Bir Doğru Parçasının Orta Noktası. x 1. + x 2. Örnek: Çözüm: =5 z=7 dir. O halde C(5,-13,7) olur.

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Bir Doğru Parçasının Orta Noktası. x 1. + x 2. Örnek: Çözüm: =5 z=7 dir. O halde C(5,-13,7) olur."

Transkript

1 UZAY ANALİTİK GEOMETRİ Uzayda Koordinat Sistemi ve Uzayda Vektörler: Tanım: Uzayda (üç boyutlu) birbirine ikişer ikişer dik sayı eksenlerinin oluşturduğu sisteme üç boyutlu uzayda koordinat sistemi denir.bu üç eksenin kesiştiği O noktasına orijin, eksenlerden birisi Ox ekseni, diğerlerinden birisi Oy ekseni üçüncüsüne ise Oz ekseni denir. Uzayda Bir Noktanın Koordinatları: Uzayda bir P noktasından xoy düzlemine dik indirelim.dikme ayağı P' olsun.bu noktadan Ox ve Oy eksenine dikmeler inelim.bu noktalara karşılık gelen reel sayılar x ve y olsun.p den Oz eksenine paralel çizelim.bu doğruyla Oz ekseni bir düzlem oluşturur.p den Oz eksenine inilen dikme ayağı P'' olsun.bu noktaya karşılık gelen reel sayı z olsun.işte bu üç reel sayıya P noktasının koordinatları denir ve bu P(x,y,z) ile gösterilir.buradaki x bileşenine apsis, z bileşenine ordinat ve z bileşenine kot denir. Böylece uzaydaki her bir noktaya (x,y,z) sıralı reel sayı üçlüleri karşılık gelir.böylece uzay RxRxR üçlü kartezyen çarpım kümesi ile veya R ile gösterilir. AB = (x -x 1 ) +( y -y 1 ) +(z -z 1 ) formülünde değerler yerine konursa 16+(1-m) +16=6 m=-1 veya m= Bir Doğru Parçasının Orta Noktası A(x 1 ) ve B(x,y,z ) noktaları verilsin.bu iki noktanın belirlediği [AB] doğru parçasının C orta noktasının koordinatları, ikişer ikişer koordinatlarının aritmetik ortasıdır. Yani; C( x 1 + x y 1 +y z 1 +z,, ) dir. A(-1,7,) noktasının B(,-,5) noktasına göre simetriği C noktasının koordinatlarını bulalım. C(x,y,z) olsun. -1+x 7+y = x=5, =- y=-1 +z =5 z=7 dir. O halde C(5,-1,7) olur. Kürenin Analitik İncelenmesi: Üç boyutlu uzayda, bir M(a,b,c) noktasına, r kadar uzaklıkta bulunan tüm noktar kümesine (geometrik yerine) bir küre, buradaki M noktasına kürenin merkezi r sayısına da yarıçap uzunluğu denir. Küre Denklemi: Küre üzerinde değişken bir nokta P(x,y,z) olsun.p noktaları değişse de MP =r değişmeyecektir. O halde; MP = (x-a) +(y-b) +(z-c) =r (x-a) +(y-b) +(z-c) =r Bu denklem merkezi M(a,b,c) ve yarıçap uzunluğu r olan küre denklemidir. İki Nokta Arasındaki Uzaklık: A(x 1 ) ve B(x,y,z ) noktaları verilsin.bu iki nokta arasındaki uzaklık; AB = (x -x 1 ) +( y -y 1 ) +(z -z 1 ) dir. A(,1,5), B(-1,m,1) noktaları veriliyor. AB =6 birim ise a kaçtır? Bu denklemi açalım: x +y +z -ax-by-cy+a +b +c -r Burada A=-a, B=-b, C=-c, D= a +b +c -r alınırsa küre denklemi; x +y +z +Ax+By+Cz+D biçimine gelir. A=-a a=- A/, B=-b b=- B/, C=-c c=- C/ D= a +b +c -r r = a +b +c -D r A B C = + + -D = 1 4. (A +B +C -4D) r = 1 Not: A +B +C -4D x +y +z +Ax+By+Cz+D denkleminin irdelenmesi: 1

2 a) A +B +C -4D>0 ise yukarıdaki denklem bir küre belirtir. b) A +B +C -4D ise yukarıdaki denklem yarıçapı 0 olan bir noktasal küre (kürenin merkezi) belirtir. c) A +B +C -4D<0 ise yukarıdaki denklem gerçek bir küre belirtmez ( sanal bir küre belirtir.) Merkezi M(,-,-5) olan ve P(1,,-) noktasından geçen küre denklemini bulalım. r= MP = (1-) +(+) +(-+5) = 9 O halde küre denklemi; (x-) +(y+) +(z+5) =9 veya x +y +z -6x+4y+10z+9 x +y +z -x+y-5z+k denkleminin bir küre belirtiğine göre k nın alacağı değer aralığını bulalım. A +B +C -4D>0 olmalıdır k>0 k<19/ Üç Boyutlu Uzayda Vektörler: Üç boyutlu uzayda herhangi bir P(x,y,z) noktasını düşünelim.başlangıç noktası O, bitim noktası P olan OP vektörüne konum (yer) vektörü denir.böylece uzaydaki noktalarla bunlara karşılık gelen konum vektörleri arasında bire-bir bir eşleme yapabiliriz. Bu şekildeki analitik uzaya, üç boyutlu vektör uzayı denir. P(x,y,z) ise OP vektörünün de bileşenleri (x,y,z) sıralı üçlüsü ile gösterebiliriz.yani OP =(x,y,z) yazabiliriz. Tanım: A(x 1 ) ve B(x,y,z ) noktaları için AB vektörüne O dan çizilen eş OP vektörüne, AB nün konum (yer) vektörü denir.bu iki vektör birbirine eşit olarak alınır.yani; OP = AB =( x - x 1, y - y 1, z -z 1 ) dir. Çünkü; AB = AO + OB = OB - OA =(x,y,z )-(x 1 ) =( x - x 1, y - y 1, z -z 1 ) dir. Bir Vektörün Uzunluğu (=Normu): Bir vektöre karşılık gelen OP konum vektörünün P uç noktasının orijine uzaklığı bu vektörün uzunluğu (normu) denir ve bu OP ile gösterilir. Yani; P(x,y,z) ise OP = x +y +z dir. Buna göre; A(x 1 ) ve B(x,y,z ) noktaları için AB = (x -x 1 ) +( y -y 1 ) +(z -z 1 ) dir. Birim Vektör: Uzunluğu 1 birim olan vektörlere birim vektör denir. Not: Ox ekseni üzerindeki e 1 =(1,0,0), Oy ekseni üzerindeki e =(0,1,0), Oz ekseni üzerindeki e =(0,0,1) vektörlerine; e 1 = e = e =1 birim olduğundan standart birim vektörler denir. u =(1/, -1/, a) vektörü veriliyor. a) Uzunluğu birim ise b) Birim vektör ise a kaç olmalıdır? a) 1/4 + 1/9 +a =9 a= 11 6 b) 1/4 + 1/9 +a =9 a= 6 Vektörler Arasındaki Bağıntılar ve İşlemler: a) İki Vektörün Eşitliği: a = (x 1 ) ve b = (x,y,z ) vektörleri için a = b x 1 =x ve y 1 = y ve z 1 = z dir. b) İki Vektörün Toplamı: a = (x 1 ) ve b = (x,y,z ) vektörleri için a + b =( x 1 +x +y, z 1 +z ) dir. Toplama İşleminin Özellikleri: Vektörler arasında tanımlanan toplama işleminin i) Kapalılık ii) Değişme iii) Birleşme özellikleri vardır.(bu özellikler klayca gösterilebilir) iv) a R ve 0 =(0,0,0) için; a + 0 = a olduğundan; 0 toplama işleminin etkisiz elemanıdır. v) a =( x 1 ) ) R için -a=( -x 1,-y 1,-z 1 ) dir.

3 a + ( -a)= 0 olduğundan a nün toplama işlemine göre ters elemanı - a dır. c) İki Vektörün Farkı: a - b = a +(- b ) olarak tanımlanır. Yani; a - b =( x 1 -x -y, z 1 -z ) dir. d) Bir Vektörün Skaler (Reel Sayı) İle Çarpımı: a = (x 1 ) vektörü ve k R verilsin. k a =k(x 1 )=(kx 1,ky 1,kz 1 ) dir. Bir Vektörün Reel Sayı İle Çarpımının Özellikleri: a ve b iki vektör ve k,m R olsun. i) k( a + b )=k a +k b dir. ii) k(m a )=m(k a )=(km) a dir. iii) (k+m) a =k a +m a dir. iv) -1. a = - a ve 1. a = a ve 0. a = 0 dir. Bu özellikler, vektörler arasındaki toplama işlemi ve reelsayıların özellikleri kullanılarak kolayca ispatlanabilir. e) İki Vektörün Paralelliği: Doğrultuları paralel olan vektörlere paralel vektörler denir.iki konum vektörü paralel ise doğrultuları çakışık olur.bu durumda birisi diğerinin (k 0 olmak üzere) k katı olur.yani; a =(x 1 ), b =(x,y,z ) vektörleri ile k 0 reel sayısı verilsin. a // b a =k. b (x 1 )=k(x,y,z )=(kx,ky,kz ) x 1 = kx ve y 1 = ky ve z 1 =kz x 1 / x = y 1 / y = z 1 /z O halde iki vektör paralel ise bileşenleri orantılıdır. (Paralellik şartı) Vektörlerin Lineer Bileşimi: Vektörlerden oluşan bir V vektör uzayında,,k,k,...,k n R, v 1, v, v,..., v n V olmak üzere; v = v 1 +k v +k v +...+k n v n vektörüne v 1, v, v,..., v n vektörlerinin bir lineer bileşimi denir. v =(-5,9,1) vektörünü, v 1 =(-1,,4), v =(,0,1) ve v =(0,1,-) vektörlerinin bir lineer bileşimi olarak yazalım. v 1 +k v +k v = v olacak biçimde,k,k R sayılarını bulmalıyız. (-1,,4)+ k (,0,1)+ k (0,1,-)= (-5,9,1) ( - +k, +k,4 +k -k )= (-5,9,1) - +k=-5 +k =9 4 +k -k =1 denklem sistemi çözülürse; =, k = -1, k = O halde aranan lineer bileşim; v = v 1 - v + v tür. Lineer Bağımlılık, Lineer Bağımsızlık: Vektörlerden oluşan bir V vektör uzayında,,k,k,...,k n R, v 1, v, v,..., v n V olmak üzere; v 1 +k v +k v +...+k n v n = 0 eşitliğini sağlayan en az biri sıfırdan farklı,,k,k,...,k n R varsa { v 1, v, v,..., v n } kümesi lineer bağımlı aksi halde (yani =k =k =...=k n olmak zorunda ise) { v 1, v, v,..., v n } kümesi lineer bağımsızdır denir. Taban ve Boyut: Vektörlerden oluşan bir V vektör uzayında, { v 1, v, v,..., v n } kümesi verilsin. Bu küme; a) lineer bağımsız, b) V uzayını geriyorsa (yani x V vektörü bu vektörlerin bir lineer bileşimi olarak yazılabiliyorsa) { v 1, v, v,..., v n } kümesi V uzayının bir tabanı (baz), n sayısına da V uzayının boyutu denir ve dim(v)=boy(v)=n yazılır. a) {(1,-,-), (-,6,9)} b) {(1,,-),(,6,)} c) {(1,1,0),(-,,5),(0,5,5)}

