x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)"

Transkript

1 ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme özel yöntemler geliştirmek gereklidir Fakat lineer durumda çözümlerin en temel özellikleri için kapsamlı bir teori mevcuttur, hatta sabit katsayılı durumda denklemin veye sistemin çözümü açık olarak elde edilebilir u bölümde lineer diferansiyel denklem sistemlerinin çözümlerinin elde edeceğimiz bazı temel özellikleri, lineer olmayan sistemler için de temel oluşturur 2 Giriş Şimdi x(t):= (x (t), x 2 (t),, x n (t)) T bilinmeyen bir vektörel fonksiyon, i, j =,2,,n olmak üzere a ij (t)veb i (t) fonksiyonları da (r,r 2 ) aralığında verilmiş sürekli fonksiyonlar olmak üzere, birinci mertebeden n boyutlu x i = a ij (t)x j + b i (t), i =,2,,n (2) j = lineer sistemini ele alalım Eğer (t) ile n n boyutlu a ij (t) matrisini, (t) ile de (b (t),b 2 (t),,b m (t)) T vektörünü gösterirsek (2) sistemini x = (t)x + (t) (22) olarak ifade edebiliriz ve matrisleri kapalı bir bölgede sürekli ise f (t, x):= (t)x +(t) fonksiyonunun her iki değişkene göre türevleri sürekli olacaktır, dolayısıyla bu bölgede Lipschitz koşulu sağlanır öylece Teorem 224 gereği (t) ve(t) matrislerinin sürekli sürekli olduğu kapalı bir bölgede (22) denklemi ile verilen bir başlangıç değer probleminin tek bir çözümü vardır (22) tipindeki lineer denklemlerin önemli bir özelliği süperpozisyon ilkesi denilen şu özelliktir x (t) fonksiyonu (22) sisteminin (t) = (t) için bir çözümü, x 2 (t) fonksiyonu da aynı sistemin (t) = 2 (t) için bir çözümü olsun u durumda c ve c 2 verilmiş skaler sabitler olmak üzere x(t) = c x (t)+c 2 x 2 (t) fonksiyonu (22) sisteminin (t) = c (t)+c 2 2 (t) için bir çözümü 33

2 34 ölüm 2 L ıneer S ıstemler olur Gerçekten bunu x (t) = c x (t) + c 2x 2 (t) = c ((t)x (t) + (t)) + c 2 ((t)x 2 (t) + 2 (t)) = (t)(c x (t) + c 2 x 2 (t)) + c (t) + c 2 2 (t) = (t)x(t) + (t) olarak gözlemleyebiliriz Özel olarak x (t)vex 2 (t) fonksiyonları aynı x = (t)x (23) lineer homojen sisteminin çözmleri iseler, bu durumda x(t) = c x (t)+c 2 x(t) fonksiyonu da (23) sisteminin bir çözümü olur Dahası, eğer x (t) fonksiyonu (22) sisteminin bir çözümü ise, x 2 (t) fonksiyonunun da (22) sisteminin bir çözümü olması için gerek ve yeter koşul x (t) x 2 (t) fonksiyonunun (23) sisteminin bir çözümü olmasıdır Süperpozisyon ilkesi daha soyut bir biçimde şöyle de ifade edilebilir (t) fonksiyonu bir L vektör uzayının elemanlarını tarasın, ayrıca her (t) 2 L için (22) sisteminin tek bir çözümü olsun u durumda (22) sisteminin çözümlerinin kümesi olan Y kümesi bir vektör uzayıdır Lineer sistemlerin kalitatif özelliklerinin araştırılmasında matrisler teorisi çok önemlidir Şimdi matrislerle ilgili ihtiyacımız olacak bazı bilgileri özetleyelim Okuyucu bu bilgileri lineer cebir derslerinden hatırlayacaktır Sadece elemanları reel değerli olan kare matrislerle ilgileneceğiz ir = a ij matrisinin normunu tüm elemanlarının mutlak değerce toplamı olarak, yani kk := i,j = Ø aij Ø Ø (24) olarak tanımlarız Matrislerin bir { n } dizisi, eğer n!için k n k! ise, matrisine yakınsaktır denir yrıca auchy yakınsaklık kriteri matrisler için de geçerlidir Matrislerin bir serisinin kısmi toplamlar dizisi yakınsak ise ilgili seri de yakınsaktır ir matrisinin determinantını det veya ile, transpozunu T ile, ve izinin (esas köşegen üzerindeki elemanları toplamını) Tr ile göstereceğiz ir matrisisnin terslenebilir olması için gerek ve yeter koşul det 6= olmasıdır I ile n boyutlu birim matrisi gösterelim, n n boyutlu bir kare matrisi için değişkeninin n inci dereceden f ( ) = det( I ) polinomuna matrsinin karakteristik polinomu, bu polinomun köklerine de bu matrisin özdeğerleri denir Tüm özdeğerlerinin çarpımının det değerine, toplamının da Tr değerine eşit olduğu kolayca doğrulanabilir ir özdeğeri için x = x eşitliğini sağlayan sıfırdan farklı x vektörüne, matrisinin özdeğerine karşılık gelen öz vektörü denir ve iki matris olsun Eğer = T T eşitliği sağlanacak şekilde bir terslenebilir T matrisi varsa, ile matrislerine benzer matrisler denir enzer matrislerin karakteristik polinomlarının aynı olduğu kolayca doğrulanabilir ir kare matrisinin Jordan kanonik biçimi ile ilgili aşağıdaki temel sonucu hatırlayalım Teorem 2 k + k 2 ++k r = n olmak üzere, 2,, r sayıları n n boyutlu matrisinin k,k 2,,k r katlı özdeğerleri olsun u durumda L ( j ):= j ve j j L k j ( j ):= j j Yrd Doç Dr Süleyman ÖĞREKÇİ

