Hamel Taban ve Boyut Teoremi

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Hamel Taban ve Boyut Teoremi"

Transkript

1 Hamel Taban ve Boyut Teoremi Mert ÇAĞLAR 1 VE Zafer ERCAN 2 1 Amaç Baştan söyleyelim: vektör uzay, vektör altuzay, doğrusal dönüşüm, izomorfik (eş yapılı) vektör uzaylar kavramlarına başlangıç seviyesinde de olsa, konuya yabancı olmadığını varsayıyoruz. Bu konuda türkçe yazılmış olan [7] kitabı öneririz. Bu yazıda seçme beliti kabul edilmiştir. Matematik Dünyası Dergisinin 2014-I ve 2014-II sayılarının kapak konuları vektör uzaylarıydı. Bu kapak konularında eksik olan ya da yeterince yer verilmeyen, bir vektör uzaylarda tanımlı olan boyut kavramı ve onun "büyüklüğü" idi. Bu yazının temel amacı, vektör uzaylarında boyut kavramı olacak ve "Boyut Teoremi 3 " olarak bilinen teoremi kanıtıyla birlikte vermek olacak. Bir vektör uzay, bir E kümesi üzerinde belirli özellikleri sağlayan toplama (+) ve skalerle çarma (.)işlemleri tanımlanmış olan bir (E, +,.) üçlüdür. Bu üçlü, bir yanlış anlama durumu yok ise, sadece E ile gösterilir. Vektör uzayının temel örneği R vektör uzayıdır. R vektör uzayı üzerinde tanımlı toplama ve skalerle çarpma işlemleri "bildiğimiz" işlemlerdir. R vektör uzayından üretilen doğal vektör uzay örneklerinden biri, R X, boş kümeden farklı bir X kümesinden R ye tanımlı fonksiyonlar ve her f, g R X ve α R için, (f + g)(x) := f(x) + g(x) ve (αf)(x) := αf(x) olarak tanımlanmak üzere, (R X, +,.) üçlüsüdür. Bu vektör uzayın direk toplam vektör uzayı olarak adlandırılan vektör altuzayı aşağıdaki gibi tanımlanır ve gösterilir: X R = {f R X : f 1 (R {0}) sonlu}. Her x X için χ x (y) = 1 ; x = y 0 ; x y olarak tanımlanan, x nin karakteristik fonksiyonu χ x R X, X R vektör uzayının da bir elemanı olduğu açıktır. Belli anlamlarda, X R vektör uzayını anlamak, R X vektör uzayını anlamaktan daha kolaydır. Nedeni: {χ x : x X} kümesinin doğrusal bağımsız (tanımı aşağıda verilecek) ve X R nin her elemanının sonlu tane αχ x (α R, x X) türündeki elamanlaın toplamı olarak yazılabilmesidir. Gerçekten, her f X R için, dir. Bu yaklaşımla şu soruları sorabiliriz: f = x {x X:f(x) 0} f(x)χ x (i) X boşkümeden farklı bir küme olmak üzere, R X vektör uzayını I R uzayına izomorfizma olacak biçimde I kümesi var mıdır? 1 İstanbul Kültür Üniversitesi, Matematik-Bilgisayar Bölümü, Ataköy Kampüsü, Bakırköy 34156, İstanbul 2 Abant İzzet Baysal Üniversitesi, Matematik Bölümü, Gölköy Kampüsü 14280, Bolu 3 ingilizcesi Dimension Theorem. 1

2 (ii) I R ve J R vektör uzayları izomorfik iseler, I ve J nin kardinaliteleri arasında eşitlik ilişkisi var mıdır? (iii) I ve J kümelerinin kardinaliteleri eşit ise, yani I dan J ye tanımlı birebir ve örten fonksiyon var ise, I R ve J R vektör uzayları izomorfik midirler? (iv) (i) nin yanıtı evet ise, soruyu genelleybiliriz: Her E vektör uzayı, bir direk toplam vektör uzayına izomorfik midir?". Bu yazıda yukarıdaki soruların yanıtlarının evet olduğu gösterilecektir. Yazıyı ayrıcalıklı yapan ve yayınlanmasının "yararlı" olabileceğinin nedeni, Hamel tabanların kardinalitelerinin aynı olduğunun yaygın olarak bilinmiyen bir kanıtının verilmesi olacak. Bu kanıt J. T. Moore [6] ye aittir. 2 Hamel Tabanı Her şeyin bir omurgası vardır. Vektör uzayın da omurgası vardır ama biz ona "taban" ya da "baz" diyeceğiz. Tanımı aşağıda. Tanım 2.1. E, sıfırdan farklı bir vektör uzayı olmak üzere, S E {0} kümesi s i S, α i R, α 1 s α 1 s 1 = 0 = α 1 =... = α n = 0 özelliğindeyse, S, kümesine doğrusal bağımsız denir. Yukarıdaki gerektirme ifadesinde i j için s i s j olduğunu varsayıldığına okuyucu dikkat etmeli! Tanım 2.2. E, sıfırdan farklı bir vektör uzayı olmak üzere, S E için < S >:= { n i=1 α i s i : n N, α R, s i S} olarak tanımlanan E nin vektör altuzayına, S tarafından üretilen vektör altuzay denir. Bir E vektör uzayında her S X için, < S > vektör alyuzayının, S yo kapsayan bütün vektör altuzayların arakesiti olduğunu kolayca gösterebilir. Vektör uzayında taban kavramını tanımlamaya hazırız. Tanım 2.3. E sıfırdan farklı bir vektör uzayı olsun. B E kümesi doğrusal bağımsız ve S tarafından üretilen vektör altuzay E ye eşitse, yani < B >= E ise, B ye E vektör uzayının Hamel tabanı denir. Yukarıda tanıma göre sıfırdan farklı bir vektör uzayın tabanı boş küme olamaz. Ama kavram bütünlemesi açısından sıfır vektör uzayının Hamel tabanını boş küme olarak tanımlayabiliriz. Örnek 2.4. X sonsuz bir küme olmak üzere, H := {χ x : x X} diyelim. H R X doğrual bağımsız fakat Hamel taban değildir. Buna karşılık H, X R vektör uzayının bir Hamel tabanıdır. 2

