JEOTERMAL REZERVUARLARIN MODELLENMESİ VE PERFORMANS TAHMİNLERİNDEKİ BELİRSİZLİĞİN DEĞERLENDİRİLMESİ

Transkript

1 _ 209 JEOTERMAL REZERVUARLARIN MODELLENMESİ VE PERFORMANS TAHMİNLERİNDEKİ BELİRSİZLİĞİN DEĞERLENDİRİLMESİ Mustafa ONUR Hülya SARAK Abduahman SATMAN ÖZET Jeotemal ezevualaın üetim potansiyeli ve südüülebililiğinin tahmin edilmesi ancak eotemal ezevua içeisinde akışkan ve ısı akışını geçekçi bi şekilde yansıtabilecek modelle yadımıyla yapılabilmektedi. Bu modelle, kamaşık yealtı sisteminden statik (eoloi, eofizik, kaot, kuyu loglaı, akışkan öneklei) ve dinamik (üetim debilei, ezevua basınç ve sıcaklık, kaasız kuyu basınç testi ve izleyici testi) ölçümleden elde edilen bilgilein bileştiilmesinden oluştuulu. Bu modelle, basit tank modellei olabileceği gibi üç boyutlu modelle olabilmektedi. İste tank modeli iste üç boyutlu modelle olsun, bütün modellede kullanılan otak öğele, temel kütle ve enei kounumu yasalaından tüetilmiş denklemledi. Bu modelle yadımıyla, gelecekte saha işletiliken göz önünde bulunduulması tasalanan çeşitli üetim/eeneksiyon debi senayolaına bağlı olaak, sistem içesindeki yeel basınç/sıcaklık dağılımlaı ile sistemin otalama basınç/ sıcaklıklaının tahmin edilmesi ve bu kaa değişkenleinin zamansal değişimine bakaak sistemin gelecekte ne ölçüde südüülebileceği hakkında bilgilee ulaşılması mümkün olmaktadı. Jeotemal sistemlein pefomanslaının tahmini temel olaak üç aşamalı bi işlemi geektii: (i) Modellein oluştuulmasında kullanılacak saha içeisinde yeteli sayıda, güvenili statik ve dinamik veilei süekli toplamak, (ii) Bu veilele olası modeli (veya modellei) kalibe ( histoy matching ) edeek güncellemek, (iii) Kalibe edilmiş ve güncellenmiş model(veya modellele) ile çeşitli üetim/eneksiyon senayolaı altında sistemin pefomansını südüülebililik açısından değelendimek ve geleceğe yönelik en uygun işletme stateileini saha için belilemek. Bu aşamalaın hepsi kendi içinde çok önemli ve bibiine bağlı olmakla bilikte, nihai amaç, sistemin geleceğe yönelik pefomansını ölçüm ve modelledeki belisizliği de göz önünde bulunduaak tahmin etmekti. Ölçümlede ve modellede kaçınılmaz olaak belili ölçüde belisizlikle söz konusu olacağından, üçüncü aşamada bu ölçüm veileine kalibe edilmiş modellele yapılacak pefomans tahminlei üzeinde bu belisizliklein yansıyacağı kesindi. Bu çalışmada, pefomans tahminleine bu belisizliklein nasıl yansıyacağı ve pefomanstaki belisizliklein nasıl değelendiileceği üzeinde duulacaktı. Basitliği nedeniyle, faklı tank modellei kullanılaak, sanal bi önek üzeinde kalibe edilmiş modellele pefomans tahminlei üzeindeki belisizliklein istatistiksel yöntemlele nasıl belilenmesi geektiği konulaına ye veilmişti. 1. GİRİŞ Daha öncede değinildiği gibi, eotemal eneiyi içeen sıcak su kayaç sisteminin üetim potansiyeli ve südüülebililiğinin tahmin edilmesi ancak eotemal ezevua içesinde akışkan ve ısı akışını geçekçi bi şekilde yansıtabilecek modelle yadımıyla yapılabilmektedi.

2 _ 210 Pefomans tahminleinde kullanılacak modelle, basit tank ( lumped paamete ) modellei olabileceği gibi bi, iki ve üç boyutlu sayısal modelle olabilmektedi [1 4]. Bu modellee ait detaylı bilgile Kaynakla [1 ve 4] de veilmektedi. Bütün modellede kullanılan otak öğele, temel kütle ve enei kounumu yasalaından tüetilmiş denklemledi. Bu modelle eldeki statik ve dinamik veile kullanılaak kalibe edildikten sona, gelecekte (öneğin önümüzdeki 10, 20 veya 25 yıl süesince) saha işletiliken göz önünde bulunduulması tasalanan çeşitli üetim/eeneksiyon debi senayolaına bağlı olaak, sistem içesindeki otalama ve/veya yeel basınç/sıcaklık dağılımlaı ile sistemin otalama basınç/sıcaklıklaının tahmin edilmesinde kullanılı. Genelde kaa değişkenlei olaak isimlendiilen model basınç ve sıcaklık dağılımlaının zamansal değişimine bakılaak sistemin gelecekte ne ölçüde südüülebileceği hakkında bilgilee ulaşılması mümkün olmaktadı. Modellein oluştuulması ve işletilmesi için geekli olacak veiledi. Genelde bu modellein oluştuulmasında başvuulan üç faklı vei kaynağı vadı. Bunla eoloik, eofizik ve kuyu testi veileidi. Jeoloik veile, sistem için kavamsal bi eoloi modelinin oluştuulması, eokimya analizlei, fasiyes ve tabaka yapılaının belilenmesi, sistem içesindeki faylaın ye, doğultu ve eğimleinin belilenmesi ve beslenme bölgeleinin ve sını koşullaının tespit edilmesi için geeklidi. Jeofizik veile ise, sistemin ısı akısının, ezistif sınılaının ve sıcaklık anomalileinin alan ve deinlik boyutunda belilenmesi için geeklidi. Sismik kullanıldığında, sistem içesindeki yapısal eoloik özelliklein, faylaın belilenmesi mümkün olabilmektedi. Genelde, eoloik ve eofizik veile sistemin statik (duağan) duumunu tanımlayan paametelein belilenmesinde kullanılı. Buna kaşın kuyu testlei (üetim debisi, basınç ve izleyici testlei), sistemin dinamik ve yeinde koşullaında kuyu ve ezevua pefomansının etkileyen mühendislik paameteleinin (geçigenlik, za faktöü, gözeneklilik, akış kaakteistiklei vb) değeleinin belilemesine olanak tanı. Jeotemal sistemlein kuyu basınç testlei veileinden tanımlanması Kaynak [5] de ayıntılı olaak bulunabili. Sahanın potansiyel ve pefomans tahmini için seçilecek model, Kaynakla [1 5] de belitildiği gibi elde ki veilein niteliğine ve nicelliğine bağlıdı. Eğe yeteli miktada eoloi, eofizik ve üetim pefomansına yönelik vei (kuyulaın üetim, basınç ve sıcaklık veilei) vasa, bu duumda başvuulacak en uygun model üç boyutlu sayısal modelle olacaktı. Ancak, elde yeteli vei bulunmayan, yeni bulunan eotemal sahala ile yeteli ve güvenili miktada üetim geçmişi veisi toplanmamış eotemal sahalada, basitliği ve bi, iki veya üç boyutlu modellee göe daha az sayıda vei geektidiği için tank ( lumped paamete ) modellei pefomans tahminlei yapmak için tecih edilmektedi [2 4]. Göz önünde bulunduulan model ne olusa olsun, pefomans tahmininde ilk aşama, modelin ilgili çıktılaının, sahadaki üetim/eeneksiyon faaliyetine bağlı olaak kuyulada ölçülmüş veya gözlemlenmiş basınç (veya seviye değişimi), sıcaklık, izleyici madde, entalpi zaman gibi dinamik veilee çakışacak şekilde bilinmeyen model paamete değeleinin belilenmesi (veya kalibe edilmesi) işlemidi. Bu işlem, geçmiş veilee çakıştıma ( histoy matching ) olaak da bilini. Kalibasyon işlemi, sahadan ek dinamik vei elde edildikçe südüülü. Faklı üetim ve eeneksiyon senayolaı altında, eldeki dinamik veilee kalibe edilmiş (koşullandıılmış) model kullanılaak sistem içesindeki yeel basınç/sıcaklık dağılımlaı ile sistemin otalama basınç/sıcaklıklaının tahmin edilmesi ve bu kaa değişkenleinin zamansal değişimine bakaak sistemin gelecekte ne ölçüde ve nasıl südüülebileceği hakkında bilgilee ulaşılması mümkün olmaktadı. Kısaca, bu bilgilee bağlı olaak, saha için uygun işletme stateileinin belilenebilmesi mümkün olu. Bu işlem, tahmin ( pediction ) poblemi olaak isimlendiili. Yukaıda belitilen geçmiş dinamik veilee çakıştıma işlemi pek çok disiplinde tes poblem ( Invese Poblem ) uygulaması olaak bilini. Tes poblem uygulamalaından elde edilen sonuçla genelde tekil değildi (yani biden fazla olası çözüm vadı). Bunun da döt temel nedeni vadı: (i) Bilinmeyen geçek eotemal sistemi temsil etmek için kullanılan idealleştiilmiş matematiksel modeldeki belisizlik (geçek sistemden ölçülmüş dinamik veilei aynı oanda sağlayacak biden fazla model olabili) (ii) Model kalibasyonu için kullanılan dinamik ölçüm veileinde ölçüm, okuma hatalaı veya daha genel bi ifade ile güültüden ( noise ) kaynaklanan belisizlik, (iii) Dinamik veile ile model paametelei aasındaki ilişkinin doğusal olmayışı ve dolayısıyla model doğu olsa bile biden fazla bilinmeyen model paamete setinin ölçüm veileini sağlayabiliyo olması, (iv) Bazı model paametelein, belili

