SPSS ve ĠSTATĠSTĠĞE GĠRĠġ Bölüm 1

Transkript

1 SPSS ve ĠSTATĠSTĠĞE GĠRĠġ Bölüm 1 Dr. Nermin SÖKMEN TÜBĠTAK 04 Haziran

2 Ġstatistik Nedir? İstatistik, belirsizliğin bilimidir. Ne olduğu sorusuyla değil, ne olabileceği, neyin olanaklı olduğu, neyin olası olduğu sorularıyla ilgilenir. İki önemli karakteristik: Merkezi eğilim ölçüleri (aritmetik ortalama, ortanca, en sık değer) Yayıklık ölçüleri (varyans ve standart sapma; ortalama mutlak sapma, aralık ve dörde bölenler aralığı) 2

3 Ġstatistiksel DüĢünme Her şey bir süreçtir ya da bir sürecin ürünüdür. Her sürecin merkezi eğilim ve yayıklık ölçümleri vardır. Veriler bu özellikleri anlamak ve iyileştirme süreçleri ile ilgili kararları üretmek için kullanılır. Veri yayılımı Orginal Ortamala İyileştirmelerden sonra yeni ortalama 3

4 Ġstatistik Nedir? Anakütle: Bir araştırmacının ilgilendiği belli bir büyükleğe ilişkin eksiksiz sayısal bilgi kümesidir. Örneklem: Anakütle değerlerinin gözlenen altkümesidir. Aritmetik Ortalama: Bir sayısal gözlemler kümesinin aritmatik ortalaması,küme toplamının gözlem sayısına bölümüdür, yani ortalamasıdır. Ortanca (Medyan): Bir gözlemler kümesinin ortancası, gözlemler büyüklük sırasına dizilmişken, gözlem sayısı tekse ortadaki değer, gözlem sayısı çiftse ortadaki iki değerin ortalamasıdır. Büyüklük sırasında göre dizilmiş N adet gözlem varsa, ortanca, N tek iken (N+1)/2 inci gözlemdir, N çift iken N/2 inci ile (N+1)/2 inci gözlemin ortalama değeridir. En Sık Değer (Mod): Bir gözlem kümesinin en sık değeri, en sık raslanan gözlemidir. 4

5 Ġstatistik Nedir? Bir merkezi eğilim ölçüsü kendi başına hemen hemen hiç bir zaman bir veri kümesinin özelliklerinin yeterli bir özeti olmaz. Buna ek olarak yayıklık ölçüleri kullanılır. Varyans: X 1, X 2, X 3,...,X N ortalaması µ olan bir sayısal değerler anakütlesini göstersin. Amaç: tüm bu değerlerin ortalamadan uzaklıklarını ölçmektir. X 1 - µ, X 2 - µ, X 3 - µ,...,x N - µ Bazı anakütle değerleri ortalamadan yüksek ve bazıları ise düşüktür. Sonunda bunların farkları sıfır olacak şekilde birbirlerini götürürler. Yayıklığı ölçerken bu farkların işaretine bakılmaz. ( X 1 - µ) 2, (X 2 - µ) 2, (X 3 - µ) 2,...,(X N - µ )2 Karesi alınmış olan bu farkların ortalaması gözlemlerin varyansı denilen bir yayıklık ölçüsü verir. σ 2 = (Xi- µ) 2 /N Ya da σ 2 = (Xi) 2 /N - µ 2 Karelerin ortalaması Ortalamanın karesi 5

6 Ġstatistik Nedir? Standart Sapma: Varyansın kareköküdür. Örneklem Varyansı ve Standart Sapması: X 1, X 2, X 3,...,X n gibi n tane gözlemli bir öerneklemin varyansının ve standart sapmasının hesaplanmasıdır. Örneklem ortalaması X olarak gösterilsin. Örneklem varyasın: ( X 1 X) 2, ( X 1 X) 2,..., ( Xn X) 2 S 2 = (X i -x) 2 / n-1 Örneklem standart sapması s, bu varyansın kareköküdür. 6

7 Ġstatistik Nedir? Ortalama Mutlak Sapma: Ortalaması µ olan, X 1, X 2, X 3,...,X n gibi N tane sayıdan oluşan bir anakütle ele alalım. X 1 - µ, X 2 - µ, X 3 - µ,...,x N - µ biçimimdeki ortalamadan sapmalar, eksi işaretli bir sapmanın aynı büyüklükte artı değerli bir sapmayla aynı işlemi görmesi koşuluyla geçerliliği olan bilgiler verir. Varyansın kareleri alınmak yerine bunların mutlak değerleri alınabilir. OMS= Xi- µ / N 7

