Bir-Yönlü ANOVA (Tamamen Rasgele Tasarm)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Bir-Yönlü ANOVA (Tamamen Rasgele Tasarm)"

Transkript

1 Bir-Yönlü ANOVA (Tamamen Rasgele Tasarm) Birdal eno lu ükrü Acta³

2 çindekiler 1 Giri³ Giri³ LS Tahmin Edicilerinin Özellikleri 5 Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m 6 7 Beklenen Deneme Kareler Ortalamas Beklenen Hata Kareler Ortalamas 8 9

3 Varyans analizi, üç ya da daha fazla grup ortalamas arasnda istatistiksel olarak farkllk olup olmad n test etmek amacyla kullanlan bir yöntemdir. Grup ortalamalarnn kar³la³trlmas, deneyin sonunda ba ml de i³kende meydana gelen de i³kenli in ne kadarnn faktör(ler)den, ne kadarnn hatadan, v.b. kaynakland nn belirlenmesi, bir ba³ka deyi³le toplam varyansn bile³enlerine ayrlmas yardmyla yaplr. Bir-yönlü ANOVA (one-way ANOVA), ANOVA nn özel bir halidir ve tasarmlar içinde en basit olandr. Etkisi ara³trlmak istenen yalnz "bir" tane faktör (ba msz de i³ken) oldu unda kullanld ndan dolay, bir-faktörlü ANOVA (one-factor ANOVA) olarak da adlandrlr.

4 Bir-yönlü ANOVA, deney birimleri homojen oldu unda kullanlmas önerilen en uygun tasarmdr. Buradaki homojen sözcü ü "mümkün oldu unca benzer" anlamnda kullanlmaktadr, çünkü do ada ayn/özde³ deney birimleri bulunmaz, bkz. Hinkelmann & Kempthorne (1994). Deney birimleri arasndaki bu küçük farkllklar "rasgele" farkllklar olarak adlandrlr. Deney birimleri homojen olarak kabul edildi i için rasgelele³tirme üzerinde hiçbir kst yoktur. Bu nedenle birçok kaynakta bu tasarma tamamen rasgele tasarm (completely randomized design) ad da verilir.

5 Bir-yönlü ANOVA da rasgelele³tirme i³lemi iki a³amada gerçekle³tirilir. lk a³amada parsellere 1 den 15 e kadar numara verilir, ikinci a³amada S1, S2 ve S3 denemeleri rasgele olarak bu parsellere atanr/uygulanr. Rasgelele³tirme i³lemi sonucu a³a daki tabloya benzer bir sonuç elde edilebilir. S1(1) S1(2) S3(3) S2(4) S2(5) S3(6) S3(7) S2(8) S1(9) S3(10) S2(11) S2(12) S1(13) S1(14) S3(15) Bu tablodan da anla³laca gibi S1 denemesi 1, 2, 9, 13, 14 numaral, S2 denemesi 4, 5, 8, 11, 12 numaral ve S3 denemesi de 3, 6, 7, 10 ve 15 numaral parsellere atanm³tr/uygulanm³tr.

6 Bir-yönlü ANOVA için matematiksel model y ij = µ + τ i + ε ij, i = 1, 2,, a; j = 1, 2, n (1) ³eklinde ifade edilir. Burada, y ij, i inci denemedeki j inci gözlem de erini, µ, genel ortalamay, τ i, i inci denemenin etkisini ve ε ij, rasgele hata terimlerini gösterir. (1) modeli sabit etkili bir modeldir, bir ba³ka deyi³le varsaylr. τ i = 0 oldu u i=1

7 Bir-Yönlü ANOVA modeli için veri yaps a³a da gösterildi i gibidir. Gözlemler Denemeler 1 2 n Toplam Ortalama 1 y 11 y 12 y 1n y 1 ȳ 1 2 y 21 y 22 y 2n y 2 ȳ 2... a y a1 y a2 y an y a ȳ a.. y. ȳ

8 Burada, y i = n j=1 y ij ve ȳ i = y i n, i = 1, 2,, a (2) srasyla i inci denemedeki gözlemlerin toplamn ve ortalamasn gösterir. Ayrca, N = an toplam gözlem saysn göstermek üzere; y = n y ij ve ȳ = y N (3) srasyla tüm gözlemlerin toplam ve tüm gözlemlerin ortalamas olarak tanmlanr.

9 ANOVA tekni i kullanlarak yaplan analizler baz temel varsaymlara dayanr. Bu varsaymlar a³a da açklanm³tr. 1. Varsaym ε ij hata terimleri 0 ortalama ve σ 2 varyans ile normal da lma sahiptir. 2. Varsaym Hata terimlerinin varyanslar homojendir. 3. Varsaym Hata terimleri birbirinden ba mszdr. Bu üç varsaym ksaca ε ij NID(0, σ 2 ) (4) ³eklinde gösterilir.

10 LS Tahmin Edicilerinin Özellikleri Bir parametrenin LS tahmin edicisi, modeldeki hata terimlerin kareleri toplamn bu parametreye göre minimum yapan de erdir. (1) modeli için hata kareler toplam S ile gösterilsin; bir ba³ka ifade ile S = n ε 2 ij = n (y ij µ τ i ) 2 (5) olsun. Bu durumda, model parametrelerinin LS tahmin edicileri S µ = ( 2) S τ i = ( 2) n (y ij µ τ i ) = 0, n (y ij µ τ i ) = 0 j=1 (6) denklem sisteminin çözümüdür.

11 LS Tahmin Edicilerinin Özellikleri (1) modelinin, sabit etkili bir model oldu u göz önüne alnarak, (6) denklem sistemi çözülürse, µ ve τ i parametrelerinin LS tahmin edicileri, srasyla olur. µ = ȳ (7) τ i = ȳ i ȳ (8)

12 LS Tahmin Edicilerinin Özellikleri Hatann varyans σ 2 nin LS tahmin edicisi, σ 2 = = = n (y ij µ τ i ) 2 N n (y ij ȳ ȳ i + ȳ ) 2 N n (y ij ȳ i ) 2 N (9) (10) (11) dir.

13 LS Tahmin Edicilerinin Özellikleri (11) denkleminde verilen LS tahmin edicisi yanldr. Gerekli yan düzeltmesi yaplrsa olur. σ 2 = n (y ij ȳ i ) 2 N a (12)

14 LS Tahmin Edicilerinin Özellikleri Not Benzer sonuçlar en çok olabilirlik (Maximum Likelihood-ML) yöntemi kullanlarak da elde edilebilir. Bir parametrenin ML tahmin edicisi, olabilirlik fonksiyonunu bu parametreye göre maksimum yapan de erdir. Normallik varsaym altnda, LS ve ML tahmin edicileri ayn sonucu verdi inden, ML tahmin edicilerine bu bölümde ayrca de inilmemi³tir. Ancak, belirtmek gerekir ki; σ 2 nin ML tahmin edicisi de yanldr ve gerekli yan düzeltmesi yapld nda bu tahmin edici (12) denklemindeki gibi ifade edilir.

15 LS Tahmin Edicilerinin Özellikleri (1) modeli, yeniden parametrelendirme yaplarak y ij = µ i + ε ij, i = 1, 2,, a; j = 1, 2, n (13) olarak da ifade edilebilir. Burada µ i = µ + τ i dir. (13) modeli, ortalamalar modeli olarak isimlendirilmektedir (Montgomery, 2001). (13) modeli için Fisher bilgi matrisi (Fisher Information matrix-i ) I = olarak tanmlanr. ( ) 2 ln L E ( µ 2 i ) 2 ln L E σ 2 µ i ( ) 2 ln L E ( µ i σ 2 ) 2 ln L (14) E (σ 2 ) 2

16 LS Tahmin Edicilerinin Özellikleri Gerekli i³lemler yapld nda, (bkz., sayfa ) I = n σ 2 0 N 0 2σ 4 (15) olur. Fisher bilgi matrisinin tersi alnarak bulunur. I 1 = σ 2 n 0 0 2σ 4 N (16)

17 LS Tahmin Edicilerinin Özellikleri Teorem (13) modelinde, µ i = µ + τ i olarak tanmlanan µ i parametresinin LS tahmin edicisi µ i, µ i nin yansz bir tahmin edicisidir. Teorem (13) modelinde, (i) µ i = µ + τ i parametresi için RCLB σ 2 /n dir. (ii) σ 2 parametresi için RCLB 2σ 4 /N dir. Teorem (13) modelinde, µ i parametresinin LS (ML) tahmin edicisi µ i nn varyans, σ2 n dir.

