IARS Kuantum Bilgi Kuramının Temel. Ders Notları 22 Haziran - 4 Temmuz 2009

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "IARS Kuantum Bilgi Kuramının Temel. Ders Notları 22 Haziran - 4 Temmuz 2009"

Transkript

1 IARS Kuantum Bilgi Kuramının Temel Kavramları Bölüm 1 Ders Notları Haziran - 4 Temmuz 009 Yusuf İpekoğlu ODTÜ Fizik Bölümü Ders Asistanı: Enderalp Yakaboylu ODTÜ Fizik Bölümü Ders Notu Asistanı: Enderalp Yakaboylu ODTÜ Fizik Bölümü Sadi Turgut ODTÜ Fizik Bölümü Ders Asistanı: Kıvanç Uyanık ODTÜ Fizik Bölümü Ders Notu Asistanı: Kıvanç Uyanık ODTÜ Fizik Bölümü 009

2 İçindekiler 1 Kuantum Mekaniğinin Matematiksel Formülasyonu Doğrusal Cebir Dirac Gösterimi Doğrusal Bağımsızlık İç Çarpım Cauchy-Schwarz Eşitsizliği Ortogonallık ve Ortonormal kümeler Bir vektör uzayının boyutu Gram-Schmidt dikleştirme işlemi Doğrusal Operatörler Tamlık Matris Gösterimi Pauli Matrisleri Bazı Özel Doğrusal Operatörler Doğrusal Operatörlerin Özdeğer ve Özvektörleri Hermisyen (Özeşlenik) Operatörler Pozitif Operatörler Ters Operatör Üniter Operatörler Taban Değişimi Köşegen Gösterim Komütatör (Sıra değiştirme) Aynı anda köşegenleştirme teoremi Anti-Komütatör İz Tensör Çarpım Operatörlerin Fonksiyonları Operatörlerin Hilbert-Schmidt İç Çarpımı Kutupsal ve Tekil Değer Ayrışmalar ii

3 1. Kuantum Mekaniğinin Postülaları Klasik mekanikte bir parçacığın durumu nedir? Postüla Postüla : Bir Kuantum Sisteminin Zaman İçindeki Evrimi Postüla Postüla Postüla 4: Kuantum Ölçümleri Kuantum Durumlarının Ayırt Edilmesi İzdüşümsel Ölçüm (von Neumann Ölçümü) Heisenberg Belirsizlik İlişkisi POVM (Pozitif Operatör Değerli Ölçü) Faz Postüla 5: Kompozit Sistemler Kuantum Bilgi Kuramında Temel Kavramlar 39.1 İz fonksiyonu Özellikler Topluluklar ve yoğunluk matrisleri Özellikler Yoğunluk matrisinin özellikleri Bloch Küresi Kuantum Mekaniğinin Postulaları * Kısmi iz Sinyal Gönderememe Teoremi EPR Korelasyonları Kopyalanamama Teoremi Kuantum Kriptografi Simetrik şifreleme sistemleri Kuantum anahtar dağıtımı

4 Bölüm 1 Kuantum Mekaniğinin Matematiksel Formülasyonu 1.1 Doğrusal Cebir Dirac Gösterimi Bir kuantum sistemi, Hilbert uzayı denilen, iç çarpımın tanımlı olduğu sonlu ya da sonsuz boyutlu bir karmaşık vektör uzayında tanımlıdır. Örnek olarak elektronun uzay kısmı sonsuz boyutta tanımlı iken, spin kısmı sonlu boyutta tanımlanmaktadır. En basit örnek boyuttur. İç çarpım vektör uzayı, uzunluğun ve açıların ölçülebildiği bir vektör uzayıdır. n-boyutlu vektör uzayı: C n : C C C } {{ } n defa (1.1) Bir vektör uzayının elemanlarına vektör denir. C n için, α 1 α α n. = α bir vektörün Dirac gösterimidir (ket) 1

5 Bölüm 1. Kuantum Mekaniğinin Matematiksel Formülasyonu 1.1 burada α i karmaşık sayılardır (i = 1,, n). Vektörlerin özellikleri : i) toplamaya göre sıra değiştirme özelliği: α + β = β + α, ii) dağılma özelliği: α + ( β + γ ) = ( α + β ) + γ, iii) bir skalar (bir karmaşık sayı) ile çarpım özelliği: cα 1 cα c α =.. cα n. Bir vektör uzayında c α ve α farklı vektörlerdir, fakat Kuantum Mekaniğinde bu iki vektör aynı fiziksel durumu temsil eder. Bir skalerle çarpım işleminin özellikleri: burada c, d C ve α, β V c( α + β ) = c α + c β (1.) (c + d) α = c α + d α (1.3) (cd) α = c(d α ) (1.4) Sıfır vektörü 0 işaretiyle gösterilir. Dikkat edilmesi gereken bir nokta bunun bir skaler sayı olmaması. Sıfır vektörünü göstermek için 0 simgesini kullanmıyoruz. Örneğin, C de tanımlı sıfır vektörü aşağıdaki gibidir =.. 0 Herhangi bir α V için α + 0 = α dır. Bir vektör uzayı olan V nin bir altkümesi olan W yine bir vektör uzayı olma özelliğine sahipse, W ya bir altuzay (vektör altuzayı) diyoruz. Bu durumda W kümesi, skalar ile çarpım ve toplama kuralı altında kapalıdır.

6 1.1 Doğrusal Cebir Doğrusal Bağımsızlık Eğer c 1 α 1 +c α + +c m α m = 0 denklemi ancak ve ancak c 1 = c = = c m = 0 durumunda sağlanıyorsa, bu vektör kümesi, yani { α 1, α, α m } doğrusal bağımsızdır. Diğer durumlarda bu vektörlerin doğrusal bağımlı olduğunu söyleriz İç Çarpım İki vektörün, α, β V, iç çarpımı bir karmaşık sayıdır ve şu şekilde gösterilir: İç çarpım aşağıdaki özellikleri sağlar; 1) İkinci argümanına göre doğrusaldır. ) Skew simetri özelliği: ( α, β ) = α β (1.5) ( α, c β + d γ ) = c α β + d α γ (1.6) α β = β α (1.7) 3) Vektörlerin kendileriyle çarpımı negatif değildir. Yani α α 0 Ayrıca, eşitlik sadece α = 0 olduğunda geçerlidir. (1.8) Burada α sembolü ayrı bir vektör uzayındaki bir vektör gibi algılanabilir. Bunlara bra adı verilir. α ya, ket vektör α nın dual vektörü de denir. Matris formda, ket α bir sütün vektörü iken, bra, α bir satır vektörüdür. Yani α 1 α α n α =., α = (α 1 α αn), (1.9) ve iç çarpımda, β 1 β α β = (α1 α αn). = n αi β i. (1.10) i=1 β n

7 4 Bölüm 1. Kuantum Mekaniğinin Matematiksel Formülasyonu 1.1 Bir vektörün uzunluğu ise α = α α (1.11) şeklinde hesaplanır. Bu uzunluğa vektörün normu da denir. Sıfır vektörü olmayan herhangi bir vektör, o vektörün uzunluğuna bölünerek, birim vektör haline getirilebilir: α = Birim vektör (1.1) α C n uzayında α = n α i. (1.13) Dolayısıyla, eğer α bir birim vektör ise, n i=1 α i = 1 eşitliği sağlanmalıdır. i= Cauchy-Schwarz Eşitsizliği Herhangi α ve β vektörleri için, α β α α β β. (1.14) Kanıt: Diyelim ki γ = α c β ve c = β α olsun. γ γ 0 eşitsizliğini açtığımızda β β bunun yukarıdaki eşitsizliği verdiğini görebiliriz. Cauchy-Schwarz eşitsizliğindeki eşitlik durumu sadece ve sadece iki vektör birbirlerine paralelse ( α = c β ) sağlanır Ortogonallık ve Ortonormal kümeler α ve β sıfır olmayan iki vektör olsun. Eğer bu iki vektörün iç çarpımları sıfır ise bu iki vektörün birbirine ortogonaldır denir. { α 1, α,... α n } bir vektör kümesi olsun. Eğer α i α j = δ ij ise, bu kümenin ortonormal olduğunu söyleriz. Bu ortonormal vektörlerin kümesi, doğrusal bağımsızdır ve kümedeki her bir vektör bir birim vektördür Bir vektör uzayının boyutu Bir vektör uzayının boyutu maksimum sayıdaki doğrusal bağımsız bir vektörlerin sayısına eşittir. { α 1, α,... α n } doğrusal bağımsız vektör kümesi olsun. Bu küme n-boyutlu

8 1.1 Doğrusal Cebir 5 bir vektör uzayının bir tabanını oluşturur. Bu taban ortogonal ya da ortonormal olmak zorunda değildir. Dolayısıyla herhangi bir vektör, bu taban cinsinden açılabilir: n α = a i α i. (1.15) i=1 Buradaki a i karmaşık sayıları, { α 1, α,, α n } tabanına göre α vektörünün biricik bir şekilde belirlenen bileşenleridir. Eğer taban { α 1, α,, α n } ortonormal ise, bileşenler a i = α i α (1.16) şeklinde hesaplanabilir ve bu sayı kümesi, bu vektörün bir gösterimini oluşturur. Örnek: Diyelim ki C de tanımlı α V olsun. α = a 1 α 1 + a α (1.17) ( ) ( ) 1 0 burada α 1 = ve α = bir tabanın vektörleridir. Aynı vektör bir 0 1 başka tabanda da yazılabilir. α = a 1 α 1 + a α (1.18) ( ) ( ) Buradaki taban vektörleri de α 1 = 1 1 ve α = 1 1 ise 1 1 a 1 = 1 (a 1 + a ) a = 1 (a 1 a ) (1.19) olduğu rahatlıkla görülebilir Gram-Schmidt dikleştirme işlemi { α 1, α,, α n } kümesi, n-boyutlu bir Hilbert uzayında herhangi bir taban olsun. Bu taban Gram-Schmidt dikleştirme işlemi ile ortonormal hale getirilebilir. Önce β 1 α 1 α 1 tanımlanır. Sonra da her 1 k n 1 için β k+1 vektörü, β 1,, β k vektörleri cinsinden β k+1 α k+1 k i=1 β i α k+1 β i α k+1 k i=1 β i α k+1 β i (1.0)

9 6 Bölüm 1. Kuantum Mekaniğinin Matematiksel Formülasyonu 1.1 olarak tanımlanır. Bu şekilde tanımlanan vektörlerden oluşan { β 1, β,, β n } kümesi ortonormal bir taban olmuş olur Doğrusal Operatörler Bir A operatörü, her bir vektörü, bir başka vektöre götüren bir fonksiyondur. A : α V β W (1.1) Buradaki V ve W farklı boyutlarda uzaylar olabilir, fakat kuantum mekaniğinde çoğunlukla her iki uzay da aynıdır, yani A : α V β V (1.) Bu fonksiyon ilişkisi kısaca A α = β şeklinde gösterilir. Bunlar operatörlerin genel özellikleridir. α ve β herhangi iki vektör, a ve b de iki karmaşık sayı olsun. Eğer A operatörü, A(a α + b β ) = aa α + ba β (1.3) denklemini sağlıyorsa, A operatörü doğrusaldır denir. En basit doğrusal operatör birim operatörüdür: 1 α = α. (1.4) Bir diğeri ise sıfır operatörüdür. Sıfır operatörünü N ile gösterirsek N α = 0, (1.5) şeklinde tanımlanır. Fakat biz sıfır operatörünü N = 0 şeklinde gösteririz. Bunun skaler 0 ve vektör 0 dan farklı olduğunda dikkat edilmesi gerekir. A ve B iki operatör olsun, her α V vektörü için eğer A α = B α (1.6) ise A ve B eşittir denir (A = B). İki doğrusal operatörün toplamı yine doğrusal bir operatördür. Yani, her α V vektörü için C = A + B (1.7) C α = (A + B) α = A α + B α (1.8)

10 1.1 Doğrusal Cebir 7 Aynı şekilde iki doğrusal operatörün çarpımı da yine doğrusal bir operatördür. D = AB (1.9) D α = (AB) α = A(B α ) (1.30) A+B = B+A, fakat genel olarak, AB BA. Sadece özel durumlarda AB = BA eşitliği sağlanır Tamlık { α i } ortonormal bir taban olsun. Herhangi bir { α } vektörü için, bileşenlerle vektör arasındaki ilişkilerin α = i a i α i a i = α i α (1.31) denklemleriyle verildiği yukarıda belirtilmişti. Eğer n i=1 α i α i şeklinde bir operatör tanımlarsak ve bu operatörü α vektörüne etki ettirirsek ( n α i α i ) α = i=1 n α i α i α = i=1 1 α = α n a i α i = α (1.3) Bu denklem bütün olası α vektörleri tarafından sağlandığı için de n α i α i = 1 i=1 olduğunu görürüz. Bu birim operatörü olup, yukarıdaki bağlantıya tamlık ilişkisi denir. Tek bir ortonormal taban olmadığından, birim operatörü sonsuz değişik şekilde açılabilir. Hem kuantum mekaniği hem de Hilbert uzayı doğrusal olduğundan, operatörlerimiz de doğrusaldır. Fakat doğrusal olmayan kuantum mekaniği girişimlerinin de bulunduğunu belirtmek gerekir. i= Matris Gösterimi V vektör uzayında, doğrusal bir operatör tam bir vektör kümesi yardımıyla bir kare matris ile temsil edilebilir. Biz fiziksel Hilbert uzayındaki operatörler ile ilgileneceğiz. A α = β (1.33)

11 8 Bölüm 1. Kuantum Mekaniğinin Matematiksel Formülasyonu 1.1 Her iki vektörü de { γ i }, i = 1,, n gibi bir ortonormal küme üzerinden açarsak, α = β = n a i γ i a i = γ i α i=1 n b i γ i b i = γ i β (1.34) i=1 ve b i = γ i β = γ i A α = γ i A( n a j γ j ρ) = j=1 Burada A ij = γ i A γ j olup, son olarak, n a j γ i A γ j = j=1 n A ij a j dir. j=1 (1.35) b 1 A 11 A 1 a 1 n b i = A ij a j b = A 1 A a (1.36) j=1... matris denklemini elde ederiz. Bu gösterimler tabi ki bu tabanlara bağlıdır. A ij sayılarına A opearatörünün { γ i } tabanındaki matris elemanları denir. Farklı tabanlardaki matrix gösterimleri farklıdır. Bir ket in gösterimi a 1 α = a (1.37). iken bir bra nınki ise α = ( ) a 1 a (1.38) dır ve iç çarpım da α β = b 1 ( ) a 1 a b (1.39). = a 1b 1 + a b + olur.

