BÖLÜM 1 ELEKTRİK ALANLARI

Transkript

1 BÖLÜM 1 ELEKTRİK ALANLARI 1.1. ELEKTRİK YÜKLERİNİN ÖZELLİKLERİ Elektk yükü aşağıdak özellklee sahpt: 1. Doğada atı ve eks olmak üzee k tü yük bulunmaktadı. Aynı yükle bblen tele, faklı yükle se bblen çekele. Şekl 1.1a da peğe sütülmüş b cam çubuk lastk çubuğa yaklaştııldığında, ks bblen çekele. Öte yandan, yüklü k lastk çubuk (veya yüklü k cam çubuk) bblene yaklaştııldığında, Şekl 1.1b de göüldüğü gb bblen tele.. Yük dama kounumludu. B csm dğene sütüldüğünde yük oluşmaz. Elektklenme, yükün b csmden dğene geçmesyle meydana gel. Böylece, csmleden b b mkta eks yük kazanıken öteks aynı mkta at yük kazanı. 3. Yük kuantumludu. Yan, elekton yükünün tam katlaı olan keskl yük paketle şeklnde bulunu. N b tam sayı olmak üzee, = Ne yazılabl. Yapılan deneyle, elektonun e yükünde, potonun se +e yükünde olduğunu göstemşt. Nöton gb bazı paçacıklaın yükü bulunmaz. Lastk F Lastk F F Cam Lastk F (a) (b) Şekl 1.1. (a) B ple asılmış eks yüklü b lastk çubuk, atı yüklü b cam çubuğa doğu çekl. (b) Eks yüklü b lastk çubuk, eks yüklü başka b lastk çubuk taafından tl. 1.. YALITKANLAR VE İLETKENLER

2 Maddele, elektk yükünü letme yeteneklene göe sınıflandıılıla. İletkenle, elektk yüklenn oldukça sebest haeket ettkle maddeled. Bakı, alümnyum ve gümüş gb maddele y letkend. Bu maddelen küçük b bölges yüklenldğnde, yük letkenn bütün yüzeyne hemen dağılıve. Yalıtkanla, elektk yüklenn kolayca taşınamadığı otamladı. Cam ve lastk gb maddele yalıtkan sınıfına gele. Bu maddele sütüleek yüklenldklende yalnızca sütünen bölgele yüklen ve bu yük maddenn dğe taaflaına geçemez. Yaıletkenle, elektksel özellkle yalıtkanlala letkenle aasında b yede bulunan b madde sınıfıdı. Slsyum ve gemanyum, çeştl elektonk aygıtlaın üetmnde devamlı olaak kullanılan yaıletkenlee be önekt. Yaıletkenlen elektksel özellkle, malzemelee stenlen mktada bell yabancı atomla katılaak değştlebl. B letken, letken b tel veya bakı b bouyla topağa bağlanısa topaklandığı söylen. Bu göz önünde tutulaak b letkenn ndüksyon denlen b şlemle nasıl yüklenebleceğ, Şek. 1.a dek gb topaktan yalıtılmış nöt b küe le zah edlebl. B küe yakınına eks yüklü lastk b çubuk yaklaştııldığında küenn çubuğa yakın bölges atı yük fazlalığı kazanıken, uzak bölges aynı mktada eks yük fazlalığı kazanı (Şek. 1.b). Küe letken b telle topağa bağlanaak aynı deney yapılısa (Şek. 1.c) letkendek bazı elektonla çubuktak eks yük taafından tleceklenden topak tel üzenden topağa akala. Topak bağlantılı tel kaldıılınca (Şek. 1.d) letken küede ndüksyonla atı b yük fazlalığı oluşu. Lastk çubuk küeden uzaklaştııldığında (Şek. 1.e) ndüksyonla oluşan atı yük topaklanmamış küede kalı.

3 (a) (b) (c) (d) (e) Şekl 1.. Metal b csmn ndüksyonla elektk yüklenmes

4 1.3. COULOMB KANUNU Coulomb, yaptığı deneylele yüklü dugun k paçacık aasındak temel elektk kuvvetnn aşağıdak özellkle bulunduğunu gösted: 1. Kuvvet, paçacıklaı bleşten doğu boyunca yönelmş olup, aalaındak uzaklığının kaesyle tes oantılıdı.. Kuvvet paçacıkladak 1 ve yüklenn çapımıyla doğu oantılıdı. 3. Kuvvet, yükle zıt şaetl olduğunda çekc, aynı şaetl olduğunda tcd. O halde, yüklü k paçacık aasındak elektk kuvvetnn büyüklüğünü 1 F = k (1.1) olaak yazablz. Buada k Coulomb sabtd. SI bm sstemnde yük bm Coulomb (C) du. B teldek akım 1 A se, teln b noktasından 1 s de geçen yük mktaı 1 C du. SI bmnde k Coulomb sabtnn değe, k = 8, N.m /C olaak vel. Aynı zamanda k, ε = 8, C /N.m sabt boş uzayın elektksel geçgenlğ olmak üzee k = 1 4πε olaak ta yazılabl. Doğada blnen en küçük yük bm, elekton veya potonda bulunan yüktü ve büyüklüğü e = 1, C du. O halde 1 C luk yük 6, elekton yüküne (yan 1/e) denkt. Tablo 1.1. Elekton, poton ve nötonun yük ve kütles Paçacık Yük (C) Kütle (kg) Elekton (e) -1, , Poton (p) +1, , Nöton (n) 1,

