HARİTA MÜHENDİSLERİ için SAYISAL ÇÖZÜMLEME

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "HARİTA MÜHENDİSLERİ için SAYISAL ÇÖZÜMLEME"

Transkript

1 HRİ MÜHENDİSLERİ ç SYISL ÇÖZÜMLEME Doç Dr emel BYRK GÜMÜŞHNE

2 HRİ MÜHENDİSLERİ İÇİN SYISL ÇÖZÜMLEME Bu ktı er kkı sklıdır Yrı ılı olmksıı ktı tmmı ve erg r ölümü çr şeklde çoğltılıp ılm Yr dres: Doç Dr emel BYRK GÜMÜŞHNE Gümüşe Üverstes Müedslk Fkültes Hrt Müedslğ Bölümü Bğlrşı Mlles 9 GÜMÜŞHNE E-ml: trk@gumuseedutr el: 9 7

3 İÇİNDEKİLER S No GİRİŞ MRİSLER Mtrsler rspoes Devrğ Mtrslerde Determt 8 Br Boutlu Mtrsler Determtı 9 İk Boutlu Mtrsler Determtı 9 Üç Boutlu Mtrsler Determtı Srrus Kurlı İle Determt Hesı Br Mtrs Rkı Br Kre Mtrs İ MRİSLERDE EMEL İŞLEMLER 7 Mtrslerde oplm ve Çıkrm 7 Mtrsler Çrpımı 9 Mtrsler ers İvers Determt Yötem İle Smetrk Olm Mtrsler ers Guss Yötem Smetrk Mtrsler ers 8 Guss Yötem İle Boutlu Smetrk Mtrsler ers 8 Guss Yötem İle Boutlu Smetrk Mtrsler ers YLOR SERİ ÇILIMIYL SYISL ÜREV DENKLEM SİSEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ Doğrusl Leer Deklem sstemler Smetrk Olm Doğrusl Deklem sstemler Mtrs Çöümü Smetrk Doğrusl Deklem Sstemler Mtrs Çöümü Doğrusl olm Deklem sstemler Mtrs Çöümü ENERPOLSYON 7 Doğrusl Eterpolso 7 Üçge Eterpolso 7 Polomlrl Eterpolso 7 ek Değşkel Polomlrl Eterpolso 7 Çt Değşkel Polomlrl Eterpolso 8 Multqudrk Eterpolso 88 7 EN KÜÇÜK KRELER REGRESYONU İLE İLİŞKİ BELİRLEME 98 7 Doğrusl Regreso 98 7 İlşk Güü ve Yöü

4 GİRİŞ Hrtılık ugulmlrı, lgsrlrı gelşmese prlel olrk, ıl şekl değştrmektedr Ugulmlı mtemtk ve geometr ğırlıklı mesleğmde lgsrlr ve lgsr destekl ugulmlr öeml er tutmktdır Yoğu koum lgler şlemes ve görütülemes rtık sısl ortm tşımıştır Devs outlu prolemler çöümü güümüde lgsrlr rdımıl pılmktdır Sısl çöümleme ugulmlı mtemtk ve lgsr lm r r kestdr Mtemtk ugulmlrıı outlrıı üük olmsı edele prolemler çöümü ç lgsrlrı ııd rrlılmktdır Sısl çöümleme mtemtk prolemler lgsr rdımıl sıl çöüleleeğ evplrıı sumktdır Bu ğlmd müedslk ugulmlrı ç rçok ötem gelştrlmştr Bı ötemler er proleme urlm Be de r prolem çöümü ç rçok ötem ollr Sısl çöümleme r prolem ç e ugu ötem rştırılmsı, e lmlı souç vere ötem ugulmsı ve e ötemler gelştrlmes mçlr Bu edee ulşmk ç lgsrlrl prolem çöümüde; Yötem progrmllmee tkı olmsı Blgsrlrd ellek kplmsı Kıs şlem süres le sou gtme G öellklere dkkt edlr Bu ö koşullr dkkte lırk ugul ötem e doğru souu vermes Sısl Çöümleme e öeml ededr Ugulmd u öellkler eps sğl r ötem olmlr Bu edele e ugu souu vere ötem ter edlelr Bu süreçte ter tmme kullııı tı göre şekller Ypılk ş ç eterl doğruluğu sğl ötemler er m ter edle ötemler olmktdır

5 MRİSLER Hrt müedslğ ugulmlrı güümüde lgsr desteğ gerektre üük outlu prolemler olrk krşımı çıkmktdır Prolemler geelde çöüm eştlkler ve krmşık esplm şlemler kıs, çık ve lşıllr r çmde gösterm sğl mtrsler rdımıl çöülür Mtrs göstermler üük rlerle pılır Mtrs, m sıd stır ve sıd sütud oluş m, elemlı r sstemdr Mtrsler geelde üük rlerle gösterlr m sıd stır sıd sütulrd oluş r mtrs elem sısı m kdrdır Α m, m m m m mtrsdek ler mtrs elemlrıdır ler,,, m stırı, ler,,, sütuu gösterr Β, 7 C, 7, mtrs elem sısı 9

6 m stır sütulu r mtrs ç m se mtrs r kre mtrstr m se mtrs r dkdörtge mtrstr 7 8 9, m mtrs r kre mtrstr 7, m < mtrs r dkdörtge mtrstr 7, m > mtrs r dkdörtge mtrstr Ylı r sütud ve r stırd oluş mtrslere vektör der Elem sısı vektörü outuu gösterr Vektörler küçük rlerle gösterlr Sütu vektör: Sütulrd oluş vektöre sütu vektör der, m m m m Stır vektör: Stırlrd oluş vektöre stır vektör der [ ], [ ]

7 Br vektörü: Bütü elemlrı r ol sütu vektördür m Brm vektör: Elemlrıd sdee r tes r ve dğerler sıır ol sütu vektördür m Sıır vektörü: Bütü elemlrı sıır ol sütu vektördür m Köşege mtrs: Köşegeler dışıd tüm elemlrı ol kre mtrse der m m, Α m, Α 8 Sıır mtrs: üm elemlrı sıır ol mtrse der m, Α m ollr, Α

8 Brm mtrs: Köşegeler elemlrı r dğer tüm elemlrı sıır ol kre mtrse der m, Α m Α, Skler mtrs: Köşege elemlrı st r sı ve dğer tüm elemlrı sıır ol kre mtrse der t t t t Α m, m Α, Smetrk mtrs: köşegee göre elemlrı eşt ol kre mtrse der m, Α 7 8 8, Α

9 Mtrsler rspoes Devrğ Br mtrs stır ve sütulrıı er değştrmes le elde edle mtrse der Α,, Α, 9 7 7,, Α [ ], 7 8 9, Α 7 9 8, Skler r sıı trspoes kedse eşttr Smetrk mtrsler trspoeler kedse eşttr Α, 7 8 8,, Α

10 rspoe le lgl öellkler Α Β Α Β Α Β Β Α Α Α k Α k Α k skler r sıdır Eel de r mtrs trspoes llmek ç mtrs er elemı r üree grlr Α, mtrs outlu mtrs se trspoes Α, lük r mtrstr rspoe ç Eel de lük r l seçlr ve şlev ekle de tıkllr de DEVRİK_DÖNÜŞÜM seçlr ve tmm tuşu sılır mm tuşu sıldığıd dk ekr göükür Bu ekrd D l Α, mtrs üreler grlr re le u l trlr ve e mm tuşu sılır Bu durumd mtrs trspoes göükme ekrıd ormül seçlr ve trl st eter tuşlrı ep rlkte sılır Bu şeklde mtrs trspoes lımış olur 7

11 Mtl d r mtrs trspoes lmk ç Commd Wdow ekrıd Α, mtrs grlr ' Α komutu trspoe lm ç eterldr mtrs trspoes B mtrse tmış olur ' B Α şeklde r komut grlrse, Α Mtrslerde Determt Kre mtrsler r sı eşlee oksodur Determt oksouu, kre mtrs eşledğ o sı mtrs determtı der Br kre mtrs determtı şğıdk çmde gösterlr Bu gösterm mutlk değerle krıştırılmmlıdır det Α det Α, mtrs stır elemlrı göre ılırs şğıdk eştlk uluur det Α Α Σ Α Α m, 8

12 ve,,,, ç Α Α Α,,,, Α Α Α Α Α Br Boutlu Mtrsler Determtı Br outlu mtrslerde determt mtrs elemı eşttr [ ] Α Α [ ] Α Α İk Boutlu Mtrsler Determtı Α 8 ve, ç Α Α, Α, Α Α Α Α Α 8 Α Α 8 Α 8 9

13 Üç Boutlu Mtrsler Determtı Α ve,, ç Α Α Α,, Α, Α Α Α Α Α Α Α Α Α 8 Α Α 9 Α Α Determt le lgl öellkler Skler r sıı determtı kedsdr det

14 Br mtrs e r stır d r sütuuu elemlrı sıırd oluşuors u mtrs determtı sıırdır Α 8 det Α Α 8 7 Br mtrs k stır d sütu elemlrı rsıd st r or vrs u mtrs determtı sıırdır şğıdk örekte ve Stır rsıd st r or k vrdır Bu edele determtı sıırdır Α det Α Α 8 7 Br köşege mtrs determtı köşege elemlrıı çrpımı eşttr Α 8 ve,, ç Α Α Α Α,, Α Α Α Α, Α 8 8 Α 8 8 Α Α 8 Α

15 Determtı sıır ol mtrse Α tekl sgüler mtrs der Determtı sıırd rklı ol mtrse Α düel regüler mtrs der Srrus Kurlı İle Determt Hesı Bu ötemle mtrs e lt stır kısmı lk k stır ede ılır ve şğıdk şlem gerçekleştrlr Α Α Eel de r mtrs determtıı llmek ç er elemı r üree grlr Determt ç Eel de lk r l seçlr ve şlev ekle de tıkllr de DEERMİNN seçlr ve tmm tuşu sılır mm, tuşu sıldığıd ekrd D l mtrs üreler grlr re le u l trlr ve e mm tuşu sılır Bu durumd mtrs determtı göükme ekrıd ormül seçlr ve trl st eter tuşlrı ep rlkte sılır Mtrs determtı lımış olur

16 Mtl d r mtrs determtıı lmk ç Commd Wdow ekrıd mtrs grlr det komutu determt lmk ç eterldr B det şeklde komut grlrse mtrs determtı B mtrse tmış olur Br Mtrs Rkı Br mtrs ı stır ve sütulrıı slmesle elde edleek kre lt mtrsler rsıd determtı sıırd rklı ollrd outu e üük ol r r outud se u r sısı mtrs rkı der rk r çmde gösterlr Br mtrs rkı doğrusl leer ğımsı stır d sütu sısı eşttr Örek: Α rk? Cevp: Oluşleek kre lt mtrsler outu e l dr Bu edele rk e l ollr Herg r outlu r kre mtrs seçelm Α Α 7 Α rk

17 Α 7 Α Α rk Örek: Α rk? Cevp: Oluşleek kre lt mtrslerde e üüğüü outu, dğerler se dr Bu edele rk e l ollr Öe r outlu kre lt mtrs seçelm Üçüü sütu göre determtı espllım 8 Α Α rk Örek: Α rk? Cevp: Oluşleek kre lt mtrslerde e üüğüü outu, dğerler se dr Bu edele rk e l ollr Öe r outlu kre lt mtrs seçelm Üçüü sütu göre determtıı espllım Α Α Α rk olm

