IARS AǦUSTOS Marmaris Kuramsal ve Uygulamalı Fizik ( ITAP ) ERZURUM

Transkript

1 IARS KURAMSAL YOǦUN MADDE FİZİǦİ SERİSİ İLERİ İSTATİSTİK MEKANİK VE YOǦUN MADDE FİZİǦİNDE UYGULAMALARI ÇALIŞTAYI DERS NOTLARI AǦUSTOS 2007 Marmaris Kuramsal ve Uygulamalı Fizik Araştırma Enstitüsü ( ITAP ) Atatürk Üniversitesi ERZURUM

2 ÖNSÖZ i

3 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ i İÇİNDEKİLER ii BÖLÜM BİR - SPİNTRONİK GİRİŞ: SPİN İN TARİHÇESİ Zeeman Etkisi Stern-Gerlach Deneyi SPİN 1/2 NİN KUANTUM MEKANİĞİ Schrödinger Denklemi Dirac Denklemi Pauli Matrisleri Zaman BağımlıSpin Mekaniği MANYETİK ÖZELLİKLER Manyetizma Türleri Diyamanyetizma Paramanyetizma MAKROSKOPİK MANYETİZMA: FERROMANYETİZMA Manyetostatik Dipol Etkileşmesi Değiş-Tokuş Enerjisi Heisenberg Modeli Band Ferromanyetizması SPİNTRONİK AYGITLAR Datta-Das spin-fet Spin-Yörünge Etkileşmeleri BÖLÜM İKİ- YARIİLETKEN FİZİǦİNDE TEMEL YÖNTEMLER - I MADDE VE RADYASYON ETKİLEŞMESİ Klasik Optik Salınım Modeli Yarı Klasik Teori İkinci Kuantizasyon ii

4 BÖLÜM ÜÇ- YARIİLETKEN FİZİǦİNDE TEMEL YÖNTEMLER - II GİRİŞ GEREKLİ ELEKTROMANYETİK TEORİ BİLGİLERİ Boyuna ve Enine Tepkiler Boyuna Alanlara Tepki KRAMERS-KRONIG BAĞINTILARI TEPKİ ve İLİNTİ FONKSİYONLARININ İLİŞKİSİ Akım-Akım İlinti Fonksiyonu: Kubo Formulü ÖRGÜLERİN DİELEKTRİK FONKSİYONU Clausius-Mossotti Modeli: (CM Modeli) YÜZEY PLAZMON POLARİTONLARI (YPP) Plazmonlar Metal Nanoparçacıklar Çevresinde Yerel Alan Baskınlaşması Yüzey Plazmon Polaritonları: Klasik Yaklaşım Deri Kalınlıǧı İnce Filmlerde Yüzey Plazmon Polaritonları YEREL YÜZEY PLAZMONLARI (YYP) iii

5 SPİNTRONİK R. Tuǧrul SENGER BİLKENT ÜNİVERSİTESİ DERS ASİSTANI : Hasan ŞAHİN (Bilkent Üniversitesi) DERS NOTU ASİSTANI : Hasan ŞAHİN (Bilkent Üniversitesi) 1

6 Bu ders notlarının hazırlanmasında, Delaware Üniversitesi nde Prof. tarafından verilen Magnetism & Spintronics dersinin notlarından yararlanılmıştır. I. Appelbaum Yazarın izniyle Türkçeye çevrilen kısımların İngilizce özgün haline adresinden ulaşılabilir. 2

