Mekanik Laboratuvarı

Transkript

1 MİMAR SİNAN GÜZEL SANATLAR ÜNİVERSİTESİ FİZİK 201 DERSİ Mekanik Laboratuvarı Hazırlayanlar: Yamaç Pehlivan Hüseyin Bahtiyar Bahadır Elmas Ekim 2012

2 Deneyler Öğrencinin İsmi: Numarası: Deney Tarih İmza Temel Ölçümler Doğrusal Hareket Düzlemde Hareket Basit Sarkaç Çarpışmalar Eylemsizlik Momenti Sabit İvmeli Dönme Keplerin II. Yasası

3 İçindekiler GENEL BİLGİLER 1 Ölçme ve Birimler 7 Anlamlı Rakamlar ve Bilimsel Gösterim Anlamlı Rakamlarla İşlemler Hata Analizi 10 Giriş Ortalama Değer ve Standart Sapma Bir Kez Ölçüm Yapıldığında Hata Bileşik Büyüklüklerin Hatası Grafik Analizi 12 Grafik Çiziminin Önemi Grafik Çizerken Nelere Dikkat Etmeliyiz? Doğrusal Olmayan Bağıntıların Grafiği Hava Masası Kullanımı 15 Hava Masası Deney Düzeneği Çalışma Prensibi Kullanımı HAFTA: ORTAK DENEY 5 Temel Ölçümler 19 Amaç Genel Bilgiler Deneyin Yapılışı HAFTALAR: BİRİNCİ DÖNGÜ 6 Doğrusal Hareket 23 Amaç Genel Bilgiler Deneyin Yapılışı Düzlemde Hareket 29 Amaç Genel Bilgiler Deneyin Yapılışı

4 8 Basit Sarkaç 34 Amaç Genel Bilgiler Deneyin Yapılısı HAFTALAR: İKİNCİ DÖNGÜ 9 Çarpışmalar 40 Amaç Genel Bilgiler Deneyin Yapılışı Eylemsizlik Momenti 44 Amaç Temel Bilgiler Deneyin Yapılışı Sonuçların Analizi Sabit İvmeli Dönme 50 Amaç Temel Bilgiler Deneyin Yapılışı Deneyin Analizi Keplerin II. Yasası 55 Amaç Genel Bilgiler Deneyin Yapılışı Jiroskop 58 Amaç Genel Bilgiler Deneyin Yapılışı Yedek Grafik Kağıtları 62 3

5 Şekil Listesi 3.1 Örnek bir grafik çizimi Bir doğrunun eğim grafiği Kıvılcım osilatörü Kompresör Pedal Diskler Hava masası sistemi Mikrometre Kompas hava rayı Ortalama hız ve ani hızın incelenmesi Bir boyutta düzgün ivmeli hareketin incelenmesi Deneyde kullanacağımız ışık sensörünün doğru şekilde yerleştirimesi Eğimli masa yüzeyinde effektif yerçekimi ivmesi Hava masası deneyi Eğik atışta menzil ve maksimum yükseklik Basit sarkaç Değişken g sarkacı Deney düzeneği Esnek çarpışma Esnek olmayan tam çarpışma Çarpışma örneği Eylemsizlik momenti deney düzeneği Doğrusal yay Spiral yay Sabit ivmeli hareket deney düzeneği Keplerin 2. yasası Yarıçap vektörünün süpürdüğü alan Kepler deney seti Kepler in ikinci yasası için örnek çizim Deneyde kullancağımız jiroskop Jiroskop Deney Düzeneği

6 Tablo Listesi 1.1 Fizikte kullandığımız temel birimler Fizikte kullandığımız türetilmiş birimler Çok büyük ve çok küçük değerleri ifade etmek içın kullandığımız ön ekler Akım ve potansiyel farkı veri tablosu Dikdörtgenler prizması için kompas ile elde edilen sonuçlar Silindir için mikrometre ile elde edilen sonuçlar Ortalama hız veri tablosu İvme veri tablosu Eğik düzlem tablosu Eğik atış verileri tablosu Periyodun yerçekimi ivmesine bağlılığı Periyodun uzunluğa bağlılığı g nin belirlenmesi Esnek çarpışma verileri tablosu Esnek olmayan çarpışma verileri tablosu Doğrusal hareket ve dönme hareketi için Newton ın ikinci yasasının ifadesi Kütlelerin yokluğunda periyot ölçümleri m = 25 g lık kütlelerle periyot ölçümleri m = 50 g lık kütlelerle periyot ölçümleri Burulma sabitinin belirlenmesi I-r 2 grafiğinin analizi Doğrusal hareket ve dönme hareketini ifade eden denklemlerin benzerliği Sabit ivmeli dönme verileri tablosu Kepler in ikinci yasası için alan hesabı Doğrusal hareket ve dönme hareketi için Newton ın ikinci yasasının ifadesi Jiroskop veri tablosu

7 GENEL BİLGİLER 6

8 1 Ölçme ve Birimler Temel bilimin karakteri objektiflik üzerine kuruludur. Bunun temelinde her zaman her yerde tekrarlanabilir deneylere ve sistematik ölçümlere dayanması yatar ve bu özelliği ile insan zihninin diğer faliyetlerinden ayrılır. Bir deneycinin verilerini anlaşılabilir bir şekilde kaydetmesi ve sonuçlarını anlamlı bir şekilde analiz edebilmesi gerekir. Bu laboratuvar, öğrencilere bu özellikleri kazandırmayı hedeflemektedir. Bir deneyin kaydı yapılırken kullanılan tekniğinin ve incelenen fiziksel büyüklüklerin açıklanmasının yanında alınan verilerin birimlerinin de belirtilmesi gerekir. Fizikte kullanılan standart birim sistemi, Uluslararası Birim Sistemi ya da Fransızca karşılığından (Système International d Unités) gelen kısaltması ile SI sistemidir. Bu birim sistemindeki temel ve türetilmiş birimler sırasıyla Tablo (1.1) ve (1.2) de görülmektedir. Tablo (1.3) de ise çok küçük ve çok büyük değerleri belirtmek için kullanılan özel ön eklere yer verilmistir. Temel Fizik Büyüklükleri Birimi Birim sembolü uzunluk metre m kütle kilogram kg zaman saniye s elektrik akımı amper A sıcaklık kelvin K ışık şiddeti kandela cd madde miktarı mol mol Tablo 1.1: Fizikte kullandığımız temel birimler Anlamlı Rakamlar ve Bilimsel Gösterim Bir ölçüm sonucunun hassasiyeti, onu ifade ederken kullanılan anlamlı rakamların sayısı ile ortaya konulur. Örneğin bir uzunluğu l = 9.2 mm olarak belirtmemiz, ölçüm aletimizin ancak milimetrenin onda birini ölçecek hassasiyete sahip olduğunun göstergesidir. Daha hassas bir ölçüm aleti ile bu uzunluğu örneğin l = mm şeklinde ölçebilirdik ki bu da aletimizin milimetrenin onbinde birini ölçebilecek kadar hassas olması ile mümkündür. İşte bu durumların ilkinde sonucumuzun iki anlamlı rakamı olduğunu söylerken ikincisinde beş anlamlı rakamı olduğunu söyleriz. Bu açıdan bakıldığında, örneğin 2 mm ile 2.0 mm şeklinde ifade edilen iki ölçüm sonucu, her ne kadar matematiksel olarak aynı olsalar da bilimsel olarak bize farklı şeyler söylemektedirler. Bu sonuçlardan ilki bir anlamlı basamağa sahiptir ve ölçen kişinin virgülden sonraki ilk basamağı bilmediğini göstermektedir. Bilmediğimiz bu basamağı sıfır olarak kabul edemeyiz. Öte yandan ikinci sonuç iki anlamlı basamağa sahiptir ve ölçen kişinin bu basamağın sıfır olduğunu kesin olarak bildiğini bize söylemektedir. Bu iki sonuç Bazen çok büyük ya da çok küçük bir sayıyı ifade ederken, sadece sayının skalasını belirtmek için 7

9 Temel Fizik Büyüklükler Birim Birim sembolü SI Birimi Enerji Joule J kgm 2 s 2 Kuvvet Newton N kgms 2 = Jm 1 Güç Watt W kgms 3 = Js 1 Elektrik Yükü Coulomb C As Elektriksel Potansiyel Farkı Volt V kgm 2 s 3 A 1 = JA 1 s 1 Direnç Ohm Ω kgm 2 s 3 A 2 = V A 1 Kapasitans Farad F A 2 m 2 s 3 A 2 = V A 1 Manyetik Akı Weber Wb kgm 2 s 2 A 1 = V s İndüktans Henry H kgm 2 s 2 A 2 = V sa 1 Manyetik Alan Tesla T kgs 2 A 1 = V sm 2 Frekans Hertz Hz s 1 Basıç Paskal Pa N m Tablo 1.2: Fizikte kullandığımız türetilmiş birimler Miktar Ad simge Miktar Ad simge 10 1 desi d 10 deka da 10 2 santi c 10 2 hekto h 10 3 mili m 10 3 kilo k 10 6 mikro 10 6 mega M 10 9 nano n 10 9 giga G piko p tera T femto f peta P atto a ekza E Tablo 1.3: Çok büyük ve çok küçük değerleri ifade etmek içın kullandığımız ön ekler 8

10 bazı sıfırlar yazmamız gerekebilir. Örneğin bir ülkenin nüfusunun olduğunu okusanız herhalde bu ülkede tamı tamına bu kadar insan yaşadığını düşünmezsiniz. Buradaki altı sıfır aslında sadece sayının milyon skalasında olduğunu göstermek için yazılmıştır ve kastedilen büyük ihtimalle bu ülkede kişinin yaşadığıdır. Yani bunu yazan kişi aslında ülkenin nüfusunu sadece iki anlamlı rakam ile bilmektedir ve geri kalan sıfırları yer doldurmak için oraya koymuştur. Bilimsel sonuçları belirtirken benzeri bir belirsizliğe düşmemek için bilimsel gösterim dediğimiz yazım biçimi kullanırız. Bu gösterimde bütün verileri x = a 10 n (1.1) şeklinde ifade ederiz ki burada 1 a < 10 olup sadece kesin olarak bildiğimiz basamakları içerir. Tanımı gereği a nın bütün basamakları anlamlı rakamlardan oluşur çünkü böyle bir gösterimde yukarıda olduğu gibi sadece sayının skalasını belirtmek için sıfırlar yazılmasına gerek yoktur. Sayının skalasını 10 n çarpanı ifade etmektedir. Örneğin, yukarıdaki ülkenin nüfusu bize olarak üç anlamlı rakam ile verilmiş ise, bundan nüfus sayımı yapanların sayının sonundaki sıfırdan emin oldukları ama sonrasını bilmedikleri sonucunu çıkarırız. Bu sıfır artık anlamlı bir rakamdır çünkü sadece yer doldurmak için değil, açıkça bilindiği için oradadır. Anlamlı Rakamlarla İşlemler Anlamlı rakamlarla işlem yaparken, her zaman en az hassasiyete sahip olan girdimiz sonucumuzun hassasiyetini belirler. Örneğin aşağıdaki gibi bir toplama işleminin sonucunu hesap makinemiz bize şeklinde verse de bunu şeklinde ifade etmeliyiz çünkü sayısının virgülden sonraki ikinci basamağı ve sonrası hakkında fikrimiz yoktur. Öte yandan çarpma ve bölme yaparken sonucumuz, en az anlamlı rakama sahip olan veriden daha fazla anlamlı rakam içeremez. Örneğin işleminin sonucunu hesap makinesinin bize verdiği şekliyle değil 3.7 şeklinde ifade etmeliyiz. Yukarıdaki iki örnekte görüldüğü gibi bazı durumlarda işlem sonucumuzu yuvarlamamız gerekir. Yuvarlama işlemini yaparken sayıyı istenilen miktarda anlamlı rakam içeren en yakın sayı ile değiştiririz. Örneğin sayısını iki anlamlı rakam içerecek şekilde yuvarlamak istersek elde edeceğimiz sonuç olacaktır. 9

