ISI TRANSFERİ PROBLEMİNİN. Resul DİLSİZ

Transkript

1 İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ BİLİŞİM ENSTİTÜSÜ ISI TRANSFERİ PROBLEMİNİN GRAFİK ÇÖZÜMÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Resul DİLSİZ Anabili Dalı: Mühendislikte İleri Teknolojiler Prograı: Hesaplaalı Bili ve Mühendislik Tez Danışanı: Prof. Dr. Y. Onur DEVRES ARALIK 7

2 İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ BİLİŞİM ENSTİTÜSÜ ISI TRANSFERİ PROBLEMİNİN GRAFİK ÇÖZÜMÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Resul DİLSİZ Anabili Dalı: Mühendislikte İleri Teknolojiler Prograı: Hesaplaalı Bili ve Mühendislik Tez Danışanı: Prof. Dr. Y. Onur DEVRES ARALIK 7 i

3 ÖNSÖZ Bu çalışayı yapabile için bana ikân sağlayan İstanbul Teknik Üniversitesi Bilişi Enstitüsü Mühendislikte İleri Teknolojiler Ana Bili Dalı Hesaplaalı Bili ve Mühendislik Bölüü Prograına ve bu prograın yöneticilerine teşekkürlerii bir borç biliri. Ayrıca bu çalışayı hazırlaada bana yardıcı olan, desteğini ve bilgisini esirgeeyen tez danışanı, İstanbul Teknik Üniversitesi Kiya-Metalürji Fakültesi, Gıda Mühendisliği Bölü Başkanı Sayın Prof. Dr. Y. Onur DEVRES e şükranlarıı sunarı. Beni yetiştiren, bugünlere getiren, her zaan arkada olan ailee ve anevi desteği oladan bu çalışayı taalayaayacak olduğu, eşi Sabiha DİLSİZ e innetlerii sunarı. ARALIK 7 Resul DİLSİZ ii

4 İÇİNDEKİLER KISALTMALAR TABLO LİSTESİ ŞEKİL LİSTESİ SEMBOL LİSTESİ ÖZET SUMMARY v vi viii xi xiii xiv GİRİŞ. Çalışanın Aacı. Yapılakta Olan Hatalar.. Görsel İnterpolasyonun Zorluğu.. Düzenleniş Lineer-Log Grafiklerinden İnterpolasyon İle Veri Okuak..3 Grafiklerin Çizgilerinin Yoğunlaştığı Bölgeler 3..4 Grafik Verilerindeki Hata 3..5 Serinin Sadece İlk Terii Alınarak Yapılan Hatalar 4..6 Boyutsuz Zaanın Önkoşulu 4.3 Alternatif Yönteler 5.4 Literatürdeki Benzer Çalışalar 5 SAYISAL ANALİZ PROGRAMINDA GELİŞTİRMELER 8. Zaana Bağlı Isı Aktarıı Problei 8. Isı Aktarıı Problelerinin Çözüleri 9.3 Değişkenlerine Ayıra Yöntei İle Çözüler 9.4 Soru Çözüleri İçin Değer Hesaplayan Fonksiyonlar.4. Levha İçin Fonksiyonlar.4.. Tek Boyutlu Levha (ctslabd).4.. İki Boyutlu Levha (ctslabd).4..3 Üç Boyutlu Levha (ctslabd).4. Yarı Sonsuz Levha İçin Fonksiyonlar (ctseislabd) Silindir İçin Fonksiyonlar (ctcylinder) Küre İçin Fonksiyonlar (ctsphere) 5.5 Grafik Hesaplayan Kodlar 5.5. Heisler. Grafikleri Levha İçin Heisler Orta Nokta Grafikleri Silindir İçin Heisler Orta Nokta Grafikleri Küre İçin Heisler Orta Nokta Grafikleri 7.5. Heisler. Grafikleri Levha İçin Heisler Düzelte Grafikleri 8 iii

5 .5.. Silindir İçin Heisler Düzelte Grafikleri Küre İçin Heisler Düzelte Grafikleri 9 3 EĞRİ YAKLAŞTIRMA ÇALIŞMALARI 3. Levha İçin Eğri Yaklaştıra Sonuçları 4 3. Silindir İçin Eğri Yaklaştıra Sonuçları Küre İçin Eğri Yaklaştıra Sonuçları Alternatif Yöntele Sonuçların Karşılaştırılası 9 4 HESAPLAMALARIN SUNULMASI İÇİN WEB ARAYÜZÜ 3 4. Sıcaklık Dağılıı Geçişi Grafiği Levha İçin Web Arayüzü Çözüleri Tek Boyutlu Levha İçin Web Arayüzü Çözüleri İki Boyutlu Levha İçin Web Arayüzü Çözüleri Üç Boyutlu Levha İçin Web Arayüzü Çözüleri Yarı Sonsuz Levha İçin Web Arayüzü Çözüleri Silindir İçin Web Arayüzü Çözüleri Küre İçin Web Arayüzü Çözüleri Heisler Grafiklerinden Veri Okua Heisler Merkez Sıcaklığı Levha Grafiği Heisler Merkez Sıcaklığı Silindir Grafiği Heisler Merkez Sıcaklığı Küre Grafiği Okunan Değerlerin Karşılaştırılası 47 5 SONUÇLAR VE TARTIŞMA 49 KAYNAKLAR 5 EKLER 53 A Literatürdeki Ders Kitaplarındaki Grafikler 53 B Literatürle Karşılaştıralı Örnek Soru Çözüleri 69 C Isı Aktarıı Probleinin Tanıı 8 D Değişkenlere Ayıra Yöntei İle Çözüler 86 E Tekrar Çizilen Merkez Sıcaklık Grafikleri 3 ÖZGEÇMİŞ 7 iv

6 KISALTMALAR PHP MATLAB HTTPD CD SPSS : Hypertext Preprocessor : Matrix Laboratory (Mathworks, Inc.) : Hyper Text Transfer Protocol Daeon : Copact Disk : Statistical Package for the Social Sciences v

7 TABLO LİSTESİ Tablo.: ctslabd fonksiyonu için paraetrelerin açıklaası... Tablo.: ctslabd fonksiyonu için paraetrelerin açıklaası... Tablo.3: ctslab3d fonksiyonu için paraetrelerin açıklaası...3 Tablo.4: ctseislabd fonksiyonu için paraetrelerin açıklaası...3 Tablo.5: ctcylinder fonksiyonu için paraetrelerin açıklaası...4 Tablo.6: ctsphere fonksiyonu için paraetrelerin açıklaası...5 Tablo 3.: İkinci regresyonda iterasyon geçişi (b)(c)(d)...3 Tablo 3.: İkinci regresyon sonuçları, paraetrelerin tahini...3 Tablo 3.3: İkinci regresyon sonuçları, R (a)...3 Tablo 3.4: Levha için regresyon sonuçları, paraetrelerin tahini...5 Tablo 3.5: Fourier sayısı aralıklarında eğri yaklaştırasının yapacağı en yüksek hatalar (levha)...5 Tablo 3.6: Silindir için regresyon sonuçları, paraetrelerin tahini...6 Tablo 3.7: Fourier sayısı aralıklarında eğri yaklaştırasının yapacağı en yüksek hatalar (silindir)...6 Tablo 3.8: Küre için regresyon sonuçları, paraetrelerin tahini...8 Tablo 3.9: Fourier sayısı aralıklarında eğri yaklaştırasının yapacağı en yüksek hatalar (küre)...8 Tablo 3.: Yaklaştırılan eğri forülü ve geoetrilere göre katsayılar...9 Tablo 3.: A B ve C B katsayıları...3 Tablo 3.: Seri açılıın birinci teriini hesaplayan eşitliklerle, yaklaştırılan eğri sonuçlarının karşılaştırılası...3 Tablo 4.: Örnek soru 6 için, kaynak ile web arayüzü sonuçlarının karşılaştırılası...36 Tablo 4.: Web arayüzünden okunan değerlerin hesaplaalarla karşılaştırılası Tablo 5.: Örnek Soru çözülerinde yaklaştırılan eğrinin doğruluğu...5 Tablo B.: Örnek soru için MATLAB prograı çıktıları...7 Tablo B.: Örnek soru için MATLAB prograı çıktıları...7 Tablo B.3: Örnek soru 3 için MATLAB prograı çıktıları...7 Tablo B.4: Örnek soru 4 için MATLAB prograı çıktıları...73 Tablo B.5: Örnek soru 5 için MATLAB prograı çıktıları...74 Tablo B.6: Örnek soru 6 için MATLAB prograı çıktıları...75 Tablo B.7: Örnek soru 6 için, kaynak ile sonuçların karşılaştırılası...76 Tablo B.8: Örnek soru 7 için MATLAB prograı çıktıları...77 Tablo B.9: Örnek soru 7 için, kaynak ile MATLAB sonuçların karşılaştırılası Tablo B.: Örnek soru 8 için MATLAB prograı çıktıları...79 Tablo B.: Örnek soru 8 için, kaynak ile sonuçların karşılaştırılası...8 Tablo D.: Levha için, sınır koşulları ve koşulların özfonksiyonları, nor fonksiyonları, özdeğerleri veren eşitlikler...89 vi

8 Tablo D.: Yarı sonsuz levha için, sınır koşulları ve koşulların özfonksiyonları, nor fonksiyonları...9 Tablo D.3: Yarı sonsuz levha için, sabit başlangıç sıcaklığı dağılıının olduğu ve dış orta sıcaklığının derece olduğu durular için genel çözüler...9 Tablo D.4: Silindir için, özfonksiyonlar, noralizasyon integralleri ve özdeğerlerin pozitif kökleri bulunduğu eşitlikler...99 Tablo D.5: Küre için hoojen sınır koşullarında özfonksiyonlar, noralizasyon integralleri ve özdeğerlerin köklerinin bulunduğu eşitlikler... vii

9 ŞEKİL LİSTESİ Şekil.: Levha için erkez sıcaklıların okunduğu Heisler grafiği... Şekil.: Heisler in silindir için erkez sıcaklığını veren grafiğinin sol-üst köşesi...3 Şekil.3: Heisler in levha için veriş olduğu düzelte grafiğinin sağ-üst köşesi....3 Şekil.4: Levha için verilen MATLAB sonuçları ile çiziliş erkez sıcaklıkları grafiklerinin üzerinde, seri açılıın ilk teriinin gösterilesi...4 Şekil.5: Levha için Heisler grafiği üzerinde Capo sonuçlarının gösterilesi..6 Şekil.6: Heisler erkez sıcaklığı grafiği üzerinde /Bi=.8 için Capo eğrisinin karşılaştırılası...7 Şekil.: HeislerSlab fonksiyonu ile üretilen, levha için Heisler in erkez sıcaklığı grafiği...6 Şekil.: HeislerCylinder fonksiyonu ile üretilen, silindir için Heisler in erkez sıcaklığı grafiği...7 Şekil.3: HeislerSphere fonksiyonu ile üretilen, silindir için Heisler in erkez sıcaklığı grafiği...7 Şekil.4: MATLAB fonksiyonları ile üretilen levha için Heisler düzelte grafiği...8 Şekil.5: MATLAB fonksiyonları ile üretilen silindir için Heisler düzelte grafiği...9 Şekil.6: MATLAB fonksiyonları ile üretilen küre için Heisler düzelte grafiği....9 Şekil 3.: Yapılan eğri yaklaştırasında izlenen yol... Şekil 3.: /Bi ile C ve C katsayılarının ilişkisi ve eğri yaklaştıra sonucu... Şekil 3.3: İkinci regresyon ile hataların büyük ölçüde küçültülesi...4 Şekil 3.4: Levha için yaklaştırılan eğrinin yüzde hatası...5 Şekil 3.5: Silindir için yaklaştırılış eğrinin yüzde hatası...7 Şekil 3.6: Küre için yaklaştırılış eğrinin yüzde hatası...8 Şekil 4.: Geliştirilen web bileşenlerinin listelendiği ana sayfa...33 Şekil 4.: Zaan ile sıcaklık dağılıının değişiini gösteren arayüzün kullanıı...34 Şekil 4.3: Web arayüzünden tek boyutlu levha hesabı, veri giriş ekranı...35 Şekil 4.4: Web arayüzünde tek boyutlu levha hesabı sonuçları...35 Şekil 4.5: Web arayüzünden iki boyutlu levha hesabı, veri giriş ekranı...37 Şekil 4.6: İki boyutlu levha hesabı arayüzünde, sınır koşullarının değiştirilesi Şekil 4.7: Web arayüzünde iki boyutlu levha hesabı sonuçları...38 Şekil 4.8: Web arayüzünden üç boyutlu levha hesabı, veri giriş ekranı...39 Şekil 4.9: Web arayüzünde üç boyutlu levha hesabı sonuçları...39 Şekil 4.: Web arayüzünden yarı-sonsuz levha hesabı, veri giriş ekranı...4 Şekil 4.: Web arayüzünden yarı-sonsuz levha hesabı sonuçları...4 Şekil 4.: Web arayüzünden silindir hesabı, veri giriş ekranı...4 Şekil 4.3: Web arayüzünden silindir hesabı sonuçları...4 viii

