2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

Transkript

1

2

3 Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS sınavlarında matematik testinde göstereceğiniz performansa bağlıdır. Bunun yanında, okul derslerinizdeki başarınız LYS'deki başarınızı etkileyen başka bir faktör olacaktır. Bu yüzden hem okul başarınıza hem de YGS ve LYS'deki başarınıza katkıda bulunacak doğru yayınların seçilmesi büyük önem taşımaktadır. İşte Matematik Vadisi Yayınları bunların farkında olarak sizlerin başarınıza katkıda bulunacak, amaca uygun yepyeni bir soru bankası serisi çıkarıyor. Bu serideki kitaplar amacınıza uygundur; çünkü bu kitaplar: 1. Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı'nın belirlediği alt öğrenme alanlarına ve kazanımlarına % 100 uyumlu olarak hazırlanmıştır. Bu yüzden, müfredat dışı sorularla uğraşmak zorunda kalmazsınız. 2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. NEDEN MATEMATİK VADİSİ? Son yıllarda matematik öğretimi üzerine yapılan çalışmalar sağlıklı bir matematik öğrenme sürecinden geçen öğrencilerin derste karşılaştıkları matematiksel kavramları, zihinlerinde matematiksel nesnelere çevirip, bu nesneler arasındaki mantıksal ilişkileri kurabildiğini ve bu sayede yeni matematiksel kavramları öğrenmeye hazır hale geldiğini ortaya koymaktadır. Matematik Vadisi Yayınları olarak kitaplarımızı sağlıklı bir matematik öğrenme süreci geçirmenize yardımcı olacak bir sistemle ve özgün sorularla donatarak yazdık. Kitaplarımızın sistematiğini yakından tanımak için bu sayfanın arkasındaki organizasyon şemasını incelemenizi rica ediyorum. Kitaplarımızla ilgili her türlü düşünce, eleştiri ve önerilerinizi adresinden bize bildirebilirsiniz. Başarı dileklerimle... Saygın DİNÇER MV. Yayın Yönetmeni

4 ORGANİZASYON ŞEMASI

5 1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Kümeler BÖLÜM Kartezyen Çarpım BÖLÜM Bağıntı BÖLÜM Fonksiyon - İşlem BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Modüler Aritmetik BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM Gerçek Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler BÖLÜM Eşitsizlikler BÖLÜM Mulak Değer BÖLÜM Üslü Sayılar BÖLÜM Köklü Sayılar BÖLÜM Oran - Orantı BÖLÜM Problemler

6 .

7 1. BÖLÜM MANTIK ALT ÖĞRENME ALANLARI Önerme, Bir Önermenin Doğruluk Değeri Denk Önermeler, Bir Önermenin Değili (Olumsuzu) Ve " " Veya " " Bağlaçları Koşullu Önermeler, Önerme İşlemleri Totoloji ve Çelişki, Niceleyiciler

8 .

9 1 BÖLÜM MANTIK KAVRAMA TESTİ 01 Önerme, Doğruluk Değeri, Denk Önermeler, Önermelerin Değili (Olumsuzu) Hazine Uyarı Önerme Bir önerme genellikle küçük harf kullanılarak gösterilir. Yargı bildiren ve bu yargının doğruluğu ya da yanlışlığı kesin olarak belirlenebilen cümlelere önerme denir. Örneğin, Örneğin, p: "Türkiye'nin başkenti Ankara'dır." "Türkiye'nin başkenti Ankara'dır." cümlesi doğru bir yargı olduğundan bir önermedir. "Bir gün 30 saattir." cümlesi yanlış bir yargı olduğundan bir önermedir. "İyi geceler." cümlesi ne doğru ne de yanlış herhangi bir yargı bildirmediğinden önerme değildir. 1. Aşağıdaki cümlelerden hangisi bir önerme değildir? A) "Bir gün 24 saattir." B) "Türkiye'nin en kalabalık şehri Ankara'dır." C) "5 > 6" D) "Nasılsınız?" E) "0,75 bir tam sayıdır." Hazine Bir Önermenin Doğruluk Değeri Bir p önermesinin belirttiği yargı doğru ise p önermesinin doğruluk değeri birdir denir ve bu durum p 1 ile gösterilir. Benzer olarak, p önermesinin belirttiği yargı yanlış ise p önermesinin doğruluk değeri sıfırdır denir ve bu durum p 0 ile gösterilir. Örneğin, 2. Aşağıdaki cümlelerden hangisi bir önermedir? A) "Hava çok güzel." B) "Bugün günlerden Çarşambadır." C) "Gel buraya!" p: "2 ile 3 toplanınca 5 eder." önermesi doğru olduğundan p 1, r: "Ocak ayı 33 gündür." önermesi yanlış olduğundan r 0 yazılır. D) "Dün sinemaya gittin mi?" E) "Daha neler!" 3. Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir önermedir? A) "En güzel mevsim ilkbahardır." B) "Öğrencilerin en çok zorlandığı ders matematiktir." C) "Bir hafta yedi gündür." D) " " E) "Ayşe'nin yanındaki kim?" 4. Aşağıdaki önermelerden hangilerinin doğruluk değeri 1 dir? p: "Dünyanın uydusu aydır." r: "Anıtkabir Ankara'dadır." s: "Türkiye'nin nüfusu 10 milyondur." A) Yalnız p B) r, s C) p, s D) p, r E) p, r, s

10 1. BÖLÜM MANTIK Önerme, Doğruluk Değeri, Denk Önermeler, Önermelerin Değili (Olumsuzu) KAVRAMA TESTİ 01 Hazine Denk Önermeler Doğruluk değeri aynı olan önermelere denk önermeler denir. p ve r denk önermeler ise bu durum, p r ile gösterilir. Örneğin, p: "2 3 = 6" r: "Kedi dört ayaklı bir hayvandır." önermelerinin doğruluk değeri birdir. İki önermenin de doğruluk değeri aynı olduğundan p ve r önermeleri denktir. O halde, p r yazabiliriz. 5. Aşağıdaki önermelerden hangisi ya da hangilerinin değili (olumsuzu) doğru olarak verilmiştir? I. p: "Türkiye'nin başkenti İstanbul'dur." p : "Türkiye'nin başkenti Ankara'dır." II. r: "Sınıfımızın en uzun boylusu Deniz'dir." r : "Sınıfımızın en uzun boylusu Deniz değildir." III. s: "Bir haftada dört saat matematik dersi görüyorum." s : "Bir haftada altı saat matematik dersi görüyorum." IV. t: "Yarın Perşembedir." t : "Yarın Perşembe değildir." A) I, II, IV B) II, III, IV C) I, III, IV D) I, III E) II, IV Hazine p, r ve s birbirinden farklı üç önerme olsun. Hazine Bir Önermenin Değili (Olumsuzu) Bir p önermesini doğru iken yanlış, yanlış iken doğru yaparak elde edilen önermeye p önermesinin değili (olumsuzu) denir ve p ile gösterilir. Örneğin, p: "Bir gün 20 saattir." önermesinin değili, p : "Bir gün 20 saat değildir." önermesidir. Bu önermenin de değilini alırsak, (p ) : "Bir gün 20 saattir." p önermesi için, p farklı doğruluk durumu vardır. p, r ve s önermeleri için, p r s farklı doğruluk durumu vardır. p ve r önermeleri için, p r farklı doğruluk durumu vardır. Birbirinin değili (olumsuzu) olmayan farklı n önerme için 2 n tane doğruluk durumu vardır. önermesini elde ederiz. Buradan yola çıkarak herhangi bir p önermesi için, 6. Birbirinin değili (olumsuzu) olmayan 5 farklı (p ) p önerme için kaç tane doğruluk durumu vardır? olduğunu gözlemleyebiliriz. A) 32 B) 18 C) 16 D) 8 E) 5 1. D 2. B 3. C 4. D 5. E 6. A 10

11 1 BÖLÜM MANTIK Önerme, Doğruluk Değeri, Denk Önermeler, Önermelerin Değili (Olumsuzu) PEKİŞTİRME TESTİ Aşağıdakilerden hangisi bir önermedir? A) "Ceylan'ın saçları çok güzel." B) " " C) "İyi misin?" D) "Çok çalışman lazım." E) " 3 bir doğal sayıdır." 5. Aşağıdakilerden hangisi bir önerme değildir? A) "Yerler ıslak." B) "Hava sıcaklığı 21 derece." C) "Korkunun ecele faydası yok." D) "Geçen yıl Beşiktaş Şampiyon oldu." E) "Zeytin fiyatları geçen yıla göre % 20 düştü." 2. Aşağıdakilerden hangisi bir önerme değildir? A) "Deniz, Ahmet'ten daha uzundur." B) "Hasan 75 kg ağırlığındadır." C) "Ankara, İç Anadolu Bölgesi'ndedir." D) "Yemek yiyelim." E) "Dün masa tenisi oynadım." 6. Aşağıdakilerden hangisi bir önermedir? A) "Çok şişmanım." B) "Ahmet'in kıyafeti çok güzel." C) " = " D) "Maç yapalım." E) "Turgut yarın gelir mi?" 3. Aşağıdakilerden hangisi bir önermedir? A) "Hava soğuk." B) "Geliyor musun?" C) "Kolay gelsin." D) "Rica ederim." E) "Dün 40 tane matematik sorusu çözdüm." 7. Aşağıdakilerden hangisi bir önerme değildir? A) "Yaşasın!" B) "Levent'in boyu 197 cm dir." C) "Cenk 9. sınıf öğrencisidir." D) "Başbakan İtalya'ya gitti." E) "3 ile 5 in çarpımı 35 tir." 4. Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri bir önermedir? I. "2 2 = 4" II. "Ankara'nın nüfusu beş milyondur." 8. Aşağıdakilerden hangisi bir önermedir? A) "Günaydın." III. " = 80" A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) II ve III E) I, II ve III B) "İyi günler." C) "Güle güle." D) "Hadi" E) "Umut kaza yaptı." 11

12 1. BÖLÜM MANTIK Önerme, Doğruluk Değeri, Denk Önermeler, Önermelerin Değili (Olumsuzu) PEKİŞTİRME TESTİ Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri bir önermedir? I. "2 sayısı asal sayıdır." II. "Olmaz öyle şey!" III. "Aslı dün okula gitmedi." A) Yalnız I B) Yalnız II C) I, III D) I, II E) I, II, III 13. Aşağıdaki önermelerden hangisinin değilinin doğruluk değeri 0 dır? A) "Türkiye'nin başkenti İstanbul'dur." B) "Ankara, Akdeniz Bölgesi'ndedir." C) "Bir yılda, 12 ay vardır." D) " 3 < 5" E) "En küçük rakam 1 dir." 10. Aşağıdaki önermelerden hangisinin doğruluk değeri 1 dir? A) "Bir gün 25 saattir." B) "2 5 10" C) "( 2) 2 > 0" D) "Bir hafta 7 gün değildir." E) "1 sayısı asal sayıdır." 14. Aşağıdaki önermelerden hangisi "2 + 2 = 4" önermesine denktir? A) "TBMM Ankara'dadır." B) "1 saat 360 saniyedir." C) "0 negatif bir sayıdır." D) "2 2 4" 11. Aşağıdaki önermelerden hangisinin doğruluk değeri 0 dır? E) "0 3 = 3" A) "Üç basamaklı en büyük tam sayı 999 dur." B) "1020 dört basamaklı bir sayıdır." C) "5 5" D) "En küçük iki basamaklı tam sayı 10 dur." E) "En büyük rakam 9 dur." 15. Birbirinin değili (olumsuzu) olmayan n tane farklı önerme için 64 tane doğruluk durumu olduğuna göre, n kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) Aşağıdaki önermelerden hangisinin doğruluk değeri 1 dir? A) "2 0 = 0" B) "( 3) ( 4) < 3 3" C) "0 pozitif bir sayıdır." 16. Birbirinin değili (olumsuzu) olmayan 8 farklı D) "En küçük asal sayı 2 dir." önerme için kaç tane doğruluk durumu vardır? E) "Üç basamaklı en küçük tam sayı 100 dür." A) 512 B) 256 C) 128 D) 64 E) E 2. D 3. E 4. E 5. C 6. C 7. A 8. E 9. C 10. C 11. D 12. D 13. C 14. A 15. C 16. B 12

13 1 BÖLÜM MANTIK Önerme, Doğruluk Değeri, Denk Önermeler, Önermelerin Değili (Olumsuzu) ÖDEV TESTİ Aşağıdakilerden hangisi bir önermedir? A) "Gözlerin çok güzel." B) "Oturun lütfen." C) "En güzel yemek mantıdır." D) "Ersin Malatyalı'dır." E) "Televizyonu kapat." 5. Aşağıdakilerden hangisi bir önerme değildir? A) "Bir yıl 360 gündür." B) "Enflasyon oranı % 2 oldu." C) "Oldu mu şimdi?" D) "Dün onu aradım." E) " = 8" 2. Aşağıdakilerden hangisi bir önerme değildir? A) "Ayşe, Ahmet'ten daha kısadır." B) "İyi yolculuklar." C) "Dünyanın en şişman insanı 300 kg ağırlığındadır." D) "Bir hafta altı gündür." E) "Geçen ay hiç yağmur yağmadı." 6. Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri önermedir? I. "3 3 = 6" II. "At dört ayaklı bir hayvandır." III. "Oğuz gelecek mi?" A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I, II E) II, III 3. Aşağıdakilerden hangisi bir önermedir? A) "Bir bardak su verir misin?" B) "Pikniğe gidelim." C) "Bilgisayarı aç." D) "Hava sıcak." 7. Aşağıdakilerden hangisi bir önerme değildir? A) "Bir yılda 52 hafta vardır." B) "Görüşmek üzere." C) "Dün dört saat çalıştım." D) "Saat da okuldaydım." E) "( 2) 3 > 2 3 " E) "İki kere üç altı yapar." 4. Aşağıdakilerden hangisi bir önermedir? 8. Aşağıdaki önermelerden hangisinin doğruluk değeri 1 dir? A) " 1 in tek kuvvetleri 1 dir." A) "Çok yakışıklıyım." B) "İyi akşamlar." C) "Canlılar ölümlüdür." D) "Bravo" E) "Harika" B) "Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180 dir." C) "Bir üçgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 180 dir." D) " 7 < 9" E) "3 0 = 0" 13

14 1. BÖLÜM MANTIK Önerme, Doğruluk Değeri, Denk Önermeler, Önermelerin Değili (Olumsuzu) ÖDEV TESTİ Aşağıdaki önermelerden hangisinin doğruluk değeri 0 dır? A) "Her eşkenar üçgen bir ikizkenar üçgendir." B) "Her kare bir dikdörtgendir." C) "10 bir rakamdır." D) "Ardışık iki tam sayının çarpımı çifttir." E) "1 saat 3600 saniyedir." 13. Aşağıdaki önermelerden hangisi, "Bir yıl 365 gün 6 saattir." önermesine denktir? A) "Atatürk 1881 yılında doğmuştur." B) "En küçük doğal sayı 2 dir." C) "En büyük negatif tam sayı 10 dur." D) "Bir dikdörtgenin alanı hesaplanamaz." E) "3 > 4" 10. Aşağıdaki önermelerden hangisi, "En küçük asal sayı 2 dir." önermesine denktir? A) "Bir gün 1440 dakikadır." B) "En küçük rakam 1 dir." C) " = " 14. Aşağıdaki önermelerden hangisinin değilinin (olumsuzunun) doğruluk değeri 1 dir? A) "En küçük asal sayı 2 dir." B) "İşareti olmayan biricik sayı 0 dır." C) "Kedi iki ayaklı bir hayvandır." D) "İki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayıdır." E) "Atatürk, Türkiye Cumhuriyeti'nin ilk cumhurbaşkanıdır." D) "12 : = 2" E) "2 1 = 2" 15. p ve r iki önermedir. p r olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? 11. Birbirinin değili (olumsuzu) olmayan 4 farklı önerme için kaç farklı doğruluk durumu vardır? A) 16 B) 32 C) 64 D) 128 E) 256 A) p 1 iken r 0 B) r 1 iken p 0 C) p r D) p 0 iken r 1 E) p r 16. "Bu sınıfta 10 öğrenci vardır." önermesinin değili (olumsuzu) aşağıdakilerden hangisidir? 12. p ve r iki farklı önermedir. A) "Bu sınıfta 12 öğrenci vardır." B) "Bu sınıfta 10 öğrenci yoktur." Buna göre, p, r, p ve r önermeleri için kaç farklı C) "Bu sınıfta 10 dan az öğrenci vardır." doğruluk durumu vardır? D) "Bu sınıfta 10 dan fazla öğrenci vardır." A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) 64 E) "Bu sınıfta 10 dan az öğrenci yoktur." 1. D 2. B 3. E 4. C 5. C 6. D 7. B 8. B 9. C 10. A 11. A 12. A 13. A 14. C 15. E 16. B 14

15 1 BÖLÜM MANTIK KAVRAMA TESTİ 02 Ve, Veya Bağlaçları Hazine Yalın Önerme - Bileşik Önerme Bir p önermesi sadece bir yargıdan ibaretse, p önermesine yalın önerme denir. Örneğin, "İki kere iki dört eder." önermesi yalın önermedir. Buna karşılık bir cümle birden fazla yargı içerebilir. Örneğin, "Bugün Salı ise yarın Çarşambadır." Yalın önerme Bağlaç Yalın önerme Yukarıdaki cümle iki önermeyi "ise" bağlacı ile bağlamıştır. Bu tür cümlelere bileşik önerme denir. Bir başka deyişle, yalın önermelerin "ve", "veya", "ise", "ancak ve ancak" gibi bağlaçlarla bağlanmış haline bileşik önerme denir. 1. p ve r iki önermedir. p 1, r 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi ya da hangilerinin doğruluk değeri 1 dir? I. p r II. p r III. p r A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I, II E) II, III 2. p: "Bir gün 24 saattir." r: "Üç, ikiden büyüktür." s: "3 asal sayıdır." önermeleri veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi ya da hangilerinin doğruluk değeri 0 dır? I. (p r) s II. (p r) s III. p (r s) A) Yalnız I B) II C) III D) I ve II E) II ve III Hazine Hazine Ve " " Bağlacı p ve r iki farklı önerme olsun. p, r, p r önermelerinin doğruluk değerleri tablosu aşağıdaki gibidir. Veya " " Bağlacı p ve r iki farklı önerme olsun. p, r, p r önermelerinin doğruluk değerleri tablosu aşağıdaki gibidir. p r p r p 1, r 1 iken p r 1, diğer tüm durumlarda p r 0 dır. Ayrıca, p r r p dir. p r p r p 0, r 0 iken p r 0, diğer tüm durumlarda p r 1 dir. Ayrıca, p r r p dir. 15

16 1. BÖLÜM MANTIK Ve, Veya Bağlaçları KAVRAMA TESTİ p ve r iki önermedir. p 1, r 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin ya da hangilerinin doğruluk değeri 1 dir? I. p r II. p r III. p r A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve III E) II ve III Hazine Birleşme Özelliği (p r) s p (r s) (p r) s p (r s) Hazine Dağılma Özelliği p (r s) (p r) (p s) (p r) s (p s) (r s) p (r s) (p r) (p s) 4. p, r ve s üç önermedir. (p r) s (p s) (r s) p 0, r 1, s 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin doğruluk değeri 0 dır? I. (p r) s II. (p r ) s III. (p r ) s A) Yalnız II B) I ve II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III Hazine Hazine De Morgan Kuralları (p r) p r (p r) p r 5. (p r ) s 1 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin doğruluk değeri 1 dir? A) s p B) p s C) p r p 0 0 p 0 p 0 0 p p D) s p E) r s p 1 1 p p p 1 1 p 1 Hazine Tek Kuvvet Özelliği p p p p p p 6. ((p r ) s) 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin doğruluk değeri 1 dir? A) s r B) (p s) C) p r D) s p E) s p 1. C 2. E 3. D 4. A 5. B 6. E 16

17 1 BÖLÜM MANTIK Ve, Veya Bağlaçları PEKİŞTİRME TESTİ p ve r iki önermedir. p r 1 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) p r 0 B) p r 1 C) p r 1 D) p r 0 E) p r 0 5. p, r ve s üç önermedir. (p r) s 0 olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin ya da hangilerinin doğruluk değeri daima 1 dir? I. (p r ) s II. p (r s) III. p r A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I, II E) I, III 2. p, r ve s üç önermedir. (p r) s 1 olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri 1 dir? A) p s B) r s C) p s D) r s E) p s 6. p, r ve s üç önermedir. (p r ) s 1 olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin ya da hangilerinin doğruluk değeri daima 1 dir? I. (p r) s II. p (r s) III. p (r s) 3. p ve r iki önermedir. p r 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) p 0 B) r 0 C) p r 0 D) p r 1 E) p r 0 A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I, II E) II, III 7. p, r ve s üç önermedir. (p r ) s 1 olduğuna göre, p, r, s önermelerinin doğruluk değeri sırasıyla nedir? A) 0, 0, 1 B) 1, 1, 0 C) 1, 0, 1 D) 0, 1, 1 E) 0, 1, 0 4. p, r ve s üç önermedir. p (r s ) 0 olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri 0 dır? A) p s B) s r C) p r D) p r E) r p 8. p ve r iki önermedir. (p 1) (r 0) 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin doğruluk değeri 1 dir? A) p B) r C) p r D) p r E) p r 17

18 1. BÖLÜM MANTIK Ve, Veya Bağlaçları PEKİŞTİRME TESTİ p ve r iki önermedir. (p p) (r r) 1 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin doğruluk değeri 0 dır? A) p B) r C) p r D) p r E) p r 10. p, r ve s üç önermedir. Buna göre, aşağıdaki denkliklerden hangisi geçerli değildir? A) p (r s) (p r) (p s) B) p (r s) (p r) (p s) C) (p r) p r D) (p ) p E) (p r) s (p r) s 11. p: "5 asal sayıdır. r: "Bir dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 360 dir." s: "Sıfır pozitif sayıdır." önermeleri veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisinin doğruluk değeri 1 dir? I. ((p r ) (r s )) (p r) II. ((p r ) s) III. (p r) p A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I, II E) I, II, III 12. p, r, s ve t dört önermedir. 13. p, r ve s üç önermedir. p 1, p r 1, p r s 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) p r 0 B) p (r s) 0 C) ((p s) (p r )) (r s) 0 D) ((p r) s) 0 E) p r s 14. p bir önermedir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri daima doğrudur? I. p 1 p II. p 0 p III. p 1 1 A) Yalnız I B) I, II C) I, III D) II, III E) I, II, III 15. p, r ve s üç önermedir. (p r) (r s) (p s) r olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) s p B) r p C) r s D) p r s 0 E) (p s) r r (p r) (p s) t 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin doğruluk değeri daima 0 dır? 16. p, r ve s üç önermedir. I. p r p r s 0 II. p (r s ) III. p r s t olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin doğruluk değeri 0 dır? IV. p (r s) t A) Yalnız I B) I, II C) I, II, III A) (p r) s C) (p r) s B) (p r) s D) (p r ) s D) II, III E) I, II, III, IV E) (p r ) s 1. C 2. B 3. E 4. D 5. A 6. B 7. A 8. A 9. E 10. E 11. E 12. A 13. C 14. E 15. E 16. B 18

19 1 BÖLÜM MANTIK Ve, Veya Bağlaçları ÖDEV TESTİ p ve r iki önermedir. p r 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin doğruluk değeri 1 dir? A) p B) r C) p r D) p r E) (p r) 5. p, r ve s üç önermedir. (p r) s 1 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin ya da hangilerinin doğruluk değeri daima 1 dir? I. (p r ) s II. p (r s) III. p (r s) A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III 2. p ve r iki önermedir. p r 1 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) p 1 B) r 1 C) p r 1 D) p r 0 E) (p r) (p r) 0 D) I ve II E) II ve III 6. p, r ve s üç önermedir. (p r) s 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin ya da hangilerinin doğruluk değeri daima 1 dir? I. (p r ) s II. p (r s) III. (p r) s A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) II ve III E) I, II ve III 3. p, r ve s üç önermedir. (p r) (s r) 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) p r s B) p r 0 C) p r 0 D) p r s 1 E) s 0 7. p ve r iki önermedir. (p 0) (r 1) 1 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) p 1 1 B) p r 1 C) r 0 0 D) p r 1 E) r p, r ve s üç önermedir. (p r) s 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin doğruluk değeri 0 dır? A) s p B) s p C) p r D) p s E) s p 8. p, r, s ve t dört önermedir. (p r) (s t) (r p) 1 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin doğruluk değeri daima 0 dır? A) s r B) p r C) s r D) (p s t) E) s t 19

20 1. BÖLÜM MANTIK Ve, Veya Bağlaçları ÖDEV TESTİ p ve r iki önermedir. (p p) (r r) 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin doğruluk değeri 1 dir? A) p B) r C) p r D) p r E) p r 13. p bir önermedir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri daima doğrudur? I. p 0 0 II. p 1 1 III. (p 1) p A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) Yalnız II ve III E) I, II ve III 10. p, r ve s üç önermedir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğru değildir? A) ((p r) s) (p r ) s B) (p r) s (p s) (s r) C) (p q ) p q D) (p r) s (p r) s E) (p 1) p 14. p, r ve s üç önermedir. p 0, p r 0, p r s 1 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) p r 1 B) p r 1 C) ((p r) s ) 1 D) p r s E) s p r 11. p, r ve s üç önermedir. (p r) (r s) (s p) p olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) p r 1 B) p s 1 C) p r D) p r s E) p s 15. p, r ve s üç önermedir. (p r) (p s) p 1 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin doğruluk değeri daima 0 dır? A) p s B) r s C) p r s D) p r E) s 12. p: "Ankara, Karadeniz Bölgesi'ndedir." r: "İki basamaklı en küçük doğal sayı 10 dur." s: " 3 < 6" önermeleri veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisinin doğruluk değeri 0 dır? 16. p, r ve s üç önermedir. (p r) (r s) r olduğuna göre, p, r, s önermelerinin doğruluk değerleri A) (p r) s B) (r s) p sırasıyla nedir? C) p r s D) (p r) (r s ) A) 1, 0, 1 B) 1, 1, 0 C) 0, 1, 1 E) (p r) s D) 0, 1, 1 E) 0, 0, 1 1. B 2. E 3. A 4. E 5. B 6. D 7. A 8. D 9. E 10. D 11. D 12. A 13. E 14. C 15. C 16. A 20

21 1 BÖLÜM MANTIK KAVRAMA TESTİ 03 Koşullu Önermeler, Önerme İşlemleri Hazine 3. p, q ve r üç önermedir. (p q) r 0 İse " " Bağlacı p ve q iki önerme olsun. p, q, p q önermesinin doğruluk değerleri tablosu aşağıdaki gibidir. p q p q p r önermesine koşullu önerme denir. p 1, q 0 iken p q 0, diğer tüm durumlarda p q 1 dir. 1. p ve q iki önermedir. p 1, q 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri her zaman doğru bir önermedir? I. p q II. p q III. p q A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III 2. p, q ve r üç önermedir. olduğuna göre, (p, q, r) sıralı üçlüsüne ait doğruluk değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) (1, 1, 1) B) (1, 0, 0) C) (1, 1, 0) D) (1, 0, 1) E) (0, 0, 1) Hazine Koşullu Önermenin Karşıtı, Tersi, Karşıt Tersi p ve q iki önerme olsun. q p bileşik önermesine p q önermesinin karşıtı denir. p q bileşik önermesine p q önermesinin tersi denir. q p bileşik önermesine p q önermesinin karşıt tersi denir. p q : "Hava yağmurlu ise yerler ıslaktır." önermesinin, karşıtı, q p : "Yerler ıslak ise hava yağmurludur." tersi, p q : "Hava yağmurlu değilse yerler ıslak değildir." karşıt tersi, q p : "Yerler ıslak değilse hava yağmurlu değildir." olur. p 0, q 1, r 1 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğru bir önermedir? I. (p q) r II. r (p q ) III. r p A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) II ve III E) I ve III 4. p q : "Bugün Çarşamba ise yarın Perşembedir. bileşik önermesinin tersini, karşıtını ve karşıt tersini boşlukları doldurarak her bir bileşik önermenin doğruluk tablosunu yapınız. karşıtı, q p : "..." tersi, p q : "..." karşıt tersi, q p : "..." 21

22 1. BÖLÜM MANTIK Koşullu Önermeler, Önerme İşlemleri KAVRAMA TESTİ 03 Hazine Hazine p ve q iki önerme olsun. p q p q (p q) (p q) p q p q q p p 0 p p 1 1 p p 1 5. Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi ya da hangileri p q bileşik önermesine denktir? I. p q II. p q III. p q A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III 6. Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi ya da hangileri p q bileşik önermesine denktir? I. p q II. p q III. p q A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III (p q) (q p) p q olduğunu gösterelim. (p q) (q p) p q p q p q q p (p q) (q p) p q Aşağıda verilen denkliklerden hangisi ya da hangileri doğrudur? I. p q q p II. r p (r p) (p r ) III. (p q) p q A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) II ve III E) I, II ve III 8. Aşağıda verilen denkliklerden hangisi ya da hangileri doğru değildir? I. p q q p II. q p (q p ) (q p) III. (p q) p q A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) II ve III E) I, II ve III Hazine Ancak ve Ancak " " Bağlacı p ve q iki önerme olsun. p, q, p q önermelerinin doğruluk değerleri tablosu aşağıdaki gibidir. p q p q Hazine Herhangi iki p ve q önermesi için p q 1 olduğunda "p önermesi q önermesini gerektiriyor." denir. Örneğin, "a 2 < 25 a < 5" koşullu önermesinin doğruluk değeri 1 olduğundan "a 2 nin 25 ten küçük olması a nın 5 ten küçük olmasını gerektirir. "diyebiliriz. Herhangi iki p ve q önermesi için p q 1 oluyorsa bu bileşik önermeye çift gerektirme denir. p ile q önermelerine birbirinin gerek ve yeter koşulu denir. Ancak ve ancak " " bağlacı ile bağlanan bir bileşik önermenin doğruluk değeri, her iki önerme aynı doğruluk değerine sahip ise 1, herhangi biri yanlış ise 0 dır. Örneğin, "a 2 < 25 5 < a < 5" bileşik önermesinin doğruluk değeri 1 olduğundan, "a 2 nin 25 ten küçük olması için gerekli ve yeterli bir koşul a nın 5 ile 5 arasında olmasıdır." diyebiliriz. 1. E 2. D 3. C A 6. B 7. E 8. C 22

23 1 BÖLÜM MANTIK Koşullu Önermeler, Önerme İşlemleri PEKİŞTİRME TESTİ {(p q) [(p q ) q)]} p bileşik önermesine denk olan en basit önerme aşağıdakilerden hangisidir? A) p q B) p q C) p q D) p q E) q p 5. {(p q) [(p q ) q]} p bileşik önermesine denk olan önerme aşağıdakilerden hangisidir? A) p q B) p q C) p q D) p q E) q p 2. (p q) [(r q) (p r) ] bileşik önermesine denk olan önerme aşağıdakilerden hangisidir? A) p q B) p q C) p q D) p r E) (r p ) q 6. (p q) r 0 denkliğine göre, (p, q, r) sıralı üçlüsüne ait doğruluk değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) (1, 0, 0) B) (0, 0, 1) C) (1, 1, 1) D) (0, 1, 1) E) (1, 0, 1) 3. (p q) q bileşik önermesine denk olan önerme aşağıdakilerden hangisidir? A) p B) p q C) p q D) q E) p 7. (p q) (r q ) 0 denkliğine göre (p, q, r) sıralı üçlüsüne ait doğruluk değeri aşağıdakilerden hangisidir? A)(1, 0, 0) B) (0, 0, 1) C) (0, 1, 0) D) (1, 1, 0) E) (0, 0, 0) 4. (p q) q bileşik önermesine denk olan önerme aşağıdakilerden hangisidir? A) p B) p q C) p q D) q E) p 8. [(p q) r] r 1 denkliğini sağlayan p, q ve r önermeleri veriliyor. p, q, r nin doğruluk değerleri sırasıyla (m, n, k) olduğuna göre, kaç farklı (m, n, k) sıralı üçlüsü vardır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 23

24 1. BÖLÜM MANTIK Koşullu Önermeler, Önerme İşlemleri PEKİŞTİRME TESTİ [(p r ) q] q 1 denkliğini sağlayan p, q ve r önermeleri veriliyor. p, q, r nin doğruluk değerleri sırasıyla (m, n, k) olduğuna göre, kaç farklı (m, n, k) sıralı üçlüsü vardır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) "x = 2 x 2 = 4" önermesinin karşıtı aşağıdakilerden hangisidir? A) "x 2 = 4 x = 2" B) "x 2 2 x 2 4" C) "x 4 x 2" D) "x 2 2 x 2 = 4" E) "x 2 4 x = 2" 14. "Saat 19:00 ise işçiler çalışmaya başlamıştır." 10. Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi ya da hangileri p q bileşik önermesine denktir? I. (p q) II. (p q ) III. (p q ) A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) II ve III E) I, II ve III önermesinin tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) "Saat 19:00 ise işçiler çalışıyordur." B) "Saat 19:00 değilse işçiler çalışmayı bırakmamıştır." C) "İşçiler çalışmayı bırakmış ise saat 19:00 dır." D) "İşçiler çalışmayı bırakmamış ise saat 19:00 değildir." E) "İşçiler çalışmayı bırakmış ise saat 19:00 değildir." 11. Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi ya da hangileri (p q) r bileşik önermesine denktir? I. (p q ) r II. r (p q ) III. (p q ) r A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) II ve III E) I ve III 15. "Ceylan Ankara'da ise Türkiye'dedir." önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) "Ceylan Ankara'da değilse Türkiye'de değildir." B) "Ceylan Türkiye'de ise Ankara'dadır." C) "Ceylan Türkiye'de ise Ankara'da değildir." D) "Ceylan Türkiye'de değil ise Ankara'da değildir." E) "Ceylan Türkiye'de değil ise Ankara'dadır." 12. Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi ya da hangileri (p q) r bileşik önermesine denktir? I. (p q) r II. r (q p ) III. (p q) r A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) II ve III E) I ve III 16. "x < 2" önermesi aşağıdaki önermelerden hangisini gerektirir? A) "x 2 < 4" B) "x < 3" C) "0 < x" D) " 1 1 " x > E) "x > 1" 2 1. B 2. C 3. D 4. D 5. D 6. D 7. C 8. E 9. A 10. D 11. E 12. D 13. A 14. B 15. D 16. B 24

25 1 BÖLÜM MANTIK Koşullu Önermeler, Önerme İşlemleri ÖDEV TESTİ p ve q iki önermedir. p q 0 olduğuna göre aşağıdaki denkliklerden hangisi ya da hangileri doğrudur? I. p q 0 II. p q 1 III. p q 0 5. Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi ya da hangileri (p q ) bileşik önermesine denktir? I. p q II. p q III. p q A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III 2. p ve q iki önermedir. p q 1 olduğuna göre aşağıdaki denkliklerden hangisi ya da hangileri doğrudur? I. p q 1 II. p q 1 6. Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi ya da hangileri (p q) bileşik önermesine denktir? I. p q II. p q III. p q A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III III. p q 0 A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, III ve III 3. (p q ) r 0 olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri 1 dir? A) r p B) r q C) p q D) r p E) p r 7. Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi ya da hangileri (p q) p bileşik önermesine denktir? I. q II. p q III. p q A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III 4. (p q ) r 0 olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri 0 dır? A) r p B) r q C) p q D) r p E) (p r) 8. Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi (p q) q bileşik önermesine denktir? A) p q B) p q C) p q D) 1 E) p q 25

26 1. BÖLÜM MANTIK Koşullu Önermeler, Önerme İşlemleri ÖDEV TESTİ [(p q ) p] q bileşik önermesine denk olan önerme aşağıdakilerden hangisidir? A) p q B) p q C) p q D) 1 E) q 14. a ve b doğal sayıları için, "a b = 0 (a = 0 veya b = 0)" gerektirmesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) "a b 0 (a 0 ve b 0) B) "(a = 0 ve b 0) a b 0 C) (a 0 veya b 0) a b (p q ) p bileşik önermesine denk olan önerme aşağıdakilerden hangisidir? D) (a 0 ve b 0) a b 0 E) "a b 0 (a 0 veya b 0) A) p q B) p q C) p q D) 0 E) p 15. a ve b doğal sayıları için, 11. [(p q ) (q p )] bileşik önermesine denk olan önerme aşağıdakilerden hangisidir? A) p q B) p q C) p q D) 1 E) p q "a b tektir. (a, tektir ve b, tektir)" çift gerektirmesine aşağıdaki gerektirmelerden hangisi ya da hangileri denktir? I. " a b tek değil (a tek değil veya b tek değil)" II. a b çift (a çift veya b çifttir.) III. "(a ve b tek değil) a b tek değildir." A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III 12. (p q ) r 0 D) I ve II E) I, II ve III olduğuna göre aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri daima 0 dır? A) r p B) r q C) p q D) r p E) (p r ) 16. a ve b pozitif doğal sayıları için, "a b tek a tektir." gerektirmesinin karşıtı aşağıdakilerden hangisidir? 13. (p q) r 0 A) "a b tek değil a tek değildir." B) "a tek değil a b tek değildir." olduğuna göre aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri daima 1 dir? C) "a b tek a tek değildir." A) r p B) r q C) p r D) "a tek a b tektir." D) (p q) r E) (p r ) E) "a b çift değil a tektir. 1. B 2. E 3. A 4. C 5. B 6. C 7. B 8. A 9. E 10. B 11. D 12. E 13. D 14. D 15. D 16. D 26

27 1 BÖLÜM MANTIK KAVRAMA TESTİ 04 Totoloji ve Çelişki, Niceleyiciler Hazine Hazine Totoloji - Çelişki Açık Önerme Bir bileşik önermeyi oluşturan basit önermelerin doğruluk değerleri ne olursa olsun, eğer bileşik önerme hep doğru ise o zaman bu bileşik önermeye totoloji ya da tüm geçerli önerme denir. Örneğin, p p bileşik önermesi p ne olursa olsun daima doğrudur. O halde p p bileşik önermesi totolojidir. Bir bileşik önermeyi oluşturan basit önermelerinin doğruluk değerleri ne olursa olsun, eğer bileşik önerme hep yanlış ise o zaman bu bileşik önermeye çelişki ya da tüm geçersiz önerme denir. Örneğin, p p bileşik önermesi p ne olursa olsun daima yanlıştır. O halde p p bileşik önermesi çelişkidir. 1. p ve q iki önermedir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri totolojidir? I. (p q) p q II. (p q) p q III. p p A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III Eğer bir tümce, nesnenin değişken durumlarına göre doğru ya da yanlış değer alabiliyorsa bu türden ifadelere açık önerme denir. Nesnenin kendisine değişken adı verilir. Açık önermeler ise içerdikleri değişkenlere göre gösterilir. Örneğin, p(x) : "x N, x asal sayıdır." tek değişkenli bir açık önermedir. i) x = 2 için p(2) : 2 asal sayıdır. doğru bir önermedir. ii) x = 1 için p(1) : 1 asal sayıdır. yanlış bir önermedir. Hazine Doğruluk Kümesi x değişkenlerinin kümesi A ve p(x) bir açık önerme olsun. p(x) önermesini doğru yapan bütün x değerlerinin kümesine p(x) önermesinin doğruluk kümesi denir. Doğruluk kümesini D ile gösterirsek, D = {x A: p(x) 1} Örneğin, p(x): "x N, x < 3" önermesi x = 0, x = 1, x = 2 için doğru olduğundan, doğruluk kümesi D = {0, 1, 2} kümesidir. 2. p ve q iki önermedir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri totolojidir? I. (p q) (p q ) II. (p q ) (p q) III. p p A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III 3. p(x): x Z, x 2 < 15 açık önermesinin doğruluk kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {0, 1, 2, 3} B) {1, 2, 3} C) {0, 1, 2, 3, 4} D) { 9, 8, 7,..., 7, 8, 9} E) { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3} 27

28 1. BÖLÜM MANTIK Totoloji ve Çelişki, Niceleyiciler KAVRAMA TESTİ 04 Hazine Niceleyiciler Bir tümce içerisinde sık sık "her, bazı, hiçbir, en az" sözcükleriyle karşılaşırız. Bu sözcükler geçtikleri tümcede çokluk (nicelik) belirten sözcüklerdir. Bu sözcüklere önermenin niceleyicileri denir. Birkaç örnek verelim. Her uçan kuş kanatlıdır. Bazı tam sayılar 5'in tam katıdır. En az bir tam sayı 2 ile tam bölünür. Hiçbir gerçek sayının karesi negatif değildir. Her asal sayı tektir. "Bazı" niceleyicisi $ sembolü ile gösterilir. "en az bir" anlamına da gelir. Bu niceleyiciye varlıksal niceleyici denir. "Her" niceleyicisi " sembolü ile gösterilir. Bu niceleyiciye evrensel niceleyici denir. Önerme Sembolik ifadesi Her insan ölümlüdür. "x, x insanı ölümlüdür. En az bir asal sayı çifttir. $x, x asal sayısı çifttir. Tüm kediler beyazdır. "x, x kedisi beyazdır. Bazı kuşlar uçmaz. $x, x kuştur ve uçmaz. 4. Aşağıdakilerden hangisi "Her pozitif sayı sıfırdan büyüktür." önermesinin sembolik yazılışıdır? A) "x R +, x < 0 B) $x R +, x > 0 C) "x R +, x > 0 D) "x R +, x 0 6. Aşağıdakilerden hangisi "Her gerçek sayı, kendisinin 1 fazlasından küçüktür." önermesinin sembolik yazılışıdır? A) "x R, x > 1 B) "x R, x < x + 1 C) "x R, x > 1 D) "x R, x + 1 < x E) $x R, x > x + 1 Hazine Niceleyicilerin Olumsuzu Bir açık önermede "her" niceleyicisinin olumsuzu (değili) "bazı (en az bir)" ve "bazı (en az bir)" niceleyicisinin olumsuzu "her"dir. Örneğin, "Her doğal sayı bir tam sayıdır." önermesinin olumsuzu (değili) "En az bir doğal sayı tam sayı değildir." olur. "Her şubat ayı 28 gündür." önermesinin olumsuzu (değili) "En az bir şubat ayı 28 gün değildir." veya "Bazı şubat ayları 28 gün değildir." olur. 7. ""x R, x 2 0" önermesinin olumsuzu (değili) aşağıdakilerden hangisidir? A) ""x R, x 2 0" B) ""x R, x 2 < 0" C) "$x R, x 0" D) "$x R, x < 0" E) "$x R, x 2 0" E) $x R +, x 0 8. Tam sayılar kümesinde verilen "a b çift sayı ise a veya b den en az biri çift sayıdır." önermesinin tersi 5. Aşağıdakilerden hangisi "Karesi 9 olan tam sayılardan biri 3 tür." önermesinin sembolik yazılışıdır? aşağıdakilerden hangisidir? A) "a veya b den en az biri çift sayı ise a b çift sayıdır." B) "a ve b nin ikisi de çift sayı ise a b çift sayıdır." A) $x R, x = 2 x 2 = 9 C) "a b çift sayı değil ise a ve b nin ikisi de çift sayı B) $x Z, x = 3 x 2 = 9 C) $x R, x = 3 x = 3 x 2 = 9 değildir." D) "a veya b den en az biri çift sayı değil ise a b çift sayı değildir." D) "x Z, x 2 = 9 x = 3 E) "a b çift sayı değil ise a veya b den en az biri çift E) $x Z, x 2 = 9 x = 3 sayıdır." 1. D 2. E 3. E 4. C 5. E 6. B 7. D 8. C 28

29 1 BÖLÜM MANTIK Totoloji ve Çelişki, Niceleyiciler PEKİŞTİRME TESTİ Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri totolojidir? I. (p q) (p q ) II. (p q) (q p ) III. (p p ) p A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) II ve III E) I, II ve III 5. p(x): "x N: x 2 x" açık önermesinin doğruluk kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {0, 1} B) {0, 1, 2} C) {2, 3, 4,...} D) {1, 2} E) N 2. Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri çelişkidir? I. (p q) (p q ) II. (p 1) (0 p ) III. (q p ) q A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III 6. p(x): "x Z +, (x 2) (x 1) x (x + 1) (x + 2) = 0" açık önermesinin doğruluk kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 2, 1, 0, 1, 2} B) {0, 1, 2} C) {1, 2} D) Z + E) 3. p bir önermedir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri totolojidir? I. p 1 II. p 1 III. 0 p A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve III E) II ve III 7. Aşağıdakilerden hangisi, p(n) = "n N, 3 n > n!" önermesinin doğruluk kümesine ait bir eleman değildir? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 4. Aşağıdakilerden hangisi bir çelişkidir? A) (p q) (p q ) B) p (p q) C) "x < 2 x < 3" D) "2 = 3 3 = 6" E) [(1 0) 1] [(0 1) p] 8. p(x, y): "x, y N, x + y = 3" açık önermesinin doğruluk kümesi kaç elemanlıdır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 29

30 1. BÖLÜM MANTIK Totoloji ve Çelişki, Niceleyiciler PEKİŞTİRME TESTİ "Bazı insanlar mavi gözlüdür." önermesinin olumsuzu (değili) aşağıdakilerden hangisidir? A) "Bazı insanlar mavi gözlü değildir." B) "Her insan mavi gözlü değildir." C) "Çoğu insan mavi gözlü değildir." D) "Her insan mavi gözlüdür." E) "Bazı insanlar yeşil gözlüdür." 10. "Bir doğal sayının karesi, sayının kendisinden büyüktür." önermesinin sembolik yazılışı aşağıdakilerden hangisidir? A) "$x N, x 2 > x" B) ""x N, x 2 > x" C) ""x N, x 2 < x" D) "$x N, x 2 < x" E) ""x Z, x 2 > x" 11. "Her x gerçek sayısı için x < x " önermesinin olumsuzunun (değilinin) sembolik yazılışı aşağıdakilerden hangisidir? A) ""x R, x < x " B) ""x R, x > x " C) "$x R, x < x " D) "$x R, x > x " E) "$x R, x x " 13. "Bazı insanlar sarışın ise bazı insanlar mavi gözlüdür." önermesinin olumsuzu (değili) aşağıdakilerden hangisidir? A) "Her insan mavi gözlü değil ise her insan sarışın değildir." B) "Bazı insanlar sarışındır ve her insan mavi gözlü değildir." C) "Bazı insanlar sarışındır ve bazı insanlar mavi gözlüdür." D) "Her insan sarışın değildir veya bazı insanlar mavi gözlüdür." E) "Bazı insanlar sarışındır veya bazı insanlar mavi gözlüdür." 14. ""x N, $y N, x < y" önermesinin olumsuzu (değili) aşağıdakilerden hangisidir? A) ""x N, $y N, x > y" B) "$x N, "y N, x > y" C) "$x N, "y N, x y" D) "$x N, $y N, x < y" E) "$x N, "y N, x < y" 15. ($x R, x 3 x) ("x R, x 2 0) önermesinin olumsuzunun (değilinin) sembolik gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? A) ($x R, x 3 x) ("x R, x 2 0) B) ($x R, x 3 x) ($x R, x 2 0) C) ("x R, x 3 x) ($x R, x 2 0) D) ("x R, x 3 > x) ($x R, x 2 < 0) E) ("x R, x 3 > x) ($x R, x 2 < 0) 12. "Toplamları 6 olan en az iki doğal sayı vardır." önermesinin sembolik yazılışı aşağıdakilerden hangisidir? A) "$x, y N, x + y = 6" B) ""x, y N, x + y = 6" C) "$x N, "y N, x + y = 6" D) ""x N, $y N, x + y = 6" E) "$x, y Z, x + y = 6" 16. ($x R, x 2 x 2 = 0) ("x R, x 0) önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) ($x R, x = 0) ("x R, x 2 x 2 0) B) ("x R, x 0) ("x R, x 2 x 2 = 0) C) ("x R, x = 0) ("x R, x 2 x 2 0) D) ($x R, x 0) ("x R, x 2 x 2 = 0) E) ($x R, x = 0) ("x R, x 2 x 2 = 0) 1. D 2. A 3. E 4. A 5. A 6. C 7. E 8. E 9. B 10. B 11. E 12. A 13. B 14. C 15. D 16. A 30

31 1 BÖLÜM MANTIK Totoloji ve Çelişki, Niceleyiciler ÖDEV TESTİ Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri çelişkidir? I. (1 p) (0 q ) II. (1 q ) (q 0) III. (p p ) p A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III 5. p(x): "x N, x 2 > 16" açık önermesinin doğruluk kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {0, 1, 2, 3} B) {4, 5, 6,...} C) {5, 6, 7,...} D) {16, 17, 18,...} E) N D) I ve II E) I, II ve III 2. Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri ne totoloji ne de çelişkidir? I. (p q) (p q ) II. (0 q) (q 0) III. (q p ) (p q) 6. p(x): "x R, 2x 1 < 9" açık önermesinin doğruluk kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (, 0) B) (, 4) C) (, 5) D) (0, ) E) (4, ) A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III 7. Aşağıdakilerden hangisi, 3. Aşağıdakilerden hangisi bir totolojidir? A) [(p q) (p q )] q B) (p q) (p q) C) ($x R, x 2 < x) ("x R, x 2 > 0) D) (p q) p E) p p p(x): "x, Türkiye'nin bir ilidir." açık önermesinin doğruluk kümesine ait bir eleman değildir? A) Ankara B) İstanbul C) Muş D) Kayseri E) Londra 4. Aşağıdakilerden hangisi bir çelişkidir? A) (p q) p B) (p q ) (p q) C) (p q) (q p) D) ""x N, x < 5" E) ("x R, x < 2x) ($x R, x < 2x) 8. p(x, y): "x, y N, x + y = 2" açık önermesinin doğruluk kümesi kaç elemanlıdır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 31

32 1. BÖLÜM MANTIK Totoloji ve Çelişki, Niceleyiciler ÖDEV TESTİ "Her canlı ölümlüdür." önermesinin olumsuzu (değili) aşağıdakilerden hangisidir? A) "Bazı canlılar ölümlü değildir." B) "Her canlı ölümlü değildir." C) "Bazı canlılar ölümlüdür." D) "Bazı canlılar uzun yaşar." 13. ("x R, x + 1 < 5) ($x R, x 2 < 10) önermesinin tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) ($x R, x 2 < 10) ("x R, x + 1 < 5) B) ($x R, x + 1 5) ("x R, x 2 10) C) ($x R, x + 1 > 5) ("x R, x 2 > 10) D) ("x R, x 2 10) ($x R, x + 1 5) E) ("x R, x 2 > 10) ($x R, x + 1 > 5) E) "Bazı canlılar kısa yaşar." 10. "Bazı gerçek sayıların kendisi ile çarpmaya göre tersinin toplamı en az 2 dir veya her gerçek sayının 3 fazlası 0 a eşittir." önermesinin sembolik gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? A) + x R, x 1 2 ( x x R, x 3 = 0 ) B) + x R, x 1 2 ( x x R, x 3 = 0 ) C) + x R, x 1 2 ( x x R, x + 3 = 0 ) D) + x R, x 1 2 ( x x R, x + 3 = 0 ) E) + x R, x 1 2 ( x x R, x + 3 = 0 ) 11. "$x R, x = x 2 " önermesinin olumsuzu (değili) aşağıdakilerden hangisidir? A) ""x R, x = x 2 " B) ""x R, x < x 2 " C) ""x R, x x 2 " D) "$x R, x x 2 " E) "$x R, x = x 2 " 12. Aşağıdakilerden hangisi bir totolojidir? A) ("x R, x 2 < x) ($x R, x 2 < 0) B) ($x R, x 2 < 0) (2 3 = 6) C) ($x R, x 2 < 0) (2 3 = 6) D) ("x R, x 2 > 2 x ) ("n N, n > 0) E) ($x R, x = 0) ($x R, x > 2x) 14. +, x x ( x R, x < x) önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) ( x R, 2 1 x x) x R, x + < 2 x B) ( x R, 2 1 x x) x R, x 2 x C) ( x R, 2 1 x x) x R, x < 2 x D) ( x R, 2 1 x < x) x R, x + 2 x E) 2 1 ( x R, x x) x R, x + < 2 x 15. Karşıtı, ($x R, x = x ) ("x R, x 0) olan önerme aşağıdakilerden hangisidir? A) ("x R, x 0) ($x R, x = x ) B) ($x R, x 0) ("x R, x x ) C) ($x R, x < 0) ("x R, x x ) D) ($x R, x x ) ("x R, x < 0) E) ("x R, x < 0) ($x R, x x ) 16. p(x) açık önermesinin değişkeni doğal sayılar kümesine aittir. $x N, p(x) 1 önermesinin doğruluk değeri 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) p(x) açık önermesi bir totolojidir. B) p(x) açık önermesi bir çelişkidir. C) En az bir x doğal sayısı için p(x) doğrudur. D) p(x) açık önermesinin doğruluk kümesi en az 1 elemanlıdır. E) p(x) açık önermesinin olumsuzu (değili) bir çelişkidir. 1. D 2. E 3. A 4. B 5. C 6. C 7. E 8. C 9. A 10. D 11. C 12. C 13. B 14. A 15. A 16. B 32

33 1 BÖLÜM MANTIK BÖLÜM TESTİ Aşağıdaki cümlelerden hangisi veya hangileri birer önermedir? I. Amerika'nın başkenti Londra'dır. II. Ankara'da 9 tane üniversite vardır. III. Otur şuraya! A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) II ve III E) I ve II 5. Aşağıdaki cümlelerden hangisi "Dünya'nın tek uydusu Ay'dır." önermesinin olumsuzudur? A) "Ay, Dünya'nın uydusu değildir." B) Dünya, Ay'ın tek uydusudur." C) "Dünya'nın birden fazla uydusu yoktur." D) "Ay, Dünya'nın uydularından biri değildir." E) "Dünya'nın tek uydusu Ay değildir." 2. Aşağıdaki cümlelerden hangisi veya hangileri birer önerme değildir? I. Geliyor musun? II. 2 asal sayıdır. III. İki kere iki, beş eder. A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) II ve III E) I ve III 6. Aşağıdaki cümlelerden hangisi "Bugün günlerden Salı'dır." önermesinin olumsuzudur? A) "Bugün günlerden Pazartesi'dir." B) "Salı haftanın bir günü değildir." C) "Bugün günlerden Salı değildir." D) "Bir hafta yedi gün değildir." E) "Bugün günlerden Çarşamba'dır." 3. Aşağıdaki cümlelerden hangisi veya hangileri doğru önermedir? I. Gözlerin çok güzel. II. Ankara, İç Anadolu Bölgesi'ndedir. III = 4 A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) II ve III E) I ve III 7. Aşağıda verilen denkliklerden hangisi ya da hangileri daima doğrudur? I. (p ) 1 II. 0 1 III. p : 3 < 8 önermesi için p : 3 8 A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) II ve III E) I ve III 4. Aşağıdaki cümlelerden hangisi veya hangileri yanlış önermedir? I. Nisan ayı 30 gündür. II. 12 sayısı, 1 sayısından büyüktür. III = 9 A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve III E) II ve III 8. q (q p ) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p B) q C) (p q) D) p q E) p q 33

34 1. BÖLÜM MANTIK BÖLÜM TESTİ (p q) 0 olduğuna göre, aşağıdaki önermelerden hangisi yanlış olur? A) p q B) q (p q) C) p q D) q q E) (p q) 13. (p q) r 1 denkliğini sağlayan p, q, r önermeleri veriliyor. p, q ve r nin doğruluk değerleri sırasıyla (m, n, k) olduğuna göre, kaç farklı (m, n, k) sıralı üçlüsü vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) (p r) r önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p r B) p r C) p r D) p r E) p r 14. p (p q) önermesi aşağıdaki önermelerden hangisine denktir? A) p q B) q p C) p q D) p q E) p (p q) 11. (p q) (p q) ifadesinin denki aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 0 C) p D) q E) p 15. ("x R, x > 0) ($x R, x > 0) önermesinin olumsuzu (değili) aşağıdakilerden hangisidir? A) ("x R, x > 0) ("x R, x 0) 12. p: " = 22" q: "En küçük pozitif tam sayı yoktur." r: "3 sayısı ile 3 sayısının sıfıra olan uzaklığı eşittir." B) ($x R, x ) ($x R, x > 0) C) ("x R, x > 0) ("x R, x < 0) D) ($x R, x ) ($x R, x > 0) E) ("x R, x ) ($x R, x > 0) önermeleri veriliyor. Buna göre, aşağıdaki önermelerden hangisi ya da hangilerinin doğruluk değeri 1 dir? I. (p q ) r 16. r (p q) II. r (p q ) önermesinin karşıt tersinin doğruluk değeri 0 olduğuna göre, p, q ve r önermelerinin doğruluk III. r p değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III A) (1, 0, 0) B) (0, 0, 0) C) (1, 1,1 ) D) I ve II E) I, II ve III D) (0, 1, 0) E) (0, 0, 1) 1. E 2. A 3. B 4. C 5. E 6. C 7. D 8. C 9. E 10. D 11. D 12. D 13. D 14. B 15. A 16. E 34

35 1 BÖLÜM MANTIK BÖLÜM TESTİ Aşağıdaki cümlelerden hangisi bir önerme değildir? A) Üç basamaklı en küçük doğal sayı 999 dur. B) En büyük doğal sayı 0 dır. C) En küçük pozitif tam sayı 1 dir. D) Üç basamaklı, rakamları farklı en küçük pozitif doğal sayı 102 dir. E) Doğruluk değeri aynı olan önermelere denir. Yukarıda verilen tanımda boş bırakılan yere hangi sözcük yazılmalıdır? A) benzeştir B) aynı önermeler C) denk önermeler D) eşit önermeler E) olumsuz önermeler 2. Aşağıdaki cümlelerden hangisi bir önermedir? A) Dikkat et! B) Pencereyi aç! C) Hangi sayı 8 den küçüktür? D) Dün nereye gittin? E) Karaköy, Türkiye'de bir şehirdir. 6. Doğruluk değeri 1 olan bileşik önermelere denir. Yukarıda verilen tanımda boş bırakılan yere hangi sözcük yazılmalıdır? A) totoloji B) çelişki C) denk önermeler D) eşit önermeler E) olumlu önermeler 3. Birbirinin değili (olumsuzu) olmayan 6 farklı önerme için kaç farklı doğruluk durumu vardır? A) 6 B) 16 C) 32 D) 64 E) (x = 2) (x 2 = 4) koşullu önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) x 2 4 x 2 B) x 2 4 x = 2 4. Aşağıdaki önermelerden hangisi veya hangilerinin olumsuzları doğru olarak verilmiştir? C) x 2 x 2 4 D) x 2 x 2 4 E) x = 2 x 2 4 I. p : Türkiye'nin en kalabalık şehri Ankara'dır. p : Türkiye'nin en kalabalık şehri Ankara değildir. II. q : 5 > 2 q : 5 < 2 III. r : Bir hafta 7 gündür. r : Bir hafta 7 gün değildir. A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) II ve III E) I ve III 8. (p q ) (r s ) 1 olduğuna göre, aşağıdaki önermelerden hangisi doğrudur? A) p q B) p q C) (p q) r D) (p q) s E) (p q ) q 35

36 1. BÖLÜM MANTIK BÖLÜM TESTİ x tam sayısı için, 5x önermesini yanlışlayan x aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) p : "$x R için 2 x çift sayı değildir. q : "p > 3 r : 1 litre 1 dm 3 tür. Yukarıda verilen önermeler için aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi yanlıştır? A) (p q) r B) (p r) p C) (p q) r D) (q p) p 10. p (q r ) 0 olduğuna göre, aşağıdaki önermelerden hangisi doğrudur? A) p q B) r q C) r q D) p q E) q r E) (p q ) (p q) 14. p, q, r, t dört önermedir. p q 0 (p q ) (t (p r)) 1 olduğuna göre, p, q, r, t önermelerinin doğruluk değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir? 11. (p q) q 1 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) 0, 0, 0, 0 B) 0, 1, 0, 1 C) 0, 0, 0, 1 D) 0, 1, 0, 0 E) 0, 0, 1, 0 A) q p B) (p q) p C) (q p) p D) (p q) q E) (p q ) p 12. x ~ y önermesi, önermeler aynı değerli iken yanlış, farklı değerli iken doğru olarak tanımlanmış olsun. (p ~ q) p, q, r üç önermedir. q r 0 r p 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) q r B) p q C) p 0 D) q r 1 E) p r ise aşağıdaki denkliklerden önermelerden kaç tanesi daima doğrudur? I. p q 1 II. p q 0 III. p q 1 IV. p q 0 V. p q A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) ($x R, x 2 x 6 = 0) ("x R, x 2 < x 3 ) önermesinin karşıtı aşağıdakilerden hangisidir? A) ("x R, x 2 < x 3 ) ($x R, x 2 x 6 = 0) B) ($x R, x 2 < x 3 ) ("x R, x 2 x 6 = 0) C) ($x R, x 2 x 3 ) ("x R, x 2 x 6 0) D) ($x R, x 2 x 3 ) ("x R, x 2 x 6 0) E) ("x R, x 2 x 3 ) ("x R, x 2 x 6 0) 1. E 2. E 3. D 4. E 5. C 6. A 7. A 8. B 9. C 10. E 11. D 12. C 13. E 14. C 15. E 16. A 36

37 2. BÖLÜM KÜMELER ALT ÖĞRENME ALANLARI Küme, Sonlu, Sonsuz ve Boş Küme Denk Kümeler, Eşit Kümeler, Alt Küme, Öz Alt Küme Kümelerde İşlemler Taralı Bölgeyi İfade Etme Küme İşlemleri Kullanarak Problem Çözme

38 .

39 2 KÜMELER BÖLÜM KAVRAMA TESTİ 01 Küme, Sonlu, Sonsuz ve Boş Küme Hazine Hazine Küme "Küme" kavramı tanımsızdır. Buna karşılık küme denildiği zaman, iyi tanımlanmış, nesnelerin bir topluluğu anlaşılacaktır. Örneğin, sınıfımızdaki uzun boylu öğrencilerin kümesi dersek, bu göreceli bir kavramdır. Kime ve neye göre uzun? Bu yüzden bu bir küme olamaz. Oysa sınıfımızdaki 160 cm den uzun boylu olan öğrencilerin kümesi dersek bu gerçekten bir küme olur. Çünkü bu kümeye dahil olabilmek için boyunuzun 160 cm den fazla olması gerekir. Bu durumda kümeyi oluşturan nesnelerin apaçık bir veya birkaç özelliğinin olması gerekir. Bir başka deyişle nesnelerin iyi tanımlanmış olması gerekir. 1. Aşağıdaki ifadelerden hangisi ya da hangileri bir küme belirtir? I. "1'den büyük tam sayılar." II. "Boyu 170 cm den uzun olan insanlar." III. "Şişman insanlar." IV. "Doğum günü 6 Aralık olan T.C vatandaşları." A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve IV 2. Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri bir küme belirtmez? I. "0 ile 5 arasındaki tam sayılar." II. "Sınıfımızdaki yakışıklı erkekler." III. "Türkiye'deki lise öğrencileri." A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III 3. Aşağıdakilerden hangisi bir küme belirtmez? A) Dünyadaki Türk vatandaşları. B) Haftanın P harfi ile başlayan günleri. C) Beşiktaş taraftarları. D) Uzun saçlı insanlar. E) Tam sayılar. Kümelerin Gösterimi Kümelerin gösterimi, (i) Liste ile gösterim (ii) Ortak özellik ile gösterim (iii) Venn şeması ile gösterim olmak üzere, üç değişik biçimde yapılabilir. (i) Liste ile Gösterim: Bir kümenin elemanları, aralarına virgül konularak istenen sırada { ve } sembollerinin arasında yazılır. Onluk sayma sistemimizdeki rakamlar kümesinin, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ile gösterimi liste ile gösterime bir örnektir. (ii) Ortak Özellik ile Gösterim Bir kümenin eleman sayısının çok fazla olması durumunda, ortak özellik ile gösterim tercih edilebilir. Örneğin, üç basamaklı doğal sayıların kümesini liste ile göstermek oldukça zahmetlidir. Bu kümenin elemanlarının sahip olduğu ortak özellik; üç basamaklı doğal sayı olmalarıdır. Bunu temel alarak, bu kümeyi ortak özellik ile aşağıdaki gibi gösterebiliriz. {x x üç basamaklı bir doğal sayı} veya {x 100 x < 1000, x N} kolayca farkedeceğiniz gibi, aynı kümeleri ortak özellik ile birden fazla şekilde gösterebiliriz. (iii) Venn Şeması ile Gösterim Bir kümenin elemanlarını düzlemde kapalı bir bölgede, ve nın yanına da elemanın adını yazmak suretiyle yapılan gösterimdir. Bu gösterim küme işlemleri ve bazı küme problemlerinin çözümünde kolaylık sağlamaktadır. {a, b, c, d} kümesini Venn şeması ile aşağıdaki şekillerde gösterebiliriz. 39

40 2. BÖLÜM KÜMELER Küme, Sonlu, Sonsuz ve Boş Küme KAVRAMA TESTİ 01 Hazine Hazine Eleman sayısı bir doğal sayı ile ifade edilebilen kümelere sonlu kümeler denir. Bir A kümesinin eleman sayısı s(a) ile gösterilir. A = {1, 3, 7, 15} kümesi için s(a) = 4 olduğundan sonlu bir kümedir. Hazine Sonlu sayıda elemandan oluşmayan yani eleman sayısı bir doğal sayı ile ifade edilemeyen kümelere sonsuz elemanlı küme denir. Örneğin, Z + = {1, 2, 3,...} kümesi sonsuz elemanlı bir kümedir. A = {x R: 2 < x < 3} kümesi de sonsuz elemanlı bir kümedir. Elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve boş küme { } veya biçiminde gösterilir. Örneğin, {x: x < 1 ve x bir doğal sayı} kümesi 1 den küçük olan doğal sayıların kümesini gösterir. Fakat doğal sayılar negatif olamayacağından bu kümenin hiç elemanı yoktur. Bu yüzden yukarıda verilen küme boş kümedir, yani: {x: x < 1 ve x bir doğal sayı} = veya {x: x < 1 ve x bir doğal sayı} = { } yazabiliriz. 4. Aşağıdaki kümelerden hangisi ya da hangileri sonlu kümedir? A = {a, b, c} B = Türk alfabesindeki harflerin kümesi C = Doğal sayılar kümesi A) Yalnız A B) Yalnız B C) A ve B D) A ve C E) A, B ve C 5. Aşağıdaki kümelerden hangisi ya da hangileri sonlu kümedir? A = {x: x < 100 ve x bir doğal sayı} B = {x: x < 100 ve x bir tam sayı} C = {x: x 2 = 4} A) Yalnız A B) Yalnız B C) Yalnız C D) A ve B E) A ve C Uyarı { } ve {0} şeklinde gösterilen kümeler boş küme değildir. İki kümenin de eleman sayısı 1 dir. 7. Aşağıdakilerden hangisi boş küme belirtir? A) { } B) {0} C) {x: x = 0 ve x bir gerçek sayı} D) {x: 2 x < 3 ve x bir doğal sayı} E) {x: x asal sayı} 8. Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri boş küme belirtir? 6. Aşağıdaki kümelerden hangisi ya da hangileri I. {x: 4 < x < 5 ve x bir doğal sayı} sonsuz elemanlı kümedir? II. Yılın 32 gün olan aylarının kümesi A) {x: 1 x 100 ve x bir doğal sayı} III. Altı ayaklı tavşanların kümesi B) {x: x < 10 ve x bir doğal sayı} C) {x: 2 x 5 ve x bir doğal sayı} A) Yalnız I B) Yalnız II D) {x: 2 x 5 ve x bir gerçek sayı} C) Yalnız III D) Yalnız I ve II E) {x: x < 100 ve x bir asal sayı} E) I, II ve III 1. E 2. B 3. D 4. C 5. E 6. D 7. C 8. E 40

41 2 KÜMELER BÖLÜM Küme, Sonlu, Sonsuz ve Boş Küme PEKİŞTİRME TESTİ Aşağıdakilerden hangisi bir küme belirtir? A) Zengin insanlar. B) Konuşkan insanlar. C) Zayıf insanlar. D) Akıllı insanlar. E) 16 yaşındaki insanlar. 5. Aşağıdakilerden hangisi 3 ün tam katı olan doğal sayılar kümesini gösterir? A) {x: x = 3k ve k bir tam sayı} B) {x: x = 3k ve k bir gerçek sayı} C) {x: x = 3k ve k bir doğal sayı} D) {3, 6, 9} E) {x: x = 3k ve k bir rasyonel sayı} 2. Aşağıdakilerden hangisi bir küme belirtmez? A) Hacettepe mezunları. B) 1 den küçük sayılar. C) 0 dan küçük doğal sayılar. D) Ankara doğumlu insanlar. E) Güzel gözlü insanlar. 6. Aşağıdakilerden hangisi, {x: x = 4k ve k bir tam sayı} kümesinin elemanı değildir? A) 24 B) 4 C) 0 D) 4 E) Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri bir küme belirtir? 7. I. 0 ile 1 arasındaki rasyonel sayılar. II. Yılın, 35 gün süren ayları. III. Sinirli insanlar. A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III Venn şeması ile yukarıda gösterilen küme aşağıdakilerden hangisi ile gösterilebilir? A) {x: x bir rakam} B) {x: x çift rakam} C) {x: x = 2k ve k bir doğal sayı} D) {x: x çift sayı} 4. Aşağıdaki kümelerden hangisinin eleman sayısı 1 dir? E) {x: x pozitif çift sayı} A) Karesi 1 olan tam sayılar. B) Karesi pozitif olmayan tam sayılar. C) 3 ten küçük doğal sayılar. D) İki basamaklı asal sayılar. E) Çift sayılar. 8. {x: 12 < x < 34 ve x bir tam sayı} kümesi kaç elemanlıdır? A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24 41

42 2. BÖLÜM KÜMELER Küme, Sonlu, Sonsuz ve Boş Küme PEKİŞTİRME TESTİ {x: 9 x < 25 ve x bir doğal sayı} kümesi kaç elemanlıdır? A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) Aşağıdaki kümelerden hangisi sonludur? A) Doğal sayılar kümesi. B) Asal sayılar kümesi. C) {x: 0 x 1 ve x bir gerçek sayı} D) {x: 0 x 1 ve x bir doğal sayı} E) Tek sayılar kümesi. 10. {x: 21 x 113 ve x bir tam sayı} kümesi kaç elemanlıdır? A) 90 B) 91 C) 92 D) 93 E) Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz elemanlıdır? A) Altı basamaklı doğal sayıların kümesi. B) {x: 1 < x < 3 ve x bir gerçek sayı} C) {x: 1 < x < 2 ve x bir doğal sayı} D) Kedilerin kümesi. 11. Eleman sayısı bir doğal sayı ile ifade edilebilen bir kümeye... denir. Yukarıda verilen tanımda boş bırakılan yere hangi sözcük yazılmalıdır? A) sonlu küme B) sonsuz elemanlı küme C) boş küme D) bir elemanlı küme E) doğal küme E) S ile başlayan Türk isimleri. 15. Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri boş kümedir? I. {x: x < 0 ve x bir doğal sayı} II. { } III. { } A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III 12. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonlu kümedir? A) {x: x < ve x bir asal sayı} B) {x: x < 1 ve x bir tam sayı} 16. Aşağıdakilerden hangisi boş küme belirtir? A) {x: x 2 < x ve x bir doğal sayı} B) {x: x 2 = x ve x bir doğal sayı} C) {x: x = 5k ve k bir tam sayı} C) {x: x < 10 ve x bir asal sayı} D) {x: x > 10 ve x bir gerçek sayı} D) {x: x 2 = 10 ve x bir gerçek sayı} E) {x: x tek sayı} E) Haftanın C ile başlayan günleri. 1. E 2. E 3. C 4. B 5. C 6. E 7. B 8. B 9. C 10. D 11. A 12. A 13. D 14. B 15. C 16. A 42

43 2 KÜMELER BÖLÜM Küme, Sonlu, Sonsuz ve Boş Küme ÖDEV TESTİ Aşağıdakilerden hangisi bir küme belirtir? A) Yaşlı insanlar. 5. A = {x: x = 3n ve n bir tam sayı} kümesi veriliyor. B) Obur insanlar. C) Çalışkan insanlar. D) En az 70 kg ağırlığındaki insanlar. E) Kaba insanlar. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi A kümesinin bir elemanıdır? A) 10 B) 13 C) 18 D) 23 E) Aşağıdakilerden hangisi bir küme belirtmez? A) 8 ayaklı koyunlar. B) Yılın 30 gün süren ayları. 6. C) Yeryüzünde bulunan tüm insanlar. D) İç Anadolu Bölgesi'ndeki tüm göller. E) Ankara'daki zengin insanlar. Yukarıda Venn şeması ile gösterilen A kümesi aşağıdakilerden hangisi ile gösterilebilir? A) A = {2, 3, 5, 7, 9} B) A = {x: x < 10 ve x bir tek sayı} 3. Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri bir küme belirtir? I. Yeryüzündeki en büyük üç futbolcu. II. Türk alfabesindeki sesli harfler. C) A = {x: x < 10 ve x pozitif bir tek sayı} D) A = {x: x < 10 ve x bir asal sayı} E) A = {x: x < 7 ve x bir asal sayı} III. Mutlu insanlar. A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III 7. {x: 9 < x < 49 ve x bir tam sayı} kümesi kaç elemanlıdır? 4. Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri bir küme belirtir? A) 39 B) 40 C) 41 D) 42 E) 43 I. 3 e tam bölünebilen doğal sayılar. II. Doğal sayılar. III. Türk alfabesi. A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III 8. {x: 17 x < 55 ve x bir doğal sayı} kümesi kaç elemanlıdır? A) 37 B) 38 C) 39 D) 40 E) 41 43

44 2. BÖLÜM KÜMELER Küme, Sonlu, Sonsuz ve Boş Küme ÖDEV TESTİ {x: 33 x 66 ve x bir tam sayı} kümesi kaç elemanlıdır? A) 32 B) 33 C) 34 D) 35 E) Aşağıdaki kümelerden hangisi ya da hangileri boş kümedir? I. {x: x 2 = 3 ve x bir gerçek sayı} II. {x: x 3 = 1 ve x bir gerçek sayı} III. {x: x < x ve x bir asal sayı} A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III 10. n bir doğal sayıdır. A = {x: 2n 1 < x < 4n + 1 ve x bir doğal sayı} kümesi 17 elemanlıdır. Buna göre, A kümesinin en küçük ve en büyük elemanlarının toplamı kaçtır? A) 48 B) 49 C) 50 D) 51 E) "MATEMATİK" sözcüğündeki harflerin hepsiyle oluşturulan küme kaç elemanlıdır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) Aşağıdaki kümelerden hangisi sonludur? A) {x: 0 < x < 1 ve x bir gerçek sayı} B) {x: x < 5 ve x bir tam sayı} C) {x: x < 20 ve x bir tam sayı} D) {x: x < 50 ve x bir doğal sayı} E) {x: 1 x 2 ve x bir gerçek sayı} 15. Aşağıdakilerden hangisi, {x: x = 5n + 1 ve n bir doğal sayı} kümesinin bir elemanıdır? A) 24 B) 25 C) 26 D) 34 E) Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz elemanlıdır? A) {x: 1 x 2 ve x bir tam sayı} B) {x: 1 < x < 2 ve x bir tam sayı} 16. Aşağıdaki kümelerden hangisi ya da hangileri sonsuz elemanlıdır? I. {x: 3 < x < 4 ve x bir tam sayı} II. {x: 3 < x < 4 ve x bir asal sayı} C) {x: x > 1 ve x bir rakam} III. {x: 3 < x < 4 ve x bir gerçek sayı} D) Yeryüzündeki tüm insanların kümesi. A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III E) Birler basamağı sıfır olan doğal sayıların kümesi. D) I ve II E) II ve III 1. D 2. E 3. B 4. E 5. C 6. D 7. A 8. B 9. C 10. A 11. D 12. E 13. E 14. B 15. C 16. C 44

45 2 KÜMELER BÖLÜM KAVRAMA TESTİ 02 Denk Kümeler, Eşit Kümeler, Alt Küme, Öz Alt Küme Uyarı Bu sayfadan itibaren doğal sayılar kümesini N, tam sayılar kümesini Z ile göstereceğiz. 2. Aşağıda verilen küme ikililerinden hangisi denktir? A) {x x bir rakam} {x x < 11, x N} B) {x 2 x 8, x N} {x 6 x 0, x Z} C) {x x iki basamaklı bir doğal sayı} Hazine {x 10 < x < 91, x N} D) {x 4 x 10, x N} Denk Kümeler Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir. A ve B denk kümeler ise, bu durum A B biçiminde gösterilir. E) {a, b, 1, c, 2, d} Örneğin; A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c} kümeleri için, s(a) = 3 = s(b) olduğundan, A B dir. Eşit Kümeler Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eşit kümelerin aynı zamanda denk küme olduğu açıktır. Örneğin; C = {0, 1, 2, 3, 4} ve D = {x x < 5 ve x N} için C = D dir. Hazine Alt Küme A ve B iki küme olsun. A kümesinin her elemanı B kümesinin de bir elemanı ise A kümesine B kümesinin bir alt kümesi denir ve A B ya da B A ile gösterilir. Denk kümeler eşit olmak zorunda değildir. 1. A = {x 1 x < 4, x R} B = {1, 2, 3} C = {x x, 6 nın bir pozitif böleni} D = {x 8 x 10, x Z} kümeleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) B = C B) A C C) A B D) B D E) C D Örneğin, A = {a, b, c, d} ve B = {a, b} için B kümesi A kümesinin bir alt kümesidir. n elemanlı bir kümenin 2 n tane alt kümesi vardır. Örneğin, C = {1, 2, 3} kümesinin 2 3 = 8 tane alt kümesi vardır. C nin alt kümelerini yazalım:, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} 3. 5 elemanlı bir kümenin kaç tane alt kümesi vardır? A) 5 B) 10 C) 16 D) 32 E) 64 45

46 2. BÖLÜM KÜMELER Denk Kümeler, Eşit Kümeler, Alt Küme, Öz Alt Küme KAVRAMA TESTİ Bir kümenin eleman sayısını 2 artırdığımızda alt küme sayısında 48 artma oluyor. Buna göre, bu kümenin eleman sayısı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 7. A, B ve C birer küme olduğuna göre, aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır? A) A B s(a) s(b) B) (A B ve B C) A C C) A A = D) A = B A B E) (A B ve B C) A = C 5. Bir A kümesinin alt kümelerinin sayısı ile bir B kümesinin alt kümelerinin sayısı çarpıldığında sonuç 128 oluyor. Buna göre, A ve B kümelerinin eleman sayılarının toplamı kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 8. A = {a, {1}, {a, b}} olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) a A B) {a} A C) 1 A D) {1} A E) {a, b} A Hazine Alt Kümenin Özellikleri (i) A (Boş küme her kümenin bir alt kümesidir.) (ii) A A (Her küme kendisinin bir alt kümesidir.) Özel olarak (iii) A B ve B A A = B dir. (iv) A B ve B C A C dir. 9. A = {1, 2, {1}, {2}, {1, 2}} olduğuna göre, aşağıdaki önermelerden kaç tanesi doğrudur? I. 1 A II. {1, 2} A III. {1, {1}} A IV. {1, 2} A V. {2, {2}} A A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 6. {a, b, c} B {a, b, c, d, e, f, g} koşulunu sağlayan en çok kaç tane B kümesi vardır? A) 4 B) 16 C) 18 D) 32 E) {a, b, c, d, e, f, g} kümesinin kaç alt kümesinde a bulunmaz? A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) 64 46

47 2. BÖLÜM KÜMELER Denk Kümeler, Eşit Kümeler, Alt Küme, Öz Alt Küme KAVRAMA TESTİ {a, b, c, d, e, f, g} kümesinin kaç alt kümesinde b bulunur? A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) Öz alt kümelerinin sayısı 15 olan bir kümenin eleman sayısı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Hazine 12. {a, b, c, d, e, f, g} kümesinin kaç alt kümesinde c bulunmaz, d bulunur? A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) 64 n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt küme sayısı, n n! C( n, r) = r = r! ( n r)! ile hesaplanır. r 1 iken bu formül yerine, r tane n n ( n ) ( n )... ( n r ) C( n, r) = r = r ( r 1) ( r 2) formülünü kullanmak daha kolaydır. Örneğin, 10 elemanlı bir kümenin 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı = = 210 dur {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir tek sayı bulunur? A) 48 B) 50 C) 56 D) 58 E) A = {a, b, {a, b}, {a}, {b}} kümesinin 3 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? A) 1 B) 4 C) 10 D) 20 E) {1, 2, 3, 4, 5, 6} Hazine Öz Alt Küme Bir kümenin kendisi hariç her alt kümesine o kümenin öz alt kümesi denir. Örneğin; kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 bulunmaz? A) 1 B) 5 C) 6 D) 10 E) 32 A = {1, 2, 3} kümesinin = 7 tane alt kümesi vardır. A nın öz alt kümelerini yazalım: {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} 17. {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 6 bulunur? A) 1 B) 5 C) 6 D) 10 E) 32 47

48 2. BÖLÜM KÜMELER Denk Kümeler, Eşit Kümeler, Alt Küme, Öz Alt Küme KAVRAMA TESTİ {k, a, t, e, g, o, r, i} kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a bulunurken e bulunmaz? A) 6 B) 15 C) 18 D) 20 E) elemanlı alt kümelerinin sayısı 4 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan kümenin 3 elemanlı kaç tane alt kümesi varıdr? A) 4 B) 10 C) 20 D) 35 E) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 0 ve 1 bulunur? A) 10 B) 12 C) 16 D) 20 E) n elemanlı bir kümenin, n ve 9 2n elemanlı alt kümelerinin sayıları birbirine eşittir. Buna göre, n kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Hazine n, p, r N ve p, r n olsun. n n p = r ise p = r ya da p + r = n dir. Örneğin, = = = = ve 5 elemanlı alt kümelerinin sayıları birbirine eşit olan bir kümenin en az 7 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? A) 36 B) 45 C) 46 D) 48 E) 54 Örneğin, 21 elemanlı bir kümenin 19 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulmak için yerine hesapla ması daha kolay olan nu tercih ederiz = = = elemanlı alt kümelerinin sayısı, 5 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan kümenin eleman sayısı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 5 D) 8 E) A kümesinin elemanlarından biri b dir. A nın b yi bulunduran 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı, b yi bulunduran 2 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşittir. Buna göre, A kümesi kaç elemanlıdır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 1. D 2. B 3. D 4. B 5. D 6. B 7. E 8. C 9. D 10. E 11. E 12. D 13.E 14.B 15.C 16. B 17.D 18.B 19.A 20.D 21.C 22.D 23.C 24.C 48

49 2 KÜMELER BÖLÜM Denk Kümeler, Eşit Kümeler, Alt Küme, Öz Alt Küme PEKİŞTİRME TESTİ A = {3, 4, 5, 6, 7} B = {x: 2 x 6 ve x Z} C = {x: 3 < x 8 ve x Z} 5. A ve B iki kümedir. A nın alt kümelerinin sayısı, B nin alt kümelerinin sayısına bölündüğünde sonuç 64 oluyor. Buna göre, A nın eleman sayısı B nin eleman sayısından kaç fazladır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 kümeleri veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) A = D B) A B C) A C D) A = C E) B C 6. Bir kümenin eleman sayısı 2 azaltıldığında, öz alt küme sayısı 96 azalıyor. Buna göre, bu küme kaç elemanlıdır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) A, B, C ve D birer kümedir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) (A B ve A C) B C B) (A = B ve B C) A = C C) (A B ve B C ve C D) A D D) (A B ve C D) A D E) (A B ve B) A = 7. 4 elemanlı bir kümenin kaç tane öz alt kümesi vardır? A) 7 B) 15 C) 31 D) 63 E) A = {{1}, 1, } kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) A B) { } A C) 1 A D) {1, {1}} A E) {{1}, } A 8. Aşağıdakilerden hangisi, {x 11 x 0 ve x Z} kümesine denk değildir? A) {x 1 < x < 14 ve x Z} 4. {{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, { }} kümesinin kaç tane alt kümesi vardır? A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 32 B) Bir yılı oluşturan ayların kümesi C) 12 yaşındaki insanların kümesi D) {x 0 < x 12 ve x Z} E) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} 49

50 2. BÖLÜM KÜMELER Denk Kümeler, Eşit Kümeler, Alt Küme, Öz Alt Küme PEKİŞTİRME TESTİ {1, 2, 3} A {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} koşulunu sağlayan kaç farklı A kümesi vardır? A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) elemanlı alt küme sayısı, 5 elemanlı alt küme sayısına eşit olan bir kümenin kaç tane öz alt kümesi vardır? A) 31 B) 63 C) 127 D) 255 E) A = {0, 1, 2} B = { 2, 1, 0, 1, 2, 3} kümeleri veriliyor. A X B koşulunu sağlayan, A ve B den farklı kaç farklı X kümesi vardır? 14. İki elemanlı alt kümelerinin sayısı 36 olan bir küme kaç elemanlıdır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 A) 6 B) 8 C) 14 D) 16 E) elemanlı alt küme sayısı, 8 elemanlı alt küme sayısına eşit olan bir kümenin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? elemanlı bir kümenin kaç tane 3 elemanlı alt kümesi vardır? A) 286 B) 220 C) 165 D) 120 E) 84 A) 220 B) 165 C) 120 D) 84 E) A kümesinin eleman sayısı B kümesinin eleman sayısından 1 fazladır elemanlı bir kümenin kaç tane 18 elemanlı alt kümesi vardır? A) 380 B) 190 C) 153 D) 144 E) 20 Buna göre, A kümesinin alt küme sayısı B kümesinin alt küme sayısının kaç katıdır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 50

51 2. BÖLÜM KÜMELER Denk Kümeler, Eşit Kümeler, Alt Küme, Öz Alt Küme PEKİŞTİRME TESTİ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde ne 0 ne de 1 bulunur? A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) A kümesinin üç elemanı a, b ve c dir. A kümesinin, a ve b nin birlikte bulunduğu fakat c nin bulunmadığı alt kümelerinin sayısı 16 dır. Buna göre, A kümesi kaç elemanlıdır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) {a, b, c, d, e, f, g, h} kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a veya b bulunur? A) 40 B) 41 C) 46 D) 48 E) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde iki tek iki çift sayı bulunur? A) 12 B) 18 C) 21 D) 24 E) {a, b, c, d, e, f, g} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a veya b den en çok biri bulunur? A) 25 B) 30 C) 35 D) 40 E) {a, b, c, d, e, f, g} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde iki sesli ve bir sessiz harf vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Bir A kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin 15 tanesinde daima a, b, c elemanlarının üçü bulunmaktadır. Buna göre, A kümesi kaç elemanlıdır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir asal sayı bulunur? A) 16 B) 18 C) 20 D) 24 E) 28 51

52 2. BÖLÜM KÜMELER Denk Kümeler, Eşit Kümeler, Alt Küme, Öz Alt Küme PEKİŞTİRME TESTİ A = {a, b, 1} B = {a, b, c, 1, 2, 3} kümeleri veriliyor. A x B koşulunu sağlayan, A dan farklı kaç farklı x kümesi vardır? 29. A = {1, 2, 3, 4, a, b, c, d} kümesi veriliyor. A kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde bir rakam iki harf bulunur? A) 24 B) 16 C) 12 D) 10 E) 8 A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) elemanlı bir kümenin (2r 1) elemanlı alt kümelerinin sayısı (3r 5) elemanlı alt kümelerinin sayısına eşittir. Buna göre, r nin alacağı değerler toplamı kaçtır? elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin sayısının yarısına eşit olan küme kaç elemanlıdır? A) 4 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 4 veya 5 bulunur? A) 16 B) 24 C) 32 D) 36 E) Bir kümenin en çok 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı, en az 4 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit ve 64 tür. Bu kümenin 2 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? A) 7 B) 10 C) 21 D) 28 E) A = {1, {1, 2}, {2}, {1}, {3}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerden hangisi A kümesinin hem bir elemanı hem de alt kümesidir? A) 1 B) {1, 2} C) {2} D) {1} E) {3} toplamının sonucu kaçtır? A) 512 B) 256 C) 128 D) 64 E) D 2. C 3. E 4. D 5. C 6. B 7. B 8. C 9. C 10. A 11. A 12. B 13. D 14. C 15. A 16. A 17. D 18. E 19. A 20. D 21. C 22. B 23. E 24. E 25. D 26. E 27. E 28. D 29. A 30. D 31. C 32. B 52

53 2 KÜMELER BÖLÜM Denk Kümeler, Eşit Kümeler, Alt Küme, Öz Alt Küme ÖDEV TESTİ Aşağıda verilen küme çiftlerinden hangileri birbirine denktir? A) {x: x < 10 ve x bir asal sayı} {1, 2, 3} B) {x: 1 < x < 10 ve x Z} {x: x, Türk alfabesinde bir sesli harf} C) {x: 1 x 2 ve x Z} {x: 1 x 2 ve x R} D) {x: 70 < x < 49 ve x Z} {x: 0 < x < 20 ve x Z} 4. A = {a, {a, b}, c} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerden kaç tanesi yanlıştır? I. {a} A II. {a, b} A III. {a, b} A IV. {b} A V. {c} A A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 E) {x: 5 < x < 6 ve x N} {x: 1 < x < 7 ve x Z} 2. A ve B iki küme olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? tane öz alt kümesi olan bir küme kaç elemanlıdır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 A) (A B ve B A) A = B B) { } A C) { } D) s(a) = s(b) A B E) s(a) < s(b) A B 3. A = {, { }, {, { }}} 6. Alt ve öz alt küme sayılarının toplamı 63 olan bir kümenin 3 ten çok elemanlı kaç alt kümesi vardır? A) 6 B) 9 C) 12 D) 15 E) 18 kümesi veriliyor. Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur? I. A II. { } A III. s(a) = 4 A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III 7. Bir kümenin eleman sayısı a kadar artırılırsa alt küme sayısı x artıyor. a kadar azaltılırsa alt küme sayısı y azalıyor. Buna göre, x oranı kaçtır? y A) 2a B) 2a 1 C) 2a + 1 D) 2 a E) 2 a 1 53

54 2. BÖLÜM KÜMELER Denk Kümeler, Eşit Kümeler, Alt Küme, Öz Alt Küme ÖDEV TESTİ Bir A kümesinin eleman sayısı 3 katına çıkartıldığında alt kümelerinin sayısı 256 katına çıkıyor. Buna göre, A kümesi kaç elemanlıdır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) A, B, C üç kümedir. A B C s(a) > 5 olduğuna göre, s(a) + s(b) + s(c) toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 15 B) 18 C) 21 D) 24 E) {a, b, c} A {a, b, c, d, e, f} koşulunu sağlayan kaç farklı A kümesi vardır? A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) Bir kümenin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 4 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşittir. Buna göre, bu kümenin en çok 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? 10. {0, 1, 2} A {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} A) 25 B) 28 C) 29 D) 30 E) 32 koşulunu sağlayan 5 elemanlı kaç farklı A kümesi vardır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) n elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 3 elemanlı alt kümelerinin sayısından 5 eksiktir elemanlı bir kümenin 5 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? Buna göre, n kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 A) 126 B) 90 C) 84 D) 70 E) elemanlı bir kümenin alt kümelerinin kaç tanesinin eleman sayısı çifttir? A) 16 B) 32 C) 64 D) 128 E) A ve B kümelerinin alt küme sayılarının toplamı 96 olduğuna göre, s(a) + s(b) toplamı kaçtır? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 54

55 2. BÖLÜM KÜMELER Denk Kümeler, Eşit Kümeler, Alt Küme, Öz Alt Küme ÖDEV TESTİ {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin kaç alt kümesinde 3 bulunur? A) 12 B) 16 C) 20 D) 24 E) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 3 ve 5 birlikte bulunur? A) 6 B) 10 C) 14 D) 15 E) {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 2 bulunur? A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) Alt kümelerinden biri {a, b, c} olan 6 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a veya c den en az biri bulunur? A) 10 B) 14 C) 16 D) 20 E) {a, b, c, d, e, f, g} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a veya b bulunur? A) 5 B) 15 C) 25 D) 30 E) {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde yalnız bir tane çift sayı bulunur? A) 8 B) 6 C) 4 D) 3 E) {a, b, c, d, e} kümesinin allt kümelerinin kaç tanesinde a ile e den en çok biri bulunur? A) 6 B) 8 C) 12 D) 16 E) {1, 2, 3} A {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} koşuluna uyan A kümesinin kaç tanesinde 4 bulunurken, 5 bulunmaz? A) 3 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10 55

