Cebir II 2008 Bahar

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "18.702 Cebir II 2008 Bahar"

Transkript

1 MIT Açk Ders Malzemeleri Cebir II 2008 Bahar Bu materyallerden alnt yapmak veya Kullanm artlar hakknda bilgi almak için ve sitelerini ziyaret ediniz. 1

2 ubat Ba ntlarn fadesi Diklik Ba ntlar ρ : G GL(V ) ve σ : G GL(W ), sonlu bir G grubunun V ve W karma³k vektör uzaylar üzerinde temsilleri olsun ve χ ile χ srasyla ρ ile σ nn karakterleri olsun. Burada kantlayaca mz diklik ba ntlar ³unlar söyler. E er ρ ve σ indirgenemez ise ve izomorf de illerse, (1.1a) χ, χ = 0, ve e er ρ indirgenemez ise, (1.1b) χ, χ = 1 dir. 2. zdü³üm Operatörleri Bir V vektör uzay üzerindeki bir do rusal operatör f için, f 2 = f e³itli i sa lanyorsa, f bir izdü³üm operatörü olarak adlandrlr. Bunu söylemenin di er bir yolu da ³udur: E er f operatörü, görüntüsü üzerinde birim fonksiyonu gibi davranyorsa, bir izdü³üm operatörüdür. (Burada, daha snrlayc bir kavram olan dik izdü³ümden bahsetmiyoruz.) Lemma 2.1. (a) K ve U, bir V vektör uzay üzerindeki f izdü³üm operatörünün çekirde i ve görüntüsü olsun. Bu takdirde, V vektör uzay, U K dolaysz toplamdr. (b) Bir f izdü³üm operatörünün izi görüntü U nun boyutuna e³ittir. Kant. (a) f nin bir izdü³üm operatörü oldu unu varsayalm. U + K = V ve U K = 0 oldu unu göstermeliyiz. v V, u = f(v) ve x = v u olsun. O zaman, f(x) = f(v) f 2 (v) = 0, ve bu nedenle x K dir. u+x = v oldu undan ve v rasgele seçilmi³ oldu undan, U + K = V dir. Daha sonra, e er z U K ise, z U oldu undan f(z) = z ve ve z K oldu undan f(z) = 0 elde ederiz. Dolaysyla, z = 0 dr. Bu, K U = 0 oldu unu gösterir. (b) f izdü³üm operatörünün izini belirlemek için, U ve K nin tabanlarn birle³tirerek V için bir taban seçeriz. f nin bu tabana göre matrisi a³a daki blok biçimine sahip olur 2

3 ( I ), ve burada I nn satr says dim U ya e³ittir. 3. G-de i³mez dönü³ümler ρ : G GL(V ) ve σ : G GL(W ), daha önce oldu u gibi temsiller olsun. Her g G ve v V için, (3.1) T (gv) = gt (v) ko³ulunu sa layan bir T : V W do rusal dönü³ümü G-de i³mez dir. g nin sol tarafta ρ, buna kar³lk sa tarafta σ aracl yla etki etti ini dikkate alnz. G-de i³mezlik, bir do rusal dönü³üm üzerinde çok güçlü bir snrlandrmadr. Schur Lemmas 3.2. (a) ρ : G GL(V ) ve σ : G GL(W ) indirgenemez temsiller olsun, ve T : V W G-de i³mez bir do rusal dönü³üm olsun. Bu durumda ya T bir izomorzmdir ya da T = 0 dr. (b) ρ : G GL(V ) bir indirgenemez temsil, ve T : V V G-de i³mez bir do rusal dönü³üm olsun. Bu durumda T bir skaler ile çarpmdr: T = ci. Altlemma 3.3. T G-de i³mez bir do rusal dönü³üm olsun. T nin çekirde i V nin G-de i³mez altuzaydr ve T nin görüntüsü W nun G-de i³mez altuzaydr. Kant. v T nin çekirde inde ve g G deyse, gv nin de çekirdekte oldu unu göstermeliyiz. Bu do rudur çünkü T (gv) = gt (v) = g0 = 0. Daha sonra, e er w T nin görüntüsündeyse, gw elemannn da görüntüde oldu unu göstermeliyiz. w T nin görüntüsünde demek V de T (v) = w ko³ulunu sa layan bir v var demektir. O zaman, gw = gt (v) = T (gv) dir. Bu nedenle, gw eleman da görüntüdedir. Schur Lemmasnn Kant. (a) T 0 oldu unu varsayalm. ρ indirgenemez ve T nin çekirde i indirgenemez altuzay oldu undan, çekirdek ya {0} ya da V dir. T 0 oldu undan V olamaz ve bu nedenle çekirdek {0} dir. Daha sonra, σ indirgenemez oldu undan ve görüntü de i³mez oldu undan, görüntü {0} ya da W dur. T 0 oldu undan {0} olamaz. Bu durumda, görüntü W olur. Dolaysyla, T izomorzmdir. (b) T do rusal operatörü, λ özde erine sahiptir. Bu, T λi nn çekirde inin {0} olmad anlamna gelir. Fakat, T λi operatörü ayn zamanda G-de i³mezdir. Bu nedenle, çekirde i V ye e³ittir. Bu T λi = 0 oldu unu, dolaysyla T = λi oldu unu gösterir. G-de i³mez T dönü³ümünün tanmna geri dönelim. (3.1) ba ntsn temsilleri açkça ifade ederek yazarsak, T ρ g (v) = σ g T (v) veya (3.4) σg 1 T ρ g = T 3