4 d) {(1,,-5),(0,0,0),(7,1,-)} e) {(1,1,0),(,1,1),(0,1,1)} f) {(1,1,1),(-1,,0),(,,),(1,1,)}kümelerinin lineer bağımlı olup lmadıklarını araştıralım. g) Yukarıdaki kümelerden hangileri üç boyutlu vektör uzayının (R ün) bir tabanıdır. a) (1,-,-)+ k (-,6,9)=(0,0,0) -k - +6k - +9k denklem sistemielde edilir. Halbuki bu denklemlerin üçü de birbirine denktir. Aslında burada tek denklem vardır yani; -k =k Buna göre, k nin katı olmak üzere sıfırdan farklı sonsuz çözüm bulabiliriz.o halde {(1,-,-), (-,6,9)} kümesi lineer bağımlıdır. Not: Vektörlerin bileşenlerine dikkatlice bakarsakorantılı olduğunu görürüz. Yani iki vektörün lineer bağımlı olması, biri diğerinin bir katı olması, birbirine paralel olması aynı anlama gelir. b) {(1,,-),(,6,)} 1/=/6 -/ Bu iki vektörün bileşenleri orantılı olmadığından lineer bağımsızdır. c) {(1,1,0),(-,,5),(0,5,5)} 1. Yol: (1,1,0)+k (-,,5)+k (0,5,5)}=(0,0,0) -k +k +5k 5k +5k 1. denklemden =k. denklemden k =-k değerleri. denklemde yerine konursa; 5k +5k elde edilir.bu ise. denklemdir. O halde gerçekte farklı olarak iki denklem vardır.burada bilinmeyenlerden birine örneğin k =t diyelim.böylece k = -t ve =-t olmak üzere (,k,k )=(-t, -t, t), t R olmak üzere sıfır çözümden farklı sonsuz tane (,k,k ) üçlüsü O halde {(1,1,0),(-,,5),(0,5,5)} kümesi lineer bağımlıdır.. Yol: (1,1,0)+k (-,,5)+k (0,5,5)}=(0,0,0) -k +k +5k 5k +5k Denklem sisteminin sıfır çözümünden farklı çözümlerinin olması denklem sisteminin katsayılarından oluşan determinantın değerinin (veya vektörleri alt alta yazarak oluşturulan determinantın) sıfır olması gerekir.gerçekten; olduğu görülür.yani bu vektörler lineer bağımlıdır. d) {(1,,-5),(0,0,0),(7,1,-)} 1. Yol: Vektörleri sırasıyla hepsi birden sıfır olmayan (örneğin, 0, 007 ve 0) sayılarıyla çarpıp toplayalım; 0.(1,,-5)+007.(0,0,0)+0.(7,1,-)=(0,0,0) olduğundan bu küme (genel olarak içinde 0 vektörü bulunan her küme) lineer bağımlıdır.. Yol:Her bir vektörü bir satıra yazarak oluşturulan determinantın değeri sıfır olacağından bu küme lineer bağımlıdır. e) {(1,1,0),(,1,1),(0,1,1)} Her bir vektörü bir satıra yazarak oluşturulan determinantın değeri =-1 0 olduğundan bu üç vektör lineer bağımsızdır. f) {(1,1,1),(-1,,0),(,,),(1,1,)} (1,1,1)+k (-1,,0)+k (,,)+k 4 (1,1,)=(0,0,0) eşitliği bizi 4 bilinmeyenli denklemden oluşan bir denklem sistemine götürür.böyle bir denklemin her zaman sıfır çözümlerinden başka (sonsuz tane) çözümü vardır.örneğin k 4 =t diyerek diğer bilinmeyenleri t parametresine göre çözümlerini bulabiliriz.o halde 4 (veya daha fazla) vektörden oluşan her küme lineer bağımlıdır. g) Vektörlerden oluşan bir kümenin taban olabilmesi için lineer bağımsız ve ilgili vektör uzayını germesi (yani x R vektörü bu vektörlerin bir lineer bileşimi olarak yazılabilmesi ) gerekir. {(1,-,-), (-,6,9)}, {(1,1,0),(-,,5),(0,5,5)}, {(1,,-5),(0,0,0),(7,1,-)}, {(1,1,1),(-1,,0),(,,),(1,1,)} kümeleri lineer bağımlı olduklarından taban olamaz. {(1,,-),(,6,)} kümesi lineer bağımsızdır. 4

5 Acaba bu küme R ü gerer mi?bakalım: x =( x 1,x,x ) R olsun. ( x 1,x,x )= (1,,-)+ k (,6,) +k = x 1 +6k = x - +k = x Denklem sisteminde ilk iki denklemden bulunan,k değerleri her zaman üçüncü denklemi sağlamayacağından bu iki vektör R ü germez.o halde bu küme bir taban olamaz. {(1,1,0),(,1,1),(0,1,1)} kümesi lineer bağımsızdır. Acaba bu küme R ü gerer mi?bakalım: x =( x 1,x,x ) R olsun. ( x 1,x,x )= (1,1,0)+ k (,1,1)+k (0,1,1) +k = x 1 +k +k = x k +k = x Üç bilinmiyenli bu denklemin çözümü vardır ve tektir. O halde bu küme R ü gerer. Buna göre bu küme R ün bir tabanıdır. Not: Yukarıdaki örnekte olduğu gibi lieer bağımsız üç vektör R ün bir tabanıdır. Standart Taban Vektörleri: e 1 =(1,0,0), e =(0,1,0), e =(0,0,1) vektörleri lineer bağımsızdır. x =( x 1,x,x ) R olsun. x =( x 1,x,x )=( x 1,0,0)+(0, x,0)+(0,0,x ) = x 1 (1,0,0)+ x (0,1,0)+ x (0,0,1) = x 1 e 1 + x e + x e Tanım: a =( a 1,a ), b =( b 1,b,b ) vektörleri için m( a, b )=α olmak üzere; < a, b >= a. b = a b cosα çarpımına " a ile b nin skaler(=iç) çarpımı" denir. Teorem: a =( a 1,a ), b =( b 1,b,b ) vektörleri için; a. b = a 1 b 1 +a b +a b tür. İspat: OAB üçgeninde cosinus teoremi uygulayalım; AB = OA + OB - OA OB cosα (b 1 - a 1 ) +( b -a ) +( b - a ) =a 1 + a + a +b1 + b +b - a. b Gerekli işlemle yapılırsa; a. b = a 1 b 1 +a b +a b Skaler Çarpımın Özellikleri: V vektörlerden oluşan bir vektör uzayı olsun. 1. a, b V için a. b R olduğundan; skaler (iç) çarpım fonksiyonu f ise; f:vxvr olan bir fonksiyondur.. a, b V için a. b = b. a dir.(simetri özelliği). a V ( a 0 ) için a. a = a = a >0 (Pozitif tanımlılık özelliği) 4. a, b, c V için a.( b + c )= a. b + a. c dir. 5. a ve b vektörleri sıfır vektörlerinden farklı olsun. a. b a b dir. (Diklik şartı) O halde { e 1, e, e } kümesi de R ü gerer. Buna göre { e 1, e, e } R ün bir tabanıdır.bu tabana standart taban denir. Skaler (=İç ) Çarpım: 5

6 İZMİR FEN LİSESİ UZAY ANALİTİK GEOMETRİ ÇALIŞMA SORULARI (Küre ve Uzayda Vektörler) (Kasım 01) 01. A(-5,,), B(1,,5) ve C(-,-1,a) noktaları veriliyor. a) [AB] nın D orta noktasının koordinatlarını bulunuz. b) AB = AC ise a kaçtır? 0. Bir tabanı ABCD, diğer tabanı A'B'C'D' olan ABCDA'B'C'D' pirizması göz önüne alınıyor. A(,1,0), B(,5,0), C(1,5,0) ve D'(1,1,4) tür. a) Bu pirizmanın tüm yüzleri paralelkenar (paralelyüz ) ise diğer köşelerinin koordinatlarını bulunuz. b) Bu pirizma dikdörtgenler pirizması olabilmesi için D köşesinin koordinatlarını bulunuz. Bu durumda cismin hacmini, yüzey alanını ve cisim köşegenini hesaplayınız. 0. Merkezi M(,,1) olan ve a) P(,-1,5) noktasından geçen; b) xoy düzlemine teğet olan; c) x +y +z -z=7 küresine teğet olan küre denklemini bulunuz. 04. A(-1,8,) ve B(11,4,-7) noktaları verilyor.[ab] çaplı küre denklemini bulunuz. 05. P(1,1,) noktasından geçen ve her üç koordinat düzlemlerine teğet olan küre denklemini bulunuz. 06.x +y +z +x-10y+(m+1)z=m küresi xoy düzlemine teğetse kürenin merkezini ve yarıçap uzunluğunu bulunuz. 07.(x-) +(y-5) +(z+7) =81 küresinin P(-,-1,5) noktasına en kısa ve en uzun uzaklıklarını bulunuz. 08. AB =(,-1,4) vektörü ile B(1,4,) noktası veriliyor.a noktasının koordinatlarını ve OA vektörü ve bu vektörün normunu bulunuz. 09. a =(m-1,,n) ve b =(n+4,p,-m) vektörleri veriliyor. a = b ise v =(m,n,p) vektörünün normunu bulunuz. 10. a =(m-,,-6) ve b =(,n+5,-) vektörleri paralel ise m ve n kaçtır? 11. A(-1,,5), B(a,-,), C(,4,-7) ve D(1,,b) noktaları veriliyor. AB// CD ise ave b yi bulunuz. 1. a =(,-1,) vektörü ile aynı doğrultudaki birim vektörleri bulunuz. 1. (-1,,-) vektörünü {(,1,0),(,0,1),(0,-,1)} vektörlerinin lineer bileşimi olarak yazınız. 14. A(,,-1) noktası ile AB =(5,-7,6) vektörü veriliyor.b noktasını bulunuz. 15. A(-1,,), B(5,-1,1) noktaları ile v =(p-1,-k,-) vektörü veriliyor. AB // v ise v vektörünün uzunluğunu (normunu) bulunuz. 16. a) v =(0,-,5) vektörünü a =(1,-1,0), =(,0,1) ve b =(-,,) vektörlerinin bir lineer bileşimi olarak c ifade ediniz. b) Uzayın herhangi bir =(x,y,z) vektörü a) şıkkında w verilen vektörlerin bir lineer bileşimi olarak ifade edilebilir mi? c) v =(0,-,5) vektörünü a =(1,-1,0), =(,0,1) ve b =(0,-,-1) vektörlerinin bir lineer bileşimi olarak c ifade edilebilir mi?edilemezse neden? 17. u =(x,0,1), v =(,y,) ve =(,1,z) vektörleri w lineer bağımlı ise x,y,z arasında hangi bağıntı olmalıdır? 18. A =(,-1,4), B =(m,,-1) ve C veriliyor. AB C olduğuna göre m kaçtır? =(,4,1) vektörleri 19. A(8,,0), B(4,6,-7), C(-,1,),D(-9,-,4) noktaları veriliyor. Buna göre; AB ile CD vektörleri arasındaki açının kosinüsünü bulunuz. 0. a = br, b = br m( a, b ) olduğuna göre; a + b ile a -b vektörleri arasındaki açının kosinüsünü hesaplayınız. 6

