= 646 ] (n+2) 2 1 = n 2 + 4n+4 1 = (n 2 1)+4(n+1) MAT223 AYRIK MATEMATİK DERSİ 2.ARA SINAVI ÇÖZÜMLER

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "= 646 ] (n+2) 2 1 = n 2 + 4n+4 1 = (n 2 1)+4(n+1) MAT223 AYRIK MATEMATİK DERSİ 2.ARA SINAVI ÇÖZÜMLER"

Transkript

1 MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ.ARA SINAVI ÇÖZÜMLER 1. G çizgesinin silindiğinde kalan çizge tek parça olacak şekildeki kenarlarını birer birer silelim (G yoldan farklı olduğundan en az bir böyle bir kenar vardır). Şimdi kalan çizgeyi T ile gösterelim. T de (aslında G nin doğurduğu ağaç) derecesi 1 olan noktalardan birini (yaprak) çıkarırsak kalan T v çizgesi G v çizgesinin tek parça bir alt çizgesi olur. Bu ise G v tek parça demektir. Gerçekten de G v den alınan herhangi iki noktayı T v deki yol ile birleştirebiliriz.. (a),,, 3: Dereceler toplamı tek sayı olamaz. Böyle bir çizge yoktur. (b),, 4, 4, 4: Böyle bir çizge yoktur. Üç tane noktanın derecesi 4 olduğuna göre bu üç noktadan diğer tüm noktalara bir kenar vardır. Bu durumda diğer noktaların derecesi olamaz. Bu noktaların derecesi en az 3 olmalıdır. (c) 1,,, 3, 4: Aşağıdaki çizge verilen koşulları sağlar. 3. Bakınız ders kitabı sayfa harfi hiçbir koşul olmadan 9! şekilde sıralayabiliriz. Şimdi sesli harfleri çıkaracak olursak geriye 1 tane sessiz harf kalır. simgesi sessiz harfleri göstermek üzere 8 tane sesli harfi aşağıdaki gibi ile işaretlenen pozisyondan 8 tanesini seçerek yerleştirebiliriz. Bu seçim ( 8 ) farklı biçimde yapılabilir. Son olarak sesli harflerin kendi aralarında da yer değiştirilebileceği düşünülürse sesli harfler yan yana gelmeyecek şekilde ( ) 1! 8! 8 farklı biçimde sıralama yapılabilir. O halde cevap olur. 1! ( 8 ) 8! 9! [ = 646 ] 8671 = Her iki kanıtı da tümevarım yöntemini kullanarak yapabiliriz: (a) n tek doğal sayı ise 4 (n 1). n = 1 için 4 0 olduğundan önerme doğrudur. Şimdi bir n tek sayısı için 4 (n 1) olduğunu kabul edelim (tümevarım hipotezi) ve bir sonraki tek sayı için yani n+ için de önermenin doğru olduğunu gösterelim: (n+) 1 = n + 4n+ = (n 1)+4(n+1) olur. Hem n 1 (tümevarım hipotezinden) hem de 4(n+1) 4 ile bölündüğünden 4 (n+) 1. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ Güz Dönemi

2 MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ.ARA SINAVI O zaman tümevarım yöntemi gereği her n doğal sayısı için önerme doğrudur. (b) Herhangi bir n doğal sayısı için 6 (n 3 n). n = 1 için 6 0 olduğundan önerme doğrudur. Şimdi bir n doğal sayısı için 6 (n 3 n) olduğunu kabul edelim (tümevarım hipotezi) ve önermenin n+1 için de doğru olduğunu gösterelim. (n+1) 3 (n+1) = (n 3 + 3n + 3n+1) (n+1) = n 3 + 3n + n = (n 3 n)+3(n + n) Tüme varım hipotezinden ilk terim 6 ile bölünür. İkinci terim ise 3(n + n) hem 3 ile hem de ile bölündüğünden (n tek ise karesi de tek, n çift ise karesi de çift olur. İki tek ya da çift sayının toplamı da çift olur) 6 ile bölünür. O halde 6 (n+1) 3 (n+ 1). Böylete tümevarım yöntemi gereği her n doğal sayısı için önerme doğru olur. 6. Topluluktaki kişileri{v 1, v,..., v 100 } şeklinde bir çizgenin noktaları gibi gösterelim. (d 1 d,..., d 100 ) de bu çizgedeki noktaların derecelerini göstersin. Herkesin tanıdığı kişi sayısı çift olduğuna göre tüm d i sayıları çift demektir. Şimdi bu d i sayılarının üçünün aynı olduğunu gösterelim. i kişi tanıyanların sayısını a i ile gösterelim. Burada 0 i 98 olmalıdır. Göstermemiz gereken en az bir j için a j 3 olduğudur. Tersine, kabul edelim ki tüm i ler için 0 a i olsun. O zaman güvercin deliği ilkesine göre d i sayıları 0 ile 98 arasındaki sayıları ikişer kez alır. Yani (d 1, d,..., d 100 ) = (0, 0,,, 4, 4,..., 98, 98) gibi olur. Oysa aynı anda hem 98 hem de 0 kişi tanıyan ikişer kişi olamaz. O halde en az bir i için a i 3 olmalıdır. 7. önce özdeş 10 topu ilk üç kutuda tam olarak k tane olacak şekilde 6 kutuya dağıtalım. k tanesini 3 kutuya( k ) = (k+ ) farklı şekilde kalan 10 k topu ise diğer 3 kutuya(10 k ) = ( 1 k ) farklı şekilde dağıtabiliriz. k = 0, 1,, 3, 4, 5 durumlarını toplarsak sonuç ( )( ) k+ 1 k [= 17] 5 k=0 8. Euclid Bölme Algoritmasını 5 ve 41 sayılarına uygularsak 41 5 = , 5 16 = , 16 9 = 1 9+7, 7 = 3 +1, 1 = gcd(5, 41) = gcd(16, 5) = gcd(9, 16) = gcd(7, 9) = gcd = (, 7) = gcd(1, ) = 1 olduğundan 1 = 7 3 = 7 3 (9 7) = = (5 16) = = (5 16) 3 5 = = 11 (41 5) 7 5 = elde edilir. Buradan x = 11 ve y = 18 bulunur. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ Güz Dönemi

3 Numarası : Adı Soyadı : MAT3 AYRIK MATEMATİK FİNAL SINAVI SORULARI 1. Planı aşağıdaki gibi olan yedi odalı ve bu odaları çevreleyen bir koridora sahip binada, (a) İşaretli kapıdan başlayıp, her kapıdan sadece bir kez geçmek koşuluyla tekrar başlangıç noktasına geri dönmek mümkün müdür? (b) Koridordan başlayıp, her kapıdan sadece bir kez geçmek koşuluyla sağ üstteki odada sona eren bir yol izlemek mümkün müdür?. (a) K 6 tam çizgesinin her bir kenarı ya kırmızı ya da mavi renk ile boyanmış olsun. Bu durumda tüm kenarları kırmızı ya da tüm kenarları mavi renkte ve altçizge olan bir üçgen vardır kanıtlayınız. 8+7 Puan (b) Altı kişilik bir grupda karşılıklı olarak birbirine yabancı olan ya da karşılıklı birbirini tanıyan en az üç kişi vardır kanıtlayınız. 4 5 (c) G = (V, E) bir çizge olsun. v V deg(v) = E olduğunu gösteriniz. Puan (d) G = (V, E) bağlantılı (connected) bir çizge, E = 17 ve her v V için deg(v) 3 ise V nin en büyük değeri nedir? 3. 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7 rakamlarının dizilimleri kullanılarak sayısından büyük kaç farklı tamsayı üretilebilir. 4. Pascal üçgeninin herhangi bir satırının soldan ilk elemanını işaretleyin. Daha sonra bu elemandan bir birim doğuya ve bir birim kuzey-doğuya gidip ulaştığınız elemanı işaretleyin. Pascal üçgeninin dışına çıkana kadar bu işleme devam edip işaretlediğiniz elemanları toplayın. Farklı satırlar için bu işlemi tekrarladığınızda ne tür sayılar elde edersiniz. Bu işlemi formule edip kanıtlayınız. 5. Dört evli çift yuvarlak bir masa etrafında eşler yanyana gelmeme koşuluyla kaç farklı şekilde oturabilir? (Biri diğerinin döndürülmesiyle elde edilen oturuş düzenleri aynı kabul edilecektir.) 10 Puan Kuzey Doğu 15 Puan 15 Puan 6. a, b, c Z + olsun. (a) EBOB(a, b) = c ise c ab olduğunu gösteriniz. 8+7 (b) Eğer EBOB(a, b) = 1 olsun. Eğer a c ve b c ise ab c olur kanıtlayınız. Puan EBOB(a, b) 1 ise bu sonuç doğru mudur? 7. En büyük elemanı 9 olan 5 pozitif tamsayının oluşturduğu küme S ile gösterilsin. S nin elemanları toplamı aynı olan en az iki alt kümesi vardır kanıtlayınız. 10 Puan Sınav süresi saattir. Sınavda ders notlarının kullanımı serbest ancak alış-verişi yasaktır. Başarılar dilerim. Yard.Doç.Dr. Emrah AKYAR