4 olur. A³a daki diyagram rasgele bir T operatörü ile σg 1 T ρ g operatörü arasndaki ili³kiyi gösterir: (3.5) σ 1 g T ρg V W ρ V T T do rusal dönü³ümü G-de i³mez de ilse, en az bir g için σg 1 T ρ g T olur. Ancak, herhangi bir T do rusal dönü³ümünden, ortalama alarak bir G-de i³mez dönü³üm yaratabiliriz. Yeni dönü³ümü (3.6) T = 1 σ W g σ 1 g T ρ g biçiminde tanmlayalm. T dönü³ümünün G-de i³mez oldu unu gösterelim. Tanmdaki toplamn indeksi g oldu undan, de i³mezli i G deki h için σ 1 T h ρ h = T biçiminde yazarz. g = gh diyelim ve Gh = G oldu unu belirtelim. g, G deki tüm elemanlar bir kez ald nda, g de G deki tüm elemanlar bir kez alm³ olur. Bu nedenle, (3.7) σ 1 h T ρ h == 1 g σ 1 h σ 1 g T ρ g ρ h = 1 g σ 1 g T ρ g elde ederiz. Elbette, T dönü³ümünün sfrdan farkl olaca nn garantisi yoktur. Aslnda, Schur Lemmas, ρ ve σ izomorf olmayan indigenemez temsillerse, dönü³ümün sfr olmas gerekti ini söyler. 4. G-de i³mez matrisler R : G GL n ve S : G GL m matris temsilleri olsun. m n lik bir M matrisi, her g G için (4.1) M = Sg 1 MR g e³itli ini sa lyorsa, M matrisi G-de i³mezdir. Ortalama alma i³lemi, herhangi bir matristen bir G-de i³mez matris üretecektir: (4.2) M = 1 S 1 g MR g matrisi G-de i³mezdir. Kant, (3.7) dekinin bir benzeridir. ρ ve σ temsillerinin ve V ile W nun tabanlarnn verildi ini varsayalm. R ve S, bu tabanlar kullanlarak ρ ve σ dan elde edilmi³ matris temsilleri olsun ve M T nin matrisi olsun. Bu durumda, T nin G-de i³mez olmas için gerek ve yeter ko³ul M nin G-de i³mez olmasdr. Ayrca, e er M T nin matrisi ise, M T dönü³ümünün matrisi olacaktr. 4

5 Lemma 4.3. R ile S yukardaki gibi olsun ve Φ operatörü m n lik matrislerin uzay C m n üzerinde Φ(M) = M olarak tanmlansn. (a) Φ bir izdü³üm operatörüdür ve görüntüsü G-de i³mez matrislerin uzaydr. (b) R ve S, seçilmi³ tabanlara göre ρ ve σ temsillerine ba l matris temsilleri olsun. ρ ve σ izomorf olmayan indirgenemez temsillerse, iz Φ = 0 dr. ρ indirgenemez ise, ρ = σ ve R = S, o halde iz Φ = 1 dir. Kant. (a) (4.2) tanmndan, Φ matris toplam ve skaler çarpm ile uyumludur, bu nedenle do rusal bir operatördür. Dahas, Φ( M) = M, dolaysyla Φ 2 = Φ dir. Φ nin görüntüsü G-de i³mez matrislerin uzaydr. (b) Lemma 2.1'e göre, Φ nin izi, G-de i³mez operatörlerin uzaynn boyutuna e³ittir. Schur Lemmas'na göre, ρ ve σ izomorf olmayan indirgenemez temsillerse, tek de i³mez operatör 0 dr. Dolaysyla, bu durumda Φ nin izi 0 dr. Ayrca, Schur Lemmas, ρ = σ ve ρ indirgenemezse, G-de i³mez do rusal operatörlerin uzaynn boyutunun 1 oldu unu da söyler. Bu durumda, iz 1 dir. 5. Diklik ba ntlarnn kant R ve S, seçilmi³ tabanlara göre ρ ve σ temsillerine kar³lk gelen matris temsilleri olsun. Daha önce oldu u gibi, ρ ile σ nn karakterlerini srasyla χ ve χ ile gösterelim. Bu durumda, elimizde Lemma 4.3'de tanmland biçimiyle operatör Φ vardr. Planmz, diklik ba ntlarn, Φ nin izini yeniden yorumlayarak kantlamak. Öncelikle, (5.1) iz Φ = χ, χ = 1 χ (g)χ(g) oldu unu gösterece iz ve bunu yapt mzda, (1.1a,b) diklik ba ntlar, Lemma 4.3b'den elde edilecek. Do rusal operatör Φ, (5.2) ϕ g (M) = Sg 1 MR g biçiminde tanmlanm³ ϕ g operatörlerinin ortalamasdr: (5.3) Φ = 1 g ϕ g. z, do rusal bir fonksiyon oldu undan (5.4) iz Φ = 1 elde ederiz. (5.1) e³itli ini g iz ϕ g (5.5) iz ϕ g = χ (g)χ(g) e³itli ini göstererek kantlayaca z. Bu, önümüzdeki iki lemma ile gerçekle³tirilebilir: 5

6 Lemma 5.6. χ, sonlu bir G grubunun σ : G GL(W ) temsilinin karakteri ve S g, σ g nin W vektör uzaynn bir tabanna göre matrisi olsun. Bu durumda χ (g) = χ (g 1 ) olur. Lemma 5.7. A ve B m m lik ve n n lik karma³k matrisler ve f m n lik karma³k matrislerin uzay C m n üzerinde f(m) = ABM biçiminde tanmlanm³ do rusal operatör olsun. Bu takdirde, f nin izi, (iz A)(iz B) çarpmdr. (5.8) iz ϕ g = (iz S g 1)(iz R g ) = χ (g)χ(g) elde ederiz. Daha sonra (5.9) iz Φ = 1 g iz ϕ g = 1 g χ (g)χ(g) = χ, χ olur. Dolaysyla, lemmalar kantland nda, diklik ba ntlar da kantlanm³ olacaktr. Lemmalarn do ru oldu unu varsayalm. Tanmdan χ(g) = iz R g ve χ (g) = iz S g dir. Dahas, S : G GL m bir homomorzm oldu undan Sg 1 = S g 1 dir. Lemma 5.6, χ (g) = χ (g 1 ) = iz Sg 1 oldu unu söyler. Lemma 5.7'yi uygularsak, Lemma 5.6'nn Kant. Tanmdan χ (g), σ g nin veya S g nin özde erlerinin toplamdr. Diyelim, χ (g) = λ λ m olsun. S g 1 in özde erleri λ 1 i elemanlardr. g sonlu bir grubun eleman oldu undan mertebesi de sonludur. Dolaysyla, S g, mertebesi sonlu olan bir matristir, bir ba³ka deyi³le r > 0 olmak üzere (S g ) r = I dr. O halde, her i için (λ i ) r = 1 dir. Bu λ i lerin mutlak de eri 1 olan karma³k saylar olmasn gerektirir. λ mutlak de eri 1 olan bir karma³k say ise, λ 1 = λ olur. Dolaysyla, χ (g 1 ) = λ λ 1 m = λ λ m = χ (g) elde edilir. Lemma 5.7'nin Kant. Göstermek istiyoruz ki, herhangi m m lik A ve n n lik B matrisleri için C m n üzerindeki f(m) = AMB operatörünün izi (iz A)(iz B) çarpmna e³ittir. m n lik matrislerin e ij standart taban elemanlar istenildi i gibi sralanarak f nin matrisi yazlabilir. Bu skc ve gösterim olarak kafa kar³trcdr. f operatörü A matrisine do rusal olarak ba mldr. Bununla kastetti imiz, A = A 1 + A 2 ise f = f 1 + f 2 ve A = ca ise f = cf oldu udur. z fonksiyonu do rusal oldu undan, f nin izi de do rusaldr: iz f = iz f 1 + iz f 2 ve iz f = c iz f dür. Herhangi bir A matrisi m m lik standart taban matrislerinin do rusal bile³imi olarak a ij e ij biçiminde yazlabildi inden, lemmay A nn kendisinin bir standart taban matrisi oldu u durumda kantlamak yeterlidir. Benzer biçimde, B nin de n n lik bir standart taban matrisi oldu unu varsayabiliriz. f 2 (M) = A 2 MB 2 oldu unu belirtelim. Üç durumu ayrt edip de erlendirece iz. 6

