AYIRMA ANALİZİNE MATEMATİKSEL PROGRAMLAMA VE YAPAY SİNİR AĞLARI YAKLAŞIMLARI. H.Hasan ÖRKCÜ DOKTORA TEZİ İSTATİSTİK

Transkript

1 AYIRMA ANALİZİNE MATEMATİKSEL PROGRAMLAMA VE YAPAY SİNİR AĞLARI YAKLAŞIMLARI H.Hasan ÖRKCÜ DOKTORA TEZİ İSTATİSTİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HAZİRAN 2009 ANKARA

2 H.Hasan ÖRKCÜ tarafından hazırlanan AYIRMA ANALİZİNE MATEMATİKSEL PROGRAMLAMA VE YAPAY SİNİR AĞLARI YAKLAŞIMLARI adlı bu tezin Dotora tezi olara uygun olduğunu onaylarım. Prof. Dr. Hasan BAL Tez Danışmanı, İstatisti Anabilim Dalı. Bu çalışma, jürimiz tarafından oy birliği ile İstatisti Anabilim Dalında Dotora tezi olara abul edilmiştir. Prof. Dr. Gülsüm HOCAOĞLU İstatisti, Hacettepe Üniversitesi Prof. Dr. Hasan BAL İstatisti, Gazi Üniversitesi Prof. Dr. A. Alptein ESİN İstatisti, Gazi Üniversitesi Prof. Dr. Ayşen APAYDIN İstatisti, Anara Üniversitesi Prof. Dr. İhsan ALP İstatisti, Gazi Üniversitesi..... Tarih: 0/06/2009 Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Dotora derecesini onamıştır. Prof. Dr. Nail ÜNSAL Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü.

3 TEZ BİLDİRİMİ Tez içindei bütün bilgilerin eti davranış ve aademi urallar çerçevesinde elde edilere sunulduğunu, ayrıca tez yazım urallarına uygun olara hazırlanan bu çalışmada orijinal olmayan her türlü aynağa esisiz atıf yapıldığını bildiririm. H.Hasan ÖRKCÜ

4 iv AYIRMA ANALİZİNE MATEMATİKSEL PROGRAMLAMA VE YAPAY SİNİR AĞLARI YAKLAŞIMLARI (Dotora Tezi) H.Hasan ÖRKCÜ GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Haziran 2009 ÖZET Ayırma analizi sosyal bilimlerde, finans, pazarlama ve muhasebe gibi iş alanlarında ve biyoloji gibi tasonomi ve sınıflama analizlerinin içerildiği diğer alanlarda geniş bir ullanımı olan bir araçtır. Bu çalışmada sınıflandırma problemleri için biri matematisel programlamaya dayalı diğeri de yapay sinir ağlarına dayalı ii yeni yalaşım önerilmiştir. Yeni matematisel programlama modeli literatürde önerilen matematisel programlama modellerinin güçlü özellilerine dayanmatadır. Sınıflandırma problemlerinde yapay sinir ağları da olduça geniş bir ullanıma sahiptir. Yapay sinir ağlarının eğitilmesinde ullanılan geri yayılım algoritması yerel çözümlere yaalanma ve bazı durumlarda düşü sınıflandırma performansı vermesi gibi olumsuzlulara sahiptir. Bu çalışmada, yapay sinir ağlarının eğitilmesi süreli parametreli geneti algoritma ile ele alınmış ve süreli parametreli geneti algoritma ile eğitilmiş ağ yapısı sınıflandırma modellerinin çözümünde ullanılmıştır. Hem yeni önerilen matematisel programlama modeli hem de süreli parametreli geneti algoritma ile eğitilmiş ağ yapısı diğer gelenesel yöntemlerle beraber

5 v literatürden alınan 2 farlı gerçe sınıflandırma probleminde ve simülasyon verisinde sınanmıştır. Sonuçlar yeni önerilen matematisel programlama modeli ve süreli parametreli geneti algoritma ile eğitilmiş ağ yapısının diğer sınıflandırma yöntemlerine göre daha iyi olduğunu göstermetedir. Bilim Kodu : Anahtar Kelimeler : Ayırma Analizi, Matematisel Programlama, Yapay Sinir Ağları Yalaşımları, Geneti Algoritma. Sayfa Adedi : 54 Tez Yöneticisi : Prof. Dr. Hasan BAL

6 vi MATHEMATICAL PROGRAMMING AND ARTIFICIAL NEURAL NETWORK APPROACHES TO DISCRIMINANT ANALYSIS (Ph.D. Thesis) H.Hasan ÖRKCÜ GAZİ UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY June 2009 ABSTRACT Discriminant analysis is widely used research tool in social sciences, in business areas such as finance, mareting, and accounting, and in other areas involving taxonomical and classification analyses such as biology. In this study, a new mathematical programming model and an artificial neural networs approach are proposed for classification problems. New mathematical programming model bases on the strong features of some mathematical programming models in the literature. Artificial neural networs have also a wide ranging usage area in the classification problems. Bac-propagation algorithm, used in the training of the artificial neural networs, has negative features such as being captured in the local solutions and low performance of classification in some states. In this study, training of the artificial neural networs is implemented with real-coded genetic algorithm and networ structure that has been trained with real-coded algorithm has been used in the solutions of the classification models. Both newly proposed mathematical programming model and networ structure, and other conventional discriminant methods were tested by using 2 different real classification data taen from the literature and simulation data.

7 vii The results show that classification success of new proposed mathematical programming model and artificial neural networ approach trained with realcoded genetic algorithm are better than other classification methods. Science Code : Key Words : Discriminant Analysis, Mathematical Programming, Artificial Neural Networ Approaches, Genetic Algorithm. Page Number : 54 Adviser : Prof. Dr. Hasan BAL

8 viii TEŞEKKÜR Çalışmalarım boyunca değerli yardım ve atılarıyla beni yönlendiren hocam Prof. Dr. Hasan BAL a ve manevi desteleriyle beni hiçbir zaman yalnız bıramayan eşime, anneme ve babama teşeürü bir borç bilirim.

9 ix İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET... iv ABSTRACT... vi TEŞEKKÜR...viii İÇİNDEKİLER... ix ÇİZELGELERİN LİSTESİ... xii ŞEKİLLERİN LİSTESİ... xiv SİMGELER VE KISALTMALAR... xvi. GİRİŞ İSTATİSTİKSEL YAKLAŞIMLAR İKİ GRUPLU MATEMATİKSEL PROGRAMLAMA YAKLAŞIMLARI ÇOK GRUPLU MATEMATİKSEL PROGRAMLAMA YAKLAŞIMLARI Literatürde Önerilen Ço Gruplu Matematisel Programlama Modelleri Yeni Önerilen Ço Gruplu Sınıflandırma Modeli YAPAY SİNİR AĞLARI YAKLAŞIMLARI Yapay Sinir Ağları ile İlgili Temel Kavramlar Yapay sinir ağlarının özellileri Bir yapay sinir ağının yapısı ve ana öğeleri Yapay sinir ağlarının oluşturulmasında diat edilmesi gereen hususlar Yapay sinir ağlarının uygulama alanları Basit algılayıcı yapay sinir ağı ve ii gruplu sınıflandırma problemine uygulanması Ağ Yapıları... 6

10 x Sayfa İleri beslemeli ağlar Geri beslemeli ağlar ADALINE Ço atmanlı ağlar Yapay Sinir Ağlarında Öğrenme Temel öğrenme uralları Sinir ağlarının öğrenme algoritmalarına göre sınıflandırılması Geri yayılım algoritması ve ço atmanlı ağın eğitiminde ullanılması Levenberg-Marguardt yöntemi ile ço atmanlı ağın eğitilmesi GENETİK ALGORİTMALARIN ÇOK KATMANLI AĞIN EĞİTİMİNDE KULLANILMASI İili Kodlamalı Geneti Algoritmalar İili odlamalı geneti algoritmaların yapısı Kodlama Popülasyon büyülüğü Uygunlu fonsiyonu Üreme ve seçim meanizmaları Çaprazlama (Gen taası) Mutasyon Şema teoremi İili odlamalı geneti algoritmalar ullanılara bir optimizasyon probleminin eniyilenmesi örneği... 9