18 LS Tahmin Edicilerinin Özellikleri Tanm Varyans RCLB ye e³it olan yansz tahmin ediciye, minimum varyans snr (Minimum Variance Bound-MVB) tahmin edicisi denir. Bu tanmn bir sonucu olarak, oldu undan µ i bir MVB tahmin edicisidir. Sonuç Var( µ i ) = RCLB(µ i ) µ i, µ i ortalama ve σ 2 /n varyans ile normal da lma sahiptir.

19 LS Tahmin Edicilerinin Özellikleri Teorem X 1, X 2,, X n, olaslk (yo unluk) fonksiyonu f (x θ) olan bir da lmdan alnan örneklem ve bu örneklemin olabilirlik fonksiyonu L(θ x) = n f (x i θ) 1 olsun. T (X ) tahmin edicisinin, beklenen de eri ρ(θ) ve varyans olan bir MVB m(θ) tahmin edicisi olmas için gerekli ve yeterli ko³ul; log-olabilirlik fonksiyonunun ilgili parametreye göre ksmi türevinin ³eklinde yazlabilmesidir. ln L θ i=1 Teoremin kant için baknz Kendall & Stuart (1967). = m(θ) (T (X ) ρ(θ)) (17)

20 LS Tahmin Edicilerinin Özellikleri Teorem (13) modelinde, µ i parametresinin LS tahmin edicisi µ i = ȳ i, beklenen de eri µ i ve varyans σ 2 /n olan bir MVB tahmin edicisidir.

21 Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m (1) modelinde, amaç denemeler arasnda anlaml bir farkllk olup olmad n snamaktr. Bu durum için sfr hipotezi, üç farkl ³ekilde ifade edilebilir; (i) H 0 : Denemeler arasnda anlaml bir fark yoktur (ii) H 0 : τ 1 = τ 2 = = τ a = 0 (iii) H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ a = µ. (18) Açktr ki, (i), (ii) ve (iii) hipotezleri birbirine denktir.

22 Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m (18) hipotezini snamak için kullanlan test istatisti i iki farkl yolla elde edilebilir: 1 Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ 2 ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m

23 Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m Deneme ortalamalarnn birbirine e³it oldu unu ifade eden (18) hipotezi n (y ij ȳ ) 2 (19) genel kareler toplamnn, deneme kareler toplam ve hata kareler toplam olarak bile³enlerine ayrlmasyla elde edilen test istatisti i yardmyla snanr. (19) ifadesine ȳ i terimi bir eklenip bir çkartld nda, bir ba³ka deyi³le olarak yazld nda toplamn de eri de i³mez. n (y ij ȳ i + ȳ i ȳ ) 2 (20)

24 Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m (20) ifadesinde parantez içi y ij ȳ i ve ȳ i ȳ olmak üzere iki gruba ayrlr ve karesel ifade açlrsa elde edilir. n (y ij ȳ ) 2 = n (ȳ i ȳ ) 2 + n (y ij ȳ i ) 2 (21)

25 Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m E er, SS Toplam = SS Deneme = SS Hata = n (y ij ȳ ) 2 n n (ȳ i ȳ ) 2 = n (ȳ i ȳ ) 2 n (y ij ȳ i ) 2 j=1 (22) denirse, (21) ifadesi ksaca

26 Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m SS Toplam = SS Deneme + SS Hata (23) olarak ifade edilir. Dikkat edilirse, SS Toplam, SS Deneme ve SS Hata srasyla gözlemlere, denemelere ve hata terimlerine ait varyanslarn paylarn ifade eder. SS de erleri, ilgili serbestlik derecelerine bölündü ünde varyanslar elde edilir.

27 Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m Test statisti i (1) modelinde, (18) hipotezini snamak için SS Deneme /(a 1) F Deneme = SS Hata /(N a) = MS Deneme MS Hata (24) test istatisti i kullanlr. Teorem (1) modelinde, H 0 hipotezi altnda, F Deneme test istatisti i, a 1 ve N a serbestlik dereceli merkezi F da lmna sahiptir.

28 Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m Teoremin kant a³a da ifade edilen ve do rusal modeller teorisinde önemli bir yere sahip olan Cochran Teoremi yardmyla yaplr.

29 Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m Theorem (Cochran Teoremi) Y 1, Y 2,, Y n iid N(0, 1) da lmna sahip rasgele de i³kenler olsun. Q i ler, Y i lerin do rusal kombinasyonlarnn kareler toplamlarn göstermek üzere n i=1 Y 2 i = Q 1 + Q Q k, k n e³itli i yazlabilsin ve r i, Q i (i = 1, 2,, k) rasgele de i³kenlerinin serbestlik derecelerini göstersin. Bu durumda, a³a daki ifadelerden herhangi ikisinin do ru olmas üçüncü ifadenin de do ru olmasn gerektir. (i) (ii) n = r 1 + r r k Q 1, Q 2,, Q k rasgele de i³kenleri ba mszdr. (iii) Q i, (i = 1, 2,, k) rasgele de i³kenleri χ 2 r i da lmna sahiptir. bkz. Cochran (1934).

30 Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m Karar F Deneme test istatisti inin de eri, α anlam düzeyinde a 1 ve N a serbestlik dereceli F tablo de erinden daha büyükse sfr hipotezi reddedilir. Bir ba³ka deyi³le, F Deneme > F α;a 1;N a ise "Denemeler arasnda anlaml bir farkllk vardr " denir.

31 ndirgenmi³ Model Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m (18) hipotezi altnda, (1) modeli y ij = µ + ε ij, i = 1, 2,, a; j = 1, 2,, n (25) ³eklinde ifade edilir. (25) modeline indirgenmi³ model denir. ndirgenmi³ modelin hata kareler toplam SS(R) ile gösterilir ve olarak ifade edilir. SS(R) = (N 1) σ 2 = n (y ij ȳ ) 2 (26)

32 Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m Teorem (26) de verilen SS(R), indirgenmi³ model hata kareler toplam olmak üzere, normallik varsaym altnda (N 1) σ 2 σ 2 = n (y ij ȳ ) 2 σ 2 = SS(R) σ 2 (27) ifadesi N 1 serbestlik dereceli ki-kare da lmna sahiptir.

33 Tam Model Giri³ Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m Tam model, (1) modelidir. Dolaysyla SS(F ) ile gösterilen tam modelin hata kareler toplam SS(F ) = n (y ij µ τ i ) 2 = n (y ij ȳ i ) 2 (28) dir. Dikkat edilirse, SS(F ) ile SS Hata birbirine denk iki gösterimdir.

34 Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m Teorem (28) de verilen SS(F ), tam modelin hata kareler toplam olmak üzere, normallik varsaym altnda (N a) σ 2 σ 2 = n (y ij ȳ i ) 2 σ 2 = SS(F ) σ 2 (29) ifadesi N a serbestlik dereceli ki-kare da lmna sahiptir.

35 Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m Test statisti i (1) modelinde, (18) hipotezini snamak için / [SS(R) SS(F )] (a 1) F Deneme = / SS(F ) (N a) (30) test istatisti i kullanlr. Teorem (1) modelinde, H 0 hipotezi altnda, F Deneme test istatisti i, a 1 ve N a serbestlik dereceli merkezi F da lmna sahiptir.

36 Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m Yorum Sfr hipotezinin do rulu u kst altnda yazlan SS(R) ifadesi ile herhangi bir kst olmakszn yazlan SS(F ) ifadesi arasndaki fark, denemeler arasnda anlaml bir farkllk olup olmad n gösterir. SS(R) SS(F ) fark küçük ise denemeler arasnda anlaml bir farkllk yoktur; SS(R) SS(F ) fark büyük ise denemeler arasnda anlaml bir farkllk vardr, denir.

