[OA ve [OB ışınlarının birleşiminden oluşan açı; AOB açısı veya BOA açısı şeklinde ifade edilir.
|
|
|
- Nuray Gökbakar
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 TRİGONOMETRİ Trignmetri, astrnmi çalışmaları sırasında dğan ve gelişen bir matematik dalıdır. Trignmetri ile ilgili en eski bilgiler, milattan önce 7 5 ıllarında aşaan Hipparchus a aittir. Hipparchus, astrnmideki bazı hesaplamaları apmak için çember kirişlerinin uzunlukları ve küresel üçgenler üzerinde çalışmıştır. Milattan snra I. üzılda Menelaus ile VI. üzılda aşaan Hintli bilgin rabhata da kirişler üzerinde çalışmıştır. Fakat mdern anlamda düzlemsel ve küresel trignmetrii geliştiren ve trignmetrik fnksinları ilk defa kesin şekilde frmüle edenler Türk ve rap bilim adamları lmuştur. Will Durant, rf. Dr. Hitti, rra da Vu ve Dr. Sigrid Hunke gibi birçk bilim adamı ve tarihçi, düzlemsel ve küresel trignmetrinin sekizinci üzıldan kurulup geliştiğini kesin bir şekilde belirtmektedirler. Dr. Sigrid Hunke şöle der: Türk ve rap bilim adamları, gerçek manasıla, Yunanlılarda bulunmaan düz ve küresel trignmetrinin kurucularıdır. Onların bu sahada sn derece verimli gelişmelerine Menelaus un transversal terisi sebep ldu. u terinin erine sinüs ve tanjant kaidelerini erleştirdiler. ölece astrnmi ve gemicilikte şimdie kadar işlenmemiş bir sahaı ekime elverişli bir hale getirdiler. Trignmetrinin kuruluşunda ve gelişiminde emeği geçen bilim adamlarından en önemlileri Sabit in Kura (8 9, attani (858 99, uzcanlı ( ve Giaseddin emşit tir. (? 49 Jhann Müler ( dğu dünasınca bilinen trignmetri bilgilerini derleerek bir kitap azmıştır. u kitabın 5 te basılmasından snra trignmetri batıda da agınlaşmış ve bugünkü halini almıştır. 8. üzıldan snra Jhann ernlli, tes, De Mivre ve Euler gibi matematikçiler kmpleks değerli trignmetrik fnksinları geliştirdiler. Hiperblik fnksinlar ise Lambert tarafından bulundu.
2 İnsanğlu, astrnmi çalışmalarına başlamasıla, hesaplamalarında üçgenler ile ilgili işlemler apmaa daha çk ihtiaç hissetmiş ve bu işlemlerinde gemetrideki çizim llarından daha tutarlı ve kesin snuçlar elde edilebileceği mettlar araştırmıştır. Trignmetri de bu araştırmaların snucu larak dğmuştur. Trignmetri, ilk zamanlarda astrnminin bir bölümü saılırken 8. üzılda matematiğin arı bir dalı larak kabul edilmiştir. * Trignmetri sözcüğü Yunanca trigs (üçgen metrn (ölçüm sözcüklerinin birleşiminden elde edilmiştir. Trignmetri, üçgenlerin kenarları ile açıları arasındaki matematiksel ilişkileri araştırmaa arar ve ulaşılan bu snuçlar ile çk kenarlı şekillerin kenar, köşegen ve açılarının hesaplanmasını sağlar. u hesaplamalarda trignmetrik fnksinlar larak adlandırılan fnksinlardan ararlanılır. * İtala da bulunan iza kulesi eğikliği ile ünlüdür. 9 ılında 5 4'46'' ılında 5 '5'' e ükseltilmiştir. larak ölçülen iza kulesinin eğim açısı * Trignmetrik fnksinların ilk ugulamaları astrnmi, haritacılık, rta taini, kan basıncı ölçümü, mekanik ve elektrnik mühendisliği bu sahalardan alnızca birkaçıdır. ian tuşundan çıkan sesten, telefn knuşmalarımıza, televizn görüntü dalgalarından, uza çalışmalarına uzanan birçk saha trignmetrinin ugulama alanına girmektedir. u bölümde gemetri derslerinde gördüğünüz açı, açı ölçüsü, a ve çember gibi kavramlar üzerinde kısaca duracak ve bazı özelliklerini hatırlaacağız. Trignmetri knusunun tamamında kullanacağınız bu kavramları dikkatlice çalışıp öğrenmenizi tavsie ederiz. çı aşlangıç nktaları anı lan iki ışının birleşim kümesine açı denir. [O ve [O ışınlarının birleşiminden luşan açı; O açısı vea O açısı şeklinde ifade edilir. O açısı; [ O [ O, O, O vea O ifadelerinden birisi ile gösterilir. O başlangıç nktasına açının köşesi, [O ve [O ışınlarına da açının kenarları denir. çının [O kenarı O çının Köşesi çının [O kenarı
3 ÇI OLÇÜ İRİMLERİ Derece: ir çemberin tüm aının ölçüsü 6 dir. ir çemberin 6 ını gören merkez açının ölçüsü derece ( dir. ( nin 6 ine dakika ( ', ( ' nın ine sanie ( '' denir. 6 una göre ( = ( 6 ' = ( 6 '' dir. Radan: ir çemberin tüm aının ölçüsü radandır. ir çemberde arıçap uzunluğundaki bir aı gören merkez açının ölçüsü radandır. Grad: ir çemberin tüm aının ölçüsü 4 graddır. ir çemberin ini gören merkez açının graddır. 4 D = R = G 8 Sru: ir üçgeninde ( ˆ m = radan, m( ˆ m( ˆ = ise ( Sru: 5 46 ' 5 '' + ' 5 '' tplamını bulunuz. Sru: 5 5 ' 6 '' - 4 ' 4 '' farkını bulunuz. Sru: 864 '' lik açı kaç derece, kaç dakika ve kaç saniedir? Sru: radanlık açının derece ve grad türünden eşitini bulunuz. 8 5 m ˆ =? Uarı: Güzel açıların radan türünden değerlerini azınız. Sru: Trignmetride gördüğümüz dakika ve sanie kavramı ile saat üzerindeki dakika ve sanie arasında bir ilişki var mıdır? raştırınız.
