Esnek Bir Kirişin Newmark Yöntemi ile Aktif Titreşim Kontrolü

Transkript

1 Uusararası Katıımı 17. Makia Teorisi Sempozyumu, zmir, Hazira 15 Esek Bir Kirişi Newmark Yötemi ie Aktif Titreşim Kotroü L. Magaca * Ş. Yavuz H. Karagüe Dokuz Eyü Üiversitesi Dokuz Eyü Üiversitesi Dokuz Eyü Üiversitesi İzmir İzmir İzmir Özet Karmaşık mekaik sistemeri sou eema modeeri bigisayar programarıya kuruabimekte, sistemeri cevaparı aaitik ya da ümerik yötemere ede ediebimektedir. Bu çaışmada akastre esek bir kirişi aktif titreşim kotroü Newmark yötemi ie gerçekeştirimiştir. Esek bir kiriş içi sou eema modei Euer-Beroui teoremi ie kuruur. Esek kirişi uç oktasıa ai değişe bir impus girdi uyguaır ve yie uç oktaı açık sistem ve kapaı sistem diamik cevaparı Newmark çözümü ie buuur. Girdii değereri tüm zama araığı içi taımaır. Uç oktaı yer değiştirmesii ai değeri, referas ai değeride çıkarıarak ede edie hata siyaie PD kotro uyguaarak esek sistemde titreşimeri azatıması hedefeir. İşem düzgü rejim değeri ede ediee kadar seçie zama adımı ie devam ettiriir. Aktif kotroü etkisii göstermek amacıya söüm ihma edimiştir. Farkı PD kotro katsayıarı uyguamasıı ve sou eemaar yötemideki eema sayısıı seçimii aktif titreşim kotroüe etkisi araştırımıştır. Aahtar keimeer: aktif titreşim kotroü, Newmark yötemi, sou eemaar yötemi Abstract The fiite eemet modes of compex mechaica systems ca be estabished with computer programs, resposes of the systems ca be achieved with aaytica or umerica methods. this study, active vibratio cotro of a fexibe catiever beam is aayzed with Newmark method. The fiite eemet mode of a fexibe beam is obtaied by Euer-Beroui theorem. A impuse iput is appied to the ed poit of the fexibe beam ad aso the ope- ad cosed oop dyamic resposes of the ed poit are foud with Newmark soutio. The vaues of the iput are defied for the time itervas. PD cotro is appied to the error siga, which is cacuated by subtractig the istataeous vaue of dispacemet of the ed poit from the istataeous referece vaue, to reduce the vibratios of the fexibe system. This process is cotiued with the time step uti steady state vaue is reached. order to observe the effectiveess of the active vibratio cotro, the dampig is igored. The effect of differet PD cotro parameters ad the eemet size i fiite eemet method o active vibratio cotro is studied. Keywords: active vibratio cotro, fiite eemet method, Newmark method Giriş 1 Titreşim probemi otomotiv, işaat ve makie gibi farkı mühedisik aaarıda öemi araştırma kouarıda biri omuştur. Mühedisikte maiyeteri düşük oması ve daha hafif oması edeiye esek yapıar tercih edimektedir. Esek maipüatörer daha düşük aktüatöreri kuaımasıı sağar ve böyece daha az eerji harcarar. Acak buua birikte esekikte doayı artık titreşimer meydaa geir ve bu da yüksek hassasiyet istee çaışmaarda öemi derecede probem yaratır. Farkı kotro stratejieri kuaarak titreşimeri azatıması ya da yok edimesi araştırmacıar içi zoru bir soru haie gemektedir. Yapıarı matematik modei sou