Içindekiler. Bölünebilme ve Bölme Algoritmas Bölme Algoritmas 12 Bölünebilme Kurallar 15 Bölünebilme Problemlerinde En Çok Kullanlan Yöntemler 22

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Içindekiler. Bölünebilme ve Bölme Algoritmas Bölme Algoritmas 12 Bölünebilme Kurallar 15 Bölünebilme Problemlerinde En Çok Kullanlan Yöntemler 22"

Transkript

1 Içindekiler BIRINCI BÖLÜM Bölünebilme ve Bölme Algoritmas Bölme Algoritmas 12 Bölünebilme Kurallar 15 Bölünebilme Problemlerinde En Çok Kullanlan Yöntemler 22 Çözümlü Test 25 Çözümler 28 Problemler (Bölünebilme) 34 Problemlerin Çözümleri 36 TÜBITAK SORULARI (Bölünebilme) 43 TÜBITAK SORULARININ ÇÖZÜMLERI 46 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 51 IKINCI BÖLÜM Asal Saylar ve Çarpm Fonksiyonlar De Polignac Formülü 57 Bir Tam Saynn Pozitif Bölenlerinin Says 59 Bir Tam Saynn Pozitif Bölenlerinin Toplam 61 Euler Fonksiyonu 63 Çarpm Fonksiyonu 65 Karşk Örnekler 69 Çözümlü Test 74 Çözümler 81 Problemler 95 Problemlerin Çözümleri 97 TÜBITAK SORULARI (Asal Saylar) 103 TÜBITAK SORULARININ ÇÖZÜMLERI 106 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 112

2 ÜÇÜNCÜ BÖLÜM OBEB - OKEK OBEB (Ortak Bölenlerin En Büyügü) 115 OKEK (Ortak Katlarn En Küçügü) 116 Öklid Algoritmas ve OBEB'in Kullanlmas 118 OBEB ve Tam Say Katsayl Iki Bilinmeyenli Lineer Denklemler 123 Karşk Örnekler 125 Çözümlü Test 127 Çözümler 130 Problemler (OBEB - OKEK) 135 Problemlerin Çözümleri 137 TÜBITAK SORULARI (OBEB - OKEK) 142 TÜBITAK SORULARININ ÇÖZÜMLERI 143 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 145 DÖRDÜNCÜ BÖLÜM Modüler Aritmetik Mod Kavram 147 Denklikler 149 Bölünebilirlik Testlerinin Modüler Aritmetik Yardmyla Yaplmas 153 Karşk Örnekler 158 Çözümlü Test 162 Çözümler 165 Problemler (Modüler Aritmetik) 171 Problemlerin Çözümleri 173 TÜBITAK SORULARI (Modüler Aritmetik) 181 TÜBITAK SORULARININ ÇÖZÜMLERI 185 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 192 BEŞINCI BÖLÜM Fermat - Euler -Wilson - Çin Kalan Teoremleri Fermat - Euler Teoremi 193 Bir Tam Saynn Mertebesi 196 Wilson Teoremi 198 Çin Kalan Teoremi 201 Karşk Örnekler 203

3 Çözümlü Test 207 Çözümler 212 Problemler (Fermat - Euler) 222 Problemlerin Çözümleri 224 TÜBITAK SORULARI (Fermat - Euler) 231 TÜBITAK SORULARININ ÇÖZÜMLERI 234 ALTINCI BÖLÜM Denklikler (Kongruanslar) Dogrusal Denklikler 241 Iki Bilinmeyenli Dogrusal Denklikler 244 Denklik Sistemleri 246 Yüksek Mertebeden Denklikler 248 M Bileşik Says için ModM de Yüksek Mertebeden Denkliler 250 p Asal Says Için modp n de Denklikler 253 Çözümlü Test 258 Çözümler 260 TÜBITAK SORULARI (Denklikler) 263 TÜBITAK SORULARININ ÇÖZÜMLERI 266 YEDINCI BÖLÜM Tam Saylar Kümesinde Denklem Çözümü Lineer Diofan Denklemleri 275 Basit Bölünebilme Özellikleri ile Çözülebilen Denklemler 280 Çarpanlara Ayrma Kurallar Kullanlarak Çözülen Denklemler 281 Modüler Aritmetik Yardmyla Çözülebilen Denklemler 283 Bilinmeyenleri Snrlayarak Çözülebilen Denklemler 287 Simetriklik Kullanlarak Çözülebilen Denklemler 288 Tahmini Çözümden Genel Çözüme Ulaşma 291 Diskriminant Kullanlarak Çözülen Denklemler 292 Tam kare ve Tam küp Sorular 294 Karşk Örnekler 299 Çözümlü Test 308 Çözümler 315 TÜBITAK SORULARI (Tam Saylar Kümesinde Denklem Çözümü) 330

4 TÜBITAK SORULARININ ÇÖZÜMLERI 335 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 345 SEKIZINCI BÖLÜM Bir Reel Saynn Tam degeri Bir Reel Saynn Tam degeri 347 Problemler 358 Problemlerin Çözümleri 359 Çözümlü Test 363 Çözümler 365 TÜBITAK SORULARI (Tam deger) 370 TÜBITAK SORULARININ ÇÖZÜMLERI 372 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 376 Çalşma Sorular 379 YANIT ANAHTARI 396

5 Bölünebilme ve Bölme Algoritmas Tanm : m; n; d 2 Z ve m 6= 0 olmak üzere n = dm yazlabiliyorsa; m says n saysn böler veya n says m saysnn d katdr denir. m j n ile gösterilir. Eger; m says n saysn bölmüyorsa; m - n şeklinde gösterilir. Bu gösterimle aşagdaki özellikleri inceleyiniz. i) m j n ve n j m ise n = m yani, jnj = jmj olur. ii) m j n ve n j k ise; m j k olur. iii) m j n ve m j k ise; a; b 2 Z için; m j an + bk olur. ( Bir m tamsays; n ve k tamsaylarn bölüyor ise; bunlarn tamsay katlarnn toplamlarn da böler.) Ispat : m j n ise; n = rm ve m j k ise; k = sm olacak şekilde r ve s tamsaylar vardr. Buna göre; an + bk = arm + bsm = m (ar + bs) oldugundan; m j an + bk olur. iv) m j n ve m j k n ise m j k olur. Ispat : m j n ise n = rm ve m j k n ise k n = ms olacak şekilde r ve s tamsaylar vardr. Buna göre; k = ms n = ms rm = m (s r) oldugundan; m j k olur. v) m j n ise; a 2 Z için; m a j n a olur. vi) m j n ve k j s ise; mk j ns olur. Örnek 1 a c j ab + cd ise a c j ad + bc oldugunu gösteriniz. Çözüm : ab + cd = n ve ad + bc = k diyelim. n + k = (ab + cd) (ad + bc) = a (b d) c (b d) = (a c) (b d) eşitligine göre; a c ifadesi n + k'y böler. O halde; a c j n ve a c j n + k oldugundan; a c j k = ad + bc olmaldr. Örnek 2 n n 22 ifadesi 103'e tam bölünecek şekildeki 1000'den küçük en büyük n tamsays kaçtr? Çözüm : n n 22 says 103'e bölünüyorsa; 103 eklersek de bölünmelidir. 103 eklenirse; n n + 81 = (n + 9) 2 olur. Bu ifadenin 103'e bölünebilmesi için; n + 9 = 103k olmas gerektiginden; n = 103k 9 şeklinde olmaldr. 1000'den küçük n = 103k 9 formundaki en büyük say k = 9 için n = = 918 olur.