7 BÖLÜM BİR SPİNTRONİK 1.1 GİRİŞ: SPİN İN TARİHÇESİ Elektronların spini tamamen kuantum mekaniksel bir özellik olduğundan kuantum mekaniğinin doğuşundan önce yapılmış bazı tarihsel deneylerde spin etkileri kendilerini göstermesine rağmen deneylerin yapıldığı dönemde spin tam olarak tanımlanamamıştır. Bu deneylerden en dikkate değer olan ikisi Zeeman etkisi ve Stern-Gerlach deneyleridir Zeeman Etkisi İlk olarak 1896 yılında gözlenen Zeeman etkisi, bir atoma ait olan enerji spektrumundaki tayf çizgilerinin manyetik alan etkisi ile birden fazla çizgiye ayrılmaları olayıdır. Bu deneyde bir cam tüp içerisine konan seyreltik gazın atomlarına yüksek gerilim uygulanır ve iyonize olarak uyarılan elektronlara ait keskin spektral çizgiler bir spektrometre ile gözlenebilir hale gelir. Spektroskopi Resimde gösterilen Czerny-Turner spektrometresine bakılacak olursa, ışık demeti B deki dar yarıklardan içeri girip genişleyerek C aynasından D de bulunan girişim ızgarasına doğru yol alırlar. Girişimi oluşturan ızgara, bir ayna üzerine özel yöntemlerle çizilmiş çok sık çiziklerden meydana gelmiştir. Bu ızgaradan yansıyan ışık demetleri dalga boylarına göre farklı farklı açılarda yansıyarak F de bulunan yarıklardan geçip G dedektörüne ulaşacaklardır. Sonuç olarak D deki girişim ızgarasınının döndürülmesi ile G de bulunan dedektör tarafından her dalga boyundaki ışık yoğunluğunun tespit edilmesi mümkün olacaktır. Örneğin, alttaki resimde 500V gerilim altındaki Hidrojen tüpünden yük boşalması esnasında yayılan ışık görülmektedir. Işığın spekturumu bir spektrometre ile ayrılmış olarak keskin çizgiler halinde görülmektedir. 3

8 4 Keskin Çizgilerin Sebebi 1913 e değin açıklanamamış olan spekturumdaki bu keskin çizgilerin varlığı 1922 yılı nobel ödülünü Niels Bohr a kazandırmıştır. Klasik fizik öğretisinden gelen Bohr un, 1908 Nobel ödüllü Rutheford dan ve 1906 nobel ödüllü J.J. Thomson ın çalışmalarından öğrendiği gibi atomun çekirdeğinde bir pozitif yük ve bunun etrafında ise negatif yüklü elektronlar bulunuyordu. Dolayısıyla Bohr bir klasik çözüm önererek, elektrostatik ve merkezkaç kuvvetlerin birbirini dengelediği tek elektronlu Hidrojen atomu üzerine yoğunlaşmıştır. Buna göre bir yörünge üzerinde hareket eden elektronun bu denge hali için: mv 2 r = e2 r 2 (1.1.1)

9 5 eşitliğini yazabiliriz. Bununla yörünge yarıçapı icin : elde edilecektir. Atomun toplam enerjisi ise r = e2 mv 2 (1.1.2) E = kinetik + potansiyel = 1 2 mv2 + ( e2 r ) (1.1.3) olarak bulunur. Yarıçap r için elde ettiğimiz değeri burada kullanarak E = 1 2 mv2 (1.1.4) bulunur. Bu enerjinin negatif olduğuna dikkat edilmelidir. Artık sadece izinli v hızlarını bulmaya ihtiyacımız var. Bohr un düşüncesine göre elektronun yörüngesinin kararlı olabilmesi için L açısal momentumu kuantumlu olmalıydı. Bu koşul olmadığında ivmelenen elektronun ışıma yaparak çekirdeğe düşmesi gerekiyordu. Kuantumlanma koşulu L = mvr = n (1.1.5) ile verilir. Burada n sıfırdan büyük bir tamsayıdır. Eldeki r için olan ifadeyi kullanarak L = mv e2 mv 2 = e2 = n (1.1.6) v ve sonuç olarak hızı elde edilmiş olur. v = e2 n (1.1.7) Bunun toplam enerji denkleminde kullanılması ile: bulunur. E = 1 e2 m( 2 n )2 = me4 2n 2 2. (1.1.8) Taban durumun enerjisi me4 = 13.6eV (1.1.9) 2 2