56 2. BÖLÜM KÜMELER Denk Kümeler, Eşit Kümeler, Alt Küme, Öz Alt Küme ÖDEV TESTİ {0, 2, 3, 5, 7, 8} kümesinin kaç alt kümesinde 0 bulunmaz, 3 bulunur? A) 16 B) 20 C) 24 D) 28 E) {a, b, c, d, e, f, g} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a bulunmazken, b veya c bulunur? A) 11 B) 14 C) 20 D) 25 E) {a, b, c} kümesi A kümesinin alt kümelerinden biridir. A kümesinin alt kümelerinin 192 tanesinde a ve b den en çok biri olduğuna göre, A kümesinin alt küme sayısı kaçtır? A) 120 B) 128 C) 200 D) 256 E) A kümesinin elemanlarından biri b dir. A nın b yi bulunduran 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı, b yi bulunduran 3 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşittir. Buna göre, A nın b yi bulundurmayan kaç tane alt kümesi vardır? A) 64 B) 32 C) 16 D) 8 E) Ali ile Ahmet'in de aralarında bulunduğu 5 kişiden 3 ü seçilecektir. Seçilecek kişiler arasında Ali ile Ahmet'ten yalnızca biri olacağına göre, kaç farklı seçim yapılabilir? A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) Bir A kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin 21 tanesinde daima x, y, z elemanlarının üçü bulunmaktadır. Buna göre, A kümesi kaç elemanlıdır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir çift sayı vardır? A) 960 B) 980 C) 992 D) 1008 E) {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin en az 2 elemanlı alt kümelerinden kaç tanesi ardışık doğal sayılardan oluşur? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) B 2. E 3. D 4. C 5. C 6. A 7. D 8. B 9. C 10. E 11. A 12. E 13. B 14. C 15. B 16. C 17. B 18. B 19. D 20. E 21. D 22. C 23. B 24. D 25. A 26. D 27. E 28. C 29. B 30. B 31. D 32. E 56

57 2 KÜMELER BÖLÜM KAVRAMA TESTİ 03 Kümelerde İşlemler Hazine Hazine Birleşim Kümesi A kümesine veya B kümesine ait elemanların oluşturduğu kümeye A ile B nin birleşim kümesi denir ve A B ile gösterilir. A B = {x x A x B} Bir de Venn şemasıyla gösterelim. Kesişim Kümesi Hem A kümesine hem de B kümesine ait elemanların oluşturduğu kümeye A ile B nin kesişim (arakesit) kümesi denir ve A B ile gösterilir. A B = {x x A x B} Bir de Venn şemasıyla gösterelim. 1. A = { 1, 1, 3, 4} B = {1, 3, 6, 7} olduğuna göre, A B birleşim kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 1, 1, 3, 6, 7} B) { 1, 1, 4, 6, 7} C) {1, 3, 4, 6, 7} D) { 1, 4, 6, 7} E) { 1, 1, 3, 4, 6, 7} 3. A = {a, 3, 4, 6} B = {a, b, 2, 4} olduğuna göre, A B kesişim kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {a} B) {4} C) {a, 4} D) {a, b, 4} E) {3, 2, a} 2. A = {x 1 < x 3, x R} B = {x 1 < x < 4, x R} olduğuna göre, A B birleşim kümesi aşağıdaki sayı aralıklarından hangisidir? A) ( 1, 4) B) ( 1, 4] C) [ 1, 4] D) (1, 3] E) [1, 3) Hazine Hazine A A = A (Tek kuvvet özelliği) A B = B A (Değişme özelliği) A (B C) = (A B) C = A B C (Birleşme özelliği) A B A B = A A = A B A A B B A A = A (Tek kuvvet özelliği) A B = B A (Değişme özelliği) A (B C) = (A B) C = A B C (Birleşme özelliği) A B A B = B A = A A A B B A B Hazine Dağılma Özelliği A (B C) = (A B) (A C) (A B) C = (A C) (B C) A (B C) = (A B) (A C) (A B) C = (A C) (B C) 57

58 2. BÖLÜM KÜMELER Kümelerde İşlemler KAVRAMA TESTİ A B = {1, 2, 3, a, b, c} A C = {1, a, b, c, d} olduğuna göre, A (B C) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {1} B) {a, c} C) {1, a, c} D) {1, 2, a} E) {1, a, b, c} Hazine De Morgan Kuralları (A B) = A B, (A B) = A B, (A ) = A E evrensel küme olmak üzere, E =, = E Hazine Ayrık Kümeler Kesişimleri boş küme olan iki kümeye ayrık küme denir. Örneğin, A = {1, 2, 3} ve B = {a, b} kümeleri ayrık kümelerdir. Hazine Hazine Fark Kümesi A ve B iki küme olsun. A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu kümeye, A ile B nin fark kümesi denir ve A B veya A \ B ile gösterilir. A B = {x x A x B} Bir de Venn şemasıyla gösterelim. Evrensel Küme Üzerinde çalışılan tüm kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir. Evrensel küme genel olarak E harfi ile gösterilir. Örneğin, A = {1, 2, 3, 4} ve B = {3, 4, 5} kümeleri için, A B = {1, 2} ve B A = {5} olur. Ayrıca, A B = A B A B = A (A B) A B A B = 5. A (B A) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? E = E E = E E = E E E = E E A = E E A = A Hazine A, E evrensel kümesinin bir alt kümesi olsun. A kümesinde olmayıp E evrensel kümesine ait elemanların oluşturduğu kümeye A nın tümleyen kümesi denir ve A ya da A ile gösterilir. A = {x x A x E} Bir de Venn şemasıyla gösterelim. A) A B B) A B C) A B Hazine D) (A B) E) A kümesi, E evrensel kümesinin bir alt kümesi olmak üzere, A = E A dır. Buradan, A A = E ve s(a) + s(a ) = s(e) olduğu görülür. A A = 6. A ile B aynı E evrensel kümesinin alt kümeleridir. A A = E s(a) + s(b ) = 14 ve s(a ) + s(b) = 16 olduğuna göre, s(e) kaçtır? A) 12 B) 14 C) 15 D) 16 E) E 2. A 3. C 4. E 5. D 6. C 58

59 2 KÜMELER BÖLÜM Kümelerde İşlemler PEKİŞTİRME TESTİ A = {a, b, c, 2, 3} B = {b, d, 2, 3, 4} olduğuna göre, A B birleşim kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {a, b, c, d, 2, 3, 4} B) {a, b, 3, 4} C) {b, 2, 3} 5. A, B, C üç kümedir. A B = {a, b, c, d} A C = {e, f, g, h} olduğuna göre, A (B C) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {b, d} B) {b, c, d, g} C) {a, c, g, h} D) {e, f, h} E) {a, b, c, d, e, f, g, h} D) {a, c, d, 4} E) {a, b, c, d, 1, 2, 3, 4} 2. A = {x 2 x 5, x R} B = {x 1 x 8, x R} olduğuna göre, A B birleşim kümesi aşağıdaki sayı aralıklarından hangisidir? 6. (A B ) A işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) (A B) B) A B C) A B D) B A E) B A A) [ 2, 6] B) [ 1, 6] C) [ 1, 8] D) [ 2, 8] E) [ 2, 1] [6, 8] 7. A ve B iki kümedir. 3. A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B = {1, 2, 3, 4} koşullarını sağlayan kaç değişik A kümesi vardır? A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 16 Buna göre, (A B ) (A B) kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) A B) B C) A B D) A B E) B A 4. A = {1, 2, 3, a, b, e} B = {1, 2, a, c, f} C = {2, a, d, e, f} olduğuna göre, (A B) C kesişim kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {1, 2, a} B) {1, a, b} C) {2, a, d} D) {a, 2} E) {3, b, c} 8. A ve B iki kümedir. Buna göre, [A (A B)] (A (A B) ) kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) A B) B C) A B D) A B E) A B 59

60 2. BÖLÜM KÜMELER Kümelerde İşlemler PEKİŞTİRME TESTİ A ve B kümeleri, E evrensel kümesinin birer alt kümesidir. Buna göre, (A B) (A B ) kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) E B) C) A B 13. A = {x: 4 x < 6 ve x Z} B = {x: 1 < x 7 ve x Z} kümeleri veriliyor. Buna göre, A B kümesinin alt küme sayısı kaçtır? A) 16 B) 32 C) 64 D) 128 E) 256 D) A B E) A B 14. A ve B iki kümedir. A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 10. A ve B kümeleri, E evrensel kümesinin birer alt kümesidir. Buna göre, (A B) (A B) kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) E B) C) A D) B E) A B A B = {4, 5} A B = {1, 2, 3} olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {6, 7} B) {4, 5, 6, 7} C) {4, 5} D) {1, 2, 3, 4, 5} E) {1, 2, 3, 6, 7} 15. A = {a, c, d, e} 11. A ve B iki kümedir. Buna göre, (B A ) (B A ) kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) A B) A B C) D) A B E) B B = {a, b, e, f} C = {b, e} kümeleri veriliyor. Buna göre, A (B C) kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) {a} B) {a, e} C) {b, e} D) {c, f} E) {e} 12. A, B, C, D ve F birer kümedir. A B = C A D = F C F olduğuna göre, A (B D) kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) A B) B C) C D) D E) F 1. A 2. D 3. E 4. D 5. E 6. C 7. A 8. D 9. B 10. A 11. B 12. E 13. C 14. B 15. B 16. D 16. Yandaki Venn şemasına göre, kümesi (A B) (A C) hangisine eşittir? aşağıdakilerden A) {a, b, c} B) {d, e, f} C) {i, h} D) {h} E) {e, f, h} 60

61 2 KÜMELER BÖLÜM Kümelerde İşlemler ÖDEV TESTİ A = {x 2 < x < 9 ve x Z} B = {x 1 < x < 11 ve x Z} olduğuna göre, A B kümesinin kaç tane alt kümesi vardır? A) 32 B) 64 C) 128 D) 256 E) A, B ve C üç kümedir. A B = {1, 2, 3, 4, 5} A C = {2, 5, 6} olduğuna göre, A (B C) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {1, 2, 3, 4, 5, 6} B) {2, 5} C) {1, 2, 3} D) 2, 3, 4, 5, 6} E) {6} 2. A = {x 3 x < 7 ve x R} B = {x 2 < x 7 ve x R} olduğuna göre, A B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (2, 7) B) (2, 7] C) (3, 7] D) (3, 7) E) [3, 7) 6. A ve B iki kümedir. Buna göre, (A B ) (B A ) kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) A B C) B A D) A B E) A B 3. A = {1, 2, 3, 4} B = {3, 4, 5, 6} kümeleri veriliyor. Buna göre, A (B C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} koşulunu sağlayan kaç farklı C kümesi vardır? A) 8 B) 16 C) 32 D) 64 E) A ve B kümeleri, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. Buna göre, (A B) A kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) A C) B D) A B E) A B 8. A ve B kümeleri, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. 4. A, B ve C kümeleri için, A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} C B = {4, 5, 6, 7} olduğuna göre, s((a B) C) kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Buna göre, A (A B ) kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) A B) B C) A B D) A B E) E 61

62 2. BÖLÜM KÜMELER Kümelerde İşlemler ÖDEV TESTİ A ve B iki kümedir. Buna göre, (A (A B )) (B (A B)) kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) A C) B D) B A E) A B 13. A ve B iki kümedir. A B = {1, 2} B A = {a, b} A B = {1, 2, 3, a, b, c} olduğuna göre, A B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {1, 2, a, b} B) C) {1, c} D) {3, c} E) {a, b, c} 14. A ve B iki kümedir. 10. A ve B iki kümedir. Buna göre, (A (A B)) (A (B A)) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) A B B) A B C) A B D) B A E) A B = olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? I. A B = II. A = B III. A B IV. A B A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) Yalnız IV E) III, IV 11. A ve B iki kümedir. Buna göre, (A (A B)) B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) A B C) A B D) A B E) A 15. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {3, 4, 5} C = {1, 5, 6} kümeleri veriliyor. Buna göre, A (B C) kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) {1, 2, 3, 4, 5, 6} B) {5} C) {1, 3, 4, 6} D) {1, 2, 3, 4, 5, 6} E) {1, 3, 4, 5, 6} 12. A, B ve C üç kümedir. A B C olduğuna göre, (A B ) (C B) kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) A B) B C) C D) E) B A 1. C 2. E 3. D 4. A 5. B 6. D 7. D 8. A 9. E 10. B 11. C 12. B 13. D 14. C 15. E 16. B 16. Yandaki Venn şemasına göre, A (B C) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {1, 2} B) {1, 2, 3, 5} C) {3, 5} D) {4} E) 62

63 2 KÜMELER BÖLÜM KAVRAMA TESTİ 04 Taralı Bölgeyi İfade Etme Hazine 1. Venn şeması ile verilen kümelerde taralı bölgeyi en doğru şekilde ifade edebilmek için bazı temel noktaları bilmemiz gerekir. Kesişim bölgesi gösterilirken kümelerin ortak bölgeleri taranır. Yukarıdaki Venn şemasına göre, taralı bölge aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? A) A B B) B A C) (A B) (B A) D) (A B) (B A) E) A B 2. Birleşim kümesi gösterilirken birleşimi oluşturan kümelerin tamamı taranır. Yukarıdaki Venn şemasına göre, taralı bölge aşa- ğıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? A) A B B) B A C) A B D) A B E) A B Fark kümesi gösterilirken ikinci küme şema üzerinde kapatılıp birinci kümede kalan kısım taranır. 3. Yukarıdaki Venn şemasına göre, taralı bölge aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? A) A B B) (A B) C C) (A B) C D) (A C) B E) (A B) C 63

64 2. BÖLÜM KÜMELER Taralı Bölgeyi İfade Etme KAVRAMA TESTİ Yukarıdaki Venn şemasına göre, taralı bölge aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri ile ifade edilebilir? I. B (A B C) II. ((A C) B) (A B C) Yukarıdaki Venn şemasına göre, taralı bölge aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? A) (B C) (C A) B) C (A B C) C) C A D) (B C) A E) A (B C) III. (A B) C A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I, II E) I, II ve III Yukarıdaki Venn şemasına göre, taralı bölge aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? Yukarıdaki Venn şemasına göre, taralı bölge aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? A) (A B) C B) (B A) C C) C (A B) D) C (A B) E) (B A) C A) (A B) C B) (B C) A C) (A C) B D) (A C) B E) (B C) A Yukarıdaki Venn şemasına göre, taralı bölge aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri ile ifade edilebilir? Yukarıdaki Venn şemasına göre, taralı bölge aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? I. (A B C) B II. A C A) A B C B) (A C) B III. (A B) (C B) C) (A C) B D) B (A C) A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III E) (A C) B D) I, II E) I, III 1. d 2. a 3. b 4. d 5. c 6. b 7. a 8. b 9. e 64

65 2 KÜMELER BÖLÜM Taralı Bölgeyi İfade Etme PEKİŞTİRME TESTİ Yukarıdaki Venn şemasına göre, taralı bölge aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? A) C A B) C B C) C (A B) D) (A C) (A B) E) (A B) C Yukarıdaki Venn şemasına göre, taralı bölge aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? A) (A B) C B) (A B) C C) (A B) C D) (A B) C E) (A C) B Yukarıdaki Venn şemasına göre, taralı bölge aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? A) A C B) (A B) C C) (A C) B D) A B C E) (B C) A A ve B kümeleri, E evrensel kümesinin alt kümesidir. Yukarıdaki Venn şemasına göre, taralı bölge aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? A) (A B) B) (A B) C) A B D) (A B) (A B) E) (A B) (A B) Şekildeki A, B ve C kümeleri, E evrensel kümesinin Yukarıdaki Venn şemasına göre, taralı bölge aşağıdakilerden alt kümesidir. hangisi ile ifade edilebilir? Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) (A B) C B) C (A B) A) A B B) A C = C) (A C) (B C) D) (A C) B C) B A D) A B C E) (B C) A E) (A B) C 1. c 2. c 3. b 4. a 5. d 6. d 65

66 2 KÜMELER BÖLÜM Taralı Bölgeyi İfade Etme ÖDEV TESTİ A, B ve C kümeleri, E evrensel kümesinin üç alt kümesidir. Yandaki Venn şemasına göre, taralı bölge aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? A B =, B C, A B C = olduğuna göre, bu kümelerin Venn şeması ile gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? A) (A B) C B) A C C) (B A) C D) (A C) B E) (B C) A 2. Yukarıdaki Venn şemasına göre, taralı bölge aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? A) (A C) B B) (A B C) B C) B (A C) D) (A B) C E) B (A C) 5. Yandaki Venn şemasına göre, taralı bölge aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri ile ifade edilebilir? 3. A ve B ayrık olmayan kümeleri, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. Buna göre, (A B) (B A ) aşağıdaki taralı bölgelerden hangisini gösterir? I. (B C) (B (A C)) II. (B (A C)) ((A C) B) III. (B (A C)) (A C) A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III 6. Yandaki Venn şemasına göre, taralı bölge aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? A) A B B) B A C) B (A B) D) A (A B) E) (A B) (A B) 1. A 2. C 3. B 4. D 5. D 6. E 66

67 2 KÜMELER BÖLÜM KAVRAMA TESTİ 05 Küme İşlemlerini Kullanarak Problem Çözme Hazine A, B ve C üç küme olsun. s(a B) = s(a) + s(b) s(a B) s(a B) = s(a B) + s(a B) + s(b A) s(a B C) = s(a) + s(b) + s(c) s(a B) 5. A ve B iki kümedir. A B, B A s(a) = 6 s(b) = 4 olduğuna göre, A B kümesi en çok kaç elemanlı olur? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 s(b C) s(a C) + s(a B C) 1. A ve B iki kümedir. s(a) = 10 s(b) = 5 s(a B) = 3 olduğuna göre, A B kümesi kaç elemanlıdır? A) 7 B) 10 C) 12 D) 15 E) A kümesinin alt küme sayısı 16, B kümesinin öz alt küme sayısı 63 olduğuna göre, A B kümesi en çok kaç elemanlı olur? A) 6 B) 10 C) 12 D) 16 E) A ve B iki kümedir. s(a) = 4x 2. A ve B iki kümedir. s(a) = 7 s(b) = 11 olduğuna göre, A B kümesi en az kaç elemanlı olur? A) 4 B) 7 C) 11 D) 13 E) 18 s(b) = 2x + 4 s(a B) = 4x + 12 s(a B) = 6 olduğuna göre, A B kümesi kaç elemanlıdır? A) 7 B) 12 C) 18 D) 22 E) A ve B iki kümedir. A B s(a) = 8 s(b) = 9 olduğuna göre, A B kümesi en az kaç elemanlı olur? A) 1 B) 2 C) 8 D) 9 E) A ve B iki kümedir. s(a B) = 3 s(b A) = 4 s(a B) = 5 olduğuna göre, A B kümesi kaç elemanlıdır? A) 2 B) 4 C) 5 D) 10 E) A ve B iki kümedir. s(a) = 7 s(b) = 5 olduğuna göre, A B kümesi en çok kaç elemanlı olur? A) 0 B) 1 C) 2 D) 5 E) 7 9. A ve B iki kümedir. s(a B) = 2 s(a B) = 13 s(b) = 2s(A) olduğuna göre, s(a) + s(b) toplamı kaçtır? A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17 67

68 2. BÖLÜM KÜMELER Küme İşlemlerini Kullanarak Problem Çözme KAVRAMA TESTİ A, B ve C üç kümedir. s(a) = s(b) = s(c) = 5 s(a B) = s(b C) = s(a C) = 3 s(a B C) = 2 olduğuna göre, A B C kümesi kaç elemanlıdır? 11. Bir sınıfta Matematik'ten 18 öğrenci, Türkçe'den 22 öğrenci başarılı olmuştur. 4 öğrenci her iki dersten başarısız olmuştur. Sınıf mevcudu 36 kişi olduğuna göre, her iki dersten başarılı kaç öğrenci vardır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 A) 8 B) 7 C) 6 D) 4 E) 2 Hazine Küme işlemleri kullanılarak çözülen bazı problemlerde "en az", "en çok" gibi ifadeler geçer. Bu ifadelerle hangi kümelerin kastedildiğini doğru bir şekilde tespit edebiliyorsanız, problem basit bir aritmetik işleme dönüşür. Örneğin, aşağıdaki Venn şemasında bir sınıfta Matematik dersinden başarılı öğrencilerin kümesi M, Türkçe dersinden başarılı olan öğrencilerin kümesi M ile gösterilmiş olsun. 12. Bir sınıfta Matematik'ten 14 kişi, Türkçe'den 20 kişi başarılı olmuştur. Her iki dersten de başarılı öğrenci sayısı 7 olduğuna göre, bu derslerin en az birinden başarılı olan öğrenci sayısı kaçtır? A) 27 B) 29 C) 32 D) 34 E) Türkçe ve İngilizce dillerinden en az birini konuşabilen 20 kişilik bir grupta, 13 kişi Türkçe, 10 kişi İngilizce konuşabilmektedir. Buna göre, sadece bir dil konuşabilenlerin sayısı Buna göre, kaçtır? A) 11 B) 13 C) 15 D) 17 E) 19 Matematikten başarılı Türkçe'den başarılı En az bir dersten başarılı Sadece bir dersten başarılı İki dersten de başarılı İki dersten de başarısız a + b öğrenci, b + c öğrenci, a + b + c öğrenci, a + c öğrenci, b öğrenci, d öğrenci, dairenin bulunduğu bir apartmandaki tüm daireler A, B ve C gazetelerinden en az birini okumaktadır. A, B ve C gazetelerinden yalnız birini okuyan dairelerin sayıları birbirine eşittir. Her üç gazeteyi okuyan 5 daire vardır. En çok bir dersten başarılı a + c + d öğrenci, Yalnız iki gazete okuyan dairelerin sayısı, yalnız Matematik'ten başarısız c + d öğrenci, bir gazete okuyan dairelerin sayısının yarısına eşit olduğuna göre, A gazetesini okuyan kaç daire Türkçe'den başarısız a + d öğrenci vardır? vardır. A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) C 2. C 3. E 4. D 5. C 6. B 7. D 8. E 9. C 10. A 11. E 12. A 13. D 14. E 68

69 2 KÜMELER BÖLÜM Küme İşlemlerini Kullanarak Problem Çözme PEKİŞTİRME TESTİ A ve B iki kümedir. s(a B) = 36 s(a B) = 3 s(a) = 2s(B) olduğuna göre, B kümesi kaç elemanlıdır? 5. A ve B iki kümedir. s(a ) = 8 s(a B ) = 9 olduğuna göre, A B kümesi kaç elemanlıdır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 7 B) 10 C) 13 D) 16 E) A ve B kümeleri E evrensel kümesinin birer alt kümesidir. 2. A ve B iki farklı kümedir. s(a B) = 15 olduğuna göre, A kümesi en çok kaç elemanlı olur? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 s(e) = 48 s( A B) s(( A B) ) = 2 s(a B) = s(a ) s(a B) = s(b A) olduğuna göre, A B kümesi kaç elemanlıdır? A) 36 B) 39 C) 40 D) 42 E) A ve B iki kümedir. A B, A ve B A kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla 32, 64 ve 128 dir. Buna göre, A B kümesi kaç elemanlıdır? A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9 7. A ve B iki kümedir. B A s(a B) = 9 s(a) + s(b) = 27 olduğuna göre, A B kümesi kaç elemanlıdır? A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) A ve B kümeleri için, s(a) = s(b) s(a B) = 5 s(a B) = 41 olduğuna göre, A B kümesi kaç elemanlıdır? A) 18 B) 17 C) 16 D) 15 E) A ve B iki farklı kümedir. A ve B kümelerinin 32 tane ortak alt kümesi olduğuna göre, A B kümesi en az kaç elemanlıdır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 69

70 2. BÖLÜM KÜMELER Küme İşlemlerini Kullanarak Problem Çözme PEKİŞTİRME TESTİ A = {x: 32 < x < 140 ve x N} kümesinin elemanlarından kaç tanesi 3 ile tam bölünür? A) 34 B) 35 C) 36 D) 45 E) Bir sınıftaki öğrencilerin 15 i Matematikten başarısız, 10 u Fizikten başarılı olmuştur. Bu iki dersin en çok birinden başarılı olanların sayısı 20 olduğuna göre, en az birinden başarılı olan öğrenci sayısı kaçtır? A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) A = {x: 33 < x < 198 ve x N} kümesinin elemanlarından kaç tanesi 4 veya 5 ile tam bölünür? A) 50 B) 66 C) 79 D) 86 E) kişilik bir sınıfta gözlüksüz erkeklerin sayısı gözlüklü erkeklerin sayısının 4 katına, gözlüklü kızların sayısının da 2 katına eşittir. Kızların sayısı, erkeklerin sayısından 10 fazla olduğuna göre, gözlüklü erkek öğrenci sayısı kaçtır? A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) A = {x: x < 100 ve x N} kümesinin elemanlarından kaç tanesi 3 ile tam bölünür fakat 5 ile tam bölünmez? A) 15 B) 20 C) 27 D) 33 E) kişilik bir sınıfta Matematik'ten başarılı erkek sayısı, Matematik'ten başarısız kız sayısının yarısına, Matematik'ten başarılı kız sayısı, Matematik'ten başarısız erkek sayısının yarısına eşittir. Buna göre, Matematik'ten başarılı olan öğrenci sayısı kaçtır? A) 12 B) 14 C) 15 D) 16 E) kişilik bir sınıfta Matematik dersinden başarılı olanların hepsi Fizik'ten de başarılı fakat Kimya'dan başarısız olmuştur. Matematik'ten başarılı olanların sayısı ile sadece Kimya'dan başarılı olanların sayısı 12. A ve B gazetelerinden en az birini okuyan 70 kişilik bir toplulukta A gazetesini okuyan 10 kişi vardır. B gazetesini okuyanların sayısı, her iki gazeteyi de okuyanların sayısının 4 katı olduğuna göre, her iki gazeteyi okuyanların sayısı kaçtır? eşittir. Üç dersten başarısız olanların sayısı ile sadece Fizik'ten başarılı olanların sayısı eşit ve hem Fizik hem Kimya'dan başarılı olan 5 öğrenci olduğuna göre, Fizik'ten başarılı olan kaç öğrenci vardır? A) 15 B) 20 C) 25 D) 27 E) 30 A) 14 B) 15 C) 16 D) 18 E) C 2. E 3. B 4. A 5. A 6. D 7. C 8. B 9. C 10. B 11. C 12. B 13. C 14. A 15. D 16. E 70

71 2 KÜMELER BÖLÜM Küme İşlemlerini Kullanarak Problem Çözme ÖDEV TESTİ A ve B iki kümedir. s(a B) = 3 s(b A) = 4 ve A B kümesinin alt küme sayısı 16 olduğuna göre, A B kümesi kaç elemanlıdır? A) 7 B) 8 C) 11 D) 17 E) kişilik bir sınıftaki öğrencilerden İngilizce bilip, Fransızca bilmeyenlerin sayısı 6, Fransızca bilip, İngilizce bilmeyenlerin sayısı 4 tür. Bu sınıftaki İngilizce ve Fransızca dillerinden hiçbirini bilmeyen öğrenci sayısı, İngilizce ve Fransızca dillerinin ikisini de bilen öğrenci sayısının 2 katı olduğuna göre, İngilizce bilen öğrenci sayısı kaçtır? A) 6 B) 9 C) 14 D) 16 E) Farklı iki kümenin birleşim kümesi en az kaç elemanlıdır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 6. A = {x: x < 77 ve x N} kümesinin elemanlarından kaç tanesi 3 veya 4 ile tam bölünür? A) 37 B) 38 C) 39 D) 40 E) kişilik bir sınıftaki herkes İngilizce ve Almanca dillerinden en az birini bilmektedir. Bu sınıfta yalnız Almanca bilenlerin sayısı, yalnız İngilizce bilenlerin sayısının 3 katı olup, Almanca ve İngilizce bilenlerin sayısı 20 olduğuna göre, 2 Almanca bilmeyenlerin sayısı kaçtır? 7. Bir gruptaki futbol ya da basketbol oynayanların sayısı 40, futbol veya basketbol oynamayanların sayısı 20, futbol ve basketbol oynayanların sayısı 10 olduğuna göre, bu grupta kaç kişi vardır? A) 50 B) 60 C) 70 D) 80 E) 90 A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) Bir gruptaki İngilizce ile Almanca dillerinden en çok birini bilenlerin sayısı 28 dir. Bu gruptaki İngilizce ve Almanca bilenlerin sayısı 15 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi bulunabilir? 4. Bir sınıftaki öğrencilerin % 24 ü Matematik ve Fizik derslerinden başarılı, % 36 sı ise her iki dersten de başarısızdır. Bu sınıftaki öğrenci sayısı en az kaç olabilir? A) 10 B) 20 C) 25 D) 40 E) 50 A) Gruptaki kişi sayısı B) İngilizce bilenlerin sayısı C) Yalnız Almanca bilenlerin sayısı D) İngilizce bilip, Almanca bilmeyen kişi sayısı E) İngilizce veya Almanca bilmeyen kişi sayısı 71

72 2. BÖLÜM KÜMELER Küme İşlemlerini Kullanarak Problem Çözme ÖDEV TESTİ Bir sınıftaki Matematik ile İngilizce derslerinin en az birinden başarılı olan öğrenci sayısı 25, en çok birinden başarılı olan öğrenci sayısı 37 dir. Bu sınıftaki öğrencilerden İngilizce veya Matematik derslerinden başarısız olan öğrenci sayısı, her iki dersten de başarılı olan öğrenci sayısından kaç fazladır? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) Fizik, Kimya ve Biyoloji derslerinin üçünden de başarısız bir öğrencinin bulunmadığı bir sınıfta Biyolojiden başarılı olan herkes, Kimya'dan da başarılıdır. Üç dersten de başarılı olanların sayısı Biyoloji ve Kimya'dan başarılı olanların 2 katı, sadece Fizik'ten başarılı olanların sayısı, Fizik ve Kimya'dan başarılı olanların sayısından 1 fazladır. Kimya'dan başarısız olan 10 öğrenci olduğuna göre, sınıf mevcudu en az kaç kişidir? A) 18 B) 19 C) 21 D) 22 E) kişilik bir sınıftaki herkes Almanca bilmektedir. Bu sınıfta İngilizce ve Fransızca bilen 20 kişi olup, üç dilden sadece ikisini bilen 15 kişi olduğuna göre, sadece Almanca bilen kaç kişi vardır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) İngilizce ve Almanca derslerinden en az birini alan öğrencilerden oluşan bir sınıfta, öğrencilerin % 65 i İngilizce, % 45 i Almanca dersi almaktadır. Buna göre, sınıf mevcudu en az kaçtır? A) 110 B) 100 C) 35 D) 28 E) kişilik bir turist kafilesinde 21 kişi İngilizce, 20 kişi Almanca, 18 kişi de Fransızca konuşmaktadır. Bu kafilede İngilizce ve Almanca konuşan 8 kişi, İngilizce ve Fransızca konuşan 7 kişi, Almanca ve Fransızca konuşan 5 kişi vardır. Üç dili de konuşan 3 kişi olduğuna göre, üç dilden hiçbirini konuşamayan kaç kişi vardır? 15. Lokantaya giden bir toplulukta herkes yemek olarak döner ve lahmacundan birini, içecek olarak kola ve ayrandan birini sipariş etmiştir. Döner isteyenler kola, ayran içenler lahmacun siparişi vermiştir. 5 kişi döner, 5 kişi lahmacun siparişi ve 3 kişi ayran sipariş ettiğine göre, topluluk kaç kişidir? A) 9 B) 10 C) 12 D) 13 E) 15 A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) Bir sınıftaki kızların % 75 i matematikten başarılı, erkeklerin ise % 50 si matematikten başarısızdır. Sınıftaki öğrenci sayısı 36 olup, kızların sayısı erkeklerin sayısının 2 katına eşit olduğuna göre, bu sınıfta matematikten başarılı olan kaç öğrenci vardır? Yukarıdaki şekilde taralı alan 10 cm 2, A bölgesinin alanı 20 cm 2, B bölgesinin alanı 25 cm 2 olduğuna göre, A veya B bölgesinin sınırladığı bölge kaç cm 2 dir? A) 30 B) 28 C) 26 D) 24 E) 20 A) 35 B) 40 C) 45 D) 50 E) C 2. A 3. D 4. C 5. D 6. C 7. C 8. A 9. C 10. B 11. B 12. D 13. D 14. E 15. B 16. A 72

73 2 KÜMELER BÖLÜM BÖLÜM TESTİ Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri bir küme belirtir? I. "Sınıfımızdaki uzun boylu öğrenciler." II. "Okulumuzda çalışan öğretmenler." 5. A = {a, b, c, d, e} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a bulunmaz? A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 16 III. "Sınıfımızdaki öğrencilerden okul numarası iki basamaklı olanlar." A) Yalnız I B) Yalnız II C) I, II D) II, III E) I, II ve III 6. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir çift sayı bulunur? A) 8 B) 16 C) 48 D) 96 E) A = {a, {a}, b, {a, b}} kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) A B) a A C) {a} A D) {{a}, b} A E) {a, b} A 7. A ve B kümeleri için, A B = {a, b, c, d, e, f} A B = {a, c} A B = {b, d} olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {e, f} B) {a, c, e, f} C) {a, b, c, d} D) {a, b, c} 3. Öz alt küme sayısı 127 olan bir kümenin eleman sayısı kaçtır? E) {a, c, d, f} A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 8. A = {x 5 < x < 3 ve x R} B = {x 6 < x < 1 ve x Z} kümeleri veriliyor elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? A) 1 B) 6 C) 10 D) 15 E) 20 Buna göre, A B kümesinin 2 elemanlı kaç alt kümesi vardır? A) 10 B) 12 C) 15 D) 21 E) Sonsuz 73

74 2. BÖLÜM KÜMELER BÖLÜM TESTİ A = {x 1 x 300 ve x N} kümesinin elemanlarından kaç tanesi 3 veya 5 ile tam bölünür? A) 100 B) 120 C) 140 D) 160 E) kişilik bir grupta hem futbol hem de basketbol oynayanların sayısı futbol veya basketbol oynayanların sayısının yarısıdır. Her iki sporu da oynamayan 4 kişi olduğuna göre, her iki sporu oynayan kaç kişi vardır? A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) A) (A C) (A C) Yandaki şekilde A, B ve C kümeleri Venn şeması ile gösterilmiştir. Buna göre, taralı bölge aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? 14. A, B ve C gazetelerinin okunduğu bir toplulukta, A gazetesini okuyanlar B gazetesini okumamaktadır. Hiç gazete okumayanların sayısı yalnız bir gazete okuyanların sayısının yarısına, iki gazete okuyanların sayısının iki katına eşittir. Buna göre, toplulukta en az kaç kişi vardır? B) (B (A C)) (A B C) A) 8 B) 14 C) 16 D) 18 E) 24 C) (A B) C D) (B C) A E) (B C) A 11. En az bir elemana sahip, farklı A ve B kümeleri (B A) A = B eşitliğini sağladığına göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? 15. A, B ve C dillerinden en az birinin konuşulduğu bir toplulukta A ve B yi konuşan 6, B ve C yi konuşan 8, A ve C yi konuşan 5 kişi vardır. Her üç dili de konuşan 1, yalnız bir dili konuşan 15 kişi vardır. Buna göre, toplulukta kaç kişi vardır? A) 29 B) 30 C) 31 D) 32 E) 33 A) A B B) B A C) A B = D) A B E) A B = A 16. Matematik ve Bilgisayar derslerinin en az birinden başarılı olan öğrencilerin olduğu bir sınıfta her iki dersten başarılı olanların sayısı yalnız Bilgisayar dersinden başarılı olanların sayısının 1 5 ine, Ma kişilik bir sınıfta kız öğrencilerden oluşturulabilecek ikişerli grupların sayısı, bu sınıftaki erkek öğren- üne eşittir. tematik dersinden başarılı olanların sayısının da 1 3 cilerin sayısına eşittir. Buna göre, sınıf mevcudu aşağıdakilerden hangisi Buna göre, sınıfta kaç erkek öğrenci vardır? olabilir? A) 5 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10 A) 36 B) 40 C) 44 D) 49 E) D 2. E 3. C 4. D 5. E 6. E 7. B 8. A 9. C 10. B 11. A 12. E 13. D 14. B 15. D 16. B 74

75 2 KÜMELER BÖLÜM BÖLÜM TESTİ Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri bir küme belirtir? I. "Zeki insanlar." II. "14 yaşındaki insanlar." 5. {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve 2 birlikte bulunur? A) 2 B) 4 C) 6 D) 10 E) 15 III. "Asal sayılar." A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) II, III E) I, III 6. Boş küme ve kendisinden başka 126 tane alt kümesi olan bir kümenin eleman sayısı kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) A = {, 1, {1}, {1, 2, 3}} kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) A B) A C) s(a) = 4 D) {1, 2} A E) {1} A 7. A = {1, 2, 3, 4} B = {4, 5, 6, 7} kümeleri veriliyor. Buna göre, A B kümesinin alt kümelerinin kaçında B kümesine ait en az bir eleman bulunur? A) 248 B) 120 C) 56 D) 32 E) Bir A kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 5 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşittir. Buna göre, A kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinin eleman sayısı tektir? A) 32 B) 48 C) 64 D) 96 E) A ve B iki kümedir. s(a) = 2s(B) s(b) = s(a B) + 2 s(a B) = 24 olduğuna göre, A B kümesi kaç elemanlıdır? A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9 4. Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri daima doğrudur? I. Boş kümenin öz alt kümesi yoktur. 9. A ve B iki kümedir. II. Eleman sayısı 1 arttırılan bir kümenin, alt küme sayısı 2 katına çıkar. III. s(a B) < s(a B) A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I, II E) I, II, III s( A) s( B) s( A B) = = s( A B) = 54 olduğuna göre, B kümesi kaç elemanlıdır? A) 18 B) 24 C) 27 D) 36 E) 45 75

76 2. BÖLÜM KÜMELER BÖLÜM TESTİ A ve B kümeleri E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s(a ) = 12 s((a B) (B A)) = 10 s((a B) ) = 13 olduğuna göre, A B kümesi kaç elemanlıdır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 7 E) A ve B iki kümedir. s(a B) = 3 s(b A) = 4 ve A ile B kümelerinin 64 tane ortak alt kümesi vardır. Buna göre, A B kümesi kaç elemanlıdır? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) Bir köydeki hanelerin % 95 inde televizyon, % 80 inde çamaşır makinesi vardır. Köydeki hanelerin % 2 sinde ise ne televizyon ne de çamaşır makinesi vardır. Yukarıdaki Venn şemasına göre, taralı bölge aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? Buna göre, köydeki hanelerin yüzde kaçında televizyon olup çamaşır makinesi yoktur? A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20 A) B A B) B C C) (B C) A D) C B E) (A C) B 12. B C A olmak üzere, (A B ) (A C ) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) A C B) A C) B D) C E) C B 16. "Futbol, basketbol ve masa tenisi oyunlarından en az birinin oynandığı bir sınıfta futbol oynayanların kümesi F, basketbol oynayanların kümesi B ve masa tenisi oynayanların kümesi M ile gösterilmektedir. Masa tenisi oynayan herkes futbol da oynamaktadır" Yukarıda ifade edilen durum aşağıdakilerden hangisi ile gösterilebilir? 13. Bir kutuda sarı, siyah ve kırmızı toplar vardır. Bunlardan 19 tanesi kırmızı değildir. Siyah olmayanlarla sarı olanların toplamı 29, sarı olmayanlarla kırmızı olanların toplamı 32 dir. Buna göre, kutuda kaç tane kırmızı top vardır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) D 2. D 3. E 4. D 5. C 6. B 7. B 8. A 9. E 10. A 11. C 12. A 13. E 14. D 15. C 16. A 76

77 2 KÜMELER BÖLÜM BÖLÜM TESTİ A ve B aynı evrensel kümenin iki alt kümesidir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur? I. A B = A B II. A B = A B A = B III. A B B A) Yalnız I B) Yalnız II C) I, II 5. A, B ve C birer kümedir. s(a) = 3 s(b) = 4 s(c) = 5 olduğuna göre, A B C kümesinin eleman sayısı en az kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 D) I, III E) I, II ve III 2. Aşağıdaki kümelerden hangisi ya da hangileri sonludur? I. {x 2 x 3 ve x R} II. {x 1 x 2 ve x Z} III. {x x < ve x bir asal sayı} A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III 6. A, B ve C birer kümedir. A B = {1, 2, 3, 4, 5} A C = {2, 3, a, b, c} olduğuna göre, A kümesinin eleman sayısı en çok kaçtır? A) 4 B) 5 C) 7 D) 8 E) 10 D) I, II E) II, III 7. A ve B iki kümedir. 3. A = {x: 75 < x < 150, x = 2k ve x Z} B = {x: 90 < x < 170, x = 5k ve k Z} olduğuna göre, A B kümesi kaç elemanlıdır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 s(a B ) = 4.s(A B) s(b A) = 4 s(a) = 3.s(B) olduğuna göre, A B kümesi kaç elemanlıdır? A) 21 B) 24 C) 28 D) 30 E) A ve B iki kümedir. s(a) = 4s(A B) s(b) = 2s(A) olduğuna göre, A B kümesi kaç elemanlı olabilir? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) a, b ve c bir A kümesinin üç elemanıdır. A kümesinin alt kümelerinden 32 tanesinde a bulunurken, b ve c bulunmamaktadır. Buna göre, A kümesi kaç elemanlıdır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 77

78 2. BÖLÜM KÜMELER BÖLÜM TESTİ A = {a, b} B = {a, b, c, d, e} kümeleri veriliyor. B kümesinin alt kümelerinden kaç tanesi A kümesini kapsar? A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) kişilik bir sınıfta gözlüklü kızların sayısı, gözlüksüz erkeklerin sayısının yarısıdır. Gözlüksüz kızların sayısı, gözlüklü erkeklerin sayısından 5 fazladır. Sınıftaki gözlüklü öğrenci sayısı 8 olduğuna göre, erkek öğrenci sayısı kaçtır? A) 8 B) 11 C) 13 D) 15 E) A ve B iki kümedir. Buna göre, (A B ) (A B) aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) A B C) B A D) A E) A kişilik bir sınıfta kız öğrencilerin sayısı 16, sarışın öğrencilerin sayısı 10 dur. Sarışın kız öğrencilerin sayısı, sarışın ve gözlüksüz erkek öğrenci sayısına eşittir. Sarışın ve gözlüklü erkek öğrenci sayısı 4 olduğuna göre, sarışın olmayan erkek öğrenci sayısı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 7 D) 10 E) Bir sınıfta futbol oynayanların kümesi F, basketbol oynayanların kümesi B, bu iki spordan hiçbirini yapmayanların kümesi H ile gösterilmektedir. Yukarıdaki Venn şemasına göre taralı bölge aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? A) B (A C) B) (B (A C)) (A C) C) (A B) (C B) Yalnız futbol oynayan öğrenci sayısı 10 ve s( F) s( B) = = s( H) 3 7 olduğuna göre, sınıf mevcudu en az kaçtır? A) 42 B) 44 C) 46 D) 48 E) 50 D) B (A C) E) (B (A C)) (A B) (B A) kişilik bir sınıfta 13 kişi Matematikten başarısız, 10 kişi hem matematik hem de fizikten başarılıdır. 16. Fenerbahçe, Beşiktaş ve Galatasaray'ı tutanlarla, bu üç takımdan hiçbirini tutmayanların olduğu bir grupta Fenerbahçe'yi tutanların sayısı, üç takımdan hiçbirini tutmayanların sayısından 3, Beşiktaş'ı tutanların sayısından 2, Galatasaray'ı tutanların sayısından 1 fazladır. Buna göre, matematikten başarılı olup fizikten Buna göre, grup mevcudu aşağıdakilerden hangisi başarısız olan öğrenci sayısı kaçtır? olabilir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 A) 40 B) 41 C) 43 D) 44 E) C 2. E 3. A 4. B 5. B 6. D 7. E 8. C 9. C 10. B 11. B 12. D 13. C 14. E 15. A 16. E 78

79 3. BÖLÜM KARTEZYEN ÇARPIM ALT ÖĞRENME ALANLARI Sıralı İkili ve Sıralı İkililerin Eşitliği İki Kümenin Kartezyen Çarpımı İki Kümenin Kartezyen Çarpımının Grafiği

80 .

81 3 BÖLÜM KARTEZYEN ÇARPIM KAVRAMA TESTİ 01 Sıralı İkili, Kartezyen Çarpım, Grafikler Sıralı İkili Hazine 2. (2, 2 x, y + 1) = (x, z, 5) olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 a bir nesne, b de başka bir nesne olsun. (a,b) yazılışına sıralı ikili denir. Bu yazılışta sıranın önemi olduğundan a ya sıralı ikilinin 1. bileşeni, b ye de sıralı ikilinin 2. bileşeni denir. Hazine Sıralı İkililerin Eşitliği Verilen iki sıralı ikiliden birinin birinci bileşeni, diğerinin birinci bileşenine; ikinci bileşeni de diğerinin ikinci bileşenine eşitse bu sıralı ikililer eşittir denir. (a,b) = (c,d) a = c ve b = d Hazine Kartezyen Çarpım A ve B iki küme olsun. Birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulan tüm sıralı ikililerinin oluşturduğu kümeye A ile B nin kartezyen çarpımı denir ve A x B ile gösterilir. A x B = {(a, b) a A ve b B} Örneğin, A = {1, 2} ve B = {a, b} için, A x B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)} olur. 1. (2x + 1, y + 4) = (7, x) olduğuna göre, (x,y) sıralı ikilisi aşağıdakilerden hangisidir? A) (3,1) B) (1,3) C) (3, 1) D) (3,2) E) ( 1,3) 3. A = {1, 2} ve B = {a, b, c} kümeleri veriliyor. Buna göre, A x B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {(1, a), (2, b)} B) {(1, a), (1, b), (1, c)} Hazine Sıralı n li a 1, a 2, a 3,, a n birer nesne olsun. (a 1, a 2, a 3,, a n ) yazılışına sıralı n li denir. Hazine C) {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (a, 2), (b, 2), (c, 2)} D) {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)} E) {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} 4. A = {a, b} kümesi veriliyor. Buna göre, A x A kümesi aşağıdakilerden hangisidir? Sıralı n lilerin Eşitliği İki sıralı ikilinin eşitliğine benzer olarak sıralı n lilerin eşitliği aşağıdaki gibi tanımlanır. (a 1, a 2, a 3,, a n ) = (b 1, b 2, b 3,, b n ) a 1 = b 1, a 2 = b 2,..., a n = b n A) {(a, a), (a, b)} B) {(a, a), (b, b)} C) {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)} D) {(a, b)} E) {(a, b), (b, a)} 81

82 3. BÖLÜM KARTEZYEN ÇARPIM Sıralı İkili, Kartezyen Çarpım, Grafikler KAVRAMA TESTİ 01 Hazine s(a x B) = s(b x A) = s(a) s(b) dir. 5. A = {1, 2, 3, 4} 8. A = {x 1 x < 3 ve x R} B = {y 0 y < 3 ve y Z} kümeleri veriyor. Buna göre, A x B nin grafiği aşağıdakilerden hangisidir? B = {a, b, c} olduğuna göre, s(a x B) kaçtır? A) 12 B) 18 C) 20 D) 24 E) A = {0, 1, a} B = {0, 1, a, b} olduğuna göre, s(b x A) kaçtır? A) 1 B) 3 C) 7 D) 12 E) A = {x 1 < x 3 ve x R} B = {x 2 x 5 ve x R} Hazine kümeleri veriliyor. Buna göre, A x B kümesinin grafiği aşağıdakilerden hangisidir? (Sağdan dağılma özelliği) A x (B C) = (A x B) (A x C) A x (B C) = (A x B) (A x C) (Soldan dağılma özelliği) (B C) x A = (B x A) (C x A) (B C) x A = (B x A) (C x A) (Birleşme özelliği) A x (B x C) = (A x B) x C = A x B x C 9. A B = {a, b, c} C = {1, 2} olduğuna göre, (A x C) (B x C) aşağıdakilerden hangisidir? A) {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)} B) {(1, a), (1, b), (1, c) (2, a), (2, b), (2, c)} C) {(a, 1), (b, 1), (c, 1)} D) {(1, a), (1, b), (1, c)} E) {(1, 1), (a, a), (2, 2), (b, b), (c, c)} 1. C 2. D 3. D 4. C 5. A 6. D 7. A 8. D 9. A 82

83 3 BÖLÜM KARTEZYEN ÇARPIM Sıralı İkili, Kartezyen Çarpım, Grafikler PEKİŞTİRME TESTİ (x + y, 3) = (1, x y) olduğuna göre, (x, y) sıralı ikilisi aşağıdakilerden hangisidir? A) (2, 1) B) (1, 2) C) (2, 1) D) ( 1, 2) E) (1, 1) 5. A = {x: 1 < x < 10 ve x Z} B = {x: 2 x 6 ve x Z} kümeleri veriliyor. Buna göre, A x B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 36 B) 40 C) 45 D) 50 E) A = {a, b, c} 2. (x x, x + y) = (27, 4y) olduğuna göre, x y kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 9 B x A = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)} kümeleri veriliyor. Buna göre, B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {a, b} B) {1, a} C) {a, b, 1, 2} D) {1} E) {1, 2} 3. (3x y, x + y, z 2 ) = (5, 3, 4) olduğuna göre, x y z çarpımının en küçük değeri kaçtır? A) 4 B) 2 C) 0 D) 2 E) 4 7. A, B ve C birer kümedir. A B = {a, b} C = {c} olduğuna göre, (C x A) (C x B) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {(a, c), (b, c)} B) {(c, a), (c, b)} C) {(a, c), (c, b)} D) {(c, a), (b, c)} E) {(a, a), (b, b), (c, c)} 4. A = {1, 2} B = {a, b, c} kümeleri veriliyor. Buna göre, {(x, y): x A ve y B) kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) A = {1, 2, 3} B = { 1, 1, 2} olduğuna göre, A x B kümesinin elemanlarını dışarıda bırakmayan dikdörtgensel bölgenin alanı en az kaç birim karedir? A) 2 B) 4 C) 6 D) 9 E) 12 83

84 01 3. BÖLÜM PEKİŞTİRME TESTİ KARTEZYEN ÇARPIM Sıralı İkili, Kartezyen Çarpım, Grafikler 9. A = {x 3 < x < 4 ve x R} B = {x 1 < x < 2 ve x R} kümeleri veriliyor. 11. A = {1, 2, 3, 4} B = [1, 4] olduğuna göre, A x B aşağıdakilerden hangisidir? Buna göre, A x B kümesinin grafiği aşağıdakilerden hangisidir? 10. A = {x 1 x 3 ve x R} olduğuna göre, A x A kümesinin grafiği aşağıdakilerden hangisidir? 12. Aşağıdaki kartezyen çarpımlardan hangisinin grafiği yukarıda verilmiştir? A) A x B = {(x,y) 1 x < 3 ve x, y R} B) A x B = {(x,y) 1 y < 3 ve x, y R} C) A x B = {(x,y) 1 x 3 ve x, y R} D) A x B = {(x,y) 1 y 3 ve x, y R} E) A x B = {(x,y) y = 1 veya y = 3 ve x R} 1. C 2. C 3. A 4. D 5. B 6. E 7. B 8. C 9. D 10. A 11. A 12. D 84

85 3 BÖLÜM KARTEZYEN ÇARPIM Sıralı İkili, Kartezyen Çarpım, Grafikler ÖDEV TESTİ (3x + 1, 2y 1) = (y 1, x + 2) y eşitliğini sağlayan x, y + 2x ikilisi nedir? A) (7, 1) B) ( 7, 1) C) 7, 9 5 D) 1 7, 1 E) 1 9, A = {a, b, c, d} B = {{1, 2}, 3, 4, 5} C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümeleri veriliyor. Aşağıdaki ikililerden hangileri (A x B) (A x C) kümesinin elemanıdır? I. (a, 3) II. (a, 5) 2. (x y, x + y) = (4, 8) eşitliğine göre, x y çarpımı kaçtır? A) 16 B) 12 C) 6 D) 12 E) 16 III. (b, 2) A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I, II E) I, II, III 3. (x 2, y + x) = (25, 3) eşitliğine göre, x y nin alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 13 B) 10 C) 1 D) 1 E) 3 7. A = {x 1 x < 5, x Z} B = {y 0 < y 6, y Z} Birinci bileşeni B den ikinci bileşeni A dan alınarak en çok kaç tane (x, y) ikilisi yazılabilir? A) 20 B) 24 C) 36 D) 42 E) (x + z, x + y, y + z) = (2, 9, 5) olduğuna göre, x y z çarpımı kaçtır? A) 12 B) 6 C) 0 D) 12 E) Aşağıda verilenlerden hangisi ya da hangileri daima doğrudur? I. A ve B birbirinden ve boş kümeden farklı iki küme ise A x B B x A 5. A = {x 2 x < 7, x Z} B = {x 5 x < 2, x Z} olduğuna göre, s(a x B) kaçtır? A) 24 B) 28 C) 30 D) 32 E) 35 II. s(a x B) = s(b x A) III. A A x B A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II, III 85

86 01 3. BÖLÜM ÖDEV TESTİ KARTEZYEN ÇARPIM Sıralı İkili, Kartezyen Çarpım, Grafikler Aşağıdaki kartezyen çarpımlardan hangisinin grafiği yukarıda verilmiştir? A) A x B = {(x,y) 0 x < 2 ve x,y R} B) A x B = {(x,y) 0 y < 1 ve x,y R} C) A x B = {(x,y) 0 x 2 ve x,y R} D) A x B = {(x,y) 0 x 2 ve 1 y ve x,y R} E) A x B = {(x,y) 0 x < 2 ve 1 y ve x,y R} Yukarıdaki grafik A x B kümesine aittir. Buna göre, A ve B kümeleri aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir? A) A = {x 2 x 4, x R} B = {y 1 y 2, y R} B) A = {x 2 x 4, x Z} B = {y 1 y 2, y R} C) A = {x 2 x 4, x R} B = {y 1 y 2, y Z} D) A = {x 1 x 2, x R} B = {y 2 y 4, y R} E) A = {x 1 x 2, x Z} B = {y 2 y 4, y R} 10. A = {x 2 x < 5, x Z} B = {y 0 y < 2, y Z} kümeleri veriliyor. A x B kümesinin grafiği aşağıdakilerden hangisidir? 12. A = R B = {x 1 x 2, x R} A x B kümesinin grafiği aşağıdakilerden hangisidir? 1. B 2. B 3. A 4. E 5. E 6. D 7. C 8. D 9. E 10. C 11. A 12. B 86

87 3 BÖLÜM KARTEZYEN ÇARPIM BÖLÜM TESTİ (a, 4) = (10 b, a b) olduğuna göre, (a, b) sıralı ikilisi aşağıdakilerden hangisidir? A) (7, 3) B) (3, 7) C) (4, 10) D) ( 3, 7) E) (7, 3) 5. A = {x x < 7, x asal sayı} B = {y 2 < y < 4, y tam sayı} kümeleri veriliyor. A x B kümesinin elemanlarını dışarıda bırakmayan en küçük çemberin yarıçapı kaçtır? A) 3 2 B) 3 C) 41 D) 5 2 E) A = {1, a, 2, b, 3, c} B = {1, 2, 3} C = {a, b, c} kümeleri veriliyor. Buna göre, s[(a \ B) x (A \ C)] kaçtır? A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 27 Yukarıdaki grafik A x B kümesine aittir. Buna göre, A ve B kümeleri aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir? A) A = {x 3 x 5, x tam sayı} B = {y 2 y 4, y gerçek sayı} B) A = {x 3 x 5, x gerçek sayı} 3. A x B = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)} B x C = {(3, 4), (3, 5), (4, 4), (4, 5)} olduğuna göre, s[a B) \ C] kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 B = {y 2 y 4, y tam sayı} C) A = {x 3 x 5, x tam sayı} B = {y 2 y 4, y tam sayı} D) A = {x 3 x 5, x gerçek sayı} B = {y 2 y 4, y gerçek sayı} E) A = {x 2 x 4, x tam sayı} B = {y 3 y 5, y gerçek sayı} 4. A B = {1, 2, 3, 4} C = {a, b} kümeleri veriliyor. Buna göre, (C x A) (C x B) kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) A, B ve C üç kümedir. s(a x B) = 6 s(b x C) = 12 s(a x C) = 8 olduğuna göre, s(a) kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 87

88 01 3. BÖLÜM BÖLÜM TESTİ KARTEZYEN ÇARPIM 8. A = {1, 4} B = {2, 3} kümeleri veriliyor. Buna göre, {(x, y): x 2 A ve y B)} kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) A) A = {2, 3, 4, 5} B = {3, 4} B) A = {x 2 x 5 ve x R} Yandaki grafik A x B kümesine aittir. A ve B kümeleri aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir? B = {y 3 y 4 ve y R} C) A = {x 2 x 5 ve x R} 9. A = {1, 2, 3} A x B = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2)} kümeleri veriliyor. Buna göre, s(b x B) kaçtır? A) 1 B) 4 C) 16 D) 25 E) 36 B = {y 3 0 y 4 ve y Z} D) A = {x 2 x 5 ve x Z} B = {y 3 y 4 ve y R} E) A = {2, 3, 4, 5} B = {3, 4, 5} 10. Aşağıdaki ifadelerin hangisi ya da hangileri daima doğrudur? I. A x = II. A (B x C) = (A B) x (A C) III. A B ise A x A B x B dir. A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve III E) I, II ve III 13. A) A = {x x 3 ve x Z} B = {y y 2 ve y Z} B) A = {x x > 3 ve x R} B = {y y > 2 ve y R} C) A = {x x 2 ve y R} B = {y y 3 ve y R} Yandaki grafik A x B kümesine aittir. Buna göre, A ve B kümeleri aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir? 11. Boş kümeden farklı A x B kümesinin her (x, y) elemanı için (x, y) = (y, x) eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, s(a) + s(b) toplamı kaçtır? D) A = {x x 3 ve y R} B = {y y 2 ve y R} E) A = {x x 3 ve x R} A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 B = {y y 2 ve y R} 1. A 2. C 3. C 4. C 5. D 6. A 7. B 8. D 9. B 10. D 11. A 12. C 13. D 88

89 4. BÖLÜM BAĞINTI ALT ÖĞRENME ALANLARI Bağıntı, Bağıntının Gösterimi ve Bağıntının Tersi Bağıntının Özellikleri

90 .

91 4 BÖLÜM BAĞINTI KAVRAMA TESTİ 01 Bağıntı, Bağıntının Gösterimi ve Bağıntının Tersi Bağıntı Hazine 3. A = { 9, 3, 0, 3, 9} B = {1, 2, 3, 9} kümeleri veriliyor. A ve B iki küme olsun. A x B kartezyen çarpımının her bir alt kümesine, A dan B ye bir bağıntı denir. Örneğin; A = {1, 2, 3} ve B = {a, b} kümeleri verilsin. b = {(1, a), (2, a), (3, b)} A x B olduğundan b kümesi A dan B ye bir bağıntıdır. 1. A = {1, 2, 3} B = {1, 3, 5, 7} kümeleri veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri A dan B ye bir bağıntıdır? Buna göre, b = {(x, y) x y = 9, x A ve y B} bağıntısı aşağıdakilerden hangisidir? A) {( 9, 1), (9, 1)} B) {( 9, 1), (3, 2), ( 3, 2)} C) {( 3, 2), (3, 2)} D) {( 3, 2), (3, 2), (9, 1), (1, 9)} E) {( 3, 2), (3, 2), (9, 1)} b 1 = {(1, 1)} b 2 = {(1, 3), (3, 5), (3, 1)} b 3 = {(1, 2), (2, 3), (3, 5), (5, 7)} A) Yalnız b 1 B) Yalnız b 2 C) Yalnız b 3 D) b 1, b 2 E) b 1, b 3 4. A = {1, 2, 3} kümesi üzerinde, b = {(x, y) x < y, x A ve y A} bağıntısının grafiği aşağıdakilerden hangisidir? 2. b = {(x, 1), (x, 2), (y, 0), (y, 1), (y, 2)} bağıntısının şema ile gösterimi hangi seçenekte doğru verilmiştir? 91

92 4. BÖLÜM BAĞINTI Bağıntı, Bağıntının Gösterimi ve Bağıntının Tersi KAVRAMA TESTİ Gerçek sayılar kümesi üzerinde, b = {(x, y) (k 2)x + (2k + 1)y = 10, x R ve y R} bağıntısı veriliyor. (1, 2) b olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Hazine Bağıntı Sayısı A x B nin her bir alt kümesi A dan B ye bir bağıntı olduğundan, A dan B ye 2 s(a) s(b) tane bağıntı tanımlanabilir. Örneğin, A = {1, 2} kümesinden B = {1, 2, 3} kümesine = 2 6 = 64 tane bağıntı tanımlanabilir. 6. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3, 4} olduğuna göre, A kümesinden B kümesine kaç tane bağıntı tanımlanabilir? A) 2 4 B) 2 7 C) 2 9 D) 2 12 E) A = {1, 2, 3} kümesinden B kümesine 64 tane bağıntı tanımlanabildiğine göre, B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 7 E) 8 Hazine Bağıntının Tersi b, A dan B ye bir bağıntı olsun. b nın her bir elemanının, bileşenlerinin yerlerini değiştirerek elde edilen bağıntıya, b nın tersi denir ve bu bağıntı b 1 ile gösterilir. Bu tanıma göre, b A x B iken b 1 b x A olur. Örneğin; b = {(1, a), (2, b), (2, a)} bağıntısının tersi, b 1 = {(a, 1), (b, 2), (a, 2)} ve b 1 in tersi (b 1 ) 1 = {(1, a), (2, b), (2, a)} = b olur. (b 1 ) 1 = b olduğunu zaten farketmişsinizdir. 9. b = {(1, a), (1, b), (2, b), (3, c)} bağıntısının tersi hangi seçenekte doğru olarak verilmiştir? A) b 1 = {(a, 1), (b, 1), (b, 2), (c, 3)} B) b 1 = {(a, b), (1, 1), (2, a), (2, b)} C) b 1 = {(b, 1), (a, 1), (a, 2), (c, 3)} D) b 1 = {(b, 1), (a, 1), (c, 3), (a, 3)} E) b 1 = {(a, 1), (b, 2), (c, 3)} 10. Gerçek sayılar kümesi üzerinde, b = {(x, y) (2k 3)x + (k + 1)y = 13, x R ve y R} bağıntısı veriliyor. (1, 3) b 1 olduğuna göre, k kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) Gerçek sayılar kümesi üzerinde, b = {(x, y) 2x + y = 6, x R ve y R} bağıntısı veriliyor. Buna göre, b b 1 kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {(1, 1)} B) {(2, 2)} C) {(3, 3)} D) {(1, 4)} E) {(3, 0)} 8. A = {1, 2, 3, 4, 5} 12. Gerçek sayılar kümesi üzerinde, B = {a, b, c} b = {(x, y) (3k 2)x + (2k + 1)y = 4, x R, y R} olduğuna göre, A kümesinden B kümesine 2 elemanlı kaç tane bağıntı tanımlanabilir? bağıntısı veriliyor. b = b 1 olduğuna göre, k kaçtır? A) 28 B) 55 C) 91 D) 105 E) 120 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 1. D 2. D 3. E 4. B 5. B 6. D 7. A 8. D 9. A 10. A 11. B 12. C 92

93 4 BÖLÜM BAĞINTI Bağıntı, Bağıntının Gösterimi ve Bağıntının Tersi PEKİŞTİRME TESTİ A = {a, {a}, 1} B = {a, 1, 2} kümeleri veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri A dan B ye bir bağıntıdır? b 1 = {(a, a)} b 2 = {({a}, a), (1, 2)} b 3 = {(a, 1), (1, a), (2, 1)} A) Yalnız b 1 B) Yalnız b 2 C) Yalnız b 3 D) b 1, b 2 E) b 2, b 3 2. b = {(x, y) x + y = 5, x Z + ve y Z + } 4. Yukarıdaki şema ile gösterilen b bağıntısının liste yöntemi ile gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? A) {(a, 1), (a, 2)} B) (a, 1), (a, 2), (c, 3)} C) {(a, 1), (a, 2), (b, 3)} D) {(a, 1), (a, 2), (b, 3), (c, 1)} E) {(a, 1), (b, 3)} bağıntısının grafiği aşağıdakilerden hangisidir? 5. Aşağıda verilen bağıntılardan hangisi veya hangilerinin tersi kendisine eşittir? b 1 = {(a, 1), (b, 1), (1, b), (1, a)} b 2 = {(x, y) x = y, x R ve y R} b 3 = {(x, y) x < y, x R ve y R} A) Yalnız b 1 B) Yalnız b 2 C) Yalnız b 3 D) b 1, b 2 E) b 1, b 2 6. Gerçek sayılar kümesi üzerinde, b = {(x, y) (k + 2)x + (k 3)y = 15} bağıntısı veriliyor. (2, 3) b 1 olduğuna göre, k kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 3. A = {x 1 < x 5 ve x Z} B = {x 0 x 1 ve x Z} 7. Gerçek sayılar kümesi üzerinde, kümeleri veriliyor. b = {(x, y) (3k + 1)x + (4k 3)y = 10} Buna göre, A dan B ye kaç tane bağıntı tanımlanabilir? bağıntısı veriliyor. b = b 1 olduğuna göre, k kaçtır? A) 8 B) 32 C) 64 D) 128 E) 256 A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0 1. D 2. B 3. E 4. C 5. D 6. B 7. A 93

94 4 BÖLÜM BAĞINTI ÖDEV TESTİ 01?? Bağıntı, Bağıntının Gösterimi ve Bağıntının Tersi 1. A = {a, b, c, d} ve B = {1} kümeleri veriliyor. Buna göre, A dan B ye tanımlanabilecek bağıntısı sayısı kaçtır? 4. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinde tanımlı bağıntılardan kaç tanesi 2 elemanlıdır? A) 10 B) 32 C) 100 D) 300 E) 600 A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) Gerçek sayılar kümesinde, b 1 = {(x, y) x 2 y 2 = 24, x R ve y R} b 2 = {(x, y) x = y + 2, x R ve y R} bağıntıları tanımlanıyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi b 1 b 2 kümesinin elemanıdır? 11 5 A) (7, 5) B), C) (6, 4) A = {1, 2, 3, 4, 5} 7 3 D), E) (5, 3) 2 2 kümesinde tanımlı, b = {(x, y) x y, 3 ile tam bölünür} 5. Gerçek sayılar kümesinde, b = {(x, y) (k 2)x + (k 3)y = 3k + 2, x R ve y R} bağıntısı veriliyor. (4, 3) b 1 ve (k, n) b olduğuna göre, n kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 6. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinde tanımlı, b = {(x, y) 2x + 3y = 18, x A ve y A} bağıntısının eleman sayısı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 bağıntısının grafiği aşağıdakilerden hangisidir? 7. A = {1, 2, 3, 4} kümesi üzerinde tanımlı b bağıntısının grafiği yukarıda verilmiştir. Buna göre, b b 1 kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} B) (1, 4), (4, 1)} C) {(2, 2), (3, 3)} D) (2, 2), (2, 3), (3, 3), (3, 2)} E) {(2, 2), (3, 2)} 1. D 2. A 3. D 4. D 5. B 6. E 7. C 94

95 4 BÖLÜM BAĞINTI KAVRAMA TESTİ 02 Bağıntının Özellikleri Hazine Yansıyan Bağıntı A kümesi üzerinde bir b bağıntısı verilsin. "x A için (x, x) b ise b ya bir "yansıma özelliği vardır" veya "yansıyan bağıntı" denir. Örneğin, A = {a, b, c, d} kümesinde tanımlı, b 1 = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b)} yansıyan b 2 = {(a, b), (b, a), (c, a), (b, b), (d, d)} yansıyan değildir, çünkü (a, a) ve (c, c) b 2 nin elemanı değildir. 1. Aşağıdaki bağıntılardan hangisi veya hangileri yansıma özelliğine sahiptir? I. b 1 = {(x, y) x 2 = y 2, x, y Z} II. b 2 = {(x, y) x < y, x, y Z} III. b 3 = {(x, y) x + y = 0, x, y R} A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III Hazine 2. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinde tanımlı aşağıda verilen bağıntılardan hangisi yansıyandır? A kümesinde tanımlı bir b bağıntısının grafiğinde köşegen üzerindeki elemanların tümü b ya ait ise, b yansıyandır. Hazine Yansıyan Bağıntı Sayısı Yukarıdaki bağıntı yansıyandır. s(a) = n olmak üzere, A da tanımlı bağıntılardan en çok 2 n2 n tanesi yansıyandır. Örneğin, A = {1, 2, 3} kümesi 3 elemanlı olduğundan A da tanımlı bağıntılardan en çok, = 2 6 = 64 tanesi yansıyandır. Örneğin yukarıda (c, c) b olduğundan, b yansıyan değildir. 3. A = {a, b, c, d} kümesinde tanımlı en çok kaç tane yansıyan bağıntı vardır? A) 2 16 B) 2 14 C) 2 12 D) 2 10 E)

96 4. BÖLÜM BAĞINTI Bağıntının Özellikleri KAVRAMA TESTİ 02 Hazine Simetrik Bağıntı b, A dan A ya tanımlı bir bağıntı olsun. "(x, y) b için (y, x) b ise, b ya bir "simetri özelliği vardır." veya "simetrik bağıntı" denir. Örneğin, A = {1, 2, 3, 4} kümesinde tanımlı, b 1 = {(1, 2), (2, 1), (1, 4), (4, 1)} simetrik b 2 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (3, 2)} simetrik değildir, çünkü (3, 4) b 2 iken (4, 3) b 2 dir. 4. Aşağıdaki bağıntılardan hangisi ya da hangileri simetriktir? b 1 = {(x, y) x = y, x, y N} b 2 = {(x, y) x y = 1, x, y R + } 5. A = {a, b, c, d} kümesi üzerinde tanımlı b bağıntısının grafiği aşağıda verilmiştir. Buna göre, b için aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur? I. Yansıyandır. II. Simetriktir. III. b b 1 A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I, II E) I, III b 3 = {(x, y) y, x in tam katıdır. x, y N} A) Yalnız b 1 B) Yalnız b 2 C) Yalnız b 3 D) b 1, b 2 E) b 1, b 2, b 3 Hazine Hazine Bir b bağıntısının grafiğine ait her noktanın köşegene göre simetriği yine bağıntının grafiğine ait bir nokta ise b bağıntısı simetriktir. Simetrik Bağıntı Sayısı n( n+ 1) s(a) = n ise, A da tanımlı bağıntılardan en çok 2 2 tanesi simetriktir. Örneğin, A = {a, b, c, d, e} kümesi 5 elemanlı olduğundan A üzerinde tanımlı bağıntılardan en çok, = 2 tanesi simetriktir. Ayrıca, b = b 1 b bağıntısı simetriktir. 6. A = {m, v, y} kümesinde tanımlı bağıntılardan en çok kaç tanesi simetriktir? A) 2 16 B) 2 12 C) 2 10 D) 2 8 E)

97 4. BÖLÜM BAĞINTI Bağıntının Özellikleri KAVRAMA TESTİ 02 Hazine Ters Simetrik Bağıntı Bir b bağıntısı için, x y için (x, y) b iken (y, x) b ise, b ya bir "ters simetri özelliği vardır." veya "ters simetrik bağıntı" denir. Örneğin, A = {0, 1, 2} kümesi üzerinde, b 1 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 1), (1, 2), (2, 2)} ters simetrik, b 2 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0)} ters simetrik değildir, çünkü hem (0, 1) hem de (1, 0) b 2 nin elemanıdır. 8. A = {1, 2, 3, 4} kümesi üzerinde tanımlı b bağıntısının grafiği aşağıda verilmiştir. Buna göre, b bağıntısı için aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur? I. Yansıyandır. II. Simetriktir. III. Ters simetriktir. 7. Aşağıda verilen bağıntılardan hangisi ya da hangileri ters simetriktir? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I, II E) I, III b 1 = {(x, y) x < y, x, y R} b 2 = {(x, y) x + y = 3, x, y birer rakam} b 3 = {(x, y) x y = 4, x, y birer rakam} A) Yalnız b 1 B) Yalnız b 2 C) Yalnız b 3 Hazine D) b 1, b 2 E) b 1, b 3 Geçişken (Geçişmeli) Bağıntı Her [(x, y) b ve (y, z) b] iken (x, z) b, oluyorsa, b ya "geçişken özelliğine sahiptir." veya "geçişken bağıntı" ya da kısaca "geçişmelidir" denir. Örneğin, A = {1, 2, 3} kümesi üzerinde verilen Hazine Bir b bağıntısının grafiğinde, köşegen üzerindeki elemanlar hariç diğer hiçbir elemanın köşegene göre simetriği grafiğe ait değilse, b bağıntısı ters simetriktir. b = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)} bağıntısı geçişmelidir. Neden? (1, 2) b ve (2, 3) b iken (1, 3) b dır. 9. A = {a, b, c, d, e} Örneğin, kümesi üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangisi ya da hangileri geçişmelidir? b 1 = {(a, b), (a, c), (b, c), (c, b), (b, b)} b 2 = {(a, c), (a, b), (a, a)} b 3 = {(a, b), (b, a), (c, a), (c, b)} A) Yalnız b 1 B) Yalnız b 2 C) Yalnız b 3 D) b 1, b 2 E) b 2, b 3 1. A 2. C 3. C 4. D 5. D 6. E 7. E 8. C 9. B 97

98 4 BÖLÜM BAĞINTI Bağıntının Özellikleri PEKİŞTİRME TESTİ A = {a, b, c} kümesinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangisi yansıyan bağıntıdır? A) {(a, a)} B) {(a, a), (b, b)} C) {(a, a), (c, c), (a, b), (b, a)} D) {(a, a), (b, b), (c, c), (a, c)} 4. Aşağıdaki bağıntılardan hangisi ya da hangileri yansıyan bağıntıdır? b 1 = {(x, y) x y 0, x R ve y R} b 2 = {(x, y) x y, x R ve y R} b 3 = {(x, y) x, y ile tam bölünür, x R ve y R} A) Yalnız b 1 B) Yalnız b 2 C) Yalnız b 3 D) b 1 ve b 2 E) b 2 ve b 3 E) {(a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b)} 2. A = {a, b, c, d} kümesinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangisi yansıyan bağıntıdır? 5. A = {1, 2, 3} kümesinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangisi yansıyan ve simetriktir? A) {(1, 1), (1, 2), (2, 1)} B) {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 3), (3, 2)} C) {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (1, 3)} D) {(1, 1), (2, 2)} E) {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} 6. Aşağıdaki bağıntılardan hangisi ya da hangileri simetrik bağıntıdır? b 1 = {(x, y) x + y = 2, x R ve y R} 3. A = {{a, 1}, {2}, } kümesinde tanımlı bağıntılardan kaç tanesi yansıyan bağıntıdır? A) 2 B) 4 C) 16 D) 32 E) 64 b 2 = {(x, y) x y = 2, x R ve y R} b 3 = {(x, y) x y = 2, x R ve y R} A) Yalnız b 1 B) Yalnız b 2 C) Yalnız b 3 D) b 1 ve b 2 E) b 1 ve b 3 98

99 4. BÖLÜM BAĞINTI Bağıntının Özellikleri PEKİŞTİRME TESTİ A = {1, 2, 3, 4} kümesi üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangisi simetriktir? elemanlı bir kümede tanımlı bağıntılardan kaç tanesi simetriktir? A) 2 4 B) 2 6 C) 2 8 D) 2 10 E) Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı, b = {(x, y) (k 3)x + (5k 11)y = 8} bağıntısı simetrik olduğuna göre, k kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) A = {a, b, c} kümesinde tanımlı 5 elemanlı bağıntılardan kaç tanesi yansıyan ve simetriktir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 8. Aşağıdaki bağıntılardan hangisi simetrik değildir? A) {(x, y) x + y, 2 ile tam bölünür, x R ve y R} B) {(x, y) x 3 x = y 3 y, x R ve y R} C) {(x, y) x y < 0, x R ve y R} D) {(x, y) x y = 0, x R ve y R} E) {(x, y) x + 3y = 6, x R ve y R} 13. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangisi ters simetriktir? A) {(1, 1), (1, 2), (2, 1)} B) {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4)} C) {(1, 2), (1, 3), (3, 1)} D) {(1, 1), (3, 3), (2, 1)} E) {(1, 2), (3, 4), (4, 5), (4, 3)} 9. A = {1, 2, 3, 4} kümesinde tanımlı, b = {(1, 1), (2, 2), (1, 2)} bağıntısına en az kaç eleman eklenmelidir ki b yansıyan ve simetrik bağıntı olsun? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) A = {1, 2, 3, 4} kümesinde tanımlı b bağıntısı yansıyan olup, ne simetrik ne de ters simetriktir. Buna göre, b bağıntısının eleman sayısı en az kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 99

100 4. BÖLÜM BAĞINTI Bağıntının Özellikleri PEKİŞTİRME TESTİ Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangisi ya da hangileri ters simetriktir? b 1 = {(x, y) x = 3y, x R ve y R} b 2 = {(x, y) x 3y = 3, x R ve y R} 18. A = {a, b, c} kümesinde tanımlı bağıntılardan kaç tanesi hem simetrik hem de ters simetriktir? A) 8 B) 7 C) 5 D) 4 E) 3 b 3 = {(x, y) x + y > 0, x R ve y R} A) Yalnız b 1 B) Yalnız b 2 C) Yalnız b 3 D) b 1, b 2 E) b 1, b A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinde tanımlı aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi geçişkendir? b 1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)} 16. A = {a, b, c, d} kümesinde tanımlı b bağıntısının grafiği aşağıda verilmiştir. Buna göre, b için aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur? I. Yansıyandır. II. Simetriktir. III. Ters simetriktir. b 2 = {(2, 3), (3, 2), (2, 4), (3, 4), (2, 2), (3, 3)} b 3 = {(1, 1), (3, 3), (5, 5)} A) Yalnız b 1 B) Yalnız b 2 C) Yalnız b 3 D) b 1, b 2 E) b 2, b Aşağıdaki bağıntılardan hangisi geçişkendir? A) {(x, y) x y = 4, x R ve y R} B) {(x, y) x + y = 4, x R ve y R} C) {(x, y) x = 2y, x R ve y R} D) {(x, y) x y, x R ve y R} E) {(x, y) x y < 0, x R ve y R} A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I, II E) I, III 21. K = {1, 2, 3} kümesi üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan 17. Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur? hangisine (2, 1) ve (1, 3) ikilileri ilave edilirse, geçişken bir bağıntı elde edilir? I. Simetrik olmayan bir bağıntı ters simetriktir. A) b = {(1, 2), (3, 4), (3, 3), (3, 2)} II. Tersi kendisine eşit olan bir bağıntı simetriktir. B) b = {(2, 2), (3, 2), (1, 1), (3, 3)} III. Yansıyan bir bağıntı simetriktir. C) b = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 3), (3, 1)} A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) b = {(1, 2), (1, 1), (3, 3), (1, 3)} D) I, II E) I, III E) b = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (3, 3), (3, 2)} 1. D 2. C 3. E 4. B 5. E 6. E 7. C 8. E 9. C 10. D 11. A 12. B 13. D 14. D 15. D 16. E 17. B 18. A 19. E 20. D 21. C 100

101 4 BÖLÜM BAĞINTI Bağıntının Özellikleri ÖDEV TESTİ A = {1, 2, 3} 5. A x B kümesinin grafiği aşağıda verilmiştir. kümesinde tanımlı bağıntılardan kaç tanesi yansıyan değildir? A) 320 B) 370 C) 420 D) 444 E) A = {1, 2, 3, 4} kümesinde tanımlı, Buna göre, A B kümesinde tanımlı bağıntılardan kaç tanesi simetriktir? A) 2 10 B) 2 15 C) 2 21 D) 2 28 E) 3 36 b = {(1,1), (1,2), (2,2), (3,3), (4,4) (2,1), (2,3)} bağıntısının simetrik bir bağıntı olabilmesi için aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri eklenmelidir? A) (3, 2) ve (1, 4) B) (4, 1) C) (1, 3) ve (3, 1) D) (4, 2) E) (3, 2) 6. Aşağıdaki bağıntılardan hangisi simetrik olup, geçişken değildir? A) {(x, y) x + y = 3, x R, y R} B) {(x, y) x 2 y 2 = 2, x R, y R} C) {(x, y) y = x 3, x R, y R} 3. A = {a, b, c, d, e} kümesinde tanımlı 6 elemanlı bağıntılardan kaç tanesi yansıyandır? D) {x x 4 elemanlı bir küme} kümesinde b = {(x, y) x y, x A ve y A} E) {(x, x + 1) x R} A) 10 B) 12 C) 16 D) 20 E) Aşağıdaki bağıntılardan hangisi geçişmeli değildir? A) b = {(x, y) x 2 = y 2 ve x, y R} B) b = {(x, y) x = y ve x, y R} C) b = {(x, y) y x ve x, y R} D) b = {(x, y) x y ve x, y R} E) b = {(x, y) x 2 < y 2 ve x, y R} 7. A = {a, b, c, d} kümesi üzerinde tanımlı, b = {(a, a), (b, b), (a, b), (b, a), (a, d)} bağıntısı veriliyor. b bağıntısına en az kaç tane (x, y) A x A ikilisi eklenirse, b geçişken bir bağıntı olur? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 101

102 4. BÖLÜM BAĞINTI Bağıntının Özellikleri ÖDEV TESTİ A = {a, b, c} kümesi üzerinde tanımlı 4 elemanlı bağıntılardan kaç tanesi yansıyan ve ters simetriktir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) Gerçek sayılar kümesinde tanımlı b bağıntısının garfiği aşağıda verilmiştir. 9. A = {1, 2, 3, 4} Buna göre, b için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) Yansıyandır. B) b = b 1 C) Simetriktir. D) Ters simetriktir. E) Geçişkendir. kümesinde tanımlı b bağıntısının grafiği yukarıda verilmiştir. Buna göre, b için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) 8 elemanlıdır. B) Yansıyandır. C) Simetriktir. D) b = b Gerçek sayılar kümesinde, b = {(x, y) (5k 3)x + (3k + 1)y = x + 3y, x R ve y R) bağıntısı simetrik olduğuna göre, k kaçtır? E) Geçişken değildir. A) 1 B) 3 2 C) 2 D) 5 2 E) A = {0, 1, 2, 3} kümesinde tanımlı bir b bağıntısı simetrik ve geçişkendir. b bağıntısının birden fazla elemana sahip olduğu bilindiğine göre, b bağıntısı en az kaç elemanlıdır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) Doğal sayılar kümesi üzerinde tanımlı, b = {(x, y) x y = 64, x N ve y N} bağıntısına aşağıdaki elemanlardan hangisi eklenirse, b geçişken olur? A) (2, 2) B) (3, 4) C) (2, 8) D) (8, 6) E) (2, 64) 11. A = {a, b, c} kümesinde tanımlı 5 elemanlı bağıntılardan kaç tanesi yansıyan ve ters simetriktir? 15. {v, a, d, i} kümesi üzerinde tanımlı bağıntılardan kaç tanesi yansıyandır? A) 6 B) 12 C) 15 D) 24 E) 33 A) 2 4 B) 2 6 C) 2 8 D) 2 10 E) E 2. E 3. D 4. D 5. B 6. A 7. A 8. C 9. E 10. A 11. B 12. E 13. A 14. D 15. E 102

103 4 BÖLÜM BAĞINTI BÖLÜM TESTİ A = {a, b, c, d} B = {1, 2} olduğuna göre, A kümesinden B kümesine kaç tane bağıntı tanımlanabilir? A) 64 B) 128 C) 256 D) 512 E) A = {1, 2, 3, 4} kümesinde tanımlı b = {(x, y) x y, 2 ile bölünebilir.} bağıntısının eleman sayısı kaçtır? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) A = {a, b, c, d} kümesinde 2 elemanlı kaç tane bağıntı tanımlanabilir? A) 160 B) 150 C) 140 D) 130 E) b = {( 1, 1), (2, 0), (3,4), (2, 6), (3, 7)} bağıntısı veriliyor. Buna göre, b 1 (b nın tersi) aşağıdakilerden hangisidir? A) b 1 = {( 1, 1), (2, 0), (3, 4), (2, 6), (3, 7)} B) b 1 = {(1, 1), (0, 2), (3, 4), (6, 2), (3, 7)} C) b 1 = {(1, 1), (0, 2), (4, 3), (6, 2), (7, 3)} 3. Gerçek sayılarda, b 1 = {(x, y) x 2 y 2 = 24} b 2 = {(x, y) y = x + 6} D) b 1 = {(1, 1), ( 2, 0), ( 3, 4), (2, 6), (3, 7)} E) b 1 = {(1, 1), (0, 2), (4, 3), (6, 2), (3, 7)} bağıntıları tanımlanıyor. Aşağıdakilerden hangisi b 1 b 2 nin elemanıdır? A) ( 1, 5) B) (5, 1) C) (5, 1) D) ( 5, 1) E) (3, 4) 7. Gerçek sayılar kümesinde, b = {(x, y) 3x + y = a, x, y R} bağıntısı tanımlanıyor. (5, 3) b 1 olduğuna göre, a kaçtır? 4. Aşağıdaki bağıntılardan hangisi ters-simetrik değildir? A) 5 B) 4 C) 1 D) 2 E) 3 A) b = {(x, y) x + y = 3, x, y R} B) b = {(x, y) x y + 1, x, y R} C) b = {(x, y) x < y, x, y R} D) b = {(x, y) x y, x, y R} E) b = {(x, y) x < y + 1, x, y R} 8. A = {{1, 2, 3}, 4, 5} kümesinde tanımlanacak bağıntılardan kaç tanesi yansıyan değildir? A) 350 B) 370 C) 440 D) 422 E)

104 4. BÖLÜM BAĞINTI BÖLÜM TESTİ A = {1, 2, 3, 4} kümesinde tanımlı, b = {(1,1), (1,2), (2,2), (3,3), (4,4) (2,1), (2,3)} bağıntısının simetrik bir bağıntı olabilmesi için aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri eklenmelidir? 12. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinde tanımlı, b = {(x, y) 2x + 3y = 24 ve x, y A} bağıntısının eleman sayısı kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 A) (3, 2) ve (1, 4) B) (4, 1) C) (1, 3) ve (3, 1) D) (4, 2) E) (3, 2) 13. Gerçek sayılar kümesinde tanımlı, b 1 = {(x, y) 2x 3y = a + 1} 10. A = {a, b, c, 1, 2, 3} B = {a, b, 5, 6} kümeleri veriliyor. Buna göre, A dan B ye yazılabilecek bağıntı sayısı kaçtır? b 2 = {(x, y) x y = 3 + b} b 1 b 2 = {(1, 4)} olduğuna göre, a b farkı kaçtır? A) 4 B) 3 C) 1 D) 4 E) 5 A) 2 4 B) 2 8 C) 2 12 D) 2 24 E) Aşağıdaki bağıntılardan hangisi geçişmeli değildir? A) b = {(x, y) x 2 = y 2 x, y R} B) b = {(x, y) x = y x, y R} C) b = {(x, y) y x x, y R} D) b = {(x, y) x y x, y R} E) b = {(x, y) x 2 < y 2 x, y R} Yukarıda grafiği verilen b bağıntısı için b b 1 aşağıdakilerden hangisidir? A) {(a, a), (c, c)} B) {(a, a), (b, b)} C) {(a, b), (b, c), (c, a)} 15. A = {a, b, c, d} kümesinin elemanlarıyla 5 elemanlı yansıyan kaç D) {(a, a), (b, c), (c, c), (c, b)} farklı bağıntı yazılabilir? E) {(a, a), (b, c), (c, c)} A) 6 B) 8 C) 12 D) 16 E) C 2. E 3. D 4. A 5. A 6. C 7. B 8. E 9. E 10. D 11. D 12. B 13. E 14. D 15. C 104

105 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM ALT ÖĞRENME ALANLARI Fonksiyonun Tanımı ve Düşey Doğru Testi Fonksiyon Sayısı ve Fonksiyon Çeşitleri İkili İşlemin Tanımı İşlemin Özellikleri Tablo ile Gösterilen İşlemler Bileşke Fonksiyon Fonksiyonun Tersi Bileşke Fonksiyon ve Ters Fonksiyon Uygulamaları Fonksiyonlarda Dört İşlem ve Permütasyon Fonksiyonu Fonksiyon Grafiklerini Okuma

106 .

