DİZGE TABANLI BİLEŞEN DENEMELERİNİN TASARIMINDA BEKLENEN DİZGE YAŞAM SÜRESİNİN MODELLENMESİ 1

Transkript

1 DİZGE TABANLI BİLEŞEN DENEMELERİNİN TASARIMINDA BEKLENEN DİZGE YAŞAM SÜRESİNİN MODELLENMESİ 1 Emre YAMANGİL Orhan FEYZİOĞLU Süleyman ÖZEKİCİ Galatasaray Üniversitesi Galatasaray Üniversitesi Koç Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Böl. Endüstri Mühendisliği Böl. Endüstri Mühendisliği Böl. Ortaköy, İSTANBUL Ortaköy, İSTANBUL Sarıyer, İSTANBUL emreyamangil@gmail.com ofeyzioglu@gsu.edu.tr sozekici@ku.edu.tr Bora ÇEKYAY Koç Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Böl. Sarıyer, İSTANBUL bcekyay@ku.edu.tr İ.Kuban ALTINEL Boğaziçi Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Böl. Bebek, İSTANBUL altinel@boun.edu.tr ÖZET Dizgeyi bir bütün olarak denemenin giderleri çok yüksek olabilir, veya bunu gerçekleştirmek tamamen olanaksız olabilir. Bu durumda, sadece bileşenleri deneyip dizge güvenirliği hakkında çıkarımda bulunmak gerekli hale gelir. Yazındaki ilgili yaklaşımlardan biri de dizge tabanlı bileşen denemeleri tasarımıdır. İlk ortaya atıldığından beri bu yaklaşım dizge güvenirliği kavramı etrafında geliştirilmiştir. Ancak uygulamada dizgenin beklenen yaşam süresinin belli bir uzunlukta olması, belli bir güvenirlik seviyesini sağlamasına göre daha anlamlı bulunabilir. Bu çalışmada dizge tabanlı bileşen denemeleri tasarımında beklenen dizge yaşam süresi göz önüne alınmış, farklı dizge türleri için oluşturulan yarı sonsuz doğrusal programlama modelleri önerilen sütun üretme yordamı ile çözülmüştür. Anahtar Sözcükler: Bileşen deneme; Beklenen yaşam süresi; Yarı-sonsuz doğrusal programlama. 1. GİRİŞ: Çoğu zaman dizgeyi bir bütün olarak denemek ekonomik zorluklardan dolayı mümkün olmayabilir, hatta bazen fiziki nedenlerden dolayı imkansız bile olabilir. Bu yüzden güvenirlik uygulamalarında yaygın yaklaşım herbir bileşen için belirlenen güvenirlik seviyelerini belli bir olasılıkla sağlayan sınam sürelerinin bulunmasını öngörür. Bileşen tabanlı sınam yöntemi daha az maliyetle daha hızlı ve bileşenler bazında daha detaylı sonuç verir. Ancak dizge tabanlı sınam yaklaşımı da daha doğru sonuç veren bir yapıya sahiptir. Bu iki yapıyı birleştirme çabası yeni bir tür yaklaşımın ortaya atılmasına sağlamıştır: Dizge tabanlı bileşen sınamı. Bu çalışmada, dizgenin bütünü için belirlenen güvenirlik seviyesini belli bir olasılıkla sağlamayı hedefleyen ve bunun için en düşük maliyetli sınam sürelerini bulmaya çalışan bu yaklaşım uygulanmıştır. Yazında bu yöntemin farklı farklı dizge yapıları için kullanıldığı birçok çalışma bulunabilir (Altınel 1994, Altınel ve diğerleri 1997, Altınel ve diğerleri 2001a, Altınel ve diğerleri 2001b, Feyzioğlu ve diğerleri 2006, Feyzioğlu ve diğerleri 2008). Bu çalışmaların tamamında güvenirlik dizgenin görev süresi boyunca bozulmadan çalışma ihtimali olarak kabul edilmiştir. Ancak bazı durumlarda sistemin sağlanması istenen güvenirlik derecesini doğrudan 1 Bu çalışma 106M044 numaralı TÜBİTAK araştırma projesi tarafından desteklenmiştir.