18 Bu durumd outlu kre mtrsler determtlrı kmmı gerekr Herg r outlu kre lt mtrs seçelm Α Α Α rk Yorum: Br mtrs k stır d sütu elemlrı rsıd st r or vrs u mtrs determtı sıırdır Örektek mtrs ve stırlrı rsıd st r or vrdır Bu edele determtı sıır çıkmktdır mtrs rkı doğrusl leer ğımsı stır d sütu sısı eşttr mtrs ve Stırlrı leer ğımlıdır Leer ğımsı stır sısı dr Bu edele rk çıkmıştır Mtl d r mtrs rkıı lmk ç Commd Wdow ekrıd mtrs getrlr rk komutu mtrs rkıı ulmk ç eterldr B rk şeklde r komut grlrse mtrs rk ı B değşkee tmış olur Br Kre Mtrs İ Kre mtrs köşege elemlrıı toplmı mtrs der ve şğıdk ormül rdımıl esplır { }

19 Α { } 9

20 7 MRİSLERDE EMEL İŞLEMLER Mtrslerde oplm ve Çıkrm m outlu mtrsler toplmsı ve rklrıı lımsı krşılıklı elemlrı toplmsı d çıkrılmsı le uluur Mtrsler topllmes ve çıkrıllmes ç outlrıı eşt olmsı gerekr m m m m m, m m m m m B, m m m m m m m m B C m m m m m m m m B D B B Yer değştrme öellğ C B C B C B C B C B C B Brleşme öellğ

21 8 { } { } { } B B Örek: 8 B? B? B Cevp: 8 B 9 8 B

22 Mtrsler Çrpımı C m, m, p Bp, g k mtrs çrpıllmes ç mtrs sütu sısı B mtrs stır sısı eşt olmlıdır Çrpım souu ort çıkk e mtrs outlrı mtrs stır sısı ve B mtrs sütu sısı eşt olur B,, C, C, B,, C, 8 8 Geel olrk mtrsler sğd ve sold çrpımlrı rklıdır Y er değştrme öellğ oktur B B B se çrplrd r sıır olmsı gerekme B C se B C olmsı gerekme 9

23 Çok sıd mtrs çrpımıd mtrsler sırlrı değştrlmemeldr B C C B C C B C C B C B C B C B Br mtrs rm mtrs le çrpımı kedse, sıır mtrs le çrpımı sıır eşttr E Mtrs çrpımlrıı trspoes, mtrsler trspoeler ters sırd çrpımı eşttr C B C B B B Br mtrs sold trspoes le çrpılırs smetrk r mtrs elde edlr smetrk r mtrstr 8, 8, 7 8 8, C Br mtrs tüm elemlrı r k sısı le çrpılırs ve ölüürse mtrs de k sısı le çrpılmış d ölümüş olur k k k k k k k k k k B k k B k

24 Örek: 8? Cevp: 8 8 Örek: 8? Cevp: Soru:? v

25 Mtrsler ers İvers Mtrslerde ölme şlem tımlı değldr Bu durumd mtrsler tersde rrlılır ers mtrs esı lı determtı sıırd rklı kre mtrslerde sö kousudur Determtı sıırd rklı r kre mtrs ters er m şğıdk şrtı sğlr E Sğd ölme Sold ölme E : rm mtrs Br mtrs ters trspoes, trspoes terse eşttr

26 Br mtrs ters ters kedse eşttr Br mtrs sı le çrpımıı ters, sıı tersle mtrs ters çrpımı eşttr k k Br mtrs çrpımıı ters, sod ş doğru er r tersler çrpımı eşttr B C C B Br köşege mtrs ters e r köşege mtrstr ers mtrs köşege elemlrı köşege mtrs elemlrıı terse eşttr / / / Br köşege lok mtrs ters, loklrı rı rı ters şekldedr N N N N N N

27 Determt Yötem İle Smetrk Olm Mtrsler ers Örek:? 8 Cevp:

28 Örek: 7? Cevp:

29 Örek:? 7 8 Cevp:

30 Örek:? 8 Cevp: E 8 7

31 Soru: Guss Yötem İle Smetrk Mtrsler ers Hrt müedslğ ugulmlrıd geellkle smetrk mtrslerle krşılşılır Smetrk mtrsler ters de smetrk mtrstr Guss Yötem İle Boutlu Smetrk Mtrsler ers 9? Q 9 9 S

32 E lşksde rrlrk Guss ötemle smetrk mtrsler ters şğıdk g lılr e e e e - /- - /- - e /- e /- 9 e e - e 7 e - 8 /- 9 /- - 7 /- -, q e 9 q e - q e 7 q q q q e e - /- - /- - /- / , - /- -/- - /- -, -, Kotrol S Q 9

33 Guss Yötem İle Boutlu Smetrk Mtrsler ers 7 Q? S e e e - - /- - /- -/- - /- /- / /- -/- 7 -/- - /- / /- -/- - /- - /- q q q --- q q - - q - - q q q q q q q q q Kotrol S

34 Örek: Yd verle mtrs, Determt ötemle vers lıı Guss ötemle vers lıı

35 Çöüm: Determt ötemle vers

36 Guss ötemle vers e e e Örek: şğıd verle mtrs ters Guss ötemle esplıı N 7 N e e e N

37 YLOR SERİSİ ÇILIMIYL SYISL ÜREV HESPLM ürev lmd emel Kurllr türev se oksou türev st sısıı türev se oksou türev türev [ ] [ ] oplmı ürev [ g ] g g [ ] Frkı ürev [ g ] g g [ ] Çrpımı ürev [ g ] g g Br ürev İk İk ürev Br g [ ]

38 Bölümü ürev [ ] g g g g Pı ürev Pd Pdı ürev P / Pdı Kres g Köklü Foksou türev m m u u m m u u m u u m u u u s u u türev os u u s os os u u türev s u u os s t u u türev t os u u u u t t os rt u u türev u u rt

39 Blmeeler esplmsıd kullıl oksolr deklemler e doğrusl olmlr Bu deklemler YLOR göre sere çılır doğrusllştırılır Doğrusllştırm ç lmeeler klşık değerler kullılır Bu şlemlerle doğrusl olm deklem doğrusl dekleme döüştürülür ve lmeeler çöümü pılır Çöüm souud lmeeler değerler klşık değerlere ekleerek lmeeler kes değerler elde edlr Br şekldek r lmeel doğrusl olm deklem çöümü ç deklem lor serse çılır Y, oksou lmeee göre kısm türev lıır ve urd lmee klşık değer ere koulur Blmee kes değer Blmee klşık değer Blmee d d! d! d! lor çılımıd çok l ktkısı olmdığı ve elemel çöüm pıldığı ç dereede sork termler ml edlr d d d Kes değer Bu eştlk elemel olrk çöülür

40 Örek: deklem vrıd r kökü olduğu tm edlor Bu kökü lor sers çılımıl sısl türev esplm ötem kullrk esplıı Çöüm: d d d d No Örek: deklem ç lor sers çılımıl sısl türev esplm ötem kullrk kökü esplıı Çöüm: d d 7

41 d d No ,,, Br şekldek çok lmeel doğrusl olm deklem çöümü ç oksou,,, lmeelere göre kısm türev lıır ve urd lmee klşık değer ere koulur Blmeeler kes değer Blmeeler klşık değer Blmeeler d, d, d,, d d d Örek: oksouu lor serse çıı Çöüm: Foksou, e göre kısm türev lıır ve urd lmeeler klşık değerler d, d ere koulur 8

42 9, d d d d u u türev u u dur Bu prolemde u dersek d d Bu deklemde k lmee olduğu ç tek şı çöüleme Çöüm ç e k deklem gerekldr Örek: oksouu lor serse çıı Çöüm: d d Örek: α os s oksouu lor serse çıı Çöüm: Foksou α, s göre kısm türev lıır ve urd lmeeler klşık değerler ds s s, α α α d ere koulur

43 , α α α d ds s s os α α α d ds s s osα s sα α s os s os α α α α s d s ds Örek: rt oksouu lor serse çıı Çöüm: Foksou, e göre kısm türev lıır ve urd lmeeler klşık değerler d, d ere koulur, d d rt d d rt u u türev u u dur Bu prolemde u dersek rt d d

44 Örek: r π oksouu lor serse çıı Çöüm: Foksou r e göre kısm türev lıır ve urd lmee klşık değer dr r r ere koulur dr r r dr r r π π r dr r π π Örek: oksouu lor serse çıı Çöüm: Foksou,,, e göre kısm türev lıır ve urd lmeeler klşık değerler d, d, d, d ere koulur,,, d d d d o o d d d d o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

45 o o o o o o o o o o o o o o d d d d Örek: Yd verle rt oksou ç Foksod kç değşke vrdır Fokso leer mdr oks leer değl mdr? Foksou lor serse çıı ve e so deklem l ıı Çöüm: Foksod değşke vrdır Bulr,,, dr Fokso Leer değldr rgoometrk oksolrı ç r leer değldr Foksou sırsıl,,, e göre kısm türev lıır ve urd lmeeler klşık değerler d, d, d, d ere koulur,,, d d d d rt d d d d

46 s s s s s s s s Foksou leer le getrlmş so l, rt d s d s d s d s

47 DENKLEM SİSEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ Doğrusl Leer Deklem sstemler Smetrk Olm Doğrusl Deklem sstemler Mtrs Çöümü dekleme r dereede u lmeel doğrusl leer deklem der Br dereede sıd u lmeel leer deklemler oluşturduğu ssteme doğrusl deklem sstem der : ktsılr mtrs, : lmeeler vektörü, : st vektörü olmk üere, u Deklem sstem mtrs gösterm; u E Küçük Kreler İlkes le tek lmlı çöüm ç sold trspoes le çrpılır ve mmum eştler

48 m m m olduğud skler r değer m Bu oksou mmum olmsı ç vektörüe göre türev sıır eştler v v Bu eştlk e ölüür ve trspoes ılırs, N Norml deklemler [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] N

49 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] N Mtrs gösterm [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Norml deklem ktsılr mtrs N Blmeeler vektörü St termler

50 Norml Deklemler Öellkler Norml deklemler smetrktr Deklem sısı lmee sısı kdrdır Krel ktsılr [ ], [ ], [ ] er m dır Smetrk ktsılr [ ], [ ] e, e de ollrler N sold N le çrpılırs, N N N N N E rm mtrstr d d N d lmeeler çöülmüş olur Örek: şğıdk deklem sstem şeklde ıı Cevp: Öelkle deklemler lmeelere göre düeleelm

51 Örek: şğıdk deklem sstem şeklde ıı Cevp: Öelkle deklemler lmeelere göre düeleelm d d d

52 9 Örek: şğıdk deklem sstem şeklde ıı Cevp: Deklemler düeleelm Örek: şğıdk deklem sstem şeklde ıı Cevp: Deklemler düeleelm k k k k

53 k Örek: şğıd deklem sstem çöüü N e e N 9 7

54 Örek: şğıdk deklem sstem çöüü Cevp: 9 9 N 7 e e e,,, -, -,7 -,7, -9,, -9,, -,, -,,, -,7, -,7778-9, -9,8889 -,,,7778-9, -9, -9,8889

55 N Q 7 Kotrol 7

56 Smetrk Doğrusl Deklem sstemler Mtrs Çöümü deklem sstemde, eğer ktsılr mtrs smetrk se sold le çrpılır E rm mtrs d d lmeeler çöülmüş olur d Örek: şğıdk deklem sstem çöüü Cevp: Yukrıdk deklem sstem smetrktr

57 e e e, -,,7 -, -, -,97, -,7, -,, -, -, -,978,8,87 -,, -,89 -,89 -, -,98 -,78,89 -,98 -,89 -, Doğrusl Olm Deklem sstemler Mtrs Çöümü Blmeeler esplmsıd kullıl oksolr deklemler e doğrusl olmlr Bulr YLOR göre sere çılrk doğrusllştırılır Doğrusllştırm ç lmeeler klşık değerler kullılır Bu şlemlerle doğrusl olm deklem sstem doğrusl deklem ssteme döüştürülür ve lmeeler çöümü pılır Çöüm souud lmeeler değerler klşık değerlere ekleerek lmeeler kes değerler elde edlr

