MATEMATİK ANABİLİM DALI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "MATEMATİK ANABİLİM DALI"

Transkript

1 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Serka ÖKTEN -NORMLU UZAYLAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 00

2

3 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ -NORMLU UZAYLAR Serka ÖKTEN ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Daışma :Yrd. Doç. Dr. Yusuf KARAKUŞ Yıl : 00, Sayfa: 68 Jüri : Yrd. Doç. Dr. Yusuf KARAKUŞ :Prof. Dr. Doğa DÖNMEZ :Yrd. Doç. Dr. Ersi KIRAL Bu çalışmada -Normlu Uzaylar, -Baach Uzayları ve Sıırlı Lieer - Foksiyoeller icelemiş ve ayrıca Geelleştirilmiş -Normlu Uzaylarda Hah- Baach Teoremi ele alımıştır. Aahtar Kelimeler: -Norm, -Normlu Uzaylar, -Baach Uzayları, Sıırlı Lieer -Foksiyoeller, Hah-Baach Teoremi I

4 ABSTRACT MSc THESIS -NORMED SPACES Serka ÖKTEN ÇUKUROVA UNIVERSITY INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES DEPARTMENT OF MATHEMATICS Supervisor : Asst. Prof. Dr. Yusuf KARAKUŞ Year : 00, Pages: 68 Jury : Asst. Prof. Dr. Yusuf KARAKUŞ :Prof. Dr. Doğa DÖNMEZ :Asst. Prof. Dr. Ersi KIRAL I this thesis, -Norm, -Normed Spaces, -Baach Spaces ad Bouded Liear -Foctioals were studied ad also Hah-Baach Theorem I Geeralized - Normed Spaces was cosidered. Key Words: -Norm, -Normed Spaces, -Baach Spaces, Bouded Liear - Foctioals, Hah-Baach Theorem II

5 TEŞEKKÜR Yüksek lisa çalışmamda hiçbir özveride kaçımada aydılatıcı fikirleri ile bu eseri meydaa gelmesii sağlaya saygıdeğer hocam, sayı Yrd. Doç. Dr. Yusuf KARAKUŞ a, çalışmamı başlagıç aşamasıda kayak ve yol göstererek desteğii esirgemeye hocalarım, sayı Prof. Dr. Doğa DÖNMEZ ve sayı Yrd. Doç. Dr. Mehmet AÇIKGÖZ e, ve eğitim hayatıma ilk adım attığım güde itibare elleride gele hiçbir desteği esirgemeye sevgili aeme, babama ve tüm aile fertlerime teker teker sosuz teşekkürlerimi suarım. III

6 İÇİNDEKİLER SAYFA ÖZ... I ABSTRACT... II TEŞEKKÜR... III İÇİNDEKİLER.....V.GİRİŞ....TEMEL TANIM VE TEOEREMLER Lieer Uzaylar Norm BANACH UZAYI Cauchy Dizisi Baach Uzayı SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Sıırlı Lieer -Foksiyoel DİĞER ÇALIŞMALAR Geelleştirilmiş -Normlu Uzaylarda Hah-Baach Teoremi KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ IV

7 .GİRİŞ Serka ÖKTEN.GİRİŞ Bu tezde -Norm ve -Baach uzayları icelemiştir. -Norm aşağıdaki şekilde taımlaır. X bir vektör uzayı ve,, X X üzeride taımlı reel değerli bir foksiyo olsu. xyz,, X ve α olmak üzere, (N): xy, 0, xy=, 0 acak ve acak x ve y lieer bağımlıysa, (N): xy, = yx,, (N3): αxy, = α xy,, (N4): xy, + z xy, + xz,, koşullarıı sağlaya, foksiyoua -orm ve (,, ) X ikilisie de -ormlu lieer uzay veya -ormlu vektör uzay yada kısaca -ormlu uzay deir. ele alımıştır. Bu çalışmada Sıırlı Lieer -Foksiyoellerle ilgili teoremler ve souçlar Diğer çalışmalar kısmıda ise Hah-Baach Teoremii Geelleştirilmiş - Normlu uzaylar üzerie uygulaması iceleerek ilgili teoremlere ve souca yer verilmiştir.

8 .GİRİŞ Serka ÖKTEN

9 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Bu çalışmada K, hem, reel sayılar, hem de, kompleks sayılar, kümelerii ifade etmek içi kullaılmıştır. K ı elemaları skalerler olarak adladırılmıştır.. Lieer Uzaylar Taım..: X bir küme ve K bir cisim olsu. X X de X e ( x+ y) + z = x+ ( y+ z) ( xy, ) x+ y toplama ve ( α, y) αx skalerle çarpma foksiyoları aşağıdaki koşulları sağlarsa o zama X e K cismi üzeride bir lieer uzay veya vektör uzay deir. xyz,, X ve α, β K içi: A ) ( x+ y) + z = x+ ( y+ z), A) x+ y= y+ x, A) x X içi x+ 0= 0+ x= x olacak biçimde bir 0 X vardır, 3 A) 4 x X ve x 0 içi x+ ( x) = ( x) + x = 0 olacak biçimde bir ( x) X vardır, S) α( x+ y) = αx+ αy, S) ( α + β)x= αx+ βx, S) α( βx) = ( αβ ) x, 3 S) 4.x= x. Bir lieer uzay üzeride taımlı ise bir reel vektör uzay ve üzeride taımlı ise bir kompleks vektör uzay olarak adladırılır. A-A 4 özellikleri X i toplama altıda bir abelia gurup olduğuu gösterir. X i elemalarıa oktalar veya vektörler deir. 0 sembolü hem sıfır skaleri hem de 0 vektörüü göstermek içi kullaılır. Ayrıca, i bir alt kümesi olduğuda 3

10 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN üzerideki bir vektör uzay ayı zamada üzeride de bir vektör uzay olarak ele alıabilir. Örek..: Reel sayıları x = ( α, α,..., α ) biçimli bütü -lilerii kümesi V V ile gösterilsi. Aşağıdaki toplama ve skalerle çarpma işlemlerie göre bir vektör uzayıdır. Bu uzaya -boyutlu reel öklid uzayı deir: ( α,..., α ) + ( β,..., β ) = ( α + β,..., α + β ), = içi V ( ) = ve birer vektör uzayıdır. γα (,..., α ) = ( γα,..., γα ). Taımda aşağıdaki özellikler görülür: ) x X içi 0x = 0, ) α K içi α 0= 0, 3) Sıfır vektör 0 tektir, V = dir. Böylece ve kedi üzerleride 4) Her bir x X içi A 4 de belirtile ( x) elemaı tektir, 5) x X içi ( )x= x, 6) xy X, iki vektör olsu, x+ y= z olacak biçimde tek bir z X vektörü vardır. Örek..: X, boş olmaya bir S kümeside bir K cismie taımlı tüm foksiyoları kümesi olsu. ( f + g)( t) = f () t + gt (), ( α f )( t) = α f () t biçimide taımlı toplama ve skalerle çarpma işlemlerie göre X, K üzeride bir vektör uzayıdır. Eğer Örek.. de S={ },..., alıırsa, V ( ) ve V i sırasıyla ve üzeride birer vektör uzayı olduğu görülür. Eğer S=, tüm pozitif tamsayılar kümesi, alıırsa X, K ı elemalarıı tüm dizilerii kümesi olur, toplama ve skalerle çarpma işlemleri aşağıdaki şekilde taımlaır: ( α ) + ( β ) = ( α + β ), γα = ( γα ). 4

11 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN Böylece bu diziler, taımlamış ola işlemlerle K üzeride V ( K) ile gösterile bir vektör uzayı oluşturur. Eğer Örek.. de, S {(, i j): i,..., m; j,..., } = = = alıırsa X, K daki i tüm m matrislerii kümesi olur. α j K ike bir matrisi α α L α i α α α A ( α j ) L = = M M O M m m m α α α L biçimide gösterirsek, X deki toplama ve skalerle çarpma işlemleri aşağıdaki şekilde ifade edilebilir: ve α + β α + β L α + β i i α + β α + β L α + β i i j j j j A+ B= ( α ) + ( β ) = = ( α + β ), M M O M m m m m m m α + β α + β α + β L üzeride γα γα L γα i γα γα γα i γa γα ( j) L = = = ( γα j). M M O M m m m γα γα γα L Böylece tüm m matrislerii kümesi yukarıda ifade edile işlemlerle, K m K biçimide gösterile bir vektör uzayı olur. E, K üzeride taımlı bir X lieer uzayıı bir alt kümesi olsu. xy E, ve α, β K ike αx+ βy E oluyorsa veya eş değer olarak, x+ y E ve α x E oluyorsa E ye X i bir lieer alt uzayı deir. Böylece E i kedisi de K üzeride bir vektör uzayıdır. { 0 } herhagi bir vektör uzayı alt uzayıdır ve trivial lieer uzay olarak adladırır. Taım..: X bir vektör uzayı ve M, X i bir alt kümesi olsu. Eğer herhagi bir m0 M içi M m0 kümesi, yai 5

12 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN { : ve } M m = m m m M m M kümesi, X i bir lieer alt uzayı ise o zama M ye X de bir lieer maifold deir. X i her bir alt vektör uzayı bir lieer maifolddur. X, toplama ve skalerle çarpma işlemleri ile [ ab, ] kapalı aralığıda taımlı tüm reel değerli foksiyoları kümesi olsu. X, Örek.. de dolayı, üzeride bir vektör uzaydır. E, X i X deki tüm sürekli foksiyoları içere bir alt kümesi olsu. Eğer f ve g sürekli foksiyolar, α ve β herhagi iki reel sayı ise α f + βg süreklidir ve E, X i bir alt uzayıdır. Bu uzay C[ ab, ] ile gösterilir. Verile bir X vektör uzayı ve X i bir E alt uzayı ile aşağıdaki biçimde başka bir vektör uzayı düzeleebilir: X de eğer a b E ise a b şeklide bir bağıtı taımlaır. Buu bir deklik bağıtısı olduğuu görmek oldukça kolaydır. Ayrıca, bu deklik bağıtısı şu özellikleri sağlar: Eğer a b ve c d ise a+ c b+ d, ve α K içi a b ise αa αb dir. Bu deklik bağıtısı X E bölüm kümesi ile gösterilir ve a ı temsil ettikleri de (a) deklik sııfı biçimide ifade edilir. Bu durumda aşağıda taımlaa toplama ve skalerle çarpma işlemleri ile X E bir vektör uzayıdır: ( a) + ( b) = ( a+ b), α( a) = ( αa). Her zama olduğu gibi böyle bir durumda gösterilmesi gereke şey bu taımları temsil ede kullaımlarıı bağımsız olduğudur, öreği, eğer (a)=( a ) ve ( b) = ( b ) ise ( a) + ( b) = ( a+ b) = ( a + b ) = ( a ) + ( b ) olduğu gösterilmelidir. X E lieer uzayıa X modül E i bölüm uzayı deir. Taım..3: X bir vektör uzayı olsu. x, y X ve α K içi aşağıdaki koşulları sağlaya reel değerli x x foksiyoua X üzeride bir orm deir. (N ) x 0 ve x = 0 acak ve acak x = 0 ike, (N ) αx = α x, (N 3) x+ y x + y. 6