3 2 Giriş 35 olmak üzere L k ( ) T L k2 ( 2 ) T = L kr ( r ) olacak şekilde terslenebilir bir T matrisi vardır Özel olarak eğer matrisinin tüm özdeğerleri farklı ise T 2 T = n olacak şekilde terslenebilir bir T matrisi vardır Örnek boyutlu bir matrisinin özdeğerleri = 2 =, 3 = 4 = 5 = 6ve 6 = 3 biçiminde olsun u durumda r = 3, k = 2, k 2 = 3, k 3 = ve 6 L 2 () =, L 3 (6) = 6, L (3) = 3 6 biçimindedir Dolayısıyla T T = olacak şekilde bir T matrisi vardır = Şimdi de kompleks özdeğerler bulunması durumunu ele alalım n n matrisinin, 2,, r özdeğerleri reel, u,u 2,,u m özdeğerleri de kompleks olsun u kompleks özdeğerler u i = u i biçiminde olsun u durumda r + m = n olacaktır Æ k ve Ø k sayıları u k = Æ k + iø k ve u k = Æ k iø k eşitliğini sağlayan sayılar olsun u durumda 2 r T T = Æ Ø Ø Æ Æ 2 Ø 2 Ø 2 Æ 2 olacak şekilde bir T matrisi vardır

4 36 ölüm 2 L ıneer S ıstemler Örnek 23 = olsun u durumda det( I ) = ( + )( ) olup özdeğerler =, u = 2 + 3i, u 2 = 2 3i olarak tespit edilir öylece T T = olacak şekilde bir T matrisi vardır Uyarı 24 İki boyutlu lineer sistemler için Jordan kanonik formları özetleyelim Œ (i) 2 2 matrisinin farklı iki ve özdeğeri varsa T T = olacak şekilde bir T matrisi vardır (ii) 2 2 matrisinin çift katlı bir özdeğeri varsa, bu özdeğere karşılık gelen öz vektörlerin lineer bağımsız veya bağımlı olması durumuna karşılık sırasıyla T T = olacak şekilde bir T matrisi vardır veya T T = (iii) 2 2 matrisinin özdeğerleri Æ ± iø ise T Æ Ø T = Ø Æ olacak şekilde bir T matrisi vardır 22 Çözümler ve Temel Özellikleri Homojen Denklemler u bölümde x(t):= (x (t), x 2 (t),, x n (t)) T bilinmeyen n boyutlu bir vektörel fonksiyon ve := aij de (r,r 2 ) aralığında verilen sürekli n n boyutlu bir matris fonksiyonu olmak üzere x = (t)x (22) lineer homojen denklem sisteminin çözümlerinin temel özelliklerini araştıracağız (22) denkleminin çözümlerinin herhangi bir kombinasyonu yine (22) denkleminin bir çözümü olur j =,2,,n olmak üzere j (t) fonksiyonları (22) denkleminin çözümleri ve c j ler de keyfi sabitler olsun yrıca (t):= c j j (t) j = Yrd Doç Dr Süleyman ÖĞREKÇİ

5 22 Çözümler ve Temel Özellikleri 37 fonksiyonunu tanımlayalım uradan türev alarak (t) = c j j (t) = c j (t) j (t) = (t) c j j (t) = (t) (t) j = j = elde ederiz ki bu da (t) fonksiyonunun (22) denkleminin bir çözümü olduğunu gösterir Dikkat edilmelidir ki (t) fonksiyonu (r,r 2 ) aralığında (22) denkleminin bir çözümüdür Hatta aşağıda kanıtlayacağımız gibi bu çözüm (22) denkleminin (t ) = koşulunu sağlayan tek çözümüdür Lemma 22 t 2 (r,r 2 ) ve (t) fonksiyonu (22) denkleminin (t ) = koşulunu sağlayan çözümü olsun u durumda t 2 (r,r 2 ) için (t) olur İspat (t) fonksiyonu (r,r 2 ) aralığında (22) denklemini ve (t ) = başlangıç koşulunu sağlar Çözümün tekliği gereği bundan başka çözüm yoktur v (t), v 2 (t),, v n (t) fonksiyonları bir I aralığında tanımlı olsunlar Her t 2 I için c i v i (t) = i= eşitliği sadece c = c 2 ==c n = için sağlanıyorsa bu v i (t) fonksiyonları I aralığında lineer bağımsızdır denir ksi taktirde bu fonksiyonlar lineer bağımlıdır Teorem 222 (t), 2 (t),, n (t) fonksiyonları (r,r 2 ) aralığında (22) denkleminin lineer bağımsız çözümleri olsunlar u durumda c j j (t) j = lineer kombinasyonu c ==c n = olmadıkça (r,r 2 ) aralığındaki hiç bir t için sıfır olmaz İspat (t):= P n j = c j j (t) tanımlayalım u durumda denklem lineer olduğundan (t) fonksiyonu (22) denkleminin bir çözümü olur Eğer bir t 2 (r,r 2 )için (t ) = oluyorsa Lemma 22 gereği (r,r 2 ) aralığında (t) olur u ise lineer bağımsızlıkla çelişir, o halde (t) fonskiyonu (r,r 2 ) aralığında hiçbir zaman sıfır olamaz Tanım 223 (Temel çözüm) (22) denkleminin (r,r 2 ) aralığındaki (t), 2 (t),, n (t) çözümleri eğer bu aralıkta lineer bağımsız iseler, bu durumda bu çözümlere (22) denkleminin bir temel çözümler sistemi denir Teorem 224 (22) denkleminin bir temel çözümler sistemi her zaman vardır j = İspat (t), 2 (t),, n (t) fonksiyonları (r,r 2 ) aralığında (22) denkleminin j (t ) = e j, j =,2,,n başlangıç koşullarını sağlayan çözümleri olsunlar urada t 2 (r,r 2 )vee j ler de R n in birim vektörleridir Çözümün tekliği gereği, bu çözümler farklı başlangıç koşullarını sağladıklarından, birbirlerinden farklıdırlar u çözümlerin (r,r 2 ) aralığında lineer bağımsız olduklarını iddia ediyoruz Varsayalım ki bu yanlış olsun, bu durumda hepsi birden sıfır olmayan c j sabitleri için (t):= c j j (t), t 2 (r,r 2 ) j =