12 1.1 Doğrusal Cebir Pauli Matrisleri Bu matrisler oldukça büyük bir öneme sahiptir. Herhangi bir matrix, Pauli matrisleri ve birim matris cinsinden yazılabilir. ( ) ( ) i σ 1 = σ x =, σ = σ y =, σ 3 = σ z = 1 0 i 0 ( ) 1 0. (1.40) 0 1 Bu gösterimler standart gösterimlerdir. Her bir Pauli matrisi için ( ) σi 1 0 = 1 = 0 1 (1.41) ve σ i σ j = δ ij + iɛ ijk σ k dır. (1.4) Yukarıdaki denklemde ɛ ijk 1 eğer ijk 13 ün çift permütasyonu ise ɛ ijk = 1 eğer ijk 13 ün tek permütasyonu ise 0 diğer durumlarda (1.43) şeklinde tanımlanan tamamiyle anti-simetrik bir tensördür. (Levi-Civita tensörü) Örneğin ɛ 13 = ɛ 31 = ɛ 31 = 1, ɛ 13 = ɛ 31 = ɛ 13 = 1, ɛ 111 = ɛ 1 = = 0 (1.44) ( Anti-simetrik demek ɛ ijk = ɛ jik = ɛ ikj demektir.) Bazı Özel Doğrusal Operatörler İzdüşüm Operatörleri (Projection operators) Oldukça önemli operatörlerdendir. Eğer α V bir birim vektör ise, tek boyutlu izdüşüm P α P α = α α (1.45) olur ve bir γ vektörüne uygularsak, P α γ = α α γ = α γ α (1.46)

13 10 Bölüm 1. Kuantum Mekaniğinin Matematiksel Formülasyonu 1.1 γ vektörünün α yönündeki bileşenini almış oluruz. γ Pα α γ α (1.47) Herhangi bir γ vektörünü α yönündeki izdüşümünü aldığı için izdüşüm olarak adlandırılır. P α α = α α α = α (1.48) eğer α γ = 0 ise P α γ = 0 olur İzdüşüm operatörlerinin özelliği olmasıdır. Çok boyutlu altuzaylar üzerine izdüşümler P = P α = P α (1.49) k α l α l (1.50) l=1 şeklinde açılabilir. Burada k izdüşüm edilecek altuzayın boyutudur ve { α 1, α k } altuzayın ortonormal bir tabanıdır. Yine aynı şekilde P = P dir. Yukarıda örneği verilen bütün izdüşümlere dik izdüşüm de denir. Yani, eğer α verilen altuzaya dik bir vektör ise, o zaman izdüşüm de P α = 0 dır. Bundan ayrı olarak, dik olmayan izdüşümler de vardır. P = P denklemini sağlayan bütün P operatörleri birer izdüşümdür. Ama, P nin bir dik izdüşüm olabilmesi için ayrıca hermisyen olması da gerekir Doğrusal Operatörlerin Özdeğer ve Özvektörleri Bir doğrusal A operatörünün özvektörü sıfır olmayan bir vektördür, öyle ki A α = α α (1.51) denklemi sağlansın. Burada α bir karmaşık sayı olup, A nın α özvektörüne karşılık gelen özdeğeridir. Bu denklemin her zaman bir çözümü vardır. α ve A α vektörlerini bir { γ i } i = 1,, ortonormal tabanında açarsak; α = n i 1 a i γ i, A α = n c i γ i (1.5) i=1

14 1.1 Doğrusal Cebir 11 elde ederiz. Burada a i = γ i α ve c i = γ i A α = j γ i A γ j a j = j A ij a j (1.53) olup özdeğer denklemimiz de; olur, buradan da ( n ) A ij αa i γi = 0 (1.54) i=1 j=1 n (A ij αδ ij )a j = 0 i = 1,, (1.55) j=1 olur ve bu denklemin çözümü için de A 11 α A 1 det(a α1) = A 1 A α = 0 (1.56). denklemi çözülür. Bu denklemin n tane karmaşık kökü vardır ve bu kökler gösterimden bağımsızdır Hermisyen (Özeşlenik) Operatörler Bir H Hilbert uzayında, bir A operatörü için, A tekil doğrusal operatörü tanımlıdır. A operatörüne A operatörünün özeşleniği ya da Hermisyen eşleniği denir. Öyle ki α A β = α A β (1.57) olur. Özellikleri ise, ( i (A + B) = A + B (1.58) (A ) = A (1.59) (AB) = B A (1.60) ( α ) = α (1.61) ( α ) = α (1.6) (A α ) = α A (1.63) ( v u ) = u v (1.64) a i A i ) = i a i A i (1.65)

15 1 Bölüm 1. Kuantum Mekaniğinin Matematiksel Formülasyonu 1.1 Bizim kuantum mekaniğinde ilgileneceğimiz özel operatörler Hermisyen operatörlerdir, yani A = A. (1.66) Dik izdüşümler hermisyen operatörlerdir: P = P. (1.67) Her dik izdüşüm P için, Q = 1 P operatörü de bir dik izdüşümdür. Yani Q = Q ve Q = Q. Hermisyen operatörler için skaler çarpım α Aα gerçeldir. Bir Hermisyen operatörün özdeğerleri de gerçeldir, A α = α α (1.68) α A α } {{ } reel Pozitif Operatörler = α α α α } {{ } gerçeldir. (1.69) reel Hermisyen operatörlerin özel bir alt kümesini oluştururlar. A bir operatör olsun. Eğer H uzayında tanımlı herhangi bir v vektörü için, v A v 0 (1.70) ifadesi sağlanıyorsa A operatörü pozitif yarı-tanımlıdır denir ve A 0 ile gösterilir. Eğer, bütün v 0 için v A v > 0 (1.71) ise A pozitif tanımlıdır (positive definite) denir ve A > 0 ile gösterilir. Pozitifyarıtanımlı operatörlerin bütün özdeğerleri 0 ya da pozitif bir gerçel sayıdır. Pozitif-tanımlı operatörlerin bütün özdeğerleri ise pozitftir. Herhangi bir A operatörü için, A A operatörü her zaman pozitiftir. Bir hermisyen operatörün özvektörlerinden Hilbert uzayında ortonormal bir taban oluşturulabilir. Verilen bir A hermisyen operatörü için, A nın özvektörlerinden her zaman ortonormal tabanlar inşa edilebilir. Hilbert uzayındaki herhangi bir vektör bu tabanlar cinsinden doğrusal süperpozisyon olarak yazılabilir. Bu özelliğe tamlık denir. A nın özvektörler kümesi, bir tam ortonormal küme oluşturur.

16 1.1 Doğrusal Cebir Ters Operatör Bir A doğrusal operatörünü düşünelim. Eğer bir B operatörü AB = BA = 1 (1.7) denklemini sağlıyorsa, B operatörü A nın tersidir. Yani B = A 1. β = A α α = A 1 β (1.73) Eğer A α = 0 ve A nın tersi tanımlı ise α = Üniter Operatörler Bir U operatörü UU = U U = 1 (1.74) denklemini sağlıyorsa, üniterdir. Yani U = U 1. İki üniter operatörün çarpımı yine üniterdir. Mesela UU = U U = 1 (1.75) V V = V V = 1 (1.76) ise (UV ) (UV ) = V U UV = V V = 1 (1.77) olur ve benzer şekilde (UV )(UV ) = 1 olduğu gösterilebilir. Örnek olarak dönme operatörü üniterdir. Üniter operatörler iç çarpımı korurlar: Taban Değişimi γ = U α v = U β (1.78) γ v = α U U β = α β (1.79) Bir gösterim her zaman değiştirilebilir. Bir S üniter matrisi yardımı ile, bir ortonormal tabandan { γ i }, bir diğer ortonormal tabana { γ i } geçmek mümkündür: γ i = n S ij γ i i = 1,, 3,, n. (1.80) j=1

17 14 Bölüm 1. Kuantum Mekaniğinin Matematiksel Formülasyonu 1.1 Herhangi bir vektör için α = i a i γ i a i = γ i α (1.81) α = j a j γ j = i,j a js ij γ i (1.8) a i = j S ji a j (1.83) Bir operatörün M ve M matris gösterimleri de, γ i ve γ i tabanlarına göre bir üniter operatör ile bağlıdır. M = S 1 MS (1.84) Köşegen Gösterim Bir A operatörünün önemli bir gösterimi de A nın özvektörlerini taban alan köşegen gösterimdir. Bu tabanda matris gösterimi A = i λ i i i (1.85) olur ve burada λ i, i vektörüne karşılık gelen özdeğerdir. Bu gösterime, A operatörünün tayfsal ayrışması (spectral decomposition) denir. A nın özdeğerler kümesine A nın tayfı denir. Örnek: σ z = ( ) ( ) ( ) , 0 =, 1 =, (1.86) σ z = (1.87) Bu σ z nin tayfsal ayrışmasıdır. Aynı { 0, 1 } tabanında σ x i açarsak, ( ) 0 1 σ x = = (1.88) 1 0

18 1.1 Doğrusal Cebir 15 Bu ise tayfsal ayrışma değildir. σ x i köşegen yapacak taban ise ( ) ( ) + = 1 1, = (1.89) olup, bu durumda σ x = + + (1.90) tayfsal ayrışması elde edilir. Burada { +, } ve { 0, 1 } tabanları arasındaki dönüşüm bir üniter matris olan Hadamard Kapısı, S ile yapılır: ( ) S = (1.91) 1 1 Bir operatörün köşegen gösterimi varsa köşegenleştirilebilir denir. Fakat her operatör köşegenleştirilebilir değildir. Her Hermisyen ve üniter operatör bir ortonormal taban yardımıyla köşegenleştirilebilir. Bu özelliği sağlayan en genel sınıf operatörlere normal operatör denir. Bir A operatörü AA = A A (1.9) denklemini sağlıyorsa normal operatördür. Bir V vektör uzayında tanımlı herhangi bir A normal operatörü bu uzaydaki bir tabana göre köşegenleştirilebilir. Benzer şekilde bu ilişkinin tersi de doğrudur Komütatör (Sıra değiştirme) İki operatör olan A ve B nin komütatörü şeklinde tanımlıdır. Her α H vektörü için denklemini sağlar. Özellikleri ise [A, B] = AB BA (1.93) [A, B] α = (AB BA) α = AB α BA α (1.94) [A, B] = [B, A], (1.95) [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B (sırasına dikkat) (1.96)

19 16 Bölüm 1. Kuantum Mekaniğinin Matematiksel Formülasyonu 1.1 Eğer iki operatörün komütatörü sıfır ise, bu iki operatör komüt eder veya değişme özelliğini sağlar denir. Normal operatörler [A, A ] = 0 ifadesini sağlarlar Aynı anda köşegenleştirme teoremi Eğer iki A ve B normal operetörünü birden köşegenleştirebilecek bir ortonormal taban var ise o zaman bu operatörler komüt eder. A = i λ i i i (1.97) B = j AB = ij BA = ij ρ j j j (1.98) λ i ρ j i i j }{{} δ ij j = λ i ρ j j j i }{{} δ ij i = λ i ρ i i i (1.99) i λ i ρ i i i (1.100) AB BA = 0 (1.101) Bunun tersi de geçerlidir. Yani iki normal A ve B operatörü komüt ediyorsa ([A, B] = 0), o zaman her ikisini birden köşegenleştiren bir ortonormal taban bulunabilir. Diğer bir deyişle, öyle bir { i } ortonormal taban vardır ki, (1.97) ve (1.98) denklemleri sağlanır. i 1.1. Anti-Komütatör İki A ve B operatörünün anti-komütasyonu {A, B} = AB + BA (1.10) şeklinde tanımlanır ve eğer {A, B} = 0 ise A ve B nin anti-komüt ettikleri söylenir. Pauli matrislerine geri dönersek, {σ i, σ j } = δ ij 1 (1.103) [σ i, σ j ] = iɛ ijk σ k (1.104) bu iki denklemden de σ i σ j = δ ij + iɛ ijk σ k ifadesini bulmuş oluruz.

20 1.1 Doğrusal Cebir İz Bir matrisin izi(trace) bu matrisin köşegen elemanlarının toplamı olarak tanımlanır ve iz benzerlik dönüşümleri altında değişmez: İzin özellikleri: tr(a) = n A ii. (1.105) i=1 tr(a + B) = tr(a) + tr(b) (1.106) tr(ca) = ctr(a), c C (1.107) tr(ab) = tr(ba) (1.108) tr(abc) = tr(cab) = tr(bca). (1.109) (1.110) Bir operatörün izi ise matris gösteriminin izidir. Bu iz gösterimden bağımsızdır. Ayrıca iz özdeğerlerin toplamına eşittir. A = i λ i i i (1.111) tr(a) = tr( i λ i i i ) = i λ i. (1.11) ve tr(u AU) = tr(uu A) = tr(a) iz üniter dönüşüm altında değişmez (1.113) tr(a α α ) = i A α α i = α A α = A (A nın beklenen değeri) i (1.114) Tensör Çarpım Tensör çarpım, vektör uzaylarını bir araya getirerek daha geniş bir vektör uzayı oluşturmak için kullanılan yöntemdir. Bu işlem kuantum mekaniğinde çoklu parçacıkları anlamak için oldukça önemlidir. m boyutlu H 1 ve n boyutlu H iki Hilbert uzayını düşünelim. Bu iki uzayın tensör çarpımı H = H 1 H (1.115)

21 18 Bölüm 1. Kuantum Mekaniğinin Matematiksel Formülasyonu 1.1 m n boyutlu bir uzaydır, ve aşağıda sıralanan özelliklere sahiptir. Her α H 1 ve β H için H = H 1 H içinde tanımlı α β şeklinde gösterilen bir vektör vardır. Tanım gereği tensör çarpım aşağıdaki özellikleri sağlar. (i) Herhangi α H 1 ve β H için ve c C olmak kaydıyla c( α β ) = (c α ) β = α (c β ) (1.116) (ii) Herhangi α 1, α H 1 ve β H için ( α 1 + α ) β = α 1 β + α β (1.117) (iii) Herhangi α H 1 ve β 1, β H için α ( β 1 + β ) = α β 1 + α β (1.118) (iv) α β α β = α α β β. (1.119) Kısa gösterim olarak kullanılabilir. α β = α β = α β = α, β = αβ (1.10) byt(h) = byt(h 1 ) byt(h ) = m n (1.11) } {{ } } {{ } m n Eğer i (i = 1,,, m) H 1 in ortonormal bir taban ve j (j = 1,,, n) H nin ortonormal bir tabanı ise, i j (i = 1,,, m; j = 1,,, n) (1.1) H = H 1 H uzayının ortonormal bir tabanıdır. Örnek olarak eğer H 1 ve H, iki boyutlu Hilbert uzayları ise, H ın boyutu 4 olup, olası bir tabanı da { 0 0, 0 1, 1 0, 1 1 } (1.13)

22 1.1 Doğrusal Cebir 19 olur ve herhangi bir ψ H vektörü bu tabanda yazılabilir. ψ = C C C C (1.14) ve genel olarak burada C ij = ij ψ olur. Tensör çarpım uzayında Operatörler A ve B sırasıyla H 1 ve H uzaylarında etki eden doğrusal operatörler ise, A B de H = H 1 H de etki eden yine doğrusal bir operatör olur. (A B)( α β ) = (A α ) (B β ) (1.15) Aynı şekilde eğer ψ = i,j C ij i j H ise (A B) ψ = i,j C ij (A i ) (B j ) (1.16) olur. O, H uzayında etki eden herhangi doğrusal bir operatör olsun. O operatörünü, H 1 e etki eden A i doğrusal operatörleri ve H ye etki eden B i doğrusal operatörleri cinsinden doğrusal superpozisyon şeklinde yazabiliriz. Yani O = ij γ ij A i B j dir. (1.17) Tensör çarpım uzayında iç çarpım ψ, φ H iki vektör olsun ψ = ij c ij i j = ij c ij ij (1.18) φ = ij d ij ij (1.19) bu iki vektörün iç çarpımı ψ φ = ( ij c ij i j )( kl d kl k l ) (1.130) = c ijd kl i k j l (1.131) }{{} }{{} ijkl δ ik δ jl = ij c ijd ij (1.13)

23 0 Bölüm 1. Kuantum Mekaniğinin Matematiksel Formülasyonu 1.1 aynı şekilde φ ψ = ij c ij d ij (1.133) olur ve ψ ψ = ij c ij 0dır; eşitlik sadece ψ = 0 olduğunda geçerlidir. (1.134) A B operatörünün matris gösterimi de k = i j tabanında yazılır. A = B = A 11 A 1 A 1m. (1.135) A m1 A m A mm B 11 B 1 B 1n.. B n1 B n B nn ise bu matrislerin tensör çarpımı (Kronecker Çarpım) A 11 B A 1 B A 1m B A B =. A m1 B A mm B nm nm (1.136) Buradaki A 11 B gibi ifadeler, B matrisinin A 11 skaler sayısıyla çarpımını gösterir ve A B matrisinin alt-bloklarını oluşturur. Örnek: ( ) 0 1 σ x σ z = 1 0 ( ) 1 0 = ve α = 1 ( 0 1 ) = ve β = 1 ( ) = + için de (1.137) ( ) ( ) α β = = (1.138)