6 12 Matematik Olimpiyatlarna Hazrlk 3 Örnek 3 3n 5 says 7n 2 saysn bölecek şekilde kaç tane n tamsays bulunabilir? Çözüm : 3n 5 j 7n 2 ise; 3n 5 j 3 (7n 2) 7 (3n 5) olmaldr. Buradan; 3n 5 j 29 olacagndan; 3n 5 says, 1; 1; 29 veya 29 olmaldr. 3n 5 = 1 ve 3n 5 = 29 olmas durumlarnda n tamsay olmaz. 3n 5 = 29 için, n = 8 ve 3n 5 = 1 içinse, n = 2 oldugundan; istenen şekilde sadece 2 tamsay oldugu görülür. 1.1 Bölme Algoritmas Matematik problemlerinin çözümünde en çok kullanlan yöntemlerden biridir. Örnegin; tek saylar 2n + 1 ve çift saylar 2n ile göstermek en basit bölme algoritmasndan biridir. Bu algoritma; çok iyi bildigimiz Bolunen = Bolen Bolum + Kalan ifadesinde; kalan daima bölenden küçük olmak üzere bölüm ve kalann tek şekilde yazlabilecegini ifade eder. Şimdi bölme algoritmasn ifade edelim. Teorem : A; B 2 Z ve B > 0 olmak üzere; 0 r < B ile A = q B + r eşitligini saglayan bir tek q ve r saylar vardr. Bölme algoritmas yardmyla tamsaylar kümesini; birleşimleri tüm tamsaylar oluşturacak şekilde ayrk kümelere ayrabiliriz. Bu ayrma sayesinde; tüm tamsaylarda çözmemiz gereken bir soruyu bu ayrk kümeler için çözerek sonuca ulaşabiliriz. Örnegin; tamsaylar; 3'e bölündügünde 1 kalann veren saylar 3n + 1; 3'e bölündügünde 2 kalann veren saylar 3n + 2; 3'e bölündügünde 0 kalann veren saylar 3n şeklinde göstererek 3 ayrk ksma ayrabiliriz. x; 5'e bölünemeyen bir say ise; x = 5k + 1; x = 5k + 2; x = 5k + 3 ve x = 5k + 4 olabilir. Ya da ksaca; x = 5k 1 ve x = 5k 2 ile gösterebiliriz. x; 6'ya bölünemeyen bir çift say ise; x = 6k + 2 veya x = 6k + 4 olabilir. Ksaca; 6k 2 ile gösterebiliriz. x; 3'e bölünemeyen bir tek say ise; x = 3k + 1 ifadesinde k çift olmal; yani x = 3 (2n) + 1 = 6n + 1 veya x = 3k + 2 ifadesinde k tek olmal; yani 3 (2n + 1) + 2 = 6n + 5 olmaldr. O halde; 3'e bölünemeyen tek saylar 6n 1 ile göstermek mümkündür. Bölme algoritmasn kullanarak birçok problemi daha kolay şekilde çözeriz. Aşagdaki örnekleri inceleyiniz.

7 Bölünebilme ve Bölme Algoritmas 13 Örnek 4 5'in kat olmayan herhangi n tamsaysnn karesinin bir fazlasnn 5'e bölümünden elde edilebilecek kaç farkl kalan vardr? Çözüm : x = 5k 1 veya x = 5k 2 olabilir. Buna göre, x = 5k 1 için, x = (5k 1) = 25k 2 10k + 2 = 5A + 2, x = 5k 2 için, x = (5k 2) = 25k 2 20k + 5 = 5A oldugundan, sadece 0 ve 2 kalanlar elde edilebilir. Örnek 5 a) Bir tamsaynn karesinin 4'e bölümünden hangi kalan elde edilemez? b) Bir tamsaynn karesinin 8'e bölümünden hangi kalanlar elde edilebilir. Çözüm : n = 4k ise (4k) 2 = 16k 2, oldugundan; n = 4k + 1 ise (4k + 1) 2 = 16k 2 + 8k + 1; n = 4k + 2 ise (4k + 2) 2 = 16k + 16k 2 + 4; n = 4k + 3 ise (4k + 3) 2 = 24k + 16k a) 4'e bölümünden elde edilebilecek kalanlar; 0 veya 1 olur. O halde; bir saynn karesinin 4'e bölümünden kalan asla 2 veya 3 olamaz. b) 8'e bölümünden elde edilebilecek kalanlar; 0; 1 veya 4 olur. Örnek 6 x; 3'e bölünmeyen bir tek say olmak üzere; x 5 + x 3 + x 2 + 4x 1 saysnn daima 6'ya bölünebildigini gösteriniz. Çözüm : x says 3'e bölünemeyen bir tek say ise; x = 3k + 1 ifadesinde k çift olmal; yani x = 3 (2n) + 1 = 6n + 1 veya x = 3k + 2 ifadesinde k tek olmal; yani x = 3 (2n + 1) + 2 = 6n + 5, yani, 6n 1 formunda olmaldr. Buna göre; x = 6n + 1 formunda ise; x 5 + x 3 + x 2 + 4x 1 = (6n + 1) 5 + (6n + 1) 3 + (6n + 1) (6n + 1) 1 olur ve 6'ya bölünür. x = 6n = 6A = 6A + 6 = 6 (A + 1) 1 formunda ise; x 5 + x 3 + x 2 + 4x 1 = (6n 1) 5 + (6n 1) 3 + (6n 1) (6n 1) 1 = 6B = 6 (B 1) eşitliginden yine 6'ya bölünür. Yani; ifademiz daima 6'ya bölünür.

8 14 Matematik Olimpiyatlarna Hazrlk 3 Örnek 7 n; 1'den büyük bir tamsay olmak üzere; 3 n saysnn ardşk üç tek saynn toplam olarak yazlabilecegini gösteriniz. Çözüm : 3 n = (2k + 1) + (2k + 3) + (2k + 5) = 6k + 9 ise 2k = 3 n 1 3 olur. 3 n 1 3 says çift oldugundan 2'ye bölünür ve n > 1 için; k bir pozitif tamsay olur. O halde; 3 n = (2k + 1) + (2k + 3) + (2k + 5) = 3 n n n şeklinde yazlabilir. Örnek 8 7'den büyük her tamsaynn aralarnda asal olan iki tamsaynn toplam olarak yazlabilecegini gösteriniz. Çözüm : n says tek say ise; k 3 bir tamsay olmak üzere n = 2k+1 formundadr. Bu durumda; n = k + (k + 1) şeklinde aralarnda asal iki saynn toplam olarak yazlabilir. n says çift ise; k 4 bir tamsay olmak üzere; n = 2k formundadr. Bu durumda; k çift oldugunda; n = (k 1) + (k + 1) şeklinde; k tek oldugunda da n = (k 2) + (k + 2) formunda aralarnda asal olan iki tamsaynn toplam olarak yazlabilir. Örnek 9 x; y ve z tamsaylar olmak üzere; her tamsaynn x 2 + y 2 5z 2 formunda yazlabilecegini gösteriniz. Çözüm : n tek oldugunda; n = 2k + 1 için; (2k) 2 + (k + 1) 2 5k 2 = 2k + 1 = n ve n çift oldugunda; n = 2k için; (2k 1) 2 + (k 2) 2 5 (k 1) 2 = 2k = n şeklinde yazlabileceginden; her tamsay x; y; z 2 Z olmak üzere; x 2 + y 2 5z 2 formunda yazlabilir. Örnek 10 Üç elemanl tüm altkümelerinin elemanlar toplam asal olan ve asal saylardan oluşan bir kümenin; a) Beş elemanl kaç tane altkümesi vardr? b) Içinde 3 asal saysn bulunduran dört elemanl kaç altkümesi vardr? Çözüm : Kümemizi S ile gösterelim. n 2 S ise; n = 3k + 1; n = 3k + 2 veya 3 olabilir. S kümesinde; ikiden fazla; 3k + 1 veya 3k + 2 formunda asal say olamaz. Çünkü; üç tane olursa; bu üç saynn toplam 3'e bölünür. O halde; 3k + 1 ve 3k + 2 formundaki saylardan en fazla ikişer tane alnabilir. Bu saylardan ikişer tane alnrsa; 3 asal says alnamaz. Çünkü; (3k + 1) + (3k + 2) + 3 toplam 3'e bölünür. O halde; 3 asal says kümenin eleman olmayacak şekildeki bir kümenin eleman says en fazla 4 olabilir. 3 2 S olur ise; 3k + 1 ve 3k + 2 formundaki saylardan iki formu birden almak mümkün degildir. En fazla; bu formlardan herhangi birinden iki asal say birden alnabilir. Yani; 3 asal says kümenin eleman ise; kümenin eleman says en fazla 3 olabilir. Her iki durumda da cevap 0 olur.

9 Bölünebilme ve Bölme Algoritmas 15 Örnek 11 üzere n 2 100'den küçük pozitif saylardan kaç tanesi; m ve n tamsaylar olmak m 2 formunda yazlamaz? Çözüm : (m + 1) 2 m 2 = 2m + 1 oldugundan, tüm tek saylar n 2 m 2 formunda yazabiliriz. (m + 2) 2 m 2 = 4m + 4 oldugundan, 4'ün kat olan tüm saylar da n 2 m 2 formunda yazlabilir. O halde; 4k + 2 formundaki saylar yazlamaz. Yani; 2; 6; 10; :::; 98 saylar yazlamaz ve bunlarn says da (98 2) =4 + 1 = 25 olarak bulunur. 1.2 Bölünebilme Kurallar 1) 2'ye bölünebilme : Say çift ise 2'ye bölünür. 2) 3'e bölünebilme : Saynn rakamlar toplam 3'ün kat ise 3'e bölünür. 3) 4'e bölünebilme : Saynn son iki rakam 4'e bölünürse; say 4'e bölünür. 4) 5'e bölünebilme : Saynn son rakam 0 veya 5 ise say 5'e bölünür. 5) 6'ya bölünebilme. Say hem hem 2 hem de 3'e bölünürse 6'ya bölünebilir. 6) 7'ye bölünebilme : a 10 a 9 a 8 a 7 a 6 a 5 a 3 a 2 a 1 ; 10 basamakl saysn göz önüne alalm. Bu saynn birler basamagndan itibaren; rakamlarn srasyla 1; 3 ve 2 ile çarparz. Daha sonra; her bir üçlüyü toplarz. Birinci üçlü + ile; ikinci üçlü - ile üçüncü üçlü + ile...vb. çarlparak toplanr. Elde edilen say 7'ye bölünürse say 7'ye bölünür. (a 1 + 3a 2 + 2a 3 ) (a 4 + 3a 5 + 2a 6 ) + (a 7 + 3a 8 + 2a 9 ) (a 10 ) Örnegin; says için; oldugundan; saymz 7'ye bölünür. ( ) ( ) + 4 = 0 7) 8'e bölünebilme : Saynn son üç rakam 8'e bölünüyorsa, say 8'e tam bölünür. 8) 9'a bölünebilme : Saynn rakamlar toplam 9'a bölünüyorsa; say 9'a bölünür 9) 10'a bölünebilme : Saynn son rakam 0 olmaldr. 10) 11'e bölünebilme : Saynn tek numaral basamaktaki saylarn toplam ile çift numaral basamaklardaki saylarn toplamnn fark; 11k (k 2 Z) şeklinde ise; say 11'e tam bölünür. 10) 13 ile bölünebilme : B birler basamagn ve A geri kalan saylar göstermek üzere; oldugundan; A + 4B says 13'e bölünürse; saymz 13'e bölünecektir says için, A = = 1612 ve = 169 says 13'e bölündügünden; says; 13'e bölünecektir.