11 xi Sayfa 6.2. Süreli Parametreli Geneti Algoritmalar Süreli parametreli geneti algoritmaların bileşenleri Parametrelerin odlanması, doğruluğu ve sınırları Başlangıç popülasyonu Doğal seçim Eşleme ve çaprazlama Mutasyon Süreli parametreli geneti algoritmalar ullanılara bir optimizasyon probleminin eniyilenmesi örneği Yeni Önerilen Ço Katmanlı Sinir Ağlarının Geneti Algoritmalar ile Eğitilmesi SINIFLANDIRMA MODELLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI İi Gruplu Durum Literatür örneleri Simülasyon çalışması Ço Gruplu Durum SONUÇLAR KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ... 49

12 xii ÇİZELGELERİN LİSTESİ Çizelge Sayfa Çizelge 5.. Basit algılayıcı model için hipoteti veri Çizelge 6.. İili düzende odlanmış ii romozom Çizelge 6.2. Örne için başlangıç popülasyonu Çizelge 6.3. Örne için üreme işlemi Çizelge 6.4. Örne için çaprazlama işlemi Çizelge adet romozomun sırayla dizilimi Çizelge 6.6. Kromozomların eşleme havuzunda fonsiyon değerlerine göre dizilimi Çizelge 6.7. İinci nesil romozomlarının dizilimi Çizelge 7.. Literatür veri setleri için özetleyici bilgiler... 8 Çizelge 7.2. İi gruplu literatür veri setleri için yöntemlerin eğitim ve doğrulama örnelerindei doğru sınıflandırma oranları Çizelge 7.3. İi gruplu literatür veri setleri için yöntemlerin 0-at çapraz geçerlili doğru sınıflandırma oranları... 2 Çizelge 7.4. Simülasyon çalışmasında ullanılan veri tipleri Çizelge 7.5. Doğrulama örnelerindei 9 yalaşıma ilişin doğru sınıflandırma oranları ( n = n 2 = 50 ) Çizelge 7.6. Doğrulama örnelerindei 9 yalaşıma ilişin doğru sınıflandırma oranları ( n = 30, n 2 = 70) Çizelge 7.7. Doğrulama örnelerindei 9 yalaşıma ilişin doğru sınıflandırma oranları ( n = 70, n 2 = 30) Çizelge 7.8. Doğrulama örnelerindei geri yayılım ağı ile eğitilmiş ço atmanlı ağ yapısının diğer (FLDF, MSD, R&S, LCM ve DEA-DA) yöntemlere arşı hipotez testi sonuçları (eşleştirme t değerleri)... 30

13 xiii Çizelge Sayfa Çizelge 7.9. Doğrulama örnelerindei süreli parametreli geneti algoritmalar ile eğitilmiş ço ağ yapısının diğer (FLDF, MSD, R&S, LCM ve DEA-DA) yöntemlere arşı hipotez testi sonuçları (eşleştirme t değerleri)... 3 Çizelge 7.0. Ço gruplu literatür veri setleri için yöntemlerin eğitim ve doğrulama örnelerindei doğru sınıflandırma oranları Çizelge 7.. Ço gruplu literatür veri setleri için yöntemlerin 0-at çapraz geçerlili doğru sınıflandırma oranları... 36

14 xiv ŞEKİLLERİN LİSTESİ Şeil Sayfa Şeil 2.. İi değişen için Fisher in ayırma fonsiyonu... 7 Şeil 3.. Ayırma analizinde çaışma olmayan durum... 4 Şeil 3.2. Ayırma analizinde çaışma durumu... 5 Şeil 4.. Sueyoshi nin ço gruplu sınıflandırma modelinin gösterimi... 4 Şeil 5.. Biyoloji sinir hücresi Şeil 5.2. Yapay sinir ağlarının genel görünümü Şeil 5.3. Bir yapay sinir ağı örneği... 5 Şeil 5.4. Yapay bir sinir hücresi Şeil 5.5. Eşi ativasyon fonsiyonu Şeil 5.6. Doğrusal ativasyon fonsiyonu Şeil 5.7. Logaritma Sigmoid ativasyon fonsiyonu Şeil 5.8. Örne için Fisher, MSD ve ii aşamalı MSD ayırma fonsiyonları Şeil 5.9. Örne için DEA-DA ayırma fonsiyonları Şeil 5.0. Örne için basit algılayıcı ayırma fonsiyonu... 6 Şeil 5.. İleri beslemeli ağ yapısı için blo diyagramı Şeil 5.2. Geri beslemeli ağ yapısı için blo diyagramı Şeil 5.3. ADALINE ağ yapısı Şeil 5.4. Ço atmanlı algılayıcı ağ yapısı Şeil 5.5. Danışmanlı öğrenme yapısı Şeil 5.6. Danışmansız öğrenme yapısı Şeil 5.7. Taviyeli öğrenme yapısı... 7

15 xv Şeil Sayfa Şeil 5.8. Geri yayılım ağ yapısı Şeil 5.9. Ço atmanlı ileri beslemeli bir ağın bağlantısı ve değişenleri Şeil 6.. [ 0,3 ] tamsayı aralığında 2 x fonsiyonunun grafiği... 9 Şeil 6.2. Üreme işleminde ullanılan rulet teerleği Şeil 6.3. Süreli parametreli geneti algoritmaların aış diyagramı Şeil 6.4. f ( xy, ) xsin( 4x), ysin( 2y) = + fonsiyonunun grafiği Şeil 6.5. Te girdi, te gizli ve te çıtılı bir ço atmanlı ileri beslemeli ağ... 0 Şeil 6.6. Ağ yapısı ağırlı değişenlerinin romozoma odlanması...

16 xvi SİMGELER VE KISALTMALAR Bu çalışmada ullanılmış bazı simgeler ve ısaltmalar, açılamaları ile birlite aşağıda sunulmuştur. Simgeler Açılama c Grupları Ayıran Eşi Değer h Grup Sayısı Değişen Sayısı α Ayırma Fonsiyonu Katsayıları µ Ortalama Vetörü V Varyans-Kovaryans Matrisi Z Veri Matrisi Kısaltmalar Açılama ADALINE DBD DEA-DA FLDF GA GMFC GPMED GSFC LOO LSO Uyarlanmış Doğrusal Ayırıcı Delta-Bar-Delta Sueyoshi Veri Zarflama Analizi Ayırma Analizi Modeli Fisher in Doğrusal Ayırma Fonsiyonu. Geneti Algoritma Genel Ço Fonsiyonlu Sınıflandırma Modeli Medyandan Sapmalar Hedef Programlama Modeli Genel Te Fonsiyonlu Sınıflandırma Modeli Leave-One-Out (Birini dışarıda tutma) Leave-Some-Out (Biaçını dışarıda tutma)

17 xvii Kısaltmalar Açılama LPMED med MLP MSD MLM R&S VZA YSA Medyandan Sapmalar Doğrusal Programlama Modeli Medyan (ortanca) Ço Katmanlı Ağ Sapmalar Toplamının Minimizasyonu (Minimization Sum of Deviations) Lam, Choo ve Moy un Ço Gruplu Sınıflandırma Modeli Ragsdale ve Stam ın İi Aşamalı Modeli Veri Zarflama Analizi Yapay Sinir Ağları