13 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN Üzeride ormu ile taımlı ola X lieer uzayıa ormlu vektör uzay deir ve ( X,. ) biçimide gösterilir. Örek..3: Örek.. deki V üzeride bir vektör uzayıdır. V ( ) üzeride orm şu şekilde taımlaır. x ( x, x,..., x ) V = içi x = x + x x = xi. i= Gerçekte de (N ), (N ) ve (N 3) koşulları kolaylıkla doğrulaabilir. Böylece, (,. ) V bir ormlu vektör uzayıdır. Örek..4: Örek.. de C[ ab, ], üzeride bir vektör uzayıdır. [, ] f Cab i ormu ise aşağıdaki şekilde taımlaır: [, ] f = max f x. x Cab Gerçekte de (N ), (N ) ve (N 3) koşulları kolaylıkla doğrulaabilir. Böylece, ( [, ],. ) C ab bir ormlu vektör uzayıdır. Vektör uzayları ormu doğal olarak aşağıdaki gibi taımlaa bir metrik meydaa getirir: Taım..4: Bir X kümesi üzeride, aşağıdaki koşulları sağlaya ( xy, ) d( xy, ) foksiyoua bir metrik (veya bir uzaklık foksiyou) deir. xyz,, X içi, D d xy, 0, D d xy, = 0 acak ve acak x = y ise, ( D ) d( xy, ) d( yx, ) 3 =, ( D ) d( xy, ) d( xz, ) d( yz, )

14 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN Üzeride bir d metriği ile birlikte taımlaa X kümesie metrik uzay deir ve ( X, d ) ile gösterilir. Örek..5: X boş olmaya bir küme ve d reel değerli bir foksiyo olsu, (, ) d xy 0, x= y, =, x y. Bu durumda d, X üzeride bir metriktir, bu metriğe discrete metrik deir. Örek..6: V x= ( x x x ), y ( y y y ) V,,..., Böylece, ( V d) de, reel değerli bir d foksiyou şöyle taımlası, =,,..., içi, (, ) max { i i :,,..., } d xy = x y i=., bir metrik uzaydır. { } Örek..6: C[ ab, ] de d( f, g) max f ( x) g( x) : x [ ab, ] durumda ( C[ ab, ], ) d bir metrik uzaydır. = olsu. Bu Eğer ( X,. ) bir ormlu vektör uzayı ise, (, ) d xy = x y bir metrik taımlar. Böylece bir ormlu lieer uzay taımlaa d metriği ile daima bir metrik uzay gibi değerledirilebilir. Bir metrik uzayda (ve dolayısıyla bir ormlu vektör uzayıda), dizileri yakısaklığı, Cauchy dizileri ve tamlık aşağıdaki şekilde taımlaır. Taım..5: { x }, (, ) N içi d( x x) ε dizisie, x oktasıa yakısıyor deir., Taım..6: { x }, (, ) m, N içi d( x, x ) ε dizisie bir Cauchy dizisi deir. X d metrik uzayıda bir dizi olsu. Eğer ε > 0 ve < olacak biçimde bir N = N( ε ) tam sayısı varsa { x } m X d metrik uzayıda bir dizi olsu. Eğer ε > 0 ve < olacak biçimde bir N = N( ε ) tam sayısı varsa { x } Her yakısak dizi bir Cauchy dizisidir. 8

15 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN Taım..7: X deki her bir Cauchy dizisi bir oktaya yakısıyor ise ( X, d ) metrik uzayıa tamdır deir. Taım..8: Eğer bir ( X,. ) ormlu lieer uzayı bir metrik uzay gibi tam ise, bua bir Baach uzayı deir. Örek..8: Örek..3 deki ( V,. ) ormlu lieer uzayı ayı zamada bir Baach uzayıdır. Örek..9: Örek..4 ( [, ],. ) bir Baach uzayıdır. Taım..9: ( X, d ) ve (, ) taımlı f foksiyou xy, X içi, C ab ormlu lieer uzayı ayı zamada X d iki metrik uzay olsu. (, ) = (, ) d f x f y d xy X de X ye eşitliğii sağlıyor ise f e bir izometri deir. Eğer X de X ye örte bir izometri var ise ( X, d ) ve (, ) X d metrik uzaylarıa izometriktirler deir. İzometrii bir uygulaması da kimi kümelerde metrik taımlamak içi bir metot olarak öerilir. (, ) X d bir metrik uzay, bire-bir ve örte bir foksiyo olsu. Eğer xy, X ise (, ) X d bir metrik uzaydır. Taım..0: X bir lieer uzay olsu. X koşulları sağlaya, skaler değerli, ( xy, ) ( xy) üzeride bir iç çarpım deir. xyz,, X ve K ( I ) ( xy) 0, 0 ( I ) ( xy) ( yx) =, ( I 3 ) ( x yz) ( xz) ( yz) α içi, kompleks eşleik X bir küme ve f, X de X ye içi d ( xy, ) = d ( f( x), f( y) ) X de K ya taımlı, aşağıdaki foksiyoua X lieer uzayı xy şeklide gösterilirke, xy = acak ve acak x = 0 ise sağlaabilir, + = +, 9

16 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN ( I 4 ) ( αxy) α( xy) =. Üzeride bir ( ) iç çarpımı taımlı ola X vektör uzayıa bir iç çarpım uzayı (veya pre-hilbert uzayı) deir ve ( X,( )) biçimide gösterilir. Teorem..: Eğer ( X,( )) bir iç çarpım uzayı ise x = ( xx) X üzeride bir orm taımlar. Teorem..: Eğer ( X,( )) bir iç çarpım uzayı ise x, y ( xy) x y dir, eşitlik acak ve acak x ve y lieer bağımsız ike sağlaır. X içi Teorem.. deki eşitsizlik Schwartz eşitsizliği, Cauchy eşitsizliği, Cauchy- Schwartz eşitsizliği veya Cauchy-Buyakovski-Schwartz eşitsizliği olarak da biliir. Teorem..3: Eğer ( X,( )) bir iç çarpım uzayı ise de sürekli bir foksiyodur. iç çarpımı X X Teorem.. de biliiyor ki bir iç çarpım uzayı, x ( xx) = şeklide taımlaa orm ile birlikte, bir ormlu lieer uzay gibi göz öüe alıabilir. Bu orm ( ) iç çarpımı verdiği orm olarak adladırılır. Taım..: Eğer bir iç çarpım uzayı iç çarpımda elde edile orma göre tam ise bu uzay bir Hilbert uzayı olarak adladırılır. Örek..0: V ( ) vektör uzayıda bir iç çarpım, her x= ( x x K x ) (,, K, ) ( ) içi ( xx) = xy + xy + + xy y = y y y V ( I ) ( I ) 4,,,, K şeklide taımlası. koşullarıı sağladığı kolaylıkla görülebilir ve iç çarpımda ayı Örek (, )..3 deki gibi bir orm elde edilebilir. Böylece V uzayıdır. bir reel Hilbert 0

17 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN Örek..: C[ ab, ] vektör uzayıda, bir iç çarpım, f, g C[ ab, ] b içi ( f g) = f( xgxdx ) şeklide taımlası. Bu durumda [, ], a çarpım uzayıdır fakat tam değildir ve böylece bir Hilbert uzayı değildir. C ab bir iç Teorem..4: Eğer ( X,. ) ormlu vektör uzayı bir iç çarpım uzay ise orm Paralelkear Kuralıı sağlar, x, y X içi, x+ y + x y = x + y. Ayrıca Paralelkear Kuralı bir ormlu lieer uzayda sağlaıyor ise bu uzay bir iç çarpım uzayıdır. [ 0,] Taım..: C, bir X vektör uzayıı bir alt kümesi olsu. Eğer xy, C ve t içi tx+ ( t) C oluyorsa C ye koveks deir. Taım..3: Eğer E, X lieer uzayıı bir alt kümesi ise, E yi içere e küçük A koveks kümesie E i koveks kabuğu deir ve cov E şeklide gösterilir. Teorem..5: : Eğer E, X lieer uzayıı bir alt kümesi ise, dir. cov E = z: z = ax i i, ai 0, ai =, xi E i= i= Taım..4: X, K üzeride bir lieer uzay ve E, X i bir alt kümesi olsu. () Eğer E E { x: x E} = = ise E ye simetriktir deir. () Eğer her x E içi t tx ike t x E olacak biçimde bir t x > 0 varsa E ye absorbig (veya absorbet) deir. (3) Eğer { :,, } te = tx x X t K t E ise E ye balaced deir. (4) Eğer { :,, [ 0,] } deir. te+ te = tx+ t y xy E t E ise E ye affie

18 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN (5) Eğer E { tx ( t) y: xy, E, t R} deir. = + ise E ye x ve y de geçe doğru (6) Eğer E { tx ( t) y: xy, E, t [ 0,] } = + ise E ye x ve y yi birleştire doğru parçası deir. Örek..3: X = = {( x, x) : x, x } ve {, : } E = x x x + x = alısı. X i simetrik ve absorbig olduğu kolaylıkla görülür. Açıkça, E koveks değildir. Örek..4: X, bir kompakt Hausdorf uzayı ve Cx, X deki tüm reel değerli foksiyoları kümesi olsu. Bu durumda Cx açıkça koveks ve balaced olur. X, K üzeride bir lieer uzay olsu. X üzerideki foksiyoları öemli bir sııfı aşağıdaki taımla ele alıır. Taım..5: Aşağıdaki koşulları sağlaya reel değerli p: X foksiyoua yarı-orm deir: () p( x) 0 () px ( + y) px + py (3) Her xy, X ve her α içi p( αx) = α px Eğer, px = 0 acak ve acak x = 0, olursa yarı-orma, orm deir. Eğer X, K üzeride bir vektör uzayı ve p, X üzeride bir yarı-orm ise { x px } B (0,) : p = < kümesi açıkça koveks, simetrik, balaced ve absorbig olur. Aşağıdaki teorem balaced, absorbig ve yarı-orm ola koveks kümeler arasıdaki ilişkiyi verir. Teorem..6: X, K üzeride bir vektör uzayı ve E kümesi X i bir alt kümesi olsu. E kümesi aşağıdaki koşulları sağlası: (a) E koveks, (b) E balaced ve absorbig.

