OLASILIK SAYMA PROBLEMLERİ:
|
|
|
- Aysel Ergün
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 OLASILIK SAYMA PROBLEMLERİ: TOPLAMA YÖNTEMİ: Bi E olayı E veya E olaylaıda biii geçekleşmesiyle oluşuyo, E olayı içi seçeek, E olayı içi m seçeek vasa, E olayı içi +m seçeek vadı. E=E E ve E E =Ø içi: s(e)=s(e E )=s(e )+s(e )=+m A ketide B ye kaa, deiz veya hava yollaıda bii ile gidilebilmektedi.iki ayı kaa yolu, üç ayı deiz yolu ve iki ayı hava yolu bulumaktadı. A da B ye kaç faklı yolla gidilebili? Y: +3+=7 A={(x,y): x +y 5, x,y Z } kümesi kaç elemalıdı? x +y =0 içi: (0,0) tae x +y = içi: (,0),(-,0),(0,),(0,-) 4 tae x +y = içi: (,),(-,),(,-),(-,-) 4 tae x +y =3 içi: YOK x +y =4 içi: (,0),(-,0),(0,),(0,-) 4 tae x +y =5 içi: (,),(-,),(,-),(-,-),(,), (,-),(-,),(-,-) 8 tae + tae 74
2 ÇARPMA YÖNTEMİ: Bi E olayı, adada E ve E olaylaıı geçekleşmesiyle oluşuyo, E olayı içi seçeek, E olayı içi m seçeek vasa, E olayı içi.m seçeek vadı. s(e)=s(e xe )=s(e )xs(e )=.m A ketide D ye, öce B ve soa C de geçmek koşuluyla gidiliyo. A da B ye yol, B de C ye 5 yol, C de D ye 3 yol vasa, A da D ye kaç değişik yolda gidilebili? Y:.3.5=30 { 0,,,,9 } elemalaı kullaılaak basamaklı kaç şife yazılabili? He basamakta o tae akam kullaılabili =0 tae Üç basamaklı doğal sayılada kaç taeside 0 akamı kullaılı? Üç basamaklı doğal sayıla: 9.0.0=900 tae 0 akamı kullaılmayala: 9.9.9=79 tae 0 akamı kullaılala: =7 tae 75
3 E az iki basamağı ayı ola döt basamaklı kaç doğal sayı vadı? Döt basamaklı doğal sayıla: =9000 Basamaklaı faklı olala: =4536 E az iki basamağı ayı olala: =4464 s(a)=, s(b)=m olmak üzee; A da B ye kaç tae foksiyo taımlaabili? Bu foksiyolada kaç taesi bie-bidi? A daki. elema, B deki m tae elemada biiyle,. elema, B deki m tae elemada biiyle,. elema, B deki m tae elemada biiyle eşleebileceğide; tae m i çapımı ( m ) kada eşleme yapılabili. Foksiyo sayısı: m di. A daki. elema, B deki m tae elemada biiyle,. elema, kala m- tae elemada biiyle, 3. elema, kala m- tae elemada biiyle,. elema, kala m-(-) tae elemada biiyle eşleebileceğide, eşleme sayısı : m.(m-).(m-) (m-+) di. Bu da taımlaabilecek - foksiyolaı sayısıdı. 76
4 {0,,,3,4,5} kümesii elemalaı ile; a. Üç basamaklı kaç sayı yazılabili? Yüzle basamağıa: 0 dışıda beş akamda bii, Ola basamağıa: altı akamda bii, Bile basamağıa: altı akamda bii yazılabileceğide ; 5.6.6=80 sayı yazılabili. b. Üç basamaklı, akamlaı tekasız kaç sayı yazılabili? Yüzle basamağıa: 0 dışıda beş akamda bii, Ola basamağıa: kala beş akamda bii, Bile basamağıa: kala döt akamda bii yazılabileceğide ; 5.5.4=00 sayı yazılabili. c. Üç basamaklı kaç çift sayı yazılabili? Yüzle basamağıa: 0 dışıda beş akamda bii, Ola basamağıa: altı akamda bii, Bile basamağıa: 0 veya veya 4 akamlaıda bii yazılabileceğide; 5.6.3=80 sayı yazılabili. 600 sayısıı kaç tae pozitif tamsayı bölei vadı? 600= Pozitif tamsayı böleleide: olmayabili, olabili, 4 olabili, 8 olabili. (4 seçeek) 3 olmayabili, 3 olabili. ( seçeek) 5 olmayabili, 5 olabili, 5 olabili. (3 seçeek) seçeek sayılaı çapımı: 4..3=4 KURAL: Faklı asal çapalaıı üsleii bie fazlalaıı çapımı kada pozitif tamsayı bölei vadı. 77
5 A={,,,00} kümesi içi ; Ü={(a,b,c): a,b,c A, a < b ve a < c } kaç elemalıdı? a=,,,99 alıdığıda; b sayısı 00-a tülü, c sayısı 00-a tülü seçilebili. (a,b,c) gibi (00-a) tae üçlü yazılabi. a= alıısa, b içi 98, c içi 98 seçeek =98 a= alıısa, b içi 97, c içi 97 seçeek =97 a=98 alıısa,b içi, c içi seçeek..= = =
6 PERMÜTASYON (SIRALAMA) A={a,a,,a } kümesii 0 olmak üzee elemalaıda taesii sıalamasıa elemaı -li bi pemütasyou dei.! P,!... P, 0 ve P,! di. A={a,b,c,d} kümesii 3 lü pemütasyolaı? P(4,3)=4.3.=4 abc bac cab dab acb bca cba dba abd bad cad dac adb bda cda dca acd bcd cbd dbc adc bdc cdb dcb E={a,b,c,,,,x,y,z} 6 hafli İgiliz abc si. sessiz, 5 sesli haf va. İlk ve so haflei faklı sesli haflede, diğelei faklı sessiz haflede oluşa 5 hafli kaç kelime yazılabili? İlk ve so haflede: 5 sesli hafte ikisi, P(5,) aaya: sessiz hafte üçü, P(,3) şekilde sıalaabili. Hepsi bilikte: P(5,).P(,3)= =
