MAKİNA TEORİSİ II MAKİNA DİNAMİĞİ DERS NOTLARI

Transkript

1 MAKİNA TEORİİ II MAKİNA DİNAMİĞİ DER NOTLARI Prof. Dr. Özgür TURHAN İTÜ Makna Fakültes Ocak 6

2 MAKİNA DİNAMİĞİ İÇİNDEKİLER afa. GİRİŞ. TEMEL KAVRAM VE İLKELER 4. Kuvvetler 4.. Kuvvet Yasaları 4.. Kuvvetlern ınıflandırılması 7... Evrensel Kuvvetler-Özel Kuvvetler 7... Korunumlu Kuvvetler-Korunumsuz Kuvvetler Gerçek Kuvvetler-Kurgusal Kuvvetler İç Kuvvetler-Dış Kuvvetler...5 Verlmş Kuvvetler-Kısıt Kuvvetler. Rjd Csmlerde Kütle ve Kütle Dağılımı.. Rjd Csmn Kütles.. Rjd Csmn Kütle Merkez..3 Rjd Csmn Elemszlk Tansörü..4 Rjd Csmn Br Eşdeğer Maddesel Noktalar stemne İndrgenmes En Genel Hal Düzlemsel Hareket Yapan Düzlemsel Csmler Hal 7.3 Rjd Csmlern Vektörel Mekanğnn Esasları.3. Rjd Csmn Kütle Merkeznn Hareket.3. Rjd Csmn Dönme Hareket.3.. Denklemlern Br Asal Eksen Takımında Yazılması Hal Csmn Doğrultusu abt Br Eksen Çevresnde Dönmes Hal Rjd Csmn tatk Denges Rjd Csmn Knetk Enerjs 5.4 Analtk Mekanğn Esasları 6.4. erbestlk Dereces. Genelleştrlmş Kordnatlar.Kısıtlar Temel Kavramlar Kısıt Türler. stemlern ınıflandırılması 8.4. Vrtüel Yer Değştrme.Vrtüel İş. Kısıt Kuvvetler Vrtüel Yer Değştrme Vrtüel İş Kısıt Kuvvetler Vrtüel İşler İlkes D'Alembert İlkes Hareketn Lagrange Denklemler Genel Holonomk stemlerde Lagrange Denklemler 45 II

3 3. TEK ERBETLİK DERECELİ DÜZLEMEL MAKİNALARIN 5 TATİK DENGEİ 3. Genel 5 3. Vrtüel İşler İlkesnn Maknalara Ugulanması Düzlemsel Hareket Yapan Br Rjd Csme Etken Kuvvetler stemnn Vrtüel İşler Toplamı Maknaların Denges Genelleştrlmş Kuvvet Mekank Kazanç. Mekanğn Altın Kuralı TEK ERBETLİK DERECELİ DÜZLEMEL MAKİNALARIN HAREKET DENKLEMLERİ Genel Maknaların Genelleştrlmş Elemszlğ Hareket Denklem Maknalara Etken İşletme Kuvvetler Genel Çalıştırma Kuvvetler. Motorlar İçten Yanmalı Motorlar Elektrk Motorları İş Kuvvetler Makna Hareketnn Evreler Genel Bazı Örnek Maknaların Çalışma Evreler HAREKET DENKLEMİNİN DEĞERLENDİRİLMEİ. MAKİNA DİNAMİĞİNİN ANA PROBLEMLERİ 5. Genel 5. Makna Dnamğnn Düz Problem. Hareket Denklemnn aısal Çözümü 5.. Problemn Tanıtılması 5.. Brnc Mertebeden Dferansel Denklemlern Çözümü İçn Runge - Kutta Yöntem Makna Hareket Denklemnn aısal Çözümü Makna Dnamğnn Ters Problem. Çalıştırma Kuvvetnn Hesabı 7 6. MAKİNA HAREKETİNDE HIZ DALGALANMALARI VE GİDERME YÖNTEMLERİ 9 6. Hız Dalgalanmaları. Dalgalanma Katsaısı 9 6. Hız Dalgalanmalarını Gderme Yöntemler 6.. Genel Değerlendrmeler 6.. M( ϕ, ϖ) le I(ϕ) Arasında Uum ağlanması 6..3 Mln Elemszlk Momentnn Arttırılması. Elemszlk Çarkı Genel Blgler Elemszlk Çarkı Hesabı 6 7. MAKİNALARDA KUVVET ÇÖZÜMLEMEİ 4 7. Genel Belrlemeler 4 7. Kuvvet Çözümlemes Problem ve Çözümü 4 III

4 8. ARMA KUVVETLERİ. MAKİNALARDA KÜTLE DENGELEMEİ Genel Krank - Bel Esaslı Maknalarda Kütle Dengelemes arsma Kuvvetnn Tamamen Yok Edlmes arsma Momentnn Yok Edlmes arsma Kuvvetnn Kısmen Yok Edlmes Çok lndrl İçten Yanmalı Motorlarda arsma Kuvvetlernn Denges Genel Blgler ıra Motorların Denges RİJİD ROTORLARDA KÜTLE DENGELEMEİ Esaslar Rotorların Dengelenmes tatk Dengeleme Dnamk Dengeleme Rotorun İk Dengeszlğe İndrgenmes İk Düzlemde Dnamk Dengeleme 6 KAYNAKLAR 69 IV

5 GİRİŞ Maknalar, br güç kanağından aldıkları gücü öngörülmüş br düzen uarınca kuvvet ve hareket şeklnde letp br drencn üstesnden gelerek, belrl br ş apacak bçmde şekllendrlp br araa getrlmş drengen csm topluluklarıdır. Dkkat edlrse, maknaların bu tanımı mekanzmalarınkle akından lşkldr. Çünkü mekanzmalar da, öngörülmüş br düzen uarınca hareket letecek bçmde şekllendrlp br araa getrlmş drengen csm toplulukları olarak tanımlanırlar. Buradan maknaların, hareketn anı sıra kuvvet de leten ve bunları belrl br ş apmakta kullanan mekanzmalardan başka br şe olmadıkları anlaşılmaktadır. Gerçekten de hareket-kuvvet-elemszlk lşklern, an knetğn ncelemek stedğmzde makna de adlandırdığımız br mekank düzen, elemszlk ve kuvvetler br ana bırakıp salt hareket letm sstematğn, an knematğn ncelemek stedğmzde bze br mekanzma (a da mekanzmalar topluluğu) olarak görünür ve öle adlandırılır. ık karşılaşılan bazı maknaları, apılarındak ana mekanzmalar ve bu mekanzmalara at knematk zncrlerle brlkte gösteren Şekl., maknalarla mekanzmaların burada sözü edlen lşks hakkında br fkr vermektedr. Şüphesz, br maknanın knematğn knetğnden bağımsız olarak ele almanın, an hareket letm sstematğn kuvvetler dkkate almaksızın ncelemenn br anlamı olablmes çn, bu sstematğn, kuvvetler ne olursa olsun hep anı kalacağından emn olunması gerekldr. Bu se, ancak, knematk bakımdan önem taşıan boutları kuvvet etksle değşmeen uzuvlardan oluşan mekanzmalar çn olanaklıdır. İşte, ukarıdak makna ve mekanzma tanımlarındak drengen csm kavramı bu özellğ güvence altına almaa önelktr ve gerçek makna uzuvlarında az a da çok ama muhakkak var olan, kuvvet etks altında şekl ve bout değştrme özellğn, knematk boutlar özelnde ok saan br soutlama oluşturmaktadır. Yalnızca bazı boutları değl, hç br boutu kuvvet etksle değşmeen csmlern rjd csm de adlandırıldığı anımsanırsa, drengen csm kavramının rjd csm kavramını da çne alan br kapsamı olduğu anlaşılır. Rjd csmlern anı sıra, uzamasız kaış, kablo ve zncrler, sıkıştırılamaz akışkanlar vb. de drengen csm kapsamına grerler. Maknaların mekanğ konusundak ncelemeler, geleneksel olarak, drengen csm soutlamasının genel çerçeves çersnde gerçekleştrlr. Bu soutlamanın geçerllk sınırları çersnde k büük kuvvetlere, üksek hızlara ve narn apılara doğru gdldkçe bu sınırlara aklaşılır- maknaların knematğn onların knetğnden arı olarak ncelemek ugundur ve bu ders çerçevesnde bu, Mekanzmaların Knematğ başlığı altında zaten apılmış bulunmaktadır.

6 MAKİNA MEKANİZMA KİNEMATİK ZİNCİR İÇTEN YANMALI MOTOR Kam ml İzlec Krank ml Pston Bel 4 3 Krank-Bel Mekanzması 4 Uzuvlu KZ A B KUĞU VİNÇ A B 4 Uzuvlu KZ Üç Çubuk Mekanzması 6 VARGEL TEZGAHI tephenson Zncr Çabuk Dönüş Mekanzması Şekl. Bazı Maknalar ve Yapılarındak Ana Mekanzmalar

7 Anı sınırlar çersnde, maknaların knetğ konusundak ncelemeler de, genş ölçüde, brbrle bağlantılı olarak hareket eden rjd csm topluluklarının knetğnn ncelenmesne dönüşür. Bu ders çerçevesnde apılacak olan da budur. Bu amaçla, lkn, knetğn temel grdler olan knematk, kuvvet ve elemszlk konularından, daha önce ncelenmş bulunulan knematk dışındakler ele alınacak ve kuvvet ve elemszlk kavramları, rjd csmlere lşkn önlerne ağırlık verlerek gözden geçrlecektr. Daha sonra da dnamğn, makna dnamğ ncelemelerne esas oluşturan bazı temel lkeler tanıtılacak, maknaların dnamk davranışlarının bunlar ardımıla nasıl nceleneceğ görülüp, bu alanın bazı öneml problemler ele alınacaktır. Drengen csm soutlamasının geçerllğn trdğ durumlarda maknaların dnamk davranışlarında uzuvların elastklk özellkler ön plana çıkar ve maknanın gerçek hareket, drengen uzuv kabulüne daanılarak öngörülen nomnal hareket cvarında br ttreşm hareket görünümünü alır. Bu durumda ncelemenn, ttreşm mekanğnn esasları çerçevesnde ürütülmes gerekr. Bu dersn son bölümünde, Mekank Ttreşmler başlığı altında, bu alanın temel kavramları da gözden geçrlecek, ancak, modern teknolojnn daha büük kuvvetler daha üksek hızlarda, daha narn apılarla letme genel hedef ışığında artan önemne karşın, Elastk Uzuvlu Maknaların Dnamğ genel konusuna, bu dersn çerçevesn aştığı çn grlmeecektr. 3

8 TEMEL KAVRAM VE İLKELER Bu bölümde mekanğn, makna mekanğ ncelemelernde önem taşıan km kavram ve lkeler gözden geçrlecektr. Bu çerçevede lkn kuvvetler ve rjd csmlern elemszlk özellkler hakkında bazı temel blgler anımsatılacak ardından da makna mekanğ ncelemelernde kullanılacak bazı mekank lkeler tanıtılacaktır.. KUVVETLER Kuvvet kavramı mekanğn en öneml grdlernden brdr. Bu nedenle bütün mekank ncelemeler ve bu arada makna mekanğ ncelemeler, ön koşul olarak sağlam br kuvvet blgs zemn gerektrr. Bz de burada bu zemnn oluşturucu öğelern gözden geçreceğz... KUVVET YAALARI Kuvvetler, onları doğuran nedenlerle lşklendren asalara kuvvet asası adı verlr. Bazı kuvvet asaları brer doğa asası ntelğndedr ve evrensel geçerllkler vardır. Bunlara temel kuvvet asaları adı verlr. Klask mekankte alnızca k adet temel kuvvet asası blnmektedr. Bunlar, Newton un Evrensel Kütle Çekm Yasası ve Lorentz n Elektromanetk Kuvvet Yasası dır. Temel kuvvet asalarının anısıra, geçerllkler evrensel olmaıp bazı özel varsaım ve kısıtlara tab olan, aklaşık a da amprk br çok kuvvet asası daha vardır. Bunlara da özel kuvvet asaları adı verlr. Makna mühendslğnde önem taşıan özel kuvvet asalarından br Hooke Yasası dır. Bu asa, elastk csmlerde kuvvet-şekl değştrme lşksn konu alır ve gerçek durum bu olmamakla brlkte (Bkz. Şekl..-a,b) bu lşknn doğrusal olduğunu varsaar. Bölece elastk br csmn, kendsn kadar şekl değştrmee zorlaan br csme ugulaacağı ger getrme kuvvet çn E,A F F l (a) (b) Şekl.. Hooke Yasası k Robert Hooke (635-73). İnglz blm adamı. Blm dünasında ukarıdak asasının anısıra Newton la grdğ polemklerle blnr. 4

9 F() k (..) fadesne gelnr. Buradak k katsaısı, k a katsaısı adıla anılır, sözkonusu elastk csmn apıldığı malzemee, onun geometrsne ve şekl değştrme tarzına bağlı br sabttr. Örneğn, Şekl..-a dak gb çekmee zorlanan przmatk çubuklarda, E malzemenn Young modülünü, A kest alanını, l se çubuğun bounu göstermek üzere kea/l dr. Şekl..-b den hemen anlaşılacağı gb Hooke Yasası nın geçerllğ, şekl değştrmelern küçük olduğu hallerle sınırlıdır. Hooke asası, konuma bağlı br kuvvet tanımlamaktadır. Br başka öneml özel kuvvet asası da Coulomb Yasası dır. Coulomb Yasası, csmlern kuru üzeler üzernden brbrle sürtünmes sırasında bunlara etkecek sürtünme kuvvetnn, bu olaı etkleen parametrelerle lşklendrlmesn konu alır (Şekl..-a). Ancak öle çok saıda parametre bu ola üzernde etkldr k, bütün parametreler hesaba katan br formülason olanaklı görünmemektedr. Bu üzden, olaı etkleen öneml parametrelerden br olan, k üze brbrne bastıran N normal kuvvetnn etksle dğer parametrelern etksn brbrnden aırıp, dğer parametrelern toplam etksn, denesel olarak belrlenecek br µ parametresnn bünesnde toplamak düşünüleblr. Böle apıldığında sürtünme kuvvet çn F µ N şeklnde br formülasona gelnr se de buradak µ nün, dğer bütün parametreler anı kalsa ble, sürtünen csmlern v bağıl hızıla cdd bçmde değştğ gözlenr. Bu değşmn özellklern ansıtan tpk br µ-v dagramı Şekl..-b de verlmştr. Bu dagramdan µ nün v le, küçük hızlar bölgesndek en büük mutlak değern v ken alacak ve her zaman v le ters şaretl olacak bçmde değştğ görülmektedr. µ nün v dak değerne statk sürtünme katsaısı adı verlr ve µ s le gösterlr. Coulomb, v bölgesnde µ nün mutlak değernn v e bağımlılığını göz ardı edp alnızca şaret bağımlılığını dkkate alan br model önermştr. Bu modelde µ nün mutlak değernn, gerçek durumun ortalamasını temsl eden ve knetk sürtünme katsaısı adını alan br µ k değernde sabt olduğu varsaılır (Şekl..-c). Hız le şaret bağı da dkkate alındığında Coulomb Yasasının sürtünme kuvvetn, hıza bağlı olarak F(v) N ; v ken µ s v v F v) µ N ; v ken ( k N v µ µ s µ µ s µ k (..) (a) F (b) µ s v (c) µ k µ s v Şekl.. Coulomb Yasası Burada ve zleen bölümlerde kou basım harfler vektör ve matrsler göstermekte kullanılacaktır. Charles Augustn de Coulomb (736-86). Fransız mekank ve fzkçs. Yukarıdak sürtünme asasının anı sıra, ne kend adını taşıan elektrostatk çekm asası le blnr. 5

10 şeklnde fade edeceğ anlaşılır. Bu asanın hem amprk hem aklaşık olduğu ve geçerllğnn, denesel olarak belrlenen µ katsaısının belrlendğ dene koşullarıla sınırlı olacağı ortadadır Br başka özel kuvvet asası da vskoz br akışkan çersnde v hızıla lerleen R arıçaplı küresel br csmn karşılaşacağı akışkan drenç kuvvetnn sstem parametrelerle lşklendrlmesn konu alan tokes Yasası dır (Şekl..3). Bu asaa göre sözkonusu kuvvet, akışkanın sıkıştırılamaz olduğu, Renolds (Re) ve trouhal (t) saılarının küçük olduğu kabuller altında, aklaşık olarak F( v) 6µπRv (..3) Rρv şeklnde fade edleblr (Şuhub, 993). Deneler, tokes Yasasının Re. 5 µ olması halnde kesne çok akın sonuç verdğn fakat daha büük Re değerlernde geçerllğn hızla trdğn göstermektedr. Burada µ [kg/ms] akışkanın mutlak vskoztesn, ρ [kg/m 3 ] se oğunluğunu göstermektedr. Burada son br özel kuvvet asası örneğ olarak, vskoz (µ) br akışkanla ağlanmış olarak sabt ve düz br zemn üzernde v hızıla lerleen, l boundak düzlemsel tabanlı br csmn karşılaşacağı drenç kuvvetnn sstem parametrelerle lşklendrlmesn konu alan (Şekl..4) ve akışkanın sıkıştırılamaz olduğu ve h /h > olduğu kabuller altında bu kuvvet çn F( v) log k k 3 k+ lµ h v ; h h k (..4) fadesn veren Renolds Yasası nı analım (Şuhub, 993). tokes ve Renolds asaları, br ortak özellk olarak, vskoz akışkanlarla temas halnde bulunan csmlern, bell koşulları sağlaan hareketler sırasında hızlarıla orantılı br drenç kuvvetle karşılaşacaklarını ortaa komaktadır. Buradan genelleştrmele, r duruma göre değşk fadeler alablecek br vskoz sürtünme katsaısı (a da vskoz sönüm katsaısı) olmak üzere F ( v) r. v (..5) v l v µ R F h F µ h Şekl..3 tokes Yasası Şekl..4 Renolds Yasası George Gabrel tokes (89-93). İrlandalı matematk ve fzkç. Osborne Renolds (84-9). İnglz mühends. 6

11 şeklnde hıza lneer bağlı genel br vskoz sürtünme kuvvet (a da vskoz sönüm kuvvet) fadesne ulaşmak mümkündür. Bu, sık kullanılan br genelleme oluşturur. Özel kuvvet asalarına lşkn örnekler lstes stenldğ kadar uzatılablr se de, bzm amacımız bakımından buna gerek bulunmamaktadır. Çünkü makna dnamğ ncelemelernde en çok karşılaşılacak kuvvet asaları burada anılmış olanlardır... KUVVETLERİN INIFLANDIRILMAI Kuvvetler çeştl ölçütler bakımından çeştl sınıflandırmalara tab tutulurlar. Bz de bu bölümde, bu sınıflandırmalardan bzm ncelemelermz bakımından önem taşıan br kaçını gözden geçreceğz.... Evrensel Kuvvetler Özel Kuvvetler Kuvvetler, br evrensel kuvvet asasından mı oksa br özel kuvvet asasından mı türedklerne bağlı olarak evrensel kuvvetler ve özel kuvvetler olarak ke arılırlar. Bu arım önemldr, çünkü evrensel kuvvet asalarının hç br sınırlamaa tab olmaan geçerllklerne karşılık özel kuvvet asalarının geçerllkler, daandıkları kabul ve aklaşıklıkların belrledğ br çerçevele sınırlıdır. Bu, br özel kuvvet asasını kullanacak kşe, onun geçerllk sınırlarını ce tanıma ve onu bu sınırlar dışında kullanmama sorumluluğunu ükler.... Korunumlu Kuvvetler Korunumsuz Kuvvetler Etkdğ sstemlerde enerjnn korunumu lkesnn geçerllğn bozmaan kuvvetlere korunumlu kuvvetler, bu lkenn geçerllğn bozan kuvvetlere se korunumsuz kuvvetler denr. Korunumlu kuvvetler, sadece konumun fonksonu olan kuvvetler arasından, kendlerne lşkn kuvvet asalarının, örneğn kartezen koordnatlarda, F( ) gradv V + V j + V k (..6) z şeklnde, skaler br V(,,z) fonksonunun gradent olarak fade edlebldğ a da başka br deşle, kendler çn (..6) eştlğn sağlaan br V(,,z) fonksonunun bulunabldğ kuvvetlerdr. Buradak V(,,z) fonksonuna potansel enerj fonksonu adı verlr. Korunumlu kuvvetlere, en sık karşılaşılan k örnek olarak, ağırlık kuvvet le (..) dek Hooke Yasasına uan elastk kuvvetler verleblr. Bunlardan ağırlık kuvvetne at potansel enerj ve kuvvet fadeler, C kef br sabt, z eksen se düşe doğrultuu göstermek üzere, sırasıla V (,,z) mgz + C F mgk (..7) 7

12 m o (a) z Fmg (b) Fk(- o ) şeklnde (Şekl..5-a), Hooke Yasasına uan elastk kuvvetlere at fadeler se, şekl değştrme doğrultusunu, o şekl değştrmeden öncek (gerlmesz) konumu göstermek üzere (Şekl..5-b), şeklndedr. Şekl..5 Korunumlu Kuvvetler. (a) Ağırlık Kuvvet, (b) Elastk Kuvvet V(,,z) k( ) k( ) (..8) F...3 Gerçek Kuvvetler Kurgusal Kuvvetler Blndğ gb, Newton un knc hareket asası, m sabt kütlesne sahp br maddesel noktanın a vmes le üzerne etken F kuvvet arasında Fma (..9) lşksn kurmaktadır. Ancak, ne blndğ gb, (..9) eştlğnn bu halle geçerl olablmes çn buradak a nın mutlak vme olması, an hareketsz a da düzgün doğrusal hareket halndek br eksen takımına göre k böle eksen takımlarına Galle eksen takımı a da elemszlk eksen takımı adı verlr- vme olması zorunludur. Eğer kends de br elemszlk eksen takımına göre a B vmel br B temel noktasına, ω açısal hızına ve α açısal vmesne sahp olacak bçmde hareket eden br eksen takımı söz konusu se ve m maddesel noktası bu eksen takımına göre v b bağıl hızı ve a b bağıl vmesle hareket edorsa (Şekl..6) m nn mutlak vmes a a (..) B α r ω (ω r) ω vb ab olacağından, (..9) eştlğnn [ a + α r + ω (ω r) + ω v a ] F m + (..) B b b r Isaac Newton (64-77). Büük nglz matematkç, fzkç, gökblmc ve düşünürü. Kısaca Prncpa (İlkeler) adıla anılan Phlosophae Naturals Prncpa Mathematca (Doğa Felsefesnn Matematksel İlkeler, 687) adlı apıtının nsan zhnnn ulaştığı doruklardan brn oluşturduğu kabul edlr. Galleo Galle (564-64). İtalan matematk, fzk ve gökblmcs. Modern denesel blmn kurucusu. Kısaca İk Yen Blm adıla anılan Dscors e Dmostrazon Matematche Intorno a Due Nuove cenze Attenent Alla Meccanca (Mekanğe İlşkn İk Yen Blm Hakkında Konuşmalar ve Matematksel Kanıtlar, 638) adlı apıtının Dnamk blmnn kuruluşunu lan ettğ kabul edlr. Br makna elemanı olarak aı da lk o tasarlamıştır. 8

13 Z z α ω B r v b m Y a b hareketl eksen tk. a B O elemszlk eksen tk. X Şekl..6 Bağıl Hareket Yapan Maddesel Nokta şekln alması gerekr. Durum böle olduğu halde, fadenn, hareketl eksen takımından gözlenen a b bağıl vmes çn (..9) görünümünü korumasında srar edlrse olmak üzere [ a + α r + ω (ω r) + ω v ] F (..) e m B b F + F e ma b (..3) azılması, an maddesel noktaa F gerçek kuvvet nn anısıra, olaın br elemszlk eksen takımında fade edlmor olmasından kanaklanacak hataı düzeltmek üzere (..) dek gb tanımlanan br F e kurgusal kuvvet nn de etkdğnn düşünülmes gerekr. Bu kurgusal F e kuvvetne elemszlk kuvvet adı verlr. Elemszlk kuvvetnn apısındak [ ω (ω r) ] F m m (..4) term merkezkaç kuvvet, F mω v (..5) c term se Corols kuvvet olarak blnr. b Özel olarak, hareketl eksen takımına göre durağan halde olan br csmn söz konusu olması (v b, a b ) halnde (..3) bağıntısı F + F e (..6) Gustave Gaspard Corols (79-843). Fransız mühends. Hareketl br eksen takımına göre hareket eden br maddesel noktanın vmesnn, bağıl vme (a b ), sürüklenme vmes ( a s a B + α r + ω (ω r) ) ve "Corols" vmes ( a c ω vb ) şeklnde üç bleşenden oluştuğunu belrten ve kend adını taşıan teorem le tanınır. O zamanlar vs vva adıla blnen knetk enerjnn başına ½ çarpanının eklenmes de onun fkrdr. 9

14 F Ω α α F e Şekl..7 Elemszlk Kuvvetlernn Etks görünümünü alır. Bu bağıntı, hareketl eksen takımındak statk denge koşulu olarak orumlanablr. Bölece, her csmn, kendsle brlkte hareket ettğ varsaılan haal br eksen takımı çersnde, gerçek kuvvetlerle kurgusal elemszlk kuvvetlernn ortak etks altında statk denge halnde olacağı kavraışına gelnr. Bu kavraışa eşlk eden elemszlk kuvvet fades, a mutlak vme göstermek üzere F e F ma (..7) şeklndedr. Kendsne göre bağıl hareketn ncelendğ br eksen takımına özel vurgu apılmadığı sürece elemszlk kuvvet denldğnde (..7) dek kuvvet anlaşılır. Şekl..7 de görülen ve kendne bağlı eksen takımı çersnde, bağlı olduğu göbeğn α α kesdne uguladığı F kuvvetle, kütle merkezne etken F e elemszlk (merkezkaç) kuvvetnn etks altında dengedemş gb görünen pala örneğnde olduğu gb, elemszlk kuvvetler gerçek kuvvetlermş gb duumsanır ve onlar gb etkl olurlar....4 İç Kuvvetler Dış Kuvvetler Göz önüne alınan br mekank sstemn sınırları çnde kalan öğelern brbrlerne uguladıkları etkleşm kuvvetler bu sstem çn ç kuvvet, bu sınırlar dışındak öğelern çndeklere uguladıkları kuvvetler se bu sstem çn dış kuvvet olarak adlandırılır. Kolaca anlaşılableceğ gb, br tek maddesel noktadan oluşan br mekank ssteme etken bütün kuvvetler dış kuvvettr. İç kuvvet kavramı en az k maddesel noktadan oluşan mekank sstemler çn söz konusu olur. Yne kolaca anlaşılacağı gb ç kuvvet-dış kuvvet arımı kuvvetlern doğalarıla değl, seçlen sstem sınırlarıla lgldr. Örneğn Şekl..8 dek parçacığının parçacığına uguladığı f kuvvet A sstem çn ç, B sstem çn dış kuvvet ken f 3 kuvvet hem A hem B çn ç, f 4 kuvvet se her k sstem çn de dış kuvvettr. İç kuvvet dış kuvvet arımı Newton mekanğnde büük öneme sahptr. A f f 3 f 4 B 3 4 Şekl..8 İç Kuvvet - Dış Kuvvet

15 ...5 Verlmş Kuvvetler Kısıt Kuvvetler Km sstemler, hareketlern kısıtlaan engellern bulunduğu ortamlarda hareket etmek zorundadır. Örneğn, Şekl..9-a dak boncuğun, üzerne geçrldğ tele dk doğrultudak hareketler, Şekl..9-b dek düzlemsel sarkaçta m maddesel noktasının O merkezl, l arıçaplı çembere dk doğrultudak hareketler, Şekl..9-c dek blanın, üzernde uvarlandığı üzee dk doğrultudak hareketler kısıtlanmış, bunlara teğet hareketler se serbest bırakılmıştır. Bu kısıtlamaları flen sağlaan se, hep, ortamdak engeln hareket eden csme, olası bütün hareketlere dk doğrultuda uguladığı br N temas kuvvetdr. Bu tp kuvvetlere kısıt kuvvet adı verlr. Br dnamk problemnde kısıtların kendler ver olmakla brlkte kısıt kuvvetler değldr. Bunlar ancak dnamk problemnn çözülmesle, problemn br çıktısı olarak hesaplanablr. Kısıt kuvvetlernn dışında kalan ve dnamk problemnn grds olan kuvvetlere verlmş kuvvetler denr. Verlmş kuvvet kısıt kuvvet arımı analtk mekankte büük öneme sahptr. O N N l N dr dr dr (a) (b) (c) Şekl..9 Kısıtlı Hareketler ve Kısıt Kuvvetler. RİJİD CİİMLERDE KÜTLE VE KÜTLE DAĞILIMI.. RİJİD CİMİN KÜTLEİ Br rjd csm, V hacm bounca (bu hacm oluşturan dv hacm elemanının kütles dm olacak bçmde) dağılmış dm kütle elemanlarının oluşturduğu br bütündür. Her hacm elemanında, elemanter kütlenn elemanter hacme oranına oğunluk adı verlr: dm dv ρ (..). Bu durumda csmn heterojen br csm olduğu sölenr. Özel olarak oğunluğun csm bounca sabt olması halnde se homojen br csmden söz edlr. (..) den, ntegraller rjd csmn uzamı bounca alınmak üzere Yoğunluk csm çersnde noktadan noktaa değşeblr ( ρ ρ(,,z) )

16 Z z dm r r ρ z P Y O X Şekl.. Rjd Csmde Kütle Dağılımı m dm ρdv (..) şeklnde hesaplanan m skaler rjd csmn kütles adını alır. Homojen br csm söz konusu olduğunda ρ sabt olacağından, (..) ntegre edlerek bulunan m ρv (..3) eştlğ geçerl olur. Maddesel noktalardan farklı olarak, rjd csmlern elemszlk özellklernn tanımlanablmes çn m kütlelernn verlmes eterl değldr. Bunun anısıra, kütlenn csm çersndek dağılımına lşkn bazı blglern de verlmes gerekr. Bu blglern dnamk bakımdan eksksz br bçmde tanımlanablmes çn se k en kavrama; kütle merkez ve elemszlk tansörü kavramlarına gereksnm vardır... RİJİD CİMİN KÜTLE MERKEZİ Rjd csmn, er vektörü (ntegraller csmn uzamı bounca alınmak üzere) rdm dm m r rdm (..4) şeklnde tanımlanan noktasına rjd csmn kütle merkez adı verlr (Şekl..). Bu vektörel denklem erne, stenrse, kütle merkeznn koordnatlarını veren m m dm, skaler bağıntıları da azılablr. m dm, z zdm (..5)..3 RİJİD CİMİN EYLEMİZLİK TANÖRÜ Tansörler, n boutlu uzada n m adet saı ardımıla tanımlanan (n m adet bleşene sahp olan) ve bleşenler koordnat dönüşümlernde kendne özgü dönüşüm asalarına tab

17 olan matematksel çokluklardır. Burada n tansörün boutunu, m se tansörün mertebesn gösterr. Özel olarak skalerler sıfırıncı, vektörler se brnc mertebeden tansörlerdr. Buna göre skalerlern, uzaın boutundan bağımsız olarak n adet bleşene, vektörlern se n boutlu uzada n n adet bleşene sahp olması gerekr k bunun böle olduğu zaten blnmektedr. Rjd csmlern kütle dağılımının knetk bakımdan önem taşıan özellklerne lşkn blgler, elemszlk tansörü adı verlen, -rjd csm üç boutlu uzada tanımlı olduğu çn- üç boutlu (n3), knc mertebeden (m) br I ~ tansörü ardımıla tasvr edlr. Elemszlk tansörünün sahp olacağı anlaşılan 3 9 adet bleşen, elemszlk tansörünün bleşenler matrs adı verlen 33 lük br matrs şeklnde gösterlr. Bu matrsn genel görünüşü I I Iz I I I Iz (..6) Iz Iz Izz şeklndedr. Br tansör asla bleşenler matrsnden baret olmamakla brlkte, bzm amacımız bakımından burada bleşenler matrsle lgl bazı blgler anımsatmak eterl olacaktır. Bleşenler matrsnn ana köşegen üzerndek üç bleşen elemszlk moment adını alır ve ntegraller csmn uzamı bounca alınmak üzere I ( + z ) dm, I ( + z ) dm, Izz ( + ) dm (..7) şeklnde tanımlanırlar (Şekl..). Köşegen dışı bleşenler se elemszlk çarpımı de adlandırılırlar ve tanımları I I dm, Iz Iz zdm, Iz Iz zdm (..8) şeklndedr. İstenrse bu tanımlar, topluca, α,β,γ,,z; α β γ gösterlmle Iαα I αβ Iβα ( β + γ ) dm, αβ dm (..9) şeklnde de azılablr. Bu tanımlardan hemen anlaşılacağı gb elemszlk tansörü bleşenler matrs bakışımlı (smetrk) br matrstr. Burada, er gelmşken, elemszlk arıçapı kavramından da söz etmeden geçmeelm. Iαα αα m αα Iαα m (..) şeklnde tanımlanan büüklüğe rjd csmn α eksenne göre elemszlk arıçapı adı verlr. Kütles blnen br rjd csmn I αα elemszlk momentnn verlmes gerektğnde çoğu kez bunun erne αα elemszlk arıçapının verlmes oluna gdlr. 3

18 Elemszlk tansörünün bleşenler, kullanılan eksen takımına göre değşr. Bu nedenle zaman zaman, br eksen takımındak bleşenler blnen elemszlk tansörünün br başka eksen takımındak bleşenlernn hesaplanması problemle karşı karşıa kalınır. Bu koordnat dönüşümü problemlernde, genellkle, brbrne göre ötelenmş eksen takımları arasındak dönüşümlerle brbrne göre dönmüş eksen takımları arasındak dönüşümler arı arı ele alınır. Bz burada brbrne göre ötelenmş eksen takımları arasındak dönüşümlere lşkn br sonucu anımsatmakla etnelm. Br rjd csmn kütle merkezn başlangıç alan br z dkgen eksen takımındak I αα elemszlk momentler ve I αβ elemszlk çarpımları blnrken, kef br P noktasını başlangıç alan ancak eksenler z nünklere paralel olan br Pz eksen P P takımındak I αα elemszlk momentler ve I αβ elemszlk çarpımları, ρ P ρ + ρj + ρzk olmak üzere (Şekl..) ve I I P αα P αβ αα β γ αα α I + m( ρ + ρ ) I + mδ (..) αβ I + mρ α ρ β (..) şeklnde hesaplanır. Bu bağıntılar Hugens -tener Formüller adıla blnr. Kolaca anlaşılacağı gb (..) bağıntısındak δ α ρβ + ργ k eksen takımının α eksenler arasındak dk uzaklığı göstermektedr. Elemszlk tansörü bleşenler matrsnn her eksen takımında farklı br görünüm alması gerçeğ, bu matrsn özellkle alın br görünüm alacağı özel eksen takımlarının bulunup bulunmaacağı sorusunu gündeme getrr. Bu matrsn alableceğ en alın görünüm br köşegen matrs görünümüdür. Her rjd csm ve her kef başlangıç noktası seçm çn bleşenler matrsnn köşegen görünüm almasına ol açan en az br eksen takımı vardır. Bu eksen takımlarına asal elemszlk eksen takımları, bunların eksenlerne asal elemszlk eksenler (Eğer br α α eksen I αβ I αγ olmasına ol açıorsa bu br asal eksendr.), bu eksenlern doğrultularına se asal doğrultular adı verlr. Br asal eksen takımında fade edldğnde elemszlk tansörü bleşenler matrsnn tüm köşegen dışı elemanları (elemszlk çarpımları) sıfır olur, gere kalan üç köşegen eleman se asal elemszlk momentler adını alır. Bu durumda matrs I I I (..3) Iz görünümündedr. Bu görünümün sağlaacağı hesap kolalıklarından ararlanmak üzere, genellkle, asal elemszlk eksen takımlarında çalışmak eğlenr. Chrstaan Hugens (69-695). Hollandalı matematk, fzk ve gökblmcs. Matematkte olasılık hesabı ve logartma kuramının kuruluşuna katkılarıla; mekankte elemszlk moment, merkezkaç kuvvet kavramlarını aratması, csm sarkaçlar kuramı ve çarpışma kuramını kurmasıla; optkte ışığın dalga kuramını ortaa atmasıla blnr. 4

19 Tablo. Geometrk Şekll Bazı Homojen Csmlern Elemszlk Momentler Csm Şekl Elemszlk Momentler Dkdörtgenler Przması z b a l/ l/ I m(a + l ) I m(b + l ) I z m(a + b ) l/ l/ Daresel lndr z r I 4 mr + I z mr ml Daresel Boru z r l/ l/ I z mr I mr + ml Elptk lndr z l/ l/ b a h/4 3h/4 I 4 ma + ml I mb + ml 4 I z m(a + b ) 4 Daresel Dk Kon z r P 3 I mr + 3 I z mr 3 8 mh Küre İnce Çubuk z z r l/ l/ I I mr 5 I z ml 5

20 Verlmş br rjd csmn asal eksenlernn ve asal elemszlk momentlernn belrlenmes problem genelde uğraştırıcı br problem olmakla brlkte, km bakışım özellklerne sahp homojen csmler söz konusu olduğunda asal eksenler br bakışta belrlemek de mümkündür. Bunun çn (..8) tanımlarından çıkan, ancak çıkartılışını burada vermeeceğmz şu kuralların akılda tutulması eterldr: Eğer br Pz eksen takımının P, Pz ve Pz düzlemlernden br tanes csmn br bakışım düzlem se bu düzleme dk eksen br asal elemszlk eksendr; ok eğer bu düzlemlerden en az k tanes csmn brer bakışım düzlem se Pz eksen takımı bütünüle br asal eksen takımıdır. Tablo. de, geometrk şekll bazı homojen csmlern, kütle merkezn başlangıç alan br asal eksen takımındak asal elemszlk momentler verlmştr...4 RİJİD CİMİN BİR EŞDEĞER MADDEEL NOKTALAR İTEMİNE İNDİRGENMEİ Br rjd csmn elemszlk özellklern tanımlamak çn kütlesn, kütle merkezn ve elemszlk tansörünü vermek eterldr. Bu, kütles, kütle merkez ve elemszlk tansörü brbrnn anı olan k rjd csmn dnamk bakımdan brbrle özdeş olacağını sölemekle eş anlamlıdır. Makna dnamğ ncelemelernde bazen bundan ararlanarak br rjd csmn erne, brbrne haal, kütlesz fakat rjd bağlarla bağlı (rjd br bütün oluşturan) br dz maddesel noktanın oluşturduğu br sstemn geçrlmes oluna gdlr. Buna, rjd csmn br eşdeğer maddesel noktalar sstemne ndrgenmes denr. Bu ugulama, özellkle, söz konusu maddesel noktaların stenlen, ugun erlere erleştrleblmes halnde arar sağlar...4. En Genel Hal Şmd böle br ndrgemenn, en genel halde nasıl apılacağını görmek üzere Şekl.. dek rjd csmn n adet maddesel noktadan oluşan ssteme ndrgenmes problemn ele alınsın ve, genellğ bozmaan br seçmle, csmn blnen kütle merkezn başlangıç alan br asal z eksen takımında çalışılsın. Csmn kütles m, z dek asal elemszlk momentler se I, I ve I z olsun. başlangıç alındığına göre z, br asal eksen takımında çalışıldığına göre de I I zi z olacağına ve maddesel noktalar sstemnde kütle, kütle merkez ve elemszlk moment ve çarpımı hesaplarının (..), (..5), (..7) ve (..8) bağıntılarında ntegraller erne toplamlar koarak gerçekleştrlebleceğne dkkat ederek, eşdeğerlk koşulları olarak n m n n n m, m, z n n m ( + z ) I, m ( + z ) I n n m I, m z I z m (..4) m (..5) n, m ( + ) I (..6) n, m z I (..7) z z 6

21 z z m,i m m m 4 m 3 m 5 Şekl.. Maddesel Noktalar stemne İndrgeme (Genel) azılablr. (..4-7) denklemler, problemn m,,, z ;,,,n şeklndek 4n adet blnmeen çn denklemlk br takım oluşturmaktadır. Buradan, br çözüm bulunablmes çn 4n n 3 olması gerektğ anlaşılır. Burada arıntısına grmeeceğmz daha dern br nceleme, bulunan çözümün fzksel anlam taşıablmes çn n 4 olması gerektğn ortaa koar. Bunun anlamı, en genel halde, br rjd csmn en az 4 maddesel nokta çeren br maddesel noktalar sstemne ndrgenebleceğdr. Böle br ndrgemede blnmeenlerden s4n- tanesne kef değerler verleblr, ger kalan tanes se ukarıdak denklem takımından saısal br öntemle hesaplanır...4. Düzlemsel Hareket Yapan Düzlemsel Csmler Hal Yukarıda en genel halle tanıtılan maddesel noktalar sstemne ndrgeme problem, düzlemsel hareket apan düzlemsel csmler özel halnde çok daha alın br görünüm alır. Hareketl makna uzuvları çoğunlukla bu çerçevee grdğnden burada bu özel haln arıca ele alınması ernde olacaktır. Ancak lkn düzlemsel hareket apan düzlemsel csm kavramına açıklık getrelm: Eğer br rjd csm, bütün noktalarının örüngeler brbrne paralel düzlemler çnde kalacak bçmde hareket edorsa bu csmn düzlemsel hareket aptığı sölenr. Eğer düzlemsel hareket apan br rjd csmn hareket düzlem, kütle merkeznden geçen br asal elemszlk eksenne dkse, csmn br düzlemsel csm olduğu sölenr. Düzlemsel hareket apan düzlemsel br rjd csmn bütününün dkkate alınması gerekmez. Kütle merkezn çne alan, hareket düzlemne paralel kest k buna ana levha adı verlr- csm temsl çn eterldr. m m, m m 3 m 4 Şekl..3 Maddesel Noktalar stemne İndrgeme (Düzlemsel Hareket Yapan Düzlemsel Csm) 7

