Matemati in en önemli ve en temel konular ndan birine
|
|
- Derya Arıkan
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 42. Süreklilik Matemati in en önemli ve en temel konular ndan birine geldik: Süreklilik. Her zamanki gibi önce kavram n sezgisel anlam n aç klaal m. Baz fonksionlar n grafi inde kopukluk oktur, baz lar nda ise tam tersine kopukluk vard r. = ƒ() Grafi inde kopukluk olmaan bir fonksion = ƒ() a ƒ(a) = b c Grafi inde a noktas nda kopukluk olan bir fonksion 377
2 Süreklilik Birinci örnekte kopukluk okken ikinci örnekte a noktas nda bir kopukluk, ani bir s çrama var. Matematiksel tan m birazdan verece iz, ama flimdilik sezgi kazand rmak amac la söleelim: Birinci örnekteki gibi fonksionlara denir. kinci örnekteki fonksion ise a noktas nda orada bir kopukluk, bir s çrama vard r., nsanlar süreklilikten daha çok hofllan rlar. Süreklilik ola an durumdur, anlafl lmas, bafla ç kmas daha kolad r. Deprem gibi, uçurumdan uvarlanmak gibi, bas nç düflmesi gibi, ola an koflullar n süreklili inin bozuldu u durumlar ölümcül olabilir. Atomun varl kan tland ndan beri maddenin sürekli olmad n, asl nda varl ktan çok okluk oldu unu bilioruz. Öte andan makroskopik düzede maddenin sürekli oldu unu varsamak - bu varsa m anl fl da olsa - maddei (ve hareketini) alg lamam zda kolal k sa lar. Her ne kadar sanie, dakika, gün ve hafta gibi parçalara a rsak da, zaman n da sürekli oldu unu varsaar z. Örne in, insan duular la alg lanmaacak bir süre için bir elman n kabolup tekrar var olabilece i, hatta tüm evrenin donup tekrar harekete geçece i varsa m bize pek inand r c gelmez. Ama neden olmas n! Velhas l kelam, evren sürekli de süreksiz de olsa, süreklii anlamak daha kolad r. Sezgisel olarak kolaca alg lanabilen süreklilik/süreksizlik kavram n matematiksellefltirmek pek o kadar kola olmam flt r. Süreklili in do ru düzgün matematiksel bir tan m n vermek 9 uncu üz lda Cauch e nasip olmufltur. Tam matematiksel tan m sunmadan önce sezgilerimize biraz daha matematiksel bir biçim vermee çal flal m. Süreksiz die nitelendirdi imiz ikinci fonksiona dikkatlice bakal m. Belli ki sorun a noktas nda. Bu noktada fonksion b de erini al or. Peki a çok az de iflti inde fonksionun ald de er ne oluor?
3 42. Süreklilik 379 E er, a n n sa nda (ani a dan daha büük) ama a a çok ak nsa, ƒ(), ƒ(a) n n, ani b nin çok ak n ndad r. Hatta i = ƒ() a ƒ() ƒ(a) = b c a n n sa nda ve e çok çok ak n alarak, ƒ() de erini ƒ(a) a diledi imiz kadar aklaflt rabiliriz., a a sa dan ne kadar ak n olursa, flekilden de anlafl laca üzere, ƒ() de eri ƒ(a) a o kadar ak n olur. Öte andan a a sol taraftan aklaflt m zda, fonksionun de erleri ƒ(a) a, ani b e de il, b den uzakta olan c e çok aklafl rlar; a a soldan istedi imiz kadar sokulal m, fonksionun de erleri b e çok çok aklaflamazlar. lk fonksionda böle bir sorun olmaz. avafl avafl de iflti inde, ƒ() de avafl avafl de iflir. kinci fonksionda ise, a n n solundan sa na a da sa ndan soluna geçerken bir s çrama aflan r. Süreklili in matematiksel tan m n vermenin zaman geldi. A, nin bir altkümesi, ƒ : A bir fonksion ve a Aolsun. ƒ nin a noktas nda sürekli olmas n n matematiksel anlam - n verece iz. b = ƒ(a) olsun. Afla daki flekilden takip edelim. = ƒ() a ƒ(a) = b
4 Süreklilik Herhangi bir > 0 alal m. u çok çok küçük (ama pozitif) bir sa olarak alg laal m. Ve ekseninde (b, b + ) aral - na ve o aral n belirledi i ata flerite bakal m. = ƒ() a b+ ƒ(a) = b b Bu flerit fonksionun grafi ini çeflitli erlerden keser ve bu kesiflimler a n n civar nda bir bölge belirlerler. = ƒ() b+ ƒ(a) = b b a civar nda grafi e daha ak ndan bakal m: a a a a+ = ƒ() b+ ƒ(a) = b b Öle bir > 0 var ki, (a, a + ) aral n n ƒ alt nda imgesi (b, b + ) aral n n içine düfler. Sadelefltirilmifl flekil afla da: a a a+ = ƒ() b+ ƒ(a) = b b
5 42. Süreklilik 38 flte a da süreklili in tan m anen bunu ifade edecek, tek bir farkla ki (a, a + ) aral n n ƒ alt nda imgesi (b, b + ) aral n n içine düfler erine (a, a + ) A kümesinin ƒ alt nda imgesi (b, b + ) aral n n içine düfler demeliiz çünkü ƒ fonksionu (a, a + ) aral n n tüm noktalar nda tan ml olmaabilir. Matematiksel tan m salal m: Tan m. A, nin bir altkümesi, ƒ : A bir fonksion ve a Aolsun. E er her > 0 için, ƒ((a, a + ) A) (ƒ(a), ƒ(a) + ) içindeli ini sa laan bir > 0 varsa, ƒ fonksionuna a da sürekli denir. An tan m kümeler (daha do rusu aral klar) erine elemanlarla ifade edebiliriz: Tan m. A, nin bir altkümesi, ƒ : A bir fonksion ve a Aolsun. E er her > 0 için, A n n a < eflitsizli ini sa laan her eleman n n ƒ() ƒ(a) < eflitsizli ini de sa lamak zorunda oldu u bir > 0 varsa, o zaman ƒ fonksionuna a da sürekli denir. ki tan m aras nda bir ar m olmad na okur ikna olmal - d r; bir ipucu verelim: a < koflulula (a, a + ) koflulu aras nda bir ar m oktur.
6 Süreklilik ƒ(a)+ ƒ(a) ƒ(a) a a a+ = ƒ() ƒ nin a da sürekli oldu unu kan tlamak için: verilmifl, bul Yukardaki tan m biraz daha açal m. Verilmifl bir ƒ : A fonksionunun bir a Aeleman nda sürekli olmas için her > 0 için öle bir > 0 olmal ki, her Aiçin, a < ƒ() ƒ(a) < (*) olsun. Tan m çerçeveleelim ki sürekli gözümüzün önünde bulunsun: Tan m: Bir ƒ : A fonksionunun bir a Anoktas nda sürekli olmas için, her > 0 için öle bir > 0 olmal ki, her Aiçin, a < ƒ() ƒ(a) < (*) olsun. Tan m kümesinin her noktas nda sürekli olan bir fonksiona sürekli fonksion denir. Tan m n Tart flmas. Her fleden önce, tüm uar lara karfl n nerdese her ö rencinin kaç n lmaz olarak apt ve muhtemelen bu uar dan sonra da apaca bir anl fltan sözedelim. Fonksionun a da sürekli oldu unu kan tlamak için, verilen her > 0 için (*) koflulunu sa laan bir > 0 bulmal z. Bu sa - s a ve a a göre de iflebilir ama ten ba ms zd r. Tekrar edelim: ƒ fonksionu, a Xnoktas ve > 0 sa s verilior ve (*) koflulunu her Aiçin sa land ten ba ms z bir > 0 aran or. Bu nokta kesinlikle gözden kaçmamal.
7 42. Süreklilik 383 Tan m daha simgesel olarak azmak ararl olabilir: > 0 > 0 A( a < ƒ() ƒ(a) < ). Tan m tart flmaa devam edelim. E er verilmifl bir > 0 için, bir sa s (*) koflulunu sa l orsa, dan küçük pozitif ler de (*) koflulunu an için sa larlar. Yani verilmifl bir için (*) koflulunu sa laan tek bir oktur ve e er (*) koflulunu sa laan bir varsa, istersek ve içimizden öle geçiorsa a da gereklise, den, /2 den, /00 den ve istedi imiz herhangi pozitif bir sa dan küçük seçebiliriz. Gene de bulunacak n n verilen a göre de iflti ini belirtelim: Genelde, küçüldükçe, da küçülmek zorundad r. Nitekim e er (, ) çifti (*) koflulunu sa l orsa ve e er < ise, o zaman (, ) çifti (*) koflulunu sa lamaabilir, çünkü bunun için eterince küçük olmaabilir, daha da küçük seçmek zorunda kalabiliriz. Bu üzden bazen erine azmak erinde olabilir. Hatta, a a göre de de iflebilece inden, erine a, da az labilir. Bir ƒ : A fonksionunun bir a A noktas nda sürekli oldu unu kan tlamak için, önce herhangi bir pozitif sa s seçilir. Sonra, Aiçin, ƒ() ƒ(a) < eflitsizli inin sa lanmas için in a a ne kadar ak n olmas gerekti i araflt r l r. Bunun için, genellikle, ƒ() ƒ(a) ifadesile onan r. Amaç, bu ifadele onaarak, ifadei, bir biçimde, içinde a bulunan bir ifadeden daha küçük olarak ifade etmektir. Bilmem kendimizi ii ifade edebildik mi? Ö retici olmas aç s ndan çok basit olmaan, ama gene de çok çok zor olmaan örnekler sunmadan önce a noktas n n tan m kümesinde olmak zorunda oldu unu an msatal m (oksa ƒ(a) dan sözedemeiz bile!)