37 Yukarda elde edilen bilgiler ³ nda bir-yönlü ANOVA tablosu, a³a da gösterildi i gibi olu³turulur. Bir-yönlü ANOVA tablosu Kaynak df SS MS F Denemeler a 1 SS Deneme MS Deneme F Deneme Hata N a SS Hata MS Hata Genel N 1 SS Toplam

38 Beklenen Deneme Kareler Ortalamas Beklenen Hata Kareler Ortalamas Deneme kareler ortalamas, dir. Burada, (1) modeli kullanlarak MS Deneme = SS Deneme a 1 n (ȳ i ȳ ) 2 i =1 = a 1 (31) n y ij ȳ i = j=1 n (32) = n (µ + τ i + ε ij ) j=1 n (33) n nµ + nτ i + ε ij = j=1 n (34) = µ + τ i + ε i (35) ve

39 Beklenen Deneme Kareler Ortalamas Beklenen Hata Kareler Ortalamas n ȳ = y ij (36) N n (µ + τ i + ε ij ) = (37) N = µ + ε (38) bulunur.

40 Beklenen Deneme Kareler Ortalamas Beklenen Hata Kareler Ortalamas (35) ve (38) e³itlikleri (31) de yerlerine yazlarak MS Deneme = = = = n a 1 n a 1 (ȳ i ȳ ) 2 i=1 (µ + τ i + ε i µ ε ) 2 i=1 n [τ i + ( ε i ε )] 2 a 1 i=1 [ ] n τi 2 + ( ε i ε ) τ i ( ε i ε ) a 1 i=1 i=1 i=1 elde edilir.

41 Beklenen Deneme Kareler Ortalamas Beklenen Hata Kareler Ortalamas Son ifadede beklenen de er alnrsa, E(MS Deneme ) = n τi 2 + E( ε i ε ) 2 +2 τ i E( ε i ε ) (39) a 1 }{{}}{{} i=1 i=1 i=1 Var( ε i ε ) 0 olur. Burada, dir. ε ij N(0, σ 2 ) (40) ε i N(0, σ 2 /n) (41) ε N(0, σ 2 /N) (42) (43)

42 Beklenen Deneme Kareler Ortalamas Beklenen Hata Kareler Ortalamas Bunlarn bir sonucu olarak, ve E( ε i ε ) = 0 (44) Var( ε i ε ) = Var( ε i ) + Var( ε ) 2cov( ε i, ε ) (45) bulunur. = σ2 n + σ2 N 2 a Var( ε i ) (46) = σ2 n + σ2 N 2 a = (a 1)σ2 N σ 2 n (47) (48)

43 Beklenen Deneme Kareler Ortalamas Beklenen Hata Kareler Ortalamas Böylece, E(MS Deneme ) = = n a 1 n a 1 = σ 2 + [ n i=1 i=1 i=1 a 1 τ 2 i + ] (a 1)σ 2 i=1 N τi 2 + n (a 1)σ2 a a 1 N τ 2 i (49) (50) (51) elde edilir. (51) denkleminden görülmektedir ki, sfr hipotezinin do ru olmas halinde MS Deneme, σ 2 nin yansz bir tahmin edicisidir.

44 Beklenen Deneme Kareler Ortalamas Beklenen Hata Kareler Ortalamas Hata kareler ortalamas, MS Hata = SS Hata N a = n (y ij ȳ i ) 2 N a (52) ifadesinde, y ij = µ + τ i + ε ij ve ȳ i = µ + τ i + ε i ifadeleri yerlerine yazld nda MS Hata = = 1 N a 1 N a n (µ + τ i + ε ij µ τ i ε i ) 2 (53) n (ε ij ε i ) 2 (54) olur.

45 Beklenen Deneme Kareler Ortalamas Beklenen Hata Kareler Ortalamas Beklenen de er alnd nda, E(MS Hata ) = 1 N a n E(ε ij ε i ) 2 }{{} Var(ε ij ε i ) (55) dir. Burada, oldu u hatrlanrsa ε ij N(0, σ 2 ) ε i N(0, σ 2 /n) Var(ε ij ε i ) = Var(ε ij ) + Var( ε i ) 2cov(ε ij, ε i ) (56) bulunur. = σ 2 + σ2 n 2 n Var(ε ij ) (57) = σ 2 + σ2 n 2σ2 n (n 1)σ2 = n (58) (59)

46 Beklenen Deneme Kareler Ortalamas Beklenen Hata Kareler Ortalamas Dolaysyla, E(MS Hata ) = = = 1 N a 1 N a n (n 1)σ 2 N (n 1)σ2 n n 1 (n 1)σ2 an a(n 1) n (60) (61) (62) = σ 2 (63) elde edilir. (63) e³itli inden görülmektedir ki, MS Hata, σ 2 nin yansz bir tahmin edicisidir.

47 En az bir denemedeki gözlem says di erlerinden farkl ise bu tasarma dengeli olmayan tasarm denir. Bu tanma göre dengeli olmayan bir-yönlü ANOVA nn matematiksel modeli, y ij = µ + τ i + ε ij, i = 1, 2,, a; j = 1, 2,, n i (64) ³eklinde ifade edilir. Parametrelerin yorumlar (1) modelinde oldu u gibidir. Bu modelde tek fark, i inci denemede n i gözlem olmasdr. (64) modelinde n i τ i = 0 (65) oldu u varsaylr. i=1

48 (64) modelinde, parametrelerin LS tahmin edicileri ve denemeler arasnda anlaml bir farkllk olup olmad hipotezini snamak için gerekli test istatisti i dengeli tasarmda oldu u gibi bulunur. Formüller tamamen ayn olup gözlem saylarnn n i olmasndan dolay küçük nüans farklar vardr.

49 LS tahmin edicileri olup, burada j=1 µ = ȳ τ i = ȳ i ȳ n i y i = y ij, ȳ i = y i, i = 1, 2,, a n i ve N = n i toplam gözlem saysn göstermek üzere i=1 y = n i y ij, ȳ = y N dir.

50 Denemeler arasnda anlaml bir farkllk olup olmad n snamak için test istati i kullanlr. Burada, SS Deneme /(a 1) F Deneme = SS Hata /(N a) = MS Deneme MS Hata SS Toplam = SS Deneme = SS Hata = n i (y ij ȳ ) 2 n i (ȳ i ȳ ) 2 = n i (y ij ȳ i ) 2 n i (ȳ i ȳ ) 2 i=1 dir. Dengeli tasarm için verilen di er notasyonlar, yukardakine benzer ³ekilde dengeli olmayan tasarm için de yazlabilir.

51 (1) modelinde, çe³itli nedenlerden dolay bir ya da birden fazla gözlem, kaybolmu³ olabilir veya gözlemlenemeyebilir. Böyle bir durumda deneme etkilerinin toplam, bir ba³ka deyi³le, i=1 toplam sfra e³it olmayaca ndan genel kareler toplam, deneme kareler toplam ve hata kareler toplam olarak bile³enlerine ayrlamaz (Hicks & Turner, 1999). τ i

52 (1) modelinde, i inci denemedeki, j inci gözlemin (y ij ) kayp oldu unu varsayalm. Bu kayp gözlem m ile gösterilsin. Bu durumda veri yaps, a³a da gösterilen tablodaki gibi olur. Gözlemler Denemeler 1 2 j n Toplam 1 y 11 y 12 y 1n y 1 2 y 21 y 22 y 2n y i.. m. yi + m..... a y a1 y a2 y an y a

53 (1) modelinde, kayp gözlem(ler) oldu unda öncelikle bu kayp gözlem(ler) LS yöntemi ile tahmin edilir, daha sonra bu tahmin edici(ler)den yararlanlarak denemelerin anlamll snanr. Kayp gözlem m nin LS tahmin edicisi, gerekli i³lemler yapld nda m = y i n 1 (66) bulunur. Burada, yij, y i, m d³ndaki di er gözlemleri i inci denemedeki m d³ndaki di er gözlemlerin toplamn gösterir.

54 Bilinmeyen y ij gözleminin yerine m tahmin edicisi yazlr ve (22) e³itliklerinde verilen kareler toplamlar hesaplanr. Daha sonra kareler ortalamalar da bulunarak ANOVA tamamlanr. Burada dikkat edilmesi gereken en önemli husus, hatann serbestlik derecesinin N a 1 oldu udur; çünkü bir tane bilinmeyen gözlem vardr. Belirtmek gerekir ki, k tane kayp gözlem oldu unda bir-yönlü ANOVA tablosunda hataya ait serbestlik derecesi df = N a k olur.