4 İRİM ÇEMER SİNÜS EKSENİ (, II. ölge I. ölge '(-, O(, (, KOSİNÜS EKSENİ III. ölge IV. ölge '(,- + = Ç = YÖNLÜ ÇILR larak alınır. irim Çemberde saatin dönme önü negatif ( ön, saatin dönme önünün tersi pzitif ( + ön Sarmal Fnksinu: Reel saılardan, birim çemberin birim çemberin nktalarına bir fnksin tanımlaalım. u fnksin her aralıktaki reel saılarla birim çemberin nktalarını eşlesin. u şekilde tanımlanan fnksina Sarmal Fnksin denir. S : R Ç lup, örtendir, fakat bire-bir değildir. ' ' 4 4 4
5 a K nktasına karşılık gelen θ + 6, θ +.6, θ +.6,..., k.6 aının vea ˆ OK açısının derece cinsinden ölçüsü denir. θ +, ( k Z reel saılarına K b K nktasına,6 aralığından karşılık gelen θ R a K aının vea OK ˆ açısının derece cinsinden Esas Ölçüsü denir. mk m OK ˆ θ θ 6 ( = = dır. (...,8 + 6,8...,9 + 6,9 ' θ, θ + 6, θ , θ + 6 θ K,6,.6... '...,7 + 6,7 Uarı: Esas Ölçü kavramını benzer şekilde Radan ve grad türünden de apmak mümkündür. Sru: Ölçüsü 966 lan açının esas ölçüsü kaç derecedir? ulunuz. Uarı: çı derece türünden ve pzitif önlü ise, açının 6 e bölümündeki kalan esas ölçüdür. Sru: Ölçüsü 45 lan açının esas ölçüsü kaç derecedir? ulunuz. Uarı: Negatif saılarda bölme işlemini tanımına ugun aptığımızda kalan esas ölçüdür. çıı pzitif önlü gibi düşünüp 6 a böleriz. Kalanı ( - alırız. 6 ile tplamı esas ölçüü verir. Sru: Ölçüsü lan açının esas ölçüsünü bulunuz. Çözüm: 8 + = = + 6 = + (. ise esas ölçü tür. 5 Sru: Ölçüsü lan açının esas ölçüsünü bulunuz Çözüm: = = + ( = + ( 5. ise esas ölçü 5 tür. Sru: Ölçüsü 49 5 lan açının esas ölçüsünü bulunuz. Sru: Ölçüsü 45 lan açının esas ölçüsünü bulunuz. 6 Sru: Ekvatr üzerinden bir K nktasından hareket eden bir uçak ine Ekvatr üzerinde bulunan bir L nktasına giderken 65 grad lık bir açı süpürmektedir. una göre K ve L nktaları arasındaki uzaklık kaç km dir? (Ekvatr uzunluğunu 4 km alınız. 5
6 Sru: Dünanın arıçapı aklaşık larak 67 km lduğuna göre, a. lik merkez açıa karşılık gelen ekvatr çizgisinin uzunluğunu bulunuz. b. Samsun 4 5' kuze enlemindedir. Samsun un ekvatr çizgisine lan uzaklığını bulunuz. Çözüm: a. D R R nin radan türünden eşiti: = R,74 bulunur. 8 una göre a uzunluğu; l = r. θ l 667., 74 l, 786km bulunur. Demek ki, dünanın merkezinden lik açıla görülen ekvatr çizgisinin uzunluğu aklaşık larak km dir. b. Şekildeki 5 aının uzunluğu l lsun. 4 5' = , 4 4, 4 6 D R 4,4 R nin radan larak değeri = R,7 lur. 8 u durumda aının uzunluğu; dir. R l = r. θ 667., km dir. Demek ki, Samsun un ekvatra lan uzaklığı aklaşık larak 4584 km dir. Sru: Günün belli bir vaktinde, güneş ışınları İstanbul a düşe eksenle 5, 4 lik açı apacak şekilde gelmektedir. Tam bu vakitte, İstanbul un 6 km güneindeki ntala a ışınların erüzü ile dik açı apacak şekilde geldiği bilindiğine göre; a. Yerkürenin arıçapını bulunuz. ( 667 b. Yerkürenin çevresini bulunuz. ( 4 θ Uarı: Ya uzunluğu frmülünün l =.. r l = θ. r lduğunu görünüz. 6 6
7 TRİGONOMETRİK FONKSİYONLR. Ksinüs Fnksinu ir reel saısına birim çember üzerinde karşılık gelen nkta lsun. nktasının apsisine, a da nktasından eksenine inilen dikme aağındaki değere reel saısının ksinüsü denir. O halde ksinüs fnksinu reel saılardan birim çemberin nktalarının apsislerine tanımlanmış fnksindur. Yani s = dır. nı şekilde verilen, ve nktalarının apsislerini bulunuz ve snucu rumlaınız. ' (, (, 8 s (, s (, (, '(, Tablda verilen açıların Ksinüs değerlerini bulunuz. Ksinüs Fnksinunun Değerleri çı ( s
8 R için s lduğuna dikkat ediniz. f ( = s a f : [,] R dir. b R R e birebir de değil örten de değildir. c R [,] tanımlandığında ise örtendir, fakat değildir. d < < s > < < s < < < s < < < s > dır. e s ( + k. = s dır. ( R k Z u nedenle ksinüs fnksinu peridiktir ve peridu dir. Sru: =. s ifadesinin en büük ve en küçük değerlerini bulunuz. 8
9 . Sinüs Fnksinu ir Reel saısına irim çember üzerinde karşılık gelen nktasının rdinatına, a da nktasından eksenine inilen dikme aağındaki değere reel saısının sinüsü denir. O halde Sinüs fnksinu, reel saılardan birim çemberin nktalarının rdinatlarına tanımlanmış fnksindur. Yani Sin = dır. nı şekilde verilen, ve nktalarının apsislerini bulunuz ve snucu rumlaınız. (, (, (, ' (, 8 Sin (, Sin '(, Tablda verilen açıların Sinüs değerlerini bulunuz. Sinüs Fnksinunun Değerleri çı ( Sin
10 R için Sin dir. f ( = Sin a f : [,] R dir. b R R e birebir de değil örten de değildir. c R [,] tanımlandığında ise örtendir, fakat değildir. d < < Sin > < < Sin > < < Sin < < < Sin < dır. e Sin( + k. = Sin dır. ( R k Z u nedenle sinüs fnksinu peridiktir ve peridu dir. Uarı: R saısına birim çemberde karşılık gelen nkta ( s, Sin biçimindedir. nktası çemberin üzerinde bir nkta lduğuna göre çember denklemini sağlamalıdır. { } ( ( + = cs + sin = ise + = bulunur. sin cs Sinüs Ekseni (, Sin s ' Ksinüs Ekseni + = ' Sru: =. Sin ifadesinin en büük ve en küçük değerlerini bulunuz.
11 . Tanjant Fnksinu irim çembere nktasından çizilen teğete ( dğrusuna = tanjant ekseni denir. reel saısına birim çember üzerinde karşılık gelen nktasında rdinatının apsisine ranına, a da nktasını rijine birleştiren O dğrusunun tanjant eksenini kestiği K nktasının rdinatına reel saısının Sin tanjantı denir. urada Tan = = dır. u mantığı kullanarak, ve nktalarına karşılık gelen ( 8, ( 8 s + ve ( 6 = açılarının tanjantlarını hesaplaınız. K (, 8 K (, (, tan ' (, (, '(, = Tablda verilen açıların tanjant değerlerini bulunuz. Tanjant Fnksinunun Değerleri çı ( s Sin Tan Tanımsız Tanımsız 5 6
12 R için tan + dir. = a f : R = + k, k Z R dir. b = + k ( k Z için tanımsızdır. c < < tan > < < tan < < < tan > < < tan < dır. f ( tan d tan ( + k. = tan dır. ( R k Z u nedenle tanjant fnksinu peridiktir ve peridu dir. e rtan fnksindur.