10 Şekil 4.4: Web arayüzünden küre hesabı, veri giriş ekranı...43 Şekil 4.5: Web arayüzünden küre hesabı sonuçları...44 Şekil 4.6: Web arayüzünden levha için Heisler grafiğinin hassasiyetle okunası...45 Şekil 4.7: Web arayüzünden silindir için Heisler grafiğinin hassasiyetle okunası...46 Şekil 4.8: Web arayüzünden küre için Heisler grafiğinin hassasiyetle okunası Şekil 4.9: Web arayüzünden okunan değerlerin hesaplaalarla karşılaştırılası Şekil A.: J. H. Lienhard ve J. H. Lienhard, Gröber grafikleri...53 Şekil A.: A. Bejan (sf. 6), Heisler erkez sıcaklık grafiği (levha)...54 Şekil A.3: A. Bejan (sf. 6), Heisler düzelte grafiği (levha)...54 Şekil A.4: A. Bejan (sf. 6), Gröber grafikleri (levha)...54 Şekil A.5: A. Bejan (sf. 65), Heisler erkez sıcaklık grafiği (silindir)...55 Şekil A.6: A. Bejan (sf. 66), Heisler düzelte grafiği (silindir)...55 Şekil A.7: A. Bejan (sf. 66), Gröber grafiği (silindir)...55 Şekil A.8: A. Bejan (sf. 68), Heisler erkez sıcaklık grafiği (küre)...56 Şekil A.9: A. Bejan (sf. 69), Heisler düzelte grafiği (küre)...56 Şekil A.: A. Bejan (sf. 69), Gröber grafiği (küre)...56 Şekil A.: J. P. Holan (sf. 83), Heisler erkez sıcaklığı grafiği (levha)...57 Şekil A.: J. P. Holan (sf. 84), Heisler erkez sıcaklığı grafiği (silindir)...57 Şekil A.3: J. P. Holan (sf. 85), Heisler erkez sıcaklığı grafiği (küre)...57 Şekil A.4: J. P. Holan (sf. 86), Heisler düzelte grafiği (levha)...58 Şekil A.5: J. P. Holan (sf. 87), Heisler düzelte grafiği (silindir)...58 Şekil A.6: J. P. Holan (sf. 88), Heisler düzelte grafiği (küre)...58 Şekil A.7: J. P. Holan (sf. 9), Gröber grafiği (levha)...58 Şekil A.8: J. P. Holan (sf. 9), Gröber grafiği (silindir)...59 Şekil A.9: J. P. Holan (sf. 9), Gröber grafiği (küre)...59 Şekil A.: L. M. Jacob (sf. 85), Heisler erkez sıcaklığı grafiği (levha)...59 Şekil A.: L. M. Jacob (sf. 86), Heisler erkez sıcaklığı grafiği (silindir)...59 Şekil A.: L. M. Jacob (sf. 87), Heisler erkez sıcaklığı grafiği (küre)...6 Şekil A.3: L. M. Jacob (sf. 88), Heisler düzelte grafiği (levha)...6 Şekil A.4: L. M. Jacob (sf. 89), Heisler düzelte grafiği (silindir)...6 Şekil A.5: L. M. Jacob (sf. 9), Heisler düzelte grafiği (küre)...6 Şekil A.6: S. Kakaç (sf. 74), Heisler erkez sıcaklığı grafiği (levha)...6 Şekil A.7: S. Kakaç (sf. 75), Heisler düzelte grafiği (levha)...6 Şekil A.8: S. Kakaç (sf. 75), Gröber grafiği (levha)...6 Şekil A.9: S. Kakaç (sf. 76), Heisler erkez sıcaklığı grafiği (silindir)...6 Şekil A.3: S. Kakaç (sf. 77), Heisler düzelte grafiği (silindir)...6 Şekil A.3: S. Kakaç (sf. 77), Gröber grafiği (silindir)...6 Şekil A.3: S. Kakaç (sf. 78), Heisler erkez sıcaklığı grafiği (küre)...63 Şekil A.33: S. Kakaç (sf. 79), Heisler düzelte grafiği (küre)...63 Şekil A.34: S. Kakaç (sf. 79), Gröber grafiği (küre)...63 Şekil A.35: Pitts, D.R. ve Sisso, L.E. (sf. 8), Heisler erkez grafiği (levha).64 Şekil A.36: Pitts, D.R. ve Sisso, L.E. (sf. 8), Heisler düzelte grafiği (levha) Şekil A.37: Pitts, D.R. ve Sisso, L.E. (sf. 8), Gröber grafiği (levha)...65 Şekil A.38: Pitts, D.R. ve Sisso, L.E. (sf. 8), Heisler erkez grafiği (silindir) ix

11 Şekil A.39: Pitts, D.R. ve Sisso, L.E. (sf. 83), Heisler düzelte grafiği (silindir)...66 Şekil A.4: Pitts, D.R. ve Sisso, L.E. (sf. 8), Gröber grafiği (silindir)...66 Şekil A.4: Pitts, D.R. ve Sisso, L.E. (sf. 83), Heisler in erkez grafiği (küre) Şekil A.4: Pitts, D.R. ve Sisso, L.E. (sf. 84), Heisler düzelte grafiği (küre) Şekil A.43: Pitts, D.R. ve Sisso, L.E. (sf. 84), Gröber grafiği (küre)...68 Şekil D.: Levha içinde, ısı iletii...86 Şekil D.: Yarı sonsuz levha için gösteri...9 Şekil D.3: İki boyutlu ısı aktarıının değişik sınır koşulları ile gösterii...93 Şekil D.4: Silindirik koordinatlarda, sıcaklık dağılıının r ve t nin fonksiyonu olduğu, üçüncü tip sınır koşuluna sahip problein gösterilesi...98 Şekil D.5: Küresel koordinatlarda, sıcaklık dağılıının r ve t nin fonksiyonu olduğu, üçüncü tip sınır koşuluna sahip problein gösterilesi... Şekil E.: Tekrar çiziliş erkez sıcaklığı grafiği (levha)...4 Şekil E.: Tekrar çiziliş erkez sıcaklığı grafiği (silindir)...5 Şekil E.3: Tekrar çiziliş erkez sıcaklığı grafiği (küre)...6 x

12 SEMBOL LİSTESİ q : Isı iletii iktarı [ J / s, W ] q : Biri alanda gerçekleşen ısı iletii iktarı [ J / s, W / ] k : Isıl ileti katsayısı [ W / K ] h : Isıl taşını katsayısı [ W / K] H : Isıl taşını/ileti oranı[ / ] A : Alan [ ] T : Sıcaklık [ K ] T : Duvar sıcaklığı [ K ] w T : Dış orta sıcaklığı [ K ] T s : Sınırın tutulduğu sabit sıcaklık [ K ] x : x eksenine göre verilen bir koordinatı tesil eder. [ ] r : Silindirik veya küresel koordinatlarda, erkezden uzaklık [ ] α : Isıl yayını [ / s] 3 ρ : Malzeenin yoğunluğu [ kg / ] C p : Malzeenin ısı sığası [ J / kgk] t : Zaan [ s ] S n h i i i k i X θ θ i Bi τ β γ η : i ile nuaralandırılış sınır yüzeyi. : i ile nuaralandırılış sınır yüzeyindeki noral vektörü. : i ile nuaralandırılış sınır yüzeyindeki ısı taşını katsayısı. : i ile nuaralandırılış sınır yüzeyindeki ısı iletii katsayısı. : Boyutsuz uzunluk. : Boyutsuz sıcaklık, küresel ve silindirik koordinatlarda açı. : İlk durudaki boyutsuz sıcaklık. : Biot sayısı. : Fourier sayısı, boyutsuz zaan. : Değişkenlere ayrı sabiti, x düzlei için. : Değişkenlere ayrı sabiti, y düzlei için. : Değişkenlere ayrı sabiti, z düzlei için. L : Tek boyutlu levhada uzunluk [ ] a : İki veya üç boyutlu levhada x yönündeki uzunluk [ ] b : İki veya üç boyutlu levhada y yönündeki uzunluk [ ] c : Üç boyutlu levhada z yönündeki uzunluk [ ] Γ ( t) : Değişkenlere ayrıda, zaan fonksiyonu ( x) X : Değişkenlere ayrıda, x yönündeki ekan fonksiyonu Y ( y) : Değişkenlere ayrıda, y yönündeki ekan fonksiyonu Z z : Değişkenlere ayrıda, z yönündeki ekan fonksiyonu ( ) xi

13 c n : Tek boyutlu ısı aktarıı probleinde integral sabiti c : İki boyutlu ısı aktarıı probleinde integral sabiti c : Üç boyutlu ısı aktarıı probleinde integral sabiti np R A, C B B : Regresyonun korelasyon katsayısı : Seri açılıın birinci terii için yapılan yaklaştırıda katsayılar xii

14 ZAMANA BAĞLI ISI AKTARIMI PROBLEMİNİN GRAFİK ÇÖZÜMÜ ÖZET Zaana bağlı çok boyutlu ısı aktarıı probleinin geniş uygulaa alanları bulunakta olup, kaynaklarda söz konusu problein analitik ve sayısal çözü yöntelerine erişilebilektedir. Bununla birlikte, çözü yöntelerinin uygulanası için türevli denkleler ve sayısal yönteler ile ilgili teel bilgilerin çok iyi bilinesi gerekektedir. Bu konulara lisans seviyesinde yeterince yoğunlaşılaadığından dolayı, genelde ara çözü olarak basit eşitliklerin kullanılası ya da grafik okua (Heisler grafikleri) ile zaana bağlı ısı aktarıı problelerinin çözüü yapılaktadır. Bu çalışada zaana bağlı ısı aktarıı probleinin çözüü, değişkenlerine ayıra yöntei ile farklı geoetrilerde ve boyutlarda irdeleniştir. Söz konusu yönte, dört teel geoetri (levha, yarı sonsuz levha, silindir, küre) için kullanılış, üç tip sınır koşulu için yüksek hassasiyetle sonuçlar üreten fonksiyonlar sayısal analiz prograında kodlanıştır. Literatürde takip edilen ısı aktarıı dersi kitaplarında önerilen grafik çözü (Heisler ve Gröber grafikleri) tartışılarak, hataya açık noktaların altı çiziliştir. Literatürde sunulan çözü yöntelerine alternatif olabilecek yönteler veya uygulaaların geliştirilesi hedefleniştir. Bu aaçla, sayısal analiz prograı (MATLAB) içerisinde tanılanan, fonksiyonlar kullanılarak 947 yılında Heisler tarafından seri açılıının sadece ilk terii alınarak hesaplanış olan Heisler grafiklerini daha doğru bir şekilde, yüksek hassasiyetle tekrar oluşturacak progralar geliştiriliştir. Yapılan çalışaya ek olarak, geliştirilen fonksiyonlarla hesaplanan sonuçların, literatürde yaygın kullanılan ders kitaplarında bulunan örnek soru çözülerinin sonuçları ile bir karşılaştırılası veriliştir. Bu karşılaştıralarda, grafik okua yöntei ile yapılan çözülerde % lere varan hatalar yapıldığı görülüştür. Literatürde, analitik hesaplaaları daha kolay bir şekilde yapayı hedefleyen çalışalar taranış ve daha doğru sonuçlar veren bir eğri yaklaştırılası üzerinde çalışılıştır. R > olacak bir hassasiyetle eğri yaklaştırılası yapılış, her bir geoetri için katsayılar hesaplanıştır. Sayısal analiz prograında geliştirilen bu fonksiyonlara erişii ve bu fonksiyonların kullanıını arttırak için, Web arayüzü tasarlanıştır. PHP 5. destekli, Apache. HTTPD sunucusu üzerinde MATLAB Web Server çalıştırarak hesaplar çevriiçi ulaşılabilir hale getiriliştir. Heisler grafiklerinden direkt okua yapabilecek bir Web sayfası da hazırlanış, grafik okualarında yapılan hataları gösterebilek için, grafikten okunan değerlerin gerçek değerlerle karşılaştırılası yapılıştır. Aynı karşılaştırada yaklaştırılan eğrinin sonuçları da veriliş, öneriliş olan, kolay hesaplanabilir eğrinin sonuçlarının doğruluğu kullanıcıya sunuluştur. xiii

15 GRAPHICAL SOLUTION OF THE TRANSIENT HEAT TRANSFER PROBLEM SUMMARY Tie-dependent ulti diensional heat transfer proble has any applications in alost every science. In literature, both analytical and nuerical solutions to the proble can be found. Moreover, in order to apply these solution ethods, fundaentals of differential equations and nuerical ethods ust be well known. These topics are not covered deep enough in undergraduate level of education, so that, alternative solutions such as reading values fro charts (Heisler charts) are introduced to achieve the solutions of the tie-dependent heat transfer probles. In this study, solution to the proble of transient heat transfer is explicated. Solutions of the heat transfer equation are analyzed with respect to different geoetries. Separation of variables ethod out of other ethods for solving heat transfer proble is developed for four ain geoetries (slab, sei-infinite slab, cylinder, and sphere) and for three of the boundary conditions; functions are coded in nuerical analysis tool which will solve probles with high precision. Coonness of the usage of the Heisler and Gröber charts in the literature is entioned. Main probles in using graphic solution which are being followed by alost every textbook of heat transfer are discussed and error causing points are highlighted. Alternative ethods or applications to the ones in the literature are being researched by this study. Functions which analytically solve heat equation are developed in nuerical analysis tool (MATLAB). Furtherore, progras that will ore accurately regenerate the charts of Heisler, with high-precision, which was drawn in 947 with only one-ter of the series expansion, were developed. In addition to the study, coparison of the results of the functions developed in nuerical analysis tool and the results of the exaples of the coon textbooks of heat transfer in literature is given. In this coparison it was seen that solutions with chart reading have errors up to %. Studies intending to overcoe the difficulties of the calculating analytical solutions of the heat equation are scanned in the literature and a curve fitting for a better representative function is searched. Curves for all three of the geoetries are fit with R, which is no less than In order to iprove the access to the functions which are developed in nuerical analysis tool and to increase the usage, a sall web site is coded. By running MATLAB Web Server on an Apache. HTTPD server with PHP 5., results of this study are ade available online. A Web odule for reading accurate data fro Heisler charts were coded and values extracted by that tool are copared to the real values in order to express the errors ade during chart reading. On the sae coparison, results of the fitted curve is given, so that, user could interactively see and check the accuracy of the fit. xiv