22 Düzlemsel hareket apan br düzlemsel csm, heps ana levha düzlem çersnde er alan br dz maddesel noktadan oluşan br maddesel noktalar sstemne ndrgeneblr (Şekl..3). düzlem ana levha düzlem olarak alınırsa, bu durumda z ;,,,n olacağından (..5) bağıntılarının üçüncüsü ve (..7) bağıntılarının knc ve üçüncüsü kendlğnden sağlanır ve problemden düşer. Arıca (Bölüm.3.. de görüleceğ gb) düzlem çersndek br düzlemsel harekette I, I ve I nn çerdğ blgler belrlec olmaktan çıkar. Bu üzden bunlara lşkn (..6) bağıntılarının br ve kncs le (..7) bağıntılarının lk de problemden düşer. Bölece bu durumda (..4-7) bağıntılarından gere n m m (..8) n m n, m (..9) n m ( + ) I z m (..) kalır. (..8-) denklemlernn temsl ettğ ndrgeme problem, m,, ;,,,n şeklndek 3n adet blnmeene karşılık 4 denklem çermektedr. Buna göre, br çözüm bulunablmes çn 3n 4 n olmalıdır. Bunun anlamı, düzlemsel hareket apan düzlemsel csmlern, heps ana levha çersnde er almak kadıla, en az k maddesel noktadan oluşan br maddesel noktalar sstemne ndrgenebleceğdr. Böle br ndrgemede blnmeenlerden s3n-4 tanesne kef değerler verleblr, ger kalan 4 tanes se ukarıdak denklem takımından hesaplanır. Aşağıda buna k örnek verlecektr. İk Maddesel Noktaa İndrgeme: İndrgeme noktaları A ve B olsun (Şekl..4). Bu durumda problemn blnmeenler m A, A, A, m B, B ve B olacaktır. n olduğundan bu blnmeenlerden s3-4 tanesne kef değerler verleblr. Bu keflk maddesel noktalardan brnn (A nın) konumunu seçmek çn kullanılarak A -l A, A alınablr. Bu apılırsa (..8-) denklemler ma + mb m (..) ma l A + mbb, m B B (..) m A l A + mb(b + B) m (..3) m A A l A l B B m B Şekl..4 İk Maddesel Noktaa İndrgeme 8

23 şekln alır. Bu denklemlern m A, m B, B ve B çn çözülmesle B (..4) B B l A l (..5) ma lb la + lb m lb l m (..6) m B l A l A + l B m l A l m (..7) hesaplanır. Buna göre, düzlemsel hareket apan düzlemsel br rjd csmn, ana levha çersne, csmn kütle merkeznden geçen br doğru üzerne her br kütle merkeznn br anında kalacak bçmde erleştrlecek k maddesel noktadan oluşan br maddesel noktalar sstemne ndrgenebleceğ anlaşılmaktadır. Bu ndrgemede noktalardan brnn konumu kef seçlrse dğernn konumu ve ndrgeme kütleler (..5-7) dek gb hesaplanır. Üç Maddesel Noktaa İndrgeme: İndrgeme noktaları A, B ve csmn kütle merkez olsun (Şekl..5). Problemn m A, A, A, m B, B, B, m,, şeklndek blnmeenlernden s33-45 tanes kef olarak seçleblr. İndrgeme noktalarından brnn olarak seçlmesle zaten ve şeklnde k kef seçm apılmış durumdadır. Buna ek olarak A -l A, A, B l B seçmlern apalım. Bölece B nn ordnatı dışında her üç noktanın konumunun da seçlmş olduğuna dkkat çektkten sonra bu değerlerle (..8-) denklemlerne dönülürse, m + m + m m (..8) A B ma l A + mblb, m B B (..9) A A B B B m l + m ( l + ) m (..3) elde edlr. Bu denklemlern gere kalan B, m A, m B, m blnmeenler çn çözülmesle de m A A l A m l B B m B Şekl..5 Üç Maddesel Noktaa İndrgeme (Özel Hal) 9

24 B (..3) m m A B m m (..3) l ( l + l ) l l A A B lb( la + lb) A lb l m m (..33) m l AlB m (..34) bulunur. Buradan, düzlemsel hareket apan br düzlemsel rjd csmn, ana levha çersne, br kütle merkezne, dğer ks se buradan geçen br doğru üzerne, kütle merkeznn k anında stenlen konumlara erleştrlecek üç maddesel noktadan oluşan br ssteme ndrgenebleceğ anlaşılmaktadır. Bu, makna dnamğ hesaplarında sık sık başvurulan çok elverşl br ndrgeme oluşturur. Burada ele alınanın çok özel br üç maddesel noktaa ndrgeme problem olduğunu, noktalardan brnn csmn kütle merkez olarak seçlmemes halnde problemn daha genel br hal alacağını not edelm fakat bu genel haln, braz daha karışık olan ncelemesn br araştırma konusu olarak bırakalım. Örnek Problem.. r a Çözüm: m () m () m A o () A a 3 r 3 B 3 A 4 A B o o (3) m A Şekl Pr...- (3) m 3 Şekl Pr...- (3) m B a 4 r 4 (4) m B (4) m 4 (4) m B o Şekl Pr...- dek üç çubuk mekanzmasında r 5 mm, r 3 mm, r 4 5 mm, a 5 mm, a 3 mm, a 4 5 mm, m. kg, m 3.5 kg, m 4.3 kg, mm, 3 8 mm, 4 5 mm verldğne göre, mekanzmaı dnamk eşdeğer olarak, A, 3, B, 4 noktalarına erleştrlecek maddesel noktalara ndrgenz. İlkn uzuvlar teker teker ele alınarak (..3-34) bağıntıları uarınca üçer maddesel noktaa ndrgensn (Şek. Pr...-). Bu amaçla numaralı uzuv ele alınırsa

25 m () A a r m kg m () A (r a) r m kg () m m A () ( ) ( m + m B )..3.36kg elde edlr. Benzer hesapların 3 ve 4 numaralı uzuvlar çn nelenmesle de m ( 3) A.6kg, m ( B 3).6kg, m ( 3).8kg 3 m ( B 4).5kg, m ( 4) B.kg, m ( 4).5 kg 4 bulunur. Buradan mekanzmanın bütününe geçmek üzere anı noktaa farklı uzuvlardan gelen kütleler toplanır ve hareketsz A o ve B o noktalarına gelen kütleler, dnamk bakımdan etksz olduklarından br ana bırakılırsa m m m m m () m.36kg, () (3) A ma + ma (3) m 3 3 ( 3) ( 4) B m B + m B (4) m 4 4.9kg,.8kg,.kg,.5kg elde edlr. Buna göre mekanzma, dnamk bakımdan, üç kütlesz çubuğun taşıdığı 5 maddesel nokta olarak modelleneblr (Şek. Pr...-3). Ancak, A ve B mafsallarında uzuv elemszlklernn brbrne karışmış olduğu bu modeln, bu mafsallardak tepk kuvvetlernn hesaplanması özel amacına önelk problemlerde kullanılamaacağının belrtlmes gerekr. m A m A m 3 m B B m 4 A o B o Şekl Pr...-3

26 .3 RİJİD CİİMLERİN VEKTÖREL MEKANİĞİNİN EALARI Bu bölümde, rjd csmlern vektörel mekanğnn, makna dnamğ ncelemelernde ararlı olacak bazı temel lkeler gözden geçrlecektr. Blndğ gb rjd csmlern hareket, br kütle merkeznn hareket dğer se dönme hareket olmak üzere k kısımda ncelenr. Aşağıda lkn bu konudak anımsatmalara er verlecektr..3. RİJİD CİMİN KÜTLE MERKEZİNİN HAREKETİ Maddesel noktalar çn fade edlmş olan Newton un İknc Hareket Yasası nın rjd csmlere ugulanmasıla, p mv (.3.) csmn (mutlak) çzgsel momentumu (a da hareket mktarı), F se csme etken dış kuvvetlern bleşkes olmak üzere dp F ma dt (.3.) fadesne gelnr. Burada v ve a csmn kütle merkeznn mutlak (Br elemszlk eksen takımına göre) hız ve vmesn göstermektedr. Buna göre, br rjd csmn kütle merkeznn, csme etken tüm dış kuvvetlern toplam etks altında bulunan ve csmn toplam kütlesne sahp olan br maddesel nokta gb hareket edeceğ anlaşılır. Bu gerçek bazen Kütle Merkeznn Hareket Teorem adı altında fade edlr. Arzu edlrse (.3.) vektörel denklem erne, F m&, F m&, F z m& z (.3.3) skaler denklemler de azılablr..3. RİJİD CİMİN DÖNME HAREKETİ Rjd csmn dönme hareket, P noktası csmn a (varsa) hareketsz br noktası, a da kütle merkez olmak kadıla, P H P I ω (.3.4) csmn P e göre (mutlak) açısal momentumu (a da hareket mktarının P e göre moment), M P se csme etken tüm dış kuvvetlern P e göre momentler toplamı olmak üzere P d P dt P P P M H I α + ω I ω I α + ω H (.3.5) P

27 denklem uarınca cerean eder. Bu gerçek genellkle Hareket Mktarının Moment Teorem adı altında fade edlr. Burada I P, csmn elemszlk tansörünün P başlangıç alan, csme bağlı (onunla brlkte hareket eden) br Pz eksen takımındak bleşenler matrs, ω ve α se csmn (dolaısıla da anılan eksen takımının) mutlak açısal hız ve vme vektörlernn ne bu eksen takımındak fadeler olup, (.3.5) eştlğndek türevn alınmasında, hareketl eksen takımında fade edlmş vektörlern zamana göre mutlak türevlern hesaplamakta kullanılan ( d ) ( d ) + ω operatöründen ararlanılmıştır. dt mutlak İstenrse, (.3.5) vektörel denklem erne, burada dt bağıl M P P P z M + M j + M k, ω ω + ωj + ωzk, α α + αj + αzk eştlkler ve I P nn (..6) dak fades erne konulup hesap apılarak elde edlen P M P I P α + I I P P ( ω ω ω ω z I α P z ) I ( ω P z ( ω ω z ω ) + I P zz + α ω z ω ) z M M P P z I I P P zz α α z I P P ( ω ω z z + α P z ) + I P z ( ω ω z P zz α + I ω ω + I ( ω ω ) I ω ω (.3.6) + I I P z P ( ω ω ω ω z α I P ) I ( ω P z ( ω ω z ω ) + I + α P ω z ) ) z ω skaler denklemler de azılablr. Bu denklemler, rjd csmn dönme hareketn öneten en genel denklemlerdr. İk özel halde bu denklemlern alacağı görünüm dkkat çekcdr:.3.. Denklemlern Br Asal Eksen Takımında Yazılması Hal (.3.6) denklemlernn fade edldğ Pz eksen takımının csmn, P noktasını başlangıç alan br asal eksen takımı olarak seçlmes halnde, bu durumda I P P P z z I I olacağından denklemler bastleşr ve M P P P P I α (I Iz ) ω ω z M P P P P I α (Iz I ) ω ω (.3.7) z M P P P P z Iz α z (I I ) ω ω 3

28 görünümünü alır. Asal eksen takımlarında çalışmanın ararlarını gözler önüne seren ve kendlern ortaa koan blm adamının adıla Euler Denklemler de adlandırılan bu denklemler, rjd csmlern en genel dönme hareketn öneten denklemlern alableceğ en alın görünümü temsl ederler..3.. Csmn Doğrultusu abt Br Eksen Çevresnde Dönmes Hal Rjd csmn, doğrultusu sabt br eksen çevresnde dönmes özel halnde, bu doğrultu olarak genellğ bozmaan br kabulle Pz eksen takımının örneğn Pz eksennn doğrultusu alınırsa, ω ωk, α αk olacağından ω ω α α olur ve (.3.6) denklemler M P I P z α z + I P z ω z M P P z z P z z I α I ω (.3.8) M P z I P zz α z görünümünü alır. (Csmn hareketnn düzlem çersnde br düzlemsel hareket olmasıla çelşmeen egane dönme olan bu dönmede P P P I, I ve I nn etkn olmadığına ve bunun Bölüm..4. dek belrlememzle uumlu olduğuna dkkat ednz.) (.3.8) denklemler şu dkkat çekc özellğ ortaa komaktadır: Eğer br rjd csm, asal olmaan br Pz eksen çevresnde döndürülürse I P z ve I P z olacağından M P ve M P olur. Bunun anlamı, bu durumda csmn Pz dönme eksennn doğrultusunu koruablmek çn, csme P ve P eksenler çevresnde momentler ugulanması gerekeceğdr. Tersne eğer csm asal br Pz eksen çevresnde döndürülürse, P P P P bu durumda I z I z olacağından M M olur. Bunun anlamı se, asal br dönme eksennn doğrultusunun kendlğnden korunacağıdır. Bu belrlemeler, Makna Dnamğnn en öneml problemlernden br olan rotorların dnamk denges konusunun kuramsal temeln oluşturur. Bu konu lerde arıntılı olarak ele alınacaktır..3.3 RİJİD CİMİN TATİK DENGEİ (.3.3) le (.3.6), (.3.7) vea (.3.8) denklemler, brlkte, uzada 6 serbestlk derecesne sahp olduğu blnen rjd csm hareketnn 6 hareket denklemn oluşturur. Bu denklemler bazen topluca Newton-Euler Denklemler adıla anılır. Bu denklemlerde bütün hız ve vmeler erne sıfır konulduğunda, harekete ol açmaacak kuvvet ve momentler çn (Artık bütün csm hareketsz olduğundan P kef br nokta olmak üzere) Leonhard Euler (77-783). İsvçre l büük matematk ve mekankç. Gauss ve Remann la brlkte modern matematğn en büük üç smasından br. Newton un attığı temel üzernde klask mekanğn başlıca mmarı. Blmsel azılarının büük cld aşacak mktardak hacmle, edebat dahl tüm alanların ve tüm zamanların en üretken azarı. 4

29 F, F, F z M P, M P, M P z (.3.9) denklemler elde edlr k blndğ gb bunlar rjd csmn statk denge denklemlerdr. Maknalar gb rjd csm topluluklarının hareketler (a da statğ) Newton-Euler denklemler ardımıla ncelenmek stenrse, aırma lkes uarınca, önce her br rjd csm sstemden aırarak ele alıp bunların hareket (a da denge) denklemlern arı arı azmak, sonra da bu denklemler brleştrerek sstemn hareket denklemlerne ulaşmak gerekr. Bütüne parçalardan ulaşılmasını gerektrdğ çn bu aklaşım bazen sentetk mekank adıla anılır. Bu, bütünden ola çıkarak parçalara ulaşan ve Bölüm.4 te ana hatlarını gözden geçreceğmz analtk mekank le keskn br karşıtlık oluşturur..3.4 RİJİD CİMİN KİNETİK ENERJİİ Mekanğn enerj esaslı aklaşımlarında, rjd csmlern knetk enerjlernn fade edlmes gerekl olur. Bu nedenle, rjd csmler mekanğ konusunu kapatmadan, rjd csmlerde knetk enerj hesabı konusuna da kısaca değnmek ernde olacaktır. Csme at sabt br O noktasının bulunduğu özel hareketlerde knetk enerj özel olarak, (T üst nds evrğ göstermek üzere) T O T ω I ω (.3.) şeklnde hesaplanablr se de, böle br nokta bulunsun a da bulunmasın geçerl olan genel knetk enerj fades, kütle merkezn esas alan m T T v + ω I ω (.3.) fadesdr. Bu fadedek lk term öteleme knetk enerjs, knc term se dönme knetk enerjs de adlandırılır. Bu fadenn ortaa koduğu gerçek; an rjd csmn toplam knetk enerjsnn, csmn m toplam kütlesne sahp olan ve kütle merkezle brlkte hareket eden br maddesel noktanın knetk enerjsle, csmn, kütle merkez çevresndek dönmesne at knetk enerjnn toplamına eşt olduğu gerçeğ, Köng Teorem adıla anılır. İstenrse (.3.) eştlğ, sağ tarafındak şlemler gerçekleştrlerek [ I ω + I ω + I ω ( I ω ω + I ω ω + ω ω )] T mv + zz z z z I z z (.3.) amuel Köng (7-757). Alman matematkç ve düşünürü. 5

30 şeklnde de azılablr. z eksen takımının br asal eksen takımı olarak seçlmesle (.3.) erne ( I ω + I ω + ω ) T mv + I z z (.3.3) fadesne, csmn, doğrultusu sabt br eksen (z eksen delm) çevresnde dönmes özel halnde se, blnen mv + I zz z T ω (.3.4) fadesne gelnr. (.3.) fades çn (.3.-4) eştlklernde verlen açılımların benzerler (.3.) fades çn de verleblr se de burada buna hç grşmeelm ve bu açılımların (.3.-4) ten benzetme olula kolaca azılableceğn belrtmekle etnelm..4 ANALİTİK MEKANİĞİN EALARI Bu bölümde mekanğn, özellkle maknalar gb çok csml sstemlern ncelenmesnde büük önem taşıan ve analtk mekank de adlandırılan dalının temel kavram ve lkeler gözden geçrlecektr..4. ERBETLİK DERECEİ. GENELLEŞTİRİLMİŞ KOORDİNATLAR. KIITLAR.4.. Temel Kavramlar Br mekank sstemn konumunu eksksz olarak tanımlaablmek çn verlmes gereken brbrnden bağımsız parametre saısına bu mekank sstemn serbestlk dereces denr. Konumu tanımlamakta kullanılan parametreler koordnat adını alır. Maddesel noktaların konumlarının tanımlanmasında, dkgen (a da Descartes 'ın adına atfen Kartezen) koordnatlar, slndrk koordnatlar, küresel koordnatlar gb önceden tanımlanmış üçlü koordnat takımlarından ararlanılır. Ancak, ncelenen mekank sstem maddesel noktalardan baret olmadığında, bu koordnat takımları kullanışlı olmaktan çıkar. Örneğn, Şekl.4.-a dak sstem göz önüne alınsın ve bu sstemn konumu, A, B ve C noktalarının A, A, B, B, C ve C kartezen koordnatları verlerek tanımlanmak stensn. Bu 6 parametre sstemn konumunu (dğer tüm sstem noktalarının koordnatlarının bunlar cnsnden belrleneblr olması anlamında) eksksz olarak tanımlamakla brlkte, bunun çn gerekenden fazla oldukları ortadadır. Bunu görmek çn sstemn apısından ötürü bu parametrelern kend aralarında René Descartes (596-65). Büük fransız matematkç ve felesofu. Matematkte Analtk Geometr kurdu, optkte kırılma ve ansıma asalarını ortaa kodu. Felsefede, Dscours de la Méthode (Yöntem Üzerne öleş, 637) adlı apıtında ortaa koduğu öntemsel kuşkuculuk le ve kuşku duulamaacak br temel doğru ararken ulaştığı cogto ergo sum (düşünüorum ölese varım) hükmü le tanınır. 6

31 O OAl ABl ϕ u A ϕ C B r A θ ϕ l B (a) (b) Şekl.4. Genelleştrlmş Koordnatlar f (A, A,B, B,C, C) A + A l f (A, A,B, B,C, C) (B A) + (B A) l (.4.) C A f (,,,,, ) B A 3 A A B B C C C A denklemlern sağlamak zorunda olduklarına dkkat etmek eterldr. Koordnatları brbrne bağlaan bu tür denklemlere kısıt denklem adı verlr. Verlen 6 koordnatın sağlaması gereken 3 kısıt denklem bulunduğuna göre koordnatlardan alnızca 6-33 tanes dğerlernden bağımsız değerler alablr. Bu üç koordnat örneğn A, B ve C olarak seçlrse, ger kalan üçü kısıt denklemlernden hesaplanablr. Buradan, ele alınan sstemn serbestlk derecesnn f3 olduğu sonucu çıkar. (Esasen bu sonuca, n toplam uzuv saısını, e se ad eleman çft saısını göstermek üzere düzlemsel mekanzmaların serbestlk derecesn veren f3(n-)-e -e Grübler-Kutzbach formülünde n4, e 3 ve e erne konularak da ulaşılablrd.) Geldğmz noktada, bu sstemn konumunu tanımlamakta A, B ve C kartezen koordnatlarının kullanılableceğ anlaşılmış olmakla brlkte, sstemn herhang br noktasının koordnatlarının, a da sstemdek csmlern açısal konumlarının bunlar cnsnden hesabının ne kadar külfetl br ş olacağı şöle br düşünülürse bunun pek de ugun br seçm olmaacağı kendlğnden anlaşılır. Pek, bu sstemn konumunu tanımlamakta bundan daha ugun br parametre üçlüsü bulunamaz mıdı? Eğer kendmz blnen koordnat sstemlerle sınırlamadan düşünürsek bunun pekala olanaklı olduğunu görmekte geckmez. Örneğn ϕ, ϕ ve u parametre üçlüsü bu ş çn çok daha ugundur çünkü sstemn tüm noktalarının koordnatları bunlar cnsnden kolaca belrleneblr. Buna br örnek olmak üzere C noktasının koordnatlarının B A C l cosϕ + u cosϕ, C sn ϕ + usn ϕ l (.4.) şeklnde azılacağını belrtmekle etnelm. Br sstemn konumunu tanımlamak üzere, sstemn apısına ugun olarak seçlen bu tür parametrelere genelleştrlmş koordnatlar (a da Lagrange koordnatları) adı verlr. 7

32 Şekl.4.-b dek mekanzmanın konumunu tanımlamakta kullanılan ϕ, θ ve koordnatlarının da brer genelleştrlmş koordnat olduğu ve bunlar arasında, çevrm kapama denklemlernn azılmasıla elde edlen f ( ϕ, θ, ) + r cos ϕ + l cos θ f ( ϕ, θ, ) r sn ϕ + l sn θ (.4.3) kısıt denklemlernn bulunduğu blnmektedr. 3 koordnata karşılık kısıt denklem bulunduğuna göre 3- serbestlk derecel br sstem söz konusudur. Buna göre verlen genelleştrlmş koordnatlardan br konumu tanımlamaa eterldr. Bu ş çn ϕ seçlmş olsun. Bu durumda ϕ e esas genelleştrlmş koordnat, kısıt denklemler ardımıla onun cnsnden hesaplanablecek olan θ ve e se kncl genelleştrlmş koordnat adı verlr. Şmd, ukarıdak örneklern ncelenmesnden ortaa çıkan fkrler toparlaalım: Her mekank sstemn konumunu tanımlamakta, bu sstemn apısına ugun ve alnızca bu ssteme özgü koordnatlar tanımlanablr. Bunlara genelleştrlmş koordnatlar adı verlr. (Genelleştrlmş koordnatların zamana göre türevler de genelleştrlmş hızlar adıla anılır.) Br sstemn konumunu tanımlamakta kullanılan genelleştrlmş koordnatların sağlamak zorunda oldukları denklemlere kısıt denklem a da kısaca kısıt adı verlr. Eğer br sstemde q ;,,, n (.4.4) şeklnde n tane genelleştrlmş koordnat tanımlanmış ve bunlar arasında f j (q,q,,q n ) ; j,,,k (.4.5) şeklnde brbrnden bağımsız k adet kısıt bulunduğu belrlenmşse bu sstemn serbestlk dereces fn-k (.4.6) dr. Genelleştrlmş koordnatlardan kef bçmde seçlp öne çıkartılacak f tanes esas genelleştrlmş koordnat, ger kalan k tanes se kncl genelleştrlmş koordnat olarak adlandırılır..4.. Kısıt Türler. stemlern ınıflandırılması Yukarıda verlen kısıt örnekler ve onları topluca temsl eden (.4.5) kısıt denklem zamandan bağımsız ve holonomk kısıtlar denlen özel br kısıt türüne lşkndr. Osa mekank sstemlerde bunun dışında kalan kısıt türlerne de rastlanır. Analtk mekankte taşıdıkları önem üzünden burada kısaca kısıt türler üzernde durulması ernde olacaktır. Bazen kısıt denklemler genelleştrlmş koordnatları ve/vea genelleştrlmş hızları çermekle brlkte (ukarıdak örneklerde de olduğu gb) t zamanını açık olarak çermeen fonksonlar şeklnde olur: 8

33 f (q,q,...,qn,q&,q&,...,q& n ) f (.4.7) t Bu tür kısıtlara zamandan bağımsız (skleronomk) kısıt adı verlr. Bütün kısıtları zamandan bağımsız olan sstemlere de skleronomk sstem denr. Bazen de kısıt denklemler genelleştrlmş koordnatlar ve/vea genelleştrlmş hızların anısıra zamanı da açık olarak çeren fonksonlar şeklndedr: f (q,q,...,qn,q&,q&,...,q& n;t) f (.4.8) t Bu tür kısıtlara se zamana bağlı (reonomk) kısıt denr. Kısıtlarından en az br zamana bağlı olan sstemlere de reonomk sstem adı verlr. Örneğn Şekl.4.-a dak sabt Ω açısal hızıla çözülen r arıçaplı makaradan asılı sarkaçta, esas genelleştrlmş koordnat olarak ϕ, br kncl genelleştrlmş koordnat olarak da P seçlmş olsun. stemn ncelenmesnden, bu durumda [ + r( ϕ + Ωt) ] sn ϕ f ( ϕ, P ;t) P r cosϕ l (.4.9) şeklnde, t zamanını açıkça çeren br kısıt denklemnn, an zamana bağlı br kısıtın söz konusu olduğu görülür. Maknalarda daha çok zamandan bağımsız kısıtlar söz konusu olur. Öte andan, ukarıda da belrtldğ gb, kısıt denklemlernn genelleştrlmş koordnatlar erne/anısıra genelleştrlmş hızları çerdğ durumlarla da karşılaşılır. Örneğn Şekl.4.-b dek, br düzlem üzernde kamadan uvarlanan r arıçaplı slndr çn, öteleme mktarı le dönme mktarı ϕ genelleştrlmş koordnatlar olarak seçlmş olsun. Kama olmaması çn slndrn düzleme dokunduğu P noktasının hızının sıfır olması, an bu noktanın anlık dönme merkez olması gerekr. Bu se & ve ϕ& genelleştrlmş hızları arasında f (, & ϕ & ) & rϕ& (.4.) kısıtının bulunmasını gerektrr. Ancak bu kısıt denklemnn sol tarafı zamana göre br tam türev oluşturduğu çn kolaca ntegre edlerek, f (, ϕ ) rϕ + C (.4.) şeklne getrleblr. Bünesnde genelleştrlmş koordnatları ve, erne göre, t zamanını barındırıp genelleştrlmş hızları barındırmaan, a da bunları barındırsa da (.4.) dek gb ntegre edlerek alnızca genelleştrlmş koordnatları barındırır hale getrleblen kısıtlara holonomk kısıt, bütün kısıtları holonomk olan sstemlere de holonomk sstem adı verlr. Holonomk br kısıt denklemnn genel görünüşü şeklndedr. f (q,q,...,qn;t) f ;,, n (.4.) q& 9

34 Ω r O ϕ O ϕ l(t), & r ϕ, ϕ& (a) Reonomk P P (b) Holonomk r v ϕ θ P(,) (c) Holonomk Değl R O (d) Holonomk Değl Şekl.4. Kısıt Tpler Br kısıtı holonomk apan, brbrne bağladığı koordnatlardan brn dğerler (ve t) cnsnden çekme olanaklı kılan apıda olmasıdır. Bunun apılablmes se hem kısıtın hem de söz konusu koordnatın problemden düşürüleblmes demektr. Buradan, holonomk sstemlerde konumun tanımlanmasında kullanılacak koordnat saısının, bunun kasten stenlmedğ durumlar dışında her zaman, sstemn serbestlk derecesne eşt kılınableceğ anlaşılır. Bu apıldığında, sstemn herhang br noktasının r er vektörü, f sstemn serbestlk derecesn göstermek üzere rr(q,q,,q f ; t) (.4.3) şeklnde, f adet brbrnden bağımsız genelleştrlmş koordnat cnsnden fade edleblr. Denklemler (.4.) bçmnde olmaan ve bu bçme getrlemeen kısıtlara holonomk olmaan kısıt, kısıtlarından en az br holonomk olmaan sstemlere de holonomk olmaan sstem denr. Holonomk olmaan kısıtlar çok değşk şekllerde olablr. Bu olası şekllern tümünü burada rdelemek ne olanaklı ne de gerekldr. Ancak, br fkr vermek bakımından, sık karşılaşılan k şekln kısaca gözden geçrlmes ararlı olablr. Bazen, genelleştrlmş hızları çeren ve ntegre edlerek alnız genelleştrlmş koordnatları çerr hale getrlemeen kısıtlarla karşılaşılablr. Örneğn Şekl.4.-c dek, kamadan ve ana atmadan uvarlanan bozuk paranın hareketnde, paranın zemnle temas noktasının ve koordnatları, uvarlanma örüngesnn θ eğm ve uvarlanma mktarı ϕ genelleştrlmş koordnatlar olarak seçlmş olsun. Bu koordnatlar arasında, genelleştrlmş hızları da çeren 3

35 f (, &, & ϕ &, θ) & rϕ& cosθ f (, &, & ϕ &, θ) & rϕ& sn θ (.4.4) kısıt denklemler söz konusudur ve brer tam türev ntelğ taşımadıklarından bunların ntegre edlerek,, ϕ, θ koordnatlarını çerr hale getrlmes olanaksızdır. stem holonomk olmaan br sstemdr. 4 koordnat ve bunlar arasında k kısıt bulunduğuna göre sstemn serbestlk dereces f4- olmakla brlkte, kısıt denklemler k koordnat verldğnde dğer ksnn hesaplanmasına olanak vermedğnden konum k koordnatla tanımlanamaz. Bu örneğn temsl ettğ ve genel görünüşü f (q,q,...,qn,q&,q&,...,q& n;t) f ; en az br çn (.4.5) & şeklnde olan holonomk olmaan kısıtlar, sstemn serbestlk derecesn azaltmakla brlkte, verlmes gereken koordnat saısını azaltmazlar. Öte andan bazı sstemlerde de eştszlkler şeklnde kısıtlara rastlanır. Örneğn Şekl.4.-d dek R arıçaplı tepsnn çersnde uvarlanan blanın ve koordnatları f (, ) q + R (.4.6) kısıtına tabdr. Bu da holonomk olmaan br kısıttır. Bu kısıtın, blanın teps çeperne çarpmasını gerektrmeen hareketlerde [f(,)<] ne serbestlk derecesn ne de verlmes gereken koordnat saısını azaltacağı ve ok hükmünde olacağı; bu çeper terk edemedğ [f(,)] hareketlerde se her ksn brden azaltan holonomk br kısıt görünümü alacağı ortadadır. Bu üzden bu örneğn temsl ettğ ve genel görünüşü f (q, q,..., q n ; t) (.4.7) şeklnde olan holonomk olmaan kısıtlar, ukarıdaklerden aparı kurallara tabdr. Esasen (.4.7) dek gb eştszlkler şeklndek kısıtlar engelledkler br hareketn tam tersn serbest bırakan ve bu üzden tek anlı kısıt de adlandırılan kısıtlardır. Bunun ters, an engelledğ her hareketn tam tersn de engelleen kısıtlar se eştlkler şeklnde olup çft anlı kısıt de adlandırılırlar. Bz burada holonomk olmaan kısıtlar konusunda daha fazla arıntıa grmeelm. Çünkü maknaların hemen hemen tamamı holonomk sstemler oluşturduklarından bzm amacımız bakımından buna gerek oktur. Aslında bu noktada serbestlk dereces kavramı da enden sorgulanır ve alternatf serbestlk dereces tanımlarına önelnr se de burada bz bu konunun arıntısına grmeeceğz. 3

36 .4. VİRTÜEL YER DEĞİŞTİRME VİRTÜEL İŞ KIIT KUVVETLERİ.4.. Vrtüel Yer Değştrme Br mekank sstemde, genelleştrlmş koordnatların sonsuz küçük ve sstemn tab olduğu kısıtların verlmş br t anındak durumlarıla bağdaşmak kadıla kef değşmler sonucu olarak ortaa çıkan er değştrmelere vrtüel er değştrme denr. Buradak vrtüel term, ssteme etken kuvvet ve kısıtların da değşme uğraableceğ br dt zaman aralığında oluşacak gerçek sonsuz küçük er değştrmelerle arımı vurgulamaktadır. (Vrtüel er değştrmede kısıtlar lglenlen t anındak durumlarında donmuş kabul edlr.) Bu arımı gösterlme de ansıtmak üzere, herhang br q genelleştrlmş koordnatındak gerçek sonsuz küçük değşm dq le gösterlrken vrtüel değşm δq le gösterlr. Tanımından gelen farklılıklar dışında, δ vrtüel değşm operatörü d dferansel operatörüle anı hesap kurallarına tabdr. Şmd kendmz, konumlarının tanımlanması çn serbestlk derecelerne eşt saıda koordnatın verlmesnn eterl olduğunu bldğmz holonomk sstemlern ncelenmesle sınırlandıralım ve şu andan tbaren sstem denldğnde aks belrtlmedkçe hep holonomk sstemler anlamaı kararlaştıralım. stem f serbestlk derecel ve reonomk ken herhang br noktasının er vektörü (.4.3) uarınca rr(q,q,,q f ; t) (.4.8) şeklnde f adet genelleştrlmş koordnatın ve t nn fonksonu olacak, buna göre bu noktanın gerçek sonsuz küçük (dferansel) er değştrmes f dr r dq j dt q t j j + r (.4.9) şeklnde olacaktır. Buna karşılık anı noktanın vrtüel er değştrmes, tanım gereğ dt zaman aralığında oluşacak değşmlerden etklenmeeceğnden f r δ q j j δr q j (.4.) den baret olur. Buradan hemen anlaşılableceğ gb reonomk sstemlerde gerçek er değştrmelerle vrtüel er değştrmeler her zaman brbrlernden farklıdır. Öte andan, f serbestlk derecel skleronomk br sstem göz önüne alınırsa, rr(q,q,,q f ) (.4.) olacağından gerçek sonsuz küçük er değştrme bu kez 3

37 f r j q dq j j d r (.4.) şekln almakla brlkte vrtüel er değştrme ne (.4.) dek gbdr. Hemen görüleceğ gb k fade anı görünümde olup aralarındak tek arım dq j lerden farklı olarak δq j lern tanım gereğ kef oluşudur. Olası kef seçmlerden br de δq j dq j ; j,,,f seçlmesdr. Buna göre skleronomk sstemlerde gerçek sonsuz küçük er değştrme olası vrtüel er değştrmelerden brdr..4.. Vrtüel İş Br mekank ssteme etken br kuvvetn sstemn br vrtüel er değştrmes sırasında apacağı şe bu kuvvetn vrtüel ş denr. stemn gerçek sonsuz küçük br er değştrmes sırasında apılacak dw gerçek dferansel şnden aırt etmek üzere vrtüel ş δw le gösterlr. Kuvvet FF +F j+f z k le, ugulandığı sstem noktasının vrtüel er değştrmes δrδ+δj+δzk le gösterlrse F kuvvetnn vrtüel ş δwf.δr (.4.3) vea δwf δ+f δ+f z δz (.4.4) a da (.4.) dek hesap r vektörünün bleşenlerne ugulanarak f δw F j q j f + δq j F j q j f δq + z j F z j q j δq j (.4.5) şeklnde fade edlr Kısıt Kuvvetler İdeal kısıtlara sahp br mekank sstemn her vrtüel er değştrmesnde kısıt kuvvetlernn vrtüel şler toplamı sıfırdır. Öncek bölümlern çerğnden, br mekank sstemn genelleştrlmş koordnatlarına sağlamaları gereken km koşullar daatarak onların hareketn sınırlandıran engellere kısıt denldğn bloruz. Kısıtları fzksel olarak sağlaanın, sstem çersndek csmlern hareketlern engelleen ne sstem ç a da sstem dışı csmlern varlığı olduğunu ve bunu sstem ç csmlere kısıt kuvvet adı verlen tepk kuvvetler ugulaarak sağladıklarını da bloruz. Bu bölümdek amacımız, rjd csmlerden oluşan sstemler özelnde, bu kuvvetlern doğası üzernde durmaktır. 33

38 R n N t T T N R Şekl.4.3 Temas Halnde İk Rjd Csm Rjd csmler brbrlernn hareketn dış üzeler üzernden temas ederek kısıtlarlar (Şekl.4.3). İk rjd csm brbrnn çne geçemeeceğnden böle br kısıt temas eden üzelern ortak normal n doğrultusundak bağıl hareketler bütünüle asaklar. Bunu sağlamak üzere csmlern brbrlerne uguladıkları R kısıt (etk-tepk) kuvvetlernn br N normal bleşen her zaman vardır. Buna karşılık, kısıt, ortak teğet t doğrultusundak bağıl hareketlere zn vereblr de vermeeblr de. Bununla lgl olarak k aşırı durum aırdedlr: Bunlardan lknde temas eden üzelern, teğet doğrultudak bağıl hareketlere hç engel çıkartmadığı varsaılır. Bu durumda üzelern deal parlak üze olduğu sölenr. İdeal parlak üzeler üzernden temas eden csmlerde kısıt kuvvetlernn teğet bleşen oktur ve kısıt kuvvet N normal kuvvetnden barettr: RN. İknc aşırı durumda temas eden üzelern teğet doğrultudak bağıl hareketler de bütünüle asakladığı varsaılır. Bu durumda üzelern deal pürüzlü üze olduğu sölenr. İdeal pürüzlü üzeler üzernden temas eden csmlerde kısıt kuvvetlernn N anında br de T teğet bleşen vardır: RN+T. Şmd lkn deal parlak üzeler (RN) durumunu ele alalım. steme at csmn hareketn kısıtlaan csm a sstem dışı br csmdr ve br dış kısıt kuvvet söz konusu olur a da ssteme at knc br csmdr ve br ç kısıt kuvvet söz konusu olur. stem dışı csm halnde bu csm ster hareketl olsun (reonomk kısıt) ster hareketsz (skleronomk kısıt) ssteme at csmn, kısıt kuvvetnn etkdğ noktasının δr vrtüel er değştrmes ortak teğet doğrultusunda olup N δr olacağından δwn.δr olur (Şekl.4.4-a). Buradan deal parlak üzeler halnde br dış kısıt kuvvetnn hç br zaman vrtüel ş apmaacağı anlaşılır. n n R N RN δ r t δ r δ r δ r n δ r n δ r n R N - N (a) Dış Kısıt Kuvvet (b) İç Kısıt Kuvvet Şekl.4.4 İdeal Parlak Yüzeler 34

39 Br ç kısıt kuvvet halnde se (Şekl.4.4-b) sstem ç csmlern brbrle temas halnde bulunan noktalarının brbrne eşt ve ortak normal doğrultusunda br δ rn δrn δrn vrtüel er değştrme bleşenler vardır. Bu nedenle vrtüel er değştrme sırasında R N ve R N tepk kuvvetler teker teker sıfırdan farklı brer δw N δrn ve δw N δrn vrtüel ş apmakla brlkte, Newton un Üçüncü Hareket Yasası dolaısıla N -N olacağından ksnn vrtüel şler toplamı δw δw + δw olur. Buradan, deal parlak üzeler halnde ç kısıt kuvvetlernn vrtüel şler toplamının her zaman sıfır olacağı anlaşılır. Şmd de deal pürüzlü üzeler (RN+T) haln ele alalım. İdeal pürüzlü üzeler ne teğet ne normal doğrultudak bağıl hareketlere zn verdğnden sstem ster skleronomk ster reonomk olsun br dış kısıt kuvvetnn ugulanma noktasının vrtüel er değştrmes sıfır olur: δr. Bu durumda her zaman δwr.δr olacağından deal pürüzlü üzeler halnde dış kısıt kuvvetlernn hç br zaman vrtüel ş apmaacakları anlaşılır. Öte andan, temas noktasının her türlü hareket asaklandığına göre, gere deal pürüzlü üzelern zn verebleceğ tek hareket tp kalmaktadır: temas noktasının anlık dönme merkezn oluşturduğu hareketler. Bu tp hareketlere, blndğ gb, kamadan uvarlanma hareket adı verlmektedr (Şekl.4.5-a). İç kısıt kuvvetlerne gelnce, deal pürüzlü üzeler k csmn karşılıklı temas noktalarının bağıl hareketne zn vermedğne göre bu k noktanın vrtüel er değştrmes brbrne eşt olmak durumundadır: δ r δr δr. Newton un Üçüncü Hareket Yasasına göre de R -R olacağından, R ve R kısıt kuvvetlernn apacağı vrtüel şler arı arı sıfırdan farklı olmakla brlkte bunların toplamı sıfır olur (Şekl.4.5-b). Buna göre deal pürüzlü üzeler halnde ç kısıt kuvvetlernn vrtüel şler toplamının her zaman sıfır olacağı anlaşılır. Şmd buraa kadar sölenlenler toparlanmak stenrse, deal kısıt term deal parlak ve deal pürüzlü üzeler kapsaan br genelleme oluşturmak kadıla ukarıda, bölümün grşnde verlen hükme ulaşılır: İdeal kısıtlara sahp br mekank sstemn her vrtüel er değştrmesnde kısıt kuvvetlernn vrtüel şler toplamı sıfırdır. n n R N R δrδr δr T δ r t R -R t (a) Dış Kısıt Kuvvet (b) İç Kısıt Kuvvet Şekl.4.5 İdeal Pürüzlü Yüzeler 35

40 Burada şuna da şaret edelm k ukarıda sözü edlen R kısıt kuvvetlernn ve onların N ve T bleşenlernn hç br dnamk problemnn vers değldr. Bu kuvvetler hareket bounca, hareketn temsl ettkler kısıtları sağlaması çn gereken şddetler alacak bçmde kendlern uarlarlar. Bu üzden bu kuvvetler ancak dnamk problemnn çözülmes sonunda belrleneblrler. İdeal olmaan kısıtlar (ne deal parlak ne deal pürüzlü üzeler) halnde se, R kısıt kuvvetnn, şddet N normal bleşennk cnsnden, Coulomb Yasası uarınca Tµ k N şeklnde belrl br T teğetsel bleşennn de doğacağı blnmektedr: RN+TN(e n +µ k e t ). İdeal pürüzlü üzeler halndeknden farklı olarak, temas halndek noktaların bağıl hareket apamaması kuralı şmd geçersz olduğundan, ukarıdak muhakemeler de geçersz olur ve deal olmaan kısıtlar halnde kısıt kuvvetlernn T bleşenler hem teker teker hem de toplamda (negatf) vrtüel ş aparlar. Esasen Coulomb asasına uan T sürtünme kuvvetler, br kısıt kuvvet (N) cnsnden verlmş br kuvvet olarak ne tam olarak kısıt kuvvetler sınıfına, ne de tam olarak verlmş kuvvetler sınıfına grerler ve üçüncü br sınıf oluştururlar. Bu kuvvetlern mekankte hesaba katılması her zaman sorunludur. Tüm kısıtları deal olan sstemlere deal sstem adı verlr. Bu ders çerçevesnde ele alınacak sstemlern, aks belrtlmedkçe, deal sstemler oldukları varsaılacaktır..4.3 VİRTÜEL İŞLER İLKEİ Vrtüel şler lkes br statk lkesdr. Ama anı zamanda dnamğn çok öneml km lkelernn de çıkış noktasını oluşturur. İlkenn lk zler Archmedes e kadar uzanır. Ancak lke bütün genellğ çersnde lk fade eden Johann Bernoull, ona son ve mükemmel şekln veren se Lagrange 3 olmuştur. Vrtüel şler lkes şöle fade edlr: İdeal br mekank sstemn dengede olmasının gerek ve eter koşulu, üzerne etken kuvvetlern vrtüel şler toplamının, olası bütün vrtüel er değştrmelerde sıfır olmasıdır. Mekank sstem br maddesel noktalar bütünü olarak görülür ve nc maddesel noktaa etken bleşke kuvvet F le, bu maddesel noktanını vrtüel er değştrmes se δr le gösterlrse (Şekl.4.6) lke matematksel olarak δw δ δr W F (.4.6) Archmedes (İ.Ö. 87-). Yunan blgn. Kaldıraç Yasası ve Hdrostatk Kaldırma Kuvvet Yasasını ortaa komasının anısıra, sonsuz vda, palanga, dşl çark gb br çok mekanzmaı cat etmesle tanınır. Kaldıraç Yasası, Vrtüel İşler İlkesnn lk çekrdeğn oluşturur. Johann Bernoull ( ). Ağabe Jacob Bernoull (654-75) ve oğlu Danel Bernoull (7-78) le brlkte, İsvçre nn blm dünasına armağan ettğ ünlü Bernoull alesn oluşturur. 3 Joseph Lous Lagrange (736-83). Büük fransız matematk ve mekankçs. Matematkte Varasonlar Hesabının, mekankte Mécanque Analtque (Analtk Mekank, 788) adlı apıtıla, potansel enerj, genelleştrlmş koordnat kavramlarının ve hareketn Lagrange Denklemlernn; kısaca Analtk Mekanğn kurucusu. 36