3 _ 211 zaman dönemleinde sistem çıktısı üzeinde etkisinin veya duyalılığının olmayışı. Öneğin, beslenme sistemlede, eken dönemdeki ezevuaın basınç davanışı ezevuaı besleyen sistemin (akifein) paameteleinden bağımsızdı. Dolayısıyla, bu dönemdeki ezevua basıncı davanışından beslenme paameteleine ait değelei belilemek olası değildi. Pefomans tahminlei, kalibe edilmiş modelle kullanılaak yapıldığından ve bu işlemde de yukaıda belitildiği gibi belisizlik olacağından, kalibe edilmiş modellele yapılacak pefomans tahminlei üzeine bu belisizliklein bi şekilde yansıyacağı kesindi. Dolayısıyla, pefomans tahminleine bu belisizliklein nasıl yansıyacağı ve pefomanstaki belisizliklein nasıl değelendiileceği, eotemal sistemlein işletilmesine yönelik kaalaının alınmasında ayı bi önem taşımaktadı. Bildiinin temel amacı bu konulada bilgi sunmaktı. Bildii 5 bölüm halinde düzenlenmiş olup 2. Bölüm de geçmiş veilee çakıştıma ( histoy matching ) poblemi, Bölüm 3 de tahmin ( pediction ) poblemi ve geçmiş veilee çakıştıma poblemi ile ilişkisi hakkında bilgile veilecekti. Bölüm 5 de çalışmada öneilen metodoloinin sanal bi önek üzeinde tank modellei kullanılaak uygulaması sunulmaktadı. Bölüm 5 de çalışmadan çıkaılan sonuçla özetlenmektedi. 2. GEÇMİŞ VERİLERE ÇAKIŞTIRMA ( HISTORY MATCHING ) PROBLEMİ Son yıllada, bilgisaya teknoloindeki gelişmelee paalel olaak, geçmiş veilee çakıştıma poblemi, bilgisaya destekli doğusal olmayan eği çakıştıma yöntemlei ile çok kısa süele içesinde ve etkin bi şekilde yapılabilmektedi. Bunun da temel nedeni, bu yöntemlele model ve ölçüm veileindeki hatalaın (belisizliklein) hesaba katılması, elde edilen model çıktısı ile sistem çıktısı aasındaki çakışmanın ve elde edilen model paametelein istatistiksel yöntemlele niceliksel değelendimesi mümkün olmaktadı. Bu avantalaı nedeniyle, bilgisaya destekli doğusal olmayan eği çakıştıma yöntemlei, dinamik veilee çakıştıma işlemi ile model paameteleinin belilenmesinde kullanılan, temel bi aaç haline gelmişti. Doğusal olmayan paamete tahmin yöntemleinde, geçmiş dinamik veilee çakıştıma işlemi doğusal olmayan optimizasyon poblemi olaak fomüle edili ve genelde çakıştıma ağılıklı en küçük kaele yöntemi ile yapılı. Ağılıklı en küçük kaele yönteminde bilinmeyen model paamete vektöü χ e göe minimize edilecek hedef fonksiyonu aşağıdaki denklem ile tanımlanabili: J M n ( χ ) = w [ ( ) ( )] 2, i f t i, χ y t i = 1 i = 1 (biimsiz) (1) Denklem 1 de M, toplam model fonksiyonu (f) sayısını, (t, i y (t )) i i=1,,n, model fonksiyonu f (=1,,M) için yapılmış n gözlemden oluşan vei setini temsil etmektedi. χ, göz önünde bulunduulan modeldeki bilinmeyen model paameteleini içeen l boyutlu bilinmeyen model paamete vektöüdü. Denklem 1 de w,i, he ölçüm veisi için pozitif ağılıklaı temsil ede. Bu ağılıkla, hehangi bi zaman değei t de i ölçülen y için ölçüm hatalaının vasyansının (saçılım değeinin) tesini temsil ede. Eğe veilen bi ölçüm için ağılık sıfıa yakın (veya başka deyişle ölçüm noktası için vayans, belisizlik, büyük) ise, o ölçüm veisi güvenili değildi ve çakıştımada o vei noktasına daha az ağılık atanması mümkün olu. Bildiide veilecek uygulamalada, y le ezevua basıncı ölçümleini temsil ede. Ancak, Denklem 1 ile tanımlanan hedef fonksiyon, biden fazla ve faklı vei setini (öneğin izotemal olmayan ve boyulu modellede, faklı kuyulada ölçülmüş sıcaklık, basınç, izleyici madde konsantasyonlaını) aynı anda çakıştımak için kullanılacak kada da geneldi

