RELAY SLIDING MODE CONTROL BASED ON THE INPUT OUTPUT MODEL

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "RELAY SLIDING MODE CONTROL BASED ON THE INPUT OUTPUT MODEL"

Transkript

1 GİRİŞ ÇIKIŞ MODELİNE DAYALI RÖLE İLE KAYAN KİPLİ DENETİM RELAY SLIDING MODE CONTROL BASED ON THE INPUT OUTPUT MODEL ŞÖLEN KUMBAY YILDIZ Prof. Dr. HÜSEYİN DEMİRCİOĞLU Tez Danışmanı Haceepe Üniversiesi Lisansüsü Eğiim - Öğreim ve Sınav Yönemeliği nin Elekrik ve Elekronik Mühendisliği Anabilim Dalı İçin Öngördüğü DOKTORA TEZİ olarak hazırlanmışır. 23

2 ŞÖLEN KUMBAY YILDIZ ın hazırladığı Giriş Çıkış Modeline Dayalı Röle ile Kayan Kipli Deneim adlı bu çalışma aşağıdaki jüri arafından ELEKTRİK VE ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI nda DOKTORA TEZİ olarak kabul edilmişir. Başkan (Prof. Dr. Alper Uraz) Danışman (Prof. Dr. Hüseyin Demircioğlu) Üye (Yrd. Doç. Dr. Yakup Sabri Özkazanç) Üye (Yrd. Doç. Dr. Derya Alunay) Üye (Yrd. Doç. Dr. Semih Bingöl) Bu ez Haceepe Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü arafından DOKTORA TEZİ olarak kabul edilmişir. Prof. Dr. Fama SEVİN DÜZ Fen Bilimleri Ensiüsü Müdürü

3 ETİK Haceepe Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü, ez yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım bu ez çalışmasında; ez içindeki büün bilgi ve belgeleri akademik kurallar çerçevesinde elde eiğimi, görsel, işisel ve yazılı üm bilgi ve sonuçları bilimsel ahlak kurallarına uygun olarak sunduğumu, başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda ilgili eserlere bilimsel normlara uygun olarak aıfa bulunduğumu, aıfa bulunduğum eserlerin ümünü kaynak olarak göserdiğimi, kullanılan verilerde herhangi bir değişiklik yapmadığımı, ve bu ezin herhangi bir bölümünü bu üniversie veya başka bir üniversiede başka bir ez çalışması olarak sunmadığımı beyan ederim.... /... / 2... Şölen KUMBAY YILDIZ

4 ÖZET GİRİŞ ÇIKIŞ MODELİNE DAYALI RÖLE İLE KAYAN KİPLİ DENETİM ŞÖLEN KUMBAY YILDIZ Dokora, Elekrik ve Elekronik Mühendisliği Bölümü Tez Danışmanı: Prof. Dr. HÜSEYİN DEMİRCİOĞLU Ağusos 23, 264 sayfa Sisem yapısı veya değişen çalışma koşullarından kaynaklı belirsizlikler, paramere değişiklikleri ve bozucu ekiler deneim uygulamalarında sıkça karşılaşılan sorunların başında yer alır. Kayan kipli deneim (KKD) bu koşullar alında dahi deneim başarımını hedeflenen düzeyde uabilmek amacıyla gelişirilen gürbüz deneim yönemlerinden biridir. KKD in elde edilebildiği yapılardan biri de röleli sisemlerdir. Röle elemanının kayan kipe çalışması sağlanarak paramere değişiklikleri ve gürülü gibi bozucu ekenlere karşı gürbüz bir sisem elde edilmesi amaçlanır. Geleneksel olarak durum uzayında anımlanan KKD yönemi, röle deneimli sisemler için giriş çıkış modeli esas alınarak anımlanabilir. Böylece, yönemin uygulanabilmesi için sisem durumlarının bilinmesine gerek kalmadan, yalnızca çıkış sinyali kullanılarak röleli sisemlerde kayan kipli deneim gerçekleşirilebilmekedir. Bu ez çalışmasında, ilk olarak daha önce ek girişli ek çıkışlı sisemler için ele alınan giriş çıkış modeline dayalı röle ile KKD (GÇ-RKKD) yönemi üzerinde yeniden durulmuş, yönemin en küçük evreli olmayan sisemlerin deneimi, bakışımlı olmayan röle, bozucular ve gürülünün kayan kip koşulları üzerindeki ekileri gibi eksik kalan yönleri ayrınılı olarak incelenmiş ve analiz edilmişir. Çalışmanın bir sonraki aşamasında GÇ-RKKD yönemi çokdeğişkenli sisemlere genişleilmişir. Bu doğruluda önce daha basi olan çokdöngülü yapılar üzerinde durulmuş, ardından çokdeğişkenli sisemler genel olarak ele alınmışır. Bu sisemler i

5 için kayan kip koşullarının üreilmesine yer verilmiş, ideal olmayan çalışma koşulları ve bakışımlı olamayan röle elemanlarının kayan kip koşullarını nasıl ekilediği incelenmişir. Çokdöngülü ve çokdeğişkenli yapılar karmaşıklık, uygulama zorluğu ve deneim başarımı yönünden karşılaşırılmışır. Son olarak elde edilen sonuçlar benzeim çalışmaları ve gerçek zamanlı uygulamalar ile deseklenmişir. Uygulamalarda kullanılan sisem ardışık bağlı üç ade gözden oluşan bir su ankı sisemidir. Su ankı sisemi, hem ek girişli ek çıkışlı, hem de çokdeğişkenli olarak ayarlanmış ve GÇ-RKKD yönemleri kullanılarak gözlerdeki su seviyesi denelenmişir. Anahar Kelimeler: Kayan kipli deneim (KKD), röleli deneim, gürbüz deneim, çokdöngülü deneim, çokdeğişkenli deneim, çokdeğişkenli sisemlerin deneimi, giriş çıkış modeline dayalı röle ile KKD (GÇ-RKKD) ii

6 ABSTRACT RELAY SLIDING MODE CONTROL BASED ON THE INPUT OUTPUT MODEL ŞÖLEN KUMBAY YILDIZ Docor of Philosophy, Deparmen of Elecrical and Elecronics Engineering Supervisor: Prof. Dr. HÜSEYİN DEMİRCİOĞLU Augus 23, 264 pages Uncerainies, parameer changes and disurbances caused by he sysem srucure and/or changing operaing condiions lie among he mos frequenly encounered problems in pracical conrol applicaions. Sliding mode conrol (SMC) is one of he robus conrol mehods, developed o provide a cerain conrol performance under such circumsances. SMC can also be obained in relay conrol sysems. The aim is o obain an overall sysem ha is robus o disurbances, noise and parameer changes by forcing he relay elemen o operae in sliding mode. While SMC mehods have been radiionally developed in sae-space; in relay conrol sysems, i is possible o define SMC based on he inpu-oupu model of a sysem. In his way, sliding moion can be achieved by only uilizing he oupu signal, wihou he need o know or measure he sysem saes. In he firs par of his sudy, he relay sliding mode conrol mehod based on he inpu-oupu model (RSMC-IO), which has been previously designed for single-inpu single-oupu (SISO) sysems, is revisied. And some issues ha have no been addressed previously such as conrol of non-minimum phase sysems, he effecs of non-symmeric relay, disurbances and measuremen noise on he sliding mode condiions have been examined and analyzed in deail. In he second par of he sudy, he RSMC-IO mehod is exended o mulivariable sysems. Firsly, he simpler muli-loop srucure is examined and hen mulivariable iii

7 sysems in general are aken ino consideraion. Sliding mode condiions for hese sysems are derived, and he effecs of non-ideal operaing condiions and he use of non-symmerical relays on hese condiions are invesigaed. Muli-loop and mulivariable approaches are compared wih each oher regarding complexiy, applicaion difficuly and conrol performance. Finally, he heoreical resuls are pu o es by simulaions and real-ime applicaions. The sysem used in he applicaions is a waer ank sysem which consiss of hree cascaded anks. The waer ank is arranged o represen a single-inpu singleoupu and a mulivariable sysem and he waer levels in he anks are conrolled by using he RSMC-IO mehods. Keywords: Sliding mode conrol (SMC), relay conrol, robus conrol, muli-loop conrol, mulivariable conrol, conrol of mulivariable sysems, relay sliding mode conrol based on he inpu oupu model (RSMC-IO) iv

8 TEŞEKKÜR Uzun ve zorlu ez çalışmamız süresince bilgi ve ilgisini hiç esirgemeyen yol gösericim ve ez danışmanım Sayın Prof. Dr. Hüseyin Demircioğlu na değerli kakı ve paylaşımlarından dolayı içenlike eşekkürlerimi sunarım. Bilgi ve deneyimlerini paylaşarak çalışmamıza yön veren ez izleme komiesi ve savunma sınavı jüri üyesi kıymeli hocalarıma eşekkür ederim. Hayaımın her anında olduğu gibi ez çalışmam süresince de sonsuz sevgi ve desekleriyle beni hiç yalnız bırakmayan sevgili annem ve babama, meslekaşı olmakan gurur duyduğum canım kardeşim Eren e, güven ve sevgisi ile hep yanımda olan ve bana güç veren değerli eşim Gökay a ve varlığıyla hayaın her anını yaşamaya daha da değer kılan biricik kızım Arya ya yüreken eşekkür ederim. v

9 İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET ABSTRACT TEŞEKKÜR İÇİNDEKİLER ŞEKİLLER SİMGELER VE KISALTMALAR i iii v vi ix xvi. GİRİŞ TEK GİRİŞLİ TEK ÇIKIŞLI SİSTEMLERDE GÇ-RKKD Kayan Kip Koşulları E ve F Süzgeçleri GÇ-RKKD de Gürbüzlük Paramere Değişiklikleri Bozucular Ölçüm Gürülüsü Bakışımlı Olmayan Röle ile KKD Kararsız Sisemlerde GÇ-RKKD En Küçük Evreli Olmayan Sisemlerde GÇ-RKKD Benzeim Çalışması Kayan Kip Koşullarının İncelenmesi E ve F Süzgeçlerinin Kullanımı Paramere Değişikliklerinin Ekilerinin İncelenmesi Bozucuların Deneim Başarımı Üzerindeki Ekilerinin İncelenmesi Bakışımlı Olmayan Röle Kullanımı Kararsız Sisemlerin Deneimi ÇOKDÖNGÜLÜ SİSTEMLERDE GÇ-RKKD Çokdöngülü Sisemler İçin Kayan Kip Koşulları vi

10 3.2. E ve F Marisleri Çokdöngülü GÇ-RKKD de Gürbüzlük Paramere Değişiklikleri Bozucular Ölçüm Gürülüsü Çokdöngülü Sisemlerde Bakışımlı Olmayan Röle ile KKD Benzeim Çalışması Çokdöngülü Sisemlerde Kayan Kip Koşullarının İncelenmesi E ve F Marislerinin Kullanımı Paramere Değişikliklerinin Ekilerinin İncelenmesi Bozucuların Deneim Başarımı Üzerindeki Ekilerinin İncelenmesi Bakışımlı Olmayan Röle Kullanımı Kararsız Sisemlerin Deneimi ÇOKDEĞİŞKENLİ SİSTEMLERDE GÇ-RKKD Çokdeğişkenli Sisemler İçin Kayan Kip Koşulları E ve F Marisleri Çokdeğişkenli GÇ-RKKD de Gürbüzlük Paramere Değişiklikleri Bozucular Ölçüm Gürülüsü Çokdeğişkenli Sisemlerde Bakışımlı Olmayan Röle ile KKD Benzeim Çalışması E ve F Marislerinin Kullanımı Paramere Değişikliklerinin Ekilerinin İncelenmesi Bozucuların Deneim Başarımı Üzerindeki Ekilerinin İncelenmesi Bakışımlı Olmayan Röle Kullanımı Kararsız Sisemlerin Deneimi UYGULAMALAR vii

11 5.. Uygulamalarda Kullanılan Sisem Su Tankı Siseminin Maemaiksel Modeli Uygulama Sonuçları Tek girişli ek çıkışlı GÇ-RKKD yönemi ile elde edilen sonuçlar Çokdöngülü GÇ-RKKD yönemi ile elde edilen sonuçlar Çokdeğişkenli GÇ-RKKD yönemi ile elde edilen sonuçlar SONUÇLAR KAYNAKLAR EKLER ÖZGEÇMİŞ viii

12 ŞEKİLLER Sayfa Şekil 2.. Röleli deneim yapısı Şekil 2.2. Röleli deneim için genişleilmiş yapı Şekil 2.3. Çıkış sinyali üzerinde bozucu Şekil 2.4. Ölçüm gürülüsünün ekisi Şekil 2.5. Bakışımlı olmayan röleli deneim yapısı Şekil 2.6. Bakışımlı olmayan röle Şekil 2.7. Eş e verilen siseme ai evre porresi (u = ) Şekil 2.8. Eş e verilen siseme ai evre porresi (r = 5) Şekil 2.9. Şekil 2.8 de verilen evre porresinde sisem epkisinin kararlı olduğu ve eė < koşulunun sağlandığı bölgeler Şekil 2.. Eş de verilen sisem için düz röle ile benzeim sonuçları Şekil 2.. Eş ile verilen sisem için düz röle (r > ) kullanıldığında elde edilen evre porresi Şekil 2.2. Eş ile verilen sisem için ers röle (r < ) kullanıldığında elde edilen evre porresi Şekil 2.3. Ters röle ile benzeim sonucu (x() = [.6 ] T ) Şekil 2.4. Ters röle ile benzeim sonucu (x() = [ ] T ) Şekil 2.5. G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları (r = 3) Şekil 2.6. G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları (r =.9) Şekil 2.7. G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları (r =.8) Şekil 2.8. G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları (r =.8) Şekil 2.9. G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları (r = 5) Şekil 2.2. G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları (r =.2) Şekil 2.2. G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları (r =.8) Şekil G 2 (s) ve M 2 (s) için benzeim sonuçları (r = 2) Şekil F(s) süzgecinin kullanımı (r=5) - G 3 (s) ve M 3 (s) için benzeim sonuçları ix

13 Şekil E(s) ve F(s) süzgeçlerinin kullanımı (r=5) - G 4 (s) ve M 4 (s) için benzeim sonuçları Şekil Ani paramere değişimlerinin deneim başarımı üzerindeki ekisi (r = 6) Şekil Ani paramere değişimlerinin deneim başarımı üzerindeki ekisi (r = 5) Şekil Sürekli değişen paramerelerin deneim başarımı üzerindeki ekisi (r = 5) Şekil Basamak ipi bozucunun deneim başarımı üzerindeki ekisi (r = 5). 62 Şekil Basamak ipi bozucunun deneim başarımı üzerindeki ekisi (r = ) 63 Şekil 2.3. Beyaz gürülünün deneim başarımı üzerindeki ekisi (r = ) Şekil 2.3. Ölçüm gürülüsünün deneim başarımı üzerindeki ekisi (r = 5) Şekil Bakışımlı olmayan röle ile deneim başarımı (r o = 5, r = ) Şekil Karasız sisemde deneim başarımı (r = 5) Şekil Karasız sisemde deneim başarımı (r = 25) Şekil 3.. İki girişli ve iki çıkışlı bir sisemde çokdöngülü röleli deneim yapısı. 7 Şekil 3.2. Üç girişli ve üç çıkışlı çokdöngülü röleli deneim yapısı Şekil 3.3. Çokdöngülü röleli deneim yapısı Şekil 3.4. İki girişli ve iki çıkışlı yapıda E ve F marisleri Şekil 3.5. E ve F marisleri köşegen biçimde seçildiğinde oraya çıkan deneim yapısı Şekil 3.6. Çokdöngülü röleli deneim yapısında çıkış sinyali üzerinde ekili bozucu Şekil 3.7. Çokdöngülü röleli deneim yapısında ölçüm gürülüsü Şekil 3.8. İki girişli ve iki çıkışlı çokdöngülü bakışımlı olmayan röleli deneim yapısı Şekil 3.9. G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları - Birinci döngü (r = 5) Şekil 3.. G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları - İkinci döngü (r 2 = ) Şekil 3.. G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları - Birinci döngü (r =.6) Şekil 3.2. G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları - İkinci döngü (r 2 = 4.6) Şekil 3.3. G 2 (s) ve M 2 (s) için benzeim sonuçları - Birinci döngü (r = 8) x

14 Şekil 3.4. G 2 (s) ve M 2 (s) için benzeim sonuçları - İkinci döngü (r 2 = 2) Şekil 3.5. G 2 (s) ve M 2 (s) için benzeim sonuçları - Birinci döngü (r = ) Şekil 3.6. G 2 (s) ve M 2 (s) için benzeim sonuçları - İkinci döngü (r 2 = 3) Şekil 3.7. F (s) marisinin kullanımı - Birinci döngü (r = 5) - G 3 (s) ve M 3 (s) için benzeim sonuçları Şekil 3.8. F (s) marisinin kullanımı - İkinci döngü (r 2 = 5) - G 3 (s) ve M 3 (s) için benzeim sonuçları Şekil 3.9. E(s) ve F (s) marislerinin kullanımı - Birinci döngü (r = 5) - G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları Şekil 3.2. E(s) ve F (s) marislerinin kullanımı - İkinci döngü (r 2 = 25) - G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları Şekil 3.2. F (s) marisinin kullanımı - Birinci döngü (r = 5) - G 4 (s) ve M 4 (s) için benzeim sonuçları Şekil F (s) marisinin kullanımı - İkinci döngü (r 2 = ) - G 4 (s) ve M 4 (s) için benzeim sonuçları Şekil Ani değişen sisem paramerelerinin ekisi - Birinci döngü (r = ) - G 4 (s) ve M 4 (s) için benzeim sonuçları Şekil Ani değişen sisem paramerelerinin ekisi - İkinci döngü (r 2 = 5) - G 4 (s) ve M 4 (s) için benzeim sonuçları Şekil Ani değişen sisem paramerelerinin ekisi - Birinci döngü (r = 45) - G 4 (s) ve M 4 (s) için benzeim sonuçları Şekil Ani değişen sisem paramerelerinin ekisi - İkinci döngü (r 2 = 3) - G 4 (s) ve M 4 (s) için benzeim sonuçları Şekil Sürekli değişen sisem paramerelerinin ekisi - Birinci döngü (r = 5) - G 4 (s) ve M 4 (s) için benzeim sonuçları Şekil Sürekli değişen sisem paramerelerinin ekisi - İkinci döngü (r 2 = ) - G 4 (s) ve M 4 (s) için benzeim sonuçları Şekil Basamak ipi bozucuların ekisi - Birinci döngü (r = 4) - G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları Şekil 3.3. Basamak ipi bozucuların ekisi - İkinci döngü (r 2 = 8) - G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları Şekil 3.3. Basamak ipi bozucuların ekisi - Birinci döngü (r = 2) - G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları xi

15 Şekil Basamak ipi bozucuların ekisi - İkinci döngü (r 2 = 4) - G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları Şekil Beyaz gürülünün ekisi - Birinci döngü (r = 5) - G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları Şekil Beyaz gürülünün ekisi - İkinci döngü (r 2 = 5) - G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları Şekil Ölçüm gürülünün ekisi - Birinci döngü (r = 5) - G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları Şekil Ölçüm gürülünün ekisi - İkinci döngü (r 2 = 5) - G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları Şekil Bakışımlı olmayan röle kullanımı - Birinci döngü (r o = 2, r = 5) - G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları Şekil Bakışımlı olmayan röle kullanımı - İkinci döngü (r 2o = 9, r 2 = 5) - G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları Şekil Kararsız sisemde deneim başarımı - Birinci döngü (r = 2) - G 5 (s) ve M 5 (s) için benzeim sonuçları Şekil 3.4. Kararsız sisemde deneim başarımı - İkinci döngü (r 2 = 3) - G 5 (s) ve M 5 (s) için benzeim sonuçları Şekil 3.4. Kararsız sisemde deneim başarımı - Birinci döngü (r = 5) - G 5 (s) ve M 5 (s) için benzeim sonuçları Şekil Kararsız sisemde deneim başarımı - İkinci döngü (r 2 = 2) - G 5 (s) ve M 5 (s) için benzeim sonuçları Şekil 4.. İki girişli iki çıkışlı çokdeğişkenli röleli deneim yapısı Şekil 4.2. Üç girişli ve üç çıkışlı çokdeğişkenli röleli deneim yapısı Şekil 4.3. İki girişli iki çıkışlı çokdeğişkenli yapıda E ve F marisleri Şekil 4.4. Çokdeğişkenli röleli deneim yapısında çıkış sinyali üzerinde ekili bozucu Şekil 4.5. Çokdeğişkenli röleli deneim yapısında ölçüm gürülüsü Şekil 4.6. İki girişli ve iki çıkışlı bakışımlı olmayan röleli çokdeğişkenli deneim yapısı Şekil 4.7. G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları - Birinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r = 4, r 2 = ) xii

16 Şekil 4.8. G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları - İkinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r 2 = 2, r 22 = 8) Şekil 4.9. G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları - Birinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r = 2, r 2 = 8) Şekil 4.. G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları - İkinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r 2 = 4, r 22 = ) Şekil 4.. G 2 (s) ve M 2 (s) için benzeim sonuçları - Birinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r =, r 2 = 2) Şekil 4.2. G 2 (s) ve M 2 (s) için benzeim sonuçları - İkinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r 2 = 2, r 22 = 4) Şekil 4.3. E(s) ve F (s) marislerinin kullanımı - G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları - Birinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r = 2, r 2 = 3)... 2 Şekil 4.4. E(s) ve F (s) marislerinin kullanımı - G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları - İkinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r 2 = 5, r 22 = 2) Şekil 4.5. F (s) marisinin kullanımı - G 4 (s) ve M 4 (s) için benzeim sonuçları - Birinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r =, r 2 = 9) Şekil 4.6. F (s) marisinin kullanımı - G 4 (s) ve M 4 (s) için benzeim sonuçları - İkinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r 2 = 5, r 22 = 2) Şekil 4.7. Ani değişen sisem paramerelerinin ekisi - G 4 (s) ve M 4 (s) için benzeim sonuçları - Birinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r =, r 2 = 9) Şekil 4.8. Ani değişen sisem paramerelerinin ekisi - G 4 (s) ve M 4 (s) için benzeim sonuçları - İkinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r 2 = 5, r 22 = 2) Şekil 4.9. Ani değişen sisem paramerelerinin ekisi - G 4 (s) ve M 4 (s) için benzeim sonuçları - Birinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r =, r 2 = 2) Şekil 4.2. Ani değişen sisem paramerelerinin ekisi - G 4 (s) ve M 4 (s) için benzeim sonuçları - İkinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r 2 = 35, r 22 = ) Şekil 4.2. Sürekli değişen sisem paramerelerinin ekisi - G 4 (s) ve M 4 (s) için benzeim sonuçları - Birinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r =, r 2 = 9) xiii

17 Şekil Sürekli değişen sisem paramerelerinin ekisi - G 4 (s) ve M 4 (s) için benzeim sonuçları - İkinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r 2 = 5, r 22 = 2) Şekil Basamak ipi bozucuların ekisi - G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları - Birinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r = 4, r 2 = ) Şekil Basamak ipi bozucuların ekisi - G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları - İkinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r 2 = 2, r 22 = 8) Şekil Basamak ipi bozucuların ekisi - G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları - Birinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r = 5, r 2 = 5) Şekil Basamak ipi bozucuların ekisi - G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları - İkinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r 2 = 7, r 22 = 8) Şekil Beyaz gürülünün ekisi - G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları - Birinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r = 8, r 2 = 3) Şekil Beyaz gürülünün ekisi - G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları - İkinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r 2 = 5, r 22 = 5) Şekil Ölçüm gürülünün ekisi - G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları - Birinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r = 8, r 2 = 3) Şekil 4.3. Ölçüm gürülünün ekisi - G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları - İkinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r 2 = 5, r 22 = 5) Şekil 4.3. Bakışımlı olmayan röle kullanımı - Birinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar - G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları Şekil Bakışımlı olmayan röle kullanımı - İkinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar - G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları Şekil Kararsız sisemde deneim başarımı - G 5 (s) ve M 5 (s) için benzeim sonuçları - Birinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r = 3, r 2 = ) Şekil Kararsız sisemde deneim başarımı - G 5 (s) ve M 5 (s) için benzeim sonuçları - İkinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r 2 = 2, r 22 = 4) Şekil Kararsız sisemde deneim başarımı - G 5 (s) ve M 5 (s) için benzeim sonuçları - Birinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r =, r 2 = 5) Şekil Kararsız sisemde deneim başarımı - G 5 (s) ve M 5 (s) için benzeim sonuçları - İkinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r 2 = 2, r 22 = 8) Şekil 5.. Uygulamada kullanılan su ankı sisemi Şekil 5.2. Su ankı siseminin şemaik göserimi xiv

18 Şekil derece olarak düzenlenmiş su ankı siseminin şemaik göserimi 234 Şekil 5.4. İki girişli iki çıkışlı olarak düzenlenmiş su ankı siseminin şemaik göserimi Şekil 5.5. Tek girişli ek çıkışlı GÇ-RKDD yöneminine ai uygulama sonuçları (r a = 5.77, r b = ) Şekil 5.6. Tek girişli ek çıkışlı GÇ-RKDD yöneminde E ve F süzgeçlerinin kullanımı (r = 3) Şekil 5.7. Çokdöngülü GÇ-RKDD yönemi ile elde edilen sonuçlar - Birinci döngü (r a = 5.77, r b = ) Şekil 5.8. Çokdöngülü GÇ-RKDD yönemi ile elde edilen sonuçlar - İkinci döngü (r 2a = 5.77, r 2b = ) Şekil 5.9. Çokdöngülü GÇ-RKDD yöneminde F marisinin kullanımı - Birinci döngü (r = 2) Şekil 5.. Çokdöngülü GÇ-RKDD yöneminde F marisinin kullanımı - İkinci döngü (r 2 = 2) Şekil 5.. Çokdeğişkenli GÇ-RKDD yöneminde F marisinin kullanımı - Birinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r = 5, r 2 = 5) Şekil 5.2. Çokdeğişkenli GÇ-RKDD yöneminde F marisinin kullanımı - İkinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r 2 = 2, r 22 = 5) xv

19 SİMGELER VE KISALTMALAR Simgeler y, y sisem çıkışı u, u sisem girişi veya deneim sinyali ū, ū o eşdeğer deneim sinyali ve durgun durumda aldığı değer y m, y m dayanak model çıkışı w, w dayanak girişi e, e haa sinyali veya röle girişi φ, φ modelin ersi ile süzgeçlenmiş sisem çıkışı r r R β β β ij φ o φ o röle genliği röle genliklerini içeren vekör röle genliklerini içeren maris φ sinyalinin anlık değişen kısmı φ sinyalinin anlık değişen kısımlarını içeren maris β marisinin i. saır j. süunundaki elemanı φ sinyalinin anlık değişmeyen kısmı φ sinyalinin anlık değişmeyen kısımlarını içeren maris s, s genişleilmiş KKD yapısında röle girişi v, v genişleilmiş KKD yapısında röle çıkışı E, F genişleilmiş KKD yapısında kullanılan süzgeç çokerimlileri E, F genişleilmiş KKD yapısında kullanılan marisler n, n çıkış sinyali üzerinde ekili bozucu sinyal d, d çıkış sinyali üzerinde ekili basamak ipi bozucu m, m ölçüm gürülüsü r a, r b r o, r o, R o r, r, R bakışımlı olmayan röle genlikleri bakışımlı olmayan röle genliklerinin oralama değeri oralama değerlerinden arınmış röle genlikleri xvi

20 Kısalmalar KKD SMC GÇ-RKKD RSMC-IO ÖS-SÖ Kayan Kipli Deneim Sliding Mode Conrol Giriş Çıkış Modeline Dayalı Röle ile Kayan Kipli Deneim Relay Sliding Mode Conrol Based on he Inpu-Oupu Model Örneksel-Sayısal Sayısal-Örneksel xvii

21 . GİRİŞ Deneim uygulamalarında en sık karşılaşılan sorunların başında sisem yapısına veya değişen çalışma koşullarına bağlı olarak meydana gelen paramere değişiklikleri ile bozucu ekiler gelmekedir. Değişken yapılı sisemler (variable srucure sysems) yaklaşımı ve kayan kipli deneim (sliding mode conrol), bu koşulları dikkae alarak gelişirilen ve bozucu ekiler ve paramere değişikliklerine karşı gürbüz bir deneim elde emeyi amaçlayan yönemlerden biridir. Yaklaşımın emelleri 3 lu yıllarda Sovye araşırmacılar arafından aılmışır [, 2], ancak o dönemde kayan kip erimi kullanılmamışır. Yönemin modern deneim erminolojisi kullanılarak ifade edilmesi ve yayınlanması 7 li yıllarda yine Sovye araşırmacılar arafından gerçekleşirilmişir [3, 4]. Değişken yapılı sisemler ve kayan kipli deneim yayınladığı arihen günümüze dek pek çok araşırmacının ilgisini çekmiş ve çok sayıda yayına konu olmuşur [5, 6, 7, 8, 9,,, 2, 3]. Yönem, sürekli ve kesikli zaman sisemler, çokdeğişkenli, doğrusal olmayan, belirsiz, sonsuz boyulu ve zaman gecikmeli sisemler ile model akibi gibi farklı pek çok alan kapsamında araşırılmışır [4, 5, 6, 7, 8, 9, 2, 2, 22, 23, 24, 25, 26]. Uygun bir anaharlama manığı ile birbirine bağlanmış al sisemlerden oluşan yapılar değişken yapılı sisemler olarak adlandırılırlar. Bu ür sisemlerde deneim sinyali sürekli değil, sisem durumları, dayanak girişi ve bozucu ekenlerin kesikli bir işlevidir. Belirlenen anaharlama manığına bağlı olarak sisem bir al sisemden diğerine alar. Böylece sisem yapısı değişmiş olur. Bu anaharlama sayesinde sisemin dinamik davranışı sabi uulmaya çalışılarak, belirsizliklere ve bozuculara karşı gürbüz bir deneim sisemi elde edilmesi hedeflenir. Kayan kipli deneim (KKD), değişken yapılı sisemlerde özel bir durum olarak oraya çıkmakadır. KKD yöneminde sisem durumları, durum uzayı üzerinde önceden belirlenen bir yüzey üzerinde uulmaya çalışılır. Sisem durumları, anımlanmış olan yüzeyin diğer arafına geçikçe, deneim sinyali de önceden anımlı değerlerden birine alar. Amaç, kapalı döngü sisem dinamiklerinin yalnızca bu yüzey arafından belirlenmesini sağlamakır. Böylece, paramere belirsizliklerinin ve gürülünün sisem çıkışı üzerindeki ekisi oradan kaldırılmış olur. Durum gezingeleri anımlanan yüzeyin her iki arafında da yüzeye doğru ise sisem durumları bu yüzey üzerinde kalır ve orijine doğru kaymaya başlar. Oraya çıkan bu durum kayan kip (slid-

22 ing mode), anımlanan yüzey ise kayma manifoldu (sliding manifold) veya kayma yüzeyi (sliding surface) olarak adlandırılır. Kayan kipin gerçekleşebilmesi için iki ayrı evrenin oluşması gerekir. Sisem durumlarının uygun deneim sinyalleriyle herhangi bir başlangıç değerinden kayma yüzeyine aşınması için gereken süre erişme evresi (reaching phase) olarak adlandırılır. Erişme evresi amamlandığında ise kayma evresi (sliding phase) başlar. Kayma evresi anaharlama evresi olarak da adlandırılır (swiching phase). Kayma evresi süresince sisem çıkışı, belirsizlikler ve bozuculardan bağımsız olarak, kayma yüzeyi arafından belirlenir. Böylece gürbüz bir deneim elde edilmiş olur. KKD yönemlerinin bir diğer avanajı, sisem dinamiği ifadelerinin doğrusallaşırılmış olmasını zorunlu kılmamasıdır. Bunun yanısıra, sisem kayma evresindeyken elde edilen yapı, denelenen sisemden daha düşük dereceli bir dinamikle ifade edilebilmekedir. KKD de durum değişkenlerini kayma yüzeyi üzerinde uabilmek için deneim kuralı, genliği ve yönü sürekli değişen bir deneim sinyali üreir. Kuramsal olarak deneim sinyalleri arasındaki bu geçişin anlık olarak gerçekleşiği kabul edilse de, uygulamada durum farklıdır. Fiziksel sisemler ele alındığında anaharlama için sonlu bir zaman gerekmekedir. Bu nedenle, KKD in praik uygulamalarında çaırı (chaering) olarak adlandırılan ve isenmeyen bir durum oraya çıkmakadır. Çaırı enerji kayıplarına, mekanik parçalarda yorulmalara ve en önemlisi de modellenmeyen dinamiklerin eiklenmesine sebep olduğundan sisem üzerindeki ekisi son derece olumsuzdur. Çaırının azalılması için pek çok yönem önerilmişir. Bunlardan en yaygın olanı, kesikli deneim işlevini sürekli bir işlevle değişirmekir [27, 28, 29, 3]. Bu şekilde her ne kadar çaırı bir mikar azalılsa da sisem başarımının düşüğü, gürbüzlük özelliğinin zayıfladığı gözlenmişir. Bir diğer yaklaşım, çaırıyı azalabilmek için deneim sinyalinin genliğini mümkün olduğunca küçülme ilkesine dayanır. Örneğin deneim sinyali genliğinin sisem durumlarına bağlı olarak uyarlamalı bir şekilde ayarlanması da önerilmişir [29, 3, 32]. Yüksek sıklıka değişen deneim sinyalini alçak geçiren bir süzgeçen geçirerek denelenen siseme uygulamak da, çaırıyı giderme amacıyla önerilen bir diğer yönemdir [33, 34]. Temel olarak önerilen üm yönemler deneimin yapısının gürbüzlüğü ile çaırı arasında bir uzlaşma sağlanması esasına dayanır. Diğer bir deyişle, çaırı azalılmaya çalışılırken KKD yöneminin gürbüzlük özelliğinden bir mikar fedakarlık edilmekedir. 2

23 KKD geleneksel olarak durum uzayında anımlandığından, kayma yüzeyi sisem durumlarının bir işlevi olarak belirlenir. Bir başka deyişle, yönemin kullanılabilmesi için sisem durumlarının bilinmesi gerekir. Bu durum kayan kipli deneimin uygulanması açısından bir dezavanaj eşkil emekedir. Durum bilgisinin olmadığı veya durumların ölçülemediği yapılarda, önce gözleyiciler yardımıyla sisem durumları kesirilmeye çalışılır, ardından kesirilen durumlar KKD yönemlerinde kullanılır [35, 36, 37, 38]. Bu ür yönemler genellikle gözleyici abanlı KKD yönemleri olarak adlandırılır. Durum gözleyicileri başlı başına çözülmesi gereken bir asarım problemidir ve KKD yönemlerinin uygulanmasını oldukça karmaşık bir hale geirmekedir. Bu nedenle, özellikle 9 lı yılların başından iibaren sisem çıkışına dayalı KKD deneim yönemi (oupu feedback sliding mode conrol) üzerinde durulmuşur [39, 4, 4, 42, 43, 44, 45, 46]. Genel olarak önerilen bu yeni yaklaşımda, kayma yüzeyi sisem durumları üzerinden değil, sisem çıkışı cinsinden anımlanmakadır. Böylece sisem durumlarını kesirmek için gözleyicilerin kullanılmasına gerek kalmadan yalnızca sisem çıkışı kullanılarak KKD elde edilebilmekedir. KKD in elde edilebileceği değişken yapılı sisem ürlerinden biri de röle deneimli sisemlerdir. Bozuculara ve paramere değişikliklerine karşı gürbüz bir yapı elde emek amacıyla, röle elemanının kayan kipe çalışması sağlanır. Geleneksel yaklaşımdan farklı olarak, KKD röle deneimli sisemlerde giriş çıkış modeli üzerinden anımlanabilmekedir. Böylece sisem durumlarının bilinmesine gerek kalmadan KKD deneim elde edilebilir. Yönemin bir diğer avanajı, durum uzayında anımlı yönemlerle karşılaşırıldığında, maemaiksel ifadelerin daha basi yapıda olması ve uygulamalar esnasında daha az işlem gücü gerekirmesidir. Giriş çıkış modeline dayalı röle ile KKD (GÇ-RKKD) yönemi bildiğimiz kadarıyla ilk olarak [47, 48] arafından ele alınmışır. Tek girişli ek çıkışlı yapıların incelendiği bu çalışmalarda, sisemin kayan kipe çalışması için gereken koşullar belirlenmişir. Yönemin başarılı bir şekilde uygulanabilmesi için sisem paramerelerinin veya sisem durumlarının bilinmesine gerek olmadığı, yalnızca denelenen sisemin göreli derecesi ile ilgili bir ön koşulun sağlanması gerekiği vurgulanmışır. Bu ön koşulu sağlamayan sisemler için genişleilmiş bir deneim yapısı da önerilmişir. Ayrıca, önerilen yönemin sergilediği deneim başarımları benzeimler ve gerçek uygula- 3

24 malar aracılığıyla göserilmişir. Yakın zamanda yapılan bir başka çalışmada, yine ek girişli ek çıkışlı sisemler için, giriş çıkış modeline dayalı model dayanaklı KKD yönemi, model dayanaklı özayarlamalı deneim yönemleriyle benzeimler aracılığıyla karşılaşırmalı olarak incelenmişir [49, 5]. Gürülü ekisi alında her iki yönem de benzer başarım göserirken, özellikle sisem paramerelerinin anlık veya hızlı değişiği durumlarda röle ile KKD yönemininin özayarlamalı yöneme göre üsün olduğu gözlenmişir. Yukarıda bahsedilen GÇ-RKKD yönemi, yalnızca ek girişli ek çıkışlı sisemler için anımlanmış ve kayan kipin elde edilmesi için gerekli koşullar ideal durumlar için oraya konulmuşur. Sisemin bozucuların ekisi alında olduğu durumlarda kayan kip koşullarının nasıl değişiği konusunda herhangi bir çalışma yapılmamışır. Bunun yanısıra, kullanılan röle elemanının bakışımlı olduğu kabul edilmişir. Bakışımlı olmayan röle kullanıldığı durumlar için kayan kip koşulları üreilmemişir. Son olarak GÇ-RKKD yöneminin çokdeğişkenli sisemlere genişleilmesi ile ilgili bir çalışma bilgimiz dahilinde bulunmamakadır. Bu ez çalışmasında emel olarak GÇ-RKKD yöneminin çokdeğişkenli sisemlere genişleilmesi hedeflenmişir. Bu çerçevede ilk olarak ek girişli ek çıkışlı sisemler ele alınmışır. Öncelikle ideal çalışma şarları alında kayan kipin gerçekleşebilmesi için gereken koşullar sunulmuş, ardından gürülünün ekili olduğu durumlarda kayan kip koşullarının nasıl değişiği incelenmiş ve yeni koşullar belirlenmişir. Daha sonra bakışımlı olmayan röle kullanıldığı durumlar irdelenmiş ve kayan kip koşulları üreilmişir. Kararsız ve en küçük evreli olmayan sisemlerde GÇ-RKKD yöneminin başarımının irdelenmesiyle çalışmanın ilk kısmı amamlanmışır. Bir sonraki kısımda çokdeğişkenli sisemler üzerinde durulmuşur. Tez çalışmasının esas odak nokasını oluşuran çokdeğişkenli sisemler öncelikle daha basi olan çokdöngülü (muli-loop) yapıda ele alınmış, ek girişli ek çıkışlı sisemlerde üzerinde durulan analizlerin benzerleri çokdöngülü sisemler için de yapılmışır. Çalışmanın bir sonraki aşamasında çokdeğişkenli sisemler genel olarak incelenmiş ve ulaşılan sonuçlar çokdöngülü yapıları da kapsayacak biçimde en genel haliyle sunulmuşur. Hem ek girişli ek çıkışlı hem de çokdöngülü ve çokdeğişkenli sisemler için yapılan analiz ve çalışmalar, ilgili kısımların ardından benzeim örnekleri aracılığıyla deseklenmişir. Son olarak, GÇ-RKKD yöneminin gerçek zamanlı olarak üç gözlü su ankı sisemine uygulanması ile elde edilen sonuçlar sunulmuşur. Uygula- 4

25 malar esnasında su ankı sisemi hem ek girişli ek çıkışlı hem de çokdeğişkenli olarak ayarlanmış, kuramsal olarak elde edilen sonuçlar sisem üzerinde sınanmış ve deneim başarımları gözlenmişir. Bu çalışma 6 emel bölüm halinde sunulmuşur. İlk bölüm değişken yapılı sisemler ve KKD hakkında genel bilgileri içeren giriş bölümüdür. Bölüm 2 de ek girişli ek çıkışlı sisemlerde GÇ-RKKD yönemi anlaılmış ve benzeim örneklerine yer verilmişir. GÇ-RKKD yönemi Bölüm 3 e çokdöngülü sisemlere genişleilmiş ve benzeim örnekleri aracılığıyla elde edilen sonuçlar sınanmışır. Çokdeğişkenli sisemler için GÇ-RKKD yönemi Bölüm 4 e gelişirilmişir. Çokdöngülü yapıları da kapsayacak şekilde genel bir ifade oraya konulmuşur. Hem ek girişli ek çıkışlı hem de çokdeğişkenli yönemlerin su ankı sisemine uygulanması ile elde edilen sonuçlar Bölüm 5 e sunulmuşur. Tez çalışmasında ulaşılan sonuçlar ve geleceke yapılabilecek çalışmalar Bölüm 6 da özelenmişir. 5

26 2. TEK GİRİŞLİ TEK ÇIKIŞLI SİSTEMLERDE GÇ-RKKD Bu bölümde ek girişli ek çıkışlı sisemlerde giriş çıkış modeli üzerinden anımlanan röle ile kayan kipli deneim yönemi üzerinde durulacakır. İlk olarak ideal şarlarda kayma evresinin oluşabilmesi için gerekli koşullar verilecek, ardından yönemin paramere değişiklikleri ve bozucular karşısındaki başarımı incelenecekir. Kullanılan röle elemanının bakışımlı olmaması durumunda kayan kip koşullarının nasıl değişiği irdelendiken sonra, yönemin kararsız ve en küçük evreli olmayan sisemlerin deneimindeki başarımı üzerinde durulacakır. Son olarak elde edilen sonuçlar benzeim örnekleri aracılığıyla sınanacakır. 2. Kayan Kip Koşulları Röleli deneimde kullanılan genel yapı Şekil 2. de görülmekedir. Burada G(s) açık döngü sisemin akarım işlevi, M(s) ise modele ai akarım işlevidir. G(s) nin kesin uygun (sricly proper) olduğu kabul edilmişir. u() ve y() giriş ve çıkış sinyallerini, φ() model akarım işlevinin ersi (M (s)) ile süzgeçlenmiş çıkış sinyalini, w() dayanak girişini ve e() röle girişini ifade emekedir. e() haa sinyali olarak da adlandırılmakadır. s ürev işlecidir (d/d). Şekil 2.. Röleli deneim yapısı Şekil 2. de görülen yapıda röle elemanının bakışımlı ve ideal olduğu kabul edilmişir. Rölenin çıkışında oluşan deneim sinyali u() = r sign(e()) r, e() r, e() < (2.) şeklindedir. Burada r röle genliğini ifade emekedir. Yukarıda verilen sisemde 6

27 kayan kipin oluşabilmesi için gerekli koşul e()ė() < (2.2) biçimindedir [5]. Diğer bir deyişle, erişme evresinde haa sinyali poziifken azalma eğiliminde, negaifken ise arma eğiliminde olmalıdır. Böylece haa sinyali eşik değerini (e() = ) her geçiğinde ekrar eşik değerine döner ve kayma evresi oluşur. e() = eşiliği kayma yüzeyini anımlamakadır. Sisem kayma evresindeyken e() = olacağından, kapalı döngü sisem çıkışı e = w φ = w M y = y = Mw (2.3) biçiminde ifade edilir. Görüldüğü gibi sisem kayan kipe çalışırken kapalı döngü sisem davranışı model (M(s)) arafından belirlenmekedir. Kalıcı durum haasının olmaması için model akarım işlevinin durgun durum kazancının M() = olması gerekir. Tez çalışması boyunca bu koşulun sağlandığı varsayılmışır. İdeal olmayan durumda e() = eşiliği am anlamıyla sağlanamayacağından sisem çıkışı y = Mw Me (2.4) olacakır. Ancak e() sıfır erafında salınan düşük genlikli ve oldukça yüksek sıklıklı bir sinyal olduğundan, model akarım işlevi M(s) arafından süzgeçlenerek çıkışa yansıması engellenecekir. Diğer bir ifadeyle "Me" erimi hemen hemen sıfır olacakır. Şekil 2. deki öbek çizeneğinden faydalanılarak haa ifadesi ve ürevi aşağıdaki gibi yazılabilir (dayanak girişinin (w) ürevlenebilir olduğu kabul edilmişir). 7

28 e = w φ ė = ẇ φ = ẇ sm Gu = ẇ (βu + φ o ) = ẇ βu φ o = ẇ βrsign(e) φ o ẇ βr φ o, e > ė = ẇ + βr φ o, e < (2.5) βu, φ sinyalinin, yani sm Gu eriminin anlık değişen kısmı, φ o ise anlık değişmeyen kısmıdır. β şöyle anımlanır. β = lim s sm (s)g(s) (2.6) Eş. 2.5 incelendiğinde, Eş. 2.2 de verilen koşulun sağlanması için aşağıdaki eşisizliklerin sağlanması gerekiği görülür. βr > ẇ φ o, e > βr > ẇ + φ o, e < (2.7) Bu eşisizlikler βr > ẇ φ o (2.8) biçiminde ek eşisizlik olarak da yazılabilir. Eğer model ve sisemin oluşurduğu döngü akarım işlevi M G nin göreli derecesi den büyükse; yani ρ(m G) > (2.9) ise (ρ göreli dereceyi ifade emekedir), β = olacağından, Eş. 2.8 in sağlanması olanaklı değildir. Bu nedenle sisemin kayan kipe çalışabilmesi için gerekli koşulun ρ(m G) = (2.) 8

29 olduğu görülmekedir [5]. Eş. 2.8 aynı zamanda β nın işareine de bağlıdır. Eğer β > ise r > olmalıdır, β < ise kayan kip koşullarının sağlanabilmesi için ers röle kullanılmalıdır (r < ). Dikka edilirse, Şekil 2. de görülen röleli sisemin kayan kipe çalışabilmesi için haa sinyali e() nin sıfıra ulaşabilmesi gerekir. Bunun için seçilen röle genliği yeerince büyük olmalıdır. Röle genliği yeerince büyük seçilmediği akdirde φ < w olacağından e() sıfıra ulaşamaz ve kayan kip elde edilemez. Bu durumun sisemin kayan kipe çalışması için yeni bir koşul olmadığı ve Eş. 2.8 de verilen kayan kip koşulunun bu koşulu da kapsadığı, iki farklı dayanak sinyali için aşağıda göserilmişir. Uygulamalarda sıklıkla kullanılan sabi ve sinuzoidal dayanak sinyalleri ele alınmışır. Kapalı döngü sisem çıkışının sabi bir dayanak sinyalini akip emesi isendiğinde, haanın sıfıra ulaşabilmesi için rm ()G() > w (2.) koşulunun sağlanması gerekir. Aksi akdirde e() hiçbir zaman sıfıra ulaşamayacağından kayan kip gerçekleşemez. Model akarım işlevinin durgun durum kazancı M() = kabul edildiğinden bu koşul rg() > w (2.2) veya r > w G() (2.3) biçiminde yazılabilir. Röle elemanının çıkışında oluşan ve ±r değerleri arasında yüksek sıklıkla salınan deneim sinyalinin oralama değeri, kayan kipli deneim lieraüründe eşdeğer deneim sinyali olarak adlandırılır. Deneim sinyalinin yüksek sıklıklı bileşenleri sisem arafından süzgeçlendiğinden, kapalı döngü sisem eşdeğer deneim sinyali üze- 9

30 rinden analiz edilebilir. Aşağıdaki eşiliklerde eşdeğer deneim sinyali ū ile, ū nun durgun durumda alacağı sabi değer (w sabi olduğundan) ise ū o ile göserilmişir. Sisem kayan kipe çalışırken e = olduğundan, durgun durumda ū o G() = w (2.4) eşiliği sağlanır. Eş. 2.3 ve Eş. 2.4 dikkae alındığında sisemin kayan kipe çalışabilmesi için gerekli koşulun r > ū o, ū o = w G() (2.5) olduğu görülür. Dayanak girişi w sabi olduğunda (ẇ = ) Eş. 2.8 ile verilen kayan kip koşulu βr > φ o (2.6) biçimini alır. Sisem kayan kipe çalışırken durgun duruma ulaşığında φ o sinyali de sabi bir değer alacakır. Bu değer φ = βū o + φ o (2.7) eşiliğinden, sisem kayan kipe çalışırken ė = ve dolayısıyla φ = olduğundan φ o = βū o (2.8) olarak bulunur. Eş. 2.6 ve Eş. 2.8 incelendiğinde kayan kipin gerçekleşebilmesi için gerekli koşul r > ū o (2.9) olarak elde edilir. Bu koşul Eş. 2.5 e verilen koşul ile aynıdır. Bir başka deyişle Eş. 2.6 ile verilen kayan kip koşulu Eş. 2.3 ile verilen koşulu kapsamakadır.

