Şartlı Olasılık. Pr[A A ] Pr A A Pr[A ] Bir olayın (A 1 ) olma olsılığı, başka bir olayın (A 2 ) gerçekleştiğinin bilinmesine bağlıysa;

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Şartlı Olasılık. Pr[A A ] Pr A A Pr[A ] Bir olayın (A 1 ) olma olsılığı, başka bir olayın (A 2 ) gerçekleştiğinin bilinmesine bağlıysa;"

Oz Atalar
6 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Şartlı Olasılık Bir olayın (A ) olma olsılığı, başka bir olayın (A 2 ) gerçekleştiğinin bilinmesine bağlıysa; Pr[A A 2 Pr A A Pr A A = Pr[A A Pr[A Pr[A 2 2 A A 2 S Pr[A A 2 A 2 verildiğinde (gerçekleştiğinde) A in olasılığı şeklinde okunur Eğer A ve A 2 bağımsız ise Pr[A A Pr[A Pr[A Pr A A Pr[A 2 2 Pr A A = Pr[A A 2 Pr[A = Pr[A = Pr[A Pr[A Pr[A 2 Pr[A 2 Pr[A 2 2

2 2 Örnek: Rastgele oluşmuş 3 lü binary sayı dizilerinin kümesini ele alalım. Örnek uzay: S = {000, 00, 00, 0, 00, 0, 0, } İlk bitin olması durumunda 0 dan çok olma olasılığı nedir? iki olayı tanımlayalım: A = {0 dan çok olması} = {0, 0, 0, } A 2 = {ilk bit } = {00, 0, 0, } kesişim: A A 2 = {0, 0, }

3 3 Örnek devam: Ağaç diyagramı Örnek uzayı Örnek uzaydaki 8 olay da /8 olasılığına sahip, öyleyse Pr[A Pr[A 3 2 2= and ve Pr[A Pr[A A 8 A 2= 8 2 8= 8 Şartlı olasılık şu şekilde elde edilir: Pr[A A A = A A / Pr A A2 = = Pr[A /

4 4 Toplam Olasılık Prensibi (tekrar) A, A 2,, A n karşılıklı kapsamayan ve birlikte tamamlayan olaylar kümesi olsun. B, S içinde bir olay olsun. A A n B BA 2 Burdan A 2 Pr[B = Pr[BA + Pr[BA Pr[BA n n = = Pr Pr[B A B APr[A Pr[A + Pr[B A + BnPr[A A n n Pr[A n n n = Pr[B A = Pr B AiPr[A i Pr[A i i i i =

5 5 Örnek: Binary İletişim Hattı Verici kanal Alıcı Pr[0 A 0 G = G 0 A Pr[0 S = 0.5 Pr[0 0.5 gönderilmesi Pr[ 0.5 gönderilmesi Pr[ S = 0.5 Pr[ A G = 0.90 G Pr[0 A G = 0.0 Pr[ A 0 G = 0.05 A

6 6 şartlı önsel G A G 0 A (hata) G 0 G hata A G A A 0 G A (hata) Pr[hata G = Pr[0 A G = Pr[hata 0 G = Pr[ A 0 G = G 0 G 0 G 0 A 0 S 0 R A Pr[hata = Pr[hata G Pr[ G + Pr[hata 0 G Pr[0 G = = 0.075

7 7 Şartlı Olasılık (devam) Şartlı olasılığın tanımından, Pr A A = Pr[A A 2 Pr A 2 or Pr[A 2 = A A A 2 veya Pr[A A 2 Pr[A A 2 2 Pr[A 2 Pr[A Pr A A = Pr[A 2 Pr[A 2 A 2 PrA or Pr[A 2 = A A Pr[A 2 2 A veya Pr[A A 2 Pr[A 2 A Pr[A Pr[A Pr Pr[A A A A 2 Pr[A 2 = Pr Pr[A A 2 A A Pr[A buradan Pr[A A Pr[A Pr[A = Pr A A 2 Pr[A Pr[A A 2 A A Pr[A

8 8 Bayes Kuralı (Teoremi) A, A 2,, A n karşılıklı kapsamayan ve birlikte tamamlayan olaylar kümesi olsun. Bu durumda, Pr A j B = Pr[B j A Pr[A j j j j Pr[B Pr[A B veya, toplam olasılık prensibini uygularsak Buna Bayes kuralı denir. Pr[ B A Pr[A Pr[ B Pr[ Pr A B = Pr[B B A A j Pr[A Pr[A j Pr[A j B n j j j Pr[ B A k Pr[A k Pr[B A k Pr[A k n k k =

9 9 Örnek: Binary Haberleşme Kanalı Verici Alıcı Pr[0 A 0 G = Pr[0 S = 0.5 Pr[0 0.5 gönderilmesi Pr[0 R S = 0.0 Pr[ S = gönderilmesi 0.5 Pr[0 0.5 Pr[ A G = 0.90 Pr[ R 0 S = 0.05 Ters olasılık, P[ G A nedir?.

10 0 Pr [ S R = Pr[ Pr[ A Pr[ G Pr[ G Pr[ G A R S S Pr[ A Pr[ R Pr[ R = = Pr[ A Pr[ G Pr[ G Pr[ Pr[ S S Pr[ R A S GPr[ S + G Pr[ 0 Pr[0 Pr[ R A0 S Pr[ G 0 S G = = =

11 Örnek: Elimizde 3 kutu entegre devre (ED) olsun:.kutuda 500 ED vardır ve %0 u bozuktur; 2.kutuda 2000 ED vardır ve %20 si bozuktur; ve 3.kutuda 3000 ED vardır ve %6 sı bozuktur. Bu 3 kutudan birini rastgele seçiniz ve seçtiğiniz bu kutudan rastgele bir ED seçiniz. (a) seçilen ED nin bozuk olma olasılığı nedir?

