Silindirik Kabuk Yapıların Burulmalı Titreşim Davranışının İncelenmesi

Transkript

1 Silindirik Kabuk Yapıların Burulmalı Titreşim Davranışının İncelenmesi M. Arda * M. Aydoğdu Trakya Üniversitesi Trakya Üniversitesi Edirne Edirne Özet İçi boş silindirik çubukların burulmalı titreşimi mühendislik yapılarında sıkça karşılaşılan dinamik bir davranış türüdür. Bu titreşimin karakteristiğini ortaya çıkaran parametrelerin belirlenmesi önem taşımaktadır. Sürekli ortamın modellenmesinde klasik Euler-Bernoulli teorisinin yanında silindirik kabuk teorisi de kullanılabilmektedir. Bu çalışmada, içi boş silindirik kesitli çubukların burulmalı titreşim davranışı silindirik kabuk teorisi kullanılarak modellenmiştir. Temel frekanslar elde edilmiş ve farklı parametrelerle değişimi incelenmiştir. Euler-Bernoulli teorisi ile silindirik kabuk teorisi frekans değerleri arasında önemli bir fark mevcuttur. Kalınlık oranının (R/h), Flügge kabuk teorisinde etkin olduğu görülmüştür. Donnell-Mushtari teorisi, çok ince silindirik kabuklar için kullanılabilir. 1 Anahtar kelimeler: burulmalı titreşim, silindirik kabuk modeli, içi boşçubuk Abstract Torsional dynamic behaviour of hollow cylindrical rods can be seen in engineering structures, oftenly. It is very important to determine the affecting parameters of torsional behaviour. Continuous medium can be modelledusing Euler-Bernoulli or Cylindrical Shell Theories, either. In this study, torsional vibration of hollow cylindrical rods were modelled using cylindrical shell theory. Fundamentalfrequencieswere obtained and changing of frequencies with different parameters were investigated. Results indicated that, there is a huge gap between the torsional frequency values for Euler-Bernoulli and Cylindrcial Shell theories. The thickness ratio (R/h), is effective in Flügge Shell Theory. Donnell-Mushtari Shell theory can be used in very thin cylindrical shells. Keywords: torsional vibration, cylindrical shell model, hollow rod I. Giriş Silindirik yapılar makine elemanları ve parçalarında çokça kullanılmaktadır[1 3]. Boru, tüp, çubuk, mil, depolama tankları gibi yapılar örnek olarak gösterilebilir. Bu makine elemanlarının sürekli ortamdaki titreşimi, dinamik davranışlarının modellenmesinde önem * mustafaarda@trakya.edu.tr metina@trakya.edu.tr 1 taşımaktadır. Sürekli ortamların modellenmesinde çeşitli teoriler kullanılmaktadır[4]. İçi boş silindirik çubukların serbest burulmalı titreşimi, Euler-Bernoulli kiriş teorisi ile çubuk benzetimi yapılarak modellenebilmektedir. Ancak Euler-Bernoulli teorisi kesme deformasyon uzamalarını içermediğinden doğru sonuçlar verememektedir. Bu amaçla silindirik kabuk teorisi gibi farklı teoriler kullanılabilir. Silindirik kabuk teorisi, plak teorisine benzer şekilde, çubuğu belirli bir et kalınlığına sahip iki boyutlu eğrisel kapalı yüzey olarak ele almaktadır. Denge denklemleri eksenel, çevresel ve radyal olmak üzere 3 boyuttaki yer değiştirmeleri içermektedir. Silindirik kabuk teorileri de kendi içinde çeşitlenmektedir[5]. Temelde hepsi birbirine benzemekle birlikte aralarında bazı kabul farkları vardır. Bu çalışmada Donnell-Mushtari ve Flügge silindirik kabuk teorilerinden faydalanılmıştır. İçi boş silindirik çubukların serbest burulmalı titreşim davranışı Euler- Bernoulli ve silindirik kabuk teorileri ile modellenerek aralarındaki farklar incelenmiştir. II. Hareket Denklemlerinin Elde Edilmesi 1) Euler-Bernoulli Kiriş Teorisi Klasik yaklaşım olarak da bilinen bu teori, çubuk için burulma hareketine göre düzenlendiği takdirde Eşitlik (1) elde edilir. (1) Burada G, kesme modulünü; I P, polar atalet momentini; ρ, yoğunluğu ve θ, açısal yer değiştirmeyi ifade etmektedir. I P, Eşitlik (2) deki gibi ifade edilir. (2) Burada R, eğrisel orta düzlemin yarıçapını ve h, eğrisel düzlemin kalınlığını ifade etmektedir. Burulmalı titreşim hareketinin dalga şeklinde yayıldığı varsayımı ile açısal yer değiştirme Eşitlik (3) deki gibi ifade edilir., (3) Burada burulmalı titreşimin açısal frekansını ifade etmektedir. Eşitlik (1) e, Eşitlik (3)göz önüne