8 Süreklilik Örnek 42.. ƒ() = 2 kural la tan mlanm fl den e giden ƒ fonksionu süreklidir. (Burada A =.) = ƒ() = 2 Kan t: a olsun. Rastgele bir pozitif sa s seçelim. sa s n çok küçük bir sa olarak alg laal m. fiimdi, Aiçin, ƒ() ƒ(a) < eflitsizli inin sa lanmas için in a a ne kadar ak n olmas gerekti ini araflt ral m; bakal m in a a belli bir > 0 mesafesinden daha ak n olmas bu eflitsizli in sa lanmas için eterli oluor mu, böle bir var m? Bunun için ƒ() ƒ(a) ifadesile onaaca z. Onaal m: ƒ() ƒ(a) = 2 a 2 = a + a. Onad k. En sa daki a ifadesi hoflumuza gidior, çünkü i a çok küçük olacak flekilde seçersek, a + a ifadesinin de çok küçük olma ( dan küçük olma) ihtimali var ve bizim de istedi imiz tam bu. Ama e er + a çok artarsa, o zaman a + a ifadesini istedi imiz kadar küçültemeebiliriz. Demek ki + a ifadesinin çok artmad n, belli bir sa taraf ndan üstten s n rland n kan tlamal z. E er herhangi bir gerçel sa sa, bu do ru de il elbet, ama i a a ak n seçece imizi unutmaal m. E er in a a mesafesi ilelebet artm orsa, + a ifadesi de zaptedilemez bir biçimde artamaz. a 2 + a 2 a2 a a a+ = ƒ() verilmifl, bulmal z. E er öle bir varsa, an özelli i sa laan den küçük bir vard r. stersek, iflimize geliorsa, den küçük bulmaa çal flabiliriz.
9 42. Süreklilik a ifadesini üstten s n rlamak için, - ilerde bu sözü tutmak üzere - bulaca m z den küçük alaca m z sözünü verelim. (Yukardaki flekil böle bir seçim apabilece imizi aç klamaa çal fl or.) O zaman, i, a < olacak biçimde seçmifl olaca z ve bu seçimle, < a<, a da a < < a +, ani 2a < + a < 2a + olur; bölece, e er A = ma{ 2a, 2a + } ise, + a < A eflitsizli ine ulaflm fl oluruz. Bafllad m z hesaba bu eflitsizlik fl - nda devam edelim: ƒ() ƒ(a) = 2 a 2 = a + a < a A. Demek ki ƒ() ƒ(a) ifadesinin dan küçük olmas için a A ifadesinin dan küçük olmas eterli. Dola s la a /A dan küçük seçersek iflimiz ifl. Ama bir dakika! a n n sadece /A dan küçük olmas etmez, den de küçük olmal. Yani e er = min{ /A, } olarak seçersek, o zaman a < eflitsizli inden ƒ() ƒ(a) < eflitsizli i ç kar. Bu kan t toparla p vasat bir analiz kitab nda az ld biçimile gösterelim: > 0 herhangi bir sa olsun. A = ma{ 2a, 2a + } olsun. Tan mdan dola A > 0 olur. Ve = min{ /A, } olsun., elbette pozitif bir sa. Ve son olarak,,
10 Süreklilik a < eflitsizli ini sa las n. Bundan, s ras la, < a<, + a < < + a, + a < < + a, + 2a < + a < + 2a, + a < ma{ + 2a, + 2a} = A eflitsizlikleri ç kar. Bu hesaplar + a s n rlamak için apt k: ƒ() ƒ(a) = 2 a 2 = a + a < a A < A ( /A)A = buluruz, tam istedi imiz gibi. Kan t n çok çok kola olmad do ru ama iflte matematik böle bir fle. Al flt rmalar. ƒ() = kural la tan mlanm fl den e giden ƒ fonksionunun sürekli oldu unu kan tla n. 2. ƒ() = 3 kural la tan mlanm fl den e giden ƒ fonksionunun sürekli oldu unu kan tla n. Sürekli olmaan bir fonksion örne i verelim. Verelim ama önce bir noktada sürekli olmaman n ne demek oldu unu daha ak ndan irdeleelim. Bir iki safa ukarda, ƒ : A fonksionunun bir a Anoktas nda sürekli olmas için, > 0 > 0 A( a < ƒ() ƒ(a) < ). önermesinin do ru olmas gerekti ini sölemifltik. Bu önermenin tam tersini, ani z dd n azal m. Bunun için basit mant k kullanaca z. Yukardaki önermenin z dd, > 0 > 0 A( a < ƒ() ƒ(a) ) önermesidir. Yani bir ƒ : A fonksionunun bir a Anoktas nda sürekli olmamas için öle bir > 0 sa s olmal d r ki, hangi > 0 sa s al n rsa al ns n, a < eflitsizli ini sa la-
11 42. Süreklilik 387 an ama ƒ() ƒ(a) < eflitsizli ini sa lamaan bir A noktas olmal d r. Örneklerle her flein daha aç k olaca ndan kuflkumuz ok! Belki sosoloji kitaplar d fl nda hemen her kitapta bulunan standart bir örnek verelim. e er 0 ise Örnek ( ) fonksionu sürekli 0 e er 0 ise de ildir. ƒ, den e gider ve grafi i flöledir: Grafikten de anlafl laca üzere, bu fonksion 0 d fl nda her noktada süreklidir, sadece 0 noktas nda süreksizdir. Bu sölediklerimizi matematiksel olarak kan tlaal m. /2. Fonksion a = 0 noktas nda sürekli de ildir. (*) koflulunun hiçbir > 0 için do ru olmad bir > 0 bulmak gerekior. Bir sonraki flekilden takip edin. = olsun. fiimdi > 0 ne olursa olsun (daha do rusu, ne kadar küçük olursa olsun), = /2 al rsak, a = /2 0 = /2 = /2 < olur ama
12 Süreklilik ƒ() ƒ(a) = ƒ( /2) ƒ(0) = 0 = = olur, ani ƒ() ƒ(a) < eflitsizli i do ru olmaz. An sonucu = /2, a da herhangi bir > 0 alarak da bulabilirdik tabii, eter ki olsun. 2. E er a 0 ise fonksion a noktas nda süreklidir. a a a+ > 0 verilmifl olsun. (*) koflulunun bir > 0 taraf ndan sa land n göstermemiz gerekior. = a /2 olsun., a < koflulunu sa las n. O zaman, a /2 = < a< = a /2, ani a a /2 < < a + a /2 olur. Bundan, e er a < 0 ise, < a + a /2 = a/2 < 0, ve a > 0 ise, 0 < a/2 = a a /2 < bulunur. Yani a ile in iflaretleri an d r, biri pozitifse di eri de pozitif, biri negatifse di eri de negatif olur. Dola s la ƒ() = ƒ(a) olur, ani ƒ() ƒ(a) = 0 < olur. stedi imiz kan tlanm flt r. Bir önceki örne i hafifçe de ifltirece iz, fonksionun kural an olacak ama tan m kümesi bu sefer erine \ {0} olacak. e er 0 ise Örnek ( ) fonksionu süreklidir 0 e er 0 ise
13 42. Süreklilik 389 Kan t anen bir önceki kan t gibidir, ama tabii a bu sefer 0 seçemeiz, çünkü fonksionun tan m kümesi \ {0} d r. ƒ, \ {0} dan e gider. fiimdi ilk bak flta flafl rt c, ikinci bak flta do al gelebilecek bir sonuç kan tlaal m. Örnek den e giden herhangi bir fonksion süreklidir. Kan t: ƒ : herhangi bir fonksion olsun. Burada A = dir. a, herhangi bir tamsa olsun. Ve > 0 verilmifl olsun. 0 < eflitsizliklerini sa laan herhangi bir sa olarak seçelim, örne in = /2 olsun. O zaman e er ise ve, a < koflulunu sa l orsa, = a olmak zorundad r çünkü iki de iflik tamsa aras ndaki fark den küçük olamaz. Demek ki, bu durumda, ƒ() ƒ(a) = 0 < olur. stedi imiz bir kez daha kan tlanm flt r. Yukardaki örnekteki fonksionu her noktada sürekli k lan, de iflik tamsa lar aras ndaki mesafenin den küçük olamaaca d r. Daha do rusu, her tamsa n n belli bir komflulu u nda bir baflka tamsa n n bulunamaaca d r. Bu fikri afla daki al flt rmada sömürece iz. Al flt rmalar. A = {/n : n \ {0}} olsun. ƒ : A herhangi bir fonksion olsun. ƒ nin sürekli oldu unu kan tla n. 2. A, ukardaki gibi olsun. B = A {0} olsun. ƒ : B herhangi bir fonksion olsun. ƒ nin 0 da sürekli olmas için,
14 Süreklilik lim n ƒ(/n) = ƒ(0) eflitli inin eter ve gerekli oldu unu kan tla n. 3. A, nin ar k bir altkümesi olsun, ani her a Aiçin, (a, a + ) A = {a} eflitli ini sa laan bir > 0 olsun. (Burada, a a göre de iflebilir.) A dan e giden her fonksionun sürekli oldu unu kan tla n. 4. A, nin bir altkümesi olsun. a A, A dan ar k bir eleman olsun, ani (a, a + ) A = {a} eflitli ini sa laan bir > 0 olsun. A dan e giden her fonksionun a da sürekli oldu unu kan tla n. 5. ƒ() = [] (= in tamk sm, bkz. Teorem 3.6). ƒ : fonksionu hangi noktalarda sürekli de ildir? 6. nin sonlu bir kümesinden e giden her fonksionun sürekli oldu unu kan tla n. 7. den e giden sürekli bir fonksionun sabit olmas gerekti ini kan tla n. 8. ƒ : fonksionu sürekli olsun ama imgesi sonlu olsun. ƒ nin sabit bir fonksion oldu unu kan tla n. 9*. den a giden her sürekli fonksionun sabit oldu unu kan tla n. 0*. den e giden her sürekli ve birebir fonksionun tersinin de sürekli oldu unu kan tla n. Bir baflka klasik örnekle devam edelim: Örnek ( ) 0 e er ise fonksionu nin e er ise fonksionu nin hiçbir noktas nda sürekli de ildir. Bu fonksion nas l sürekli olsun ki, fonksion z rt p rt 0 ve de erlerini al or! Biçimsel kan t okura b rak oruz. Bir ipucu verelim ve \ kümelerinin her ikisi de de o undur-
15 42. Süreklilik 39 lar, ani boflküme olmaan herhangi bir aç k aral kta hem kesirli hem de kesirli olmaan sa lar vard r. Kola (hatta bu aflamada biraz fazla kola) ama önemli iki örnek gelior son olarak: Örnek Sabit bir fonksion süreklidir. c Sabit c fonksionunun grafi i kesintisizdir, dola s la bu fonksion her noktada süreklidir. Kan t: ƒ sabit bir fonksion olsun. > 0 ve > 0 ne olursa olsunlar, hep ƒ() ƒ(a) = 0 < olur. Demek ki ƒ süreklidir. Örnek Özdefllik fonksionu süreklidir. = Özdefllik fonksionu Id nin grafi i çapraz do rudur ve her do ru gibi bu grafik kesintisizdir. Dola s la, sezgisel bir bak fl aç s la, Id fonksionu her noktada sürekli olmal d r. Kan t: Özdefllik fonksionunun Id () = kural la tan mlanm fl Id : fonksionu oldu unu an msat r z. a ve > 0 verilmifl olsun. = > 0 alal m. O zaman a < koflulunu sa laan her a için, Id () Id (a) = a < = olur; bu da istedi imizi kan tlar.