13 4. Ktanjant Fnksinu irim çembere nktasından çizilen teğete ( = dğrusuna ktanjant ekseni denir. reel saısına birim çember üzerinde karşılık gelen nktasında apsisinin rdinatına ranına, a da nktasını rijine birleştiren O dğrusunun ktanjant eksenini kestiği K nktasının apsisine reel s saısının ktanjantı denir. t = = dır. u mantığı kullanarak, ve nktalarına karşılık gelen ( 8, ( 8 Sin + ve ( 6 = açılarının ktanjantlarını hesaplaınız. = K 8 (, K ( t, (, ' (, (, '(, Tablda verilen açıların Ktanjant değerlerini bulunuz. Ktanjant Fnksinunun Değerleri çı ( s Sin t Tanımsız Tanımsız Tanımsız
14 R için t + dir. f ( = t a f : R { k., k } = Z R dir. b = k. ( k Z için tanımsızdır. c < < t > < < t < < < t > < < t < dır. d t ( + k. = t dır. ( R k Z u nedenle ktanjant fnksinu peridiktir ve peridu dir. e zalan fnksindur. 4
15 5. Sekant Fnksinu reel saısına birim çemberde karşılık gelen nktasının apsisi sıfırdan farklı ise ( saısına a da nktasından birim çembere çizilen teğetin O eksenini kestiği T nktasının apsisine reel saısının sekantı denir. Sec = = dır. u mantığı kullanarak, ve nktalarına karşılık s gelen ( 8, ( 8 + ve ( 6 göre tersi nın Sekantı larak tanımlanır. = açılarının Sekantlarını hesaplaınız. s nın çarpmaa (, 8 (, ' (, (, (, T Sec '(, f ( = Sec a Tanımlı lduğu değerleri için Sec (Neden? Yrumlaınız. R Z R için örten bir fnksindur. b f : = + k., (, (, ' ' Sekant Değerleri Şekilde görüldüğü gibi Sekant değerleri hiçbir zaman (, aralığına uğramazlar. 5
16 6. Ksekant Fnksinu reel saısına birim çemberde karşılık gelen nktasının rdinatı sıfırdan farklı ise ( saısına a da nktasından birim çembere çizilen teğetin O eksenini kestiği K nktasının rdinatına reel saısının ksekantı denir. sec = = dır. u mantığı kullanarak, ve nktalarına Sin karşılık gelen ( 8, ( 8 + ve ( 6 çarpmaa göre tersi nın Ksekantı larak tanımlanır. = açılarının Ksekantlarını hesaplaınız. Sin nın T (, sec (, 8 (, ' (, (, '(, f ( sec = a Tanımlı lduğu değerleri için sec R Z R için örten bir fnksindur. b f : { = k., k } (, (, Ksekant Değerleri ' ' Şekilde görüldüğü gibi Sekant değerleri hiçbir zaman ekseni üzerindeki (, aralığına uğramazlar. 6
17 . sin + cs = Trignmetrik ağıntılar ( ( ( ( sin = cs = cs + cs cs = sin = + sin sin sin. tan = cs cs. ct = sin 4. tan.ct =, tan = ct, 5. sec = cs 6. cs ec = sin 7. + tan = sec = cs 8. + ct = cs ec = sin ct = tan Sru: Sin 85, tan75, s 6 ve t 75 nin trignmetrik değerlerinin işaretlerini bulunuz. Sru: m. Sin + = eşitliğinde m gerçel saılarının alabileceği değer kümesi nedir? ulunuz. 5 Sru: ( t ( tan + = ise, tan + t =? Sru: 5 s + Sec = ise, s + Sec =? cs ec = sec tan cs ec + Sru: ( lduğunu gösteriniz. Sru: şağıdaki trignmetrik değerlerin işaretini söleiniz. Sin, s, tan 8, t, Sec 7, sec54 7
18 Genel Örnekler. Sin + s = s lduğunu gösteriniz Sin s + s = Sin lduğunu gösteriniz.. s + Sin = a ise, Sin in a türünden değerini bulunuz. s 4. s s Sin Sin ifadesinin eşitini bulunuz. 5. ( t. Sin + = lduğunu gösteriniz. 6. tan t = tan lduğunu gösteriniz. 7.. Sin. s = tan =? Sin + s tan t = ise, tan sec =? tan + ct =?. + s Sin + = sec Sin + s lduğunu gösteriniz.. a > lmak üzere önlü aının bitim nktası, a 5 ise, Sec =?, sec =?, Tan =?.. cs ec sec = lduğunu gösteriniz. ct tan 5 s Sin. s s + = lduğunu gösteriniz Sin s =. Sin + s ise, t =? 5. tan + ct = a ise, tan + ct ifadesinin a cinsinden değeri nedir? ( a a 6. sin + cs = k ise, 6 6 sin.cs ifadesinin k cinsinden değeri nedir? ( k 8
19 DİK ÜÇGENDE DR ÇININ TRİGONOMETRİK DEĞERLERİ Sin = = b a s = = Tan = Karşı dik kenar uzunluğu Hiptenüs uzunluğu Kmşu dik kenar uzunluğu Hiptenüs uzunluğu Karşı dik kenar uzunluğu Kmşu dik kenar uzunluğu c a = b c b a t = Kmşu dik kenar uzunluğu Karşı dik kenar uzunluğu = c b c Hiptenüs uzunluğu Sec = = Kmşu dik kenar uzunluğu a s = c Hiptenüs uzunluğu sec = = Karşı dik kenar uzunluğu a Sin = b Uarı: a Ölçüleri tplamı 9 lan tümler iki açıdan birinin sinüsü diğerinin ksinüsüne eşittir. Sin = s8, s6 Sin =, Sin( = s( 9 b Ölçüleri tplamı 9 lan tümler iki açıdan birinin tanjantı diğerinin ktanjantına eşittir. t 4 = Tan86, tan 7 t =, t ( β = Tan( 9 β Sru : 45 nin trignmetrik değerlerini bulunuz. Sru : ve 6 nin trignmetrik değerlerini bulunuz. 9
20 Sru: D dik amuğunda D = 4cm, = 5cm, Sin = ise, D amuğunun alanı kaç cm 5 dir? ( 9cm D 4 ( 5 Sru: Şekilde m( = 9, tan =, ve tan =,6 lduğuna göre D D ranı nedir? ( 5 6 D Sru: Şekilde dik üçgeninde [ ] Sin ( =? ( D ükseklik ( ˆ m = 9, D = 4cm ve D = 5cm ise Sru: Şekilde üçgeninde [ ] tan =? ( 5 D 4 5 D ükseklik, = cm, = 5cm ve D = 9cm ise, 5 D 9
21 Sru: üçgeninde = = n ve = br ise Sin( =? ( n D Sru: D karesinde D D E = ise t ( DE ˆ =? ( 5 5 E Sru: D karesinde [ F ] [ DE], [ K ] [ DE] dir.. DF FK = ise, ( tan =? ( D F K E Sru: + s Sin +. Sin =? Sin + s (
22 Sru: Şekilde verilenlere göre Sin( ED ˆ =? ( E D 4 Sru: Şekil 4 eş kareden luşmuştur. una göre tan =? ( Sru: Şekilde verilenlere göre t =? ( D 4 Sru: dik üçgeninde [ ] [ ] (, m bulunuz. = ise, tan nın a, b ve c türünden değerini c b a
23 Çözüm: [ ] nin uzantısını D c lur. D ( ( = = lacak şekilde uzatalım. una göre; m D = m D = b dik üçgeninde, tan = = bulunur. D a + c c b D c a Sru: dik üçgeninde, [ H ] [ ] (, m bulunuz. = ve = cm ise, H nin cinsinden değerini H Çözüm: Şekilde H dik üçgeninde dik üçgeninde, s = = bulunur. H s = H =. s dan H = bulunur. s H Sru: ir üçgeninde = ve tan = ise, Sin = ( 4 5 ( (?
24 Trignmetrik Oranlardan iri elli İken Ötekilerini ulmak Önce açının bulunduğu bölge, birim çemberden saptanır, verilen trignmetrik değer dik üçgene aktarılır. ölgeden işaret, üçgenden değer alınarak snuca gidilir. Sru: < < s = t =? ( 5 Sru: 7 5 < < Sec = sec t =? ( Sru: tan = lduğuna göre s s. Sin =? ( 5 Sru: < < ve tan? Sin + s. t = = ( 4 Sru: < < ve = Sin = ( 5. Sin s 9 7? Sru: Şekildeki dik üçgende (, 4 ( K tür. m OK K(,4 = ise Sin( =?, tan =? ( 5, 5 O Sin = a Sru : a =? Tan = a + ( Sru: < < ve. Sin. s = ise Sin, s, t, Tan değerlerini bulunuz. Sru: < < ve 4 s = ise Sin, Tan, t değerlerini bulunuz. 5 Sru: < < ve 5 t = ise Sin, s değerlerini bulunuz. 4
