Çepni M.S., Deniz R., Sonlu Elemanlar Yönteminin Dönüþümlerde Kullanýlmasý hkm 2005/2 Sayý 93 jeodezik aðlarýn mutlak doðruluðu içinde dönüþüm yöntemi

Transkript

1 hkm Jeodezi, Jeoinformasyon ve Arazi Yönetimi Dergisi 2005/2 Sayý 93 Sonlu Elemanlar Yönteminin Dönüþümlerde Kullanýlmasý Murat Selim ÇEPNÝ 1, Rasim DENÝZ 2 Özet Uluslararasý referans sistemleri ve bu sistemleri kullanan geliþmiþ uydu bazlý ölçme yöntemlerinin, tüm jeodezik uygulamalarda daha verimli bir þekilde kullanýlabilmeleri için, istenilen nitelikleri saðlayabilecek dönüþüm yöntemlerine ihtiyaç duyulmaktadýr. Bir koordinat dönüþümünden, doðruluk gereksinimlerini karþýlamasýnýn yaný sýra süreksizliklere yol açmamasý, dayanak noktalarýna düzeltme getirmemesi ve otomasyona uygun olmasý beklenmektedir. Özellikle, büyük alanlarý kapsayan jeodezik dönüþüm uygulamalarýnda süreklilik problemleri önemli bir sorun olarak karþýmýza çýkmaktadýr. Bu makalede dönüþümlerdeki süreklilik problemi irdelenmekte ve büyük alanlarda yetersiz kalan geometrik dönüþüm yöntemleri yerine sonlu elemanlar yaklaþýmýný temel alan modeller önerilmektedir. Çalýþmanýn ana amacý jeodezik dönüþümlere sonlu elemanlar yöntemiyle farklý bir çözüm bulunabilmesiydi. Bu amaçla kurulan matematik modeller için bir yazýlým geliþtirilmiþ ve gerçek bir jeodezik að üzerinde test edilmiþtir. Sonuçlar, bu yöntemin bu alandaki kullanýlabileceðini göstermektedir. Sonuçlar incelendiðinde süreklilik ile ilgili olarak istenen deðerlerin elde edilebildiði görülmüþtür. Ayrýca, üçgen elemanlar ile dönüþümün kesin deðerinin enterpolasyonunda yüksek doðruluklara ulaþýlabilmektedir. Anahtar Sözcükler Sonlu elemanlar, dönüþümler, parçalý tanýmlý fonksiyonlar, üçgen elemanlar Abstract The Use Finite Elements Method in Transformations In order to employ global reference frames and advanced space based measurement techniques more efficiently in geodetic applications, transformation methods that meet the expected requirements are needed. What is expected from a transformation is that it should meet the required accuracy, result in no discontinuity and no corrections for common points and it should be suitable for automation processes. In geodetic transformation applications in larger areas uncertainity is an important problem taking place. In this paper, uncertainity problems in transformation processes is investigated and suggested the models based on finite elements approach rather than geometric transformation methods that are insufficient in larger areas. The main objective of this study was to find out a different solution for geodetic transformations using finite elements methods. For this purpose, a computer software for the created mathematical models have been developed and tested on a real geodetic network. The results show that this method can be applied in this field. When the results are analysed, it is seen that the required values regarding continuity can be obtained. In addition high accuracies can be achieved in the interpolation of absolute values transformation with triangular elements. Key Words Finite elements, transformations, piecewise defined trial functions, triangular elements 1. Giriþ Günümüzde yüksek bilgi birikimi ve teknoloji kullanýmý gerektiren mühendislik projelerinin uygulamaya geçirilmesi, bu uygulamalara altlýk oluþturacak jeodezik aðlarýn da beklentilere cevap verebilecek biçimde tesis edilmesini gerektirmektedir. Mekansal verileri kullanan bilgi ve yönetim sistemlerinde, konum bilgisinin kalitesini ifade eden doðruluk ve güvenilirlik, jeodezik altyapýya baðlý kavramlardýr. Jeodezik aðlarýn oluþturduðu jeodezik altyapýnýn; aðýn doðruluk ve güven ölçütlerine göre yüksek standartlý olmasýnýn yaný sýra tek anlamlý, sürekli ve distorsiyonsuz (ölçek ve doðrultu sapmalarý bulunmayan) olmasý da kalite kavramý ile birebir iliþkilidir. Uydu ve uzay sistemlerinin geliþimi ile bu tekniklerin kullanýmý sonucu oluþturulan küresel, bölgesel ve ulusal GPS aðlarý, üç boyutlu, doðru, güvenilir ve distorsiyonsuz aðlar olarak jeodezinin beklediði doðruluklarý saðlayan, noktalarýna ait hýz vektörlerinin belirlendiði dinamik aðlardýr. Ancak, geleneksel olarak yapýlandýrýlan, farklý yatay ve düþey datumlara dayalý ülke jeodezik aðlarý da varlýðýný sürdürmektedir ve var olan coðrafik bilginin büyük bir bölümü bu aðlara dayalý olarak üretilmiþtir. O halde, mevcut veriden bir süre daha yararlanýlmasý gerekliliði vardýr. Bu nedenle, uzay ve uydu teknikleriyle oluþturulan üç boyutlu aðlar ile geleneksel yatay ve düþey aðlar arasýndaki presizyonlu dönüþüm uygulamalarý önem taþýmaktadýr. Bir koordinat dönüþümünden beklenen niteliklerin baþýnda doðruluk gelir. Ýki farklý datumda hesaplanan koordinatlar arasýndaki dönüþümün doðruluðu; Her iki datumdaki aðlarýn doðruluklarýna ve distorsiyonlarýna, Dönüþümde kullanýlacak ortak nokta yoðunluðuna ve bu noktalarýn daðýlýmýna, Dönüþüm yapýlan alanýn büyüklüðüne, Kullanýlan dönüþüm modeline baðlýdýr. Bir baþka önemli beklenti ise dönüþümün sürekliliðidir ve bu makalenin baþlýca araþtýrma konusunu süreklilik problemi oluþturmaktadýr. Dönüþüm yönteminin, dayanak noktalarýna düzeltme getirmemesi de istenilmektedir. Jeodezik bir aðda seçilen veya hesaplanan dýþ parametrelerin yani datum bilinmeyenlerinin aðdaki noktalarýn konum deðerlerine etkisi o jeodezik aðýn doðruluðunu belirleyen en önemli etmenlerdendir. Baðýl veya iç doðruluk ne denli yüksek olursa olsun, datum bilinmeyenleri gibi aða ait dýþ parametrelerin saðlýklý olarak elde edilemediði durumlarda mutlak anlamda bir doðruluktan söz etmek mümkün olmaz. Yani, 1 Dr. Müh. TKGM, Ýstanbul 2 Prof. Dr., ÝTÜ, Ýnþaat Fak. Jeodezi ve Fotogrametri Müh. Bölümü, Ýstanbul -20-