16 Süreklilik Örnek Her c için, c ve c + sürekli fonksionlard r. = + c c Kan t: ƒ : fonksionu her için ƒ() = + c formülüle tan mlanm fl olsun. ƒ nin her noktada sürekli oldu unu kan tlaal m. a, herhangi bir gerçel sa olsun. > 0 olsun. = alal m. O zaman, a < ise, ƒ() ƒ(a) = ( + c) (a + c) = a < = olur. Dola s la ƒ fonksionu a noktas nda süreklidir. Çarpmaa geçmeden önce ilerde çok önemli olacak bir noktaa parmak basal m. Genellikle, bulunan sa s a ve sa lar - na göre de iflir. n n dan ba ms z olmas nerdese imkâns zd r da ukardaki son üç örnekte oldu u gibi, a dan ba ms z olacak biçimde seçilebilir. Bu durumda çok güçlü bir süreklilik sözkonusudur ve buna düzgün süreklilik ad verilir. Analizin çok önemli bir kavram olan düzgün süreklili e ilerde s k s k de inece iz. = c c Çarpmaa gelelim. c olsun. ƒ : fonksionu her için ƒ() = c formülüle tan mlanm fl olsun. ƒ nin her noktada sürekli oldu unu kan tlaal m. E er c = 0 ise, sabit 0 fonksionunu elde ederiz ve bu fonksionun (düzgün) sürekli oldu unu Örnek 42.6 dan bilioruz. Bundan böle c 0 varsa m n apal m. a, herhangi bir gerçel sa olsun. > 0 olsun.
17 42. Süreklilik 393 = / c olsun. O zaman, e er a < ise, ƒ() ƒ(a) = c ca = c a < c = olur. Dola s la ƒ fonksionu a noktas nda süreklidir. Demek ki bu fonksion da süreklidir, üstelik düzgün süreklidir. Bundan sonraki sonuçlar matematikte folklor olarak nitelendirilir. Yani herkesin bildi i ama kitaplarda pek az lmaan sonuçlar... fiöle bir okuup geçebilirsiniz. Örnek Sürekli Fonksionlar Yap flt rmak/birlefltirmek. ki sürekli fonksionu ap flt rarak (a da birlefltirerek) her zaman sürekli bir fonksion elde etmeiz. Örne in Örnek 2 deki fonksion iki sürekli fonksionun birleflimidir (hangileri?) ama elde edilen fonksion sürekli de ildir. Örnek 5 te de an sorun vard r. Öte andan Örnek 3 teki gibi baz durumlarda ap flt r larak elde edilen iki sürekli fonksion süreklili i korur: Teorem 42.. a < b ve c < d olsun. ƒ : (a, b) ve g : (c, d) iki sürekli fonksion olsun. Ar ca her (a, b) (c, d) için ƒ() = g() eflitli inin do ru oldu unu varsaal m, o zaman, ( ) (, ) ( )( ) e er a b ise g g( ) e er ( c, d) ise kural la tan mlanan ƒ g : (a, b) (c, d) fonksionu süreklidir. Elde edilen ƒ g fonksionunun grafi inin ƒ ve g fonksionlar n n grafi inden nas l elde edilece i afla daki flekilde gösterilior.
18 Süreklilik ƒ a b g c d ƒ g a c Önermenin, Örnek 42.3 teki gibi, (a, b) (c, d) = oldu u zaman da do ru oldu una dikkatinizi çekeriz. Örne in b = c oldu unda... Bu dedi imiz, ince ama önemli bir ar nt d r. Ar ca fonksionlar n tan m aral klar n kapal da alabilirdik, önerme gene do ru olurdu. Bunun özel bir hali ƒ(b) = g(b) eflitli ini sa laan ƒ : (a, b] ve g : [b, c) fonksionlar n n ap flt r lmas la elde edilen fonksiondur. b ƒ g fonksionunun grafi ini elde etmek için, ƒ ve g fonksionlar n n grafiklerini birlefltirmek eterlidir. g d a ƒ b c E er ƒ, (a, b) aral n n her noktas nda süreklise ve g, (b, c) aral n n her noktas nda süreklise, o zaman ƒ g fonksionu (a, b) (b, c) kümesinin her noktas nda süreklidir. b noktas ƒ g fonksionunun tan m kümesinde olmad için b noktas ndaki süreksizlik intiba aldat c d r.
19 42. Süreklilik 395 Öte andan an önerme Örnek 2 de görüldü ü gibi (a, b) ve [b, c) aral klar için anl flt r. (a, b) ve (c, d) erine nin bambaflka altkümelerini al rsak da teorem anl fl olur. Bkz. Örnek Al flt rma. Teorem i ve daha sonra sölenenleri kan tla n. Yerellik Önermenin do rulu u süreklili in erel bir kavram olmas ndan kanaklanmaktad r. Bu erel kavram n biraz açal m; analizde çok önemlidir. Bir fonksionun belli bir a noktas nda sürekli olmas, sadece ve sadece o fonksionun a civar ndaki davran fl na göre de iflir ve fonksionun a dan uzakta neler apt ndan ba ms zd r. Afla daki flekil okuru en az ndan görsel olarak dourmal. Bir sonraki önerme ise bu dedi imizin matematikçesidir. Teorem X, Y ve a X Y olsun. ƒ : X, g : Y iki fonksion olsun. Belli bir > 0 için (a, a + ) X Y olsun ve bu aral k üstünde ƒ = g eflitli ini, ani her (a, a + ) için ƒ() = g() eflitli ini varsaal m. O zaman, e er ƒ ve g fonksionlar ndan biri a da süreklise di eri de a da süreklidir. ƒ g a X Y E er a noktas civar nda ƒ ve g fonksionlar eflitlerse, o zaman biri a da süreklise, di eri de süreklidir.
20 Süreklilik Kan t: Verilmifl bir > 0 için bulmam z gereken dan küçük seçmek eterlidir. Ar nt lar okura b rak oruz. Al flt rma. X, Y ve a X Yolsun. ƒ : X, g : Y iki fonksion olsun. Belli bir > 0 için (a, a + ) Y X olsun ve (a, a + ) Y üstünde ƒ = g eflitli ini, ani her (a, a + ) Y için ƒ() = g() eflitli ini varsaal m. O zaman, e er ƒ fonksionu a da süreklise g de a da süreklidir. Bir sonraki teoremimiz, sürekli bir fonksionun k s tlanmas n n da sürekli oldu unu söleecek. Önce fonksion k s tlaman n ne demek oldu unu an msatal m. ƒ, bir A kümesinden bir Y kümesine giden bir fonksion olsun. B, A n n bir altkümesi olsun. g : B Yfonksionu her b Biçin, g(b) = ƒ(b) kural la tan mlanm fl olsun. Yani g nin alaca de erler ƒ fonksionu taraf ndan belirlenmifl olsun. Bu durumda g fonksionuna ƒ nin k s tlan fl ad verilir ve g = ƒ B az l r. Duruma göre, kimi zaman da ƒ e g nin (bir) genifllemesi ad verilir. Teorem b B A ve ƒ : A olsun. E er ƒ fonksionu b de süreklise ƒ B fonksionu da b de süreklidir. Kan t: Kan t bundan daha kola bir teorem zor bulunur. Süreklilik konusunda ilerki bölümlerde daha derinleflece iz. fiimdilik süreklili in oldukça basit özelliklerinden sözedelim.. Süreklili i, nin bir A altkümesinden e giden fonksionlar için tan mlad k. Osa, tan ma bak l rsa fonksionun illa e de il, nin bir altkümesine gitmesi eterli, nitekim tan mda fonksionun var fl kümesini hiç kullanmad k, tek kulland - m z de erlerin gerçel sa lar olmas d. Yani A ve B, nin alt-
21 42. Süreklilik 397 kümelerise ve ƒ : A B, A dan B e giden bir fonksionsa, süreklili i bu ƒ fonksionu için de tan mlaabiliriz, an tan m kabul edelim, olsun bitsin. Bundan böle süreklili in nin bir altkümesinden gene nin bir altkümesine giden fonksionlar için tan mland n kabul edece iz. 2. E er ƒ : A B fonksionu bir a A noktas nda süreklise ve ƒ(a) C ise, an grafi i olan ve her A için g() = ƒ() kural la tan mlanan g : A C fonksionu da a noktas nda süreklidir. 3. E er ƒ : A B fonksionu bir a A noktas nda süreklise ve a C A ise, her C için (ƒ C )() = ƒ() kural la tan mlanan ƒ C : C Bfonksionu da a noktas nda süreklidir. Bunu bilioruz. Öte andan, ƒ : A Bfonksionu a Anoktas nda sürekli de ilse ve a C Aise, ƒ C : C B fonksionu a noktas nda pekâlâ sürekli olabilir. Nitekim ƒ ne olursa olsun, C = {a} ise ƒ C fonksionu a da süreklidir! (Bkz. Al flt rma 6.) Biraz daha sofistike bir örnek verelim: ƒ, Örnek 2 deki fonksion olsun A =, a = 0 ve C = (, ) [0, ) olsun, a da C = [0, ) olsun. Bu durumda ƒ C fonksionu 0 da süreklidir. 4. ƒ : A Bbir fonksion olsun. C = {a A: ƒ, a da sürekli} olsun. O zaman ƒ C fonksionu süreklidir. Al flt rmalar. ƒ() = 2 kural la tan mlanan ƒ : fonksionunun sürekli oldu unu a) Tan ma baflvurarak, b) Bu bölümdeki sonuçlarla kan tla n.
