ELEKTRİK DEVRELERİ VE DEVRE TEORİSİ

Transkript

1 ELEKTRİK DEVRELERİ VE DEVRE TEORİSİ 1. Devre Elemanları ve Devre Yasaları 2. AC Devre Analizi DEVRE TEORİSİ 1

2 Birim Sistemleri Tarihsel süreçte CGS ve MKS gibi çeşitli birim sistemleri kullanılmış olsa da, günümüzde uluslar arası bir uzlaşı ile SI (Standard International) birim sistemi kullanılmaktadır. Bu birim sistemine göre 7 temel büyüklük ve çok sayıda türetilmiş büyüklük vardır. Temel Fiziksel Nicelik ve Simgesi Birim Sembol Uzunluk (l) metre m Kütle (m) kilogram kg Zaman (t) saniye s Elektrik akımı (I) amper A Sıcaklık (T) Kelvin K Madde miktarı mol mol Işık şiddeti candela cd DEVRE TEORİSİ 2

3 Türetilmiş Fiziksel Nicelik ve Simgesi Birimi Sembol Tanımı Elektriksel Potansiyel Farkı (V) Volt V W/A = J/C = kg m 2 A 1 s 3 Elektriksel Güç (P) Watt W J/s = kg m 2 s 3 Enerji (E) Joule J N m = kg m 2 s 2 Elektriksel Direnç (R) Ohm Ω V/A = kg m 2 A 2 s 3 Elektriksel İletkenlik (G) Siemens S Ω 1 = kg 1 m 2 A 2 s 3 Endüktans (L) Henry H Wb/A = kg m 2 A 2 s 2 Kapasitans (C) Farad F C/V = A 2 s 4 kg 1 m Elektrik yükü (q) Coulomb C A s Manyetik Akı (φ) Weber Wb kg m 2 s 2 A 1 Manyetik Akı Yoğunluğu (Manyetik Alan) (B) Tesla T Wb/m 2 = kg s 2 A 1 Frekans (f) Hertz Hz s 1 (saniyede salınım) Işık akısı Lümen lm cd sr Aydınlanma şiddeti Lüks lx lm/m 2 = cd sr m 2 Kuvvet Newton N kg m s 2 Basınç Pascal Pa N/m 2 = kg m 1 s 2 Radyoaktivite Bekerel Bq s 1 (saniyede bozunma) DEVRE TEORİSİ 3

4 Katsayılar Katsayı Önek Sembol Zetta Z Egza E Peta P Tera T 10 9 Giga G 10 6 Mega M 10 3 kilo k 10-3 mili m 10-6 mikro µ 10-9 nano n piko p femto f atto a zepto z DEVRE TEORİSİ 4

5 Temel Devre Büyüklükleri Elektriksel Yük: Proton ve elektron gibi atom-altı parçacıkların doğal olarak sahip oldukları yüktür. SI birim sisteminde birimi Coulomb (C), yaygın olarak kullanılan sembolleri Q ve q dur. Elektronun yükü Coulomb dur. Enerji: İş yapabilme gücüdür. Bir sistemin enerjisi, o sistemin yapabileceği azami iştir. SI birim sisteminde enerjinin birimi Joule (J), yaygın olarak kullanılan sembolü E dir. Gerilim (Potansiyel Fark): İki nokta arasındaki potansiyel fark, birim yükü bu iki noktanın birinden diğerine taşımak için gerekli iştir. Daha kaba bir ifadeyle gerilim, elektronları harekete geçiren ve bir elektron akışı (akım) meydana getiren bir kuvvettir. Birimi Volt (V), yaygın olarak kullanılan sembolü de V dir. V E V Nm J Q C C DEVRE TEORİSİ 5