7 1. Köşe koordinatları A(8,,-5), B(,,-4), C(,5,) olan ABC üçgeninin dik üçgen olduğunu ispatlayınız.. A(a,1,-1), B(a,0,), C(a+,a,1) noktaları veriliyor. AB BC ise A, B ve C noktalarını bulunuz.. a =6 br, b =4 br dir. a) a +kb ile a -kb vektörleri dik ise k kaçtır? b) m( a, b )=60 ise a +b nün uzunluğu kaçtır? 4. a + b + c = 0, a = b = c =1 ise a. b + b. c + c. a değerini bulunuz. 5. a =4 br, cos( e 1, a )=/4 ve m( e, a )=60 ise a nü bulunuz. 6. A(,-,5), B(,,-7) ve C(1,-1,0) noktaları a) AB b) AB c) AB boyunca birim vektörü d) AB nün üzerindeki dik izdüşüm vektörünü AC e) ABC üçgeninin B açısı için sinb değerini f) ABC üçgeninin alanını bulunuz. AB nün AC vektörü üzerindeki izdüşüm vektörü AD olsun. AC boyunca birim vektör e ise AD = AD e olmalıdır. AD = AB cosα = AB AB. AC AB AC AD = = 70 O halde; AD = 70 ( -,, - -5 ) = 70 (-,, -5) f) m(bac)=a olsun.buna göre; A(ABC)= AB AC sin a sin a = 1 - cos²a AB. AC cos a= AB = 70 AC 1 A(ABC)= 677 br² 7. p =(,1,1) ve =(,4,-1) vektörlerine dik olan q birim vektörleri bulunuz. a) AB =(0,5,-1) b) = 0²+5²+(-1)² = 1 br AB c) boyunca birim vektörü =(x,y,z) olsun. AB e AB // e x 0 = y 5 = z -1 = k (katsayıları orantılı olmalı) x, y=5k, z=-1k ve =1 olmalıdır. e 0²+5k²+144k² =1 k=1/1 dir. O halde e =(0, 5 1, ) d) 7

8 R te (Üç Boyutlu Uzayda) Vektörel Çarpım: Uzayda a =( a 1,a ), b =( b 1,b,b ) vektörleri için; a x b =(a b -a b, a b 1 -a 1 b, a 1 b -a b 1 ) =( a b -a b ) e 1 -( a 1 b - a b 1 ) e + (a 1 b -a b 1 ) e vektörüne a ile b vektörlerinin vektörel çarpımı (dış çarpım) denir. Not 1: Tanımdan yola çıkarak a x b = - b x a olduğu görülebilir. Not : ( a x b ). a (yani ( a x b ) a ) ( a x b ). b (yani ( a x b ) b ) olduğunu vektörel çarpım ve skaler çarpım tanımları kullanılarak ispatlanabilir. Bu sonuç bize; a x b vektörünün a ile b vektörlerinin belirttiği düzleme dik olduğunu gösterir. Not : a ile b vektörleri arasındaki açı α olmak üzere; a x b nin uzunluğu, a ile b vektörleri üzerine kurulu paralelkenarın alanına eşit olduğu yani; a x b = a. b.sin α ispatlanabilir. Not 4: Uzayda A(a 1,a ), B( b 1,b,b ), C( c 1,c,c ) noktaları verildiğinde; A(ABC) = Not 5: AB x AC dir. e1 e e axb = a a a 1 b b b 1 dir. (Bunun doğruluğu, determinant açıldığında, vektörel çarpımın tanımındaki ifadeyi verdiği kolayca görülebilir.) Vektörel Çarpımın Geometrik Yorumu: Uzayda a =( a 1,a ), b =( b 1,b,b ) vektörleri için; uzunluğu a ve b vektörleri üzerine kurulu OAMB paralelkenarın alanına eşit, doğrultusu a ve b vektörlerinin belirttiği düzleme dik ve yönü sağ elin dört parmağı a vektöründen b vektörüne doğru yönlendirdiğimizde; başparmağın gösterdiği yönde (sağ el kuralı) olan vektöre a ile b vektörlerinin vektörel çarpımı denir ve bu a x b ile gösterilir. Vektörel Çarpımın Özellikleri: 1) a x b = - b x a dir. ) a x 0 = 0 ) a x a = 0 4) k R olmak üzere; (k a )x b = a x(k b )=k( a x b ) dir. 5) a x ( b + c ) = a x b + a x c dir. (Bunların doğruluğu yukarıdaki özelliklerden uygun olanları kullanılarak kolayca gösterilebilir.) a =(5,6,4) ve b =(,-,) vektörleri için; a x b yi hesaplayalım. e1 e e axb = = 6e 7e e =(6, -7, -) 1 A(1, -, 5), B(0,-1, 4) ve C(,, -) noktaları veriliyor. ABC üçgeninin alanını bulalım. 8

9 Önce AB x AC yi hesaplayalım; AB x AC =(-1,,-1)x(,6,-7)= e1 e e 1 1 = 8e 9e 10e 6 7 A(ABC) = 1 AB x AC = 45 birim kare R te (Üç Boyutlu Uzayda) Karma Çarpım: Uzayda a, b c vektörleri için; a ile b nin vektörel çarpımı ile c nin skaler çarpımına yani; ( a x b ). c ına a, b, c vektörlerinin karma çarpımı denir ve bu [ a, b, c ] veya ( a, b, c ) ile gösterilir. a =(1, -, 0), b =(0,-1, ) ve c =(, 1, -) vektörlerinin karma çarpımını bulalım. Önce a x b yi bulalım. e1 e e axb = 1 0 = 6e e e =(-6, -,-1) Sonra da a x b =(-6, -,-1) vektörü ile c =(, 1, -) nün skaler çarpımını hesaplayalım; ( a x b ). c =[ a, b, c ]=(-6, -,-1).(, 1, -) = = -18 Bu üç vektörün üzerine kurulu (belirlediği) paralelyüzün hacmini (paralelkenar eğik pirizma) düşünelim. c nin C uç noktasından a x b nün taşıyıcı doğrusuna CH dikmesi inelim. Paralelyüzün hacmi ; V= Alan(OAKB). OH Alan(OAKB)= a x b ve OH = c.cos(coh) olduğundan; V= a x b. c.cos(coh) = ( a x b ). c =< a x b, c > Bu da a ile b vektörlerinin vektörel çarpımının c ile skaler çarpımıdır. İşte bu çarpım da a, b, c vektörlerinin karma çarpımı olup [ a, b, c ] (veya ( a, b, c ) ) ile gösterilir. O halde a, b, c vektörleri üzerine kurulu paralelyüzün hacmi (hacim değeri pozitif ya da 0 olabileceğinden) [ a, b, c ] karma çarpımının mutlak değerine eşittir. Not : Üç boyutlu uzayda a =( a 1,a ), b =( b 1,b,b ), c =( c 1,c,c ) vektörlerinin karma a a a çarpımı aynı zamanda [ a, b, c] = b b b 1 1 c c c 1 dir. (Bunun doğruluğu karma çarpımın tanımı kullanılarak kolayca yapılabilir.) Not 1: (Karma Çarpımın Geometrik Yorumu:) Üç boyutlu uzayda a =( a 1,a ), b =( b 1,b,b ), c =( c 1,c,c ) vektörleri alalım.bu konum vektörlerin uç noktaları A, B, C olsun. Karma Çarpımın Özellikleri: 1) ( a x b ). c = a.( b x c ) dir ) [ a, b, c ] = [ b, c, a ] = [ c, a, b ] dir. ) [ a, b, c ] = -[ c,b, a ] = -[ a, c, b ] = -[ b, a, c ] dir. 4) [ a, 0, c ] = 0 dır. 5) [ a, a, c ] =[ a, b, b ] = [ c, b, c ] = 0 dır. 6) [k a, b, c ] = [ a,k b, c ] = [ a, b, k c ] =k[ a, b, c ] dir. 7) [ a, b, c + d ] = [ a, b, c ] + [ a, b, d ] dir. 9

10 (Bunların ispatı determinantların özellikleri veya karma çarpımın geometrik yorumu kullanılarak kolayca yapılabilir.) Bu üçlü eşitliğe A ( a 1,a ) noktasından geçen ve u =( u 1,u,u ) doğrultu vektörüne paralel olan d doğrusunun parametrik denklemi denir. R te (Üç Boyutlu Uzayda) Doğru: Uzayda bir doğrunun belirtilebilmesi için a) Bir noktası ve doğrultusu, b) İki farklı noktası bilinmesi yeterlidir. Bir noktası ve doğrultusu bilinen doğru denklemi: x- a 1 y-a z-a = = = k u 1 u u Son bulduğumuz üçlü orantı da A ( a 1,a ) noktasından geçen ve u =( u 1,u,u ) doğrultu vektörüne paralel olan d doğrusunun kartezyen denklemidir. A(1, -, 4) noktasından geçen ve u =(, 0, -5) vektörüne paralel olan doğrunun; a) Vektörel denklemini, b) Parametrik denklemini c) Kartezyen denklemini bulalım. d) d doğrusu üzerinde öyle bir nokta bulunuz ki koordinatları toplamı 01 olsun. a) P d,p(x,y,z) olsun. AP =k u (x-1, y+, z-4) =k(, 0, -5) Uzayda A ( a 1,a ) noktası ile u =( u 1,u,u ) verilsin. A dan geçen u vektörüne paralel olan doğru da d olsun. d P olacak biçimde herhangi bir değişken P(x,y,z) noktası alalım. d doğrusunun denklemini bulmak demek x, y, z değişkenleri arasında bir bağıntı bulmak demektir. Şekilden görüleceği gibi;k R olmak üzere; AP // u AP = ku dir. (Bu eşitlik d doğrusunun vektörel denklemi, u =( u 1,u,u ) vektörüne d doğrusunun doğrultu vektörü denir.) AP // u AP = ku (x- a 1, y-a, z-a ) = k(u 1,u,u ) = (ku 1,ku,ku ) x- a 1 = ku 1, y-a = ku, z-a = ku x= a 1 +ku 1, y = a +ku, z = a +ku b) x=k+1, y=-, z=4-5k c) x-1 = y+ 0 = z-4-5 =k veya x-1 = z-4-5 =k, y = - d) x+y+z1 k k1 k= -010 k= -670 x=-19, y= -, z= 54 O halde aranan nokta K ise K( -19, -, 54 ) A(1, 1, -), B(,-4, 11) noktalarından geçen doğrunun kartezyen denklemini bulalım. Doğrunun doğrultu vektörü olarak u = AB alınabilir. Buna göre doğruyu ister A dan geçen ve doğrultu vektörü AB olan veya B den geçen ve doğrultu vektörü AB olan doğru olarak düşünebiliriz. u = AB =(, -5, 1 ) 10