107 5 BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM KAVRAMA TESTİ 01 Fonksiyonun Tanımı ve Düşey Doğru Testi Fonksiyon Hazine f, A x B de bir bağıntı olsun. Eğer f, A nın her elemanını B nin bir ve yalnız bir elemanına eşliyorsa, f ye, A dan B ye bir fonksiyon denir. A dan B ye bir fonksiyon genellikle, f: A B ya da f: A B x y = f(x) ile gösterilir. Buradaki A kümesine fonksiyonun tanım kümesi, B kümesine değer kümesi denir. f, A dan B ye bir fonksiyon ise, i) A nın her elemanının eşleştiği B nin bir elemanı vardır. Yani, A kümesinde açıkta eleman kalmamalıdır. ii) Uyarı A nın herhangi bir elemanının eşleştiği farklı iki veya daha fazla eleman olamaz. 2. A = {a, b, c, d} olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi A da bir fonksiyondur? A) f 1 = {(a, b), (b, c), (c, d)} B) f 2 = {a, b), (b, b), (d, b)} C) f 3 = (a, a), (b, b), (c, c)} D) f 4 = {(a, b), (b, a), (c, d), (d, c)} E) f 5 = {(a, b), (a, d), (b, c), (c, c), (d,e)} 3. Aşağıda verilen bağıntılardan hangisi ya da hangileri bir fonksiyondur? f = {(x, y) y = x + 2 x, y N} g = {(x, y) y 2 = x x R +, y R} h = {(x, y) y = x 2 x, y R} A) Yalnız f B) Yalnız g C) Yalnız h D) f ve h E) f, g ve h iii) B kümesinde açıkta eleman kalabilir. 1. A = {1, 2, 3, 4} ve B = {a, b, c, d, e} kümeleri veriliyor. Aşağıdakilerden hangisi veya hangileri A dan B ye bir fonksiyondur? A) Yalnız I B) I ve III C) I ve IV D) I ve II E) I, II ve IV Hazine Görüntü Kümesi f: A B ye bir fonksiyon olsun. A kümesinin f yardımıyla B de eşleşen elemanlarının oluşturduğu kümeye f nin görüntü kümesi denir ve bu küme f(a) ile gösterilir. f(a) = {y y = f(x), x A} f(a) = {5, 6} B = {5, 6, 7, 8} olduğuna dikkat ediniz. Görüntü kümesi Değer kümesi f(a) B 107

108 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Fonksiyonun Tanımı ve Düşey Doğru Testi KAVRAMA TESTİ f: A B x 3x 2 fonksiyonu veriliyor. A = {1, 2, 4} olduğuna göre, f(a) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {1, 2, 4} B) {2, 3, 7} C) {1, 4, 10} D) {5, 8, 14} E) { 2, 1, 4} Hazine Düşey Doğru Testi Bir grafikte y eksenine paralel çizilen doğrular grafiği en fazla bir noktada kesiyorsa, grafik fonksiyon grafiğidir. Örneğin, 5. f: A B x 2x + 5 fonksiyonu veriliyor. f(a) = { 1, 3, 5, 7} olduğuna göre, A nın elemanlarının toplamı kaçtır? A) 3 B) 2 C) 1 D) 1 E) 3 Hazine En Geniş Tanım Kümesi f(x) bir fonksiyon olsun. 1. f( x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi, x a f(x) in en geniş tanım kümesinden, paydayı sıfır yapan a değerinin atılmasıyla elde edilen kümedir. Örneğin, f( x) = + 2 x fonksiyonunun en geniş x 3 tanım kümesi R {3} kümesidir. 2. n N + olsun. (i) n tek ise f( x) fonksiyonunun en geniş tanım 6. Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri bir fonksiyon grafiğidir? kümesi, f(x) in en geniş tanım kümesine eşittir. Örneğin, f( x) = 3 x fonksiyonunun en geniş tanım kümesi R dir. (ii) n çift ise f( x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi, f(x) 0 eşitsizliğinin çözüm kümesidir. Örneğin, x 2 fonksiyonunun tanım kümesi x 2 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi, yani [2, ) aralığıdır. f( x) 3. fonksiyonunun en geniş tanım kümesi bulunurken, f(x) ve g(x) i tanımsız yapan değerler g( x) ile paydayı (g(x) i) sıfır yapan değerler R den atılır. Geriye kalan küme f( x) g( x) fonksiyonunun A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III tanım kümesidir. D) I ve II E) I ve III 1. E 2. D 3. D 4. C 5. A 6. E 108

109 5 BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Fonksiyonun Tanımı ve Düşey Doğru Testi PEKİŞTİRME TESTİ Aşağıdakilerden hangisi A dan B ye bir fonksiyondur? 4. f: A B x 3x 1 fonksiyonu veriliyor. f(a) = {2, 8, 11} olduğuna göre, A kümesindeki elemanların çarpımı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 12 D) 14 E) Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin en geniş tanım kümesi R { 2, 2} kümesidir? A) 1 x 2 B) x + 2 x 2 C) x 2 4 x + 1 D) x 3 2 E) x x 4 x A = {1, 2, 3, 4} olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi A da bir fonksiyondur? A) {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} B) {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1)} C) {(1, 3), (1, 2), (2, 3), (3, 4)} D) {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (1, 4)} E) {(3, 1), (4, 2), (2, 0), (1, 1)} 6. f( x) = x 1 fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) [ 1, ) B) [0, ) C) [1, ) D) [2, ) E) [3, ) 7. Aşağıdaki grafiklerden hangileri bir fonksiyon grafiğidir? 3. Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri bir fonksiyondur? f: N Z g: Z N h: R + R x x 1 x x 1 x x A) Yalnız f B) Yalnız g C) Yalnız h D) f ve g E) f ve h A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III 109

110 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Fonksiyonun Tanımı ve Düşey Doğru Testi PEKİŞTİRME TESTİ f: R R f(x) = 2x 2 x 4 fonksiyonu veriliyor. Buna göre, f(2) kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) f: R R f(x) = x olduğuna göre, f(2x) aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x 2 B) 2x C) 4x 2 + 4x + 1 D) 4x E) 4x f: R R f(x) = x 3 + x 2 1 fonksiyonu veriliyor. Buna göre, f( 1) + f(0) + f(1) toplamı kaçtır? A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) f: R R f(x) = 2x 2 x + 1 olduğuna göre, f(x + 1) aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x 2 + 3x + 2 B) 2x 2 + 4x + 1 C) 2x 2 + 3x 1 D) x 2 3x + 1 E) 2x 2 + 3x f: R R f(x) = x 2 4x + 7 fonksiyonu veriliyor. Buna göre, f(2 + 2) kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) f: R R f(3x 1) = x 3 x olduğuna göre, f(2) kaçtır? A) 6 B) 5 C) 3 D) 1 E) f: R R 11. f: R R f(x) = x 3 3x 2 + 3x 3 olduğuna göre, f( 3 + 1) kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 2 x f( 4x 3) = x olduğuna göre, f(5) kaçtır? A) 3 B) 5 C) 7 D) 17 2 E)

111 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Fonksiyonun Tanımı ve Düşey Doğru Testi PEKİŞTİRME TESTİ f: R R fonksiyonu için, f(x 2 x) = 3x 2 3x + 1 olduğuna göre, f(1) kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) f fonksiyonu için, 2 x x 1 f 2 x + 1 = + x olduğuna göre, 1 f 2 + f f f 1 5 toplamı kaçtır? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) f: R {0} R fonksiyonu için, f( x) + 2f 1 = 4x x eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, f(2) kaçtır? 21. Bir f fonksiyonu her x gerçek sayısı için, f(x + 1) = f(x) + 2 eşitliğini sağlamaktadır. f(1) = 3 olduğuna göre, f(7) kaçtır? A) 2 B) 4 3 C) 1 3 D) 0 E) 2 3 A) 11 B) 13 C) 15 D) 17 E) Bir f fonksiyonu her x gerçek sayısı için, 18. f: R R + f(a + b) = f(a) f(b) f(2) = 5 olduğuna göre, f(8) kaçtır? A) 5 B) 25 C) 125 f(x + 1) = f(x) + x eşitliğini sağlamaktadır. f(10) = 55 olduğuna göre, f(1) kaçtır? A) 0 B) 5 C) 10 D) 13 E) 15 D) 625 E) f: Z + Z + fonksiyonu için, f(x + 1) = x f(x) 19. f fonksiyonu için, f(4 x) = 3f(x + 2) + x olduğuna göre, f(3) kaçtır? A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2 eşitliği sağlanmaktadır. f(1) = 1 olduğuna göre, f(1001) kaçtır? A) 1 B) 1000 C) D) E) 1000! 1. D 2. B 3. E 4. C 5. D 6. C 7. A 8. A 9. B 10. C 11. D 12. D 13. A 14. E 15. A 16. C 17. B 18. D 19. A 20. E 21. C 22. C 23. E 111

112 5 BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Fonksiyonun Tanımı ve Düşey Doğru Testi ÖDEV TESTİ Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri A dan B ye bir fonksiyondur? 5. f: A R x x 2 fonksiyonu veriliyor. f(a) = {0, 4, 9} olduğuna göre, A kümesi kaç elemanlıdır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III 2. A = {a, b, c} olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi A da bir fonksiyon değildir? A) {(a, a), (b, b), (c, c)} 6. f( x) = 1 x 1 fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) [1, ) B) (1, ) C) R D) [0, ) E) (0, ) B) {(a, b), (b, a), (c, a)} C) {(a, b), (b, b), (c, b)} D) {(a, c), (c, b), (b, a)} E) (a, a), (b, c), (c, d)} 7. Aşağıdakilerden hangisi bir fonksiyon grafiği değildir? 3. Aşağıdakilerden hangileri bir fonksiyondur? f: Z Z g: R R h: R R x x x 1 2 x + 1 x x A) Yalnız f B) Yalnız g C) Yalnız h D) f ve g E) g ve h 1 4. f( x) = 2 x + 1 fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) R B) R { 1, 1} C) R { 1} D) R {1} E) R {0} 112

113 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Fonksiyonun Tanımı ve Düşey Doğru Testi ÖDEV TESTİ f: R R f(x) = x 3 + x olduğuna göre, f(2) kaçtır? A) 2 B) 6 C) 10 D) 16 E) f x 2x + 1 ( ) = x 3 1 olduğuna göre, f aşağıdakilerden hangisidir? x A) 2 x B) x + 2 C) x 3 x x 2x + 1 D) 2 + x E) 2 x 1 3x 3x f: R R f(x) = x 3 + 3x 2 + 3x olduğuna göre, f( 2 1) kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) f 2 2x 1 x 1 2 x + 1 = + 4x 2 olduğuna göre, f(x) aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 2x B) 1 x C) x D) 2x E) x f: R + R + f(x) = x x olduğuna göre, f(1) + f(2) + f(3) toplamı kaçtır? A) 6 B) 13 C) 14 D) 27 E) f: R R f(3 4x) = x olduğuna göre, f(7) kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 15 E) f: R R, g: R R f(x) = x f: R R g(x) = 3x + 4 f(x) = x 2 + 2x + 5 olduğuna göre, f( 3 1) kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 f(k) = g(3k) olduğuna göre, k kaçtır? A) 3 B) 2 C) 1 D) 3 4 E)

114 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Fonksiyonun Tanımı ve Düşey Doğru Testi ÖDEV TESTİ f: R R fonksiyonu için, f(x 2 + 2x) = 2x 2 + 4x + 2 olduğuna göre, f(5) kaçtır? A) 7 B) 9 C) 12 D) 15 E) Bir f fonksiyonu her x gerçek sayısı için, f(x + 2) = f(2 x) eşitliğini sağlamaktadır. f(5) = 7 olduğuna göre, f( 1) kaçtır? A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) f: R {0} R fonksiyonu için, 1 3f( x) + x = f x eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, f(3) kaçtır? 21. f: Z + Z + fonksiyonu için, f(a b) = f(a) f(b) eşitliği sağlanmaktadır. f(2) = 4 olduğuna göre, f(64) kaçtır? A) 2 10 B) 2 12 C) 2 14 D) 2 16 E) 2 18 A) 2 B) 5 3 C) 3 2 D) 4 3 E) Bir f fonksiyonu her x gerçek sayısı için, f(x + 2) f(x) = x f: R R + f(x + y) = f(x) f(y) eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, f(0) kaçtır? eşitliğini sağlamaktadır. f(1) = 10 olduğuna göre, f(21) kaçtır? A) 100 B) 110 C) 120 D) 400 E) 410 A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) Bir f fonksiyonu her x pozitif gerçek sayısı için, f(x) = (x + 2) f(x + 1) eşitliğini sağlamaktadır. 19. Bir f fonksiyonu için, f(x + 1) + f(3 x) = 2x 3 x 2 + 4x + 1 olduğuna göre, f(2) kaçtır? A) 2 B) 5 2 C) 3 D) 7 2 E) 4 f( 1) = 1 2 olduğuna göre, 12! f(11) çarpımının sonucu kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 11 E) D 2. E 3. E 4. A 5. C 6. B 7. E 8. C 9. D 10. E 11. B 12. D 13. A 14. C 15. D 16. C 17. E 18. B 19. C 20. D 21. B 22. A 23. B 114

115 5 BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM KAVRAMA TESTİ 02 Fonksiyon Sayısı ve Fonksiyon Çeşitleri Hazine Hazine Fonksiyon Sayısı A ve B iki küme olsun. A dan B ye tanımlanabilecek farklı fonksiyonların sayısı s(b) s(a) dır. Örneğin, A = {1, 2} ve B = {a, b, c} kümeleri için A dan B ye tanımlı fonksiyon sayısı s(b) s(a) = 3 2 = 9 dur. Yatay Doğru Testi x eksenine paralel olan her doğru bir fonksiyon grafiğini en fazla bir noktada kesiyorsa, söz konusu grafiğe sahip fonksiyon bire birdir. 1. A = {, a, {a}} ve B = {1, {1, 2}} kümeleri veriliyor. Buna göre, B den A ya kaç farklı fonksiyon tanım- lanabilir? A) 3 B) 5 C) 6 D) 8 E) 9 Bire bir fonksiyon grafiği Bire bir olmayan fonksiyon grafiği Hazine 3. Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri bire bir bir fonksiyon grafiğidir? Bire Bir Fonksiyon f, A dan B ye bir fonksiyon olsun. Birbirinden farklı olan bütün elemanların f altındaki görüntüleri de farklı oluyorsa, f ye bire bir fonksiyon denir. Örneğin, f bire birdir. b ile c farklı elemanlar, fakat g(b) = g(c). O halde g bire bir değildir. Bire birlik tanımı şu şekilde de verilebilir: A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III f(x 1 ) = f(x 2 ) eşitliğini sağlayan her x 1, x 2 A için x 1 = x 2 oluyorsa, f ye bire bir fonksiyon denir. 2. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi ya da hangileri bire birdir? f: N N, f(x) = x + 3 g: R R, g(x) = x 2 h: R + R +, h(x) = x 2 A) Yalnız f B) Yalnız g C) Yalnız h D) f ve g E) f ve h Hatırlatma 8. sınıfta öğrendiğimiz n elemanlı bir kümenin r elemanlı permütasyonlarının sayısı, n P( n, r) =! n r ( n r)!, ( ) ile hesaplanır. 115

116 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Fonksiyon Sayısı ve Fonksiyon Çeşitleri KAVRAMA TESTİ 02 Hazine Hazine Bire Bir Fonksiyon Sayısı A ve B iki küme, B ve s(b) s(a) olsun. A dan B ye tanımlanabilecek farklı bire bir fonksiyonların sayısı P(s(B), s(a)) ile hesaplanır. Örneğin, 2 elemanlı bir kümeden 4 elemanlı bir kümeye tanımlanabilecek farklı bire bir fonksiyonların sayısı, 4! 24 P( 4, 2) = = = 12 dir. ( 4 2)! elemanlı bir kümeden, 5 elemanlı bir kümeye kaç farklı bire bir fonksiyon tanımlanabilir? A) 5 B) 10 C) 20 D) 30 E) 60 Birim Fonksiyon A boş kümeden farklı bir küme olmak üzere, A dan A ya tanımlı her elemanı kendine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir. I: A A, I(x) = x biçiminde gösterilir. 6. f: R R, f(x) = (a 3)x 2 + (5 b)x fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre, a b çarpımı kaçtır? A) 6 B) 8 C) 12 D) 15 E) 20 Hazine Sabit Fonksiyon Hazine Örten Fonksiyon Görüntü kümesi, değer kümesine eşit olan bir fonksiyona örten fonksiyon, örten olmayan bir fonksiyona içine fonksiyon denir. Görüntü kümesi bir elemanlı olan bir fonksiyona sabit fonksiyon denir. Örneğin, f fonksiyonu sabit fonksiyondur. Bu fonksiyon için, f(x) = 2 yazabiliriz. 7. f: R R, f(x) = (a + 3)x 2 + (b 1)x + a + b fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, f(100) kaçtır? A) 2 B) 0 C) 10 D) 50 E) 100 f(a) = B Örten fonksiyon g(a) B İçine fonksiyon Hazine Doğrusal Fonksiyon 5. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi ya da hangileri örtendir? a, b gerçek sayılar ve a 0 olmak üzere, f(x) = ax + b fonksiyonuna doğrusal fonksiyon denir. f: R R, f(x) = x Örneğin, f(x) = 3x 1 bir doğrusal fonksiyondur. g: R R, g(x) = x 2 h: R R + {0}, h(x) = x 2 8. f(x) bir doğrusal fonksiyondur. A) Yalnız f B) Yalnız g C) Yalnız h f(1) = 3 ve f(3) = 7 olduğuna göre, f(0) kaçtır? D) f ve h E) f, g ve h A) 3 B) 1 C) 1 D) 2 E) E 2. E 3. D 4. E 5. D 6. C 7. A 8. C 116

117 5 BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Fonksiyon Sayısı ve Fonksiyon Çeşitleri PEKİŞTİRME TESTİ elemanlı bir kümeden 4 elemanlı bir kümeye kaç farklı fonksiyon tanımlanabilir? A) 7 B) 12 C) 24 D) 64 E) elemanlı bir kümeden 4 elemanlı bir kümeye kaç farklı bire bir fonksiyon tanımlanabilir? A) 7 B) 12 C) 24 D) 64 E) A ve B iki kümedir. A dan B ye tanımlı farklı fonksiyon sayısı 27 olduğuna göre, B kümesi kaç elemanlı olabilir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 6 E) elemanlı bir kümeden 5 elemanlı bir kümeye bire bir olmayan kaç farklı fonksiyon tanımlanabilir? A) 5 B) 7 C) 10 D) 15 E) Aşağıdakilerden hangileri bire bir fonksiyon grafiğidir? 7. A = {a, b, c, d} B = {1, 2, 3} kümeleri veriliyor. Aşağıda verilen fonksiyonlardan hangisi A dan B ye bir örten fonksiyondur? A) {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)} B) {(a, 1), (b, 2), (c, 1), (d, 1)} C) {(a, 3), (b, 2), (c, 2), (d, 3)} A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III D) {(1, a), (2, b), (3, d)} E) {(a, 1), (b, 1), (c, 2), (d, 3)} 4. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri bire birdir? f: R R, f(x) = 3x 8. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri içine fonksiyondur? f: R R +, f(x) = x 2 g: R R, g(x) = x h: N N, h(x) = x! A) Yalnız f B) Yalnız g C) Yalnız h D) f ve g E) f, g ve h g: Z Z, g(x) = x + 1 h: R R, h(x) = 0 A) Yalnız f B) Yalnız g C) Yalnız h D) f ve g E) f ve h 117

118 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Fonksiyon Sayısı ve Fonksiyon Çeşitleri PEKİŞTİRME TESTİ f: R R f(x) = ax + b fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 { } f : R R, 2 ( a + 3) x + 8 f( x) = 4x + 2 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, a kaçtır? A) 1 B) 5 C) 9 D) 10 E) f: R R doğrusal bir fonksiyondur. f(2) = 5 c f( x) = ( 2a b) x + ( b a) x5 fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? f(1) = 8 olduğuna göre, f(5) kaçtır? A) 4 B) 2 C) 0 D) 1 E) 2 A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) f(x) = (m 1)x 3 + (n + 4)x + m n fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, f(m + n) kaçtır? A) 4 B) 3 C) 0 D) 3 E) 4 Yukarıdaki şekilde doğrusal f fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, f(4) kaçtır? A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) f: R R doğrusal bir fonksiyondur. Buna göre, f için aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur? 12. f: R {0} R f(x) = (3k 6)x 4 k I. Bire birdir. II. Örtendir. fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, k nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? III. Sabittir. A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 10 D) I ve II E) I, II ve III 1. D 2. C 3. A 4. D 5. C 6. A 7. E 8. C 9. B 10. E 11. A 12. D 13. E 14. A 15. C 16. D 118

119 5 BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Fonksiyon Sayısı ve Fonksiyon Çeşitleri ÖDEV TESTİ Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi A = {1, 2, 3} kümesinden B = {0, 1, 2} kümesine tanımlı bire bir ve örten fonksiyondur? A) {(1, 0), (2, 1), (3, 0)} B) {(1, 0), (2, 2), (3, 1)} ax f( x) = 4x 2 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, a kaçtır? A) 4 B) 2 C) 0 D) 2 E) 4 C) {(1, 0), (2, 0), (3, 0)} D) {(1, 1), (2, 0), (3, 1)} E) {(3, 1), (2, 2), (1, 1)} 6. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi ya da hangileri bire bir fonksiyondur? 2. f: R R olmak üzere, f(x) = (a 3)x 5 + (b + 3)x 2 + a b + 1 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, f(2010) kaçtır? A) 9 B) 7 C) 6 D) 1 E) 0 f: R + R, f( x) = x g: R R, g( x) = 3 x h: R R, h(x) = 5 A) Yalnız f B) Yalnız g C) Yalnız h D) f ve g E) f, g ve h 3. f: R R olmak üzere, f(x) = (a + 2)x 2 + (b + 3)x + c fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? A) 9 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 7. A ve B iki kümedir. A dan B ye 24 farklı bire bir fonksiyon tanımlanabildiğine göre, A kümesinin eleman sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır? A) 4 B) 5 C) 7 D) 9 E) f(x) = (a + 4)x + 1 fonksiyonu sabit fonksiyon, g(x) = (b + 1)x + 3a 4c fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? A) 4 B) 2 C) 0 D) 3 E) 7 8. f(x) birim fonksiyondur. f(x 2 ) = (a 4)x 2 + (b 1)x + c 2 olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? A) 12 B) 9 C) 0 D) 8 E) 9 119

120 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Fonksiyon Sayısı ve Fonksiyon Çeşitleri ÖDEV TESTİ Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi içinedir? A) f: R R, f(x) = 5 x B) f: R R, f(x) = x C) f: R {0} R {0}, f( x) = 1 x D) f: R + R +, f(x) = x f: R R bir doğrusal fonksiyondur. f(0) = 3 f(1) = 5 olduğuna göre, f(2) kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 E) f: R R, f(x) = x elemanlı bir kümeden 7 elemanlı bir kümeye kaç farklı fonksiyon tanımlanabilir? A) 9 B) 14 C) 49 D) 64 E) f: {0} {1} fonksiyonu için aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I. Bire birdir. II. Örtendir. III. Sabittir. IV. Birim fonksiyondur. 11. Her Türkiye Cumhuriyeti vatandaşını T.C. kimlik numarasına eşleyen fonksiyon için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? V. İçine fonksiyondur. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) Birim fonksiyondur. B) Sabit fonksiyondur. C) Doğrusal fonksiyondur. D) Bire bir fonksiyondur E) Fonksiyon değildir f: R {3} R ax 6 f( x) = x b Yukarıdaki şekilde doğrusal f fonksiyonunun grafiği fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, a + b verilmiştir. toplamı kaçtır? Buna göre, f(5) kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) B 2. B 3. E 4. E 5. E 6. D 7. C 8. D 9. A 10. C 11. D 12. D 13. B 14. C 15. E 120

121 5 BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM KAVRAMA TESTİ 03 İşlemin Tanımı, Kapalılık ve Değişme Özelliği Hazine İşlem A ve B boş kümeden farklı iki küme olsun. A x A dan B ye tanımlanan her fonksiyona bir ikili işlem ya da kısaca işlem denir. 5. Tam sayılar kümesinde işlemi, (x + y) (x y) = 2xy kuralıyla tanımlanmıştır. Buna göre, 5 7 kaçtır? A) 12 B) 8 C) 8 D) 12 E) 24 Özel olarak A x A dan A ya tanımlanan her fonksiyona da A da bir ikili işlem ya da A da işlem denir. 1. Tam sayılar kümesinde bir "D" işlemi, a D b = a + b + a b kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre, 2 D 1 işleminin sonucu kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 2. Tam sayılar kümesinde bir D işlemi, x D y = x + 2y 2 6. Tam sayılar kümesinde, x + y, x < y ise x y = x y, x = y ise x y, x > y ise kuralıyla bir "D işlemi tanımlanıyor. Buna göre, ((1 D 2) D 3) D 4 işleminin sonucu kaçtır? A) 8 B) 1 C) 5 D) 11 E) 16 kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre, (1 D 2) D 3 kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 3. Gerçek sayılar kümesinde bir işlemi, x y = x 2 y 2 kuralıyla tanımlanıyor. 7 a = a 1 7. A = {0, 1, 2, 3, 4} kümesinde bir işlemi, x y = x ile y den büyük olmayanı kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre, x 3 = x eşitliğini sağlayan kaç değişik x elemanı vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 olduğuna göre, a kaç olabilir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 8. Gerçek sayılarda tanımlı, 4. Gerçek sayılar kümesinde bir D işlemi, her x, y R için, x D y = 2 (y D x) + 2x + y eşitliğini sağlamaktadır. Buna göre, 1 D 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) 4 C) 14 3 D) 11 3 E) 3 x o y = 2x 2y + m a D b = a 2 + b 2 işlemleri veriliyor. 1 D 2 = 4 o ( 1) olduğuna göre, m kaçtır? A) 5 B) 3 C) 1 D) 1 E) 3 121

122 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM İşlemin Tanımı, Kapalılık ve Değişme Özelliği KAVRAMA TESTİ R {0} kümesinde tanımlı bir işlemi, 1 1 a b = a + b a b eşitliğini sağlamaktadır. Buna göre, 2 3 işleminin sonucu kaçtır? Hazine Değişme Özelliği bir işlem olsun. Eğer her x, y A için, x y = y x A) 1 B) 1 3 C) 2 3 D) 1 E) 4 3 oluyorsa, işleminin değişme özeliği vardır" veya işlemi değişmelidir" denir. 11. Gerçek sayılar kümesi üzerinde bir "D" işlemi, x D y = (k 1)x + (2k 3)y + xy + 1 kuralıyla tanımlanıyor. Hazine D işlemi değişmeli olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Kapalılık Özelliği A boş kümeden farklı bir küme, A B ve : A x A B bir işlem olsun. A kümesindeki her x, y elemanı için x y A oluyorsa işleminin A kümesinde kapalılık özeliği vardır. ya da A kümesi işlemine göre kapalıdır. denir. Örneğin, doğal sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır zira iki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayıdır. Fakat, doğal sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalı değildir. Zira iki doğal sayının farkı bir doğal sayı olmayabilir. Örneğin, 1 2 = 1 (Sonuç doğal sayılar kümesinin dışına çıktı!) 12. Aşağıdaki R + da tanımlı işlemlerden hangisi ya da hangileri değişmelidir? I. x y = x 2 y + x + y II. x y = x y + y x III. x y = x y + x + y A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III 10. Aşağıda verilen kümelerden hangisi, x y = x+ y 1 işlemine göre kapalı değildir? 13. Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı "D" işlemi A) Tam sayılar kümesi B) Rasyonel sayılar kümesi C) Gerçek sayılar kümesi D) Doğal sayılar kümesi değişmelidir ve x D y = 2(y D x) x 2 y 2 xy + 1 eşitliğini sağlamaktadır. Buna göre, ( 1) D 1 işleminin sonucu kaçtır? E) Pozitif tam sayılar kümesi A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 1. B 2. E 3. D 4. C 5. A 6. C 7. D 8. A 9. C 10. D 11. B 12. E 13. A 122

123 5 BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM İşlemin Tanımı, Kapalılık ve Değişme Özelliği PEKİŞTİRME TESTİ Gerçek sayılar kümesinde bir o işlemi, x + 1 x ο y = 2 1+ y kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre, 4 o 3 kaçtır? 5. Gerçek sayılar kümesinde ve D işlemleri, x y = 5 (x y) x D y = x + y x y biçiminde tanımlanıyor. (3 a) = (3 D a) A) 1 2 B) 1 3 C) 3 5 D) 3 10 E) 4 15 olduğuna göre, a kaçtır? A) 1 B) 1 4 C) 0 D) 1 4 E) 1 6. Gerçek sayılar kümesinde ve D işlemleri, 2. Pozitif gerçek sayılar kümesinde bir işlemi, 2 2 a b = a + b kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre, (9 12) 8 işleminin sonucu kaçtır? A) 13 B) 14 C) 15 D) 17 E) 23 x y = x + y 2 x D y = x 2 + y biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, (2 ( 1)) D 4 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B) 13 C) 18 D) 25 E) Gerçek sayılar kümesinde bir işlemi, a b = a + b 2 kuralıyla tanımlanıyor. (99 999) = (1000 x) olduğuna göre, x kaçtır? A) 97 B) 98 C) 99 D) 100 E) Gerçek sayılar kümesinde bir işlemi, y, x > y ise x y = 0, x = y ise x, x < y ise kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre, ( ) (99 100) işleminin sonucu kaçtır? A) 0 B) 98 C) 99 D) 100 E) Gerçek sayılar kümesinde bir D işlemi, 4. Gerçek sayılar kümesinde bir işlemi, x y = 5x + 5y xy 15 kuralıyla tanımlanıyor. t 0 = 0 olduğuna göre, t kaçtır? A) 5 B) 3 C) 0 D) 3 E) 5 x D y = x + y + xy kuralıyla tanımlanıyor. x 1 = x, x 2 = x D x ve n Z + \ {1} olmak üzere, x n = x n 1 D x olduğuna göre, ( 2) ( 2) 1001 işleminin sonucu kaçtır? A) 4 B) 2 C) 1 D) 0 E) 1 123

124 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM İşlemin Tanımı, Kapalılık ve Değişme Özelliği PEKİŞTİRME TESTİ Gerçek sayılar kümesinde bir işlemi, her x, y gerçek sayıları için, x y = 3 (y x) + x + 2y eşitliği sağlamaktadır. Buna göre, x y değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) x + 2 y 2 D) 5 x + 7 y 8 B) x + 2y 2 C) x + y 8 E) 7 x + 5 y Aşağıdaki kümelerden hangisi belirtilen işleme göre kapalı değildir? Küme İşlem A) Tam sayılar Çıkarma B) Negatif sayılar Çarpma C) Gerçek sayılar Çarpma D) Doğal sayılar Toplama E) Pozitif gerçek sayılar Bölme 14. Gerçek sayılar kümesinde, 10. Gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir "" işlemi her x ve y gerçek sayıları için, (2x 1) (3y + 1) = x y + xy eşitliğini sağlamaktadır. Buna göre, 3 4 işleminin sonucu kaçtır? x D y = (3k + 2)x + (2k + 5)y xy işlemi değişme özelliğine sahiptir. Buna göre, 3 D 4 işleminin sonucu kaçtır? A) 49 B) 59 C) 61 D) 65 E) 77 A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) Pozitif gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir işlemi, her x, y R + için, x xy y = x + y eşitliğini sağlamaktadır. Buna göre, 3 4 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 12 B) 2 7 C) 1 D) 24 7 E) Pozitif gerçek sayılarda tanımlı olan aşağıdaki işlemlerden hangilerinin değişme özelliği vardır? I. x D y = x 2 y + xy 2 + x + y II. x D y = III. x D y = x y x y y + + x y x A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III 12. Pozitif gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir "" işlemi her x, y pozitif gerçek sayısı için, 16. Gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir "D" işlemi için, 3(x D y) = 2(y D x) + 2x + 2y + xy = eşitliği sağlanmaktadır. a b a b "D" işlemi değişme özelliğine sahip ve a D a = a eşitliğini sağlamaktadır. Buna göre, 1 1 işleminin sonucu kaçtır? olduğuna göre, a aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 1. A 2. D 3. B 4. D 5. D 6. B 7. C 8. B 9. E 10. A 11. B 12. A 13. B 14. D 15. D 16. C 124

125 5 BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM İşlemin Tanımı, Kapalılık ve Değişme Özelliği ÖDEV TESTİ Gerçek sayılar kümesinde bir işlemi, a b = a + 2b + 16 kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre, işleminin sonucu kaçtır? A) 76 B) 86 C) 94 D) 96 E) Gerçek sayılar kümesinde ve D işlemleri, x y = x x D y = y biçiminde tanımlanıyor. (10 a) D (7 a) = a olduğuna göre, a kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) Tam sayılar kümesinde bir işlemi, 2. Sıfırdan farklı gerçek sayılar kümesinde bir ve "o" işlemleri, x y = x ve x o y = (2x 3y) x y kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre, 6 o 2 işleminin sonucu kaçtır? 1, x y = x + y tek ise 0, x + y çift ise kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre, tane 2009 A) 1 3 B) 1 4 C) 1 5 D) 1 6 E) 1 7 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 0 C) 1 D) 2 E) Pozitif gerçek sayılar kümesinde bir D işlemi, x D y = x y + y x kuralıyla tanımlanıyor. a D a = 4a olduğuna göre, a kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 7. Gerçek sayılar kümesinde bir işlemi, 2x + y, x > y ise x y = y x, x y ise kuralıyla tanımlanıyor. x 1 = x, x 2 = x x ve n N + için, x n+1 = x n x olduğuna göre, ( 1) 10 + ( 1) 21 kaçtır? A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2 4. Gerçek sayılar kümesinde bir D işlemi, x D y = x + y xy 8 kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre, 4 D a = a + 8 eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 8. Pozitif gerçek sayılar kümesinde bir işlemi, x y = x y y + x kuralıyla tanımlanıyor. a b = 4 olduğuna göre, a 2 b 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) 8 C) 10 D) 14 E)

126 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM İşlemin Tanımı, Kapalılık ve Değişme Özelliği ÖDEV TESTİ Tam sayılar kümesinde bir "D" işlemi, a + b, a b tek ise 2 a b = a b a b ise, çift 2 kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre, (1 D 3) D 5 işleminin sonucu kaçtır? 13. Z {0} kümesi aşağıda verilen işlemlerin hangisine göre kapalıdır? A) x D y = x y + y x x + y B) x ο y = x 2 + y 2 x y C) x y = D) x y = (x y) x2 +y 2 2 x + y x y E) x y = 2 x + 1 A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) Pozitif tam sayılar kümesinde bir işlemi, x y = x + y 2 kuralıyla tanımlanıyor. 2a b = 3 3a 2b = 7 olduğuna göre, a b işleminin sonucu kaçtır? 14. Gerçek sayılar kümesinde tanımlı ve değişmeli bir işlemi, 2(x y) = kx + my + (y x) k m eşitliğini sağlamaktadır. 2 3 = 9 olduğuna göre, k + m toplamı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Gerçek sayılar kümesinde bir işlemi, x y = x ile y den küçük olmayanı kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre, a (a + 1) = 6 eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) Gerçek sayılar kümesinde tanımlı aşağıdaki işlemlerden hangileri değişmelidir? I. x y = x 2y + x y II. x D y = x 2 + y III. x y = x 2 + x y + y 2 A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III 12. Gerçek sayılar kümesinde bir işlemi, x y = 2x + y + 3(y x) eşitliğini sağlamaktadır. Buna göre, 2 3 işleminin sonucu kaçtır? 16. Gerçek sayılar kümesinde tanımlı aşağıdaki işlemlerden hangisi değişmelidir? A) x y = x 2 + y x y 2 B) x D y = x y + 2 A) 25 8 B) 28 8 D) 4 E) 35 8 C) 31 8 C) x y = x 3 + x D) x o y = x 2 x y E) x y = x + y + x y 1. A 2. A 3. B 4. C 5. A 6. C 7. B 8. D 9. D 10. B 11. C 12. C 13. D 14. E 15. C 16. E 126

127 5 BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM KAVRAMA TESTİ 04 İşlemin Özellikleri Hazine Hazine Birleşme Özelliği Birim (Etkisiz) Eleman Özelliği Bir işlemi, bir A kümesinde tanımlanmış olsun. Her a, b, c A için, (a b) c = a (b c) oluyorsa, işleminin birleşme özelliği vardır." veya kısaca işlemi birleşmelidir." denir. Örneğin, gerçek sayılar kümesinde tanımlı olan toplama işlemi birleşmelidir. Zira her a, b, c R için, dir. Hazine (a + b) + c = a + (b + c) a b = ma + nb + kab + l işleminin birleşmeli olması için, (i) m = n (ii) m(m 1) = k l olması gerekli ve yeterlidir. Örneğin, işleminde, m n k l a b = 3 a + 3 b + 2 ab + 3 m = n ve m(m 1) = k l yani 3 (3 1) = 2 3 eşitliği sağlandığı için işlemi birleşmelidir. Bir işlemi, bir A kümesinde tanımlanmış olsun. Her x A için, e x = x e = e olacak biçimde bir x A varsa e ye işleminin birim (etkisiz) elemanı ve işlemine de birimlidir denir. Örneğin, doğal sayılar kümesinde toplama işleminin birim elemanı sıfırdır. Pozitif doğal sayılar kümesinde ise toplama işleminin etkisiz elemanı yoktur, yani toplama işlemi Z + da birimsizdir. Buna göre, bir işlem her zaman birim (etkisiz) elemana sahip olmak zorunda değildir. Bunun dışında, bir işlemin (eğer varsa) etkisiz elemanı biriciktir. 2. Gerçek sayılar kümesinde bir işlemi, x y = x + y 3 kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre, işleminin birim (etkisiz) elemanı kaçtır? A) 3 B) 2 C) 0 D) 2 E) 3 Hazine m 0 olmak üzere, gerçek sayılar kümesinde tanımlı, x y = mx + ny + kxy + l işleminin etkisiz elemanının var olabilmesi için, (i) m = n 1. Gerçek sayılar kümesinde tanımlı aşağıdaki işlemlerden hangisi birleşmeli değildir? A) x * y = 3x + 3y + 3xy + 2 B) x D y = x + y + xy C) x o y = 5 D) x y = 4x + 4y + 6xy + 2 E) x y = 3x + 3y + 3xy (ii) m(m 1) = kl olması gerek ve yeterlidir. Ayrıca, bu işleminin etkisiz elemanını e ile gösterirsek, e = l dir. m Örneğin, gerçek sayılar kümesinde tanımlı, m n k l x D y = 3 x + 3 y + 6 xy + 1 işleminin etkisiz elemanı e = l = 1 m 3 tür. 127

128 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM İşlemin Özellikleri KAVRAMA TESTİ Gerçek sayılar kümesinde bir "D" işlemi, x D y = 3x + 3y + 2xy + 3 kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre, "D" işleminin birim (etkisiz) elemanı kaçtır? A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2 Hazine Bir işlemi A kümesinde tanımlanmış olsun. işlemi birimli, birleşmeli, a, b, c A ve a ile b tersi olan elemanlar olsun. O zaman, aşağıdaki eşitlikler doğrudur. (i) (a 1 ) 1 = a (ii) a 1 = b b 1 = a (iii) x a = c x = c a 1 4. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinde bir "" işlemi, a b = a ile b den küçük olmayanı kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre, " " işleminin birim (etkisiz) elemanı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 5 D) 6 E) 7 (iv) (a b) 1 = b 1 a 1 Bunun dışında, bir elemanın birleşmeli ve birimli bir işleme göre (eğer varsa) tersi biriciktir. 6. Gerçek sayılar kümesinde bir "D" işlemi, x D y = 4x + 4y xy 12 kuralıyla tanımlanıyor. x D x 1 D 3 = 4 1 D x olduğuna göre, x kaçtır? A) 0 B) 4 C) 6 D) 10 E) 12 Hazine Ters Eleman Özelliği Bir A kümesinde tanımlı bir işlemi birimli ve birim (etkisiz) elemanı e olsun. A daki bir x elemanı için, x t = t x = e olacak biçimde bir t A varsa, t ye x in işlemine göre tersi" denir ve t = x 1 ile gösterilir. Örneğin, tam sayılar kümesinde toplama işlemine göre 2 nin tersi 2 iken, doğal sayılar kümesinde 2 nin toplama işlemine göre tersi yoktur, zira 2 bir doğal sayı değildir. Hazine Yutan Eleman Özelliği Bir işlemi bir A kümesinde tanımlanmış olsun. Her x A için x y = y x = y olacak biçimde bir y A varsa, y ye işleminin yutan elemanı denir. Örneğin, gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin yutan elemanı sıfırdır. Bunun dışında, m 0 olmak üzere, gerçek sayılar kümesinde bir "D" işlemi, x D y = mx + my + kxy + l kuralıyla tanımlı ve m(m 1) = k l olsun. Bu koşullar altında "D" işleminin yutan elemanı vardır ve m k dır. 5. Gerçek sayıları kümesi üzerinde bir işlemi, x y = 2x + 2y + xy Gerçek sayılar kümesinde bir işlemi, x y = 3x + 3y 2xy 3 kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre, 3 ün işlemine göre tersi kaçtır? kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre, işleminin yutan elemanı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 1 B) 3 2 C) 2 D) 5 2 E) 3 1. E 2. A 3. B 4. E 5. C 6. B 7. B 128

129 5 BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM İşlemin Özellikleri PEKİŞTİRME TESTİ Gerçek sayılar kümesinde tanımlı, x y = 6x + 6y 15xy 2 işleminin birim elemanı kaçtır? 5. Gerçek sayılar kümesinde tanımlı, x y = 3x + 3y 3xy 2 işleminin birim (etkisiz) elemanı kaçtır? A) 6 B) 3 C) 1 3 D) 1 3 E) 3 A) 2 B) 2 3 C) 2 3 D) 1 E) 2 2. Gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir D işlemi değişmelidir. Her x, y R için, x D y = 3 (y D x) x y eşitliği sağlandığına göre, 3 D 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8 6. Birim elemanla ilgili aşağıda verilen önermelerden hangisi yanlıştır? A) Gerçek sayılar kümesinde toplama işleminin birim elemanı 0 dır. B) Gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin birim elemanı 1 dir. C) Pozitif gerçek sayılar kümesinde bölme işleminin birim elemanı yoktur. D) Gerçek sayılar kümesinde çıkarma işleminin birim elemanı yoktur. E) Bir işlemin 1 den fazla birim elemanı olabilir. 3. Gerçek sayılar kümesinde tanımlı, aşağıdaki işlemlerden hangisi değişmeli değildir? A) x y = x + y 4xy + 1 B) x y = x 2 + y 2 2xy C) x y = 1 + x + y D) x y = 2 x + 2 y E) x y = x y 7. Gerçek sayılar kümesinde tanımlı, x y = 3xy işleminin birim elemanı kaçtır? A) 3 B) 1 C) 0 D) E) 3 8. A = {0, 1, 2, 3, 4} kümesinde tanımlı, bir işlemi, 4. Gerçek sayılar kümesinde tanımlı, x y = x + y + 10 işleminin birim (etkisiz) elemanı kaçtır? A) 10 B) 5 C) 0 D) 5 E) 10 x y = x + y nin 5 ile bölümünden kalan kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre, işleminin birim (etkisiz) elemanı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 129

130 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM İşlemin Özellikleri PEKİŞTİRME TESTİ Gerçek sayılar kümesinde bir işlemi, x y = x + y xy kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre, ( 2) 1 kaçtır? A) 3 B) 2 C) 1 D) E) Gerçek sayılar kümesinde bir D işlemi, x D y = x + y + 1 kuralıyla tanımlanıyor. D işlemine göre, tersi kendisine eşit olan sayı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Gerçek sayılar kümesinde bir D işlemi, x D y = 2x + 2y 2xy + 1 kuralıyla tanımlanıyor. 14. Gerçek sayılar kümesinde bir işlemi, Buna göre, 2 1 D x = 1 eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 x y = x + y + 2xy kuralıyla tanımlanıyor. işlemine göre, tersi kendisinin üç katına eşit olan elemanların toplamı kaçtır? A) 3 8 B) 3 4 C) 2 3 D) 1 6 E) Gerçek sayılar kümesinde bir işlemi, x y = 3x + 3y + xy + 6 kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre, ( ) 1 işleminin sonucu kaçtır? A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) Gerçek sayılar kümesinde bir işlemi, xy x y = x + y + 2 kuralıyla tanımlanıyor. işlemine göre, hangi elemanın tersi 2 dir? 12. A = {a, b, c, d} A) 1 B) 1 3 C) 1 2 D) 1 E) 2 kümesinde tanımlı bir işlemi birleşmelidir. x 1, x in işlemine göre, tersini göstermek üzere, a 1 b x d = c olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir? 16. Gerçek sayılar kümesinde tanımlı, A) b 1 a c d 1 B) a b 1 c d 1 x D y = 3x + 3y + xy + 6 C) d 1 c a b 1 D) a b 1 d 1 c işleminin yutan elemanı kaçtır? E) c a b 1 d A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0 1. D 2. C 3. E 4. C 5. C 6. E 7. D 8. A 9. B 10. B 11. D 12. A 13. A 14. C 15. A 16. B 130

131 5 BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM İşlemin Özellikleri ÖDEV TESTİ Gerçek sayılar kümesinde tanımlı, x y = x + y 2 işleminin birim elemanı kaçtır? A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2 5. Gerçek sayılar kümesinde tanımlı, x y = xy işleminin yutan elemanı kaçtır? A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2 2. KANIT işleminin iki birim elemanı e ve e olsun. Birim eleman tanımından, e = e e = e e = e dir. Yukarıdaki kanıt, aşağıdaki teoremlerden hangisine bir kanıt olarak gösterilebilir? A) Bir işlemin birim elemanı, eğer varsa tektir (biriciktir). 6. Gerçek sayılar kümesinde bir D işlemi x D y = x + y 8 kuralıyla tanımlanıyor. D işlemine göre, 2 nin tersi kaçtır? A) 18 B) 16 C) 14 D) 14 E) 16 B) Bir işlemin birim elemanı var olmayabilir. C) Değişme özeliği olan bir işlemin birim elemanı kesinlikle vardır. D) Yutan elemanı olan bir işlemde, yutan elemanın tersi yoktur. E) Birimli bir işlemde, birim elemanın tersi kendisine eşittir. 7. Gerçek sayılar kümesinde bir işlemi, x y = x + y 3 kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre, ( ) 1 işleminin sonucu kaçtır? 3. Gerçek sayılar kümesinde tanımlı, A) 1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 x y = 4x + ay + 3xy + b işleminin birim elemanı var olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 8. Gerçek sayılar kümesinde bir işlemi, x y = 4x + 4y + 3xy Gerçek sayılar kümesinde tanımlı, x y = 5x + ay + 8xy + c kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre, işleminin birim elemanı var olduğuna göre, işleminin birim (etkisiz) elemanı kaçtır? A) 2 B) 1 C) 1 D) 1 E) x = 1 eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır? A) 14 B) 16 C) 18 D) 20 E)

132 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM İşlemin Özellikleri ÖDEV TESTİ Gerçek sayılar kümesinde bir D işlemi, x D y = 3x + 3y xy 6 kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre, 2 1 D x D 3 1 = 1 eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) Gerçek sayılar kümesi üzerinde "o" ve "D" işlemleri, x o y = x + y + 3 x D y = x o (y o 4) olarak tanımlanıyor. Buna göre, "D" işleminin birim elemanı kaçtır? A) 10 B) 8 C) 7 D) 6 E) Gerçek sayılar kümesinde bir işlemi, x y = 2x + 2y+ xy + 2 kuralıyla tanımlanıyor. işlemine göre, hangi elemanın tersi yoktur? A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) Gerçek sayılarda tanımlı, "" işlemi, x y = x + y + axy olarak tanımlanıyor. 2 nin "" işlemine göre tersi 2 olduğuna göre, a kaçtır? A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) Aşağıda verilen işlemlerden hangisinin pozitif gerçek sayılar kümesinde değişme özelliği yoktur? A) a o b = a b + b a B) a o b = a b + 1 C) a o b = a b a b D) a o b = a + b 6 5 E) a o b = 2a + 2b Gerçek sayılar kümesinde bir işlemi, a b = a + b + ab kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre, x = 3 eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır? A) 1 B) C) D) 9 10 E) R de H işlemi, x H y = x y 3x 3y x y = x + y 3 işlemine göre, tersi kendisinin 5 katına eşit olan eleman kaçtır? biçiminde tanımlandığına göre, H işleminin birim elemanı ile tersi olmayan elemanının toplamı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 3 B) 4 C) 7 D) 9 E) A 2. A 3. E 4. C 5. C 6. D 7. B 8. E 9. D 10. A 11. D 12. A 13. A 14. B 15. B 16. C 132

133 5 BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM KAVRAMA TESTİ 05 Tablo İle Gösterilen İşlemler Hazine Tablo Nasıl Okunur? Bir işlem tablosunda yatay sıralara satır, dikey sıralara ise sütun adı verilir. A = {a, b, c, d} kümesinde tanımlı bir D işleminin tablosunda satır ve sütunları gösterelim. 2. A = {a, b, c, d, e} kümesinde bir işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanıyor. a b c d e a d e a b c b a b b c d c a b c d e d b c d e a e c d e a b D a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d 1. satır 2. satır 3. satır 4. satır Buna göre, d x = e eşitliğini sağlayan x değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) a B) b C) c D) d E) e 1. sütun 2. sütun 3. sütun 4. sütun Yukarıdaki A da tanımlanmış D işleminin tablosu (Soldaki i-yinci eleman) D (Tepedeki j-yinci eleman) = (Tablo içindeki i-yinci satır ile j-yinci sütunun kesişimindeki eleman) kuralına göre okunur. Örneğin, 3. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesi üzerinde tanımlı olan işlemler verilmiştir. Bu işlemlerden hangisinin kapalılık özeliği vardır? A) B) a D b = c c D d = c b D c = a 1. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinde bir işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanıyor Buna göre, (1 2) (3 5) işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) D C) D) a E)

134 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Tablo İle Gösterilen İşlemler KAVRAMA TESTİ A = {a, b, c, d, e} kümesinde bir işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanıyor. a b c d e a a e d c b b c b a e d c e d c b a d b c e a d e d a b c e Buna göre, x x = a eşitliğini sağlayan x elemanları kaç tanedir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Hazine 5. A = {a, b, c, d, e} kümesinde bir işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır. a b c d e a a b c d e b b c d e a c c d e a b d d e a b c e e a b c d Buna göre, işleminin (birim) etkisiz elemanı nedir? A) a B) b C) c D) d E) e Etkisiz Eleman Nasıl Bulunur? Tablo ile verilen bir işlemde en soldaki sütun ile en üstteki satırın aynısı tablo içinde bulunur. Bulunan sütun ile satırın kesişiminde bulunan eleman işlemin birim (etkisiz) elemanıdır. Örneğin; a b c d e a c d e a b b d e a b c c e a b c d d a b c d e e b c d e a D a b c a c a b b a b c c b c a Yukarıdaki işleminin etkisiz elemanı d, D işleminin etkisiz elemanı b dir. 6. A = {0, 1, 2, 3} kümesinde bir işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır Buna göre, işleminin (birim) etkisiz elemanı nedir? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Uyarı a b c d e a e a b c d b a b c d e c c d e a b d b c d e a e d e a b c Yukarıdaki işleminin etkisiz elemanı yoktur. a b c d e satırı var ama a b c d e sütunu yok. 7. D A = {1, 2, 3} kümesinde bir D işlemi yandaki tablo ile tanımlanmıştır Buna göre, D işlemi için aşağıdakilerden hangileri doğrudur? I. Kapalılık özelliği vardır. II. Birim (etkisiz) elemanı vardır. III. x D x = 2 eşitliği A nın her elemanı için sağlanır. A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III 134

135 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Tablo İle Gösterilen İşlemler KAVRAMA TESTİ 05 Hazine Ters Eleman Nasıl Bulunur? Tablo ile verilen bir işlemde bir elemanın tersini bulmak için aşağıdaki adımlar sırasıyla takip edilir: 1. Birim (etkisiz) eleman bulunur. 2. En soldaki sütunda tersi bulunacak olan eleman belirlenir ve birim (etkisiz) elemana rastlayıncaya kadar sağa doğru gidilir. 3. Birim (etkisiz) elemandan yukarıya doğru gidilir. En üstteki eleman aradığımız ters elemandır. Örneğin, tablosu ile verilen işlemine göre, 1 in tersini bulalım. Birim (etkisiz) eleman 4 tür. En soldaki sütunda 1 i belirleyip, 4 ü buluncaya kadar sağa doğru gidelim. 4 ten yukarı doğru gidelim. En üstteki eleman 3 olduğundan 1 in tersi 3 tür. 9. A = {a, b, c, d, e} kümesinde bir D" işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır. D a b c d e a c d e a b b d e a b c c e a b c d d a b c d e e b c d e a Buna göre, [(a 1 D b) D c 1 ] 1 işleminin sonucu nedir? A) a B) b C) c D) d E) e Hazine Tablo ile verilen işlemde eğer tablo, köşegene göre simetrik ise o zaman işlem değişmelidir. Örneğin, köşegen 8. A = {a, b, c, d, e} kümesinde bir D" işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır. D a b c d e a c d e a b b d e a b c c e a b c d d a b c d e e b c d e a Buna göre, e 1 D b 1 işleminin sonucu nedir? A) a B) b C) c D) d E) e 10. Aşağıdaki işlemlerden hangisi değişmelidir? A) D) B) D C) o E 2. D 3. E 4. B 5. A 6. B 7. E 8. E 9. B 10. C E) 135

136 5 BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Tablo İle Gösterilen İşlemler PEKİŞTİRME TESTİ D a b c d e a a b c d e b b c d a c c c b d b a d d a b c e e e b a e d Yukarıda işlem tablosu verilen "D" işlemine göre, n c = c c... c n tane c (c 3 D d) 1 işleminin sonucu nedir? olduğuna göre, A) a B) b C) c D) d E) e 3. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinde bir "D işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır. D Buna göre, (2 D x) D 2 = x D x eşitliğini sağlayan x elemanı aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 4. A = {1, 2, 3, 4, 5} 2. A = {a, b, c, d} kümesinde, a b c d e D a b c d e a d e a b c a e a b c d b e a b c d b a b c d e c a b c d e c b c d e a d b c d e a d c d e a b e c d e a b e d e a b c işlemleri tanımlanıyor. Buna göre, [a b] D [(e c) d] işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) a B) b C) c D) d E) e kümesi üzerinde tanımlı bir işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır. a, b A için, fa b ( x) = (a b) + x + 1 olduğuna göre, f (2) + f (3) toplamı kaçtır? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E)

137 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Tablo İle Gösterilen İşlemler PEKİŞTİRME TESTİ A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesi üzerinde bir D işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır. D Buna göre, x D x = 4 eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 7. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesi üzerinde bir "o" işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır. o Buna göre, A kümesindeki hangi elemanın "o" işlemine göre tersi yoktur? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 6. A = {a, b, c, d, e} kümesinde bir işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır. a b c d e a d e a b c b e a b c d c a b c d e d b c d e a e c d e a b Buna göre, işleminin birim (etkisiz) elemanı aşağıdakilerden hangisidir? 8. D a b c d e a b c d e a e a b c d a c b a e d b a b c d e b e d c b a c b c d e a c b a e d c d c d e a b d d c b a e e d e a b c e a e d c b A = {a, b, c, d, e} kümesinde D" ve işlemleri yukarıdaki tablolar ile tanımlanmıştır. Buna göre, x y = (x D y) (x D y) A) a B) b C) c D) d E) e kuralıyla tanımlanan " işleminin etkisiz elemanı nedir? A) a B) b C) c D) d E) e 137

138 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Tablo İle Gösterilen İşlemler PEKİŞTİRME TESTİ A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinde "D" işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır. D Buna göre, (1 1 D 2) D 3 1 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) A = {V, A, D, İ} kümesinde bir "D" işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır. D V A D İ V V A D İ A A D İ V D D İ V A İ İ V A D Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) A kümesi "D" işlemine göre kapalıdır. B) "D" işlemi değişmelidir. C) "D" işleminin birim (etkisiz) elemanı V dir. D) A kümesinin her elemanının "D" işlemine göre tersi vardır. E) Tersi kendisine eşit olan yalnız bir eleman vardır A = {1, 2, 3, 4, 5} A = {a, b, c, d, e} kümesinde bir "D" işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır. kümesinde bir işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır D a b c d e a e a b c d b a b c d e c b c d e a d c d e a b e d e a b c Buna göre, 2 1 (3 x) = 5 eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır? Buna göre, b 1 D x 1 D c = a eşitliğini sağlayan a değeri nedir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) a B) b C) c D) d E) e 1. A 2. D 3. A 4. D 5. D 6. C 7. C 8. E 9. A 10. D 11. E 12. D 138

139 5 BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Tablo İle Gösterilen İşlemler ÖDEV TESTİ A = {a, b, c, d, e} kümesinde bir işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır. a b c d e a b c d e a b c d e a b c x e a b c d e y b c d e a b c d e işleminin kapalılık ve değişme özelliklerine sahip olduğu bilindiğine göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) x = d B) y = a C) işleminin birim (etkisiz) elemanı e dir. 3. A = {a, b, c, d, e} kümesinde bir "" işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır. a b c d e a c d e a b b d e a b c c e a b c d d a b c d e e b c d e a A kümesinde bir "o" işlemi x o y = (x 1 y) x kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre, b o c işleminin sonucu kaçtır? (x 1, x in "" işlemine göre tersidir.) A) a B) b C) c D) d E) e D) x 1 = y E) işleminin yutan elemanı a dır. 4. A = {a, b, c, d} kümesi üzerinde bir "D" işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır. 2. A = {0, 1, 2} kümesinde bir "D" işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır. D Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) A kümesi "D" işlemine göre kapalıdır. B) "D" işleminin birim (etkisiz) elemanı 0 dır. C) "D" işleminin yutan elemanı 1 dir. D) A kümesindeki her elemanın "D" işlemine göre tersi vardır. E) "D" işlemi değişmelidir. D a b c d a a b c d b b c d a c c d a b d d a b c A kümesinde ikinci bir "" işlemi, x y = x 1 D y kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre, "" işlemi için aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur? (x 1, x in "D" işlemine göre tersidir.) I. Kapalılık özelliği vardır. II. Değişme özelliği vardır. III. Birim (etkisiz) elemanı vardır. A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III 139

140 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Tablo İle Gösterilen İşlemler ÖDEV TESTİ A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesi üzerindeki bir "" işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) A kümesi "" işlemine göre kapalıdır. B) 4 (4 5) = 5 7. A = {a, b, c, d, e} kümesi üzerinde bir "D" işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır. D a b c d e a b c d e a b c d e a b c d e a b c d e a b c d e a b c d e Buna göre, (a 1 D b) 1 D (c D d) işleminin sonucu nedir? A) a B) b C) c D) d E) e C) "" işlemi değişmelidir. D) Tersi kendisine eşit olan biricik eleman 4 tür. E) Tersi 5 olan eleman 2 dir. 8. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesi üzerinde bir "D" işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır. 6. A = {a, b, c, d, e} kümesi üzerinde bir "o" işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır. D o a b c d e Buna göre, "D" işlemi için aşağıdakilerden hangisi a e a b c d yanlıştır? b a b c d e A) Birim (etkisiz) elemanı vardır. c b c d e a B) A daki her elemanın "D" işlemine göre tersi vardır. d c d e a b e d e a b c C) Kapalılık özelliği vardır. (a o x 1 ) o (c 1 o d) = e D) Değişme özelliği vardır. olduğuna göre, x nedir? E) x D x = x denkleminin çözüm kümesi 5 elemanlıdır. A) a B) b C) c D) d E) e 1. E 2. D 3. C 4. A 5. E 6. D 7. A 8. B 140

141 5 BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM KAVRAMA TESTİ 06 Bileşke Fonksiyon - Fonksiyonun Tersi Hazine 2. f: R R, f(x) = 3x + 6 g: R R, g(x) = ax + b Bileşke Fonksiyon f: A B, g: B C birer fonksiyon olsun. fonksiyonları için (fog)(x) = (gof)(x) olduğuna göre, a ile b arasındaki bağıntı nedir? A) 3a b = 6 B) 3a b = 3 C) 3a + b = 3 D) 2a b = 3 E) 3a b = 2 Bu iki fonksiyon yardımıyla A nın her x elemanını C nin g(f(x)) elemanına eşleyen yeni bir fonksiyon tanımlamış olduk. Bu fonksiyona bileşke fonksiyon denir ve gof ile gösterilir. Buna göre, (gof)(x) = g(f(x)) ile tanımlıdır. Örneğin, f: R R, g: R R f(x) = 2x + 1 g(x) = 3x 2 fonksiyonları için, 3x 2 (fog)(x) = f(g(x)) = f(3x 2) = 2(3x 2) + 1 = 6x 3 2x + 1 (gof)(x) = g(f(x)) = 3(2x + 1) 2 = 6x + 1 olur. 3. f: R + R +, f(x) = x + 1 g: R R, g(x) = x fonksiyonları için (gof)(x) aşağıdakilerden hangisidir? A) x B) x C) x 2 + 2x D) x 2 + 2x + 1 E) x 2 + 2x + 2 Hazine Uyarı f ile g iki fonksiyon olsun. Genelde fog gof tir. Bazı özel durumlarda eşitlik sağlanabilir. 1. f: R R, f(x) = 2x + 1 g: R R, g(x) = 3x 2 olduğuna göre, (fog)(x) ile (gof)(x) fonksiyonları sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir? (fog)(x) (gof)(x) A) 6x 3 6x + 1 B) 6x 6x C) 6x + 1 6x 3 D) 6x + 2 6x + 2 E) 6x 4 6x 2 Bileşke İşlemin Özellikleri Genel olarak fog gof dir. Yani "o" işleminin değişme özelliği yoktur. (fog)oh = fo(goh) olup "o" işleminin birleşme özelliği vardır. Buradan bileşke işleminde (tıpkı toplamada olduğu gibi) parantezlemenin bir önemi olmadığını görüyoruz. I: A A birim fonksiyon ve f: A A tanımlı olsun. Her x A için, (I o f)(x) = I (f(x)) = f(x) ( f o I)( x) = f( I ( x)) = f( x) x olur. O halde, I birim fonksiyonu bileşke işleminin birim (etkisiz) elemanıdır. 141

142 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Bileşke Fonksiyon - Fonksiyonun Tersi KAVRAMA TESTİ 06 Hazine Ters Fonksiyon f: A B bire bir ve örten bir fonksiyon olsun. 3x 5 7. f( 2x) = x olduğuna göre, f 1 (2) değeri kaçtır? A) 2 B) 0 C) 5 D) 7 E) 10 f 1 : B A ters bağıntısına f nin ters fonksiyonu (ya da kısaca f nin tersi) denir. Buna göre, Örneğin, y = f(x) f 1 (y) = x Hazine f(1) = 3 f 1 (3) = 1 f(0) = 5 f 1 ( 5) = 0 f(x + 1) = 2x + 3 f 1 (2x + 3) = x + 1 f nin tanım kümesi = f 1 in görüntü kümesi = A f 1 in tanım kümesi = f nin görüntü kümesi = B olduğuna dikkat ediniz. Ters Fonksiyonun Özellikleri f, bire bir ve örten bir fonksiyon olsun. (fof 1 )(x) = x (f 1 of)(x) = x (fog) 1 = g 1 of 1 (f 1 ) 1 = f 4. f(x) = 2x + a f 1 (8) = 3 olduğuna göre, a kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 8. A dan A ya tanımlı f ve g fonksiyonları bire bir ve örtendir. Buna göre, (f 1 og) 1 aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) fog 1 B) g 1 of C) fog D) gof E) gof 1 3x 1 5. f( x) = x + a f 1 (2) = 7 olduğuna göre, a kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 9. A dan A ya tanımlı f ve g fonksiyonları bire bir ve örtendir. Buna göre, fox = g eşitliğini sağlayan x fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) f 1 og B) fog C) gof D) g 1 of E) g 1 of A dan A ya tanımlı f ve g fonksiyonları bire bir ve örtendir. x 6. f( x) = 1 x + 1 olduğuna göre, f 1 (0) kaçtır? A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2 Buna göre, g 1 ox = f ve foy = g eşitliklerini sağlayan x ve y fonksiyonları için xoy aşağıdakilerden hangisidir? A) fog B) gof C) fof D) gog E) g 1 of 1 1. A 2. B 3. E 4. B 5. C 6. D 7. E 8. B 9. A 10. D 142

143 5 BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Bileşke Fonksiyon - Fonksiyonun Tersi PEKİŞTİRME TESTİ f: R R, f(x) = 2x + 5 g: R R, g(x) = x 1 fonksiyonları için (fog)(x) aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x + 3 B) 2x+ 4 C) 2x + 6 D) x + 4 E) x f: R R, f(x) = 3x + 1 g: R R, g(x) = 2x 1 fonksiyonları için (fog)(x + 2) aşağıdakilerden hangisidir? A) 6x 2 B) 6x + 10 C) 6x + 12 D) 6x + 20 E) 6x f: R R, f(x) = x g: R R, g(x) = 2 x fonksiyonları için (gof)(x) aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 x 3 B) 4 x 3 C) 5 x 3 6. f: R R, f(x) = 2x g: R R, g(x) = x 3 D) 6 x 3 E) 7 x 3 olduğuna göre, (gof)(2) kaçtır? A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2 3. f: R + R +, f(x) = x + 2 g: R R, g(x) = x 2 1 fonksiyonları için (gof)(x) aşağıdakilerden hangisidir? A) x B) x C) x 2 + 4x + 1 D) x 2 + 4x + 2 E) x 2 + 4x f: R R, f(x) = x + 7 g: R R, g(x) = x 2 1 olduğuna göre, (fog)(3) kaçtır? A) 9 B) 15 C) 49 D) 80 E) f: R R, f(x) = 2x + 2 g: R R, g(x) = x 1 fonksiyonları veriliyor. (fog)(a) = 8 olduğuna göre, a kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 8. f: R R, f(x) = 2x + 1 olduğuna göre, (fof)(1) kaçtır? A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E)

144 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Bileşke Fonksiyon - Fonksiyonun Tersi PEKİŞTİRME TESTİ f: R R, f(x) = x + 2 olduğuna göre, (fofofof)(0) kaçtır? A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) f x ( + 1) = 3x + 1 x olduğuna göre, f 1 (2) kaçtır? A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) f x 2x + 1 ( ) = x a f 1 (7) = f: R R, f(x) = 3x 2 g: R R, g(x) = x 3 1 olduğuna göre, a kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 olduğuna göre, (fogogof)(1) kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) A dan A ya tanımlı f ve g fonksiyonları bire bir ve örtendir. Buna göre, xog = f eşitliğini sağlayan x fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? 11. f(x) = x + a f 1 (3) = 2 A) g 1 of B) gof C) gof 1 D) fog 1 E) f 1 og olduğuna göre, a kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) A dan A ya tanımlı f ve g fonksiyonları bire bir ve örtendir. Buna göre, f 1 oxog = f eşitliğini sağlayan x fonksiyonu aşağıdakilerden 12. f x 2x 3 ( ) = x + 1 olduğuna göre, f 1 (1) kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 hangisidir? A) f 1 of 1 og 1 B) fofog C) g 1 D) fofog 1 E) f 1 1. A 2. C 3. E 4. D 5. B 6. D 7. B 8. C 9. B 10. E 11. B 12. D 13. C 14. C 15. D 16. D 144

145 5 BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Bileşke Fonksiyon - Fonksiyonun Tersi ÖDEV TESTİ f: R R, f(x) = x + 2 g: R {0} R, g(x) = 1 x fonksiyonları için (fog)(x) aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 x + 2 D) 2 x + 1 B) 1 2 x + C) 2 1 x + E) 1 x f( x) = x 2 2 g( x) = ( x 2x + 2) fonksiyonları için (fog)(x + 1) aşağıdakilerden hangisidir? A) x B) x C) x D) x E) x f: R R, f(x) = x + 1 g: R R +, g(x) = 2 x h: R R, h(x) = x fonksiyonları için (gofoh)(x) aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 x2 2 B) 2 x2 1 C) 2 x2 6. f: R R, f(x) = x 3 x g: R R, g(x) = 1 x 2 olduğuna göre, (fog)(2) kaçtır? A) 24 B) 27 C) 29 D) 31 E) 33 D) 2 x2 +1 E) 2 x f: R R, f(x) = 5x + 3 g: R R, g(x) = 2 3x fonksiyonları için (fog)(x) aşağıdakilerden hangisidir? A) 13 15x B) 7x + 6 C) 7 15x D) 13x + 16 E) 10x f: R R, f(x) = 2x + 1 g: R R, g(x) = 3x 2 olduğuna göre, (fogof)(3) kaçtır? A) 31 B) 33 C) 35 D) 39 E) f: R R, f(x) = x g: R R, g(x) = 2x + 3 fonksiyonları için (fog)(x + 2) aşağıdakilerden hangisidir? A) x + 2 B) x + 3 C) x + 4 D) x + 5 E) x f: R R, f(x) = 3 x 4 g: R R, g(x) = 2x + 1 olduğuna göre, (gof)( 1) kaçtır? A) 1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 145

146 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Bileşke Fonksiyon - Fonksiyonun Tersi ÖDEV TESTİ f: R R, f(x) = 2x + 1 g: R R, g(x) = x + a fonksiyonları için (fog)(x) = (gof)(x) olduğuna göre, a kaçtır? 13. f x 2x 1 ( 3) = x + 1 olduğuna göre, f 1 (1) kaçtır? A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2 A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) f doğrusal bir fonksiyondur. f(1) = 3 f 1 (2) = f: R R, f(x) = 2x + 1 fonksiyonları için (fof)(a) = a eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır? olduğuna göre, f(9) kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 A) 2 B) 3 2 C) 1 D) 1 2 E) A dan A ya tanımlı f ve g fonksiyonları bire bir ve örtendir. Buna göre, x 1 of = g eşitliğini sağlayan x fonksiyonu aşağıdakilerden 11. f: R R, f(x) = x + 3 g: R R, g(x) = 3x 1 olduğuna göre, (fogofogof)( 2) kaçtır? hangisidir? A) fog B) gof C) f 1 og D) g 1 of E) fog 1 A) 31 B) 18 C) 1 D) 12 E) A dan A ya tanımlı f ve g fonksiyonları bire bir ve örtendir. I birim fonksiyon olmak üzere, goxof = I 12. f(x) = 3x + 5 eşitliğini sağlayan x fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? olduğuna göre, f 1 ( 1) kaçtır? A) fog B) gof C) f 1 og 1 A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2 D) g 1 of 1 E) g 1 of 1. B 2. E 3. A 4. C 5. D 6. A 7. D 8. E 9. C 10. C 11. E 12. A 13. B 14. B 15. E 16. D 146

147 5 BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM KAVRAMA TESTİ 07 Bileşke Fonksiyon ve Ters Fonksiyon Uygulamaları Hazine Doğrusal Fonksiyonun Tersi a, b R ve a 0 olmak üzere, dır. Örneğin, 1 x b f( x) = ax + b f ( x) = a 1 x 1 f( x) = 2x + 1 f ( x) = 2 1 f( x) = x + 1 f ( x) = x 1 x 3 3 x f( x) = 3 2x f( x) = = f(x) = 3x 1 fonksiyonu için f(x) + f 1 (x) aşağıdakilerden hangisidir? A) x D) 5 x B) 4 x 3 E) 9 x C) 10 x 2 3 4x 2. f( x) = 5x 1 fonksiyonunun tersi olan fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir? x A) f 1 x = 4 1 x ( ) B) f ( x) = 5x + 4 5x x C) f x = 1 x ( ) D) f ( x) = 5x x 1 x E) f ( x) = 5x f( x) = x 2 fonksiyonunun tersi olan fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir? 1 1 A) f ( x) = B) f 1 x ( x) = 2 x 5 5 x 1 2x + 5 C) f ( x) = D) f 1 x + ( x) = 2 5 x x 2 1 x E) f ( x) = 5 x Hazine ax + b f( x) = cx + d fonksiyonu, Hazine a x + b 1 dx b f( x) = f ( x) = + cx + d cx a Örneğin, 2 x 1 1 4x 1 f( x) = f ( x) = 3x 4 3x 2 d a f : R R c c Paydayı sıfır yapan değer x li terimlerin katsayılarının oranı 2x + 1 ye tanımlıdır. Örneğin, f( x) = 3x 1 fonksiyonunda, paydayı sıfır yapan değer, 1 3x 1= 0 x = 3 olduğunun f nin tanım kümesi R 1 ve x li terim- 3 x x x f( x) = = f ( x) = = 3x 3x + 0 3x 1 3x x x x f( x) = = f ( x) = + 2 x x x = x lerin katsayıları oranı 2 olduğundan görüntü kümesi 3 R 2 tür. Buna göre, f fonksiyonu R 1 kümesinden R 2 kümesine tanımlıdır

148 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Bileşke Fonksiyon ve Ters Fonksiyon Uygulamaları KAVRAMA TESTİ f: R {2} R {3} ax + 1 f( x) = 2x b fonksiyonu veriliyor. Buna göre, f(3) kaçtır? 6. f(2x 1) = 6x + 1 olduğuna göre, f(x) fonksiyonu nedir? A) x 1 3 B) 3x + 1 C) 3x + 2 D) 3x + 3 E) 3x + 4 A) 8 B) 17 2 C) 9 D) 19 2 E) f: R {3} R {1} 3x + 1 f( x) = ax + b fonksiyonu veriliyor. 3x f( x + 2) = x 2 olduğuna göre, f(x) fonksiyonu nedir? A) 3x 15 x D) 3 x + 7 x + 4 B) 3 x 5 x 4 C) E) 4 x + 2 x 2 x 5 3x + 4 Buna göre, f(2) kaçtır? A) 4 B) 7 C) 3 D) Hazine E) 2 8. f x x 1 = x + 2 x + 3 olduğuna göre, f(x) fonksiyonu nedir? A) x 3 B) 3x 1 C) 1 3x x + 2 D) 1 3 x E) 1 3 x 4x x 3 f(ax + b) den f(x) i Bulma a, b gerçek sayılar ve a 0 olmak üzere, 9. f(x) = 3x + 5 f(ax + b) = g(x) ifadesinden f(x) i bulmak istiyorsak, verilen ifadede x yerine ax + b nin tersi olan x b yı yazarız. a Örneğin, f(2x 3) = 4x + 1 olsun ve f(x) i bulalım. f fonksiyonunda x yerine (2x 3) ün tersi olan x yazalım. 2 x + 3 x 3 f = f( x) = 2x (gof)(x) = 6x 1 olduğuna göre, g(x) fonksiyonu nedir? A) 2x + 1 B) 2x C) x 5 D) 2x 5 E) 2x x + 1 ( gof )( x) = x 2 f( x) = x + 2 f( x) = 2x + 7 Daha genel olarak, (fog)(x) = f(g(x)) ifadesinden f(x) i bulmak istiyorsak, verilen ifadede x yerine g(x) in tersi olan g 1 (x) i yazarız. olduğuna göre, g(x) fonksiyonu nedir? A) x 3 x 2 D) x 2 x B) 2x x + 2 E) x 3 x C) x + 3 x 1. C 2. C 3. C 4. D 5. D 6. E 7. B 8. E 9. E 10. C 148

149 5 BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Bileşke Fonksiyon ve Ters Fonksiyon Uygulamaları PEKİŞTİRME TESTİ f(x) = 3x 2 fonksiyonunun tersi olan fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir? A) x B) x 2 3 D) 2x + 3 E) 3x + 2 C) 2x 3 5. f( x) = 1 x fonksiyonunun tersi olan fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir? A) x B) x C) 1 x D) 1 E) x + 1 x 2. f(x) = 1 x fonksiyonunun tersi olan fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir? A) x 1 B) x + 1 C) 1 x D) 1 1 x E) x 6. f : R { 3} R { 2} 2x + 1 f( x) = ax + b fonksiyonu veriliyor. Buna göre, f(a + b) kaçtır? A) 7 B) 6 C) 1 D) E) Bir sayıyı 5 katının 1 eksiğine eşleyen fonksiyon f(x), f(x) in tersi olan fonksiyon f 1 (x) ile gösterildiğine göre, f(x) f 1 (x) aşağıdakilerden hangisidir? A) 28 x 8 5 D) 12 x 6 5 B) 24 x 6 5 E) 9 x 6 5 C) 17 x 7 5 ax + b 7. f( x) = x 1 fonksiyonunun ters fonksiyonu kendisine eşittir. Buna göre, a kaçtır? A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2 4. f(2x 1) = 4x 2 olduğuna göre, f 1 (x) nedir? A) x B) x C) 2x D) 3x E) 4x 3 2 ax f( x) = bx + 2 fonksiyonu için (fof)(x) = x olduğuna göre, a kaçtır? A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2 149

150 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Bileşke Fonksiyon ve Ters Fonksiyon Uygulamaları PEKİŞTİRME TESTİ f 2x + 1 = x + 1 x + 3 olduğuna göre, f(x) nedir? A) 2 x + 1 B) 2 x + 1 x 2 2 x D) 2 x 3 2 x C) 2 x 3 x 2 E) 2 x + 1 x (fog 1 )(x) = 3x 11 f(x) = x + 2 olduğuna göre, g(x) nedir? A) x D) x B) x x E) 3x 13 C) 3x A = {1, 2, 3} kümesinden B = {3, 4, 5} kümesine tanımlı aşağıdaki fonksiyonlardan hangilerinin tersi de bir fonksiyondur? f = {(1, 3), (2, 5), (3, 4)} g = {(1, 3), (2, 4), (3, 3)} h = {(3, 3), (2, 4), (1, 4)} 14. (f 1 og)(x) = 3x 6 f(x) = 4x + 2 olduğuna göre, g(x) nedir? A) 3 x 8 4 B) 4 x 10 3 C) 4 x A) Yalnız f B) Yalnız g C) Yalnız h D) 12x 24 E) 12x 22 D) g ve h E) f ve g 11. (fog)(x) = 3x + 4 f(x) = 2x 1 olduğuna göre, g(x) nedir? 15. (fofog)(x) = 3x 1 f(x) = 2x + 3 olduğuna göre, g(x) nedir? A) x B) x 4 3 C) 3 x A) 2 x B) 3 x 10 4 C) 3 x 3 2 D) 2 x 3 2 E) 4 x D) E) 6x (fog)(x) = 2x 3 g(x) = 4x + 1 olduğuna göre, f(x) nedir? A) 8x 1 B) x D) x 7 2 E) x 4 3 C) 2x (fog 1 )(2) = 4 f(3) = 4 olduğuna göre, g(3) kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 1. A 2. C 3. B 4. B 5. D 6. E 7. D 8. A 9. B 10. A 11. C 12. D 13. A 14. E 15. B 16. C 150

151 5 BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Bileşke Fonksiyon ve Ters Fonksiyon Uygulamaları ÖDEV TESTİ x + 1 f( x) = 2 fonksiyonunun tersi olan fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 x 1 2 D) 3 x B) 2 x E) x C) 2 x f : R { a} R { b} 3x 1 f( x) = 2 x olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 6 2. f(x) doğrusal bir fonksiyondur. f(1) = 3 f 1 (4) = 2 6. A = {1, 2, 3} kümesinden B = {a, b, c} kümesine tanımlı fonksiyonlardan kaç tanesinin tersi de bir fonksiyondur? A) 1 B) 3 C) 4 D) 6 E) 9 3. olduğuna göre, f 1 (x) nedir? A) x + 2 B) x + 1 C) x D) x 1 E) x 2 y = f(x) bir doğrusal fonksiyon Alan( AOB) = 2 2 br f( x) = f 1 ( x) Yukarıdaki verilere göre, f(3) kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 7. A = {a, b, c} kümesinden B = {1, 2, 3} kümesine tanımlı aşağıdaki fonksiyonlardan hangilerinin tersi de bir fonksiyondur? f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3)} g = {(a, 2), (b, 3), (c, 1)} h = {(a, 1), (b, 3), (c, 3)} A) Yalnız f B) Yalnız g C) Yalnız h D) f ve h E) f ve g 4. f 1 2x + 1 = x + 1 x 3 3x f( x) = 2 g( x) = 2x + 1 olduğuna göre, f(x) nedir? x + 1 A) B) 2x + 1 x + 1 D) 4x 1 x 2 2x + 2 C) x 2 4x 1 E) x 2 2x + 1 olduğuna göre, (fog 1 )(x) nedir? A) x 4 D) x 4 B) 5 3 x 4 E) 6 5 x 3 C) 5 4 x 4 151

152 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Bileşke Fonksiyon ve Ters Fonksiyon Uygulamaları ÖDEV TESTİ f(x) = 2x 1 (gof)(x) = 4x 2 6x + 3 olduğuna göre, g(x) nedir? A) x 2 + x B) x 2 x + 1 C) x 2 + x 1 D) x 2 x 13. f(x) = x + 3 g(x) = x + 1 (f 1 og)(a) = 4 olduğuna göre, a kaçtır? A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8 E) x 2 x f(x) = 2x + 3 (gof)(x) = 6x + 4 olduğuna göre, f(x) in g(x) cinsinden eşiti nedir? A) 2 g ( x ) + 19 B) 2 g ( x ) C) 3 g ( x ) + 7 D) 3 g ( x ) E) 4 g ( x ) x 14. ( f og)( x) = 2 f( 3x 5) = 6x 9 olduğuna göre, g(3) kaçtır? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) g(x) = 3x 4 (fog 1 ) 1 (x) = 6x + 2 olduğuna göre, f 1 (x) nedir? A) 2x 2 B) 2x 1 C) 2x 1 2x ( g of)( x) = x 1 olduğuna göre, (f 1 og)(3) kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 D) 2x + 1 E) 2x f(x) = 2x (fog 1 )(3) = 8 (fog)(x) = 4x + 4 olduğuna göre, g(1) kaçtır? f(4) = 8 olduğuna göre, g(4) kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8 1. C 2. E 3. A 4. C 5. A 6. D 7. E 8. B 9. B 10. A 11. E 12. C 13. D 14. B 15. E 16. B 152

153 5 BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM KAVRAMA TESTİ 08 Fonksiyonlarda Dört İşlem ve Permütasyon Fonksiyonu Hazine 2. f(x) = x 2 g(x) = 5 x Fonksiyonlarda Toplama, Çıkarma, Çarpma, Bölme f: A B g: C D iki fonksiyon ve A C olsun. x A C için, (f + g)(x) = f(x) + g(x) (Toplam fonksiyonu) (f g)(x) = f(x) g(x) (Fark fonksiyonu) (f g)(x) = f(x) g(x) (Çarpım fonksiyonu) f g x f( x) ( ) =, g(x) 0 (Bölüm fonksiyonu) g( x) olarak tanımlanırlar. h(x) = x x 2 fonksiyonları veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri sabit fonksiyondur? I. f + g + h II. f + g h III. f g h A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III Örneğin, f(x) = 2x + 1 ve g(x) = x 1 fonksiyonları için, (f + g)(x) = (2x + 1) + (x 1) = 3x (f g)(x) = (2x + 1) (x 1) = x + 2 (f g)(x) = (2x + 1) (x 1) = 2x 2 2x + x 1 = 2x 2 x 1 f g x x ( ) = olur x 1. Bunların dışında, k sabit bir gerçek sayı olmak üzere, k f fonksiyonu, (k f)(x) = k f(x) olarak tanımlıdır. Örneğin, f(x) = 2x + 1 fonksiyonu için, (5f)(x) = 5 f(x) = 5(2x + 1) = 10x f = {(1, 2), (2, 1), (3, 4), (4, 0)} g = {(1, 3), (3, 5), (5, 2), (7, 9)} fonksiyonları veriliyor. Buna göre, (f + g) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) {(1, 3), (3, 5)} B) {(1, 2), (1, 3), (3, 4), (3, 5)} C) {(1, 5), (3, 9)} D) {(2, 5), (6, 9)} E) {(1, 3)} olur. 1. y = f(x) = 3x 1 y = g(x) = x + 1 fonksiyonları için aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur? I. (f + g)(x) = 2x II. (f g)(x) = 3x x 1 f + 2g III. ( x) = 1 g A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III 4. f = {( 2, 1), ( 1, 0), (0, 1), (1, 3), (2, 4)} g = {( 3, 0), ( 2, 2), (0, 2), (1, 1), (3, 5)} fonksiyonları veriliyor. Buna göre, (f g) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) {(6, 0), (2, 0), (0, 2), (1, 3), (6, 20} B) {( 3, 0), (3, 5)} C) {(4, 2), (0, 2), (1, 3)} D) {( 2, 2), (0, 0), (1, 3)} E) {( 2, 2), (0, 2), (1, 3)} 153

154 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Fonksiyonlarda Dört İşlem ve Permütasyon Fonksiyonu KAVRAMA TESTİ 08 Hazine Hazine Permütasyon Fonksiyonu Boştan farklı ve sonlu bir A kümesi verilsin. A dan A ya tanımlanan bire bir ve örten her fonksiyona A da bir permütasyon fonksiyonu denir. Örneğin, A = {1, 2, 3} kümesi üzerinde f: A A fonksiyonu, f = {(1, 2), (2, 3), (3, 1)} permütasyon fonksiyonudur. Permütasyon fonksiyonunun bir başka gösterimi de şöyledir. f = Burada birinci satır x bağımsız değişkenini, ikinci satır bu x e bağlı y = f(x) değişkenini anlatır. f(1) = 2 f = f(2) = f(3) = 1 a b c d f = b c d a olsun. Okların yönünü ters çevirerek f 1 fonksiyonunu buluruz. Buna göre, olur. a b c d f = 1 d a b c 6. f = permütasyon fonksiyonunun tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) C) E) B) D) A = {1, 2, 3} kümesinde tanımlı, f = g = permütasyon fonksiyonları için fog ile gof aşağıdakilerden hangisidir? fog gof 7. A = {1, 2, 3, 4} kümesinde tanımlı f ve g fonksiyonları için, f = A) gof = B) olduğuna göre, g fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? C) A) B) D) C) D) E) E) A 2. A 3. C 4. E 5. B 6. D 7. B 154

155 5 BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Fonksiyonlarda Dört İşlem ve Permütasyon Fonksiyonu PEKİŞTİRME TESTİ f = {(1, 2), (3, -1), (4, 7), (5, 1)} g = {(1, 0), (2, 3), (3, 4)} olduğuna göre, (f g) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) {(1, 2), (3, 5)} B) {(0, 2), (1, 4), (1, 3), (5, 1)} C) {(1, 2), (3, 5)} D) {(1, 2), (4, 7), (5, 1)} E) {(1, 2), (1, 4), (3, 5)} 4. f = {(1, 2), (2, 3), (3, 1)} fonksiyonu veriliyor. (f g) fonksiyonu sabit bir fonksiyon olduğuna göre, g fonksiyonu aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) {(1, 2), (2, 3), (3, 1)} B) (1, 3), (2, 2), (3, 6)} C) (1, 0), (2, 0), (3, 2)} D) {(1, 1), (2, 2)} E) (1, 1), (2, 2), (3, 3)} 5. A = {1, 2, 3, 4} kümesinde tanımlı f ve g fonksiyonları için, 2. f( x) = 3x 2 g( x) = x + 1 f + g h ( x) = x + 2 h olduğuna göre, h(x) nedir? A) 4 x 1 x 1 D) 4 x 1 x + 3 B) 4 x 1 x A = {1, 2, 3, 4} kümesinde tanımlı, E) 4 x 1 x + 4 C) 4 x 1 x + 2 f = fog = olduğuna göre, g fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) f = A = {a, b, c, d} kümesinde tanımlı, a b c d a b c d f = g = fonksiyonu için fof fonksiyonu aşağıdakilerden d c a b b a d c hangisidir? fonksiyonları için fox = g eşitliğini sağlayan x A) B) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) a b c d B) a b c d C) D) a b c d b a c d C) a b c d D) a b c d d c b a a d c b E) E) a b c d d c a b 1. C 2. D 3. A 4. B 5. D 6. E 155

156 5 BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Fonksiyonlarda Dört İşlem ve Permütasyon Fonksiyonu ÖDEV TESTİ f(x) = x 2 1 g(x) = 2x + 1 olduğuna göre, (f g + f g)(2) kaçtır? A) 13 B) 15 C) 17 D) 21 E) f(x) = x g(x) = 2x 1 fonksiyonları veriliyor. (f + g h)(x + 1) = x 2 olduğuna göre, h(x) nedir? 2. f(x) = x fonksiyonu veriliyor. 2x + 3 2x + 2 2x A) B) C) 2x + 2 2x + 1 2x 1 2x 1 2x 2 D) E) 2x 2 2x 3 (f g) fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre, g fonksiyonu aşağıdakilerden hangisi olabilir? 1 A) 2 x + 1 B) 1 1,, 2, 2, 3, C) x 2 1 D) (1, 0), (2, 0), (3, 0)} E) x A = {1, 2, 3, 4} kümesinde tanımlı, f = g = fonksiyonları veriliyor. (fohog)(x) = x eşitliğini sağlayan h fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) A = {1, 2, 3, 4} kümesinde tanımlı, f = fonksiyonu için (fofof) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) A = {1, 2, 3, 4} kümesinde tanımlı bir f fonksiyonu, her x A için, (fof)(x) = x eşitliğini sağlamaktadır. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi f fonksiyonu olamaz? A) B) C) D) E) A 2. B 3. C 4. C 5. E 6. E 156

157 5 BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM KAVRAMA TESTİ 09 Fonksiyon Grafiklerini Okuma Hazine 3. Grafik Nasıl Okunur? Dik koordinat sisteminde, bir y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiş olsun. Eğer, f nin grafiği (a, b) noktasından geçiyor ise, dir. Örneğin, f(a) = b Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir. Buna göre, (fof)(0) + f 1 ( 1) toplamı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Yukarıdaki şekilde y = f 1 (x) fonksiyonunun grafiği Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir. Buna göre, f( 4) + f(0) + f(2) kaçtır? gösterilmiştir. Buna göre, f(5) + f 1 (0) kaçtır? A) 4 B) 2 C) 1 D) 0 E) 2 A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, f( 2) + f(1) + f(4) kaçtır? A) 2 B) 1 C) 1 D) 2 E) 3 Yukarıdaki şekilde y = f(2x 1) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir. Buna göre, f( 7) + f(5) kaçtır? A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2 157

158 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Fonksiyon Grafiklerini Okuma KAVRAMA TESTİ Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir. Buna göre, f[f(k 1)] = 1 eşitliğini sağlayan k değerlerinin toplamı kaçtır? Hazine Dik koordinat sisteminde bir y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiş olsun. O zaman, y = f(x) in grafiğinin y = x doğrusuna (yani I. açıortay doğrusuna) göre simetriği, y= f 1 (x) fonksiyonunun grafiğidir. 7. A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 Farklı bir deyişle, y = f(x) in grafiği ile y = f 1 (x) in grafiği y = x doğrusuna göre simetriktir. 9. Yandaki şekilde, y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Yukarıdaki şekilde f: [0, 6] [0, 5], y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir. Buna göre, y = f 1 (x) in grafiği aşağıdakilerden Buna göre, f(x) = x eşitliğini sağlayan kaç deği- hangisidir? şik x değeri vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 8. Yukarıdaki şekilde y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. Buna göre, (f 1 og)(2) + (fog)(0) toplamı kaçtır? A) 0 B) 2 C) 3 D) 5 E) 8 1. B 2. A 3. D 4. D 5. C 6. E 7. D 8. B 9. A 158

159 5 BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Fonksiyon Grafiklerini Okuma PEKİŞTİRME TESTİ Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir. Buna göre, f( 2) + f(0) + f(1) + f(4) değeri kaçtır? A) 3 B) 2 C) 0 D) 2 E) 5 Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir. Buna göre, y = 2f(x) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? 2. Yukarıdaki şekilde f: [ 7, 4] R, y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir. Buna göre, f(x) = 0 denkleminin kaç farklı kökü vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Yukarıdaki şekilde f: [ 4, 6] R, y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir. Buna göre, (fof)(5) değeri kaçtır? A) 4 B) 3 C) 1 D) 2 E) 6 Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir. Buna göre, f(k + 1) = f( 3) eşitliğini sağlayan kaç değişik k değeri vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 159

160 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Fonksiyon Grafiklerini Okuma PEKİŞTİRME TESTİ Yukarıdaki şekilde f: [ 3, 1] [ 3, 1], y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir. Buna göre, y = f 1 (x) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? Yukarıdaki şekilde y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarının grafikleri gösterilmiştir. Buna göre, (gof 1 )(4) + (fog)(5) değeri kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 7 E) 9 9. Yukarıdaki şekilde y = f(x) ve y = g(x 2) fonksiyonlarının grafikleri gösterilmiştir. Buna göre, (fog 1 )(5) + (gof)( 2) değeri kaçtır? A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) Yukarıdaki şekilde f: [ 3, 3] R, y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir. Buna göre, (fof)(2k 1) = 5 eşitliğini sağlayan k değerlerinin toplamı kaçtır? Yukarıdaki şekilde y = f(x + 2) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir. Buna göre, (fofof)(3) değeri kaçtır? A) 1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 1. D 2. C 3. B 4. C 5. C 6. B 7. C 8. E 9. C 10. A 160

161 5 BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Fonksiyon Grafiklerini Okuma ÖDEV TESTİ Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir. Buna göre, f( 6) + f(0) + f(2) toplamı kaçtır? A) 3 B) 1 C) 0 D) 2 E) 4 Yukarıdaki şekilde y = x + f(x 2) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir. Buna göre, f( 4) + f(2) kaçtır? A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir. Yukarıdaki şekilde, y = f 1 (x) fonksiyonunun grafiği Buna göre, f[f(k + 1)] = 3 eşitliğini sağlayan k gösterilmiştir. değerlerinin toplamı kaçtır? Buna göre, f( 2) + f(0) + f(3) kaçtır? A) 1 B) 1 C) 2 D) 4 E) 5 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir. Buna göre, f(x) = x eşitliğini sağlayan kaç değişik x değeri vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Yukarıdaki şekilde, y = f 1 (x 1) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir. Buna göre, f(3) kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 161

162 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM Fonksiyon Grafiklerini Okuma ÖDEV TESTİ Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir. Buna göre, f( 2) + f(2) değeri kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Yukarıdaki şekilde f: R + {0} R + {0} olmak üzere, y = (fof)(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir. Buna göre, y = f(x) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? 8. Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği gös- terilmiştir. Buna göre, f(k) = 1 eşitliğini sağlayan kaç değişik k gerçek sayısı vardır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) Yukarıdaki şekilde y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarının grafikleri gösterilmiştir. Yukarıdaki şekilde y = f 1 (x 1) fonksiyonunun grafiği Buna göre, f(x) = g(x) denkleminin kaç farklı kökü gösterilmiştir. vardır? Buna göre, f(0) + f(1) değeri kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 3 B) 1 C) 0 D) 1 E) 3 1. B 2. B 3. E 4. D 5. E 6. C 7. B 8. C 9. D 10. A 11. A 162