16 GİRİŞ. ÇALIŞMANIN AMACI Literatürde yaygın olarak kullanılan ders kitaplarında, zaana bağlı ısı aktarıı probleinin çözüü için Heisler grafiklerinden okua yapılarak çözüün elde edilesi tarif edilektedir. Söz konusu grafikler Heisler tarafından 947 de hazırlanıştır []. Bu çalışada başlangıçta hoojen sıcaklık dağılıına sahip olan üç teel geoetri (levha, silindir ve küre) için, orta nokta sıcaklığını ve diğer kalınlıktaki sıcaklıkların bu sıcaklığa oranını gösteren grafikler oluşturuştur. H. Gröber ve arkadaşları, 96 de Heisler in grafiklerini taalar nitelikte, topla ısı aktarıı iktarını gösteren grafikleri ile ilgili çalışalarını yapışlardır []. Bu noktadan itibaren, heen her ısı aktarıı dersi kitabında bu grafiklere yer veriliştir. Örgün eğitide sıkça kullanılan ders kitaplarından örnek sayfalar, Ek-A ile veriliştir. Bu kitaplarda hesaplaaların güçlüğünü ortadan kaldırak için, öğrenciler grafiklerin kullanıına sevk edilektedir. Fourier sayısı, uzunluk L boyunca, biri hacide gerçekleşen ısı iletiinin, aynı hacide depolanan ısı iktarına oranını ifade eden boyutsuz bir değişkendir. Biot sayısı ise, katı alzeenin yüzeyindeki ısı aktarıı katsayısının, katının içindeki, uzunluğu L boyunca iletiine oranıdır. Isı aktarıı problelerinin çözüü için Biot ve Fourier sayısı ile okua yapılan Heisler in orta nokta sıcaklık grafiklerinden (Heisler in. grafikleri olarak da anılır) görsel bir interpolasyonla, önce orta nokta sıcaklığının bulunası salık verilektedir. Ardından istenilen kalınlıktaki sıcaklık için, Heisler in düzelte grafiklerinden (Heisler in. grafikleri olarak da anılır), yine görsel interpolasyonla okua yapılası gerekektedir. İstendiği takdirde, topla ısı aktarıı iktarı için de Gröber in topla ısı aktarıı grafiklerinden yararlanılası tavsiye edilektedir. Sözü edilen yönte, birçok açıdan hatalara açık bir yöntedir. Bu çalışada hataların önei ve giderilesi için çözü önerileri sunulacaktır.

17 . YAPILMAKTA OLAN HATALAR.. Görsel İnterpolasyonun Zorluğu Heisler ve Gröber grafikleri, kısıtlı Biot, kısıtlı Fourier ve kısıtlı derinlikler için sonuç verektedir. Şekil. ile gösterildiği üzere, bazı Biot sayıları için çiziler yapılabiliştir. Gerçek hayatta karşılaşılan probleler ise seçilerek çizilen bu noktalar ile aynı olaaktadır. Bu duruda interpolasyon yapılası gerekektedir. Değerlerin sayısal bir tabloda verileiş olası ile bu interpolasyon, görsel bir interpolasyon halini alaktadır. Bu ise hatalara oldukça açık bir durudur. Söz konusu hatanın yapıldığı çözülü örnek sorular, Ek B bölüünde veriliştir. Şekil.: Levha için erkez sıcaklıların okunduğu Heisler grafiği.. Düzenleniş Lineer-Log Grafiklerinden İnterpolasyon İle Veri Okuak Heisler in erkez sıcaklığının okunduğu grafiğin y ekseni logaritik olarak veriliştir. X ekseni ise belirli noktalarda alınan aralıklarla lineer olarak düzenleniştir. Bu noktalar, levha için: [,4,3,5,75 ] silindir için: [,4,3,5,35 ] ve küre için: [,3,,5,5 ] olaktadır. Verilen bu noktalar arasındaki kısılar lineer ölçekle çiziliş, parçalar da yan yana getirilerek Heisler in. grafikleri oluşturuluştur. Heisler in düzelte grafiklerinin ve Gröber in topla ısı aktarıı iktarı grafiklerinin eksenleri ise logaritik ve lineer olarak veriliştir. Bu tip eksenleri olan grafikler üzerinde lineer bir interpolasyon yapılırken, yapılacak hatanın iktarı da artaktadır.

18 ..3 Grafiklerin Çizgilerinin Yoğunlaştığı Bölgeler Heisler grafiklerinin belli bölgelerinde çizgilerin yoğunlaşası ve birbirine çok yaklaşası söz konusu olakta ve bölgelerde okua yapak daha da zor hale gelektedir. Heisler in erkez sıcaklıklarını veren tabloları, sol-üst köşelerinde Şekil. de gösterildiği gibi bir sıklıklaşa olaktadır. Aynı şekilde, Şekil.3 te verildiği gibi, Heisler in düzelte grafiklerinin sağ-üst köşesinde yoğunlaşa gözlenektedir. Şekil.: Heisler in silindir için erkez sıcaklığını veren grafiğinin sol-üst köşesi Şekil.3: Heisler in levha için veriş olduğu düzelte grafiğinin sağ-üst köşesi..4 Grafik Verilerindeki Hata Heisler in erkez nokta sıcaklığı grafikleri üretilirken, grafiklerde verilen / Bi değerleri için, sadece belli noktalarda seriye açılıın birinci terii hesaplanış, daha sonra bu noktaları lineer olarak birleştiriştir. Bu noktalar, levha için: [,4,3,5,75 ] silindir için: [,4,3,5,35 ] ve küre için: [,3,,5,5 ] olaktadır. Kesiklikler, Şekil. te kolaylıkla görülebilektedir. Gerçekte ise, seriye açılıın birinci teriinin eğrileri, Heisler erkez sıcaklıklarının gösterildiği grafiklerde verilen düz çizgilerin üstünde seyretektedir. Burada, silindir için verilen Şekil.4 te görüldüğü gibi, özellikle Fourier sayısı τ < bölgesinde oldukça yüksek hatalar yapılaktadır. 3

19 avi: lineer birlestirilis, kirizi: ilk terie acilis seri Levha - θ Fourier Sayisi τ Şekil.4: Levha için verilen MATLAB sonuçları ile çiziliş erkez sıcaklıkları grafiklerinin üzerinde, seri açılıın ilk teriinin gösterilesi..5 Serinin Sadece İlk Terii Alınarak Yapılan Hatalar Değişkenlere ayıra yöntei ile bulunan seri açılıı, sonsuza uzanan toplalar şeklinde verilektedir. Bu seri açılıının ilk terii alınarak her ne kadar gerçek değere yakın bir sonuç elde edilse de daha hassas sonuçlara ulaşak ükündür. Bu çalışada seri açılıında alınacak teri iktarı paraetrik yapılıştır...6 Boyutsuz Zaanın Önkoşulu Heisler grafiklerinin sonuç verebilesi için, Fourier sayısı olarak da verilen boyutsuz zaanın, τ >. olası gerekektedir. Çünkü (..5) başlığında anlatılan hatalar, bu koşul sağlanadığında oldukça büyüektedir. Bu sebeple literatürde, Heisler grafikleri kullanıladan önce bu kriter kontrol edilektedir. Grigull ve Sandner [3] söz konusu önkoşulun aslında levha için τ >. 4, silindir için τ >. ve küre için τ >.8 olduğunu, fakat ders kitaplarının, bir çeşit ortalaa alarak, τ >. kontrolüne yer verdiğini belirtektedir. Yapılan bu çalışada ise, serinin istenilen eleanına kadar açılı yapak ükün olduğundan, bahsedilen bu kısıt geçerli olaaktadır. 4

20 .3 ALTERNATİF YÖNTEMLER Literatürde, Heisler grafikleri üretilirken kullanılan analitik çözüün seri açılıının ilk teriini hesaplaak ve böylece Heisler grafiklerinden veri okuanın güçlüğünü aşak üzere verilen yöntelere rastlaak ükündür. Isı aktarıının birçok ders kitabının ekler bölüünde, üç teel geoetri için, seri açılıın birinci teriini hesaplayabilek için veriliş eşitlikler bulunaktadır. Eşitliklerin çalışabilesi için, Heisler grafiklerinde olduğu gibi, τ >. koşulu gerekektedir. Bu koşul sağlanadığı durularda seri açılıının ilk teriini alak, kabul edileez seviyelerde hataya sebebiyet verecektir. Fourier sayısının. den büyük olası duruunda, seri açılıın ilk teriini alak % den küçük hatalara yol açacaktır. Söz konusu eşitliklerin geçerli olabilesi için yine, başlangıç koşulu olarak hoojen sıcaklık dağılıı sağlanalıdır. Seri açılıının ilk terii alınıyor olsa dahi, hesaplanası gereken teri, yine ağır bir ateatik gerektirektedir. Lisans seviyesindeki ühendislere yönelik yazılış ders kitaplarında ise, kolaylık olası adına, öğrencinin değerler okuyabileceği tablolar verilektedir. Bu tablolarda aşkın (transdantal) denklelerin belli noktalardaki kökleri ve silindir hesaplarında ortaya çıkan birinci ve ikinci Bessel fonksiyonlarının bazı seçiliş noktalardaki değerleri verilektedir. Çözülen soruda geçerli olan değerler, tablolarda verilen değerlerle aynı olaası duruunda, tablolar üzerindeki verilerden interpolasyon yapılarak çözüe gidilektedir. Böylece Heisler grafiklerinde ortaya çıkan hatalara açık yönler tekrar gündee gelektedir. Bu çalışada, yapılış olan eğri uydura çalışasının sonuçları ile bahsedilen yöntele hesaplanan değerlerin bir karşılaştırası Bölü 3 te verilektedir..4 LİTERATÜRDEKİ BENZER ÇALIŞMALAR Wiggins grafiklerden okuanın yerini alası için, 987 yılında bilgisayarlı çözü teknikleri geliştiriştir [4]. Geliştirdiği yönte ile grafiklerden yüksek hassasiyetle veri okua probleinin önüne geçiştir. Heisler in çalışasında olduğu gibi üç standart geoetrinin (levha, silindir ve küre) analizini yapış, seri açılıının ilk eleanını alıştır. 5

21 Wiggins, bundan bir sene sonra, 988 de, aynı çalışasını geliştiriş, söz konusu üç standart geoetri için üretiş olduğu bilgisayar progralarının sonuç vere sürelerini yüksek oranda düşürecek iyileştirelere gitiştir [5]. Bu çalışada daha yüksek hassasiyetli hesaplar verilektedir. Seri açılıının kaç teriinin alınacağı, üretilen ateatik analiz prograında paraetrik yapılakla birlikte, çalışa içerisinde geçen sayısal sonuçlarda seri açılılarının, aksi söylenediği takdirde, en az on terii hesaba dâhil ediliştir. Capo tarafından yapılış başka bir çalışada, Heisler grafiklerinden okua yapılarak yapılan çözülerin güçlüğünden ve hatalara açık olasından bahsediliş ve alternatif bir çözü önerisi ortaya konuştur [6]. Ortaya konan çözüde, Heisler grafiklerinden okua yapak yerine, ısı aktarıı probleinin değişkenlere ayrı yöntei ile çözüüyle ortaya çıkan seri açılıının ilk teriini hesaplaayı kolaylaştıracak bir eşitlik bulaya çalışılıştır. Yapılan çalışa sonucunda her bir geoetri için hesaplaalarda kullanılacak bir fonksiyon eşleşesi tablosu veriliştir. Bu fonksiyonların içerdiği katsayılar için ise, eğri yaklaştıra yöntei kullanılarak değerler bulunuştur. Değerler bulunurken en az r =. 998 değeri ile çok yüksek bir korelasyon katsayısı gözleleniştir. Heisler grafikleri ile Capo nun sonuçlarının eğrileri üst üste yerleştirildiğinde, Şekil.5 de verildiği gibi, genel bir tutarlılık görülektedir. Fakat Şekil.6 ya yakından bakıldığında, eğri yaklaştıranın doğası gereği, bir iktar hata bulunaktadır. Heisler Grafiği Üzerinde Capo nun yaklaştırıının gösterilesi red:heisler, blue: Capo curve --- Heisler in Çizdiği --- Capo nun yaklaştırıı θ τ Şekil.5: Levha için Heisler grafiği üzerinde Capo sonuçlarının gösterilesi 6