6 Temel Devre Büyüklükleri Akım: Elektriksel yükün bir iletken vasıtasıyla transferi elektrik akımı oluşturur. Yani akım, birim zamanda elektrik yükündeki değişim miktarıdır. Akımın birimi Amper (A) ve yaygın olarak kullanılan sembollleri I ve i dır. SI birim sisteminde akım, 7 temel büyüklükten biridir. dq C i A dt s Güç: Birim zamanda tüketilen enerjidir. Birimi Watt (W), yaygın olarak kullanılan sembolü P dir. de de dq J P Vi W dt dq dt s DEVRE TEORİSİ 6

7 Temel Devre Bileşenleri Bir elektrik devresi, çeşitli devre elemanlarının birbirleriyle bağlantısından oluşur. En temel devre elemanları (a) direnç - R, (b) kapasitans (kondansatör) C, (c) endüktans (bobin) - L, (d) gerilim kaynağı v ve (e) akım kaynağı - i dir. Bu elemanların devre sembolleri aşağıdaki gibidir. DEVRE TEORİSİ 7

8 Bu elemanların birbiriyle bağlantısından bir elektrik devresi oluşur. İki ya da daha fazla elemanın uçlarının birleşme noktası düğüm olarak adlandırılır. Bir devre elemanı, uçları ile birlikte bir kol, her bir kapalı yol birer çevre oluşturur. DÜĞÜM DÜĞÜMLER KOL ÇEVRE ÇEVRE ÇEVRE DEVRE TEORİSİ 8

9 Temel Devre Elemanlarının Akım-Gerilim İlişkisi Direnç Kapasitans Endüktans v Ri i Gv 1 G : R İletkenlik Siemens [S] 1 v idt C dv i C dt v i di L dt 1 L vdt DEVRE TEORİSİ 9

10 Aktif ve Pasif Devre Elemanları Bir ideal gerilim kaynağı (a), devrede akan i akımından bağımsız bir uç gerilimi v değerine sahiptir. Benzer şekilde bir ideal akım kaynağı (b), iki ucu arasındaki gerilim değeri olan v değerinden bağımsız bir i akım değerine sahiptir. Diğer yandan, bir bağımlı gerilim kaynağı (c), devredeki diğer elemanların uçlarındaki gerilim değerine bağımlı bir gerilim değerine sahiptir. Aynı şekilde bir bağımlı akım kaynağı (d), devredeki diğer elemanların üzerinden akan akıma bağımlı bir i akım değerine sahiptir. Devreye enerji sağladıkları için gerilim ve akım kaynakları aktif elemanlar; direnç, kondansatör ve bobin ise pasif elemanlar olarak adlandırılırlar. (a) (b) (c) (d) DEVRE TEORİSİ 10

11 Ohm Kanunu Aslında bir direncin akım gerilim ilişkisinden bahsederken Ohm kanununu da açıklamış olduk. v Ri Bir iletkenin iki ucu arasındaki potansiyel farkının,iletkenden geçen akım şiddetine oranı sabittir. v 0 iken i 0 R (Açık devre) v 0 iken i 0 R 0 (Kısa devre) DEVRE TEORİSİ 11

12 Kirchhoff un Gerilimler Yasası (KGY) Bir elektrik devresinde, herhangi bir kapalı çevredeki gerilimlerin cebirsel toplamı sıfıra eşittir. n k 1 Ör: Şekildeki devreye Kirchhoff un gerilimler yasasını uygulayınız. v k 0 C: Bu ders boyunca, devre analizi yapılırken, eğer I akımı direncin pozitif ucundan girerse, bu direncin üzerinde düşen gerilim + işaretli, negatif ucundan girerse işaretli olarak alınacaktır. Aynı durum gerilim ve akım kaynakları için de geçerlidir. Bu yaklaşım konvansiyonel olmayıp, akımın çıktığı ucun polaritesi de göz önüne alınabilir ancak sonuç asla değişmez. Bu devreye KGY uygulanırsa: V1 V2 V3 V 0 DEVRE TEORİSİ 12