eemaar metodu kuaıarak ya da aaitik oarak kuruabiir [1]. Diamik sistemeri diferasiye dekemeri ümerik yötemere [-4] ya da ticari mühedisik programarı ie kuruabiir [5,6]. Esek robot maipüatörerii artık titreşim geikeri pasif ya da aktif kotro ie azatıabiir. Açık sistem kotroü oarak adadırıa pasif kotro hareket komutarı ie ouşturuur [7-1]. Aktif titreşim kotoü içi kapaı dögü modeie ve tahrik eemaıa ihtiyaç vardır. Piezoeektrik eemaar esek yapıarı titreşim kotroü içi geiş bir kuaım aaıa sahiptir [11, 1]. Robot maipüatörerii diamik modei topakamış sistemer oarak da iceeebiir [1, 14]. Topakamış sistemeri titreşim kotroü otomotiv [15-17] ve işaat [18,19] gibi farkı mühedisik aaarıı da popüer araştırma kousudur. İşaat mühedisiğide, sismik hareketer ve deprem uyarıarı içi ayarı küte söümeyicier, aktif ayarı küte söümeyicier ve visko-eastik söümeyicier aktif ve pasif titreşim kotroüde kuaımaktadır. Bu çaışmada, esek akastre bir kirişi sou eemaar modei Matab programıda kuruur, ayı program içeriside kotro agoritması etegre edie Newmark yötemi ie kirişi uç oktasıı titreşimeri aktif kotro uyguaarak azatıır. Değişik kotro katsayıarıa göre sistemi diamik davraışı ede ediir ve uygu kotro katsayısı seçidikte sora kirişi uç okta titreşimerii e kısa sürede söümeyecek kotro * evet.magaca@deu.edu.tr sahi.yavuz@deu.edu.tr hira.karague@deu.edu.tr 1

2 Uusararası Katıımı 17. Makia Teorisi Sempozyumu, zmir, Hazira 15 kuvvetii uyguaması gereke optimum oktaı beiremesi içi program içeriside optimizasyo çaışması yapıır. Kotro stratejisi ve Newmark yötemii etkisii göstermek amacı ie kotro kuvvetii diamiği ihma edimiştir.. Esek Kirişi Modeemesi Bu çaışmada Euer-Beroui kiriş modei ee aımıştır. Ee aıa kiriş modei Şeki 1 de gösterimiştir. Burada, F D girdi kuvvetii, F C uyguaa kotro kuvvetii, y r referas girdi siyaii ve Lc uyguaa kotro kuvvetii kirişi akastre oktasıda oa mesafesii ifade etmektedir. Esek kirişi mazemesi aümiyum oup kiriş içi fizikse değerer Tabo 1 de verimiştir. Şeki. Esek kiriş sou eema modei Sou eema teorisi kuaıarak her bir eema içi oka koordiatarda küte ve rijitik matrisi kuruabiir. Eğime ve uzama titreşimerie sahip esek bir kirişi oka koordiatarda küte ve rijitik matriseri Dekem de verimiştir. Burada e, A, E, ve ρ sırasıya her eema içi eema boyuu, kesit aaıı, eastisite modüüü, aa ataet mometii ve yoğuuğuu ifade etmektedir. Akastre bir kiriş içi doğa frekasar aaitik oarak Dekem 1 de verie frekas formüü ie hesapaabiir. E zz (rad/s) (1) L A Şeki 1. Akastre kiriş modei Aümiyum Kiriş Eastisite Modüü, E (N/m ) 68 x 1 9 Yoğuuk, ρ (kg/m ) 8 Uzuuk, L (mm) 54 Kesit yüksekiği, h (mm).8 Kesit geişiği, b (mm) 5.4 TABLO 1. Kirişe ait fizikse değerer Esek kiriş içi sou eema modei Euer-Beroui kiriş teoremie göre kurumuştur. Sou eema modei şematik oarak Şeki de gösterie kiriş öceike eemaa böüerek uç oktasıa impuse girdi uyguaır ve uç oktaı titreşimii kotroü içi kirişi beiree bir oktasıa kotro kuvveti uyguaır. Sou eemaara böüe esek kirişi her eemaıda düğüm, her