24 1.1 Doğrusal Cebir 1 olur. Ayrıca A A A } {{ } k defa ψ ψ ψ } {{ } k defa = k A (1.139) = k ψ (1.140) şeklinde bir kısa gösterim kullanılabilir. Bazı özellikleri : (A B) = A B (1.141) (A B) T = A T B T (1.14) (A B) = A B (1.143) Eğer A ve B üniter ise A B de üniterdir. Eğer A ve B Hermisyen ise A B de Hermisyendir. Eğer A ve B pozitif ise A B de pozitiftir. Eğer A ve B izdüşüm ise A B de izdüşümdür Operatörlerin Fonksiyonları Operatör ve matrisler için tanımlanacak bir çok fonksiyon vardır. Karmaşık sayılardan karmaşık sayılara tanımlı (C C) verilen bir fonksiyon için, operatörlere karşılık gelen fonksiyonları tanımlamak mümkündür. z = 0 noktasında analitik olan bir fonksiyon için, MacLaurin seri açılımı yapabiliriz. f(z) = f(0) + f (0) 1! z + f (0) z + =! n=0 f (n) (0) z n (1.144) n! bir doğrusal operatör için de operatör fonksiyonu aynı şekilde tanımlanabilir f(a) = f(0)1 + f (0) 1! A + f (0) A + =! n=0 f (n) (0) A n (1.145) n! Normal bir operatör içinse, operatör fonksiyonu yazmanın daha kolay bir yolu vardır. Diyelim ki A normal bir operatör olsun, dolayısıyla bu operatörün

25 Bölüm 1. Kuantum Mekaniğinin Matematiksel Formülasyonu 1.1 tayfsal ayrışması vardır A = i λ i i i (1.146) Bu durumda, herhangi bir fonksiyon da, f(a) = i f(λ i ) i i (1.147) olarak tanımlanır. Örnek olarak bir pozitif operatörün karekökü A = λi i i (1.148) i olarak tanımlanır. Benzer şekilde log A = i log λ i i i ve exp A = i exp λ i i i tanımlanır. ( ) ( ) 1 0 e θ 0 σ z = exp(θσ z ) = e θ (1.149) Pauli Matrislerinin üstelleri Eğer ˆn, R 3 te tanımlı bir birim vektör ve σ = (σ 1, σ, σ 3 ) ise exp(iθˆn σ) = cos θ1 + i sin(θ)ˆn σ (1.150) olur Operatörlerin Hilbert-Schmidt İç Çarpımı H Hilbert uzayında tanımlı doğrusal operatörlerin kümesi, L(H), bir vektör uzayıdır. İki doğrusal operatörün toplamı yine doğrusal bir operatördür. Eğer A doğrusal bir operatör ise, bu operatörün bir karmaşık sayı ile çarpımı za yine doğrusal bir operatördür. Sıfır elemanı vardır. (sıfır operatörü) L(H) aynı zamnda bir Hilbert uzayı gibi düşünülebilir. Bu uzayda tanımlanabilecek olası bir iç çarpım Hilbert-Schmidt iç çarpımıdır ve (A, B) = tr(a B) (1.151)

26 1.1 Doğrusal Cebir 3 olarak tanımlanır. Bu durumda tr(a (bb + cc)) = btr(a B) + ctr(a C) (1.15) (B, A) = (A, B) tr(b A) = tr(a B) (1.153) tr(a A) 0 (1.154) olur. Eğer H, n boyutlu ise, L(H) ın boyutu da n dir. Örnek olarak bir qubit uzayında herhangi bir operatör, I, σ x, σ y, σ z operatörleri cinsinden yazılabilir. Dolayısıyla qubit için operatörlerin uzayı 4 boyutludur Kutupsal ve Tekil Değer Ayrışmalar Kutupsal Ayrışma V vektör uzayında tanımlı, A doğrusal bir operatör olsun, öyle U üniter ve J ve K pozitif operatörler vardır ki A = UJ }{{} sol kutupsal ayrışma = KU }{{} sağ kutupsal ayrışma (1.155) burada J = A A ve K = AA olur. Eğer A tersi olan bir operatör ise, U tekildir. Tekil Değer Ayrışma Kutupsal ayrışma ve tayfsal ayrışma teorilerinin ikisini birden içerir. A bir kare matris olsun, öyle U ve V üniter matrisleri ve D negatif olmayan elemanlara sahip köşegen matris vardır ki olur. A = UDV (1.156)

27 4 Bölüm 1. Kuantum Mekaniğinin Matematiksel Formülasyonu Kuantum Mekaniğinin Postülaları 1..1 Klasik mekanikte bir parçacığın durumu nedir? Klasik mekanik n parçacıklı bir fiziksel sistemin belli bir zamanda t 0 durumu, onun pozisyonları x 1 (t 0 ), x (t 0 ),, x n (t 0 ) ve hızları x1 (t 0 ), x (t 0 ),, xn (t 0 ) ile tanımlanır. Newton yasaları, ilk halleri bilinen sistemin sonraki herhangi bir t anındaki durumunu bilmemizi sağlar. Newton un ikinci yasası d P k dt = m k d x k dt = F ( x 1, ) (1.157) olup bu denklemin çözümü bizim fiziksel sistemin tamamını belirlememizi sağlar. Dolayısıyla tamamiyle belirlenimcidir (deterministic). Prensipte, istatistiksel mekanik de bu şekildedir. Kuantum mekaniğinde ise işler farklıdır. - Kuantum mekaniği tamamıyla farklı bir matematiksel çerçeveye dayalıdır. - Fiziksel sistemin hangi yasalara uyacağının bilgisini vermez. Bize sadece fiziksel sistemin uyduğu yasaların gelişimi hakkında kavramsal ve matematiksel çerçeve sağlar. - Bu işlemin özü temel postülalara dayalıdır. Özellikle ölçüm sürecine dikkat etmek gerekir. - Bu postülalar fiziksel dünya ile kuantum mekaniğinin matematiksel formalizmi arasındaki ilişkiyi kurar. - Bu postülalar bir çok deneme ve hatanın sonunda ve uzun bir süreç sonrasında bulunmuşlardır. - Bu motivasyonlar her zaman açık olmayabilir. - Bunlar sezgisel değillermiş gibi gözükebilirler. - Yüz yılı aşkın süredir gerçekleştirilen deneyler gösteriyor ki doğa bu postülalara uymaktadır. 1.. Postüla 1 Yalıtılmış bir fiziksel sistemin durumları, iç çarpımın tanımlı olduğu karmaşık bir vektör uzayında temsil edilir (Hilbert uzayı). Bu uzay, sistemin durum uzayı olarak adlandırılır.

28 1. Kuantum Mekaniğinin Postülaları 5 Fiziksel sistemin herhangi bir andaki durumu bu Hilbert uzayındaki bir ψ vektörü ile betimlenir. Bu vektör durum vektörü olarak bilinir ve bir birim vektör olarak alınır. Sistem hakkındaki her türlü bilgi bu ket ψ üzerinden sağlanır. Kuantum bilgi teorisinin en çok ilgilendiği sistemler, en basit kuantum mekaniksel sistem olan iki boyutlu sistemlerdir. Bu tür sistemler qubit (kuantum bit) olarak adlandırılır. Durum uzayı için 0 ve 1 ortonormal bir taban oluştursunlar. Bu uzayda tanımlı herhangi bir vektör bu tabanlar cinsinden yazılabilir. ψ = a 0 + b 1. (1.158) Burada a ve b karmaşık sayılardır ve ψ bir birim vektördür. Yani normalizasyon koşulu, ψ ψ = 1 a + b = 1, (1.159) sağlanır. Qubit bizim temel kuantum mekaniksel sistemimiz olacak. (Bu seviyede sistemin fiziksel anlamı önemli değildir. ) Soyut kavramlar olarak bakabiliriz. Bundan sonra qubit lerimizi aynı ortonormal taban vektörleri { 0, 1 } de açacağız Bu taban durumlar, mantık açısından iki değerli klasik bit olarak görülebilir. Klasik Bitler Kuantum Bit (qubit) ψ = a 0 + b 1 (qubit ara değerler alabilir) Herhangi bir doğrusal kombinasyon i a i ψ i ψ i durumlarının a i genlikleriyle superpozisyonu olarak adlandırılır. Durumların herhangi bir doğrusal kombinasyonu yine bir durumdur. Örnek olarak + = 1 ( ) (1.160) 0 için 1 genliğinde ve 1 için 1 genliğinde olmak üzere, 0 ve 1 in bir süperpozisyonudur.

29 6 Bölüm 1. Kuantum Mekaniğinin Matematiksel Formülasyonu Postüla : Bir Kuantum Sisteminin Zaman İçindeki Evrimi Kapalı bir kuantum sisteminin zaman içinde evrimi bir üniter dönüşüm ile gerçekleşir. Yani t 1 anındaki ψ(t 1 ) durumu ile t anındaki ψ(t ) durumu arasındaki ilişki bir U üniter operatörü ile kurulur. Örnek: ψ(t ) = U(t, t 1 ) ψ(t 1 ). (1.161) Bazı önemli üniter dönüşümler: Pauli matrisleri ( ) 0 1 σ x = σ x 0 = 1 (1.16) 1 0 σ x 1 = 0 bit flip; ;DEĞİL kapısı (1.163) aynı şeklilde σ z = ( ) 1 0 σ z 0 = 0 (1.164) 0 1 σ z 1 = 1 faz flip (1.165) burada 1 ve 1 fiziksel olarak aynı sistemi belirtirler, çünkü global faz durumu değiştirmez ( girişim olayı dışında). Fakat ( ) ( 0 1 ) σ z = (1.166) Fiziksel olarak bu iki durum birbirinden faklıdır, çünkü göreli faz farkı önemlidir. Hadamard Kapısı ( ) H = H 0 = 1 ( ) = + (1.167) H 1 = 1 ( 0 1 ) = (1.168)

30 1. Kuantum Mekaniğinin Postülaları Postüla Kapalı bir kuantum sisteminin durumunun zamandaki evrimi Schrödinger denklemi ile tanımlanır. i d ψ(t) = H ψ(t) (1.169) dt burada = h π ve h = 6, J s Planck sabitidir. Denklemde H sistemin Hamiltonyanıdır ve Hermisyen bir operatördür. Prensipte, eğer biz sistemin H ını bilirsek, onun dinamiğini de anlamış oluruz. Hamiltonyan bir Hermisyen operatör olduğu için, tayfsal ayrışması vardır. H = E E E E. (1.170) Burada E özvektör olup, E de ona karşılık gelen özdeğerdir, yani H E = E E. (1.171) E enerji özdurumu ya da durgun durumdur. E ise E durumunun enerjisidir. En düşük enerji özdurumuna taban durumu, en düşük enerji özdeğerine de taban durum enerjisi denir. Başlangıçtaki t = 0 anında verilen bir durum için, zamana bağlı ψ(t) durum vektörü şu şekilde hesaplanabilir. Örnek: E e iet/ E (1.17) E i e ieit/ E i (1.173) i i Tek qubit için H = ωσ x olsun H E = E E (1.174) ωσ x E = E E (1.175) olduğundan enerji özdurumları σ x in özdurumlarıdır, öyle ki 1 ( ) E = ω (1.176) 1 ( 0 1 ) E = ω (taban durum enerjisi). (1.177)

31 8 Bölüm 1. Kuantum Mekaniğinin Matematiksel Formülasyonu 1. Schrödinger denklemi zamanda birinci dereceden türev içerdiği için doğrusal bir diferansiyel denklemdir. Dolayısıyla, eğer ψ(t 0 ) verildiyse, durumun daha sonraki hali ψ(t) tamamiyle ve tekil bir biçimde belirlenebilir. Yani Schrödinger denklemi belirlenimci bir denklemdir. Kapalı bir sistemin evriminin üniter olduğunu söylemiştik. Dolayısyıyla belirlenimciliğe uygundur. Belirlenimci olmayan ise ölçüm işlemi yada sistemi dışarıdan rahatsız etmemizdir. Not: Schrödinger denklemi stokastik değildir. Schrödinger denklemi doğrusal olduğu için, süperpozisyon uygulanabilir. Eğer ψ 1 (t) ve ψ (t) iki çözüm ise, bunların süperpozisyonu ψ(t) = α ψ 1 (t) + β ψ (t) (1.178) da bir çözümdür. Üniter zamanda evrim operatörü de U(t, t 0 ) doğrusal olduğu için, bu operatör de Schrödinger denklemini sağlar: i U(t, t 0) t Eğer Hamiltonyen H doğrudan zamana bağlı değil ise, U(t, t 0 ) = exp[ i H(t t 0)] = = HU(t, t 0 ). (1.179) n=0 1 n! [ i H(t t 0)] n (1.180) Eğer H doğrudan zamana bağlı ise, Dyson seri yöntemi kullanılır Postüla 3 Bir fiziksel sistemde herhangi bir gözlenebilir nicelik A, Hilbert uzayı üzerinde bir Hermisyen operatör A ile gösterilir. Kuantum mekaniğindeki konum, momentum, enerji gibi gözlenebilir nicelikler, klasik mekanikteki dinamik değişkenler ile aynı mantığa sahiptirler. Fakat, kütle, yük gibi nicelikler ise gözlenebilirler sınıfında olmayıp, basit parametrelerdir Postüla 4: Kuantum Ölçümleri Kapalı bir sistem üniter bir şekilde evrilir, fakat bir noktada dış dünyadan rahatsız edilir ise, bu bir ölçüm olur. Kuantum ölçümler {M m } ölçüm operatörlerin koleksiyonu ile tanımlanır.

32 1. Kuantum Mekaniğinin Postülaları 9 Bu operatörler ölçülecek olan sistemin durum uzayına etki ederler. Buradaki m indisi deneyde oluşan ölçüm sonucunu gösterir. Ölçümden hemen önce sistemin durumu ψ ise, ölçüm sonrasında sonucun m gelme olasılığı p(m) = ψ M mm m ψ (1.181) şeklinde verilirken, ölçüm sonrası sistemin durumu ise M m ψ ψ M mm m ψ (1.18) ile verilir. Ölçüm operatörleri tamlık ilişkisini sağlarlar M mm m = 1. (1.183) Bu tamlık ilişkisi olasılık toplamının 1 olmasını garanti eder m 1 = m p(m) = m ψ M mm m ψ. (1.184) Basit bir örnek olarak, qubit üzerinde yapılan ölçümü ele alalım. Sonuçları ölçüm operatörü ile tanımlanan tek bir qubit üzerindeki ölçüm olur. Tamlık ilişkisi de M 0 = 0 0, M 0 = M 0, M 0 = M 0, (1.185) M 1 = 1 1, M 1 = M 1, M 1 = M 1, (1.186) M mm m = M 0 M 0 + M 1 M 1 = = 1 (1.187) m ile sağlanır. Ölçülecek olan durum ψ = a 0 + b 1 (1.188) olsun; 0 sonucunu elde etme olasılığı p(0) = ψ M 0 M 0 ψ (1.189) = (a 0 + b 1 )( 0 0 )(a 0 + b 1 ) (1.190) = (a 0 + b 1 )a 0 = a. (1.191)

33 30 Bölüm 1. Kuantum Mekaniğinin Matematiksel Formülasyonu 1. Aynı şekilde ölçüm sonucunda 1 sonucunu elde etme olasılığı da p(1) = b dir. Normalizasyon koşulu a + b = 1 (1.19) olduğundan, sonuçların olasılıklarının toplamı yine 1 dir. Sonuç 0 geldiği zaman, ölçüm sonunda durum p(0) + p(1) = a + b = 1 (1.193) M 0 ψ a = 0 0 (a 0 + b 1 ) a olurken, aynı şekilde, sonucun 1 olduğu anda durum = 0 (1.194) 1 (1.195) durumuna çöker. Genel olarak M m Hermisyen değildir fakat, olasılığı hesaplamakta kullandığımız operatör M mm m Hermisyen bir operatördür Kuantum Durumlarının Ayırt Edilmesi Prensipte de olsa klasik durumlar ayırt edilebilir. Kuantum mekaniğinde ise durum biraz karmaşıktır. Diyelim ki Alice ve Bob adında iki kişi olsun. { ψ 1, ψ n }, hem Alice hem de Bob un bildiği bir kuantum durumlar kümesi olsun. Alice elindeki bir sistemi bu durumlardan bir tanesine sokarak Bob a göndersin. Fakat Bob a durumun hangisi olduğunu söylemesin. Bob sistemin hangi durumda olduğunu belirleyebilir mi? Eğer cevap evet ise bunu nasıl yapabilir? Diyelim ki ψ i durumları ortonormal olsun. Bob aşağıdaki ölçüm operatörleriyle tanımlanan süreci işleterek durumları ayırt edebilir. ölçüm operatörleri olsun ve bunlara ek olarak M i = ψ i ψ i i = 1,, 3, (1.196) M 0 = 1 n ψ i ψ i = 1 i=1 n M i (1.197) şeklinde tanımlasın. Eğer Alice ψ j durumunu seçmisse, Bob un i sonucunu elde etme olasılığı p(i j) = ψ j M i M i ψ j = δ ij i=1