11 Örneğin d doğrusunu, A dan geçen ve doğrultu vektörü AB olan doğru olarak düşünelim; buna göre doğrunun kartezyen denklemi; x-1 = y-1-5 = z+ 1 = k olur. Bir Noktanın Bir Doğruya Olan Uzaklığı: 1. Yol: Doğru üzerinde rastgele iki nokta alalım. Birisi apsisi olan nokta A olsun: A(, 1, -1) Diğeri de apsisi 0 olan nokta B olsun: B(0, 4, -) dir. AP =(-, 1, 1), AB =(-,, -1) h= AP.sin α, cos α = AP. AB 6+-1 = AP. AB = sin α= h= AP.sin α = h=. 5 7 birim. Yol: A(, 1, -1), doğrultu vektörü u =(, -, 1) dir. AP =(-, 1, 1) dir. AP. u cos α = = AP. u = A dan geçen d doğrusu ile dışındaki bir P( x 1,x,x ) noktası verilsin. Doğru üzerinde keyfi olarak B noktası alalım. AP vektörü ile AB vektörleri arasındaki açı α olsun. Şekilden görüleceği gibi aranan uzaklık; PH =h= AP.sin α eşitliğinden bulunabilir. Not 1: Önce cos α yı AP vektörü ile AB vektörlerinin skaler çarpımından bulur sonra sin α yı elde ederiz. Not : Doğru denklemi ; A ( a 1,a ) den geçen ve doğrultu vektörü u =( u 1,u,u ) olsun. Önce cos α yı, AP ile u vektörünün skaler çarpımından bulur sonra sin α yı elde eder ve uzaklığı; h= AP.sin α eşitliğinden bulabiliriz. Not : AP x u = AP u.sin α olduğundan PH =h = AP x u u P(-1,, 0) noktasının x- = 1-y = z+1 doğrusuna olan uzaklığı kaç birimdir? 90 sin α= h= AP.sin α h= =. 5 7 birim. Yol: h = AP x u u hesaplayalım; e1 e e olduğundan önce AP x u yu APxu = 1 1 = 4e + 5e + 7e 1 h = AP x u u = =. 5 7 R te (Üç Boyutlu Uzayda) Düzlem: Uzayda bir düzlemi; birim a) Bir noktadan geçen ve bir doğruya (veya bir vektöre ) dik olan vektörlerle, b) Kesişen iki doğruyla, c) Doğrusal olmayan üç noktayla, d) Paralel iki doğruyla; e) Bir doğru ve dışındaki bir noktayla belirtebiliriz. Çözüm : 11

12 x + a y +b z + c = 0 biçiminde yazarak düzlemin bulunabilmesi için üç katsayının bulunması (yani üç bilinmeyenli üç denklemin çözülmesi) gerekir. Örneğin bu özellik doğrusal olmayan üç noktadan geçen düzlem denkleminin bulunuşunda kullanılabilir. A(, -, 1) noktasından geçen ve n =(, 4, -1) vektörüne (normal vektörü) dik olan düzlem denklemini bulalım. Düzleme ait değişken bir nokta P(x, y, z) olsun. Uzayda A ( a 1,a ) noktası ile n =( n 1,n,n ) vektörü verilmiş olsun. A dan geçen n vektörüne dik olan AP vektörleri bir ( E ) düzleminde Burada n vektörüne düzlemin bir normal vektörü denir. E düzleminin denklemini bulmak demek P(x,y,z) noktasının x, y, z koordinatları arasındaki bağıntıyı bulmak demektir. Dikkat edilirse her durumda AP ile n vektörleri birbirine diktir. İşte bu ilişkiyi kullanarak düzlem denklemini elde edebiliriz. AP n AP. n = 0 (x-, y+, z-1).(,4,-1) x-6+4y+1-z+1 x+4y-z+7 A(-,, 7), B(, -1, 0) ve C(1, 0, -) noktalarından geçen düzlem denklemini bulalım. 1. Yol: Düzlem denklemi x+ay+bz+c olsun. Düzlem bu üç noktadan geçtiği için; her noktanın koordinatları denklemi sağlamalıdır: -+a+7b+c -a+c 1-b+c AP n AP. n = 0 denklemi) (( E ) düzleminin vektörel Denklem çözülürse a=1, b, c=-1 O halde aranan düzlem denklemi x+y-1 olarak elde edilir. AP. n = 0 (x-a1,y-a,z-a ).( n 1,n,n ) = 0. Yol: n 1 (x-a 1 ) + n.(y-a )+n (z-a ) n 1 x + n y+n z -n 1 a 1 - n a -n a Burada x, y ve z değişkeninin katsayılarına sırasıyla a=n 1, b=n, c=n ve sabit değere de d= -n 1 a 1 - n a -n a diyelim. Bu durumda düzlem denklemi 1. dereceden x, y, z değişkenlerine bağlı bir denkleme dönüşür. ax + by + cz + d = 0 (( E ) düzleminin kartezyen denklemi.) Not 1: Bu denklemde düzlemin normal vektörü n =(a,b,c) alınabilir. Not : Denklemin her iki tarafı a 0 ile bölünerek; x + b a y + c a z + d a = 0, katsayılara sırasıyla a, b, c diyelim. Böylece denklemi; Şekilde AP, AB ve AC vektörleri lineer bağımlıdır (veya vektörlerin üzerine kurulu paralelyüzün hacmi 0 dır). Bu da bizi vektörlerin bileşenlerini alt alta yazarak elde edilen deteminant değerinin 0 olması gerektiği sonucuna götürür. x + y z x+y-1 = 19(x+)+19(y-) 1

13 Birbirine paralel; d 1 : -x=y+1= z- ve d :-x=y-9=z doğruları veriliyor. a) Bu iki doğrunun belirttiği düzlemi bulalım. b) Bulunan düzlemin koordinat eksenlerini kestiği noktalar A, B, C ise A(ABC) alanını bulalım. 1. Yol: Doğrulardan birisinde rastgele iki nokta (örneğin d 1 üzerinde) A ve B noktaları, diğeri üzerinde de C noktası alalım. Düzlemin herhangi bir noktası P(x, y, z) olsun. AP, AC ve u vektörleri lineer bağımlıdır (veya vektörlerin üzerine kurulu paralelyüzün hacmi 0 dır). Bu da bizi vektörlerin bileşenlerini alt alta yazarak elde edilen determinant değerinin 0 olması gerektiği sonucuna götürür. x y + 1 z x-y+5z-11 = -14x-(-1)(y+1)-5(z-) d 1 doğru denkleminde; x için A(0, -1, ) z=8 için için B(-, 1, 8) d doğru denkleminde; x için C(0, 4, ) olur. Bu durumda paralel doğruların belirttiği düzlemi bulmak, A, B, C noktalarından geçen düzlem denklemini bulmak demektir. Bir önceki problemde yaptığımız işlemleri yapabiliriz. Düzlemin herhangi bir noktası P(x, y, z) olsun. AP, AB ve AC vektörleri lineer bağımlıdır (veya vektörlerin üzerine kurulu paralelyüzün hacmi 0 dır). Bu da bizi vektörlerin bileşenlerini alt alta yazarak elde edilen determinant değerinin 0 olması gerektiği sonucuna götürür. x y + 1 z x-y+5z-11. Yol: = -8x-(-)(y+1)-10(z-) b) Düzlemin x eksenini kestiği A noktasını bulmak için y=z koyalım A(11/14,0,0) Düzlemin y eksenini kestiği B noktasını bulmak için x=z koyalım B(0,-11,0) Düzlemin z eksenini kestiği C noktasını bulmak için x=y koyalım C(0,0,11/5) AB =(-11/14, -11, 0) AC =(-11/14, 0, 11/5) AB x AC = e1 e e e1 e e = ( )( ) = ( ) A(ABC) = AB x AC = birim kare d 1 : x-1 = y+1= -z ve d : x-1 = y+1= z- doğruları veriliyor. Bu doğruların bir noktada kesiştiğini ispatlayarak doğruların belirttiği düzlemi bulalım. e1 e e İki denklemi ortak çözelim: x-1 = y+1= -z = k x=k+1, y=k-1, z=-k d 1 üzerinde A(0, -1, ) ve d üzerinde C(4, 0, -9) noktalarını alalım. Bu değerleri diğer denklemde yerine koyalım; k = k = -k bu üçlü orantıyı sadece k sağlar. İlk denklemde yerine konursa kesişim noktası A ise; A(1, -1, ) olur.doğrulardan her birinden birer tane nokta bulalım; 1

14 u = BA cos α = BA BA. n n BA = BA. n n (a 1, a, a + d/c ).(a,b,c) = a +b +c Düzleme ait bir nokta P(x,y,z) olsun. Şekilden de görüldüğü gibi; AP, u ve u ' vektörleri lineer bağımlıdır. Bu da bizi vektörlerin bileşenlerini alt alta yazarak elde edilen determinant değerinin 0 olması gerektiği sonucuna götürür. x 1 y + 1 z = 0 (x-1)-5(y+1)-(z-) Aranan düzlem denklemi; x-5y-z-4 dır. a 1.a + a.b + a.c + d u = a +b +c A( 1, -, a+) noktasının x y + z = 15 düzlemine 7 birim uzaklıkta olabilmesi için a kaç olmalıdır? a u = = 7 a-5 = 1 a = veya a = -16 Paralel İki Düzlem Arasındaki Uzaklık: (E) ve (F) paralel iki düzlem olsun. Bu düzlemlerin normal vektörlerini aynı alabiliriz. Bir Noktanın Bir Düzleme Uzaklığı: (E) : ax+by+cz+d 1 (F) : ax+by+cz+d Düzlemlerden biri üzerinde alınan herhangi bir noktanın diğer düzleme olan uzaklığı, bu iki düzlem arasındaki uzaklıktır. 1 Örneğin (E) üzerinde A(0,0,-d c ) noktasının (F) düzlemine olan uzaklığını bulalım. u = d c(- c )+d a +b +c u = d -d 1 a +b +c Uzayda verilen bir (E) düzleminin denklemi ax+by+cz+d ve bir A( a 1,a ) noktası verilsin.düzlem üzerinde bir B noktası alalım, örneğin apsis ve ordinatı 0 olsun, kotu z=-d/c yani B(0,0,-d/c) olsun. Düzlemin normal vektörü n =(a,b,c) dir. A dan düzleme inilen AE uzaklığı aynı zamanda BA nın n üzerindeki dik izdüşüm uzunluğudur. x-y+z=6 ile y-6x-9z=a+1 düzlemleri arasındaki 5 uzaklık birim ise a kaçtır? 14 İkinci denklemi e bölelm: x-y+z+a+1 olur. 14