19 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN Bu durumda X üzerideki p ( x) if{ t 0: x te} aşağıdaki özellikleri sağlar. () pe ( x) 0, () p ( x+ y) = p ( x) + p ( y), E E E (3) p ( αx) = α p ( E), E E (4) { x: p ( x) < } E { x: p ( x) } E E = > şeklide taımlı p E foksiyou E Taım..6: X bir küme olsu. X i bir alt kümeler topluluğu τ ile gösterilsi. Eğer τ aşağıdaki koşulları sağlarsa τ ya X üzeride bir topoloji deir. () X τ, τ, () τ u herhagi bir ailesii birleşimi yie τ dadır, (3) Eğer O,, K Om τ ise O O K Om τ ( X, τ ) ikilisie bir topolojik uzay deir. Kısaca X e bir topolojik uzay deir. τ u elemalarıa ise açık küme deir. Taım..7: Bir x X içi, x O olacak biçimde O τ kümesii içere X i herhagi bir alt kümesie x i komşuluğu deir. Burada O açık kümeyi gösterir. Taım..8: X ve X iki topolojik uzay ve f : X X taımlı bir foksiyo olsu. Eğer f( x ) i herhagi bir N komşuluğu içi, x N ike f( x) N olacak biçimde x i bir N komşuluğu var ise o zama f foksiyou x oktasıda süreklidir deir. Taım..9: X, K üzeride bir vektör uzayı olsu. X üzerideki bir τ topolojisie göre + : X X X ve : K X X foksiyoları sürekli ise bu X uzayıa topolojik vektör uzayı veya lieer topolojik uzay deir. Bu koşullar altıda τ ya X üzeride bir lieer topoloji deir. Taım..0: X topolojik vektör uzayı üzeride bir lieer topoloji alısı. Eğer 0 (sıfır) ı her komşuluğu 0 ı bir koveks komşuluğuu içeriyorsa bu lieer topolojiye yerel koveks topoloji deir. 3

20 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN Teorem..7: Eğer X, K cismi üzeride bir yerel koveks uzay ise o zama X i topolojisi, yarı-ormları bir ( p ) ailesi tarafıda belirleir. i i I. -Norm Taım..: X bir vektör uzayı ve,, X X üzeride taımlı reel değerli bir foksiyo olsu. xyz,, X ve α R olmak üzere, (N): xy, 0, xy=, 0 acak ve acak x ve y lieer bağımlıysa, (N): xy, = yx,, (N3): αxy, = α xy,, (N4): xy, + z xy, + xz,, koşullarıı sağlaya, foksiyoua -orm ve (,, ) X ikilisie de -ormlu lieer uzay veya -ormlu vektör uzay yada kısaca -ormlu uzay deir., egatif olmaya bir foksiyodur. orm Örek..: 3 X = ve x ( x, x, x3) =, y ( y, y, y ) i j k xy, = x y = det x x x 3 y y y 3 = ike X üzeride - 3 şeklide taımlası. Bu durumda ( X,, ) ikilisii bir -ormlu uzaydır. Gerçekte: (N): xy, X ve x ile y lieer bağımlı olsu, bu durumda bir k içi y = kx olur, yai y = ( y, y, y ) = ( kx, kx, kx ) dir. Böylece, 3 3 i j k i j k xy, = x y = det x x x = det x x x = y y y 3 kx kx kx 3 4

21 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN elde edilir. Şimdi xy=, 0 olsu. Bu durumda, olduğuda k içi y (N): xy, X olsu, i j k xy, = x y = det x x x 3 = 0 y y y 3 = kx olmalıdır. Böylece x ile y lieer bağımlı olurlar. i j k xy, = x y = det x x x 3 y y y 3 i j k = det y y y 3 x x x 3 = i j k det y y y 3 x x x 3 (N3): xy, X ve α olsu, = y x = yx,. i j k αxy, = αx y = det αx αx αx 3 y y y 3 i j k = α det x x x 3 y y y 3 = α i j k det x x x 3 y y y 3 5

22 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN = α xy,. (N4): xyz,, X olsu, i j k xy, + z = x ( y+ z) = det x x x 3 y z y z y3 z i j k i j k = det x x x + det x x x 3 3 y y y 3 z z z 3 i j k i j k det x x x + det x x x 3 3 y y y 3 z z z 3 xy, + xz,. Souç olarak, (N)-(N4) koşulları sağladığıda, ( X,, ) ikilisi bir - ormlu uzaydır. Örek..: [ 0, ] aralığı üzeride derecesi ola reel poliomları kümesi P ile gösterilsi. P bilie toplama ve skaler ile çarpma işlemleri ile reel sayılar üzeride bir lieer vektör uzayıdır. { x x x } [ ] oktalar olsu ve P üzeride -orm, k =,,..., f, g = f x. g x f x. g x k k k k 0, de ayrık, sabitlemiş biçimide taımlası. Bu durumda ( P,, ) ikilisii bir -ormlu uzaydır. Gerçekte: g = kf dir. (N): f, g P olsu. f ve g lieer bağımlı ise, g = kf olur. Bu durumda k = f, g = f x. g x f x. g x k k k k 6

23 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN k= Şimdi f, g = 0 alısı. g 0 olsu, = f x. kf x f x. kf x = 0 k= olur. Burada her k =,,..., içi k k k k f, g = f x. g x f x. g x = 0 k k k k f x. g x f x. g x = 0 k k k k = biçimide elde edilir. Böylece, sol taraf f ( x) g ( x) f ( x) g( x) P( x) gösterilirse, P( x ) poliomuu tae sıfırı (kökü) vardır. Oysa bu poliom - ici derecededir. O halde 0 P x = olur. fg fg = 0. Öte yada f fg fg = = g g 0 f olduğuda g böylece f ile g lieer bağımlı olurlar. (N): f, g P olsu. k= k= k= = k (sabit) olur. Burada f = kg olur ve f, g = f x. g x f x. g x k k k k ( f ( xk). g( xk) f ( xk). g ( xk) ) = = g, f (N3): f, g P ve α olsu... = g x f x g x f x k= k= k= k k k k α f, g = α f x. g x α f x. g x k k k k ( f ( xk). g ( xk) f ( xk). g( xk) ) = α ( f ( xk). g ( xk) f ( xk). g( xk) ) = α 7

24 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN = α f, g (N4): f, gh, P olsu. k= k= k= k k k ( k) ( ( k) ( k) ) f, g+ h = f x. g x + h x f x. g x + h x.... = f x g x + f x h x f x g x f x h x ( f ( xk). g ( xk) f ( xk). g( xk) ) ( f ( xk). h ( xk) f ( xk). h( xk) ) ( f ( xk). g ( xk) f ( xk). g( xk) ) f ( xk). h ( xk) f ( xk). h( xk) k= k k k k k k k k = + + f, g + f, h Souç olarak, (N)-(N4) koşulları sağladığıda, ( P,, ) ikilisi bir - ormlu uzaydır. k = Örek..3: ( X,, ) ikilisi bir -ormlu uzay olsu,,, x+ z, y+ z xy, + yz, + zx, xyz X içi, dir. Buu gösterilmesi içi -orm u (N4) özelliğii kullamak yeterli olacaktır. Örek..4: x+ z, y+ z xy, + z + z, y+ z xy, + xz, + z, y + zz, = xy, + yz, + zx, 3 X = olsu. x ( a, b, c) =, y ( a, b, c ) = X i elemaları ike xy, = bc bc + ac ac + ab ab biçimide taımlaa foksiyou bir -ormdur. Gerçekte: (N): xy, X olsu. Eğer bazı α reel sayıları içi y = α x ise, ( α ) ( α ) ( α ) ( α ) ( α ) ( α ) ( bc bc ) ( ac ac ) ( ab ab) xy, = b c b c + a c a c + a b a b = 0. = α + α + α 8

25 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN Tersie, eğer xy=, 0 ise x ile y i lieer bağımsızlığı gösterilmelidir. Eğer xy=, 0 ise bc bc + ac ac + ab ab = 0 olur. Mutlak değer egatif olmadığıda bc bc = 0, ac ac = 0 ve ab ab = 0 olmalıdır. Eğer c ise a = ( c c ) a, b = ( c c ) b ve 0 alıırsa x x c = c c c olur. Burada α = c c = α y olur. Eğer c = 0 ise cebirsel işlemleri soucu olarak ya = ( a, b,0) ve y = ( 0,0,0) ya da x= (( b b) a, ( b b) b,0) ve y = ( a, b,0) olur. Souç olarak x ile y lieer bağımlıdır. (N): xy, X olsu. xy, = bc bc + ac ac + ab ab = bc bc + ac ac + ab ab = yx,. (N3): xy, X ve λ olsu. ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( bc bc ) ( ac ac ) ( ab ab ) ( bc bc ac ac ab ab ) xy, = b c b c + a c a c + a b a b = λ + λ + λ = λ + + = λ (N4): xyz,, xy,. X ve z = ( a, b, c ) olsu ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) a( b b3) ( a a3) b ( bc bc ) ( bc 3 bc 3 ) ( ac ac ) ( ac 3 ac 3 ) ( ab ab ) ( ab ab) xy, + z = b c + c b + b c + a c + c a + a c = bc bc + bc 3 bc 3 + ac ac + ac 3 ac 3 + ab ab + ab ab = xz, + yz,. Souç olarak, (N)-(N4) koşulları sağladığıda, ( P,, ) ikilisi bir - ormlu uzaydır. 9

26 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN 0

27 3. -BANACH UZAYI Serka ÖKTEN 3. -BANACH UZAYI 3. Cauchy Dizisi m, Taım 3..: { x }, -ormlu X uzayıda bir dizi olsu. Eğer lim x x, y = 0 ve m lim x x, z = 0 olacak biçimde X de lieer bağımsız iki m, m y ve z vektörü varsa { x } dizisie y ve z ye göre bir Cauchy dizisi deir. Teorem 3..: X bir -ormlu vektör uzay olsu. i) Eğer { x } X de a ve b ye göre bir Cauchy dizisi ise reel Cauchy dizileridir. { x, a } ve { x, b } ii) Eğer { x } ve { y } X de a ve b ye göre Cauchy dizileri ve { } reel Cauchy dizisi ise { x + y } ve { x } α bir α dizileri de X de Cauchy İspat: dizileridir. i) (N4) özelliğide, x, a = x x + x, a m m x x, a + x, a m m elde edilir. Burada x, a x, a x x, a m m olur. Bezer olarak, x, a x, a x x, a m m veya x x, a x, a x, a m m olur. Böylece

28 3. -BANACH UZAYI Serka ÖKTEN x, a x, a x x, a m m elde edilir. Hipoteze göre { x } bir Cauchy dizisi olduğuda lim x, a x, a lim x x, a = 0 m m m, m, olur ve böylece { x, a } bir reel Cauchy dizisidir. Bezer şekilde {, } reel Cauchy dizisidir. ii) ( + ) ( + ) = ( ) + ( ) x y x y, a x x y y, a m m m m x x, a + y y, a m m x b de bir buluur. Burada limite geçildiğide hipotezde sağ taraf 0 buluur. Bu yüzde sol tarafıda limiti 0 olur. Bezer işlemlerle m, lim x + y x + y, b = 0 m m buluur. Bu yüzde taımda dolayı { x y } Şimdi { x } burada { α } ve {, } α dizisii iceleyelim, + dizisi X de bir Cauchy dizisidir. α x α x, a = α x α x + α x α x, a m m m m m m α x α x, a + α x α x, a m m m m = α x x, a + α α x, a m m m k x x, a + k α α m m x a reel Cauchy dizileri olduğuda sıırlıdırlar. Buda dolayı öce α k ve x, m a k yazıldı. Ayrıca, yie Cauchy dizileri olmaları edeiyle x x, a 0 ve α α 0 olur ve böylece sağ taraf 0 olur. O halde elde edilir. Bezer olarak, buluur. Bu yüzde { α x } m m, m lim α x α x, a = 0 m, m m lim α x α x, b = 0 m m, X de bir Cauchy dizisidir.