58 ,,,, g,,,, k Yukrıd dört deklem ve üç lmee u,, vrdır Doğrusl olm deklemlerde oluş r sstem çöümü ç deklemler lor serse çılır Y, oksolrı lmeelere göre kısm türevler lıır ve urd lmeeler klşık değerler ere koulur Blmeeler kes değer Blmeeler klşık değer Blmeeler d d d d d d d d d d g d g d g g d d d d k d k d k k Doğrusllştırılmış deklemler, d d d d d d d d d d d d

59 : ktsılr mtrs, : lmeeler vektörü, : st vektörü olmk üere, d d d Deklem sstem mtrs gösterm d d d Bu deklem sstem smetrk olm doğrusl leer deklem sstem çöümü le çöülelr N d d d Deklem sstem çöümü souud elde edle lmeelere klşık değerler ekleerek lmeeler kes değerler uluur Blmeeler kes değer Blmeeler klşık değer Blmeeler d d d Blmeeler kes değerler lk doğrusl olm deklemlerde ere koulrk deklem sstem sğlıp sğlmdığı kotrol edlr

60 ,, g,,,, k,, Eğer klşık değerler ugu seçlmemş se u şrt sğlmlr Bu durumd lmeeler kes değerler klşık değerler olrk lıır ve çöüm şlem tekrrlır Örek: şğıd k lmeel doğrusl olm k deklem verlmştr Yklşık değerler ve lrk lmeeler çöüü 9 99 Çöüm: Deklemler doğrusl değldr Bu deklemler lor serse çılır ve doğrusllştırılır Y, deklemler ve göre türevler lıır ve klşık değerler ere kour, d d lor çılımı Deklem 9 9 d d d 7

61 8 d 8 9 d d 9 d d 9 8 d d d d Deklem d d d d 9 99 d d 99 d d 99 9 d d d d Doğrusllştırılmış deklemler d d d d

62 Mtrs ormtıd deklemler d d 7 N e e, -,7 -,888 -,,888,, ,9 -,89 -, -,9 -,89 Q N d Q N 9 89 d Blmeeler Kes Değer d d 8 98 Kotrol

63 Hespl lmeeler lk deklemlerde ere koulduğud deklem sstem sğlmdığı görülmektedr Buu ede klşık değer seçlmemş olmsıdır Bu ğlmd pılk ş elemel çöümdür Deklem sstem çöümüde elde edle lmeeler kes değerler r sork şlem ç klşık değer olrk seçlr Yklşık değerler 8 ve 98 lrk lmeeler tekrr çöülür d d 9 d d 99 8 d 98 d 8 8 d 98 d d 97 d 99 d 97 d Mtrs ormtıd deklemler d 97 d N e e, -, -,79 -, 8,898 9,8,79 - -, -, -, -, -,

64 Q N 8 d Q N d Blmeeler Kes Değer d d Kotrol Örek: şğıd üç lmeel doğrusl olm üç deklem verlmştr Deklemler doğrusllştırıp mtrs ormtıd ıı Çöüm: Deklemler doğrusl değldr Bu deklemler lor serse çılır ve doğrusllştırılır Y, deklemler, ve göre türevler lıır

65 Deklem d d d Doğrusllştırılmış r deklem d d d Deklem d d d Doğrusllştırılmış k deklem d d d

66 Deklem d d d Doğrusllştırılmış üçüü deklem d d d Doğrusllştırılmış deklemler d d d d d d d d d Deklem sstem mtrs gösterm d d d

67 Örek: şğıd verle deklem sstem ç Kç lmee vrdır Bulrı ıı Deklemler leer mdr oks leer değl mdr? Deklem sısı lmeeler çömee eterl mdr? d Blmeeler oksouu kullrk esplıı Çöüm: Foksod değşke vrdır Bulr,, dr Deklemler Leerdr Yeterldr Üç lmee ç deklem vrdır Drek çöüm pıllr d Blmeeler oksouu kullrk espllım Deklemler,, sırsı göre düeleelm N 8

68 e e e Q N Örek: şğıd verle deklem sstem ç; Kç lmee vrdır Bulrı ıı Deklemler leer mdr oks leer değl mdr? Deklem sısı lmeeler çömee eterl mdr? d Blmeeler göster ormtıd ıı Çrpm şlemler çık

69 Çöüm: Foksod değşke vrdır Bulr,, dr Deklemler Leerdr Yeterldr Üç lmee ç deklem vrdır Çöüm pıllr d Blmeeler ormtıd lım Deklemler,, sırsı göre düeleelm ormtıd lım 9 N 8 8 9

70 Örek: şğıd verle oksolrd N, 9, sorulrı evplıı Burd e st r sıdır B 9 ve L 9 lrk sorul Foksod kç değşke vrdır Bulrı ıı Foksolr leer mdr, oks değl mdr? Deklem sısı lmeeler çömee eterl mdr? d Deklemler düeleerek ormtıd ıı N os B N s L e N Çöüm: Foksod lmee vrdır Bulr N,, B, L dr Foksolrı lk ks Leer değldr Çükü u k deklemde trgoometrk oksolr vrdır Üçüü okso leerdr Yeterl değldr lmee ç deklem vrdır d Foksolrı sırsıl N,, B, L e göre kısm türev lıır Blmeeler klşık değerler: N N dn, d, B B db, L L dl [ N os B ] dn d db dl N [ N os B ] os B dn os B d N s B db dl [ 9 os9 ] os9 dn os9 d 9 s 9 db dl dn d db dl B L 7

71 [ N s L ] dn d db dl N [ N s L ] s L dn s L d db N os L dl [ 9 s 9 ] s 9 dn s 9 d db 9 os9 dl dn d db dl dn d db dl B L [ e N ] dn d db dl N B [ e N ] e dn e d db dl [ 9 ] dn d db dl dn d db dl dn d db dl L dn d db dl dn d db dl dn d db dl dn d db dl Örek: şğıd verle deklem sstem ç Kç lmee vrdır Bulrı ıı Deklemler leer mdr oks leer değl mdr? Deklem sısı lmeeler çömee eterl mdr? d Blmeeler oksouu kullrk esplıı 8

72 9 Çöüm: Foksod değşke vrdır Bulr,, dr Deklemler Leerdr Yeterldr Üç lmee ç deklem vrdır Çöüm pıllr d Deklemler düeleelm N 8

73 e e e Q N

74 ENERPOLSYON Br ğımsı değşke ve r de ğımlı değşke rsıd g r lşk olsu,,,,,,,, u u kl değerlerde dlrk erg r değer ç oksou rdımıl değer esplmsı şleme predkso kestrm der Hesplmd kullıl değerler rsıd se u ğlı ol ğımsı değşke değer değer esı eterpolso der Hesplmd kullıl ğımsı değşke değer değerler rsıd değl se u ğlı ol değer esı etrpolso der Doğrusl Eterpolso Bu ötem, koordtlrı verle k oktd geçe doğru üerdek üçüü oktı r koordtı krşılık dğer koordtıı kestrlmes prese dır Bu prolemde P oktsı, koordtlrıl, P oktsı, koordtlrıl tımlıdır Üçüü okt ol P oktsıı koordtı krşılık koordtıı kestrlmes mçlmktdır koordtıı kestrlelmes ç koordtı rkıı eklemes eterldr X P P P α Y 7

75 7 Bu eştlkte koordtı lmemektedr t teoremde şğıdk eştlk ıllr t α Yukrıdk eştlğ deklemde ere rsk Doğrusl eterpolso deklem elde etmş oluru Örek: 7 NN P P P 7?

76 Üçge Eterpolso Bu ötem üç oktd r dülem geçrlmes ve eterpole edlmes stele oktı u dülem üerde olmsı prese dır Bu prolemde P oktsı,, koordtlrıl, P oktsı,, koordtlrıl ve P oktsı,, koordtlrıl tımlıdır P P P P Br oktı dülem üerde olm şrtı deklem le tımlır Üç okt ç u deklemler rsk şğıdk eştlkler elde etmş oluru NN P P P P? 7

77 Deklem sstem şeklde mtrs gösterm Bu eştlk smetrk olm leer r deklem sstemdr Leer deklem sstem çöülerek, ve prmetreler esplır Bu değerler,, koordtlrıl tımlı P oktsı ç ıl şğıdk dede ere koulur ve oktı değer kestrlmş olur Örek: lod verle üç oktd rrlrk dördüü oktı değer esplıı NN P 9 P P P? 9 Deklem sstem şeklde mtrs gösterm 9 7

78 N 9 e e e,,, - -, -,7 -,9,,,, -, - -,,8 -,8,,7 -,7 -, -,7,87 -,9 -,,7,7 -,,87 -,9 Q N Q N Kotrol

79 oktı değer kestrlmş değer Polomlrl Eterpolso Polom kelmes çok terml r pı lmı gelr Hrtılık ugulmlrıd polomlr geelde eterpolso pmk ç kullılır Polomlr üe tımlmk ç ugu oksolrdır Hrtılık ugulmlrıd üe eterpolsolrı ç polomlrı kullımı gıdır Öellkle eod ükseklkler esıd kullıl r ötemdr ek Değşkel Polomlrl Eterpolso dereede tek değşkel : ğımsı değşke r polom ç geel de şğıdk g ıllr Bu polom çılımıd,,,,,, polom ktsılrıdır Bu prolemde polom ktsılrı lmeelerdr Yukrıdk polom deree r polomdur Polomd r ktsılrd er g r sıır ollr Öreğ şğıdk oksod ve ktsılrı sıır olduğu ç polom pısıd er lmlr 7

80 77 ek değşkel r polomd şrtıı sğl değşke değer ulumsı polomu çöümü lmı gelr oksou ç u te deklem ılsı u,,,, Hrtılıkt kullıl koordtlr üük değerlerdr Koordtlr u llerle mtrs esıd kullılm Buu ere koordtlrı ormldırılmış değerler kullılır u u ortlm koordtlr olmk üere ormldırılmış küçültülmüş koordtlr Bu deklem sstem düelersek

81 78 Deklem sstem mtrs gösterm şeklde Bu eştlk smetrk olm leer r deklem sstemdr Leer deklem sstem çöülerek şrtıı sğl ve değşke değer ulumsı polomu çöümü lmı gelr Örek: şğıdk tlod eş oktı koordtlrı ve ükseklkler verlmektedr şekldek deree polom rdımıl P oktsıı ükseklğ esplıı Çöüm: Bu prolemde verle okt ç eştlğ ılır NN P P P P 8 P?