22 θ Şekil.6: Heisler erkez sıcaklığı grafiği üzerinde /Bi=.8 için Capo eğrisinin karşılaştırılası τ Capo nun yapış olduğu çalışa sonuçlarında, her bir geoetri için farklı forül veriliş, kullanıcı öncelikle bir tablodan hesaplaası gereken fonksiyona bakaya ve ardından başka bir tablodan ilgili katsayıları okuyarak değer bulaya yönlendiriliştir. Eğri yaklaştıra çalışaları da birinci teri açılıına yapılıştır. Bu yaklaşılar Capo nun yaptığı çalışanın zayıf noktalarıdır. 7

23 SAYISAL ANALİZ PROGRAMINDA GELİŞTİRMELER MATLAB[7] prograında üretilen tü fonksiyonlar ve progralar, bu çalışaya ek bir CD ile verilektedir.. ZAMANA BAĞLI ISI AKTARIMI PROBLEMİ İçinde ısı üretii olayan, hoojen bir katı addenin zaana bağlı ısı iletiini ifade eden bir türevli denkle şu şekilde tanılanaktadır: T ( r, t) T = α t ( r, t) Bu denklein çözülebilesi için sınır koşulları ve başlangıç duruu bilinelidir. Başlangıç koşulu, t = anında ortadaki sıcaklık dağılıını veren, r ye bağlı bir fonksiyondur. Sınır koşulları ise, t > iken, ortaın sınırlarının aruz kaldığı ısıl duruları ifade eder. Bunlar yüzeyin belli bir sıcaklık dağılıına sahip olası, yüzeyde belli bir ısı akışının gerçekleşesi veya belli bir sıcaklıktaki ortaa ısı geçesi olabilir. Bahsedilen bu durular, sırasıyla birinci tür sınır koşulu (Dirichlet), ikinci tür sınır koşulu (Neuann) ve üçüncü tür sınır koşulu (Cauchy) olaktadır. Çözüün kolaylaştırılası için, boyutsuz değişkenler tanılanaktadır. Bunlardan en önelileri, ısı akışının odeli hakkında fikir veren, Biot ve Fourier sayıları olaktadır. Fourier sayısı, uzunluk L boyunca, biri hacide gerçekleşen ısı iletiinin, aynı hacide depolanan ısı iktarına oranını ifade eden boyutsuz bir değişkendir. Fourier sayısı arttıkça, ısı, katı addenin içinde daha derine nüfuz edecektir. Biot sayısı ise, katı alzeenin yüzeyindeki ısı aktarıı katsayısının, katının içindeki, uzunluğu L boyunca iletiine oranıdır. Biot sayısı arttıkça, yüzeydeki ısı geçişinin, katı addenin içerisine nüfuz ete süresi artaktadır. Isı aktarıı çeşitlerinden, sınır koşullarından ve boyutsuz değişkenlerden, Ek-C de daha detaylı bahsediliştir.. 8

24 . ISI AKTARIMI PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİ Isı aktarıı probleinin çözüü için birden çok yönte ortaya atılıştır. Bunlardan biri integral dönüşü tekniği olup, he hoojen he hoojen olayan sınır koşullarında uygulanabilektedir. Geçici haller içeren problelerde ise, Laplace Dönüşü tekniği kullanılaktadır. Zaana bağlı olan geçici hal terii, dönüşü yapıldığında düşektedir. Analitik yaklaşı yönteleri, bir diğer çözü yaklaşııdır. Karaşık geoetrili ve karaşık sınır koşullu problelerin çözüünde öne çıkaktadır. Fakat özel durular için geçerli olduğundan, bu yaklaşıın doğruluğu gerçek veriler ile karşılaştırıldığında ortaya çıkaktadır. Sayısal yönteler, ısı aktarıı problelerinin çözüünde sıklıkla uygulanaktadır. Sonlu farklar yöntei, oldukça başarılı sonuçlar verektedir. Ta çözüüne ulaşılaayan düzensiz sınır koşullarına veya değişken ısıl özelliklere sahip karaşık geoetrilerin yüksek doğrulukla odellenesini sağlaaktadır. Bu çalışada kullanılan değişkenlerine ayıra yöntei ise, çözü için ortaya atılış yöntelerin en eskilerindendir. Lineer ve hoojen sınır koşullu kısi türevli denkle için doğrudan sonuca götürür. Isı aktarıı problelerinin çözüü ile ilgili daha detaylı bilgiler, Ek-C de veriliştir..3 DEĞİŞKENLERİNE AYIRMA YÖNTEMİ İLE ÇÖZÜMLER x L aralığında sınır koşullar ve başlangıç değerleri, ( x, t) T ( x t) T =, x α t T x ( x, t) ( x, t) = < x < L t >. x = t >.3 T k + ht = x = L t >.4 x ( x) T = F x L t =.5 şeklinde verilen ısı aktarıı probleinin çözüü için, 9

25 T ( x t) = X ( x) Γ( t),.6 şeklinde bir değişkenlerine ayıra yapılaktadır. Ayıranın geçerli olabilesi için, her iki tarafı probleine dönüşektedir: β ye eşitleyerek çözü yapılır. Çözü böylelikle özdeğer T ( x, t) αβ t = e X N = ( β ) L ( β, x) X ( β, x ) F( x ) dx x = şeklinde bulunan genel çözü içerisinde yer verilen X (, x).7 β özfonksiyonları, β özdeğerleri, N( β ) noralizasyon integralini gösterektedir. Bu fonksiyonlar ve kökleri β leri veren eşitlikler, sınır koşullarına göre değişektedir. Ek-D bölüünde konu hakkında daha detaylı bilgi veriliştir..4 SORU ÇÖZÜMLERİ İÇİN DEĞER HESAPLAYAN FONKSİYONLAR.4. Levha İçin Fonksiyonlar.4.. Tek Boyutlu Levha (ctslabd) Levhada ısı aktarıı probleinin tek boyutta çözüü için, ctslabd fonksiyonu üretiliştir. Tablo. ile fonksiyona sağlanası gereken paraetreler ve sınır koşulu tiplerinin açıklaası veriliştir.

26 Tablo.: ctslabd fonksiyonu için paraetrelerin açıklaası >> help ctslabd calculates D teperature for Slab type - 9 Type : Boundary condition at x = : -dx/dx+hx= Boundary Condition at x = L : dx/dx+hx= All paraeters are used Type : Boundary condition at x = : -dx/dx+hx= Boundary Condition at x = L : dx/dx= H is ignored Type3: Boundary condition at x = : -dx/dx+hx= Boundary Condition at x = L : X= H is ignored Type4: Boundary condition at x = : dx/dx= Boundary Condition at x = L : dx/dx+hx= H is ignored Type5: Boundary condition at x = : dx/dx= Boundary Condition at x = L : dx/dx= H and H are ignored Type6: Boundary condition at x = : dx/dx= Boundary Condition at x = L : X= H and H are ignored Type7: Boundary condition at x = : X= Boundary Condition at x = L : dx/dx+hx= H is ignored Type8: Boundary condition at x = : X= Boundary Condition at x = L : dx/dx= H and H are ignored Type9: Boundary condition at x = : X= Boundary Condition at x = L : X= H and H are ignored usage: ctslabd(type,x,t,alpha,l,[h,h],f,n) type değişkeni ile, hangi sınır koşulu durularına sahip olduğu, x değişkeni ile, hangi kalınlıktaki sıcaklık hesaplanacağı, t değişkeni ile başlangıçtan ne kadar süre sonra sıcaklık hesaplanacağı, alpha ile alzeenin ısıl yayınıı, L ile alzeenin kalınlığı verilektedir. Ortaın ısıl taşını katsayısının ısıl iletkenlik katsayısına oranı H, H ve H olak üzere, her iki sınır için ayrı ayrı tanılanalıdır. Bazı sınır koşulu tiplerinde, H ve H nin veya her ikisinin kullanıladığı durular olabilektedir. Bu durular, Tablo. de açıklanıştır. F ile ilk duru sıcaklık dağılıının x in bir fonksiyonu olarak verilesi gerekektedir. Literatürdeki çalışalarda genel olarak hoojen T sıcaklık dağılıı içeren durular konu edilektedir. Heisler grafikleri de yalnızca bu duruda çalışaktadır. Fakat değişkenlere ayıra yönteinin bir önkoşulu olan, F ilk sıcaklık dağılıı fonksiyonunun ve türevinin < x < L boyunca parçalı sürekli olası sağlandığı sürece, ctslabd fonksiyonu doğru sonuçlar üretektedir. n ile sağlanan değişken ise, seriye açılıın kaç teriinin alınacağını belirten paraetredir. Literatürdeki soru çözülerinde çoğu zaan ilk teri alınarak hesap yapılakta veya yine tek teri

27 hesabı ile oluşturuluş Heisler grafiklerinden okua yapılaktadır. Fakat bu çalışada, hassasiyet bu paraetre ile ayarlanabilektedir..4.. İki Boyutlu Levha (ctslabd) Levhada ısı aktarıı probleinin iki boyutlu çözüü için, ctslabd fonksiyonu üretiliştir. Tablo. ile fonksiyona sağlanası gereken paraetreler veriliştir. Tablo.: ctslabd fonksiyonu için paraetrelerin açıklaası >> help ctslabd calculates D teperature for Slab type - 9 usage: ctslabd([typex,typey],[x,y],t,alpha,[a,b],[h,h,h3,h4],f(x,y),n) Tek boyutlu çözü için gerekli olan değerlerin bazıları çoğullanıştır. Örneğin iki tane type değişkeni girilelidir. Bunlardan ilki, x yönündeki, diğeri y yönündeki sınırların tiplerini belirtektedir. Bu tipler, tek boyutlu çözüdeki tiplerin aynısı olaktadır. Çoğullanan bir diğer paraetre ise ekân değişkenidir. İki boyutlu bir ortada ikili koordinatlar geçerli olduğu için sıcaklığın hesaplanası istenilen nokta, [ x, y] ile verilektedir. Cisin boyutlarını veren sınırlar da x ve y yönünde sırası ile [ a, b] olaktadır. Ek-D bölüünde, Şekil D.3 ile verilen gösteride olduğu gibi, dört sınır için, [, H, H H ] H şeklinde dört taşını ısı aktarı katsayısı / ileti ısı 3, 4 aktarı katsayısı oranı verilelidir. Başlangıç koşulunu veren F fonksiyonu iki değişkenli bir fonksiyon olaktadır. Literatürde, ilgili soru çözülerinde başlangıç koşulu olarak genellikle hoojen T sıcaklık dağılıı kabul edilse de, daha önce bahsedilen, ( x y) F, ve türevi için geçerli olan süreklilik kriterleri sağlandığı takdirde, ctslabd fonksiyonu herhangi bir başlangıç koşulu için çözü yapabilektedir Üç Boyutlu Levha (ctslabd) Levhada ısı aktarıı probleinin üç boyutlu çözüü için, ctslab3d fonksiyonu üretiliştir. Tablo.3 ile fonksiyona sağlanası gereken paraetreler veriliştir.

28 Tablo.3: ctslab3d fonksiyonu için paraetrelerin açıklaası >> help ctslab3d calculates 3D teperature for Slab type - 9 usage: ctslab3d([typex,typey,typez],[x,y,z],t,alpha,[a,b,c],[h,h,h3,h4,h5,h6],f(x,y,z),n) İki boyutlu çözüde geçerli olan çoğullaa işlei burada da söz konusudur. Burada üç tane type değişkeni girilelidir. Üçüncü tip, z yönündeki sınır koşullarını verektedir. Mekân değişkeni fonksiyona [ x y, z] ise [ a b, c], şeklinde sağlanalıdır. Sınırlar, şeklinde girilelidir. Üç boyutlu cisin altı yüzü için [, H, H, H, H H ] H taşını ısı aktarı katsayısı / ileti ısı aktarı katsayısı 3 4 5, 6 oranları verilelidir. Başlangıç koşulunu veren F fonksiyonu üç değişkenli bir fonksiyon olaktadır. Literatürde ilgili soru çözülerinde başlangıç koşulu olarak genellikle hoojen T sıcaklık dağılıı kabul edilektedir. Önceden bahsediliş olan, F ( x y, z), nin ve türevinin sağlaası gereken parçalı süreklilik kriterleri yerine geldiği takdirde, ctslab3d fonksiyonu herhangi bir başlangıç koşulu için çözü yapabilektedir..4. Yarı Sonsuz Levha İçin Fonksiyonlar (ctseislabd) Yarı sonsuz levhada ısı aktarıı probleinin çözüü için, ctseislabd fonksiyonu üretiliştir. Tablo.4 ile fonksiyona sağlanası gereken paraetreler ve fonksiyonun çözüünü yaptığı sınır koşulları veriliştir. Tablo.4: ctseislabd fonksiyonu için paraetrelerin açıklaası >> help ctseislabd calculates teperature for sphere type - 3 Type : Boundary condition at x = : dx/dx+hx= All paraeters are used Type : Boundary condition at x = : dx/dx=, constant q = H is ignored Type.5: Boundary condition at x = : dx/dx=q constant q is given instead of Tenv H is taken as k Type3: Boundary condition at x = : X= H is ignored usage: ctseislabd(type,x,t,alpha,h(h/k),tinit,tenv(q for type.5)) Bu soru tipi için tek sınır bulunakta ve bu sınır için üç tane sınır koşulu olaktadır. Fonksiyona sağlanası gereken paraetrelerden type sınır koşulunu, x sınırdan 3