10 16 Matematik Olimpiyatlarna Hazrlk tane Örnek ; 1001; 10001; ; :::; 1 z 00:::00 } { 1 saylarndan kaç tanesi 11'e bölünebilir? Çözüm : 11'e bölünebilme kuralna göre; tek sayda 0 olursa; say 11'e bölünemeyecektir. Yani; 11'e bölünebilmesi her sayda çift sayda 0 olmas gerekir. Buna göre; 2; 4; 6;...; 100 sfr olan saylarn says (100 2) =2 + 1 = 50 tane olur. Örnek 13 Aşagdaki 6 basamakl saylardan hangisi 7'ye bölünmez? A) aaaaaa B) abcabc C) ababab D) aabbaa E) a1a1a1 Çözüm : A) a ( ) a ( ) = 0 bölünür. B) (1c + 3b + 2a) (1c + 3b + 2a) = 0 bölünür. C) (1b + 3a + 2b) (1a + 3b + 2a) = 0 bölünür. D) (1a + 3a + 2b) (1b + 3a + 2a) = b a bölünmeyebilir. E) (1 + 3a + 2) (a a) = 0 bölünür. Örnek 14 a679b beş basamakl saysnn; 72'ye bölünebilmesi için; a + b kaç olmaldr? (Kanada M.O ) Çözüm : a679b says hem 8 hem de 9'a bölünebilmelidir. 8'e bölünme kuralndan; son üç basamak 8'in kat olmas gerektiginden ve 99 8 = 792 oldugundan; b = 2 olmaldr. 9'a bölünebilme kuralna göre; rakamlar toplam; a = a + 24 says 9'un kat olmal yani; a = 3 olmaldr. O halde; a + b = 5 bulunur. Örnek 15 x; y; z; n ve m rakamlar için, xyz1n 234 = 332m842 çarpma işlemi saglanyorsa; x + y + z + n + m =? Çözüm: Ikinci çarpann rakamlar toplam 9'un kat oldugundan 9'a tam bölünür; dolaysyla çarpm da bölünmelidir. Buna göre; m = 5 olur = oldugundan x = 1; y = 4; z = 2 ve n = olur. Böylece; x + y + z + n + m = 15 olur. Örnek 16 Ilk 99 pozitif tamsaynn art arda yazlmasyla oluşan; 12345::: saysnn 45'e bölümünden kalan kaçtr? Çözüm : = (99 100) =2 = 5099 oldugundan say 9 ile tam bölünür. 5'e bölündügünde ise; 4 kalann verir. O halde; 45'e bölümünden kalan 9'un kat ve 5'e bölündügünde 4 kalann veren bir say olmaldr. Bu say 9'dur.

11 Bölünebilme ve Bölme Algoritmas 17 Örnek 17 En az 100 basamakl a2007a2007a:::a2007a saysnn 72 ile tam bölünebilmesi için en az kaç basamakl olmas gerekir. Çözüm : 72 = 8 9 oldugundan dolay; ve 8'e bölme kuralndan a = 2 olur. Say en az 100 basamakl oldugundan ve bunlarn toplam 9'a bölme kuralna göre 9'un bir kat olmas gerektiginden en az 27 tane 2 olmas gerekir. O halde saymz en az = 136 basamakl olmaldr. Örnek ve 1452 saylar istenildigi kadar kullanlarak toplama; çkarma ve çarpma işlemleriyle aşagdaki saylardan hangisi elde edilemez? A) B) C) D) E) Çözüm : 1320 ve 1452 saylarnn her ikisi de 11'e bölünebildiginden; bu saylarn kendi aralarndaki toplama; çkarma ve çarpma işlemleriyle elde edilecek say da 11'e bölünebilmelidir says 11'e bölünemeyeceginden elde edilemez. Örnek 19 a 1 = 1 ve a n = 10a n olmak üzere; n = 2; 3; :::; 1000 için a n saylarndan kaç tanesi 37'ye bölünür? n tane z } { Çözüm : a 2 = 11; a 3 = 111; a 4 = 1111; :::; a n = 11:::11 şeklinde devam etmektedir. 111 = 3 37 oldugundan; n = 3k oldugunda; saymz 37'ye tam bölünür. O halde; istenen şekilde; = 333 say vardr. Örnek 20 1; 2; 3; :::; 100 saylarndan hiçbir say digerinin üç kat olmayacak şekilde bir grup say seçilecektir. Bu seçilecek say grubunun maksimum eleman says kaçtr? Çözüm : k; 3'e bölünemeyen bir say olsun. n = 0; 2; 4 için 3 n k formundaki saylar istedigimiz türden saylardr. Bu formdaki saylarn saysn bulalm = 67 tanesi 3k formunda degildir = 8 tanesi 3 2 k formundadr = 1 tanesi 3 4 k formundadr. Dolaysyla istedigimiz şekilde 76 say olacaktr. Örnek 21 15n'in her rakam 0 veya 8 olacak şekilde en küçük pozitif n says kaçtr? (AIME 1984) Çözüm : 15n says 5'e bölüneceginden son rakam 0 olmaldr. 15n says 3'e bölüneceginden; rakamlar toplam da 3'e bölünecektir. O halde en az üç tane 8 olmaldr. Buna göre istenen şekildeki en küçük say 8880 olur.

12 18 Matematik Olimpiyatlarna Hazrlk 3 Bir saynn bir kuvvetinin bir sayya bölümünden elde edilecek kalanlarn bilinmesi bazen bir sorunun çözümünü oldukça kolaylaştrabilir. Özellikle tamsaylarda bir denklemin çözümünün olmadgn bu şekilde göstermek oldukça kolaydr. Bir saynn karesinin; 4'e bölümünden kalanlar 0 veya 1; 7'ye bölümünden kalanlar 0; 1; 2 veya 4; 8'e bölümünden kalanlar 0; 1 veya 4; 16'ya bölümünden kalanlar 0; 1; 4 veya 9 olabilir. Bir saynn küpünün; 7'ye bölümünden kalanlar 0; 1 veya 6, 9'a bölümünden kalanlar 0; 1 veya 8, 13'e bölümünden kalanlar 0; 1; 5; 8 veya 12 olabilir. Bir saynn dördüncü kuvvetinin; 8'e bölümünden kalanlar 0 veya 1; 16'ya bölümünden kalanlar 0 veya 1 olabilir. Örnek 22 x 2 + 3y = 200 saysnn tamsaylarda kaç tane çözümü vardr? Çözüm : Denklemin sag tarafndaki ifadenin 3'e bölümünden kalan 2'dir. Sol tarafndaki ifade de ise; 3y; 3'e bölündügünden; x 2 ifadesinin 3'e bölümünden 2 kalan elde edilmelidir. Fakat bu mümkün degildir. Yani, denklemin tamsaylarda çözümü yoktur. Örnek 23 7 saysnn a 2 + b 2 saysn bölmesi için gerek ve yeter şart 7 j a ve 7 j b olmasdr. Gösteriniz. Çözüm : Bir saynn karesinin 7'ye bölümünden 0; 1; 2 ve 4 kalanlar elde edilebilir. Bu kalanlarn herhangi ikisinin toplamnn 7'ye bölünebilmesi ancak ve ancak her iki kalannda 0 olmas durumunda mümkün olacagndan; a 2 + b 2 saysnn 7'ye bölünebilmesi için gerek ve yeter şart 7 j a ve 7 j b olmasdr. Örnek 24 n pozitif tamsays için; 3n 1; 5n+2; 4n+3; 8n+3; 7n+5 saylarnn kaç tanesi bir tamkare olabilir. Çözüm : Bir saynn karesinin; 3'e bölümünden 2 kalan; 5'e bölümünden 2 kalan; 4'e bölümünden 3 kalan; 8 ile bölümünden 3 kalan ve 7'ye bölümünden 5 kalan elde edilemez. O halde; hiçbiri tamkare olamaz. Örnek 25 x 2 + 4y 12z = 122 denklemini saglayan kaç tane (x; y; z) tamsay üçlüsü vardr? Çözüm : x 2 +4y 12z = 122 denkleminin sol tarafndaki ifadelerin 4'e bölümünden kalan, x 2 saysnn 4'e bölümünden kalana eşittir.