7 7 ekek, 3 kız öğeci ya yaa sıalaacak: a. Koşulsuz: P(0,0)=0! b. 3 kız bi aada olacak: 3 kız, bi elema olaak alıısa, 7 ekekle bilikte; P(8,8)=8! şekilde sıalaı. 3 kız kedi aalaıda; P(3,3)=3! şekilde sıalaı. Hepsi bilikte; P(8,8).P(3,3)=8!.3! şekilde sıalama yapılabili. c. Baş ve soda ekekle olacak, hehagi iki kız ya yaa gelmeyecek: 7 ekek kedi aalaıda; P(7,7)=7!, aada kala 6 yee de 3 kız; P(6,3) ve bilikte; 7! ile aasıda akamlaı tekasız kaç çift sayı vadı? O bile basamağıa; A={,3,4,5,6} Bile basamağıa; B={0,,4,6,8} kümesii elemalaıda bii yazılacaktı. A B={,4,6} O bile basamağıa; {,4,6} da bii yazılısa, Bile basamağıa; B de kala döt elemada bii, diğe üç basamağa da kala sekiz akamda üçü yazılı. 3.4.P(8,3) sayı yazılı. VEYA O bile basamağıa; {3,5} te bii yazılısa, Bile basamağıa; B de bii ve diğe üç basamağa da kala sekiz akamda üçü yazılı..5.p(8,3) sayı yazılı. Hepsi bilikte: 3.4.P(8,3)+.5.P(8,3)=739 sayı. 80
8 {,3,5,7} kümesii elemalaı ile akamlaı tekasız kaç sayı yazılabili? Toplamlaı kaçtı? Bi basamaklı: P(4,)=4 tae İki basamaklı: P(4,)=4.3= tae Üç basamaklı: P(4,3)=4.3.=4 tae Döt basamaklı: P(4,4)=4.3..=4 tae Hepsi bilikte: =64 tae sayı yazılabili. Bi basamaklılaı toplamı: =6 İki basamaklılaı toplamı: tae sayıı he basamağıda, he akam :4=3 e kez kullaılmıştı. Toplam: =58 Üç basamaklılaı toplamı: 4 tae sayıı he basamağıda, he akam 4:4=6 şa kez kullaılmıştı. Toplam: =0656 Döt basamaklılaı toplamı: 4 tae sayıı he basamağıda, he akam 4:4=6 şa kez kullaılmıştı. Toplam: =06656 Tümüü toplamı: =7856 Yazılabile döt basamaklı sayıla küçükte büyüğe doğu sıaladığıda, başta 9. sayı kaçtı? He basamakta, he sayı altışa kez kullaıldığıda: ile, 3 ile,5 ile başlaya altışa sayı vadı. 9. sayı 735 olu. 8
9 DÖNEL SIRALAMA: s(a)= ve 0 olmak üzee; elemaı döel sıalama sayısı: Q, P, di. P, Q,!! A={a,b,c,d} kümesii 3 lü döel sıalama sayısı? P(4,3) 4.3. Q(4,3)= ekek, 3 kız öğeci yuvalak masa etafıa sıalaacak: a. Koşulsuz: Q(8,8)=(8-)!=7! b. E ve K ya yaa olacak: E,K bi elema olaak alıısa, diğeleiyle bilikte 7 elema sıalaı. Q(7,7)=(7-)!=6! E, K kedi aalaıda! şekilde sıalaı. Tümü bi aada düşüülüse: 6!.! sıalama vadı. 6!.= 440 c. E ve K ya yaa olması: Koşulsuz sıalama sayısı ile ya yaa olma sayısı aasıdaki fak,ya yaa olmama duumuu vei. 7!-6!.=3 600 d. Hehagi iki kız ya yaa gelmesi: 5 ekek sıalaı: (5-)!=4! Aalaıdaki 5 boşluğa 3 kız sıalaı: Tümü bi aada düşüülüse: 4! sıalama va. 8
10 evli çift yuvalak masa etafıa sıalaacak: a. Bi ekek, bi baya: ekek sıalaı: (-)! Aalaıdaki boşluğa baya sıalaı:! Tümü bi aada düşüülüse: (-)!.! sıalama va. b. Çiftle ayılmayacak: Çiftle bi elema olaak alıısa: çift, (-)! He çift kedi aasıda şekilde sıalaacağıda: çift kedi aalaıda : Tümü bi aada düşüülüse : (-)!. TEKRARLI PERMÜTASYON: tae elemada,,, taesi ayı ve = olmak üzee elemaı tekalı pemütasyolaıı sayısı: P ;,,...,!!!...! di. A={a,a,,a } kümesii elemalı tekalı pemütasyolaıı sayısı: di.. sıaya, tae elemada bii;. sıaya, tae elemada bii;... sıaya, tae elemada bii yazılabileceğide, tae i çapımı ( ) kada sıalama yapılabili. 83
11 A={a,b,c} kümesii li tekalı pemütasyolaı 3 taedi. aa, ab, ba, ac, ca, bb, bc, cb, cc 4 ev, 6 ek boya ile kaç değişik şekilde boyaı? a. Koşulsuz: =6 4 b. Faklı ekle kullaılacak: P(6,4)= =80 c. Ya yaa iki ev ayı ekte olması: a,a,a,b,c haflei ile 5 hafli kaç kelime yazılabili? P(5;3,,)= 5! 3!.!.! 5.4=0 tae 0, 3 tae, 5 tae akamıyla; a. 0 basamaklı kaç şife yazılabili? 0! P(0;,3,5)= 50!.3!.5! b. 0 basamaklı kaç doğal sayı yazılabili? 9! 0 ile başlaya şife sayısı: P(9;,3,5)= 504 3!.5! =06 tae doğal sayı yazılabili..yol: başlayala+ ile başlayala P(9;,,5)+P(9;,3,4)=756+60=06 84
12 A da B ye e kısa yolda kaç değişik şekilde gidilebili? Yatay yolla : sembolü ile, Dikey yolla : 0 sembolü ile gösteildiğide; A da, B ye e kısa yol: 4 tae, 3 tae 0 sembolü ile 7! yazılabilecek şife sayısı kadadı. P(7;4,3)= 35 4!.3! C de geçmek koşulu ile: 3! 4! A da, C ye: P(3;,)= 3 C de, B ye: P(4;,)= 6!!.! A da, C ye VE C de, B ye: 3.6=8 6 tae özdeş potakal, 3 çocuğa kaç değişik şekilde dağıtılabili? Potakalla 0 sembolü ile, ayıaçla sembolü ile gösteilise; iki tae ayıaç, altı potakalı üç bölüme ayıı. Öeği: yazılımıda;. çocuk,. çocuk 3, 3. çocuk potakal almıştı. 8! Dağılım sayısı: P(8;6,)= 8 6!.! He çocuk e az bi potakal alıyo ise: İki ayıaç, 6 potakalı aalaıda oluşa 5 tae aalıkta seçile iki taesie yazılı: Dağılım sayısı: C(5,)=0!!! UYARI: Dağıtılacak özdeş ese sayısı: Kişi sayısı: ise ; C(-, -) dağılım vadı. 85