41 F 6 δ r Şekl.4.6 Maddesel Noktalar stem şeklnde fade edleblr. Ancak bu halle lkenn ne şaşırtıcı br anı, ne de getrdğ br enlk vardır. Çünkü eğer sstem dengede olacaksa her br maddesel noktası dengede olmalı, bunun çn se F lern her br teker teker sıfıra eşt olmalıdır. Bu se doğrudan doğrua (.4.6) eştlğn azdırır. İlke asıl lgnç haln, deal kısıtlara sahp sstemlere ugulandığında alır. Bz de bundan böle kendmz deal kısıtlara sahp sstemlern dengesnn ncelenmesle v k sınırlandıralım ve F kuvvetler çersndek verlmş kuvvet ( F ) ve kısıt kuvvet ( F ) bleşenlern aırarak devam edelm: v k F F + F (.4.7) (.4.7) eştlğ (.4.6) da erne konulduğunda δw F δr + F δr (.4.8) v k elde edlr. Osa Bölüm.4..3 ün çerğnden, deal kısıtlar halnde, br mekank ssteme etken bütün kısıt kuvvetlernn vrtüel şler toplamının her vrtüel er değştrmede sıfır olacağı, an F δr (.4.9) k olacağı blnmektedr. Bunun anlamı se deal kısıtlara sahp sstemlerde bütün kısıt kuvvetlernn statk denge problemnden düşmesdr. Bölece (.4.8) erne, alnız verlmş kuvvetler çeren v δw F δr (.4.3) statk denge koşuluna gelnr (Burada artık ednz.). Bu sonuç, v F lern teker teker sıfıra eşt olmadığına dkkat 37

42 İdeal kısıtlara sahp br mekank sstemn dengede olmasının gerek ve eter koşulu, üzerne etken verlmş kuvvetlern vrtüel şler toplamının, olası bütün vrtüel er değştrmelerde sıfır olmasıdır. şeklnde fade edleblr. Şmd de kendmz holonomk sstemlern ncelenmesle sınırlandıralım ve f serbestlk derecel olduğunu varsadığımız sstemn konumunu, brbrnden bağımsız f adet q, q,.,q f genelleştrlmş koordnatıla tanımladığımızı düşünelm. Bu durumda, (.4.) dek fkr uarınca (.4.3) eştlğ erne (artık v üst nds kaldırılarak) δw f r F j (.4.3) q j δq j a da toplamların sırası değştrlerek δw f j r δq q j j F (.4.3) azılablr. Burada da Q j r F (.4.33) q j vea, (.4.6) ışığında, daha genel olarak tanımlanırsa W Q j (.4.34) q j f δw Q δq (.4.35) j j j fadesne gelnr. Bu noktada q j lern, dolaısıla da δq j lern brbrnden bağımsız olduğu anımsanırsa (.4.35) eştlğnn sağlanablmes çn a δq j lern her br teker teker sıfıra eşt olmalı (k eştlk olası bütün vrtüel er değştrmelerde geçerl olmak durumunda bulunduğu çn bu seçenek konu dışıdır) a da δq j lerden her brnn çarpanı arı arı sıfıra eşt olmalıdır. Bölece deal kısıtlara sahp holonomk sstemlerde statk dengenn gerek ve eter koşulu olarak Q j ; j,,,f (.4.36) 38

43 sonucuna ulaşılır. Buradak Q j e q j genelleştrlmş koordnatına lşkn genelleştrlmş kuvvet adı verlr. Genelleştrlmş kuvvet kavramı, genelleştrlmş koordnatları esas alan analtk mekanğn, kuvvetler değşk koordnatlara etkecek bleşenlerne aırma gereksnmne cevap vermekte, ve bu özellğle kend mantıksal kurgusuna ugun kuvvet kavramını oluşturmaktadır. Bu açıdan bakıldığında (.4.36) denge koşulu da, kullanılan koordnat sstemne göre bütün kuvvet bleşenlernn sıfıra eşt azılmasından baret, beklenen br sonuç olarak görünür. (.4.33) tek tanımlarından hemen görüleceğ gb Q j genelleştrlmş kuvvetler her zaman kuvvet boutunda değldr. q j uzunluk boutunda ken kuvvet boutunda olan Q j, q j nn açı boutunda olması halnde moment boutunda olur. Bölece (.4.35) dek Q j δ q j çarpımları her zaman enerj boutunda kalır. Vrtüel şler lkes, özellkle çok saıda deal (a da deal kabul edleblen) kısıt çeren mekank sstemlern, k maknalar böledr, statk ncelemelernde çok ararlı br araç oluşturur. Örnek Problem.4. O ϕ n n ϕ n- n- g ϕ l l/ mg G ϕ ϕ A F ürtünmesz olarak brbrne mafsallanmış, m kütlesne ve l bouna sahp n adet özdeş homojen çubuktan oluşan şekldek zncr, br ucu O noktasına asılı olarak dğer ucuna etken ata F kuvvetnn etksnde dengede bulunmaktadır. Bu dengede, k ıncı çubuğun düşele apacağı ϕ k açısını hesaplaınız. Şekl Pr..4. Çözüm: Mafsallarda sürtünme bulunmadığına göre sstem dealdr; kısıt kuvvetler göz önüne alınmaacaktır. Arıca sstem holonomk ve n serbestlk dereceldr; n adet ϕ açısı esas genelleştrlmş koordnat alınablr. Verlmş kuvvetler olan F kuvvet ve n adet çubuğun mg ağırlık kuvvetler dkkate alınarak k ıncı genelleştrlmş kuvvet (.4.33) uarınca ϕ n Q F + mg () k A k ϕ G k 39

44 şeklnde azılır. Burada şekl ardımıla n A l sn ϕ () l G cosϕ + l cosϕ n j + j () azıldıktan sonra () den ϕ A k l cosϕ (v) k () den de < k k > k se : se : se : ϕ ϕ G G k k lsn ϕ G k k l sn ϕ ϕ k (v) belrlenr. (v) ve (v) le () e dönülürse Q k k F cosϕk l l mg lsn ϕk mg sn ϕk (v) vea toparlaıp (.4.36) uarınca sıfıra eştleerek Q k k k F l cosϕ (k )mgl sn ϕ (v) elde edlr. Buradan artık ϕ k kolaca k F (k )mg ϕ tan (v) şeklnde hesaplanır. 4

45 .4.4 D ALEMBERT İLKEİ D Alembert İlkes dnamk problemlernn bçmsel olarak statk problemlerne dönüştürülmesn sağlaan br lkedr. İlkee esas oluşturan temel fkrler d Alembert tarafından ortaa konmakla brlkte, bu fkrler vrtüel şler lkesnn temel fkrlerle brlkte br senteze ulaştırarak dnamğn temel lkelernden br halne getren Lagrange olmuştur. Newton un İknc Hareket Yasası na göre m kütlesne sahp br maddesel nokta, hareketnn herhang br t anında F kuvvetnn etks altında ve& r& mutlak vmesne sahp olacak bçmde hareket edorsa F m& r& (.4.37) eştlğnn geçerl olduğu blnmektedr. Bölüm...3 ün çerğnden se, kurgusal elemszlk kuvvetnn devree sokulmasıla, bunun erne F e m& r& F + F e (.4.38) a da F e nn fades erne konularak F m & r (.4.39) azılableceğ bunun da, m csmnn, kendsle brlkte hareket ettğ varsaılan haal br eksen takımındak statk denge koşulu olarak orumlanableceğ blnmektedr. Bu oruma göre her csm, kendsle brlkte hareket eden br eksen takımında, F gerçek ve F e kurgusal kuvvetlernn toplam etks altında statk denge halnde bulunur. Bu fkr m maddesel noktalarının oluşturduğu br bütün olarak düşünülen br mekank ssteme ugulanırsa (Şekl.4.7) F e m 3 & r 3 3 F m 3 F 3 F r e m & m m F F e m & r F m F & r e m Şekl.4.7 D'Alembert İlkes Jean le Rond d Alembert (77-783) Fransız matematkç, fzkç ve düşünürü. Traté de Dnamque (743) adlı apıtında özellkle Newton İlkelernn rjd csmlere ugulanmasına lşkn fkrler gelştrd, tellern ttreşm problemnn kend adını taşıan çözümünü verd. Dderot le brlkte fransız adınlanma hareketnn öncülüğünü aptı, ünlü Anskloped nn önsözünü ve br çok maddesn kaleme aldı. 4

46 ( F m& r ) (.4.4) elde edlr. İstenrse (.4.4) ın temsl ettğ kurgusal statk denge problemne vrtüel şler lkes ugulanarak ( F m& r ) δr (.4.4) da azılablr. Buradak F m& r büüklükler teker teker sıfıra eşt olduğundan bu lgnç br sonuç değldr. Ancak Bölüm.4.3 te apıldığı gb F kuvvetler v k F F + F (.4.4) şeklnde, verlmş kuvvet ve kısıt kuvvet bleşenlerne arılarak düşünülür ve nceleme deal kısıtlara sahp sstemlerle sınırlandırılırsa, vrtüel şler toplamı sıfır olan kısıt kuvvetler problemden düşer ve v ( F m& r ) δr (.4.43) sonucuna ulaşılır. Lagrange tarafından formüle edlen bu sonuç, ne onun tarafından d Alembert İlkes de adlandırılan sonuçtur. D Alembert lkes kelmelerle İdeal kısıtlara sahp her mekank sstem, üzerne etken verlmş gerçek kuvvetlerle kurgusal elemszlk kuvvetlernn vrtüel şler toplamı, hareketnn her t anında ve olası bütün vrtüel er değştrmelerde sıfır olacak bçmde hareket eder. şeklnde fade edleblr..4.5 HAREKETİN LAGRANGE DENKLEMLERİ Lagrange, d Alembert lkesnden ola çıkarak, her türlü mekank sstemn hareket denklemlern genelleştrlmş kordnatlar uzaında elde etmenn sstematk br olunu ortaa komuştur. Burada bu olun ana hatlarını gözden geçreceğz Genel f serbestlk derecel br mekank sstem göz önüne alınsın ve bu sstemn konumunun n f adet q,q,..., qn genelleştrlmş koordnatıla tanımlandığı düşünülsün. Bu durumda sstemn herhang br nc noktasının er vektörü bu n genelleştrlmş koordnatla, reonomk sstemler halnde, t zamanının fonksonu olarak fade edleblecektr: 4

47 r r ( q,q,..,qn;t) (.4.44) Buna göre bu noktanın vrtüel er değştrmes de (.4.) dek gb n r j q j δr δq (.4.45) j şeklnde azılablr. Bu fadenn, deal kısıtlara sahp sstemlern hareketlern önettğ blnen (.4.43) de erne konulmasıla ve F nn alnız verlmş kuvvetler çereceğ akılda tutulmak kadıla v üst nds artık kaldırılarak n n ( m ) r q r F & r j ( m ). δq j q δ j q j j F & r (.4.46) j elde edlr. Burada da (.4.33) dek r q j F Q (.4.47) j genelleştrlmş kuvvet tanımı anımsanırsa n r [ Q ( m j r& ) ] δq j j & (.4.48) q j azılablr. Öte andan, (.4.48) dek e göre toplam altındak termn, T sstemn toplam knetk enerjsn göstermek üzere d T r T (.4.49) dt q& j q j r m && q j şeklnde azılableceğ gösterleblr. Bu amaçla T m r& (.4.5) azılırsa, buradan hemen T q& j r& & q& j m r (.4.5) elde edlr. Osa (.4.44) e göre n r q q j j j & r t r & + (.4.5) 43

48 44 olacağına dkkat edlp, (.4.5) den doğrudan doğrua kısm türev alınırsa j j q q r r & & (.4.53) bulunur. (.4.53) ün (.4.5) de erne konulmasıla j j q q T m r r& & (.4.54) elde edlmş olur. Buradan zamana göre türev alınırsa + q dt d q q T dt d j j j m m r r r r & && & (.4.55) a da son term çn (.4.5) ardımıla j k j j k j j q t k k q q t q k k q q q dt d q q + + r r r r r r & & & (.4.56) azılarak + q q q T dt d j j j m m r r r r & & & & & (.4.57) elde edlr. Burada da (.4.5) den j j q q T m r r & & (.4.58) olduğuna dkkat edlrse (.4.49) eştlğ kanıtlanmış olur. onuçta (.4.49) eştlğ (.4.48) de erne konularak δ n j j j q T q T dt d q Q j j & (.4.59) elde edlr. Buraa kadar q j genelleştrlmş koordnatlarının, dolaısıla da δq j vrtüel er değştrmelernn brbrnden bağımsız olmalarını sağlaacak br kabul devree sokmadığımız çn (.4.59) da δq j lern çarpanlarının arı arı sıfıra eşt olması gereğ oktur. Şmd bunu gerektren br özel hal ele alalım.

49 .4.5. Holonomk stemlerde Lagrange Denklemler f serbestlk derecel holonomk br sstemde konumun brbrnden bağımsız f adet genelleştrlmş koordnatla tanımlanableceğn bloruz. Böle apılmış olması halnde (.4.59) un sağlanablmes çn δq j lern çarpanlarının arı arı sıfıra eştlenmes gerekr ve holonomk sstemler özelnde geçerl olan d dt T q& j T q j Q j ; j,,,f (.4.6) hareket denklemlerne ulaşılır. ( T özel halnde bu denklemlern (.4.36) dak statk denge denklemlerne ndrgendğne dkkat ednz.) Öte andan, Q j genelleştrlmş kuvvetler arasında korunumlu kuvvetlern de bulunması halnde (.4.6) denklemlerne en br şekl de verleblr. Böle br durumda Q j genelleştrlmş kuvvet, korunumsuz Q j ve korunumlu Q j kısımlarının toplamı şeklnde azılmış olsun: Q j Q j + Q j (.4.6) Korunumlu kuvvetlern tanımı gereğ (Bkz. Bölüm...), bu kuvvetlern kendnden türetlebleceğ, konumun fonksonu olan, V(q,q,...,qf ) şeklnde br potansel enerj fonksonu bulunmalı ve kuvvetn her br q j genelleştrlmş koordnatına lşkn bleşen Q V j ; j,,,f (.4.6) q j şeklnde hesaplanablmeldr. Öte andan potansel enerj hızlardan bağımsız olduğundan V q& j ; j,,,f (.4.63) olacağı ortadadır. ( ) eştlklernn (.4.6) da değerlendrlmesle d dt (T V) q& j (T V) q j Q j ; j,,,f (.4.64) azılableceğ anlaşılır. Burada da Lagrange fonksonu de adlandırılan LT-V (.4.65) fonksonu tanımlanırsa, sonuç olarak d dt L L q & j q j Q j ; j,,,f (.4.66) elde edlr. Bu denklemler hareketn Lagrange Denklemler adıla blnr. 45

50 Burada deal kısıtlara sahp holonomk sstemlere özgü haln vermekle etndğmz Lagrange denklemler, her tür mekank sstemn hareketn tasvr etmekte kullanılablen güçlü ve zarf br araç oluşturur. Bu aracın başlıca üstünlüğü, vektörel mekankte önce hesaba katılıp sonra hesaptan düşürülen kısıt kuvvetlern daha şn başlangıcında devre dışı bırakmasıdır. Ancak hesaplanmak stenenn doğrudan doğrua kısıt kuvvetler olması halnde bunun br üstünlük olmaktan çıkıp br zaafa dönüşebleceğnn de belrtlmes gerekr. Burada son br küçük not olarak şunu da belrtelm k (.4.65) bağıntısıla tanımlanan Lagrange fonksonu, en sstematk ve bast oldan elde edlen Lagrange fonksonu olmakla brlkte verlmş br sstem çn azılablecek tek Lagrange fonksonu değldr. Her sstem çn, (.4.66) da erne konulduğunda (.4.65) dekle anı sonucu verecek br çok Lagrange fonksonu bulunablr. Örnek Problem.4. u Şekldek sstemde, k aına bağlı m,r k θ homojen slndr ata düzlem üzernde G r kamadan uvarlanarak u(t) hareketn m aparken, ona sürtünmesz olarak mafsallı, nce, düzgün kestl, homojen m,l çubuğu G da ata F(t) kuvvetnn etksnde ϕ(t) ϕ m,l salınımları apmaktadır. F(t) A stemn hareketnn Lagrange denklemlern elde ednz. Şekl Pr..4. Çözüm: İk serbestlk derecel, deal, holonomk br sstem söz konusudur (Bu belrlemeler doğrulaınız). Önce sstemn knetk enerjs fade edlsn: Burada [ m ( ) ] ( v + mr θ + mv + ml ) [ ϕ ] &. () T & G G vg u&, () v & + & G G bağıntısından, u + sn ϕ G G l cosϕ & G G l sn ϕϕ& le azılan l & u & l + cos ϕϕ& G ve v G & l + ϕ& u + l cosϕu& ϕ&, () 4 46

51 ve slndrn kamadan uvarlanma kısıtından azılan θ & (v) u& r erlerne konur ve sonuç düzenlenrse [( 3 + )& m m u + l ϕ& m + m l cosϕu& ϕ] T & 3 (v) bulunur. Şmd de potansel enerj fade edlmek stenrse, V ku m gl cosϕ (v) azılablr. Bölece ssteme at Lagrange fonksonu [( 3 m + m ) u + m l ϕ& + m l cosϕu& ϕ& ku + m gl ϕ] L & cos (v) 3 şeklnde bulunmuş olur. Buradak u ve ϕ, serbestlk derecel olan sstem çn seçtğmz esas genelleştrlmş koordnatlardır. Öte andan, ssteme etken korunumsuz tek kuvvet olan F(t), (.4.33) uarınca genelleştrlmş kuvvet bleşenlerne arılırsa Q u F(t) ra u F(t) [( u + l sn ϕ) + l cos ϕj] F(t) u (v) Q ϕ ra [ ( u + l sn ϕ) + l cos ϕj] F(t) F(t) F(t) l cos ϕ () ϕ ϕ elde edlr. Artık apılması gereken, (.4.65) ten q u ve q ϕ koordnatları çn gerekl hesapların apılmasından barettr. Önce u koordnatı ele alınırsa, d dt { L} L Q u u& u () denklem azılır. Burada (v) göz önüne alınarak, ve L u L u& ku () ( 3 + m ) u& + m l cosϕϕ& m, () buradan zamana göre tam türev alarak da d dt { L} ( 3 + m )&& u l ϕϕ& m sn + m l cosϕϕ& u& m () hesaplanır. (v), () ve () ün () da erlerne konulmasıla 47

52 ( 3 m + m ) u& + m l( cosϕϕ&& sn ϕϕ& ) + ku F(t) & (v) elde edlr. Benzer hesapların ϕ koordnatı çn nelenmesle de den, d dt { } L L Q ϕ ϕ& ϕ (&& u cos ϕ + g sn ϕ) F(t) l cosϕ (v) m ϕ + l && m 3 l (v) bulunur. (v) ve (v), hareketn, aranan Lagrange denklemlerdr. Örnek Problem.4.3 O ϕ G u m m,l Şekldek sstemde, nce, düzgün kestl, homojen m,l çubuğu sürtünmesz O mafsalından asılı olarak ϕ(t) salınımlarını aparken, m maddesel noktası da çubuk bounca sürtünmesz olarak kaarak u(t) hareketn apmaktadır. stemn hareketnn Lagrange denklemlern elde ednz. Şekl Pr..4.3 Çözüm: stem k serbestlk derecel, deal, holonomk br sstemdr. stemn knetk enerjs fade edlmek stenrse, [ m ( ) ] v + m ϕ mv T & + G azılıp, burada ve l l () v ϕ&, () G v & + & G G G u cos ϕ & G bağıntısından, G u sn ϕ & G u& sn ϕ + u cosϕϕ& ve G G u& cos ϕ u sn ϕϕ& le azılan v u + u ϕ& G erlerne konulursa & () ( m ) ϕ& + m ( u& + u ϕ ) T 3 & l (v) 48

53 bulunur. Potansel enerj çn se kolaca, V l m g cosϕ m gu cosϕ (v) azılablr. Bölece ssteme at Lagrange fonksonu ( m ) ϕ& + m ( u& + u ϕ& ) + ( m + m u) g ϕ L l l cos (v) 3 şeklnde bulunmuş olur. Artık (.4.65) ten q ϕ ve q u koordnatları çn, ssteme herhang br korunumsuz kuvvet etkmedğne göre Q u, Q ϕ olacağına da dkkat edlerek gerekl hesaplar apılırsa, d dt { L} L ϕ& ϕ (v) dan L ϕ& 3 m l ϕ & + m u ϕ& { } ( l + m u ) ϕ && + m uu& ϕ& d dt L ϕ& m 3 (v) ve L ϕ ( l + m u) g sn ϕ m le ( + m u ) ϕ && + m uu& ϕ & ( l + m + m u) g sn ϕ m 3 elde edlr. Benzer şeklde l () d dt { L} L u& u () dan se, gerekl hesaplar apılarak & u uϕ& g cosϕ () bulunur. () ve () hareketn Lagrange denklemlerdr. 49

54 3. TEK ERBETLİK DERECELİ DÜZLEMEL MAKİNALARIN TATİK DENGEİ 3. GENEL Genel olarak br maknanın görev kuvvet ve hareket leterek br drence karşı ararlı ş apmak olmakla brlkte, kaldırma ve taşıma maknaları gb km maknalarda, görevn, hareket etmekszn br drenç kuvvetnn dengede tutulması şeklndek evrelerne de rastlanır. Yne km maknaların görevler, çok büük drenç kuvvetlerne karşı çok küçük hız ve vmelerle çalışmalarını gerektrr. Bu gb maknaların hareketlernn ncelenmes gerektğnde, hareket göz ardı ederek, probleme, söz konusu drenç kuvvetlernn çeştl konumlarda dengede tutulmasına lşkn br dz statk denge problem gözüle bakılması ugun br lk aklaşıklık oluşturur. Bu gb durumlarda maknaların statk denges problemle karşı karşıa kalınır. Bu problemn çözümünde baş vurulablecek en ugun araç vrtüel şler lkesdr. Vrtüel şler lkes, amacın bzzat bu kuvvetlern hesaplanması olmadığı problemlerde, maknalarda çok saıda olan kısıt kuvvetlern devre dışı bırakarak etkl olur. Bu bölümde, vrtüel şler lkesnn rjd uzuvlardan oluşan, tek serbestlk derecel, düzlemsel, holonomk, skleronomk ve deal kısıtlara sahp maknaların statk denge problemne ugulanışı ele alınacaktır. 3. VİRTÜEL İŞLER İLKEİNİN MAKİNALARA UYGULANMAI 3.. DÜZLEMEL HAREKET YAPAN BİR RİJİD CİME ETKİYEN KUVVETLER İTEMİNİN VİRTÜEL İŞLER TOPLAMI Düzlemsel makna de, bütün uzuvları düzlemsel hareket apan maknalara denr. Bu nedenle, rjd uzuvlu düzlemsel maknalara vrtüel şler lkesn ugulamaa geçmeden önce, buna hazırlık olmak üzere, düzlemsel hareket apan br rjd csme etken kuvvetlern vrtüel şlernn hesaplanması konusuna kısaca değnmek ernde olacaktır. Bu amaçla, Şekl 3.. dek, O düzlem çersnde hareket eden rjd csm göz önüne alınsın ve bu csmn, hareket düzlem üzerndek zdüşümler F, F,,F j, olarak blnen br dz kuvvetn etks altında bulunduğu düşünülsün. Rjd csmlere etken kuvvetlern kaan vektörler oldukları, an etk çzgler bounca kadırılmalarının etklern farklılaştırmadığı blndğne göre her kuvvetn etk çzgs üzernde kef br A j noktası bu kuvvetn ugulama noktası olarak seçlsn. Bu durumda csme etken kuvvetler sstemnn toplam vrtüel ş çn 5

55 η A p A r p F r r P A j r j F j θ F ξ O p Şekl 3.. Rjd Csme Etken Kuvvetler stem δw F jδra (3..) j j azılablr. Osa düzlemsel hareket apan rjd csmn serbestlk dereces üç olduğuna ve konumu P, P (vea r P ) ve θ koordnat üçlüsü le tanımlanableceğne göre bütün δ ler δp, δ P (vea δr P ) ve δθ cnsnden belrl olmalıdır. Gerçekten de r A j r A j rp + rj dr A j drp + drj dr A j drp + dθk rj şeklnde hesap apılırsa δ r A j δrp + ( k rj) δθ (3..) olduğu görülür. (3..) eştlğ (3..) de erne konulduğunda δw ( j F ) δr + ( r F kδθ (3..3) j P j j) j elde edlr. Buradak lk termdek toplam, kuvvetler sstemnn F bleşkesnden, knc termdek toplam se sstemn P den geçen, k a koşut eksene göre toplam moment M P den başka br şe değldr: F, M M k r F (3..4) j F j P P j j Bölece, csme etken kuvvetler sstemnn vrtüel şler toplamı çn (3..3) erne j δw F δr P + M P δθ F δ P + F δ P + M P δθ (3..5) azılableceğ görülür. Buradan, br rjd csme etken br kuvvetler sstemnn vrtüel şler toplamı hesaplanmak stendğnde bu sstem oluşturan tüm kuvvetlern teker teker ele alınmasına gerek bulunmadığı; kef br P noktasına etktlecek Burada vektör karışık çarpımının a.(bc) (ab).c (ca).b özellğ dkkate alınmıştır. 5

56 bleşkenn ve P e göre toplam momentn dkkate alınmasının eterl olacağı anlaşılmaktadır. Bu sonuç, aslında, rjd csmlere etken br kuvvetler sstemnn ndrgenmesle lgl blnen br kuralın doğrulanmasından başka br şe değldr. Bu kurala göre rjd csme etken br kuvvetler sstem, csmn kef seçlecek br P noktasına etken bleşke kuvvet le moment sstemn P e göre toplam momentne eşt br kuvvet çftle eşdeğer olarak temsl edleblr. Buna kuvvet sstemnn P noktasına ndrgenmes denr. Bu blgnn, anı rjd csme etken br çok kuvvetn vrtüel şler toplamının hesaplanmasında büük kolalık sağlaacağı; kef olan P ndrgeme noktasının ugun seçlmesle bu kolalığın daha da arttırılableceğ açıktır. 3.. MAKİNALARIN DENGEİ Rjd uzuvlara ve deal kısıtlara sahp düzlemsel br maknanın denge koşulu vrtüel şler lkes ardımıla azılmak stenrse, δ W maknanın numaralı hareketl uzvuna etken kuvvetlerden kısıt kuvvetler dışında kalanların (3..5) tek gb hesaplanan vrtüel şler toplamını göstermek üzere δw δw δrp + M δθ P F (3..6) azılablr. Makna tek serbestlk derecel ve holonomk olduğuna göre konum tek br q esas genelleştrlmş koordnatıla, vrtüel er değştrme de δq le tanımlanablmeldr. Bu se δr P le δθ nn δq cnsnden fade edlmesn gerektrr. Mekanzmaların knematğnden, gerçekten de δr g P P (q) δq (3..7) azılableceğ blnmektedr. δθ çn de δθ gθ (q) δq (3..8) azalım. nc uzvun konumunu tanımlamak üzere seçlen s kncl koordnatının açısal br koordnat olması halnde θ s δθ δs g θ g olacağı (Şekl 3..-a); bu uzvun hareket dönme de çermekle brlkte konumunu göstermekte çzgsel br s koordnatı kullanılmış olması halnde se uzvun, dönmesn palaştığı br başka uzuv (j nc uzuv delm) bulunacağı ve θ s j δθ δs j g θ g j olacağı (Şekl 3..-b) açıktır. Bu açıklamadan sonra (3..7) ve (3..8) eştlklerle (3..6) a dönülürse, mekanzmanın statk denge koşulu olarak [ P g (q) + M g (q)] F P θ (3..9) 5

57 j s θ s j s θ s j (a) (b) Şekl 3.. Uzvun Dönmes elde edlr. Mekanzmanın konum analznn analtk oldan gerçekleştrlp hız katsaılarının kapalı formda elde edlmş olması halnde statk denge koşulu da (3..9) denklemnden q konumunun fonksonu olarak elde edlr. Buna karşılık konum analznn ancak bell q* konumları çn saısal oldan gerçekleştrleblmes halnde denge koşulu da ancak lgl q* konumları çn elde edleblr. Öte andan, skleronomk maknalarda (3..9) da kullanılan hız katsaılarının, ω θ& gösterlmle P vp q& g, ω θ q& g (3..) eştlklern sağladıkları anımsanırsa bu denklem erne P [ v (q) + M ω (q)] F P (3..) de azılableceğ görülür. (3..) denklem, skleronomk maknaların statk denge koşulunun azılmasında kef br q& esas genelleştrlmş hızına karşılık gelen hız çözümlemes sonuçlarının da kullanılableceğn göstermektedr. Bu noktada, kısaca, makna uzuvlarına etken kuvvetlern brer vektör olarak fade edlş üzernde durulması ernde olacaktır. Şddetlern gösteren br F skaler ve etk doğrultularını gösteren br e brm vektörü ardımıla bu kuvvetler genel olarak F Fe (3..) şeklnde fade edlrler. Buradak F skaler blnen a da hesaplanmak stenen br büüklük olablr. Bzm burada üzernde durmak stedğmz, asıl, e brm vektörüdür. Uzuvlara etken ağırlık kuvvetler örneğnde olduğu gb (Şekl 3..3-a) km kuvvetler sabt (maknanın q konumundan bağımsız) ve verlmş br etk doğrultusuna sahptr: esabt e q (3..3) 53

58 j e F P F P e Q F j -F r P r Q Q r P r Q Wmg O O (a) (b) (c) Şekl 3..3 Makna Uzuvlarına Etken Kuvvetlern Etk Doğrultuları Bu durumda e nn belrlenmes çn ek br garet gerekmez. Ancak km kuvvetler de mekanzmanın nc uzvunun br P noktasına, öbür ucu br Q noktasına bağlı br kuvvet ugulama elemanı (halat, hdrolk slndr vb.) ardımıla ugulanırlar (Şekl 3..3-b,c). Böle durumlarda kuvvetn QP etk doğrultusu, genellkle, maknanın q konumuna bağlı olarak değşr: rp rq rp rq ( ) + ( ) j P Q P Q e e(q) (3..4) ( ) + ( ) P Q P Q Bu değşm, Q ucu sabt br noktaa bağlı elemanlar (Şekl 3..3-b) halnde r P r P (q) oluşundan; Q ucu da maknanın br başka j nc uzvuna bağlı elemanlar (Şekl 3..3-c) halnde se hem r P r P (q) hem r Q r Q (q) oluşundan kanaklanır. Bu durumlarda lkn maknanın konum çözümlemesnn apılması, sonra da e nn (3..4) ten hesaplanması gerekr. Öte andan, Şekl 3..3-a ve b dek kuvvetler makna çn brer dış kuvvet ken Şekl 3..3-c dek kuvvet br ç kuvvet oluşturur. Böle ç kuvvetlern söz konusu olduğu durumlarda j nc uzvun nce etks olan F Fe kuvvetnn anısıra ncnn j nce tepks olan ve Newton'un üçüncü hareket asası dolaısıla Fj F eştlğn sağlaan kuvvetn de statk denge hesabında dkkate alınması gerekr. Bu se (3..6) statk denge denklemnde δ W F δr + F δr Fe ( δr δr ) Fe δ( r r ) (3..5) P j Q j P şeklnde br termn hesaba katılmasını gerektrr. Bu termn hemen ortaa koduğu br özellk olarak, maknalarda edml (aktf) ç kuvvetler, etkleşm halndek makna noktalarının bağıl vrtüel er değştrmes le orantılı vrtüel ş aparlar. Q j P Q j 54

59 3..3 GENELLEŞTİRİLMİŞ KUVVET Bölüm.4.3 ün çerğnden, f serbestlk derecel holonomk sstemlerde statk dengenn gerek ve eter koşulunun Q j j nc genelleştrlmş koordnata lşkn genelleştrlmş kuvvet göstermek üzere Q j ; j,,,f şeklnde azılableceğ blnmektedr. Bu blg, tek serbestlk derecel holonomk maknaların statk denge koşulunu fade eden (3..9) le brlkte değerlendrldğnde, bu maknalarda q esas genelleştrlmş koordnatına lşkn genelleştrlmş kuvvetn [ ] + P g (q) M g (q Q(q) F P θ ) (3..6) a da, skleronomk maknalarda, (3..) bağıntıları kullanılarak Q(q) v (q) P ω (q) F P + M (3..7) q& q& şeklnde fade edlebleceğ anlaşılır. (3..6) bağıntısında er alan hız katsaılarının q konumunun fonksonu olduğu maknalarda genelleştrlmş kuvvet de konumun br fonksonu olacaktır. Fzksel anlam olarak genelleştrlmş kuvvet, konumu q esas genelleştrlmş koordnatı le tanımlanan uzva ugulandığında maknaa etken bütün kuvvetlern toplam etksne denk etk aratacak kuvvet temsl etmektedr. Bu anlamda bazen Q e q koordnatına ndrgenmş eşdeğer kuvvet de denr. Kuvvet de adlandırılmakla brlkte Q nün her zaman kuvvet boutunda olmadığına; q koordnatı çzgsel br koordnat ken kuvvet boutunda olan Q nün, q açısal br koordnat ken moment boutunda olacağına dkkat ednz. Genelleştrlmş kuvvet kavramı maknaların statğnde olduğu gb dnamğnde de öneml br er tutar MEKANİK KAZANÇ. MEKANİĞİN ALTIN KURALI Amacı br P Pe P kuvvetn br F Fe F kuvvet ardımıla dengede tutmak olan br maknada, başarının br ölçüsünü oluşturan P F η (3..8) oranına mekank kazanç adı verlr. P ve F nn ugulanma noktalarının hız katsaısı vektörlerne, sırasıla, g P (q) ve g F (q ) denlrse anılan denge (3..9) dan Fe g (q) + Pe g (q) (3..9) F F P P şeklnde azılableceğne göre mekank kazancın 55

60 ef g F(q) ep g P (q) η (q) (3..) şeklnde fade edlebleceğ; a da skleronomk sstem halnde (3..) den Fe v (q) + Pe v (q) (3..) F F P P azılableceğne dkkat edlrse ef vf(q) ep vp (q) η (q) (3..) olacağı anlaşılır. Bazı bast maknalar dışında mekank kazanç maknanın q konumuna bağlı olarak değşr. (3..) fadesnn pa ve padasındak skaler çarpımların, hız vektörlernn kuvvet doğrultusundak bleşenlernden başka br şe vermedğne dkkat edlr ve bu bleşenlern mutlak değerler v e vf(q), v e vp(q) (3..3) F F şeklnde gösterlrse (3..8) ve (3..) den P F v F v P P P (3..4) elde edlr. Denge halndek kuvvetlern, ugulama noktalarının hızlarıla ters orantılı olacağını gösteren bu fadee bakılarak, vrtüel şler lkesnn atası olan ve üzıllar bounca mekanğn altın kuralı adıla anılmış olan şu kural çıkartılablr: Kuvvetten kazanırsan hızdan kabedersn, hızdan kazanırsan kuvvetten kabedersn. Kaldıraç, palanga, vdalı krko vb. gb bütün bast maknaların anısıra motorlu taşıtların vtes mekanzmaları gb br çok çağdaş düzenek de bu kuralın ugulama örneklern oluşturur. 56

61 ÖRNEK PROBLEMLER Problem 3.. F γ C ϕ W b P e l ϕ W a α βα+γ Q (a) (b) Şekl Pr Kaldırma Maknası Şekldek ükleme maknasının boutları a.585 m, b.69 m, l3 m, βα+γ7 o, ϕ 8 olarak verlmştr. W ükünü dengede tutablmek çn QP hdrolk slndrnn ugulaması gereken F kuvvetn ve maknanın mekank kazancını ϕ açısının fonksonu olarak elde ednz. Çözüm: İlkn C, P ve Q noktalarıla lgl şu belrlemeler apılsın: C lsn ϕ, & C lcosϕϕ&, P bcos( ϕ + γ), & P bsn( ϕ + γ) ϕ&, P bsn( ϕ + γ), & P bcos( ϕ + γ) ϕ&, Q a cosα, Q a sn α. Buradan, braz hesapla F doğrultusundak brm vektör [ b cos( ϕ+γ) a cos α] + [ bsn( ϕ+γ) + a sn α] j e () a + b ab cos( ϕ+β) şeklnde, P ve C noktalarının hızları se ve vp bsn( ϕ + γ) ϕ& + bcos( ϕ + γ) ϕ& j () v C & C + lcosϕϕ& j () şeklnde belrlenr. Bölece Fe v P + W vc (v) denge denklemnde (), (), () ve W-Wj erne konulup hesap apılarak F kuvvet 57

62 F( ϕ) l a + b ab cos( ϕ+β) cosϕ W (v) ab sn( ϕ+β) şeklnde, mekank kazanç se η( ϕ) W F ab l sn( ϕ+β) cos ϕ a + b ab cos( ϕ+β) (v) şeklnde hesaplanır. Burada saısal verlern kullanılmasıla da F( ϕ) cos( ϕ+ 7) cosϕ W sn( ϕ+ 7) (v) ve sn( ϕ+ 7) η( ϕ) W. F 47 (v) cos( ϕ+ 7) cos ϕ η ϕ Şekl Pr Mekank Kazanç elde edlr. Yandak grafkte ϕ 8 bölgesnde η nın ϕ le değşm gösterlmştr. Bu grafkten görüldüğü gb, bu bölgenn tamamında η< olup, br mekank kazanç değl br mekank kaıp söz konusudur. En elverşsz nokta se ϕ o noktasıdır. Buna göre hdrolk pston seçmnde bu noktadak koşullar esas alınmalıdır Problem 3.. W F O C b P a/ a/ b Q ϕ F Şeklde "X" tp br kaldırma platformu gösterlmştr. Platformun boutları a3.75 m, b.67 m, ϕ 8 şeklnde verldğne göre, W ükünü dengede tutablmek çn QP hdrolk slndrnn ugulaması gereken F kuvvetn ve maknanın mekank kazancını, uzuv ağırlıklarını göz ardı ederek, ϕ konumunun fonksonu olarak belrlenz. Şekl Pr Kaldırma Platformu 58

63 Çözüm: Maknanın C, P ve Q noktaları le lgl olarak C 3a sn ϕ, & C 3a cosϕϕ &, P bcosϕ, & P bsnϕϕ&, P (a + b) snϕ, & P (a + b) cosϕϕ&, Q (a b) cosϕ, & Q (a b) sn ϕϕ& Q (a b) sn ϕ, & Q (a b) cosϕϕ& belrlemeler apılsın. Bunlara daanılarak P e etken F kuvvet doğrultusundak brm vektör (b a) cos ϕ+ (b+ a) sn ϕj a + 4b 4ab cos ϕ e () şeklnde, C, P ve Q noktalarının hızları da v C & C + 3a cosϕϕ& j, vp bsnϕϕ& + (a + b) cosϕϕ& j, vq (a b)sn ϕϕ& + (a b) cosϕϕ& j () şeklnde fade edleblr. Maknanın denge denklem, (3..5) dek fkr uarınca Fe ( vp vq) + W vc () şeklnde azılmalıdır. Burada (), () bağıntıları ve W-Wj erlerne konup hesap apılırsa ve 3 F( ϕ) a + 4b 4ab cos ϕ W 8b sn ϕ 8b sn ϕ η( ϕ) W (v) F 3 a + 4b 4ab cos ϕ elde edlr. aısal verlern kullanılmasıla bu sonuçlar (v) 3 F( ϕ) cos ϕ W 5.36 sn ϕ, η ϕ) sn ϕ ( (v) cos ϕ verr. Aşağıdak grafkte, ϕ 8 aralığında η nın ϕ le değşm gösterlmştr. η ϕ Şekl Pr Mekank Kazanç 59

64 Problem 3..3 A θ M B C ϕ β α P A B Şekl Pr Tersane Vnc Şeklde, tersane vnc a da kuğu vnç denlen tpten br vnç gösterlmştr. Üç çubuk mekanzmasını esas alan bu vnçte A o A uzvu döndürüldüğünde ük askı noktası C aklaşık ata doğrultuda ler-ger hareket etmektedr. Yükün ukarı-aşağı hareket se arı br palanga sstemle sağlanmıştır. Vncn boutları r A o B o m, r A o A m, r 3 AB m, r 4 B o B9 m, lac34 m, α4 o, 9 ϕ 8 olarak verldğne göre, uzuv ağırlıklarını hesaba katmaksızın, P ükünü dengede tutablmek çn AoA uzvuna ugulanması gereken M momentn ϕ açısının fonksonu olarak hesaplaınız. Çözüm: Çözümde (3..9) denge koşulunu esas alalım ve M + P g C () azalım. Burada, ve P P cosβ + Psn βj ; β 7 + α () C r cosϕ + l cosθ C r sn ϕ sn θ g θ dc l dϕ C r sn ϕ + l sn θ C C r cosϕ + l cosθ g θ () d dϕ dkkate alınarak azılan g + j (v) C C C erne konularak hesap apılablr. Ancak bunun çn önce üç çubuk mekanzmasının knematk çözümlemesnden le + + r r r r sn ϕ sn ϕ+ cos ϕ r 3 4 r cos ϕ r r r 3 r 3 θ ϕ ( ) arctg (v) r + r + r r r r + cos ϕ r3 r rr3 r sn( ϕ θ) sn ϕ r g θ ( ϕ) 3 (v) r sn( ϕ θ) + sn θ r 6