4 _ 212 Denklem 1 in minimizasyonu, faklı yöntemlele yapılabilmektedi [6,7]. Yaygın olaak kullanılanı gadyent temelli Levenbeg Maquadt yöntemidi. Bu yöntemde yineleme işlemi ve yakınsama kıstaslaı kullanılaak, ölçüm veileine en iyi çakışma sağlanaak, en iyi ( optimum ) model paamete vektöü χ tahmin edilmektedi [6,7]. Paamete tahmininde Denklem 1 i sağladığı en önemli avantaladan bii, paamete tahmin poblemini istatistiksel bi çeçeve içinde göz önünde bulundumamıza olanak sağlamasıdı. Öneğin, ölçüm veilei üzeindeki ölçüm hatalaından dolayı olan belisizlik, ölçüm hatalaı asgele değişkenle, genelde otalaması sıfı ve belili bi saçılıma sahip nomal (Gauss), olaak modelleni. Bu sayede, elde edilen çakışmanın istatistiksel değelendiilmesi ve elde edilen paametelein güvenililiği ve ölçülmüş veilee duyalılığı belilenebilmektedi İstatistiksel RMS Değei Optimizasyon sonucunda, model fonksiyon veisi f ile gözlem (ölçüm) veisi y aasında elde edilen çakışmanın deecesi niceliksel değelendiilmesi RMS ( oot mean squae eo ) değei hesaplanaak yapılı. RMS değei, gözlemlenen ile modelden elde edilen veilein faklaının kaeleinin toplamının vei noktasına bölümünün kaeköküdü: RMS = n i = 1 f ti y t i ( ) ( ) 2, χ n (2) Denklem 2 den de anlaşılacağı gibi, RMS in biimi ölçüm veisi y nin biimine sahipti. Öneğin çakıştımada, y ezevua basıncı ölçümleini temsil ediyosa, RMS in biimi basınç biimi (psi, ba, vs.) di. Eğe çakıştımada y, ezevua kuyu sıcaklık ölçümleini temsil ediyosa, RMS in biimi sıcaklık biimi ( o C, o F, vs) di. RMS değei, optimizasyon sonucunda elde edilen en iyi model paamete vektöü de hesaplanı. χ Eğe çakıştımada kullanılan model, geçek bilinmeyen sistem için doğu model ise, RMS değei, ölçüm vei seti y nin (=1,,M) ölçüm hatasının standat sapmasına iyi bi yaklaşımı temsil ede. Genelde, RMS değei küçüldükçe model ile saha veisi daha iyi çakışma gösteiken, RMS değei büyüdükçe daha kötü bi çakışma göstemektedi. Bu nedenle, RMS değei, saha veileini temsil edecek uygun modellein belilenmesinde de bi kıstas olaak da kullanılabilmektedi. Öneğin, Denklem 1 i aynı saha ölçüm veileini faklı modellei kullanaak çakıştııp, he model çakışması için hesaplanan RMS değeleini kıyaslayıp, en küçük RMS değeini veen modeli, göz önünde bulunduulan bilinmeyen sistem için en uygun model olaak seçmek mümkündü. Kaynak [3] de vugulandığı ve bu bildiide sanal önek uygulamasıyla gösteildiği gibi, sadece RMS değeine bakaak sistem için en uygun modeli belilemek yeteli değildi. RMS değeinin yanında, çakıştıma sonucunda model paametelei için elde edilen %95 güvenililik aalıklaını ( 95% confidence intevals ) da incelemek geekmektedi Tahmin Edilen Model Paameteleine ait %95 Güvenililik Aalıklaı Çakıştıma sonucunda bilinmeyen model paameteleine ait %95 güvenililik aalıklaı aşağıdaki denklem yadımıyla hesaplanı [8]: 2 s ( ) ) χ G WG χ χ + 2 s ( G WG ) (3) 1 1 i T i i T χ χ χ χ ii ii

5 _ 213 Buada s s = J ( χ ) N l (4) denkleminden hesaplanı. Denklem 3 de G, en iyi model paamete vektöünde hesaplanmış duyalılık katsayısı matisini ( sensitivity matix ) temsil ede ve bu matisin boyutu Nxl di ve elemanlaı model fonksiyonu f nin he bi model paametesine göe tüevini içei. Gadyent bazlı optimizasyon yöntemleinin (Levenbeg Maquadt gibi) yineleme algoitmalaında G matisi doğal olaak geeklidi ve algoitmanın bi paçası olaak oluştuulu. Dolayısıyla, Denklem 1 in minimizasyonunda gadyent bazlı optimizasyon algoitmalaı kullanıldığında, en sonuncu yineleme adımında tahmin edilen en iyi model paamete değeinde hesaplanmış G matisi Denklem 3 de kullanılaak güvenililik aalığı doğudan hesaplanı. W, he elemanı Denklem 1 de veilen ağılıklaı (w i lei) içeen NxN boyutlu ağılık matisini (veya ölçüm hatalaının vayansını ihtiva eden hata kovayans matisinin tesini) temsil ede. N, çakıştımada kullanılan toplam ölçüm veisi sayısını M N = n = 1 (5) ) temsil ede. Denklem 3 de χ i, i.nci model paametesinin bilinmeyen doğu değeini, χ ölçüm veileine çakıştıma sonucunda optimizasyondan i.nci model paametesi için elde edilen en iyi değei temsil etmektedi. Denklem 3 den hesaplanan %95 güvenililik aalıklaı, doğu değei bilinmeyen model paametesi χ i nin %95 olasılıkla hangi aalık aasında olacağını göstemektedi. Güvenililik aalıklaı, çakıştımada kullanılan ölçülmüş veile üzeindeki ölçüm hatalaının, ölçüm veileinin model paametesi χ i e göstediği duyalılığın ve model paametelei aasındaki koelasyonun kamaşık bi fonksiyonudu. Öneğin ölçülmüş veilei üzeinde ölçüm hatalaı büyükse (yani ölçüm hatalaının vayansı büyük ise) ki bu bi anlamda RMS değei (Denklem 2 ve Denklem 4) ile de doğudan ilişkilidi, model paametesi χ için geniş güvenililik aalıklaı elde edilmesine neden olu. Geniş güvenililik i aalıklaı, ölçüm veileinin model paametesi χ i e duyalılığının az veya olmadığı duumda da elde edili. Geniş güvenililik aalıklaı, söz konusu model paametesinin değeinde belisizliğin fazla olduğu veya bi başka deyişle bu model paametesinin güvenili olaak tahmin edilmediği anlamına geli. Bu noktada akla gelecek sou, çakıştıma işlemi sonucunda tahmin edilen paametenin güvenili olaak tahmin edilip edilmediğine sayısal olaak nasıl kaa veileceğidi? Liteatüde bu souya standat hale gelmiş kesin cevap bulunmamaktadı. Kaynak [3] de veilen çalışmamızda, tank modelleiyle yapılan uygulamala sonucunda ulaşılan sonuç şudu: Eğe Denklem 3 den hesaplanan ± güvenililik aalığı değei, söz konusu model paametesi χ i için en iyi değe olaak tahmin edilen değeinin %95 inden küçük ise, model paametesi güvenili olaak tahmin edilmişti denilebili. Çakıştımada biden fazla model denendiğinde ve ölçüm veileine çakıştıma ile geçek bilinmeyen sistem için en uygun model seçiminde, hem RMS değeine hem de paametele için hesaplanmış %95 güvenililik aalıklaı değeleine bakılmalıdı [3]. Yukaıda değinildiği gibi, sadece RMS ya da güvenililik aalığı değeleini inceleyeek uygun modelin seçilmesi yanıltıcı olabilmektedi. Model ile ölçüm veisi aasındaki sapmayı ölçtüğü için, belki doğal olaak, RMS değei en küçük olan modelin sistemi en iyi temsil model olduğunu iddia edebiliiz. Ancak, geçek sistemi doğu temsil etmediği halde paamete sayısını atıaak (yani fazla paametesi olan modelle kullanaak) RMS değeini küçültebileceğimizden, uygun modelin seçiminde RMS değeinin yanında, modeldeki paametele için hesaplanmış %95 güvenililik aalıklaını da incelemek geeki. Dolayısıyla, tüm model paametelei için hesaplanmış kabul edilebili en küçük güvenililik aalıklaına ve RMS değeine sahip model, sistem için en uygun model olaak seçilmelidi. χ