8 Ġstatistik Nedir? Aralık: Bir veri kümesinin aralığı, en büyük ve en küçük gözlemler arasındaki farkıdır. Aralığın yorumlanması kolaydır ama en büyük ve en küçük değerler katıldığından dolayı, uç bir gözlem varsa, durum hatalı yorumlanabilir. Dördebölenler Aralığı: Çok yüksek ya da çok düşük tek bir gözlemden etkilenmesi nedeniyle aralık yeterli bir yayıklık ölçüsü olmayabilir. Gözlemleri küçükten büyüğe doğru sıralayarak en üstten ve en alttan birkaç tanesini çıkartıp arada kalanların aralığını bulmak bir çözüm olabilir. Verileri eşit büyüklükte dört öbeğe ayırmak bir çözümdür. Bu öbekleri birbirinden ayırmada sınır çizgisi görevini üstlenen değerlere dördebölenler (kartil) denir. Alt Dörde Bölen Üst Dörde Bölen Dörde Bölenler Aralığı Ortanca 30,00 32,00 34,00 36,00 ÜCRET 8

9 Dördebölenler Aralığı Çok yüksek ya da çok düşük gözlemlerin bulunduğu bir örneklemde verilerin daha elverişli yorumlanması Dördebölenler Aralığı yöntemi ile mümkündür. N tane gözlem büyükten küçüğe sıralanmış olsun. Alt dörde bölen (N+1)/4, üst dörde bölen 3(N+1)/4 ncü gözlemdir. İkinci dörde bölen ise ortanca (N+1)/2 nci gözlemdir. N+1 değeri 4 un katı bir tamsayı değilse, dörde bölen araya katma yoluyla bulunur. Örnek: Büyükten küçüğe sıralanmış kazançtaki değişim oranları aşağıda verilmiştir. -%19.8 -%13.8 %12 %13.6 %14.3 %25.5 %36.3 %43.6 Bu verilerin ortancası, dördüncü ve beşinci gözlemlerin ortalaması, yani %13.95 tir. N=8 gözlem olduğundan N+1/4=2 ¼ olur. Öyleyse, ikinci gözlem ile üçüncü gözlem arasındaki aralığın dörtte biri ikinci gözleme eklenirse alt dörde bölen bulunur: Alt Dördebölen= ¼ (12.0 (-13.8) )= -%7.35 Benzer biçimde 3 (N+1)/ 4 = 6 ¾ olduğundan, altıncı gözlem ile yedinci gözlem arasındaki farkın dörtte üçü altıncı gözleme eklersek üst dörde bölen eklenir. Üst Dördebölen = ¾ ( ) =%33.6 Dördebölenler aralığı: Üst dördebölen alt dördebölen 9

10 Dördebölenler Aralığı Bu tip bir gösterimde aşırı gözlem değerleri hemen farkedilir. Uç değerler sistem problemlerini ölçmede yardımcı olur. Eğer gözlemde uç değerler mevcut ise sistem hatasını çözmeye çalış Hata çözülemiyorsa, hataya neden olan veriyi sil. % Y text text Üst Dördebölenler Ortanca Alt Dördebölenler 10

11 SINIFLANDIRILMIġ VERĠLER VE HĠSTOGRAM Veri kümesi çok sayıda gözlem içermekte ise dağılımların fotografının verilmesi genellikle istenen bir durumdur. Verilerin öbeklendiği alt sınıflara sınıf, her sınıftaki gözlem sayısına da sıklık (frekans) adı verilir.belli bir sınıfın birikimli sıklığı, o sınıf ile ondan önceki sınıflardaki toplam gözlem sayısıdır. Bu tür çizgelenmiş bilgi, histogram adı verilen br çizimle görsel olarak sunulabilir. 11

12 SINIFLANDIRILMIġ VERĠLER VE HĠSTOGRAM Valid Total Crude death rate/1000 people Cumulativ e Frequency Percent Valid Percent Percent 1,9,9,9 2 1,8 1,8 2,8 4 3,7 3,7 6,4 5 4,6 4,6 11, ,8 12,8 23,9 8 7,3 7,3 31, ,1 10,1 41,3 10 9,2 9,2 50,5 7 6,4 6,4 56,9 7 6,4 6,4 63,3 5 4,6 4,6 67,9 5 4,6 4,6 72,5 7 6,4 6,4 78,9 4 3,7 3,7 82,6 2 1,8 1,8 84,4 3 2,8 2,8 87,2 5 4,6 4,6 91,7 2 1,8 1,8 93,6 4 3,7 3,7 97,2 1,9,9 98,2 1,9,9 99,1 1,9,9 100, ,0 100,0 Göreli sıklıklar, sıklıkların toplam gözlem sayısına bölünmesiyle bulunur. Birikimli göreli sıklıklar ise, göreli sıklıkların birikimli toplamıdır. 12