31 Benzer bir analiz sinüzoidal dayanak girişi için de yapılabilir. Dayanak girişi w() = w o sin(ω) (2.2) biçiminde ifade edilebilir. Sisem kayan kipe çalışığında, durgun durumda, eşdeğer deneim sinyali ū da aynı sıklıka sinuzoidal bir sinyaldir ve aşağıdaki gibi göserilebilir. ū() = ū o sin(ω θ) (2.2) Burada ū o, eşdeğer deneim sinyalinin durgun durumdaki genliğini ifade emekedir. θ ise döngü akarım işlevi M (s)g(s) nin ω sıklığında sebep olduğu evre kaymasıdır. θ = M (jω)g(jω) (2.22) Eş. 2.2 ve Eş. 2.2 dikkae alındığında, sisem kayan kipe çalışırken w() = φ() φ() = ū o M (jω)g(jω) sin(ω) w o = ū o M (jω)g(jω) (2.23) eşilikleri yazılabilir. Buradan, sisemin kayan kipe çalışabilmesi için r > ū o, ū o = w o M (jω)g(jω) (2.24) koşulunun sağlanması gerekiği görülür. sinyali cinsinden Haa sinyalinin ürevi eşdeğer deneim ė = ẇ βū φ o (2.25) şeklinde yazılabilir. Kayma evresinde ė = olduğundan ẇ φ o = βū (2.26)

32 eşiliğine ulaşılır. Eş ve Eş. 2.8 ile verilen kayan kip koşulundan r > ū o (2.27) koşulu elde edilir. Görüldüğü gibi Eş. 2.27, Eş ile verilen koşul ile aynıdır; yani Eş. 2.8 de verilen kayan kip koşulu Eş ile verilen koşulu kapsamakadır. Özele, Eş. 2.8 ile verilen kayan kip koşulu genel bir koşuldur ve bu koşul sağlandığı sürece sisem kayan kipe çalışmakadır. Dikka edilirse, Eş. 2.8, sisemin kayan kipe çalışabilmesi için βr çarpımının belirli bir poziif değerden büyük olması gerekiğini ifade eder. Yani, βr > (2.28) ise, röle genliği belli bir değerden büyük seçilerek kayan kip koşulu sağlanabilir. Yukarıda verilen analizler, sabi dayanak sinyali için bu değerin r > w G(), (2.29) sinuzoidal dayanak sinyali için ise r > w o M (jω)g(jω) (2.3) olduğunu gösermişir. Bu nedenle, kolaylık açısından βr > koşulu kayan kip için gerekli koşul olarak kullanılabilir. Bu koşul sağlanmıyorsa kayan kipin elde edilebilmesi zaen olanaklı değildir. βr > ise röle genliği yeerince büyük seçilerek sisemin kayan kipe çalışması sağlanabilir. 2.2 E ve F Süzgeçleri Denelenen siseme ve akip edilmesi isenen modele ai akarım işlevleri Eş. 2. da verilen göreli derece koşulunu sağlamayabilir. Eş. 2. un sağlanmadığı durumlarda röle elemanının önüne ve/veya arkasına uygun dereceli süzgeçler yerleşirilerek 2

33 Şekil 2.2. Röleli deneim için genişleilmiş yapı göreli derece koşulu sağlanabilir [47] ve röleli deneim için kullanılan genel yapı Şekil 2.2 deki gibi genişleilebilir [5]. E(s) ve F(s) kullanıcı arafından seçilen süzgeçlerdir. Bu yapıda röle giriş sinyali s() olduğundan röle elemanının kayan kipe çalışabilmesi için s()ṡ() < (2.3) eşisizliğinin sağlanması gerekir [47]. Sisem çıkışı y = Mw M E s (2.32) biçiminde ifade edilebilir. Kayma evresindeyken s = olacağından sisem epkisi yalnızca model arafından belirlenir. İdeal olmayan durumda s olsa bile bu sinyal yüksek sıklıklı ve düşük genlikli olduğundan M/E ile süzgeçlendiğinde çıkışa yansıması büyük ölçüde engellenir. Röle giriş sinyali ve ürevi aşağıdaki gibi yazılabilir. s = E(w φ) ṡ = E(ẇ φ) = E(ẇ sm GFv) = Eẇ sem GFv = Eẇ (βv + φ o ) = Eẇ βv φ o = Eẇ βrsign(s) φ o Eẇ βr φ o, s > ṡ = Eẇ + βr φ o, s < (2.33) 3

34 Görüldüğü gibi, Eş. 2.3 in sağlanması için aşağıdaki eşisizlikler sağlanmalıdır. βr > Eẇ φ o βr > Eẇ + φ o (2.34) Bu eşisizlikler βr > Eẇ φ o (2.35) şeklinde de verilebilir. Burada βv, önceki analizlere benzer şekilde, φ sinyalinin, yani sem GFv eriminin anlık değişen kısmı, φ o ise anlık değişmeyen kısmıdır. β, Eş. 2.6 dan farklı olarak β = lim s se(s)m (s)g(s)f(s) (2.36) şeklinde anımlanır. Eş ile verilen kayan kip koşulu, bir önceki analizde olduğu gibi, βr çarpımının belirli bir poziif değerden büyük olması gerekiğini ifade emekedir. Dolayısıyla, βr > koşulu burada da gerekli koşul olarak kullanılabilir. Eğer βr > ise röle genliği yeerince büyük seçildiği akdirde kayan kip elde edilebilir. β < olduğu durumlarda ers röle (r < ) kullanılarak βr > koşulu sağlanabilir. M(s) akarım işlevi Eş. 2. sağlanacak şekilde; yani M G döngü akarım işlevinin göreli derecesi olacak şekilde seçilebiliyorsa E(s) = F(s) = seçilir. Eş. 2. un sağlanamadığı durumlarda ise E(s) ve F(s) süzgeçleri, ρ(em GF) = (2.37) olacak şekilde belirlenmelidir, aksi akdirde Eş sağlanmaz. Bunun için E(s) ve F(s) süzgeçlerinin yalnızca biri veya her ikisi kullanılabilir. Eş nin sağlanması için gereken süzgeç yalın ürevler içeriyorsa E(s) olarak seçilmelidir, yalın ürev içermiyorsa E(s) veya F(s) olarak seçilebilir. Bilindiği gibi, röleli deneimde karşılaşılabilecek isenmeyen ekilerden biri, röle elemanının çıkışında oluşan yüksek sıklıklı 4

35 sinyalin doğrudan denelenen siseme uygulanmasıdır. Giriş bölümünde de anlaıldığı gibi, çaırdama olarak adlandırılan ve isenmeyen sonuçlara yol açan bu durumun ekisi E(s) ve F(s) süzgeçleri yardımıyla azalılabilir. Göreli derece koşulunu sağlamak için gereken süzgeç yalın ürevler içermiyorsa bu süzgeç F(s) olarak seçilerek röle elemanından sonra kullanılırsa deneim sinyali yumuşaılmış, başka bir deyişle yüksek sıklıklı bileşenleri süzgeçlenmiş olur. Bu sayede hem çaırının önüne geçilmiş hem de denelenen sisem (eyleyici) ani değişen giriş sinyallerinden korunmuş olur. Bunun yanı sıra, Eş. 2. da verilen göreli derece koşulu sağlansa dahi, uygun dereceli E(s) ve F(s) süzgeçleri yardımıyla daha yavaş değişen bir deneim sinyalinin siseme uygulanması ve böylece çaırı probleminin büyük ölçüde giderilmesi mümkündür. 2.3 GÇ-RKKD de Gürbüzlük 2.3. Paramere Değişiklikleri Deneim uygulamalarında sıklıkla karşılaşılan sorunlardan biri, değişen çalışma koşulları veya sisem yapısından kaynaklanan paramere belirsizlikleridir. Eş. 2.3 en haırlanacağı gibi, sisem kayma evresindeyken sisem davranışı yalnızca model arafından belirlenir. Paramere değişikliklerinin φ o sinyalinde yaraacağı eki Eş. 2.8 ve Eş ile verilen kayan kip koşullarını bozmadığı sürece sisem kayan kipe çalışmaya devam eder; yani meydana gelen paramere değişikliklerinin deneim başarımına bir ekisi olmaz. Röle genliği r yeerince büyük seçilerek paramere değişikliklerinin kayan kip koşullarını bozması engellenebilir. Röle ile KKD yöneminin paramere belirsizlikleri içeren durumlardaki başarımı bu bölümün sonunda benzeimler yardımıyla incelenecekir Bozucular Paramere değişiklikleri gibi bozucu sinyaller de deneim başarımını ekileyen önemli sorunlardandır. Bu kısımda çıkış sinyali üzerinde ekili olan bozucu sinyaller ile bozucuların kayan kip koşulu üzerindeki ekilerinden bahsedilecekir. İlgili öbek çizeneği Şekil 2.3 e görülmekedir. 5

36 Şekil 2.3. Çıkış sinyali üzerinde bozucu n() bozucu sinyali emsil emekedir. Şekil 2.3 yardımıyla haa sinyali aşağıdaki gibi yazılabilir. e = w φ = w M Gu M n (2.38) Yukarıdaki eşilike M n = ψ olarak adlandırıldığında haa sinyalinin ürevi ė = ẇ sm Gu ψ (2.39) şeklinde ifade edilir. Önceki analizlerde olduğu gibi, sm Gu erimi anlık değişen (βu) ve anlık değişmeyen ( φ o ) kısımlarına ayrıldığında haa ürevi ifadesi aşağıdaki gibi elde edilir. ė = ẇ (βrsign(e) + φ o ) ψ ẇ βr φ o ψ, e > ė = ẇ + βr φ o ψ, e < (2.4) Eş. 2.4 incelendiğinde, sisemin kayan kipe çalışabilmesi için gerekli koşulların βr > ẇ φ o ψ βr > ẇ + φ o + ψ (2.4) ya da βr > ẇ φ o ψ (2.42) 6

37 olduğu görülmekedir. Dikka edilirse, Şekil 2.3 e görülen sisemin çıkışı y = Mw Me (2.43) eşiliği ile verilir. Kayma evresi esnasında Me = olduğundan, sisem epkisi model arafından belirlenir; yani bozucu sinyal n() nin çıkış üzerinde bir ekisi yokur. Bir başka ifadeyle sisem bozuculara karşı gürbüzdür. Deneim sisemlerinde sıkça karşılaşılan bazı bozucu ürlerinin kayan kip koşulu üzerindeki ekileri aşağıda sunulmuşur. Şekil 2.3 e verilen yapıda n() = d (2.44) basamak ipi bozucuya eşi kabul edildiğinde, durgun durumda ψ = M ()d = d ψ = (2.45) olacağından kayan kip koşulu βr > ẇ φ o (2.46) biçimini alır. Yani durgun durumda sisemin kayan kipe çalışabilmesi için gerekli koşul bozucusuz durum ile aynıdır. Ancak geçici epki esnasında, yani basamak ipi bozucu başka bir değere aladığında ψ olacağından βr > ẇ φ o ψ koşulu bozulabilir ve kayan kip koşulu yeniden sağlanana kadar sisem kayan kipen çıkabilir. Röle genliği yeerince büyük seçilerek sisemin sürekli kayan kipe çalışması sağlanabilir. Bir başka deyişle basamak ipi bozucuların sisemi kayan kipen çıkarmasını önlemek için, bozucusuz duruma göre daha büyük bir röle genliğine ihiyaç duyulabilir. 7

38 Çıkış sinyali üzerinde ekili olan bozucu sinüzoidal bir sinyal olduğunda n() = Asin(ω) ṅ() = Aωcos(ω) ψ() = M ṅ() (2.47) eşilikleri yazılabilir. Dikka edilirse, ψ sinyalinin büyüklüğü bozucu sinyalin sıklığı ile doğru oranılıdır. Diğer bir deyişle, bozucunun sıklığı ne kadar yüksekse Eş de verilen kayan kip koşulunun sağlanabilmesi için gerekli röle genliği de o kadar büyük olmalıdır. Çıkış sinyali üzerinde ekili olan bozucu beyaz gürülü olarak modellenebilir. Türev işlevi nedeniyle beyaz gürülünün kayan kip koşulu üzerindeki ekisi yukarıda bahsedilen diğer bozucu iplerine kıyasla daha fazla olacağından, Eş de verilen kayan kip koşulunu sağlamak için çok daha büyük bir röle genliğine ihiyaç duyulur. Ancak bu röle genliği genellikle gerçek çalışmalarda uygulanamayacak kadar yüksekir. Şekil 2.3 e görüldüğü gibi, üzerine gürülü eklenmiş çıkış sinyali model akarım işlevinin ersi ile süzgeçlenmekedir. Model akarım işlevine (durgun durum kazancı M() = bozulmayacak şekilde) uygun seçilmiş sıfırlar eklenerek, çıkış sinyali üzerinde ekili olan yüksek sıklıklı gürülü bileşenlerinin süzgeçlenmesi sağlanabilir. Bu durumda model akarım işlevinin ersi M (s) = M (s) D(s) (2.48) biçiminde ifade edilebilir. Burada D(s), model akarım işlevine ilave edilen sıfırlara karşılık gelen çokerimli, M (s) ise elde edilen yeni model akarım işlevidir. Dikka edilirse, D(s) çokerimlisi nedeniyle Eş. 2. da verilen göreli derece koşulu bozulmakadır. Özellikle, n() nin ekili olduğu yüksek sıklıklarda D(jω), (2.49) dolayısıyla M (jω) (2.5) 8

39 olduğundan, bu sıklılarda kayan kip elde edilemez. Ancak, çıkış sinyali y() nin ekili olduğu daha düşük sıklıklarda D(jω) (2.5) olduğundan M (jω) M (jω) (2.52) eşiliği yazılabilir. Başka bir deyişle, denelenen sisemin normal çalışma sıklığında göreli derece koşulu, bunun sonucunda da kayan kip koşulu sağlanabilir. Böylece, gerçek çalışmalarda uygulanabilecek kadar küçük bir röle genliğiyle dahi kayan kipli deneim elde edilebilir Ölçüm Gürülüsü Deneim problemlerinde sıkça karşılaşılan bir başka sorun ölçüm gürülüsüdür. Ölçüm gürülüsünün ekili olduğu röleli deneim yapısı Şekil 2.4 e görülmekedir. Ölçüm gürülüsü m() ile göserilmişir. Şekil 2.4 yardımıyla haa sinyali ve ürevi aşağıdaki gibi yazılır. e = w φ = w M (y + m) = w M Gu M m = w M Gu µ ė = ẇ sm Gu µ = ẇ βu φ o µ = ẇ βrsign(e) φ o µ ẇ βr φ o µ, e > ė = ẇ + βr φ o µ, e < (2.53) Burada, µ = M n olarak anımlanmışır. Eş incelendiğinde, kayan kip koşulunun βr > ẇ φ o µ βr > ẇ + φ o + µ βr > ẇ φ o µ (2.54) 9

40 Şekil 2.4. Ölçüm gürülüsünün ekisi olduğu görülür. Dikka edilirse, Eş e verilen kayan kip koşulu Eş ile benzerlik gösermekedir. Ancak ölçüm gürülüsünün çıkış üzerindeki ekisi bozuculardan farklıdır. Kayma evresinde çıkış sinyali e = w M (y + m) = y = Mw m (2.55) biçimindedir. Sisem kayan kipe çalışırken ölçüm gürülüsünün çıkışa aynen yansıdığı görülmekedir. Bir başka deyişle, KKD bozuculara karşı gürbüz bir deneim yönemi iken ölçüm gürülüsüne karşı hassasır. Bu nedenle KKD uygulamalarında duyargaç seçimine özen göserilmelidir. Bu durum KKD lieraüründe genellikle göz ardı edilmekedir. Ölçüm gürülüsü ve bozucular bir arada düşünüldüğünde kayan kip koşulları en genel haliyle βr > ẇ φ o ψ µ βr > ẇ + φ o + ψ + µ (2.56) veya βr > ẇ φ o ψ µ (2.57) biçiminde ifade edilebilir. 2

41 2.4 Bakışımlı Olmayan Röle ile KKD Tez çalışmasının bu kısmına kadar yapılan analizlerde, kullanılan röle elemanlarının bakışımlı olduğu kabul edilmişir. Ancak bilindiği gibi gerçek zamanlı uygulamalarda kullanılan eyleyicilerin pek çoğu bu bakışımlı yapıya uymamakadır. Eyleyiciler üzerindeki fiziksel kısılamalar bakışımlı olmayan röle kullanımını gerekirebilmekedir. Örneğin bir moorun her iki yöndeki dönüş hızı aynı olmayabilir, ya da bir su pompasının suyu doldurma yeisi olabilir ancak suyu dışarıya pompalamayabilir. Bu ve bunun gibi pek çok durum için, KKD de bakışımlı olmayan röleler kullanıldığında oraya çıkan kayan kip koşullarının üreilmesi gerekmekedir. Çalışmanın bu kısmında ek girişli ek çıkışlı bir sisemde bakışımlı olmayan röle kullanımı irdelenecekir. Tek girişli ek çıkışlı ve bakışımlı olmayan röle deneimli bir sisem yapısı Şekil 2.5 e görülmekedir. Şekil 2.5. Bakışımlı olmayan röleli deneim yapısı Bu yapıda kullanılan deneim yasası r a, e() u() = r b, e() < (2.58) şeklindedir. r a ve r b bakışımlı olmayan röleye ai genliklerdir ve Şekil 2.6 dan görülebileceği gibi r a = r o + r r b = r o r (2.59) eşilikleriyle ifade edilebilirler. Burada r o röle genliklerinin oralama değeridir. 2

42 Şekil 2.6. Bakışımlı olmayan röle Şekil 2.5 e verilen sisemde kayma evresinin oluşabilmesi için Eş. 2.2 sağlanmalıdır. Bu koşulun sağlanması için gerekli şarları bulmak amacıyla haa sinyali ve ürevi incelenmelidir. e = w φ ė = ẇ φ = ẇ sm Gu = ẇ βu φ o ẇ β(r o + r) φ o, e > ė = ẇ β(r o r) φ o, e < (2.6) Haırlanacağı gibi, β Eş. 2.6 da anımlanmışı. Önceki analizlerde olduğu gibi φ erimi anlık değişen ve değişmeyen bileşenlerine ayrılmışır. Eş. 2.6 incelendiğinde Eş. 2.2 nin sağlanabilmesi için gerekli koşullar aşağıdaki gibi bulunur. β r > ẇ φ o βr o β r > ẇ + φ o + βr o (2.6) Bu koşullar ek bir eşisizlik olarak ifade edildiğinde β r > ẇ φ o βr o (2.62) koşulu elde edilir. Dikka edilirse, r o = olduğunda, Eş bakışımlı röle kullanılan durumda elde edilen kayan kip koşuluna (Eş. 2.8) indirgenir; yani Eş ile verilen koşul bakışımlı röleli yapıyı da kapsamaka ve daha genel bir koşulu ifade emekedir. Eş nin sağlanabilmesi için, bakışımlı röleli yapıda olduğu gibi, β nın sıfır olmaması, diğer bir deyişle Eş. 2. da verilen göreli derece koşulunun sağlanması 22

43 gerekiği unuulmamalıdır. Röle genlikleri r a ve r b ers veya aynı işarelere sahip olabilir. Aynı zamanda, β > ise r >, yani r a > r b olmalıdır. β < ise r < olması gerekiğinden bu kez r b > r a seçilerek, bir başka deyişle ers röle kullanılarak kayan kip koşullarının sağlanabileceği görülmekedir. Önceki kısımlarda üreilen kayan kip koşullarına benzer şekilde Eş. 2.62, β r çarpımının poziif bir değerden daha büyük olması gerekiğini ifade emekedir. Dolayısıyla bakışımlı olmayan röleli yapılar söz konusu olduğunda β r > gerekli koşul olarak kabul edilebilir ve bu koşul sağlanıyorsa r belli bir değerden büyük seçilerek sisemin kayan kipe çalışması sağlanabilir. Bu değer, dayanak girişinin sabi olduğu durum için aşağıdaki gibi bulunabilir. Denelenen sisemin sabi bir dayanak girişini akip emesi isendiğinde, sisem kayan kipe çalışırken (ė = ), φ o sinyalinin durgun durumda ( φ = olduğundan) sabi bir değer aldığı ve bu sabi değerin φ o = βū o (2.63) olduğu, bakışımlı röleli yapının incelendiği kısımdaki analizlerde göserilmişi. Haırlanacağı gibi, ū o eşdeğer deneim sinyalinin durgun durumda aldığı sabi değerdir ve ū o = w G() (2.64) eşiliğiyle ifade edilir. w sabi olduğundan, durgun durumda (ẇ = ) Eş ile verilen kayan kip koşulu ve Eş dikkae alındığında β r > β(ū o r o ) (2.65) eşisizliği elde edilir. Görüldüğü gibi, r değeri r > ū o r o (2.66) koşulunu sağlayacak şekilde belirlenmelidir. Eş incelendiğinde, r o = ū o ise r > koşulunun kayan kipin gerçekleşebilmesi için yeerli olduğu görülmekedir. 23

44 Yukarıda sabi dayanak girişi için verilen analizin bir benzeri sinüzoidal dayanak girişi için ekrarlanabilir. Dayanak sinyali w() = w c + w o sin(ω) (2.67) biçiminde w o genlikli ve w c oralama değerli sinüzoidal bir sinyal olduğunda, sisem kayma evresinde ve durgun durumdayken, eşdeğer deneim sinyali dayanak girişi ile aynı sıklıka sinuzoidal bir sinyaldir ve aşağıdaki gibi göserilir. ū() = ū c + ū o sin(ω θ), ū o = w o M (jω)g(jω), ū c = w c G() (2.68) Burada, ū o eşdeğer deneim sinyalinin genliği, ū c ise oralama değeridir. Şekil 2.5 yardımıyla haa sinyalinin ürevi ū cinsinden ė = ẇ βū φ o (2.69) şeklinde ifade edilebilir. Kayma evresinde ė = olduğundan ẇ φ o = βū (2.7) eşiliği yazılır. Eş ve Eş. 2.7 en β r > β(ū c + ū o sin(ω θ) r o ) (2.7) eşisizliği elde edilir. Buradan r nin sağlaması gereken koşul aşağıdaki gibi bulunur. r > ū o + ū c r o (2.72) Eş ve Eş dikkae alındığında ū o değişkeninin, sabi dayanak girişinde eşdeğer deneim sinyalinin durgun durumda aldığı sabi değeri, sinüzoidal durumda ise eşdeğer deneim sinyalinin durgun durumdaki genliğini ifade eiği unuulmamalıdır. 24

45 Sonuç olarak, yukarıda verilen analizler β r > koşulu sağlandığında, r belli bir değerden büyük seçilerek kayan kipin elde edilebileceğini gösermişir. Bu değer sabi dayanak girişi için r > w G() r o, (2.73) sinuzoidal dayanak girişi için ise r > w o M (jω)g(jω) + w c G() r o (2.74) olarak bulunmuşur. Görüldüğü gibi her iki durumda da r o = olduğunda elde edilen koşullar bakışımlı röle için bulunan koşullara indirgenmekedir. Haırlanacağı gibi, bakışımlı röleli yapının incelendiği kısımda verilen analizde sinüzoidal dayanak girişinin sıfır oralamalı bir sinyal olduğu kabul edilmişi (w c = ). 2.5 Kararsız Sisemlerde GÇ-RKKD Bu kısımda, GÇ-RKKD yöneminin kararsız sisemlerin deneimindeki başarımı üzerinde durulacakır. Kararsızlığın kayan kip koşulu üzerindeki ekisi basi bir ek girişli ek çıkışlı sisem üzerinden incelenecekir. Şekil 2. de görülen yapı ele alınmışır. Denelenen siseme ai akarım işlevi G(s), kullanılan model M(s) ve G(s) nin durum uzayındaki göserimi ile haa sinyali ve deneim yasası aşağıda verilmişir. Kolaylık açısından w() = kabul edilmişir. G(s) = (s + )(s ), M(s) =.5s + ẋ = Ax + Bu = x + u (2.75) y = Cx = [ ] x 25

46 e = M y =.5ẏ y r, e u = r, e < (2.76) Görüldüğü gibi, denelenen sisemde s = de bir ade kararsız kuup bulunmakadır. Haırlanacağı gibi, KKD in gerçekleşebilmesi için gerekli koşul olan eė < eşisizliğinin sağlanabilmesi için açık döngü akarım işlevinin göreli derecesinin olması gerekmekeydi. Bu koşulun sağlandığı görülmekedir. Bilindiği gibi, ikinci derece sisemler söz konusu olduğunda durum uzayı evre düzlemi adı verilen düzleme indirgenmekedir. Evre düzlemi incelenerek kayan kip koşulu ve karasızlığın bu koşul üzerindeki ekisi daha kolay anlaşılabilir. Denelenen siseme ai evre porresi Şekil 2.7 de göserilmişir (u = ). (, ) nokasında, yani orijinde bir semer nokası olduğu gözlenmekedir. Kararlı ve karasız gezingeleri ayıran sonuşur doğruları (asympoes) şekil üzerinde kesikli çizgiler ile belirilmişir (x + x 2 = ve x x 2 = ). x +x = 2 8 x x 2 = x x Şekil 2.7. Eş e verilen siseme ai evre porresi (u = ) 26

47 x +x 2 =5 2x +x 2 5= eė < eė > 2 x +x 2 = 5 x 2 2 e< u= r 4 eė < e> u=r e= 6 eė > x 2x +x 2 +5= Şekil 2.8. Eş e verilen siseme ai evre porresi (r = 5) Eş e verilen sisem için röle genliği r = 5 seçilerek yapılan benzeim sonucunda elde edilen evre porresi Şekil 2.8 de görülmekedir. Oraya çıkan yeni yapıda semer nokalarının r kadar aşağıya ve yukarıya kaydığı gözlenebilir. Kayma yüzeyini ifade eden e = doğrusu şekil üzerinde göserilmişir. Kesikli çizgilerle belirilmiş sonuşur doğruları (x + x 2 = r = 5 ve x + x 2 = r = 5) arasında kalan bölgede sisem epkisi kararlıdır. Kayan kip için gerekli eė < koşulunun sağlandığı bölgeler Eş deki gibi hesaplanmış ve şekil üzerinde göserilmişir. 27

48 e =.5ẏ y =.5x x 2 ė =.5x x 2 =.5x 2.5u x = x.5x 2.5r sign(e) e =.5x x 2 > ve ė = x.5x 2.5r < eė < e =.5x x 2 < ve ė = x.5x 2 +.5r > (2.77), (r = 5) Dikka edilirse, sisem durumlarının başlangıç koşullarına bağlı olarak, durum gezingelerinin bir kısmı kayma yüzeyine ulaşmaka, büyük bir bölümü de kayma yüzeyinden uzaklaşmakadır. Sisem epkisinin kararlı olduğu bölgeler ile eė < koşulunun sağlandığı bölgeler Şekil 2.9 da daha açık göserilmişir. 8 x +x 2 =5 2x +x 2 5= I 6 II 4 2 x +x = 5 2 x 2 VIII III IV 2 4 VII e< e> e= 6 VI x x +x 2 +5= Şekil 2.9. Şekil 2.8 de verilen evre porresinde sisem epkisinin kararlı olduğu ve eė < koşulunun sağlandığı bölgeler V 28

49 Şekil 2.9 da e < iken eė < koşulunun sağlandığı bölgeler I, II ve III ile, e > iken bu koşulunun sağlandığı bölgeler V, VI ve VII ile göserilmişir. Evre düzleminin diğer kısımlarında eė < koşulu sağlanmamakadır. Bunun yanı sıra, kesikli çizgilerle göserilmiş sonuşur doğruları arasında kalan, yani II, III, IV, VI, VII ve VIII ile numaralandırılmış bölgelerde sisem epkisinin kararlı olduğu, diğer bölgelerde ise çıkışın kararsız olduğu gözlenmekedir. Sisem durumlarının başlangıç değerleri bu kararlı bölgede ise durum gezingeleri kayma yüzeyine ulaşmaka ve kayan kip gerçekleşmekedir. Başlangıç koşulları II veya VI numaralı bölgelerde ise durum gezingelerinin ikinci anaharlama zamanından iibaren, diğer kararlı bölgelerde (III, IV, VII ve VIII) ise ilk anaharlama zamanından iibaren kaymaya başlayarak orijine ulaşıkları görülmekedir. Şekil 2.9 incelendiğinde, eė < koşulunun sağlandığı bölgeler ile sisem epkisinin kararlı olduğu bölgelerin am olarak örüşmediği görülebilir. Dikka edilirse, I ve V numaralı bölgelerde eė < eşisizliği sağlanmakadır. Ancak başlangıç koşulları bu bölgelerde ise gezingeler önce kayma yüzeyine yaklaşsa da bir süre sonra kayma yüzeyinden uzaklaşmaka ve çıkış kararsız olmakadır. Diğer yandan, IV ve VIII numaralı bölgelerde sisem epkisi kararlı olmakla beraber eė < koşulunun sağlanmadığı görülmekedir. Bu bölgelerde durum gezingeleri önce kayma yüzeyinden uzaklaşmakadır, ancak III ve VII numaralı bölgelere geçikleri anda ekrar kayma yüzeyine yönelmekedirler ve kayan kip gerçekleşmekedir. Özele, sisem durumlarının başlangıç değerleri kararsız sisemlerin deneim başarımında önemli rol oynamakadır. Başlangıç koşulları kararlı bölgede olduğu akdirde durum gezingelerinin kayma yüzeyine ulaşığı ve ilk veya ikinci anaharlama zamanından sonra orada kaldıkları gözlenebilir. Bunun yanı sıra, hem kararlı bölgelerin hem de eė < koşulunun sağlandığı bölgelerin genişliklerinin seçilen röle genliği r ile ilinili olduğu açıkça görülebilir. Bir başka deyişle, röle genliği büyüdükçe kayan kipin elde edilebileceği başlangıç koşullarını içeren bölge de büyümekedir. Bilindiği gibi, uygulamalar esnasında paramere değişiklikleri ve bozucular sisem durumlarını doğrudan değişirebilmekedir. Bu nedenle kararsız sisemlerin deneiminde röle genliği yeerince büyük seçilmelidir. Röle genliği yeerince büyük seçilmediği akdirde belirsizlikler ve bozucular sisem durumlarını sisem epkisinin kararsız olduğu bölgelere iebilir. 29

50 2.6 En Küçük Evreli Olmayan Sisemlerde GÇ-RKKD En küçük evreli olmayan sisemlerde GÇ-RKKD yöneminin başarımı bu bölümde irdelenecekir. Bunun için yine Şekil 2. deki yapıdan ve örnek bir sisemden faydalanılmışır. Denelenen siseme ai akarım işlevi ve durum uzayındaki göserimi Eş de verilmişir. G(s) = s + s 2 + s + ẋ = x + u (2.78) y = [ ] x 4 w, y u e Şekil 2.. Eş de verilen sisem için düz röle ile benzeim sonuçları 3

51 Bu sisemde, s = de bir ade sıfır bulunmakadır. ρ(g) = olduğundan M(s) = alınmışır. Dayanak giriş sinyali w sıfır kabul edilmişir. Röle genliği r = 2 seçilerek, bir başka deyişle düz röle (r > ) kullanılarak elde edilen benzeim sonucu Şekil 2. da göserilmişir. Şekil 2. incelendiğinde, sisem çıkışının dayanak girişine ulaşığı, yani erişme evresinin gerçekleşiği, ancak kayma evresinin oluşmadığı gözlenmekedir. Bir süre sonra çıkış sinyali dönemli (periodic) bir davranış sergilemekedir. Oraya çıkan bu durum Şekil 2. de verilen evre porresi incelendiğinde daha iyi anlaşılabilir. Görüldüğü gibi durum gezingeleri, başlangıç nokaları ne olursa olsun, kayma yüzeyine ulaşmaka ancak yüzey üzerinde kalmamakadır. Bunun sonucunda bir kısı çevrim (limi cycle) oluşmakadır. Bu davranış Şekil 2. da görülen sisem çıkışını ne bir şekilde açıklamakadır. 3 e= 2 e> u=r x 2 e< u= r x Şekil 2.. Eş ile verilen sisem için düz röle (r > ) kullanıldığında elde edilen evre porresi Dikka edilirse, bu sisemde β = olduğundan Eş. 2.8 ile verilen kayan kip koşulunun düz röle kullanılarak sağlanması zaen beklenmemekedir. Gerekli koşulun sağlanabilmesi için ers röle (r < ) kullanılmalıdır. Ters röle (r = 2) kullanılarak 3

52 yapılan benzeim sonucunda, verilen siseme ai evre porresi Şekil 2.2 deki gibi elde edilmişir. Kayma yüzeyi (e = ) ve eė < koşulunun sağlandığı bölge aşağıdaki gibi hesaplanmış ve şekil üzerinde göserilmişir. e = y = x x 2 ė = x x 2 = 2x x 2 + u = 2x x 2 + r sign(e) e = x x 2 > ve ė = 2x x 2 + r < eė < e = x x 2 < ve ė = 2x x 2 r >, (r = 2) (2.79) Şekil 2.2 incelendiğinde, kayan kipin gerçekleşmesi için gerekli eė < koşulunun evre düzleminin her yerinde sağlanmadığı görülebilir. Bu koşulun sağlandığı ve sağlanmadığı bölgeler şekil üzerinde göserilmişir. Ayrıca, anlaım kolaylığı için kayma yüzeyini belirleyen e = doğrusu üzerinde A, B, C ve D nokaları işarelenmişir. eė < koşulunun sağlandığı bölgeler dikkae alındığında, durum gezingelerinin bir kısmının kayma yüzeyine ulaşığı, bir kısmının ise yüzeye ulaşamadan, (, 2) ve (, 2) de bulunan iki kararlı nokadan birinde sonlandığı gözlenmekedir. A ve B nokaları arasında kayma yüzeyine ulaşan gezingeler, kayma gerçekleşmeden, eė < koşulunun sağlanmadığı bölgeye geçerek (, 2) de bulunan kararlı nokada sonlanmakadır. Benzer şekilde, C ve D nokaları arasında kayma yüzeyine ulaşan gezingeler de (, 2) nokasına yönelmeke ve orada kalmakadır. Kaymanın oluşuğu ek bölge B ve C nokaları arasındadır. Ancak kayma orijine doğru değil, orijinden uzaklaşacak şekilde gerçekleşmekedir. Yani, B nokasına daha yakın bir nokada kayma yüzeyine ulaşan gezingeler B nokasına doğru, C nokasına yakın bir nokada yüzeye ulaşan gezingeler ise C nokasına doğru kaymakadırlar. Gezingelerin, B - C arasındaki bölgeden çıkıkları anda kayma yüzeyini erkeikleri ve başlangıç koşullarına bağlı olarak iki kararlı nokadan birine ulaşıkları görülmekedir. Bu durum bir benzeim aracılığıyla Şekil 2.3 e göserilmişir. Sisem durumlarının başlangıç değerleri x() = [.6 ] T olarak seçilmişir. 32

53 3 2 2x +x 2 2= eė > e< u= r e> u=r e= D C eė < x 2 B eė < 2 eė > A x 2x +x 2 +2= Şekil 2.2. Eş ile verilen sisem için ers röle (r < ) kullanıldığında elde edilen evre porresi Şekil 2.3 incelendiğinde bir erişme evresinin ardından sisemin kayan kipe bir süre çalışığı faka bu sürenin ardından kayma evresinin devam emediği gözlenebilir. Bu örnek için ek isisnai durum başlangıç koşulları x() = [ ] T olarak seçildiğinde oraya çıkmakadır. Bu nokada durum gezingeleri birbirleriyle am karşılıklı olduğundan sisem kayan kipe çalışmaya devam edebilmekedir. Bahsedilen bu başlangıç koşulları kullanılarak yapılan benzeim sonucu Şekil 2.4 e görülebilir. Bilindiği gibi uygulamalar esnasında sisemler gürülü ve paramere değişiklikleri gibi bozucu unsurların ekisi alındadırlar. Bu nedenle sisem durumlarının sürekli aynı değerlerde kalması olanaklı değildir. Şekil 2.2 den de görülebileceği gibi sisem durumlarındaki 33

54 w, y u e Şekil 2.3. Ters röle ile benzeim sonucu (x() = [.6 ] T ) 2 w, y u e Şekil 2.4. Ters röle ile benzeim sonucu (x() = [ ] T ) 34

55 en ufak bir değişiklik dahi sisemin kayan kipen çıkmasına neden olacakır. Sonuç olarak, en küçük evreli olmayan sisemler üzerinde yapılan çalışmalar bu ür sisemlerin, kapalı döngü sisem kararlılığı sağlansa dahi, GÇ-RKKD yönemiyle denelenmesinin olanaklı olmadığını gösermişir. 2.7 Benzeim Çalışması Bu bölümde, ek girişli ek çıkışlı sisemler üzerinden anlaılan GÇ-RKKD yönemine ai benzeim örneklerine yer verilmişir. İlk kısımda Eş. 2.8 de verilen kayan kip koşulununun sınanması hedeflenmiş ve röle genliğinin önemi vurgulanmışır. Ardından E ve F süzgeçlerinin kullanımına ilişkin örnekler sunulmuşur. Paramere değişiklikleri ve bozucuların deneim başarımı üzerindeki ekileri irdelendiken sonra bakışımlı olmayan röle ile yapılan benzeim örneğine yer verilmişir. Son olarak kararsız bir sisem kullanılarak gerçekleşirilen benzeimler sunulmuşur Kayan Kip Koşullarının İncelenmesi Bu kısımda, Eş. 2.8 ile verilen kayan kip koşulununun sınanması amacıyla Eş. 2.8 de görülen sisem ve model kullanılarak elde edilen benzeim sonuçlarına yer verilmişir. Farklı dayanak sinyalleri ve röle genlikleri ile gerçekleşirilen bu benzeimler aracılığıyla kayan kip koşulunun sağlandığı ve sağlanmadığı durumlara ilişkin örnekler verilmişir. Çalışmaların sonuçlarını göseren şekiller üç grafik halinde sunulmuşur. İlk grafike dayanak girişi w (sinüzoidal veya kare dalga), sisem çıkışı y ve model çıkışı y m (kesikli çizgi), ikinci grafike deneim sinyali u yer almakadır. Üçüncü ve son grafike haa sinyali e ve "βr" çarpımının (sabi) yanı sıra, benzeimlerin bir kısmında " ẇ φ o " erimi, diğer kısmında ise e > olduğu anlarda "ẇ φ o ", e < olduğu anlarda ise " ẇ + φ o " sinyalleri göserilmişir. Benzeimlerde süre = 2s olarak belirlenmiş ve örnekleme aralığı h = ms olarak seçilmişir. G (s) = s 2 + s +, M (s) =.25s + (2.8) Eş. 2.8 incelendiğinde, Eş. 2. da verilen göreli derece koşulunun bu örnek için sağlandığı görülmekedir. β =.25, yani poziif olduğundan Eş. 2.7 de verilen eşisizliklerin sağlanabilmesi için röle genliği de poziif olmalıdır (r > ). Yapılan ilk benzeimde sinüzoidal dayanak sinyali kullanılmış ve röle genliği r = 3 seçilmişir. 35

56 Elde edilen sonuçlar Şekil 2.5 e verilmişir. Şekil 2.5.c incelendiğinde benzeimin başlangıcından iibaren βr > ẇ φ o koşulunun (Eş. 2.8) sağlandığı ve haanın sıfır olduğu görülebilir. Buna bağlı olarak röle ilk andan iibaren ±r değerleri arasında yüksek sıklıka salınmaka, diğer bir ifadeyle kayan kipe çalışmakadır ve sisem çıkışı modeli haasız bir biçimde akip emekedir. Bölüm 2. den haırlanacağı gibi, sinüzoidal dayanak girişi söz konusu olduğunda, kayan kip koşulunun sağlanabilmesi için röle genliğinin belirli bir değerden büyük seçilmesi gerekmekeydi. Eş. 2.3 yardımıyla bu değer, Eş. 2.8 de verilen örnek için yaklaşık r >.87 olarak bulunur. Bu koşulu sağlayan ancak sınır değere çok yakın bir röle genliği seçilerek yapılan benzeime ai sonuçlar Şekil 2.6 da sunulmuşur. Röle genliği r =.9 dur. Şekil 2.6.a dikkae alındığında, benzeimin ilk saniyelerinde model akibinin gerçekleşmediği, yaklaşık = 3s den sonra sisem çıkışının modeli akip eiği gözlenebilir. Rölenin benzeimin ilk saniyelerinde kayan kipe çalışmadığı ve u = r =.9 değerinde sabi olduğu Şekil 2.6.b de görülmekedir. Bu durum, Şekil 2.6.c incelenerek daha iyi anlaşılabilir. Dikka edilirse, başlangıça haa poziifir (e > ) ve arma eğilimindedir; yani kayan kip için gerekli olan eė < koşulu sağlanmamakadır. Bu esnada βr > ẇ φ o eşisizliğinin de sağlanmadığı açıkça görülmekedir. Bir süre sonra haa sinyalinin arışı sonlanmış ve azalma eğilimine geçmişir. Tam epe nokasında ( s) βr = ẇ φ o olduğu ve bu andan iibaren βr > ẇ φ o koşulunun benzeim boyunca sağlandığı gözlenmekedir. eė < koşulu sağlandığından haa sinyali bir süre sonra sıfıra ulaşmış ve orada kalmışır. Haanın sıfıra ulaşığı andan iibaren röle elemanının kayan kipe çalışmaya başladığı Şekil 2.6.b den görülebilir. Benzeimin kalan süresi boyunca kayan kip koşulu sağlandığından röle kayan kipe çalışmaka ve model akibi haasız bir biçimde gerçekleşmekedir. Röle genliği bu kez r =.8 olarak seçildiğinde elde edilen benzeime ai sonuçlar Şekil 2.7 de görülmekedir. Dikka edilirse, Eş. 2.3 sağlanmamakadır; yani seçilen röle genliği yukarıda hesaplanan sınır değerin alındadır. Bir önceki benzeimde olduğu gibi, başlangıça haa poziif ve arma eğilimindedir (eė > ). Kayan kip koşulu sağlanmadığından röle kayan kipe çalışmamakadır. e > olduğundan röle çıkışında oluşan deneim sinyali u = r =.8 sabi değerindedir, ayrıca sisem çıkışının modeli akip emediği görülebilir. Haa sinyalinin am epe nokasında (.3s) βr = ẇ φ o eşiliği sağlanmışır, bu andan iibaren haa poziif ve azalma eğili- 36