2 alınarakd Alambert prensibi uygulandığında Eşitlik (4) elde edilir. 0 (4) Boyutsuzlaştırma işlemi yapılarak hareket denklemi Eşitlik (5) deki şekliyle elde edilir. 0, (5) Burada boyutsuz frekans parametresini ifade etmektedir. Eşitlik (5) in çözümü Eşitlik (6) daki gibidir. cos sin (6) Burada ve sınır şartlarına bağlı olan sabitlerdir. Her iki uç için sabit destekli sınır şartları Eşitlik (7) deifade edilmiştir. 0 0, 0 1 1, 0 (7) Sabit destekli sınır şartlarında harmonik titreşim durumu için olarak bulunmuştur. Burada, eksenel dalga sayısını ifade etmektedir. Eşitlik (5), açısal frekansa göre yeniden düzenlenirse Eşitlik (8) elde edilir. (8) Eşitlik (8), burulmalı titreşim frekansının ifadesidir. 2) Silindirik Kabuk Teorisi İnce silindirik kabuk yapının geometrisi Şekil-1 de görülmektedir. Tıpkı plak teorisinde olduğu gibi toplam kuvvet ve moment eşitlikleri Kirchhoff hipotezine göre bir araya getirildiğinde yer değiştirmeler cinsinden hareket denklemleri 3 boyut için elde edilmiş olur. Donnell-Mushtari[6] ve Flügge[7] kabuk teorileri arasındaki kabul farkı; Donnell-Mushtari teorisinde ve toplam kesme kuvvetlerinin ihmal edilmiş olmasıdır. Eşitlik (9) daki denklemler her iki teori için de kullanılabilir. (9) Şekil 1. Silindirik kabuk yapı geometrisi Silindirik kabuk teorisinin hareket denklemleri genellikle matris operatörleri olarak ifade edilmektedir. Donnell-Mushtari ve Flügge kabuk teorileri için genel matris ifadesi Eşitlik (10) deki gibidir[8]: (10) Burada, matris diferansiyel operatörünü, Donnell-Mushtari diferansiyel operatörünü, modifiye diferansiyel operatörünü ifade etmektedir. ise silindirik kabuğun eğilme sertliğidir ve Eşitlik (11) deki gibi ifade edilir: (11) Yer değiştirme denklemleri Kesme Diyaframı sınır şartlarına göre belirlenecektir. Bu sınır şartının anlamı, silindirik kabuk yapının her iki uçta da ince, düz ve dairesel plakalarla sabitlenmiş olmasıdır. Plaklardaki sabit destekli sınır şartına benzemektedir. Sınır şartları Eşitlik (12) de ifade edilmiştir[9]. 0, 0 (12) Eksenel, çevresel ve radyal yer değiştirmeler kesme diyaframı sınır şartları için Eşitlik (13) de ifade edildiği şekildedir:, cos sin, sin cos, sin sin (13) Burada, çevresel dalga sayısını ifade etmektedir. Eşitlik (13) deki yer değiştirme ifadeleri incelendiğinde çevresel dalga sayısının (n) 0 olarak kabul edildiği durumda eksenel ve radyal yer değiştirmeler sıfır olmaktadır. Sadece çevresel yer değiştirme ifadesi 2

3 Donnell-Mushtari diferansiyel operatörü: 1 (14) Flügge diferansiyel operatörü: (15) Şekil 2. Silindirik kabuk frekanslarının R/h ile değişimi Şekil 3.Burulmalı titreşim frekanslarının L/R ile değişimi 3