13 Bölünebilme ve Bölme Algoritmas 19 Diger taraftan; 122'nin 4'e bölümünden kalan 2 oldugundan; x 2 saysnn 4'e bölümünden kalan 2 olmaldr. Fakat; bu mümkün olamayacagndan denklemin tamsaylarda çözümü yoktur. Örnek 26 bulunuz. a; b; c; d; e 2 Z için; a 4 +b 4 +c 4 +d 4 +e 4 = 87 denkleminin çözümlerini Çözüm : Bir tamsaynn dördüncü kuvvetinin 16'ya bölümünden kalan 0 veya 1'dir. O halde; a 4 + b 4 + c 4 + d 4 + e 4 ifadesinin 16'ya bölümünden kalan en fazla 5 olabilir. Fakat; 87 saysnn 16'ya bölümünden kalan 7'dir. O halde; bu denklemin tamsaylarda çözümü yoktur. Özellik : Ardşk n tane tamsaynn çarpm 1'den n'ye kadar (n dahil) tüm saylar ile tam bölünür. Hatta; n! ile bölünür. Ispat : k 2 Z + için; (k + 1) (k + 2) (k + n) n! ifadesinin tamsay oldugunu göstermek yeterlidir. (k + 1) (k + 2) (k + n) (k + n)! = n! k!n! n 3 + 5n saysnn her n pozitif tamsays için 6'ya bölünebildigini ispat- Örnek 27 laynz. = k+n n 2 Z + : Çözüm : n 3 + 5n = n 3 + 6n n = 6n + (n 1) n (n + 1) eşitligine göre; (n 1) n (n + 1) says 3 tane ardşk saynn çarpmdr ve bu çarpm hem 2 hem de 3'e bölünür. O halde; n 3 + 5n says 6'ya tam bölünür. Örnek 28 n pozitif tamsay olmak üzere; n 5 5n 3 + 4n saysnn daima 120 ile bölünecegini gösteriniz. Çözüm : Verilen ifadeyi çarpanlarna ayralm. n 5 5n 3 + 4n = n n 4 5n = n n 2 1 n 2 4 olur. Yani n 5 = (n 2) (n 1) n (n + 1) (n + 2) 5n 3 + 4n says ardşk 5 saynn çarpmdr ve 5! = 120 ile bölünür. Örnek 29 (n + 127) (n + 128) (n + 141) says aşagdakilerden hangisiyle bölünmeyebilir? A) 2 10 B) 3 7 C) 5 3 D) 7 2 E) 143 Çözüm : = 15 oldugundan; bu çarpm daima 15!'e tam bölünecektir. O halde; 15! içinde; 2 asal çarpan 10 tane; 5 asal çarpan (5; 10 = 2 5; 15 = 3 5) 3 tane; 7 asal çarpan 2 tane oldugundan A; C ve D seçenekleriyle bölünecektir.

14 20 Matematik Olimpiyatlarna Hazrlk 3 Yine; = 143 saysyla da bölünecektir. 3 çarpan sadece 6 tane vardr. Yani say en fazla 3 6 'ya tam bölünebilir. Dogru yant B) seçenegidir. Örnek 30 gösteriniz. Her n pozitif bir tamsays için n+3n 2 +2n 3 ifadesinin 6'ya bölündügünü Çözüm : A = n+3n 2 +2n 3 = n (n + 1) (2n + 1) biçiminde çarpanlara ayrabiliriz. Bu çarpanlardan n ve n + 1 saylar ardşk oldugundan, her n 2 Z + için, A says 2'ye kesinlikle bölünür. O halde, 3'e bölündügününü göstermemiz yeterlidir. n = 3k ve n = 3k + 2 ise, srasyla n ve n + 1 saylar 3'ün kat olacagndan A says 3'e bölünür. n = 3k + 1 formunda ise, 2n + 1 says 3'e bölünür. O halde, her n 2 Z + için, A says 6'ya tam bölünür. Örnek 31 gösteriniz. Her n pozitif bir tamsays için n n ifadesinin 6'ya bölündügünü Çözüm : n = 3k ise, n n = 3k 9k ifadesi 3'e kesinlikle bölünür. 2'ye bölündügünü göstermeliyiz. k çift ise, 3k çarpan, k tek ise, 9k çarpan çift olur ve 2'ye bölünür. O halde, saymz 6'ya tam bölünür. n = 3k+1 ise, n n = (3k + 1) 9k 2 + 6k + 6 ifadesinde, ikinci çarpan 3'e kesin bölünür. k çift ise, ikinci çarpan, tek ise birinci çarpan 2'ye bölüneceginden saymz bu durumda da 6'ya bölünür. n = 3k+2 ise, n n = (3k + 2) 9k k + 9 ifadesinde ikinci çarpan 3'e bölünür. k tek ise, ikinci çarpan ve çift ise birinci çarpan 2'ye bölüneceginden, saymz 2'ye, dolaysyla da 6'ya tam bölünür. Örnek 32 x; y; z 2 Z için; x + y + z says 6'ya bölünüyor ise; x 3 + y 3 + z 3 says da 6'ya bölünür. ispatlaynz. Çözüm : x 3 + y 3 + z 3 (x + y + z) = x 3 x + y 3 y + z 3 z eşitligine göre; her bir terim n 3 n = (n 1) n (n + 1) biçiminde, yani üç ardşk üç saynn çarpm olarak yazlacagndan; hem 2 hem de 3 ile dolaysyla 6'ya tam bölünür. 6 j x 3 + y 3 + z 3 (x + y + z) ve 6 j (x + y + z) ise; 6 j x 3 + y 3 + z 3 olmaldr. Örnek 33 k 2 Z + olmak üzere, her n pozitif bir tamsays için R = (n + 1) 2k n 2k + 2n + 1 ifadesinin 6'ya bölündügünü gösteriniz.

15 Bölünebilme ve Bölme Algoritmas 21 Çözüm : Öncelikle ifadenin sonucunun bir çift say olduguna dikkat edelim. Çünkü; her iki terim de ya çifttir ya da tektir dolaysyla çkarma işleminin sonucunda bir çift say elde edilir. O halde bu sonucun sadece 3'ün bir kat olup olmadgn incelemek yeterli olacaktr. Şimdi, 3k +1 ve 3k +2 saylarnn karesinin daima 3m+1 formunda olacagn kullanarak, R saysnn 3'e bölündügünü görelim. n = 3k ise R = (3k + 1) (3k) 2k 2k + 2 (3k) + 1 ifadesini, a; b 2 Z + için, R = (3a + 1) (3b + 1) = 3 (a b) formunda yazabilecegimizden, R says 3'e bölünür. n = 3k + 1 ise R ifadesini, a; b 2 Z + için, h i R = (3a + 1) (3b + 1) k + 6k + 3 formunda yazabiliriz. R says bu durumda da 3'e bölünür. n = 3k + 2 ise R ifadesini, a; b; m 2 Z + için, R = 3a (3b k ) = 3 (a b 2k 2) formunda yazabiliriz. Yani, R says 3'e bölünür. Sonuç olarak, R says her n 2 Z + için 2 ve 3'e bölündügünden, her n 2 Z + için 6'ya tam bölünür. F Not : Rakamlar toplamnn söz konusu oldugu sorularda 9'a bölünebilme ya da 3'e bölünebilme kurallar kullanlr. Herhangi n saysnn rakamlar toplam S (n) ise; k 2 Z + olmak üzere n = S (n) + 9k formunda yazlabilir. Örnek 34 n pozitif tamsays için; n saysnn rakamlar toplam S (n) olsun. Buna göre, n + S (n) = 2008 eşitligini saglayan kaç n says vardr? Çözüm : n + S (n) = 2008 eşitligine göre; S (n) < 28 ve = 1980 < n < 2008 olmaldr. Diger taraftan; 9'a bölünebilme kuralna göre; S (n) + 9k = n yazlabilir. Buna göre; 2S (n) + 9k = 2008 olmaldr. Bu eşitligin sag tarafnn 9'a bölümünden kalan 1'dir. Bu nedenle; sol tarafn da 9'a bölümünden kalann 1 olmas gerekir. Bu durum ise; S (n) saysnn 9'a bölümünden 5 kalann vermesi durumunda mümkün olacaktr. Böylece; S (n) < 28 oldugu da göz önüne alnrsa; S (n) = 5 ise n = 2003 ve S (n) = 23 ise de n = 1985 olur. S (n) = 14 için bir n pozitif tamsays bulunamaz. O halde, istenen şekilde 2 tane n says vardr.