57 mindedir (eė < ). Haa sinyali sıfıra ulaşır ulaşmaz rölenin kayan kipe girdiği ve model akibinin gerçekleşiği gözlenmekedir. Bu durum 6s de βr > ẇ φ o koşulu bozulana dek sürmekedir. Kayan kip koşulunun bozulması ile beraber röle kayan kipen çıkmışır. Haa sinyali negaif ve azalma eğilimindedir. Model akibinin de bozulduğu Şekil 2.7.a dan görülebilir. e < olduğundan deneim sinyali u = r =.8 değerini almışır. Yaklaşık 7.5s civarında βr = ẇ φ o eşiliği yeniden sağlandığından ve haa armaya başladığından, bir süre sonra haa ekrar sıfıra ulaşmış ( 8s) ve βr > ẇ φ o koşulunun bozulduğu bir sonraki ana dek röle ekrar kayan kipe çalışmaya başlamışır. Şekil 2.8 de yine r =.8 ile gerçekleşirilen benzeim sonuçlarına yer verilmişir. Ancak Şekil 2.8.c de bu kez, haanın poziif (e > ) olduğu anlarda ẇ φ o, negaif (e < ) olduğu anlarda ise ẇ + φ o sinyalleri göserilmişir. Haa sinyalinin e = a ulaşığı anların hemen ardından, Eş. 2.7 de verilen kayan kip koşulları sağlandığı sürece, haa sıfır erafında yüksek sıklıkla salındığından, ẇ φ o ve ẇ + φ o sinyalleri arasındaki anaharlanmanın da aynı sıklıka olduğu açıkça görülmekedir. Ayrıca, Şekil 2.8.b ve Şekil 2.8.c bir arada incelendiğinde, ẇ φ o ve ẇ + φ o erimlerinin anaharlandığı bu anlar ile rölenin kayan kipe çalışığı anların amamen örüşüğü gözlenebilir. Şimdiye kadar verilen benzeim örneklerinde dayanak girişi sinüzoidal bir sinyaldir. Benzeim çalışmasının bundan sonraki bölümünde dayanak sinyali olarak uygulamalarda sıkça ercih edilen kare dalga kullanılmışır. Eş. 2.8 de verilen sisem için röle genliği r = 5 seçilerek, kare dalga dayanak girişi ile gerçekleşirilen benzeime ai sonuçlar Şekil 2.9 da verilmişir. Şekil 2.9.c incelendiğinde, dayanak girişinin işare değişirdiği anlar hariç, βr > ẇ φ o koşulunun benzeim süresi boyunca sağlandığı görülebilir. Dayanak sinyalinin işare değişirdiği anlarda ẇ sinyalinin aldığı değerler çok büyük olduğundan bu anlarda kayan kip koşulunun sağlanması beklenmemekedir. Bu esnalarda anlık olarak bozulan kayan kip koşulu hemen yeniden sağlanmaka ve eė < eşisizliği sağlandığından haa sinyali e = a dönmekedir. βr > ẇ φ o koşulunun bozulmasıyla beraber kayan kipen çıkan röle, bir erişme evresini akiben ekrar kayan kipe çalışmaya başlamakadır. Haırlanacağı gibi, seçilen röle genliğinin büyüklüğü erişme evrelerinin süresini belirler. Röle genliği arıkça erişme evresi kısalır ve sisem 37

58 daha çabuk kayan kipe geri döner. Şekil 2.9.a dikkae alındığında, erişme evreleri sırasında sisem çıkışının model çıkışını durgun durumdaki kadar iyi akip emediği görülmekedir. Röle genliği arırılarak geçici epki esnasında model akibi iyileşirilebilir. Büyüklüğü w = olan sabi dayanak sinyali söz konusu olduğunda, Eş. 2.8 de verilen sisemin kayan kipe çalışabilmesi için seçilecek röle genliğinin sağlaması gereken koşul, Eş yardımıyla r > olarak bulunur. r =.2 seçilerek yapılan benzeime ai sonuçlar Şekil 2.2 de sunulmuşur. Şekil 2.8 de olduğu gibi burada da üçüncü grafike ẇ φ o ve ẇ + φ o erimleri göserilmişir. Şekil 2.2.a incelendiğinde, röle genliği sınır değere oldukça yakın seçildiğinden, geçici epki esnasında sisem ve model epkilerinin birbirinden çok farklı olduğu, yalnızca durgun durumda model akibinin haasız gerçekleşiği gözlenmekedir. Dikka edilirse, model akibi bir önceki benzeimle karşılaşırıldığında oldukça geç başlamakadır. Bu durum Şekil 2.2.c incelenerek daha iyi anlaşılabilir. Haa sinyali benzeimin başlangıcında poziifir ve buna bağlı olarak deneim sinyalinin u = r =.2 olduğu Şekil 2.2.b den görülebilir. Aynı zamanda haa azalma eğilimdedir, yani eė < eşisizliği sağlanmakadır. Eş. 2.7 den haırlanacağı gibi, e > olduğundan, kayan kip için sağlanması gereken koşul βr > ẇ φ o dur ve bu koşulun sağlandığı görülmekedir. Bu nedenle, haa sinyali e = değerine ulaşır ulaşmaz sisem kayan kipe çalışmaya başlamışır. Dayanak girişinin diğer değere aladığı ana dek kayan kip koşulu bozulmadığından sisem kayan kipe çalışmaya devam emekedir. Dayanak sinyalinin işare değişirdiği = 5s de kayan kip koşulu anlık olarak bozulmuşur. Haa negaif (e < ) olduğundan kayan kip koşulu bu kez βr > ẇ + φ o dur. Dayanak sinyalinin işare değişirmesinin hemen ardından bu koşulun sağlandığı görülmekedir. e < olduğundan deneim sinyali u = r =.2 değerinde sabiir. 7s anında haa sıfıra ulaşmış, faka kayan kip koşulu bozulmuşur. Bu nedenle haanın armaya devam eiği görülebilir. e > olduğundan deneim sinyali bu kez u = r =.2 değerini almışır. Kısa bir süre sonra βr > ẇ φ o eşisizliği yeniden sağlanmış ve haa azalmaya başlamışır. e = değerine ulaşığı anda röle, dolayısıyla sisem kayan kipe çalışmaya başlamışır. Özele, kayan kip, ilk anaharlama anında değil ikinci anaharlama anında gerçekleşmeke ve dayanak sinyalinin işare değişirdiği bir sonraki ana dek devam emekedir. 38

59 Sıradaki benzeimde röle genliği r =.8 olarak seçilmişir; yani Eş sağlanmamakadır. Bu benzeime ai sonuçlar Şekil 2.2 de verilmişir. Şekil 2.2.a ve Şekil 2.2.b dikkae alındığında, dayanak sinyalinin w = değerinde olduğu ilk 5s boyunca sisem çıkışının modeli yakalayamadığı ve deneim sinyalinin u = r =.8 değerinde sabi kaldığı gözlenmekedir. Bir başka deyişle sisem kayan kipe çalışmamakadır. Bu durum Şekil 2.2.c üzerinden daha iyi anlaşılabilir. Başlangıç anında haa poziifir ve azalmakadır (eė < ), dolayısıyla u = r =.8 dir. Aynı zamanda βr > ẇ φ o eşisizliğinin sağlandığı görülmekedir. Ancak, haa e = değerine ulaşmadan βr > ẇ φ o koşulu bozulmaka ( 3.7s) ve haa yeniden armaya başlamakadır. Dayanak sinyalinin işare değişirmesine kadar geçen süre içerisinde e = eşiliği hiç sağlanamadığından kayan kip, sonuç olarak da model akibi hiç gerçekleşmemişir. Dayanak sinyalinin w = değerine aladığı anda haa sinyali negaif bir değer almışır. Buna bağlı olarak u = r =.8 dir. e < olduğundan kayan kip için gerekli koşul βr > ẇ + φ o dur. Bu koşulun sağlandığı ve haanın arığı gözlenmekedir. Haa e = değerine ulaşığında kayan kip koşulu hala sağlanmaka olduğundan sisemin kayan kipe çalışmaya başladığı Şekil 2.2.b ve Şekil 2.2.c den görülebilir. Şekil 2.2.a ya dikka edilirse, kayan kipin gerçekleşmesinin ardından sisem çıkışı modeli yakalamış ve akip emeye başlamışır. Ancak kısa bir süre sonra βr > ẇ + φ o koşulu bozulduğundan rölenin kayan kipen çıkığı ve model akibinin sonlandığı gözlenmekedir. e < olduğundan deneim sinyali u = r =.8 değerini almışır. Sisem davranışı dayanak sinyalinin farklı değere aladığı anlardan sonra benzer şekilde devam emekedir. Özele, kayan kip koşulu sağlanmadığından, beklenildiği gibi deneimin başarılı olmadığı sonucuna ulaşılabilir. Kayan kip koşullarının irdelendiği bu kısma ai son benzeim için Eş. 2.8 ile verilen sisem ve model kullanılmışır. G 2 (s) = 7 s 3 + 2s 2 + s +, M 2(s) = (.25s + ) 2 (2.8) Denelenen sisemin göreli derecesi ρ(g) = 3 olduğundan, göreli derece koşulunu sağlamak amacıyla 2. derece bir model anımlanmışır. Önceki örneklerden farklı olarak burada β < olduğundan βr > gerekli koşulunun sağlanması için negaif bir röle genliği seçilmişir (r = 2). Benzeim sonuçları Şekil 2.22 de verilmişir. Şekil 2.22.c incelendiğinde βr > ẇ φ o koşulunun, dayanak girişinin işare değiş- 39

60 irdiği anlar hariç, > için sağlandığı görülebilir. Buna bağlı olarak röle ilk andan iibaren kayan kipe çalışmaka ve model akibi gerçekleşmekedir. Haa (e) ve ẇ φ o sinyallerinin, önceki benzeim sonuçlarıyla karşılaşırıldığında, daha gürülülü olduğu göze çarpmakadır. Bunun nedeni, önceki benzeimlerde sisem çıkışının. derece bir model akarım işlevinin ersi ile süzgeçlenirken, bu örneke 2. derece bir akarım işlevinin ersi ile süzgeçlenmesidir. Diğer bir deyişle, φ sinyali çıkış sinyalinin ikinci derece ürevlerini de içermekedir. Bu nedenle φ sinyali, dolayısıyla da e ve ẇ φ o sinyalleri de diğer örneklere oranla daha gürülülüdür. Eş. 2.8 de görülen sisem kullanılarak farklı röle genlikleri ile yapılan benzeimler Bölüm 2. de üreilen ve Eş. 2.7 ve Eş. 2.8 ile verilen kayan kip koşullarının doğru olduğunu gösermişir. Sinüzoidal dayanak sinyali ile yapılan benzeimler, röle genliğinin Eş. 2.3 sağlanacak şekilde seçilmesi gerekiğini oraya koymuşur. Röle genliği yeerince büyük seçildiği akdirde βr > ẇ φ o koşulunun benzeimin başlangıcından iibaren sağlandığı ve sisemin sürekli kayan kipe çalışığı görülmüşür. Belirlenen röle genliği Eş. 2.3 ile bulunan sınır değere yakın ama bu değerden büyük seçildiğinde ise kayan kip koşulu benzeim başladıkan bir süre sonra sağlanmakadır ve benzeim sonuna dek sisem kayan kipe çalışmaya devam emekedir. Eş. 2.3 un sağlanmadığı durumlarda kayan kip koşulunun zaman zaman bozulduğu, bu nedenle deneim başarımının kesiniye uğradığı sonucuna ulaşılmışır. Dayanak girişi olarak kare dalga kullanıldığında röle genliğinin bu kez Eş u sağlayacak şekilde seçilmesi gerekiği gözlenmişir. Sinüzoidal sinyalin kullanıldığı durumda olduğu gibi, röle genliği yeerince büyükse, dayanak sinyalinin işare değişirdiği anlar hariç, sisemin benzeim boyunca kayan kipe çalışığı gözlenmişir. Dayanak sinyalinin bir başka değere aladığı anlarda kayan kip koşulunun sağlanabilmesi için gereken röle genliği genellikle gerçekleşirilemeyecek kadar büyük olduğundan bu anlarda kayan kipli deneimin kesinisiz devam emesi beklenmemekedir. Ancak röle genliği mümkün olduğunca büyük seçilerek sisemin kayan kipen çıkıkan sonra kayan kip geri dönmesi için geçen sürelerin, yani erişme evrelerinin kısalılması olanaklıdır. Eş u sağlayan ancak bu değere oldukça yakın bir röle genliği seçilerek yapılan benzeim sisemin ilk anaharlama anında değil ikinci anaharlama anında kayan kipe girdiğini gösermişir. Ayrıca, röle genliği yeerince büyük olmadığından model akibinin de başarılı olmadığı gözlenmişir. Haırlanacağı gibi 4

61 Eş. 2.29, sisem durgun duruma ulaşığında kayan kipin sağlanabilmesi için röle genliğinin sağlaması gereken koşuldur. Geçici epki süresince hem kayan kipin elde edilebilmesi hem de model akibinin başarıyla gerçekleşmesi için gereken röle genliğinin Eş ile bulunan değerden büyük olması gerekiği yapılan benzeimler aracılığıyla oraya konmuşur. Eş u sağlamayan bir röle genliği seçildiğinde ise deneimin başarısız olduğu sonucuna ulaşılmışır. Eş. 2.8 ile yapılan son benzeim örneğinde β < durumu ele alınmış ve kayan kip koşulunu sağlamak amacıyla negaif röle genliği kullanılmışır. Ayrıca, yüksek dereceli model akarım işlevi kullanıldığında, çıkış sinyali modelin ersi ile süzgeçlendiğinden, ẇ φ o sinyali biraz gürülülü de olsa, deneim başarımının olumsuz ekilenmediği gözlenmişir. Sonuç olarak, denelenen sisemin kayan kipe çalışabilmesi için βr > ẇ φ o koşulunun sağlanması gerekiği görülmekedir. Eğer bu koşul için üm değerlerinde sağlanırsa, sisem başlangıç anından iibaren kayan kipe çalışmakadır. Bu durum için kayan kip koşulu βr > sup ẇ φ o (2.82) biçiminde ifade edilebilir. Özele, βr çarpımının ẇ φ o eriminden mümkün olduğunca büyük olması gerekir. β sabi olduğundan, r nin yeerince büyük olması gerekiği söylenebilir. 4

62 w, y m ve y (a) (b).8 βr u.6.4 ẇ φ o.2 e (c) Şekil 2.5. G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları (r = 3) 42

63 w, y m ve y (a) 2 u (b) ẇ φ o.3 βr.2. e (c) Şekil 2.6. G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları (r =.9) 43

64 w, y m ve y (a) 2 u (b) ẇ φ o.4.3 βr.2. e (c) Şekil 2.7. G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları (r =.8) 44

65 w, y m ve y (a) 2 u (b) ẇ φ o, e > ẇ + φ o, e < βr.2. e (c) Şekil 2.8. G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları (r =.8) 45

66 w, y m ve y (a) (b) u 5 4 βr 3 2 ẇ φ o e (c) Şekil 2.9. G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları (r = 5) 46

67 w, y m ve y (a) 2 u (b) 3 2 e βr 2 ẇ φ o, e > ẇ + φ o, e < (c) Şekil 2.2. G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları (r =.2) 47

68 w, y m ve y (a) 2 u (b) e βr.5.5 ẇ φ o, e > ẇ + φ o, e < (c) Şekil 2.2. G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları (r =.8) 48

69 w, y m ve y (a) 4 u (b) 8 6 βr 4 2 ẇ φ o 2 e (c) Şekil G 2 (s) ve M 2 (s) için benzeim sonuçları (r = 2) 49

70 2.7.2 E ve F Süzgeçlerinin Kullanımı Bu kısımda Bölüm 2.2 de bahsedilen E(s) ve F(s) süzgeçlerinin kullanımına dair iki benzeim örneğine yer verilmişir. Bu kısımdan iibaren benzeim süreleri 3s olarak belirlenmişir. Haırlanacağı gibi, Eş. 2. ile verilen göreli derece koşulunun sağlanmadığı durumlarda, röle elemanının önüne ve/veya arkasına uygun dereceli süzgeçler yerleşirilerek Eş sağlanabilmeke, yani açık döngü akarım işlevinin göreli derecesi yapılabilmekedir. Oraya çıkan yeni yapı için kayan kip koşulu Eş e verilmişir. Bu kısma ai ilk benzeim örneğinde kullanılan sisem ve model akarım işlevleri Eş e verilmişir. Görüldüğü gibi bu örneke açık döngü akarım işlevinin göreli derecesi ρ(m G) = olduğundan, F(s) süzgeci anımlanarak Eş ile verilen göreli derece koşulunun sağlanması hedeflenmişir (ρ(m GF) = ). Elde edilen benzeim sonuçları Şekil 2.23 e görülmekedir. Şekil 2.23.a da, önceki benzeimlerde olduğu gibi, dayanak girişi w (kare dalga), model epkisi y m (kesikli çizgi) ve sisem çıkışı y, Şekil 2.23.b de ise deneim sinyali u görülmekedir. Dikka edilirse, bu örneke Şekil 2.2 de göserilen genişleilmiş röleli deneim yapısı söz konusudur; yani deneim sinyali röle çıkışında oluşan sinyal değil, röle çıkışının F(s) ile süzgeçlenmesi sonucu oraya çıkan sinyaldir. Röle çıkışı v Şekil 2.23.c de verilirken, haa sinyali e ise Şekil 2.23.d de göserilmişir. G 3 (s) = s +.5 2s 2 + 2s +, M 3(s) = 3 s + (2.83) F(s) =.2s + Röle genliği r = 5 olarak belirlenmişir. Benzeimin ilk anlarında haanın poziif olduğu ancak çok kısa bir sürede sıfıra ulaşığı ve dayanak sinyalinin işare değişirdiği ana kadar sıfıra kaldığı ve rölenin kayan kipe çalışığı gözlenmekedir. Buradan, benzeimin başlangıcından iibaren Eş e verilen kayan kip koşulunun sağlandığı sonucuna ulaşılabilir. Kayan kip koşulu yalnızca dayanak sinyalinin diğer değere aladığı anlarda bozulmakadır. Röle genliği yeerince büyük seçildiğinden, kısa erişme evrelerinin ardından haa ekrar sıfır olmaka ve sisem kayan kipe çalışmaya başlamakadır. Tanımlanan F(s) süzgeci sayesinde, kayan kip için gerekli 5

71 göreli derece koşulunun sağlanmasının yanı sıra, yüksek sıklıklı röle çıkışı yumuşaılarak daha yavaş değişen bir deneim sinyali siseme uygulanmışır. Model akibinin hem geçici epki esnasında hem de durgun durumda oldukça başarılı olduğu Şekil 2.23.a dan açıkça görülmekedir. Bir sonraki benzeim örneği için Eş e verilen sisem ve model akarım işlevleri seçilmişir. G 4 (s) = 5 (s + 3) 2, M 4(s) = E(s) =.s +, F(s) =.5s +.s + (2.84) Bu örneke ρ(m G) = koşulu sağlandığı halde, röle çıkışındaki hızlı değişen sinyalin siseme uygulanması ercih edilmediğinden E(s) ve F(s) süzgeçlerinden faydalanılmışır. Uygun dereceli süzgeçler seçilerek Eş nin sağlanmasına dikka edilmişir. Bu süzgeçlerden, yalın ürev içeren E(s) röle elemanının önüne, F(s) ise röle elemanının arkasına yerleşirilmişir. Şekil 2.24 e verilen benzeim sonuçlarında üçüncü grafik röle çıkışını (v), dördüncü grafik röle girişini (s), son grafik ise haa sinyalini (e) gösermekedir. Röle genliği r = 5 olarak belirlenmişir. Şekil 2.24.d ye dikka edilirse, dayanak sinyalinin işare değişirdiği anlar hariç, s sinyalinin sıfır erafında düşük genlikli yüksek sıklıklı bir sinyal olduğu, buna bağlı olarak rölenin kayan kipe çalışığı gözlenebilir. Kullanılan F(s) süzgeci sayesinde röle çıkışında oluşan sinyalin yüksek sıklıklı bileşenleri büyük ölçüde süzgeçlenmiş, böylece deneim sinyali yumuşaılmışır. Model akibinin gerçekleşiği Şekil 2.24.a dan görülebilir. Röle genliği arırılarak geçici epki esnasındaki model akibi iyileşirilebilir. Dikka edilirse, hem Eş hem de Eş e verilen örneklerde röle elemanları eyleyici olarak kullanılmamışır. Bunun yerine röle çıkışlarındaki yüksek sıklıklı sinyaller F(s) ile süzgeçlendiken sonra sisemlere uygulanmışır. Bu gibi durumlarda röle genlikleri, fiziksel kısılamalar oradan kalkığından, röle elemanlarının eyleyici olarak kullanıldığı durumlara göre daha büyük seçilebilir. 5

72 w, y m and y (a) 5 u (b) (c) (d) Şekil F(s) süzgecinin kullanımı (r=5) G 3 (s) ve M 3 (s) için benzeim sonuçları v e 52

73 w, y m and y (a) (b) (c) (d) (e) Şekil E(s) ve F(s) süzgeçlerinin kullanımı (r=5) G 4 (s) ve M 4 (s) için benzeim sonuçları u v s e 53

74 2.7.3 Paramere Değişikliklerinin Ekilerinin İncelenmesi Bilindiği gibi, uygulamalar sırasında denelenen siseme ai paramereler, gerek değişen çalışma koşulları gerekse sisem yapısından kaynaklanan belirsizliklerden öürü değişiklik göserebilir. Bu kısımda değişen sisem paramerelerinin deneim başarımı üzerindeki ekileri incelenmişir. İlk örneke, ani paramere değişikliklerinin KKD üzerindeki ekisini incelemek üzere Eş e verilen sisemden yararlanılmışır. Denelenen siseme ai akarım işlevinin paramerelerinin sabi olmadığı ve ani değişiklikler göserebileceği varsayılmışır. Bu durumu yansımak amacıyla siseme ai akarım işlevi Eş eki gibi göserilebilir. G 3 (s) = s +.5 2s 2 + 2s + = s +.5 (2.85) a 2 s 2 + a s + a Bu sisem için yapılan benzeimde, = 6s anında a parameresi a = 4, = 23s anında ise a parameresi a = 3 olarak değişirilmişir. Röle genliği r = 6 seçilerek elde edilen benzeim sonuçları Şekil 2.25 e verilmişir. Kayan kip koşullarının sınandığı kısımda olduğu gibi, son grafike haa sinyalinin yanı sıra e > olduğu anlarda ẇ φ o, e < olduğu anlarda ise ẇ + φ o sinyalleri ve βr erimi göserilmişir. Şekil 2.25.c ve Şekil 2.25.d incelendiğinde, seçilen röle genliğinin kayan kip koşulunu sağladığı ve sisemin ilk anaharlama anında kayan kipe çalışmaya başladığı görülebilir. Ayrıca paramere değişikliklerinin meydana geldiği anlarda haanın sıfırdan farklı bir değer aldığı ve bu nedenle model akibinde de kısa süreli bozulmalar oluşuğu gözlenmekedir. Ancak her iki değişikliğin de kayan kip koşulunu bozmadığı ve bu nedenle haa sinyalinin hızla yeniden sıfır değerine döndüğü görülebilir. Bir başka deyişle, bir erişme evresinin ardından sisem kayan kipe geri dönmekedir. Ayrıca, paramere değişikliklerinin ardından sisem yapısı değişiğinden üreilen deneim sinyalinin de değişiklik göserdiği Şekil 2.25.b den açıkça görülmekedir. Sisem yapısında meydana gelen değişiklikler, dayanak girişinin işare değişirdiği anlardan sonra oluşan erişme evrelerinin sürelerinin birbirinden farklı olmasından (Şekil 2.25.c) ve model akibi başarımının değişiklik gösermesinden de anlaşılabilir (Şekil 2.25.a). 54

75 Yukarıdaki benzeim bu kez r = 5 seçilerek ekrarlanmış ve Şekil 2.26 da verilen sonuçlar elde edilmişir. Daha düşük seçilen röle genliği ile dahi kayan kip koşulunun sağlandığı bir önceki benzeimden bilindiğinden ẇ φ o ve ẇ + φ o erimlerinin göserilmesine gerek duyulmamışır. Paramere değişikliklerinin oluşuğu anlarda e = eşiliği önceki benzeimde olduğu gibi kısa süreliğine bozulsa da, daha yüksek bir röle genliği seçildiğinden, e = değerine daha çabuk geri dönmekedir. Meydana gelen değişikliklerin röle elemanını grafik ölçeğinde görülebilecek kadar uzun süreli kayan kipen çıkarmadığı görülebilir. Şekil 2.26.a incelendiğinde, çıkış sinyali üzerindeki bozulmaların bir önceki benzeime göre daha küçük olduğu gözlenmekedir. Röle genliği arırılarak sisemin kayan kipen çıkığı anların daha da kısalılması sağlanabilir. Ancak uygulamalarda kullanılabilecek röle genliklerinin eyleyicinin fiziksel özellikleri ile sınırlı olduğu unuulmamalıdır. ( ) 2π a 2 () = 2 + sin T 2 ( ) 2π a () = 2 + sin T ( ) 2π a () = + sin T, T 2 = 25s, T = s, T = 5s (2.86) Sürekli değişen sisem paramelerinin ekisini gözlemlemek amacıyla Eş e verilen sisem paramerelerinin bu kez Eş daki gibi değişiği varsayılmışır. Röle genliği r = 5 seçilerek yapılan benzeim sonuçları Şekil 2.27 de verilmişir. Değişen sisem yapısı nedeniyle hem üreilen deneim sinyali hem de dayanak sinyalinin işare değişirdiği anlardan hemen sonraki erişme evrelerinin süreleri değişiklik gösermekedir. Buna bağlı olarak model akibi başarımının da sürekli değişiği Şekil 2.27.a dan açıkça görülmekedir. Dayanak sinyalinin işare değişirdiği anlar dışında röle elemanı benzeim boyunca kayan kipe çalışmakadır. Özele, röle genliği yeerince büyük seçildiği akdirde kayan kip koşulu bozulmadığından, sürekli değişen sisem paramerelerinin deneim başarımını olumsuz ekilemediği sonucuna ulaşılabilir. 55

76 2 w, y m and y (a) u (b) v (c) ẇ φ o, e > ẇ + φ o, e < e e βr (d) Şekil Ani paramere değişimlerinin deneim başarımı üzerindeki ekisi (r = 6) 56

77 w, y m and y (a) 5 u (b) (c) (d) Şekil Ani paramere değişimlerinin deneim başarımı üzerindeki ekisi (r = 5) v e 57

78 w, y m and y (a) 5 u (b) (c) (d) v e Şekil Sürekli değişen paramerelerin deneim başarımı üzerindeki ekisi (r = 5) 58

79 2.7.4 Bozucuların Deneim Başarımı Üzerindeki Ekilerinin İncelenmesi Bozucu sinyaller deneim uygulamalarında sıkça karşılaşılan önemli sorunlardandır. Bu kısımda, çıkış sinyali üzerinde ekili olan bozucuların GÇ-RKKD yöneminin deneim başarımı üzerindeki ekileri incelenmişir. Bunun için Eş e verilen sisem ve model akarım işlevleri kullanılarak benzeimler yapılmışır. İlk olarak basamak ipi bozucu irdelenmişir. Röle genliği r = 5 seçilerek gerçekleşirilen ve sonuçları Şekil 2.28 de verilen benzeimin ilk anlarında basamak ipi bozucu d = dır. = 8s anında bozucu d =.75 değerine, = 2s anında ise d =.2 değerine alamışır. Bozucu sinyalin kayan kip koşulunu nasıl ekilediğini görmek amacıyla Şekil 2.28.c de haa sinyali ile beraber βr erimi ve e > olduğu anlarda ẇ φ o, e < olduğu anlarda ise ẇ + φ o sinyalleri göserilmişir. Bozucu sinyalin ekisi Şekil 2.28.a da verilen çıkış sinyali üzerinde ne bir şekilde görülmekedir. Bozucu nedeniyle Eş de verilen kayan kip koşulunun = 8s de anlık olarak bozulup yeniden sağlandığından, haa ekrar sıfıra ulaşana olana dek röle elemanının kayan kipen çıkığı ve bir erişme evresinin ardından yeniden kayan kipe çalışmaya başladığı gözlenmekedir. Buna bağlı olarak sisem çıkışı yeniden model çıkışını akip emeye başlamakadır. Bozucunun = 2s de aldığı yeni değerin kayan kip koşulunu bozmadığı görülmekedir. Ancak bozucu nedeniyle bu esnada da e = eşiliği bozulduğundan, haa sinyali yeniden sıfıra dönene dek bir erişme evresi meydana gelmişir. Dayanak girişinin işare değişirdiği anlara benzer şekilde, bozucunun yeni bir değere aladığı anlarda, Eş ile verilen ψ eriminin ürevi oldukça büyük olduğundan, bozucunun sisemi kayan kipen çıkarmasını engellemek için gerekli röle genliği uygulamalarda gerçekleşirilemeyecek kadar büyük olabilir. Bunun yanı sıra, kayan kip koşulu bozulmasa dahi e = eşiliği bozulmaka ve röle kayan kipen çıkmakadır. Röle genliği, eyleyicinin fiziksel sınırları dahilinde, mümkün olduğunca büyük seçilerek, bozucunun değer değişirdiği anların hemen ardından oluşan erişme evreleri kısalılabilir ve sisemin daha çabuk kayan kipe geri dönmesi sağlanabilir. r = ile yapılan ve sonuçları Şekil 2.29 da verilen benzeim bu sonucu deseklemekedir. e = eşiliğinin bozulduğu anlar haa sinyali üzerinde ne bir şekilde görülse de, bir önceki grafikle karşılaşırıldığında, haa sıfır değerine daha çabuk geri dönmekedir. Bu nedenle rölenin kayan kipen çıkığı anlar ilgili grafik ölçeğinde görülemeyecek kadar kısalmışır. 59

80 Sonuçları Şekil 2.3 da sunulmuş olan benzeimde, Eş e verilen yapı üzerinde oralama değeri µ =, sandar sapması ise σ =. olan beyaz gürülü bozucu sinyali ekilidir. Bölüm de bahsedildiği gibi, beyaz gürülünün ürevleri haa ürevi üzerine eklenmeke ve kayan kip koşulunun gerçeke uygulanabilir röle genlikleri ile sağlanmasını olanaklı kılmamakadır. Bu nedenle Eş e verilen model akarım işlevi aşağıdaki gibi değişirilmişir. M (s) = D(s)M 4 (s) = (.s + )2.5s + (2.87) Dikka edilirse, model akarım işlevine s = de bulunan 2 ade sıfır yerleşirilmişir. Şekil 2. deki yapıdan da açıkça görüldüğü gibi, çıkış sinyali model akarım işlevinin ersi ile süzgeçlendiğinden, eklenen sıfırlar bir alçak geçiren süzgeç görevi görmekedir. Model akarım işlevinin değişirilmesi sonucu Eş. 2. da verilen göreli derece koşulu arık sağlanmasa da (ρ(m G 4 ) = 3), sisemin çalışma sıklığında yani daha düşük sıklıklarda KKD elde edilebilir. Şekil 2.3 daki benzeim sonuçları bu sapamayı deseklemekedir. Model akarım işlevine eklenen sıfırlar sayesinde gürülünün yüksek sıklıklı bileşenleri büyük ölçüde süzgeçlenmiş, bu sayede sisemin, düşük bir röle genliği seçildiği halde (r = ), kayan kipe çalışması sağlanmışır. Süzgeçlenemeyen gürülü bileşenleri Şekil 2.3.c de verilen haa sinyali üze- rinde açıkça görülebilir. Haırlanacak olursa, ideal olmayan durumda sisem çıkışı y = Mw Me eşiliği ile verilmekeydi. Diğer bir deyişle, haa sinyali model akarım işlevi ile süzgeçlenmeke ve çıkış sinyaline yansımakadır. Bu durum Şekil 2.3.a da verilen sisem çıkışı üzerinden gözlenebilir. Haa sinyali üzerinde ekili olan gürülü bileşenleri sisem çıkışı üzerinde de ekilidir. Buna rağmen sisem kayan kipe çalışmaka ve model akibi gerçekleşmekedir. Bu örneke, model akarım işlevine sıfırlar eklenmediği durumda, seçilen hiçbir röle genliği ile KKD elde edilememişir. Model akarım işlevine eklenecek olan D(s) çokerimlisi belirlenirken sisemin çalışma sıklığı esas alınmalıdır. Ban genişliği çok dar, yani sisemin normal çalışma sıklığına yakın olursa göreli derece koşulları bu sıklıklarda sağlanamayacağından KKD in elde edilmesi mümkün değildir. Seçilen süzgecin ban genişliği çok geniş uulursa bu kez gürülüye ai bileşenler yeerince süzgeçlenemeyeceğinden KKD yine elde edilemez. 6

81 Ölçüm gürülüsünün sisem üzerinde ekili olduğu durumda deneim başarımını irdelemek amacıyla yine Eş e verilen sisemden faydalanılmışır. Burada sisemin, çıkış sinyalini ölçen sensörden kaynaklı m() =.5sin(4π) +. biçiminde yüksek sıklıklı sinüzoidal bir ölçüm gürülüsüne maruz kaldığı kabul edilmişir. Şekil 2.3 de sunulan benzeim sonuçları, röle elemanı kayan kipe çalışığı halde, model akibinin am olarak gerçekleşmediğini ve Bölüm e bahsedildiği gibi, ölçüm haasının sisem çıkışı üzerine eklenmiş olduğunu gösermekedir. 6

82 w, y m ve y (a) u (b) 5 ẇ φ o, e > ẇ + φ o, e < βr 5 e e (c) Şekil Basamak ipi bozucunun deneim başarımı üzerindeki ekisi (r = 5) 62

83 .5 w, y m ve y (a) 2 u (b) 3 e (c) Şekil Basamak ipi bozucunun deneim başarımı üzerindeki ekisi (r = ) 63

84 .5 w, y m ve y (a) 2 u (b) 3 e (c) Şekil 2.3. Beyaz gürülünün deneim başarımı üzerindeki ekisi (r = ) 64

85 .5 w, y m ve y (a) u (b) 3 e (c) Şekil 2.3. Ölçüm gürülüsünün deneim başarımı üzerindeki ekisi (r = 5) 65

86 2.7.5 Bakışımlı Olmayan Röle Kullanımı Bölüm 2.4 en haırlanacağı gibi, bazı gerçek zamanlı uygulamalarda kullanılan eyleyiciler bakışımlı röle yapısına uymayabilir. Bu nedenle rölenin bakışımlı olmadığı durum için kayan kip koşulu üreilmiş ve Eş de verilmişir. Bakışımlı olmayan röle ile yapılan benzeim çalışmasında Eş de görülen sisem ve model akarım işlevleri kullanılmışır. G 5 (s) = 3s 2 s 3 + 2s 2 + 2s +, M 5(s) =.5s + (2.88) Yukarıdaki sisemde β < olduğundan Eş ile verilen kayan kip koşulunun sağlanabilmesi için r = şeklinde belirlenerek ers röle kullanılmışır. Röle genliklerinin oralaması ise r o = 5 biçiminde seçilmişir. Şekil 2.32 de verilen sonuçlar incelendiğinde, kayan kip koşullarının sağlandığı ve model akibinin başarılı olduğu görülmekedir. 66

87 3 w, y m ve y (a) u (b) 5 e (c) Şekil Bakışımlı olmayan röle ile deneim başarımı (r o = 5, r = ) 67

88 2.7.6 Kararsız Sisemlerin Deneimi GÇ-RKKD yöneminin karasız sisemlerin deneimindeki başarımını irdelemek amacıyla Eş da verilen sisem ve model akarım işlevleri dikkae alınmışır. G 6 (s) =.5 (s + 3)(s ), M 6(s) =.5s + (2.89) Dikka edilirse, denelenen sisemde s = de bir ade kararsız kuup bulunmakadır. Röle genliği r = 5 seçilerek yapılan benzeime ai sonuçlar Şekil 2.33 e görülmekedir. Dayanak sinyalinin w = değerinde olduğu ilk saniyelerde haanın sıfıra ulaşığı, buna bağlı olarak kayan kipin gerçekleşiği ve sisem epkisinin model çıkışını akip eiği gözlenmekedir. Ancak dayanak girişi işare değişirdiken sonra KKD elde edilememişir ve sisem epkisi kararsızdır. Haırlanacağı gibi kararsız sisemler söz konusu olduğunda, hem kayan kip için gerekli koşul olan eė < eşisizliğinin sağlandığı, hem de sisem epkisinin kararlı olduğu başlangıç koşullarını içeren bölgeler, evre düzleminin yalnızca bir bölümünü kapsamakadır. Bu bölgelerin genişliği kullanılan röle genliği ile doğru oranılıdır; diğer bir deyişle röle genliği arırıldıkça bu bölgeler genişlemekedir. = 5s de, yani dayanak girişi w = değerine aladığında sisem durumları sisem çıkışının kararsız olduğu bir bölgeye aladığından KKD elde edilememişir. Şekil 2.34 e aynı siseme ai ikinci bir benzeim sonucu görülmekedir. Röle genliği r = 25 olarak belirlenmişir. Sisem epkisinin kararlı olduğu bölge bir önceki duruma göre daha geniş olduğundan, dayanak sinyalinin işare değişirdiği anlardan sonra sisemin kayan kipe çalışması sağlanmış ve model akibi gerçekleşmişir. 68

89 .5 w, y m ve y (a) 3 u (b) 3 e (c) Şekil Karasız sisemde deneim başarımı (r = 5) 69

90 .5 w, y m ve y (a) 5 u (b) 3 e (c) Şekil Karasız sisemde deneim başarımı (r = 25) 7

91 3. ÇOKDÖNGÜLÜ SİSTEMLERDE GÇ-RKKD Tez çalışmasının bu bölümünde giriş çıkış modeli üzerinden anımlanan röle ile kayan kipli deneim yöneminin çokdöngülü sisemlere genişleilmesi hedeflenmişir. Bir önceki bölümde ek girişli ek çıkışlı sisemler için yapılan analizlerin benzerleri bu kez çokdöngülü yapılar için ekrarlanacakır. İlk olarak, çokdöngülü sisemler söz konusu olduğunda röle elemanlarının kayan kipe çalışabilmesi için gerekli koşullar üreilecekir. Bunun için öncelikle iki girişli iki çıkışlı ve üç girişli üç çıkışlı yapılar ele alınacak, ardından elde edilen sonuçlar n girişli n çıkışlı sisemler için genelleşirilecekir. Bozucuların ekisi alındayken kayan kip koşullarının nasıl değişiği irdelendiken sonra bakışımlı olmayan röle kullanımına değinilecekir. Son olarak çokdöngülü sisemler ile yapılan benzeim çalışması sunulacakır. 3. Çokdöngülü Sisemler İçin Kayan Kip Koşulları İki girişli ve iki çıkışlı bir sisem için çokdöngülü röleli deneim yapısı Şekil 3. de görülmekedir. Şekil 3.. İki girişli ve iki çıkışlı bir sisemde çokdöngülü röleli deneim yapısı 7

92 Burada, G ij (s) denelenen siseme ai kesin uygun akarım işlevlerini, M i (s) model akarım işlevlerini, w i () dayanak girişlerini, u i () ve y i () giriş ve çıkış sinyallerini, φ i () M i (s) ile süzgeçlenmiş çıkış sinyallerini, e i () haa sinyalleri olarak da adlandırılan röle girişlerini, s ise ürev işlecini (d/d) ifade emekedir (i, j =, 2). G(s) = G (s) G 2 (s) G 2 (s) G 22 (s), M(s) = M (s) M 2 (s) w() = w () w 2 (), u() = u () u 2 (), y() = y () y 2 () (3.) φ() = φ () φ 2 (), e() = e () e 2 () Röle elemanlarının bakışımlı ve ideal oldukları kabul edilmişir. çıkışlarında oluşacak deneim sinyalleri aşağıdaki gibidir. Buna göre röle u() = Rsign(e()) (3.2) R = r r 2 (3.3) R röle genliklerini içeren marisir. sign(e()) ise haa sinyallerinin işarelerini veren bir vekördür. r ve r 2 sırasıyla birinci ve ikinci döngüdeki röle genlikleridir. Bu sisemde kayan kipli deneimin gerçekleşebilmesi için gerekli koşullar şöyledir. e ()ė () <, e 2 ()ė 2 () < (3.4) Burada, e () = ve e 2 () = eşilikleri kayma yüzeylerini anımlamakadır. Şekil 3. incelendiğinde kapalı döngü sisem çıkışı w i φ i = e i w i M i y i = e i, i =, 2 (3.5) y i = M i w i M i e i 72

93 eşiliğiyle verilir. Sisem kayan kipe çalışırken, ideal durumda e = e 2 = olduğundan, kapalı döngü sisem davranışı model akarım işlevleri arafından belirlenir. Ideal olmayan durumda ise, sıfır erafında düşük genlikli ve yüksek sıklıklı olan haa sinyalleri model akarım işlevleri ile süzgeçlendiğinden çıkış üzerinde ciddi ekileri olmamakadır. Eş. 3.4 e verilen eşisizliklerin sağlanması için gerekli koşulları üremek üzere haa sinyalleri ve ürevleri incelenmelidir. Şekil 3. deki öbek çizeneğinden faydalanılarak haa sinyalleri aşağıdaki gibi yazılabilir. e = w φ = w M y = w (M G u + M G 2u 2 ) (3.6) e 2 = w 2 φ 2 = w M 2 y 2 = w 2 (M 2 G 2u + M 2 G 22u 2 ) Haa ürevleri ise şöyledir. ė = ẇ φ = ẇ (sm G u + sm G 2u 2 ) = ẇ (β u + φ o + β 2u 2 + φ o 2 ) = ẇ (β u + β 2 u 2 + φ o ) = ẇ β r sign(e ) β 2 r 2 sign(e 2 ) φ o (3.7) ė 2 = ẇ 2 φ 2 = ẇ 2 (sm 2 G 2u + sm 2 G 22u 2 ) = ẇ 2 (β 2 u + φ o 2 + β 22 u 2 + φ o 22) = ẇ 2 (β 2 u + β 22 u 2 + φ o 2 ) = ẇ 2 β 2 r sign(e ) β 22 r 2 sign(e 2 ) φ o 2 Tek girişli ek çıkışlı yapılar için verilen analizlerde olduğu gibi, φ () ve φ 2 () sinyalleri, yani sm i G i u ve sm G i2 u 2 erimleri anlık değişen ve değişmeyen kısımlarına i 73

94 ayrılmışır. β i u ve β i2 u 2 bu erimlerin anlık değişen kısımları, φ o i ve φ o i2 ise anlık değişmeyen kısımlarıdır (i=,2). β ij aşağıda anımlanan β marisinin elemanlarıdır. β = lim s sm (s)g(s) = β β 2 β 2 β 22 = β β 2 (3.8) β ve β 2, β marisine ai saırları ifade emekedir. İlgili erimlerin anlık değişmeyen kısımları φ o = φ o + φ o 2 φ o 2 + φ o 22 = φ o φ o 2 (3.9) biçiminde göserilir. Eş. 3.7 dikkae alındığında aşağıda verilen dör durumun incelenmesinin gerekiği görülür. e > ve e 2 > ė = ẇ β r β 2 r 2 φ o (3.) ė 2 = ẇ 2 β 2 r β 22 r 2 φ o 2 e > ve e 2 < ė = ẇ β r + β 2 r 2 φ o (3.) ė 2 = ẇ 2 β 2 r + β 22 r 2 φ o 2 e < ve e 2 > ė = ẇ + β r β 2 r 2 φ o (3.2) ė 2 = ẇ 2 + β 2 r β 22 r 2 φ o 2 e < ve e 2 < ė = ẇ + β r + β 2 r 2 φ o (3.3) ė 2 = ẇ 2 + β 2 r + β 22 r 2 φ o 2 74