29 itibaren derinliği, t başlangıç anından itibaren geçen süreyi, alpha alzeenin ısıl yayınıını, H ortaın taşını ısı aktarı katsayısının ısıl ileti katsayısına oranını, Tinit hoojen başlangıç sıcaklığını, Tenv orta sıcaklığını belirtektedir. Yüzeyin yalıtılış olduğu, ikinci tip sınır koşulu aslında sabit ısı akışının gerçekleştiği duruun q = olan, bir özel duruudur. Genel duru için, type =. 5 ile belirtilen çözü geliştiriliş ve fonksiyona dâhil ediliştir. Bu sınır koşulu için, H ile k, Tenv ile de sabit ısı akışı q verilektedir. Bu geoetrinin hesaplanabilir bir analitik çözüünü bulakta bir takı güçlükler vardır. Literatüre paralel olarak, ctseislabd fonksiyonu, Tinit hoojen başlangıç sıcaklığı olan durular için çözü verektedir..4.3 Silindir İçin Fonksiyonlar (ctcylinder) Silindirde ısı aktarıı probleinin çözüü için, ctcylinder fonksiyonu üretiliştir. Tablo.5 ile fonksiyona sağlanası gereken paraetreler ve fonksiyonun çözüünü yaptığı sınır koşulları veriliştir. Tablo.5: ctcylinder fonksiyonu için paraetrelerin açıklaası >> help ctcylinder calculates teperature for cylinder type - 3 Type : Boundary condition at r = R : dr/dr+hr= All paraeters are used Type : Boundary condition at r = R : dr/dr= H is ignored Type3: Boundary condition at r = R : R= H is ignored usage: ctcylinder(type,r,t,alpha,r,h,f,n) Bu soru tipi için tek sınır bulunakta ve bu sınır için üç tane sınır koşulu olaktadır. Fonksiyona sağlanası gereken paraetrelerden type sınır koşulu tipini, r erkezden yüzeye doğru olan kalınlığı, t başlangıçtan itibaren geçen süreyi, alpha alzeenin ısıl yayınıını, R silindirin yarıçapını, H ortaın ısıl taşınıı / alzeenin ısıl iletii oranını verektedir. F ilk durudaki sıcaklığı r nin bir fonksiyonu olarak veren başlangıç koşuludur. Ders kitaplarında, hoojen sıcaklık dağılıının olduğu ilk durular, yani ( ) F r = T olduğu durular inceleniştir. Heisler grafikleri de bu durular için oluşturuluştur. ctcylinder fonksiyonu, F ( r) 4

30 fonksiyonunun ve türevinin, < r < R içerisinde parçalı sürekli olduğu herhangi bir başlangıç koşulu için çözü verektedir..4.4 Küre İçin Fonksiyonlar (ctsphere) Kürede ısı aktarıı probleinin çözüü için, ctsphere fonksiyonu üretiliştir. Tablo.6 ile fonksiyona sağlanası gereken paraetreler ve fonksiyonun çözüünü yaptığı sınır koşulları veriliştir. Tablo.6: ctsphere fonksiyonu için paraetrelerin açıklaası >> help ctsphere calculates teperature for sphere type - 3 Type : Boundary condition at r = R : dr/dr+hr= All paraeters are used Type : Boundary condition at r = R : dr/dr= H is ignored Type3: Boundary condition at r = R : R= H is ignored usage: ctsphere(type,r,t,alpha,r,h,f,n) Bu soru tipi için tek sınır ve bu sınır için üç tane sınır koşulu bulunaktadır. Fonksiyona sağlanası gereken paraetrelerden type sınır koşulu tipini, r erkezden yüzeye doğru olan kalınlığı, t başlangıçtan itibaren geçen süreyi, alpha alzeenin ısıl yayınıını, R kürenin yarıçapını, H ortaın taşını ısı aktarı katsayısı / kürenin ısıl ileti katsayısı oranını verektedir. F ilk durudaki sıcaklığı r nin bir fonksiyonu olarak veren başlangıç koşuludur. Ders kitaplarında, hoojen sıcaklık dağılıın olduğu ilk durular, yani ( ) F r = T olduğu durular inceleniştir. Heisler grafikleri de bu durular için oluşturuluştur. ctsphere fonksiyonu, ( r) F fonksiyonunun ve türevinin, < r < R içerisinde parçalı sürekli olduğu herhangi bir başlangıç koşulu için çözü verektedir..5 GRAFİK HESAPLAYAN KODLAR.5. Heisler. Grafikleri Literatürde Heisler orta nokta grafikleri olarak da geçekte olan grafiklerin yüksek hassasiyet ile tekrar üretilesi için, Heisler grafiklerinde sunulan aralıkta, ctslabd, ctcylinder ve ctsphere fonksiyonlarını kullanarak grafikler üretiliştir. Üretilen bu 5

31 grafiklerin rahat okunabilesi için, Ek-E bölüünde her bir grafiğin daha büyük hallerine yer veriliştir..5.. Levha İçin Heisler Orta Nokta Grafikleri HeislerSlab fonksiyonu ile çizdirilektedir. Heisler grafikleri üzerinde verilen her bir / Bi değeri için çizi yapılaktadır. Fourier sayısı nı veren x ekseni [.,75] aralığındadır. Çizi Şekil. ile veriliştir. Heisler Merkez Sıcaklıkları, Levha - θ τ Şekil.: HeislerSlab fonksiyonu ile üretilen, levha için Heisler in erkez sıcaklığı grafiği.5.. Silindir İçin Heisler Orta Nokta Grafikleri HeislerCylinder fonksiyonu ile çizdirilektedir. Heisler grafikleri üzerinde verilen her bir / Bi değeri için çizi yapılaktadır. Fourier sayısı nı veren x ekseni [.,35 ] aralığındadır. Çizi, Şekil. ile veriliştir. 6

32 Heisler Merkez Sıcaklıkları, Silindir θ τ Şekil.: HeislerCylinder fonksiyonu ile üretilen, silindir için Heisler in erkez sıcaklığı grafiği.5..3 Küre İçin Heisler Orta Nokta Grafikleri HeislerSphere fonksiyonu ile çizdirilektedir. Heisler grafikleri üzerinde verilen her bir / Bi değeri için çizi yapılaktadır. Fourier sayısı nı veren x ekseni [.,5] aralığındadır. Çizi, Şekil.3 ile veriliştir. Heisler Merkez Sıcaklıkları, Küre θ τ Şekil.3: HeislerSphere fonksiyonu ile üretilen, silindir için Heisler in erkez sıcaklığı grafiği 7

33 .5. Heisler. Grafikleri Literatürde Heisler in düzelte grafikleri olarak da geçekte olan grafikler yüksek hassasiyet ile tekrar üretiliştir. Heisler in erkez sıcaklıklar grafiklerinden okua yapıldıktan sonra, söz konusu tablolar vasıtasıyla diğer kalınlıklardaki sıcaklıklar okunaktadır..5.. Levha İçin Heisler Düzelte Grafikleri Levha için Heisler düzelte grafiği, HeislerSlab fonksiyonu ile çizdirilektedir. Çiziliş olan grafik, Şekil.4 ile veriliştir. Şekil.4: MATLAB fonksiyonları ile üretilen levha için Heisler düzelte grafiği.5.. Silindir İçin Heisler Düzelte Grafikleri Silindir için Heisler düzelte grafiği HeislerCylinder fonksiyonu ile çizdirilektedir. Çiziliş olan grafik Şekil.5 ile veriliştir. 8

34 Şekil.5: MATLAB fonksiyonları ile üretilen silindir için Heisler düzelte grafiği.5..3 Küre İçin Heisler Düzelte Grafikleri Küre için düzelte grafiği HeislerSphere fonksiyonu ile çizdirilektedir. Çiziliş olan grafik Şekil.6 ile veriliştir. Şekil.6: MATLAB fonksiyonları ile üretilen küre için Heisler düzelte grafiği 9

35 3 EĞRİ YAKLAŞTIRMA ÇALIŞMALARI Bu çalışanın bir diğer aacı da, lisans seviyesindeki öğrencilerin kolaylıkla hesaplayabilecekleri ve en fazla Heisler grafiklerinden görsel interpolasyonla veri okuak kadar hataya neden olacak bir tesil fonksiyonu bulaktır. Söz konusu fonksiyonun olabildiğince basit olası hedefleniştir. Fakat tesil fonksiyonunun doğruluğunu arttıraya, bu hedeften daha fazla öne veriliştir. Eğri yaklaştıra çalışalarında veri olarak, MATLAB da geliştiriliş olan, ve n = teri ile hesap yapan fonksiyonlar ile veriler üretiliştir. Örnek veri olarak, her bir geoetri için yaklaşık 6 gözle ele alınıştır. Regresyonun doğruluğunu arttırak için; Heisler grafiğinin verilerine paralel bir şekilde, değişik / Bi ve τ değerleri için, θ değerleri hesaplanış, Heisler grafiklerinin ölçeği içerisinde kalaya dikkat ediliştir. Üretilen bu veriler ile doğrusal olayan regresyon analizi yapılış, analiz yapak için SPSS v5. [8] prograı kullanılıştır. Literatürdeki yaygın kullanıda uygulanabilir bir sonuç bulabilek hedefleniştir. Bu sebeple, θ ( Bi,τ ) şeklinde bir tesil fonksiyonu araştırılıştır. Böylece soru çözüü yapan öğrenci, Heisler grafikleri kullanırken okua yapacağı paraetreler ile tesil fonksiyonunu hesaplayacaktır. Heisler grafiklerinden veri okua sırasında karşılaşılan güçlüklerin bu şekilde aşılası hedefleniştir. Eğri yaklaştıra çalışasının akış diyagraı, Şekil 3. ile veriliştir.

36 Aaç Heisler grafiklerinden okua yaparken yapılan hatalardan daha küçük hatalar ile sonuç verecek bir eğri yaklaştırak. Verilerin Üretilesi Heisler grafiklerinin bulunduğu ölçekte, örneğin levha için < τ < 75 ve. < θ < aralıklarında veriler üretiliştir. / Bi değerleri olarak da Heisler grafiklerinde kullanılan değerler kullanılıştır. Her bir geoetri için yaklaşık 6 veri üçlüsü, seri açılıın. teriine kadar alınarak, yüksek hassasiyetle üretiliştir. Tesil Fonksiyonunun Tahini Heisler grafiklerinin taaına bakarak, bir tesil fonksiyonu tahinine başlaak güç. Bu yüzden veriler analiz ediliştir. Heisler grafiği üzerindeki her bir yapılıştır. / Bi ile çizilen eğri için, veri analizi Veri Analizi θ Bi = sabit, τ = C e tahini yapılıştır. Tahine regresyon C τ Her çizgi için ( ) yapılış, böylece her bir / Bi ye karşılık gelen katsayıları ile hesaplanıştır. Bu iki katsayının ilişkiyi gösterektedir. Tahin C C ve C ler çok yüksek korelasyon / Bi ile ilişkisi araştırılıştır. Şekil 3. bu [ ] c Şekil 3. in incelenesi ile, C + c ( Bi) + ( Bi c ) c [( Bi) + ( Bi c )] c * 3 = ve * = şeklinde olacak bir tesil fonksiyonu tahin ediliştir. Tesil Fonksiyonunun Doğruluğunun Kontrolü Verilen tesil fonksiyonunun tü veriyi nasıl açıkladığı araştırılıştır. 3 R yi en büyük yapacak regresyon SPSS prograında yapılış ve Tablo 3., Tablo 3. ve Tablo 3.3 ile verildiği gibi, yüksek korelasyonlu sonuçlar bulunuştur. İyileştire SPSS prograında iterasyon, standardına bağlı kalayarak, hatalar karelerini iniu yapacak şekilde değil de, yüzde bağıl hatayı iniu yapacak şekilde gerçekleştiriliştir. Böylelikle daha doğru sonuçlar veren katsayılara ulaşılıştır. İyileştire Sonuçlarının Kontrolü Son katsayılar ile tekrar standart regresyon yapılış, R > bulunuştur. Ayrıca her bir geoetri için % bağıl hatanın en büyük değeri u geçeektedir. Şekil 3.: Yapılan eğri yaklaştırasında izlenen yol

37 Eğri yaklaştıranın en zor yanlarından biri, uygun tesil fonksiyonunu tahin edebilektir. Tesil fonksiyonunun tahin edilesi iki aşaada Bi sabit, = C e Cτ gerçekleştiriliştir. Öncelikle, sabit Bi değerleri için, θ ( = τ ) eğrisini en az R = ile sağlayan C ve C katsayıları hesaplanıştır. Daha sonra bu katsayıların Bi ile olan ilişkisi araştırılıştır. Katsayılar ile Bi nin ilişkisini tahin etek için, her bir / Bi değeri için yapılan regresyonlar sonucunda oluşturulan Şekil 3. nin incelenesi gereklidir. Böylelikle C katsayısı için, C c = + ve c ( Bi) + ( Bi* c3 ) C c = şeklinde c ( Bi) + ( Bi* c3 ) bir yaklaştırı uygun olaktadır. Uygun bulunan bu yaklaştırada, c, c, c 3, c, c ve c 3 yaklaşı katsayıları olaktadır.,5, C -,5 - -,5 - -,5 /Bi c c pred_c pred_c Şekil 3.: /Bi ile C ve C katsayılarının ilişkisi ve eğri yaklaştıra sonucu Verilen forüllere dayanarak yapılan lineer olayan regresyon analizi ile bulunan sonuçlar ve yaklaştırılan eğri, Şekil 3. ile sunulaktadır. θ ( Bi,τ ) olarak hedefleniş olan forül,

