YÖNLÜ HOMOTOPİ TEORİSİ. Esra DALAN

Transkript

1 EGE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ I YÖNLÜ HOMOTOPİ TEORİSİ Esra DALAN Mateatk Aabl Dalı Bl Dalı Kou: Tez Suuluğu Tarh: Tez Daışaı: Prof. Dr. İset KARAA Borova-İZMİR

2 II

3 III Esra DALAN tarafıa YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak suula Yölü Hootop Teors başlıklı bu çalışa E.Ü. Lsasüstü Eğt ve Öğret Yöetelğ le E.Ü. Fe Bller Esttüsü Eğt ve Öğret Yöerges lgl hüküler uarıca tarafııza eğerlerlerek savuaa eğer buluuş ve 5/5/7 tarhe apıla tez savua sıavıa aa obrlğ/oçokluğu le başarılı buluuştur. Jür Üeler: İza Jür Başka : Raportör Üe : Üe :......

4 IV

5 V ÖZET YÖNLÜ HOMOTOPİ TEORİSİ DALAN Esra Yüksek Lsas Tez Mateatk Bölüü Tez Yöetcs: Prof. Dr. İset KARAA MAYIS 7 6 safa Bu teze cebrsel topoloj etotları kullaılarak üksek boutlu autoata teorsek probleler çözek heefleştr. Bu çözülere ulaşablek ç cebrsel topoloj teel kavraları ola hootop ve hooloj kavralarıa ö usuru lave elerek ölü topoloj ölü hootop ve ölü hooloj taıları verlştr. Arıca po-uzaları arı kübk küe kavraı fltrel küpler taılaıştır. So bölüe se arı kokübk arı eşkübk küeler ve kofltrel eşfltrel küpler taılaarak ölü kohooloj eşhooloj kavraı oluşturuluştur. Aahtar sözcükler: Yölü topoloj ölü hootop ölü hooloj cocurrec

6 VI

7 VII ABSTRAT DIRETED HOMOTOPY THEORY DALAN Esra MSc. Thess Departet of Matheatcs Supervsor: Prof. Dr. Iset KARAA Ma 7 6 pages I ths thess t s ae to solve probles of hgher eso autoata theor b usg ethos of algebrac topolog. To reach the solutos; eftos of recte topolog recte hootop a recte hoolog are gve b ag recto to hootop a hoolog whch are fuaetal cocepts of algebrac topolog. Frst the cocepts of po-space se-cubc set a fltere cubes are efe. I the last secto recte cohoolog cocept s efe b usg se-cocubc sets a cofltere cubes. Kewors: Drecte topolog recte hootop recte hoolog cocurrec

8 VIII

9 I TEŞEKKÜR Tez oluştururke bele sabırla lglee çalışaları bouca esteğ her zaa aıa hssettğ blsel ve kşsel haatıa örek alığı sagıeğer hoca Saı Prof. Dr. İset KARAA a akaek karere baa ol göstere eğerl hoca Saı Prof. Dr. Fevz ÜNLÜ e ve katkılarıa olaı hoca Saı Yr. Doç. Dr. Oa ÖZBAKIR a e çte teşekkürler suarı. Arıca k ılır burs alığı TÜBİTAK a ve E.Ü Blsel Araştıra Br e esteklere olaı teşekkür eer. Be bu gülere getre esteklee ale; baba Ahet DALAN ae Fata DALAN ve kareş Utku DALAN a tez azııa arılarıı esrgeee arkaaşı Sezer YILDIRIM a teşekkürü br borç blr.

10

11 I İÇİNDEKİLER Safa ÖZET...V ABSTRAT...VII TEŞEKKÜR... I ŞEKİLLER DİZİNİ...III SİMGELER VE KISALTMALAR...V. GİRİŞ.... ONURRENY DİTOPOLOJİ Kıs Sıralı Uzalar: Po-Uzaları: Yerel Kıs Sıralı Uzalar: Lpo-Uzaları: Teel gruboler: D-TOPOLOJİ Yölü Topolojk Uza -uza: Staart Moeller: Ösıralılar ve Btopolojler İkl Topolojler: Yölü Hootop: YÖNLÜ HOMOLOJİ Kübk Küeler ve Morfzler: Zcr w-kategors: Mal Tesl: w-kategorlere Zaıf Hootop:... 4

12 II İÇİNDEKİLER DEVAM Safa 5.5 Yarı Kübk Küelere Yölü Hootop: Yarı Kübk Küelere Yölü Hooloj: YÖNLÜ KOHOMOLOJİ EŞHOMOLOJİ Kokübk Eşkübk Küeler ve Morfzler: Kozcr Eşzcr w-kategors: Yarı Kokübk Küeler Yölü Kohoolojs Eş hooloj SONUÇ KAYNAKLAR DİZİNİ ÖZGEÇMİŞ... 6

13 III ŞEKİLLER DİZİNİ Şekl Safa Şekl -a Tek taraflı kotrol sste...5 Şekl -b Çok taraflı kotrol sste...5 Şekl -c ocurret olaa sste...7 Şekl - ocurret sste...7 Şekl -e İsveç barağı...8 Şekl 3-a Po-uzaları... Şekl 3-b İsveç barağı... Şekl 3-c İsveç barağıı alt po-uzaı... Şekl 3- Dhootopk uzalar...4 Şekl 3-e Dhootopk olaa uzalar...5 Şekl 4-a Yölü hootopek eklk sııfları...3 Şekl 5-a Yarı kübk küe...34 Şekl 5-b Fltrel küp...39 Şekl 5-c 3-Küp...4 Şekl 5- Yölü hootop...44 Şekl 5-e Yölü hooloj...47 Şekl 6-a Yarı kokübk eşkübk küeler...49

14 IV

15 V SİMGELER ve KISALTMALAR Sgeler Z R R Y Açıklaa Ta saılar kües Reel saılar kües boutlu reel saılar kües Küülatf çarpı sebolü Küülatf topla sebolü ve Y uzalarıı çarpı uzaı A Yukarı ölü küe A Aşağı ölü küe I [] kapalı aralığı I Br küp S I r Br çeber I [] Staart -aralığı I Staart -kübü Doğal sıralaala taılaış [] br aralığı R Yölü reel oğru a a -oğrusu R -boutlu reel -uzaı S I / I Staart ölü çeber