12 2 (a) seçilen ED nin bozuk olma olasılığı nedir? B 3 B B 2 B 3 Tanım: A = seçilen ED bozuk, A B i = ED i. kutudan Toplam olasılık prensibinden Pr[A Pr[A B Pr[A = Pr A B Pr[B + Pr[A B Pr A B 2Pr[B 2 Pr[B 2 Pr[A B + 2 Pr A 3Pr[B B 3 3 Pr[B 3 = 0.0 = = =

13 3 (b) Seçilen ED bozuksa bunun 3. kutudan gelmiş olma olasılığı nedir? Bayes teoreminden Pr[A B Pr B 3 A = Pr[A 3Pr[B B 3 Pr[B Pr[B 3 A 3 3 Pr[A Pr[A 0.6 = = = = (c) Bütün ED ler tek bir kutuda karışmış olarak bulunuyorsa, rastgele seçilen bir ED nin bozuk olma ihtimali nedir?

14 4 Binom Olasılık Kanunu n elemanlı binary dizisi olsun values: Pr[ = p, Pr[0 = - p = q. Tanım: A = {n elemanlı dizide r tane in olması} n elemanlı dizide r tane in oluşma sayısı binom katsayısı ile bulunur n C r bütün bu dizilerde r tane ve n r tane 0 vardır. Bu dizilerin gerçekleşme olasılığı p r q n-r dir. Bu durumda A olayının olma olasılığı: n r Pr[A pq r nr

15 5 Örnek: Kanal bit hata oranı p = 0 2 olan bir modem bağlantısı olsun. Datanın 00 bit lik paketler halinde gittiğini biliyorsak (a) bit in hatalı olma olasılığı nedir? (b) 3 bit in hatalı olma olasılığı nedir? (a) Pr[ bit hatalı in error = = (b) Pr[3 3 bits hatalı in error = =

16 6 Örnek: Kanal bit hata oranı p = 0 3 olan bir sistem olsun. Verici her bir biti 3 kez gönderiyor ve alıcı 3 defada en çok kendine ulaşan biti almış kabul ediyor. Bu durumda bit hatası nedir? (a) her bir iletim n = 3 olan bir Bernoulli denemesidir. Tanım: A = {3 denemede 2 veya daha fazla bit hatası} P Pr[hata r[erro r = Pr[A P A = Pr[ P rr[ r = p 2 3 ( p ) p 3 = p ( p) p = 30 ( 0 ) 0 30 = ( 0 3 )

17 7 (b) n = 5 olması durumunda sonuç ne olur? Tanım: A = {5 denemede 3 veya daha fazla bit hatası} Pr[error Pr[hata = Pr[A = Pr[ Pr[r r = ( p ) p + 4 ( p ) + 55 = p 5 p ( p) p ( p) p

18 8 Örnek: 0 basamaklı binary sayı dizisinde Pr[ = 0.52 olsun. (a) bu binary sayıda 8 veya daha fazla olması olasığı nedir? Tanım: A = {0 bitlik dizide 8 veya daha fazla olması} = Pr[A = (b) 6 tane olması olasılığı nedir? Tanım: A = {0 bitlik dizide 6 tane olması} 0 0 Pr[A = = Pr[A

19 9 Geometrik Olasılık Kanunu Bir alt deneyde A istenen olay olsun ve Pr[A = p, Pr[A C = p şeklinde tanımlansın. Alt deneyi A gerçekleşinceye kadar tekrarlayalım. A nın k. denemede gerçekleştiğini varsayalım: A C A C A C A C A C A k- k istenmeyen istenen A nın k. denemede gerçekleşme olasılığı: Pr[A nın occurs k. denemede in k th gerçekleşmesi trial = ( p)( (- p)(- p)(- p p)( )(- p) p)" (- ( p p) p = ( p) k = ( p ) k p k sonuçsuz deneme k uneventful trials p

20 20 Örnek: Bir bilgisayardan bilgisayara modem hattında alıcı bilgisayar hata tespit algoritmasına sahiptir. Bu bilgisayar hata tespit ederse paketin tekrar gönderilmesini talep etmektedir. Basitlik açısından paket uzunluğunun 8 bit olduğunu varsayalım. Kanal hatasını olasılığı Pr[hata = 0. ise (a) hatanın paketteki 5. bit ten sonra oluşması olasılığı nedir? Pr[ k > 5 = Pr[ k = 6 + Pr[ k = 7 + Pr[ k = 8 = =

21 2 (b) paketin iki kere yeniden gönderilmesi olasılığı nedir? 8 bit ten herhangi biri hatalıysa paket en azından kez yeniden gönderilir. yeniden gönderilen 8 bit in herhangi biri hatalıysa paket tekrar yeniden gönderilir. Pr[ yeniden gönderme Pr[ k Pr[ k i Pr[2 yeniden gönderme Pr[ yeniden gönderme i 2

Benzer belgeler

Rastgelelik, Rastgele Sinyaller ve Sistemler Rastgelelik Nedir?

Rastgelelik, Rastgele Sinyaller ve Sistemler Rastgelelik Nedir? Rastgelelik en basit anlamda kesin olarak bilinememektir. Rastgele olmayan deterministiktir (belirli). Bazı rastgele olgu örnekleri şöyle