6 _ GELECEĞE YÖNELİK PERFORMANS TAHMİN ( PREDICTION ) PROBLEMİ Geleceğe yönelik pefomans tahmin poblemi, geçmiş veilee çakıştıma poblemine doğudan bağlıdı ve ölçüm veileinde ve tahmin için kullanılacak modelde belisizliğin söz konusu olduğu duumlada çözümü zo bi poblem olaak kaşımıza çıkmaktadı. Ancak, stokastik veya olasılık metotlaı kullanılaak, tahmin poblemine geçekçi çözümle elde edilebilmektedi. Stokastik yöntemle pefomans tahmin poblemine entege edildiğinde, veilen bi üetim/eeneksiyon senayosu altında, eotemal sistemin gelecek pefomansındaki belisizliği tanımlamak ve değelendimek mümkün olabilmektedi. Tahmin poblemini stokastik metotlala çözümleken, ezevua modeli, ezevua model paametelei, ölçüm vei ve hatalaı olasılık yoğunluk fonksiyonlaı cinsinden ifade edili. Bu sayede, tüm dinamik ölçüm veileine çakıştıılmış, ölçüm veileindeki ve modeldeki belisizliği de hesaba katan otak olasılık yoğunluk ( oint pobability density function ) fonksiyonun öneklenmesiyle pefomanstaki belisizlik tespit edilebili [8]. Doğusal en küçük kaele teoisinden bilindiği gibi [8], Denklem 1 kullanılaak t n zamanına kada ölçülmüş veilee çakıştıılmış bi model değişkeni y nin (bizim duumumuzda, basınç, sıcaklık, izleyici konsantasyonu, vb), gelecekte veilen bi zaman değei t k da (buada t k > t n olacak şekilde bi zaman değeidi) tahmin edilecek değeinin standat sapması (veya belisizliği) aşağıdaki denklem yadımıyla hesaplanabilmektedi: 1/ 2 1 T T y ( ) 1, k g, k G WG g, k σ = + σ (6) Buada g, i is tahmin edilen değişke y nin t i zamanında, geçmiş veilee çakıştıma işlemi sonucunda belilenmiş en iyi model paamete vektöü χ değeinde hesaplanmış duyalılık vektöüdü. G ise ti zamanı için χ değeinde hesaplanmış duyalılık katsayısı matisidi. T, matis tanspoze, 1 ise matis tesi işlemleini temsil etmektedi. Denklem 6 da, σ ise, geçmiş veilee çakıştıma işlemi sonunda ölçüm veilei ile model veisi aasındaki standat sapmayı temsil ede ve aşağıdaki denklemden hesaplanı. σ = n i = 1 f ti y t i ( ) ( ) 2, χ n l (7) Denklem 2 ve 7 den dikkat edilecek olusa, RMS ile çakışmanın standat sapması doğudan bi ilişki vadı ve n >> l ise, σ değei RMS değeine eşit olu. σ aasında Denklem 6 dan, tahmin poblemine ait bazı önemli özelliklei belileyebiliiz: (i) Geçekçi bi duuma kaşılık gelmese de buada belitmekte fayda vadı. Eğe ölçüm ile model veilei aasında mükemmel bi çakışma söz konusu ise (yani σ = 0 ), bu duumda tahmin edilecek değişkenin standat sapması sıfı olacaktı. Bu duumda, tahminde belisizlik olmayacaktı. Bu doğal bi sonuçtu. Çünkü σ = 0 duumu, sistemden ölçümlein mutlak doğulukla yapıldığını kabul ede, (ii) Daha geçekçi bi duum olan σ 0 ise, tahmin edilecek değişkenin t k zaman değeindeki standat sapmasının 1/ 2 1 T T g, ( G WG ) g + 1 teimi ile çakışmanın standat sapması σ nın bi fonksiyonu olacağıdı. k, k Denklem 6 da σ, geçmiş veilee çakıştıma döneminden hesaplanacağı için (Denklem 7) tahmin