6 38 ölüm 2 L ıneer S ıstemler olur öylece (t ) = c j j (t ) = c j e j = (c,c 2,,c n ) = j = j = elde ederiz uradan c = c 2 ==c n = elde edilir ki bu da fonksiyonların lineer bağımsız olmasıyla çelişir Sonuç 225 (22) denkleminin her çözümü, temel çözümler sisteminin elemanlarının bir lineer kombinasyonu olarak yazılabilir İspat t 2 (r,r 2 ) olmak üzere x(t) fonksiyonu (r,r 2 ) aralığında (22) denkleminin x(t ) = x := (x, x 2,,x n ) T başlangıç koşulunu sağlayan çözümü olsun yrıca j =,2,,n olmak üzere j (t) fonksiyonları da (22) denkleminin j (t ) = e j koşullarını sağlayan bir temel çözümler sistemi olsun Şimdi (t):= x j j (t) olarak tanımlarsak (t) fonksiyonunun (22) denklemini sağladığı açıktır yrıca (t ) = j = x j e j = (x, x 2,,x n ) = x j = olur Çözümün tekliği gereği böylece t 2 (r,r 2 ) için (t) x(t) elde edilmiş olur Uyarı 226 Elde ettiğimiz bu sonuçlar bize (22) denkleminin tüm çözümlerinin n boyutlu bir vektör uzayı oluşturduğunu gösterir (22) denkleminin her çözümü temel çözümler cinsinden yazılabildiği için bu denklemin çözümlerinin özelliklerini araştırmak için sadece n tane temel çözümünü ele almak yeterlidir Œ Şimdi j inci sütunu (22) denkleminin j (t ) = e j koşulunu sağlayan çözümü j (t):= j, 2j,, nj T vektörü biçiminde olan n n matrisini (t) ile gösterelim Yani (t) j (t) n (t) (t):= n (t) nj (t) nn (t) olarak tanımlayalım (t ) = I eşitliğinin sağlandığı açıktır Sonuç 227 Yukarıda tanımlanan (t) matrisi (t) = (t) (t) (222) matris diferansiyel denklemini ve (t ) = I eşitliğini sağlar yrıca (22) denkleminin x(t ) = x başlangıç koşulunu sağlayan x(t) çözümü x(t) = (t)x eşitliğini sağlar İspat Her j (t) sütunu (22) denkleminin bir çözümü olduğundan her j =,2,,n için j (t) = (t) j (t) eşitliği sağlanır u da (222) eşitliğinin sağlandığını gösterir Şimdi x := (x, x 2,,x n ) T olsun u durumda Sonuç 225 gereği x(t) = x j j (t) j = eşitliği sağlanır u eşitliğin sağ tarafı (t)x matris çarpımı olduğundan x(t) = (t)x eşitliği elde edilmiş olur Yrd Doç Dr Süleyman ÖĞREKÇİ

7 22 Çözümler ve Temel Özellikleri 39 Tanım 228 (Wronskian) Sütunları (22) denkleminin (t),, n (t) çözümlerinden oluşan (t) matrisinin determinantı olan skaler W (t):= det (t) fonksiyonuna (t),, n (t) fonksiyonlarının Wronskianı denir Tanım 229 (Temel matris) Sütunları (22) denkleminin lineer bağımsız olan (t),, n (t) çözümlerinden oluşan (t) matrisine (22) denkleminin bir temel matrisi denir Teorem 22 (bel-liouville formülü) (t) matrisi (22) denkleminin bir temel matrisi ve t 2 (r,r 2 ) olsun u durumda Z t W (t) = W (t )exp Tr (s)ds, t 2 (r,r 2 ) t eşitliği sağlanır İspat W (t) = det (t) fonksiyonunun türevini hesaplamak için Jacobi türev formülü olarak bilinen formülü kullanacağız u formüle göre herhangi bir (t) kare matrisi için d dt det (t) = Tr adj (t) d dt (t) eşitliği geçerlidir urada (t) matrisinin sütunları lineer bağımsız olduğundan bu matris terslenebilirdir, dolayısıyla bu eşitlikte adj (t) (t) = det (t) eşitliğini kullanarak d dt det (t) = Tr (t) det (t) d dt (t) eşitliğini elde ederiz Diğer yandan Sonuç 227 gereği (t) matrisi (t) = a ij (t) olmak üzere = (t) eşitliğini sağlar unu da yukarıdaki eşitlikte kullanarak ve gerekli düzenlemeleri yaparak d eşitliğine, yani dt det (t) = Tr (t) det (t) (t) (t) = Tr (det (t) (t)) = det (t) Tr ((t)) W (t) = Tr ((t)) W (t) skaler diferansiyel denklemine varırız ki bu da ispatı tamamlar Üstel fonksiyon hiç bir zaman sıfır olmadığından bu sonuçtan, eğer bir t 2 (r,r 2 ) için W (t ) = oluyosa bu durumda her t 2 (r,r 2 ) için W (t) = olacağını anlıyoruz şağıda daha genel bir sonuç elde edeceğiz Teorem 22 (222) denkleminin çözümü olan bir (t) matrisinin (22) denkleminin bir temel matrisi olması için gerek ve yeter koşul olmasıdır W (t) 6=, t 2 (r 2,r 2 ) İspat Sütunları (22) denkleminin çözümleri olan j (t) vektörlerinden oluşan (t) matrisi (22) denkleminin bir temel matrisi olsun Şimdi (t) fonksiyonu (22) denkleminin herhangi bir çözümü olsun, bu durumda (t) = c j j (t) j =