5 Kuvvetn b vektöel ncelk olduğuna ve Coulomb kuvvet yasasının yalnızca nokta yüklee veya paçacıklaa tam olaak uygulandığına dkkat edeek, üzende 1 den le gelen F 1 kuvvetn F 1 1 = k ˆ (1.) olaak yazablz. Buada ˆ, Şek. 1.3 tek gb 1 den ye doğu yönelmş b bm vektödü. Coulomb yasası Newton un üçüncü kanununa uyduğundan, 1 den le gelen dek elektk kuvvet, den le gelen 1 dek kuvvete büyüklükçe eşt ve zıt yönded: F 1 = - F 1. 1 ve aynı şaetl se 1 çapımı atı olu ve kuvvet tcd. Dğe taaftan 1 ve zıt şaetl se 1 çapımı eks olu ve kuvvet çekcd. F 1 F 1 1 ˆ (a) Şekl 1.3. Aalaında uzaklığı olan k nokta yük bblene Coulomb yasasına göe kuvvet uygula. F 1 F 1 1 (b) İkden fazla yük bulunduğunda, yükleden hehang b üzene etkyen bleşke kuvvet, dğe he yükten le gelen kuvvetlen vektöel toplamına eştt. Öneğn döt yük duumunda 1. paçacık üzende., 3. ve 4. paçacıkladan le gelen bleşke kuvvet F 1 = F 1 + F 13 + F 14 le vel.

6 Önek: Şekldek üçgenn köşelene konulmuş üç nokta yük düşününüz. Buada 1 = 3 = 5 µc, = - µc ve a=,1 m se 3 üzene etkyen bleşke kuvvet, büyüklüğünü ve doğultusunu bulunuz. Çözüm: y a F 3 3 F 13 1 = 3 = 5 µc = C = - µc =.1-6 C a a a =,1 m k = N.m /C 1 x F 3 = k a = (,1) = 9 N 1 3 F 13 = k ( a) = (,1) 6 = 11,5 N F 13 =F 13x + F 13y j F 13x = F 13 cos45 = 11,5.,77 = 7,95 N F 13y = F 13 sn45 = 11,5.,77 = 7,95 N F 3x = 7,95-9 = -1,5 N F 3y = 7,95 N F 3 = -1,5 + 7,95j N F 3 = 8, N θ = 97,5

7 1.4. ELEKTRİK ALANI Uzayda b noktadak E elektk alan vektöü, o noktaya konula atı b deneme yüküne etkyen F elektk kuvvetnn deneme yüküne bölümü olaak tanımlanı. E elektk alanı deneme yükünce oluştuulmayıp deneme yüküne dışadan etkyen b alandı. E vektöünün SI sstemndek bm N/C du. F kuvvetnn atı b deneme yüküne etkdğn vasaydığımızda E, F doğultusundadı. Q E Şek Çok daha büyük atı Q yükü taşıyan b csmn yakınına konulmuş küçük b atı deneme yüküne göstelen doğultuda b E elektk alanı etk. E = F (1.3) Dugun b deneme yükü b noktaya konulduğunda elektk kuvvet etksnde kalısa, o noktada b elektk alanı vadı den. deneme yükünün büyüklüğü elektk alanını oluştuan yük dağılımını değşt. Küçük b deneme yükü, yüklü letken b küe yakınına konduğunda letken küedek yük düzgün dağılımını kou. deneme yükü küedek yük metebesnde se küedek yük dağılımı düzgün değld. >> Şek (a) Yetence küçük deneme yükü çn küedek yük dağılımı değşmez. (b) deneme yükü büyük olduğunda küedek yük dağılımı ın yakınlığı nedenyle değş. (a) (b) Coulomb yasasına göe, b deneme yükünden uzaklığında bulunan b nokta yüküne etkyen kuvvet F = k ˆ

8 le vel. O halde deneme yükünün bulunduğu konumda yükünden le gelen elektk alan E = k ˆ (1.4) olu. Buada ˆ, dan a yönelmş b bm vektödü (Şek. 1.6). Şekldek gb atı se, alan bu yükten çap boyunca dışaı doğu yönelmşt. eks se alan ya doğu yönelkt. + ˆ (a) P E Şek P noktasındak deneme yükü, nokta yükünden uzaklığındadı. (a) atı se, P dek elektk alanı yaıçap boyunca dan dışaı doğudu. (b) eks se, P dek elektk alanı yaıçap boyunca çeye doğu ya yönelkt. ˆ E (b) P Yükle topluluğunun oluştuduğu toplam elektk alanı, bütün yüklen elektk alanlaının vektöel toplamına eştt: E = k ˆ (1.5) Buada,. yükünden deneme yükünün bulunduğu P noktasına olan uzaklık ve ˆ, den P ye yönelmş b bm vektödü.