7 _ 215 1/ 2 1 T T döneminde değei değişmeyecekti. g, ( G WG ) g + 1 teiminin değei ise daha çok model k, k paameteleinin güvenililik aalıklaı (veya belisizliği) ve duyalılığı ile değişecekti. Genelde, model 1/ 2 1 T T paamete sayısı atıkça, g, ( G WG ) g + 1 teimi değeinin atmasını, buna kaşın σ değeinin k, k azalmasını bekleiz. Ancak, tahmin standat sapmasının davanışı tahmin edilecek zaman değeine, model paamete sayısına, paametele aası ilişkiye, ölçüm hatalaının standat sapmasına bağlı olaak değişi ve tahmini Yukaıda veilen bilgileden, şu sonuçlaı çıkaabiliiz: (i) Tahminledeki belisizliğin doğu olaak tahmin edilmesi için eotemal sistemi temsil edecek en uygun modelin seçilmesi önemli olmaktadı, (ii) Ayıca, tahmin için seçilen model doğu olsa bile, yapacağımız tahminlede daima belili oanda belisizlik olacağı aşikâdı. Model doğu olsa bile, göz önünde bulunduulan bi üetim senayosu için tahminledeki belisizliğin belilenebilmesi ancak biden fazla geçekleme yapaak ve yapılan geçeklemelein veilen t k değeinde istatistiksel analizi (tahmin edilen değişkeninin histogam analizi, standat sapma, otalama değeleinin hesaplanması) ile mümkün olabilmektedi. Geçmiş veilee çakıştıma ve tahmin pobleminin doğusal olduğu duumda, işimiz kolay olmaktadı. Bu duumda Denklem 7 den tahmin edilen değişkenin standat sapmasından tahminin güvenililik aalığını kolayca oluştuabiliiz. Ancak, eotemal sistemi için kullanılan tank veya boyutlu modelleinde olduğu gibi, model paametelei ile model çıktısı (öneğin ezevua basıncı) aasındaki ilişkilein doğusal olmadığı duumlada, tahminledeki belisizliği değelendimek için daha faklı yöntemlee başvumak geeklidi. Bu yöntemleden yaygın olaak kullanılanından bii asgele maksimum olasılık ( andomized maximum likelihood ) yöntemidi [9]. Bu yöntemde, önce ölçülmüş (faz edelim basınç olsun) veileinin standat sapması bilinen ve otalaması sıfı olan bi nomal dağılımdan geldiği kabul edileek, ölçülmüş veilein belili sayıda (genelde en az 50 adet) geçeklemesi tüetili. Tüetilen he bi ölçüm veisi geçeklemesi için Denklem 1 ile çakıştıma yapılaak, söz konusu ölçüm veisi geçeklemesini sağlayan en iyi model paamete vektöü χ hesaplanı. Sonuçta, bu işlem toplam ölçüm veisi geçekleme sayısı kada tekalanı ve toplam ölçüm veisi geçekleme sayısı kada en iyi model paamete vektöü belileni. Daha sona, çakıştıma ile belilenmiş he bi en iyi model paamete vektöü modelde kullanılaak, göz önünde bulunduulan gelecek üetim/eeneksiyon debi senayosu için model çıktısı (ezevua basıncı) belili bi zaman dönemi için tahmin edili. Bu tahmin bi geçekleme olaak da isimlendiili. Bu tahmin işlemi çakışmadan belilenmiş tüm en iyi model paamete vektölei için tekalanaak, belili sayıda tahmin geçeklemesi yapılı. Elde edilen tahmin geçeklemelei istatistiksel analiz ile değelendiileek, tahminledeki belisizlik tespit edili. İzleyen bölümde, sanal bi önek uygulama ile buada veilen metodoloinin uygulaması sunulmaktadı. 4. ÖRNEK UYGULAMA Bu bölümde, Kaynakla [2 4] detaylı olaak açıklanan tank modellei kullanılaak, sanal bi önek üzeinde hem ölçülmüş saha veisini en iyi temsil edecek modelin hem de kalibe edilmiş modellele pefomans tahminlei üzeindeki belisizliklein, Bölüm 2 ve 3 de detaylaı veilen istatistiksel yöntemlele, nasıl belileneceği gösteilmektedi.

8 _ 216 Bu önek uygulamada eotemal sistem için seçilen doğu model 2 tank açık modeldi. Bu modele ait şematik gösteim Şekil 1 de sunulmuştu. Beslenme Kaynağı, w a p i α a Akife p a, κ a Rezevuaın Beslenmesi, w α Rezevua p, κ w ü Şekil 1. 2 tank açık eotemal ezevua modeli [3,4]. Şekil 2 de gösteilen 20 yıllık net üetim debisi için yine Şekil 2 de gösteilen 20 yıllık ezevua basınç veisi 2 tank açık modeli kullanılaak tüetilmişti. Geçek saha veisine benzeştimek için, bu modelden tüetilen doğu ezevua basıncına 0 otalamalı ve 0.7 ba standat sapmalı nomal dağılımdan çekilen asgele hatala eklenmişti. Basınç veileindeki ±0.7 ba standat sapma (veya ölçüm hatası), yaklaşık olaak ±0.7 m kuyu içi sıvı seviye ölçümleindeki hataya kaşılık gelmektedi. Geçek saha uygulamalaında, aynı deinlikte biden fazla basınç ölçelele basınç veilei ölçülmüyosa, saha basınç veisinin ancak bi geçeklemesi elde edilebili. Ölçülmüş basınç veisi üzeindeki ölçüm hatalaı biliniyosa veya bazı yöntemlele (öneğin, düzgünleştiilmiş spline gibi yöntemlele veya model ile çakıştımadan) kestiilebiliyosa, Bölüm 3 de bahsedilen asgele maksimum olasılık yönteminde kullanılmak üzee basınç veisinin aynı oanda ölçüm hatası içeen faklı tohum sayısı kullanılaak istenen sayıda geçeklemesi asgele sayı üeten algoitmalala oluştuulabili. Buada göz önünde bulunduulan sanal önek için 0 otalamalı ve 0.7 ba standat sapmalı 50 faklı tohum ( seed ) için çekilen asgele hatala, 2 tank açık modelinden tüetilen hatasız ( doğu ) basınç veileine ekleneek, 0 otalamalı ve 0.7 ba standat sapmalı hata içeen 50 adet 20 yıllık basınç geçeklemesi oluştuulmuştu. Bu şekilde oluştuulmuş geçeklemeleden bii Şekil 2 de gösteilmektedi. Geçek saha uygulamalaında, dinamik basınç davanışını temsil eden doğu (bu önek uygulamada 2 tank açık) ezevua modelini önceden bilemeyeceğimiz için, bu önek uygulamada da aynen saha uygulamalaında yapacağımız gibi, yani uygun modeli de belilemek için, ezevua basınç veileinin Denklem 1 kullanılaak çakıştımasında üç faklı tank modeli göz önünde bulunduulmuştu. Geçmiş veilee çakıştımada göz önünden bulunduulan, tank modellei; 2 tank kapalı, 2 tank açık ve 3 tank kapalı modelledi [2 4]. Bu modelleden 2 tank kapalı modeli, 3 paameteli bi modeldi. Bu modelin Şekil 2 de gösteilen 2 tank açık modelinden tek fakı, Şekil 2 de gösteilen akife tankına beslenmenin olmayışıdı. Şekil 2 deki 2 tank açık modelinde, akife ayıca beslenme kaynağına bağlıdı. Bu nedenle, 2 tank açık modeli 4 paameteli bi modeldi ve 2 tank kapalı modelindeki aynı 3 (κ, α, κ a ) paameteye ek olaak dödüncü paamete olan akife beslenme indeksi α a yı içei. Göz önünde bulunduulan 3 tank kapalı model ise, Şekil 3 de gösteildiği gibi, iki akife tankı ve bi ezevua tankı olmak üzee toplam 3 tanktan oluşmaktadı ve toplam 5 paameteli (κ, α, κ a1, α a1, κ a2 ) bi modeldi.