25 Sru: < < ve Tan t s = ise =? 5 Sin Sru: Sin, s ve t ifadelerini Tan türünden azınız. tan + tan Uarı: çının bulunduğu bölge verilmedikçe açı. ölgede kabul edilir. Sru: tan =, 75 ise, cs.sin =? ( 5 Sru: < < için Sin s = ise, t =? ( 4 Çözüm: Şekildeki Sin = dik üçgeninde; + t, s = + t t azılırsa, + ct ct t. Sin s =. = + t + t den, t + = t (Her iki tarafında karesini alacak lursak + t = 4 + t 4t t = bulunur. 4 5
26 Önemli Dar çıların Trignmetrik Oranları R D Sin s Tan t Tanım sız Tanım sız Geniş çıların Trignmetrik Oranları ( Trignmetrik Özdeşlikler ( θ θ s Sin, ( θ, Sinθ s θ θ θ θ ( θ θ ( sθ Sinθ s Sin,, 4 Sin θ Sinθ Sin θ Sinθ Sin θ Sinθ Sin θ = Sinθ s Tan t ( = ( + = ( = ( ( θ = sθ s ( + θ = sθ s ( θ = sθ s ( θ ( θ = Tanθ Tan( + θ = Tanθ Tan( θ = Tanθ Tan( θ ( θ = tθ t ( + θ = tθ t ( θ = tθ t ( θ = sθ = Tanθ = tθ 6
27 ( θ θ Sin s, θ θ θ θ θ ( θ sθ ( sθ, Sinθ Sin, ( θ θ ( Sinθ sθ Sin s, 4, 4 Sin θ = s θ Sin + θ = s θ Sin θ = s θ Sin + θ = s θ s θ = Sin θ s + θ = Sin θ s θ = Sin θ s + θ = Sin θ Tan θ = t θ Tan + θ = t θ Tan θ = t θ Tan + θ = t θ t θ = Tan θ t + θ = Tan θ t θ = Tan θ t + θ = Tan θ Sru: şağıdaki trignmetrik değerleri bulunuz. a Sin 5 =? b s =? c tan855 =? d t 5 =? e Sin =? f s 4 =? g Tan 55 =? h t 945 =? i ( Sin =? j ( s 45 =? k ( Tan 6 =? l ( t 45 =? m ( Sin 5 =? n s =? Tan 5 =? Sru: şağıdakilerden hangisi s a a özdeş değildir? a Sin( a b Sin( + a c s + a d s a e Sin a 7
28 f = Sin + s + Sin + f =? Sru: ( ( ( 9 ( Sru: ir üçgeninde m = dir. Sin + aşağıdakilerden hangisine eşittir. ( ( ( Sin Sin s D Sin ( s ( ( + E s Sru: T Sin( θ Sin( θ Sin( θ Sin( θ = ifadesini kısaltınız. Sru: T = Sin + θ + s( θ + Sin + θ s ( + θ ifadesini kısaltınız. Sru: Sin. s4 Sin7. s4 =? ( Sru: Şekildeki D amuğunda, [ ] //[ D ] dir. Verilenlere göre tan? D 4 = ( 4 7 Sru: 9a = ise, Sin5 a.tan a? s4 a.ct 7a = ( Sru: Sru: Sru: a = Sin5, b = Sin6, c = Sin7 değerlerini küçükten büüğe dğru sıralaınız. ( a < b < c a = Sin4, b = Sin, c = Sin değerlerini küçükten büüğe dğru sıralaınız. ( c < a < b a = s, b = s4, c = s değerlerini küçükten büüğe dğru sıralaınız. ( b < c < a Sru: a = tan, b = tan, c = tan 7 değerlerini küçükten büüğe dğru sıralaınız. ( a < b < c Sru: a = tan 48, b = Sin, c = s7 değerlerini küçükten büüğe dğru sıralaınız. ( b < c < a 8
29 Dsa adı: TRIGONOMETRI_I_TRIGONOMETRIK FONKSIYONLR VE DIK UGENDE DR I Dizin: :\Users\TOLG\Desktp\INTERNET\TRIGONOMETRI Şabln: :\Users\TOLG\ppData\Raming\Micrsft\Templates\Nr mal.dtm aşlık: Knu: Yazar: EGESU nahtar Sözcük: çıklamalar: Oluşturma Tarihi: 9..7 :: Düzeltme Saısı: Sn Kaıt: 9..7 :4: Sn Kadeden: TOLG Düzenleme Süresi: 5 Dakika Sn Yazdırma Tarihi: 9..7 :4: En Sn Tüm Yazdırmada Safa Saısı: 8 Sözcük Saısı: 5.7(aklaşık Karakter Saısı: 9.6(aklaşık
Örnek...1 : Birim çember kullanarak aşağıdaki ifadeleri hesapla yın ız. Örnek...2 : sin 2 12+cos sin 67+cos 34. sin41 işleminin sonucu kaçtır?
RİGNMERİ İR AÇININ KSİNÜS VE SİNÜS DEĞERLERİ Merk ezi orijin ve arıçapı birim olan çem bere birim çem ber denir. Standart pozisonda (Köşesi orijinde, başlangıç kenarı ve Kosinüs Sinüs önü pozitif ön olan
TOPLAM VE FARK YAYLAR. PA + = olup, OP = 1 alınacak olursa, OP P
TOPLM VE FRK YYLR a, b R için; Sin( a + b) Sina. sb +. sa Sin( a b) Sina. sb. sa s ( a + b) sa. sb Sina. s ( a b) sa. sb + Sina. İspat: a) Sin( a b) P + lup, OP alınacak lursa, OP P Sin( a + b) P bulunur.
TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY
TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY A. AÇI Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir. B. YÖNLÜ AÇI
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ A. PERİYODİK FONKSİYONLAR A, düna ve güneşin hareketleri, a ve güneş tutulmaları her 7 ılda bir Halle kuruklu ıldızının dünamızı ziareti periodik olarak medana gelen
Cebir Notları. Karmaşık sayılar TEST I. Gökhan DEMĐR, 2006
MC Karmaşık saılar www.matematikclub.cm, 006 Cebir Ntları Gökhan DEMĐR, gdemir@ah.cm.tr TEST I. i 897 + i 975 + i 997 i 995 tplamının snucu i B) i C) i D) i E) 5i 8. Z = i nin kutupsal biçimi (cs0 + isin0)
ÖRNEK 3712 nin esas ölçüsünü bulunuz. ÇÖZÜM esas ölçüsü 112 olur. ÖRNEK ÇÖZÜM cos 1, 1 sin 1
MTEMTİK TRİGONOMETRİ - I irim Çember II III sin I IV 0 nin esas ölçüsünü bulunuz 0 00 0 00 + olduğundan, esas ölçüsü olur I ölge (0 < < II ölge ( ) < < ) III ölge ( < < IV ölge ( ) < < ) sin tan cot +
2.2 Bazıözel fonksiyonlar
. Bazıözel fonksionlar Kuvvet fonksionu, polinomlar ve rasonel fonksionlar, mutlak değer ve tam değer fonksionları, pratik grafik çizimleri. 1-) Lineer fonksionlar: m ve n sabit saılar olmak üzere f()
9. 22 özdeş bilyeyi iki farklı kutuya kaç değişik şekilde dağıtabiliriz? (Kutulardan biri boş olabilir.) toplamının sonucu kaçtır?
. + + + + + 5 0 0 40 tplamının snucu 9. özdeş bilei iki farklı kutua kaç değişik şekilde dağıtabiliriz? (Kutulardan biri bş labilir.) A) 5. + = 5 - = 5 B) C) D) E) lduğuna göre, değeri A) B) C) D) 4 E)
TRİGONMETRİK FONKSİYONLAR: DİK ÜÇGEN YAKLAŞIMI
TRİGONMETRİK FONKSİYONLAR: DİK ÜÇGEN YAKLAŞIMI Diyelim ki yeryüzünden güneşe lan mesafeyi bulmak istiyruz. Şerit metre kullanmak açıkçası pratik değildir. Bu nedenle bu srunun üstesinden gelmek için basit
ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Trigonometrik Fonksiyonlar tanx. 1 cos x sinx ifadesi, aşağıdakilerden hangisine eşittir?
ÖĞRENİNİN I SOYI: NUMRSI: ersin dı KONU: Trignmetrik Fnksiynlar ersin Knusu. cs x sinx ifadesi, aşağıdakilerden. cs x ct x sin x sec x + sec x ) cs x csec x + csec x ) cs x. ct x cs ec x ct x. sec x csec
NOKTANIN ANALİTİK İNCELEMESİ NOKTANIN ANALİTİK İNCELEMESİ
NKTANIN ANALİTİK İNCELEMESİ NKTANIN ANALİTİK İNCELEMESİ Başlangıç noktasında birbirine dik olan iki saı doğrusunun oluşturduğu sisteme "Dik Koordinat Sistemi" denir. Dik Koordinat Sisteminin belirttiği
Üçüncü Kitapta Neler Var?