38 θ ( Bi, τ ) c c = + *exp τ 3. c ( ) ( ) ( ) ( ) c Bi + Bi* c3 Bi + Bi* c 3 halini alaktadır. Korelasyonu arttırak için, (3.) denkleine uygun regresyon çalışası tekrar yapılarak, katsayılarda iyileştire yapılıştır. Katsayıların başlangıç değeri olarak, Tablo 3. ile gösterildiği üzere, ilk regresyonun sonuçları veriliştir. Tablo 3.: İkinci regresyonda iterasyon geçişi (b)(c)(d) İterasyon Sayısı (a) Paraetreler Hata Kareleri c c c3 c c c a Birincil iterasyon sayısı ondalığın solunda, ikincil iterasyon sayısı ise sağında gösteriliştir. b Hata karelerinin yakınsaası.e-8 değerinden küçük olduğu için iterasyon durdu, 37 odel ve 6 türev hesabı yapıldı. c Türevler sayısal olarak hesaplandı. d Değerler silindir için veriliş olup, katsayılar optiize ediliş son hali değildir. Tablo 3.: İkinci regresyon sonuçları, paraetrelerin tahini 95% Güven Aralığı Paraetre Tahin Standart S. Alt Sınır Üst Sınır c c c c c c Tablo 3.3: İkinci regresyon sonuçları, R (a) Kareler Kaynak Toplaı Frekans Karelerin Ort. Regresyon Kalan Düzeltileiş Topla Düzeltiliş Topla Bağılı değişken: theta a R = - (Kalan Kareler Toplaı) / (Düzeltiliş Kareler Toplaı) =.. 3

39 Yapılan hesaplaalar ile katsayıların net değeri Tablo 3. ile verilektedir. Ayrıca Tablo 3.3 te görülebileceği gibi, yapılış olan eğri yaklaştıra çalışasının korelasyonu oldukça yüksektir. Şekil 3.3 ikinci regresyon ve ilk regresyon hatalarının karşılaştırılabilesi için veriliştir. Grafikte görüldüğü üzere ikinci regresyonun yapılası ile hata öneli ölçüde azaltılıştır.,5,,5 hata iktarı ,5 -, -,5 -, -,5 -,3 -,35 örneklee verisi. regresyon hatası. regresyon hataları karesi. regresyon hataları. regresyon hataları karesi Şekil 3.3: İkinci regresyon ile hataların büyük ölçüde küçültülesi Büyük sayıdaki verilerin hatalar kareleri toplaını en aza indirek için yapılan regresyonlar ile, çok yüksek korelasyonda katsayıları bulak ükün oluştur. Fakat yüzde bağıl hatayı en aza indirek aacı ile, paraetreler üzerinde, tekrar bir iterasyon yapılış ve katsayılar optiize ediliştir. Her bir geoetri için benzer şekilde optiizasyon çalışaları yapılarak sonuçlar bulunuştur. 3. LEVHA İÇİN EĞRİ YAKLAŞTIRMA SONUÇLARI Daha önceden geliştiriliş olan, levha için veriler üreten, HeislerSlabValueExtractorV MATLAB fonksiyonu kullanılarak 5369 ( Bi,τ,θ ) üçlüsü üretiliştir. Üretilen bu örneklee verisi üzerinden yapılan regresyon sonucunda uygun tesil fonksiyonu aşağıdaki şekilde oluştur: θ ( Bi, τ ) c c = + *exp τ 3. c ( ) ( ) ( ) ( ) c Bi + Bi* c3 Bi + Bi* c 3 Bilineyen katsayılar ve regresyon analizi, Tablo 3.4 ile, yaklaştırılan eğrinin hatası ise, Şekil 3.4 ile veriliştir. Tablo 3.5 ile de Heisler erkez grafiklerinin parçalı 4

40 olarak verildiği τ aralıklarında eğri yaklaştırasının yapacak olduğu en yüksek hatalar gösteriliştir. Tablo 3.4: Levha için regresyon sonuçları, paraetrelerin tahini Paraetre Tahin c.343 c -.8 c3.54 c c -.46 c3.8 R = Tablo 3.5: Fourier sayısı aralıklarında eğri yaklaştırasının yapacağı en yüksek hatalar (levha) Aralık [-4] [4-3] [3-5] [5-75] En büyük % hata 5,386,87,8,85 Ortalaa % hata,47,44,38,4 %hata 8 % hata Örnek Sayısı Şekil 3.4: Levha için yaklaştırılan eğrinin yüzde hatası 5

41 3. SİLİNDİR İÇİN EĞRİ YAKLAŞTIRMA SONUÇLARI Silindir için veriler üreten, HeislerCylinderValueExtractorV MATLAB fonksiyonu kullanılarak 595 ( Bi,τ,θ ) üçlüsü üretiliştir. Üretilen bu örneklee verisi üzerinden yapılan regresyon sonucunda uygun tesil fonksiyonu aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi oluştur: θ ( Bi, τ ) c c = + *exp τ 3.3 c ( ) ( ) ( ) ( ) c Bi + Bi* c3 Bi + Bi* c 3 Bilineyen katsayılar ve regresyon analizi, Tablo 3.6 ile veriliştir. Tablo 3.7 ile Heisler erkez grafiklerinin parçalı olarak verildiği τ aralıklarında eğri yaklaştırasının yapacak olduğu en yüksek hatalar gösteriliştir. Tablo 3.6: Silindir için regresyon sonuçları, paraetrelerin tahini Paraetre Tahin c.988 c -.39 c c c -.77 c R = Tablo 3.7: Fourier sayısı aralıklarında eğri yaklaştırasının yapacağı en yüksek hatalar (silindir) Aralık [-4] [4-3] [3-5] [5-35] En büyük % hata 7,984,664,49,648 Ortalaa % hata,55,64,9,553 6

42 Yapılan yüzde hatanın grafiği ise Şekil 3.5 ile veriliştir. %hata 8 6 % hata Örnek Sayısı Şekil 3.5: Silindir için yaklaştırılış eğrinin yüzde hatası 3.3 KÜRE İÇİN EĞRİ YAKLAŞTIRMA SONUÇLARI Daha önceden geliştiriliş olan, küre için veriler üreten, HeislerSphereValueExtractorV MATLAB fonksiyonu kullanılarak 5766 ( Bi,τ,θ ) üçlüsü üretiliştir. Üretilen bu örneklee verisi üzerinden yapılan regresyon sonucunda uygun tesil fonksiyonu aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi oluştur: θ ( Bi, τ ) c c = + *exp τ 3.4 c ( ) ( ) ( ) ( ) c Bi + Bi* c3 Bi + Bi* c 3 Bilineyen katsayılar ve regresyon analizi, Tablo 3.8 ile veriliştir. Tablo 3.9 ile Heisler erkez grafiklerinin parçalı olarak verildiği τ aralıklarında eğri yaklaştırasının yapacak olduğu en yüksek hatalar gösteriliştir. 7

43 Tablo 3.8: Küre için regresyon sonuçları, paraetrelerin tahini Paraetre Tahin c.99 c -.8 c c c -.99 c R = Tablo 3.9: Fourier sayısı aralıklarında eğri yaklaştırasının yapacağı en yüksek hatalar (küre) Aralık [-3] [3-] [-5] [5-5] En büyük % hata Ortalaa % hata Yapılan yüzde hatanın grafiği ise Şekil 3.6 ile veriliştir. %hata 8 % hata Örnek Sayısı Şekil 3.6: Küre için yaklaştırılış eğrinin yüzde hatası Bulunan tü eğriler için Web arayüzünde karşılaştıralı sonuçlar verilektedir. Böylece kullanıcı Heisler grafiklerini okuayı veya yaklaştırılan eğrileri hesaplaayı tercih ederken ne kadar hata yapış olduğunu görebilektedir. Yapılan inceleelerde, çoğu zaan yaklaştırılış olan eğriyi kullanak, Heisler grafiklerinden daha doğru sonuçlar verektedir. Kullanı kolaylığı sağlayacak şekilde, her bir geoetriye aynı forülle gösterilen eğri yaklaştırılabiliştir. 8

44 Geoetriden geoetriye sadece katsayılar değişektedir. Toplu sonuçlar ve eğri forülü, Tablo 3. ile veriliştir. Tablo 3.: Yaklaştırılan eğri forülü ve geoetrilere göre katsayılar Forül θ ( Bi, τ ) Geoetri c c c 3 c c = + *exp τ ( ) ( ) ( ) ( ) c c Bi + Bi* c3 Bi + Bi* c 3 c c c 3 En fazla utlak % hata Levha Silindir Küre,997 -,83 6,564-3,77 -,988 4,599 7, ALTERNATİF YÖNTEMLE SONUÇLARIN KARŞILAŞTIRILMASI Literatürde Heisler grafiklerine alternatif olası adına seri açılıının ilk teriin hesabına dair forüller ve tablolar verilektedir. Burada, erkez sıcaklığı için, ( τ ) θ C θ exp B A 3.5 B i forülü kullanılarak sonuçlar üretilektedir. Bu yaklaştırı, τ >. iken geçerli olaktadır ve τ <. iken, oldukça büyük hatalara yol açtığından, kullanıı tavsiye edileektedir. Yaklaştırılış olan eğri için böyle bir kısıt söz konusu değildir. Verilen (3.5) denkleinde geçen, A B ve C B değerleri için, Biot sayısı ve geoetri ile değişen katsayılar verilektedir. Çengel in (3) ders kitabından alınan Tablo 3. ile bu katsayılar verilektedir [9]. 9

45 Bi A Tablo 3.: A B ve C B katsayıları Levha Silindir Küre C A B B B B B B,,998,7,4,5,73,3,,4,33,995,5,445,6,4,987,66,84,99,345,,6,45,98,3438,48,47,79,8,79,3,396,97,486,39,,3,6,447,46,543,98,,438,3,67,483,7593,59,3,58,45,7465,7,98,88,4,593,58,856,93,58,64,5,6533,7,948,43,656,44,65,75,84,84,345,644,73,7,756,98,873,539,355,978,8,79,6,49,74,43,36,9,874,7,48,9,544,488,863,9,558,7,578,73,769,785,5995,3384,88,4793 3,95,,7887,49,889,67 4,646,87,98,4698,4556, ,555,73,389,65 3,,999 C A C Tabloya dâhil edileyen Bi sayıları için, tablodan veriler okunurken interpolasyon yapılaktadır. Böylece alternatif yöntei kullanırken yapılan hata artaktadır. Yaklaştırılış olan eğriyi kullanakta ise benzer hatayı arttırıcı durular söz konusu olaaktadır. Verilen denkle ve tablo verileri kullanılarak üretilen sonuçlar ve eğri yaklaştıranın sonuçları, MATLAB prograının yüksek hassasiyetli sonuçları ile karşılaştırılıştır. Karşılaştıralara, yaklaştırılan eğrilerden elde edilen değerler de ekleniştir. Sonuçlar Tablo 3. ile gösterilektedir. 3

46 Tablo 3.: Seri açılıın birinci teriini hesaplayan eşitliklerle, yaklaştırılan eğri sonuçlarının karşılaştırılası τ Bi Geoetri θ % Mutlak Hata MATLAB (a) Regresyon. Teri Regresyon. Teri levha,9994,9997,9997,83,3,, silindir,9983,9985,9985,,85 küre,9969,9967,997,3,84 levha,54,55,75, ,9,,65 silindir,,,,8775 6,5953 küre,4,4,3,549 6,944 levha,9,95,99,63,, 3, silindir,5789,579,579,467,496 küre,8675,87548,86879,7,48 (a) ilk teri hesaba dahil ediliştir. Görüldüğü üzere, eğri yaklaştıra sonuçları çoğu zaan seri açılıın birinci terii için verilen eşitlikleri geçektedir. 3

47 4 HESAPLAMALARIN SUNULMASI İÇİN WEB ARAYÜZÜ Karaşık hesaplarından dolayı, ısı aktarıı problelerinin çözüünde öğrenciler güçlük çekektedir. Bu güçlüklerin aşılabilesi için, kullanıı ve ulaşılası kolay bir kaynak sunak aaç ediliştir. Söz konusu aacı güden başka bir çalışa, Zheng ve Keith tarafından yapılıştır []. JAVA Applet [] teknolojisi kullanılarak geliştirilen çalışada, üç teel geoetri için ısı aktarıı probleinin bir siülasyonu yapılaktadır. Aynı çalışada, Heisler grafikleri için okua yapılabilecek bir arayüz de sunuluştur. Fakat hoojen olayan ilk sıcaklık dağılıı koşulları için bir çözü verileektedir. Kullanıı arttırak ve kolaylaştırak için yapılan hesaplaaların sunulduğu bir web arayüzü geliştiriliştir. Apache Httpd web sunucusu [] üzerinde yapılan geliştireler ile, Matlab Web Server [3] çalıştırılakta, ayrıca dinaik web içeriği oluşturulasında PHP [4] kullanılaktadır. Apache üzerinde MatlabServer kullanabilek için yapılası gereken uyarlaalar, The MathWorks tarafından tarif edilektedir [5]. Mühendislik öğrencilerinin ve akadeisyenlerin kullanıına sunulası planlanan Web arayüzünün giriş sayfası, Şekil 4. ile veriliştir. 3