34 1. Kuantum Mekaniğinin Postülaları 31 olur. Yani, Bob kesinlikle j sonucunu elde eder ve dolayısıyla Alice in hangi durumu seçtiğini anlayabilir. Kısacası, ortogonal durumlar kesinlikle ayırt edilebilir. Eğer durumlar birbirlerine ortogonal değiller ise, tam olarak durumları ayırt edebilecek bir kuantum ölçümü yoktur. Özel olarak n = durumuna, yani iki durumun ayırt edilmesi durumuna bakalım. Diyelim ki bunları ayırt edebilecek bir ölçüm var. Eğer ölçümde j sonucu gelmişse, f(j) hazırlanmış original durumun etiketini versin. Yani eğer ψ 1 durumu hazırlandıysa, elde edilmesi olası bütün j sonuçları için f(j) = 1 olmak zorundadır. Aynı şekilde, durum ψ ise elde edilmesi olası bütün j sonuçları için f(j) = olmalıdır. E i = ifadesini tanımlayalım. Bu gözlemler şu şekilde yazılabilir ψ 1 E 1 ψ 1 = 1 olduğundan j;f(j)=i M j M j (1.198) ψ 1 E 1 ψ 1 = 1, (1.199) ψ E ψ = 1, (1.00) E i = 1 ψ 1 E i ψ 1 = 1. (1.01) i i (1.0) ψ 1 E ψ 1 = 0 E ψ 1 = 0 (1.03) olur. Diyelim ki ψ = α ψ 1 + β φ (1.04) ve { ψ 1, φ } bir ortonormal küme olsun. Normalizasyon koşulu gereği α + β = 1 (1.05) olur. ψ 1 ve ψ ortonormal olmadığı için a 0 ve β < 1 olur. Sonra E ψ = β E φ (1.06) ψ E ψ = β φ E φ β < 1 (1.07)

35 φ E φ i 3 Bölüm 1. Kuantum Mekaniğinin Matematiksel Formülasyonu 1. son satırda φ E i φ = φ φ = 1 (1.08) eşitsizliğini kullandık. Denklem (1.07) ile (1.199) çelişki oluşturdukları için böylesi bir ölçüm mümkün değildir. Dolayısıyla bu iki durum ayırt edilemez İzdüşümsel Ölçüm (von Neumann Ölçümü) İzdüşümsel ölçüm, gözlenecek sistemin durum uzayında tanımlı bir Hermisyen operatör olan M gözlenebiliriyle tanımlanır. Bu gözlenebilirin tayfsal ayrışması vardır. M = mp m (1.09) m burada P m, M nin m özdeğerli özuzayının üzerine izdüşüm yapan dik izdüşüm operatörleridir. Ölçümün olası sonuçları gözlenebilirin m özdeğerleridir. ψ durumunun ölçümünde m sonucunun elde edilme olasılığı p(m) = ψ P m ψ (1.10) ile verilir. m sonucunun elde edilmesinin ardından, durum, ölçüm sonrası P m ψ p(m) (1.11) durumuna çöker. Bu işlem M m = m m (1.1) ψ = m a m m (1.13) p(m) = a m (1.14) işlemine denktir. İzdüşümsel ölçüm, ölçüm postülasının özel bir durumu olarak algılanmalıdır. Postüla 4 deki tamlık ilişkisi M mm m = 1 (1.15) m şeklindeydi. İzdüşümsel operatörler M m aynı zamanda dik izdüşümlerdir. Yani M m Hermisyendir ve M m M m = δ m mm m (1.16)

36 1. Kuantum Mekaniğinin Postülaları 33 denklemini sağlar. Bu koşullar altında, postüla 4 izdüşümsel ölçümlere indirgenmiş olur. İzdüşümsel ölçümler için beklenen değerin hesaplanması kolaydır. E(M) = m mp(m) = m m ψ P m ψ (1.17) = ψ m mp m ψ = ψ M ψ = M (1.18) ve standart sapma şeklinde bulunur. [ (M)] = (M M ) = M M (1.19) (M) = M M (1.0) 1..9 Heisenberg Belirsizlik İlişkisi A ve B iki Hermisyen operatör, ψ bir kuantum durumu ve ψ AB ψ = x + iy (1.1) olsun. ψ [A, B] ψ = iy (1.) ψ {A, B} ψ = x (1.3) buradan da ψ [A, B] ψ + ψ {A, B} ψ = 4 ψ AB ψ (1.4) elde edilir. Cauchy-Schwarz eşitsiliğini de kullanırsak ψ AB ψ ψ A ψ ψ B ψ. (1.5) Dolayısyıyla, ψ [A, B] ψ 4 ψ A ψ ψ B ψ (1.6)

37 34 Bölüm 1. Kuantum Mekaniğinin Matematiksel Formülasyonu 1. olur. A = C C ve B = D D olarak tanımlarsak, (C) (D) ψ [C, D] ψ (1.7) ifadesini elde etmiş oluruz POVM (Pozitif Operatör Değerli Ölçü) Kuantum ölçüm postülası iki unsuru içerir. - Ölçüm istatistiğinin tanımlanması rolü. Yani farklı ölçüm sonuçlarının olasılıkları. - Sistemin ölçüm sonrası durumunun tanımlanması rolü. ψ durumunda tanımlı bir kuantum sistemi üzerinde gerçekleşen M m ölçüm operatörleri ile tanımlanan bir ölçüm düşünelim. Sonucun m gelme olasılığı p(m) = ψ M mm m ψ (1.8) ile ifade edilir. E m = M mm m (1.9) tanımlayalım. E m pozitif bir operatör olup, (E m 0) tamlık ilişkisi m E m = 1 ile verilir ve olasılıklar p(m) = ψ E m ψ (1.30) şeklinde ifade edilir. {E m } operatörler kümesi, farklı ölçüm sonuçlarının olasılıklarını belirlemek için yeterli olur. Bu {E m } operatörleri ölçüm ile ilgili POVM elemanları olarak bilinir. {E m } kümesine de POVM denir. POVM için örnek olarak P m operatörleri ile tanımlanan izdüşümsel ölçümü ele alalım. Burada P m ler P m P m = δ mm P m ve P m = 1 (1.31) denklemlerini sağlar. Sadece ve sadece bu durum için tüm POVM elemanları ölçüm operatörleri ile aynıdır. E m = P mp m = P m P m = P m m ve E m = 1. (1.3) Diyelim ki {E m }, m E m = 1 denklemini sağlayan pozitif operatörlerin kümesi m

38 1. Kuantum Mekaniğinin Postülaları 35 olsun. POVM u {E m } olan bir ölçüm vardır. Örneğin ifadesini tanımlarsak M m = E m (1.33) M mm m = E m = 1 (1.34) m m olur. Dolayısıyla {M m }, POVM u {E m } olan bir ölçümü tanımlar. Bu sebepten, bir POVM u {E m } operatörler kümesi olarak tanımlamak uygundur, öyle ki i) Her E m operatörü pozitiftir (E m 0). ii) Tamlık ilişkisi sağlanır: m E m = 1. Bu POVM a karşılık gelen herhangi bir ölçümde de m sonucunun gelme olasılığı p(m) = ψ E m ψ (1.35) ile verilir. Örnek: Bir sistem ψ ve φ gibi iki normalize olmuş durumdan birinde olsun. Bu durumlar birbirlerine dik olmasın: φ ψ = cos θ (0 < π/). (1.36) Bu durumları ayırt edebilecek bir POVM tanımlayalım. Çözüm Aşağıdaki elemanları içeren bir POVM düşünelim E 1 = 1 φ φ 1 + cos θ E = 1 ψ ψ 1 + cos θ E 3 = 1 E 1 E (1.37) Bu operatörlerin her biri pozitiftir ve her biri farklı bir ölçüm sonucuna karşılık gelir. Aynı zamanda tamlık ilişkisini sağlarlar E m = E 1 + E + E 3 = 1. (1.38) m E 1 için ilk ölçüm sonucunun olasılıklarını düşünürsek, her duruma karşılık

39 36 Bölüm 1. Kuantum Mekaniğinin Matematiksel Formülasyonu 1. gelen olasılıklar olur. Benzer şekilde ψ E 1 ψ = ψ (1 φ φ ) ψ = 1 cos θ 1 + cos θ (1.39) φ E 1 φ = 0 (1.40) ψ E 1 ψ = 1 cos θ φ E 1 φ = 0 (1.41) ψ E ψ = 0 φ E φ = 1 cos θ (1.4) ψ E 3 ψ = cos θ φ E 3 φ = cos θ (1.43) olur. Bu koşulda, eğer sonuç E 1 ise ilk durum ψ dir, eğer E ise ilk durum φ dır. Fakat sonuç E 3 ise herhangi bir şey söylememiz mümkün değildir Faz ψ ve e iθ ψ aynı fiziksel durumu belirtir. Fakat a a + b b ve a a + be iθ b durumları farklı fiziksel durumları gösterirler. Global faz fiziksel açıdan önemsiz iken, göreli faz fiziksel olarak önemlidir Postüla 5: Kompozit Sistemler Bir kompozit fiziksel sistemin durum uzayı, fiziksel sistemin bileşenlerinin durum uzaylarının tensör çarpımıdır. Dahası, sistemimizi 1 den n e kadar numaralandırırsak, i sistemi ψ i durumunda hazırlandıysa, toplam sistemin durumu ise ψ 1 ψ ψ n olarak verilir. İzdüşümsel ölçümle beraber üniter dinamik operatörler genel ölçüm işlemi için yeterlidir. Bunun gösterimi kompozit sistemler ile sağlanır ve postüla 5 in hoş bir uygulamasıdır. Durum uzayı Q olan bir kuantum sistemimiz olsun ve bu sistemde M m ölçüm operatörleri ile tanımlanan bir ölçüm gerçekleştirelim. Bunu yapabilmek için, bir başka kuantum sistemi tanımlayalım. Durum uzayı M olan, gerçekleştirmek istediğimiz olası ölçüm sonuçları ile bire bir karşılıklı m ortonormal tabanları olan bu sisteme ancilla denir. 0 M nin herhangi bir sabit durumu olsun ve Q dan ψ, M den 0 durumlarının oluşturduğu ψ 0 çarpım durumuna etki eden bir U operatörü tanımlayalım. U ψ 0 = M m ψ m (1.44) m

40 1. Kuantum Mekaniğinin Postülaları 37 m nin ortonormal özelliğini ve tamlık ilişkisini kullanarak M mm m = 1 (1.45) m U nun ψ 0 durumları arasında iç çarpımı koruduğunu görebiliriz. φ 0 U U ψ 0 = mm φ M mm m ψ m m } {{ } δ mm = m (1.46) φ M mm m ψ = φ ψ (1.47) Dolayısıyla U, Q M de tanımlı bir üniter operatördür. (böyle bir operatörü genelleştirilebilir) Sonra, bu iki sistem üzerinde P M = 1 Q m m (1.48) izdüşümü ile tanımlanan bir izdüşümsel ölçüm gerçekleştirelim. Aslında bu ölçüm sadece ancilla üzerinde alınır. Bu durumda m sonucunun gelme olasılığı p(m) = ψ 0 U P m U ψ 0 (1.49) = m,m ψ M m m (1 Q m m ) m M m ψ (1.50) = ψ M mm m ψ (1.51) ile verilir. Yani, aynen postüla 4 te olduğu gibi. Ölçüm sonrası birleşik sistemin durumu ise P m U ψ 0 ψ U P m U ψ = M m ψ m (1.5) ψ M mm m ψ olur. M sisteminin durumu m olurken, Q sisteminin durumu da M m ψ ψ M mm m ψ (1.53) olur. Yani, yine postüla 4 teki gibi bir sonuç elde edilir. Kısacası, herhangi bir genel ölçüm, daha geniş bir sistem üzerinde yapılan bir izdüşümsel ölçümle

41 38 Bölüm 1. Kuantum Mekaniğinin Matematiksel Formülasyonu 1. gerçekleştirilebilir. a = a b 1 1 H 1 (1.54) b = a 0 + b 1 H (1.55) olsun, ψ H = H 1 H ψ = a b (1.56) = a 1 a 00 + a 1 b 01 + b 1 a 00 + b 1 b 11 (1.57) olur. Fakat H = H 1 H uzayında öyle durumlar vardır ki, H 1 uzayında tanımlı bir durum ile H uzayında tanımlı bir durumun tensör çarpımı şeklinde yazılamazlar, mesela 1 ( ) (1.58) Bu durumlara dolanık (entangled) durumlar denir.

42 Bölüm Kuantum Bilgi Kuramında Temel Kavramlar.1 İz fonksiyonu İz: Operatör uzayından karmaşık sayılara tanımlı bir fonksiyondur. H bir Hilbert Uzayı, L(H) de H uzayındaki doğrusal operatörler olsun. tr : L(H) C Örnek: H = C d yani d 1 kolon vektörlerinin kümesi ise L(H) de d d kare matrislerin kümesi olur..1.1 Özellikler İz doğrusal bir fonksiyondur. { α 1, α,... α d } kümesi, H nin ortogonal ve normalize edilmiş bir tabanı olsun. Bu tabanda İz, tr(a) = i α i A α i şekilde tanımlanabilir. İz, kullanılan tabandan bağımsızdır. tr(a), A nın özdeğerlerinin toplamıdır A nın karakteristik polinomu p(t) = det(t1 A) ve (p(t) = t d c 1 t d 1 + c t d...) ise c 1, A nın izidir. 39

43 40 Bölüm. Kuantum Bilgi Kuramında Temel Kavramlar A ve B benzeş matrislerse (SAS 1 = B), izleri de birbirine eşittir: tr(a) = tr(b) İki veya daha fazla matris çarpımının izi dairesel permütasyonlar altında değişmez. Örnekler: tr(ab) = tr(ba), tr(abc) = tr(bca). Fakat tr(abc) tr(cba). tr( ψ φ ) = φ ψ, tr(a ψ φ ) = φ A ψ, tr(a ψ φ B) = φ BA ψ, tr( ψ φ α β ) = φ α β ψ. Pozitif Tanımlılık: Sıfırdan farklı her ψ için eğer ψ A ψ 0 ise A pozitif yarıtanımlıdır (pozitive semidefinite) denir ve A 0 şeklinde gösterilir. A 0 A = A ve λ i 0 i. Burada {λ i }, A nın özdeğerleridir. Sıfırdan farklı her ψ için eğer ψ A ψ > 0 ise A pozitif tanımlıdır (pozitive definite) denir ve A > 0 şeklinde gösterilir. Yine {λ i }, A nın özdeğerleri olmak üzere A > 0 A = A ve λ i > 0 i. A 0 ve B 0 ise A + B 0 dır. λ min (A) ve λ min (B) sırasıyla özeşlenik A ve B matrislerinin en küçük özdeğerleri olsun. O zaman İspat: λ min (A + B) λ min (A) + λ min (B) dir. Dikkat edilirse A λ min (A)1 0 dır. Buradan, A + B [λ min (A) + λ min (B)]1 0 ve dolayısıyla λ min (A + B) [λ min (A) + λ min (A)] 0 olarak bulunur.. Topluluklar ve yoğunluk matrisleri A fiziksel bir sistem olsun (Örn: elektronun spin durumu). H A da, A ya karşılık gelen durum uzayı olsun. Bir E = {p i, ψ i } topluluğu (ensemble)