Üçüncü Kitapta Neler Var?. Kümeler 7 0. Kartezyen çarpım - Bağıntı 4. Fnksiynlar 4 74 4. İşlem 7 84. Mdüler Aritmetik 8 00 6. Plinmlar 0 0 7. İkinci Dereceden Denklemler 6 8. Eşitsizlikler 7 6 9. Parabl
EĞİM, BİR DOĞRUNUN DENKLEMİ VE EĞİMİ ARASINDAKİ İLİŞKİ
Özgür EKER EĞİM, BİR DOĞRUNUN DENKLEMİ VE EĞİMİ ARASINDAKİ İLİŞKİ Eğim: ETKİNLİK : Bir bisiklet arışındaki iki farklı parkur aşağıdaki gibidir. I. parkurda KL 00 metre ve II. parkurda AB 00 metre olduğuna
SBS MATEMATİK DENEME SINAVI
SS MTEMTİK DENEME SINVI 8. SINIF SS MTEMTİK DENEME SINVI. 4.. Güneş ile yut gezegeni arasındaki uzaklık 80000000 km dir. una göre bu uzaklığın bilimsel gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? ),8.0 9 km
İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLAR VE GRAFİKLERİ
İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLAR VE GRAFİKLERİ TANIM: a, b, c R ve a olmak üzere, f : R R, = f ( ) = a + b + c fonksionuna, ikinci dereceden bir bilinmeenli fonksion denir. { } (, ) : = f ( ) R kümesinin
İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07
UZY GEMETRİ İÇİNDEKİLER Safa No Test No UZY KSİYMLRI... 001-00... 01-0 UZYD DGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 0-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-01... 0-07 PRİZMLR... 015-0... 08-1 KÜP... 05-00... 1-15 SİLİNDİR...
YGS 2014 MATEMATIK SORULARI
YGS 0 MTMTIK SORULRI. 6.(8 6 ) işleminin snucu kaçtır? 8 6 6 6 6 6.(8 6 ) 8 6 6 7. a b a, ve sayıları küçükten büyüğe dğru a sıralanmış ardışık tamsayılardır. una göre, a + b tplamı kaçtır? a a a b a b
ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 19. MATEMATİK YARIŞMASI 9. SINIF TEST SORULARI
OKULLAR ARASI 9. MATEMATİK YARIŞMASI. f(x) sıfırdan farklı dğrusal fnksiyn lmak üzere, f(x 6) f(x ) f(x) f(x ) f(x) f(x ) işleminin snucu kaçtır?. Rakamları çarpımı ile rakamları tplamının tplamları kendisine
TÜRKİYE GENELİ DENEME SINAVI LYS - 1 MATEMATİK
TÜRKİY GNLİ SINVI LYS - 1 7 MYIS 017 LYS 1 - TSTİ 1. u testte 80 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz. + k+ n 15 + 10 1. : = + 6 16 + 8 0 + 8 olduğuna
Trigonometrik Fonksiyonlar
Trigonometrik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 6 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; açı kavramını hatırlayacak, açıların derece ölçümünü radyan ölçümüne ve tersine çevirebilecek, trigonometrik
Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674
kapak safası İÇİNDEKİLER. ÜNİTE FNKSİYNLARDA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI Fonksionların Simetrileri ve Cebirsel Özellikleri... 4 Tek ve Çift Fonksionlar... 4 Fonksionlarda İşlemler... 6 Konu Testleri -...
MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08
LİSNS YRLŞTİRM SINVI- MTMTİK-GMTRİ SINVI MTMTİK TSTİ SRU KİTPÇIĞI 08 U SRU KİTPÇIĞI LYS- MTMTİK TSTİ SRULRINI İÇRMKTİR. . u testte 0 soru vardýr. MTMTİK TSTİ. evaplarýnýzý, cevap kâðýdýnın Matematik Testi
Örnek...1 : f (x)=2x 2 5x+6 parabolü K(2,p) noktasından geçiyorsa p kaçtır? Örnek...2 : Aşağıda çeşitli parabol grafikleri verilmiştir incele yi niz.
a, b,c R,a 0 olmak koşulula f ()=a 2 +b+c fonksionuna ikinci dereceden bir değişkenli fonksion ve bu fonksionun belirttiği eğrie de parabol denir. Uarı ir parabolün grafiği başkatsaı olan a saısına bağlı
LYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Matematk Deneme Sınavı. Üç basamaklı doğal saılardan kaç tanesi, 8 ve ile tam bölünür? 8 9. ile in geometrik ortası z dir. ( z). ( z ). z aşağıdakilerden hangisidir?. 9 ifadesinin cinsinden değeri
12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır?
. SINIF M Fonksionlar. f ( + a ) + vef( ) 7 olduğuna göre a kaçtır? E) TEST. f ( ) k + 6 fonksionu sabit fonksion olduğuna f ( ) göre aşağıdakilerden k E). f( ) 6 k ve f ( ) olduğuna göre k kaçtır? E)
ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT
ÜÇGNLR ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT ÜÇGNLRİN ŞLİĞİ Üçgende çılar. azanım : ir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 80, dış açılarının ölçüleri toplamının 0 olduğunu gösterir. İki Üçgenin şliği. azanım
PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu
PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği
YARDIRMALI MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ
YRIRMLI MTEMTİK TÜREV FSİKÜLÜ Maksimum-Minimum Problemleri MESUT ERİYES MKSİMUM - MİNİMUM PROLEMLERİ Maksimum ve minimum problemlerini çözmek için şu kurallar ugulanır; 1) Maksimum a da minimum olması
MATEMATÝK GEOMETRÝ DENEMELERÝ
ENEME MTEMTÝK GEOMETRÝ ENEMELERÝ 1. ( ) 1, 3 9 : 9 4 6 0,5 1 4. K dğal sayısının 36 ile bölümünden kalan 14 tür. işleminin snucu kaçtır? 1 ) 3 ) 1 ) ) 1 E) 3 3 una göre, aşağıdakilerden hangisi 4 ile tam
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR f(x) = log(x - 6) x A)28 8)30. f(x)= j x A)O 8)8 C) 12 0)36 E)45 A)4 8)8 C) 12 0)16 E) 20 A)5
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR - 1 x-2 x>3-1. f(x)= { 2x+5
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU f :R R, =f ( fonksionuna düzlemde A karşılık gelen f( +h eğri anda ki =f( P gibi olsun. f( Eğrinin P(,f( noktasındaki teğetlerini +h araştıralım. Bunun için P(,f( noktasının sağıda
25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır?
. f: R { 4} R, > ise ( ) 4 f =, ise 6 8. ( ) f = 6 + m + 4 eğrisinin dönüm noktasının ordinatı olduğuna göre, m kaçtır? ) 7 ) 8 ) 9 ) E) fonksiyonu aşağıdaki değerlerinin hangisinde süreksizdir? ) ) )
TÜREV ALMA KURALLARI TÜREVİN UYGULAMALARI - I TÜREVİN UYGULAMALARI - II ANALİZ TESTLERİ
ÖÜ ÜV eğişim ranı, rtalama ve nlık Hız...7 ürev lma uralları... Parçalı ve utlak eğer Fonksionların ürevi...9 ürev ve üreklilik... gulama estleri...7 ÖÜ ÜVİ G - rtan ve zalan Fonksionlar...6 kstremum oktalar...6
2005 ÖSS Soruları. 5. a, b, c gerçel sayıları için 2 a = 3 3 b = 4 4 c = 8 olduğuna göre, a.b.c çarpımı kaçtır?
. + c m 9 + c9 m 9 9 20 ) ) 9 ) 27 ) ) 82 9 5. a, b, c gerçel saıları için 2 a = b = c = 8 olduğuna göre, a.b.c çarpımı kaçtır? ) ) 2 ) ) ) 5 6. a, b, c gerçel saıları için, a.c = 0 a.b 2 > 0 2. 2 2 +
8. ÜNİTE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
8. ÜNİTE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR KONULAR 1. TRİGONOMETRİ 2. Açı 3. Yönlü Açı 4. Yönlü Yaylar 5. Birim Çember 6. Açı Ölçü Birimleri 7. Derece 8. Radyan 9. Grad 10. Esas Ölçü 11. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
6 II. DERECEDEN FONKSÝYONLAR 2(Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MATEMATÝK. y f(x) f(x)
6 II. DERECEDEN FNKSÝYNLR (Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MTEMTÝK 1. f(). f() 6 8 T Yukarıda grafiği verilen = f() parabolünün denklemi nedir?( = 6) Yukarıda grafiği verilen
TEMEL BAZI KAVRAMLAR. Uzay: İçinde yaşadığımız sonsuz boşluktur. Uzay, bir noktalar kümesidir. Uzay, bütün varlıkları içine alır.
