Elektromanyetik Teori Bahar Dönemi. MANYETOSTATİK (1) Giriş

Transkript

1 Elektromnyetik Teori Bhr 5-6 Dönemi MAYETOTATİK () Giriş Mnyetim, belirli bı tşlrın (mnyetit), demir tolrını çekmesini gölenmesiyle bşlmıştır. Mnyetim söcüğü ise, bu tşlrın bolc bulunduğu Mnis yöresinden kynklnır. Bu bölümde mnyetik lnl ilgileneceği. Bilindiği gibi dünynın mnyetik lnı vrdır ve bu ln pusul ibrelerini sptırır. İçinden kım geçen bir telin pusul ibresini sptırdığı, ilk def 8 de Hns Christin Orsted trfındn gölenmiştir. Bu gölem, fiik trihinin önemli deneylerinden biridir. İlk def, elektrik ile mnyetim rsınd bir ilişki olduğu nlşılmıştır. Bu önemli buluş kdr, elektrik ve mnyetim birbirinden yrı iki bilim dlı gibi gelişim göstermiştir. Durgun elektriğe it öellikleri incelerken, iki yükün krşılıklı olrk birbirlerine bir kuvvet uyguldığı ve bu kuvvetin Yük Elektrik ln Yük modeline uygun olrk orty çıktığını incelemiştik. Bu etkileşme teorisinde elektrik ln bir r ortm görevi ypr. Bu modele göre yük çevresinde elektrik ln oluşmkt ve diğer yükün etkileşmesi sonucu kuvvet orty çıkmktdır. Elektrik lndki bu yük elektrik ln modeline bener şekilde mnyetik ln için modeli yılbilir. Akım Mnyetik ln Akım Elektrik lnd incelediğimi E ve D vektörlerine bener iki vektör de mnyetik ln için vrdır. Bu vektörleri H ve B ile göstereceği. Ayrıc elektrik ln için ydığımı D ε E bğıntısın bener B μ H bğıntısı vrdır. Burd H (A/m) için mnyetik ln şiddeti vey sdece mnyetik ln diyeceği. B ( Webers / m ) ise mnyetik kı yoğunluğudur. Genellikle B nin birimi webers/ln yerine guss vey tesl kullnılır. Burd bi B nin birimi için tesl ve H nin birimi için Amper/m kullncğı. μ sbitine mnyetik geçirgenlik denir. Bu sbit elektrikte ε sbitine bener. İlki boşluğun mnyetik öelliğini, sonrki ortmın elektrik öelliği ile 7 ilgilidir. Boşluğun mnyetik geçirgenliği μ ve birimi Henry/m vey kısc H/m dir. Biot-vrt Yssı Biot vrt yssı elektrosttikteki Coulomb yssın benerdir. Biot-vrt yssın göre herhngi bir P noktsındki, mnyetik ln şiddeti, difernsiyel kım elemnı tel ile nokt rsındki çıyl doğru orntılı rlrındki uklığın kresiyle ters orntılı olduğunu ifde eder (Şekil ). Bu formüllerle ifde edilirse, KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği Bölümü, İmit

2 Elektromnyetik Teori Bhr 5-6 Dönemi dl sinα dl sinα () yılbilir. () bğıntısı ynı mnd vektör çrpım şeklinde şğıdki şekilde dl dl () gösterilebilir. Burd ve dır. Vektör çrpımdn htırlycğını dl α P (yf içine doğru) Şekil. dl kım elemnındn dolyı P noktsındki mnyetik ln. gibi nin yönü sğ el kurlın göre bulunur. Burd yönden ksıt, mnyetik lnın kueyi gösterdiği yöndür (pusulnın kuey ucu). () denklemi çigisel kım için boyunc H dl () ile hesplnır. Şekil de mnyetik lnının yönü için kullnıln semboller gösterilmiştir. (yf dışın doğru). () (yf içine doğru) (b) Şekil. Mnyetik lnın (kueyi) yönü, () syf dışın doğru (b) syf içine doğru. KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği Bölümü, İmit