13 SINIFLANDIRILMIġ VERĠLER VE HĠSTOGRAM 13

14 SINIFLANDIRILMIġ VERĠLER VE HĠSTOGRAM Dal-Yaprak Gösterimi: Sınıflara ayrılmış verileri göstermenin diğer bir yolu ise dal-yaprak çizimidir. Verileri soldaki basamaklarına göre sınıflayıp, bir sınıf içindeki her bir gözlemi sağdaki basamaklarına göre sıralamakla yapılır. Crude death rate/1000 people Stem-and-Leaf Plot Frequency Stem & Leaf 1, , , , , , , , , , , , Stem width: 10 Each leaf: 1 case(s) 14

15 NORMAL DAĞILIM Aritmetik Ortalama=Ortanca=En Sık Değer 15

16 NORMAL DAĞILIM Ortalamada sıklığı fazla olan ve uçlara gittikçe azalan bir olasılık yoğunluk fonksiyonudur. Rassal değişken X in, µ ve σ 2 katsayılarıyla, normal dağılıma uyduğunu düşünelim. Bu rassal değişkenin ortalaması µ dür. E(x)= µ Bu rassal değişkenin varyansı σ 2 dir. Var (X)=E[(X- µ) 2 ] = σ 2 Bu olasılık yoğunluk fonksiyonu, ortalam µ de ortalanmış simetrik çan biçimli bir eğridir. Gösterim: X~ N(µ, σ 2 ) Bir dağılım ortalaması bir merkezi konum ölçüsünü verirken, varyansı da ortalamanın iki yanındaki yayıklık ya da yayvanlığın bir ölçüsüdür. Öyle ki, µ, σ 2 katsayılarının aldığı değerler, bir normal rassal değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu üzerinde değişik etkiler yaratır. 16

17 NORMAL DAĞILIM X in, ortalaması µ ve varyansu σ 2 olan bir normal rassal değişken, yani X~ N(µ, σ 2 ) olduğunu düşünelim. Bu durumda birikimli dağılım fonksiyonu F x (x 0 ): F x (x)=p(x x 0 ) Bu da olasılık yoğunluk fonksiyonu altında x 0 ın solunda kalan alandır. Yoğunluk fonksiyonu eğiri altındaki toplam alan ise 1 dir. F x ( )=1 X, birikimli dağılım fonksiyonu F x (x) olan bir rassal değişken, a ile b de, a<b koşuluyla, olanaklı iki değer olsun. O zaman P(a<X<b)= F x (a)- F x (b) olur. İstenen her olasılık birikimli dağılım fonksiyonundan bulunabilir. Her normal dağılımın olasılıkları, birikimli dağılım fonksiyonu hesaplanabilen ve çizelgeleştirilmiş tek bir normal dağılım olasılıklarıyla ifade edilebilir. Standart Normal Dağılım: Z, ortalaması 0, varyansı 1 olan bir normal rassal değişken olsun. Z~ N(0, 1). Bu durumda Z in standart normal dağılıma uyduğu söylenir. Bu rassal değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu F z (z) ile gösterilse, a* ile b* da a*<b* olan iki sayı ise, P(a<Z<b)= F z (a*)- F z (b*) ; F z (z) =P(Z z) Örnek: Standart normal rassal değişkeninin 1,25 ten küçük bir değer alma olasılığı 0,8944 dür. F z (1,25) =P(Z 1,25) 17

18 NORMAL DAĞILIM Birikimli dağılım fonksiyonun Z in eksi değerlerine karşılık gelen değerleri, olasılık yoğunluk fonksiyonunun simetrisinden çıkartılabilir. F z (-z 0 ) =P(Z -z 0 ) Aslında, P(Z -z 0 )=P(Z z 0 ) dir. Eğri altındaki toplam alan 1 olduğundan, P(Z z 0 ) =1- P(Z z 0 ) =1- F z (z 0 ) F z (-z 0 ) = 1- F z (z 0 ) Örnek: P(Z -1,25)= F z (-1,25) =1- F z (1,25)=1-0,8944=0,