11 2 Hata Analizi Giriş Fiziksel bir büyüklüğün değerinin deney ile belirlenmesi sırasında, ölçüm aletlerinin duyarlılığının sınırlı olması, çevresel faktörler, deneyde izlenen metodun mükemmellikten uzak olması ve diğer nedenlerle çeşitli hatalar yapılabilir. Bu hatalar daha titiz bir çalışmayla azaltılabilirse de, genel olarak hiçbir zaman sıfıra indirilemez. Bu nedenle iyi bir deney hata analizi dediğimiz çalışmayı da içermelidir. Aşağıda bunu nasıl yapacağımızı göreceğiz. Ama önce bir deneydeki hataların iki farklı gruba ayrılabileceğini belirtelim. Bunlardan birincisi sistematik hatalardır. Bu hatalar deney düzeneğindeki bir bozukluk veya izlenen yöntemin yanlışlığı gibi nedenlerle ortaya çıkarlar ve en karakteristik özellikleri sonuca hep aynı yönde etki etmeleridir. Yani sistematik olarak sonucun hep gerçek değerden daha büyük veya daha küçük çıkmasına neden olurlar. Örneğin siz düz bir masa üzerinde deney yaptığınız varsayımı ile bir cismin üzerine etkiyen kuvveti hesaplamaya çalışırken siz farkında olmadan masanızda bir eğim oluştuysa ölçtüğünüz kuvvet daima gerçek kuvvetten daha büyük çıkacaktır çünkü artık yerçekimi kuvveti de deneye katkıda bulunmaktadır. Diğer bir hata türü olan istatistiksel hatalar ise deneyde kullanılan aletlerin mükemmelikten uzak olması ve deneycinin kendisinin ve çevresel faktörlerin ölçüm sonucunu etkilemesi gibi nedenlerden kaynaklanan hatalardır. İstatiktiksel hataların en karakteristik özellikleri genelde küçük olmaları ve sonucu her iki yönde de etkileyebilmeleridir. Örneğin metal bir cismin uzunluğunu ölçerken cismin tam olarak düzgün olmaması, hava sıcaklığının etkisi ile genleşmesi veya büzüşmesi muhtelif zamanlarda muhtelif noktalardan yaptığımız ölçme işlemlerinin sonuçlarını farklılaştırabilir, Bunun bir sonucu olarak da ölçüm sonuçlarımız bir ortalama değerin etrafında istatiksel bir dağılım gösterir. Ortalama Değer ve Standart Sapma Sistematik hatalar dikkatli bir deneyci tarafından bertaraf edilebilirler. İstatiktiksel hatalar ise hata analizi dediğimiz bir işlem sonucunda görünür hale gelirler. Bu tür bir analiz bize sonucumuzu X = X ± X (2.1) şeklinde ifade etme olanağı verir ki bunun da anlamı X in gerçek değerinin X X ile X + X arasında olduğudur. Burada X ölçüm sonuçlarımızın ortalamasıdır. Yani X büyüklüğünü çeşitli defalar ölçüp X 1,X 2,X 3,...,X n değerlerini bulduysak X = X 1 + X 2 + X X N N ni=1 X i = N ile verilir. Ölçülen fiziksel büyüklüğün gerçek değeri X ile, ölçülen ortalama değer X değeri arasındaki farka X in mutlak hatası denir. Mutlak hata : δx = X X (2.3) X gerçek değeri tam olarak bilinmediğinden δx in de değerini tam olarak bilemeyiz. Ancak istatistiksel yöntemler kullanılarak δx için bir üst sınır değeri olan standart sapma belirlenebilir. Bunun için öncelikle her bir ölçüm sonucunun ortalamadan sapması olan (2.2) X i = Xi X (2.4) 10

12 değerlerini gözönüne almalı ve bunları kullanarak ni=1 ( X i ) 2 X = N(N 1) (2.5) büyüklüğünü hesaplamalıyız. Bu büyüklüğe X in standart sapması denir ve istatistiksel metodlar kullanılarak çok büyük bir olasılıkla δx < X olduğu gösterilebilir. Bu durumda Denklem (2.3) bize Denklem (2.1) i yazma olanağını verir. Bir Kez Ölçüm Yapıldığında Hata Ölçmelerin çok sayıda tekrarlanması mümkün olmayan durumlarda, ölçme hatalarının bulunmasında en uygun yol, kullanılan ölçü aletlerinin en küçük iki bölme çizgisi arasının yarısını almaktır. Örneğin en küçük bölümü 1 mm olan bir çetvel ile ölçülen uzunluk için en büyük hata X = 0.5 mm alınabilir ki bu da mutlak hata için bir üst sınırdır çünkü çetvele baktığımız da ölçüm sonucunun iki milimetre çizgisinin arasında olduğunu zaten görebilmekteyizdir. Bileşik Büyüklüklerin Hatası X ve Y gibi iki büyüklüğü ölçtüğümüzü, ortalama değerlerini ve istatistiksel hatalarını X = X ± X Y = Ȳ ± Y (2.6) şeklinde belirlemiş olduğumuzu düşünelim. Diyelim ki bu büyüklüklerden başka bir Q = Q(X,Y ) (2.7) niceliğini belirlemek istiyoruz. Bu durumda elde ettiğimiz sonucun da bir hatası olacaktır. Yani Q değerini de Q = Q ± Q (2.8) şeklinde yazabililiriz. Burada Q değeri X ve Ȳ ortalama değerlerin kullanılarak bulunan sonuçtur, yani yazılabilir. Q ise genel olarak Q = Q( X,Ȳ ) (2.9) Q = dq dx X + dq dy Y (2.10) denkleminden bulunabilir ki burada türevlerin değerleri X = X ve Y = Ȳ da hesaplanmalıdır. Daha fazla değişkeni işleme soktuğumuz durumlarda bu formülleri genelleştirebiliriz. Denklem (2.10) u kullanarak basit bazı durumlar için aşağıdaki formüleri hemen çıkarsayabiliriz: Toplama ve çıkarmada Q = X ± Y = Q = X + Y (2.11) Çarpma ve bölmede Q = X.Y veya Q = X Y = Q = Q( X X + Ȳ Y ) (2.12) Üstel fonksiyonlarda Q = X n = Q = n Q X X (2.13) 11

13 3 Grafik Analizi Grafik Çiziminin Önemi Deney sonucunda elde ettiğimiz verileri bir grafik üzerinde göstermek sonuçları değerlendirmemiz açısından oldukça faydalıdır. Veriler grafik kağıdı üzerinde bize sayısal bir tabloda olduğundan çok daha fazla şey söyler. Örneğin bir telden geçen I akımının, telin uçları arasına uygulanan V potansiyel farkı ile doğru orantılı olması Ohm yasası olarak bilinir: V = IR (3.1) Burada R telin direcini göstermektedir. Telin uçlarına uyguladığımız gerilimi ve bunun sonucunda elde V (mv) I (ma) Tablo 3.1: Akım ve potansiyel farkı veri tablosu ettiğimiz akımı gösteren deney sonuçlarımızın Tablo (3.1) ile ifade edildiğini düşünelim. Bu tablo bize akımın potasiyel farkı ile birlikte arttığını söylemekle birlikte bu büyüklüklerin arasındaki ilişkiye dair fazla bir şey söylememektedir. Oysa bu verileri kullanarak çizdiğimiz Şekil (3.1) deki grafik bize akım ile potasiyel farkı arasındaki ilişkinin lineer olduğunu açıkça göstermektedir. Grafik Çizerken Nelere Dikkat Etmeliyiz? Gerek Tablo (3.1) de gerekse Şekil (3.1) de gözönüne aldığımız büyüklüklerin isimlerinin ve birimlerinin açıkça yazıldığına dikkat ediniz. Bu iyi bir deney tablosunda ve iyi bir grafikte mutlaka bulunması gereken bir özelliktir. Bunun dışında aşağıdaki noktalara da dikkat etmeliyiz. Grafiğin/veri tablosunun adını belirtmeliyiz. Kullandığımız fiziksel niceliklerin birimini belirtmeliyiz. Grafikte ölçek seçimini, grafik kağıdında mümkün olan en büyük alanı kullanacak şekilde yapmalıyız. Yatay ve düşey eksenler farklı ölçeklere sahip olabilirler. Eksenlerin sıfırdan başlaması gerekli değildir. Burada da grafik kağıdında mümkün olan en büyük alanı kullanacak şekilde seçim yapmalıyız. 12

14 Akım - potansiyel farkı grafiği Şekil 3.1: Örnek bir grafik çizimi Grafik kağıdına noktalarımızı işaretledikten sonra bu noktaların bize işaret ettiği ilişkiye göre en uygun eğriyi çizmeliyiz. Yukarıdaki örneğimizde bu ilişki doğrusal olduğu için bir doğru çizdik. Bu doğrunun ya da eğrinin veri noktalarından geçmesi zorunlu değildir. Nitekim örneğimizdeki doğru hiç bir veri noktasından tam olarak geçmemektedir. Ancak doğrunun altında ve üstünde kalan veri noktaları sayısı yaklaşık olarak eşittir. Grafiğimizi çizerken buna dikkat etmeliyiz. Örneğimize temel teşkil eden Denklem (3.1) bize Şekil (3.1) deki doğrunun eğiminin telin direnci olduğunu söylemektedir. Bu grafiğin eğimini, herhangi bir doğrunun eğimini belirlediğimiz şekilde belirleyebiliriz. Yani (x 1,y 1 ) ve (x 2,y 2 ) Şekil (3.2) de görüldüğü gibi doğru üzerinde iki nokta olmak üzere m = y 2 y 1 x 2 x 1 = tanα (3.2) formülünü kullanabiliriz. Burada kullandığımız (x 1,y 1 ) ve (x 2,y 2 ) noktalarının veri noktalarımız olması sart değildir. Hatta bunların veri noktalarından seçilmesi pek tavsiye edilmez çünkü böyle yapılması grafiğin okunmasını güçleştirecektir. Şekil 3.2: Bir doğrunun eğim grafiği 13