82 koordtlrı üük değerler olduğu ç ormldırılmlrı gerekr Normldırm şlemde ükseklğ le dört oktı koordtlrı kullılır ormldırılmış koordtlrı esı

83 8 Deklem sstem mtrs gösterm şeklde 8 N 8 e e e,,, -, -, -,,,,,, -,, -,,, -,, -,, -, -,,, -,, -, Q N 8

84 8 N Q Kotrol Ye oktı ormldırılmış koordtı Ye oktı ükseklğ 7 [ ] [ ] 7

85 Çt Değşkel Polomlrl Eterpolso dereede çt değşkel, : ğımsı değşkeler r polom ç geel de şğıdk g ıllr, Bu polom çılımıd,,,,, polom ktsılrıdır lmeelerdr Yukrıdk polom deree r polomdur Çt değşkel r polomd, şrtıı sğl ve değşke değer ulumsı polomu çöümü lmı gelr, oksou u ç te deklem ılsı,,,, u Hrtılıkt kullıl koordtlr üük değerlerdr Koordtlr u llerle mtrs esıd kullılm Buu ere koordtlrı ormldırılmış değerler kullılır u ortlm koordtı u u ortlm koordtı u 8

86 8 ormldırılmış küçültülmüş koordtlr Bu deklem sstem düelersek Deklem sstem mtrs gösterm şeklde

87 Bu deklem leer r deklem sstemdr Leer deklem sstem çöülerek şrtıı sğl değşke değer ulumsı polomu çöümü lmı gelr Örek: şğıdk tlod oktlrı koordtlrı ve ükseklkler verlmektedr, şekldek deree polom rdımıl P oktsıı ükseklğ esplıı NN P P P P P 988 8? Çöüm: Bu prolemde verle okt ç eştlğ ılır 78 ortlm koordtı ortlm koordtı

88 Deklem sstem mtrs gösterm şeklde N

89 e e e,,, -,, -, 8,8 -,78 8,8 -,78, -,, -,7 7,98,8,, -, -,9 -, -,,, -,9 -,9 -, Q N Q N Kotrol

90 Not: Kotrolde çıkmmsıı ede polomu üe tm temsl edememesde kklmıştır 7 88 Ye oktı ükseklğ 9 [ ] 88 7 [ ] 7

91 Multkudrk Eterpolso Koum ğlı lg modelleelmes ç eterpolsol r değerler üretlmes rtılıkt öeml r er tutr Multkudrk Eterpolso ötem u mçl kullıl e gı ötemlerde r dğerdr Öellkle k outlu sısl ükseklk modeller oluşturulmsıdk kullımı rtılık ugulmlrıd çok gıdır Multkudrk eterpolso ötem geel r ötemdr ve çok outlu ugulmlr ç deldr Multkudrk üe geel olrk şğıdk oksol tımlır,,,, Δ u Yötemde öelkle örekleme oktlrıd rrlrk öe düşük dereel r tred üe geçrlr Geelde sıırıı ve r dereede r tred üe eterldr Buu ç şğıdk eştlk kullılır D sor, ötem dk oktlrıı tümüü kullrk r tek r oksol tımlm çlışır Dk oktlrıı rsıdk uklık oksou u mçl kullılır,,,, u oksou outlrı göre şğıdk g ılır Bout Uklık Foksou,,,, olmk üere, multkudrk k outlu üe şğıdk şeklde ıllr 88

92 89 Δ Bu eştlğ çrsk, Deklem sstem şeklde mtrs gösterm Burd ler çık çmde lım

93 9 lere eşt olduğu ç ktsılr mtrs smetrk r mtrstr ve şğıdk g ıllr Yukrıdk eştlk smetrk deklem sstemler mtrs çöümü ötem le çöülür ve ktsılrı esplır Yükseklğ eterpole edleek e r, p p p oktsı ç p ktsılr mtrs şğıdk çmde oluşturulur

94 p [ ] p p p p p p p p p p p p p p p p p p ve ktsılrı k outlu üe deklemde ere kour Bu eştlk ükseklğ eterpole edleek okt ç şğıdk şeklde ıllr Δ p Δ p p Hespl ukrıdk değer rdımıl, e oktı ükseklğ Δ çmde p p elde edlmş olur Örek: lod verle üç oktd rrlrk dördüü oktı değer Δ ve, oksolrıı kullrk multkudrk eterpolso ötem le esplıı NN P 9 P P P? Çöüm: Öelkle sıırıı dereede r tred üe geçrelm 9

95 9 9 Δ eştlğ çık r çmde lım Burd tür Deklem sstem şeklde mtrs gösterm, oksouu kullrk ktsılrıı espllım

96 Bu mtrs vers ç determtl vers lm ötem kulllım Determtı r stır göre llım Mtrs vers

97 [ ] 8 8 [ ] 8 77 Δ Δ oktı ükseklğ

98 Kotrol Örek: lod verle dört oktd rrlrk eş oktı değer Δ ve, oksolrıı kullrk multkudrk eterpolso ötem le esplıı NN P P P P P 988 8? Cevp: Noktı ükseklğ 7 9

99 Örek: lod verle üç oktd rrlrk dördüü oktı değer Δ ve,, oksolrıı kullrk multkudrk eterpolso ötem le esplıı NN P 9 7 P P P 7? Örek: lod verle üç oktd rrlrk dördüü oktı değer üçge eterpolso ötemle esplmk ç kurulk deklemler şeklde ıı Br oktı dülem üerde olm şrtı NN P 9 P P P? 9 Deklem sstem şeklde mtrs gösterm 9 9

100 97 Örek: şğıdk tlod dört oktı koordtlrı ve ükseklkler verlmektedr Bu oktlrd şeklde verle polom rdımıl Deree r üe geçrlmek steor Bu dört oktd rrlrk kurulk deklem sstem; şeklde ıı Bu deklem sstem çöülelr m? çıklıı Çöüm: Bu prolemde verle okt ç eştlğ ılır 7 9 şeklde 7 9 d Çöüleme Deklem sısı lmee sısıd dır NN P P - - P P - -

101 7 EN KÜÇÜK KRELER REGRESYONU İLE İLİŞKİ BELİRLEME Ypıl ölçüler ve esp souçlrıd ı değşkeler rsıd rre ğlı r lşk vrlığı elrleelr Br rı mem trıdk su seve değşm suu mevsme ğlı olrk ükselmes ve lçlmsı le r gövdesde med gele deormso t ve düşe er değştrmeler rsıdk lşk, ğış mktrı ğlı olrk eel sılrıdk rtış lşks u örek olrk verelr Bu lşk vrlığı ve lşk güüü elrlemes geleeğe öelk tmler pıllmes ç öemldr Regreso l, k d d çok değşke rsıdk lşk elrlemek ç kullıl r l metodudur Eğer tek r değşke kullılrk l pılıors u tek değşkel regreso, rde çok değşke kullılıors çok değşkel regreso l olrk smledrlr Regreso l le değşkeler rsıdk lşk vrlığı, eğer lşk vr se uu güü kkıd lg edlelr Regreso, k d d çok değşke rsıdk doğrusl lşk oksoel şekl, r ğımlı dğer ğımsı değşke olrk r doğru deklem olrk, göstermekle klm, değşkelerde r değer ldğde dğer kkıd kestrm pılmsıı sğlr Regresod, değşkelerde r ğımlı dğerler ğımsı değşke olmlıdır Burdk mtık eştlğ solud er l değşke sğıd er l değşkelerde etklemesdr Sğd er l değşkelerse dğer değşkelerde etklememektedr Burd etklememek mtemtksel lmd u değşkeler r doğrusl dekleme koduğumud etk pmsı lmıddır 7 Doğrusl Regreso İk değşkede rdek r rm rtış krşılık, dğer değşkede st r değşklk rtm ve lm med gelors u değşkeler rsıd doğrusl leer r lşk vrdır 98

102 Doğrusl lşk elrleme edelee u ötemde mç,,,,,,, g gölem çtlere r doğru udurmktır Br ğımsı değşke ve r de ğımlı değşke rsıdk doğruu mtemtksel des şğıdk şekldedr e Bu lşk grğ doğru çmdedr Burd doğruu ekse kesme oktsıı ve doğruu eğm göstermektedr e se gölemler ve model rsıdk tdır Ht deklem düelerse e Hespl tlr gölemlere düeltme olrk getrlr Düeltmeler se tlrl ters şretldr v e Bu göre ukrıdk deklem düeltmeler olrk ede düeler v Bu durumd v düeltmes doğrusl deklem rdımıl tm edlmş klşık değer le gerçek değer rsıdk rk olur Yukrıdk eştlk tüm gölem çtler ç ılır v v v v 99

103 Yukrıdk deklemler v mtrs ormtıd düeler v v v v Bu deklem sstemdek lmeeler deklem sstem çöümüle elde edlelr Blmeeler deklemde ere koulrk değşkeler rsıdk lşk deklem elde edlmş olur 7 İlşk Güü ve Yöü İk ve d l değşke rsıdk lşk güüü ve öüü elrlemek korelso l le mümküdür Doğrusl lşk güüü ve öüü elrleme edelee korelso lde mç,,,,,,, g gölem çtlerde r korelso ktsısı esplmktır Br ğımsı değşke ve r de ğımlı değşke rsıdk korelso ktsısıı esı şğıdk dımlrl öetleelr Değşkelerde r dğer olrk kul edlr ve de rrlrk ve değerler esplır ve kreler toplmı ve değerler esplır ve değerler çrpılrk toplm değer esplır Korelso ktsısı R

104 eştlğde espllr Korelso ktsısıı şret lşk öüü, mutlk değer se lşk güüü gösterr Korelso ktsısı değşkeler rrle ol ğımlılığıı r ölçütüdür Korelso ktsısıı sıır değerler R rsıddır R se ve rsıd r ğımlılık oktur rlrıd doğrusl r lşk oktur Br ötek r doğrusl oksou olrk gösterleme R se ve rre ğımlıdır rlrıd, sıır kı se ı ve re kı se kuvvetl doğrusl lşk vrdır R ± se ve rsıd % korelso vrdır ve rsıd tm r doğrusl lşk vrdır Br ötek r doğrusl oksou olrk gösterlelr R değer elrllk ktsısı olrk dldırılır R, ğımsı değşke öreğ r rd su seve değşm rdımıl çıklle ğımlı değşkedek t d düşe deormso değşm orıı verr Dğer r deşle dğerdek değşm e ölçüde tımldığıı gösterr R, k değşkede r, Örek: Br rd su seve değşme ğlı olrk r gövdesdek r oktdk er değştrmeler şğıdk tlod verlmştr Su seve değşm le er değştrme değerler rsıdk lşk, lşk güüü ve öüü elrle Perot m d m P 99 P 87 - P 7 -

105 v 99 v v 87 v v 7 v Yukrıdk deklemler v mtrs ormtıd düeler v v v v v v N 7 87 e e,, - -,8 -, 97,77 77,8 -,8 -,9 -, -,7,9 -, N Q

106 Q N 9 v v v v v v 8 Ölçü sısı u Blmee sısı [ vv] [ vv] m o ± ± ± 7 m u İlşk doğrusl deklem R R

107 R 97 Korelso ktsısı Yorum: R olduğu ç ve rre ğımlıdır R re kı olduğud değşkeler rlrıd kuvvetl r doğrusl lşk vrdır R 9 Belrllk ktsısı Yorum: R lmı ğımsı değşkele çıklle ğımlı değşkedek değşm % 9 olduğudur Ger kl % lık kısım u lşk le çıklm

108 KYNKLR Ergü ÖZÜRK, Degeleme Hesı, Clt I, KÜ Müedslk Mmrlık Fkültes, KÜ Bsımev, Geel Yı No: 9, Fkülte Yı No: 8, ro, 99 Hüse DEMİREL, Degeleme Hesı, YÜ İşt Fkültes, Üverste Yı No: YÜİNDK-7, Yıldı ekk Üverstes Bsım-Yım Merke, İstul, İrm Yüksel, MLB İle Müedslk Sstemler l ve Çöümü, Noel Yı Dğıtım, Yı No: 7, ekk Yılrı D No:, ISBN , kr, Luree V FUSE, ppled Numerl lss, Prete Hll, ISBN , US, 999 Memet BKİOĞLU, Sısl l, Brse Yıev Ltd Şt, ISBN 97---, İstul, Must SÖNMEZ, Sısl l Ders Notlrı Yılmmış, ksr Üverstes 7 Reep PRMZ, Sısl Çöümleme, Ltertür Yılrı, ISBN X, İstul, 8 Sett BEKŞ, Müedsler İç Sısl Çöümleme Bs Progrm Öreklerle, Smsu, Hs HEPERKN, Uğur KESGİN, Çevr: Steve C CHPR, Rmod P CNLE, Yılım ve Progrmlm ugulmlrıl Müedsler İç Sısl Yötemler, ISBN: , Ltertür Yıılık,

109 EMEL BYRK Ögeçmş 98 ılıd ro d doğdu İlk, Ort ve Lse öğrem ro d tmmldı 99 ılıd Lss öğrem KÜ Hrt ölümüde tmmldı 99 ılıd NÜ MF de sst olrk göreve şldı 99 ılıd Hrt Yüksek Müeds, ılıd Doktor uvıı ldı ılıd skerlk görev HGK d tmmldı 9 ılıd Doçetlk uvıı ldı ılıd tre Gümüşe Üverstes MF Hrt Müedslğ Bölümüde Lss ve Yüksek Lss progrmlrıd eğtm-öğretm etklğ Degeleme Hesı, İsttstk, sısl Çöümleme, Jeode,, GNSS, Deormso leme, Heel leme sürdürmektedr Evl ve üç çouk sıdır

SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ

SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ SAYISAL ANALİZ Doç.Dr. Cüet BAYILMIŞ Doç.Dr. Cüet BAYILMIŞ Sısl Alz SAYISAL ANALİZ EĞRİ UYDURMA (Curve Fttg) Doç.Dr. Cüet BAYILMIŞ Sısl Alz İÇİNDEKİLER Eğr Udurm (Curve Fttg) E Küçük Kreler Yötem Doç.Dr.

