T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ GENELLEŞTİRİLMİŞ -ORADAM DİZİSİ ve MATRİS TEMSİLLERİ Yas YAZLIK DOKTORA TEZİ Matemat Aablm Dalı Mart-03 KONYA er aı Salıdır

2

3 TEZ BİLDİRİMİ Bu tezde bütü blgler et davraış ve aadem urallar çerçevesde elde edldğ ve tez yazım urallarıa uygu olara hazırlaa bu çalışmada baa at olmaya her türlü fade ve blg ayağıa essz atıf yapıldığıı bldrrm. DECLARATION PAGE I hereby declare that all formato ths documet has bee obtaed ad preseted accordace wth academc rules ad ethcal coduct. I also declare that, as requred by these rules ad coduct, I have fully cted ad refereced all materal ad results that are ot orgal to ths wor. Yas YAZLIK Tarh:

4 ÖZET DOKTORA TEZİ GENELLEŞTİRİLMİŞ -ORADAM DİZİSİ ve MATRİS TEMSİLLERİ Yas YAZLIK Selçu Üverstes Fe Blmler Esttüsü Matemat Aablm Dalı Daışma: Yrd. Doç. Dr. Necat TAŞKARA 03, 69 Sayfa Jür Yrd. Doç. Dr. Necat TAŞKARA Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Prof. Dr. Aşır GENÇ Prof. Dr. Ahmet Sa ÇEVİK Doç. Dr. Büyam AYDIN Bu tezde öcelle başlagıç şartları,0 a,, b olma üzere geelleştrlmş -oradam dzs,, f ( ), g( ), reüras bağıtısı le taımlamış ve bu dz temel özelller celemştr. Ayrıca bu dz bazı ısm toplam formüller elde edlmştr. Ye geelleştrlmş - oradam dzs üreteç fosyou farlı metotlarla elde edlmştr. Daha sora egatf dsl geelleştrlmş -oradam dzler taımlamış, bu sayılar le poztf dsl geelleştrlmş -oradam sayıları arasıda bağıtı verlmştr. So bölümde se elemaları geelleştrlmş -oradam sayılarıda oluşa crculat matrs,, j,,, ç, C c j, mod j, şelde taımlamıştır. Daha sora bu matrs özdeğerler, determatı, ters ve ormları hesaplamıştır. So olara, elemaları geelleştrlmş -oradam sayılarıda oluşa r-crculat matrs taımlamış, bu matrs ormları ç alt ve üst sıırlar verlere determat ve özdeğerler hesaplamıştır. Aahtar Kelmeler: Crculat Matrs, Determat, Geelleştrlmş -oradam Dzs, Norm, Özdeğer. v

5 ABSTRACT Ph.D TESIS GENERALIZED -ORADAM SEQUENCE ad MATRIX REPRESENTATIONS Yas YAZLIK TE GRADUATE SCOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELCUK UNIVERSITY DEPARTMENT OF MATEMATICS Advsor: Assst. Prof. Dr. Necat TASKARA 03, 69 Pages Jury Advsor Assst. Prof. Dr. Necat TASKARA Prof. Dr. Durmus BOZKURT Prof. Dr. Asr GENC Prof. Dr. Ahmet Sa CEVIK Assoc. Prof. Buyam AYDIN I ths thess, the geeralzed -oradam sequece, f ( ), g( ), s defed by the recurrece relato wth gve ts tal values,0 a,, b, ad the the ma features of ths sequece are aalyzed. I addto, some of the partal sum formulas of ths sequece are obtaed. Moreover, the geeratg fucto of a geeralzed -oradam sequece s obtaed va varous methods. After that, by defg the geeralzed -oradam sequece havg egatvely subscrpted, the correlato betwee egatvely ad postvely subscrpted the geeralzed -oradam sequeces are preseted. I the last chapter, the crculat matrx whose etres are cosstg of geeralzed -oradam umbers s defed by C cj j, mod,, for, j,,,. The, the egevalues, determats, verse, ad orms of ths matrx are calculated. Fally, the r-crculat matrx whose etres are cosstg of geeralzed -oradam umbers s defed. The lower ad upper bouds of the orms of ths matrx are gve. Also, the determat ad egevalues of ths matrx are calculated. Keywords: Crculat Matrx, Determat, Geeralzed -oradam Sequece, Norm, Egevalue. v

6 ÖNSÖZ Geelleştrlmş -oradam Dzs ve Matrs Temsller adlı bu çalışma, Selçu Üverstes Fe Faültes Matemat Aablm Dalı öğretm üyes Yrd. Doç. Dr. Necat TAŞKARA yöetmde hazırlamış ve Selçu Üverstes Fe Blmler Esttüsü e dotora tez olara suulmuştur. Yapıla tüm çalışmalarda blg ve tecrübeler esrgemeye sayı hocam Yrd. Doç. Dr. Necat TAŞKARA aya saygı ve şüralarımı suarım. ayatım boyuca emeler bede esrgemeye ve bugülere gelmemde e büyü pay sahb ola aleme ve desteğ bede hçbr zama esrgemeye sevgl eşm Derya Özlem YAZLIK a sosuz saygı ve sevglerm suarım. Dotora öğremm süresce burs desteğ sağlaya TÜBİTAK- Blm Adamı Yetştrme Grubua (BAYG) teşeür ederm. Yas YAZLIK KONYA-03 v

7 İÇİNDEKİLER ÖZET... v ABSTRACT...v ÖNSÖZ... v İÇİNDEKİLER... v SİMGELER VE KISALTMALAR... v. GİRİŞ..... Amaç ve Kapsam..... Kaya Araştırması Temel Kavramlar Sayı dzler Matrs ormları Crculat matrsler GENELLEŞTİRİLMİŞ -ORADAM DİZİSİ Geelleştrlmş -oradam Dzs ve Geel Özelller Geelleştrlmş -oradam Dzs Kısm Toplamları Geelleştrlmş -oradam Dzs Üreteç Fosyou Negatf İdsl Geelleştrlmş -oradam Dzs CİRCULANT MATRİSLER Geelleştrlmş -oradam Sayıları le Taımlı Crculat Matrsler Geelleştrlmş -oradam Sayıları le Taımlı Crculat Matrsler Ters Geelleştrlmş -oradam Sayıları le Taımlı r-crculat Matrsler SONUÇLAR VE ÖNERİLER Souçlar Öerler KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ v

8 SİMGELER VE KISALTMALAR Smgeler F L P Q q J j W, : doğal sayılar ümes : reel sayılar ümes, :. Fboacc sayısı, :. Lucas sayısı, :. Pell sayısı, :. Pell-Lucas saysı, :. Modfed Pell sayısı, :. Jacobsthal saysı, :. Jacobsthal Lucas sayısı, :. oradam sayısı, F :. -Fboacc sayısı, p F :. Fboacc sayısı, F p, m :. Fboacc ve Lucas p-sayılarıı m-geşlemes g, :. dz. term, L :. -Lucas sayısı, G, :. Geelleştrlmş -Fboacc sayısı,, :. Geelleştrlmş -oradam sayısı, A : A matrs Eucldea (Frobeus) ormu, E A : A matrs spectral ormu, A A : A matrs masmum sütu toplam ormu, : A matrs masmum satır toplam ormu, A : A matrs l p p ormu, c A : A matrs masmum sütu uzulu ormu, r A : A matrs masmum satır ormu, A : A matrs spectral yarıçapı, A : a j elemalarıa sahp geel br -are matrs, A : A matrs eşleğ, T A : A matrs traspozes, A : A matrs eşle traspozes, A : A matrs ters, I : brm matrs, A B : A le B matrsler dret toplamı, A B : A le B matrsler hadamard çarpımı, v

9 : A matrs. öz değer, w : brm. derecede. öü, C x : c j elemalarıa sahp geel br -are crculaat matrs Cr ( x ) : c j elemalarıa sahp geel br -are r-crculat matrs x