16 22 Matematik Olimpiyatlarna Hazrlk Bölünebilme Problemlerinde En Çok Kullanlan Yöntemler Çarpanlara Ayrma Kurallarnn Kullanlmas Örnek n 209 n 839 n +92 n saysnn tüm n pozitif tamsaylar için 117'ye bölünebildigini gösteriniz? Çözüm : Ifademizi (2009 n 839 n ) (209 n 92 n ) şeklinde gruplayalm n 839 n ifadesi; = 1170 oldugundan 117'ye bölünür. 209 n 92 n ifadesi de; = 117 oldugundan 117'ye bölünür. O halde; bu ifademiz 117'ye tam bölünür. Örnek saysnn 169'a bölümünden kalan kaçtr? Çözüm : = (118 1) eşitligine göre; 117 = 13 9 oldugundan; 13'e bölünür. Diger taraftan; ifadesindeki her bir terimin 13'e bölümünden kalan 1'dir ve 13 terim oldugundan toplamlar da 13'e bölünür. Yani; saymz 169'a tam bölünür. Örnek saysnn 1930 ile bölünebildigini gösteriniz. Çözüm : a 3 + b 3 + c 3 3abc = (a + b + c) a 2 + b 2 + c 2 ab ac bc özdeşliginde; alalm. Bu durumda; a = 3 7 ; b = 2 8 ve c = = ( ) = 1930 ( ) oldugundan; 1930 ile bölünür Binom Açlmnn Kullanlmas Örnek saysnn 100'e tam bölünebilmesi için en küçük hangi pozitif tamsay çkarlmaldr? Çözüm : = 9 50 yazalm ve Binom açlmn uygulayalm = (10 1) 50 = = 100m + 1 {z } 100m oldugundan; 1 says çkarlrsa 100'e tam bölünür.

SAYILAR TEORİSİ. KİTAPTA BULUNAN, TEOREM İSPATLARI, KONU ANLATIMI ve ÇÖZÜMLERİN OLDUĞU KISIMLAR, BU DÖKÜMANA KONULMAMIŞTIR.

SAYILAR TEORİSİ. KİTAPTA BULUNAN, TEOREM İSPATLARI, KONU ANLATIMI ve ÇÖZÜMLERİN OLDUĞU KISIMLAR, BU DÖKÜMANA KONULMAMIŞTIR. 2 SAYILAR TEORİSİ - MUSTAFA ÖZDEMİR SAYILAR TEORİSİ Bu kitap üniversitelerimizin Matematik ve Matematik Eğitimi bölümlerinde okutulmakta olan Sayılar Teorisi derslerine de yardımcı olacaktır. Bunun yanında,

Detaylı

Içindekiler. Karşk Örnekler 87. TÜBITAK SORULARI (Fonksiyonlar) 55 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 64

Içindekiler. Karşk Örnekler 87. TÜBITAK SORULARI (Fonksiyonlar) 55 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 64 Içindekiler BIRINCI BÖLÜM Fonksiyonlar Bagnt Fonksiyon 2 Fonksiyonel Denklemlere Giriş 4 Fonksiyonun Gragi 7 Fonksiyon Çeşitleri 8 Bir Fonksiyonun Tersi 20 Bileşke Fonksiyon 23 Tek ve Çift Fonksiyon 25

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

BÖLME ve BÖLÜNEBİLME

BÖLME ve BÖLÜNEBİLME BÖLME ve BÖLÜNEBİLME A. BÖLME A, B, C, K birer doğal sayı ve B 0 olmak üzere, bölme işleminde, A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir. A = B. C + K dır. Kalan, bölenden küçüktür. (K < B)

Detaylı

XIV. Ulusal Antalya Matematk Olmpyat Brnc A³ama Snav Sorular -2009

XIV. Ulusal Antalya Matematk Olmpyat Brnc A³ama Snav Sorular -2009 XIV. Ulusal ntalya Matematk Olmpyat rnc ³ama Snav Sorular -009 c www.sbelian.wordpress.com sbelianwordpress@gmail.com Soru 1. dar açl üçgeninde m() = 45 'dir. 'dan 'ye indirilmi³ dikmenin aya E ve 'den

Detaylı

Içindekiler. Karşk Örnekler 87. TÜBITAK SORULARI (Fonksiyonlar) 55 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 64

Içindekiler. Karşk Örnekler 87. TÜBITAK SORULARI (Fonksiyonlar) 55 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 64 Içindekiler BIRINCI BÖLÜM Fonksiyonlar Bagnt 11 Fonksiyon 12 Fonksiyonel Denklemlere Giriş 14 Fonksiyonun Gragi 17 Fonksiyon Çeşitleri 18 Bir Fonksiyonun Tersi 20 Bileşke Fonksiyon 23 Tek ve Çift Fonksiyon

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

FERMAT VE EULER TEOREMLERİ

FERMAT VE EULER TEOREMLERİ FERMAT VE EULER TEOREMLERİ 1. 8 103 sayısı 13 e bölündüğünde elde edilen kalanı bulunuz. Çözüm: Fermat teoreminden 8 12 1 (mod 13) 8 103 (8 12 ) 8 8 7 8 7 2 21 2 9 2 4 2 4 2 3 3 2 5 (mod 13). 2. 3 619

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

ÖABT Sayılar Teorisi KONU TESTİ Tam Sayılarda Bölünebilme

ÖABT Sayılar Teorisi KONU TESTİ Tam Sayılarda Bölünebilme ÖABT Sayılar Teorisi KONU TESTİ Tam Sayılarda Bölünebilme ÇÖZÜMLER. a b ve b a a b, a, b a b a b ve b c a c olduğundan a b ve c d ise a c b d olmayabilir. ve 5., ve olduğundan sonsuz çözüm vardır...9.9

Detaylı

Atatürk Anadolu. Bölme, Bölünebilme, Asal Sayılar, Obeb, Okek, Rasyonel Sayılar, Basit Eşitsizlikler ve Mutlak Değer Üzerine Kısa Çalışmalar

Atatürk Anadolu. Bölme, Bölünebilme, Asal Sayılar, Obeb, Okek, Rasyonel Sayılar, Basit Eşitsizlikler ve Mutlak Değer Üzerine Kısa Çalışmalar Atatürk Anadolu Lisesi M A T E M A T İ K Bölme, Bölünebilme, Asal Sayılar, Obeb, Okek, Rasyonel Sayılar, Basit Eşitsizlikler ve Mutlak Değer Üzerine Kısa Çalışmalar KONYA \ SELÇUKLU 07 Bölme, Bölünebilme,

Detaylı

140. 2< a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9 2,4 2,7 3,2 3,7. a a c b ve c a a b c

140. 2< a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9 2,4 2,7 3,2 3,7. a a c b ve c a a b c 138. a ve b gerçel sayılardır. a < a, 6a b 5= 0 b ne olabilir? (11) 4 5 8 11 1 139. < 0 olmak üzere, 4 3. =? ( 3 ) a 1 140. < a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9,4,7 3,

Detaylı

5. Üç basamaklı ABC doğal sayısı 2 ile, 5 ile ve 9 ile tam. 6. Dört basamaklı AB24 sayısının 36 ile bölümünden kalan iki

5. Üç basamaklı ABC doğal sayısı 2 ile, 5 ile ve 9 ile tam. 6. Dört basamaklı AB24 sayısının 36 ile bölümünden kalan iki Bölme ve Bölünebilme BÖLÜM 03 Test 01 1 Üç basamaklı 5AB sayısı iki basamaklı AB sayısına bölündüğünde, bölüm 13 ve kalan 8 olmaktadır Buna göre, A + B toplamı A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 5AB = 13 AB + 8

Detaylı

Atatürk Anadolu. Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar

Atatürk Anadolu. Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar Atatürk Anadolu Lisesi M A T E M A T İ K Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar KONYA \ SELÇUKLU 01 MATEMATİK 1. TEMEL KAVRAMLAR 1.1. RAKAM Sayıların yazılmasında kullanılan sembollere rakam denir. Onluk

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

Fath Ünverstes Matematk Olmpyatlar

Fath Ünverstes Matematk Olmpyatlar Fath Ünverstes Matematk Olmpyatlar - 007 www.sbelian.wordpress.com Fatih Üniversitesi Matematik Bölümü tarafndan ilki düzenlenen Liseleraras Matematik Olimpiyat'nn ilk snav 0 Ekim 007 tarihinde üniversite

Detaylı

ÖRNEK KİTAP. x ax 12. x.sinx dx. 1 cos x. x x mx 1. 4 (a b ) ise a çifttir. 4. x+y=14 ise x 2.y 5 çarpımının değeri en fazla kaça eşittir?