Detaylı

DERS 3. Matrislerde İşlemler, Ters Matris

DERS 3. Matrislerde İşlemler, Ters Matris DES Mrislerde İşleler, Ters Mris Mrisler Mrislerle ilgili eel ılrııı ıslı e sır ve e süu oluşurk içide diiliş e sıı oluşurduğu lo ir ris deir ir ris geellikle şğıdki gii göserilir ve [ ij ], i ; j risii

Detaylı

DETERMINANTLAR. 1. Permütasyon. 1. Permütasyon ) permütasyonundaki ters dönüşüm. 1. Permütasyon 2. BÖLÜM ( )

DETERMINANTLAR. 1. Permütasyon. 1. Permütasyon ) permütasyonundaki ters dönüşüm. 1. Permütasyon 2. BÖLÜM ( ) . BÖÜM. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {,,, } kümesideki elemlrı tekrr olmksızı frklı DETERMINNTR sırlmlrıı düzelemesie permütsyo deir. Örek: {,, 3} tm syılr kümesii ltı frklı permütsyou vrdır: (,, 3), (,,

Detaylı

Nümerik Analizin Amacı

Nümerik Analizin Amacı Doç.Dr. Nurett UMURKN Nümerk lz / 59 Nümerk lz mcı Mtemtksel prolemler çözümleelmes ç ugu ve e klşım vere ötemler ulmk, rıc ulrd lmlı ve dlı souçlr çıkrmktır. Çözümü stee prolem tımlmk ve souc vrck ötem

Detaylı

BÖLÜM DETERMINANTLAR SD 1

BÖLÜM DETERMINANTLAR SD 1 SD 1 2. BÖLÜM DETERMINANTLAR 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 1. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {1, 2,, } kümesideki elemlrı tekrr olmksızı frklı sırlmlrıı düzelemesie

Detaylı

BÖLÜM 3 SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL

BÖLÜM 3 SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL BÖLÜM SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL. Blgsyrl türe.. Bölümüş rk tblolrıyl türe.. Eşt rlıklı er oktlrı ç türe.. Eşt rlıklı er oktlrı ç er oktlrıd türe.. Yüksek mertebede türeler. Syısl tegrl.. Trpez krlı.. Romberg

Detaylı

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme SYISL ÇÖZÜMLEME SYISL ÇÖZÜMLEME 6. Hft LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ İÇİNDEKİLER Doğrusl Deklem Sistemlerii Çöümü Mtrisi Tersi ile Bilimeyeleri Bulm Örek uygulm MTLB t mtrisi tersii (iv komutu) lm Crmer Yötemi

Detaylı

7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ

7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ Prof. Dr. Özc Klederli SAYISAL YÖNTEMLER 7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ Syısl itegrsyo vey itegrl lm işlemi, litik olrk ir itegrli lımsıı çok zor vey olksız olduğu durumlrd vey ir işlevi değerlerii sdece

Detaylı

7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER 7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER Bir V ektör uzyıı bir bşk W ektör uzyı döüştüre foksiyolr şu şekilde gösterilir: : V W Burd kullıl termioloji foksiyolrl yıdır. Öreği, V ektör uzyı foksiyouu

Detaylı

LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır.

LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır. LİNEER CEBİR MTRİSLER: i,,,...,m ve j,,,..., n için ij sılrının. m m...... n n mn şeklindeki tblosun mn tipinde bir mtris denir. [ ij ] mn şeklinde gösterilir. m stır, n sütun sısıdır. 5 mtrisi için ;

Detaylı

Dış Etki Olarak Sıcaklık Değişmesi ve/veya Mesnet Çökmelerinin Göz Önüne Alınması Durumu

Dış Etki Olarak Sıcaklık Değişmesi ve/veya Mesnet Çökmelerinin Göz Önüne Alınması Durumu Dış Etk Olrk Sıcklık Değşmes ve/vey eset Çökmeler Göz Öüe Alımsı Durumu Dış etk olrk göz öüe lı sıcklık eğşm ve meset çökmeler hpersttk sstemlere şekl eğştrme le brlkte kest zoru mey getrr. Sıcklık eğşm:

Detaylı

DERS 4. Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi

DERS 4. Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi DERS Determitlr eotief Girdi - Çıktı lizi.. ir Kre Mtrisi Determitı. Determit kvrmıı tümevrıml tımlycğız. mtrisleri determitıı tımlyrk şlylım. Tım. tımlır. mtrisiidetermitı olrk Örek. mtrisii determitı

Detaylı

AMORTİSMAN MALİYETİ SAPTAMA YÖNTEMLERİ

AMORTİSMAN MALİYETİ SAPTAMA YÖNTEMLERİ AMORTİSMAN MALİYETİ SAPTAMA YÖNTEMLERİ Geel olrk 4 tp yötem kullılır.. Düz çzg yötem: Mlı değer zml doğrusl olrk zldığı vrsyılır. Mlı hzmet ömrü boyuc her yıl ç yı mktr mortsm olrk yrılır. V V d = S d:

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

Yaklaşık Temsil Polinomları

Yaklaşık Temsil Polinomları Yklşık Tesl ololrı Teke for eğrler tesl ede ofset oktlrıd htlı oktlr bulusı duruud terpolso pololrı sıırlı kullı lı bulblektedr. Arıc terpolso pololrı le verle oktlrd geçe eğrler elde edldğde teke for

Detaylı

Ara Değer Hesabı (İnterpolasyon)

Ara Değer Hesabı (İnterpolasyon) Ar Değer Hesbı İterpolso Ardeğer hesbı mühedsl problemlerde sılıl rşılşıl br şlemdr. İterpolso Ble değerlerde blmee rdeğer d değerler bulumsı şlemdr. Geel olr se br osouu 0,,, gb rı otlrd verle 0,,, değerler

Detaylı

Kareler Toplamları ve Beklenen Kareler Ortalamaları Varyans Analizi Tabloları

Kareler Toplamları ve Beklenen Kareler Ortalamaları Varyans Analizi Tabloları Kreler Toplmlrı ve Belee Kreler Ortlmlrı Vrys lz Tlolrı Bu derste degel tsrımlı modellerde etler ve etleşmler ç resel toplmlrı yzılmsıd, serestl dereceler elrlemesde ve elee reler ortlmlrı ulumsıd yrdımcı

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İÇ-İÇE TASARIMLARDA DAYANIKLI ANALİZ VE UYGULAMALARI. İklim GEDİK

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İÇ-İÇE TASARIMLARDA DAYANIKLI ANALİZ VE UYGULAMALARI. İklim GEDİK NKR ÜNİVERSİTESİ EN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSNS TEZİ İÇ-İÇE TSRIMLRD DYNIKLI NLİZ VE UYGULMLRI İklm GEDİK İSTTİSTİK NBİLİM DLI NKR 00 er hkkı sklıdır ÖZET Yüksek Lss Tez İÇ-İÇE TSRIMLRD DYNIKLI NLİZ

Detaylı

Bölüm 7.2: Matrisler. Transpoz. Konjuge. Adjoint

Bölüm 7.2: Matrisler. Transpoz. Konjuge. Adjoint ölü.: Mrsler ugüü derszde rs eors err edeeğz. Mrs ouud ddörge elelrd oluş r eledır sır ve süu zı öre rsler şğıddır: j C Trspoz j ı rspozu T j dır. Öre T T T Kojuge j ı Kojuges j dır. Öre djo ı djo T dır

Detaylı

BÖLÜM 2 EĞRİ UYDURMA VE İNTERPOLASYON

BÖLÜM 2 EĞRİ UYDURMA VE İNTERPOLASYON BÖÜ EĞRİ UYDURA VE İTERPOASYO - Grş İterpolo polomlrı Bölümüş rlr 4 Eşt rlılı ot dğılımlrı ç bt rlr 5 Küb ple eğrler Kım üb ple eğrler 7 Br üze üzerde terpolo 8 E-üçü reler lşımı Bölüm - Eğr udurm ve terpolo

Detaylı

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ ESKİŞEHİR OSMNGZİ ÜNİVERSİTESİ Mühedslk Mmrlık Fkültes İşt Mühedslğ Bölümü EPost: oguhmettopcu@gmlcom Web: http://mmfoguedutr/topcu Blgsyr Destekl Nümerk lz Ders otlrı hmet TOPÇU Ktsyılr mtrs Özdeğer Özvektör

Detaylı

BÖLÜM 3 3. ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON İÇİN VEKTÖR VE MATRİS CEBRİ

BÖLÜM 3 3. ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON İÇİN VEKTÖR VE MATRİS CEBRİ BÖLÜM. ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON İÇİN VEKÖR VE MRİS CEBRİ Bölüm de, doğrusl regresyo tek değşkel bst model olrk ele lırk çıklmıştı. Bölüm de se çok değşkel (k değşkel) model ç grş ypılcktır. Çok değşkel

Detaylı

A, A, A ) vektör bileşenleri

A, A, A ) vektör bileşenleri Elektromnetik Teori hr 006-007 Dönemi VEKTÖR VE SKLER KVRMI Mühendislik, fiik ve geometri ugulmlrınd iki türlü büüklük kullnılır: skler ve vektör. Skler, sdece büüklüğü oln niceliklerdir. elli bir ölçeği

Detaylı

1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir?