10 6 olarak elde edilir. Bu değer Rydberg in adı ile anılır. Aşağıdaki şekilde kuantum sayısı n nin diğer değerlerine karşılık gelen durumlar gösterilmiştir. Energy Vacuum level V(x) nucleus distance Burada türetilenler ile atomik emisyonun spektroskopik özelliklerini açıklamak mümkündür: Buna göre atomdan ışığın yayılması süreci bir elektronun yüksek enerjili bir durumdan düşük enerjili bir duruma geçmesi ile gerçekleşmektedir. Yayılan ışığın enerjisi ve dolayıyla frekansı iki durum arasındaki enerji farkına bağlıdır. Zeeman Etkisinin Gözlenmesi Mıknatıslanmış bir yüzeyden yansıtılan ışığın polarizasyonunda görülen değişim ile yani Kerr etkisi ile ilgilenen Peter Zeeman deney düzeneğini bir manyetik kaynağın yanına kurarak aldığı ölçümlerde keskin spektral çizgilerin bulanıklaşmaya başladığını gözlemledi. Yüksek manyetik alan ve çözünürlükler kullanarak derinlemesine bir inceleme ile spektral çizgilerin aslında birden fazla çizgiye ayrıştığını farketti. Bazen çizgiler üçlü gruplara ayrılırken genelde ise daha fazla sayıda çizgiye ayrışıyordu. Manyetik alan doğrultusu boyunca elde edilen çizgilerde merkezi çizgi yok oluyordu. Zeeman gibi Hollandalı olan arkadaşı Henrick Lorentz bu ayrılmaların teorisini ortaya koyan ilk kişi olmuştur. İvmelenen yüklü parçacıkların ışıma yapacağını bilen Lorentz atomik emisyonun kaynağını m kütleli, e yüklü ve k yay sabitine sahip bir salınıcı olarak ele aldı. Böylece B manyetik alanına dik düzlemdeki lineer salınımlar saatin dönme yönünde ve zıt yöndeki dairesel

11 7 hareketlerin koherent üstüste gelmeleri olarak düşünülebiliyordu. F = e v B, (1.1.10) biçimindeki Lorentz kuvveti etkisiyle birbirlerine zıt yönlerdeki yörüngesel hareketler için manyetik alandan dolayı zıt yönlü bir kuvvet oluşacaktır. Lorentz, yay kuvveti artı Lorentz kuvvetinin merkezkaç kuvvetine eşit olması gerektiğini düşünerek: kr ± evb = mv2 r (1.1.11) biçimindeki bir eşitliği ele almıştır. Burada + saatin dönme yönü ve ise bunun tersi olan dönme yönü içindir. Yüklü parçacık yörüngesini bir ν frekansı ile tamamladığına göre hızı v = 2πrν. (1.1.12) biçiminde ifade ederek bunun denklemde kullanılması ile kr ± e2πrνb = m(2πrν)2 r (1.1.13)

12 8 elde edilir ve bunu biraz daha düzenleyerek frekans için k 4π 2 m ± eνb 2πm = ν2. (1.1.14) eşitliğine ulaşılır. Biliyoruz ki manyetik alan yokluğunda m kütleli bir cisim ν 0 = 1 k 2π m (1.1.15) doğal frekansı ile salınım yapar. Bunun kullanılması ile ν 2 eb 2πm ν ν2 0 = 0. (1.1.16) biçimindeki ikinci derece denkleme ulaşılır. Bu denklemin çözümleri: ν = ± eb 2πm ± ( eb 2πm )2 + 4ν (1.1.17) ile verilir. Ele aldığımız problemde yörünge yarıçapının manyetik alandan bağımsız olması kabulüne dayanarak elde ettiğimiz çözümler düşük manyetik alanlar için oldukça yaklaşık çözümlerdir. Sonuç olarak B küçük ise B 2 ihmal edilebilirdir. Buna göre düşük manyetik alanlarda çözüm ν = ν 0 ± eb 4πm (1.1.18) şeklinde olacaktır.