65 eştlklernn anımsanması gerekr. ()-(v) eştlklerle () e dönüp hesap apılırsa [ β( r sn ϕ + l sn θ g ) sn β( r cos ϕ + cos θ g )] (v) M( ϕ) P cos θ l θ elde edlr. Aşağıdak grafkte, burada boutları verlen vnçte M oranının ϕ le P değşmnn, çalışma aralığı olan 9 ϕ 8 bölgesndek gdş gösterlmştr. M/P ϕ Şekl Pr M/P-ϕ Grafğ Problem 3..4 s F B 6 q 3 A 4 p ϕ H A M θ 5 C h c Şekl Pr Plana Mekanzması Şeklde br plana tezgahına at ana mekanzma gösterlmştr. Boutları A o Ar.5 m, A o Hh. m, A o Cc.4 m şeklnde verlen mekanzmaı 6 numaralı koça etken F5 N luk kuvvete karşın ϕ o le tanımlanan konumunda dengede tutablmek çn A o A koluna ugulanması gereken M momentn hesaplaınız. Çözüm: (3..9 ) denklem uarınca F g + M g () B 6 ϕ vea burada F-F.j, g' B6 g' s.j, g' ϕ olduğuna dkkat edlerek -F.g' s +M MF. g' s () şeklnde hesap apılmak stensn. Problemn çözüleblmes çn g' s n hesaplanması gerekmektedr. Bu amaçla lkn şekl ardımıla mekanzmanın skaler çevrm kapama denklemler f ( ϕ, p, θ, q,s) r cos ϕ p cos θ + c f ( ϕ, p, θ, q,s) r sn ϕ p sn θ () f 3 ( ϕ, p, θ, q, s) r cos ϕ + q cos θ h f 4 ( ϕ, p, θ, q, s) r sn ϕ + q sn θ s 6

66 şeklnde azılıp buradan da s p, s θ, s 3 q, s 4 s alınarak J cos θ sn θ p sn θ p cos θ q sn θ q cos θ cos θ sn θ, sn ϕ cos ϕ f r sn ϕ cos ϕ (v) belrlensn. () denklem takımının ϕ o π/3 rad çn çözülmesle p.35 m, θ.385 rad, q.9654 m, s.398 m (v) elde edlr. (v) değerlernn (v) te erlerne konulmasıla da J ,.75 f (v) hesaplanır. Artık, hız katsaıları sütun matrsnn mekanzmanın verlen konumundak değer, g p gθ.64 g J f g q.3649 g s.464 (v) şeklnde hesaplanablr. Buradan g' s değernn alınıp () de erne konulmasıla da F kuvvetn dengeleecek moment çn M5 (-.464) N.m (v) bulunur. Buradak eks şaret, momentn şekldekne zıt önde (saat önünde) ugulanması gerektğn göstermektedr. Problem 3..5 Şeklde br damperl kamon ve ona at kaldırma mekanzması gösterlmştr. Dğer bütün kuvvetler göz ardı edldğne göre, üklü durumdaken P4 N ağırlığında olan kasaı dengede tutablmek çn DC hdrolk slndrnn ugulaması gereken kuvvetn, mekanzmanın çalışma aralığı olan 5 ϕ 45 açısı le değşmn elde edp sonucu grafk olarak vernz. A o B o r 6 cm, A o A r 9 cm, AB r 3 46 cm, B o B r 4 64 cm, B o C c5 cm, A o Ea6 cm, β3 o, d6 cm, h4 cm o o aralığında, ϕ 6

67 A E B A o ϕ P C B o β F θ4 h e D d Şekl Pr Damperl Kamon Çözüm: (3..9 ) denklem uarınca P g F e g E + C P g E e g C F () şeklnde hesap apılsın. Bu amaçla, E a cosϕ, E asnϕ, E asnϕ, E a cosϕ, C r + ccos( θ4 + β), C c sn( θ 4 + β ) g 4, csn( θ + β), ccos( θ + β) g, r d, h azılıp buradan C 4 C 4 4 D + g C c sn( θ4 + β) g 4 + ccos( θ4 + β) g 4 g E asn ϕ + a cosϕ j () j D e [ c cos( θ4 +β) d] + [ [ c cos( θ +β) d] + [ 4 c sn( θ4 +β) + h j c sn( θ4 +β) + h] ] belrlenr, arıca P-P.j denrse, verlmş her ϕ değer çn, θ 4 ve g 4 ü elde etmek kadıla F, () bağıntısından hesaplanablr. Bu değerlern, mekanzmanın saısal knematk çözümlenmesnden elde edlmesle apılan hesabın sonuçları Şekl Pr de F(ϕ) ve η(ϕ) grafkler şeklnde verlmştr. η P F F [ 3 N] ϕ [ Ο ] Şekl Pr Hesap onuçları 63

68 4. TEK ERBETLİK DERECELİ DÜZLEMEL MAKİNALARIN HAREKET DENKLEMLERİ 4. GENEL Bu bölümde, rjd uzuvlardan oluşan, tek serbestlk derecel, düzlemsel, deal kısıtlara sahp, holonomk ve skleronomk maknaların hareket denklemlernn elde edlş üzernde durulacaktır. Maknalar gb çok saıda kısıt çeren sstemlern hareket denklemlernn elde edlmesnde en ugun öntem, hareketn Lagrange denklemlernn elde edlmesdr. Burada da bu ol zlenecektr. Aşağıda görüleceğ gb, stsna çok bast maknalar dışında, maknaların hareket denklemlernn elde edlmes başlı başına zorlu br problemdr. Üstelk bu denklemlern elde edlmes de çoğu kez sorunun çözülmes anlamına gelmez. Çünkü esas genelleştrlmş koordnat q nün zamana göre knc mertebeden dferansel denklemler olan bu denklemler, çoğunlukla, analtk olarak çözülmeler olanaksız olan, lneer olmaan dferansel denklemlerdr. Ne var k bütün bu zorluklara karşın maknaların dnamk çözümlemes apılmak zorundadır. Çünkü maknaa güç sağlaacak motorun seçmnden makna uzuv ve bağlantı elemanlarının mukavemete göre boutlandırılmasına kadar br çok mühendslk problemnn gerektrdğ verler üretmenn başka olu oktur. 4. MAKİNANIN GENELLEŞTİRİLMİŞ EYLEMİZLİĞİ Konumu q esas genelleştrlmş koordnatıla tanımlanan makna uzvunun, maknanın toplam knetk enerjsne eşt knetk enerj depolaablmes çn sahp olması gereken elemszlğe maknanın genelleştrlmş elemszlğ ( a da, bazen, maknanın q koordnatına ndrgenmş elemszlğ) denr. Bu tanıma göre, maknanın genelleştrlmş elemszlğ (I delm) T mak I. q& (4..) eştlğn sağlamalıdır. q esas genelleştrlmş koordnatının çzgsel a da açısal br koordnat olmasına bağlı olarak I nn kütle a da kütlesel elemszlk moment boutunda olacağı ortadadır. Şmd maknanın toplam knetk enerjsn fade etmek amacıla, düzlemsel hareket apan rjd csmlern knetk enerjsn fade etmekte kullanılablecek (.3.4) eştlğ anımsanırsa, nds maknanın hareketl uzuvlarını taramak üzere 64

69 Tmak (m v + I ω ) m (v + ω ) (4..) a da burada hız katsaıları devree sokularak T mak g g + g ) q& (4..3) m ( θ azılablr. (4..) a da (4..3) fadesnn (4..) de erne konulmasıla maknanın genelleştrlmş elemszlğ çn I(q) v ω + ) q& q& m ( (4..4) a da [ ] + (q) g (q) g (q I (q) m g ) (4..5) θ fadesne ulaşılır. Hız katsaılarının q nün fonksonu olduğu maknalarda genelleştrlmş elemszlk de q konumu le değşecektr. Buraa kadark fadeler makna uzuvlarının her türlü düzlemsel hareketnde geçerl olan genel fadelerdr. Ancak maknanın herhang br k ıncı uzvunun özel olarak br öteleme hareket a da sabt br nokta çevresnde dam dönme hareket apıor olması halnde lgl toplamdak k ıncı term bastleşr. Örneğn k ıncı uzuv br öteleme hareket apıorsa fadelerdek dönme knetk enerjsne lşkn term düşer, arıca öteleme hareketnde rjd csmn tüm noktalarının hızları brbrnn anı olacağından öteleme knetk enerjsne lşkn termde de k kütle merkeznnknn erne csmn herhang br Ak noktasının hızı kullanılablr. Bu durumda (4..4) ve (4..5) tek k ıncı termler, sırasıla, v Ak k q m, mkg A (q) (q) & k g A k (4..6) şekln alacaktır. Öte andan k ıncı uzuv br O k noktası çevresnde dam dönme hareket apıorsa knetk enerj (.3.) uarınca tek termle fade edlebleceğnden, O k csmn, O k noktasına göre elemszlk arıçapını göstermek üzere, (4..4) ve (4..5) tek k ıncı termler bu kez de, sırasıla, m k k ω Ok q&, mk g (q) (4..7) O k θ k şeklnde azılablr. 65

70 4.3 HAREKET DENKLEMİ Lagrange hareket denklemlernn (.4.59) da verlen fades, tek serbestlk derecel sstemler özel hal çn göz önüne alınırsa { T} T Q d dt q& q (4.3.) azılablr. Burada, maknanın toplam knetk enerjsn gösteren T çn, Bölüm 4. den, T I(q). q & (4.3.) azılableceğ blnmektedr. Q genelleştrlmş kuvvet se, Bölüm 4..3 e göre [ ] + P g (q) M g (q Q(q) F P θ ) (4.3.3) şeklnde belrldr. Ancak burada F bleşke kuvvetlernn ve M momentlernn hesabına gren kuvvetler, en genel halde sabt kuvvetler olmaıp, q konumunun, q& hızının ve t zamanının fonksonu olablrler. Bu nedenle genelleştrlmş kuvvetn en genel halde Q (q,q, & t) şeklnde azılması ugun olur. Bölece maknaların hareket denklem çn (4.3.) den d dt { [ I(q).q& ]} [ I(q).q& ] Q(q,q, & t) (4.3.4) q& elde edlr. Burada ve d dt q q { [ (q).q ]} d di(q) I & [ I(q).q& ] q& + I(q) & q (4.3.5) q& dt [ d (q) ] I I( q).q& q& dq dq (4.3.6) ara hesaplarının gerçekleştrlmesle (4.3.4) erne P (q) q di(q) I & + q& Q(q,q, & t) dq (4.3.7) 66

71 de azılablr. Tek serbestlk derecel maknaların genel hareket denklemn oluşturan bu denklem bazen Eksergan Hareket Denklem adıla da anılır. (4.3.7) dek knc termn merkezcl katsaı adıla anılan çarpanı di(q) C(q) (4.3.8) dq şeklnde gösterlrse denklem I(q) & q + C(q) q& Q(q,q,t) & (4.3.9) şeklnde de azılablr. Buradak merkezcl katsaının, I(q) nün (4..5) tek fades (4.3.8) de erne konulup hesap apılarak ve vme katsaıları anımsanarak C(q) [ (q) g (q) + g (q) g (q ] m g ) (4.3.) θ θ şeklnde fade edlebleceğn belrtelm. Öte andan, Q (q,q, & t) genelleştrlmş kuvvet, korunumsuz kuvvetlerden gelen br Q (q,q, & t) kısmı le korunumlu kuvvetlerden gelen br Q (q) kısmının toplamı olarak düşünülür ve korunumlu kuvvetlern tanımı gereğ, bu kısmın dv(q) Q (q) dq (4.3.) şeklnde kendsnden türetleceğ br V(q) potansel enerj fonksonunun bulunacağı anımsanırsa, (4.3.9) erne de azılablr. dv(q) I (q) & q + C(q) q& + Q (q,q,t) & (4.3.) dq Tek serbestlk derecel maknaların hareketn öneten genel dferansel denklem olan (4.3.9) denklemnn elde edleblmes, bu denklemdek I(q), C(q) ve Q (q,q, & t) termlernn analtk olarak fade edleblmesne, bu se, bu termlern tanımlarından kolaca anlaşılableceğ gb, her şeden önce, lgl maknanın knematk çözümlemesnn analtk oldan gerçekleştrlmesne bağlıdır, k blndğ gb bu her zaman olanaklı değldr. Arıca, maknaa etken ve Q (q,q, & t) genelleştrlmş kuvvetne katkıda bulunan tüm kuvvetlern de analtk olarak fade edlmş olması gerekr. İlerde görüleceğ gb bu da her zaman kola br ş değldr. Bütün bu sölenlenlerden anlaşılacağı gb, maknaların hareketn öneten Bu, ılları arasında Maknaların Dnamk Çözümlemes konulu br dz çalışma aınlamış ve bu çalışmalarında anılan denklem oğun olarak kullanmış olan R. Eksergan'ın adına atfen apılan br adlandırmadır. 67

72 dferansel denklemlern elde edlmes ancak sınırlı saıdak stsna durumda umulablecek br sonuçtur. Öte andan, I(q) nün sabt olmasına ol açan özellkle bast bazı maknalar dışında (4.3.9) dferansel denklem lneer olmaan br dferansel denklemdr ve, blndğ gb, lneer olmaan dferansel denklemlern genel çözüm öntemler blnmemektedr. Buradan, maknaların hareket denklemler analtk olarak elde edleblse ble, analtk olarak çözülmelernn genellkle mümkün olmaacağı anlaşılmaktadır. Bu durumda bu denklemlern çözümünde saısal öntemlere baş vurulması kaçınılmaz olablecektr. Osa, çözüm saısal olarak elde edlecekse denklem analtk olarak elde etmenn de pek anlamı kalmaacağı ortadadır. Bölece, (4.3.9) denklemnn saısal olarak elde edlmesle etnlebleceğ anlaşılır. Bu, I(q), C(q) ve Q (q,q, & t) fonksonlarının, maknanın bell br q* konumundak değerlernn erne konulmasıla gerçekleştrlr. Bunun çn se maknanın knematk çözümlemesnn saısal oldan apılmış olması eterldr. Şmd de, maknaların hareketne lşkn br başka dferansel denklemden söz edelm. (4.3.9) denklemnde dq& dq& d(q& ) I (q) & q I(q) I(q) q& I(q) (4.3.3) dt dq dq eştlğ dkkate alınırsa a da & dq I (q) + C(q) q& Q(q,q, & t) (4.3.4) dq I(q) dq& dq + di(q) dq q& Q(q,q, & t) (4.3.5) elde edlr. Bölece q konumunun t zamanına göre knc mertebeden dferansel denklemler olan (4.3.7), (4.3.9) a da (4.3.) denklemler erne q& hızının q konumuna göre brnc mertebeden br dferansel denklemne gelnmş olur. Bu denklem, özellkle Q genelleştrlmş kuvvetnn Q Q(q,q ) şeklnde olduğu, an t zamanını açık olarak çermedğ, q& le bağlantısının se q& l termler şeklnde olduğu problemlerde ararlı br seçenek oluşturur. Burada son olarak (4.3.4) ün d dq [ (q) q& ] Q(q,q, & t) I dt Q(q,q, & t) (4.3.6) dq şeklnde de azılableceğn not edelm. Bu denklem de, Q nün QQ(q) şeklnde alnızca q e bağlı olduğu problemlerde hızın konumla değşmnn hesaplanmasında ararlı olur. & 68

73 ÖRNEK PROBLEMLER Problem 4.3. M O ϕ 3 3 C OAr k Şekl Pr F Şekldek harmonk hareket mekanzması esaslı maknanın numaralı uzvu M momentnn, 4 numaralı uzvu da F kuvvetnn etks altındadır. Maknanın hareketl uzuvlarının kütleler m, m 3 ve m 4 olarak, numaralı uzvun OA nın tam ortasında bulunan kütle merkezne göre elemszlk arıçapı se olarak blndğne ve ϕ ken k aı gerlmesz olduğuna göre maknanın hareket denklemn elde ednz. Çözüm: Maknada numaralı uzvun O noktası çevresnde dam dönme hareket, 3 numaralı uzvun daresel öteleme hareket, 4 numaralı uzvun se doğrusal öteleme hareket aptığına dkkat edlr ve esas genelleştrlmş koordnat olarak qϕ seçlerek hesap apılırsa, maknanın genelleştrlmş elemszlğ çn I m ϕ& v A v C + m O 3 + m 4 ϕ& ϕ& ϕ& () azılablr. Burada, şeklden kolaca belrlenen v A rϕ&, C r cosϕ vc & C rsn ϕϕ& () hız fadeler ve Hugens-tener formüllerne göre azılan r O + ( ) () eştlğ erlerne konulursa m I ( ϕ) m + r ( + m3 + m4 sn ϕ) (v) 4 elde edlr. Buradan da merkezcl katsaı C( ϕ) di( ϕ) dϕ m r sn ϕcosϕ (v) 4 şeklnde hesaplanır. Öte andan, ve 3 numaralı uzuvların ağırlıkları ve k aıla lgl olarak br potansel enerj fonksonu 69

74 V m g + m3ga + k A (v) şeklnde azılablr. Burada rsn ϕ, A rsnϕ (v) fadelernn erne konulmasıla ve buradan da m V( ϕ) ( + m )gr sn ϕ + kr sn ϕ (v) 3 dv( ϕ) m ( + m )gr cosϕ + kr sn ϕcosϕ dϕ 3 () elde edlr. on olarak, genelleştrlmş kuvvetn korunumlu olmaan kuvvetlere lşkn kısmı (a da korunumlu olmaan kuvvetlern ϕ koordnatına ndrgenmş eşdeğer) ϕ& v Q ( ϕ) M + F ϕ& ϕ& C M Frsn ϕ () şeklnde hesaplanır. (v), (v), () ve () sonuçlarının dv(q) I (q) & q + C(q) q& + Q (q,q,t) & () dq genel hareket denklemnde erne konulmasıla, verlen maknanın hareket denklem m m + r ( + m m4 sn ϕ) ϕ & + m4r sn ϕcosϕϕ& m + ( + m )gr cosϕ + kr sn ϕcosϕ M Frsn ϕ () 3 a da buradak trgonometrk çarpımların açılıp sonucun düzenlenmesle m m m( ) m ( cos ) ϕ ϕ + sn ϕϕ r & & m g + ( + m F M 3) cosϕ + sn ϕ + ksn ϕ () r r r şeklnde elde edlr. 7

75 Problem 4.3. Şeklde krank-bel A 3 mekanzması esaslı br makna gösterlmştr. Maknada krank M c r M momentnn, pston F F kuvvetnn etks altında O ϕ B 4 bulunduğuna; krankın kütles m, O a göre elemszlk arıçapı O ; beln kütles m3, 3 e Şekl Pr göre elemszlk arıçapı 3 ; pstonun kütles se m 4 olarak blndğne; pstonla slndr arasındak sürtünmenn c katsaısına sahp br vskoz sürtünme olarak modellenmes düşünüldüğüne ve ağırlık kuvvetler göz ardı edldğne göre maknanın hareket denklemn elde ednz. Çözüm: Bu problemn çözümünü, ugun kabul ve aklaşıklıklara başvurarak, adım adım gerçekleştrelm. Beln br maddesel noktalar sstemne ndrgenmes: Krank-bel mekanzmalarının dnamğnn ncelenmesnde (k bu mekanzma çten A 3 anmalı motorlar, pstonlu pompa ve kompresörler gb B br çok maknada kullanıldığı çn bu nceleme sık sık kaçınılmaz olur) en büük zorluk, genel düzlemsel 3 m hareket apan bele lşkn hesaplarda ortaa çıkar. m m B A 3 Bu zorluğu aşmanın br olu, beln A, B ve 3 l A l B noktalarına erleştrlecek üç maddesel noktadan oluşan l br maddesel noktalar sstemne ndrgenmesdr. Bu Şekl Pr ndrgemede, kütlelern m A 3 m l 3 A l, m 3 B 3 m l 3 B l, m 3 m 3 l 3 A l B () şeklnde hesaplanacağı blnmektedr. Osa beller genellkle, l A l B 3 () eştlğ hç değlse aklaşık olarak sağlanacak bçmde boutlandırılırlar. Bz de bu eştlğn geçerl olduğunu kabul edelm. Bölece olur ve bel A ve B dek m, O O m A ϕ A B m B m 3 m A ve m 3 B kütlel k maddesel noktaa ndrgeneblr. Bu ndrgemenn sonucunda makna; krank, A dak m A maddesel noktası ve B dek B 3 B m m + m 4 () Şekl Pr maddesel noktasından baret kalmış olur. 7

76 Knematk aklaşıklıklar: Krank-bel mekanzmasında pston konumu, esas genelleştrlmş koordnat olarak seçlmes ugun olan krank açısı ϕ cnsnden kapalı formda elde edleblr: Burada ( ϕ) r cosϕ + r l r l l ( ) sn ϕ (v) λ (v) denr ve kök altındak term bnom sersne açılırsa [ λ sn ϕ] λ sn ϕ λ sn ϕ λ sn ϕ L 8 6 (v) elde edlr. Osa bütün krank-bel mekanzmalarında λ < dr (İçten anmalı motorlarda λ.). Buradan, ukarıdak bnom sersnde alnızca lk k term almakla apılacak hatanın bütün pratk amaçlar bakımından kabul edleblr mertebede kalacağı anlaşılır. Böle apılarak (v) e dönülürse ( λ sn ϕ) ( ϕ) r cosϕ + l (v) a da buradak sn ϕ term açılarak λ 4 λ 4 ( ϕ) l ( ) + r(cosϕ + cosϕ) (v) elde edlr. Pstonun hızı ve vmes çn de buradan türev alınarak ve ( & ϕ) r(sn ϕ + λ sn ϕ) ϕ& & ϕ ϕ + λ ϕ ϕ& ( ) r(cos cos ) r(sn ϕ + λ sn ϕ) ϕ& () () bulunur. Hareket denklemnn elde edlmes: Bu hazırlıklardan sonra, artık hareket denklemnn elde edlmesne geçleblr. Bu amaçla lkn maknanın genelleştrlmş elemszlğ hesaplanırsa I m ϕ& v A v B + m O A + m B ϕ& ϕ& ϕ& () den v A rϕ&, & () v B 7

77 le I( ϕ) m + m O Ar + mbr (snϕ + λ sn ϕ) () elde edlr. Buradan da merkezcl katsaı kolaca C( ϕ) mbr (sn ϕ + λ sn ϕ)(cosϕ + λcos ϕ) (v) şeklnde hesaplanır. Genelleştrlmş kuvvet se, pstona etken vskoz sürtünme kuvvetnn de hesaba katılmasıla ϕ& ( ϕ) M + (F c) & & ϕ& ϕ& Q (v) den () dkkate alınarak Q( ϕ) M r [ F + cr(sn ϕ + sn ϕ) ϕ] (sn ϕ + λ sn ϕ) şeklnde belrlenr. Artık maknanın hareket denklem λ & (v) I(q) & q + C(q) q& Q(q,q,t) & (v) genel denklemnde (), (v) ve (v) nın erne konulmasıla [ + + ϕ + λ m r m r (sn sn ϕ ]ϕ& m O A B ) + mb r (sn ϕ + λ sn ϕ)(cosϕ + λcos ϕ) ϕ& (v) M r[ F + cr(sn ϕ + λ sn ϕ) ϕ& ](sn ϕ + λ sn ϕ) şeklnde elde edlr. İstenrse bu sonuç, açılıp düzenlenerek O A B m 4 Br ( λsn ϕ + sn ϕ + 3λ sn 3ϕ + λ sn 4ϕ ) ϕ& () + cr ( λsn ϕ + sn ϕ + 3λ sn 3ϕ + λ sn 4ϕ) ϕ& + Fr(sn ϕ + λ sn ϕ) 4 M [ m + m r + m r ( + λ + λcosϕ cosϕ λcos3ϕ λ cos4ϕ) ]ϕ& şeklnde de azılablr. Bu denklem, pston hızının () dak aklaşık fades kullanılarak elde edldğ çn ancak aklaşık olarak geçerldr. Bu aklaşıklıkla etnlemeen durumlarda pston hızı çn (v) ten doğrudan doğrua hesaplanan sn ϕcos ϕ & ( ϕ) r sn ϕ + λ ϕ& () λ sn ϕ kesn fades kullanılarak kesn hareket denklemnn de elde edlebleceğ açıktır. 73

78 4.4 MAKİNALARA ETKİYEN İŞLETME KUVVETLERİ 4.4. GENEL Br maknanın dnamk davranışı ncelenmek stendğnde, öncelkle, bu maknaa etken kuvvetlerden verlmş kuvvet sınıfına grenler hakkında blg ednlmes gerekr. Eğer nceleme maknanın hareket denklemnn azılmasını gerektrorsa, genelleştrlmş kuvvetn fade edleblmes çn, bu kuvvetlern kapalı formda fade edleblmes de gerekl olur. Maknalara etkeblecek kuvvetler üç ana başlık altında toplanablr: Korunumlu kuvvetler, sürtünme kuvvetler ve şletme kuvvetler. Bunlardan korunumlu kuvvetler, makna uzuvlarının ağırlık kuvvetlern ve kuvvet kapalı eleman çft oluşturmak, maknanın kararlı br denge konumuna sahp olmasını sağlamak gb konstrüktf gerekçelerle maknaa bağlanmış alara at a kuvvetlern kapsar. Bu kuvvetler, korunumlu kuvvetlere lşkn genel blgler çerçevesnde kolaca hesaba katılableceğ çn bunlardan özel olarak söz etmee gerek oktur. Burada bu kuvvetlern maknanın konumunun fonksonu olacaklarını ve çevrmler halnde çalışan maknalarda -k çoğu makna böledr- her çevrmde apacakları net şn sıfır olacağını anımsatmakla etnelm. ürtünme kuvvetler se makna uzuvlarının brbrne göre hareket halnde olduğu eleman çftlernde ortaa çıkan ve çoğunlukla a kuru sürtünme (Coulomb) modelne a da vskoz sürtünme modelne uan kuvvetlerdr. Bu ders çerçevesnde maknaların deal sstemler oldukları varsaıldığından (Bkz. Bl..4..3) Coulomb asasına uan kuru sürtünme kuvvetler hesaba katılmaacaktır. Esasen, ugulamada hareketl makna kısımları arasında kuru sürtünme oluşumuna engel olunmaa çalışıldığı ve bu amaçla ağlamaa baş vurulduğu anımsanırsa bunun çok büük br eksklk aratmaacağı anlaşılır. Yağlamalı temas halnde ortaa çıkan sürtünme kuvvetler se, blndğ gb, vskoz sürtünme modelne uarlar. İlgl vskoz sürtünme katsaısının belrlenmes sorunu br ana bırakılırsa bu kuvvetler de genel blgler çerçevesnde kolaca hesaba katılablecek kuvvetlerdr. Bu üzden burada sürtünme kuvvetlernden de özel olarak söz etmee gerek bulunmamaktadır. Gere şletme kuvvetler kalır k bu kuvvetler doğrudan doğrua maknaların görevle lgl kuvvetlerdr. Yalnızca maknalara özgü kuvvetler olduklarından genel mekank blgler çerçevesnde er almaan bu kuvvetlerden burada kısaca söz edlmes ernde olacaktır. İşletme kuvvetler ana başlığı altına gren k grup kuvvet vardır. Bunlar çalıştırma kuvvetler ve ş kuvvetlerdr. Aşağıda şletme kuvvetler, bu gruplara karşılık gelen k ana başlık altında ele alınacaktır ÇALIŞTIRMA KUVVETLERİ MOTORLAR Blndğ gb maknalar, kendler de brer makna olan ve özel olarak güç maknaları a da kuvvet maknaları de adlandırılan motorlar tarafından çalıştırılırlar. Motorların maknalara uguladıkları kuvvetlere çalıştırma kuvvetler denr. 74

79 Kuvvet maknaları çok çeştldr. Bu çeştllk en buluşlarla gderek artmaktadır ve kuşkusuz gelecekte de artacaktır. Buhar maknaları, buhar, su ve gaz türbnler, çten anmalı motorlar, doğru akım ve alternatf akım elektrk motorları mevcut çeştlern başlıcalarıdır. Bunlardan, Newcomen tarafından keşfedlp Watt 3 tarafından mükemmelleştrlen ve tephenson 4 tarafından lokomotflere ugulanan buhar maknası, vaktnde sana devrmnn tc gücünü oluşturan büük br buluş olmakla brlkte bugün artık devrn kapatmış durumdadır. Ataları olan el ve su değrmenlernn mükemmel torunları olan türbnler se enerj santraller ve uçaklar gb özel ugulama alanları dışında pek kullanılmaan kuvvet maknalarıdır. Bu üzden bz burada, maknacılıkta en agın kullanım alanına sahp olan çten anmalı motorlarla elektrk motorlarına değnp bunların vereceğ çalıştırma kuvvetlernn özellklern gözden geçrmekle etneceğz İçten Yanmalı Motorlar İçten anmalı motorlar krank-bel mekanzmasını esas alan kuvvet maknalarıdır. Blndğ gb bu motorların temel çalışma lkes, br slndr çersnde oluşturulan anma a da patlamalarla krank-bel mekanzmasının pstonunun harekete geçrlmes ve bu şeklde üretlen gücün kranktan dönme hareket ve moment olarak alınmasıdır. İçten anmalı motorlar, krankın her devrnde br anma/patlamanın gerçekleştğ zamanlı motorlar ve her k devrde br anma/patlamanın gerçekleştğ 4 zamanlı motorlar olarak ke arılırlar. Br başka öneml arım da, benzn motorları (a da ateşlemel motorlar) ve Desel 5 motorları (a da püskürtmel motorlar) arımıdır. zamanlı motorlar, motorlu bskletler, küçük su pompaları gb güç gereksnm düşük olan maknaların çalıştırılmasında; 4 zamanlı motorlar se daha üksek güç gereksnmne gerek duulan erlerde kullanılırlar. Yne, ağır taşıtlar, lokomotfler, gemler, büük elektrk üreteçler gb üksek güç gereksnm olan maknaların çalıştırılmasında Desel motorları; küçük ve orta güç gereksnm olan maknaların çalıştırılmasında se benzn motorları eğlenr. İçten anmalı motorlar arasında en agın kullanılanlar, bnek taşıtlarında eğlenen 4 zamanlı benzn motorlarıdır. Şekl 4.4. de 4 zamanlı br benzn motorunun çalışma evreler gösterlmştr. Pstonun alt ölü konum (AÖK) le üst ölü konum (ÜÖK) arasındak sr olunu her katedş -k bu katedşlere strok adı verlr- br çalışma evresne karşılık gelr. İlk evre sıkıştırma stroğudur (Şek a). Bu evrede pston AÖK dan ÜÖK a kadar lerlerken benzn-hava karışımını sıkıştırarak patlamaa hazır hale getrr. Pston ÜÖK a aklaştığında ateşleme gerçekleştrlr, patlama olur ve knc evre başlar. İknc evre güç (a da genşleme) stroğudur (Şek b). Bu evrede slndr çersndek basınçlı gazlarca tlen pston ÜÖK dan AÖK a kadar lerler. Pston AÖK a aklaştığında boşaltma (egzos) supabı açılır ve üçüncü evre başlar. Üçüncü evre boşaltma stroğudur (Şek c). Bu evrede pston AÖK dan ÜÖK a kadar Thomas Newcomen (663-79). İnglz mekankç. Buhar gücünü lk kez hareket elde etmekte kullanan Thomas aver'nn (İng., 65-75) fkrn gelştrerek 75 ılında lk buhar maknasını aptı. 3 James Watt (736-89). İskoçalı mühends. Newcomen'n buhar maknasını ılları arasında adım adım gelştrd. Regülatörü ve elemszlk çarkını cat ett. 4 George tephenson (78-848). İnglz mühends. 84 ılında lk buharlı lokomotf aptı. 5 Rudolf Desel (858-93). Alman mühends. 897 de lk Desel motorunu aptı. 75

80 Boşaltma upabı Emme upabı Ateşleme ÜÖK r s AÖK (a) ıkıştırma (b) Güç (c) Boşaltma (d) Emme Şekl Zamanlı Benzn Motorunun Çalışma Evreler lerleerek anmış gazları dışarıa atar. Bu evrenn sonunda boşaltma supabı kapanır, emme supabı açılır ve dördüncü evre başlar. Dördüncü evre emme stroğudur (Şek d). Bu evrede pston ÜÖK dan AÖK a kadar lerleerek benzn-hava karışımını slndrn çne emer. Bu evrenn sonunda emme supabı kapanır ve çevrm tamamlandığı çn enden lk evree dönülür. 4 zamanlı Desel motorlarının çalışma evreler de ukarıdakne benzer şekldedr. Şu farkla k Desel motorlarında emme stroğunda emlen akıt-hava karışımı değl alnızca taze havadır. Yakıt slndre, benzn motorlarında ateşlemenn gerçekleştğ aşamada, püskürtülerek verlr ve ortam basınç ve sıcaklığı buna ugun olduğu çn anma ateşlemesz olarak kendlğnden oluşur. Şmd, bu düzende çalışan br motorun, krank mlne bağlanacak br maknaa ugulaacağı çalıştırma kuvvetnn (moment) belrlenmes konusuna eğlelm. Kuşkusuz bu kuvvetn ana kanağı, slndr çersndek gazın pstona uguladığı P basıncıdır ve bu basınç ukarıda açıklanan evreler bounca değşmektedr. Basıncın bu değşm her motorda brbrnden az a da çok farklı br gdş zler. İmal edlmş br motorda basıncın nasıl değştğ, o motor çn denesel olarak belrlenen dagramlar ardımıla tanımlanır. Motorun en öneml karakterstğn oluşturan ve endkatör dagramı adı verlen bu dagramlar, krank mlnn bell ve sabt br ω açısal hızıla dönmes hal çn P basıncının, pstonun slndr çersnde hapsettğ V hacmle değşmn gösterrler. Şekl 4.4.-a da 4 zamanlı br benzn motoruna, Şekl 4.4.-b de se 4 zamanlı br Desel motoruna at endkatör dagramları gösterlmştr. Bu dagramlarda - aralığı sıkıştırma stroğuna, -3 aralığı patlama/anmanın oluşumuna, 3-4 aralığı güç stroğuna, 4-5 aralığı boşaltma stroğuna, 5- aralığı se emme stroğuna karşılık gelmektedr. 76

81 P 3 OptonButton P 3 W + W P atm 5 4 W - V (a) Benzn Motoru Endkatör Dagramı P atm 5 4 W - V (b) Desel Motoru Endkatör Dagramı P 3 P Psbt 3 P Psbt 3 Vsbt PV k sbt PV k sbt Vsbt PV k sbt P atm 5 v o (c) Otto Çevrm 4 V P atm 5 v o 4 P atm V (d) Desel Çevrm 5 v o (e) elger Çevrm 4 V Şekl 4.4. Endkatör Dagramları ve İdeal Çevrmler Benzn ve Desel motorları çn, Şekl 4.4.-a ve b de verlenlern dealleştrlmş karşılıkları olan kuramsal endkatör dagramları da oluşturulablr. Böle üç dagram da Şekl 4.4.-c, d ve e de gösterlmştr. Benzn motorlarına lşkn kuramsal dagramdak çevrm Otto 6 çevrm a da patlama çevrm adını alır (Şek.4.4.-c). Desel motorlarına lşkn olarak se Desel çevrm a da anma çevrm (Şek d) ve elger çevrm a da karma çevrm (Şekl 4.4.-e) adını alan k farklı model vardır. Günümüz Desel motorları daha çok elger çevrmne göre çalışmaktadır. Bu kuramsal çevrmler, benzn ve Desel motorlarının çalışma lkelerndek başlıca farkı açıkça ortaa komaktadır: Benzn motorlarında anma, pstonun hareket etmesne zaman tanımaan an br patlama şeklnde olmakta ve sabt hacmde br basınç sıçramasına ol açarak gerçekleşmekte; Desel motorlarında se anmanın a tamamı (Desel çevrm) a da br kısmı (elger çevrm) br süreç şeklnde olmakta ve bu arada pston hareket edp hacm genşledğ halde anma basıncın sabt kalmasını sağlamaktadır. Bu kuramsal dagramların göze çarpan br başka özellğ de sıkıştırma ve genşleme evrelerndek olaları adabatk kabul edp PV k sabt şeklnde modellemelerdr. Motora lşkn temel bazı blgler endkatör dagramından kolaca elde edleblr. Örneğn, endkatör dagramındak çevrmn çerçeveledğ alanın, gaz kuvvetlernn br çevrmde aptığı W şnden başka br şe olmadığına dkkat edlerek ve bu çevrmn, ω endkatör dagramına esas oluşturan krank hızını göstermek üzere, 4 zamanlı br motorda 6 Nkolaus Otto (83-89). Alman mühends. 863 te lk benzn motorunu aptı. 77

82 T 4π (4.4.) ω kadar süre alacağı hesaba katılarak, motorun ortalama gücü, endkatör dagramındak çevrmn alanı ardımıla W T Wω 4π G (4.4.) en şeklnde hesaplanır. Buna motorun endke gücü denr. Endke güç ardımıla da kranka etken, dolaısıla da motora bağlanacak br maknaa letlecek ortalama endke döndürme moment Gen M ω W en (4.4.3) 4π şeklnde hesaplanablr. Şekl 4.4.-a,b dek gb gerçek endkatör dagramları le çalışılırken üsttek çevrmn W + alanının gazın pston üzerne, alttak çevrmn W - alanının se pstonun gaz üzerne aptığı ş gösterdğ dkkate alınarak, ukarıdak hesaplarda WW + -W - net ş kullanılmalıdır. (4.4.) ve (4.4.3) te verlen endke değerlerlern, motordak sürtünme kaıpları dkkate alınmadan hesaplandıkları çn, kendlerne karşılık gelen gerçek değerlerden br mktar büük olduklarını belrtelm. (4.4.3) bağıntısı, krankının sabt ω açısal hızıla dönmes halnde 4 zamanlı, çten anmalı br motorun vereceğ döndürme (çalıştırma) momentnn ortalama değern vermektedr. Bu momentn an be an nasıl değştğnn belrlenmes braz daha zahmetl br ştr. Bunun çn lkn, endkatör dagramından ararlanılarak, pstona etken F gaz gaz kuvvetnn ϕ krank konumula değşmnn belrlenmes gerekr. Bu amaçla endkatör dagramındak V hacmnn V() V + (r + l ) A (4.4.4) şeklnde pston konumunun fonksonu olduğuna, pston konumunun se ( ϕ) r cosϕ + l ( λ sn ϕ) şeklnde ϕ krank açısının fonksonu olduğuna dkkat edlerek bu dagramın br P- ϕ dagramı olarak görülmes (Şek ); buradan okunacak P(ϕ) lern (tek etkl motorlarda) pstonun öbür üzüne etken atmosfer basıncıla farkının alınarak P ( ϕ ) P( ϕ) (4.4.5) et P atm şeklndek etkn basınca geçlmes ve buradan pstona etken net gaz kuvvetnn Fgaz( ϕ) Pet( ϕ) A (4.4.6) şeklnde hesaplanması gerekr. Bu hesapta V, pston ÜÖK da ken slndr hacmn, A, pston üze alanını göstermektedr ve krank-bel mekanzmasının knematğne 78

83 P P atm ϕ Şekl P-ϕ Dagramı lşkn (ϕ) nn hesabında Problem 4.3. de elde edlen aklaşık fade kullanılmıştır. Şekl te 4 zamanlı br benzn motorunun br slndrne at F gaz ( ϕ) dagramı gösterlmştr. F gaz ( ϕ ) nn belrlenmesnden sonra, krank mlne etken döndürme momentnn fadesne geçleblr. Bunun çn krank-bel esaslı maknaların Problem 4.3. de elde edlen hareket denklem kullanılablr. Bu amaçla, şmdk problemde F Fgaz( ϕ ), c, ϕ& ω sabt, ϕ& & alınması gerektğne dkkat edlerek Pr tek (v) denklemne gdlrse, [ m rω (cosϕ + λcos ϕ) F ( ϕ) ] (sn ϕ + sn ϕ) M( ϕ) r λ B gaz (4.4.7) elde edlr. Bu, F gaz ( ϕ) nn etks altındak maknada krank mlnn ϕ& ω sabt hızıla dönmes çn ona maknanın dışından ugulanması gereken momenttr. Olaa tersnden bakılırsa, bu koşullar altında krankın da dışarıa (4.4.7) deknn ters şaretls olan br döndürme moment ugulaacağı anlaşılır: F gaz GÜÇ BOŞALTMA EMME IKIŞTIRMA ϕ Şekl Gaz Kuvvetlernn Krank Açısıla Değşm 79

84 M d M en o 8 o 36 o 54 o 7 o ϕ Güç Boşaltma Emme ıkıştırma Şekl Zamanlı Br Benzn Motorunda Tek lndre At Döndürme Moment Dagramı [ F ( ϕ) m rω (cosϕ + λ cos ϕ) ] (sn ϕ + sn ϕ) Md( ϕ) r λ gaz B (4.4.8) Burada, köşel parantez çersndek knc termn, öteleme hareket apan m B kütlesnn elemszlk etksn ansıttığı ortadadır. (4.4.8) fadesnn analtk olarak azılablmes çn F gaz ( ϕ) çn Şekl tek grafkten br eğr udurma öntemle analtk br fade elde edlmes gerekr. Aks takdrde (4.4.8) ancak nokta nokta değerlendrleblecektr. (4.4.8) dek döndürme momentnn 4 zamanlı motor çn k krank turu süren br çevrm çersndek ortalamasının -(4.4.8) n daandığı aklaşıklıkların getreceğ fark dışında- (4.4.3) tek ortalama döndürme momentn vereceğn belrtelm: 4π 4π M M ( ϕ) dϕ (4.4.9) en d Şekl te 4 zamanlı br benzn motorunun br slndrne at döndürme moment dagramı, ortalama moment ve motorun çalışma evreler de şaretlenerek gösterlmştr. Bu dagramdan, döndürme momentnn ortalama değer etrafında büük dalgalanmalar gösterdğ görülmektedr. Bu noktada, bu kadar değşken br momentn etksndek krankın nasıl olup da sabt ω açısal hızıla dönebldğ sorusu akla geleblr. Bu sorunun Bölüm 7 de anıtını bulacağını belrtp devam edelm. Çoğu motorun tek br slndre değl, brbrle özdeş br çok slndre sahp olduğu blnmektedr. Şekl te br slndrne at döndürme moment dagramı verlen 4 zamanlı benzn motorunun 4 slndrl olduğunu ve krank ıldızının farklı krank kolları arasında 8 lk açılar bulunacak şeklde tasarlandığını düşünelm (Şek a,b). Arıca slndrlern ateşleme sırasının olduğunu varsaalım. Bu düzenlemenn değşk slndrlern güç stroklarının brbrn zlemesne ve, Şekl c dek strok dagramından görüldüğü gb, tek slndr halndekne oranla çok daha dengel br güç dağılımı sağlanmasına olanak vereceğ ortadadır. Bu durumda motorun toplam döndürme moment dagramı da Şekl de arı arı gösterlen dört özdeş döndürme moment dagramının süperpozsonu (toplamı) olarak, 8 lk perodla kendn neleen, daha az dalgalı br dagram görünümünü alır. 8