13 Not: Esasen elektriksel direncin polaritesi yoktur. Yani yandaki gibi ticari olarak erişilebilir bir direncin hangi ucunu önce bağlarsanız bağlayın aynı değerde direnç gösterir ve aynı dinamik davranışı sergiler. Bu örnekteki devre, yandaki şekilde görüldüğü gibi herhangi bir polarite belirtilmeden de verilebilirdi. Zaten bu devrede, kaynak tarafından sağlanan gerilimin bu üç direnç üzerinde düşeceği aşikardır. Yani V=V 1 +V 2 +V 3 olduğu açıkça görülebilir. Ancak yandaki gibi birden fazla çevre içeren daha karmaşık devrelerde dirençlerin polaritelendirilmesi, analiz kolaylığı sağlar ve hata yapma riskini azaltır. Yandaki devre R 2 direnci üzerinden iki farklı akım, farklı yönlerde geçmektedir. DEVRE TEORİSİ 13

14 Ör: Şekildeki devrede KGY yasasını kullanarak her bir çevre için gerilim denklemlerini yazınız. Ayrıca V 2 gerilimini I 1, I 2 ve R 2 cinsinden ifade ediniz. Polaritelerin şekilde gösterildiği gibi olduğunu varsayınız. C: Birinci Çevre V V V V İkinci Çevre V V V V V V α V β V γ R 2 üzerinde düşen gerilim V I I R DEVRE TEORİSİ 14

15 Kirchhoff un Akımlar Yasası (KAY) Bir elektrik devresinde, herhangi bir düğüm noktasına giren ve bu düğümü terk eden akımların cebirsel toplamı sıfıra eşittir. m k 1 i k 0 Ör: Şekilde bir elektrik devresindeki herhangi bir düğüme giren ve çıkan akımlar gösterilmektedir. Buna göre I akımının genliğini ve yönünü bulunuz. I akımının yönünün şekilde gösterildiği gibi olduğunu varsayalım. Bu durumda, I Bu durumda I=-5 A bulunur. Yani I akımının yönü düğüme doğru, genliği ise 5 A dır DEVRE TEORİSİ 15

16 Seri ve Paralel Devreler İki ya da daha fazla devre elemanı aynı akımı taşıyorlarsa, bu elemanlar seri bağlıdır denir. n adet direnç seri bağlanırsa eşdeğer direnç: R es n R k 1 k İki ya da daha fazla devre elemanı aynı gerilimi taşıyorlarsa, bu elemanlar paralel bağlıdır denir. m adet direnç paralel bağlanırsa eşdeğer direnç: m 1 1 R ep k1 R k Bu iki eşitliği nasıl ispatlarsınız? m 2 Rep RR 1 2 R R 1 2 DEVRE TEORİSİ 16

17 Gerilim Bölme: n adet seri bağlı dirence uygulanan toplam gerilim v ise, değeri R k olan direncin üzerinde düşen gerilim Rk vk v ( k 1,2,..., n) R es Örneğin R 2 direnci üzerinde düşen V 2 gerilimi; V 2 R2 R R R V DEVRE TEORİSİ 17

18 Akım Bölme: n adet paralel bağlı dirence uygulanan toplam akım i ise, değeri R k olan direncin üzerinden geçe akım Rep ik i ( k 1,2,..., n) R k Spesifik olarak, iki direnç için; R R i i i i Rep Rep DEVRE TEORİSİ 18

19 Problem: Endüktans değerleri L 1 ve L 2 olan iki adet bobin seri bağlanmıştır. Eşdeğer endüktans ifadesini türetiniz ve bunu n adet bobin için genelleyiniz. Seri devrede tüm elemanlar üzerinden aynı akım geçer. Gerilim denklemi; di di di v Les v v L L L L L dt dt dt es 1 2 n adet bobin için: L es n k 1 L k Alıştırma: Bobinler paralel bağlı ise 2 ve n adet bobin için eşdeğer n endüktans ifadesini türetiniz. 1 L ep L k 1 k DEVRE TEORİSİ 19

