstrilimii ullaacağız. Ayrıca, ayrızama ourir döüşüm çiftii blirtm içi otasyouu ullaacağız. Ayrı-zama ourir döüşümüü aşağıda vril özllilri aracılığıyla, ourir döüşümü bili işartlrd çoğu işarti ourir döüşümüü ld tm olaylaşmatadır. Aşağıda sadc ömli özllilri ispatı vrilctir. Diğr özllilri ispatı bzrşild yapılabilir.

21 Ayrı-zama ourir Döüşümüü Özllilri Zamada ötlm: İspat: Trs ourir döüşüm dlmid Eşitliği hr ii tarafıda yri - yazılırsa Yorum: Bir sürli-zama işart ötldiğid, ourir döüşümüü gliği dğişmz, fazı is ötlm il doğru oratılı birşild ötlir. d d d { } { } p p

22 Ayrı-zama ourir Döüşümüü Özllilri rasta türv alma: d d İspat: ourir döüşüm dlmid Eşitliği hr ii tarafıda ya gör türvi alıırsa d d So şitliği hr ii tarafı il çarpılırsa souç ld dilmiş olur.

23 Ayrı-zama ourir Döüşümüü Özllilri Kovolüsyo özlliği: İspat: Kovolüsyo dlmid O hald, Zamada ötlm özlliğid paratz içidi trim dir. O hald, Yorum: İi işarti ovolüsyouu ourir döüşümü, ourir döüşümlrii çarpımıa şittir. Yai, ii işarti ovolüsyouu bulma içi, ourir döüşümlri çarpılır v çarpımı trs ourir döüşümü alıır. * H Y h y h y { } h h y Y H H H H Y

24 Ayrı-zama ourir Döüşümüü Özllilri ÖREK: u < v h u < işartlrii ovolüsyouu ourir döüşümüd yararlaara hsaplayıız. ÇÖZÜM: Y basit sirlr açılırsa y yi ld tm içi trs ourir döüşümü alma ytrlidir. Y H,, + B A Y { } u u u Y y + +

25 Ayrı-zama ourir Döüşümüü Özllilri Çarpma modülasyo özlliği: İspat: ourir döüşüm dlmid yri trs ourir döüşüm ifadsi ullaılır v toplama il itgrali sırası dğiştirilirs * Y y y Y * θ θ θ θ θ θ θ θ θ d d d Y

26 Ayrı-zama ourir Döüşümüü Özllilri Özlli Apriyodiİşart ourir döüşümü y Y Doğrusallı Zamada ötlm rasta ötlm Eşli alma Zamada trsi çvirm Zamada ölçlm Kovolüsyo Zamada çarpma a + by a + by * t * /,,, ' ııatı asi hald * y Y y * Y

27 Özlli Apriyodi İşart ourir Döüşümü Zamada far alma Zamada toplama rasta türv alma Grçl işartlr içi şli simtrili grçl Grçl v çift işartlr Grçl v t işartlr t grçl v çift t grçl v t grçl v çift saf armaşı v t Grçl işartlri çift-t ayrıştırması Apriyodi İşartlr içi Parsval İlişisi I I R R } { } { } { } { * m m p p grçl } Od{ grçl } Ev{ o } { } { m I R d + δ d d

28 Doğrusal, Sabit Katsayılı ar Dlmlriyl Taımlaa Sistmlr Girişi-çıış ilişisi aşağıda vril ayrı-zama sistmi fras yaıtıı bulalım Kovolüsyo özlliğid, ar dlmii hr ii tarafıı ourir döüşümü alıır v ourir döüşümüü ötlm özlliği ullaılırsa fras yaıtı buluabilir: M b y a Y H H Y { } { } M M M M a b H b Y a b y a b y a

29 Doğrusal, Sabit Katsayılı Difrasiyl Dlmlrl Taımlaa Sistmlr ÖREK: Giriş-çıış ilişisi aşağıda vril sistmi fras yaıtıı v impuls yaıtıı buluuz. ÇÖZÜM: Hr ii tarafı ourir döüşümü alıırsa H ı trs ourir döüşümü alıırsa impuls yatı ld dilir y y y Y H Y Y Y + + { } u u h H h

Benzer belgeler

Ele Alınacak Ana Konular. Hafta 3: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant, LTI)

Ele Alınacak Ana Konular. Hafta 3: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant, LTI) 5..5 Ele Alıaca Aa Koular Ayrı-zama işaretleri impuls dizisi ciside ifade edilmesi Ayrı-zama LTI sistemleri ovolüsyo toplamı gösterilimi Hafta 3: Doğrusal ve Zamala Değişmeye Sistemler (Liear Time Ivariat