13 86 KOMBİNASYON: S(A) = ve olmak üzee; A kümesii elemalı alt kümeleie elemaı -li bi kombiasyou dei.,, A={a,b,c,d} kümesii 3-lü kombiasyolaı? {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d} olmak üzee; tae. 0!!.!!,, P C
14 4 öğetme, 7 öğecide 5 kişilik gup kaç değişik şekilde seçilebili? a. Koşulsuz: 46 5 b. si öğetme: c. E az 3 ü öğetme: d. Belli bi öğetme ile belli bi öğeci bi aada olmayacak: Belli bi öğetmele, öğeciyi alı, kala 9 kişi içide 3 kişi daha seçesek; öğetme ile öğecii bi aada olduğu guplaı buluuz köşeli koveks çokgei köşegelei kaç oktada kesişi?! C(,4)= 4! 4! (oluştuulabile dötge sayısı) 87
15 88 6 kişi, he masada e az bi kişi olmak koşulu ile yuvalak masalaa kaç değişik şekilde sıalaabili? masaya: Masalaa dağılım: 5, veya 4, veya 3, 3 olabili. UYARI: 3 e, 3 dağılımda masala faklı kabul edilmemişti. 3 masaya: Masalaa dağılım: 4,, veya 3,, veya,, olabili. (Eşit sayıda kişi bulua masala faklı kabul edilmemişti.) elemalı küme ikişeli guplaa kaç değişik şekilde ayılabili? A={,,,} kümesii adışık sayı içemeye -li kombiasyolaı? içi di. A={,,3,4,5,6,7} kümesii adışık sayı içemeye 3 elemalı alt kümelei? taedi. 74.!.! 3 6.3!.! 4 6.4!.0! !.!.! 4 6 3!.!.! !.0!.0! 4 6! !.!
16 0 kişilik bi sııfta: a. kişi kaç değişik şekilde seçilebili? C(0,)=45 b. Bi başka ve bi başka yadımcısı kaç değişik şekilde seçilebili? P(0,)=90 c. şeli gupla kaç değişik şekilde oluştuulabili? ! d. Oluştuulacak şeli gupla faklı yelee gödeilecek ise: 3400 M={ a,. a,...,.. a } kümeside he elema isteildiği kada kullaılmak üzee elemalı kombiasyo sayısı: di. 3 çeşit tost satıla büfede 6 tost kaç değişik şekilde alıabili? A={,,3,4} kümesii 3-lü kombiasyolaı kaç taedi? taedi. (Buada bi elema bide fazla kullaılamaz.) He elema isteildiği kada kullaılısa;
17 İçide üç çeşit şeke bulua bi kavaozda, üç şeke kaç değişik şekilde seçilebili? A,A,A A,A,B A,A,C A,B,B A,C,C B,B,B B,C,C C,C,C C,B,B A,B,C Olmak üzee; taedi. x,y,z pozitif tamsayılaı içi; xyz=4000 olacak şekilde kaç faklı (x,y,z) üçlüsü yazılabili? 4000 =
18 DAĞITIM PROBLEMLERİ: A) faklı ese, faklı kutuya: ) He kutuya e çok bi tae: P(,)=(-)(-).(-+) ) He kutuya isteildiği kada:. = 3) He kutuya isteildiği kada: (kutuladaki sıa öemli)! (+)(+) (+-)=! B) özdeş ese, faklı kutuya: ) He kutuya e çok bi tae: ) He kutuya isteildiği kada: 3) He kutuya e az bi tae: x+y+z= deklemii doğal sayı çözümleii kümesi kaç elemalıdı? =+, iki tae sayısı, x,y ve z bilimeyeleie isteildiği kada dağıtılacak: Ç={(,0,0),(0,,0),(0,0,), (,,0),(,0,),(0,,)} 9
19 Beş faklı kitap, üç aflı bi kitaplığa ya yaa kaç faklı şekilde sıalaabili? (Raflaa isteildiği kada kitap sıalaabili.). kitap, 3 afta biie,. kitap, 4 yede biie, (3 af+. kitabı ayıdığı bölümlede bii) 3. kitap, 5 yede biie, (3 af+. ve. kitaplaı ayıdığı bölümle.) =50 değişik sıalama yapılabili. 9
20 93 BİNOM TEOREMİ: Başta (+) ici teim : y x di. Katsayıla toplamı: m Faklı teim sayısı: Katsayıla içide e büyüğü: =m ise =m+k ise ifadesii açılımıda: Katsayıla toplamı: 3 4 =8 Faklı teim sayısı: Katsayıla içide e büyüğü: y y x y x x y x y x k k !.. m m m m x x x x x x m m!! m k!! 4 z y x !! 4! 3
21 OLASILIK: ÖRNEK UZAY: Soucu belli olmaya bi deeyde elde edilmesi mümkü ola bütü souçlaı kümesie öek uzay dei. OLAY: Öek uzayı hehagi bi alt kümesie olay dei. Ø :imkasız olay E:kesi olay Öek uzayı ayık iki alt kümesie ayık olayla dei. Öek uzayı bütü alt kümeleii kümeside [0,] aalığıa taımlaa ve aşağıdaki aksiyomlaı sağlaya he P foksiyoua olasılık foksiyou ve A E olayıı P(A) göütüsüe A ı olasılık ı dei. O : A E ise 0 P(A) O : P(E)= O 3 : A B=Ø ise P(A B)=P(A)+P(B) P(Ø)=0 A B ise P(A) P(B) P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B) P(A )=-P(A) E={a,a,,a } içi P(a )=P(a )= =P(a ) ise E öek uzayıa eş olumlu öek uzayı dei. P(A)= s( A) s( E) B olayıı geçekleşmiş olması halide, A olayıı olasılığıa PA B sa B A ı, B koşullu olasılığı dei. P(A\B)= = P B sb P(A B)=P(A).P(B) ise A ve B bağımsızdı. tae bağımsız deeyi he biide olumlu souç elde edilme olasılığı p olsu. Bu tae deeyde tae olumlu souç elde edilme olasılığı:. p.( p) di. (Biom dağılım fok.) 94