163 5 BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM BÖLÜM TESTİ A = {1, 2, 3, 4} B = {a, b, c} olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi A dan B ye bir fonksiyondur? A) f 1 = {(1, a), (3, c), (4, a)} B) f 2 = {(4, c), (3, a), (1, b), (3, c), (2, a)} C) f 3 = {(1, a), (2, b), (4, a), (3, c)} 5. f: R R f(x) = 3 x+2 olduğuna göre, f(2x) in f(x) cinsinden ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 f(x) B) 9 f(x) C) f( x) 3 D) f 2 ( x ) E) f( x) 9 9 D) f 4 = {(1, a), (4, a)} E) f 5 = {(3, a), (2, b), (1, b)} 6. f(x 2 + x) = 2x 2 + 2x + 1 olduğuna göre, f( 3) kaçtır? 2. f: R R A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 f(2x 1) = 5x + 2 fonksiyonuna göre, f(1) + f(5) kaçtır? A) 17 B) 24 C) 30 D) 37 E) f: R R f(x) = x 2 10x f 1 3x + 1 = x x olduğuna göre, f(x) aşağıdakilerden hangisidir? A) x + 1 B) x 3 C) x + 3 olduğuna göre, f(x + 5) in değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) x 2 5 B) x 2 C) x D) x E) x 2 10 D) x 1 E) 3x f : R { 2} R { 1} ax 1 f( x) = 2x + b olduğuna göre, a b çarpımı kaçtır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) f : R R f( x) = x f( x 1) 4 f( 4) = 35 olduğuna göre, f(7) kaçtır? A) 8 B) 12 C) 24 D) 36 E)

164 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM BÖLÜM TESTİ Tam sayılar kümesinde tanımlı "D" işlemi, x D y = x 2 y 2 kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre, 3 D 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B) 3 C) 4 D) 5 E) K = {2, 4, 6, 8, 9} kümesinde, p * q = p ve q dan büyük olmayanı işlemi tanımlanmıştır. Buna göre, (2 * 6) * (4 * 8) işleminin sonucu kaçtır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) Pozitif gerçek sayılar kümesinde tanımlı "o" işlemi, a o b = a b + b a + 1 koşuluyla tanımlanıyor. Buna göre, (2 o 1) o (1 o 1) nin değeri kaçtır? A) 140 B) 141 C) 145 D) 146 E) Gerçek sayılar kümesinde tanımlanan "" işlemi, x y = x xy + y olarak tanımlanmıştır. Buna göre, (x 1) (y + 1) işleminin sonucu nedir? A) 2x xy + 1 B) 2x + xy + 1 C) 2y xy + 1 D) 2y + xy + 1 E) 2x + xy + 2y 11. Tam sayılar kümesinde tanımlı " " işlemi, x y = x + 2y + 4 şeklinde tanımlanıyor. a 2 = 4 ( 2) olduğuna göre, a kaçtır? A) 8 B) 6 C) 4 D) 2 E) Gerçek sayılar kümesinde tanımlanan "D" işlemi, 2 x D 5 y = 5x + 2y 10 olarak tanımlanmıştır. Buna göre, 8 D 125 işleminin sonucu kaçtır? A) 0 B) 6 C) 8 D) 11 E) Pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı "o, D" işlemleri, x o y = EBOB(x, y) x D y = EKOK(x, y) şeklinde tanımlanıyor. Buna göre, (3 o 15) D (4 o 18) işleminin sonucu 16. R 2 de tanımlı "o" işlemi, (a, b) o (c, d) = (ab bc, ac + bd) olarak tanımlanıyor. Buna göre, ( 1, 3) o (2, 3) işleminin sonucu kaçtır? kaçtır? A) ( 9, 7) B) (7, 9) C) ( 7, 9) A) 2 B) 6 C) 15 D) 24 E) 36 D) ( 3, 7) E) ( 3, 7) 1. C 2. B 3. C 4. D 5. D 6. A 7. B 8. C 9. D 10. D 11. C 12. B 13. A 14. C 15. D 16. A 164

165 5 BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM BÖLÜM TESTİ Gerçek sayılar kümesinde "D" işlemi, 2a b + 1, a > b + 1 a b = a + b 2, a b + 1 olarak tanımlanmıştır. Buna göre, (3 D 2) D (2 D ( 1)) işleminin sonucu kaçtır? 5. Gerçek sayılar kümesinde "" işlemi, a b = a ab + b olarak tanımlanmıştır. Buna göre, 2 nin tersi kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) Gerçek sayılar kümesinde "D" işlemi, 2. Gerçek sayılar kümesinde "o" işlemi, x o y = x 3y 2 (y o x) olarak tanımlanıyor. x D y = 2x + 2y + xy + 2 olarak tanımlanmıştır. Buna göre, 2 1 D 1 işleminin sonucu kaçtır? Buna göre, 2 o 1 işleminin sonucu kaçtır? A) 9 4 B) 1 4 C) 5 4 D) 3 4 E) 9 4 A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 1 3. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinde "" işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır Buna göre, (1 2) (3 4) kaçtır? 7. A = {2, 4, 8, 12, 24} kümesinde "" işlemi, x y = {x ile y nin en büyük ortak böleni} olarak tanımlanıyor. Buna göre, "" işleminin birim (etkisiz) elemanı nedir? A) 2 B) 4 C) 8 D) 12 E) 24 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 4. Tam sayılar kümesinde tanımlı "" işlemi, x y = x + y + 2 olarak tanımlanıyor. Buna göre, "" işleminin birim (etkisiz) elemanı nedir? A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2 8. Gerçek sayılar kümesinde "D" işlemi, (2a b) D ( a + 2b) = a + b olarak tanımlanmıştır. Buna göre, 7 D 3 işleminin sonucu kaçtır? A) 7 B) 9 C) 10 D) 12 E)

166 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM BÖLÜM TESTİ f(x) doğrusal bir fonksiyondur. f(2) = 6 f(4) = 10 olduğuna göre, f(0) kaçtır? A) 0 B) 2 C) 3 D) 4 E) f x 4x 1 ( ) = 3x + k fonksiyonu için, f(x) = f 1 (x) olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) f: R R (gof)(x) = f(x) + 10 olduğuna göre, g( 5) kaçtır? A) 10 B) 5 C) 0 D) 5 E) f x 6x + m ( ) = x + 1 fonksiyonu sabit fonksiyondur. Buna göre, m + f(m) kaçtır? A) 12 B) 10 C) 8 D) 6 E) f : R R 4x 1 f( x) = 2 olduğuna göre, f 1 (x) aşağıdakilerden hangisidir? A) x D) 2 x B) x 4 2 E) 4x + 2 C) 2 x Yukarıdaki şekilde y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. Buna göre, (fog)(12) kaçtır? A) 4 B) 3 C) 2 D) 0 E) Tam sayılar kümesinde tanımlı bir f fonksiyonu için, f(x + 2) f(x + 1) = 2 m! 16. f( m, n) = ( m n)! eşitliği sağlanmaktadır. f(2) = 2 olduğuna göre, f(19) kaçtır? olduğuna göre, f(k + 2, k) = 60 olduğuna göre, k kaçtır? A) 36 B) 38 C) 40 D) 42 E) 44 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 1. C 2. B 3. C 4. A 5. B 6. C 7. E 8. C 9. B 10. D 11. D 12. A 13. D 14. A 15. D 16. C 166

167 5 BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM BÖLÜM TESTİ f: A B A = { 2, 0, 1, 4} olmak üzere, f(x) = 2x fonksiyonuna göre, B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? 5. f(x) = (m 4)x 2 + (n 2)x + m + n + k + 1 fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre, f(m) + f(n) + f(k) kaçtır? A) 2 B) 1 C) 1 D) 2 E) 4 A) {2, 4, 10, 34} B) { 2, 4, 10, 43} C) {4, 10, 34, 44} D) {0, 2, 8, 32} E) {2, 3, 6, 18} 6. f(x) doğrusal bir fonksiyondur. 2. Bir f fonksiyonu, "Her bir tam sayıyı kendisi ile karesinin toplamına götürüyor." şeklinde tanımlanmıştır. Bu fonksiyonu aşağıdaki seçeneklerden hangisinde doğru olarak verilmiştir? 2 f(x) + f(x + 1) = 6x + 8 eşitliğine göre, f( 1) kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) 8 A) f(x) = x 2 B) f(x) = x 2 + x C) f(x) = x 2 x D) f(x) = x E) f(x) = x f : R R 3. Aşağıda verilen fonksiyonlardan hangisinin tanım kümesi pozitif gerçek sayılar kümesidir? A) 2 x 2 B) 2 4 x D) x E) 1 x + 1 C) x + 1 x 2ax + 3 f( x) = f = 1 4 olduğuna göre, a kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 4. A = {x x, bir basamaklı asal sayılar} B = [x x, 2 nin katı olan rakamlar} olduğuna göre, A dan B ye kaç farklı fonksiyon tanımlanabilir? A) 4 5 B) 4 4 C) 5 4 D) 5 5 E) f x + 1 x = 2 x 2 x + 1 olduğuna göre, f(x) in kuralı aşağıdakilerden hangisidir? A) x B) x C) 1 x 1 D) E) x + 1 x 2 167

168 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM BÖLÜM TESTİ Gerçek sayılar kümesinde tanımlı ve değişmeli "D" işlemi, a D b = 2a b 4(b D a) şeklinde tanımlanmıştır. Buna göre, 5 1 D nin değeri kaçtır? 2 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Gerçek sayılar kümesinde tanımlı, a b = a + ab + b işlemine göre, tersi kendisine eşit olan elemanların toplamı kaçtır? A) 4 B) 2 C) 0 D) 2 E) Rasyonel sayılar kümesinde tanımlanan, x 8 y ο = 2x 3 y 4 işlemine göre, 1 o 8 işleminin değeri kaçtır? A) 0 B) 5 4 C) 11 4 D) 13 4 E) Gerçek sayılar kümesinde tanımlı, 5 xdy = x 3 2y işlemine göre, 3 D 1 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı "" ve " " işlemleri, a b = a b b a a b = a 2 ab + b 2 şeklinde tanımlanıyor. m (3 1) = 4 olduğuna göre, m kaçtır? 15. Tam sayılar kümesinde tanımlanan, (x 2) D (y + 2) = x y + 2 işlemine göre, x D y nin eşiti nedir? A) 2y + xy 2x 2 B) x + xy y 2 C) 2y 2x 2 D) xy 2x 2 y E) 2x + xy + 2y + 2 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Gerçek sayılar kümesinde "o" işlemi, x o y = x + xy + y şeklinde tanımlanmıştır. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Değişmelidir. B) Birim elemanı 0 dır. C) Yutan elemanı 1 dir. D) Kapalıdır. E) Her elemanın tersi vardır. 16. o a b c d e a b c d e a b c d e a b c d e a b c d e a b c d e a b c d e Yukarıda işlem tablosu verilen "o" işlemine göre, (a 1 o b) o (c o d) 1 işleminin sonucu kaçtır? A) a B) b C) c D) d E) e 1. A 2. B 3. C 4. C 5. B 6. A 7. E 8. C 9. A 10. E 11. B 12. E 13. B 14. B 15. A 16. D 168

169 5 BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM BÖLÜM TESTİ Gerçek sayılar kümesinde " " işlemi, x y = 4x + my + 4xy + 3 şeklinde tanımlanıyor. Buna göre, " " işlemi birimli olduğuna göre, m kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 5. Gerçek sayılar kümesinde "" ve "*" işlemleri, a b = 2a 4b + 2 (a * b) a * b = a b + a + b şeklinde tanımlanıyor. Buna göre, 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 4 B) 0 C) 2 D) 4 E) 8 2. Gerçek sayılar kümesinde "D" işlemi, x D y = 2x + 2y + xy + 2 şeklinde tanımlanıyor. Buna göre, 2 1 D 3 işleminin sonucu kaçtır? 6. Gerçek sayılar kümesinde "a" işlemi, y 2 2 α x = ( x y) ( x + xy + y ) şeklinde tanımlanıyor. 1 Buna göre, a 100 ifadesinin sondan kaç basamağı 9 dur? A) 4 3 B) 3 4 C) 1 3 D) 3 4 E) 4 3 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 3. Gerçek sayılar kümesinde tanımlı "*" işlemi birleşmeli ve birimli olup, her gerçek sayının "*" işlemine göre bir tersi vardır. Buna göre, a * b 1 * x = c olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir? 7. Doğal sayılar kümesi aşağıdaki işlemlerin hangisine göre kapalıdır? A) x y B) x y D) 2x + y E) x y 4 C) x 2 xy A) b * a 1 * c B) a 1 * b * c C) c * a 1 * b D) b * c * a 1 E) c * b * a 1 4. Gerçek sayılar kümesinde "" işlemi, a b = 2a + 2b ab 2 şeklinde tanımlanıyor. Buna göre, hangi elemanın tersi yoktur? A) 2 B) 1 C) 1 D) 2 E) 3 8. {a, b, c, d, e} kümesi üzerinde " " işlemi aşağıdaki tablo ile verilmiştir. a a a... a 2010 tane a a b c d e a a b c d e b b c d e a c c d e a b d d e a b c e e a b c d işleminin sonucu kaçtır? A) e B) d C) c D) b E) a 169

170 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM BÖLÜM TESTİ (fog)(x) = 3x 4 f(x) = x + 2 fonksiyonlarına göre, g(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) 3x 6 B) 6x 3 C) 2x f 2x + 1 = x 3 g( x 4) = x + 4 olmak üzere, (gof 1 )(1) in değeri kaçtır? A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 15 D) 3x + 6 E) 6x f : R R 2 x 1, 2 > x f( x) = 2x, 2 > x 2 2, x 2 olarak tanımlanıyor. 14. f x x x 2 2 ( ) = x x olmak üzere, f(1) f kaçtır? 5 Buna göre, (fofofof)( 3) kaçtır? A) 1 B) 0 C) 2 5 D) 5 2 E) 5 3 A) 8 B) 6 C) 4 D) 2 E) f(x) = x 4 g(x) = 4x + 2 olmak üzere, (2 f + g)(x) ifadesinin kuralı aşağıdakilerden hangisidir? 15. f(a + b) = f(a) f(b) f(2) = 1 A) 5x 2 B) 6x 4 C) 4x 6 olduğuna göre, f(16) kaçtır? D) 6x 6 E) 6x + 8 A) 1 B) 2 C) 8 D) 16 E) f: R R f(x + 1) = x 2 2x + 1 olmak üzere, f(x + 2) aşağıdakilerden hangisidir? Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. A) x 2 + 2x + 1 B) x 2 4x + 4 Buna göre, f(x) = 1 ifadesini sağlayan kaç tane x sayısı vardır? C) x 2 D) x 2 2x A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 E) x 2 + 2x 1. D 2. B 3. A 4. D 5. B 6. D 7. D 8. E 9. A 10. D 11. D 12. D 13. C 14. C 15. A 16. C 170

171 5 BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM BÖLÜM TESTİ Gerçek sayılar kümesinde "o" işlemi, x o y = 2x + 2y 2xy 1 olarak tanımlanıyor. Buna göre, "o" işleminin hangi elemanının tersi yoktur? A) 2 B) 1 C) 1 D) 3 E) A = {a, b, c, d, e} kümesinde bir " " işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır. a b c d e a c d e a b b d e a b c c e a b c d d a b c d e e b c d e a Buna göre, x y = (a x y 1 ) 1 2. Gerçek sayılar kümesinde "φ" işlemi, x φ y = x + y olduğuna göre, b e işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) a B) b C) c D) d E) e olarak tanımlanıyor. Buna göre, (k φ 3k φ 5k φ 7k) φ 14 = 2 olduğuna göre, k sayısı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 6 6. K = {2, 4, 8, 16, 32} kümesinde "" işlemi, p q = p ile q nun en küçük ortak katı olarak tanımlanıyor. Buna göre, "" işleminin yutan elemanı nedir? A) 32 B) 16 C) 8 D) 4 E) 2 3. Gerçek sayılar kümesinde "D" işlemi, b a b = { dan büyük olan en küçük tam sayı a } olarak tanımlanıyor. Buna göre, (5 D 13) D (10 D 7) işleminin sonucu kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 7. Gerçek sayılar kümesinde tanımlanmış olan aşağıdaki işlemlerden hangisinin değişme özelliği yoktur? A) a o b = a + b + 1 B) a b a b ο = + b a C) a o b = a b D) a o b = a b 1 E) a o b = a 2 + b 2 8. Gerçek sayılar kümesinde "D" işlemi, 4. Gerçek sayılar kümesinde "" işlemi, x y = x + y 4 olarak tanımlanıyor. Buna göre, 4 k 1 = 2 olduğuna göre, k kaçtır? A) 4 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8 x D y = 2x + 2y xy + m şeklinde tanımlanıyor. "D" işleminin birim elemanı var olduğuna göre, m kaçtır? A) 2 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 171

172 5. BÖLÜM FONKSİYON VE İŞLEM BÖLÜM TESTİ f: R R f(2x 4) = 8 8x olmak üzere, f(x) aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 4x + 8 B) 4x 8 C) x 8 4 D) x E) 4x A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinde, f = fonksiyonu tanımlandığına göre, f 1 fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) f : R R, 3 f( x 1) = x x olmak üzere, f(0) + f(7) + f(26) toplamı kaçtır? A) 24 B) 28 C) 30 D) 32 E) f y (x) = x 2 y 2 g x (y) = x + xy + y olmak üzere, f g ( 1) (3) 2 kaçtır? A) 10 B) 8 C) 6 D) 4 E) f x 2 x + 1, ( ) = 2x + 1, x tek x çift 3 x 1, g( x) = 3x 1, x pozitif gerçek sayı x negatif gerçek sayı olduğuna göre, (fog)( 2) + (gof)(2) toplamı kaçtır? A) 154 B) 166 C) 170 D) 172 E) f( x 2) = 4x + 1 g( x) = x 1 olmak üzere, (gof 1 )(25) kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) m R + ve n R olmak üzere, f(x) = (m 2 4)x 2 + (n 4 16)x + m + n + 2 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, f(m) + f(n) kaçtır? A) 4 B) 2 C) 0 D) 2 E) f: R R f(x) = x 3 3x 2 + 3x 1 3 olmak üzere, f( 3 + 1) kaçtır? A) 1 B) 3 C) D) E) 5 1. C 2. A 3. B 4. D 5. E 6. A 7. D 8. C 9. B 10. C 11. E 12. E 13. A 14. B 15. A 16. B 172

173 6. BÖLÜM SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI Tam Sayılar Kümesinde Eşitliğin Özellikleri ve Temel Kavramlar Ardışık Sayılar Çözümleme N de Kuvvet - Taban Aritmetiği Bölme Bölünebilme OBEB - OKEK Faktöriyel

174 .

175 6 BÖLÜM Hazine SAYILAR KAVRAMA TESTİ 01 Tam Sayılar Kümesinde Eşitliğin Özellikleri ve Temel Kavramlar 1. 7 ( 2) + ( 1) işleminin sonucu kaçtır? Eşitlik Özellikleri a, b, c tam sayı olmak üzere, A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10 a = a (Yansıma özelliği) a = b b = a (Simetri özelliği) (a = b b = c) a = c (Geçişme özelliği) a + c = b + c a = b (Toplama işleminde sadeleştirme kuralı) c 0 olmak üzere, a c = b c a = b ( 2) + ( 7) işleminin sonucu kaçtır? A) 15 B) 13 C) 11 D) 9 E) 7 (Çarpma işleminde sadeleştirme kuralı) Hazine İşaretlerin Çarpımı Aynı işaretli iki sayının çarpımı pozitif, farklı işaretli iki sayının çarpımı negatiftir. Bu durumu sembolik olarak, (+) (+) = (+) ( ) ( ) = (+) (+) ( ) = ( ) ( ) (+) = ( ) ile gösterebiliriz. Buna göre, bir a sayısı için (a), ( a), +( a) ifadelerini aşağıdaki eşitlikler ile tanımlayabiliriz. (a) = a ( a) = a +( a) = a Hazine İşlemde Öncelik Sırası Verilen bir işlemde aşağıdaki adımlar sırasıyla takip edilir. 1. İşlemde parantez varsa, önce parantez içindeki ifadenin değeri hesaplanır. 2. Çarpma / bölme işlemi, toplama / çıkarma işleminden önce yapılır. 3. Son olarak toplama / çıkarma işlemi yapılır. Örneğin, 7 ( 3 + 4) 5 = 7 5 = = = : 3 3 = 2 3 = 1 Örneğin, ( 5) = 5 ( 3) = 3 +( 4) = 4 3 ( 1) = = ( 7) = 5 7 = 2 Çarpma ile bölmeden hangisi önce ise, o işlem önce yapılır. Örneğin, = 6 3 = = 24 3 = 8 175

176 6. BÖLÜM SAYILAR Tam Sayılar Kümesinde Eşitliğin Özellikleri ve Temel Kavramlar KAVRAMA TESTİ işleminin sonucu kaçtır? A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19 Hazine abc üç basamaklı, de iki basamaklı doğal sayılar olsun. a b c x d e I. satır 4. ((3 4) : 2) II. satır işleminin sonucu kaçtır? Sonuç A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 işleminde, I. satır = e (abc) II. satır = d (abc) Sonuç = abc de 5. a ve b tam sayılardır. a b ifadesinde a ifadesi 1 arttırılır, b ifadesi 1 azaltılırsa sonuç değişmiyor. Buna göre, b a farkı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 8. a b c x Üç basamaklı abc sayısı ile 23 sayısını çarpan bir öğrenci çarpma işlemini yandaki biçimde hatalı yapıyor. Her nokta bir rakam gösterdiğine göre, abc sayısı kaçtır? 6. a ve b tam sayılardır. a b + a ifadesinde a nın değeri 1 azaltılır, b nin değeri 1 artırılırsa sonuç değişmiyor. A) 200 B) 220 C) 240 D) 260 E) 280 Buna göre, a b farkı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 9. Yandaki çarpma işleminde, her nok- 7. a ve b tam sayılardır. a b ifadesinde a nın değeri 2 arttırıldığında, sonucun değişmemesi için b kaç azaltılmalıdır? A) 2b a + 2 D) a + b a + 2 B) b a + 2 E) 2a b + 1 C) 2 x ta bir rakam göstermektedir. Buna göre, çarpma işleminin sonucu kaçtır? A) 1891 B) 1991 C) 2091 D) 2191 E)

177 01 6. BÖLÜM SAYILAR Tam Sayılar Kümesinde Eşitliğin Özellikleri ve Temel Kavramlar KAVRAMA TESTİ Hazine Tek - Çift Sayılar 2 ile tam bölünebilen tam sayılara çift sayı, çift olmayan tam sayılara da tek sayı denir. Çift sayılar kümesi = {..., 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6,...} Tek sayılar kümesi = {..., 5, 3, 1, 1, 3, 5,...} 10. a bir tam sayıdır. 5a + 1 tek sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi tek sayıdır? A) 2a + 4 B) a + 1 C) a 2 a D) a 3 + a + 6 E) a 2 2 Sayı doğrusu üzerinde bir çift sayıdan sonra bir tek sayı, bir tek sayıdan sonra da bir çift sayı vardır. n N + olsun. Tek Tek = Çift Çift Çift = Çift Tek Çift = Tek Tek n = Tek Çift n = Çift Örneğin, n N + olmak üzere, Tek Tek = Tek Tek Çift = Çift Çift Çift = Çift 11. a bir tam sayıdır. b a = 1 2 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır? A) a B) b C) a b D) a b + a E) a b n n Tek, n n 12 4 Çift Tek Çift Çift Çift n Z olsun. 2n, 4n, 16n gibi katsayısı çift olan sayılar çifttir, fakat Hazine 3n, 5n, 13n gibi katsayıları tek olan sayılar tek de olabilir çift de olabilir. Örneğin, n = 1 için 3 n = 3 Tek n = 2 için 3 n = 3 2 = 6 Çift olur. Çift sayı tanımından bütün çift sayıları, n Z olmak üzere, 2n şeklinde gösterebiliriz. Sayı doğrusu üzerinde çift sayıların bir önünde ve bir arkasında tek sayı olduğundan, tek sayıları da 2n 1 veya 2n + 1 ile gösterebiliriz. O halde, ardışık iki tam sayıdan biri çift, biri tektir. Buna göre, ardışık iki sayının toplamı tek, çarpımı ise çift sayıdır. Toplamları sabit olan iki doğal sayının çarpımlarının en büyük olması için sayıların birbirine en yakın hatta mümkünse eşit, çarpımlarının en küçük olması için sayıların birbirine en uzak olması gerekir. Örneğin, a, b N olmak üzere, a + b = 12 iken a b nin en büyük ve en küçük değerlerini bulalım. Sayıların birbirine en yakın olması için a = b = 6 alırsak, a b = 6 6 = 36 (en büyük değer) en uzak olması için a = 0, b = 12 alırsak, a b = 0 12 = 0 (en küçük değer) bulunur. 177

178 6. BÖLÜM SAYILAR Tam Sayılar Kümesinde Eşitliğin Özellikleri ve Temel Kavramlar KAVRAMA TESTİ a ve b farklı iki doğal sayı olmak üzere, a + b = 20 olduğuna göre, a b nin en büyük değeri en küçük değerinden kaç fazladır? 14. Çarpımları 99 olan iki doğal sayının toplamının alabileceği en büyük değer a ve en küçük değer b dir. Buna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 120 B) 119 C) 110 D) 100 E) 99 A) 99 B) 90 C) 89 D) 80 E) 60 Hazine 13. a ve b iki doğal sayıdır. a + b = 17 olduğuna göre, a b nin en büyük değeri kaçtır? A) 75 B) 72 C) 70 D) 66 E) 60 Basamak sayısı belli olan tam sayıların en büyük veya en küçük değerini bulmak için aşağıdaki bilgileri hatırlamamızda fayda vardır. İki basamaklı en küçük sayı 99 dur. İki basamaklı ve rakamları farklı en küçük sayı 98 dir. Üç basamaklı en küçük doğal sayı 100 dür. Üç basamaklı ve rakamları farklı en küçük doğal sayı 102 dir. Hazine Çarpımları sabit olan iki doğal sayının toplamlarının en büyük olması için sayıları birbirine en uzak, toplamlarının en küçük olması için sayıları birbirine en yakın, mümkünse eşit seçmeliyiz. Örneğin, a, b N olmak üzere, a b = 60 iken a + b nin en büyük ve en küçük değerlerini bulalım. Üç basamaklı en büyük sayı 999 dur. Üç basamaklı ve rakamları farklı en büyük sayı 987 dir. 15. İki basamaklı rakamları farklı en küçük sayı ile iki basamaklı en küçük doğal sayının toplamı kaçtır? A) 89 B) 88 C) 100 D) 108 E) 109 Sayıların birbirine en yakın olması için a = 6, b = 10 alırsak, a + b = 16 (en küçük değer) en uzak olması için a = 1, b = 60 alırsak, a + b = 61 (en büyük değer) 16. Üç basamaklı rakamları farklı en küçük doğal sayı, iki basamaklı en büyük doğal sayıdan kaç fazladır? bulunur. A) 25 B) 24 C) 10 D) 4 E) 3 1. C 2. D 3. E 4. A 5. B 6. B 7. A 8. C 9. C 10. B 11. D 12. A 13. B 14. A 15. B 16. E 178

179 6 BÖLÜM SAYILAR Tam Sayılar Kümesinde Eşitliğin Özellikleri ve Temel Kavramlar PEKİŞTİRME TESTİ ( 3) : ( 1) işleminin sonucu kaçtır? A) 4 B) 2 C) 2 D) 3 E) 4 5. x = 1 ve y = 0 olduğuna göre, x y + y x işleminin sonucu kaçtır? A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2 ( 5 13) ( 8 16) işleminin sonucu kaçtır? A) 8 B) 4 C) 8 D) 16 E) ( 2009) : ( 1 ) işleminin sonucu kaçtır? A) 4018 B) 2009 C) 0 D) E) : ( ) 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 10 B) 5 C) 1 D) 1 E) (3 4) + 5 (8 9) işleminin sonucu kaçtır? A) 7 B) 3 C) 3 D) 5 E) ( 5) ( 6) 7 işleminin sonucu kaçtır? A) 21 B) 7 C) 3 D) 1 E) 1 8. (11 14) ( ) + ( 5) ( 2) işleminin sonucu kaçtır? A) 19 B) 13 C) 1 D) 1 E)

180 6. BÖLÜM SAYILAR Tam Sayılar Kümesinde Eşitliğin Özellikleri ve Temel Kavramlar PEKİŞTİRME TESTİ a ve b tam sayıdır. a b a ifadesinde a ve b nin değerleri 1 arttırılırsa, sonuç ilk duruma göre ne kadar artar? 13. Toplamları 25 olan iki doğal sayının çarpımı en fazla kaç olabilir? A) 136 B) 144 C) 150 D) 154 E) 156 A) a B) b C) a b + 1 D) a b E) a + b 10. a b c x abc üç basamaklı sayısı ile 14 ü çarpan bir öğrenci, işlemi yandaki gibi hatalı yapıyor. 14. a ve b birer tam sayıdır. a b = 54 olduğuna göre, a + b nin en küçük değeri kaçtır? A) 55 B) 29 C) 21 D) 15 E) 5 Her nokta bir rakam gösterdiğine göre, çarpma işleminin doğru sonucu kaçtır? A) 1890 B) 1960 C) 2100 D) 2240 E) a, b ve c tam sayıdır. a b = 36 b c = a bir pozitif tam sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır? A) a a B) 5a C) 3a + 4 D) a 2 + a E) 2a + 3 olduğuna göre, a + b + c toplamının en büyük değeri kaçtır? A) 90 B) 85 C) 44 D) 31 E) a bir çift sayıdır. Sayı doğrusunda a sayısının sağ tarafındaki ilk iki tek sayının toplamı 52 dir. Buna göre, a kaçtır? 16. Birbirinden farklı iki basamaklı dört doğal sayının toplamı 82 olduğuna göre, bu sayıların en büyüğü en çok kaç olabilir? A) 18 B) 20 C) 22 D) 24 E) 26 A) 47 B) 48 C) 49 D) 50 E) b 2. C 3. d 4. e 5. d 6. c 7. B 8. d 9. e 10. c 11. d 12. d 13. e 14. a 15. b 16. c 180

181 6 BÖLÜM SAYILAR Tam Sayılar Kümesinde Eşitliğin Özellikleri ve Temel Kavramlar ÖDEV TESTİ [2 3 (4 + 4 : 4)] işleminin sonucu kaçtır? A) 3 B) 1 C) 0 D) 3 E) 4 5. ( ) : [12 + ( 3 7)] işleminin sonucu kaçtır? A) 4 B) 2 C) 1 D) 1 E) : 2 : (2 : 2) : [2 : 2 : (2 : 2)] 2. 1 : : 2 işleminin sonucu kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 1 C) 1 D) 2 E) A) 6 B) 13 2 C) 7 D) 8 E) : 2 işleminin sonucu kaçtır? : 2 : 2 : 2 : 2 : 2 : 2 : 2 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) ? 4? 2 = 6 eşitliği doğru olduğuna göre,? olan yerlere sırasıyla aşağıdakilerden hangileri getirilebilir? I. ( ), ( ) II. (:), ( ) : (2 : 2 : 2) işleminin sonucu kaçtır? A) 3 B) 6 C) 12 D) 48 E) 192 III. ( ), (:) A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III 181

182 6. BÖLÜM SAYILAR Tam Sayılar Kümesinde Eşitliğin Özellikleri ve Temel Kavramlar ÖDEV TESTİ a ve b birer tam sayıdır. a sayısının b katı, a sayısının 4 katının 1 eksiğine eşittir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) a b çifttir. B) a + b tektir. C) b = 4a D) a ve b tektir. E) a çifttir. + f g h i 13. abc üç basamaklı, de iki basamaklı ve fghi dört basamaklı doğal sayılardır. abc ile de sayısını çarpan bir öğrenci işlemi aşağıdaki gibi hatalı yapıyor. fghi sayısı, abc sayısının 7 katıdır. x a b c d e Her nokta bir rakam gösterdiğine göre, çarpma işleminin doğru sonucu abc sayısının en çok kaç katıdır? A) 72 B) 70 C) 61 D) 52 E) a, b ve c pozitif tam sayıdır. (2a + 1) (a + b + c) = 80 olduğuna göre, b + c toplamı kaçtır? A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) a, b ve c tam sayıdır. a b = 18 b c = 27 olduğuna göre, a + b + c toplamının en küçük değeri kaçtır? A) 46 B) 18 C) 14 D) 14 E) a pozitif bir tam sayı ve a a bir çift sayıdır. Sayı doğrusunda a nın sağındaki ilk üç tek sayının toplamı 99 olduğuna göre, a nın solundaki ilk çift sayı kaçtır? A) 22 B) 24 C) 26 D) 28 E) İki tanesi 50 den büyük farklı dört pozitif tam sayının toplamı 150 olduğuna göre, bu sayıların en büyüğü en çok kaç olabilir? A) 44 B) 46 C) 48 D) 95 E) Feridun Bey çocuğu için her gün tanesi 25 Kr'den tek 16. a, b ve c doğal sayıdır. sayıda şeker almaktadır. a b = 10 Buna göre, Feridun Bey'in şeker için bir haftada ödediği para kuruş olarak aşağıdakilerden hangisi olamaz? b + c = 20 olduğuna göre, a c nin en büyük değeri kaçtır? A) 225 B) 325 C) 475 D) 525 E) 650 A) 200 B) 210 C) 225 D) 240 E) C 2. E 3. B 4. D 5. E 6. C 7. E 8. C 9. D 10. A 11. D 12. E 13. B 14. A 15. E 16. C 182

183 6 BÖLÜM SAYILAR KAVRAMA TESTİ 02 Ardışık Sayılar Hazine Belirli bir kurala göre art arda gelen sayılara ardışık sayılar denir. n bir tam sayı olmak üzere, Ardışık tam sayılar :..., n, n + 1, x, y, z ardışık üç tek sayı ve x < y < z olmak üzere, x y 1 : 1 z z ifadesinin değeri kaçtır? A) 2 B) 1 2 C) 1 D) 1 2 E) 2 Ardışık tek sayılar :..., 2n 1, 2n + 1,... Ardışık çift sayılar :..., 2n, 2n + 2,.. 7 ile bölünebilen ardışık çift sayılar:..., 14n, 14n + 14, a, b, c ardışık çift sayılar ve a < b < c dir. c a ( a b) ( c b) ifadesinin değeri kaçtır? A) 2 B) 1 C) 1 D) 2 E) 4 Hazine Terim Sayısı Bulma Sonlu bir ardışık sayı dizisindeki terim sayısını T.S ile gösterirsek; Son Terim İlk Terim T. S = + 1 Artış Miktarı dir. 2. x ve y ardışık tek sayılar ve x < y dir. x = 5m + 3 y = 6m 7 olduğuna göre, m kaçtır? 5. 13, 17, 21, 25,..., 121 ardışık sayı dizisinin terim sayısı kaçtır? A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 29 A) 6 B) 9 C) 10 D) 11 E) (2m 7) ile (3m 1) sayıları ardışık iki tek sayıdır. Buna göre, m nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 12 B) 10 C) 8 D) 6 E) , 3, 5, 7,..., n ardışık sayı dizisinin terim sayısı 51 olduğuna göre, n kaçtır? A) 99 B) 100 C) 101 D) 102 E)

184 6. BÖLÜM SAYILAR Ardışık Sayılar KAVRAMA TESTİ 02 Hazine Hazine Ardışık Sayı Dizisi Toplamı Sonlu bir ardışık sayı dizisindeki en büyük ve en küçük terimlerinin toplamının yarısına o dizinin ortanca terimi denir. Örneğin; Ardışık x tane sayının toplamı A ise A x sayının tam ortasındaki sayıdır. sayısı x tane 1, 3, 5,..., 21 sayı dizisinin ortanca terimi, = 11 dir Ardışık 13 tane sayının toplamı 299 olduğuna göre, bu sayıların en büyüğü kaçtır? A) 28 B) 29 C) 30 D) 31 E) 32 Bir ardışık sayı dizisinin ortanca terimi o diziye ait olmak zorunda değildir. Örneğin; 2, 4, 6,..., 12 sayı dizisinin ortanca terimi, = 7 dir. 2 Sonlu bir ardışık sayı dizisinin tüm terimlerinin toplamı T ise; T = (Ortanca Terim) (Terim Sayısı) 11. Ardışık 7 tane çift sayının toplamı 84 olduğuna göre, bu sayıların en küçüğü kaçtır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) toplamının sonucu kaçtır? A) 820 B) 980 C) 1070 D) 1100 E) Ardışık 12 tane tek sayının toplamı 120 olduğuna göre, bu sayıların en büyüğü kaçtır? n = 120 A) 15 B) 17 C) 19 D) 21 E) 23 olduğuna göre, n kaçtır? A) 17 B) 19 C) 21 D) 23 E) T = toplamının her bir teriminin ikinci çarpanı 2 arttırılırsa T sayısı kaç artar? ile tam bölünen ardışık 8 tane doğal sayının toplamı 220 olduğuna göre, bu sayıların en küçüğü kaçtır? A) 30 B) 60 C) 108 D) 124 E) 240 A) 25 B) 30 C) 35 D) 40 E) B 2. E 3. A 4. E 5. D 6. C 7. A 8. C 9. E 10. B 11. C 12. D 13. E 184

185 6 BÖLÜM SAYILAR Ardışık Sayılar PEKİŞTİRME TESTİ , 21, 23,..., 103 sayı dizisinin terim sayısı kaçtır? A) 40 B) 41 C) 42 D) 43 E) Ardışık 8 tek doğal sayının toplamı 176 olduğuna göre, bu sayıların en büyüğü kaçtır? A) 29 B) 27 C) 25 D) 23 E) i) 13, 17, 21,..., 81 ii) 51, 54, 57,..., x Yukarıda verilen (i) ve (ii) sayı dizilerinin terim sayıları eşit olduğuna göre, x kaçtır? 6. (7k 3) ile (8k 6) sayıları ardışık çift sayılar olduğuna göre, k nın alacağı değerler toplamı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 A) 99 B) 102 C) 105 D) 108 E) n bir doğal sayı olmak üzere, 3. x, y, z ardışık sayılar ve x > y > z dir. 3x + y = 59 olduğuna göre, z kaçtır? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 T = n toplamındaki her bir terim 1 azaltılırsa T ne kadar azalır? A) n B) n 1 C) n 3 D) 2n E) 2n 1 4. a, b, c, d, e ardışık çift sayılar ve a < b < c < d < e dir a + d = 26 toplamının sonucu kaçtır? olduğuna göre, 2e c + b kaçtır? A) 1140 B) 1265 C) 1293 A) 28 B) 30 C) 32 D) 34 E) 36 D) 1308 E) D 2. B 3. D 4. D 5. A 6. E 7. B 8. B 185

186 6 BÖLÜM SAYILAR Ardışık Sayılar ÖDEV TESTİ sayısının soldan 293 üncü rakamı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 5. a, b, c beşin katı olan ardışık tam sayılar ve a < b < c dir. 2a + 7b 9c 3a b 2c oranı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 11 5 D) 13 5 E) ile 73 arasındaki çift sayıların toplamı x, 2 ile 74 arasındaki tek sayıların toplamı y dir. 1 den 73 e kadar olan doğal sayıların toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) x + y + 10 B) x + y + 6 C) x + y + 4 D) x + y 6 E) x + y Ardışık 15 tane tam sayının toplamı 1530 olduğuna göre, bu sayılardan kaç tanesi iki basamaklıdır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 3. Ardışık 9 tam sayının toplamı 36 a olduğuna göre, bu sayılardan en büyüğü ile en küçüğünün toplamı aşağıdakilerden hangisidir? A) 4a B) 8a C) 10a D) 12a E) 18a = x = y olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır? A) 162 B) 163 C) 169 D) 170 E) n bir doğal sayı olmak üzere, 1 den n ye kadar olan doğal sayıların toplamı x, 7 den n ye kadar olan doğal sayıların toplamı y dir. x + y = den n ye kadar olan tek sayıların toplamı, n 2 16n + 64 olduğuna göre, n kaçtır? olduğuna göre, n tek sayısı kaç olabilir? A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19 A) 11 B) 13 C) 15 D) 17 E) C 2. A 3. B 4. E 5. C 6. E 7. E 8. D 186

187 6 BÖLÜM SAYILAR KAVRAMA TESTİ 03 Çözümleme Hazine 3. ab iki basamaklı bir sayıdır. ab ba = 63 a, b, c birer rakam olmak üzere, abc yazılışından şu anlaşılmalıdır: a b c olduğuna göre, ab nin en küçük değeri kaçtır? A) 50 B) 64 C) 70 D) 81 E) 92 Birler basamağı Onlar basamağı Yüzler basamağı c tane 1 lik b tane 10 luk a tane 100 lük vardır. Buna göre, abc = 100a + 10b + c yazabiliriz. Benzer olarak, ab = 10a + b olur. Ayrıca, 4. ab ve ba iki basamaklı birer doğal sayıdır. ab sayısı ba sayısından 45 fazla olduğuna göre, kaç farklı ab sayısı vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 ab + ba = 10a + b + 10b + a = 11(a + b) ab ba = 10a + b (10b + a) = 9a 9b = 9(a b) 1. ab ve ba iki basamaklı birer sayıdır. ab + ba = 143 olduğuna göre, ab nin en büyük değeri kaçtır? A) 94 B) 85 C) 76 D) 67 E) ab üç basamaklı sayısı, ab iki basamaklı sayısının 41 katına eşittir. Buna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 2. ab ve ba iki basamaklı birer sayıdır. 6. ab ve ba iki basamaklı birer doğal sayıdır. ab ba = 63 olduğuna göre, ab nin en küçük değeri kaçtır? A) 50 B) 64 C) 70 D) 81 E) 92 ab ba = a 2 b 2 olduğuna göre, kaç farklı ab sayısı vardır? A) 6 B) 7 C) 15 D) 16 E)

188 6. BÖLÜM SAYILAR Çözümleme KAVRAMA TESTİ abc üç basamaklı doğal sayısının rakamları 2 ile 6 arasındadır. abc nin yüzler basamağındaki rakam 1 arttırılır, onlar basamağındaki rakam 3 azaltılır, birler basamağındaki rakam 5 attırılırsa abc nin değeri nasıl değişir? ab dört basamaklı sayısı ab iki basamaklı sayısının 76 katına eşittir. Buna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 85 azalır B) 85 artar C) 75 azalır D) 75 artar E) 70 artar 12. abc, bca ve cab üç basamaklı birer doğal sayıdır. a > b > c abc + bca + cab = 777 olduğuna göre, a b c kaçtır? 8. İki basamaklı doğal sayılardan kaç tanesi, rakamları toplamının 4 katına eşittir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) abc ve cba üç basamaklı, rakamları farklı birer doğal sayıdır. 9. ab iki basamaklı doğal sayısı, rakamları toplamının 7 katına eşittir. Buna göre, a b çarpımı en çok kaçtır? A) 18 B) 21 C) 25 D) 28 E) 32 abc cba = 297 olduğuna göre, kaç farklı abc sayısı vardır? A) 6 B) 15 C) 30 D) 48 E) İki basamaklı bir doğal sayı, rakamları toplamının 3 katının 7 fazlasına eşittir. 14. İki basamaklı ab sayısının sağına 1 yazılarak elde edilen sayı, soluna 1 yazılarak elde edilen sayıdan 108 fazladır. Bu koşulu sağlayan sayının rakamları çarpımı kaçtır? Buna göre, a b çarpımı kaçtır? A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 25 A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) A 2. D 3. C 4. D 5. A 6. E 7. D 8. B 9. E 10. A 11. E 12. A 13. D 14. A 188

189 6 BÖLÜM SAYILAR Çözümleme PEKİŞTİRME TESTİ ab, ba, aa ve bb iki basamaklı doğal sayılarının toplamı 132 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 6 B) 8 C) 12 D) 16 E) abc üç basamaklı bir doğal sayıdır. abc cba = 693 olduğuna göre, kaç farklı abc sayısı vardır? A) 2 B) 3 C) 20 D) 29 E) ab iki basamaklı bir doğal sayıdır. ab ba = 54 olduğuna göre, aa bb farkı kaçtır? A) 44 B) 55 C) 66 D) 77 E) abc üç basamaklı bir doğal sayıdır. abc cab = 630 olduğuna göre, abc sayısının en büyük değeri en küçük değerinden kaç fazladır? A) 111 B) 222 C) 333 D) 444 E) A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin her bir elemanı bir kez kullanılarak üç basamaklı iki tane sayı yazılıyor. Buna göre, bu sayıların toplamı en az kaç olur? A) 159 B) 209 C) 279 D) 339 E) abc üç basamaklı ve rakamları farklı bir doğal sayıdır. abc acb = 72 olduğuna göre, kaç farklı abc sayısı vardır? A) 7 B) 8 C) 10 D) 15 E) Rakamları 4 ile 9 arasında olan üç basamaklı bir doğal sayının yüzler basamağındaki rakam x arttırılır, onlar basamağındaki rakam y azaltılır, birler basamağındaki rakam z azaltılırsa, sayı 76 artıyor. Buna göre, x + y + z toplamı kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) ab ve cd iki basamaklı bir doğal sayıdır. T = ab + cd olduğuna göre, T nin alabileceği kaç farklı değer vardır? A) 177 B) 178 C) 179 D) 180 E)

190 6. BÖLÜM SAYILAR Çözümleme PEKİŞTİRME TESTİ ab dört basamaklı sayısı, ab iki basamaklı sayısının 71 katına eşittir. Buna göre, ab sayısı nedir? A) 30 B) 48 C) 52 D) 54 E) ab iki basamaklı, a1b üç basamaklı birer doğal sayıdır. ab + a1b = 462 olduğuna göre, b a farkı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) a ve b dört basamaklı iki doğal sayıdır. a = 5x2y b = 3y4x c = 2376 a b = c olduğuna göre, x + y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır? 14. İki basamaklı bir doğal sayı rakamları toplamına bölünüyor. Bu işlemden elde edilen bölüm 6, kalan 8 olduğuna göre, bu sayının rakamları farkı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 A) 42 B) 45 C) 48 D) 51 E) ab iki basamaklı sayısının rakamları sıfırdan farklıdır. ab nin sağına a yazılmasıyla elde edilen sayı, ab nin soluna b yazılması ile elde edilen sayıdan 455 fazla olduğuna göre, kaç farklı ab sayısı vardır? 15. abc ve cab üç basamaklı ve rakamları farklı birer doğal sayıdır. abc cab = 189 olduğuna göre, kaç farklı abc sayısı vardır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) abc üç basamaklı bir doğal sayıdır. Buna göre, 12. a8c üç basamaklı sayısını 13 ile çarpan bir öğrenci, a8c sayısını a3c olarak görüyor. İşlem hatası yapmayan bu öğrenci sonucu 1755 olarak bulduğuna göre, a + c toplamı kaçtır? b = 2a c < b koşullarını sağlayan kaç farklı abc sayısı vardır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) A 2. C 3. D 4. B 5. E 6. B 7. D 8. C 9. A 10. E 11. D 12. B 13. C 14. D 15. A 16. A 190

191 6 BÖLÜM SAYILAR Çözümleme ÖDEV TESTİ İki basamaklı doğal sayılardan kaç tanesi rakamları toplamının 7 katına eşittir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 5. aa iki basamaklı doğal sayısının, b bir basamaklı doğal sayısına bölünmesiyle elde edilen bölüm a, kalan a nın ik ikatıdır. Buna göre, a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A) 10 B) 15 C) 21 D) 36 E) ab iki basamaklı bir doğal sayıdır. a x = 25 b x = 3 olduğuna göre, (ab) (x) çarpımının sonucu kaçtır? A) 21 B) 23 C) 25 D) 26 E) ab ve ba iki basamaklı doğal sayılardır. a + b + ab = ba olduğuna göre, b a farkı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 3. ab ve ba iki basamaklı doğal sayılardır. ab ba = ab olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 7. Rakamları 3 ile 7 arasında olan beş doğal sayının yüzler basamağı 1 azaltılır, onlar basamağı ve birler basamağı 2 arttırılırsa, bu beş sayının toplamı nasıl değişir? A) 390 artar B) 380 artar C) 350 azalır D) 380 azalır E) 390 azalır 4. Birbirinden farklı iki basamaklı iki doğal sayının toplamının alabileceği kaç farklı değer vardır? A) 175 B) 176 C) 177 D) 178 E) ab8 dört basamaklı sayısı, iki basamaklı ab sayısının 66 katına eşittir. Buna göre, ab sayısı rakamları toplamının kaç katına eşittir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 191

192 6. BÖLÜM SAYILAR Çözümleme ÖDEV TESTİ abc ve 3ab üç basamaklı birer doğal sayıdır. abc + 3ab = 650 olduğuna göre, a b c çarpımı kaçtır? A) 20 B) 24 C) 25 D) 27 E) ab ve cd iki basamaklı birer doğal sayı ve T = ab cd dir. a nın değeri 1 arttırılır ve b nin değeri 1 azaltılırsa, T nin değeri 135 artıyor. Buna göre, cd sayısı nedir? A) 15 B) 18 C) 27 D) 36 E) ab ve ba iki basamaklı birer doğal sayıdır. Buna göre, 2 2 ( ab) ( ba) aa + bb işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisi olamaz? 14. ab iki basamaklı sayısının soluna a yazılmasıyla elde edilen sayı, sağına 2 yazılmasıyla elde edilen sayıdan 70 fazladır. Buna göre, a b farkı kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 A) 0 B) 9 C) 18 D) 36 E) ab ve ba iki basamaklı birer doğal sayıdır. ab ba = a > b > c olmak üzere, üç basamaklı abc doğal sayılarından kaç tanesi çifttir? A) 70 B) 80 C) 82 D) 83 E) 84 olduğuna göre, a b çarpımı kaçtır? A) 9 B) 10 C) 12 D) 14 E) aa, ab, ba ve bb iki basamaklı doğal sayılardır. 12. abc ve acb üç basamaklı birer doğal sayıdır. aa + ab + ba + bb = 1 abc acb = 54 ac + ca 2 olduğuna göre, kaç farklı abc sayısı vardır? olduğuna göre, c kaçtır? A) 29 B) 30 C) 32 D) 34 E) 36 A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 1. D 2. E 3. A 4. C 5. A 6. B 7. E 8. B 9. D 10. E 11. D 12. E 13. E 14. B 15. A 16. C 192

193 6 BÖLÜM N de Kuvvet Hazine SAYILAR KAVRAMA TESTİ 04 N de Kuvvet - Taban Aritmetiği a+1 = m olduğuna göre, 27 a+1 ifadesinin m cinsinden değeri nedir? a ve n doğal sayılar olmak üzere, n tane a nın çarpımına a nın n yinci kuvveti denir ve bu çarpım kısaca, n a a a... a = a n tane ile gösterilir. A) m 3 B) m C) 3m D) 6m E) 9m a n ifadesinde a ya taban, n ye üs adı verilir. Örneğin, 4 3 = = 81 gibi. 4 tane a a = 512 olduğuna göre, a kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 işleminin sonucu kaçtır? A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) işleminin sonucu kaçtır? A) 0 B) 5 C) 10 D) 15 E) 20 Hazine Farklı Tabanda Sayılar a, b, c, t doğal sayılardır. t > a, t > b, t > c olmak üzere, (abc) t = a t 2 + b t + c Hazine N de Kuvvetin Temel Özellikleri biçiminde yazılabilen sayılara t tabanında abc sayısı denir. Örneğin; (215) 6 6 tabanında (715) 9 9 tabanındadır. Her a N + için, Her a, b, n N + için, Her a, n, m N + için, a m a n = a m+n (a b) n = a n b n (a n ) m = a n m dir. Ancak (315) 5, (213) 3 gibi yazılışlar hatalıdır. 6. A = = 4 n olduğuna göre, n kaçtır? A) 18 B) 15 C) 13 D) 11 E) 8 sayısının 7 tabanındaki eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) (25) 7 B) (250) 7 C) (255) 7 D) (205) 7 E) (200) 7 193

194 6. BÖLÜM SAYILAR N de Kuvvet - Taban Aritmetiği KAVRAMA TESTİ A = ifadesinin 5 tabanındaki yazılışı aşağıdakilerden hangisidir? sayısının 9 tabanındaki yazılışı aşağıdakilerden hangisidir? A) (311) 9 B) (131) 9 C) (113) 9 A) (111) 5 B) (10101) 5 C) (11000) 5 D) (123) 9 E) (132) 9 D) (11010) 5 E) (10111) 5 8. t taban ve (253) t t tabanında bir sayı olduğuna göre, t nin en küçük değeri kaçtır? sayısının 5 tabanındaki yazılışı (abcd) 5 olduğuna göre, a + b + c + d toplamı kaçtır? A) 13 B) 11 C) 8 D) 7 E) 4 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Hazine 9. (5a7) 9 9 tabanında bir sayı olduğuna göre, a nın alacağı değerler toplamı kaçtır? A) 24 B) 36 C) 38 D) 40 E) 45 Farklı Tabanda Çözümleme (abcd) t sayısı (abcd) t = a t 3 + b t 2 + c t + d t 0 biçiminde çözümlenir. Bu çözümleme (abcd) t sayısının 10 tabanındaki karşılığını verir. Örneğin; (235) 6 = sayısı 3 tabanında kaç basamaklıdır? A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 Hazine = 95 sayısı 6 tabanındaki (235) 6 sayısının 10 tabanındaki karşılığıdır. n ve m birbirinden ve 10 dan farklı iki pozitif doğal sayı olsun. n tabanındaki bir sayıyı m tabanına çevirmek için önce n tabanındaki sayı 10 tabanına çevrilir. Daha sonra 10 tabanındaki sayı m tabanına çevrilir. 10 tabanında verilen bir sayıyı t tabanına çevirmek için verilen sayı sürekli t ye bölünür. Bölme işlemi bitince, en son bölümden başlayarak, kalanlar sağdan sola doğru yazılır. A t t a t b d c A = (dcba) t tabanındaki (210) 5 sayısının 10 tabanındaki karşılığı kaçtır? A) 35 B) 40 C) 45 D) 50 E) (321) 4 = (abc) 6 olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 194

195 04 6. BÖLÜM SAYILAR N de Kuvvet - Taban Aritmetiği KAVRAMA TESTİ 15. a bir rakam olmak üzere, (2a) 7 + (35) a toplamının 10 tabanındaki eşiti kaçtır? A) 45 B) 43 C) 40 D) 38 E) (217) 9 (158) 9 işleminin sonucunun aynı tabandaki yazılışı aşağıdakilerden hangisidir? A) (158) 9 B) (148) 9 C) (58) 9 D) (48) 9 E) (38) (23) 4 (13) 4 (233) 4 = (x) 5 Hazine Farklı Tabanda İşlemler t tabanında toplama yapılırken t yi aşan her değer t ye bölünerek kalan yazılıp bölüm elde olarak alınır. Örneğin, (24) 4 + (4) 5 = elde 3 t tabanında çıkarma yapılırken gerekli durumlarda kendinden önceki basamaktan x değeri alınır. Örneğin, (21) 5 (4) 5 = (12) 5 (2 1) (1 + 5) t tabanında çarpma yapılırken t yi aşan her değer t ye bölünerek kalan yazılıp bölüm elde olarak alınır. Örneğin, x (2 4) 6 (5) 6 (2 1 2) = elde 5 2 = = olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir? A) (100) 5 B) (101) 5 C) (110) 5 D) (111) 5 E) (210) 5 Hazine Tek ve Çift Sayılar t sayı tabanı olmak üzere, (abcd) t sayısında, a) t çift sayı ise, son rakama bakılarak sayının tek ya da çift olduğu söylenebilir. Eğer son rakam tek ise sayı tek, son rakam çift ise sayı çifttir. b) t tek sayı ise, sayının rakamlarından tek sayı olanların adedine bakmak yeterlidir. Teklerin sayısı tek ise sayı tek, çift ise sayı çifttir. Örneğin, ( ) 8 Çift ( ) 6 Tek ( ) 5 2 tane tek sayı olduğundan sayı çift ( ) 9 3 tane tek sayı olduğundan sayı tek 19. Aşağıda verilen sayılardan kaç tanesi tektir? I. (13542) 6 II. (2347) (427) 8 sayısının 5 fazlasının aynı tabandaki yazılışı aşağıdakilerden hangisidir? III. (5317) 9 IV. (2354) 7 A) (434) 8 B) (424) 8 C) (422) 8 V. (1356) 8 D) (432) 8 E) (532) 8 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 1. D 2. A 3. D 4. E 5. E 6. D 7. B 8. E 9. B 10. D 11. C 12. B 13. E 14. A 15. B 16. A 17. D 18. C 19. A 195

196 6 BÖLÜM SAYILAR N de Kuvvet - Taban Aritmetiği PEKİŞTİRME TESTİ x x = 135 olduğuna göre, x kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 5. (543) 6 + (323) 6 toplamının altılık sayı tabanındaki karşılığı aşağıdakilerden hangisidir? A) (310) 6 B) (410) 6 C) (1300) 6 D) (1310) 6 E) (5310) sayısının 5 lik sayı tabanındaki yazılışı aşağıdakilerden hangisidir? A) (12) 5 B) (2001) 5 C) (100) 5 D) (1002) 5 E) (1200) 5 6. x, 5 ten büyük bir tam sayı olduğuna göre, 3x 3 + 4x + 5 sayısının x tabanındaki karşılığı aşağıdakilerden hangisidir? A) (345) x B) (3045) x C) (30450) x D) (3405) x E) (34005) x 7. Aşağıda verilen sayılardan kaç tanesi tektir? 3. 3 lük sayı tabanındaki (2120) 3 sayısının, onluk tabandaki karşılığının rakamlarının toplamı kaçtır? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 I. (1001) 2 II. (1351) 7 III. (2531) 9 IV. (2056) 8 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) lük sayı tabanındaki (3123) 4 sayısının 7 tabanındaki karşılığının birler basamağındaki rakam kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) sayısını üçlük sayı tabanına göre yazdığımızda, kaç basamaklı bir sayı oluşur? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 196

197 6. BÖLÜM SAYILAR N de Kuvvet - Taban Aritmetiği PEKİŞTİRME TESTİ sayısı 5 lik tabanda yazıldığında, elde edilen sayının rakamları toplamı kaç olur? A) 18 B) 36 C) 40 D) 68 E) Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı olan (abc) 7 sayısında a ile b yer değiştirirse sayı 126 arttığına göre, bu şartlara uyan kaç tane (abc) 7 sayısı vardır? A) 3 B) 7 C) 12 D) 15 E) sayısı 4 tabanında yazılırsa kaç basamaklı bir sayı elde edilir? A) 12 B) 14 C) 17 D) 18 E) sayı tabanını göstermek üzere, (123) 4 sayısının 9 katı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) (4303) 4 B) (1101) 4 C) (3303) 4 D) (2301) 4 E) (1302) x > 2 olmak üzere, (x + 1) 2 ifadesinin x tabanındaki yazılışı aşağıdakilerden hangisidir? A) 101 B) 112 C) 121 D) 144 E) b ve c sayı tabanı olmak üzere, (2a5) b + (3b4) c ifadesinin onluk tabandaki en küçük değeri kaçtır? A) 270 B) 251 C) 208 D) 183 E) ve 4 sayı tabanıdır. ( ab) 3 + ( ba) 3 ( ab) 4 + ( ba) 4 oranı kaçtır? A) 3 B) C) 1 2 D) 1 4 E) ve a sayı tabanıdır. (1a3) 6 (11) a = 58 olduğuna göre, a kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 197

198 6. BÖLÜM SAYILAR N de Kuvvet - Taban Aritmetiği PEKİŞTİRME TESTİ tabanında (514a) sayısı çift sayı olduğuna göre, a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) ve 5 sayı tabanı olmak üzere, (223) 5 = (abcd) 3 olduğuna göre, a + b + c + d toplamı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) b ve c sayı tabanı olmak üzere, (2a4) b + (3b0) c ifadesinin onluk tabandaki en küçük değeri kaçtır? A) 102 B) 170 C) 192 D) 200 E) (5432) 8 (3654) 8 işleminin 8 tabanındaki eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 1010 B) 1156 C) 1556 D) 1350 E) tabanındaki yazılımı (1,02) olan sayının 10 tabanındaki değeri kaçtır? A) 1,02 B) 1,05 C) 1,08 D) 1,2 E) 1, ve 4 sayı tabanı olmak üzere, abc = ( 123) 4 ( 21) 3 olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? A) 10 B) 13 C) 15 D) 18 E) x > 1 olmak üzere, 1 1 x+ x x x sayı tabanı olmak üzere, sayısının 3 x tabanındaki yazılımı nedir? A) 3310 B) 3330 C) 1330 D) 1130 E) 1110 (124) x + (214) x = (340) x olduğuna göre, x kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 1. B 2. D 3. E 4. E 5. D 6. B 7. C 8. A 9. E 10. E 11. C 12. B 13. C 14. C 15. A 16. D 17. E 18. C 19. C 20. A 21. C 22. C 23. D 24. E 198

199 6 BÖLÜM SAYILAR N de Kuvvet - Taban Aritmetiği ÖDEV TESTİ sayı tabanı olmak üzere, (1a4) 7 sayısında, a nın alabileceği kaç değer vardır? tabanındaki 43 sayısının a tabanındaki karşılığı 53 olduğuna göre, a kaçtır? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 2. a ve 6 sayı tabanı olmak üzere, (3a) 5 + (12) a toplamında a nın alacağı değerler toplamı kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) ve 7 sayı tabanı olmak üzere, (a5) 7 = (42) 6 olduğuna göre, a kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) ve a sayı tabanı olmak üzere, (1a3) 6 + (34) a toplama işleminin 10 tabanında eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 80 B) 84 C) 86 D) 88 E) sayı tabanı olmak üzere, (413) 6 + (245) 6 (23) 6 (12) 6 işleminin 6 tabanındaki değeri kaçtır? A) 230 B) 245 C) 315 D) 342 E) sayı tabanı olmak üzere, (11011) 2 sayısının 3 tabanındaki değeri kaçtır? A) 1000 B) 1001 C) 1011 D) 1100 E) sayısının 4 tabanındaki rakamları toplamı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 199

200 6. BÖLÜM SAYILAR N de Kuvvet - Taban Aritmetiği ÖDEV TESTİ Aşağıdaki sayılardan kaç tanesi çift sayıdır? I. (3105) 7 II. (2104) 6 III. (1311) ve 7 sayı tabanı olmak üzere, (542) 6 = (abc) 7 olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 IV. (2201) 5 V. (4321) 9 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) (3102) 9 ifadesi 3 tabanında kaç basamaklıdır? A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) ! sayısı 2 tabanında yazıldığında sondan kaç basamağında sıfır oluşur? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) A = sayısının 8 tabanındaki eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) (1115) 8 B) (1117) 8 C) (1015) 8 D) (10015) 8 E) (10005) x+2 sayısı 2 tabanında yazıldığında 19 basamaklı bir sayı elde edildiğine göre, x tam sayısı kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) abc ve acb üç basamaklı sayılardır. 7 ve 8 sayı tabanı olmak üzere, (abc) 8 (acb) 8 = (60) a ve 10 sayı tabanıdır. olduğuna göre, rakamları farklı üç basamaklı kaç tane abc doğal sayısı yazılabilir? (432) a + (66) 10 = (663) a olduğuna göre, a kaçtır? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) E 2. C 3. D 4. A 5. B 6. C 7. D 8. C 9. B 10. C 11. A 12. C 13. E 14. D 15. C 16. A 200

201 6 BÖLÜM SAYILAR KAVRAMA TESTİ 05 Asal Sayılar - Asal Çarpanlara Ayırma - Bölen Sayısı Hazine Hazine Asal Sayı 1 den büyük olan bir sayma sayısı, kendisinden küçük herhangi bir doğal sayının tam katı değil ise, o sayıya bir asal sayı denir. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,... gibi 1 den büyük asal olmayan doğal sayılara bileşik sayı denir. 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15,... gibi Her bileşik sayı bir takım asal sayıların çarpımı şeklinde tek bir biçimde yazılabilir. Örneğin, 6 = 2 3 (2 ve 3 asal) 10 = 2 5 (2 ve 5 asal) 15 = 3 5 (3 ve 5 asal) Ancak asal sayılar sadece ve sadece 1 ve kendisinin çarpımı biçiminde yazılır. Örneğin, 2 = = = = sayısı hariç her asal sayı tek sayıdır. 1. x asal sayı olmak üzere, Aralarında Asal Sayılar İki pozitif tam sayının ortak pozitif tam sayı böleni sadece 1 ise bu sayılara aralarında asal sayılar denir. 4 ile 9 aralarında asal ancak 4 ile 10 aralarında asal değildirler. 1 ile her sayı aralarında asaldır. Ayrıca a ile b aralarında asal ise a kesri sadeleşemez. b 4. x y ve x + y aralarında asal sayılardır. x y x + y = 6 14 olduğuna göre, x y çarpımı kaçtır? A) 40 B) 25 C) 18 D) 12 E) x ile y pozitif tam sayıları aralarında asaldır. x + y 3 = 2x y 5 olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır? A) 9 B) 8 C) 5 D) 4 E) 3 x = 7 y 5 olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır? A) 3 B) 5 C) 7 D) 8 E) x ve y asal sayılardır. x y = 1 olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır? A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) x, y N + olmak üzere, x 2 y 2 = 13 olduğuna göre, x y çarpımı kaçtır? A) 42 B) 30 C) 20 D) 13 E) 10 Hazine Asal Çarpanlara Ayırma Bir doğal sayının bir takım asal sayıların çarpımı olarak tek türlü yazılabileceğini biliyoruz. Bu yazımı bulmak için yapılan işleme asal çarpanlara ayırma denir. Örneğin, 6 = = = = sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimini bulalım: = Verilen sayının 2, 3, 5, 7, 11,... asallarına bölünüp bölünmediği kontrol edilerek bölme işlemleri sırayla yapılır. 201

202 6. BÖLÜM SAYILAR Asal Sayılar - Asal Çarpanlara Ayırma - Bölen Sayısı KAVRAMA TESTİ sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) sayısının kaç tane pozitif tam sayı böleni çift sayıdır? A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 D) E) x, y ve z birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere, 90 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimi x y 2 z olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır? A) 16 B) 12 C) 10 D) 8 E) sayısının 5 ile bölünmeyen kaç tane tam sayı böleni vardır? A) 12 B) 15 C) 18 D) 21 E) 24 Hazine Bölen Sayısı Bir tam sayının tam olarak bölünebildiği tam sayılara, o sayının bölenleri veya çarpanları denir. p, q ve r birbirinden farklı asal sayılar ve x, y ve z birer doğal sayı olmak üzere, A = p x q y r z biçiminde yazılan A sayısının; Pozitif bölen sayısı: (x + 1) (y + 1) (z + 1) Negatif bölen sayısı: (x + 1) (y + 1) (z + 1) Tam bölen sayısı: 2 (x + 1) (y + 1) (z + 1) Pozitif Bölenlerinin toplamı: x+ 1 y+ z+ p q r p q 1 1 r 1 Bölenlerinin toplamı: 0 Asal bölenlerinin sayısı: 3 (p, q ve r) Asal bölenlerinin toplamı: p + q + r Asal olmayan bölenlerin toplamı: (p + q + r) sayısının kaç tane asal olmayan tam sayı böleni vardır? A) 15 B) 18 C) 30 D) 33 E) x = y 2 eşitliğini sağlayan x ve y pozitif tam sayıları için x + y toplamı en az kaçtır? A) 36 B) 35 C) 34 D) 33 E) sayısının kaç tane pozitif tam sayı böleni vardır? A) 14 B) 12 C) 9 D) 8 E) 6 9. n doğal sayı olmak üzere, 10 6 n sayısının pozitif bölen sayısı 60 olduğuna göre, n kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) x + 22 x + 1 ifadesi x in kaç tam sayı değeri için bir tam sayı olur? A) 6 B) 10 C) 12 D) 15 E) E 2. B 3. A 4. E 5. A 6. C 7. C 8. B 9. D 10. E 11. E 12. D 13. B 14. C 202

203 6 BÖLÜM SAYILAR Asal Sayılar - Asal Çarpanlara Ayırma - Bölen Sayısı PEKİŞTİRME TESTİ x ve y doğal sayılardır. x 2 y 2 = 19 olduğuna göre, x kaçtır? A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) x y ile 5x + y aralarında asaldır. 2x y 15 = 5x + y 48 olduğuna göre, x kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 2. x, y ve z asal sayılar olmak üzere, z = (x y) (3x + 2y) olduğuna göre, z kaçtır? A) 3 B) 5 C) 7 D) 11 E) sayısını bölen kaç tane tam sayı vardır? A) 25 B) 30 C) 36 D) 48 E) p ve q birbirinden farklı asal sayılardır. 3. a, b ve c asal sayılardır. c = 11 a b olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? A) 17 B) 16 C) 15 D) 14 E) 13 A = p 2 q 3 olduğuna göre, A 2 nin pozitif bölen sayısı kaçtır? A) 24 B) 35 C) 50 D) 100 E) Aşağıdaki sayı gruplarından hangisi aralarında asal değildir? A) {2, 5} B) {4, 9} C) {1, 6} D) {12, 15, 25} E) {5, 15, 20} 8. n doğal sayı olmak üzere, n doğal sayısının pozitif bölen sayısı 90 olduğuna göre, n kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 203

204 6. BÖLÜM SAYILAR Asal Sayılar - Asal Çarpanlara Ayırma - Bölen Sayısı PEKİŞTİRME TESTİ sayısının kaç tane asal olmayan pozitif tam sayı böleni vardır? A) 80 B) 77 C) 75 D) 72 E) x = y 3 eşitliğini sağlayan en küçük x pozitif doğal sayısı için, x + y toplamı kaçtır? A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) sayısının kaç tane pozitif çift tam sayı böleni vardır? A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) x + 80 x + 5 ifadesi x in kaç tam sayı değeri için bir doğal sayı olur? A) 24 B) 18 C) 15 D) 12 E) n sayısının 165 tane asal olmayan tam sayı böleni olduğuna göre, n kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) n tane sayısının tam sayı bölen sayısı 396 olduğuna göre, n kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) A = 2 n+2 12 n doğal sayısının asal olmayan pozitif tam bölen sayısının pozitif bölenlerinin toplamı kaçtır? sayısı 106 olduğuna göre, n kaçtır? A) 124 B) 128 C) 130 D) 144 E) 156 A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 1. A 2. E 3. B 4. E 5. C 6. E 7. B 8. E 9. B 10. E 11. D 12. A 13. C 14. C 15. C 16. A 204

205 6 BÖLÜM SAYILAR Asal Sayılar - Asal Çarpanlara Ayırma - Bölen Sayısı ÖDEV TESTİ x ve y iki asal sayı olmak üzere, x + y = sayısının tam bölenleri kaç tanedir? A) 48 B) 46 C) 44 D) 42 E) 40 olduğuna göre, x y farkının en büyük değeri kaçtır? A) 19 B) 18 C) 17 D) 16 E) x + 2y ile 7x 2y aralarında asaldır. 3x + 2y 5 = 7x 2y sayısının pozitif bölenlerinin kaç tanesi 40 ile tam bölünür? A) 2 B) 6 C) 8 D) 12 E) 16 olduğuna göre, x kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) x = y 2 eşitliğini sağlayan en küçük x pozitif doğal sayısı için, x + y toplamı kaçtır? 3. 6 n 27 sayısının asal olmayan tam bölen sayısı 18 olduğuna göre, n doğal sayısı kaçtır? A) 95 B) 100 C) 105 D) 120 E) 124 A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 4. A = olduğuna göre, A sayısının asal olmayan tam bölen sayısı kaçtır? A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) x + 92 x + 4 ifadesi x in kaç tam sayı değeri için bir doğal sayı olur? A) 32 B) 28 C) 15 D) 12 E)

206 6. BÖLÜM SAYILAR Asal Sayılar - Asal Çarpanlara Ayırma - Bölen Sayısı ÖDEV TESTİ A = 10 n 6 n+1 sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı 160 tır. Buna göre, pozitif tam bölenlerinin kaç tanesi 15 in katıdır? A) 72 B) 96 C) 120 D) 132 E) x ve y pozitif tam sayıdır. (x + 3) (y + 2) = 18 olduğuna göre, A = 2 2x+5 3 4y+7 sayısının tam sayı böleni kaç tanedir? A) 36 B) 72 C) 144 D) 280 E) x, y ve z birbirinden farklı asal sayılardır. A = x 3 y z 2 sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin toplamı 12 olduğuna göre, A sayısının en küçük değeri için x + 3y z ifadesinin değeri kaçtır? A) 0 B) 4 C) 12 D) 15 E) x asal ve y tam sayıdır. x y = 504 olduğuna göre, x in alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 5 B) 8 C) 10 D) 12 E) x, y ve z pozitif tam sayılardır. y x = ( 12) z eşitliğini sağlayan 120 tane z sayısı olduğuna göre, y kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) Bir A tam sayısının asal bölenlerinin toplamı 5x 43, asal olmayan tam bölenlerinin toplamı 7 x olduğuna göre, x kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) A tam sayısını tam bölen, pozitif bölen sayısı 4x 27, negatif tam bölen sayısı 3x 5 olduğuna göre, A sayısını tam bölen kaç tane tam sayı vardır? sayısının pozitif tam bölenlerinden kaç tanesi 45 sayısının tam katıdır? A) 48 B) 78 C) 96 D) 104 E) 122 A) 72 B) 36 C) 12 D) 9 E) 1 1. C 2. D 3. E 4. B 5. D 6. D 7. C 8. C 9. B 10. E 11. A 12. E 13. E 14. D 15. C 16. D 206

207 6 BÖLÜM SAYILAR KAVRAMA TESTİ 06 Bölme Hazine Hazine Bölme Özdeşliği Aynı Bölen Üzerinde İşlemler a, b, c, k birer doğal sayı ve b 0 olsun. a, b, c, k, m ve n pozitif tam sayılar olmak üzere, bölünen a b bölen a c b c a > b c bölüm k kalan k m Bölme işleminde; 1. a = b c + k 2. 0 k < b (Kalan bölenden küçüktür.) 3. k = 0 ise, "a, b ye bölünür." şeklinde ifade edilir. 1. a ve b pozitif tam sayılardır. ise; a) a + b nin c ile bölümünden kalan; k + m b) a b nin c ile bölümünden kalan; k m c) a b nin c ile bölümünden kalan; k m d) a n nin c ile bölümünden kalan; k n dir. a 3 b 5 Bulunan sonuç, c den büyükse, bu sonuç c ye bölünür. Negatif ise pozitif olana kadar c eklenir. olduğuna göre, a nın en küçük değeri kaçtır? A) 18 B) 21 C) 23 D) 24 E) a bir pozitif tam sayıdır. a nın 6 ile bölümünden kalan 5 olduğuna göre, a 2 + 3a a ve b pozitif tam sayılardır. a b toplamının 6 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 olduğuna göre, a nın en küçük değeri kaçtır? A) 59 B) 61 C) 65 D) 67 E) a, b ve c pozitif tam sayılardır. a b 3 b c olduğuna göre, a nın alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 43 B) 46 C) 49 D) 51 E) a ve b pozitif tam sayılardır. a nın 7 ile bölümünden kalan 3, b nin 7 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre, a 2 + ab + b 2 toplamının 7 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 207

208 6. BÖLÜM SAYILAR Bölme KAVRAMA TESTİ ABAB7 beş basamaklı sayısı AB iki basamaklı sayısına bölünüyor. Bölüm ile kalanın toplamı kaçtır? A) 107 B) 1017 C) 1107 D) 1117 E) 1007 Hazine Kalanın sıfırdan farklı olduğu bir bölme işleminde, bölünen sayıdan kalan çıkarıldığında kalan sıfır olur. a b a k b c c k A9 üç basamaklı, B3 iki basamaklı bir doğal sayıdır. 2A9 B ile tam bölünen üç basamaklı en büyük sayı kaçtır? A) 999 B) 995 C) 987 D) 975 E) 969 bölme işlemine göre, A + B toplamı kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) x sayısının 7 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi 7 ile tam bölünür? A) 3x + 3 B) 2x + 3 C) 2x 4 D) x + 6 E) 5x ABCD6 beş basamaklı doğal sayısının 20 ile bölümünden elde edilen kalan iki basamaklı XY doğal sayısıdır. Buna göre, XY kaçtır? A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) sayısına en az kaç eklendiğinde sayı 43 ile tam bölünür? A) 2 B) 13 C) 29 D) 35 E) abc3 sayısının 7 ile bölümünden kalan 5 olduğuna göre, ab03 sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır? ile bölündüğünde 2 kalanını veren tüm iki basamaklı doğal sayıların toplamı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 A) 265 B) 243 C) 207 D) 187 E) C 2. E 3. E 4. B 5. A 6. B 7. A 8. D 9. A 10. C 11. E 12. A 13. A 208

209 6 BÖLÜM SAYILAR Bölme PEKİŞTİRME TESTİ A 5. A ve B pozitif tam sayılardır. 2 Yukarıdaki bölme işleminde a bir rakamdır. Buna göre, a kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 A 2B 7 10 B + 1 Yukarıdaki bölme işlemine göre, A en az kaçtır? A) 104 B) 120 C) 124 D) 128 E) a 2 Yukarıdaki bölme işleminde a bir rakamdır. Buna göre, a aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 6. A, B ve C pozitif tam sayılardır. A B 6 B C Yukarıdaki bölme işlemine göre, A en az kaçtır? A) 20 B) 128 C) 142 D) 186 E) Yedi basamaklı sayısı üç basamaklı 17 sayısına bölündüğünde bölüm kaç olur? A) 1010 B) C) D) E) B > 3 olmak üzere, A 3 B 2 C 9 yukarıdaki bölme işlemine göre, A sayısının 6 ile bölümünde, bölüm aşağıdakilerden hangisidir? A) B C + 9 B) 2 C + 3 C) 6 B C + 9 D) B C A ve B pozitif tam sayılardır. E) B C + 1 A B + 3 B Yukarıdaki bölme işlemine göre, A en az kaç olur? A) 30 B) 33 C) 35 D) 37 E) Toplamları 80 olan pozitif iki tam sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 2, kalan 11 dir. Buna göre, küçük sayı kaçtır? A) 15 B) 17 C) 19 D) 21 E)

210 6. BÖLÜM SAYILAR Bölme PEKİŞTİRME TESTİ A, B, C pozitif tam sayılardır. 13. ab ile ba iki basamaklı doğal sayılardır. A B B C ab ba olduğuna göre, A sayısının 6 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Yukarıdaki bölme işlemine göre, a + b toplamı kaçtır? A) 8 B) 9 C) 10 D) 14 E) ABCD9 beş basamaklı bir doğal sayıdır. 10. A doğal sayısının 13 ile bölümünden kalan 5 tir. Buna göre, A 2 + A + 3 toplamının 13 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 7 E) 8 ABCD9 28 XY Yukarıda verilen bölme işlemine göre, kaç tane iki basamaklı XY doğal sayısı vardır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) A, B ve K pozitif tam sayılardır ile bölündüğünde 3 kalanını veren üç basamaklı en büyük sayının rakamları toplamı kaçtır? A) 21 B) 20 C) 19 D) 18 E) 17 A B 3 7 A 7 B K 2 Yukarıdaki bölme işlemlerine göre, K kaçtır? A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) A, B ve C pozitif tam sayılardır. 12. x ve y pozitif tam sayılardır. x y 3 y 13 2y Yukarıdaki bölme işleminde bölüm ile bölen yer değiştirdiğinde kalan değişmediğine göre, bölünen sayının en küçük değeri kaçtır? A) 17 B) 19 C) 21 D) 25 E) 27 A 4 1. A 2. E 3. D 4. C 5. B 6. E 7. E 8. E 9. E 10. D 11. B 12. A 13. C 14. E 15. D 16. C 3 B olduğuna göre, C nin A cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) A 10 4 D) 4 A 3 6 B 7 B) 2 A 21 4 C 6 E) 24 A 5 7 C) A

211 6 BÖLÜM SAYILAR Bölme ÖDEV TESTİ x ve y pozitif tam sayılardır. x y + 2 y Yukarıdaki bölme işlemine göre, x en az kaçtır? A) 20 B) 33 C) 45 D) 54 E) A B 5 B C Yukarıdaki bölme işlemlerinde A, B, C harfleri birer pozitif tam sayıyı göstermektedir. Buna göre, A + B + C + 5 5C + 10 işleminin sonucu kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 9 2. A ve B pozitif tam sayılardır. A 63 B 3 B olduğuna göre, A nın alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 220 B) 216 C) 204 D) 198 E) ab iki basamaklı bir sayı olmak üzere, ab a + b 4 3 olduğuna göre, ab iki basamaklı sayısının en büyük değeri kaçtır? A) 95 B) 72 C) 63 D) 59 E) Dört basamaklı ABCD sayısı, üç basamaklı ABC sayısına bölündüğünde bölüm ile kalanın toplamı 15 olduğuna göre, D rakamı kaçtır? A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) x ve y pozitif tam sayılardır. x sayısının (y + 7) ile bölümünden bölüm y, kalan (y + 4) tür. Buna göre, x in (y + 8) ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) y + 3 B) y + 1 C) y D) 4 E) a 17 8 Yukarıdaki bölme işleminde a bir rakamdır. Buna göre, a aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 8. A ve B pozitif tam sayılardır. A nın 11 ile bölümünden kalan 7, B nin 11 ile bölümünden kalan 5 tir. Buna göre, A 2 + AB + B 2 toplamının 11 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 1 B) 5 C) 6 D) 9 E)

212 6. BÖLÜM SAYILAR Bölme ÖDEV TESTİ a, b, c pozitif tam sayılardır. 13. ab rakamları farklı iki basamaklı doğal sayıdır. a b b 4 85 ab c? 7 Yukarıdaki bölme işlemlerine göre, a sayısının 14 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 13 B) 11 C) 7 D) 4 E) 1 Yukarıdaki bölme işleminde kalan ne olur? A) 8 B) 6 C) 5 D) 4 E) AB, BA iki basamaklı doğal sayılardır. 10. AB ve CD iki basamaklı doğal sayılardır. 63 AB C 84 D AB Yukarıdaki kalansız bölme işlemlerine göre, (AB) (CD) çarpımı kaçtır? A) 714 B) 780 C) 810 D) 840 E) 920 AB BA 1 27 Yukarıdaki bölme işlemine göre, AB iki basamaklı sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 52 B) 57 C) 63 D) 64 E) ABC7 dört basamaklı bir doğal sayıdır ile bölündüğünde 2 kalanını veren üç basamaklı rakamları farklı en büyük pozitif tam sayının rakamları toplamı kaçtır? A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 25 ABC7 24 XY Yukarıda verilen bölme işlemine göre, kaç tane iki basamaklı XY doğal sayısı vardır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) Aşağıdaki bölme işlemlerinden hangilerinde bölen ile bölümün yerleri değiştirilirse kalan değişmez? 16. n bir doğal sayıdır. A 5n + 16 I II III 2 n! A 13 B 9 C Yukarıdaki bölme işleminde n bir doğal sayıdır Buna göre, A nın alabileceği en büyük değer kaçtır? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III A) 100 B) 96 C) 90 D) 82 E) E 2. B 3. B 4. E 5. C 6. D 7. D 8. E 9. B 10. A 11. A 12. A 13. E 14. C 15. D 16. B 212

213 6 BÖLÜM SAYILAR KAVRAMA TESTİ 07 Bölünebilme Hazine 4. 4A6B dört basamaklı, rakamları farklı hem 2 hem de 3 ile bölünebilen bir sayıdır. 2 ve 3 ile Bölünebilme 2 ile bölünebilme: Bir doğal sayının son rakamı çift ise, o doğal sayı 2 ile tam bölünür. Örneğin; 4578 sayısının son rakamı 8 (çift) olduğundan bu sayı 2 ile tam bölünür. Ancak 7463 sayısının son rakamı 3 (tek) olduğundan 2 ile tam bölünmez. 3 ile bölünebilme: Bir doğal sayının rakamları toplamı 3 ün katı ise, o sayı 3 ile tam bölünür. Bir sayının 3 ile bölümünden kalanı bulmak için rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalana bakılabilir. Örneğin; 1578 sayısının rakamlarını toplayalım: = 21 ve 21 in rakamları toplamı = 3 sayısı 3 ile tam bölündüğünden 1578 sayısı da 3 ile tam bölünür sayısının rakamları toplamı, = ün rakamları toplamı = 5 tir. 5 in 3 ile bölümünden kalan 2 olduğundan 3578 sayısının da 3 ile bölümünden kalan 2 olur a beş basamaklı rakamları farklı bir doğal sayıdır. Bu sayı 2 ile tam bölünebildiğine göre, a nın alacağı değerler toplamı kaçtır? A) 22 B) 14 C) 12 D) 6 E) a43, 3 ile bölünebilen rakamları farklı beş basmaklı bir doğal sayıdır. Buna göre, a nın alacağı değerler toplamı kaçtır? A) 7 B) 10 C) 13 D) 15 E) 17 Buna göre, A + B toplamı en çok kaçtır? A) 17 B) 15 C) 13 D) 11 E) 9 Hazine 4 ve 5 ile Bölünebilme 4 ile bölünebilme: Bir sayının son iki basamağı 4 ile tam bölünüyorsa verilen sayı 4 ile tam bölünür. Sayının 4 ile bölümünden kalanı bulmak için son iki basamağının 4 ile bölümünden kalana bakılır. Örneğin, sayısının son iki basamağı olan 12, 4 ile tam bölündüğünden sayısı 4 ile tam bölünür sayısının son iki basamağı olan 21 in 4 ile bölümünden kalan 1 olduğundan 4321 sayısının da 4 ile bölümünden kalan 1 dir. 5 ile bölünebilme: Birler basamağı 0 ve 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür. Bir sayının 5 ile bölümünden kalanı bulmak için de birler basamağına bakılır. Örneğin, sayısı 5 ile tam bölünür sayısının 5 ile bölümünden kalan 3 tür sayısının 5 ile bölümünden kalan 6 nın 5 ile bölümünden kalan olan 1 dir a dört basamaklı, 4 ile tam bölünen bir sayıdır. Buna göre, a nın alacağı değerler toplamı kaçtır? A) 14 B) 12 C) 10 D) 8 E) a5 beş basamaklı sayısının 3 ile bölümünden kalan 2 dir. Buna göre, a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) a dört basamaklı sayısının 4 ile bölümünden kalan 3 tür. Buna göre, a nın alacağı değerler toplamı kaçtır? A) 7 B) 9 C) 10 D) 12 E)

214 6. BÖLÜM SAYILAR Bölünebilme KAVRAMA TESTİ Dört basamaklı 15ab sayısı 5 ile bölündüğünde 1 kalanını vermektedir. Bu sayı 4 ile tam bölünebildiğine göre, a nın alacağı değerler toplamı kaçtır? A) 9 B) 10 C) 21 D) 23 E) Altı basamaklı 28975a doğal sayısı 8 ile tam bölünmektedir. Buna göre, a nın değeri kaçtır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) ab dört basamaklı rakamları farklı 3 ve 5 ile tam bölünen bir sayıdır. Buna göre, a nın alacağı kaç farklı değer vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) a altı basamaklı sayısı 9 ile tam bölünebilmektedir. Buna göre, a nın değeri kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) ab dört basamaklı sayısının 3 ve 5 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre, a nın alacağı farklı değerler toplamı kaçtır? A) 33 B) 30 C) 27 D) 24 E) 18 Hazine 8 ve 9 ile Bölünebilme 8 ile bölünebilme: Bir doğal sayının son üç basamağı 8 ile tam bölünüyorsa o sayı 8 ile tam bölünür. Sayının 8 ile bölümünden kalanı bulmak için son üç basamağın 8 ile bölümünden kalanı bulmak yeterlidir. Bir doğal sayının son üç basamağı DEF olsun. 4D + 2E + F toplamı 8 ile tam bölünüyorsa sayı da 8 ile tam bölünür. Örneğin; sayısının son üç basamağı 654 için, = 38 sayısının 8 ile bölümünden kalan 6 olduğundan sayısının da 8 ile bölümünden kalan 6 dır. 9 ile bölünebilme: Bir doğal sayının rakamları toplamı 9 un tam katı ise o sayı 9 ile tam bölünür. Aynı şekilde bir doğal sayının rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalan, o sayının 9 ile bölümünden kalanı verir. Örneğin; 3456 sayısının rakamları toplamı = 18, 18 in rakamları toplamı olan = 9 sayısı 9 ile tam bölündüğünden 3456 sayısı da 9 ile tam bölünür a2b beş basamaklı sayısı 5 ve 9 ile tam bölünmektedir. Buna göre, a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) basamaklı sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) ( ) 2 ( ) 2 20 basamaklı 20 basamaklı çarpımının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 0 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 214

215 07 6. BÖLÜM SAYILAR Bölünebilme KAVRAMA TESTİ Hazine 10 ve 11 ile Bölünebilme 10 ile bölünebilme: Bir sayının 10 ile tam bölünebilmesi için birler basamağı 0 olmalıdır. Sayının 10 ile bölümünden kalan ise birler basamağındaki rakamdır. Örneğin; sayısı 10 ile tam bölünür sayısının 10 ile bölümünden kalan 6 dır. 11 ile bölünebilme: Bir abcdef sayısı için birler basamağından başlayarak her basamak +, diye gruplandırılır a b c d e f = (b + d + f) (a + c + e) işleminin sonucu 0 ya da 11 in katı ise sayı 11 ile tam bölünür. Örneğin; sayısı, (4 + 7) (5 + 6) = olduğundan, 11 ile tam bölünür. Eğer yapılan işlemin sonucu pozitif ise, toplam sonucunun 11 ile bölümünden kalan sayının 11 ile bölümünden kalana eşittir. Sonuç negatif ise, sonuç pozitif oluncaya kadar toplamın sonucuna 11 eklenir. Örneğin; sayısı için ( ) (9 + 3) = olduğundan sayının 11 ile bölümünden kalan 3 tür sayısı için ( ) (5 + 7) = = 3 olduğundan sayının 11 ile bölümünden kalan 3 tür ab dört basamaklı sayısı 3 ve 10 ile tam bölünmektedir. Buna göre, a nın alacağı değerler toplamı kaçtır? A) 9 B) 12 C) 15 D) 18 E) Altı basamaklı 35a247 sayısı 11 ile tam bölünmektedir. Buna göre, a kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) Beş basamaklı 465a2 sayısı 11 ile bölündüğünde 5 kalanını vermektedir. Buna göre, a kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Hazine Bir doğal sayıyı bölen sayı, asal değilse aralarında asal çarpanlarına ayrılır ve tek tek bölünebilme kuralları uygulanır. 6 ile bölünebilme için; 2 ve 3 12 ile bölünebilme için; 3 ve 4 15 ile bölünebilme için; 3 ve 5 30 ile bölünebilme için; 3 ve ile bölünebilme için; 5 ve 9 ile bölünebilme kuralları uygulanır a1b dört basamaklı sayısı 15 ile tam bölünebildiğine göre, a + b toplamı en fazla kaçtır? A) 9 B) 11 C) 12 D) 13 E) a5b beş basamaklı sayısı 12 ile tam bölünebildiğine göre, (a + b) toplamı kaç farklı değer alır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) a3b beş basamaklı sayısının 10 ile bölümünden kalan 4 tür. Bu sayı 9 ile tam bölündüğüne göre, a nın alacağı değerler toplamı kaçtır? a7b altı basamaklı sayısı 90 ile tam bölünmektedir. Buna göre, a kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 1. C 2. B 3. A 4. A 5. B 6. E 7. E 8. A 9. A 10. A 11. E 12. E 13. B 14. C 15. C 16. E 17. B 18. A 19. D 20. B 21. A 215