7 Durum 1: A = e ii ve B = e jj olsun. O halde, f(m) = e ii Me jj = m ij e ij ve f 2 = f dir. Burada, f bir izdü³üm operatörüdür ve operatörün görüntüsü, e ij tarafndan gerilen bir boyutlu uzaydr. Bu nedenle, iz f = 1 dir. Ayrca, (iz A)(iz B) = 1 1 = 1 dir. Böylece, lemma bu durumda kantlanm³ olur. Durum 2: A = e ik ve i k dir. Bu durumda, A 2 = 0 ve bu nedenle f 2 = 0 dr; f bir sfrüslü (nilpotent) operatördür. Sfrüslü bir operatörün izi sfrdr. Dolaysyla, iz f = 0 dr. iz A = 0 oldu undan, lemma bu durumda da kantlanm³ olur. Durum 3: B = e jl ve j l dir. Kant, Durum 2'dekinin benzeridir. 7

Çarpm ve Bölüm Uzaylar

Çarpm ve Bölüm Uzaylar 1 Ksm I Çarpm ve Bölüm Uzaylar ÇARPIM UZAYLARI 1 ÇARPIM TOPOLOJ S 2 KARMA P R O B E M L E R 1. A ile B, srasyla, (X, T )X ile (Y, S ) topolojik uzaylarnn birer alt-kümesi olsunlar. (a) (A B) = A B (b)

Detaylı

f 1 (H ) T f 1 (H ) = T

f 1 (H ) T f 1 (H ) = T Bölüm 15 TIKIZLIK 15.1 TIKIZ UZAYLAR 15.1.1 Problemler 1. Her sonlu topolojik uzay tkzdr. 2. Ayrk bir topolojik uzayn tkz olmas için gerekli ve yeterli ko³ul sonlu olmasdr. 3. Ayn bir küme üzerinde S T

Detaylı

S = {T Y, X S T T, S S} (9.1)

S = {T Y, X S T T, S S} (9.1) Bölüm 9 ÇARPIM UZAYLARI 9.1 ÇARPIM TOPOLOJ S Bo³ olmayan kümelerden olu³an bo³ olmayan bir ailenin kartezyen çarpmnn da bo³ olmad n, Seçme Aksiyomu [13],[20], [8] ile kabul ediyoruz. imdi verilen aileye

Detaylı

(i) (0,2], (ii) (0,1], (iii) [1,2), (iv) (1,2]

(i) (0,2], (ii) (0,1], (iii) [1,2), (iv) (1,2] Bölüm 5 KOM ULUKLAR 5.1 KOM ULUKLAR Tanm 5.1.1. (X, T ) bir topolojik uzay ve A ile N kümeleri X uzaynn iki alt-kümesi olsun. E er A T N olacak ³ekilde her hangi bir T T varsa, N kümesine A nn bir kom³ulu

Detaylı

f( F) f(f) K = K F f 1 f( F) f 1 (K) = F F f 1 (S ) = [f 1 (S)] f(x) S V

f( F) f(f) K = K F f 1 f( F) f 1 (K) = F F f 1 (S ) = [f 1 (S)] f(x) S V Bölüm 6 SÜREKL FONKS YONLAR 6.1 YEREL SÜREKL L K Tanm 6.1.1. (X, T ) ve (Y, S) topolojik uzaylar ile f : X Y fonksiyonu verilsin. E er f(x 0 ) ö esinin her V kom³ulu una kar³lk f(u) V olacak ³ekilde x

Detaylı

(sf) F C = [(s,f) sf] x [0,1] = (sf)(x) = sf(x)

(sf) F C = [(s,f) sf] x [0,1] = (sf)(x) = sf(x) Bölüm 13 MATEMAT KSEL YAPILAR 13.1 YAPI KAVRAMI Ça da³ Matematik kümeleri, kümeler üzerindeki yaplar, yaplar arasndaki dönü³ümleri inceler. Buraya dek ö e, küme, i³lem, fonksiyon kavramlarn kullandk. Bunlar

Detaylı

Soru Toplam Puanlama Alnan Puan

Soru Toplam Puanlama Alnan Puan 26.11.2013 No: Ad-Soyad: mza: Soru 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Toplam Puanlama 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 105 Alnan Puan 405024142006.1 CEB RSEL TOPOLOJ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI SORULARI (ÖRGÜN Ö

Detaylı

B A. A = B [(A B) (B A)] (2)

B A. A = B [(A B) (B A)] (2) Bölüm 5 KÜMELER CEB R Do a olaylarnn ya da sosyal olaylarn açklanmas için, bazan, matematiksel modelleme yaplr. Bunu yapmak demek, incelenecek olaya etki eden etmenleri içine alan matematiksel formülleri

Detaylı

P = {x A (y A y x) f(y) x} (22.6) M p = {m A m p f(p) m} (22.8)

P = {x A (y A y x) f(y) x} (22.6) M p = {m A m p f(p) m} (22.8) Bölüm 22 SEÇME AKS YOMU SEÇME AKS YOMU VE E DE ERLER 22.1 G R Bir X kümesi dü³ünelim. Bu küme ya bo³tur ya de ildir. De ilse, X kümesine ait bir ö e seçilebilir. imdi ba³ka bir Y kümesi daha dü³ünelim.

Detaylı

TOPOLOJ TEST B. (d) Dizinin limiti yoktur; y lma noktas yoktur. 4. Dizisel süreklilik hangi uzaylarda süreklili e denktir?

