5. Boyut Analizi. 3) Bir deneysel tasarımda değişken sayısının azaltılması 4) Model tasarım prensiplerini belirlemek

Transkript

1 Boyut analizi, göz önüne alınan bir fiziksel olayı etkileyen deneysel değişkenlerin sayısını ve karmaşıklığını azaltmak için kullanılan bir yöntemdir. kışkanlar mekaniğinin gelişimi ağırlıklı bir şekilde deney sonuçlarına bağlıdır. Çünkü çok az gerçek akış yalnızca analitik metotlar kullanılarak tamamen çözülebilir. Boyut analizi ve hidrolik benzeşim uygulaması mühendislikte, deneyleri ayarlama, sadeleştirme ve bunların sonuçlarını analiz etme olanağını sağlamaktır. Boyut analizi uygulamaları aşağıdaki konuları kapsamaktadır: 1) Bir birim sistemini diğerine dönüştürmek 2) Formüllerin çıkarılması 5. Boyut nalizi 3) Bir deneysel tasarımda değişken sayısının azaltılması 4) Model tasarım prensiplerini belirlemek

2 Birçok boyutlu büyüklük yerine aralarından birkaçını almak suretiyle diğerlerini elde etmek mümkündür. Bunlara temel büyüklükler ve boyutlarına da temel boyutlar denir. Temel boyutlar kuvvet (F), uzunluk (L), zaman (T) yada kütle (M), uzunluk (L), zaman (T) olmaktadır. şağıdaki tabloda hidrolikte kullanılan büyüklüklerin boyutları verilmiştir. Örneğin, Newtoniyen hareket kanununa göre kuvvetin boyutu uzunluk, zaman ve kütle boyutları cinsinden, Herhangi bir cinsinden, F olarak yazılabilir Temel Büyüklükler m a L F M MLT 2 T 2 büyüklüğünün boyutu temel büyüklükler a b c M L T

3 5.1. Temel Büyüklükler Özgül ağırlık ve dinamik viskozitenin boyutu aşağıdaki şekilde yazılabilir. 2 2 N kg. m / s M. L. T m m L 2 2 M. L. T 2 2 N. s ( kg. m / s ). s M. L. T. T m m L 1 1 M. L. T

4

5 Fiziksel olayları ifade eden bütün matematik denklemlerde bütün boyutlarının aynı olması, sağlanması gereken bir koşuldur. Buna boyut homojenliği denir. Bu özellik sayesinde denklemler herhangi bir birim sisteminde yazılabilir. Örneğin, Bernoulli denkleminde terimlerin hepsi uzunluk (L) cinsindendir. 2 2 p1 v1 p2 v2 z1 z2 2g 2g Karşılaştığımız herhangi bir ifadede birtakım değişkenlerin herhangi bir birimde alınması şart koşuluyorsa, bu ifade görünüş itibari ile boyutsal homojenlik kuralına uymaz. Buna örnek olarak açık kanal akımları için önerilen Manning formülü verilebilir V R 3 J 2 n Burada V hız, R yarıçap olup, n ve J ise boyutsuzdur.

6 Hidrolikte kullanılan bazı boyutsuz büyüklükler aşağıda verilmiştir: Reynolds Sayısı: talet kuvvetlerin viskoz sürtünme kuvvetlerine oranıdır. Boru hidroliğinde önemli bir yeri vardır. V D V D Re Froude Sayısı : Bir akımda atalet kuvvetlerinin yerçekimi kuvvetlerine oranıdır. Kanal hidroliğinde çok kullanılır. Fr V Lg 1/2 Euler Sayısı: talet kuvvetlerinin basınç kuvvetlerine oranıdır. Basınç gradyanının mevcut olduğu akım problemlerinde karşılaşılır. E V p 2

7 Weber Sayısı: talet kuvvetlerinin yüzeysel gerilim kuvvetlerine oranıdır. Yüzeysel gerilimin önemli olduğu modellerde kontrol edici bir parametredir. W V L 1/2

8 5.2. Buckingham Pi Metodu Buckingham π yöntemi, boyutsal olarak homojen olan bir denklemde m adet boyut (M,L,T) tarafından tanımlanan n adet boyutlu değişkenin (n-m) adet boyutsuz π parametresinde gruplandırılabileceğini ifade etmektedir. Matematiksel olarak, şayet herhangi bir 1 değişkeni 2, 3,... n bağımsız değişkenlerine bağlıysa, a1 b 1... m m m1 a 2 b2... m m m2 an m b nm... mnm nm 1 2 m n m adet değişkeni, kendi aralarında tüm m temel boyutlarını içermeli ve kendileri bir boyutsuz parametre olmamalıdır.

9 Örnek 5.1: Bir pompanın gücü, sıvının birim hacim ağırlığının, debinin ve terfi yüksekliğinin bir fonksiyonu olduğu bilindiğine göre, gücün ifadesini boyut analizi ile bulunuz.

10 Örnek 5.2: Bir boru içerindeki akımın basınç gradyanı p p 1 2 borunun çapına, akışkanın hızına, yoğunluğuna ve dinamik viskozitenin fonksiyonu olduğuna göre, Bunckingham pi teoremini kullanarak olayı karakterize eden boyutsuz bağıntıları çıkarınız. p

11 Örnek 5.3: Pürüzsüz borularda türbülanslı akım halinde birim boy için yük kaybı Δh/l, boru içindeki sıvının hızına, boru çapına, yer çekimi ivmesine, dinamik viskoziteye ve yoğunluğa bağlı olduğuna göre, borularda yük kaybı için genel denklemi çıkarınız.