22 Süreklilik 2. ƒ, (0, ) (2, 3) kümesinden e giden ve ƒ() = kural la tan mlanan fonksion olsun. ƒ nin grafi ini çizin. ƒ nin sürekli oldu unu kan tla n. 3. ƒ, (0, 2) aral ndan e giden, (0, ) aral üzerinde ƒ() = ve [, 2) aral üzerinde ƒ() = 2 kural la tan mlanan fonksion olsun. ƒ nin grafi ini çizin. ƒ nin sürekli oldu unu kan tla n. 4. r olsun. ƒ : fonksionu, e er r ise ( ) 0 e er r ise olarak tan mlans n. Hangi r sa lar için ƒ süreklidir? 5. ƒ : olsun ve her için ƒ() = ƒ( ) olsun. E er ƒ, a da süreklise, a da da sürekli oldu unu kan tla n. Bundan ƒ, a da sürekli de ilse a da da sürekli olamaaca n ç kar n. An flei ƒ( ) = ƒ() eflitli ini sa laan bir fonksion için de ap n. 6. Her için 0 ƒ() eflitsizli ini sa laan bir fonksionun 0 da sürekli oldu unu kan tla n. 7a. E er p ve q birbirine asal iki tamsa sa, ƒ(p/q) = p + q olsun. Bu kuralla tan mlanm fl olan ƒ : fonksionunun hiçbir noktada sürekli olmad n kan tla n. 7b. g : fonksionu, g() = /ƒ() kural la tan mlans n. g fonksionun sürekli olmad n kan tla n. 8. a V nin bir altkümesi olsun. E er a I V koflulunu sa laan aç k bir I aral varsa V e a n n komflulu- u ad verilir. fiimdi ƒ : herhangi bir fonksion olsun. ƒ nin a da sürekli olmas için, ƒ(a) n n her V komflulu u için, ƒ (V) kümesi a n n bir komflulu udur koflulunun eter ve gerek oldu unu kan tla n.
23 42. Süreklilik A, nin bir altkümesi olsun. a A olsun. A n n, bir > 0 için, A (a, a + ) altkümesini içeren V altkümelerine a n n A da komflulu u ad verilir. Demek ki a n n A da komflulu u, a n n (bir önceki soruda tan mlanan) bir komflulu ula A n n kesiflimidir. fiimdi ƒ : A herhangi bir fonksion olsun. ƒ nin a da sürekli olmas için, ƒ(a) n n de her V komflulu u için, ƒ (V) kümesi a n n A da bir komflulu udur koflulunun eter ve gerek oldu unu kan tla n. Bir Noktan n Bir Kümee Mesafesi A ve olsun ile A aras ndaki mesafe, d(, A) = inf{ a : a A} = inf a A a olarak tan mlan r. Örne in d(, (0, )) = d(, [0, ]) = 0 ve her için d(, ) = 0 olur. fiu özellikler bariz olmal : E er A ise, d(, A) = 0. E er A B ise, d(, A) d(, B). E er A ise d(, A) = 0. Ama bunun tersi anl flt r. Öte andan e er A kapal bir aral ksa, d(, A) = 0 A eflde erlili i geçerlidir. E er a A ise, d(, A) a + a oldu undan d(, A) a olur. Demek ki d(, A) inf a A a = d(, A) ve d(, A) d(, A) olur. Simetriden dola an flekilde
24 Süreklilik d(, A) d(, A) olur. Demek ki, d(, A) d(, A) olur. Bu da d(, A) kural la tan mlanm fl den e giden bir fonksionun sürekli oldu unu gösterir. Bu arada A tek elemanl bir küme al rsak, a için, a kural la tan nlanm fl fonksionun da sürekli oldu unu görürüz. Gelecekte gerekecek bu sonuçlar not edelim: Önsav A ve olsun. ile A aras ndaki mesafe, d(, A) = inf{ a : a A} = inf a A a olarak tan mlans n. O zaman d(, A) kural la tan mlanm fl den e giden fonksion süreklidir. Bunun özel bir durumu olarak, a için, a kural la tan nlanm fl fonksion da süreklidir. Do al ama Süreksiz Bir Fonksion Düzlemde güzel (ani sürekli!) bir e ri ve bir de bir P noktas alal m. P den geçen do rular e rii baz noktalarda keser. ƒ( ), ata do rula derecelik bir aç apan do runun e rii kesti i nokta sa s olsun. Örne in, afla daki resimdeki örnekte, ƒ(0) = ƒ(90) = 0. Do rular P civar nda avafl avafl döndü- ünde, ƒ s çramalar apar. Bu s çramalar genellikle do runun e rie te et oldu u aç larda medana gelir. Burada, do al biçimde tan mlanm fl ama sürekli olmaan bir fonksion sözkonusudur. Hülasa, her do al fonksion sürekli olmak zorunda de ildir.
25 42. Süreklilik 40 0 B A P Çeflit Çeflit Süreklilik Verdi imiz süreklilik tan m Cauch nin oldu u için bazen sürekli erine Cauch-sürekli denir. Süreklili in baflka adlarla an lan baflka tan mlar vard r; örne in Heine-süreklilik. Heinesürekli bir fonksion ak nsak bir dizii ak nsak bir dizie götürür. Bu iki kavram aras nda bir fark olmad n görece iz. Kullan lan bir baflka Cauch süreklili i kavram daha vard r: Cauch dizilerini Cauch dizilerine götüren bir fonksiona da bazen Cauch-sürekli denir. E er X ise, sürekli fonksionlar Cauch-sürekli olmaabilirler. Örne in Örnek 42.2 deki fonksion süreklidir ama Cauch-sürekli de ildir. Öte andan X = ise Cauch-sürekli bir fonksion sürekli olmak zorundad r (Teorem 48.7).
26 42A. Tuhaf Bir Fonksionun Süreksizli i Bu bölümde, den e giden, hiçbir noktada sürekli olmaan ama herhangi bir noktan n de erini 0 a de ifltirirsek o noktada sürekli olan bir ƒ fonksionunu ele alaca z. Bölümün sonunda bu tür fonksionlar infla etmenin çok kola bir olunu görece iz. Önce tuhaf bir fonksionun süreklili ini tart flaca z. Süreklili ini tart flaca m z tuhaf fonksion kesirli sa lar kümesinden gene kesirli sa lar kümesine gidecek. Tan m flöle: a olsun. O zaman, a = p/q eflitli ini sa laan birbirine asal bir p tamsa s ve pozitif bir q do al sa s vard r. Bu p ve q sa lar biriciktir elbet, ani an a sa s için bu koflullar sa laan iki de iflik p ve q çifti oktur. Dola s la ƒ(a), ƒ(a) = /q olarak tan mlaabiliriz. Örne in, ƒ(0) = ƒ(0/) = / =, ƒ() = ƒ(2) = ƒ(5) = ƒ( 5) = ƒ( 5/) = / =, ƒ(3/7) = ƒ(2/7) = /7, ƒ( 9/8) = /8. 403
27 404 42A. Tuhaf Bir Fonksionun Süreksizli i flte bu fonksionun süreklili ini tart flaca z. Soraca m z soru flu: Bu fonksion hangi kesirli sa larda süreklidir? /q /s p/q r/s Tart flaca m z fonksion matemati in klasik fonksionlar ndan olmad için, amac m z sadece ve sadece süreklilik kavram la daha içli d fll olmam z sa lamak. Optimum arar sa lamak için, okurun, az okumadan önce en az bir saat bounca soru üzerine kafa ormas n, ani okurluktan düflünürlü e terfi etmesini öneririz. Çok büük bir olas l kla konuu eni ö renen okur an t tahmin etmekte zorlanacakt r. Yan t (do ru!) tahmin ettikten sonra kan t aflamas daha da zorlu geçecektir muhtemelen. Ama bu zorlu un ararlar ilerde hissedilecektir. Sorua üç de iflik öntemle aklaflaca z. Birinci öntemimiz oldukça ilkel olacak, herkesin akl na ilk gelen düflüncenin pefline düflece iz, do rudan süreklili in tan m n ugulaaca z. kinci öntemimiz ise (çok de il) birazc k daha kavramsal olacak ve bu aklafl m saesinde sorunun an t n ve an t n kan - t n çok daha çabuk bulaca z. Birinci öntem do rudan elemanlara odaklaflacak, ikinci öntem ise altkümelere. Elemanlara odaklaflarak sonucu tahmin etmek bile zor olacak. Osa altkümelere odaklafl nca sonucu tahmin etmek ve tahmini kan tlamak iflten bile olmaacak. Bölece okurun ikinci öntemin de- erini görece ini ve son birkaç sa d r apt klar m z ilk bak flta absürd denecek seviede soutlaacak olan topoloji konusunun erdemlerinin ar m na varaca n umuoruz. Sorunun an t n iki de iflik öntemle bulduktan sonra, az n n en sonunda o ana kadar apt m z her flei çok çok basit-
28 42A. Tuhaf Bir Fonksionun Süreksizli i 405 lefltiren bir olgu ortaa koaca z. Bölece sout matemati in de erinin ortaa ç kaca n umuoruz. Birinci Yaklafl m Yan t hemen vermeip, birinci öntemin do all n ve an zamanda zorlu unu göstermek için özellikle düflüne tafl na, avafl avafl ilerleece iz. a olsun. ƒ nin a da sürekli olup olmad n anlamaa çal fl oruz. ƒ() = ƒ( ) oldu undan, a erine gerekirse a alarak a nin negatif olmad n varsaabiliriz [bkz. Bölüm 42, Al flt rma 5]. Bundan böle, elli defa an flei tekrarlamamak için, r/s gibi bir ifade azd m zda, otomatik olarak r ve s nin birbirine asal birer do al sa olduklar n varsaaca z; s elbette 0 olamaz. a p/q biçiminde azal m. Demek ki ƒ(a) = /q. ƒ fonksionunun a da sürekli olmas için, her > 0 için öle bir > 0 olmal ki, oldu unda, ani oldu unda, p r ( ) q s p r q p s q p r 2 q s q s ( ) olsun. Bu mümkün müdür? Her > 0 sa s için böle bir > 0 sa s bulabilir miiz? Pek kola bir soru de il... Düflünelim... Soru özetle flu: r/s, p/q e ak n oldu unda, /s, /q e ak n olmak zorunda m d r?