48 Şekil 4.: Geliştirilen web bileşenlerinin listelendiği ana sayfa 4. SICAKLIK DAĞILIMI GEÇMİŞİ GRAFİĞİ Kullanıcıya ısı aktarıı probleinde zaana bağlı olarak sıcaklığın değişiini daha iyi kavratak için geliştiriliş olan bir arayüzdür. Zaanın geçesi ile birlikte, tek boyutlu levha üzerinde sıcaklığın nasıl dağılacağını gösterektedir. Isı aktarıı problei, arayüzün sol tarafında tanılanakta ve grafik sağ tarafta çizdirilektedir. Arayüzün tanıı ve örnek bir grafik Şekil 4. ile veriliştir. 33

49 Şekil 4.: Zaan ile sıcaklık dağılıının değişiini gösteren arayüzün kullanıı Kullanıcıya gösterilen grafiğin he küçük çözünürlükte he de büyük çözünürlükte iki versiyonu oluşturulaktadır. Kullanıcı düşük çözünürlükteki grafiği gördükten sonra, büyük çözünürlükteki grafiği, üzerine tıklayarak açabilektedir. 4. LEVHA İÇİN WEB ARAYÜZÜ ÇÖZÜMLERİ 4.. Tek Boyutlu Levha İçin Web Arayüzü Çözüleri Tek boyutlu levha için proble çözülerin yapılabileceği, öğrencilerin kolaylıkla kullanabileceği web arayüzü Şekil 4.3 ile gösterildiği gibi tasarlanıştır. 34

50 Şekil 4.3: Web arayüzünden tek boyutlu levha hesabı, veri giriş ekranı Şekil 4.4: Web arayüzünde tek boyutlu levha hesabı sonuçları Yapılan hesaplar ise, Şekil 4.4 de görüldüğü üzere, web arayüzünün sağ bölesinde gösterilektedir. Böylece kullanıcı, daha önce yaptığı hesapları not aladan, karşılaştıralı veriler elde edebilecektir. Örneğin hesaplanan teri sayısını veya sınır 35

51 koşullarını değiştirerek istenilen noktadaki sıcaklığa nasıl etkilediğini kolaylıkla görebilecektir. Ek-B de yer veriliş olan örnek soru 6 şöyledir: Kalınlığı o o L =. 4 ve özellikleri k =.W / C, = kj / kg C ve 3 o ρ = kg / olan bir beton duvar, hoojen sıcaklığı T C C p = iken o T = C sıcaklığında bir ortaa bırakılıyor. Bu teastan 5 saat ve 5 saat sonra duvar ortasında ve yüzeydeki sıcaklığı analitik olarak hesap ediniz. Orta taşını katsayısı h = 6W / C olarak verilektedir. o Tablo 4.: Örnek soru 6 için, kaynak ile web arayüzü sonuçlarının karşılaştırılası MATLAB S. Kakaç % hata T w, t = 5sa T c, t = 5sa T c, t = 5sa T w, t = 5sa Web arayüzü kullanılarak,. teri hassasiyetinde, hesaplar yapıldığında, kaynaktaki sonuçların %6 lara varan hatalar yaptığı görülektedir. Benzer soru çözülerinin örnekleri, Ek-B bölüünde veriliştir. 4.. İki Boyutlu Levha İçin Web Arayüzü Çözüleri İki boyutlu levha için proble çözülerinin yapılabileceği, öğrencilerin kolaylıkla kullanabileceği web arayüzü Şekil 4.5 ile gösterildiği gibi tasarlanıştır. 36

52 Şekil 4.5: Web arayüzünden iki boyutlu levha hesabı, veri giriş ekranı Anlaşılırlığı arttırak için, farklı bir sınır koşulu seçildiğinde, tesil resi de güncellenektedir. Şekil 4.6 ile gösterildiği gibi, kullanıcı, sınır koşullarını he doğru şekilde seçebilecek, he de soruyu daha iyi kavrayabilecektir. Şekil 4.6: İki boyutlu levha hesabı arayüzünde, sınır koşullarının değiştirilesi 37

53 Şekil 4.7: Web arayüzünde iki boyutlu levha hesabı sonuçları Yapılan hesabın sonucu, Şekil 4.7 ile veriliştir. Web arayüzünün sağ bölesinde görüldüğü üzere, diğer geoetrilerde olduğu gibi, yapılış hesaplaalar listelenektedir Üç Boyutlu Levha İçin Web Arayüzü Çözüleri Üç boyutlu levha için proble çözülerinin yapılabileceği web arayüzü Şekil 4.8 ile gösteriliştir. 38

54 Şekil 4.8: Web arayüzünden üç boyutlu levha hesabı, veri giriş ekranı Şekil 4.9: Web arayüzünde üç boyutlu levha hesabı sonuçları 39

55 Yapılan hesabın sonucu, Şekil 4.9 ile veriliştir. Web arayüzünün sağ bölesinde görüldüğü üzere, diğer geoetrilerde olduğu gibi, yapılış hesaplaalar listelenektedir. 4.3 YARI SONSUZ LEVHA İÇİN WEB ARAYÜZÜ ÇÖZÜMLERİ Yarı-sonsuz levha için proble çözülerinin yapılabileceği web arayüzü Şekil 4. ile gösteriliştir. Dikkat edilelidir ki, istenilenler arasında, diğer geoetrilerde olduğu gibi, n teri sayısı bulunaaktadır. Çünkü sadece bu geoetri için, değişkenlere ayıra ve sonrasında seriye açılı yapıladan, analitik çözü bulunaktadır. Şekil 4.: Web arayüzünden yarı-sonsuz levha hesabı, veri giriş ekranı 4

56 Şekil 4.: Web arayüzünden yarı-sonsuz levha hesabı sonuçları Yapılan hesabın sonucu, Şekil 4. ile veriliştir. Web arayüzünün sağ bölesinde yapılış hesaplaalar alt alta listelenektedir. Yarı sonsuz levha için literatür ile karşılaştırılalı olarak çözülüş bir örnek, Ek- B de soru olarak veriliştir. 4.4 SİLİNDİR İÇİN WEB ARAYÜZÜ ÇÖZÜMLERİ Silindir proble çözülerinin kolayca yapılabileceği web arayüzü Şekil 4. ile gösteriliştir. İçi dolu silindirde bulunan tek sınır, silindirin dış yüzeyi olaktadır. Bu cidarın üç farklı sınır koşulu için soru verilerinin girişi yapıldıktan sonra istenilen hassasiyetle silindirin içindeki sıcaklık hesaplanabilektedir. 4

57 Şekil 4.: Web arayüzünden silindir hesabı, veri giriş ekranı Şekil 4.3: Web arayüzünden silindir hesabı sonuçları Hesapların verildiği listeye, silindir için yapılan hesap ekleniş ve Şekil 4.3 ile gösterildiği üzere, web arayüzünün sağında gösteriliştir. Silindir için literatür ile karşılaştırılalı olarak çözülüş bir örnek, Ek-B de soru olarak veriliştir. 4

58 4.5 KÜRE İÇİN WEB ARAYÜZÜ ÇÖZÜMLERİ Küre için proble çözülerinin kolayca yapılabileceği web arayüzü Şekil 4.4 ile gösteriliştir. İçi dolu kürede bulunan tek sınır, kürenin yüzeyidir. Bu yüzey için geçerli olan üç farklı sınır koşuluna göre, soru verilerinin girişi yapıldıktan sonra istenilen hassasiyetle kürenin içinde herhangi bir noktadaki sıcaklık hesaplanabilektedir. Şekil 4.4: Web arayüzünden küre hesabı, veri giriş ekranı 43

59 Şekil 4.5: Web arayüzünden küre hesabı sonuçları Hesapların verildiği listeye, küre için yapılan hesap ekleniş ve Şekil 4.5 ile gösterildiği üzere, web arayüzünün sağında alt alta bütün sonuçlar listeleniştir. İlgili olayan sonuçlar, her bir satırın sağında bulunan kırızı X şeklinde verilen sile düğesi ile silinebilir. İstenirse Hepsini Sil düğesi ile yeni bir oturua başlanarak hesaplar yapılabilektedir. Silindir için literatür ile karşılaştırılalı olarak çözülüş bir örnek, Ek-B de soru 4 olarak veriliştir. 4.6 HEİSLER GRAFİKLERİNDEN VERİ OKUMA Heisler grafiklerinin bahsedilen okua zorluklarını aşabilek, daha yüksek hassasiyetle veri okuyabilek için de bir web arayüzü tasarlanıştır. Bu arayüz oluşturulurken, üç teel geoetri için hazırlanış, Heisler in erkez sıcaklık grafikleri kullanılıştır. Söz konusu grafikler, yüksek çözünürlülükle, ükün olan en net kaynaktan elektronik ortaa aktarılıştır. Bu grafiklere yakınlaşıp daha hassas gösterebilecek bir Web sayfası geliştiriliştir. İlgilenilen alanı yakınlaştırarak gösterekle kalınayarak, grafiklerin veri aralıkları da sistee yükleniş ve böylece okua işi de elektronik ortaa taşınıştır. Böylece kullanıcının grafiğe istediği kadar yaklaşabileceği, ihtiyacı olan / Bi değeri için bilgisayarının faresi ile 44

60 grafikte tıklaa yaparak yüksek hassasiyetle θ okuyabileceği arayüz hazırlanıştır. Bu arayüz kullanılarak okunan değerler için, n = terie kadar yapılan hesapların karşılaştırılasını yapabilecek ek geliştireler yapılıştır. Söz konusu geliştireler ile okua ne kadar hassas olsa da, grafik verilerinin hatalı olasından kaynaklanan hataların bulunacağının altı çizilebiliştir. Okunan ve hesaplanan değerler arasındaki hatalar yüzde olarak sonuçlar tablosunda veriliştir. Aynı arayüz üzerinde, daha önce bahsediliş olan eğri yaklaştıra çalışasının sonuçları entegre ediliştir. Arayüzden veri okunurken kullanıcıya, ilgili τ ve / Bi için yaklaştırılan eğride hangi değerin hesaplanacağı verilektedir. Böylece kullanıcı Heisler grafiği ve eğri yaklaştıra sonuçlarının çabuk bir karşılaştırasını yapabilecektir. Aynı zaanda, bu iki değer, MATLAB sonuçları ile karşılaştırılakta, yüzde bağıl hataları verilektedir. Kullanıcı hangi yöntele ne kadar hata yapıyor olacağını daha kolay bir şekilde görebilecektir Heisler Merkez Sıcaklığı Levha Grafiği Levha için verilen erkez sıcaklığı grafiği, elektronik ortaa aktarılış, ve x yönünde bulunan kırıklı aralıkların değerleri sistee yükleniştir. Böylece Şekil 4.6 ile verilen arayüzden okua yapılırken, istenilen τ Fourier sayısı için veri okuak ükün olaktadır. Şekil 4.6: Web arayüzünden levha için Heisler grafiğinin hassasiyetle okunası 45

61 4.6. Heisler Merkez Sıcaklığı Silindir Grafiği Silindir için verilen erkez sıcaklığı grafiği, elektronik ortaa aktarılış, ve x yönünde bulunan kırıklı aralıkların değerleri sistee yükleniştir. Böylece Şekil 4.7 ile verilen arayüzden okua yapılırken, istenilen τ Fourier sayısı için veri okuak ükün olaktadır. Ayrıca arayüzdeki büyüteç işareti kullanılarak istenildiği kadar grafiğe yaklaşılabilektedir. Fare ile yaklaştırılış grafik üzerinde gezilirken, y yönünde logaritik ve x yönünde kırıklı bir ölçekle verilen grafik üzerinde, o anda hangi ( τ, θ ) koordinatta bulunulduğu verilektedir. Bu kullanıcıya yüksek bir hassasiyetle ve çabuk bir okua sağlaaktadır. Şekil 4.7: Web arayüzünden silindir için Heisler grafiğinin hassasiyetle okunası Heisler Merkez Sıcaklığı Küre Grafiği Küre için verilen erkez sıcaklığı grafiği, elektronik ortaa aktarılıştır. Şekil 4.8 ile ilgili grafiğe yakınlaşarak veri okuak gösterilektedir. 46

62 Şekil 4.8: Web arayüzünden küre için Heisler grafiğinin hassasiyetle okunası Okunan Değerlerin Karşılaştırılası Farklı geoetriler için yapılan yüksek hassasiyetli okuaların her biri, sitede saklanakta ve bir liste halinde kullanıcıya sunulaktadır. Bu liste istenildiği takdirde, Hesapla düğesi kullanılarak, MATLAB çözüleri ile karşılaştırılabilektedir. Karşılaştıra tablosunda, MATLAB sonuçlarının yanında, yüzde hataya da yer verilektedir. 47