18 . GİRİŞ Bilimin en temel yöntemlerinden bir tanesi olan sınıflandırma, insanoğlu tarafından üstlenilen en esi bilimsel uğraşlardan biridir. Sınıflandırma problemi, hangi sınıfa ait olduğu bilinen örneler ullanılara, yeni örnelerin sınıflarının belli bir doğrulu ile belirlenmesidir. Birço alanda başarılı çalışmalar gerçeleştirebilme için sınıflandırma problemlerinin etin şeilde çözülmesine ihtiyaç duyulmatadır. Bu nedenle, farlı disiplinlerden birço araştırmacı sınıflandırma problemi üzerinde çalışmata ve daha iyi sonuçlar elde etme için yeni yöntem arayışları sürmetedir. Sınıflandırma problemi, herhangi bir veri ümesinden seçilen eğitim ümesini ullanan belirli bir tanıma sistemi yani sınıflandırıcının geliştirilmesidir. Bu sınıflandırıcılar eğitim ümesindei notaların hangi sınıfta olduğunu belirlemenin yanı sıra eğitim ümesinde olmayan notalar ile arşılaştırıldılarında bu notaların belirli bir olasılıla hangi sınıfta olması geretiğini söylemeye imân veren sistemlerdir. Sınıflandırma problemleri ayırma analizi (discriminant analysis) tenileri ile incelenmetedir. Ayırma analizi, birimlerin gözlenen özellilerine (ölçülen değişenlere) göre uygun gruplarına atanması işlemi ile uğraşır. Ayırma analizi sınıflandırılması istenen birimlerin grup üyeliğini estirme, ayrı gruplardan birine birimleri sınıflandırma ve gruplar arasındai farlılığı bir ya da daha fazla gözlenebilir niteliğe dayalı olara açılama amacıyla ullanılmatadır. Ayırma analizi sosyal bilimlerde, finans, pazarlama ve muhasebe gibi iş alanlarında tıbbi teşhis, hava tahmini, redi artı veya redi alma için yapılan başvuruların geri ödemesinin yapılıp yapılmayacağının tahmin edildiği redi değerlendirme, müşteri bölümleme ve sahteârlı belirleme gibi birço alanda ve biyoloji gibi tasonomi ve sınıflama analizlerinin içerildiği diğer alanlarda başarı ile uygulanmatadır. Bireyleri ii ya da daha fazla gruba sınıflandırma için farlı riterler ullanılmatadır. Fisher in, ii grup için ortaya atmış olduğu doğrusal ayırma

19 2 fonsiyonu, ayırma analizinde en ço ullanılan riterdir [Anderson, 984]. Fisher (936), Normal dağılım varsayımı altında ii ya da daha fazla gruptan (yığın) gözlenmiş birimleri gruplardan birine sınıflandırma için mevcut değişenler üzerinden tanımlanaca doğrusal fonsiyonları önermiştir. Öyle i bu doğrusal fonsiyonların atsayılar vetörü, gruplar arası farlılığı masimum yapaca biçimde alınırlar. İstatistisel yöntemler ullanılara elde edilen sonuçlar olasılılarla ifade edilir faat bu yöntemlerin ullanılabilmesi için gereli olan varsayımların sağlanması çoğunlula imânsızdır. Sınıflandırma problemlerinin incelenmesinde istatistisel yöntemlere alternatif olara ço sayıda matematisel programlama yöntemi geliştirilmiştir. Matematisel programlama yöntemlerini ullanma için yığınla ilgili herhangi bir varsayımın sağlanmasına gere yotur. Doğrusal programlama ile sınıflandırma problemlerinin incelenmesi il defa Fred ve Glover (98a) tarafından yapılmıştır. Fred ve Glover, ii gruplu sınıflandırma problemleri için, sapmalar toplamının minimizasyonuna dayanan bir model önermişlerdir. Matematisel programlama yöntemleri dağılımdan bağımsız ve sınıflama amaçları için ço ullanışlıdırlar. Matematisel programlama yöntemleri ile çoğunlula ii gruplu sınıflandırma problemleri incelenmiştir [Marowsi ve Marowsi (985), Fred ve Glover (986a, 986b), Joachimsthaler ve Stam (988), Koehler (989), Koehler ve Erenguc (990), Glover (990), Rubin (990), Lee ve Ord (990), Stam ve Jones (990), Stam ve Ragsdale (992), Hosseini ve Armacost (994), Lam ve ar. (996), Lam ve Moy (997, 2002), Sueyoshi (999, 200, 2004, 2006), Bal ve ar. (2006a, 2006b), Bal ve Örcü (2007)]. Merezi sinir sisteminin basitleştirilmiş bir modeli olan Yapay Sinir Ağları (Artificial Neural Networs) beyindei sinirlerin çalışmasını talit edere sistemlere öğrenme, genelleme yapma, hatırlama gibi yeteneler azandırmayı amaçlayan bir bilgi işleme sistemidir [Patterson, 996]. Yapay Sinir Ağları (YSA) günümüzde mühendisli, eletri-eletroni, haberleşme gibi ço çeşitli alanlarda ve ayrıca, başta regresyon analizi, zaman dizileri analizi ve ayırma analizi olma üzere diğer gelenesel istatistisel yöntemlere alternatif olara da ullanılabilmetedir. Örüntü

20 3 tanıma (pattern recognition) abiliyetleri temelinde sınıflandırma yapan ve veri üzerinde herhangi bir varsayım öne sürmeyen YSA ile de çoğunlula ii gruplu sınıflandırma problemleri incelenmiştir [Patwo ve ar. (993), Curram ve Mingers (994), Holmstrom ve ar. (997), Mengiameli ve West (999)]. YSA, banacılı setöründe genellile redi değerlendirme ve iflas tahmini uygulamalarında ullanılmıştır [Leshno ve Spector (996), Tam ve Kiang (992), Pendharar (2005)]. Bu çalışmanın amacı, sınıflandırma problemlerinin çözümünde etin olara ullanılabilece yeni yalaşımlar elde etmetir. Bu amaçla sınıflandırma problemleri için önerilen matematisel programlama ve yapay sinir ağları yalaşımları, uvvetli ve zayıf yanları ile ayrıntılı bir şeilde incelenmiş ve literatürde önerilen yöntemlerden daha etin olan biri matematisel programlama açısından diğeri de yapay sinir ağları açısından ii yeni sınıflandırma yalaşımı önerilmiştir. Yeni önerilen ço gruplu matematisel programlama yalaşımı bölüm 4.2 de ve yeni önerilen süreli parametreli geneti algoritmalarla eğitilmiş ço atmanlı ağ yapısı sınıflandırma yalaşımı ise bölüm 6.3 te verilmiştir. Tezin iinci bölümünde en genel hali ile ayırma analizine istatistisel yalaşımlar gözden geçirilmetedir. Bu amaçla Fisher in (936) doğrusal ayırma fonsiyonu ve aresel ayırma fonsiyonuna yer verilmiştir. Üçüncü bölümde ii gruplu sınıflandırma problemleri için önerilen matematisel programlama modelleri ayrıntıları ile gözden geçirilmetedir. Dördüncü bölümde ço gruplu sınıflandırma problemleri için literatürde önerilen matematisel programlama modelleri ayrıntıları ile incelenmiştir. Gochet ve ar. (997) tarafından önerilen ço gruplu model ile metodoloji yönden diğer yalaşımlardan daha güçlü olan Sueyoshi (2006) nın ço gruplu modeli ombine edilmiş ve yeni bir, ço gruplu matematisel programlama modeli önerilmiştir. Beşinci bölümde yapay sinir ağ yapıları ve öğrenme algoritmaları üzerinde durulmuştur. Bu amaçla, ağ yapılarından ço atmanlı ağ yapısı başta olma üzere

21 4 en ço ullanılan ağ yapıları ve öğrenme algoritmalarından da başta geri yayılım algoritması olma üzere öğrenme algoritmaları tanıtılmıştır. Ayrıca Sueyoshi (999) dan alınan üçü bir örne üzerinde yapay sinir ağlarının en basit modeli olan basit algılayıcı modeli ile sinir ağlarının sınıflandırma problemlerinde nasıl ullanıldığı örnelendirilmiştir. Geri yayılım eğitim algoritmasında genellile türeve bağlı eğim azalması yöntemi ullanılmatadır. Eğim azalması yöntemi minimumu araştırılan ço atmanlı ağın gerçeleşen ve arzu edilen çıtı değerine bağlı olara oluşturulan aresel hata fonsiyonunun ço fazla yerel minimumu olduğunda çoğunlula yerel bir çözüm vermete ve böylelile düşü bir sınıflandırma başarısı ile arşılaşılmatadır. Geneti algoritmalar armaşı yapıdai fonsiyonların minimumlarının bulunmasında ullanılan modern sezgisel yöntemlerden birisidir ve türev bilgisine ihtiyaç duymazlar [Goldberg, 989]. Altıncı bölümde ço atmanlı ağ yapısının geneti algoritma yöntemi ile eğitilmesini ve geneti algoritma ile eğitilmiş ço atmanlı bir sinir ağının sınıflandırma problemlerinde nasıl ullanılacağı incelenmiştir. Bu amaçla, iili odlamalı ve süreli parametreli geneti algoritma teniği ele alınara geneti algoritma yönteminin ço atmanlı ağ yapısının eğitiminde nasıl ullanılacağı tartışılmış ve geneti algoritmaların geri yayılım ve Levenberg-Marguardt algoritmaları gibi lasi algoritmalara göre üstünlülerinden bahsedilmiştir. Yedinci bölümde, ii gruplu ve ço gruplu durumlar için yöntemlerin arşılaştırılması yapılmatadır. Bu amaçla Fisher in doğrusal ayırma fonsiyonu, yeni önerilen ço gruplu matematisel programlama yalaşımı ve literatürde önerilen matematisel programlama yalaşımları, geri yayılım algoritması, Levenberg- Marguardt, iili odlamalı ve süreli parametreli geneti algoritmalar ile eğitilmiş ço atmanlı ağ yapısının literatürde de ullanılan gerçe sınıflandırma problemi verileri ve simülasyon yöntemi ile sınıflandırma başarıları incelenmetedir. Son bölümde elde edilen sonuçlar değerlendirilmetedir.