9 _ 217 Şekil 2. Sanal uygulama için 20 yıllık üetim ve hata içemeyen ve hata içeen basınç veilei. w ü Akife II p a2, κ a2 Akife I p a1, κ a1 Rez. p, κ Akifein Rezevuaın Beslenmesi, Beslenmesi, w a1, α a1 w, α Şekil 3. 3 tank kapalı eotemal ezevua modeli [3,4]. Oluştuulan 50 adet 0 otalamalı ve 0.7 ba standat sapmalı hatala içeen ezevua basınç veisi geçeklemelei için he bi model göz önünde bulunduulaak Denklem 1 yadımıyla geçmiş veilee çakıştıma işlemi geçekleştiilmişti. Bu çakıştıma işlemi sonucunda he üç model için, 50 geçeklemenin aitmetik otalaması alınaak hesaplanmış model paamete değelei, paametele ait güvenililik aalıklaı ve RMS değelei Tablo 1 de özetlenmişti. 2 tank açık modelinden Şekil 2 deki hatasız basınç veileini tüetmek için kullanılan doğu model paamete değelei; κ =8.5x10 7 kg/ba, α = 30.0 kg/ba s, κ a1 = 1.0x10 10 kg/ba, α a1 = 35 kg/ba s.

10 _ 218 Tablo 1 den göüldüğü gibi, 50 adet hatalı basınç zaman veisi geçekleşmeleinin Denklem 1 ile çakıştımasından elde edilen otalama en iyi model paamete değeleinin, he üç modelde otak olanlaı için (κ, α, κ a1, α a1 ), bibiine oldukça yakın olaak tahmin edildiği gözükmektedi. Ayıca, tahmin edilen model paamete değeleinin 2 tank açık modeli doğu paameteleine oldukça yakın olduğu da gözlemlenmektedi. Tablo adet basınç geçeklemesinden tahmin edilen otalama paamete değelei. Model Tank Modeli Paametelei 2 tank kapalı 2 tank açık 3 tank kapalı κ (kg/ba) α (kg/ba s) κ a1 (kg/ba) 9.46x10 7 (±1.21x10 7 ) (±1.00) 2.5x10 10 (±2.5x10 9 ) α a1 (kg/ba s) 8.85x10 7 (±1.28x10 7 ) (±1.77) 1.05x10 10 (±2.63x10 9 ) (±4.83) κ a2 (kg/ba) 8.76x10 7 (±1.31x10 7 ) (±2.15) 1.08x10 10 (±5.83x10 9 ) (±35.67) 4.23 x10 13 (±1.80x10 17 ) RMS (ba) Saha veileine en iyi temsil eden modelin seçiminde, Bölüm 2 de öneilen metodoloiyi kullanabiliiz. Hatılanacağı gibi, bu metodoloiye göe, hem model paametelei için hesaplanmış kabul edilebili en küçük güvenililik aalıklaını hem de RMS değeini veen model, sistem için en uygun model olaak seçili. Hatılanacağı gibi kabul edili güvenililik aalığı veilen bi model paametesi için çakıştımadan tahmin edilen en iyi değein %95 inden daha küçük olan bi değe güvenililik aalığı olaak hesaplanmışsa, o paamete kabul edilebili güvenililik aalığına sahipti denili. Tablo 1 de he üç model için tahmin edilen RMS ve model paameteleine ait %95 güvenililik aalıklaı, bu metodoloi kapsamında değelendiildiğine, üç model aasında en az paameteli olan 2 tank kapalı modeli, bu modeldeki he model paametesi için kabul edilebili en küçük %95 güvenililik aalıklaı vemişti. Ancak, bu model, model basınç veisi ile ölçüm basınç veisi aasındaki uyumu ölçen RMS için en yüksek değei vemişti. Bu nedenle, 2 tank kapalı modeli bu istatistiksel ölçülee göe değelendime dışı kalı. Tablo 1 de 2 tank açık ve 3 tank kapalı modelle için veilen RMS değelei incelendiğinde he iki model için de aynı 0.71 ba lık RMS değeinin elde edildiği göülmektedi. İlginç, ancak beklenildiği gibi, bu iki model için elde edilen RMS değei, basınç ölçümleine eklenen 0.7 balık ölçüm hatalaı standat sapmasına çok yakındı. 2 tank açık ve 3 tank kapalı modelleindeki paamete değeleine ait güvenililik aalıklaı incelendiğinde, sadece 2 tank açık modeli için tüm paametele için kabul edilebili güvenililik aalıklaı elde edildiği göülü. 3 tank kapalı modele ait α a1 ve κ a2 paameteleine ait güvenililik aalıkla bu kıstası yeine getimediği için, bu modelde değelendime dışı bıakılı. Dolayısıyla, bu sanal önekte, 2 tank açık modeli sistemi temsil eden en uygun (doğu) model olaak seçilmelidi. Dolayısıyla, bu çalışmada öneilen metodoloi, bu sanal önekte basınç veileinin tüetildiği 2 tank açık modelinin doğu olaak model olaak seçilmesine olanak sağlamıştı. Bu geçektende, modelde belisizlik olduğunda, ölçülmüş basınç veileinin faklı model çakıştımalaından elde edilen istatistiksel (güvenililik aalıklaı ve RMS ölçütlei) sonuçlaın inceleneek doğu modelin seçilmesinde katkı yapıcı, önemli bi sonuçtu.

11 _ 219 Bundan sona göstemek ve incelemek istediğimiz, faklı modelle kullanıldığında, yapılacak tahminledeki belisizlik nasıl değelendiilebili ve istatistiksel ölçüle kullanılmayaak uygun olmayan modellele yapılan tahminle ne kada sağlıklı olacağıdı. Şekil 4 6 da, sıasıyla, 2 tank kapalı, 2 tank açık ve 3 tank kapalı modellei için Bölüm 3 de tanıtılan asgele maksimum olasılık yöntemi kullanılaak, 50 adet basınç geçeklemesi çakıştımasından tahmin edilen he paamete seti kullanılaak, 25 yıllık 50 adet basınç değişimi zaman poeksiyonlaı gösteilmektedi. Poeksiyonlada, 25 yıl boyunca net üetim debisi sabit 190 kg/s olaak kullanılmıştı. Şekil 4. 2 tank kapalı modeli ile yapılan 50 adet 25 yıllık basınç değişimi poeksiyonu. Şekil 5. 2 tank açık modeli ile yapılan 50 adet 25 yıllık basınç değişimi poeksiyonu.