ÖRNEK KİTAP. x ax 12. x.sinx dx. 1 cos x. x x mx 1. 4 (a b ) ise a çifttir. 4. x+y=14 ise x 2.y 5 çarpımının değeri en fazla kaça eşittir? 1. lim a 1 üzere a+b toplam kaçtr? A)-8 B)-5 C)- C)1 E)4 b, a,b R olmak 4. +y=14 ise.y 5 çarpmnn değeri en fazla kaça eşittir? A)4 6.10 B)10.4 5 C)10 5. D) 5.10 7 E)16.10 5. bir cisim için hareket denklemi

Detaylı

T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları

T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu 016-017 Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları 1) 3. [15 3(8: )] 9 =? a) 16 b) 14 c) 0 d) 14 e) 16 6)

Detaylı

SOYUT MATEMAT K DERS NOTLARI. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin B LG Ç

SOYUT MATEMAT K DERS NOTLARI. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin B LG Ç SOYUT MATEMAT K DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Hüseyin B LG Ç Kahramanmara³ Sütçü mam Üniversitesi FenEdebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Eylül 2010 çindekiler 1 Önermeler ve spat Yöntemleri 1 2 Kümeler 13

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi 2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 4 Mustafa Özdemir MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 4 (336 sayfa) ANALİZ CEBİR 1 TANITIM DÖKÜMANI (Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman

Detaylı

Içindekiler. Bölme Algoritmas 2 Bölünebilme Kurallar 5 Bölünebilme Problemlerinde En Çok Kullanlan Yöntemler 12. Problemler (Bölünebilme) 24

Içindekiler. Bölme Algoritmas 2 Bölünebilme Kurallar 5 Bölünebilme Problemlerinde En Çok Kullanlan Yöntemler 12. Problemler (Bölünebilme) 24 Içindeiler Içindeiler Önsöz iii vii BIRINCI BÖLÜM 1 Bölünebilme ve Bölme Algoritmas Bölme Algoritmas 2 Bölünebilme Kurallar 5 Bölünebilme Problemlerinde En Ço Kullanlan Yöntemler 12 Çözümlü Test 15 Çözümler

Detaylı

Sıfırdan farklı a, b, c tam sayıları için aşağıdaki özellikler sağlanır.

Sıfırdan farklı a, b, c tam sayıları için aşağıdaki özellikler sağlanır. SAYILAR TEORİSİ 1 Bölünebilme Bölme Algoritması: Her a ve b 0 tam sayıları için a = qb + r ve 0 r < b olacak şekilde q ve r tam sayıları tek türlü belirlenebilir. r sayısı a nın b ile bölümünden elde edilen

Detaylı

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır? BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...4 : x sayısının y ile bölümündeki bölüm 2 ve kalan 5 tir. y sayısının z ile bölümündeki bölüm

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA

MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA 3. Ondalık Sayılarda İşlemler: Toplama - Çıkarma: Ondalık kesirler toplanırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama-çıkarma

Detaylı

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır? BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...4 : x sayısının y ile bölümündeki bölüm 2 ve kalan 5 tir. y sayısının z ile bölümündeki bölüm

Detaylı

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3): ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4 Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I Kolay Temel Matematik. 8 ( + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6.! ( )": ( ) A) B) 0 C) D) E). 7. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D)

Detaylı

ISBN Sertifika No: 11748

ISBN Sertifika No: 11748 ISN - 978-0--- Sertifika No: 78 GENEL KOORDİNTÖR: REMZİ ŞHİN KSNKUR REDKTE: REMZİ ŞHİN KSNKUR SERDR DEMİRCİ - SRİ ŞENTÜRK SERVET SVŞ ÇETİN as m Yeri: UMUT MTCILIK - MERTER / STNUL u kitab n tüm bas m ve

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28)

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28) TEMEL KAVRAMLAR 6. a ve b birer do al say r. a b = 19 oldu una göre, a + b toplam (YANIT: 8) 1. ( 4) ( 1) 6 1 i leminin sonucu (YANIT: ). ( 6) ( 3) ( 4) ( 17) ( 5) :( 11) leminin sonucu (YANIT: 38) 7.

Detaylı

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz.

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz. MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA A S A L Ç A R P A N L A R A A Y I R M A T a n ı m : Bir tam sayıyı, asal sayıların çarpımı olarak yazmaya, asal çarpanlarına ayırma denir. 0 sayısını asal çarpanlarına

Detaylı

Soru Konu Doğru Yanlış Boş

Soru Konu Doğru Yanlış Boş YGS - MATEMATİK DENEME- A Soru Konu Doğru Yanlış Boş Okek Bölünebilme % % Okek Denklemi % % % % % % % % Aralarında Asal Sayıların Obebi % % Bölen Sayısı % % % % % % % % % % % % % % % Reel Sayılar % % %

Detaylı

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI ASAL SAYILAR Asal sayılar, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan 1' den büyük tamsayılardır. En küçük asal sayı, 2' dir. 2 asal sayısı dışında çift asal sayı yoktur. Yani, 2 sayısı dışındaki

Detaylı

2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 1 (SORULAR) - Mustafa Özdemir

2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 1 (SORULAR) - Mustafa Özdemir 2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 1 (SORULAR) - Mustafa Özdemir BU KİTAPTA MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 1 (Temel Bilgiler) KİTABINDA BULUNAN SORULAR BULUNMAKTADIR. KİTAPTA BULUNAN, KONU ANLATIMI

Detaylı

ÖZEL EGE LĠSESĠ. ġeklġndekġ ĠFADELERĠN. SADELEġTĠRĠLEMEZ VEYA SADELEġTĠRĠLEBĠLĠR OLMASI ĠÇĠN GEREKEN KOġULLAR

ÖZEL EGE LĠSESĠ. ġeklġndekġ ĠFADELERĠN. SADELEġTĠRĠLEMEZ VEYA SADELEġTĠRĠLEBĠLĠR OLMASI ĠÇĠN GEREKEN KOġULLAR ÖZEL EGE LĠSESĠ ġeklġndekġ ĠFADELERĠN SADELEġTĠRĠLEMEZ VEYA SADELEġTĠRĠLEBĠLĠR OLMASI ĠÇĠN GEREKEN KOġULLAR HAZIRLAYAN ÖĞRENCĠ: Ersin ĠSTANBULLU DANIġMAN ÖĞRETMEN: Defne TABU ĠZMĠR 2013 ĠÇĠNDEKĠLER 1.

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

kpss Önce biz sorduk 50 Soruda SORU Güncellenmiş Yeni Baskı ÖABT LİSE MATEMATİK SOYUT CEBİR LİNEER CEBİR

kpss Önce biz sorduk 50 Soruda SORU Güncellenmiş Yeni Baskı ÖABT LİSE MATEMATİK SOYUT CEBİR LİNEER CEBİR Önce biz sorduk kpss 2 0 1 8 50 Soruda 30 SORU Güncellenmiş Yeni Baskı ÖABT LİSE MATEMATİK SOYUT CEBİR LİNEER CEBİR Komisyon ÖABT Lise Matematik Soyut Cebir - Lineer Cebir Konu Anlatımlı ISBN: 978-605-318-911-4

Detaylı

KPSS soruda SORU GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK GEOMETRİ TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

KPSS soruda SORU GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK GEOMETRİ TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI KPSS 019 10 soruda 86 SORU GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK GEOMETRİ TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Komisyon KPSS LİSANS MATEMATİK - GEOMETRİ SORU BANKASI ISBN 978-605-41-77-0 Kitapta yer alan bölümlerin

Detaylı

Sayılar Kuramına Giriş Özet

Sayılar Kuramına Giriş Özet Eğer bir b noktası bir a noktasının sağındaysa, o zaman a, b den küçük ve b, a dan büyük olarak sayılır, ve Sayılar Kuramına Giriş Özet David Pierce a < b, b > a yazılır. Tanıma göre a a, a < b a b, a

Detaylı

Polinomlar. Polinom Kavram

Polinomlar. Polinom Kavram 1 2 Bölüm 1 Polinomlar Polinom Kavram Polinomlar, yalnz Matematikte de il, ba³ka bilim dallarnda da kar- ³la³lan bir çok problemin çözümünde etkili bir araçtr. Polinom kavram, farkl soyut biçimleriyle

Detaylı

Eşit Ağırlık ve Sayısal Adaylar İçin ALES KONU ANLATIMLI ALES. eğitimde. Kenan Osmanoğlu Kerem Köker. Özgün Sorular. Çıkmış.

Eşit Ağırlık ve Sayısal Adaylar İçin ALES KONU ANLATIMLI ALES. eğitimde. Kenan Osmanoğlu Kerem Köker. Özgün Sorular. Çıkmış. Eşit Ağırlık ve Sayısal Adaylar İçin 2018 KONU ANLATIMLI Özgün Sorular eğitimde Çıkmış 30.yıl Sorular Kenan Osmanoğlu Kerem Köker Pratik Bilgiler Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker Eşit Ağırlık ve Sayısal Konu

Detaylı

4BÖLÜM. ASAL SAYILAR, BÖLÜNEBİLME ve ÇARPANLARA AYIRMA

4BÖLÜM. ASAL SAYILAR, BÖLÜNEBİLME ve ÇARPANLARA AYIRMA 4BÖLÜM ASAL SAYILAR, BÖLÜNEBİLME ve ÇARPANLARA AYIRMA ASAL SAYILAR, BÖLÜNEBİLME ve ÇARPANLARA AYIRMA TEST 1 1) Aşağıdaki sayılardan kaç tanesi 80 sayısının çarpanıdır? 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,15,18,20,25,30,40,45,80

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84 N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK Test -4

MODÜLER ARİTMETİK Test -4 MODÜLER ARİTMETİK Test -4 1. A doğal sayısının 7 ye bölümündeki kalan 4, B doğal sayısının 7 ye bölümündeki kalan 5 tir. Buna göre, A toplamının 7 ye bölümündeki kalan 3B A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 4 5. I. 1

Detaylı

Kavram Dersaneleri 8 SAYILAR - I ÖRNEK 23: ÖRNEK 24: a, 5 ve 6 say taban n göstermek üzere, (123) + (1a2) = (2b2) eflitli inde. b kaçt r?