20 Problem: Kapasitans değerleri C 1 ve C 2 olan iki adet kondansatör seri bağlanmıştır. Eşdeğer kapasitans ifadesini türetiniz ve bunu n adet kondansatör için genelleyiniz. Seri devrede tüm elemanlar üzerinden aynı akım geçer. Gerilim denklemi; v idt v v idt idt C C C C C C es es 1 2 n adet kondansatör için: n 1 1 C es k 1 Alıştırma: Kondansatörler paralel bağlı ise 2 ve n adet bobin için n eşdeğer endüktans ifadesini türetiniz. C k C ep C k1 k DEVRE TEORİSİ 20

21 Süperpozisyon Prensibi Süperpozisyon prensibi, bir sistemin lineer (doğrusal) olup olmadığını test etmek için kullanılır. Süperpozisyon teoremi, bu prensibin lineer elektrik devrelerine uygulanmış bir formudur. Öncelikle süperpozisyon prensibinden başlayalım: Herhangi bir sisteme x 1 girişi uygulandığında sistemin tepkisi (çıkış) y 1, farklı bir x 2 girişi uygulandığında ise sistem çıkışı y 2 olsun. ab, olmak üzere, sisteme ax 1 girişi uygulandığında sistem çıkışı ay 1, ve sisteme ax 1 +bx 2 girişi uygulandığında sistem çıkışı ay 1 +by 2 oluyorsa, bu sistem lineerdir denir. x 1 y Sistem 1 ax 1 Çarpımsallık ilkesi Sistem ay 1 x 2 y Sistem 2 ax 1 + bx 2 Sistem ay 1 + by 2 Toplamsallık ilkesi DEVRE TEORİSİ 21

22 Not: Süperpozisyon prensibine uyan sistemler lineer sistemlerdir. Ancak pratikte tabiatta lineer sistem yoktur! Mekanik, elektriksel, biyolojik, sosyal, kültürel vs. bütün sistemler gerçekte lineer olmayan (nonlinear) sistemlerdir. Lineer sistemler, tabiattaki gerçek sistemlerin analizinin daha kolay yapılabilmesi için üretilmiş teorik modellerdir. Zira lineer sistemlerin analizi oldukça basittir ve günümüze kadar lineer sistemlerin analizi ve tasarımı için çok sayıda güçlü ve kullanışlı yöntem geliştirilmiştir. Lineer olmayan sistemlerin analizi ve tasarımı ise görece daha zordur. Günümüzde hala lineer olmayan sistemlerin analizi ve tasarımı için güçlü, kullanışlı, sihirli yöntemler geliştirilememiştir. Herhangi bir sistemin lineer ya da lineer olmayan modellerden hangisi seçilerek ele alınacağı, tasarımcının vermesi gereken önemli bir karardır. Kimi basit sistemlerde, sistem modelinin lineer olmayan kısmının ihmal edilmesi çok fazla bir hataya sebep olmaz. Ancak daha karmaşık sistemlerde (örneğin bir hava taşıtı) sistem modelinin doğrusal olmayan kısımlarının ihmal edilmesi ya da analitik/nümerik/istatistik yöntemlerle sistem modelinin lineerleştirilmesi, uçağın okyanusa çakılmasına neden olur ki tarihte örnekleri vardır. Bütün bu açıklamalardan, lineer sistem modellerinin ve lineer analiz yöntemlerinin işe yaramaz olduğu sonucu çıkmaz! Bu konu, dersin son haftası lineer olmayan kontrol sistemleri anlatılırken daha detaylı irdelenecektir. DEVRE TEORİSİ 22

23 Çevre Akımları Analizi Aslında bu analiz yöntemi, daha önce KGY anlatılırken dolaylı olarak tanıtılmıştı (bkz. 28. slayt). Analizin temel prensibi, bir elektrik devresinde kapalı bir çevredeki gerilimlerin cebirsel toplamının sıfıra eşit olduğu yasasıdır (KGY). Ör: Şekildeki devrede 2 ohmluk direnç üzerinden geçen akımı bulunuz. DEVRE TEORİSİ 23