düğüm oktasıda x ve y yöüde öteeme ve z yöüde açısa döme serbestiği buuur. Esek kirişi A oktası akastre sıır şartıa sahip oduğu içi bu düğüm oktasıdaki 1,11 ve 1. serbestiker dereceeri sıfırdır. Burada β, L, E, yy, ρ, A sırası ie frekas parametresi, kirişi boyu, eastisite moduü, z ekseie göre aa ataet mometi ve kesit aaıdır. Akaste bir kirişte β frekas parametresi ik üç frekas içi.516,. ve 61.7 dir. Akastre aümiyum kirişi eğime titreşimerii ik üç doğa frekası içi sırası ie.57, ve 4.99 Hz buumuştur.. Newmark Yötemi ie Aktif Titreşim Kotroü Esek yapıarda düşük rijitiğe sahip omaarıda doayı yüksek titreşimer meydaa geir. Yapıa çaışmaarda titreşimeri azatıması veya yok edimesi büyük öem taşımaktadır. Bu böümde, esek kirişi Newmark yötemi ie titreşim kotroü ee aıır. Sistemi sou eemaar modeii ouşturuması ve Newmark yötemie etegre edie kotroü MATLAB programı ie yapıır. Kirişe etki ede impuse girdii ve uyguaa kotro kuvvetii Newmark yötemie etegre edie kapaı kotroü bok diyagramı Şeki de gösterimiştir. Burada, y rm referas girdi siyaidir. Esek kirişi uç oktasıa ai değişe bir impuse girdi siyai uyguaır ve uç oktaı y yöüdeki yer değiştirmesi geri beseme oarak aıır. Geri beseme oarak aıa uç oktaı y yöüdeki yer değiştirmesi y a, zama adımıdaki sou eemaara ayrıa kirişi eema sayısıa bağı oarak düğüm oktasıdaki y yöüdeki yer değiştirmeyi ifade eder. Şeki de gösterie eemaa böümüş esek kirişte y a, zama adımıdaki 4 ou düğüm oktasıı y yöüdeki yer değiştirmesidir. y em m zama adımıdaki hata siyaidir

3 Uusararası Katıımı 17. Makia Teorisi Sempozyumu, zmir, Hazira 15 m 'e k A 4 'e e A E e A E e e 1 e e e 1E 1E e e 4 1 e e e 4E e e e e e E 7 14 A E A e e E 54 1 e 156 e 1E 1E e e 1 e e 4 e e e e e E e e 4E e () ve m=+1 dir. K p, K i ve K d sırasıya orasa, itegra ve türevse kotrocü katsayıarıdır. Esek kirişi uç oktasıa impus girdi uyguaır ve uç oktaı yer değiştirmesii ai değeri referas ai değeride çıkarıarak ede edie hata siyaie PD kotro uyguaarak Newmark yötemi ie uç oktaı yer değiştirmesi her bir zama adımıda hesapaır ve işem sistem düzgü rejim değerie uaşaa kadar Δt zama araıkarı ie devam ettiriir. Referas değer, impus girdi uyguadıkta sora titreşim kotroüde her zama adımı içi sıfır oarak aıır. Zama araığı, aaitik oarak hesapaa ik frekası beirediği periyodu de biri aıarak hesapaır. {q} m, m. zama adımıdaki her düğüm oktasıdaki x ve y yöüdeki öteemeer ie z etrafıdaki dömei hesapaa değereridir. u m, m. zama adımıdaki kotro girdisidir. Şeki. Kapaı sistem bok diyagramı Newmark yötemi, küte, rijitik ve söüm matriserii kuaarak sistem cevabıı ede ettiğide, sou eemaar aaizide ümerik yötemer arasıda tercih edie e etkii yötemdir. Newmark yötemi ie ede edie esek kirişi uç oktasıı yer değiştirmeeri açık sistem ve kapaı sistem içi Şeki 4 de verimiştir. Kotrocü katsayıarı deeme ie seçimiştir. Aktif titreşim kotroüü etkisii göstermek amacıya söüm C= aımıştır. Titreşim kotroü performası, düzei rejim zamaı t s, karekök ortaama RMS ve aşma parametreeriye değerediriir.