TOPOLOJ TEST B. (d) Dizinin limiti yoktur; y lma noktas yoktur. 4. Dizisel süreklilik hangi uzaylarda süreklili e denktir? 1 TOPOLOJ TEST B 1. {( 1) n 1 n : n > 0} dizisi için a³a dakilerden hangisi do rudur? (a) Dizinin limiti 1 ve +1 dir; y lma noktas 1 ve +1 dir. (b) Dizinin limiti 1 ve +1 dir; y lma noktas yoktur. (c)

Detaylı

TOPOLOJ TEST A. 1. A³a dakilerden hangisi topoloji tanmlama yöntemi de ildir?

TOPOLOJ TEST A. 1. A³a dakilerden hangisi topoloji tanmlama yöntemi de ildir? 1 TOPOLOJ TEST A 1. A³a dakilerden hangisi topoloji tanmlama yöntemi de ildir? (a) Açk kümeleri belirleme (b) Kapal kümeleri belirleme (c) Alt-kümeleri belirleme (d) Kaplamlar belirleme (e) çlemleri belirleme

Detaylı

A = i I{B i : B i S} A = x A{B x A : B x S}

A = i I{B i : B i S} A = x A{B x A : B x S} Bölüm 4 TOPOLOJ TABANI 4.1 TOPOLOJ TABANI Tanm 4.1.1. Bir S P(X) ailesi verilsin. S ye ait kümelerin her hangi bir bile³imine e³it olan bütün kümelerin olu³turdu u aileye S nin üretti i (do urdu u) aile

Detaylı

x = [x] = [x] β = {y (x,y) β} (8.5) X = {x x X}. x,y X [(x = y) (x y = )]. b(b [x]) b [y] [x] [y] (8.8)

x = [x] = [x] β = {y (x,y) β} (8.5) X = {x x X}. x,y X [(x = y) (x y = )]. b(b [x]) b [y] [x] [y] (8.8) Bölüm 8 DENKL K BA INTILARI 8.1 DENKL K BA INTISI 8.1.1 E³itlik Kavramnn Genelle³mesi Matematikte ve ba³ka bilim dallarnda, birbirlerine e³it olmayan, ama e³itli e benzer niteliklere sahip nesnelerle sk

Detaylı

A = i IA i = i I A = A = i IA i = {x α((α I) (x A α ))} (7.7) A = (α,β I) (α β) A α A β = (7.8) A A

A = i IA i = i I A = A = i IA i = {x α((α I) (x A α ))} (7.7) A = (α,β I) (α β) A α A β = (7.8) A A Bölüm 7 KÜME A LELER 7.1 DAMGALANMI KÜMELER E er inceledi imiz kümelerin says, alfabenin harerinden daha çok de ilse, onlara,b,...,w gibi harerle temsil edebiliriz. E er elimizde albenin harerinden daha

Detaylı

ARA SINAV II. (1) (x k ) k N, R n içinde yaknsak ve limiti x olan bir dizi olsun. {x} = oldu unu gösteriniz.

ARA SINAV II. (1) (x k ) k N, R n içinde yaknsak ve limiti x olan bir dizi olsun. {x} = oldu unu gösteriniz. MC 411/ANAL Z IV ARA SINAV II ÇÖZÜMLER 1 x k k N, R n içinde yaknsak iti x olan bir dizi olsun. {x} = {x m m k} k=1 Çözüm. Her k N için A k := {x m m k} olsun. x k k N dizisinin iti x oldu undan, A k =

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

TOPOLOJ SORULARI. Ksm I. 1 Topological Notions. 1. Her açk aralk salt topolojiye göre R uzaynda açktr. Gösteriniz.

TOPOLOJ SORULARI. Ksm I. 1 Topological Notions. 1. Her açk aralk salt topolojiye göre R uzaynda açktr. Gösteriniz. 1 Ksm I TOPOLOJ SORULARI 1 Topological Notions 1. Her açk aralk salt topolojiye göre R uzaynda açktr. Gösteriniz. 2. n Z olmak üzere (n, n + 1) aralklarnn bile³imi açktr. Gösteriniz. 3. {0} = ( 1 n, 1

Detaylı

Soru Toplam Puanlama Alnan Puan

Soru Toplam Puanlama Alnan Puan ..04 No: Ad-Soyad: mza: Soru.. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Toplam Puanlama 0 0 0 5 0 0 0 0 00 Alnan Puan 04043006. CEB RSEL TOPOLOJ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI ( K NC Ö RET M) Not: Süre 90 Dakika. stedi iniz 7 soruyu

Detaylı

0 = ρ(x,x) ρ(x,y)+ρ(y,x) = 2ρ(x,y) 0, x = y δ(x,y) = κ(z 1,z 2 ) = z 1 z 2, (z 1,z 2 C) (17.27)

0 = ρ(x,x) ρ(x,y)+ρ(y,x) = 2ρ(x,y) 0, x = y δ(x,y) = κ(z 1,z 2 ) = z 1 z 2, (z 1,z 2 C) (17.27) 230 BÖLÜM 17. METR K UZAYLAR 17.2 METR K METR K UZAY KAVRAMI Normlanm³ bir uzay, her³eyden önce bir vektör uzaydr, yani (X, ) normlanm³ bir uzay ise, X kümesi üzerinde bir vektör uzay yaps vardr. Oysa,

Detaylı

TOPOLOGY TEST A³a dakilerden hangisi bir süzgeç de ildir? 3. A³a dakilerden hangisi a³kn bir süzgeç de ildir?

TOPOLOGY TEST A³a dakilerden hangisi bir süzgeç de ildir? 3. A³a dakilerden hangisi a³kn bir süzgeç de ildir? 1 TOPOLOGY TEST 02 1. S ailesi X kümesi üzerinde bir süzgeç ise, a³a dakilerden hangisi sa lanmaz? (a) / S (b) * S (c) X S (d) A, B S A B S (e) (V S ) (V W ) W S 2. A³a dakilerden hangisi bir süzgeç de

Detaylı

CHAPTER 1. Vektörler

CHAPTER 1. Vektörler iv CHAPTER 1 Vektörler Vektör kavram, ziksel kavram olarak ortaya çkm³ olsa da matematiksel sistemlerin temel kavram olmu³tur. Gerçekten vektör kavramn geli³imi matematikçilerden çok zikçiler ve kimyaclar

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MC 311/ANAL Z III ARA SINAV I ÇÖZÜMLER

MC 311/ANAL Z III ARA SINAV I ÇÖZÜMLER MC 311/ANAL Z III ARA SINAV I ÇÖZÜMLER (1) A³a daki her bir önermenin do ru mu yanl³ m oldu unu belirleyiniz. Do ruysa, gerekçe gösteriniz; yanl³sa, bir kar³-örnek veriniz. (a) (a n ) n N dizisi yaknsak