85 ,3,4 ω (a) Krank Yıldızı 3 4 (b) Yandan Görünüş Krank Açısı Şekl lndrl 4 Zamanlı Motor o 8 o 36 o 54 o 7 o Ateşleme sırası 3 4 G E B B G E E B G E B G (c) trok Dagramı İçten anmalı motorların vereceğ çalıştırma kuvvetler le lgl olarak şu ana kadar hep krankın bell ve sabt br ω açısal hızıla dönmes halne lşkn endkatör dagramlarına daalı değerlendrmeler aptık. Osa farklı br ω krank hızına geçldğnde, endkatör dagramı da, buna bağlı olarak ukarıdak sonuçların tamamı da değşecektr. Bu değşm hakkında br fkr vermek üzere Şekl dek motor performans eğrler dagramını dkkate alalım. Bu dagramdan görüldüğü gb çten anmalı motorlarda M ortalama döndürme moment de G en endke gücü de motor devr saısıla değşmektedr. Dagramda bunların anısıra, akıt harcamasının ve sürtünme üzünden kabolan gücün de devr saısıla değşm gösterlmştr. Buradan, çten anmalı motorlardan üksek performans alınablmes çn onların bell hızlarda çalıştırılmaları gerektğ sonucunun çıktığına şaret ettkten sonra bu bölümde, çten anmalı motorlarla lgl elde edlen blgler toparlaalım. İçten anmalı motorların vereceğ çalıştırma momentler, genel olarak ϕ& ω hızının ve ϕ konumunun fonksonudurlar. ϕ le fonksonel lşk, k motorun kaç zamanlı, kaç slndrl olduğuna, krank ıldızının şekl ve ateşleme sırasına bağlı br rasonel saı olmak üzere, kπ perodula perodktr. Bu sonucu [ ϕ + kπ ω] Md Md( ϕ, ω) Md, (4.4.) şeklnde not ederek bu bölümü kapatalım. M d 3 4 o 8 o 36 o 54 o 7 o ϕ Şekl Örnek Motorun Farklı lndrlerne At Döndürme Moment Dagramları 8

86 M G en Özellk Yakıt sarfatı ürtünme Devr saısı Şekl Motor Performans Eğrler Elektrk Motorları Elektrk motorları, stator adı verlen sabt br kısım le onun çersnde dönen ve rotor adı verlen br kısımdan oluşan çok bast br mekanzmaa sahp kuvvet maknalarıdır (Şek ). Tablo 4. de, elektrk motorlarının br sınıflandırması verlmştr. Bu tablodan görüleceğ gb, farklı amaçlarla kullanılmaa elverşl, farklı br çok elektrk motoru tp vardır. Br ş çn en ugun elektrk motorunun seçm, cdd blg ve denem gerektrr. Tablo 4. de er alan motor tpler arasında en agın kullanılanlar, kafesl, asenkron, alternatf akım motorlarıdır. Bu nedenle bu bölümde, (Thomson 7 un senkron alternatf akım motorunu cat etmesnden sonra) Tesla 8 tarafından cat edlmş olan bu tp motorlar ve bunların vereceğ çalıştırma momentler üzernde durmakla etnlecektr. Asenkron motorların verdğ çalıştırma a da döndürme momentler ( M delm), rotorlarının ϕ& ω açısal hızıla değşr. Bu nedenle br asenkron motorun d tator Rotor Şekl Kutuplu (p4) Br Elektrk Motoru 7 Elhu Thomson ( ). İnglz kökenl Amerka lı mühends. Elektrk endüstrsnn öncülernden. enkron alternatf akım motorunu (879), elektrk drenç kanağını, tepkmel motoru (888), elektrk saacını vb. cat ett. 8 Nkola Tesla ( ). Hırvat elektrk mühends. Asenkron elektrk motorunun (888) anı sıra çok fazlı elektrk akımını ve üksek frekanslı alternatörü (89) cat ett. 8

87 Tablo 4. Elektrk Motorlarının ınıflandırılması ELEKTRİK MOTORLARI ALTERNATİF AKIM (AC) MOTORLARI 3 Fazlı Fazlı Yüksek güç: -75. kw Endüstrel maknalar Düşük güç: - kw Ev, büro maknaları, küçük el aletler DOĞRU AKIM (DC) MOTORLARI Yüksek aarlanablme eteneğ. Her hıza aarlanablr. Her hızda stenen moment verr. Robotlar, CNC tezgahlar, otomotv, ralı taşıtlar, madenclk, petrol sondaları, petrokma, demr-çelk ve kağıt endüstrs. AENKRON MOTORLAR (Endükson Motorları) Rotor tasarımına göre tpler Özel amaçlı asenkron motor türler Relüktans Motorları abt hız Hsterezs Motorları Kasetçalar vb., eşzamanlı çalışma gerektren proses hatları Kafesl abt moment-hız karakterstğ Adım Motorları Lneer Motorlar Hassas konumlanma Dsk sürücüler, azıcılar, robotlar. Çzgsel hareket Konveör, hızlı tren, uçak hızlandırıcı, kapı açma-kapama Rotoru argılı Aarlanablr moment-hız karakterstğ Ünversal Motorlar Düşük güç: 5-75 W Hem fazlı AC hem DC le çalışır Elektrk süpürgeler, küçük el aletler, mutfak aletler ENKRON MOTORLAR Yüksek güç, sabt hız. Enerj santraller, rafnerler, öğütücüler, büük pompa, kompresör, fanlar en öneml tanıtıcısı bu değşm gösteren M d ω dagramıdır. Buna motorun moment karakterstğ denr. Şekl 4.4.-a da tpk br moment karakterstğ örneğ gösterlmştr. Motora lşkn temel bazı blgler bu karakterstkten kolaca çıkartılablr. Bunlar, motorun sıfır hızda vereceğ döndürme moment olan M kalkış moment, motorun vereceğ döndürme momentnn sıfıra düştüğü hız olan ω s senkron hızı ve moment karakterstğnn ükselşten düşüşe geçtğ devrlme noktasına karşılık gelen M devrlme moment ve ω devrlme hızı dır. Bunlardan M kalk eteneğnn br ölçüsüdür. dev dev kalk, motorun çalıştırdığı maknaı sıfır hızdan vmelendrme M kalk ne kadar büükse motor maknaı o kadar kısa sürede nomnal çalışma hızına ulaştırablecektr. M dev le ω s se motordan elde edleblecek en büük moment le en üksek hızı; an motorun performans sınırlarını tanımlamaktadır. Ancak bütün bu blgler sınır hallere lşkndr. Motor, asıl, Şekl 4.4.-a dak dagramda N le gösterlen noktadak koşullarda çalışmak üzere tasarlanmıştır. Bu noktaa nomnal çalışma noktası, ona karşılık gelen M momentne nomnal moment (a da anma moment) ω hızına se nomnal hız (a da anma hızı) adı verlr. Asenkron motorların tanıtım etketlernde ω N nomnal hızı le G N nomnal gücü tanıtım blgs olarak er alır (Bkz. Şekl 4.4.-b). Buradan nomnal momentn de N N 83

88 M d M dev 3-MOTOR TİP VM 8 MOTOMARK CE M kalk M N ω dev ω N N ω s ω Y IM B3 IP 55 I. CL. E V Hz A kw cos ϕ d/dak er No. IEC 34-9 Faz saısı Klemens bağlantı şekl 3Anma gerlm 4Anma frekansı 5Anma akımı 6Anma çıkış gücü 7Güç katsaısı 8Anma devr saısı 9Uluslararası standart 8 (a) Motor Karakterstğ (b) Motor Tanıtım Etket klk klk dv (c) Motor Kataloğu Şekl 4.4. Asenkron Elektrk Motoru M N G N ωn (4.4.) şeklnde hesaplanableceğne dkkat edlrse, N noktasının her motorda br etket blgs olarak tanımlı olduğu anlaşılır. Öte andan, ωs senkron hızı da şebeke frekansı f ve motordak kutup çft saısı p cnsnden, kolaca ω πf s (4.4.) p 84

89 şeklnde hesaplanablr. Burada Türke'de şebeke frekansının f5 Hz olduğunun ve motorda toplam p kutup varsa kutup çft saısının p olacağının dkkate alınması eterldr. Şmd br asenkron motorun vereceğ ve hıza bağlı olduğunu gördüğümüz döndürme momentnn Md Md( ω) şeklnde fade edlmes olanakları üzernde duralım. Elde motorun moment karakterstğ varsa, br eğr udurma öntemle böle br fade elde edleblr se de bu karakterstğe ulaşmak her zaman olanaklı değldr. Bu gb durumlarda karakterstğn N noktası cvarındak gdşnn aklaşık olarak doğrusal olduğuna dkkat edlerek (k çoğu motorda bu böledr) alnızca bu cvarda ve aklaşık olarak geçerl olmak üzere karakterstğn erne N doğrusu alınablr. Bunun çn motorun etket blgsnden ve (4.4.,) bağıntılarından ararlanarak belrlenen ωn, M N ve ωs değerler eterl olur: ωs ω ωs MN ω MN M d( ) M ω ω ω N (4.4.3) s N ωs ωn ωs ωn Öte andan, karakterstğ Şekl 4.4.-a dak gb olan motorların moment karakterstğnn bütününde geçerl olan ve agın olarak kullanılan br başka aklaşık fade de, karakterstğn devrlme noktasına lşkn verler kullanan M dev ωs ω ω ω + s dev ωs ωdev ωs ω M d ( ω) (4.4.4) fadesdr. Bu fadeden ola çıkılarak, br kalkış noktası cvarında, br nomnal çalışma noktası cvarında geçerl olan daha bast k fade de türetleblr. Bu amaçla, kalkış noktası cvarında ωs ωdev < ωs ω olacağına göre (4.4.4) ün padasındak knc term brncnn anında hmal edlrse, bu bölgede geçerl olan ωs ωdev M d ( ω) M dev (4.4.5) ωs ω fades; nomnal çalışma noktası cvarında se, bu bölgede ωs ω olacağından, bu kez de brnc term kncnn anında hmal edlerek dev > ω s ω ωs ω M d ( ) M dev ωs ωdev ω (4.4.6) fades elde edlr. Dkkat edlrse bu son fade, tıpkı (4.4.3) fadesnde olduğu gb, karakterstğn anılan bölgedek gdşn br doğru le temsl etmektedr. Bütün asenkron elektrk motorlarının karakterstkler Şekl 4.4.-a dak görünümde değldr. Farklı br tp olarak, karakterstğ Şekl 4.4. dek D eğrs görünümünde olan ve M kalk M dev özellğne sahp olan motorlar göz önüne alınırsa, bunlardak moment-hız lşksnn de, aklaşık olarak 85

90 3 D M M N.5.5 C A B.5 ω.85 ω s Şekl 4.4. Asenkron Motor Karakterstğ Tpler ω ω M d( ) Mkalk (4.4.7) ωs parabolüle temsl edlebleceğ kolaca görüleblr. Yukarıda, asenkron motorlarda M kalk kalkış momentnn büüklüğünün, çalıştırılan maknanın nomnal hıza ne kadar çabuk ulaşacağının br ölçüsü olduğunu belrtmştk. Bu husus, br maknaa motor seçerken, motorun nomnal değerlernn anı sıra dkkate alınması gereken öneml br ölçüt oluşturur. Genel olarak, düşük elemszlğe sahp olan, kesntsz çalışan ve kalkışı tam ükle apmaan maknalarda düşük M kalk kalkış momentne sahp motorlar; bunun ters, an büük elemszlğe sahp olan, sık sık durdurulup çalıştırılan ve tam ükle kalkış apan maknalarda se üksek kalkış momentne sahp motorlar eğlenmeldr. Arıca, kend M kalk M kalk kalkış momentne eşt a da ondan büük br ük altında kalkışa zorlanması halnde motorun anacağı da unutulmamalıdır. Br motorda kalkış momentnn ükseklğ, bu momentn nomnal momente Mkalk M N şeklndek oranıla tanımlanır. Her motor çn bu oran, etket blgs olarak değlse de katalog blgs olarak verlmştr (Bkz. Şekl 4.4.-c). Şekl 4.4. de farklı kalkış moment oranına sahp asenkron motorlara lşkn farklı moment karakterstkler gösterlmştr. Bunlardan B tp karakterstğe sahp motorlar vantlatör, aspratör, merkezkaç pompa, gb maknalarda ve takım tezgahlarında; C tp karakterstğe sahp motorlar, pstonlu pompa, kompresör, ttreşml elek gb maknalarda; D tp karakterstğe sahp motorlar, zımba, gotn, mekank pres gb elemszlk çarkına sahp maknalarla konveör, asansör, vnç gb maknalarda kullanılırlar. Bunlar arasında en agın kullanılanlar B tp karakterstğe sahp olan motorlardır. B tp karakterstğe sahp motorlara benzemekle brlkte onlardan devrlme momentnn ükseklğ le arılan A tp karakterstğe sahp motorlar se ender olarak kullanılırlar. 86

91 Burada, ekstrüzon pres gb bazı maknaların özel mal edlmş motorlar gerektrebleceğn ve bazı motorlarda kalkışta devree grerek üksek kalkış moment sağladıktan sonra devreden çıkan özel düzenlern de bulunduğunu belrtelm fakat bu dersn çerçevesn aşan bu konularda daha fazla arıntıa grmeelm İŞ KUVVETLERİ Maknaların kendlerne karşı ş apmak üzere tasarlandığı kuvvetlere ararlı drenç kuvvetler, bunların ters şaretlsne; an ş gerçekleştrmek çn maknanın ortama uguladığı kuvvetlere se ş kuvvetler denr. Buna göre ararlı drenç kuvvetlerne ve ş kuvvetlerne karşılık gelen genelleştrlmş kuvvet bleşenler, sırasıla, Q r ve Q w le gösterlrse, bunlar arasında Q (4.4.8) w Q r lşks vardır. Drenç kuvvetler maknanın hareketne karşı koan kuvvetler olduklarından genellkle negatf, buna bağlı olarak ş kuvvetler de genellkle poztf şaretl kuvvetlerdr. Br maknada ş kuvvetler çoğu kez ancak maknanın br prototp üretlp gerçek çalışma ortamında denendğnde kesn olarak belrl hale gelr. Ne var k bu kuvvetler br makna çn en öneml tasarım grdlernden brn oluşturduğundan bu blge tasarım aşamasındaken gerek duulur. İş kuvvetlernn önceden kestrlmesnde, eğer böle asalar varsa, drenç kuvvetlern veren özel kuvvet asalarından ve daha önce benzer görev çn üretlmş maknalardan ednlen denemden ararlanılır. İş kuvvetlernn belrlenmes problem, her maknada arı arı ele alınması gereken br problemdr. Bu nedenle burada br kaç örnekten kısaca söz edp konua lşkn genel blg vermekle etneceğz. İş kuvvetlernn kestrlmes en kola olan maknalar kaldırma maknaları dır. Bu maknalarda kaldırılacak ük hakkında karar verlr verlmez ararlı drenç kuvvet bu ükün ağırlığı olarak hemen belrl hale gelr. Bu sabt br kuvvettr. Ancak buradan ş kuvvetnn maknanın q esas genelleştrlmş koordnatına ndrgenmş eşdeğerne geçlmesle elde edlecek genelleştrlmş ş kuvvet, maknanın apısına bağlı olarak bazen q konumunun fonksonu olablr (Bkz. Problem 4..-3). Bölece kaldırma maknalarında en genel halde Qw Qw (q) olacağı söleneblr. Kaldırma maknalarına lşkn dnamk hesaplarda dkkat edlmes gereken br husus, ükün kütlesnn de maknanın genelleştrlmş kütles çersnde hesaba katılması gereğdr. İş kuvvetlernn kestrlmesnn görel olarak kola olduğu br makna grubu da pstonlu pompalar dır. Pstonlu pompalar, tıpkı çten anmalı motorlar gb krankbel mekanzmasını esas alan ve onlarla benzer fakat zıt çalışma lkelerne sahp olan 87

92 P P P P PV k sbt P P V V V o V maks V o V maks (a) ıvı Çevrm (b) Gaz Çevrm Şekl 4.4. Kuramsal Pstonlu Pompa Çevrmler maknalardır. Pstonlu pompalarda krankın her devrnde br basma gerçekleşr. Çalışma düzen şu evreler çerr: Pston AÖK dan ÜÖK a doğru harekete geçtğnde slndr çersndek madde sıkıştırmaa başlar. Basınç basma supabının açılmasına etecek P değerne ulaşınca bu supap açılır, basma başlar ve bu, pston ÜÖK a ulaşıncaa kadar sürer. Pston ÜÖK a ulaşıp ger dönünce genşleme başlar, basınç P nn altına düşer, basma supabı kapanır. Pstonun ÜÖK dan AÖK a hereket sırasında basınç emme supabının açılmasına etecek P değernn altına düşünce bu supap açılır, emme başlar ve pston AÖK a ulaşıncaa kadar devam eder. Pston buraa ulaşıp ger döndüğünde basınç P n üstüne çıkar, emme supabı kapanır, brnc çevrm tamamlanmış olur ve her şe enden başlar. Pstonlu pompalarda ş kuvvetler, kendlerne at P-V çevrmlernden ola çıkılarak belrleneblr. Bu ş çn kuramsal çevrmlern kullanılmasıla ş kuvvetlernn kuramsal olarak öngörülmeler de mümkün olur. Bu çevrmlerdek P emme ve P basma basınçları pompadan beklenen görevle lgl olarak tasarımcı tarafından belrlenecek tasarım büüklüklerdr ve değerler belldr. P-V dagramlarının genşleme ve sıkıştırmaa lşkn kısımlarına gelnce, bunlar sıvı ve gaz pompalarında farklı görünümler alırlar. u ve dğer sıvı pompalarında, sıvılar pratkte sıkıştırılamaz akışkanlar kabul edlebleceğnden, genşleme ve sıkıştırma evrelernn sabt hacmde gerçekleştğ düşünülür (Şek a). Hava ve dğer gaz pompalarında se genşleme ve sıkıştırmanın adabatk olduğunun düşünülmes ve dagramın bu bölgelerndek gdşn, k lgl gazın sabt hacm ve sabt basınçtak özgül ısılar oranı olmak üzere (Hava çn k.4) PV k abt eğrs şeklnde olduğunun kabul edlmes ugundur (Şek b). Bütün bunlara ek olarak dagramların ennn de sr krank-bel mekanzmasının strokunu, A se slndr kest alanını göstermek üzere V maks sa le belrl olduğu düşünülürse herhang br pstonlu pompanın kuramsal P-V çevrmnn kolaca elde edlebleceğ anlaşılır. Çevrm elde edldkten sonra pompa ş kuvvet, tıpkı çten anmalı motorlarda olduğu gb Fw Fw ( ϕ) şeklnde belrleneblr. Buradan da genelleştrlmş ş kuvvet, krank-bel mekanzmasının (aklaşık) knematğne lşkn blgler anımsanarak Q w (q) M ( ϕ) F ( ϕ) F ( ϕ) r (snϕ + λ w w & ϕ& w sn ϕ) (4.4.9) şeklnde hesaplanablr. 88

93 M M N Yükte çalışma Boşta çalışma ω ω N Şekl Pervanel Pompa Karakterstğ Öte andan, pervanel ve merkezkaç pompalarda ş kuvvet (moment), Şekl de verlen örnek pompa karakterstğnden de görüldüğü gb, pompa mlnn ϕ& ω açısal hızıla parabolk olarak değşr ve Q & w (q) M w ( ω) a + b( ω c) (4.4.) şeklnde modelleneblr. Buradak a, b ve c katsaıları, M N ve ω N pompanın nomnal çalışmasındak moment ve hız değerlern göstermek üzere a.m N, b. MN, ω N c.ω N olarak alınablr. Bunlardan a le c nn, ml ataklarındak sürtünmenn modellenmesn amaçladığını belrtelm. Düşük hızlarda dönen ve kıvamlı maddeler karıştıran karıştırıcılarda se ş moment karıştırıcı mlnn ϕ& ω açısal hızıla orantılı olarak artar ve Qw (q) & Mw ( ω) c + d ω (4.4.) şeklnde modelleneblr. Buradak c ve d katsaıları benzer maknalara lşkn verlerden çıkartılablr. Burada son br örnek olarak, Şekl a dak zımba maknası na lşkn ş kuvvetnden söz edelm. Maknanın br zımbalama şlem apablmes çn numaralı kolun br tam tur atması gerekmekle brlkte, ş kuvvet bütün bu tur bounca değl; zımbalamanın gerçekleştğ aralık olan aralığında etkr. Bu, blnen br büüklüktür. Br zımbalama çn harcanması gereken W enerjs se kuramsal olarak, a da benzer maknalardan çıkartılablr. Bu k blgden ararlanılarak, ş kuvvetnn B noktasının konumu le değşmne lşkn br model gelştrleblr. Örneğn, ş kuvvetnn aralığında br arı snüs dalgası şeklnde değştğ varsaılıp () F sn π ( ) azılırsa, sözü edlen aralıkta Fw bu eğrnn altında kalan alanın W enerjsne eşt olması gereğ kuvvet çn F π w verr ve ş 89

94 F w Motor zımba levha F w (a) (b) Şekl Zımba Maknasında İş Kuvvet F w () ; < ve > se F w w () π sn π ( ) ; se (4.4.) elde edlr (Şek b). Buradan da, stenrse, mekanzmanın knematk çözümlemesnden elde edlecek verler ardımıla genelleştrlmş ş kuvvetnn fadesne geçleblr. 4.5 MAKİNA HAREKETİNİN EVRELERİ 4.5. GENEL Bölüm 4.4 ün çerğnden, br maknaa etken toplam genelleştrlmş kuvvetn, Q ç çalıştırma kuvvetler, Q k korunumlu kuvvetler, Q s sürtünme kuvvetler ve Q w ş kuvvetlernn toplamı olarak Q(q,q; & t) Qç (q,q; & t) + Qk(q) Qs(q,q) & Qw (q,q; & t) (4.5.) şeklnde azılableceğ blnmektedr. Burada Q w, (4.4.8) dek tanımından da anımsanacağı gb, maknaa etken negatf drenç kuvvetn değl maknanın bunu enmek çn uguladığı poztf kuvvet göstermektedr. ürtünme kuvvetlernn hesaba katılmasında da benzer br fkr ugulanmış, maknaa etken negatf sürtünme kuvvetler erne maknanın bunları enmek çn ugulaması gereken poztf Q s kuvvet kullanılmıştır. Yan buradak Q s, maknaa etken sürtünme kuvvetlernn ters şaretlsdr. Gösterlmde kullanılan bu terchler, makna hareketn destekleen kuvvetlerle ona karşı koan kuvvetlern kolaca aırdedlmesn 9

95 sağlaarak kavraışı, ve lerde görüleceğ gb hesabı kolalaştırmak amacına önelktr. Br maknanın hareket, büük ölçüde, üzerne etken genelleştrlmş kuvvetn ntelğne bağlıdır. Bu bakımdan üç farklı durum aırdedlr: ) Genelleştrlmş kuvvet Q Q(q) şeklnde alnızca q konumunun fonksonu olablr. ) Genelleştrlmş kuvvet Q Q(q,q) & şeklnde alnızca q konumunun ve q& hızının fonksonu olablr. Bu k durumda kuvvet t zamanından bağımsız olduğundan, makna -eğer anı zamanda skleronomk se- zamandan bağımsız (otonom) br sstem oluşturur. ) Genelleştrlmş kuvvet Q Q(q,q; & t) şeklnde q konumunun ve q& hızının anısıra t zamanının da fonksonu olablr. Bu durumda makna zamana bağlı (heteronom) br sstem oluşturur. Robotlar, CNC tezgahlar gb blgsaar kontrollü servomotorlarca çalıştırılan maknalar; ş maknaları, motorlu taşıtlar gb br operatör kontrolündek maknalar ve ürür merdvenler, taşlama tezgahları gb zamanla değşeblen ük altındak maknalar esas olarak heteronom sstemler oluştururlar. Heteronom maknalarda çalışma düzen hareket sırasında sürekl değşm gösterebleceğnden, bu maknalar çn genel br çalışma düzennden söz edlemez. Buna karşılık pompalar, kompresörler, jeneratörler, dokuma tezgahları, matbaa maknaları vb. gb br kez çalıştırıldıktan sonra durdurulana kadar hep anı ş apan maknalar otonom sstemler oluştururlar. Otonom maknalar ol alma, stasoner hareket (rejm hal) ve durma evrelernden oluşan üç evrel br düzen çersnde çalışırlar. Aşağıda otonom maknaların çalışma evreler gözden geçrlecektr. Yol alma (a da ol verme) evres, br maknanın durağan halden başlaıp, düzenl çalışma hızına ulaşana kadar hız kazandığı evredr. Bu evrede maknaa etken genelleştrlmş kuvvet poztf ş apmakta ve maknanın knetk enerjs sürekl artmaktadır. tasoner hareket evres maknanın a sabt hızda, a da sabt br ortalama hız cvarındak küçük hız dalgalanmalarıla çalışarak görevn aptığı evredr. Bu evrede maknaa etken genelleştrlmş kuvvet bazı dönemlerde poztf, bazı dönemlerde negatf ş apablr. Ancak bunlar toplamda brbrn götürmekte ve ssteme gren enerj le çıkan enerj arasında rejm hal de denlen br denge bulunmaktadır. Durma evres se maknanın düzenl çalışma hızından başlaıp gderek avaşladığı ve sonunda durduğu evredr. Bu evrede maknaa etken genelleştrlmş kuvvet negatf ş apmakta ve maknanın knetk enerjs gderek azalmaktadır BAZI ÖRNEK MAKİNALARIN ÇALIŞMA EVRELERİ Bu bölümde bazı bast maknalar göz önüne alınıp, bunların hareket evreler hareket denklemler ardımıla ncelenecektr Yalnız Hıza Bağlı Genelleştrlmş Kuvvet Hal: Q Q(q& ) İlk örnek olarak, elektrk motorula çalıştırılan br pervanel pompaı göz önüne alalım (Şek. 4.5.) ve motor karakterstğnn (4.4.7) dek gb 9

96 pompa motor Şekl 4.5. Motor - Pompa stem ω ω M d ( ) Mk (4.5.) ωs şeklnde, pompa karakterstğnn se -c le- (4.4.) dek gb ω + ω M w ( ) MN..9 (4.5.3) ωn şeklnde olduğunu varsaalım. Bu maknanın (4.3.4) tek & d(q ) I ( q) + C(q) (q& ) Qç(q,q, & t) Qw (q,q, & t) (4.5.4) dq hareket denklem azılmak stenrse, bu maknada özel olarak I( q) I sabt, C (q) olduğu dkkate alınır, qϕ, q& ω denlr ve (4.5.,3) eştlkler (4.5.4) te erne konulursa hareket denklem ω Mk MN ω ( M I I k.m N ) (4.5.5) ωs ω N d dϕ şeklnde elde edlr. Buradak I, pompa ve motora at dönen kısımların toplam elemszlk momentn göstermektedr ve motorla pompa arasında br redüktör bulunmadığı varsaılmıştır. ω çn brnc mertebeden, sabt katsaılı, sağ taraflı br dferansel denklem olan (4.5.5) denklem kolaca çözüleblr ve maknanın hareket bu çözüm ardımıla nceleneblr. Homojen ve özel çözümlern toplamı şeklndek bu çözüm, C başlangıç koşulları cnsnden belrlenecek br sabt olmak üzere M k.m N Mk M N ω ( ϕ) + C + ϕ ep.9 (4.5.6) I ω ω Mk N s N +.9 ω ω s MN şeklndedr. Şmd lkn maknanın ol alma evresnde olacakları görmek üzere sükunetten başlaan br harekete lşkn, örneğn ϕ(), ω() şeklnde başlangıç koşulları göz önüne alınır ve C buna göre belrlenrse (4.5.6) dan 9

97 M k.m N Mk MN ω( ϕ) ep +.9 ϕ (4.5.7) I M k ωs ω N +.9 N ω s MN ω elde edlr. (4.5.7) fades bu maknanın ol alma evresnde nasıl davrandığını açıkça ortaa komaktadır. Hız, ϕ ken sıfırdan başlaıp ϕ ken asmptotk olarak s N M k.m N ω N M k +.9ωs M N ω ω ω (4.5.8) değerne akınsamaktadır. (4.5.) fadesndek M d çalıştırma moment le (4.5.3) fadesndek M w ş momentnn eştlendğ hız olduğu hemen görülen bu hız (Şek a) maknanın rejm hızıdır. (4.5.8) eştlğnn ortaa koduğu br özellk olarak, br rejm halnn oluşablmes çn M k >.M N koşulunun sağlanması gerektğne, bunun da lk hareketn oluşablmes çn sıfır hızdak motor momentnn anı hızdak drenç momentn enmes koşulundan başka br şe olmadığına şaret edelm. Şmd de maknanın durma hareket ncelenmek stensn. Makna durdurulmak stendğnde motor kapatılmış ve çalıştırma moment devreden çıkartılmış olacaktır. Buna göre durma evresnde hareket, (4.5.6) dan M k le ω N ω ( ϕ) N + C M ep.9 ϕ 9 I (4.5.9) ω N şeklndedr. Motorun kapatılma anında ϕϕ d, ω ω olduğu kabul edlr ve C bu başlangıç koşullarını sağlaacak bçmde hesaplanırsa ω ω ω( ϕ) N + ω + N.8M N ep ( ϕ ϕd ) 9 9 (4.5.) I. ω N elde edlr. Buna göre durma evresnde hız, sıfıra düşüncee kadar üstel olarak azalacaktır. M d Yol Alma tasoner Hareket Durma M w ω [rad/s] (a) (b) ϕ [rad] Şekl 4.5. (a) Rejm Oluşma Noktası, (b) Hareketn Evreler 93

98 Şekl 4.5.-b de bu maknanın, M k Nm, ω s 5π rad/s, M N Nm, ω N rad/s, I.8 kgm, ϕ d 3 rad saısal değerler kullanılarak, (4.5.7) ve (4.5.) ardımıla çzdrlmş ω ϕ dagramı görülmektedr. Dagramda, maknanın ol alma, stasoner hareket ve durma evreler şaretlenmştr. Bu dagramdan, hareket ncelenen maknanın dnamk davranışının bazı temel özellkler hemen fark edlmektedr. Dkkat çeken lk özellk maknanın kendlğnden br rejm halne erleşmesdr. Her maknada bulunmadığını az sonra göreceğmz bu özellk, üzerlerne etken genelleştrlmş kuvvet hızın fonksonu olan maknalara özgü br özellktr. Dkkat çeken ve ne her maknada bulunmadığını az sonra göreceğmz knc br özellk de, hareketn hç br evresnde ve bu arada stasoner hareket evresnde hızın br dalgalanma göstermemesdr. Bu özellk de, ne I genelleştrlmş elemszlğ ne de Q genelleştrlmş kuvvet konumun fonksonu olan, an davranışları tamamen konumdan bağımsız olan maknalara özgü br özellktr Konuma ve Hıza Bağlı Genelleştrlmş Kuvvet Hal: Q Q(q,q& ) İknc br örnek olarak karakterstğ ne (4.5.) dek gb olan br elektrk motorunun çalıştırdığı br taşlama maknasını göz önüne alalım (Şek ). Taşın, sabt olduklarını varsaacağımız F ve R taşlama kuvvetlernn etks altında olduğunu ve taş-ml bağlantısında çok küçük br e merkez kaçıklığı bulunduğunu düşünelm. Şekl ardımıla ş kuvvet ( r + e ϕ) M w Fecosϕ + R sn (4.5.) şeklnde belrlendkten sonra (4.5.) ve (4.5.) le (4.5.4) hareket denklemne gdlrse, I ( q) I sabt C(q), qϕ, q& ω le dω dϕ + Mk Iω s ω ( Mk R.r) I e I ( Fcosϕ + R sn ϕ) (4.5.) elde edlr. Bu dferansel denklem de kolaca çözüleblr. Bu çözüm, C o başlangıç koşulları cnsnden belrlenecek br sabt olmak üzere e r F R Şekl Motor - Taş stem 94

99 ω ( ϕ ) + R.r Mk eω s I ω 4 + 4M s k ω s + C ep Mk I ω s ϕ [( Iω R M F) cosϕ ( Iω F + M R) sn ϕ] s k s k (4.5.3) şeklndedr. Şmd maknanın ol alma evresnde olacakları görmek üzere başlangıç koşulları ϕ(), ω() olarak alınır ve C buna göre belrlenrse ω ( ϕ ) R.r Mk ω s + I eω + I ω 4 + 4M s k eω s ( ) ω M M R.r ω k ϕ ω 4 + kf I s R s ep Mk ω s 4M k I s [( Iω R M F) cosϕ ( Iω F + M R) sn ϕ] s (4.5.4) s k s k elde edlr. (4.5.4) fades bu maknanın ol alma evresnde nasıl davrandığını açıkça ortaa komaktadır. Hız, ϕ ken sıfırdan başlaıp ϕ ken asmptotk olarak ω ϕ ) R.r ω + M s k ω 4 + [( Iω R M F) cosϕ ( Iω F + M R) sn ϕ] eω s ( s k s k I 4M s k düzenne erleşmektedr. Bunun se (4.5.5) ω R.r ω M s (4.5.6) k ortalama değer cvarında dalgalanan br hız değşmn gösterdğ ortadadır. Şmd de durma evresnde olacakları görmek steelm. Bu evrede motor kapatılmış olacağından, hareket denklem (4.5.) den motor momentne lşkn termlern sıfır alınmasıla dω R.r e ( Fcosϕ + R sn ϕ) (4.5.7) dϕ I I şeklnde azılablr. Çözümü se ω ( ϕ) C Rr ϕ e ( Fsn ϕ R cosϕ) (4.5.8) I I şeklndedr. Motorun kapatıldığı anda ϕϕ d, ωω d olduğu kabul edlr ve C buna göre hesaplanırsa, durma evresndek harekette hızın 95

100 ω [rad/s] ϕ [rad] Şekl Hareketn Evreler ( ϕ ϕ ) e [ F( sn ϕ sn ϕ ) R( cosϕ cos ] ω ( ϕ) ω Rr d d d ϕd ) I I (4.5.9) şeklnde değşeceğ anlaşılır. Buna göre hız ω d değernden sıfır olana kadar, dalgalanarak azalacaktır. Bu maknanın hareketle lgl olarak burada elde edlen sonuçlar Şekl te, M k Nm, ω s 3π rad/s, F5 N, R N, I.3 kg.m, r5 cm, e mm, ϕ d rad saısal değerlerne karşılık gelen ω ϕ dagramında gösterlmştr. Bu dagramdan, maknanın kendlğnden br rejme erleştğ ve hareketn her evresnde hız dalgalanmalarının söz konusu olduğu görülmektedr. Rejme erleşme, genelleştrlmş kuvvetn hıza bağlı oluşunun; hız dalgalanmaları se bu kuvvetn konuma bağlı oluşunun br sonucudur Yalnızca Konuma Bağlı Genelleştrlmş Kuvvet Hal: Q Q(q) on br örnek olarak numaralı uzvu sabt M momentnn, 4 numaralı uzvu se F(ϕ)F snϕ kuvvetnn etks altında bulunan, harmonk hareket mekanzması esaslı br maknaı göz önüne alalım (Şek ). Maknanın hareketl uzuvlarının kütleler m, m 3 ve m 4 olarak, numaralı uzvun kütle merkezne göre elemszlk arıçapı se olarak verlmş olsun. m 3 m, M ϕ F(ϕ)F snϕ m 4 Şekl Harmonk Hareket Mekanzması Esaslı Makna 96

101 Problem 4.3. den bu maknanın genelleştrlmş elemszlğnn m 4 I ( ϕ) m + r ( + m + m sn ϕ) (4.5.) a da fadenn sabt kısmı I le gösterlerek 3 4 m I 4 3 I( ϕ) I + m4r sn ϕ ; m + r ( + m ) (4.5.) şeklnde, genelleştrlmş kuvvetn se M( ϕ ) M F rsn ϕ (4.5.) şeklnde azılableceğ blnmektedr. Genelleştrlmş kuvvetn alnızca konuma bağlı olduğu bu maknada hız değşmnn (4.3.6) denklem ardımıla hesaplanması ugun olacaktır. Bu amaçla, qϕ, &q ϕ & ω denlerek bu denklem d dϕ [ I( ϕ) ω ] M( ϕ) (4.5.3) şeklnde enden azılıp (4.5.) ve (4.5.) fadeler burada erlerne konulursa [ ( I + m r sn ϕ) ω ] ( M F r sn ϕ) dϕ d 4 o (4.5.4) elde edlr. Buradan, ϕ()ϕ, ω()ω dan, ϕ, ω a kadar ntegrasonla da ϕ, ω ( I + m r sn ϕ) ω ( M F rsn ϕ) ϕ 4 o dϕ (4.5.5) ϕ, ω ϕ a da gerekl hesaplar apılarak ω F ( + ϕ ) ω + ( )( ϕ ϕ ) + o r I m r sn M F r ( sn ϕ sn ϕ ) 4 o o o o o ( ϕ) (4.5.6) I+ m 4r sn ϕ bulunur. Bu fadenn ncelenmesnden, M>F o r olmadıkça bu maknanın ol alamaacağı, bu koşulun sağlanması halnde se bu kez de rejme gremeeceğ ve hızının sürekl artacağı anlaşılır. Bu koşulun ne anlama geldğnn görüleblmes çn, ϕ bakımından π perodula perodk olan (4.5.) dek genelleştrlmş kuvvetn br perod bounca apacağı ş veren 97

102 ( M F rsn ϕ) dϕ ( π W M F ) π (4.5.7) or fadesnn dkkate alınması eterldr. Maknanın ol alma evresnde genelleştrlmş kuvvetn poztf ş apması, bunun çn de M>F o r koşulunun sağlanması gerekldr. Buna karşılık br rejm oluşablmes çn se genelleştrlmş kuvvetn apacağı net şn sıfır olması, bunun çn de MF o r koşulunun sağlanması gerekr. Buradan şu sonuç çıkmaktadır: Bu makna, verlmş br M ve F o le ol alablorsa rejme gremez, rejme greblorsa ol alamaz. Bu, genelleştrlmş kuvvet alnızca konumun fonksonu olan maknaların ortak br özellğdr. Bu özellkler üzünden bu maknalar, bundan öncek örneklerdek genelleştrlmş kuvvetler hıza bağlı maknalar gb kendlklernden rejme gremezler. Bu maknalarda ol alma evresnden rejm evresne geçş ancak dışarıdan çalıştırma a da ş kuvvetlerne a da bunların her ksne brden apılacak br müdahalele gerçekleşeblr. Ugulamada bunu apmanın br olu, ol verme evresnde ş kuvvetlern tamamen a da kısmen devre dışı bırakmak, an maknaa boşta a da arım ükle kalkış aptırmak ve makna arzu edlen hıza ulaştıktan sonra bu kuvvetler devree sokarak rejm oluşturmaktır. Ancak burada hemen şunu da belrtelm k genelleştrlmş kuvvet alnızca konumun fonksonu olan makna kavramı br soutlamadan barettr ve gerçek her maknada hıza bağlı kuvvet üreten br unsur mutlaka vardır. Bu üzden buradak değerlendrmelern, gerçek maknalar çn ancak ana hatlarıla geçerl olableceğnn unutulmaması gerekr. Şmd bu değerlendrmelerden sonra ncelenen probleme ger dönülür ve ol alma evresnde ş kuvvetnn tamamen devre dışı olduğu (F o ) ve bu evrenn başlangıcında ϕ o, ω o olduğunu varsaılırsa, bu değerlerle (4.5.6) denklemne dönülerek maknanın ol alma evresndek hız değşm çn Mϕ ( ) (4.5.8) I+ m 4r sn ϕ ω ϕ elde edlr. Bu fadenn ncelenmesnden bu evrede hızın, padadak genelleştrlmş elemszlğn perodk oluşunun br sonucu olarak, π perodlu dalgalanmalarla artacağı anlaşılır. tasoner harekete geçlmek stenen anda ş kuvvet devree sokulmalı ve bu kuvvet, rejm çn gerekl olduğunu ukarıda belrledğmz o M r F (4.5.9) koşulunu sağlamalıdır. (Bu koşulu sağlamak üzere rejme geçş anında F o, M klsnn her ksnn de aarlanması mümkün se de bz M nn ol alma evresndek değern koruduğunu ve F o ın ona uarlandığını varsaalım.) Bu andak konum ve hızın da ϕ ve ω değerlerne sahp oldukları varsaılırsa bu değerlerle ve (4.5.9) eştlğle (4.5.6) a dönülerek, stasoner hareket evresndek hız değşm çn 98

103 F ( + ϕ ) ω + o r I m r sn ( sn ϕ sn ϕ ) 4 I+ m 4r sn ϕ ω( ϕ) (4.5.3) elde edlr. Buradan stasoner hareket evresnde de hızın, hem genelleştrlmş elemszlğn, hem de genelleştrlmş kuvvetn perodk oluşunun br sonucu olarak, ksnn ortak perodu olan π perodula perodk dalgalanmalar göstereceğ anlaşılır. Durma evresne geçş çn çalıştırma kuvvetnn devreden çıkartılması eterldr (M). Geçş anında konum ve hızın ϕ ve ω değerlerne sahp oldukları varsaılır ve bu değerlerle (4.5.6) a dönülürse durma evresndek hız değşm çn de F ( + ϕ ) ω ( ϕ ϕ ) + o r I m r sn F r ( sn ϕ sn ϕ ) 4 o I+ m 4r sn ϕ ω( ϕ) (4.5.3) elde edlr. Buradan hızın, genelleştrlmş kuvvet ve elemszlğn perodk oluşu üzünden, sıfır değerne kadar perodk dalgalanmalarla azalacağı anlaşılmaktadır. Burada ncelenen maknanın hareketnde hız değşm, I. kg.m, m 4 kg, r5 cm, M3 N.m, F o 4 N, ϕ 4π rad, ϕ 8π rad değerlerne karşılık gelen br saısal örnek çn Şekl da gösterlmştr. ω [rad/s] ϕ [rad] Şekl Hareketn Evreler 99

104 5 HAREKET DENKLEMİNİN DEĞERLENDİRİLMEİ MAKİNA DİNAMİĞİNİN ANA PROBLEMLERİ 5. GENEL Blndğ gb mekank sstemlern dnamk davranışları, Newton'un knc hareket asasının doğrudan br sonucu olarak, konumun zamana göre knc mertebeden dferansel denklemler olan hareket denklemlerle tanımlanır. Dnamkte hareket denklemler brbrnden farklı k amaç çn kullanılablr. Bunlardan lknde mekank sstemn tüm parametreler, üzerne etken tüm kuvvetler ve sstemn herhang br t o anındak durumu (konum ve hızı) belldr. Amaç sstemn gelecektek davranışının, an her t>t o anındak durumunun öngörülmes a da başka br deşle hareketnn smülasonunun gerçekleştrlmesdr. Hareketn dferansel denklemlernn çözülmesn gerektren bu probleme dnamğn düz problem adı verlr. Olası knc amaç, sstemn belrl br hareket gerçekleştreblmes a da hareketnn bell bazı özellklere sahp olablmes çn sstem parametrelernn almaları gereken değerlern a da ssteme ugulanması gereken kuvvetlern belrlenmesdr. Genellkle sstem davranışlarının kontrolü a da optmzasonu çerçevesnde karşılaşılan ve hareketn dferansel denklemlernn çözülmesn gerektrmeen bu tp problemlere de dnamğn ters problemler adı verlr. Dnamğn genel programı çersnde er alan bu problem tpler makna dnamğ özelnde de karşılıklarını bulur. Aşağıda makna dnamğnn ana problemler, makna dnamğnn düz ve ters problemler olmak üzere k ana başlık altında ele alınacaktır. 5. MAKİNA DİNAMİĞİNİN DÜZ PROBLEMİ HAREKET DENKLEMİNİN AYIAL ÇÖZÜMÜ 5.. PROBLEMİN TANITILMAI Makna dnamğnn düz problem denldğnde, maknanın tüm boutları, tüm uzuvlarının elemszlk özellkler, makna üzerne etken tüm kuvvetler ve genelleştrlmş koordnat ve genelleştrlmş hızın bell br t o anındak q (to) q o, q &(t ) & değerler verlmşken, makna hareketn önettğ blnen o q o I(q) & q + C(q) q& Q(q,q,t) & (5..)