3 3 Her Vektör Uzayın Hamel Tabanı vardır "Her vektör uzayın tabanı var mıdır?" sorusunun yanıtını, Zorn Önsavı kullanarak olumlu olarak yanıtlayabileceğiz. Teorem 3.1. (Zorn Önsavı) Her zinicirinin bir üst sınırı olan kısmı sıralı kümenin bir maksimal elemanı vardır. Yukarıdaki teoremini bir kanıtı [4] de bulunabilir. Teorem 3.2. ( Löwig[5] 4 )Her vektör uzayın bir Hamel tabanı vardır 5. Kanıt. E vektör uzay olsun. E = {0} olma durumunda E nin Hamel tabanını boş küme olarak tanımlamıştık. E {0} olduğunu varsayalım. Bu durumda E nin boşkümeden farklı doğrusal bağımsız bir B alt kümesi vardır. (Örneğin, 0 x E olmak üzere B = {x} alabiliriz. ) P = {A E : B A ve doğrusal bağımsız} kümesi, B yi içerdiğinden boş kümeden farklıdır. P, kapsama sıralamasına göre, yani A B : A B sıralaması ye göre kısmı sıralı bir kümedir. C P bir zincir ise, B = C kümesi P nin bir elemanı ve C zincirinin bir üst sınırıdır. Zorn Önsavı gereği P nin bir maksimal elemanı vardır, bunu B ile gösterelim. x E olmasına karşın, x < B > olduğunu varsaydığımızda, B {x} P, B < B elde edilirki, bu B nin maksimal olmasıyla çelişr. O halde < B >= E dir. Böylece B, E vektör uzayının bir Hamel tabanıdır. Yukarıdaki teoremin bir uygulaması olarak, yukarıdaki sorulan sorulardan (iv) nin yanıtını aşağıdaki gibi verebiliriz. Sonuç 3.3. E sıfırdan farklı bir vektör uzay ise, E ve B R vektör uzaylarını izomorfik yapan B kümesi vardır. Kanıt. B E kümesini, E nin Hamel tabanı olarak almak yeterlidir. Bunun bir sonucu olarak aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz. Sonuç 3.4. X boş kümeden farklı ise, R X ve I R vektör uzaylarını izomorfik yapan bir I kümesi vardır. Bu yukarıda sorulan (i) nin yanıtıdır. Bir vektör uzayından R ye tanımlı her doğrusal dönüşüme fonksiyonel denir. E de tanımlı fonksiyonellerin kümesi, noktasal toplama ve noktasal skalerler çarpma işlemleri altında, yani fonksiyoneller f, g E ve α R için, 4 [2] de Löwig için "unutulmuş matematikçi" diye yazar. 5 Her vektör uzayın Hamel tabanının var olması seçme belitine denktir. Bunun kanıtı MD de bir başka yazının konusu olmalı! 3