8 4 ölüm 2 L ıneer S ıstemler olacak şekilde aynı anda hepsi sıfır olmayan c j sabitleri vardır (22) denkleminin çözümlerinin tekliği gereği ayrıca bu sabitler tektir Eğer c := (c,c 2,,c n ) T olarak tanımlarsak bu eşitliği (t) = (t)c biçiminde yazabiliriz Her t 2 (r,r 2 ) için bu eşitlik n tane c,,c n bilinmeyenlerinin bir lineer denklem sistemini belirtir ve çözüm tektir Dolayısıyla (t) matrisinin determinantı sıfırdan farklıdır Diğer taraftan, eğer t 2 (r,r 2 ) için W (t) 6= ise bu aralıkta j (t) sütun vektörleri lineer bağımsızdır u vektörler (22) denkleminin çözümleri olduklarından (t) matrisi bir temel matristir Uyarı 222 Herhangi bir matrisin determinantı, sütunları lineer bağımsız olsa bile, sıfır olabilir Örneğin t 2 t 4 (t) = e t e t matrisinin determinantı sıfırdır ve sütunları herhangi bir aralıkta lineer bağımsızdır u sütunlar aynı lineer denklemin çözümleri olmadıklarından bu durum Teorem 22 sonucu ile çelişmez Œ Örnek 223 (İkinci mertebeden lineer denklemler) p(t)veq(t) fonksiyonları (r,r 2 ) aralığında sürekli olsunlar Eğer y (t)vey 2 (t) fonksiyonları bu aralıkta y + p(t)y + q(t)y = (223) denkleminin W 2 (y, y 2 ) = y y 2 y y 2 6=, t 2 (r,r 2 ) koşulunu sağlayan çözümleri iseler, bu durumda diğer çözümlerin de bu iki çözümün lineer kombinasyonundan oluştuğunu kanıtladık Şimdi bu denklem üzerinde bu durumu gözlemleyeceğiz ir y 3 (t) fonksiyonu (223) denkleminin bir çözümü olsun u durumda y y y + p(t)y + q(t)y = 2 + p(t)y 2 + q(t)y 2 = 3 + p(t)y 3 + q(t)y 3 = eşitlikleri sağlanır İlk eşitliği y 2 ile ve ikinci eşitliği y ile çarpıp toplarsak y y 2 y y 2 + p(t) y y 2 y y 2 = denklemine, yani W 2 + p(t)w 2 = denklemine ulaşırız uradan da t W 2 (t) = k 2 exp Z p(s)ds elde ederiz, k 2 6= olduğu açıktır enzer şekilde y 2 y 3 + y 2 y 3 = W 23(t) = k 23 exp R t p(s)ds y y 3 + y y 3 = W 23(t) = k 3 exp R t p(s)ds Yrd Doç Dr Süleyman ÖĞREKÇİ

9 22 Çözümler ve Temel Özellikleri 4 eşitlikleri elde edilebilir unlardan ilk eşitliği y ile, ikincisini de y 2 ile çarpıp toplarsak W 2 (t)y 3 (t) = k 23 y (t) + k 3 y 2 (t) t exp Z p(s)ds eşitliğine varırız, buradan da olduğu sonucuna varırız y 3 (t) = k 23 k 2 y (t) + k 3 k 2 y 2 (t) Teorem 224 matrisi (22) denkleminin bir temel matrisi ve de terslenebilir herhangi bir matris olsun, bu durumda matrisi de (22) denkleminin bir temel matrisi olur yrıca (22) denkleminin her temel matrisi bir terslenebilir matrisi için biçiminde yazılabilir İspat (t) matrisi (22) denkleminin bir temel matrisi ise Sonuç 227 gereği ( (t)) = (t)( (t)) eşitliği sağlanır ve dolayısıyla (t) matrisi (222) denkleminin bir çözümü olur yrıca det( ) = det det 6= olduğundan matrisi (22) denkleminin bir temel matrisi olur Şimdi (22) denkleminin herhangi iki ve 2 temel matrisi için 2 = olacak şekilde terslenebilir bir matrisinin var olduğunu gösterelim (t) 2(t) =: (t) tanımlayalım, bu durumda 2 = eşitliği sağlanır u eşitliğin türevini alarak 2 = + eşitliğini elde ederiz u eşitlikte (222) denklemini kullanırsak 2 = + ve = sonucuna varırız Dolayısıyla isteniln özelliklerde terslenebilir bir sabit := matrisi bulunmuş olur Uyarı 225 Şu hususlara dikkat edilmelidir Öncelikle yukarıdaki teoremin iddiası matrisi için doğru değildir yrıca iki farklı lineer homojen sistem aynı temel matrise sahip olamaz Dolayısıyla matrisi matrisini belirler, bunun tersi doğru değildir Œ Uyarı 226 Yukarıdaki teorem bize (t ) = I kısıtlamasının gerekli olmadığını, elde ettiğimiz sonuçların herhangi bir başlangıç koşulu için de geçerli olduğunu gösterir Çünkü := (t ) seçersek (t):= (t) matrisi (t ) = I koşulunu sağlayan bir temel matris olur Œ Mertebenin Düşürülmesi ir I := [a,b] aralığında n n boyutlu x = (t)x (224) sisteminin lineer bağımsız r tane çözümü biliniyorsa, bunları kullanarak (224) problemini n r boyutlu bir lineer sistemi çözme problemine indirgeyebiliriz Şimdi bu indirgeme işlemini açıklayacağız Öncelikle (224) sisteminin bilinen lineer bağımsız r tane çözümünün oluşturduğu n r boyutlu matrisi X r (t) ile gösterelim yrıca aşağıdaki sekilde gösterildiği gibi X r (t) matrisinin ilk r r boyutlu bloğunu X r (t) ile, kalan (n r ) r boyutlu bloğunu da X r2 (t) ile gösterelim X r (t):= = X r (t) X r2 (t)