105 knc mertebeden dferansel denklemnn çözülerek qq(t) q & q(t & ) & q & q(t) fonksonlarının elde edlmes anlaşılır. Ancak hemen görüldüğü gb (5..) denklem, I(q) genelleştrlmş elemszlğnn sabt olduğu ve Q (q,q, & t) genelleştrlmş kuvvetnn q ve q& argümanlarının lneer br fonksonu olduğu km çok özel haller dışında lneer olmaan br dferansel denklemdr. Osa, blndğ gb, ender bazı örnekler dışında lneer olmaan dferansel denklemlern çözümü bugün çn blnmemektedr. Öte andan, Bölüm 3 ten anımsanacağı gb, I(q) genelleştrlmş elemszlğnn, buna bağlı olarak di(q) C(q) merkezcl dq katsaısının ve Bölüm 4 ten anımsanacağı gb Q (q,q, & t) genelleştrlmş kuvvetnn analtk olarak fade edleblmes çn maknanın knematk çözümlemesnn analtk oldan gerçekleştrleblmes gerekldr. Osa, blndğ gb, bu da ancak çok bast apıdak az saıda makna çn olanaklıdır. Buradan, (5..) denklemnn çoğu makna çn hç azılamaacağı, azılabldğnde de çoğu kez analtk olarak çözülemeeceğ anlaşılmaktadır. Bu sorunların her ksn brden aşablmek çn, (5..) denklemnn saısal çözümüne önelmekten başka çıkar ol oktur. Bz de, br maknanın düz dnamk problemn çözme görevle karşı karşıa kalan her mühendsn önce bu denklemn azılması ve analtk olarak çözülmes olanaklarını araştırması gereğne şaret etmekle brlkte, burada bunun olanaklı olduğu hallern br sıralamasını verme garetne hç grmeelm ve doğrudan doğrua her durumda geçerl olan saısal çözüm seçeneğne önelelm. Dferansel denklemlern saısal çözümü çn br çok öntem blnmektedr. Bu öntemler, en önemllern Hammng Yöntem le Adams Grubu (Adams- Moulton, Adams-Bashforth vb.) Yöntemlern oluşturduğu çok adımlı teratf öntemler ve en önemllern Runge-Kutta Grubu Yöntemlern oluşturduğu tek adımlı öntemler olmak üzere başlıca k sınıfa arılırlar. Bütün bu öntemlern teker teker ele alınıp ncelenmes bu dersn çerçevesn aşacağı çn, burada, makna dnamğ ugulamalarında en çok kullanılan öntem grubu olan Runge-Kutta öntemlernden brn kısaca tanıtıp bu öntemn makna dnamğnn düz problemne ugulanışına değnmekle etneceğz. 5.. BİRİNCİ MERTEBEDEN DİFERANİYEL DENKLEMLERİN AYIAL ÇÖZÜMÜ İÇİN RUNGE-KUTTA YÖNTEMİ bağımlı değşkennn t bağımsız değşkenne göre & f (, t) (5..) şeklndek brnc mertebeden dferansel denklem le (t ) o o (5..3) başlangıç koşulunun oluşturduğu ve amacı buradan (t) nn hesaplanması olan başlangıç değer problem göz önüne alınsın. Runge-Kutta grubu öntemler, bu Anımsanacağı gb Bölüm 5.5 te, (5..) e alternatf oluşturan (5.3.4) ve (5.3.6) dferansel denklemlernn analtk oldan çözümüne lşkn bazı örnekler verlmşt.

106 3 (t) t o h t h h t t 3 t Şekl 5.. Runge - Kutta Yöntem problemn çözümünün t t o +h noktasında alacağı (t )(t o +h) saısal değernn aklaşık hesabı çn br algortma sunarlar. Bu algortmanın tekrar tekrar ugulanmasıla kapalı formdak (t); t çözümü erne, (t) nn brbrn h adımlık aralıklarla zleen t noktalarındak o (to) (to + h), (to + h), 3 (to + 3h), saısal değerlerne, an problemn nokta nokta çözümüne ulaşılır (Şek. 5..). Runge-Kutta öntem grubuna gren çok saıda öntem bulunmakla brlkte bz burada bunların en popüler olan 4. Mertebeden Klask Runge-Kutta Yöntemn ele alalım. Konumuzun dışında kaldığı çn çıkartılışını burada vermeeceğmz bu önteme göre (t o +h) değer, brbr peşsıra hesaplanablen k f (o,to) k f ( + h.k,t h) k k o o + f ( h.k,t 3 o + o + 4 f (o + h.k3,to + h) t o h) (5..4) şeklnde tanımlı 4 katsaı ardımıla o o şeklnde hesaplanır. (t + h) + h(k + k + k k ) (5..5) 5..3 MAKİNA HAREKET DENKLEMİNİN AYIAL ÇÖZÜMÜ Yukarıda tanıtılan 4. Mertebeden Klask Runge-Kutta öntem makna hareket denklemnn çözümünde kullanılablr. Ancak bunun çn lkn. Mertebeden br dferansel denklem olan bu denklemn brnc mertebeden dferansel denklem bçmne getrlerek öntemn ugulama alanına sokulması gerekr. Bu, (5..) makna hareket denklemnde q genelleştrlmş koordnatı le q& genelleştrlmş hızı k arı blnmeen olarak düşünülüp

107 uq, v q& (5..6) şeklnde, bunlara karşılık gelen k en blnmeen tanımlanarak apılablr. Böle apıldığında (5..) ve (5..6) dan u & v& v Q(u,v,t) C(u) v I(u) (5..7) azılablr. Bölece adet. mertebeden dferansel denklem olan hareket denklem, adet. mertebeden dferansel denklemden oluşan br dferansel denklem takımına dönüşmüş olmaktadır. Blnmeenler, sstemn durum değşkenler olan q ve q& dan baret olduğundan (5..7) denklem takımının sstemn durum uzaındak tasvrn oluşturduğu sölenr. İstenrse (5..7) erne, f u (u, v,t) f v (u,v,t) v Q(u,v,t) C(u) v I(u) (5..8) fonksonları tanımlanarak u& f v& f u v (u,v,t) (u,v, t) (5..9) da azılablr. (5..9) denklemne Runge-Kutta öntem kolaca ugulanablr. (5..4) ve (5..5) bağıntılarından ararlanılarak ve oradak t o dan t e geçş özel adımı erne t den t + e geçş genel adımı düşünülerek bu apılırsa, ardışık olarak hesaplanablen ku fu (u, v, t) k f (u,v, t ) k k k v v f (u h k,v h k,t u u + u + v + h) k f (u h k, v v v + u + h kv, t + f (u h k, v h k, t u 3 u + u + v + h) k f (u h k, v v 3 v + u + h kv, t + u 4 fu (u + h ku3, v + h kv3, t + h) kv 4 fv(u + h ku3,v + h kv3,t + h) katsaıları cnsnden (5..) h) h) 3

108 6 u + u(t + h) u + h(ku + ku + ku3 + ku4) 6 v + v(t + h) v + h(kv + kv + kv3 + kv4) (5..) elde edlr. Bu bağıntılar, t anındak durum blnrken t + t +h anındak durumun hesaplanmasını sağlamaktadır. (5..) ve (5..) eştlkler (5..9) esas alınarak çıkartıldığından genel mahette olup her tür f u (u,v,t) ve f v (u,v,t) fonksonu çn geçerldr. Burada f u (u,v, t) v erne konulur ve (5..6) tanımları kaldırılırsa, bzm problemmzde geçerl olan, daha alın k fv(q,q&,t) k fv(q + h q&,q& + h k,t + k f (q h q h k,q h k, t 3 v + & + & + + h) (5..) 4 h) ve k f (q h q 4 v + & + h k,q& + h k3, t + h) q q h q + + & + h (k + k + k3) 6 6 q& + q& + h(k + k + k3 + k4) (5..3) fadeler de azılablr. Bu fadeler, makna hareket denklemnn h zaman adımlarıla adım adım çözümünde kullanılır. Dkkat edlrse bu çözümün gerçekleştrleblmes çn (5..8) dek f v fonksonunun, dolaısıla da (5..) makna hareket denklemnn kapalı formda azılmış olması gerekmemektedr. Buna bağlı olarak maknanın knematk çözümlemesnn analtk oldan gerçekleştrlmş olmasına da gerek bulunmamaktadır. Gerek duulan tek şe f v nn, q, q & ve t argümanlarının bell değer takımlarına ( (5..) eştlklernn sağ taraflarında er alan 4 değer takımı) karşılık gelen saısal değerlernden barettr. Bu saısal değerlern hesaplanablmes çn (5..) de er alan Q (q,q, & t), I(q) ve C(q) fonksonlarının anı argümanlar le hesaplanmış saısal değerler, bunların hesaplanablmes çn se, (3..6), (4..5) ve (4.3.) tanımlarından da görüleceğ gb, maknanın söz konusu q konumu çn gerçekleştrlmş saısal konum, hız ve vme çözümlemesnn sonuçları eterldr. Burada şunu da belrtelm k ukarıdak hesap ancak bell br aklaşıklıkla geçerldr. Bu üzden hesabın her h adımı bell br hata oranı çerr. Br kural olarak h adımı ne kadar büükse hesabın her adımında apılan hata da o kadar büüktür. Adım saısı arttıkça bu hatalar brkerek büük brkml hatalara ol açablr. Bu sorunla bağlantılı olarak, hesabın her adımında apılan hatanın da hesaplanmasına olanak veren ve bu saede hatanın kontrol altında tutulmasını sağlaan özel Runge- Kutta öntemler de gelştrlmş olmakla brlkte burada bu konuda arıntıa grlmeecektr. 4

109 5.3 MAKİNA DİNAMİĞİNİN TER PROBLEMİ ÇALIŞTIRMA KUVVETİNİN HEABI Makna dnamğnn ters problem denldğnde, maknanın tüm boutları, tüm uzuvlarının elemszlk özellkler, makna üzerne etken kuvvetlerden çalıştırma kuvvetler dışındaklern tamamı ve maknanın apması stenen harekette genelleştrlmş koordnatın qq(t) fades verlmşken, bunu sağlamak üzere maknaa ugulanması gereken Q ç (t) çalıştırma kuvvetnn hesaplanması anlaşılır. Bu problemn çözümü çn I(q) & q + C(q) q& Q(q,q,t) & (5.3.) makna hareket denklemnde, genelleştrlmş kuvvetn (5.5.) dek Q(q,q, & t) Q (q,q, & t) + Q (q) Q (q,q) & Q (q,q, & t) (5.3.) ç fadesnn erne konulması, ve buradan çalıştırma kuvvetnn k s w Q (t) I(q) & q + C(q) q& Q (q) + Q (q,q) & + Q ç k s w (q,q, & t) (5.3.3) şeklnde çeklmes eterldr. Burada arzu edlen q(t) fadesle, buradan türev alınarak bulunacak q& (t) ve & q&(t ) fadelernn erlerne konulmasıla çalıştırma kuvvet kolaca QQ(t) şeklnde hesaplanablr. Bast apıa sahp bazı maknalarda bu hesap analtk olarak gerçekleştrleblr se de genelde -br dz t değer çn- nokta nokta hesap apılmak zorunda kalınır. Böle br hesapta Q (q, q, & t), I(q) ve C(q) nün hesabında (4..6), (5..5) ve (5.3.) denklemlernn esas alınması gerekr. 5

110 ÖRNEK PROBLEMLER Problem 5.3. M Ç (t) A 3 O ϕ k OAr Şekl Pr F Şekldek harmonk hareket mekanzması esaslı maknanın 4 numaralı uzvu F N kuvvetnn etks altındadır. Maknanın hareketl uzuvlarının kütleler m kg, m 3.5 kg, m 4 kg olarak, numaralı uzvun bou se r. m olarak blndğne ve ϕ ken k N/m aı gerlmesz olduğuna göre, numaralı uzvu ω rad/s sabt hızıla çevreblmek çn bu uzva ugulanması gereken M ç (t) çalıştırma momentn hesaplaınız. Çözüm: Daha önce Örnek Problem 4.3. de ele alınmış olan bu maknada, q ϕ, Q M gösterlmlerle m I( ϕ) m + r + m3 + m 4 sn 4 ϕ () m r 4 C( ϕ) m r sn ϕcosϕ sn ϕ () M k 4 m ( ϕ) + m gr cosϕ kr 3 sn ϕ () M w ( ϕ) Frsn ϕ (v) M s (v) olduğu gösterleblr. Öte andan, numaralı uzvun sabt ω hızıla dönmes stendğne göre, -t anında ϕ olduğu kabulüle- ϕωt, ϕ& ω, ϕ& & (v) olmalıdır. (-v) eştlklernn (5.3.3) denklemnde değerlendrlmesle m ( m ω + k) r sn ωt + + m gr cosωt + Frsn ωt Mç(t) 4 3 (v) a da saısal değerler kullanılarak 6

111 M ç (ϕ) ϕωt Şekl Pr M ç (t) 8sn t +.96cost + snt [N.m] (v) hesaplanır. Yukarıdak şeklde, hesaplanan M ç nn ϕωt le değşm gösterlmştr. Problem 5.3. F s B 6 q 3 A 4 p ϕ H A M θ 5 C Şekl Pr Plana Tezgahı h c Şekldek plana tezgahının m 6 kg kütlee sahp koçu, sağa gdşte serbestçe hareket ederken sola gdşte sabt F kuvvetnn etks altında kalmaktadır. Maknanın boutları r.5 m, c.4 m, h. m olarak verldğne ve koç dışındak uzuvların kütlelernn göz ardı edlmes stendğne göre numaralı uzvu sabt ω açısal hızıla döndüreblmek çn bu uzva ugulanması gereken çalıştırma momentn a) F, ω.8 rad/s, b) F N, ω.8 rad/s, c) F N, ω5 rad/s haller çn, maknanın ϕ konumuna bağlı olarak hesaplaınız. Çözüm: Bu maknada, q ϕ, q& ω, & q& α, Q M gösterlmlerle ve α, M k, M s olduğuna dkkat edlerek (5.3.3) denklem M ç ( ϕ ) C( ϕ) ω + M ( ϕ) () w 7

112 şeklnde azılablr. Burada C(ϕ) (5.3.) denklemne göre C( ϕ) m6g 6 ( ϕ)g 6 ( ϕ) () şeklnde hesaplanmalıdır. Öte andan F w ş kuvvet (5.4.8) uarınca şekldek F r drenç kuvvetnn ters şaretls olacak, arıca bu kuvvet alnızca sola önelk hareket sırasında, an s& hızının poztf olduğu durumlarda etkecektr. Bütün bunlar dkkate alındığında, sgn şaret fonksonu kullanılarak bu kuvvet + sgn(s) & + sgn Fw ( ϕ) F j [ g ( ϕ) ] 6 F j şeklnde fade edleblr. Buna karşılık gelen genelleştrlmş kuvvet se (4..6) bağıntısı uarınca () [ g ( ϕ) ] + sgn M w ( ϕ) F g 6 ( 6 ϕ ) (v) şeklnde olacaktır. onuç olarak () ve (v) le () e dönülerek + sgn[ g 6 ( ϕ) ] ( ϕ) [ m6g 6( ϕ) ω + F] g ( ϕ) Mç 6 (v) elde edlr. Öte andan, daha önce Problem 4..4 te ele alınmış olan bu maknada çevrm kapama denklemlernn f ( ϕ, p, θ, q,s) r cos ϕ p cos θ + c f ( ϕ, p, θ, q,s) r sn ϕ p sn θ f 3 ( ϕ, p, θ, q, s) r cos ϕ + q cos θ h (v) f 4 ( ϕ, p, θ, q, s) r sn ϕ + q sn θ s şeklnde olduğu blnmektedr. Buradan hareketle, (3..) ve (3..4) uarıca apılan hesaplar sonucunda ve r(p+ q) p cos( ϕ θ) cos θ g ( ϕ (v) 6 ) r(p+ q) p r sn ϕcos( ϕ θ) p cos θsn( ϕ θ) cos θ g ( ϕ (v) 6 ) olduğu gösterleblr. Artık (v) denklemlernn çeştl ϕ değerler çn çözülmesle elde edlecek p, q ve θ değerlernn (v) ve (v) de, bunların da (v) te erlerne konulmasıla sonuca gdleblr. 8

113 Bu oldan elde edlen sonuçlar Şekl Pr a, b ve c de verlmştr. Şekl a da, gereken çalıştırma momentnn anısıra, bu momentn değşmle koçun hareket arasında lşk kurmaa olanak vermek üzere koçun konum, hız ve vmesnn ϕ le değşm de gösterlmştr. Şekl b den, ω.8 rad/s olması halnde, elemszlk kuvvetnn çalıştırma moment üzerndek etksnn, F nnknn anında göz ardı edleblecek mertebede kaldığı görülmektedr. Buna karşılık ω5 rad/s olması halnde bu etk, Şekl c den görüldüğü gb belrgn hale gelmektedr. Arıca bu şekllerden koç hızının negatf olduğu sürenn poztf olduğu süree göre oldukça kısa olduğu, an koçun sola doğru avaş gdp sağa doğru hızlı döndüğü de görüleblmektedr. Bu da bu tp mekanzmaların nçn çabuk dönüş mekanzması adıla anıldığını açıklamaktadır. M ç [N.m] s [m] s& [m/s] & s& [m/s ] s & M ç & s& s M ç [N.m] π/ π ϕ π/3 π π/ π ϕ π/3 π (a) F, ω.8 rad/s (b) F N, ω.8 rad/s M ç [N.m] π/ π ϕ π/3 π (c) F, ω5 rad/s Şekl Pr Hesap sonuçları 9

114 6 MAKİNA HAREKETİNDE HIZ DALGALANMALARI VE GİDERME YÖNTEMLERİ 6. HIZ DALGALANMALARI DALGALANMA KATAYII Maknaların br çoğunda dam dönme hareket apan ve ml adı verlen br uzuv bulunur. İçten anmalı motorlar ve pstonlu pompalardak krank mller, döner kam mekanzmalarındak kam ml, türbnlerdek türbn ml vb. bunun blnen örneklern oluşturur. Bu maknaların görevlern gereğ gb erne getreblmeler, çoğu kez, mln sabt hızla dönmesn gerektrr. Osa Bölüm 4.5 te ncelenen örneklerden, maknanın Q genelleştrlmş kuvvet ve/vea I genelleştrlmş elemszlğ konumun perodk unsurlar çeren br fonksonu se, makna mlnn sabt br hızla değl, br ortalama değer etrafında dalgalanan br hızla döneceğ blnmektedr. Bu, br çok makna çn, özellkle stasoner hareket evresnde, stenmeen hatta kabul edlemez br durumdur. Bu bölümde şte bu sorun ve gderme öntemler üzernde durulacaktır. Herhang br olaı blmsel anlamda nceleeblmek çn önce ona ölçüleblr br büüklük eşleştrmek gerektğ blnen br gerçektr. Hız dalgalanmaları çn böle br büüklük olarak, stasoner hareket evresnde ml hızının aldığı en üksek ve en düşük değerler arasındak farkın ortalama ml hızına oranından baret olan, boutsuz hız dalgalanma katsaısı tanımlanmıştır (Şek. 6..): δ ω ωmn ω maks (6..) Kolaca anlaşılacağı gb δ hızın hç dalgalanmadığını (tam düzgün hareket), büük δ değerler se büük hız dalgalanmalarını gösterr. Bazen hız dalgalanma katsaısı erne, onun ters olarak ω ω maks ω ω mn t Şekl 6.. Hız Dalgalanmaları

115 ω δ ωmaks ωmn d (6..) şeklnde tanımlanan hız düzgünlük katsaısı da kullanılır. Ugulamalı hesaplarda çoğu kez gerçek ω ortalama hızı erne ωmaks + ω ω mn (6..3) aklaşıklığı kullanılır. Böle apıldığında dalgalanma katsaısının tanımı da şekln alır. ωmaks ωmn ωmaks +ωmn δ (6..4) Br maknada tam düzgün hareket elde edlmes, an δ apılması hem zor hem de gerekszdr. Bunun erne çoğu kez, hız dalgalanma katsaısının kabul edleblr br değere çeklmesle etnlr. Tablo 6. de, çeştl makna sınıfları çn δ nın kabul edleblr değerler gösterlmştr. Tablo 6. Dalgalanma Katsaısının Önerlen Değerler MAKİNA TİPİ δ Dövücüler, Kırıcılar /5 Beton Karıştırıcıları / Gem Uskurları / - /4 Pompalar, Gotnler, Karıştırıcılar / - /5 Takım Tezgahları, Öğütücüler /35 - /5 Pstonlu Kompresörler /5 - / Alternatf Akım Üreteçler /3 Doğru Akım Üreteçler (Adınlatmada) / (/5) Taşıt Motorları (Ralantde) /5 Taşıt Motorları (Normal Devr aısında) /5 - /3 Pstonlu Uçak Motorları / 6. HIZ DALGALANMALARINI GİDERME YÖNTEMLERİ 6.. GENEL DEĞERLENDİRMELER Maknalardak hız dalgalanmalarını gdermek üzere neler apılableceğn görmek çn olaa makna hareket denklem ışığında bakılması ararlı olacaktır. Bu amaçla d(q& ) dq I (q) + C(q) q& Q(q,q, & t) ; di(q) dq C(q) (6..)

116 hareket denklem anımsansın. Burada q genelleştrlmş koordnatı olarak maknanın düzgün hızla dönmes stenen mlnn ϕ açısal konumu alınsın. Buna bağlı olarak q & genelleştrlmş hızı ω ϕ& le, Q genelleştrlmş kuvvet de -bu durumda br moment söz konusu olacağı çn- M le gösterlsn. Arıca, düzgün hız ancak stasoner hareket evresnde söz konusu olableceğne göre bu durumda M nn t le değşmeeceğ dkkate alınarak MM(ϕ,ω) azılsın. Yne, maknanın genelleştrlmş elemszlğ I(ϕ) özel olarak maknanın mle ndrgenmş kütlesel elemszlk moment de anılsın ve bünesndek sabt ve değşken kısımları aıran br gösterlmle ~ I ( ϕ) I + I ( ϕ) (6..) şeklnde fade edlsn. Bu gösterlmlerle (6..) denklem d dϕ M( ϕ, ω) C( ϕ) ω ~ I+ I ( ϕ) ω ; ~ di ( ϕ) dϕ C ( ϕ) (6..3) verr. Dkkat edlrse bu eştlğn sol tarafı lglenmekte olduğumuz hız değşmlern temsl etmektedr ve tam düzgün hareket halnde sıfır olmalıdır. Buradan, makna mlnn bell br ω ω sabt hızıla düzgün olarak döneblmes çn M( ϕ, ω) C( ϕ) ω ~ I+ I ( ϕ) (6..4) olması gerektğ anlaşılır. (6..3) ve (6..4) eştlklernn ncelenmesnden şu genel sonuçlara varılır: ) Makna mlnn ω hızıla tam düzgün olarak döneblmes çn ~ M( ϕ, ω ) C( ϕ ) ω M(, ) di ( ϕ) ϕ ω ω dϕ (6..5) olmalıdır. Bu koşulun anlamını kavraablmek çn önce mle ndrgenmş elemszlk moment konumla değşmeen maknalar özel halnn göz önüne alınması ararlı olablr. Bu özel durumda C(ϕ) olacağından (6..5) özel olarak M( ϕ, ω) (6..6) şekln alır. Bu, kola anlaşılır br sonuçtur: Makna mlnde hız değşm olmaması çn bu mle etken net moment her an sıfır olmalıdır. Buradan ednlen görüşle (6..5) genel eştlklerne dönülürse, bu eştlklern sol anındak knc termn maknanın mle ndrgenmş kütlesel elemszlk

117 momentnn değşken oluşundan kanaklanan br moment temsl etmes gerektğ hemen anlaşılır. Gerçekten de bu term, ml sabt ω hızıla dönerken, kütlesel elemszlk momentnn değşken oluşu üzünden doğacak olan elemszlk kuvvetlernn ϕ koordnatına ndrgenmş eşdeğer momentnden başka br şe değldr. Bu moment ~ di ( ϕ) M e ( ϕ, ω) ω C( ϕ) ω dϕ (6..7) şeklnde göserlrse, düzgün hareket koşulu olarak (6..5) erne m( ϕ, ω) M( ϕ, ω) + M e ( ϕ, ω) (6..8) azılablr. Buna göre (6..5) koşulunun fade ettğ gerçeğn, makna mlnn ω hızıla düzgün olarak döneblmes çn mle bu hızda etken gerçek ve kurgusal elemszlk momentlernn toplamının her an sıfır etmes gerektğ gerçeğnden başka br şe olmadığı anlaşılmaktadır. ) Maknanın mle ndrgenmş kütlesel elemszlk momentnn sabt kısmı I ne kadar büükse maknadak hız değşmler o kadar küçük olur. (6..3) eştlğne şöle br göz atmakla hemen çıkartılablen bu sonuç, elemszlğn csmlern hız değşmlerne karşı koma özellğnden başka br şe olmadığı anımsanırsa kola anlaşılan hatta beklenen br sonuç olarak görünür. Bu değerlendrmeler, maknalardak hız dalgalanmalarını gdermenn başlıca k olunun bulunacağını ortaa komaktadır. Bunlardan lk, makna genelleştrlmş ~ kuvvet M( ϕ, ω) le kütlesel elemszlk moment I ( ϕ) I + I ( ϕ) arasında, (6..5) eştlğ gerçeklenecek bçmde br uum sağlanması, kncs se makna mlnn kütlesel elemszlk momentnn arttırılarak I nn büütülmesdr. Aşağıda bu k ol arı arı ele alınacaktır. 6.. M( ϕ, ω) İLE I(ϕ) ARAINDA UYUM AĞLANMAI Yukarıda görüldüğü gb, makna mlnn ω hızıla tam düzgün olarak ~ dönmesn sağlamanın olu, M( ϕ, ω) le I ( ϕ) I + I ( ϕ) arasında, M( ϕ, ω) ~ di ( ϕ) ω dϕ (6..9) eştlğ gerçeklenecek bçmde br uum sağlanmasıdır. Hem genelleştrlmş kuvvet hem genelleştrlmş elemszlğ konumun fonksonu olan br maknada böle br uumun kendlğnden bulunmasının çok küçük br olasılık olduğu ortadadır. Düzgün 3

118 çalışmanın çok büük önem taşıdığı maknalarda, M( ϕ, ω) ve/vea I (ϕ) değştrlerek bu uumu sağlamanın olları aranablr. M( ϕ, ω) değştrmenn ugulamada baş vurulan br olu, maknaa, M( ϕ, ω) nn fazla geldğ konumlarda harekete karşı koarak sıkışan ve potansel enerj depolaan; M( ϕ, ω) nn eksk geldğ konumlarda se harekete destek olarak bu enerj ade eden mekank, pnömatk vb. a elemanları eklemektr. Bu tür elemanlara kompansatör adı verlr. I (ϕ) değştrmenn olu se, maknaa, arzu edlen I (ϕ) e sahp olacak bçmde tasarlanmış mekanzmalar eklemektr. Arzu edlen I (ϕ) e sahp olacak bçmde tasarlanması en kola mekanzma tp olduğu çn bu amaçla en çok ürek mekanzmaları kullanılır. Hemen anlaşılacağı gb, ukarıda anılan olların her ks de ancak çok özel durumlarda göze alınablecek, ncelkl ve masraflı ollardır. Bz de burada bu olların arıntılı br ncelemesne grşmeeceğz. Fakat M( ϕ, ω) le I(ϕ) arasında tam değlse de görel br uum sağlanmasına, an hareketn düzgünlüğünün görel olarak leştrlmesne olanak vereblen çok bast br oldan söz etmeden geçmeelm. Maknaların br çoğu eş çalışan br çok mekanzmadan oluşur. Örneğn Şekl 6.. dek gb k mekanzmadan oluşan br makna göz önüne alınırsa maknanın toplam genelleştrlmş kuvvet ve elemszlğ bu k mekanzmanınklern toplamı olarak M( ϕ, ω) M( ϕ, ω) + M ( ϕ, ω), I ϕ) I ( ϕ) + I ( ) (6.. a) ( ϕ şeklnde olacaktır. İk mekanzmanın bağlanma açısının α kadar kadırılması halnde se (Şek. 6..) M ( ϕ, ω) M( ϕ, ω) + M ( ϕ + α, ω), I ( ϕ) I ( ϕ) + I( ϕ + α) (6.. b) olur. M( ϕ, ω) - I (ϕ) kls arasındak uumla M ( ϕ, ω) - I (ϕ) kls arasındak α M,I M,I Şekl 6.. Maknanın Kısımları Arasındak Faz Farkının Değştrlmes 4

119 uumun brbrnden çok farklı olableceğ ortadadır. Buradan, makna kısımları arasındak faz farkının değştrlmesnn daha düzgün br çalışma elde edlmesn sağlaableceğ anlaşılır. Her ne kadar bunun br garants ok se de, mal edlmş br maknada düzgünlük arttırıcı dğer önlemlere baş vurmadan önce bu bast olun denenmesnde arar vardır MİLİN KÜTLEEL EYLEMİZLİK MOMENTİNİN ARTTIRILMAI EYLEMİZLİK ÇARKI Genel Blgler Yukarıda, d dϕ M( ϕ, ω) C( ϕ) ω ~ I+ I ( ϕ) ω (6..) bağıntısı uarınca, maknanın mle ndrgenmş kütlesel elemszlk momentnn sabt kısmı I nn büümesnn hız değşmlern küçülteceğ belrlenmşt. Tam düzgün hareket çn I olması gerektğne dkkat edlrse bu oldan tam düzgün hareket elde edlmesnn olanaksız olduğu bell olmakla brlkte, kabul edleblr br Ideğer le hız dalgalanma katsaısı δ nın kabul edleblr br değere çekleblmes olanaklıdır ve bu, maknalardak hız dalgalanmalarını gdermenn en agın baş vurulan mühendslk çözümünü oluşturur. Bu amaçla makna mllerne büük kütlesel elemszlk momentne sahp çarklar bağlanır. Bunlara elemszlk çarkı a da volan adı verlr. En az malzemele (en az malet, en az ek ağırlık) dönme eksenne göre en büük elemszlk moment katkısı elde etmek üzere, elemszlk çarklarının, dönme eksennden en uzak noktalarda malzeme oğunlaşması sağlaacak bçmde tasarlanması esastır. Ancak göbek cvarında malzeme eksltlmes merkezkaç kuvvet etksne karşı daanımı azaltacağı çn üksek hızla dönecek çarkların tasarımında buna da dkkat edlmes gerekr. Harcanan malzeme ve hacmn maletn düşürmek çn, br mühendslk çözümünde elemszlk çarklarına her zaman knc br görev daha üklenr. Şek. 6.. de, br otomobl motorunun krank mlne bağlanan ve anı zamanda dşl çark olarak görev apan br elemszlk çarkı gösterlmştr. Mle, kütlesel elemszlk moment I v olan br elemszlk çarkı bağlandığında ~ I ( ϕ) Iv + I + I ( ϕ) (6..) olacağından (6..) d dϕ M( ϕ, ω) C( ϕ) ω ~ Iv + I+ I ( ϕ) ω (6..3) şekln alır. Kuramsal olarak, I v nn eternce büük seçlmesle hız değşmler stenldğ kadar küçük kılınablr se de ugulamada I v nn kef olarak büütülmes olanaksızdır. Bunun, maknanın hacm, ağırlık ve maletnn sınırlı tutulması gb 5

120 Blezk dşl Blezk dşl Elemszlk çarkı Muhafaza Krank ml Elemszlk çarkı Şekl 6.. Br Otomobl Motorunun Krank Mlne Bağlı Elemszlk Çarkı pratk gerekçeler anında br de dnamk gerekçes vardır. Büüen elemszlk, maknanın ol alma evresnde nomnal hıza ulaşma süresnn, durma evresnde se durma süresnn uzamasına ol açar. Şekl 6..3 te, Bölüm de ncelenmş olan taşlama maknasının ol alma ve stasoner hareket evreler, farklı I değerler çn çzdrlmştr. Bu şeklden, artan I nn hız dalgalanmasını azaltırken ol alma süresn uzatışı açıkça görülmektedr. Bütün bu nedenlerle, elemszlk çarkının, δ dalgalanma katsaısını kabul edleblr değere çekmek çn eterl olandan daha büük seçlmemes gerekr. Aşağıda, gerekl elemszlk çarkının hesaplanması problem ele alınacaktır. I. kg.m ω [rad/s].5 I. e r R F ϕ [rad] Şekl 6..3 Elemszlk Çarkının Etks 6

121 6..3. Elemszlk Çarkı Hesabı Elemszlk çarkı hesabı denldğnde, br makna mlnn bell br ω ortalama hızıla dönerken hız dalgalanma katsaısının verlmş br δ değern almasını sağlamak üzere bu mle bağlanması gereken elemszlk çarkının I v kütlesel elemszlk momentnn hesabı anlaşılır. Kuşkusuz makna hareket denklemnn analtk a da saısal oldan çözülmes an makna hareketnn smülasonunun gerçekleştrlmes halnde (Şekl 6..3 tek gb), ek br hesaba gerek duulmaksızın br kaç deneme anılmala gerekl I v nn belrlenmes her zaman olanaklıdır. Ancak bz burada elemszlk çarkı hesabının daha spesfk br olu üzernde durmak storuz. Bu amaçla (6..3) bağıntısı ele alınır, burada sabt terme I v nn katılmasıla, değşken termn sabt termler anında küçük kalacağına daanılarak ~ Iv + I + I ( ϕ) Iv + I aklaşıklığı, arıca elemszlk çarkı kullanıldığında ml hızının ortalama değerden sapmalarının göz ardı edleblr mertebede kalacağına daanılarak ω ω aklaşıklığı apılırsa ( I + I) dω m( ϕ, ω) dϕ (6..4) v azılablr. Burada m( ϕ, ω) M( ϕ, ω) C( ϕ) ω (6..5) maknaa ω hızında etken tüm (gerçek ve kurgusal) kuvvetlern mle ndrgenmş eşdeğer momentn temsl etmektedr. (6..4) eştlğnn her k anı, hızın mnmum olduğu durumdan ( ϕ mn,ω mn delm) hızın maksmum olduğu duruma ( ϕ maks,ω maks delm) kadar ntegre edlerek ω maks ( Iv + I) dω ω mn ϕmaks m( ϕ, ω) dϕ (6..6) ϕmn azılablr. Bu eştlğn sol tarafı, (6..) ve (6..3) tanımlarının da anımsanmasıla v maks mn v maks mn v I ω maks + ω mn ( I + I) ( ω ω ) ( I + I) ( ω ω ) ( I + ) δ ω (6..7) verr. ağ taraf se m( ϕ, ω) momentnn, hız mnmumdan maksmuma ulaşıncaa kadar aptığı şten başka br şe değldr. Bu ş 7

122 ϕmaks W m( ϕ, ω) dϕ (6..8) ϕmn şeklnde gösterlrse, (6..7) ve (6..8) le (6..6) a dönülerek I v W I (6..9) δ ω elde edlr. Bu bağıntı, elemszlk çarkı hesabının aranan bağıntısıdır. W nn belrlenebldğ her problemde, buradan, maknanın ω ortalama hızıla ve dalgalanma katsaısı δ olacak bçmde çalışmasını sağlamak üzere mle bağlanması gereken elemszlk çarkının I v kütlesel elemszlk moment hesaplanablr. W nn belrlenmesnde karşı karşıa kalınan en büük sorun, hızın mnmum ve maksmum olduğu makna konumlarının belrlenmes sorunudur. Esasında stasoner hareket evresnde makna hareket genellkle ϕ konumuna göre perodk olduğundan, φ kπ perodu çersndek hız ekstremumlarının bulunması eterldr. Hızın br perod çersnde tek br mnmuma ve tek br maksmuma sahp olduğu problemlerde bu ekstremumların ortaa çıktığı konumlar genellkle kolaca belrleneblr se de br perod çersnde br çok erel mnmum ve maksmumun bulunduğu problemlerde hesapta gerekl olan genel mnmum ve genel maksmumun belrlenmes zorlu br problem oluşturur. Böle durumlarda kullanılmak üzere arı grafk arı analtk br öntem gelştrlmştr. Şmd Radnger Yöntem adı verlen bu öntem ele alalım. Radnger Yöntem: olarak Hızın ekstremum olduğu makna konumlarında, ekstremumun gerek koşulu d ω (6..) dϕ olmalıdır. Osa (6..4) e göre bu m ( ϕ, ω) (6..) olmasını gerektrr. (4.5.) ve (6..8) bağıntıları ardımıla m( ϕ, ω) bleşenlerne arılarak azılırsa bu koşul [ M ( ϕ, ω ) + M ( ϕ) + M ( ϕ, ω) ] [ M ( ϕ, ω ) + M ( ϕ, ω) ] m( ϕ, ω) ç k e s w (6..) a da buradak poztf ve negatf termler 8

123 W + W34 M ( ϕ, ω) W W m( ϕ, ω) [N.m] W 3 M ( ϕ, ω) W 67 W 89 9 W 45 ϕ [rad] (perod) Şekl 6..4 Radnger Yöntem + M ( ϕ, ω) M ( ϕ, ω) [ M ( ϕ, ω ) + M ( ϕ) + M ( ϕ, ω) ] ç [ M ( ϕ, ω ) + M ( ϕ, ω) ] s k w e (6..3) şeklnde gruplanarak + m ( ϕ, ω) M ( ϕ, ω) M ( ϕ, ω) (6..4) + şeklnde azılablr. Buradak M ( ϕ, ω) ve M ( ϕ, ω) momentlernn makna hareketnn br peroduna karşılık gelen kısımları anı M-ϕ dagramına çzlrse (Şek. 6..4), k eğrnn kesşme noktaları (6..4) eştlğnn sağlandığı, dolaısıla da hızın ekstremum olduğu ϕ konumlarını belrler. Bu konumlar ϕ, ϕ,, ϕn (perodklkten ϕn ϕ ) olsun. Arıca bu k eğr arasında hapsolan alanın da + M ( ϕ, ω) nın üstte olduğu bölgelerde poztf, M ( ϕ, ω) nn üstte olduğu bölgelerde negatf olmak üzere m( ϕ, ω) momentnn aptığı [ M + ( ϕ, ω) M ( ϕ, ω) ] dϕ m ( ϕ, ω) dϕ şn göstereceğ açıktır. Buna göre m( ϕ, ω) momentnn, hızın ekstremum değer aldığı ardışık ϕj- ϕ j+ noktaları arasında aptığı şler, ölçekl dagram üzernden ölçülerek W, W3, şeklnde belrleneblr. Bunlara ş fazlalıkları adı verlr. Kolaca anlaşılacağı gb poztf br ş fazlalığı, de br erel hız mnmumu, ϕ de se br erel hız W j( j + ) ϕ j j+ maksmumu bulunduğunu; negatf br maksmumu, ϕ j+ W j( j + ) ş fazlalığı se, ϕ j de br erel hız de br erel hız mnmumu bulunduğunu gösterr. Genel mnmum ve maksmumun ortaa çıktığı konumları bulmak çn 9

124 W W 3 W + W3 W 4 W3 + W34 W W (n ) (n ) + W(n )(n ) W n W(n ) + W(n ) n (perodklkten) (6..5) brkml ş fazlalıklarının hesaplanıp brbrle karşılaştırılması eterldr. Bunlardan en büük değere sahp olanı WM, en küçük değere sahp olanı se W m olsun. Buradan hızın genel maksmumunun ϕ M noktasında; genel mnmumunun se ϕ m noktasında ortaa çıkacağı anlaşılır. Elemszlk çarkı hesabında gerekl olan W de artık kolaca (6..6) W W M Wm şeklnde hesaplanır. ÖRNEK PROBLEMLER Problem 6.. zımba levha Elemszlk çarkı Şekl Pr Zımba Maknası Çözüm: Motor Şeklde krank-bel mekanzması esaslı br zımba maknası gösterlmştr. Makna br kaış-kasnak mekanzması ardımıla br elektrk motoru tarafından, krank ml n d/dak ortalama hızıla dönecek bçmde çalıştırılacaktır. Krank mlnn her devrnde br zımbalama şlem apılacak, bu şlem devrn /6 sı kadar sürecek ve zımbalanacak malzemenn cnsne, et kalınlığına ve açılacak delğn çapına bağlı olarak en çok W zım 36 N.m lk br ş apılmasını gerektrecektr. Krank mlne bağlı kasnağın anı zamanda br elemszlk çarkı olarak değerlendrlmes düşünülmektedr. Motor ve maknanın kasnak dışındak uzuvları dkkate alındığında, maknanın mle ndrgenmş elemszlk momentnn sabt kısmı I 5 kg.m olarak blndğne ve ml hızındak dalgalanmaların ± d/dak sınırları çersnde kalması stendğne göre kasnağın kütlesel elemszlk moment I v ne olmalıdır? İlk bakışta zorlu br problem gb görülen bu problem km kabul ve aklaşıklıklar çerçevesnde çok bast br bçmde çözüleblr. Bu amaçla lkn, bu makna özelnde ş ve çalıştırma momentler anında göz ardı edleblr mertebede

125 kalacakları düşünces le, olası sönüm kuvvetlerne, ağırlık kuvvetlerne ve sabt hızdak elemszlk kuvvetlerne lşkn momentler hmal etme kararlaştıralım: M s, M k, M e. Bölece gere sadece maknadan enerj çeken ş moment le maknaa enerj veren çalıştırma moment kalır. Buna göre br rejm oluşması çn motorun maknaa her devrde, zımbalama çn gereken W zım şne eşt enerj vermes gerekr. Öte andan makna mlnn ortalama hızı ω π n π 4 π 6 6 rad/s () olduğuna göre her devr T π π.5 ϖ 4π s () sürecektr. Bölece, kullanılacak motorun ortalama gücünün G m W zım 36 7 watt () T.5 olması gerektğ anlaşılır. Bu maknada en düşük ml hızının zımbalama şlemnn btş anı cvarında, en üksek ml hızının se bu şlemn başlama anı cvarında ortaa çıkacağı açıktır. Zımbalama şlemnn se /6 devr süreceğ blnmektedr. Elemszlk çarkı saesnde ml hızının aklaşık olarak sabt kalacağı düşünülürse bu T/6 kadarlık br süre demektr. Buna göre elemszlk çarkı hesabında gerekl olan W enerjs, br zımbalamanın sonundan en zımbalamanın başlangıcına kadar geçecek olan 5T/6 kadarlık sürede tek başına etken motorun ssteme vereceğ enerjden barettr. Ml hızının sabt kalacağı kabulünün, anı zamanda, elektrk motorunun moment ve gücünün de aklaşık olarak sabt kalacağı anlamına geldğ düşünülürse bu enerj W 5 T G 5 m J (v) şeklnde hesaplanablr. Öte andan, hız dalgalanma katsaısının stenen değer de δ n maks nmn (n+ ) (n ) 4 4 n n n 5 (v) olarak belldr. Bu verlerle elemszlk çarkı olarak kullanılacak kasnağın kütlesel elemszlk moment Iv W δ ϖ I 3 /5 ( 4π) 5 7 kg.m (v) olarak hesaplanır.