15 Doğrusal Olmayan Bağıntıların Grafiği Yukarıdaki örnekte Denklem (3.1) de olduğu gibi doğrusal bir ilişkiyi inceledik. Genelde gözönüne aldığımız büyüklükler arasındaki ilişki doğrusal olmadığı zaman dahi analizimizi doğrusal bir şekle sokmaya çalışırız. Örneğin, sabit bir a ivmesi ile x = 0 noktasından ilk hızı sıfır olacak şekilde harekete başlayan bir cismin konumu x = 1 2 at2 (3.3) formülü ile verilir. Bu durumda zamama karşı pozisyonu ölçerek ivmeyi belirlemek istiyorsak, bunun için en pratik yol, x e karşı t 2 grafiğini çizmektir. Denklem (3.3) bize bu grafiğin bir doğru şeklinde olacağını, ve bu doğrunun eğiminin de ivmenin yarısına eşit olacağını söylemektedir. Benzer şekilde, örneğin sığası C olan bir kondansatörün yükünü bir R direci üzerinden boşaltacak olursak, kondansatörün uçları arasındaki potasiyel farkı V zamana göre V = V 0 e t RC (3.4) denklemine göre değişir. Buna göre zamana karşı potansiyel farkını ölçmek suretiyle RC çarpımını belirlemek istiyorsak, bunun için en pratik yol yukarıdaki denklemde her iki tarafın logaritmasını alarak log V 0 V = 1 RC t (3.5) denklemi üzerinde çalışmaktır. Bu durumda zamana karşı logv 0 /V büyüklüğünün grafiği doğrusal olacak ve bu doğrunun eğimi bize 1/RC değerinin verecektir. 14

16 4 Hava Masası Kullanımı Hava Masası Deney Düzeneği Hava Masası deneyleri yaparken kullanılacak aletler Kıvılcım Osilatörü Hava Kompresörü Pedal Diskler Karbon Kağıdı Kıvılcım Osilatörü Kıvılcım osilatörü, saniye başına belirlenen sayıda elektriksel atmalar üreterek, disklerin karbon kağıdı üzerine iz bırakmasını sağlar. Eğer kıvılcım osilatörü 10 Hertz e ayarlanırsa, pedala basıldığında karbon kağıdında saniye başına 10 adet nokta olacak şekilde izler oluşur. Şekil 4.1: Kıvılcım osilatörü Hava Kompresörü Hava kompresörü, masadaki sürtünmeyi yok etmek amacıyla hava pompalar. Şekil 4.2: Kompresör Pedal Pedal sayesinde, kıvılcım osilatöründen gelen atmalar, disklere iletilir. Bu sayede karbon kağıdında izler oluşur. 15

17 Şekil 4.3: Pedal Diskler Hava masası üstünde, karbon kağıdının üzerinde hareket eden parçalardır, kıvılcım osilatöründen iletilen elektriksel atmaları, karbon kağıdında iz bırakacak şekilde tasarlanmışlardır. Böylece disklerin izlediği yol karbon kağıdı üzerinden belirli aralıklarla işaretlemiş olur. Şekil 4.4: Diskler Karbon Kağıdı Hava masasının üzerine serilir. Böylece hem masanın zarar gömesi engellenir hem de, disklerin iz bırakması sağlanır. Çalışma Prensibi Kıvılcım osilatörü, saniye başına belirlenen sayıda darbeler üretir. Pedal sayesinde bu darbeler kontrollü biçimde üretilir. Darbeler elektrottan çelik disk merkezine, kayıt kağıdının içindeki, karbon kağıdına iletilir böylece kayıt kağıdına iki çelik diskin de yolunu işaretler. Pedala basmadan darbe oluşmayacağından, ayarlamalar güvenlik açısından pedala basmadan yapılmalıdır. Sistem aşağıda gösterilen şekilde kurulmalıdır. Kullanımı Hava masasının üzerine karbon kağıdı yerleştirin, karbon kağıdın üzerine de kayıt kağıdını yerleştirin. Yüzeyin düzgünlüğünü kontrol edin. Masanın ayaklarını kontrol edin düz olduğundan emin olun. Kıvılcım Osilatörünün fişini, prize takın. Frekansı 10 Hz olarak ayarlayın. Kompresörün fişini prize takın. Çelik diskler masanın merkezinde sabit durabilmelidir. Pedala basmadan birkaç deneme yapılması, sağlıklı veri almak açısından önemlidir. Uygun biçimde fırlatmayı başarınca pedala basarak atışı tekrarlayın. 16

18 Şekil 4.5: Hava masası sistemi 17

19 1. Hafta ORTAK DENEY 18

20 5 Temel Ölçümler Amaç Temel ölçümler, anlamlı rakamlar ve hata hesabı konusunda deneyim kazanmak üzere mikrometre ve kompas yardımı ile cisimlerin uzunluklarının ölçülmesi, hacimlerinin ve yoğunluklarının hesaplanması. Genel Bilgiler İnce bir levhanın kalınlığı, bir telin veya çubuğun kalınlığı, küçük bir bilyanın çapı çok defa mikrometre ile ölçülür. Mikrometre bölmeli cetvel şeklindeki bir sabit kısımla kol üzerinde dönebilen bir vidadan oluşur [Şekil (5.1)]. Mikrometrenin yapısındaki vidanın bir tam dönüşü 0.5 mm ye karşılık gelmektedir. Vida üzerindeki verniye 50 eşit taksimata bölünmüştür. Kalınlığı ölçülecek cisim mikrometrenin uçları Şekil 5.1: Mikrometre arasına yerleştirildiğinde, cismin kalınlığı mm cinsinden aşağıdaki bağıntı yardımıyla bulunur. Burada d, cismin ölçülen uzunluğu N, cetvel üzerinden okunan değeri n ise vida üzerindeki sabit cetvelin yatay çizgisi ile çakışan çizgi sayısıdır. d = N + n (5.1) 100 Cisimlerin kalınlığı, silindir ve kürelerin dış çapı, boruların iç çapı ve bazı cisimlerin (tüp ve şişe gibi) derinliğini ölçmekte sürgülü kompas ile ölçülür. sürgülü kompas, üzerine milimetrik taksimat çizilmiş L cetveliyle, bunun hizasında kaydırılabilen verniyeden oluşur [Şekil (5.2)]. Kompasın uçları arasına iyice yerleştirilen ve şekil değişikliğine uğramayacak biçimde hafifçe sıkıştırılan cismin ölçmek istenen uzunluğunun değeri mm cinsinden; L = N + n (5.2) 100 ile verilir. L cismin ölçülen uzunluğunu, N cetvelin sıfırından itibaren okunan sayıyı (verniye nin üzerindeki 0 değerinin hemen solunda cetvelde karşılık gelen değeri), n ise verniye üzerinde cetveldeki bölmelerden biri ile çakışan ilk çizginin değerini gösterir. 19

21 Şekil 5.2: Kompas Deneyin Yapılışı 1. Kompas yardımı ile dikdörtgenler prizmasının uzunluklarını (a,b,c) 5 farklı yerden ölçünüz. Belirlediğiniz sonuçları Tablo (5.1) e yerleştiriniz ve gerekli hata hesaplarını yapınız. n a(mm) b(mm) c(mm) (a ā) 2 (b b) 2 (c c) ā b c ( ai ) 2 ( bi ) 2 ( ci ) 2 Tablo 5.1: Dikdörtgenler prizması için kompas ile elde edilen sonuçlar Burada ±0.001, hassas terazinin ölçüm hatasınıdır. m prizma = ± 0.001g (5.3) 2. Dikdörtgenler prizmasını hacim ve yoğunluklunun ortalama değerlerini hesaplayınız. V d = ā b c = = mm 3 = cm 3 (5.4) φ d = m prizma g = = V d mm 3 = g cm 3 (5.5) 20

22 3. Mikrometre ile silindirin çapını (R) ve yüksekliğini (h) 5 farklı yerinden ölçünüz. Belirlediğiniz sonuçları Tablo (5.2) ye yerleştiriniz ve gerekli hata hesaplarını yapınız. n R(mm) r(mm) h(mm) (r r) 2 (h h) r h ( r) 2 ( h) 2 Tablo 5.2: Silindir için mikrometre ile elde edilen sonuçlar m silindir = ± 0.001g (5.6) 4. Silindirin hacim ve yoğunluklunun ortalama değerlerini hesaplayınız. V = π r 2 h = = mm 3 = cm 3 (5.7) φ s = m silindir g = = V s mm 3 = g cm 3 (5.8) 5. Kitapçığın birinci bölümünde ifade edilen basit işlemlerde hata hesabı ve standart sapma yöntemini kullanarak, dikdörtgenler prizması ve silindir için hacim ve yoğunluk değerlerine ait hata bağıntılarını yazınız. Hata bağıntılarına ait hesaplamaları yapınız ve sonucu aşağıdaki şekilde yazınız. Silindir için: V s = π r 2 h = Vs = V s (2 r r + h h ) (5.9) Dikdörtgenler prizması için: V s = V s ± V s = mm 3 = cm 3 (5.10) φ s = φ g s ± φ s = mm 3 = g cm 3 (5.11) V d = ā b c = V d = V d ( a ā + b b + c c ) (5.12) V d = V d ± V d = mm 3 = cm 3 (5.13) φ d = φ g d ± φ d = mm 3 = g cm 3 (5.14) 21

23 2-5. Haftalar BİRİNCİ DÖNGÜ DENEYLERİ 22

24 6 Doğrusal Hareket Amaç Ortalama hız ve ani hız kavramlarının çalışılması ve bir boyutta sabit ivmeli hareketin incelenmesi. Genel Bilgiler Bir boyutta sabit ivme ile hareket eden bir cismin t anındaki konumunu ve hızını sırasıyla x(t) ve v(t) ile, t = 0 anındaki konumunu ve hızını da sırasıyla x 0 ve v 0 ile gösterelim. Bu durumda x(t) ve v(t) aşağıdaki denklemlerle ifade edilir. x(t) = x 0 + v 0 t at2 (6.1) v(t) = v 0 + at (6.2) Ayrıca, bu iki denklem arasında zamanı yok ederek, hız yola bağlı olarak v 2 v 2 0 = 2a(x x 0) (6.3) şeklinde ifade edebiliriz. Bu denklemler ivmesini ve başlangıç koşullarını bildiğimiz bir cismin konumunu ve hızını zamana bağlı olarak bize veren kinematik denklemleridir. Şekil 6.1: hava rayı Cismin dış dünya ile etkileşimi sonucunda nasıl bir ivme kazanacağı ise dinamik denklemlerinin konusudur. En önemli dinamik denklemi Newton ın ikinci kanunudur ki bu kanun bir boyutta cismi harekete zorlayan toplam kuvvet F, sistemin toplam kütlesi m olmak üzere, ivmeyi a = F m (6.4) şeklinde verir. 23