16 VI Sgeler Açıklaa S Yölü -boutlu küre O Sıırlı are Lpo-uzaı Top Top Yerel po-uzaı Topolojk uza kategors Top kategors alt kategors Obj Top kategors objeler kües Top Mor Top Y Top kategorsek e Y e ge orfzler kües ptop Po-uza kategors lp-top Top btop Grp at Lpo-uza kategors -uza kategors Btopolojk kl topolojk uza kategors Gruboler kategors Sall kategorler kategors -uzalara oluşa küe / R -bölü apısı ƒ _~ g ƒ le g hootopktr U W B Po-örtüsü Po-koşuluğu Po-bazı ~ 4 Kuvvetl hootop bağıtısı f Kuvvetlce öhootop bağıtısı 4

17 VII Sgeler Açıklaa ~ Topolojk hootop bağıtısı Yarı kübk küe Yarı kokübk eşkübk küe δ Yüz öüşüü ε Dejeere öüşüü δ Koüz eşüz öüşüü ε Koejeere eşejeere öüşüü Yarı kübk küelerek sıır öüşüler e Yarı kübk küelerek ejeere öüşüü Yarı kokübk eşkübk küelerek sıır öüşüler e Yarı kokübk eşkübk küelerek ejeere öüşüü -boutlu fltrel küp -boutlu kofltrel küp -kübü al göster ~ π Yölü hootop H Yölü hooloj H Yölü kohooloj eşhooloj

18 VIII

19 . GİRİŞ Graph teors lk souçlarıa br 736 a Leahar Euler tarafıa Seve Brge of Kögsberg olarak aılaı. Bu geoetrek lk topolojk souçlara br olarak lteratüre geçt. Çükü herhag br ölçüe bağlı eğl. Bölece graph teors le topoloj arasıa brebr br eşlee varoluğu saptaı. 845 te Gustav Krchhoff; elektrk evrelerek voltajı ve akıı hesaplaak ç Krchhoff u Devre Kuralları ı aılaı. 85 e Fracs Guthre Dört Rek Proble ortaa kou. Dört rek proble; ülkeler hartasıa koşu ülkeler aı olaksızı saece ört rek kullaarak reklere ugu olup olaığıı belrler. Bu proble 976 a Keeth Appel ve Wolfgag Hake tarafıa çözülü. Bölece Graph Teors ortaa çıkış olu. Daha sora ölü cebrsel topoloj belree başlaı. Yölü cebrsel topoloj taı kües klask cebrsel topoloje farklıır. Presp olarak ölü uzalar arıcalıklı ölere ve ters çevrlee htacı olaa ölü ollara sahptr. Hootopler teel gruplar ve teel -gruboler le ölü hootopler teel ooler ve teel -kategorler arasıa brebr eşlee varır. Kullaı alalarıa br e cocurret teorsr. Yüksek boutlu autoataı ararı er ve topoloj bu teorek öe e kaarır? İlk efa Vaugha Pratt tarafıa 99 e taılaa cocurret sste üksek boutlu autoata teors br alıır. Yüksek boutlu autoata cocurret

20 ssteek şleler arasıa tü üksek erecee bağılılıkları fae eeble telğe sahptr. Yüksek boutlu autoata teel olarak ökübk küe precubcal set; topolojk uza öüle e geoetrk realzaso geoetrc realzato olarak üşüülür. Yüksek boutlu autoata teorsek özellkler ve üksek boutlu autoata arasıak öüşüler özellkler topolojk uzaları ve sürekl foksoları özellklere öüştürülür. Bu öüştüre üksek boutlu autoata ve ğer cocurret ssteler özellkler celeek ç cebrsel topoloj gelşş etotlarıı kullaııa z verr. Erc Gaubault 99 ılıa üksek boutlu autoata teorsek hoolojk özellkler celerke bu uhteşe etou buluştur. Buula brlkte üksek boutlu autoataa topolojk uzalara br geçş proble varır. Yüksek boutlu autoataa urular ve bağlatılar arasıa eesel br lşk var ke topolojk uzaa setrklk varır. Bu üze setrk olaa bağıtılar bu öüşü altıa kabolur. Bu ve buu gb probleler ares ölü topolojr recte topolog. Yölü topoloje ele alıa objeler öreklee blgler le oatıla topolojk uzalarır: Lsbeth Fastrup Erc Gouboult ve Mart Rausser tarafıa taıtıla po-uzaları ve erel po-uzaları Marco Gras tarafıa taıtıla -uzaları Phllpe Gaucher tarafıa taılaa akıtılar flows Sojew Krsho tarafıa taıtıla akı streas

21 3 Bu çerçevee; üksek boutlu autoataı özellkler ölü topolojk uzaları özellklere öüştürülür. ebrsel topolojek etot rekt olarak üksek boutlu autoata teorse ugulaaaz. Öreğ teel gruplar ere teel kategorler hooloj grupları ere hooloj ooler er alır. Yüksek boutlu autoataak hesaplaalar vea cocurret ssteek hesaplaalar arık ollar paths olarak üşüüleblr. Geoetrk realzaso saese; bu ele alıa ollar ölü uzalara ölü ollara öüştürülür. Buu aı sıra cocurret sstee bell hesaplaalara ek olacak şekle şleler ele alablrz. Geoetrk realzaso le hesaplaaları eklğ ölü olları ölü hootopse öüştürülür. Bölece ölü hootop ve ölü hooloj teorlerek tekkler kullaılarak verle cocurret sste hesaplaablr özellkler celer. ocurret ssteler arasıak şleler le lgleleblr. Bular gözlesel ve elesel olablr. Topolojk olarak kcs elesel aha lgçtr. Eğer brc şleek herhag br hesaplaa ğerle br eşlee kurablorsa a a ta ters varsa k cocurret sste a elesel olarak ektr a a kl olarak bezerr bslar. Açık öüşüler özellkler le kl bezerlğ celeek geleeksel br etottur. Zate açık öüşülerle topolojk özellkler celeek e oğal öter. Bu teze cebrsel topoloj teel kavraları ola hootop ve hooloj kavralarıa ö usuru lave elerek ölü topoloj ölü hootop ölü hooloj po-uzaları arı kübk küe kavraı ve fltrel küpler taılaarak; arı kokübk arı eşkübk küeler ve

22 4 kofltrel eşfltrel küpler arııla ölü kohooloj kavraı oluşturuluştur.