10 42 ölüm 2 L ıneer S ıstemler Şimdi I aralığının t 2 I ve her t 2 I için det X r (t) 6= olacak şekilde bir I := [Æ,Ø] alt aralığının var olduğunu varsayalım ve n n boyutlu Y (t) matrisini Xr (t) Y (t):= X r2 (t) I n r (225) olarak tanımlayalım, bu durumda t 2 I için dety (t) = det X r (t) 6= olacaktır u matrisin tersini hesaplamak için bloklara ayırarak matris çarpımından faydalanarak Y X r (t):= (t) X r2 (t)x r (t) I n r (226) elde ederiz yrıca (225) eşitliğinde doğrudan türev alarak Y Xr (t) (t):= (t) X r2 (t) (227) eşitliğinin sağlandığı kolayca görülebilir Diğer yandan r r boyutlu (t) matrisini, (n r ) (n r ) boyutlu 22 (t) matrisini ve diğer 2 (t) ile 2 (t) matrislerini (t) 2 (t) (t) = (228) 2 (t) 22 (t) eşitliği ile tanımlayalım yrıca r boyutlu y vektörünü ve (n r ) boyutlu y 2 vektörünü de y y := y 2 (229) olacak şekilde tanımlayalım Şimdi (224) sisteminde yeni bir y değişkeni için x = Y (t)y değişken dönüşümünü uygularsak Y (t)y = (t)y (t)y ) Y (t)y + Y (t)y = (t)y (t)y olduğundan y = Y (t) (t)y (t) Y (t) y (22) yeşitliğini elde ederiz Eğer (225), (226), (227), (228) ve(229) ifadelerini (22) eşitliğinde yerine yazarsak (t)y (t) Y Xr (t) (t) = (t)y (t) (t) X r2 (t) Xr (t) = (t) Y (t) Xr (t) = (t) X r2 (t) = (t) I n r (t) 2 (t) = = 2 (t) 2 (t) 22 (t) 22 (t) X r2 (t) I n r Xr (t) X r2 (t) I n r Yrd Doç Dr Süleyman ÖĞREKÇİ

11 22 Çözümler ve Temel Özellikleri 43 olduğundan y y 2 = = X r (t) 2 (t) X r2 (t)x r (t) I n r 22 (t) X r (t) 2 (t) X r2 (t)x r (t) 2 (t) + 22 (t) y y y 2 y 2 eşitliğine, yani y = X r (t) 2 (t)y 2 (22) y 2 = X r2 (t)x r (t) 2 (t) + 22 (t) y 2 (222) sistemine ulaşırız Dikkat edilirse (222) denklemi y 2 bilinmeyeninin (n r ) (n r ) boyutlu lineer bir sistemidir, bunun çözümü elde edilebilirse (22) denkleminde yerine yazılarak bu denklemin de çözümü elde edilir öylece n tane çözümün tamamı elde edilmiş olur Unutulmamalıdır ki bu yöntem sadece I alt aralığında geçerlidir, tüm I aralığında değil Homojen Olmayan Denklemler Şimdi n boyutlu bilinmeyen bir x vektörü, verilen n n boyutlu ve (r,r 2 ) aralığında sürekli bir (t) matrisi ve aynı aralıkta sürekli olan verilmiş bir (t) n boyutlu vektörü için x = (t)x + (t) (223) denklemini ele alalım u denkleme n inci mertebeden homojen olmayan lineer sistem denir ve sürekli olduğundan bu denklemin bir başlangıç değer probleminin tek çözümü vardır (22) ve(223) sistemleri arasında yakın ilişki vardır Eğer (22) denkleminin bir temel matrisi biliniyorsa, bu durumda (223) denkleminin çözümleri de bundan faydalınalarak elde edilebilir Teorem 227 (Sabitlerin çeşitlenmesi formülü) (t) ile (22) denkleminin (t ) = I koşulunu sağlayan temel matrisini gösterelim u durumda t 2 (r,r 2 ) olmak üzere (223) denkleminin x(t ) = x başlangıç koşulunu sağlayan çözümü eşitliği ile verilir Z t x(t) = (t)x + (t) (s)(s)ds t (224) İspat Sonuç 227 gereği (22) denkleminin y(t ) = x koşulunu sağlayan y(t) çözümünün y(t) = (t)x olduğunu biliyoruz Şimdi c vektörünün sabit olmayıp, t 2 (r,r 2 ) için değişken bir c(t):= (c (t),c 2 (t),,c n (t)) T, c(t ) = x vektörü olduğunu varsayıp x(t):= (t)c(t) fonksiyonunun (223) denkleminin çözümü olması için (bu mümkün ise) c(t) fonksiyonunun ne olması gerektiğini araştıralım Varsayalım ki x(t) = (t)c(t), c(t ) = x (225) fonksiyonu (223) denkleminin bir çözümü olusn u durumda türev alarak eşitliğini, yani x (t) = (t)c(t) + (t)c (t) (t)x(t) + (t) = (t) (t)c(t) + (t)c (t) = (t)x(t) + (t)c (t)