29 3. -BANACH UZAYI Serka ÖKTEN Taım 3..: { x }, -ormlu X uzayıda bir dizi olsu. Eğer her y X içi lim x xy, = 0 olacak biçimde bir x X { x }, x e yakısıyor ise x varsa, { } x e yakısak dizi deir. Eğer x şeklide yazılır ve { x } i limiti x dir deir. 3. -Baach Uzayı Taım 3..: Bir lieer -ormlu uzayda her Cauchy dizisi yakısak ise bu uzaya -Baach uzayı deir. Teorem 3..: Herhagi bir -ormlu X uzayıda i) x x ve y y ise x + y x+ y dir, ii) x x ve α α ise αx αx dir, iii) dimx, x x ve x y ise x = y dir. İspat: i) ( + ) ( + ) = ( ) + ( ) x y x y, a x x y y, a x xa, + y ya, 0. Böylece x + y x+ y olur. ii) α x αxa, = α x α x+ α x αxa, α x α xa, + α x αxa, = α x xa, + α α xa, k x xa, + α α xa,. Burada lim x xa, = 0 ve lim α α = 0 olduğuda eşitsizliği sol tarafı da 0 olur. Böylece αx αx olur. 3

30 3. -BANACH UZAYI Serka ÖKTEN iii) Burada x x ve x ( ) ( ) x ya, = x y x x, a x ya, + x x, a. y olduğuda her a X içi x ya, =0 olur. Böylece her a X içi x y ve a lieer bağımlı olurlar. dimx olduğuda x y i bütü a X vektörleriyle lieer bağımsız olabilmesi içi tek yol x y = 0 olmasıdır. Örek 3..: 3, üç boyutlu Öklid uzayıı göstersi. 3 xy, olacak biçimde x= ai+ bj+ ck ve y = di+ ej+ fk alalım. i j k xy, = x y = det a b c d e f 3 de -orm, = bf ce i+ cd af j+ ae db k ( bf ce) ( cd af ) ( ae db) = + + biçimide taımlası. Bu durumda ( 3,, ) gösterilsi. Örek.. de, ikilisii bir -Baach uzayı olduğu xy foksiyouu bir -orm ve (,, 3 ) E i bir - ormlu uzay olduğu biliiyor. Şimdi bu -ormlu uzaydaki her Cauchy dizisii yakısak olduğu gösterilsi. m, x = ai + bj + ck ( x x ) y = ve lim 0 m 3 de bir Cauchy dizisi olsu. Böylece m, ola y = di+ ej+ fk ve z pi qj rk birer Cauchy dizisi oldukları gösterilsi. 3 de lim x x z = 0 olacak biçimde lieer bağımsız m = + + vektörleri vardır. { a }, { b } ve { } c i 4

31 3. -BANACH UZAYI Serka ÖKTEN i j k x x y = det a a b b c c d e f m m m m Böylece m, = + f b bm e c cm d c cm f a am + e a a d b b m m lim x x y = 0 acak ve acak olması ile mümküdür. m m, m, m, α:lim f b bm e c cm = 0, β :lim d c cm f a am = 0, γ :lim e a am d b bm = 0, ( x x ) z = r( b b ) q( c c ) + p( c c ) r( a a ). m m m m m Böylece m, + q a a p b b m m lim x x z = 0 acak ve acak olması ile mümküdür. δ da her iki taraf m m, m, m, δ :lim r b bm q c cm = 0, ε :lim p c cm r a am = 0, ζ :lim q a am pb bm = 0, f ile çarpılırsa, m, ve α da her iki taraf r ile çarpılırsa, lim rf b b + m qf c c = m 0 m, elde edilir. Taraf tarafa toplaırsa, lim rf b bm re c cm = 0 m, ( qf re)( c c ) lim m = 0. 5

32 3. -BANACH UZAYI Serka ÖKTEN buluur. β da her iki taraf r ile çarpılırsa, ve ε da her iki taraf m, lim rd c cm rf a am = 0 f ile çarpılırsa, m, lim pf c c + m rf a a = m 0 elde edilir. Bu so ikisii taraf tarafa toplamasıyla, buluur. ve rd m, ( rd pf )( c c ) lim m = 0 Şimdi { c } i bir Cauchy dizisi olmadığı varsayılsı. Bu durumda qf = re = pf olur, burada r q p = = olur ki bu durum, x ile y lieer bağımsız f e d olduğuda imkasızdır. Souç olarak { c } bir Cauchy dizisidir. Bezer yaklaşım ve işlemlerle { a } ve { } b de birer Cauchy dizileridir. Reel sayıları tamlığıda dolayı lim a = a, limb = b ve limc = c olacak biçimde a, b ve c reel sayıları vardır. x= ai+ bj+ ck alalım. x x olsu. w= si+ tj+ uk 3 ü bir elemaı olsu. lim i j k x x w = lim det a a b b c c s t u = lim u b b t c c + s c c u a a + t a a s b b = 0 olur. Çükü lim a = a, limb = b ve limc uzayıdır. = c dir. Böylece ( 3,, ) bir -Baach 6

33 3. -BANACH UZAYI Serka ÖKTEN Örek 3..3: Rasyoel sayılar üzeride, tüm katsayıları rasyoel ola, üç boyutlu Öklid vektör uzayı 3 Q olsu. 3 Q de, u Örek 3.. deki gibi taımlası. x kk+ = 0 i alısı. x xm, i 0 k= 0 = dır. Gerçekte > m içi, o halde, olur.böylece, kk k k+ m + x x = 0 i 0 i m x = k= 0 k= 0 k= m+ 0 k k+ xm = 0 k= m+ i k k+ i j k x x i = = kk+, det m k= m+ 0 0 Bu yüzde o halde, lim x x, i = 0 dır. m, m i j k 0 0 kk+, det m k= m+ x x j = k k+ = 0. k = x x k = x x k= m+ m m lim x x, j = lim x x = lim 0 m m m, m, m, k = m + ( m )( m ) kk lim 0 K 0 0 m, = + + = 7

34 3. -BANACH UZAYI Serka ÖKTEN olur. Böylece lim x x, j = 0 elde edilmiş oldu. i ve j m, olduğuda { x } biçimde bir m 3 Q de bir Cauchy dizisi olur. Varsayılsı ki 3 x= ai+ bj+ ck Q olsu. Böylece lim, lim det 0 m, 3 Q de lieer bağımsız x x olacak lim x x, j = 0 olur, çükü i j k k k+ x x j = a b c k= 0 dır. Burada açıkça c = 0 olmalıdır. Böylece 0 0 k k+ lim 0 a c 0 k= 0 = + = k k+ lim 0 = k = 0 kk+ 0 = K k= 0 a olur. Burada, yazıldığıda açıkça görülür ki kk ( + ) 0 dizisi reel sayılarda bir irrasyoel sayıya k= 0 yakısar. Bu durumda a bir irrasyoel sayı olmalıdır. 3 Q rasyoel sayılar üzeride taımladığıda bu durum imkasızdır. Böylece Gähler (964) göstermiştir ki, B, bazı {, } 3 Q bir -Baach uzayı değildir. e e ola bir -ormlu vektör uzayı ise ab, B içi a= αe+ αeve b= βe+ βeike -ormu, biçimide taımlaır. ab, = αβ αβ. e, e (*) Teorem 3..: Üzeride taımladığı cisim tam ola boyutlu her -ormlu vektör uzayı bir -Baach uzayıdır. İspat: B, bazı { e, e } ola bir -ormlu vektör uzayı olsu. { } x B de bir Cauchy dizisi olsu. Böylece B de lim x x, a = 0 ve m, m lim x x, b = 0 m, m 8

35 3. -BANACH UZAYI Serka ÖKTEN olacak biçimde lieer bağımsız a ve b vektörleri vardır. x = x e+ xe, a= ae + ae ve b= be + be olsu. Böylece (*) da, olur. Bezer olarak yie (*) da, x x, a = x x e + x x e, ae + ae m m m = a x x a x x. e, e m m x x, b = b x x b x x. e, e m m m yazılır. Bu ifadelerde e ile e lieer bağımsız olduklarıda e, e 0 dır. Böylece, m, lim a x x a x x = 0 m m ve elde edilir. Burada, ve m, lim b x x b x x = 0 m m lim a x x a x x = 0 m m m, lim b x x b x x = 0 m m m, olur. Birici eşitlik b ile çarpılırsa, ve ikici eşitlik de a ile çarpılırsa, lim ab x x ab x x = 0 m m m, lim ab x x ab x x 0 + = m m m, elde edilir. Bu iki eşitlik taraf tafra topladığıda, m, ( ab ab )( x x ) lim = 0 m 9

36 3. -BANACH UZAYI Serka ÖKTEN a b olur. Burada ab ab = 0olması halide = olacaktır ki bu durum a ile b i a b lieer bağımsız olmasıda dolayı imkasızdır. Bu durumda lim x xm = 0 olacaktır ve buda dolayı { x } bir reel Cauchy dizisidir. Ayrıca, lim a x x a x x = 0 m m m, m, ve lim b x x b x x = 0 m m m, eşitlikleride, birici eşitlik b ile çarpılırsa, ve ikici eşitlik de aile çarpılırsa, lim ab x x ab x x = 0 m m m, lim ab x x ab x x 0 + = m m m, elde edilir. Bu iki eşitlik taraf tafra topladığıda, m, ( ab ab )( x x ) lim = 0 m olur. Burada ab ab 0 olduğuda lim x xm = 0 olacaktır ve buda dolayı { x } de bir reel Cauchy dizisidir. { x } ve { } m, x reel Cauchy dizileri olduklarıda lim x = y ve lim x = y olacak biçimde y ve y reel sayıları vardır. x ye ye = + olsu. x varsayalım. c= ce + ce B i bir elemaı olsu. Böylece (*) kullaılırsa, lim x xc, = lim x y e + x y e, ce + ce = lim c x y c x y. e, e x olduğuu olur. Burada lim x = y ve lim x = y olduğuda dolayı lim x xc, = 0 olur. Böylece x x olur. Bu durumda B bir -Baach uzayıdır. 30

37 3. -BANACH UZAYI Serka ÖKTEN Teorem 3..3: B, bir -ormlu vektör uzayı olsu. Eğer ise, o zama { x xd, } İspat: olur ve burada, elde edilir. Bezer olarak, veya olur ve böylece (* ) ve (* ) de, dizisi her x B içi yakısak bir dizidir. x xd, = x x + x xd, m m x x, d + x xd, m m x xd, xm xd, x xm, d ( ) x xd, x xd, x x, d m m x xm, d x xd, xm xd, ( ) x xd, x xd, x x, d m m lim x x, d = 0 m, m buluur. Burada lim x x, d = 0 olduğuda, m, m lim x xd, x xd, = 0 m, olur. Buu soucu olarak { x xd, } yüzde { x xd, } m dizisi bir gerçel Cauchy dizisi olur ve bu dizisi yakısak bir dizidir. Bu yakısaklık x de bağımsızdır. Teorem 3..4: Eğer lim x xd, = 0 ise lim x, d = xd, dir. İspat: olur ve burada, elde edilir. Bezer olarak, x, d = x x+ xd, x xd, + xd, x, d xd, x xd, (*) 3