3 Elektromnyetik Teori Bhr 5-6 Dönemi Akım geçen teli elimile tuttuğumud bş prmk kım yönünü göstermek koşuluyl diğer dört prmğın gösterdiği yön nin yönüdür (Şekil ). el tel Şekil. Bir telden geçen kım ve sğ el kurlıyl mnyetik lnın yönünün bulunmsı. Örnek: Şekil 4 te gösterildiği gibi kım geçen bir telden (A ve B noktlrı rsınd boyunc unn tel) kdr uklıkt bir P noktsınd mnyetik lnı () bğıntısı kullnrk hesplylım. Çöüm: P (,,) ve dl(,,) nokt koordintlrı gö önünde tutulurs ( ) + ( ) ve d l d + ( ) burdn dl olur. Bu ifdeleri d d KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği Bölümü, İmit

4 Elektromnyetik Teori Bhr 5-6 Dönemi H dl integrl bğıntısınd yerine koyrsk H d [ + ] (4) yılbilir. Şekil 4 ten görülebileceği gibi dır. Bu cot α cotα d cosec αdα olur. Ayrıc cos ec α + cot α ifdenin türevini lırsk ve cos ecα eşitlikleri htırlnır ve bunlrı (4) te yerine konulurs, yeni sinα ifdenin integrli lındığınd cosec αdα [ + cot α ] cosec αdα α α α H α cos α ec α α sinαdα ( cosα) α α (cosα) α α (cosα cosα ) olrk bulunur. H (cosα cosα ) (5) B α dl A O α α P H Şekil 4. Çigisel kımın P noktsınd oluşturduğu mnyetik ln. KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği Bölümü, İmit 4

5 Elektromnyetik Teori Bhr 5-6 Dönemi (5) bğıntısı A ve B noktlrı sonsu olduğund değerlendirelim. A nın koordintı (,,) ve B (,, ) olsun bu durumd α 9 o α o olur. Bu durumd (5) bğıntısı H olur. Bener şekilde A ve B noktlrının koordintlrı A (,, ) ve B (,, ) olduğund α 8 o α o olur. Tekrr (5) bğıntısınd bu değerler yerine konulurs H elde edilir. π () integrl ifdesi çigisel kım için geçerlidir. Eğer lnsl vey hcimsel kımdn dolyı oluşn mnyetik ln hesp edilmek isteniyors, bu durumd, yüeysel kım için H Kd (6) hcimsel kım için H V Jdv (7) bğıntılrı yılır. Örnek: Çember şeklinde bir hlknın koordintlrı + y 9 ve. Hlky A doğru kım uygulnmktdır. Akımın yönü dir. Verilenlere göre H nin (,,4) ve (,,-4) değerini bulunu? KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği Bölümü, İmit 5

6 Elektromnyetik Teori Bhr 5-6 Dönemi Çöüm: Şekil 5 te problemin şekli çiilmiştir. Problemi çömek için Biot-vrt yssını ylım dl dl (8) d l d (9) (,,h)-(,,) + h () + h () (9) ve () ifdelerinden d hd d () d l + h bulunur. () ve () yi (8) de yerine ylım d H + [ + h ] [ + h ] ( hd d ) d H + ( ) Şekil 5 ten görüleceği gibi, mnyetik lnın iki bileşeni vrdır. Bunlrdn yty oln sıfırdır. P noktsı etrfınd 8 derece döndürdüğümüde, bu vektörlerin toplmı birbirlerini yok eder, bu durum problemin simetrisinden kynklnır. onuç olrk hesplnmsı gereken sdece düşey, yönündeki bileşendir. Bu durumu mtemtiksel olrk şu şekilde gösterebiliri. KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği Bölümü, İmit 6

7 Elektromnyetik Teori Bhr 5-6 Dönemi P(,,h) y dl Şekil 5. Çember şeklinde bir hlkdn geçen kım ve ekseni üerindeki bir P noktsındki mnyetik ln. hd [ + h ] d H [ + h ] ( cos sin ) + hd y bu son ifdenin π rlığınd integrli lınırs H [ + h ] ( cos sin ) + y hd π π h cosd + sind [ + h ] y KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği Bölümü, İmit 7