216 6 BÖLÜM SAYILAR Bölünebilme PEKİŞTİRME TESTİ Dört basamaklı 2a43 sayısı 3 ile tam bölünebildiğine göre, a nın alacağı kaç farklı değer alır? A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0 5. Rakamları farklı beş basamaklı 64a3b sayısının 9 ile bölümünden kalan 4, aynı sayının 5 ile bölümünden kalan 3 tür. Buna göre, b a farkı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 2. Beş basamaklı 32a4b sayısı 12 ile tam bölünebildiğine göre, a + b toplamı en fazla kaçtır? A) 16 B) 15 C) 14 D) 13 E) Üç basamaklı a5b sayısı 6 ile kalansız bölünebilmektedir. Aynı sayı 5 ile bölündüğünde kalan 4 olduğuna göre, a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) a < b olmak üzere, üç basamaklı 7ab sayısı 6 ile tam bölünebildiğine göre, kaç tane 7ab sayısı yazılabilir? A) 3 B) 5 C) 7 D) 11 E) Bir A sayısının rakamlarının sayı değerlerinin toplamı 23 tür. Buna göre, A 2 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 4. Rakamları farklı beş basamaklı 532ab sayısı 20 ile tam bölünebildiğine göre, a nın alacağı kaç farklı değer vardır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 8. Rakamları farklı 4 basamaklı 7a3b sayısı 5 ile tam olarak bölünebilmektedir. Buna göre, a + b toplamı en fazla kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E)

217 6. BÖLÜM SAYILAR Bölünebilme PEKİŞTİRME TESTİ Dört basamaklı 38ab sayısının 5 ile bölümünden kalan 1 dir. Bu sayı 6 ile tam bölünebildiğine göre, a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 5 B) 7 C) 9 D) 12 E) A = sayısı veriliyor. Buna göre, 3A 2 + 7A + 5 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 0 B) 2 C) 5 D) 7 E) Üç basamaklı 5ab sayısının 9 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre, beş basamaklı 2aabb sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) Dört basamaklı 2a7b sayısının 45 ile bölümünden kalan 13 olduğuna göre, a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) Dört basamaklı 3a57 sayısı 11 ile tam bölündüğüne göre, a kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) Beş basamaklı 75a3b sayısı 55 ile tam bölündüğüne göre, a nın alacağı değerler toplamı kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) a < b olmak üzere, dört basamaklı 25ab sayısı 4 ile tam bölünebildiğine göre, kaç farklı 25ab sayısı yazılabilir? A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) abb beş basamaklı doğal sayısı 36 ile tam bölünebildiğine göre, x in alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 217

218 6. BÖLÜM SAYILAR Bölünebilme PEKİŞTİRME TESTİ Rakamları farklı 1x2y dört basamaklı doğal sayısı 36 ile bölündüğünde kalan 3 tür. Buna göre, bu sayının rakamları toplamı kaçtır? A) 15 B) 12 C) 10 D) 9 E) Rakamları farklı beş basamaklı a275b sayısının 12 ile bölümünden kalan 1 olduğuna göre, a kaç farklı değer alır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) ( ) 9163 sayısının 5 ile bölümünden kalan A, 9 ile bölümünden kalan B olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? 22. Dört basamaklı 25ab sayısı 80 ile tam bölünebildiğine göre, a kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) A = {x: 11 < x < 93, x = 3k, k Z} B = {x: 19 < x < 104, x = 5k, k Z} olmak üzere, s(a B) kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) Rakamları farklı a7b2 sayısı 44 ile tam bölündüğüne göre, a nın alacağı farklı değerler toplamı kaçtır? A) 20 B) 19 C) 18 D) 17 E) Bir sayının 30 ile bölümünden kalan 29 dur. 24. Üç basamaklı ABC sayısının 7 ile bölümünden kalan 4 tür. Bu sayının 3, 5 ve 9 ile ayrı ayrı bölümünden elde edilen kalanların toplamı kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 Buna göre, ABC3 dört basamaklı sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 1. A 2. B 3. C 4. C 5. E 6. E 7. D 8. A 9. D 10. A 11. B 12. C 13. C 14. C 15. A 16. E 17. B 18. C 19. B 20. D 21. A 22. B 23. C 24. E 218

219 6 BÖLÜM SAYILAR Bölünebilme ÖDEV TESTİ Rakamları farklı, dört basamaklı 5a3b sayısı 5 ile tam bölünmektedir. Buna göre, a + b toplamı en fazla kaçtır? A) 7 B) 9 C) 13 D) 14 E) Dört basamaklı 6a2b sayısının 10 ile bölümünden kalan 5 ve 9 ile bölümünden kalan 6 olduğuna göre, a kaçtır? A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 8 2. ( ) 2459 işleminin sonucunda elde edilen sayının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? 6. Rakamları farklı 7a1b sayısının 36 ile bölümünden kalan 15 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11 A) 0 B) 3 C) 5 D) 6 E) 8 7. A = yedi basamaklı bir sayıdır. 3. Dört basamaklı 53a6 sayısı 9 ile tam bölünmektedir. Buna göre, a kaçtır? (A 2 5) sayısının 11 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 0 B) 3 C) 5 D) 6 E) 8 A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) a ve 52b üç basamaklı sayılardır. 4. Dört basamaklı, rakamları farklı 42a1 sayısının 3 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre, a kaçtır? A) 1 B) 4 C) 5 D) 7 E) 8 (23a) (52b) çarpımı 6 ile tam bölündüğüne göre, (a + b) toplamının en büyük değeri kaçtır? A) 13 B) 15 C) 16 D) 17 E)

220 6. BÖLÜM SAYILAR Bölünebilme ÖDEV TESTİ Üç basamaklı abc sayısı 18 ile tam bölünebildiğine göre, 2ab3c sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) Rakamları birbirinden farklı beş basamaklı 32A5B sayısının 9 ile bölümünden kalan 5, aynı sayının 5 ile bölümünden kalan 2 dir. Buna göre, A + B toplamı kaçtır? A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) basamaklı sayısının 8 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) Beş basamaklı 731ab sayısı 30 ile bölünebildiğine göre, a nın alacağı değerler çarpımı kaçtır? A) 18 B) 21 C) 28 D) 30 E) ABC16 beş basamaklı, KL iki basamaklı doğal sayılardır. ABC16 36 KL olduğuna göre, KL nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 132 B) 128 C) 120 D) 116 E) Üç basamaklı 75A sayısının 9 ile bölümünden elde edilen kalan 5 ve üç basamaklı 2AB sayısının 9 ile bölümünden kalan 3 tür. Buna göre, üç basamaklı BAA sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) Dört basamaklı, rakamları farklı 7a3b sayısının 15 ile bölümünden kalan 7 olduğuna göre, a kaç farklı değer alır? 16. Rakamları farklı 6a31b sayısının 45 ile bölümünden kalan 19 olduğuna göre, a nın alacağı değerler toplamı kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 1. b 2. e 3. a 4. d 5. a 6. c 7. d 8. d 9. b 10. e 11. a 12. d 13. a 14. c 15. a 16. b 220

221 6 BÖLÜM Hazine SAYILAR KAVRAMA TESTİ 08 OBEB - OKEK 1. OBEB(24, 30) + OKEK(24, 30) toplamının sonucu kaçtır? OBEB - OKEK a ve b pozitif doğal sayılarının ortak bölünebildiği doğal sayılardan en büyüğüne a ve b sayılarının ortak bölenlerinin en büyüğü denir ve OBEB(a, b) ile gösterilir. Örneğin, 12 ve 18 sayılarının ortak bölünebildiği en büyük doğal sayı 6 olduğundan, OBEB(12, 18) = 6 olur. A) 126 B) 132 C) 246 D) 248 E) OBEB(72, 96, 120) kaçtır? A) 12 B) 18 C) 24 D) 36 E) 48 a ve b pozitif doğal sayılarının birbirine eşit ortak katlarının en küçüğüne a ve b sayılarının ortak katlarının en küçüğü denir ve OKEK(a, b) ile gösterilir. Örneğin, 12 ve 18 sayılarının her ikisinin de ortak katı olan en küçük sayı 36 olduğundan, OKEK(12, 18) = 36 olur. Hazine a ve b doğal sayıları için OBEB(a, b) = 1 ise a ve b aralarında asaldır denir. Hazine OBEB - OKEK Nasıl Bulunur? a ve b pozitif doğal sayılarının OBEB ve OKEK ini bulmak için aşağıdaki adımlar takip edilir: 1. a ve b asal çarpanlarına ayrılır. 2. Ortak olan asal çarpanlardan üssü en küçük olanlar alınır ve bu sayılar kendi aralarında çarpılarak OBEB(a, b) bulunur. Diğer yandan, ortak olan asal çarpanlardan üssü en büyük olanlar ve ortak olmayanların hepsi alınır ve bu sayılar kendi aralarında çarpılarak OKEK(a, b) bulunur. Örneğin, 48 ve 60 sayılarının OBEB ve OKEK ini hesaplayalım. 48 = = OBEB(48, 60) = = 12 OKEK(48, 60) = = 240 olur. Aşağıdaki tabloyu inceleyiniz. Sayılar (a ve b) OBEB(a, b) Aralarında asal 3 ve 5 1 Evet 8 ve 15 1 Evet 3 ve 15 3 Hayır a ile b aralarında asal ise a kesri sadeleşemez. b Örneğin, a b = 4 ifadesinde a ile b aralarında asal ise 7 a = 4 ve b = 7 dir; çünkü 4 ile 7 aralarında asaldır. 3. 2b a ve a + b aralarında asal sayılardır. 2b a 13 = a + b 11 olduğuna göre, a b çarpımı kaçtır? A) 12 B) 15 C) 18 D) 21 E)

222 6. BÖLÜM SAYILAR OBEB - OKEK KAVRAMA TESTİ 08 Hazine Hazine a ve b pozitif doğal sayılar için, OBEB(a, b) = n ise a = n k ve b = n m biçiminde yazılabilir ve burada k ve m aralarında asaldır. Örneğin, OBEB(a, b) = 6 ise, a = 6k, b = 6m ve k ve m aralarında asaldır. OKEK(a, b) = n ise a k = b m = n biçiminde yazılabilir ve k ve m aralarında asaldır. Örneğin, OKEK(a, b) = 24 ise, a k = b m = 24, yani a = 24, b = 24 ve k ve m k m aralarında asaldır. 4. OBEB(a, b) = 6 a + b = 54 İki pozitif doğal sayının çarpımı OBEB ile OKEK inin çarpımına eşittir. Yani, a, b N + ise, a b = OBEB(a, b) OKEK(a, b) Buna göre, a ile b aralarında asal ise, OBEB(a, b) = 1 olacağından, a b = OKEK(a, b) olur. 7. a b = OKEK( a, b) + = 40 OBEB( a, b) olduğuna göre, OKEK(a, b) kaçtır? A) 3 B) 6 C) 12 D) 18 E) 36 olduğuna göre, a b çarpımı en az kaçtır? A) 288 B) 360 C) 504 D) 540 E) 1260 Hazine Bir bütünü eş parçalara ayırmak istediğimizde, bütünün boyutlarının OBEB ini hesaplarız. Örneğin, boyutları 18 birim ve 24 birim olan dikdörtgen şeklindeki bir tarlanın en az kaç tane eş karesel bölgeye ayrılabileceğini bulalım. 5. OBEB(a, b) = 4 a b = 80 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? OBEB(18, 24) = 6 olduğundan karesel bölgenin bir kenarının uzunluğu 6 birim olur. Buna göre, elde edilecek karesel bölgelerin sayısı en az, Dikdörtgenin alanı = = 12 olur. Karenin alanı 6 6 A) 12 B) 16 C) 20 D) 24 E) 28 Diğer taraftan, eş parçaları birleştirip, eş boyutlara sahip bir bütün oluşturmak istediğimizde, eş parçaların boyutlarının OKEK ini alırız. Örneğin, boyutları 1 birim, 2 birim ve 3 birim olan dikdörtgenler prizması şeklindeki kutuların en az kaç tanesiyle bir küp elde edileceğini bulalım. 6. OKEK i 60 olan iki doğal sayının toplamı 32 olduğuna göre, büyük sayı küçük sayıdan kaç fazladır? OKEK(1, 2, 3) = 6 olduğundan, küpün bir kenarının uzunluğu 6 birimdir. Buna göre, gereken prizma (kutu) sayısı en az, Küpün hacmi 6 = 6 6 = 36 olur. A) 2 B) 3 C) 6 D) 8 E) 10 Dikdörtgenler prizmasının hacmi A 2. C 3. E 4. A 5. D 6. D 7. E 222

223 6 BÖLÜM SAYILAR OBEB - OKEK PEKİŞTİRME TESTİ x ve y aralarında asal sayılar olmak üzere, x + 2y 38 = y 15 olduğuna göre, y x farkı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) x + y = 36 OBEB(x, y) = 3 olduğuna göre, kaç farklı (x, y) sıralı ikilisi vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) a + 3 ve 2b + 3 aralarında asal sayılar olmak üzere, 3a = 2b olduğuna göre, a b çarpımı kaçtır? A) 13 B) 14 C) 23 D) 28 E) OBEB(9, x) = 3 OKEK(9, x) = 72 olduğuna göre, x doğal sayısı kaçtır? A) 12 B) 18 C) 21 D) 24 E) a ve b aralarında asal sayılar olmak üzere, a b = 124 eşitliğini sağlayan kaç farklı (a, b) sıralı ikilisi vardır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 7. OBEB(x, y) = 7 OKEK(x, y) = 84 olduğuna göre, x y çarpımı kaçtır? A) 504 B) 544 C) 568 D) 588 E) a pozitif bir tam sayıdır. OBEB(24, 40, a) = 4 OKEK(24, 40, a) = 120 olduğuna göre, a nın en büyük değeri kaçtır? A) 4 B) 10 C) 12 D) 20 E) OKEK i 36 olan birbirinden farklı üç doğal sayının toplamı en çok kaçtır? A) 66 B) 69 C) 72 D) 96 E)

224 6. BÖLÜM SAYILAR OBEB - OKEK PEKİŞTİRME TESTİ Boyutları 36 metre ve 64 metre olan dikdörtgen şeklindeki bir kumaş, birbirine eşit kare şeklinde parçalara ayrılmak isteniyor. Buna göre, en az kaç kumaş parçası elde edilir? A) 144 B) 124 C) 106 D) 98 E) Boyutları 12 cm ve 21 cm olan dikdörtgen şeklindeki kutular yan yana getirilerek kare şeklindeki bir kutu oluşturulmak isteniyor. Buna göre, en az kaç kutu gereklidir? A) 84 B) 42 C) 36 D) 28 E) Biri 60 cm, diğeri 75 cm olan iki metal şerit birbirine eşit parçalara bölünmek isteniyor. Buna göre, en az kaç parça elde edilir? A) 9 B) 12 C) 15 D) 18 E) Bir bahçenin fıskiyeleri sırasıyla 5, 9 ve 10 dakikada bir su fışkırtmaktadır. 3 fıskiye birlikte su fışkırttıktan en az kaç dakika sonra tekrar birlikte su fışkırtır? A) 16 B) 30 C) 60 D) 75 E) Boyutları 3 mm, 6 mm ve 8 mm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki şekerlerin en az kaç tanesiyle bir küp oluşturulabilir? A) 24 B) 36 C) 48 D) 64 E) Boyutları 30 m ve 45 m olan bir bahçenin etrafına her köşesinde bir ağaç olmak koşuluyla, eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. Buna göre, en az kaç ağaç gereklidir? A) 5 B) 10 C) 12 D) 15 E) kg ve 42 kg toz şeker birbirine karıştırılmadan ve hiç artmayacak şekilde eşit hacimli kutulara konulacaktır. Buna göre, en az kaç kutu gereklidir? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) Boyutları 12 cm, 18 cm ve 24 cm olan üçgen şeklindeki bir kağıdın çevresine ve köşelerine eşit aralıklarla birer işaret konulacaktır. Buna göre, en az kaç işaret konulur? A) 6 B) 8 C) 9 D) 15 E)

225 6. BÖLÜM SAYILAR OBEB - OKEK PEKİŞTİRME TESTİ a pozitif bir tam sayı olmak üzere, OBEB(a, 13) = 5 OKEK(a, 13) = 78 olduğuna göre, a kaçtır? A) 6 B) 10 C) 15 D) 25 E) x y = 648 OBEB(x, y) = 6 olduğuna göre, kaç farklı (x, y) sıralı ikilisi vardır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) x + 5 ve 3y 3 aralarında asal sayılar olmak üzere, x + 5 3y 3 = olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) OBEB(x, y) = 3 OKEK(x, y) = 48 olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır? A) 17 B) 48 C) 51 D) 72 E) OKEK i 42 olan iki sayının toplamı en çok kaç olabilir? A) 26 B) 28 C) 56 D) 63 E) , 4, 5 ile bölündüğünde sırası ile 2, 3, 4 kalanını veren üç basamaklı en küçük doğal sayı kaçtır? A) 104 B) 109 C) 114 D) 119 E) Boyutları 30 cm ve 42 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir elişi kağıdı hiç artmayacak şekilde eşit karelere bölünecektir. Buna göre, en az kaç kare elde edilir? A) 35 B) 30 C) 24 D) 12 E) , 6 ve 8 ile bölündüğünde her seferinde 1 kalanını veren üç basamaklı en küçük doğal sayı kaçtır? A) 49 B) 91 C) 119 D) 121 E) A 2. E 3. C 4. E 5. D 6. D 7. D 8. A 9. A 10. A 11. E 12. A 13. D 14. E 15. B 16. C 17. E 18. D 19. E 20. A 21. D 22. C 23. D 24. D 225

226 6 BÖLÜM SAYILAR OBEB - OKEK ÖDEV TESTİ OBEB(a, b) = 6 OKEK(a, b) = 132 olduğuna göre, a + b toplamının en büyük değeri kaçtır? A) 132 B) 136 C) 138 D) 140 E) a bir doğal sayı olmak üzere, OBEB(a, 36, 48) = 12 OKEK(a, 36, 48) = 144 olduğuna göre, a nın alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin toplamı kaçtır? A) 48 B) 84 C) 124 D) 156 E) a ve b aralarında asal sayılar olmak üzere, OBEB(a, b) + OKEK(a, b) = 307 olduğuna göre, a + b toplamının en küçük değeri kaçtır? A) 18 B) 24 C) 27 D) 32 E) x = y = z = olduğuna göre, OKEK(x, y, z) OBEB(x, y, z) kaçtır? A) B) C) D) E) b > a olmak üzere, OBEB(a, b) = 5 a + b = 60 olduğuna göre, a nın en büyük değeri kaçtır? A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) OBEB(x, y) = 5 x y = 8 3 olduğuna göre, x y farkı kaçtır? A) 55 B) 45 C) 40 D) 30 E) OKEK(a, b) = a bir tam sayı olmak üzere, a > 8 dir. a + b = 84 olduğuna göre, bu sayılardan küçük olanı kaçtır? A) 27 B) 30 C) 36 D) 42 E) 54 OBEB(a + 22, a + 13) = a 5 olduğuna göre, bu sayılardan büyük olanı kaçtır? A) 36 B) 35 C) 32 D) 28 E)

227 6. BÖLÜM SAYILAR OBEB - OKEK ÖDEV TESTİ , 4 ve 6 ile bölündüğünde 2 kalanını veren iki basamaklı en büyük sayı kaçtır? A) 99 B) 98 C) 97 D) 96 E) ile bölündüğünde 4, 7 ile bölündüğünde 3 ve 9 ile bölündüğünde 1 kalanını veren en küçük doğal sayı kaçtır? A) 94 B) 118 C) 134 D) 136 E) x, y, z doğal sayılar olmak üzere, U = 4x + 3 = 5y + 3 = 7z + 3 olduğuna göre, üç basamaklı en büyük U değeri kaçtır? A) 979 B) 980 C) 981 D) 982 E) x, y, z doğal sayılar olmak üzere, U = 2x + 5 = 3y + 1 = 5z 4 olduğuna göre, iki basamaklı en büyük U değeri kaçtır? A) 91 B) 92 C) 93 D) 94 E) a, b, c doğal sayılar olmak üzere, U = 4a + 1 = 5b x, y, z doğal sayılar olmak üzere, U = 2x + 1 = 5y + 4 = 8z + 7 olduğuna göre, en küçük U değeri kaçtır? olduğuna göre, üç basamaklı en küçük U sayısı kaçtır? A) 103 B) 108 C) 109 D) 113 E) 118 A) 35 B) 36 C) 37 D) 38 E) Bir çocuk torbasındaki cevizleri beşer beşer saydığında a, üçer üçer saydığında b tane artmaktadır ile bölündüğünde 2, 5 ile bölündüğünde 3, 6 ile bölündüğünde 4 kalanını veren 200 ile 500 arasında kaç farklı sayı vardır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Cevizlerin sayısının 80 ile 90 arasında olduğu bilindiğine göre, cevizlerin sayısı kaçtır? (b > a ve a 0) A) 82 B) 83 C) 84 D) 85 E)

228 6. BÖLÜM SAYILAR OBEB - OKEK ÖDEV TESTİ Eni 48 m, boyu 96 m olan bir bahçenin etrafına, her köşesinde bir ağaç olmak koşuluyla eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. Buna göre, en az kaç ağaç gereklidir? , 4 5, 3 4 sayılarına tam bölünebilen en küçük pozitif tam sayı kaçtır? A) 90 B) 72 C) 60 D) 45 E) 30 A) 6 B) 8 C) 12 D) 16 E) a ve b aralarında asal sayılar olmak üzere, OBEB(a, b) + OKEK(a, b) = 313 olduğuna göre, a + b toplamının en küçük değeri kaçtır? A) 24 B) 27 C) 32 D) 37 E) x ve y aralarında asal iki doğal sayı olmak üzere, 3x + y 9 = 2y + x 8 olduğuna göre, x y çarpımı kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 9 E) kg ve 52 kg un birbirine karıştırılmadan ve hiç artmayacak şekilde eşit hacimli çuvallara konulacaktır. Buna göre, en az kaç çuval gereklidir? A) 9 B) 11 C) 13 D) 18 E) OKEK i 96 olan birbirinden farklı üç doğal sayının toplamı en çok kaçtır? A) 288 B) 198 C) 176 D) 144 E) a, b, c doğal sayılar ve U iki basamaklı bir doğal sayıdır. U = 2a + 1 = 5b + 1 = 6c a ve b doğal sayıdır. U = 3a + 1 = 8b + 2 olduğuna göre, U nun alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 123 B) 160 C) 163 D) 180 E) 183 olduğuna göre, U nun iki basamaklı en küçük değeri kaçtır? A) 10 B) 11 C) 16 D) 20 E) C 2. E 3. E 4. B 5. D 6. D 7. E 8. A 9. B 10. A 11. E 12. C 13. D 14. A 15. D 16. E 17. C 18. D 19. E 20. E 21. C 22. B 23. C 24. A 228

229 6 BÖLÜM SAYILAR KAVRAMA TESTİ 09 Faktöriyel Hazine Faktöriyel n çarpımına n faktöriyel denir ve bu ifade n! biçiminde yazılır. n! sayısının tanımlı olabilmesi için n doğal sayı olmak zorundadır. 1! = 1 2! = 1 2 3! = Özel olarak, 0! = 1 dir. n! = n(n 1)! = n(n 1) (n 2)! =... Örneğin, 10! = 10 9! = ! = ! biçiminde yazılır çarpımının faktöriyel formundaki yazılışı aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 9 9! B) ! C) ! D) 20! 10! E) 20! 10! 5. 1! + 2! + 3! ! toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) 1 C) 3 D) 5 E) ! + 1! + 2! ! toplamının 6 ile bölümünden kalan kaçtır? 1. 6! 5! 4! işleminin sonucu kaçtır? A) 20 B) 25 C) 28 D) 30 E) 33 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 7. n pozitif tam sayı olduğuna göre, 2. 7! + 8! 9! işleminin sonucu kaçtır? ( n + 2)! ( n + 1)! ( n + 1) ( n + 1)! ifadesinin en sade şekli nedir? A) 1 72 B) 1 56 C) 1 42 D) 1 9 E) 1 8 A) 1 B) n C) n + 1 D) n + 2 E) 2n çarpımının faktöriyel formundaki yazılışı aşağıdakilerden hangisidir? A) 15! B) 18! C) 20! 10! D) 20! 9! E) 20! 9! 8. ( n 3)! + ( n + 1)! ( 3 n)! + n! ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 7 B) n 2 C) 25 7 D) (n 3)! E)

230 6. BÖLÜM SAYILAR Faktöriyel KAVRAMA TESTİ 09 Hazine Hazine Faktöriyel İçindeki Asal Sayı Adedini Bulma n! sayısı içinde, p asal sayısının kuvveti en çok istendiğinde; n sayısı p sayısına bölünür, bölüm p ye tekrar bölünerek, bölüm p den küçük olana kadar işleme devam edilir. Elde edilen bölümlerin toplamı p asal sayısının kuvvetinin en büyük değerini verir. Örneğin, n ve m doğal sayılar olmak üzere, Faktöriyel İçindeki Herhangi Bir Sayı Adedini Bulma p ve q asal sayılar ve p < q olmak üzere, n! sayısının içindeki p q çarpanlarının sayısı, p çarpanlarının sayısına eşittir ! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır? A) 4 B) 6 C) 7 D) 9 E) 11 13! = 2 n m eşitliğini sağlayan en büyük n değerini bulalım = k, n ve m pozitif tam sayılar olmak üzere, 53! = 3 k 5 m n ! + 24! toplamının sondan kaç basamağı sıfırdır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 eşitliğinde k + m toplamı en çok kaçtır? A) 40 B) 38 C) 37 D) 35 E) x ve y pozitif doğal sayılardır. 23! = 4 x y eşitliğine göre, x en çok kaçtır? ! 1 sayısının sondan kaç basamağı 9 dur? A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18 A) 19 B) 15 C) 12 D) 9 E) A tek pozitif tam sayı ve n pozitif tam sayı olmak üzere, 15. A ve n doğal sayılardır. 29! = 2 n A eşitliğinde n en çok kaçtır? 34! = 6 n A olduğuna göre, n en fazla kaç olabilir? A) 25 B) 24 C) 23 D) 22 E) 21 A) 5 B) 15 C) 19 D) 25 E) B 2. E 3. E 4. B 5. C 6. D 7. A 8. C 9. D 10. D 11. A 12. D 13. E 14. C 15. B 230

231 6 BÖLÜM SAYILAR Faktöriyel PEKİŞTİRME TESTİ ! + 11! = x 9! olduğuna göre, x kaçtır? A) 8 B) 10 C) 11 D) 12 E) ! = A n 2 eşitliğinde n ve A pozitif tam sayılardır. A tek sayı olduğuna göre, n nin en büyük değeri kaçtır? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) ! 12! 2! ! 12! 11! 1! işleminin sonucu kaçtır? A) 91 B) 95 C) 99 D) 100 E) ! + 4! + 6! ! toplamının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 ( n 5)! + ( n 4)! 3. ( 5 n)! + ( n 3)! ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 B) 2 C) 3 3 D) n 5 E) n ! = 3 n m eşitliğinde n ve m doğal sayılar olduğuna göre, n nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 48 B) 45 C) 42 D) 41 E) (n 5)! + ( 7 n)! ifadesinin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 3 B) 5 C) 8 D) 12 E) ! = 8 x A eşitliğinde x ve A doğal sayılar olmak üzere, x en çok kaçtır? A) 42 B) 38 C) 24 D) 14 E)

232 6. BÖLÜM SAYILAR Faktöriyel PEKİŞTİRME TESTİ ! = 12 n m eşitliğinde n ve m doğal sayılardır. Buna göre, n en fazla kaçtır? ! + 68! toplamının sondan kaç basamağı sıfırdır? A) 15 B) 17 C) 20 D) 21 E) 22 A) 17 B) 23 C) 28 D) 30 E) ! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır? A) 9 B) 12 C) 15 D) 18 E) 21 çarpımının sondan kaç basamağı sıfırdır? A) 23 B) 24 C) 25 D) 26 E) n! sayısının sondan 9 basamağı sıfır olduğuna göre, n nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 162 B) 180 C) 200 D) 210 E) ! sayısı 5 tabanında yazıldığında sondan kaç basamağı sıfırdır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) x! = 42 y! eşitliğinde x ve y doğal sayılardır. Buna göre, x in alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 7 B) 17 C) 27 D) 38 E) ! 23! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır? A) 19 B) 18 C) 17 D) 16 E) E 2. A 3. A 4. E 5. D 6. E 7. B 8. D 9. A 10. B 11. D 12. E 13. A 14. A 15. C 16. E 232

233 6 BÖLÜM SAYILAR Faktöriyel ÖDEV TESTİ x < y < z ve x, y, z ardışık pozitif tam sayılardır. z! ( x + 2)! + = 49 x! y! olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır? A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) x ve y doğal sayılardır. x! + y! = 121 y! olduğuna göre, x + y toplamı en az kaç olur? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) ! 33! n 6 sayısı 6 nın katı olmayan bir tam sayıdır. Buna göre, n kaçtır? A) 15 B) 16 C) 18 D) 20 E) n ve m doğal sayılardır. 25! = n 8 m eşitliğine göre, m en fazla kaç olur? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 3. k, m ve n pozitif tam sayılardır. 2! 4! 6!... (2n)!... (20)! = k 5 m olduğuna göre, m en fazla kaçtır? A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) ! 2! 3! 15! ! 1! 2! 14! işleminin sonucu kaçtır? A) 90 B) 105 C) 120 D) 132 E) x ve y doğal sayılardır. 8. n pozitif tam sayıdır. x! = 20 y! olduğuna göre, x in alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 25 ( n 2)! + ( 5 n)! ( 7 n)! ( n 5)! işleminin sonucu kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 233

234 6. BÖLÜM SAYILAR Faktöriyel ÖDEV TESTİ ! 1 sayısının sondan kaç basamağı dokuzdur? A) 25 B) 24 C) 23 D) 22 E) ! = 12 n m eşitliğinde m ve n pozitif tam sayılardır. Buna göre, n nin alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 10 B) 13 C) 15 D) 16 E) x, y birer pozitif tam sayıdır. 41! = 20! x 2 y olduğuna göre, y nin alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 21 B) 20 C) 19 D) 18 E) ! sayısı 7 tabanında yazıldığında sondan kaç basamağı sıfır olur? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) ! + 19! 3! işleminin sonucunun son dört basamağındaki rakamların toplamı kaçtır? 15. n! sayısının sondan dört basamağında sıfırdır. Buna göre, n en fazla kaç olabilir? A) 22 B) 23 C) 24 D) 25 E) 26 A) 31 B) 35 C) 39 D) 42 E) ! = 18 n m eşitliğinde n ve m doğal sayılar olduğuna göre, 12. (43!) 2 sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır? n nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 9 B) 15 C) 18 D) 21 E) 24 A) 28 B) 36 C) 45 D) 55 E) D 2. B 3. E 4. E 5. C 6. B 7. C 8. E 9. B 10. B 11. A 12. C 13. D 14. D 15. C 16. E 234

235 6 BÖLÜM SAYILAR BÖLÜM TESTİ n tek doğal sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle çift doğal sayıdır? A) n 2 + n 3 B) (n 3 + 2n)(n + 1) C) 2n + 1 D) (4n 1) 3 (n + 2) E) n + 3 2n 5. n sayma sayıdır. a n + 8b n çift sayı, a n + b n çift sayı, a n + b n + c n tek sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır? A) a + b + 2c B) a + b c 2. a, b, c doğal sayı, a b c + c b işleminin sonucu tek sayıdır. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır? A) a b c B) c b + a C) a + b + c D) a b c + c E) ab + ac + bc C) a b + c D) a + b + c 6. a ve b tam sayıdır. ab + 3 = a + b 2 E) a + b c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) a tek ise b çifttir. B) a çift ise b tektir. C) a ve b çifttir. 3. Aşağıdakilerden hangisi tek sayıdır? A) B) C) D) a ve b tektir. E) a b çifttir. D) E) x + 1 ve 5x 3 ifadelerini ardışık çift sayı yapan x değerlerinin toplamı kaçtır? 4. a tek sayı, b çift sayı olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 A) a b çift sayıdır. B) 4a + 2b + a 5 çift sayıdır. C) a b + a 3 tek sayıdır. D) a 2 + b 2 çift sayıdır. E) a b + b çift sayıdır. 8. a çift sayıdır. 3a + 4 ten sonra gelen ardışık iki tek sayının toplamı 96 olduğuna göre, a kaçtır? A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E)

236 6. BÖLÜM SAYILAR BÖLÜM TESTİ Ardışık 7 sayının toplamı 91 olduğuna göre, bu sayıların en büyüğü kaçtır? A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) Ardışık üç sayının çarpımı, büyük sayının 72 katına eşit olduğuna göre, küçük sayı kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) Ardışık 5 tek sayının toplamı 205 olduğuna göre, bu sayıların en küçüğü kaçtır? A) 35 B) 37 C) 39 D) 41 E) a, b, c, d ardışık çift sayıları arasında a < b < c < d sıralaması vardır a b + c + d + = 5 olduğuna göre, a kaçtır? A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) Ardışık 8 sayının toplamı A olduğuna göre, bu sayıların en küçüğü aşağıdakilerden hangisi ile gösterilebilir? A) x 28 8 D) x 8 8 B) x 24 8 E) x 8 C) x den 20 ye kadar (20 dahil) olan tam sayıların toplamı kaçtır? A) 105 B) 150 C) 180 D) 210 E) Ardışık iki tek sayının toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz? 16. Birler basamağı 5 olan iki basamaklı doğal sayıların toplamı kaçtır? A) 48 B) 50 C) 52 D) 56 E) 64 A) 455 B) 465 C) 475 D) 485 E) B 2. C 3. C 4. E 5. A 6. D 7. C 8. E 9. D 10. B 11. A 12. B 13. C 14. A 15. D 16. E 236

237 6 BÖLÜM SAYILAR BÖLÜM TESTİ işleminde çarpım durumunda olan her bir ifadede büyük sayı 1 arttırılıyor. Buna göre, sonuç kaç artar? A) 60 B) 90 C) 100 D) 110 E) a, b, c pozitif tam sayılardır. 3 b = = c a 5 olduğuna göre, a + b + c toplamının en büyük değeri en küçük değerinden kaç fazladır? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) işleminde her sayı 2 artırılırsa, sonuç kaç artar? A) 504 B) 512 C) 520 D) 524 E) a, b, c birbirinden farklı pozitif tam sayılardır. (2a + 1) (a + 5b + c) = 96 olduğuna göre, a + b + c toplamının en büyük değeri kaçtır? A) 28 B) 24 C) 14 D) 12 E) 8 3. Üç basamaklı en büyük sayı, üç basamaklı en küçük sayıdan kaç fazladır? A) 864 B) 885 C) 899 D) 900 E) x ve y sayma sayılarıdır. x + 7y = 41 olduğuna göre, x + y nin en küçük değeri kaçtır? A) 11 B) 17 C) 23 D) 29 E) a, b, c birbirinden farklı pozitif tam sayılardır. b < a ve a + b = 30 c olduğuna göre, a + b + c toplamının en büyük değeri kaçtır? A) 31 B) 34 C) 39 D) 67 E) a, b, c negatif tam sayılardır. Buna göre, a + 2b + 3c toplamının en büyük değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E)

238 6. BÖLÜM SAYILAR BÖLÜM TESTİ ab iki basamaklı bir doğal sayıdır. a b x a, b, c pozitif tam sayılar olmak üzere, 3a + 4b + 5c = 467 olduğuna göre, a nın en büyük değeri kaçtır? A) 148 B) 149 C) 150 D) 151 E) 152 Yukarıda yapılan hatalı çarpma işleminin doğru sonucu kaçtır? A) 855 B) 900 C) 945 D) 960 E) a ve b tam sayılardır. a b = 5b a, b, c tam sayılardır. a b = 30 b c = 10 eşitliğini sağlayan en büyük b sayısı için a kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 olduğuna göre, a + b + c toplamının en büyük değeri en küçük değerinden kaç fazladır? A) 26 B) 30 C) 52 D) 72 E) a ve b pozitif tam sayılardır. 11. x ve y doğal sayılardır. 2x + 7y = 70 eşitliğini sağlayan kaç tane x değeri vardır? (2a + b) (3a 2) = 19 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 13 B) 16 C) 18 D) 19 E) 21 A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) a pozitif tam sayısı, 84 ün bir bölenidir. a 4 ax + 4y = 84 eşitliğini sağlayan 8 tane x değeri olduğuna göre, a nın en küçük değeri kaçtır? A) 2 B) 3 C) 6 D) 7 E) a ve b pozitif sayılardır. a + b = T ve T bir çift sayı olduğuna göre, a b çarpımı en çok kaçtır? A) T 1 B) T + 1 C) T D) T2 2 E) T E 2. C 3. E 4. D 5. B 6. B 7. A 8. E 9. C 10. E 11. C 12. B 13. D 14. A 15. C 16. E 238

239 6 BÖLÜM SAYILAR BÖLÜM TESTİ a ve b pozitif sayılardır. a + b = T ve T tek sayı olduğuna göre, a b çarpımı en çok kaçtır? A) T2 1 4 B) T D) T + 1 E) T 1 C) T a, b, c pozitif tam sayılardır. 2a + b + c = 18 a b c = = c a b olduğuna göre, c kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 2. a, b, c sayma sayılarıdır. 4a + 5b + 6c = 109 olduğuna göre, a + b + c toplamı en çok kaçtır? A) 23 B) 24 C) 25 D) 26 E) a ve b pozitif tam sayılardır. a b = T ve a + b toplamının en küçük değeri 20 olduğuna göre, T kaçtır? A) 50 B) 64 C) 81 D) 90 E) x ve y sayıları 2 artırıldıklarında çarpımları 22 artıyor. Buna göre, x + y toplamı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) ! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır? A) 11 B) 10 C) 9 D) 8 E) 7 4. x, y, z birer rakamdır. x + y = 4z 2y z = 6 olduğuna göre, x y z çarpımı kaçtır? A) 16 B) 24 C) 32 D) 40 E) ! + 88! toplamının sondan kaç basamağı sıfırdır? A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E)

240 6. BÖLÜM SAYILAR BÖLÜM TESTİ ! + 49! toplamının sondan kaç basamağı sıfırdır? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) n! sayısının sondan dört basamağı sıfır olduğuna göre, n nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A) 75 B) 80 C) 84 D) 90 E) ! 71! 1 farkının sondan kaç basamağı dokuzdur? A) 9 B) 10 C) 14 D) 16 E) x ve y doğal sayılardır. 23! = 6 x y olduğuna göre, x en çok kaçtır? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) x ve y sayma sayılarıdır. 90! = 27 x y olduğuna göre, y en çok kaçtır? A) 14 B) 16 C) 20 D) 42 E) n N ve n 5 olmak üzere, 1! + 2! + 3! + 3! + 3! + 4! + 4! + 4! + 4! ( n! + n! n! ) n tan e n! toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır? A) 1 B) 3 C) 4 D) 7 E) a! = 56 b! olduğuna göre, a + b toplamının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? 16. (n!)! n! = 0 denkleminin çözüm kümesi kaç elemanlıdır? A) 14 B) 111 C) 113 D) 125 E) 127 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 1. A 2. D 3. C 4. C 5. B 6. E 7. B 8. E 9. C 10. D 11. A 12. D 13. E 14. A 15. D 16. D 240

241 6 BÖLÜM SAYILAR BÖLÜM TESTİ a, b, c birbirinden farklı doğal sayılardır. Buna göre, a + c işleminin sonucu en az kaçtır? b A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) sayısının asal olmayan bölenlerinin toplamı kaçtır? A) 18 B) 15 C) 10 D) 8 E) 5 2. Birbirinden farklı ve iki basamaklı doğal sayılardan en çok kaç tanesinin toplamı üç basamaklı olur? sayısını tam bölen doğal sayıların toplamı kaçtır? A) 194 B) 195 C) 208 D) 244 E) 280 A) 33 B) 34 C) 35 D) 36 E) sayısının 176 tane böleni vardır sayısını bölen kaç doğal sayı vardır? A) 4 B) 12 C) 16 D) 18 E) 20 Buna göre, sayının sondan kaç basamağı sıfırdır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) sayısının kaç tane asal böleni vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) tane negatif böleni olan iki basamaklı kaç doğal sayı vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 241

242 6. BÖLÜM SAYILAR BÖLÜM TESTİ m ve n asal sayılardır. A = m n n m sayısının 24 tane pozitif tam böleni olduğuna göre, A pozitif sayısı aşağıdakilerden hangisine bölünemez? 13. (5 : ( 1) + 4) : 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2 A) 2 B) 7 C) 14 D) 21 E) Rakamları toplamı 8 olan iki basamaklı kaç tane doğal sayı vardır? 10. A = A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 sayısının kaç tane pozitif böleni vardır? A) 24 B) 34 C) 54 D) 68 E) Dört basamaklı bir sayının binler basamağı 1 artırılıp, yüzler ile birler basamağı 1 azaltılırsa ilk sayıya göre nasıl bir değişim olur? 11. İkisi 50 den büyük 4 doğal sayının toplamı 185 olduğuna göre, bu sayıların en büyüğü en çok kaçtır? A) 901 artar B) 91 artar C) 901 azalır D) 899 artar E) Değişmez A) 83 B) 84 C) 132 D) 134 E) Rakamları farklı üç basamaklı en büyük çift tam sayı ile rakamları farklı üç basamaklı en küçük 12. n! sayısının 16 tane tam böleni olduğuna göre, n tam sayının toplamı kaçtır? kaçtır? A) 1 B) 0 C) 11 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 D) 998 E) B 2. D 3. E 4. C 5. B 6. B 7. C 8. C 9. D 10. C 11. A 12. B 13. B 14. C 15. D 16. A 242

243 6 BÖLÜM SAYILAR BÖLÜM TESTİ abc, cba, cab rakamları farklı üç basamaklı doğal sayılardır. abc cba = 693 olduğuna göre, cab sayısının en büyük değeri kaçtır? 5. Rakamları farklı üç basamaklı birbirinden farklı 4 doğal sayının toplamı 1295 olduğuna göre, bu sayıların en büyüğü en fazla kaç olabilir? A) 992 B) 990 C) 989 D) 987 E) 986 A) 399 B) 398 C) 299 D) 298 E) n N + olmak üzere, 2. x ve y birer doğal sayıdır. x y = 48 olduğuna göre, x + y değerinin en küçük ve en büyük değerleri toplamı kaçtır? A) 59 B) 60 C) 61 D) 62 E) 63 3n + 3 tek sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi çift sayıdır? A) n + 3 B) n 0 + n C) 3n 2 D) 2n + n 0 E) n n İki farklı tam sayının toplamı 32 dir. Buna göre, bu iki sayının çarpımının en büyük değeri kaçtır? A) 248 B) 252 C) 254 D) 255 E) a bir tam sayı olmak üzere, 4a + 9 a ifadesini doğal sayı yapan kaç tane a tam sayısı vardır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 4. ab iki basamaklı bir doğal sayı olmak üzere, ab = 4a + 3b dir. Buna göre, b nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 5 B) 6 C) 12 D) 16 E) , 17, 21,.., 153 aritmetik dizisinin terim sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 36 B) 35 C) 34 D) 33 E)

244 6. BÖLÜM SAYILAR BÖLÜM TESTİ , 3, 1, 1, 3,..., x aritmetik dizisinin terim sayısı 52 dir. Buna göre, x kaçtır? A) 109 B) 103 C) 99 D) 97 E) xy ve yx iki basamaklı doğal sayılardır. xy yx = 54 olduğuna göre, kaç farklı xy sayısı vardır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) Ardışık 7 tane tam sayının toplamı 126 dır. Buna göre, bu sayıların en küçüğü kaçtır? A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) xy ve z0 iki basamaklı sayılardır. xy 6 = z0 olduğuna göre, x + y + z toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) x, y, z ve t ardışık tek sayılardır. x > y > z > t olduğuna göre, (y z) (x t) işleminin sonucu kaçtır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 12 E) x, y ve z birer rakamdır. x + y = 5 y + z = 7 eşitliklerini sağlayan kaç farklı xyz üç basamaklı sayısı vardır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) AB üç basamaklı bir sayı olup, AB iki basamaklı sayısının 26 katıdır. Buna göre, A + B toplamı kaçtır? 16. 2, 3, 4, 5, 6, 7 rakamları birer kez kullanılarak yazılan iki basamaklı üç doğal sayının toplamı en az kaç olabilir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 A) 145 B) 135 C) 127 D) 116 E) D 2. E 3. E 4. E 5. E 6. C 7. D 8. A 9. D 10. A 11. D 12. C 13. B 14. D 15. C 16. E 244

245 6 BÖLÜM SAYILAR BÖLÜM TESTİ x ve y pozitif tam sayılar olmak üzere, Buna göre, x 2 y 2 = 23 tür. x y + 1 değeri kaçtır? sayısının tam bölenlerinin toplamı aşağıdakilerden hangisidir? A) 195 B) 190 C) 0 D) 182 E) 176 A) 1 2 B) 2 3 C) 1 D) 2 E) 3 2. xy iki basamaklı bir doğal olmak üzere, xy x y sayısının asal olmayan pozitif bölenlerinin toplamı aşağıdakilerden hangisidir? A) 64 B) 63 C) 62 D) 61 E) 60 bölme işlemi veriliyor. Buna göre, x y çarpımı kaçtır? A) 24 B) 18 C) 16 D) 15 E) a, b ve x pozitif birer tam sayıdır. 3. x, y N + dir. 48 x = y 3 olduğuna göre, y en küçük iken x y farkı kaçtır? A) 12 B) 18 C) 20 D) 24 E) 26 2 a 3 b x = 10! eşitliğinde x in en küçük değeri için a + b toplamı kaçtır? A) 13 B) 12 C) 10 D) 9 E) 8 4. a pozitif bir tam sayıdır. A = 12 5 a sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 36 olduğuna göre, a kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) ! 1 sayısının sondan kaç basamağı dokuzdur? A) 19 B) 20 C) 21 D) 22 E)

246 6. BÖLÜM SAYILAR BÖLÜM TESTİ ! ifadesinin sondan kaç basamağı sıfır olur? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) a b 15 6 a ve b pozitif birer tam sayı olduklarına göre, a nın en küçük değeri kaçtır? A) 111 B) 105 C) 99 D) 93 E) xy iki basamaklı bir sayıdır ve 3 ile bölümünden kalan 1 dir. Buna göre, 5xy üç basamaklı sayısının 3 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) ve 5 ile bölündüğünde her zaman 1 kalanını veren iki basamaklı en büyük doğal sayının rakamları çarpımı kaçtır? A) 8 B) 9 C) 12 D) 14 E) x, y, z birer tam sayı olmak üzere, x y y z dir. Yukarıda verilen bölme işlemlerine göre, x in z türünden ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 6(z + 2) B) 12(z + 1) 15. x25y dört basamaklı doğal sayısı 3 ve 5 ile kalansız bölünebildiğine göre, x kaç farklı değer alır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 C) 12(z 1) D) 6(2z 1) E) 6(2z + 1) 12. ababab ab y x 16. x ve y doğal sayılardır. Yukarıda verilen bölme işleminin sonucunda bölüm + kalan ifadesi kaça eşittir? x + y = 72 olduğuna göre, x ile y nin ortak bölenlerinin en A) B) 1000 C) büyüğü aşağıdakilerden hangisi olamaz? D) E) A) 24 B) 18 C) 16 D) 12 E) 1 1. C 2. E 3. D 4. B 5. C 6. D 7. B 8. D 9. B 10. A 11. E 12. C 13. A 14. B 15. C 16. C 246

247 7. BÖLÜM MODÜLER ARİTMETİK ALT ÖĞRENME ALANLARI Denklik Sınıfları ve Denklik Sınıflarının Kümesi Modüler Aritmetik ile İlgili Özellikler ve İşlemler Z/m Kümesinde Toplama - Çarpma İşlemleri

248 .

249 7 BÖLÜM MODÜLER ARİTMETİK KAVRAMA TESTİ 01 Denklik Sınıfları ve Denklik Sınıflarının Kümesi (Z/m) Hazine Hazine Denklik Bağıntısı - Denklik Sınıfı Bir bağıntı yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağlıyor ise bu bağıntıya denklik bağıntısı denir. Örneğin, A = {0, 1, 2, 3} kümesinde tanımlı, b = {(x, y): x y farkı 2 ile bölünür, x, y A} = {(0, 0), (0, 2), (1, 1), (1, 3), (2, 0), (2, 2), (3, 1), (3, 3)} bağıntısı yansıma, simetri ve geçişme özelliklerine sahip olduğundan bir denklik bağıntısıdır. (x, y) b ise "y elemanı b bağıntısı ile x e bağlıdır." denir. Buna göre, (0, 0) b ve (0, 2) b olduğundan, x = 0 a bağlı elemanların kümesi {0, 2} (1, 1) b ve (1, 3) b olduğundan, x = 1 e bağlı elemanların kümesi {1, 3} (2, 0) b ve (2, 2) b olduğundan, x = 2 ye bağlı elemanların kümesi {0, 2} (3, 1) b ve (3, 3) b olduğundan, x = 3 e bağlı elemanların kümesi {1, 3} b denklik bağıntısına göre, aynı kümede bulunan elemanlar birbirine denktir. Yani, x e bağlı olan denk elemanların kümesine x in denklik sınıfı (kalan sınıfı) denir ve x ile gösterilir. Buna göre, sıfırın denklik sınıfı, Z/m Kümesi Tam sayılar kümesinde tanımlı, b = {(x, y): x y farkı 4 ile bölünür, x, y Z} denklik bağıntısına göre 0, 1, 2 ve 3 ün denklik sınıflarını yazalım. 0 = {..., 8, 4, 0, 4, 8, 12,...} 1 = {..., 7, 3, 1, 5, 9, 13,...} 2 = {..., 6, 2, 2, 6, 10,...} 3 = {..., 5, 1, 3, 7, 11,...} 4 ve sonrasındaki sayıların denklik sınıflarını neden yazmadık? 4 0 olduğundan 4 = 0, 5 1 olduğundan 5 = 1 olur, yani 3 ten sonraki sayıların denklik sınıfları mutlaka 0, 1, 2 ya da 3 kümelerinden biridir. Yukarıdaki denklik sınıflarını dikkatlice incelersek onları şu şekilde de yorumlayabileceğimizi görürüz. 0 = 4 ile bölününce 0 kalanını veren tam sayıların kümesi 1 = 1 ile bölününce 1 kalanını veren tam sayıların kümesi 2 = 2 ile bölününce 2 kalanını veren tam sayıların kümesi 3 = 3 ile bölününce 3 kalanını veren tam sayıların kümesi Buna göre, tam sayıların 4 ile bölümünden elde edilen kalanların denklik sınıflarının kümesi {0, 1, 2, 3} olup bu küme Z 4 veya Z/4 ile gösterilir. Z 4 = Z/4 = {0, 1, 2, 3} Benzer olarak, Z/5 = {0, 1, 2, 3, 4} Z/m = {0, 1, 2,..., m 1} (m 1) olur. 1. Z/6 kümesinin 5 elemanı veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi 5 kümesinin bir elemanıdır? A) 6 B) 13 C) 23 D) 25 E) 28 0 = {0, 2} (0 ile arasındaki fark 2 ye bölünen elemanların kümesi) 1 = {1, 3} (1 ile arasındaki fark 2 ye bölünen elemanların kümesi} olur. 2. Z/7 kümesinin 3 elemanı veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi 3 kümesinin bir elemanıdır? A) 24 B) 28 C) 32 D) 39 E) C 2. A 249

250 7 BÖLÜM MODÜLER ARİTMETİK Denklik Sınıfları ve Denklik Sınıflarının Kümesi (Z/m) PEKİŞTİRME TESTİ Z/6 kümesinde 3 elemanı veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi 3 kümesinin bir elemanı değildir? A) 3 B) 9 C) 21 D) 28 E) Z/6 kümesi için aşağıdakilerden hangileri doğrudur? I. 1 = 7 II. 0 = 6 III. 3 = 2 A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III 2. Z/5 kümesinde 2 elemanı veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi 2 kümesinin bir elemanıdır? A) 11 B) 7 C) 17 D) 23 E) Z/m kümesi 2m 5 elemanlı olduğuna göre, m kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 3. Z/5 kümesinin 4 elemanı aşağıdakilerden hangisi ile gösterilir? A) {x: x = 5k, k Z} B) {x: x = 5k + 1, k Z} C) {x: x = 5k + 2, k Z} D) {x: x = 5k + 3, k Z} 7. Z/8 kümesinin 3 elemanı veriliyor. x 3 olduğuna göre, x in iki basamaklı en büyük değeri kaçtır? A) 95 B) 96 C) 97 D) 98 E) 99 E) {x: x = 5k + 4, k Z} 8. Z/7 kümesinin 2 elemanı veriliyor. x 2 olduğuna göre, x 2 aşağıdaki kümelerden 4. Z/m kümesi 7 elemanlı olduğuna göre, m kaçtır? hangisinin elemanıdır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 1. D 2. C 3. E 4. B 5. D 6. C 7. E 8. C 250

251 7 BÖLÜM MODÜLER ARİTMETİK Denklik Sınıfları ve Denklik Sınıflarının Kümesi (Z/m) ÖDEV TESTİ Z/6 kümesinde 1 elemanı veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi 1 kümesinin bir elemanıdır? A) 0 B) 7 C) 12 D) 10 E) Z/4 kümesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? I. 1 = 5 II. 2 = 2 III. 4 = 14 A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III 2. Z/4 kümesinin 0 elemanı veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi 0 kümesinin bir elemanı değildir? A) 54 B) 36 C) 0 D) 4 E) Z/9 kümesinin 5 elemanı veriliyor. x 5 olduğuna göre, x in iki basamaklı en büyük değeri kaçtır? A) 91 B) 93 C) 95 D) 97 E) x tam sayısı hem Z/5 kümesinin 1 elemanına hem de Z/6 kümesinin 3 elemanına ait olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 16 B) 21 C) 41 D) 46 E) Z/6 kümesinin 4 elemanı veriliyor. x 4 olduğuna göre, x + 2 aşağıdaki kümelerden hangisinin elemanıdır? A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) elemanlı Z/m kümesinin 2 elemanı veriliyor elemanlı Z/m kümesinin 3 elemanı veriliyor. x 2 olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisi olamaz? x 3 olduğuna göre, x 2 aşağıdaki kümelerden hangisinin elemanıdır? A) 13 B) 8 C) 2 D) 8 E) 12 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 1. B 2. A 3. B 4. D 5. D 6. C 7. E 8. D 251

252 7 BÖLÜM MODÜLER ARİTMETİK KAVRAMA TESTİ 02 Modüler Aritmetik Hazine Hazine m bir pozitif tam sayı, a ile b iki tam sayı olsun. a b farkı m ye tam bölünüyor ise; "a ile b birbirine, m modülüne göre denktir." denir ve a b (mod m) ile gösterilir. Örneğin, 15 6 (mod 7) dir. Çünkü 15 ( 6) = = 21 (7 nin katı) 9 5(mod 7) için ise ( 9) ( 5) = 14 (7 nin katı) Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bağıntısı yansıma, simetri ve geçişme özeliklerine sahip olduğundan bir denklik bağıntısıdır. m pozitif bir doğal sayı ve a, b, c, d tam sayılar olsun. 1. a b (mod m) ve c d (mod m) ise (i) a c b d (mod m) (ii) a c b d (mod m) 2. n pozitif tam sayı olmak üzere, a b (mod m) ise a n b n (mod m) Örneğin, x (mod 7) x 3 (mod 7) x 4 (mod 11) x (mod 11) Hazine (mod m) denkliğini sağlayan kaç değişik m değeri vardır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 m pozitif bir doğal sayı ise m 0 (mod m) Örneğin, 5 0 (mod 5) 13 0 (mod 13) 9 0 (mod 9) (mod m) denkliğini sağlayan kaç değişik m değeri vardır? A) 5 B) 11 C) 12 D) 23 E) x (mod 9) denkliğinde x in alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri kaçtır? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 3. m (mod m) denkliğini sağlayan kaç değişik m tam sayısı vardır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 5. x 3 6 (mod 5) denkliğini sağlayan en küçük x doğal sayısı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 252

253 7. BÖLÜM MODÜLER ARİTMETİK Modüler Aritmetik KAVRAMA TESTİ x (mod 7) denkliğini sağlayan en küçük x doğal sayısı kaçtır? A) 0 B) 3 C) 7 D) 9 E) x 2 18 (mod 9) olduğuna göre, x in iki basamaklı en küçük değeri kaçtır? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) x 3 8 (mod 5) olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) x x (mod 5) Hazine a, b, c tam sayılar ve m bir pozitif tam sayı olsun. olduğuna göre, x in en küçük doğal sayı değeri kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 a c b c (mod m) ifadesinde c ile m aralarında asal ise, c ler sadeleşebilir. Yani, OBEB(c, m) = 1 olmak üzere, a c b c (mod m) a b (mod m) Örneğin, 3x 9 (mod 8) ifadesinde 3 ile 8 aralarında asal olduğundan 3 ile sadeleştirme yapabiliriz. 3 x 9 (mod 8 ) x 3 (mod 8) Aralarında asal 8. 3x 15 (mod 8) 12. 2x 3 (mod 5) olduğuna göre, x in iki basamaklı en büyük değeri kaçtır? A) 93 B) 94 C) 97 D) 98 E) 99 olduğuna göre, x in iki basamaklı en küçük doğal sayı değeri kaçtır? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) x (mod 7) olduğuna göre, x in üç basamaklı en küçük doğal sayı değeri kaçtır? A) 100 B) 101 C) 102 D) 103 E) x 4 (mod 7) olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 13 B) 15 C) 18 D) 25 E)

254 7. BÖLÜM MODÜLER ARİTMETİK Modüler Aritmetik KAVRAMA TESTİ 02 Hazine a ve b tam sayılar, c ve m pozitif tam sayılar olmak üzere, dir. Örneğin, a c b c (mod m c) a b (mod m) 6 x 21 (mod 9 ) 2x 7 (mod 3) Aralarında asal değildir. 3 ile sadeleşebilir sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır? A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) x 20 (mod 6) olduğuna göre, x in iki basamaklı en küçük doğal sayı değeri kaçtır? sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) x (mod 6) olduğuna göre, x in en büyük negatif tam sayı değeri kaçtır? sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) x (mod 8) olduğuna göre, x in iki basamaklı kaç farklı doğal sayı değeri vardır? A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) x (mod 7) olduğuna göre, x in alabileceği iki basamaklı en küçük doğal sayı değeri kaçtır? A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E)

255 7. BÖLÜM MODÜLER ARİTMETİK Modüler Aritmetik KAVRAMA TESTİ x bir doğal sayıdır x (mod 15) olduğuna göre, x in en küçük değeri kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) ( 7) ! x (mod 9) olduğuna göre, x in en küçük doğal sayı değeri kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 7 E) ! x (mod 10) olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisi olabilir? 26. x tam sayısının 8 ile bölümünden kalan 3, y tam sayısının 8 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre, x 2 + y 3 tam sayısının 8 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 A) 11 B) 10 C) 9 D) 8 E) x bir doğal sayıdır x 7 (mod 11) olduğuna göre, x in en küçük doğal sayı değeri kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 x 2 (mod 5) x 2 (mod 7) olduğuna göre, x in üç basamaklı en küçük değeri kaçtır? A) 105 B) 107 C) 109 D) 111 E) ( 4) 135 x (mod 9) x 1 (mod 9) olduğuna göre, x in en büyük negatif tam sayı değeri kaçtır? A) 1 B) 3 C) 5 D) 8 E) 11 olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 48 B) 55 C) 68 D) 79 E) B 2. C 3. E 4. E 5. E 6. B 7. A 8. D 9. B 10. D 11. D 12. E 13. A 14. B 15. A 16. C 17. D 18. B 19. E 20. D 21. A 22. C 23. D 24. A 25. C 26. B 27. B 28. E 255

256 7 BÖLÜM MODÜLER ARİTMETİK Modüler Aritmetik PEKİŞTİRME TESTİ (mod m) denkliğini sağlayan m değerlerinin toplamı kaçtır? A) 4 B) 9 C) 21 D) 23 E) x (mod 8) denkliğinde x in alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri kaçtır? A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 7 6. x 4 10 (mod 6) (mod (m 4)) denkliğini sağlayan kaç değişik m değeri vardır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 denkliğini sağlayan en küçük x doğal sayısı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) x (mod 7) 3. m (mod m) denkliğini sağlayan kaç değişik m değeri vardır? A) 3 B) 4 C) 6 D) 7 E) 8 denkliğini sağlayan en küçük x doğal sayısı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 4. m 2 + m (mod (m 1)) olduğuna göre, m nin en büyük değeri kaçtır? A) 27 B) 28 C) 29 D) 30 E) x (mod 11) olduğuna göre, x in iki basamaklı en büyük değeri kaçtır? A) 94 B) 95 C) 97 D) 98 E)

257 7. BÖLÜM MODÜLER ARİTMETİK Modüler Aritmetik PEKİŞTİRME TESTİ x (mod 7) olduğuna göre, x in iki basamaklı en küçük doğal sayı değeri kaçtır? sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) 1 C) 3 D) 7 E) 9 A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) x (mod 9) denkliğini sağlayan x değerlerinden kaç tanesi 1 ile 100 arasındadır? sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8 A) 11 B) 17 C) 22 D) 27 E) x (mod 5) 11. 4x 6 (mod 14) 3 < x < 34 olduğuna göre, x in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? olduğuna göre, x in alabileceği en küçük doğal sayı değeri kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 A) 45 B) 48 C) 75 D) 95 E) sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) x (mod 8) olduğuna göre, x in alabileceği en küçük doğal sayı değeri kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 7 257

258 7. BÖLÜM MODÜLER ARİTMETİK Modüler Aritmetik PEKİŞTİRME TESTİ sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 3 E) ( 4) 444 x (mod 6) olduğuna göre, x in en küçük doğal sayı değeri kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) x 4 (mod 9) olduğuna göre, x doğal sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 13 B) 14 C) 15 D) 19 E) x tam sayısının 15 ile bölümünden kalan 4, y tam sayısının 15 ile bölümünden kalan 5 olduğuna göre, x 2 y 4 sayısının 15 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 5 B) 7 C) 8 D) 10 E) x 6 (mod 14) toplamının 7 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 olduğuna göre, x 2 + x 3 sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) x bir doğal sayıdır. x 3 (mod 5) x (mod 14) x 5 (mod 7) olduğuna göre, x in en küçük doğal sayı değeri kaçtır? A) 0 B) 3 C) 7 D) 10 E) 12 olduğuna göre, x in üç basamaklı en küçük değeri kaçtır? A) 100 B) 101 C) 102 D) 103 E) E 2. E 3. E 4. B 5. E 6. B 7. D 8. A 9. C 10. E 11. D 12. A 13. C 14. C 15. D 16. E 17. A 18. B 19. E 20. A 21. E 22. D 23. E 24. D 258

259 7 BÖLÜM MODÜLER ARİTMETİK Modüler Aritmetik ÖDEV TESTİ (mod m) denkliğini sağlayan m değerlerinin toplamı kaçtır? A) 39 B) 40 C) 41 D) 42 E) x 20 (mod 9) olduğuna göre, x in iki basamaklı en küçük doğal sayı değeri kaçtır? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) m (mod (m + 2)) olduğuna göre, m nin değerlerinin toplamı kaçtır? A) 12 B) 16 C) 20 D) 24 E) x 14 (mod 28) olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) 102 B) 154 C) 1174 D) 1984 E) Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) x 0 (mod x) B) x 2 x (mod(x 1)) C) x 2 1 (mod (x + 1)) D) x 1 (mod (x 1)) E) x! 1 (mod x) 7. 10x 3 10 (mod 3) olduğuna göre, x in en küçük doğal sayı değeri kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) x (mod 7) olduğuna göre, x in iki basamaklı en büyük değeri kaçtır? A) 95 B) 96 C) 97 D) 98 E) sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 259

260 7. BÖLÜM MODÜLER ARİTMETİK Modüler Aritmetik ÖDEV TESTİ x (mod 9) olduğuna göre, x in en küçük doğal sayı değeri kaçtır? A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) x (mod 25) olduğuna göre, x in en küçük doğal sayı değeri kaçtır? A) 0 B) 1 C) 5 D) 15 E) sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) x tam sayısının 13 ile bölümünden kalan 5, y tam sayısının 13 ile bölümünden kalan 3 tür. Buna göre, x y + x y tam sayısının 13 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) toplamının 8 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 0 B) 2 C) 4 D) 5 E) ( 6) ! + 5! + 7! x (mod 5) olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 12 B) 27 C) 37 D) 50 E) x x (mod 9) 16. 4x (mod 7) olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisi olabilir? olduğuna göre, x 3 + x 2 x + 4 sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 A) 0 B) 1 C) 2 D) 5 E) 6 1. D 2. B 3. E 4. B 5. D 6. D 7. B 8. A 9. D 10. E 11. C 12. C 13. A 14. B 15. D 16. C 260

261 7 BÖLÜM MODÜLER ARİTMETİK KAVRAMA TESTİ 03 Z/m Kümesinde Toplama - Çarpma Hazine 5. Z/7 de f(x) = 4 x + 3 Z/m Kümesinde Toplama ve Çarpma a, b Z/m için, a b = a + b ve a b = a b olarak tanımlanır. g(x) = 3 x + 4 fonksiyonları veriliyor. Buna göre, (fog)(x) aşağıdakilerden hangisidir? A) 6x + 1 B) 2x + 6 C) 5x + 4 D) 5x + 5 E) 5x + 6 Örneğin, Z/5 te; dir. 3 4 = = 7 = = 3 4 = 7 = 2 6. Z/7 de f(x) = 3x + 2 fonksiyonu veriliyor. Buna göre, f 1 (x) aşağıdakilerden hangisidir? 1. Z/7 de 4 x = 3 A) 2x + 1 B) 2x + 6 C) 5x + 4 D) 5x + 5 E) 5x + 6 denklemini sağlayan x aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 7. Z/5 te tanımlı f ve g fonksiyonları veriliyor. g(x) = (3 x) Z/5 te (4 x) 3 = 4 denklemini sağlayan x aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 (fog)(x) = x 3 olduğuna göre, g(x) aşağıdakilerden hangisidir? A) (2 x) + 4 B) x 2 C) (3 x) + 1 D) x 3 E) 4 x 3. Z/6 da 4 x = 0 denkleminin çözüm kümesi kaç elemanlıdır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 8. Z/5 te tanımlı f(x) = (2 x) 1 g(x) = (3 x) 1 4. Z/7 de aşağıdaki denklik sınıflarından hangisi, bir denklik sınıfının yine kendisiyle çarpımına eşit olamaz? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 fonksiyonları veriliyor. Buna göre, (fog 1 )(3) aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 261

262 7. BÖLÜM MODÜLER ARİTMETİK Z/m Kümesinde Toplama - Çarpma KAVRAMA TESTİ 03 Hazine Nöbet Tutma Soruları Nöbet tutma soruları, Modüler Aritmetik in meşhur soru tiplerindendir. Bu soru tiplerini kolayca çözebilmeniz için biz kitabımızda özel bir yöntem geliştirdik. Ancak, bu yöntemi kullanabilmeniz için haftanın günlerini numaralandırmanız gerekiyor. Pts. Salı Çarş. Perş. Cuma Cts. Pz Ceran Denkliği: Bir asker n günde bir nöbet tutuyor olsun. Bu asker k yinci nöbetini k gününde, m yinci nöbetini m gününde tutuyor olsun. O zaman, 10. Bir hemşire 4 günde bir nöbet tutmaktadır. Bu hemşire ilk nöbetini Çarşamba günü tuttuğuna göre, 20. nöbetini hangi gün tutar? A) Salı B) Çarşamba C) Perşembe D) Cuma E) Cumartesi 11. Bir hemşire 6 günde bir nöbet tutmaktadır. Bu hemşire 12. nöbetini Cuma günü tuttuğuna göre, 35. nöbetini hangi gün tutar? A) Pazartesi B) Salı C) Çarşamba D) Perşembe E) Cumartesi (m k) n m k (mod 7) dir. (k ile m, günlerin numaralarını göstermektedir.) Örneğin, 5 günde bir nöbet tutan asker 3. nöbetini Perşembe günü tutmuş olsun ve 15. nöbetini hangi günde tutacağını bulalım. n = Cumartesi ve Pazar günleri kapalı olan bir işyerinde Zeki Bey üç günde bir mesaiye kalmaktadır. Zeki Bey, 4. mesaisine Pazartesi günü kaldığına göre, 49. mesaisine hangi gün kalır? k = 3, k = 4 (Perşembenin numarası) A) Pazartesi B) Salı m = 15, m =?( Aradığımız günün numarası) (15 3) 5 m 4(mod 7) C) Çarşamba D) Perşembe E) Cuma m 1 (mod 7) Pazartesinin numarası 1 olduğundan cevap Pazartesidir. 13. Pazar günleri kapalı olan bir havayolu şirketi dört günde bir İstanbul'dan Paris'e uçuş düzenlemektedir. 9. Bir asker 20 günde bir nöbet tutmaktadır. Bu asker ilk nöbetini Salı günü tuttuğuna göre, 4. uçuş Salı günü yapıldığına göre, 44. uçuş hangi gün yapılır? 18. nöbetini hangi gün tutar? A) Çarşamba B) Perşembe A) Salı B) Çarşamba C) Cuma D) Cumartesi C) Perşembe D) Cuma E) Pazar E) Cumartesi 1. E 2. E 3. B 4. D 5. D 6. C 7. A 8. E 9. D 10. A 11. C 12. A 13. E 262

263 7 BÖLÜM MODÜLER ARİTMETİK Z/m Kümesinde Toplama - Çarpma PEKİŞTİRME TESTİ Z/7 de (3 x) 1 = 5 denklemini sağlayan x aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 6. Z/6 da bir x elemanının karesi x 2 = x x olarak tanımlanıyor. Buna göre, x 2 = x denkleminin çözüm kümesi kaç elemanlıdır? 2. Z/6 da 2 x = 2 A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 denkleminin çözüm kümesi kaç elemanlıdır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 3. Z/7 de 3 elemanının çarpma işlemine göre tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 7. Z/7 de bir x elemanının çarpma işlemine göre tersi x 1 ile gösterilmektedir. Ayrıca, n pozitif tam sayısı için, n x = x x... x n tane 4. Z/7 de 3 elemanının toplama işlemine göre tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 olduğuna göre, (2 (3) 1 ) 25 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 5. Z/8 de bir x elemanının karesi x 2 = x x olarak tanımlanıyor. Buna göre, x 2 3 = 4 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {1} B) {1, 3} C) {1, 3, 5} D) {1, 5, 7} E) {1, 3, 5, 7} 8. Z/5 te f(x) = (4 x) + 2 g(x) = (3 x) + 4 fonksiyonları tanımlanıyor. Buna göre, (fogof)(2) aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 263

264 7. BÖLÜM MODÜLER ARİTMETİK Z/m Kümesinde Toplama - Çarpma PEKİŞTİRME TESTİ Z/9 da f(x) = (x x) 3 g(x) = (7 x) 4 fonksiyonları tanımlanıyor. Buna göre, (fog 1 )(3) aşağıdakilerden hangisine eşittir? 13. Bir hemşire dört günde bir nöbet tutmaktadır. Bu hemşire 7. nöbetini Cuma günü tuttuğuna göre, 32. nöbetini hangi gün tutar? A) Pazar B) Pazartesi C) Salı D) Çarşamba E) Perşembe A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Pazar günleri kapalı olan bir şirkette, Ahmet Bey dört günde bir mesaiye kalmaktadır. 10. Z/5 te f(x) = (3 x) + 2 fonksiyonu tanımlanıyor. 18. mesaisine Çarşamba günü kalan Ahmet Bey, ilk mesaisine hangi gün kalmıştır? A) Cuma B) Perşembe C) Çarşamba D) Salı E) Pazartesi Buna göre, f 1 (x) aşağıdakilerden hangisidir? A) (2 x) 1 B) x 2 C) (3 x) 4 D) (2 x) 3 E) (3 x) KATEGORİKATEGORİKATE... Yukarıda, KATEGORİ kelimesinin yeteri kadar çoklukta yanyana yazılmasıyla elde edilen harf dizisinde baştan harf nedir? A) K B) A C) T D) E E) G 11. Z/7 de bir x elemanının bir karekökü a a = x eşitliğini sağlayan a elemanı olarak tanımlanıyor. Buna göre, Z/7 de karekökü olmayan kaç tane eleman vardır? A) 6 B) 4 C) 3 D) 2 E) A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinde bir "D" işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanıyor. D Bir asker sekiz günde bir nöbet tutmaktadır. Bu asker ilk nöbetini Pazartesi günü tuttuğuna göre, 21. nöbetini hangi gün tutar? n pozitif tam sayı olmak üzere, n x = x x... x n tane x A) Cuma B) Cumartesi C) Pazar olduğuna göre, kaçtır? D) Pazartesi E) Salı A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 1. E 2. B 3. D 4. C 5. E 6. B 7. B 8. D 9. A 10. A 11. C 12. C 13. A 14. A 15. D 16. D 264

265 7 BÖLÜM MODÜLER ARİTMETİK Z/m Kümesinde Toplama - Çarpma ÖDEV TESTİ Z/6 da 3 x = 2 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? 5. Z/10 da kendisi ile çarpımı yine kendisine eşit olan kaç tane eleman vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) B) {0} C) {2} D) {3} E) {5} 6. Z/9 da bir x elemanının çarpma işlemine göre tersi x 1 ile gösterilmektedir. 2. Z/9 da 3 x = 0 denkleminin çözüm kümesi kaç elemanlıdır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Ayrıca, n pozitif tam sayısı için, n x = x x... x n tane x olduğuna göre, x ( ) = 1 3 ( 100 4) 1 denkleminin kökü aşağıdakilerden hangisidir? A) 8 B) 7 C) 5 D) 3 E) 1 3. Z/5 te (x x) x 1 = 3 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {1, 2} B) {1, 3} C) {0, 2} D) {2} E) {2, 4} 7. Z/7 {0} kümesinde bir x elemanının tersi x 1 ile gösterilmektedir. Z/7 {0} da tanımlı, f(x) = (x 2 2) x 1 olduğuna göre, f(3) aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 4. Z/5 te bir x elemanının bir karekökü a a = x eşitliğini sağlayan a elemanı olarak tanımlanıyor. Buna göre, Z/5 te karekökü olmayan elemanların çarpma işlemine göre terslerinin toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 8. Z/8 de f(x) = (3 x) + 6 g(x) = (5 x) + 4 fonksiyonları tanımlanıyor. Buna göre, (fog)(3) aşağıdakilerden hangisidir? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 265

266 7. BÖLÜM MODÜLER ARİTMETİK Z/m Kümesinde Toplama - Çarpma ÖDEV TESTİ Z/9 da f(x) = (5 x) 7 fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre, f 1 (x) aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) x 2 B) 2 x 13. Bir cihaz dört günde bir sinyal göndermektedir uncu sinyalini Perşembe günü gönderen cihaz, ilk sinyalini hangi gün göndermiştir? A) Salı B) Çarşamba C) Perşembe D) Cuma E) Cumartesi C) (2 x) 4 D) (3 x) + 2 E) (4 x) Bir doktor beş günde bir nöbet tutmaktadır. 10. Bir asker beş günde bir nöbet tutmaktadır. Bu asker ilk nöbetini Salı günü tuttuğuna göre, 24. nöbetini hangi gün tutar? m > k olmak üzere, bu doktor k yinci nöbetini Cumartesi günü ve m yinci nöbetini de Çarşamba günü tuttuğuna göre, m k aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 28 B) 54 C) 60 D) 65 E) 69 A) Salı B) Çarşamba C) Perşembe D) Cuma E) Cumartesi 15. İki otobüsten biri altı günde bir, diğeri dört günde bir sefere çıkmaktadır. İkisinin birlikte çıktığı seferlerden 17 incisi Perşembe gününe geldiğine göre, birlikte çıktıkları seferlerin 4 üncüsü hangi güne gelmiştir? 11. Bir hemşire üç günde bir nöbet tutmaktadır. Bu hemşire 9. nöbetini Pazar günü tuttuğuna göre, 29. nöbetini hangi gün tutar? A) Pazar B) Pazartesi C) Salı D) Çarşamba E) Perşembe A) Pazartesi B) Salı C) Çarşamba D) Perşembe E) Cuma 16. Sekiz saatte bir ilaç alan bir hasta ilk ilacını Cuma günü saat 08:00 da alıyor. Buna göre, bu hasta 38. ilacını hangi gün ve saat kaçta alır? A) Salı, saat 08: Saat şu anda 21:30 ise, 1000 saat sonra saat kaç olur? B) Salı, saat 16:00 C) Çarşamba, saat 08:00 A) 12:30 B) 13:30 C) 14:30 D) Çarşamba, saat 16:00 D) 15:30 E) 16:30 E) Perşembe, saat 08:00 1. A 2. C 3. B 4. A 5. D 6. E 7. E 8. A 9. C 10. D 11. C 12. B 13. E 14. B 15. A 16. D 266

267 7 BÖLÜM MODÜLER ARİTMETİK BÖLÜM TESTİ m > 1 olmak üzere, 50 2 (mod m) denkliğini sağlayan kaç tane m tam sayısı vardır? x (mod 5) olduğuna göre, x kaç olabilir? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) Aşağıdaki seçeneklerden hangisi yanlıştır? A) (mod 11) B) 62 3 (mod 5) C) (mod 9) 6. 1! + 2! + 3! ! x (mod10) olduğuna göre, x kaç olabilir? A) 1 B) 3 C) 5 D) 6 E) 8 D) (mod 13) E) 4 41 (mod 15) 3. x (mod 5) denkliğinde x in alabileceği en küçük iki pozitif tam sayının toplamı nedir? sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır? A) 4 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 A) 5 B) 7 C) 9 D) 11 E) k > 1 olmak üzere, k 2 + 7k + 20 k + 2 (mod k) denkliğini sağlayan k tam sayılarının toplamı kaçtır? A) 27 B) 33 C) 36 D) 38 E) x 2 x 6 (mod 6) denkliğini sağlayan iki basamaklı en küçük x doğal sayısı kaçtır? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E)

268 7. BÖLÜM MODÜLER ARİTMETİK BÖLÜM TESTİ Bugün günlerden Cumartesi günü olduğuna göre, 354 gün sonra günlerden hangi gün olur? A) Pazar B) Salı C) Çarşamba D) Perşembe E) Cuma 13. A 3 (mod5) A 1 (mod3) olduğuna göre, A nın en büyük iki basamaklı değerinin rakamları çarpımı kaçtır? A) 0 B) 48 C) 56 D) 64 E) x 1 (mod 9) m (mod 5) denkliğine göre, m kaç olabilir? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 denkliğine göre, x kaç olabilir? A) 2 B) 4 C) 6 D) 7 E) Z/5 te x 2 2x = sayısının 11 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 1 B) 5 C) 8 D) 9 E) 10 denkleminin çözüm kümesi nedir? A) {0, 2} B) {0, 3} C) {0} D) {0, 1} E) {0, 4} günde bir nöbet tutan bir asker ilk nöbetini cuma 16. Z/7 de tanımlı günü tutmuştur. f(x) = 2x + 3 Bu asker 21. nöbetini hangi gün tutar? fonksiyonuna göre, f 1 (x) fonksiyonunun eşiti A) Pazar B) Cumartesi aşağıdakilerden hangisidir? C) Perşembe D) Cuma A) 4x 5 B) x 5 C) 4x 2 E) Salı D) x 4 E) 4x 4 1. C 2. D 3. C 4. D 5. C 6. B 7. B 8. B 9. C 10. A 11. C 12. A 13. D 14. A 15. B 16. C 268

269 7 BÖLÜM MODÜLER ARİTMETİK BÖLÜM TESTİ Z/5 te tanımlı f(x) = 3x 1 g(x) = x 2 olduğuna göre, (fog 1 )(2) ün değeri kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 5. Yusuf, 5 günde bir ilaç kullanmaktadır. 6. defa kullandığında günlerden Pazar günü olduğuna göre, 26. defa kullandığında günlerden hangi gün olur? A) Cuma B) Perşembe C) Çarşamba D) Salı E) Cumartesi 6. x > 4 için, 2. Saat 10:00 da çalıştırılan bir saat 876 saat sonra kaçı gösterir? A) 22:00 B) 20:00 C) 18:00 D) 10:00 E) 12:00 x 15 (mod (x 3)) denkliğini sağlayan kaç tane x doğal sayısı vardır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 7. x ve y gerçek sayılardır. x y 4 (mod 7) 3. 1 x (mod7) olduğuna göre, x kaç olabilir? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 x 2 + xy + y 2 3 (mod 7) olduğuna göre, x 3 y 3 k (mod 7) denkliğinde k kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 8. Z/4 te 4. (2001) (2002) (2003) 2004 ifadesinin birler basamağı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 6 E) 8 x 2 2x 5 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? A) {3} B) {1, 3} C) {0, 3} D) {2, 3} E) {0, 2} 269

270 7. BÖLÜM MODÜLER ARİTMETİK BÖLÜM TESTİ "MatematikvadisiMatematik..." Matematik Vadisi'nin harfleri sırasıyla yukarıdaki gibi sıralanmıştır. Buna göre, baştan harf aşağıdakilerden hangisidir? 13. x 72 (mod x) denkliğine göre, kaç farklı x doğal sayısı vardır? A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9 A) t B) e C) m D) a E) k 14. 8! x (mod 9) denkliğine göre, x kaç olabilir? A) 0 B) 1 C) 3 D) 6 E) 8 ifadesinin 6 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Bugün günlerden Pazar günü olduğuna göre, 255 gün önce günlerden hangi gündür? 11. (123) x 2 (mod 5) denkliğine göre, x in üç basamaklı en küçük değeri kaçtır? A) Salı B) Çarşamba C) Perşembe D) Cuma E) Cumartesi A) 102 B) 103 C) 104 D) 105 E) Z/5 te tanımlı 12. m 1 (mod 4) m 2 (mod 5) f(x) = x 3 g(x) = 2x 4 m 3 (mod 6) olduğuna göre, (gof 1 )(x) aşağıdakilerden hangisine eşittir? denkliğini sağlayan en küçük üç basamaklı m sayısının rakamları toplamı kaçtır? A) 2x + 3 B) x + 3 C) x + 2 A) 3 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9 D) 2x + 1 E) 2x B 2. A 3. B 4. A 5. B 6. C 7. D 8. B 9. D 10. B 11. B 12. E 13. C 14. A 15. C 16. A 270

271 8. BÖLÜM RASYONEL SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI Kesir, Basit - Bileşik Kesir, Rasyonel Sayılarda Dört İşlem Ondalıklı - Devirli Sayılar Rasyonel Sayılarda Sıralama

272 .