23 5. ONURRENY ocurrec eşzaalı çalışa aı aa ola kesşe alaıa gelekter. Mateatkte br oktaa kesşe oğrular cocurrettr. Dzsel br progra tek br ş kotrol eer. Öreğ br üçge alaı hesaplaası br zsel prograır. ocurret progra se pek çok paralel hesaplaa apılasıa z vere kotrol sste çeştl parçalarıa sahptr. Aı aa çalışa paralel şleler kotrol eer. Bu şleler brbrle etkleş hale olalıır. Br ış etke a a ürütüle şlelere br ğer soucuu etkleeblr. Br zsel progra; kotrol sste tek tarafıır. Şekl -a Br cocurret progra; pek çok paralel hesaplaaı ere getrlese z vere kotrol sste çoklu tarafıır. Aı zaaa eaa gele çoklu ış olaları kotrol eer. Şekl -b

24 6 ocurrec agı kullaıla br progralaa olasıa rağe hataa ellr. ocurret prograa ve hata rsklere lk olarak Therac 5 blgsaarlarla progralaış raaso terap chazıı örek vereblrz. Bu sste oluştururke; chaz 5 s e fazla aı tuşa takılı kalırsa sste evree çıkar koutu oluşturulazsa tuş takılı kalır ve hastaa gereğe fazla raaso verlş olur. İkc olarak Mars a göerle uza aracıı örek verel. Bu araç üzere güeş ışılarıı atosfer basıcıı erüzüe ola uzaklığı kotrol ee şleler taılası fakat raaso le karşılaşable olasılığı uutulsu. Bu urua araç raaso le karşılaştığıa araçla letş keslğ görülür. Br ğer örek e; seahat kotrol sster. Buraak cocurret progra; arabaı stelğe sabt hızla gtes sağlar fakat free uzu br süre basılığıa hız artaaacağıa göre sste evre ışı kalır. ocurrec ek aı aa çalışa prograları e az hata le çalıştırak ç sürekl br apıa sahp ola cebrsel topolojek sürekl fokso apısıla oluşturula hootop foksouu kullaacağız. Bölelkle cocurret şlelerek arıkscrete apıı sürekl hale getreceğz. Fajstrup et al.9986; Bubek 4

25 7 cocurret olaa sste İşle şlec Özel kaaklar Ke özel kaaklarıla şle Şekl -c cocurret sste.şle.şle.şle Arılış kaaklarla pek çok şle Şekl - - cocurret şle sste R altkües olarak fae elr. R ek her koorat br şlee gelr. Fajstrup et al. 6 Bubek 4 R e br okta se sstee karşılık

26 8 Örek.: Her br zaa le saece brs kullaılacak şekle arılış k kaak a ve b olsu. P : kaağıı kltlee şle V : kaağıı serbest bıraka şle olak üzere; Brc şle prograı T P P V V İkc şle prograı T P P V V olarak taılası. b a a b a Bu taılar kullaılığıa İsvçre barağıı şekl ortaa çıkar. Fajstrup et al. 998; Bubek 4 b b a T Vb Va ulaşılaaa bölge asak bölge Pa Pb güvelr olaa bölge Pa Pb Vb Va T Şekl -e

27 9 3. DİTOPOLOJİ 3.. Kıs Sıralı Uzalar: Taı 3..: Br M kües üzerek kıs sıralaa asıa geçşe ve at setrk bağıtısı olsu. A M ç: A { M A : } A { M A : } olarak taılaır. Bu taılara göre; A A A B A {} tek elealı küe ç: A B { } { M } { } { M } [ ] eştlkler taılaır. Rausse ; Fahreberg a Leth 3.. Po-Uzaları: Taı 3..: Br bağıtı β çarpı uzaıa kapalı br altküe se β topolojk uzaıa kapalıır. Rausse

28 Taı 3..: ve kıs sıralaa bağıtısı olsu. Eğer Obj Top kües e kapalı se e po-uzaı er. U po-uzaı olak üzere A U kües; eştlğ le po-uza apısıı ras alır a bu eştlkle po-uza apısı kalıtsalır. Bu küee alt po-uzaı er. U U k po-uzaı olak A U üzere bu k uzaı karteze çarpıı U U ; ve olarak taılaır. Rausse ; Pratt ; Fahreberg a Leth Po-Uzaları. Şekl 3-a

29 Öek 3..: T Vb Va ulaşılaaa bölge İsvçre Barağı br po-uzaıır. asak bölge Pa Pb güvelr olaa bölge Pa Pb Vb Va T Şekl 3-b Fajstrup et al. 4; Bubek 4 Vb Va Pa İsvçre Barağıı br alt po-uzaı Pb Pa Pb Vb Va Şekl 3-c Fajstrup et al. 4; Bubek 4 Öere 3..: Her po-uzaı hausorff tur. Pratt ; Fahreberg a Leth

30 İspat: po-uzaı ve olsu. po-uzaı oluğu ç bağıtısı kıs sıralaa bağıtısıır bu eele ters setr özellğ sağlar. O hale ke faes alış olalıır. olarak kabul elğ zaa / olsu. Bu urua A \ kües açıktır. A ç W A olacak şekle açık br W koşuluğu varır. üzerek topoloj soucua U V olak üzere U V W koşuluu gerçeklee açık koşuluklar buluur. U V / oluğuu kabul eel ve z U V olarak alalı. Bu urua z z U V ve U V / olur. Bu souçla z z faes alıştır a br çelşkr. Bölece U V / buluur. Örek 3..: R bağıtısıa göre po-uzaıır. Staart br aralık I [] R üzerek sıralaa le pouzaıır. I br küpü; ç taılaa kıs sıralaa bağıtısı le po-uzaıır. Pratt ; Fahreberg a Leth ; Fajstrup et al. 4

31 3 Öere 3..: po-uzaı ve olsu. ve [ ] küeler e kapalıır. Rausse ; Fahreberg a Leth İspat: se bu küe aşkar olarak kapalıır. ve z \ olsu. Bölece / z olur. Öere 3.. e U ve z V olak üzere açık koşulukları varır. Buraa U V / olur. U V / olsu. U V / ke U ve V V oluğu ç V / a V \ buluur. Bölece \ açıktır ve olaısıla kapalıır. U V / ve w U V olsu. Taı 3.. e u U v V olak üzere u w ve w v r. Bu eştlklere u v buluur k bu a U V / çelşks oğurur. O hale kabulüüz alıştır. Taı 3..3: Y po-uzaı olak üzere; ƒ : Y kıs sıralaa bağıtısıı korua sürekl öüşülere ap öüşü ve ƒ : I r öüşüüe path ol er. Po-uzalarıı ve apları kategors ptop le taılaır. ptop ak zoorfzler hoeoorfzlerr. Rausse 3; Pratt ; Bubek 4