44 41 A sisteminin durum uzayında ψ i durumlarının p i olasılıklarıyla klasik dağılımıdır. Örnek: Elimizde %80 olasılıkla z, %15 olasılıkla x, %5 olasılıkla da y spin durumları bulunsun. Bu klasik olasılık dağılımına bir örnektir...1 Özellikler ψ i lerin normları bire eşittir fakat bu vektörler birbirlerine dik olmak zorunda değillerdir. i p i = 1 Bir X gözlemlenebilir değeri ölçüldüğünde, bir x değeri: 1. ψ i lerdeki kuantum belirsizlikten veya. p i klasik dağılımındaki belirsizlikten dolayı değişik değerler alabilir. Örnek: A sisteminin N kopyası olsun (örneğin N-spin). Bunların spin durumları aşağıdaki sayılarda ayarlanmış olsun. Np 1 tane sistem ψ 1 durumunda, Np tane sistem ψ durumunda,. Np n tane sistem ψ n durumunda. Fakat hangisinin hangisi olduğu bilgisi göz ardı edilsin veya kaybedilmiş olsun. Sonra bunlardan biri rastgele seçilip üzerinde X ölçümü yapılsın. X,E topluluğu üzerinde bir ölçüme karşılık gelen özeşlenik (hermisyen) bir operatör olsun. X = µ x µp µ de bu operatörün tayfsal ayrışımı olsun. Bir başka deyişle x µ, X in özdeğerleri, P µ de bu özdeğerlere karşılık gelen özuzaylara olan izdüşüm operatörleridir. Eğer X ölçüldüğünde elimizdeki spin durumunu belirten vektör ψ i ise, x µ özdeğerini elde etme olasılığı q(µ i) = ψ i P µ ψ i şeklindeki şartlı olasılıktır. r µ : topluluk üzerinde herhangi bir ölçüm yapıldığında µ sonucunu elde etme olasılığı ise,

45 4 Bölüm. Kuantum Bilgi Kuramında Temel Kavramlar r µ = i q(µ i)p i = i ψ i P µ ψ i p i = tr(p µ ψ i ψ i p i ) i [ ( )] =tr P µ p i ψ i ψ i ) i son eşitlikteki toplam ifadesi sadece topluluğun özelliklerine bağlıdır. O zaman bu ifadeye ayrı bir isim verilebilir: ρ i p i ψ i ψ i (.1) Yukarıdaki şekilde tanımlanan matrise yoğunluk matrisi/operatörü (density matrix/operator) denir. Bazı eski kaynaklarda istatistiksel matris olarak da geçer. Ölçüm sonucunun µ gelme olasılığı = r µ = tr(p µ ρ) X operatörünün beklenen değeri X = µ = µ x µ r µ x µ tr(p µ ρ) ( ) =tr x µ P µ ρ µ =tr(xρ) X teki belirsizlik: X = µ = µ (x µ x µ ) r µ x µr µ X =tr(x ρ) X = X X. Buradaki tek değişiklik aslında beklenen değerlerin X = tr(xρ) şeklinde

46 43 hesaplanmasıdır. Notlar: Aşağıdaki alternatif ifadeler de kimi zaman yararlıdır. X = i p i ψ i X ψ i = (durum vektörünün ψ i olması olasılığı) ( ψ i için beklenen değer) r µ = ölçüm sonucunun µ çıkması olasılığı = P µ.. Yoğunluk matrisinin özellikleri 1. Yoğunluk matrisinin izi bire eşittir. tr(ρ) = i = i p i tr( ψ i ψ i ) = i p i = 1 p i ψ i ψ i. Yoğunluk matrisi özeşleniktir. ρ = ρ. Yoğunluk matrisi pozitif yarıtanımlıdır. (ρ 0) İspat: φ ρ φ = i p i φ ψ i ψ i φ = i p i φ ρ ψ i 0 Teorem: Bir operatör ancak ve ancak (1) izi bire eşitse tr(ρ) = 1 () ve pozitif yarıtanımlıysa, ρ 0, bir yoğunluk operatörüdür. İspat: =: Gösterildi. = : ρ = i λ i β i β i, ρ nun tayfsal ayrışımı olsun. Burada: λ i = ρ nun özdeğerleri β i = λ i lara karşılık gelen özvektörlerdir.

47 44 Bölüm. Kuantum Bilgi Kuramında Temel Kavramlar ρ 0 olmasından λ i ların gerçel ve sıfırdan büyük olduğunu söyleyebiliriz. trρ = 1 şartından i λ i = 1 olduğu görülür. Buradan, λ i ların bir olasılık dağılımına karşılık geldiğini varsayabiliriz. O zaman B = {λ i, β i } topluluğu, yoğunluk matrisi ρ = i λ i β i β i olan bir topluluktur diyebiliriz. (1) ve () koşullarını sağlayan herhangi bir ρ operatörünün belirttiği kuantum durum karma durum (mixed state) olarak adlandırılır. Örnekler: (1) Matris gösterimiyle E 1 = {1/, z ; 1/, z } ρ = 1/ + 1/. = z = [ 1 0 ], = z = [ 0 1 ] = [ ], = [ 0 0 = ρ 1 = 0 1 ] [ 1/ 0 0 1/ ] = 1 1. Veya z, z kümesinin ortonormal bir taban oluşturduğu bilgisi kullanılarak 1 = + = ρ 1 = 1 1, yoğunluk matrisinin birim matrisin yarısı olduğu bulunabilir. () E = {1/, x ; 1/, x } ρ = 1/ x x + 1/ x x = 1 1

48 45 (3) Herhangi bir ˆn birim vektörü için de E 3 = {1/, ˆn ; 1/, ˆn }. ρ 3 = 1 1 yoğunluk matrisi birim matrisin yarısı olarak bulunur. (4) Tamamen depolarize topluluk (Completely unpolarized ensemble): Spin herhangi bir ˆn yönünde, fakat olası tüm yönler eşit olasılıkla dağıtılmış. { dωn E 4 = 4π ρ 4 = }, ˆn dωn 4π ˆn ˆn =... = 1 1 Not: Hepsi birbirinden farklı olan E 1, E, E 3 ve E 4 topluluklarının hepsinden aynı yoğunluk matrisine 1 1 varılmaktadır. Fakat, olası bütün deneylerin sonuçları sadece yoğunluk matrisine bağlıdır. Teorem: Eğer E ve F toplulukları aynı yoğunluk matrisiyle gösterilebiliyorsa, bu iki topluluğu birbirinden ayırmak olasılıksal olarak bile mümkün değildir. Eğer bir topluluk 1 olasılıkla tek bir kuantum durum içeriyorsa, saf durum (pure state) olarak adlandırılır. Saf durumlar aynı zamanda karma

49 46 Bölüm. Kuantum Bilgi Kuramında Temel Kavramlar durumların bir alt kümesidir. ρ = ψ ψ ρ ancak ve ancak özdeğerleri {1, 0, 0,..., 0} şeklindeyse saf bir durumdur. Buna ek olarak, ρ, ancak ve ancak tr(ρ ) = 1 eşitliği sağlanıyorsa saf bir durumdur. Eğer ρ nun özdeğerleri {λ 1, λ,..., λ d } ise tr(ρ ) = i λ i 1 tr(ρ ) ifadesini göz önüne alalım: dir. Şimdi 1 tr(ρ ) = 1 i λ i = i λ i i λ i = i 0 = tr(ρ ) 1 (λ i λ i ) = i λ i }{{} (1 λ i ) } {{ } 1 λ i λ i 0 Yukarıdaki iki ifadeyi birleştirirsek: tr(ρ ) = 1 = λ i (1 λ i ) = 0 i = λ i = 0 veya 1 dir = ρ saf bir kuantum durumdur aksi takdirde tr(ρ ) < 1 = ρ saf bir kuantum durum değildir..3 Bloch Küresi seviyeli bir sistem için olası yoğunluk matrislerini(ρ) göz önüne alalım. ρ, Pauli spin matrisleri cinsinden açılabilir. buradaki σ 0, birim matrise eşittir. ρ = c 0 σ 0 + c 1 σ 1 + c σ + c 3 σ 3 σ 0 = 1

50 47 ρ özeşlenik olduğundan tüm c i katsayıları gerçeldir. tr(ρ) = c 0 tr(σ 0 ) + } {{ } i = c 0 = 1/ c i tr(σ i ) = c 0 = 1 } {{ } 0 Şimdi a i = c i olacak şekilde a vektörünü tanımlayalım. a = i c i î = (c 1 î + c ĵ + c 3ˆk). Buradan yoğunluk matrisi, ρ = (a 1σ 1 + a σ + a 3 σ 3 ) = 1 (1 + a σ) olarak bulunur. Acaba a üzerindeki hangi koşullarda bir yoğunluk matrisi elde ederiz? Yani hangi durumlarda ρ 0 olması söz konusudur? Önce, a vektörünün uzunluğunu şeklinde gösterelim. a = a 1 + a + a 3 İddia: ρ nun özdeğerleri (1 ± a )/ dir. Buradan da ρ 0 a 1 olduğu bulunur. Herhangi bir d düzeyli fiziksel sistem için: Tamamiyle depolarize : Kısmen polarize olmuş depolarize : Tamamen Polarize olmuş : ρ = 1 d 1 d d ρ saf değil ama biraz polarizasyon içeriyor ρ saf durum Eğer ˆn gerçel bir birim vektörse, ˆn σ = n 1 σ 1 + n σ + n 3 σ 3 = [ n 3 n 1 in ] n 1+in n 3

51 48 Bölüm. Kuantum Bilgi Kuramında Temel Kavramlar matrisinin özdeğerleri ±1 dir. İspat: Karakteristik polinom: p(t) = det(t1 ˆn σ) = det [ n 3 n 1+in ] n 1 in +n 3 = t n 1 n n 3 = t 1. Örnek: Buradan özdeğerler de t 1, = ±1 olarak bulunur. a gerçel bir vektörse, aynı yöndeki birim vektörü ˆn = a a şeklinde tanımlayabiliriz. Buradan a σ = a ˆn σ ve a σ nın özdeğerlerinin ± a olduğu görülür σ x + σ y = (î + ĵ) σ } {{ } ˆn = σ x + σ y nin özdeğerleri ± dir. ˆn σ nın özvektörleri ˆn ve ˆn dur. Tayfsal ayrışımı: ˆn σ ˆn = (+1) ˆn ˆn σ ˆn = ( 1) ˆn ˆn σ = (+1) ˆn ˆn + ( 1) ˆn ˆn = (+1)P + + ( 1)P (.) burada +1 ve 1 özdeğerler, P + ve P de bu özdeğerlere karşılık gelen izdüşüm operatörleridir. 1 = P + + P (.3)

52 49. ve.3 in toplamından P + = 1 + ˆn σ P = 1 ˆn σ elde edilir. P + ψ = (sabit) ˆn P ψ = ( sabit) ˆn olduğundan P + ve P yi ˆn ve ˆn yi bulmak için kullanabiliriz. Örnek: G = σ x + σ y nin özvektörleri ˆn = î + ĵ = P + = 1 + ˆn σ = 1 [ Herhangi bir vektör seçelim: ψ = [ 1 0 ] 1 ± 1 i ± 1+i 1 ] P + ψ = 1 = normalize edersek φˆn = 1 P ψ = 1 [ = normalize edersek φˆn = 1 [ ] 1 1+i = 1 ] [ 1+i 1 1+i [ (1+i) ] = 1 ] [ 1+i ] [ ρ, düzeyli bir sistem için yoğunluk matrisi olsun( bir yoğunluk matrisi). Herhangi bir a vektörü için 1+i ] ρ nun özdeğerleri ρ = 1 (1 + a σ) λ ± = 1 ± a

53 50 Bölüm. Kuantum Bilgi Kuramında Temel Kavramlar ρ a 0 1 a 0 ( a 0 olduğundan) (sadece a 1 ise) Bu nedenlerle seviyeli bir sistemin yoğunluk matrisleri, ρ, ile birim küre üzerindeki veya içindeki noktalar ya da bunların belirttiği a 1 vektörleri arasında birebir bir eşleme yapılabilir. Bahsi geçen birim küreye Bloch küresi (Bloch sphere) denir. Merkez (a = 0) tamamiyle anpolarize topluluğa karşılık gelir. Saf durumlar ρ = ˆn ˆn = 1 + ˆn σ ρ = ˆn ˆn = 1 ˆn σ veya şeklindedir. Bloch küresinin yüzeyi saf durumlara karşılık gelir. Birbirine ortogonal saf durumlar Bloch küresinin üzerinde karşı kutuplarda yer alır.(ˆn e karşılık ˆn) Dikkat! Durum vektörleri arasındaki açılarla Bloch küresindeki vektörler arasındaki açılar farklıdır. İki topluluğun (E, E ) karışımı:

54 51 A sistemi, q olasılıkla E topluluğundan, 1 q olasılıkla da E topluluğundan bir parçacık alınarak oluşturulmuş olsun. Bloch küresi üzerinde, ρ ya karşılık gelen nokta, ρ ve ρ ye karşılık gelen noktaları birleştiren doğru üzerinde bir yerde bulunur. ρ = 1 + a σ ρ = 1 + a σ ve

55 5 Bölüm. Kuantum Bilgi Kuramında Temel Kavramlar ρ = qρ + (1 q)ρ a = qa + (1 q)a ve Sonuçlar: İki nokta Bloch küresinin içindeyse bunları birleştiren doğru da Bloch küresinin içindedir. Bloch küresi konveks bir kümedir. Bu sonuç, olası bütün yoğunluk matrisi kümeleri için doğruluğunu kaybetmeden genelleştirilebilir.

56 53.4 Kuantum Mekaniğinin Postulaları * ESKİ P1. Durumlar, durum uzayında birim vektörlerdir( ψ ) P. Zaman içinde evrim üniter bir operatördür. t anındaki durum vektörü ψ t ise t anındaki durum vektörü ψ t = U(t, t) ψ t dir. U(t, t)u(t, t) = 1 P. Schrödinger denklemi: P i t ψ(t) = H ψ(t) P4. Genel ölçümler. Ölçüm operatörleri M µ olsun. µ M µm µ = 1. Eğer ölçüm ψ durumu üzerinde yapılmışsa µ sonucunu elde etme olasılığı: r µ = ψ M µm µ ψ dir ve ölçüm sonucunda elde ettiğimiz durum ψ µ = 1 rµ M µ ψ dir. P5. A ve B, sırasıyla ψ ve ϕ durumlarındaysa, bileşke AB sistemi ψ A ϕ B = ψ ϕ durumundadır. YENİ P1. Durumlar, durum uzayında izleri bire eşit olan pozitif tanımlı operatörlerdir.(ρ) P. Zaman içinde evrim üniterdir. t anındaki durum vektörü ρ t ise t anındaki durum vektörü ρ t = U(t, t)ρ t U(t, t) olur. t zamanındaki herhangi bir E = {p i, ψ i } topluluğunu ele alalım: ρ t = i p i ψ i ψ i. t anında ise E topluluğunu gösteren yoğunluk matrisi ise ρ t = i p iu ψ i ψ i U = UρU olur. Not: ρ t nun özdeğerleri üniter olan zamanda evrim operatörlerinin etkisi altında değişmez.. Schrödinger denklemi: i tρ(t) = Hρ(t) ρ(t)h = [H, ρ(t)] P4. Eğer ρ durumu üzerinde bir ölçüm yapılırsa µ sonucu r µ = M µm µ = tr(m µm µ ρ) olasılıkla elde edilir ve durum ρ µ = MµρM µ r µ karma durumuna çöker. İspat: Az sonra... P5. A, ρ ve B, σ durumlarındaysa bileşke sistem AB, ρ σ durumundadır. P4 ün ispatı Bir E = {p i, ψ i } topluluğu için bir deney düşünelim. Bu topluluğun yoğunluk matrisi ρ = i p i ψ i ψ i dir. Bu deneyde rastgele iki etiket vardır: i: asıl durum vektörünü gösteren etiket. µ: ölçüm sonucunu gösteren etiket. Deney: E topluluğundan rastgele bir sistem seçilip, {M µ } ölçümü yapılır. p i : durumun ψ i olarak seçilmiş olma olasılığı, r µ : deney sonucunun µ çıkma olasılığı, S µi : hem durumun ψ i olarak seçilip hem de sonucun µ çıkması ortak