15 5 14 = a+1-(-6) = a+7 a= - veya a= a) Uzayda A(1,5,-1), B(,-,7) noktalarına eşit uzaklıkta kaç tane nokta Bu noktaların geometrik yeri nedir? b) Uzayda A(1,5,-1), B(,-,7), C(0,1, -1) noktalarına eşit uzaklıkta kaç tane nokta Bu noktaların geometrik yeri nedir? c) Uzayda A(1,5,-1), B(,-,7), C(0,1, -1), D(1,0,-1) noktalarına eşit uzaklıkta kaç tane nokta Bu noktaların geometrik yeri nedir? a) Doğru denklemini bulmak için ortak çözüm yapalım. / x-4y+4z-10 = 0 x+8y-1 x-8y+8z-0 = 0 x+8y-1 x = /4 z, y = -7/16 z/ O halde aranan doğru denklemi; x - /4 y + 7/16 - = -1/ = z dir. c) [CD] nın orta dikme düzlemi ile yukarıda bulduğumuz doğrunun (veya üç orta dikme düzlemlerinin) kesişim noktası aranan tek noktadır. Düzleme ait bir nokta P(x,y,z) olsun. [CD] nın ortası L(1/, 1/, -1) dir. CD LP CD. LP x-y Bulduğumuz düzlem denklemlerini alt alta yazalım. x-4y+4z-10 = 0 x+8y-1 x-y Denklem sistemi çözülürse aranan tek noktanın koordinatları (noktaya M diyelim); 1. Yol: PA = PB (x-1) +(y-5) +(z+1) = (x-) +(y+) +(z-7) (x-1) +(y-5) +(z+1) = (x-) +(y+) +(z-7) x-4y+4z-10 = 0. Yol: [AB] nın ortası H(, 1, ) tür. AB HP AB. HP (,-8,8).(x-,y-1,z-) x-4-8y+8+8z-4 x-4y+4z-10 = 0 O halde bu iki noktaya eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri bir düzlemdir. ([AB]nın orta dikme düzlemidir; yani aranan şarta uygun sonsuz çoklukta nokta M(1/10, 1/10, 19/40) olarak Uzayda A(1,0,1), B(-1,,0), C(,1,1) ve D(0,0,7) noktaları veriliyor. a) ABCD dörtyüzlüsünün (uzay dörtgeninin veya piramidinin) hacmini, b) D noktasının (ABC) düzlemine olan uzaklığını (piramidin ABC tabanına ait yüksekliğini) bulalım. a) Aşağıdaki şekilden görüldüğü gibi ABCD dörtyüzlüsünün (ABD) tabanı, DA, DB, DC vektörleri üzerine kurulu paralelyüzün tabanının yarısıdır. Ayrıca paralelyüzün yüksekliği ile ABCD uzay dörtgeninin ( ABD tabanına ait ) yüksekliği aynıdır. Buna göre ABCD uzay dörtgeninin hacmi paralelyüzün hacminin 1/6 sıdır. b) A ve B ye eşit uzaklıkta olan noktaların geometrik yeri [AB] nın orta dikme düzlemi; x-4y+4z-10 = 0 dir. Benzer şekilde [AC] nin orta dikme düzlemini de bulalım: Düzleme ait bir nokta P(x,y,z) olsun. [AC] nın ortası K(1/,, -1) ise; AC KP AC. KP x+8y-1 Aranan geometrik yer bu iki düzlemin arakesit doğrusudur. 15

16 [ DA, DB, DC ] H(ABCD) = = = = birim küp paraleldir. Dolayısıyla d 1 üzerindeki herhangi bir A noktasının düzleme olan h= AH uzaklığı, aykırı doğrular arasındaki uzaklıktır. b) 1. Yol: (ABC) düzleminin denklemini bulalım; A(1,0,1), B(-1,,0), C(,1,1) ve düzleme ait değişken bir nokta P(x,y,z) olsun. AP, AB ve AC vektörleri lineer bağımlıdır (veya vektörlerin üzerine kurulu paralelyüzün hacmi 0 dır). Bu da bizi vektörlerin bileşenlerini alt alta yazarak elde edilen determinant değerinin 0 olması gerektiği sonucuna götürür. x 1 y z = 0 x-y-4z+ Şimdi de D(0,0,7) noktasının düzleme olan uzaklığını hesaplayalım: u = = 5 birim 18.Yol: (E) düzlemini bulmak için BP, u, u ' vektörlerinin lineer bağımlı olmasını kullanabiliriz. Yani (E) düzlemini, BP, u, u ' vektörlerinin bileşenlerini alt alta yazarak elde edilen deteminant değerini 0 a eşitleyerek bulabiliriz. d 1 : x+ = y- = 1-z ve d : 1-x --z = y+1 = aykırı doğruları arasındaki en kısa uzaklığı bulalım. A(ABC) = AB x AC = (1,-1,-4) = 18 d nin üzerindeki herhangi bir B(1, -1, -) H(ABCD) = A(ABC).u 5 6 = 18. u u = 5 18 olduğundan; birim noktasından d 1 doğrusuna çizilen paralel doğru ile d nin oluşturduğu düzlem (E) olsun. d 1 doğrusu (E) düzlemine paraleldir. Dolayısıyla d 1 üzerindeki herhangi bir A noktasının düzleme olan h= AH uzaklığı, aykırı doğrular arasındaki uzaklıktır. Aykırı Doğrular: Uzayda aynı düzlemde olmayan ve kesişmeyen doğrulara denir. İki Aykırı Doğru Arasındaki Uzaklık: Uzayda d 1 ve d gibi iki aykırı doğru verilsin. d nin üzerindeki herhangi bir B noktasından d 1 doğrusuna çizilen paralel doğru ile d nin oluşturduğu düzlem (E) olsun. d 1 doğrusu (E) düzlemine 16

17 A(-,, 1) alalım. Önce (E) düzleminin denklemini bulalım. Düzlemde herhangi bir nokta P(x,y,z) olmak üzere; BP =(x-1, y+1,z+) ile u =(1,, -) ve u ' =(-,1,-) vektörleri lineer bağımlıdır. x 1 y + 1 z + 1 = 0 -x+6y+5z+ 1 A(-,,1) noktasının bu düzleme olan uzaklığı aranan h uzaklığıdır. h = = a 1.a + a.b + a.c + d a +b +c = birim İki Düzlemin Birbirine Göre Durumları: (E) : ax+by+cz+d düzlemi ile; (E ) : a x+b y+c z+d düzlemi verilsin. Bu iki düzlemi belirleyen denklemlerin oluşturduğu (üç bilinmeyenli iki denklem) denklem sisteminin, a) İki denklemden biri diğerinin bir katıdır (aslında üç bilinmeyenli tek denklem vardır) Sonsuz çözümü olur (E) ile (F) çakışıktır. b) İki denklemden biri diğerinin katı olmadığı halde Sonsuz çözümü olur (E) ile (F) bir doğru boyunca kesişir. c) Denklem sisteminin çözümü yoktur. (E) ile (F) birbirine paraleldir. Not 1: Düzlemler çakışık ya da paralel ise normal vektörleri paraleldir. Not : Düzlemler kesişiyorlarsa normal vektörleri paralel değildir. (E): x + y + z = 0 (F): x + y - z = 1 (G): x - y + z = 1 a) Düzlemlerinin varsa- kesişim kümesini bulalım. n 1 =(1,, 1), n =(,1,-), n =(1,-1,) a) Bu üç vektörden herhangi ikisi paralel olmadığından, düzlemlerden herhangi ikisi paralel ya da çakışık olamaz.bu durumda üç düzlem K gibi tek bir noktada kesişir. K yı bulmak için denklem sistemini çözmemiz gerekir. (E): x + y + z = 0 (F): x + y - z = 1 (G): x - y + z = 1 = = = -15 = -10 = 1 = - = x = = 0 1 =, y = = 1 5, z = = 0 K(, 1 5, 0) b) (F): x + y - z = 1 (G): x - y + z = 1 Üç bilinmeyenli iki denklemi çözmek için, bilinmeyenlerden biri cinsinden (örneğin z cinsinden) bulalım, z li terimleri sağ tarafa atalım. x + y = z+1 x - y = 1- z x= x = /, y =z 1/ Buradan; x - / 0 = y + 1/ = z Bu da A(/, -1/, 0) noktasından geçen ve doğrultu vektörü u =(0,, 1) olan doğruyu belirtir. b) (F) ile (G) düzlemlerinin birbirlerine göre durumunu inceleyerek kesişim kümesini bulalım. Sırasıyla (E), (F) ve (G) düzlemlerinin normal vektörlerine n 1, n, n diyelim. 17