38 3. -BANACH UZAYI Serka ÖKTEN veya buluur. Böylece (*) ve (**) da, xd, x, d x xd, x xd, x, d xd, (**) x, d xd, x xd, elde edilir. Eşitsizliği her iki tarafıı limiti alıdığıda, lim x xd, = 0 olduğuda, lim x, d xd, = 0 olur. Böylece lim x, d = xd, buluur. Ek olarak eğer hipotezde d = x alıırsa lim x, x = xx, = 0 olduğu görülür. 3

39 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER 4. Sıırlı Lieer -Foksiyoel Taım 4..: A ve C, -ormlu bir vektör uzayıı lieer maifoldları olsu Taım kümesi A C ola reel değerli bir foksiyoa bir -foksiyoel deir. Taım 4..: F, taım kümesi A C ola bir -foksiyoel olsu. Eğer F, i) F( a cb, d) F( ab, ) F( ad, ) F( cb, ) F( cd, ) ii), + + = + + +, αβ cismi elemaları olmak üzere F( αa, βb) αβ F( ab, ) koşullarıı sağlıyorsa F ye bir lieer -foksiyoel deir. =, Taım 4..3: F, taım kümesi D( F ) ola bir lieer -foksiyoel olsu. Her ( ab, ) D( F) içi F( ab) sıırlıdır deir. Eğer F sıırlı ise F i ormu,, K ab, olacak biçimde bir K reel sayısı var ise F ye { } F = if K : F ab, K ab,, ab, D F biçimide taımlaır. Eğer F sıırlı değil ise F =+ biçimide taımlaır. Örek 4..: B, bazı {, } a e e = α + α ve b βe βe e e ola bir -ormlu vektör uzayı olsu. = + ike F( ab, ) αβ αβ Ayrıca c= ve + ve ve d = δe+ δeolsu. dir. ( +, + ) = ( α + )( β + δ ) ( α + )( β + δ ) F a cb d v v = biçimide taımlası. = αβ + αδ + vβ + vδ αβ αδ v β v δ ( αβ αβ ) ( αδ αδ ) ( vβ vβ) ( vδ vδ) F( ab, ) F( ad, ) F( cb, ) F( cd, ) = = (, ) F αa βb = αα ββ αα ββ ( αβ ) F( ab, ) = αβ αβ = αβ 33

40 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN dir. Böylece F, bir lieer -foksiyoeldir. Bazı {, } e e ola bir -ormlu vektör uzayıda -orm, ab, = αβ αβ. e, e biçimide olduğu bilimektedir. Burada, olur ve αβ αβ = e, e ab, (, ) = F ab αβ αβ eşitliğide yerie yazılırsa F( ab, ) = ab, e, e elde edilir. F( xy, ) K e, e olduğuda F, sıırlı bir lieer -foksiyoeldir. Örek 4..: (,, 3 ) E Örek 3.. de taımlaa -Baach uzayı olsu. = xy g biçimie taımlası. Burada g, vektör aalizideki skaler çarpımı göstermektedir. F bir sıırsız lieer -foksiyoeldir. Gerçekte: dir. ( +, + ) = ( + ) g( + ) F a cb d a c b d = ab g + ad g + cb g + cd g (, ) (, ) (, ) (, ) = F ab + F ad + F cb + F cd (, ) F αa βb = αagβb = αβ = αβ ( ab g ) F( ab, ) dir. x= ai+ bj+ ck ve y = di+ ej+ fk içi xy g = ad + be+ cf dir. Burada F( xy, ) = ad + be+ cf dir. xy, = x y = ( bf ce) + ( cd af ) + ( ae db) 34

41 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN olduğuda sıırlılık sağlaacak biçimde bir K 0 sayısı buluamaz. a, a ı uzuluğuu gösteriyor ike G xy, x y xy = g biçimide taımlaa G ise a b ab g = a b olduğuda dolayı bir sıırlı lieer -foksiyoeldir. Gerçekte: dir. (, ) G xy = x y xy ( a b c )( d e f ) ( ad be cf ) = = ad + ae + a f + bd + be + b f + cd + ce + c f ad be c f adbe adcf becf = ae + a f + bd + b f + cd + ce adbe adcf becf xy, = x y = bf ce + cd af + ae db dir. Böylece = b f + ce bfce+ cd + a f cdaf + ae + db aedb G xy, = xy, =. xy, olup K = dir. Lemma 4..: Eğer F, bir sıırlı lieer -foksiyoel ve ( ab, ) D( F) a ile b lieer bağımlı ise F( ab, ) = 0 dır. İspat: F sıırlı olduğuda her ( xy, ) D( F) içi ile b lieer bağımlı olduğuda ab, = 0 dir. Böylece olur. Böylece F( ab, ) = 0 olarak buluur. olsu. F ab, F.0= 0 ike F xy, F xy, dir. a Teorem 4..: F, taım kümesi D( F ) ola bir sıırlı lieer -foksiyoel 35

42 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN dir. içi, { } F( xy, ) xy ( xy) D( F) F = sup F xy, : xy, =, xy, D F = sup :, 0,, xy, { } İspat: A= sup F( xy, ) : xy, =, ( xy, ) D( F) olsu. Her ( xy, ) D( F) F xy, F xy, olduğuda A F (*) olur. Varsayalım xy, 0 olsu. Burada, x xy,, y = olduğuda dir. Böylece her ( xy, ) D( F) x F, y A xy, içi, 0 xy ike F( xy), Axy, dir. Eğer xy=, 0 ise taımda dolayı x ile y lieer bağımlıdır ve Lemma 4.. de dolayı F( xy, ) = 0 olur. Böylece her ( xy, ) D( F) içi F( xy), Axy, dir ve burada F A (**) dır. O zama (*) ve (**) da F = A buluur. (, ) F xy C = sup : xy, 0, ( xy, ) D( F) xy, ( xy, ) D( F) içi xy, 0 ike olsu. F i taımıda, her 36

43 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN (, ) F xy xy, F dir. Böylece her iki tarafı sup u alıdığıda C F (* ) elde edilir. Lemma 4.. ve C i taımıda her ( xy, ) D( F) F xy, C xy, olur. Böylece içi F C (* ) dir. O halde (* ) ve (* ) de F = C olur. Souç olarak F = A= C buluur. Taım 4..4: F, bir lieer -foksiyoel ve ( ab, ) D( F) olsu. Verile bir ε > 0 içi a cb, < δ ve cb, d < δ veya a cd, < δ ve ab, d < δ ike (, ) (, ) F ab F cd < ε olacak biçimde bir 0 δ > var ise F, (, ) ab de süreklidir deir. Eğer F taım kümesii her bir oktasıda sürekli ise F süreklidir deir. Teorem 4..:, bir sürekli -foksiyoeldir. İspat: olur. Burada elde edilir. Ayrıca ab, = a c + cb, a cb, + cb, = a cb, + c, b d + d a cb, + cb, d + cd, ab, cd, a cb, + cb, d (*) cd, = c, d b + b cd, b + cb, = cd, b + c a + ab, cd, b + c ab, + ab, 37

44 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN olur. Burada ise elde edilir. Bu ifade düzeleir ise cd, ab, a cb, + cb, d ab, cd, a cb, + cb, d (**) olur. Böylece (*) ile (**) da ve mutlak değer taımıda buluur. Şimdi ε > 0 verildiğide ε ε cb, d < δ = ve a cb, < δ = ike buluur. Böylece, süreklidir. ab, cd, cb, d + a cb, ε δ = seçilirse Taım 4..4 e göre ε ε ab, cd, + = ε Teorem 4..3: F, taım kümesi D( F ) ola bir lieer -foksiyoel olsu. Eğer F, ( 0,0 ) da sürekli ise D( F ) i her oktasıda süreklidir. İspat: F lieer olduğuda F ( 0,0) = 0 dır. F, ( 0,0 ) da sürekli olduğuda herhagi bir ( cd, ) D( F) içi verile bir ε > 0 sayısı içi cd, < δ ike (, ) F cd ε < olacak biçimde bir 0 δ > vardır. ( ab, ) D( F) olsu. Bu durumda a xb, < δ ve xb, y < δ ike (, ) (, ) = (, ) (, ) + (, ) (, ) F( ab, ) F( xb, ) + F( xb, ) F( xy, ) = F( a xb, ) + F( xb, y) F ab F xy F ab F xb F xb F xy ε ε + = ε olur. Böylece F, ( ab, ) de süreklidir. 38

45 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN sıırlıdır. ab, Teorem 4..4: F bir lieer -foksiyoel olsu. F süreklidir acak ve acak F İspat: F i sürekli olduğu kabul edilsi. Bu durumda ( ab, ) D( F) < δ ike F( ab, ) < olacak biçimde bir 0 δ > vardır. ( cd, ) D( F) içi içi c ve c δ d lieer bağımsız ike, d cd, ele alısı. c δ olur. Böylece F, d < cd, ab, δ < ike F( ab, ) cd, 0 δ = < olur ve böylece c δ, d = δ cd, = δ cd, cd, dir. Burada F( cd), < cd, olur. Bu durumda δ < olacak biçimde bir δ vardır. c ile d lieer bağımlı ise F cd, = 0 dır. Böylece F sıırlıdır. F i sıırlı olduğu kabul edilsi. Her ( xy, ) D( F) içi F( xy), < K xy, olacak biçimde bir K 0 sayısı vardır. Verile bir ε > 0 içi xy, < δ ike ε δ = K + olsu. ε F( xy, ) K xy, < K <ε K + dir. Böylece F, ( 0,0 ) da süreklidir ve Teorem 4..3 de dolayı F süreklidir. Taım 4..5: B, bir -Baach uzayı ve sıırlı lieer -foksiyoelleri kümesi olsu. * B, taım kümesi B FG, i) Her ( ab, ) B B içi F( ab, ) G( ab, ) ii) ( F G)( ab, ) F( ab, ) G( ab, ) + = +, iii) ( αf)( ab, ) αf( ab, ) olarak taımlaır. =, * B içi: = ise F = G dir, B ola tüm 39