55 Bu durumda ANOVA tablosu, a³a da gösterildi i gibi olu³turulur. Bir tane kayp gözlem oldu unda bir-yönlü ANOVA tablosu. Kaynak df SS MS F Denemeler a 1 SS Deneme MS Deneme F Deneme Hata N a 1 SS Hata MS Hata Genel N 2 SS Toplam

ç- çe Tasarmlar Birdal eno lu ükrü Acta³ eno lu & Acta³ statistiksel Deney Tasarm Giri³ ki A³amal ç- çe Üç A³amal ç- çe l A³amal ç- çe

ç- çe Tasarmlar Birdal eno lu ükrü Acta³ eno lu & Acta³ statistiksel Deney Tasarm Giri³ ki A³amal ç- çe Üç A³amal ç- çe l A³amal ç- çe lar Birdal eno lu ükrü çindekiler 1 2 3 4 5 A³amal tasarmlar (hierarchical designs) olarak da bilinen iç-içe tasarmlarda (nested designs), ³u ana kadar gördü ümüz tasarmlardan farkl olarak iki veya ikiden

Detaylı

ARA SINAV II. (1) (x k ) k N, R n içinde yaknsak ve limiti x olan bir dizi olsun. {x} = oldu unu gösteriniz.

ARA SINAV II. (1) (x k ) k N, R n içinde yaknsak ve limiti x olan bir dizi olsun. {x} = oldu unu gösteriniz. MC 411/ANAL Z IV ARA SINAV II ÇÖZÜMLER 1 x k k N, R n içinde yaknsak iti x olan bir dizi olsun. {x} = {x m m k} k=1 Çözüm. Her k N için A k := {x m m k} olsun. x k k N dizisinin iti x oldu undan, A k =

Detaylı

Faktöriyel Tasarımlar

Faktöriyel Tasarımlar İstatistiksel Deney Tasarımı Birdal Şenoğlu & Şükrü Acıtaş 1 / 99 Kesirli 2 / 99 Fisher (1935) ve Yates (1937) tarafından önerilen Faktöriyel deneyler (factorial experiments) veya bir çok kaynakta belirtildiği

Detaylı

MC 311/ANAL Z III ARA SINAV I ÇÖZÜMLER

MC 311/ANAL Z III ARA SINAV I ÇÖZÜMLER MC 311/ANAL Z III ARA SINAV I ÇÖZÜMLER (1) A³a daki her bir önermenin do ru mu yanl³ m oldu unu belirleyiniz. Do ruysa, gerekçe gösteriniz; yanl³sa, bir kar³-örnek veriniz. (a) (a n ) n N dizisi yaknsak

Detaylı

ndrgemel Dzler Ders Notlar

ndrgemel Dzler Ders Notlar ndrgemel Dzler Ders Notlar c wwww.sbelian.wordpress.com Bu ders notunda diziler konusunun bir alt konusu olan First Order Recursions ve Second Order Recursions konular anlatlm³ ve bu konularla alakal örnekler

Detaylı

BÖLÜM 1. stanbul Kültür Üniversitesi. Fonksiyonlar - Özellikleri ve Limit Kavram. ³eklinde tanmlanan fonksiyona Dirichlet fonksiyonu ad verilir.

BÖLÜM 1. stanbul Kültür Üniversitesi. Fonksiyonlar - Özellikleri ve Limit Kavram. ³eklinde tanmlanan fonksiyona Dirichlet fonksiyonu ad verilir. BÖLÜM 1 0, Q 1. f() = 1, R/Q, Fonksiyonlar - Özellikleri ve Limit Kavram ³eklinde tanmlanan fonksiyona Dirichlet fonksiyonu ad verilir. Buna göre a³a da verilen tanm bölgeleri altnda görüntü cümlelerini

Detaylı

18.702 Cebir II 2008 Bahar

18.702 Cebir II 2008 Bahar MIT Açk Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.702 Cebir II 2008 Bahar Bu materyallerden alnt yapmak veya Kullanm artlar hakknda bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

7. Ders Genel Lineer Modeller Singüler Modeller, Yanlış veya Bilinmeyen Kovaryanslar, Đlişkili Hatalar

7. Ders Genel Lineer Modeller Singüler Modeller, Yanlış veya Bilinmeyen Kovaryanslar, Đlişkili Hatalar 7. Ders Genel Lineer Modeller Singüler Modeller, Yanlış veya Bilinmeyen Kovaryanslar, Đlişkili Hatalar Y = X β + ε Lineer Modeli pekçok özel hallere sahiptir. Bunlar, ε nun dağılımına, Cov( ε ) kovaryans

Detaylı

altında ilerde ele alınacaktır.

altında ilerde ele alınacaktır. YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmin Yöntemleri 1 NOKTA TAHMİN YÖNTEMLERİ Şimdiye kadar verilmiş tahmin edicilerin sonlu örneklem ve asimptotik özelliklerini inceledik. Acaba bilinmeyen anakütle parametrelerini

Detaylı

1: DENEYLERİN TASARIMI VE ANALİZİ...

1: DENEYLERİN TASARIMI VE ANALİZİ... İÇİNDEKİLER Bölüm 1: DENEYLERİN TASARIMI VE ANALİZİ... 1 1.1. Deneyin Stratejisi... 1 1.2. Deneysel Tasarımın Bazı Tipik Örnekleri... 11 1.3. Temel Kurallar... 16 1.4. Deneyleri Tasarlama Prensipleri...

Detaylı

6.5 Basit Doğrusal Regresyonda Hipotez Testleri. 6.5.1 İçin Hipotez Testi: 1. Hipotez kurulur. 2. Test istatistiği hesaplanır.

6.5 Basit Doğrusal Regresyonda Hipotez Testleri. 6.5.1 İçin Hipotez Testi: 1. Hipotez kurulur. 2. Test istatistiği hesaplanır. 6.5 Basit Doğrusal Regresyonda Hipotez Testleri 6.5.1 İçin Hipotez Testi: 1. Hipotez kurulur. 2. Test istatistiği hesaplanır. olduğu biliniyor buna göre; hipotezinin doğruluğu altında test istatistiği

Detaylı

ANT TÜREV VE NTEGRAL HESAPLAMA YÖNTEMLER

ANT TÜREV VE NTEGRAL HESAPLAMA YÖNTEMLER ANT TÜREV VE NTEGRAL HESAPLAMA YÖNTEMLER 1 TEMEL YÖNTEM VE DE KEN DE T RME Bir kapal aralkta tanmlanm³ olan f ve F fonksiyonlar için e er bu aralkta F () f() ko³ulu sa lanyorsa F fonksiyonu, f fonksiyonunun

Detaylı

SOYUT MATEMAT K DERS NOTLARI. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin B LG Ç

SOYUT MATEMAT K DERS NOTLARI. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin B LG Ç SOYUT MATEMAT K DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Hüseyin B LG Ç Kahramanmara³ Sütçü mam Üniversitesi FenEdebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Eylül 2010 çindekiler 1 Önermeler ve spat Yöntemleri 1 2 Kümeler 13

Detaylı

Çarpm ve Bölüm Uzaylar

Çarpm ve Bölüm Uzaylar 1 Ksm I Çarpm ve Bölüm Uzaylar ÇARPIM UZAYLARI 1 ÇARPIM TOPOLOJ S 2 KARMA P R O B E M L E R 1. A ile B, srasyla, (X, T )X ile (Y, S ) topolojik uzaylarnn birer alt-kümesi olsunlar. (a) (A B) = A B (b)

Detaylı

A = i IA i = i I A = A = i IA i = {x α((α I) (x A α ))} (7.7) A = (α,β I) (α β) A α A β = (7.8) A A

A = i IA i = i I A = A = i IA i = {x α((α I) (x A α ))} (7.7) A = (α,β I) (α β) A α A β = (7.8) A A Bölüm 7 KÜME A LELER 7.1 DAMGALANMI KÜMELER E er inceledi imiz kümelerin says, alfabenin harerinden daha çok de ilse, onlara,b,...,w gibi harerle temsil edebiliriz. E er elimizde albenin harerinden daha

Detaylı

B A. A = B [(A B) (B A)] (2)

B A. A = B [(A B) (B A)] (2) Bölüm 5 KÜMELER CEB R Do a olaylarnn ya da sosyal olaylarn açklanmas için, bazan, matematiksel modelleme yaplr. Bunu yapmak demek, incelenecek olaya etki eden etmenleri içine alan matematiksel formülleri

Detaylı

BÖLÜM 1. Matematiksel ndüksiyon Prensibi

BÖLÜM 1. Matematiksel ndüksiyon Prensibi BÖLÜM 1 Matematiksel ndüksiyon Prensibi Matematiksel indüksiyon prensibini kullanarak a³a daki e³it(siz)liklerin her n N için gerçeklendi ini ispatlaynz. 1. 1 2 + 2 2 + 3 2 + + n 2 = n(n+1)(2n+1) 6 2.