10 . GİRİŞ İsalı tarh başlagıcıda ber, evrede düze eşfetme güdüsü devamlı var olmuştur. Geçe o blerce yıl çde yapıla tüm çalışmalar, evre alelâde br düze çde yaratılmadığıı, sa alıı alamayacağı adar sstemat br ölçü çersde yaratıldığıı ortaya oymuştur. Evre bu sstem, uşusuz sayılar üzere oturtulmuştur. Var ola her şey, br sayıya arşılı gelmetedr. Felsef boyutta düşüüldüğüde, varoluşu ve doğa yasalarıı temelde de bu sayılar bulumatadır. Bu alamda evree hâm ola sayıları yasası, uşusuz bzler yarataı matemat düze ortaya oyacatır. İşte bu düze görmemze yardımcı olaca e öeml puçlarıda br altı oradır. Saatta ve matematte ço ez arşılaşableceğmz bu ora, aslıda bast br ural üzere oturtulmuştur. Faat gözlemleyebldğmz bütü varlı alemde bu oraı geçerl ve tutarlı olara göze çarpması, saları şaşıa çevrece adar cdd br sstem ortaya oymatadır. Evre var oluşuda bu yaa tutarlı olara bütü varlılarda,68 e arşılı gele br oraı buluması, düyaca ülü matematçler de hayralıla celedğ ve ed çalışmalarıda ulladıları br ou alaı olmuştur. Bu şelde sayı dzler celeme; Toros Dağları ı ıvrımıda, Leaardo da Vc tarafıda yapıla Moa Lsa tablosuu boyu le e arasıda oraa, aşımızla gözümüz arasıda uzalığı brbre oraıa, dpte başlayara uca doğru lerleye ıvrımları bulua dez abuğua, ozalağı çde merez otada dışarıya doğru spral bçmde uzaya her br tae eğrl açısıa, DNA ı düşey doğrultusuda ç çe açılmış ayrı sarmalları uzuluları 34 agström, geşller agtröm olup, buları brbre oraıda olduğu gb, tıpı fller dşlerde sarmal yapılarıda, geyler boyuzlarıda çııtılara adar bzler sara yalı şeyler sayısız büyüleyc gzemlere götüreblmetedr(kutlu, 0). Buula brlte sayı dzler, güümüz blm düyasıda yalaşım teorde, şfre blmde, blgsayar le graf çzmlerde (Mcllory, 99), zama serler aalzde (Box ve Jes, 970) vb. alada sıça ullaılmatadır. So yıllarda, sayı dzlerde yararlaara elde edle özel matrsler üzere araştırmalar yapılmatadır. Bularda e öemllerde brs crculat matrslerdr. Bu matrsler sayısal aalz, matrs ayrışımı, optmzasyo, otrol teor, sayısal görütü şleme, yapısal blgsayar, fz teor, matematsel statst, od teors gb moder teoloj alalarıda geş uygulamaları vardır (Lu ve Ar., 00).

11 .. Amaç ve Kapsam Bu çalışmaı temel amacı, elemaları eyf br parametre polomları ola geelleştrlmş -oradam dzs taımlayara, bu dz özelller araştırmatır. Ayrıca bu sayı dzler ullaılara, elemaları geelleştrlmş -oradam sayıları ola crculat matrsler ormları, öz değerler, determatı ve ters hesaplamatır. Çalışma souda elde edle tüm verler aslıda lteratürde yer ala c mertebede özel sayı dzler br geellemesdr... Kaya Araştırması Çalışmaı bu ısmıda, brço matematç çalışma ousu olmuş ve uygulama alaları geş ola reüras lşl sayı dzler ve sayı dzler yardımıyla taımlaa crculat matrsler ormları üzere lteratürde yapılmış ola çalışmalarda bahsedlecetr. oradam (965), Basc propertes of a certa geeralzed sequece of umbers sml çalışmasıda oradam dzs taımlamış, taımlaa dz geel özelller celemştr. Ld (970), A Fboacc crculat sml çalışmasıda elemaları Fboacc sayıları ola crculat ve ters crculat matrsler taımlayara, bu matrsler determatlarıı brm. derecede prmtf öüü ullaara elde etmştr. Davs (979), Crculat Matrces sml tabıda crculat matrslerle lgl geel blgler verlere, crculat matrs çeştler, oları özelller ve bazı geometr uygulamaları ele alımıştır. oradam (994), Applcatos of Modfed Pell Numbers to Represetatos sml çalışmasıda Modfed Pell dzs taımlayara, Modfed Pell dzler özelller celemştr. Poztf ve egatf tamsayıları Modfed Pell dzler le temsller bulumuştur. Ayrıca Modfed Pell dzs ç MMax dzs elde etmş ve bu dz özelller celemştr. oradam (996), Jacobsthal Represetato Numbers sml çalışmasıda Jacobsthal ve Jacobsthal Lucas sayılarıı taımlamış ve bu sayıları öem, brbrler arasıda lşy vermştr. Ayrıca, bu dzler bazı özelller de elde edlmştr.

12 3 Karer ve ar. (003), Spectral Decomposto of Real Crculat Matrces sml maalesde sağ crculat matrs, sol crculat matrs, ters sağ crculat matrs ve ters sol crculat matrs olara taımlaa, crculat matrsler dört tp ç sgüler değer ayrışımıı ve spetral ayrışımıı celemşlerdr. Masour (004), A formula for the geeratg fuctos of powers of oradam s sequece sml çalışmasıda oradam sayılarıı uvvetler üreteç fosyoları ç br formül elde etmştr. Ya; x; p, q, a, b ( x) W x 0 fades formülze etmştr. Sola (005), O the Norms of Crculat Matrces wth the Fboacc ad Lucas umbers sml maalesde elemaları Fboacc ve Lucas sayılarıda oluşa crculat matrsler spetral ve Eucldea ormları ç sıırlar elde etmştr. Kocer (007), Crculat, egacyclc ad semcrculat matrces wth the modfed Pell, Jacobstahal ad Jacobsthal-Lucas umbers sml maalesde modfed Pell, Jacobsthal ve Jacobsthal-Lucas sayılarıı bazı özelller vermştr. Ayrıca bu dzler crculat, egacyclc ve semcrculat matrsler taımlayıp, bu matrsler ormlarıı, öz değerler ve determatlarıı elde etmştr. Cer ad Gaella (007), O Sums of Pell Numbers sml çalışmalarıda Pell sayılarıı; çft ve te çarpımlarıı toplamları, çft ve te areler toplamları, çft, te ve ardışı toplamlar ç açı formüller vermşlerdr. Falco ve Plaza (007), O the Fboacc -umbers sml çalışmalarıda Fboacc sayılarıı ye br geelleştrlmes olara -Fboacc sayı dzs taımlamışlardır. Bu taımlaa dz, las Fboacc ve Pell sayılarıı her sde geelleştrlmesdr. F,. -Fboacc sayısı 4-tragle logest-edge (4TLE) paylaşımı yötemde ullaıla geometrsel uygulama üzerde çalışma yapılıre bulumuştur. Ayrıca, bu sayıları çoğu özelller dret olara burada oluşturula matrs ullaılara elde edlmştr. Yalcer (008), Spectral Norms of Some Specal Matrces sml çalışmasıda elemaları Catala sayılarıda oluşa crculat matrs taıplayıp, bu matrs spectral ormları ç sıırlar elde etmştr. Falco ve Plaza (009), O -Fboacc umbers of arthmetc dexes sml çalışmalarıda dsler artmet dz ola -Fboacc sayılarıı toplamları elde edlmştr. Böylece bu tür sayıları toplamları ç çeştl formüller elde edlmese olaa sağlamışlardır.

13 4 orzum ve Kocer (009), O some propertes of oradam polyomals sml çalışmalarıda oradam polom dzs taımlamışlardır. Ayrıca oradam polomlarıı bazı özelller sumuşlardır. Tasara ve Ar. (00), O the propertes of Lucas umbers wth bomal coeffcets sml çalışmalarıda ye br yolla bomal atsayılı Lucas sayılarıı bazı ye özelller Lucas sayılarıı yazara elde etmşlerdr. She ve Ce (00), O the bouds fort he orms of r-crculat matrces wth the Fboacc ad Lucas umbers sml çalışmada elemaları Fboacc ve Lucas sayılarıda oluşa,,, ve,,, A Cr F0 F F B Cr L0 L L r-crculat matrsler spetral ormları ç sıırlar elde edlmştr. Ayrıca A ve B matrsler Kroecer ve adamard çarpımlarıı spectral ormları ç bazı sıırlar elde edlmştr. She ve Ce (00), O the spectral orms of r-crculat matrces wth the - Fboacc ad -Lucas umbers sml çalışmada se elemaları -Fboacc ve - Lucas sayılarıda oluşa A Cr F,0, F,,, F, ve B Cr L,0, L,,, L, crculat matrsler spetral ormları ç sıırlar elde edlmştr. r- Falco (0), O the -Lucas umbers sml çalışmasıda -Lucas dzs taımlamış, taımlaa dz özelller celemş ve bu dz, -Fboacc sayıları le arasıda lşler sumuştur. Uslu ve Ar. (0), The geeralzed -Fboacc ad -Lucas umbers sml çalışmalarıda geelleştrlmş -Fboacc dzs taımlamış ve bu dz özelller celemşlerdr. Yayee (0), A ote a geeralzed Fboacc sequeces sml çalışmasıda uadrat rrasyoeller sürel esrler ve elmeler üzerde ombatorler veya dam sstemler teors çalışılmasıda doğal br yolla ortaya çıa geelleştrlmş Fboacc dzs a, b 0 olma üzere aq q çft se q0 0, q ç q bq q tese şelde taımlamış ve bu dzler geel özelller celemştr. İpe (0), O the spectral orms of crculat matrces wth classcal Fboacc ad Lucas umbers etres sml çalışmasıda [Sola, S., 005, O the Norms of Crculat Matrces wth the Fboacc ad Lucas umbers, Appled Mathematcs ad Computatos 60, 5-3] yaptığı çalışmayı gelştrere elemaları