2 Çepni M.S., Deniz R., Sonlu Elemanlar Yönteminin Dönüþümlerde Kullanýlmasý hkm 2005/2 Sayý 93 jeodezik aðlarýn mutlak doðruluðu içinde dönüþüm yönteminin seçimi ve baþarýsý, ölçme yönteminin hassasiyeti kadar önemli bir yer tutar. Genel olarak dönüþüm yöntemleri, 1. Geometrik dönüþüm yöntemleri (iki veya üç boyutlu) Afin dönüþümü Konform (Benzerlik) dönüþümü (Helmert, Bursa-Wolf, Molodensky Badekas, Weiss vb. modeller) 2. Ýki parametreli polinomlarla dönüþüm 3. Enterpolasyon yöntemleriyle dönüþüm 4. Sonlu elemanlar yöntemiyle dönüþüm þeklinde sýnýflandýrýlabilir. Geometrik tabanlý dönüþümler küçük alanlar için yeterli çözümleri saðlayabilirler. Ancak, büyük alanlar söz konusu olduðunda geleneksel aðlardaki ölçek ve doðrultu sapmalarýndan kaynaklanan bozulmalardan dolayý geometrik dönüþüm yöntemlerinin saðladýðý doðruluk azalmaktadýr. Geometrik tabanlý dönüþüm yöntemlerinin büyük alanlarda da kullanýlabilmesi için alanýn küçük parçalara ayrýlmasý halinde ise süreksizlikler ortaya çýkar. Bu nedenle, büyük alanlarda geometrik tabanlý dönüþüm yöntemlerinin kullanýlmasý istenen sonuçlarý vermez. Ülke aðýmýz da distorsiyonlu bir yapýya sahip olduðundan, benzerlik dönüþümünde ortak alýnan noktalar arasýnda sistematik uyuþumsuzluklar çýkmakta, farklý nokta gruplarý farklý davranýþlar göstermekte ve alan büyüdükçe tüm noktalarý içine alan bir geometrik dönüþümün yapýlmasý mümkün olamamaktadýr. Ýki deðiþkenli polinomlar kullanýlarak yapýlan dönüþümlerde geometrik dönüþümlere oranla daha iyi sonuçlar alýnabilmektedir (ÝGNA 1999). Ancak, çalýþma alanlarýnýn büyük olmasý durumunda iki deðiþkenli polinomlarýn da dönüþüm için gerekli modellemeyi tam olarak yapabilmesi çok zordur. Tüm çalýþma alanýnýn tek bir eðri ile ifade edilmesi yeterli doðruluðu saðlayamamaktadýr. Daha iyi modelleme için eðrinin derecesinin yüksek seçilmesi, gerçek olmayan eðilme ve bükülmeler meydana getirerek gerçek modelden sapmaya yol açabilir. Alanýn birden fazla polinomla ifade edilmesi ise yine süreklilik probleminden ötürü tercih edilmez. Dayanak noktalarýna gelen düzeltmeler ise yöntemlerin bir baþka olumsuzluðudur. Uygulamalarda dayanak noktalarýnýn orijinal deðerlerinin mi yoksa modelden elde edilen deðerlerin mi alýnacaðý tartýþma konusudur. Ayrýca farklý çalýþmalardan elde edilen farklý dönüþüm deðerleri de karýþýklýk doðurmaktadýr. Yürürlüðe girmesi beklenen Büyük Ölçekli Harita ve Harita Bilgileri Üretim Yönetmeliðine göre de dönüþüm iþleminde dayanak noktalarýna düzeltme getirilmemesi gerekmektedir. Jeodezik bir dönüþümden istenen, ortak nokta koordinatlarý sabit kalýrken aðýn yapýsýnýn tüm alan boyunca sürekli ve yeterli doðrulukta dönüþtürülmesidir. Bir çok mühendislik probleminin çözümünde uzun yýllardýr kullanýlan sonlu elemanlar yönteminin temel yaklaþýmý, bütünün birim parçalara ayrýlmasý ve bu birim elemanlarýn birbirine baðlanmasý yoluyla sürekliliðin saðlanmasýdýr. Yaklaþýmý oluþturan geometrik model ile jeodezik aðlarýn da benzer biçimde ifade edilmesi olanaklýdýr. Bu nedenle son yýllarda sonlu elemanlar yaklaþýmýnýn dönüþümlerde kullanýlmasý için çalýþmalar yoðunlaþmýþtýr. Sonlu elemanlarla dönüþümlere iliþkin yazýlýmlarýn öncülleri olarak; FINELTRA (Ýsviçre) ve HEIDI (Almanya) yazýlýmlarý geliþtirilmiþ ve Avrupa daki EUREF çalýþmalarý çerçevesinde, ED-50 ile EUREF arasýndaki dönüþümlerde kullanýlmýþtýr (ÇEPNÝ 2004). Bu makalede; jeodezik dönüþümlerle ilgili olarak uygulamada karþýlaþýlan sorunlara sonlu elemanlar yöntemi kullanýlarak getirilen çözümler tartýþýlmaktadýr. Bu çerçevede, bölge bölge nokta sýklaþtýrmalarýnýn yapýldýðý yerlerde, yatay (iki boyutlu) ve düþey (tek boyutlu) aðlarda, bindirme bölgeleri olmaksýzýn sonlu elemanlarýn fermuar fonksiyonlarýyla dikiþsiz sürekliliði saðlayan dönüþümün fonksiyonel ve stokastik modeli incelenerek, yöntemin uygulamaya aktarýlmasýnýn esaslarý sunulmuþtur. Sonlu elemanlar yöntemi üzerine kurulmuþ iki yaklaþým ile; önce çalýþma alanýný çözüm bölgelerine ayýrmak ve her bir çözüm bölgesinde parça tanýmlý sürekli deneme fonksiyonlarý belirlemek, daha sonra bunlarý kullanarak üçgen elemanlar yardýmýyla bir noktanýn dönüþüm deðerini hesaplamak çalýþmanýn ana fikrini oluþturmaktadýr. 