22 5 2. İSTATİSTİKSEL YAKLAŞIMLAR İstatisti bilimi açısından ayırma fonsiyonu, özel bir istatistisel arar verme fonsiyonudur. Hangi gruba sınıflandırılacağı tam olara bilinemeyen bir birim, üzerinde bazı ölçümler yapılara, bu birimin mevcut gruplardan hangisine en büyü olasılıla sınıflandırılacağına istatistisel yöntemlerle arar verilebilir. Burada birimin sonlu sayıdai gruplardan birine sınıflandırılması zorunlu olmatadır. Fisher (936), bu problemin çözümü için söz onusu değişenlerin doğrusal fonsiyonlarından hareet etmiştir. Şöyle i; ' Y α x α x α x α x = = (2.) olsun. İi gruplu doğrusal ayırma analizinde, boyutlu α ayırma vetörü ve c sabiti belirlenir. α ' x c ise ilgili birim. gruba, diğer durumda 2. gruba ait olara sınıflandırılır. Bu doğrusal fonsiyon, farlı grupların ovaryans matrislerinin aynı olması durumunda uygundur. Asi halde aresel fonsiyonların ullanımı analiz sonuçlarının sağlılı olmasını sağlayacatır [Lachenburch, 975]. Ço değişenli gözlemlerden oluşan ii veya daha fazla grup arasında ayırım yapma ve aynağı bilinmeyen gözlemleri bu gruplardan birine sınıflandırma için ullanılan ayırma analizi yöntemi, uygulanabilmesi ve sonuçların sağlılı olması için bazı varsayımların sağlanmasına bağlıdır [Anderson, 984]. Bu varsayımlar: a) Ortalama vetörleri birbirinden farlı ii veya daha fazla grup söz onusu olmalıdır. b) Her bir gruptai gözlemler, ii veya daha fazla değişen tarafından araterize edilmelidir. c) Analizde ullanılaca her bir örne, ço değişenli normal dağılımlı bir yığından seçilmiş olmalıdır. d) Doğrusal ayırma fonsiyonunun uygun olması için, yığınların ovaryans matrisleri aynı olmalıdır.

23 6 değişene sahip birimlerden oluşan ii veya daha fazla grup bulunmatadır. Bireyler, gruplar arasında ayırma gücü en yüse olaca biçimde belli sayıda doğrusal bağıntılar yardımıyla sınıflandırılmatadır. Birimlere ait değişeni, boyutlu uzayda tanımlayaca öyle esenler bulunmalı i veri topluluları bu esenler boyunca birbirinden olabildiğince ayrılsın. İiden ço grup olması durumunda bulunaca ayırma fonsiyonu sayısı; h grup sayısını, değişen sayısını gösterme üzere min ( h, ) olur. İi grup olması durumunda te bir ayırıcı fonsiyon grupları birbirinden ayırıren, ço grup olması durumunda te ayırıcı fonsiyon tüm grupları ayırma da yeterli olmamatadır. Bu nedenle 2. hatta 3. ayırıcı fonsiyonlara ihtiyaç duyulmatadır. Bulunaca ayırıcı fonsiyonlardan ili gruplar arasında en büyü ayırımı sağlayan olacatır. İinci fonsiyon, ili ile ilişisi olmayan ve il ayırıcı fonsiyondan sonra gruplar arasında en iyi ayırımı sağlayan bağıntı olacatır. Ötei fonsiyonlarda benzer biçimde yorumlanabilir. Ayırıcı fonsiyonların bulunması Fisher in belirlediği ' vbv ' vwv λ = (2.2) ii varyans oranı biçimindedir. Buradan elde edilen λ özdeğerine arşılı gelen özvetörler yuarıda belirtilen oşulları sağlayan ayırıcı fonsiyonlar olacatır. Bu nedenle ayırmayı masimum yapan v değeri W B λi v = 0 (2.3) eşitliğinden elde edilir. Burada ' j( j )( j ) olma üzere gruplar j= B = n X X X X arası varyans matrisi ve n j ' ( ij j )( ij j ) olma üzere grup içi j= W = X X X X varyans matrisidir.

24 7 İi değişen için Fisher in ayırma fonsiyonu Şeil 2. de verilmetedir. Şeil 2.. İi değişen için Fisher in ayırma fonsiyonu Bireylerin değişenli normal dağılımlı ve orta varyans-ovaryans matrisine sahip yığından gelmesi durumu için Anderson (984) tarafından geliştirilen yöntem, Fisher (936) nın ullandığı yöntemin devamı biçimindedir. Yöntem h grubun birbiri ile h = 2 ıyaslanması esasına dayanmatadır. Bu durumda h( h ) 2 tane ayırıcı fonsiyon bulunması geremetedir. Bu fonsiyonlar arşılaştırılan ii grubun olasılı yoğunlu fonsiyonlarının birbirine oranlanmasından elde edilmetedir. f X x V x (2 π ) V 2 ' i ( ) = exp ( µ ) ( µ ) /2 /2 (2.4) i. gruba ait yoğunlu fonsiyonu olma üzere, varyans-ovaryans matrisleri eşit olan i ve j gibi ii grubun arşılaştırılması amacıyla, fi ( X) ' ' fij dij ( µ µ 2) V = = = X ( µ µ 2) V ( µ + µ 2) (2.5) f ( X) 2 j

25 8 fonsiyonu ullanılmatadır. Bu fonsiyon yardımıyla i. ve j. grupları birbirinden ayıran bölgeler tanımlanmatadır. Eğer fij ( X) 0 ise birey i. gruba ( R i bölgesine), asi halde j. gruba ( R bölgesine) sınıflandırılır. j Verilerin normal dağıldığı anca varyans-ovaryans matrislerinin farlı olması durumunda ullanılan aresel fonsiyon, S QX = XS X XS X + X S X S X X S S X (2.6) j ' ' ' ' ( ) log ( i i i j j j ( i i j j) ( i j ) 2 Si 2 2 olara tanımlanmatadır. Birey, QX ( ) < 0 ise R j bölgesine, QX ( ) > 0 ise R i bölgesine sınıflandırılır. Kovaryans matrislerinin eşit olmadığı durumlarda, doğrusal ayırma fonsiyonunun ayırma gücü etilenmetedir. Mars ve Dunn (974), ayırma analizinde gruplardai birim sayısı büyülüğü üzerinde çalışmışlar ve üçü örnelerde, gruplara ilişin ovaryans matrisleri arasındai farlılı fazla değilse, Fisher in doğrusal ayırma fonsiyonunun aresel ayırma fonsiyonuna göre daha iyi sonuç verdiğini göstermişlerdir.