14 5 Fboacc ve Lucas sayılarıda oluşa crculat matrsler spetral ormlarıı hesaplamıştır. Uslu ve Ar. (0), The relatos amog -Fboacc, -Lucas ad geeralzed -Fboacc ad -Lucas umbers ad the spectral orms of the matrces of volvg these umbers sml maalede -Fboacc, -Lucas ve geelleştrlmş - Fboacc sayıları arasıda lşy elde etmşlerdr. Daha sora -Lucas ve geelleştrlmş -Fboacc sayılarıı çere crculat matrsler taımlamışlardır. So olarata bu matrsler spectral ormlarıı alt ve üst sıırlarıı elde etmşlerdr. She ve Ar. (0), O the determats ad verses of crculat matrces wth Fboacc ad Lucas umbers sml çalışmada elemaları Fboacc ve Lucas sayılarıda oluşa crculat matrsler determatlarıı ve tersler, Fboacc ve Lucas sayılarıyla elde etmşlerdr. Yazl ve Tasara (0), A ote o geeralzed -oradam sequece sml çalışmada Geelleştrlmş -oradam dzler taımlamışlar, bu dz bazı özelller determat yardımıyla spat etmşlerdr. Yazl ve Tasara (0), Spectral orm, egevalues ad determat of crculat matrx volvg geeralzed -oradam umbers sml çalışmarıda elemaları geelleştrlmş -oradam sayılarıda oluşa crculat matrs taımlamışlar, bu matrs spectral ormuu, öz değerler ve determatıı hesaplamıştır. Bozurt ve Tam (0), Determats ad verses of crculat matrces wth Jacobsthal ad Jacobsthal-Lucas umbers sml çalışmalarıda elemaları Jacobsthal ve Jacobsthal-Lucas sayılarıda oluşa crculat matrsler determatlarıı ve tersler, Jacobsthal ve Jacobsthal-Lucas sayılarıyla elde etmşlerdr..3. Temel Kavramlar Bu bölümde, çalışmaı temel souçlarıyla lgl. ve 3. bölümde yararlaılaca temel avramlar verlecetr..3.. Sayı dzler Lteratürde çalışıla sayı dzler, başlagıç değerler, mertebes ve reüras bağıtısıı atsayılarıa göre dört farlı şelde sııfladırılablr. Burada II., III. ve IV. tp sayı dzler, I. tp sayı dzler braçıı ya da heps bazı urallar sağlatılara geellemeler olara elde edleblr. Faat bazı durumlarda bu geellemeler

15 6 elde edlemeyeblr. Öreğ; ç başlagıç şartları P 0, P 0, P0 olma üzere P P P le verle Padova sayıları(shao ve Ar., 006) 3. mertebede reüras bağıtısıa sahp e I. tp sayı dzler br geellemes değldr I. Tp sayı dzler Bu tür sayı dzler başlagıç şartları ve reüras bağıtısıı atsayıları sabt ola ve c mertebede reüras bağıtısı le fade edleble sayı dzlerdr. Şmd bu sayı dzlerde y ble braç taes açılayalım. Taım.3... (Vajda,989; Koshy, 00) F0 0, F olma üzere, F F F.3... le taımlaa F sayı dzse Fboacc dzs ve bu dz elemalarıa da Fboacc sayıları der le verle delem, sabt atsayılı. mertebede br far delem olup, araterst delem 0 dr. Karaterst delem öler se 5 ve 5 dır.. Fboacc sayısı, F şelde br formül le fade edlmete ve bu formüle de Fboacc sayılarıı Bet Formülü delmetedr. F Bet formülüde hareetle, lm olduğu olayca görülmetedr. Brço F matematç ve blm saıı yıllar boyu lgs çee ve araştırmalara ou ola, sayısı Altı ora, Kutsal ora, Müemmel ora gb smler atfedlmetedr. Buu ede bu oraa göre yapıla ve oluşturula resmler, mmar eserler, br ddörtge veya doğada bulua br ççeğ yapralarıı saı algılayabldğ e güzel göz zamı olmasıdadır. Tabatta calılarda, sa vücududa ve mmar yapılarda altı oraı görme mümüdür. Taım.3... (Koshy, 00) L0, L olma üzere, L L L şelde taımlaa L Lucas sayıları der. sayı dzse Lucas dzs ve bu dz elemalarıa da

16 7 L Reüras bağıtısı gerye doğru düşüülürse egatf dsl Lucas sayıları L formülü le verleblr. Lucas sayıları ç üreteç fosyou 0 L x x x x 5 5 şeldedr. Üreteç fosyou yardımıyla ve olma üzere Lucas sayılarıa at Bet Formülü L şelde elde edlr. Fboacc sayıları le Lucas sayıları arasıda L F F ve F F L gb brço bağıtı mevcuttur. Taım (oradam, 97) P 0 0, P olma üzere, P P P le taımlaa P sayıları der. sayı dzse Pell dzs ve bu dz elemalarıa da Pell Pell dzs reüras bağıtısı gerye doğru düşüülürse egatf dsl Pell P formülü le verleblr. Pell sayıları ç üreteç fosyou, sayıları P x P x 0 x x şeldedr. Üreteç fosyou yardımıyla ve olma üzere Pell sayılarıı Bet Formülü P şelde verlr. Taım (oradam, 97) Q0, Q olma üzere, Q Q Q şelde taımlaa Q da Pell-Lucas sayıları der. sayı dzse Pell-Lucas dzs ve bu dz elemalarıa

17 8 Pell-Lucas dzs reüras bağıtısı gerye doğru düşüülürse egatf dsl Pell sayıları Q fosyou, 0 Q x x x x Q formülü le verleblr. Pell-Lucas sayıları ç üreteç şeldedr. Üreteç fosyou yardımıyla ve olma üzere Pell sayılarıı Bet Formülü Q şelde verlr. Pell sayıları le Pell-Lucas sayıları arasıda P P Q bağıtısı mevcuttur. Taım (oradam, 994) q0, q olma üzere, q q q şelde taımlaa q elemalarıa da modfed Pell sayıları der. sayı dzse modfed Pell dzs ve bu dz Modfed Pell dzs reüras bağıtısı gerye doğru düşüülürse egatf dsl Pell sayıları q üreteç fosyou, 0 q x x x x q formülü le verleblr. Modfed Pell sayıları ç şeldedr. Üreteç fosyou yardımıyla ve olma üzere modfed Pell sayılarıı Bet Formülü q şelde verlr. Modfed Pell sayıları le Pell sayıları arasıda bağıtı q P P modfed Pell sayıları le Pell-Lucas sayıları arasıda bağıtı se q Q Q Şeldedr.

18 9 Taım (oradam, 996) J0 0, J olma üzere, J J J şelde taımlaa J da Jacobsthal sayıları der. sayı dzse Jacobsthal dzs ve bu dz elemalarıa Jacobsthal dzs reüras bağıtısı gerye doğru düşüülürse egatf dsl Jacobsthal sayıları fosyou, x Jx 0 x x J J formülü le verleblr. Jacobsthal sayıları ç üreteç şeldedr. ve olma üzere Jacobsthal sayılarıı Bet Formülü J şelde verlr. Taım (oradam, 996) j0, j olma üzere, j j j şelde taımlaa j elemalarıa da Jacobsthal-Lucas sayıları der. sayı dzse Jacobsthal-Lucas dzs ve bu dz Jacobsthal-Lucas dzs reüras bağıtısı gerye doğru düşüülürse egatf dsl Jacobsthal sayıları üreteç fosyou, 0 J x x x x j j formülü le verleblr. Jacobsthal sayıları ç şeldedr. ve olma üzere Jacobsthal sayılarıı Bet Formülü j şelde verlr. Jacobsthal sayıları le Jacobsthal-Lucas sayıları arasıda j J J ve jj J gb brço bağıtı mevcuttur. Fboacc, Lucas, Pell, Pell-Lucas, modfed Pell, Jacobsthal ve Jacobsthal- Lucas sayılarıı l braç term aşağıda tabloda verlmştr.

19 F L P Q q J j II. Tp sayı dzler Bu tür sayı dzlerde başlagıç oşulları eyf reel ya da omples sayılar ya da reüras bağıtısıı atsayılarıda e az br blmeye ola ve c mertebede reüras bağıtısı le fade edleble sayı dzlerdr. Ya, bu tür sayı dzler elemaları e az br blmeyee bağlıdır. Şmd bu sayı dzlerde y ble braç taes açılayalım. Taım.3... (oradam, 965) a, b, p, q ve W0 a, W b olma üzere, W pw qw.3... şelde taımlaa W sayı dzse oradam dzs ve bu dz elemalarıa da oradam sayıları der de verle reüres bağıtısıda, p, q, a ve b uygu değerler verlrse, I. tp sayı dzler elde edlr. Öreğ p q, a 0, b ç Fboacc dzs elde edlr. oradam sayıları ç üreteç fosyou, W x 0 a x b pa px qx şeldedr. p p 4q ve p p 4q olma üzere b a A ve b a B ç oradam sayılarıı Bet Formülü W A B