32 4 Taı 3..4: B po-uzaları olak üzere ƒ g : B ap olsu. r H BI H ƒ ve H g koşuluu sağlıor se H a : B { } B {} ƒ e g e hootop foksou er ve H : ƒ g olarak fae elr. ƒ ƒ ƒ... g olacak şekle hootopler br zcr varsa bağıtısıır. ƒ koşuluu sağlaa br eklğr ve ƒ _~ g olarak azılır. Buraak _~ bağıtısı eklk ƒ : B br ap olsu. go ƒ~ib ve ƒ o g ~ I g : B ap varsa ƒ hootop B ~ olarak gösterlr. Bubek 4 Örek 3..3: I I I Şekl 3- I v [ ] ; üzere reel saılara taılaa sıralaa le staart r r br aralığı ve I I ; sıralaasıla brlkte [ ] [] uzaıır. Bubek 4

33 5 Örek 3..4: b a a I b II Şekl 3-e Şeklek k uza hootop ek eğlr. Çükü I. şekle a oktasıa başlaıp b oktasıa ulaşılaıor. Fakat II. şekle a oktasıa b oktasıa br ol buluablor.. Bubek 4 Taı 3..5: R alt po-uzaı ve ƒ g : B k ap olsu. f ve g arasıak leer terpolaso terpolato H b t tƒ b tg b koşuluu sağlaa H : B I r R öüşüüür. Bubek 4 Lea 3..: R alt po-uzaı bazı ler ç olsu. Eğer b B ç ƒ b g b olacak şekle ƒ g : B ap se f ve g arasıak

34 6 leer terpolaso H ı görütüsü e ke H ; f e g e hootop foksouur. Rausse 3; Bubek Yerel Kıs Sıralı Uzalar: Taı 3.3.: buu açık örtüsü U U } ve kıs sıralılar U U Obj Top { U olsu. ç W olacak şekle U U U U U ; z W U U : z z U U koşuluu sağlaa br W açık koşuluğu varsa { U } e U üzere erel kıs sıralı er. Fahreberg a Leth Taı 3.3.: buu açık örtüsü U U } ve kıs sıralılar U U Obj Top { U olsu. ç açık koşuluk W üzerek sıralaa W W olak üzere U U U ; W z W U : z z koşulu sağlaıorsa { U } e u w U üzere erel kıs sıralı er. Fahreberg a Leth Taı 3.3.3: ve olsu. ç açık koşuluk Obj Top W olak üzere kıs sıralı se e üzere erel W W kıs sıralaa bağıtısı er. Fahreberg a Leth

35 7 Not: Yukarıak taılarak W koşulukları po-koşuluklarıı gösterr. U örtüsü se po-örtüsü olarak taılaır. Not: S po-koşuluğu oktur. Çükü koşulukları arasıa herhag br sıralaa taılaaaz. Öere 3.3.: Yukarıak üç taı brbrlere ektr. Fahreberg a Leth İspat: W taı 3.. ek koşulları sağlası. w z U U: U z le W W W taılaırsa taı 3.. arııla W bağıtısı W üzere kıs sıralaa olur. Bölece taı 3.3. ek koşullar sağlaır. Taı 3.3. sağlaa W verlorsa bu taı 3.3. ek koşulları a sağlar. 3 W { W ve W taı 3.. sağlar} olak üzere W açık örtüsü ve w herhag ortak po-koşulukları üzere kıs sıralaa bağıtısı olsu. Bölece z W W : z eklğ le bağıtısıı taılaablrz. Bu W bağıtıa taı ü sağlar.

36 8 3 W { W ve W taı ü sağlar} olak üzere W açık örtüsü olsu. Bölece her br W W ç kıs sıralaa bağıtısı taılaır. Buraa ve W W W W W alıırsa oluğu ç taı 3.. koşulları sağlaır. W W W Bu eele W po-örtüsüür. Öere 3.3.: Üzerek topoloj bazı B olak üzere B B ç kıs sıralı se erel kıs sıralıır. Bu şekle oluşa BB B bazıa po-bazı er. Fahreberg a Leth Taı 3.3.4: ve erel kıs sıralaa bağıtıları olsu. üzerek topoloj bazı B olak üzere koşulu sağlaıorsa Fahreberg a Leth ; Bubek 4 B B z B : z z ObjTop üzere bu bağıtılar ektr. Taı 3.3.5: üzere İk erel kıs sıralı uza U U } ve V V β } olak U V { { β üzere erel kıs sıralı se bu k uza Obj Top üzere ektr. Fahreberg a Leth ; Bubek 4

37 9 Öere 3.3.3: Bu k taı brbrlere ektr. Fahreberg a Leth 3.4 Lpo-Uzaları: Taı 3.4.: Obj Top ; po-örtüsüü U ~ eklk sııfı le hausorff uza olsu. Eğer U ~ U U po-uzaı olacak şekle br U poörtüsüü çeror se U ~ uzaıa lpo-uzaı er. Pratt ; Fahreberg a Leth ; Bubek a Wortkewcz 6 Öere 3.4.: Her po-uzaı lpo-uzaıır. Pratt ; Fahreberg a Leth ; Fajstrup et al. 4; Bubek 4 Öere 3.4.: Her lpo-uzaı erel hausorfftur. Pratt ; Fahreberg a Leth Taı 3.4.: Y erel kıs sıralı uzalar ve ƒ Y Mor Top olsu. ç W ve ƒ W olacak şekle ƒ

38 - Wƒ z W ƒ : z ƒ ƒz koşuluu sağlaa br po-koşuluğu varsa ƒ öüşüüe ap öüşü er. Pratt ; Fahreberg a Leth ; Fajstrup et al. 4 Öere 3.4.3: ; Obj a ek erel kıs sıralaa bağıtıları Top Y erel kıs sıralı uza ve ƒ Y olsu. Mor Top f ; e Y e ge aptır ƒ; e Y e ge aptır. Pratt ; Fahreberg a Leth Taı 3.4.3: Daplar ve lpo-uzaları lp-top kategors oluştururlar. Dapları bleşkes aptır. lp-top kategorsek zoorfzler hoeoorfzlerr. Pratt ; Fahreberg a Leth Taı 3.4.4: Y olak üzere H Mor I Y koşuluu Top Obj Top sağlaa H orfze Kuvvetl Hootop er. Kuvvetl hootop bağıtısı ~ olarak gösterlr. Fahreberg a Leth 4 Taı 3.4.5: ƒ g Mor I Y olak üzere H Mor I Y Top Top Kuvvetl Hootop H ƒ H g koşuluu sağlıorsa ƒ ve g