46 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN uzayıdır. ve Teorem 4..5: Taım 4..3 ve Taım 4..5 e göre ( B *,. ) Baach İspat: ( F + G)( a+ cb, + d) = F( a+ cb, + d) + G( a+ cb, + d) = F( ab, ) + F( ad, ) + F( cb, ) + F( cd, ) + G( ab, ) + G( ad, ) + G( cb, ) + G( cd, ) = ( F( ab, ) + G( ab, )) + ( F( ad, ) + G( ad, )) ( F + G)( αa, βb) = F( αa, βb) + G( αa, βb) = αβf( ab, ) + αβg( ab, ) = αβ F( ab, ) + G( ab, ) ( F G)( ab, ) = αβ + ( F + G)( ab, ) = F( ab, ) + G( ab, ) F( ab, ) + G( ab, ) F ab, + G ab, = F + G ab,. O halde * F + G B ve F+ G F + G dir. Bezer olarak * α F B dır. Böylece * B bir vektör uzayıdır.., { F }, * B üzeride bir orm taımlar çükü: ) Eğer F = 0 ise F = 0, eğer F = 0 ise F = 0 dır. ) αf = α F. 3) F+ G F + G. * B da bir Cauchy dizisi olsu. Böylece lim F F = 0 m, m ve F ab, F ab, F F ab, m m 40

47 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN dir. O zama her ( ab, ) B B içi { (, )} Ayrıca, (, ) lim (, ) F ab = F ab biçimide taımlası. ( +, + ) = lim ( +, + ) F a cb d F a cb d = lim F a+ cb, + d Bu yüzde F, bir lieer -foksiyoeldir. F ab bir reel Cauchy dizisidir. = lim F ab, + F ad, + F cb, + F cd, = lim F ab, + lim F ad, + lim F cb, + lim F cd, = F ab, + F ad, + F cb, + F cd,. ( α, β ) = lim ( α, β ) F a b F a b ( ab) = lim αβ F, ( ab) = αβ lim F, = αβ F ab,. F Fm F Fm olduğuda { F } bir reel Cauchy dizisidir. Bu durumda { } F sıırlıdır. Böylece her içi F K olacak biçimde bir K reel sayısı vardır. (, ) = lim (, ) F ab F ab ( ab, ) ( ab) = lim F, ( ab) lim F, K buluur. O zama F * B olur. Varsayalım, 0 ab olsu. Verile bir ε > 0 içi m, > N ike Fm F < ε olacak biçimde bir N sayısı vardır. Bu yüzde, her m, > N içi 4

48 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN olur. F( ab, ) lim F ( ab, ) F ab, F ab, F F ab, m m = olduğuda olacak biçimde bir (, ) abε, F ab, F ab, < ε ab, M M = M ab > N sayısı vardır. Bu yüzde her > N içi (, ) (, ) (, ) (, ) + (, ) (, ) F ab F ab F ab F ab F ab F ab M M ε ab, + ε ab, = ab, ε dur. Eğer ab, = 0 ise a ile b lieer bağımlı olacağıda Lemma 4.. de olur ve böylece olur. Souç olarak her ( ab, ) D( F) (, ) = 0 = (, ) F ab F ab F ab, F ab, abε, ve her > N içi F ab, F ab, abε, dir. Bu yüzde F ab, F ab, F F ab, abε, buluur. Burada her > N içi F F ε uzayıdır. dur. Böylece ( *,. ) B bir Baach Sıradaki teorem, B * lieer bağımlılığa göre bir -Baach uzayıdır ifadesii alamıı açıklayacaktır. Burada * B, bir -Baach uzayı olmaı, F ve G lieer bağımlı ike FG, = 0 koşulu hariç, tüm koşullarıı sağlar. Başka deyişle F ve G lieer bağımlı olmasıa rağme FG, 0 olabilir. 4

49 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN Teorem 4..6: ( B *,, ), lieer bağımlılığa göre, FG, = F G ike bir - Baach uzayıdır. İspat: Teorem 4..5 de * B ı bir vektör uzayı olduğu biliiyor., foksiyou, * B üzeride lieer bağımlılığa göre bir -orm taımlar çükü: ) Eğer FG, = 0 ise F = 0 veya G = 0 dır; böylece F ve G lieer bağımlıdır. Fakat F = 0 veya α = 0 olmadıkça F, α F sıfır olamaz. ) FG, = F G = G F = GF,. 3) F, αg = F αg = F α G = α FG,. 4) Teorem 4..5 de G+ H G + H. Böylece, { } F, ( *,, ) FG, + H = F G+ H F G + H = F G + F H = FG, + F, H. B da bir Cauchy dizisi olsu. Böylece * B da lim F F, G = 0 ve m, m lim F F, H = 0 olacak biçimde lieer bağımsız G ve m, H elemaları vardır. Teorem 4..5 deki ayı yaklaşımlarla, { } m F, ( *,. ) B de bir yakısak dizidir ve buda dolayı ( B *,, ) uzayıda da yakısaktır. Böylece ( B *,, ), lieer bağımlılığa göre bir -Baach uzayıdır. Eğer ( B *,, ), F ile G lieer bağımlı ike FG, = 0 ve F ile G lieer bağımsız ike FG, = F G olacak biçimde yeide taımlaacak olursa, o zama ( B *,, ) uzayı, FG, + H FG, + F, H 43

50 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN özelliği, F ile G lieer bağımlı ve F ile H lieer bağımsız olması koşullarıı göz öüe alıması halide daima doğru olmaması dışıda -Baach uzayıı özelliklerii sağlar. Ayrıca belirtilmeli ki Gähler (964), eğer ( L,. ) uzayı bir lieer ormlu uzay ise o zama L üzeride bir -orm taımlaabileceğii ispatlamıştır. Buula beraber L bir Baach uzayı olmadığı zama L i bir -Baach uzayı olup olmadığı ispat gerektirir. Notasyo: B bir -ormlu vektör uzay ve b B olsu. [ b ] sembolü, b tarafıda doğrulmuş lieer maifoldu gösterir. Sıradaki teorem foksiyoel aalizdeki Hah-Baach teoremii bezeridir. Teorem 4..7: B bir -Baach uzayı ve M ile [ b ], B de lieer maifoldlar olsular. F, taım kümesi M [ b] ola bir sıırlı lieer -foksiyoel olsu. Bu durumda aşağıdaki koşulları sağlayacak şekilde, taım kümesi B [ b] bir lieer -foksiyoel vardır: i) Her ( a, αb) M [ b] içi H( a, αb) F( a, αb) ii) H = F. İspat: g B M i elemaları olsular. dır. Bu yüzde =. olsu. N { α βg: α M, β keyfi} (, ) (, ) = (, ) F a b F a b F a a b ola H gibi = + olsu. a ve a M F a a, b ( ) ( ) = F a + g a + g, b F a + g, b + F a + gb, () F a + gb, F( a, b) F a + gb, F( a, b) dir. a ve a, M de değişkeler olsular. Böylece 44

51 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN { ( )} S = sup F a + gb, F a, b a M { ( )} if F a + gb, F a, b = I a M dir. r sayısı S r I koşuluu sağlaya herhagi bir sayı olsu. a = a = a alısı. Bu durumda () eşitsizliği, F a+ gb, F ab, r F a+ gb, F ab, olur. Burada her terime F( ab, ) ekleirse elde edilir. Böylece () buluur. F a+ gb, r+ F ab, F a+ gb, F ab, + r F a+ gb, G foksiyou, N [ b] biçimide taımlası. üzeride, (, ) (, ) G a+ βg αb = αf ab + αβr ( + β + + β, α + α ) = ( + ) + ( β+ β),( α+ α) = ( α+ α) ( +, ) + ( α+ α)( β+ β) = αf( a, b) + αf( a, b) + α F( a, b) + α F( a, b) G a g a g b b G a a g b F a a b r + αβ r+ αβ r+ αβ r+ αβr ( αf( a, b) ) + (, ) + ( (, ) ) (, ) G( a βg, αb) G( a βg, αb) + G( a + β g α b) + G( a + β g α b) = + αβ r α F a b αβr + α F a b + αβ r + α F a b + αβr = + + +,,. ( δ ( + β ), εα ) = ( δ + δβ, εα ) = (, ) + = εδ αf( ab, ) + αβ = εδg( a+ βg, αr). G a g b G a g b αεf δab αεδβ r ( r) 45

52 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN Böylece G, F i geişletilmişi ola, bir lieer -foksiyoeldir. Gerçekte, β 0 ike () de a yerie a β yazılırsa, a a F, b + r F + gb, β β elde edilir. Burada eşitsizliği her iki tarafı β ile çarpılırsa, tüm β lar içi buluur. olur ve burada (* ) de dolayı (, ) + β + β, (* ) F ab r F a gb (, ) (, ) α F( ab, ) G a+ βg αb = αf ab + αβr buluur. Böylece G sıırlıdır ve G = + βr G a+ βg, αb α F a+ βgb, = F a+ βg, αb (* ) F dir. Çükü: { ( β α ) β α } G = if K : G a+ g, b K a+ g, b dir. (* ) eşitsizliğide K = F olur. Böylece if de dolayı G F olur. Buula beraber G i N [ b] [ b] M üzeride, olduğuda dolayı G üzerideki taımıda β = 0 alıırsa, o zama G( a, αb) = F( a, αb) G a+ 0 g, αb = αf ab, + α0r = F ve dolayısıyla G = F olur. Şimdi ise N, bir lieer maifold ve G, taım kümesi N [ b] ola sıırlı bir lieer -foksiyoel ike { NG, } ikilisi göz öüe alısı. { NG, } { N, G } < dir acak ve acak N N ve G = G olacak biçimde G, G i bir 46

53 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN geişletilmişidir. T, { M, F} < { NG, } olacak biçimde {, } NG i bir sııfı olsu. Burada T, < bağıtısı ile kısmi olarak sıralıdır. L, T i bir sıralı alt kümesi olsu. K = U N içi L, T de bir maksimal elemaa sahiptir ve I( a, α b) foksiyoeli, G, N L a yı kapsaya bir N L üzeride taımlı ike, G( a, α b) ye eşittir. Böylece Zor Lemmasıa göre T, { AH, } biçimide bir maksimal elema içerir. A yukarıdaki savlarla B de taımlı olacak biçimde geişletilebilir. = B değil ise, H Souç 4..: B, bir -Baach uzayı ve M ve [ b ] ise B de birer lieer maifold olsular. F, taım kümesi [ b] olsu. Bu durumda ) Her ( βba, ) [ b] M içi H( βba, ) = F( βba, ) ) H = F koşullarıı sağlaya ve taım kümesi [ b] vardır. M ola bir sıırlı lieer -foksiyoel B ola bir sıırlı lieer -foksiyoel H Teorem 4..8: B, bir -Baach uzayı ve a ile b B i lieer bağımsız elemaları olsular. Bu durumda taım kümesi [ b] foksiyoel F ve taım kümesi [ a] öyle ki F G = = ve F( ab, ) F ab, G( ab, ) İspat: F, [ a] [ b] olarak taımlası. üzeride B ola bir sıırlı lieer - B ola bir sıırlı lieer -foksiyoel G vardır = = dir. F αa, βb = αβ ab, ( α +, β + δ ) = ( α + ),( β + δ) = ( α + v)( β + δ) ab, = ( αβ + αδ + β + δ) F a va b b F v a b = αβ ab, + αδ ab, v v ab, + vβ ab, + vδ ab, 47