4 KISA ÇÖZÜMLER 1. Eğer aşağıdaki şekildeki gibi koridoru A ve diğer odaları B, C, D, E, F, G ve H ile gösterirsek. Her bir odayı ve koridoru düğüm noktası, kapıları ise kenarlar olarak düşünecek olursak, bu planı aşağıdakine benzer bir çizge ile gösterebiliriz. A E F G H B C D A B C D F G H Elbette bina çok daha farklı şekillerde çizilen çizgelerle de temsil edilebilir. (a) Bir düğümden başlayarak her kenardan sadece bir kez geçmek koşulu ile başladığı noktaya geri dönen turlara kapalı Euler turu dendiğini biliyoruz. Sonlu ve tek parça bir çizgede kapalı Euler turunun var olması için gerek ve yer koşul derecesi tek olan nokta olmamasıdır. Oysa A ve H ile gösterilen düğümlerin dereceleri çift olmadığından istenen şekilde bir tur mümkün değildir. (b) Yine tek parça ve sonlu bir çizgede tek dereceli nokta sayısının olduğu çizgelerde her kenardan sadece bir kez geçen bir turun var olduğunu biliyoruz. Verilen çizgede tek dereceli nokta sayısı da (A (koridor) ve H noktaları) olduğundan istenen noktalarda başlayıp biten bir tur bulmak mümkündür.. (a) K 6 tam çizgesinin düğüm noktalarını a, b, c, d, e, f harfleri ile gösterelim. a köşesinden diğer köşelere aynı renkten olan en az üç kenar vardır (Güvercin deliği ilkesi). Genelliği bozmaksızın{a, b},{a, c} ve{a, d} kenarlarının aynı renk, kırmızı olduğunu kabul edelim. Bu durumda{b, c},{c, d} ve{b, d} kenarları aynı renkte ise kanıtlanacak bir şey yoktur (bu kenarlar bir üçgen oluşturur). O zaman bu kenarlardan birisi mutlaka farklı renkte dolayısıyla kırmızı olmalıdır. Kırmızı olan bu kenarın iki köşesinin a ile kenarı olduğundan kırmızı bir üçgen elde edilmiş olur. (b) (a) nın bir sonucudur. Karşılıklı olarak birbirlerini tanıyanları mavi, tanımayanları ise kırmızı ile gösterilirse (a) dan istenen sonuca varılır. (c) G çizgesinin keyfi bir {v 1, v } kenarını ele alalım. Bu kenarın v 1 ve v düğümlerinin derecelerine katkısı 1, dolayısıyla deg(v) toplamına katkısı ise dir. v V O halde deg(v) = E elde edilir. v V (d) (c) yi kullanırsak her v V için deg(v) 3 olduğundan, E = 17 = 34 = deg(v) 3 V v V elde edilir. O halde V en fazla 11 olabilir. 3. Sayının den daha büyük olması istendiğinden sayı 5,6 veya 7 ile başlamalıdır. Buna göre, E 5 ile başlarsa: 6 ile başlarsa: 6!! 6! (!)

5 7 ile başlarsa: 6! (!) ve toplamda 6!! + 6! (!) + 6! (!) = 6! [ 1+ 1 (!) + 1 ] = 6! = farklı sayı elde edilir = 8 = F = 13 = F Sanı: ( ) ( ) ( ) ( ) n n 1 n n k = F n+1, k = [ n/ ] 0 1 k Kanıt: Tümevarım yöntemi ve Pascal üçgeninin temel özelliği yardımıyla kolayca gösterilebilir. n = 0 ve n = 1 için doğru olduğu açık, n için doğru olsun. n+1 için de doğru olduğunu kabul edelim. n nin tek olduğunu kabul edersek (n çift ise sadece son terimde bir farklılık olacaktır benzer şekilde kanıt yapılabilir), ( n 0 )+(n 1 [ 1 )+(n )+ +(n k [ k ) = F n+1 = 1+ ( n 0 )+(n 1 ]+ ) ( n 3 1 )+(n 3 ]+ + [ ) ] = ( n 1 0 )+(n 1 )+(n 3 )+ +(n k 1 k ) + = F n + F n 1 = F n+1 [ ] ( n k 1 k 1 )+(n k 1 k ) [ ] ( n 0 )+(n 3 1 )+(n 4 )+ +(n k 1 k 1 ) olduğundan n+ 1 içinde doğru dolayısıyla her n N için eşitlik doğrudur. 5. Her bir i. evli çiftin (i = 1,, 3, 4) yanyana gelme koşulunu c i ile gösterirsek, Çifti bir olur. N(c 1 ) = N(c ) = N(C 3 ) = N(c 4 ) = (7 1)! Benzer şekilde 1 i < j 4 için i. ve j. çiftleri birer kişi gibi düşünerek, olur. O halde yine benzer olarak, ve N(c i c j ) = (6 1)! N(c 1 c c 3 ) = N(c 1 c c 4 ) = N(c 1 c 3 c 4 ) = N(c c 3 c 4 ) = 3 (5 1)! N(c 1 c c 3 c 4 ) = 4 ()! bulunur. S kümesi bu 8 kişinin masa etrafında tüm farklı oturma şekillerini gösterecek olursa, N(S) = (8 1)! olur. kişi gibi düşünürsek, bu çift ve geri kalan 6 kişi yuvarlak masa etrafına (7-1)! farklı şekilde oturabilirler. Ayrıca çiftler kendi aralarında da yer değiştirebilirler

6 O halde içerme ve dışlama (inclusion-exclusion) prensibini kullanırsak, N(c 1 c c 3 c 4 ) = N(S) [N(c 1 )+ N(c )+N(c 3 )+ N(c 4 )] +[N(c 1 c )+ N(c 1 c 3 )+N(c 1 c 4 )+ N(c c 3 )+ N(c c 4 )+ N(c 3 c 4 )] [N(c 1 c c 3 )+ N(c 1 c c 4 )+ N(c 1 c 3 c 4 )+ N(c c 3 c 4 )] +[N(c 1 c c 3 c 4 )] = 7! 8 6!+6 5! 4 3 4!+ 4 3! = (a) EBOB(a, b) = c ise a = mc ve b = nc olacak şekilde m, n Z + sayıları vardır. Buradan ab = (mc)(nc) = (mn)c olduğundan c ab elde edilir. (b) EBOB(a, b) = 1 ise ax + by = 1 olacak şekilde x ve y tamsayıları vardır. Eşitliğin her iki tarafını c ile çarparsak, c = acx + bcy olur. a c olduğundan c = ad, b c ise c = be olacak şekilde d ve e tamsayıları vardır. Buradan c = ab(ex+dy) ve ab c elde edilir. Bu sonuç EBOB(a, b) 1 için doğru değildir. Gerçektende a = 1, b = 18 ve c = 36 için a c, b c fakat ab cdir. 7. S nin 1 A 3 şeklindeki alt kümelerini ele alalım. S, 5 elemanlı olduğuna göre bu koşulu sağlayan A alt kümelerinin sayısı: ( ) ( ) 5 + ( ) 5 = = 5 3 olur. S nin A altkümesinin elemanlarının toplamını S A ile gösterecek olursak S nin en büyük elemanı 9 olduğundan A nında en büyük elemanı 9 olabilir. Buna göre, 1 S A = 4 O halde güvercin deliği ilkesine göre S nin elemanları toplamı aynı olan en az iki alt kümesi vardır.