1 TEMEL ZI KVRMLR Nokta: Kalemin kâğıda, tebeşirin tahtaya bıraktığı ize nokta denir. Nokta boyutsuzdur. Yani; noktanın eni, boyu ve yüksekliği yoktur. ütün geometrik şekiller noktalardan oluşur. Noktalar
1997 ÖSS Soruları. 5. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büyük doğal sayı aşağıdakilerden hangisi ile kalansız bölünebilir?
997 ÖSS Soruları. ( ) + ( ).( ) işleminin sonucu kaçtır? ) ) ) ) 8 6 ) 6. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büük doğal saı aşağıdakilerden hangisi ile kalansız bölünebilir? ) ) 9 ) 6 )
Cebir Notları. Trigonometri TEST I. 37π 'ün esas ölçüsü kaçtır? Gökhan DEMĐR,
, 00 M ebir Notları Gökhan EMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Trigonometri. TEST I π 'ün esas ölçüsü kaçtır? ) p ) p ) p ) π p. tanθ = ) ) olduğuna göre, sinθ değeri kaçtır? ) ). 0 'nin esas ölçüsü kaçtır?. θ
- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a
İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri
TRİGONOMETRİ Test -1
TRİGONOMETRİ Test -. y. y K O O. nalitik düzlemde verilen O merkezli birim çemberde hangi noktanın koordinatları (0, ) dir? (O noktası orijindir.) O y [OK] açıortay olmak üzere, nalitik düzlemde verilen
EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ 11.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI 11.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU
08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. TRİGONOMETRİ 7 6 6.. Yönlü
5. ÜNİTE AÇILAR, ÜÇGENLER VE MESLEKİ UYGULAMALARI
5. ÜNİTE ÇILR, ÜÇGENLER VE MESLEKİ UYGULMLRI açılar KONULR 1. çı, çı Türleri ve Mesleki Uygulamaları 2. Tümler ve ütünler çılar ÜÇGENLER 1. Üçgene it Temel ilgiler 2. Üçgen Türleri 3. Üçgenin Yardımcı
FONKSİYONLAR ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT
FONKSİYONLAR ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT. Kazanım : Gerçek saılar üzerinde tanımlanmış fonksion kavramını açıklar. Tanım kümesi, değer kümesi, görüntü kümesi kavramlarını açıklar.. Kazanım : Fonksionların
I ) MATEMATİK TEMELLER
I ) MATEMATİK TEMELLER A) TANIMLAR VE İŞLEMLER B) KARTEZYEN DİFERANSİYEL OPERATÖRLER C) YEREL DİK KOORDİNAT SİSTEMLERİNDE DİFERANSİYEL OPERATÖRLER D) MOMENTUM UZAYI DEĞİŞKENLERİ A) TANIMLAR ve İŞLEMLER.
AÖĞRENCİLERİN DİKKATİNE!
KİPÇIK ÜRÜ.. MİLLÎ EĞİİM KNLIĞI ÖLÇME, DEĞERLENDİRME VE SINV HİZMELERİ GENEL MÜDÜRLÜĞÜ 8. SINIF MEMİK 206 8. SINIF 2. DÖNEM MEMİK DERSİ MERKEZÎ ORK SINVI (MZERE) 4 MYIS 206 Saat: 0.0 dı ve Sadı :... Sınıfı
TRİGONMETRİK FONKSİYONLAR: DİK ÜÇGEN YAKLAŞIMI
TRİGONMETRİK FONKSİYONLAR: DİK ÜÇGEN YAKLAŞIMI Diyelim ki yeryüzünden güneşe olan mesafeyi bulmak istiyoruz. Şerit metre kullanmak açıkçası pratik değildir. Bu nedenle bu sorunun üstesinden gelmek için
11. SINIF. No Konular Kazanım Sayısı GEOMETRİ TRİGONOMETRİ Yönlü Açılar Trigonometrik Fonksiyonlar
11. SINIF No Konular Kazanım Sayısı GEOMETRİ Ders Saati Ağırlık (%) 11.1. TRİGONOMETRİ 7 56 26 11.1.1. Yönlü Açılar 2 10 5 11.1.2. Trigonometrik Fonksiyonlar 5 46 21 11.2. ANALİTİK GEOMETRİ 4 24 11 11.2.1.
NEDEN MATEMATİK VADİSİ?
Yaýn ditörü lpaslan RN M.V. Gen. Yaýn Yönetmeni Kitabýn dý 9. sýnýf Geometri Yaýn ve Ýnceleme Kurulu lpaslan RN Sagýn ÝNÇR Seri dý ve Numarasý Soru ankasý Serisi: 01 Kapak Promeda izgi Kevser ÜNLÜ aský
7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56
, 006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@ahoo.com.tr Türev TEST I 7. f() = sin cos fonksionunun. f()= sin( + )cos( ) için f'() nin eşiti nedir? A) B) C) 0 D) E) için erel minimum değeri nedir? A) B)
GEOMETRİ KPSS 2019 VİDEO DESTEKLİ KONU ANLATIMLI GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR PRATİK BİLGİLER SINAVLARA EN YAKIN ÖZGÜN SORULAR VE AÇIKLAMALARI SORU
KPSS 2019 120 soruda 86 SRU VİDE DESTEKLİ GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR GEMETRİ KNU NLTIMLI PRTİK İLGİLER SINVLR EN YKIN ÖZGÜN SRULR VE ÇIKLMLRI Komisyon KPSS Geometri Konu nlatımlı ISN 978-605-241-274-9
UZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU DÜZLEM
UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM. ir küpün ayrıtlarını taşıyan doğrular kaç farklı doğrultu oluşturur? ) ) ) D) 7 E) 8. ir düzgün altıgenin en uzun köşegeni ile aynı doğrultuda kaç farklı kenar vardır?. şağıdaki
DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELENMESİ
ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 10. SINIF KULA YARDIMI KNU ANLATIMLI SRU BANKASI DĞRUNUN ANALİTİK İNELENMESİ GEMETRİ ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 10. SINIF KULA YARDIMI KNU ANLATIMLI SRU BANKASI ISBN 978 60 227 61 6 Dizgi
Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.
- 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle
Geometri ile Trigonometri Sorusu Yazma Tekniği
TMOZ/cege@yahgrups.cm Kasım - 005 Trignmetri Gemetri İlişkisi 3 Gemetri ile Trignmetri Srusu Yazma Tekniği Eyüp Kamil Yeşilyurt Mustafa Yağcı u yazımızda, gemetri yardımıyla trignmetri srularının, nasıl
EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. FEN LİSESİ 11.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI 11.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU
08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. FEN LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. TRİGONOMETRİ 8 6 6.. Yönlü Açılar
ETKİNLİK ÇÖZÜMLERİ ADIM m(ëa) + m(b) = m(ëa) = ise 2.m(ëA ) = =
ETKİNLİK ÇÖZÜMLERİ DIM 0. m(ë) 0 0 7 ise.m(ë ) 80 60 8 0.m(ë) m(ë) 8 0 8 7 99 7 66 60. m(ë) m() 8 60 08 dir. 08 R 80 08. R 80 radandır. 99 8 6. 60 06 9 8 60 0 79 8 6 79 8 6 7. irim çemberin üzerindeki
ÇOKGENLER DÖRTGENLER ve ÇEMBER
MY GOMTRİ RS NOTLRI Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi TMOZ un katkılarıyla ÇOKGNLR ÖRTGNLR ve ÇMR Mustafa YĞI LTIN NOKT YYINVİ N 01 İÇİNKİLR ölüm Knu Sayfa ölüm Knu Sayfa 1 Çkgenler 007-015 19 Karede
YAKLAŞAN SINAVDA KORKUYU SEVİNCE DÖNÜŞTÜREN GRUP UNUTMAYIN SİZLER İÇİN BİZ HERŞEYE HAZIRIZ!
İLKÖĞRTİM MTMTİK ÖĞRTMNLRİ ZÜMRSİ IM IM T O G - 2 WWW.OGRTMNFORUMU.OM YKLŞN SINV KORKUYU SVİN ÖNÜŞTÜRN GRUP UNUTMYIN SİZLR İÇİN İZ HRŞY HZIRIZ! Sadece MTMTİK Öğretmenlerine Özel Grubumuz www.facebk.cm/grups/ilkmatzum
Fonksiyonlar ve Grafikleri
Fonksionlar ve Grafikleri Isınma Hareketleri Aşağıda verilenleri inceleiniz. A f f(a) 7 çocuk baan f: Çocukları annelerine götürüor. Fonksion olma şartı: Her çocuğun annesi olmalı ve bir tane olmalı. (
2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir?