12 44 ölüm 2 L ıneer S ıstemler eşitliğini elde ederiz u eşitlikten de anlaşıldığı gibi (t) = (t)c (t) eşitliği sağlanır yrıca bir temel matris olduğundan tersi vardır, dolyaısıyla c (t) = (t)(t), c(t ) = x eşitliği sağlanır uradan da Z t c(t) = x + (s)(s)ds t elde edilir ki böylece (225) gereği ispat tamamlanır Uyarı 228 Temel matris ve bunun tersini içerdiğinden hesaplamalarda (224) formülü n > 3 için kullanışlı değildir n = 3 durumunda bile temel matrisi hesaplamak çok zordur, yada imkansızdır Fakat bu formül çözümlerin kalitatif özelliklerinin araştırılmasında çok önemli bir araçtır azı kullanım alanlarını ilerleyen bölümlerde göreceğiz Œ Uyarı 229 f (t, x) fonksiyonu r < t < r 2 ve kxk <bölgesinde sürekli olmak üzere x = (t)x + f (t, x) (226) denklemi için de (224) benzeri bir formül benzer bir yöntemle elde edilebilir u durumda (t) ile (22) denkleminin (t ) = I koşulunu sağlayan bir temel matrisi gösterilmek üzere, (226) denkleminin x(t ) = x koşulunu sağlayan çözümü eşitliğini sağlar Œ Z t x(t) = (t)x + (t) (s)f (s, x(s))ds t (t) matrisinin sabit bir matris olması durumunda, yani x = x + (t) (227) denklemi için (224) formülü daha da basitleşir Sıradaki sonuçla bunu veriyoruz Teorem 222 (t) matrisi x = x denkleminin () = I koşulunu sağlayan bir temel matrisi olsun u durumda (227) denkleminin x(t ) = x koşulunu sağlayan çözümü ile verilir Z t x(t) = (t)x + (t s)(s)ds, t t 2 (r,r 2 ) İspat Her Æ reel sayısı için (t) (Æ) = (t Æ) olduğunu göstereceğiz (t) matrisi x = x denklemini sağladığından (t) := (t) (Æ) matrisi de aynı denklemi ve (Æ) = I başlangıç koşulunu sağlar Diğer yandan 2 (t):= (t Æ) fonksiyonu da 2 (t) = (t Æ) = (t Æ) = 2 (t) olup x = x denklemini sağlar yrıca başlangıç koşulu da 2 (Æ) = () = I biçimndedir öylece çözümün tekliği gereği (t) 2 (t) olmalıdır Yrd Doç Dr Süleyman ÖĞREKÇİ

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri

1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri Outline İçindekiler 1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri 1 1.1 Lineer sistem türleri (iki bilinmeyenli iki denklem)................. 1 2 Normal Formda lineer denklem sistemleri (İki bilinmeyenli iki

Detaylı

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür. ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır.

ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır. ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI. vektör uzayında yer alan w=(9 7) vektörünün, u=( -), v=(6 ) vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olduğunu ve z=( - 8) vektörünün ise bu vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu

Detaylı

3. BÖLÜM MATRİSLER 1

3. BÖLÜM MATRİSLER 1 3. BÖLÜM MATRİSLER 1 2 11 21 1 m1 a a a v 12 22 2 m2 a a a v 1 2 n n n mn a a a v gibi n tane vektörün oluşturduğu, şeklindeki sıralanışına matris denir. 1 2 n A v v v Matris A a a a a a a a a a 11 12

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir.

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir. Matrisler Satır ve sütunlar halinde düzenlenmiş tabloya matris denir. m satırı, n ise sütunu gösterir. a!! a!" a!! a!" a!! a!! a!! a!! a!" m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. [2 3 1] şeklinde,

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Adi Diferansiyel Denklemler...3. Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden. Diferansiyel Denklemler...9

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Adi Diferansiyel Denklemler...3. Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden. Diferansiyel Denklemler...9 İÇİNDEKİLER Ön Söz... Adi Diferansiyel Denklemler... Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemler...9 Homojen Diferansiyel Denklemler...15 Tam Diferansiyel Denklemler...19 Birinci Mertebeden

Detaylı

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem

Detaylı

Ç NDEK LER II. C LT KONULAR Sayfa Öz De er Öz Vektör.. 2. Lineer Cebir ve Sistem Analizi...