7 Numarası : Adı Soyadı : MAT3 AYRIK MATEMATİK. ARASINAV SORULARI 1. (a) Bir G = (V, E) çizgesinde V = v ve E = e ise e v v olduğunu kanıtlayınız. 5 P. (b) K 5 tam çizgesinde uzunluğu 4 olan kaç farklı yol (path) vardır? (Not: v 1 v v 3 v 4 v 5 ile v 5 v 4 v 3 v v 1 aynı yolu göstermektedir.) 5 P. (c) 0 < m < n olmak üzere K n tam çizgesinde uzunluğu m olan kaç farklı yol vardır? 7 P. (d) Bir G = (V, E) çizgesinde d(v) = [d(u) + d(v)] v V e=uv E eşitliğinin geçerli olduğunu kanıtlayınız. (Sağ taraftaki toplamın (u, v) ikilileri üzerinden 8 P. değil, e = uv kenarları üzerinden olduğuna dikkat ediniz.). Farklı 6 kutuya 8 top, ilk iki kutuda toplamda en fazla 4 top olmak koşuluyla (a) toplar özdeş iken, 10 P. (b) toplar birbirinden farklı iken 10 P. kaç farklı şekilde yerleştirilebilir? 3. Erasmus öğrenci değişimi programı ile yurt dışına gittiniz: (a) Bölümdeki en sevdiğiniz n hocanızın her birine ikişer kartpostal göndermek istiyorsunuz. Satıcıda k farklı kartpostal olduğuna göre, bu işlemi kaç farklı şekilde yapabilirsiniz? (Not: Farklı hocalar aynı kartpostalı alabilir. Ancak, aynı hoca iki aynı 5 P. kartpostalı alamaz) (b) Gittiğiniz üniversite Erasmus öğrencileri için bir parti düzenliyor. 100 öğrencinin katıldığı bu partide her bir öğrencinin tanıdıklarının sayısı çift olduğuna göre, partide tanıdığı kişi sayısı aynı olan en az 3 kişinin bulunduğunu kanıtlayınız. 15 P. 4. (a) d = (65431, 1345) sayısını hesaplayınız ve a b 1345 = d olacak şekildeki a, b Z sayılarını bulunuz. 8 P. (b) Her a Z için (7a +, 3a + 1) = 1 olduğunu kanıtlayınız. 6 P. (c) n 3 1 sayısını asal sayı yapan tüm n N sayılarını bulunuz. 6 P. 5. x 1 + x + x 3 + x 4 = 15 denkleminin x 1 6, x 1, 0 x 3 6, 3 x 4 8 koşulları altında tamsayılar kümesinde kaç farklı çözümü vardır. 15 P. Sınav süresi saattir. Sınavda ders notlarının kullanımı serbest ancak alış-verişi yasaktır. Başarılar dilerim. Yard.Doç.Dr. Emrah AKYAR

8 KISA ÇÖZÜMLER 1. (a) Düğüm sayısı v olan bir çizgede kenar sayısı en fazla eşitsizliğinden, elde edilir. E = e ( ) v = v! (v )!! e v v ( ) v olduğundan = v(v 1) (b) Bir tam çizgede her bir düğüm noktasını bir diğeri ile birleştiren bir kenar vardır. Buna göre 5 noktanın herhangi birinden başlayarak geri kalan 4 noktanın herhangi birisine gidebiliriz. Daha sonra geriye kalan 3 noktadan herhangi birine gidebiliriz. Bu şekilde devam edecek olursak, sorudaki uyarıyı da dikkate alarak, uzunluğu 4 olan yol sayısını = 60 buluruz. (c) Yukarıdakine benzer olarak cevap olur. 1 n (n 1) (n ) (n m) (d) Her bir düğüm derecesi kadar kenarın uç noktasıdır. eşitliğin sağ tarafı tüm kenarların uç noktalarının dereceleri toplamı olduğuna göre bir v düğümü için v nin derecesi kadar v nin derecesi toplanıyor. Yani d(v) + d(v) + + d(v) } {{ } d(v) tane = d(v)d(v) = d(v) olduğundan tüm kenarlar üzerinden toplam alınırsa eşitlik doğrudur.. (a) Tam olarak k (0 k 8) tane özdeş top ilk iki kutuya ( ) ( ) k + 1 k + 1 = 1 1 farklı şekilde, kalan 8 k top ise diğer 4 kutuya ( ) ( ) (8 k) k = farklı şekilde yerleştirildiğinden, ilk iki kutuda tam olarak k tane top olacak şekilde 8 özdeş top 6 kutuya ( )( ) k k farklı şekilde yerleştirilebilir. Buna göre k = 0, 1,, 3, 4 durumları için elde edilir. 4 k=0 1 ( )( ) k k =

9 (b) Yine ilk iki kutuda toplamda en fazla k ayırt edilebilir top için hesaplayalım. Bunun için ilk iki kutuda hangi (ayırdedilebilir/özdeş olmayan) k topun bulunacağını belirlemeliyiz. Bu sayı ise ( ) 8 k k olur. Kalan 8 k özdeş olmayan top ise kalan 4 kutuya 4 8 k farklı şekilde yerleştirilecektir. O halde ilk iki kutuda toplamda tam olarak k özdeş olmayan top bulunacak şekilde 8 top, ( ) 8 k 4 8 k k farklı şekilde 6 kutuya yerleştirileblir. toplarsak, sonuç bulunur. 4 k=0 Yine k = 0, 1,, 3, 4 durumlarını ayrı ayrı ( ) 8 k 4 8 k = k 3. (a) Her bir hoca için k kartpostaldan tanesini ( k ) farklı şekilde seçebilirsiniz. n hocaya ( ) k n bu seçilen kartpostalları ise farklı şekilde gönderebilirsiniz. (b) Katılımcıları bir çizgenin düğüm noktaları gibi düşünür ve her bir katılımcının tanıdığı kişi sayısını bu düğümün derecesi olarak ele alırsak, {v 1, v,..., v 100 } düğüm noktaları {d 1, d,..., d 100 } ise bu düğümlere karşılık gelen dereceler ise kanıtlamak istediğimiz, her bir d i (i = 1,,..., 100) çift olduğunda bunlardan üçünün eşit olduğudur. Her i = 0,, 4,..., 98 çift sayısı için i kişi tanıyanların sayısını a i ile gösterelim. Yani herkes çift sayıda kişi tanıdığına göre, kişi tanıyanlar a kişi 4 kişi tanıyanlar a 4 kişi. 98 kişi tanıyanlar a 98 kişi olsun. Bu durumda bir j için a j 3 olduğunu göstermeye çalışıyoruz. Kabul edelimki tersine her i için 0 a i olsun. Bu durumda her bir düğüm noktasının derecesi 50 adet 0,, 4,..., 98 çift sayıdan biri olacaktır. 100 düğüm noktası olduğundan, varsayımımızdan ve güvercin deliği ilkesine göre bu 50 sayının her biri ikişer düğümün derecesi olur. Yani (d 1, d,..., d 100 ) = (0, 0,,, 4, 4,..., 98, 98) durumu söz konusur. Bu ise v 1 00 ün 98 kişi tanıdığı, v 1 ve v nin ise kimseyi tanımadığı anlamına gelir. Bu ise çelişkidir. O halde varsayımımız hatalı bir j için a j 3 olur. 4. (a) Euclid Bölme Algoritmasını kullanırsak, elde ederiz. Ayrıca olur. (13456, 65431) = (37041, 13456) = (1333, 37041) = (4, 1333) = (7, 4) = (15, 7) = (1, 15) = (3, 1) = ( 46741) = 3