2. Sonlu Elemanlar Yönteminin Genel Hatlarý Sonlu elemanlar yöntemi, sürekli ortamlarýn küçük birim bölgelere ayrýlarak temsil edilmesi düþüncesine dayanýr. Bu birim bölgelere ise sonlu elemanlar adý verilir. Yöntemin temel yaklaþýmý; sýcaklýk, basýnç, gerilme veya deplasman vs. gibi herhangi bir sürekli büyüklüðün küçük ve sürekli parçalarýn birleþmesi ile oluþan bir modele dönüþtürülmesidir (ZIENKIEWICZ ve MORGAN 1983). Sonlu elemanlar yöntemi, birbirinden farklý davranýþlar gösteren deðiþkenleri barýndýran karmaþýk sistemlerin veya kompleks bir yapý üzerindeki herhangi bir deðiþkenin karakterize edilebilmesine olanak saðlar. Sonlu elemanlar yöntemi ile bir büyüklüðün ifade edilmesinde, problemin doðru biçimde tanýmlanýp deðiþkenlerin seçilmesinin ardýndan yapýlacak ilk iþ, büyüklüðü elemanlara ayýrmaktýr. Elemanlara ayýrma iþleminin doðru biçimde yapýlmasý, çözümün doðruluðu açýsýndan oldukça önemlidir. Elemanlar uygun þekilde seçilmeli ve problemin yapýsýna uygun olarak yerleþtirilmelidir. Eleman seçiminde, elemanlarýn boyutlarý ve sayýlarý sistemi en iyi temsil edecek, hesaplarý da en aza indirgeyecek biçimde olmalýdýr. Genel olarak deðiþkenin ani deðiþim gösterdiði yerlerde elemanlar küçük seçilir. Uygun elemanlar seçmek kadar bu elemanlarý ve onlarýn düðüm noktalarýný, yani elemanlarýn köþe noktalarýný uygun numaralamak da, yöntemin doðru çalýþmasý için önemlidir. Elemanlarýn köþe noktalarý sistem içerisinde elemanlarýn birleþme noktalarýný oluþturur ve düðüm noktalarý olarak adlandýrýlýr. Jeodezik aðlar söz konusu olduðunda; aðýn gözlem planý dolayýsýyla taþýmýþ olduðu üçgensel yapý, elemanlarýn seçimi için uygun altlýk oluþturmakta ve uygulamada büyük kolaylýk saðlamaktadýr. Sonlu elemanlara ayýrma iþleminden sonra, ifade edilmek istenen büyüklüðün bölge içerisinde deðiþimini gösteren bir -21-

3 hkm 2005/2 Sayý 93 Çepni M.S., Deniz R., Sonlu Elemanlar Yönteminin Dönüþümlerde Kullanýlmasý enterpolasyon fonksiyonu belirlenir. Fonksiyon, deðiþkenin yaklaþýk deðiþimini verir ve gerçeðe ne kadar yakýn seçilirse çözümdeki yaklaþýklýk da o kadar fazla olur. Bu fonksiyon þekil, deneme veya baz fonksiyonu olarak adlandýrýlmaktadýr. Derecesi ve katsayýlarý problemin yapýsýna ve çözüm bölgesine göre belirlenecek iki deðiþkenli (bivaryant) polinomlar, sýkça deneme fonksiyonu olarak kullanýlýr. Burada, sonlu elemanlar yönteminin özelliði, tüm alan için tek bir fonksiyonun deðil, birden fazla deneme fonksiyonunun belirlenmesidir. Çözüm, bu deneme fonksiyonlarýnýn birlikte genel ifadesi þeklindedir. Bütün alan için tek bir ifade yerine, birden fazla deneme fonksiyonu yazýlarak alanýn ifade edilmesi ile çözüme büyük katký saðlanýr. Birden fazla deneme fonksiyonu kullanýlmasý nedeniyle alan içinde ortaya çýkacak süreksizlikler ise, süreklilik koþullarý belirlenerek giderilir. 3. Sonlu Elemanlar Yönteminin Jeodezik Aðlarda Kullanýlmasý Bir jeodezik að, noktalarýn oluþturduðu genellikle üçgen þekilli parçalardan (elemanlardan) oluþur. Bir elemaný ilgilendiren geometri, deplasman, gerilme gibi büyüklükler, elemaný çevreleyen noktalardaki büyüklüklerle karakterize edilir. Jeodezik aða iliþkin bu yaklaþýmla, sonlu elemanlar yönteminin yaklaþýmý birebir örtüþür. Jeodezik að noktalarý, sonlu elemanlar yöntemindeki düðüm noktalarý ile özdeþleþtirilebilir. Bir jeodezik að içindeki tüm dayanak noktalarýný kapsayan alan, bir çözüm bölgesi olarak alýnabileceði gibi birden fazla çözüm bölgesine de ayrýlabilir. Her çözüm bölgesi için deneme fonksiyonu belirlenmelidir. Dönüþüm için fonksiyon deðerleri olarak; dayanak noktalarýnýn koordinatlarý, koordinat farklarý, yükseklikleri veya geoit yükseklikleri kullanýlabilir. Bu çalýþmada, yatay dönüþümler için dayanak noktalarýnýn enlemleri ve boylamlarý arasýndaki farklar ve düþey dönüþüm için geoit yükseklikleri alýnacaktýr. Deneme fonksiyonu olarak ise, sonlu elemanlar için en uygun seçim olan iki deðiþkenli polinomlar kullanýlmýþtýr Çalýþma Alanýnýn Çözüm Bölgelerine Ayrýlmasý Sonlu elemanlar çözümünün jeodezik aðlarda kullanýlmasýna dönük ilk yaklaþým olarak, bir proje alanýnýn tek bir çözüm bölgesi olarak alýnmasý yerine birden fazla sayýda çözüm bölgesine ayrýlmasý ve her çözüm bölgesi için ayrý bir deneme fonksiyonu belirlenmesi düþüncesinden hareket edilmiþtir. Bütün proje alanýný tek bir çözüm bölgesi üzerinden ifade eden bir F(p ij, x, y) deneme fonksiyonu yerine, alanýn m adet çözüm bölgesine ayrýlmasýyla her bir çözüm bölgesi için, F m (p m ij, x, y) þeklinde deneme fonksiyonlarý elde edilir. Deneme fonksiyonu olarak iki deðiþkenli polinomlar kullanýlýr. Her çözüm bölgesi için ayrý bir deneme fonksiyonu belirlenmesinin sonucu olarak bölgeler arasý süreksizlikler ortaya çýkacaktýr. Çözüm bölgeleri arasýndaki süreklilikler, fermuarlama iþlevi gördüðü düþünülen cebirsel ifadeler yardýmýyla saðlanmaktadýr. Böylece iki komþu çözüm bölgesi, fermuarlayan fonksiyon yardýmýyla ortak sýnýr boyunca bir hatla birbirine baðlanmakta ve bu yolla üst üste binen alanlar ortadan kaldýrýlarak, iki binmesiz çözüm bölgesi oluþturulmaktadýr. Birleþtirici özelliðe sahip olan bu hat fermuarlayan hat veya ortak hat olarak tanýmlanabilir. Ortak hat, dayanak noktalarýndan baðýmsýz bir birleþtirici doðru olabileceði gibi iki çözüm bölgesinin aralarýnda bulunan dayanak noktalarýný birleþtiren doðru olarak da seçilebilir. Her bir çözüm bölgesi için deneme fonksiyonu olarak ifade edilen, iki deðiþkenli polinom katsayýlarý p m ij yalnýzca m çözüm bölgesi içindir ve komþu çözüm bölgelerindeki polinomun katsayý setleri ile uyumluluðu, ortak hat boyunca yazýlan koþullar ile denetlenir Süreklilik ve Süreklilik Koþullarýnýn Tanýmlanmasý Sonlu elemanlar yönteminde süreklilik, çözüm bölgelerine ayrýlmýþ bir proje alanýnda her bir çözüm bölgesindeki deneme fonksiyonlarýnýn birleþtirilmesi anlamýný taþýr. Çözüm bölgesindeki deneme fonksiyonlarýnýn tüm proje alaný boyunca oluþturduðu yapýya parça parça ya da parçalý tanýmlý deneme fonksiyonlarý denilmektedir. Çözüm bölgelerindeki deneme fonksiyonlarýnýn sürekliliði, bölgelerin sýnýrýndaki ortak hatlar üzerinden yazýlan koþullar ile saðlanýr. Bu