39 orfzlere Kuvvetlce Öhootopktr er ve ƒ f 4 g şekle fae elr. Fahreberg a Leth Taı 3.4.6: Y olak üzere H Mor I Y koşuluu Top Obj Top sağlaa H orfze Topolojk Hootop er. Fahreberg a Leth Taı 3.4.7: ƒ g Mor I Y olak üzere H Mor I Y Top Top Topolojk Hootop H ƒ H g koşuluu sağlıorsa ƒ ve g orfzlere Topolojk olarak hootopktr er ve taılaır. Fahreberg a Leth ~ ƒ g olarak Taı 3.4.8: Y Obj Top olak üzere t I H t MorTop Y se H Mor I Y a Zaıf Hootop er. Fahreberg a Top Leth Taı 3.4.9: Hootop ƒ g Mor Y olak üzere H Mor I Y Zaıf Top Top H ƒ H g koşuluu sağlıorsa ƒ ve g orfzlere Zaıfca Hootopktr er ve gösterlr. Fahreberg a Leth ~ ƒ g şekle

40 3.5. Teel gruboler: Top kategorsek teel gruboler urularıı celeeceğz. İlk olarak bazı hatırlatalar apalı: Br obje ve brle brlkte sall küçük kategor arı gruptur. Br obje le brlkte küçük kategor tü zoorfzaları orfz kabul ee br gruptur. Morfzler zoorfz ola küçük kategor grubotr. Tü gruboler kategors Grp ve tü küçük kategorler kategors at olarak taılaır. Dkkat elrse at kategors orfzler küçük kategorler arasıak fuktorlarır. Bu fuktorlar zoorfz korurlar. Gruboler arasıak herhag kategor orfz br grubo orfzr. Fahreberg a Leth ; Fajstrup et al. 4 Taı 3.5.: topolojk uzaıa br ol I ı br eleaıır. Mor Top Br p olu p ve p le brlkte p : a olarak taılaır. Rausse ; Fahreberg a Leth ; Fajstrup et al. 4

41 3 Öere 3.5.: p q Mor I olsu. p ve q olları eşt se br ğer Top ee paraetrelerlşr. q p oϕ eştlğ sağlaa ϕ Mor Top I I arta öüşüü varır. Rausse ; Fahreberg a Leth ; Fajstrup et al. 4 Taı 3.5.: p MorTop I olak üzere p t p- t ve olak üzere P sabt olu P : I { } olarak taılaır. Rausse ; Fahreberg a Leth Taı 3.5.3: p q Mor I olsu. p q koşulula p ve q u Top pt cocateato ı p q t qt Fahreberg a Leth t / t > / olarak taılaır. Not: ocateato şle brleşelr.

42 4 4. D-TOPOLOJİ 4. Yölü Topolojk Uza -uza: Taı 4..: I sürekl öüşülere ölü ol -ol er ve söz kousu ölü ollara oluşa küe olarak gösterlr. Gras 3 Taı 4..: ölü topolojk uza -uza; a I sürekl öüşüler -olları kües le oatıla ve aşağıak koşulları sağlaa topolojk uzaır. Sabt Yollar Her sabt öüşü I ölüür. Yee paraetrelere ; I I arta öüşü le bleşke şle altıa kapalıır. ocateato cocateato altıa kapalıır: -ollar br -olur. a b ; e arışık se buları cocateato ı c a b c t at c t bt t / / t Yee paraetrelere le ölü ollar < / < / < 3/... < parçalaasıa arışık olları -ar

43 cocateato ı Gras 3 a a... a altıa kapalıır. Pratt ; 5 Taı 4..3: ƒ : Y sürekl öüşüü; Y -uzaları arasıa ölü olları koruorsa a ke ƒ a Y ƒ öüşüüe ölü öüşü -öüşü er. Pratt ; Gras 3; Fajstrup 4 Taı 4..4: -uzalar ve -öüşüler Top kategors oluştururlar. Top kategors Top olarak a gösterlr. Top kategorsek zoorfzlere -hoeoorfz er. Top kategors Top kategors üzere kuruluur bu eele lt ve koltlere sahptr. Gras 3; Fajstrup 4 Taı 4..5: olak üzere uzaıa seçle ollar uzaıa ölü se uzaıa -alt uza er. Gras 3; Fajstrup 4

44 6 Taı 4..6: -uza olak üzere plalaa -ollarıı solu cocateatolarıa oluşa / R apısıa -bölü apısı bölü er. Gras 3; Fajstrup 4 Örek 4..: I Π olu ölüür acak ve acak tü I olları j j ölüür. Fakat I Σ olu ölüür acak ve acak bazı j I j olları ölüür. Gras 3 Hatırlata: Top kategorse Top kategorse uutka fuktorlarla glr. Bu uutka fuktorlar lt ve koltler korur. Taı 4..7: -uzaıa; verr. r : I I foksou -ollarıı asıaıı t r t t Bu şeklek -uzalarıa asıa er. R : Top Top op R ; a a a. r op op Bu özellğ sağlaa -uzalarıa setrktr er. Gras 3

45 7 Öere 4..: -uzaı asıa öüşüler altıa varat se setrktr. Gras 3 4. Staart Moeller: R : Yölü reel oğru a a -oğrusu olarak alaırılır. I R e arta öüşüler tarafıa verle ölü ollar le ökl oğrusuur. R : -boutlu reel -uzaı olarak taılaır. R Top kategors altıak karteze çarpııır. ç I [] : Staart -aralığıır. R alt uza apısıa sahptr. alt uza apısı olası ç olları üst küee göre -ol olası gerekr. I : Staart -kübüür. I ı. kuvvet aı zaaa alt uzaıır. S R I / I : Staart ölü çeberr. Yöü saat öüü tersr ve aşağıak k öüşü ç Top u eş ekolzer ı olur. 3 :{} I ; 4 f : R R ; S I / I : Yölü -boutlu kürer. Staart are: R R e -apısıa sahptr.

46 8 O : Sıırlı are şekle fae elr ve R R alt uzaıır. Gras ; 3 Öere 4..: I [] staart -aralığı Top kategorse br kafestr. Yüz öüşüler ve ejeere öüşüü e k teel operatör g ve g terchage s aşağıak gb taılaır: Gras 3 {} I e g I I I s g t t a t t g t t t t s t t t t Ösıralılar ve Btopolojler İkl Topolojler: Yölü uzalar ç uutka fuktorlarla brbre bağlaa arta sıraak ölü topolojler olası üç uruuu ele alalı: ptop lptop btop Top. Kıs sıralı topolojk uza kıs sıralaa bağıtısı asıa at-setrk ve geçşel le oatıla topolojk uzaır. Bu bağıtı saese oluşturula po-uzaları ve po- uzaları arasıa sıralaa bağıtısıı korua sürekl öüşüler ptop kategors eaa getrr. Lpo-uzaları ve bu uzalar arasıa sıralaaı korua sürekl öüşüler lptop kategors oluştururlar.