18 İZMİR FEN LİSESİ UZAY ANALİTİK GEOMETRİ ÇALIŞMA SORULARI (Uzayda Doğru ve Düzlem) (Kasım 01) 01. A(,,4) ve B(-1,,5) noktalarından geçen doğru denklemini bulunuz. 0. d: x- 5 = y+1 a = z+1 ile k: x+1 = y-1 = z doğruları veriliyor. b a) d//k ise a ve b kaçtır? b) d k ise a+b kaçtır? 0. d: x-1 = y+1 a = 1-z ile k: x- = y-1 = -z-1 doğruları arasındaki açının cosinüsü kaçtır? 04. d: x+1 = y- m = z- ile k: x-1 -z- = y+1 = doğruları arasındaki açı 10 ise m kaçtır? 05. A(,,1) noktasının x+ -z- = 1-y = doğrusuna olan uzaklığı kaç birimdir? 06. x- = y+1 = -z doğrusu ile 0 (x=+λ, y=4λ-, z=1) doğrusu arasındaki açı kaç derecedir? 07. x-1 4 = -y- = z doğrusu ile x-y-z+5 düzleminin varsa kesişim noktasını bulunuz. 08. x-5y+z+ ve x+y-4z=1 düzlemlerinin arakesit doğrusunu bulunuz. 09. d: -x- = y-1 m+1 = z doğrusu (E): x+y-z+4 düzlemine a) Paralel olması için m kaç olmalıdır? b) Dik olması için m kaç olmalıdır? 10. d: x+1 = 1-y = z+ doğrusu ile (E): 4x+y+z+ düzlemi arasındaki açının kosinüsü kaçtır? 11. x+y-7z+11 ve 5x-y+5z=1 düzlemlerinin arasındaki açılardan dar olanın ölçüsü kaç derecedir? 1. A(, -1,m+1) noktasının 4x-y+8z= düzlemine olan uzaklığı birim ise m kaçtır? 1. 4x-y+8z= düzlemine paralel ve orijinden 4 birim uzaklıkta bulunan düzlem denklem(ler)ini bulunuz. 14. A(1,-1,) noktasından geçen ve x-y+z=5 düzlemine dik olan doğru denklemini bulunuz. 15. A(-1,5,0) noktasından geçen ve (x,y,z)=(1,1,)+t(-1,,0) doğrusuna dik olan ve x+y-4z+ düzlemine paralel olan doğru denklemini bulunuz. 16. x+y+z+1 ile x-y+z düzlemlerinin arakesitinden ve A(1,-1,) noktasından geçen düzlem denklemini bulunuz. 17. x=y=z ve x-1 = y = z-1 doğrularına paralel olan ve A(-,,4) noktasından geçen düzlem denklemini bulunuz. 18. x-1 = y = z-1 doğrusuna paralel olan olan, A(-,1,1) ve B(-1,,-1) noktalarından geçen düzlem denklemini bulunuz. 19. a) A(1,,), B(1,-1,), C(-,,1) noktalarından geçen düzlem denklemini bulunuz. b) A(a,b,a), B(0,a,b) ve C(b,0,a) noktalarından geçen düzlem denklemini bulunuz. 0. x= y = z x-1 z- doğrusu ile = 1-y = a 0 denklemleriyle verilen doğruların kesişmesi için a kaç olmalıdır?sonra kesişim noktasını bulunuz. 1. Uzayda A(,-1,) ve B(,1,-1) noktalarından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yerini bulunuz.. x-1 = y+ 5 = z+6 1 ve x-4 9 = y- 5 = z-7 doğrularının düzlemsel olduklarını 4 gösterip bu düzlemin denklemini bulunuz.. x- 4 = y-a - = z doğrusu A(-,1,5) noktasından geçtiğine b göre a ve b kaç olmalıdır? 4. x+m-1 = y = m-z doğrusu Oz eksenini kestiğine göre m reel sayısını ve kesişim noktasını bulunuz. 5. x+ z-1 x+1 = -y = ve m 5 = 1-y = z doğruları m nin hangi değeri için kesişir.sonra kesişim noktasını bulunuz. İzmir Fen Lisesi Matematik Zümresi-Kasım 01 Bu dosyayı adresinden indirebilirsiniz. 18

19 19

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak

Detaylı

DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ

DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Koordinatlar DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Bilindiği gibi, düzlemdeki her bir noktaya bir (a,b) sıralı ikilisi, her bir (a,b) sıralı ikilisine bir nokta karşılık gelir. Eğer bir A noktasına karşılık gelen

Detaylı

UZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU DÜZLEM

UZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU DÜZLEM UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM. ir küpün ayrıtlarını taşıyan doğrular kaç farklı doğrultu oluşturur? ) ) ) D) 7 E) 8. ir düzgün altıgenin en uzun köşegeni ile aynı doğrultuda kaç farklı kenar vardır?. şağıdaki

Detaylı

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme

Detaylı

1. Analitik düzlemde P(-4,3) noktasının eksenlerden ve O başlangıç noktasından uzaklığı kaç birimdir?

1. Analitik düzlemde P(-4,3) noktasının eksenlerden ve O başlangıç noktasından uzaklığı kaç birimdir? HAZİNE- HAZİNE-2 O başlangıç noktasında dik kesişen iki sayı ekseninin oluşturduğu sisteme koordinat sistemi denir. Bir noktanın x-eksenindeki dik izdüşümüne karşılık gelen x sayısına noktanın apsis i

Detaylı

Parametrik doğru denklemleri 1

Parametrik doğru denklemleri 1 Parametrik doğru denklemleri 1 A noktasından geçen, doğrultman (doğrultu) vektörü w olan d doğrusunun, k parametresine göre parametrik denklemi: AP k w P A k w P A k w P A k W (P değişken nokta) A w P

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Noktanın Analitik İncelenmesi...3 Doğrunun Analitiği...11 Analitik Düzlemde Simetri...25 Analitik Sistemde Eşitsizlikler...34 Çemberin Analitik İncelenmesi...40 Elips...58 Hiperbol...70

Detaylı

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir. ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da

Detaylı

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir.

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir. Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri Düzlemin noktalarını, düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten bir fonksiyona düzlemin bir dönüşümü denir. Öteleme: a =(a 1,a ) ve u =(u 1,u ) olmak

Detaylı

Örnek...1 : mx+3y+12=0 ve 2x 5y+3=0 doğruları para - lelse m kaçtır?

Örnek...1 : mx+3y+12=0 ve 2x 5y+3=0 doğruları para - lelse m kaçtır? İKİ DOĞRUNUN BİRBİRİNE GÖRE DURUMU DURUM 1 PARALEL DOĞRULAR ve doğruları paralel doğrular ise eğimleri eşittir. Yani / / m 1 =m 2 Ayr ıca : a 1 x+b 1 y+c 1 =0 =0} / / a 1 a 2 = b 1 c 1 c 2 Örnek...1 :

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

Uzayda Simetri. A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği B(x, y, z ) ise O noktası [AB] nın orta noktasıdır.

Uzayda Simetri. A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği B(x, y, z ) ise O noktası [AB] nın orta noktasıdır. Uzayda Simetri Hazırlayan Halit Çelik Matematik Öğretmeni Noktaya Göre Simetri: A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği B(x, y, z ) ise O noktası [AB] nın orta noktasıdır. Buna göre şeklinde

Detaylı

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES ANAL T K GEOMETR ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES 1. ANAL T K UZAY. ANAL T K UZAY D A D K KOORD NAT EKSENLER VE ANAL T K UZAY I. Analitik uzayda koordinat sistemi II. Analitik

Detaylı

KUTUPSAL KOORDİNATLAR

KUTUPSAL KOORDİNATLAR KUTUPSAL KOORDİNATLAR Geometride, bir noktanın konumunu belirtmek için değişik yöntemler uygulanır. Örnek olarak çok kullanılan Kartezyen (Dik ) Koordinat sistemini anımsatarak çalışmamıza başlayalım.

Detaylı

İç bükey Dış bükey çokgen

İç bükey Dış bükey çokgen Çokgen Çokgensel bölge İç bükey Dış bükey çokgen Köşeleri: Kenarları: İç açıları: Dış açıları: Köşegenleri: Çokgenin temel elemanları Kenar Köşegen ilişkisi Bir köşe belirleyiniz ve belirlediğiniz köşeden

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri

Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin

Detaylı

AB yönlü doğru parçası belirtilmiş olur. Doğrultusu, uzunluğu ve yönünden söz edilebilir.

AB yönlü doğru parçası belirtilmiş olur. Doğrultusu, uzunluğu ve yönünden söz edilebilir. HAZİNE-1 HAZİNE-2 Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [AB] DOĞRU PARÇASI denir. Doğrultusu (üzerinde bulunduğu doğru) ve uzunluğundan söz edilebilir.

Detaylı

MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI

MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI SORU 1. Köşeleri (1,4) (3,0) (7,2) noktaları olan ABC üçgeninin bir ikizkenar dik üçgen (İpucu:, ve vektörlerinden yararlanın) SORU 2. Bir ABC üçgeninin

Detaylı

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse

Detaylı

EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm:

EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm: EKSTREMUM PROBLEMLERİ Ekstremum Problemleri Bu tür problemlerde bir büyüklüğün (çokluğun alabileceği en büyük (maksimum değer ya da en küçük (minimum değer bulunmak istenir. İstenen çokluk bir değişkenin

Detaylı

GEOMETRİ. Tüm geometrik şekiller, elemanları noktalar olan kümeler olduğundan, biz de noktadan başlayarak gezimize çıkalım.

GEOMETRİ. Tüm geometrik şekiller, elemanları noktalar olan kümeler olduğundan, biz de noktadan başlayarak gezimize çıkalım. GEOMETRİ Geometriyi seven veya sevmeyenler için farklı bir bakış açısı. Gerçeğin kilidini açacak anahtarın Aritmetik ve Geometri olduğunu söyleyen ve Tanrının da bir Matematikçi olduğuna inanan ünlü düşünür

Detaylı

UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR

UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR Cisimlerin kapladığı yer ve içinde bulundukları mekan uzaydır. Doğruda sadece uzunluk, düzlemde uzunluk ve genişlik söz konusudur. Uzayda ise uzunluk ve genişliğin yanında

Detaylı

TEST: 6. Verilenlere göre EF =? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 7 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12. x eksenini 5 te, y eksenini 7 de kesen doğrunun denklemi

TEST: 6. Verilenlere göre EF =? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 7 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12. x eksenini 5 te, y eksenini 7 de kesen doğrunun denklemi TEST: 6 5. 1. Verilenlere göre EF =? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 7 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12 2. 6. x eksenini 5 te, y eksenini 7 de kesen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 7x+5y=35 B) 7x-5y=35

Detaylı

NOKTANIN ANALİTİK İNCELEMESİ NOKTANIN ANALİTİK İNCELEMESİ

NOKTANIN ANALİTİK İNCELEMESİ NOKTANIN ANALİTİK İNCELEMESİ NKTANIN ANALİTİK İNCELEMESİ NKTANIN ANALİTİK İNCELEMESİ Başlangıç noktasında birbirine dik olan iki saı doğrusunun oluşturduğu sisteme "Dik Koordinat Sistemi" denir. Dik Koordinat Sisteminin belirttiği

Detaylı

VEKTÖRLER. DOĞRU PARÇASI: Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [AB] DOĞRU PARÇASI denir.

VEKTÖRLER. DOĞRU PARÇASI: Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [AB] DOĞRU PARÇASI denir. VEKTÖRLER DOĞRU PRÇSI: Doğrunun ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [B] DOĞRU PRÇSI denir. Doğrultusu (üzerinde bulunduğu doğru) ve uzunluğundan söz edilebilir.

Detaylı

1. O(0,0) merkezli, 3 birim yarıçaplı. 2. x 2 +y 2 =16 denklemi ile verilen. 3. O(0,0) merkezli ve A(3,4)

1. O(0,0) merkezli, 3 birim yarıçaplı. 2. x 2 +y 2 =16 denklemi ile verilen. 3. O(0,0) merkezli ve A(3,4) HAZİNE-1 Düzlemde sabit M(a,b) noktasından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri, M merkezli R yarıçaplı çemberdir. HAZİNE-2 O(0,0) merkezli, R yarıçaplı çemberin denklemi; x 2 +y 2 =R 2 dir.