8 Elektromnyetik Teori Bhr 5-6 Dönemi Probleme tekrr dönelim ve bileşenini hesplylım. d [ + h ] H d H π d π [ + ] h [ + h ] H [ + h ] () olrk bulunur. on bulunn bğıntıd A + y h 4 9 verilenler yerine yılırs H(,,4) [ + h ] () [ + 6] H(,,4).6 A/m 9 H(,, 4) H(,,4).6 olrk bulunur. - A/m KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği Bölümü, İmit 8

9 Elektromnyetik Teori Bhr 5-6 Dönemi H H Şekil 6. İçinden kım geçen hlk şeklinde bir tel ve tel etrfınd oluşn mnyetik ln çigileri. Örnek: Şekilde verilen kre biçimli bir kbloy A kım uygulnmktdır. Kre şeklin bir kenrı m olduğun göre krenin merkeindeki H ve B vektörlerini hesplyını? 7 ( μ H/m) Çöüm: y -/ 4 / 5 6 O 7 / 8 -/ A d Şekil 7. Kre biçimli kbloy Amper kım uygulnmktdır. KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği Bölümü, İmit 9

10 Elektromnyetik Teori Bhr 5-6 Dönemi Biot-vrt yssını tekrr yıp problemi çömeye bşlylım. Şekil 7 deki A ve O noktlrının koordintlrı sırsıyl A(,-/,) ve O(,,) dır. dl dl ( ( / ) ) y + ( ) ( ) y ( ) dl d ( ) ve dl ifdeleri Biot-vrt yssınd yerine yılırs + dl y ( ) d d y ( d ) ( + ( ) ) y + ( ) ( ) ( ( ) d ) + ( ) ( ) elde edilir. Şekil 7 den nlşılcğı üere problem simetrik olduğu için sdece, krenin () nolu prçsını lıp 8 ile çrpmmı yeterli olcktır. on bğıntıdn H 8 ( ( ) d ) + ( ) ( ) integrli yılbilir. Bu integrli lıp verilenleri yerine ylım. Bundn önce bu integrli lbilmek için bu ifdeye dh ykındn bklım. H integrl ifdesi A d ( + ) şeklindedir. Bu ifdenin integrlini llım. KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği Bölümü, İmit

11 Elektromnyetik Teori Bhr 5-6 Dönemi Htırltm: y tn() ise y + tn ( ) sec ( ) tir. cos ( ) için tn(t) i seçelim ve türevini llım dt d cos ( t) ve işlemlere devm edelim ve durumd A integrli cos( ) olduğunu htırlylım. Bu + tn ( ) dt t A cos ( ) dt t dt t + C t t cos( ) sin cos ( ) cos ( ) ( + tn ( t) ) olur. Belirsi integrl olduğu için C sbitini sonuc ilve edilmelidir. tn( ) sin( ) ifdesi htırlnırs + tn ( ) ( ) + C ( ) + ( ) tn( t) A sin( t) + C + C + C + tn ( t) + A + C + olrk bulunur. Şimdi bu sonucu bi problemi çömek için kullnbiliri. Dolyısıyl H 8 ( ( ) d ) + ( ) ( ) ( ) 8 d ( + ( ) ) KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği Bölümü, İmit

12 Elektromnyetik Teori Bhr 5-6 Dönemi d ( + ( ) ) kullnbiliri. integrli dikkt edilirse A ile ynıdır. Bu durumd A nın sonucunu Böylece / dersek d ( ( ) ) ( + ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) 4 ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) π π H π olrk bulunur. Verilenleri denklemde yerine yılırs. H π. π A/m B μ H 7 7 Weber B μ H 8 T ( Tesl ) π m 5 4 Dünynın mnyetik lnı kutuplrd yklşık olrk 6 T 6 nt ekvtord T nt T nt ( nnotesl). değerindedir ( ) ve Amper yssı- Mwell Denklemi Amper yssı elektrosttikte öğrendiğimi Guss yssın benerdir. Guss yssın göre eğer problem simetri gösteriyors elektrik ln kolyc hesp edilebiliyordu. Amper KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği Bölümü, İmit