54 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN ve dir. ( α, β ) ( α, δ ) (, β ) (, δ ) = F a b + F a b + F va b + F va b ( δα, εβ ) = ( δε)( αβ ), = δεf( αa, βb) F a b ab F αa, βb = αβ ab, =. αa, βb dir. Böylece F bir sıırlı lieer -foksiyoeldir ve F = dir. Teorem 4..7 ile F, [ b] B ye geişletilebilir. Bezer yaklaşımlar G içide doğrudur. olsu. F dir. Teorem 4..9: ( B,, ), { e i} i B olsu. Bu durumda, = bazı ile -boyutlu bir -ormlu vektör uzayı F e e = F e e αi i, β j j ( αβ i j αβ j i) ( i, j) i= j= i, j= i< j İspat: B, taım kümesi B B ola sıırlı lieer -foksiyoeller uzayı olduğuda F, bir sıırlı lieer -foksiyoeldir. Bu durumda olduğuda burada dir. ( i j i j) ( j i) ( i j) 0 = F e + e, e + e = F e + e + F e + e ( i, j) = F( ej, ei) F e e F αe, β e = F α e α e, eβ e β = αβ F e e + + i i j j i= j= (, )... αβf( e, e) F( e, e )... αβf( e, e) F( e e ) αβf( e e ) + αβ αβ, , 48

55 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN = i= j= (, ) ( αβ i j αβ j i) F( ei, ej) i, j= i< j αβ = F e e i j i j olur. Bu durum olmasıı gerektirir. B, bazı {, } (, ) = F( ba, ) F ab e e ola bir -Baach uzayıı, * B ise taım kümesi B B ola sıırlı lieer -foksiyoelleri kümesii göstersi. Souç 4..: Eğer * F B ise o zama F = (, ) F e e e, e dir. İspat: ( α + α, β + β ) = αβ αβ (, ) F( e, e ) F e e e e F e e = αβ αβ e, e (, ) e, e F e e = α e + α e, β e + β e e, e dir. Bu yüzde F = (, ) F e e e, e olur. * Souç 4..3: Eğer F B { 0} ise o zama (, ) F ab, B üzeride bir - orm taımlar. 49

56 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN (N): İspat: ( α + α, β + β ) = αβ αβ (, ) F e e e e F e e ifadesii sıfıra eşit olabilmesi içi gerek ve yeter koşul αe+ αeve βe+ βe α α ifadelerii lieer bağımlı olmasıdır. Bu durumda = olur ve böylece β β αβ αβ 0 = dır. (N): Teorem 4..9 u soucuda F( ab, ) F( ba, ) = olduğu biliiyor. Bu durumda elde edilir. (N3): (, ) = F( ba, ) = F( ba, ) = F( ba, ) F ab (, β ) = β (, ) = β F( ab, ) F a b F ab (N4): (, + ) = (, ) + (, ) F( ab, ) + F( ac, ) F ab c F ab F ac Souç olarak, (N)-(N4) koşulları sağladığıda, F( ab, ), B üzeride bir -orm taımlar. * Souç 4..4: F B { 0} olsu. ( ab) = F( e, a) F( e, b) + F( ae, ) + F( be, ) bağıtısı B üzeride bir iç çarpım taımlar. İspat: a= αe+ αeve b= βe+ βeolsu. Teorem 4..9 da 50

57 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN ( ab) F( e, a) F( e, b) F( ae, ) F( be, ) ( αβ αβ ) = + + = + (*) olduğuda dolayı ( ) foksiyou bir iç çarpım taımlar. Gerçekte: dir. Bu durumda (, ) (, ) = ( + 0, α + α ) ( + 0, β + β ) = ( α 0α )( β 0β ) F e a F e b F e e e e F e e e e = αβ (, ) (, ) = ( α + α,0 + ) ( β + β,0 + ) = ( α α 0)( β β 0) F ae F be F e e e e F e e e e = αβ (, ) (, ) + (, ) + (, ) = ( + ) F e a F e b F ae F be αβ αβ olur. Şimdi ise (*) bağıtısıı iç çarpımı özelliklerii sağladığı gösterelim: ( I ) : ( aa) 0, ( aa ) = 0 acak ve acak a = 0 olmalıdır. Gerçekte: ( aa) α α olur. = + dır. a = 0 ise α α 0 0 I : ( ab) ( ba) 3 olduğuda = olduğu açıktır. I :( a bc) ( ac) ( bc) = = olur ve böylece + = + olmalıdır. Burada c ( γ, γ ) aa = 00 = 0 olur. = olsu. ( a+ bc) = F( e, a+ b) F( e, c) + F( a+ be, ) F( ce, ) elde edilir. Böylece (* ) ve ( ) ( α β ) γ ( α β ) γ (* ) = ( ac) = ( αγ + αγ ) ( bc) = ( βγ + βγ ) ( ac) + ( bc) = ( αγ + αγ ) + ( βγ + βγ ) ( α β ) γ ( α β ) γ (* ) = * de ( a bc) ( ac) ( bc) + = + olur. 5

58 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN olur. 4 I : ( αab) α( ab) = olmalıdır. Gerçekte: ( αab) = F( e, αa) F( e, b) + F( αae, ) F( be, ) = αα β + αα β ( αβ ) ( ab) = α αβ + = α Souç olarak ( I ) - ( 4 ) bir iç çarpım taımlar. I özellikleri sağladığıda (*) bağıtısı B üzeride Souç 4..5: Eğer F( e, e ) = ise ( ) çarpımıa göre {, } ortaormal bazıdır. İspat: x= xe + xe olsu. x = ( xx) (, ) F( xe, ) = F e x + ( 0, ) (,0 ) = F e + e xe + xe + F xe + xe e + e (, ) (, ) = x F e e + x F e e (, ) = x + x F e e = x + x olduğuda iddiaı doğruluğu görülür. Souç 4..6: ( B,, ) bir -Baach uzayı ve (, ) uzayı olsu. Eğer (, ) = F ab ae be ae be biçimide taımlaır ise bu durumda F( ab, ) B dır. İspat: a= αe+ αeve b= βe+ βeolsu. * e e, B i bir B bir gerçel iç çarpım 5

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

KONİK METRİK UZAYLAR VE BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ. Muhib ABULOHA DOKTORA TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

KONİK METRİK UZAYLAR VE BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ. Muhib ABULOHA DOKTORA TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONİK METRİK UZAYLAR VE BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ Muhib ABULOHA DOKTORA TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HAZİRAN 009 ANKARA Muhib ABULOHA tarafıda hazırlaa KONİK METRİK UZAYLAR

Detaylı

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. f-cebirlerinin İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. f-cebirlerinin İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ -CEBİRLERİNİN İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER ESRA ULUOCAK DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI MATEMATİK

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS)

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS) T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ (IDEAL PRODUCTS) 070216013 TUĞBA ÖZMEN 080216038 AYŞE MUTLU 080216064 SEVİLAY HOROZ Nil ehri, Düyaı e uzu ehridir (6.650

Detaylı

Analiz II Çalışma Soruları-2

Analiz II Çalışma Soruları-2 Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya

Detaylı

GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz

GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz GAMA FONKSİYONU H. Turgay Kaptaoğlu A. Taım Gama foksiyou, < < değerleri içi Euler itegrali dediğimiz Γ( = t e t dt itegrali ile taımlaır. Öce bu ifadei e demek olduğuu alamaya çalışalım. bir gerçel sayı

Detaylı

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz. 19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005 8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ 5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri

Detaylı

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b)

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b) Bağıtı YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - - - BAĞINTI ÖZELLĐKLER: SIRALI ĐKĐLĐ: (a,) şeklideki ifadeye ir sıralı ikili yada kısaca ikili deir (a,) sıralı ikiliside a ya irici

Detaylı

REEL ANALĐZ UYGULAMALARI

REEL ANALĐZ UYGULAMALARI www.uukcevik.com REE NĐZ UYGUMRI Sou : (, Α, µ ) ölçü uzayı olsu. = N, Α= ( N ) ve µ ( E) olduğuu östeiiz. N üzeide alması içi eek ve yete koşul < di. Gösteiiz. µ oksiyouu veile taımıı uyulayalım; µ (

Detaylı

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAUSS BALANS VE GAUSS KOBALANS SAYILARI ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ MUSTAFA YILMAZ DENİZLİ, TEMMUZ - 07 T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM. Neslihan KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM. Neslihan KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM Nesliha KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ŞUBAT 00 ANKARA Nesliha Koza BAŞAK taraıda hazırlaa KANTOROVICH-STANCU

Detaylı

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol komşuluğu: Taım: ; isteildiği kadar küçük seçilebile poziti bir sayı olmak üzere a a açık aralığıa a R sayısıı komşuluğu deir Örek : Taım: a a a a ve 0 00 olsu ' i 0 00 0 00 999 00 : Z R bir dizi deir

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı İstatistik Nedir? İstatistik rasgelelik içere olaylar, süreçler, sistemler hakkıda modeller kurmada, gözlemlere dayaarak bu modelleri geçerliğii sıamada ve bu modellerde souç çıkarmada gerekli bazı bilgi

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER

TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER ERDENER KAYA MERSİN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANA BİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ MERSİN HAZİRAN 7 TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açı Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerde alıtı yapma veya Kullaım Koşulları haıda bilgi alma içi http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.aciders.org.tr adresii ziyaret ediiz. 18.102

Detaylı

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s - 18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

T.C. FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ AĞIRLIKLI VE DEĞİŞKEN ÜSLÜ LEBESGUE UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN KOMPAKTLIĞI LÜTFİ AKIN

T.C. FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ AĞIRLIKLI VE DEĞİŞKEN ÜSLÜ LEBESGUE UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN KOMPAKTLIĞI LÜTFİ AKIN T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ AĞIRLIKLI VE DEĞİŞKEN ÜSLÜ LEBESGUE UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN KOMPAKTLIĞI LÜTFİ AKIN DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI MATEMATİK PROGRAMI DANIŞMAN

Detaylı

v = ise v ye spacelike vektör,

v = ise v ye spacelike vektör, D.P.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü 1. ayı Mayıs 6 emi-pozitif Ortogoal Matrisler içi Alteratif İi Yötem WO ALERNAIVE MEHOD FOR EMI-POIIVE OROGONAL MARICE B. BÜKCÜ* *Gaziosmapaşa Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi,

Detaylı

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden MC TEST I Seriler ve Diziler www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir2@yahoo.com.tr 8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerde hagisidir? A) 0,8 B) 0,9

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir.

REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir. 203-204 Bahar REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyo Basit doğrusal regresyo modeli: y i = β 0 + β x i + ε i Modeli matris gösterimi, y i = [ x i ] β 0 β + ε i şeklidedir. x y 2 gözlem

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR YÜKSEK LİSANS TEZİ.