29 406 42A. Tuhaf Bir Fonksionun Süreksizli i E er r/s nin s sini istedi imiz kadar büük (örne in milar filan) alabilirsek (bu durumda, () in sa lanmas için r nin de büük ama s e asal al nmas gerekir), o zaman /s çok küçük olur, 0 a çok ak n olur ve pozitif bir sabit sa olan /q dan uzaklafl r... (Afla daki flekle bak n z.) /q /q /q + /s p/q p/q r/s p/q + Verilmifl bir p/q ve > 0 için, (p/q, p/q + ) aral ndaki r/s sa lar n n (r ve s birbirine asal) padalar n n (s lerin) üsts n r var m d r? Böle bir üsts n r oksa, s i çok büük seçerek /s i çok küçültebiliriz ve bölece /s, /q dan uzaklafl r; ani ƒ sürekli olmaz. Evet galiba ƒ sürekli de il, en az ndan sürekli olmama olas - l üksek gibi bir his belirdi. Padas belli bir n do al sa s n geçmeen kesirli sa lar kümesine bakal m. Bu kümee A n dielim. A n nin elemanlar n n padalar nda, 2,..., n sa lar ndan biri olabilir; ama padada hangisi olursa olsun, pa ve pada gerekli sa la çarparak pada her zaman n! sa s - na eflitleebiliriz. Yani A n. n! olur. Dola s la e er bir kesirli sa, n! kümesinin d fl nda seçecek olursak, o zaman o sa A n de olamaz, sa n n padas n i aflar ve ƒ nin o sa daki de eri /n den küçük olur. ƒ nin süreksizli inin kan t n n anafikrini bulduk.
30 42A. Tuhaf Bir Fonksionun Süreksizli i 407 u> 0 için u biçiminde az lan bir kümenin iki farkl eleman aras ndaki fark u dan küçük olamaz elbet. Dola s la e er a u ise, (a u, a + u) u = {a} olmal. fiekil afla da. u 0 u 2u 3u 4u 5u 6u u a u ise (a u, a + u) aral nda u kümesinden egâne sa a d r. Yukardaki paragrafta az lanlar n özel bir durumunu irdeleelim. a = p/q eflitli ini an msaal m. n = 2q ve u = /n! olsun. O zaman, a = p/q A q A n u oldu undan, (a u, a + u) u = {a} ç kar. E er 0 < v u ise de (a v, a + v) u = {a} ç kar. Bunu akl m zda tutal m, birazdan gerekecek. fiimdi ƒ nin a = p/q noktas nda sürekli olmad n kan tlaabiliriz. 2q olsun. > 0 herhangi bir sa olsun. v = min{u, } > 0 olsun. Herhangi bir (a v, a + v) ( \ {a}) seçelim., o un bir s ralama oldu undan böle bir vard r. Elbette a < v olur. Öte andan, ukarda bulduklar m zdan dola, a sa - s u kümesinde olamaz, dola s la u in bir altkümesi olan
31 408 42A. Tuhaf Bir Fonksionun Süreksizli i A n de de olamaz. Sonuç: in padas n = 2q den büük olmal, ani ( a) ( ) ( a) 2q 2 olmal. Dola s la ( a) ( a) ( a) ( ) ( a) ( ) ( a) 2 2 2q olur. Demek ki ƒ, a noktas nda sürekli de ilmifl. Hatta sanki ƒ nin a da sürekli olmas için ƒ(a) n n 0 a eflit olmas gerekirmifl gibi güçlü bir his belirmifl olmal. kinci Yaklafl m Yukardaki aklafl mda elemanlarla biraz fazla hafl r neflir olduk. Bu sefer elemanlar erine kümeleri ön plana ç karaca z. ƒ nin görüntülerinin kümesine bakal m: ƒ( ) = {/n : n =, 2, 3,...}. ƒ( ) kümesinin flekli hemen afla da. /7 /5 0 /3 /2 /4 /6 ƒ( ) kümesi Bu küme ar k bir kümedir, ani her a için, (a, a + ) ƒ( ) = {a} eflitli ini sa laan eterince küçük (ama pozitif) bir vard r. (Burada, a a göre de iflebilir.) Örne in /3 ile /4 aras nda kümenin bir baflka eleman oktur. Genel olarak, /n ile /(n+) sa lar aras nda kümeden bir baflka eleman oktur. Osa tan m kümesi olan, ar k olmaktan oldukça uzak, tam tersine o un s ralamal bir kümedir. Bunun baz sonuçlar n n olmas gerekir. Afla daki flekil, ƒ fonksionunun tan m ve görüntü kümelerini temsil edior. Tan m kümesi s k dokunmufl, de er kümesi ise ar k bir küme.
32 42A. Tuhaf Bir Fonksionun Süreksizli i 409 /2 /3 /4 /5 fiimdi herhangi bir a alal m. ƒ(a) sa s ar k bir küme olan ƒ( ) nün bir eleman. Demek ki (ƒ(a), ƒ(a) + ) ƒ( ) = {ƒ(a)} eflitli ini sa laan bir > 0 var. E er ƒ sürekli olsad, ƒ((a, a + )) (ƒ(a), ƒ(a) + ) özelli ini sa laan bir > 0 olurdu. Yani, ƒ((a, a + )) = {ƒ(a)} olurdu, ani ƒ fonksionu, a merkezli bir aç k aral kta hep an de eri, ƒ(a) de erini al rd ve bir sabit olurdu, bu aral ktaki kesirli sa lar n padalar hep an olurdu! Böle bir flein imkâns z oldu u belli: Padas n olan kesirli sa lar kümesi n kümesinin bir altkümesidir ve bu son küme ar k oldu undan (noktalar aras ndaki mesafe /n den küçük olamaz), padas n olan kesirli sa lar kümesi de ar k bir kümedir ve boflküme d - fl nda aç k bir aral k içeremez. a + Demek ki ƒ fonksionu a da sürekli olamaz. a a E er ƒ fonksionu a noktas nda sürekli olsad, bir > 0 için, (a +, a ) aral ndaki kesirli sa lar n padalar hep an olurdu...
33 40 42A. Tuhaf Bir Fonksionun Süreksizli i Yaklafl mlar n Karfl laflt r lmas Asl nda aralar nda pek bir fark ok. Her iki aklafl m da süreklili in tan m ndan ola ç k or. Ancak ikinci aklafl mda elemanlardan çok altkümelere o unlafl oruz ve nerdese sihirli bir biçimde kan t çok daha kola oluor. kinci aklafl m n anafikri flu: Teorem 42.A.. E er bir ƒ : fonksionu a noktas nda süreklise, o zaman ƒ(a) noktas n içeren her aç k aral n önimgesi a içeren aç k bir aral k içerir. Daha genel bir teorem do rudur. Teorem 42.A.2. E er bir ƒ : X fonksionu a X noktas nda süreklise, o zaman ƒ(a) noktas n içeren her aç k aral - n önimgesi a içeren aç k bir aral n X le kesiflimini içerir. Bu teoremin kola kan t n flimdilik okura b rak oruz. lerde topoloji konusunu iflledi imizde bu ve benzer teoremleri dikkatlice kan tlaaca z. Yapa Bir Süreksizlik Fonksion de erlerini hep (0, ] aral nda al or ama ne sürekli art or ne de sürekli azal or. Oldukça kaotik bir ap da /3 /7 /0 /27 0 /0 4/27 2/7 /3 gibi görünüor. Ama her > 0 için, fonksionun dan büük de er ald elemanlar oldukça ender, fonksionumuz genellikle çok küçük de erler al or.
34 42A. Tuhaf Bir Fonksionun Süreksizli i 4 ƒ fonksionunun de er kümesine bir defa daha göz atal m: ƒ( ) = {/n : n =, 2, 3,... } = {, /2, /3, /4,... }. Her n > 0 do al sa s için, ƒ nin /n den büükeflit de erler ald sa lar n n kümesine bakal m. Bu sa lar, 0 < s n ve r için, r/s biçiminde az l rlar, bunlar da daha önce gördü ümüz gibi n! kümesinin elemanlar d r, ani /2 /3 /4 /5 0 /5 /3 /4 2/5 4/5 3/5 3/4 /2 2/3 : ( ) n n.! Örne in, n = 5 ise, ƒ() /5 eflitsizli ini sa laan [0, ) aral ndaki sa lar, 0, /5, /4, /3, 2/5, /2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5 sa lar d r. ƒ() /5 eflitsizli ini sa laan tüm sa lar ise bu sa lara bir tamsa eklenerek elde edilir. Ama bizim as l dikkat çekmek istedi imiz nokta, tüm bu sa lar n, 5! kümesinde olduklar ve bu son kümenin elemanlar aras nda en az /5! kadar, oldukça küçük belki ama gene de sabit bir sa - dan büük bir mesafenin oldu udur. Genel olarak, > 0 ne olursa olsun, { : ƒ() }
35 A. Tuhaf Bir Fonksionun Süreksizli i kümesinin de iflik elemanlar aras ndaki mesafe belli bir > 0 sa s n n alt na düflmüor. Bunun do ru oldu unu görmek /n 0 n! Ancak bu sa lar n baz lar n n ƒ de eri efli ini aflabilir. Di erlerinin ƒ de eri dan küçük olmak zorunda. için n i /n eflitsizli i sa lanacak kadar büük ve pozitif ama < /n! eflitsizli ini sa laacak kadar küçük seçmek eterli. Demek ki fonksionun de erlerinin çok büük bir ço unlu- u çok küçük sa lar. Her a ve her > 0 için öle bir > 0 var ki, 0 < a < oldu unda, ƒ() 0 = ƒ() < olur. Nitekim, e er > 0 verilmiflse, a n n ( a)! kümesinin elemanlar na olan uzakl klar n minimumumdan daha küçük seçmek eterli. Bu da bize tam flunu sölüor: E er ƒ nin a daki de eri 0 olsad, o zaman ƒ fonksionu a noktas nda sürekli olurdu. Bir baflka deiflle, ƒ ile sadece a noktas nda ar flan ( ) a g( ) e er ise 0 e er a ise fonksionu a da süreklidir. Yani ƒ fonksionunun a noktas ndaki süreksizli i tamir edilebilir bir süreksizliktir. Bu noktada fonksionu 0 olarak tan mlamak eterli. Bu fluna benzior: e er 2 ise h( ) 3 e er 2 ise
36 42. A. Tuhaf Bir Fonksionun Süreksizli i 43 olsun. h nin grafi i flöle: 3 2 Fonksion 2 de süreksiz, ama bu süreksizlik bu sadece bir flanss zl k gibi duruor; h nin 2 deki de erini 3 ten 2 e de ifltirirsek, fonksion her erde sürekli olur. Yukardaki ƒ ile bu h aras ndaki fark, h nin sadece tek bir noktada süreksiz olmas ; osa ƒ her erde süreksiz! Al flt rma. k : fonksionu üzerinde ƒ e eflit olsun, di er noktalarda 0 olsun. k hangi noktalarda süreklidir? 2
Topolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji
Kapak Konusu: Topoloji Topolojik Uzay Geçen yaz da nin, ad na aç k dedi imiz baz altkümelerini tan mlad k ve bir fonksiyonun süreklili ini tamamen aç k kümeler yard m yla (hiç ve kullanmadan) ifade ettik.
DetaylıGeçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi
25. Hausdorff Zincir Teoremi ve Zorn Önsav n n Kan t Tolga Karayayla Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi ve yis ralama Teoremi varsay larak Seçim Aksiyomu kan tland. Bu bölümde önce
DetaylıBu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz.
5. Eski yis ralamalardan eni yis ralamalar Türetmek Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz. Basitten zora do ru gidece iz. 5.1. yis ralaman n Sonuna Bir Eleman Eklemek. Bu
DetaylıAfla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n
Seçim Beliti Afla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n herbiri bir teoremdir, kan tlanm fllard r. Ancak bu olgular, matematikte çok özel bir yeri olan Seçme Beliti kullan larak kan tlanm
DetaylıDördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s
Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s 331 13. Gerçel Say lar Kümesi Nihayet gerçel say lar tan mlayaca z. Bir sonraki bölümde gerçel say lar üzerine dört ifllemi ve s ralamay tan mlay p bunlar n özelliklerini
DetaylıÖnsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k}
Kapak Konusu: Topoloji Çarp m Topolojisi Bu yaz da topolojik uzaylar n kartezyen çarp m n do al bir topolojik uzay yap s yla donataca z. E er ve topolojik uzaylarsa, üzerine en do al topolojik yap, herhalde,
DetaylıBu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir:
Yak nsamak B u yaz da, ilerde s k s k kullanaca m z bir olguyu tan mlayaca z ve matemati in en önemli kavramlar ndan birine (limit kavram na) de inece iz. Asl nda okur anlataca m kavram sezgisel olarak
DetaylıSonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu
30. Cennete Hoflgeldiniz! Sonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu herkes bilir. Örne in, {0, 2, 6, 7, 13} kümesinin 5 eleman vard r. Bu say m z n kapak konusunda, sonsuz bir kümenin eleman
DetaylıXherhangi bir küme olsun. Mesela X olabilir (ama olmayabilir
53. Fonksiyon Dizilerinin Noktasal Yak nsamas Xherhangi bir küme olsun. Mesela Xolabilir (ama olmayabilir de). Her n do al say s için bir ƒ n : X fonksiyonu verilmifl olsun. O zaman her xxiçin ayr bir
DetaylıBu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi
Ek 3. Sonsuz Küçük Eleman Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi tahmin edece iniz bir numara gerçeklefltirece iz: 3/5, 7/9, 4/5 ve 3 gibi kesirli say lara bir eleman ekleyece iz. Miniminnac
DetaylıGeçmiflte (n/(n+1))n dizisinin 1 e yak nsad n f s ldad k
8. Yak nsak Diziler 8.1. Yak nsakl k Geçmiflte (n/(n+1))n dizisinin 1 e yak nsad n f s ldad k ama kan tlamad k. Kan tlayamazd k da, çünkü yak nsamak kavram n henüz tan mlamad k. Bu bölümde matematikte
DetaylıYak nsak diziler kümesini Y ile gösterelim. Bu bölümde Y
9. Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama Yak nsak diziler kümesini Y ile gösterelim. Bu bölümde Y kümesinde toplama, ç karma, çarpma ve kimi zaman da bölme ifllemlerini yapabilece imizi gösterece iz.
DetaylıBir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl
48. Limit Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl ve bu ders notlar n n oldukça uzun bir bölümünü bu kavrama ay rm flt k. Bu bölümde benzer bir limit kavram tan taca z. E er ƒ bir
DetaylıArd fl k Say lar n Toplam
Ard fl k Say lar n Toplam B u yaz da say sözcü ünü, 1, 2, 3, 4, 5 gibi, pozitif tamsay lar için kullanaca z. Konumuz ard fl k say lar n toplam. 7 ve 8 gibi, ya da 7, 8 ve 9 gibi ardarda gelen say lara
DetaylıMATEMAT K TEST. 3. a ve b reel say lar olmak üzere, 3 a = 4 ve 3 2a b 3 = 8 oldu una göre,
MTMT K TST KKT! + u testte 80 soru vard r. + u test için ar lan cevaplama süresi 5 dakikad r. + evaplar n z, cevap ka d n n Matematik Testi için ar lan k sma iflaretleiniz.. a, b, c pozitif reel sa lard
DetaylıOkurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya
23. Zorn Önsav ve Birkaç Sonucu Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya konulan sorunu anlad n varsay yoruz. O bölümde ele ald m z ama pek baflar l olamad m z kan tlama yönteminden, yani bir
DetaylıBu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir
20. Seçim Aksiyomu Neden Do ald r? Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir aksiyom oldu una ikna etmeye çal flaca z. Bu bölüm de okuru ikna etmezse hiçbir fley etmez! Ç k fl noktam z Bertrand
DetaylıBu noktaya gelene kadar nin birçok özelli ini kan tlad k.
21. nin Biricikli i Bu noktaya gelene kadar nin birçok özelli ini kan tlad k. Bu özelliklerin bir listesini ç karal m: 1), s ral bir cisimdir. 2) tamd r, yani nin her temel (ya da Cauchy) dizisi de yak
DetaylıYan t Bilinmeyen Bir Soru
Yan t Bilinmeyen Bir Soru Ö nce yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bir soru soraca- m, sonra yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bu soru üzerine birkaç kolay soru yan tlayaca m. Herhangi bir pozitif do
Detaylı4. yis ralamalar Hissetmek
4. yis ralamalar Hissetmek yis ralamay koyun s ralamaya benzetmek pek yanl fl olmaz. Sonsuz say da koyun da olsa, iyis ralanm fl bir koyun sürüsünde mutlaka birinci koyun olmal. kinci, üçüncü, dördüncü
Detaylı1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl
1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl K aos, matemati in oldukça yeni kuramlar ndan biridir. Kaos, kargafla anlam na gelen Yunanca kökenli bir sözcüktür. Kaos kuram n biraz aç klamaya çal flay m. fiöyle kuvvetlice
DetaylıKoninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr
apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan
DetaylıDo ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün
Matematik ünas, 003 Güz o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas /. ölüm o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün üniversitenin ö retim üelerinin de katk - lar la düzenledi i liseleraras
DetaylıMatemati i bir iki sayfa erteleyerek, gerçel say larda s -
15. Gerçel Say larda S ralama Matemati i bir iki sayfa erteleyerek, gerçel say larda s - ralamay nas l tan mlayabilece imizi tart flaca z önce. Do al ve basit gibi görünen tan m denemelerinin zorluklar
DetaylıDo ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar
o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar Soru. S f rdan farkl bir a say s için sonsuz ondal klarla oluflan ifadesinin de eri nedir? ise, Soru 2. 0 < < 0 olmak
DetaylıOlas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz.
Olas l k Hesaplar (I) Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz. Örne in tavla ya da kâ t oyunlar oynarken. ki kap ya üstüste birkaç kez gele atmayan tavlac görmedim hiç. fianss zl
DetaylıBir odada sonsuz say da insan n bulundu unu varsayal m. Bu
Ramsey Teoremi Bir odada sonsuz say da insan n bulundu unu varsayal m. Bu odada bulunan herhangi iki kifli birbirlerini ya tan rlar ya da tan mazlar. Buras belli. Yan t belli olmayan soru flu: Bu odadan,
DetaylıOlas l k Hesaplar (II)
Olas l k Hesaplar (II) B ir önceki yaz daki örneklerde olay say s sonluydu. Örne in, iki zarla 21 olay vard. fiimdi olay say m z sonsuz yapaca z. Kolay bir soruyla bafllayal m: [0, 1] aral nda rastgele
DetaylıBu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -
18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte
DetaylıBu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z
Yoksulun fians Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z sonuca geçelim: Teorem. Yoksulun zengine karfl flans yoktur. Bu çok bilinen teorem i kan tlayabilmek için her fleyden önce önermeyi
DetaylıGerçel Say larla p-sel Tamsay lar Aras ndaki Benzerlik
Kapak Konusu: Modüler ve p-sel Say lar Gerçel Say larla p-sel Tamsay lar Aras ndaki Benzerlik I. A aç. Geçen yaz lar - m zda, say lardan yola ç karak bir a aç bulmufltuk. Bu kez tam tersini yapaca z, bir
Detaylı14. Ordinallerde Çarpma fllemi
14. Ordinallerde Çarpma fllemi 14.1. Çarpman n Tan m Gene ilkokul y llar m zdan bafllayal m. lkokulda do al say lar n çarp m n nas l ö rendi inizi an msay n. 3 4 = 12 eflitli i için her biri içinde üç
DetaylıSevdi im Birkaç Soru
Sevdi im Birkaç Soru M atematikte öyle sorular vard r ki, yan t bulmak önce çok zor gibi gelebilir, sonradan -saatler, günler, aylar, hatta kimi zaman y llar sonra- yan t n çok basit oldu u anlafl l r.
Detaylıyis ralamalar Hissetmek
Kapak Konusu: S ralamalar yis ralamalar Hissetmek yis ralamay koyun s ralamaya benzetmek pek yanl fl olmaz. Sonsuz say da koyun da olsa, iyis ralanm fl bir koyun sürüsünde mutlaka birinci koyun olmal.
DetaylıYeniflemeyen Zarlar B:
Yeniflemeyen Zarlar Ahmet, Belgün den daha uzun boyluysa, Belgün de Cemal den daha uzun boyluysa, Ahmet, Cemal den daha uzun boyludur, önermesi hiç kuflkusuz do rudur. Çünkü A > B ve B > C eflitsizliklerinden,
DetaylıÜst Üçgensel Matrisler
Ders Notlar Üst Üçgensel Matrisler Ali Nesin / anesin@bilgi.edu.tr 1. Lineer Cebir Tekrar V, bir K cismi üzerine n > 0 boyutlu bir vektör uzay olsun. V nin K-vektör uzay olarak andomorfizmalar, V nin lineer
DetaylıBir yaz mda, kimbilir hangisinde,
Sonsuz Toplamlar Bir yaz mda, kimbilir hangisinde, 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 +... toplam n n sonsuz oldu unu, yani 1/1 1/1 + 1/2 1/1 + 1/2 + 1/3 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5
DetaylıGeometride iki nokta aras ndaki en k sa yolu
Küreselleflen Geometri 2. stanbul - New York Uçuflu Tosun Terio lu* tosun@sabanciuniv.edu.tr Matematik Dünas, 2004 K fl Geometride iki nokta aras ndaki en k sa olu veren e riler jeodeik ad verilen e riler
DetaylıHemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir
Çizgeler Kuram Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Kayhan Zemin E er bir çizgenin özdefllik, yani Id fonksiyonundan baflka otomorfizmas yoksa, bu çizgeye denir. flte en küçük asimetrik çizge: Asimetrik
DetaylıYüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar
Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar T avla Üzerine Bir Soru adl yaz da kuramsal olarak sonsuz bir oyun olan tavlan n gerçekte, yani uygulamada, sonsuz olup olmad sorusunu sorduk. Bu yaz da kuramsal olarak sonsuz,
Detaylı256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl.