13 Elektromnyetik Teori Bhr 5-6 Dönemi yssın göre de eğer kım dğılımı simetri öelliği gösteriyors mnyetik ln kolyc hesp edilebilir. Amper yssın göre herhngi bir kplı çigisel yol üerinde lınn mnyetik lnın integrli bu telde bulunn kım eşittir. Mtemtiksel olrk H d l kplı (4) Amper yssın tokes teoremini uygulylım yılbilir. Ayrıc kımın kplı H dl ( H) d (5) kplı J d (6) e eşit olduğu bilindiğinden (5) ve (6) nın sonucu olrk H J (7) bulunur. (7) ifdesi Mwell denklemlerinden şu n kdr öğrendiklerimiden üçüncüsüdür. Şimdi Amper yssını uygulyrk dh önce Biot-vrt yssıyl çödüğümü probleme tekrr bklım. Amper yolu O P y dl Şekil 8. Amper yssının uygulnışı. H ve dl bileşenleri yerine yılırs kplı H dl KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği Bölümü, İmit

14 Elektromnyetik Teori Bhr 5-6 Dönemi π H d H H π H π şeklinde bulunur. Beklenildiği gibi problem hem Biot-vrt hem de Amper yssı uygulnrk çöülebilir. π Mnyetik Akı yoğunluğu- Mwell Denklemi Mnyetik kı yoğunluğu B vektörü ile mnyetik ln şiddeti H vektörü rsınd, elektrik lndki E ve D vektörleri rsındkine bener ilişki vrdır. Bu ilişki B μ H (8) şeklindedir. Burd μ boşluğun mnyetik geçirgenliği olup, birimi henrys/m vey 7 kısc H/m dir. Boşluk için μ nin değeri H/m dir. Dh kesin bir tnımlm B vektörü için kplı bir yüeydeki toplm kı ψ B d (9) ile verilir. Burd ψ mnyetik kının birimi webers (Wb) dir. B mnyetik kı yoğunluğu ise Wb / m dir. B için Wb/ m yerine tesl kullnılır. onuç olrk bu derste B için tesl, H için A/m birimlerini kullncğı. Elektrik ln için kı formülünü htırlylım ψ D d Q idi. Bu bğıntıy göre toplm kı bu kplı yüeydeki yüklerin toplmın eşittir. Bir bşk ifdeyle, yükler tek bşın poitif vey negtif olrk bu kplı yüeyin çevrelediği hcim içinde bulunbilir. Mnyetik ln için bu durum sö konusu değildir. Mnyetik lnd (9) integrline göre kplı bir lnd kuey vey güney şeklinde yrı yrı bulunmlr. Her koşuld mıkntısın iki kutbu mevcuttur. Dolyısıyl (9) ifdesi her mn sıfır eşittir. B d () Mnyetik tek kutbun olmycğı Şekil 8. de verilmiştir. Elinie ldığımı bir çubuk mıkntısı istediğini kdr küçük prçlr bölerseni bölün yine de en küçük prçnın iki kutbu olcktır. () bğıntısın diverjns teoremi uygulnırs sonuç olrk dördüncü Mwell denklemini KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği Bölümü, İmit 4

15 Elektromnyetik Teori Bhr 5-6 Dönemi B d V Bdv elde ederi. B () Şekil 9. Küçük bir çubuk mıkntısın prçlr yrılmsı. oldn sğ doğru mıkntıs prçlr yrılmsın krşın her prçnın yine iki kutbu vrdır. Tek olrk kuey vey güney kutup mevcut değildir. ttik Elektromnyetik lnlr için Mwell Denklemleri Bury kdr sttik elektromnyetik lnlr için Mwell denklemlerini inceledik. Şimdi Mwell denklemlerinin hepsini tekrr edelim. Tblo bu mn kdr incelediğimi denklemleri öetlemektedir. KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği Bölümü, İmit 5

16 Elektromnyetik Teori Bhr 5-6 Dönemi ttik Elektromnyetik Alnlr için Mwell Denklemleri Türev biçimi İntegrl biçimi İsmi D v D d dv Guss yssı v B B d Tek mnyetik kutup yoktur E E dl H J H dl J d v Amper yssı Tblo. ttik elektromnyetik lnlr için Mwell denklemleri. KAYAKA diku, M.. O., 995, Elements of Electromgnetics, Oford University Press. Edminister, J. A., 995, Electromgnetics, chum s Outlines, McGrw-Hill. KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği Bölümü, İmit 6