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

( ) ( ) ÖABT Analitik Geometri KONU TESTİ Noktanın Analitik İncelemesi. Cevap D. Cevap C. noktası y ekseni üzerinde ise, a + 4 = 0 A 0, 5 = 1+

( ) ( ) ÖABT Analitik Geometri KONU TESTİ Noktanın Analitik İncelemesi. Cevap D. Cevap C. noktası y ekseni üzerinde ise, a + 4 = 0 A 0, 5 = 1+ ÖABT Analitik Geometri KONU TESTİ Noktanın Analitik İncelemesi. a+ = b 4. a = b 0+ a b a b = b a+ b = 0. A ( a + 4, a) noktası y ekseni üzerinde ise, ( + ) a + 4 = 0 A 0, 5 a = 4 B b, b 0 noktası x ekseni

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

13. 2x y + z = 3 E) 1. (Cevap B) 14. Dikdörtgen biçimindeki bir tarlanın boyu 10 metre, eni 5 metre. Çözüm Yayınları

13. 2x y + z = 3 E) 1. (Cevap B) 14. Dikdörtgen biçimindeki bir tarlanın boyu 10 metre, eni 5 metre. Çözüm Yayınları Doğrusal Denklem Sistemlerinin Çözümleri BÖLÜM 04 Test 0. y = y = 6 denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) {(, 4)} B) {(, )} C) {(, 4)} D) {( 4, )} E) {(, )}./ y = / y = 6 5 = 5 = = için y

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Bibliography 11 CONTENTS 5 0.1 Kartezyen Çarpım 0.2 Sıralı İkililer Şimdiye kadar sıra ya da

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 GEOMETRİ TESTİ 19 HAZİRAN 2016 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Bibliography 9 Index 13 CONTENTS 5 0.1 Doğru, Düzlem, Uzay Bu derste sık sık doğru, düzlem ve

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS 1 GMTRİ TSTİ 1. u testte sırasıyla Geometri (1 ) nalitik Geometri (3 30) ile ilgili 30 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Geometri Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. bir üçgen =

Detaylı

AYT 2018 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ. ai i İçler dışlar çarpımı yapalım. 1 ai i a i 1 ai ai i. 1 ai ai 1 ai ai 0 2ai a 0 olmalıdır.

AYT 2018 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ. ai i İçler dışlar çarpımı yapalım. 1 ai i a i 1 ai ai i. 1 ai ai 1 ai ai 0 2ai a 0 olmalıdır. AYT 08 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ ai i İçler dışlar çarpımı yapalım. ai ai i ai ai aii ai ai ai ai 0 ai a 0 olmalıdır. Cevap : E 8 in asal çarpanları ve 3 tür. 8.3 3 40 ın asal çarpanları ve 5 tir. 40.5 İkisinde

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L

T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L 1 Denklemler 1.1 Doğru deklemleri İki noktası bilinen ya da bir noktası ile eğimi bilinen doğruların denklemlerini yazabiliriz.

Detaylı

Lineer Cebir. Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB. İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler

Lineer Cebir. Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB. İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler Lineer Cebir Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler Bölüm 1 - Lineer Eşitlikler 1.1. Lineer Eşitliklerin Tanımı x 1, x 2,..., x

Detaylı

1995 ÖSS. 6. Toplamları 621 olan iki pozitif tamsayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 16, kalan ise 9 dur. Buna göre, büyük sayı kaçtır?

1995 ÖSS. 6. Toplamları 621 olan iki pozitif tamsayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 16, kalan ise 9 dur. Buna göre, büyük sayı kaçtır? 99 ÖSS.. 0, 0, 0,44. işleminin sonucu A) 0, B) 0,4 C) D) 4 E) 0 6. Toplamları 6 olan iki pozitif tamsayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 6, kalan ise 9 dur. Buna göre, büyük sayı A) 70 B) 7 C) 80

Detaylı

4. y=-2 doğrusundan 5 birim uzaklıkta. 5. O(0,0) başlangıç noktasından 3 birim. 6. A(1,2) ve B(5,8) noktalarından eşit. 7. x=-2 doğrusundan ve A(2,0)

4. y=-2 doğrusundan 5 birim uzaklıkta. 5. O(0,0) başlangıç noktasından 3 birim. 6. A(1,2) ve B(5,8) noktalarından eşit. 7. x=-2 doğrusundan ve A(2,0) GEOMETRİK YER HAZİNE-1 Analitik düzlemde, verilen bir ortak özelliği sağlayan P(x,y) noktalarının apsis ve ordinatı arasındaki bağıntıya Geometrik yer denklemi denir. Geometrik yer üzerindeki noktalar

Detaylı

YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM

YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM YAYIN KURULU Hazırlayanlar Filiz SOYUÇETİN YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK & Ezgi Güler & Meltem Temel

Detaylı

1. BÖLÜM VEKTÖRLER 1

1. BÖLÜM VEKTÖRLER 1 1. BÖLÜM VEKTÖRLER 1 Tanım:Matematik, istatistik, mekanik, gibi çeşitli bilim dallarında znlk, alan, hacim, yoğnlk, kütle, elektriksel yük, gibi büyüklükler, cebirsel krallara göre ifade edilirler. B tür

Detaylı

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY A. AÇI Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir. B. YÖNLÜ AÇI

Detaylı

kpss Önce biz sorduk 50 Soruda SORU Güncellenmiş Yeni Baskı ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK GEOMETRİ İSTATİSTİK ve OLASILIK

kpss Önce biz sorduk 50 Soruda SORU Güncellenmiş Yeni Baskı ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK GEOMETRİ İSTATİSTİK ve OLASILIK Önce biz sorduk kpss 0 1 8 50 Soruda 30 SORU Güncellenmiş Yeni Baskı ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK GEOMETRİ İSTATİSTİK ve OLASILIK Komisyon ÖABT İlköğretim Matematik Geometri - İstatistik ve Olasılık Konu

Detaylı

4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ

4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x a x a x b 11 1 12 2 1n n 1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n

Detaylı

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4.

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4. POLİNOMLAR I MATEMATİK. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? I. ( ) P = + II. ( ) P = + III. ( ) + + P = + 6. ( ) ( ) ( ) P = a b a + b sabit polinom olduğuna göre ( ) ( ) ( ) P a +P b +P 0 toplamı kaçtır?

Detaylı

25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır?

25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır? . f: R { 4} R, > ise ( ) 4 f =, ise 6 8. ( ) f = 6 + m + 4 eğrisinin dönüm noktasının ordinatı olduğuna göre, m kaçtır? ) 7 ) 8 ) 9 ) E) fonksiyonu aşağıdaki değerlerinin hangisinde süreksizdir? ) ) )

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR

7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR 7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR KONULAR 1. DOĞRUDA AÇILAR 2. Açı 3. Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler 4. Açı Ölçü Birimleri 5. Ölçülerine Göre Açılar 6. Açıortay 7. Tümler Açı 8. Bütünler Açı 9. Ters

Detaylı

1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

1.DERECEDEN DENKLEMLER.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) .DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli

Detaylı

12-B. Polinomlar - 1 TEST. olduğuna göre P(x - 2, y + 4) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? olduğuna göre A B kaçtır? A) 78 B) 73 C) 62 D 58 E) 33

12-B. Polinomlar - 1 TEST. olduğuna göre P(x - 2, y + 4) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? olduğuna göre A B kaçtır? A) 78 B) 73 C) 62 D 58 E) 33 -B TEST Polinomlar -. Py _, i= y- y + 5y- olduğuna göre P( -, y + ) polinomunun katsayılar toplamı. - 6 = A - 5 + - + B - olduğuna göre A B 78 B) 7 6 D 58 E) B) D) - E) -. -a- b = _ + -5i_ -ci eşitliğine

Detaylı

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07 UZY GEMETRİ İÇİNDEKİLER Safa No Test No UZY KSİYMLRI... 001-00... 01-0 UZYD DGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 0-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-01... 0-07 PRİZMLR... 015-0... 08-1 KÜP... 05-00... 1-15 SİLİNDİR...

Detaylı

LYS 2016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ

LYS 2016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ LYS 016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ Dikdörtgenin içinde köşegeni çizerek alanı iki eşit parçaya ayırabiliriz. 7 / 36 BED üçgeni ile DEC üçgeninin alanlarının oranı, tabanları arasındaki orana eşittir. Buna göre;

Detaylı

Örnek: Eş doğru parçalarının uzunlukları eşittir. Örnek:

Örnek: Eş doğru parçalarının uzunlukları eşittir. Örnek: ĐFL GEOMETRĐK KAVRAMLAR VE ÇALIŞMA SORULARI (Eylül-011) Terim, Geometrik Terim, Tanımsız Terim, Önerme, Aksiyom (Postülat), Teorem (Hipotez ve Hüküm), Đspat: Bir bilim dalında özel anlamı olana kelimelere

Detaylı

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4 NİSAN 21 DENEMESİ 1) ABCD dikdörtgeninin AB kenarı üzerindeki M noktasından geçen ve CM doğrusuna dik olan doğru AD kenarını E noktasında kesiyor. M noktasından CE doğrusuna indirilen dikmenin ayağı P

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

1990 ÖYS. 1. si 13 olan si kaçtır? A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 65 B) 63 C) 56 D) 54 E) 45

1990 ÖYS. 1. si 13 olan si kaçtır? A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 65 B) 63 C) 56 D) 54 E) 45 990 ÖYS. si olan si kaçtır? A) 9 B) 8 C) D) 60 E) 5. Ağırlıkça %0 si şeker olan 0 kg lık un-şeker karışımına 8 kg daha un eklendiğine göre, yeni şeker (kg) karışımın oranı kaçtır? un (kg) A) B) C) D) E)

Detaylı

MAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ

MAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ 1 MAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ En büyük veya en küçük olması istenen değer (uzunluk, alan, hacim, vb.) tek değişkene bağlı bir fonksiyon olacak şekilde düzenlenir. Bu fonksiyonun türevinden ekstremum noktasının

Detaylı

2014 LYS GEOMETRİ 3. A. parabolü ile. x 1 y a 9 çemberinin üç noktada kesişmesi için a kaç olmalıdır?

2014 LYS GEOMETRİ 3. A. parabolü ile. x 1 y a 9 çemberinin üç noktada kesişmesi için a kaç olmalıdır? 014 LYS GOMTRİ 1. y 1 1 y a 9 çemberinin üç noktada kesişmesi için a kaç olmalıdır? parabolü ile. O merkezli çeyrek çemberde O deltoid olduğuna göre, taralı alan kaç birim karedir? O. d:y a b doğrusu -ekseni

Detaylı

Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri

Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri Resim düzlemi O : İzdüşüm (projeksiyon ) merkezi P : Arazi noktası H : Asal nokta N : Nadir noktası c : Asal uzaklık H OH : Asal eksen (Alım ekseni) P OP :

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ

RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ MUTLAK GENEL DÜZLEMSEL HAREKET: Genel düzlemsel hareket yapan bir karı cisim öteleme ve dönme hareketini eşzamanlı yapar. Eğer cisim ince bir levha olarak gösterilirse,

Detaylı

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. 1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya

Detaylı

11. SINIF. No Konular Kazanım Sayısı GEOMETRİ TRİGONOMETRİ Yönlü Açılar Trigonometrik Fonksiyonlar

11. SINIF. No Konular Kazanım Sayısı GEOMETRİ TRİGONOMETRİ Yönlü Açılar Trigonometrik Fonksiyonlar 11. SINIF No Konular Kazanım Sayısı GEOMETRİ Ders Saati Ağırlık (%) 11.1. TRİGONOMETRİ 7 56 26 11.1.1. Yönlü Açılar 2 10 5 11.1.2. Trigonometrik Fonksiyonlar 5 46 21 11.2. ANALİTİK GEOMETRİ 4 24 11 11.2.1.