1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir? 98 ÜYS Sorulrı. r top kumşın önce, sonr d klnın ü 5 stılıor. Gere 6 m kumş kldığın göre, kumşın tümü kç metredr? ) 7 ) 65 ) 6 ) 55 ) 5 4. r şekln, u brm uzunluğun göre ln ölçüsü, v brm uzunluğun göre ln

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA TEK DEĞİŞKENLİ KISITSIZ OPTİMİZASYON:

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA TEK DEĞİŞKENLİ KISITSIZ OPTİMİZASYON: DOĞRUSA OMAYAN PROGRAMAMA TEK DEĞİŞKENİ KISITSIZ OPTİMİZASYON: Kısıtsız optmzsyo herhg r kısıtlm olmksızı r oksyou mksmum vey mmum değerler rştırılmsı prolem le uğrşır. Y kısıtlrıı d sğlmsı gerekl ol r

Detaylı

ELİPSOİDAL YÜKSEKLİKLERİN ORTOMETRİK YÜKSEKLİĞE DÖNÜŞÜMÜNDE ENTERPOLASYON YÖNTEMLERİNİN KULLANILABİLİRLİĞİ

ELİPSOİDAL YÜKSEKLİKLERİN ORTOMETRİK YÜKSEKLİĞE DÖNÜŞÜMÜNDE ENTERPOLASYON YÖNTEMLERİNİN KULLANILABİLİRLİĞİ SÜ ü-m Fk Derg, c9, s, 4 J FcEgArc Selcuk Uv, v9,, 4 EİPSOİDA YÜSEİERİN ORTOETRİ YÜSEİĞE DÖNÜŞÜÜNDE ENTERPOASYON YÖNTEERİNİN UANIABİİRİĞİ Cevt İNA ve Ceml Özer YİĞİT SÜü-mFkültes, Jeod ve Fot ü Bölümü,

Detaylı

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com III - SAYI ÖRÜNTÜLERİ Htırltm: Syılrı virgülle yrılrk, birbirii rdı dizilmesie syı dizisi, dizideki her bir syıy d terim deir. hrfi verile örütüde syılrı sırsıı belirte semboldür ve ici syıy örütüü geel

Detaylı

MAT 202 SAYISAL YÖNTEMLER. Bahar Hafta 1. Bu Hafta. Ders Hakkında Bilgiler. Özet. Ders Hakkında Genel Bilgiler. Matris işlemlerine giriş

MAT 202 SAYISAL YÖNTEMLER. Bahar Hafta 1. Bu Hafta. Ders Hakkında Bilgiler. Özet. Ders Hakkında Genel Bilgiler. Matris işlemlerine giriş MAT 202 SAYISAL YÖNTEMLER Bhr 2005-2006 Hft Bu Hft Özet Ders Hkkıd Geel Bilgiler Mtris işlemlerie giriş 2 Öğretim Üyesi: Öğr. Gör. Od No: 442, Tel: 293 3 00 / -- E-mil: ltuger@itu.edu.tr Ders Stleri: Slı

Detaylı

ENERJİ İLETİMİ DERSİ (DERS NOTLARI) Fırat Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik - Elektronik Mühendisliği Bölümü

ENERJİ İLETİMİ DERSİ (DERS NOTLARI) Fırat Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik - Elektronik Mühendisliği Bölümü Fırt Üiversitesi Mühedislik Fkültesi Elektrik - Elektroik Mühedisliği Bölümü ENERJİ İLETİMİ DERSİ (DERS NOTLARI) Hzırly: Arş. Gör. Göky BAYRAK ELAZIĞ-008 İletim Htlrıı Elektriksel Ypısı ) Sürekli Durum:Nomil

Detaylı

denklemini sağlayan tüm x kompleks sayılarını bulunuz. denklemini x = 64 = 2 i şeklinde yazabiliriz. Bu son kompleks sayıları için x = 2iy

denklemini sağlayan tüm x kompleks sayılarını bulunuz. denklemini x = 64 = 2 i şeklinde yazabiliriz. Bu son kompleks sayıları için x = 2iy Ders Sorumlusu: Doç. Dr. Necp ŞİMŞEK Problem. deklem sağlaya tüm kompleks sayılarıı buluu. Çöüm deklem şeklde yaablr. Bu so y kompleks sayıları ç y yaalım. Bu taktrde deklemde, baı y ( ) y elde edlr. Burada

Detaylı

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:

Detaylı

SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ

SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ SAYISAL ANALİZ Doç.Dr. Cüeyt BAYILMIŞ Doç.Dr. Cüeyt BAYILMIŞ Syısl Alz SAYISAL ANALİZ İNTERPOLASYON Ar Değer Bulm Doç.Dr. Cüeyt BAYILMIŞ Syısl Alz İÇİNDEKİLER Ar Değer Hesbı İterpolsyo Doğrusl Ar Değer

Detaylı

değerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir.

değerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir. Bölüm 2 Matrsler aım 2.1 F br csm, m, brer doğal sayı olsu. a F ( 1,.., m; j 1,..., ) olmak üzere, a11... a1 fadese m satır sütuda oluşa (veya m tpde) br F matrs der. am 1... a m Böyle br matrs daha sade

Detaylı

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme SAYISAL ÇÖZÜMLEME Syısl Çözümleme SAYISAL ÇÖZÜMLEME 7. Hft LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ (Devm) Syısl Çözümleme İÇİNDEKİLER Doğrusl Denklem Sstemlernn Çözümü İtertf Yöntemler Jcob Yöntem Guss-Sedel Yöntem

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER Sf No..................................................... - 7 Denklem ve Eşitsizlikler Konu Özeti............................................. Konu Testleri ( 0)..........................................................

Detaylı

GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE. Abdullah AKKURT 1, Hüseyin YILDIRIM 1

GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE. Abdullah AKKURT 1, Hüseyin YILDIRIM 1 IAAOJ, Scietific Sciece, 23,(2), 22-25 GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE Adullh AKKURT, Hüseyi YILDIRIM Khrmmrş Sütçü İmm Üirsitesi, Fe-Edeiyt Fkültesi

Detaylı

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU 6.07.0 ÇOKLU REGRESON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-ON KATSAILARININ ORUMU ÇOKLU REGRESON MODELİ Ekonom ve şletmeclk alanlarında herhang br bağımlı değşken tek br bağımsız

Detaylı

Regresyon ve Korelasyon Analizi. Regresyon Analizi

Regresyon ve Korelasyon Analizi. Regresyon Analizi Regresyo ve Korelasyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo aalz, aralarıda sebep-souç lşks bulua k veya daha fazla değşke arasıdak lşky belrlemek ve bu lşky kullaarak o kou le lgl tahmler (estmato)

Detaylı

OLİMPİYAT SINAVI. a ise b 2006 b 2005 =? A) 1330 B) 1995 C) 1024 D) 1201 E) 1200

OLİMPİYAT SINAVI. a ise b 2006 b 2005 =? A) 1330 B) 1995 C) 1024 D) 1201 E) 1200 ., b, c, d Z olmk üzere / + /b + /c + /d = ½ ve ( + b + c + d) =.b + c.d + ( + b ).(c +d) + dekliklerii sğly kç (, b, c, d) dörtlüsü vrdır? A) 48 B) 4 C) D) 6 E) 5. Alı 40 birim kre ol bir ABC üçgeii AB,

Detaylı

0,1,..., n p polinomu bulma işlemine interpolasyon ve px ( )

0,1,..., n p polinomu bulma işlemine interpolasyon ve px ( ) Ç.Ü Fe Blmler Esttüsü Yl:29 Clt:2-1 İNTERPOLASYON VE KALAN TEORİSİ Iterpolto d Remder Theory Fge GÜLTÜRK Mtemt Ablm Dl Yusuf KARAKUŞ Mtemt Ablm Dl ÖZET Bu çlşmd İterpolsyo tmlmş, Lgrge İterpolsyo Formülü

Detaylı

Sayısal Türev Sayısal İntegrasyon İnterpolasyon Ekstrapolasyon. Bölüm Üç

Sayısal Türev Sayısal İntegrasyon İnterpolasyon Ekstrapolasyon. Bölüm Üç Sayısal Türev Sayısal İtegrasyo İterpolasyo Ekstrapolasyo Bölüm Üç Bölüm III 8 III-. Pvot Noktaları Br ( ) oksyouu değer, geellkle ekse üzerdek ayrık oktalarda belrler. Bu oktalara pvot oktaları der. Bu

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları... İÇİNDEKİLER Ön Söz... Mtris Cebiri... Elementer İşlemler... Determinntlr...7 Lineer Denklem Sistemleri...8 Vektör Uzylrı...6 Lineer Dönüşümler...48 Özdeğerler - Özvektörler ve Köşegenleştirme...55 Genel

Detaylı

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ Müdslk Mmrlık Fkülts İşt Müdslğ Bölümü E-Post: ogu.mt.topcu@gml.com W: ttp://mmf.ogu.du.tr/topcu Blgsr Dstkl Nümrk Alz Drs otlrı 0 Amt TOPÇU I f ( x I x x ( x [ ( x f (

Detaylı

HĐPERSTATĐK SĐSTEMLER

HĐPERSTATĐK SĐSTEMLER HĐPERSTATĐK SĐSTELER Taım: Bütü kest zorları, şekldeğştrmeler ve yerdeğştrmeler belrlemes ç dege deklemler yeterl olmadığı sstemlere hperstatk sstemler der. Hperstatk sstemler hesabı ç, a) Dege deklemlere,

Detaylı

Önceki bölümde özetlenen Taylor metodlarında yerel kesme hata mertebesinin yüksek oluşu istenilen bir özelliktir. Diğer taraftan

Önceki bölümde özetlenen Taylor metodlarında yerel kesme hata mertebesinin yüksek oluşu istenilen bir özelliktir. Diğer taraftan III.5.RUNGE-KUTTA METODLARI Öcek bölümde özelee Talor meodlarıda erel kesme aa merebes üksek oluşu sele br özellkr. Dğer araa ürevler buluma ve esaplaması pek çok problem ç karmaşık ve zama alıcı olduğuda

Detaylı

MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ]

MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ] 3. BÖLÜM 2 v r = M m v r 2 2 = 22 M m2 v r n n 2n = M mn MTRİSLER gibi n tne vektörün oluşturduğu, r r r = v v v [ L ] 2 n şeklindeki sırlnışın mtris denir. 2 nlitik Geometriden Biliyoruz ki : Mtris 2

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI ., ÖZEL EGE LİSESİ OKULLR RSI 8. MTEMTİK YRIŞMSI 8. SINI TEST SORULRI 5. 0,0008.0 b 0,0000.0 ise; b.0 kç bsmklı bir sıdır? olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisine eşittir? ) 80 ) 8 ) 8 ) 8

Detaylı

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =?

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =? Lisns Yerleştirme Sınvı (Ls ) 6 Hirn Mtemtik Sorulrının Çöümleri 8 sı tnınd verilen ( ) 8 sısının sı tnınd ılışı? Bu durumd ( ) 8 sısı önce tnın çevrilir Sonr tnınd ılır ( ) 8 8 8 8 Bun göre ( ) 8 ( )

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 1 BÖLÜM 1 KÜMELER VE SAYILAR 1.1 KÜMELER 1.1.1. TEMEL TANIMLAR Kesi ir tımı ypılmmkl erer,sezgisel olrk,kümeye iyi tımlmış iri iride frklı eseler topluluğudur diyeiliriz. Kümeyi meyd getire eselere kümei

Detaylı

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir.