26 9 3. İKİ GRUPLU MATEMATİKSEL PROGRAMLAMA YAKLAŞIMLARI Doğrusal programlama yöntemleri ile sınıflandırma problemlerinin incelenmesi il defa Fred ve Glover (98a) tarafından yapılmıştır. Fred ve Glover, sapmalar toplamının minimizasyonuna dayanan bir sınıflandırma modeli önermişlerdir. Bajgier ve Hill (982) ii gruplu sınıflandırma probleminde, doğrusal programlama modelleri ile istatistisel yöntemlerin deneysel bir arşılaştırmasını vermişlerdir. Yapılan bu il çalışmalardan sonra, sapmalar toplamının minimizasyonu, yanlış sınıflandırılmış birimlerin sayısının minimizasyonu ve gruplar arası uzalıların masimizasyonu gibi sınıflandırma riterlerine dayalı birço model geliştirilmiştir [Marowsi ve Marowsi (985), Fred ve Glover (986a, 986b), Joachimsthaler ve Stam (988), Koehler (989), Koehler ve Erenguc (990), Glover (990), Rubin (990), Lee ve Ord (990), Stam ve Jones (990), Stam ve Ragsdale (992), Hosseini ve Armacost (994), Lam ve ar. (996), Lam ve Moy (997, 2002), Sueyoshi (999, 200, 2004, 2006), Bal ve ar. (2006a, 2006b), Bal ve Örcü (2007)]. Fisher in orijinal yöntemine benzer olara, doğrusal programlama modelleri dağılımdan bağımsız ve sınıflama amaçları için ullanışlıdır [Koehler ve Erenguc, 990]. değişenli ii gruplu sınıflandırma problemi göz önüne alınsın. Z ; G ve G 2 gruplarından alınan n çaplı bir örneğin. değişen sorlarını gösteren n li bir matris olsun. Değişen atsayıları α, α2,..., α ile ve j. birime ait sınıflandırma soru ise S j αizij = olara tanımlanır ( j =,2,..., n ). Bir birimin ait olduğu grubun tayin edilmesi o birimin sınıflandırma sorunun değerine bağlıdır. Fred ve Glover (98a) tarafından önerilen basit MSD (Minimization Sum of Deviationssapmalar toplamının minimizasyonu) sınıflandırma modeli,

27 0 Min S + S + j j j G j G2 Kısıtlar: + αizij + Sj c j G (3.) α Z S c j G i ij j 2 biçiminde tanımlanabilir. Burada Zij 0, S + j 0, j 0 α ( i, 2,..., ) i S ( j, 2,..., n) =, = ve c işaretçe serbest (pozitif veya negatif değerler alabilen) değişenlerdir. Eş. 3. ile verilen model doğrusal programlama modelidir ve Simples algoritması ile çözülür. Bu modelin çözülmesi ile α i ve c değerleri elde edilere, herhangi bir birimin sınıflandırma soru elde edilebilir. Bir birimin sınıflandırma soru ( S ) c ye eşit ya da büyü ise G e, diğer durumda G 2 ye j sınıflandırılacatır. S + j 0 olması, G grubundai j. birimin yanlış sınıflandırıldığını; S j 0 olması, G 2 grubundai j. birimin yanlış sınıflandırıldığını göstermetedir. Lam ve ar. (996), MSD modelinin yaptığı işlemi ii adıma ayırmışlardır. Birincisi değişen ağırlılarının bulunması, iincisi de sınıflandırma için ayırma değerlerinin belirlenmesidir. Faat bu model grup ortalamasının sınıflandırma sorundan sapmalar toplamını minimize eden bir amaç fonsiyonundan yararlanmatadır. Lam ve ar. (996) nın modeli (LCM), LCM Min S + S + j j j G j G2 Kısıtlar:

28 ( ) + α i Zij µ i + Sj 0 j G (3.2) ( ) α Z µ S 0 j G i ij 2i j 2 ( ) α µ µ i i 2i ile formüle edilebilir. Eş. 3.2 modelinde, S + j 0, j 0 ( i, 2,..., ) =, α i S ( j, 2,..., n) = serbest değişen, µ i ; G grubundai birimlerin i. değişenine ait ortalama ve µ 2i ; G 2 grubundai birimlerin i. değişenine ilişin ortalamadır. Eş. 3.2 modeli yardımı ile değişenlerin ayırma atsayıları, α ( i, 2,..., ) i =, bulunara bireylerin sorları ( S ) elde edilir. Bu modelde birimlerin sınıflandırma j sorları bulunduğu grubun ortalama soruna yalaştırılara ayırma atsayılarına ulaşılır. Birimlerin sınıflandırma sorları ( S ), j LCM 2 min n j= h j Kısıtlar: (3.3) S + h c j j j G S h c j j j G 2 modelinde ullanılara sınıflandırma yapılır. Eş. 3.3 modelinde, h 0 ( j =, 2,..., n), c serbest değişendir. Görüldüğü gibi sınıflandırma işlemi j ii aşamada yapılmatadır. Bu modeller Simples algoritması ile çözülür.

29 2 Bal ve ar. (2006a) LCM modelinde ortalamadan sapmalar yerine medyan (ortanca) 2 değerinden sapmalar toplamını minimize edere özellile Üstel, χ ve F dağılımı gibi çarpı dağılımdan gelen değişenlere sahip problemlerde başarı ile ullanılabilece ii aşamalı LPMED modelini önerdiler. Medyan (ortanca) değerinden sapmaların ullanılmasının sebebi, çarpı dağılımlı veya normal dağılımlı olmayan yığınlardan seçilen örnelerde medyanın ortalamadan daha hassas sonuçlar vermesi ve gerçe hayat problemlerinin birçoğunun da bahsedilen dağılımlar gibi çarpı dağılımlı bir durumu yansıtabileceği olara ifade edilmetedir. LPMED modelinin özellile çarpı dağılımlarda LCM modeline göre yüse sınıflandırma başarısına sahip olduğu birço farlı durumu apsayan simülasyon çalışması ile gösterilmiştir. LPMED modeli LCM modeli gibi ii aşamadan oluşmatadır. Bal ve ar. (2006b) LCM ve LPMED modellerinin ii aşamada ii ayrı doğrusal programlama modelini çözere yaptığı işlemi öncelili hedef programlama ile te bir sınıflandırma modeline indirgemişlerdir. Bal ve ar. (2006b) tarafından önerilen hedef programlamaya dayalı sınıflandırma modeli (GPMED) n n + Min a = ( S j + S j ), hi j G, G2 j= Kısıtlar: ( ) + αi Zij med i + Sj Sj = 0, j G (3.4) ( ) α Z med + S S = 0, j G α + i ij 2i j j 2 ( med med ) i i 2i α Z + h c, j G i ij j α Z h c, j G i ij j 2

30 3 ile formüle edilmetedir. Eş. 3.4 modelinde, S + j 0, j 0 ( i, 2,..., ) =, α i S ( j, 2,..., n) = işaretçe serbest değişen, med i ; G grubundai birimlerin i. değişenine ait medyan (ortanca) ve ilişin medyan (ortanca) değeridir. med 2i ; G 2 grubundai birimlerin i. değişenine n Bu modelde il öncelite ( S j + S + j ) sapmaları minimum yapılara α i ağırlıları j G, G2 ve her bir birime ait S = α Z ayırma sor değerleri elde edilmetedir. İl j i ij önceli orunara, il öncelite elde edilen S j ayırma sorları yardımıyla iinci öncelite n hi sapmalarının minimum yapılması ile birimlerin sınıflandırılması j= yapılmatadır. Bir birim sınıflandırma soru grupları birbirinde ayıran c eşi değerinden büyü ya da eşitse G grubuna diğer durumda G 2 grubuna atanmatadır. LCM ve LPMED modellerinin asine, GPMED modelinde ağırlı değerleri ve grupları birbirinden ayıran eşi değer aynı anda elde edilmetedir. Bal ve ar. (2006) LCM modelinin yani LCM yönteminin il aşaması çolu optimal çözümlere sahip olduğu durumlarda GPMED modelinin çolu optimal çözümlerin arasından daha yüse doğru sınıflandırma başarısına sahip çözümleri seçtiğini birço farlı durumu apsayan simülasyon çalışmalarında göstermişlerdir. LCM modelinin te optimal çözümleri varsa LCM modeli ile GPMED aynı sınıflandırma başarısına sahip olacatır. Bir doğrusal programlama modelinin çolu optimal çözümlere sahip olması çoğu defa mümün olabilir. Sınıflandırma problemlerinde, bazı birimlerin hangi gruba ait olduğu tam olara belirlenememetedir. İi gruplu durum için, G dei bazı birimler diğer gruba ( G 2 ye) ait olabilir veya G 2 dei bazı birimler G grubuna ait olabilir. Böyle bir durum çaışma olara adlandırılır ve önemli bir yanlış sınıflandırma aynağıdır