Detaylı

f( F) f(f) K = K F f 1 f( F) f 1 (K) = F F f 1 (S ) = [f 1 (S)] f(x) S V

f( F) f(f) K = K F f 1 f( F) f 1 (K) = F F f 1 (S ) = [f 1 (S)] f(x) S V Bölüm 6 SÜREKL FONKS YONLAR 6.1 YEREL SÜREKL L K Tanm 6.1.1. (X, T ) ve (Y, S) topolojik uzaylar ile f : X Y fonksiyonu verilsin. E er f(x 0 ) ö esinin her V kom³ulu una kar³lk f(u) V olacak ³ekilde x

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix C: İstatistiksel Çıkarsama Doç.

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

PROJE RAPORU TANJANT Q_MATR S

PROJE RAPORU TANJANT Q_MATR S PROJE RAPORU TANJANT Q_MATR S 1 Ç NDEK LER Ç NDEK LER çindekiler 1 G R 3 1.1 Projenin Amac............................ 3 YÖNTEM 3.1 Fibonacci Saylar........................... 3. Altn Oran ve Altn Matris.....................

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ REGRESYON KATSAYILARININ GÜVEN ARALIĞI = + REGRESYON KATSAYILARININ GÜVEN ARALIĞI

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ REGRESYON KATSAYILARININ GÜVEN ARALIĞI = + REGRESYON KATSAYILARININ GÜVEN ARALIĞI ANADOLU ÜNİVERSİTESİ Deney Tasarımı ve Regresyon Analizi Regresyonda Güven Aralıkları ve Hipotez Testleri Doç. Dr. Nihal ERGİNEL-2015 REGRESYON KATSAYILARININ GÜVEN ARALIĞI + in güven aralığı : i-) n 30

Detaylı

1. YAPISAL KIRILMA TESTLERİ

1. YAPISAL KIRILMA TESTLERİ 1. YAPISAL KIRILMA TESTLERİ Yapısal kırılmanın araştırılması için CUSUM, CUSUMSquare ve CHOW testleri bize gerekli bilgileri sağlayabilmektedir. 1.1. CUSUM Testi (Cumulative Sum of the recursive residuals

Detaylı

(i) (0,2], (ii) (0,1], (iii) [1,2), (iv) (1,2]

(i) (0,2], (ii) (0,1], (iii) [1,2), (iv) (1,2] Bölüm 5 KOM ULUKLAR 5.1 KOM ULUKLAR Tanm 5.1.1. (X, T ) bir topolojik uzay ve A ile N kümeleri X uzaynn iki alt-kümesi olsun. E er A T N olacak ³ekilde her hangi bir T T varsa, N kümesine A nn bir kom³ulu

Detaylı

0 = ρ(x,x) ρ(x,y)+ρ(y,x) = 2ρ(x,y) 0, x = y δ(x,y) = κ(z 1,z 2 ) = z 1 z 2, (z 1,z 2 C) (17.27)

0 = ρ(x,x) ρ(x,y)+ρ(y,x) = 2ρ(x,y) 0, x = y δ(x,y) = κ(z 1,z 2 ) = z 1 z 2, (z 1,z 2 C) (17.27) 230 BÖLÜM 17. METR K UZAYLAR 17.2 METR K METR K UZAY KAVRAMI Normlanm³ bir uzay, her³eyden önce bir vektör uzaydr, yani (X, ) normlanm³ bir uzay ise, X kümesi üzerinde bir vektör uzay yaps vardr. Oysa,

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

Soyut Matematik Test A

Soyut Matematik Test A 1 Soyut Matematik Test A 1. A³a dakilerden hangisi do rudur? (a) * A B C(C B) A C) (b) A B C(C B) A C) (c) A B C(B C) A C) (d) A B C(B C) A C) (e) A B C(B C) (A C) 2. Her hangi bir A kümeler ailesi üzerinde

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık - I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Tahmin (kes1rim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmak7r. ü Bu anlamda, anakütleden çekilen

Detaylı

İçindekiler. Ön Söz... xiii

İçindekiler. Ön Söz... xiii İçindekiler Ön Söz.................................................... xiii Bölüm 1 İstatistiğe Giriş....................................... 1 1.1 Giriş......................................................1

Detaylı

S = {T Y, X S T T, S S} (9.1)

S = {T Y, X S T T, S S} (9.1) Bölüm 9 ÇARPIM UZAYLARI 9.1 ÇARPIM TOPOLOJ S Bo³ olmayan kümelerden olu³an bo³ olmayan bir ailenin kartezyen çarpmnn da bo³ olmad n, Seçme Aksiyomu [13],[20], [8] ile kabul ediyoruz. imdi verilen aileye

Detaylı

Soyut Matematik Test B

Soyut Matematik Test B 1 Soyut Matematik Test B 1. Hangisi tümel (tam, linear) sralama ba ntsdr? (a) Yansmal, antisimetrik, geçi³ken ve örgün olan ba ntdr. (b) Yansmal, simetrik, geçi³ken ve örgün olan ba ntdr. (c) Yansmaz,

Detaylı

3. TAHMİN En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1

3. TAHMİN En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1 3. TAHMİN 3.1. En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1 En Küçük Kareler (EKK) yöntemi, regresyon çözümlemesinde en yaygın olarak kullanılan, daha sonra ele alınacak bazı varsayımlar altında çok aranan istatistiki

Detaylı

PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER 8

PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER 8 PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER 8 Prof. Dr. Ali ŞEN İki Populasyonun Karşılaştırılması: Eşleştirilmiş Örnekler için Wilcoxon İşaretli Mertebe Testi -BÜYÜK ÖRNEK Bağımsız populasyonlara uygulanan

Detaylı

Rastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Rastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler Rastgele Değişkenlerin Dağılımları Mühendislikte İstatistik Yöntemler Ayrık Rastgele Değişkenler ve Olasılık Dağılımları Yapılan çalışmalarda elde edilen verilerin dağılışı ve dağılış fonksiyonu her seferinde

Detaylı

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız.

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. Örnek Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. i. ii. X 1 2 3 4 1 2 3 4 Y 2 3 4 5 4 3 2 1 Örnek Aşağıdaki veri

Detaylı

f 1 (H ) T f 1 (H ) = T

f 1 (H ) T f 1 (H ) = T Bölüm 15 TIKIZLIK 15.1 TIKIZ UZAYLAR 15.1.1 Problemler 1. Her sonlu topolojik uzay tkzdr. 2. Ayrk bir topolojik uzayn tkz olmas için gerekli ve yeterli ko³ul sonlu olmasdr. 3. Ayn bir küme üzerinde S T

Detaylı

DO U ÜN VERS TES 9.Liseleraras Matematik Yar³mas Sorular. (n + 1) n n n + 1 = n(n + 1)

DO U ÜN VERS TES 9.Liseleraras Matematik Yar³mas Sorular. (n + 1) n n n + 1 = n(n + 1) DO U ÜN VERS TES 9.Liseleraras Matematik Yar³mas Sorular 1 1) a n = (n + 1) n + n n + 1 olmak üzere, a 1 + a + a 3 +... + a 99 toplamn bulunuz. 9 evap: 10 a n = (n + 1) n n n + 1 n(n + 1) n (n + 1) oldu