47 So olarak br btopolojk kl topolojk uza τ τ topolojler br çft le oatılış uzaır. Buraak τ ; geçş past τ ; gelecek future öüşüler gösterekter. Bu şeklek objeler ve öüşüler btop kategors oluşturur. Br btopolojk uza btop I le oğal -apısıa sahptr. Gras Yölü Hootop: Taı 4.4.: Yölü Hootop -hootop Br ölü hootop -hootop ϕ : ƒ g : Y; : Y ϕ ϕ ϕ ϕ olak üzere f ve g k üzüü ϕ : I I Y -öüşüü olarak taılaır. Gras 3; Fajstrup et al. 4 -hootop apısı aşağıak şlelere eaa gelr: u : v : Y Y ψ : g h a Döüşüler ve hootopler whsker brleşler: v oϕ o u : v ƒu vgu v o ϕ o u v. ϕ. Iu : I Y b Aşkar hootopler: ƒ : ƒ ƒ ƒ ƒ. e : I Y c Hootopler cocateato ı: ϕ ψ : ƒ h

48 3 Taı 4.4.: Yölü Hootop Bağıtıları -hootop bağıtıları. ƒ p g -hootop ö sıralısı ƒ g hootop varlığıla ~ taılaır. Brleşe özellğe sahptr. Setr özellğ oktur. ƒ p g ve ƒ p g ƒƒ p gg olur. ~. ~ bağıtısı ~ ƒ p g Rg p Rƒ olur. ~ ~ p a üretle eklk bağıtısıır. ~ ~ ƒ _~ g ç p ƒ ƒ p ƒ...g solu zs varır. aı objeler ƒ 3 ~ ~ arasıak -öüşüler solu zs Gras 3 Taı 4.4.3: Yölü Hootop Deklğ-hootop eklğ ƒ : Y -öüşüüü -hootop ters g : Y öüşüü olak üzere; g ƒ_~ ƒg _~ Y ve Y aı -hootop tpe sahptr a a -hootop ektr. Buu aısıra p gƒ ve p ƒg ve Y hee hee -hootop ektr. Gras 3 ~ Y ~

49 3 Örek 4..: 4 ölü ol 3 ölü ol Şekl 4-a Yukarıak şekller ortalarıak egeller göz öüe alarak oktasıa oktasıa e kısa ve e ugu bçe ulaşablek ç ölü ollar ve ölü hootop kullaılır. Yölü hootop le aı öe ola ollar aı eklk sııfıa ahl elr. Taı 4.4.4: Yölü Deforaso Gerle -eforaso gerle Br -altuzaı; u : Y ; p : Y -öüşüü varke pu ve up _~ koşullarıı sağlıor se söz kousu -altuzaı Y e Y ölü eforaso gerles er. Gras 3 Taı 4.4.5: Yölü Kuvvetl Deforaso Gerle -kuvvetl eforaso gerle Br -altuzaı; u: Y; p: Y -öüşüü ve - hootopler ç up h... h h h koşuluu sağlıor Y

50 3 se söz kousu -altuzaıa Y ölü kuvvetl eforaso gerles er. Gras 3 Taı 4.4.6: Yölü Büzüleble-büzüleble Br -uzaı br oktaa -hootop ek a a bu uzaı kuvvetl eforaso gerles tek okta se bu -uzaıa - büzüleblrr er. Gras 3

51 33 5. YÖNLÜ HOMOLOJİ 5. Kübk Küeler ve Morfzler: Taı 5..: Br arı kübk küe; δ : 3... ; üz öüşülerle face aps brlkte oluşturula { } N küesr ve aksouu sağlar: δ : öüşüler aşağıak arı kübk δ β β δ δ δ < j. j j Br kübk küe ε : 3... ejeere egeere öüşülerle brlkte arı kübk küer ve ε : öüşüler aşağıak aksou sağlar: ε ε ε ε j. j j δ ε ε δ j ε δ j j < > j j j. Pratt ; Gras a Maur 3; Fahreberg 4

52 34 Örek 5..: br topolojk uza ve S Top I ; I tü sürekl öüşüler kües olsu. Eğer üz öüşüler ve ejeereler aşağıak gb verlorsa S { S } kübk br küer. δ ƒt t t... t t t... t t t... t 3 ε ƒt t t... t ƒt... tˆ... t 3 Gras a Maur 3; Fahreberg 4 Örek 5..: Yarı kübk br küe bast br öreğ verel. 5 tae - küp alt üzü olaa ouk 3-kübü ele etek ç üzeleerek apıştırılış ve bölece ters çevrlş açık kutu oluşturuluştur. Fahreberg 4 v 8 e v 7 ƒ 5 e e e 8 v 5 e 9 e 7 ƒ 3 v 6 ƒ 4 v 4 e 3 e 5 ƒ e e 4 ƒ 6 e v 3 v e v Şekl 5-a

53 35 ƒ e δ 5 δ 6 δ δ 9 δ ƒ e6 δ ƒ e7 δ ƒ e δ ƒ e δ ƒ3 e8 δ ƒ3 e7 δ ƒ3 e3 δ ƒ3 e δ ƒ 4 e5 δ ƒ 4 e8 δ ƒ 4 e4 δ ƒ 4 e δ ƒ5 e δ 5 e δ ƒ5 e9 δ ƒ5 e ƒ ƒ e ƒ e ƒ e 5. Zcr w-kategors: Yölü zcr kopleks globular w-kategorsr. { } arı kübk küe olsu. ç foksoları aşağıak gb taılaır: : δ δ k k o k k k o k foksoları arıı le N üzere serbest abela oo taılar. N üzere taılaa bu sıır öüşüler tarafıa geşletleblr. Bu j j j j öüşüler globular eştlğ zaıf versou olarak alaırıla eştlğ gerçekler. Fahreberg 4 Taı 5..: Fltrel küpler aşağıak gb taılaır: Fahreberg 4

54 36 N { N. N. } {... N. N... N... : } Buraa : e öüşüler : e şekle taılaır ve e koşullarıı sağlar. Bu öüşülerle brlkte { } kües asıalı globular küe apısıa sahptr. Lea 5..: : öüşüler; eştlğ sağlar. Gras a Maur 3; Fahreberg 4

55 37 Taı 5..: Fltrel küp ve < N ç; { } olsu. Buraa; acak ve acak olur. ve tü... ç ve o : şle... o şekle taılaır. Not: Yukarıa taılaa o şle eğşel eğlr. Öere 5..: ; o şle ve e öüşülerle sıkı globular w- kategorsr. Bu eele sağlar. e koşullarıı