31 4 [Stam ve Ragsdale (992), Sueyoshi (999)]. Ayırma analizinde çaışma olmayan durum ve çaışma durumu sırasıyla Şeil 3. ve Şeil 3.2 de gösterilmetedir. Stam ve Ragsdale (992) ayırma fonsiyonunun bulunması için ii aşamalı bir yöntem önermişlerdir. Bu yöntemde, çaışma durumunda olan yani sınıflandırılması zor olan birimler il aşamada tanımlanır ve bu birimler iinci aşamada yeniden incelenir. Yöntemin il aşaması Eş. 3.5 modeli ile verilmetedir. Bu yönteme ii aşamalı MSD yalaşımı da denilmetedir. Min S + S Kısıtlar: j 2 j j G j G2 α Z + S j G i ij j (3.5) α Z S 0 j G i ij 2 j 2 Sj, S2 j 0, i α işaretçe serbest Burada, G grubu için sağ taraf sabiti ve G 2 grubu için sağ taraf sabiti 0 değerleri gruplar arasındai çaışmayı belirleme için onulmuştur. Şeil 3.. Ayırma analizinde çaışma olmayan durum

32 5 Şeil 3.2. Ayırma analizinde çaışma durumu * Eş. 3.5 ile verilen model Simples algoritması ile çözülür. α, Eş. 3.4 modelinden elde edilen optimum değer olsun. Değeri Z im ile gösterilmiş yeni örnelenen m. birimin G, G 2 ya da G G2 (çaışma) durumlarından hangisine ait olduğu a) * α izim ise birimin G grubuna ait olduğu sonucuna varılır. b) * 0< αizim < ise birimin G G2 ye ait olduğu sonucuna varılır. c) * α izim 0 ise birimin 2 G grubuna ait olduğu sonucuna varılır. riterleri ile belirlenir. Bu riterlere göre, tüm birimler ( G G2) aşağıda verilen alt ümelere ayrılabilir. * C = j G αizij

33 6 * C2 = j G2 αizij 0 D = G C ve D2 = G2 C2 Burada C ve C 2 alt grupları sırasıyla G ve G 2 gruplarına doğru olara sınıflandırılan birimlerden oluşmatadır. Benzeri olara D ve D 2 alt grupları çaışma durumunda olan ya da il aşamada yanlış sınıflandırılan birimlerden oluşmatadır. İinci aşamada C ve C 2 gruplarında yer alan birimlerin gruplarını bozmadan D ve D 2 gruplarında yer alan birimler yeni bir ayırma fonsiyonu yardımı ile değerlendirilir. Yöntemin iinci aşaması Eş. 3.6 modeli ile verilmetedir. Min S + S Kısıtlar: j 2 j j D j D2 α Z j C i ij αizij 0 j C2 (3.6) c α Z + S c j D i ij j α Z S c j D i ij 2 j 2 Sj, S2 j 0, i α işaretçe serbest Eş. 3.6 ile verilen model Simples algoritması ile çözülür. c * ve * αi sırasıyla Eş. 3.6 modelinden elde edilen ayırma soru ve ağırlı tahminleri olsunlar. İl aşamada çaışma grubunda tanımlanan m. birimin,

34 7 a) b) * * αizim > c ise birimin * * αizim < c ise birimin 2 G grubuna ait olduğu sonucuna varılır. G grubuna ait olduğu sonucuna varılır. Sueyoshi (999), Veri Zarflama Analizi (Data Envelopment Analysis-DEA) ile ayırma analizi arasındai falılıları ve benzerlileri hedef programlama ışığında incelediği çalışmasında, Veri Zarflama Analizinin (VZA) metodoloji gücünü ayırma analizi ile birleştirere DEA-DA (Data Envelopment Analysis-Discriminant Analysis) adını verdiği yeni bir sınıflandırma modeli önermiştir. İl defa Charnes ve ar. (978) tarafından önerilen ve CCR oran formu olara bilinen VZA yöntemi, çeşitli etinlilerin göreli olara hesaplanması için geliştirilmiş bir yönetim bilimi teniğidir [Cooper ve ar., 2000]. Temel etinli modeli olan CCR modeli dışında da çeşitli etinli hesaplamaları için geliştirilmiş farlı VZA modelleri de mevcuttur. Bu modellere örne olara BCC modeli, toplamsal model ve çarpımsal model verilebilir. Sueyoshi toplamsal VZA modelinin ayırma gücünü ayırma analizi ile birleştirere DEA-DA sınıflandırma modelini önermiştir. Sueyoshi, Stam ve Ragsdale (992) tarafından önerilen ii aşamalı modele benzer olara, il aşamada çaışma durumunun tespit edildiği iinci aşamada ise çaışma durumunda olan birimlerin sınıflandırıldığı ii aşamalı bir model önermiştir [Sueyoshi, 999]. Aşama : Çalışmayı belirleme ve sınıflandırma Çaışma belirleme süreci veya DEA-DA nın birinci aşaması Eş. 3.7 modelinde verildiği gibi formüle edilebilir: Min S + S Kısıtlar: + j 2 j j G j G2

35 8 α Z + S S = d j G + i ij j j + βizij + S2 j S2 j = d η j G2 (3.7) α = i β = i + + α, β, S, S, S, S 0, d işaretçe serbest i i j j 2 j 2 j Eş. 3.7 modelinde, α i ayırma fonsiyonunun i. ağırlığıdır. S + j ve S j sırasıyla G grubuna ilişin, d ayırma sorundan αizij parçalı doğrusal ayırma fonsiyonuna olan pozitif ve negatif sapmaları göstermetedir. S + j > 0 olması G grubundai j. birimin yanlış sınıflandırılmış olduğunu göstermetedir. Bu nedenle yanlış sınıflandırmayı minimum yapma için amaç fonsiyonunda S + j minimum j G yapılma istenmetedir. S j > 0 olması G grubundai j. birimin doğru sınıflandırılmış olduğunu göstermetedir. β i diğer ayırma fonsiyonunun i. ağırlığıdır. S + 2 j ve S 2 j ise sırasıyla G 2 grubuna ilişin, d η ayırma sorundan βizij başa bir parçalı doğrusal ayırma fonsiyonuna olan pozitif ve negatif sapmaları göstermetedir. η ço üçü pozitif sayıdır ve tüm ağırlıların sıfır olması gibi uygun olmayan sonuçlardan açınma için modele dahil edilmiştir. S 2 j > 0 olması G 2 grubundai j. birimin yanlış sınıflandırılmış olduğunu göstermetedir. Bu nedenle yanlış sınıflandırmayı minimum yapma için amaç fonsiyonunda S 2 j minimum yapılma istenmetedir. S + 2 j > 0 olması G 2 grubundai j. birimin j G2 doğru sınıflandırılmış olduğunu göstermetedir.

36 9 Birinci aşama; G dei birimlerin G 2 içinde yer alması ya da G 2 dei birimlerin G içinde yer alması biçimindei yanlış sınıflandırmaları minimize etme için tasarlanmıştır. Denlem sisteminin önemli bir özelliği ise tüm gözlenen fatörlerin ii ayrı parça halindei doğrusal fonsiyonlar ile bağlantılı olmasıdır ( αi = ve α Z i ij ile βi = ve β izij ). Değeri Z im ile gösterilmiş m. birimin G, G 2 ya da G G2 (çaışma) durumlarından hangisine ait olduğu aşağıda verilen riterle belirlenir. a) * * * αizim > d βi Zim veya * * * αizim d < βi Zim ise. m birimin çaışma bölgesinde yer aldığı ve G G2 ye ait olduğu sonucuna varılır. b) * * αizim > d ve * * * * * βi Zim d ( αizim = βi Zim = d dahil) ise çaışma olmadığı ve m. birimin G grubuna ait olduğu sonucuna varılır. c) * * αizim < d ve varılır. * * βi Zim < d ise. m birimin G 2 grubuna ait olduğu sonucuna İl aşamada ele alınan ve Eş. 3.6 modeli ile ifade edilen DEA-DA modeli G ile G 2 arasında ii farlı ayırma fonsiyonu oluşturmatadır. Birinci aşama ile son ayırma fonsiyonu belirlenmemete, bir çaışma olup olmadığı tespit edilmetedir. Aşama 2: Çaışmayı ele alma Çaışmanın ( G G2) varlığı, bir birimin her ii gruba da dahil olabileceğini ifade eder.