126 Bu maknada elemszlk çarkının gördüğü şlev üzerne braz düşünülecek olursa, motorun zımbalama şlem dışında verdğ enerj knetk enerj bçmnde depolaan ve bu şlem sırasındak an hız düşümü sırasında ssteme ade eden br enerj deposu olarak görev aptığı anlaşılır. Elemszlk çarkları, bu şlevlerle, ncelenen zımba maknasında olduğu gb çalışmasının kısa br evresnde büük enerj harcaması gerektren maknalarda agın olarak kullanılır ve br andan bu maknaların düzgün çalışmasını sağlarken br andan da motordan enerj alımını zamana aarak gerekl motor gücünü küçültürler. Bu problem kapatmadan, burada apılan hesabın Radnger Yöntem le lşksnn kurulması da öğretc olablr. Çözümde apılan G m sabt, ω ϖ sabt kabullernn, motorun verdğ çalıştırma momentnn de Mç G ϖ 7 4π m N.m (v) değernde sabt kalması anlamına geldğne dkkat edlr, bunun anısıra M s, M k ve M e kabullernn de apıldığı anımsanırsa bu problemde + M ( ϕ, ω ) Mç N.m, M ( ϕ, ω) M w (v) alınmış olduğu anlaşılır. Bu momentlere karşılık gelen m( ϕ ) dagramı Şek. Pr.6..- de verlmştr. Bu dagram ardımıla Radnger öntem kullanılarak apılacak hesabın ukarıdak le anı sonucu vereceğ kolaca görüleblr. Şekl Pr.6..-

127 Problem 6.. m( ϕ, ω) [N.m] A 3 + M d ( ϕ, ω) M ( ϕ, ω) M w ( ϕ, ω) M ( ϕ, ω) A 34 A π π 3π 4π A 3 A 45 Ölçek: cm Nm, cm.35π rad Şekl Pr.6.. A 67 ϕ [rad] Şeklde, sabt drenç moment etks altında çalışan tek slndrl, 4 zamanlı br benzn motorunun, krank mlnn n 35 d/dak ortalama hızıla dönmes halne lşkn döndürme ve ş moment dagramlarının br perodluk kısmı gösterlmştr. Bu motorun çalışması sırasında hız dalgalanma katsaısının δ / 5 olması stendğne, motorun mle ndrgenmş elemszlk momentnn sabt kısmı I.35 kg.m olarak blndğne ve şeklden, ş fazlalıklarının alan karşılıkları A +.94 cm A cm A cm A cm A cm A cm şeklnde belrlendğne göre krank mlne bağlanması gereken elemszlk çarkını hesaplaınız. Çözüm: Verlenlerden, brkml ş fazlalıklarının alan karşılıkları A +.94 cm... AM A + A cm A3 + A + A cm A A + A cm () A A + A cm A

128 A A + A cm... Am şeklnde hesaplanır. Brkml ş fazlalıklarının karşılaştırılmasından, en üksek hızın en büük brkml ş fazlalığına karşılık gelen noktasında, en düşük hızın se en küçük brkml ş fazlalığına karşılık gelen 7 noktasında ortaa çıkacağı anlaşılmaktadır. Şekl ölçeğ ardımıla enerj/alan ölçeğnn Nm cm.35πrad cm kea 35π J/cm () olduğuna da dkkat edlerek elemszlk çarkı hesabına geçlrse Iv W δ ϖ I WM Wm δ ϖ k I ea ( AM Am ) I δ ( π n ) 3 () şeklnde hesap apılarak I bulunur. [ +.94 ].35 35π v ( π 35 ) kg.m (v) Bu problemde olduğu gb, çten anmalı motorlarda, bu motorların verdğ dalgalı döndürme momentne karşın düzgün br hareket elde edeblmek çn, elemszlk çarkları kullanılır. Krank mlne bağlanan bu çarklar, genellkle, kam ml, şarj dnamosu, soğutma pervanes vb. gb kncl mekanzmalara güç leten br mekanzmanın da parçası olacak bçmde tasarlanırlar (Bkz. Şek. 6..). 4

129 7 MAKİNALARDA KUVVET ÇÖZÜMLEMEİ 7. GENEL BELİRLEMELER Maknalarda kuvvet çözümlemes denldğnde, makna uzuvlarının, bağlantı halnde bulundukları eleman çftlernde brbrlerne uguladıkları etkleşm kuvvetlernn hesabı anlaşılır. Bu kuvvetlern hesabı, hem bağlantı elemanlarının hem de makna uzuvlarının daanıma göre boutlandırılmasında büük önem taşır. Kuvvetlern hesaplanmak erne tahmn edlmesne daalı br boutlandırma, düşük tahmn halnde maknanın harap olmasına, üksek tahmn halnde se gereksz ere ağır, hantal ve pahalı maknaların ortaa çıkmasına ol açar. Bu üzden, özellkle ser üretlecek maknalarda, bu maknaların benzerlerle rekabet edeblmes stenorsa gerekl daanıma sahp en haff maknanın tasarlanması, bunun çn de kuvvet çözümlemes br zorunluluktur. Blndğ gb makna uzuvlarının eleman çftlernde brbrlerne uguladıkları kuvvetler kısıt kuvvetlerdr. Makna dnamğ ncelemelernde şu ana kadar kullanmış olduğumuz analtk mekanğe özgü öntemler se bu kuvvetler hesap dışında bırakma üstünlüğüne sahp oldukları çn eğlenmş olan öntemlerdr. Amacın doğrudan doğrua bu kuvvetlern hesaplanması olduğu şu anda bu üstünlüğün br kusura dönüşeceğ ortadadır. Bu üzden, maknalarda kuvvet çözümlemes problem, vektörel mekanğe özgü öntemlerle ele alınır. Burada da böle apılacaktır. Daha önce olduğu gb kuvvet çözümlemesnde de nceleme deal, holonomk kısıtlara sahp, düzlemsel hareket apan düzlemsel uzuvlardan oluşan tek serbestlk derecel maknalarla sınırlı tutulacaktır. 7. KUVVET ÇÖZÜMLEMEİ PROBLEMİ VE ÇÖZÜMÜ Maknalarda k hareketl uzvu brbrne bağlaan ad eleman çftlerne mafsal, hareketl br uzvu hareketsz uzva bağlaan ad eleman çftlerne se atak adı verlr. Bununla bağlantılı olarak ad eleman çftlernde ortaa çıkan kısıt kuvvetler de mafsal ve atak kuvvetler olarak adlandırılır. Düzlemsel maknalarda döner ve kaar olmak üzere alnızca k tp ad eleman çft bulunablr. Şmd, kısaca, bu k tp mafsal/atakta ortaa çıkacak kısıt kuvvetlerne göz atalım: Döner mafsal/ataklarda (Şek. 7..-a) br araa gelen ve j uzuvları brbrlerne, etk çzgler deal sürtünmesz kısıt halnde mafsal/atak eksennden j j j geçen, şddet, doğrultu ve önler önceden blnmeen R ve R R kuvvetler ugularlar. (Burada ve zleen bölümlerde, R j gösterlm,. uzvun j. uzva uguladığı tepk kuvvetn göstermekte kullanılacaktır.) Buna göre, her döner mafsal/atakta, kuvvet çözümlemes problem bakımından br vektörel blnmeen söz konusu olacaktır. Düzlemsel maknalarda düzlemsel vektörler söz konusu olduğundan bu k skaler blnmeen demektr. 5

130 N j R j R j M j j N j M j j j N j N j (a) Döner Eleman Çft (b) Kaar Eleman Çft (c) Yüksek Eleman Çft Şekl 7.. Maknalarda Kısıt Kuvvetler Kaar mafsal/ataklarda (Şek. 7..-b) se k uzuv genelde en az k noktada temas halndedr. Dolaısıla brbrlerne ugulaacakları etkleşm kuvvetler de en az k kuvvetten oluşan br kuvvet sstem şeklndedr. Böle kuvvet sstemlernn j j j kef seçlecek br P noktasına ndrgenerek, P'e etken br N ( N N ) j j j bleşkes ve P çevresndek moment M ( M M ) olan br kuvvet çftle temsl edlebleceğ blnmektedr. İdeal sürtünmesz kısıtlara sahp düzlemsel j maknalarda N vektörünün doğrultusu, hareket düzlem çersnde, kama j doğrultusuna dk olarak, M vektörünün doğrultusu se hareket düzlemne dk olarak belldr. Buna göre kaar mafsal/ataklarda kuvvet çözümleme problemnn j j blnmeen olarak alnızca N ve M vektörlernn şaretl şddetler kalır k bu da k skaler blnmeen demektr. Öte andan, üksek eleman çftlernde de (Şek. 7..-c) k uzvun brbrlerne j j j ugulaacakları N ( N N ) etkleşm kuvvetlernn doğrultusu, deal sürtünmesz kısıt halnde ortak normaln doğrultusu olarak belldr. Buna göre üksek eleman çftlernde kuvvet çözümleme problemnn tek br skaler blnmeen vardır. j Bu da N kuvvetnn şddetdr. R j j P j α a r j M j A r M r k P k R k k F ( m, ) Şekl 7.. -nc Makna Uzvunun Kuvvet Çözümlemes 6

131 Bütün bu sölenlenlerden, deal kısıtlara sahp düzlemsel br maknada kuvvet çözümlemes problemnn, e maknadak toplam ad eleman çft saısını, e se maknadak toplam üksek eleman çft saısını göstermek üzere s e + e (7..) adet skaler blnmeen çereceğ anlaşılmaktadır. Çözümde kullanılacak denklemlere gelnce, bunlar, düzlemsel hareket apan düzlemsel brer rjd csm olan makna uzuvlarının hareket denklemlernden barettr. Bu denklemlern nasıl azılacağını görmek üzere Şekl 7.. dek. makna uzvunu göz önüne alalım ve bu uzvun, j. makna uzvula ortak br eleman çftne sahp olduğunu düşünelm. Br kural olarak, lglendğmz uzvun kütle merkez başlangıç kabul eden ;, eksen takımlarında çalışmaı ve -varsa- uzva etken F, M gb verlmş kuvvet ve momentler kesn çzmlerle gösterrken R j gb hesaplanacak kısıt kuvvetlern dalgalı çzmlerle gösterme kararlaştıralım. Bunların anısıra. uzvun kütles m, kütle merkeznn vmes a & + & j, kütle merkezne göre elemszlk arıçapı, açısal vmes α le gösterlr, arıca, hesaplarda gerekl er vektörler r r + r j, kuvvet vektörler F F + F j şeklnde bleşenlerne arılarak düşünülür ve moment hesaplarında gerekl vektörel çarpımlar r F rf rf şeklnde fade edlrse. uzvun hareket denklemler, kütle merkeznn hareketne lşkn denklem ve csmn kütle merkez çevresnde dönmesne lşkn denklem olmak üzere j m & F + R (7..) j j m & F + R (7..3) j m α M + r F r F j j j j + r R r R + j M (7..4) j ( ) şeklnde azılablr. Br uzuv çn üç skaler hareket denklem söz konusu olduğuna göre, n uzuvlu br maknanın n- adet hareketl uzvu çn, toplam d 3 (n ) (7..5) denklem azılablecektr. Kuvvet çözümlemes problemnn denklem-blnmeen denges çn bu saının (7..) dek blnmeen saısına eşt olması gerekr. Osa tek serbestlk derecel düzlemsel maknaların f 3 (n ) ( e + e ) (7..6) koşulunu sağladıkları blnmektedr. Buna göre tek serbestlk derecel düzlemsel maknalarda j 7

132 d s (7..7) eştlğ geçerldr. Yan kuvvet çözümleme problemnn denklem saısı blnmeen saısından br fazladır. Bunun neden d 3 (n ) adet denklemn brbrnden bağımsız olmaıp, aralarında, makna hareket denklem sağlanacak bçmde br bağ bulunmasıdır. Kuramsal olarak, makna hareket denklem kullanılarak denklem saısı br eksltleblr se de bu kola br ş değldr. Ugulamada bunun erne probleme ek br blnmeen katarak blnmeen saısıla denklem saısının bu oldan denkleştrlmes eğlenr. Bu ek blnmeen maknanın çalıştırma kuvvetdr. Öte andan, makna br bütün olarak ele alındığında kuvvet çözümleme problemnn blnmeen ve denklem saısı brbrne eşt olmamakla brlkte, maknanın brbrne komşu uzuvlarından oluşturulacak küçük uzuv gruplarında bu eştlğn sağlanması mümkündür. Böle br grupta uzuv saısı n, üzerndek kısıt kuvvet hesaplanacak ad eleman çft saısı e, üzerndek kısıt kuvvet hesaplanacak üksek eleman çft saısı e se, anılan eştlğn sağlanma koşulunun 3 n ( e + e ) (7..8) olacağı açıktır. Bu koşulu sağlaan uzuv gruplarına elemanter grup adı verlr. Maknanın elemanter gruplara arılmasıla, kuvvet çözümleme problem, daha az blnmeen ve daha az denklemden oluşan kısm problemlere arılarak çözüleblr. Maknalarda kuvvet çözümlemes problemnn çözüleblmes çn, (7..-4) denklemlernde R j kısıt kuvvetler dışındak tüm büüklüklern blnor olması gerekr. Yan tüm makna uzuvlarının elemszlk özellkler ( m, ), maknaa etken -çalıştırma kuvvet dışındak- tüm kuvvetler (F, M ) ve maknanın knematk çözümleme sonuçları elde olmalıdır. Bütün bunlar blndğnde (7..-4) denklemler R j blnmeenler çn br lneer cebrsel denklem takımı görünümünü alır ve kolalıkla çözüleblr. Hareket denklem kapalı formda azılıp çözüleblen bast apıdak bazı maknalarda kuvvet çözümlemes de analtk oldan gerçekleştrleblr se de, genelde bu problem, nokta-nokta çözülmes gereken br problem oluşturur. Burada kısaca, kuvvet çözümlemes problemnde grd olarak kullanılacak knematk çözümleme sonuçlarının nereden geleceğ üzernde durulması ernde olacaktır. Ya dğer tüm verler anında maknaa etken çalıştırma kuvvet de verdr ve makna dnamğnn düz problem çözülerek maknanın hareket elde edlmştr. Buradan elde edlen knematk verlerle kuvvet çözümlemes problem çözülür ve kısıt kuvvetlernn anısıra çalıştırma kuvvet enden hesaplanarak problem tamamlanır (Şek a). Ya da stenen br hareket ve onun knematğne lşkn blgden ola çıkılarak makna dnamğnn ters problem çözülecektr. Bu durumda eğer kuvvet çözümlemes problem çözülecekse, bu çözüm çalıştırma kuvvetn de üreteceğnden ters dnamk problemnn arıca çözülmes gereksz hale gelr (Şek b). 8

133 Kısıt Kuvvetler (a) Çalıştırma Kuvvet Hareket (Knematk) (b) Düz Dnamk Kuvvet Çözümlemes Kuvvet Çözümlemes Ters Dnamk Hareket (Knematk) Kısıt Kuvvetler Çalıştırma Kuvvet Şekl 7..3 Kuvvet Çözümleme Problemnde Olası İk enaro Maknalarda kuvvet çözümlemesne lşkn olarak ukarıda sölenlenlern tamamı, br statk denge konumunda hareketsz duran maknalar çn de geçerldr. Bu halde, ukarıdak (7..-4) denklemler erne bu denklemlerde & & α konularak elde edlen F + R (7..9) j j F + R (7..) j j j j j j ( r R r R ) j M + r F r F + + M (7..) j j denklemler geçerl olacak ve çalıştırma kuvvet le lgl olarak sölenlenler denge kuvvet çn anlamak gerekecektr. 9

134 ÖRNEK PROBLEMLER Problem 7.. A 3 F 3 θ 3 β B 4 ϕ A o 4 Şekl Pr.7..- Şekldek krank-bel mekanzması esaslı maknanın krankı sabt ω rad/s hızıla döndürülmek stenmektedr. Maknada bel, F 3 kuvvetnn etks altında bulunduğuna ve pston dışındak uzuvların kütleler göz ardı edldğne göre, bütün mafsal ve atak kuvvetlernn ve bu hareket sağlamak üzere kranka ugulanması gereken çalıştırma momentnn maknanın ϕ45 o le tanımlanan konumundak değerlern hesaplaınız. A o Ar 3 cm, ABr 3 7 cm, A o A, A 3 3 B, m 4 kg, F 3 N, β3 o Çözüm: İlkn krankın ϕ45 o, ω rad/s, α şeklnde verlen konum hız ve vmes çn knematk çözümleme gerçekleştrlerek θ , θ & gereksz, & θ gereksz, gereksz, & gereksz, &. 89 m/s () hesaplansın. Ardından 3 ve 4 numaralı uzuvlardan oluşan uzuv grubunun br elemanter grup olduğuna dkkat edlerek bu grup ele alınsın. Bu gruptak 3 numaralı uzuv çn, şekl ardımıla ve m 3 le m m & 3 F + R R & 3 F + R R & () m3 & θ r R r R r R + r R 3 ve 4 numaralı uzuv çn, && & 4 θ4 le 34 4 && 4 m 4 & R m && 4 R R m + () 4 m4 & θ 4 M 4 elde edlr. İstenrse () ve () denklemler matrs-vektör gösterlmle 3

135 R 3 R 3 - R 3 A F 3 R A 3 B R 4 R 34 M Ç M 4 & & A o R 43 - R 34 B 4 Brnc Elemanter Grup (3 ve 4 no. lu Uzuvlar) no. lu Uzuv Şekl Pr.7..- r 3 r 3 r 34 r 34 R R R R R M F 3 F m4&& (v) şeklnde de azılablr. Bu denklem R,R,R,R,R, M blnmeenler çn hemen çözüleblr se de bz şmdlk devam edelm ve şekl ardımıla maknadan gere kalan numaralı uzvu ele alalım. Bu uzuv çn de m le m 3 && R R m 3 && R R (v) m α M ç r R + r R + r R r R azılablr. Buradak R 3, R 3 blnmeenler (v) denklem takımından çözülerek burada blnen olarak değerlendrleblr. Böle düşünülerek (v ) denklemler matrsvektör gösterlmle azılırsa 3 R R 3 R R r r M ç r R r R (v) 3

136 elde edlr. (v) ve (v) denklemler, maknada kuvvet çözümlemes problemnn elemanter gruplara aırma olula çözümünü temsl etmektedr. Hemen görüldüğü gb bu ol zlendğnde 9 blnmeen 9 denklemlk kuvvet çözümleme problem 6 blnmeen 6 denklemlk ve 3 blnmeen 3 denklemlk k kısma arılmış olmaktadır. Eğer problem elde çözülecekse bunun ş ne kadar kolalaştıracağını belrtmek ble gerekszdr. Ancak çoğu kez problem blgsaar ardımıla çözülür ve elemanter gruplara aırmanın cdd br gerekçes kalmaz. Böle durumlarda problem br bütün olarak formüle edleblr. Bzm problemmzde bu apılırsa 3 r 3 r 3 r 3 r r r r r 3 R 3 R 34 R 34 R 4 R 4 M R R Mç m 3 F 3 F 4&& (v) elde edlr. Buradak katsaılar matrs ve sağ taraf vektörünün elemanları ( cosϕ + ϕ j) r r sn r r cos ϕ r, r sn ϕ ( cosϕ + ϕ j) r 3 r sn 3 r r cos ϕ 3 r, r sn ϕ r 3 r 3 ( cosθ + sn θ j) 3 r3 r cos θ 3 r3, r sn θ (v) r 34 r 3 ( cosθ + sn θ j) 34 r3 r cos θ 34 r3, r sn θ F F [ cos( θ + β) + sn( θ + β) j] F F cos( θ + β, F F sn( θ + β) 3 ) şeklnde belldr. İstenrse bu değerler (v) de erlerne konularak kuvvet çözümlemes problemnn her konumda geçerl br formülasonu elde edleblr se de bz burada ϕ45 o konumundak çözümleme le etneceğz. Bu amaçla () dek çözümleme sonuçlarıla (v) den r.66cm,.66cm,.66cm,.66cm r r 3 r 3 r cm,.66cm, cm,. 66 cm r 3 r 34 r 34 3

137 F N, F 3.45N () hesaplanıp (v) e dönülürse bunun çözülmesle de R R R 34 R R 4 M R R Mç () R R R 3 R N, N R ( R ) + ( R ) R N, R tan 7.45 R 4.46 N, N R ( R ) + ( R ) R N, R tan R R 34 R N, 4.54 N R ( R ) + ( R ) R N, R tan R R N, M 4, M ç N.m elde edlr. Buradak hesaplar çeştl makna konumları çn nelenp her R j tepk kuvvetnn alacağı en büük değer belrlendkten sonra bu kuvvetler hem mafsal ve atakların hem de makna uzuvlarının daanıma göre boutlandırılmasında kullanılablr. 33

138 Problem 7.. Problem 7.. F 3 hal çn enden ele alınız. Bu kez mafsal ve atak kuvvetler ve çalıştırma momentnn hesabı problemn bütün mekanzma konumlarında geçerl olacak bçmde formüle edp bu büüklüklern mekanzma konumu le değşmn grafkler halnde vernz. Çözüm: Problemn her ϕ mekanzma konumunda geçerl br formülasonu Pr.7..- (v) eştlklernn Pr.7..-(v) denklemnde erlerne konulmasıla elde edleblr. Bu apılırsa ϕ ϕ ϕ ϕ θ θ θ θ ϕ cos sn cos sn cos sn cos sn ) ( r r r r r r r r A, () { } T ç M R R M R R R R R r () ve { T 4 m ) ( & & ϕ f } () le (v) ) ( ) ( ϕ ϕ f r A elde edlr. Problemn blnmeenn oluşturan r vektörünün (v) ten her ϕ değer çn hesaplanablmes, () dek θ ve () dek nın her ϕ çn enden hesaplanmasına bağlıdır. Bu se mekanzmanın konum ve vme çözümleme problemlernn saısal a da analtk oldan çözümünü gerektrr. Bz burada analtk olu eğleelm ve krank-bel mekanzmasının knematk çözümlemesne lşkn blnen & & ϕ θ ϕ 3 r ) sn( r e sn ) ( (v) ve (v) α ϕ + ω ϕ ϕ ) ( g ) ( g ) ( 4 4 && 34

139 fadelern anımsaalım. antrk br krank-bel söz konusu olduğuna göre e, krank sabt ω rad/s açısal hızıla döndüğüne göre de α olacağına dkkat edlerek (v) ve (v) eştlkler () ve () de erlerne konulursa artık her ϕ değer çn r (v) denklemnden kolaca hesaplanablr: r( ϕ) A( ϕ) f ( ϕ) (v) Bu hesabın ϕ e bağlı sonuçları Şekl Pr.7..-a, b, c, d ve e de grafkler halnde gösterlmştr. Hesap sonucuna göre ve R ( ϕ) R ( ϕ) R ( ϕ) R ( ϕ) R ( ϕ) R ( ϕ) R ( ϕ) R ( ϕ ) R ( ϕ) R ( ϕ) R ( ϕ) R ( ϕ) R ( ϕ) R ( ϕ) (v) olduğu anlaşıldığından, tüm döner mafsal ve ataklardak tepk kuvvet bleşenlernn ϕ le değşm Şekl a da tek br grafk halnde verlmştr. Kuşkusuz, mafsalların mukavemete göre boutlandırılması bakımından bu kuvvetlern bleşenlernden çok bleşke şddetlernn blnmesne gerek vardır. Bu nedenle bleşenler ardımıla bleşkenn şddet ve doğrultusu da R( ϕ ) R ( ϕ) + R ( ϕ ), R ( ϕ) α ( ϕ) tan () R ( ϕ) şeklnde hesaplanmış, R(ϕ) şddetnn ϕ le değşm Şekl b de, R(ϕ)R (ϕ)+r (ϕ)jr(ϕ)cosα(ϕ)+r(ϕ)snα(ϕ)j () vektörünün kutupsal dagramı se Şekl c de gösterlmştr. Bu şekllerden, döner mafsal tepklernn sıfır le 86 N cvarındak br maksmum değer arasında değşeceğ anlaşılmaktadır. Buna göre mekanzmanın tüm döner eleman çftlerndek bağlantı elemanları bu maksmum kuvvete daanacak bçmde boutlandırılmalıdır. Şekl d de se kaar atakta sabt uzvun pstona ugulaacağı tepknn ϕ le değşm gösterlmştr. Bu şeklden, herhang br moment tepksnn söz konusu olmadığı ve tepknn B noktasına etken R 4 (ϕ) normal kuvvetnden baret olduğu anlaşılmaktadır. Bu kuvvet, aklaşık ±8 N luk uç değerler arasında geznmektedr. on olarak, mekanzmanın verlen hareketn sağlamak çn krank mlne ugulanması gereken çalıştırma momentnn ϕ le değşm de Şekl e de B r cos ϕ, C r + e r e r sn ϕ 3 z r (e cos ϕ sn ϕ), z r cos ϕ [(e + g ) sn ϕ + ϕ], g + r sn z r 4 cos z 4 ϕ B + B C g 4 ( ϕ) g 4 ( ϕ) z z z z zz z 35

140 R R,R [N] R [N] R π/ π Π/ π ϕ (a) Döner Mafsal ve Yatak Kuvvetlernn Bleşenler Π/ π ϕ 3π/ π (b) Döner Mafsal ve Yatak Kuvvetlernn Şddet R 4 [N] M 4 [N.m] 3 M 4 R Π/ π ϕ 3π/ π (c) Döner Mafsal ve Yatak Kuvvetlernn Kutupsal Dagramı (d) Kaar Yatak Tepks M ç [N.m] Π/ π ϕ 3π/ π (e) Çalıştırma Moment Şekl Pr.7.. Grafk onuçlar gösterlmştr. Bu şeklden de çalıştırma momentnn ±4 N.m uç değerler arasında değşeceğ görülmektedr. Krank ω rad/s sabt hızıla döndüğüne göre bunun GM ω4. 4 Watt lık br motor gerektrdğne dkkat çekelm. 36

141 8 ARMA KUVVETLERİ MAKİNALARDA KÜTLE DENGELEMEİ 8. GENEL Her maknanın sabt uzvu kendsle bağlantı halnde olan hareketl uzuvların, hareket sırasında şddet, doğrultu ve önler değşen tepk kuvvetlernn etks altında kalır. tasoner hareket evresnde genellkle perodk br değşm gösteren bu kuvvetlern değşken kısımları, maknaı bulunduğu zemn üzernde sarsmaa çalışır ve bu nedenle sarsma kuvvetler de adlandırılır. Görev özellkle bunu gerektren maknalar dışında hç br maknanın sarsıntılı çalışması stenmeeceğne göre maknalarda sarsma kuvvetler stenmeen kuvvetlerdr. Bu kuvvetlern ok edlmesne, a da hç değlse azaltılmasına çalışılır. Bölüm 7 nn çerğnden, br maknada sabt uzva etken kuvvetlern, dğer kısıt kuvvetlernn anı sıra, maknanın genel kuvvet çözümlemes çerçevesnde hesaplanableceğ blnmektedr. Ancak bu bölümde, özellkle bu kuvvetlern hesabına önelk br ol üzernde durmak ernde olacaktır. Böle br olu tanıtmaa geçmeden önce şu belrleme apalım: Kapalı knematk zncrl br maknada sabt uzuv en az k noktada hareketl uzuvlarla temas halnde olduğundan sabt uzva etken kuvvet en az k kuvvetten oluşan br kuvvet sstem şeklndedr. Bu kuvvet sstemnn, sabt uzvun kef br O noktasına etken br kuvvet ( F delm) ve moment bu kuvvetlern O a göre momentler toplamına eşt olan br kuvvet çftle ( M delm) temsl edlebleceğ blndğne göre -k, blndğ gb buna kuvvet sstemnn O noktasına ndrgenmes denr- bz teker teker kuvvetlerle lglenmekszn doğrudan doğrua F ve M n hesabına önelelm. Bu amaçla, maknanın tüm hareketl uzuvlarını çne alıp sabt uzvu dışarıda bırakan br sstem tanımlansın (Şek. 8..) ve sstemn kapsadığı hareketl uzuvları temslen, kütles m, kütle merkeznden geçen eksene göre elemszlk arıçapı, açısal vmes α, kütle merkeznn er vektörü r + j, vmes a & + & j, olarak blnen ve kütle merkezne ndrgenmş olarak F F + F j bleşkes ve M moment le temsl edlen dış kuvvetlern etksnde bulunan. uzuv göz önüne, +, alınsın. Hareketl uzuvlar arasındak R, R gb tüm kısıt kuvvetlernn sstem j çn ç kuvvetler, sabt uzvun hareketl uzuvlara uguladığı (Şekldek R, R, N R gb) kısıt kuvvetlernn se dış kuvvetler olduklarına ve bu sonuncuların, j N lglenmekte olduğumuz ( R, R, R gb) sabt uzva etken kuvvetlern ters şaretlsnden başka br şe olmadıklarına; dolaısıla O noktasına etken - F 37

142 stem abt uzuv Şekl 8.. arsma Kuvvetlernn Hesabı İçn Model kuvvet le moment edlsn. M olan br kuvvet çftle temsl edlebleceklerne dkkat Bu belrlemelerle Newton'un knc hareket asası eldek ssteme ugulanır ve sstemn toplam hareket mktarının zamana göre türev ssteme etken dış kuvvetler toplamına eştlenrse m a F F (8..) elde edlr. Ardından hareket mktarının moment teorem ssteme ugulanarak sstemn toplam hareket mktarının O noktasına göre momentnn zamana göre türev ssteme etken dış kuvvetlern O a göre momentler toplamına eştlenrse m α k + r (ma ) M k + r F M k (8..) azılablr. Bu denklemlerden, aranan F ve M ve F F M k - m a m α k r (m a ) + M k + r F (8..3) (8..4) 38

143 şeklnde çeklr. (8..3) tek F kuvvetnn değşken kısmı sarsma kuvvet, (8..4) tek M tarafındak momentnn değşken kısmı se sarsma momentdr. (8..3) ün sağ F kuvvetnn çersnde, ağırlık kuvvetler gb, değşken olmadıkları çn sarsma kuvvet kapsamına grmeecek kuvvetler anında çalıştırma ve drenç kuvvetler gb değşken kısımlara sahp olablecek ve sarsma kuvvet kapsamına greblecek unsurlar da bulunmaktadır. Bu unsurların özel br maknaa lşkn sarsma kuvvet hesabında göz önüne alınmaları gerekl olablr se de, genel br sarsma kuvvet hesabında F tamamen dışarıda bırakan ve bölelkle sarsma kuvvetn her maknada ve her çalışma rejmnde farklı olablecek unsurlardan soutlaarak alnızca maknanın apısıla lşklendren br sarsma kuvvet tanımı eğlenmektedr. Bu tanıma göre br maknada sarsma kuvvet denldğnde F F F m a (8..5) şeklnde fade edlen kuvvet, an makna uzuvlarına etken elemszlk kuvvetlernn toplamından baret olan kuvvet anlaşılır. Anı mantıkla sarsma moment çn de, elemszlk kuvvetlernn O noktasına göre momentler toplamından baret olan M M k M k - M k - r F - m α k r tanımı esas alınır. İstenrse (8..5) ve (8..6) erne skaler (8..6) (ma ) ve F m &, F m & (8..7) M - m ( α + & && ) (8..8) eştlkler de azılablr. (8..5) ten hemen görüldüğü gb, br maknada sarsma kuvvetnn ok edleblmes çn m a (8..9) olması gerekldr. Bu noktada, (..4) tek kütle merkez tanımından, m m (8..) hareketl uzuvlardan oluşan sstemn toplam kütles olmak üzere, sstemn kütle merkeznn vmes çn 39

144 ma m a (8..) azılableceğne dkkat edlrse, (8..9) koşulu erne m a (8..) azılableceğ anlaşılır. Buradan, br maknada (8..5) te tanımlanan anlamdak sarsma kuvvetlern ok etmenn olu hemen anlaşılmaktadır: Br maknada sarsma kuvvetlernn ok edleblmes çn a olmalı; an uzuvlarının hareketne karşın maknanın kütle merkez sabt kalmalıdır. Maknalarda bunu sağlamak üzere hareketl uzuvların kütle dağılımlarının aarlanması oluna gdlr. Buna maknalarda kütle dengelemes adı verlr. Öte andan, (8..6) a göre, br maknada sarsma momentnn ok edlmes koşulunun da m α k r (m a ) m ( α + && & ) (8..3) olduğu anlaşılmaktadır. Maknalarda sarsma kuvvetler, kütle dengelemes olula nspeten kola bçmde tamamen a da kısmen gderleblmekle brlkte sarsma momentlernn gderlmes genellkle karmaşık ve pahalı özel düzenlemeler gerektrr. 8. KRANK-BİYEL EALI MAKİNALARDA KÜTLE DENGELEMEİ Bu bölümde, maknalarda kütle dengelemesne br örnek olmak üzere, pstonlu pompa ve kompresörlerden çten anmalı motorlara kadar br çok maknaı çne alan br makna sınıfında: krank-bel mekanzmasını esas alan maknalar sınıfında kütle dengelemes problem ele alınıp ncelenecektr. Böle br makna, kütle dengelemesnde gerekl olacak verlerle brlkte Şekl 8.. de gösterlmştr. O r c A a l 3 m 3, 3 m, B m 4 b Şekl 8.. Krank - Bel Esaslı Makna 4

145 8.. ARMA KUVVETİNİN TAMAMEN YOK EDİLMEİ Br maknada hareketl uzuvların kütle dağılımları, makna kütle merkez hareketsz kalacak bçmde aarlanablrse sarsma kuvvetnn tamamen ok edlebleceğ blnmektedr. Eldek maknada tek hareketsz nokta O noktası olduğuna göre apılması gereken, maknanın hareketl kısımlarının kütle merkezn O noktasına taşımaktır. Bunu apmak çn lkn bel-pston sstemnn kütle merkezn A noktasına taşıacak br ugulamala bele m b rb m3 a + m4 l (8..) olacak bçmde br m b dengeleme kütlesnn eklenmes, ardından da krank-belpston sstemnn kütle merkezn O noktasına taşımak üzere kranka rk m c + (mb + m3 + m ) r m c m ( a + ) m4 ( ) 3 r + + r + l b r b (8..) mk 4 olacak bçmde br m k dengeleme kütlesnn eklenmes eterldr (Bkz. Şek. 8..). Bu apılarak kolaca sarsma kuvvetlernn tamamen ok edlmes mükemmel sonucu elde edlecekmş gb görünmekle brlkte ne azık k bu sonuç alnızca kağıt üzernde geçerldr. Çünkü bu çözümü ugulamaa geçrmek çn kranka eklenmes gereken m k dengeleme kütles, lerde görüleceğ gb, ugun br tasarımla kolaca erleştrleblmekle brlkte bele eklenmes gereken m b dengeleme kütlesn erleştrme problemnn (bu kütlenn hareketnn hacm gereksnm bakımından) ugun br konstrüktf çözümü oktur. Bu üzden, sarsma kuvvetlernn en stenmedğ maknalar olan çten anmalı motorlarda ble burada ortaa konulan tam dengeleme öntem hç ugulanmamakta, bunun erne, lerde görüleceğ gb, kısm dengeleme le etnlmektedr. m b r b A r k O B m k Şekl 8.. arsma Kuvvetnn Tamamen Yok Edlmes 4

146 8.. ARMA MOMENTİNİN YOK EDİLMEİ Krank-bel esaslı br maknada sabt uzuvla temas halnde bulunan krank ve pston üzernden sabt uzva etken sarsma kuvvetler sstemnn O noktasına ndrgenmes düşünülmüş olsun ve bu ndrgemenn br unsuru olarak, sarsma kuvvetlernn O noktasına göre momentnden baret olan M O sarsma moment hesaplanmak stensn. Bu amaçla beln dnamk eşdeğer olarak, A, 3 ve B noktalarına erleştrlecek üç maddesel noktaa ndrgendğ (Bkz. Bl...4); dolaısıla bel ve pstonun, kütleler 3 m A 3 m a l 3, mb m b 3 + m l 4, m 3 m 3 a b 3 (8..3) şeklnde hesaplanan üç maddesel noktala temsl edldğ düşünülsün. Bu temsl esas alınarak Şekl 8..3 te gösterlmş olan elemszlk kuvvetlernn, O noktasına göre toplam moment fade edlrse, ϕ& ω, ϕ& & α gösterlmle [ m ( + c ) + ma r ] α m (3& 3 3&& ) M O 3 3 (8..4) azılablr. Buradan, 3 noktasının er ve vme vektörü bleşenlernn açık fadelern azmaa gerek kalmadan hemen şu sonuç çıkartılır: α olması, an krankın sabt br ω açısal hızıla dönmes halnde -k maknada elemszlk çarkı kullanılmışsa stasoner hareket evresnde br aklaşıklıkla bu durum söz konusu olacaktır- bel kütle dağılımının olacak bçmde aarlanmasıla sarsma kuvvetlernn O a m 3 göre toplam moment sıfır apılablr. Bu se (8..3) bağıntısından görüldüğü gb, beln a b 3 (8..5) Şekl 8..3 arsma Kuvvet ve Momentnn Hesabı İçn Model 4

147 abt uzuv F O M O Şekl 8..4 arsma Kuvvet ve Moment olacak bçmde tasarlanmasını gerektrr. Bu durumda, ne (8..3) ten m A b m l 3, m a B m3 + m4 l (8..6) olacağını not edelm. Ugulamada genellkle bu aarlama apılarak M O olması sağlanır. Ancak burada hemen şunu belrtelm k apılmasının kend başına çok br önem oktur, çünkü sarsma kuvvetlernn O a göre momentlernn anısıra F bleşkeler de sıfır apılmamışsa, genelde, O dışındak noktalara göre sıfırdan farklı br moment söz konusu olacaktır (Bkz. Şek. 8..4). Osa apılmasının (8..5) te verlen koşulu le F apılmasının (8..) de verlen koşulu açıkça çelşktr ve her ksnn brden sağlanması olanaksızdır. Ne var k (8..) koşulunun erne getrlmes zaten tasarım bakımından ugun olmadığından burada br karar verme zorluğu söz konusu değldr. Burada son olarak α halnde O noktasına göre sarsma momentnn kütle dengelemes olula sıfır apılmasının mümkün olmadığını belrtelm fakat bunun kanıtlanması konusuna hç grmeelm. M O M O 8..3 ARMA KUVVETİNİN KIMEN YOK EDİLMEİ Yukarıda, krank-bel esaslı maknalarda sarsma kuvvetnn kütle dengelemes olula tamamen ok edlmesnn tasarım bakımından olanaklı olmadığını belrtmştk. Buna karşılık, ugun br tasarımla bu kuvvet kısmen ok edleblr. Şmd bunun nasıl apılacağını görmek üzere Şekl 8..3 tek maknaı göz önüne alalım ve bu maknada beln, A ve B noktalarına erleştrlen 43