4 (f + g)(x) = f(x) + g(x), (αf)(x) := αf(x) f + g ve αf ler fonksiyonellerdir ve bu işlemlere göre fonksiyoneller kümesi vektör uzaydır ve E nin cebirsel duali denir. E nin cebirsel dualini E ile gösterelim. E, R E vektör uzayının altuzayıdır. Alıştırma 3.5. Bir E vektör uzayın cebirsel duali E nın sıfırdan farklı olması için gerekli ve yeterli koşulun E nin sıfırdan farklı olması olduğunu gösteriniz. Bir vektör uzayın Hamel tabanının varlığını gösteren yöntem kullanılarak aşağıdaki problem çözülebilir. Alıştırma 3.6. H R için, H Q = {f Q H : f 1 (Q {0}) olarak tanımlansın. α Q, f, f H Q için sonlu} (f + g)(x) = f(x) + g(x) ve (αf)(x) = αf(x) olarak tanımlanmak üzere f + g, αf H Q olduğu bariz. Aşağıdakilerin doğruluğunu gösteriniz: (i) Her x, y R ve α Q için T (x + y) = T (x) + T (y) ve T (αx) = αt (x) özelliğini sağlayan H R ve birebir ve örten T : R H Q fonksiyonu vardır. (ii) R den kendisine tanımlı ve her x, y R için f(x + y) = f(x) + f(y) eçitliğini sağlayan ve doğrusal olmayan f fonksiyon vardır. F ve G, E vektör uzayın alt uzayları ise F + G = {x + y : x F, y G} bir vektör altuzaydır. F G = {0} olması durumunda F + G yerine F G yazarız. Bu durumda F G ye E ve F nin direk toplamı denir. Ayrıca F G vektör uzayı E F çarpım vektör uzayına izomorfiktir. Alıştırma 3.7. W, F ve G, E vektör uzayının, E = W G = W F özelliğinde vektör altuzayları ise, G ve F alt uzaylarının izomorfik olduklarını gösteriniz. Aşağıdaki teoremin kanıtı kolay ve okuyucuya bırakılmıştır. Teorem 3.8. F, E vekör uzayının altvektör uzayı ve B, F nin bir tabanı olsun. B yi kapsayan E nin bir S tabanı vardır ve dir. E = F < S B > 4

5 4 Boyut Teoremi E vektör uzayının sonlu bir A tabanı var ise, diğer bütün tabanların eleman sayısı, A kümesinin eleman sayılarına eşittir. Konuyla ilgili bütün kitaplarda bu sonuçlar vardır ve üniversite lisans öğrencilerine kanıtıyla verilir. Aslında bu sonuç bütün vektör uzayları için doğru olsa da, bu yazıda yer alacak "klasik" olan kanıtda kullanılan yöntem nedeniyle olsa gerek, matematik lisans öğrencilerine ö gretilmez. Buna karşın, bu yazıda vereceğimiz, J. T. Moore [6] ye ait olan kanıt, lisans öğrencilerine okutulabilcek niteliktedir. A bir küme ise, A nin kardinalitesi A ile gösterilir. A kümesinden B kümesinin tanımlı birebir fonksiyon var ise, A B yazarız. A = B olması ise, A dan B ye tanımlı birebir ve örten fonksiyonun olması anlamındadır. A B ve B A ise, A = B dir. Bu sonuç Cantor-Schröder-Bernstein Teoremi olarak bilinir ve bir kanıt [3] de bulunabilir. Aşağıda ifadesi verilen Boyut Teoremi nin klasik kanıtında bu teorem kullanılır. Bu yazıda verilecek olan kanıtta ise kullanılmayacaktır. A ve B iki küme olsun. A = B ise, A R ve B R vektör uzaylarının izomorfik olduğunu göstermek kolaydır. Peki, A R ve B R vektör uzayları eş yapılı ise A = B mi dir? Bunun yanıtı evettir ve yukarıdaki sonuç kullanılarak, bir vektör uzayın Hamel tabanlarının kardinalitelerinin eşit olduğunu söyler. Bir E vektör uzayından kendisine tanımlı doğrusal dönüşümlerin kümesini L(E) ile gösterelim. Teorem 4.1. (Löwig [5],Boyut Teoremi) A ve B, E vektör uzayının Hamel tabanları ise A = B dir. Kanıt. (Moore[6]) W, A W ve B W kümeleri Hamel tabanı olan, E vektör uzayının alt vektör uzay W lerin kümesini göstersin. W W olmak üzere, T A W : A W B W birebir ve örten özelliğinde olan T L(W ) doğrusal dönüşümlerin kümesini P ile gösterelim. W = {0} W ve sıfır liner dönüşümü P de olduğundan, P boş kümeden farklıdır. W W ve P de verilen bir T L(W ) için W = dom(t ) yazalım. T, S P için, S T : dom(s) dom(t ) ve T dom(s) = S olarak tanımlanan ilişkisine göre (P, ) kısmi sıralı bir kümedir. P de her zincirin bir üst sınırı vardır: C P bir zincir olsun. olarak tanımlıyalım. Her S C için W = S C dom(s) T : W W, T dom(s) = S özelliğinde T fonksiyonunu tanımlıyalım. Gerçekten, C nin bir zincir olması nedeniyle bu özellikte bir fonksiyon tanımlanabilir. Üstelik W W ve T P dir. T nin C zincirinin bir üst sınırı olduğu da bariz. Zorn Önsavı gereği, P nin bir maksimal elemanı T vardır. T nin tanım kümesini W ile gösterelim. E = W V = W < A (A B) >= W < B (A B) > özelliğinde V vektör altuzayı vardır. Iki durum sözkonusu: Birinci Durum. V sonlu boyutlu: 5