56 38 < N ç; se e o e e o o o o o <. Herhag br z ç e z o z o e z z eştlğ sağlaır. z se o o z o o z ır. p < ç olacak şekle p se o o o o o o ır. o şlee ek olarak üzere o şle aşağıak gb taılaır: o : p < ç olak... o p p Not: Bu şlele brlkte ooal w-kategorr. Bu şlelere sora Sub wat br fuktor taılaalı: ƒ : Y arı kübk küeler orfz olsu. Bu ƒ foksouu

57 ƒ taııla N. N. Y olarak geşletel ƒ ve ~ ƒ ~... ƒ...ƒ olacak şekle ƒ : Y öüşüüü taılaalı. Bu taılara; ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ~ eştlkler sağlaır. Bu eştlklere ƒ ~ ƒ ~ ƒe e ~ ƒ ve ~ ~ ~ ƒo ƒ ƒ ekleler ele elr. Bölece ƒ w- o kategors orfzr. 39 Örek 5..: ç δ a δ b δ b δ c olsu. a b a c b b c Şekl 5-b Bu örekte ; a le c vea a b le b c brbre bağlaak ç kullaılıştır. a c ve a b b c faeler fltrel küpler belrtr. Fahreberg 4

58 4 5.3 Mal Tesl: Verle br -kübü al tesl aşağıak gb taılaır: Pratt ; Fahreberg 4... k k k k k k k k k k k δ k δ... k -k -k ve k δ... δ. Öere 5.3.: olacak şekle... verls. o z olacak şekle varır. Fahreberg 4 z Örek 5.3.: Br 3-küp ç staart öleree göre 3 3 δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ 3 δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ 3-kübü al teslr. Fahreberg 4 δ

59 4 δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ Şekl 5-c 5.4 w-kategorlere Zaıf Hootop: Br arı kübk küe zcr w-kategorse 3 aet eklk taılaablrz. Bular; hootop zaıf hootop ve hoolojr. Hootop zaıf hootop; zaıf hootop se hooloj gerektrr. Zaıf hootop geel w-kategorlere ugulaır. sıır öüşüler e br öüşüü ve o bleşke şleler le br w-kategors { } verls. ~ hücre le üretle eklk bağıtısı olsu. R ke A A olacak şekle br A varır şekle taılaa ~ bağıtısı

60 4 R bağıtısıı setrk kapaışıır. Gras a Maur 3; Fahreberg 4 Lea 5.4.: ~ olsu. ve bazı < ç olacak şekle ~ se ve o ~ o olur. Fahreberg 4 Taı 5.4.: D / ~ ve [ ] [ ] o [ ] [ o ] olsu bölü öüşüler e : ejeereler le bze e D e : D ejeereler verr. Her br N ç. bouttak zaıf hootops ~ π {D e e... e } olarak taılaır. Fahreberg Yarı Kübk Küelere Yölü Hootop: arı kübk küe olak üzere { } olak üzere üzere eklk bağıtısı ~ olarak taılaa zaıf hootop le brlkte zcr w-kategorsr.

61 43 R ; R A o z A o z olacak şekle öle br A varır. Bu eğerlere kkat elrse... ve... ç olak üzere Ş A... olur. R tarafıa üretle eklk bağıtısı le ölü hootop taılarız. Dkkat elrse ~ bağıtısıı gerektrr. Bu üze ölü hootop şekle taılaır. ~π { / e e bağıtısı... } Br } kübk küese br ölü ol { δ δ... k olacak şekle -küpü... k zsr.... le aı uzulukta ola başka br path k olsu. Eğer tü j j ç A j ve j A j olacak şekle j {... k } ve A varsa ve j bast hootopktr er. Kobatork hootop bağıtısı bast hootop bağıtısıı asıalı setrk ve geçşel kapaışıır. Fahreberg 4 Öere 5.5.: e ölü ol olsu ; k k

62 44 o...o ; o...o olak üzere; k k ve kobatork olarak hootopktr. Fahreberg 4 Örek 5.5.: v 8 e v 7 ƒ 5 e e e 8 v 5 e 9 e 7 ƒ 3 v 6 e 5 ƒ 4 v 4 e 3 ƒ v 3 e 4 ƒ e 6 e v e v Şekl 5- e e ƒ 6 ƒ e e le e e e e e e e e ƒ 5 9 ƒ e e le e e e e e e e e ƒ ƒ e e le e e e e e e e e ƒ ƒ e e le e e e e e e e e ƒ ƒ e e le e e e e e e

63 Dkkat elelr k; e e e e e e bağıtısıa e kearı ptal eleez. e e ve e e arasıa ölü hootop 3 4 oktur Yarı Kübk Küelere Yölü Hooloj: Yölü Hooloj; arı kübk kües zcr w-kategors üzerek zaıf hootope aha kaba ola ğer eklkler sağlar ve aha br cebrsel apıa sahptr. Z üzere serbest abel grup olsu. Sıır öüşüler : Z. Z. ; j j ve olacak şekle j j {... Z. N.... : } olarak taılaır. Bu üze... ç kes kübü egatf bleşeler varır fakat tü sıırları poztftr. üzerek sıır öüşüler ve o şle üzere taılaığıız forüller aısı le fae eeblrz. Bölece {... } kües bu öüşüler ve şlelerle brlkte -kategor apısıa sahptr. verls. Eğer A A olacak şekle A varsa olur. Buraa olarak

64 46 taılaa eklk bağıtısı ölü hooloj oluşturacak bağıtıır. Gras a Maur 4; Fahreberg 4 Öere 5.6.: verls. ~ se r. Fahreberg 4 Lea 5.6.: olsu. ve bazı < ç olacak şekle se ve o o olur. Fahreberg 4 Taı 5.6.: / üzere taılaa şle lar le brlkte ölü hooloj o ve sıır öüşüler H { e / olarak taılaır. Fahreberg 4... e e }

65 47 Örek 5.6.: v 8 e v 7 ƒ 5 e e e 8 v 5 e 9 e 7 ƒ 3 v 6 e 5 ƒ 4 v 4 e 4 e 3 ƒ e 6 ƒ e v 3 v e v Şekl 5-e Bu örekte e e e ve e e e arasıa ölü hooloj buluaktaır ve -hücre ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ e e e e e e v ölü hooloj v belrler. Şeklek e kearı ptal eleez ve bölece e -hücre 7 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ e e e e v v e ulaşılır. Bu eele e e ve e e 3 4 hoologtur. Fahreberg 4

66 48 6. YÖNLÜ KOHOMOLOJİ EŞHOMOLOJİ 6.. Kokübk Eşkübk Küeler ve Morfzler: Taı 6..: Br arı kokübk eşkübk küe; : δ ;... koüz eşüz öüşülerle brlkte oluşturula N } { küesr ve : δ öüşüler aşağıak arı kokübk aksouu sağlar: j j j β β δ δ δ δ. Br kokübk eşkübk küe : ε... koejeere eşejeere öüşülerle brlkte arı kokübk küer ve : ε öüşüler aşağıak aksou sağlar: j j j ε ε ε ε > <. j j j j j j j ε δ ε δ δ ε