9 Önek: B 1 = 7 µc yükü başlangıç noktasında knc b = -5 µc yükü x eksen üzende başlangıçtan,3 m uzakta bulunmaktadı. a) (;,4) m koodnatlı P noktasında elektk alanını bulunuz. b) Bu elektk alanının büyüklüğünü ve doğultusunu bulunuz. c) P de bulunan.1-8 C luk b yüke etkyen elektksel kuvvet bulunuz. E 1 P.4 m y φ θ E E.5 m θ.3 m 1 x Çözüm: 1 a) E 1 = k = (,4) 6 E 1 = 3, j N/C E = k = (,5) 6 = 3, N/C = 1,8.1 5 N/C E = E cosθ - E snθ j = 1, , j N/C E = E 1 + E = 1, ,5.1 5 j N/C b) E =,7.1 5 N/C φ = tan -1 E y /E x = 66,6 c) F = E F =, j N F = 5, N F kuvvet E elektk alanı le aynı doğultudadı.

10 1.5.SÜREKLİ BİR YÜK DAĞILIMININ ELEKTRİK ALANI Süekl b yük dağılımının elektk alanını hesaplamak çn, yük dağılımını şekldek gb he bnde küçük yüklenn bulunduğu küçük paçalaa ayııız. Bu paçaladan bnn b P noktasında oluştuduğu elektk alanı Coulomb yasasından bulunu. Son olaak ta bütün yüklü paçacıklaın katkılaını toplayaak yük dağılımının P noktasında oluştuduğu toplam elektk alanını buluuz. ˆ P E Şekl 1.7. Süekl b yük dağılımının P noktasında oluştuduğu elektk alanı.

11 B yük elemanının P de oluştuduğu elektk alanı E = k ˆ le vel. Buada, elemanın P noktasına olan uzaklığı ve ˆ yük elemanından P ye doğu yönelmş bm vektödü. Yük dağılımındak bütün elemanlaın P de oluştuduğu toplam elektk alanı se yaklaşık olaak E = k ˆ olu. Yük dağılımındak elemanla aası uzaklık, P ye olan uzaklık yanında küçük kalısa P noktasındak toplam alan E = k lm d ˆ = k ˆ (1.6) olu. B Q yükü b V hacmne düzgün olaak dağılmışsa bm hacm başına düşen ρ yükü (hacmsel yük yoğunluğu) ρ Q V le vel. Buada ρ nun bm C/m 3 tü. yoğunluğu B Q yükü b A yüzölçümlü yüzeye düzgün olaak dağılmışsa σ yüzeysel yük σ Q A le tanımlanı. Buada σ nın bm C/m d.

12 yoğunluğu B Q yükü l uzunluğunsa b doğu boyunca düzgün olaak dağılmışsa λ çzgsel yük λ Q l le tanımlanı. Buada λ nın bm C/m d. Yük, b hacm, yüzey ya da doğu üzende düzgün olmayan bçmde dağılmışsa yük dağılımlaını dq ρ, dv dq σ, da dq λ dl şeklnde fade edez. Buada dq küçük b hacm, yüzey yada uzunluk elemanlaındak yük mktaıdı. Önek: cm uzunluğunda düzgün yüklü b çubuğun toplam yükü - µc du. Çubuk eksennde, çubuğun mekeznden 4 cm uzaklıkta elektk alanının büyüklük ve doğultusunu bulunuz. Çözüm: P E dx d=λdx 3 cm cm x d E = k λ = d dx λ = Q l

13 E = k λ d x Q d x Q = k x = 1 k l x l.3 x = 9.1 +,,5,3 =1,.1 6 N/C E = 1,.1 6 N/C 1.6. ELEKTRİK ALAN ÇİZGİLERİ Yönü he noktada elektk alan vektöü le aynı doğultuda olan çzglee elektk alan çzgle den. Bu çzgle elektk alanına şu şeklde bağlıdı: 1. E elektk alan vektöü, elektk alan çzgsne he noktada teğett.. Alan çzglene dk bm yüzeyden geçen çzglen sayısı, o bölgedek elektk alan şddetyle oantılıdı. Buna göe, alan çzgle bblene yakın olduğunda E büyük, uzak olduğunda küçüktü. A B Şekl 1.8. İk yüzeyden geçen elektk alan çzgle - + -