25 Deneyde kullanacağımız hava rayı Şekil (6.1) de görülmektedir. Bu sistem bir ucu kapalı, diğer ucundan basınçlı hava üflenen, üçgen kesitli, içi boş bir düzenektir. Rayın üçgen kesitli biçimine tam olarak uyan kızaklar ray üzerine konulup hava pompası çalıştırıldığında, üflenen hava arada ince bir hava yastığı meydana getirir ve kızak bu hava yastığı üzerinde ihmal edilebilecek ölçüde küçük bir sürtünme ile yüzer. Bu düzenek ile doğrusal harekete dair pek çok deney yapılabilir. Işık kapıları (fotosensörler) rayın çeşitli yerlerine kızakların hareketi algılamak ve geçiş zamanlarını/sürelerini ölçmek üzere yerleştirilebilir. Şekil 6.2: Ortalama hız ve ani hızın incelenmesi Ortalama hız ve ani hız Bu deneyin ilk kısmında, ortalama hız ve ani hız kavramları arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. Bir cismin t ve t + t anları arasındaki ortalama hızı, cismin bu süre içinde aldığı yolun geçen zamana oranıdır ve x(t + t) x(t) v ort = (6.5) t formülü ile verilir. Bu büyüklüğün, t 0 limitindeki değeri ise t anındaki ani hız olarak tanımlanır ve x(t + t) x(t) v(t) = lim (6.6) t 0 t formülü ile verilir. Biz de bu deneyin ilk kısmında bu kavramları inceleyeceğiz. Bunun için öncelikle rava rayının x = 0 tarafında (yani hava üfleme borusu tarafında) kalan ayaklarının altına bir destek yerleştirerek Şekil (6.2) deki sistemi oluşturacağız. Ardından 20 cm, 10 cm ve 5 cm uzunluğundaki üç adet hız bayrağını kullanarak kızağın giderek küçülen zaman aralıklarındaki ortalama hızlarına bakacağız ve bunları teorik olarak hesaplayacağımız limit hız ile karşılaştıracağız. Şekil 6.3: Bir boyutta düzgün ivmeli hareketin incelenmesi Bir boyutta sabit ivmeli hareket Deneyin ikinci kısmında ise bu kez rayın büyük x değerlerine karşılık gelen ucunu (yani hava üfleme borusundan uzakta kalan kısmını) yükseltip, kızağa ip ile bağladığımız bir ağırlığı da aşağıya sallandırarak oluşturduğumuz Şekil (6.3) deki gibi bir sistem üzerinde 24

26 çalışacağız. Böyle bir sistemin ivmesinin a = m M sinθ m + M g (6.7) formülü ile verildiğini kolayca gösterebilirsiniz. Bu durumda belirli bir noktadan ilk hızı sıfır olacak şekilde bıraktığımız kızak, Şekil (6.3) de görüldüğü gibi sensöre ulaşınca yakadar x yolunu alırsa, bu noktadaki hızı Denklem (6.3) den v 2 = 2a x (6.8) olarak bulunacaktır. İşte deneyin bu kısmında da kızağın hızını çeşitli x değerleri için ölçüp Denklem (6.8) i kullanarak ivmeyi bulacağız. Daha sonra bunu Denklem (6.7) den bulduğumuz teorik sonuç ile karşılaştıracağız. Deneyin Yapılışı 1. Hava rayının hava üfleme borusu tarafında kalan ayaklarının altına destekleri yerleştirerek bir eğim meydana getiriniz. Kırmızı renkli kızağı ray üzerine yerleştiriniz. 2. Şekil (6.4) de görülen mavi renkli sensörler uzun ayakların üzerine monte edilmiştir. Bu sensörler bir kablo ile hassas zaman ölçerlere bağlıdır. Kızak sensörün uçları arasından geçerken normalde sensörün bir ucundan diğerine kadar uzanmakta olan lazer ışığını Şekil (6.4(b)) de görüldüğü gibi kesintiye uğratır. Bu şekilde zaman ölçer kızağın tam olarak ne zaman sensörün uçları arasından geçtiğini ve geçişin kaç milisaniye sürdüğünü ölçebilir. Sensörünüzü yerleştirirken, aletin kızağı değil, hız bayrağını algıladığından emin olunuz. Şekil (6.4(b)) de görüldüğü gibi sensör bir cismi algıladığında kenarındaki küçük kırmızı led ışığı yanacaktır. Elinizle deneme yaparak bunu görebilirsiniz (Lazer elinize zarar verecek ölçüde güçlü değildir.) (a) Işık sensörü (b) Sensörün yerleştirilmesi Şekil 6.4: Deneyde kullanacağımız ışık sensörünün doğru şekilde yerleştirimesi 3. Zaman ölçeri çalıştırınız. Sensör aletin A girişine bağlı olmalı, göstergesi t ab kısmıda olmalı ve ms göstergesinin yanındaki kırmızı led yanıyor olmalıdır. Bu haliyle zaman ölçer, cismin sensörün uçları arasından ne kadar sürede geçtiğini milisaniye cinsinden ölçme modundadır. 4. Zaman ölçerin start düğmesine bastığınızde alet sensörün uçları arasında bir cismin girmesini bekleyecek ve bu olduğunda da cismin ne kadar süre sensörün uçları arasında kaldığını ölçecektir. Bir sonraki ölçüm için reset düğmesine basmalısınız. Elinizi sensörün uçları arasından geçirerek aletin geçiş süresini ölçtüğünden emin olunuz. Eğer sensör ve zaman ölçer beklediğiniz gibi çalışmıyorsa asistanınıza haber veriniz. 5. Hava pompasının düğmesine bastığınızda deliklerden hava üflenmeye başlayacak, böylece kızak ray üzerinde sürtünmesiz şekilde kaymaya başlayacaktır. Kızağı uygun bir yerden bırakarak bir kaç deneme yapınız ve bütün sistemin doğru çalıştığından emin olunuz. Bundan sonra deneye başlayabilirsiniz. 25

27 Ortalama hız ve limit hız 1. Hava pompasını kapatınız. Hava pompası deneyinizi hazırlarken kapalı olmalı ve sadece veri alacağınız zaman açılmalıdır. 2. Deney setinizde 20 cm, 10 cm ve 5 cm uzunluğunda üç adet hız bayrağı bulunmaktadır. Bunlardan 20 cm olanını orta noktası kızağın ortasına gelecek şekilde kızağın üzerine yerleştiriniz ve sistemi Şekil (6.3) de görüldüğü gibi hazırlayınız. Sensörün kızağı değil hız bayrağını algıladığından emin olunuz. 3. Kızağın sensöre ulaşıncaya kadar ne kadar yol alacağını belirleyip aşağıya kaydediniz. x = cm (6.9) 4. Şimdi de kızağı serbest bıraktığımızda ivmesinin ne olacağını hesaplayacağız. Bunun için öncelikle θ rayın eğim açısı olmak üzere sinθ yı belirleyiniz. sinθ = (6.10) Bu durumda kızağın ivmesi olur. g sinθ = cm s 2 (6.11) 5. Buna göre Denklem (6.3) den kızağın sensöre ulaştığında sahip olacağı ani hızı hesaplayarak not ediniz. v = cm (6.12) s 6. Hava pompasını çalıştırınız ve zaman ölçerin start düğmesine basınız. Cismi serberst bıraktığınzda zaman ölçer kızağın sensör civarındaki 20 cm lik yolu ne kadar zamanda aldığını gösterecektir. Bu sayıyı Tablo (6.1) not ederek buna karşılık gelen ortalama hızı hesaplayınız. 7. Zaman ölçer t süresini milisaniye (ms) cinsinden gösterecektir. Bu süreyi tablonuza kaydederken saniyeye çevirmeyi unutmayınız. 8. Daha sonra aynı ölçümleri 10 cm lik ve 5 cm lik bayraklarla tekrarlayınız. Bu şekilde bulduğunuz ortalama hızlar, yukarıda hesapladığınız ani hıza yaklaşıyor mu? Eğer yaklaşmıyorsa nedeni ne olabilir? t (s) v (cm/s) 20 cm 10 cm 5 cm Tablo 6.1: Ortalama hız veri tablosu 26

28 Bir boyutta sabit ivmeli hareketin incelenmesi 1. Destekleri rayın hava üfleme borusundan uzak olan (büyük x) kısmındaki ayaklarının altına koyunuz ve ipin bir ucunu ağırlığın çengeline diğer ucunu da sarı renkli kızağa bağlayınız. Kızağı rayın alt kısmında bir yere yerleştirerek Şekil (6.3) deki gibi sistemi hazırlayınız. 2. Sarı kızağın ortasına 5 cm lik hız bayrağını yerleştiriniz. 3. Kızağınız her seferinde aynı x 0 noktasından harekete başlayacak ve sensörün bulunduğu x noktasına kadar giderek hızlanacaktır. Amacımız kızağın x noktasındaki v hızını ölçmektir. Bu hız, kızağın aldığı yol olan x = x x 0 e Denklem (6.8) ile bağlıdır. Biz de x i ve v yi ölçerek Denklem (6.8) den kızağın ivmesinini belirleyeceğiz. x i belirlemek için, öncelikle kızağınızın harekete başlayacağı noktayı seçerek aşağıya not ediniz. x 0 = cm (6.13) 4. Şimdi sensörü kızağın başlangıç konumuna yakın bir yere yerleştiriniz ve sensörün konumu olan x i Tablo (6.2) deki ilk satıra not ediniz. Kızağın sensöre ulaşıncaya kadar alacağı x = x x 0 yolunu da tabloya yazınız. 5. Hava pompasını çalıştırınız ve zaman ölçerin start düğmesine basınız. Cismi serberst bıraktığınzda zaman ölçer kızağın sensör civarındaki 5 cm lik yolu ne kadar zamanda aldığını gösterecektir. Bu sayıyı Tablo (6.2) ye not ediniz. Buradan kızağın v hızını hesaplayınız. Kızak 5 cm lik yolu t süresinde aldığı için hızı v = 5cm/ t formülünden bulunur. 6. Zaman ölçer t süresini milisaniye (ms) cinsinden gösterecektir. Bu süreyi tablonuza kaydederken saniyeye çevirmeyi unutmayınız. 7. Sensörü biraz ileri götürerek deneyinizi tekrarlayınız ve bu şekilde aşağıdaki tabloyu doldurunuz. x x = x x 0 t v = 5 t v 2 (cm) (cm) (s) (cm/s) (cm/s) 2 Tablo 6.2: İvme veri tablosu 8. Şimdi aşağıdaki grafik kağıdına x e karşılık v 2 grafiğini çiziniz. Bunun için verilerinizi uygun bir ölçek seçerek kağıda geçirdikten sonra 3. bölümdeki Grafik Analizi kısmında açıklandığı gibi bu noktalara en iyi uyan doğruyu çizmelisiniz. Denklem (6.8) bize bu doğrunun eğiminin 2a ya eşit olacağını söylemektedir. Bu doğrunun eğiminden kızağın ivmesini belirleyiniz. Eğim = cm s 2 (6.14) a = cm s 2 (6.15) 27