MC www.matematikclub.com, 006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir3@ahoo.com.tr. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler- TEST I A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 1. 1/ = 0 denkleminin köklerinin toplamı aşağıdakilerden
9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI
9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI KONULAR DİK ÜÇGENLERDE METRİK BAĞINTILAR 1. Pythagoras (Pisagor) Bağıntısı. Euclides (öklit) Bağıntısı 3. Pisagor ve öklit Bağıntıları ile İlgili Problemler
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan
( ANALİTİK DÜZLEM NOKTA BÖLGELER İKİ NOKTA ARASI UZAKLIK ORTA NOKTA ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ VE ALANI DEĞERLENDİRME ) dört bölgeye ayrılır.
NİTİ GEMETRİ 1 ( NİTİ DÜZEM NT ÖGEER İİ NT RSI UZI RT NT ÜÇGENİN ĞIRI MEREZİ VE NI DEĞERENDİRME NİTİ DÜZEM Dİ RDİNT DÜZEMİ İki saı doğrusunun dik kesişmesile oluşan düzleme, dik koordinat düzlemi ve a
TEST. Doğrusal Denklemler kg domates ile 2 kg salça yapılmaktadır. 2. Aşağıda verilen, 5. Cebinde 50 si bulunan Nehir babasından her
Doğrusal Denklemler 7. Sınıf Matematik Soru Bankası TEST. t Zaman (sn) 0 0 0 0 Yol (m) 0 00 0 00 Yukarıdaki tabloda bir koşucunun metre cinsinden aldığı ol ile sanie cinsinden harcadığı zaman verilmiştir.
I ) MATEMATİK TEMELLER
0 I ) MATEMATİK TEMELLER A) TANIMLAR VE İŞLEMLER B) KARTEZYEN DİFERANSİYEL OPERATÖRLER C) YEREL DİK KOORDİNAT SİSTEMLERİNDE DİFERANSİYEL OPERATÖRLER D) DIRAC DELTA FONKSİYONU E) -BOYUTTA FOURIER DÖNÜŞÜMÜ
6. loga log3a log5a log4a. 7. x,y R olmak üzere;
log. 5 5 0 olduğuna göre, değeri kaçtır? A) 5 B) 0 C) 6 8 E) 6. loga loga log5a loga eşitliğini sağlaan a değeri kaçtır? 5 A) 5 5 B) 5 5 C) 5 E) 5. loga logb logc ifadesinin eşiti aşağıdakilerden a c A)
10. SINIF. Sayma TEST. 1. Bir otobüse binen 3 yolcu yan yana duran 4 boş koltuğa kaç farklı şekilde oturabilirler?
SINI Sama. ir otobüse binen olcu an ana duran boş koltuğa kaç farklı şekilde oturabilirler? ) ) ) 8 ) 6 ) 8 KZNI KVR. = #,,,,, - kümesinin elemanları kullanılarak basamaklı rakamları birbirinden farklı
GEOMETRİ. kpss SORU. Önce biz sorduk. Güncellenmiş Yeni Baskı. Genel Yetenek Genel Kültür. 120 Soruda 83
Önce biz sorduk kpss 2 0 8 20 Soruda 83 SRU Güncellenmiş Yeni askı Genel Yetenek Genel Kültür GEMETRİ Konu nlatımı Pratik ilgiler Sınavlara En Yakın Özgün Sorular ve çıklamaları Çıkmış Sorular ve çıklamaları
( ANALİTİK DÜZLEM NOKTA BÖLGELER İKİ NOKTA ARASI UZAKLIK ORTA NOKTA ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ VE ALANI DEĞERLENDİRME )
NİTİ GEMETRİ 1 ( NİTİ DÜZEM NT ÖGEER İİ NT RSI UZI RT NT ÜÇGENİN ĞIRI MEREZİ VE NI DEĞERENDİRME NİTİ DÜZEM Dİ RDİNT DÜZEMİ İki saı doğrusunun dik kesişmesile oluşan düzleme, dik koordinat düzlemi ve a
Chapter 1 İçindekiler
Chapter 1 İçindekiler Kendinizi Test Edin iii 10 Birinci Mertebeden Diferansiel Denklemler 565 10.1 Arılabilir Denklemler 566 10. Lineer Denklemler 571 10.3 Matematiksel Modeller 576 10.4 Çözümü Olmaan
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
BÖLÜM Taşkın, Çetin, Abdullaeva FONKSİYONLAR.. FONKSİYON KAVRAMI Tanım : A ve B boş olmaan iki küme a A ve b B olmak üzere ( ab, ) sıralı eleman çiftine sıralı ikili denir. ( ab, ) sıralı ikilisinde a
NLİTİK EMETRİ lan ve ğırlık Merkezi 5. ölüm Örnek 0 nalitik düzlemde üçgen [] açıorta [] // [] (6 0 (6 (6 (6 0 [H] [] [K] [] H = K = br K ile H üçgenl
![NLİTİK EMETRİ lan ve ğırlık Merkezi 5. ölüm Örnek 0 nalitik düzlemde üçgen [] açıorta [] // [] (6 0 (6 (6 (6 0 [H] [] [K] [] H = K = br K ile H üçgenl](/thumbs/70/62427826.jpg "NLİTİK EMETRİ lan ve ğırlık Merkezi 5. ölüm Örnek 0 nalitik düzlemde üçgen [] açıorta [] // [] (6 0 (6 (6 (6 0 [H] [] [K] [] H = K = br K ile H üçgenl")
NLİTİK EMETRİ lan ve ğırlık Merkezi 5. ölüm lan Örnek 0 nalitik düzlemde ( 0 c h b h a h c b ( 0 ( 0 a a h b h a b c h lan( = = = c Yukarıdaki verilenlere göre lan( kaç birimkaredir? 6 8 9 E c b Taban:
Vektörler. Skaler büyüklükler. Vektörlerin 2 ve 3 boyutta gösterimi. Vektörel büyüklükler. 1. Şekil I de A vektörü gösterilmiştir.
1 Vektörler Skaler büüklükler 1. de A vektörü gösterilmiştir. Özellikler: Sadece büüklüğü (şiddeti) vardır. Negatif olabilir. Skaler fiziksel büüklüklerin birimi vardır. Örnekler: Zaman Kütle Hacim Özkütle
SAYISAL BÖLÜM. 5. a, b, c gerçel sayıları için. 2 a = 3. 3 b = 4. 4 c = 8. olduğuna göre, a b c çarpımı kaçtır? 6. a, b, c gerçel sayıları için
SYISL ÖLÜM ĐKKT! U ÖLÜM VPLYĞINIZ TPLM SRU SYISI 90 IR. Đlk 45 soru Matematiksel Đlişkilerden Yararlanma Gücü, Son 45 soru Fen ilimlerindeki Temel Kavram ve Đlkelerle üşünme Gücü ile ilgilidir. şit ğırlık
1998 ÖYS. 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7. iki basamaklı bir y doğal sayısına eşittir. Buna göre, y doğal sayısı en az kaç olabilir?
99 ÖYS. Üç basamaklı bir doğal saısının 7 katı, iki basamaklı bir doğal saısına eşittir. Buna göre, doğal saısı en az kaç olabilir? A) B) C) 6. Bugünkü aşları 6 ve ile orantılı olan iki kardeşin 6 ıl sonraki
1996 ÖYS. 2 nin 2 fazlası kız. 1. Bir sınıftaki örencilerin 5. örencidir. Sınıfta 22 erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır?