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

Ksm I. Simgeler ve Terimler

Ksm I. Simgeler ve Terimler Ksm I Simgeler ve Terimler 1 Bölüm 1 S MGELER ve TER MLER 1.1 KÜMELER CEB R 1.2 FONKS YON 1.3 DENKL K BA INTISI 1.4 SIRALAMA BA INTILARI 1.5 SEÇME AKS YOMU SEÇME AKS YOMU ve E DE ERLER 3 4 BÖLÜM 1. S

Detaylı

XIV. Ulusal Antalya Matematk Olmpyat Brnc A³ama Snav Sorular -2009

XIV. Ulusal Antalya Matematk Olmpyat Brnc A³ama Snav Sorular -2009 XIV. Ulusal ntalya Matematk Olmpyat rnc ³ama Snav Sorular -009 c www.sbelian.wordpress.com sbelianwordpress@gmail.com Soru 1. dar açl üçgeninde m() = 45 'dir. 'dan 'ye indirilmi³ dikmenin aya E ve 'den

Detaylı

SOYUT MATEMAT K DERS NOTLARI. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin B LG Ç

SOYUT MATEMAT K DERS NOTLARI. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin B LG Ç SOYUT MATEMAT K DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Hüseyin B LG Ç Kahramanmara³ Sütçü mam Üniversitesi FenEdebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Eylül 2010 çindekiler 1 Önermeler ve spat Yöntemleri 1 2 Kümeler 13

Detaylı

BÖLÜM 1. Matematiksel ndüksiyon Prensibi

BÖLÜM 1. Matematiksel ndüksiyon Prensibi BÖLÜM 1 Matematiksel ndüksiyon Prensibi Matematiksel indüksiyon prensibini kullanarak a³a daki e³it(siz)liklerin her n N için gerçeklendi ini ispatlaynz. 1. 1 2 + 2 2 + 3 2 + + n 2 = n(n+1)(2n+1) 6 2.

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı

Soyut Matematik Test A

Soyut Matematik Test A 1 Soyut Matematik Test A 1. A³a dakilerden hangisi do rudur? (a) * A B C(C B) A C) (b) A B C(C B) A C) (c) A B C(B C) A C) (d) A B C(B C) A C) (e) A B C(B C) (A C) 2. Her hangi bir A kümeler ailesi üzerinde

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

Bir-Yönlü ANOVA (Tamamen Rasgele Tasarm)

Bir-Yönlü ANOVA (Tamamen Rasgele Tasarm) Bir-Yönlü ANOVA (Tamamen Rasgele Tasarm) Birdal eno lu ükrü Acta³ çindekiler 1 Giri³ Giri³ 2 3 4 LS Tahmin Edicilerinin Özellikleri 5 Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m

Detaylı

ç- çe Tasarmlar Birdal eno lu ükrü Acta³ eno lu & Acta³ statistiksel Deney Tasarm Giri³ ki A³amal ç- çe Üç A³amal ç- çe l A³amal ç- çe

ç- çe Tasarmlar Birdal eno lu ükrü Acta³ eno lu & Acta³ statistiksel Deney Tasarm Giri³ ki A³amal ç- çe Üç A³amal ç- çe l A³amal ç- çe lar Birdal eno lu ükrü çindekiler 1 2 3 4 5 A³amal tasarmlar (hierarchical designs) olarak da bilinen iç-içe tasarmlarda (nested designs), ³u ana kadar gördü ümüz tasarmlardan farkl olarak iki veya ikiden

Detaylı

ÜZER NDE TANIMLI HER NORM-SINIRLI OPERATÖRÜN REGÜLER OLDU U BANACH ÖRGÜLER YÜKSEK L SANS TEZ. Nazl DO AN

ÜZER NDE TANIMLI HER NORM-SINIRLI OPERATÖRÜN REGÜLER OLDU U BANACH ÖRGÜLER YÜKSEK L SANS TEZ. Nazl DO AN STANBUL KÜLTÜR ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ ÜZER NDE TANIMLI HER NORM-SINIRLI OPERATÖRÜN REGÜLER OLDU U BANACH ÖRGÜLER YÜKSEK L SANS TEZ Nazl DO AN 1109041005 Anabilim Dal: Matematik-Bilgisayar Program:

Detaylı

DO U ÜN VERS TES 9.Liseleraras Matematik Yar³mas Sorular. (n + 1) n n n + 1 = n(n + 1)

DO U ÜN VERS TES 9.Liseleraras Matematik Yar³mas Sorular. (n + 1) n n n + 1 = n(n + 1) DO U ÜN VERS TES 9.Liseleraras Matematik Yar³mas Sorular 1 1) a n = (n + 1) n + n n + 1 olmak üzere, a 1 + a + a 3 +... + a 99 toplamn bulunuz. 9 evap: 10 a n = (n + 1) n n n + 1 n(n + 1) n (n + 1) oldu

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Lecture 2. Mahir Bilen Can. Mayıs 10, 2016

Lecture 2. Mahir Bilen Can. Mayıs 10, 2016 Lecture 2 Mahir Bilen Can Mayıs 10, 2016 1 Klasik Lie Cebirleri Klasik Lie cebirlerinin hepsi içinde son derece büyük öneme sahip dört sonsuz aile vardır. Bunlar A, B, C, D harfleri ile indekslenmekte

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

SOYUT CEB R DERS NOTLARI

SOYUT CEB R DERS NOTLARI SOYUT CEB R DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Hüseyin B LG Ç Kahramanmara³ Sütçü mam Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Mart 2013 e-posta: h_bilgic@yahoo.com çindekiler 1 Grup Tanm ve Temel

Detaylı

SOYUT CEB R DERS NOTLARI

SOYUT CEB R DERS NOTLARI SOYUT CEB R DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Hüseyin B LG Ç Kahramanmara³ Sütçü mam Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü A ustos 2012 e-posta: h_bilgic@yahoo.com çindekiler 1 Grup Tanm ve Temel

Detaylı

CEB RSEL TOPOLOJ. Ders Notlar

CEB RSEL TOPOLOJ. Ders Notlar CEB RSEL TOPOLOJ Prof. Dr. smet KARACA Ders Notlar çindekiler 1 HOMEOMORF ZM 2 2 DENT F KASYON UZAYLAR 11 3 BÖLÜM UZAYLARI 17 4 HOMOTOP 24 5 TEMEL GRUPLAR 32 6 ÖRTÜLÜ UZAYLAR 37 7 ÇEMBER N TEMEL GRUBU