6 E = W < A (A B) >= W < B (A B) > olacağından V, < A (A B) > ve < B (A B) > vektör altuzayları izomorfik ve sonlu boyutludur. Sonlu boyutlar için Boyut Teoremi (sonlu boyutlar için bildiğimizi varsayıyoruz!) gereği, dir. Ayrıca, olmasından elde edilir. A (A W ) = B (B W ) A W = B W A = B Ikinci Durum. V sonsuz boyutlu: Bu durumda E = W + F özelliğinde sonlu boyutlu E nin vektör altuzayı F yoktur. Bunun sonucu olarak, aşağıdaki özellikte A W nin sonlu altkümelerinin (A n ) dizisi ve B W nin sonlu alt kümelerinin dizisi (B n ) vardır. Her n N için: - A n A n+1 ve B n B n+1. - A n A n+1. - A n < B n >. - B n < A n+1 >. Bu iki dizinin inşasına şöyle başlayabiliriz: x E W verilsin. x < A 1 > oözelliğinde sonlu A 1 A vardır. Her a A 1 için a < C a > özelliğinde sonlu C a B seçebiliriz. b B C a, b A B elemanı da seçebiliriz. B 1 = {b} a A1 C a alabiliriz. B 1 W olmadığı bariz. Bu yöntemle devam ederek, tümevarımla istenilen özellikte diziler elde edilir. ve A = ( i=1a i ) W B = ( i=1b i ) W olarak tanımlansın. A ve B kümeleri sayılabilir sonsuz kümelerdir. olduğu bariz. W =< W A >=< W B > f : A B birebir örten fonksiyon olmak üzere, T doğrusal dönüşümü, W vektör altuzayına her a A için T (a) = f(a) özelliğini sağlayacak biçimde genişletilebilir. Ayrıca olduğundan, T (W (A B)) = T (W (A B)) = T (W (A B)) 6

7 T A B : W (A B) W (A B) birebir ve örtendir. Dolayısıyla (T, W ) P ve (T, W ) < (T, W ) olur ki, bu (T, W ) nin maksimal olmasıyla çelişir. Ve Kanıtı tamamlanır. Yukarıdaki teoremin sonucu olarak aşağıdaki tanımı verebiliriz. Tanım 4.2. E bir vektör uzayı ve H, E nin Hamel tabanı olsun. B ye E nin boyutu denir ve dim(e) ile gösterilir. 5 Klasik Kanıt Her ne kadar yukarıda verilen kanıtın klasik kanıttan daha analşılır ve kolay olduğunu ve lisans öğrencilerinin anlayabiliceği seviyede de olduğunu, yazarlar olarak ifade etmiş olsak da, bazı okuyucular aynı görüşte olmayabilirler. Karşılaştırma imkanı vermek aşından, Boyut Teoreminin klasik kanıtı olarak bilinen kanıtını detaya girmeden bahsedilmesi yazıyı daha bütün yapacaktır. Kanıt. (Klasik Kanıt 6 ) Aşağıdaki adımları takip edelim: - S sayılabilir bir küme ise S N = S dir: f : N N N, f(k, n) = 2 k 3 n olarak tanımlanan fonksiyonun birebir ve dolayısıyla N N N dir. N N N olduğu bariz. İstenilen elde edilir. - Aşğıdaki kümeyi tanımlayalım. A = {(S, f) : S A, sayılabilir ve f : S N S birebir ve örten}. A sonsuz olduğundan, A nın sayılabilir sonsuz alt kümesi vardır. Dolayısıyla A. Üstelik, A, (S, f) (T, g) : S T ve g S = f sıralamsına göre A, kısmı sıralı bir küme ve her zincirin bir üst sınırı vardır. Dolayısıyla Zorn Önsavı gereği, A nın (R, ϕ) maksimal elemanı vardır. - A R sonludur: Varsayalım ki sonsuz. S A R sayılabilir sonsuz küme seçebiliriz. R = R S diyelim. g : S N S birebir ve örten fonksiyon olsun. π : R N R π(r, n) = ϕ(r, n) ; (r, n) R N g(r, n) ; (r, n) S N π birebir ve örten olduğundan (R, π) A ve (R, ϕ) < (R, π) dir ki, bu (R, ϕ) nin maksimal olmasıyla çelişir. - Y R sayılabilir sonsuz bir küme olsun. 6 Bu kanıt [1] den alınmıştır. 7

8 olduğundan birebir ve örten fonksiyonu vardır. [(A R) Y ] N = [ϕ(y N) (A R)] h : [(A R) Y ] N [ϕ(y N) (A R)] - A N = A : σ : A N A fonksiyonu σ(x, n) = ϕ(x, n) ; (x, n) (R Y ) N h(x, n) ; (x, n) [(A R) Y ] N σ birebir ve örten fonksiyon olduğundan, istenilen elde edilir. - Her x X için özelliğunde tek bir tane kümesi vardır. - B = x A B(x) dir. - B A N : α : A N B fonksiyonu x = y B(x) α y y B(x) = {y x 1,..., y x k x } B y x α(x, n) = 1 ; n > k x yn x ; 1 n k x eşitliğiyle tanımlansın. α fonksiyonu örtendir. Dolayısıyla B A N dir. - A = B : B A N = A olduğunu yukarıda gösterildi. Benzer biçimde A B. Cantor-Schröder-Bernstein Teoreminden A = B elde edilir. 6 Temel Örnekler E bir vektör uzayı ve E > R ise dim(e) = E olduğunun [5] de kanıtlandığını bir bilgi olarak söyleyelim. Bunun bir sonucu olarak dim(r R ) = R R. Bunun yanında E = R durumu için dim(e) = E eşitliği olabilir de, olmayabilir de. Örneğin dim(r N ) = R N, dim(r) R. 8