996 ÖYS. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin saısı kaçtır? 8 C) 6 D) E) 6. Saatteki hızı V olan bir hareketti A ve B arasındaki olu
MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)
MTEMTİK TESTİ (Mat )... u testte srasla, Matematik ( ) Geometri ( 0) ile ilgili 0 soru vardr.. evaplarnz, cevap kâğdnn Matematik Testi için arlan ksmna işaretleiniz. f, 0 ise =, = 0 ise fonksionu için,
Aralıklar, Eşitsizlikler, Mutlak Değer
ARALIKLAR Gerçel sayıların, aralık olarak adlandırılan bazı kümeleri kalkülüste sık sık kullanılır ve geometrik olarak doğru parçalarına karşılık gelir. Örneğin, a < b ise, a dan b ye açık aralık, a ile
12. SINIF. Uzayda Vektörler-1 TEST. 1. Uzaydaki doğru parçaları için aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?
1. SINIF Uada Vektörler-1 1. Uadaki doğru parçaları için aşağıdaki önermelerden hangisi anlıştır? Akırı doğru parçaları farklı dülemlerdedir. Akırı doğru parçaları farklı doğrultudadır. İki doğru parçasının
Fonksiyonlar ve Grafikleri
Fonksionlar ve Grafikleri Isınma Hareketleri Aşağıda verilenleri inceleiniz. A f f(a) 7 f: Çocukları annelerine götürüor. Fonksion olma şartı: Her çocuğun annesi olmalı ve bir tane olmalı. ( çocuk annenin
LYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal
PARABOL Test -1. y x 2x m 1 parabolü x eksenini kesmiyorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
PROL est -. m parabolü eksenini kesmiorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?. f a b c (, ) ) (, ) (, ) (, ) ( 6, ). m parabolü eksenini iki farklı noktada kesmektedir. una göre,
1986 ÖYS. 1. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? C) 3 A) 11 B) 10 C) 3 D) 8 E) 7 E) 2
8 ÖYS. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? 8 7. Aşağıdaki şekilde ABCD bir yamuk ve AECD bir paralel kenardır.. Aşağıdaki şekilde EAB ve FBC eşkenar üçgendir. AECD nin alanı 8 cm Buna göre CEB üçgeninin
2002 ÖSS Soruları. 5. a, b, c, d pozitif tam sayılar ve 123,4 0, ,234 12,34. işleminin sonucu kaçtır?
00 ÖSS Soruları 3,4.,34 0, 34,34 işleminin sonucu kaçtır? ) 0 ) 0, ) 9,9 ) 0, E),. a, b, c, d pozitif tam sayılar ve a 7 a 4 : = c, : = d b 0 b 4 olduğuna göre, c + d nin alabileceği en küçük değer kaçtır?
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan
LYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Matematk Deneme Sınavı. A.. n saısının tamsaı bölenlerinin saısı olduğuna göre, n 0. R de tanımlı " " işlemi; ο ο işleminin sonucu 0. (6) 6 (6) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 6 6 (6)
9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme
2012 LYS 1 MATEMATİK GEOMETRİ SORU VE ÇÖZÜMLERİ. sayısının 2 sayı A) 3 2. Çözüm : Cevap B. 2 x C) 1 5. Çözüm : Cevap D
0 LYS MATEMATİK GEOMETRİ SORU VE ÇÖZÜMLERİ. 8 sayı tabanında verilen 8 sayısının sayı tabanında yazılışı aşağıdakilerden hangisidir? 00 B) 0. lduğuna göre ifadesinin değeri kaçtır? C) 0 D) 0 B) C) 9 E)
[ 1, 1] alınırsa bu fonksiyon birebir ve örten olur. Bu fonksiyonun tersine arkkosinüs. f 1 (x) = sin 1 (x), 1 x 1
![[ 1, 1] alınırsa bu fonksiyon birebir ve örten olur. Bu fonksiyonun tersine arkkosinüs. f 1 (x) = sin 1 (x), 1 x 1](/thumbs/96/127250868.jpg "[ 1, 1] alınırsa bu fonksiyon birebir ve örten olur. Bu fonksiyonun tersine arkkosinüs. f 1 (x) = sin 1 (x), 1 x 1")
..3 Ters Trigonometrik Fonksionlar Önceki kesimde belirtilen bütün trigonometrik fonksionlar perodik olduklarından görüntü kümesindeki her değeri sonsuz noktada alırlar. Bölece trigonometrik fonksionlar
T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI ÖLÇME, DEĞERLENDİRME VE SINAV HİZMETLERİ GENEL MÜDÜRLÜĞÜ SINIF DEĞERLENDİRME SINAVI - 2
T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI 01-016 7. SINIF DEĞERLENDİRME SINAVI - 01-016 7. SINIF DEĞERLENDİRME SINAVI - MATEMATİK Adı ve Syadı :... Sınıfı :... Öğrenci Numarası :... SORU SAYISI : 0 SINAV SÜRESİ : 40
LYS MATEMATİK-2 SORU BANKASI LYS. M. Ali BARS. çözümlü sorular. yıldızlı testler. Sınavlara en yakın özgün sorular
LYS LYS 6 Sınavlara en akın özgün sorular MATEMATİK- SORU BANKASI çözümlü sorular ıldızlı testler M. Ali BARS M. Ali Bars LYS Matematik Soru Bankası ISBN 978-65-8-7-9 Kitapta er alan bölümlerin tüm sorumluluğu
2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.
4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.
PARABOL. Merkezil parabol. 2px. 2py F 0, 2 F,0. Şekil I. Şekil II. p Odağı F 2. Odağı F 0, Doğrultmanı x. Doğrultmanı y
ARABL Tanım: Düzlemde verilen sabit bir noktası ile bir d doğrusuna uzaklıkları eşit olan noktaların geometrik erine arabol denir. Sabit noktaa arabolün odağı; doğrua ise doğrultmanı denir. Merkezil arabol
Köklü Sayılar ,1+ 0,1+ 1, 6= m 10 ise m kaçtır? ( 8 5 ) 2x 3. + a =? (4)
Köklü Sayılar.,+ 0,+, 6= m 0 ise m kaçtır ( 8 5 ). a= ise a + a (). : :... = 8 0 0... eşitliğini sağlayan değeri nedir (). 99.0+.6+ (75) 5. + : + 8 7 8 () 6. > 0 ve = olduğuna göre ( ) + a+ b 7. a, b R
Çoğul-Değerli Fonksiyonların Almost D-Süreklilikleri Üzerine
C.Ü. en-edebiat akültesi en Bilimleri Dergisi (23)Cilt 24 Saı Çğul-Değerli nksinların Almst D-Süreklilikleri Üzerine Metin AKDAĞ ve Savaş TEMİZİŞLER Cumhuriet Üniversitesi en Edebiat akültesi Matematik
TEST 1. ABCD bir dörtgen AF = FB DE = EC AD = BC D E C. ABC bir üçgen. m(abc) = 20. m(bcd) = 10. m(acd) = 50. m(afe) = 80.
11 ÖLÜM SİZİN İÇİN SÇTİLR LRİMİZ 1 80 0 bir dörtgen = = = m() = 80 m() = 0 Verilenlere göre, açısının ölçüsü kaç derecedir? 0 10 0 bir üçgen m() = 0 m() = 10 m() = 0 Yukarıda verilenlere göre, oranı kaçtır?
Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 :
FONKSİYONLR FONKSİYONUN EKSENLERİ KESİM NOKTLRI =f() fonksio - nunun ekseninin kestiği noktaların m apsisleri b, c, e dir. u noktalar a b f()= denkleminin kökleridir n =f() in p eksenini kestiği nokta
1977 ÜSS. 2 y ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? 1 x. 2 y. 1 y. 1 y. 1 x. 2 x. 2 x. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y 2 C) 4 E)
77 ÜSS. ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?. C) 4 E). Şekilde a+b+c+d açılarının toplamı kaç dik açıdır? (açılar pozitif önlüdür.) 4 C) 6 7 E) 8 Verilen şekilde açıların ölçüleri verilmiştir. En
Şekil 1: Direnç-bobin seri devresi. gerilim düşümü ile akımdan 90 o ileri fazlı olan bobin uçlarındaki U L gerilim düşümüdür.
1 TEME DEVEEİN KAMAŞIK SAYIAA ÇÖÜMÜ 1. Direnç Bbin Seri Devresi: (- Seri Devresi Direnç ve bbinin seri bağlı lduğu Şekil 1 deki devreyi alalım. Burada devre gerilimi birbirine dik lan iki bileşene ayrılabilir.