22 Beşe seçeekli,5 soulu bi testte,soulaı tümüü tahmi ede öğecii 4 souyu doğu işaetleme olasılığı kaçtı? 5 seçeekli bi souda doğu tahmi yapma olasılığı: p= 5 ti. Yalış tahmi yapma olasılığı: -p= 5 4 olu P(A)= ( ).( ) A ı poblemi çözme olasılığı 4/5, B i /3, C i 3/7 di. Üçü de uğaştığıda poblemi çözülmüş olma olasılığı? Poblemi çözememe olasılıklaı; P(A )=-, P(B )=-, P(C )= Üçüü de poblemi çözememe olasılığı: 4 4 P(A B C )= Poblemi çözülmüş olma olasılığı: Bi çift za atıldığıda toplam 8 gelme olasılığı kaçtı? E={(,),(,),,(6,6)}, s(e)=36 A={(,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,)}, s(a)=5 s( A) P(A)= s( E)
23 6 kımızı, 4 beyaz, 8 mavi top bulua tobada 3 top çekiliyo. a. Üçü de kımızı: 8 s(e)= 3 s( A) P(A)= s( E) s(a)= b. beyaz, kımızı: 8 s(e)= 3 s( A) P(A)= s( E) s(a)= c. E az bi kımızı: 8 s(e)= 3 s( A) P(A)= s( E) P(A )=-P(A)= s(a)= hiç bii kımızı değil. e az bii kımuzı. d. Üçü de faklı ekte: 8 s(e)= 3 s( A) P(A)= s( E) ! , s(a)= e. Öce kımızı, soa beyaz, soa mavi çekme olasılığı: P(K)= 8 6, P(B)= 7 4, P(M)= P(A)=P(K B M)=P(K).P(B).P(M)=
24 A ı 3, B i 9 kitabı vadı. Kitaplaıı kaç değişik biçimde değiştiebilile? Bie, ikişe veya üçe kitap değiştiebilecekleide; ALIŞTIRMALAR: ise =? Y:5 (x+y+z) 996 ifadesii açılımıda x 9 y 96 lı teim? Y: x y 96 z 88 {,,3,4,5,6} kümesii elemalaı ile üç basamaklı, akamlaı faklı sayıla küçükte büyüğe doğu sıaladığıda başta 6. sayı kaçtı? Y:4 Altı çocuklu (ikiz çocuk yok) bi ailei çocuklaıı üçüü ekek, üçüü kız olma olasılığı kaçtı? Y:5/6 97
25 KONU TESTİ:. Bi çift za atılıyo. Üstte okua sayıla toplamıı çift sayı olma olasılığı kaçtı? A) 7/36 B) / C) 5/9 D) 7/ E) 5/. A={,,3,4,5,6,7,8,9,0} kümesi veiliyo. A kümeside seçile bi elemaı {3,4} {4,5,6,7} {6,7,8} kümesii de elemaı olma olasılığı kaçtı? A) 0,4 B) 0,5 C) 0,6 D) 0,7 E) 0,8 3. Bi tobada 5 beyaz, 5 kımızı, 5 siyah ve 5 saı olmak üzee toplam 0 top vadı. Tobada ayı ada çekile 4 topta e az ikisii ayı ekte olma olasılığı kaçtı? A) 800/969 B) 49/4845 C) 864/969 D) 844/969 E) 3456/ Aalitik düzlemde köşelei ; A(,), B(-.), C(,-) ve D(-,-) ola kae alııyo. Kae içide alıa bi P oktasıı O(0,0) oktasıa, A(,) oktasıda daha yakı olma olasılığı kaçtı? A) /8 B) /4 C) 3/8 D) 5/8 E) 7/8 98
Kutu Poblemlei (Tekalı Kombiasyo) c) faklı dağıtılabili! Özdeş üç kutuya pay, pay, pay dağıtımı yapılısa; pay ala kutuu diğeleiyle ola özdeşliği bozul
Kutu Poblemlei (Tekalı Kombiasyo) KUTU PROBLEMLERİ Bu kouyu öekle üzeide iceleyeek geellemele elde edelim Öek a) faklı ese, kutuya pay, kutuya pay ve kutuya pay olacak şekilde kaç faklı dağıtılabili? b)
Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışları. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER
Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Doç.D. Suat ŞAHİNLE Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Olasılık: Eşit saşla meydaa gele tae olayda A taesi A olayı olsu. Bu duumda A olayıı meydaa gelme olasılığı;
Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir.
BÖLÜM 1 KÜMELER CEBİRİ Küme, iyi tanımlanmış ve farklı olan nesneler topluluğudur. Yani küme, belli bir kurala göre verilmiş nesnelerin listesidir. Nesneler reel veya kavramsal olabilir. Kümede bulunan
8. f( x) 9. Almanca ve İngilizce dillerinden en az birini bilenlerin
. MAEMAİK çapıldığıda, çapım olu? 6 ifadesi aşağıdakilede hagisi ile ) 6 + ifadesie eşit ) D) 6 + 8. f( ) ile taımlı f foksiouu e geiş taım kümesi aşağıdaki sg( ) lede hagisidi? 6,@ ) 6,@ ) ^, h, ^, +
ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ MATEMATİK
ÖABT ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ MATEMATİK DENEME SINAVI ÇÖZÜMLERİ ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ DENEME SINAVI / çözümlei. DENEME. Veile öemelede yalız III kesi olaak doğudu. Bu edele doğu cevap seçeeği B di..
VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( )
Sıava Katıla Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR 2 997. ( )( )( ) ( ) ( ) k x x x... k. x... 997. x poliomu ( ) a x a x... a x, a 0 ve k < k
Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar
Ders 2: üme Teorisi, Örek Uzay, Permütasyolar ve ombiasyolar üme avramı üme İşlemleri Deey, Örek Uzay, Örek Nokta ve Olay avramları Örek Noktaları Sayma Permütasyolar ombiasyolar Parçalamalar (Partitio)
OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10
. ( ) ( ) 9 x.si x + 4 / x.si x, 0 x π İfadesii alabileceği e küçük tamsayı değeri A) 4 B) 3 C) D) E) 0. Yuvarlak bir masa etrafıda otura 5 şövalye arasıda rasgele seçile 3 taeside e az ikisii ya yaa oturma
( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri
V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı
n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10
KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise
n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10
KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise
Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ
PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar
KOMBİNASYON: ve r birer pozitif doğal sayı olmak üzere r olsu. farklı elemaı r elemalı alt kümelerii sayısıa i r 2. Örek:! C(,r) = r!. r! li kombiasyou deir ve gösterilir. C(,r) = r P(,r)! = = r r! r!.
MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ
MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SÜLEYMNİYE EĞİTİM KURUMLRI MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SORULR. li ile etül ü de içide buluduğu 4 erkek ve 6 bayada oluşa bir grupta
BAĞINTI VE FONKSİYON
BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı
Örnek Uzay: Bir deneyin tüm olabilir sonuçlarının kümesine Örnek Uzay denir. Genellikle harfi ile gösterilir.
BÖLÜM 3. OLASILIK ve OLASILIK DAĞILIMLARI Rasgele Sonuçlu Deney: Sonuçlarının kümesi belli olan, ancak hangi sonucun ortaya çıkacağı önceden söylenemeyen bir işleme Rasgele Sonuçlu Deney veya kısaca Deney
( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.
KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri
REEL ANALĐZ UYGULAMALARI
www.uukcevik.com REE NĐZ UYGUMRI Sou : (, Α, µ ) ölçü uzayı olsu. = N, Α= ( N ) ve µ ( E) olduğuu östeiiz. N üzeide alması içi eek ve yete koşul < di. Gösteiiz. µ oksiyouu veile taımıı uyulayalım; µ (
r r r r
997 ÖYS. + 0,00 0,00 = k 0,00 olduğuna göe, k kaçtı? B) C). [(0 ) + ( 0) ] [(9 0) (0 ) ] işleminin sonucu kaçtı? B) C) 9 6. Bi a doğal sayısının ile bölündüğünde bölüm b, kalan ; b sayısı ile bölündüğünde
81 Permütasyon 1C- 2A-3C-4D- 5B-6C -7B- 8C - 9C -10D-11C -12D -13D-14C-15D-16C-17C -18C-19A-20E
101 102 103 104 105 106 107 1B- 2E-3D-4C- 5E-6D -7B- 8B - 9E-10E-11B -12E-13C-14B -15C -16D 1C- 2E-3E-4B- 5A-6D -7B- 8C- 9D-10D-11B -12D 1D-2C-3A-4E-5A-6A -7C-8E- 9D -10C-11E-12B -13A-14D -15A -16E -17C
BİYOİSTATİSTİK OLASILIK
BİYOİSTATİSTİK OLASILIK B Doç. Dr. Mahmut AKBOLAT *Küme Kavramı: Küme, tek bir isim altında toplanabilen ve benzer özellik gösteren birimlerin meydana getirdiği topluluk olarak tanımlanabilir. Küme içinde
( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.
KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi oluştura
KÖKLÜ SAYILAR. 1 n n. x a a x say s na a n n n. kuvvetten kökü denir. Köklü say lar n. çözüm. n n. a özelli inden, çözüm. m n n. çözüm. çözüm.
KÖKLÜ SAYILAR Köklü Sayılar ve doal say olmak üzere, x =a deklemii salaya hepsi ay zamada birer üslü saydr. = ise a a (karekök a) = ise a (küpkök a) = ise a (. kuvvette kök a) : : = ise a (. kuvvette kök
AB yönlü doğru parçası belirtilmiş olur. Doğrultusu, uzunluğu ve yönünden söz edilebilir.
HAZİNE-1 HAZİNE-2 Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [AB] DOĞRU PARÇASI denir. Doğrultusu (üzerinde bulunduğu doğru) ve uzunluğundan söz edilebilir.
Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b)
Bağıtı YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - - - BAĞINTI ÖZELLĐKLER: SIRALI ĐKĐLĐ: (a,) şeklideki ifadeye ir sıralı ikili yada kısaca ikili deir (a,) sıralı ikiliside a ya irici
İSTANBUL İL MİLLİ EĞİTİM MÜDÜRLÜĞÜ BİLİM OLİMPİYATLARI 2018 SINAVI
ÖGRENCİNİN ADI SOYADI : T.C. KİMLİK NO : OKULU / SINIFI : SINAVA GİRDİĞİ İLÇE: SINAVLAİLGİLİUYARILAR: İSTANBUL İL MİLLİ EĞİTİM MÜDÜRLÜĞÜ BİLİM OLİMPİYATLARI 018 SINAVI Kategori: Lise Matematik Soru Kitapçık
(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.
Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..
{ 1 3 5} UYGULAMA-2 OLASILIK HESABI { } i, i = 1, 2,, n elemanına aşağıdaki özelliklere sahip bir p. her bir ω. sayısı karşılık getirilsin.
UYGULAMA- OLASILIK HESABI Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω { ω, ω,, ω }, U olmak üzere, Ω ı her bir ω i, i,,, elemaıa aşağıdaki özelliklere sahip bir p i sayısı karşılık getirilsi. ) p 0, i,,...,
{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI
OLASILIK HESABI Bu derste, uygulamalarda sıkça karşılaşıla, Olasılık Uzaylarıda bazılarıa değieceğiz ve verilmiş bir Olasılık Uzayıda olasılık hesabı yapacağız. Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω {
7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları
Hatırlatma: ( Ω, U, P) bir olasılık uzayı ve 7. Ders Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları : Ω ω R ( ω) foksiyou Borel ölçülebilir, yai B B içi { ω Ω : ( ω) B } U oluyorsa foksiyoua bir Rasgele Değişke deir.