10 (b) (7a +, 3a + 1) = d olsun. Bu durumda, d (7a + ) ve d 3(7a + ) olur. Ayrıca d (3a + 1) ve d 7(3a + 1) olur. Buradan d [7(3a + 1) 3(7a + )] yani d 1 olur. d pozitif olduğundan d = 1 elde edilir. (c) (n 3 1) asal sayı olsun. (n 3 1) = (n 1)(n + n + 1) olduğundan ya n 1 = 1 ya da n + n + 1 = 1 olmalıdır. Buradan n =, n = 0 ve n = 1 elde edilir. Bu üç durumdan sadece n = durumu için asal sayı elde edildiğinden n 3 1 sayısının asal olması için gerek ve yeter koşul n = olmasıdır. 5. y 1 = x 1, y = x +, y 3 = x 3, ve y 4 = x 4 3 değişken değişimi yaparsak problem koşulları altında 0 y 1 4, 0 y 3, 0 y 3 6, 0 y 4 5 y 1 + y + y 3 + y 4 = 1 denkleminin tamsayılar kümesindeki çözümlerinin sayısını bulma problemine dönüşür. Denklemin negatif olmayan tüm çözümlerinin kümesini S ile gösterecek olursak, ( ) ( ) S = = = olur. c 1 ile y 1 5 koşulunu, c ile y 4 koşulunu, c 3 ile y 3 7 koşulunu ve c 4 ile ise y 4 6 koşulunu sağlayan çözümleri gösterelim. Bu durumda c 1 = ( (1 5)+ ) = ( 10 3 ) = 10 c = ( (1 4)+ ) = ( 11 3 ) = 165 c 3 = ( (1 7)+ ) = ( 8 3 ) = 56 c 4 = ( (1 6)+ ) = ( 9 3 ) = 84 olur. Benzer şekilde elde edilir. Son olarak c 1 c = ( (1 9)+ ) = ( 6 3 ) = 0 c 1 c 3 = ( (1 1)+ ) = ( 3 3 ) = 1 c 1 c 4 = ( (1 11)+ ) = ( 4 3 ) = 4 c c 3 = ( (1 11)+ ) = ( 4 3 ) = 4 c c 4 = ( (1 10)+ ) = ( 5 3 ) = 10 c 3 c 4 = 0 c 1 c c 3 = c 1 c c 4 = c c 3 c 4 = c 1 c c 3 c 4 = 0 olur. O halde İçerme Dışlama prensibinden, c 1 c c 3 c 4 = S ( c 1 + c + c 3 + c 4 )+ ( c 1 c + c 1 c 3 + c 1 c 4 + c c 3 + c c 4 + c 3 c 4 ) = 455 ( ) + ( ) = 69 sonucuna ulaşılır.

11 MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ.ARA SINAVI Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI SORULAR 1. Bir G tekparça çizgesi, ne zaman çizgenin her bir kenarı iki farklı turdan yalnız birisi tarafından sadece bir kez kullanılacak şekilde iki farklı tur bulundurur? Açıklayınız ve çizerek böyle olmayan bir çizge örneği veriniz.. Noktalarından birinin derecesi d olan bir ağacın en az d tane yaprağı olduğunu kanıtlayınız. 3. Euclid Algoritmasını kullanarak 3x + 41y = 1 olacak şekilde x ve y tamsayılarını belirleyiniz. 4. S = {1,,..., 100} kümesinin bir X alt kümesi rastgele seçildiğinde (a) max{x x X} = 50 olma olasılığı, (b) 1 X ve 100 X olma olasılığı, (c) X olma olasılığı nedir? 5. a b ve a c ise a b + 3c+ b c olduğunu kanıtlayınız. 6. Bir x pozitif tamsayısından küçük ve x ile (aralarında) asal olacak şekildeki pozitif tamsayıların toplamı nedir? İddianızı kanıtlayınız ve 10 den küçük olup, 10 ile (aralarında) asal olan pozitif tamsayıların toplamını hesaplayınız modülüne göre 1 5 =? 8. (a) K 6 tam çizgesi kaç farklı 3 döngü bulundurur? (b) u ve v, K 7 tam çizgesinin seçildikten sonra sabitlenmiş iki noktası olsun. K 7 de u noktasından v noktasına kaç farklı 4 yol vardır? 9. Aşağıdaki şekilde bir nehrin ayırdığı kara parçaları ve bu kara parçaları üzerindeki köprüler bulunmaktadır. Buna göre, her köprüden bir tek kez geçen bir turun varlığını çizge kuramının kavramları yardımıyla araştırınız. 10. B A, A = n ve B = k olsun. Bu durumda C B = 1 olacak şekilde kaç farklı C A alt kümesi vardır? Tüm sorular eşit puanlıdır. Sınavda ders notlarının kullanımı serbest ancak alış verişi yasaktır. Sınav süresi 105 dakikadır. Başarılar dilerim. Doç.Dr. Emrah AKYAR ANADOLU ÜNİVERSİTESİ Güz Dönemi

12 MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ.ARA SINAVI ÇÖZÜMLER 1. Ders Kitabı Çözümlü Alıştırma 7.3. Çizgenin derecesi tek olan her noktası bu iki turdan birinin uç noktası olacaktır. Bir çizgede derecesi tek olan noktaların sayısı çift olduğuna göre istenen şekilde iki farklı turun olması için gerek koşul çizgede derecesi tek olan noktaların sayısının en fazla 4 olmasıdır. Bu koşul aynı zamanda yeter koşuldur. Gerçekten de, eğer derecesi tek olan noktaların sayısı 0 ya da ise bu durumda çizgede bir Euler turu olduğunu biliyoruz. O zaman turlardan birini bu Euler turu diğerini de tek noktadan oluşan tur alabiliriz. Eğer derecesi tek olan noktaların sayısı 4 ise bu durumda derecesi tek olan herhangi iki noktayı bir kenarla birleştirelim. O zaman derecesi tek olan nokta kalır ve çizgede bir Euler turu vardır. Şimdi eklediğimiz kenarı çıkarırsak, bu Euler turunu ikiye ayırmış oluruz. Bu ise istenendir. Örneğin, K 6 tam çizgesinde her noktanın derecesi 5 ve bu noktalardan 6 > 4 tane olduğundan istenen şekilde iki farklı tur yoktur.. Ders Kitabı Alıştırma Bir T ağacının derecesi d olan noktasını u ile gösterelim. Eğer u noktasını silersek, d tane tekparça alt çizge elde ederiz (tekparça bileşeni). Bu bileşenler ya tek noktadır ya da en az iki noktası olan ağaçlardır. Eğer bunlar en az iki noktası olan ağaçlar ise biliyoruz ki nokta sayısı en az iki olan bir ağaçta en az iki yaprak vardır (Teorem 8..1). Eğer bunlar tek nokta ise o zaman bu noktalar T ağacının yaprakları olur. O halde d bileşenin her biri en az bir yaprak içerdiğinden, T de en az d yaprak içerir. 3. Ders Kitabı Alıştırma (Rakamları Değiştirilmiş Hali) , 1, 3, 1, 1 olduğundan Euclid Bölme Algoritmasına göre gcd(3, 41) = gcd(18, 3) = gcd(5, 18) = gcd(3, 5) = gcd(, 3) = gcd(1, ) = 1 olur. Tersten gidecek olursak, 1 = = 1 3 1(5 1 3) = = (18 3 5) 1 5 = = 18 7(3 1 18) = = 9(41 1 3) 7 3 = 16 }{{} 3+}{{} 9 41 x y ANADOLU ÜNİVERSİTESİ Güz Dönemi