95 Eş Eş. 3.3 incelendiğinde, Eş. 3.4 e verilen kayan kip koşullarının sağlanabilmesi için aşağıdaki eşisizliklerin sağlanması gerekiği görülür. β r + β 2 r 2 > ẇ φ o β 2 r + β 22 r 2 > ẇ 2 φ o 2 (3.4) β r β 2 r 2 > ẇ φ o β 2 r + β 22 r 2 > ẇ 2 + φ o 2 (3.5) β r β 2 r 2 > ẇ + φ o β 2 r + β 22 r 2 > ẇ 2 φ o 2 (3.6) β r + β 2 r 2 > ẇ + φ o β 2 r + β 22 r 2 > ẇ 2 + φ o 2 (3.7) Yukarıda verilen eşisizlikler maris formunda yazıldığında β β 2 β 2 β 22 β β 2 β 2 β 22 r r 2 r r 2 > > ẇ φ o ẇ 2 φ o 2 ẇ φ o ẇ 2 φ o 2 (3.8) (3.9) eşisizlikleri elde edilir. Bu eşisizlikler βr > ẇ φ o (3.2) βr > ẇ φ o (3.2) biçiminde de ifade edilebilir. Eş. 3.2 ve Eş. 3.2 de vekörün mulak değeri her bir elemanının mulak değerini ifade emekedir. r röle genliklerini içeren vekördür. r = r r 2 (3.22) 75

96 β marisi β = β β 2 β 2 β 22 (3.23) şeklinde, β marisi ile β arasındaki ilişki ise β = β + 2diag(β) (3.24) eşiliğiyle verilir. Burada diag(β), β marisinin köşegen elemanlarından oluşan köşegen marisir. Bir başka deyişle, β ve β marislerinin köşegen elemanları aynı, diğer elemanlarının işareleri ersir. Eş. 3.2 ve Eş. 3.2 de βr ve βr çarpımlarına ai saırların, eşisizliklerin sağ arafında bulunan vekörün ilgili saırından büyük olmaları gerekiği kasedilmişir. eşisizlikler incelendiğinde, β ij r j Verilen > ise Eş. 3.2 de verilen koşulun sağlanmasının (bu durumda Eş. 3.2 de sağlanacağından) kayan kipin gerçekleşmesi için yeerli olduğu görülür (i, j =, 2). Dikka edilirse, denelenen sisemde göreli derece koşulları ρ(m G ) > ve/veya ρ(m 2 G 22) > biçiminde olursa β = ve/veya β 22 = olur, dolayısıyla Eş. 3.8 ve Eş. 3.9 sağlanmaz. Bu nedenle kayan kip koşullarının sağlanabilmesi için gerekli göreli derece koşulları aşağıdaki gibi elde edilir. ρ(m G ) = ρ(m G 2) ρ(m 2 G 2) ρ(m 2 G 22) = (3.25) Eğer ρ(m G 2) > ve ρ(m 2 G 2) > olursa, β 2 = β 2 = olacağından Eş. 3.8 ve Eş. 3.9 ile verilen koşullar sadeleşerek aşağıdaki iki eşisizliğe indirgenir. β r > ẇ φ o β 22 r 2 > ẇ 2 φ o 2 (3.26) 76

97 Eş incelendiğinde, β > ve β 22 > olduğu durumlarda, kayan kipin gerçekleşebilmesi için röle genliklerinin de poziif olması gerekiği görülür (r >, r 2 > ). β < ve/veya β 22 < ise karşılık gelen röle genliklerinin işarelerinin değişirilmesi, yani ilgili döngüde ers röle kullanılması gerekir. Eş. 3.8 ve Eş. 3.9 ile verilen kayan kip koşulları, β marisi saırları yardımıyla, Eş ve Eş deki gibi de ifade edilebilir. β β 2 r r 2 > ẇ φ o ẇ 2 φ o 2 (3.27) β r > ẇ φ o β 2 r 2 ẇ 2 φ o 2 (3.28) Dikka edilirse, eğer sadece β r r 2 > ẇ φ o, β r > ẇ φ o r (3.29) 2 eşisizlikleri sağlanırsa sisem kısmi olarak kayan kipe çalışır. Bu durumda yalnızca e e karşılık gelen röle kayan kipe çalışacağından ilk döngüde KKD elde edilir; yani y çıkışı isenen model epkisini akip eder. Benzer şekilde yalnızca β 2 r r 2 > ẇ 2 φ o 2, β 2 r > ẇ 2 φ o 2 r (3.3) 2 eşisizlikleri sağlanırsa bu kez e 2 ye karşılık gelen röle, dolayısıyla da sisemin y 2 çıkışına karşılık gelen kısmı kayan kipe çalışır. İki girişli ve iki çıkışlı sisemler için üreilen kayan kip koşulları n girişli n çıkışlı sisemler için genişleilmeden önce üç girişli ve üç çıkışlı yapı ele alınmışır. Bu yapı Şekil 3.2 de göserilmişir. 77

98 Şekil 3.2. Üç girişli ve üç çıkışlı çokdöngülü röleli deneim yapısı Deneim yasası Eş. 3.2 deki gibidir. Röle genliklerini içeren R marisi R = r r 2 (3.3) r 3 biçimindedir. Bu yapıda kayan kipin elde edilebilmesi için e ()ė () <, e 2 ()ė 2 () < ve e 3 ()ė 3 () < (3.32) 78

99 eşisizliklerinin sağlanması gerekir. Bunun için gerekli koşulları bulabilmek amacıyla, önceki analizlerde olduğu gibi, haa sinyalleri ve ürevleri incelenmelidir. e = w φ ė = ẇ φ = ẇ (sm G u + sm G 2u 2 + sm G 3u 3 ) = ẇ (β u + φ o + β 2u 2 + φ o 2 + β 3u 3 + φ o 3 ) = ẇ β r sign(e ) β 2 r 2 sign(e 2 ) β 3 r 3 sign(e 3 ) φ o e 2 = w 2 φ 2 ė 2 = ẇ 2 φ 2 = ẇ 2 (sm 2 G 2u + sm 2 G 22u 2 + sm 2 G 23u 3 ) = ẇ 2 (β 2 u + φ o 2 + β 22u 2 + φ o 22 + β 23u 3 + φ o 23 ) (3.33) = ẇ 2 β 2 r sign(e ) β 22 r 2 sign(e 2 ) β 23 r 3 sign(e 3 ) φ o 2 e 3 = w 3 φ 3 ė 3 = ẇ 3 φ 3 = ẇ 3 (sm 3 G 3u + sm 3 G 32u 2 + sm 3 G 33u 3 ) = ẇ 3 (β 3 u + φ o 3 + β 32u 2 + φ o 32 + β 33u 3 + φ o 33 ) = ẇ 3 β 3 r sign(e ) β 32 r 2 sign(e 2 ) β 33 r 3 sign(e 3 ) φ o 3 Üç girişli üç çıkışlı yapılar için β ve φ o marisleri aşağıda verilmişir. β β 2 β 3 β = lim sm (s)g(s) = s β 2 β 22 β 23 β 3 β 32 β 33 = β β 2 β 3 (3.34) φ o = φ o + φ o 2 + φ o 3 φ o 2 + φ o 22 + φ o 23 φ o 3 + φ o 32 + φ o 33 = φ o φ o 2 φ o 3 (3.35) Eş e verilen ifadeler ele alındığında 8 farklı durumun incelenmesi gerekiği görülür. Bu durumlar ile Eş de verilen koşulların sağlanabilmesi için gereken 79

100 eşisizlikler aşağıdaki gibidir. e > e 2 > ve e 3 > ė = ẇ β r β 2 r 2 β 3 r 3 φ o < ė 2 = ẇ 2 β 2 r β 22 r 2 β 23 r 3 φ o 2 < ė 3 = ẇ 3 β 3 r β 32 r 2 β 33 r 3 φ o 3 < (3.36) e > e 2 > ve e 3 < ė = ẇ β r β 2 r 2 + β 3 r 3 φ o < ė 2 = ẇ 2 β 2 r β 22 r 2 + β 23 r 3 φ o 2 < ė 3 = ẇ 3 β 3 r β 32 r 2 + β 33 r 3 φ o 3 > (3.37) e > e 2 < ve e 3 > ė = ẇ β r + β 2 r 2 β 3 r 3 φ o < ė 2 = ẇ 2 β 2 r + β 22 r 2 β 23 r 3 φ o 2 > ė 3 = ẇ 3 β 3 r + β 32 r 2 β 33 r 3 φ o 3 < (3.38) e > e 2 < ve e 3 < ė = ẇ β r + β 2 r 2 + β 3 r 3 φ o < ė 2 = ẇ 2 β 2 r + β 22 r 2 + β 23 r 3 φ o 2 > ė 3 = ẇ 3 β 3 r + β 32 r 2 + β 33 r 3 φ o 3 > (3.39) e < e 2 > ve e 3 > ė = ẇ + β r β 2 r 2 β 3 r 3 φ o > ė 2 = ẇ 2 + β 2 r β 22 r 2 β 23 r 3 φ o 2 < ė 3 = ẇ 3 + β 3 r β 32 r 2 β 33 r 3 φ o 3 < (3.4) e < e 2 > ve e 3 < ė = ẇ + β r β 2 r 2 + β 3 r 3 φ o > ė 2 = ẇ 2 + β 2 r β 22 r 2 + β 23 r 3 φ o 2 < ė 3 = ẇ 3 + β 3 r β 32 r 2 + β 33 r 3 φ o 3 > (3.4) 8

101 e < e 2 < ve e 3 > ė = ẇ + β r + β 2 r 2 β 3 r 3 φ o > ė 2 = ẇ 2 + β 2 r + β 22 r 2 β 23 r 3 φ o 2 > ė 3 = ẇ 3 + β 3 r + β 32 r 2 β 33 r 3 φ o 3 < (3.42) e < e 2 < ve e 3 < ė = ẇ + β r + β 2 r 2 + β 3 r 3 φ o > ė 2 = ẇ 2 + β 2 r + β 22 r 2 + β 23 r 3 φ o 2 > ė 3 = ẇ 3 + β 3 r + β 32 r 2 + β 33 r 3 φ o 3 > (3.43) Eş Eş ile verilen eşisizlikler aşağıdaki gibi maris formunda yazılabilir. β β 2 β 3 β 2 β 22 β 23 β 2 β 22 β 23 r r 2 r 3 > ẇ φ o ẇ 2 φ o 2 ẇ 3 φ o 3 (3.44) β β 2 β 3 β 2 β 22 β 23 β 3 β 32 β 33 β β 2 β 3 β 2 β 22 β 23 β 3 β 32 β 33 β β 2 β 3 β 2 β 22 β 23 β 3 β 32 β 33 r r 2 r 3 r r 2 r 3 r r 2 r 3 > > > ẇ φ o ẇ 2 φ o 2 ẇ 3 φ o 3 ẇ φ o ẇ 2 φ o 2 ẇ 3 φ o 3 ẇ φ o ẇ 2 φ o 2 ẇ 3 φ o 3 (3.45) (3.46) (3.47) Elde edilen kayan kip koşulları incelendiğinde, Şekil 3.2 de verilen yapının aşağıdaki göreli derece koşullarını sağlaması gerekiği görülür. ρ(m G ) =, ρ(m G 2), ρ(m G 3) ρ(m 2 G 2), ρ(m 2 G 22) =, ρ(m 2 G 23) ρ(m G 3), ρ(m 2 G 32), ρ(m 2 G 33) = (3.48) 8

102 Kayan kip koşulları, Eş e verilen β marisinin saırları cinsinden şöyle yazılabilir. β β 2 β 3 r r 2 r 3 > ẇ φ o (3.49) β β 2 r r 2 > ẇ φ o (3.5) β 3 r 3 β r β 2 r 2 > ẇ φ o (3.5) β 3 r 3 β r β 2 r 2 > ẇ φ o (3.52) β 3 r 3 Eş Eş de verilen eşisizlikler üç girişli üç çıkışlı çokdöngülü sisemlerde kayan kipin elde edilebilmesi için genel koşullardır. Eğer β ij r j, i, j =, 2, 3 koşulu sağlanırsa bu koşullar aşağıdaki gibi sadeleşir: Kayan kip koşullarının β ile ilgili olan erimleri ele alındığında β r r 2 > ẇ φ o, β r r 2 > ẇ φ o, β r 3 r r 3 r 2 > ẇ φ o, β r 2 > ẇ φ o r (3.53) r 3 r 3 82

103 eşisizliklerine ulaşılır. β j r j, j =, 2, 3 ise β r r 2 > ẇ φ o (3.54) r 3 koşulu sağlandığı akdirde diğer 3 eşisizlik de sağlanır. Benzer şekilde β 2 ve β 3 ile ilgili erimler incelendiğinde, β 2j r j ve β 3j r j, j =, 2, 3 eşisizlikleri sağlanıyorsa, kayan kipin gerçekleşmesi için gerekli koşullar aşağıdaki gibi bulunur. β r r r r 2 > ẇ φ o, β 2 r 2 > ẇ 2 φ o 2, β 3 r 2 > ẇ 3 φ o 3 (3.55) β 3 r 3 r 3 r 3 Bu koşullar β β 2 β 3 β 2 β 22 β 23 β 3 β 32 β 33 r r 2 r 3 > ẇ φ o ẇ 2 φ o 2 ẇ 3 φ o 3 (3.56) veya βr > ẇ φ o (3.57) şeklinde de ifade edilebilir. Haırlanacağı gibi r röle genliklerini içeren vekördür. r = r r 2 (3.58) r 3 β marisi β = β β 2 β 3 β 2 β 22 β 23 β 3 β 32 β 33 (3.59) 83

104 şeklinde yazılır ve β marisi ile olan ilişkisi Eş eki gibidir. İki girişli iki çıkışlı yapılardakine benzer şekilde, ρ(m i G ij ) >, i j olduğu akdirde, β ij =, i j olacağından kayan kip koşulları daha da sadeleşerek β r > ẇ φ o β 22 r 2 > ẇ 2 φ o 2 β 33 r 3 > ẇ 3 φ o 3 (3.6) biçimini alır. Görüldüğü gibi, sisemin kayan kipe çalışabilmesi için β ii r i, i =, 2, 3 çarpımları poziif olmalıdır. Bu nedenle β ii eriminin negaif olduğu döngülerde ers röle kullanılmalıdır (r i < ). n girişli ve n çıkışlı sisemler: Bir önceki kısımda üç girişli üç çıkışlı sisemler için üreilen ve Eş Eş de verilen kayan kip koşulları incelendiğinde, eşisizliklerin sol arafında yer alan erimlerin belirli bir örünü akip eiği görülmekedir. Bu örünü şu şekilde ifade edilebilir: Röle genliklerini içeren vekörün ilk elemanı daima r dir, diğer elemanları ise r 2, r 2, r 3 ve r 3 ün üm kombinasyonlarını içermekedir. r 2 ye karşılık gelen β 2 ile r 3 e karşılık gelen β 3 erimlerinin başında da eksi (-) işarei bulunmakadır. Eş ve Eş e dikka edilirse, yukarıda ifade edilen örünü iki girişli iki çıkışlı sisemler için üreilen kayan kip koşullarında da gözlenmekedir. Bu espi doğrulusunda, n girişli ve n çıkışlı sisemler için kayan kip koşulları aşağıdaki gibi genelleşirilebilir: Şekil 3.3. Çokdöngülü röleli deneim yapısı 84

105 Şekil 3.3 e n girişli ve n çıkışlı sisemler için röleli deneim yapısı göserilmişir. Kayan kipin gerçekleşebilmesi için gerekli koşul e i ė i <, i =, 2,..., n (3.6) eşisizliği ile verilir. n boyulu sisemlerde β ve β marisleri ile r vekörü β = β β 2... β n β 2 β (3.62) β n β nn β = β β 2... β n β 2 β (3.63) β n β nn r = r r 2. (3.64) r n olmak üzere kayan kip koşullarının genel hali Eş ile verilir. β β 2. β n β n β β 2. β n β n r r 2. r n r n r r 2. r n r n > ẇ φ o, > ẇ φ o, β β 2. β n β n β β 2. β n β n r r 2. r n r n r r 2. r n r n > ẇ φ o,..., > ẇ φ o (3.65) 85

106 Bir başka ifadeyle, röle genliklerini içeren vekörün ilk elemanı daima r olmak üzere, geri kalan elemanları r i ve r i nin üm kombinasyonlarını içerecek şekilde oplam 2 n koşul elde edilir. r i ye karşılık gelen her β marisi saırının başında eksi (-) işarei olmalıdır (i =, 2,..., n). Denelenen sisemde β ij r j, i, j =, 2,..., n koşulu sağlanıyorsa kayan kip koşulları sadeleşerek β β 2 β n β 2 β 22 β 2n β n β n2 β nn r r 2. r n > ẇ φ o ẇ 2 φ o 2. ẇ n φ o n (3.66) veya βr > ẇ φ o (3.67) eşisizliğiyle verilir. β ij = (i j) olduğunda kayan kip koşulları daha da sadeleşerek aşağıdaki eşisizliğe indirgenir. β ii r i > ẇ i φ o i, i =, 2,..., n (3.68) Eş ve Eş ile verilen göreli derece koşullarının genel hali ise şöyledir. ρ(m i G ii ) = ρ(m i G ij ), i j, i, j =, 2,..., n (3.69) 3.2 E ve F Marisleri Kayan kipin gerçekleşebilmesi için gerekli olan ve iki girişli iki çıkışlı sisemler için Eş ile verilen göreli derece koşullarının sağlanamadığı durumlarda röle elemanlarının önüne ve arkasına uygun dereceli süzgeçler içeren marisler yerleşirilebilir. Bu durumda iki girişli iki çıkışlı KKD yapısı Şekil 3.4 eki gibi genişleilebilir. E ve F kullanıcı arafından seçilen süzgeçleri içeren marislerdir. E(s) = E (s) E 2 (s), F (s) = F (s) F 2 (s) (3.7) E 2 (s) E 22 (s) F 2 (s) F 22 (s) 86

107 Şekil 3.4. İki girişli ve iki çıkışlı yapıda E ve F marisleri Bu yapıda kayan kip koşulları s ()ṡ () <, s 2 ()ṡ 2 () < (3.7) eşisizlikleri ile verilir. Sisem çıkışı y = Mw ME s (3.72) eşiliği ile ifade edilir. Görüldüğü gibi ideal durumda (s = s 2 = ) sisem epkisi yalnızca model arafından belirlenir. İdeal olmayan durumda ise s sinyali ME ile süzgeçlendiğinden çıkış üzerindeki ekisi oldukça azalmakadır. Kayan kip koşullarını üremek üzere röle girişi ve ürevi şöyle yazılabilir. s = E(w φ) = E(w M y) = E(w M Gu) = E(w M GFv) ṡ = Eẇ sem GFv (3.73) 87

108 Kolaylık açısından döngü akarım işlevi marisi K (s) = E(s)M (s)g(s)f (s) = K (s) K 2 (s) K 2 (s) K 22 (s) (3.74) biçiminde anımlanabilir. K marisi yardımıyla Eş e verilen ürev ifadesi ṡ = Eẇ skv ṡ = E ẇ + E 2 ẇ 2 sk v sk 2 v 2 (3.75) ṡ 2 = E 2 ẇ + E 22 ẇ 2 sk 2 v sk 22 v 2 biçiminde yazılır. skv erimine ai bileşenler önceki analizlerde olduğu gibi anlık değişen ve değişmeyen kısımlarına ayrıldığında aşağıdaki eşilikler elde edilir. ṡ = E ẇ + E 2 ẇ 2 β r sign(s ) φ o β 2 r 2 sign(s 2 ) φ o 2 = E ẇ + E 2 ẇ 2 β r sign(s ) β 2 r 2 sign(s 2 ) φ o (3.76) ṡ 2 = E 2 ẇ + E 22 ẇ 2 β 2 r sign(s ) φ o 2 β 22r 2 sign(s 2 ) φ o 22 = E 2 ẇ + E 22 ẇ 2 β 2 r sign(s ) β 22 r 2 sign(s 2 ) φ o 2 Anlık değişmeyen bileşenler φ o ve φ o 2 Eş. 3.9 daki gibi anımlanır. β ij ise aşağıda anımı verilen β marisinin elemanlarıdır. β = lim s sk (s) = lim s se(s)m (s)g(s)f (s) (3.77) Eş. 3.7 de verilen kayan kip koşulunun sağlanması için gerekli eşisizlikleri elde emek amacıyla aşağıdaki 4 durum incelenmelidir. s > ve s 2 > ṡ = E ẇ + E 2 ẇ 2 β r β 2 r 2 φ o (3.78) ṡ 2 = E 2 ẇ + E 22 ẇ 2 β 2 r β 22 r 2 φ o 2 88

109 s > ve s 2 < ṡ = E ẇ + E 2 ẇ 2 β r + β 2 r 2 φ o (3.79) ṡ 2 = E 2 ẇ + E 22 ẇ 2 β 2 r + β 22 r 2 φ o 2 s < ve s 2 > ṡ = E ẇ + E 2 ẇ 2 + β r β 2 r 2 φ o (3.8) ṡ 2 = E 2 ẇ + E 22 ẇ 2 + β 2 r β 22 r 2 φ o 2 s < ve s 2 < ṡ = E ẇ + E 2 ẇ 2 + β r + β 2 r 2 φ o (3.8) ṡ 2 = E 2 ẇ + E 22 ẇ 2 + β 2 r + β 22 r 2 φ o 2 Yukarıdaki eşisizlikler incelendiğinde, kayan kipin gerçekleşebilmesi için aşağıdaki koşulların sağlanması gerekiği görülür. β r + β 2 r 2 > E ẇ + E 2 ẇ 2 φ o β 2 r + β 22 r 2 > E 2 ẇ + E 22 ẇ 2 φ o 2 (3.82) β r β 2 r 2 > E ẇ + E 2 ẇ 2 φ o β 2 r + β 22 r 2 > E 2 ẇ E 22 ẇ 2 + φ o 2 (3.83) β r β 2 r 2 > E ẇ E 2 ẇ 2 + φ o β 2 r + β 22 r 2 > E 2 ẇ + E 22 ẇ 2 φ o 2 (3.84) β r + β 2 r 2 > E ẇ E 2 ẇ 2 + φ o β 2 r + β 22 r 2 > E 2 ẇ E 22 ẇ 2 + φ o 2 (3.85) Bu koşullar maris formunda da yazılabilir. βr > Eẇ φ o (3.86) βr > Eẇ φ o (3.87) 89

110 Haırlanacağı gibi, r röle genliklerini içeren vekördür ve Eş de göserilmişir. Elde edilen kayan kip koşullarının sağlanabilmesi için gerekli göreli derece koşulları şöyledir. ρ(k ) = ρ(k 2 ) ρ(k 2 ) ρ(k 22 ) = (3.88) Gerçek uygulamaların çoğunda E ve F marislerinin aşağıdaki gibi köşegen yapıda seçilmeleri Eş de verilen göreli derece koşullarının sağlanması için yeerlidir. E(s) = E (s) E 22 (s), F (s) = F (s) F 22 (s) (3.89) Şekil 3.5. E ve F marisleri köşegen biçimde seçildiğinde oraya çıkan deneim yapısı Bu durumda Şekil 3.4 e görülen iki girişli iki çıkışlı deneim yapısı Şekil 3.5 eki gibi daha basi bir yapıya indirgenir. Ancak bazı özel durumlarda köşegen olmayan yapıda seçilmeleri de gerekebilir. 9

111 n girişli ve n çıkışlı sisemler için E ve F marisleri ile göreli derece koşullarının genel hali aşağıdaki gibidir. E(s) = F (s) = E (s) E 2 (s)... E n (s) E 2 (s) E 22 (s) E n (s) E nn (s) F (s) F 2 (s)... F n (s) F 2 (s) F 22 (s) F n (s) F nn (s) (3.9) ρ(k ii ) = ρ(k ij ), i j, i, j =, 2,..., n (3.9) Kayan kip koşullarının genel hali ise şöyledir. β β 2. β n β n β β 2. β n β n r r 2. r n r n r r 2. r n r n > Eẇ φ o, > Eẇ φ o, β β 2. β n β n β β 2. β n β n r r 2. r n r n r r 2. r n r n > Eẇ φ o,..., > Eẇ φ o (3.92) E(s) ve F (s) marislerinin kullanıldığı durumlarda β ij r j sağlanırsa, kayan kip koşulları, i, j =, 2,..., n koşulu βr > Eẇ φ o (3.93) 9

112 eşisizliği ile verilir. β ij =, i j olduğunda ise bu koşullar daha da sadeleşerek β ii r i > n E ij ẇ j φ o i, i =, 2,..., n (3.94) j= şeklini alır. Eş ile verilen kayan kip koşulları daha basi olduğundan, E(s) ve F (s) marislerinin kullanılmadığı durumda kayan kip koşulları sağlanıyor, ancak β ij, i j ise, uygun seçilen E(s) ve F (s) marisleri yardımıyla β ij =, i j yapılarak kayan kip koşulları bu basi biçime geirilebilir. Bölüm 2.2 den haırlanacağı gibi, Eş. 3.9 de verilen göreli derece koşullarının sağlanması için gereken süzgeçlerden yalın ürevler içerenleri E(s) marisi içerisinde kullanılmalıdır. Gerekli süzgeçler yalın ürevler içermiyorsa E(s) veya F (s) marisi elemanı olarak seçilebilir. Tek girişli ek çıkışlı sisemlerdekine benzer şekilde, E(s) ve F (s) marisleri yalnızca göreli derece koşullarını sağlamak için değil, aynı zamanda çaırının ekisini azalmak için de kullanılabilir. Göreli derece koşullarını sağlamak için gerekli (yalın ürevler içermeyen) süzgeçler F (s) marisi içerisinde kullanılarak röle çıkışlarında oluşan yüksek sıklıklı sinyaller süzgeçlenebilir ve böylece daha yavaş değişen deneim sinyalleri siseme uygulanabilir. 3.3 Çokdöngülü GÇ-RKKD de Gürbüzlük 3.3. Paramere Değişiklikleri Tek girişli ve ek çıkışlı sisemlerde olduğu gibi, çokdöngülü KKD deneim yapısında da sisem kayma evresinde çalışırken, sisem epkisi model arafından belirlenmekedir (Eş. 3.5). Bu nedenle sisem paramereleri veya çalışma koşullarında meydana gelebilecek değişiklikler Eş e verilen kayan kip koşullarını bozmadığı sürece ekileri çıkışa yansımaz. Meydana gelen paramere değişiklikleri nedeniyle kayan kip koşulları bozulsa ve sisem kayan kipen çıksa dahi, kayan kip koşulları yeniden sağlandığında sisem kayma evresine geri döner. Röle genlikleri yeerince büyük seçilerek kayan kip koşullarının paramere değişiklikleri nedeniyle bozulmasının önüne geçilebilir veya sisem kayma evresinden çıkıkan sonra oluşan erişme evreleri kısalılarak sisemin daha çabuk kayan kipe geri dönmesi sağlanabilir. Bu durum benzeim çalışması kısmında örnekler aracılığıyla irdelenmişir. 92

113 3.3.2 Bozucular Bu kısımda, çıkış sinyali üzerinde ekili olan bozucuların çokdöngülü yapılarda kayan kip koşullarını nasıl değişirdiği incelenmişir. İlgili çokdöngülü röleli deneim yapısına ai öbek çizeneği Şekil 3.6 da görülmekedir. Şekil 3.6. Çokdöngülü röleli deneim yapısında çıkış sinyali üzerinde ekili bozucu n() bozucu sinyalleri emsil emekedir ve n() = n () n 2 (). n n () (3.95) biçiminde ifade edilir. Şekil 3.6 yardımıyla haa sinyali e = w φ = w M Gu M n (3.96) şeklinde yazılır. Burada, ψ = M n = ψ ψ 2. (3.97) ψ n 93

114 olarak anımlandığında, haa sinyalinin ürevi ė = ẇ sm Gu ψ = ẇ βrsign(e) φ o ψ (3.98) eşiliği ile ifade edilir. Bozucusuz durumda olduğu gibi, haa sinyallerin işarelerinin alabileceği üm durumlar ele alınarak benzer analizler ekrarlandığında, bozucuların ekili olduğu durumlar için geçerli kayan kip koşulları aşağıdaki gibi elde edilir. β β 2. β n r r 2. r n > ẇ φ o ψ, β β 2. β n r r 2. r n > ẇ φ o ψ,..., β n r n β n r n β β 2. β n β n r r 2. r n r n > ẇ φ o ψ, β β 2. β n β n r r 2. r n r n > ẇ φ o ψ (3.99) Denelenen yapıda β ij r j, i, j =, 2,..., n koşulu sağlanırsa, kayan kip koşulları βr > ẇ φ o ψ (3.) şeklini alır. β ij =, i j olduğunda ise bu koşullar daha da sadeleşerek β ii r i > ẇ i φ o i ψ i, i =, 2,..., n (3.) eşisizlikleri ile verilir. Dikka edilirse, bozucusuz durum için üreilen kayan kip koşullarında eşisizliğin sağ arafında bulunan ẇ i φ o i eriminin yerini, bozucuların ekili olduğu durumlarda ẇ i φ o i ψ i erimi almışır. Bu erimin büyüklüğü bozucusuz durumdan çok daha 94

115 büyük olabilir; bu nedenle bozucuların ekili olduğu durumlarda bozucusuz duruma göre daha büyük röle genliklerinin seçilmesi gerekiği görülebilir. Çıkış sinyalleri üzerinde ekili olan bozucular n() = d = d d 2. (3.2) d n biçiminde basamak ipi olarak modellendiğinde, sisem durgun durumda iken ψ = M ()d ψ = (3.3) olur. Burada sıfır vekörüdür. Eş. 3.3, ψ vekörünün üm elemanlarının sıfır olduğunu ifade emekedir. Bu durumda, kayan kip koşulları Eş eki gibidir; yani bozucusuz durumla aynıdır. Ancak, dikka edilirse, basamak değişikliklerinin olduğu anlarda ψ olacağından Eş daki kayan kip koşulları geçerlidir. Basamak ipi bozucular bir değerden başka değere aladığında, ψ i (i =,..., n) sinyalleri çok büyük değerler alabileceğinden, bu koşulların bir kısmı veya amamı bozulabilir ve kayan kip koşulları yeniden sağlanana dek ilgili röle elemanları kayan kipen çıkabilir. Bu nedenle, sisemin sürekli kayan kipe çalışabilmesi için gereken röle genlikleri bozucusuz duruma kıyasla çok daha büyükür. Üselik çoğu uygulamada bu değerler gerçekleşirilemeyecek kadar yüksekir. Röle genlikleri yeerince büyük seçilmeye çalışılarak sisemin kayan kipen çıkığı sürelerin, yani erişme evrelerinin kısalılması olanaklıdır. Sisem çıkışı üzerinde ekili olan bozucular sinüzoidal sinyaller olabilir ve n() = n () n 2 (). n n (), n i () = A i sin(ω i ), i =, 2,..., n (3.4) 95

116 şeklinde ifade edilebilir. Buradan ṅ i () = A i ωcos(ω i ) ψ i () = M i ṅ i (), i =, 2,..., n (3.5) eşilikleri yazılır. Görüldüğü gibi, ψ i (i =,..., n) sinyallerinin büyüklükleri bozucu sinyallerin sıklıklarıyla doğru oranılıdır. Bir başka deyişle, bozucu sinyallerin sıklıkları ne kadar yüksekse kayan kip koşullarını sağlamak için gereken röle genlikleri de o kadar büyük olmalıdır. Çıkış sinyalleri üzerinde ekili olan bozucular beyaz gürülü olarak modellenebilir. Türev işlevleri nedeniyle ( ψ i () = M i ṅ i ()) beyaz gürülünün kayan kip koşulları üzerindeki olumsuz ekisi diğer bozucu ürlerine kıyasla çok daha fazladır. Eş da verilen kayan kip koşullarını sağlamak için gerekli röle genlikleri genellikle uygulamalarda gerçekleşirilemeyecek kadar büyükür. Tek girişli ek çıkışlı yapılarda olduğu gibi çokdöngülü sisemlerde de bu sorun, model akarım işlevlerine uygun seçilmiş sıfırlar eklenerek çözülebilir. Çıkış sinyalleri model akarım işlevinin ersi ile süzgeçlendiğinden eklenen bu sıfırlar bir alçak geçiren süzgeç görevi görerek gürülünün yüksek sıklıklı bileşenlerinin ekisini azalmakadır. Elde edilen yeni model akarım işlevi marisinin ersi M (s) = M (s) D (s) M 2 (s) D 2 (s) Mn (s) D n (s) (3.6) şeklinde verilebilir. Burada D i (s) model akarım işlevlerine ilave edilen sıfırlara karşılık gelen çokerimlilerdir. Değişirilen model akarım işlevleri nedeniyle Eş ile verilen göreli derece koşulları bozulacağından, KKD in üm sıklıklarda elde edilmesi olanaklı değildir. Özellikle, bozucuların ekisinin daha belirgin olduğu yüksek sıklıklarda, i =, 2,..., n (3.7) D i (jω) 96

117 olduğundan buradan M i (jω), i =, 2,..., n (3.8) ifadesi yazılabilir. Bir başka deyişle bu sıklıklarda KKD elde edilemez. Çıkış sinyallerinin ekili olduğu daha düşük sıklıklarda ise, i =, 2,..., n (3.9) D i (jω) ifadesi geçerli olduğundan M (jω) M (jω) (3.) eşiliğine ulaşılır. Sonuç olarak denelenen sisemin çalışma sıklığında göreli derece koşulu sağlanabilir ve sisem kayan kipe çalışabilir. D i (s) çokerimlileri sayesinde gerçek çalışmalarda uygulanabilecek kadar düşük röle genlikleri ile kayan kipli deneim elde edilebilir Ölçüm Gürülüsü Bozuculara karşı gürbüz bir deneim yönemi olan KKD in ölçüm gürülüsüne karşı hassas olduğu ek girişli ek çıkışlı sisemler için Bölüm e göserilmişir. Ölçüm gürülüsünün çokdöngülü yapılar üzerindeki ekisini incelemek üzere Şekil 3.7 de görülen öbek çizeneğinden faydalanılmışır. Şekil 3.7. Çokdöngülü röleli deneim yapısında ölçüm gürülüsü 97

118 m() ölçüm gürülüsünü emsil emekedir. Şekil 3.7 yardımıyla haa sinyali ve ürevi e = w M Gu M m ė = ẇ sm Gu µ = ẇ βrsign(e) φ o µ (3.) eşilikleriyle ifade edilir. Burada, µ = M m anımı yapılmışır. Bozucusuz durumda kayan kip koşullarını üreebilmek amacıyla yapılan analizler burada da ekrarlanarak, ölçüm gürülüsü ekisi alında olan çokdöngülü sisemler için kayan kip koşulları aşağıdaki gibi bulunmuşur. β β 2. β n β n β β 2. β n β n r r 2. r n r n r r 2. r n r n > ẇ φ o µ, > ẇ φ o µ, β β 2. β n β n β β 2. β n β n r r 2. r n r n r r 2. r n r n > ẇ φ o µ,..., > ẇ φ o µ (3.2) Eş. 3.2 de verilen kayan kip koşulları bozucusuz va çıkış sinyali üzerinde bozucuların ekili olduğu durumlarda üreilen kayan kip koşulları ile benzerlik göserse de, ölçüm gürülüsünün çıkış sinyalleri üzerindeki ekisinin farklı olduğu aşağıdaki eşiliklerden açıkça görülebilir. Sisem kayma evresindeyken e = olduğundan sisem çıkışı e = w M (y + m) = y = Mw m (3.3) eşiliği ile ifade edilir. Görüldüğü gibi, kayan kip koşulları sağlansa dahi, ölçüm haaları sisem çıkışları üzerine eklenmekedir. Haırlanacağı gibi, KKD uygulamalarında sensör seçimine dikka edilmesi gerekiği önceki bölümde de vurgulanmışı. 98

119 Denelenen sisem üzerinde hem bozucular hem de ölçüm gürülüsü ekili olduğunda, kayan kip koşullarının en genel hali Eş. 3.4 eki gibidir. β β 2. β n r r 2. r n > ẇ φ o ψ µ, β β 2. β n r r 2. r n > ẇ φ o ψ µ,..., β n r n β n r n β β 2. β n β n r r 2. r n r n > ẇ φ o ψ µ, β β 2. β n β n r r 2. r n r n (3.4) > ẇ φ o ψ µ Bu genel koşullar, β ij r j, i, j =, 2,..., n koşulu sağlandığında βr > ẇ φ o ψ µ (3.5) eşisizliğiyle, β ij =, i j olduğunda ise sadeleşerek β ii r i > ẇ i φ o i ψ i µ i, i =, 2,..., n (3.6) biçiminde ifade edilir. 3.4 Çokdöngülü Sisemlerde Bakışımlı Olmayan Röle ile KKD Haırlanacağı gibi, uygulamalarda kullanılan eyleyicilerin bir kısmı bakışımlı yapıda olmadıklarından, KKD de bakışımlı olmayan röle kullanıldığı durumlarda oraya çıkan kayan kip koşullarının incelenmesi gerekiği vurgulanmış ve bu koşullar ek girişli ve ek çıkışlı yapılar için üreilmişi. Bu kısımda ise çokdöngülü sisemlerde bakışımlı olmayan röle kullanımı üzerinde durulmuş ve kayan kip koşulları üreilmişir. Bakışımlı röle ile yapılan analizlerde olduğu gibi öncelikle iki girişli ve iki çıkışlı sisemler incelenmiş, ardından elde edilen sonuçlar genelleşirilmişir. 99

120 Şekil 3.8. İki girişli ve iki çıkışlı çokdöngülü bakışımlı olmayan röleli deneim yapısı Bakışlımlı olmayan rölelerin kullanıldığı iki girişli ve iki çıkışlı deneim yapısı Şekil 3.8 de görülmekedir. Yukarıdaki yapıda deneim yasası r a, e () u () = r b, e () < r 2a, e 2 (), u 2 () = r 2b, e 2 () < (3.7) eşilikleri ile verilir. r a ve r b birinci döngüdeki, r 2a ve r 2b ise ikinci döngüdeki rölelere ai genliklerdir. Röle genlikleri aşağıdaki gibi de yazılabilir. r ia = r io + r i r ib = r io r i, i =, 2 (3.8) r o ve r 2o röle genliklerinin oralama değeridir. Şekil 3.8 de görülen yapıda kayan kipin elde edilebilmesi için gerekli koşullar Eş. 3.4 ile verilir. Eş. 3.4 ün sağlanabilmesi için gerekli koşulları üremek üzere haa sinyalleri ve ürevleri aşağıdaki gibi yazılır.