9 Bu kısımda R N ve R R vektör uzaylarının boyutlarının sırasıyla R ve R R olduklarını göstereceğiz. Bu umarim yazıyı bütünler. Aşağıda verilen teoremlerin kanıtlarinda geçen kardinal sayılarla ilgili işlemler için MD öneririlir. Teorem 6.1. dim(r N ) = R dir. Kanıt. Her r R için, Q de r ye terimleri birbirinden farklı ve artarak yakınsayan (r n ) dizisi seçelim. Elemanları bu dizinin terimleri olan kümeyi Q r ile gösterelim. diyelim. r s özelliğindeki her r, s R için olduğu da barizdir. Böylece, A r = {n N : r n Q r } A r A s ve A r A s < A = {A r : r R} olmak üzere R = A dır. A nin doğrusal bağımsız olduğunu gösterelim: Varsayalım ki değil. Bu surumda χ A = i I c i χ Ai özelliğinde sonlu F kümesi ve A, A i A lar vardır. diyelim. P kümesi sonsuzdur. n P için P = A ( i F (A A i )) 1 = χ A (n) = i I c i χ Ai (n) = 0 çelişkisi elde edilir. Böylece A nın doğrusal bağımsız olduğu gösterilmiş olur. R = A dim(e) E = N R = R eşitsizliğinden dim(e) = R olduğu gösterilmiş olur. Teorem 6.2. dim(r R ) = R R. Kanıt. E = R R diyelim. D = {χ x : x R}, E nin doğrusal bağımsız kümesi olduğundan, D yi kapsayan bir B Hamel tabanı vardır. Her n, m için olduğundan D = R B. (B R) n = (B R) m = B R E n N (B R) n ) = N (B R) n = N B R = N ( B R ) = N B = B E. Buradan elde edilir. dim(e) = E 9

10 Kaynaklar [1] C. D. Aliprantis, K. C. Border, Infinite dimensional analysis, A hitchhiker s guide. Third edition. Springer, Berlin, [2] M. Becvarova, The foggotten Mathematician Henry Lowig, Dejiny Matematiky/History of Mathematics, 52. Matfyzpress, Prague, [3] Cantor-Schröder-Bernstein Teoremi, Matematik Dünyası, 2006-III, [4] T. Karayayla, Hausdorff Zincir Teoremi ve Zonn Önsavı, MD 2006-II, [5] H. Löwig, Über die Dimension linearer Röume, Studia Mathematica, vol. 5(1934), p [6] J. T. Moore, A Zorn s lemma proof of the dimension theorem for vector spaces, Amer. Math. Monthly 121(1014), no. 3, [7] T. Terzioğlu, Fonksiyonel Analizin Yöntemleri, Matematik Vakfı, Istanbul,

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve düzlem Geçen ders doğrusal cebir aracılığıyla izdüşümsel geometri için bir model kurduk. Şimdi bu modeli daha somut bir şekle sokalım, F = R durumunda kurduğumuz

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

12. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 24, Son dersten hatırlayacağınız üzere simetrikleştirme operasyonundan elde ettiğimiz fonksiyon.

12. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 24, Son dersten hatırlayacağınız üzere simetrikleştirme operasyonundan elde ettiğimiz fonksiyon. 12. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 24, 2016 1 Yerel Kaldırma Özellikleri Son dersten hatırlayacağınız üzere simetrikleştirme operasyonundan elde ettiğimiz fonksiyon ι : Sym(g) n 0 U n /U n+1 bize bir derecelendirilmiş

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı 9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,

Detaylı

X normlu bir uzay olsun.x üzerindeki tüm gerçel veya karmaşık değerli sürekli (sınırlı) fonksiyoneller,x deki x ve α sayıları için

X normlu bir uzay olsun.x üzerindeki tüm gerçel veya karmaşık değerli sürekli (sınırlı) fonksiyoneller,x deki x ve α sayıları için HAHN-BANACH TEOREMİ VE SONUÇLARI G.F.Simmons 1963 tarihli Introduction to Topology and Modern Analysis adlı mükemmel kitabında soyut bir matematisel yapıyı anlamanın en iyi yollarından biri olarak o matematiksel

Detaylı

Sezgisel Kümeler Kuramı (Math 111) Birinci Vize Sorular ve Cevaplar

Sezgisel Kümeler Kuramı (Math 111) Birinci Vize Sorular ve Cevaplar Sezgisel Kümeler Kuramı (Math 111) Birinci Vize Sorular ve Cevaplar Sonbahar 2002 Ali Nesin 10 Ekim 2010 1. a) Verilen bir X kümesi için X şöyle tanımlansın: y X ancak ve ancak öyle bir x X var ki y x.