19 NORMAL DAĞILIM Herhangi bir normal rassal değişkenin olasılıklarının, standart normal rassal değişkenin olasılıkları cinsinden nasıl belirlenir? X rassal değişkenin, ortalaması µ ve varyansı σ 2 ve normal dağılıma uyduğunu düşünelim. Bu durumda Z=(X- µ)/ σ normal dağılıma uyar, yani Z~ N(0, 1). a ile b,a<b koşuluyla iki sayı ise: P(a<X<b)= [ (a- µ)/ σ <Z< (b- µ)/ σ ] = F z [ (b- µ)/ σ] - F z (a- µ)/ σ ] Burada Z, standart normal rassal değişken, F z (z) ise onun birikimli dağılım fonksiyonunu gösterir. 19

20 NORMAL DAĞILIM Merkezi Limit Teoremi: Uygulamada karşılaşılan çoğu rassal değişken, oldukça büyük sayıda bağımsız rassal değişkenin ya toplamı ya da ortalamasıdır. X 1, X 2, X 3,...,X N ortalaması µ, varyansı σ 2 olan ve birbirinin aynı dağılımlara uyan n tane bağımsız rassal değişken olsun. Bunların toplamu X ise X= X 1 + X 2 + X X N Bir toplamın ortalamasının ortalamaların toplamına, bir toplamın varyansının, bağımsız değişkenlerin varyansı için, varyansların toplamına eşittir. Öyleyse X in ortalaması ile varyansı şudur: E(X)=nµ Var(X)=n σ 2 Herhangi bir rassal değişkenden ortalamasını çıkartıp standart sapmasına bölersek ortalaması 0, varyansı 1 olan bir rassal değişken elde ederiz. Z=[X-E(X)] / Var(X) = [X-n µ] / nσ 2 rassal değişkenin ortalaması 0 ve varyansı 1 dir. Z=[X- µ] / [σ/ n] Merkezi limit teoremi: X i nin dağılımı ne olursa olsun (varyans sonlu olmak koşuluyla) toplamdaki n büyüdükçe, Z in dağılımının standart normal dağılıma yakınsadığıdır. 20

21 NORMAL DAĞILIM Teoreme göre, bağımsız rassal değişkenler kğmesinin ortak dağılımı ne olursa olsun, varyansları sonlu olduğu sürece, makul sayıda böyle değişkenin toplamı ya da ortalaması, normale yakın dağılmış bir rassal değişken olur. Uygulamada rassal değişkenin toplamı ve ortalaması sıkça kullanılır, bu tip durumlarda normal dağılım çoğu zaman asıl dağılımın yeterince yakınsamasıdır. Merkezi limit teoreminin geçerliliği sürekli rassal değişkenlerin toplamıyla sınırlı değildir. Kesikli rassal değişkenlere de genişletilebilir. 21

22 NORMAL DAĞILIM 1 den n e kadar bağımsız rassal değişkenin toplamı X ve ortalaması X ort olsun. n büyüdükçe Z değişkeni standart normal dağılıma yakınsar. Z= X-nμ / ( nσ 2 ) Merkezi limit teoremi: bağımsız rassal değişkenler kümesinin ortak dağılımı ne olursa olsun, varyansları sonlu olduğu sürece, makul sayıda değişken toplamı ya da ortalaması, normale yakın bir rassal değişken olur. Teorem sadece sürekli rassal değişkenlerle sınırlı değildir. Kesikli rassal (Binom ve Possion) değişkenlere de genişletilebilir. 22

23 NORMAL DAĞILIM Çarpıklık (Skewness): Normal dağılımda verilerin merkezi eğilim değerinin iki yanında da simetrik dağıldığı görülmektedir. Bazı durumlarda ise histogram sağa ya da sola doğru çok uzun kuyruklu olabilir. a) Histogram sağa doğru çok uzun kuyrukludur ama solda birden veriler kesilir. Sağa çarpık diye nitelendirilen bu tür dağılımların bir özelliği, ortalamalarının ortancada büyük olmasıdır. b) Histogramın sola doğru çok uzun ve sağda birden kesilmesidir. Sola çarpık diye nitelendirilen bu tür dağılımların bir özelliği, en düşük değerli gözlemler geniş bir aralıkta yer alırken yüksekler bir arada toplanır. Bir gözlemler dağılımının niteliklerini belirlemede çarpıklık önemli bir yer tutar. Ortalama ve standart sapma bir dağılımın çarpıklığı konusunda bilgi vermez. Eğer çarpıklık katsayısı 1 den büyük ise ya da -1 den küçük ise dağılım oldukça çarpıktır denir. Eğer çarpıklık katsayısı 0,5 ve 1 arasında ise ya da -1 ile -0,5 arasında ise dağılım orta şiddette çarpıktır denir. Eğer çarpıklık katsayısı -0,5 ve 0,5 arasında ise dağılım az şiddette çarpıktır denir. 23