148 m (3) A b 3) m l 3, m ( a m B 3 l (8..7) maddesel noktalarıla temsl edldğn varsaalım. Bu k maddesel noktadan oluşan sstem, kütles ve kütle merkez belnkle anı olduğundan, elemszlk kuvvetler bakımından bele eşdeğerdr. arsma kuvvet hesabında eterl olduğu açık olan bu eşdeğerlğe statk eşdeğerlk denr. Özel olarak, beln (8..5) koşulunu sağlaması halnde, k sstem arasında kütlesel elemszlk moment denklğnn de kendlğnden oluşacağı ve statk eşdeğerlkle dnamk eşdeğerlğn özdeşleşeceğ blnmektedr [Bkz. (8..6)]. Bölece bel ve pstonun A ve B dek m A b m l 3, m a B m3 + m4 l (8..8) maddesel noktalarına ndrgenmş olduğuna dkkat edlerek Şekl 8..3 ardımıla elemszlk kuvvetlernn ve bleşenler arı arı göz önüne alınırsa, sarsma kuvvetnn bleşenler çn F F ( m c + m ) r ω cosϕ + ( m c + m ) r α sn ϕ m && r A ( m c + m ) r ω sn ϕ ( m c + m ) r α ϕ cos r A r r A A B (8..9) elde edlr. Dkkat edlrse bu fadeler sarsma kuvvet hesabı bakımından bütün maknaa, A da bulunan ve dam dönme hareket apan br maddesel nokta le B de bulunan ve öteleme hareket apan br maddesel noktadan baret br sstem gözüle bakılableceğn göstermektedr. Bu bakışı gösterlme ansıtmak üzere ( m c m ) m + dön r A, öte mb m (8..) şeklnde dönen kütle ve ötelenen kütle gösterlmlerne baş vurulur, arıca B noktasının & & vmes çn Örnek Problem 5.3. de elde edlmş olan & (cosϕ + λcosϕ) rω (sn ϕ + λ sn ϕ) rα ; r l λ (8..) aklaşıklığı kullanılırsa (8..9) erne F F [(m + m )cosϕ + m λcosϕ] rω dön öte öte [(m + m )sn ϕ + m sn ϕ] α + λ r dön m sn ϕ rω m cosϕ rα dön dön öte öte (8..) 44

149 azılablr. Burada, ϕ nn harmonk fonksonları şeklnde olan termler brnc mertebeden sarsma kuvvetler, ϕ nn harmonk fonksonları şeklnde olan termler se knc mertebeden sarsma kuvvetler de adlandırılır. & & vmesnn fadesndek aklaşıklık daha ler götürüldüğünde bu fadee kncden daha üksek mertebeden harmonkler de katılır. Bunun sonucu olarak sarsma kuvvet fadelernde de kncden daha üksek mertebeden sarsma kuvvetler ortaa çıkar. Fakat artan mertebele katkı paı azalan bu termlern çok duarlı hesap apılmasını gerektren özel durumlar dışında göz önüne alınmalarına gerek oktur. (8..) fadelern ncelenmesnden, sarsma kuvvetnn her k bleşennn de bütünüle ok edleblmes çn hem m öte hem m dön apılması; an ötelenen kütlee katkıda bulunan bel-pston klsnn kütle merkeznn A noktasına taşınıp tüm sstemn tek br dönen kütlee, sonra da bu dönen kütlenn O noktasına taşınıp tüm sstemn hareketsz br kütlee ndrgenmes gerektğ anlaşılır. Bu se, Bölüm 8.. de tartışılmış olan çözümden başka br şe değldr ve tasarım bakımından ugulanamaz olduğu blnmektedr. Bunun erne ne apılableceğn görmek üzere, tasarım bakımından sorunsuz br ugulamala krank mlne m r k k (m + γ m ) r (8..3) dön öte olacak bçmde br dengeleme kütles (a da karşı kütle) eklenmes düşünülsün (Şek.8..5). Bu apıldığında (8..) erne F F [( γ)cosϕ + λcosϕ] rω + m [( γ)sn ϕ + sn ϕ] α m λ r öte m γsn ϕ rω + m γ cosϕ rα öte öte öte (8..4) a da α (stasoner hareket, elemszlk çarkı var) özel halnde m öte m k r k m dön Dengeleme kütles Şekl 8..5 Kranka Dengeleme Kütles Eklenmes 45

150 F F m öte m [( γ)cosϕ + λcosϕ] rω öte γsn ϕ rω (8..5) elde edleceğ görülür. Dengeleme kütlesnn hesabına ötelenen kütlenn katılma oranını gösteren γ katsaısının farklı seçmler, farklı sonuçlara ol açacaktır. Bu sonuçlar hakkında br fkr ednmek üzere, (8..5) e göre şddet F ( γ, ϕ) (F ) + (F ) m rω [( γ) cos ϕ + λ cos ϕ] + ( γ sn ϕ) (8..6) eksenle aptığı açı se öte F θ γ ϕ γsn ϕ (, ) tan tan (8..7) F ( γ )cosϕ+λcosϕ şeklnde değşen sarsma kuvvetnn, ϕ o den 36 o e kadar değşrken farklı γ değerler çn alacağı görünümlern sarsma kuvvet kutupsal dagramı üzernde karşılaştırılması ugun olur. Şekl 8..6 da, λ. 5, mdön rω möterω N değerler çn, dengeleme apılmamış hale ve γ; /4; /; /3; 4/5; olacak bçmde dengeleme apılmış hallere lşkn dagramlar gösterlmştr. Bu dagramların ncelenmesnden: ) γ olmak kadıla γ değer ne olursa olsun, apılacak dengelemenn sarsma kuvvetnn maksmum değern dengeleme apılmamış hale göre küçülteceğ, ) γ sınır halnn, sarsma kuvvetnn bleşennn azaltılması bakımından en, fakat bleşennn azaltılması bakımından en kötü seçeneğ oluşturduğu, ) γ sınır halnn se bleşenn tamamen sıfırlaarak bu bleşenn azaltılması bakımından en, fakat bleşennn azaltılması bakımından en kötü seçeneğ oluşturduğu, v) arsma kuvvetnn bleşkesnn maksmum değernn azaltılması bakımından en seçeneğn γ / alınması olduğu anlaşılır. onuç olarak, düşünülen kütle dengelemesnn, gerçekten de, sarsma kuvvetlernn bütünüle değlse de kısmen gderlmesnde ugulanablecek br öntem oluşturduğu görülmektedr. Ugulamada, tek br krank-bel mekanzmasından baret olan, tek slndrl çten anmalı motor, tek pstonlu kompresör, vb. gb maknalarda bu öntem, / γ / 3 arasında seçlen br γ değerle ugulanır. Bu konuu kapatmadan, sarsma kuvvetnn bleşenn bütünüle ok ettğ görülen γ seçeneğ üzernde kısaca durulması ernde olur. Bu durumda krank mlnn düzgün hızla dönmes hal çn (8..5) ten 46

151 Dengeleme ok /3 4/5 /4 / γ γ.5 F θ Şekl 8..6 arsma Kuvvet Kutupsal Dagramı F möterω cosϕ + möteλrω cosϕ (8..8) olacak, (8..4) ve (8..5) ten se, krank ml düzgün hızla dönsün a da dönmesn, her zaman (8..3) e göre F olacaktır. arsma kuvvetnn bleşennn ok oluşunun neden, mk rk mdönr (8..9) eştlğnn sağlandığı bu dengelemenn, maknanın hareketl kısımlarının kütle merkezn eksen üzernde geznr hale getrmş olmasıdır. Yukarıda tek br krankbel mekanzmasından oluşan maknalarda eğlenmedğn belrttğmz bu dengeleme k bakımdan lg çekcdr. Bunlardan lk, bu dengelemele brlkte bele (8..5) koşulu sağlatılarak sarsma moment dengelemes de apılması halnde eksen üzerndek hç br noktaa göre sarsma moment doğmamasıdır. Osa eksen krank-bel esaslı maknalar çn genellkle br smetr eksen olduğundan (Bkz. Şekl 8..4) maknanın sabt uzvunun (gövde) kütle merkez bu eksen üzerndedr. Bölece maknanın kütle merkez çevresnde sarsma moment etkmeecek ve sarsma kuvvetler maknaı sadece doğrusal ötelemee zorlaacaktır. İknc lg çekc özellk, bu dengelemele sarsma kuvvetlernn doğrultusunun, eksennn doğrultusu olarak sabtlenmesdr. Bu, sarsma kuvvetlernn dengeleneblmes çn bast bazı öntemler gelştrlmesne olanak verr. Bu dengelemenn bu özellklernden, aşağıda görüleceğ gb, çok slndrl çten anmalı motorların dengelenmesnde ararlanılmaktadır. 47

152 8.3 ÇOK İLİNDİRLİ İÇTEN YANMALI MOTORLARDA ARMA KUVVETLERİNİN DENGEİ 8.3. GENEL BİLGİLER Özellkle kara, hava ve denz taşıtlarında kulanılan çten anmalı motorlarda doğacak sarsma kuvvetler doğrudan doğrua taşıtın konfor ve güvenlğn etkledğnden çten anmalı motorlar, sarsma kuvvetlernn ok edlmes problemnn en öneml ugulama alanlarından brn oluşturur. Bu bölümde, makna mühendslğnn büük arıntıla ncelenmş ve ncelenmekte olan bu problem üzernde durulacaktır. Çok slndrl çten anmalı motorlar, slndrlernn dzlş düzenne göre çeştl tplere arılır. ıra motorlar, "V" motorlar, ıldız motorlar bu tplern en çok kullanılanlarıdır (Şek. 8.3.). Aşağıda, motorlarda sarsma kuvvetlernn denges problem, en agın kullanılan ve ncelenmes en kola olan sıra motorlar özelnde ele alınacaktır. Burada dğer motor tplerne er verlmeecek olmakla brlkte, sıra motorların ncelenmesnden elde edlen denemle dğer motor tpler de kolalıkla nceleneblr IRA MOTORLARIN DENGEİ Brbrle özdeş n adet slndrl sıra br motor göz önüne alınsın (Şek. 8.3.), stasoner hareket sırasında motora etkecek sarsma kuvvetler sstemnn, krank eksennn brnc slndr düzlemn kestğ O noktasına ndrgenerek elde edlmes düşünülsün ve şu belrlemeler apılsın: (a) ıra motor (b) V motor (c) Yıldız motor (d) Çok düzleml ıldız motor (e) Karşı slndrl motor (f) W motor (g) H motor (h) Boksör motor () Kafes motor Şekl 8.3. lndr Dzlşne Göre Motor Tpler 48

153 ) Krank mlne ugun br elemszlk çarkı bağlanarak stasoner hareket sırasında aklaşık olarak sabt hızla dönmes sağlanmıştır. ) Beller (8..5) koşulu sağlanacak bçmde tasarlanmış ve sabt hızla dönme halnde her br slndr çn z eksen çevresndek sarsma moment ok edlmştr. Buna göre stasoner harekette motorun bütününde de br alpa moment doğmaz: M z. ) Krank mlnde (8..9) eştlğ sağlanacak bçmde karşı kütlelerle kütle dengelemes apılmıştır. Buna göre motorda eksen doğrultusunda br sarsma kuvvet ve eksen çevresnde br dönme moment doğmaz: F, M. Buna karşılık, her slndrde, eksen doğrultusunda br sarsma kuvvet ve buna bağlı olarak eksen çevresnde br unuslama moment doğar. tasoner harekette. slndrde doğan kuvvet, (8..8) uarınca ) möterω cosϕ + möteλrω cos ( F ϕ (8.3.) şeklnde, bu kuvvetten dolaı O dan geçen eksen çevresnde doğacak moment de ) möterω a cosϕ + möteλrω a cos ( M ϕ (8.3.) şeklnde belldr. v) Her br kend ϕ açısıla brbrle özdeş bçmde değşen bu kuvvet ve momentler, ϕ ler arasındak ψ faz farklarının ugun aarlanmasıla kısmen a da tamamen brbrne dengelettrleblr. Bu da krank ıldızı tasarımının ugun apılmasıla sağlanablr. ( F ) a a n ( F ) n ( F ) n z, n ϕ F M Dengeleme kütles Elemszlk çarkı ω n ϕ ψ ϕ (a) Genel Görünüş (b) Krank Yıldızı Şekl 8.3. ıra Motor 49

154 İşte sıra motorlarda sarsma kuvvetlernn dengelenmes denldğnde bu son belrlemenn değerlendrlmes anlaşılır. Şmd böle br dengelemenn koşullarını göreblmek çn (8.3.) ve (8.3.) ardımıla motora etkecek toplam sarsma kuvvet ve moment fade edlrse, ϕ krank mlnn seçlmş br radal referans hattının eksenle aptığı açı olmak üzere ϕ ϕ + ψ (8.3.3) azılableceğ dkkate alınarak ve n n n F (F ) möterω cos( ϕ + ψ) + λ cos( ϕ + ψ) (8.3.4) n n n M (M ) möterω a cos( ϕ + ψ) + λ a cos( ϕ + ψ) (8.3.5) vea burada cos( ϕ + ψ) cosϕcosψ sn ϕsn ψ denlerek ve F M n n m ω ϕ ψ ϕ ψ öter cos cos sn sn n n + λ cosϕ ψ ϕ cos sn sn ψ (8.3.6) n n m ω ϕ ψ ϕ ψ öter cos a cos sn a sn n n + λ cos ϕ ψ ϕ ψ a cos sn a sn (8.3.7) elde edlr. Buradan; Brnc mertebeden sarsma kuvvetlernn denges çn: n cosψ n, sn ψ (8.3.8) İknc mertebeden sarsma kuvvetlernn denges çn: n cosψ n, sn ψ (8.3.9) Brnc mertebeden sarsma momentlernn denges çn: 5

155 n a cosψ n, a sn ψ (8.3.) İknc mertebeden sarsma momentlernn denges çn: n a cosψ n, a sn ψ (8.3.) koşullarının sağlanması gerektğ anlaşılır. Hesaplarda brnc slndre at krank kolunun açısal konumunun referans alınmasıla, bu eştlklerde ϕ ϕ ψ (8.3.) azılableceğ, motorda slndrler arası mesafelern brbrne eşt (a delm) olması halnde de a ( ) a (8.3.3) olacağı ortadadır. Krank ıldızı tasarımında (8.3.8-) koşullarının sağlanmasına dkkat edlerek motorlarda çeştl slndrlern sarsma kuvvet ve momentler brbrne dengelettrleblmektedr. Brnc ve knc mertebeden kuvvet ve momentlern hepsnn brden dengelenememes halnde -k genellkle bu durum söz konusudurknc mertebeden büüklükler karşısında brnc mertebeden olanların dengesne ve momentler karşısında kuvvetlern dengesne öncelk verlmeldr. Buradak hesaplarda göz ardı edlmş olmakla brlkte, ukarıda da belrtldğ gb, özel önem taşıan br tasarımda daha üksek mertebeden sarsma kuvvetlernn denges de gözetlmeldr. Burada şuna da şaret etmek ernde olur k çten anmalı br motorda krank ıldızı tasarımında dkkate alınması gereken tek şe, burada ele alınan elemszlk kuvvetlernn denges değldr. Bölüm den anımsanacağı gb krank ıldızı tasarımı slndrlerdek ateşleme düzenn, dolaısıla da gaz kuvvetlernn motora verdğ gücün çevrm bounca dağılımının düzgünlüğünü belrler. Bu dağılımın düzgün olmaması moment ve hız dalgalanmalarını, buna bağlı olarak da kullanılması gereken elemszlk çarkını büütecektr. Arıca moment dalgalanmaları, ukarıdak hesaplarda göz önüne almadığımız br unsur olarak, motorun z eksen çevresnde br sarsma moment etks altında kalmasına ol açar. Bütün bu nedenlerle krank ıldızı tasarımı problem, elemszlk kuvvetlernn denges ve güç dağılımının düzgünlüğü ölçütler arasında orta olun bulunması problemne dönüşeblr. 5

156 ÖRNEK PROBLEMLER Problem 8.3. a a a 3 4 z 3 Şekl Pr ω Şeklde, krank ıldızı, krank kolları arasında 9 o açı olacak bçmde tasarlanmış ve slndrler eşt a aralıklarıla sıralanmış 4 slndrl br çten anmalı motor gösterlmştr. Bu motoru, krank mlnn düzgün hızla dönmes halndek sarsma kuvvetlernn denges bakımından ncelenz. Çözüm: İnceleme, bu motorda (8.3.8-) eştlklernn sağlanıp sağlanmadığının kontrolünden barettr. Bu kontrolün aşağıdak gb br tablonun doldurularak gerçekleştrlmes kolalık sağlaacaktır. ψ ι cosψ ι snψ ι ψ ι cosψ ι snψ ι a a cosψ ι a snψ ι a cosψ ι a snψ ι o o 9 o 8 o - a a -a 3 7 o - 54 o - a -a -a 4 8 o - 36 o 3a -3a 3a Toplam -3a -a. Mertebeden Kuvv. Dengel. Mertebeden Kuvv. Dengel. Mertebeden Mom. Dengesz. Mertebeden Mom. Dengel Bu ncelemenn tabloda da belrtlen sonucuna göre, verlen krank ıldızı tasarımıla bu motorda. ve. mertebeden sarsma kuvvetler le. mertebeden sarsma momentler dengelenmş, buna karşılık. mertebeden sarsma momentler dengelenmemş olmaktadır. (8.3.7) bağıntısı ve tablolanan sonuçlara göre dengelenmemş kalan sarsma momentnn fades M m öte rω a( 3cosϕ + sn ϕ) () olarak belldr. Verlen krank ıldızı tasarımının lğ hakkında br karar vereblmek çn, bu tasarımın motorda nasıl br güç dağılımına ol açacağının da strok dagramları ardımıla ncelenmes gerekr. Bu amaçla motorun ve 4 zamanlı olması haller çn arı arı oluşturulan strok dagramlarının ncelenmesnden bu tasarımın zamanlı motor halnde düzgün br güç dağılımına, buna karşılık 4 zamanlı motor halnde düzgün olmaan br güç dağılımına ol açacağı anlaşılır. 5

157 4 3 o E B 3 4 G o 8 o E G E B B G 9 o B G E 36 o G E B 8 o E B G 54 o B G 7 o E E B G E B 7 o 36 o (a) 4 Zamanlı Motor Hal (b) Zamanlı Motor Hal Şekl Pr trok Dagramları Problem 8.3. a a a 4 3 z,4,3 ω Şeklde, krank ıldızı, krank kolları arasında 8 o açı olacak bçmde tasarlanmış ve slndrler eşt a aralıklarıla sıralanmış 4 slndrl br çten anmalı motor gösterlmştr. Bu motoru, krank mlnn düzgün hızla dönmes halndek sarsma kuvvetlernn denges bakımından ncelenz. Şekl Pr Çözüm: İnceleme aşağıdak tablo doldurularak gerçekleştrlsn. ψ ι cosψ ι snψ ι ψ ι cosψ ι snψ ι a a cosψ ι a snψ ι a cosψ ι a snψ ι o o 8 o - 36 o a -a a 3 8 o - 36 o a -a a 4 o o 3a 3a 3a Toplam 4 6a. Mertebeden Kuvv. Dengel. Mertebeden Kuvv. Dengesz. Mertebeden Mom. Dengel. Mertebeden Mom. Dengesz Tabloda da belrtldğ gb, verlen krank ıldızı tasarımıla bu motorda. mertebeden sarsma kuvvetler le. mertebeden sarsma momentler dengelenmş, buna karşılık. mertebeden sarsma kuvvetler le. mertebeden sarsma momentler 53

158 dengelenmemş olmaktadır. (8.3.6) le (8.3.7) bağıntıları ve tablolanan sonuçlara göre dengelenmemş kalan sarsma kuvvet ve momentnn fadeler ve F M r 4möte ω cosϕ l r 6möte ω a cosϕ l () () olarak belldr. Bu krank ıldızı tasarımının motorda nasıl br güç dağılımına ol açacağını görmek üzere motorun ve 4 zamanlı olması haller çn arı arı strok dagramları oluşturulursa, bu tasarımın 4 zamanlı motor halnde düzgün br güç dağılımına, buna karşılık zamanlı motor halnde düzgün olmaan br güç dağılımına ol açacağı görülür. o 8 o 36 o 54 o 7 o 3 4 G E B B G E E B G E B G o 9 o 8 o 7 o 36 o 4 3 G G E E B B E E G G B B (a) 4 Zamanlı Motor Hal (b) Zamanlı Motor Hal Şekl Pr trok Dagramları 54

159 9 RİJİD ROTORLARDA KÜTLE DENGELEMEİ 9. EALAR Maknaların, sabt br eksen çevresnde dönen (dam dönme hareket apan) uzuvlarına rotor adı verlr. Ugun kütle dağılımına sahp olmaan rotorlar, dönmeler sırasında, maknanın sabt uzvuna sarsma kuvvetler ugularlar. Rotorun kütle dağılımının düzenlenmesle bu kuvvetlern ok edlmes, a da en azından azaltılması mümkündür. Buna rotorda kütle dengelemes, a da kısaca, rotorun dengelenmes adı verlr. Burada sözü edlen problemn, özünde, maknalarda sarsma kuvvetler genel problemnn br özel konusundan başka br şe olmadığı ortadadır. Böle olduğu halde problemn, bu konua arılmış olan Bölüm 8 de ele alınmaıp arı br bölüm halnde ele alınışının neden, braz farklı br kuramsal zemn gerektrmesdr. Problem, makna uzuvları hakkında apageldğmz düzlemsel rjd csm kabulü çerçevesnde ncelenememekte ve daha öncek konulardan aırıcı br özellk olarak, rotorun üç boutlu dnamğnn formüle edlmesn gerektrmektedr. Bunu apmak üzere Şekl 9.. dek rjd rotor göz önüne alınır ve z eksen dönme eksenle çakışan, rotora bağlı (onunla brlkte dönen) O;z eksen takımında çalışılarak rotorun hareket denklemler azılmak stenrse, R rotora etken tüm O kuvvetlern bleşkesn, M se bunların O noktasına göre momentler toplamını göstermek üzere kütle merkeznn hareket çn (.3.3) denklem uarınca, m,i O z,i O z, I O zz M O R M O M O z p r ω,α z F O R z R M O F M O Şekl 9.. Rjd Rotor 55

160 R ma (9..) dönme hareket çn se (.3.5) denklem uarınca M O O O I α + ω I ω (9..) azılablr. Burada, dönme eksennn z eksen olarak seçlmes üzünden, açısal hız ve vme vektörlernn ω ωk ve α αk şeklnde olduğuna dkkat edlr, arıca rotorun kütle merkeznn er vektörü p + j + zk, bu vektörün hesaplarda asıl gerekl olan O; düzlem üzerndek zdüşümü r + j şeklnde gösterlp dam dönme hareketnn knematğnden kütle merkeznn vmes a α p + ω ( ω p) α r + ω ( ω r) (9..3) şeklnde hesap apılarak a ( α + ω ) + ( α ω ) j (9..4) olarak belrlenrse, kütle merkeznn hareket çn (9..) erne skaler R R m( α + ω ) m( α ω ) (9..5) R z denklemler, dönme hareket çn se (9..) erne (.3.8) de de verlmş olan M O I O z α + I O z ω M O I O z α I O z ω (9..6) M O z I O zzα denklemler elde edlr. (9..5) ve (9..6) denklemler, ω açısal hızı ve α açısal vmesle döneblmes çn rotora ugulanması gereken kuvvetler sstemnn O noktasına ndrgenmş karşılığını vermektedr. (9..5) denklemlernn sonuncusundan, rotora bu hareket aptırmak çn ona z eksen doğrultusunda br kuvvet ugulanması gerekmedğ anlaşılmaktadır. Öte andan, (9..6) denklemlernn sonuncusundak M O z moment, doğrudan doğrua, rotorun α açısal vmesle hareket ettrleblmes çn gereken döndürme momentnden başka br şe değldr. Rotora bu moment dışında hç br verlmş kuvvet ugulanmadığı kabul edlrse, (9..5) ve (9..6) denklemlernden ger kalan termlern, maknanın sabt uzvunun mevcut atak a da ataklarda rotora uguladığı tepk (kısıt) kuvvetler sstemnn O noktasına 56

161 ndrgenmş halnden; bunların ters şaretlsnn se rotorun sabt uzva uguladığı sarsma kuvvetler sstemnnknden baret olacağı anlaşılır. Buna göre sabt uzva etkecek sarsma kuvvetler sstem, O noktasına ndrgenmş halle, F (R + R j) m( α + ω ) m( α ω ) j (9..7) kuvvet ve O O O O z O z M (M + M j) (I α I ω ) + (I α + I ω ) j (9..8) momentnden barettr. Esas olarak rotora etken elemszlk kuvvetler ve onların O a göre momentlernden başka br şe olmaan bu büüklükler bazen dnamk kuvvet ve momentler adıla da anılırlar. Dkkat edlrse bu kuvvet ve moment vektörlernn şddetler O z O z ve F 4 m + α + ω mr α + ω (9..9) O O 4 M O (I z ) + (I z ) α + ω (9..) 4 şeklnde olup, α açısal vmesnde br dalgalanma olmadıkça br sarsma etks aratacak bçmde değşmezler. arsma etksn aratan, bu vektörlern doğrultusunun, rotora bağlı eksen takımıla brlkte ön değştrmesdr. Şmd br rotorda sarsma kuvvetlern ok etmek (sarsma kuvvetler sstemn sıfıra denk br sstem halne getrmek) çn neler apılableceğn görmek üzere (9..7) ve (9..8) eştlkler dkkate alınırsa hemen şu sonuçlara varılır: ) (9..7) eştlğne göre sarsma kuvvetler sstemnn bleşkesn sıfıra eşt kılmak çn, r apılmalı; an rotorun kütle merkez dönme eksen üzerne getrlmeldr. Böle br rotor, dönme eksen ata olacak bçmde erleştrldğnde kend ağırlık kuvvet br döndürme moment vermeeceğ ve rotor her açısal konumda statk dengede olacağı çn buna rotorun statk denges adı verlr. Kütle merkeznn denklem (..5) tek tanımının anımsanmasıla, statk dengenn koşulları, rotorun sürekl kütle dağılımına sahp br rjd csm ve m kütlel n adet parçacığın oluşturduğu rjd br bütün olarak görülmes haller çn arı arı olmak üzere dm n m (9..) dm n m şeklnde azılablr. 57

162 ) (9..8) eştlğne göre sarsma kuvvetler sstemnn O noktasına göre momentn sıfıra eşt kılmak çn I O O z I z apılmalı; an O;z eksen rotorun br asal elemszlk eksen halne getrlmeldr. Elemszlk çarpımlarının denklem (..8) dek tanımlarının anımsanmasıla bu koşullar da I O z zdm zm I O z zdm n n zm (9..) şeklnde azılablr. () ve () dek koşulların her ks brden sağlandığında sarsma kuvvetler sstem sıfıra denk br sstem halne gelr. Artık sstemn alnızca O noktasına değl, her noktaa göre moment sıfır olur. (Bunun anlamı, artık alnız seçlmş O noktasını başlangıç alan O;z eksennn değl, başlangıç noktası seçmnden bağımsız olarak z eksennn bütünüle csmn br asal elemszlk eksen halne gelmesdr. ) Bu durumda rotorun hareket üzünden sabt uzva hç br dnamk kuvvet etkmez. Buna rotorun dnamk denges adı verlr. Rotorların statk ve dnamk denges hakkında br fkr vermek üzere, Şekl 9.. de statk ve dnamk bakımdan dengel ve dengesz rotor örnekler gösterlmştr. (a) (b) (c) (d) Şekl 9.. Dengel ve Dengesz Rotorlar (a), (b): tatk ve Dnamk Dengesz, (c): tatk Dengel Dnamk Dengesz, (d): tatk ve Dnamk Dengel. Alıştırma: Verlmş br O noktası çn (9..) koşullarının anısıra (9..) koşulları da geçerlken (9..) koşullarının z eksen üzerndek her nokta çn sağlanacağını matematksel olarak kanıtlaınız ve bundan ararlanarak, (9..) koşullarının, z eksen üzerndek k farklı nokta çn sağlanmasının rotorun dnamk denges çn eterl olduğunu gösternz. 58

163 9. ROTORLARIN DENGELENMEİ Br rotor tasarlanırken (9..) ve (9..) koşulları sağlanacak; an dönme eksen br asal elemszlk eksen olacak bçmde tasarlanmaa çalışılır. Bu sağlanmadığında doğacak sarsma kuvvetler (9..9-) eştlklernden görüldüğü gb rotorun açısal hızının karesle artacağından, üksek hızda çalışmak üzere tasarlanan rotorlarda buna özellkle dkkat edlmeldr. Kağıt üzerndek tasarımda rotorun dnamk denges gözetlmş olsa ble, üretm ve montaj sırasında doğablecek hatalar a da maknanın çalışması sırasında oluşablecek (aşınma vb. gb) etkler bu denge bozablr. Bu gb durumlarda rotorun ugun erlerne kütle eklenmes a da çıkartılmasıla dengenn enden sağlanmasına çalışılır. Buna rotorun dengelenmes (balansı) adı verlr. Türbnler, fanlar, otomobl tekerlekler gb üksek hızlı rotorlarda dengeleme şlemler düzenl olarak ugulanır. Bu bölümde, rotorların dengelenmes konusu ele alınacaktır. 9.. TATİK DENGELEME Yukarıda belrtldğ gb, statk dengeleme denldğnde rotorun kütle merkeznn dönme eksen üzerne getrlmes anlaşılır. Kütles m, kütle merkeznn dönme eksennden kaçıklığı r olan br rotorda bunu apmak çn, rotorun bu ş çn elverşl br düzlemne, kütle merkezle tam zıt önde m d r d mr (9..) eştlğ sağlanacak bçmde br kütle eklenmes; a da kütle merkezle anı önde böle br kütlenn çıkartılmasının eterl olacağı açıktır (Şek. 9..). Buradak Dmr (9..) büüklüğüne dengeszlk, m d r d (9..3) büüklüğüne se dengeleme büüklüğü adı verlr. m r m d r d Şekl 9.. tatk Dengeleme 59

164 arsma kuvvetlernn bleşkesn ok etmekle brlkte sarsma momentn ok etmeeceğ blnen böle br dengeleme ancak görel olarak düşük hızlı ve kısa rotorlarda eterl saılablr. Ancak, aşağıda görüleceğ gb, tüm sarsma etksn ok edecek br dnamk dengeleme, rotorun en az k düzlemne dengeleme büüklükler erleştrlmesn gerektrdğnden, bu şe ugun alnızca br tek düzleme sahp olan rotorlarda bununla etnmek zorunda kalınablr. 9.. DİNAMİK DENGELEME 9... Rotorun İk Dengeszlğe İndrgenmes Her rjd rotor, sarsma kuvvetler bakımından, kef seçlmş k düzleme erleştrlecek k dengeszlğe eşdeğerdr. Rotorların dnamk dengelemes konusuna geçmeden önce, bu gerçeğn ortaa konulması ararlı olacaktır. Bunu göstermek üzere önce denklem (9..7) ve (9..8) den, anı m ), ( m ), ve büüklüklerne sahp olan k rotorun brbrle anı sarsma ( I O z I O z etksn aratacağına dkkat edelm, ardından da, buna daanarak, rotoru n adet maddesel noktadan oluşan br eşdeğer noktasal kütleler sstemne ndrgeme düşünelm.. maddesel noktanın koordnatlarına,, z denlrse eşdeğerlk koşulları n (m) n (m)z, (m ) m, m O I z, n n (m)z O I z (9..4) şeklnde azılablr. Eldek bu 4 denkleme karşılık her br maddesel nokta çn ( m ), ( m), z şeklnde 3 blnmeenden toplam 3n adet blnmeen hesaplamak steelm. Buna göre ndrgeme problemnn çözüleblmes çn 3n 4 n olmalıdır. Bunun anlamı, her rotorun sarsma kuvvetler bakımından eşdeğer olarak en az k maddesel nokta çeren br maddesel noktalar sstemne ndrgenebleceğdr. En küçük saı olan n seçlrse 4 denkleme karşı 6 blnmeenlk br problem söz konusu olur ve blnmeenlerden 6-4 sne kef değerler verleblr. Bz kef olarak z ve z a ; a> seçelm. Bunun, kütle erleştrlecek k düzlemn (oldakne DL, sağdakne D R delm.) kef olarak seçlmes ve kullanılan eksen takımının O; düzlemnn D L le çakıştırılması anlamına geldğne dkkat çektkten sonra, bu değerlerle (9..4) eştlklerne dönülürse ( m) + (m) ms, ( m ) + (m) ms O ) a I z ( m, O ) a I z ( m (9..5) 6

165 bunların çözülmesle de s I O z a ( m ) m, I O z a ( m ), ( m ) m s O I z ( m) a I O z a (9..6) elde edlr. İstenrse bu sonuç, ( m r ) (m) + (m), m α tan ; m, şeklnde hesap apılıp kutupsal koordnatlara geçlerek D I O I O z z (mr ) m m + a, a α tan I O z m a I O m z a ( I ) ( ) O O (mr ) a z I z D +, α tan I O z I O z (9..7) şeklnde de azılablr. Bölece, her rjd rotorun, sarsma kuvvetler bakımından, kef seçlmş k düzleme erleştrlecek k dengeszlğe eşdeğer olduğu hükmü doğrulanmış ve bu dengeszlklern büüklük ve açısal konumlarının nasıl hesaplanacağı gösterlmş olmaktadır (Şek. 9..). a R L z m r r α m α z O m,i O O z, I z Şekl 9.. Rotorun İk Dengeszlğe İndrgenmes 6

166 9... İk Düzlemde Dnamk Dengeleme Her rjd rotorun, sarsma kuvvetler bakımından, kef seçlmş k düzleme erleştrlecek k dengeszlğe eşdeğer oluşunun doğal sonucu, böle rotorların k kef düzleme erleştrlecek k dengeleme büüklüğüle dengeleneblmesdr. Bunu apmanın olunun, (9..7) dek ndrgemede bulunan dengeszlklere eşt dengeleme büüklüklernn, orada hesaplanan açısal konumların 8 o zıttına erleştrlmes olduğu açıktır (Şek. 9..3). Buna göre kütles, kütle merkeznn dönme eksenne dk O düzlemdek konumu ve lgl elemszlk çarpımları m,,, I z, I O z olarak blnen rjd br rotoru dengelemek çn O; düzlemle çakışık br L sol dengeleme düzlemne, şddet ve açısal konumu I O I O L (mdrd ) z z L m a m a +, I O z m α a L tan I O (9..8) z m a şeklnde hesaplanacak br sol dengeleme büüklüğü le, sol dengeleme düzlemnn kef br a uzaklığı kadar sağında er alan br R sağ dengeleme düzlemne, şddet ve açısal konumu R d d R a ( I ) + ( I ) O z O z ( m r ), O I α z R tan (9..9) I O z şeklnde hesaplanacak br sağ dengeleme büüklüğünün erleştrlmes eterldr. a R L z m,,,i O z, I O z Şekl 9..3 İk Düzlemde Dnamk Dengeleme Alıştırma: Bu apıldığında (9..) ve (9..) dek dnamk dengeleme koşullarının sağlandığını gösternz. 6

167 Rotorlarda oluşan sarsma kuvvetler, maknanın ttreşml ve gürültülü çalışmasına, orulma sonucu ataklarının tahrp olmasına neden olduğundan, şüphe ok k hç stenmeen kuvvetlerdr. Burada ortaa konulan dnamk dengeleme öntem, rjd rotorlarda bu sorunun önüne geçmenn son derece bast fakat br o kadar da etkl br mühendslk çözümünü oluşturmaktadır. Bunu dkkate alan br mühends, şlevsel geometrs dengeszlğe ol açan br rotor tasarlamak durumunda kaldığında, buradak öntemle tasarımının dnamk dengesn sağlaablr. Yne, br tasarımcı mühends, tasarladığı rotorun çalışma sırasında dnamk dengesnn bozulableceğn ve dnamk dengeleme gerektrebleceğn önceden düşünüp, ugun k dengeleme düzlemn ve apıı tahrp etmeden kütle eklenp çıkartılmasına olanak veren br düzenleme tasarımına ekleeblr (k bunun örnekler vardır). Bugün, br rotorda mevcut dengeszlkler ttreşm ölçümler aracılığıla belrleen ve ukarıdak hesapları gerçekleştrerek kullanılması gereken dengeleme büüklüklern konumlarıla brlkte bldren modern chazlar ardımıla rotorlar bulundukları erde dengeleneblmektedr. Bu bölümü, ukarıda ortaa konulan blglern geçerllk sınırları hakkında br noktanın altını çzerek kapatalım. Buradak nceleme, rotorun br rjd csm olduğu kabulüne daandırılmıştır. Buna bağlı olarak, elemszlk kuvvetlernn sabt uzva etksnden baret olan sarsma kuvvetler ncelenrken, anı kuvvetlern rotorda ol açacakları ç gerlmeler üzernde durulmamıştır. Osa k düzlemde dnamk dengeleme gerçekleştrldğnde ble bu gerlmeler var olmaa devam eder ve özellkle narn apılı (nce uzun) rotorlarda eğlmelere ol açar. Bu se rotorun kütle dengesnn değşmes demektr. Bunun doğrudan sonucu, rjd csm davranışı gösteren rotorların dengesnn açısal hız ve vmeden tamamen bağımsız oluşuna karşılık elastk davranış gösteren rotorlarınknn (elemszlk kuvvetlern, dolaısıla da mln alacağı şekl etkleen) bu büüklüklere bağımlı oluşudur. Buradan anlaşılacağı gb elastk rotorların dengelenmes problem, burada verlenden farklı esaslara daanan ve bu dersn çerçevesn aşan aparı br problemdr. 63

168 ÖRNEK PROBLEMLER Problem 9.. 3cm L α O 4cm cm 3 4cm R z m r 3 ο r 3 ο r m m 3 Şekl Pr.9..- Şeklde, üzernde üç dsk taşıan br mlden baret olan br rotor gösterlmştr. Bu rotorda mln kends dnamk dengee sahp olmakla brlkte, dönme eksenne dk erleştrlmş brer homojen daresel levhadan baret olan dsklern her brnde brer mktar merkez kaçıklığı bulunmaktadır. Bu rotoru dnamk olarak dengelemek üzere, şeklde gösterlen L ve R düzlemlerne, dönme eksennden cm uzağa dengeleme kütleler erleştrlecektr. Bu kütleler ve erleştrlmeler gereken açısal konumları belrlenz. m kg, m 5 kg, m 3 4 kg, r. 5 mm, r. 8 mm, r 3. mm Çözüm: Problem önce genel br bakışla ele alalım. (9..8-9) bağıntıları ardımıla hesap apılacağına göre önce rotorun m, m, I, büüklükler belrlenmeldr. Dengel olduğu belrtlen mln kütle merkez dönme eksen üzerndedr. Buna göre m ve m nn hesabında alnızca dsk kütleler hesaba katılacak ve nds dsk numarasını, α -nc dsk kütle merkeznn eksenne göre açısal konumunu göstermek üzere m m mr cosα, m O z I O z m m r sn α () şeklnde hesap apılacaktır. Dengel olan mln, rotorun ve elemszlk çarpımlarına da br katkısı oktur. Öte andan, dönme eksenne dk homojen brer levha olduklarına göre, her br dskn kütle merkeznden geçen z e paralel eksen bu dsk çn br asal elemszlk eksendr ve bu eksene göre elemszlk çarpımları I O z I O z 64

169 sıfırdır. Dsklern O;z eksen takımına göre elemszlk çarpımları da (..) dek Hugens-tener formülü ardımıla hesaplanırsa rotorun elemszlk çarpımları çn O z I mz mr cosαz, I mz mr sn αz () azılablr. () ve () eştlklernn, bu problemde ele alınan tpte rotorların br dz dengeszlk taşıan br ml gözüle görülebleceğn ortaa koduğuna şaret ettkten sonra bu eştlklerle (9..8-9) bağıntılarına gdlrse O z L L R R ( m r ) ( d d L z a ( m r ) ( d d L ( m r ) d d R ( m r ) d d R z a )m r cosα )m r sn α z m r cosα a z m r sn α a () gösterlmlerle, sol dengeleme büüklüğü ve açısal konumu çn L (mdrd ) L ( L ) + ( L ), L αl tan (v) L sağ dengeleme büüklüğü ve açısal konumu çn se R (mdrd ) R ( R ) + ( R ), α R R tan (v) R fadeler elde edlr. Bu genel belrlemelerden sonra eldek probleme dönülür ve problemn verler aşağıdak gb br tabloda toplandıktan sonra hesaba geçlrse, () eştlklernden m [kg] r [mm] z [cm] α [ o ] a cm 65

170 3 4 6 L ( + ).5 cos ( )5.8 cos5 ( )4. cos 7.8kg.mm L ( + 3 ).5 sn ( 4 )5.8 sn5 ( 6 )4. sn 7 3.4kg.mm 3.5 cos cos5 6 R + 4. cos7.76kg.mm R sn sn sn kg.mm hesaplanır. Bölece (v) ve (v) ten de sol dengeleme büüklüğü, açısı ve kütles çn L d d L (m r ).8 + ( 3.4) 3.67 kg.mm ( 3.4 ) 7,3 αl tan,.8 L L 5.3 kg (r ) (md) d L sağ dengeleme büüklüğü, açısı ve kütles çn se R d d R (m r ).76 + ( 3.563) kg.mm α ( ) 8.3 R tan,.76 (m d) R R 7.88 (rd ) R kg bulunur. Buna göre ele alınan rotor, L ve R düzlemlerne aşağıdak şeklde gösterldğ gb k dengeleme kütlesnn erleştrlmesle dnamk olarak dengelenmş olacaktır. (m d ) L 5.3 g L (m d ) R 7.88 g R α R 8.3 o z α L 7.3 o Şekl Pr

171 Problem 9.. m L cm 4 R 5 r 6 r 4 45 r 3 r m m 4 m 3 z Dfüzör Kompresör Yanma Odası Türbn Nozul r β Şekl Pr.9.. Jet Motoru Şeklde br jet motoru ve ona at rotor gösterlmştr. Rjd csm kabul edleblen rotorun kompresör düzlemlernn üçünde ve türbn düzlemlernn brnde D m r dengeszlkler mevcuttur. m 3 g, m 5 g, m 3 g, m 4 5 g, r 44 cm, r 4 cm, r cm, r 4 45 cm verldğne göre; a) Bu rotoru dengelemek üzere şeklde gösterlen L ve R dengeleme düzlemlerne erleştrlmes gereken dengeleme büüklüklern ve erleştrlmeler gereken açısal konumları belrlenz. b) Dengelemenn L ve R düzlemlernde r L 37 cm ve r R 44 cm arıçaplı çemberler üzerne β5 o lk eşt açısal aralıklarla dzl cvataların gramajı farklı cvatalarla değştrlmes olula apılması düşünüldüğüne göre hang cvatalarda ne kadar değşklk apılmalıdır? Çözüm: a) Problemn verler aşağıdak gb tablolandıktan sonra Problem 9.. dek () denklemler uarınca hesap apılırsa m [g] r [cm] z [cm] α [ o ] a6 cm 67