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2 SERBEST LİE CEBİRLERİNİN ALT MERKEZİ VE POLİSENTRAL SERİLERİNİN TERİMLERİNİN KESİŞİMLERİ * Intersections of Terms of Polycentral Series and Lower Central Series of Free Lie Algebras Zeynep KÜÇÜKAKÇALI

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar

Detaylı

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Gruplar...3 Alt Gruplar...9 Simetrik Gruplar...13 Devirli Alt Gruplar...23 Sol ve Sağ Yan Kümeler (Kosetler)...32 Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 Grup Homomorfizmaları...41

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

1956 da... Ali Nesin

1956 da... Ali Nesin 1956 da... Ali Nesin Nesin Yayıncılık Ltd. Şti. künye... Ali Nesin Analiz IV İçindekiler Üçüncü Basıma Önsöz.......................... 1 İkinci Basıma Önsöz........................... 1 Önsöz...................................

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A

SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A 2.2 Ölçüler SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X kuvvet kümesi veriliyor. P (X üzerinde 0 ; A (A : 1 ; A şeklinde tanımlanan dönüşümü ölçü müdür? ÇÖZÜM 1: (i Tanımdan ( 0. (ii A

Detaylı

3 Altuzaylar, altuzaylar için toplama ve direkt toplama 4 Span, lineer bağımsızlık, taban

3 Altuzaylar, altuzaylar için toplama ve direkt toplama 4 Span, lineer bağımsızlık, taban Konular Hafta İşlenen Konular 1 Karmaşık sayılar 2 Vektör uzayı tanımı, vektör uzayı özellikleri 3 Altuzaylar, altuzaylar için toplama ve direkt toplama 4 Span, lineer bağımsızlık, taban 5 Boyut, lineer

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer 11.Gram-Schmidt metodu 11.1. Ortonormal baz 11.1.Teorem: { }, V Öklid uzayı için bir ortonormal baz olsun. Bu durumda olmak üzere. 1.Ö.: { }, de bir ortonormal baz olsun. Burada. vektörünü S deki vektörlerin

Detaylı

V 2 = J 2,1 J 2,2 = aşamada ise atılanlar = 27. ve kalanlar. kümeleridir. aralıklar 2 n 1 tanedir ve. V n = J n,1 J n,2 n 1 = tanedir ve

V 2 = J 2,1 J 2,2 = aşamada ise atılanlar = 27. ve kalanlar. kümeleridir. aralıklar 2 n 1 tanedir ve. V n = J n,1 J n,2 n 1 = tanedir ve CANTOR KÜMELERİ H. Turgay Kaptanoğlu Yazımızın başlığında adı geçen Alman matematikçisi Georg Cantor (845 8), modern matematiğin temeli olan kümeler teorisinin kurucusu olarak kabul edilir. Cantor,. yüzyılın

Detaylı

11. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 23, 2016

11. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 23, 2016 11. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 23, 2016 1 Önceki Ders Üzerine Bazı Notlar Wikipedia dan Killing ile ilgili bir alıntıyla başlayalım. "1880 civarında, Killing Sophus Lie den bağımsız olarak Lie cebirlerini

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

AYRIK YAPILAR. ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FıRAT ÜNIVERSITESI TEKNOLOJI FAKÜLTESI YAZıLıM MÜHENDISLIĞI BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR. ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FıRAT ÜNIVERSITESI TEKNOLOJI FAKÜLTESI YAZıLıM MÜHENDISLIĞI BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon İçindekiler Cebir 1. Fonksiyonlar....... 1.1 Fonksiyonların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi...... 1.1.1 Fonksiyon.. 1.1. Görüntü Kümesi... 1.1.3 Eşit Fonksiyonlar. 1.1.4 Fonksiyonun Gösterimi. 1.1.4.1 Liste

Detaylı

ANALİZ III. Mert Çağlar

ANALİZ III. Mert Çağlar ANALİZ III Mert Çağlar Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDES) lisansı altındadır. Ders notlarına erişim için: http://udes.iku.edu.tr CC $\ BY: Mert Çağlar C Matematik-Bilgisayar Bölümü

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun.

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun. 11. Cauchy Teoremi ve p-gruplar Bu bölümde Lagrange teoreminin tersinin doğru olduğu bir özel durumu inceleyeceğiz. Bu teorem Cauchy tarafından ispatlanmıştır. İlk olarak bu teoremi sonlu değişmeli gruplar

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

İndirgenme Boyutu Üç Olan Fibonacci Simetrik Sayısal Yarıgruplarının Bir Sınıfı

İndirgenme Boyutu Üç Olan Fibonacci Simetrik Sayısal Yarıgruplarının Bir Sınıfı İndirgenme Boyutu Üç Olan Fibonacci Simetrik Sayısal Yarıgruplarının Bir Sınıfı Meral SÜER * ve Sedat İLHAN * Batman Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü,7060 Batman, Türkiye Dicle Üniversitesi,