12 _ 220 Şekil 6. 3 tank kapalı modeli ile yapılan 50 adet 25 yıllık basınç değişimi poeksiyonu. Şekil 4 6 da katı çizgiyle gösteilen eği, 2 tank açık modelinden doğu paamete değelei (κ =8.5x10 7 kg/ba, α = 30.0 kg/ba s, κ a1 = 1.0x10 10 kg/ba, α a1 = 35 kg/ba s) kullanılaak hesaplanmış doğu model basınç değişimi zaman veileini temsil etmektedi. Buada vugulanması geeken önemli bi nokta, geçek saha uygulamalaında, doğu model basınç zaman eğisini hiçbi zaman bilemeyeceğimizdi. Bu bi sanal önek uygulama olduğundan ve doğu modeli ve doğu paamete değeleini bildiğimiz için kıyaslama amacıyla ve bazı genel sonuçla çıkamak amacıyla Şekil 4 6 da bu eği gösteilmektedi. Şekil 4 6 da gün aası kesikli çizgilele gösteilen basınç değişimi zaman veilei göz önünde bulunduulan modelle için, Bölüm 3 de tanıtılan, asgele maksimum olasılık yöntemi kullanılaak yapılan 25 yıllık dönem için poeksiyonlaı temsil etmektedi. Şekil 4 6 dan göüleceği gibi, he model için yapılan 50 geçekleme poeksiyonu sonasında, tahmin edilen basınç değişimi zaman veilei için tahmin zamanı atıkça genişleyen bi belisizlik bandı oluşmaktadı. Bu anlamlı bi sonuçtu. Çünkü tahmin edilecek zaman değelei, ölçüm veileinin bittiği zaman değeleine göe, büyüdükçe basınç tahminleindeki belisizliğin atması beklenen bi davanıştı. Dikkat edilecek olusa, doğu model tahmin eğisi, sadece 2 tank açık ve 3 tank kapalı modellei için yapılan tahminlee ait belisizlik bandı içeisinde ye alıken, doğu modele ait model eğisi en az paameteli olan 2 tank kapalı modeli için yapılan tahminlee ait belisizlik bandı dışına düşmektedi. Ayıca, 2 tank kapalı model ile yapılan 25 yıllık poeksiyonla, aynı üetim senayosu için diğe iki modele göe, sistem içinde önümüzdeki 25 yıl boyunca daha fazla basınç düşümlei olacağına işaet ettiğinden, poeksiyonla için kötümse (pesimistlik) bi pefomans tahmini elde edilmektedi. Yapılacak poeksiyonlada aanan özellikleden biisi, doğu model eğisinin yapılan poeksiyonlaa ait belisizlik bandı içine düşmesi ve doğu modeli istatistiksel olaak otalamasıdı. Gösel olaak, bu aanan özelliği sağlayan doğu model olan 2 tank açık modelidi (Şekil 5). Dolayısıyla, Şekil 4 6 da çıkaılacak önemli sonuç da şudu; geçmiş veilee çakıştıma aşamasında güvenililik aalıklaı ve RMS değeleinin kıyaslamasından belilenen en uygun model olaak saptanan 2 tank açık modeli pefomans tahminlei için kullanılmalıdı ve ancak bu model kullanıldığında pefomans tahminleindeki belisizlik sağlıklı bi şekilde belilenebili. Doğu modelden daha çok paamete içeen 3 tank açık modeli ile yapılan pefomans tahminleine ait belisizlik bandı, Şekil 6 dan göülebileceği

13 _ 221 gibi, 2 tank açık modeline göe daha genişti. Bunun temel nedeni; 2 tank açık modelinden tüetilmiş ve çakıştımada aşamasına kullanılan basınç veileinin duyalılık göstemediği α a1 ve κ a2 paameteledeki büyük oandaki belisizliğin bu model ile yapılan 25 yıllık pefomans tahminleine yansımasındandı. Şimdi de, veilen bi üetim senayosu için, model ile çakıştıma sonası yapılacak geleceğe yönelik pefomans tahminleindeki belisizliği nicel olaak nasıl değelendiileceği üzeinde dumak istiyouz. Göz önünde bulunduulan bi model için, tahmin yapılacak bi zaman değeindeki tüm basınç değişimi (sıcaklık, vs.) veileine ait histogam oluştuulu ve bu histogama ait otalama ve standat sapma hesaplanı. Hesaplanan standat sapma, otalama değeden ne öçlüde sapmanın (veya belisizliğin) olacağı bilgisini vei. Faz edelim ki, göz önünde bulunduduğumuz sanal önek için, gündeki (sahada üetimin başladığı zaman efeans alındığında 44. yılda veya 20 yıllık üetim geçmişinden sonaki 22. yıldaki) pefomanstaki belisizliği saptamak istiyouz. He üç model için gün değei için oluştuulmuş histogamla Şekil 7 9 da gösteilmektedi. Şekil 7 9 da veilen histogam analizleinden, gündeki basınç değişimi geçeklemeleinin (poeksiyonlaının) 2 tank kapalı, 2 tank açık ve 3 tank kapalı modellei için otalaması (± standat sapması), sıasıyla 15.80±0.26 ba, 11.17±0.34 ba ve 12.00±1.05 ba olaak elde edilmişti gündeki doğu basınç değişimi değei ba dı. Daha öncede belitildiği gibi, doğu değee en yakın poeksiyon değeini, doğu değei de kapsayacak şekilde, 2 tank açık modeli vemektedi. 2 tank açık modelindeki belisizlik 0.34 ba dı ve doğu, ancak bilinmeyen, değein ile ba aasında olacağına işaet etmektedi. Daha öncede değinildiği gibi, tahminledeki belisizlik aalığı ölçüm veilei üzeindeki hataya ve model paameteleinin tahmin edilecek zamanda tahmin edilen değişken (bizim göz önünde bulunduduğumuz önek için basınç değişimi) üzeindeki duyalılığına bağlıdı. 2 tank kapalı modeli, poeksiyon için en düşük standat sapmayı (belisizliği) vemekle beabe, gündeki basınç değişimini yaklaşık 6 ba lık hatayla tahmin etmektedi. Öte yandan, 3 tank kapalı model, doğu değei yaklaşık 1 ba hatayla kestimekte ve bu kestiim için ±1 balık standat sapma (belisizlik) vemektedi Toplam vei sayisi: 50 Minimum dege : Maximum dege : Otalama : Standat sapma : fekans Basinç degisimi, ba Şekil gün için yapılan 50 adet basınç değişimi poeksiyonuna ait histogam; 2 tank kapalı model.

14 _ Toplam vei sayisi: 50 Minimum dege : Maximum dege : Otalama : Standat sapma : fekans Basinç degisimi, ba Şekil gün için yapılan 50 adet basınç değişimi poeksiyonuna ait histogam; 2 tank açık model Toplam vei sayisi: 50 Minimum dege : Maximum dege : Otalama : Standat sapma : fekans Basinç degisimi, ba Şekil gün için yapılan 50 adet basınç değişimi poeksiyonuna ait histogam; 3 tank kapalı model. Bu sonuçladan da anlaşılacağı gibi, geleceğe yönelik geçekçi pefomans tahminleinin doğu bi şekilde yapılması için göz önünde bulunduulan eotemal sistemi temsil eden doğu modelin kullanılması şattı. Doğu model de ancak, eldeki veilein veya geçmiş veilein çakıştımasından elde edilen güvenililik aalıklaı ve RMS değeleinin incelenmesi sonucunda belilenebilmektedi (bkz Bölüm 2).