4 değer alabilir. Bu durum eksenel-simetrik veya safburulma olarak adlandırılmaktadır. Bu çalışmada da burulmalı titreşim durumu inceleneceğinden n=0 durumu ele alınacaktır[6,8,9]. Eşitlik (13) deki yer değiştirme denklemleri Eşitlik (10) daki operatör matrislerinde yerine yazıldığı takdirde Eşitlik (14) ve Eşitlik (15) elde edilir., boyutsuz dalga sayısını;, boyutsuz frekans parametresini ifade etmektedir veeşitlik (16) daki gibi tanımlanırlar., (16) Yer değiştirmeler cinsinden elde edilen karakteristik denklem sistemi aslında bir öz-değer problemidir ve katsayılar matrisi determinantının 0 olması gerekir. Karakteristik determinant denkleminin 3 kökü vardır ve bu kökler eksenel, çevresel ve radyal boyutsuz frekans parametrelerini ifade ederler. Boyutlu frekanslar ise Eşitlik (17) de belirtildiği şekliyle tanımlanmaktadır. (17) III. Sonuçlar ve Tartışma Bu bölümde, bir önceki bölümde incelenen teoriler sayısal örnekler kullanılarak karşılaştırılacaktır. Malzeme özellikleri olarak Referans [5] deki değerler alınmıştır: E=68.2 GPa, ν=0.33, ρ=2700 kg/m 3, R=0.0762m, h= m, L=1.7272m. Tablo-1 de ilk 3 eksenel dalga sayısına göre burulmalı titreşim frekansları görülmektedir. Silindirik kabuk teorileri ile bulunan frekanslar eksenel-simetrik (n=0) durum için hesaplanmıştır. Görüldüğü üzere, Euler- Bernoulli ile Donnell-Mushtari ve Flügge kabuk teorileri arasında oldukça büyük farklar görülmektedir. Bunun en önemli nedeni, Euler-Bernoulli teorisinde göz ardı edilen kesme deformasyon uzamalarıdır. Tablo 1 Farklı teoriler ile elde edilen burulmalı titreşim frekansları (Hz) (R=0.0762m, h= m, L=1.7272m) Çevresel Dalga Sayısı (m) Euler- Bernoulli Donnell- Mushtari (n=0) Flügge (n=0) Şekil-2 de, silindirik kabuk teorileri ile bulunan frekansların (R/h) oranlı ile değişimi görülmektedir. Yarıçap değeri kalınlık değerine yaklaştığında Flügge teorisi ile bulunan frekans değerlerinde büyük bir artış görülmektedir. (R/h) oranının artışıyla iki teoriden elde edilen sonuçlar birbirine oldukça yaklaşmaktadır. Donnell-Mushtari teorisi ile bulunan frekanslar artan 4 (R/h) oranı ile küçük bir miktar azalma eğilimi göstermektedir. Şekil-3 de, burulmalı titreşim frekanslarının (L/R) oranlı ile değişimi görülmektedir. Donnell-Mushtari ve Flügge kabuk teorileri ile bulunan sonuçlar birbirine oldukça yakındır. (L/R) oranının artmasıyla frekans değerleri azalmaktadır. Farklı olarak, Euler-Bernoulli teorisi ile bulunan frekans değerleri artan (L/R) oranı ile silindirik kabuk teorileri ile bulunan frekans değerlerinden ayrılarak daha küçük değerler almaktadır. Artan çubuk boyu ile teoriler arasında bulunan fark açık olarak görülmektedir. Şekil 4-6 de silindirik kabuk yapının mod şekilleri görülmektedir. Çevresel(n) dalga sayısının değişimi ile silindirik kabuk yapıda farklı mod şekilleri oluşmaktadır. Kaynakça [1] T. Asami ve H. Miura. Vibrator development for hole machining by ultrasonic longitudinal and torsional vibration.japanese Journal of Applied Physics, 50: 07HE31-(1-9),doi: /JJAP.50.07HE31,2011. [2] J.-J. Wu. Torsional Vibrations of a Conic Shaft with Opposite Tapers Carrying Arbitrary Concentrated Elements.Mathematical Problems in Engineering, 2013:1 19,doi: /2013/491062, [3] T. Asami ve H. Miura. Characteristics of Longitudinal and Torsional Vibration for Hole Machining by Ultrasonic Vibration.Proceedings of 20th International Congress on Acoustics, 1-8, [4] H. Zeighampour ve Y.T. Beni. A shear deformable cylindrical shell model based on couple stress theory. Arch. Appl. Mech., doi: /s , [5] A. Farshidianfar ve P. Oliazadeh. Free Vibration Analysis of Circular Cylindrical Shells: Comparison of Different Shell Theories. International Journal of Mechanics and Applications, 2(5): 74-80, doi: /j.mechanics ,05.04,2012. [6] D.N. Paliwal, R.K. Pandey ve T. Nath, Free vibrations of circular cylindrical shell on Winkler and Pasternak foundations, Int. J. Press. Vessel. Pip., 69: 79 89, doi: / (95) , [7] G. Xie. Free vibration analysis of circular cylindrical shells using transfer matrix method. Int. Conf. Electr. Inf. Control Eng., , doi: /iceice , [8] A.W. Leissa ve M.S. Qatu.Vibration of Continuous Systems. McGraw-Hill Education, C, [9] A.W. Leissa. Vibration of Shells. Scientific and Technical Information Office, National Aeronautics and Space Administration, AJ,1973.

5 Şekil 4. Silindirik Kabuk Mod Şekili (m=1, n=0, ω=1453,369 Hz) Şekil 5. Silindirik Kabuk Mod Şekili (m=2, n=0, ω= Hz) Şekil 6. Silindirik Kabuk Mod Şekili (m=3, n=0, ω= Hz) 5