Detaylı

1. KÜMELER TEORİSİ 1. Giriş. Modern matematiğin en önemli kullanım araçlarından birisi kümeler teorisidir. Kümeler teorisi çalışmaları matematiğin temelinde kullanılışı 20. yüzyılın başlangıcında Frege,

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 )

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 ) 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II DERSİ ÖDEV 4 Soru I: Aşağıda verilen dönüşümlerin lineer olup olmadığını gösteriniz. ) L : R 3 R, L(x, x, x 3 ) = ( 3x + x 3 4x 4, x + x 3x

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu

Detaylı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı 1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna

Detaylı

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1 Ders 11: Örnekler 11.1 Kulplarla inşalar Bu bölümde kulpları birbirine yapıştırıp tanıdık manifoldlar elde edeceğiz. Artık bu son ders. Özellikle dersin ikinci bölümünde son meyveleri toplamak adına koşarak

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok

Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok Gauss Yasası Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok daha kullanışlı bir şekilde nasıl hesaplanabileceği

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7.

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik -Bilgisayar Bölümü MB1001 Analiz I 6 Aralık 013. Yıliçi Sınavı Öğrenci Numarası: Adı Soyadı: - Talimatlar: Sınav süresi 90 dakikadır. İlk 30 dakika sınav salonunu

Detaylı

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir. Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: POLİNOMLAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf

Detaylı

Kafes Yapıları. Hatırlatma

Kafes Yapıları. Hatırlatma Kafes Yapıları Ders 7 8-1 Hatırlatma Daha önce anlatılan sıra bağıntısını hatırlayalım. A kümesinde bir R bağıntsı verilmiş olsun. R bağıntısı; a. Yansıma (Tüm a A için, sadece ve sadece ara ise yansıyandır(reflexive)).

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi

Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi

Detaylı

Yüksek Lisans Cebir (in Turkish) Başlık: Grup Teorisi I Seviye: - İçerik: Gruplar, bölüm grupları, temel izomorfizma teoremleri, alterne, simetrik ve dihedral gruplar, direkt çarpımlar, otomorfizma grupları

Detaylı

MARKOV ZİNCİRLERİNDE DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASI

MARKOV ZİNCİRLERİNDE DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASI SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II MARKOV ZİNCİRLERİNDE DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASI DERS NOTLARI 1 Önceki derslerimizde pek çok geçişten sonra n-adım geçiş olasılıklarının

Detaylı

Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir

Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Çizgeler Kuram Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Kayhan Zemin E er bir çizgenin özdefllik, yani Id fonksiyonundan baflka otomorfizmas yoksa, bu çizgeye denir. flte en küçük asimetrik çizge: Asimetrik

Detaylı

TOPOLOJİK ROUGH KÜMELERİ ÜZERİNE. Hatice Kübra SARI

TOPOLOJİK ROUGH KÜMELERİ ÜZERİNE. Hatice Kübra SARI TOPOLOJİK ROUGH KÜMELERİ ÜZERİNE Hatice Kübra SARI Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı Topoloji Bilim Dalı Prof. Dr. Abdullah KOPUZLU 2014 Her hakkı saklıdır ATATÜRK ÜNİVERİSTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Saymanın Temelleri 1. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Ayşe nin Doğum Günü Partisi Saymanın Temelleri Ayşe

Detaylı

Mat624 Cebir II. Ders Notları. Bülent Saraç Hacettepe University Department of Mathematics http://www.mat.hacettepe.edu.tr/personel/akademik/bsarac/

Mat624 Cebir II. Ders Notları. Bülent Saraç Hacettepe University Department of Mathematics http://www.mat.hacettepe.edu.tr/personel/akademik/bsarac/ Mat624 Cebir II Ders Notları Bülent Saraç Hacettepe University Department of Mathematics http://www.mat.hacettepe.edu.tr/personel/akademik/bsarac/ İçindekiler Kısım 1. CİSİM TEORİSİ iii Bölüm 1. Eşitliklerin

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. 2. BÖLÜM Boole Cebri ve Mantık

Detaylı

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu ünite çalışıldıktan sonra, Üstel fonksiyonun tanımı öğrenilecek Üstel fonksiyonun

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

Fen ve Anadolu Liselerine Öğretmen Seçme Sınav Denemesi

Fen ve Anadolu Liselerine Öğretmen Seçme Sınav Denemesi EN LİSELERİ, SOSYL İLİMLER LİSELERİ,SPOR LİSELERİ,NDOLU LİSELERİ ÖĞRETMENLERİNİN SEÇME SINVIN HZIRLIK DENEME SINVI. 2 HZIRLYN : İ:K(2008) idensu@gmail.com kuscuogluibrahim@gmail.com http://idensu.googlepages.com

Detaylı

Prof.Dr.Ünal Ufuktepe

Prof.Dr.Ünal Ufuktepe İzmir Ekonomi Üniversitesi, Matematik Bölümü 21 Ocak 2012 KLASİK ANLAMDA TÜREV Fiziğin en temel işlevlerinden biri hareketi tanımlamaktır. Newton ve Leibniz hareketi tanımlama ve tahmin etme konusunda

Detaylı

Ders 10: Düzlemde cebirsel eğriler

Ders 10: Düzlemde cebirsel eğriler Ders 10: Düzlemde cebirsel eğriler İzdüşümsel geometride bir doğruyu derecesi 1 olan homojen bir polinomun sıfırları kümesi olarak tarif ettik. Bir kuadrik, derecesi 2 olan homojen bir polinomla anlatılıyordu

Detaylı

TOPOLOJ TEST B. (d) Dizinin limiti yoktur; y lma noktas yoktur. 4. Dizisel süreklilik hangi uzaylarda süreklili e denktir?