Detaylı

Soyut Matematik Test B

Soyut Matematik Test B 1 Soyut Matematik Test B 1. Hangisi tümel (tam, linear) sralama ba ntsdr? (a) Yansmal, antisimetrik, geçi³ken ve örgün olan ba ntdr. (b) Yansmal, simetrik, geçi³ken ve örgün olan ba ntdr. (c) Yansmaz,

Detaylı

7. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 17, 2016

7. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 17, 2016 7. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 17, 2016 Bu derste bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği sıfır olan k cismi üzerine tanımlı olduğunu varsayıyoruz. 1 Tekrar Gözden Geçirme: Basitlik,

Detaylı

BÖLÜM 1. stanbul Kültür Üniversitesi. Fonksiyonlar - Özellikleri ve Limit Kavram. ³eklinde tanmlanan fonksiyona Dirichlet fonksiyonu ad verilir.

BÖLÜM 1. stanbul Kültür Üniversitesi. Fonksiyonlar - Özellikleri ve Limit Kavram. ³eklinde tanmlanan fonksiyona Dirichlet fonksiyonu ad verilir. BÖLÜM 1 0, Q 1. f() = 1, R/Q, Fonksiyonlar - Özellikleri ve Limit Kavram ³eklinde tanmlanan fonksiyona Dirichlet fonksiyonu ad verilir. Buna göre a³a da verilen tanm bölgeleri altnda görüntü cümlelerini

Detaylı

ANT TÜREV VE NTEGRAL HESAPLAMA YÖNTEMLER

ANT TÜREV VE NTEGRAL HESAPLAMA YÖNTEMLER ANT TÜREV VE NTEGRAL HESAPLAMA YÖNTEMLER 1 TEMEL YÖNTEM VE DE KEN DE T RME Bir kapal aralkta tanmlanm³ olan f ve F fonksiyonlar için e er bu aralkta F () f() ko³ulu sa lanyorsa F fonksiyonu, f fonksiyonunun

Detaylı

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 )

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 ) 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II DERSİ ÖDEV 4 Soru I: Aşağıda verilen dönüşümlerin lineer olup olmadığını gösteriniz. ) L : R 3 R, L(x, x, x 3 ) = ( 3x + x 3 4x 4, x + x 3x

Detaylı

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1 Ders 11: Örnekler 11.1 Kulplarla inşalar Bu bölümde kulpları birbirine yapıştırıp tanıdık manifoldlar elde edeceğiz. Artık bu son ders. Özellikle dersin ikinci bölümünde son meyveleri toplamak adına koşarak

Detaylı

II. DERS R 3 te E R LER ve VEKTÖR ALANLARI

II. DERS R 3 te E R LER ve VEKTÖR ALANLARI Bölüm II. DERS R 3 te E R LER ve VEKTÖR ALANLARI Bu kesimde R 3 e ri kavram tanmlanacak ve geometrik özellikleri tart³lacaktr.. D FERENS YELLENEB L R E R VE PARAMETR K TEMS L I notasyonu ile R nin a

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocm.mit.edu/terms veya http://tuba.açık ders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

10. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 20, Yarıbasit bir Lie cebirinin yapısını analiz etmeye devam ediyoruz. hatırlayınız:

10. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 20, Yarıbasit bir Lie cebirinin yapısını analiz etmeye devam ediyoruz. hatırlayınız: 10. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 20, 2016 1 Yarıbasit Bir Lie Cebirinin Yapısı Hakkında Yarıbasit bir Lie cebirinin yapısını analiz etmeye devam ediyoruz. hatırlayınız: Kök uzay ayrışımını g = h χ Φ g χ.

Detaylı

T. C. NÖNÜ ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ

T. C. NÖNÜ ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ T. C. NÖNÜ ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ Ç FT D Z LER N I-YAKINSAKLI I ÜZER NE Erdinç DÜNDAR DOKTORA TEZ MATEMAT K ANAB L M DALI MALATYA 2010 Tezin Ba³l : Çift Dizilerin I-Yaknsakl Üzerine Tezi Hazrlayan

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Üst Üçgensel Matrisler

Üst Üçgensel Matrisler Ders Notlar Üst Üçgensel Matrisler Ali Nesin / anesin@bilgi.edu.tr 1. Lineer Cebir Tekrar V, bir K cismi üzerine n > 0 boyutlu bir vektör uzay olsun. V nin K-vektör uzay olarak andomorfizmalar, V nin lineer

Detaylı

3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar

3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar 3. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 11, 2016 1 Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar Lie nin üçüncü teoremi oarak bilinen ve Cartan tarafından asağıdaki gibi güçlendirilmiş bir teorem ile başlayalım:

Detaylı

CEBİR DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Yıldıray ÇELİK

CEBİR DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Yıldıray ÇELİK CEBİR DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Yıldıray ÇELİK Karadeniz Teknik Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü çindekiler 1 Gruplar Teorisi 1 2 Altgruplar, Kosetler ve Lagrange Teoremi 15 3 Normal Altgruplar

Detaylı

Türevlenebilir Manifoldlara Giri³

Türevlenebilir Manifoldlara Giri³ Türevlenebilir Manifoldlara Giri³ Yldray Ozan Orta Do u Teknik Üniversitesi Matematik Bölümü 2 Temmuz 2015 Sevgili anne ve babamn hatrasna Duydu umu unuturum. Gördü ümü hatrlarm. Yapt m anlarm. -Konfüçyüs

Detaylı

14.74- Kalkınma Politikasının Temelleri

14.74- Kalkınma Politikasının Temelleri MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.74- Kalkınma Politikasının Temelleri Bahar 2009 Ders materyallerini alıntılamak için bilgi almak ya da Kullanım Koşulları nı öğrenmek için lütfen aşağıdaki siteyi

Detaylı

OLMAYAN ve ARA-NOKTA KO ULLARI LE TEMEL VE SAYISAL ÇÖZÜMLER

OLMAYAN ve ARA-NOKTA KO ULLARI LE TEMEL VE SAYISAL ÇÖZÜMLER KNC MERTEBEDEN DFERANSYEL DENKLEMLERN YEREL- OLMAYAN ve ARA-NOKTA KOULLARI LE TEMEL VE SAYISAL ÇÖZÜMLER Kamil ORUÇOLU ve Ali DNLER stanbul Teknik Üniversitesi, Matematik Bölümü, 34469 Maslak, e-osta: koruc@itu.edu.tr