15 _ SONUÇLAR Jeotemal ezevua mühendisliğinde nihai amaç, göz önünde bulunduulan eotemal sistemin, vasayılan faklı üetim stateilei altında, geleceğe yönelik üetim pefomansını, ölçüm veileindeki ve modelledeki belisizliği de göz önünde bulunduaak, tahmin etmekti. Bu tahminlei ve tahminledeki belisizliklei istatistiksel yöntemlele değelendieek, sahanın südüülebililiği için uygun üetim stateilei belilenebilmekte ve bu üetim stateileine bağlı olaak sahada geekli yatıımla yapılabilmektedi. Bu çalışmada, geçmiş veilee çakıştıma ve pefomans tahmini poblemlei hakkında temel bilgile sunulmuştu. Ayıca, faklı tank modellei kullanılaak, sanal bi önek üzeinde kalibe edilmiş modellele pefomans tahminlei üzeindeki belisizliklein istatistiksel yöntemlele nasıl belilenmesi geektiği konulaına çalışmada ye veilmişti. Çalışmadan elde edilen önemli sonuçla aşağıda özetlenmektedi: 1. Çakıştımada kullanılan dinamik ölçüm veileinde (basınç, sıcaklık gibi) ve geçek eotemal sistemi temsil edecek çakıştımada kullanılacak modellede kaçınılmaz olaak belili oanda belisizlikle söz konusu olacağından, ölçüm veileine çakıştıılaak kalibe edilmiş modellele yapılacak pefomans tahminlei üzeine bu belisizliklein yansı. 2. Saha dinamik ölçüm veileini en iyi temsil eden modelin seçiminde kullanılabilecek bi metodoloi sunulmuş ve bu metodoloinin geçeliliği sanal bi önek uygulama ile gösteilmişti. Öneilen metodoloide, faklı modelle çakıştımada kullanılaak, he bi model paametesi için hem kabul edilebili en küçük %95 güvenililik aalıklaını hem de en küçük RMS değeini veen model, sistem için en uygun model olaak seçili. Sadece RMS değeine bakaak, en uygun modelin seçilmesi doğu değildi. 3. Faklı modellele ölçülmüş saha ölçüm veileine çakıştıma sonasında, çalışmada öneilen 4. en uygun model belileme metodoloisinin uygulamasıyla seçilen model ile pefomans tahminlei yapılmalıdı. Ancak bu yolla, vasayılan bi üetim debisi senayosu atlında, eotemal sistemin gelecekteki pefomansı ve pefomansındaki belisizlik değelendiilebili. 5. Vasayılan bi üetim debisi senayosu atlında, sadece saha ölçüm veisi setine kalibe edilmiş model paametelei ile sistemin gelecekteki pefomansına ait sadece bi geçekleme elde edilebili. Tek bi geçekleme, pefomansındaki belisizlik değelendiilebilmesinde yeteli değildi. 6. Vasayılan bi üetim debisi senayosu atlında, eotemal sistemin gelecekteki pefomansındaki belisizlik, çalışmada öneilen asgele maksimum olasılık yöntemiyle geçekçi bi şekilde belilenebilmektedi. Bu yöntemde, hem ölçüm veileindeki hata hem de bu hatalaın neden olduğu model paamete değeleindeki belisizlik, bu belisizliklei içeen geçeklemele yadımıyla, pefomans tahminlei üzeine geçekçi olaak yansıtılabilmekte ve istatistiksel (histogam) analizi ile değelendiilebilmektedi.

16 _ 224 KAYNAKLAR [1] BODVARSSON, G.S., PRUESS, K., LIPPMANN, M. J., Modeling of Geothemal Systems, Jounal of Petoleum Technology, Septembe [2] AXELSSON, G.; Simulation of Pessue Response Data Fom Geothemal Resevois by Lumped Paamete Models, 14 th Wokshop on Geothemal Resevoi Engineeing, Stanfod Univesity, USA, , [3] SARAK, H., ONUR, M., SATMAN, A., Lumped Paamete Models fo Low Tempeatue Geothemal Fields and Thei Application, Geothemics, (basım aşamasında), [4] SATMAN, A., ONUR, M., SARAK, H., Jeotemal Rezevualaın Modellenmesi, TESKON 2005, TMMO Makine Mühendislei Odası İzmi Şubesi, İzmi, Kasım [5] ONUR, M., Jeotemal Rezevualada Kuyu Basınç Testlei ve Analizi, TESKON 2005, TMMO Makine Mühendislei Odası İzmi Şubesi, İzmi, Kasım [6] FLETCHER, R., Pactical Methods of Optimization, 2 nd edition, John Wiley and Sons, Chicheste, [7] GILL, P. E., MURRAY, W., WRIGHT, M.H., Pactical Optimization, Academic Pess, London, [8] DOGRU, A.H., DIXON, T.N., EDGAR, T.F., Confidence Limits on the Paametes and Pedictions of Slightly Compessible, Single Phase Resevois, SPE Jounal, Febuay [9] OLIVER, D.S., HE, N., REYNOLDS, A.C., Conditioning Pemeability Fields to Pessue Data, 5 th Euopean Confeence on the Mathematics of Oil Recovey, Leoben, Austia, 3 6 Septembe ÖZGEÇMİŞLER Mustafa ONUR Istanbul Teknik Ünivesitesi Petol ve Doğal Gaz Mühendisliği Bölümünde göev yapan Mustafa Onu 1960 yılı Diyabakı doğumludu. Uzmanlık ve aaştıma alanlaı aasında kuyu basınç testlei tasaımı, modellemesi ve analizi; ezevua tanımlaması ve sayısal ezevua simülasyonu; eotemal ezevua mühendisliği ve doğusal olmayan paamete tahmini ye almaktadı. Suudi Aabistan King Saud Ünivesitesi ve ABD Tulsa Ünivesitesi Petol Mühendisliği Bölümleinde de ziyaetçi pofesö olaak göev yapan D. Onu, Lisans deecesini 1982 de ODTÜ den, Maste deecesini 1985 de ve Doktoa deecesini 1989 da ABD Tulsa Ünivesitesi nden aldı. Tüm deecelei Petol Mühendisliği alanındadı de Society of Petoleum Enginees (SPE) den Outstanding Technical Edito ödülü alan D. Onu bugüne kada uluslaaası ve ulusal toplam 35 adet makale ile 50 nin üzeinde bildii yayınlamıştı. Hülya SARAK İstanbul Teknik Ünivesitesi Petol ve Doğal Gaz Mühendisliği Bölümü nden 1993 yılında lisans ve 1997 yılında yüksek lisans ve 2004 yılında doktoa ünvanlaını aldı yıllaı aasında Yeni Zelanda da Auckland Ünivesitesi taafından düzenlenen Jeotemal Enegi Teknoloisi Diploma Kusu na katıldı yılında aaştıma göevlisi olaak göeve başladığı İTÜ Petol ve Doğal Gaz Mühendisliği Bölümü nde halen D. Aaştıma Göevlisi olaak göev almaktadı. Abduahman SATMAN İstanbul Teknik Ünivesitesi Petol Mühendisliği Bölümü nden Y. Mühendis olaak mezun olduktan sona gittiği A.B.D. deki Stanfod Ünivesitesi nde Petol Mühendisliği Bölümü nden MS ve Doktoa ünvanlaını aldı. Daha sona Stanfod Ünivesitesi nde Assistant Pofesö olaak çalıştıktan sona 1980 yılında İTÜ Petol Mühendisliği Bölümü nde çalışmaya başladı aasında Suudi Aabistan da KFUPM Reseach Institute te çalıştı. Halen İTÜ Petol Mühendisliği Bölümü nde göev yapmaktadı. İlgi alanlaı aasında petol, doğal gaz ve eotemal mühendisliği ve üetim ve ezevuala ilgili konula ye almaktadı.