29 Yerdeğiştirme ( x) - hız (v) grafiği 9. Bulduğunuz ivmeyi Denklem 6.7 nin bize verdiği değer ile karşılaştıralım. Bunun için öncelikle sarı kızağın ve ağırlık olarak kullandığınız cismin kütlelerini ölçünüz. M = g (6.16) 10. Rayın eğim açısı olan θ nın sinüsünü belirleyiniz: 11. Şimdi de Denklem (6.7) den kızağın ivmesini hesaplayınız. m = g (6.17) sinθ = (6.18) a = cm s 2 (6.19) 12. Hesapladığınız ivme [Denklem (6.19)] ile ölçtüğünüz ivmeyi [Denklem (6.15)] karşılaştırınız. Sonuçlarınız uyuşuyor mu? Eğer uyuşmuyorsa nedeni ne olabilir? 28

30 7 Düzlemde Hareket Amaç Serbest düşme ve eğik atış hareketlerinin incelenmesi. Genel Bilgiler Dünya yakınlarında yerçekiminin etkisi altında hareket eden bir cisim, sabit ivmeli bir hareket yapar. Bu hareket yerçekimi ivmesi g ile cismin ilk hızı v 0 tarafından oluşturulan düzlem üzerinde gerçekleşir. Bu nedenle düzlem üzerinde sabit ivmeli hareket, kendi ağırlığının etkisi altında hareket eden bir cismin genel davranış biçimidir. Ancak bu deneyde Şekil (7.1) deki gibi eğimli bir masa kullanıldığından bu sabit ivme, yerçekimi ivmesinin kendisi değil, hava masasına paralel bileşeni olacaktır ki bu bileşen de g eff = g sinθ (7.1) formülü ile verilir. Bu ivmeye effektif yerçekimi ivmesi diyeceğiz. Bu deneyi sanki Dünya dan daha küçük bir gezegende (örneğin Ay da) yapılan bir deney olarak da düşünebilirsiniz. Burada ivmenin işaretinin eksi olmasının nedeni Şekil (7.1) ve Şekil (7.2) de gösterildiği gibi pozitif y yönünü yukarı doğru almış olmamızdır. Şekil 7.1: Eğimli masa yüzeyinde effektif yerçekimi ivmesi (a) Hava masasında serbest düşme (b) Hava masasında eğik atış Şekil 7.2: Hava masası deneyi 29

31 Masa üzerinde x ve y eksenlerini Şekil (7.2) de gösterildiği gibi alacağımız için ivmeyi g eff = g eff ĵ (7.2) şeklinde yazabiliriz. Böyle bir g eff ivmesi ile hareket eden cismin r koordinatı r = r 0 + v 0 t g efft 2 (7.3) ile verilir. Burada r 0 ve v 0 cismin t = 0 anındaki konumunu ve hızını göstermektedir. Bunu x ve y koordinatları cinsinden r 0 = x 0 î + y 0 ĵ ve v 0 = v 0x î + v 0y ĵ olmak üzere şeklinde yazabiliriz. x = x 0 + v 0x t (7.4) y = y 0 + v 0y t 1 2 g efft 2 (7.5) Serbest Düşme Şekil (7.2(a)) daki gibi masa üzerindeki bir noktadan bırakılan cismin ilk hızı sıfır olacaktır. Eğer cismi bıraktığımız noktayı koordinat sistemimizin orijini olarak seçersek x 0 = y 0 = 0 olacağından denklemlerimiz de basitleşir. Cismin x koordinatı sabit kalacak, y koordinatı ise şeklinde değişecektir. y = 1 2 g efft 2 (7.6) Eğik atış Şekil (7.2(b)) da olduğu gibi cismimizi masanın kenarından belirli bir ilk hız ile attığımızı düşünelim. Cismi fırlattığımız noktayı koordinat sistemimizin orijini olarak seçersek x 0 = y 0 = 0 olacağından denklemlerimiz yine basitleşecektir. Cismin x ve y koordinatları x = v 0 cos(α)t (7.7) y = v 0 sin(α)t 1 2 g efft 2 (7.8) şeklinde verilir. Bu denklemleri yazarken v 0x ve v 0y ilk hız bileşenlerini yerlerine koyduğumuza dikkat ediniz. Burada α ilk hızın yatay eksenle yaptığı açıdır ve Şekil (7.2(b)) de görülmektedir. Denklem (7.7) ve (7.8) arasında zamanı yok ederek cismin yörünge denklemine ulaşırız: g y(x) = eff 2v0 2 cos2 (α) x2 + tan(α)x (7.9) Bu denklem bize cismin yörüngesinin bir parabol olduğunu söylemektedir. Bu yörünge denklemi bize hareketin şekline dair bilmek istediğimiz bütün bilgileri verir. Örneğin cisim ne kadar uzaklıkta yere düşer? Bunun yanıtı parabolün sıfırdan farklı olan köküne bakılarak bulunabilir (cisim orijinden harekete başladığı için parabolün bir kökü sıfırdır). Sıfırdan farklı olan kök Denklem (7.9) sıfıra eşitlenmek sureti ile R = v2 0 g eff 2sin(α)cos(α) (7.10) olarak bulunur. Cisim tam bu menzilin ortasında, yani x = R/2 de maksimum yüksekliğe ulaşır. Bu maksimum yükseklik Denklem (7.9) da x = R/2 konularak bulunabilir: H = y( R 2 ) = v2 0 sin2 (α) 2g eff (7.11) şeklinde bulunabilir. Toplam uçuş süresi de, Denklem (7.7) de x yerine R konularak şeklinde bulunabilir. T = 2v 0 sin(α) g eff (7.12) 30

32 Deneyin Yapılışı Dikkat: Kıvılcım osilatörü açık haldeyken eliniz hava masasında olmamalıdır! Hava masasının üzerindeki karbon kağıdın üzerini bir kayıt kağıdı ile kaplayın. Yüzeyin tamamen düzgün olduğundan emin olun. Disklerden bir tanesini Şekil (7.2(a)) da görüldüğü gibi üst köşeye sabitleyin. Kompresörü çalıştırın. Kıvılcım osilatörünü çalıştırın. Çalışma frekansını 20 Hz olarak ayarlayın. Pedala basmadan önce, diske ölçmeyi planladığınız hareketi vererek birkaç kez deneme yapın. Uygun hareket elde edilince bu kez pedala basarak hareketi tekrar edin ve veri alın. Sabit İvmeli Hareket Şekil (7.2(a)) da görüldüğü gibi izleri elde ettikten sonra bir cetvel yardımıyla noktaları başlangıç noktasından itibaren ölçüp Tablo (7.1) işleyin. Hızı belirlemek için yol ve zaman bilgisi gerekmektedir. Ardışık noktalar arasında t = 1 Frekans kadar zaman bulunduğunu hatırlayın. Buna göre n. nokta için t n = n t yazabiliriz. t n anındaki hız için yaklaşık bir değer olarak t n 1 ile t n anları arasındaki ortalama hızı kullanabiliriz. Yani v n y n y n 1 t,n = 1,2,3... İvmeyi bulmak için elde edilen hızların değişimine bakmalıyız. n = 2, 3,... için her noktadaki ivme değerini yaklaşık olarak a n = v n v n 1 t şeklinde alabiliriz. Buna göre her noktadaki ivmeyi hesaplayın ve bulunan ivmeleri Tablo (7.1) e işleyin. Bulduğunuz ivmeler değişiyor mu? Sebebi nedir? Tablo (7.1) e işlediğiniz verileri kullanarak diskin konum-zaman, hız-zaman ve ivme-zaman grafiklerini çiziniz. n t n y n v n a n (s) (cm) (cm/s) (cm/s 2 ) Tablo 7.1: Eğik düzlem tablosu 31

33 Konum-zaman grafiği Hız-zaman grafiği İvme-zaman grafiği 32

34 Eğik Atış Eğik düzlem deneyi verilerinizin olduğu kağıda x ve y eksenlerinizi çizin. Atışın yapıldığı açıyı bir üçgen çizerek hesaplayın. sin(α) ve cos(α) yı hesaplayıp Tablo (7.2) ye işleyin. Denklem (7.10) kullanarak, menzili hesaplayın. Atışın menzili cetvel yardımıyla ölçün, bulduğunuz menzil değerini Tablo (7.2) ye işleyin. v 0 ı bulup Tablo (7.2) ye işleyin. Bir cetvel yardımıyla, H yüksekliğini ölçün ve Tablo (7.2) ye işleyin. 1 Noktaları sayarak uçuş süresini belirleyin. Ardışık noktalar arasında t = Frekans kadar zaman bulunduğunu unutmayın. R, T ve H değerlerini bir defa da ön bilgiler kısmında verilen bilgilerden hesaplayın ve tabloya yazın. Ölçtüğünüz ve hesapladığınız değerler arasında farklılık var mı? Deneyinizdeki olası hata kaynakları nelerdir? Şekil 7.3: Eğik atışta menzil ve maksimum yükseklik Ölçüm Hesap v 0 - sin(α) - cos(α) - R H T Tablo 7.2: Eğik atış verileri tablosu 33