Öğr. Elemanı: Dr. Mustafa Cumhur AKBULUT
Üite 9: Koelasyo Öğ. Elemaı: D. Mustafa Cumhu AKBULUT 9.Üite Koelasyo 2 Üitede Ele Alıa Koula 9. Koelasyo 9.1. Değişkele Aasıdaki İlişkile 9.2. Koelasyo katsayısı 9.Üite Koelasyo 3 Koelasyo Buda öceki
Cevap D 6. P ( 1 ) = 2, P ( 2 ) = 1. x = 1 P ( P ( 1 ) ) = a + b. Cevap E. x = 2 P ( P ( 2 ) ) = 2a + b. a + b = 1 2a + b = 2
eeme - / YT / MT MTEMTİK ENEMESİ Çözümle. - a a + a - a+ a - - ^- ah. ^+ ah ^a- h. ^a+ h =. ^a-h. ^a-h a + =- ^a+ h =-a-. (! ) (! ) =. (!! ). (! +! ) =.!..!. =. tae tae tae = + + = 0 buluu.. =.. alıısa
DRC. 5. ab b = 3 b ( a 1 ) = Deponun hacmi 24x olsun, 3. y = 6 için = 3. 7 MATEMATİK DENEMESİ. a 9 b. a 2 b b = 12 b ( a 2 1 ) = 12.
MTEMTİK DENEMESİ Çözümle.. ab b = b ( a ) = a 9 b a b b = b ( a ) =. c d 7,,,,,, 7,, 9 + +... + 9 = : = a + + = a = b =, c = + 7 + d = d = = 7 < < & > > 7 & > > 7 =,,,, olup in alabileceği faklı değelein
SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :.
SAYILAR BASAMAK KAVRAMI İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. Üç basamaklı rakamları farklı en küçük sayı :. SORU 5 MATEMATİK KAF03 TEMEL KAVRAM 01 Üç basamaklı birbirinden
6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI
6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay
ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR
ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 60 sayısıı asal çarpalarıa ayrılmış şekli aşağıdakilerde hagisidir? A)..5 D)..5 B)..5 E)..5 C)..5 1.Yötem: 60 180 90 45 60..5 tir. 15 5 5 1.Yötem: Öğrecilerimizi1.Yötemde
Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak
Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt
OLASILIK. Matematiğin en zevkli, uygulaması en çok olan konularından biridir. ÇÖZÜM
OLASILIK Matematiğin en zevkli, uygulaması en çok olan konularından biridir. Sayı yazma problemleri, sıralama soruları, seçme soruları gibi sorular bu bölümde incelenecektir. Yukarıda saydığımız tüm soruların
SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI:
www.testhae.com SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: -RAKAM -SAYI -DOGAL SAYILAR -SAYMA SAYILARI -ÇFT DOGAL SAYILAR -TEK DOGAL SAYILAR -ARDISIK DOGAL SAYILAR -ARDISIK ILK
Ders 6 OLASILIK KURAMI. Örnek Uzaylar, Örnek Noktalar ve Olaylar. Örnek Uzaylar, Örnek Noktalar ve Olaylar
Ders 6 Olasılık Teorisi Permutasyonlar ve Kombinasyonlar OLASILIK KURAMI Geçtiğimiz 5 hafta boyunca serilerin temel özelliklerini gösteren grafiklerin neler olduğunu ve Serilerin temel özelliklerini anlamada
Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.
TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }
kişi biri 4 kişilik, üçü ikişer kişilik 4 takıma kaç farklı şekilde ayrılabilir? (3150)
PERMÜTASYON KOMBİNASYON. A = {,,,,5} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 5 elemanı bulunur? (). 7 elemanlı bir kümenin en az 5 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? (9). A { a, b, c, d, e, f, g, h}
1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler
ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...
TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI.
TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI Birici Bölüm DENEME-4 Bu sıav iki bölümde oluşmaktadır. * Çokta seçmeli
2013 2013 LYS LYS MATEMATİK Soruları
LYS LYS MATEMATİK Soulaı. LYS 5. LYS ( + a ) = 8 < < olmak üzee, olduğuna öe, a kaçtı? I. A) D) II. + III. (.) ifadeleinden hanileinin değei neatifti? A) Yalnız I Yalnız II Yalnız III D) I ve III II ve
Örnek...5 : A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 4 lü perm ütas yonlarının kaç tanesinde,
PERMÜTASYON ( SIRALAMA OLAYI ) Birbirinden farklı n tane nesnenin r tanesinin farklı her dizilişine (sıralanışına) n nesnenin r li permütasyonları denir ve P(n,r)= n! (r n) (n r)! biçim inde gösterilir.
KOMBİNASYON. Güneşe bakarsanız gölgeleri göremezsiniz. Adı : Soyadı : Zeka, Tecrübe ve Çalıskanlık birlesirse tüm hedeflere ulasılır
Güeşe bakarsaız gölgeleri göremezsiiz KOMBİNASYON Adı : Soyadı : Zeka, Tecrübe ve Çalıskalık birlesirse tüm hedeflere ulasılır Mat Müh BAHTİYAR DAĞDELEN 05-799 9 5 KOMBİNASYON KOMBİNASYON r olmak üzere,
1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz.
Sorular ve Çözümleri 1. GRUPLAR 1) G bir grup olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri gösteriiz. i) e G birim elema olmak üzere e 1 = e. ii) a G olmak üzere (a 1 ) 1 = a. iii) a 1, a 2,, a G içi (a 1 a 2 a )
TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir.
TABAN ARĠTMETĠĞĠ Kullandığımız 10 luk sayma sisteminde sayılar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanları (Rakam) kullanılarak yazılır. En büyük elemanı 9 olan, 10 elemanlı bir kümedir. Onluk sistemde;
16. 6 kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç farklı şekilde sonuçlanabilir? (64)
SAYMANIN TEMEL İLKESİ 1. Altılık sayma düzeninde dört basamaklı rakamları tekrarsız kaç sayı yazılabilir? (300) 2. 0,1,2,3,4,5,6,7 rakamları ile yazılabilecek 300 ile 700 arasında en çok kaç değişik doğal
1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( )
. TEMEL KAVRAMLAR Derleye: Osma EKİZ Bu çalışmaı temelii Jiri Herma, Rada Kucera, Jaromir Simsa., Elemetary Problems ad Theorems i Algebra ad Number Theory isimli kitap oluşturmaktadır. İlgili bölümü çevirisi
İSTANBUL İL MİLLİ EĞİTİM MÜDÜRLÜĞÜ İSTANBUL BİLİM OLİMPİYATLARI 2017 LİSE MATEMATİK SINAVI. 10 Mayıs 2017 Çarşamba,
İSTANBUL İL MİLLİ EĞİTİM MÜDÜRLÜĞÜ İSTANBUL BİLİM OLİMPİYATLARI 07 LİSE MATEMATİK SINAVI 0 Mayıs 07 Çarşamba, 09.30 -.30 Öğrencinin, Adı Soyadı : T.C. Kimlik No : Okulu / Sınıfı : Sınav Merkezi : . Bir
TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi
Türkiye Ulusal Matematik Olimpiyatları DENEME SINAVI. 4. Deneme
Türkiye Ulusal Matematik Olimpiyatları Birinci Aşama Zor Deneme Sınavı 11 Haziran 2016 DENEME SINAVI 4. Deneme Soru Sayısı: 32 Sınav Süresi: 210 dakika Başarılar Dileriz... Page 1 of 9 DENEME SINAVI (4.