20 şelde verlr. Taım.3... (Falco & Plaza, 007) 0 reel sayısı ç F,0 0, F, olma üzere, F, F, F,.3... le taımlaa, sayı dzse -Fboacc dzs ve bu dz elemalarıa da F -Fboacc sayıları der. -Fboacc, Fboacc dzs br geellemes olup, tamsayısı ç farlı dzler elde edlr. Eğer.3... de alıırsa, Fboacc dzs, alıırsa Pell dzs, 3 alıırsa başlagıç şartları F3,0 0, F3, olma üzere F 3F F 3, 3, 3, dzs elde edlr reüras bağıtısıı araterst delem, 0 olup bu delem öler, 4 ve 4 olma üzere -Fboacc saylarıı Bet formülü F, şeldedr. Burada araterst delem poztf öü ola ya -altı ora adı verlr.,,3 değerler ç özel olara smledrlmştr. Ya, 3 3 ora, gümüş ora ve 3 broz ora olara taımlamıştır. 5 altı Taım (Falco, 0) 0 reel sayısı ç L,0, L, olma üzere, L, L, L, le taımlaa, sayı dzse -Lucas dzs ve bu dz elemalarıa da - Lucas sayıları der. L -Lucas, Lucas sayılarıı br geellemes olup, tamsayısı ç farlı dzler elde edlecetr de alıırsa Lucas dzs, alıırsa Pell-

21 4 Lucas dzs elde edlr. ve Lucas saylarıı Bet formülü L, şeldedr. 4 olma üzere - Taım (Uslu & Ar, 0) 0 reel sayısı ç G,0 a, G, b olma üzere, G G G,,, le taımlaa G, sayı dzse geelleştrlmş -Fboacc dzs ve bu dz elemalarıa da geelleştrlmş -Fboacc sayıları der. 4, 4, C b a ve D b a olma üzere geelleştrlmş -Fboacc saylarıı Bet formülü G, C D şeldedr. Geelleştrlmş -Fboacc sayıları, -Fboacc ve -Lucas sayıları yardımıyla fade edleblmetedr. Öreğ, -Fboacc dzs le; ç G af bf, -Lucas dzs le de,,, fade edlmetedr. G,,,,, a L L b L L III. Tp sayı dzler Bu tür sayı dzler başlagıç şartları ve reüras bağıtısıı atsayıları sabt ola ve. mertebede reüras bağıtısı le fade edleble sayı dzlerdr. Şmd bu sayı dzlere aşağıda öreler verelm. Taım p,, ve p ç F (0) 0, F () F () F ( p) olma üzere F ( ) F ( ) F ( p ) p p p p p p p

22 3 le taımlaa F p, sayı dzse Fboacc p-dzs bu dz elemalarıa da dzye Fboacc p-sayıları der. p ç Fboacc p-sayıları, geleesel Fboacc dzse drger (Stahov, 977). Taım j ç c j atsayı sabt olma üzere başlagıç oşulları, g, 0 0, dğer olma üzere j j j g c g, 0, le taımlaa dzye Geelleştrlmş -mertebede Fboacc sayılarıı dzs der. g,. dz. termdr., c j ç geelleştrlmş -mertebede Fboacc sayılarıı dzs, geleesel Fboacc dzse drger (Er, 984) IV. Tp sayı dzler Bu tür sayı dzlerde başlagıç oşulları eyf reel ya da omples sayılar ya da reüras bağıtısıı atsayılarıda e az br blmeye ola ve. mertebede reüras bağıtısı le fade edleble sayı dzlerdr. Ya, bu tür sayı dzler elemaları e az br blmeyee bağlıdır. Şmd bu sayı dzlere aşağıda öreğ verelm. Taım p, m ç a,,,, p reel ya da omples değerler olma üzere başlagıç oşulları Fp, m() a, Fp, m() a,, Fp, m( p ) a p ola F mf ( ) F ( p ) p, m p, m p, m le taımlaa sayı dzse Fboacc ve Lucas p-sayılarıı m-geşlemes der (Goce ve Ar., 009)..3.. Matrs ormları üzerde taımlaa mutla değer fosyou le; dzler yaısalığı, fosyoları sürellğ, lmtler ve verle br reel sayı ç bu sayıya e yaı tamsayıyı bulma gb yalaşım problemler çözüleblr. Ayı şeyler vetör uzayı

23 4 üzerde taımlaa orm ç de geçerldr. Normlar, sgüler değer ayrışımıda(svd), Ax=b problem aalzde, vetör dzler yaısalığıda, döüşümler sürellğ ve lmtlerde, ararlılı teorsde, yalaşım problemlerde (bu tür problemler geellle arşımıza aalz, Le teor, ümer aalz, dferasyel delemler, Marov zcrler, eoometr, byoloj ve sosyolojde popülasyo modelleme, fz ve myada dege durumları gb) ortaya çıar. Bu bölümde öcelle vetör ormları üzerde, daha sora da çalışmamızda ullaacağımız matrs ormları le lgl taımlar, teoremler ve bazı temel avramlar verlecetr. Taım.3.. F reel ya da omples sayılar csm ve V, F csm üzerde taımlamış vetör uzayı olma üzere ) v V ç v 0 ve v 0 v 0,. : V 0 şelde fade edle ve ) F ve v V ç v v, ) u, v V ç u v u v asyomlarıı sağlaya. döüşümüe, vetör ormu, üzerde orm taımlamış br vetör uzayıa da ormlu uzay der (or & Johso, 985). Taım.3.. M m( F ), elemaları F csmde alıa m matrsler ümes ve A,B M F, α F olma üzere, m ) 0 A ve A = 0 A= 0 ) αa = α A α F ) A+ B A B v) AB A B asyomlarıı sağlaya +. : M F 0 döüşüme matrs ormu der. Br A m matrs ormu geel alamda A le gösterlr. Eğer bu asyomlarda l üçü sağlaıyorsa orma geelleştrlmş matrs ormu der (or & Johso, 985). x herhag br vetör olma üzere matrs ormları le vetör ormları arasıda Ax A x şelde br lş vardır. Bu eştszlğ sağlaya A matrs ormua, x vetör ormu le uygudur der (or & Johso, 985).

24 5 Taım.3..3 A, tpde br matrs olma üzere ) A = a E = j= j fadese A matrs Eucldea (Frobeus) ormu, ) A A T * ç, ormu, A = λ A A = σ A fadese se A matrs Spectral max max ) v) A = max a j = A = max a m j= j j fadese A matrs maxmum sütu toplam ormu, fadese A matrs maxmum satır toplam ormu, v) p ç, A p, j a j p p fadese A matrs l p ormu, v) c A max a fadese A matrs masmum sütu uzulu ormu, v) r A j j j max a fadese A matrs masmum satır uzulu ormu, j der(or & Johso, 985). A, m tpde br matrs olma üzere Taım.3..3 de verle ormlar arasıda aşağıda bağıtılar mevcuttur. ) A A A.3.. F F ) A A A.3.. ) A A m A.3..3 v) A A A.3..4 m Taım.3..4 A a j, tpde br matrs olsu. ler A matrs öz değerler olma üzere A matrs mutla değerce e büyü öz değere A matrs spectral yarıçapı der ve A şelde gösterlr(or & Johso, 985). max

25 6 Teorem.3..5 A, br A matrs spectral yarıçapı ve A herhag br matrs ormu olma üzere A A dır(or & Johso, 985). Taım.3..6 A a j ve B b j, tpde matrsler olma üzere A B aj. b j şelde verle çarpıma A ve B matrsler adamard çarpımı der(or & Johso, 985). Teorem.3..7 A, B ve C, tpde matrsler olma üzere, eğer A B C se, A r B c C dr (Mathas, 990) Crculat matrsler Bu bölümde, çalışmamızda ullaacağımız crculat ve r-crculat matrsler le lgl taımlar ve teoremler verlecetr. Taım.3.3.,,, T 0 olsu. j elemaı cj x j mod x x x x ola tpde C x matrse crculat matrs der. tpde C x crculat matrs x0 x x x x x0 x x C x x x x0 x 3 x x x3 x 0 şeldedr. Crculat matrslerde her br satırı elemaları ayıdır. Satırlar arasıda.3.3. te far se elemaları sağa doğru br adım aymasıdır. Bu edele tüm crculat matrsler l satır (ya da sütu) tarafıda taımlaablr (P. J. Davs, 979). Taım.3.3. r-crculat matrs se,,,, T x x0 x x olma üzere,, j,,, ç, j elemaı Crculat matrs der ve c j x j, j rx j, j ola tpde Cr x cj matrse r-

26 7 x0 x x x rx x0 x x Cr ( x) rx rx x0 x rx rx rx3 x 0 şelde gösterlr. Taımda da görüldüğü gb, r-crculat matrslerde r= alıırsa, crculat matrsler elde edlr (She,00). Taım ve olma üzere w delem w e, 0,,,, ölere brm. mertebede öler der. Eğer le aralarıda asal se brm prmtf öü der. alıacatır. Bu çalışmada as belrtlmedçe durumu w öüe w w e prmtf öü ele Teorem w e brm. derecede prmtf öü ve ( ) taımlaa crculat matrs olsu. C( x ) crculat matrs öz değerler j j C x xw, j 0,,,, 0 ve bu öz değerlere arşılı gele öz vetörler de y, w, w,, w j j j j dr (R. M. Gray, 00). C x de.3.3. de Teorem x, y ve brm. derecede prmtf öü zama x x x yw y w y x y 0 0 y y dr (D. Ld, 970). w e olsu. O Teorem C( x), tpde br crculat matrs ve brm. derecede prmtf öü det C x w e olsu. j 0,,,, j x jw 0 j 0 ç

27 8 dr (D. Ld, 970). Teorem A, öz değerler,,, ola tpde br are matrs olsu. A ı ormal matrs olması ç gere ve yeter şart AA matrs öz değerler,,, olmasıdır. Burada A, A matrs eşle traspozesdr (or & Johso, 985). Teorem Brm. derecede prmtf öü g x ax olsu. 0 bs g w w s w e ve ( r ) rs ( 0,,,, ) olma üzere r 0 A Crc a0, a,, a tel olmaya crculat matrs ters A Crc b0, b,, b dr (Good, 950). j Teorem f x a x ve j j w e olsu A crculat matrs tersr olması ç gere ve yeter şart f ( w ) 0 ( 0,,,, ) olmasıdır (Good,950).