273 8 BÖLÜM RASYONEL SAYILAR KAVRAMA TESTİ 01 Dört İşlem Hazine Hazine 1. Kesir Tanımı a ve b iki tam sayı ve b 0 olsun. a b a b ifadesine bir kesir denir. ifadesinde; a ya pay ve b ye payda denir. a = 0 ise; kesrin değeri 0 dır. b = 0 ise; kesir tanımsızdır. a, b nin bir katı ise; kesir bir tam sayıdır x ifadesini tanımsız yapan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 0 B) 2 3 C) 1 D) 3 2 E) 2 4. Basit ve Bileşik Kesir a b kesri; a < b ise basit kesir a b ise bileşik kesir olarak adlandırılır. Örneğin; 2 7 3, , 3, 13, 0 kesirleri basit kesirdir ,,,, 3, 1, 1, 5 kesirleri bileşik kesirdir a 3 5 ifadesi basit bir kesir olduğuna göre, a nın alacağı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? A) 13 B) 18 C) 21 D) 24 E) x 3y = 0 y 1 olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisine eşit olamaz? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) x 13 ifadesi bileşik bir kesirdir. Buna göre, x in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9 Hazine 3. x 2y 3 = y 4 olduğuna göre, x in hangi değeri için y hesaplanamaz? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Denk Kesir a b ve c d Eğer a b iki kesir olsun. c = d ise a b ile c kesirleri denktir denir. d a c = a d = b c b d 273

274 8. BÖLÜM RASYONEL SAYILAR Dört İşlem KAVRAMA TESTİ Aşağıdakilerden hangisi 3 5 değildir? kesrine denk kesir Hazine A) B) 6 10 C) D) E) Çarpma ve Bölme Rasyonel sayılar çarpılırken payların çarpımı paya, paydaların çarpımı paydaya yazılır. a c b a c d = b d dir. Hazine Rasyonel Sayılar Kümesi Rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir. a b a Q = b b : 0, a ile b sadeleşemez, a, b Z rasyonel sayısında b = 1 alınırsa her tam sayının aynı zamanda bir rasyonel sayı olduğunu söyleyebiliriz. Yani Z Q dur. Örneğin; a 0 olmak üzere, a b rasyonel sayısının çarpma işlemine göre tersi, = 3 21, = 10 1 a b = b a dır. İki rasyonel sayı bölünürken; bölünen kesir bölen kesrin çarpmaya göre tersi ile çarpılır. a b : c a d d = a d b c = b c dir. Hazine Rasyonel Sayılarda İşlemler Toplama ve Çıkarma Rasyonel sayılarda toplama-çıkarma yapabilmek için; Paydalar eşit olmalıdır. Paydaları eşit değilse paydalar eşitlenir. Paydalar eşit ise paylar toplamı (veya farkı) bulunup paya, ortak olan payda da paydaya yazılır. Ayrıca, a b c d a b c a b c a c a d a d = : = = b d b c b c dir. a a c a c = 1 = = b 1 b b c a b a 1 a = = = c b c b c 1 Örneğin; 7 6 a b a b c b c d a c = b a d c b a d c b = = b d b d b d = = = = (6) (3) (4) Örneğin; : = = = = = =, = =

275 8. BÖLÜM RASYONEL SAYILAR Dört İşlem KAVRAMA TESTİ x y kesrinin değeri 2 7 dir. Bu kesrin hem pay hem de işleminin sonucu kaçtır? A) 1 3 B) 4 15 C) 1 5 D) 2 15 E) 0 paydası 6 azaltılırsa kesrin değeri 1 5 olmaktadır. Buna göre, y x farkı kaçtır? A) 25 B) 32 C) 35 D) 38 E) işleminin sonucu kaçtır? = x 1 A) 2 15 B) 4 15 C) 1 D) E) olduğuna göre, x kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) işleminin sonucu kaçtır? : 2 3 A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 3 2 C) 2 D) 5 2 E) = x olduğuna göre, değeri aşağıdakilerden hangisidir? ifadesinin x cinsinden A) x B) x 3 C) 3 x D) x + 3 E) 3x : işleminin sonucu kaçtır? A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E)

276 8. BÖLÜM RASYONEL SAYILAR Dört İşlem KAVRAMA TESTİ = x 2 olduğuna göre, x kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 A) 1 B) 4 3 C) 5 3 D) 2 E) kesrinin paydasından 1 3 çıkarılırsa sayı kaç artar? A) 3 10 B) 2 5 Hazine C) 1 2 D) 3 5 E) işleminin sonucu kaçtır? Tam Sayılı Kesir A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 a bir tam sayı ve b c bir kesir olsun. a + b ifadesine bir tam sayılı kesir denir ve a b c c ile gösterilir. a ya kesrin tam kısmı denir. Uyarı = + = = 3 + = işleminin sonucu kaçtır? A) 13 3 B) 7 3 C) 2 D) 1 E) 5 3 a b a + b c c = = + a b a b a b c c c dir. Pozitif bileşik kesirleri tam sayılı kesre çevirmek için pay paydaya bölünüp bölüm tam kısım olarak alınıp kalan pay, payda payda olarak yazılır. Örneğin; 29 7 kesrini tam sayılı kesre çevirelim payda 28 4 tam kısım 1 pay 29 7 = a, b, c pozitif tam sayılar olmak üzere, 1 a + = 1 b + c 23 4 olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 1. D 2. C 3. C 4. E 5. D 6. E 7. B 8. E 9. D 10. C 11. E 12. C 13. C 14. A 15. B 16. E 17. B 18. A 19. C 20. E 276

277 8 BÖLÜM RASYONEL SAYILAR PEKİŞTİRME TESTİ 01 Dört İşlem 1. x + 4 2y 6 ve x + 2 3y 9 kesirleri tanımsız olduklarına göre, y x farkı kaçtır? : 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B) 1 C) 0 D) 1 E) 5 A) 1 3 B) 2 3 C) 1 D) 3 2 E) x 3 pozitif basit kesir olduğuna göre, x in en küçük tam sayı değeri kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 A) 2 B) 5 C) 10 D) 15 E) x negatif bileşik bir kesirdir. Buna göre, x in en büyük tam sayı değeri kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 13 B) 15 C) 18 D) 20 E) 21 A) 1 7 B) 3 7 C) 4 7 D) 5 7 E) işleminin sonucu kaçtır? A) 5 6 B) 1 C) 11 6 D) 17 6 E) ! ! + 20 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 1 C) 1 D) 4 E)

278 8. BÖLÜM RASYONEL SAYILAR Dört İşlem PEKİŞTİRME TESTİ : işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 5 6 C) 0 D) 5 6 E) 1 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 1 2 C) 1 4 D) 1 6 E) işleminin sonucu kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 3 2 B) 3 4 C) 5 3 D) 11 2 E) 8 3 A) 1 6 B) 2 3 C) 3 14 D) 5 7 E) işleminin sonucu kaçtır? A) 5 3 B) 2 C) 7 3 D) 3 E) = x olduğuna göre, ifadesinin x cinsinden değeri nedir? A) x 3 B) 3x C) 3 x D) x + 3 E) 3x : işleminin sonucu kaçtır? A) 7 3 B) C) 3 4 D) 7 2 E) Bir kesrin değeri 3 4 tür. Bu kesrin hem payına hem de paydasına 5 eklenirse elde edilen kesrin değeri 4 5 oluyor. Buna göre, kesrin paydası payından kaç fazladır? A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E)

279 8. BÖLÜM RASYONEL SAYILAR Dört İşlem PEKİŞTİRME TESTİ x ve y pozitif tam sayılar olmak üzere, x + 7 y + 11 ifadesi bir bileşik kesir olduğuna göre, x + y toplamının en küçük değeri kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) x = olduğuna göre, toplamının x cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 5 x B) 5 x C) x 5 D) x + 5 E) 5x : : + : işleminin sonucu kaçtır? : işleminin sonucu kaçtır? A) 1 2 B) 1 4 C) 0 D) 1 4 E) 1 2 A) 5 3 B) 1 C) 2 3 D) 1 E) : 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 7 15 B) 3 5 C) D) E) işleminin sonucu kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) x 1+ x x = 5 olduğuna göre, x kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) işleminin sonucu kaçtır? A) B) 7 21 : C) 6 5 D) E 2. D 3. D 4. E 5. B 6. B 7. C 8. D 9. B 10. D 11. E 12. B 13. A 14. B 15. C 16. A 17. D 18. D 19. A 20. B 21. B 22. B 23. E 24. C E)

280 8 BÖLÜM RASYONEL SAYILAR ÖDEV TESTİ 01 Dört İşlem 1. x 5 6 kesrini basit kesir yapan kaç tane x doğal sayısı vardır? A) 10 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8 5. Aşağıdaki kesirlerden hangisi 3 5 kesir değildir? A) B) C) 9 10 D) 6 10 kesrine denk E) : işleminin sonucu kaçtır? A) 3 7 B) 1 3 C) 0 D) 3 7 E) a ve b tam sayı olmak üzere, 7x 9 a = 5x 3 5x 3 b = 7x 9 olduğuna göre, x gerçek sayısının alacağı farklı değerler toplamı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) işleminin sonucu kaçtır? A) B) 7 15 C) 3 5 D) E) x 2y = 0 y 9 olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisine eşit olamaz? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) = x 5 olduğuna göre, x kaçtır? A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 8. x y y z x z + + x y y z x z işleminin sonucu nedir? A) 2 B) 2 C) 0 D) 2 x y y E) 2 x 280

281 8. BÖLÜM RASYONEL SAYILAR Dört İşlem ÖDEV TESTİ x kesri katına eşit olduğuna göre, x kaçtır? kesrinin 1 36 A) 3 B) 5 C) 9 D) 10 E) tane işleminin sonucu kaçtır? A) 4 B) 13 3 C) 5 D) 27 7 E) : işleminin sonucu kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 10 B) 13 C) 18 D) 26 E) işleminin sonucu kaçtır? sonsuz kesrinin değeri kaçtır? A) B) 3 C) 23 7 D) 7 E) 40 3 A) 7 4 B) 13 4 C) 3 D) 4 E) işleminin sonucu kaçtır? A) B) 11 2 C) 22 D) E) : 3 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 13 C) D) 3 E)

282 8. BÖLÜM RASYONEL SAYILAR Dört İşlem ÖDEV TESTİ : işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B) 1 C) D) E) = x 1 olduğuna göre, x kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) işleminin sonucu kaçtır? A) 2 B) 1 C) 1 2 D) 1 E) x = 1 7 için, 1 1 x x 1 1 x + x işleminin sonucu kaçtır? A) D) 5 3 B) 1 5 E) C) a, b, c birer doğal sayıdır a + = 1 b + 16 c olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? 23. Değeri 3 4 olan bir kesrin payına paydası eklenir A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 ve paydasından payı çıkartılırsa kesrin değeri ne olur? A) 14 B) 7 C) 1 D) 7 4 E) x + 3 kesrini tanımsız yapan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) : 6 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 6 B) 1 2 C) 2 D) 6 E) A 2. E 3. D 4. C 5. C 6. D 7. A 8. B 9. C 10. A 11. D 12. E 13. D 14. B 15. D 16. A 17. D 18. A 19. E 20. C 21. C 22. E 23. E 24. E 282

283 8 BÖLÜM RASYONEL SAYILAR KAVRAMA TESTİ 02 Ondalıklı - Devirli Sayılar Hazine 4. (0, ,458) (3,72 0,72) işleminin sonucu kaçtır? Ondalık Açılım a bir rasyonel sayı olsun. a nın b ye bölünmesiyle b elde edilen sayıya a nin ondalık açılımı denir. b Örneğin; 25 4 sayısının ondalık açılımını bulalım: , O halde = 6, 25 = = = 6, 25 olur. 5. A) 0,1 B) 0,3 C) 1 D) 1,3 E) 3 12, 3 3, 21 1, 23 32, 1 işleminin sonucu kaçtır? A) 10,9 B) 10 C) 9,9 D) 0 E) 9,9 1. Bir sayıyı 0,25 ile çarpmak bu sayıyı kaça bölmektir? A) 100 B) 25 C) 20 D) 5 E) , 2 + : 1 0, , sayısının ondalık açılımı aşağıdakilerden hangisidir? A) 2,3 B) 2,5 C) 2,7 D) 2,9 E) 3,2 işleminin sonucu kaçtır? A) 0,2 B) 0,6 C) 3,02 D) 3,06 E) 3, işleminin sonucu kaçtır? A) 0,0793 B) 0,739 C) 0,70903 D) 0,793 E) 7, , 5 0, 25 0, 125 işleminin sonucu kaçtır? A) 4 B) 2 C) 0 D) 4 E) 6 283

284 8. BÖLÜM RASYONEL SAYILAR Ondalıklı - Devirli Sayılar KAVRAMA TESTİ 02 Hazine Devirli Ondalık Sayı Bir kesir ondalıklı biçimde yazıldığında, ondalıklı kısmındaki sayılar belli bir rakamdan sonra tekrar ediyorsa bu sayıya devirli ondalık sayı denir ve tekrar eden (devreden) kısmın üzerine çizgi çekilir. Örneğin; 0, = 0, , = 21,135 7, = 7, sayısının ondalık açılımı aşağıdakilerden hangisidir? 3 A) 0,12 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,6 E) 2, ,25 ondalık kesrinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) D) 5 4 0, , , 6 B) işleminin sonucu kaçtır? A) B) 9 10 C) 3 10 E) 10 9 D) 1 3 C) 4 15 E) sayısının ondalık açılımı aşağıdakilerden 18 hangisidir? A) 1,18 B) 0,6 C) 0,61 Hazine D) 0,616 E) 0, x = 0,345 y = 0,345 z = 0,345 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) z < y < x B) y < z < x C) y < x < z Devirli ondalık sayı = Örneğin; Sayının tamamı Devretmeyen kısım Virgülden sonra devreden rakam sayısı kadar 9, devretmeyen rakam sayısı kadar 0 D) x < y < z E) z < x < y a ab abc ab 0, a =, 0, ab =, a, bc = Bir devirli ondalık sayıda devreden rakam 9 ise 9 dan önceki rakam 1 arttırılarak devirli ondalık sayı, ondalık sayıya dönüştürülebilir. 0,9 = 1 2,9 = x = 3,243 y = 2,243 olmak üzere, x + y toplamının virgülden sonraki kaç basamağı devreder? 3,19 = 3,2 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 1. E 2. E 3. D 4. E 5. C 6. C 7. E 8. D 9. C 10. A 11. A 12. D 13. E 284

285 8 BÖLÜM RASYONEL SAYILAR PEKİŞTİRME TESTİ 02 Ondalıklı - Devirli Sayılar 1. 1,75 sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) , 3 0, , 23 0, 001 işleminin sonucu kaçtır? A) 240 B) 235 C) 233 D) 230 E) Bir sayıyı 0,02 ile çarpmak, bu sayıyı kaça bölmektir? A) 5 B) 10 C) 25 D) 50 E) , 8 0, 45 7, , 0, 15 0, 9 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B) 7 C) 9 D) 12 E) ( ,, 3 0, 25 ) işleminin sonucu kaçtır? A) 30 B) 25 C) 20 D) 15 E) , 1 198, 1 0, 1 0, 1 işleminin sonucu kaçtır? A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,4 E) 0,5 4. (0, ,727) (2,73 0,73) işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 8. x pozitif bir ondalık sayıdır. x bir tam sayı olduğuna göre, x in virgülden sonraki kısmı nedir? A) 125 B) 275 C) 545 D) 725 E)

286 8. BÖLÜM RASYONEL SAYILAR Ondalıklı - Devirli Sayılar PEKİŞTİRME TESTİ , , 64 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) x ve y birer rakam olmak üzere, x, y y, x x y işleminin sonucu kaçtır? A) 8 9 B) 1 C) 10 9 D) 11 9 E) , 1 0, 16 0, 4 işleminin sonucu kaçtır? A) 15 B) 69 C) D) 35 4 E) , 6 13, 2, 6 13, işleminin sonucu kaçtır? A) 41 B) C) 2 D) E) a = 2,25 b = 2,25 c = 2,25 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) a < b < c B) a < c < b C) b < c < a D) b < a < c E) c < b < a 15. 4,189 3,479 işleminin sonucu kaçtır? A) 0,68 B) 0,71 C) 0,72 D) 0,75 E) 0, , + 2, 9 13, + 3, 6 işleminin sonucu kaçtır? A) B) 1 9 C) 3 5 D) 1 E) , 2 + 4, 3 + 1, , 3, 8 + 2, 3 + 1, 6 + 1, 1 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 10 9 C) D 2. D 3. B 4. B 5. A 6. E 7. C 8. E 9. A 10. B 11. B 12. D 13. A 14. E 15. B 16. C D) 4 3 E)

287 8 BÖLÜM RASYONEL SAYILAR ÖDEV TESTİ 02 Ondalıklı - Devirli Sayılar , 3 0, 3 işleminin sonucu kaçtır? A) 30 B) 32 C) 35 D) 38 E) ( 0, 11+ 2) işleminin sonucu kaçtır? A) 10,2 B) 11,2 C) 8,8 D) 1,02 E) 1, ,5 + 0,05 + 0, , toplamının sonucu kaçtır? 6. ( 0, 36) : ( 0, 72) ( 1+ 0, 14) 1 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 5 B) 3 5 C) 2 9 D) 5 9 E) 1 A) D) 25 7 B) E) C) ( 0, 5 + 0, , 005) 0, 2 + 0, , 002 işleminin sonucu kaçtır? A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 0, 009 0, 3 0, , 001 0, 02 0, 014 işleminin sonucu kaçtır? A) 44 B) 40 C) 38 D) 34 E) y bir rakam olmak üzere, 4. 0,13 + 0,14 + 0,15 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 1 10 D) E) ( 0, 3) ( 0, y) = 9 olduğuna göre, y kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 287

288 8. BÖLÜM RASYONEL SAYILAR Ondalıklı - Devirli Sayılar ÖDEV TESTİ x = 0, y = + x 9 25 olduğuna göre, y kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) a = 3,143 b = 5,215 olmak üzere, a + b toplamının sondan kaç basamağı devreder? A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) , 001 0, = x , 004 olduğuna göre, x kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) toplamının sonucu kaçtır? A) 2 9 D) B) 2 99 E) C) , +, + 0, 5 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 7, 2 + 3, 1 + 4, , , işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) , = a b 0, 3 + 0, , 3 0, 5 3, + 9 eşitliğinde a ile b aralarında asal pozitif iki tam sayıdır. işleminin sonucu kaçtır? A) 8 9 B) 3 10 C) 18 5 D) 2 E) 4 Buna göre, b a farkı kaçtır? A) 34 B) 45 C) 52 D) 60 E) C 2. D 3. A 4. B 5. C 6. D 7. A 8. C 9. D 10. E 11. A 12. C 13. D 14. E 15. E 16. E 288

289 8 BÖLÜM RASYONEL SAYILAR KAVRAMA TESTİ 03 Rasyonel Sayılarda Sıralama Hazine Rasyonel sayılarda sıralama yapılırken; 1. İşaretler incelenir. 2. Bileşik kesirler basit kesirlerden büyüktür. 3. Paydalar birbirine eşit ise payı büyük olan büyüktür. 4. Paylar birbirine eşit ise paydası küçük olan daha büyüktür. 5. Paylar ve paydalar birbirine eşit değil ise pay veya paydadan en kolay olan eşitlenerek 3 veya 4 üncü kural uygulanır. 6. Pay ve paydalar arasındaki farklar eşit ise basit kesirlerde, payı ve paydası büyük olan daha büyüktür. Bileşik kesirlerde ise payı ve paydası küçük olan daha büyüktür. 3. x < 0 olmak üzere, x x x a =, b =, c = olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) b < a < c B) b < c < a C) c < a < b D) c < b < a E) c < a < b a =, b =, c = olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) c < b < a B) c < a < b C) b < c < a D) b < a < c E) a < b < c a =, b =, c = olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) a < b < c B) a < c < b C) b < c < a D) b < a < c E) c < a < b a =, b =, c = olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) c < b < a B) b < a < c C) c < b < a D) a < b < c E) a < c < b 2. x > 0 olmak üzere, x x x a =, b =, c = olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) a < b < c B) a < c < b C) b < c < a D) b < a < c E) c < a < b a =, b =, c = olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) a < b < c B) b < a < c C) c < a < b D) b < c < a E) c < b < a 289

290 8. BÖLÜM RASYONEL SAYILAR Rasyonel Sayılarda Sıralama KAVRAMA TESTİ < a < b < c < 5 5 olduğuna göre, a, b, c sayıları sırasıyla hangisine eşit olabilir? A) , 12 15, 15 B) 12 13,, C) , 19 25, 25 D) 20 23, E) 23 25,, x > 0 olmak üzere, x x x a = + 5 b = + 11 c = + 16,, x + 3 x + 9 x + 18 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) c < b < a B) b < c < a C) c < a < b D) a < c < b E) a < b < c 12. x < 0 olmak üzere, 8. x, y, z negatif gerçek sayı olmak üzere, x y y z = = olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) x < y < z B) y < x < z C) z < y < x 9. x = 1,18 y = 1,18 D) y < z < x E) z < x < y a 17 b c x 17 x 17,, x olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) a < b < c B) b < c < a C) b < a < c D) c < a < b E) c < b < a x =, y =, 7 5 z = 189, olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) x < y < z B) x < z < y C) y < x < z D) z < y < x E) y < z < x z = 1,18 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) x < y < z B) y < x < z C) x < z < y D) z < x < y E) z < y < x 14. a, b, c pozitif rasyonel sayılardır. 3 a b = ve b c = 4 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? 13 7 A) c > b > a B) c > a > b C) b > c > a 10. x pozitif bir gerçek sayı olmak üzere, aşağıdaki sayılardan hangisine sayı doğrusunda karşılık gelen nokta; x sayısına karşılık gelen noktaya en yakındır? A) x 1 2 D) x B) x 3 7 E) x 6 5 C) x D) a > b > c E) a > c > b 15. Aşağıdakilerden hangisi sayı doğrusunda 3 sayısına karşılık gelen noktaya en uzaktır? 1. E 2. B 3. A 4. E 5. D 6. D 7. C 8. C 9. C 10. B 11. A 12. C 13. E 14. D 15. B A) 7 2 B) 7 6 C) 16 5 D) 5 2 E)

291 8 BÖLÜM RASYONEL SAYILAR PEKİŞTİRME TESTİ 03 Rasyonel Sayılarda Sıralama 1. x > 0 olmak üzere, x x x a =, b =, c = olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) a < b < c B) a < c < b C) b < c < a a =, b =, c = olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) c < b < a B) b < c < a C) a < c < b D) b < a < c E) a < b < c D) b < a < c E) c < a < b 2. x pozitif tam sayı olmak üzere, a = 5, b = 2, c = 6 x x x olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) a < b < c B) b < c < a C) b < a < c D) c < b < a E) a < b < c 6. x < 0 olmak üzere, x y x z = ve = olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) z < x < y B) z < y < x C) y < x < z D) y < z < x E) x < z < y 3. x < 0 olmak üzere, x x x a =, b =, c = x 3 8 ifadesinde x sayısı tam ortada olduğuna göre, x kaçtır? olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) 3 10 B) 3 16 C) 1 2 D) 2 7 E) 5 16 A) c < b < a B) b < c < a C) b < a < c D) c < b < a E) a < b < c 8. x, y, z pozitif sayılar olmak üzere, a =, b =, c = rasyonel sayıları arasındaki doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir? A) c < b < a B) c < a < b C) b < c < a D) b < a < c E) a < b < c x y =, y z =, x z = olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) z < y < x B) z < x < y C) x < z < y D) x < y < z E) y < z < x 1. D 2. C 3. B 4. E 5. A 6. A 7. E 8. C 291

292 8 BÖLÜM RASYONEL SAYILAR ÖDEV TESTİ 03 Rasyonel Sayılarda Sıralama 1. a = 3 1, b = 1 8, c = olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) a < b < c B) a < c < b C) b < c < a D) b < a < c E) a < c < b 5. x > 0 olmak üzere, x + 11 x x a = b = + 9 c = + 13,, x + 10 x + 8 x + 14 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) a < c < b B) c < a < b C) c < b < a D) a < b < c E) b < c < a 2. a < b < c ve a, b, c ardışık tam sayılar olmak üzere, 3 4 < a < b x < c x x < 4 5 olduğuna göre, x pozitif tam sayısı en az kaçtır? a =, b =, c = olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) c < b < a B) c < a < b C) b < c < a D) b < a < c E) a < b < c A) 20 B) 40 C) 60 D) 80 E) a < 0 olmak üzere, = = 5a 4b 3c a =, b =, c = olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) a < b < c B) a < c < b C) c < b < a D) b < c < a E) b < a < c A) a < b < c B) a < c < b C) c < a < b D) c < b < a E) b < c < a 8. x > 0 olmak üzere, 4x 7x a =, b =, c = 5 8 9x 7 4. Aşağıdaki sayılardan hangisi en küçüktür? A) B) C) D) 3 7 E) 5 7 rasyonel sayıları arasındaki doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir? A) a < b < c B) a < c < b C) c < b < a D) b < c < a E) b < a < c 1. d 2. d 3. b 4. d 5. B 6. c 7. c 8. a 292

293 8 BÖLÜM RASYONEL SAYILAR BÖLÜM TESTİ işleminin sonucu kaçtır? A) 1 12 B) 1 6 C) 5 12 D) 7 12 E) işleminin sonucu kaçtır? A) 1 4 B) 3 4 C) 5 4 D) 5 12 E) : işleminin sonucu kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 1 3 B) 2 3 C) 1 D) 4 3 E) 5 3 A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) işleminin sonucu kaçtır? A) B) 2 7 C) 0 D) 1 E) işleminin sonucu kaçtır? A) 2 B) 1 C) 1 6 D) 1 E) A = ve B = olmak üzere, A + B işleminin sonucu kaçtır? A B A) D) 1 11 B) 1 C) 2 E) kesrinin değeri kaçtır? A) 3 B) 1 C) 3 D) 3 E)

294 8. BÖLÜM RASYONEL SAYILAR BÖLÜM TESTİ a negatif bir tam sayıdır. a a a x =, y =, z = olduğuna göre, x, y, z nin küçükten büyüğe doğ- işleminin sonucu kaçtır? ru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir? A) x < y < z B) x < z < y C) z < x < y A) 2 B) 1 C) 3 2 D) 2 3 E) 3 5 D) y < x < z E) y < z < x 10. 0, 24 0, , 12 0, 3 0, 1 işleminin sonucu kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12 ifadesinin A cinsin A = olduğuna göre, den değeri nedir? A) A + 3 B) A 3 C) 3A D) 3A + 1 E) 3A a ve b aralarında asal sayılardır. a 0,13 = b 0,46 olduğuna göre, a + b kaçtır? A) 9 B) 17 C) 29 D) 31 E) a, b, c pozitif gerçek sayılardır. a b c ifadesindeki a, b, c sayılarından her biri 4 ile çarpılırsa, sonuç ne olur? A) a b c D) 16a b c B) 4a b c E) abc C) a 4b c 12. x pozitif bir ondalık sayıdır. x ifadesi bir tam sayı olduğuna göre, x in virgülden sonraki kısmı aşağıdakilerden hangisidir? A) 75 B) 175 C) 375 D) 425 E) Bir sayıyı 0,12 ile çarpıp, 1,2 ile böldüğümüzde, o sayıyı kaça bölmüş oluruz? A) 1 10 B) 1 5 C) 5 D) 10 E) C 2. B 3. C 4. E 5. C 6. B 7. D 8. E 9. B 10. C 11. A 12. C 13. D 14. B 15. B 16. D 294

295 8 BÖLÜM RASYONEL SAYILAR BÖLÜM TESTİ a = 0,162 b = 0,162 c = 0,162 olmak üzere, a, b, c sayılarının büyükten küçüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir? A) a > b > c B) a > c > b C) b > c > a D) b > a > c E) c > a > b 5. 0, , 75 : 0, , 68 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 3 C) 6 D) 9 E) a, b, c pozitif tam sayılardır a =, b =, c = olmak üzere, a, b, c sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir? 1 a + 1 b + c = 10 7 A) a < b < c B) a < c < b C) c < b < a D) c < a < b E) b < a < c olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 3. ab ve ba iki basamaklı sayılardır. 2 2 ( 0, ab) ( 0, ba) 2 2 ( ab) ( ba) işleminin sonucu kaçtır? , 04 0, 03 0, 2 1 0, 1 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 21 C) 210 D) 211 E) 2110 A) 10 5 B) 10 4 C) 10 3 D) 10 2 E) , 1 0, 2 0, 3 0, , 1 0, 2 0, 3 0, 9 işleminin sonucu kaçtır? A) 10 B) 10 C) 9 D) 10 E) ,6 sayısı aşağıdaki sayılardan hangisi ile bölünürse sonucunda bir tam sayı elde edilir? A) 1 B) 3 C) 1 D) 0,3 E) 0,

296 8. BÖLÜM RASYONEL SAYILAR BÖLÜM TESTİ Değeri 2 5 olan bir kesrin hem pay hem de paydasına 4 eklenince kesrin değeri oluyor. Buna göre, bu kesrin pay ile paydasının toplamı kaçtır? A) 7 B) 14 C) 21 D) 28 E) a, b doğal sayılardır. 4, 8 = a + b 5 eşitliğine göre, a + b toplamının en küçük değeri kaçtır? A) 6 B) 8 C) 12 D) 14 E) < a < 9 9 olduğuna göre, a aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 1 3 B) 7 18 C) D) E) işleminin sonucu kaçtır? A) 1 12 B) 1 4 D) 0 E) 1 6 C) , : 0, 01 4 işleminin sonucu kaçtır? A) 7 B) 1 C) 1 D) 7 E) , , işleminin sonucu kaçtır? A) 0,11 B) 0,1 C) 1 D) 1,1 E) = k , ,65 olduğuna göre, k kaçtır? toplamı virgülden sonra kaç basamak devreder? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 1. C 2. D 3. B 4. D 5. D 6. A 7. B 8. C 9. C 10. D 11. B 12. C 13. B 14. A 15. D 16. D 296

297 8 BÖLÜM RASYONEL SAYILAR BÖLÜM TESTİ , 4 0, 045 0, 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 0,7 B) 0,71 C) 0,8 D) 0,89 E) 0,17 5. a, b, c, d rakam olmak üzere, a 0, b 0, 0c + + 0, a 0, 0b 0, 00c 0, 00d 0, 000d işleminin sonucu kaçtır? A) 0,2 B) 0,3 C) 2 D) 3 E) işleminin sonucu kaçtır? A) 0,2 B) 0,25 C) 0,4 D) 0,45 E) 0, A = olduğuna göre, ifadesinin A cinsin- 17 den değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) A 1 B) 2A + 1 C) 1 A 2 D) A E) 2 A işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 1 C) D) 1 6 E) x 2 ifadesi x in kaç farklı değeri için tanımsızdır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 4. A = 0,4 + 0,04 + 0, , B = 0,9 + 0,09 + 0, , olmak üzere, B aşağıdakilerden hangisine eşittir? A A) 2 3 B) 3 2 C) 4 9 D) 9 4 E) tane işleminin sonucu kaçtır? A) 2 B) 2,5 C) 3 D) 3,5 E) 4 297

298 8. BÖLÜM RASYONEL SAYILAR BÖLÜM TESTİ , 4 0, 5 + 0, 44 0, 55 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 2 C) 1,1 D) 11 E) , 0, , 16 işleminin sonucu kaçtır? A) 10 B) 15 C) 30 D) 60 E) ,,, 0, 11 işleminin sonucu kaçtır? A) 11! B) 11! 9 D) 1 E) 11! C) işleminin sonucu kaçtır? A) 0,25 B) 0,5 C) 0,55 D) 0,75 E) 1,1 11. a = 0,45 b = 0,54 olmak üzere, 0,a + 0,b işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 1 C) 1 D) 5 E) = x + 1 eşitliğini sağlayan x sayısı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) a =, b =, c = olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? 16. ab, bc, ca iki basamaklı sayılardır. a + b + c = 18 olduğuna göre, 0,ab + 0,bc + 0,ca toplamının sonucu A) a > b > c B) a > c > b C) c > b > a kaça eşittir? D) c > a > b E) b > c > a A) 2 B) 3 C) 6 D) 8 E) 9 1. B 2. B 3. E 4. D 5. D 6. C 7. B 8. B 9. C 10. C 11. A 12. A 13. B 14. C 15. B 16. A 298

299 9. BÖLÜM GERÇEK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI Gerçek Sayılar, Gerçek Sayılarda Eşitsizlikler, Aralıklar

300 .

301 9 BÖLÜM GERÇEK SAYILAR KAVRAMA TESTİ 01 Gerçek Sayılar, Gerçek Sayılarda Eşitsizlikler, Aralıklar Hazine Hazine Rasyonel olmayan bir sayıya irrasyonel sayı denir. Bir başka deyişle; bir sayı, payı ve paydası tam sayı olan bir kesir olarak yazılamıyorsa o sayı irrasyoneldir. Örneğin; 4,5 sayısı 9 Tam sayı olarak yazılabildiğinden, 2 Tam sayı bir rasyonel sayıdır. Buna karşılık 2 sayısını a ve b Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşim kümesine gerçek sayılar kümesi denir ve bu küme R ile gösterilir. R = Q Q Ayrıca, N Z Q R dir. birer tam sayı olmak üzere, a b (Neden?). Bu yüzden biçiminde yazamayız 2 bir irrasyonel sayıdır. n ve m bir tam sayı, m 0 ve p bir asal sayı olmak üzere p, p n p, m, n + p, n p sayıları irrasyoneldir. Örneğin; 2, 3, 11, 3 3 6, 2 5, 2, 2 + 3, 1 2 birer irrasyonel sayıdır. İrrasyonel sayıların kümesi Q ile gösterilir. Bir sayı hem rasyonel hem de irrasyonel olamaz. Yani, Q Q = dir. 1. Aşağıdaki sayılardan hangisi irrasyoneldir? A) 0 B) 3 5 C) 0,25 D) 4 E) " ile 2 3 birer irrasyonel sayıdır. Bu sayıları toplarsak, ( ) + ( 2 3 ) = 4 olur. Yani, sonucun bir rasyonel sayı olduğunu görürüz. Yukarıdaki ifadeye göre aşağıdaki sonuçlardan hangilerine ulaşılır? I. İrrasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalı değildir. II. Herhangi iki irrasyonel sayının toplamı bir rasyonel sayıdır. III. Herhangi iki irrasyonel sayının farkı bir tam sayıdır. A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve III E) II ve III Hazine Her a, b, c, d gerçek sayısı için 1. a b ve b c ise a c 2. a b c d a + c b + d 3. a ile b aynı işaretli olmak üzere, 4. a b olmak üzere, a b 1 a 1 b i) c > 0 ise, a c b c ii) c < 0 ise, a c b c Yani negatif bir sayı ile sadeleştirme ya da genişletme yapıyorsak, eşitsizliğin yönü değişir. 3x < 6 x > 2 x > < 3 1 x 3 3. Aşağıdaki ifadelerden hangileri daima doğrudur? I. 4x < 8 x > 2 II. 2x < 6 x < 3 III. 1 2 x < x > 1 2 A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III 301

302 3. BÖLÜM GERÇEK SAYILAR Gerçek Sayılar, Gerçek Sayılarda Eşitsizlikler, Aralıklar KAVRAMA TESTİ x, y, z birer gerçek sayıdır x y z > 0 x y < 0 2 z x y z > 0 olduğuna göre, x, y, z nin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir? A) +,, + B) +,, C) +, +, + D), +, E) +,, + 6. A = [2, ) ve B = (, 3) olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri daima doğrudur? I. A = (, 2) II. B = (3, ) III. (A B) = A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III 7. A B = [1, 3] A = [1, ) olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden hangisi olabilir? I. (0, 4) 5. x + y > 0 x y < 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin sonucu sıfıra eşit olabilir? II. (1, 4) III. [1, 3] A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III A) x y B) x 2y C) 2x 3y D) 2x + 2y E) 3x + 2y 8. A = ( 6, 1] ve B = [0, 5) Hazine olduğuna göre, A B nin sayı doğrusunda kırmızı renkle gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? a, b, x R ve a < b olsun. Küme Kümenin Sembolik Geometrik adı gösterimi gösterimi {x: a < x < b} Açık (a, b) aralık 9. Aşağıda verilen eşitliklerden hangisi yanlıştır? {x: a x b} Kapalı aralık [a, b] A) (, 3] [6, ) = R (3, 6) {x: a x < b} B) (, 2) (1, ) = R [ 2, 1] Yarı açık [a, b) aralık C) (, 1] (2, ) = R ( 1, 2] x: a < x b} Yarı açık (a, b] D) (, 4] ( 1, ) = ( 1, 4] aralık E) (, 2] (1, ) = R [1, 2) 1. E 2. A 3. D 4. D 5. E 6. E 7. C 8. C 9. E 302

303 9 BÖLÜM GERÇEK SAYILAR Gerçek Sayılar, Gerçek Sayılarda Eşitsizlikler, Aralıklar PEKİŞTİRME TESTİ x ve y birer gerçek sayıdır. Buna göre, aşağıdakilerden hangileri daima doğrudur? I. x 2 irrasyonel ise x irrasyoneldir. II. x 2 rasyonel ise x irrasyoneldir. III. x y irrasyonel ise x ve y irrasyoneldir. A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III 2. a ve b birer irrasyonel sayıdır. Buna göre, aşağıdakilerden hangileri daima irrasyoneldir? I. a b a II. b III. 1 + a A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III 5. x, y, z birer gerçek sayıdır. 2 3 x y z < x y z > 0 2 y z > 0 x olduğuna göre, x, y ve z nin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir? A) +,, + B) +, +, C),, + D) +, +, + E), +, 6. x ve y sıfırdan farklı birer gerçek sayıdır. x y 4y + > x 4 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) x + y < 0 B) x < y C) x + y < 4 D) x y > 1 E) x y > 0 3. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) İki rasyonel sayının toplamı yine bir rasyonel sayıdır. B) Her rasyonel sayı iki irrasyonel sayının toplamı olarak yazılabilir. C) Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı irrasyoneldir. D) İki irrasyonel sayının çarpımı daima irrasyoneldir. E) 3 fazlası irrasyonel olan sayının kendisi de irrasyoneldir. 7. a, b, c, d pozitif gerçek sayılardır. a b c = 17 a c d = 19 a b d = 21 b c d = 23 olduğuna göre, a, b, c, d nin küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir? A) a < b < c < d B) a < c < b < d C) d < b < c < a D) d < c < b < a E) c < a < b < d 4. x 4 y 3 z 5 < 0 x y 2 z 3 > 0 olduğuna göre, x, y, z nin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) +, +, B),, + C) +,, + D), +, + E),, 8. A B = [0, 3) olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) [3, ) B) (, 0) C) D) (, 1) E) {0} 1. A 2. C 3. D 4. C 5. B 6. E 7. B 8. E 303

304 9 BÖLÜM GERÇEK SAYILAR Gerçek Sayılar, Gerçek Sayılarda Eşitsizlikler, Aralıklar ÖDEV TESTİ a ve b birer irrasyonel sayıdır. Buna göre, aşağıdakilerden hangileri daima irrasyoneldir? I. a b II. a + b 2 III. a + 2 A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III 5. A = [ 2, 10) ve B = ( 5, 8] olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri daima doğrudur? I. A = (, 2) II. B = (8, ) III. A B = [ 2, 8] A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III 2. 2 x y < 0 5 z 2007 x > y z olduğuna göre, x, y, z nin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisi olabilir? 6. A = [1, ) ve B = ( 3, 4] olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur? I. A B = ( 3, 1] II. A B = [ 3, ) III. A B = ( 3, 1) A) Yalnız II B) Yalnız III C) I ve II A),, B), +, + C) +,, + D) +, +, E),, + 3. n pozitif doğal sayı olmak üzere, 2n 1 4n x y < 0 6n+ 5 z olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) x < 0 B) y < 0 C) z < 0 D) x z < 0 E) x z > 0 D) II ve III E) I, II ve III x y > 0 10 z 4 y z < 0 x olduğuna göre, x, y, z nin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) +, +, + B) +,, + C), +, D),, + E) +,, 8. x, y ve z pozitif gerçek sayılardır. 4. x ve y sıfırdan farklı iki gerçek sayıdır. x y = 2 x y x z = 3 + < 0 4y 9x olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima y z = 5 doğrudur? A) x < y B) x > y olduğuna göre, x, y, z nin küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir? C) 3x + 2y < 0 D) x y < 0 A) x < y < z B) x < z < y C) y < z < x E) x + y > 0 D) z < x < y E) z < y < x 1. C 2. D 3. D 4. D 5. C 6. B 7. E 8. A 304

305 9 BÖLÜM GERÇEK SAYILAR BÖLÜM TESTİ Aşağıdaki sayılardan hangisi irrasyoneldir? A) 1 B) 1 2 C) 0,17 D) 2 2 E) 4 5. A = (, 0) B = (0, ) olduğuna göre, A B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (, ) B) {0} C) 2. Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri daima doğrudur? D) (, 0] E) [0, ) I. x bir irrasyonel sayı ise 1 x bir irrasyonel sayıdır. II. İki irrasyonel sayının çarpımı yine bir irrasyonel sayıdır. III. İki irrasyonel sayının toplamı yine bir irrasyonel sayıdır. A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III 6. x, y, z pozitif gerçek sayılardır. x y = 39 y z = 41 x z = 43 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) x < y < z B) x < z < y C) z < x < y 3. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? D) y < z < x E) y < x < z A) 5x < 10 x < 2 B) 3x > 9 x < 3 C) x < x 2 1 x < 1 D) x < 0 < 0 x E) x 2 < x 3 x < 1 7. A = [ 1, 3] B = x x : A 2 kümeleri veriliyor. 4. x, y, z birer gerçek sayıdır. x 2 y z 6 > 0 x y 3 z 2 < 0 x y 2 z 5 > 0 olduğuna göre, x, y, z nin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir? A), +, B),, + C) +, +, D) +, +, + E) +,, + Buna göre, A B nin sayı doğrusunda kırmızı renkle gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? 305

306 01 3. BÖLÜM BÖLÜM TESTİ GERÇEK SAYILAR 8. Q rasyonel sayılar kümesini I irrasyonel sayılar kümesini R gerçek sayılar kümesini göstermek üzere aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur? 12. a ve b pozitif tam sayılardır. 3 a + b 2 = olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 I. Q I = II. Q I = R III. R Q A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III 13. a, b, c, d pozitif gerçek sayılardır. a b c = 24 a c d = 16 2 a b d = 20 b c d = Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) x rasyonel ise x 2 rasyoneldir. B) x irrasyonel ise x + 1 irrasyoneldir. C) x rasyonel ise x + p irrasyoneldir. olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) a < b < c < d B) a < c < b < d C) a < d < b < c D) b < a < c < d E) d < a < c < b D) x irrasyonel ise x asal sayıdır. E) x bir asal sayı ise x irrasyoneldir. 10. a ve b pozitif tam sayıdır. 75 = a b olduğuna göre, a + b toplamının en büyük değeri, en küçük değerinden kaç fazladır? A) 66 B) 68 C) 70 D) 72 E) x ve y sıfırdan farklı birer gerçek sayıdır. x y 9y + > x 6 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) x + y > 6 B) y > x C) x + y > 0 D) x y > 1 E) x y > x y 2 z 4 > 0 y z 3 x 5 < 0 olduğuna göre, x, y, z nin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) +, +, + B) +, +, C),, D),, + E) +,, 15. A B = [1, 5] A = [1, 3) olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) (2, 5] B) [3, 5] C) [1, 5] D) (3, 5] 5 E) 2, 5 1. D 2. A 3. C 4. A 5. C 6. E 7. C 8. D 9. D 10. B 11. B 12. A 13. C 14. E 15. D 306

307 10. BÖLÜM I. DERECEDEN DENKLEMLER ALT ÖĞRENME ALANLARI I. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler I. Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler

308 .

309 10 BÖLÜM I. DERECEDEN DENKLEMLER KAVRAMA TESTİ 01 I. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Hazine x = 13 3x denkleminin kökü kaçtır? x bir değişken, a, b gerçek sayı ve a 0 olsun. A) 3 B) 5 C) 8 D) 10 E) 11 İçinde x ten başka değişken bulundurmayan, ax + b = 0 biçiminde olan ya da bu biçime çevrilebilen ifadelere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem, x e de denklemin değişkeni denir. Örneğin; 2x + 7 = 13 3x 4 = 6 + 4x x + 1 x + 2 = 3 4 ifadeleri birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerdir. 4. x değişkenine bağlı, (3 2x) m + 2m 3 = 11 denkleminin kökü 2 olduğuna göre, m kaçtır? A) 3 B) 3 C) 9 D) 11 E) 14 2 b ax + b = 0 a x = b x = a sayısına denklemin kökü denir. Bu kökün oluşturduğu b a kümesine denklemin çözüm kümesi denir. 5. 3x 4 = 2(1 x) x n = 0 denklemi birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, n kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { } B) {3} C) {6} D) {18} E) {30} 2. 7x + (a 4)y + 3 = 0 denklemi x değişkenine bağlı birinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem olduğuna göre, a kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) = 2 x denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) {5} D) E) {2}

310 10. BÖLÜM I. DERECEDEN DENKLEMLER I. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler KAVRAMA TESTİ (2x 3) 3 + (3x 17) 3 = 0 olduğuna göre, x kaçtır? A) 3 B) 3 C) 4 D) E) 21 2 Hazine a ve c ikisi birden sıfır olmayan gerçek sayılar, b ve d gerçek sayılar olmak üzere, ax + b = cx + d denklemi verilsin. 8. x x x = 3 10 denkleminin çözüm kümesi nedir? A) 9 B) 11 C) 13 D) 15 E) 17 Verilen denklemin çözüm kümesinin boş küme olması için gerek ve yeter şart; a = c ve b d Verilen denklemin çözüm kümesinin sonsuz elemanlı olabilmesi için gerek ve yeter şart; a = c ve b = d Verilen denklemin çözüm kümesinin tek elemanlı olabilmesi için gerek ve yeter şart; 9. x y olmak üzere, 5 5 7x = 7y y x olduğuna göre, x y çarpımı kaçtır? A) 5 B) 1 C) 7 D) E) 14 5 a c olmasıdır x + 5 = 3(x + 4) + k eşitliği her x gerçek sayısı için sağlandığına göre, k kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) (x 1) (x + 5) = (x + 5) (x 5) 13. 4x + 13 = m(x + 2) + n denkleminin çözüm kümesi kaç elemanlıdır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 eşitliğini sağlayan hiçbir gerçek sayı olmadığına göre, n aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) x 2 1 x 1 = x denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 1, 1} B) { 1} C) {1} D) { } E) {0, 1} 14. a, b pozitif tam sayılar olmak üzere, 3x + b = (a 1)x + 7 denkleminin çözüm kümesi tek elemanlı olduğuna göre, a ve b nin en küçük değeri için denklemin kökü kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 1. D 2. D 3. C 4. E 5. C 6. D 7. C 8. C 9. A 10. B 11. B 12. A 13. E 14. C 310

311 10 BÖLÜM I. DERECEDEN DENKLEMLER I. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler PEKİŞTİRME TESTİ (a 2)x 2 + (2a + 1)x 15 = 0 denklemi x değişkenine bağlı birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, a + x toplamı kaçtır? x + a a x 5. = denkleminin kökü 2 olduğuna göre, a kaçtır? A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) x + (m 3)y + 9 = 0 denklemi x değişkenine bağlı birinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem olduğuna göre, m x çarpımı kaçtır? A) 9 B) 3 C) 0 D) 3 E) 9 6. x 2 2 x x + 1 = denklemini sağlayan x değeri kaçtır? A) 10 B) 8 C) 5 D) 4 E) x 5 = 5(3 x) 4 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { } B) {0} C) {1} D) {2} E) {3} 7. x 3 x = 5 3 denklemini sağlayan x değeri kaçtır? A) 5 18 B) 5 3 C) 7 2 D) 3 E) x (3 2x) = 3(6 x) denkleminin kökü aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 3 C) 7 D) 15 E) (a 2)x + 4 = 3x + b 3 eşitliği her x gerçek sayısı için sağlandığına göre, a + b toplamı kaçtır? A) 12 B) 8 C) 6 D) 4 E) 0 311

312 10. BÖLÜM I. DERECEDEN DENKLEMLER I. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler PEKİŞTİRME TESTİ x 1 x 3 5x 11 + = denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? x + 1 = x 2 denkleminin kökü kaçtır? A) B) {1} C) {3} D) {5} E) R A) 7 2 B) 3 C) 5 2 D) 2 E) a(x + 1) 3 = (2 a)x + a x 5 x 3 2x 5 = denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) { } C) 5 { } D) {2} E) R denklemi x değişkenine bağlı birinci dereceden bir denklemdir. Bu denklemin çözüm kümesi bir elemanlı olduğuna göre, a aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) 1 B) 0 C) 1 D) 2 E) (a 1)x + 3 = 3x + b + 2 denkleminin x değişkenine bağlı çözüm kümesi sonsuz elemanlı olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) x 1 x x x x = x x 1 x 1 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) {1} C) {3} D) {5} E) R 12. x (2x 3(2x - 1)) = 13 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? 16. 3x (x (x 3)) = 2(6 x) denklemini sağlayan x değeri kaçtır? A) {3} B) {2} C) {0} D) { 2} E) { 3} A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 1. E 2. A 3. D 4. B 5. C 6. B 7. A 8. A 9. E 10. A 11. E 12. D 13. C 14. C 15. D 16. C 312

313 10 BÖLÜM I. DERECEDEN DENKLEMLER I. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler ÖDEV TESTİ x 3 kesrini tanımsız yapan x sayısı, 2x 8 (x 1)y 24 = 0 denkleminin kökü olduğuna göre, y kaçtır? A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8 5. (a + 3)x + 7 = 4x + b + 1 denklemi x değişkenine bağlı bir bilinmeyenli bir denklemdir. Bu denklem için aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur? I. a = 1, b = 6 için denklemin çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır. 2. 2x a 5 + a 8 = 0 denklemi x değişkenine bağlı birinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem olduğuna göre, x + a toplamı kaçtır? II. a = 2, b = 6 için denklemin çözüm kümesi boş kümedir. III. a = 3, b = 10 için denkleminin kökü 1 dir. A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) x x + = ax + 3b = 15x 6 denklemi x değişkenine bağlı bir bilinmeyenli birdenklemdir. Bu denklemin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) a = 3, b = 2 B) a 3, b = 2 C) a 3, b 2 D) a = 3, b 2 7. denkleminin kökü aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) x a + x 5 + x 3 = denkleminin bir kökü 6 olduğuna göre, a kaçtır? E) a = 3, b 2 A) 7 B) 13 2 C) 5 D) 9 2 E) x (2x ( 5 x)) = 3(13 x) + x denkleminin kökü aşağıdakilerden hangisidir? A) 22 B) 21 C) 20 D) 19 E) x = x 3 olduğuna göre, x kaçtır? A) 18 B) 15 C) 12 D) 7 E) 5 313

314 10. BÖLÜM I. DERECEDEN DENKLEMLER I. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler ÖDEV TESTİ x 3 x 5 x 7 + = x 11 2x = + x 7 x 5 x 7 x 5 olduğuna göre, 7 x kaçtır? denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden han- A) 1 B) 3 C) 5 D) 13 E) 17 gisidir? A) {5} B) {5, 7} C) D) R E) R {5, 7} 10. a( b c) = y x ac x olduğuna göre, x y çarpımı kaçtır? A) a B) ab C) 1 D) ab E) a 14. 2a b = 37 a + x = 25 b + x = 8 olduğuna göre, x kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) x y olmak üzere, x + = 7 y + y x olduğuna göre, x y çarpımı kaçtır? A) 4 B) 2 C) 0 D) 2 E) x + a a x = denkleminin kökü 4 olduğuna göre, a kaçtır? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) x 13 = x 5 denkleminin kökü kaçtır? A) 16 B) 15 C) 8 D) 6 E) 3 x 16. ( x 5) + 2( 10 2x) = 0 3 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 1. E 2. B 3. D 4. A 5. A 6. C 7. D 8. B 9. E 10. B 11. A 12. C 13. C 14. D 15. B 16. A 314

315 10 BÖLÜM I. DERECEDEN DENKLEMLER KAVRAMA TESTİ 02 I. Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler Hazine x ve y değişken, a, b gerçek sayılar ve a 0 b olsun. x ve y den başka değişken bulundurmayan, a x + b y = 0 biçiminde olan ya da bu biçime çevrilebilen ifadelere birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklem, x ve y ye de denklemin değişkenleri denir. Örneğin; 3x 2y = 7 1. x 3y = 2 x + 2y = 18 denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {( 10, 4)} B) {( 4, 10)} C) {(4, 10)} D) {(10, 4)} E) {(2, 5)} a 1 b 2 = 3 4 ifadeleri birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerdir. Birden fazla denklemin oluşturduğu sisteme bir denklem sistemi denir. Verilen tüm denklemleri sağlayan değerlerden oluşan kümeye denklem sisteminin çözüm kümesi denir. Bir denklem sisteminde birden fazla bilinmeyen varsa çözüm yerine koyma veya yok etme metodu gibi yöntemler kullanılarak yapılır. Örneğin; x 2y = 0 y x = 3 denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım. 1. Yerine Koyma Metodu: Denklemlerden birinde x veya y eşitliğin bir tarafında yalnız bırakılır ve değer denklemde yerine yazılır. x 2y = 0 x = 2y dir. Elde edilen x ifadesi diğer denklemde yerine yazılırsa y bilinmeyenine bağlı bir bilinmeyenli bir denklem elde edilir. y x = 3 y 2y = 3 y = 3 Bu değer denklemlerden herhangi birinde yerine yazılarak x değeri bulunur. x 2y = 0 x 2 ( 3) = 0 x = 6 bulunur. 2. Yok Etme Metodu: Bu yöntemde sistemi oluşturan denklemler alt alta yazılır. x 2y = 0 x + y = 3 denklemler taraf tarafa toplanırsa, x x 2y + y = 3 y = 3 y = 3 Bu değer denklemlerden birinde yerine yazılırsa x = 6 bulunur. Buna göre verilen sistemin kökü ( 6, 3) ve çözüm kümesi {( 6, 3)} bulunur. 2. x y = 3 3x 3y = 9 denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {(3 x, x): x R} B) {(x, 3 x: x R} C) { } D) {(x, x 3): x R} E) {(x 3, x 3): x R} 3. x ve y değişkenine bağlı, a (x 1) + b(y 2) = 4 2ax + by = 20 denklem sisteminin kökü (3, 2) olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) = x y = x y 3 olduğuna göre, y kaçtır? A) 2 B) 1 C) 1 D) 1 E)

316 10. BÖLÜM I. DERECEDEN DENKLEMLER I. Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler KAVRAMA TESTİ x y = 13 z x z = 2 y 2 x + 3y = 38 Hazine a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 denklemlerini sağlayan y gerçek sayısı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 6 denklem sisteminin çözüm kümesi, Tek elemanlı ise a 1 b 1 dir. a2 b2 Boş küme ise a 1 b c = 1 1 dir. a2 b2 c2 Sonsuz elemanlı ise a 1 b c = 1 = 1 dir. a2 b2 c2 6. x y = 5 y z = 3 4x + z = 17 olduğuna göre, z kaçtır? A) 3 B) 2 C) 0 D) 2 E) x + 4y + 8 = 0 ax + 12y + b = 0 denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 18 B) 25 C) 29 D) 32 E) (x 2y 5) 2 + (3x y 15) 2 = 0 olduğuna göre, x kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) x y = 7 (a 1)x + (a + 1)y = 13 denklem sisteminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, a kaçtır? A) 3 B) 1 3 C) 1 D) 1 3 E) 3 8. x + y + 3z = 13 x + y + 2z = 7 x y + z = 9 denklem sistemine göre, x y z çarpımı kaçtır? 11. (2a b 3)x + (a + b 6)y = 0 eşitliği her x ve y gerçek sayıları için sağlandığına göre, a b çarpımı kaçtır? A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 24 A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) A 2. D 3. D 4. C 5. C 6. A 7. E 8. E 9. E 10. B 11. D 316

317 10 BÖLÜM I. DERECEDEN DENKLEMLER I. Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler PEKİŞTİRME TESTİ x y = 8 x + 2y = 5 denklemini sağlayan x gerçek sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 B) 1 C) 0 D) 1 E) x + 3y + 5 = 0 mx + 9y + n = 0 denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır? A) 23 B) 22 C) 21 D) 20 E) x 7y = 19 2y x = 4 denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {(3, 2)} B) {( 3, 2)} C) {( 2, 3)} D) {(2, 3)} E) {(2, 3)} 6. (a b 5)x + (a + b 7)y = 0 eşitliği her x, y gerçek sayıları için sağlandığına göre, a b çarpımı kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) x 3y = 7 3x + 2y = 11 denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {( 1, 4)} B) {(4, 1)} C) {(1, 4)} D) {(4, 1)} E) {(1, 4)} 7. 5x + ny + 12 = 0 mx + 4y + 6 = 0 denklem sisteminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, m n çarpımı kaçtır? A) 15 B) 20 C) 24 D) 28 E) x 2y = 3 3x 6y = 9 denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) x, x 3 : x R = x y 21 B) {(x, x + 3) : x R} C) {(2x, x 3) : x R} D) { } E) R = x y 21 olduğuna göre, y kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 317

318 10. BÖLÜM I. DERECEDEN DENKLEMLER I. Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler PEKİŞTİRME TESTİ x 7y + 3z = 17 x + 7y 3z = 21 olduğuna göre, x kaçtır? A) 4 B) 2 C) 0 D) 2 E) x ve y gerçek sayılar olmak üzere, (5x 3y 26) 2 + (2x 5y + 1) 2 = 0 denklemini sağlayan y sayısı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) mx + ny = 23 nx + my = 31 m + n = 6 olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır? A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) x + 3y = 2 3y + z = 5 3x 5z = 15 olduğuna göre, z gerçek sayısı kaçtır? A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) x 2y = 8 5x 3y = 11 mx + (m 1)y = 92 denklem sisteminin çözüm kümesi boş küme olmadığına göre, m kaçtır? 15. (m + 3)x 2y = n + 8 mx + (n + 1)y = 14 denklem sisteminin çözüm kümesi {( 1, 3)} olduğuna göre, m kaçtır? A) 3 B) 2 C) 1 D) 0 E) 1 A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) x y = 11 y z = 22 olduğuna göre, 2x y z ifadesinin sayısal değeri 16. (5x 3y 7) (2x + 3y 21) = 0 denklemini sağlayan (x, y) gerçek sayı ikililerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? kaçtır? A) (1, 9) B) (1, 1) C) ( 1, 2) A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2 D) (9, 1) E) (9, 3) 1. A 2. D 3. A 4. A 5. C 6. B 7. B 8. D 9. D 10. B 11. B 12. C 13. D 14. B 15. C 16. D 318

319 10 BÖLÜM I. DERECEDEN DENKLEMLER I. Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler ÖDEV TESTİ (2m 3n 15)x + (3m 2n 5)y = 0 eşitliği her x, y gerçek sayısı için sağlandığına göre, m n çarpımı kaçtır? A) 21 B) 14 C) 7 D) 14 E) (2m 3)x + 7y = n + 14 mx + (n + 1)y = 9 denklem sisteminin çözüm kümesi {(1, 1)} olduğuna göre, m + 5n toplamı kaçtır? A) 17 B) 16 C) 15 D) 14 E) = 7 x y 3 2 = 11 x y olduğuna göre, 41x + y ifadesinin değeri kaçtır? A) 7 B) 11 C) 14 D) 22 E) mx + 3y = 7 2x ny = m 7 denklem sisteminin çözüm kümesi bir elemanlı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) m n = 6 B) m < n C) m n 6 D) m n 2 E) m n > x 5y = 6 4x 15y = 11 denklemin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? 7 A) {(5, 7)} B) {(7, 10)} C) 2, D), E) , 5 7. m n olmak üzere, mx ny = 11m 15 nx my = 11n 15 denklem sistemine göre, x + y toplamı kaçtır? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) (m 1)x + 2y = 2 4x + (n 1)y = m + 1 denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı olduğuna göre, n nin pozitif değeri kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 8. xy 3y x 1 = 0 eşitliğini sağlayan x in hangi değeri için y hesaplanamaz? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 319

320 10. BÖLÜM I. DERECEDEN DENKLEMLER I. Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler ÖDEV TESTİ x 9 + y x 3 = 0 olduğuna göre, y kaçtır? A) 7 B) 5 C) 3 D) 1 E) a b = 3 b c = 7 3a + c = 6 olduğuna göre, c kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 x 10. 2x + = 12 x + y + z y x + = 13 x + y + z z 3x + = 24 x + y + z olduğuna göre, x kaçtır? A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) x + y + z = 10 2x + y + z = 15 x + y z = 8 denklem sistemine göre, x y z çarpımı kaçtır? A) 20 B) 18 C) 15 D) 10 E) x y = 7 z x z = 4 y 2 x + 3y = 10 denklemlerini sağlayan y gerçek sayısı kaçtır? A) 8 B) 6 C) 4 D) 2 E) x, y tam sayıdır. 1 1 x y 3 + x + y 5 = 1 olduğuna göre, x y çarpımı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) x y 21 = x + y 10 x z x + z = y z y + z = 12 7 olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır? A) 10 B) 13 C) 14 D) 15 E) x, y, z sıfırdan farklı tam sayılar olmak üzere, x + 3y 5z = 0 olduğuna göre, 3x + 15z + 9y ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 15 B) 30 C) 45 D) 70 E) E 2. D 3. D 4. E 5. B 6. C 7. C 8. C 9. A 10. A 11. B 12. C 13. D 14. A 15. D 16. B 320

321 10 BÖLÜM I. DERECEDEN DENKLEMLER BÖLÜM TESTİ x x = 2 2 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {36} B) { 36} C) {24} D) { 24} E) {12} = x 2 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 2} B) { 1} C) {1} D) {3} E) {4} x x 2 = denklemini sağlayan x değeri kaçtır? a + a a a a = 4 A) 2 B) 0 C) 2 D) 4 E) 6 eşitliğini sağlayan a değeri nedir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) x 1 + x 2 + x a = 2 denkleminin köklerinden biri 3 olduğuna göre, a kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) a 3b + 4c = 24 3a 5b + 2c = 16 olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) x + y = 4 y + z = 5 8. Her x, y gerçek sayıları için, x + z = 7 olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır? A) 6 B) 4 C) 2 D) 6 E) 8 (3a b + 4)x + (a + b 12)y = 0 eşitliği sağlandığına göre, a kaçtır? A) 2 B) 4 C) 5 D) 8 E)

322 10. BÖLÜM I. DERECEDEN DENKLEMLER BÖLÜM TESTİ x, y pozitif tam sayı olmak üzere, 2x + 3y = 18 olduğuna göre, kaç farklı (x, y) sıralı ikilisi vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Kural: x = x( x + 1) x + 1 Yukarıda verilen kurala göre, = ( k + 1)( k + 2) 12 olduğuna göre, k kaçtır? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) m, n gerçek sayılar olmak üzere, 5x + n y 10 = 0 x + 2y + m = 0 denklem sisteminin çözüm kümesi tüm gerçek sayılar olduğuna göre, m n çarpımı kaçtır? A) 8 B) 10 C) 16 D) 20 E) a b = 18 b + c = 12 c d = 6 olduğuna göre, 2a + b + d 2b ifadesinin değeri kaçtır? A) 30 B) 32 C) 36 D) 40 E) , 08x + 0, 4 = 0, 5 0, 04x + 0, 8 denklemini sağlayan x değeri kaçtır? A) 1 B) 0 C) 1 D) 2 E) x 7 = 2(2x + 1) + k eşitliği her x gerçek sayısı için sağlandığına göre, k kaçtır? A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) x 2[x (2 x)] = 6 denklemini sağlayan x değeri için, 16. a, b, c gerçek sayılardır. x ( 2y x) + 2( x 2y) = (n + 9) = an 2 + bn + c olduğuna göre, y kaçtır? eşitliğine göre, a + b + c toplamı kaçtır? A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 10 A) 21 B) 28 C) 36 D) 45 E) a 2. c 3. d 4. e 5. e 6. c 7. a 8. a 9. b 10. d 11. b 12. c 13. c 14. e 15. b 16. e 322

323 11. BÖLÜM EŞİTSİZLİKLER ALT ÖĞRENME ALANLARI Basit Eşitsizlikler

324 .

325 11 BÖLÜM EŞİTSİZLİKLER KAVRAMA TESTİ 01 Eşitsizlikler Hazine Hazine x R olmak üzere, x ten küçük olan en büyük gerçek sayı yoktur. Örneğin, "x R ve x < 7 ise x in alabileceği en büyük değer nedir?" sorusuna verilecek cevap "x in alabileceği en büyük değer yoktur." olacaktır. Soru, "x Z ve x < 7 ise x in alabileceği en büyük değer nedir?" sorusunun cevabı ise 6 dır. Zira x bir tam sayıdır. Benzer olarak, x gerçek sayısından büyük olan en küçük gerçek sayı yoktur. Aşağıdaki tabloyu dikkatlice inceleyiniz. Soru Cevap x R, x < 0 ise x in en büyük değeri kaçtır? Yoktur x R, x < 7 ise x in en büyük değeri 2 Yoktur kaçtır? x R, x > 2 ise x in en küçük değeri kaçtır? Yoktur x Z, x < 10 ise x in en büyük değeri kaçtır? 9 x Z, x < 7 ise x in en büyük değeri 2 3 kaçtır? x Z, x > 2 ise x in en küçük değeri kaçtır? 3 1. x bir tam sayıdır. x < 2 olduğuna göre, 5x in en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 0 B) 1 C) 5 D) 9 E) 10 Eşitsizliklerde taraf tarafa toplama yaparken, işaretler aşağıdaki gibi olur. < < < < < < < Örneğin, 2 x < 5 5 a 7 1 y < 3 2 b < 6 1 x + y < 8 7 a + b < 13 Ayrıca, eşitsizliklerde taraf tarafa çıkarma, çarpma, bölme işlemlerini yapamazsınız. 3. x ve y birer tam sayıdır. 2 x < 7 3 < y < 10 olduğuna göre, x + y toplamının en büyük değeri kaçtır? A) 5 B) 6 C) 15 D) 16 E) x ve y birer gerçek sayıdır. 3 < x < 12 4 < y < 1 olduğuna göre, x + y toplamının en büyük değeri kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) x ve y birer gerçek sayıdır. 2 < x < 3 4 y < x bir gerçek sayıdır. x < 2 olduğuna göre, 5x in en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 0 B) 1 C) 5 D) 9 E) 10 olduğuna göre, 2x + 3y toplamının alabileceği değerlerin oluşturduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir? A) (8, 36) B) [8, 36) C) (10, 28) D) [10, 28) E) (10, 36) 325

326 11. BÖLÜM EŞİTSİZLİKLER Eşitsizlikler KAVRAMA TESTİ x ve y birer tam sayıdır. 2 < x < 8 3 < y < 4 olduğuna göre, 3x + 4y toplamının en küçük değeri kaçtır? A) 7 B) 5 C) 3 D) 2 E) 1 8. x ve y birer gerçek sayıdır. 5 < x < 4 3 < y < 10 olduğuna göre, 2x 3y farkının alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? A) 38 B) 39 C) 40 D) 41 E) x ve y birer gerçek sayıdır. 3 < x < 5 1 < y < 3 olduğuna göre, x y farkının alabileceği değerlerin oluşturduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir? A) ( 4, 8) B) ( 6, 6) C) (0, 4) D) ( 2, 8) E) ( 6, 4) Hazine a ve b aynı işaretli iki sayı ve a < x < b olsun. Bu durumda, a 2 ile b 2 den küçük olanı < x 2 < a 2 ile b 2 den büyük olanı eşitsizliği geçerlidir. Örneğin, 2 < x < 5 4 < x 2 < 25 6 < x < 3 9 < x 2 < 36 olur. Hazine a, b ve x tam sayı olmak üzere, i) a x b x, b a + 1 tane değer alır. ii) a < x b a x < b x, b a tane değer alır. iii) a < x < b x, b a 1 tane değer alır. a ve b ters işaretli iki sayı ve a < x < b olsun. Bu durumda, 0 x 2 < a 2 ile b 2 den büyük olanı eşitsizliği geçerlidir. Örneğin, 2 < x < 3 0 x 2 < ( 2) 2 ile (3) 2 den büyük olanı 0 x 2 < 9 Örneğin, x Z olmak üzere, 2 x 17 x, = 16 tane değer alır. 2 < x 10 x, 10 ( 2) = 12 tane değer alır. 0 x < 45 x, 45 0 = 45 tane değer alır. 5 < x < 23 x, 23 ( 5) 1 = 27 tane değer alır. 9. x bir gerçek sayıdır. 3 < x < 4 olduğuna göre, x 2 nin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? A) 8 B) 9 C) 14 D) 15 E)

327 11. BÖLÜM EŞİTSİZLİKLER Eşitsizlikler KAVRAMA TESTİ x ve y birer gerçek sayıdır. 2 x < 5 3 y 1 olduğuna göre, x 2 y 2 farkının alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? A) 35 B) 30 C) 25 D) 24 E) x bir gerçek sayıdır < x 2 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (0, 5) B) (1, 6) C) (1, 5) D) (2, 5) E) (2, 6) 11. x ve y birer gerçek sayıdır. 4 < x < 3 3 y < 6 olduğuna göre, x 2 + y toplamının alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? A) 22 B) 21 C) 20 D) 19 E) x ve y birer gerçek sayıdır. 2 < x < 3 4 < y < 5 olduğuna göre, x y çarpımının alabileceği değerlerin oluşturduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir? A) ( 8, 15) B) ( 10, 15) C) ( 8, 12) 12. x bir gerçek sayıdır. D) ( 10, 12) E) ( 10, 20) Buna göre, 3x 1 < 2x + 5 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (, 6) B) (, 4) C) ( 6, ) D) ( 4, ) E) (0, 6) 16. x ve y birer gerçek sayıdır. 1 < x < 3 2 < y < 2 olduğuna göre, x 2 y 3 çarpımının alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? A) 71 B) 72 C) 73 D) 143 E) x gerçek sayı olmak üzere, x eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? 17. x ve y birer gerçek sayıdır. 2 < x < y < 3 A) 0, B) 3, 4 C) [0, 4] olduğuna göre, x y çarpımının alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? D) 4, 9 2 E) [4, ) A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) C 2. D 3. C 4. D 5. A 6. E 7. B 8. A 9. E 10. A 11. D 12. A 13. B 14. D 15. B 16. D 17. C 327

328 11 BÖLÜM EŞİTSİZLİKLER Eşitsizlikler PEKİŞTİRME TESTİ x ve y gerçek sayılardır. 1 < x < 3 3 < y < 10 olduğuna göre, 2x + 3y toplamının oluşturduğu gerçek sayı aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) (2, 33) B) (3, 13) C) (7, 36) 5. x ve y gerçek sayılardır. 2 < x < 1 1 < y < 5 olduğuna göre, 2x 2 y 2 farkı kaç farklı tam sayı değeri alır? A) 25 B) 27 C) 28 D) 29 E) 30 D) (6, 28) E) (6, 34) 6. a ve b birer tam sayı olmak üzere, 2. x ve y gerçek sayılar olmak üzere, 3 < x < 5 4 < y < 6 olduğuna göre, 3x + 2y toplamının alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 28 B) 27 C) 26 D) 24 E) x ve y tam sayılar olmak üzere, 3 < x < 8 2 < y < 8 olduğuna göre, 3x 2y nin en küçük değeri kaçtır? A) 1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 1 a < 2 2 b 4 olduğuna göre, a 2 + b 2 toplamı kaç farklı değer alır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) x ve y gerçek sayılardır. x 1 x + 1 < 2 < 2 2 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (, 5) B) (3, ) C) (3, 5) D) R E) (, 3) (5, ) 8. x, y ve z gerçek sayılardır. 4. x ve y gerçek sayılardır. 2 x 5 3 y < 4 x < y < z olmak üzere, 1 x + 1 y + 1 z = 1 10 olduğuna göre, x 2 y 2 farkı kaç farklı tam sayı değeri alır? olduğuna göre, x in alabileceği değer aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 41 B) 40 C) 39 D) 38 E) 37 A) 33 B) 32 C) 31 D) 30 E) C 2. C 3. D 4. A 5. D 6. A 7. C 8. E 328

329 11 BÖLÜM EŞİTSİZLİKLER Eşitsizlikler ÖDEV TESTİ x bir gerçek sayıdır < x 2 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (0, 5) B) (1, 6) C) (1, 5) 5. x y < 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) x + y < 0 B) x + y > 0 C) x 2 y > 0 D) y 2 x > 0 E) x y < 0 y D) (2, 5) E) (2, 6) 2. 3 x < 6 5 y < 11 olduğuna göre, 3x 2y farkının alabileceği en büyük tam sayı kaçtır? A) 2 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9 6. x ve y tam sayılar olmak üzere, 4 x < 0 2 < y < 4 olduğuna göre, 3x + 2y nin alabileceği en büyük değer, alabileceği en küçük değerden kaç fazladır? A) 21 B) 20 C) 19 D) 18 E) x 3 1 y 4 olduğuna göre, 2x + y x y nin alabileceği en büyük 7. 2 < x 1 değer ile en küçük değerin farkı kaçtır? 1 < y < 2 A) 0 B) 5 3 C) 2 3 D) 4 5 E) 3 5 olduğuna göre, x 3 y 2 aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) 12 B) 7 C) 3 D) 0 E) < a < b olmak üzere, a + 2b = c a 8. x 2008 < 2x 1 < x olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) c = 5 B) c 4 C) c < 2 D) c > 3 E) c = 3 olduğuna göre, x in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? A) 4021 B) 4020 C) 4019 D) 4018 E)

330 11. BÖLÜM EŞİTSİZLİKLER Eşitsizlikler ÖDEV TESTİ x 2 < 4 y 2 x 2 < 5 olduğuna göre, x + y nin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) x bir tam sayıdır. x 1 2x 1 2 < 3 5 olduğuna göre, x in en küçük değeri kaçtır? A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) < x < y < 4 olduğuna göre, x + y toplamının alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) x + 1 < x 1 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) R B) R { 1, 1} C) (, 1) D) (1, ) E) R [ 1, 1] 11. R {1} kümesinde, 1 1 < 2 1 < 1 x 5 eşitsizliğini sağlamayan x tam sayılarının toplamı kaçtır? A) 12 B) 13 C) 14 D) 19 E) x 1 < x + 2 olduğuna göre, x in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) a ve b gerçek sayılardır. a < x < b eşitsizliğini sağlayan 5 tane tam sayı olduğuna göre, b a farkı en çok kaçtır? 16. x < 12 eşitsizliğini sağlayan iki farklı x gerçek sayısının toplamının alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) D 2. D 3. B 4. D 5. E 6. E 7. A 8. E 9. C 10. D 11. C 12. C 13. B 14. E 15. A 16. D 330

331 11 BÖLÜM EŞİTSİZLİKLER BÖLÜM TESTİ x ve y gerçek sayılar olmak üzere, 2 < x 5 4 y < 8 olduğuna göre, 5x + 2y toplamının alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2 5. x bir gerçek sayıdır. 3x 5 x x eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (8, ) B) (0, 8) C) (, 8) 7 D) 2, E) ( 1, ) 2. a ve b tam sayılar olmak üzere, 3 < a < 4 5 < b < 4 olduğuna göre, a 2 küçük tam sayı değeri kaçtır? b ifadesinin alabileceği en 3 A) 3 B) 2 C) 1 D) 0 E) 1 6. x < y < z olmak üzere, = x y z 5 olduğuna göre, x in en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 29 B) 30 C) 31 D) 32 E) x ve y gerçek sayılardır. 5 < x < 3 1 y < 3 olduğuna göre, y 2 + x 2 toplamı kaç farklı tam sayı değeri alır? A) 36 B) 35 C) 34 D) 33 E) x bir gerçek sayıdır < x 1 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (, 3) B) ( 3, 1) C) (0, 3) D) (1, 3) E) (2, 5) 4. x ve y birer tam sayı olmak üzere, 2 x < 1 8. a bir tam sayı, x bilinen bir tam sayıdır. 2 y < 3 olduğuna göre, 2x 2 y 2 farkı kaç farklı değer alır? A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) x > a > 17 x eşitsizliğini sağlayan 13 değişik a sayısı olduğuna göre, x kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E)

332 BÖLÜM BÖLÜM TESTİ EŞİTSİZLİKLER 9. x ve y gerçek sayıdır. 0 < x < 3 2 < y < 4 olduğuna göre, x y çarpımının en büyük tam sayı değeri, en küçük tam sayı değerinden kaç fazladır? A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) x bir gerçek sayıdır. 2 7 < 3 x 1 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (, 1) B) (1, ) C) 1, 19 2 D) 1, 23 2 E), x ve y birer gerçek sayıdır. 3 < x < 7 2 < y < 4 olduğuna göre, (x + 1) (y + 1) çarpımının alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? 14. x ve y birer gerçek sayıdır. x < y < 3 x olduğuna göre, y nin en küçük tam sayı değeri kaçtır? A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2 A) 46 B) 47 C) 48 D) 49 E) x ve y birer gerçek sayıdır. y x < x < y + x 11. x ve y gerçek sayıdır. 5 < x < 1 2 < y < 1 olduğuna göre, x 2 y 2 çarpımının alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? A) 70 B) 71 C) 72 D) 73 E) 74 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri doğrudur? I. x pozitiftir. II. y pozitiftir. III. 2x y negatiftir. A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III 12. x < y < z olmak üzere, = x y z Aşağıdaki eşitsizliklerden hangisi, 0 x 2 < 25 eşitsizliğini gerektirmez? olduğuna göre, z nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? A) 2 < x < 5 C) 1 < x < 3 B) 5 < x < 3 D) 0 x < 5 A) 22 B) 23 C) 24 D) 25 E) 26 E) 2 < x < 6 1. B 2. B 3. C 4. D 5. A 6. A 7. D 8. B 9. C 10. B 11. E 12. D 13. D 14. D 15. D 16. C 332

333 12. BÖLÜM MUTLAK DEĞER ALT ÖĞRENME ALANLARI Mutlak Değerin Tanımı Mutlak Değerin Özellikleri ve Mutlak Değerli Denklemler Mutlak Değerli Eşitsizlikler

334 .

335 12 BÖLÜM Hazine MUTLAK DEĞER KAVRAMA TESTİ 01 Mutlak Değerin Tanımı 5. 1 x < 2 olmak üzere, x 1 2 x x x gerçek sayısının sıfıra olan uzaklığına, x sayısının mutlak değeri denir ve x ile gösterilir. Uzaklık negatif olmayacağından x 0 dır. Örneğin; ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) x 1 B) 3 x C) x D) 3x 3 E) x 3 5 = 5, 11 = 11, 1 2 = 2 1 x, x > 0 ise x = 0, x = 0 ise x, x < 0 ise şeklinde tanımlanabilir : 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 6. a 1 = a 1 a 5 = 5 a olduğuna göre, a nın alacağı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? A) 9 B) 10 C) 11 D) 15 E) işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 7. a < 0 < b olmak üzere, a 2 3 a b 3 2 ( ) + ( a b) 3. x < 0 olmak üzere, x x 2x x ifadesinin eşiti kaçtır? ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 2b a B) 2b 3a C) a 2b D) 3a E) a + 2b A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 4. a < b < 0 < c olmak üzere, 8. x ve y birer tam sayı olmak üzere, a + b c a + b + c b x 1 + y + 5 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ifadesinin en küçük değeri kaçtır? A) 2c 3b B) b C) 2a b D) b E) 3b 2c A) 6 B) 0 C) 1 D) 5 E) 6 1. B 2. D 3. C 4. A 5. E 6. D 7. B 8. B 335

336 12 BÖLÜM MUTLAK DEĞER PEKİŞTİRME TESTİ 01 Mutlak Değerin Tanımı işleminin sonucu kaçtır? 5. x 5y ifadesi en küçük değerini aldığında y x oranı kaç olur? A) 6 B) 0 C) 1 D) 5 E) 6 A) 0 B) 1 5 C) 1 2 D) 2 E) 5 2. x < 0 olmak üzere, x 3 x + 2x 3 6. x 3 = 3 x x + 1 = x + 1 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x B) x C) 0 D) x E) 2x olduğuna göre, x in alacağı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) işleminin sonucu kaçtır? A) 3 B) C) D) E) x = 3 x y + 1 = y 1 olduğuna göre, x + y toplamının alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 4. x < 4 olmak üzere, 5x + 4x 4 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) x 4 B) 4 9x C) 4 x D) x 4 E) 9x x y + 3 ifadesini en küçük yapan x ile y değerleri için x y çarpımı kaçtır? A) 1 B) 1 C) 0 D) 1 E)

337 BÖLÜM PEKİŞTİRME TESTİ MUTLAK DEĞER Mutlak Değerin Tanımı 9. A = x x 3 + x + 5 olduğuna göre, A nın alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 0 B) 8 C) 10 D) 12 E) x < y < 0 < z olduğuna göre, x + z y + z x y işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 2z 2x B) 2x 2z C) 2x + 2y D) 2z 2x 2y E) A 24 = 4x 8 + x + 6 olduğuna göre, A nın alacağı en büyük değer kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) x 7 + 5y 13 = 0 olduğuna göre, 5y 3x ifadesinin değeri kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) A = x 5 x + 2 olduğuna göre, A nın alacağı en büyük değer en küçük değerden kaç fazladır? A) 7 B) 8 C) 11 D) 12 E) x + x = 0 y y = 0 olduğuna göre, x + x y y ifadesinin eşiti nedir? A) 2x B) 2x C) 2y D) 2x + 2y E) 2x 2y 12. x < 0 < y olduğuna göre, ( x y) x + y + ( x y) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) x C) y D) x y E) x + y 16. A = x + 5 B = k x olmak üzere, A B ifadesinin en küçük olmasını sağlayan x değeri 3 olduğuna göre, k kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 337

338 BÖLÜM PEKİŞTİRME TESTİ MUTLAK DEĞER Mutlak Değerin Tanımı 17. x = 7 a denkleminin gerçek sayılarda çözüm kümesi boş küme olmadığına göre, a nın alacağı doğal sayı değerlerinin toplamı kaçtır? A) 6 B) 10 C) 15 D) 21 E) < x 3 olmak üzere, x 1 3 x + x x 1 ifadesinin eşiti nedir? A) 3 B) x + 3 C) 2x 3 D) x 5 E) 3 x 18. x ve y gerçek sayılardır. x y 13 + x + y + 7 = 0 olduğuna göre, x y çarpımı kaçtır? A) 30 B) 24 C) 18 D) 15 E) x > x olmak üzere, 7x 5x + x ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 3x B) x C) 2x D) 3x E) 4x 19. x + y 0 olduğuna göre, x + y 3 + x y + 2 toplamının değeri kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) x < 0 olmak üzere, 3x 2x = 20 olduğuna göre, x kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) Aşağıda verilenlerden hangisi ya da hangileri doğrudur? I = 1 II = 5 3 III = A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve III D) II ve III E) I ve II 24. f(x) = 2x + 3 3x 4 olduğuna göre, f( 2) + f(1) toplamı kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 1. B 2. C 3. A 4. A 5. B 6. E 7. C 8. D 9. B 10. A 11. E 12. E 13. A 14. B 15. B 16. E 17. E 18. A 19. D 20. E 21. A 22. A 23. B 24. B 338

339 12 BÖLÜM MUTLAK DEĞER ÖDEV TESTİ 01 Mutlak Değerin Tanımı 1. x 3 = 3 x denklemini sağlayan x doğal sayılarının toplamı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 5. x < 0 < y olduğuna göre, 6 x y 4x + 4y işleminin sonucu kaçtır? A) 3 2 B) 2 3 C) 2 3 D) 3 2 E) < x < 1 olmak üzere, x = x olduğuna göre, x kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 10 B) 2 5 C) 2( 5 5) A) 1 B) 1 2 C) 1 3 D) 1 4 E) 1 5 D) 10 5 E) x y 3. a, b ve c sıfırdan farklı gerçek sayılardır. a b c + + a b c ifadesinin alabileceği kaç farklı değer vardır? x = y olduğuna göre, x y + y toplamı kaçtır? x A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 8. x = x 4. 3 < x < 5 olmak üzere, A = x x 5 B = x x 7 olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22 y = y olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) x y 0 B) x y < 0 C) x + y 0 D) x + y 0 E) x y 0 339

340 BÖLÜM ÖDEV TESTİ MUTLAK DEĞER Mutlak Değerin Tanımı 9. x 5 + y + 2 = 0 olduğuna göre, x + y 2 ifadesinin değeri kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) < x < 4 olmak üzere, x x 2 + x + x 2 + x x ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) x 2 B) 2x 1 C) 1 D) 1 E) x = y 5 olduğuna göre, x y 6 + y x + 4 ifadesinin değeri kaçtır? A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) a b < 0 b = b c < c olduğuna göre, (a, b, c) nin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir? A) (, +, +) B) (, +, ) C) (,, +) D) (,, ) E) (+,, +) 11. A = 2x 3 + 2x x 1 olduğuna göre, A nın alacağı en küçük değer kaçtır? A) 4 B) 8 C) 9 D) 11 E) x > x olmak üzere, 3x 1 3 2x = 1 olduğuna göre, x kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) x < y < z < 0 y + z = y z 16. x < 0 olmak üzere, olduğuna göre, x + z + y z + x y ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? x 5 x 5 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 0 B) 2x C) 2y A) 2x B) 5 C) 2x 10 D) 2x E) 2y D) 2x E) 5 1. e 2. b 3. d 4. c 5. d 6. a 7. a 8. b 9. e 10. c 11. b 12. d 13. e 14. b 15. c 16. a 340

341 12 BÖLÜM MUTLAK DEĞER KAVRAMA TESTİ 02 Mutlak Değerin Özellikleri Hazine Hazine a ve b gerçek sayıları için, a ile b arasındaki uzaklık a b olarak tanımlıdır. Örneğin; 3 ve 7 sayıları arasındaki uzaklık; 3 7 = 4 = 4 tür. 7 ve 3 sayıları arasındaki uzaklık, 7 3 = 4 = 4 tür. a ile b arasındaki uzaklık, b ile a arasındaki uzaklığa eşittir. Yani, a b = b a 1. x ifadesinin sözel anlatımı aşağıdaki seçeneklerden hangisinde doğru olarak verilmiştir? A) "x sayısının 1 e olan uzaklığı 4 birimden küçüktür." a > 0 ve x = a ise x = a veya x = a dır. Örneğin, x 1 = 3 ise x 1 = 3 veya x 1 = 3 x = 4 veya x = 2 dir. Mutlak değer negatif olamayacağından, x 5 = 2 denkleminin çözüm kümesi boş kümedir. 3. x 1 = 5 eşitliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 B) "x sayısının 1 e olan uzaklığı 4 birimden büyük değildir." C) "x sayısının 1 e olan uzaklığı 4 birimden küçük veya eşittir." D) "x sayısının 4 e olan uzaklığı 1 birimden küçük veya eşittir." E) "x sayısının 1 ile olan uzaklığı 4 birimden küçüktür x = 7 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 2. "x sayısının 1 e olan uzaklığı 2 ye olan uzaklığına eşittir." Yukarıdaki önermenin matematiksel ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? A) x + 1 = x + 2 B) x 1 = x + 2 C) x + 1 = x + 2 D) x 1 = x 2 E) x = 1, x = 2 5. x 1 = 2 denklemini sağlayan kaç tane x değeri vardır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 341

342 12. BÖLÜM MUTLAK DEĞER Mutlak Değerin Özellikleri KAVRAMA TESTİ x 5 = 4 2x denklemini sağlayan x değeri kaçtır? A) 3 B) 2 C) 1 D) 0 E) 1 9. x x = 9 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Hazine k 0 ve a 0 olmak üzere, ax b = k eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı, 2b a dır. 10. x 2 4 = x 2 denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır? A) 4 B) 2 C) 0 D) 2 E) x 7 = 13 olduğuna göre, x gerçek sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A) 10 7 B) 7 5 C) 14 5 D) 3 E) x 1 x + 1 = 15 denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır? A) 18 B) 16 C) 15 D) 12 E) a bir gerçek sayı, b pozitif bir gerçek sayıdır. ax 2 = b eşitliğinde x in alabileceği değerlerin toplamı 1 4 olduğuna göre, a kaçtır? A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) x 3 = x + 1 denklemini sağlayan x değeri kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Hazine Mutlak Değerin Özellikleri x y = x y x y x = y x n = x n, x 2n = x 2n x = y x = y veya x = y dir. 13. x 1 = 2 x + 1 denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır? A) 3 B) 1 C) 1 D) 0 E)

343 12. BÖLÜM MUTLAK DEĞER Mutlak Değerin Özellikleri KAVRAMA TESTİ 02 Hazine x n + x m ifadesinin en küçük değeri m n dir. 17. x 1 + x 3 + x + 5 ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 1 B) 3 C) 5 D) 6 E) 8 px n + px m ifadesinin en küçük değeri m n dir. x n + x m ifadesi n x m eşitliğini sağlayacak her x değeri için en küçük değeri olan m n değerini alır. m < n < k olmak üzere, x m + x n + x k en küçük değerini ortadaki değer olan n de alır. Hazine x, a ve b birer gerçek sayı olmak üzere, x a x b ifadesinin alabileceği en büyük değer a b, en küçük değer ise a b dir. 14. x x 13 toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 5 B) 7 C) 8 D) 12 E) x gerçek sayı olmak üzere, x + 5 x 7 ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 15 B) 1 4 C) 13 D) 12 E) x 3 + 2x 11 ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) x gerçek sayı olmak üzere, x + 13 x 7 ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 7 B) 13 C) 17 D) 20 E) x 1 + x + 5 = A = x 3 x + 9 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? olduğuna göre, A nın alacağı kaç farklı tam sayı değeri vardır? A) 17 B) 16 C) 15 D) 14 E) 13 A) 20 B) 21 C) 23 D) 24 E) B 2. B 3. C 4. C 5. C 6. E 7. C 8. E 9. E 10. C 11. B 12. A 13. E 14. E 15. C 16. D 17. E 18. D 19. D 20. E 343

344 12 BÖLÜM MUTLAK DEĞER PEKİŞTİRME TESTİ 02 Mutlak Değerin Özellikleri 1. 3x 5 = 2 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? 7 A) {1} B) C) 1 7, 3 3 D) E) R 5. x 3 + x + 1 = 3 denklemini sağlayan kaç tane x gerçek sayısı vardır? A) 0 B) 2 C) 3 D) 5 E) 6 2. x + 1 = 2 denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 3 D) 6 E) 9 6. x + 2x 18 = 0 denklemini sağlayan x gerçek sayılarının toplamı kaçtır? A) 18 B) 15 C) 13 D) 12 E) a < b < 0 olmak üzere, 3. 2x x + 6 3x = 12 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {0} B) {4} C) {0, 4} D) { 4, 0} E) { 4} x a = b denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) {0} C) {a b, a + b} D) {a + b} E) {a b} 4. x 2 9 = 7x 21 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) x 3 = x 6 eşitliğini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır? A) 1 B) 3 C) 5 D) 6 E) 9 344

345 BÖLÜM PEKİŞTİRME TESTİ MUTLAK DEĞER Mutlak Değerin Özellikleri 9. x 1 3 = 5 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) x 2 = 2 x denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {2} B) [ 2, 2] C) [0, 2] D) (, 2) E) (, 2] x 1 + x x ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 3 B) 4 C) 6 D) 7 E) x 2 = 7 2x denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 3 B) 5 C) 6 D) 7 E) x 7 2 = 0 x 3 denkleminin çözüm kümesindeki elemanların çarpımı kaçtır? A) 5 B) 3 C) 5 D) 1 E) x = 10 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 4 B) 2 C) 0 D) 2 E) x + x 6 = x 3 x + 5 = 10 denklemini sağlayan x gerçek sayılarının toplamı kaçtır? denklemini sağlayan kaç tane x gerçek sayısı vardır? A) 7 B) 5 C) 3 D) 2 E) 1 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 1. D 2. B 3. C 4. D 5. A 6. D 7. A 8. E 9. C 10. E 11. C 12. D 13. E 14. A 15. C 16. A 345

346 12 BÖLÜM MUTLAK DEĞER ÖDEV TESTİ 02 Mutlak Değerin Özellikleri 1. x x = 6 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 8 B) 2 C) 0 D) 2 E) 8 5. x x 3 = 2010 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 2. x + 2x + 3x x = 110 denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 6. x + 1 = 4 2x denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 2 E) 1 3. x x = 10 denklemini sağlayan x değerlerin toplamı kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 7. x 3 = 2x 9 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 3 B) 5 C) 8 D) 9 E) x x 13 = 18 denklemini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır? A) 74 B) 75 C) 76 D) 77 E) x 2 25 = 10 2x denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 10 B) 7 C) 5 D) 3 E) 0 346

347 BÖLÜM ÖDEV TESTİ MUTLAK DEĞER Mutlak Değerin Özellikleri 9. x 6 x + 5 ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 13 B) 11 C) 6 D) 5 E) = x 3 7 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) x x 6 = 3 denklemini sağlayan farklı x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) y = x x y 5 = 6 olduğuna göre, y kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) x 3 x x 1 = 1 denkleminin çözüm kümesi kaç elemanlıdır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) x 2 5 = 3 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) x 4 ( x 1 3) = x 1 = 2 x+3 denklemini sağlayan x değeri kaçtır? A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {2, 4} B) { 2, 4} C) { 2, 2} D) { 2, 2, 4} E) { 4, 2, 2} 347

348 BÖLÜM ÖDEV TESTİ MUTLAK DEĞER Mutlak Değerin Özellikleri 17. x 3 + 2x 6 + 3x 9 = 42 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? 21. x 3 x 1 3 = 1 eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır? A) 4 B) 3 C) 6 D) 7 E) 10 A) 3 4 B) 1 2 C) 0 D) 1 2 E) x = 21 a! denkleminin çözüm kümesi boş küme olmadığına göre, a doğal sayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) x 2 x + 3 = 5 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) [ 3, 2] B) (, 3] C) [2, ) D) R {2, 3} E) R 19. x a = 5 x denkleminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, a doğal sayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 5 B) 7 C) 10 D) 12 E) x 3 x + 1 = 3 denklemini sağlayan x değeri kaçtır? A) 7 B) 5 C) 1 D) E) x 5 + x + 17 = 21 eşitliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır? A) 0 B) 3 C) 5 D) 17 E) ( x a) + 3a 3x = 12 eşitliğini sağlayan x değerlerinin çarpımı 5 olduğuna göre, a nın pozitif değeri kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 1. A 2. E 3. D 4. C 5. A 6. E 7. E 8. C 9. B 10. A 11. A 12. B 13. E 14. E 15. C 16. D 17. C 18. E 19. C 20. A 21. D 22. B 23. D 24. B 348

349 12 BÖLÜM Hazine a > 0 olmak üzere, MUTLAK DEĞER KAVRAMA TESTİ 03 Mutlak Değerli Eşitsizlikler 4. 2 x 3 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır? i) x a a x a A) 22 B) 20 C) 12 D) 10 E) 7 ii) Örneğin; x < a a < x < a x 3 3 x 3 5. x 2 5 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) [ 2, 2] B) [0, 2] C) [0, 7] D) [2, 5] E) [ 7, 7] iii) x < 1 1 < x < 1 a bir gerçek sayı, b bir pozitif gerçek sayı olmak üzere, x a b b x a b b + a x a + b x a < b b < x a < b b + a < x < a + b 6. 2x 3 3x 1 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? 1 A) 3, B) 4 5, C) 5 4, 1. x 2 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Hazine D) [3, ) E) [4, ) i) a pozitif bir gerçek sayı olmak üzere, x a x a veya x a 2. x 2 < 3 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 ii) x > a x > a veya x < a 3. 2x 3 5 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 iii) a bir gerçek sayı, b bir pozitif gerçek sayı olmak üzere, x a b x a b veya x a b x a + b veya x a b x a > b x a > b veya x a < b x > a + b veya x < a b 349

350 12. BÖLÜM MUTLAK DEĞER Mutlak Değerli Eşitsizlikler KAVRAMA TESTİ x 1 > 5 eşitsizliğini sağlayan en küçük pozitif x tam sayısı kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) x 1 < 8 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır? A) 21 B) 18 C) 14 D) 12 E) 9 8. x 2 > 1 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (, 1) B) (3, ) C) (, 1) (3, ) D) E) R x < 1 4 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) x ve y tam sayıdır. 1 x < 3 Hazine a bir gerçek sayı, b ve c pozitif gerçek sayılar olmak üzere, 2 < y 5 olduğuna göre, y x farkı en fazla kaç olabilir? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 i) b x a c b x a c c x a b a + b x a + c a c x a b ii) b < x a < c b < x a < c c < x a < b a + b < x < a + c a c < x < a b x > 0 eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi aşağıdakilerden 9. 1 < x 1 < 3 hangisidir? eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır? A) R C) R ( 5, 5) B) R { 5, 5} D) (, 5) A) 6 B) 5 C) 3 D) 1 E) 0 E) (5, ) 1. E 2. C 3. C 4. E 5. E 6. B 7. C 8. C 9. A 10. C 11. D 12. E 13. B 350

351 12 BÖLÜM MUTLAK DEĞER PEKİŞTİRME TESTİ 03 Mutlak Değerli Eşitsizlikler 1. x x 7 > 5 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 eşitsizliğini sağlayan en küçük pozitif x tam sayısıyla, en büyük negatif x tam sayısının toplamı kaçtır? A) 6 B) 5 C) 0 D) 1 E) x 3 5 eşitsizliğini sağlamayan kaç farklı x tam sayısı vardır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 6. x 5 < 1 y + 1 < 3 olduğuna göre, 2x + y ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) < x 2 < 3 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 7. x 1 7 eşitsizliğinin çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) [ 8, 0] B) [0, 8] C) [ 8, 8] D) (, 8] E) [8, ) 8. x < x 3 < 5 eşitsizliğini sağlayan farklı x tam sayılarının toplamı kaçtır? A) 28 B) 27 C) 26 D) 25 E) 24 x + y = 7 olduğuna göre, y nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 351

352 BÖLÜM PEKİŞTİRME TESTİ MUTLAK DEĞER Mutlak Değerli Eşitsizlikler 9. 1 x eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır? A) 20 B) 19 C) 18 D) 17 E) x > 1 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) x 2 1 < 0 x + 1 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 5 E) x 6 olduğuna göre, 3y x = 3 koşulunu sağlayan kaç tane y tam sayısı vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) x x 1 < 3 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) ( 2, 4) B) [0, 4) C) ( 2, 0] x 1 > 3 eşitsizlik sistemini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır? A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8 D) ( 4, 2) E) ( 4, 2) > x eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır? A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) x 3 < x 7 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (, 3) B) (, 5) C) (3, ) D) (5, ) E) (7, ) 1. E 2. C 3. D 4. E 5. A 6. E 7. C 8. C 9. B 10. C 11. A 12. E 13. E 14. E 15. B 16. B 352

353 12 BÖLÜM MUTLAK DEĞER ÖDEV TESTİ 03 Mutlak Değerli Eşitsizlikler 1. 2 < x 1 < 3 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır? A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 5. a tam sayı olmak üzere, x 5 < a eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı ( 2, 12) olduğuna göre, a kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) x 3 2x + 12 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (1, ) B) [1, ) C) [1, 15] D) [15, ) E) [ 15, 1] 6. x 3 3 < 0 x + 9 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 7. x 1 > x a > x 5 5 olduğuna göre, x in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı (9, ) olduğuna göre, a kaçtır? A) 11 B) 13 C) 15 D) 17 E) 19 A) 32 B) 36 C) 40 D) 42 E) x 3 < a eşitsizliğini sağlayan beş farklı tam sayı değeri var x 3 1 > 3 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 dır. Bu koşulları sağlayan a gerçek sayılarının oluşturduğu küme aşağıdakilerden hangisidir? A) [2, 3) B) [3, 4) C) (3, 4] D) [4, 5) E) [5, 6) 353

354 BÖLÜM ÖDEV TESTİ MUTLAK DEĞER Mutlak Değerli Eşitsizlikler 9. 3x 6 > 9 4 eşitsizliğini sağlayan x in farklı iki pozitif tam sayı değerinin toplamı en az kaçtır? A) 29 B) 30 C) 31 D) 32 E) x ve y tam sayılar olmak üzere, x + y 2 eşitsizliğini sağlayan kaç tane (x, y) ikilisi vardır? A) 3 B) 5 C) 6 D) 8 E) x 1 4 eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) x 3 veya x 5 B) 5 x 3 C) 3 x x eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (, 8] B) [ 6, ) C) [ 6, 8] D) [8, ) E) R { 6, 8} D) x 3 veya x 5 E) x 5 veya x x 8 x x 3 + 6y 12 0 eşitsizliğini sağlayan x ve y değerlerinin çarpımı kaçtır? eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır? A) 20 B) 18 C) 16 D) 14 E) 12 A) 1 B) 3 2 C) 2 D) 5 2 E) x 4 x (x 1) 2 < 9 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır? A) R B) {4} C) { 4, 4} D) (, 4] E) [4, ) A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 1. D 2. E 3. E 4. E 5. C 6. E 7. D 8. B 9. C 10. D 11. B 12. E 13. E 14. C 15. C 16. A 354

355 12 BÖLÜM MUTLAK DEĞER BÖLÜM TESTİ işleminin sonucu kaçtır? A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) < a < 4 olmak üzere, f(x) = x 3 + x 4 x fonksiyonuna göre, f(a) nın eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) a + 1 B) a 1 C) a D) a E) 1 a 2. a < b < c olmak üzere, a b + b c + c a ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 2c a B) 2c 2a C) c 2a D) 2a + 2c E) 2a 2c 6. x, y gerçek sayılardır. 2x 4 + x + y 3 = 0 eşitliğine göre, x + y toplamı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 3. x > 2 olmak üzere, 2 x + x ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 B) 2 C) 2x 2 D) x 2 E) 2x 7. y < 0 < x olmak üzere, 2x 3y + 2y 3x 5x 5y işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) y + x C) 1 D) x y E) 5 4. x < 0 < y olmak üzere, x + y x y ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x B) 2x C) 2x + y D) 2x + y E) 2x y 8. x < 0 < y olmak üzere, x y + x y işleminin sonucu nedir? A) 2x 2y B) 2x + 2y C) x y D) 0 E) y x 355

356 12. BÖLÜM MUTLAK DEĞER BÖLÜM TESTİ A = 2 1 B = A + 1 C = B 3 olduğuna göre, C aşağıdakilerden hangisine eşittir? 13. x x + 8 = 20 denklemini sağlayan x değerleri çarpımı kaçtır? A) 24 B) 12 C) 8 D) 6 E) 2 A) 3 2 B) 2 3 C) 2 3 D) 3 1 E) x 2 16 = x 4 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? 10. x 4 = 10 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) { 3, 5} B) {3, 5} C) {3, 4, 5} D) { 3, 5, 4} E) { 5, 4} A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) a, b pozitif gerçek sayıdır. 5a 30 ifadesini en küçük yapan a değeri için, 11. x 2 = 8 denklemini sağlayan x değerleri toplamı kaçtır? A) 16 B) 4 C) 0 D) 2 E) 4 3x a = b denkleminde x in alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) x 4 = x 8 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? 16. x 4 2 eşitsizliğinin çözüm aralığı [a, b] olduğuna göre, A) {4} B) {4, 4} C) { 4} b a farkı kaçtır? D) E) {4, 16} A) 4 B) 2 C) 2 D) 4 E) 6 1. C 2. B 3. C 4. A 5. E 6. B 7. C 8. D 9. A 10. D 11. C 12. D 13. B 14. D 15. A 16. D 356

357 12 BÖLÜM MUTLAK DEĞER BÖLÜM TESTİ x < 0 olmak üzere, x 2 + x 1 2x ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 4x + 3 B) 2x + 3 C) 2x 3 5. x gerçek sayı olmak üzere, x 4 + x + 8 ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16 D) 3 E) 3 6. x + 1 < 5 2. x + x 4 = 4 denklemini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır? A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14 eşitsizliğine göre, x y = 6 olduğuna göre, y nin en geniş tanım aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) ( 2, 12) B) ( 12, 2) C) [ 12, 2] D) [2, 12] E) (0, 12) x 2 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) [0, 4] B) (2, 4] C) [0, 4] {2} D) (0, 4) {2} E) [0, 2) 7. a 2 < a ve a b < 0 olmak üzere, a 1 a b + 1 b ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 2a 1 B) 2a 2 C) a 2b D) 2a + 2 E) 2a 2b 8. x 2 < x x 1 21 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 eşitsizliğini sağlayan x lerin çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir? 1 A) 2, B) 1 2, C), D) 2, 1 E) (1, 2) 357

358 12. BÖLÜM MUTLAK DEĞER BÖLÜM TESTİ x + 4 x 15 = 0 denklemini sağlaan x gerçek sayılarının toplamı kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) x 2 + x 1 + x + 1 ifadesinin en büyük değeri kaçtır? A) 6 B) 9 C) 12 D) 18 E) x 11 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) x 3 veya x 8 B) x 8 veya x 3 C) x < 3 veya x 8 D) x 3 veya x x + 3x 6 4 2x 8 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılar toplamı kaçtır? A) 11 B) 18 C) 20 D) 21 E) 24 E) x 8 veya x x < y < 0 olmak üzere, 2 2 x + 2 xy + y x + y ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) x + y B) x + y C) x y 15. 2x 3 + x = 15 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 12} B) { 6} C) {6, 12} D) { 12, 6} E) { 6, 12} D) x y E) y x 12. f(x) = x +1 2 g(x) = 4 fonksiyonlarına göre, f(x) = g(x) eşitliğini sağlayan x tam sayılarının çarpımı kaçtır? 16. x 10 x + 10 ifadesinin kaç farklı tam sayı değeri vardır? A) 35 B) 30 C) 15 D) 12 E) 0 A) 20 B) 21 C) 40 D) 41 E) E 2. C 3. C 4. B 5. C 6. B 7. D 8. A 9. D 10. A 11. C 12. A 13. C 14. B 15. D 16. B 358

359 13. BÖLÜM ÜSLÜ SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI Üslü Sayıların Tanımı ve Özellikleri Üslü Denklemler Üslü Eşitsizlikler

360 .