Detaylı

XIV. Ulusal Antalya Matematk Olmpyat Brnc A³ama Snav Sorular -2009

XIV. Ulusal Antalya Matematk Olmpyat Brnc A³ama Snav Sorular -2009 XIV. Ulusal ntalya Matematk Olmpyat rnc ³ama Snav Sorular -009 c www.sbelian.wordpress.com sbelianwordpress@gmail.com Soru 1. dar açl üçgeninde m() = 45 'dir. 'dan 'ye indirilmi³ dikmenin aya E ve 'den

Detaylı

Simülasyon Modellemesi

Simülasyon Modellemesi Simülasyon Modellemesi Doç. Dr. Mustafa Yüzükrmz myuzukirmizi@meliksah.edu.tr Ders -2: Metod ve Veri Analizi Contents 1 Metod Analizi 1 1.1 Giri³.................................. 1 1.2 Metod Müh.'de Sistematik

Detaylı

(sf) F C = [(s,f) sf] x [0,1] = (sf)(x) = sf(x)

(sf) F C = [(s,f) sf] x [0,1] = (sf)(x) = sf(x) Bölüm 13 MATEMAT KSEL YAPILAR 13.1 YAPI KAVRAMI Ça da³ Matematik kümeleri, kümeler üzerindeki yaplar, yaplar arasndaki dönü³ümleri inceler. Buraya dek ö e, küme, i³lem, fonksiyon kavramlarn kullandk. Bunlar

Detaylı

Normallik Varsayımı ve Ençok Olabilirlik Yöntemi

Normallik Varsayımı ve Ençok Olabilirlik Yöntemi Normallik Varsayımı ve Ençok Olabilirlik Yöntemi EO Açıklayıcı Örnekler Ekonometri 1 Konu 14 Sürüm 2,0 (Ekim 2011) UADMK Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial ShareAlike

Detaylı

BÖLÜM 12 STUDENT T DAĞILIMI

BÖLÜM 12 STUDENT T DAĞILIMI 1 BÖLÜM 12 STUDENT T DAĞILIMI 'Student t dağılımı' ya da kısaca 't dağılımı'; normal dağılım ve Z dağılımının da içerisinde bulunduğu 'sürekli olasılık dağılımları' ailesinde yer alan dağılımlardan bir

Detaylı

x = [x] = [x] β = {y (x,y) β} (8.5) X = {x x X}. x,y X [(x = y) (x y = )]. b(b [x]) b [y] [x] [y] (8.8)

x = [x] = [x] β = {y (x,y) β} (8.5) X = {x x X}. x,y X [(x = y) (x y = )]. b(b [x]) b [y] [x] [y] (8.8) Bölüm 8 DENKL K BA INTILARI 8.1 DENKL K BA INTISI 8.1.1 E³itlik Kavramnn Genelle³mesi Matematikte ve ba³ka bilim dallarnda, birbirlerine e³it olmayan, ama e³itli e benzer niteliklere sahip nesnelerle sk

Detaylı

Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5

Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5 Ders Kodu: 0010070021 Kredi: 3 / ECTS: 5 Yrd. Doç. Dr. Serkan DOĞANALP Necmettin Erbakan Üniversitesi Harita Mühendisliği Bölümü Konya 07.01.2015 1 Giriş 2 Giriş Matematiksel istatistiğin konusu yığın

Detaylı

OLS Yönteminin Asimptotik (Büyük Örneklem) Özellikleri SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) Asimptotik Özellikler: Tutarlılık. Asimptotik Özellikler

OLS Yönteminin Asimptotik (Büyük Örneklem) Özellikleri SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) Asimptotik Özellikler: Tutarlılık. Asimptotik Özellikler 1 SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) YÖNTEMİNİN ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge

Detaylı

6. Fiziksel gerçeklemede elde edilen sonuç fonksiyonlara ilişkin lojik devre şeması çizilir.

6. Fiziksel gerçeklemede elde edilen sonuç fonksiyonlara ilişkin lojik devre şeması çizilir. 5. KOMBİNEZONSAL LOJİK DEVRE TASARIMI 5.1. Kombinezonsal Devre Tasarımı 1. Problem sözle tanıtılır, 2. Giriş ve çıkış değişkenlerinin sayısı belirlenir ve adlandırılır, 3. Probleme ilişkin doğruluk tablosu

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık KORELASYON ve REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Bir değişkenin değerinin diğer değişkendeki veya değişkenlerdeki değişimlere bağlı olarak nasıl etkilendiğinin istatistiksel

Detaylı

Soyut Matematik Test 01

Soyut Matematik Test 01 1 Soyut Matematik Test 01 1. A³a dakilerden hangisi do rudur? (a) * A B C(C B) A C) (b) A B C(C B) A C) (c) A B C(B C) A C) (d) A B C(B C) A C) (e) A B C(B C) (A C) 2. A³a dakilerden hangisi do rudur?

Detaylı

ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI

ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI 1 Rassal Değişken Bir deney ya da gözlemin şansa bağlı sonucu bir değişkenin aldığı değer olarak düşünülürse, olasılık ve istatistikte böyle bir

Detaylı

Içindekiler. Bölünebilme ve Bölme Algoritmas Bölme Algoritmas 12 Bölünebilme Kurallar 15 Bölünebilme Problemlerinde En Çok Kullanlan Yöntemler 22

Içindekiler. Bölünebilme ve Bölme Algoritmas Bölme Algoritmas 12 Bölünebilme Kurallar 15 Bölünebilme Problemlerinde En Çok Kullanlan Yöntemler 22 Içindekiler BIRINCI BÖLÜM Bölünebilme ve Bölme Algoritmas Bölme Algoritmas 12 Bölünebilme Kurallar 15 Bölünebilme Problemlerinde En Çok Kullanlan Yöntemler 22 Çözümlü Test 25 Çözümler 28 Problemler (Bölünebilme)

Detaylı

3. Ders Parametre Tahmini Lineer Tahmin Edilebilme Yeniden Parametrelendirme Lineer Parametrik Kısıtlamalar

3. Ders Parametre Tahmini Lineer Tahmin Edilebilme Yeniden Parametrelendirme Lineer Parametrik Kısıtlamalar 3. Ders Parametre Tahmini Lineer Tahmin Edilebilme eniden Parametrelendirme Lineer Parametrik Kısıtlamalar Bir Deney Tasarımı Modeli, X matrisi (veya bir kısmı) özel yapılandırılmış, = X β + biçiminde

Detaylı

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2) MTEMTİ TESTİ (Mat ). u testte srasyla, Matematik ( ) Geometri ( 0) ile ilgili 0 soru vardr.. evaplarnz, cevap kâğdnn Matematik Testi için ayrlan ksmna işaretleyiniz.. armaşk saylar kümesi üzerinde işlemi,

Detaylı

ARALIK TAHMİNİ (INTERVAL ESTIMATION):

ARALIK TAHMİNİ (INTERVAL ESTIMATION): YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmini I 1 ARALIK TAHMİNİ INTERVAL ESTIMATION): Nokta tahmininde ilgilenilen anakütle parametresine ilişkin örneklem bilgisinden hareketle tek bir sayı üretilir. Bir nokta

Detaylı

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ YTÜ-İktisat İstatistik II Merkezi Limit Teoremi 1 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ CENTRAL LIMIT THEOREM X 1,X 2,...,X n herbirinin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan ve aynı dağılıma uyan n tane bağımsız r.d. olsun.