28 9. GENELLEŞTİRİLMİŞ -ORADAM DİZİSİ Bu bölümde, geelleştrlmş -oradam dzs taımlaara, bu dz ç elde edle özelller suulmuştur... Geelleştrlmş -oradam Dzs ve Geel Özelller Taım.. 0, f ( ) ve g( ) saler değerl polomları olsu. f ( ) 4 g( ) 0,,0 a,, b olma üzere, f ( ), g( ), (..) reüras bağıtısı le taımlaa, sayı dzse geelleştrlmş -oradam dzs ve bu dz elemalarıa da geelleştrlmş -oradam sayıları der (Yazl & Tasara, 0). delem.. le verle delem,. mertebede br far delem olup araterst r f ( ) r g( ) 0 (..) şeldedr. Karaterst delem öler r f f g ( ) ( ) 4 ( ) olma üzere, öler arasıda ve f ( ) f ( ) 4 g( ) r ; r r r r f ( ), r r f ( ) 4 g( ), r r g( ) (..3) bağıtıları elde edlr. ç.. ' de verle reüras bağıtısıda, f ( ), g( ), a ve b özel değerler, geelleştrlmş -oradam dzs lteratürde yer ala dğer sayı dzlere drger. Öreğ;, dzsde; f ( ) g( ), a 0, b dzse, ç, F 0,,,,3, f ( ) g( ), a, b ç, L,,3, 4,7, f ( ), g( ), a 0, b ç, 0,,,5,, Fboacc Lucas dzse, P Pell dzse,

29 f ( ), g( ), a, b dzse, ç, Q,,6,4,34, f ( ), g( ), a, b dzse, ç,,,3,7,7, f ( ), g( ), a 0, b dzse, q ç, J 0,,,3,5, f ( ), g( ), a, b 0 Pell-Lucas Modfed-Pell Jacobsthal ç, j,,5,7,7, Lucas dzse, f ( ), g( ), a 0, b Jacobsthal- ç, F 3, 0,,,,, Fboacc dzse, f ( ), g( ), a, b ç, L 3,,,, 3, Lucas dzse, f ( ), g( ) - - ç, G, a, b, b a, b a b, geelleştrlmş -Fboacc dzse, f ( ) p, g( ) q ç, W a, b, bp aq, bp aqp bq, oradam dzse drger. Teorem.. r ve, r.. delem öler olsu. O zama r r r,,,,0..4 dr (Yazl & Tasara, 0). İspat. (..3)' de eştller göz öüe alıır ve.. delem yede düzelerse, r r r r,,, r r r..5,,,, elde edlr. Bezer şelde,.. delem yede düzelerse,, sayısı ç,..3 ' de eştller göz öüe alıır ve

30 ..6 delem r r r r buluur...5 delem sağ tarfıda yere yazılırsa,,,,, 3 (..6) r r r,,,, 3 elde edlr. İdrgeme şleme bu şelde devam edlrse, r r r,,,,0 elde edlr. Teorem..3 (Bet Formülü) X b ar ve Y b ar olma üzere, ç Xr Yr, r r dr (Yazl & Tasara, 0)...7 İspat...4 eştlğ her tarafıı r le bölerse, r r r r r r,,,,0 elde edlr. v r, r,,0 v r r v olsu. O zama aşağıda verle r. mertebede leer far delem elde edlr. Bu far delem v 0 başlagıç değere arşılı gele çözümü se, v, r,0 r v0 0 r r r r r, r,0 r v 0 r r r r r v r r r r r,,0 0 dr. Öte yada, r r v eştlğ so delemde yere yazılır ve yede düzelerse r

31 r r r r,,0,,0, r r r r olur. X,,0r b ar, ve Y,,0r b ar olduğuda b ar r b ar r Xr Yr r r elde edlr. r r Teorem..4 X,,,, ola tpde br matrs olma üzere, ç, elemaları geelleştrlmş -oradam sayıları..8 X g a g abf b dr (Yazl & Tasara, 0). İspat. İspatı üzerde tümevarımla yapalım. ç, X,0,,0,,,, a bf ( ) ag( ) b 0 g abf a g b ( ) ( ) ( ). ç, X,,,,3,,,3 bbf ( ) ag( ) f ( ) bg( ) bf ( ) ag( ) g a g( ) abf ( ) b. s ç doğru olsu. Ya, s X s g a g abf b, s, s, s, s olsu. s ç,..9

32 3, s, s s X s g a g abf b, s, s fades doğruluğuu gösterelm...9 da determat özelller ullaılara, 3 adımda..9 da..0 elde edlr. Ya, ' da determatı, l olara; brc sütuu g( ) le çarpılır. İc olara; c sütuu f ( ) le çarpıp brc sütua eler ve so olara ta sütu yer değştrlrse stele..0 eştlğ elde edlr. Teorem..5 Y r, r,, r, elemaları geelleştrlmş -oradam sayıları ola tpde br matrs olma üzere, r 0 ç aşağıda özelller sağlaır. ) Yr f Yr g Yr ) ( ) ( ), Y g b a, r, r, r dr (Yazl & Tasara, 0). İspat. Öcelle () doğruluğuu gösterelm. ) A f Y g Y olsu. r 0 ç, r A f g r, r,, r,, r,, r,,, r,, r, r,,, r f g, f, r g, r, f, r g, r buluur. So eştlte.. göz öüe alıır ve yede düzelerse, r ( ) r,, r,, r 3 f Y g Y elde edlr. Y r ) İspatı r üzerde tümevarımla yapalım. r 0 ç,

33 4 Y 0,,,,,,,, g b,0 a, eştl sağlaır. r ç, Teorem..4 göz öüe alıırsa, g b, a, Y g b a g abf elde edlr eştl sağlaır. r p ç doğru olsu. Ya, ( ).. Y g b a p, p, p olsu. O zama r p ç ( ) Y g b a p, p, p olduğuu gösterelm. Teorem..5-() ve.. göz öüe alıırsa, Y f Y g Y p p p f g b, p a, p g( ) g b, p a, p g b f, p g( ), p a f, p g( ), p g b, p a, p buluur teorem spatlamış olur. Teorem..5 de r yere m alıırsa, geelleştrlmş -oradam dzs ç, d Ocage eştlğ g b a, m,, m,, m, m.. elde edlr. Teorem..6 Z s,, r, s, r s elemaları geelleştrlmş -oradam sayıları ola tpde br matrs olma üzere, s 0 ç aşağıda özelller sağlaır. ) Z f Z g Z s s s,

34 5 ) Z s g dr (Yazl & Tasara, 0). b, a, b, a, r r r s s b a g abf İspat. Teorem spatı, Teorem..5 spatıa bezer şelde olaylıla yapılablr. Teorem..6 da s yere m r alıırsa, r g b, r a, r b, mr a, mr b a g abf, m,, mr, r..3 elde edlr...3 delem geelleştrlmş -oradam dzler ç bazı eştller geellemesdr. Öreğ;..3 eştlğde r ve yere alıırsa,.. ' de d Ocage eştlğ elde edlr...3 eştlğde m yere alıırsa, geelleştrlmş -oradam dzler ç Catala eştlğ elde edlr...3 eştlğde r ve m alıırsa, Teorem..4 de Cass eştlğ elde edlr... Geelleştrlmş -oradam Dzs Kısm Toplamları celemştr. Bu bölümde, geelleştrlmş -oradam dzler toplamsal özelller Teorem... ç, aşağıda özelller sağlaır. 0 ) f ( ) g( ) 0 olma üzere, g( ) f ( ) f ( ) g( ),,,,0.. ) f g 0 olma üzere,

35 6 0 dr. İspat., f g,, f,,0.. ).. eştlğ yede düzelerse g( ),, f ( ),..3 elde edlr...3 eştlğ 0,,,, ç yazılırsa g( ) f ( ),0,, g( ) f ( ),,3, g( ) f ( ),,, olur. Elde edle so eştller taraf tarafa toplaırsa 0 g( ) f ( ) f ( )..4,,,3,,, elde edlr. Öte yada eştlğ her tarafıa f ( ),0, yede düzelerse ( ) ( ) ( ) ( ) f g g f elde edlr. 0,,,,,0 elep )..3 eştlğ hpotez sol tarafıa uygu olaca şelde 0,,,, ç yazılırsa g( ) f ( ),0,, g( ) f ( ),,3, g( ) f ( ),,4,3,,, g( ) ( ) ( ) f ( ) elde edlr. Elde edle so eştl taraf tarafa toplaırsa,