13 MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ.ARA SINAVI sonucuna ulaşılır. 4. Ders Kitabı Alıştırma (a) İstenen alt kümeler{1?,?, 3?,..., 50} biçimindeki alt kümelerdir. Seçilen X alt kümesinin bu şekilde olma olasılığı 49 tane { }} { P(En büyük elemanı 50) = 100 = 1 51 olur. (b) Yine istenen alt kümeler{1, 100,?, 3?, 4?,..., 99?} biçimindedir. Buna göre elde edilir. P(1, 100 X) = 98 tane { }} { 100 = 1 4 (c) X istendiğinden X = 0 veya X = 1 veya X = olabilir. O halde P( X ) = P( X = 0)+ P( X = 1)+ P( X = ) = (100 0 ) (100 1 ) (100 + ) = [ = [ ] = ] 5. Ders Kitabı Alıştırma a b olduğuna göre a b olur. Ayrıca a c ise a 3c ve a b c olur. O zaman a bunların toplamlarını da böler yani a b + 3c+ b c olur. 6. Ders Kitabı Çözümlü Alıştırma Bir pozitif x tamsayısından küçük ve x ile (aralarında) asal olan pozitif tamsayıların sayısının φ(x) olduğundan söz etmiştik. Şimdi x ile asal olan bir y tam sayısını ele alalım. Bu durumda gcd(x, y) = 1 demektir. Ayrıca, gcd(y, x y) = gcd(x, y) olduğundan (Alıştırma 6.6.-a) x y pozitif tamsayısı da x ile asal olur. Bu iki sayının toplamı ise y+(x y) = x olur. {y, x y} sayı çiftlerinden φ(x) tane olduğuna göre aranan toplam x φ(x) elde edilir. 10 = olduğundan φ(10) = 10 (1 ) ( 1 ) ( ) = 3 olur. Buradan cevap 10 = 190 elde edilir. 7. Ders Kitabı Çözümlü Alıştırma (Rakamları Değiştirilmiş Hali) ve olduğundan Euclid Bölme Algoritmasına göre gcd(5, 7) = 1 olur. Tersten gidersek, 1 1 = 1 5 = 1 5 (7 45 5) = }{{} u olur. O halde istenen cevap, 91 olur. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ Güz Dönemi

14 MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ.ARA SINAVI (a) Bir 3-döngüde 3 nokta bulunduğundan ve çizge tam çizge olduğundan çizgenin seçilen herhangi 3 noktası bize bu çizgede bir 3-döngü verecektir. Buradan cevap ( 6 3 ) = 0 olur. (b) Çizgenin u ve v noktaları dışında kalan nokta sayısı 5 olur. u ile v yi uzunluğu 4 olan bir yolla birleştirmek için çizge tam çizge olduğundan 3 farklı nokta seçilmesi gerekir. İlk nokta için 5, ikinci nokta için 4 ve üçüncü nokta için 3 seçenek olduğundan cevap = 60 olur. 9. Kara parçalarını aşağıdaki gibi adlandırır ve bunları bir çizgenin noktaları gibi düşünürsek, aşağıdaki çizgeyi elde ederiz. A C D A B C B E D E Bu çizgeye göre d(a) = 8, d(b) = 6, d(c) = 3, d(d) = 3 ve d(e) = 4 olduğundan derecesi tek olan iki tane nokta vardır (C ve D). O halde istenilen şekilde bir tur vardır ve bu tur derecesi tek olan noktaların birinde başlayıp diğerinde biter. 10. Ders Kitabı Alıştırma Bunun için önce B kümesinden kesişimde olacak elemanı seçer sonra bu elemanı A B kümesinin alt kümesine eklersek istenen türde kümeler elde ederiz. B = k olduğundan B kümesinden bir eleman k farklı şekilde seçilebilir. A B kümesinin n k elemanı olduğundan n k alt kümesi vardır. O halde cevap k n k olur. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ Güz Dönemi

SORULAR. 2. Noktaları adlandırılmamış 6 noktalı kaç ağaç vardır? Çizerek cevaplayınız.

SORULAR. 2. Noktaları adlandırılmamış 6 noktalı kaç ağaç vardır? Çizerek cevaplayınız. MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ DÖNEM SONU SINAVI 4.0.0 Numarası :..................................... Adı Soyadı :..................................... SORULAR. Prüfer kodu ( 3 3 ) olan ağacı çiziniz.. Noktaları

Detaylı

A GRUBU Noktaları adlandırılmış K 6 tam çizgesinin tam olarak 3 noktalı kaç tane alt çizgesi vardır? A) 9 B) 20 C) 24 D) 60 E) 160

A GRUBU Noktaları adlandırılmış K 6 tam çizgesinin tam olarak 3 noktalı kaç tane alt çizgesi vardır? A) 9 B) 20 C) 24 D) 60 E) 160 A GRUBU.. Numarası :............................................. Adı Soyadı :............................................. SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına

Detaylı

SINAV YÖNERGESİ. Numarası : CEVAP. Adı Soyadı : ANAHTARI A) 512 B) 513 C) 256 D) 1024 E) 1025 A) 252 B) 256 C) 3024 D) 126 E) =?

SINAV YÖNERGESİ. Numarası : CEVAP. Adı Soyadı : ANAHTARI A) 512 B) 513 C) 256 D) 1024 E) 1025 A) 252 B) 256 C) 3024 D) 126 E) =? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 0.0.01 Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem

Detaylı

3. Herhangi bir G çizgesi için aşağıdaki önermelerden hangi(ler)si her zaman doğrudur?

3. Herhangi bir G çizgesi için aşağıdaki önermelerden hangi(ler)si her zaman doğrudur? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU.0.05 Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız.

Detaylı

2. (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 10 ifadesinin açılımında kaç terim vardır?

2. (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 10 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır.

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin

Detaylı

A GRUBU Her bir yüzü düzgün beşgen olan düzgün 12-yüzlünün kaç ayrıtı vardır? A) 30 B) 24 C) 12 D) 36 E) 48

A GRUBU Her bir yüzü düzgün beşgen olan düzgün 12-yüzlünün kaç ayrıtı vardır? A) 30 B) 24 C) 12 D) 36 E) 48 Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ 2. K 5 tam çizgesinin bir kenarı çıkarılarak elde edilen çizgenin köşe noktaları en az kaç renk ile boyanabilir? A) 3 B) 4 C) 2 D) 5 E) 6 İşaretlemelerinizde kurşun

Detaylı

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır?

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 3.03.0 Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem

Detaylı

2. Aşağıdaki pseudocode ile verilen satırlar işletilirse, cnt isimli değişkenin son değeri ne olur?

2. Aşağıdaki pseudocode ile verilen satırlar işletilirse, cnt isimli değişkenin son değeri ne olur? Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır.

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Euler Formülü 12. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Saldıraya Uğrayan Gezegen Euler Formülü Saldıraya Uğrayan

Detaylı

2. K 6 tam çizgesinde kaç farklı mükemmel eşleme vardır? 4. Düzlemsel kodu (planar code) olan ağacın kaç köşe noktası vardır?