2 belirlemek zor olabilir. Bunun yerine sistemin çalışması istenen en kısa süreyi belirlemek daha gerçekçi bulunabilir. Bu nedenle bu çalışmada farklı dizge yapılarının beklenen yaşam sürelerinin gösterimi belirlenmiş, ve buradan hareketle dizge tabanlı bileşen sınamı problemi bölüm 2'de yeniden düzenlenmiştir. Ortaya çıkan yarı sonsuz doğrusal programlama modelini çözebilmek için bir sütun üretme yordamı tasarlanmış ve bölüm 3'te sunulmuştur. Model içinde yer alan iki alt problemde ise dışbükey fonksiyonların farkı şeklinde ifade edilebilen fonksiyonlar bulunmaktadır ve bu türdeki modellerin çözümünde dıştan yaklaşıklama sıkça kullanılan bir yöntemtir. Bu alt problemler ve anılan çözüm yöntemi ile ilgili bilgiler bölüm 4'te sunulmuştur. Son olarak 5. bölüm çalışmanın sonuçlarını içermektedir. 2. PROBLEM FORMÜLASYONU: dizge bileşenleri kümesi, kabul edilemez dizge yaşam süresi ve kabul edilebilir dizge yaşam süresini göstersin ( ). Her bileşeninin yaşam süresinin parametreli üstel dağılıma uyduğu ve diğerlerinden bağımsız olarak hata yaptığı kabul edilsin. Benzer şekilde bileşeninin sınam süresi, birim sürede sınam maliyeti ve sınam süresi boyunca yaptığı hata sayısı olarak belirlensin. Son olarak, beklenen dizge yaşam süresini, birinci tip hata üst sınırını, ikinci tip hata üst sınırını ve ise toplam bozulma üst sınırını ifade etsin. (1) (2) (3) (2) ve (3) de yer alan dizge yaşam süresi kısıtları ile ilişkili olurlu bozulma hızları kümeleri ve olarak tanımlanabilir. Ayrıca çoğu zaman geçmiş tecrübelerden dolayı bileşenlerin bozulma hızları hakkında bir önbilgiye sahip olabiliriz ve bu şeklinde ifade edilebilir. Bu durumda ve olarak tanımlanabilir. Daha açık bir biçimde, Dizgenin kabul veya reddi için farklı kurallar bulunabilmekle beraber bu çalışmada sıkça kullanılmış toplam kuralı uygulanmıştır. (4) (5) (6) Her bileşenlerin yaşam süresinin üstel dağılıma uyması nedeni ile açıktır bileşeninin hata sayısı parametresi olan Poisson dağılımına uymaktadır. Dolayısıyla (6) daki toplam da parametresi olan Poisson dağılımına uymaktadır. ve kümeleri boş olmadıkları sürece (6) yı sağlayan bireden fazla çözüm bulunur. Sırasıyla (2) ve (3), aşağıda verilen (7) ve (8) ile değiştirildiklerinde kesin olarak sağlanırlar.

3 (7) (8) 'nin Poisson dağılıma uyan parametreli bir rassal değişken olduğunu varsayarsak, eşitliğini sağlayan değeri olsun. Böyle bir durumda olacaktır, ve (7) ile (8) şu şekilde tekrar düzenlenebilecektir, (9) (10) fonksiyonu 'nin eksi olmayan değerleri için sürekli ve azalan olduğundan tersi alınabilir. Bu durumda (1) - (3) de verilen problem aşağıdaki en iyileme problemine dönüştürülebilir. (11) (12) (13) (14) (12) ve (13) deki eşitsizliklerin sağ tarafı birer eniyileme problemini içerir ve sırasıyla tip 1 ve tip 2 eniyileme alt problemleri olarak adlandırılırlar. Bölüm 4'de bu problemlerin yapısı ve çözümü hakkında bilgi verilecektir. 3. GENEL ÇÖZÜM YORDAMI: ve kümelerinin kesikli hale getirilebildiğini ve buna ilişkin olarak ve dizin kümelerinin varolduğu kabul edilsin. Diğer bir değişle, her için ve her için olsun. Bu durumda aşağıdaki eniyileme problemine dönüşür. (15) (16) (17) (18)

4 probleminin çözümü için aşağıda verilen uygun olacaktır. çifteş problemini ele almak daha (19) (20) (21) Çifteş problemi çözmek için geliştirilmiş olan bir sütun üretme yordamı aşağıda verilmiştir. Çözüm Yordamı: Girdi: Çıktı: Başla Tip 1 problemin eniyi çözümünü bul:. Eniyi amaç değeri ve eniyi çözüm olsun. 3. Tip 2 problemin eniyi çözümünü bul:. Eniyi amaç değeri ve eniyi çözüm olsun. 4. Eğer ise DUR; değerleri nin eldeki değeri için en iyi bileşen sınam zamanlarıdır; 5. Değilse Başla Temel iki sütun ve ile güncelle; Çifteş çözüm güncelle; SINIRSIZ ise DUR, OLURSUZ m mesajı ver; Değilse ; ve Adım 2 ye git; Son; Son; probleminin amaç fonksiyonu ve değişkenleri cinsinden yaklaşık içbükey bir fonksiyondur. ve değerleri ise 'e göre yaklaşık doğrusaldır. Dolayısıyla amaç fonksiyonu 'nin yaklaşık olarak içbükey bir fonksiyonudur. Önerilen çözüm yordamı değerinden başlar ve amaç fonksiyonu değeri artana kadar devam eder. Artışın başladığı değerinin bir eksiği eniyi olarak ilan edilir ve buna ilişkin hesaplanmış eniyi sınam zamanları kullanıcıya çözüm olarak sunulur. 4. ALT PROBLEMLER: Dizgenin beklenen yaşam süresi, dizgenin çalışmaya başladığı an ile dizgenin bir veya daha fazla bileşenin arızası sonucu çalışmayı bıraktığı ana kadar geçen süredir. Eğer dizgenin güvenirlik fonksiyonu şeklinde ifade edilebilirse, dizgenin beklenen yaşam süresi (22) de olduğu gibi belirlenebilir.