37 20 Min S + S Kısıtlar: + j 2 j j G j G2 γ Z + S S = c j G + i ij j j + γizij + S2 j S2 j = c η j G2 (3.8) γ = i + + γ, S, S, S, S 0, c işaretçe serbest i j j 2 j 2 j Eş. 3.8 modelinden γ elde edilditen sonra, G G2 dei tüm birimler, * i * γ izij sınıflandırma sor değerleri ile ayırma soru * G 2 den birine c arşılaştırılara G ya da γ Z c j G G * * i im * * i im, 2 ise γ Z < c j G G, 2 ise 2 G grubuna G grubuna eşitlileri yardımıyla sınıflandırılır. Eş. 3.8 modeli, yalnızca çaışma ( G G2) özelliği olan birimlerin sınıflandırılmasında ullanılır. Ağırlı atsayıları DEA-DA modelinde bir yüzdeli ifadesi ile ölçülür. Böyle bir yüzdeli ifadesi ayırma fonsiyonu oluşturmada her bir fatörün atı düzeyi ile ilgili bilgi sağlar. Sueyoshi tarafından sunulan orijinal DEA-DA formülasyonu bazı esililere sahiptir [Sueyoshi, 200]. a) VZA-DA üç tane parçalı doğrusal ayırma fonsiyonu (ii tanesi çaışma belirlemede ve bir tanesi sınıflandırmada) ve ii tane ayırma soru ( d ve c )

38 2 üretmetedir. Ayırma fonsiyonlarının sayısının çoluğu hesaplama etinliğini azaltmatadır. b) Üç tane parçalı doğrusal ayırma fonsiyonu şelinde ifade edilen DEA-DA modeli sadece negatif olmayan ağırlı tahminleri bulaca şeilde formüle edilmiştir. c) DEA-DA, birimlerden ölçülen değişenlerde ( Z ij ) negatif değerlere izin vermemetedir. Böyle bir esili özellile finans ve banacılı gibi birço değişenin negatif değerlere sahip olduğu veri setlerinde modelin ullanılamayacağını göstermetedir. Orijinal DEA-DA ya ilişin esililerin üstesinden gelme için, Sueyoshi genişletilmiş DEA-DA (Extended DEA-DA) modelini önermiştir [Sueyoshi, 200]. Genişletilmiş DEA-DA modeli de, orijinal DEA-DA modeline benzer olara çaışma durumunun belirlendiği ve sınıflandırmanın yapıldığı ii aşamadan oluşmatadır. Aşama : Çaışmayı belirleme ve sınıflandırma Çaışma belirleme süreci veya genişletilmiş DEA-DA nın birinci aşaması Eş. 3.9 modelinde olduğu gibi Min S + S Kısıtlar: + j 2 j j G j G2 λizij + S + j S j = d + j G (3.9) λ Z + S S = d j G + i ij 2 j 2 j 2 λ = i + + S, S, S, S 0, λ, d işaretçe serbest. j j 2 j 2 j

39 22 formüle edilebilir. Eş. 3.9 modelinde S + j ve S j sırasıyla G grubuna ilişin, d ayırma sorundan αizij parçalı doğrusal ayırma fonsiyonuna olan pozitif ve negatif sapmaları göstermetedir. Benzer olara S + 2 j ve S 2 j de sırasıyla G 2 grubuna ilişin, d ayırma sorundan αizij parçalı doğrusal ayırma fonsiyonuna olan pozitif ve negatif sapmaları göstermetedir. S + j > 0 ( j G ) ve S 2 j > 0 ( j G2 ) yanlış sınıflandırmanın varlığını göstermetedir. Doğrusal programlamada mutla değer ifadesi ( λi = ) doğrudan ele alınamayacağı için, model yeniden düzenlenmelidir. λ ( λ λ ) 2 + = +, i i i ( ) 2 λ + = λ λ ve λ i = λ i λ i olara tanımlanır. i i i i λ + ve λ i üzerine yapılan tanımlamalar 2 2 λi λ + i i i λλ = = 0 4 şelinde olduğundan, λλ + = 0 doğrusal i i + olmayan şartı ve λi, λ i 0 eşitsizliği her zaman sağlanır. λ i nin i λ + ve λ i olara ayrılması Z ij de sadece pozitif değerlerin değil negatif değerlerin de olmasını mümün ılmatadır. Buradan, λi = ısıtı modelden çıartılır ve yerine i λ + ve λ i ye bağlı tanımlamalar yazılırsa, Min S + S Kısıtlar: + j 2 j j G j G2 + + ( λi λi ) Zij + Sj Sj = d + j G + + ( λi λi ) Zij + S2 j S2 j = d j G2 (3.0)

40 23 + ( λi λi ) + = S, S, S, S, λ, λ 0, d işaretçe serbest. j j 2 j 2 j i i * + elde edilir. λi ( λi λi ) Değeri = ve d * Eş. 3.0 modelinin optimum çözümleri olsunlar. Z im ile gösterilmiş m. birimin G, G 2 ya da G G2 hangisine ait olduğu aşağıda verilen riterle belirlenir. (çaışma) durumlarından a) * λi Zim * > d + ise. m birimin G grubuna ait olduğu sonucuna varılır. b) * * * + > λi im > d Z d ise m. birimin G G2 ye ait olduğu sonucuna varılır. c) d * * λi Zim ise m. birimin G 2 grubuna ait olduğu sonucuna varılır. Yuarıdai riterlere göre, tüm birimler ( G G2) aşağıda verilen alt ümelere ayrılabilir. * * C = j G λi Zij > d + * * C2 = j G2 λi Zij d D = G C ve D2 = G2 C2 Aşama 2: Çaışmayı ele alma Çaışmanın ( G G2) varlığı tanımlandıtan sonra, bir yeni ayırma soru ( c ) modelin içine sadece D D2 alt grubunda yer alan birimleri sınıflandıraca şeilde onulur.

41 24 Min S + S Kısıtlar: + j 2 j j D j D2 + ( λi λi ) Zij d + j C + ( λi λi ) Zij d j C2 (3.) + + ( λi λi ) Zij + Sj Sj = c j D + + ( λi λi ) Zij + S2 j S2 j = c j D2 + ( λi λi ) + = d c d S, S, S, S, λ, λ 0, c ve d işaretçe serbest j j 2 j 2 j i i Eş. 3. modelinde il aşamada doğru sınıflandırılmış tüm birimler + ( λ λ ) i i Zij d +, j C + ve ( λ λ ) i i Zij d, j C2 ile sınırlandırılmıştır. Bu ısıtlarla ilgili tüm sapma değişenleri modelden çıartılmıştır. d + ( C alt grubu için ayırma soru) ve d ( C 2 alt grubu için ayırma soru) ısıtları altında, yeni c ayırma soru, çaışma durumundai gözlemlerin sapmalarının minimum yapılması ile belirlenir. * * + c ve λi ( λi λi ) = sırasıyla modelden elde edilen ayırma soru ve ağırlı atsayıları olsunlar. İl aşamada çaışma grubunda tanımlanan m. birim, aşağıdai urala göre sınıflandırılabilir: a) b) * * λi Zim > c ise birimin * * λi Zim < c ise birimin 2 G grubuna ait olduğu sonucuna varılır. G grubuna ait olduğu sonucuna varılır.