Ç NDEK LER II. C LT KONULAR Sayfa Öz De er Öz Vektör.. 2. Lineer Cebir ve Sistem Analizi... ÇNDEKLER II. CLT KONULAR 1. Öz Deer Öz Vektör.. 1 Kare Matrisin Öz Deeri ve Öz Vektörleri... 21 Matrisin Karakteristik Denklemi : Cayley Hamilton Teoremi.. 26 Öz Deer - Öz Vektör ve Lineer Transformasyon

Detaylı

LİNEER CEBİR. Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU. Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN

LİNEER CEBİR. Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU. Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN LİNEER CEBİR Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN 1.BOLUM DOGRUSAL CEBIR VE DIFERANSIYEL DENKLEMLER LİNEER EŞİTLİKLER 1.1. LİNEER EŞİTLİKLERİN TANIMI x 1, x 2,...,

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

Ders: MAT261 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri matrisi bulunuz. olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X 1.

Ders: MAT261 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri matrisi bulunuz. olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X 1. Ders: MAT6 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri. A = matrisi bulunuz.. A = a b c d e f ve B = ÇALIŞMA SORULARI- olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X matrisi satır basamak hale getirildiğinde en fazla

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 MATRİSLER Matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 Bölüm 2 STATİK DENGE ANALİZİ 19 2.1 İktisatta Denge Kavramı 20 2.1.1.

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri

Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin

Detaylı

Nazım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları ax 1 + bx 2 = α cx 1 + dx 2 =

Nazım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları ax 1 + bx 2 = α cx 1 + dx 2 = Naım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları 0.6. DOĞRUSL DENKLEM SİSTEMLERİ ax + bx = α cx + dx = gibi bir doğrusal denklem sistemini, x ve y bilinmeyenler olmak üere, çömeyi hepimi biliyoru. ma probleme

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

Matrisler ve matris işlemleri

Matrisler ve matris işlemleri 2.Konu Matrisler ve matris işlemleri Kaynaklar: 1.Uygulamalı lineer cebir. 7.baskıdan çeviri.bernhard Kollman, David R.Hill/çev.Ed. Ömer Akın, Palma Yayıncılık, 2002 2.Lineer Cebir. Feyzi Başar.Surat Universite

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı 9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER

İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 1.1. Fiziksel Kanunlar ve Diferensiyel Denklemler Arasındaki İlişki... 1 1.2. Diferensiyel Denklemlerin Sınıflandırılması ve Terminoloji...

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı 9 Kasım 27 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 3: Bitiş Saati: 4:5 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

7. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 17, 2016

7. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 17, 2016 7. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 17, 2016 Bu derste bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği sıfır olan k cismi üzerine tanımlı olduğunu varsayıyoruz. 1 Tekrar Gözden Geçirme: Basitlik,

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR

HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR Kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için maksimum veya minimum (ekstremum) noktalarının belirlenmesinde diferansiyel hesabı kullanarak çeşitli

Detaylı

TUNCELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ LİNEER CEBİR DERSİ 2012 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜTÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.

TUNCELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ LİNEER CEBİR DERSİ 2012 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜTÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR. UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ LİNEER CEBİR DERSİ 0 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.İNAN ÜNAL www.inanunal.com UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ

Detaylı

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. 1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar

3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar 3. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 11, 2016 1 Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar Lie nin üçüncü teoremi oarak bilinen ve Cartan tarafından asağıdaki gibi güçlendirilmiş bir teorem ile başlayalım:

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı 6 Kasım 27 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 3: Bitiş Saati: 4: Toplam Süre: 6 Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Salim. Yüce LİNEER CEBİR

Salim. Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR ISBN 978-605-318-030-2 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 2015, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış

Detaylı

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

DENKLEM DÜZENEKLERI 1

DENKLEM DÜZENEKLERI 1 DENKLEM DÜZENEKLERI 1 Dizey kuramının önemli bir kullanım alanı doğrusal denklem düzeneklerinin çözümüdür. 2.1. Doğrusal düzenekler Doğrusal denklem düzeneği (n denklem n bilinmeyen) a 11 x 1 + a 12 x

Detaylı

B Ö L Ü M. ve kitaplar yayınlamış olan bir bilim adamıdır. 2 JULIUS WILHELM RICHARD DEDEKIND ( ), Gauss un öğrencilerinden biridir.

B Ö L Ü M. ve kitaplar yayınlamış olan bir bilim adamıdır. 2 JULIUS WILHELM RICHARD DEDEKIND ( ), Gauss un öğrencilerinden biridir. B Ö L Ü M 2 DOĞAL SAYILAR En basit ve temel sayılar doğal sayılardır, sayı kelimesine anlam veren saymak eylemi bu sayılarla başlamıştır. Fakat insanoğlunun var oluşundan beri kullanılan bu sayıların açık

Detaylı

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 8 Ocak 28 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 4: Bitiş Saati: 5:5 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

ELE401/ /17 GÜZ ÖDEV 2 - ÇÖZÜMLER

ELE401/ /17 GÜZ ÖDEV 2 - ÇÖZÜMLER ELE40/50 06/7 GÜZ ÖDEV - ÇÖZÜMLER -) Lyapunov kararlılığı için = 0, V( ) = 0 0, V( ) > 0 biçiminde bir Lyapunov fonksiyonu 0, V( ) 0 eşitsizliğini sağlanmalıdır. Asimptotik kararlılık için 0, V( ) < 0

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav

Detaylı

BÖLÜM 24 PAULI SPİN MATRİSLERİ

BÖLÜM 24 PAULI SPİN MATRİSLERİ BÖLÜM 24 PAULI SPİN MATRİSLERİ Elektron spini için dalga fonksiyonlarını tanımlamak biraz kullanışsız görünüyor. Çünkü elektron, 3B uzayda dönmek yerine sadece kendi berlirlediği bir rotada dönüyor. Elektron