Temel Olasılık {\} /\ Suhap SAHIN
Temel Olasılık 0 {\} /\ Suhap SAHIN Olasılık P(E) : E nin olma olasılıgı n: Deneme sayısı n(e): Denemelerden kaçı E ile sonuçlandı Deneme sayısı sonsuza( ) yaklasırsa P(E) = limn n(e) n Örnek Uzay S: Bir
BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,,
BİNOM AÇILIMI Binom Açılımı n doğal sayı olmak üzere, (x+y) n ifadesinin açılımını pascal üçgeni yardımıyla öğrenmiştik. Pascal üçgenindeki katsayılar; (x+y) n ifadesi 1. Sütun: (x+y) n açılımındaki katsayılar
5. ( 8! ) 2 ( 6! ) 2 = ( 8! 6! ). ( 8! + 6! ) Cevap E. 6. Büyük boy kutu = 8 tane. Cevap A dakika = 3 saat 15 dakika olup Göksu, ilk 3 saatte
Deneme - / Mat MTEMTİK DENEMESİ Çözümle. 7 7 7, 0, 7, + + = + + 03, 00,, 3 0 0 7 0 0 7 =. +. +. 3 = + + = 0 bulunu.. Pa ve padaa eklenecek saı olsun. a- b+ b =- a+ b+ a & a - ab+ a =-ab-b -b & a + b =
Aritmetik Fonksiyonlar
BÖÜM V Aiteti osiyola Taı 5. Taı üesi oğal sayıla ola, : N C, şeliei osiyolaa aiteti osiyola ei., içi.. oşuluu sağlaya aiteti osiyolaa ise çaısal osiyola ei. Öe He N içi, ve 3 0 şelie taılaa osiyola bie
Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...
MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız
PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK...111. Konu Özeti...111. Testler (1 11)...115. Yazılıya Hazırlık Soruları (1 2)...
ÜNİTE PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK Bölüm PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM VE OLASILIK! = (...... ) PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK PERMÜTASYON, KOMBİNASYON,
+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır?
PROBLEMLER: 9 Sıavı 5 a, a, a,..., a Z, 0 a k olmak üzere, 95 sayısı faktöriyel tabaıda 5. k 95 = a+ a.! + a.! +... + a.! biçimide yazılıyor. a kaçtır? (! =...( ) ) 0 ( B ) ( C ) ( D ) ( E ). Bir ABC üçgeide
TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.
TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak
1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1
1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,
TG 2 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK
KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlei he hakkı saklıdı. Hagi amaçla olusa olsu, testlei tamamıı veya bi kısmıı
Cahit Arf Matematik Günleri 10
Cahit Arf Matematik Günleri 0. Aşama Sınavı 9 Mart 0 Süre: 3 saat. Eğer n, den büyük bir tamsayı ise n 4 + 4 n sayısının asal olamayacağını gösteriniz.. Çözüm: Eğer n çiftse n 4 +4 n ifadesi de çift ve
İKTİSATÇILAR İÇİN MATEMATİK
Kostadi Teçevski Aeta Gatsovska Naditsa İvaovska Yovaka Teçeva Smileski İKTİSATÇILAR İÇİN MATEMATİK DÖRT YILLIK MESLEKİ OKULLARA AİT SINIF IV İKTİSAT - HUKUK MESLEĞİ EKONOMİ TEKNİSYENİ Deetleyele: D. Bilyaa
7 Mayıs 2006 Pazar,
TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 14. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2006 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 7 Mayıs 2006 Pazar, 13.00-15.30
DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI
DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI BİREYSEL YARIŞMA SORULARI CEVAPLARI CEVAP KAĞIDI ÜZERİNE YAZINIZ. SORU KİTAPÇIĞINI KARALAMA MAKSATLI KULLANABİLİRSİNİZ 1
İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı
İstatistik Nedir? İstatistik rasgelelik içere olaylar, süreçler, sistemler hakkıda modeller kurmada, gözlemlere dayaarak bu modelleri geçerliğii sıamada ve bu modellerde souç çıkarmada gerekli bazı bilgi
TÜM DERSLER. Dizgi Yazarlar
TÜM DERSLER 978-605-82679-3-0 Yazarlar Dizgi 3 5 9 25 27 33 35 63 83 85 87 93 97 203 277 237 257 263 269 275 287 293 297 309 323 333 339 359 369 383 389 TEST 1 BÖLÜM - I 1.? 4. - TÜRKÇE 2. - - -? - 5.
SERİMYA II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI
SERİMYA - 4 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI. 4? 4 4. A B denkleminde A ve B birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) 8 C) D)
10SINIF MATEMATİK. Sayma ve Olasılık Fonksiyonlar
0SINIF MATEMATİK Sayma ve Olasılık Fonksiyonlar YAYIN KOORDİNATÖRÜ Oğuz GÜMÜŞ EDİTÖR Hazal ÖZNAR - Uğurcan AYDIN DİZGİ Muhammed KARATAŞ SAYFA TASARIM - KAPAK F. Özgür OFLAZ Eğer bir gün sözlerim bilim
RADYAL EPİTÜREVLERİN BAZI ÖZELLİKLERİ ÜZERİNE BİR ARAŞTIRMA
ISSN:306-3 e-joual of New Wold Scieces Academ 009 Volume: 4 Numbe: 4 Aticle Numbe: 3A006 PHSIAL SIENES eceived: abua 009 Accepted: Septembe 009 Seies : 3A ISSN : 308-7304 009 www.ewwsa.com Goca İceoğlu
Örnek: sayısının binler basamağındaki rakamın basamak değeri ve sayı değeri arasındaki fark bulunuz.