Detaylı

Hipotez Testleri. Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Hipotez Testleri. Mühendislikte İstatistik Yöntemler Hipotez Testleri Mühendislikte İstatistik Yöntemler Hipotez Testleri Parametrik Testler ( z ve t testleri) Parametrik Olmayan Testler (χ 2 Testi) Hipotez Testleri Ana Kütle β( µ, σ ) Örnek Kütle b ( µ

Detaylı

DERS 1. ki De i kenli Do rusal Denklem Sistemleri ve Matrisler

DERS 1. ki De i kenli Do rusal Denklem Sistemleri ve Matrisler DERS ki De i kenli Do rusal Denklem Sistemleri ve Matrisler.. Do rusal Denklem Sistemleri. Günlük a amda a a dakine benzer pek çok problemle kar la r z. Problem. Manavdan al veri eden bir mü teri, kg armut

Detaylı

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37 İÇİNDEKİLER BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1 İstatistik 1 Yığın ve Örnek; Tümevarımcı ve Betimleyici İstatistik 1 Değişkenler: Kesikli ve Sürekli 1 Verilerin Yuvarlanması Bilimsel Gösterim Anlamlı Rakamlar

Detaylı

Soru Toplam Puanlama Alnan Puan

Soru Toplam Puanlama Alnan Puan 26.11.2013 No: Ad-Soyad: mza: Soru 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Toplam Puanlama 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 105 Alnan Puan 405024142006.1 CEB RSEL TOPOLOJ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI SORULARI (ÖRGÜN Ö

Detaylı

FORMAL AFET EĞİTİMLERİNİN FARKINDALIK ve TUTUM ÜZERİNE ETKİLERİNİN KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ ÖĞRENCİLERİ ÜZERİNDE ARAŞTIRILMASI

FORMAL AFET EĞİTİMLERİNİN FARKINDALIK ve TUTUM ÜZERİNE ETKİLERİNİN KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ ÖĞRENCİLERİ ÜZERİNDE ARAŞTIRILMASI FORMAL AFET EĞİTİMLERİNİN FARKINDALIK ve TUTUM ÜZERİNE ETKİLERİNİN KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ ÖĞRENCİLERİ ÜZERİNDE ARAŞTIRILMASI Serpil GERDAN Oya YAZICI ÇAKIN Kocaeli Üniversitesi 2009 1/15 CEVAP ARANAN SORULAR

Detaylı

İçindekiler. I Varyans Analizi (ANOVA) 1. Önsöz. Simgeler ve Kısaltmalar Dizini

İçindekiler. I Varyans Analizi (ANOVA) 1. Önsöz. Simgeler ve Kısaltmalar Dizini İçindekiler Önsöz Simgeler ve Kısaltmalar Dizini v xv I Varyans Analizi (ANOVA) 1 1 Varyans Analizine Giriş 3 1.1 TemelKavramlar... 3 1.2 Deney Tasarımının Temel İlkeleri... 5 1.2.1 Bloklama... 5 1.2.2

Detaylı

6. Ders. Genelleştirilmiş Lineer Modeller (Generalized Linear Models, GLM)

6. Ders. Genelleştirilmiş Lineer Modeller (Generalized Linear Models, GLM) 6. Ders Genelleştirilmiş Lineer Modeller (Generalized Linear Models, GLM) Y = X β + ε Lineer Modeli pek çok özel hallere sahiptir. Bunlar, ε nun dağılımına (bağımlı değişkenin dağılımına), Cov( ε ) kovaryans

Detaylı

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir

Detaylı

1.1 FET Çal³ma Bölgeleri. Elektronik-I Laboratuvar 6. Deney. Ad-Soyad: mza: Grup No: JFET; jonksiyon FET. MOSFET; metal-oksit yar iletken FET

1.1 FET Çal³ma Bölgeleri. Elektronik-I Laboratuvar 6. Deney. Ad-Soyad: mza: Grup No: JFET; jonksiyon FET. MOSFET; metal-oksit yar iletken FET Elektronik-I Laboratuvar 6. eney Ad-oyad: mza: rup No: 1 FET ve FET Çal³ma Bölgeleri Alan etkili transistorlar ksaca FET (Field-Eect Transistor) olarak bilinmektedir. Aktif devre eleman olan alan etkili

Detaylı

RISK ANALIZI SINAVI WEB EKİM Kasko sigortasından çekilen beş hasarlı bir rassal örneklem aşağıdaki gibi verilmektedir:

RISK ANALIZI SINAVI WEB EKİM Kasko sigortasından çekilen beş hasarlı bir rassal örneklem aşağıdaki gibi verilmektedir: RISK ANALIZI SINAVI WEB EKİM 2017 SORU 1: Kasko sigortasından çekilen beş hasarlı bir rassal örneklem aşağıdaki gibi verilmektedir: 115 240 325 570 750 Hasarların α = 1 ve λ parametreli Gamma(α, λ) dağılıma

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. ed., 2002, Thomson Learning. Ch. 5: SEKK (OLS) nin Asimptotik Özellikleri

Detaylı

Yrd. Doç.Dr. Neşet Demirci, Balıkesir Üniversitesi, NEF, Fizik Eğitimi. Hipotez Testine Giriş

Yrd. Doç.Dr. Neşet Demirci, Balıkesir Üniversitesi, NEF, Fizik Eğitimi. Hipotez Testine Giriş Yrd. Doç.Dr. Neşet Demirci, Balıkesir Üniversitesi, NEF, Fizik Eğitimi 5. ders Hipotez Testine Giriş Yrd. Doç.Dr. Neşet Demirci, Balıkesir Üniversitesi, NEF, Fizik Eğitimi Hipotez Yazma Popülasyon hakkındaki

Detaylı

ISTATISTIK VE OLASILIK SINAVI EKİM 2016 WEB SORULARI

ISTATISTIK VE OLASILIK SINAVI EKİM 2016 WEB SORULARI SORU- 1 : ISTATISTIK VE OLASILIK SINAVI EKİM 2016 WEB SORULARI X ve Y birbirinden bağımsız iki rasgele değişken olmak üzere, sırasıyla aşağıdaki moment çıkaran fonksiyonlarına sahiptir: 2 2 M () t = e,

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

BÖLÜM 7 BİLGİSAYAR UYGULAMALARI - 1

BÖLÜM 7 BİLGİSAYAR UYGULAMALARI - 1 1 BÖLÜM 7 BİLGİSAYAR UYGULAMALARI - 1 Belli bir özelliğe yönelik yapılandırılmış gözlemlerle elde edilen ölçme sonuçları üzerinde bir çok istatistiksel işlem yapılabilmektedir. Bu işlemlerin bir kısmı

Detaylı

2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım

2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım 2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI 2.1. Tanım Regresyon analizi, bir değişkenin başka bir veya daha fazla değişkene olan bağımlılığını inceler. Amaç, bağımlı değişkenin kitle ortalamasını, açıklayıcı

Detaylı

Simülasyon Modellemesi

Simülasyon Modellemesi Doç. Dr. Mustafa Yüzükrmz myuzukirmizi@meliksah.edu.tr Melik³ah Üniversitesi Ders -2: Metod ve Veri Analizi çerik 1 Giri³ Metod Müh.'de Sistematik Yakla³m çerik 1 Giri³ Metod Müh.'de Sistematik Yakla³m

Detaylı

FOTOGRAMETRİK DEĞERLENDİRME - ÇİFT FOT. DEĞ. Analog ve Analitik Stereodeğerlendirme. Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ

FOTOGRAMETRİK DEĞERLENDİRME - ÇİFT FOT. DEĞ. Analog ve Analitik Stereodeğerlendirme. Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ FOTOGRAMETRİ II FOTOGRAMETRİK DEĞERLENDİRME - ÇİFT FOT. DEĞ. Analog ve Analitik Stereodeğerlendirme BEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF336 FOTOGRAMETRİ II DERSi NOTLARI http://geomatik.beun.edu.tr/marangoz/

Detaylı

Herhangi bir oranın belli bir değere eşit olmadığını test etmek için kullanılır.

Herhangi bir oranın belli bir değere eşit olmadığını test etmek için kullanılır. Hipotez testleri-oran testi Oran Testi Herhangi bir oranın belli bir değere eşit olmadığını test etmek için kullanılır Örnek: Yüz defa atılan bir para 34 defa yazı gelmiştir Paranın yazı gelme olasılığının

Detaylı

TOPOLOJ TEST A. 1. A³a dakilerden hangisi topoloji tanmlama yöntemi de ildir?

TOPOLOJ TEST A. 1. A³a dakilerden hangisi topoloji tanmlama yöntemi de ildir? 1 TOPOLOJ TEST A 1. A³a dakilerden hangisi topoloji tanmlama yöntemi de ildir? (a) Açk kümeleri belirleme (b) Kapal kümeleri belirleme (c) Alt-kümeleri belirleme (d) Kaplamlar belirleme (e) çlemleri belirleme

Detaylı

SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS)

SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) YÖNTEMİNİN ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ...

İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ... İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ... v GİRİŞ... 1 1. İSTATİSTİK İN TARİHÇESİ... 1 2. İSTATİSTİK NEDİR?... 3 3. SAYISAL BİLGİDEN ANLAM ÇIKARILMASI... 4 4. BELİRSİZLİĞİN ELE ALINMASI... 4 5. ÖRNEKLEME... 5 6. İLİŞKİLERİN

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM317 Mühendislik İstatistiği İSTATİSTİKSEL TAHMİN Prof. Dr. Nihal ERGİNEL

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM317 Mühendislik İstatistiği İSTATİSTİKSEL TAHMİN Prof. Dr. Nihal ERGİNEL ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ENM317 Mühendislik İstatistiği İSTATİSTİKSEL TAHMİN Prof. Dr. Nihal ERGİNEL İSTATİSTİKSEL TAHMİN Örnekten anakütle parametrelerinin tahmin edilmesidir. İki tür tahminleme yöntemi vardır:

Detaylı

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM ÖZEL EGE LİSESİ BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Sıla Avar DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem Günel İZMİR 2012 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI.. 3 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM. 3 4. ÖN BİLGİLER... 3 5.

Detaylı

Z Diyagram Di er Grafik Türleri SORULAR...42

Z Diyagram Di er Grafik Türleri SORULAR...42 Ç N D E K L E R BÖLÜM I 1. STAT ST K KAVRAMI 1-20 1.1. STAT ST K KEL MES N N ANLAMI...3 1.2. STAT ST K KEL MES N N KÖKÜ...5 1.3. STAT ST N TANIMI...5 1.4. STAT ST N KONUSU...5 1.5. BÜYÜK SAYILAR KANUNU...6

Detaylı

ÖRNEK KİTAP. x ax 12. x.sinx dx. 1 cos x. x x mx 1. 4 (a b ) ise a çifttir. 4. x+y=14 ise x 2.y 5 çarpımının değeri en fazla kaça eşittir?

ÖRNEK KİTAP. x ax 12. x.sinx dx. 1 cos x. x x mx 1. 4 (a b ) ise a çifttir. 4. x+y=14 ise x 2.y 5 çarpımının değeri en fazla kaça eşittir? 1. lim a 1 üzere a+b toplam kaçtr? A)-8 B)-5 C)- C)1 E)4 b, a,b R olmak 4. +y=14 ise.y 5 çarpmnn değeri en fazla kaça eşittir? A)4 6.10 B)10.4 5 C)10 5. D) 5.10 7 E)16.10 5. bir cisim için hareket denklemi

Detaylı

4. TAHMİN SONUÇLARININ DEĞERLENDİRİLMESİ Katsayıların Yorumu

4. TAHMİN SONUÇLARININ DEĞERLENDİRİLMESİ Katsayıların Yorumu 4. TAHMİN SONUÇLARININ DEĞERLENDİRİLMESİ 4.1. Katsayıların Yorumu Y i = β 0 + β 1 X 1i + β X i + + β k X ki + u i gibi çok açıklayıcı değişkene sahip bir modelde, anakütle regresyon fonksiyonu, E(Y i X

Detaylı

KATEGORİSEL VERİ ANALİZİ (χ 2 testi)

KATEGORİSEL VERİ ANALİZİ (χ 2 testi) KATEGORİSEL VERİ ANALİZİ (χ 2 testi) 1 Giriş.. Değişkenleri nitel ve nicel değişkenler olarak iki kısımda inceleyebiliriz. Şimdiye kadar hep nicel değişkenler için hesaplamalar ve testler yaptık. Fakat

Detaylı

İstatistiksel Yorumlama

İstatistiksel Yorumlama İstatistiksel Yorumlama Amaç, popülasyon hakkında yorumlamalar yapmaktadır. Populasyon Parametre Karar Vermek Örnek İstatistik Tahmin 1 Tahmin Olaylar hakkında tahminlerde bulunmak ve karar vermek zorundayız

Detaylı

Içindekiler. Karşk Örnekler 87. TÜBITAK SORULARI (Fonksiyonlar) 55 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 64

Içindekiler. Karşk Örnekler 87. TÜBITAK SORULARI (Fonksiyonlar) 55 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 64 Içindekiler BIRINCI BÖLÜM Fonksiyonlar Bagnt Fonksiyon 2 Fonksiyonel Denklemlere Giriş 4 Fonksiyonun Gragi 7 Fonksiyon Çeşitleri 8 Bir Fonksiyonun Tersi 20 Bileşke Fonksiyon 23 Tek ve Çift Fonksiyon 25

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

Soru Toplam Puanlama Alnan Puan

Soru Toplam Puanlama Alnan Puan ..04 No: Ad-Soyad: mza: Soru.. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Toplam Puanlama 0 0 0 5 0 0 0 0 00 Alnan Puan 04043006. CEB RSEL TOPOLOJ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI ( K NC Ö RET M) Not: Süre 90 Dakika. stedi iniz 7 soruyu

Detaylı

14 Ekim 2012. Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge. 1 Yıldız Teknik Üniversitesi

14 Ekim 2012. Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge. 1 Yıldız Teknik Üniversitesi ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON ANALİZİ: ÇIKARSAMA Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge 14 Ekim 2012 Ekonometri

Detaylı

OPERATÖRLER BÖLÜM 4. 4.1 Giriş. 4.2. Aritmetik Operatörler

OPERATÖRLER BÖLÜM 4. 4.1 Giriş. 4.2. Aritmetik Operatörler BÖLÜM 4. OPERATÖRLER 4.1 Giriş Turbo Pascal programlama dilinde de diğer programlama dillerinde olduğu gibi operatörler, yapılan işlem türüne göre aritmetik, mantıksal ve karşılaştırma operatörleri olmak

Detaylı

Rekombinasyon ve Bağlantı Analizi (Recombination and Linkage Analysis)

Rekombinasyon ve Bağlantı Analizi (Recombination and Linkage Analysis) Rekombinasyon ve Bağlantı Analizi (Recombination and Linkage Analysis) Mayoz bölünme sırasında aynı kromozom (bir kromatid) üzerindeki genler gametlere beraberce, başka bir ifade ile bağlı (zincirlenmiş)

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık -II Prof. Dr. İrfan KAYMAZ İki Ortalama Farkının Güven Aralığı Anakütle Varyansı Biliniyorsa İki ortalama arasındaki farkın dağılımına ilişkin Z değişkeni: Güven aralığı ifadesinde

Detaylı

II. DERS R 3 te E R LER ve VEKTÖR ALANLARI

II. DERS R 3 te E R LER ve VEKTÖR ALANLARI Bölüm II. DERS R 3 te E R LER ve VEKTÖR ALANLARI Bu kesimde R 3 e ri kavram tanmlanacak ve geometrik özellikleri tart³lacaktr.. D FERENS YELLENEB L R E R VE PARAMETR K TEMS L I notasyonu ile R nin a

Detaylı

Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler

Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler BÖLÜM 9 VARYANS ANALİZİ Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU 1 Varyans analizi niçin yapılır? İkiden fazla veri grubunun ortalamalarının karşılaştırılması t veya Z testi

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin

Detaylı

Deneysel Verilerin Değerlendirilmesi

Deneysel Verilerin Değerlendirilmesi Deneysel Verilerin Değerlendirilmesi Ölçme-Birimler-Anlamlı Rakamlar Ölçme: Bir nesnenin bazı özelliklerini (kütle, uzunluk vs..) standart olarak belirlenmiş birimlere göre belirlenmesi işlemidir (ölçüm,

Detaylı

e e ex α := e α α +1,

e e ex α := e α α +1, s t a n b u l K ü l t ü r Ü n i v e r s i t e s i Matematik - Bilgisayar Bölümü MC 886 ntegral Denklemler... Yßliçi Sßnavß CEVAPLAR Talimatlar: Sßnav süresi 9 dakikadßr. lk dakika sßnav salonunu terk etmeyiniz.

Detaylı

İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi

İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi İstatistiksel Çıkarsama Ekonometri 1 Konu 3 Sürüm 2,0 (Ekim 2011) UADMK Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial ShareAlike

Detaylı