121 e = w φ ė = ẇ φ = ẇ sm G u sm G 2u 2 = ẇ β u β 2 u 2 φ o (3.9) e 2 = w 2 φ 2 ė 2 = ẇ 2 φ 2 = ẇ 2 sm 2 G 2u sm 2 G 22u 2 = ẇ 2 β 2 u β 22 u 2 φ o 2 β ij, Eş. 3.8 ile verilen β marisinin elemanlarıdır. φ o ve φ o 2 ise Eş. 3.9 da anımlanmışır. Bakışımlı röleli yapıda olduğu gibi, kayan kip koşullarının üreilebilmesi için incelenmesi gereken 4 durum bulunmakadır. Bunlar aşağıda verilmişir. e > ve e 2 > ė = ẇ β (r o + r ) β 2 (r 2o + r 2 ) φ o (3.2) ė 2 = ẇ 2 β 2 (r o + r ) β 22 (r 2o + r 2 ) φ o 2 e > ve e 2 < ė = ẇ β (r o + r ) β 2 (r 2o r 2 ) φ o (3.2) ė 2 = ẇ 2 β 2 (r o + r ) β 22 (r 2o r 2 ) φ o 2 e < ve e 2 > ė = ẇ β (r o r ) β 2 (r 2o + r 2 ) φ o (3.22) ė 2 = ẇ 2 β 2 (r o r ) β 22 (r 2o + r 2 ) φ o 2 e < ve e 2 < ė = ẇ β (r o r ) β 2 (r 2o r 2 ) φ o (3.23) ė 2 = ẇ 2 β 2 (r o r ) β 22 (r 2o r 2 ) φ o 2

122 Eş. 3.4 e verilen kayan kip koşullarının sağlanabilmesi için aşağıdaki eşisizliklerin de sağlanması gerekiği görülür. e > ve e 2 > β r + β 2 r 2 > ẇ φ o β r o β 2 r 2o (3.24) β 2 r + β 22 r 2 > ẇ 2 φ o 2 β 2 r o β 22 r 2o e > ve e 2 < β r β 2 r 2 > ẇ φ o β r o β 2 r 2o (3.25) β 2 r + β 22 r 2 > ẇ 2 + φ o 2 + β 2r o + β 22 r 2o e < ve e 2 > β r β 2 r 2 > ẇ + φ o + β r o + β 2 r 2o (3.26) β 2 r + β 22 r 2 > ẇ 2 φ o 2 β 2 r o β 22 r 2o e < ve e 2 < β r + β 2 r 2 > ẇ + φ o + β r o + β 2 r 2o (3.27) β 2 r + β 22 r 2 > ẇ 2 + φ o 2 + β 2r o + β 22 r 2o Eş Eş maris formunda yazıldığında β β 2 β 2 β 22 β β 2 β 2 β 22 r r 2 r r 2 > ẇ φ o β β 2 ẇ 2 φ o 2 β 2 β 22 > ẇ φ o ẇ 2 φ o 2 β β 2 β 2 β 22 r o r 2o r o r 2o (3.28) (3.29) eşisizlikleri elde edilir. Bu eşisizlikler β r > ẇ φ o βr o (3.3) β r > ẇ φ o βr o (3.3) 2

123 şeklinde de göserilebilir. Burada, r = r r 2 (3.32) ve r o = r o r 2o (3.33) olarak verilir. β Eş e anımlanmışır. Yukarıda verilen kayan kip koşulları incelendiğinde, denelenen sisemde β ij r j >, i, j =, 2 eşisizliği sağlanıyorsa, kayan kipin gerçekleşmesi için gerekli koşulların yalnızca Eş ile verilebileceği görülür. Ayrıca, üreilen kayan kip koşullarının sağlanabilmesi için Eş e verilen göreli derece koşulları da sağlanmalıdır. Bakışımlı röleli yapılarda olduğu gibi, eğer ρ(m G 2) > ve ρ(m 2 G 2) > ise, β 2 = ve β 2 = olacağından kayan kip koşulları β r > ẇ φ o β r o β 22 r 2 > ẇ 2 φ o 2 β 22r 2o (3.34) eşisizliklerine indirgenir. Görüldüğü gibi, röle genlikleri β r ve β 22 r 2 çarpımları poziif olacak şekilde seçilmelidir. β > ve β 22 > ise r > ve r 2 > olmalıdır. β < ve/veya β 22 < ise bu kez ilgili döngüde ers röle kullanılmalıdır. Eş ve Eş ile verilen kayan kip koşulları, β marisinin saırları cinsinden, Eş ve Eş daki gibi de ifade edilebilir. β β 2 r r 2 > ẇ φ o βr o (3.35) β r > ẇ φ o βr o (3.36) β 2 r 2 3

124 Bakışımlı olmayan röleler ile denelenen üç girişli ve üç çıkışlı bir sisem için kayan kip koşulları aşağıdaki gibi bulunmuşur. Bu koşulları üremek için bakışımlı olmayan röleli durumdakine benzer bir analiz yapılmışır. β β 2 β 3 r r 2 r 3 > ẇ φ o βr o (3.37) β β 2 r r 2 > ẇ φ o βr o (3.38) β 3 r 3 β r β 2 r 2 > ẇ φ o βr o (3.39) β 3 r 3 β r β 2 r 2 > ẇ φ o βr o (3.4) β 3 r 3 Kayan kip koşullarının sağlanabilmesi için Eş ile verilen göreli derece koşulları sağlanmalıdır. Denelenen yapıda β ij r j, i, j =, 2, 3 koşulu sağlanıyorsa kayan kip koşulları daha da sadeleşerek β β 2 β 3 r ẇ φ o β β 2 β 3 β 2 β 22 β 23 r 2 > ẇ 2 φ o 2 β 2 β 22 β 23 β 3 β 32 β 33 r 3 ẇ 3 φ o 3 β 3 β 32 β 33 r o r 2o r 3o (3.4) veya β r > ẇ φ o βr o (3.42) biçimini alır. 4

125 Yukarıda, önce iki girişli iki çıkışlı ardından ise üç girişli üç çıkışlı bakışımlı olmayan röleli sisemler için üreilen kayan kip koşulları n girişli n çıkışlı sisemler için genelleşirildiğinde aşağıdaki sonuçlara ulaşılır. Bakışımlı röleli sisemlerde olduğu gibi kayan kip koşulları oplam 2 n ade maris eşisizliğinden oluşmakadır ve bu koşullar şöyledir. β β 2. β n r r 2. r n > ẇ φ o βr o, β β 2. β n r r 2. r n > ẇ φ o βr o,..., β n r n β n r n β β 2. β n β n r r 2. r n r n > ẇ φ o βr o, β β 2. β n β n r r 2. r n r n (3.43) > ẇ φ o βr o Bu koşullardan Eş ile verilen göreli derece koşullarının sağlanması gerekiği görülür. Denelenen sisemde β ij r j, i, j =, 2,..., n koşulu sağlandığı akdirde kayan kip koşulları Eş ile ifade edilir. β marisinin genel hali Eş e görülmekedir. β ij =, i j, i, j =, 2,..., n olduğunda ise koşullar daha da sadeleşerek β ii r i > ẇ i φ o i β ii r io, i =, 2,..., n (3.44) eşisizliklerine indirgenir. Basilik açısından ercih edilen durum budur. Eğer denelenen yapıda β ij, i j ise uygun seçilen E ve F marisleri yardımıyla denelenen yapı bu duruma geirilebilir. Dikka edilirse, Eş ile verilen koşullar bakışımlı röleli sisemleri de kapsamakadır; r o = olduğunda bakışımlı röle ile denelenen sisemler için üreilen kayan kip koşulları elde edilir ( r = r). 5

126 3.5 Benzeim Çalışması Bu bölümde, çokdöngülü sisemlerde GÇ-RKKD yönemine ai benzeim örnekleri sunulmuşur. Öncelikle üreilen kayan kip koşullarının doğruluğu sınanmış, ardından E ve F marislerinin kullanımına dair örnekler verilmişir. Bir sonraki kısımda paramere değişiklikleri ve bozucuların çokdöngülü yapıların deneimi üzerindeki ekileri incelenmişir. Bakışımlı olmayan röle ile gerçekleşirilen benzeim örneğinin ardından kararsız bir sisem örneği verilerek benzeim çalışması sonlandırılmışır. Verilen örneklerde kullanılan sisemler iki girişli ve iki çıkışlıdır. Benzeimlerde süre = 3s, örnekleme aralığı ise h = ms olarak belirlenmişir Çokdöngülü Sisemlerde Kayan Kip Koşullarının İncelenmesi Çokdöngülü sisemlerle yapılan benzeim çalışmasının ilk kısmında, Bölüm 3. de üreilen kayan kip koşulları irdelenmişir. Benzeim sonuçları iki ayrı şekil halinde sunulmuşur. İlk şekilde birinci döngüye, ikinci şekilde ise ikinci döngüye ai grafikler verilmişir. Her iki döngüye ai şekilde de üçer ade grafik bulunmakadır. İlk grafike ilgili döngüye ai dayanak girişi w i (kare dalga), sisem çıkışı y i ve model çıkışı y mi (kesikli çizgi), ikinci grafike deneim sinyali u i yer almakadır. Üçüncü grafike ise haa sinyali e i ile β i r ve β i r erimleri görülmekedir. Üçüncü grafike ayrıca, bazı benzeimlerde ẇ i φ o i erimleri verilirken, bazılarında ise e i > olduğu anlarda ẇ i φ o i, e i < olduğu anlarda ise ẇ i + φ o i sinyalleri göserilmişir (i =, 2). G (s) = 2 s 2 + s + (2s 2 + 2s + )(s + 2) s + 2 (s + 3) 2 (s + 4) 2 s +.5 (s + ) 2 (s + 2) M (s) = ρ(m G ) =.5s s +, β =.4 (3.45) İlk benzeim örneğinde kullanılan sisem ve model akarım işlevleri Eş e verilmişir. Eş e ayrıca açıkdöngü akarım işlevinin göreli dereceleri (ρ(m G )) 6

127 ve β marisi de göserilmişir. Bu örneke ρ(m G 2) > ve ρ(m 2 G 2) > olduğundan β 2 = ve β 2 = dır. gerekli kayan kip koşulları Eş daki gibidir. Bu nedenle bu sisemde KKD in elde edilebilmesi için Eş e verilen sisem ve model ile yapılan ilk benzeime ai sonuçlar Şekil 3.9 ve Şekil 3. da görülmekedir. β > ve β 22 > olduğundan poziif röle genlikleri seçilmişir (r = 5, r 2 = ). Şekil 3.9.c ve Şekil 3..c incelendiğinde, dayanak girişlerinin işare değişirdiği anlar hariç, benzeim boyunca Eş da verilen kayan kip koşullarının sağlandığı görülebilir. Bu nedenle her iki röle elemanı da bu anlarda kayan kipen çıksa da hızla ekrar kayan kipe dönmekedir ve sisem çıkışları model çıkışlarını iyi bir biçimde akip emekedir. Tek girişli ve ek çıkışı sisemlerle yapılan benzeim örneklerinden haırlanacağı gibi, dayanak girişlerinin işare değişirdiği anlarda ẇ ve ẇ 2 sinyallerinin aldığı değerler çok büyük olduğundan, bu anlarda kayan kip koşullarının sağlanması zaen beklenmemekedir. Bu esnalarda kayan kip koşulları anlık olarak bozulup yeniden sağlandığından haa sinyalleri e = ve e 2 = a geri dönmekedir. Kayan kipen çıkan röle elemanları da birer erişme evresini akiben yeniden kayan kipe çalışmaya başlamakadırlar. Röle genlikleri arırılarak bu erişme evrelerinin süreleri kısalılabilir ve sisem çıkışlarının model çıkışlarını geçici epki sırasında daha iyi akip emeleri sağlanabilir. Şekil 3. ve Şekil 3.2 de yine Eş e verilen sisem ve model ile yapılan benzeim sonuçlarına yer verilmişir. Ancak röle genlikleri bu kez r =.6 ve r 2 = 4.6 şeklinde belirlenmişir. Benzeim sonuçlarını daha iyi yorumlayabilmek amacıyla Eş da verilen kayan kip koşulları şöyle ifade edilebilir. Birinci döngünün kayan kipe çalışabilmesi için e > β r > ẇ φ o e < β r > ẇ + φ o (3.46) eşisizlikleri, ikinci döngü için ise e 2 > β 22 r 2 > ẇ 2 φ o 2 e 2 < β 22 r 2 > ẇ 2 + φ o 2 (3.47) koşulları sağlanmalıdır. 7

128 Şekil 3..c incelendiğinde, başlangıç anında e > olduğundan sağlanması gereken kayan kip koşulunun Eş yardımıyla β r > ẇ φ o olduğu görülür. Bu koşul sağlandığından e ve sisem kayan kipe çalışmaya başlamışır. sinyali azalarak bir süre sonra e = değerine ulaşmış Şekil 3.9.c ile karşılaşırıldığında, seçilen röle genliği daha küçük olduğundan, bu erişme evresinin daha uzun sürdüğü görülebilir. Yaklaşık = 5s de kayan kip koşulunun bozulduğu ve sisemin kayan kipen çıkığı görülmekedir. e poziif ve arma eğilimindedir, yani kayan kip için gerekli e ė < koşulu sağlanmamakadır. Kısa bir süre sonra β r = ẇ φ o eşiliği sağlanmış ve e ekrar azalmaya başlamışır (e ė < ). Kayan kip koşulu ekrar sağlandığından röle kayan kipe geri dönmüşür. = 7.5s anında dayanak sinyali w işare değişirmiş ve bu nedenle kayan kip koşulu anlık olarak bozulmuşur. e < olduğundan geçerli olan kayan kip koşulu β r > ẇ + φ o ile verilir ve bu koşul hemen yeniden sağlandığından negaif olan e sinyali ararak e = değerini almışır. w in işare değişirdiği diğer anlarda da kayan kip koşulu anlık olarak bozulup yeniden sağlandığından bir erişme evresinin ardından sisem yeniden kayan kipe çalışmaya başlamışır. = s ve = 26s anlarında β r > ẇ + φ o koşulunun (e < olduğundan), = 2s de ise (e > olduğundan) β r > ẇ φ o koşulunun kısa süreli olarak bozulduğu ve koşullar yeniden sağlanana dek sisemin kayan kipen çıkığı gözlenmekedir. Bu anlarda röle elemanının kayan kipen çıkığı Şekil 3..b den, buna bağlı olarak model akibinde meydana gelen bozulmalar Şekil 3..a dan görülebilir. Benzer şekilde Şekil 3.2.c incelenecek olursa, benzeimin başlangıç anında e 2 > olduğundan sağlanması gereken kayan kip koşulunun β 22 r 2 > ẇ 2 φ o 2 olduğu görülür. Bu koşul sağlandığı için e 2 azalarak sıfıra ulaşmışır. w 2 sinyalinin işare değişirdiği anlar hariç, kayan kip koşulunun = 3s civarında bozulduğu ve haanın poziif ve arma eğiliminde olduğu gözlenebilir (e 2 ė 2 > ). koşulu yine β 22 r 2 > ẇ 2 φ o 2 eşisizliği ile verilir. Sağlanması gereken kayan kip Bu koşul yeniden sağlanamadan = 5s de dayanak sinyali işare değişirdiğinden sisemin uzun süre kayan kipe çalışamadığı görülebilir. Bu esnada model akibindeki bozulma Şekil 3.2.a da göserilmişir. Dayanak sinyali işare değişirdiği anda e 2 < olduğundan kayan kip koşulu β 22 r 2 > ẇ 2 + φ o 2 eşisizliği ile verilir. Koşulun anlık olarak bozulup hemen yeniden sağlandığı, bir erişme evresinin ardından haanın e 2 = a ulaşığı ve kayma evresinin yeniden başladığı gözlenmekedir. Son olarak = 9.5s de kayan kip koşulu 8

129 ekrar bozulmuş ve koşul yeniden sağlanamadan dayanak sinyali işare değişirmişir. Bu nedenle rölenin yine uzun bir süre kayan kipe çalışamadığı Şekil 3.2.b de görülmekedir. Kayan kip koşullarının irdelendiği bir sonraki benzeimde Eş de verilen sisem ve model kullanılmışır. G 2 (s) = 2 s 2 + s + 2s 2 + 2s +.5s + (s + 3) 2 (s + 4) s +.5 (s + ) 2 (s + 2) M 2 (s) = ρ(m 2 G 2) =.5s +.4s +, β = (3.48) Önceki örneken farklı olarak, bu sisemde ρ(m G 2) = ρ(m 2 G 2) = dir. Bu nedenle kayan kip koşulları Eş. 3.2 ve Eş. 3.2 deki gibidir. r = 8 ve r 2 = 2 seçilerek gerçekleşirilen benzeime ai sonuçlar Şekil 3.3 ve Şekil 3.4 e verilmişir. Şekil 3.3.c ve Şekil 3.4.c incelenecek olursa, benzeim boyunca hem βr hem de βr çarpımlarının ẇ φ o ve ẇ 2 φ o 2 erimlerinden büyük olduğu, bu nedenle her iki döngünün de kayan kipe çalışığı ve model akiplerinin başarıyla gerçekleşiği gözlenebilir. Haırlanacağı gibi, iki girişli ve iki çıkışlı sisemler için üreilen kayan kip koşulları β marisi saırları cinsinden Eş ve Eş ile verilmişi. Ayrıca, bu koşulların kısmi olarak sağlanması durumunda sisemin de kısmi olarak kayan kipe çalışabileceği Eş ve Eş. 3.3 da verilen koşullar yardımıyla vurgulanmışı. Sıradaki benzeim sonuçlarının kolay yorumlanabilmesi için bu koşullar, e ve e 2 sinyallerinin farklı işareler alabileceği 4 durum için aşağıdaki gibi yeniden yazılmışır. 9

130 Birinci döngünün kayan kipe çalışabilmesi için gerekli koşullar e > e 2 >, β r + β 2 r 2 > ẇ φ o veya β r > ẇ φ o e 2 <, β r β 2 r 2 > ẇ φ o veya β r > ẇ φ o (3.49) ve e < e 2 >, β r β 2 r 2 > ẇ + φ o veya β r > ẇ + φ o e 2 <, β r + β 2 r 2 > ẇ + φ o veya β r > ẇ + φ o (3.5) eşisizlikleri ile verilirken, ikinci döngünün kayan kipe çalışabilmesi için e 2 > e >, β 2 r + β 22 r 2 > ẇ 2 φ o 2 veya β 2 r > ẇ 2 φ o 2 e <, β 2 r + β 22 r 2 > ẇ 2 φ o 2 veya β 2 r > ẇ 2 φ o 2 (3.5) ve e 2 < e >, β 2 r + β 22 r 2 > ẇ 2 + φ o 2 veya β 2 r > ẇ 2 + φ o 2 e <, β 2 r + β 22 r 2 > ẇ 2 + φ o 2 veya β 2 r > ẇ 2 + φ o 2 (3.52) koşullarının sağlanması gerekir. Eş de verilen sisem ve model ile yapılan bir sonraki benzeimde röle genlikleri r = ve r 2 = 3 ür. Birinci ve ikinci döngüye ai benzeim sonuçları sırasıyla Şekil 3.5 ve Şekil 3.6 da görülmekedir. Özellikle ikinci döngüde olmak üzere her iki döngüde de deneim başarımının bir önceki benzeime göre düşük olduğu Şekil 3.5.a ve Şekil 3.6.a dan görülebilir. Eş Eş de verilen kayan kip koşulları yardımıyla bu durum aşağıdaki gibi açıklanabilir. Şekil 3.5.c ye dikka edilecek olursa, başlangıç anında e > olduğu görülebilir. Bu esnada e 2 sinyali de poziif olduğundan (Şekil 3.6.c) sağlanması gereken kayan kip koşulunun Eş yardımıyla β r > ẇ φ o olduğu görülür. Bu koşul sağlandığından e sinyali azalarak bir süre sonra e = değerine ulaşmış ve kayma evresi başlamışır. = 5s de sisem kayan kipen çıkmış ve e armaya başlamışır (e ė > ). Bu esnada e > ve e 2 < (Şekil 3.6.c) olduğundan kayan kip koşulu

131 β r > ẇ φ o ile verilir. Görüldüğü gibi bu koşul sağlanmamakadır. Model akibinin bozulduğu Şekil 3.5.a dan görülebilir. Ancak kısa süre sonra, β r = ẇ φ o eşiliği sağlandığı andan iibaren e ekrar azalarak e = değerine ulaşmışır. = 7.5s de dayanak sinyali w işare değişirdiğinden kayan kip koşulu anlık olarak bozulmuş, sisem kayan kipen çıkmış ve e negaif olmuşur. Bu esnada e 2 sinyali de negaif olduğundan geçerli kayan kip koşulu β r > ẇ + φ o eşisizliği ile verilir ve bu koşul sağlanmakadır. Bu nedenle e ararak yeniden sıfıra ulaşmış ve kayan kip elde edilmişir. = s de sisemin kayan kipen çıkığı ve e sinyalinin negaif ve azalma eğiliminde olduğu görülmekedir. Aynı esnada e 2 > olduğundan kayan kipin gerçekleşebilmesi için β r > ẇ + φ o koşulu sağlanmalıdır. Dikka edilirse bu koşul = s de sağlanmazken kısa süre sonra yeniden sağlanmış ve e armaya başlamışır. e = eşiliği sağlandığında sisem kayan kipe çalışmaya başlamışır. Kayan kip koşulu son olarak = 2s civarında bozulmuşur, ancak oldukça kısa süre içerisinde kayan kip koşulu yeniden sağlandığından sisem çıkışı üzerinde gözle görülür bir ekisi olmamışır. Deneim başarımının ikinci döngüde oldukça köü olduğu Şekil 3.6 dan gözlenmekedir. Şekil 3.6.c incelenek olursa, başlangıç anında e 2 > olduğu görülür. Bu esnada e sinyali de poziif olduğundan sağlanması gereken kayan kip koşulu β 2 r > ẇ 2 φ o 2 eşisizliği ile verilir. Söz konusu koşul sağlandığından e 2 azalarak sıfıra ulaşmış ve kayma evresi gerçekleşmişir. = 5s de w 2 sinyalinin işare değişirdiği ve e 2 < olduğu görülebilir. Bu esnada birinci döngüde de kayan kip koşulu bozulduğundan e > dır. Bu nedenle bu anda sağlanması gereken kayan kip koşulu β 2 r > ẇ 2 + φ o 2 eşisizliği ile verilir. Bu koşul sağlandığından e 2 arma eğilimindedir (e 2 ė 2 < ). Ancak yaklaşık = 7s de bu koşul bozulduğundan e 2 yeniden azalma eğilimine geçmişir. = 7.5s de birinci döngüye ai dayanak sinyali işare değişirdiğinden e < olmuşur. e 2 de negaif olduğundan kayan kip için geçerli koşul arık β 2 r > ẇ 2 + φ o 2 eşisizliği ile verilir. = s de dayanak sinyali w 2 işare değişirene dek bu koşul sağlanmaya devam eiğinden e 2 armakadır ancak dayanak sinyali e 2 = eşiliği sağlanamadan işare değişirdiğinden kayan kip elde edilememişir. = s de e 2 > ve e < olduğundan kayan kip koşulu β 2 r > ẇ 2 φ o 2 ile ifade edilir ve bu koşul sağlandığından poziif olan e 2 azalmakadır (e 2 ė 2 < ). Ancak yaklaşık =.5s de kayan kip koşulu bozulmuşur ve e 2 yeniden armaya başlamışır (e 2 ė 2 > ). Dayanak sinyalinin işare değişirdiği bir sonraki an olan

132 = 5s ye kadar kayan kip koşulunun sağlanamadığı gözlenebilir. = 5s de her iki döngüde de dayanak sinyalleri işare değişirmişir. e 2 < ve e > olduğundan geçerli koşul β 2 r > ẇ 2 + φ o 2 dır. Bu koşul yaklaşık = 6s ye kadar sağlandığından e 2 arma eğilimindedir ancak koşul bozuldukan sonra yeniden azalmaya başlamışır. = 2s anında w 2 sinyalinin ekrar işare değişirmesiyle beraber e 2 > olmuşur. Bu esnada hem β 2 r > ẇ 2 φ o 2 hem de β 2 r > ẇ 2 φ o 2 koşulları sağlandığından e 2 azalarak e 2 = a ulaşmış ve uzun bir aradan sonra ikinci döngüde yeniden kayan kip elde edilmişir. = 22.5s de birinci döngüye ai dayanak sinyali işare değişirdiğinden e < olmuş, buna bağlı olarak geçerli kayan kip koşulu β 2 r > ẇ 2 φ o 2 bozulduğundan e 2 armaya başlamışır. w 2 nin işare değişirdiği bir sonraki ana dek kayan kip koşulu sağlanmadığından sisem kayan kipe çalışmamışır. = 25s de w 2 sinyalinin yeniden işare değişirmesiyle e 2 < olmuşur. Bu esnada β 2 r > ẇ 2 + φ o 2 ve β 2 r > ẇ 2 + φ o 2 koşullarının her ikisi de sağlandığından e 2 = a ulaşmış ve sisem benzeim süresinin sonuna dek kayma evresinde çalışmışır. 2

133 w, y ve y m (a) u (b) β r = β r 3 2 w φ o e (c) Şekil 3.9. G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları Birinci döngü (r = 5) 3

134 w 2, y 2 ve y m (a) 2 u (b) β 2 r = β 22 r 2 2 w 2 φ o 2 e (c) Şekil 3.. G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları İkinci döngü (r 2 = ) 4

135 w, y ve y m (a) u (b) ẇ φ o, e > ẇ + φ o, e < β r 2 e (c) Şekil 3.. G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları Birinci döngü (r =.6) 5

136 w 2, y 2 ve y m (a) u (b) ẇ 2 φ o 2, e 2 > ẇ 2 + φ o 2, e 2 < β 22 r 2 2 e (c) Şekil 3.2. G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları İkinci döngü (r 2 = 4.6) 6

137 w, y ve y m (a) u (b) 2 β r 8 6 β r 4 w φ o 2 2 e (c) Şekil 3.3. G 2 (s) ve M 2 (s) için benzeim sonuçları Birinci döngü (r = 8) 7

138 w 2, y 2 ve y m (a) u (b) β 2 r β 2 r 3 2 w 2 φ o 2 2 e (c) Şekil 3.4. G 2 (s) ve M 2 (s) için benzeim sonuçları İkinci döngü (r 2 = 2) 8

139 w, y ve y m (a) 2 u (b) 3 2 ẇ φ o, e > ẇ + φ o, e < β r β r (c) Şekil 3.5. G 2 (s) ve M 2 (s) için benzeim sonuçları Birinci döngü (r = ) e 9

140 w 2, y 2 ve y m (a) u (b) 3 2 ẇ 2 φ o 2, e 2 > ẇ 2 + φ o 2, e 2 < β 2 r β 2 r 2 e (c) Şekil 3.6. G 2 (s) ve M 2 (s) için benzeim sonuçları İkinci döngü (r 2 = 3) 2

141 3.5.2 E ve F Marislerinin Kullanımı Benzeim çalışmasının bu kısmında Bölüm 3.2 de bahsedilen E ve F marislerinin kullanıldığı benzeim örnekleri bulunmakadır. Bölüm 3. den haırlanacağı gibi, Eş. 3.8 ve Eş. 3.9 da verilen kayan kip koşullarının sağlanabilmesi için Eş ile verilen göreli derece koşullarının sağlanması gerekmekedir. Denelenen sisem ve seçilen model akarım işlevlerinin bu koşulu sağlamaması durumunda uygun dereceli süzgeçlerden oluşan E ve/veya F marisleri yardımıyla göreli derece koşulları sağlanabilir ve KKD elde edilebilir. Bu durumda oraya çıkan yeni kayan kip koşulları Eş ve Eş de verilmişir. E ve F marislerinin kullanımına ilişkin ilk benzeim örneğinde Eş e verilen sisem ve modelden faydalanılmışır. G 3 (s) = s + s 2 + s +.8s + (2s 2 + 2s + )(s + 2) (s + 2) 2 2 s + 3 M 3 (s) = ρ(m 3 G 3) =.5s +.4s +, F (s) =, ρ(m 3 G 3F ) = 2 2.2s +, β =.2s (3.53) Bu örneke, denelenen sisem ve modelin kayan kip için gerekli göreli derece koşullarını sağlamadığı ρ(m 3 G 3) marisinden görülebilir. Göreli derece koşullarını sağlamak için gerekli olan süzgeçler yalın ürevler içermediğinden bu süzgeçler anımlanan F (s) marisi içerisinde kullanılmışır. Dikka edilirse, F (s) marisinin köşegen yapıda seçilmesi göreli derece koşullarını sağlamak için yeerli olmuşur. Yani oraya çıkan yapı Şekil 3.5 e görülen öbek çizeneğindeki gibidir. r = r 2 = 5 seçilerek elde edilen benzeim sonuçları Şekil 3.7 ve Şekil 3.8 de verilmişir. Dör grafik halinde sunulan şekillerde önceki örneklerden farklı olarak, üçüncü grafike ilgili döngüye ai röle çıkışı (v i ), dördüncü grafike ise haa sinyali (e i ) göserilmişir (i =, 2). Benzeimin başlangıç anından iibaren kayan kip koşulları sağlandığından 2

142 her iki döngüye ai haa sinyallerinin de hızla sıfıra ulaşığı ve dayanak sinyallerinin işare değişirdiği anlara dek sıfırda kaldığı gözlenebilir. Kayan kip koşulları yalnızca dayanak sinyallerinin değer değişirdiği anlarda bozulmakadır. Ancak röle genlikleri yeerince büyük seçildiğinden, erişme evreleri oldukça kısa sürmeke ve haa sinyalleri yeniden sıfır değerine ulaşmakadır. Bunun sonucunda sisem ekrar kayan kipe çalışmaya başlamakadır. Görüldüğü gibi, kullanılan F (s) marisi yardımıyla hem göreli derece koşulları, buna bağlı olarak da kayan kip koşulları sağlanmış, hem de röle elemanlarının çıkışında oluşan yüksek sıklıklı v ve v 2 sinyalleri yumuşaılmışır. Her iki döngüye ai grafikler incelendiğinde, sisem çıkışları y ve y 2 nin model çıkışlarını oldukça iyi akip eiği gözlenebilir. Sıradaki benzeim örneğinde Eş e verilen sisem ve model kullanılmışır. Haırlanacağı gibi, bu örneke göreli derece koşulları sağlanmakaydı. Ancak röle çıkışlarında oluşan yüksek sıklıklı sinyallerin deneim sinyali olarak siseme uygulanması isenmediğinden Eş e görülen E(s) ve F (s) marisleri kullanılmışır. E(s) =.s +.s +, F (s) =.2s +.2s + (3.54) Dikka edilirse, E(s) ve F (s) marislerinde kullanılan süzgeçler Eş ile verilen göreli derece koşulları sağlanacak şekilde seçilmişir. Bu süzgeçlerden yalın ürevler içerenler E(s) marisinde, yalın ürev içermeyenler ise F (s) marisi içerisinde kullanılmışır. Röle genlikleri r = 5 ve r 2 = 25 olarak belirlenmişir. Şekil 3.9 ve Şekil 3.2 de verilen benzeim sonuçlarında üçüncü grafik ilgili döngüye ai röle çıkışını (v ve v 2 ), dördüncü grafik röle girişini (s ve s 2 ), beşinci ve son grafik ise haa sinyalini (e ve e 2 ) gösermekedir. Her iki döngüye ai sonuçlar incelendiğinde, dayanak sinyallerinin işare değişirdiği anlar haricinde, röle girişleri s ve s 2 nin sıfır erafından yüksek sıklıka salındığı, buna bağlı olarak röle elemanlarının kayan kipe çalışığı gözlenmekedir. F (s) marisi yardımıyla yüksek sıklıklı röle çıkışları yerine daha yavaş değişen deneim sinyalleri siseme uygulanmışır. Her iki çıkışın da model çıkışlarını özellikle durgun durumda akip eiği görülebilir. Geçici epki esnasındaki model akibini iyileşirmek için röle genlikleri arırılabilir. 22

143 Bu kısma ai son benzeim Eş e görülen sisem ve model akarım işlevleri kullanılarak gerçekleşirilmişir. G 4 (s) =.5 s 2 + s + 2s + 3 2s 2 + 2s + s + 2 (s + 3)(s + 4) s +.5 (s + ) 2 (s + 2) M 4 (s) = ρ(m 4 G 4) =.5s +.4s +, F (s) =, ρ(m 4 G 4F ) = 2 2.6s +, β =.3s + 5/6 4/3 (3.55) Görüldüğü gibi, Eş de verilen göreli derece koşullarını sağlamak için gerekli olan süzgeçler yalın ürevler içermediğinden F (s) marisi içerisinde kullanılmışır. Dikka edilirse F (s) marisi bu kez ers köşegen yapıdadır. r = 5 ve r 2 = seçilerek yapılan benzeime ai sonuçlar Şekil 3.2 ve Şekil 3.22 de sunulmuşur. Benzeim sonuçları incelendiğinde, her iki döngüde de göreli derece koşulları sağlandığından kayan kipin elde edildiği ve sisem çıkışlarının model çıkışlarını akip eiği görülebilir. Önceki örneklerde olduğu gibi, kullanılan F (s) marisi yardımıyla, siseme uygulanan deneim sinyallerinin yüksek sıklıklı bileşenleri süzgeçlenmişir. 23

144 w, y ve y m (a) u (b) v (c) e (d) Şekil 3.7. F (s) marisinin kullanımı - Birinci döngü (r = 5) G 3 (s) ve M 3 (s) için benzeim sonuçları 24

145 w 2, y 2 ve y m (a) u (b) v (c) e (d) Şekil 3.8. F (s) marisinin kullanımı - İkinci döngü (r 2 = 5) G 3 (s) ve M 3 (s) için benzeim sonuçları 25

146 w, y ve y m (a) (b) v (c) s (d) e (e) u Şekil 3.9. E(s) ve F (s) marislerinin kullanımı - Birinci döngü (r = 5) G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları 26

147 w 2, y 2 ve y m (a) (b) v (c) s (d) e (e) u 2 Şekil 3.2. E(s) ve F (s) marislerinin kullanımı - İkinci döngü (r 2 = 25) G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları 27

148 w, y ve y m (a) 5 u (b) v (c) e (d) Şekil 3.2. F (s) marisinin kullanımı - Birinci döngü (r = 5) G 4 (s) ve M 4 (s) için benzeim sonuçları 28

149 w 2, y 2 ve y m (a) u (b) 2 v (c) e (d) Şekil F (s) marisinin kullanımı - İkinci döngü (r 2 = ) G 4 (s) ve M 4 (s) için benzeim sonuçları 29

150 3.5.3 Paramere Değişikliklerinin Ekilerinin İncelenmesi Bu kısımda, zamanla değişen sisem paramerelerinin kayan kip koşulları ve deneim başarımındaki ekisi benzeim örnekleri aracılığıyla irdelenmişir. İlk benzeim örneğinde ani değişen sisem paramerelerinin ekisinin incelenmesi amacıyla Eş e verilen sisem ve model kullanılmışır. Denelenen siseme ai paramerelerin sabi olmadığı kabul edildiğinden, siseme ai akarım işlevi aşağıdaki gibi ifade edilmişir. G 4 (s) =.5 s 2 + s + 2s + 3 2s 2 + 2s + s + 2 (s + 3)(s + 4) s +.5 (s + ) 2 (s + 2) = B (s) A (s) B 2 (s) A 2 (s) B 2 (s) A 2 (s) B 22 (s) A 22 (s) (3.56) Gerçekleşirilen ilk benzeim sırasında denelenen siseme ai paramereler = 5s anında A 2 (s) = (s + 2)(s + 2.5), = 2s anında A 2 (s) = 2s 2 + 2s +.5, = 7s anında A 2 (s) = (s + 2.5)(s + 3) ve son olarak = 22s anında A 22 (s) = (s + ) 2 (s +.4) biçiminde değişirilmişir. Röle genlikleri r = 5 ve r 2 = seçilerek yapılan benzeime ai sonuçlar Şekil 3.23 ve Şekil 3.24 e görülmekedir. Burada E marisi kullanılmadığından kayan kip için gerekli koşul βr > ẇ φ φ φ o şeklindedir. Eş en görülebileceği gibi, β ij =, i olduğundan bu koşullar Eş ve Eş ile verilen eşisizliklere indirgenir. Şekil 3.23.d ve Şekil 3.24.d de, kayan kip koşullarının incelendiği ilk benzeim çalışmalarında olduğu gibi, β ii r i çarpımları ile e i > olduğu anlarda ẇ i φ o i, e i < olduğu anlarda ise ẇ i + φ o i erimleri göserilmişir (i =, 2). Şekil 3.23.d incelendiğinde, = 5s ve = 7s anlarında meydana gelen paramere değişiklikleri nedeniyle bu anlarda e = eşiliğinin bozulduğu ancak kayan kip koşullarının bozulmadığı görülmekedir. Bu nedenle her iki anda da e sinyali hızla sıfır değerine geri dönmüşür. = 5s anında e < olduğundan röle çıkışı v =, = 7s anında ise e > olduğundan v = değerini almışır. e = eşiliği yeniden sağlandığı andan iibaren röle elemanı kayan kipe çalışmaya devam emişir. Paramere değişiklikleri nedeniyle sisem çıkışında meydana gelen bozulmalar Şekil 3.23.a dan gözlenmekedir. Benzer şekilde, Şekil 3.24.d ye dikka edilirse, = 2s ve = 22s anlarında meydana gelen paramere değişiklikleri nedeniyle bu kez e 2 = eşiliği bozulmuşur. Ancak kayan kip koşulları bozulmadığından haa 3

151 sinyali sıfır değerine kısa sürede geri dönmüşür. Her iki paramere değişikliği sonrasında e 2 < olduğundan röle çıkışı v 2 = 5 değerini almış ve e 2 = eşiliği sağlanır sağlanmaz röle kayan kipe çalışmaya başlamışır. Şekil 3.24.a incelendi- ğinde, paramere değişiklikleri nedeniyle model akibinin de bozulduğu gözlenebilir. Aynı benzeim bu kez röle genlikleri r = 45 ve r 2 = 3 seçilerek ekrarlanmış ve sonuçları Şekil 3.25 ve Şekil 3.26 da verilmişir. Daha düşük röle genlikleri ile dahi kayan kip koşullarının sağlandığı bilindiğinden ẇ i φ o i ve ẇ i + φ o i erimlerinin göserilmesine gerek duyulmamışır. Paramere değişikliklerinin meydana geldiği anlarda e = ve e 2 = eşiliklerinin önceki benzeimde olduğu gibi bozulduğu, ancak daha büyük röle genlikleri seçildiğinden daha kısa sürede yeniden sıfır değerine ulaşıkları gözlenmekedir. Oluşan erişme evreleri grafik ölçeğinde görülmeyecek kadar kısalmışır. Buna bağlı olarak, her iki döngüde de sisem çıkışları model çıkışlarını daha kısa sürede yakalamışır. Özele, bu örneke meydana gelen ani paramere değişikliklerinin φ o ve φ o 2 sinyalleri üzerindeki ekileri kayan kip koşullarının bozulmasına neden olmamış ve paramere değişikliklerinin ardından oluşan kısa erişme evrelerinin ardından sisem kayan kipe çalışmaya devam emişir. Röle genlikleri arırılarak bu erişme evrelerinin sürelerinin daha da kısalılabileceği göserilmişir. Bu kısma ai son benzeimde yine Eş e verilen sisemden faydalanılmışır. Ancak bu kez sisem paramerelerinin bazılarının Eş de görüldüğü gibi zamanla sürekli değişiği varsayılmışır. Röle genlikleri r = 5 ve r 2 = seçilerek yapılan benzeime ai sonuçlar Şekil 3.27 ve Şekil 3.28 de görülmekedir. Elde edilen sonuçlar zamanla sürekli değişen sisem paramerelerinin kayan kip koşullarını bozmadığını ve deneim başarımını olumsuz ekilemediğini gösermekedir. Röle genlikleri yeerince büyük olduğundan her iki çıkış da model epkilerini başarılı bir şekilde akip emekedir. Kayan kip koşulları yalnızca dayanak girişlerinin işare değişirdiği anlarda bozulduğundan bu anlar dışında röle elemanları sürekli kayan kipe çalışmakadır. Değişen sisem yapısına bağlı olarak üreilen deneim sinyalleri de zamanla sürekli değişmekedir. 3

152 ( ) 2π A (s) = s 2 + a s +, a () = +.2 sin T, T = 8s ( ) 2π A 2 (s) = (s + 3)(s + a 2 ), a 2 () = sin T 2, T 2 = 2s ( ) 2π A 2 (s) = 2s 2 + 2s + a 2, a 2 () = +. sin ( ) 2π A 22 (s) = (s + ) 2 (s + a 22 ), a 22 () = sin T 3 T 4, T 3 = 5s, T 4 = s (3.57) B 2 (s) = s + b 2 ( ) 2π, b 2 () = sin T 5, T 5 = 7s ( ) 2π B 22 (s) = (s + ) 2 (s + b 22 ), b 22 () =.5 +. sin T 6, T 6 = 25s 32

153 w, y ve y m (a) 5 u (b) 2 v (c) 5 β r ẇ φ o, e > ẇ + φ o, e < 5 e (d) Şekil Ani değişen sisem paramerelerinin ekisi - Birinci döngü (r = ) G 4 (s) ve M 4 (s) için benzeim sonuçları 33

154 3 w 2, y 2 ve y m (a) u (b) v (c) ẇ 2 φ o 2, e 2 > ẇ 2 + φ o 2, e 2 < β 22 r 2 e (d) Şekil Ani değişen sisem paramerelerinin ekisi - İkinci döngü (r 2 = 5) G 4 (s) ve M 4 (s) için benzeim sonuçları 34

155 w, y ve y m (a) 5 u (b) 9 v (c) e (d) Şekil Ani değişen sisem paramerelerinin ekisi - Birinci döngü (r = 45) G 4 (s) ve M 4 (s) için benzeim sonuçları 35

156 3 w 2, y 2 ve y m (a) u (b) 6 v (c) e (d) Şekil Ani değişen sisem paramerelerinin ekisi - İkinci döngü (r 2 = 3) G 4 (s) ve M 4 (s) için benzeim sonuçları 36

157 w, y ve y m (a) 5 u (b) v (c) e (d) Şekil Sürekli değişen sisem paramerelerinin ekisi - Birinci döngü (r = 5) G 4 (s) ve M 4 (s) için benzeim sonuçları 37

158 w 2, y 2 ve y m (a) u (b) 2 v (c) e (d) Şekil Sürekli değişen sisem paramerelerinin ekisi - İkinci döngü (r 2 = ) G 4 (s) ve M 4 (s) için benzeim sonuçları 38

159 3.5.4 Bozucuların Deneim Başarımı Üzerindeki Ekilerinin İncelenmesi Bu kısımda, deneim problemlerinde karşılaşılan sorunların başında gelen bozucuların çokdöngülü sisemlerin deneim başarımı üzerindeki ekileri incelenmişir. Benzeimlerde Eş e verilen sisem kullanılmışır. Basamak ipi bozucuların irdelendiği ilk benzeim örneğinde, benzeimin başlangıç anında çıkış sinyalleri üzerinde ekili olan d ve d 2 bozucuların değeri sıfırdır. Birinci döngüye ai çıkış sinyali y üzerinde = s den iibaren d =.5 değerinde bozucu ekilidir. d sinyali = 23s anında d =. değerine alamışır. y 2 üzerinde ekili olan d 2 sinyali ise = 6s de d =.25, = 22s de ise d =.75 değerini almışır. Röle genlikleri r = 4 ve r 2 = 8 şeklinde belirlenerek elde edilen benzeim sonuçları Şekil 3.29 ve Şekil 3.3 da görülmekedir. Eş da verilen kayan kip koşullarının bozulup bozulmadığını irdelemek amacıyla Şekil 3.29.c ve Şekil 3.3.c de e i > olduğu anlarda ẇ i φ o i ψ i, e i < olduğu anlarda ise ẇ i + φ o i + ψ i sinyalleri göserilmişir (i =, 2). Dikka edilirse, basamak ipi bozucuların değer değişirdiği anlarda kayan kip koşullarının bozulduğu gözlenebilir. Kayan kip koşulları anlık olarak bozulduğundan ilgili döngüye ai haa sinyallerinin hızla sıfır değerine geri döndüğü ve bozucular nedeniyle kayan kipen çıkan rölelerin yeniden kayan kipe çalışmaya başladığı görülmekedir. Bozucu sinyallerin yeni bir değere aladığı anlarda ψ ve ψ 2 sinyallerinin aldığı değerler çok yüksek olduğundan, bozucuların sisemi kayan kipen çıkarmaması için gerekli olan röle genlikleri uygulamalarda gerçekleşirilemeyecek kadar büyükür. Yine de röle genlikleri mümkün olduğunca büyük seçilerek, sisemin kayma evresinden çıkığı süreler kısalılabilir. Bu amaçla yukarıda verilen benzeim bu kez r = 2 ve r 2 = 4 seçilerek ekrarlanmış ve elde edilen sonuçlar Şekil 3.3 ve Şekil 3.32 de göserilmişir. Şekil 3.3.c ve Şekil 3.32.c incelendiğinde, bozucuların değer değişirdiği anlarda kayan kip koşulları bozulduğundan e = ve e 2 = eşiliklerinin bozulduğu görülebilir. Bir önceki benzeimle karşılaşırıldığında haa sinyallerinin daha çabuk sıfır değerine geri döndüğü, buna bağlı olarak Şekil 3.3.b ve Şekil 3.32.b den röle elemanlarının kayan kipen çıkığı anların grafik ölçeğinde görülemeyecek kadar kısaldığı gözlenmekedir. Beyaz gürülünün deneim başarımı üzerindeki ekisini incelemek üzere Eş e verilen sisem ile yapılan benzeimde, y sinyali üzerinde oralama değeri µ =, sandar sapması σ =. olan, y 2 sinyali üzerinde ise oralama değeri µ 2 =, 39

160 sandar sapması σ 2 =.5 olan beyaz gürülü ekilidir. Haırlanacağı gibi, beyaz gürülünün ürevleri haa ürevleri üzerine eklendiğinden kayan kip koşullarının gerçekleşirilebilir röle genlikleri ile sağlanabilmesini ve KKD in elde edilmesini olanaksız kılmakadır. Bu nedenle, Bölüm de bahsedildiği gibi, model akarım işlevlerine uygun seçilmiş sıfırlar eklenerek gürülünün yüksek sıklıklı bileşenlerinin süzgeçlenmesi hedeflenmişir. Benzeimde kullanılan model akarım işlevi şöyledir. M (s) = (.25s + ) 2.5s + (.25s + ) 2.4s + (3.58) Eş incelendiğinde, her iki model akarım işlevine de s = 8 de bulunan iki ade sıfır yerleşirildiği görülebilir. Eklenen sıfırlar nedeniyle Eş ile verilen göreli derece koşulları özellikle bozucuların ekili olduğu yüksek sıklıklarda sağlanmamakadır. Ancak sisemin çalışma sıklığı olan daha düşük sıklıklarda KKD elde edilebilir. r = 5 ve r 2 = 5 seçilerek gerçekleşirilen ve sonuçları Şekil 3.33 ve Şekil 3.34 e görülen benzeim bu sapamayı deseklemekedir. Model akarım işlevlerine eklenen sıfırlar sayesinde her iki döngüde de gürülüye ai yüksek sıklıklı bileşenler süzgeçlenmiş ve gürülüsüz durum ile aynı seçilen röle genlikleriyle KKD elde edilebilmişir. Süzgeçlenemeyen gürülü bileşenleri Şekil 3.33.c ve Şekil 3.34.c de verilen haa sinyalleri üzerinde açıkça görülebilir. Haırlanacağı gibi sisem çıkışı y = Mw Me eşiliği ile verilmekeydi. Buna bağlı olarak haa sinyalleri üzerindeki gürülünün model akarım işlevi ile süzgeçlenerek sisem çıkışlarına da yansıdığı görülmekedir. Buna rağmen her iki sisem çıkışı da model çıkışlarını akip emekedir. Ölçüm gürülüsünün ekisini incelemek amacıyla yine Eş ile verilen sisemden faydalanılmışır. Benzeim sırasında sisemin, birinci çıkışı ölçen duyargaçan kaynaklı m () =.5sin(4π) +. şeklinde yüksek sıklıklı sinüzoidal, ikinci çıkışı ölçen duyargaçan kaynaklı ise µ m2 =.5 oralamalı, sandar sapması σ m2 =. olan beyaz gürülü biçiminde ölçüm gürülüsüne maruz kaldığı kabul edilmişir. İkinci çıkışı ölçen duyargaçan kaynaklanan beyaz ölçüm gürülüsünün yüksek sıklıklı bileşenlerini süzgeçlemek amacıyla model akarım işlevi marisi Eş daki gibi değişirilmişir. 4

161 M (s) =.5s + (.25s + ) 2.4s + (3.59) Yapılan benzeime ai sonuçlar Şekil 3.35 ve Şekil 3.36 da görülmekedir. Röle genlikleri r = 5 ve r 2 = 5 olarak belirlenmişir. Şekil 3.35.c ye dikka edilirse e sinyali dayanak girişi w in işare değişirdiği anlar dışında sıfır değerinde kalmışır. Buna bağlı olarak birinci röle kayan kipe çalışmakadır (Şekil 3.35.b). Ancak Şekil 3.35.a incelendiğinde birinci çıkışı ölçen sensörden kaynaklanan sinüzoidal ölçüm haasının y üzerine eklendiği görülmekedir. Yüksek sıklıklı bileşenleri model akarım işlevine eklenen sıfırlar sayesinde süzgeçlenen ikinci döngüdeki ölçüm gürülüsünün süzgeçlenemeyen bileşenleri Şekil 3.36.c den görüldüğü gibi e 2 sinyali üzerinde ekili olmuşur. Bir önceki örneke olduğu gibi göreli derece koşulları sisemin çalışma sıklığında sağlandığından rölenin kayan kipe çalışığı gözlenebilir. Ancak Şekil 3.36.a dan da görülebileceği gibi ölçüm haası (ölçüm gürülüsü sıfır oralamalı olmadığından) çıkış üzerine eklenmişir. 4

162 w, y ve y m (a) 8 u (b) β r ẇ φ o, e > ẇ + φ o, e < 2 e (c) Şekil Basamak ipi bozucuların ekisi - Birinci döngü (r = 4) G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları 42

163 w 2, y 2 ve y m (a) 6 u (b) 5 4 β 2 r ẇ 2 φ o 2, e 2 > ẇ 2 + φ o 2, e 2 < e (c) Şekil 3.3. Basamak ipi bozucuların ekisi - İkinci döngü (r 2 = 8) G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları 43

164 .5 w, y ve y m (a) 4 u (b) 3 e (c) Şekil 3.3. Basamak ipi bozucuların ekisi - Birinci döngü (r = 2) G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları 44

165 .5 w 2, y 2 ve y m (a) u 2 (b) 3 e (c) Şekil Basamak ipi bozucuların ekisi - İkinci döngü (r 2 = 4) G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları 45

166 .5 w, y ve y m (a) u (b) 3 e (c) Şekil Beyaz gürülünün ekisi - Birinci döngü (r = 5) G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları 46