57 54 Bölüm. Kuantum Bilgi Kuramında Temel Kavramlar olasılığı. Ortak olasılıktan marjinal olasılıklar bulunabilir: p i = µ S µi, r µ = i S µi Koşullu olasılıklar: q(µ i): durum ψ i iken deney sonucunun µ gelmesi olasılığı q (i µ): deney sonucunun µ geldiği bilinirken durumun ψ i olma olasılığı Bayes kuralı S µi = q(µ i)p i, S µi = q (i µ)r µ q (i µ) = q(µ i) pi r µ Senaryo: Deneyci ölçüm yapar ve sonucu µ olarak bulur. Hala elindeki parçacığın hangi durumda olduğunu bilmemektedir. Diğer taraftan bu sonuç deneycinin elindeki parçacığın ne olabileceği konusunda bir bilgi verir. Soru: Bu ölçüm sonucunda şimdi elimizdeki topluluk, E µ, neye dönüşmüştür? Cevap: E µ = { q (i µ) } {{ } parçacığın, M µ ψ i ψ i M µm µ ψ i } {{ } } i nci durumda parçacık başta i nci durumda olma olasılığı ise, ölçüm sonrası durumu

58 55 E µ için yoğunluk matrisinin ise: ρ µ = i q(i µ) M µ ψ i ψ i M µ ψ i M µm µ ψ i } {{ } q(µ i) p i = M µ ψ i ψ i M µ r i µ ( ) = 1 M µ p i ψ i ψ i r µ = 1 r µ M µ ρm µ i M µ olduğu ve r µ = tr(m µm µ ρ) olduğu da rahatlıkla gösterilebilir..5 Kısmi iz A ve B iki fiziksel sistem olsun. Alice A sisteminin üzerinde, Bob da B sisteminin üzerinde ölçüm yapıyor olsun. Çoğunlukla Alice ve Bob birbirlerinden çok uzakta olsunlar. H A ve H B sırasıyla A ve B nin durum uzayı olsun. Bu durumda H AB = H A H B da bileşke sistem AB nin durum uzayı olur. AB nin, Ψ AB = α A β B = α β = α β formundaki durum vektörlerinden oluştuğu durumları düşünelim. Bu tip durumlar çarpım durum (product state) olarak adlandırılır. Burada A, α durumunda, B de β durumundadır. Alice ve Bob tarafından yapılan bütün ölçümler korelasyonsuzdur. Çarpım durum olarak yazılamayan saf durumlar vardır. Bu durumlar dolanık durumlar olarak isimlendirilir. Bütün dolanık durumlar klasik olarak açıklanamayan EPR (Einstein, Podolsky, Rosen) korelasyonları gösterirler. H AB içindeki herhangi bir durum, çarpım durumların bir toplamı olarak gösterilebilir: Ψ AB = i α i β i. AB Bileşke sisteminde herhangi bir normalize Ψ AB vektörünü düşünelim. Alice kendi A sistemi üzerinde X gözlemlenebilirini ölçsün. Bu aynı zamanda, Alice ve Bob ın birlikte X 1 i ölçmeleriyle aynı şeydir.

59 56 Bölüm. Kuantum Bilgi Kuramında Temel Kavramlar X in beklenen değeri: Ψ AB X 1 Ψ AB X, aynı zamanda X = tr(xρ A ) şeklinde de bulunabilir. Burada ρ A, H A uzayındaki bir yoğunluk matrisidir. ρ A nasıl hesaplanır? X = ij α i β i (X 1) α j β j = ij ρ A ij α i X α j β i β j } {{ } tr(x α j α i ) α j α i β i β j. Genelde ρ A = tr B ( Ψ Ψ ) şeklinde yazılır ve tr B işlemine kısmi iz (partial trace) denir. tr B iki operatör uzayı arasında doğrusal bir gönderimdir tr B : L(H AB ) L(H A ) öyle ki çarpım durumlar için tr B (T A S B ) = T A (trs B ) dir. Ψ AB = i α i A β i B durumu için Ψ Ψ = ij α j β j α i β i = ij tr B ( Ψ Ψ ) = ij α j α i β j β i } {{ } } {{ } A üzerinde B üzerinde α j α i β i β j = ρ A Kısmi iz operasyonu için aşağıdaki özellikler geçerlidir. Eğer P = P AB, H AB üzerinde etki ediyorsa, tr B (P ) de H A üzerinde etki

60 57 eden bir operatördür. tr B : L(H AB ) L(H A ) P = X Y = X A Y B ise tr B P = X(trY ) dir. benzer şekilde tr A için de P = X Y = X A Y B ise tr A P = Y (trx) tir. Z A (tr B P AB ) = tr B [(Z 1)P AB ] P AB 0 ise tr B P AB 0 trp AB = tr A (tr B P ) = tr B (tr A P ) = tr(tr B P ) = tr AB P vb. tr B tr C P ABC = tr C tr B P ABC = tr BC P ABC vb. AB sisteminin durumu Ψ = Ψ AB ise ρ AB = Ψ Ψ da bu duruma karşılık gelen yoğunluk matrisidir. H A üzerinde bir X operatörü ve H B üzerinde bir Y operatörü tanımlanmış olsun. X in beklenen değeri: X = X A 1 B = Ψ X A 1 B Ψ = tr AB [(X A 1 B )ρ AB ] = tr A [tr B (X A 1 B ) } {{ } X A tr B ρ AB = tr A (X A ρ A ). Buradaki ρ A, bileşke sistemin kısmi izi alınarak bulunur: Benzer şekilde: Burada da ρ B = trρ AB dir. ρ A = tr B ρ AB. Y = 1 A Y B =... = tr(y B ρ B ). ρ AB] Yerel ölçümler için beklenen değerleri hesaplarken ρ A ve ρ B yeterlidir.

61 58 Bölüm. Kuantum Bilgi Kuramında Temel Kavramlar Ψ AB nin çarpım durumlar cinsinden açılımı: 1. H A, H B uzayları içinde sırasıyla keyfi yönlerde u i A, v i B ortonormal tabanları seçilir. Bu durumda { u i v j } durumları da H AB = H A H B uzayı için ortonormal bir taban oluşturur. Bu durumda denilebilir ki öyle c ij sayıları vardır ki, Ψ AB Ψ AB = byth A i=1 byth B j=1 c ij u i v i şeklinde yazılabilir. Bileşke sistemi ifade eden durum vektörü normalizedir: Ψ AB Ψ AB = ij c ij = 1 Yoğunluk matrisi, Ψ AB Ψ AB = ijkl c ij c kl u i u k v j v l indirgenmiş yoğunluk matrisi de ρ A = tr B Ψ AB Ψ AB = ik = ik u i u k jl u i u k jl c ij c kltr v j v l } {{ } v l v j c ij c klδ jl = ik u i u k j c ij c kj = ik u i u k j c ij (C ) jk (*) = ik u i u k (CC ) ik olarak bulunur. (*) c ij yi boyutları byth A byth B olan bir C matrisi olarak alabiliriz. ρ A = ik ρ B = lj (CC ) ik u i u k (C C) lj v j v l

62 59. Ψ AB = byth i=1 u i A ω i B (.4) olacak şekilde ω i = j c ij v j B vektörlerini tanımlayalım. Burada u i, H A için ortonormal bir taban oluşturur fakat ω i ortogonal olmak zorunda değildir. Normalizasyon koşulu Ψ Ψ = i ω i ω i = i ω i = 1 şeklindedir. ρ A = ik ρ B = i u i u k ω k ω i } {{ } (CC ) ik (.5) ω i ω i (.6).5 ve.6 denklemleri herhangi bir ortonormal { u i } bazı için geçerlidir. 3. { u i } leri ρ A nın özvektörleri olarak seçelim. Bu durumda λ 1, λ,... λ n, ρ A nın sıfırdan farklı özdeğerleri olmak üzere ρ A = i λ i u i u i şeklinde bir tayfsal ayrışımı yazabiliriz.(n byth A ) Not: i λ i = trρ A = 1, λ i > 0. Denklem.4 deki A altsistemi için yoğunluk matrisini kullanarak ρ A = i u i u k ω k ω i = i u i u i λ i = ω k ω i = λ i δ ik elde edebiliriz. Sıfırdan farklı λ i değerleri için β i = 1 λi ω i (.7) şeklinde durum vektörleri tanımlayalım. Yine λ i, λ k 0 iken β k β i = δ ik olduğu görülebilir. Şimdi Ψ AB yi, (.7) te tanımladığımız vektörlerin yardımıyla Ψ AB = n λi u i A β i B (.8) i=1

63 60 Bölüm. Kuantum Bilgi Kuramında Temel Kavramlar şeklinde yazabiliriz. Tekrar etmek gerekirse burada { u 1, u,... u n }, H A da; { β 1, β,... β n } de H B de tanımlı ortonormal tabanlardır. Denklem (.8) deki ayrışıma iki bölümlü (bipartite) Ψ AB durumunun Schmidt ayrışımı (Schmidt Decomposition) denir. n e yani Ψ AB nin açılımındaki olası en az çarpım durum şeklindeki terim sayısına Ψ AB nin Schmidt rankı (Schmidt rank) denir. Aynı zamanda n, ρ A ve ρ B nin de matris rankı yani sıfırdan farklı özdeğerlerinin sayısıdır. Not: Sadece çarpım durumlar için n = 1 dir. n ise Ψ AB dolanık bir durumu ifade eder. İndirgenmiş yoğunluk matrisleri de ρ A = ρ B = n λ i u i u i i=1 n λ i β i β i i=1 olarak bulunur. ρ A ve ρ B eştayflıdır (isospectral), yani sıfırdan farklı bütün özdeğerleri aynıdır. Bu özdeğerler, λ 1, λ,... λ n, ayrıca Schmidt katsayıları (Schmidt coefficients) olarak da adlandırılır. 3 ten fazla parti (multipartite) için genel olarak bir Schmidt ayrışımı yoktur. Örnek: Ψ ABC nin bir Schmidt ayrışımı varsa Ψ ABC = i λ i u i A v i A w i C kısmi yoğunluk matrisleri ρ A, ρ B ve ρ C nin eştayflı olması gerekir. Alıştırma: Ψ ABC = 1 14 ( ) için ρ A, ρ B ve ρ C nin eştayflı olmadığını gösteriniz. Schmidt ayrışımı tektir (unique). Bu, ρ A nın ortonormal özvektörlerinin tek olmasıyla ilişkilidir. λ i dejenere (degenerate) olmayan bir özdeğerse u i en fazla bir faz serbestliği içerir. Yani u i e iθ u i şeklinde bir dönüşüm yapılabilir.

64 Ψ = i 61 Yalnız bu koşulda λi u i β i formunun değişmeden kalması için β i e iθ β i dönüşümünün de yapılması gerekir. Eğer λ i = λ i+1 =... = λ j dejenereyse { u i, u i+1... u j } özvektörlerinin seçiminde daha fazla serbestlik kazanılır. Örnek: Aşağıdaki spin için tekil durumu(singlet state) göz önüne alalım: Ψ AB = 1 ( ) = 1 }{{} u 1 }{{} β 1 }{{} u }{{} β = 1 ( x x x x ) = 1 ( ˆn ˆn ˆn ˆn ) Burada λ 1 = λ = 1 ve u i, { u 1, u } birçok değişik şekilde seçilebilir. İddia: Ψ AB = 1 ( ) durumu, 1. σ Ax σ Bx, σ Ay σ By, σ Cx σ Cy operatörlerinin 1 özdeğerine,. σ A +σ B operatörünün de 0 özdeğerine karşılık gelen bir özvektördür. İspat: Herhangi bir spin için: σ z = σ x = σ y = i σ z = σ x = σ y = i (1 σ Bx ) Ψ = 1 (1 σ Bx )( ) = 1 ( ) (σ Ax σ Bx ) Ψ = 1 ( ) = Ψ (σ Ay σ By ) Ψ = 1 (i i ( i ) i ) = Ψ (σ z σ z ) Ψ = 1 ( + ) = Ψ

65 6 Bölüm. Kuantum Bilgi Kuramında Temel Kavramlar. içinse (1 AB + σ Ax σ Bx ) Ψ = 0 denklemine soldan σ Ax 1 operatörünü uygulayalım. (σ Ax 1 B + σa x σ Bx ) Ψ = 0 (σ Ax 1 B + 1 σ Bx ) Ψ = 0 olarak yazılabilir. Bu notas- kolaylık açısından bazen σ Ax 1, sadece σ Ax yonla (σ Ax + σ Bx ) Ψ = 0 (σ Ai + σ Bi ) Ψ = 0 i = 1,, 3 = (σ A + σ B ) Ψ = 0 Son olarak da ˆn herhangi bir birim vektör olmak üzere(σ Aˆn = ˆn σ A, σ Bˆn = ˆn σ B ): σ Aˆn σ Bˆn Ψ = Ψ = (σ Aˆn + σ Bˆn ) Ψ = 0 (.9) Alice ve Bob kendi sistemleri üzerinde sırasıyla σ Aˆn ve σ Bˆn ölçümlerini yapsınlar. [ ] ρ A = 1 1 1/ 0 A = 0 1/ dir, çünkü Schmidt katsayıları λ 1 = λ = 1 dir. Aynı şekilde ρ B de 1 1 B ye eşittir. Bu ölçümlerin beklenen değerleri: σ Aˆn = tr(σ Aˆn ρ A ) = 1 trσ Aˆn = 0, benzer şekilde σ Bˆn = tr(σ Bˆn ρ B ) = 1 trσ Bˆn = 0 bulunur. Öyleyse, Alice veya Bob 1/ şer olasılıkla (+1) ve ( 1) sonuçlarını elde ederler. Bu defa elde ettikleri sonuçlar birbiriyle ilişkilidir: Denklem (.9) daki sonuçtan dolayı her zaman birbirlerinin tersi sonuçları bulurlar. Olası sonuçları bir tabloyla gösterirsek:

66 63 olasılık σ Aˆn nın sonucu σ Bˆn nin sonucu / / Bu tip korelasyonlara EPR korelasyonları denir. Örnek: Alice ilk önce σ Az yi ölçmüş olsun. Ölçümden önceki durum Ψ = 1 ( ) olsun. Buna göre elde edebileceği sonuçlar: olasılık σ Az nin sonucu çöken durum σ Bz nin sonucu 1/ / 1 1 şeklindedir. Sonra Bob σ Bz yi ölçsün. Bu sefer σ Bz üzerinde bir belirsizlik yoktur. Fakat, Alice kendi ölçümünün sonucu hakkında Bob a hiç bir şey söylemese bile, Bob yine aynı olasılık dağılımını elde edecektir. Alice le Bob iletişim kurabilme anlamında birbirlerinden çok uzakta olsunlar (mesela bir galaksinin iki uç köşesinde). O zaman ellerinde önceden hazırlayıp sakladıkları dolanık parçacık çiftini birbirlerine mesaj göndermek için kullanamazlar. Bu sonuç, fiziğin çok önemli ilkelerinden nedensellik ilkesine aykırı düşülmediğinin bir örneğidir. Eğer tersi durum gerçekleşseydi, Görelilik kuramı bize geçmişe mesaj gönderebileceğimizi ve dolayısıyla nedensellik ilkesine aykırı bir olayın gerçekleşmesinin mümkün olacağını söyleyecekti. Bob sadece kendi parçacığına bakma şartıyla, Alice in ne yapmış olduğunu hiçbir şekilde anlayamaz. Bunu Bob ın sahip olduğu B sisteminin kısmi yoğunuk matrisini kullanarak gösterelim. Alice in daha hiç bir şey yapmadığı durumda Bob ın yoğunluk matrisi: ρ B = 1 1 B dir. Eğer Alice σ Az yi ölçerse Bob ın parçacığının durumu değişecek ve saf durumdan bir topluluk haline dönüşecektir.