Bölünebilme B ir tamsay n n üçe ya da dokuza tam olarak bölünüp bölünmedi ini anlamak için çok bilinen bir yöntem vard r: Say - y oluflturan rakamlar toplan r. E er bu toplam üçe (dokuza) bölünüyorsa,
DetaylıGeçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0)
3. Do al Say larda Toplama, Çarpma ve S ralama Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0) matematiksel yap s n n varl n kan tlam flt k. An msayal m: bir kümedir. 0, kümesinin bir eleman d
DetaylıAfin ve zdüflümsel Düzlemler
Kapak Konusu: Geometrik Kombinatorik Afin ve zdüflümsel Düzlemler Selda Küçükçifçi* / skucukcifci@ku.edu.tr Oluflum Geometrisi. Do ru dendi inde akl m za dümdüz ve dosdo ru do rular gelir. flte birkaç
DetaylıEski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla
Cetvelsiz de Olur! Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla yap lan çizimler çok ilgilendirirdi. Çünkü Eflatun a göre, do ru ve daire, geometrik flekiller aras nda mükemmel olan tek flekillerdi.
DetaylıHiperbolik Fonksiyonlar
Matematik Dünas, 0-III Kapak Konusu: İntegral IV Hiperbolik Fonksionlar sinh olarak a z - lan kosinüs sinüs hiperbolik fonksionlar ndan geçmiflte k saca sö zet mifltik Bu az da bu fonksionlardan biraz
DetaylıBir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz -
Saymadan Saymak Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - lan say 1 2... n say s na eflittir. Yani, tan m gere i, n! = 1 2... (n-1) n dir. n!, n fortoriyel diye okunur. Örne in,
Detaylıege yayıncılık Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 49 1. Afla daki fonksiyonlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir?
Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 9. Afla daki fonksionlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir? 5. Afla daki fonksionlardan hangisi A(,) noktas ndan geçer? A) f() = B) f() = f() = + f() =. f()
Detaylıiçinde seçilen noktan n birinci koordinat birincinin geldi i saati, ikinci koordinat ysa
Tuhaf Bir Buluflma O las l k kuram ilkokullarda bile okutulabilecek kerte basit ve zevklidir. ABD de kimi okullarda 9 yafl ndaki çocuklara bile okutuluyor olas l k kuram. Basit olas l k kuram n anlamak
DetaylıBiraz Kümeler Kuram ve Birkaç Do al Say
Kapak Konusu: 2 2 = 4 Biraz Kümeler Kuram ve Birkaç Do al Say Geçen yaz da her toplulu u küme sanman n ne kadar kötü sonuçlar do urdu unu gördük. Demek ki daha dikkatli olmal y z, önümüze ç kan her toplulu
DetaylıKesirli say dizileriyle çal flmaya devam ediyoruz. Geçmiflte
11. Kesirli Temel Diziler Kesirli say dizileriyle çal flmaya devam ediyoruz. Geçmiflte (henüz var olmayan) 2 ye yak nsamak isteyen bir kesirli say dizisi örne i verdik. E er 2 orada olsayd, bu dizi kesirli
DetaylıDo al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama
Ç karma ve Kare Alma Alt nda Kapal Kümeler Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama ve çarpma ifllemleri alt nda kapal d r; bir baflka deyiflle, iki do al say y toplarsak ya da çarparsak
Detaylı22. Zorn Önsav na Girifl
22. Zorn Önsav na Girifl 22.1. mkâns z Bir Problem mkâns z bir problemle bafllayal m: Gerçel say lar kümesi nin maksimal bir sonlu altkümesini bulmaya çal flal m... Do ru anlad n z! Dedi imiz gibi imkâns
DetaylıSaymak San ld Kadar Kolay De ildir
Saymak San ld Kadar Kolay De ildir B ir matematikçinin bir zamanlar dedi i gibi, saymas n bilenler ve bilmeyenler olmak üzere üç tür insan vard r Bakal m siz hangi türdensiniz? Örne in bir odada bulunan
DetaylıKümeler toplulu unun bir küme olamayaca n Bertrand
9. Ordinallerin fllevi Kümeler toplulu unun bir küme olamayaca n Bertrand Russell Paradoksu ndan biliyoruz [SKK]. Küme olmayan bir fleye küme diyemeyece imize göre, tüm kümeler toplulu una bir baflka ad
DetaylıYoksulun Kazanabildi i Bir Oyun
Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun B u yaz da yoksulu kazand raca z. Küçük bir olas l kla da olsa, yoksul kazanabilecek. Oyunu aç klamadan önce, Sonlu Oyunlar adl yaz m zdaki (sayfa 17) oyunu an msayal m:
DetaylıRastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir
Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir B irçok yaz mda olas l k sorusu sordum. Bu yaz mda soru sormayaca m, sadece olas l n matematiksel tan m n verece im. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 say lar aras
DetaylıBu bölümde, içinde hem limiti hem de sonsuzlar bar nd ran
51. Limitler ve Sonsuzlar Bu bölümde, içinde hem limiti hem de sonsuzlar bar nd ran kavramlardan söz edece iz. Örne in lim ƒ() = b, lim a ƒ() = b ve lim ƒ() = gibi eflitliklerin matematiksel anlamlar n
DetaylıÖRNEK 1: Üç basamakl 4AB say s, iki basamakl BA say s n n 13 kat ndan 7 fazlad r. Buna göre, BA say s kaçt r? ÖRNEK 2:
MATEMAT K SAYILAR - I ÖRNEK : Üç basamakl 4AB sa s, iki basamakl BA sa s n n kat ndan fazlad r. Buna göre, BA sa s kaçt r? A) B) 25 C) 2 D) 2 E) 2 (ÖSS - ) ÖRNEK 2: Dört basamakl ABCD sa s, üç basamakl
DetaylıOyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim.
Barbut Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim. Ne yapal m ki ben oyun oynamay çok severim. Birinci Oyun. ki oyuncu s rayla zar at yorlar. fiefl (6) atan ilk oyuncu oyunu kazan yor. Ve
DetaylıHiç K salmadan K salan Yol
Hiç K salmadan K salan Yol ki metrelik bir yol, hiç uzay p k salmadan, bir metrelik bir yola dönüflebilir mi? u yaz da yan t n evet oldu unu görece- iz. ki metrelik bir yol, hepimizin gözleri önünde, bir
DetaylıBahçe Sorusu 1. Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi-
Bahçe Sorusu 1 Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi- 1. dan dikmeyi düflünüyoruz. Bahçenin merkezine fidan dikmeyece- iz. Soru
DetaylıBir çekirge çok ama çok uzun bir yol üstünde. Çekirge öne
Çekirge Kaç S çrar ya da Rastgele Yürüyüfl Bir çekirge çok ama çok uzun bir yol üstünde. Çekirge öne ya da arkaya 1 metre s çrayabiliyor. Belli bir olas l kla öne, belli bir olas l kla arkaya s çr yor.
Detaylı: Bir d do rusu üzerinde; A, B, C ve D noktalar alal m. d. n n uzunlu u denir ve. d d1 d2 F G. E, F d G, H d ve ise. d // d 1 2
VI. ÖLÜM ÜZLEME VEKTÖRLER YÖNLÜ RU PRÇSI Tan m : üzlemde ve noktalar verilsin. [] n n dan e do ru önlendirildi ini düflünelim. öle do ru parçalar na, önlü do ru parçalar denir. önlü do ru parças, ile gösterilir.
Detaylıyaz -tura at yor. Yaz gelirse birinci oyuncu, tura gelirse ikinci oyuncu kazanacak. Birinci oyuncu oyunun bafl nda ortaya 1 lira koyuyor.
Sonlu Oyunlar B u kitapta s k s k oyunlar konu edece iz. Oyunlar sonlu ve sonsuz oyunlar diye ikiye ay raca z. Sonsuz oyunlar da ilerde ikiye ay raca z: Uygulamada sonsuza dek sürebilen ve süremeyen oyunlar.
DetaylıÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler
ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir
DetaylıBir Tekhücrelinin Soyunu Sonsuza Dek Sürdürme fians
Bir Tekhücrelinin Soyunu Sonsuza Dek Sürdürme fians kiye bölünerek üreyen tekhücreliler vard r. Tekhücreli ve tekcinsiyetlidirler galiba. Lisede ö renmifltim. Unutmuflum. Kimseye gereksinmeden ikiye bölünerek
Detaylı11. Limit Ordinaller ve Ordinallerde Tümevar m lkesi
11. Limit Ordinaller ve Ordinallerde Tümevar m lkesi yis ral kümelerde tümevar mla kan tlama yönteminden 6 nc bölümde sözettik. O bölümde flu teoremi kan tlad k: yis ralamalarda Tümevar m lkesi [Teorem
DetaylıBu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z.
Do ru Önermeler, Yanl fl Önermeler Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z. Birinci Bilmece. Yarg ç karar verecek. Mahkeme tutanaklar ndan flu bilgiler ç k yor: E er A suçsuzsa, hem B hem C suçlu.
DetaylıOkur mutlaka e itim hayat boyunca x2/2 + sin x türünden
43. Toplama, Çarpma, S ralama ve Süreklilik Okur mutlaka e itim hayat boyunca x2/2 + sin x türünden ifadelere rastlam flt r. Bu ifade asl nda x 2 /2 ile sin x fonksiyonlar n n toplam n simgelemektedir.
DetaylıMatematikte sonsuz bir s fatt r, bir ad de ildir. Nas l sonlu bir s fatsa, matematikte kullan lan sonsuz da bir s fatt r. Sonsuz, sonlunun karfl t d
Matematik ve Sonsuz G erek konuflma vermeye gitti im okullarda, gerek bana gelen okur mektuplar nda, ö renci ve ö retmenlerin matematikteki sonsuzluk kavram n pek iyi bilmediklerini gözlemledim. Örne in,
DetaylıBirkaç Oyun Daha Birinci Oyun.