167 .5 w 2, y 2 ve y m (a) 3 u (b) 3 e (c) Şekil Beyaz gürülünün ekisi - İkinci döngü (r 2 = 5) G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları 47

168 .5 w, y ve y m (a) u (b) 3 e (c) Şekil Ölçüm gürülünün ekisi - Birinci döngü (r = 5) G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları 48

169 .5 w 2, y 2 ve y m (a) 3 u (b) e (c) Şekil Ölçüm gürülünün ekisi - İkinci döngü (r 2 = 5) G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları 49

170 3.5.5 Bakışımlı Olmayan Röle Kullanımı Bakışımlı olmayan rölelerin çokdöngülü deneim yapısında kullanımına bir örnek vermek amacıyla Eş e verilen sisemden yararlanılarak bir benzeim gerçekleşirilmişir. Haırlanacağı gibi, iki girişli iki çıkışlı bakışımlı olmayan röleli sisemler için kayan kip koşulları Eş ve Eş ile verilmişi. Sonuçları Şekil 3.37 ve Şekil 3.38 de görülen benzeimde birinci röleye ai paramereler r o = 2, r = 5, ikinci röleye ai paramereler ise r 2o = 9, r 2 = 5 şeklinde belirlenmişir. Benzeim sonuçları incelendiğinde, her iki döngüde de KKD in elde edildiği ve model akibinin başarıyla gerçekleşiği gözlenebilir. 5

171 5.5 w, y ve y m (a) u (b) 6 e (c) Şekil Bakışımlı olmayan röle kullanımı - Birinci döngü (r o = 2, r = 5) G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları 5

172 .5 w 2, y 2 ve y m (a) u (b) 3 e (c) Şekil Bakışımlı olmayan röle kullanımı - İkinci döngü (r 2o = 9, r 2 = 5) G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları 52

173 3.5.6 Kararsız Sisemlerin Deneimi Bu bölümde, çokdöngülü GÇ-RKKD yöneminin kararsız sisemlerin deneimindeki başarımının incelenmesi hedeflenmişir. Tek girişli ek çıkışlı sisemlerden haırlanacağı gibi, kararsız sisemler söz konusu olduğunda sisem durumlarının başlangıç değerleri önemli rol oynamakadır. Kayan kip için gerekli koşul olan eė < eşisizliği durum uzayının her bölgesinde sağlanmadığı gibi, sisem epkisi de başlangıç koşullarının durum uzayındaki yerine bağlı olarak, kayan kip koşulları sağlansa dahi, kararsız olabilmekeydi. Bunun yanı sıra, sisem epkisinin kararlı olduğu bölgeler ile eė < eşisizliğinin sağlandığı bölgelerin genişliklerinin seçilen röle genliği ile doğru oranılı olduğu vurgulanmışı. Yani, röle genliği büyüdükçe kayan kipin elde edilebileceği başlangıç koşullarını içeren durum uzayı bölgesi büyümekedir. Tek girişli ek çıkışlı sisemler üzerinden anlaılan bu durumun çokdöngülü sisemler için de geçerli oluğu Eş. 3.6 a verilen sisem ve model akarım işlevleri kullanılarak yapılan benzeimler aracılığıyla göserilmişir. G 5 (s) = M 5 (s) = 2 (s )(s + ) s(s )(s + 2) 4s + 3s + (3s 2 + 3s + )(s + 3) 2 (2s 2 + 2s )(s + 4).5s +.4s +, ρ(m 5 G 5) = 2 2 (3.6) Bu kısımda yapılan ilk benzeimde röle genlikleri r = 2 ve r 2 = 3 olarak belirlenmişir. Elde edilen sonuçlar Şekil 3.39 ve Şekil 3.4 a verilmişir. Şekil 3.39 incelendiğinde, benzeimin ilk saniyelerinde KKD in elde edildiği ancak w sinyali işare değişirdiken sonra sisem durumları sisem çıkışının kararsız olduğu bir bölgeye aladığından kayan kipin devam emediği ve y in kararsız olduğu görülmekedir. Benzer şekilde ikinci döngüde de sisemin kısa bir süre kayan kipe çalışığı ancak daha sonra sisem epkisinin kararsız olduğu gözlenebilir. Röle genlikleri arırılarak (r = 5, r 2 = 2) aynı benzeim ekrarlanmış ve sonuçlar Şekil 3.4 ve Şekil 3.42 de sunulmuşur. Sonuçlar incelendiğinde, bu kez her iki döngüde de KKD in elde edildiği ve model akibinin başarıyla gerçekleşiği görülebilir. 53

174 .5 w, y ve y m (a) 4 u (b) 3 e (c) Şekil Kararsız sisemde deneim başarımı - Birinci döngü (r = 2) G 5 (s) ve M 5 (s) için benzeim sonuçları 54

175 .5 w 2, y 2 ve y m (a) 6 u (b) 3 e (c) Şekil 3.4. Kararsız sisemde deneim başarımı - İkinci döngü (r 2 = 3) G 5 (s) ve M 5 (s) için benzeim sonuçları 55

176 .5 w, y ve y m (a) 3 u (b) 3 e (c) Şekil 3.4. Kararsız sisemde deneim başarımı - Birinci döngü (r = 5) G 5 (s) ve M 5 (s) için benzeim sonuçları 56

177 .5 w 2, y 2 ve y m (a) 4 u (b) 3 e (c) Şekil Kararsız sisemde deneim başarımı - İkinci döngü (r 2 = 2) G 5 (s) ve M 5 (s) için benzeim sonuçları 57

178 4. ÇOKDEĞİŞKENLİ SİSTEMLERDE GÇ-RKKD Bu bölümde, daha önce ek girişli ek çıkışlı ve çokdöngülü sisemler için anımlanmış olan giriş çıkış modeline dayalı röle ile kayan kipli deneim yönemi çokdeğişkenli sisemler için ele alınmışır. İlk kısımda kayan kipli deneimin elde edilebilmesi için gereken koşullara ve bunların üreilmesine yer verilmişir. Çokdöngülü yapıların anlaıldığı bir önceki bölümde olduğu gibi, anlaım kolaylığı açısından önce iki girişli iki çıkışlı ve üç girişli üç çıkışlı sisemler üzerinde durulmuş, ardından elde edilen sonuçlar n girşli n çıkışlı sisemler için genelleşirilmişir. Gürbüzlük analizlerinin yapıldığı bir sonraki kısımda paramere değişiklikleri ve bozucuların kayan kip koşulları üzerindeki ekisi irdelenmişir. Ardından bakışımlı olmayan röleli sisemler üzerinde durulmuş, çokdeğişkenli sisemler ile gerçekleşirilen benzeim çalışması ile bölüm sonlandırılmışır. 4. Çokdeğişkenli Sisemler İçin Kayan Kip Koşulları İki girişli iki çıkışlı bir sisem için çokdeğişkenli röleli deneim yapısı Şekil 4. de verilmişir. Şekil 4.. İki girişli iki çıkışlı çokdeğişkenli röleli deneim yapısı 58

179 Yukarıda görülen öbek çizeneğindeki sinyaller ve akarım işlevleri Eş. 3. deki gibidir. Dikka edilirse, bu yapı ile çokdöngülü deneim yapısı arasındaki fark kullanılan röle elemanı sayısıdır. Çokdöngülü yapıda her iki döngüdeki haa ve deneim sinyali arasında bir ade röle yer almakadır. Çokdeğişkenli yapıda ise, çokdöngülü yapıya ek olarak, e ile u 2 ve e 2 ile u sinyalleri arasında da birer ade röle ile bağlanı kurulmuşur ve oplam dör ade döngü bulunmakadır. Şekil 4. de verilen yapıda röle elemanlarının bakışımlı ve ideal oldukları kabul edildiğinde röle çıkışlarında oluşan deneim sinyalleri u() = Rsign(e()) (4.) şeklinde verilir. R röle genliklerini içeren marisir. R = r r 2 r 2 r 22 = [r r 2 ] (4.2) r, r 2, r 2 ve r 22 Şekil 4. de verilen yapıda kullanılan röle elemanlarının genlikleridir. r ve r 2, R marisine ai süunları ifade emekedir. Bilindiği gibi, bu sisemde kayan kipli deneimin gerçekleşebilmesi için e i ė i <, i =, 2 (4.3) koşulunun sağlanması gerekir. Önceki bölümlerden haırlanacağı gibi e () = ve e 2 () = eşilikleri kayma yüzeylerini anımlamakadır. Şekil 4. deki öbek çizeneğinden faydalanılarak kapalı döngü sisem çıkışı w φ = e w M y = e y = Mw Me (4.4) eşiliği ile ifade edilir. Dikka edilirse, ek girişli ek çıkışlı ve çokdöngülü sisemlerde olduğu gibi çokdeğişkenli sisemlerde de, sisem kayma evresindeyken ideal durumda e = olacağından, sisem epkisi model arafından belirlenir. Bilindiği gibi, 59

180 ideal olmayan durumda e ve e 2 sinyalleri sıfır erafında yüksek sıklıklı ve düşük genlikli sinyaller olduğundan, model akarım işlevlerinin ersi ile süzgeçlendiklerinde çıkışa ekileri yok denecek kadar azdır. Şekil 4. yardımıyla haa ve ürevi aşağıdaki gibi yazılır. e = w φ = w M y = w M Gu (4.5) ė = ẇ sm Gu = ẇ βu φ o = ẇ βrsign(e) φ o ė ė 2 = ẇ ẇ 2 β β 2 R sign(e ) sign(e 2 ) φ o φ o 2 (4.6) Önceki analizlerde olduğu gibi burada da φ() sinyali, bir başka ifadeyle sm Gu erimi anlık değişen ve değişmeyen kısımlarına ayrılmışır. βu, φ() nin anlık değişen kısmı, φ o ise anlık değişmeyen kısmıdır. Haırlanacağı gibi, iki girişli iki çıkışlı yapılar için β marisi β = lim s sm (s)g(s) = β β 2 β 2 β 22 = β β 2 (4.7) şeklinde anımlanmışı. φ o vekörü ise Eş. 3.9 dan haırlanabilir. e ve e 2 sinyallerinin alabileceği işareler dikkae alındığında, Eş. 4.3 ile verilen eşisizliğin sağlanması için gerekli koşulları üreebilmek için, incelenmesi gereken 4 durum oraya çıkmakadır. Bu durumlar ile her durumda kayan kipin elde edilebilmesi 6

181 için sağlanması gereken koşullar aşağıda verilmişir. e > ve e 2 > ė = ẇ βr φ o (4.8) ẇ β R φ o <, ẇ 2 β 2 R φ o 2 < e > ve e 2 < ė = ẇ βr φ o ẇ β R φ o <, ẇ 2 β 2 R φ o 2 > (4.9) e < ve e 2 > ė = ẇ βr φ o (4.) ẇ β R φ o >, ẇ 2 β 2 R φ o 2 < 6

182 e < ve e 2 < ė = ẇ βr φ o ẇ β R φ o >, ẇ 2 β 2 R φ o 2 > (4.) Bu koşullar maris formunda da yazılabilir. β β 2 R > ẇ φ o (4.2) β R > ẇ φ o (4.3) β 2 Yukarıda verilen eşisizlikler Şekil 4. de görülen sisemde kayan kipin elde edilebilmesi için gerekli genel koşullardır. Eğer denelenen sisemde β i r j > ise Eş. 4.3 ile verilen koşulların sağlanması yeerlidir. Çünkü bu durumda Eş. 4.2 de verilen koşullar da sağlanır (i, j =, 2). Eş. 4.3, β r β r 2 β 2 r β 2 r 2 > ẇ φ o (4.4) biçiminde de yazılabilir. Eş. 4.2 ve Eş. 4.3 incelendiğinde, β marisi içerisinde aynı saırdaki veya aynı süundaki üm elemanlar (sıfır) olduğu akdirde bu koşulların sağlanamayacağı görülür. Örneğin, β = β 2 = olursa, β R = (4.5) 62

183 olacağından kayan kip koşulları sağlanmaz. Benzer şekilde, β = β 2 = olduğu akdirde kayan kip koşulları β 2(r 2 + r 22 ) β 22 (r 2 + r 22 ) > ẇ φ o, β 2(r 2 r 22 ) β 22 (r 2 r 22 ) > ẇ φ o (4.6) şeklini alır. Bu eşisizliklerin birbirleri ile çelişiği ve seçilen hiçbir r 2 ve r 22 değeriyle sağlanamayacağı açıkır. Sonuç olarak, kayan kip koşullarının sağlanabilmesi için β marisinin aynı saırında veya aynı süununda bulunan üm elemanlar (sıfır) olmamalıdır, bir başka deyişle β marisi üm kere (full rank) olmalıdır. Buradan, Şekil 4. de görülen sisemde KKD in elde edilebilmesi için gerekli göreli derece koşulları şöyle bulunur: Denelenen sisem ve modele ai akarım işlevlerinin göreli dereceleri ρ(m G ) = ρ(m G 2) ρ(m 2 G 2) ρ(m 2 G 22) = (4.7) veya ρ(m G ) ρ(m G 2) = ρ(m 2 G 2) = ρ(m 2 G 22) (4.8) koşullarından birini sağlamalıdır. Haırlanacak olursa, çokdöngülü deneim yapısında yalnızca Eş. 4.7 de verilen göreli derece koşulları sağlanırsa KKD elde edilebilmekeydi. Eş. 4.8 de görülen göreli derece koşulları söz konusu olduğunda ise çokdöngülü yapılarda KKD elde emek olanaklı değildir. Aşağıda verilen iki özel durum için Eş. 4.2 ve Eş. 4.3 ile verilen eşisizlikler daha da sadeleşir: Göreli dereceler Eş 4.7 deki gibi olduğunda ve ρ(m G 2) > ve ρ(m 2 G 2) > eşisizlikleri sağlanıyorsa, β 2 = β 2 = olacağından kayan kip koşulları 63

184 β (r + r 2 ) > ẇ φ o β 22 (r 2 + r 22 ) > ẇ 2 φ o 2 β (r r 2 ) > ẇ φ o β 22 (r 22 r 2 ) > ẇ 2 φ o 2 (4.9) eşisizliklerine indirgenir. β > ise röle genlikleri r + r 2 > ve r r 2 > koşullarını sağlayacak şekilde, β < ise bu kez r + r 2 < ve r r 2 < şeklinde seçilmelidir. Benzer şekilde, bu koşulların β 22 > için r 2 + r 22 > ve r 22 r 2 >, β 22 < için ise r 2 + r 22 < ve r 22 r 2 < olması gerekiği görülmekedir. Denelenen sisemde β i r j > (i, j =, 2) koşulu sağlanıyorsa röle genliklerinin sağlaması gereken koşullar basiçe r > r 2 ve r 22 > r 2 eşisizlikleri ile ifade edilebilir. Diğer yandan, göreli derece koşulları Eş 4.8 daki gibiyse ve ρ(m G ) > ile ρ(m 2 G 22) > koşulları sağlanıyorsa, bu kez β = β 22 = olacağından kayan kip koşulları β 2 (r 2 + r 22 ) > ẇ φ o β 2 (r + r 2 ) > ẇ 2 φ o 2 β 2 (r 2 r 22 ) > ẇ φ o β 2 (r 2 r ) > ẇ 2 φ o 2 (4.2) biçimini alır. Bir önceki durumdakine benzer bir analiz uygulandığında, β i r j > (i, j =, 2) koşulu sağlanmak kaydıyla, röle genliklerinin r 2 > r ve r 2 > r 22 koşullarını sağlayacak şekilde seçilmesi gerekiği sonucuna ulaşılır. Haırlanacağı gibi, çokdöngülü sisemlerle ilgili bölümde, kayan kip koşullarının kısmi olarak sağlandığı durumlarda sisemin de kısmi olarak kayan kipe çalışabileceği vurgulanmışı. Benzer bir durum çokdeğişkenli yapılar için de geçerlidir. Eş. 4.2 ve Eş. 4.3 ile verilen kayan kip koşulları dikkae alındığında, eğer sadece β R > ẇ φ o, β R > ẇ φ o (4.2) 64

185 eşisizlikleri sağlanıyorsa y çıkışına ve e e karşılık gelen rölelerin kayan kipe çalışacağı görülür. Eğer yalnızca β 2 R > ẇ 2 φ o 2, β 2 R > ẇ 2 φ o 2 (4.22) eşisizlikleri sağlanırsa, bu kez y 2 çıkışına ve e 2 ye karşılık gelen kısım kayan kipe çalışır. Çokdöngülü yapılarda verilen analizlerde olduğu gibi, çokdeğişkenli sisemler için üreilen kayan kip koşullarının n girişli n çıkışlı sisemlere genişleilebilmesi için öncelikle üç girişli ve üç çıkışlı deneim yapısı ele alınmışır. Bu yapı Şekil 4.2 de görülmekedir. Deneim yasası Eş. 4. deki gibidir. R marisi R = r r 2 r 3 r 2 r 22 r 23 r 3 r 32 r 33 = [r r 2 r 3 ] (4.23) şeklinde verilir. Bilindiği gibi, bu yapıda KKD in elde edilebilmesi için gerekli koşullar e i ė i <, i =, 2, 3 (4.24) eşisizlikleriyle ifade edilir. Bu eşisizliklerin sağlanabilmesi için gerekli koşulları üremek amacıyla, önceki analizlerdekine benzer şekilde haa sinyali ve ürevi incelenmelidir. Eş. 4.5 ve Eş. 4.6 dikkae alınarak haa sinyallerinin ürevleri aşağıdaki gibi yazılabilir. ė ė 2 ė 3 = ẇ ẇ 2 ẇ 3 β β 2 β 3 R sign(e ) sign(e 2 ) sign(e 3 ) φ o φ o 2 φ o 3 (4.25) Bölüm 3. den de haırlanacağı gibi, üç girişli üç çıkışlı yapılar için β marisi β β 2 β 3 β = lim sm (s)g(s) = s β 2 β 22 β 23 β 3 β 32 β = β β 2 β 3 (4.26)

186 biçimindedir. φ φ φ sinyalinin anlık değişmeyen kısımları, yani φ o marisi Eş e göserilmişi. Şekil 4.2. Üç girişli ve üç çıkışlı çokdeğişkenli röleli deneim yapısı Eş ile e, e 2 ve e 3 sinyallerinin alabileceği işareler dikkae alındığında, Eş ile verilen eşisizliklerin sağlanması için gerekli koşulları bulabilmek için aşağıda verilen 8 farklı durum incelenmelidir. 66

187 e > e 2 > ve e 3 > ė = ẇ βr ẇ 2 β 2 R φ o ẇ β R φ o 2 <, ẇ 2 β 3 R φ o <, φ o 3 < (4.27) e > e 2 > ve e 3 < ė = ẇ βr φ o ẇ β R φ o <, ẇ 2 β 2 R φ o 2 <, ẇ 2 β 3 R φ o 3 > (4.28) e > e 2 < ve e 3 > ė = ẇ βr φ o ẇ β R φ o <, ẇ 2 β 2 R φ o 2 >, ẇ 2 β 3 R φ o 3 < (4.29) 67

188 e > e 2 < ve e 3 < ė = ẇ βr φ o ẇ β R φ o <, ẇ 2 β 2 R φ o 2 >, ẇ 2 β 3 R φ o 3 > (4.3) e < e 2 > ve e 3 > ė = ẇ βr φ o ẇ β R φ o >, ẇ 2 β 2 R φ o 2 <, ẇ 2 β 3 R φ o 3 < (4.3) e < e 2 > ve e 3 < ė = ẇ βr φ o ẇ β R φ o >, ẇ 2 β 2 R φ o 2 <, ẇ 2 β 3 R φ o 3 > (4.32) 68

189 e < e 2 < ve e 3 > ė = ẇ βr φ o ẇ β R φ o >, ẇ 2 β 2 R φ o 2 >, ẇ 2 β 3 R φ o 3 < (4.33) e < e 2 < ve e 3 < ė = ẇ βr φ o ẇ β R φ o >, ẇ 2 β 2 R φ o 2 >, ẇ 2 β 3 R φ o 3 > (4.34) Eş Eş ile verilen koşullar maris formunda yazıldığında aşağıdaki eşisizliklere ulaşılır. β β 2 β 3 R > ẇ φ o (4.35) β β 2 R β 3 > ẇ φ o (4.36) 69

190 β β 2 R > ẇ φ o (4.37) β 3 β β 2 R > ẇ φ o (4.38) β 3 İki girişli iki çıkışlı yapılarda olduğu gibi, elde edilen bu koşullar kayan kip için genel koşullardır. Denelenen sisemde β i r j > (i, j =, 2, 3) koşulu sağlanırsa kayan kip koşulları aşağıdaki gibi sadeleşir: β ile ilgili erimler ele alındığında, β R > ẇ φ o, β R > ẇ φ o, β R > ẇ φ o, β R > ẇ φ o (4.39) eşisizliklerine ulaşılır. β i r j > ise, β R > ẇ φ o (4.4) koşulu sağlandığı akdirde diğer üç koşul da sağlanır. Benzer şekilde, β 2 ve β 3 ile ilgili erimler ele alındığında, kayan kip için gerekli koşullar 7

191 β R > ẇ φ o, β 3 R > ẇ 3 φ o 3 β 2 R > ẇ 2 φ o 2, (4.4) olarak elde edilir. Bu koşullar maris formunda da yazılabilir. β r β r 2 β r 3 β 2 r β 2 r 2 β 2 r 3 β 3 r β 3 r 2 β 3 r 3 > ẇ φ o (4.42) Elde edilen kayan kip koşulları incelendiğinde, iki girişli iki çıkışlı sisemlerde olduğu gibi, kayan kip koşullarının sağlanabilmesi için β marisinin üm kere olması gerekiği görülür. Bu doğruluda denelenen sisemin aşağıda verilen göreli derece koşullarından birini sağlaması gerekir. ρ(m G) = ρ(m G) = ρ(m G) =, ρ(m G) =, ρ(m G) =, ρ(m G) =, (4.43), (4.44) (4.45) Eş Eş incelendiğinde, çokdeğişkenli GÇ-RKKD yöneminin çokdöngülü yöneme göre bir esneklik sağladığı görülmekedir. Üç girişli üç çıkışlı çokdeğişkenli bir sisemde KKD in elde edilebilmesi için denelenen yapının bu alı koşuldan birini 7

192 sağlaması yeerlidir. Buna karşılık aynı sisem çokgöngülü yönem ile denelenirse, yalnızca Eş e verilen ilk göreli derece koşulları sağlandığında, yani göreli derece marisinin köşegen elemanları, diğer elemanları veya den büyük olduğunda KKD elde edilebilmekeydi (bkz. Eş. 3.48). Denelenen yapıda hem β i r j > koşulu sağlanır, hem de β marisi üm kere olmak şarıyla oplam yalnızca 3 ade elemandan oluşursa özel bir durum oraya çıkmakadır (Bir başka deyişle, Eş Eş e verilen göreli derece marislerinde ile göserilen elemanlar yerine > olduğu durum). Bu durumda kayan kip koşulları en basi haliyle β ij (r j 3 r jk ) > ẇ i φ o i, i, j =, 2, 3 (β ij ) (4.46) k=2 eşisizliği ile verilir. n girişli ve n çıkışlı sisemler: Yukarıda iki girişli iki çıkışlı ve üç girişli üç çıkışlı çokdeğişkenli sisemler için üreilen kayan kip koşullarına dikka edilecek olursa, çokdöngülü yapılarda olduğu gibi, burada da eşisizliklerin sol arafında yer alan erimlerin belirli bir örünü akip eiği görülebilir. Buna göre, ve lerden oluşan vekörün ilk elemanı daima dir, diğer elemanları ise ve in üm kombinasyonlarını içermekedir. e karşılık gelen β marisi saırının başında eksi (-) işarei bulunmakadır. Bu örünü dikkae alınarak n girişli n çıkışlı sisemler için kayan kip koşulları aşağıdaki gibi genellenebilir: Kayan kipin gerçekleşebilmesi için e i ė i <, i =, 2,..., n (4.47) eşisizllikleri sağlanmalıdır. n boyulu β ve R marisleri β = β β 2... β n β 2 β (4.48) β n β nn 72

193 ve R = r r 2 r n r 2 r r n r nn = [r r 2 r n ] (4.49) olmak üzere, KKD in elde edilebilmesi için genel koşullar β β 2. β n β n R. > ẇ φ o, β β 2. β n β n R. > ẇ φ o,..., β β 2. β n β n R. > ẇ φ o, β β 2. β n β n R. > ẇ φ o (4.5) eşisizlikleriyle verilir. Görüldüğü gibi, kayan kip koşulları, ve lerden oluşan vekörün ilk elemanı olacak, geri kalan elemanları ise ve in üm kombinasyonlarını kapsayacak şekilde oplam 2 n ade maris eşisizliğinden oluşmakadır. e karşılık gelen β marisi saırlarının da başında eksi (-) işarei bulunmakadır. β i r j > (i, j =,..., n) koşulu sağlandığı akdirde bu koşullar aşağıdaki gibi sadeleşir. β r β r 2 β r 3 β r n β 2 r β 2 r 2 β 2 r 3 β 2 r n β 3 r β 3 r 2 β 3 r 3 β 3 r n β n r β n r 2 β n r 3 β n r n. > ẇ φ o (4.5) Yukarıda verilen kayan kip koşullarının sağlanabilmesi için, denelenen yapının göreli dereceleri, β marisi üm kere olacak şekilde ayarlanmalıdır. β marisi üm kere 73

194 olmakla beraber oplam yalnızca n ade sıfırdan farklı elemandan oluşuğunda ve β i r j > koşulu sağlandığında oraya çıkan özel durum için kayan kip koşullarının en basi hali aşağıdaki gibidir. β ij (r j n r jk ) > ẇ i φ o i, i, j =, 2,, n (β ij ) (4.52) k=2 Dikka edilirse, R marisi R = r r (4.53) r nn biçiminde seçildiğinde, yani üm döngülerde ek röle kullanıldığında Eş. 4.5 de verilen kayan kip koşulları β r β 2 r 22 β 3 r 33 β n r nn β 2 r β 22 r 22 β 23 r 33 β 2n r nn β 3 r β 32 r 22 β 33 r 33 β 3n r nn β n r β n2 r 22 β n3 r 33 β nn r nn. > ẇ φ o (4.54) şeklini alır. Eş. 4.54, β β 2 β 3 β n β 2 β 22 β 23 β 2n β 3 β 32 β 33 β 3n r r 22 r 33. > ẇ φ o (4.55) β n β n2 β n3 β nn r nn biçiminde yeniden yazıldığında, elde edilen bu koşulların daha önce çokdöngülü yapılar için üreilen ve Eş da verilen kayan kip koşulları ile aynı olduğu görülebilir (r ii = r i, i =,..., n). Özele, bu bölümde çokdeğişkenli sisemler için üreilen kayan kip koşulları çokdöngülü sisemleri de kapsamaka ve daha genel bir ifade sunmakadır. 74

195 4.2 E ve F Marisleri Önceki bölümlerden haırlanacağı gibi, sisemin kayma evresine girebilmesi için gerekli göreli derece koşullarının sağlanamadığı durumlarda röle elemanlarının önüne ve arkasına uygun dereceli süzgeçler yerleşirilerek derece koşulları sağlanabilmekedir. Bu durumda iki girişli iki çıkışlı çokdeğişkenli röleli deneim yapısı Şekil Şekil 4.3 eki gibi genişleilebilir. Şekil 4.3. İki girişli iki çıkışlı çokdeğişkenli yapıda E ve F marisleri Şekil 4.3 e görülen yapıda kayan kipin elde edilebilmesi için s i ṡ i <, i =, 2 (4.56) koşulu sağlanmalıdır. Röle giriş sinyalleri ve ürevleri, s = E(w φ) ṡ = E(ẇ φ φ φ) = Eẇ sem GFv = Eẇ βv φ φ φ o = Eẇ βrsign(s) φ φ φ o (4.57) 75

196 eşilikleri ile verilir. E ve F kullanıcı arafından seçilen süzgeçleri içeren marislerdir. E(s) = E (s) E 2 (s) E 2 (s) E 22 (s), F (s) = F (s) F 2 (s) F 2 (s) F 22 (s) (4.58) Bu süzgeçlerin seçimi esnasında dikka edilmesi gereken hususlara Bölüm 2.2 ve Bölüm 3.2 de ayrınılı olarak değinilmişi. Çokdeğişkenli sisemlerde kayan kip koşullarını üremek amacıyla yukarıda verilen analize benzer bir analiz burada ekrarlandığında, kayan kip koşulları EM GF döngü akarım işlevi üzerinden elde edilebilir. Bu durumda β marisi β = lim s se(s)m (s)g(s)f (s) (4.59) olarak anımlanır. İki girişli iki çıkışlı sisemlerde kayan kip koşulları β β 2 R > Eẇ φ o (4.6) β R > Eẇ φ o (4.6) β 2 eşisizlikleri ile ifade edilir. Bu koşullar n boyulu sisemler için genelleşirildiğinde, Eş. 4.5 ile verilen koşulların sağ arafındaki ẇ φ o eriminin yerini Eẇ φ o eriminin aldığı görülür. n boyulu E ve F marisleri Bölüm 3.2 den haırlanabilir (Eş. 3.9). Kayan kip koşullarının sağlanabilmesi için denelenen sisem, seçilen model akarım işlevleri ile kullanıcı arafından belirlenen E ve F marislerinden oluşan döngü akarım işlevlerinin göreli dereceleri β marisi üm kere olacak şekilde ayarlanmalıdır. Denelenen yapıda β i r j > koşulu sağlandığı akdirde bu koşullar, eşisizliğin sağ arafındaki erim Eẇ φ o olacak şekilde Eş. 4.5 deki gibi sadeleşir (i, j =,..., n). Önceki kısımlardan haırlanacak olursa, β marisi üm kere olmak koşuluyla oplam yalnızca n ade sıfırdan farklı elemandan oluşuğunda kayan kip koşulları daha da sadeleşmekeydi. Denelenen sisem ve model akarım işlevlerinden oluşan açık 76

197 döngü akarım işlevi gerekli göreli derece koşullarını sağlasa dahi, basilik açısından bu durum ercih edileceğinden, E ve F marisleri yardımıyla β marisi bu duruma geirilecek şekilde bir ayarlama yapılabilir. 4.3 Çokdeğişkenli GÇ-RKKD de Gürbüzlük 4.3. Paramere Değişiklikleri Bölüm 2 ve Bölüm 3 ün ilgili kısımlarından da haırlanabileceği gibi, kayan kipe çalışan sisemin epkisi yalnızca model arafından belirlenmekedir (Bkz. Eş. 4.4). Deneim uygulamaları sırasında, gerek çalışma koşulları gerekse sisem paramerelerinden kaynaklanabilecek belirsizliklerin φ o sinyali üzerinde yaraığı eki, Eş. 4.5 ile verilen kayan kip koşullarının bozulmasına neden olabilir. Koşullar yeniden sağlandığında sisem ekrar kayan kipe çalışmaya başlar. Kayan kip koşulları bozulmasa dahi meydana gelen değişiklikler nedeniyle e = eşiliği bozulabilir, ancak bu eşilik hızla yeniden sağlanır (e i ė i < koşulu bozulmadığından) ve sisem kısa sürede kayan kipe geri döner. Kayan kip koşullarının bozulmasının önüne geçebilmek amacıyla kullanılan röle genliklerinin yeerince büyük seçilmesi gerekmekedir. Koşulların bozulması engellenemese dahi, röle genlikleri mümkün olduğunca büyük seçilerek sisemin kayan kipen çıkıkan sonra yeniden kayan kipe dönmesi için gereken süre olan erişme evreleri kısalılabilir. Bu bölümün sonunda yer alan benzeim çalışmasının ilgili kısmında çokdeğişkenli sisemlerin deneiminde paramere değişikliklerinin ekisi örnekler yardımıyla incelenmişir Bozucular Bu kısımda, çıkış sinyali üzerinde ekili olan bozucu sinyallerin çokdeğişkenli GÇ-RKKD yöneminin başarımı üzerindeki ekisi ve bozucuların kayan kip koşullarını nasıl değişirdiği irdelenmişir. İlgili yapıya ai öbek çizeneği Şekil 4.4 e verilmişir. Görüldüğü gibi, n() çıkış sinyalleri üzerine eklenen bozucuları emsil emekedir. n() = n () n 2 (). n n () (4.62) 77

198 Şekil 4.4. Çokdeğişkenli röleli deneim yapısında çıkış sinyali üzerinde ekili bozucu Şekil 4.4 dikkae alındığında, haa sinyali ve ürevi e = w φ = w M Gu M n (4.63) ė = ẇ sm Gu ψ = ẇ βrsign(e) φ o ψ eşilikleriyle verilir. Burada, model akarım işlevinin ersi ile süzgeçlenen gürülü sinyali ψ = M n (4.64) biçiminde adlandırılmışır. Kayan kip koşullarını üreebilmek için haa sinyallerinin her birinin alabileceği işareleri içeren oplam 2 n ade durum bir arada incelenmelidir (n: sisem boyuu). Dikka edilirse, Eş e verilen haa ürevi ile Eş. 4.6 ile göserilen bozucusuz duruma ai ürev ifadesi karşılaşırıldığında, bozucusuz durumda yapılan analizin benzerinin burada da ekrarlanarak kayan kip koşullarına ulaşılabileceği görülebilir. Bozucusuz durumdan farklı olarak, elde edilen maris eşisizliklerinin sağ arafında bulunan erim ẇ φ o yerine ẇ φ o ψ ψ ψ olmalıdır. Herhangi bir döngüdeki ẇ i φ o i ψ i sinyalinin büyüklüğü ẇ i φ o i sinyalinin büyüklüğünden daha fazla olabilir; bu nedenle bozucusuz duruma göre daha büyük röle genliklerine ihiyaç duyulabilir. Deneim uygulamalarında farklı ürlerde bozucu sinyallerle karşılaşılabileceği bilin- 78

199 mekedir. Örneğin, sisem çıkışına eklenen bozucu basamak ipi olabilir ve bu durumda n() = d ψ = M d (4.65) eşilikleri yazılabilir (d: basamak ipi bozucu). Sisem durgun durumda iken ψ = olduğu görülür. Diğer bir deyişle, kayan kip koşulları bozucusuz durum ile aynıdır. Ancak basamak ipi bozucuların değer değişirdiği anlarda ψ olacağından kayan kip koşulları, eşisizliklerin sağ arafındaki erim ẇ φ o ψ ψ ψ olacak şekildedir. Eş ile verilen anıma dikka edilecek olursa, bozucu sinyaller model akarım işlevinin ersi ile süzgeçlenmekedir, bir başka deyişle bozucuların ürevleri haa sinyalleri üzerine eklenmekedir. Bozucuların bir başka değere aladığı anlarda, bu ürev işlevi nedeniyle, ψ ψ ψ sinyalinin alabileceği değerler oldukça büyük olabileceğinden kayan kip koşulları bozulabilir. Koşullar bozulmasa dahi e = eşiliği bozulacağından röleler kayan kipen çıkabilir ve bir erişme evresini akiben yeniden kayan kipe çalışmaya başlayabilir. Bilindiği gibi, erişme evrelerinin süresi kullanılan röle genlikleriyle ilinilidir. Röle genlikleri büyüdükçe erişme evreleri kısalır. Bu nedenle kullanılan rölelere ai genlikler, eyleyiciler üzerindeki fiziksel kısılamalar dikkae alınmak kaydıyla, mümkün olduğunca büyük seçilmelidir. Sinüzoidal bozucu sinyaller çıkış sinyalleri üzerinde ekili olduğunda bu kez n i () = A i sin(ω i ) ṅ i () = A i ωcos(ω i ), ψ i () = M i ṅ i () i =, 2,..., n (4.66) eşilikleri yazılabilir. Görüldüğü gibi, bozucu sinyallerin sıklığı ne kadar yüksekse ψ i (i =,..., n) sinyallerinin büyüklükleri de o kadar fazladır. Dolayısıyla, kayan kip koşullarının sağlanabilmesi için gerekli röle genlikleri de o kadar büyük olmalıdır. Sıklıkla karşılaşılan bozucu ürlerinden biri de beyaz gürülüdür. Bölüm ve Bölüm de de vurgulandığı gibi, ürev işlevi nedeniyle beyaz gürülünün haa sinyali ve ürevi üzerindeki ekisi daha fazladır. Bu nedenle, kayan kip koşullarının uygulamalarda gerçekleşirilebilecek röle genlikleri ile sağlanması genellikle olanaklı 79

200 değildir. Hem ek girişli ek çıkışlı hem de çokdöngülü yapıların deneiminde olduğu gibi, model akarım işlevlerine uygun seçilmiş sıfırlar eklenerek bu sorun çözülebilir. İlave edilen sıfırlar sayesinde yüksek sıklıklı gürülü bileşenleri süzgeçlenerek ekileri azalılabilir. Haırlanacağı gibi, D i (s) model akarım işlevlerine ilave edilen sıfırlar olmak üzere, elde edilen yeni model akarım işlevi M (s) = M (s) D (s) M 2 (s) D 2 (s) Mn (s) D n (s) (4.67) şeklindedir. Bozucuların daha ekili olduğu yüksek sıklıklarda M i (jω) olacağından KKD in elde edilmesi olanaklı değildir (i =, 2,..., n). Çıkış sinyallerinin ekili olduğu düşük sıklıklarda ise M (jω) M (jω) eşiliği yazılabileceğinden göreli derece koşullarının sağlanması ve gerçek çalışmalarda uygulanabilecek kadar küçük röle genlikleri ile KKD in elde edilmesi olanaklıdır Ölçüm Gürülüsü KKD yöneminin ölçüm gürülüsüne karşı hassas bir yönem olduğu, ek girişli ek çıkışlı ve çokdöngülü yapılar üzerinden önceki bölümlerde göserilmişi. Benzer bir göserim çokdeğişkenli sisemler üzerinden de yapılabilir. Şekil 4.5. Çokdeğişkenli röleli deneim yapısında ölçüm gürülüsü Şekil 4.5 e görülen öbek çizeneğinde m() ölçüm gürülüsüdür. Bu yapıda haa ve ürevi aşağıdaki eşiliklerle ifade edilir. 8

201 e = w M Gu M m ė = ẇ sm Gu µ = ẇ βrsign(e) φ o µ (4.68) Kayan kip koşullarını üremek üzere Bölüm 4. de verilen analiz Eş üzerinden ekrarlandığında, Eş. 4.5 ile verilen koşulların sağ arafındaki ẇ φ o eriminin yerini ẇ φ o µ µ µ eriminin aldığı görülür. Ancak kayan kip koşulları sağlansa ve sisem kayma evresinde çalışsa dahi, sisem çıkışı e = w M (y + m) = y = Mw m (4.69) eşiliğiyle ifade edildiğinden, ölçüm haalarının çıkışa yansıdığı görülebilir. Sisem üzerinde hem bozucular hem de ölçüm gürülüsü ekili olduğunda, kayan kip koşullarının en genel hali, Eş. 4.5 ile verilen koşulların sağ arafındaki ẇ φ o eriminin yerine ẇ φ o ψ ψ ψ µ µ µ erimi yazılarak elde edilir. Denelenen yapıda β i r j > koşulunun sağlanması halinde, kayan kip koşulları β r β r 2 β r 3 β r n β 2 r β 2 r 2 β 2 r 3 β 2 r n β 3 r β 3 r 2 β 3 r 3 β 3 r n β n r β n r 2 β n r 3 β n r n. > ẇ φ o ψ ψ ψ µ µ µ (4.7) maris eşisizliği ile ifade edilir. Daha önce de belirildiği gibi, elde edilen bu koşullardan β marisinin üm kere olması gerekiği görülür. β marisinin yalnızca n ade elemandan oluşuğu özel durumlarda ise kayan kip koşulları β ij (r j n r jk ) > ẇ i φ o i ψ i µ i, i, j =, 2,, n (β ij ) (4.7) k=2 eşisizliklerine indirgenir. Haırlanacağı gibi, E ve F marisleri yardımıyla sisem bu duruma geirilecek şekilde bir ayarlama yapılabileceği vurgulanmışı. 8

202 4.4 Çokdeğişkenli Sisemlerde Bakışımlı Olmayan Röle ile KKD Bu kısımda çokdeğişkenli sisemlerde bakışımlı olmayan röle kullanımı irdelenmiş ve sağlanması gereken kayan kip koşulları üreilmişir. Bakışımlı röle ile yapılan analizlerdekine benzer şekilde öncelikle iki girişli iki çıkışlı ve üç girişli üç çıkışlı sisemler üzerinde durulmuş, ardından elde edilen sonuçlar n boyulu sisemler için genelleşirilmişir. Bakışlımlı olmayan rölelerin kullanıldığı iki girişli ve iki çıkışlı çokdeğişkenli deneim yapısı Şekil 4.6 da görülmekedir. Şekil 4.6. İki girişli ve iki çıkışlı bakışımlı olmayan röleli çokdeğişkenli deneim yapısı Burada, r ija ve r ijb bakışımlı olmayan rölelere ai genliklerdir (i, j =, 2). Önceki bölümlerden haırlanacağı gibi, röle genlikleri aşağıdaki gibi de ifade edilebilir. r ija = r ijo + r ij r ijb = r ijo r ij, i, j =, 2 (4.72) 82

203 Şekil 4.6 da görülen yapıda deneim yasası aşağıdaki eşiliklerle verilir. u = r o + r sign(e ) + r 2o + r 2 sign(e 2 ) u 2 = r 2o + r 2 sign(e ) + r 22o + r 22 sign(e 2 ) u u 2 = r o r 2o + r 2o r 22o + r r 2 r 2 r 22 sign(e ) sign(e 2 ) (4.73) u = r o + r 2o + Rsign(e) R marisi şöyle anımlanmışır. R = r r 2 r 2 r 22 = [ r r 2 ] (4.74) r o ve r 2o röle genliklerinin oralama değerlerinden oluşan marisin süunlarıdır. R o = r o r 2o r 2o r 22o = [r o r 2o ] (4.75) Şekil 4.6 da verilen yapıda KKD in elde edilebilmesi için gerekli koşul Eş. 4.3 eki gibidir. Yani, kayan kip koşullarının üreilebilmesi için haa sinyali ve ürevi incelenmelidir. e = w φ = w M Gu ė = ẇ sm Gu = ẇ βu φ o = ẇ β(r o + r 2o ) β Rsign(e) φ o (4.76) ė ė 2 = ẇ ẇ 2 β β 2 (r o + r 2o ) β β 2 R sign(e ) sign(e 2 ) φ o φ o 2 Daha önce yapılan üm analizlerde olduğu gibi φ φ φ sinyali anlık değişen (βu) ve değişmeyen ( φ o ) kısımlarına ayrılmışır. e ve e 2 sinyallerinin alabileceği işareler 83

204 doğrulusunda incelenmesi gereken 4 durum oraya çıkmakadır. Bu durumlar aşağıda verilmişir. Ayrıca, her durum söz konusu olduğunda, KKD in elde edilebilmesi için sağlanması gereken eşisizlikler de ifade edilmişir. e > ve e 2 > ė = ẇ β(r o + r 2o ) β R φ o ẇ β (r o + r 2o ) β R φ o < (4.77) ẇ 2 β 2 (r o + r 2o ) β 2 R φ o 2 < e > ve e 2 < ė = ẇ β(r o + r 2o ) β R φ o ẇ β (r o + r 2o ) β R φ o < ẇ 2 β 2 (r o + r 2o ) β 2 R φ o 2 > (4.78) 84

205 e < ve e 2 > ė = ẇ β(r o + r 2o ) β R φ o ẇ β (r o + r 2o ) β R φ o > (4.79) ẇ 2 β 2 (r o + r 2o ) β 2 R φ o 2 < e < ve e 2 < ė = ẇ β(r o + r 2o ) β R φ o ẇ β (r o + r 2o ) β R φ o > ẇ 2 β 2 (r o + r 2o ) β 2 R φ o 2 > (4.8) Eş Eş. 4.8 maris formunda yazılabilir. β β 2 R > ẇ φ o β(r o + r 2o ) (4.8) β R > ẇ φ o β(r o + r 2o ) (4.82) β 2 Bakışımlı röleli yapılardakine benzer şekilde, denelenen sisemde β i r j > koşulu sağlanıyorsa, kayan kip koşulları yalnızca Eş ile verilebilir (i, j =, 2) ve bu 85

206 koşullar β r β r 2 β 2 r β 2 r 2 > ẇ φ o β(r o + r 2o ) (4.83) biçiminde de ifade edilebilir. Türeilen kayan kip koşullarının sağlanabilmesi için Eş. 4.7 veya Eş. 4.8 de verilen göreli derece koşullarının sağlanması gerekiği, bir başka deyişle β marisinin üm kere olması gerekiği görülmekedir. Bakışımlı olmayan rölelerin kullanıldığı iki girişli iki çıkışlı sisemler için kayan kip koşullarını üremek amacıyla yukarıda verilen analiz üç girişli üç çıkışlı sisemler için ekrarlandığında, genel kayan kip koşulları aşağıdaki gibi elde edilir. β β 2 β 3 R > ẇ φ o β(r o + r 2o + r 3o ) (4.84) β β 2 R > ẇ φ o β(r o + r 2o + r 3o ) (4.85) β 3 β β 2 R > ẇ φ o β(r o + r 2o + r 3o ) (4.86) β 3 β β 2 R > ẇ φ o β(r o + r 2o + r 3o ) (4.87) β 3 Denelenen yapıda β i r j > koşulunun sağlanması halinde Eş Eş ile verilen kayan kip koşullarının sadeleşerek aşağıdaki eşisizliğe indirgendiği görülür. β r β r 2 β r 3 β 2 r β 2 r 2 β 2 r 3 β 3 r β 3 r 2 β 3 r 3 > ẇ φ o β(r o + r 2o + r 3o ) (4.88) 86