24 C: Çevre denklemleri şu şekildedir: 6I 4 I I I 3 I I 4 I I I 3 I I I 3 için çözülürse; I3 2.98A DEVRE TEORİSİ 24

25 Düğüm Analizi Hatırlanacağı üzere düğüm, 3 veya daha fazla kolun birleştiği nokta idi. Bu analiz yönteminin temel prensibi, bir elektrik devresinde bir düğün noktasına giren akımlarla bu düğüm noktasını terk eden akımların cebirsel toplamının sıfıra eşit olduğu yasasıdır (KAY). Bu analiz yönteminde, devredeki düğümlerden birisi referans düğüm olarak seçilip, bu düğümün potansiyeli sıfır kabul edilir. Diğer düğümlere giren ve çıkan akımlar, bu referans düğüme göre yazılır. Ör: Bir önceki soruyu bu sefer düğüm analizi ile çözünüz. DEVRE TEORİSİ 25

26 C: 0, 1 ve 2 düğümlerinden, 0 düğümünü referans düğüm seçelim. Bu durumda düğüm akımlarının ifadesi şu şekildedir: 20 V1 V2 V1 V V1 V2 V2 10 V V 2 için çözülürse; V I 3 V DEVRE TEORİSİ A 2 V

27 Devre İndirgeme ve Kaynak Dönüşümü Devre analizini kolaylaştırmak için, bazen seri bağlı gerilim kaynaklarını ya da paralel bağlı akım kaynaklarını tek bir kaynağa indirgemek işlemleri basitleştirir. V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V eş = V 1 -V 2 +V 3 +V 4 -V 5 DEVRE TEORİSİ 27

28 I 1 I 2 I 3 I 4 I eş = I 1 -I 2 +I 3 +I 4 DEVRE TEORİSİ 28

29 Benzer şekilde, bir gerilim kaynağı ve ona seri bağlı bir direnci, bir akım kaynağı ve ona paralel bağlı bir dirence dönüştürmek (yani gerilim kaynağını akım kaynağına çevirmek) ya da bunun tam tersini yapmak, kimi devrenin analizini oldukça kolaylaştırabilir. DEVRE TEORİSİ 29

30 DEVRE TEORİSİ 30

31 ELEKTRİK DEVRELERİ VE DEVRE TEORİSİ 1. Devre Elemanları ve Devre Yasaları 2. AC Devre Analizi DEVRE TEORİSİ 31

32 Alternatif Akım Devre Analizi (Kalıcı Durum) Şu ana kadar, devreyi besleyen gerilim ve akım kaynakları doğru akım (DC - tek yönlü) kaynaklardı. Yani akımın/gerilimin yönü (işareti - polaritesi) değişmiyordu. Birçok elektrik devresi ise alternatif akım ile beslenir. En temel AC sistem örneği evlerimize enerji sağlayan şebekedir. Bu şebekelerde gerilim/akım sinüsoidal dır, yani gerilim ve akımın zamana göre değişiminin dalga şekli bir sinüs sinyalinin değişimi gibidir. AC sinyal birçok dalga şekline (kare/üçgen/testere dişi vs.) sahip olabilir, ancak burada yapacağımız analizde dikkatimizi sinüsoidal olarak değişen büyüklüklere yoğunlaştıracağız. DEVRE TEORİSİ 32

33 Örneğin sinüsoidal bir gerilimin ifadesi şu şekildedir: v( t) V sint m V m : Genlik ya da Maksimum değer (V) ω: Açısal frekans (rad/s) Sinüsoidal değişim grafiksel olarak şekildeki gibi gösterilebilir. Dikkat edilirse bu değişik periyodiktir ve her 2π aralığında kendini tekrar eder. Diğer bir ifadeyle bu sinyalin periyodu T=2π/ω saniyedir. Sinyalin kendini tekrarlama sıklığı ise frekans olarak 1 adlandırılır ve f formülüyle hesaplanır. Birimi Hertz (Hz) dir. (1 Hz=1 saykıl/sn) T 2 1 Saykıl Pozitif Alternans Negatif Alternans DEVRE TEORİSİ 33