2. K 6 tam çizgesinde kaç farklı mükemmel eşleme vardır? 4. Düzlemsel kodu (planar code) olan ağacın kaç köşe noktası vardır? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 0.06.01 Numarası :. K 6 tam çizgesinde kaç farklı mükemmel eşleme vardır? Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına

Detaylı

TEMEL SAYMA KURALLARI

TEMEL SAYMA KURALLARI TEMEL SAYMA KURALLARI SAYMA Toplama Yoluyla Sayma A ve B sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere, bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısı; s(a,b) = s(a) + s(b) dir. Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

14. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI EKİP FİNAL SORULARI

14. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI EKİP FİNAL SORULARI 14. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI EKİP FİNAL SORULARI - 008 SORU -1 1 0.7 0.1 0.48 = 0.018 0.8 0. eşitliğini sağlayan sayısı kaçtır? [ 0.15] SORU - c d d c a b 4 c d b b a ifadesinin i i sayısal ldeğeri

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Fibonacci Sayıları 4. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Fibonacci nin Tavşanları Fibonacci Sayıları Fibonacci

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT3 AYRIK MATEMATİK 4 Ders Doç Dr Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 00 0 Güz Dönemi 3 yüzyılda İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci aşağıdaki soruyu ortaya atmıştır:

Detaylı

TEMEL SAYMA. Bill Gates

TEMEL SAYMA. Bill Gates Bölüm 1 TEMEL SAYMA YÖNTEMLERİ Firmamızın sahip olduğu tek şey insan düş gücüdür. Bill Gates Bu bölümde fazla kuramsal bilgi gerektirmeyen sayma problemleri üzerinde duracağız. Bu tür problemlerde sayma;

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Gezgin Satıcı Problemi 9. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Gezgin Satıcı Problemi Soru n tane şehri olan bir

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Gezgin Satıcı Problemi 9. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Gezgin Satıcı Problemi Soru n tane şehri olan bir

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

7 Mayıs 2006 Pazar,

7 Mayıs 2006 Pazar, TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 14. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2006 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 7 Mayıs 2006 Pazar, 13.00-15.30

Detaylı

c

c L ıneer Denklemler ın Tamsayı Çözümler ı Ol ımp ıyat Çalışma Kağıdı c www.sbelian.wordpress.com sbelianwordpress@gmail.com Özellikle Bilgisayar Olimpiyatları sınavlarına hazırlanan öğrenci arkadaşların

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Ağaçlar 8. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Ağacın Tanımı Ağaçlar Ağacın Tanımı Tanım Döngüsü olmayan tekparça

Detaylı

ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATLARI DENEMESİ( OCAK 2010)

ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATLARI DENEMESİ( OCAK 2010) ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATLARI DENEMESİ( OCAK 2010) 1) Bir ABC dik üçgeninde B açısı diktir. AB kenarı üzerinde alınan bir D noktası için m( BCD) m( DCA) dır. BC kenarı üzerinde alınan bir E noktası için

Detaylı

OYAK ADANA - BALIKESİR - BATMAN - BOLU - DÜZCE HATAY - KAHRAMANMARAŞ - MARDİN - ORDU 19 KASIM 2011 SORULAR

OYAK ADANA - BALIKESİR - BATMAN - BOLU - DÜZCE HATAY - KAHRAMANMARAŞ - MARDİN - ORDU 19 KASIM 2011 SORULAR OYAK TÜBİTAK BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 10. OYAK MATEMATİK YARIŞMASI İL BİRİNCİLİĞİ SINAVI ADANA - BALIKESİR - BATMAN - BOLU - DÜZCE HATAY - KAHRAMANMARAŞ - MARDİN - ORDU RİZE - SAKARYA -

Detaylı

26 Nisan 2009 Pazar,

26 Nisan 2009 Pazar, TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 17. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2009 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 26 Nisan 2009 Pazar, 13.00-15.30

Detaylı

PERMÜTASYON DERS NOTLARI. Sayma Yöntemleri. TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma. Çarpma yoluyla sayma

PERMÜTASYON DERS NOTLARI. Sayma Yöntemleri. TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma. Çarpma yoluyla sayma TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma A ve B ayrık iki küme olsun. Bu iki kümenin birleşimlerinin eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının toplamına eşittir. Bu sayma yöntemine toplama yoluyla

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar

Detaylı

10. DİREKT ÇARPIMLAR

10. DİREKT ÇARPIMLAR 10. DİREKT ÇARPIMLAR Teorem 10.1. H 1,H 2,, H n bir G grubunun alt gruplarının bir ailesi ve H = H 1 H 2 H n olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir. a ) dönüşümü altında dır. b) ve olmak üzere her yi tek türlü

Detaylı

SINAV TARİHİ VE SAATİ : 25 Nisan 2009 Cumartesi, OKULU / SINIFI :

SINAV TARİHİ VE SAATİ : 25 Nisan 2009 Cumartesi, OKULU / SINIFI : TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 14. ULUSAL İLKÖĞRETİM MATEMATİK OLİMPİYATI SINAVI - 2009 Birinci Bölüm Soru kitapçığı türü SINAV TARİHİ

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

Türkiye Ulusal Matematik Olimpiyatları DENEME SINAVI. 4. Deneme

Türkiye Ulusal Matematik Olimpiyatları DENEME SINAVI. 4. Deneme Türkiye Ulusal Matematik Olimpiyatları Birinci Aşama Zor Deneme Sınavı 11 Haziran 2016 DENEME SINAVI 4. Deneme Soru Sayısı: 32 Sınav Süresi: 210 dakika Başarılar Dileriz... Page 1 of 9 DENEME SINAVI (4.

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek: SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=

Detaylı

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

köşe (vertex) kenar (edg d e)

köşe (vertex) kenar (edg d e) BÖLÜM 7 köşe (vertex) kenar (edge) Esk den Ank ya bir yol (path) Tanım 7.1.1: Bir G çizgesi (ya da yönsüz çizgesi) köşelerden oluşan bir V kümesinden ve kenarlardan oluşan bir E kümesinden oluşur. Herbir

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Geometride Kombinatorik 11. Bölüm Doç. Dr. Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2011 2012 Güz Dönemi Köşegenlerin Arakesiti Geometride Kombinatorik

Detaylı

I F L. IĞDIR FEN LİSESİ MÜDÜRLÜĞÜ 2010 YILI 8. SINIFLAR I. MATEMATİK OLİMPİYAT YARIŞMASI Soru kitapçığı türü A 15 Mayıs 2010 Cumartesi,

I F L. IĞDIR FEN LİSESİ MÜDÜRLÜĞÜ 2010 YILI 8. SINIFLAR I. MATEMATİK OLİMPİYAT YARIŞMASI Soru kitapçığı türü A 15 Mayıs 2010 Cumartesi, I F L IĞDIR FEN LİSESİ MÜDÜRLÜĞÜ 2010 YILI 8. SINIFLAR I. MATEMATİK OLİMPİYAT YARIŞMASI Soru kitapçığı türü A 15 Mayıs 2010 Cumartesi, 10.00-12.30 ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI T.C. KİMLİK NO OKULU / SINIFI SALON

Detaylı

ÖZEL YUNUS GÜNER FEN ve ANADOLU LĐSESĐ MATEMATĐK OLĐMPĐYATI KTS 1

ÖZEL YUNUS GÜNER FEN ve ANADOLU LĐSESĐ MATEMATĐK OLĐMPĐYATI KTS 1 ÖZEL YUNUS GÜNER FEN ve ANADOLU LĐSESĐ MATEMATĐK OLĐMPĐYATI KTS 1 Süre: 150 dakika ÖĞRENCĐNĐN ADI SOYADI: SINAVLA ĐLGĐLĐ UYARILAR: Bu sınav çoktan seçmeli 36 sorudan oluşmaktadır. Her sorunun sadece bir

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Geometride Kombinatorik 11. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Köşegenlerin Arakesiti Geometride Kombinatorik