24 NORMAL DAĞILIM Statistics Annual GNP growth % N Valid Missing Mean Std. Error of Mean Median Mode Std. Dev iation Variance Skewness Std. Error of Skewness Kurtosis Std. Error of Kurtosis Range Minimum Maximum Sum Percentiles ,1127, ,1000 1,40 2, ,779,271,239,103,474 10,50-2,20 8,30 215,50-2,0760,4000 2,1000 3,

25 NORMAL DAĞILIM Basıklık (Kurtosis): Normal dağılımda dağılım üstten basık ya da sivriliğini gösterir. Normal dağılımda beklenen basıklık ölçüsü 3 dür. 3 ten büyük değerler sivriliği, küçük değerler ise basıklığı ifade eder. Uç Değerler: Bir dağılımda ortalama değerlerden çok uç değerler mevcut ise Uç Değerler Tablosunun incelenmesinde fayda vardır. Tablo serinin en yüksek ve en düşük beş gözlem değerini ele alır. Inf ant (<1 yr) mortality 1985 Highest Lowest Extreme Val ues Case Number Value a a. Only a partial list of cases with the value 8 are shown in the table of lower extremes. 25

26 Veri Tipleri Ad ölçeği (Nominal): Nesnelere bir etiket atanmasıdır. Tipe göre hataların sınıflandırılması (Fonksiyonel hata, Yazım hatası gibi). Kategoriler arasında herhangi bir büyüklük küçüklük ilişkisi mevcut değildir. Örnek: Meslek türleri, proje tipleri (büyük ölçekli, orta ölçekli, küçük ölçekli projeler) Ayrık veri Sınırlı bilgi içerir A B C 26

27 Veri Tipleri Sıralı Ölçek (Ordinal): Verinin büyüklük küçüklük ilişkisine göre kategorilere ayrılması ve sıralanması Örnek: Risk tahminleri: düşük, orta, yüksek, CMMI olgunluk seviyeleri Ayrık veri Sınırlı bilgi içerir < < A B C 27

28 Veri Tipleri Aralık Ölçeği (Interval): Sıralama ölçeğindeki tüm özelliklere sahiptir. Veri çiftleri arasındaki farklar karşılaştırılır. Toplama ve çıkarma işlemleri yapılır. Sıralamada sayıların oranlanması anlamlı değildir ama farklar oranlanabilir. Örnek: Takvim günleri, Sıcaklık ve IQ gibi. Oran Ölçeği (Ratio): Aralık ölçeğindeki tüm özellikleri kapsar ve ayrıca rasgele seçilmiş sayı çifti oranlanabilir. Örnek: Yaş, Zaman, Bütçe, Kod Büyüklüğü, Adam/ay, Hata sayısı 28

29 Veri Tipleri Ayrık Veri Ad Ölçeği Sıralı Ölçek Bilgi Ġçeriği Artıyor Aralık Ölçeği Oran Ölçeği Sürekli Veri 29

30 Verileri Ayıklama Ham veri Ölç Olaylar Grafik Gösterimi Ölç Ne, Ne zaman, Ne Kadar & Nerede, Nasıl Analiz Et. Nedensellik Histogram Zaman Serileri Pareto Diagramı Modeller Analizi Analiz Neden, Et. Gerçekte ne oluyor? Yapı Eğilimi neler belirliyor? Etki ve Tepki İstatistik Testleri 30

31 Veri kalitesini değerlendirme Ölçme sistemi doğru, kusursuz ve tekrardan üretilmeye müsait veri üretir mi? Ölçme sisteminin değerlendirmesini yapmamız gerekir. Böylece, veri kaynaklarını ve verileri yaratan süreçlerin kararlılığını daha iyi anlamıģ oluruz. En sık rastlanan problemler: Hatalı veri Kayıp veriler Bazen basit bir test problemleri görmek için yeterlidir Her bir değerin sıklığına bakılır: Sınırın dışında değerler mevcut mu? Her bir verinin sıklığı bir anlam yaratır mı? Bazıları beklenenden daha az ya da daha fazla sıktıkta mı kullanılmış? 31