Kavram Dersaneleri 8 SAYILAR - I ÖRNEK 23: ÖRNEK 24: a, 5 ve 6 say taban n göstermek üzere, (123) + (1a2) = (2b2) eflitli inde. b kaçt r? ÖRNEK 3: x y y Bölme ifllemine göre x en az kaçt r? A) 6 B) 9 C) D) 4 E) 4 ÖRNEK 4: a, ve 6 say taban n göstermek üzere, (3) + (a) = (b) eflitli inde a 6 b kaçt r? A) 0 B) C) D) 3 E) 4 ÇÖZÜM 4: ÇÖZÜM 3

Detaylı

ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATLARI DENEMESİ ( ŞUBAT 2010 )

ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATLARI DENEMESİ ( ŞUBAT 2010 ) ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATLARI DENEMESİ ( ŞUBAT 010 ) 1) Dar açılı ABC üçgeninde BB 1 ve CC 1 yükseklikleri H noktasında kesişiyor. CH = C H, BH = B H ise BAC açısını bulunuz. 1 1 A)0 0 B)45 0 C) arccos

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR A: SAYI Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Ör: 0,1,2,3,4,5,6 Rakamların çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşturulan ifadeler ifadesine sayı denir.

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde KPSS Genel Yetenek Genel Kültür MATEMATİK Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme KPSS 2016 Pegem Akademi Sınav Komisyonu; 2015 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 100'ün üzerinde soruyu kolaylıkla

Detaylı

3) x = 10 3 ise x kaçt r? Çözüm: Toplamadaki ard k terimlerin fark 5 oldu undan, A =

3) x = 10 3 ise x kaçt r? Çözüm: Toplamadaki ard k terimlerin fark 5 oldu undan, A = DO AL SAYILAR, TAMSAYILAR ) 8. 0 7 +. 0 + 4. 0 say, a dakilerden hangisidir? 8. 0 7 +. 0 + 4. 0 = 8. 0 7 + 0. 0 6 + 0. 0 + 0. 0 4 + 0. 0 + 0. 0 2 + 4. 0 + 0. 0 0 eklinde yaz labilir. Öyleyse, say 8000040

Detaylı

BÖLÜNEBĐLME KURALLARI

BÖLÜNEBĐLME KURALLARI YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS - 2 2-2 1 1-1 1 kalanı bulmak için sağdan ve + ile başlamak gerekir BÖLÜNEBĐLME KURALLARI 2 Đle Bölünebilme: tüm çift sayılar, yani birler

Detaylı

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Detaylı

BÖLÜM IV. olsa r s(mod p) bulunur ki, bu mümkün değildir. Ayrıca bu sayı takımındaki hiçbir sayı p tarafından bölünmez.

BÖLÜM IV. olsa r s(mod p) bulunur ki, bu mümkün değildir. Ayrıca bu sayı takımındaki hiçbir sayı p tarafından bölünmez. BÖLÜM IV (KÜÇÜK FERMAT VE WİLSON TEOREMLERİ Teorem 4. (Fermat Teoremi F a olan bir asal sayı olsun. Bu durumda a (mod İsat: a sayısının a a a K ( a gibi ilk ( katından oluşan sayı takımını gözönüne alalım.

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

ales dört bin soru tarzına en yakın EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan

ales dört bin soru tarzına en yakın EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ales 2015 tarzına en yakın dört bin soru EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ALES Eşit Ağırlık ve

Detaylı

Matematik Ders Föyü. Uygulayalım. Terim. Önerme. Doğruluk Değeri. Ortaöğretim Alanı MF - 01 NOT NOT. 1. Aşağıdaki tabloyu tanımlı veya tanımsız

Matematik Ders Föyü. Uygulayalım. Terim. Önerme. Doğruluk Değeri. Ortaöğretim Alanı MF - 01 NOT NOT. 1. Aşağıdaki tabloyu tanımlı veya tanımsız Ortaöğretim Alanı MF - 01 Matematik Ders Föyü Terim Bir sözcüğün bilim, spor, sanat, meslek vb. içerisinde kazandığı özel anlama terim denir. NOT Küp Matematik Ova Coğrafya Asit Kimya Mercek Fizik Sol

Detaylı

Tek Doğal Sayılar; Çift Doğal Sayılar

Tek Doğal Sayılar; Çift Doğal Sayılar Bölüm BÖLÜNEBİLME VE ÇARPANLARA AYIRMA. Bölünebilme Kuralları Bir a doğal sayısı bir b sayma sayısına bölündüğünde bölüm bir doğal sayı ve kalan sıfır ise, a doğal sayısı b sayma sayısına bölünebilir.

Detaylı

1. ÜNİTE:SAYILAR VE İŞLEMLER

1. ÜNİTE:SAYILAR VE İŞLEMLER 1. ÜNİTE:SAYILAR VE İŞLEMLER 2 DERS SAATİ:Verilen iki doğal sayının aralarında asal olup olmadığını belirler. ASAL SAYILAR 1 ve kendisinden başka hiçbir sayma sayısı ile bölünemeyen 1 den büyük doğal sayılara

Detaylı

Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b

Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri

Detaylı

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar,

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar, 1. 9 2 x 2 ifadesinin açılımında sabit x terim kaç olur? A) 672 B) 84 C) 1 D) -84.E) -672 6. Ali her gün cebinde kalan parasının %20 sini harcamaktadır. Pazartesi sabahı haftalığını alan Ali ni Salı günü

Detaylı

ÇARPANLAR ve KATLAR. Uygulama-1. Asal Sayılar. Pozitif Bir Tam Sayının Çarpanlarını Bulma. Aşağıdaki sayıların çarpanlarını (bölenlerini) bulunuz.

ÇARPANLAR ve KATLAR. Uygulama-1. Asal Sayılar. Pozitif Bir Tam Sayının Çarpanlarını Bulma. Aşağıdaki sayıların çarpanlarını (bölenlerini) bulunuz. Asal Sayılar Sadece kendisine ve sayısına bölünebilen 'den büyük tam sayılara asal sayı denir. En küçük asal sayı 2'dir ÇARPANLAR ve KATLAR Uygulama- Aşağıdaki sayıların çarpanlarını (bölenlerini) 36=

Detaylı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı A 1. Köşeleri, yarıçapı 1 olan çemberin üstünde yer alan düzgün bir n-genin çevre uzunluğunun alanına oranı 4 3 ise, n kaçtır? 3 a) 3 b) 4 c) 5 d)

Detaylı

Soru Konu Doğru Yanlış Boş

Soru Konu Doğru Yanlış Boş YGS - MATEMATİK DENEME- A Soru Konu Doğru Yanlış Boş Okek Bölünebilme % % Obeb Problemleri % % % Obeb - Okek % % Basit ve Bileşik Kesirler % % Okek Denklemi % % Paydaları Eşitlenemeyen Kesirler % % Okek

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ KPSS 2017 SORU BANKASI eğitimde tamamı çözümlü 30. Kerem Köker Kenan Osmanoğlu Levent Şahin Uğur Özçelik Ahmet Tümer Yılmaz Ceylan KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK

Detaylı

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir.

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir. Biz, Sizin İçin Farklı Düşünüyor Farklı Üretiyor Farklı Uyguluyoruz Biz, Sizin İçin Farklıyız Sizi de Farklı Görmek İstiyoruz Soru Bankası matematik konularını yeni öğrenen öğrenciler için TMOZ öğretmenlerince

Detaylı

6. Rakamları farklı, iki basamaklı farklı beş doğal sayının. 7. A = 7 + 11 + 15 + 19 + + 99 veriliyor.

6. Rakamları farklı, iki basamaklı farklı beş doğal sayının. 7. A = 7 + 11 + 15 + 19 + + 99 veriliyor. Bölüm: Doğal Sayılar ve Tamsayılar Test: Temel Kavramlar. abc ve cba üç basamaklı doğal sayılardır. abc cba = 97 olduğuna göre, abc biçiminde yazılabilecek en küçük doğal sayının rakamları toplamı A) B)

Detaylı

Bölünebilme Kuralları. Birler basamağındaki rakamı : {0, 2, 4, 6, 8} rakamlarından herhangi biri olan her sayı 2 ile tam bölünür.