35 8 Basit Sarkaç Amaç Basit sarkaç yardımıyla yerçekimi ivmesinin bulunması. Genel Bilgiler Basit sarkaç, L uzunluğundaki hafif bir çubuğun ucuna asılmıs noktasal bir m kütlesinden olusur. Sarkaç denge konumundan bir tarafa doğru yükseltilip serbest bırakılıcak olursa, yerçekimi kuvetinin etkisi ile düsey düzlem içinde Şekil (8.1) de görüldüğü gibi bir salınım hareketi yapar. Bu bir basit harmonik harekettir. Bu tür harekette eğer sürtünmeler sonucu mekanik enerji kaybı yoksa cisim iki uzay konumu arasında sonsuza kadar salınır. Ancak gerçekte havanın ve askı noktasındaki sürtünme kuvvetlerinin etkisi ile sistemin mekanik enerjisi azalacak ve salınım hareketi bir süre sonra duracaktır. Şekil 8.1: Basit sarkaç Kütle üzerine etkiyen kuvvetler, ip boyunca etkiyen T gerilmesi ile mg ağırlığıdır. Ağırlığın yörüngeye teğet bileseni mg sinθ olan daima θ = 0 noktasına yönelir ve yerdeğiştirme vektörüne zıt yöndedir ki bu nedenle teğetsel kuvvet geri çağırıcı bir kuvvettir. Teğetsel doğrultudaki hareket denklemi, asağıdaki gibi yazılabilir: F = mg sinθ = d2 x dt 2 (8.1) Buradaki eksi isareti F kuvvetinin denge konumuna yöneldiğini gösterir. Şekil üzerinde görülen s uzunluğu yay boyunca ölçülen yerdeğistirmedir ki bunu s = Lθ ile verebiliriz. L sabit olduğundan yukarıdaki denklem; d 2 θ dt 2 = g sinθ (8.2) L şeklini alır. Küçük açılar için sinθ θ alınabileceğinden, hareket denklemi d 2 θ dt 2 = g l θ (8.3) 34

36 Şekil 8.2: Değişken g sarkacı haline gelir. Bu hareket denkleminin d2 x = w 2 x ile aynı biçime sahip olduğuna dikkat ediniz. Buradan dt küçük salınımlar için hareketin basit harmonik 2 hareket olduğu sonucuna varırız öyle ki açısal frekans w = g L (8.4) ile verilir. Burada açısal frekansın periyoda w = 2π/T şeklinde bağlı olduğunu da hatırsak, periyot için L T = 2π g (8.5) formülüne ulaşırız. Görüldüğü gibi basit bir sarkacın küçük salınımlarının periyodu yalnızca ipin boyuna ve yer çekimi ivmesine bağlıdır. Biz bu deneyde Denklem (8.5) in doğruluğunu göstereceğiz. Bu amaçla periyodun L uzunluğuna ve g yerçekimi ivmesine bağlı olarak grafiğini çizeceğiz. Elbetteki, başka bir gezegene gitmediğimiz sürece farklı bir yerçekimi ivmesinde çalışmamızın ve dolayısıyla da periyodun yerçekimi ivmesine bağlı değişimini incelememize olanak olmadığını düşünebilirsiniz. Ancak, yerçekimi ivmesini değiştiremesek de, Şekil (8.2) deki gibi sarkacımızı eğik bir düzlem üzerinde salınmaya zorlayarak yeni bir effektif yerçekimi ivmesi yarayabiliriz. Düşey ile α açısı yapan bir düzlemde salınmaya zorlanan sarkaç g eff = g cosα (8.6) ile verilen effektif bir yerçekimi ivmesi altında salınacaktır. Böylece α açısını değiştirerek periyodun yerçekimi ivmesine bağlılığını inceleyebiliriz. Şekil 8.3: Deney düzeneği 35

37 Deneyin Yapılısı 1. Önce sarkacın uzunluğunu sabit tutarak α eğim açısını değiştirerek Tablo (8.1) yi doldurunuz. Bunun için 10 salınım için zamanı ölçünüz ve tabloya yazınız. Daha sonra bu sayıyı 10 a bölerek periyodu bulunuz. Bu tür bir işlem periyot ölçümündeki hatayı azaltacaktır. Neden? Unutmayınız ki işaretli noktadan sarkacın ardı ardına aynı yönde iki geçisi tam bir salınımdır. Periyodun yerçekimi ivmesine bağlı grafiğini çiziniz. α g cosα(ms 2 ) 10T (s) T (s) Tablo 8.1: Periyodun yerçekimi ivmesine bağlılığı Periyodun yerçekimi ivmesine bağlılığı 36

38 2. Şimdi de α eğim açısını rastgele bir değerde sabit tutunuz. Kütleyi kaydırarak sarkacın uzunluğu değistirmek suretiyle Tablo (8.2) yi doldurunuz. Periyodun L uzunluğuna bağlı grafiğini çiziniz. No L(cm) 10T (s) T (s) Tablo 8.2: Periyodun uzunluğa bağlılığı Periyodun uzunluğa bağlılığı 37

39 3. Şimdi bilmediğimiz bir gezegende olduğumuzu ve yerçekimi ivmesini belirleyerek gezegen hakkında bir fikir sahibi olmaya çalıştığımızı düşünelim. Varsayalım ki bir önceki şıktaki verileri bu gezegende aldınız ve bu verilerden yerçekimi ivmesini hata sınırları ile birlikte belirlemek istiyorsuz. Bunun için öncelikle Tablo (8.2) deki her bir veri için g ivmesini hesaplayınız ve Tablo (3) de yerine yazınız. Buradan gezgenin yerçekimi ivmesini, hata sınırları ile birlikte belirleyiniz. No g ( g i ) 2 = (ḡ g i ) ḡ i ( g i) 2 Tablo 8.3: g nin belirlenmesi ḡ = cm s 2 = m s 2 (8.7) g = cm s 2 = m s 2 (8.8) g = ± cm s 2 = ± m s 2 (8.9) 38

40 6-9. Haftalar İKİNCİ DÖNGÜ DENEYLERİ 39

41 9 Çarpışmalar Amaç Eşit kütleli iki çelik diskin esnek ve esnek olmayan çarpışmalarının incelenmesi. Momentumun ve kinetik enerjinin korunumunun incelenmesi. Genel Bilgiler Esnek Çarpışma Toplam mekanik enerjinin (yani kinetik + potansiyel enerjinin) korunduğu çarpışma türüne esnek çarpışma adı verilir. Genel olarak esnek olmayan bir çarpışmada mekanik enerji cisimler arasındaki sürtünme veya bir cisimden diğerine madde aktarımı gibi durumlarda ısı enerjisine dönüşerek sistemden uzaklaşabilir. Esnek çarpışma, bu etkinin söz konusu olmadığı veya ihmal edilebilecek kadar küçük olduğu durumlara verilen isimdir. Tanımı gereği esnek çarpışmanın en karakteristik özelliği toplam mekanik enerjinin korunumudur ki bu deneyde söz konusu olduğu gibi potansiyel enerjinin sabit olduğu durumlarda bu özellik kinetik enerjinin korunumuna indirgenir. Öte yandan sistemin toplam momentumu esnek olsun olmasın bütün çarpışmalarda korunur. Şekil 9.1: Esnek çarpışma Öyleyse esnek çarpışmalarda kullanabileceğimiz temel bağıntıları şu şekilde yazabiliriz: Momentum korunumu Cisimlerin çarpışmadan önceki momentum vektörlerinin toplamı, çarpışmadan sonraki momentum vektörlerinin toplamına eşittir. P 1 + P 2 = P 1 + P 2 m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 + m2 v 2 Bu deneyde eşit kütleli iki cisim kullacağımız için bu denklemi v 1 + v 2 = v 1 + v2 (9.1) (9.2) (9.3) şeklinde de yazabiliriz. Enerji korunumu Cisimlerin çarpışmadan önceki kinetik enerjilerinin toplamı, çarpışmadan sonraki kinetik enerjilerinin toplamına eşittir. E 1 + E 2 = E 1 + E 2 (9.4) 1 2 m 1v m 2v2 2 = 1 2 m 1v m 2v 2 2 (9.5) 40

42 Esnek Olmayan Tam Çarpışma Cisimler çarpıştıktan sonra birlikte hareket ettikleri duruma esnek olmayan tam çarpışma denir. Bu tür bir çarpışmada mekanik enerji korunmaz. Ancak yukarıda açıklandığı gibi momentumun korunumu hala geçerlidir: Bu deneyde eşit kütleli iki cisim kullacağımız için bu denklemi şeklinde yazabiliriz. m 1 v 1 + m 2 v 2 = (m 1 + m 2 ) v ortak (9.6) v 1 + v 2 = 2 v ortak (9.7) Şekil 9.2: Esnek olmayan tam çarpışma Deneyin Yapılışı Şekil 9.3: Çarpışma örneği Dikkat: Kıvılcım osilatörü açık haldeyken eliniz hava masasında olmamalıdır! Hava masasının üzerindeki karbon kağıdın üzerini bir kayıt kağıdı ile kaplayın. Yüzeyin tamamen düzgün olduğundan emin olun. Disklerden bir tanesini Şekil (7.2(a)) da görüldüğü gibi üst köşeye sabitleyin. Kompresörü çalıştırın. Masa yüzeyi düz ise diskler masanın merkezinde hareket etmeden durabilmelidir. Kıvılcım osilatörünü çalıştırın. Çalışma frekansını 10 Hz olarak ayarlayın. Pedala basıp çarpışmanın izlerini kaydetmeden önce, çelik diskleri birkaç kez çarpıştırın. Uygun biçimde fırlatmayı başarınca bir kez de pedala basarak fırlatmayı tekrarlayın. Kağıt üzerinde çarpışmanın izi temiz bir şekilde görülebilmelidir. 41

43 Esnek Çarpışma Çarpışma verileri kağıda işaretlendikten sonra, kağıdın üzerine seçtiğiniz koordinat eksenlerini çizin. Her disk için çarpışma öncesi ve sonrası olmak üzere, hızı belirleyin. Hızı belirlemek için sececeğiniz iki nokta arasındaki mesafeyi ölçünüz. İki ardışık nokta arasında geçen zamanın t = 1/Frekans olduğunu gözönünde bulundurarak seçtiğiniz noktalar arasında geçen zamanı, buradan da diskin hızını belirleyin. Bulunan bilgileri Tablo (9.1) e işleyin. Denklem (9.3) in sağlanıp sağlanmadığını kontrol ederek momentum korunumunu test edin. Denklem (9.5) in sağlanıp sağlanmadığını kontrol ederek momentum korunumunu test edin. Bilgiler Önce Sonra 1. Disk 2. Disk Toplam 1. Disk 2. Disk Toplam t(s) x(cm) y(cm) V x (cm/s) V y (cm/s) Kinetik enerji (erg) Tablo 9.1: Esnek çarpışma verileri tablosu 42

44 Esnek Olmayan Çarpışma Her iki diskin etrafına yapışkan bant geçirilip, çarpışma işlemi esnek çarpışma örneğindeki adımlar uygulanarak tekrarlanır. Bu çarpışmada diskler ortak hareket edecektir. Hızlar esnek çarpışmada açıklandığı gibi hesaplanır. Bu çarpışmada momentumun korunduğunu, yani Denklem (9.7) nin sağlandığını, ancak mekanik enerjinin korunmadığını gösteriniz. Bilgiler Önce Sonra 1. Disk 2. Disk Toplam Ortak t(s) x(cm) y(cm) V x (cm/s) V y (cm/s) Kinetik (erg) enerji Tablo 9.2: Esnek olmayan çarpışma verileri tablosu 43