32 Ölçme Sisteminin Değerlendirilmesi Ölçme hatası ne kadar büyük? Ölçme hatasının kaynakları nelerdir? Ölçme sistemi zamana göre değişir mi? Ölçme sistemi yeterli mi? Ölçme sistemini nasıl iyileştirebiliriz? 32

33 Ölçme Sisteminin Değerlendirilmesi Ölçme sisteminin değerlendirilmesinde kaynaklar? = + Toplam Değişkenlik Süreç Değişkenliği Ölçme Sistemi değişkenliği σ 2 (toplam) σ 2 (süreç) σ 2 (ÖD) Ölçme Değ. 1 Ölçme Değ. 2 Ölçme Değ. 3 Süreç değişkenliği tüm süreç kaynaklarından gelen değişkenliklerin toplamıdır. 33

34 Ölçme Hatalarının Unsurları Duyarlık (Yeniden üretilebilen ve yinelenebilirlik) Doğruluk (yanlılık, sistematik hata) Kararlılık 34

35 Duyarlılık Duyarlığın iki kaynağı mevcuttur: Yinelenebilirlik ve Yeniden Üretilebilirlik Duyarlılık σ 2 Toplam Duyarlıklık Değişkenliği = Yeniden Üretilebilirlik σ 2 Kişiler arasında değişkenlik + Yenilenebilirlik σ 2 Aynı kişinin farklı değerlendirmesi 35

36 Yinelenebilirlik Aynı denetleyici, analist Aynı ayarlamalar ve ölçme usulleri Aynı yazılım ya da doküman ya da veriseti Aynı çevresel şartlar Kısa bir zaman aralığı boyunca 36

37 Yeniden üretilebilirlik Farklı yazılım denetleyicileri ve analistleri Farklı usuller, kontrol listeleri Farklı yazılım modülleri ve dokümanlar Farklı çevresel koşulları 37

38 Ölçme Hatalarının Unsurları Duyarlık (Yeniden üretilebilen ve yinelenebilirlik) Doğruluk (yanlılık, sistematik hata) Kararlılık 38

39 Güven Aralığı Bir anakütle katsayısının aralık tahmin edicisi, o anakütle katsayısının içine düşebileceği bir aralığı belirlemenin bir kuralıdır. Buna karşılık gelen tahmine de aralık tahmini denir. Θ, bilinmeyen bir anakütle katsayısı olsun. Örneklem bilgisine dayanarak, P(A< Θ<B)=1-α eşitliğini sağlayan A ve B rassal değişkenlerini bulabileceğimizi düşünelim. Eğer A ile B nin belli örneklem gerçekleştirmeleri a ve b ise, o zaman a ile b aralığına Θ nın (1- α) güven aralığı denir. Eğer anakütleden yinelemeli örneklemler alınır ve aralıklar hesaplanırsa, bu aralıkların %(1- α) ı bilinmeyen anakütle katsayılarını içerecektir. Güven aralıkları 1 den küçük her olasılık değerinde tanımlanabilir. 39

40 Güven Aralığı Burada α, 0 ile 1 arasında herhangi bir sayıdır. α=0,1 ise anakütleden yinelemeli seçilen örneklemlerin aralık değeri hesaplanırsa, aralıkların (1- α) oranı θ içerir. Z bir standart normal rassal değişken, α da 0< α<1 aralığında herhangi bir sayı olsun. P(Z>z α )= α F z (z α )=P(Z< z α ) =1- α Dolayısıyla, belirlenmiş herhangi bir α değeri için z α tablodan bulunur. α =0,025 ise 1- α = 0,975 olur, F z (z 0,025 )=0,975 olur. Çizelgeden z 0,025 =1,96 bulunur. 40

41 Hipotez Testleri (Önsav Sınaması) Bir anakütleden örneklem çekildiğinde, elde edilen kanıtlar, anakütlenin niteliğine ilişkin çıkarsamalar yapmakta kullanılır. Sıfır Önsavı (H 0 ): Tersine yeterli kanıt bulununcaya kadar doğru sayılan ortaya atılmış önsav Karşı Önsav (H 1 ): Sıfır önsavının karşısında sınandığı, sıfır önsavı yanlış ise doğru olduğu varsayılan önsav. Tek-Yanlı Karşı Önsav: Bir anakütle katsayısının, basit bir sıfır önsavınca belirlenen bir değerin ya bu değerin ya da öteki yanındaki olanaklı bütün değerlerini içeren karşı önsav İki-Yanlı Karşı Önsav: Bir anakütle katsayısının, basit bir önsavınca belirlenen değer dışındaki olanaklı bütün değerlerini içeren karşı önsav 41