207 İki girişli iki çıkışlı ve üç girişli üç çıkışlı sisemler için elde edilen sonuçlar doğrulusunda n girişli n çıkışlı sisemlerde bakışımlı olmayan röleler ile KKD in elde edilebilmesi için gerekli koşullar aşağıdaki gibi genelleşirilebilir. Denelenen sisem ve model akarım işlevlerinin göreli dereceleri β marisi üm kere olacak şekilde ayarlanmalıdır. KKD in elde edilebilmesi için gerekli koşullar, Eş. 4.5 ile verilen koşullarda eşisizliklerin sağ arafındaki ẇ φ o eriminin yerine ẇ φ o β(r o + + r no ) erimi yazılarak elde edilir. Aynı zamanda R yerine R yazılmalıdır. Haırlanacağı gibi, β marisinin genel hali Eş de göserilmişi. Röle genliklerini içeren n boyulu R o ve R marisleri ise şöyledir. R o = r o r 2o r no r 2o r 22o r no r nno = [r o r 2o r no ] (4.89) R = r r 2 r n r 2 r (4.9) r n r nn Denelenen yapıda β i r j > koşulu sağlanıyorsa (i, j =,..., n) kayan kip koşulları aşağıdaki gibi sadeleşir. β r β r 2 β r n β 2 r β 2 r 2 β 2 r n β n r β n r 2 β n r n > ẇ φ o β(r o + + r no ) (4.9) β marisinin üm kere olup yalnızca n ade sıfırdan farklı elemandan oluşuğu özel durumlarda bu koşullar daha da sadeleşerek β ij ( r j n r jk ) > ẇ i φ o i β i (r o + + r no ), i, j =, 2,, n (4.92) k=2 87

208 biçiminde yazılır (β ij ). Yukarıda verilen koşullarda r io = ve r i = r i yazıldığında, koşulların bakışımlı röleli sisemleri de kapsayarak daha genel bir ifade sundukları görülebilir (i =,..., n). Dikka edilirse, R o ve R marisleri R o = r o r nno = [r o r 2o r no ] (4.93) R = r r (4.94) r nn biçiminde köşegen olarak seçildiğinde, bir başka deyişle üm döngülerde ek röle kullanılarak çokdöngülü deneim yapıldığında Eş. 4.9 β β 2 β 3 β n β 2 β 22 β 23 β 2n β 3 β 32 β 33 β 3n r r 22 r 33. > ẇ φ o βr o (4.95) β n β n2 β n3 β nn r nn şeklini alır. Bölüm 3.4 en haırlanacağı gibi bu koşullar çokdöngülü bakışımlı olmayan röleli yapılar için üreilen koşullar ile aynıdır ( r ii = r i, i =,..., n). Yani, bakışımlı röleli yapılarda olduğu gibi burada da çokdeğişkenli sisemler için üreilen kayan kip koşulları çokdöngülü sisemler için üreilen kayan kip koşullarını kapsamakadır. 4.5 Benzeim Çalışması Bu kısımda çokdeğişkenli sisemlerde GÇ-RKKD yönemine ilişkin benzeim çalışmasına yer verilmişir. İlk örneklerde üreilen kayan kip koşulları sağlandığı akdirde 88

209 KKD in başarıyla elde edildiği vurgulanmışır. Takip eden örneklerde paramere değişiklikleri ve bozucuların deneim başarımına olan ekileri incelenmiş, ardından bakışımlı olmayan röleler ile gerçekleşirilen benzeim sunulmuşur. Son olarak kararsız bir sisem örneği üzerinde durulmuşur. Deneim başarımlarını karşılaşırabilmek amacıyla, Bölüm 3.4 e çokdöngülü GÇ-RKKD yöneminin incelenmesi için kullanılan sisem ve model akarım işlevleri bu kısımda da kullanılmışır. Benzeim süreleri 3s, örnekleme aralığı ise h = s dir. İlk benzeim örneğinde kullanılan sisem ve model akarım işlevleri ile göreli derece, β ve R marisleri Eş daki gibidir. G (s) = 2 s 2 + s + (2s 2 + 2s + )(s + 2) s + 2 (s + 3) 2 (s + 4) 2 s +.5 (s + ) 2 (s + 2) M (s) = ρ(m G ) =.5s s +, β =.4, R = (4.96) Dikka edilirse bu örneke Eş. 4.7 ile verilen göreli derece koşulları sağlanmakadır. Ayrıca, β 2 = β 2 = olduğundan, kayan kip koşulları Eş. 4.9 ile verilir. Benzeime ai sonuçlar Şekil 4.7 ve Şekil 4.8 de görülmekedir. Çokdöngülü GÇ- RKKD yöneminin irdelendiği bir önceki benzeim çalışmasında olduğu gibi, sonuçlar her çıkış için üçer grafik halinde sunulmuşur. Birinci grafike ilgili dayanak girişi w i (kare dalga), sisem çıkışı y i ve model çıkışı y mi (kesikli çizgi), ikinci grafike deneim sinyali u i, üçüncü grafike ise haa sinyali e i ile β ii (r ii ± r ij ) ve ẇ i φ o i erimleri göserilmişir (i, j =, 2, i j). Eş. 4.9 da verilen kayan kip koşulları benzeimin başlangıcından iibaren (dayanak sinyalinin işare değişirdiği anlar hariç) sağlandığından her iki çıkışa de de KKD in elde edildiği ve model akibinin gerçekleşiği gözlenmekedir. Dayanak sinyalinin işare değişirdiği anlarda anlık olarak bozulan kayan kip koşulları hemen yeniden sağlandığından, bir erişme evresinin ardından 89

210 haa sinyallerinin sıfır değerine döndüğü ve rölelerin ekrar kayan kipe çalışmaya devam eiği görülebilir. Bir sonraki benzeim örneğinde, denelenen siseme ai akarım işlevi Eş deki gibi değişirilmişir. Kullanılan model önceki benzeimle aynıdır. G (s) = s (s + 3) 2 (s + 4) 2 s 2 + s + s +.5 (s + ) 2 (s + 2) (2s 2 + 2s + )(s + 2) (4.97) ρ(m G ) = 2 2, β =.4, R = Görüldüğü gibi, döngü akarım işlevi bu kez Eş. 4.8 ile verilen göreli derece koşullarını sağlamakadır. β = β 22 = olduğundan, kayan kip koşulları Eş. 4.2 de verilen eşisizliklere indirgenir. Şekil 4.9 ve Şekil 4. da sunulan benzeim sonuçları incelendiğinde, bir önceki örneke olduğu gibi, kayan kip koşullarının benzeim boyunca sağlandığı ve model akibinin başarıyla gerçekleşiği gözlenebilir. Yukarıdaki örnek için, Eş ile verilen göreli derece koşulları sağlanmadığından, çokdöngülü yapıda KKD elde edilmesi olanaklı değildir. Bu durum çokdeğişkenli yönemin çokdöngülü yöneme kıyasla bir avanajı olarak dikka çekmekedir. Sıradaki benzeimde Eş de verilen sisem ve model akarım işlevleri kullanılmışır. G 2 (s) = 2 s 2 + s + 2s 2 + 2s +.5s + (s + 3) 2 (s + 4) s +.5 (s + ) 2 (s + 2) M 2 (s) = ρ(m 2 G 2) =.5s +.4s +, β = , R = (4.98) 9

211 Bu örneke β marisinin üm elemanları sıfırdan farklı olduğundan Eş. 4.2 ve Eş. 4.3 e verilen genel kayan kip koşullarının sağlanması gerekmekedir. Şekil 4. ve Şekil 4.2 de sunulan benzeim sonuçları incelenecek olursa, kayan kip koşullarının dayanak girişinin işare değişirdiği anlar dışında benzeim boyunca sağlandığı ve üm rölelerin kayan kipe çalışığı görülebilir. 9

212 w, y ve y m (a) u (b) β (r + r 2 ) β (r r 2 ) 3 2 w φ o 2 e (c) Şekil 4.7. G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları Birinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r = 4, r 2 = ) 92

213 w 2, y 2 ve y m (a) 2 u (b) β 22 (r 22 + r 2 ) β 22 (r 22 r 2 ) w 2 φ o 2 2 e (c) Şekil 4.8. G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları İkinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r 2 = 2, r 22 = 8) 93

214 w, y ve y m (a) 2 u (b) β 2 (r 2 + r 22 ) β 2 (r 2 r 22 ) 2 w φ o 2 e (c) Şekil 4.9. G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları Birinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r = 2, r 2 = 8) 94

215 w 2, y 2 ve y m (a) u (b) β 2 (r + r 2 ) w 2 φ o 2 β 2 (r r 2 ) 2 e (c) Şekil 4.. G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları İkinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r 2 = 4, r 22 = ) 95

216 w, y ve y m (a) 2 2 u (b) β (r + r 2 ) 8 6 β (r r 2 ) 4 w φ o 2 2 e (c) Şekil 4.. G 2 (s) ve M 2 (s) için benzeim sonuçları Birinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r =, r 2 = 2) 96

217 w 2, y 2 ve y m (a) u (b) 8 β 2 (r 2 + r ) 6 4 β 2 (r 2 r ) 2 w 2 φ o 2 2 e (c) Şekil 4.2. G 2 (s) ve M 2 (s) için benzeim sonuçları İkinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r 2 = 2, r 22 = 4) 97

218 4.5. E ve F Marislerinin Kullanımı Bölüm 4.2 de değinilen E ve F marislerinin kullanımına ai ilk benzeim örneğinde Eş da verilen sisem ve model kullanılmışır. Bu örneke kayan kip için gerekli göreli derece koşullarının sağlandığı önceki benzeim çalışması esnasında vurgulanmışı. Ancak röle çıkışlarında oluşan yüksek sıklıklı sinyallerin siseme uygulanmadan önce yumuşaılabilmesi için aşağıda verilen E ve F marislerinden faydalanılmışır. E(s) =.s +.s +, F (s) =.2s +.2s + (4.99) Röle genlikleri R = (4.) biçiminde seçilmişir. Benzeime ai sonuçlar Şekil 4.3 ve Şekil 4.4 e görülmekedir. Verilen grafiklerde önceki sonuçlardan farklı olarak, üçüncü grafik ilgili röle çıkışlarını (v ve v 2 ), dördüncü grafik röle girişlerini (s ve s 2 ), beşinci ve son grafik ise haa sinyallerini (e ve e 2 ) gösermekedir. Sonuçlar incelendiğinde, kayan kip koşullarının benzeim boyunca sağlandığı, buna bağlı olarak s ve s 2 sinyallerinin sıfır erafında yüksek sıklıkla salındığı ve röle elemanlarının kayan kipe çalışığı görülmekedir (dayanak girişlerinin işare değişirdiği anlar hariç). Kullanılan F marisi sayesinde röle çıkışlarındaki sinyallerin yüksek sıklıklı bileşenleri süzgeçlenmiş ve daha yavaş değişen deneim sinyalleri elde edilmişir. Röle genlikleri arırılarak geçici epki esnasındaki model akibinin iyileşirilmesi mümkündür. Bir sonraki benzeimde Eş. 4. de görülen sisem ve model akarım işlevinden yararlanılmışır. Dikka edilirse, bu örneke Eş. 4.7 ve Eş. 4.8 ile verilen göreli derece koşullarından herhangi biri sağlanmadığından, anımlanan F marisi yardımıyla açık döngü akarım işlevinin Eş. 4.7 de verilen göreli derece koşullarını sağlaması hedeflenmişir. 98

219 G 4 (s) =.5 s 2 + s + 2s + 3 2s 2 + 2s + s + 2 (s + 3)(s + 4) s +.5 (s + ) 2 (s + 2) M 4 (s) = F (s) = β =.5s +.3s + 5/6 4/3.4s +.6s +, R =,, ρ(m 4 G 4) = ρ(m 4 G 4F ) = 2 2 (4.) Elde edilen benzeim sonuçları Şekil 4.5 ve Şekil 4.6 da verilmişir. Görüldüğü gibi, göreli derece koşulları ve buna bağlı olarak kayan kip koşulları sağlandığından sisem çıkışları model çıkışlarını başarıyla akip emekedir. Ayrıca, F marisi sayesinde, siseme daha yavaş değişen deneim sinyalleri uygulanmışır. 99

220 w, y ve y m (a) (b) v (c) s (d) e (e) u Şekil 4.3. E(s) ve F (s) marislerinin kullanımı - G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları Birinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r = 2, r 2 = 3) 2

221 w, y ve y 2 2 m (a) (b) v (c) s (d) e (e) u 2 Şekil 4.4. E(s) ve F (s) marislerinin kullanımı - G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları İkinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r 2 = 5, r 22 = 2) 2

222 w, y ve y m (a) 5 u (b) 2 v (c) e (d) Şekil 4.5. F (s) marisinin kullanımı - G 4 (s) ve M 4 (s) için benzeim sonuçları Birinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r =, r 2 = 9) 22

223 w 2, y 2 ve y m (a) u (b) v (c) e (d) Şekil 4.6. F (s) marisinin kullanımı - G 4 (s) ve M 4 (s) için benzeim sonuçları İkinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r 2 = 5, r 22 = 2) 23

224 4.5.2 Paramere Değişikliklerinin Ekilerinin İncelenmesi Ani değişen sisem paramerelerinin deneim başarımı üzerindeki ekilerini incelemek üzere Eş. 4. ile verilen sisemden faydalanılmışır. Denelenen siseme ai akarım işlevi paramerelerinin sabi olmadığı ve çalışma süresi içerisinde aşağıda bahsedildiği gibi değişiği kabul edilmişir. G 4 (s) =.5 s 2 + s + 2s + 3 2s 2 + 2s + s + 2 (s + 3)(s + 4) s +.5 (s + ) 2 (s + 2) = B (s) A (s) B 2 (s) A 2 (s) B 2 (s) A 2 (s) B 22 (s) A 22 (s) (4.2) Eş. 4. de verilen akarım işlevi paramereleri Eş. 4.2 deki gibi ifade edilebilir. Benzeim esnasında bu siseme ai paramereler =5s anında A 2 (s) = (s + 2)(s + 2.5), =2s anında A 2 (s) = 2s 2 + 2s +.5, =7s anında A 2 (s) = (s + 2.5)(s + 3) ve son olarak =22s anında A 22 (s) = (s + ) 2 (s +.4) biçiminde değişirilmişir. benzeimde röle genlikleri R = Yapılan ilk (4.3) olarak belirlenmişir. Benzeime ai sonuçlar Şekil 4.7 ve Şekil 4.8 de verilmişir. Dikka edilirse, anlık olarak gerçekleşen paramere değişikliklerinin φ o ve φ o 2 sinyalleri üzerindeki ekileri Şekil 4.7.d ve Şekil 4.8.d den açıkça görülebilir. Bu anlarda kayan kip koşullarının bozulmadığı gözlenmekedir, ancak e = ve e 2 = eşilikleri bozulduğundan, haa sinyalleri sıfır değerine dönene dek ilgili röle elemanları kayan kipen çıkmışır. Röle genlikleri arırılarak röle elemanlarının kayan kipen çıkığı bu anlar, yani paramere değişiklikleri ardından oluşan erişme evreleri kısalılabilir. Şekil 4.9 ve Şekil 4.2 de verilen benzeim sonuçları, röle genlikleri R = 2 35 (4.4) seçilerek elde edilmişir. Daha düşük röle genlikleriyle dahi kayan kip koşullarının bozulmadığı bir önceki benzeim aracılığı ile espi edilmişi. Bu nedenle Şekil 4.9.d 24

225 ve Şekil 4.2.d de yalnızca haa sinyallerine yer verilmişir. Görüldüğü gibi, paramere değişikliklerinin oluşuğu anlarda e = ve e 2 = eşilikleri bozulsa da, haa sinyalleri sıfır değerine bir önceki benzeime oranla daha çabuk dönmüşür. Buna bağlı olarak röle elemanlarının kayan kipen çıkığı sürelerin oldukça kısaldığı Şekil 4.9.c ve Şekil 4.2.c den gözlenebilir. Eş. 4. ile verilen sisem ve model akarım işlevleri bu kez zamanla sürekli değişen sisem paramerelerinin ekilerini irdelemek amacıyla gerçekleşirilen bir benzeimde kullanılmışır. Benzeim süresince Eş. 4.2 de verilen G 4 (s) akarım işlevinin paramereleri Eş. 4.5 eki gibi değişirilmişir. ( ) 2π A (s) = s 2 + a s +, a () = +.2 sin T, T = 8s ( ) 2π A 2 (s) = (s + 3)(s + a 2 ), a 2 () = sin T 2, T 2 = 2s ( ) 2π A 2 (s) = 2s 2 + 2s + a 2, a 2 () = +. sin ( ) 2π A 22 (s) = (s + ) 2 (s + a 22 ), a 22 () = sin T 3 T 4, T 3 = 5s, T 4 = s (4.5) B 2 (s) = s + b 2 ( ) 2π, b 2 () = sin T 5, T 5 = 7s ( ) 2π B 22 (s) = (s + ) 2 (s + b 22 ), b 22 () =.5 +. sin T 6, T 6 = 25s Eş. 4.3 e verilen röle genlikleri ile gerçekleşirilen benzeim sonuçları Şekil 4.2 ve Şekil 4.22 de sunulmuşur. Zamanla sürekli değişen sisem paramerelerinin deneim başarımını olumsuz ekilemediği, dayanak girişinin işare değişirdiği anlar haricinde kayan kip koşullarının bozulmadığı ve röle elemanlarının kayan kipe çalışığı gözlenmekedir. Sisem yapısı zamanla sürekli değişiğinden üreilen deneim sinyalleri de sürekli değişmekedir. Her iki sisem çıkışı da ilgili model çıkışını başarılı bir şekilde akip emekedir. 25

226 w, y ve y m (a) 5 u (b) v (c) β 2 (r 2 + r 22 ) β 2 (r 2 r 22 ) 5 w φ o e (d) Şekil 4.7. Ani değişen sisem paramerelerinin ekisi - G 4 (s) ve M 4 (s) için benzeim sonuçları - Birinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r =, r 2 = 9) 26

227 3 w 2, y 2 ve y m (a) u (b) 2 v (c) β 2 (r + r 2 ) β 2 (r r 2 ) w 2 φ o 2 e (d) Şekil 4.8. Ani değişen sisem paramerelerinin ekisi - G 4 (s) ve M 4 (s) için benzeim sonuçları - İkinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r 2 = 5, r 22 = 2) 27

228 w, y ve y m (a) 5 u (b) 6 v (c) e (d) Şekil 4.9. Ani değişen sisem paramerelerinin ekisi - G 4 (s) ve M 4 (s) için benzeim sonuçları - Birinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r =, r 2 = 2) 28

229 3 w 2, y 2 ve y m (a) u (b) 9 v (c) e (d) Şekil 4.2. Ani değişen sisem paramerelerinin ekisi - G 4 (s) ve M 4 (s) için benzeim sonuçları - İkinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r 2 = 35, r 22 = ) 29

230 w, y ve y m (a) u (b) 2 v (c) e (d) Şekil 4.2. Sürekli değişen sisem paramerelerinin ekisi - G 4 (s) ve M 4 (s) için benzeim sonuçları - Birinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r =, r 2 = 9) 2

231 w 2, y 2 ve y m (a) u (b) v (c) e (d) Şekil Sürekli değişen sisem paramerelerinin ekisi - G 4 (s) ve M 4 (s) için benzeim sonuçları - İkinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r 2 = 5, r 22 = 2) 2

232 4.5.3 Bozucuların Deneim Başarımı Üzerindeki Ekilerinin İncelenmesi Çokdeğişkenli sisemlerin GÇ-RKKD yönemi ile deneiminde bozucuların ekilerini incelemek amacıyla gerçekleşirilen benzeimler bu kısımda sunulmuşur. İlk olarak basamak ipi bozucular ele alınmışır. Bunun için gerçekleşirilen ilk benzeimde, Eş da verilen yapı üzerinde ekili olan basamak ipi bozucular d ve d 2 nin değeri başlangıça sıfır iken, = s anında d sinyali d =.5, = 23s anında ise d =. değerine alamışır. y 2 üzerinde ekili olan d 2 sinyali ise = 6s de d =.25, = 22s de ise d =.75 değerini almışır. Röle genlikleri R = (4.6) şeklinde belirlenerek elde edilen benzeim sonuçları Şekil 4.23 ve Şekil 4.24 e görülmekedir. Bozucuların kayan kip koşullarını nasıl ekilediğini irdelemek amacıyla Şekil 4.23.c ve Şekil 4.24.c de e i > olduğu anlarda ẇ i φ o i ψ i, e i < olduğu anlarda ise ẇ i + φ o i + ψ i sinyalleri verilmişir (i =, 2). Bozucuların değer değişirdiği anlarda ψ ve ψ 2 sinyallerinin oldukça büyük değerler aldığı görülmekedir. Şekil 4.23.c incelendiğinde, y üzerinde ekili olan basamak ipi bozucunun değer değişirdiği anlarda kayan kip koşullarının bozulmadığı gözlenmekedir. Ancak bozucu nedeniyle e = eşiliği bozulduğundan, bu eşilik yeniden sağlanana dek ilgili röle elemanları (r ve r 2 ) kayan kipen çıkmışır. Şekil 4.24.c ye dikka edilirse, y 2 üzerinde ekili olan bozucunun değer değişirdiği anların ilkinde ( = 6s) kayan kip koşulunun anlık olarak bozulduğu, = 22s de ise koşulların bozulmadığı görülür. Her iki esnada da e 2 = eşiliği bozulmuş ve bu eşilik yeniden sağlanana dek ilgili röle elemanları (r 2 ve r 22 ) kayan kipen çıkmışır. Özele, basamak ipi bozucuların kayan kip koşullarını bozup bozmadıklarından bağımsız olarak e i = eşilikleri bozucuların değer değişirdikleri anda bozulmakadır. Bu nedenle haa sinyalleri sıfır değerine dönene dek röle elemanları kayan kipen çıkmakadır. Röle genliklerini arırara bu esnalarda oluşan erişme evrelerinin sürelerini kısalmak mümkündür. Röle genlikleri R = (4.7) 22

233 seçilerek yukarıdaki benzeim ekrarlandığında elde edilen sonuçlar Şekil 4.25 ve Şekil 4.26 da verilmişir. Bir önceki benzeimle karşılaşırıldığında, bozucuların ekili olduğu anların hemen ardından haa sinyallerinin sıfır değerine daha çabuk döndüğü, bu nedenle rölelerin kayan kipen çıkığı anların kısaldığı gözlenebilir. Sonuçları Şekil 4.27 ve Şekil 4.28 de sunulan benzeim örneğinde, Eş ile verilen yapıda, y sinyali üzerine oralama değeri µ =, sandar sapması σ =. olan, y 2 sinyali üzerine ise oralama değeri µ 2 =, sandar sapması σ 2 =.5 olan beyaz gürülü eklenmişir. Röle genlikleri R = (4.8) biçimindedir. Daha önce de bahsedildiği gibi, beyaz gürülünün ürevleri haa ürevleri üzerine eklendiğinden kayan kip koşullarının gerçekleşirilebilir röle genlikleri ile sağlanabilmesi olanaklı olmayabilir. Bu nedenle, benzeimde kullanılan model akarım işlevlerine Eş. 4.9 da görüldüğü gibi, uygun seçilmiş sıfırlar eklenerek gürülünün yüksek sıklıklı bileşenlerinin süzgeçlenmesi amaçlanmışır. M (s) = (.25s + ) 2.5s + (.25s + ) 2.4s + (4.9) Süzgeçlenemeyen gürülü bileşenleri Şekil 4.27.c ve Şekil 4.28.c de verilen haa sinyalleri üzerinde açıkça görülmekedir. Bilindiği gibi sisem epkisi y = Mw Me eşiliği ile verildiğinden, gürülünün model akarım işlevlerinin ersi ile süzgeçlenerek çıkış sinyalleri üzerinde de ekili olduğu gözlenebilir. Yine de sisem çıkışları model çıkışlarını başarılı bir şekilde akip emekedir. Verilen bu örnek için, model akarım işlevine sıfırlar eklenmediği durumlarda seçilen hiçbir röle genliği marisi ile KKD elde edilememişir. Bu kısma ai son benzeim örneğinde ölçüm gürülüsü ele alınmışır. Gerçekleşirilen benzeimde, Eş ile verilen sisem üzerinde, birinci çıkışı ölçen duyargaçan kaynaklı m () =.5sin(4π) +. şeklinde yüksek sıklıklı sinüzoidal, ikinci çıkışı ölçen duyargaçan kaynaklı ise µ m2 =.5 oralamalı, sandar sapması σ m2 =. olan beyaz gürülü biçiminde ölçüm gürülüsünün ekili olduğu varsayıl- 23

234 mışır. İkinci çıkışı ölçen duyargaçan kaynaklanan beyaz ölçüm gürülüsünün yüksek sıklıklı bileşenlerini süzgeçlemek amacıyla model akarım işlevi marisi Eş. 4. daki gibi değişirilmişir. M (s) =.5s + (.25s + ) 2.4s + (4.) Elde edilen sonuçlar Şekil 4.29 ve Şekil 4.3 da görülmekedir. Röle genlikleri bir önceki örnekeki gibidir. Röle çıkışlarına dikka edilecek olursa, üm röle elemanlarının (dayanak sinyalinin işare değişirdiği anlar dışında) kayan kipe çalışığı gözlenebilir. Ancak Şekil 4.29.a incelendiğinde, sinüzoidal ölçüm haasının beklenildiği gibi (Eş. 4.68) sisem çıkışına yansıdığı görülmekedir. İkinci çıkış üzerinde ekili olan ölçüm gürülüsünün yüksek sıklıklı bileşenleri model akarım işlevine eklenen sıfırlar sayesinde süzgeçlenmişir. Ancak Şekil 4.3.a dan da görülebileceği gibi, ölçüm haası sıfır oralamalı olmadığından y 2 üzerine eklenmişir. 24

235 w, y ve y m (a) u (b) ẇ φ o, e > ẇ + φ o, e < β (r + r 2 ) β (r r 2 ) 2 2 e (c) Şekil Basamak ipi bozucuların ekisi - G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları Birinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r = 4, r 2 = ) 25

236 w 2, y 2 ve y m (a) 2 u (b) β 22 (r 22 + r 2 ) β 22 (r 22 r 2 ) e 2 ẇ 2 φ o 2, e 2 > ẇ 2 + φ o 2, e 2 < (c) Şekil Basamak ipi bozucuların ekisi - G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları İkinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r 2 = 2, r 22 = 8) 26

237 .5 w, y ve y m (a) 4 u (b) 3 e (c) Şekil Basamak ipi bozucuların ekisi - G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları Birinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r = 5, r 2 = 5) 27

238 .5 w 2, y 2 ve y m (a) 5 u (b) 3 e (c) Şekil Basamak ipi bozucuların ekisi - G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları İkinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r 2 = 7, r 22 = 8) 28

239 .5 w, y ve y m (a) u (b) e (c) Şekil Beyaz gürülünün ekisi - G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları Birinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r = 8, r 2 = 3) 29

240 .5 w 2, y 2 ve y m (a) 4 u (b) e (c) Şekil Beyaz gürülünün ekisi - G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları İkinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r 2 = 5, r 22 = 5) 22

241 .5 w, y ve y m (a) u (b) 3 e (c) Şekil Ölçüm gürülünün ekisi - G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları Birinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r = 8, r 2 = 3) 22

242 .5 w 2, y 2 ve y m (a) 4 u (b) e (c) Şekil 4.3. Ölçüm gürülünün ekisi - G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları İkinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r 2 = 5, r 22 = 5) 222

243 4.5.4 Bakışımlı Olmayan Röle Kullanımı Çokdeğişkenli GÇ-RKKD yöneminde bakışımlı olmayan röle kullanımına ilişkin bir benzeim Eş ile verilen sisem ve model akarım işlevleri ile gerçekleşirilmişir. Röle genlikleri R o = 2 7, R = (4.) şeklinde belirlenmişir. Şekil 4.3 ve Şekil 4.32 de verilen benzeim sonuçları her iki çıkışa da KKD in elde edildiğini ve model akibinin gerçekleşiğini gösermişir. 223

244 5.5 w, y ve y m (a) 5 u (b) e (c) Şekil 4.3. Bakışımlı olmayan röle kullanımı - Birinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları 224

245 .5 w 2, y 2 ve y m (a) u (b) 3 e (c) Şekil Bakışımlı olmayan röle kullanımı - İkinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar G (s) ve M (s) için benzeim sonuçları 225

246 4.5.5 Kararsız Sisemlerin Deneimi Haırlanacağı gibi, kararsız sisemler söz konusu olduğunda sisem durumlarının başlangıç değerlerinin önemli rol oynadığı ve röle genlikleri arırılarak kayan kipin elde edilebileceği başlangıç koşullarını içeren durum uzayı bölgesinin büyüülebileceği önceki bölümlerde vurgulanmışı. Benzer bir durumun çokdeğişkenli sisemlerin deneiminde de geçerli olduğu Eş. 4.2 de verilen sisem ve model akarım işlevleri kullanılarak yapılan benzeimler ile göserilmişir. G 5 (s) = M 5 (s) = 2 (s )(s + ) s(s )(s + 2) 4s + 3s + (3s 2 + 3s + )(s + 3) 2 (2s 2 + 2s )(s + 4).5s +.4s +, ρ(m 5 G 5) = 2 2 (4.2) Röle genlikleri R = (4.3) seçilerek yapılan ilk benzeime ai sonuçlar Şekil 4.33 ve Şekil 4.34 e görülmekedir. Her iki grafike de dayanak sinyalleri işare değişirene dek kayan kip koşullarının sağlandığı ve KKD in elde edildiği gözlenebilir. Ancak dayanak sinyalleri işare değişirdiken sonra sisem durumları sisem epkisinin kararsız olduğu bir bölgeye aladığından deneim başarısız olmuşur. Röle genlikleri bu kez R = (4.4) biçiminde seçilerek aynı benzeim ekrarlandığında, her iki çıkışa da KKD in elde edildiği ve model akibinin başarıyla gerçekleşiği Şekil 4.35 ve Şekil 4.36 da verilen sonuçlardan görülebilir. 226

247 .5 w, y ve y m (a) u (b) 3 e (c) Şekil Kararsız sisemde deneim başarımı - G 5 (s) ve M 5 (s) için benzeim sonuçları - Birinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r = 3, r 2 = ) 227

248 .5 w 2, y 2 ve y m (a) u (b) 3 e (c) Şekil Kararsız sisemde deneim başarımı - G 5 (s) ve M 5 (s) için benzeim sonuçları - İkinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r 2 = 2, r 22 = 4) 228

249 .5 w, y ve y m (a) 3 u (b) 3 e (c) Şekil Kararsız sisemde deneim başarımı - G 5 (s) ve M 5 (s) için benzeim sonuçları - Birinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r =, r 2 = 5) 229

250 .5 w 2, y 2 ve y m (a) 4 u (b) 3 e (c) Şekil Kararsız sisemde deneim başarımı - G 5 (s) ve M 5 (s) için benzeim sonuçları - İkinci çıkışa karşılık gelen sonuçlar (r 2 = 2, r 22 = 8) 23

251 5. UYGULAMALAR Bu bölümde, Bölüm 2, Bölüm 3 ve Bölüm 4 e anlaılan yönemlerin gerçek zamanlı olarak bir siseme uygulanması ile elde edilen sonuçlara yer verilmişir. İlk olarak uygulamalarda kullanılan sisem anıılmış, ardından uygulama sonuçları aracılığıyla ilgili yönemlerin deneim başarımları incelenmişir. 5. Uygulamalarda Kullanılan Sisem Uygulamalar, Şekil 5. de görülen AMIRA firmasına ai DTS2 su ankı sisemi üzerinde gerçekleşirilmişir. Şekil 5.. Uygulamada kullanılan su ankı sisemi Su ankı siseminde seviye deneimi yapılabilen üç ade ardışık bağlı göz bulunmakadır. Siseme su girişini sağlayan iki ade DC moor, al haznede bulunan suyu sağ ve sol başlardaki gözlere pompalamakadır. Her üç gözün birbirine ve de al hazneye olan bağlanısı ayarlanabilir vanalar aracılığıyla sağlanmakadır. Gözlerdeki su seviyeleri basınca duyarlı duyargaçlar arafından ölçülür. Bir ara birim bu duyargaçları besleme ve su pompalarını sürme görevini yürümekedir. Ara birim, bir Örneksel-Sayısal Sayısal-Örneksel (ÖS-SÖ) çevirici kar yoluyla bir bilgisayara bağlıdır. Bu ÖS-SÖ kar yardımıyla seviye duyargaçlarından alınan su seviyesi bil- 23

İnönü Bulvarı No:27, 06490, Bahçelievler / Ankara-Türkiye hasan.tiryaki@euas.gov.tr, mehmet.bulut@euas.gov.tr. ikocaarslan@kku.edu.

İnönü Bulvarı No:27, 06490, Bahçelievler / Ankara-Türkiye hasan.tiryaki@euas.gov.tr, mehmet.bulut@euas.gov.tr. ikocaarslan@kku.edu. Termik Sanralların Konrol Sisemlerinde Teknolojik Gelişmeler ve Verimlilik Technologic Developmens on Conrol Sysems of Thermal Power Plans and Efficiency Hasan TİRYAKİ 1, Mehme BULUT 2, İlhan KOCAARSLAN

Detaylı

BİRİM KÖK TESTLERİNDE YAPISAL KIRILMA ZAMANININ İÇSEL OLARAK BELİRLENMESİ PROBLEMİ: ALTERNATİF YAKLAŞIMLARIN PERFORMANSLARI

BİRİM KÖK TESTLERİNDE YAPISAL KIRILMA ZAMANININ İÇSEL OLARAK BELİRLENMESİ PROBLEMİ: ALTERNATİF YAKLAŞIMLARIN PERFORMANSLARI BİRİM KÖK TESTLERİNDE YAPISAL KIRILMA ZAMANININ İÇSEL OLARAK BELİRLENMESİ PROBLEMİ: ALTERNATİF YAKLAŞIMLARIN PERFORMANSLARI Arş. Gör. Furkan EMİRMAHMUTOĞLU Yrd. Doç. Dr. Nezir KÖSE Arş. Gör. Yeliz YALÇIN

Detaylı

GEFRAN PID KONTROL CİHAZLARI

GEFRAN PID KONTROL CİHAZLARI GEFRAN PID KONTROL CİHAZLARI GENEL KONTROL YÖNTEMLERİ: ON - OFF (AÇIK-KAPALI) KONTROL SİSTEMLERİ: Bu eknik en basi konrol ekniğidir. Ölçülen değer (), se değerinin () üzerinde olduğunda çıkış sinyali açılır,

Detaylı

Box-Jenkıns Modelleri ile Aylık Döviz Kuru Tahmini Üzerine Bir Uygulama

Box-Jenkıns Modelleri ile Aylık Döviz Kuru Tahmini Üzerine Bir Uygulama Kocaeli Üniversiesi Sosyal Bilimler Ensiüsü Dergisi (6) 2003 / 2 : 49-62 Box-Jenkıns Modelleri ile Aylık Döviz Kuru Tahmini Üzerine Bir Uygulama Hüdaverdi Bircan * Yalçın Karagöz ** Öze: Bu çalışmada geleceği

Detaylı

TRANSİSTÖRLÜ YÜKSELTEÇLER

TRANSİSTÖRLÜ YÜKSELTEÇLER Karadeniz Teknik Üniversiesi Mühendislik Fakülesi * Elekrik-Elekronik Mühendisliği Bölümü Elekronik Anabilim Dalı * Elekronik Laborauarı I 1. Deneyin Amacı TRANSİSTÖRLÜ YÜKSELTEÇLER Transisörlerin yükseleç

Detaylı

Eş Zamanlı Yazılımlarda Güvenilirlik Analizi : Literatür Taraması

Eş Zamanlı Yazılımlarda Güvenilirlik Analizi : Literatür Taraması Eş Zamanlı Yazılımlarda Güvenilirlik Analizi : Lieraür Taraması Erku Tekeli Çukurova Üniversiesi, Kozan Meslek Yüksekokulu, Adana eekeli@cu.edu.r Öze: Son yıllarda yüksek başarımlı hesaplamalara olan ihiyaçlar

Detaylı

İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI TERS PERSPEKTİF DÖNÜŞÜM İLE YÜZEY DOKUSU ÜRETİMİ

İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI TERS PERSPEKTİF DÖNÜŞÜM İLE YÜZEY DOKUSU ÜRETİMİ İANBUL İCARE ÜNİERİEİ BİLGİAAR MÜHENDİLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİAAR İEMLERİ LABORAUARI ER PERPEKİF DÖNÜŞÜM İLE ÜZE DOKUU ÜREİMİ Bu deneyde, genel haları ile herhangi bir yüzeye bir dokunun kopyalanması üzerinde

Detaylı

TEZSİZ YÜKSEK LİSANS PROJE ONAY FORMU. Eğitim Bilimleri Anabilim Dalı Eğitim Yönetimi, Denetimi, Planlaması ve Ekonomisi

TEZSİZ YÜKSEK LİSANS PROJE ONAY FORMU. Eğitim Bilimleri Anabilim Dalı Eğitim Yönetimi, Denetimi, Planlaması ve Ekonomisi III TEZSİZ YÜKSEK LİSANS PROJE ONAY FORMU Eğitim Bilimleri Anabilim Dalı Eğitim Yönetimi, Denetimi, Planlaması ve Ekonomisi Bilim Dalı öğrencisi Taşkın Osman YILDIZ tarafından hazırlanan Lise Öğrencilerinin

Detaylı

SÜREKLİ, KARIŞTIRMALI POLİMERİZASYON REAKTÖRÜNÜN BENZETİMİ VE KONTROLÜ

SÜREKLİ, KARIŞTIRMALI POLİMERİZASYON REAKTÖRÜNÜN BENZETİMİ VE KONTROLÜ SÜREKLİ, KARIŞTIRMALI POLİMERİZASYON REAKTÖRÜNÜN BENZETİMİ VE KONTROLÜ Gülay ÖZKAN 1 İlkay ÇALIŞKAN 2 1,2 Kimya Mühendisliği Bölümü Mühendislik Fakülesi Ankara Üniversiesi, 06100, Beşevler, Ankara 1 e-posa:

Detaylı

C L A S S N O T E S SİNYALLER. Sinyaller & Sistemler Sinyaller Dr.Aşkın Demirkol

C L A S S N O T E S SİNYALLER. Sinyaller & Sistemler Sinyaller Dr.Aşkın Demirkol Sinyaller & Sisemler Sinyaller Dr.Aşkın Demirkol SİNYALLER Elekriki açıdan enerjisi ve frekansı olan dalga işare olarak anımlanır. Alernaif olarak kodlanmış sinyal/işare de uygun bir anım olabilir. s (

Detaylı

SPEKTRAL HESAP. Bir Serbestlik Dereceli Sistemler Bir serbestlik dereceli doğrusal elastik siteme ait diferansiyel hareket denklemi,

SPEKTRAL HESAP. Bir Serbestlik Dereceli Sistemler Bir serbestlik dereceli doğrusal elastik siteme ait diferansiyel hareket denklemi, Nuri ÖHENDEKCİ SPEKAL HESAP Yapıları ekileyen deprem dalgaları amamen belirli değildir; bu dalgaların özelliklerinde rasgelelik vardır. aman parameresine bağlı bu deprem dalgalarının farklı arilerde oluşmasıyla

Detaylı

ELM201 ELEKTRONİK-I DERSİ LABORATUAR FÖYÜ

ELM201 ELEKTRONİK-I DERSİ LABORATUAR FÖYÜ T SAKARYA ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİKELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ ELM21 ELEKTRONİKI DERSİ LABORATUAR FÖYÜ DENEYİ YAPTIRAN: DENEYİN ADI: DENEY NO: DENEYİ YAPANIN ADI ve SOYADI: SINIFI: OKUL NO:

Detaylı

BÖLÜM 7 2.1 YARIM DALGA DOĞRULTMAÇ TEMEL ELEKTRONİK

BÖLÜM 7 2.1 YARIM DALGA DOĞRULTMAÇ TEMEL ELEKTRONİK BÖLÜM 7 2.1 YARIM DALGA DOĞRULTMAÇ Tüm elekronik cihazlar çalışmak için bir DC güç kaynağına (DC power supply) gereksinim duyarlar. Bu gerilimi elde emenin en praik ve ekonomik yolu şehir şebekesinde bulunan

Detaylı

KONYA İLİ SICAKLIK VERİLERİNİN ÇİFTDOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELİ İLE MODELLENMESİ

KONYA İLİ SICAKLIK VERİLERİNİN ÇİFTDOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELİ İLE MODELLENMESİ KONYA İLİ SICAKLIK VERİLERİNİN ÇİFTDOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELİ İLE MODELLENMESİ İsmail KINACI 1, Aşır GENÇ 1, Galip OTURANÇ, Aydın KURNAZ, Şefik BİLİR 3 1 Selçuk Üniversiesi, Fen-Edebiya Fakülesi İsaisik

Detaylı

BANKA KREDİ PORTFÖYLERİNİN YÖNETİMİNDE ÖDEMEME RİSKİ ANALİZİ: KALMAN FİLTRESİNE DAYANAN ALTERNATİF BİR YÖNTEM ÖNERİSİ

BANKA KREDİ PORTFÖYLERİNİN YÖNETİMİNDE ÖDEMEME RİSKİ ANALİZİ: KALMAN FİLTRESİNE DAYANAN ALTERNATİF BİR YÖNTEM ÖNERİSİ BANKA KREDİ PORTFÖLERİNİN ÖNETİMİNDE ÖDEMEME RİSKİ ANALİZİ: KALMAN FİLTRESİNE DAANAN ALTERNATİF BİR ÖNTEM ÖNERİSİ K. Bau TUNA * ÖZ Ödememe riski banka kredilerini ve bankaların kredi porföylerini ekiler.