Birkaç Oyun Daha B irinci Oyun. ki oyuncu flu oyunu oynuyorlar: Her ikisi de, birbirinden habersiz, toplam 9 olan üç do al say seçiyor. En büyük say lar, ortanca say lar ve en küçük say lar karfl laflt
Detaylıfonksiyonu, her x 6= 1 reel say s için tan ml d r. (x 1)(x+1) = = x + 1 yaz labilir. Bu da; f (x) = L
Limit Bu bölümde, matematik analizde temel bir görevi olan it kavram incelenecektir. Analizdeki bir çok problemin çözümünde it kavram na gereksinim duyulmaktad r. Bunlardan baz lar ; bir noktada bir e¼griye
DetaylıDo ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 Bireysel Yar flma Soru ve Çözümleri
o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 ireysel Yar flma Soru ve Çözümleri olamayaca ndan (çünkü bir kareköke eflit), y = 1/2 bulunur. olay s yla = y 2 = 1/4. 2a + 4b = 6a 3b oldu
DetaylıTEMEL MATEMAT K TEST
TEMEL MATEMAT K TEST KKAT! + Bu bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MATEMAT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 2 4. 4. 0,5 2. iflleminin sonucu
DetaylıÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES
ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES 1. G R fi. ÇEMBER N DENKLEM 3. MERKEZLER R J NDE, EKSENLER ÜZER NDE V E YA EKSENLERE T E E T LAN ÇEMBERLER N DENKLEM 4. ÇEMBER N GENEL DENKLEM 5. VER LEN ÜÇ NKTADAN
DetaylıBir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl
Zü ürt Tesellisi Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl flans n n çok az oldu unu kan tlam flt k. Öyle ki, zengin sonsuz zengin oldu unda oyunu 1 olas l kla (yani yüzde yüz) kazanacakt
DetaylıBu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.
19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:
DetaylıBölüm 1C de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ve 7 say lar n tan mlad k.
2. Do al Say lar Yap s Bölüm 1C de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ve 7 say lar n tan mlad k. Ama, her say y teker teker tan mlamaya zaman m z yok. Bu yaklafl mla say lar n sonunu getiremeyiz... Demek ki baflka bir
DetaylıEn az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan
Gizli Duvarlar En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan biridir. Örne in, A noktas ndan yay lan fl k B noktas na gitmek için sonsuz tane yol aras ndan en az enerji harcayarak gidece i
DetaylıHer noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem
Renkli Noktalar Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem önündeyiz. Baz noktalar maviye, baz noktalar k rm z - ya boyanm fl bir düzlem... Düzlemin sonsuz tane noktas n kim boyam flsa boyam
DetaylıT k z Topolojik Uzaylar
Kapak Konusu: Metrik Uzaylar ve Topoloji T k z Topolojik Uzaylar Yaz n n uzunlu undan da anlafl laca üzere, bir topolojik uzay n t k z altkümeleri çok önemlidir. (Bu girifl yaz s daha ilginç bir cümleyle
DetaylıBilindi i gibi, günümüzün matemati i biçimsellefltirilebilir.
Matematikte Biçim ve Sezgi Üzerine Bilindi i gibi, günümüzün matemati i biçimsellefltirilebilir. Yani öyle bir yaz l m (bilgisayar program ) yap labilir ki, bir kan t n do ru olup olmad bilgisayara sorulup
DetaylıFermat Ne Biliyordu? (I)
Fermat Ne Biliyordu? (I) S on Teorem Teorem Oldu En Sonunda bafll kl yaz da, 350 y ll k bir aray fltan sonra ancak daha yeni kan tlanan Fermat n n Son Teoremi nden söz etmifltik. 350 y ll k bir aray fltan
DetaylıÖzdeflleflme ve Direkt Limit
Özdeflleflme ve Direkt imit X herhangi bir küme olsun. X in baz altkümelerinden oluflan bir aile alal m: (X i ) i. Bu altkümelerin bileflimini al p X in bir baflka altkümesini bulabiliriz elbet: X i. Bu
Detaylıf : R + R, f(x) = log a 0 < a < 1 için f(x) = log a a. f : ;, 4m R, f(x) = log2 x b. f : R + R, f(x) = log 1, f(2) = 2 2
Fonksionlar f : R R, f() = a Fonksionunun Grafi i f : R R, f() = log a Fonksionunun Grafi i a > için f() = a üstel fonksionunun grafi i andaki gibidir. = a a > için f() = log a fonksionunun grafi i andaki
Detaylı11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 4. KONU AĞIRLIK MERKEZİ - KÜTLE MERKEZİ ETKİNLİK ÇÖZÜMLERİ
11. SINIF KNU ANLATIMLI 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 4. KNU AĞIRLIK MERKEZİ - KÜTLE MERKEZİ ETKİNLİK ÇÖZÜMLERİ 2 2. Ünite 4. Konu 3. A rl k Merkezi - Kütle Merkezi A nn Çözümleri su 1. BM fiekil I fiekil
DetaylıF Z K. IfiI IN KIRILMASI VE MERCEKLER ÖRNEK 1 : ÖRNEK 2 :
F Z IfiI I IRILAI VE ERCELER ÖRE : ÖRE : prizmas prizmas Bir içine erlefltirilmifl birbirine ap fl k, prizmalar ndan e gelen fl k fl n flekildeki olu izlior prizmas n n fl k rma indisi n, prizmas n nki
DetaylıCO RAFYA. DÜNYA NIN fiekl N N VE HAREKETLER N N SONUÇLARI ÖRNEK 1 :
CO RAFYA DÜNYA NIN fiekl N N VE HAREKETLER N N SONUÇLARI ÖRNEK 1 : K rk nc paralel üzerindeki bir noktan n hangi yar mkürede yer ald afla dakilerin hangisine bak larak saptanamaz? A) Gece-gündüz süresinin
DetaylıBasit Elektrik Devresi FEN VE TEKNOLOJ
Basit Elektrik Devresi FEN VE TEKNOLOJ Temel Kaynak 5 Yaflam m zdaki Elektrik BAS T ELEKTR K DEVRES Devrede Ampullerin n Nas l De ifltirebiliriz? Basit bir elektrik devresinde pil ampul anahtar ba lant
DetaylıBundan sonra, alttan ikinci s ran n en sa ndaki çubu u so-
Matematikçi Hilesi M atematik bölümünün tam karfl s na yeni bir lokanta aç lm fl. Bana kal rsa kötü bir yer seçilmifl. Kaç kifli gider ki o lokantaya? Bizim bölümden baflka bir tek bina yok çevrede. Yak
DetaylıO + T + U + Z = 30 (30) 2K + I + R = 40 (40) E + 2L + = 50 (50) A + L + T + M + I + fi = 60 (60) Y + E + T + M + + fi = 70 (70) 2S + 2E + K + N = 80
Yaz yla Saymak H er harfe öyle bir tamsay vermek istiyoruz ki, örne in, B R in harfleri olan B ye, ye ve R ye verdi imiz say lar n toplam 1 olsun. K için de, ÜÇ için de ayn fley do ru olsun... 199 a kadar
DetaylıBu yaz da dizileri kullanarak birbirinden ilginç
Diziler, Polinomlar, Güçlerin Toplam, Asallar vs Tosun Terzio lu* / tosun@sabanciuniv.edu.tr Bu yaz da dizileri kullanarak birbirinden ilginç birbirinden ba ms z sonuçlar kan tlayaca z. I. Diziler. Bir
DetaylıÜnlü Alman matematikçisi Kari Friedrick Gauss 10 yafl ndayken,
Aritmetik Diziler ve Ötesi Ünlü Alman matematikçisi Kari Friedrick Gauss 10 yafl ndayken, ö retmeni ö rencileri oyalamak için, 1 den 100 e kadar say lar yazarak toplay n der. Baflka bir deyiflle, 1 + 2
DetaylıTEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28)
TEMEL KAVRAMLAR 6. a ve b birer do al say r. a b = 19 oldu una göre, a + b toplam (YANIT: 8) 1. ( 4) ( 1) 6 1 i leminin sonucu (YANIT: ). ( 6) ( 3) ( 4) ( 17) ( 5) :( 11) leminin sonucu (YANIT: 38) 7.
DetaylıMATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER
ÜN TE II KÜMELER 1. TANIM 2. KÜMELER N GÖSTER M a) Liste yöntemi ile gösterimi b) Venn flemas ile gösterimi c) Ortak özelik yöntemi ile gösterimi 3. KÜMELER N KARfiILAfiTIRILMASI a) Kümenin elaman say
DetaylıÇocuk dergilerinin flaflmaz sorusudur: Afla daki karenin
Sihirli Kareler (I) Çocuk dergilerinin flaflmaz sorusudur: Afla daki karenin içine den 9 a kadar say lar öyle yerlefltirin ki, her s ran n, her kolonun ve her iki çapraz n say lar n n toplam 5 olsun. Bu
DetaylıBu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n
Çemberin Çevresi, Dairenin Alan, nin De eri Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n neden r 2 oldu unu görece iz. lkokuldan beri ezberletilen bu formüllerin kan tlar n merak etmemifl
DetaylıCO RAFYA KONUM. ÖRNEK 2 : Afla daki haritada, Rize ile Bingöl il merkezlerinin yak n ndan geçen boylam gösterilmifltir.
CO RAFYA KONUM ÖRNEK 1 : Aralar nda 1 lik fark bulunan iki paralel aras ndaki uzakl k de iflmezken, aralar nda 1 lik fark, bulunan iki meridyen aras ndaki uzakl k Ekvator dan kutuplara gidildikçe azalmaktad
DetaylıSeks, yemek ve oyun do al zevklerdendir. Her memeli hayvan
Beyin Cimnastikleri (I) Seks, yemek ve oyun do al zevklerdendir. Her memeli hayvan hofllan r bunlardan. lk ikisi konumuz d fl nda. Üçüncüsünü konu edece iz. 1. lk oyunumuz flöyle: Afla daki dört kibrit
DetaylıTMD Yay nlar. Ali Nesin Yar n n Matematikçisine Matematik I. Sezgisel Kümeler Kuram. Sabanc Üniversitesi. Bankalar Cad Karaköy stanbul
Ali Nesin 1956 da stanbul da do du. lkokuldan sonra ortaokulu stanbul da Saint Joseph Lisesi nde, liseyi de sviçre nin Lozan kentinde tamamlayan Nesin 1977-1981 y llar aras nda Paris VII Üniversitesi nde
Detaylı