36 g( ), f ( ),,3, 0, f ( ), elde edlr. Öte yada eştlğ her tarafıa yede düzelerse, ( ) ( ) f g 0 olur spat tamamlaır.,,, ( ) f f,0, 7..5 elep,,0 Teorem.. ( g( ) ) ( f ( )) 0 ve f ( ),,0, olma üzere, g( ) ç, aşağıda eştller sağlaır. ) 0 ( g( ) )( ) f ( ) g( )( ), ( g( ) ) ( f ( )),,0,,, ) 0 ( g( ) ) g( )( ) f ( )( ). ( g( ) ) ( f ( )),,,,0, İspat. A ve, 0 0 B olsu., alıara öce taraf tarafa toplaırsa,..4 ve g( )( ) f ( )( ),0,,,,3, elde edlr. So eştl düzelerse,..5 eştllerde yere ( ),0,,4,,,0 g( ) A f ( ) B..6 buluur. Daha sora,,0..4 de..5 çıartılırsa, g( )( ) f ( )( ),,3,,,4, ( ) f ( ),3,5,,, elde edlr. So eştl yede düzeler ve f ( ),,0, olduğu göz öüe g( ) alıırsa, ( g( )) B f ( ) A g( )(,, )..7 elde edlr...6 ve..7 eştllerde,

37 8 ( g( ) ) A f ( ) B,,0 f ( ) A ( g( ) ) B g( )( ),, delem sstem elde edlr. Bu delem sstem çözülece olursa, A f ( ),,0 g( )( ) g( ),, g( ) f ( ) f ( ) g( ) ( g( ) )(,,0 ) f ( ) g( )(,, ) ( g( ) ) ( f ( )) ve B g( ),,0 f ( ) g( )( ),, g( ) f ( ) f ( ) g( ) ( g( ) ) g( )(,, ) f ( )(,,0) ( g( ) ) ( f ( )) elde edlr. Teorem..3 q p 0 ç, 0 p ( ) g, pq, q p, p p q, q, pq p p p g( ) r r dr (Yazl & Tasara, 0). (..8) İspat. Teorem geelleştrlmş -oradam dzs ç Bet formülüü ullaara spatlayalım. Xr Yr pq p q, pq 0 0 r r olur. Öte yada Xr Yr r r r r q q p p r r 0 0 q p p q p p Xr r Yr r p p r r r r r r..3 ve..7 göz öüe alıırsa

38 p pq q p p pq q p Xr Xr r Yr Yr r r r r r p g( ), pq, q p, p pq, q, pq p p 0 buluur. Teorem..4 0 dr., İspat. p p p g( ) r r g( ) S b af ( ) a XY, X b ar, Y b ar g( ) b af ( ) olsu. f ( ) g( ) g ( ) 0 olma üzere, g( ) g ( ) S,,, f ( ) g( ) g ( ) 0, 9 ve (..9) A olsu. O tadrde geelleştrlmş -oradam dzs taımıda, g( ), 0 f ( ) A olur. Yuarıda eştl düzelerse ( ), ( ),, ( ), f A g g buluur. Teorem..4 göz öüe alıır ve bu eştl yede düzelerse,,0,,, f ( ) A A g ( ) A g( ) XY ( g( ),,0,, A g ( ) A g( ) A XY ( g( )) ( g( )) A( g ( ) g( )), a g ( ), ( b af ( )) XY g( ) olur. Burada ( g( )), g ( ), ( ) b af a XY g( ), 0 f ( ) g( ) g ( ) elde edlr Geelleştrlmş -oradam Dzs Üreteç Fosyou Bu bölümde, geelleştrlmş -oradam dzs üreteç fosyou verlmştr. Üreteç fosyouda yararlaara ta farlı metotlarla geelleştrlmş -oradam dzs Bet Formülü yede elde edlmştr.

39 30 Ya; Geelleştrlmş -oradam sayıları br uvvet sers yardımıyla elde edleblr.,0,,,, 0 ( x) x x x x (.3.) dr..3. delem her tarafıı öcelle f ( ) x daha sorada çarpıp düzelerse,,0,, g( ) x le f ( ) x ( x) f ( ) x f ( ) x f ( ) x (.3.) 3 g( ) x ( x) g( ) x,0 g( ) x, g( ) x,.3.3 elde edlr..3. eştlğde.3. ve.3.3 eştller çıartılırsa f ( ) x g( ) x ( x),0 x, f ( ),0.3.4 buluur. Burada geelleşttlmş -oradam dzs üreteç fosyou,0 x, f ( ),0 ( x) (.3.5) f ( ) x g( ) x olara elde edlr. (Yazl & Tasara, 0)..3.5 delemde f ( ), g( ), a ve b ye uygu değerler verlrse, lteratürde yer ala. mertebede dğer sayı dzler üreteç fosyoları elde edlr. Öreğ; f ( ) g( ), a 0, b ç, Fboacc dzs üreteç fosyou x x x x, f ( ) g( ), a, b ç, Lucas dzs üreteç fosyou x ( x), x x f ( ), g( ), a 0, b ç, Pell dzs üreteç fosyou x ( x), x x f ( ), g( ), a 0, b ç, Jacobsthal dzs üreteç fosyou x ( x), x x f ( ), g( ), a, b ç, Jacobsthal-Lucas dzs üreteç x fosyou ( x), x x f ( ), g( ), a 0, b ç, -Fboacc dzs üreteç fosyou x ( x), x x

40 3 f ( ), g( ), a, b ç, -Lucas dzs üreteç fosyou x ( x), x x f ( ), g( ) ç, geelleştrlmş -Fboacc dzs üreteç fosyou elde edlr. a x( b a) ( x), x x Şmd de geelleştrlmş -oradam dzs Bet formülüü üreteç fosyoları yardımıyla yede elde edelm. Buu ç de.3.5 eştlğ sağ tarafı ç polomlar da bast esrlere ayırma şlem yapılırsa, ya x f ( ) A B f x g x r x r x,0,,0 ( ) ( ),,0r,0 f ( ),,0r,0 f ( ) r r r x r x elde edlr. Burada ser açılımıa geçlrse r r ( x),,0r,0 f ( ) r x ( r x) ( r x),,0r,0 f ( ) r x ( r x) ( r x),,0r,0 f ( ) r x,,0r,0 f ( ) r x 0 0 buluur. Öte yada,,0r,0 f ( ),,0r X ve r f ( ) r Y olduğu göz öüe alıırsa,,,0,0,,0 X r x Y r x 0 0 ( x) r r Xr Yr x r r 0 elde edlr. Bezer şelde geelleştrlmş -oradam dzs Bet formülü dferasyel delemlerde yararlaara ta elde edleblr. Buu çde öcelle y f ( ) y g( ) y 0, y(0) a, y(0) b.3.6 başlagıç değer problem göz öüe alalım. Bu sabt atsayılı leer homoje dferasyel delem olup araterst delem r f r g ( ) ( ) 0 dır. Bu

41 3 delem öler,.. de araterst delem öler le ayıdır. O zama bu delem geel çözümü r x r x y Ae Be olur. Bu deleme başlagıç şartları uygulaırsa, y b ar e b ar e Xe Ye r r r r r x r x r x r x r x r x r x r x buluur. e, e!! eştller de yere yazılırsa.3.7 r x r x y X Y r r 0! 0! Xr Yr x, x r r!! 0 0 buluur. Souç olara görülür,! ç geel çözüm üreteç fosyou olur..4. Negatf İdsl Geelleştrlmş -oradam Dzs Burada egatf dsl geelleştrlmş -oradam dzs taımlaara, poztf dsl geelleştrlmş -oradam dzs le arasıda bağıtı elde edlmştr. Taım.4. 0, f ( ) ve g( ) ı saler değerl polomları olsu. f ( ) 4 g( ) 0 olma üzere,0 a,, b ve f ( ) g( ) g( ) reüras bağıtısı le taımlaa,,,, (.4.) sayı dzse egatf dsl geelleştrlmş -oradam dzs ve bu dz elemalarıa da egatf dsl geelleştrlmş - oradam sayıları der. term Bu taıma göre, egatf dsl geelleştrlmş -oradam dzs so braç 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),, bg af g bf af, ag bf af, b af, a 3 g ( ) g ( ) g( ) şeldedr.