42 Hipotez Testleri (Önsav Sınaması) SIFIR ÖNSAVINA ĠLĠġKĠN KARARLAR GERÇEK DURUM SIFIR ÖNSAVI DOĞRU SIFIR ÖNSAVI YANLIġ KABUL RED Doğru Karar Olasılık =1- α I. Tür hata, Olasılık= α (α ya anlamlılık düzeyi denir) II. Tür Hata Olasılık=β Doğru karar Olasılık=1- β (1- β ya sınamanın gücü denir) 42

43 Hipotez Testleri (Önsav Sınaması) F(z) Anakütle ortalamasının μ 0 gibi belli bir değere eşit olduğunu söyleyen sıfır önsavının sınaması H 0 'ı kabul edin 0 z α α H 0 'ı reddedin Z a (X-μ 0 ) /(σ/ n) H 0 : μ = μ 0 İlgilenilen karşı önsav, anakütle ortalamasının bu değerden büyük olduğudur. H 1 : μ > μ 0 Sıfır önsavı doğru iken reddetme olasılığı α düzeyinde sabit tutulur. P( Z > Z α )= α 43

44 Hipotez Testleri (Önsav Sınaması) Anlamlılık düzeyini düşürmekle, doğru bir sıfır önsavını reddetme olasılığını azaltmış, dolayısıyla karar kuralını, sıfır önsavı doğru olsa da olmasa da, bu savın reddedilme şansını azaltıcak biçimde değiştirmiş oluruz. Sıfır önsavının reddedilebileceği anlamlılık düzeyi düştükçe, doğruluğu konusunda yaratılan kuşku büyür. Araştırmacılar çoğu zaman, önsavları önceden belirlenmiş anlamlılık düzeylerinde sınamak yerine, bir sıfır önsavının reddedilebileceği en düşük anlamlılık düzeyini belirlerler. Bir sıfır önsavının reddedilebileceği en düşük anlamlılık düzeyine, sınamanın olasılık değeri ya da ρ değeri adı verilir. 44

45 Hipotez Testleri (Önsav Sınaması) Anakütle ortalamasının μ 0 gibi belli bir değere eşit olduğunu söyleyen sıfır önsavının sınaması H 0 : μ = μ 0 İlgilenilen karşı önsav, anakütle ortalamasının bu değerden ya büyük ya da küçük olduğudur. α/2 0 z α α/2 H 1 : μ # μ 0 45

46 Hipotez Testleri (Önsav Sınaması) Formül: (x ort -μ 0 )/ (σ/ n)>z α/2 yada (x ort -μ 0 )/ (σ/ n)<-z α/2 ise H 0 ı reddedin. H 0 : μ= μ 0 =2 H 1 : μ 2 x ort =1,95 μ 0 =2 σ=0,06 n=9 (x ort -μ 0 )/ (σ/ n)=(1,95-2) / (0,06/ 9) = -2,50 %5 düzeyinde sınama için α=0,05, z α/2 =1,96. Bu durumda - 2,50, -1,96 dan küçük olduğundan, % anlamlılık düzeyinde sıfır önsavı reddedilir. α/2 0 z α α/2 46

47 Hipotez Testleri (Önsav Sınaması) Hipotez Testinin Safhaları 1) Sıfır ve Alternatif Hipotezlerin Oluşturulması, 2) Test İstatistiğinin Hesaplanması, 3) Karar Modelinin Kurulması, 4) Karar Verme. 47

48 Hipotez Testleri (Önsav Sınaması) Sıfır ve Alternatif Hipotezlerin Oluşturulması Parametre Testin Yönü Ġki Yönlü Test Sağ Kuyruk Tek Yönlü Test Sol Kuyruk Ortalama (µ) H 0 : µ= µ 0 H 1 : µ µ 0 H 0 : µ= µ 0 H 1 : µ> µ 0 H 0 : µ= µ 0 H 1 : µ< µ 0 Oran(p) H 0 : p= p 0 H 1 : p p 0 H 0 : p= p 0 H 1 : p> p 0 H 0 : p= p 0 H 1 : p<p 0 Ortalamaların Farkı (µ 1 - µ 2 ) H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 µ 2 H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 > µ 2 H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 < µ 2 Oranların Farkı (p 1 - p 2 ) H 0 : p 1 = p 2 H 1 : p 1 p 2 H 0 : p 1 = p 2 H 1 : p 1 > p 2 H 0 : p 1 = p 2 H 1 : p 1 < p 2 48