361 13 BÖLÜM ÜSLÜ SAYILAR KAVRAMA TESTİ 01 Tanım ve Özellikler Hazine Hazine Üslü Sayılar Üslü Sayılarda Çarpma a R ve n Z + olmak üzere, n tane a sayısının çarpımı a n ile gösterilir. n a = a a a... a n tane a n ifadesine üslü sayı, a ya taban, n ye üs denir. Örneğin; 3 5 = = tane a 0 olmak üzere, a 0 = belirsiz ifadedir. a, b R ve m, n Z + olmak üzere, a) a m a n = a m+n Örneğin; = = 2 10 x 1 x 3 x 5 = x = x 9 x n+3 = x n x 3 b) a n b n = (a b) n Örneğin; = (2 3) 5 = = (5 3) 3 = işleminin sonucu kaçtır? A) 0 B) 14 C) 24 D) 63 E) ! 5 1! 5 2! işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 5 C) 25 D) 125 E) (x 2) y 3 ifadesi belirsiz olduğuna göre, x y çarpımı kaçtır? A) 0 B) 2 C) 3 D) 5 E) x 15 x 5 x+2 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 15 x B) 30 C) 15 2 D) 15 x+2 E) 15 2 x 3. (2010) 2x 8 = 1 olduğuna göre, x kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) (23 ) (2 2 ) 3 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 12 B) 2 13 C) 2 14 D) 2 15 E)

362 13. BÖLÜM ÜSLÜ SAYILAR Tanım ve Özellikler KAVRAMA TESTİ 01 Hazine 9. 4 (32 ) sayısının yarısı kaçtır? A) 2 9 B) 2 11 C) 2 13 D) 2 15 E) 2 17 Üslü Sayılarda Bölme a) a R ve a 0 olsun. b) Bir sayının çarpımsal tersi, o sayının negatif kuvveti olarak tanımlanır. Örneğin; Örneğin; =, 2 a 1 1 = a = 3 5 n n 1 n a = a = 1 ( ) a =, 3 2 c) a R {0} ve m, n Z için, Örneğin, m a m n = a n a = ( 2 ) = = = 2 = d) a, b R, b 0 ve n Z olmak üzere, Hazine a R olmak üzere, ( a) çift = a çift ( a) tek = a tek Örneğin; ( x) 3 = x 3, ( x) 4 = x = 16, ( 2) 4 = x ( x) ( x) x ( x ) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? n n a a = n b b A) 1 x B) x C) 1 D) 1 x E) x Örneğin; = = işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) x = m 5 x = n işleminin sonucu kaçtır? A) B) 32 5 C) D) 8 25 E) 2 5 olduğuna göre, (500) x in m ve n cinsinden değeri nedir? A) n 3 2 B) m 3 n C) m 2 3 m n D) m 3 2 E) n 3 m 2 n 1. E 2. E 3. A 4. E 5. C 6. C 7. C 8. C 9. E 10. D 11. E 362

363 13 BÖLÜM ÜSLÜ SAYILAR PEKİŞTİRME TESTİ 01 Tanım ve Özellikler 1. ( 4) 2 + ( 2) 2 ( 2) 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 24 B) 12 C) 36 D) 40 E) tane tane işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 2 B) 2 C) 2 5 D) 2 7 E) ( 3) 3 ( 5) 0 + ( 5) 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 3 B) 1 C) 0 D) 1 E) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) ( 1) + ( 1) + ( 1) ( 1) + ( 1) + ( 1) işleminin sonucu kaçtır? A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2 x x x x 7 1 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 7 2x B) 21 C) 3 7 2x+1 D) 147 E) x ! 3 0! ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 B) 3 2 C) 3 3 D) 3 4 E) ( 2) işleminin sonucu kaçtır? A) 15 B) 24 C) 25 D) 35 E)

364 13. BÖLÜM ÜSLÜ SAYILAR Tanım ve Özellikler PEKİŞTİRME TESTİ ( ) ( 1) işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) işleminin sonucu kaçtır? A) 12 B) 9 C) 6 D) 3 E) x = : işleminin sonucu kaçtır? olduğuna göre, 3 x x + 3 3x toplamının değeri kaçtır? A) 8 B) 10 C) 12 D)15 E) 18 A) 3 B) 9 C) 27 D) 81 E) [( 3 2 ) 1 ] (23 ) sayısı (5 2 ) 3 sayısının kaç katıdır? A) 625 B) 125 C) 25 D) 5 E) 1 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 10 B) C) D) 3 10 E) x = a 3 x = b 5 x = c ax = 81 x olduğuna göre, 2 a ifadesinin değeri kaçtır? a A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 16 olduğuna göre, (180) x ifadesinin a, b ve c cinsinden eşiti nedir? A) 4abc B) a 2 b 2 c C) ab 2 c 2 D) abc E) a 2 bc 2 1. E 2. A 3. B 4. E 5. E 6. C 7. B 8. D 9. C 10. D 11. C 12. C 13. A 14. E 15. D 16. B 364

365 13 BÖLÜM ÜSLÜ SAYILAR ÖDEV TESTİ 01 Tanım ve Özellikler x = 7 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 10 C) 15 D) 16 E) 20 7 y = 21 olduğuna göre, (5 x ) y kaçtır? A) 5 B) 7 C) 21 D) 25 E) (x y + 1) xy 5 ifadesi belirsiz olduğuna göre, x y çarpımı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 6 6. x = 1, y = 2 ise, ( x y ) ( x) y ( y) x işleminin sonucu kaçtır? A) 1 2 B) 1 4 C) 1 2 D) 1 4 E) 2 3. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) = 3 27 tane B) = 3 27 tane C) ( 3 2 ) 3 = ( 3 3 ) 2 D) ( 3 5 ) 7 = ( 3 7 ) 5 E) (( 3 0 ) 1 ) 3 = ( 1) ( 4 ) ( 2 ) ( 4 ) ( 8 ) ( 2 ) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 57 B) 2 55 C) 2 43 D) 2 55 E) işleminin sonucu kaçtır? A) 10 B) 10 3 C) 10 5 D) 10 7 E) x = 1 5 olduğuna göre, 4 x+1 ifadesinin değeri kaçtır? A) 25 B) 50 C) 75 D) 100 E)

366 13. BÖLÜM ÜSLÜ SAYILAR Tanım ve Özellikler ÖDEV TESTİ x = 3 y = 5 olduğuna göre, 6 x y ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? x y A) 5 B) 5 x y C) 5 x y y D) 5x E) 5 x+y ( 27) 3 ( 64) ( 1) işleminin sonucu kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) x = 2 85 y = 3 51 z = 5 sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir? A) x < y < z B) y < x < z C) y < z < x x x 7 ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 4 C) 7 D) 10 E) 14 D) y < x < z E) z < y < x 11. x ve y tam sayılardır. 7 x y 5 = 13 x+y : işleminin sonucu kaçtır? olduğuna göre, x y çarpımı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 A) 5 2 B) 25 8 C) 100 D) 125 E) , 10 işleminin sonucu kaçtır? A) 400 B) 40 C) 20 D) 4 E) = 2 x 2 olduğuna göre, x kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 1. D 2. D 3. C 4. C 5. C 6. A 7. B 8. D 9. E 10. E 11. E 12. A 13. A 14. C 15. E 16. A 366

367 13 BÖLÜM ÜSLÜ SAYILAR KAVRAMA TESTİ 02 Üslü Denklemler Hazine 2x 4 4. x 3 ( 0, 25) = 8 3 a) 1 sayısının tam sayı kuvvetleri 1 dir. denkleminde x kaçtır? n Z için 1 n = 1 A) 5 2 B) 5 4 C) 4 D) 5 4 E) 5 2 b) 1 sayısının tek kuvvetleri 1, çift kuvvetleri 1 dir. ( 1) Çift = 1 ( 1) Tek = 1 c) a R ve a { 1, 0, 1} olsun. 1. a n = a m n = m ( 1) ( 1) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 1 C) 1 D) 1 E) Hazine 0 n Z olmak üzere, n n a b n tek ise a = b =, a = b, n çift ise a 2 = b 2 a = b a = b a = b 5. x R olmak üzere, (2x 1) 2 = x 2 2. a { 1, 0, 1} olmak üzere, denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? a x+2 a 2x 3 a x 2 = a 13 A) 1 3 B) 1 C) 4 3 D) 5 3 E) 2 olduğuna göre, x kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 6. n N olmak üzere, x x 81 = 27 3 olduğuna göre, x kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 (x 1) 2n+4 = 9 n+2 denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır? A) 8 B) 6 C) 4 D) 2 E) 8 367

368 13. BÖLÜM ÜSLÜ SAYILAR Üslü Denklemler KAVRAMA TESTİ x ve y gerçek sayılardır. 2 < x < y < 3 x + 2 = y 3 y 3 x x + 7 x x 1 = 441 denkleminin kökü aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 olduğuna göre, x in y cinsinden değeri nedir? A) y 5 B) y 1 C) y D) 5 y E) 1 y Hazine Hazine Üslü Sayılarda Toplama x, y,z R olsun. x a n + y a n z a n = (x + y z) a n Örneğin, = ( ) 3 4 n m a = b y x a = b n x = m y dir. Genel olarak, a n + a m a n+m dir. = = = x = 5 25 y = 27 olduğuna göre, x y çarpımı kaçtır? 8. 3 x x+2 = 108 A) 1 2 B) 1 C) 3 2 D) 2 E) 5 2 olduğuna göre, x kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) x = = 7 x olduğuna göre, x kaçtır? 5 2y = 16 olduğuna göre, (3 x ) y kaçtır? A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 A) 1 3 B) 1 C) 3 D) 9 E) D 2. C 3. A 4. A 5. C 6. A 7. E 8. B 9. B 10. C 11. C 12. D 368

369 13 BÖLÜM ÜSLÜ SAYILAR PEKİŞTİRME TESTİ 02 Üslü Denklemler x = 8 olduğuna göre, x kaçtır? 5. x x x x = 0, 4 x x olduğuna göre, x kaçtır? A) 3 B) 2 C) 1 D) 2 E) 3 A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2 2. n+ 4 n n 2 n işleminin sonucu kaçtır? y x+ 7 2x ( 15, ) = 25 olduğuna göre, y kaçtır? A) 64 B) 16 C) 1 4 D) 1 8 E) 1 32 A) 6 B) 2 C) 1 D) 3 E) x 1 = denklemini sağlayan x kaçtır? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) x = 9 16 y = 27 olduğuna göre, x y oranı kaçtır? A) 9 8 B) 5 3 C) 1 D) 8 9 E) x 1 = 1 2x x+1 5 y = 27 denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır? 2 x + 5 y+1 = 41 A) 8 B) 1 C) 3 D) 1 denklem sistemini sağlayan x kaçtır? E) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 1. E 2. A 3. B 4. A 5. B 6. E 7. D 8. D 369

370 13 BÖLÜM ÜSLÜ SAYILAR ÖDEV TESTİ 02 Üslü Denklemler , , işleminin sonucu kaçtır? A) 0,01 B) 0,1 C) 1 D) 10 E) x x x = 810 olduğuna göre, x kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 2. x ve y tam sayıdır. (1,23) 10 4 = x 10 y olduğuna göre, x + y toplamı en az kaçtır? A) 115 B) 116 C) 117 D) 118 E) 119 x = x 1 27 olduğuna göre, x kaçtır? A) 1 B) 1 C) D) 1 E) 3 3. x, y, z birer pozitif tam sayı, 81 x 125 y = 15 z olduğuna göre, x + y + z toplamı en az kaçtır? 7. (x y 5) 2 + (2x + y 13) 2 = 0 olduğuna göre, x y çarpımı kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 A) 20 B) 19 C) 18 D) 17 E) x x = 125 olduğuna göre, x kaçtır? 25 4 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 8. (2x 1) 16 = (x 2 6x + 9) 8 denklemini sağlayan, x değerlerinin çarpımı kaçtır? A) 3 B) 8 3 C) 2 D) 1 E) E 2. C 3. B 4. C 5. B 6. B 7. A 8. B 370

371 13 BÖLÜM ÜSLÜ SAYILAR KAVRAMA TESTİ 03 Üslü Eşitsizlikler Hazine a, b R +, m, n Z olmak üzere, i) a > 1 ve m > n a m > a n ii) a < 1 ve m > n a m < a n 4. x+ 4y x+ y 5 25 eşitsizliğini sağlayan en küçük x tam sayısı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 iii) 0 < a < b ve n Z + a n < b n a 2 < a 0 < a < x > x 5 5 eşitsizliğini sağlayan en büyük x tam sayısı kaçtır? A) 11 B) 10 C) 9 D) 8 E) 7 5. x 2 > y 2 x 3 < y 3 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlıştır? A) 0 < x < y < 1 B) x < 0 < y C) x y < 0 D) x < y < 0 E) x + y < 0 2. x negatif tam sayı olmak üzere, 3x < x+ 2 8 olduğuna göre, x in alacağı değerler toplamı kaçtır? 6. x 2 < x x y = 1 olduğuna göre, y aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 17 B) 16 C) 15 D) 14 E) 13 A) 5 B) 1 C) 1 3 D) 1 4 E) x+7 < 27 x 4 olduğuna göre, x için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) x < 40 B) x > 40 C) x > 40 D) x < 40 E) 40 < x < 0 7. x 2 < x y 3 > y olduğuna göre, x + y toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 3 B) 1 C) 1 D) 2 E)

372 13. BÖLÜM ÜSLÜ SAYILAR Üslü Eşitsizlikler KAVRAMA TESTİ a = b = 9 35 c = olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) a < b < c B) b < a < c C) b < c < a D) c < b < a E) c < a < b Hazine a R ve n Z için, a n = 1 Örneğin; (x 3) x 1 = 1 ise, a 0 ve n = 0 a = 1 ve n Z a = 1 ve n çift sayı i) x 3 0 ve x 1 = 0 x = 1 ii) x 3 = 1 x = 4 9. a = b = 3 90 c = 5 60 iii) x 3 = 1 x = 2 ve x = 1 için üs olan x 1 = 1 yani tek olduğundan x = 2 denkleminin kökü değildir. Verilen denklemin çözüm kümesi {1, 4} tür. olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) c < b < a B) c < a < b C) b < a < c D) a < b < c E) a < c < b 12. (x 2) x+1 = 1 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) a bir tam sayıdır. 2 x+1 = 130 a < x < a + 1 olduğuna göre, a kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) (x 2) x2 4 = 1 denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) a = 73 3 b = c = 128 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) c < b < a B) c < a < b C) b < a < c D) b < c < a E) a < b < c 14. (x 2 3) x2 1 = 1 denklemini sağlayan kaç farklı x gerçek sayısı vardır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 1. B 2. C 3. D 4. B 5. A 6. A 7. E 8. B 9. E 10. A 11. A 12. D 13. E 14. C 372

373 13 BÖLÜM ÜSLÜ SAYILAR PEKİŞTİRME TESTİ 03 Üslü Eşitsizlikler 1. x > x 2 27 eşitsizliğini sağlayan en büyük x tam sayısı kaçtır? A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) a = 72 3 b = 79 5 c = 785 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) a < b < c B) a < c < b C) c < a < b D) c < b < a E) b < c < a 2. a = 5 95 b = 3 57 c = olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) b < a < c B) a < b < c C) a < c < b D) b < c < a E) c < b < a 6. a = ( 5 5 ) 6 b = 5 (56 ) c = 5 56 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) a < b < c B) a < c < b C) c < a < b D) c < b < a E) b < c < a 3. a bir tam sayıdır. 3 x+1 = 245 a < x < a + 1 olduğuna göre, a kaçtır? 7. (2x 1) 3x 1 = 1 denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 A) 1 3 B) 2 3 C) 1 D) 3 2 E) 3 4. (x 5) x2 25 = 1 8. (x y 1) x+y 7 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? ifadesi tanımsız olduğuna göre, x y çarpımı kaçtır? A) 1 B) 4 C) 5 D) 6 E) 10 A) 3 B) 4 C) 6 D) 10 E) C 2. D 3. C 4. A 5. E 6. B 7. A 8. E 373

374 13 BÖLÜM ÜSLÜ SAYILAR ÖDEV TESTİ 03 Üslü Eşitsizlikler 1. 5 x+3 2 x+4 < x 1 eşitsizliğini sağlayan en küçük x tam sayısı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) x = 312 olduğuna göre, x için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) 2 < x < 3 B) 3 < x < 4 C) 4 < x < 5 D) 5 < x < 6 E) 6 < x < x > x eşitsizliğini sağlayan en büyük x tam sayısı kaçtır? A) 4 B) 3 C) 2 D) 0 E) x 5 < 4 6 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x doğal sayısı vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 3. a = 3 3 b = ( 3) 3 c = 3 2 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) c < b < a B) b < c < a C) b < a < c D) c < a < b E) a < b < c 7. a = 8 15 b = 16 5 c = olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) a < b < c B) a < c < b C) b < c < a D) b < a < c E) c < a < b 4. a < 1 olmak üzere, a 7x 13 < a 5x+3 8. (x + 4) x 3 = 1 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x doğal sayısı vardır? denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 A) 5 B) 3 C) 0 D) 3 E) 5 1. A 2. C 3. B 4. E 5. C 6. C 7. D 8. A 374

375 13 BÖLÜM ÜSLÜ SAYILAR BÖLÜM TESTİ 01 a + a + a + a 1. a a a a işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) a 3 B) a 4 C) 4 a 3 D) 4 a 4 E) işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 3 C) 6 D) 9 E) ( x) ( x ) ( x) 2 ( x) işleminin sonucu kaçtır? A) x 2 B) x 1 C) x 2 D) x E) x a = m ve 5 a = n olmak üzere, 100 a sayısının m ve n cinsinden değeri nedir? A) m n B) m 2 n C) mn 2 D) m 2 n 2 E) m 3 n tane işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 9 B) 2 12 C) 2 18 D) 2 24 E) : ( 25) 125 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 2 B) 5 1 C) 5 D) 5 2 E) m 1 = p olduğuna göre, 2 2m+1 ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) p2 4 B) p2 2 C) p 2 D) 4p 2 E) 8p 2 8. n n 1 n+ 1 n : n+ 2 n 2 3 işleminin sonucu kaçtır? A) 2 1 B) 2 2 C) 2 3 D) 2 4 E)

376 13. BÖLÜM ÜSLÜ SAYILAR BÖLÜM TESTİ n+2 5 n+1 = 9 eşitliğini sağlayan n değeri kaçtır? A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) a = 3 3 b = 5 5 c = 128 olduğuna göre, a b c kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) x y ve y x = = olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır? A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) x = 23 3 y = 31 5 z = 95 olduğuna göre, x, y, z nin sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir? A) x > y > z B) x > z > y C) z > y > x D) z > x > y E) y > z > x işleminin sonucu kaçtır? A) 10 2 B) 10 1 C) 1 D) 10 E) x = 8 5 y = 32 olduğuna göre, y x oranı nedir? A) 2 3 B) 1 4 C) 5 3 D) 3 5 E) m 0, 0125 m , 0025 = olduğuna göre, m kaçtır? A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) m 1 1 m+ 1 < 9 27 eşitsizliğini sağlayan en küçük iki m tam sayısının toplamı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 1. C 2. C 3. E 4. E 5. B 6. D 7. C 8. D 9. B 10. E 11. C 12. B 13. E 14. A 15. C 16. B 376

377 13 BÖLÜM ÜSLÜ SAYILAR BÖLÜM TESTİ a a a a = 16 a a olduğuna göre, a kaçtır? a b b a ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 1 B) 2 a b C) 2 a D) 2 a+b E) 2 b 6. a ve b sıfırdan farklı gerçek sayılardır x+1 = 5 x olduğuna göre, 3 x+1 ifadesi kaça eşittir? A) 1 9 B) 1 25 C) 1 5 D) 3 E) 5 3 a = 5 b a b olmak üzere, 3 b + 5a toplamı kaçtır? A) 3 B) 5 C) 8 D) 11 E) (2x 1) 10 = (x + 4) 10 eşitliğini sağlayan x tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? A) 1 B) 1 C) 3 D) 4 E) ? 5213 Yukarıda verilen kurala göre, "?" yerine hangi sayı gelmelidir? A) 5 4 B) 5 5 C) 5 6 D) 5 7 E) (x + 2) x2 4 = 1 denklemini sağlayan x tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? A) 4 B) 3 C) 1 D) 0 E) x 1 = 2 olduğuna göre, x+1 3 x+2 4 ifadesinin sonucu kaçtır? A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E)

378 13. BÖLÜM ÜSLÜ SAYILAR BÖLÜM TESTİ x 2 = a 3 x + 3 = b olduğuna göre, a nın b cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 b 7 B) 2 b + 7 C) 7 2 b b 3 b + 3 b 3 D) b 7 E) b 7 b + 3 2b x = 16 4 y = 9 olduğuna göre, x y çarpımı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 1 D) E) a = 2 40 b = (0,125) x 1 = (0,5) x+5 olduğuna göre, x kaçtır? c = 5 20 A) 2 B) 1 C) 1 D) 2 E) 3 olduğuna göre, a, b ve c nin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir? A) b > c > a B) b > a > c C) a > c > b D) a > c > b E) c > b > a işleminin sonucu nedir? A) 5 3 B) 5 4 C) 5 5 D) 5 6 E) a ve b tam sayıdır. 5 2a+3b 11 = 7 3a+2b+6 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 6 B) 4 C) 1 D) 4 E) x 1 = 53 olmak üzere, 2x + 3 ifadesinin en geniş tanım aralığı aşağıdakilerden hangisidir? = x x+ 1 x 20 1 x 10 A) (13, 14) B) (14, 15) C) (15, 17) olduğuna göre, x kaçtır? D) (16, 18) E) (17, 19) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 1. C 2. C 3. D 4. E 5. A 6. C 7. B 8. D 9. C 10. A 11. E 12. C 13. D 14. D 15. C 16. B 378

379 13 BÖLÜM ÜSLÜ SAYILAR BÖLÜM TESTİ , , işleminin sonucu kaçtır? 5. ( ) 8 4 ( ) 1 5 a a a ( a ) a A) 10 B) 21 C) 42 D) 10 2 E) 10 3 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 1 C) a 1 D) a 1 E) a 2. x 2x = 25 olmak üzere, 10 x x ifadesinin değeri kaçtır? A) 1 B) 2 C) 5 D) 10 E) 50 x 1 x+ 1 2x ( 0, 25) ( 0, 125) 2 = 64 denklemine göre, x x kaçtır? A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) işleminin sonucu kaçtır? A) 3 20 B) 3 10 C) 1 D) 3 10 E) (m + 1) tane 2 m nin çarpımı 15 tane 4 ün çarpımına eşit olduğuna göre, m kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) x 1 = m 5 x+1 = n olmak üzere, 40 x+1 ifadesinin m ve n cinsinden değeri nedir? A) m 3 n B) 4m 3 n C) 64mn 3 D) 64m 3 n E) 320m 3 n 8. 9 sayısının n tane 3 te biri alınırsa 1 sayısı elde 81 ediliyorsa, n kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 379

380 13. BÖLÜM ÜSLÜ SAYILAR BÖLÜM TESTİ x 2 < x olmak üzere, x 4m+1 < x 2m+13 eşitsizliğine göre, m nin alabileceği en büyük tam sayı değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 B) 2 C) 1 D) 0 E) Kural: r 1 olmak üzere, n 2 3 n 1 r 1 1+ r + r + r r = dir. r 1 Yukarıda verilen kurala göre, n 1 tane ( ) (( ) )... 2 = 2 olduğuna göre, n kaçtır? A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) a b+ 2 4 y = x 2a 4 2b 2 olmak üzere, x + y toplamının en büyük değeri kaçtır? A) 8 B) 10 C) 18 D) 257 E) a 5 b = b 5 a = 250 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) x 1 olmak üzere, 3 3x+2y 3 2x+2y+1 3 x + 3 = 0 olduğuna göre, x ile y arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir? A) 3x + 2y = 0 B) 2x + y = 0 C) 2x y = 0 D) 3x 2y = , 25 0, işleminin sonucu kaçtır? E) x + y = 0 A) 6 5 B) 1 C) 4 5 D) 2 5 E) x x x x x x x x = 16 x x x x x + x + x + x olduğuna göre, x kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) x 2y 4x y 3a 2b = + 2b 3a x olduğuna göre, 32 y ifadesinin değeri kaçtır? A) 1 B) 2 C) 8 D) 16 E) A 2. B 3. D 4. D 5. B 6. C 7. D 8. C 9. A 10. D 11. E 12. A 13. B 14. C 15. A 16. B 380

381 14. BÖLÜM KÖKLÜ SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI Kareköklü Sayılar ve Kareköklü Sayılarda Dört İşlem n. Dereceden Kökler - Sıralama Kök Dışına Çıkarma - Eşlenik

382 .

383 14 BÖLÜM KÖKLÜ SAYILAR KAVRAMA TESTİ 01 Kareköklü Sayılar ve Kareköklü Sayılarda Dört İşlem Hazine Hazine Negatif Olmayan Bir Sayının Karekökü a negatif olmayan bir gerçek sayı olmak üzere, karesi a olan ve negatif olmayan sayıya a nın karekökü denir ve bu sayı, 1 a veya a 2 ile gösterilir. Bunun doğal bir sonucu olarak, a = b a = b 2 olduğunu kolayca söyleyebiliriz. Örneğin, karesi 4 olan ve negatif olmayan sayı 2 olduğundan, 4 = 2 a ile b negatif olmayan gerçek sayılar ise, a b = a b dir. Örneğin, 2 3 = 2 3 = 6 75 = 25 3 = 5 3 a negatif olmayan bir gerçek sayı ve b pozitif bir gerçek sayı ise, Örnğin, = olur. 5 a a b = b dir. Ek olarak, 0 2 = 0 olduğundan, 0 = 0 olur işleminin sonucu kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 2 B) 2 C) 8 D) 4 E) 32 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) işleminin sonucu kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 6 383

384 14. BÖLÜM KÖKLÜ SAYILAR Kareköklü Sayılar ve Kareköklü Sayılarda Dört İşlem KAVRAMA TESTİ 01 Hazine a negatif olmayan bir gerçek sayı, x, y ve z gerçek sayılar ise, x a + y a z a = ( x + y z) a 10. ( ) ( ) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E) dır. Örneğin, = ( ) 5 = 4 5 Genel olarak, x + y x + y dir. Örneğin, işleminin sonucu kaçtır? 11. ( 2 + 1) 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 2 B) 2 2 D) E) 5 C) 3 A) 2 B) 2 2 C) 3 2 D) 4 2 E) ( 3 + 2) + ( 3 2) işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) 10 C) D) E) işleminin sonucu kaçtır? A) 7 B) 2 3 C) 3 3 D) 4 3 E) ( ) 2 işleminin sonucu kaçtır? A) B) 6 C) D) 24 6 E) a pozitif bir gerçek sayı olduğuna göre, 4a + 16a 36a 25a 14. x 2 2 = 2 2 x işleminin sonucu kaçtır? olduğuna göre, x kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 1. C 2. B 3. C 4. B 5. C 6. E 7. D 8. E 9. D 10. E 11. D 12. B 13. A 14. D 384

385 14 BÖLÜM KÖKLÜ SAYILAR Kareköklü Sayılar ve Kareköklü Sayılarda Dört İşlem PEKİŞTİRME TESTİ işleminin sonucu kaçtır? A) 6 5 D) 2 5 B) 5 5 E) 5 C) = a olduğuna göre, a 8 + a 12 kaçtır? A) 75 B) 100 C) 125 D) 150 E) işleminin sonucu kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 2 B) 2 C) 2 2 A) 5 3 B) 7 3 C) 5 D) 7 E) 8 D) 3 E) işleminin sonucu kaçtır? 7. ( ) ( 3 2 3) işleminin sonucu kaçtır? A) 5 2 D) 1 2 B) 1 2 E) 5 2 C) 2 A) B) 6 6 C) 5 6 D) E) , 21 0, 36 0, 01 işleminin sonucu kaçtır? A) 10 B) 6 C) 5 D) 1 2 E) işleminin sonucu kaçtır? A) 5 D) B) 2 5 E) C) E 2. B 3. B 4. C 5. D 6. D 7. C 8. B 385

386 14 BÖLÜM KÖKLÜ SAYILAR Kareköklü Sayılar ve Kareköklü Sayılarda Dört İşlem ÖDEV TESTİ sayısının yaklaşık değerini bulabilmek için aşağıdaki sayılardan hangisinin yaklaşık değerini bilmemiz gerekir? A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) a b = 4 3 olduğuna göre, a + b toplamının en büyük değeri kaçtır? A) 7 B) 14 C) 28 D) 35 E) a = 2 b = sayısının yaklaşık değerini hesaplayabilmek için, aşağıdakilerden hangisinin yaklaşık değeri bilinmelidir? A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 7 olduğuna göre, 0, sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) a b 100 D) a b 1000 B) 100 a b E) ab 1000 C) 1000 a b işleminin sonucu kaçtır? 7. 0, , 36 0, 25 0, 64 işleminin sonucu kaçtır? A) 3 B) 3 C) 3 3 D) 5 3 E) 6 3 A) 3 B) 1 C) 1 3 D) 3 E) u = ( ) + ( 3 5 ) olduğuna göre, u 3 ün değeri kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 işleminin sonucu kaçtır? A) 2 D) 4 2 B) 2 2 E) 5 2 C) E 2. E 3. B 4. C 5. E 6. E 7. A 8. C 386

387 14 BÖLÜM KÖKLÜ SAYILAR KAVRAMA TESTİ 02 n. Dereceden Kökler - Sıralama Hazine Bir Gerçek Sayının n. Dereceden Kökleri n bir pozitif çift tam sayı olmak üzere, n yinci kuvveti a olan, negatif olmayan gerçek sayıya, a nın n yinci dereceden kökü denir ve bu sayı, 1 n a veya an x + x ifadesinin bir gerçek sayı belirtmesini mümkün kılan x değerleri için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) x 1 B) x 0 C) 0 x 1 D) x 1 E) 0 < x < 1 ile gösterilir. Özel olarak, n = 2 ise, 2 a yerine yazılması tercih edilir. 1 a veya a 2 n, 2 den büyük bir tek sayı olmak üzere, n yinci kuvveti a olan gerçek sayıya, a nın n yinci dereceden kökü denir ve bu sayı, 3. A gerçek sayısı için, 2 A = x x + x 4 olduğuna göre, A kaçtır? A) 5 B) 10 C) 13 D) 21 E) 25 ile gösterilir. 1 n a veya an Kök derecesi çift olan ifadelerin tanımlı olabilmesi için, kökün içerisi sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olmalıdır. Kök derecesi tek olan ifadeler ise kök içi pozitif de olsa negatif de olsa her zaman tanımlıdır. Örneğin, x 2 ifadesinin tanımlı olması için (kök derecesi çift olduğundan) x 2 0 yani x 2 olmalıdır. 3 x 2 ifadesi ise (kök derecesi tek olduğundan) her x gerçek sayısı için tanımlıdır x 3 ifadesinin bir gerçek sayı belirtmesini mümkün kılan x değerleri için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) x > 3 B) x 3 C) x > 4 D) x 4 E) x > 5 Hazine a R, m bir tam sayı ve n, 1 den büyük bir tek sayı ise, m n m a = a n dir. a R + {0} ve n, 1 den büyük bir çift sayı ise, dir. Örneğin, m n m a = a n = 35, 7 3 ( 5) = ( 5) 7 4. x 3 sayısı, 3 x 2 sayısının kaç katıdır? A) x B) 4 x 3 C) 6 x 5 D) 7 x 6 E) 8 x 7 387

388 14. BÖLÜM KÖKLÜ SAYILAR n. Dereceden Kökler - Sıralama KAVRAMA TESTİ 02 Hazine Hazine Tanımlı olduğu değerler için, k Z + olsun. dır. Örneğin, x n a + y n a z n a = ( x + y z) n a = ( ) 3 3 = işleminin sonucu kaçtır? A) 0 B) 3 2 C) D) E) n m k n k m a = a Yani hem derece hem üs pozitif bir k tam sayısıyla çarpılırsa sonuç değişmez. Örneğin, = 2 = 2 Bu bilgiye göre köklü sayılar arasında sıralama yapmak mümkündür. Köklü sayılarda sıralama yapılırken kök dereceleri eşitse kökün içine bakılıp sıralama yapılır (içi büyük olan büyüktür). Kök dereceleri eşit değilse dereceler eşitlenerek sıralama yapılır. 3 Örneğin, 5 ve 3 sayılarını karşılaştıralım. Kök derecelerini 6 da eşitleyebiliriz = 5 = = 3 27 Buna göre, Hazine n n a ve b ifadeleri tanımlı olmak üzere, n n n a b = ab n a a = n n b b Kök dereceleri aynı olan ifadeler kendi aralarında çarpılıp, bölünebilir < < 3 olur. 7. a = 2 3 b = 3 6 c = 6 olduğuna göre, a, b, c nin küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir? A) c < b < a B) c < a < b C) b < c < a D) b < a < c E) a < b < c 6. a ve b pozitif gerçek sayılar olmak üzere, 4 a 3 b 8. x = 3 3 y = 4 4 z = a b ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? olduğuna göre, x, y, z nin küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir? A) x < y < z B) x < z < y A) a 4 b 2 B) a 5 b 2 C) a 5 b C) y < x < z D) y < z < x D) a 4 b E) a 3 b E) z < y < x 1. B 2. A 3. D 4. C 5. E 6. B 7. B 8. E 388

389 14 BÖLÜM KÖKLÜ SAYILAR n. Dereceden Kökler - Sıralama PEKİŞTİRME TESTİ x + 3 ifadesinin bir gerçek sayı belirtmesini mümkün kılan tüm x değerlerinin oluşturduğu küme aşağıdakilerden hangisidir? A) R B) {x: x > 3, x R} C) {x: x 3, x R} D) {x: x < 3, x R} sayısı aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri ile gösterilebilir? I II III. 4 7 A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III E) {x: x < 3, x R} 2. x + 3 ifadesinin bir gerçek sayı belirtmesini mümkün kılan tüm x değerlerinin oluşturduğu küme aşağıdakilerden hangisidir? A) R B) {x: x > 3, x R} C) {x: x 3, x R} 6. x pozitif bir gerçek sayıdır. Buna göre, x x 4 x işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) x B) x12 C) x3 D) x3 E) x12 D) {x: x 3, x R} E) {x: x < 3, x R} 7. a = 3 3, b = 5, c = A gerçek sayısı için, 3 A = x x + x + 1 olduğuna göre, A kaçtır? olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) a < b < c B) a < c < b C) b < a < c D) c < a < b E) c < b < a A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) işleminin sonucu kaçtır? A) 0 B) 3 2 C) D) E) a = 5, b = 99, c = 101 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) a < b < c B) a < c < b C) c < a < b D) c < b < a E)??? 1. A 2. C 3. D 4. B 5. D 6. E 7. A 8. C 389

390 14 BÖLÜM KÖKLÜ SAYILAR n. Dereceden Kökler - Sıralama ÖDEV TESTİ x 5 ifadesi bir gerçek sayı belirttiğine göre, aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri daima bir gerçek sayı belirtir? I. 3 5 x II. x işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) 6 50 E) 6 10 III. 4 6 x A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III a = 5, b = 4, c = 4 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? 2. a ve b birer tam sayıdır. a x + x b A) c > b > a B) c > a > b C) a > b > c D) a > c > b E) b > a > a işleminin sonucunu gerçek yapan 17 farklı x tam sayısı vardır. Buna göre, a b farkı kaçtır? A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) a 3 1, b = , c = 4 3 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? 3. x bir gerçek sayı olmak üzere, 3 x 2 + x + 1 A) b < c < a B) b < a < c C) c < a < b D) a < b < c E) a < c < b toplamının en küçük değeri kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) x = 3 y = 2 z = x 5 sayısı x sayısının kaç katıdır? A) x7 B) x C) x6 D) x7 E) x8 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) x > y > z B) y > z > x C) x > z > y D) y > x > z E) z > y > x 1. D 2. B 3. B 4. C 5. A 6. C 7. E 8. A 390

391 14 BÖLÜM KÖKLÜ SAYILAR KAVRAMA TESTİ 03 Kök Dışına Çıkarma - Eşlenik Hazine 2 4. ( x 1) = 2x olduğuna göre, x kaçtır? a, bir gerçek sayı, n, 1 den büyük bir tam sayı olmak üzere, A) 1 B) 0 C) 1 3 D) 2 3 E) 1 n n a a =, a, n çift ise n tek ise dir. Örneğin, ( 2) = 2 ( 2) = 2 = x = x x = x x = x ( x 2) = x 2 Hazine 2 ( 1 3 ) = 1 3 = 3 1 ( 2 3 ) 2 = 2 3 = 2 3 a b irrasyonel sayısına, a + b irrasyonel sayısının bir eşleniği denir. Aşağıdaki örnekleri inceleyelim: 1. ( 3 2) 4 + ( 3 1) işleminin sonucu kaçtır? A) 2 3 B) 3 C) 1 D) 3 E) 2 3 Sayı Eşleniği = = 2 a 2. x < 2 olduğuna göre, x 2 3 4x ( x + 1) 3 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 2x + 2 B) 2x 1 C) D) 3 E) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 12 B) 1 6 C) 1 4 D) 1 6 E) b irrasyonel sayısını, a b irrasyonel sayısı (eşleniği) ile çarpalım. 2 2 ( a + b ) ( a b ) = ( a ) ( b ) = a b Q Yani, a + b irrasyonel sayısını a b irrasyonel sayısı ile çarptığımızda sonuç bir rasyonel sayı olur. Yani karekökler ortadan kalkar. Bundan faydalanarak, paydası köklü sayı olan bir kesrin pay ve paydasını paydanın eşleniği ile çarparsak; paydanın rasyonel olmasını sağlamış oluruz. Örneğin, = = = ( 3 ) 1 ( 2+ 3 ) 391

392 14. BÖLÜM KÖKLÜ SAYILAR Kök Dışına Çıkarma - Eşlenik KAVRAMA TESTİ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? 10. A = 5 2 olduğuna göre, nin A türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) B) 6 C) 6 7 A) 3 A B) 3A C) A D) A 2 E) A 3 D) 4 7 E) = a 2 + b ifadesinde a ve b iki tam sayıdır. Hazine Buna göre, a + b toplamı kaçtır? n m k a n m k = a A) 1 B) 3 C) 5 D) 10 E) 12 n x m k m k k y z = m n k x y z işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 B) 3 C) 1 D) 1 E) Örneğin, x = x = x x x = x x = x = x x x x = x x x = x = x işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? 11. Aşağıdaki eşitliklerden hangisi ya da hangileri doğrudur? I. 6 3 = 3 II = 2 A) 2 1 B) 1 2 C) 1+ 2 III = 12 D) 1 2 E) A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) II ve III E) I ve II 9. 1 a a a + a ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 1 C) a + 1 a 1 D) a a E) 1 a = 2 x olduğuna göre, x kaçtır? A) 1 B) 5 C) D) 7 8 E)

393 14. BÖLÜM KÖKLÜ SAYILAR Kök Dışına Çıkarma - Eşlenik KAVRAMA TESTİ 03 Hazine Hazine a ve b pozitif gerçek sayılar olmak üzere, a pozitif bir sayı, n bir tam sayı ve n > 1 olmak üzere, a + b + 2 ab = a + b n n n a a a... n 1 = a a + b 2 ab = a b n n n n+ 1 a : a : a... = a dir. Örneğin, Örneğin, = 4 = 4 = = = 5 1 = : 10 : = 10 Ayrıca, k pozitif bir sayı olmak üzere, a sayısı k (k + 1) biçiminde yazılabiliyorsa, a + a + a +... = k + 1 (Büyük çarpan) k k a a a... = k (Küçük çarpan) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 5 B) 3 2 C) 2 3 D) 2 2 E) 2 Örneğin, k k = = işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 B) 1 C) ifadesinin değeri kaçtır? A) 1 B) 2 C) 2 D) 2 2 E) 3 D) 1 E) x = y = işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 B) 8 C) 2 7 D) 2 14 E) 14 z = 8 : 8 : 8 :... olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) z < x < y B) z < y < x C) x < y < z D) x < z < y E) y < z < x 1. C 2. D 3. E 4. C 5. C 6. D 7. C 8. C 9. B 10. E 11. D 12. D 13. C 14. A 15. E 16. C 17. A 393

394 14 BÖLÜM KÖKLÜ SAYILAR Kök Dışına Çıkarma - Eşlenik PEKİŞTİRME TESTİ Aşağıda verilen eşitliklerden hangisi ya da hangileri doğrudur? I. x = x II. a x = a x III. x a = x 2 a 6 A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III 5. x 2 = ( 2 3) 2 y = ( x + 1 3) 4 4 z = ( 3 2 3) olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır? A) 4 B) 3 4 D) E) 6 C) x + x + x +... = 12 y y y... = 6 olduğuna göre, x y farkı kaçtır? A) 6 B) 36 C) 72 D) 90 E) < x < 2 olduğuna göre, 2 2 x 4x x 2x + 1 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 2x 1 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2x işleminin sonucu kaçtır? A) 2 2 B) C) D) E) x 4 = x + 2 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) { 2} C) { 2, 2} D) {2} E) {4} işleminin sonucu kaçtır? A) D) 1 2 B) E) C) = 3 x olduğuna göre, x kaçtır? A) B) 2 3 C) E 2. D 3. B 4. E 5. C 6. D 7. B 8. C D) 7 9 E)

395 14 BÖLÜM KÖKLÜ SAYILAR Kök Dışına Çıkarma - Eşlenik ÖDEV TESTİ x < 4 olmak üzere, x 2 7 8x ( x + 2) 7 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 2x 2 B) 2x + 2 C) 2 D) 6 E) 8 5. x y y = x xy olduğuna göre, x in y türünden ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? y A) B) y + 1 D) y + 1 y y 1 y E) y 1 y C) y y = A olduğuna göre, 8 4 ( 3 + 1)( 3 + 1) ( 3 + 1) ifadesinin A türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) A 2 B) A + 2 C) D) 1 A 2 E) A 2 A 1 6. x x = 3 olduğuna göre, 9 + x ifadesinin eşiti kaçtır? x A) 1 B) 3 2 C) 3 D) 9 2 E) işleminin sonucu kaçtır? a 4 7. a + b + 2 ab = a 2 olduğuna göre, a kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) 8 A) 5 2 B) 2 C) 3 2 D) 1 E) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? 1 A) B) D) E) C) a = 2 1, b = a, c = b olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) b < c < a B) a < c < b C) c < a < b D) c < b < a E) a < b < c 395

396 BÖLÜM ÖDEV TESTİ KÖKLÜ SAYILAR Kök Dışına Çıkarma - Eşlenik 9. x y x y x y... = x 2 olduğuna göre, x ile y arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir? A) y = x B) y = x C) y = x 2 D) y = x 4 E) y = x x + x 4 x x 4 = 3 olduğuna göre, x kaçtır? A) 2 B) 5 C) 3 D) E) x = x = 2 olduğuna göre, x kaçtır? 12 olduğuna göre, x 9 3 ifadesinin eşiti kaçtır? A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 55 A) 48 B) 64 C) 96 D) 124 E) işleminin sonucu kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 3 2 C) 2 D) 5 2 E) 3 A) 2 B) C) 4 2 D) 3 E) ( ) ( ) işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 2 D) 2 2 E) 3 C) x işleminin sonucu bir rasyonel sayı olduğuna göre, x kaçtır? A) 5 D) 2 B) 2 C) 3 1. D 2. C 3. C 4. A 5. B 6. A 7. D 8. E 9. D 10. C 11. B 12. D 13. E 14. D 15. C 16. A E) 1 396

397 14 BÖLÜM KÖKLÜ SAYILAR BÖLÜM TESTİ x = y = z = işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 1 C) 1 3 D) 3 E) 3 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) x > y > z B) z > y > x C) y > x > z D) z > x > y E) x > z > y , , 09 işleminin sonucu kaçtır? A) 0,02 B) 0,1 C) 1 D) 10 E) 100 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 3 B) 2 C) 3 D) 6 E) ( 5) ( 2) 9 işleminin sonucu kaçtır? sayısına en yakın olan tam sayı kaçtır? A) 9 B) 5 C) 1 5 D) 5 E) 9 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) işleminin sonucu kaçtır? A) 10 3 B) 10 7 C) 6 3 D) E) 7 3 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 3 B) 15 5 D) 15 E) 10 C)

398 BÖLÜM BÖLÜM TESTİ KÖKLÜ SAYILAR 9. a a = 9 olduğuna göre, a kaçtır? A) 36 B) 40 C) 49 D) 64 E) işleminin sonucu kaçtır? A) 25 B) 22 C) 5 D) 22 E) işleminin sonucu kaçtır? A) 5 2 B) 5 2 D) 10 E) 15 C) a = 3 b = 5 c = 16 olduğuna göre, a, b, c nin sıralanışı aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir? A) a > b > c B) b > a > c C) c > b > a D) b > c > a E) a > c > b 15. Aşağıda verilen eşitliklerden hangisi ya da hangileri doğrudur? ( 2) ( 2) + ( 10 3) işleminin sonucu kaçtır? A) 10 3 B) 3 10 C) 10 7 D) 7 10 E) I. ( 2 5 2) = 5 2 II. a > 0 ve b < 0 iken 2 ( b a) = a b 3 3 III. ( 3) + 2 ( 2) = 1 A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III a a + 16 = 1 2 olduğuna göre, a + a + 16 kaçtır? işleminin sonucu A) 16 B) 15 C) 8 D) 4 E) işleminin sonucu kaçtır? A) 1 9 D) 1 18 B) 1 18 C) E) B 2. B 3. C 4. E 5. A 6. C 7. C 8. D 9. C 10. D 11. C 12. A 13. D 14. A 15. E 16. C

399 14 BÖLÜM KÖKLÜ SAYILAR BÖLÜM TESTİ , , 016 işleminin sonucu kaçtır? A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,4 E) 0, işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 2 C) 2 D) 3 E) , 1 0, 2 0, 2 + 0, 4 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E) a = b = c = olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) b > c > a B) b = c > a C) a > b > c D) a > b = c E) c > b > a işleminin sonucu kaçtır? A) 3 B) C) işleminin sonucu kaçtır? D) E) A) 5 4 B) 5 5 C) 5 7 D) 5 9 E) 5 4. ( a a + b ) ( a a b ) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) a b B) a 2 b 2 C) a 2 b D) a 3 b E) a b x x = 5 olduğuna göre, a kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E)

400 14. BÖLÜM KÖKLÜ SAYILAR BÖLÜM TESTİ ( ) ( 3 10 ) işleminin sonucu kaçtır? A) B) 3 10 C) ( ) 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 16 B) 18 C) 20 D) 25 E) 30 D) 10 E) işleminin sonucu kaçtır? 3 3 a = ( 5 ) olduğuna göre, a kaçtır? A) 1 B) 1 C) D) 1 E) 3 A) 5 3 B) 5 2 C) 5 2 D) 3 2 E) x < 0 olmak üzere, işleminin sonucu kaçtır? 5 5 x 4 4 x A) 2 B) 3 C) 2 2 D) 2 3 E) 2 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) x B) 0 C) x D) 1 E) = a 3 2 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisidir? A) 5 a B) 4 a nin a türünden değeri C) 2a D) a E) a x + : 2 2 x y x + y x y işleminin sonucu kaçtır? A) x y B) x y C) D) x y E) 2(x + y) 1. B 2. D 3. E 4. D 5. E 6. D 7. A 8. C 9. C 10. D 11. E 12. B 13. C 14. A 15. D 16. E 2 x + y 400

401 15. BÖLÜM ORAN - ORANTI ALT ÖĞRENME ALANLARI Oran, Orantı Tanımı ve Özellikleri Orantı Çeşitleri Ortalamalar

402 .

403 15 BÖLÜM ORAN - ORANTI KAVRAMA TESTİ 01 Tanım ve Özellikler Hazine 2. a b = c = 2 olduğuna göre, d a ve b, ikisi birden sıfır olmayan gerçek sayılar olsun. a b ifadesine, a nın b ye oranı denir. a + b a b : c d işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 1 C) D) 3 2 E) 2 İki ya da daha fazla oranın birbirine eşit olmasına orantı denir. a c = ikili orantı b d a b = c e d = f üçlü orantı 1. Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir oran değildir? A) 5 0 B) C) 3 2 D) 1 7 E) a b = b c c = d = 3 olduğuna göre, a d A) 1 3 oranı kaçtır? B) 3 C) 6 D) 9 E) 27 a) a b Hazine c = a d = b c d 4. a : b : c = 3 : 5 : 7 3a 2b + c = 240 olduğuna göre, a kaçtır? A) 120 B) 108 C) 90 D) 72 E) 40 b) a b = c d c d b = a veya a c = b d (içler-dışlar yer değiştirebilir.) c) a b n n c d k a c n = = k = b = d d) e) a b a b = c d = k a c b d = k 2 = c e d = ifadesi yerine f a : c : e = b : d : f gösterimi de kullanılabilir. 5. a x + b y + c z = 48 a + b + c = 96 olduğuna göre, 1 x + 1 y + 1 toplamı kaçtır? z A) 1 B) 1 C) 1 D) 2 E)

404 15. BÖLÜM ORAN - ORANTI Tanım ve Özellikler KAVRAMA TESTİ 01 a b dır. a b Hazine c e = = = k olsun. Bu durumda, d f a + c b d k a c e = k +, + + b + d + f = c e = = = k olsun. m, n ve l her üç birden sıfır d f olmayan gerçek sayılar olsun. m a + n c + l e = k m b + n d + l f 8. a c = = 3 b d 4a + 12c = 24 olduğuna göre, b + 3d toplamının sayısal değeri kaçtır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 dır. Örneğin; dır. a b c e 2a c e = = = k + 2 = k d f 2b d + 3f 9. a b c d ve 3a + 5c = = 3b + 5d 2a b = tür. olduğuna göre, a kaçtır? A) 10 B) 13 C) 16 D) 19 E) a b = c d = e = 3 olmak üzere, f 2a c + e = 30 f d = 2 olduğuna göre, b kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) orantısı elde edil- a c b = d = k a + (2n 3)c orantısından b + (3n 11)d = k diğine göre, n kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 7. a b c = = = k a + 3b + mc = k 32 olduğuna göre, m kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) a b c = = d k 7a 8c = k 7b + 32 olduğuna göre, d kaçtır? A) 8 B) 4 C) 2 D) 4 E) 8 1. E 2. D 3. E 4. C 5. D 6. C 7. B 8. A 9. C 10. D 11. B 404

405 15 BÖLÜM ORAN - ORANTI PEKİŞTİRME TESTİ 01 Tanım ve Özellikler 1. x + y x = a b c = = d k olduğuna göre, 2x + y x y ifadesinin değeri kaçtır? a ( n + 5) c = b ( 3n 1) d k A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11 olduğuna göre, n kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 2. a b = c e d = f = 5 3 olduğuna göre, a d e oranı kaçtır? b c f A) 3 5 B) 4 5 C) 1 D) 5 3 E) 2 6. a c = = 2 b d 5 olduğuna göre, a 2 c b d oranı kaçtır? A) 25 4 B) 4 25 C) 1 D) 4 25 E) a b = c d a 3c 1 = b 3d 5 b a = 12 olduğuna göre, a kaçtır? 7. a 3 c b = 7 = + 10 b a c olduğuna göre, b a oranı kaçtır? b c A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 A) 10 3 B) 3 5 C) 1 5 D) 3 10 E) a b b c = = a + c = 85 olduğuna göre, b kaçtır? A) 5 B) 18 C) 30 D) 35 E) x y x t y z = = = k z t = 125 olduğuna göre, k kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 405

406 BÖLÜM PEKİŞTİRME TESTİ ORAN - ORANTI Tanım ve Özellikler 9. 3a = 5b = 7c = 5 a b c olduğuna göre, a kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) a b c e = = = d f 5a 3c + 2e = 4 4f 6d = olduğuna göre, b kaçtır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) a : b : c = 5 : 4 : 3 3a 2b + c = 140 olduğuna göre, a kaçtır? A) 14 B) 28 C) 35 D) 70 E) a b 1 b 2 c =, =, = 4 c 5 d a + b + c + d = olduğuna göre, c d farkı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) a c = = 7 b d c çarpımının so- c d olduğuna göre, nucu kaçtır? A) 10 B) 35 3 a + 3b b C) 40 3 D) 15 E) x, y, z pozitif gerçek sayılardır. x y y z x z = 2, = 3, = 4 z x y olduğuna göre, x 2 + y 2 + z 2 toplamı kaçtır? A) 26 B) 21 C) 18 D) 17 E) x + 11= z y 99 y olduğuna göre, oranı kaçtır? y z x A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) a b olduğuna göre, A) 1 4 c d ve a 7 = c = b 7d B) 1 2 ad + bc bd C) oranı kaçtır? D) 1 E) E 2. D 3. A 4. C 5. B 6. D 7. D 8. A 9. A 10. D 11. B 12. E 13. B 14. C 15. A 16. C 406

407 15 BÖLÜM ORAN - ORANTI ÖDEV TESTİ 01 Tanım ve Özellikler 1. a + 2b = 4 a 5. x y 6 y z 10 =, =, x + y 5 y + z 7 x z = x + z 15 8 olduğuna göre, b + 7a b oranı kaçtır? olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır? A) 2 B) 7 2 C) 9 2 D) 5 E) 21 4 A) 3 B) 2 C) 5 D) 8 E) a, b, c pozitif tam sayılardır. 2a = 7b = 14c olduğuna göre, a + b + c toplamı en az kaçtır? = = = a x b y c z 3 x + y + z = 33 A) 23 B) 21 C) 14 D) 7 E) 1 olduğuna göre, 1 a + 1 b + 1 c toplamı kaçtır? A) 11 B) 8 C) 6 D) 3 E) 1 3. a ve b pozitif tam sayılardır. a 11 b = = 5 a + b 6 olduğuna göre, 3a + 2b toplamı kaçtır? A) 5 B) 12 C) 21 D) 27 E) 30 x + y z x y + z y + z x 7. = = x + y + z = 460 olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır? A) 295 B) 280 C) 265 D) 240 E) a b = c d = k ve 3a 2c = 2b + 5m k olduğuna göre, m nin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 5 d 2 D) d 5 B) 2d C) 2 d 5 E) 2d 8. (5x 3) : 7 : (2y 1) = (x + 9) : 7 : 5 olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 407

408 BÖLÜM ÖDEV TESTİ ORAN - ORANTI Tanım ve Özellikler 9. xy z xz yz = = 4y 36x x + y + z = 72 olduğuna göre, x kaçtır? 13. a b 3 b 3 =, = ve a + c = 68 5 c 5 olduğuna göre, c kaçtır? A) 50 B) 48 C) 40 D) 32 E) 28 A) 10 B) 8 C) 6 D) 4 E) a, b, c iki basamaklı doğal sayılardır. a 2 b c = = olduğuna göre, a + b + c toplamının en küçük değeri kaçtır? A) 30 B) 36 C) 42 D) 45 E) a b = a b olduğuna göre, oranı kaçtır? 2 2 a + b A) 1 2 B) 1 3 C) 1 4 D) 1 5 E) a, b, c, d pozitif tam sayılar olmak üzere, a b c =, a + c = 8, b + d = 50 d olduğuna göre, a + 4b b A) 1 B) 7 5 C) 18 5 oranı kaçtır? D) 22 5 E) ab 2 = c bc = ac, a, = b 3 5 olduğuna göre, a 2 + b 2 c 2 kaçtır? A) 1 B) 5 C) 13 D) 18 E) a b = c d = k ve 3a( m 1) c = 3b + ( 2m 5) d k olduğuna göre, m kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) a = 5, b = 15 b 2a olduğuna göre, a b 1. C 2. A 3. D 4. C 5. E 6. A 7. B 8. E 9. B 10. D 11. D 12. D 13. A 14. E 15. A 16. C A) 1 2 B) 1 3 oranı kaçtır? C) 1 6 D) 1 12 E)

409 15 BÖLÜM ORAN - ORANTI KAVRAMA TESTİ 02 Orantı Çeşitleri Hazine 4. a, b, c sayıları sırasıyla 3, 5, 11 sayıları ile orantılıdır. İki çokluğun arasındaki oran sabit olmak üzere, biri artarken (veya azalırken) diğeri de aynı oranda artyorsa (veya azalıyorsa) bu iki çokluk arasında a doğru orantı vardır denir. 2a b + c = 48 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 36 B) 32 C) 28 D) 24 E) 20 a ile b doğru orantılıysa a b = k biçiminde ifade edilir. a c b d a d = b c (Doğru orantı) Bir problemde çoklukların orantılı olduğu söylenmişse, çokluklar doğru orantılıdır. 1. (x - 1) ile (y + 5) doğru orantılıdır. x = 10 iken y = 13 olduğuna göre, y = 3 iken x kaçtır? 5. Bir baba yaşları 2, 3, 4 olan üç çocuğuna yaşlarının karesiyle orantılı miktarda para verecektir. Bu üç çocuğa toplam 116 lira verdiğine göre yaşı 3 olan çocuk kaç lira almıştır? A) 64 B) 45 C) 36 D) 28 E) 16 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Hazine İki çokluğun çarpımı sabit olmak üzere, biri artarken km lik bir yolu 6 saatte giden biri 360 km lik bir yolu kaç saatte gider? A) 3,5 B) 4 C) 4,5 D) 5 E) 5,5 (veya azalırken) diğeri de aynı oranta azalıyorsa (veya artıyorsa) bu iki çokluk arasında ters orantı vardır denir. a ile b ters orantılıysa a b = k biçiminde ifade edilir. a c b d a b = c d (Ters orantı) 3. Bir sınıftaki kız ve erkek öğrencilerin sayıları sırasıyla 1,8 ve 1,2 sayılarıyla orantılıdır. Bu sınıftaki öğrenci sayısı 30 dan fazla olduğuna göre, kız öğrenci sayısı en az kaçtır? A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) (x + 3) ile (y + 1) ters orantılıdır. x = 5 iken y = 3 olduğuna göre, y = 7 iken x kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 409

410 15. BÖLÜM ORAN - ORANTI Orantı Çeşitleri KAVRAMA TESTİ Bir duvarı aynı kapasitedeki 12 işçi 10 günde örüyorsa, 15 işçi kaç günde örer? A) 12,5 B) 10 C) 8 D) 7 E) 6 Hazine a, b ile doğru c ile ters orantılı ise, b a = c k biçiminde ifade edilir. Birden fazla orantı içeren problemlerde, lira üç kişiye 2, 3 ve 4 ile ters orantılı olarak dağıtılıyor. 1. yapılan iş 2. yapılan iş = 1. yapılan işle ilgili verilerin çarpımı 2. yapılan işle ilgili verilerin çarpımı Buna göre, en fazla alan kişi kaç lira almıştır? A) 120 B) 100 C) 90 D) 80 E) x sayısı (y 1) ile doğru z ile ters orantılıdır. x = 12 iken y = 3 ve z = 2 ise y = 10 ve z = 3 iken x kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) lt, 3 lt ve 6 lt su alan bidonlarla hacimlerinin karesi ile ters orantılı olacak şekilde 70 sefer yapılarak depo doldurulmuştur. Buna göre, en küçük hacimli bidon ile kaç sefer yapılmıştır? A) 39 B) 42 C) 45 D) 48 E) Bir makine günde 8 saat çalışarak 6 günde 150 parça iş üretirse, aynı cins 2 makine günde 16 saat çalışarak 9 günde aç parça iş üretir? A) 1200 B) 900 C) 600 D) 450 E) a, b, c R + olmak üzere, b a b = 6, = 3 c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur? 13. a işçi günde b saat çalışarak c m 2 halıyı d günde I. a ile b doğru orantılıdır. dokuyor. II. b ile c doğru orantılıdır. c işçi günde a saat çalışarak d günde b m 2 halı III. a ile c ters orantılıdır. dokuyor ise, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III A) a = c B) b = c C) a b = c 2 D) I ve II E) II ve III D) c = ab 2 E) a c = b d 1. E 2. C 3. D 4. B 5. C 6. A 7. E 8. A 9. C 10. E 11. D 12. B 13. B 410

411 15 BÖLÜM ORAN - ORANTI PEKİŞTİRME TESTİ 02 Orantı Çeşitleri 1. a, b, c sayıları sırasıyla 3, 7, 2 ile orantılıdır. a + b + c = 96 olduğuna göre, a + b 2c ifadesinin değeri kaçtır? A) 64 B) 52 C) 48 D) 42 E) x y = 2 ve y 5 z = 3 4 olduğuna göre, x, y, z sırasıyla hangi sayılarla orantılıdır? A) 2, 3, 4 B) 6, 15, 20 C) 6, 8, 10 D) 15, 6, 20 E) 20, 15, m 2 lik bir arazi 3, 7 ve 14 ile ters orantılı olarak üç parçaya ayrılmıştır. Buna göre, en büyük parça kaç m 2 dir? A) 480 B) 460 C) 420 D) 400 E) Bir miktar parayı A, B, C kişileri sırasıyla 3 ve 4 ile doğru, 2 ile ters orantılı olarak paylaşıyorlar. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) En fazla parayı A alır. B) C, A nın iki katı para alır. C) C, B nin sekiz katı para alır. D) A, B nin üç katı para alır. E) A, C nin altı katı para alır. 3. 3, 5 ve 12 ile ters orantılı olan sayılar sırasıyla hangi sayılarla doğru orantılıdır? A) 6, 10, 24 B) 12, 20, 5 C) 6, 5, 20 D) 20, 12, 5 E) 8, 10, Bir karışım için A, B ve C maddeleri kullanılmaktadır. A B B C = ve = olduğuna göre, bu karışımdan 720 gram elde etmek için kaç gram B maddesi kullanılmalıdır? A) 100 B) 150 C) 175 D) 180 E) x sayısı y ile doğru, z ile ters orantılıdır. x = 8, y = 5 ise z = 10 dur. Buna göre, x = 2 ve z = 32 olduğuna göre, y kaçtır? A) 10 B) 8 C) 6 D) 4 E) 2 8. Birbirini çeviren üç çarktaki toplam diş sayısı 520 dir. Büyük çark 2 kez döndüğünde ortanca çark 5 kez, küçük çark 6 kez dönmektedir. Buna göre, küçük çarkta kaç diş vardır? A) 100 B) 120 C) 150 D) 175 E)

412 BÖLÜM PEKİŞTİRME TESTİ ORAN - ORANTI Orantı Çeşitleri 9. Bir traktörün ön tekerleğinin yarıçapının arka tekerleğinin yarıçapına oranı 1 3 tür. 180 metrelik bir yolda ön tekerlek arka tekerlekten 30 devir fazla yaptığına göre, ön tekerleğin çevresi kaç metredir? 13. Bir değirmen 30 ton buğdayı 12 saatte öğütmektedir. Değirmenin üretim kapasitesi 2 kat artırılırsa 24 saatte kaç ton buğday öğütür? A) 180 B) 160 C) 120 D) 100 E) 90 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Bir çiftlikte 300 tavuğa 90 gün yetecek kadar yem bulunmaktadır. 20 gün sonra, 200 tavuk satılmaktadır. Kalan tavuklara kalan yem kaç gün yeter? 14. Bir torbadaki mavi ve beyaz bilyelerin sayıları sırasıyla 8, 4 ve 9, 6 ile orantılıdır. Buna göre, bu torbada en az kaç bilye vardır? A) 15 B) 12 C) 10 D) 9 E) 6 A) 240 B) 180 C) 120 D) 90 E) özdeş musluk boş bir depoyu 6 dakikada doldurmaktadır. 11. Eşit güçteki 8 işçinin günde 6 saat çalışarak 18 günde bitirdiği bir işi, yine aynı güçteki 6 işçi günde 10 saat çalışarak kaç günde bitirir? A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 15 3 özdeş musluk, bu depo ile eşit hacimde olan 4 boş depoyu kaç dakikada doldurur? A) 36 B) 32 C) 28 D) 24 E) Bir usta 10 günde 7 halı, bir çırak ise 12 günde 5 halı 12. Bir testere ile 10 dakikada 9 tane eşit boylu kereste kesiliyor ise, aynı testere ile 15 dakikada dokumaktadır. aynı boyutta kaç kereste kesilir? 1 usta ve 1 çırak 134 halıyı kaç günde dokur? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 A) 130 B) 120 C) 108 D) 96 E) C 2. C 3. D 4. D 5. B 6.? 7. E 8. A 9. D 10. B 11. D 12. D 13. A 14. A 15. B 16. B 412

413 15 BÖLÜM ORAN - ORANTI ÖDEV TESTİ 02 Orantı Çeşitleri 1. Bir motorsikletin ön tekerleğinin yarıçapı 24 cm, arka tekerleğinin yarıçapı 36 cm dir. Ön tekerleğin 96 devir yaptığı bir yolda arka tekerlek kaç devir yapar? A) 24 B) 32 C) 48 D) 64 E) Aynı güçteki 5 işçi günde 2 saat çalışarak bir işin 1 3 ünü 6 günde yapmaktadır. Aynı güçteki 10 işçi günde 4 saat çalışarak aynı işin 1 3 ünü kaç günde yaparlar? A) 10 B) 9 C) 5 D) 3 E) 1,5 2. Bir sınıftaki kız öğrencilerin sayısı erkek öğrencilerin sayısının 3 7 katıdır. Erkek öğrenci sayısı 14 ten fazla olduğuna göre, sınıf mevcudu en az kaçtır? A) 20 B) 24 C) 28 D) 30 E) Koyunların sayısının ineklerin sayısının 2 katı olduğu bir çiftlikte bulunan inek ve koyunlara 60 gün yetecek kadar yem vardır. Bir inek bir koyunun 5 katı kadar yem yemektedir. 10 gün sonra 1 inek ve 5 koyun ayrılınca kalan yem hayvanlara 70 gün yeteceğine göre, başlangıçta çiftlikte kaç koyun vardır? A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) bin lira üç kardeş arasında 3 ve 5 ile doğru 2 ile ters orantılı olacak şekilde paylaştırılıyor. Buna göre, en fazla pay alan kardeş kaç bin lira almıştır? A) 42 B) 40 C) 35 D) 33 E) Bir sınıfta bulunan öğrenciler 2 ile doğru, 3 ve 5 ile ters orantılı üç gruba ayrılabiliyor. Buna göre, bu sınıftaki öğrenci sayısı en az kaçtır? A) 19 B) 24 C) 29 D) 32 E) x sayısı, (y 2) ile doğru, (z + 1) ile ters orantılıdır. x = 24, y = 10 iken z = 2 dir. Buna göre, y = 14, z = 5 iken x kaçtır? A) 18 B) 16 C) 14 D) 12 E) Bir baba yaşları 2, 3, 4 olan üç çocuğuna yaşları ile ters orantılı miktarda para verecektir. Baba üç çocuğuna toplam 52 lira verdiğine göre, en fazla para alan en az para alandan kaç lira fazla almıştır? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E)

414 BÖLÜM ÖDEV TESTİ ORAN - ORANTI Orantı Çeşitleri 9. Bir testere ile 13 dakikada 144 eşit boyutlu kalas kesiliyor ise, aynı testere ile 15 dakikada aynı boyutta kaç kalas kesilebilir? A) 143 B) 151 C) 159 D) 163 E) Sabit hızla koşan bir atlet koştuğu parkurda bir tam turu 24 dakikada tamamlamaktadır. Bu atlet parkurun 3 ünü kaç dakikada tamamlar? 4 A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) Bir miktar parayı Alp, Burak ve Cem sırasıyla 6 ve 12 ile doğru, 3 ile ters orantılı olarak paylaşıyorlar. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? 14. Bir tuz-su karışımının 18 litresinde 3 litre tuz varsa, 30 litresinde kaç litre su vardır? A) 25 B) 20 C) 15 D) 10 E) 5 A) Burak, Cem'in parasının 6 katı para alır. B) Alp, Cem'in parasının 12 katı para alır. C) Alp, Cem'in parasının 18 katı para alır. D) Alp, Burak'ın parasının 2 katı para alır. E) Cem, Burak'ın parasının yarısı kadar para alır. 15. Aşağıda verilen problemlerin hangisi ya da hangileri doğru orantı kullanılarak çözülür? I. "12 defter için 15 lira ödeyen bir kişi 20 defter için kaç lira öder?" II. "Bir duvarı günde 4 saat çalışarak 5 günde bitiren bir işçi, günde 5 saat çalışarak kaç günde bitirir?" III. "72 km lik bir yolu 5 saatte giden biri aynı hızla 108 km lik bir yolu kaç saatte gider? 11. Bir makine günde 5 saat çalışarak 3 günde, 8 parça mal üretirse, aynı cins 4 makine günde 6 saat çalışarak 10 günde kaç parça iş üretir? A) 108 B) 112 C) 120 D) 124 E) 128 A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III 16. a, b, c, d gerçek sayılardır. 3 c a =, b c = 6, = 24 b d olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? tane özdeş musluk boş bir havuzu 21 dakikada doldurmaktadır. 7 tane özdeş musluk, bu havuzla eşit hacimde olan 2 tane boş depoyu kaç dakikada doldurur? A) a ile b ters orantılıdır. B) a ile c doğru orantılıdır. C) a ile d doğru orantılıdır. D) b ile d doğru orantılıdır. A) 10 B) 15 C) 18 D) 24 E) 30 E) c ile d doğru orantılıdır. 1. D 2. D 3. B 4. A 5. E 6. B 7. E 8. C 9. E 10. C 11. E 12. E 13. D 14. A 15. E 16. D 414

415 15 BÖLÜM ORAN - ORANTI KAVRAMA TESTİ 03 Ortalamalar Hazine Hazine a 1, a 2, a 3,..., a n n tane gerçek sayı olsun. a1 + a an n sayısına a 1, a 2,..., a n sayılarının aritmetik ortalaması denir. a 1, a 2, a 3,..., a n, n tane pozitif gerçek sayı olsun. n a 1 a 2... a n sayısına a 1, a 2,..., a n sayılarının geometrik ortalaması denir. 1. x ile y sayılarının aritmetik ortalaması 6; x, y ve z sayılarının aritmetik ortalaması 10 olduğuna göre, z kaçtır? A) 12 B) 15 C) 16 D) 18 E) a, b ve c pozitif gerçek sayılardır. a ile b nin geometrik ortalaması 3 a ile c nin geometrik ortalaması 2 2 b ile c nin geometrik ortalaması 3 olduğuna göre, a, b ve c nin geometrik ortalaması kaçtır? A) 1 B) 3 2 C) 3 3 D) 2 E) 6 2. Yaş ortalaması 21 olan bir sporcu grubunda 16 tane erkek vardır. Erkeklerin yaş ortalaması 18 ve kızların yaş ortalaması 25 olduğuna göre, grupta kaç kız sporcu vardır? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) x + y ile x y nin aritmetik ortalaması 5 ve x + y ile x y nin geometrik ortalaması 4 olduğuna göre, y kaçtır? A) 12 B) 9 C) 2 3 D) 3 E) 2 3. Bir grupta bulunan kişilerin yaş ortalaması 32 dir. Bu gruptan 46 yaşında bir kişi ayrılınca yaş ortalaması 30 olmaktadır. Buna göre, başlangıçta bu grupta kaç kişi vardı? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) ile sayılarının geometrik ortalaması kaçtır? A) 3 B) 2 3 D) 3 5 E) 7 C)

416 15. BÖLÜM ORAN - ORANTI Ortalamalar KAVRAMA TESTİ 03 Hazine Hazine a 1, a 2, a 3,..., a n n sayılarının aritmetik ortalamaları ile geometrik ortalamaları eşit ise, a 1 = a 2 =... = a n dir. 7. x ile y gibi iki pozitif sayının aritmetik ortalaması, geometrik ortalamasına eşittir. 8x + 2y Buna göre, oranı kaçtır? 13x 8y A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 x, y ve z değişkenlerinin oluşturduğu bir bileşik orantıda; x yerine y y yerine z z yerine x yazıldığında orantı bozulmuyorsa; x = y = z dir x 2y 3y 2z 3z 2x = = y + z x + z x + y olduğuna göre, 3 x y 2 z kaçtır? A) 1 6 B) 1 3 C) 1 D) 3 E) x 7 ile 8x 72 sayılarının aritmetik ortalaması ile geometrik ortalaması birbirine eşittir. Buna göre, x kaçtır? A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) x y z y x z z x y = = y + z x + z x + y olduğuna göre, 3x + 2y y + z oranı kaçtır? A) 2 B) 5 2 C) 3 D) 7 2 E) 4 9. İki tane doğal sayının aritmetik ortalaması geometrik ortalamasına eşit ve 7 dir. Buna göre, bu sayıların karelerinin toplamı kaçtır? A) 49 B) 78 C) 81 D) 98 E) x + 5y + 3z 2y + 5z + 3x 2z + 5x + 3y = = x y + z y z + x z x + y olduğuna göre, x 2 + z 2 2 oranı kaçtır? 3y A) 1 B) 2 C) 1 D) 4 E) D 2. C 3. E 4. E 5. C 6. C 7. B 8. A 9. D 10. C 11. B 12. B 416

417 15 BÖLÜM ORAN - ORANTI PEKİŞTİRME TESTİ 03 Ortalamalar 1. a ile b nin aritmetik ortalaması 12, b ile c nin aritmetik ortalaması 24, a ile c nin aritmetik ortalaması 30, 5. 5 x, 5 x+4, 5 x 1 sayılarının geometrik ortalaması 625 olduğuna göre, x kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 olduğuna göre, a, b, c nin aritmetik ortalaması kaçtır? A) 22 B) 23 C) 24 D) 25 E) Bir topluluktaki erkeklerin sayısının 3 katı bayanların sayısının 2 katına eşittir ile sayılarının geometrik ortalaması kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 2 E) 5 Bu topluluktaki erkeklerin yaş ortalaması 26, bayanların yaş ortalaması 36 olduğuna göre, topluluktaki kişilerin yaş ortalaması kaçtır? A) 26 B) 28 C) 30 D) 32 E) tane sayının aritmetik ortalaması 2a 3 tür. Bu sayıların her biri 5 arttırıldığında yeni ortalama 28 olduğuna göre, a kaçtır? 7. a ve b gibi iki pozitif sayının aritmetik ortalaması, geometrik ortalamasına eşittir. Buna göre, 17a 5b oranı kaçtır? 9a 7b A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) tane pozitif tam sayının aritmetik ortalaması 33 tür. Toplamları 97 olan 4 sayı çıkarıldığında kalan sayıların aritmetik ortalaması kaç olur? A) 19 B) 20 C) 21 D) 22 E) x 3 y y z z x = 3 = 3 y + z z + x x + y 2 2 5x + 3y olduğuna göre, oranı kaçtır? 2 4z A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8 1. A 2. D 3. C 4. B 5. C 6. B 7. E 8. B 417

418 15 BÖLÜM ORAN - ORANTI ÖDEV TESTİ 03 Ortalamalar 1. Yaş ortalaması 21 olan bir toplulukta 8 tane erkek vardır. Erkeklerin yaş ortalaması 18, bayanların yaş ortalaması 25 olduğuna göre, toplulukta kaç bayan vardır? 5. (2x 5) ile (9x 75) sayılarının aritmetik ortalaması ile geometrik ortalaması birbirine eşittir. Buna göre, x kaçtır? A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 2. Yaş Kişi sayısı Yukarıdaki tablo bir gruptaki kişilerin sayısı ile yaşlarını göstermektedir. Bu gruptan seçilen 25 kişinin yaş ortalaması 12 olduğuna göre, geriye kalanların kaç tanesi 14 yaşındadır? 6. a, b ve c pozitif gerçek sayılardır. a ile b nin geometrik ortalaması 2, b ile c nin geometrik ortalaması 2 2, a ile c nin geometrik ortalaması 2 olduğuna göre, a, b ve c nin geometrik ortalaması kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 2 D) 2 E) 3 4 A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) x, y ve z ardışık çift doğal sayılar ve x < y < z dir. x ile z nin geometrik ortalaması 2 15 olduğuna göre, x ile y nin geometrik ortalaması kaçtır? A) 4 3 B) 2 6 C) x 2y z 3y 2z x 3z 2x y = = 5y + 3z 5z + 3x 5x + 3y olduğuna göre, 2 x 3 2 oranı kaçtır? 3y z A) 1 B) 2 C) 1 D) E) 3 D) 15 E) Bugünkü yaş ortalaması 43 olan 8 kişilik bir toplulukta, 3 yıl sonra bir kişi ayrıldığında topluluğun yaş ortalaması 28 olmaktadır. 8. Bir sporcu kafilesinin boy ortalaması 1,80 m dir. Bu sporcu kafilesindeki bayanların boy ortalaması 1,76 m, erkeklerin yaş ortalaması 1,86 m dir. Buna göre, ayrılan kişinin ayrıldığı zamandaki yaşı kaçtır? Sporcu kafilesindeki kişi sayısı 20 den fazla olduğuna göre, bu kafiledeki kişi sayısı en az kaçtır? A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20 A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) D 2. C 3. A 4. C 5. B 6. D 7. B 8. E 418

419 15 BÖLÜM ORAN - ORANTI BÖLÜM TESTİ a + 3b 3 = a + b 2 olduğuna göre, a b oranı kaçtır? 5. a, b, c tam sayıdır. a b c = = A) 6 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 olduğuna göre, a + b + c toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 8 B) 12 C) 15 D) 27 E) x + y 5 = 2y 2 olduğuna göre, 2x y oranı kaçtır? 3y A) 3 4 B) 4 9 C) 9 5 D) 5 9 E) 1 6. Bir sınıfta toplam 32 öğrenci olduğuna göre, bu sınıfta kızların, erkeklere oranı aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) 1 3 B) 5 3 C) 1 7 D) 9 7 E) a c = = 2 b d a + 2b olduğuna göre, c + 2d b işleminin sonucu d kaçtır? A) 4 B) 8 C) 12 D) 16 E) x y z = = x y + z = 35 olduğuna göre, z kaçtır? A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) x y = y z z = t = 1 2 olduğuna göre, x t A) 1 16 B) 1 8 oranı kaçtır? C) 1 4 D) 1 2 E) 2 8. a b 2 b =, = 5 c 1 3 3a c + 2b = 2 ve olduğuna göre, b kaçtır? A) 4 B) 10 C) 20 D) 30 E)

420 BÖLÜM BÖLÜM TESTİ ORAN - ORANTI 9. 2x = 3y = 5z = 5 x y z olduğuna göre, x + 3y + 10z toplamı kaçtır? A) 6 B) 7 C) 9 D) 10 E) x, y, z, t gerçek sayılardır. x y = 3 y z = 4 x t = 10 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) x ile y ters orantılıdır. B) y ile t doğru orantılıdır. 10. a + 2b 2a + c b + 2c = = a b c olduğuna göre, a + c b oranı kaçtır? C) z ile t ters orantılıdır. D) x ile z ters orantılıdır. E) y ile z doğru orantılıdır. A) 1 3 B) 1 2 C) 1 D) 2 E) m uzunluğundaki bir tel 3 ile doğru, 2 ile ters orantılı olacak şekilde iki parçaya ayrılıyor. Büyük parça küçük parçadan kaç m fazladır? 11. a b c e = = = d f 2 3 2a c + 3e = 10 A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 2b d = 3 olduğuna göre, f kaçtır? A) 3 B) 4 C) 6 D) 9 E) Eşit güçteki 6 işçinin günde 8 saat çalışarak 6 günde bitirdiği bir işi, yine aynı güçteki 4 işçi günde 6 saat çalışarak kaç günde bitirebilir? A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) Zeynep, Çiğdem ve Nur'un elindeki bilyelerin sayısı sırasıyla 2, 3 ve 5 ile orantılıdır. Üçünün toplam bilye sayısı 80 olduğuna göre, en çok bilyeye sahip olan, en az bilyeye sahip olandan kaç fazla bilyeye sahiptir? 16. Aritmetik ortalaması 20 olan 5 tane sayıya, toplamları 80 olan 4 tane sayı eklenirse, yeni aritmetik ortalama kaç olur? A) 9 B) 12 C) 15 D) 24 E) 27 A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) C 2. D 3. D 4. B 5. D 6. E 7. C 8. B 9. B 10. D 11. B 12. D 13. C 14. E 15. D 16. B 420

421 15 BÖLÜM ORAN - ORANTI BÖLÜM TESTİ a, b, c pozitif gerçek sayılardır. a : b : c = 3 : 2 : 4 a 2 + b 2 + c 2 = 116 olduğuna göre, a b + b c işlemi kaçtır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) a b c = = d k 3a + 2c = k 3b + 18 olduğuna göre, d kaçtır? A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 9 2. Bir kampta 60 öğrenciye 40 gün yetecek kadar yiyecek vardır. 10 gün sonra, kamptan 10 kişi ayrılıyor. Kalan yiyecekler, kalan öğrencilere kaç gün yeter? 6. Bir sınıftaki erkek ve kız öğrencilerin sayıları sırasıyla 2,4 ve 3,2 sayıları ile orantılıdır. Bu sınıftaki erkek öğrenciler en az kaç kişidir? A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 24 A) 34 B) 36 C) 54 D) 56 E) 60 a + b 5 3. = b 2 b c 3 = c 4 olduğuna göre, A) 8 21 B) 3 7 a a + c oranı kaçtır? C) 7 29 D) E) Ali'nin 6 gün boyunca çözdüğü soruların ortalaması 60 tır. Bir hafta boyunca çözüdüğü soruların ortalaması 63 olduğuna göre, Ali son gün kaç soru çözmüştür? A) 76 B) 78 C) 80 D) 81 E) a, b, c negatif gerçek sayılardır. a b c = = 0, 145 0, 145 0, x ile y nin aritmetik ortalaması 5 ve geometrik ortalaması 4 olduğuna göre, 1 x + 1 toplamı kaçtır? y A) 3 B) 1 C) 5 D) 6 E) olduğuna göre, a, b, c arasında aşağıdaki bağıntılardan hangisi doğrudur? A) b > a > c B) b > c > a C) c > a > b D) c > b > a E) a > b > c 421

422 15. BÖLÜM ORAN - ORANTI BÖLÜM TESTİ a + 1 3b 1 4c + 1 = = a 3b + 4c = 17 olduğuna göre, a + c toplamı kaçtır? A) 7 B) 10 C) 13 D) 15 E) a sayısı 2b 5 ile doğru orantılıdır. a = 6 iken b = 3 olduğuna göre, b = 7 iken a kaçtır? A) 60 B) 54 C) 42 D) 24 E) a b = c e d = f = 1 2 olduğuna göre, b 2 f c d e a oranı kaçtır? 14. A = B = olmak üzere, A ile B nin geometrik ortası kaçtır? A) 1 4 B) 1 8 C) 1 2 D) 1 E) 2 A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) Bir traktörün arka tekerleğinin yarıçapının ön tekerleğinin yarıçapına oranı 2 dir. Bu traktör 120 m yol aldığında ön tekerlek arka tekerlekten 40 devir fazla yaptığına göre, traktörün arka tekerleğinin çevresi kaç m dir? m 2 lik bir arazi 4 ile doğru orantılı, 2 ve 3 ile ters orantılı olarak üç parçaya ayrılmıştır. Buna göre, en küçük parça kaç m 2 dir? A) 3 2 B) 2 C) 3 D) 7 2 E) 4 A) 10 B) 20 C) 40 D) 60 E) a, b, c sayıları sırasıyla 2, 3, 5 ile ters orantılıdır. a b + c = 44 olduğuna göre, c kaçtır? 16. Bir havuzu özdeş (x + 1) tane musluk 12 saatte, (x 2) tane özdeş musluk aynı havuzu 24 saatte doldurabildiğine göre, x kaçtır? A) 24 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 1. C 2. B 3. D 4. C 5. E 6. B 7. D 8. C 9. C 10. D 11. C 12. A 13. B 14. B 15. C 16. C 422

423 15 BÖLÜM ORAN - ORANTI BÖLÜM TESTİ işçi bir işi günde 8 saat çalışarak 12 günde yapmaktadır. 12 işçi bu işin yarısını günde 10 saat çalışarak kaç günde bitirir? A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) x sayısı y ile doğru (z + 1) ile ters orantılıdır. x = 6, z = 7 iken y = 8 dir. Buna göre, x = 4, y = 12 iken z kaçtır? A) 13 B) 15 C) 16 D) 17 E) a, b, c pozitif tam sayılardır. a 5 : = c b 12 a 15 : = d b 28 olduğuna göre, c + d nin alabileceği en küçük değer kaçtır? 6. a, b, c sayıları sırasıyla 4 ve 5 ile doğru, 6 ile ters orantılıdır. Buna göre, b a oranı kaçtır? c A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 A) 10 B) 14 C) 15 D) 16 E) Bir sınıftaki kız öğrencilerin yaş ortalaması 20, erkek öğrencilerin yaş ortalaması 24 tür. Erkeklerin sayısı kızların sayısının 3 te biri olduğuna göre, bu sınıfın yaş ortalaması kaçtır? A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) Toplamları 186 olan 35 tane pozitif tam sayısı vardır. Bunlardan bir kısmının ortalaması 5, ötekilerin ortalaması 6 dır. Buna göre, ortalaması 6 olan sayılar kaç tanedir? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) Bir musluk günde 4 saat açık bırakılarak 5 günde bir havuzu doldurabilmektedir. Musluğun kapasitesi 1 3 oranında azaltılarak ve günde 6 saat açık bırakılarak aynı havuzu kaç günde doldurabilir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 8. x ile y nin aritmetik ortalaması 10 dur. x ile geometrik ortalaması 2 5 ve y ile geometrik ortalaması 2 10 olan sayı kaçtır? A) 3 B) 5 C) 6 D) 8 E) 9 423

424 15. BÖLÜM ORAN - ORANTI BÖLÜM TESTİ Yaş Kişi sayısı Yukarıdaki tablo, bir şirkette çalışanların sayısı ile yaşlarını göstermektedir. 13. Eşit güçteki 6 işçi günde 8 saat çalışarak 10 günde 320 m 3 toprak atıyorlar. Buna göre, eşit güçteki 8 işçi günde 9 saat çalışarak 240 m 3 toprağı kaç günde atarlar? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Bu şirketten seçilen 26 kişinin yaş ortalaması 22 olduğuna göre, geriye kalanların kaçı 24 yaşındadır? A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) Bir aşçı un (U), şeker (Ş), yağ (Y) gıdalarını, U = 2 Ş 3 Y = 5, Ş 2 oranında karıştırarak 930 gr lık bir helva yapmak istiyor. 14. Birbirini çeviren x, y, z gibi üç tane dişli çarktan x çarkı 3 devir yaptığında, y çarkı 5 ve z çarkı da 9 devir yapmaktadır. Çarkların toplam dişli sayısı 116 olduğuna göre, y çarkının dişli sayısı kaçtır? A) 20 B) 24 C) 32 D) 36 E) 60 Helva için kaç gr şeker gerekir? A) 180 B) 200 C) 300 D) 360 E) a, b doğal sayılardır. 3a 2b 12 ve 2a 3b + 8 sayılarının aritmetik ortalaması ile geometrik ortalaması birbirine eşit olduğuna göre, a b nin en büyük değeri kaçtır? 15. Dış bükey bir beşgenin iç açıları 2, 4, 6, 7 ve 8 ile doğru orantılıdır. Buna göre, en büyük iç açı, en küçük iç açıdan kaç derece fazladır? A) 120 B) 80 C) 40 D) 30 E) 20 A) 100 B) 99 C) 96 D) 84 E) A, B, C sayıları sırasıyla 6, 8, 10 ile ters orantılı olduğuna göre, sırasıyla hangi sayılarla doğru orantılıdır? A) 10, 8, 6 B) 20, 15, 12 C) 12, 15, x+1 ile 5 2x 1 sayılarının geometrik ortası 625 olduğuna göre, x kaçtır? D) 15, 20, 12 E) 3, 4, 5 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 1. B 2. D 3. A 4. D 5. D 6. C 7. B 8. A 9. C 10. E 11. A 12. B 13. C 14. D 15. A 16. B 424

425 16. BÖLÜM PROBLEMLER ALT ÖĞRENME ALANLARI Denklem Kurma Problemleri Kesir Problemleri İşçi - Havuz Problemleri Yaş Problemleri Sürat Problemleri Karışım Problemleri Yüzde - Kâr - Zarar - Faiz Problemleri

426 .