4 Yer değiştirme (m) Uusararası Katıımı 17. Makia Teorisi Sempozyumu, zmir, Hazira Kotro YOK Kotro VAR Farkı kotro katsayıarı içi ede edie düzei rejim zamaı, aşma ve RMS değereri Tabo de verimiştir. Kotro Katsayısı t s RMS Aşma K p K i K d Zama (s) Şeki 4. Esek kirişi uç oktasıı kotro yok ve kotro var durumarı içi yer değiştirmesi (L C =168mm, Kp=8, Ki=.5, Kd=.5) TABLO. Farkı kotro katsayıarı içi kapaı sistem cevabı Eema sayısı L C (mm) t s RMS Aşma TABLO. Eema sayısıı diamik aaize etkisi (K p=8, K i=.5, K d=.5) Tabo de de görüdüğü gibi esek kirişi uç oktasıı yer değiştirme geikeri, düzei rejim zamaı ve aşma değeri farkı kotrocü katsayıarı içi değişmektedir. E iyi soucu PD kotrocü uyguadığıda ede edidiği gözememiştir. Sou eemaar modeide eema sayısı değiştiğide esek kirişi uç oktasıı diamik davraışıa etkisi iceemiş ve ede edie souçar Tabo de verimiştir. Tabo deki souçar iceediğide kotro kuvvetii uyguadığı okta değiştikçe ayı kotro katsayıarı içi esek kirişi uç oktasıı yer değiştirme 4 geikeri, düzei rejim zamaı ve aşma değereri değişmiştir. Kotro kuvvetii uyguadığı mesafe değişmediği sürece eema sayısıı diamik aaize etkisii omadığı gözememiştir. Bu verierde yoa çıkarak esek kirişte kotro kuvvetii uyguama oktası değiştirierek e uygu mesafe buuması amaçamış ve MATLAB de yazıa program eema sayısı değiştirierek kotro kuvvetii uyguadığı mesafei optimize edimesi içi geiştirimiştir. Uyguaacak mesafei hassas oarak buuması içi eema sayısı 54 oarak seçimiştir. Kuvveti uyguadığı okta 1 mm araıkara arttırıarak, 1 mm de

5 Uusararası Katıımı 17. Makia Teorisi Sempozyumu, zmir, Hazira mm mesafeye kadar her okta içi ede edie düzei rejim zamaı ve RMS değereride, e düşük düzei rejim zamaıa göre programı uyguaması gereke L c mesafesii buması istemiştir. Ede edie aaiz soucuda programı öerdiği L c mesafesi 197mm oduğuda, esek kirişi uç okta titreşimii e kısa sürede söümediği görümüştür. Programı öerdiği mesafede kotro kuvveti uyguadığıda esek kirişi uç oktası.7 saiyede düzei rejim zamaıa uaşmaktadır. V. Souçar Bu çaışmada esek bir kirişi sou eema modei Euer-Beroui kiriş teoremie göre MATLAB programıda kurumuştur. Kurua modei uç oktasıa etki edie impuse girdi atıda kirişi beiree uzakığıa kotro kuvveti etki ettirierek aktif titreşim kotroü Newmark yötemi ie gerçekeştirimiştir. Farkı kotrocü parametreeri ie uç okta titreşimerie etkisi iceemiştir. Esek kirişi sou eemaar modeide eema sayısı arttırıdığıda, geri beseme oktası ve kotro kuvvetii uyguadığı okta değişmediği sürece diamik davraışı değişmediği görümüştür. Kirişi uç okta titreşimii e kısa sürede söümemesi içi MATLAB programıda kotro kuvvetii uyguaması gereke mesafe optimize edimiştir. Bu yakaşım ie daha karmaşık yapıarı modei kuruarak aktif kotro uyguaabiir. Buda soraki çaışmaarda esek robot koarıı aktif titreşim kotroüü iceemesi hedefemektedir. Teşekkür UMTS i sürekiiğii sağaya tüm sempozyum düzeeyicieri ve katıımcıarıa teşekkür ederiz. Kayakça [1] M.Beosma, G.LeVey, Cotro