Detaylı

ÖSYM. 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz AYT/Matematik

ÖSYM. 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz AYT/Matematik MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. 2. a bir gerçel sayı olmak üzere, karmaşık sayılarda eşitliği veriliyor.

Detaylı

2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz.

2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz. ANALİZ 1.) a) sgn. sgn( 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini b) f ( ) 3 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan; . Bir havuzu bir musluk 6 saatte, başka bir musluk 8 saatte dolduruyor. Bu iki musluk kapalı iken, havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu saatte boşaltabiliyor. Üç musluk birden açılırsa,boş

Detaylı

1986 ÖYS. 1. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? C) 3 A) 11 B) 10 C) 3 D) 8 E) 7 E) 2

1986 ÖYS. 1. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? C) 3 A) 11 B) 10 C) 3 D) 8 E) 7 E) 2 8 ÖYS. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? 8 7. Aşağıdaki şekilde ABCD bir yamuk ve AECD bir paralel kenardır.. Aşağıdaki şekilde EAB ve FBC eşkenar üçgendir. AECD nin alanı 8 cm Buna göre CEB üçgeninin

Detaylı

ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın,

Detaylı

ÖABT Lineer Cebir KONU TESTİ Matris Cebiri

ÖABT Lineer Cebir KONU TESTİ Matris Cebiri ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Matris Cebiri. i, j,, i için j i j a j i j a. j i j a. i için j i j a 4 6 j i j a 4 j i j a. 6. 0 0 0 4 0 0 0. 4 6 n 0 0 n 6 Cevap: D Cevap:. I. I I I 0 I 0 0 0..I I I 00 0 0 0

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

ANALİTİK GEOMETRİ. Matrisler - Determinant Lineer Denklem Sistemleri - Vektörler Uzayda Doğru Denklemi - Uzayda Düzlem Denklemi

ANALİTİK GEOMETRİ. Matrisler - Determinant Lineer Denklem Sistemleri - Vektörler Uzayda Doğru Denklemi - Uzayda Düzlem Denklemi ANALİTİK GEOMETRİ Matrisler - Determinant Lineer Denklem Sistemleri - Vektörler Uzayda Doğru Denklemi - Uzayda Düzlem Denklemi Kutupsal Koordinat Sistemi - Konikler Koordinat Dönüşümleri - Koniklerin Genel

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

UZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU DÜZLEM

UZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU DÜZLEM (a, b, c) r x = a y = b u a b UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM ÜN TE y y y y y y Uzay Uzayda Dik Koordinat Sistemi Uzayda Vektörler Uzayda İki Vektörün Skaler (İç) Çarpımı Uzayda İki Vektörün Vektörel (Dış)

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı A 1. Köşeleri, yarıçapı 1 olan çemberin üstünde yer alan düzgün bir n-genin çevre uzunluğunun alanına oranı 4 3 ise, n kaçtır? 3 a) 3 b) 4 c) 5 d)

Detaylı

12. SINIF. Uzayda Vektörler-1 TEST. 1. Uzaydaki doğru parçaları için aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?

12. SINIF. Uzayda Vektörler-1 TEST. 1. Uzaydaki doğru parçaları için aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır? 1. SINIF Uada Vektörler-1 1. Uadaki doğru parçaları için aşağıdaki önermelerden hangisi anlıştır? Akırı doğru parçaları farklı dülemlerdedir. Akırı doğru parçaları farklı doğrultudadır. İki doğru parçasının

Detaylı

Örnek...1 : Şekildek i kare piramitte paralel, a yk ır ı k esişen doğru parçalar ına örnek ler verini z. UZAYIN ANALİTİĞİ UZAY

Örnek...1 : Şekildek i kare piramitte paralel, a yk ır ı k esişen doğru parçalar ına örnek ler verini z. UZAYIN ANALİTİĞİ UZAY UZYIN NİİĞİ 1 M KVRMR UZY ümü düzlemsel olmayan bütün noktaların kümesine uza y denir. UZY NOK, OĞRU, ÜZM V UNR RSINKİ İİŞKİR 1)Uzayda farklı iki noktadan bir tek doğru geçer. UZY OĞRURIN URUMU 1.Uzayda

Detaylı

Yönlü doğru parçası: Zıt yönlü doğru parçaları: Eş yönlü doğru parçaları: Örnek-1. Paralel yönlü doğru parçaları:

Yönlü doğru parçası: Zıt yönlü doğru parçaları: Eş yönlü doğru parçaları: Örnek-1. Paralel yönlü doğru parçaları: Yönlü doğru parçası: Zıt yönlü doğru parçaları: Eş yönlü doğru parçaları: Örnek-1 Paralel yönlü doğru parçaları: 1 Örnek-2 Vektör: Örnek-3 Sıfır vektörü: Eşit vektörler: Örnek-4 Bir vektörü bir reel sayı

Detaylı

1986 ÖYS. 3 b. 2 b C) a= 1. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? C) 3 D) 8 E)

1986 ÖYS. 3 b. 2 b C) a= 1. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? C) 3 D) 8 E) ÖYS. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? 0. Aşağıdaki şekilde ABCD bir yamuk ve AECD bir paralel kenardır.. Aşağıdaki şekilde EAB ve FBC eşkenar üçgendir. AECD nin alanı cm Buna göre CEB üçgeninin

Detaylı

ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATLARI DENEMESİ ( ŞUBAT 2010 )

ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATLARI DENEMESİ ( ŞUBAT 2010 ) ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATLARI DENEMESİ ( ŞUBAT 010 ) 1) Dar açılı ABC üçgeninde BB 1 ve CC 1 yükseklikleri H noktasında kesişiyor. CH = C H, BH = B H ise BAC açısını bulunuz. 1 1 A)0 0 B)45 0 C) arccos

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS 1 GOMTRİ TSTİ 1. u testte sırasıyla Geometri (1 ) nalitik Geometri (3 30) ile ilgili 30 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Geometri Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. [ [ [ [] []

Detaylı

1. BÖLÜM DÜZLEM GEOMETRİNİN TEMEL KAVRAMLARI İÇİNDEKİLER

1. BÖLÜM DÜZLEM GEOMETRİNİN TEMEL KAVRAMLARI İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM DÜZLEM GEOMETRİNİN TEMEL KAVRAMLARI İÇİNDEKİLER 1. TANIMSIZ KAVRAM, AKSİYOM, TEOREM VE İSPAT NE DEMEKTİR? 2. NOKTA, DOĞRU, DÜZLEM VE UZAY KAVRAMLARI * Nokta, Doğru ve Düzlem * Doğru Parçası *

Detaylı

10. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ

10. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ 2012 10. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni 1. ÜNİTE: DÜZLEM GEOMETRİDE TEMEL ELEMANLAR VE İSPAT BİÇİMLERI Temel Postulatlar İspatlanamayan ve ispatına gerek duyulmayan ancak doğru

Detaylı

Cahit Arf Matematik Günleri 10

Cahit Arf Matematik Günleri 10 Cahit Arf Matematik Günleri 0. Aşama Sınavı 9 Mart 0 Süre: 3 saat. Eğer n, den büyük bir tamsayı ise n 4 + 4 n sayısının asal olamayacağını gösteriniz.. Çözüm: Eğer n çiftse n 4 +4 n ifadesi de çift ve

Detaylı

TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi

TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi YGS MATEMATĠK DENEMESĠ-1 Muharrem ġahġn TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi Eyüp Kamil YEġĠLYURT Gökhan KEÇECĠ Saygın DĠNÇER Mustafa YAĞCI Ġ:K Ve TMÖZ üyesi 14 100 matematik ve geometri sevdalısı

Detaylı

ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER-1

ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER-1 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER-1 PRİZMA 1. Bir dikdörtgenler prizmasının boyutları 3,5,7 ile orantılıdır. Bu prizmanın tüm alanı 568 cm 2 olduğuna göre hacmi kaç cm 3 dür? A) 440 B) 540 C) 840 D) 740 E) 640 6. Bir

Detaylı

9SINIF MATEMATİK. Denklemler ve Eşitsizlikler

9SINIF MATEMATİK. Denklemler ve Eşitsizlikler 9SINIF MATEMATİK Denklemler ve Eşitsizlikler YAYIN KOORDİNATÖRÜ Oğuz GÜMÜŞ EDİTÖR Hazal ÖZNAR - Uğurcan AYDIN DİZGİ Muhammed KARATAŞ SAYFA TASARIM - KAPAK F. Özgür OFLAZ Eğer bir gün sözlerim bilim ile

Detaylı

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 996 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır? A) B) 8 C) 6 D) E) Çözüm Toplam öğrenci

Detaylı

Içindekiler B IR INC I BÖLÜM Matrisler IK INC I BÖLÜM Determinant ÜÇÜNCÜ BÖLÜM Lineer Denklem Sistemleri DÖRDÜNCÜ BÖLÜM Vektörler

Içindekiler B IR INC I BÖLÜM Matrisler IK INC I BÖLÜM Determinant ÜÇÜNCÜ BÖLÜM Lineer Denklem Sistemleri DÖRDÜNCÜ BÖLÜM Vektörler İçindekiler BİRİNCİBÖLÜM Matrisler Martislerde İşlemler 1 Bir Matrisin Transpozesi 18 Bir Matrisin Tersi 1 Elemanter Satır Operasyonları 7 Bir Matrisin Tersinin Bulunması 31 Bölüm Sonu Tekrar Testi (Matrisler)

Detaylı

π a) = cosa Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran 2007 Matematik II Soruları ve Çözümleri

π a) = cosa Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran 2007 Matematik II Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) 7 Haziran 7 Matematik II Soruları ve Çözümleri. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * ( + i) işleminin sonucu

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500 984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)

Detaylı

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin

Detaylı