Detaylı

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50 Modül Teori Modüller Prof. Dr. Neşet AYDIN ÇOMÜ - Matematik Bölümü [01/07] Mart 2012 Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart 2012 1 / 50 Giriş M bir toplamsal değişmeli

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

GEOMETR K TOPOLOJ. Ders Notlar

GEOMETR K TOPOLOJ. Ders Notlar GEOMETR K TOPOLOJ Prof. Dr. smet KARACA Ders Notlar çindekiler 1 MAN FOLDLAR 4 1.1 Manifold.............................. 4 1.2 Diferensiyellenebilir Yaplar................... 5 1.3 Diferensiyellenebilir

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Fath Ünverstes Matematk Olmpyatlar

Fath Ünverstes Matematk Olmpyatlar Fath Ünverstes Matematk Olmpyatlar - 007 www.sbelian.wordpress.com Fatih Üniversitesi Matematik Bölümü tarafndan ilki düzenlenen Liseleraras Matematik Olimpiyat'nn ilk snav 0 Ekim 007 tarihinde üniversite

Detaylı

ALGILAMA - ALGI. Alıcı organların çevredeki enerjinin etkisi altında uyarılmasıyla ortaya çıkan nörofizyolojik süreçler.

ALGILAMA - ALGI. Alıcı organların çevredeki enerjinin etkisi altında uyarılmasıyla ortaya çıkan nörofizyolojik süreçler. ALGILAMA Duyum Algı ALGILAMA - ALGI Duyum Alıcı organların çevredeki enerjinin etkisi altında uyarılmasıyla ortaya çıkan nörofizyolojik süreçler. Algılama Duyu verilerini örgütleyip yorumlayarak çevredeki

Detaylı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı 9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,

Detaylı

Bölüm 4 Button 4.1 Button Nedir? Button (dü me), tkinter içinde bir snftr; ba³ka bir deyi³le bir widget'tir. Üstelik, Button, öteki GUI araç çantalarnn hemen hepsinde ayn ad ile var olan standart bir widget'tir.

Detaylı

Soyut Matematik Test 01

Soyut Matematik Test 01 1 Soyut Matematik Test 01 1. A³a dakilerden hangisi do rudur? (a) * A B C(C B) A C) (b) A B C(C B) A C) (c) A B C(B C) A C) (d) A B C(B C) A C) (e) A B C(B C) (A C) 2. A³a dakilerden hangisi do rudur?

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer 11.Gram-Schmidt metodu 11.1. Ortonormal baz 11.1.Teorem: { }, V Öklid uzayı için bir ortonormal baz olsun. Bu durumda olmak üzere. 1.Ö.: { }, de bir ortonormal baz olsun. Burada. vektörünü S deki vektörlerin

Detaylı

Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem

Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem Renkli Noktalar Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem önündeyiz. Baz noktalar maviye, baz noktalar k rm z - ya boyanm fl bir düzlem... Düzlemin sonsuz tane noktas n kim boyam flsa boyam

Detaylı

Polinomlar. Polinom Kavram

Polinomlar. Polinom Kavram 1 2 Bölüm 1 Polinomlar Polinom Kavram Polinomlar, yalnz Matematikte de il, ba³ka bilim dallarnda da kar- ³la³lan bir çok problemin çözümünde etkili bir araçtr. Polinom kavram, farkl soyut biçimleriyle

Detaylı

KOMB NATOR K TOPOLOJ L SANS DERS NOTLARI Prof. Dr. smet KARACA

KOMB NATOR K TOPOLOJ L SANS DERS NOTLARI Prof. Dr. smet KARACA KOMB NATOR K TOPOLOJ L SANS DERS NOTLARI 2010 Prof. Dr. smet KARACA çindekiler 1 S MPLEKSLER 3 1.1 Ane Uzaylar........................... 3 1.2 Simpleksler Kompleksi...................... 12 2 HOMOTOP

Detaylı

Mikro 1: Bütçe Kst ve Tercihler

Mikro 1: Bütçe Kst ve Tercihler Mikro 1: ve N.E. Aydnonat 1 1 AÜ & GÜ & BÜ GS Mikroiktisat ve Outline 1 : Özellikler 2 le ilgili Ek Varsaymlar ve Özellikler imdilik sadece iki mal (x 1 ve x 2 ) oldu unu varsayalm. Buna ek olarak mallarn

Detaylı

Fizik ve Ölçme. Fizik deneysel gözlemler ve nicel ölçümlere dayanır

Fizik ve Ölçme. Fizik deneysel gözlemler ve nicel ölçümlere dayanır Fizik ve Ölçme Fizik deneysel gözlemler ve nicel ölçümlere dayanır Fizik kanunları temel büyüklükler(nicelikler) cinsinden ifade edilir. Mekanikte üç temel büyüklük vardır; bunlar uzunluk(l), zaman(t)

Detaylı

Temel Bilgisayar Programlama

Temel Bilgisayar Programlama BÖLÜM 9: Fonksiyonlara dizi aktarma Fonksiyonlara dizi aktarmak değişken aktarmaya benzer. Örnek olarak verilen öğrenci notlarını ekrana yazan bir program kodlayalım. Fonksiyon prototipi yazılırken, dizinin

Detaylı

Türevlenebilir Manifoldlara Giri³

Türevlenebilir Manifoldlara Giri³ Türevlenebilir Manifoldlara Giri³ Yldray Ozan Orta Do u Teknik Üniversitesi Matematik Bölümü 7 Temmuz 2016 Sevgili anne ve babamn hatrasna Duydu umu unuturum. Gördü ümü hatrlarm. Yapt m anlarm. -Konfüçyüs

Detaylı

SAYI BASAMAKLARI. çözüm

SAYI BASAMAKLARI. çözüm SAYI BASAMAKLARI Sayı Basamakları Günlük hayat m zda 0 luk say sistemini kullan r z. 0 luk say sistemini kullanmam z n nedeni, sayman n parmaklar m zla ba lamas ve iki elimizde toplam 0 parmak olmas olarak

Detaylı

9. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 19, 2016

9. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 19, 2016 9. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 19, 2016 1 Yarıbasit Bir Lie Cebirinin Yapısı Bu derste bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği sıfır olan k cismi üzerine tanımlı olduğunu varsayıyoruz.