427 16 BÖLÜM PROBLEMLER KAVRAMA TESTİ 01 Denklem Kurma Problemleri Hazine Denklem kurma problemlerinde, "Hangi sayının iki katının 3 eksiği, aynı sayının 6 fazlasına eşittir." türündeki soruları matematiksel ifade ile yazabiliriz. Problemlerde bir veya birkaç değişken olabilir. Burada bir değişken vardır. Bulmak istediğimiz sayıya x dersek, 2 katı 2x 1 4. Bir yolcu, parasının yarısını benzine, sini yemeğe veriyor. Kalan parasının yarısını kaybediyor ve 12 geriye 50 lirası kaldığını farkediyor. Buna göre, yolcunun parasının tamamı kaç liradır? A) 360 B) 240 C) 220 D) 180 E) eksiği 2x 3 Aynı sayının (x in) 6 fazlası x + 6 Buna göre istenen denklem; 2x 3 = x + 6 dır. Sonuç x = 9 dur. 1. Hangi sayının 6 fazlasının 3 te biri 6 eder? A) 12 B) 16 C) 18 D) 20 E) Bakır bir telin ucundan 5 te biri kesilirse, telin orta noktası 5 cm kayıyor. Buna göre, bakır telin kesilmeden önceki uzunluğu kaç cm dir? A) 35 B) 40 C) 45 D) 50 E) Yarısının dörtte birinin 4 fazlası, aynı sayının dörtte birine eşit olan sayı kaçtır? A) 16 B) 24 C) 32 D) 36 E) Bir pastanedeki pastalar kutulara 2 şerli konulursa 6 pasta açıkta kalıyor. Eğer 3 erli kutulara konulursa 2 kutu boş kalıyor. Buna göre, pastaların toplam sayısı kaçtır? A) 12 B) 15 C) 24 D) 30 E) Bir miktar ceviz eşit olarak 7 kişi arasında paylaştırılmak isteniyor. Eğer 4 kişi arasında paylaştırılsaydı, kişi başına 9 ceviz daha fazla verilebilecekti. Buna göre, toplam kaç ceviz vardır? A) 72 B) 77 C) 78 D) 84 E) And içmek için sırada bekleyen bir sınıfın öğrencilerinden Ceren önden 16. ve Dinç sondan 20. dir. Dinç, Ceren'den daha önde ve aralarında 6 kişi olduğuna göre, bu sınıfta sırada bekleyen kaç öğrenci vardır? A) 26 B) 27 C) 28 D) 29 E)

428 16. BÖLÜM PROBLEMLER Denklem Kurma Problemleri KAVRAMA TESTİ 01 Hazine İki bilinmeyenli problemlerde ise denklemler kurularak matematiksel model hazırlanır ve sorularda istenene göre denklemler çözülür. Örneğin; "Bir öğrenci 2 tost ve 1 kolaya 3,50 lira ödemiş, başka bir seferde 3 tost ve 2 kolaya 5,75 lira ödemişse, bir tost ve bir kolanın toplam fiyatı kaç liradır" sorusunu matematiksel dile çeviririz. tost t TL soruluk bir deneme sınavında her doğru yanıt için 5 puan (kazanılmakta) ve her 3 yanlış yanıt için 1 puan kaybedilmektedir. Bu sınava girip tüm soruları yanıtlayan bir öğrenci, sınav sonucunda 236 puan almıştır. Buna göre, bu öğrencinin doğru yanıtladığı soru sayısı ile yanlış yanıtladığı soru sayısı arasındaki fark kaçtır? A) 48 B) 40 C) 36 D) 24 E) 12 kola k TL 2t + k = 3,50... (I) 3t + 2k = 5,75... (II) I. denklemi ( 1) ile çarpıp, II. denklem ile toplarsak bizden istenen (t + k) yı buluruz. 2t k = 3,50 + 3t + 2k = 5,75 t + k = 2,25 lira 11. İki farklı mumdan biri 3 saatte, diğeri 6 saatte eriyip tükenmektedir. İki mumu aynı anda yaktıktan tam 1 saat sonra boyları birbirine eşit oluyor. Buna göre, mumların yanmadan önceki boylarının oranı kaçtır? A) 4 B) 3 C) 5 D) 3 E) Bir mağaza yaptığı kampanyada 4 pantolon ve 3 ceketi 290 liraya, 3 pantolon ve 4 ceketi 270 liraya satıyor. Buna göre, pantolonun fiyatı, ceketin fiyatından kaç lira fazladır? A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) Hakan bir kitabı her gün bir önceki gün okuduğunun iki katı kadar okuyarak 4 günde bitirmiştir. Bu kitap 180 sayfa olduğuna göre, Hakan üçüncü gün kitabın kaç sayfasını okumuştur? A) 48 B) 52 C) 56 D) 60 E) Plastik bir sürahinin ağırlığı su ile tamamen dolu iken 145 gramdır. Suyun yarısı boşaltılırsa, ağırlığı 95 gram oluyor. 13. Üç kardeş 110 TL yi paylaşıyor. Bu paylaşımda birinci kardeş ikinciden 3 TL, ikinci üçüncüden 5 TL az para alıyor. Buna göre, sürahinin ağırlığı kaç gramdır? Buna göre, en az para alan kaç TL almıştır? A) 45 B) 40 C) 35 D) 30 E) 25 A) 31 B) 33 C) 35 D) 38 E) A 2. C 3. D 4. B 5. D 6. D 7. C 8. E 9. A 10. C 11. E 12. A 13. B 428

429 16 BÖLÜM PROBLEMLER PEKİŞTİRME TESTİ 01 Denklem Kurma Problemleri 1. Hangi sayının iki katı ile yarısı arasındaki farkın yarısı 36 ya eşittir? A) 42 B) 48 C) 52 D) 56 E) Bir müşteri, manavdan cebindeki parasıyla 8 kilo çilek ve 12 kilo muz alabiliyor veya parasıyla 32 kilo çilek alabiliyor. Buna göre, müşteri cebindeki parasıyla en çok kaç kilo muz alabilir? A) 14 B) 15 C) 16 D) 18 E) Farkları 34 olan iki sayıdan küçük olan sayı,büyük sayının dörtte birinden 2 fazladır. Buna göre, küçük sayı kaçtır? A) 9 B) 12 C) 14 D) 16 E) Bayramda harçlık toplayan iki kardeşten, küçük kardeşin parası büyük kardeşin parasının 2 katına eşittir. Eğer, küçük kardeş, büyük kardeşine 22 lira verirse paraları eşit oluyor. Buna göre, küçük kardeşin en başta kaç lirası vardır? A) 36 B) 40 C) 44 D) 80 E) Üç sayının toplamı 135 tir. Üç sayıdan ikincisi, birinci sayının yarısı ve üçüncü sayı ise birinci sayının iki katının 9 fazlasına eşit olduğuna göre, en büyük sayı kaçtır? A) 61 B) 63 C) 72 D) 78 E) Bir kişinin cebindeki tüm parasının 3 lira eksiğinin üçte biri, parasının 14 lira fazlasının dörtte birine eşit olduğuna göre, bu kişinin tüm parası kaç liradır? A) 46 B) 48 C) 52 D) 54 E) Kasaba giden bir müşteri 2 kilo beyaz et ve bir kilo kırmızı et için 56 lira öderken, 3 kilo beyaz et ve 2 kilo kırmızı et için 94 lira ödüyor. Buna göre, beyaz etin kilosu, kırmızı etin kilosundan kaç lira eksiktir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 8. Bir adam elindeki tüm parasıyla 9 gül alırsa 8 lirası elinde kalıyor, eğer 8 gül alırsa 13 lirası elinde kalıyor. Bu adamın elindeki tüm para kaç liradır? A) 40 B) 43 C) 48 D) 53 E)

430 16. BÖLÜM PROBLEMLER Denklem Kurma Problemleri PEKİŞTİRME TESTİ Bir anasınıfındaki çocuklara 80 tane ceviz dağıtılmıştır. Toplam 12 çocuktan bazıları 6 tane ceviz, bazıları 8 tane ceviz almıştır. Buna göre, kaç çocuk 6 tane ceviz almıştır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) Demir bir çubuğun 8 de biri başından kesilirse, çubuğun orta noktası 6 cm kayıyor. Buna göre, demir çubuğun tümü kaç cm dir? A) 64 B) 72 C) 80 D) 88 E) Bir miras 4 kişi arasında eşit paylaşılacakken, 2 kişi daha mirasa ortak çıkıyor. Fakat bu durumda kişi başına düşen para 3 bin lira azalıyor. Buna göre, tüm miras kaç bin liradır? A) 24 B) 36 C) 48 D) 60 E) Bir süt şişesi tamamen dolu iken ağırlığı 120 gramdır. Şişedeki sütün dörtte üçü boşaltıldığında, ağırlığı 45 grama düşmektedir. Buna göre, boş süt şişesinin ağırlığı kaç gramdır? A) 15 B) 18 C) 20 D) 25 E) Bir öğrenci parasının dörtte biri ile kırtasiye ihtiyaçlarını, üçte biri ile gömleğini, kalan parasının beşte biri ile yiyeceğini alıyor ve geriye 24 lirası kalıyor. Bu öğrencinin en başta kaç lirası vardır? A) 60 B) 62 C) 64 D) 70 E) Kantin sırasında bekleyen bir öğrenci baştan ve sondan yedinci, arkadaşı ise sondan dördüncüdür. Buna göre, arkadaşı baştan kaçıncıdır? A) Dördüncü B) Altıncı C) Dokuzuncu D) Onuncu E) Onbirinci 16. Bir yükseklikten boşluğa bırakılan tenis topu yere 12. Farklı boylarda olan iki mumdan biri 2 saatte, diğeri 5 saatte tamamen eriyor. İki mum aynı anda yakıldıktan tam 1 saat sonra boyları birbirine eşit oluyor. her düştüğünde bir önceki yüksekliğinin 3 4 ü kadar yükseliyor. Bu topun, iki defa yere vurup yükseldiğinde 108 cm yükseldiği gözleniyor. Buna göre, mumların yanmadan önceki boyları oranı kaçtır? Buna göre, top kaç metre yükseklikten bırakılmıştır? A) 3 2 B) 5 3 C) 6 5 D) 8 5 E) 8 7 A) 208 B) 204 C) 196 D) 192 E) B 2. C 3. E 4. A 5. C 6. E 7. D 8. D 9. E 10. B 11. E 12. D 13. E 14. C 15. D 16. D 430

431 16 BÖLÜM PROBLEMLER ÖDEV TESTİ 01 Denklem Kurma Problemleri 1. Hangi sayının 4 fazlasının karesi, aynı sayının karesinden 64 fazladır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 5. Bir kitapçıda satılan 3 matematik ve 2 türkçe kitabının fiyatı 39 lira iken 2 matematik ve 3 türkçe kitabının fiyatı 36 liradır. Buna göre, matematik kitabının fiyatı, türkçe kitabının fiyatından kaç lira fazladır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 2. Bir konser için biletlerini bir ay önceden alanlar 15 lira, daha sonra satın alanlar 20 lira ödemiştir. Satılan toplam bilet sayısı 1800 ve elde edilen tutar 30 bin lira olduğuna göre, bir ay önceden biletini alan kaç kişi vardır? A) 600 B) 800 C) 900 D) 1200 E) Bir gösteri için sahneye çıkan dans grubu 4 adım ileri ve 2 adım geri gidiyor. Bu dans grubu 101 adım sonucunda ileri doğru kaç adım ilerlemiş olur? A) 32 B) 33 C) 34 D) 35 E) Bir öğrenci okul merdivenlerini 3 er 3 er çıkıp, 4 er 4 er atlayarak iniyor. İnerken attığı adım sayısı, çıkarken attığı adım sayısından 4 eksik olduğuna göre, bu okulun merdiven basamaklarının sayısı kaçtır? A) 72 B) 60 C) 48 D) 36 E) Bir öğrenci, girdiği bir sınavda 90 soruyu yanıtlamıştır. Bu sınavda her doğru yanıt için 3 puan kazanılmakta ve her 3 yanlış yanıt için 1 puan kaybedilmektedir. Öğrenci, sınav sonucunda 190 puan kazandığına göre, kaç soruyu doğru olarak yanıtlamıştır? A) 53 B) 56 C) 59 D) 63 E) Bir araç gideceği yolun önce üçte ikisini, sonra dörtte birini gidiyor. Geriye ise 12 km yolu kalıyor. Buna göre, yolun tamamı kaç km dir? A) 156 B) 144 C) 132 D) 120 E) Ali parasının üçte birini Ayşe'ye verirse paraları eşit oluyor. Başlangıçta Ayşe'nin parası Ali'nin parasının kaçta kaçıdır? A) 1 B) 1 C) 2 D) 1 E)

432 16. BÖLÜM PROBLEMLER Denklem Kurma Problemleri ÖDEV TESTİ Bir müşteri x şişe sütü tanesini y liradan satın almıştır. Aynı parayla çifti z lira olan yoğurtlardan kaç tane alır? A) 2xy z D) 2z xy B) xy 2 z E) x 2yz C) xy z 13. Su dolu bir şişenin ağırlığı x gramdır. Şişedeki suyun üçte biri boşaltılırsa toplam ağırlık y gram oluyor. Buna göre, boş şişenin ağırlığının x ve y türünden ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 3y 2x B) 3x 2y C) 3x y D) 2x y E) 2y x tane bilye üç kardeş arasında paylaştırılıyor. Büyük olan kardeş, ortancanın 3 katı ve küçük olan kardeş ortancadan 9 fazla bilye almıştır. Buna göre, küçük kardeşin aldığı bilye sayısı kaçtır? A) 27 B) 21 C) 18 D) 12 E) Bir basket topu yere her düştüğünde bir önceki yüksekliğinin üçte biri kadar yükselebiliyor. Dördüncü defa yere düştüğünde 12 cm yükselebildiğine göre, basket topu kaç metre yükseklikten bırakılmıştır? A) 924 B) 936 C) 948 D) 960 E) Bir çubuğun ucundan, uzunluğunun üçte biri kesiliyor. Bu durumda çubuğun orta noktası 12 cm kayıyor. Bu çubuğun başlangıçtaki uzunluğu kaç cm dir? A) 84 B) 72 C) 68 D) 64 E) Bir sınıfta öğrenciler 3 er 3 er otururlarsa 5 öğrenci ayakta kalıyor. Eğer 5 er 5 er otururlarsa 3 sıra boş kalıyor. Bu sınıfta kaç öğrenci vardır? A) 10 B) 15 C) 20 D) 30 E) Tiyatroya giriş için sırada bekleyen bir kişi baştan a. sırada ve sondan (a + 4). sıradadır. Bu sırada toplam 23 kişi olduğuna göre, bu kişi sondan kaçıncı sıradadır? 16. Her gün bir önceki okuduğunun 4 sayfa fazlasını okuyarak 300 sayfalık bir kitabı, ilk gün 12 sayfa okuyarak başlayan bir kişi, kaç günde bitirebilir? A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) D 2. D 3. C 4. B 5. A 6. D 7. E 8. B 9. A 10. C 11. B 12. C 13. A 14. E 15. E 16. B 432

433 16 BÖLÜM PROBLEMLER KAVRAMA TESTİ 01 Kesir Problemleri Hazine Kesir problemlerinde, tıpkı denklem kurma problemlerinde olduğu gibi sözel olarak verilen problemi, matematiksel ifadeye çevirip problemi çözeriz. Matematiksel dile çevirmek, soruyu doğru anlamak ve uygun 4. Bir satıcı, bir top kumaşın önce ini satıyor. ünü sonra kalanın Elinde 24 metre kumaş kaldığına göre, bir top kumaş kaç metredir? A) 96 B) 90 C) 84 D) 81 E) 75 denklemi kurmak çok önemlidir. Örneğin, " 1 2 si ile 2 3 ünün toplamı 140 olan sayı kaçtır?" tipindeki sorularda sayıya x deriz ve matematiksel dile çeviririz: x 2x + = Bir sayının 5 6 sının iki katı 170 olduğuna göre, bu sayı kaçtır? 5. Bir pasta yapımı için kullanılacak unun 3 4 ü bir kaba A) 35 B) 70 C) 96 D) 102 E) 114 konuyor. Konulan unun 1 5 kullanılıyor. i ise krema yapımında 2. Değeri 2 olan bir kesrin pay ve paydasından 5 çıkarılırsa, değeri 1 5 oluyor. 5 Buna göre, başlangıçtaki kesrin pay ve paydasının toplamı kaçtır? Krema yapımında kullanılan un 300 gram olduğuna göre, başlangıçta pasta yapımı için kullanılan un miktarı kaç gramdır? A) 2400 B) 2000 C) 1600 D) 1200 E) 1000 A) 14 B) 21 C) 28 D) 35 E) Bir çocuk parasının önce 3 ünü, sonra kalan parasının 1 ünü harcıyor. 4 3 Geriye 6 lirası kaldığına göre, başlangıçtaki parası kaç liradır? A) 24 B) 32 C) 36 D) 40 E) Bir sınıftaki erkek öğrencilerin sayısı, sınıftaki öğrencilerin sayısının i olduğuna göre, bu sınıftaki kız öğrencilerin sayısının erkek öğrenci sayısına oranı kaçtır? A) 5 13 B) 5 18 C) 6 13 D) 13 6 E)

434 16. BÖLÜM PROBLEMLER Kesir Problemleri KAVRAMA TESTİ Bir su şişesinin 2 3 ü dolu iken ağırlığı 10,5 kg, 1 5 i 11. Bir kırtasiyedeki kalemlerin 1 4 ünün 5 7 dolu iken ağırlığı 3,5 kg dır. Buna göre, şişenin boş ağırlığı kaç kg dır? A) 2,25 B) 2 C) 1,5 D) 1 E) 0,5 si satılınca geriye 92 kalem kaldığına göre, kırtasiyede başlangıçta kaç kalem vardı? A) 102 B) 112 C) 140 D) 168 E) Bir kabın 7 18 i su ile doludur. Bu kaba 20 cm3 su ilave edilirse, kabın hacminin yarısı taşıyor. Buna göre, bu kabın hacmi kaç cm 3 tür? A) 36 B) 32 C) 28 D) 20 E) Bir deneme sınavını çözen öğrenci soruların 3 4 ünü doğru yaptığını, kalanların ise yarısını yanlış yaptığını öğreniyor. Bu öğrencinin yanlış yaptığı soru sayısı 12 olduğuna göre, sınavdaki toplam soru sayısı kaçtır? A) 120 B) 110 C) 100 D) 96 E) Kırtasiyeye giren bir kişi, parasının önce 35 lirasını sonra da kalan parasının 1 9 unu markette harcıyor. 13. Bir kabın 1 3 ü su ile doludur. Bu kaba 20 cm3 daha Geriye 56 lirası kalan bu kişinin, başlangıçtaki parası kaç liradır? A) 98 B) 96 C) 95 D) 94 E) 92 su ilave edilirse kabın 3 i boş kalıyor. 5 Buna göre, kabın alabileceği toplam su hacmi kaç cm 3 tür? A) 120 B) 150 C) 180 D) 240 E) Bir araç gideceği yolun önce 4 13 ünü sonra kalan yolun litre su alma kapasitesine sahip bir kabın 3 5 i su ünü daha sonra da geriye kalan yolun yarısını gitmiştir. ile doludur. Buna göre, aracın gittiği yolun kalan yola oranı kaçtır? A) 9 4 B) 8 5 C) 10 3 D) 11 2 E) 7 6 Bu kaptan kaç lt su dökülürse kabın boş kısmı ile dolu kısmı eşit olur? A) 8 B) 10 C) 12 D) 16 E) D 2. C 3. C 4. B 5. B 6. A 7. E 8. E 9. A 10. C 11. B 12. D 13. E 14. A 434

435 16 BÖLÜM PROBLEMLER PEKİŞTİRME TESTİ 01 Kesir Problemleri 1. Hangi sayının 1 3 ü ile 3 4 ünün toplamı, aynı sa- 5. Bir çocuk parasının önce 2 3 ünü daha sonra kalan yının 6 fazlasına eşittir? A) 96 B) 84 C) 72 D) 60 E) 48 parasının yarısını harcıyor ve geriye 4 lirası kaldığını fark ediyor. Buna göre, çocuğun başlangıçtaki parası kaç liradır? A) 36 B) 33 C) 30 D) 27 E) Bir adam arsasının 1 4 üne çiçek tohumları, 1 2 sine sebze tohumları ve kalanın 1 3 üne ise buğday ekiyor. 6. Bir öğrenci okul yolunun önce 4 7 sini sonra da kalan Geriye 6 dönüm arazi kaldığına göre, arsanın tamamı kaç dönümdür? A) 60 B) 48 C) 44 D) 40 E) 36 yolun 2 unu yürüyor. 9 Geriye 100 m yol kaldığına göre, yol kaç metredir? A) 280 B) 300 C) 320 D) 360 E) Değeri 5 olan bir kesrin payından 6 ve paydasından 18 çıkarılırsa, kesrin değeri 2 3 oluyor. 9 Buna göre, başlangıçtaki kesrin paydası ile payı arasındaki fark kaçtır? A) 24 B) 21 C) 20 D) 16 E) Bir konferanstaki uzmanların sayısı, konferanstaki uzman yardımcılarının sayısının 5 9 udur. Bu konferansta sadece uzman ve uzman yardımcıları olduğuna göre, uzman yardımcılarının sayısının konferanstaki tüm kişilere oranı kaçtır? A) 9 5 B) 9 14 C) 14 9 D) 4 5 E) Kantine giden bir öğrenci parasının 1 3 üne yemek aldıktan sonra kalan parasının 1 4 ünü arkadaşına 8. Bir adam parasının önce 24 lirasını sonra da kalan borç veriyor. Arkadaşına verdiği borç para 3 lira olduğuna göre, öğrencinin toplam parası kaç liradır? A) 21 B) 20 C) 18 D) 15 E) 12 parasının 3 ini harcıyor. 5 Geriye kalan parası 24 lira olduğuna göre, bu kişinin başlangıçtaki parası kaç liradır? A) 124 B) 114 C) 104 D) 94 E)

436 16. BÖLÜM PROBLEMLER Kesir Problemleri PEKİŞTİRME TESTİ x y kesrinin paydası a kadar azaltılırsa kesrin değerinin değişmemesi için payı ne kadar azaltılmalıdır? A) a B) ay C) xy D) ax y E) y ax 13. Ali'nin cebindeki para, Veli'nin cebindeki parasının 1 6 sı kadardı. Veli, Ahmet'e 20 lira verirse Veli'nin parası Ahmet'in parasının iki katı oluyor. Buna göre, başlangıçta Veli'nin parası kaç liradır? A) 90 B) 80 C) 72 D) 64 E) Bir adam markete olan borcunun 3 4 ünü ödemiştir. Market sahibi ise bu paranın 5 sını toptancıya vermiştir. 6 Toptancıya verilen para 225 lira olduğuna göre, başlangıçta adamın markete ödediği para kaç liradır? 14. Payı paydasından 4 eksik olan bir kesrin paydasına 6 eklendiğinde kesrin değeri 1 3 oluyor. Buna göre, ilk kesrin paydası kaçtır? A) 5 B) 6 C) 9 D) 11 E) 14 A) 360 B) 330 C) 300 D) 270 E) ü dolu olan bir su kazanına 50 litre su daha eklenirse depo hacminin yarısı kadar su taşıyor. Bu deponun tamamı kaç litredir? A) 75 B) 70 C) 60 D) 50 E) Bir kiracı parasının ini kiraya, kira parasının ünü çocuğuna harçlık olarak veriyor. Çocuğunun aylık harçlığı 150 lira olduğuna göre, bu kiracının kirayı ve harçlığı verdikten sonra elinde kalan parası kaç liradır? A) 1500 B) 1100 C) 1050 D) 900 E) Bir su deposunun hacmi 124 litredir ve bu su deposunun 3 ü su ile doludur. 4 Bu depodan kaç lt su alınırsa deponun boş hacmi ile dolu hacmi eşit olur? A) 24 B) 25 C) 28 D) 31 E) i su ile dolu olan bir kabın ağırlığı 41 kg dır. 1 ü dolu iken kabın ağırlığı 20 kg olduğuna 4 göre, kabın ağırlığı kaç kg dır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 1. C 2. E 3. A 4. C 5. E 6. B 7. B 8. E 9. D 10. D 11. E 12. D 13. A 14. C 15. E 16. C 436

437 16 BÖLÜM PROBLEMLER ÖDEV TESTİ 01 Kesir Problemleri 1. Oyun oynayan iki çocuktan birincisinin 64 misketi, ikincinin ise 28 misketi vardır. Birinci çocuk, misketlerinin kaçta kaçını ikinci çocuğa verirse misketlerinin sayıları eşit olur? A) 3 16 B) 5 16 C) 9 16 D) 7 32 E) Bir adam arsasının önce 1 4 ünü sonra kalanın 1 3 ünü satıyor. Geriye ise 30 dönüm arazisi kalıyor. Buna göre, ilk olarak arazisinden kaç dönüm satmıştır? A) 60 B) 40 C) 30 D) 15 E) Bir sayının 3 fazlasının 2 katının 1 7 si, aynı sa- 6. Bir sınıftaki kız öğrencilerin sayısının 1 2 sinin yının 2 katının 3 fazlasının 1 4 üne eşit olduğuna göre, bu sayı kaçtır? A) 1 2 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8 erkek öğrencilerin sayısının 1 5 ine oranı 9 5 olduğuna göre, bu sınıfta en az kaç kız öğrenci vardır? A) 16 B) 18 C) 24 D) 28 E) Ayşe, parasının 1 4 ü ile tanesi 3 liradan bir miktar 3. Bir su bidonunun yarısı dolu iken ağırlığı 11 kg, 3 4 ü dolu iken ağırlığı 15 kg dır. Buna göre, bidonun boş ağırlığı kaç kg dır? A) 1 B) 1,5 C) 2 D) 3 E) 3,5 defter, sonra kalan parasının 2 ü ile bir miktar kitap 3 aldığında geriye 12 lirası kalıyor. Buna göre, Ayşe kaç tane defter almıştır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 4. Bir okulun kütüphanesindeki kitapların 3 5 inin 3 8 i sayıldığında geriye 620 kitap kalıyorsa, kütüphanedeki toplam kitap sayısı kaçtır? A) 730 B) 800 C) 810 D) 830 E) Bir araç gideceği yolun önce 5 8 ini sonra da 1 5 ini gidiyor. Geriye 35 km yol kaldığına göre, yolun tamamı kaç kilometredir? A) 210 B) 200 C) 180 D) 160 E)

438 16. BÖLÜM PROBLEMLER Kesir Problemleri ÖDEV TESTİ Su dolu bir şişenin ağırlığı 120 gram iken şişenin içindeki suyun 2 i boşaltıldığında ağırlığı 80 gram 5 geliyor. Buna göre, boş şişenin ağırlığı kaç gramdır? 13. Bir top kumaşın önce 1 5 i sonra da 2 3 ü satılıyor. Geriye 24 metre kumaş kaldığına göre, kumaşın tamamı kaç metredir? A) 150 B) 160 C) 170 D) 175 E) 180 A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) Ayşe'nin parasının 1 3 ü, Ali'nin parasının 1 5 ine eşittir. 10. Değeri 3 4 olan bir kesrin payından 4 çıkarılır, paydasına 4 eklenirse değeri 5 9 oluyor. Ali parasının kaçta kaçını Ayşe'ye verirse ikisinin de parası eşit olur? Buna göre, başlangıçtaki kesrin payı kaçtır? A) 1 3 B) 1 4 C) 1 5 D) 1 6 E) 1 9 A) 21 B) 24 C) 27 D) 30 E) İrem, parasının önce 36 lirasına kazak sonra da kalan parasının 2 5 ine yemek alıyor ve geriye 12 lirası litrelik kapasiteli su kazanının 2 3 ü doludur. Bu suyun kaç litresi boşaltılırsa boş kısım dolu kısmın 2 katı olur? A) 500 B) 300 C) 250 D) 200 E) 150 kalıyor. Buna göre, İrem yemek için kaç lira ödemiştir? A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) Elektronik bir eşya satın alan bir müşteriye ödeme konusunda 2 seçenek sunuluyor. İlk seçenek 8 taksit 12. Bir öğrenci girdiği 80 soruluk bir sınavda, yaptığı her doğru cevap için 20 puan kazanmakta, her yanlış cevap için 10 puan kaybetmektedir. Bu öğrenci toplamda 850 puan aldığına göre, kaç iken diğer seçenek 50 lira fazla ödeyerek 6 taksit yapılmasıdır. Buna göre, müşterinin satın aldığı elektronik eşya kaç liradır? soruyu yanlış olarak cevaplamıştır? A) 900 B) 1050 C) 1150 A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30 D) 1200 E) E 2. A 3. D 4. B 5. D 6. B 7. C 8. B 9. C 10. B 11. C 12. D 13. E 14. C 15. B 16. D 438

439 16 BÖLÜM PROBLEMLER KAVRAMA TESTİ 01 İşçi - Havuz Problemleri Hazine Bir işçi bir işi a günde bitiriyorsa, 1 günde işin 1 a sını, n günde işin n a sını bitirir. 3. Bir işçinin 48 günde bitirebildiği bir iş için aynı güce sahip 3 işçi daha ilave edilirse, aynı işi kaç günde bitirebilirler? A) 8 B) 12 C) 20 D) 24 E) 36 Örneğin, levent bir işi 5 günde bitiriyorsa 1 günde işin 1 5 ini, 3 günde işin 3 5 ini bitirir. Bir işçi bir işi a günde, başka bir işçi aynı işi b günde bitiriyorsa, İkisi birlikte 1 günde işin sini, a b 1 1 n günde işin a + b n sini bitirir. İkisi birikte işin tamamını t günde bitiriyorsa, 4. Ayşe ve Dilek birlikte bir işi 20 günde yaparken, Ayşe aynı işi tek başına 30 günde yapıyor. Buna göre, Dilek bu işi kaç günde yapabilir? A) 32 B) 35 C) 40 D) 45 E) t = 1 denkleminden t bulunur. a b Bir işçi bir işin a b sini t günde bitiriyorsa, işin tama- b mını t günde bitirir. a Örneğin, işin 3 ünü 15 günde bitiren bir işçi işin 4 tamamını 15 4 = 60 günde bitirir Boyacılık yapan Ömer Usta bir duvarı 2 saatte, çırağı ise 4 saatte boyayabiliyor. Bu duvarı, Ömer Usta ile çırağı birlikte kaç saatte boyar? 5. Bir işi I. işçi 6 günde, II. işçi 10 günde bitirmektedir. İkisi birlikte 3 gün çalıştıktan sonra I. işçi hastalanıyor ve işe gelemiyor. Buna göre, kalan işi II. işçi tek başına kaç günde bitirir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 A) 1 2 B) 1 C) 3 4 D) 4 3 E) Bir işi Can 8 günde, Burak 6 günde tamamlamaktadır. İkisi birlikte bu işin yarısını kaç günde tamamlar? A) 12 7 B) 7 12 C) 6 7 D) 7 6 E) Ahmet bir işin ünü 6 günde, İklim aynı işin ini 6 günde tamamlayabildiğine göre, Ahmet ve İklim birlikte aynı işi kaç günde tamamlar? A) 16 3 B) 18 5 C) 21 5 D) 25 6 E)

440 16. BÖLÜM PROBLEMLER İşçi - Havuz Problemleri KAVRAMA TESTİ Bir işi 4 usta 6 saatte ve 6 çırak 8 saatte bitirmektedir. Aynı işi, 2 usta ve 2 çırak birlikte kaç saatte bitirirler? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) Boş bir havuzu iki musluktan ilki tek başına 6 saatte, ikincisi ise 8 saatte doldurabiliyor. İlk musluk tek başına açıldıktan 4 saat sonra ikinci musluk da açılırsa, boş havuz toplam kaç saatte dolar? A) 14 3 B) 16 3 C) 21 4 D) 27 5 E) Bir iş için kullanılan A makinesi 32 gün ve B makinesi 4 gün tam kapasite çalışırsa işin 3 4 ü bitiyor. A makinesi 2 gün ve B makinesi 3 gün tam kapasite çalışırsa işin 7 32 si bitiyor. Buna göre, A ve B makinesi birlikte işin tamamını kaç günde bitirebilir? A) 12,8 B) 13 C) 13,2 D) 13,5 E) 14 Hazine Havuz problemlerinde de işçi problemlerinde kullandığımız mantığı kullanacağız. 11. Boş bir havuzu I. ve II. musluk birlikte 8 3 ve III. musluk birlikte 24 5 saatte, I. ve III. musluk birlikte 3 saatte doldurmaktadır. saatte, II. Buna göre, boş havuzu II. musluk tek başına kaç saatte doldurur? A) 12 B) 10 C) 9 D) 8 E) 6 Örneğin, bir musluk boş bir havuzu 10 saatte dolduruyorsa 1 saatte havuzun 1 10 unu, n saatte n 10 unu doldurur. Bir başka musluk bu havuzu 20 saatte dolduruyorsa (ya da boşaltıyorsa) ikisi birlikte 1 saatte havuzun boşaltır.) sini doldurur. (ya da sini İkisi birlikte havuzun tamamını t saatte dolduruyorsa, 12. Boş bir havuzu x, y, z muslukları tek başlarına sırasıyla a, 16, 2a saatte doldurmaktadır. Bu havuzu x, y ve z muslukları üçü birlikte 320 dakikada doldurduklarına göre, a kaçtır? A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) t = 1 ya da t = denkleminden t bulunur. 9. Boş bir havuzu I. musluk tek başına 4 saatte, II. musluk tek başına 12 saatte doldurabiliyor. 13. A musluğunun tek başına boş bir havuzu doldurma hızı, B musluğunun doldurma hızının 8 5 katıdır. Havuz boşken, iki musluk aynı anda çalışırsa Buna göre, A musluğunun 40 saatte yaptığı işi B toplam kaç saatte dolar? A) 2 B) 5 C) 3 D) 10 E) 7 musluğu kaç saatte yapar? A) 72 B) 64 C) 56 D) 48 E) D 2. A 3. B 4. E 5. A 6. E 7. C C 10. E 11. D 12. D 13. B 440

441 16 BÖLÜM PROBLEMLER PEKİŞTİRME TESTİ 01 İşçi - Havuz Problemleri 1. Ceylan ve Ceren bir işi sırasıyla a ve b günde bitirmektedir. İkisi beraber bu işi kaç günde bitirir? A) a + b B) a b C) a + b a b a + b a b D) a b E) a b a + b a b 5. Bir kilimi 2 usta ve 6 çırak 12 günde, 6 usta ve 2 çırak 6 günde dokuyabildiklerine göre, bu kilimi 8 usta ve 8 çırak kaç günde dokuyabilir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 6. Bir işi 12 işçi a saatte bitirebiliyor. 2. Bir elbiseyi terzi 2 günde, çırağı ise 3 günde dikebilmektedir. Aynı işi (a + 8) işçi 4 saatte bitirebildiğine göre, a kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8 Bu elbiseyi terzi ile çırağı beraber kaç günde diker? A) 3 2 B) 2 3 C) 5 3 D) 5 6 E) Bir işi Ali a günde, Ahmet 3a günde bitirmektedir. İkisi birlikte bu işi 15 günde bitirdiklerine göre, a kaçtır? A) 12 B) 18 C) 20 D) 24 E) Bir işi Ayşe ve Burak birlikte 24 saatte, Ayşe ve 5 Can birlikte 24 saatte, Burak ve Can birlikte 4 saat- 7 te bitiriyor. Buna göre, Can bu işi tek başına kaç saatte bitirir? A) 5 B) 28 5 C) 6 D) 35 6 E) Bir işi Berk, Gizem'in bitirme süresinin 2 katı sürede bitiriyor. Berk ve Gizem birlikte aynı işi 16 günde bitirebildiklerine göre, Gizem bu işi tek başına kaç günde bitirir? A) 15 B) 18 C) 20 D) 24 E) Boş bir havuzu A, B ve C muslukları sırasıyla 6, 9 ve 18 saatte doldurmaktadır. Buna göre, boş havuzu üçü birlikte toplam kaç saatte doldurur? A) 5 B) 3 C) 7 D) 4 E)

442 16. BÖLÜM PROBLEMLER İşçi - Havuz Problemleri PEKİŞTİRME TESTİ Ayşegül'ün bir işi bitirmek için harcadığı süre, Ali'nin harcadığı süreden 6 gün fazladır. İkisi birlikte çalışarak bu işi 4 günde bitirebildiklerine göre, Ayşegül tek başına bu işi kaç günde bitirir? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) Eşit güçteki iki işçi birlikte bir işin yarısını 8 saatte tamamlamaktadır. Eğer işçilerden biri, diğerine 8 saat sonra katılırsa tüm iş kaç saatte bitmiş olur? A) 12 B) 16 C) 18 D) 20 E) Ali'nin çalışma hızı, Veli'nin çalışma hızının 3 8 i kadardır. Buna göre, Veli'nin 27 saatte bitirdiği bir işi, Ali kaç saatte bitirir? A) 72 B) 54 C) 24 D) 18 E) İki musluktan ilki boş bir havuzu tek başına 6 saatte, ikincisi ise 9 saatte doldurmaktadır. İkisi birlikte 5 2 saat açık bırakılırsa havuzun kaçta kaçı boş kalır? A) B) 8 25 C) 8 15 D) 5 12 E) Eş güce sahip 4 makine birlikte çalıştırıldığında bir işi 4 günde bitirmektedir. Buna göre, makineler 2 şer gün arayla işe başlayarak birlikte çalıştırılırsa, işin bitmesi kaç gün sürer? A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) Boş bir havuzu I. musluk tek başına 8 saatte, II: musluk tek başına 16 saatte dolduruyorken, havuzun dibinde bulunan III. musluk ise havuzu 24 saatte boşaltmaktadır. Buna göre, I., II. ve III. musluklar birlikte açıldığında havuz kaç saatte dolar? A) 40 3 B) 44 3 C) 25 4 D) 24 5 E) Boş bir havuzu dolduran iki musluktan birincisi tek başına 24 saatte doldurabiliyorken, ikincisi 18 saatte doldurmaktadır. Buna göre, birinci musluğun hızı iki katına çıkarılır, ikinci musluğun hızı yarıya düşürülürse birlikte bu havuzu kaç saatte doldururlar? A) 9 B) 10 C) 12 D) 15 E) Boş bir havuzu birinci musluk tek başına 9 saatte, ikinci musluk tek başına 8 saatte doldurmaktadır. Birinci ve ikinci musluk birlikte açılıp havuz doldurulduğunda havuzdaki suyun kaçta kaçı birinci musluk tarafından doldurulmuştur? A) 1 9 B) 5 9 C) 9 17 D) B 2. E 3. C 4. D 5. D 6. C 7. C 8. B 9. E 10. A 11. E 12. A 13. D 14. A 15. E 16. D E)

443 16 BÖLÜM PROBLEMLER ÖDEV TESTİ 01 İşçi - Havuz Problemleri 1. Eşit kapasitedeki iki makineden ilki bir işi tek başına 15 günde tamamlayabiliyorken, diğer makine tek başına aynı işi 45 günde tamamlayabiliyor. İlk makine tek başına 3 gün çalıştıktan sonra ikinci makine de çalıştırılıyor. Buna göre, iş toplam kaç günde tamamlanır? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) Eşit kapasitedeki 4 musluk boş bir havuzu birlikte 6 saatte doldurmaktadır. Buna göre, havuz boşken açılan sadece bir musluk kaç saat sonra havuzu doldurduğunda, dolu kısım boş kısmın üçte birine eşit olur? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 2. Bir işi Ayça tek başına 8 günde, aynı işi Ebru 16 günde bitirmektedir. İkisi birlikte 4 gün çalıştıktan sonra Ayça işi bırakıyor. Buna göre, geriye kalan işi Ebru kaç günde bitirir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 6. Bir havuzu X musluğu tek başına 6 saatte dolduruyorken, Y musluğu tek başına 18 saatte doldurabiliyor. Havuz boşken açılan X musluğu tek başına 1 saat boyunca havuzu doldurduktan sonra Y musluğu da açılıyor. Buna göre, havuzun yarısı toplam kaç saatte dolar? A) 3 B) 2 C) 9 D) 5 E) Bir işi Ayşin 9 günde, Mehmet 12 günde bitirmektedir. 3. Boş bir havuzu dolduran 2 musluktan birinin hızı, diğerinin hızının 3 katıdır. İkisi birlikte bu havuzu 24 saatte doldurduklarına göre, hızlı akan musluk havuzun yarısını tek başına kaç saatte doldurur? İkisi birlikte bu işin 1 9 A) 1 12 B) 5 9 C) 7 9 unu kaç günde bitirir? D) 4 7 E) 2 3 A) 48 B) 32 C) 16 D) 12 E) 8 4. Bir usta 6 günde a tane pasta, çırağı ise 9 günde a tane pasta yapabilmektedir. Buna göre, 10a tane pastayı usta ile çırağı birlikte kaç günde yaparlar? A) 30 B) 36 C) 40 D) 45 E) Şekilde verilen I. musluk havuzu tek başına 4 saatte, II: musluk tek başına 12 saatte dolduruyorken, tam ortada olan III. musluk havuzun kendi seviyesinden üstünü 12 saatte boşaltıyor. Bu muslukların üçü birlikte açılırsa havuz kaç saatte dolar? A) 4 B) 7 2 C) D) E) 3 443

444 16. BÖLÜM PROBLEMLER İşçi - Havuz Problemleri ÖDEV TESTİ Mert bir işin 3 ini 9 günde, Merve ise aynı işin 5 1 sini 6 günde yapabildiğine göre, ikisi birlikte 2 aynı işin tamamını kaç günde yapabilirler? A) 6 B) 20 3 C) 22 3 D) 7 E) Bir işi Meltem 9 günde, Alper a günde yapmaktadır. Alper işe başladıktan 1 gün sonra Meltem de katılıyor ve kalan işi 3 günde bitiriyorlar. Buna göre, a kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) Bir işi 4 öğretmen 2 öğrenci 4 günde, 2 öğretmen 4 öğrenci 8 günde tamamlayabilmektedir. Aynı işi bir öğretmen ve bir öğrenci kaç günde tamamlayabilir? 14. A musluğunun boş bir havuzu doldurma süresi, B musluğunun doldurma süresinin 2 katıdır. İkisi birlikte bu havuzun yarısını 4 saatte doldurabildiklerine göre, a kaçtır? A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 16 A) 18 B) 17 C) 16 D) 15 E) Bir işi 8 işçi günde 5 saat çalışarak 24 günde bitiriyorsa, 10 işçi günde kaç saat çalışırsa bu işin iki katını 16 günde bitirebilir? 15. Evren bir işi tek başına 6 günde, Meral ise tek başına 8 günde yapabiliyor. Evren çalışma hızını iki katına, Meral çalışma hızını 2 3 katına çıkarırsa, birlikte çalışarak bu işi A) 15 B) 12 C) 10 D) 9 E) 8 kaç günde yapabilirler? A) 12 5 B) 9 C) 6 D) E) uzmanın 4 günde tamamladığı işi, 3 uzman yardımcısı 6 günde tamamlayabiliyor. Buna göre, bir uzmanın bir günde yaptığı işin bir uzman yardımcısının bir günde yaptığı işe oranı kaçtır? 16. Boş bir havuzu A musluğu tek başına a 2 saatte, B musluğu tek başına a saatte dolduruyorken, C musluğu tek başına 3a saatte boşaltıyor. Muslukların üçü birlikte açıldığında boş havuz 9 saatte dolduğuna göre, a kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 2 D) 5 2 E) 9 4 A) 12 B) 15 C) 18 D) 21 E) E 2. A 3. C 4. B 5. E 6. A 7. D 8. D 9. B 10. C 11. B 12. E 13. C 14. D 15. A 16. E 444

445 16 BÖLÜM PROBLEMLER KAVRAMA TESTİ 01 Yaş Problemleri Hazine Yaş problemlerine ait denklemler kurulurken aşağıdaki hususlara dikkat edilmelidir. 3. Aslı'nın yaşı Emel'in yaşının 2 katından 2 fazladır. 4 yıl sonra ikisinin yaşları toplamı 49 olacağına göre, Aslı'nın şimdiki yaşı kaçtır? A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) Kişilerin yaşları daima doğal sayıdır. 2. Bugünkü (şimdiki) yaşı x olan bir kişinin; t yıl önceki yaşı x t t yıl sonraki yaşı x + t dir. 3. Bugünkü yaşları toplamı x olan n kişinin; t yıl önceki yaşları toplamı x n t t yıl sonraki yaşları toplamı x + n t dir. 4. İki kişi arasındaki yaş farkı sabittir, yıldan yıla değişmez. 5. İki kişiden biri diğerinin yaşındayken ya da biri diğerinin yaşına geldiğinde gibi durumlarda, yaşlar arasındaki farkın sabit oluşundan faydalanılır. 4. Volkan'ın 3 yıl önceki yaşı Ferhat'ın 3 yıl sonraki yaşına eşittir. Volkan ve Ferhat'ın 2 yıl sonraki yaşları toplamı 28 olacağına göre, Ferhat'ın şimdiki yaşı kaçtır? A) 9 B) 11 C) 12 D) 14 E) 15 Örneğin; Ali x, Veli y yaşında ve x > y olmak üzere, Ali, Veli'nin yaşındayken, Ali Veli x y Yaş farkı x y y b Yaş farkı y b x y = y b b = 2y x tir. 5. Beş kardeşin şimdiki yaşları toplamı 21 olduğuna göre, 5 yıl sonra bu beş kardeşin yaşları toplamı kaç olur? A) 26 B) 46 C) 48 D) 51 E) Emel 13, Nilay 17 yaşındadır. Kaç yıl sonra Emel ile Nilay'ın yaşları oranı 5 6 olur? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 2. Metin'in 17 yıl sonraki yaşı 3 yıl sonraki yaşının 2 katından 10 eksiktir. Buna göre, Metin'in bugünkü yaşı kaçtır? A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) Bir annenin yaşı, iki çocuğunun yaşları toplamının 3 katından 4 eksiktir. 3 yıl sonra annenin yaşı çocukların yaşları toplamının 2 katından 1 eksik olacağına göre, çocukların bugünkü yaşları toplamı kaçtır? A) 8 B) 9 C) 11 D) 12 E)

446 16. BÖLÜM PROBLEMLER Yaş Problemleri KAVRAMA TESTİ Nilay ile Emel'in yaşları toplamı 62 dir. Nilay 4 yıl önce, Emel 6 yıl sonra doğsaydı yaşları toplamı kaç olurdu? A) 60 B) 61 C) 62 D) 63 E) Bir babanın yaşı dört çocuğunun yaşları toplamının 2 katından 13 eksiktir. Bu dört çocuğun yaşları toplamı babanın yaşına geldiğinde babanın yaşı 40 olacaktır. Buna göre, babanın şimdiki yaşı kaçtır? A) 33 B) 35 C) 37 D) 39 E) Tanju'nun yaşı Şule'nin yaşından 10 fazladır. Şule, Tanju'nun yaşına geldiğinde ikisinin yaşları toplamı 60 olacağına göre, Tanju bugün kaç yaşındadır? A) 21 B) 23 C) 25 D) 27 E) (3x 1) yıl önce (4x + 15) yaşında olan bir kişinin şimdiki yaşı 46 olduğuna göre, x 2 yıl önceki yaşı kaçtır? A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) Bir annenin yaşı 32, kızının yaşı 8 dir. Kaç yıl sonra annenin yaşı kızının yaşının 3 katı olur? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Aslı ile annesinin bugünkü yaşları toplamı 92 dir. Aslı doğduğunda annesinin yaşı bugünkü yaşının yarısından 1 eksiktir. Buna göre, annenin bugünkü yaşı kaçtır? A) 42 B) 48 C) 50 D) 58 E) Kenan, Arzu'dan 5 yaş küçük, Aslı'dan ise 3 yaş büyüktür. Aslı, Kenan'ın bugünkü yaşına geldiğinde üçünün yaşları toplamı 101 olacağına göre, Aslı'nın bugünkü yaşı kaçtır? A) 17 B) 19 C) 21 D) 23 E) Arzu'nun yaşı Pınar'ın yaşının 2 ine eşittir. Arzu, 5 Pınar'ın şimdiki yaşına geldiğinde ikisinin yaşları toplamı 52 olacaktır. Buna göre Pınar, Arzu'dan kaç yaş büyüktür? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) Ferhat doğduğunda babası 28 yaşındaydı. Ferhat'ın şimdiki yaşının 1 sinin 1 fazlası babasının 11. Sıla x + 3, Cem x + 11 yaşındadır. Sıla, Cem'in yaşına 2 geldiğinde ikisinin yaşları toplamı 80 olmaktadır. Buna göre, Sıla'nın şimdiki yaşı kaçtır? yaşının 1 üne eşit olduğuna göre, Ferhat 4 şimdi kaç yaşındadır? A) 22 B) 23 C) 24 D) 25 E) 26 A) 18 B) 21 C) 24 D) 27 E) C 2. D 3. D 4. A 5. B 6. D 7. A 8. C 9. D 10. E 11. B 12. C 13. A 14. E 15. A 16. C 446

447 16 BÖLÜM PROBLEMLER PEKİŞTİRME TESTİ 01 Yaş Problemleri 1. Volkan ile Ferhat'ın yaşları toplamı 28 dir. 8 yıl önce Ferhat'ın yaşı, Volkan'ın yaşının 1 5 i olduğuna göre, Ferhat'ın bugünkü yaşı kaçtır? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) Yılmaz ile Ünal'ın yaşları toplamı 30 dur. Yılmaz, Ünal'ın yaşındayken yaşları toplamı 18 olduğuna göre, Yılmaz'ın bugünkü yaşı kaçtır? A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) Ali'nin şimdiki yaşı 28 dir. 6 yıl sonra Ali'nin yaşı Veli'nin yaşının 2 katından 2 fazla olacaktır. Buna göre, Veli'nin bugünkü yaşı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) Bir babanın yaşı 45, 5 çocuğunun yaşları toplamı 18 dir. Kaç yıl sonra çocukların yaşları toplamı babanın yaşının 2 katına eşit olur? A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) Aslı'nın 7 yıl önceki yaşının 2 katı, 8 yıl sonraki yaşına eşittir. Buna göre, Aslı'nın bugünkü yaşı kaçtır? A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) yılındaki yaşı 2004 yılındaki yaşının 3 2 katına eşit olan bir kişi hangi yılda doğmuştur? A) 1990 B) 1991 C) 1992 D) 1993 E) Emel, Aslı'dan Nilay'ın yaşı kadar büyüktür. Aslı, Emel'in yaşına geldiğinde Emel ile Nilay arasındaki yaş farkı 8 olacaktır. Buna göre, Aslı'nın şimdiki yaşı kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) yıl ara ile doğmuş 4 kardeşin bugünkü yaşları toplamı 32 dir. Kaç yıl sonra en büyük kardeşin yaşı en küçük kardeşin yaşının 2 katı olur? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 447

448 16. BÖLÜM PROBLEMLER Yaş Problemleri PEKİŞTİRME TESTİ x yıl önceki yaşları toplamı x + 8, x yıl sonraki yaşları toplamı 11x 10 olan iki kardeşin bugünkü yaşları toplamı kaçtır? A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) Bir baba ile oğlunun bugünkü yaşları toplamı 40 tır. Oğlu babasının 3 yıl önceki yaşına geldiğinde baba 53 yaşında olacaktır. Buna göre, oğlu doğduğunda baba kaç yaşındadır? A) 24 B) 25 C) 26 D) 27 E) Hacer 2 yıl önce, Mert 6 yıl sonra doğmuş olsaydı ikisinin yaşları birbirine eşit olacaktı. İkisinin bugünkü yaşları toplamı 32 olduğuna göre, Hacer'in bugünkü yaşı kaçtır? A) 11 B) 12 C) 13 D)14 E) Ömer ile Ahmet'in yaşları toplamı 40 tır. Ahmet, Ömer'in bugünkü yaşındayken Ömer 5 yaşındaydı. Buna göre, Ahmet Ömer'den kaç yaş büyüktür? A) 5 B) 7 C) 10 D) 12 E) Bir topluluktaki kişilerin 3 yıl sonraki yaşları toplamı 80, 2 yıl önceki yaşları toplamı 10 olduğuna göre, bu toplulukta kaç kişi vardır? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) Üç kardeşin yaşları 2, 3, 5 sayıları ile orantılıdır. 2 yıl sonra üçünün yaşları toplamı 66 olacağına göre, büyük kardeşin şimdiki yaşı kaçtır? A) 12 B) 18 C) 24 D) 28 E) Bir babanın yaşı iki çocuğunun yaşları farkının 6 katına eşittir. 6 yıl sonra babanın yaşı çocuklarının yaşları farkının 7 katına eşit olacaktır. Buna göre, babanın şimdiki yaşı kaçtır? 16. Üç kardeşten ikisi ikiz, diğeri bunlardan 3 yaş büyüktür. Üç kardeşin yaşları toplamı 36 olduğuna göre, büyük kardeşin bugünkü yaşı kaçtır? A) 34 B) 35 C) 36 D) 37 E) 38 A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) B 2. D 3. E 4. C 5. C 6. E 7. C 8. A 9. D 10. D 11. E 12. C 13. A 14. C 15. E 16. D 448

449 16 BÖLÜM PROBLEMLER ÖDEV TESTİ 01 Yaş Problemleri 1. Bir babanın yaşı 41, iki çocuğunun yaşları toplamı 10 dur. Kaç yıl sonra babanın yaşı çocuklarının yaşları toplamının 2 katı olur? 5. Aslı'nın 17 yıl önceki yaşının şimdiki yaşına oranı 2 3 olduğuna göre, 5 yıl sonraki yaşı kaçtır? A) 39 B) 48 C) 51 D) 56 E) 60 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 6. Arzu'nun şimdiki yaşının 2 3 ü iki kardeşinin yaşları kişinin yaş ortalaması 13 tür. toplamına, 1 2 si de 3 yıl önceki yaşları toplamına Kaç yıl sonra bu kişilerin yaş ortalaması 2 yıl önceki yaş ortalamasının 2 katı olur? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 eşittir. Buna göre, Arzu'nun bugünkü yaşı kaçtır? A) 36 B) 30 C) 24 D) 18 E) er yıl arayla doğmuş üç kardeşten en küçüğünün yaşının 3 katı, en büyüğünün yaşına eşit olduğuna göre, ortanca kardeş kaç yaşındadır? A) 7 B) 9 C) 10 D) 11 E) Bugün 52 yaşında olan bir anne oğlunun yaşında iken, annenin yaşı oğlunun yaşının 2 katından 8 fazlaydı. Buna göre, oğlunun şimdiki yaşı kaçtır? A) 24 B) 25 C) 28 D) 31 E) Bugünkü yaşları 4 ve 6 ile orantılı iki kardeşin 4 yıl sonraki yaşları 3 ve 4 ile orantılı olacaktır. Bu iki kardeşin bugünkü yaşları toplamı kaçtır? A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) Alp'in yaşı, Saygın'ın yaşının 3 katıdır. Saygın Alp'in yaşına geldiğinde, ikisinin yaşları toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 25 B) 28 C) 34 D) 38 E)

450 16. BÖLÜM PROBLEMLER Yaş Problemleri ÖDEV TESTİ Yaşları farklı üç kardeşin yaşları çarpımı 51 olduğuna göre, 5 yıl sonraki yaşları toplamı kaçtır? 13. Bir annenin yaşı iki basamaklı (xy) sayısı iken kızının yaşı iki basamaklı (yx) sayısıdır. A) 35 B) 36 C) 37 D) 38 E) 39 Anne ile kızının yaşları toplamının 1 4 ü 11 olduğuna göre, anne ile kızının yaşları farkı kaçtır? A) 11 B) 13 C) 16 D) 17 E) Üç kardeşin yaşları küçükten büyüğe doğru sırasıyla 2x + 1, 3x + 8, 4x + 2 olduğuna göre, en küçük kardeş en az kaç yaşındadır? A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) Deniz, Emre'den 5 yıl önce, Ferhat'tan 7 yıl sonra doğmuştur. Emre şimdiki yaşının 2 katı yaşa geldiğinde Ferhat 32 yaşında olacağına göre, Emre'nin bugünkü yaşı kaçtır? A) 7 B) 10 C) 13 D) 16 E) Emel doğduğunda, annesi 25 yaşındaydı. Bugün annesinin yaşı Emel'in yaşının 6 katına eşittir. Emel, annesinin yaşına geldiğinde annesi kaç yaşında olacaktır? A) 55 B) 56 C) 57 D) 58 E) Aslı'nın şimdiki yaşı, Ceylan'ın 3 yıl sonraki yaşının 2 katı kadardır. 6 yıl sonraki yaşlarının ortalaması 21 olacağına göre, Ceylan doğduğunda Aslı kaç yaşındaydı? A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) İki kardeşin şimdiki yaşları toplamı, yaşları farkının Aslı 5 yıl önce, Nilay 3 yıl sonra doğmuş olsaydı yaşları toplamı 66 olacaktı. Aslı 5 yıl sonra, Nilay 3 yıl önce doğmuş olsaydı yaşları toplamı kaç olurdu? katına eşittir. 10 yıl sonra bu iki kardeşin yaşları toplamı yaşları farkının 10 katına eşit olacağına göre, büyük kardeşin şimdiki yaşı kaçtır? A) 62 B) 65 C) 66 D) 67 E) 69 A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8 1. E 2. C 3. C 4. B 5. D 6. A 7. E 8. E 9. B 10. C 11. A 12. A 13. E 14. B 15. E 16. A 450

451 16 BÖLÜM PROBLEMLER KAVRAMA TESTİ 01 Sürat Problemleri Hazine Hazine Birim zamanda gidilen yola sürat denir. Buna göre, sürati V olan bir hareketlinin t sürede aldığı yol (x), x = V t olur. Örneğin; saatte 70 km süratle giden bir aracın 5 saatte alacağı yol x km ise, x = 70 5 = 350 km olacaktır. Sürat problemlerinde birimlerin uygunluğuna dikkat edilmelidir. Yol = Sürat Zaman [km] = [km/sa] sa [m] = [m/dk] dk [m] = [m/sn] sn 1. Ankara ile Ayvalık arası 675 km dir. Ankara'dan Ayvalık'a doğru saatte 75 km süratle bir otobüs hareket ediyor. Otobüs kaç saatte Ayvalık'a ulaşır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 Bir hareketlinin iki nokta arasında aldığı toplam yolun, bu yolu alırken geçen toplam zamana oranına, hareketlinin bu yol boyunca ortalama sürati denir ve V ort şeklinde gösterilir. Toplam yol Ortalama sürat = V ort = Toplam zaman dır. Örneğin; 80 km/sa süratle 2 saat, 60 km/sa süratle 3 saat yol alarak yolunu tamamlayan bir aracın yol boyunca ortalama sürati, Vort = = 68 km/ sa olur. A dan B ye V 1 km/sa süratle gidip B den A ya V 2 km süratle dönen bir aracın gidiş-dönüşteki sürati, AB = BA olduğundan, V min < V ort < V max V V Vort = V + V olur Bir araç 80 km/sa süratle 15 saat, 100 km/sa süratle 5 saat yolculuk yapmıştır. Bu aracın yol boyunca ortalama sürati saatte kaç kilometredir? 2. A ile B kentleri arası 630 km dir. A dan B ye 7 saatte giden bir araç dönüşte süratini 20 km azaltmıştır. A) 85 B) 88 C) 91 D) 94 E) 97 Aracın B den A ya dönüşü kaç saat sürer? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) km lik bir yolun bir kısmı asfalt, bir kısmı topraktır. Asfalttaki sürati 80 km/sa, topraktaki sürati 60 km/sa olan bir araç bu yolu 3,5 saatte aldığına göre, yolun asfalt kısmı kaç km dir? A) 108 B) 112 C) 120 D) 180 E) Bir araç A kentinden B kentine saatte 21 km süratle gitmiş ve saatte V km süratle dönmüştür. Bu gidiş dönüşte aracın ortalama sürati saatte 24 km olduğuna göre, V kaçtır? A) 24 B) 25 C) 26 D) 27 E)

452 16. BÖLÜM PROBLEMLER Sürat Problemleri KAVRAMA TESTİ 01 Hazine Aralarındaki mesafe AB olan iki hareketli aynı anda birbirlerine doğru hareket ettiklerinde karşılaşma süresi; AB t = V V dir. A + B Aynı anda ve ters yönde hareket eden iki araç arasındaki mesafe, 1 saatte süratlerinin toplamı kadar değişir. Aralarındaki mesafe AB olan iki hareketli aynı anda aynı yönde hareket ettiklerinde V A > V B olmak üzere, arkadaki aracın öndeki araca yetişme süresi; AB t = V V dir. A B Aynı anda ve aynı yönde hareket eden iki araç arasındaki mesafe, 1 saatte süratlerinin farkı kadar değişir. Şekildeki A ve B kentleri arasındaki uzaklık 650 km dir. A dan sürati saatte 72 km, B den sürati saatte 58 km olan iki araç, birbirlerine doğru yola çıkıyor ve C noktasında karşılaşıyorlar. B ile C arası kaç km dir? A) 210 B) 250 C) 290 D) 310 E) 340 Çevresi 840 metre olan dairesel bir pistin A noktasındaki iki hareketlinin süratleri V 1 = 45 m/dk, V 2 = 75 m/dk dır. İki hareketli ilk kez karşılaştıklarında daha süratli olan kaç metre yol alır? A) 525 B) 495 C) 425 D) 375 E) Çevresi 750 metre olan dairesel bir pistin A noktasındaki iki hareketlinin süratleri V 1 = 25 m/dk, V 2 = 75 m/dk dır. İki hareketli kaç dakika sonra ilk kez karşılaşırlar? A) 12 B) 15 C) 18 D) 20 E) 25 Hazine Uzunluğu x olan bir aracın, uzunluğu y olan bir tüneli V süratiyle t zamanda geçiyorsa, eşitliği kullanılır. x + y = V t Bir teknenin sürati V T, akıntının sürati V A olsun. Tekne nehirde A dan B ye akıntı yönünde hareket ediyorsa, AB = (V T + V V ) t akıntıya karşı hareket ediyorsa, eşitlikleri kullanılır. AB = (V T V A ) t 7. Şekildeki A ve B kentleri arasındaki uzaklık 450 km dir. A dan sürati saatte 78 km, B den sürati saatte 28 km olan iki araç aynı anda aynı yöne doğru yola çıkıyorlar. A dan harekete başlayan araç B den harekete başlayan araca C noktasında yetişiyor. B ile C arası kaç km dir? A) 240 B) 248 C) 250 D) 252 E) Boyu 110 metre olan bir tren 250 metrelik tüneli 9 saniyede geçmektedir. Buna göre, trenin sürati saatte kaç kilometredir? A) 40 B) 72 C) 108 D) 130 E) Saatteki sürati 90 km olan bir araç kendisinden 40 metre uzaklıkta bulunan 100 metrelik köprüyü 6 saniyede geçtiğine göre, aracın boyu kaç metredir? A) 10 B) 15 C) 18 D) 20 E) C 2. A 3. C 4. A 5. E 6. C 7. D 8. A 9. B 10. E 11. A 452

453 16 BÖLÜM PROBLEMLER PEKİŞTİRME TESTİ 01 Sürat Problemleri 1. Bir araç x km yolu 4 saatte, aynı süratle x + 40 km yolu 6 saatte almaktadır. Buna göre, x kaçtır? A) 90 B) 80 C) 70 D) 60 E) A ile B kentleri arası 680 km dir. A dan saatteki sürati 28 km olan bir tır ile B den saatteki sürati 40 km olan bir kamyon aynı anda birbirlerine doğru hareket ediyorlar. Buna göre, araçlar kaç saat sonra karşılaşırlar? A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8 2. Bir araç belli bir yolu 80 km süratle 5 saatte alıyor. Araç saatteki süratini kaç km azaltırsa aynı yolu 8 saatte alır? A) 50 B) 45 C) 40 D) 35 E) A ve B şehirlerinden saatteki süratleri 50 km ve 80 km olan iki araç aynı anda aynı yönde 4 saat hareket ederlerse aralarındaki mesafe 770 km oluyor. Araçlar A ve B noktasından aynı anda karşılıklı hareket etselerdi kaç saat sonra karşılaşırlardı? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 3. Bir araç A dan B ye saatte 75 km süratle gidip hiç durmadan B den A ya 90 km süratle geri dönüyor. Aracın gidiş dönüşü toplam 11 saat sürdüğüne göre, A ile B arası kaç km dir? A) 480 B) 450 C) 420 D) 400 E) A kentinden B kentine gitmek için aynı anda yola çıkan iki otomobilden birincisi saatte 70 km, ikincisi saatte 80 km süratle gidiyor. İkinci otomobil B kentine 2 saat önce vardığına göre, A ve B kentleri arası kaç km dir? A) 1120 B) 1000 C) 980 D) 950 E) A ve B noktasından aynı anda aynı yönde hareket eden iki aracın süratleri saatte 75 km ve 60 km dir. Araçlar aynı anda C noktasına vardıklarına göre, AB BC A) 1 4 oranı kaçtır? B) 1 2 C) 3 4 D) 1 5 E) A ile B kentleri arasındaki bir yolun 1 inde onarım 5 yapılmaktadır. Yolun onarım yapılmayan kısmında saatte 3V km süratle giden araç, onarım yapılan kısmında V km süratle gitmiştir. A ile B kentleri arasındaki yolun tamamını 14 saatte giden araç onarım yapılan kısmı kaç saatte gitmiştir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 453

454 16. BÖLÜM PROBLEMLER Sürat Problemleri PEKİŞTİRME TESTİ Bir yüzücü akıntıya karşı dakikada 3 m, akıntı yönünde dakikada 7 m yüzebilmektedir. Bu yüzücü denizde yarım saat kalabildiğine göre, kıyıdan en fazla kaç metre açılabilir? A) 45 B) 52 C) 58 D) 63 E) AB = 5 BC olmak üzere; B noktasından aynı anda zıt yönde hareket eden iki araç A ve C noktalarına vardıktan sonra hiç durmadan geri dönüyorlar. İlk kez B noktasından 20 km uzakta karşılaştıklarına göre, A ile C arası kaç km dir? A) 180 B) 198 C) 200 D) 207 E) Sürati saatte 36 km olan 300 m uzunluğundaki bir tren 700 m uzunluğundaki bir tüneli kaç saniyede geçer? A) 100 B) 75 C) 60 D) 50 E) AB = 7 AC BC = 500 m 11. Şekildeki ABCD karesinin A noktasından iki araç aynı anda şekilde B ve C noktalarından iki hareketli aynı anda birbirlerine doğru hareket ediyorlar. gösterilen yönlerde ha- Kaç saniye sonra ilk kez karşılaşırlar? reket edip E noktasında karşılaşıyorlar. A) 27 B) 28 C) 29 D) 31 E) 32 CE = 50 km olduğuna göre, ABCD karesinin çevresi kaç km dir? A) 350 B) 400 C) 450 D) 500 E) Bir araç bir yolu saatte 60 km süratle gidip, saatte 120 km süratle dönerse gidiş dönüşteki ortalama sürati saatte kaç km dir? A) 90 B) 85 C) 80 D) 75 E) Yukarıdaki şekilde A, B ve C şehirlerinden aynı yönde harekete başlayan üç hareketlinin süratleri verilmiştir. 5 saat sonra bu üç hareketli aynı noktada karşılaştıklarına göre, AB AC hangisidir? A) 1 2 B) 1 3 C) 2 5 oranı aşağıdakilerden D) 1 4 E) Bir yarışta birinci, yarışı bitirdiğinde ikincinin yarışı bitirmesine 60 metre, üçüncünün yarışı bitirmesine 100 metre vardır. İkinci yarışı bitirdiğinde üçüncünün yarışı bitirmesine 45 metre olduğuna göre, yarış pistinin uzunluğu kaç metredir? A) 300 B) 375 C) 400 D) 475 E) B 2. E 3. B 4. A 5. C 6. E 7. A 8. C 9. D 10. A 11. D 12. A 13. E 14. D 15. C 16. E 454

455 16 BÖLÜM PROBLEMLER ÖDEV TESTİ 01 Sürat Problemleri 1. A ile B kentleri arası 490 km dir. A ve B kentlerinden birbirine doğru hareket eden iki araç 5 saat sonra karşılaşıyorlar. Araçlardan birisi saatte 50 km süratle hareket ettiğine göre, diğeri saatte kaç km süratle hareket etmektedir? A) 40 B) 42 C) 45 D) 48 E) Bir öğrenci okula gitmek için her gün aynı saatte evden çıkıyor. Dakikada 80 metre yol alırsa okula 3 dakika erken, dakikada 60 metre yol alırsa okula 7 dakika geç kalıyor. Buna göre, ev ile okul arası kaç m dir? A) 1800 B) 2000 C) 2200 D) 2400 E) A ve B den süratleri sırasıyla 70 km/saat ve 50 km/ saat olan iki hareketli aynı anda ve aynı yönde hareket ediyor. A ve B noktalarından süratleri oranı V1 V 2 = olan iki 2 5 araç aynı anda karşılıklı hareket ederek 6 saat sonra karşılaşıyorlar. A dan hareket eden araç B den hareket eden ara- AB = 420 km olduğuna göre, V 1 kaçtır? ca 5 saat sonra C noktasında yetiştiğine göre, A A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40 ile B arası kaç km dir? A) 80 B) 90 C) 100 D) 110 E) Bir araç yolun 3 4 ünü V süratiyle, geri kalanını 3V süratiyle giderse, yol boyunca ortalama sürati kaç V olur? A) 1 B) 6 C) 4 D) 3 E) Bir araç yokuş çıkarken ortalama 30 km/saat süratle yokuş inerken ortalama 90 km/saat süratle ve düz yolda 80 km/saat süratle hareket ediyor. AB = 60 km, BC = 40 km, CD = 90 km ve DE = 180 km dir. Bu araç A dan E ye gidip, E de 1 saat bekledikten sonra A ya geri dönüyor. A dan saat 05:00 da yola çıkan bu araç saat kaçta 4. Çevresi 720 m olan O merkezli dairesel bir pistin A ve B noktalarındaki iki hareketlinin süratleri 40 m/dk ve 20 m/dk dır. İki hareketli aynı anda zıt yönde harekete başlıyorlar. 3. kez kaç dakika sonra karşılaşırlar? A) 28 B) 26 C) 25 D) 21 E) 15 A ya döner? A) 21:40 B) 21:20 C) 21:00 D) 20:40 E) 20:20 8. A kentinden B kentine gitmek için aynı anda yola çıkan iki araçtan birincisi saatte 40 km, ikincisi saatte 65 km süratle gitmektedir. İkinci araç 5 saat önce B kentine geldiğine göre, A ile B kentleri arası kaç km dir? A) 420 B) 480 C) 500 D) 520 E)

456 16. BÖLÜM PROBLEMLER Sürat Problemleri ÖDEV TESTİ A ve B de bulunan iki aracın saatteki süratleri sırasıyla 50 km ve 70 km dir. AB = 213 km olduğuna göre, bu iki araç karşılıklı olarak aynı anda hareket ederlerse 5 saat sonra aralarındaki mesafe km kaç olur? A) 350 B) 360 C) 372 D) 380 E) Bir araç A dan D ye doğru hareket etmektedir. Araç B ve C noktalarına geldiğinde süratini 3 kat artırmaktadır. AB = BC = CD ve araç A dan V süratiyle harekete başlamaktadır. C ile D arasını 1 saatte alan araç A dan D ye, B ve C noktalarında süratini artırmadan devam etseydi kaç saatte varırdı? A) 48 B) 40 C) 36 D) 32 E) Saatteki sürati 48 km olan bir kamyon saat 08:00 de B ye doğru hareket ediyor. Saatteki sürati 72 km olan otomobil saat 10:30 da B ye doğru hareket ediyor. Otomobil kamyonu yakaladığında saat kaçtır? A) 14:30 B) 15:00 C) 15:30 D) 16:00 E) 17: Akıntı süratinin 8 km/saat olduğu bir nehirde bir motor akıntıyla aynı yönde 160 km yi t saatte almaktadır. Bu motor aynı süratle t saat boyunca akıntıya karşı 120 km yol alabildiğine göre, motorun sürati saatte kaç km dir? A) 56 B) 52 C) 48 D) 44 E) Bir araç A kentinden B kentine saatte 20 km süratle gidip, saatte V km süratle dönmüştür. Bu gidiş dönüşte aracın ortalama sürati 30 km olduğuna göre, V kaçtır? A) 40 B) 45 C) 50 D) 55 E) Şekildeki üç araç aynı anda harekete başlıyorlar. B noktasından hareket eden araç E noktasından hareket eden araçla D noktasında karşılaşıyor. A noktasından hareket eden araç ile E noktasından hareket eden araç C noktasında karşılaşıyorlar. 12. Süratleri toplamı saatte 180 km olan iki araç A ve B noktalarından aynı anda birbirlerine doğru hareket ederek 5 saat sonra C noktasında karşılaşıyorlar. A dan hareket eden araç C ile B arasındaki uzaklığı 4 saatte alabildiğine göre, bu aracın saatteki sürati kaç km dir? A) 75 B) 80 C) 85 D) 95 E) 100 Buna göre, A ile E arası kaç km dir? A) 300 B) 270 C) 250 D) 220 E) metre uzunluğundaki bir tren 3 km uzaktaki 100 metre uzunluğundaki bir tüneli 1 dakikada geçiyor. Buna göre, trenin sürati saniyede kaç metredir? A) 50 B) 53 C) 55 D) 57 E) D 2. C 3. B 4. B 5. D 6. A 7. A 8. D 9. E 10. C 11. E 12. E 13. A 14. A 15. C 16. B 456

457 16 BÖLÜM PROBLEMLER KAVRAMA TESTİ 01 Karışım Problemleri Hazine Hazine a birim x maddesi ve b birim y maddesinden oluşan bir karışımda 100 a oranına x maddesinin yüzdesi a + b 100 b oranına y maddesinin yüzdesi a + b denir. Örneğin, 60 litrelik bir tuz-su karışımının 15 litresi tuz ise; = 25 tuzun yüzdesidir. 60 Buna göre, suyun yüzdesi = 75 olur. x litre olan A karışımındaki bir maddenin oranı % a, y lt olan bir karışımında aynı maddenin oranı % b olsun. A ile B maddeleri karıştırıldığında elde edilen yeni karışımda söz konusu maddenin oranı % c ise; x a + y b = ( x + y) c gramlık tuz-su karışımının % 30 u su olduğuna göre, tuz miktarı kaç gramdır? A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14 eşitliği yazılabilir. Karışımın bir miktarı dökülse bile, geriye kalan karışımın yüzde oranı değişmez. Buharlaştırılan bir karışımdaki saf maddeler korunur. Buharlaşan sadece sudur. 2. Şeker-su karışımındaki şeker miktarı 20 gr, su miktarı 60 gr olduğuna göre, karışımın şeker oranı yüzde kaçtır? A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) gr meyve suyunun % 10 u şekerdir. Bu meyve suyuna 80 gr su eklenirse şeker oranı yüzde kaç olur? A) 20 B) 12 C) 10 D) 6 E) gr şeker-su karışımının % 20 si şekerdir. Karışımdaki su miktarı ile şeker miktarının farkı kaçtır? A) 200 B) 150 C) 120 D) 100 E) gr tuz-su karışımının % 20 si tuzdur. Bu karışıma 50 gr tuz ekleniyor. Yeni karışımın tuz oranı yüzde kaçtır? A) 20 B) 28 C) 32 D) 36 E) Tuz-su karışımında tuz miktarının su miktarına oranı 9 11 dir. Bu karışımdaki su oranı % x, tuz oranı % y olduğuna göre, x y farkı kaçtır? A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) gr tuz-su karışımının % 20 si sudur. Bu karışımın % 10 u buharlaştırıldığında geriye kalan karışımın kaç gramı sudur? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E)

458 16. BÖLÜM PROBLEMLER Karışım Problemleri KAVRAMA TESTİ % 20 si şeker olan 120 gram şeker-su karışımı ile % 30 u şeker olan 80 gram şeker-su karışımı karıştırılıyor. Yeni karışımın şeker oranı yüzde kaçtır? A) 48 B) 36 C) 32 D) 28 E) Şeker oranı % 12,5 olan 70 gramlık meyve suyu ile şeker oranı % 17,5 olan 70 gramlık meyve suyu karıştırıldığında, elde edilen karışımın şeker oranı yüzde kaç olur? A) 13 B) 13,5 C) 14 D) 14,5 E) % 20 si şeker olan 50 litrelik bir meyve suyunun 1 5 i içilip, içine içilen miktar kadar su konuluyor. Son durumda karışımın yüzde kaçı sudur? A) 90 B) 84 C) 80 D) 72 E) A kabında ağırlıkça % 40 tuz içeren 4 kg, B kabında ise ağırlıkça % 20 tuz içeren 2 kg tuzlu su bulunmaktadır. A daki tuzlu suyun yarısı B ye alınarak karıştırılmış, sonra da B dekinin yarısı A ya alınarak karıştırılmıştır. A da son olarak elde edilen tuzlu suyun ağırlıkça % kaçı tuzdur? A) 30 B) 32 C) 35 D) 36 E) litrelik tuz-su karışımının tuz oranını % 15 ten % 20 ye çıkarmak için, karışımdan kaç litre su buharlaştırılmalıdır? A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) m 1 > m 2 dir. Hazine a > b olmak üzere, Tuz oranı % 20 olan m 1 gramlık tuz-su karışımı ile tuz oranı % 50 olan m 2 gramlık tuz-su karışımı karıştırıldığında elde edilen yeni karışımın tuz oranı % x olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) 21 B) 23 C) 24 D) 32 E) 35 % a lık m 1 gram karışıma % b lik m 2 gram karışımı eklendiğinde, % c lik (m 1 + m 2 ) gram karışım elde ediliyorsa, a > c > b ve (a c) m 1 = (c b) m 2 olur. Yeni karışımın yüzdesi karışımlardan miktarı fazla olanın yüzdesine daha yakındır gr şekerli suyun % x i şekerdir. Bu karışıma 170 gr şeker oranı % (3x 20) olan bir karışım eklendiğinde yeni karışımın şeker a b m 1 = m 2 ise c = + oranı % 30 olduğuna göre, x kaçtır? dir. 2 A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) E 2. C 3. B 4. A 5. D 6. E 7. D 8. E 9. B 10. B 11. E 12. C 13. E 14. A 458

459 16 BÖLÜM PROBLEMLER PEKİŞTİRME TESTİ 01 Karışım Problemleri 1. Ağırlıkça tuz oranı % 18 olan 120 gramlık homojen bir karışımın 20 gramındaki tuz oranı yüzde kaçtır? A) 14 B) 16 C) 18 D) 20 E) Bir karışımı oluşturan x, y ve z maddeleri arasında x y = 1 3, y z = 9 oranları olduğuna göre, z maddesi karışımın yüzde kaçını oluşturur? 8 A) 15 B) 25 C) 30 D) 40 E) Tuz oranı % 40 olan 80 gramlık homojen tuz-su karışımının kaç litresi dökülürse kalan karışımda 24 gram tuz olur? A) 20 B) 18 C) 16 D) 14 E) Şeker oranı % 5 olan 20 gram çaya 5 gram şeker ilave edilirse, karışımın şeker oranı yüzde kaç olur? A) 12 B) 18 C) 21 D) 23 E) Su oranı % 10 olan 200 gram süt ile su oranı % 40 olan 100 gram süt karıştırılıyor. Yeni karışımın su oranı yüzde kaçtır? A) 15 B) 18 C) 20 D) 22 E) Tuz oranı % 40 olan 80 litre tuzlu su ile tuz oranı % 10 olan 40 litre tuzlu su karıştırılıyor. Son durumda karışımdaki tuz yüzdesi kaçtır? A) 20 B) 25 C) 30 D) 32 E) Tuz oranı % 28 olan x gram tuzlu su ile tuz oranı % 18 olan y gram tuzlu su karıştırılıyor. Yeni karışımın tuz oranı % 25 olduğuna göre, x y oranı kaçtır? A) 3 B) 5 C) 1 D) 7 E) Tuz oranı % 5 olan 120 gramlık bir çorbanın 1 5 i içildikten sonra tuzu az bulunarak içilen miktar kadar tuz ekleniyor. Son durumda çorbanın tuz oranı yüzde kaçtır? A) 12 B) 24 C) 28 D) 32 E)

460 16. BÖLÜM PROBLEMLER Karışım Problemleri PEKİŞTİRME TESTİ ayar 12 gram altın ile 14 ayar kaç gram altın karıştırılırsa 20 ayar altın elde edilir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) Bir kapta bulunan 60 litre sütün üzerine 15 litre su eklendikten sonra karışımın 20 litresi dökülürse kapta kaç litre süt kalır? A) 55 B) 50 C) 44 D) 40 E) Kilogramı 12 lira olan fındık ile kilogramı 20 lira olan fıstıktan 1 kg lık bir karışım alınarak 15 lira ödenmiştir. Bu karışımın kaç gramı fındıktır? A) 400 B) 500 C) 600 D) 625 E) litre su ve 12 litre alkol bulunan bir kap ile 12 litre su ve 8 litre alkol bulunan ikinci kaptan bir miktar karışım alınarak alkol oranı % 45 olan 8 litre karışım elde edilmek isteniyor. Buna göre, birinci karışımdan kaç litre alınmalıdır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) % 80 alkol içeren kolonyaya hacminin 4 katı kadar su katılırsa alkol yüzdesi kaç olur? A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) Bir tuzlu su karışımına 5 gr tuz eklenince karışımın tuz oranı % 25 oluyor. Daha sonra tekrar 5 gr tuz eklenince karışımın tuz oranı % 30 oluyor. Buna göre, başlangıçta karışım kaç gramdır? A) 45 B) 50 C) 55 D) 60 E) 65 Şekildeki grafik bir karışımdaki şeker ve su miktarını 16. Şeker oranı % 20 olan şekerli su karışımının 1 5 i göstermektedir. Buna göre, 190 gr lık şeker su karışımına 5 gr su ve 5 gr şeker ilave edilirse oluşan yeni karışımın şeker oranı yüzde kaç olur? dökülüyor. Yerine dökülen miktar kadar şeker ekleniyor. Elde edilen karışımın şeker oranı yüzde kaç olur? A) 70 B) 69 C) 68 D) 67 E) 66 A) 24 B) 28 C) 32 D) 36 E) C 2. A 3. C 4. E 5. D 6. E 7. C 8. B 9. A 10. D 11. A 12. B 13. C 14. B 15. E 16. D 460

461 16 BÖLÜM PROBLEMLER ÖDEV TESTİ 01 Karışım Problemleri 1. Şeker oranı % 45 olan 150 gram portakal suyu ile şeker oranı % 36 olan 120 gram portakal suyu karıştırılıyor. Elde edilen karışımın şeker oranı yüzde kaçtır? 5. Süt oranı % 70 olan 85 litre süt su karışımına kaç litre saf süt eklenirse karışımın süt oranı % 75 olur? A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21 A) 37 B) 38 C) 39 D) 40 E) Alkol oranı % 7 olan 12 lt alkollü su ile alkol oranı % 14 olan 9 lt alkollü su ve bir miktar saf su karıştırılarak oluşturulan karışımın alkol oranı % 5 olduğuna göre, kaç litre saf su eklenmiştir? A) 13 B) 16 C) 19 D) 21 E) x kg tuz ile y kg su karıştırılırsa oluşan karışımın tuz oranı % 25 olduğuna göre, x in y türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) y B) y C) 2y D) 3y E) 4y Su oranı % 14 olan 15 gram tuzlu su ile su oranı % 7 olan 20 gram tuzlu su karıştırılıyor. Yeni karışımın tuz oranı yüzde kaçtır? A) 72 B) 78 C) 80 D) 85 E) Saf altın 24 ayardır. 20 ayar ve 14 ayar iki bilezik eritilerek 18 ayar bir bilezik elde ediliyor. 20 ayar bilezik 12 gram olduğuna göre, 12 ayar bilezik kaç gramdır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) Şeker oranı % x olan m gram şekerli su ile şeker oranı % y olan m gram şekerli su karıştırılıyor. Yeni karışımın şeker oranı aşağıdakilerden hangisidir? A) x + y B) x + y 2 D) x - y 2 E) 2x + y 2 C) x y 8. Bir kapta bulunan 40 lt suyun üzerine 10 lt şeker eklendikten sonra kaptan 20 lt karışım dökülürse, kapta kaç lt su kalır? A) 20 B) 21 C) 24 D) 28 E)

462 16. BÖLÜM PROBLEMLER Karışım Problemleri ÖDEV TESTİ % 24 ü tuz olan 80 litre tuzlu suyun tuz yüzdesini % 30 a çıkarmak için kaç litre su buharlaştırılmalıdır? A) 4 B) 6 C) 12 D) 16 E) gr tuzlu suyun % 18 i tuzdur. Karışımdaki tuz oranını % 25 e çıkarmak için kaç gr su buharlaştırılmalıdır? A) 51 B) 50 C) 49 D) 48 E) % 36 sı tuz olan 200 litrelik tuzlu suyun tuz oranını % 30 a düşürmek için kaç litre su eklenmelidir? A) 25 B) 35 C) 36 D) 38 E) Kilogramı 15 lira olan 40 kilogram ceviz ile, kilogramı 20 lira olan 50 kilogram ceviz karıştırılıyor. Zarar edilmemesi için karışımın kilogramı en az kaç liradan satılmalıdır? A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) A kabında % 35 i şeker olan, B kabında da % 75 i şeker olan eşit hacimli portakal suyu vardır. A kabındaki karışımın 1 3 ü B kabına daha sonra da B kabındakinin yarısı A kabına aktarılıyor. Son durumda A kabındaki karışımın şeker oranı yüzde kaçtır? A) 50 B) 55 C) 58 D) 60 E) 65 Yukarıdaki grafikte A, B, C karışımlarının tuz-su grafiği verilmiştir. A, B, C karışımları sırasıyla 4, 3 ve 2 ile orantılı olarak karıştırıldığında elde edilen karışımın tuz oranı yüzde kaç olur? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) A kabındaki tuzlu suyun % 40 ı tuzdur. B kabındaki 104 lt tuzlu suyun % 15 i tuzdur. A kabından x lt alınıp, B kabına konulduğunda B kabındaki tuz oranı % 20 olduğuna göre, x kaçtır? A) 18 B) 21 C) 24 D) 26 E) % 20 si tuz olan bir miktar tuzlu su karışımına, karışımın 1 4 ü kadar tuz, 1 5 i kadar su ve 1 20 şeker ekleniyor. Elde edilen karışımın yüzde kaçı tuz olur? si kadar A) 28 B) 30 C) 32 D) 34 E) E 2. D 3. E 4. B 5. A 6. B 7. B 8. C 9. D 10. E 11. A 12. C 13. C 14. D 15. A 16. B 462

463 16 BÖLÜM PROBLEMLER KAVRAMA TESTİ 01 Yüzde - Kâr - Zarar - Faiz Problemleri Hazine Hazine Bir x sayısının % a sı y ise, dir. a x = y 100 Örneğin, 40 sayısının % 20 si x ise, bulunur. x = = sayısının % 40 ı kaçtır? A) 100 B) 200 C) 250 D) 300 E) 350 Bir malın satışa çıkana kadar olan masraflarına malın maliyeti (ya da alış fiyatı) denir. Bir malı satmak için belirlenen fiyata etiket fiyatı (ya da satış fiyatı) denir. Bir malın, satış fiyatı ile alış fiyatı arasındaki farka pozitif ise kâr, negatif ise zarar denir. Bir malın alış fiyatı A, satış fiyatı S olsun. Eğer bu mal % x kârla satılırsa; Eğer % x zararla satılırsa; S = A + A x olur. 100 S = A A x olur TL ye alınan bir mal % 20 kârla satılırsa, malın satış fiyatı kaç TL olur? kişinin katıldığı bir toplantıda 90 erkek vardır. A) 160 B) 168 C) 172 D) 175 E) 180 Bu toplantıya katılanların yüzde kaçı bayandır? A) 45 B) 60 C) 75 D) 80 E) TL ye alınan bir mal % 70 indirimle kaç TL ye satılır? A) 84 B) 90 C) 98 D) 102 E) Bir lastik çekilip uzatıldığında boyu % 20 artıyor. Çekilmiş halde 480 cm gelen lastiğin gerçek boyu kaç cm dir? A) 270 B) 300 C) 320 D) 360 E) % 25 zararla 150 TL ye satılan bir mal % 49 kârla kaç TL ye satılır? A) 260 B) 286 C) 290 D) 298 E) % 28 i 70 olan sayı kaçtır? A) 250 B) 220 C) 200 D) 180 E) TL ye alınıp 143 TL ye satılan bir maldan yüzde kaç kâr elde edilmiştir? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E)

464 16. BÖLÜM PROBLEMLER Yüzde - Kâr - Zarar - Faiz Problemleri KAVRAMA TESTİ Bir tüccar, bir malın % 20 sini % 20 kârla, kalanını da % 10 kârla satıyor. Bu satıştan toplam 120 lira kâr elde ettiğine göre, malın maliyeti kaç liradır? 12. Yıllık % 30 faiz oranı üzerinden bankaya yatırılan 180 TL 8 ay sonunda kaç TL faiz getirir? A) 54 B) 48 C) 42 D) 36 E) 30 A) 600 B) 750 C) 800 D) 1000 E) Kilosu 12 liraya alınan yaş üzüm kuruyunca ağırlığının % 20 sini kaybetmektedir. Üzümün satışından % 20 kâr elde etmek isteyen satıcı kuru üzümün kilosunu kaç liraya satmalıdır? 13. Aylık % 5 faiz oranı üzerinden bankaya yatırılan 240 TL 10 ay sonunda kaç TL faiz getirir? A) 10 B) 50 C) 80 D) 108 E) 120 A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) Bir satıcı satışlarını arttırmak için % 20 indirim yaptığı ürüne, tekrar % 10 indirim yapıyor. Bu satıcı son durumda maliyet üzerinden % 20 kâr yaptığına göre, ürünün maliyeti ilk etiket fiyatının yüzde kaçıdır? 14. Bir miktar paranın yıllık % 30 dan 8 ayda getirdiği faizi 6 ayda getirmesi için yıllık faiz oranı yüzde kaç olmalıdır? A) 32 B) 35 C) 36 D) 38 E) 40 A) 48 B) 50 C) 54 D) 58 E) 60 Hazine A = Anapara n = Bir yıllık faiz yüzdesi t = Zaman (yıl / ay / gün) f = Faiz olmak üzere, bankaya yatırılan A TL nin getireceği faiz t yılda, TL nin bir kısmı yıllık % 10 faizle A bankasına 1 yıllığına, kalan para yıllık % 20 den B bankasına 3 aylığına yatırılıyor. İki bankadan toplam 15 TL faiz alındığına göre, A bankasına yatırılan para kaç TL dir? A) 60 B) 72 C) 80 D) 82 E) 100 A n t f = 100 t ayda, t günde, A n t f = 1200 A n t f = dir Yıllık enflasyonun % 10 olduğu bir ülkede, yıllık faiz oranı % 21 olan bir bankaya parasını 1 yıllığına yatıran bir kişinin yıl sonunda alım gücü yüzde kaç artar? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) B 2. C 3. E 4. A 5. B 6. A 7. D 8. C 9. D 10. E 11. E 12. D 13. E 14. E 15. A 16. B 464