5 (22) Daha somut biçimde bir örnek vermek gerekirse, bağdaşık dizgeler için beklenen yaşam süresi, (23) şeklinde ifade edilebilir. Dizgenin çalışır halde olduğu durumların bileşenlerin durumları cinsinden ifade edilebildiği varsayımı ile burada, dizgenin çalışır halde olduğu durumlar kümesini, ve ise sırasıyla durumunda dizgede çalışır durumda olmayan ve olan bileşenler kümelerini, ve son olarak ise 'de bulunan sayıda farklı bileşenin herhangi bir birleşimi ifade etmektedir. tane seri dizili alt dizge için, her alt dizgenin özdeş bileşeninden en az tanesinin çalışması gerektiği durumda dizgenin beklenen yaşam süresi, (24) şeklinde verilebilir. Burada, ve dizin toplamlarını ifade etmektedir. Bağdaşık olmayan dizgeler için örnek vermek gerekirse tane seri dizili alt dizge için, her alt dizgenin özdeş bileşeninden sadece bir tanesinin çalışır halde olduğu durumda dizgenin beklenen yaşam süresi, (25) şeklinde bulunabilir. (23), (24) ve (25)'de verilen fonksiyonların herbirinin uygun değişken dönüşümü ile iki dışbükey fonksiyonun farkı (d.c.) cinsinden yazılabildiği kanıtlanabilmektedir. Bir eniyileme probleminin amaç ve/veya kısıtlarında d.c. fonksiyonlar var ise, bu problem kanonik d.c. probleme dönüştürülebilir (Horst ve Tuy 1996). Bu sayede (12) ve (13) de verilen tip 1 ve tip 2 alt problemlerin çözümünde bir dıştan yaklaşıklama yöntemi kullanılabilir (Horst ve Tuy 1996, Tuy 1998). Temel olarak bir dıştan yaklaşıklama yöntemi, problemin olurlu çözümlerini içeren kümeyi gittikçe küçülen çokyüzlülerle kapsamayı ve bu sayede esas problemin eniyi çözümüne yaklaşana kadar her aşamada daha basit bir problemi çözmeyi içerir. Bu çalışmada böyle bir yöntem geliştirilerek farklı dizge yapıları için eniyi sınam sürelerinin hesaplanması mümkün olmuştur.

6 5. SONUÇLAR: Dizge tabanlı bileşen sınamı, hem dizge bütününün güvenirliği hakkında belli bir güvenle sonuç elde edilebilmesini sağlarken hem de bileşen bazında sınam yapılarak hızlı ve daha ucuz sonuçlar elde edilmesine olanak sağlar. Bu sebepten dolayı zaman içerisinde farklı araştırmacıların ilgisini çekmiş ve farklı dizge yapıları incelenmiştir. Bu çalışmada ise yazında daha önce irdelenmemiş dizgenin beklenen yaşam süresi dikkate alınmıştır. Ortaya çıkan farklı modellerin tasarlanan bir sütun üretme yordamı sayesinde çözülebildiği gösterilmiştir. Çalışmanın ilerleyen aşamalarında bir başka güvenilirlik ölçütü olan kullanırlık kavramının da ele alınması, ve bundan sonra dizge tabanlı bileşen sınam probleminin çok ölçütlü biçimde modellenmesi amaçlanmaktadır. KAYNAKÇA Altınel, İ.K., The design of optimum component test plans in the demonstration of system reliability, European Journal of Operational Research, 78, Altınel, İ.K., Özekici, S., A dynamic model for component testing, Naval Research Logistics, 44, Altınel, İ.K., Özekici, S., Feyzioğlu, O., 2001a. Dynamic component testing of a series system with redundant subsystems, IIE Transactions, 33, Altınel, İ.K., Özekici, S., Feyzioğlu, O., 2001b. Component testing of repairable systems in multistage missions, Journal of the Operational Research Society, 52, Feyzioğlu, O., Altınel, İ.K., Özekici, S., The design of optimum component test plans for system reliability, Computational Statistics & Data Analysis, 50/11, Feyzioğlu, O., Altınel, İ.K., Özekici, S., Optimum component test plans for phasedmission systems, European Journal of Operational Research, 185/1, Horst, R., Tuy, H., Global Optimization: deterministic approaches, 3. Baskı, Springer- Verlag, Berlin. Tuy, H., Convex Analysis and Global Optimization, 1. Baskı, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Netherlands.