49 Hipotez Testleri (Önsav Sınaması) Test İstatistiğinin Hesaplanması, Her bir örnek istatistiğinin kendine has bir örnekleme dağılımı mevcuttur. Böyle bir dağılım büyük örnekler için (n>=30 veya np>=5 durumlarında) normal dağılıma yaklaştırılabilir. Anakütle değerlerinin normal dağılım göstermesi durumunda veya anakütlenin en azından tek modlu ve oldukça simetrik olması durumunda, küçük örnekler için, Student-t dağılımdan faydalanabilir. Örnek istatistiğinin örnekleme dağılımı normale yaklaştırılabiliyorsa test istatistiği olarak Z değeri; Student-t dağılımına yaklaştırılabiliyorsa ise test istatistiği olarak t değeri alınır. 49

50 Hipotez Testleri (Önsav Sınaması) Karar Modelinin Kurulması Karar modeli, test istatistiğinin hesaplanan değerinin hangi bölgeye düşmesi halinde H0 hipotezinin kabul veya reddedilebileceğini gösteren bir şemadır. Bu şemada kabul bölgesi ve red bölgesi olmak üzere iki bölge vardır. Test istatistiğinin red bölgesine düşme ihtimali α önem seviyesine eşit, kabul bölgesine düşmesi ihtimali ise 1- α ya eşittir. 50

51 Hipotez Testleri (Önsav Sınaması) Karar Modelinin Kurulması Karar modeli, testin yönüne göre farklı şekilde kurulur. Test iki yönlü ise red bölgesi karar şemasını her iki tarafında da eşit şekilde yer alır. Tek yönlü ise, red bölgesi ya dağılımınsağ ucunda veya dağılımın sol ucundadır. 51

52 Hipotez Testleri (Önsav Sınaması) Karar Verme Testin ikinci safhasında hesaplanan test istatistiğinin değeri karar modelindeki kabul bölgesine düşmüş ise H 0 hipotezinin α önem seviyesinde kabul deilmesine karar verilir. Bunun tersi durumunda sıfır hipotezi reddedilir. Sıfır hipotezinin kabul edilmesi, anakütle parametresinin gerçek değeri ile sıfır hipotezinde belirtilen spesifik değer arasındaki farkın istatistiki açıdan önemsiz olduğu anlamına gelir. Bu durum sembolik olarak p>α şeklinde ifade edilir. Farkın istatistiki açıdan önemli olması durumu ise, sıfır hipotezinin reddedilmesi durumu, p<α şeklinde sembolize edilir. 52

53 Ġstatistiksel Model Anakütle yapısı ve örnekleme usulü belirlenmiş ise bir istatistiksel model tesbit edilmiş demektir. İstatistiksel model ve ölçme tipi testin önemli iki özelliğidir. Parametrik istatistiksel model: Gözlemler bağımsız olmalı. Gözlemler normal dağılım gösteren bir anakütleden çekilmiş olmalı. Parametrik testlerin yapılamaması durumunda nonparametrik testlere başvurulur. 53

54 Ġstatistiksel Model Nonparametrik testler: Anakütlenin nasıl bir dağılım gösterdiğini bilmek istemez. Sınıflama ve sıralama ölçeklerindeki verilere parametrik testler uygulanmadığı halde nonparametrik testler uygulanabilir. Aynı şartlar altında parametrik testler nonparametrik testlerden daha kuvvetlidir. Farklı nonparametrik testlerden farklı sonuçlar çıkabilir. 54

55 Senaryo Karar Kılavuzu-Önsav 1) İki örneklemin karşılaştırılmasına yönelik hipotez tanımlanır. 2) Eğer veri seti sürekli verilerden oluşuyorsa her bir örneğin normallik ve varyans eşitliğine göre test edilir. 3) Eğer normal değillerse, veri seti üzerinde normal dağılım elde etmek amacıyla dönüşüm yapılır. Hipotez Karar Matrisi kullanarak parametrik olmayan testler yapılır. 4) Normal ise parametrik hipotez testleri yapılır 5) Test sonucu ρ Değer Özet tablosuna göre değerlendirilir. 55

56 SORULAR??? 56