Bölünebilme Kuralları. Birler basamağındaki rakamı : {0, 2, 4, 6, 8} rakamlarından herhangi biri olan her sayı 2 ile tam bölünür. 2 İLE BÖLÜNEBİLME: Birler basamağındaki rakamı : {0, 2, 4, 6, 8} rakamlarından herhangi biri olan her sayı 2 ile tam bölünür. Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir Dört basamaklı 729x sayısı 2 ile

Detaylı

8.Sınıf MATEMATİK. Çarpanlar ve Katlar Konu Testi. Test sayısının tek bölenlerinin sayısı aşağıdakilerden

8.Sınıf MATEMATİK. Çarpanlar ve Katlar Konu Testi. Test sayısının tek bölenlerinin sayısı aşağıdakilerden Çarpanlar ve Katlar Konu Testi MATEMATİK 8.Sınıf Test-01 1. I. 1, her sayının bölenidir. II. 2, asal bir çarpandır. III. Her sayı kendisinin bir çarpanıdır. IV. Bir sayının çarpanları, aynı zamanda o sayının

Detaylı

SERİMYA II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

SERİMYA II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI SERİMYA - 4 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI. 4? 4 4. A B denkleminde A ve B birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) 8 C) D)

Detaylı

matematik sayısal ve mantıksal akıl yürütme

matematik sayısal ve mantıksal akıl yürütme çöz kazan matematik sayısal ve mantıksal akıl yürütme kpss 2015 ÖSYM sorularına en yakın tek kitap tamamı çözümlü geometri 2014 kpss de 94 soru yakaladık soru bankası Kenan Osmanoğlu, Kerem Köker KPSS

Detaylı

Çarpm ve Bölüm Uzaylar

Çarpm ve Bölüm Uzaylar 1 Ksm I Çarpm ve Bölüm Uzaylar ÇARPIM UZAYLARI 1 ÇARPIM TOPOLOJ S 2 KARMA P R O B E M L E R 1. A ile B, srasyla, (X, T )X ile (Y, S ) topolojik uzaylarnn birer alt-kümesi olsunlar. (a) (A B) = A B (b)

Detaylı

57 Problems And Solutions From Mathematical Gazette 2008

57 Problems And Solutions From Mathematical Gazette 2008 57 Problems And Solutions From Mathematical Gazette 008 www.sbelian.wordpress.com Mathematical Gazette dergisinde 199 001 yllar arasnda yaynlanan 57 özgün soruyu, çözümleri ile birlikte bu sayfalarda bulabilirsiniz.

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

KPSS 2019 VİDEO DESTEKLİ GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK KONU ANLATIMLI PRATİK BİLGİLER SINAVLARA EN YAKIN ÖZGÜN SORULAR VE AÇIKLAMALARI SORU

KPSS 2019 VİDEO DESTEKLİ GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK KONU ANLATIMLI PRATİK BİLGİLER SINAVLARA EN YAKIN ÖZGÜN SORULAR VE AÇIKLAMALARI SORU KPSS 09 0 soruda 86 SORU VİDEO DESTEKLİ GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK KONU ANLATIMLI PRATİK BİLGİLER SINAVLARA EN YAKIN ÖZGÜN SORULAR VE AÇIKLAMALARI Komisyon KPSS Matematik Konu Anlatımlı ISBN

Detaylı

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Matematiğe Giriş... Temel Kavramlar... Bölme - Bölünebilme Kuralları... 85 EBOB - EKOK... Rasyonel Sayılar... Basit Eşitsizlikler... 65 Mutlak

Detaylı

5. a ve b birer pozitif tam sayıdır. A) 1 B) 2 C) 3 D) 14 E) a ve b birer doğal sayıdır. 7. a ve b birer pozitif tam sayıdır.

5. a ve b birer pozitif tam sayıdır. A) 1 B) 2 C) 3 D) 14 E) a ve b birer doğal sayıdır. 7. a ve b birer pozitif tam sayıdır. Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I YGS Temel Matematik. 8 + 4. + 8 : 4 işleminin sonucu A) 8 B) 9 C) D) 5 E) 8 5. a ve b birer pozitif tam sayıdır.

Detaylı

ÖABT Soyut Matematik KONU TESTİ Önermeler ve İspat Yöntemleri

ÖABT Soyut Matematik KONU TESTİ Önermeler ve İspat Yöntemleri ÖABT Soyut Matematik KONU TESTİ Önermeler ve İspat Yöntemleri ÇÖZÜMLER p q r q q p r q q. p r q q p r 5. p q q r r r, p q q r, r p, q q r q, q p q. p q p q p q p q p q q p p 6. p p q p p q p q p p p q

Detaylı

2004 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

2004 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI 4 II MATEMATİK YARIŞMASI I AŞAMA SORULARI 4? 4 4 A B denkleminde A ve B birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? 5 A) B) C) - D) E) - 8 4 x x

Detaylı

ÇARPANLAR VE KATLAR ÖĞRENİYORUM

ÇARPANLAR VE KATLAR ÖĞRENİYORUM ÖĞRENİYORUM Bir pozitif tam sayıyı birden fazla pozitif tam sayının çarpımı şeklinde yazarken kullandığımız her bir sayıya o sayının çarpanı denir. Örnek: nin çarpanları,, 3, 4, 6 ve dir. UYGULUYORUM Verilmeyen

Detaylı

SOYUT CEB R DERS NOTLARI

SOYUT CEB R DERS NOTLARI SOYUT CEB R DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Hüseyin B LG Ç Kahramanmara³ Sütçü mam Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü A ustos 2012 e-posta: h_bilgic@yahoo.com çindekiler 1 Grup Tanm ve Temel

Detaylı

Mustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü

Mustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü * Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü SAYILAR Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, N={0,1,2,3,,n, } Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Q={p/q: p,q Z ve q 0} İrrasyonel Sayılar, I= {p/q

Detaylı

Sevdiğim Birkaç Soru

Sevdiğim Birkaç Soru Sevdiğim Birkaç Soru Matematikte öyle sorular vardır ki, yanıtı bulmak önce çok zor gibi gelebilir, sonradan saatler, günler, aylar, hatta kimi zaman yıllar sonra yanıtın çok basit olduğu anlaşılır. Bir

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK. Örnek:

MODÜLER ARİTMETİK. Örnek: MODÜLER ARİTMETİK Bir doğal sayının ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,, } dir. ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,,, } tür. Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan {( x, y)

Detaylı

POL NOMLAR. Polinomlar

POL NOMLAR. Polinomlar POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit

Detaylı

ALES EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI. Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan. Eğitimde

ALES EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI. Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan. Eğitimde ALES 2017 EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan Eğitimde 30. yıl Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ALES Eşit Ağırlık ve Sayısal Soru

Detaylı

MATEMATİK. Temel Kavramlar I. Test a ve b doğal sayılardır. 5. Ardışık 5 tek sayının toplamı 115 tir. 6. x ve y tamsayılardır.

MATEMATİK. Temel Kavramlar I. Test a ve b doğal sayılardır. 5. Ardışık 5 tek sayının toplamı 115 tir. 6. x ve y tamsayılardır. MATEMATİK Test 0 Temel Kavramlar I. a ve b doğal sayılardır. a + b = 7 olduğuna göre, a.b çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?. Ardışık tek sayının toplamı tir. Buna göre, bu sayıların en büyüğü

Detaylı

23. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI SORULARI B B B B B B B

23. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI SORULARI B B B B B B B AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ 23. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI SORULARI ADI SOYADI :... OKUL... ŞEHİR :...SINIF :... İMZA :... SINAV TARİHİ VESAATİ:29 Nisan 2018 - Pazar 10.00-12.30 u sınav 25 sorudan oluşmaktadır

Detaylı

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 1. ve y aralarında asal iki doğal sayıdır. 7 y 11 olduğuna göre, y farkı 5. 364 sayısının en büyük asal böleni A) 3 B) 7 C) 11 D) 13 E) 17 A) B) 3 C) 4

Detaylı

ÖRNEK 1: Üç basamakl 4AB say s, iki basamakl BA say s n n 13 kat ndan 7 fazlad r. Buna göre, BA say s kaçt r? ÖRNEK 2:

ÖRNEK 1: Üç basamakl 4AB say s, iki basamakl BA say s n n 13 kat ndan 7 fazlad r. Buna göre, BA say s kaçt r? ÖRNEK 2: MATEMAT K SAYILAR - I ÖRNEK : Üç basamakl 4AB sa s, iki basamakl BA sa s n n kat ndan fazlad r. Buna göre, BA sa s kaçt r? A) B) 25 C) 2 D) 2 E) 2 (ÖSS - ) ÖRNEK 2: Dört basamakl ABCD sa s, üç basamakl

Detaylı

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar 9. 7 = 3.3.3, 07 = 3.3.3 007 = 3.3.3, 0007 = 3.3.3,... Yukar daki örüntüye göre, afla daki say lar n hangisi 81'in kat d r? A) 00 007 B) 0 000 007 C) 000 000 007 D) 00 000 000 007 13. Ard fl k 5 pozitif

Detaylı