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir. YER ÖLÇÜLERİ Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr,

Detaylı

= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama

= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Taımlayıcı İstatstkler MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI D.E.Ü. İ.İ.B.F..B.F. EKONOMETRİ BÖLÜMÜ mehmet.aksarayl aksarayl@deu.edu.tr Yer Ölçüler (Merkez Eğlm Ölçüler)

Detaylı

İNTEGRAL 6 RİEMANN TOPLAMI : ALT TOPLAM,ÜST TOPLAM VE RİEMANN ALT TOPLAM ÜST TOPLAM. [a, b] R ARALIĞININ PARÇALANIŞI VE RİEMANN TOPLAMI

İNTEGRAL 6 RİEMANN TOPLAMI : ALT TOPLAM,ÜST TOPLAM VE RİEMANN ALT TOPLAM ÜST TOPLAM. [a, b] R ARALIĞININ PARÇALANIŞI VE RİEMANN TOPLAMI [, ] R ARALIĞININ PARÇALANIŞI VE RİEMANN TOPLAMI f : [, ] R sürekli ir foksio olsu. Bu [,] kplı rlığı = <

Detaylı

http://www.metinyayinlari.com Metin Yayınları

http://www.metinyayinlari.com Metin Yayınları LİMİT İÇ KAPAK Bu kitbı bütü ı hklrı sklıdır. Tüm hklrı, zrlr ve METİN YAYINLARI ittir. Kısme de ols lıtı pılmz. Meti, biçim ve sorulr, ıml şirketi izi olmksızı, elektroik, mekik, fotokopi d herhgi bir

Detaylı

1. ÜNİTE. Sayılar ve Cebir 9.2 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER

1. ÜNİTE. Sayılar ve Cebir 9.2 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER . ÜNİTE Sılr ve Cebir 9. DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Trihte ilk ölçme tekikleri prmk klılığı, el geişliği, krış, k gibi ort bodki bir isı vücududki prç ve mesfelerde ol çıkılrk oluşturulmuştur. Fkt ticret

Detaylı

basit cebirsel denkleminin geçerli olduğunu varsayalım. denklemine ait İAD. çıkış düğümüne olan ve kazancı a

basit cebirsel denkleminin geçerli olduğunu varsayalım. denklemine ait İAD. çıkış düğümüne olan ve kazancı a İşret Aış Drmlrı: İşret Aış Drmlrı (İAD), blo drmlrın bstleştrlmş hl olr örüleblr. Ft, İAD fzsel örünüş ve mtemtsel urllr bğlılı ısındn zım urllrı dh serbest oln blo drmlrındn frlıdır. Blo drmlrı, rmşı

Detaylı

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü,

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü, 005 ÖSS SIN KPYSI SYISL ÖLÜM İKKT! U ÖLÜME EVPLYĞINIZ TPLM SRU SYISI 90 IR. İlk 45 Soru Son 45 Soru Mtemtiksel İlişkilerden Yrrlnm Gücü, Fen ilimlerindeki Temel Kvrm ve İlkelerle üşünme Gücü ile ilgilidir.

Detaylı

ORAN ORANTI 2 1 3 - - 4 4 2 1 1 2 ÖYS. = = yazılabilir. veya ALIŞTIRMALAR

ORAN ORANTI 2 1 3 - - 4 4 2 1 1 2 ÖYS. = = yazılabilir. veya ALIŞTIRMALAR YILLAR 00 003 00 00 006 00 008 009 00 0 3 - - ÖYS ORAN ORANTI ve t. t. t.e zılilir. f Or: E z iri sıfır frklı ı iste iki çokluğu ölümüe or eir. Or irimsizir. Ortı : iki ve h fzl orı eşitliğie ortı eir.

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIMLAR :, b, R ve 0 olmk üzere denklem denir. b = 0 denklemine, ikini dereeden bir bilinmeyenli Bu denklemde, b, gerçel syılrın

Detaylı

SAYISAL ANALİZ. Matris ve Determinant

SAYISAL ANALİZ. Matris ve Determinant SAYISAL ANALİZ Mtris ve Determinnt Syısl Anliz MATLAB ile Temel Mtris İşlemleri Genel Mtris Oluşturm Özel Mtris Oluşturm zeros komutu ile sıfırlr mtrisi ones komutu ile birler mtrisi eye komutu ile birim

Detaylı

2. Geriye doğru Yerine Koyma (Back Substitution): Bu adımda, son denklemden başlayarak herbir bilinmeyen bulunur.

2. Geriye doğru Yerine Koyma (Back Substitution): Bu adımda, son denklemden başlayarak herbir bilinmeyen bulunur. Guss Elimisyou Lieer deklem sistemlerii çözmede kullıl e popüler tekiklerde birisi Guss Elimisyou yötemidir. Bu yötem geel bir deklemli ve bilimeyeli lieer sistemi çözümüe bir yklşım getirmektedir....

Detaylı

VEKTÖRLER Koordinat Sistemleri. KONULAR: Koordinat sistemleri Vektör ve skaler nicelikler Bir vektörün bileşenleri Birim vektörler

VEKTÖRLER Koordinat Sistemleri. KONULAR: Koordinat sistemleri Vektör ve skaler nicelikler Bir vektörün bileşenleri Birim vektörler 11.10.011 VEKTÖRLER KONULR: Koordnat ssteler Vektör ve skaler ncelkler r vektörün bleşenler r vektörler Koordnat Ssteler Karteen (dk koordnatlar: r noktaı tesl etenn en ugun olduğu koordnat ssten kullanırı.

Detaylı

BÖLÜM 3 3. REGRESYON İÇİN MATRİS VE VEKTÖR CEBRİ 3.1 VEKTÖRLER VE MATRİSLER

BÖLÜM 3 3. REGRESYON İÇİN MATRİS VE VEKTÖR CEBRİ 3.1 VEKTÖRLER VE MATRİSLER BÖLÜM. REGRESYON İÇİN MRİS VE VEKÖR CEBRİ Bölüm de, doğrusl regreso tek değişkeli sit model olrk ele lırk çıklmıştı. Bölüm 4 de ise çok değişkeli (k değişkeli) model içi giriş pılcktır. Çok değişkeli modelde

Detaylı

Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI

Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI Doç. Dr. Mehmet AKSARALI www.mehmetaksarayl İstatstksel araştırmalarda k yada daha çok değşke arasıdak lşk celemes ç e çok kullaıla yötemlerde brs regresyo aalzdr. Değşkeler arasıdak lşk matematksel br

Detaylı

BEKLENEN DEĞER VE VARYANS

BEKLENEN DEĞER VE VARYANS BEKLEE DEĞER VE VARYAS.1. İadel ve adesz öreklemede tüm mümkü örekler.. Beklee değer.3. Varyas.4. İk değşke ortak dağılımı.5. İstatstksel bağımsızlık.6. Tesadüf değşkeler doğrusal kombasyolarıı beklee

Detaylı

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Gözlee ver düzeleerek çzelgelerle, graklerle suulması çoğu kez yeterl olmaz. Geel durumu yasıtacak br takım ölçülere gereksm vardır. Bu ölçüler verler yalızca özlü br bçmde belrtmekle

Detaylı

Değişkenler Arasındaki İlişkiler Regresyon ve Korelasyon. Dr. Musa KILIÇ

Değişkenler Arasındaki İlişkiler Regresyon ve Korelasyon. Dr. Musa KILIÇ Değşkeler Arasıdak İlşkler Regresyo ve Korelasyo Dr. Musa KILIÇ http://ks.deu.edu.tr/musa.klc 1. Grş Buda öcek bölümlerde celedğmz koular, br tek değşke ç yorumlamalar yapmaya yöelk statstk yötemler üzerde

Detaylı

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ ESKİŞEHİR OSMNGZİ ÜNİVERSİESİ Müendislik Mimrlık Fkültesi İnşt Müendisliği Bölümü E-Post: ogu.met.topu@gmil.om We: ttp://mmf.ogu.edu.tr/topu Bilgisyr Destekli Nümerik nliz Ders notlrı met OPÇU n>m 8 8..

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Taımlayıcı İstatstkler br değerler dzs statstksel olarak geel özellkler taımlaya ölçülerdr Taımlayıcı İstatstkler Yer Göstere Ölçüler Yaygılık Ölçüler Yer Göstere Ölçüler Br dağılımı

Detaylı

TG 6 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK

TG 6 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 6 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testleri her hkkı sklıdır. Hgi mçl olurs olsu, testleri tmmıı ve ir kısmıı

Detaylı

Sonlu kanat Teorisi Açıklık oranıküçük kanatlar etrafındaki akımın fiziksel yapısı

Sonlu kanat Teorisi Açıklık oranıküçük kanatlar etrafındaki akımın fiziksel yapısı Sou kt Teor çıkık orıküçük ktr etrfıdk kımı fke pıı çıkık orı küçük (R < -5 ktr çıkık orı büük (R > -5 ktr UCK5 erodmk der otrı UCK5 erodmk der otrı çıkık orıküçük ktr etrfıdk kımı fke pıı çıkık orıükek

Detaylı

2. BELİRLİ İNTEGRALİN TANIMI ve TEMEL ÖZELLİKLERİ

2. BELİRLİ İNTEGRALİN TANIMI ve TEMEL ÖZELLİKLERİ DERS: MATEMATİK II MAT II () ÜNİTE: BELİRLİ İNTEGRALLER KONU:. ARALIKLARIN PARÇALANMASI. BELİRLİ İNTEGRALİN TANIMI ve TEMEL ÖZELLİKLERİ GEREKLİ ÖN BİLGİLER. semolü ve temel toplm ormülleri. Limiti temel

Detaylı

ÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 1

ÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 1 ÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 1 1) ( y) (y ) ifdesinin çrpnlrındn biri şğıdkilerden hngisidir? A) y B) y C) y D) y E) y 1) ( y) (y ) ifdesini düzenleyip, ortk prnteze lmy çlışlım. ( y) (y ) ( y)( y) (

Detaylı

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN EXCEL İLE ÇÖZÜMÜ

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN EXCEL İLE ÇÖZÜMÜ C.Ü. İktisdi ve İdri Bilimler Dergisi, Cilt 5, Syı 5 DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN EXCEL İLE ÇÖZÜMÜ Öğr. Gör. Dr. Mehmet Ali ALAN Cumhuriyet Üiversitesi İktisdi ve İdri Bilimler Fkültesi Öğr. Gör.

Detaylı

III.4. YÜKSEK MERTEBE TAYLOR METODLARI. ( t)

III.4. YÜKSEK MERTEBE TAYLOR METODLARI. ( t) III.4. YÜKSEK MEREBE AYLOR MEODLARI Saısal tekkler amacı mmum çaba le olablğce uarlı aklaşımlar ele etmektr. Bu eele çeştl aklaşım ötemler vermllğ karşılaştıracak br krtere gereksm varır. İlk ele alıacak

Detaylı

Trace ve Kellogg Yöntemleri Kullanılarak İntegral Operatörlerinin Özdeğerlerinin Nümerik Hesabı

Trace ve Kellogg Yöntemleri Kullanılarak İntegral Operatörlerinin Özdeğerlerinin Nümerik Hesabı Trce ve Kellogg Yöemleri Kullılrk İegrl Operörlerii Özdeğerlerii Nümerik Hesı Erk Tşdemir () ; Yüksel Soyk () ; Melih Göce (3) (¹)Kırklreli Üiversiesi, Kırklreli, Türkiye, erksdemir@homil.com (²)Büle Ecevi

Detaylı

ÜÇGN ÜÇGN ÇI ÖZLLİLİ x ı x 6. ir iç çıorty ile ir dış çıortyı kesişmesiyle oluş çıı ölçüsü m() z z y ı y z z ı 1. Üçgei iç çılrı ölçüleri toplmı 180 d

ÜÇGN ÜÇGN ÇI ÖZLLİLİ x ı x 6. ir iç çıorty ile ir dış çıortyı kesişmesiyle oluş çıı ölçüsü m() z z y ı y z z ı 1. Üçgei iç çılrı ölçüleri toplmı 180 d ÜÇGN ÜÇGN ÇI ÖZLLİLİ x ı x 6. ir iç çıorty ile ir dış çıortyı kesişmesiyle oluş çıı ölçüsü m() z z y ı y z z ı 1. Üçgei iç çılrı ölçüleri toplmı 180 dir. x + y + z 180. Üçgei dış çılrı ölçüleri toplmı

Detaylı

YEREL JEOİD YÜZEYİNİN BELİRLENMESİNDE KULLANILAN ENTERPOLASYON YÖNTEMLERİ

YEREL JEOİD YÜZEYİNİN BELİRLENMESİNDE KULLANILAN ENTERPOLASYON YÖNTEMLERİ YERE JEOİD YÜZEYİNİN BEİRENESİNDE KUANIAN ENERPOASYON YÖNEERİ Kml EKE, ull YAÇINKAYA Krdez ekk Üverstes, Jeodez ve Fotogrmetr üh. Bölümü, 68, rbzo ÖZE Yersel Koum Belrleme Sstem (GPS) le eodezk kotrol

Detaylı

BÖLÜM 6 LİNEER PROGRAMLAMA

BÖLÜM 6 LİNEER PROGRAMLAMA BÖÜ 6 İNEER PROGRAAA 6. GİRİŞ Hedef foksyou ve kısıtlyıılrı, tsrı değşkeler leer fortıd verle optzsyo proleler eer Progrl prole olrk dldırılır. Her e kdr çoğu ühedslk optzsyo proleler leer oly dekleler

Detaylı

[BC] // [AD] [AC] ve [BD] AD =6 br BC =10 br. olduğuna göre, EF MN k a ç birimdir? Ayr ı c a. [AC] ve [BD] EF =6 br BC =8 br.