45 10 Eylemsizlik Momenti Amaç Uçlarına ağırlıklar eklenmiş bir cubuğun eylemsizlik momentinin, eklenen kütlelerin miktarına ve eklenen kütlelerin dönme ekseninden olan uzaklıklarına bağlı olarak ölçülmesi. Spiral bir yayın burulma katsayısının ölçülmesi. Temel Bilgiler Katı bir cismin eylemsizlik momenti, onun dönme hareketinde değişim yaratmaya çalışan etkenlere (yani torka) karşı gösterdiği direncin bir ölçüsüdür (τ = Iα). Tıpkı bir cismin kütlesinin, onun doğrusal hareketinde değişim yaratmaya çalışan etkenlere (yani kuvvete) karşı gösterdiği direncin bir ölçüsü olması gibi (F = ma). Doğrusal hareket ile dönme hareketi arasındaki analojiyi gösteren Tablo (10.1) i inceleyiniz. Şekil 10.1: Eylemsizlik momenti deney düzeneği Deneyimizde kullanacağımız Şekil (10.3) de görülen sisteminin (m kütleleri olmadan) sahip olduğu eylemsizlik momentini I 0 ile gösterecek olursak, m kütleleri eklendiğinde sistemin toplam eylemsizlik momenti I = I 0 + 2mr 2 (10.1) olacaktır. Bu deneydeki amacımız, Denklem (10.1) in doğru olduğunu göstermektir. Doğrusal Hareket Dönme Hareketi Kütle m Eylemsizlik Momenti I Kuvvet F Tork τ İvme a Açısal İvme α F = ma τ = Iα Tablo 10.1: Doğrusal hareket ve dönme hareketi için Newton ın ikinci yasasının ifadesi 44

46 Şekil 10.2: Doğrusal yay M T = 2π K Şekil 10.3: Spiral yay I T = 2π D (10.2) (10.3) Bu deneyi nasıl yapacağımızı anlamak için önce Şekil 10.2 yi gözönüne alalım: Bir cismin kütlesini (m) belirlemenin bir yolu, onu bir yayın ucuna bağlayıp oluşan sistemin salınım periyodunu (T ) ölçmektir. Böylelikle periyod ile kütle arasındaki ilişkiyi gösteren Denklem (10.2) yi kullanarak kütleyi hesaplayabiliriz. Benzer şekilde, bir cismin eylemsizlik momentini (I) belirlemek için, onu Şekil (10.3) de görüldüğü gibi spiral bir yaya bağlayabilir ve oluşan sistemin salınım periyodunu ölçebiliriz. Böylece sistemin eylemsizlik momenti ile periyot arasındaki ilişkiyi gösteren Denklem (10.3) kullanılarak eylemsizlik momenti hesaplanabilir. Denklem (10.3) deki D simgesi spiral yayın burulma sabitini göstermektedir ki bu da Denklem (10.2) de görülen yay sabiti K ile aynı işleve sahiptir. Deneyimizde kullanacağımız spiral yayın burulma sabitini de ölçeceğiz. Bunun için öncelikle Denklem (10.3) ü I = D 4π 2 T 2 (10.4) şeklinde yazalım. Ek m kütlelerinin yokluğunda eylemsizlik momentinin I 0 olduğunu söylemiştik. Bu durumda ölçülem periyoda da T 0 diyecek olursak I 0 = D 4π 2 T 2 0 (10.5) yazabiliriz. Denklem (10.4) ve (10.5) i birbirinden çıkarıp Denklem (10.1) i de kullanacak olursak D için aşağıdaki formülü türetebiliriz: D = 8π2 mr 2 T 2 T0 2 (10.6) Bu denklem bize şunu söylemektedir: Eğer m kütlelerinin yokluğunda periyodu T 0 olarak, m kütlelerini merkezden r uzaklığına koyduğumuzda da periyodu T olarak ölçüyorsak, bu bilgiler ışığında burulma sabiti D hesaplanabilir. Bütün yapmamız gereken bu ölçüm değerlerini Denklem (10.6) da yerlerine koymaktır. D burulma sabiti bulunduktan sonra artık Denklem (10.3) e bu D değerini ve deneyde ölçeceğimiz T periodunu yazarak I eylemsizlik momentini kolayca hesaplayabiliriz. 45

47 Deneyin Yapılışı Kütle Eklemeden 1. Öncelikle denge durumunda diskin üzerinde görülen uzun siyah çizginin mekanizma üzerinde görülen ok ucu ile aynı hizada olduğundan emin olunuz. 2. Diski elinizle yavaşca iterek bir küçük genlikli bir burulma salınımı başlatınız. Unutmayınız ki Denklem (10.3) küçük genlikli salınımlar için geçerlidir. 3. Salınım periyodunu (T 0 ) ölçerek aşağıdaki Tablo (10.2) de periyot ölçümleri kısmına yazınız. 4. Deneyimizdeki sistematik hataları azaltmak için her bir periyot ölçümünü dört kez gerçekleştireceğiz. Bunun için çubuğu durdurup salınımı tekrar başlatarak ölçümünüzü üç kez daha tekrarlayınız. 5. Bu dört ölçümün ortalamasından periyodu belirleyiniz ve Tablo (10.2) ye kaydediniz. 6. Sistemin bu şekilde hiç kütle eklemeden sahip olduğu eylemsizlik momentini I 0 ile göstereceğiz. Tablonun geri kalanını şimdilik boş bırakarak bir sonraki kısma geçiniz. Daha sonra yayın D burulma sabitini bulduğumuzda buraya geri dönerek sistemin eylemsizlik momentini Denklem (10.4) den hesaplayacak ve tabloda yerine yazacağız. Kütle Uzaklık Periyot ölçümleri Ortalama Periyot Eylemsizlik Momenti m/g r/cm T/s T/s I/ (g cm 2 ) - - Tablo 10.2: Kütlelerin yokluğunda periyot ölçümleri 25 g lık Ek Kütlelerle g lık kütleleri iki yandan simetrik bir şekilde dönme ekseninden 3.0 cm uzaklığ (yani çubuk üzerinde merkeze en yakın deliklere) yerleştiriniz. 2. Diski elinizle yavaşca iterek bir burulma salınımı başlatınız. 3. Salınım periyodunu (T ) ölçerek aşağıdaki tabloya yazınız. 4. Deneyimizdeki sistematik hataları azaltmak için her bir periyot ölçümünü dört kez gerçekleştireceğiz. Bunun için çubuğu durdurup salınımı tekrar başlatarak ölçümünüzü üç kez daha tekrarlayınız. 5. Bu dört ölçümün ortalamasından periyodu belirleyiniz ve Tablo (10.3) e kaydediniz. 6. Çubuk üzerindeki deliklerin arasındaki mesafeler 2.0 cm dir. Kütleleri her seferinde iki delik öteye takarak yani dönme ekseninden olan uzaklıklarını 4.0 er cm arttırarak aynı işlemleri tekrarlayınız. 7. Tablonun geri kalanını şimdilik boş bırakarak bir sonraki kısma geçiniz. Daha sonra yayın D burulma sabitini bulduğumuzda buraya geri dönerek sistemin eylemsizlik momentini Denklem (10.4) den hesaplayacak ve tabloda yerine yazacağız. 50 g lık Ek Kütlelerle Aynı ölçümleri 50 g lık kütle çifti ile tekrar ediniz ve sonuçlarınızı Tablo (10.4) e kaydediniz. 46

48 Kütle Uzaklık Periyot Ortalama Periyot Eylemsizlik Momenti m/g r/cm T/s T/s I/ (g cm 2 ) Tablo 10.3: m = 25 g lık kütlelerle periyot ölçümleri Kütle Uzaklık Periyot ölçümleri Ortalama Periyot Eylemsizlik Momenti m/g r/cm T/s T/s I/ (g cm 2 ) Tablo 10.4: m = 50 g lık kütlelerle periyot ölçümleri Sonuçların Analizi Burulma sabitinin hesaplanması Yukarıda m = 50 g lık ve m = 25 g lık kütleler ile yaptığınız ölçümlerden rastgele bir tanesini seçiniz. Bunu Denklem (10.6) de görüldüğü gibi kütleler olmaksızın yaptığınız ve Tablo (10.2) a kaydettiğiniz sonuçlar ile birlikte kullanarak D için bir değer hesaplayınız. Bunu Tablo (10.5) e kaydediniz. Kütle Uzaklık Ortalama Periyot D m/g r/cm T/s (g cm 2 /s 2 ) Tablo 10.5: Burulma sabitinin belirlenmesi Aynı işlemi m = 50 g lık ve m = 25 g lık kütleler ile yaptığınız iki ölçüm için daha tekrar ediniz. Bulduğunuz değerlerin ortalamasını alarak D için bir değer belirleyiniz. 47

49 D = cm2 s 2 (10.7) Şimdi bu D değerini kullanarak Tablo (10.2), (10.3) ve (10.4) ye geri dönerek ölçtüğünüz periyot değerlerinden eylemsizlik momentlerini her bir durum için hesaplayınız. Denklem (10.1) e bir kez daha göz atınız. Daha önce de söylendiği gibi, bu deneyin amacı Denklem (10.1) in doğru olduğunu göstermektir. Önce 25 g lık kütlelerle bulduğunuz değerleri kullanarak grafik kağıdına r 2 ye karşı I nın grafiğini çiziniz. Denklem (10.1) ne göre I ile r 2 arasındaki ilişki lineer olduğu için grafinizin doğrusal olmasını beklenir. Doğrunuzun bir köşesine yazacagınız bir m = 25g sembolü bu doğrunun hangi verilere ait olduğunu belirtebilirsiniz. Şimdi 25 g lık kütlelerle bulduğunuz verileri kullanarak aynı grafik kağıdı üzerine ikinci bir doğru çiziniz. Doğrunuzun bir köşesine yazacagınız bir m = 25g sembolü bu doğrunun hangi verilere ait olduğunu belirtebilirsiniz. Her bir doğrunun I eksenini kesme noktasını ve eğimini belirleyerek Tablo (10.6) yı doldurunuz. Bu tabloya bakarak, Denklem (10.1) in doğruluğu hakkında ne söyleyebilirsiniz? Doğrularin I eksenini kesme noktası ve eğimi fiziksel olarak ne anlama gelmektedir? Doğru I eksenini kesme noktası Eğim Doğrunun denklemi b c Tablo 10.6: I-r 2 grafiğinin analizi 48