Detaylı

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer 11.Gram-Schmidt metodu 11.1. Ortonormal baz 11.1.Teorem: { }, V Öklid uzayı için bir ortonormal baz olsun. Bu durumda olmak üzere. 1.Ö.: { }, de bir ortonormal baz olsun. Burada. vektörünü S deki vektörlerin

Detaylı

Önsöz. Mustafa Özdemir Antalya 2016

Önsöz. Mustafa Özdemir Antalya 2016 Önsöz Bu kitap üniversitelerimizin Mühendislik Fakültelerinde, Doğrusal Cebir veya Lineer Cebir adıyla okutulan lisans dersine yardımcı bir kaynak olması amacıyla hazırlanmıştır. Konular, teorik anlatımdan

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocm.mit.edu/terms veya http://tuba.açık ders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

HATA VE HATA KAYNAKLARI...

HATA VE HATA KAYNAKLARI... İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ... 1 1.1 Giriş... 1 1.2 Sayısal Analizin İlgi Alanı... 2 1.3 Mühendislik Problemlerinin Çözümü ve Sayısal Analiz... 2 1.4 Sayısal Analizde Bilgisayarın Önemi... 7 1.5 Sayısal Çözümün

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi 2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 4 Mustafa Özdemir MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 4 (336 sayfa) ANALİZ CEBİR 1 TANITIM DÖKÜMANI (Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman

Detaylı

MAT 302 SOYUT CEBİR II SORULAR. (b) = ise =

MAT 302 SOYUT CEBİR II SORULAR. (b) = ise = MAT 302 SOYUT CEBİR II SORULAR 1. : bir dönüşüm, olsunlar. a) ( ) = ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) olduğunu c) ( ) nin eşitliğinin sağlanması için gerekli ve yeterli bir koşulun nin 1 1 olması ile mümkün olduğunu

Detaylı

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50 Modül Teori Modüller Prof. Dr. Neşet AYDIN ÇOMÜ - Matematik Bölümü [01/07] Mart 2012 Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart 2012 1 / 50 Giriş M bir toplamsal değişmeli

Detaylı

2.3. MATRİSLER Matris Tanımlama

2.3. MATRİSLER Matris Tanımlama 2.3. MATRİSLER 2.3.1. Matris Tanımlama Matrisler girilirken köşeli parantez kullanılarak ( [ ] ) ve aşağıdaki yollardan biri kullanılarak girilir: 1. Elemanları bir tam liste olarak girmek Buna göre matris

Detaylı

.:: BÖLÜM I ::. MATRİS ve DETERMİNANT

.:: BÖLÜM I ::. MATRİS ve DETERMİNANT SAKARYA ÜNİVERSİTESİ İŞLETME FAKÜLTESİ İŞLETME BÖLÜMÜ.:: BÖLÜM I ::. MATRİS ve DETERMİNANT Halil İbrahim CEBECİ BÖLÜM I 1. Matris Cebirine Giriş MATRİS VE DETERMİNANT Sayıların, değişkenlerin veya parametrelerin

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 3 Araliık 7 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: : Bitiş Saati: 3:4 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

Isı İletim Problemine Dönüş

Isı İletim Problemine Dönüş Bölüm 3 Isı İletim Problemine Dönüş 3.1 Çözümün Varlığı Birinci bölümde x ekseni boyunca x = ile x = a noktaları arasında yerleşmiş ısıtılımış bir çubuğu ele almıştık. ve D := {(x, t) 2 R 2 :< x < a, t

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES)

BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES) BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES) Lagrange ve Neville yöntemlerinin bazı olumsuz yanları vardır: İşlem sayısı çok fazladır (bazı başka yöntemlere kıyasla) Data setinde bir nokta ilavesi veya çıkartılması

Detaylı

Ç NDEK LER I. C LT KONULAR Sayfa 1. Lineer Cebire Giri... 2. Lineer Denklem Sistemlerinin Elemanter lemlerle Çözümü

Ç NDEK LER I. C LT KONULAR Sayfa 1. Lineer Cebire Giri... 2. Lineer Denklem Sistemlerinin Elemanter lemlerle Çözümü ÇNDEKLER I. CLT KONULAR 1. Lineer Cebire Giri... 1 Lineer Modeller... 3 Lineer Olmayan Modeller... 3 Dorunun Analitik Analizi.. 5 Uzayda Geometrik Büyüklükler. 7 Lineer Cebir ve Lineerite 10 Lineer Denklem

Detaylı

5 Mayıs Fen Liseleri, Sosyal Bilimler Liseleri, Spor Liseleri, Anadolu Liseleri Öğretmenlerinin Seçme Sınavı. Matematik Soruları ve Çözümleri

5 Mayıs Fen Liseleri, Sosyal Bilimler Liseleri, Spor Liseleri, Anadolu Liseleri Öğretmenlerinin Seçme Sınavı. Matematik Soruları ve Çözümleri Mayıs 7 Fen Liseleri, Sosyal Bilimler Liseleri, Spor Liseleri, Anadolu Liseleri Öğretmenlerinin Seçme Sınavı Matematik Soruları ve Çözümleri 6. Aşağıdakilerden hangisi verildiğinde p q önermesinin doğruluk

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Hessien Matris-Quadratik Form Mutlak ve Bölgesel Maksimum-Minimum Noktalar Giriş Kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için

Detaylı

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak

Detaylı