Detaylı

x(x a x b) = a = b (21.4)

x(x a x b) = a = b (21.4) Bölüm 21 AKS YOMLAR VE PARADOKSLAR KÜMELER KURAMININ AKS YOMLARI VE PARADOKSLAR 21.1 KÜMELER N AKS YOMAT K YAPISI Hatrlanaca üzere, bu dersin ba³langcnda, kümeler kuramn aksiyomatik olarak incelemeyece

Detaylı

zomorzma Teoremleri Teorem 5.1 (1. zomorzma Teoremi) f : G H örten bir homomorzma olsun. O zaman G/ Çek(f) = H dr.

zomorzma Teoremleri Teorem 5.1 (1. zomorzma Teoremi) f : G H örten bir homomorzma olsun. O zaman G/ Çek(f) = H dr. 5 zomorzma Teoremleri G bir grup olsun. Bir N G için f : G G/N homomorzmasnn varl n göstermi³tik. Acaba bunun tersi de do ru mudur? Yani; G ve H birer grup olmak üzere G/N = H olacak ³ekilde bir N G normal

Detaylı

2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k Ba¼glant l Topolojik Uzaylar. Tan m (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k

2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k Ba¼glant l Topolojik Uzaylar. Tan m (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k 2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k 2.1. Ba¼glant l Topolojik Uzaylar Tan m 2.1.1. (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k iki aç ktan oluşan bir örtüsü yok ise, (X; ) topolojik

Detaylı

ANAHTARLANMI DO RUSAL S STEMLERE G R

ANAHTARLANMI DO RUSAL S STEMLERE G R ANAHTARLANMI DO RUSAL S STEMLERE G R Ça da³ TOPÇU Ocak 2009 Proje Dan³man: Yrd.Doç.Dr. brahim Beklan KÜÇÜKDEM RAL YILDIZ TEKN K ÜN VERS TES ELEKTR K - ELEKTRON K FAKÜLTESi ELEKTR K MÜHEND SL BÖLÜMÜ PROJE

Detaylı

BĐSĐKLET FREN SĐSTEMĐNDE KABLO BAĞLANTI AÇISININ MEKANĐK VERĐME ETKĐSĐNĐN ĐNCELENMESĐ

BĐSĐKLET FREN SĐSTEMĐNDE KABLO BAĞLANTI AÇISININ MEKANĐK VERĐME ETKĐSĐNĐN ĐNCELENMESĐ tasarım BĐSĐKLET FREN SĐSTEMĐNDE KABLO BAĞLANTI AÇISININ MEKANĐK VERĐME ETKĐSĐNĐN ĐNCELENMESĐ Nihat GEMALMAYAN Y. Doç. Dr., Gazi Üniversitesi, Makina Mühendisliği Bölümü Hüseyin ĐNCEÇAM Gazi Üniversitesi,

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

TG 12 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK

TG 12 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS Seventh Edition VECTOR MECHANICS OR ENGINEERS: STATICS erdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. Ders Notu: Hayri ACAR İstanbul Teknik Üniveristesi Tel: 285 31 46 / 116 E-mail: acarh@itu.edu.tr Web: http://atlas.cc.itu.edu.tr/~acarh

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2) ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme

Detaylı

Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi

Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi 25. Hausdorff Zincir Teoremi ve Zorn Önsav n n Kan t Tolga Karayayla Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi ve yis ralama Teoremi varsay larak Seçim Aksiyomu kan tland. Bu bölümde önce

Detaylı

ndrgemel Dzler Ders Notlar

ndrgemel Dzler Ders Notlar ndrgemel Dzler Ders Notlar c wwww.sbelian.wordpress.com Bu ders notunda diziler konusunun bir alt konusu olan First Order Recursions ve Second Order Recursions konular anlatlm³ ve bu konularla alakal örnekler

Detaylı

5. Kesiflen iki ayna. α = 180 2α 3α = 180 α = 60 o olur. ESEN YAYINLARI G 1. ve G 2

5. Kesiflen iki ayna. α = 180 2α 3α = 180 α = 60 o olur. ESEN YAYINLARI G 1. ve G 2 DÜZE AAA TEST -. flnnn aynasndan kendi üzerinden geri dönebilmesi için flnn aynasna dik gelmesi B gerekir. 40 40 ABC üçgeninden, + 40 + 90 = 80 + 30 = 80 = 50 o bulunur. A C CEVA E 5. esiflen iki ayna

Detaylı

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,

Detaylı

Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya

Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya 23. Zorn Önsav ve Birkaç Sonucu Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya konulan sorunu anlad n varsay yoruz. O bölümde ele ald m z ama pek baflar l olamad m z kan tlama yönteminden, yani bir

Detaylı

Içindekiler. Bölünebilme ve Bölme Algoritmas Bölme Algoritmas 12 Bölünebilme Kurallar 15 Bölünebilme Problemlerinde En Çok Kullanlan Yöntemler 22

Içindekiler. Bölünebilme ve Bölme Algoritmas Bölme Algoritmas 12 Bölünebilme Kurallar 15 Bölünebilme Problemlerinde En Çok Kullanlan Yöntemler 22 Içindekiler BIRINCI BÖLÜM Bölünebilme ve Bölme Algoritmas Bölme Algoritmas 12 Bölünebilme Kurallar 15 Bölünebilme Problemlerinde En Çok Kullanlan Yöntemler 22 Çözümlü Test 25 Çözümler 28 Problemler (Bölünebilme)

Detaylı

HOMOLOJİ CEBİRE GİRİŞ ARA SINAV CEVAP ANAHTARI

HOMOLOJİ CEBİRE GİRİŞ ARA SINAV CEVAP ANAHTARI 12.04.2011 HOMOLOJİ CEBİRE GİRİŞ ARA SINAV CEVAP ANAHTARI 1. f : A B modül homomorfizması, i : Ker f A kapsama homomorfizması ve p : B B/Im f doğal epimorfizma olmak üzere 0 Ker f A B B/Im f 0 dizisinin

Detaylı

Önsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k}

Önsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k} Kapak Konusu: Topoloji Çarp m Topolojisi Bu yaz da topolojik uzaylar n kartezyen çarp m n do al bir topolojik uzay yap s yla donataca z. E er ve topolojik uzaylarsa, üzerine en do al topolojik yap, herhalde,

Detaylı

Yan t Bilinmeyen Bir Soru

Yan t Bilinmeyen Bir Soru Yan t Bilinmeyen Bir Soru Ö nce yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bir soru soraca- m, sonra yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bu soru üzerine birkaç kolay soru yan tlayaca m. Herhangi bir pozitif do

Detaylı