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR YÜKSEK LİSANS TEZİ. T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR YÜKSEK LİSANS TEZİ İsmail AYDOĞDU Balıkesir, Hazira-009 ÖZET CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR

Detaylı

T.C. İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI KÜME-DEĞERLİ FONKSİYON UZAYLARI VE BU UZAYLAR ARASINDAKİ OPERATÖRLERİN ANALİZİ ÜZERİNE Fatih TEMİZSU YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI MALATYA

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Yüksek Lisas Tezi İDEMPOTENT DÖNÜŞÜMLER VE İDEMPOTENT DÖNÜŞÜMLER TARAFINDAN DOĞURULAN YARIGRUPLAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 0 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN

Detaylı

MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI. Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI. Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ OCAK 200 ANKARA ii Mehmet YILDIZ tarafıda hazırlaa MÖBİUS

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( )

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( ) Sıava Katıla Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR 2 997. ( )( )( ) ( ) ( ) k x x x... k. x... 997. x poliomu ( ) a x a x... a x, a 0 ve k < k

Detaylı

Bir Sınıf Jacobi Matrisi İçin Özdeğer Problemi 1

Bir Sınıf Jacobi Matrisi İçin Özdeğer Problemi 1 S Ü Fe Ed Fa Fe Derg Sayı 7 (6-8, KONYA Bir Sııf Jacobi Matrisi İçi Özdeğer Problemi Oza ÖZKAN Selçu Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi, Matemati Bölümü 479 Kampüs, Koya simetri Jacobi matrislerii özdeğerleri

Detaylı

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU.

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU. T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Yüksek Lisas Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU Elif SERİN Tez Daışmaı Yrd. Doç. Dr.Abdullah SÖNMEZOĞLU Yozgat 202

Detaylı

PEANO UZAYLARI VE HAHN-MAZURKIEWICZ TEOREMİ ÜZERİNE

PEANO UZAYLARI VE HAHN-MAZURKIEWICZ TEOREMİ ÜZERİNE SAÜ Fe Edebiyat Dergisi (-) Z.GÜNEY ve M.ÖZKOÇ PEANO UZAYLAR VE HAHN-MAZURKEWCZ TEOREMİ ÜZERİNE Zekeriya GÜNEY, Murad ÖZKOÇ Muğla Üiversitesi Eğitim Fakültesi Ortaöğretim Fe ve Matematik Alalar Eğitimi

Detaylı

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Detaylı

DOKTORA TEZİ. Ali ÇEVİK

DOKTORA TEZİ. Ali ÇEVİK ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ MATRİS ORTOGONAL POLİNOMLARININ ve MATRİS FONKSİYONLARININ BAZI ÖZELLİKLERİ Ali ÇEVİK MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 9 Her hakkı saklıdır ÖZET Doktora

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI AĞIRLIKLI LORENTZ UZAYLARINDA TRİGONOMETRİK YAKLAŞIM

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI AĞIRLIKLI LORENTZ UZAYLARINDA TRİGONOMETRİK YAKLAŞIM T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI AĞIRLIKLI LORENTZ UZAYLARINDA TRİGONOMETRİK YAKLAŞIM YÜKSEK LİSANS TEZİ AHMET HAMDİ AVŞAR BALIKESİR, HAZİRAN - 2016 T.C. BALIKESİR

Detaylı

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI OLASILIK HESABI Bu derste, uygulamalarda sıkça karşılaşıla, Olasılık Uzaylarıda bazılarıa değieceğiz ve verilmiş bir Olasılık Uzayıda olasılık hesabı yapacağız. Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω {

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1 Örek.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 7 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocakta Web site: ocakta.bau.edu.tr E-mail: bocakta@gmail.com Reault marka otomobil sahilerii bir soraki otomobillerii de Reault

Detaylı

x A şeklinde gösterilir. Aksi durum ise x A olarak

x A şeklinde gösterilir. Aksi durum ise x A olarak BÖLÜM I OLSILIK Küme teorisi, matematiği geliştirilmesi ve öğretimide gittikçe daha fazla yararlaıla koularda biridir. yrıca olasılıkla ilgili birici bölümü temel aracıdır. Bu kısımda amaç, olasılık kousuda

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi oluştura

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI µ µ içi Güve Aralığı ALTERNATİF İTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMAI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim

Detaylı

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere, KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide

Detaylı

ÖZET Doktora Tezi KISITLI DURUM KALMAN FİLTRESİ VE BAZI UYGULAMALARI Esi KÖKSAL BABACAN Akara Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü İstatistik Aabilim Dal

ÖZET Doktora Tezi KISITLI DURUM KALMAN FİLTRESİ VE BAZI UYGULAMALARI Esi KÖKSAL BABACAN Akara Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü İstatistik Aabilim Dal ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KISITLI DURUM KALMAN FİLTRESİ VE BAZI UYGULAMALARI Esi KÖKSAL BABACAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2009 Her hakkı saklıdır ÖZET Doktora Tezi

Detaylı

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir?

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir? ÖRNEK 1 : A= {1,,}, B={1,,5,7}kümeleri veriliyor. A da B ye taımlaa aşağıdaki bağıtılarda hagisi foksiyo değildir? A) {(1,), (,5), (,7)} B) {(1,), (1,5), (,1)} C) {(1,1), (,1), (,1)} D) {(1,5), (,1), (,7)}

Detaylı

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,

Detaylı

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS YILLAR 4 5 6 7 8 9 ÖSS - - - - - - ÖYS POLĐNOMLAR a,a,a,..., a P () = a + a +... + a R ve N olmak üzere; ifadesie Reel katsayılı.ci derecede bir değişkeli poliom deir. P()= a sabit poliom, (a ) P()= sıfır

Detaylı

14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir.

14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 14.Konu Reel sayılarının topolojisi 1.Teorem: cismi tamdır. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 2.Tanım: ve verilsin. nın her komşuluğunda

Detaylı

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10 . ( ) ( ) 9 x.si x + 4 / x.si x, 0 x π İfadesii alabileceği e küçük tamsayı değeri A) 4 B) 3 C) D) E) 0. Yuvarlak bir masa etrafıda otura 5 şövalye arasıda rasgele seçile 3 taeside e az ikisii ya yaa oturma

Detaylı

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1)

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1) TÜMEVARIM Matematite ulladığımız teoremleri ispatlamasıda pe ço ispat yötemi vardır. Özellile doğal sayılar ve birço ouda ispatlar yapare tümevarım yötemii sıça ullaırız. Tümevarım yötemii P Öermesii doğruluğuu

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

Gerçel Sayılar Grubunda Tanımlı Grup Topolojilerin Sayısı. Zafer ERCAN 1

Gerçel Sayılar Grubunda Tanımlı Grup Topolojilerin Sayısı. Zafer ERCAN 1 Gerçel Sayılar Grubunda Tanımlı Grup Topolojilerin Sayısı Zafer ERCAN 1 Doğal sayılar kümesi, tamsayılar kümesi, rasyonel sayılar kümesi ve gerçel sayılar kümesi, her zaman olduğu gibi, sırasıyla, N, Z,

Detaylı

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi 3 Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteı Yötemi Bu yötem bir izdüşüm tekiğie dayaır ve yalış pozisyo olarak isimledirile matematiksel tekiğe yakıdır. Buradaki düşüce f() çizgisi üzerideki bilie iki oktada

Detaylı

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ İnci BİRGİN Anabilim Dalı : Matematik Programı : Matematik

Detaylı

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( )

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( ) . TEMEL KAVRAMLAR Derleye: Osma EKİZ Bu çalışmaı temelii Jiri Herma, Rada Kucera, Jaromir Simsa., Elemetary Problems ad Theorems i Algebra ad Number Theory isimli kitap oluşturmaktadır. İlgili bölümü çevirisi

Detaylı

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011 ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Doktora 2010913070 Nisan, 2011 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup teorisi cebirin en temel dallarından biridir. Yarıgrup terimi ilk olarak 1904

Detaylı

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler

Detaylı

Standart Formun Yapısı. Kanonik Form. DP nin Formları SİMPLEX YÖNTEMİ DP nin Düzenleniş Şekilleri. 1) Optimizasyonun anlamını değiştirme

Standart Formun Yapısı. Kanonik Form. DP nin Formları SİMPLEX YÖNTEMİ DP nin Düzenleniş Şekilleri. 1) Optimizasyonun anlamını değiştirme 5.0.06 DP i Düzeleiş Şekilleri DP i Formları SİMPLEX YÖNTEMİ ) Primal (özgü) form ) Kaoik form 3) Stadart form 4) Dual (ikiz) form Ayrı bir kou olarak işleecek Stadart formlar Simplex Yötemi içi daha elverişli

Detaylı

KLAN OYUNLARI TEMELLİ ÜRETİM YAPISININ TSURUMI GENİŞLEMESİ ve BULANIK SHAPLEY DEĞERLERİ

KLAN OYUNLARI TEMELLİ ÜRETİM YAPISININ TSURUMI GENİŞLEMESİ ve BULANIK SHAPLEY DEĞERLERİ Bu bildiri 2-22 Mart 204 tarihleride düzelee Üretim Ekoomisi Kogreside suulmuştur. KLAN OYUNLARI TEMELLİ ÜRETİM YAPISININ TSURUMI GENİŞLEMESİ ve BULANIK SHAPLEY DEĞERLERİ Murat BEŞER muratbeser @ yahoo.com

Detaylı

DIRAC SİSTEMİ İÇİN BİR SINIR DEĞER PROBLEMİ

DIRAC SİSTEMİ İÇİN BİR SINIR DEĞER PROBLEMİ DIRAC SİSTEMİ İÇİN BİR SINIR DEĞER PROBLEMİ UFUK KAYA Mersi Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matematik Aa Bilim Dalı YÜKSEK LİSANS TEZİ Tez Daışmaı Prof. Dr. Nazım KERİMOV MERSİN Hazira - 8 ÖZ Bu çalışmada

Detaylı

FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular

FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular Ad ve Soyad : Numaras : FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular 30.11.2007 1. Aşa¼g daki ifadelerin do¼gru olup olmad klar n nedenlerini aç klayarak yaz n z. (a) (X; kk) bir normlu uzay ve M bunun

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre

Detaylı

ÇİN KALAN TEOREMİ. Chinese Remainder Theorem A.KILIÇ & V.SERT Ç ANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ

ÇİN KALAN TEOREMİ. Chinese Remainder Theorem A.KILIÇ & V.SERT Ç ANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ Chiese Remaider Theorem A.KILIÇ & V.SERT 2012 Ç ANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ İçidekiler Sayfa o Semboller 2 Ösöz 3 Öbilgiler 4 Geel Halkalar içi Çi Kala Teoremi 7 Çi Kala Teoremii Tamsayılar Halkasıa

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) Matematikte sayı dizileri teorisii ilgiç bir alt kolu ola idirgemeli diziler kousu olimpiyat problemleride de karşımıza

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta Kompleks Sayıların Cebirsel ve Geometrik Özellikleri

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta Kompleks Sayıların Cebirsel ve Geometrik Özellikleri 1. KOMPLEKS SAYILAR 1.1. Kompleks Sayıların Cebirsel ve Geometrik Özellikleri Tanım 1. x, y R olmak üzere (x, y) sıralı ikililerine kompleks sayı denir. Burada x, z nin reel kısmı, ve y, z nin imajiner

Detaylı