TOPOLOJ TEST B. (d) Dizinin limiti yoktur; y lma noktas yoktur. 4. Dizisel süreklilik hangi uzaylarda süreklili e denktir? 1 TOPOLOJ TEST B 1. {( 1) n 1 n : n > 0} dizisi için a³a dakilerden hangisi do rudur? (a) Dizinin limiti 1 ve +1 dir; y lma noktas 1 ve +1 dir. (b) Dizinin limiti 1 ve +1 dir; y lma noktas yoktur. (c)

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

Model Teoriye Giriş. Bruno Poizat tarafından verilen derslerden oluşturulmuştur

Model Teoriye Giriş. Bruno Poizat tarafından verilen derslerden oluşturulmuştur Model Teoriye Giriş Bruno Poizat tarafından verilen derslerden oluşturulmuştur 16 Nisan 2012 Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi Matematik Bölümü http://mat.msgsu.edu.tr/ Bu notlar, Bruno Poizat nın

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3 Matematik 1 - Alıştırma 1 A) Denklemler 1. Dereceden Denklemler 1) Verilen denklemlerdeki bilinmeyeni bulunuz (x =?). a) 4x 6 = x + 4 b) 8x + 5 = 15 x c) 7 4x = 1 6x d) 7x + = e) 5x 1 = 10x + 6 f) 0x =

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan

Detaylı

Reel Analiz I (MATH 244) Ders Detayları

Reel Analiz I (MATH 244) Ders Detayları Reel Analiz I (MATH 244) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Reel Analiz I MATH 244 Bahar 4 0 0 4 7 Ön Koşul Ders(ler)i Dersin Dili Dersin Türü

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin

Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin 1 Yrd. Doç. Dr. Erhan PİŞKİN ÇÖZÜMLÜ YÜKSEK MATEMATİK PROBLEMLERİ 1 ISBN 978-605-318-249-8 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

Grassmann Uzaylarının Geometrisi

Grassmann Uzaylarının Geometrisi Grassmann Uzaylarının Geometrisi İzzet Coşkun University of Illinois at Chicago 5 Ağustos, 2010 V nin n-boyutlu bir vektörler uzayı olduğunu varsayalım. V nin n-boyutlu bir vektörler uzayı olduğunu varsayalım.

Detaylı

HESAP. (kesiklik var; süreklilik örnekleniyor) Hesap sürecinin zaman ekseninde geçtiği durumlar

HESAP. (kesiklik var; süreklilik örnekleniyor) Hesap sürecinin zaman ekseninde geçtiği durumlar HESAP Hesap soyut bir süreçtir. Bu çarpıcı ifade üzerine bazıları, hesaplayıcı dediğimiz somut makinelerde cereyan eden somut süreçlerin nasıl olup da hesap sayılmayacağını sorgulayabilirler. Bunun basit

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Fibonacci Sayıları 4. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Fibonacci nin Tavşanları Fibonacci Sayıları Fibonacci

Detaylı

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d)

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d) Ders 10 Metindeki ilgili bölümler 1.7 Gaussiyen durum Burada, 1-d de hareket eden bir parçacığın önemli Gaussiyen durumu örneğini düşünüyoruz. Ele alış biçimimiz kitaptaki ile neredeyse aynı ama bu örnek

Detaylı

1956 da bla bla... Ali Nesin

1956 da bla bla... Ali Nesin 1956 da bla bla... Ali Nesin Nesin Yayıncılık Ltd. Şti. künye... Ali Nesin Analiz II İçindekiler Önsöz................................... 1 I Süreklilik ve Limit 3 1 Süreklilik 5 1.1 Tanım ve Tanımın Tartışması...................

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları 4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor

Detaylı

Rastgele Süreçler. Rastgele süreç konsepti (Ensemble) Örnek Fonksiyonlar. deney. Zaman (sürekli veya kesikli) Ensemble.

Rastgele Süreçler. Rastgele süreç konsepti (Ensemble) Örnek Fonksiyonlar. deney. Zaman (sürekli veya kesikli) Ensemble. 1 Rastgele Süreçler Olasılık taması Rastgele Deney Çıktı Örnek Uzay, S (s) Zamanın Fonksiy onu (t, s) Olayları Tanımla Rastgele süreç konsepti (Ensemble) deney (t,s 1 ) 1 t Örnek Fonksiyonlar (t,s ) t

Detaylı