of fexibe maipuators: A survey, Robotica, 4, pp [] T.C.Fug, Ucoditioay stabe higher-order Newmark methods by sub-steppig procedure, Computer Methods i Appied Mechaics ad Egieerig 147 (1997) [] B.Owre, H.H.Simose, Aterative itegratio methods for probems i structura dyamics, Computer Methods i Appied Mechaics ad Egieerig 1 (1995) 1-1. [4] L.Zhag, J.W.Zhu, Z.Zheg, The stochastic Newmark agorithm for radom aaysis of muti-degree-of-freedom oiear systems, Computers ad Structures 7 (1999) [5] H. Karagüe, L.Magaca, Aaysis of Ed Poit Vibratios of a Two-Lik Maipuator by tegrated CAD/CAE Procedures, Fiite Eemets i Aaysis ad Desig 4 (4) [6] Karagüe H, Magaca L, Öktem HF. (4) Aaysis by active vibratio cotro i smart structures by ANSYS, Smart Mater Struct, 1: [7] P.Meck, W.Seerig, Miimizig Residua Vibratio for Poit-to- Poit Motio, ASME Joııra of Vibratio, Acoııstics, Stress, ad Reiabiity i Desig. Vo. 17, October 1985, pp [8] W. E.Sighose, N. C.Siger, W. P.Seerig, Desig ad mpemetatio of Time-Optima Negative put Shapes, Proceedigs of the 1994 teratioa Mechaica Egieerig Cogress ad Expositio, ASME Dyamic Systems ad Cotro Divisio DSC 55-1, Chicago, L, 1994, pp [9] S.Jayasuriya, S.Choura, O the Fiite Settig Time ad Residua Vibratio Cotro of Fexibe Structures, Joura of Soud ad Vibratio, Vo. 148, No. 1, 1991, pp [1]. J.Sha, H-T.Liu, D.Su, Modified iput shapig for a rotatig sige-ik fexibe maipuator, Joura of Soud ad Vibratio 85 (5) [11] Zhag Xiami, Shao Chagjia, Arthur, Arthur G. Erdma, Active Vibratio Cotroer Desig ad Compariso Study of Fexibe Likage Mechaism Systems, Mechaism ad Machie Theory, Vo. 7,, pp [1] M.Hassa, R.Dubay, C.Li, R.Wag, Active vibratio cotro of a fexibe oe-ik maipuator usig a mutivariabe predictive cotroer, Mechatroics 17 (7) 11. [1] Wiiam O Coor, Doogh Lag, Positio Cotro of Fexibe Robot Arms Usig Mechaica Waves, ASME Joura of Dyamic Systems, Measuremet, ad Cotro, Vo. 1, 1998, pp [14] T.L.Vicet, S.P.Joshi, Yeog Chig Li, Positioig ad Active Dampig of Mass Sprig Systems, ASME Joura of Dyamic Systems, Measuremet, ad Cotro, Vo. 111, December 1989, pp [15] Weichao Su, Jifu Li, Ye Zhao, Huiju Gao, Vibratio cotro for active seat suspesio systems via dyamic output feedback with imited frequecy characteristic, Mechatroics 1 (11) 5 6. [16] G.Priyadoko, M.Maiah, H.Jamauddi, Vehice active suspesio system usig skyhook adaptive euro active force cotro, Mechaica Systems ad Siga Processig (9) [17] Z Yag, S Liag, Y Su, Q Zhu, Vibratio suppressio of four degree-of-freedom oiear vehice suspesio mode excited by the cosecutive speed humps, Joura of Vibratio ad Cotro pubished oie 5 Juy 14, 1-8. [18] Cristia.Muresa, Eva H.Duf, Ovidiu Proda, A fractioa order cotroer for seismic mitigatio of structures equipped with viscoeastic mass dampers, Joura of Vibratio ad Cotro, pubished oie 1 October 14, 1-1. [19] A.P.Wag, Y.H.Li, Vibratio cotro of a ta buidig subjected to earthquake excitatio. Joura of Soud ad Vibratio 99, 7, pp