14 Şekl 1.9. B nokta yükün elektk alan çzgle B atı yük çn alan çzgle çap boyunca dışaı doğudu. B eks nokta yük çn se çzgle çap boyunca çe doğudu. He k duumda da alan çzgle çap boyunca olup sonsuza kada uzanıla. Yüke yaklaştıkça alan şddet ata. Hehang b yük dağılımının elektk alan çzglenn çzm kuallaı şunladı: 1. Yük fazlalığı olduğunda, alan çzgle atı yükleden çıkıp, eks yüklede veya sonsuzda son bulmalıdı.. B atı yükten ayılan veya eks yüke ulaşan alan çzglenn sayısı yük mktaıyla oantılıdı. 3. İk alan çzgs bbn kesemez. (a) (b) (c) Şekl 1.1. a) Eşt ve zıt nokta yükün elektk alan çzgle. Atı yükten çıkıp eks yüke ulaşan alan çzglenn sayısı aynıdı. b) İk poztf nokta yükün elektk alan çzgle. c) B + nokta yükünden çıkan k alan çzgs b yükünde son bulu.

15 1.7. DÜZGÜN ELEKTRİK ALANDA YÜKLÜ PARÇACIKLARIN HAREKETİ yüklü b paçacık b E elektk alanına konulduğunda yüke etkyen elektk kuvvet E d. Yüke etkyen tek kuvvet bu se, Newton un knc kanunundan F = E = ma (1.7) elde edl. Buada m, yükün kütles olup hızının ışık hızından küçük olduğunu vasayıyouz. Buadan paçacığın vmes a = m E olu. E düzgün se (yan, doğultu ve büyüklüğü sabtse), vme haeketn b sabtd. Yük atı se vme elektk alanıyla aynı, eks se zıt yönded.

16 Şekl İk yüklü levhanın oluştuduğu düzgün b elektk alanına gen b elekton aşağı doğu b vme kazanı ve paabolk b yöünge çze. Zıt şaetl olaak yüklenmş k düz metal levha aasındak bölgede elektk alanı düzgündü. e yüklü b elekton bu alana v lk hızıyla yatay olaak fılatıldığında, E elektk alanı +y doğultusunda olduğundan, elektonun vmes y doğultusundadı. a ee = m j İvme sabt olduğundan v x = v, v y = olmak üzee, elektk alanında t sües kaldıktan sona elektonun hız bleşenle ve koodnatlaı şöyle olu: v x = v = sabt ee v y = at = t m x = v t y = 1 at = 1 ee m t Önek: B elekton demetndek elektonlaın he bnn knetk enejs 1, J du. Bu elektonlaı 1 cm lk mesafede duduacak olan elektk alanın büyüklük ve doğultusunu bulunuz. (m e = 9, kg, e = 1, C) Çözüm: 1 K = mv 1, = 1.9, v v =, m /s v =, m/s v = v + ax v = v = ax, = -.a..1 a = -1, m/s

17 ee a = m ,6.1 E 1,755.1 = E = 999,3 N/C -31 9,11.1 E nn yönü +y doğultusundadı. Poblemle Düzgün yüklü b halkanın eksennde en büyük alan şddetnn x = değende olduğunu göstenz. a de Q 6 3πε a Çözüm: a x θ P E x E E P noktasında yükünün oluştuduğu elektk alanı E = k ˆ = (x + a ) 1/ cosθ = x/ E len toplamı smetden dolayı sıfıdı. E x = Ecosθ = k x = kx (x ) 3/ + a kx kx E x = E x = = Q (x + 3/ 3/ a ) (x + a ) 1 Qx E = 3/ 4πε (x + a ) Maksmum değe çn de/dx = olmalıdı. de dx Q 4πε (x + a 3/ ) 3 (x (x + a = 6/ ) + a ) 1/ x =

18 x + a = 3x x = a O halde bu değe elektk alan fadesnde yene yazasak Q a 1 E = a 3/ 4πε ( + a ) Q E = 6 3πε a 6. R yaıçaplı b dskn düzgün olan yüzeyce yük yoğunluğu σ dı. Dskn eksennde mekeznden x uzaklığında elektk alanını hesaplayınız. Çözüm: R d y d x θ P de x de yaıçaplı d genşlkl halkanın alanı da = πd olu. d σ = d = σπd da d de = k y = x + cosθ = x/y y d de x = decosθ = k y x y R R xd d E = k = kx σπ 3 y x + = u d = du 3/ (x + ) R du = kx σπ = 3/ u u kx σπ - -1/ 1 R = - kxσπ (x 1 + ) 1/ R

19 E = π x kσ 1 (x + R ) 1/ σ x veya R çn E = πkσ = ε