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

İSTANBUL İL MİLLİ EĞİTİM MÜDÜRLÜĞÜ İSTANBUL BİLİM OLİMPİYATLARI 2017 LİSE MATEMATİK SINAVI. 10 Mayıs 2017 Çarşamba,

İSTANBUL İL MİLLİ EĞİTİM MÜDÜRLÜĞÜ İSTANBUL BİLİM OLİMPİYATLARI 2017 LİSE MATEMATİK SINAVI. 10 Mayıs 2017 Çarşamba, İSTANBUL İL MİLLİ EĞİTİM MÜDÜRLÜĞÜ İSTANBUL BİLİM OLİMPİYATLARI 07 LİSE MATEMATİK SINAVI 0 Mayıs 07 Çarşamba, 09.30 -.30 Öğrencinin, Adı Soyadı : T.C. Kimlik No : Okulu / Sınıfı : Sınav Merkezi : . Bir

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

2000 Birinci Aşama Sınav Soruları

2000 Birinci Aşama Sınav Soruları 2000 irinci şama Sınav Soruları Lise 1 Soruları 1 369 sayısı bir kaç ardışık doğal sayının toplamı olarak kaç farklı biçimde yazılabilir? )2 )3 )4 )5 )7 2 ve sayıları 2000 sayısının pozitif bölenleri olmak

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

Sivas Fen Lisesi Ortaokul 2. Matematik Olimpiyatı Sınavı A A) 55 B) 50 C) 45 D) 40 E) 35

Sivas Fen Lisesi Ortaokul 2. Matematik Olimpiyatı Sınavı A A) 55 B) 50 C) 45 D) 40 E) 35 Sivas Fen Lisesi Ortaokul 2. Matematik Olimpiyatı Sınavı A 1. ABC üçgeninde BF BD, EC CD olacak şekilde AC kenarı üzerinde E noktası, o BC m(ba C) 70 ise m(fd E) kaç derecedir? AB kenarı üzerinde F noktası,

Detaylı

16. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK SORULARI A A A A A A A

16. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK SORULARI A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ 16. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATLARI BİRİNCİ AŞAMA SORULARI A A A A A A A SINAV TARİHİ VESAATİ:16 NİSAN 2011 - Cumartesi 10.00-12.30 Bu sınav 25 sorudan oluşmaktadır vesınav

Detaylı

14 Nisan 2012 Cumartesi,

14 Nisan 2012 Cumartesi, TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 17. ULUSAL İLKÖĞRETİM MATEMATİK OLİMPİYATI - 2012 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü B 14 Nisan 2012 Cumartesi,

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

Olimpiyat Eğitimi TUĞBA DENEME SINAVI

Olimpiyat Eğitimi TUĞBA DENEME SINAVI TUSİ Ortaöğretim Öğretmenleri için Olimpiyat Eğitimi TUĞBA DENEME SINAVI 10.01.2014-17.01.2014 2 1. Tuğba üç test yapar. İlkinde, 25 sorudan %60 ını, ikinci de 30 sorudan ve %70 ini ve son olarak 45 sorudan

Detaylı

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 1. 2,31 0,33 0,65 0,13 + 3,6 0,6 işleminin sonucu kaçtır? A)0,5 B) 0,8 C)0,9 D)5 E)8 4. Üç basamaklı ABB doğal sayısı 4 e ve 9 a kalansız bölünmektedir. Buna göre, A+B toplamının

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

19. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI SORULARI A A A A A A A

19. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI SORULARI A A A A A A A KDENİZ ÜNİVERSİTESİ 19. ULUSL NTLY MTEMTİK OLİMPİYTI SORULRI DI SOYDI :...CEP TEL :... OKUL...ŞEHİR :... SINIF :...ÖĞRETMEN :... eposta :... İMZ :... SINV TRİHİ VESTİ:4Mayıs 2014 - Pazar 10.00-12.30 Bu

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

YGS MATEMATİK SORULARI !+7! 6! 5! işleminin sonucu kaçtır? A) 24 B)32 C)42 D)48 E)56. ifadesinin eşiti hangisidir?

YGS MATEMATİK SORULARI !+7! 6! 5! işleminin sonucu kaçtır? A) 24 B)32 C)42 D)48 E)56. ifadesinin eşiti hangisidir? 2017 YGS MATEMATİK SORULARI 1. 4. 4.7!+7! 6! 5! işleminin sonucu kaçtır? ifadesinin eşiti hangisidir? A) 24 B)32 C)42 D)48 E)56 A)1/2 B)1/4 C)1/6 D)1/8 E)1/12 2. 2 9 5.2 4 12 3 işleminin sonucu kaçtır?

Detaylı

x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005

x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005 TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 005 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 1. AB = olmak üzere, A

Detaylı

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol: EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,

Detaylı

1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir?

1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir? 1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir? 9. 4 çocuklu bir aile yan yana poz verecektir. Çocukların soldan sağa doğru boy sırasında olduğu kaç durum

Detaylı

ise, yazılı olarak çözmeniz gereken 3 problemden oluşmakta olup, süresi 75 dakikadır. Elinizdeki

ise, yazılı olarak çözmeniz gereken 3 problemden oluşmakta olup, süresi 75 dakikadır. Elinizdeki TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 11. ULUSAL İLKÖĞRETİM MATEMATİK OLİMPİYATI SINAVI - 2006 Birinci Bölüm Soru kitapçığı türü A SINAV TARİHİ

Detaylı

MAT 302 SOYUT CEBİR II SORULAR. (b) = ise =

MAT 302 SOYUT CEBİR II SORULAR. (b) = ise = MAT 302 SOYUT CEBİR II SORULAR 1. : bir dönüşüm, olsunlar. a) ( ) = ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) olduğunu c) ( ) nin eşitliğinin sağlanması için gerekli ve yeterli bir koşulun nin 1 1 olması ile mümkün olduğunu

Detaylı

BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,,

BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,, BİNOM AÇILIMI Binom Açılımı n doğal sayı olmak üzere, (x+y) n ifadesinin açılımını pascal üçgeni yardımıyla öğrenmiştik. Pascal üçgenindeki katsayılar; (x+y) n ifadesi 1. Sütun: (x+y) n açılımındaki katsayılar

Detaylı

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI BİREYSEL YARIŞMA SORULARI CEVAPLARI CEVAP KAĞIDI ÜZERİNE YAZINIZ. SORU KİTAPÇIĞINI KARALAMA MAKSATLI KULLANABİLİRSİNİZ 1

Detaylı

A SINAV TARİHİ VE SAATİ : 26 Nisan 2008 Cumartesi,

A SINAV TARİHİ VE SAATİ : 26 Nisan 2008 Cumartesi, TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 13. ULUSAL İLKÖĞRETİM MATEMATİK OLİMPİYATI SINAVI - 2008 Birinci Bölüm Soru kitapçığı türü A SINAV TARİHİ VE SAATİ

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

ÇARPANLAR VE KATLAR I sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâli aşağıdakilerden A) B) C) D)

ÇARPANLAR VE KATLAR I sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâli aşağıdakilerden A) B) C) D) 8. Sınıf MATEMATİK ÇARPANLAR VE KATLAR I. Aşağıdakilerden hangisi 6 nın çarpanlarından biridir? A) 3 B) 6 C) 8 D) TEST. 360 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâli aşağıdakilerden hangisidir? A) 3. 3.

Detaylı

2004 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

2004 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI 4 II MATEMATİK YARIŞMASI I AŞAMA SORULARI 4? 4 4 A B denkleminde A ve B birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? 5 A) B) C) - D) E) - 8 4 x x

Detaylı

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar,

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar, 1. 9 2 x 2 ifadesinin açılımında sabit x terim kaç olur? A) 672 B) 84 C) 1 D) -84.E) -672 6. Ali her gün cebinde kalan parasının %20 sini harcamaktadır. Pazartesi sabahı haftalığını alan Ali ni Salı günü

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 12. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 6. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI A) B) X C) 2X D) 3X

ÖZEL EGE LİSESİ 12. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 6. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI A) B) X C) 2X D) 3X . < a < b < < c 2 sıralamasında birbirini izleyen sayılar arasındaki farklar eşittir. Buna göre, a+c toplamı kaçtır? 3. X=.+3.3+5.5+ +5.5 Y=.3+3.9+5.5+ +5.53 ise Y X farkının X cinsinden değeri kaçtır?