koþullar ortak hattýn uçlarýndaki noktalar yardýmýyla yazýlan analitik baðýntýlardan oluþur ve süreklilik koþullarý olarak isimlendirilir. Çözüm bölgeleri arasýndaki her sýnýr için süreklilik koþul baðýntýlarý düzenlenir. Burada temel yaklaþým, çözüm bölgelerinde üst üste binen alanlarý sýfýra indirmek ve ortak hatla birbirine baðlamak üzerine kurgulanmýþtýr. Koþullarý saðlanmýþ bir süreklilik ile, çözüm bölgeleri arasýndaki binmeler ortadan kalkar ve geçiþlerde deneme fonksiyonlarýnýn deðerleri için devamlýlýða ulaþýlýr. Böylelikle, parçalý fonksiyonlar biçimindeki deneme fonksiyonlarý sürekli hale getirilir. Süreklilik tanýmý içinde C 0, C 1 ve C 2 süreklilikleri biçiminde bir sýnýflandýrma yapýlabilir C 0 sürekliliði, ortak hat boyunca F m (p m ) ve F n (p n ) eðrilerinin ayný fonksiyon deðerlerini almasý koþuludur. C 1 sürekliliði, ortak hat boyunca F m (p m ) ve F n (p n ) eðrilerinin ayný teðet düzlemlere sahip olmasý koþuludur. C 2 sürekliliði, ortak hat boyunca F m (p m ) ve F n (p n ) eðrilerinin ayný eðriliklere sahip olmasý koþuludur. Herhangi iki komþu çözüm bölgesi için tanýmlanan her bir süreklilik, o koþulu yerine getirecek kabullerden hareketle yazýlan denklem takýmlarýndan elde edilir C 0 Sürekliliði Eþitliklerinin Elde Edilmesi Çözüm bölgelerinde, deneme fonksiyonu olarak kullanýlan iki deðiþkenli polinomlarýn bilinen genel ifadesi, (n) polinomun derecesi olmak üzere: -22-

4 Çepni M.S., Deniz R., Sonlu Elemanlar Yönteminin Dönüþümlerde Kullanýlmasý hkm 2005/2 Sayý 93 þeklindedir. Deneme fonksiyonu olarak seçilen bu polinomun 3 boyutlu bir yüzeyin 3. boyutu için yazýlmýþ olduðunu varsayalým. Komþu çözüm bölgelerindeki birim vektörler; (1) (2) formuna dönüþür. A i katsayýlarý burada, komþu çözüm bölgelerindeki deneme fonksiyonlarýna ait karþýlýklý parametrelerin farklarýna karþýlýk gelirler. Bunlarýn tümünün sýfýra eþitlenmesi halinde, (5) eþitliði tanýmlý olduðu alandaki tüm t deðerleri için saðlanmýþ olacaktýr. Polinomlarýn yerine konulmasýyla (4) eþitlikleri (n+1) mertebeli homojen denklem sistemi oluþtururlar ve problemin çözümü bu denklem takýmlarýnýn çözümü haline gelir. Katsayýlar (5b) de görüleceði parametre farklarý ile ortak hattýn uç noktalarýnýn koordinatlarýna baðýmlýdýr. Homojen denklem takýmý çözülüp parametreler arasý koþullar gerçekleþtiðinde, (4) denkliði saðlanmýþ, dolayýsýyla C 0 sürekliliði garanti edilmiþ olur. Deneme fonksiyonlarýnýn derecesi 3 olduðunda (n=3), dört adet C 0 süreklilik koþulu yazýlýr (DINTER vd. 1996). gibi, dp mn jk C 1 Sürekliliði Eþitliklerinin Elde Edilmesi biçimindedir. C 0 sürekliliði, iki komþu çözüm bölgesine ait ortak hat üzerindeki her noktada komþu deneme fonksiyonlarýnýn ayný fonksiyonel deðerleri almasý olarak betimlenir. Ortak hat bir t parametresi ile normladýrýlýrsa, her t Î (0,1) deðeri için, fonksiyonel deðerlerin farkýnýn sýfýra denk olmasý C 0 süreklilik koþuludur. dp mn jk = pm jk - pn jk dx = x u - x v (3) C 1 sürekliliðinin geometrik tanýmý, komþu alanlardaki uzay eðrilerinin ortak hat üzerinde ayný teðet düzleme sahip olmalarý þeklinde yapýlabilir. Bu tanýmdan hareketle, C 1 sürekliliðine sahip olmayan iki komþu çözüm bölgesinde teðet düzlemlerin paralel olmayacaðý, dolayýsýyla teðet düzlemlere dik normal vektörlerin de ýraksak veya yakýnsak olacaðý söylenebilir. Þayet normal vektörler paralel olsaydý veya normal vektörlere paralellik ile ilgili koþul getirilmiþ olsa idi, doðal olarak teðet düzlemler de paralel olacaktý. Bilindiði gibi iki paralel vektör bir yüzey parçasý ifade etmez ve birim vektörlerinin çarpýmlarý sýfýra eþittir. Paralel iki vektörün vektörel çarpýmlarýnýn sýfýra eþit olmasý C 1 süreklilik koþullarýnýn çýkýþ noktasýdýr. Ýki komþu çözüm bölgesindeki deneme fonksiyonu uzay eðrisine ait normal vektörlerin çarpýmýnýn sýfýra eþitlenmesi ile C 1 Sürekliliði için istenilen koþul denklemlerine ulaþýlýr. (3) ifadesindeki birim vektörlerde birinci kýsmi türevler alýnýr ve modellenmeye çalýþýlan bileþene ait deneme fonksiyonlarýnýn kýsmi türevleri f m,x, f m,y, f n,x, f n,y ile gösterilirse, iki yüzeyin normal vektörleri, dy = y u - y v Fark vektörü, t ye baðlý tek deðiþkenli bir polinom olarak ifade edilir ve derecesine göre açýlarak sýfýra eþitlenirse, (6) (4) çýkar (4) açýlýmý bir eþitlik deðil bir denklik ifadesi olduðundan gerçeklenebilmesi mümkündür. C 0 eþitliðinin saðlanmasý için de bu denkliðin t nin her t Î (0,1) deðeri için gerçekleþmesi gerekir. Denklem eþitliklerinin genel özelliklerinden bilindiði gibi, (4) sisteminin sýfýra denk olmasý için t deðiþkenine baðlý tüm katsayýlar sýfýr olmalýdýr. Yani (4) açýlýmý basitçe, (i=1,n olmak üzere) (5a) (5b) biçiminde yazýlabilir. Ýki normal vektörün çarpýmý sýfýra eþitlenirse, denklemleri elde edilir ve bu denklemlerin çözümü ortak hat üzerinde kýsmi türevlerin eþdeðer olmasý sonucunu verir. Kýsmi türev farklarý ifadesi (7) açýlýr ve ortak hat t parametresi ile normlandýrýlýrsa, (7) -23-