42 f g a b özel değerler ç, Burada ( ), ( ),, ' 33 egatf dsl geelleştrlmş -oradam dzs lteratürde yer ala bazı egatf dsl dğer sayı dzlere drgeeblr. Öreğ, dzsde; f ( ) g( ), a 0, b ç, F F F egatf dsl Fboacc dzs, f ( ) g( ), a, b ç, L L L egatf dsl Lucas dzs, f ( ), g( ), a 0, b ç, P P P egatf dsl Pell dzs, f ( ), g( ), a, b ç, Q Q Q egatf dsl Pell- Lucas dzs, f ( ), g( ), a 0, b ç, J J J egatf dsl Jacobsthal dzs, f ( ), g( ), a, b ç, j j j egatf dsl Jacobsthal-Lucas dzs, f ( ), g( ), a 0, b ç, F, F, F, egatf dsl - Fboacc dzs, f ( ), g( ), a, b ç, L, L, L, egatf dsl -Lucas dzs, f ( ), g( ) ç, G, G, G, egatf dsl geelleştrlmş -Fboacc dzse, f ( ) p, g( ) q ç, qw W pw egatf dsl oradam dzs elde edlr. Negatf dsl geelleştrlmş -oradam dzs le poztf dsl geelleştrlmş -oradam dzs arasıda bağıtıyı elde etme ç öcelle aşağıda dzy taımlayalım. Geelleştrlmş -oradam dzsde a 0, b ç, U dzs U, f ( ) U, g( ) U,.4. şelde taımlaır...7 delem de a 0, b dzs Bet formülü alıırsa, U

43 34 r r U, r r olara elde edlr..4.3 Teorem.4. (Bet Formülü) X b ar ve Y b ar olma üzere, ç Xr Yr g au bu dr.,,, r r İspat...7 ve Teorem de spat açıtır. U, dzs ve, dzs ç, au, b af U,.4.5 bağıtısı geçerldr. İspat..4.5 eştlğ sağ tarafıda.4.3 göz öüe alıırsa r r r r au, b af U, a b af ( ) r r r r elde edlr. Teorem.4.4 ç, ar b a r r r ar b a r r r b ar r b ar r, r r au bu g dr.,,,, au, b af ( ) U, r r İspat..4.4 eştlğ sağ tarafıı, le çarpıp bölerse au bu g,,.4.6,,, olur..4.6 eştlğde, yere au bu g,,,, au, b af ( ) U, buluur..4.5 eştlğ yazılırsa

44 35 3. CİRCULANT MATRİSLER Bu bölümde, elemaları geelleştrlmş -oradam sayıları ola crculat matrs taımlaara bu matrsle lgl bazı özelller celemştr. Ayrıca, bu crculat matrs ters elde edlmştr. Daha sora, elemaları geelleştrlmş -oradam sayıları ola r-crculat matrs taımlaara, bu matrs le lgl bazı temel özelller celemştr. 3.. Geelleştrlmş -oradam Sayıları le Taımlı Crculat Matrsler Daha öce taımlaa C x crculat matrs elemaları geelleştrlmş - oradam dzs ardışı termler olaca şelde C( ) crculat matrs taımlayalım. Taım 3..,,. geelleştrlmş -oradam sayısı olsu., j,,, ç j s mod olma üzere cj, s şelde taımlaa tpde C c j matrse geelleştrlmş -oradam sayıları le taımlı crculat matrs der ve,0,,,,,0,, C( ),,,0, 3 3..,,,3,0 şelde gösterlr (Yazlı & Tasara, 0). Öreğ, elemaları geelleştrlmş -oradam sayıları ola 3 3 tpde crculat matrs a b bf ( ) ag( ) C( ) bf ( ) ag( ) a b b bf ( ) ag( ) a şeldedr. Teorem 3.. C, geelleştrlmş -oradam sayıları le taımlı tpde crculat matrs ve w, brm. derecede prmtf öü olma üzere

45 36,,0 g,, f ( ),0 w j C j j g( ) w f ( ) w dr (Yazlı & Tasara, 0). j 3.. İspat: Teorem de geelleştrlmş -oradam sayıları le taımlı crculat matrs özdeğerler j j( C( )), w şeldedr. Öte yada Xr Yr w w j, 0 0 r r buluur. r..7 formülü j X r w Y r w j j r 0 0 Xr X Yr Y j j r r r w r w j j Xr X r w Yr Y r w j j r r r w r w,,0 g( ),, f ( ),0 g w 3..3 delemde yere yazılırsa, j j ( ) f ( ) w Teorem 3.. de faydalaılara 3.. delem ç bazı özel durumlar aşağıda verlmştr. f ( ), g( ), a, b ç, elemaları Modfed-Pell sayıları ola crculat matrs özdeğerler C q j j j dr (Kocer, 007). q q w w w j f ( ), g( ), a ve b ye uygu değerler verlrse, lteratürde yer ala. mertebede dğer özel sayı dzler ç crculat matrsler öz değerler bezer şelde elde edlr. w j Teorem 3..3 C, 3.. de taımlı tpde crculat matrs olsu. f ( ) g( ) 0 olma üzere C matrs spectral ormu,

46 37 g( ) f ( ) C f ( ) g( ) dr (Yazlı & Tasara, 0).,,0,,, İspat. Spetral ormu taımı ve Teorem göz öüe alıırsa, max C C C 0 j max 0 j j j C elde edlr. Öte yada j 0 ç C matrs öz değerler masmum değer alır. Bu edele, C 0 C C dr. 0 ' dr. Ayrıca, Teorem 3.. göz öüe alıırsa g( ) f ( ) f ( ) g( ),,0,,,0, Teorem 3..3 de faydalaılara 3..4 delem ç bazı özel durumlar aşağıda verlmştr. f ( ) g( ), a 0, b ç, elemaları Fboacc sayıları ola crculat matrs spectral ormu, F C F dr (İpe, 0). f ( ) g( ), a, b ç, elemaları Lucas sayıları ola crculat matrs spectral ormu, L C L dr (İpe, 0). f ( ), g( ), a, b ç, elemaları Modfed-Pell sayıları ola crculat matrs spectral ormu, P. Pell sayısı olma üzere C q P dr (Kocer, 007).

47 38 f ( ), g( ), a ve b ye uygu değerler verlrse, lteratürde yer ala. mertebede dğer özel sayı dzler ç crculat matrsler spectral ormları bezer şelde elde edlr. Teorem 3..4 C, 3.. de taımlı tpde crculat matrs olsu. f ( ) g( ) 0 olma üzere, C matrs masmum sütu(satır) toplam ormu C C g( ) f ( ),,,,0 f ( ) g( ). İspat. Maxmum sütu toplam ormu taımıda, max,mod j, C j max j t 0, t,mod j,,mod j,,mod j, buluur. Öte yada.. eştlğ date alıırsa C g( ) f ( ) f ( ) g( ),,,,0 elde edlr. Maxmum satır toplam ormu da bezer şelde hesaplaablr. Teorem 3..5 olsu. g( ) S b af ( ) a XY, X b ar, Y b ar g( ) f g g ( ) ( ) ( ) 0 olma üzere, g ( ), S C E f ( ) g( ) g ( ) dr. İspat. Eucldes ormu taımıda, C matrs Eucldes ormu, C E 0, elde edlr. Öte yada g( ) S b af ( ) a XY, X b ar, Y b ar g( )

48 39 olma üzere..9, 3..6 da yere yazılırsa C,, ( ) g S E f ( ) g ( ) g ( ) dr. Burada C E g ( ) S,, f g g ( ) ( ) ( ) buluur. Teorem 3..5 de faydalaılara 3..5 delem ç bazı özel durumlar aşağıda verlmştr. f ( ) g( ), a 0, b ç, elemaları Fboacc sayıları ola crculat matrs Eucldes ormu, F F C F E dr (Sola, 005). f ( ), g( ), a, b ç, elemaları Modfed-Pell sayıları ola crculat matrs Eucldes ormu, C q E dr (Kocer, 007). q 4 f ( ), g( ), a ve b ye uygu değerler verlrse, lteratürde yer ala. mertebede dğer özel sayı dzler ç crculat matrsler Eucldes ormları bezer şelde elde edlr. Teorem 3..6 C, geelleştrlmş -oradam sayıları le taımlı tpde crculat matrs olsu. C crculat matrs determatı,,,0 g( ),, f ( ),0 det C (3..7) g( ) r r dır (Yazl & Tasara, 0). İspat. Teorem da C, matrs determatı

49 40 det 3..8 s 0 j 0 dr. Öte yada 3..8 de..7 eştlğ yere yazılırsa det j C, jws C j j j ws s 0 j 0 r r s 0 s 0 s s s 0 s s Xr Yr j j Xr ws Yr ws r r j0 j 0 r r X Y r r r w r w r r X Y r r r w r w w g( ),,0 s,,,0 r w r w s 0 s s f ( ) elde edlr. Teorem de x,,0 ve y g( ),, f ( ),0 eştller yere yazılır ve r w r w r w r w s s s s s 0 s0 s 0 fades date alıırsa, det( C( )) elde edlr. ( r )( r ) ( g( )) r r,,0 g( ),, f ( ),0 g( ) r r Teorem 3..6 da faydalaılara 3..7 delem ç bazı özel durumlar aşağıda verlmştr. f ( ) g( ), a 0, b ç, elemaları Fboacc sayıları ola crculat matrs determatı, det C F dr (Ld, 970). F F L f ( ), g( ), a, b ç, elemaları Modfed-Pell sayıları ola crculat matrs Eucldes ormu,

50 4 det C q dr (Kocer, 007). q q q f ( ), g( ), a ve b ye uygu değerler verlrse, lteratürde yer ala. mertebede dğer özel sayı dzler ç crculat matrsler detetmatları bezer şelde elde edlr. 3.. Geelleştrlmş -oradam Sayıları le Taımlı Crculat Matrsler Ters edlmştr. Bu bölümde Bölüm 3. de taımlaa C crculat matrsler ters elde Bu bölüm boyuca C crculat matrs, C,,,,,, olara ele alıacatır. Öcelle C matrs determatıı, elemaları geelleştrlmş -oradam sayılarıa bağlı olara elde edlmştr. Teorem 3.. crculat matrs determatı M g,,0, N,, olsu. ç, C det N, M 3.. dr.,, C, N, M, İspat. M g,,0, N,, olsu. Teorem spatlama ç, öcelle aşağıda verle P ve Q matrsler taımlayalım , 0 0 0, g( ) 0 0 f ( ) P 0 0 f ( ) g( ) g( ) f ( ) 0 0 f ( ) g( ) (3..)