42 25 4. ÇOK GRUPLU MATEMATİKSEL PROGRAMLAMA YAKLAŞIMLARI Bu bölümde ço gruplu sınıflandırma problemi için literatürde önerilen matematisel programlama yöntemleri ayrıntılı bir şeilde incelenmete ve literatürde önerilen yöntemlerin uvvetli özellilerine dayanan yeni bir, ço gruplu matematisel programlama modeli önerisi yer almatadır. 4.. Literatürde Önerilen Ço Gruplu Matematisel Programlama Modelleri İi gruplu ayırma analizi problemi için önerilen ço sayıda matematisel programlama yalaşımı olmasına rağmen, ço az sayıda ço gruplu matematisel programlama yalaşımı önerilmiştir. İi gruplu durumdan ço gruplu duruma genişletmenin en olay yolu tüm ii gruplu ombinasyonları ullanmatır [Fred ve Glover, 98b]. Herhangi bir ii gruplu formülasyon bu ço gruplu ayırma yönteminde ullanılabilir. İi gruplu durum için bir arma tamsayılı sınıflandırma modeli, Min n j= y j Kısıtlar: αizij Myj c ε, j G αizij + Myj c+ ε, j G2 (4.) olara verilmetedir [Pavur ve Loucopoulos, 995]. Burada, Z ij, j. birimin i. değişenine ilişin gözlem değeri, α i, i. değişenin ağırlığı (atsayısı), y j, j. birimin yanlış sınıflandırılıp sınıflandırılmadığını gösteren ii değerli bir değişen, c ii grubu birbirinden ayıran ayırma soru ve c serbest bir değişendir. ε ise üçü bir pozitif sayıdır ve herhangi bir birimin ayırma fonsiyonu üzerinde olmaması için modele dahil edilmetedir. h grup sayısı olma üzere, G, G 2,..., G h gruplarının

43 26 tüm iili çiftlerinin h( h ) 2 tane ayırma fonsiyonu urma için ullanılması geremetedir. Daha geçerli bir yol ise Gehrlein (986) tarafından geliştirilen genel te fonsiyonlu sınıflandırma modelini ya da genel ço fonsiyonlu sınıflandırma modelini ullanmatır. Gehrlein (986) iiden fazla grup için tasarlanmış özel bir arma tamsayılı programlama modeli önermiştir. Genel te fonsiyonlu sınıflandırma modeli (GSFC), Min n j= y j Kısıtlar: 0 i ij j r, j Gr α + α Z My U 0 i ij j r, j Gr α + α Z + My L r r, r =, 2,..., h (4.2), r =, 2,..., h U L e, r =, 2,..., h Lr Ut + MJrt e, Gr, Gt, r t, r =, 2,..., Lt Ur + MJtr e, Gr, Gt, r t, r =, 2,..., J rt + J =, r =, 2,..., h; r t tr h h olara tanımlanmatadır. Burada, h ; grup sayısı, α 0 ; bir ayma sabiti (bir eşi değeri), U r ; G r grubuna atanan aralığın son üst notası ( r =,..., h), L r ; grubuna atanan aralığın son alt notası ( r =,..., h), e ; bir gruba atanan aralığın minimum genişliği, e ; bitişi aralılar arasındai aralığın (oluşaca boşluğun) minimum büyülüğü, M ; pozitif büyü bir sabit, ; değişen sayısı ve n ; toplam birim sayısı olara tanımlanmatadır. J rt değişeni ise G r

44 27 J rt, Gr grubu Gt grubundan önce ise = 0, diğer durumlarda olara tanımlanmatadır. Bu modelde, y j ( j =, 2,..., n ) ve J rt ( rt, =, 2,..., h; r t) değişenleri iili değerler alan değişenler α i (, 2,..., ), L r ve değişenleri ise serbest değişenlerdir. U ( r =, 2,..., h) r Eş. 4.2 ile verilen model, her bir birim için bir doğrusal α0 + αizij ayırma soru tanımlamata ve böyle bir ayırma sorunun [, ] r r L U aralığının içine düşüp düşmediğini ontrol etmetedir. Bu işlem α0 + αizij My j U r ve 0 i ij j r ısıtları ile yapılmatadır. r r α + α Z + My L U L e ısıtı her bir grubun e ya da daha fazla genişlitei aralılara atanmasını sağlamatadır. Lr Ut + MJrt e, Lt Ur + MJtr e ve Jrt + Jtr = ısıtları ise grup aralıları arasında çaışma olmamasını garanti etmetedir. e değeri bitişi gruplar arasındai minimum boşlu (aralı) olara tanımlanmatadır ve üçü pozitif bir sayı olduğu varsayılmatadır. Ayırma sor değeri gruplar arasındai boşluğa düşen bir birim yanlış sınıflandırılmış sayılmatadır [Pavur ve Loucopoulos, 995]. Kısıtlardai M sayısı yanlış sınıflandırılmış bir birimin endi grubuna ilişin aralığın en yaın uç notasına olan masimum sapmayı tanımlamatadır. Lr Ut + MJrt e ve Lt Ur + MJtr e ısıtlarındai M sayısı her bir gruba ilişin aralıların oluşturulmasında önemli bir rol oynamatadır. J + J = ısıtından r t olma üzere herhangi ii grup için ya J rt ya da J tr olma zorundadır, yani J rt ve J tr aynı anda değere sahip olamazlar. J rt nin olduğu varsayılsın. Bu durumda Lr Ut + M e yani M Ut Lr + e olacatır. Eğer U t aralıların en rt tr

45 28 büyü uç notası ve L r aralıların en üçü uç notası ise, M değeri başa bir yoruma da sahip olmatadır. M en sağda olan aralığın uç notası ile en soldai aralığın en uç notası arasındai mümün masimum farı tanımlamatadır. Eş. 4.2 ile verilen model birimlerin mutlaa bir gruba sınıflandırılacağını garanti etmemetedir. Bir birime ait ayırma soru en sağdai aralığın da sağında bir değere sahip olabilir. Bu durum veride aşırı derecede ayırı değer söz onusu olduğu zaman oluşmatadır. Gehrlein (986) ve aynı zamanlarda Choo ve Wedley (985) bir genel ço fonsiyonlu sınıflandırma modeli (GMFC) önermişlerdir. Min n j= y j Kısıtlar: α + α Z α α Z + My e r0 ri ij t0 ti ij j, j Gr, j =, 2,..., n (4.3) r =, 2,..., h, r t Bu modelde, α ri ; G r grubundai Z ij değişeninin ağırlığı ve r0 α : G r grubu için ayma sabiti ( G grubu için bir eşi değeri) olara tanımlanmatadır. Burada, r α ri ağırlı değişenleri işaretçe serbest değişenlerdir. y j ise GSFC modelinde tanımlandığı gibidir. GMFC modeli bir birimi en büyü ayırma soruna sahip grup içine sınıflandırmatadır. Modeldei ısıt ile her bir grup için bir bireysel ayırma fonsiyonu oluşturulmatadır. Eğer grup sayısı ve değişen sayısı ço büyürse, GMFC modeli GSFC modelinden ço daha fazla serbest değişen ve ısıtlamaya sahip olacatır [Loucopoulos ve Pavur, 997].

46 29 GSFC modeli yanlış sınıflandırılmış birimlerin sayısının minimize edildiği bir amaç fonsiyonuna sahiptir. Amaç fonsiyonu yanlış sınıflandırma sapmalar toplamının minimize edilmesi ile yer değiştirilirse, her bir y j iili değişeni d ju ve d jl negatif olmayan süreli değişen çifti ile yer değiştirecetir. Böylelile modelin hesaplama armaşılığı ve zorluğu anlamlı bir şeilde azalacatır. Bu model Eş. 4.4 ile sunulmatadır ve sapmalar toplamının minimize edilmesi için genel te fonsiyonlu sınıflandırma modeli n ( ju + jl ) Min d d j= Kısıtlar: 0 i ij ju r, j Gr α + α Z d U 0 i ij jl r, j Gr α + α Z + d L r r, r =, 2,..., h (4.4), r =, 2,..., h U L e, r =, 2,..., h Lr Ut + MJrt e, Gr, Gt, r t, r =, 2,..., Lt Ur + MJtr e, Gr, Gt, r t, r =, 2,..., J rt + J =, r =, 2,..., h; r t tr h h olara verilmetedir [Pavur ve Loucopoulos, 995]. Eş. 4.4 modelinde, notasının sağ tarafına yanlış sınıflandırılmış bir birimin ve d jl ; d ju ; U r uç U r uç değerinden sapması L r alt notasının sol tarafına yanlış sınıflandırılmış bir birimin L r alt notasından sapması olara tanımlanmatadır. Burada, d ju ve d jl sapma değişenleri negatif olmayan değişenlerdir. J rt, J tr, α 0, ise GSFC modelinde tanımlandığı gibidir. α i, L r ve U r değişenleri GSFMSD modeli gruplara aralı atamatadır ve yalnızca bir tane ayırma fonsiyonu ullanmatadır. Ayrıca yanlış sınıflandırma uzalığını ısıtlama (sınırlama) için