5 hkm 2005/2 Sayý 93 Çepni M.S., Deniz R., Sonlu Elemanlar Yönteminin Dönüþümlerde Kullanýlmasý denklikleri elde edilir. (8) denkliklerinin gerçekleþmesi için, A 1 = 0, A 2 = 0, A 3 = 0, B 1 = 0, B 2 = 0, B 3 = 0 olmalýdýr. A i ve B i ifadeleri 3. derece fonksiyon için açýldýðýnda, altý polinom bulunur ve polinomlarýn çözümünden C 1 süreklilik eþitliklerine ulaþýlýr C 2 Sürekliliði Eþitliklerinin Elde Edilmesi C 2 sürekliliði, ortak hat üzerinde iki yüzey eðrisinin de hatta dikey oluþlarý, yani ayný normal eðriliklere sahip olmalarý ile açýklanýr. C 2 süreklilik koþullarýný elde edebilmek için deneme fonksiyonlarýnýn ikinci derece kýsmi türevleri alýnýr, identik olmalarý varsayýmý ile C 0 ve C 1 sürekliliklerindekine benzer þekilde t parametresine göre düzenlenerek eþitlenirse, temel C 2 koþul eþitliklerine ulaþýlýr. (n=3) için düþünüldüðünde bu eþitlikler 1. derece polinomlardýr. (8) (9) (10) t deðiþkenlerine baðlý bu polinomlarýn t nin her t Î (0,1) deðerinde saðlanmasý ile bu denklikler gerçekleþir. Denkliklerin saðlanmasý için, A i ve B i katsayýlarýný oluþturan denklem takýmlarý sýfýra eþitlenir ve çözümünden C 2 süreklilik koþullarý çýkarýlýr Süreklilik Koþullarýnýn Matematik Model Ýçinde Deðerlendirilmesi Süreklilik koþul eþitlikleri matematik model içerisinde birkaç farklý biçimde deðerlendirilebilir. Birinci seçenekte eþitlikler, bilinmeyenleri arasýnda koþul denklemleri bulunan dolaylý ölçüler dengelemesi modeli içine koþul denklemi olarak yerleþtirilerek çözüme gidilir. Modelin çözümünde koþullara düzeltme getirilmediðinden süreklilik koþullarý tam olarak yerine getirilir. Diðer bir çözümde, süreklilik eþitlikleri ölçü olarak kabul edilir ve matematik model içerisinde düzeltme denklemi þeklinde yazýlýr. Burada, düzeltme denklemlerinin aðýrlýklandýrýlmasý ile kullanýcýnýn modeli kontrol etmesi mümkün olur. Süreklilik eþitliklerine ait düzeltme denklemlerinin aðýrlýklarý çok yüksek tutularak koþullarýn gerçekleþmesi saðlanýr. Bir baþka çözüm ise; dengeleme hesabýnda geçici bilinmeyenlerin koþul denklemlerinde yerine konulmasý esasýna dayanýr (ÞERBETÇÝ ve ÖZTÜRK 1992). Bu yöntem çalýþma içinde eklemeli çözüm olarak adlandýrýlmýþtýr. Daha önce dönüþüm hesaplarý bitirilmiþ bir bölgeye komþu bölgede dönüþüm yapýlmak istendiðinde, yeni dönüþüm parametrelerinin, baþka bir deyiþle deneme fonksiyonu katsayýlarýnýn süreklilik koþullarýna uygun biçimde bir önceki bölge ile uyuþumlu olarak elde edilmesi bu çözümün amacýdýr. Önceki deneme fonksiyonu katsayýlarý koþul denklemlerinde yerine konulur ve bu denklemler yeniden düzenlenerek, yeni deneme fonksiyonu parametreleri, ilk çözümdekinin aynýsý olarak elde edilir. Bu yöntem, pek çok kez çalýþmalarýn ayný anda tüm bölge için yürütülmesi mümkün olmadýðýndan, zaman içerisinde yapýlacak tüm yeni çalýþmalarýn sürekliliðini saðlamak açýsýndan önemli ve kullanýþlýdýr Dönüþümün Kesin Deðerinin Üçgen Elemanlar ile Enterpolasyonu Sonlu elemanlar yönteminin jeodezik dönüþümlerde kullanýmýna iliþkin ikinci bir yaklaþým, çalýþma alanýný üçgen elemanlara ayýran ve sürekliliðe sahip üçgen elemanlar üzerinden, bir noktaya enterpolasyon yaparak dönüþüm deðeri hesaplanmasýdýr. Bu yöntemle uygulamada, gerek doðruluk beklentisini karþýlamasý, gerekse dayanak noktalarýna düzeltme getirmemesi açýsýndan oldukça kullanýþlý ve yararlý bir çözüme ulaþýlmasý amaçlanmaktadýr. Sonlu elemanlar ve süreklilik kavramlarý bu çözüm için de hareket noktasýný oluþturmaktadýr. Üçgen elemanlarla enterpolasyon yöntemi, C 2 sürekliliðine sahip, komþu üçgen elemanlarý arasýnda sürekli ve ayrýlabilir geçiþleri saðlayan enterpolasyon fonksiyonlarýnýn elde edilmesi üzerine kurgulanmýþtýr. Bunun için ilk olarak, dayanak noktalarýnýn üçgenlenmesi gerekmektedir. Üçgenleme ile çalýþma alaný, köþe noktalarýný dayanak noktalarýnýn oluþturduðu üçgen elemanlar ile kaplanmýþ olur. Üçgenin köþeleri olan üç dayanak noktasý üçgen elemanýn uç noktalarýdýr. Daha sonra bir fonksiyon yardýmýyla, üçgenin köþe noktalarýnda, fonksiyon deðerleri ile fonksiyonun türev deðerleri bulunup, bu deðerlerden üçgen içi enterpolasyonda kullanýlmak üzere beþinci dereceden bir polinom elde edilir. Bu çalýþmada, üçgen köþelerindeki deðerleri belirlemede kullanýlan fonksiyon, bir önceki bölümde, üçgenin içinde yer aldýðý çözüm bölgesi için hesaplanan deneme fonksiyonudur. Yöntemin fonksiyonel modeli bir üçgen eleman üzerinde tanýmlanan aþaðýdaki üç varsayýma dayanmaktadýr: 1. Enterpolasyon ile kesin deðeri hesaplamak için, burada 5 alýnan n polinomun derecesinde ; (11) þeklinde x ve y deðiþkenlerine baðlý iki deðiþkenli bir polinom kullanýlýr. 2. (11) eþitliðindeki F(x i, y i ) Fonksiyon deðeri ve onun 1. ve 2 derece kýsmi türevleri (f x, f y, f xx, f xy, f yy ) yardýmýyla üçgenin köþelerini oluþturan 3 veri noktasýnda 18 baðýmsýz koþul denklemi yazýlýr. 3. Üçgenin her bir kenarýna dik doðrultuda türevi alýnmýþ -24-

6 Çepni M.S., Deniz R., Sonlu Elemanlar Yönteminin Dönüþümlerde Kullanýlmasý hkm 2005/2 Sayý 93 fonksiyonun kýsmi türevi, üçgenin kenarý boyunca olan doðrultuda ölçülen deðiþken için, en fazla 3. derece bir polinomdur (AKIMA 1975, AKIMA 1978). Bu kabul de 3 kenar için 3 ek koþul denklemi getirir. Böylece 2. ve 3. varsayýmlardan elde edilen 21 koþulla, ilk varsayýmdaki 21 katsayýya sahip enterpolasyon fonksiyonu belirlenebilir Enterpolasyon Formüllerinin Elde Edilmesi Enterpolasyon formüllerinin çýkarýlmasý için öncelikle, Þekil 1 de de gösterilen bir üçgen koordinat sistemi tanýmlanmalýdýr. bir çeliþki oluþmaz. Ayrýca süreklilik sadece kenarlar boyunca deðil, dayanak noktalarýndaki deðerler için de saðlanmýþ olur. Böylelikle, komþu üçgen elemanlar arasýnda ayrýlabilir ve sürekli geçiþlere ulaþýlýr. Üçgenler arasý süreklilik ile üçgen