Detaylı

Su Yapıları II Aktif Hacim

Su Yapıları II Aktif Hacim 215-216 Bahar Su Yapıları II Akif Hacim Yrd. Doç. Dr. Burhan ÜNAL Bozok Üniversiesi Mühendislik Mimarlık Fakülesi İnşaa Mühendisliği Bölümü Yozga Yrd. Doç. Dr. Burhan ÜNAL Bozok Üniversiesi n aa Mühendisli

Detaylı

Hafta 7: FrekaNS BÖLGESİNE DOĞRU: FOURIER SERİLERİ. İçindekiler

Hafta 7: FrekaNS BÖLGESİNE DOĞRU: FOURIER SERİLERİ. İçindekiler Hafa 7: FrekaNS BÖLGESİNE DOĞRU: FOURIER SERİLERİ İçindekiler 4. ek ve çif sinyaller (Odd & Even signals)... 2 4.2 Konjüge simeri ve konjüge ani-simeri özelliği... 4 4.3 Sürekli zaman periyodik sinyallerin

Detaylı

PRATİK TASARIM METODLARIYLA DÜŞÜRÜCÜ TİP DA-DA DÖNÜŞTÜRÜCÜNÜN GELİŞTİRİLMESİ The Development of DC-DC Buck Converter with Practical Design Methods

PRATİK TASARIM METODLARIYLA DÜŞÜRÜCÜ TİP DA-DA DÖNÜŞTÜRÜCÜNÜN GELİŞTİRİLMESİ The Development of DC-DC Buck Converter with Practical Design Methods PRAİK ASARIM MEODLARIYLA DÜŞÜRÜCÜ İP DÖNÜŞÜRÜCÜNÜN GELİŞİRİLMESİ he Developmen of DC-DC Buck Converer wih Pracical Design Mehods Emre CEBECİ, Yusuf YAŞA Yıldız eknik Üniversiesi Elekrik Mühendisliği Bölümü

Detaylı

Makine Öğrenmesi 8. hafta

Makine Öğrenmesi 8. hafta Makine Öğrenmesi 8. hafa Takviyeli Öğrenme (Reinforcemen Learning) Q Öğrenme (Q Learning) TD Öğrenme (TD Learning) Öğrenen Vekör Parçalama (LVQ) LVQ2 LVQ-X 1 Takviyeli Öğrenme Takviyeli öğrenme (Reinforcemen

Detaylı

ELM201 ELEKTRONİK-I DERSİ LABORATUAR FÖYÜ

ELM201 ELEKTRONİK-I DERSİ LABORATUAR FÖYÜ TC SAKARYA ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİKELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ ELM21 ELEKTRONİKI DERSİ LABORATUAR FÖYÜ DENEYİ YAPTIRAN: DENEYİN ADI: DENEY NO: DENEYİ YAPANIN ADI ve SOYADI: SINIFI: OKUL NO:

Detaylı

MEH535 Örüntü Tanıma. Örneklerden Sınıf Öğrenme

MEH535 Örüntü Tanıma. Örneklerden Sınıf Öğrenme MEH535 Örünü Tanıma 3. Deneimli Öğrenme Doç.Dr. M. Kemal GÜLLÜ Elekronik ve Haberleşme Mühendisliği Bölümü web: hp://akademikpersonel.kocaeli.edu.r/kemalg/ E-posa: kemalg@kocaeli.edu.r Örneklerden Sınıf

Detaylı

Karadeniz Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi * Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü Elektronik Anabilim Dalı * Elektronik Laboratuarı I

Karadeniz Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi * Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü Elektronik Anabilim Dalı * Elektronik Laboratuarı I Karadeniz Teknik Üniversiesi Mühendislik Fakülesi * Elekrik-Elekronik Mühendisliği Bölümü Elekronik Anabilim alı * Elekronik Laborauarı I FET.Lİ KUETLENİİCİLE 1. eneyin Amacı FET Transisörlerle yapılan

Detaylı

BÖLÜM-9 TAŞKIN ÖTELENMESİ (FLOOD ROUTING)

BÖLÜM-9 TAŞKIN ÖTELENMESİ (FLOOD ROUTING) BÖLÜM-9 TAŞKIN ÖTELENMEİ (FLD RUTING) 9. GİRİŞ Tarih göseriyor ki pek çok medeniye kurulurken, insanlar için suyun vazgeçilmez öneminden dolayı akarsu kenarları ercih edilmişir. Bunun içme ve sulama suyunu

Detaylı

Bölüm 3 HAREKETLİ ORTALAMALAR VE DÜZLEŞTİRME YÖNTEMLERİ

Bölüm 3 HAREKETLİ ORTALAMALAR VE DÜZLEŞTİRME YÖNTEMLERİ Bölüm HAREKETLİ ORTALAMALAR VE DÜZLEŞTİRME ÖNTEMLERİ Bu bölümde üç basi öngörü yönemi incelenecekir. 1) Naive, 2)Oralama )Düzleşirme Geçmiş Dönemler Şu An Gelecek Dönemler * - -2-1 +1 +2 + Öngörü yönemi

Detaylı

13 Hareket. Test 1 in Çözümleri. 4. Konum-zaman grafiklerinde eğim hızı verir. v1 t

13 Hareket. Test 1 in Çözümleri. 4. Konum-zaman grafiklerinde eğim hızı verir. v1 t 3 Hareke Tes in Çözümleri X Y. cisminin siseme er- diği döndürme ekisi 3mgr olup yönü saa ibresinin ersinedir. cisminin siseme erdiği döndürme ekisi mgr olup yönü saa ibresi yönündedir. 3mgr daha büyük

Detaylı

The Nonlinear Models with Measurement Error and Least Squares Estimation

The Nonlinear Models with Measurement Error and Least Squares Estimation D.Ü.Ziya Gökalp Eğiim Fakülesi Dergisi 5,17-113 5 ÖLÇÜM HATALI LiNEER OLMAAN MODELLER ve EN KÜÇÜK KARELER KESTİRİMİ The Nonlinear Models wih Measuremen Error and Leas Squares Esimaion Öze : u çalışmada,

Detaylı

İŞARETLER ve SİSTEMLER (SIGNALS and SYSTEMS)

İŞARETLER ve SİSTEMLER (SIGNALS and SYSTEMS) İŞARETLER ve SİSTEMLER (SIGNALS and SYSTEMS) Yrd. Doç. Dr. Musafa Zahid YILDIZ musafayildiz@sakarya.edu.r oda no: 469 Kaynaklar: 1. Signals and Sysems, Oppenheim. (Türkçe versiyonu: Akademi Yayıncılık)

Detaylı

GELİŞTİRİLMİŞ DGA İŞARETLERİNİN PIC MİKRODENETLEYİCİLERLE ÜRETİLMESİ

GELİŞTİRİLMİŞ DGA İŞARETLERİNİN PIC MİKRODENETLEYİCİLERLE ÜRETİLMESİ GELİŞTİRİLMİŞ DGA İŞARETLERİNİN PIC MİKRODENETLEYİCİLERLE ÜRETİLMESİ Tarık ERFİDAN Saılmış ÜRGÜN Bekir ÇAKIR Yakup KARABAG Kocaeli Üniversiesi Müh.Fak. Elekrik Mühendisliği Bölümü, 41100, İzmi/Kocaeli

Detaylı

Hafta 3: SİNYALLER için uygulamalar

Hafta 3: SİNYALLER için uygulamalar Hafa 3: SİNYALLER için uygulamalar Sorular ve Cevapları... 2 Sayfa Bölüm Sonu Soruları ve Cevapları Alışırma : x() = Ae β ; A = A e jα ve β = γ + jω sürekli zaman genel kompleks eksponansiyel sinyalinin

Detaylı

hafta 6: Katlama işlemi özellikleri

hafta 6: Katlama işlemi özellikleri hafa 6: Kalama işlemi özellikleri 3.4 Kalama işlemi özellikleri... 2 3.4.1 Yer değişirme özelliği (Commuaive Propery)... 2 3.4.2 Dağılma özelliği (Disribuive Propery)... 2 3.4.2.1 Dağılma özelliği kullanarak

Detaylı

BARAJ GÖLLERİNDE DEPREM SIRASINDA OLUŞAN HİDRODİNAMİK BASINÇLARIN SAYISAL BENZETİMİ

BARAJ GÖLLERİNDE DEPREM SIRASINDA OLUŞAN HİDRODİNAMİK BASINÇLARIN SAYISAL BENZETİMİ Eskişehir Osmangazi Üniversiesi Mühendislik Mimarlık Fakülesi Dergisi Cil:XXII, Sayı:3, 29 Journal of Engineering and Archiecure Faculy of Eskişehir Osmangazi Universiy, Vol: XXII, No:3, 29 Makalenin Geliş

Detaylı

PNÖMATİK TAŞIMA SİSTEMLERİ VE OPTİMUM TAŞIMA HIZININ BELİRLENMESİNDE KULLANILAN EŞİTLİKLER

PNÖMATİK TAŞIMA SİSTEMLERİ VE OPTİMUM TAŞIMA HIZININ BELİRLENMESİNDE KULLANILAN EŞİTLİKLER 105 PNÖMATİK TAŞIMA SİSTEMLERİ VE OPTİMM TAŞIMA HIZININ BELİRLENMESİNDE KLLANILAN EŞİTLİKLER Faih YILMAZ ÖZET Kaı akışkanların (oz,küçük aneli) aşınmasında kullanılan sisemlerden biriside Pnömaik Tasıma

Detaylı

FARK DENKLEMLERİ SİSTEMİ

FARK DENKLEMLERİ SİSTEMİ FARK DENKLEMLERİ SİSTEMİ 2 Daha önce alıncı bölümde ek değişken durumunda fark denklemlerini ele almışık. Burada değişken sayısının iki ya da daha fazla olduğu fark denklemlerinden oluşan bir sisemin çözümü

Detaylı

NİĞDE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK-MİMARLIK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜH. BÖLÜMÜ HABERLEŞME TEORİSİ FİNAL SINAVI SORU-CEVAPLARI

NİĞDE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK-MİMARLIK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜH. BÖLÜMÜ HABERLEŞME TEORİSİ FİNAL SINAVI SORU-CEVAPLARI NİĞDE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK-MİMARLIK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜH. BÖLÜMÜ HABERLEŞME TEORİSİ FİNAL SINAVI SORU-CEVAPLARI Tarih: 4-0-008 Adı Soyadı : No : Soru 3 4 TOPLAM Puan 38 30 30 30 8 Soru

Detaylı

TÜRKİYE ELEKTRİK PİYASASİNDA RÜZGAR ENERJİSİ

TÜRKİYE ELEKTRİK PİYASASİNDA RÜZGAR ENERJİSİ TÜRKİYE ELEKTRİK PİYASASİNDA RÜZGAR ENERJİSİ Musafa ŞEKKELİ Kahramanmaraş Süçü İmam Üniversiesi, Fen Bilimleri Ensiüsü, K.Maraş, msekkeli@ksu.edu.r Ceyhun YILDIZ Kahramanmaraş Süçü İmam Üniversiesi, Fen

Detaylı

TCMB FAĐZ KARARLARININ HĐSSE SENEDĐ PĐYASALARI ÜZERĐNE ETKĐSĐ

TCMB FAĐZ KARARLARININ HĐSSE SENEDĐ PĐYASALARI ÜZERĐNE ETKĐSĐ Cenral Bank Review Vol. 10 (July 2010), pp.23-32 ISSN 1303-0701 prin / 1305-8800 online 2010 Cenral Bank of he Republic of Turkey hp://www.cmb.gov.r/research/review/ TCMB FAĐZ KARARLARININ HĐSSE SENEDĐ

Detaylı

1) Çelik Çatı Taşıyıcı Sisteminin Geometrik Özelliklerinin Belirlenmesi

1) Çelik Çatı Taşıyıcı Sisteminin Geometrik Özelliklerinin Belirlenmesi 1) Çelik Çaı Taşıyıcı Siseminin Geomerik Özelliklerinin Belirlenmesi 1.1) Aralıklarının Çaı Örüsüne Bağlı Olarak Belirlenmesi Çaı örüsünü aşıyan aşıyıcı eleman aşık olarak isimlendirilir. Çaı sisemi oplam

Detaylı

Ters Perspektif Dönüşüm ile Doku Kaplama

Ters Perspektif Dönüşüm ile Doku Kaplama KRDENİZ EKNİK ÜNİERSİESİ BİLGİSR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSR GRFİKLERİ LBORURI ers Perspekif Dönüşüm ile Doku Kaplama 1. Giriş Bu deneyde, genel haları ile paralel ve perspekif izdüşüm eknikleri, ers perspekif

Detaylı

Türkiye Cumhuriyet Merkez Bankası Sayı: 2010-8 / 24 Mayıs 2010 EKONOMİ NOTLARI

Türkiye Cumhuriyet Merkez Bankası Sayı: 2010-8 / 24 Mayıs 2010 EKONOMİ NOTLARI Türkiye Cumhuriye Merkez Bankası Sayı: 2010-8 / 24 Mayıs 2010 EKONOMİ NOTLARI TCMB Faiz Kararlarının Piyasa Faizleri Ve Hisse Senedi Piyasaları Üzerine Ekisi Mura Duran Refe Gürkaynak Pınar Özlü Deren

Detaylı

Modern endüstri tesislerinde yer alan en önemli

Modern endüstri tesislerinde yer alan en önemli Plasik Zincirli İleiciler, Tasarımları ve Plasik Zincir Baklasının Analizi Muharrem E. BOĞOÇLU, C. Okay AZELOĞLU Yıldız Teknik Üniversiesi Makina Fakülesi ÖZET Günümüzün modern endüsri esislerinde yer

Detaylı

ANALOG ELEKTRONİK - II

ANALOG ELEKTRONİK - II ANALOG ELEKTONİK - II BÖLÜM Temel Opamp Devreleri Konular:. Eviren ve Evirmeyen Yükseleç. Temel ark Alıcı.3 Gerilim İzleyici.4 Türev ve Enegral Alıcı Amaçlar: Bu bölümü biirdiğinizde aşağıda belirilen

Detaylı

MEH535 Örüntü Tanıma

MEH535 Örüntü Tanıma MEH535 Örünü Tanıma 4. Paramerik Sınıflandırma Doç.Dr. M. Kemal GÜLLÜ Elekronik ve Haberleşme Mühendisliği Bölümü web: hp://akademikpersonel.kocaeli.edu.r/kemalg/ E-posa: kemalg@kocaeli.edu.r Paramerik

Detaylı

Kafes Kiriş yük idealleştirmesinin perspektif üzerinde gösterimi. Aşık. P m

Kafes Kiriş yük idealleştirmesinin perspektif üzerinde gösterimi. Aşık. P m 3. KAFES KİRİŞİN TASARIMI 3.1 Kafes Kiriş Yüklerinin İdealleşirilmesi Kafes kirişler (makaslar), aşıkları, çaı örüsünü ve çaı örüsü üzerine ekiyen dış yükleri (rüzgar, kar) aşırlar ve bu yükleri aşıklar

Detaylı

Teknolojik bir değişiklik veya üretim arttırıcı bir yatırımın sonucunda ihracatta, üretim miktarında vs. önemli artışlar olabilir.

Teknolojik bir değişiklik veya üretim arttırıcı bir yatırımın sonucunda ihracatta, üretim miktarında vs. önemli artışlar olabilir. YAPISAL DEĞİŞİKLİK Zaman serileri bazı nedenler veya bazı fakörler arafından ekilenerek zaman içinde değişikliklere uğrayabilirler. Bu değişim ikisadi kriz, ikisa poliikalarında yapılan değişiklik, eknolojik

Detaylı

YAPAY SİNİR AĞLARI VE ARIMA MODELLERİNİN MELEZ YAKLAŞIMI İLE ZAMAN SERİLERİNDE ÖNGÖRÜ

YAPAY SİNİR AĞLARI VE ARIMA MODELLERİNİN MELEZ YAKLAŞIMI İLE ZAMAN SERİLERİNDE ÖNGÖRÜ YAPAY SİNİR AĞLARI VE ARIMA MODELLERİNİN MELEZ YAKLAŞIMI İLE ZAMAN SERİLERİNDE ÖNGÖRÜ Erol EĞRİOĞLU Haceepe Üniversiesi, Fen Fakülesi, İsaisik Bölümü, 06532, Beyepe, Ankara, TÜRKİYE, erole@haceepe.edu.r

Detaylı

SÜREKLİ PARAMETRELİ GENETİK ALGORİTMA İLE UYDU LİNK TASARIMI

SÜREKLİ PARAMETRELİ GENETİK ALGORİTMA İLE UYDU LİNK TASARIMI HAVACILIK VE UZAY EKOLOJİLERİ DERGİSİ EMMUZ CİL 5 SAYI (43-58) SÜREKLİ PARAMERELİ GEEİK ALGORİMA İLE UYDU LİK ASARIMI Hv.Mu.Üğm. Mura BAĞCI* Hava Harp Okulu Havacılık ve Uzay eknolojileri Ensiüsü Uzay

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇOK DEĞİŞKENLİ EŞİKSEL OTOREGRESİF MODELLER ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA Ümran Münire KAHRAMAN DOKTORA TEZİ İsaisik Anabilim Dalı 2012 KONYA Her Hakkı Saklıdır TEZ

Detaylı

ELN3304 ELEKTRONİK DEVRELER LABORATUVARI II DENEY 3 TEK BESLEMELİ İŞLEMSEL KUVVETLENDİRİCİLER

ELN3304 ELEKTRONİK DEVRELER LABORATUVARI II DENEY 3 TEK BESLEMELİ İŞLEMSEL KUVVETLENDİRİCİLER T.. ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ELN ELEKTRONİK DEVRELER LABORATUVARI II DENEY TEK BESLEMELİ İŞLEMSEL KUVVETLENDİRİİLER Deneyi Yapanlar Grubu Numara

Detaylı

24.05.2010. Birim Kök Testleri. Zaman Serisi Modelleri: Birim Kök Testleri, Eşbütünleşme, Hata Düzeltme Modelleri

24.05.2010. Birim Kök Testleri. Zaman Serisi Modelleri: Birim Kök Testleri, Eşbütünleşme, Hata Düzeltme Modelleri Yıldız Teknik Üniversiesi İkisa Bölümü Ekonomeri II Ders Noları Ders Kiabı: J.M. Wooldridge, Inroducory Economerics A Modern Approach, 2nd. ed., 2002, Thomson Learning. Zaman Serisi Modelleri: Birim Kök

Detaylı

DA-DA DÖNÜŞTÜRÜCÜLER (DA Kıyıcı, DA Gerilim Ayarlayıcı) DA gerilimi bir başka DA gerilim seviyesine dönüştüren devrelerdir.

DA-DA DÖNÜŞTÜRÜCÜLER (DA Kıyıcı, DA Gerilim Ayarlayıcı) DA gerilimi bir başka DA gerilim seviyesine dönüştüren devrelerdir. DADA DÖNÜŞÜRÜCÜLER (DA Kıyıcı, DA Gerilim Ayarlayıcı) DA gerilimi bir başka DA gerilim seviyesine dönüşüren devrelerdir. Uygulama Alanları 1. DA moor konrolü 2. UPS 3. Akü şarjı 4. DA gerilim kaynakları

Detaylı

Birim Kök Testleri. Random Walk. Bir stokastiksürecin birim kök içerip içermediğini nasıl anlarız? Hatırlarsak aşağıdaki AR(1) sürecinde

Birim Kök Testleri. Random Walk. Bir stokastiksürecin birim kök içerip içermediğini nasıl anlarız? Hatırlarsak aşağıdaki AR(1) sürecinde Yıldız Teknik Üniversiesi İkisa Bölümü Ekonomeri II Ders Noları Ders Kiabı: J.M. Wooldridge, Inroducory Economerics A Modern Approach, 2nd. ed., 02, Thomson Learning. Zaman Serisi Modelleri: Birim Kök

Detaylı

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 5 Sayı: 1 sh. 147 158 Ocak 2003

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 5 Sayı: 1 sh. 147 158 Ocak 2003 DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cil: 5 Sayı: 1 sh. 147 158 Oak 003 MAKSİMUM GÜÇ NOKTAS İZLEYİCİLİ FOTOVOLTAİK SİSTEMLERİN OPTİMUM DİZAYN VE ÇALŞMA KOŞULLARNN ARAŞTRLMAS (NVESTGATON

Detaylı

T.C. ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ELN3304 ELEKTRONİK DEVRELER LABORATUVARI II

T.C. ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ELN3304 ELEKTRONİK DEVRELER LABORATUVARI II T.. ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ELN ELEKTRONİK DEVRELER LABORATUVARI II DENEY : TEK BESLEMELİ İŞLEMSEL KUVVETLENDİRİİLER DENEY GRUBU :... DENEYİ YAPANLAR

Detaylı

GÜÇ SİSTEMLERİNDE KADEME DEĞİŞTİRİCİ TRANSFORMATÖRLERİN KAOTİK OSİLASYONLARI

GÜÇ SİSTEMLERİNDE KADEME DEĞİŞTİRİCİ TRANSFORMATÖRLERİN KAOTİK OSİLASYONLARI GÜÇ SİSEMLERİNDE KADEME DEĞİŞİRİCİ RANSFORMAÖRLERİN KAOİK OSİLASYONLARI Kadir ABACI Mehme Ali YALÇIN Yılmaz UYAROĞLU 3 Hüseyin GELBERİ 4 Elekrik-Elekronik Mühendisliği Bölümü Sakarya Üniversiesi, Esenepe

Detaylı

FİZİK-II DERSİ LABORATUVARI ( FL 2 4 )

FİZİK-II DERSİ LABORATUVARI ( FL 2 4 ) FİZİK-II DERSİ LABORATUVARI ( FL 2 4 ) KURAM: Kondansaörün Dolma ve Boşalması Klasik olarak bildiğiniz gibi, iki ileken paralel plaka arasına dielekrik (yalıkan) bir madde konulursa kondansaör oluşur.

Detaylı

FEN BİLGİSİ ÖĞRETMEN ADAYLARININ ÇÖZELTİLER KİMYASINI ÖĞRENMELERİNE İŞBİRLİKLİ ÖĞRENME YÖNTEMİNİN ETKİLERİNİN ARAŞTIRILMASI

FEN BİLGİSİ ÖĞRETMEN ADAYLARININ ÇÖZELTİLER KİMYASINI ÖĞRENMELERİNE İŞBİRLİKLİ ÖĞRENME YÖNTEMİNİN ETKİLERİNİN ARAŞTIRILMASI GAZİ ÜNİVERSİTESİ KIRŞEHİR EĞİTİM FAKÜLTESİ, Cil 6, Sayı 2,(2005), 197-207 197 FEN BİLGİSİ ÖĞRETMEN ADAYLARININ ÇÖZELTİLER KİMYASINI ÖĞRENMELERİNE İŞBİRLİKLİ ÖĞRENME YÖNTEMİNİN ETKİLERİNİN ARAŞTIRILMASI

Detaylı

BELİRSİZ FİYAT VE TALEP KOŞULLARI ALTINDA SATINALMA POLİTİKALARI. Ercan ŞENYİĞİT*

BELİRSİZ FİYAT VE TALEP KOŞULLARI ALTINDA SATINALMA POLİTİKALARI. Ercan ŞENYİĞİT* Erciyes Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü Dergisi 24 (1-2) 165-176 (2008) hp://fbe.erciyes.edu.r/ ISSN 1012-2354 BELİRSİZ FİYAT VE TALEP KOŞULLARI ALTINDA SATINALMA POLİTİKALARI ÖZET Ercan ŞENYİĞİT* Erciyes

Detaylı

Zaman Serisi Modelleri: Birim Kök Testleri, Eşbütünleşme, Hata Düzeltme Modelleri

Zaman Serisi Modelleri: Birim Kök Testleri, Eşbütünleşme, Hata Düzeltme Modelleri Yıldız Teknik Üniversiesi İkisa Bölümü Ekonomeri II Ders Noları Ders Kiabı: J.M. Wooldridge, InroducoryEconomericsA Modern Approach, 2nd. ed., 2002, Thomson Learning. Zaman Serisi Modelleri: Birim Kök

Detaylı

13 Hareket. Test 1 in Çözümleri

13 Hareket. Test 1 in Çözümleri 13 Hareke 1 Tes 1 in Çözümleri 3. X Y 1. cisminin siseme er- diği döndürme ekisi 3mgr olup yönü saa ibresinin ersinedir. cisminin siseme erdiği döndürme ekisi mgr olup yönü saa ibresi yönündedir. 3mgr

Detaylı

ZAMAN GECİKMELİ ANALOG BENZETİM-UYARTIM ARAYÜZÜNÜN DC MOTOR KONTROLÜNE UYGULANMASI VE KARARLILIK ANALİZİ

ZAMAN GECİKMELİ ANALOG BENZETİM-UYARTIM ARAYÜZÜNÜN DC MOTOR KONTROLÜNE UYGULANMASI VE KARARLILIK ANALİZİ ZAMAN GECİMELİ ANALOG BENZETİM-UYARTM ARAYÜZÜNÜN DC MOTOR ONTROLÜNE UYGULANMAS VE ARARLL ANALİZİ Dilek ÇADRL Saffe AYASUN Fen Bilimleri Ensiüsü Elekrik-Elekronik Mühendisliği Niğde Üniversiesi, 5, Niğde

Detaylı

İMKB NİN LATİN AMERİKA BORSALARIYLA İLİŞKİSİ ÜZERİNE ÇOK DEĞİŞKENLİ GARCH MODELLEMESİ

İMKB NİN LATİN AMERİKA BORSALARIYLA İLİŞKİSİ ÜZERİNE ÇOK DEĞİŞKENLİ GARCH MODELLEMESİ Sosyal Bilimler Dergisi 2010, (4), 25-32 İMKB NİN LATİN AMERİKA BORSALARIYLA İLİŞKİSİ ÜZERİNE ÇOK DEĞİŞKENLİ GARCH MODELLEMESİ Özlem YORULMAZ - Oya EKİCİ İsanbul Üniversiesi İkisa Fakülesi Ekonomeri Bölümü

Detaylı

SÜREKLİ ZAMANLI KAOTİK SİSTEMİNİN DURUM GERİ BESLEME İLE DOĞRUSALLAŞTIRILMASI VE DENETİMİ

SÜREKLİ ZAMANLI KAOTİK SİSTEMİNİN DURUM GERİ BESLEME İLE DOĞRUSALLAŞTIRILMASI VE DENETİMİ SÜREKLİ ZAMANLI KAOTİK SİSTEMİNİN DURUM GERİ BESLEME İLE DOĞRUSALLAŞTIRILMASI VE DENETİMİ Ümi ÇOKRAK Ahme UÇAR Elekrik-Elekronik Mühendisliği Bölümü Mühendislik Fakülesi Fıra Üniversiesi, 9, Elazığ e-posa:

Detaylı

BÖLÜM 5 İKTİSAT POLİTİKALARININ UZUN DÖNEMLİ BÜYÜMEYE ETKİLERİ: İÇSEL BÜYÜME TEORİLERİ ÇERÇEVESİNDE DEĞERLENDİRME

BÖLÜM 5 İKTİSAT POLİTİKALARININ UZUN DÖNEMLİ BÜYÜMEYE ETKİLERİ: İÇSEL BÜYÜME TEORİLERİ ÇERÇEVESİNDE DEĞERLENDİRME BÖLÜM 5 İKTİSAT POLİTİKALARININ UZUN DÖNEMLİ BÜYÜMEYE ETKİLERİ: İÇSEL BÜYÜME TEORİLERİ ÇERÇEVESİNDE DEĞERLENDİRME 42 Bu bölümde, büyüme sürecini uzun dönemde ekileyebilecek ikisa poliikalarınıı (vergileme,

Detaylı

Çoklu Doğrusal Regresyon Modelinde Değişken Seçiminin Zootekniye Uygulanışı

Çoklu Doğrusal Regresyon Modelinde Değişken Seçiminin Zootekniye Uygulanışı Ç.Ü.Z.F. Dergisi, 2015, 30 (1) : 1 8 J.Agric. Fac. Ç.Ü., 2015, 30 (1) : 1-8 Çoklu Doğrusal Regresyon inde Değişken Seçiminin Zooekniye Uygulanışı G. Tamer KAYAALP (1) Melis ÇELİK GÜNEY (1) Zeynel CEBECİ

Detaylı

ÖDEV SORULARI Güz Yarıyılı Öğretim Üyesi: Prof. Dr. Sedef Kent

ÖDEV SORULARI Güz Yarıyılı Öğretim Üyesi: Prof. Dr. Sedef Kent LĐNEER CEBĐR ve UYGULMLRI DERSĐ ÖDEV SORULRI 9- Güz Yarıyılı Öğreim Üyesi: Prof. Dr. Sedef Ken Ödev ile ilgili açıklamalar:. Derse ai dör bölümden oluşan ödevlerin amamı buradadır. ncak ödevler konular

Detaylı

Birim Kök Testleri 3/24/2016. Bir stokastik sürecin birim kök içerip içermediğini nasıl anlarız? Hatırlarsak aşağıdaki AR(1) sürecinde

Birim Kök Testleri 3/24/2016. Bir stokastik sürecin birim kök içerip içermediğini nasıl anlarız? Hatırlarsak aşağıdaki AR(1) sürecinde Yıldız Teknik Üniversiesi İkisa Bölümü Ekonomeri II Ders Noları Ders Kiabı: J.M. Wooldridge, Inroducory Economerics A Modern Approach, 2nd. ed., 2002, Thomson Learning. Zaman Serisi Modelleri: Birim Kök

Detaylı

TÜRKİYE NÜFUSU İÇİN STOKASTİK ÖLÜMLÜLÜK MODELLERİ

TÜRKİYE NÜFUSU İÇİN STOKASTİK ÖLÜMLÜLÜK MODELLERİ Nüfusbilim Dergisi\Turkish Journal of Populaion Sudies, 2012, 34, 31-50 31 TÜRKİYE NÜFUSU İÇİN STOKASTİK ÖLÜMLÜLÜK MODELLERİ Ölümlülük ahminleri, demografi ve aküerya bilimlerinde önemli bir rol oynamakadır.

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemesi İstatistiksel Mekanik II: Alanların İstatistiksel Fiziği 2008 Bahar

MIT Açık Ders Malzemesi İstatistiksel Mekanik II: Alanların İstatistiksel Fiziği 2008 Bahar MIT Açık Ders Malzemesi hp://ocw.mi.edu 8.334 İsaisiksel Mekanik II: Alanların İsaisiksel Fiziği 8 Bahar Bu malzemeye aıfa bulunmak ve Kullanım Şarlarımızla ilgili bilgi almak için hp://ocw.mi.edu/erms

Detaylı

T.C. ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ELN3304 ELEKTRONİK DEVRELER LABORATUVARI II

T.C. ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ELN3304 ELEKTRONİK DEVRELER LABORATUVARI II T.C. ULUDĞ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMRLIK FKÜLTESİ ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ELN4 ELEKTRONİK DEVRELER LBORTUVRI II DENEY 6: OSİLTÖRLER DENEY GRUBU :... DENEYİ YPNLR :......... RPORU HZIRLYN :...

Detaylı

Kirişlerin düzlemi doğrultusunda kolonlara rijit (moment aktaran) birleşim ile bağlanması durumu;

Kirişlerin düzlemi doğrultusunda kolonlara rijit (moment aktaran) birleşim ile bağlanması durumu; DEPREM YÜKLERİ (E) Binalara ekiyen deprem yükleri Deprem Yönemeliği ne göre belirlenir. Çaı sisemindeki elemanlara (Kafes kiriş, aşık, sabilie elemanları vb.) deprem yüklerinin ekisi kafes kirişin kolonlara

Detaylı

BOBĐNLER. Bobinler. Sayfa 1 / 18 MANYETĐK ALANIN TEMEL POSTULATLARI. Birim yüke elektrik alan içerisinde uygulanan kuvveti daha önce;

BOBĐNLER. Bobinler. Sayfa 1 / 18 MANYETĐK ALANIN TEMEL POSTULATLARI. Birim yüke elektrik alan içerisinde uygulanan kuvveti daha önce; BOBĐER MAYETĐK AAI TEME POSTUATARI Birim yüke elekrik alan içerisinde uygulanan kuvvei daha önce; F e = qe formülüyle vermişik. Manyeik alan içerisinde ise bununla bağlanılı olarak hareke halindeki bir

Detaylı

KADEME DEĞİŞTİRİCİ TRANSFORMATÖRLERN ÇATALLAŞMA ANALİZİ İLE DİNAMİK GERİLİM KARARLILIĞI

KADEME DEĞİŞTİRİCİ TRANSFORMATÖRLERN ÇATALLAŞMA ANALİZİ İLE DİNAMİK GERİLİM KARARLILIĞI KADEME DEĞİŞTİRİCİ TRANSFORMATÖRLERN ÇATALLAŞMA ANALİZİ İLE DİNAMİK GERİLİM KARARLILIĞI Kadir ABACI Ercan KÖSE Mehme Ali YALÇ IN 3 Yılmaz UYAROĞLU 4 Elekronik ve Bilgisayar Eğiimi Bölümü, Mersin Üniversiesi,

Detaylı

TEZSİZ YÜKSEK LİSANS PROJE ONAY FORMU

TEZSİZ YÜKSEK LİSANS PROJE ONAY FORMU iii TEZSİZ YÜKSEK LİSANS PROJE ONAY FORMU Eğitim Bilimleri Anabilim Dalı, Eğitim Yönetimi, Teftişi, Planlaması ve Ekonomisi Bilim Dalı öğrencisi Rabia HOŞ tarafından hazırlanan " Okul Öncesi Eğitim Kurumlarında

Detaylı

Dalgalar. Matematiksel olarak bir dalga, hem zamanın hem de konumun bir fonksiyonudur: İlerleyen bir dalganın genel bağıntısı (1- boyut ): y f ( x t)

Dalgalar. Matematiksel olarak bir dalga, hem zamanın hem de konumun bir fonksiyonudur: İlerleyen bir dalganın genel bağıntısı (1- boyut ): y f ( x t) Dalgalar Tireşimlerin bir uyarının veya bir sarsınının uzay içinde zamanla ilerlemesine dalga denir. Maemaiksel olarak bir dalga, hem zamanın hem de konumun bir fonksiyonudur: İlerleyen bir dalganın genel

Detaylı

Mevsimsel Kointegrasyon Analizi: Güney Afrika Örneği. Seasonal Cointegration Analysis: Example of South Africa

Mevsimsel Kointegrasyon Analizi: Güney Afrika Örneği. Seasonal Cointegration Analysis: Example of South Africa Gazi Üniversiesi Sosyal Bilimler Dergisi Vol/Cil 3, No/Sayı 6, 216 Mevsimsel Koinegrasyon Analizi Güney Afrika Örneği Jeanine NDIHOKUBWAYO Yılmaz AKDİ Öze Bu çalışmada 1991-2134 dönemi Güney Afrika ekonomik

Detaylı

İL - İLÇE MERKEZLERİNDEKİ ÖLÜMLERE UYGULANMASI MORTALITY FORECASTING METHODS AND APPLICATION TO DEATHS IN PROVINCE - DISTRICT CENTERS OF TURKEY

İL - İLÇE MERKEZLERİNDEKİ ÖLÜMLERE UYGULANMASI MORTALITY FORECASTING METHODS AND APPLICATION TO DEATHS IN PROVINCE - DISTRICT CENTERS OF TURKEY ÖLÜM ORANI PROJEKSİYON YÖNTEMLERİ VE TÜRKİYE İL - İLÇE MERKEZLERİNDEKİ ÖLÜMLERE UYGULANMASI MORTALITY FORECASTING METHODS AND APPLICATION TO DEATHS IN PROVINCE - DISTRICT CENTERS OF TURKEY TUNA GENÇ Haceepe

Detaylı

PARA POLİTİKASININ FİYAT BİLEŞENLERİ ÜZERİNE ETKİSİ: TÜRKİYE ÖRNEĞİ: 1988-2009

PARA POLİTİKASININ FİYAT BİLEŞENLERİ ÜZERİNE ETKİSİ: TÜRKİYE ÖRNEĞİ: 1988-2009 Gazi Üniversiesi İkisadi ve İdari Bilimler Fakülesi Dergisi 11 / 3 (29). 113-126 PARA POLİİKASININ FİYA BİLEŞENLERİ ÜZERİNE EKİSİ: ÜRKİYE ÖRNEĞİ: 1988-29 Yeliz YALÇIN * Ferhan ÇEVİK Öz: Bu çalışmada, CMB

Detaylı

= t. v ort. x = dx dt

= t. v ort. x = dx dt BÖLÜM.4 DOĞRUSAL HAREKET 4. Mekanik Mekanik konusu, kinemaik ve dinamik olarak ikiye ayırmak mümkündür. Kinemaik cisimlerin yalnızca harekei ile ilgilenir. Burada cismin hareke ederken izlediği yol önemlidir.

Detaylı

DENEY-6 LOJİK KAPILAR VE İKİLİ DEVRELER

DENEY-6 LOJİK KAPILAR VE İKİLİ DEVRELER DENEY-6 LOJİK KPILR VE İKİLİ DEVRELER DENEYİN MCI: Bu deneyde emel manık kapıları (logic gaes) incelenecek ek kararlı ikili devrelerin çalışma prensipleri gözlemlenecekir. ÖN HZIRLIK Temel lojik kapı devrelerinden

Detaylı

T.C. ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK - ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ELN3304 ELEKTRONİK DEVRELER LABORATUVARI II

T.C. ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK - ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ELN3304 ELEKTRONİK DEVRELER LABORATUVARI II T.C. ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK - ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ELN334 ELEKTRONİK DEVRELER LABORATUVARI II DENEY 1: TRANZİSTÖRLÜ KUVVETLENDİRİCİLERDE GERİBESLEME I. EĞİTİM II.

Detaylı

Teori ve Problemleriyle ANALİZ-I. Hüseyin DEMİR. 2. Baskı

Teori ve Problemleriyle ANALİZ-I. Hüseyin DEMİR. 2. Baskı Teori ve Problemleriyle NLİZ-I Hüseyin DEMİR 2. Baskı Yrd. Doç. Dr. Hüseyin Demir TEORİ VE PROBLEMLERİYLE NLİZ-I ISBN 978-605-5885-13-7 Kiap içeriğinin üm sorumluluğu yazarlarına aiir. 2014, Pegem kademi

Detaylı

Türkiye nin Kabuklu Fındık Üretiminde Üretim-Fiyat İlişkisinin Koyck Yaklaşımı İle Analizi

Türkiye nin Kabuklu Fındık Üretiminde Üretim-Fiyat İlişkisinin Koyck Yaklaşımı İle Analizi TÜRK TARIM ve DOĞA BİLİMLERİ DERGİSİ TURKISH JOURNAL of AGRICULTURAL and NATURAL SCIENCES www.urkjans.com Türkiye nin Kabuklu Fındık Üreiminde Üreim-Fiya İlişkisinin Koyck Yaklaşımı İle Analizi Şenol ÇELİK*

Detaylı

Dolar Kurundaki Günlük Hareketler Üzerine Bazı Gözlemler

Dolar Kurundaki Günlük Hareketler Üzerine Bazı Gözlemler Dolar Kurundaki Günlük Harekeler Üzerine Bazı Gözlemler Türkiye Bankalar Birliği Ekonomi Çalışma Grubu Toplanısı 28 Nisan 2008, İsanbul Doç. Dr. Cevde Akçay Koç Finansal Hizmeler Baş ekonomis cevde.akcay@yapikredi.com.r

Detaylı

Türkiye de Kırmızı Et Üretiminin Box-Jenkins Yöntemiyle Modellenmesi ve Üretim Projeksiyonu

Türkiye de Kırmızı Et Üretiminin Box-Jenkins Yöntemiyle Modellenmesi ve Üretim Projeksiyonu Hayvansal Üreim 53(): 3-39, 01 Araşırma Türkiye de Kırmızı E Üreiminin Box-Jenkins Yönemiyle Modellenmesi ve Üreim Projeksiyonu Şenol Çelik Ankara Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü Zooekni Anabilim Dalı

Detaylı

İŞSİZLİK VE İNTİHAR İLİŞKİSİ: 1975 2005 VAR ANALİZİ Ferhat TOPBAŞ *

İŞSİZLİK VE İNTİHAR İLİŞKİSİ: 1975 2005 VAR ANALİZİ Ferhat TOPBAŞ * İşsizlik ve İnihar İlişkisi: 1975 2005 Var Analizi 161 İŞSİZLİK VE İNTİHAR İLİŞKİSİ: 1975 2005 VAR ANALİZİ Ferha TOPBAŞ * ÖZET İşsizlik, birey üzerinde olumsuz birçok soruna neden olan karmaşık bir olgudur.

Detaylı

Çukurova Koşullarında Selüloz Esaslı Evaporatif Serinletme Pedinin Üç Farklı Su Akış Debisinde Bazı Performans Özellikleri

Çukurova Koşullarında Selüloz Esaslı Evaporatif Serinletme Pedinin Üç Farklı Su Akış Debisinde Bazı Performans Özellikleri 340 Çukurova Koşullarında Selüloz Esaslı Evaporaif Serinleme Pedinin Üç Farklı Su Akış Debisinde Bazı Performans Özellikleri Nuray KOÇ, Yılmaz YILDIZ Çukurova Üniversiesi, Ziraa Fakülesi,Tarım Makinaları

Detaylı

YAPAY SİNİR AĞLARI İLE NİĞDE BÖLGESİNİN ELEKTRİK YÜK TAHMİNİ

YAPAY SİNİR AĞLARI İLE NİĞDE BÖLGESİNİN ELEKTRİK YÜK TAHMİNİ YAPAY SİNİR AĞLARI İLE NİĞDE BÖLGESİNİN ELEKRİK YÜK AHMİNİ anku YALÇINÖZ Saadedin HERDEM Ulaş EMİNOĞLU Niğde Üniversiesi, Mühendislik-Mimarlık Fakülesi Elekrik-Elekronik Mühendisliği Bölümü, Niğde 5 /

Detaylı

TEZSİZ YÜKSEK LİSANS PROJE ONAY FORMU. Eğitim Bilimleri Enstitüsü Eğitim Yönetimi, Denetimi, Planlaması ve Ekonomisi Bilim

TEZSİZ YÜKSEK LİSANS PROJE ONAY FORMU. Eğitim Bilimleri Enstitüsü Eğitim Yönetimi, Denetimi, Planlaması ve Ekonomisi Bilim iii TEZSİZ YÜKSEK LİSANS PROJE ONAY FORMU Eğitim Bilimleri Enstitüsü Eğitim Yönetimi, Denetimi, Planlaması ve Ekonomisi Bilim Dalı öğrencisi Güngör EBCİM tarafından hazırlanan Ortaokulların Temizlik İhtiyaçlarının

Detaylı

İşaret ve Sistemler. Ders 9: Sistemlere Giriş

İşaret ve Sistemler. Ders 9: Sistemlere Giriş İşare ve Sisemler Ders 9: Sisemlere Giriş Sisem Kavramı Belirli bir işi görmek için bir araa geirilmiş alelerin ve devrelerin ümüne birden SİSEM adı verilir. Başka bir deişle sisem, fiziksel bir sürecin

Detaylı

EŞANLI DENKLEMLİ MODELLER

EŞANLI DENKLEMLİ MODELLER EŞANLI DENKLEMLİ MODELLER EŞANLI DENKLEMLİ MODELLER Eşanlı denklem siseminde, Y den X e ve X den Y ye karşılıklı iki yönlü eki vardır. Y ile X arasındaki karşılıklı ilişki nedeniyle ek denklemli bir model

Detaylı

Darbe Genişliği Modülasyonlu PID Kontrolör İle Rotor Kontrolü Rotor Control by Pulse Width Modulated PID Controller

Darbe Genişliği Modülasyonlu PID Kontrolör İle Rotor Kontrolü Rotor Control by Pulse Width Modulated PID Controller Oomaik Konrol Ulusal Toplanısı, TOK'5, - Eylül 5, Denizli Darbe Genişliği Modülasyonlu Konrolör İle Roor Konrolü Roor Conrol by Pulse Widh Modulaed Conroller Barış Baykan Alagöz, Abdullah Aeş,Gürkan Kavuran,

Detaylı

ÇOKLU DOĞRUSAL BAĞLANTI

ÇOKLU DOĞRUSAL BAĞLANTI ÇOKLU DOĞRUSAL BAĞLANTI ÇOKLU DOĞRUSALLIĞIN ANLAMI Çoklu doğrusal bağlanı; Bağımsız değişkenler arasında doğrusal (yada doğrusala yakın) ilişki olmasıdır... r xx i j paramereler belirlenemez hale gelir.

Detaylı

MÜZĐK VE KONUŞMA ĐŞARETLERĐNĐN DALGACIK ÖZNĐTELĐKLERĐ ĐLE SINIFLANDIRILMASI

MÜZĐK VE KONUŞMA ĐŞARETLERĐNĐN DALGACIK ÖZNĐTELĐKLERĐ ĐLE SINIFLANDIRILMASI MÜZĐK VE KOUŞMA ĐŞARETLERĐĐ DALGACIK ÖZĐTELĐKLERĐ ĐLE SIIFLADIRILMASI Timur Düzenli alan Özkur 2.2 Elekrik-Elekronik Mühendisliği Bölümü, Dokuz Eylül Üniversiesi, Đzmir e-posa: imurduzenli@gmail.com 2

Detaylı

ZAMAN SERİLERİ TAHMİNİNDE ARIMA-MLP MELEZ MODELİ

ZAMAN SERİLERİ TAHMİNİNDE ARIMA-MLP MELEZ MODELİ Aaürk Üniversiesi İkisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Cil: 23, Sayı: 3, 2009 4 ZAMAN SERİLERİ TAHMİNİNDE ARIMA-MLP MELEZ MODELİ Oğuz KAYNAR (*) Serkan TAŞTAN (**) Öze: Bu çalışmada zaman serilerinin ahmini

Detaylı

Çift Üstel Düzeltme (Holt Metodu ile)

Çift Üstel Düzeltme (Holt Metodu ile) Tahmin Yönemleri Çif Üsel Düzelme (Hol Meodu ile) Hol meodu, zaman serilerinin, doğrusal rend ile izlenmesi için asarlanmış bir yönemdir. Yönem (seri için) ve (rend için) olmak üzere iki düzelme kasayısının

Detaylı

DAİRESEL HAREKET Katı Cisimlerin Dairesel Hareketi

DAİRESEL HAREKET Katı Cisimlerin Dairesel Hareketi BÖLÜM 1 DAİRESEL HAREKET 1. DAİRESEL HAREKET 1.1. Kaı Cisimlerin Dairesel Harekei Açısal Yer Değişim: Bir eksen erafında dönmeke olan bir cismin (eker ezgah mili, volan vb.) dönme ekisi ile bir iş yapılır.

Detaylı

Ocak Havasının Sucakltğmnu, içerdiği Nem ftüktarnnm ve 1st içeriğinin BeKrlenmesi

Ocak Havasının Sucakltğmnu, içerdiği Nem ftüktarnnm ve 1st içeriğinin BeKrlenmesi MADENCİLİK Haziran June 1985 Cil Volume XXIV Sayı No 2 Ocak Havasının Sucaklğmnu, içerdiği Nem fükarnnm ve 1s içeriğinin BeKrlenmesi Deerminaion of he Mine Air Temperaure, Humidiy and Hea Value. Gündüz

Detaylı

Reel ve Nominal Şokların Reel ve Nominal Döviz Kurları Üzerindeki Etkileri: Türkiye Örneği

Reel ve Nominal Şokların Reel ve Nominal Döviz Kurları Üzerindeki Etkileri: Türkiye Örneği Reel ve Nominal Şokların Reel ve Nominal Döviz Kurları Üzerindeki Ekileri: Türkiye Örneği Öze Ahme Mura ALPER Bu çalışma Türkiye deki reel döviz kuru dalgalanmalarının kaynaklarını açıklamayı amaçlamakadır.

Detaylı