50

51 11 Sabit İvmeli Dönme Amaç Sabit ivmeli dönme hareketinin incelenmesi. Temel Bilgiler Eylemsizlik momenti I olan bir cisim, τ torkunun etkisi altında kaldığında α açısal ivmesi ile hareket eder öyle ki bu büyüklükler arasındaki ilişki τ = Iα (11.1) şeklindedir. Bu bağıntı, bir m kütlesinin üzerine etki eden F kuvvetin ona kazandırdığı a ivmesini ifade eden Newton un ikinci yasasının yani F = m a denkleminin dönme hareketi için ifade edilmiş halidir. Bu noktada Tablo (11.1) ye bir göz atınız. Burada gördüğünüz gibi dönme hareketini ifade eden denklemler bir boyutta doğrusal hareketi ifade eden denklemler arasında oldukça büyük bir benzerlik bulunmaktadır. Doğrusal Hareket Dönme Hareketi Kütle m Eylemsizlik Momenti I Kuvvet F Tork τ İvme a Açısal İvme α F = ma τ = Iα Pozisyon x Açı θ Hız v = dx dt Açısal Hız ω = dθ dt x = 1 2 at2 + v 0 t + x 0 θ = 1 2 αt2 + ω 0 t + θ 0 Tablo 11.1: Doğrusal hareket ve dönme hareketini ifade eden denklemlerin benzerliği Bu deneyde Şekil (11.1) de görüldüğü gibi 2r çaplı bir şafta ip ile bağlı olan ve bu şekilde düşerken, iki ucuna M kütleleri tutturulmuş olan bir cubuğu döndürebilen bir m kütlesini gözönüne alacağız. İpteki gerilme kuvvetini T ile gösterecek olursak şafta uygulanan torkun değeri τ = T.r (11.2) ile verilir. Eğer çubuk ve ucuna tutturulmuş kütlelerden oluşan sistemin eylemsizlik momentini I ile gösterirsek, bu torkun etkisi altında sistemin kazandığı açısal ivme T r = Iα (11.3) 50

52 bağıntısından bulunabilir. İki sistemi birbirine bağlayan ip nedeniyle bu açısal ivme, m kütlesinin çizgisel ivmesine a = αr (11.4) denklemi ile bağlı olmak zorundadır. Öte yandan m kütlesine Newton ın ikinci kanununu uygularak Şekil 11.1: Sabit ivmeli hareket deney düzeneği ma = mg T (11.5) denklemini elde ederiz. Bu durumda sistemdeki üç bilinmeyen olan T gerilmesi, a ivmesi ve α açısal ivmesine karşılık (11.3), (11.4) ve (11.5) ile verilen üç denklem bulunmaktadır. Bunları kullanarak çubuk sistemin açısal ivmesini α = mr I + mr 2 g (11.6) şeklinde buluruz. Öte yandan M kütleleri olmaksızın çubuğun eylemsizlik momentini I 0 ile gösterecek olursak, M kütlelerinin varlığında I = I 0 + 2ML 2 (11.7) yazabiliriz ki burada L kütlelerin merkezden olan uzaklığını göstermektedir. Tablo (11.1) deki denklemlerden görüleceği gibi, çubuk ve M kütlelerinden oluşan sistem, durgun halden harekete başladığı taktirde t süresince θ = 1 2 αt2 (11.8) açısı kadar dönecektir. Bu süre içinde sabit bir a ivmesi ile hareket eden m kütleli cisim h = 1 2 at2 (11.9) kadar aşağıya iner. Burada m kütleli cismin harekete başladığı noktayı 0 olarak alıyor ve aşağıya doğru olan yönü pozitif yön olarak seçiyoruz. Deneyin Yapılışı Önemli Bilgi: Deneye başlamadan önce 11.1 numaralı şekili tekrar inceleyiniz, gösterilmiş olan M ve m kütleleri farklı kütleler olduğuna dikkat ediniz. 1. Öncelikle çubuktan M kütlelerini ve frenleri çıkarınız. Çubuğun kütlesi m cubuk = 48.0 g ve uzunluğu da l = 60.0 cm dir. Bu durumda formülünden çubuğun eylemsizlik momentini hesaplayınız. I 0 = 1 12 m cubukl 2 (11.10) I 0 = g cm 2 (11.11)

53 2. İpin ucuna takacağınız m kütlesini tartınız ve aşağıya not ediniz. m = g (11.12) 3. Şimdi de bir mikrometre ile şaftın çapını ölçünüz ve burada yarıçapını belirleyiniz. 2r = cm r = (11.13) 4. Bu verileri kullanarak Denklem (11.6) den, serbest bırakıldığında sistemin sahip olacağı açısal ivmeyi hesaplayınız. α 0 = s 2 (11.14) 5. Şimdi Denklem (11.14) de hesap ettiğimiz ivmeyi ölceceğiz. Bunun için öncelikle ipin bir ucunu m kütleli cismin kancasına takınız ve diğer ucunu sistemin şaftına sarınız. Sarma işlemi sırasında ipin gergin olduğundan emin olunuz. İpi makaradan geçirmek suretiyle m kütleli cismi masanın kenarından aşağıya sallandırınız. Bu sırada dönmemesi için çubuğu tutunuz. 6. Sistemi serbest bırakınız ve kronometre ile çubuğun iki tam tur dönmesi için gereken zamanı ölçünüz. Sonucunuzu Tablo (11.2) ye kaydediniz. 7. Deneyi başa alarak benzer şekilde sistemin 2,4,6,8 ve 10 tur dönmesi için gereken zamanları kronometre ile ölçerek tabloya kaydediniz. Deneyin sonunda bu verileri kullanarak α 0 ı belirleyeceğiz. 8. Şimdi 100 g lık ağırlıkları çubuğun iki ucuna geçiriniz. Frenleri o şekilde ayarlayınız ki, M kütleli cisimlerin kütle merkezleri çubuğun merkezinden 25 cm ötede olsun. 9. Denklem (11.7) yi kullanarak sistemin yeni eylemsizlik momentini hesaplayınız. I 1 = g cm 2 (11.15) 10. Şimdi eylemsizlik momenti daha fazladır. Bu durumda sistemin açısal ivmesinin artmasını mı yoksa azalmasını mı beklersiniz? Bu yeni durum için açısal ivmeyi belirleyiniz. α 1 = s 2 (11.16) 11. Yukarıdaki ölçümleri tekrar ederek sonuçlarınızı Tablo (11.2) ye yazınız. Deneyin sonunda bu verileri kullanarak α 1 i belirleyeceğiz. 12. M = 100 g lık kütleleri çıkartıp yerlerine M = 200 g lık kütleleri takınız. Bunların tam kütle merkezlerinin çubuğun ortasından 25 cm uzaklıkta olmasında dikkat ediniz. 200 g lık kütleler 100 g lık kütlelerden daha büyük olduklarından bunun için frenleri tekrar ayarlamanız gerekecektir. 13. Denklem (11.7) yi kullanarak sistemin yeni eylemsizlik momentini hesaplayınız. 14. Bu yeni durum için açısal ivmeyi belirleyiniz. I 2 = g cm 2 (11.17) α 2 = s 2 (11.18) 15. Yukarıdaki ölçümleri tekrar ederek sonuçlarınızı Tablo (11.2) ye yazınız. Deneyin Analizi 1. Yukarıda incelediğiniz her 3 durum için (M = 0, M = 100 g M = 200 g) t 2 ye karşılık θ grafiğini çiziniz. 2. Denklem (11.8) bize t 2 θ grafiğinin eğiminin α/2 olduğunu söylemektedir. Bu grafiklerin eğiminden her bir durum için α açısal ivmesini belirleyerek sonuçlarınızı Tablo (11.2) e yazınız. 3. Sonuçlarınızı Denklem (11.14), (11.16) ve (11.18) de bulduğuz değerler ile karşılaştırınız. Eğer ölçtüğünüz değerler ile hesapladığınız değerler arasında fark var ise deneydeki olası hata kaynaklarının (örneğin sistemdeki sürtünmelerin, deneyde dönen diğer parçaların, vs...) bu farkı açıklayıp açıklayamayacağını asistanınız ile tartışınız.

54 M=0 M=100 g M=200 g t (s) t 2 (s 2 ) t (s) t 2 (s 2 ) t (s) t 2 (s 2 ) 4π 8π 12π 16π 20π Eğim α 0 Eğim α 1 Eğim α 2 Tablo 11.2: Sabit ivmeli dönme verileri tablosu M = 0 için t 2 θ grafiği

55 M = 100 g için t 2 θ grafiği M = 200 g için t 2 θ grafiği

56 12 Keplerin II. Yasası Amaç Toz-işaretleme yöntemi ile bir sarkacın eliptik salınımları üzerinden Keplerin ikinci yasasının doğrulanması. Genel Bilgiler Güneş sistemindeki gezegenler, kütle çekiminin etkisi ile Güneş etrafında eliptik yörüngeler üzerinde dönerler. Kütle çekimi kuvveti daima Güneş ile gezegeni birleştiren doğru üzerinde etki eder. Bunun sonucu olarak gezegen nerede olursa olsun üzerine etki eden kuvvet bir merkeze, yani Güneş e, doğru yönelmiştir. Bu tür kuvvetlere merkezcil kuvvet adı verilir. Aşağıda verilen yasalar Kepler tarafından Güneş etrafında dönen bir gezegenin hareketini tarif etmek için formüle edilmişlerdir ancak genel olarak merkezcil bir kuvvet etkisi altında hareket eden bütün cisimler için doğrudurlar. Kepler yasaları şu şekilde ifade edilirler: 1. Gezegen odaklarından birinde Güneşin bulunduğu elips biçimindeki bir yörüngede döner. 2. Gezegeni Güneş e birleştiren doğru parçası eşit zaman aralıklarında eşit alanlar tarar. Bu nedenle gezegen Güneş e yaklaştığında hızlı, Güneş ten uzaklaştığında ise daha yavaş hareket eder. 3. Gezegenin Güneş çevresinde dönüş periyoduna T, yörüngeyi oluşturan elipsin büyük yarı-eksenine de R diyecek olursak T 2 /R 3 gezegenden bağımsız bir sabittir. Şekil 12.1: Keplerin 2. yasası Biz bu deneyde Kepler in ikinci yasasını, eliptik salınım yapan sarkaçın ucundaki bir cisim için doğrulayacağız. Böyle bir cisim de kendi ağırlığı ile ipteki gerilme kuvvetinin toplamı tarafından dönmeye zorlanmaktadır ki bu da merkezcil bir kuvvettir. Siz de bu deneyden önce bir şekil çizerek bu kuvvetin merkeze doğru yönelmiş olduğunu asistanınıza gösteriniz. Eliptik bir yörünge üzerinde dönen cismin yarıçap vektörünün taradığı alan Şekil (12.2) yardımı ile bulunabilir. Eğer çok küçük bir t zamanı içinde cisim küçük r yerdeğiştirmesi gerçekleştirdiyse, bu 55