elemanlara ayrýlmýþ alan üzerinde süreklilik saðlanmýþ olur. Komþu üçgenlerdeki enterpolasyon fonksiyonlarýnýn deðerleri arasýnda sýçrama veya kesikliklerin önüne geçilir. Enterpolasyon fonksiyonu olarak çözümü ifade eden, uzay eðrisi ayrýlabilir, ancak sürekli biçimde elde edilmiþ olur. 4. Test Çalýþmalarý Test çalýþmalarý için test aðý olarak, Ýstanbul Büyükþehir Belediyesi Metropoliten GPS Nirengi Aðý (ÝGNA) seçilmiþtir. Yatay bileþenlerin ITRF-94 ve ED-50 datumlarý arasý dönüþümü için her iki sistemde koordinatlarý bilinen 31 dayanak noktasý, yüksekliklerin dönüþümü için ise nivelman yüksekliði ile elipsoidal yüksekliði bilinen yaklaþýk 400 dayanak noktasý bu çalýþmada test verisi olarak kullanýlmýþtýr Strateji Þekil 1: Üçgen Koordinat Sistemi Sistemin baþlangýcýný oluþturan P3 noktasýnýn koordinatlarý (0,0) diðerlerininki ise (1,0) ve (0,1) deðerlerini alýr. Bu üçgen koordinat sistemi u-v koordinat sistemi olarak adlandýrýlýr. Üçgenin [P3-P1] ve [P3-P2] kenarlarý u-v sistemindeki birim vektörlerdir. u-v ve x-y koordinat sistemleri arasýndaki transformasyonun ardýndan, (11) enterpolasyon fonksiyonu, (12) biçimini alýr. Kýsmi türevler de u-v ye baðlý olarak ifade edilir. Kýsmi türev formüllerinde P3(0,0), P2(0,1) ve P1(1,0) noktalarýna ait u-v deðerlerinin yerine konulmasý ile 18 koþul bulunur. Üç koþul da üçgen kenarlarýna dik doðrultudaki kýsmi türevlerden çýkarýlýr. Yöntemin tanýmýndaki 2. ve 3. varsayýmlardan hareketle yazýlan bu 21 eþitliðin çözümünden, q katsayýlarý elde edilerek, enterpolasyon fonksiyonu belirlenir (PREUSSER 1984). Üçgen içi enterpolasyonu temel alan bu tip bir çalýþmanýn bazý önemli yararlarý þu þekilde sýralanabilir; Üçgen elemanýn köþe noktalarýný oluþturan dayanak noktalarýnda deneme fonksiyonunun kýsmi türevleri hesaplanarak bu noktalardaki eðim ve eðriliklerin daha hassas elde edilmeleri ile enterpolasyondaki hatalar en aza indirilir. Dayanak noktalarýna düzeltme getirilmediðinden, bu noktalarýn orijinal deðerleri ile hesaplanan deðerleri arasýnda Sonlu elemanlar yönteminin amacýna uygun biçimde seçilen çalýþma alaný, doðu-batý doðrultusunda üç çözüm bölgesine ayrýlarak her bölge için süreklilikleri saðlanmýþ deneme fonksiyonlarý yardýmýyla dönüþüm parametrelerinin kestirilmesi amaçlanmýþtýr (Þekil 2). Üç çözüm bölgesine ayrýlan proje alanýnda, bölgelerin komþuluklarýnda yazýlan süreklilik koþullarý modele ilave edilerek çözüm gerçekleþtirilmiþtir. Yapýlan çalýþmada, her çözüm bölgesi için DX, DY ve DH büyüklüklerine ait parça parça tanýmlý deneme fonksiyonu olarak kullanýlan iki deðiþkenli polinomlarýn parametre setleri elde edilmiþtir. Elde edilen parametre setleri sürekli fonksiyonlar tanýmlamakta olup, süreklilik koþullarýnýn üretildiði ortak hat üzerinde komþu fonksiyonlar ayný deðerlere karþýlýk gelmektedirler. Böylece ayný zamanda seçilen hatlarýn, fermuarlayan hat olma özelliklerinin test edilebilmesi olanaðý saðlanmýþ olmaktadýr. Sonuçlarýn karþýlaþtýrmalý olarak irdelenebilmesi için, gerçek-leþtirilen uygulamalar þu þekilde gruplanabilir; Tüm proje alaný için tek bir fonksiyon kestirilmesi, Üç çözüm bölgesi için süreklilik koþullarý kullanýlmadan fonksiyonlarýn kestirilmesi, Üç çözüm bölgesi için sürekliliði saðlanmýþ fonksiyonlarýn kestirilmesi, Bir çözüm bölgesi için kestirilen fonksiyonun devamý biçiminde fonksiyonlarýn kestirilmesi. Ayrýca, sonlu elemanlar çözümüne dayanan ve üçgen elemanlarý yardýmýyla matematik modeli kurulan üçgen içi enterpolasyon yöntemi test aðý içersinde kullanýlmýþtýr. Dayanak noktalarýnýn oluþturduðu üçgensel bir alanda noktanýn yeni sistemdeki kesin deðerinin daha presizyonlu bir þekilde saptandýðý üçgen elemanlarla dönüþüm uygulamalarý yükseklik deðerleri için gerçekleþtirilmiþtir. -25-

7 hkm 2005/2 Sayý 93 Çepni M.S., Deniz R., Sonlu Elemanlar Yönteminin Dönüþümlerde Kullanýlmasý Þekil 2 : Yatay bileþenlerin dönüþümü için dayanak noktalarýnýn daðýlýmý ve çözüm bölgelerine ayýrma þemasý 4.2. ITRF-94 ile ED-50 Arasýnda Dönüþüm Ýki sistem arasýnda dönüþüm deðerlerinin hesaplanmasýnda, 31 dayanak noktasýnýn bulunduðu bir veri kümesi kullanýlmýþtýr. Üç çözüm bölgesinin her birinde en az 10 dayanak noktasý bulunduðundan, her biri için deneme fonksiyonu olarak üçüncü derece iki deðiþkenli polinom kullanýlmýþ olup her bir üçüncü derece polinomdaki 10 parametre için katsayýlar belirlenmiþtir. Çözüm bölgelerine iliþkin parçalý sürekli deneme fonksiyonlarýnýn belirlenmesinde, ortak hattýn dayanak noktalarýndan oluþmasý ve X eksenine paralel olmasý gibi iki ayrý durum denenmiþtir. Üçüncü derece polinomlar kullanýldýðýnda, bir komþuluk iliþkisi için 4 ü C 0 3 ü C 1, ve 2 si C 2 sürekliliklerine ait olmak üzere 9 koþul yazýlýr. Üç çözüm bölgesinde iki komþuluk iliþkisi olduðundan modele konan koþul denklemi sayýsý toplamý 18 dir. Koþul denklemlerinin hesabýnda ortak hatlarýn X eksenine paralel olmasý durumunda elde edilen eþitlikler koþul 1, ortak hatlarýn veri noktalarý arasýnda olmasý durumunda elde edilen eþitlikler koþul 2 olarak adlandýrýlmýþtýr. Sürekliliðin saðlanýp saðlanmadýðýnýn irdelenmesi ile elde edilen sonuçlar Tablo 1 de verilmektedir. Üç bölgede ayrý ve süreklilik koþul denklemleri kullanýlmadan yapýlan çözümlerin sonuçlarý ile koþul denklemleri yazýlarak gerçekleþtirilen çözümlerin sonuçlarý, konumlarýna göre özel seçimli noktalar üzerinde test