Detaylı

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi 2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 4 Mustafa Özdemir MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 4 (336 sayfa) ANALİZ CEBİR 1 TANITIM DÖKÜMANI (Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman

Detaylı

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4 NİSAN 21 DENEMESİ 1) ABCD dikdörtgeninin AB kenarı üzerindeki M noktasından geçen ve CM doğrusuna dik olan doğru AD kenarını E noktasında kesiyor. M noktasından CE doğrusuna indirilen dikmenin ayağı P

Detaylı

Olimpiyat Eğitimi CANSU DENEME SINAVI

Olimpiyat Eğitimi CANSU DENEME SINAVI TUSİ Ortaöğretim Öğretmenleri için Olimpiyat Eğitimi CANSU DENEME SINAVI 15.11.2013-29.11.2013 2 1. Bir x sayısı x = 1 1 + x eşitliğini sağlamaktadır. x 1 x hangisidir? in en basit hali aşağıdakilerden

Detaylı

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Graph (Çizge) Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Graph (Çizge) Köşe (vertex) adı verilen düğümlerden ve kenar (edge) adı verilip köşeleri birbirine bağlayan

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER

Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER Sunum ve Sistematik. ÜNİTE: MANTIK KONU ÖZETİ Bu başlık altında, ünitenin en can alıcı bilgileri, kazanım sırasına göre en alt başlıklara ayrılarak hap bilgi niteliğinde konu özeti olarak sunulmuştur..

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

OYAK ADANA - BALIKESİR - BATMAN - BOLU - DÜZCE HATAY - KAHRAMANMARAŞ - MARDİN - ORDU RİZE - SAKARYA - SİVAS - TEKİRDAĞ - ZONGULDAK 7 NİSAN 2012

OYAK ADANA - BALIKESİR - BATMAN - BOLU - DÜZCE HATAY - KAHRAMANMARAŞ - MARDİN - ORDU RİZE - SAKARYA - SİVAS - TEKİRDAĞ - ZONGULDAK 7 NİSAN 2012 OYAK TÜBİTAK BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI OYAK MATEMATİK YARIŞMASI FİNAL SINAVI ADANA - BALIKESİR - BATMAN - BOLU - DÜZCE HATAY - KAHRAMANMARAŞ - MARDİN - ORDU RİZE - SAKARYA - SİVAS - TEKİRDAĞ

Detaylı

Tanım: (1. Tip Üretken Fonksiyonlar) (a r ) = (a 1, a 2, a 3,,a r, ) sayı dizisi olmak üzere, (a r ) dizisinin 1. Tip üretken fonksiyonu

Tanım: (1. Tip Üretken Fonksiyonlar) (a r ) = (a 1, a 2, a 3,,a r, ) sayı dizisi olmak üzere, (a r ) dizisinin 1. Tip üretken fonksiyonu Üretken Fonksiyonlar Ali İlker Bağrıaçık Üretken fonksiyonlar sayma problemlerinin çözümünde kullanılan önemli yöntemlerden biridir. Üretken fonksiyonların temeli Moivre nin 1720 yıllarındaki çalışmalarına

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. Problem 5. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan c Copyright Titu Andreescu and Jonathan Kane

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. Problem 5. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan c Copyright Titu Andreescu and Jonathan Kane PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 İLKÖĞRETİM - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Andreescu and Jonathan Kane Çeviri Sibel Kılıçarslan CANSU ve Fatih Kürşat CANSU Problem 1 Eğer 125 + n + 135 + 2n

Detaylı

Cebir Notları. Birinci Derecen Denklemler TEST I. Gökhan DEMĐR, x

Cebir Notları. Birinci Derecen Denklemler TEST I. Gökhan DEMĐR, x MC www.matematikclub.com, 006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Birinci Derecen Denklemler TEST I. 7 [ [ ( )] ] + 6 = ( ) + denkleminin kökü 6. + 7 = 0 denkleminin köklerinin toplamı A) B)

Detaylı

Singapur Matematik Olimpiyatı Soruları

Singapur Matematik Olimpiyatı Soruları Singapur Matematik Olimpiyatı Soruları 1.) 1, 1, 1,., 1 sayıları tahtaya yazılıyor. Burak x ve y gibi iki sayı seçip bunları siliyor ve 1 2 3 2010 x+y+xy sayısını yazıyor. Burak bu işleme tahtada tek sayı

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı A 1. Köşeleri, yarıçapı 1 olan çemberin üstünde yer alan düzgün bir n-genin çevre uzunluğunun alanına oranı 4 3 ise, n kaçtır? 3 a) 3 b) 4 c) 5 d)

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84 N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde

Detaylı

Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık

Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık Saymanın Temel İlkesi: A1, A2,..., A n kümeleri için s( A1 ) = a1, s( A2 ) = a2,.., s( An ) A xa x xa Kartezyen çarpımının eleman sayısı; s( A xa x... xa ) = s( A

Detaylı

A SINAV TARİHİ VE SAATİ : 28 Nisan 2007 Cumartesi, 09.30-11.00

A SINAV TARİHİ VE SAATİ : 28 Nisan 2007 Cumartesi, 09.30-11.00 TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 12. ULUSAL İLKÖĞRETİM MATEMATİK OLİMPİYATI SINAVI - 2007 Birinci Bölüm Soru kitapçığı türü A SINAV TARİHİ

Detaylı

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER MANTIK MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER İçerisinde değişken olan ve değişkenin değerlerine göre doğru ya da yanlış olabilen önermelere açık önerme denir. Açık önermeler değişkenine göre P( x), Q( a)

Detaylı

Toplam Olasılık Prensibi

Toplam Olasılık Prensibi 1 Toplam Olasılık Prensibi A 1, A 2,, A n karşılıklı kapsamayan ve birlikte tamamlayan olaylar kümesi olsun: A k A A j 0 = 0 k j j nn j j 1 = 1 B, S içinde herhangi bir olay ise k j AA j = ise S ise Pr[A

Detaylı

İSTANBUL III. BİLİM OLİMPİYATI

İSTANBUL III. BİLİM OLİMPİYATI İSTANBUL III. BİLİM OLİMPİYATI MATEMATİK SBELIAN Bu çalışma notunda İstanbul Bilim Olimpiyatı matematik sorularının bir bölümünün soru metinleri ve çözümleri verilmiştir. Soruların tamamının yayın hakkı

Detaylı

Örnek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu yazınız.

Örnek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu yazınız. KÜME KAVRAMI Küme matematiğin tanımsız bir kavramıdır. Ancak kümeyi, iyi tanımlanmış kavram veya nesneler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi

Detaylı

ÇİZGE KURAMI KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR GÜZ

ÇİZGE KURAMI KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR GÜZ ÇİZGE KURAMI KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR 2012-2013 GÜZ Çizgeler Yollar ve Çevrimler Çizge Olarak Modelleme Çizge Olarak Modelleme Yönlü Çizge Kenar - Köşe 2 / 90 Çizgeler Yollar ve Çevrimler Çizge Olarak

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ KPSS 2017 SORU BANKASI eğitimde tamamı çözümlü 30. Kerem Köker Kenan Osmanoğlu Levent Şahin Uğur Özçelik Ahmet Tümer Yılmaz Ceylan KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK

Detaylı

SERİMYA II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

SERİMYA II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI SERİMYA - 4 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI. 4? 4 4. A B denkleminde A ve B birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) 8 C) D)

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 13 Mayıs Matematik Sorularının Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 13 Mayıs Matematik Sorularının Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 1 Mayıs 01 Matematik Sorularının Çözümleri 1. 9! 8! 7! 9! + 8! + 7! 7!.(9.8 8 1) 7!.(9.8+ 8+ 1) 6 81 9 7. 4, π, π π,14

Detaylı