51 4 ve M N 3 M Q N. (3..3) M N alalım. P, C, Q matrsler çarpımı h 0 h h h h h 0 0 N 0 PC( ) Q 0 0 M N M N 0 0 M N olara buluur. h M, j j N,,,,3, j 3 4,, j h j, 3 j, j 3,4,,,,,,,, M h,,,, N dr. Öte yada det P det Q olduğu göz öüe alıırsa,

52 43 PC Q P C Q det det det det,n h,,,, M, N,,,, N,, M, N,,,, N elde edlr steedr. N M,,, N, M,, Teorem 3.. de faydalaılara 3.. delem ç bazı özel durumlar aşağıda verlmştr. f ( ) g( ), a 0, b ç F. Fboacc sayısı olma üzere F det C F F F F F dr (She, 0). f g, a, b ç L. Lucas sayısı olma üzere L det C L L L L 3L L dr (She, 0). f ( ), g( ), a 0, b ç P. Pell sayısı olma üzere P det C P P P P P dr. f ( ), g( ), a 0, b ç J. Jacobsthal sayısı olma üzere J det C J J J J J dr (Bozurt & Tam, 0). f ( ), g( ), a 0, b ç F,. -Fboacc sayısı olma üzere F, det C F F, F, F, F, dr.

53 44 f ( ), g( ), a ve b ye uygu değerler verlrse, lteratürde yer ala. mertebede dğer özel sayı dzler ç crculat matrsler detetmatları bezer şelde elde edlr. Teorem 3.. matrstr. C, tpde crculat matrs olsu. İspat. Teorem da C matrs determatı det ç, C tersr j C, jwm olduğu göz öüe alıırsa Teorem da teorem m0 j m spatlama ç f ( w ) 0 olduğuu gösterme yeterl olacatır. f ( w ) ( w ) m m j, j j fadesde..7 eştlğ yere yazılırsa Xr Yr f ( w ) ( w ) r r j j m m j j j m j j m j Xr ( w ) Yr ( w ) r r j j r r r r X Y m r r r w r w m m Xr r r w Yr r r w m m r r r w r w g( ) w m r r w r r w m,,, 0, m g( ) w m m f ( ) w g( ) w m m,,,0, m elde edlr. Eğer m,,, ç f ( w ) 0 se o zama m m f ( ) w g( ) w 0 olma üzere g( ) w 0 m,,,0, dır. Burada w m,, g( )( ),0,

54 45 fades reel br değer olduğuda m m m m w e cos s eştlğde m w x, m s 0 olmalıdır. Ya ç,,,,0, m m 0 ç w dr. Aca g( ) x 0 delem br öü m olmadığıda f ( w ) 0 dır. Teorem da spat tamamlaır. Teorem 3..3 T t üzere, j tpde alt üçge matrs olma, j,,, j tj g,0,, j (3..4) 0, dğer durumlar olsu. O zama T matrs ters j,,0, j j 3..5,, g t j 0, dr. j İspat. İl olara TT I olduğuu gösterelm. Buu ç de c j t t olup, j j olduğuda c 0, j j ç c tt,,,,, j ç, c j t t j t t t t j j ( g( )( )) ( g( )( )) g( )( ) j j,,0,,0,0, j,, j (,, ) (,, ) 0. Bezer şelde T T I olduğu gösterleblr.

55 46 Teorem 3..4 j,,, ç S M g j j ( ),,0 ve,,, j 3,, j N N olsu. C, tpde crculat matrs olma üzere ç,, M, C, g( ) S 3 f ( ) S g( ) S, S S f ( ) S (,,,, h h h h S f ( ) S g( ) S S f ( ) S g( ) S,, ) h h 3..6 dr. İspat. Teorem spatlama ç, öcelle aşağıda verle Q matrs, j M M g( ),,0, N,,, h, j, j N,,,, M h,, ve j 3,4,, ç,, N h,, j j, 3 j olma üzere, Q h h h h3, h4, h, h h h h,,,, h3 h4 h 0 h h h , 3..3 ' de matrsler le C( ) matrs göz öüe alalım. taımlayalım. U 0, 0 h ve U T, U le T matrsler dret toplamı olma üzere,

56 47, h N PC( ) Q Q 0 0 M N 0 0 U T N M N dr eştlğde QQ Q alıır ve 3..8 eştlğ her yaıı matrs ters alıırsa, C ( ) Q U T P elde edlr. Öte yada C ( ), crculat matrs olduğuda C x x x ( ),,, şelde yazılablr. Burada Q matrs so satırıı elemaları h h h h h h şeldedr. Öte yada 3 4 0,,,,, , h N N N 4 5 M M N N N 3 4 M M M N N N N Q U T matrs so satırlarıı elemaları se U T M dr , j aj, j 3.. h j M h, j 3 j h j N şeldedr. Q U T matrs so satırı le P matrs 3.. ' de çarpılıpılırsa, C ( ) crculat matrs so satırıı elemaları,

57 48,, g( ) x h h N x x 3 4, x5 h,3 h N,,,,, M,,4,,5 M,3, f ( ), h N h N,,5,,4, (,6 ) M ( 3,5 ),3 M, f ( ), g( ), N h N h N,,,,, (, ) ( 3, ) ( M M,, f ( ) 4, g( ) h N h N h N x ( ) M ( ) M ( ) ( ) x h h N h N,,,,, 3, f, g, şeldedr. So eştllerde j,,, ç,, ) M S j j, j 3,, j N, M alıırsa, C, g( ) S 3 f ( ) S g( ) S, S S f ( ) S (,,,, h h h h S f ( ) S g( ) S S f ( ) S g( ) S,, ) h h elde edlr steedr. Teorem 3..4 de faydalaılara 3..6 delem ç bazı özel durumlar aşağıda verlmştr. f ( ) g( ), a 0, b ç, elemaları Fboacc sayıları ola crculat matrs ters, F f F F F F F olma üzere,

58 49 C F (She, 0). F F F,,, F F F F F F F 3 f F F F,,, 3 F F F F F F f ( ) g( ), a, b ç, elemaları Lucas sayıları ola crculat L L L matrs ters, l L 3L L 3L C L (She, 0). L olma üzere, L 3 L, 3 L 3 L, L L L L 3 l 5 5 L 5 L 5 L,,,, 3 L L L L L L L L L f ( ), g( ), a 0, b ç elamaları Pell sayıları ola crculat matrs ters, P p P P P P P olma üzere, C P P P P,,, P P P P P P P. 3 p P P P,,, 3 P P P P P P f ( ), g( ), a 0, b ç elemaları Jacobsthal sayıları ola crculat matrs ters, C J J u J J J J J olma üzere J J J, 4,, J J J J J J J 3 u J J J,,, 3 J J J J J J (Bozurt & Tam, 0). f ( ), g( ), a 0, b ç elemaları -Fboacc sayıları ola crculat matrs ters, F,,,, F, F, f F F F olma üzere

59 50 C F F, F, F,,,,, F F, F,,, F, F F F,. 3 f F, F, F,,,, 3 F, F, F, F, F, F, f ( ), g( ), a ve b ye uygu değerler verlrse, lteratürde yer ala. mertebede dğer özel sayı dzler ç crculat matrsler tersler bezer şelde elde edlr Geelleştrlmş -oradam Sayıları le Taımlı r-crculat Matrsler Şmd, elemaları geelleştrlmş -oradam dzs ardışı termler olaca şelde C ( ) r-crculat matrs taımlayalım. r Taım 3.3.,,. geelleştrlmş -oradam sayısı olsu., j,,, ç, j elemaı c j, j, j r, j, j ola tpde Cr cj matrse geelleştrlmş -oradam sayıları le taımlı r-crculat matrs der ve,0,,, r,,0,, Cr ( ) r, r,,0, r, r, r,3,0 şelde gösterlr. C, 3.3. ' de taımlaa tpde r -crculat matrs olsu. Teorem 3.3. r g( ), g ( ), S r, S b af ( ) a XY,, g( ) 0 f ( ) g( ) g ( ) olma üzere, C r matrs spectral ormuu alt ve üst sıırları, Cr a r r, a,, r r, Cr,, r 0 0