67 Ψ AB = i λi u i A v i B 64 Bölüm. Kuantum Bilgi Kuramında Temel Kavramlar olasılık Buradan B nin yoğunluk matrisi: B nin durumu 1/ 1/ ρ B = = 1 1 B olarak bulunur. Alice bir ölçüm yapmasına rağmen Bob ın sahip olduğu parçacığı ifade eden yoğunluk matrisi değişmemiştir..6 Sinyal Gönderememe Teoremi Alice kendi parçacığıyla ne yaparsa yapsın Bob ın parçacığını ifade eden yoğunluk matrisi değişmez. İspat: AB sistemi için Schmidt formunda herhangi bir dolanık durum düşünelim: 1. durum: Alice (. postülada olduğu gibi) kendi parçacığı üzerinde bir üniter W dönüşümü yapar. Ψ AB (W A 1) Ψ AB = i λ i W u i A β i B Not: {W u 1, W u,... W u n } de aynı zamanda bir ortonormal kümedir. ] tr [(W A 1) Ψ AB Ψ AB (W A 1) = ij λi λ j u i W W u j β j β i } {{ } δ ij = i λ i β i β i. durum: Alice kendi parçacığı üzerinde r µ = M µm µ = tr(ρa M µm µ ) olasılıklarıyla {M µ } genel ölçümünü yapar. Bu ölçüm sonucunda durum Ψ µ = 1 rµ (M µ 1) Ψ

68 65 olur. Bu da artık dolanık durumlardan oluşan bir topluluğa sahip oldukları anlamına gelir. Bileşke sistem AB için son topluluk {r µ, Ψ µ } şeklinde ifade edilebilir. Bu topluluktaki durumlardan ψ µ için Bob a ait kısmi yoğunluk matrisi de ρ (µ) B = tr Ψ µ Ψ µ = ij λi λ j u i M µm µ u j r µ β j β i olur. Bob artık karışık durumlardan oluşan bir topluluğa sahiptir: Bob ın, kısmi yoğunluk matrisi de {r µ, ρ (µ) B } ρ B = µ = µ r µ ρ (µ) B λi λ j u i M µm µ u j β j β i ij λi λ j u i 1 u j β j β i = ij = ij λi λ j δ ij β j β i = λ i β i β i i = ρ B 3. durum: Gelecekte keşfedilecek olan ve bugünden bilinmeyen bir XYZ teknolojisi bile Alice in Bob a bilgi iletmesini hiçbir şeyi mümkün kılamaz. Alice ρ B yi değiştiremez çünkü aksi takdirde Bob Alice in bir şeyler yaptığını anlayıp nedensellik ilkesini çiğneyebilir. Tanım: ρ, A sistemi üzerinde bir yoğunluk matrisi olsun. ρ nun bir saflaştırması (purification) varsayımsal bir R sistemi üzerinde ρ = ρ A = tr Ψ AR Ψ AR olacak şekilde oluşturulmuş dolanık Ψ AR durumuna denir. A üzerindeki herhangi bir ölçüm veya bir işlem, aynı zamanda A nın saflaştırması Ψ AR üzerindeki bir işlem gibi düşünülebilir. saflaştırma bir çok kurumsal analizde oldukça işe yarar. Teorem: Ψ AR ve Ψ AR, ρ nun olası iki saflaştırması olsun. Bu durumda Ψ AR ve Ψ AR birbirlerine bir yerel üniter dönüşümle (local unitary)

69 66 Bölüm. Kuantum Bilgi Kuramında Temel Kavramlar bağlıdır. Ψ AR = (1 A W R ) Ψ AR. İspat: ρ = i λ i u i u i, ρ nun tayfsal ayrışımı olsun. Ψ AR = i λi u i A β i R ve Ψ AR = i λi u i A β i R de ρ A nın iki farklı saflaştırması olsun. Buradan hemen { β 1, β,... β n } ve { β 1, β,... β n } in de sırasıyla H R ve H R nde ortonormal kümeler olduğunu görebiliriz. Eğer bu kümeler taban değillerse bile bunları ortonormal tabanlara ( H R ve H R ) tamamlamak mümkündür. Örneğin { β i, β,..., β n, β i+1,..., β m } kümesi HR için bir ortonormal taban olsun. HR için benzer tamamlama yapılabilir. Şimdi W = şeklinde bir operatör tanımlayalım. W üniterdir: m β i β i i=1 W W = W W = 1 R ve W aşağıdaki şekilde istenilen özelliği sağlar. W β i = β i (1 W ) Ψ = Ψ. E = {p i, ψ i }, yoğunluk matrisi ρ = i p i ψ i ψ i olan bir topluluk olsun. R de üzerinde { γ 1, γ,... γ n } ortornormal kümesi tanımlı olan varsayımsal bir sistem olsun. Bu takdirde Ψ AR = i pi ψ i A γ i R

70 67 durumu ρ nun bir saflaştırmasıdır. Teorem: E = {p i, ψ i } n i=1 ve F = {q i, ϕ i } m i=1 aynı yoğunluk matrisine sahip iki topluluk olsun. ρ = n m p i ψ i ψ i = q i ϕ i ϕ i i=1 (n m) olduğunu varsayalım ve F ye q m = q m+1 =... = q n = 0 olasılıklı { ϕ m+1, ϕ m+,..., ϕ n } vektörlerini ekleyelim.) O takdirde öyle bir üniter W n n matrisi vardır ki bağlantıları sağlanır. İspat: pi ψ i = qj ϕ j = i=1 n W ij qj ϕ j (.10) j=1 n (W ) ji pi ψ i (.11) i=1 Θ AR = i pi ψ i A γ i R ve Θ AR = i qi ϕ i A γ i R ρ nun saflaştırılmaları olsun. ({ γ i } ortonormal bir taban olup, iki saflaştırmada da aynı seçilebilir). Bu durumda öyle bir üniter W vardır ki: Θ = 1 W Θ pi ψ i γ i = j qj ϕ j γ j i olsun. İki tarafın da γ i ile iç çarpımını alırsak pi ψ i = j = j qj ϕ j γ i W γ j } {{ } W ij W ij qj ϕ j Aslında (.10) veya (.11) bağıntılarından birinin üniter bir W için geçerli

71 68 Bölüm. Kuantum Bilgi Kuramında Temel Kavramlar olması halinde teoremin tersi de geçerlidir, yani, E ve F aynı yoğunluk matrisine sahiptirler. Teorem: Ψ AB dolanık bir durum olsun. O zaman yoğunluk matrisi ρ A olan herhangi bir E topluluğu için Bob, Alice in parçacığını E topluluğu durumuna getiren yerel bir ölçüm bulabilir. ispat: E = {p i, ψ i } olsun. Varsayım gereği bu topluluğun yoğunluk matrisi ψ AB nin indirgenmiş yoğunluk matrisine eşittir, yani p i ψ i ψ i = ρ A = tr B ψ AB ψ AB i { γ i }, Bon un sisteminin durum uzayında ortonormal bir küme olsun. ψ AB = i pi ψ i A ψ i B durumu E topluluğunun bir saflaştırılmasıdır. Yukarıdaki teorem gereği, yani ψ AB ve ψ AB aynı indirgenmiş yoğunluk matrisine sahip olduğundan, B üzerinde üniter böyle bir W operatörü vardır ki ψ AB = (1 A W B ) ψ AB = i pi ψ i W γ i. Burada γ i = W γ i şeklinde tanımlarsak, { γ i } B de bir ortonormal küme olur. ψ = i pi ψ i γ i. Eğer Bob, P i = γ i γ i izdüşümsel ölçüm alırsa, o zaman i sonucunu elde etme olasılığı p i olur ve durum ψ i A γ i B ye çöker. Kısacası, Alice in parçacığı p i olasılıkla ψ i durumuna sokulmuş olur. Bir başka deyişle Alice in parçacığı artık E topluluğu ile betimlenen bir durum dağılımına sahiptir. İspatlanmak istenen de tam budur..7 EPR Korelasyonları A ve B, Alice ve Bob un elinde iki spin olsun ve aşağıdaki dolanık durumda bulunsunlar ψ AB = 1 ( ). Bu parçacıklar üzerinde Alice ve Bob tarafından σ Aˆn ve σ Bˆn ölçümleri yapılsın. Ölçüm sonuçları birbirinin zıddı olacaktır.

72 69 olasılık σ Aˆn nin sonucu σ Bˆn in sonucu 1/ / 1 +1 (σ Aˆn + σ Bˆn ) Ψ = 0 σ Aˆn σ Bˆn Ψ = Ψ a ve b olayları arasındaki korelasyona olası klasik açıklamalar (1) a, b ye neden olmuştur () b, a ya neden olmuştur (3) Üçüncü bir c olayı hem a hem de b ye neden olmuştur. örnek: (gazetelerden) Marul yemek kanseri önlemektedir. a: Marul yemek b: Kansere yakalanmamak 10 kişi üzerinden aşağıdaki veriler toplanmıştır. b b DEĞİL a 45 1 a DEĞİL 3 60

73 70 Bölüm. Kuantum Bilgi Kuramında Temel Kavramlar olası çıkarımlar: (1) Marul yemek kanseri önler (a b) () Kanserli hastaların marul yemeye iştahı olmamaktadır (Veya kanser olmamak, marul iştahını artırır: b a) (3) Sigara içmek hem iştahı azaltıp hem de kansere neden olmaktadır. (Veya, eğer c = sigara içmemek ise: c aveb) Şimdi EPR deneyine dönersek, deneyimizde Alice ve Bob birbirlerinden çok uzakta olsunlar (mesela bir galaksinin karşı uçlarında). EPR nin 1935 teki sonuçları aşağıdaki şekildedir[1]: (1) ve () EPR korelasyonlarının açıklaması olamaz. Öyleyse (3) numaralı açıklama doğru olmalı. Korelasyonlar Ψ durumu yaratıldığı anda yani parçacıklar yanyanayken oluşmuş olmalı Fikir: Bob ın σ B yi ölçtüğünde elde edeceği sonuç önceden bellidir. EPR nin çıkardığı sonuçlar: Kuantum mekaniği tam değildir, daha gerçekçi bir kuramla değiştirilmelidir. Gerçekçilik: X i ölçtüğümüzde elde edeceğimiz sonucun X ölçümünü yapmasak dahi önceden belirli bir değeri vardır. Not: Kuantum Mekaniği elimizdeki durumun X in özvektörü olması durumu dışındaki hiçbir durumda gerçekçi bir kuram değildir. Gizli değişken kuramları (KDT) gerçekçi kuramlardır. Gizli Değişken Kuramları (Hidden Variable Theories): Bu kuramlarda durum ( Ψ, λ) şeklinde verilir. Burada Ψ kuantum mekaniğinden bildğimiz dalga vektörü λ ise gizli değişkendir. Genelde λ değeri bilinmez (gizlidir). Olası bütün ölçümlerin olası bütün sonuçları Ψ ve λ cinsinden bulunabilir (kuram belirlenimcidir). Eğer X gözlenebiliri ( Ψ, λ) durumu üzerinde ölçülürse elde edilecek sonuç f(x, Ψ, λ) dir (X e, Ψ ye ve λ ya bağlıdır). Kuantum mekaniği çok başarılı bir kuram olduğu için GDK ndan de aynı sonuçları almayı beklememiz doğaldır. 1. f(x, Ψ, λ) = X in özdeğerlerinden biridir. ör: σ x, Ψ, λ) = ±1

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler

Detaylı

Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri

Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d)

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d) Ders 10 Metindeki ilgili bölümler 1.7 Gaussiyen durum Burada, 1-d de hareket eden bir parçacığın önemli Gaussiyen durumu örneğini düşünüyoruz. Ele alış biçimimiz kitaptaki ile neredeyse aynı ama bu örnek

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

KUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu

KUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu KUADRATİK FORMLAR KUADRATİK FORM Tanım: Kuadratik Form Bir q(x,x,,x n ) fonksiyonu q x : n şeklinde tanımlı ve x i x j bileşenlerinin doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur.

Detaylı

Kuantum Mekaniğinin Varsayımları

Kuantum Mekaniğinin Varsayımları Kuantum Mekaniğinin Varsayımları Kuantum mekaniği 6 temel varsayım üzerine kurulmuştur. Kuantum mekaniksel problemler bu varsayımlar kullanılarak (teorik/kuramsal olarak) çözülmekte ve elde edilen sonuçlar

Detaylı

Lineer Cebir. Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB. İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler

Lineer Cebir. Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB. İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler Lineer Cebir Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler Bölüm 1 - Lineer Eşitlikler 1.1. Lineer Eşitliklerin Tanımı x 1, x 2,..., x

Detaylı

1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.

1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır. 1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

3. BÖLÜM MATRİSLER 1

3. BÖLÜM MATRİSLER 1 3. BÖLÜM MATRİSLER 1 2 11 21 1 m1 a a a v 12 22 2 m2 a a a v 1 2 n n n mn a a a v gibi n tane vektörün oluşturduğu, şeklindeki sıralanışına matris denir. 1 2 n A v v v Matris A a a a a a a a a a 11 12

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

GEO182 Lineer Cebir. Matrisler. Matrisler. Dersi Veren: Dr. İlke Deniz Derse Devam: %70. Vize Sayısı: 1

GEO182 Lineer Cebir. Matrisler. Matrisler. Dersi Veren: Dr. İlke Deniz Derse Devam: %70. Vize Sayısı: 1 GEO182 Lineer Cebir Dersi Veren: Dr. İlke Deniz 2018 GEO182 Lineer Cebir Derse Devam: %70 Vize Sayısı: 1 Başarı Notu: Yıl içi Başarı Notu %40 + Final Sınavı Notu %60 GEO182 Lineer Cebir GEO182 Lineer Cebir

Detaylı

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2) ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme

Detaylı

BÖLÜM 24 PAULI SPİN MATRİSLERİ

BÖLÜM 24 PAULI SPİN MATRİSLERİ BÖLÜM 24 PAULI SPİN MATRİSLERİ Elektron spini için dalga fonksiyonlarını tanımlamak biraz kullanışsız görünüyor. Çünkü elektron, 3B uzayda dönmek yerine sadece kendi berlirlediği bir rotada dönüyor. Elektron

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

8.04 Kuantum Fiziği Ders XII

8.04 Kuantum Fiziği Ders XII Enerji ölçümünden sonra Sonucu E i olan enerji ölçümünden sonra parçacık enerji özdurumu u i de olacak ve daha sonraki ardışık tüm enerji ölçümleri E i enerjisini verecektir. Ölçüm yapılmadan önce enerji

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocm.mit.edu/terms veya http://tuba.açık ders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri ölüm 3: Vektörler Kavrama Soruları 1- Neden vektörlere ihtiyaç duyarız? - Vektör ve skaler arasındaki fark nedir? 3- Neden vektörel bölme işlemi yapılamaz? 4- π sayısı vektörel mi yoksa skaler bir nicelik

Detaylı

Ayrık Fourier Dönüşümü

Ayrık Fourier Dönüşümü Ayrık Fourier Dönüşümü Tanım: 0 n N 1 aralığında tanımlı N uzunluklu bir dizi x[n] nin AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (DFT), ayrık zaman Fourier dönüşümü (DTFT) X(e jω ) nın0 ω < 2π aralığında ω k = 2πk/N, k =

Detaylı

Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b

Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür. ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı

Detaylı

8.04 Kuantum Fiziği Ders IV. Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi. ise, parçacığın dalga fonksiyonu,

8.04 Kuantum Fiziği Ders IV. Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi. ise, parçacığın dalga fonksiyonu, Geçen Derste Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi ΔxΔp x 2 Fourier ayrışımı Bugün φ(k) yı nasıl hesaplarız ψ(x) ve φ(k) ın yorumu: olasılık genliği ve olasılık yoğunluğu ölçüm φ ( k)veyahut

Detaylı

1 Vektör Uzayları 2. Lineer Cebir. David Pierce. Matematik Bölümü, MSGSÜ mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/

1 Vektör Uzayları 2. Lineer Cebir. David Pierce. Matematik Bölümü, MSGSÜ mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ Vektör Uzayları Lineer Cebir David Pierce 5 Mayıs 2017 Matematik Bölümü, MSGSÜ dpierce@msgsu.edu.tr mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ Bu notlarda, alıştırma olarak her teorem, sonuç, ve örnek kanıtlanabilir;