67 Örek 6..: Yarı kokübk küeler bast br öreğ verel. Koüz öüşüler le uzaıa başlaarak uzaıı ele eel. 49 δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ Şekl 6-a 6. Kozcr Eşzcr w-kategors: { } arı kokübk küe olsu. ç : foksoları aşağıak gb taılaır: k o δ ; k o δ. k k k k foksoları ekle gerçekler. : foksoları arıı le N üzere serbest abela oo taılar. N üzere taılaa bu kosıır

68 5 eşsıır öüşüler j j j j tarafıa geşletleblr. Bu öüşüler ekle gerçekler. Taı 6..: Kofltrel küpler aşağıak gb taılaır: } { } { } { N N N N N N N N N Buraa : ve e : öüşüler e şekle taılaır. Bu öüşüler e ve eştlkler sağlar. Lea 6..: : öüşüler

69 5 eştlğ sağlar. İspat:... olsu. Buraa; ve ve 3 tek eştlklere;

70 r. ve 4 tek eştlklere; r. Bölece; stele souç ele elş olur. Taı 6..: } { kües kofltrel eşfltrel küplerle sııflaırıla küer. N < olak üzere; } { olsu. Buraa; < ; ; ; ve olur. : şle şekle taılaır.

71 53 şle ve e öüşülerle brlkte br w- kategorr. Herhag br z ç z z e z z z e. z se z z. p < ç p olacak şekle se p p p. şlee ek olarak < ç olak üzere şle : şekle taılaır. Not: Bu şlelerle brlkte ooal w-kategorr. O hale arı kokübk kategore wat kategorse br fuktor taılaablr. Y : ƒ arı kokübk orfz olsu. Bu ƒ foksou ƒ ƒ taııla NY N olarak geşletleblr

72 54 ~ ve bölece; ƒ.. ƒ...ƒ olacak şekle ~ ƒ : orfzr. Y öüşüü taılaır. Bu öüşü wat ı 6.3 Yarı Kokübk Küeler Yölü Kohoolojs Eş hooloj Yölü kohooloj eşhooloj; arı kokübk kües kozcr w-kategors üzere cebrsel apı taılar. Z ; üzere serbest abela grup taılar. Kosıır eşsıır öüşüler Z Z ; : j j ve j j {.. Z olacak şekle N } olarak taılaır. Bu üze.. tü kosıırlar eşsıır poztftr. ç egatf bleşeler varır fakat üzere kosıır öüşüler ve şle taılaık. Bölece {... } öüşüler ve şlelerle brlkte op -kategor apısıa sahptr. üzere kües bu

73 verls. Eğer A A olacak şekle A varsa olur. Buraa 55 olarak taılaa eklk bağıtısı ölü kohooloj oluşturacak bağıtıır. Taı 6.3.: / üzere taılı şle ve sıır öüşüler brlkte ölü kohooloj H olarak taılaır. { / e... e } le

74 56 7. SONUÇ Bu teze cebrsel topoloj teel kavraları ola hootop ve hooloj kavralarıa ö usuru lave elerek ölü topoloj ölü hootop ölü hooloj po-uzaları arı kübk küe kavraı fltrel küpler taılaarak; arı kokübk eşkübk küeler ve kofltrel eş fltrel küpler arııla ölü kohooloj eşhooloj kavraı oluşturuluştur.

75 57 KAYNAKLAR DİZİNİ Bubek P. 4 otet For Moels of ocurrec. I Prelar Proceegs of Workshop o Geoetr a Topolog ocurrec a Dstrbute oputg GETO volue NS- 4- of BRIKS Notes Pages BRIKS Astera The Netherlas. Bubek P. Wortkewcz K. 6 A oel categor structure for local po-spaces Hoolog Hootop Apll. 8 o Fahreberg U. Leth J. Geoetr a Topolog. The Facult Of Egeerg a Scece Departet of Matheatcal Sceces Aalborg Uverst. Fahreberg U. 4 Drecte Hoolog. I proceegs GETO- MIMò volue of electroc otes Theoretcal oputer Scece Use -5. Fahreberg U. 5 A categor of Hgher- Desoal Autoata. Fouatos of software scece a coputato structures 87-. Lecture otes oput. Sc. 344 Sprger Berl. Fajstrup L. Goubault E. a Rausse M. 998 Detectg Dealocks ocurret Sstes. ONUR 98: ocurrec Theor ce Lecture otes oput. Sc. 466 Sprger Berl.

76 58 KAYNAKLAR DİZİNİ eva Fajstrup L. Loops topolog a Dealocks. Math. Structures oput. Sc. o Fajstrup L. Rausse M. Goubault E. Haucourt E. 4 opoets of the fueetal categor. Appl. ateg. Structures o Fajstrup L. Goubault E. Rausse M. 6 Algebrac Topolog a ocurrec. Theoret. oput. Sc. 357 o Gras M. Drecte Hootop Theor II. Theor Appl. ateg. o Gras M. 3 Drecte Hootop Theor I. ah. Topol. Géo. Dffér. atég. 44 o Gras M. Maur L. 3 ubcal Sets a Ther ste. Theor a Applcatos of ategores o Masse W. S. 98 Sgular Hoolog Theor Grauate Tets Matheatcs7. Sprger- Verlag New York- Berl 65pp. ISBN: Pratt V. Hgher Desoal Autoata Revste. Math. Struct. op. Scece o

77 59 KAYNAKLAR DİZİNİ eva Rausse M. O The lassfcato of Dpaths Geoetrc Moels for ocurrec. Math. Structures oput. Sc. o Rausse M. 3 State Space a Dpaths up to Dhootop. Hoolog Hootop Appl. 5 o

78 6 ÖZGEÇMİŞ ılıa Çaakkale Bga lçese oğu. İlköğre Maas ta ortaokul ve lse öğre se Baıra a taalaı. ılıa öğree başlaığı Ege Üverstes Fe Fakültes Mateatk Bölüü Teork Ağırlıklı Mateatk lsas öğret prograıa 5 ılıa brclkle ezu olu. Aı ıl Ege Üverstes Fe Bller Esttüsü Mateatk Bölüü Topoloj Aa Bl Dalıa üksek lsas eğte başlaı. Şu aa Yaşar Üverstes Fe Fakültes Mateatk Bölüü e araştıra görevls olarak çalışaktaır.