63 Şekil 4.9: Web arayüzünden okunan değerlerin hesaplaalarla karşılaştırılası Tablo 4.: Web arayüzünden okunan değerlerin hesaplaalarla karşılaştırılası # Geoetri /Bi τ Heisler θ % Hata Heisler Regresyon θ % Hata Regresyon MatLab θ Sil slab slab slab cylinder cylinder cylinder sphere sphere sphere Farklı geoetriler için yapılan okuaların bir listesi ve bu değerlerin MATLAB sonuçları Tablo 4. ve Şekil 4.9 ile veriliştir. Tablo verilerine bakıldığında, Heisler grafiklerinden okuada yaklaşık %5 lere varan hatalar görülektedir. Yaklaştırılan eğrinin sonuçları ise Heisler grafiklerinden daha başarılı olaktadır. 48

64 5 SONUÇLAR VE TARTIŞMA Zaana bağlı ısı aktarıı probleinin çözüü için sunulan Heisler grafiklerinden okua yönteinde hataya açık noktalar bulunaktadır. Bunları ortadan kaldırak için zaana bağlı ısı aktarıı probleinin çözüü için geçerli olan çözü tekniklerinden, değişkenlere ayıra yöntei seçiliş ve analitik çözüe ulaşılıştır. Söz konusu yönte kullanılarak ısı aktarıı probleinin çözüünü yapan fonksiyonların sayısal analiz prograında gerçeklenesi sağlanıştır. Fonksiyonlar literatürde verileyen, hoojen sıcaklık dağılıı olayan başlangıç koşullarında da çözü yapabilecek şekilde elde ediliştir. Literatürde analitik çözüün zorluğunu ve Heisler grafiklerinin yaklaştırıını iyileştirek için yapılan çalışalar incelenip, bu çalışada üretilen fonksiyonlarla karşılaştıralı sonuçlar veriliştir. Hesabı kolay bir tesil fonksiyonu araştırılış ve Biot ve Fourier sayılarını paraetre alarak boyutsuz sıcaklığı veren bir fonksiyon bulunuştur. Her bir geoetri için aynı fonksiyon, farklı katsayılar ile hesaplanabilektedir. Katsayılar lineer olayan regresyon yöntei kullanılarak hesaplanıştır. Regresyonu yapılan veri ise, her bir geoetri için yaklaşık 6 adet / Bi τ ve θ üçlüsüdür. Bu veriler MATLAB da geliştirilen fonksiyonları kullanarak, seriye açılıın ilk on teriini hesaba dâhil ederek yüksek hassasiyetle hesaplanış verilerdir. Regresyon sonuçlarında yüksek korelasyon gözleniş, her bir geoetri için, R > ile yaklaştırı yapılıştır. Ek-B bölüünde veriliş olan literatürden örnek soru çözülerinde, seri açılıın ilk on teriini dikkate alan MATLAB sonuçlarını doğru kabul ederek yaklaştırılan eğrinin sonuçları kaynakların sonuçları ile karşılaştırılıştır. Bu karşılaştıraların özet olarak sonucu Tablo 5. ile verilektedir. İlgili tabloda, yaklaştırılan eğrinin, gerçek değerlere yaklaşakta daha başarılı olduğu görülektedir. 49

65 Örnek Soru Tablo 5.: Örnek Soru çözülerinde yaklaştırılan eğrinin doğruluğu Geoetri τ /Bi MATLAB θ Eğri θ Eğri % Mutlak Hata Kaynak θ Kaynak % Mutlak Hata #4 (a) küre #6, 5 saat (b) levha #6, 5 saat (b) levha #7 (c) levha (a) sorunun çözüü sayfa 73, Tablo B.4 ile veriliştir. (b) sorunun çözüü sayfa 75, Tablo B.6 ile veriliştir. (c) sorunun çözüü sayfa 77, Tablo B.8 ile veriliştir. Bu çalışaların sonuçları web arayüzü ile kullanıcıya sunularak, kullanıı yaygınlaştırılış ve kolaylaştırılıştır. Heisler grafikleri yüksek hassasiyetle tekrar üretiliştir. Üretiliş olan bu grafikler, logaritik ölçekleri ile, Heisler grafiklerinin veriliş olduğu Biot ve Fourier sayıları için çiziliş ve Ek-E de veriliştir. Heisler grafiklerinin de çözülerde kullanılabilesi için bu grafiklerden ilietrik okua yapacak bir arayüz geliştiriliş, grafikten okunan verilerin çalışa sonucu verileri ile karşılaştırılası yapılıştır. Yapılan karşılaştıralarda, grafiklerin en yüksek hassasiyetle okunabilesi duruunda bile %5 lere varan hatalar yapılabilindiği bulunuştur. Aynı Web sayfasında, tesil fonksiyonunun çıktıları ile bir karşılaştıraya yer veriliş, çoğu zaan tesil fonksiyonunun Heisler grafiklerinden daha hassas sonuçlar verdiği gözleleniştir. Sonuç olarak zaana bağlı ısı aktarıı probleinin çözüü bir hesap tablosu prograı ile elde edilebilecek hale getiriliş ve literatür ile yapılan karşılaştıralarda uygun sonuçlar elde ediliştir. 5

66 KAYNAKLAR [] Heisler, M. P Teperature Charts for Induction and Constant Teperature Heating, Transactions of Aerican Society of Mechanical Engineers, 69, [] Gröber, H., Erk, S. ve Grigull, U. 96 Fundaentals of Heat Transfer, McGraw-Hill, New York. [3] Grigull, U. ve Sandner, H. 984 Heat Conduction, Heisphere, Washington DC. [4] Wiggins, Edwin G. 987 Electronic Heisler Charts, Coputers in Education Division of ASEE, 7, [5] Wiggins, Edwin G. 988 Better Electronic Heisler Charts, Coputers in Education Division of ASEE, 8, [6] Capo, A. 997 Rapid Deterination of Spatio-Teporal Teperatures and Heat Transfer In Siple Bodies Cooled by Convection: Usage of Calculators in Lieu of Heisler-Gröber Charts, International Counity of Heat and Mass Transfer, 4, [7] The Mathworks Inc, 4 MATLAB. Massachusetts. [9] Çengel, Y. A. 3 Heat transfer : a practical approach nd edition, McGraw-Hill, Boston. [8] SPSS Inc, 6 SPSS 5. for Windows. Chicago. [] Zheng, H ve Keith, J.M. 4 JAVA-Based Heat Transfer Visualization Tools, Cheical Engineering Education, 38, [] The Sun Microsystes, 994 Java Applet. Santa Clara. [] The Apache Software Foundation, 7 The Apache HTTP Server Project. Forest Hill. [3] The Mathworks Inc, MATLAB Web Server. Massachusetts. [4] Zend Technologies / The PHP Group, 4 PHP 5. Raat Gan. [5] The Mathworks Inc, MATLAB Web Server For Use With MATLAB, Massachusetts. [6] Lienhard IV, J. H ve Lienhard V, J. H., 6 A Transfer Heat Book Third Edition, Phlogiston, Cabridge Massachusetts. [7] Bejan, A., 993. Heat Transfer, John Wiley & Sons. New York. [8] Jakob, T. L. M. 959 Heat Transfer Volue I, John Wiley & Sons, New York. [9] Kakaç, S. 98. Örneklerle Isı Transferi, Sai Toraan Matbaası, Ankara. [] Pitts, D.R. ve Sisso, L.E. 977 Schaus Outline Of Theory and Probles of Heat Transfer, McGraw-Hill, New York [] Holan J.P., 999 Heat Transfer Eighth Edition, McGraw-Hill, New York. [] Hagen, K.D., 999 Heat Transfer with Applications, Prentice Hall, New Jersey. [3] Croft, D. R. ve Lilley, D. G., 977 Calculations Using Finite Difference Equations, Applied Science, London. [4] Holan J.P., 968 Heat Transfer Second Edition, McGraw-Hill, New York. 5

67 [5] Özışık M.N., 98 Heat Conduction, John Wiley and Sons, New York. 5

68 EKLER A LİTERATÜRDEKİ DERS KİTAPLARINDAKİ GRAFİKLER J. H. Lienhard ve J. H. Lienhard ın ders kitabından yapılan taraalar aşağıda veriliştir [6]. Şekil A.: J. H. Lienhard ve J. H. Lienhard, Gröber grafikleri 53

69 A. Bejan ın ders kitabından yapılan taraalar aşağıda veriliştir [7]. Şekil A.: A. Bejan (sf. 6), Heisler erkez sıcaklık grafiği (levha) Şekil A.3: A. Bejan (sf. 6), Heisler düzelte grafiği (levha) Şekil A.4: A. Bejan (sf. 6), Gröber grafikleri (levha) 54

70 Şekil A.5: A. Bejan (sf. 65), Heisler erkez sıcaklık grafiği (silindir) Şekil A.6: A. Bejan (sf. 66), Heisler düzelte grafiği (silindir) Şekil A.7: A. Bejan (sf. 66), Gröber grafiği (silindir) 55

71 Şekil A.8: A. Bejan (sf. 68), Heisler erkez sıcaklık grafiği (küre) Şekil A.9: A. Bejan (sf. 69), Heisler düzelte grafiği (küre) Şekil A.: A. Bejan (sf. 69), Gröber grafiği (küre) 56

72 J. P. Holan (968) ın ders kitabından yapılan taraalar aşağıda veriliştir [4]. Şekil A.: J. P. Holan (sf. 83), Heisler erkez sıcaklığı grafiği (levha) Şekil A.: J. P. Holan (sf. 84), Heisler erkez sıcaklığı grafiği (silindir) Şekil A.3: J. P. Holan (sf. 85), Heisler erkez sıcaklığı grafiği (küre) 57

73 Şekil A.4: J. P. Holan (sf. 86), Heisler düzelte grafiği (levha) Şekil A.5: J. P. Holan (sf. 87), Heisler düzelte grafiği (silindir) Şekil A.6: J. P. Holan (sf. 88), Heisler düzelte grafiği (küre) Şekil A.7: J. P. Holan (sf. 9), Gröber grafiği (levha) 58

74 Şekil A.8: J. P. Holan (sf. 9), Gröber grafiği (silindir) Şekil A.9: J. P. Holan (sf. 9), Gröber grafiği (küre) L. M. Jacob un ders kitabından yapılan taraalar aşağıda veriliştir [8]. Şekil A.: L. M. Jacob (sf. 85), Heisler erkez sıcaklığı grafiği (levha) Şekil A.: L. M. Jacob (sf. 86), Heisler erkez sıcaklığı grafiği (silindir) 59

75 Şekil A.: L. M. Jacob (sf. 87), Heisler erkez sıcaklığı grafiği (küre) Şekil A.3: L. M. Jacob (sf. 88), Heisler düzelte grafiği (levha) Şekil A.4: L. M. Jacob (sf. 89), Heisler düzelte grafiği (silindir) 6

76 Şekil A.5: L. M. Jacob (sf. 9), Heisler düzelte grafiği (küre) S. Kakaç ın ders kitabından yapılan taraalar aşağıda veriliştir [9]. Şekil A.6: S. Kakaç (sf. 74), Heisler erkez sıcaklığı grafiği (levha) Şekil A.7: S. Kakaç (sf. 75), Heisler düzelte grafiği (levha) 6

77 Şekil A.8: S. Kakaç (sf. 75), Gröber grafiği (levha) Şekil A.9: S. Kakaç (sf. 76), Heisler erkez sıcaklığı grafiği (silindir) Şekil A.3: S. Kakaç (sf. 77), Heisler düzelte grafiği (silindir) Şekil A.3: S. Kakaç (sf. 77), Gröber grafiği (silindir) 6

78 Şekil A.3: S. Kakaç (sf. 78), Heisler erkez sıcaklığı grafiği (küre) Şekil A.33: S. Kakaç (sf. 79), Heisler düzelte grafiği (küre) Şekil A.34: S. Kakaç (sf. 79), Gröber grafiği (küre) 63

79 Pitts, D.R. ve Sisso, L.E. nin ders kitabından yapılan taraalar aşağıda veriliştir []. Şekil A.35: Pitts, D.R. ve Sisso, L.E. (sf. 8), Heisler erkez grafiği (levha) Şekil A.36: Pitts, D.R. ve Sisso, L.E. (sf. 8), Heisler düzelte grafiği (levha) 64

80 Şekil A.37: Pitts, D.R. ve Sisso, L.E. (sf. 8), Gröber grafiği (levha) Şekil A.38: Pitts, D.R. ve Sisso, L.E. (sf. 8), Heisler erkez grafiği (silindir) 65

81 Şekil A.39: Pitts, D.R. ve Sisso, L.E. (sf. 83), Heisler düzelte grafiği (silindir) Şekil A.4: Pitts, D.R. ve Sisso, L.E. (sf. 8), Gröber grafiği (silindir) 66

82 Şekil A.4: Pitts, D.R. ve Sisso, L.E. (sf. 83), Heisler in erkez grafiği (küre) Şekil A.4: Pitts, D.R. ve Sisso, L.E. (sf. 84), Heisler düzelte grafiği (küre) 67

83 Şekil A.43: Pitts, D.R. ve Sisso, L.E. (sf. 84), Gröber grafiği (küre) 68