[BC] // [AD] [AC] ve [BD] AD =6 br BC =10 br. olduğuna göre, EF MN k a ç birimdir? Ayr ı c a. [AC] ve [BD] EF =6 br BC =8 br. YU ( YU TII ORT T YU LI İİZR YU İ YU ) YU TII ORT T Y l n ı z ik i k e n r ı b i r b i r i n e p r l e l l n d ö r t g e n e Y U d e n i r. [ ] / / [ ] i s e y m u k t u r. y m u ğ u n d, ve L kenr rt

Detaylı

KARMAŞIK SAYILAR. Derse giriş için tıklayın...

KARMAŞIK SAYILAR. Derse giriş için tıklayın... KARMAŞIK SAYILAR Derse grş çn tıklayın A Tanım B nn Kuvvetler C İk Karmaşık Sayının Eştlğ D Br Karmaşık Sayının Eşlenğ E Karmaşık Sayılarda Dört İşlem Toplama - Çıkarma Çarpma Bölme F Karmaşık Dülem ve

Detaylı

DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1 stajbaslatmasinavi@gmail.com

DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1 stajbaslatmasinavi@gmail.com Tiri ml rklrii rlıklı vr yömi gör izly bir işlmd döm s iibriyl sk rklrii drm şğıdki gibidir DB Ml Mvd 2 000 Döm içi Ml Alışı 50 000 Alış İd 3 000 Tiri Ml Hs Al Tp 5 000 Tiri Ml Hs Brç Klı 52 000 Yriçi

Detaylı

Giriş. Değişkenlik Ölçüleri İSTATİSTİK I. Ders 5 Değişkenlik ve Asimetri Ölçüleri. Değişkenlik. X i ve Y i aşağıdaki gibi iki seri verilmiş olsun:

Giriş. Değişkenlik Ölçüleri İSTATİSTİK I. Ders 5 Değişkenlik ve Asimetri Ölçüleri. Değişkenlik. X i ve Y i aşağıdaki gibi iki seri verilmiş olsun: Grş İSTATİSTİK I Ders Değşkelk ve Asmetr Ölçüler Ortalamalar, serler karşılaştırılmasıda her zama yeterl ölçüler değldr. Ayı ortalamayı sahp serler arklı dağılım göstereblrler. Bu edele serler karşılaştırılmasıda,

Detaylı

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.

Detaylı

SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI

SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI Yrd Doç Dr Hüse Bıroğu İSTANBUL 6 İÇİNDEKİLER SAYFA -GİRİŞ SAYISAL HESAPLAMALARDA HATA ANALİZİ HATA TANIMI SAYISAL YÖNTEMLERİN SINIFLANDIRILMASI 5 DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN

Detaylı

Polinom İnterpolasyonu

Polinom İnterpolasyonu Polom İterpolasyou (Ara Değer Bulma Br foksyou solu sayıdak, K, R oktalarıda aldığı f (, f (,, f ( değerler bls (foksyou keds blmyor. Bu oktalarda geçe. derecede br tek, P a + a + a + + a (... polumu vardır

Detaylı

( ) ( ) ( ) Üslü Sayılar (32) 2. ( ) ( 2 (2) 3. ( ) ( ) 3 4. ( 4 9 ) eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır? (0) 0,6 0,4 : 4,9 =?

( ) ( ) ( ) Üslü Sayılar (32) 2. ( ) ( 2 (2) 3. ( ) ( ) 3 4. ( 4 9 ) eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır? (0) 0,6 0,4 : 4,9 =? Üslü Sılr. +.4 8 (8) 4. ( ) (. ). ( ) 4 6 ( ) :( ) () + + 5..4. ( ) ( ) () 4. 5 5 ( 4 9 ) 5. 9 + + 9 = + eşitliğini sğln değeri kçtır (0) 6. ( ) ( ) ( ) 0,6 0,4 : 4,9 (-6) 4 8.. c 7. 4.. c ( c ) 8. 6 8

Detaylı

6. DOĞRUSAL REGRESYON MODELİNE MATRİS YAKLAŞIMI

6. DOĞRUSAL REGRESYON MODELİNE MATRİS YAKLAŞIMI 6. DOĞRUSAL REGRESYON MODELİNE MATRİS YAKLAŞIMI Y i β + β X i + β X i + + β k X ki + i (i,,, gibi çok çıklyıcı değişkee ship bir model, şğıdki gibi bir eşlı deklem modelii göstermektedir. Y β + β X + β

Detaylı

LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖETLİ ÇÖÜMLÜ SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Limit Kvrmı ve Grfik Sorulrı... Limitle İlgili Bzı Özellikler...7 Genişletilmiş Reel Sılrd Limit... Bileşke Fonksionun Limiti...

Detaylı

UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-1

UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-1 UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-. A(,, ) ve B(,, ) noktlrı rsındki uklık kç birimdir? 6. A e e e B e e e AB vektörü ile nı doğrultud ıt öndeki birim vektör şğıdkilerden ( e e e ). A(, b, ) B(,, ) noktlrı ve U

Detaylı

Enbüyük uzaklığın. enküçüklenmesi (ENKENB) Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü

Enbüyük uzaklığın. enküçüklenmesi (ENKENB) Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Müendslk Fkültes Endüstr Müendslğ Bölümü Enüük uklığın Doç. Dr. Nl ARAS ENM4 Tess Plnlmsı 06-07 Gü Dönem enküçüklenmes (ENKENB) Yen tess, sstemdek en uk tesse le mümkün olduğun çuk ulşk erde konumlndırmk.

Detaylı

LAMBALAR BÖLÜM X 6. X MODEL SORU 1 DEK SORULARIN ÇÖZÜMLER. K anahtarı açık iken: Z ve T lambaları yanar. X ve Y lambaları = 2 dir.

LAMBALAR BÖLÜM X 6. X MODEL SORU 1 DEK SORULARIN ÇÖZÜMLER. K anahtarı açık iken: Z ve T lambaları yanar. X ve Y lambaları = 2 dir. ÖÜ 0 ODE SOU 1 DE SOUN ÇÖÜE anahtarı açık ken: ve lambaları yanar. ve lambaları yanmaz. N 1 = dr. 1. 3 1 4 5 6 al nız lam ba sı nın yan ma sı çn 4 ve 6 no lu anah tar lar ka pa tıl ma lı dır. CE VP. U

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.

Detaylı

Pr[ ] 1 Pr[ ] 1 ( ) 1 ( ) What if not known?

Pr[ ] 1 Pr[ ] 1 ( ) 1 ( ) What if not known? 1 Mrkov ve Chebychev Eşitsizlikleri Pr [ ] = 1 Pr [ < ] = 1 f ( ) dx = 1 () x dx F Pr[ ] 1 Pr[ ] 1 ( ) 1 ( ) Wht if ot kow? bilimiyor olbilir r.d. i sdece ortlmsıı ve vrysıı bildiğimizi vrsylım. Ortlm

Detaylı

MERAKLISINA MATEMATİK

MERAKLISINA MATEMATİK TRİGONOMETRİ : Siüs i b c R si si y si z İsptı : m(ëo).m(ëa) m(ëo).m(ëb) m(ëo).m(ëc) m(ëo) m(ëo) y m(ëo) z b c b c & si & si y & si y R R R R R R si si y b si z c & & & R R R & R.si & b R.siy & c R.siz

Detaylı

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 03.05.013 ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 1 Nede Örekleme? Öreklemde çalışmak ktlede çalışmakta daha kolaydır. Ktle üzerde çalışmak çok daha masraflı olablr. Çoğu durumda tüm ktleye ulaşmak

Detaylı

Bilgisayar Destekli Tasarım/İmalat Sistemlerinde Kullanılan Modelleme Yöntemleri: Bézier ve Tiriz Eğrileri ve İmalat Uygulamaları

Bilgisayar Destekli Tasarım/İmalat Sistemlerinde Kullanılan Modelleme Yöntemleri: Bézier ve Tiriz Eğrileri ve İmalat Uygulamaları Bilgisr Destekli Tsrım/İmlt Sistemlerinde Kllnıln Modelleme Yöntemleri: Béier ve Tiri Eğrileri ve İmlt Uglmlrı Bilimsel Hesplm II Dönem Projesi Hmdi Ndir Trl İçerik. Giriş. Bilgisrlı Destekli Tsrım (CAD

Detaylı

= + + = ETKİNLİK: ( n ) ( ) ETKİNLİK:

= + + = ETKİNLİK: ( n ) ( ) ETKİNLİK: ERİLER Cebir kurllrı ile ck olu te yıyı toplybiliriz. Bu krşılık mtemtik de ouz yıd yıı toplmı ile de ık ık krşılşmktyız. Öreği; 3 yııı odlık çılımı; 3 3 3 = 0,333... = + + +... gibi bir ouz toplmdır.

Detaylı

YÜKSEKÖĞRETİM KURUMLARI SINAVI MATEMATİK SORU BANKASI ANKARA

YÜKSEKÖĞRETİM KURUMLARI SINAVI MATEMATİK SORU BANKASI ANKARA YÜKSEKÖĞRETİM KURUMLARI SINAVI MATEMATİK SORU ANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Fonksionlr... Polinomlr... II. Dereceden Denklemler... 7 II. Dereceden Fonksionlrın Grfiği (Prbol)... 7 Krmşık Sılr... 9 Mntık...

Detaylı

Matrisler Elementer Satır İşlemleri Gauss Eliminasyon

Matrisler Elementer Satır İşlemleri Gauss Eliminasyon Mtrisler Elementer Stır İşlemleri Guss Eliminson Mtrisler ve Stır İşlemleri Bir mtris dikdörtgen sılr tblosudur. Alt indisler girdilerin erini belirler. stır mn stır A m m m n n n mn Mtrisler boutlrı ile

Detaylı

Örnek...3 : Örnek...1 : ABCD yamuk [AC] köşegen E [AC] [AB] // [CD] AB = AE. Örnek...2 : ABCD yamuk [AB] // [CD] BC = CE AE = BE. Örnek...

Örnek...3 : Örnek...1 : ABCD yamuk [AC] köşegen E [AC] [AB] // [CD] AB = AE. Örnek...2 : ABCD yamuk [AB] // [CD] BC = CE AE = BE. Örnek... YU ( YU TNII ORT TN YU NI İİZNR YU İ YU ) YU TNII Ylnız iki kenrı birbirine prlel oln dörtgene YU denir. [] // [] ise ymuktur. rlel oln kenrlr ymuğun tbnlrıdır. [] ve [] tbn. iğer iki kenr yn kenrlrdır.

Detaylı