edilmiþtir. Test noktalarý ortak hattýn üzerinde seçilerek sürekliliðin irdelenmesi amaçlanmýþtýr. Ortak hat X eksenine paralel baðýmsýz bir doðru seçildiðinde, ( ve doðrularý) ve noktalarý 1. ve 2. çözüm bölgelerini birleþtiren hattýn, ve noktalarý 2. ve 3. çözüm bölgelerini birleþtiren hattýn üzerindedir. Ortak hat veri noktalarýný birleþtiren doðru olarak alýndýðýnda ise, ( ve ) ile birinci hat üzerinde, ile ikinci hat üzerinde seçilmiþtir (Þekil 2). Aþaðýda ilk kýsýmda koþulsuz çözüm, ikinci kýsýmda ortak hattýn X eksenine paralel alýnmasýna göre türetilen koþullarla çözüm (koþul_1), üçüncü kýsýmda ise ortak hattýn veri noktalarý arasýnda seçilmesi durumuna göre türetilen koþullarla çözüm (koþul_2) sonuçlarý özet biçimde sunulmuþtur. Tablolar incelendiðinde koþul denklemleri yardýmýyla, parça parça tanýmlý fonksiyonlar biçiminde yapýlan çözümde, ortak hatlar üzerinde seçilen noktalarýn komþu polinomlardan hesaplanan deðerlerindeki özdeþlik görülmektedir. Tablo 1a: Saða Deðerler Ýçin Sürekliliðe Ýliþkin Sonuçlar Üç Bölge Ýçin Koþulsuz Çözüm

8 Çepni M.S., Deniz R., Sonlu Elemanlar Yönteminin Dönüþümlerde Kullanýlmasý hkm 2005/2 Sayý 93 Koþul 1 Tipi Çözüm (dy=0) Koþul 2 Tipi Çözüm (dy¹0) Tablo 1b:Yukarý Deðerler Ýçin Sürekliliðe Ýliþkin Sonuçlar Üç Bölge Ýçin Koþulsuz Çözüm Koþul 1 Tipi Çözüm (dx=0) Koþul 2 Tipi Çözüm (dx¹0) Eklemeli Çözüm Bu uygulamada, zaman içersinde devam eden çalýþmalarda her bir yeni çözüm bölgesinin bir önceki çözüm bölgesinin devamý niteliðinde sürekli bir biçimde devam ettirilebilmesi amacýyla, bir önceki alan için belirlenmiþ fonksiyona baðlý olarak komþu alanda yapýlacak yeni bir dönüþüm iþlemi gerçekleþtirilmiþtir. Eklemeli çözüm uygulamalarý tüm seçenekler için gerçekleþtirilmiþ, bunlardan birine örnek olarak saða deðerlere ait sonuçlar Tablo 2 de gösterilmiþtir. Tablo 2 de eklemeli çözüm ile elde edilen sonuçlarýn, üç bölgenin ayný modelde deðerlendirildiði sonuçlarla ayný olduðu görülmektedir. Tablo 2: Eklemeli Çözüm Sonuçlarý (Saða Deðerler Ýçin) Üç Bölgeli Üçüncü Bölge Üçüncü Bölge Nokta Koþullu Çözüm Ýçin Eklemeli Ýçin Baðýmsýz Numaralarý (dy=0 hali) Çözüm Çözüm 3. Bölge 3. Bölge 3. Bölge Yüksekliklerin Dönüþümü Ýstanbul Metropoliten Nivelman Aðý olarak seçilen proje alanýnda geoit yüksekliklerinin belirlenmesinde, her iki yükseklik sisteminde yükseklikleri bilinen toplam 340 dayanak noktasý kullanýlmýþ, yine geoit yükseklikleri bilinen 66 nokta ile de dönüþüm sonuçlarý test edilmiþtir. Geoit yüksekliklerinin belirlenmesi iþleminde de saða ve yukarý deðerlerin dönüþüm iþleminde olduðu gibi, proje alaný doðu-batý yönünde üç çözüm bölgesine ayrýlmýþtýr. Toplam 340 dayanak noktasýndan 122 si birinci, 92 si ikinci ve 126 sý da üçüncü çözüm bölgesi içinde kalmaktadýr. Yine karþýlaþtýrma amacý ile kullanýlan ve dayanak noktalarý kümesine dahil edilmeyen 66 noktanýn 18 i birinci, 10 u ikinci ve 38 i de üçüncü çözüm bölgesi içinde yer almaktadýr. Dönüþüm sonuçlarýnýn gerçek deðerlerden sapmalarýný içeren bilgiler Tablo 3 te sunulmaktadýr. Tablo 3 de, ilk çözüm bölgesinde 18, ikinci çözüm bölgesinde 10, üçüncü çözüm bölgesinde ise 38 noktanýn farklarýnýn kareleri toplamlarý verilmektedir. Tablo 3: Farklarýn Kareleri Toplamlarý (m) Üç Çözüm Test Nokta Bölgesi Üç Bölge Tek Noktalarý Sayýsý Süreklilik Koþulsuz Bölge Koþullu 1. Çözüm Bölgesi 2. Çözüm Bölgesi 3. Çözüm Bölgesi Toplam

9 hkm 2005/2 Sayý 93 Çepni M.S., Deniz R., Sonlu Elemanlar Yönteminin Dönüþümlerde Kullanýlmasý 4.5. Sürekliliðe Sahip Üçgen Elemanlar ile Dönüþüm Dayanak noktalarýnýn oluþturduðu ve dönüþüm deðerinin bulunmasý istenen noktayý içine alan en küçük birim olan bir üçgen içerisinde, dayanak noktalarýna düzeltme getirmeden ve süreklilik ilkesine uygun biçimde bir noktanýn dönüþüm deðerinin belirlenmesi amacýyla; test için kullanýlan noktalar ve bunlarýn etrafýndaki en yakýn dayanak noktalarýnýn oluþturduðu üçgen alanlardan yararlanýlmýþtýr. Üçgen enterpolasyonu eþitliklerinde gerekli deðerlerin hesaplanmasý için bir önceki çalýþma adýmýnda proje alanýnýn çözüm bölgelerine ayrýlmasýyla elde edilen sürekli deneme fonksiyonlarýndan yararlanýlmýþtýr. Uygulama için veri olarak geoit yükseklikleri alýnmýþ ve test için üç çözüm bölgesinde dokuz üçgen eleman kullanýlmýþtýr. Bu üçgen elemanlar içindeki toplam onyedi test noktasýna dönüþüm deðeri hesaplanarak, gerçek deðerler deneme fonksiyonundan bulunan deðerler ile karþýlaþtýrýlmýþtýr. Tablo 4 te iki üçgendeki enterpolasyon sonuçlarý karþýlaþtýrmalý biçimde verilmektedir. Tablo 4: Üçgen Elemanlarla Enterpolasyon Üçgen Elemanýn Köþe Noktalarý : 15786, 15788, Süreklilik Üçgen N.N Gerçek Koþullu Fark Elemanlarla Fark Deðer Deneme (m) Enterpolasyon (m) Fonksiyonu Üçgen Elemanýn Köþe Noktalarý : 16306, 16324, Süreklilik Üçgen N.N Gerçek Koþullu Fark Elemanlarla Fark Deðer Deneme (m) Enterpolasyon (m) Fonksiyonu Bu uygulamada kullanýlan 17 test noktasýna göre yukarýdaki tabloda bulunan farklar kullanýlarak karesel ortalama hata hesabý yapýlýrsa; Süreklilik Üçgen Elemanlarla Nokta Sayýsý Koþullu Deneme Enterpolasyon Fonksiyonu 17 m 0= 7.73 cm. m 0= 1.81 cm sonuçlarý elde edilir. 