34 Bu gerilim devreye uygulandığında devrede bir akım dolaştıracaktır. Bu akımın zamana göre değişimi ise i( t) I sint m şeklindedir. Burada θ, akım ile gerilim arasındaki açısal farktır ve faz açısı olarak adlandırılır. Örneğin aşağıdaki şekilde akım, gerilimden θ açısı kadar ileride dir. Beslenen yükün karakteristiğine göre (omik endüktif kapasitif) gerilim ileride olabilir ya da ikisi çakışık (θ =0) da olabilir DEVRE TEORİSİ 34

35 Ani, Ortalama ve Etkin Değerler Herhangi bir periyodik f(t) sinyalinin ani (anlık) değeri, bu sinyalin herhangi bir t anında alacağı değeri ifade eder. Bu periyodik sinyalin ortalama değeri 1 t0 T fort ( t) f ( t) dt T t0 ve etkin (rms root mean square) değeri 1 t0 T 2 frms ( t) f ( t) dt T t0 ifadeleriyle hesaplanır. Bu bilgiler ışığında sinüsoidal olarak değişen akım ve gerilim sinyallerinin anlık, ortalama ve etkin değerlerini bulalım: DEVRE TEORİSİ 35

36 v( t) V sint m anlık değer ifadesi Yukarıdaki grafikten de açıkça görüleceği üzere sinüsoidal bir sinyalin ortalama değeri sıfıra eşittir, çünkü pozitif alternans ile negatif alternansın taradığı alan birbirine eşittir. Matematiksel olarak bunu ispatlamak gerekirse; 1 t0 T vort ( t) Vm sin( t) d t T t Vm cost V cos2 cos(0) t 0 m Vm DEVRE TEORİSİ 36

37 Ancak bir sinyalin ortalama değeri o sinyalin karakteristik özelliklerinden biri olduğundan, sinüsoidal sinyallerin de ortalama değeri çeşitli amaçlar için tüm saykıl yerine yarım saykıl üzerinden integral alınarak hesaplanır. 1 t0 T/2 vort ( t) Vm sin( t) d( t) T /2 t0 1 1 cos Vm t V cos cos(0) t 0 m 1 2 V 1 1 m Vm V 0.637V ort m DEVRE TEORİSİ 37

38 Sinüsoidal sinyalin etkin değeri ise olarak bulunur. 1 t T 2 vrms t V t d t T 1 vrms ( t) Vm 0.707V m 2 0 ( ) m sin( ) ( ) t0 DEVRE TEORİSİ 38

39 Ör: Şekildeki sinüsoidal gerilim, değeri 50 Ω olan bir dirence uygulanmıştır. Buna göre, a) V m =? b) T=? c) f=? d) ω=? e) Gerilimin anlık v t ifadesi? f) Akımın anlık ifadesi? g) V ort =? h) V rms =? 100 V 20 ms 1/( )=50 Hz ω=2πf= =314 rad/s ( ) 100sin 314t 100 i( t) sin 314t V V DEVRE TEORİSİ 39

40 ELEKTRİKSEL BÜYÜKLÜKLERİN ÖLÇÜLMESİ Akım Ölçümü: Akım, devreye seri bağlı bir ampermetre ile ölçülür. Eğer kaynak şekildeki gibi DC ise ampermetre devreden geçen akımın değerini, AC ise akımın etkin değerini gösterir. Esasen eğer kaynak AC ise tüm ölçü aletleri etkin değeri gösterir GİRİŞ 40

41 Gerilim Ölçümü: Gerilim, devreye paralel bağlı bir voltmetre ile ölçülür. GİRİŞ 41

42 Direnç Ölçümü: Direnç ölçmek için, önce değeri ölçülecek olan direnç devreden uzaklaştırılır. Daha sonra direnç değeri, bir ohmmetre yardımıyla şekildeki gibi ölçülür. GİRİŞ 42