Basamak Analizi : Bir sayıda rakamların yazıldığı yere basamak denir. * Bir sayıda bulunan rakamların kendi değerine sayı değeri denir. Örnek: 208371 sayısının binler basamağındaki rakamın basamak değeri
YENİDEN DÜZENLENMİŞTİR.
0. Sııf MATEMATİK Soru Kitabı Mehmet ŞAHİN T.C MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI Talim Terbiye Kurulu Başkalığı MATEMATİK Öğretim programıda yaptığı so gücelleme doğrultusuda YENİDEN DÜZENLENMİŞTİR. Emre ORHAN Mehmet
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ OLASILIĞA GİRİŞ DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması
OLASILIĞA GİRİŞ P( )= =
OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması olasılığı %85 dir. Olasılık modelleri; Sıvı içindeki moleküllerin davranışlarını
MATEMATİK. Temel Kavramlar I. Test a ve b doğal sayılardır. 5. Ardışık 5 tek sayının toplamı 115 tir. 6. x ve y tamsayılardır.
MATEMATİK Test 0 Temel Kavramlar I. a ve b doğal sayılardır. a + b = 7 olduğuna göre, a.b çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?. Ardışık tek sayının toplamı tir. Buna göre, bu sayıların en büyüğü
BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI
Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei
ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF TEST SORULARI
. a 6 b a b 8 ifadesinin açılımında b çarpanının bulunmadığı terim aşağıdakilerden hangisidir?. Bir toplulukta en az iki kişinin yılın aynı ayı ve haftanın aynı gününde doğduğu kesin bilindiğine göre,
TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84
N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde
f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi
4.2. Pozitif Foksiyoları İtegrali SOU : f ), M +, A) kümeside bulua foksiyoları mooto arta dizisi ve h.h.h. f = f ise f dµ = f dµ gerçekleir. Gösteriiz Bu teorem Mooto yakısaklık teoremide yakısaklık yerie
TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR
TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.
ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK
ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK YGS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI CEVAP ANAHTARI RASYONEL SAYILAR ONDALIK SAYILAR ÖRNEKLER (Sayfa -) 6 ) ) ) 6) ; ; ) 0) ) ; 8 ) ) ) 0 ) 6 0 0 8) 0 ) 0) 6 ) 8 ) 8 8) ) ; 6
ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi
PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:
SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=
(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.
Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit
ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF TEST SORULARI A) 80 B) 84 C) 88 D) 102 E) 106
1. n bir doğal sayı olmak üzere, n! sayısının sondan k basamağı 0 dır. Buna göre, k tamsayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz? 3. (x+y+z+t ) 6 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? A) 80 B) 84 C) 88 D)
MATEMAT K PERMÜTASYON - KOMB NASYON ÖRNEK 1: ÖRNEK 2:
MATEMAT K PERMÜTASYON - KOMB NASYON ÖRNEK : ÖRNEK 2:, 6, 7, 8, 9 rakamlar kullaarak rakamlar birbiride farkl ola, üç basamakl ve 780 de küçük kaç de iflik say yaz labilir? A) 6 B) 2 C) 36 D) 30 E) 2 (999
TEMEL SAYMA KURALLARI
TEMEL SAYMA KURALLARI SAYMA Toplama Yoluyla Sayma A ve B sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere, bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısı; s(a,b) = s(a) + s(b) dir. Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin
Basamak Kavramı Video Anlatım Testi
Sayfa : 1 Rakamlar = Doğal sayılar = Tam sayılar = Üç basamaklı en küçük doğal sayı : Üç basamaklı rakamları farklı en küçük doğal sayı : Üç basamaklı rakamları farklı en büyük tek sayı : İki basamaklı
POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,
POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x
Atatürk Anadolu. Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar
Atatürk Anadolu Lisesi M A T E M A T İ K Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar KONYA \ SELÇUKLU 01 MATEMATİK 1. TEMEL KAVRAMLAR 1.1. RAKAM Sayıların yazılmasında kullanılan sembollere rakam denir. Onluk
ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 9.MATEMATİK YARIŞMASI 6. SINIFLAR FİNAL SORULARI. 1) 2, 5, 10, 17, 26, 37, sayı örüntüsünde baştan 12. terimi bulunuz.
6. SINIFLAR FİNAL SORULARI ),, 0, 7, 6, 7, sayı örüntüsünde baştan. terimi bulunuz. ) I,,, 4,, 6, 7, 8,, 0 sayıları yazarken kullandığımız rakamlardır. Elimizde 7 tane kibrit çöpü olduğunda, bu çöpleri
Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.
Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal
Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık
Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık Saymanın Temel İlkesi: A1, A2,..., A n kümeleri için s( A1 ) = a1, s( A2 ) = a2,.., s( An ) A xa x xa Kartezyen çarpımının eleman sayısı; s( A xa x... xa ) = s( A
ÇENTİK METODU İLE SAYMA TEKNİKLERİNDE YENİ TEOREMLER
DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ MATEMATİK YARIŞMASI ÇENTİK METODU İLE SAYMA TEKNİKLERİNDE YENİ TEOREMLER MATEMATİK PROJESİ DANIŞMAN YASEMİN YAVAŞ İSTANBUL-2014 İÇİNDEKİLER AMAÇ... 3 GİRİŞ... 4 TEOREMLER...
İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK MÜHENDİSLİĞİ PROGRAMI
İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK MÜHENDİSLİĞİ PROGRAMI ADİ TÜREVLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMLERİNİN CHEBYSHEV POLİNOMLARI İLE ÇÖZÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ Sema
YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından
Sivas Fen Lisesi Ortaokul 2. Matematik Olimpiyatı Sınavı A A) 55 B) 50 C) 45 D) 40 E) 35
Sivas Fen Lisesi Ortaokul 2. Matematik Olimpiyatı Sınavı A 1. ABC üçgeninde BF BD, EC CD olacak şekilde AC kenarı üzerinde E noktası, o BC m(ba C) 70 ise m(fd E) kaç derecedir? AB kenarı üzerinde F noktası,