5. Sonuç ve Öneriler Yaklaþýmlardan ilki olan, parça tanýmlý sürekli fonksiyonlarýn belirlenmesine iliþkin sonuçlar incelendiðinde, sonlu elemanlar yönteminin ve süreklilik koþullarý kullanýlmasýnýn dönüþüm iþlemi sonuçlarý üzerinde hedeflenen etkileri gösterdiði söylenebilir. Proje alanýnýn çözüm bölgelerine ayrýlmasý sonrasýnda bu bölgeler için kestirilen parça tanýmlý deneme fonksiyonlarý sürekli biçimde elde edilmiþlerdir. Saða ve yukarý deðerler için deneme fonksiyonu belirlenmesi sonuçlarýnda dikkat edilecek bir baþka önemli nokta da; koþul denklemlerinin toplam çözüm üzerinde denetleyici bir rol oynamasý ve dönüþüm modelini iyileþtirmesidir. Koþul denklemlerinin yazýldýðý çözümlerde, koþul denklemi yazýlmamýþ duruma göre daha iyi sonuçlar alýndýðý görülmektedir. Özellikle proje alanýnýn uç bölgelerinde yer alan ve de etrafýnda fazla dayanak noktasý bulunmayan test noktalarýnda koþul denklemleri tüm alanýn genel trendini bu noktalara taþýmakta ve fonksiyonun anlamsýz deðerler vermesini engellemektedir. Çalýþmada özellikle araþtýrmasý yapýlan bir diðer yöntem ise, sürekliliklerin saðlanmasý için tüm çözüm bölgelerinin ayný modelde deðerlendirilmesi yerine, zaman içerisinde farklý modelden hesaplanan sonuçlarýn da sürekliliðe uygun olarak elde edilmeye çalýþýlmasýdýr. Eklemeli çözüm olarak sunulan yöntem ile, dönüþüm çalýþmalarý gerçekleþtirilen alanlarýn komþuluðundaki yeni alanlar için, kesiklikler ve tutarsýzlýklara yol açmadan, komþu alanlarla sürekliliði saðlanmýþ biçimde, yeni dönüþüm parametreleri hesaplamak mümkün olabilmektedir. Yeni çözüm bölgesi için bulunan deneme fonksiyonun tanýmladýðý uzay eðrisinin, bir önceki deneme fonksiyonunun tanýmladýðý uzay eðrisinin devamý niteliðinde elde edilmesi olanaklýdýr. Yani, parça tanýmlý deneme fonksiyonlarý için sürekliliðin zaman içinde devam ettirilmesi olanaklý hale gelmektedir. Yükseklilerin dönüþümünde, parça tanýmlý sürekli deneme fonksiyonlarýndan, geoit yüksekliklerinin modellenmesiyle ortometrik yükseklikler elde edilmiþtir. Proje alanýný üç çözüm bölgesine ayýrarak parça tanýmlý sürekli deneme fonksiyonlarý ile gerçekleþtirilen çözümün, tüm alan için tek bir fonksiyonla yapýlan çözüme göre daha iyi sonuçlar verdiði gözlenebilmektedir. Proje alanýnýn daha büyük olduðu durumlarda bu farkýn daha da büyüyeceði açýktýr. Bu uygulamada, üç bölge için süreklilik koþullarý olmaksýzýn bulunan sonuçlar sonlu elemanlar çözümü sonuçlarýna göre biraz daha iyi gözükmekle birlikte, bu çözümde süreksizlikler büyük oranda ortaya çýkmakta ve proje alaný boyunca tek anlamlý olmayan binmeli ya da kesikli durumlar oluþmaktadýr. Bu nedenle, geoit modelinin, proje alaný boyunca sürekliliði saðlanamamýþ farklý çözümlerden oluþturulmasý kabul edilebilir bir seçim olmamaktadýr. Test aðý olarak seçilen alan çok büyük olmamasýna karþýn, alanýn çözüm bölgelerine ayrýlmasýyla parça tanýmlý sürekli deneme fonksiyonlarý kullanýlarak yapýlan çözümün yararlarý açýkça görülmektedir. Proje alanýnýn daha büyük seçildiði uygulamalar için yaklaþým daha yararlý ve kullanýþlý hale gelecektir. -28-

10 Çepni M.S., Deniz R., Sonlu Elemanlar Yönteminin Dönüþümlerde Kullanýlmasý hkm 2005/2 Sayý 93 Üçgen elemanlar kullanýlarak sürekliliði olan dönüþüme dönük uygulamalar incelendiðinde, bir noktayý içine alan dayanak noktalarýnýn oluþturduðu üçgen eleman içinde yapýlan dönüþümün beklentiler doðrultusunda çok iyi sonuçlar verdiði görülmektedir. Deneme fonksiyonlarýndan bir nokta için hesaplanan dönüþüm deðerine göre, bu deneme fonksiyonunun kullanýlmasýyla yapýlan üçgen enterpolasyonu sonunda, test noktalarýnýn gerçek deðerlerine çok daha yakýn deðerler elde edilmiþtir. Yöntemin bu baþarýsýnda, sürekli biçimde belirlenen parça tanýmlý deneme fonksiyonlarýnýn da etkisi büyüktür. Üçgen elemanlarýn dönüþüm yöntemi olarak kullanýlmasý, gerek fonksiyonun saðlayamadýðý doðruluða ulaþýlmasý, gerek dayanak noktalarýna düzeltme getirilmeden dönüþüm hesabýnýn gerçekleþtirilmesi ve gerekse sürekliliklerin saðlanmýþ olmasý açýsýndan önemli yararlar saðlamaktadýr. Ayrýca yöntem, anlaþýlmasý ve uygulanmasý açýsýndan rahat olup, iþlem kolaylýðý da saðlamaktadýr. Sonlu elemanlar yönteminin temel ilkelerinden yola çýkýlarak gerçekleþtirilen çalýþmalar sonucunda, matematik modelleri oluþturulan iki farklý sonlu elemanlar yaklaþýmýnýn birlikte kullanýlmasýyla elde edilen çözümün, dönüþümlerde yaþanan sorunlarýn aþýlmasýna katký yapacaðý inancý taþýnmaktadýr. Yöntemin otomasyona uygun olarak yapýlandýrýlmasý ve tüm ülke ulusal aðýný kapsayacak çalýþmalar yürütülmesi hedeflenmektedir. Kaynaklar AKIMA H.: A method of bivariate interpolation and smooth surface fitting For values given at irregularly distrubuted points, OT Peport, Washington D.C, U.S.A, 1975 AKIMA H.: A method of bivariate interpolation and smooth surface fitting for irregularly distrubuted data points, Acm Trans. Math. Software, 4, 2, , 1978 ÇEPNÝ M S.: Jeodezik dönüþümlerde sürekliliðin irdelenmesi, Doktora Tezi, ÝTÜ, 2004 DINTER G., ILLNER M. ve JAGER R.: A synergetic approach for the transformation of elipsoidal heights into a standart height reference system, Reports of The EUREF Technical Working Group, München, 1996 ÖZTÜRK E. ve ÞERBETÇÝ M.: Dengeleme Hesabý III, K.T.Ü Yayýnlarý, Trabzon, PREUSSER U A.: Bivariate interpolation über dreickselementen durch polynome 5. ordung mit C1- kontinuität, Zfv, 6, , 1984 ZIENKIEWICZ O C. ve MORGAN K.: Finite Elements And Approximation, A Wiley Interscience Publication, New York, 1983 ÝGNA RAPOR, ÝTÜ Jeodezi Anabilim Dalý, Ýstanbul,