Detaylı

3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar

3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar 3. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 11, 2016 1 Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar Lie nin üçüncü teoremi oarak bilinen ve Cartan tarafından asağıdaki gibi güçlendirilmiş bir teorem ile başlayalım:

Detaylı

ÖABT Lineer Cebir KONU TESTİ Matris Cebiri

ÖABT Lineer Cebir KONU TESTİ Matris Cebiri ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Matris Cebiri. i, j,, i için j i j a j i j a. j i j a. i için j i j a 4 6 j i j a 4 j i j a. 6. 0 0 0 4 0 0 0. 4 6 n 0 0 n 6 Cevap: D Cevap:. I. I I I 0 I 0 0 0..I I I 00 0 0 0

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

8.04 Kuantum Fiziği Ders X. Schrödinger denk. bir V(x) potansiyeli içinde bir boyutta bir parçacığın hareketini inceler.

8.04 Kuantum Fiziği Ders X. Schrödinger denk. bir V(x) potansiyeli içinde bir boyutta bir parçacığın hareketini inceler. Schrödinger denklemi Schrödinger denk. bir V(x) potansiyeli içinde bir boyutta bir parçacığın hareketini inceler. Köşeli parantez içindeki terim, dalga fonksiyonuna etki eden bir işlemci olup, Hamilton

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 MATRİSLER Matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

H(t) + O(ɛ 2 ) var. Yukarıda U(t + ɛ, t) için elde ettiğimiz sonucumuzu bu ifadede yerine koyunca her iki tarafı. = H(t)U(t, t 0 )

H(t) + O(ɛ 2 ) var. Yukarıda U(t + ɛ, t) için elde ettiğimiz sonucumuzu bu ifadede yerine koyunca her iki tarafı. = H(t)U(t, t 0 ) Ders 12 Metindeki ilgili bölümler 2.1 Hamilton işlemcisi ve Schrödinger denklemi Şimdi, t den t + ɛ a zaman gelişimini düşünün. U(t + ɛ, t) = I + ɛ ( i ) H(t) + O(ɛ 2 ) elde ederiz. Her zamanki gibi, U

Detaylı

ELEKTRİKSEL POTANSİYEL

ELEKTRİKSEL POTANSİYEL ELEKTRİKSEL POTANSİYEL Elektriksel Potansiyel Enerji Elektriksel potansiyel enerji kavramına geçmeden önce Fizik-1 dersinizde görmüş olduğunuz iş, potansiyel enerji ve enerjinin korunumu kavramları ile

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri   Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir.

Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir. 2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. boş olmayan bir küme olsun. ile den üzerine bire-bir fonksiyonlar kümesini

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

Kuantum mekaniğinde uzay ve zamandaki dönüşümler sisteme ait Hilbert uzayında üniter

Kuantum mekaniğinde uzay ve zamandaki dönüşümler sisteme ait Hilbert uzayında üniter Ders Metindeki ilgili bölümler 3.1, 3. Kuantum mekaniğinde dönme hareketleri Şimdi, bir evvelce düşündüğümüz hususların kuantum mekaniği ile olan ilgisini irdeleyeceğiz. Kuantum mekaniğinde uzay ve zamandaki

Detaylı

Kuantum Grupları. Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara. Münevver Çelik. Feza Gürsey Enstitüsü, İstanbul 10 Şubat, 2010

Kuantum Grupları. Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara. Münevver Çelik. Feza Gürsey Enstitüsü, İstanbul 10 Şubat, 2010 Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara Feza Gürsey Enstitüsü, İstanbul 10 Şubat, 2010 Kuantum grubu örgülü bir Hopf cebridir. Cebir Tanım Bir k-vektör uzayı A için, µ : A A A ve η : k A birer k-doğrusal

Detaylı

ii) S 2LW 2WH 2LW 2WH S 2WH 2LW S 3( x 1) 5( x 2) 5 3x 3 5x x Maliye Bölümü EKON 103 Matematik I / Mart 2018 Proje 2 CEVAPLAR C.1) C.

ii) S 2LW 2WH 2LW 2WH S 2WH 2LW S 3( x 1) 5( x 2) 5 3x 3 5x x Maliye Bölümü EKON 103 Matematik I / Mart 2018 Proje 2 CEVAPLAR C.1) C. C.1) x1 x 1 4 4( x1) x 6 4x 4 x 6 x 46 x Maliye Bölümü EKON 10 Matematik I / Mart 018 Proje CEVAPLAR C.) i) S LW WH LW WH S LW WH S W W W S L H W ii) S LW WH WH LW S WH LW S W W W S H L W C.) ( x1) 5(

Detaylı

1. BÖLÜM VEKTÖRLER 1

1. BÖLÜM VEKTÖRLER 1 1. BÖLÜM VEKTÖRLER 1 Tanım:Matematik, istatistik, mekanik, gibi çeşitli bilim dallarında znlk, alan, hacim, yoğnlk, kütle, elektriksel yük, gibi büyüklükler, cebirsel krallara göre ifade edilirler. B tür

Detaylı

LİNEER CEBİR. Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU. Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN

LİNEER CEBİR. Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU. Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN LİNEER CEBİR Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN 1.BOLUM DOGRUSAL CEBIR VE DIFERANSIYEL DENKLEMLER LİNEER EŞİTLİKLER 1.1. LİNEER EŞİTLİKLERİN TANIMI x 1, x 2,...,

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

Ders: MAT261 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri matrisi bulunuz. olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X 1.

Ders: MAT261 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri matrisi bulunuz. olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X 1. Ders: MAT6 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri. A = matrisi bulunuz.. A = a b c d e f ve B = ÇALIŞMA SORULARI- olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X matrisi satır basamak hale getirildiğinde en fazla

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

Şayet bir lineer sistemin en az bir çözümü varsa tutarlı denir.

Şayet bir lineer sistemin en az bir çözümü varsa tutarlı denir. GAZI UNIVERSITY ENGINEERING FACULTY INDUSTRIAL ENGINEERING DEPARTMENT ENM 205 LINEAR ALGEBRA COURSE ENGLISH-TURKISH GLOSSARY Linear equation: a 1, a 2, a 3,.,a n ; b sabitler ve x 1, x 2,...x n ler değişkenler

Detaylı

8.04 Kuantum Fiziği DersXIX

8.04 Kuantum Fiziği DersXIX Bu takdirde yani, 1 = a ˆ 0 de bir enerji özdurumudur, ancak 0 için enerjisi 1hω yerine 3 hω dir. 2 2 Benzer şekilde, 2 = a ˆ 1 inde bir enerji özdurumu olduğunu fakat enerjisinin 5 hω, vs. 2 söyleyebiliriz.

Detaylı

A B = A. = P q c A( X(t))

A B = A. = P q c A( X(t)) Ders 19 Metindeki ilgili bölümler 2.6 Elektromanyetik bir alanda yüklü parçacık Şimdi, kuantum mekaniğinin son derece önemli başka bir örneğine geçiyoruz. Verilen bir elektromanyetik alanda hareket eden

Detaylı

Bu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz.

Bu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz. Bölüm 3 Gruplar Bu bölümde ilk olarak bir küme üzerinde tanımlı işlem kavramını ele alıp işlemlerin bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Daha sonra kümeler ve üzerinde tanımlı işlemlerden oluşan cebirsel

Detaylı

FİZİK 4. Ders 10: Bir Boyutlu Schrödinger Denklemi

FİZİK 4. Ders 10: Bir Boyutlu Schrödinger Denklemi FİZİK 4 Ders 10: Bir Boyutlu Schrödinger Denklemi Bir Boyutlu Schrödinger Denklemi Beklenen Değer Kuyu İçindeki Parçacık Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi Kare Kuyu Tünel Olayı Basit Harmonik Salınıcı

Detaylı

Tesadüfi Değişken. w ( )

Tesadüfi Değişken. w ( ) 1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere

Detaylı

2.3. MATRİSLER Matris Tanımlama

2.3. MATRİSLER Matris Tanımlama 2.3. MATRİSLER 2.3.1. Matris Tanımlama Matrisler girilirken köşeli parantez kullanılarak ( [ ] ) ve aşağıdaki yollardan biri kullanılarak girilir: 1. Elemanları bir tam liste olarak girmek Buna göre matris

Detaylı

LYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal

Detaylı

BÖLÜM 17 RİJİT ROTOR

BÖLÜM 17 RİJİT ROTOR BÖLÜM 17 RİJİT ROTOR Birbirinden R sabit mesafede bulunan iki parçacığın dönmesini düşünelim. Bu iki parçacık, bir elektron ve proton (bu durumda bir hidrojen atomunu ele alıyoruz) veya iki çekirdek (bu

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

Özet: Açısal momentumun türetimi. Açısal momentum değiştirme bağıntıları. Artırıcı ve Eksiltici İşlemciler Kuantum Fiziği Ders XXI

Özet: Açısal momentumun türetimi. Açısal momentum değiştirme bağıntıları. Artırıcı ve Eksiltici İşlemciler Kuantum Fiziği Ders XXI Özet: Açısal momentumun türetimi Açısal momentum değiştirme bağıntıları Levi- Civita simgesi Genel olarak, L x, L y, L z, nin eşzamanlı özdurumları yoktur L 2 ve bir bileşeni (L z ) nin eşzamanlı özdurumlarıdır.

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

Ç NDEK LER II. C LT KONULAR Sayfa Öz De er Öz Vektör.. 2. Lineer Cebir ve Sistem Analizi...

Ç NDEK LER II. C LT KONULAR Sayfa Öz De er Öz Vektör.. 2. Lineer Cebir ve Sistem Analizi... ÇNDEKLER II. CLT KONULAR 1. Öz Deer Öz Vektör.. 1 Kare Matrisin Öz Deeri ve Öz Vektörleri... 21 Matrisin Karakteristik Denklemi : Cayley Hamilton Teoremi.. 26 Öz Deer - Öz Vektör ve Lineer Transformasyon

Detaylı

FEM ile, Hapsolmuş Kuantum Mekaniksel Sistemlerin Çözümü

FEM ile, Hapsolmuş Kuantum Mekaniksel Sistemlerin Çözümü FEM ile, Hapsolmuş Kuantum Mekaniksel Sistemlerin Çözümü Yöntem Bir boyutlu bir problem için etkin kütle yaklaşımı ve zarf fonksiyonu (envelope function) yaklaşımı çerçevesinde Hamiltoniyen ve Schrodinger

Detaylı

ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır.

ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır. ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI. vektör uzayında yer alan w=(9 7) vektörünün, u=( -), v=(6 ) vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olduğunu ve z=( - 8) vektörünün ise bu vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.

Detaylı

sonlu altörtüsü varsa bu topolojik uzaya tıkız diyoruz.

sonlu altörtüsü varsa bu topolojik uzaya tıkız diyoruz. Ders 1: Önbilgiler Bu derste türev fonksiyonunun geometrik anlamını tartışıp, yalnız R n nin bir açık altkümesinde değil, daha genel uzaylarda tanımlı bir fonksiyonun türevi ve özel noktalarının nasıl

Detaylı

Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir.

Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir. 5.SUNUM Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir. Günlük hayatta sıklıkla kullanılmakta olan olasılık bir olayın ortaya

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER

Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr Ders Adı : Bilgisayar Mühendisliğinde Matematik Uygulamaları

Detaylı

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer 11.Gram-Schmidt metodu 11.1. Ortonormal baz 11.1.Teorem: { }, V Öklid uzayı için bir ortonormal baz olsun. Bu durumda olmak üzere. 1.Ö.: { }, de bir ortonormal baz olsun. Burada. vektörünü S deki vektörlerin

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri   Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

8.04 Kuantum Fiziği Ders XX

8.04 Kuantum Fiziği Ders XX Açısal momentum Açısal momentum ile ilgili özdenklem şöyle yazılır ki burada 2mr 2 E L özdeğerdir, ve olur. HO problemine benzer olarak, iki yolla ilerleyebiliriz. Ya 1. Taylor açınımı kullanarak diferansiyel

Detaylı

DERS NOTLARI. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin BİLGİÇ. Kahramanmaraş Sütçü İmam Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Ağustos 2015

DERS NOTLARI. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin BİLGİÇ. Kahramanmaraş Sütçü İmam Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Ağustos 2015 www.matematikce.com 'dan indirilmiştir. LİNEER CEBİR DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Kahramanmaraş Sütçü İmam Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Ağustos 5 e-posta: h_bilgic@hotmail.com ÖNSÖZ

Detaylı

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 2 Kuvvet Vektörleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö.Soyuçok. 2 Kuvvet Vektörleri Bu bölümde,

Detaylı

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve düzlem Geçen ders doğrusal cebir aracılığıyla izdüşümsel geometri için bir model kurduk. Şimdi bu modeli daha somut bir şekle sokalım, F = R durumunda kurduğumuz

Detaylı

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Detaylı

28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31

28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31 SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 11 32159 Rasyonel sayı kavramını açıklar. 2 12 32151 İki ya da daha çok doğal sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulur.

Detaylı

7. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 17, 2016

7. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 17, 2016 7. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 17, 2016 Bu derste bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği sıfır olan k cismi üzerine tanımlı olduğunu varsayıyoruz. 1 Tekrar Gözden Geçirme: Basitlik,

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

Matematik I: Analiz und Lineer Cebir I Sömestr Ders Saati D 2 U 2 L 1 AKTS 6 Lisans/ Yüksek Lisans Lisans Dersin Kodu MAT 106 Sömestr 2

Matematik I: Analiz und Lineer Cebir I Sömestr Ders Saati D 2 U 2 L 1 AKTS 6 Lisans/ Yüksek Lisans Lisans Dersin Kodu MAT 106 Sömestr 2 Dersin Adı Matematik I: Analiz und Lineer Cebir I Sömestr Ders Saati D 2 U 2 L 1 AKTS 6 Lisans/ Yüksek Lisans Lisans Dersin Kodu MAT 106 Sömestr 2 Dersin Dili Almanca Dersi Veren(ler) Yrd. Doç. Dr. Adnan

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği 2007 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için

Detaylı

4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ

4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x a x a x b 11 1 12 2 1n n 1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n

Detaylı

Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok

Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok Gauss Yasası Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok daha kullanışlı bir şekilde nasıl hesaplanabileceği

Detaylı

FEM ile, Hapsolmuş Kuantum Mekaniksel Sistemlerin Çözümü

FEM ile, Hapsolmuş Kuantum Mekaniksel Sistemlerin Çözümü FEM ile, Hapsolmuş Kuantum Mekaniksel Sistemlerin Çözümü Yöntem 8-Mayıs-24 (9-Mayıs-24) Bir boyutlu bir problem için ölçeklenmiş (boyutsuz) niceliklerle yazılmış Schrodinger denklemi ve Hamiltoniyen Hψ(z)

Detaylı

ELE401/ /17 GÜZ ÖDEV 2 - ÇÖZÜMLER

ELE401/ /17 GÜZ ÖDEV 2 - ÇÖZÜMLER ELE40/50 06/7 GÜZ ÖDEV - ÇÖZÜMLER -) Lyapunov kararlılığı için = 0, V( ) = 0 0, V( ) > 0 biçiminde bir Lyapunov fonksiyonu 0, V( ) 0 eşitsizliğini sağlanmalıdır. Asimptotik kararlılık için 0, V( ) < 0

Detaylı

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir.

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir. Matrisler Satır ve sütunlar halinde düzenlenmiş tabloya matris denir. m satırı, n ise sütunu gösterir. a!! a!" a!! a!" a!! a!! a!! a!! a!" m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. [2 3 1] şeklinde,

Detaylı

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a

Detaylı

ÜNİTE 1: TEMEL KAVRAMLAR

ÜNİTE 1: TEMEL KAVRAMLAR MATEMATİK ÜNİTE : TEMEL KAVRAMLAR Temel Kavramlar ADF 0 RAKAM Sayı oluşturmak için kullanılan sembollere... denir. 0 luk sayma düzenindeki rakamlar 0,,,... 8 ve 9 olup 0 tanedir. örnek a, b, c sıfırdan

Detaylı