13 9 Manyetik alana dik yöndeki salınımlardan dolayı oluşan ν 0 frekanslı spektral çizginin ikiye ayrıldığı açıkça görülmektedir. B manyetik alan doğrultusu boyunca olan salınımlar ise kartezyen çarpımdan da görülebileceği gibi manyetik alan varlığından etkilenmez. İvmelenen yüklü parçacık hareketine paralel doğrultuda ışıma yapmayacağı için bu kaymaya uğramayan spektral çizgi manyetik alan boyunca yapılan ölçümlerde açığa çıkmayacaktır. Teoriyi ortaya koyan Lorentz, 1902 nobel fizik ödülünü Zeeman ile paylaşmıştır. Lorentz tarafından yapılan açıklama üçlü spektral ayrılmalar dışında anormal Zeeman yarılması olarak bilinen diğer spektral ayrılmaları açıklamakta ise yetersizdir. Kuantum Mekaniğine Giden Yol Yüzyılı aşan deneyimlerimizden biliyoruz ki Lorentz teorisinin eksiği kuantum mekaniğine dayanmamasıdır. Bu bölümde Zeeman etkisinin kuantum mekaniksel açıklamasında kullanılacak manyetik moment olgusu ve bunun manyetik alan ile etkileşmesini ele alınacaktır. Şekildeki gibi; B l 2 I l 1 l 1 l 2 bir B manyetik alanında I akımı taşıyan bir akım ilmeği ele alalım. Akım elemanları üzerindeki Lorentz kuvveti F = I l B (1.1.19) l 2 uzunluğundaki her iki kısım için eşit ve ters yönlüdür. Bununla birlikte diğer kısımlar üzerine etkiyen Lorentz kuvveti ilmek üzerinde τ = r F (1.1.20)

14 10 ile verilen bir tork meydana getirecektir. Lorentz kuvveti manyetik alana dik olduğundan tork aşağıdaki gibi yazılabilir. τ = (Il 1 B) l 2 2 sin(θ) + (Il 1B) l 2 2 sin(θ) = Il 1l 2 Bsin(θ) (1.1.21) Burada l 1 l 2 terimi ilmek alanını verir ve bu alanın akım ile çarpımı ise µ, manyetik momentin büyüklüğünü verecektir. Manyetik moment ilmek düzlemine dik olan bir vektör ile gösterilir. Buna göre bir manyetik alan içindeki manyetik momente uygulanan tork τ = µ B (1.1.22) şeklinde yazılabilir. Sistemin enerjisi ise E = τdθ = µb sin(θ)dθ = µb cos(θ) (1.1.23) olarak elde edilir ve bunun E = µ B (1.1.24) skaler çarpımına karşılık geldiği açıktır. Yörüngesel Moment Üstte verilen bilgiler çekirdek etrafındaki yörüngesel hareketi ile bir akım ilmeği oluşturduğu farzedilen elektronun sahip olduğu manyetik momentinin anlaşılması için temel olarak kullanılacaktır. Yörünge alanı πr 2 ve akım ise ν saniyede geçen e elektron yükü ile verilir. Buna göre yörüngesel açısal momentum µ = πr 2 eν = e [ πr 2 ν ] (1.1.25) olarak hesaplanır. Bohr modelinde, açısal momentum ın katları ile kuantumlaştığından kritik bir rol oynamaktadır. Yörüngesel hareket yapan elektronun hızı 2πrν olduğundan, açısal momentum L = mvr = m(2πrν)r = 2m [ πr 2 ν ] (1.1.26) ile verilebilir. Her iki parantez içerisindeki terimlerin aynı olduğu açıkça görülmektedir. Buna

15 11 göre manyetik momentin açısal momentuma oranı, µ L = e 2m (1.1.27) olacaktır. Böylece manyetik alan ve açısal momentum arasındaki ilişki basitce µ = ( ) e L 2m (1.1.28) olarak verilebilir. Parantez içerisindeki terim µ B ile gösterilen Bohr magnetonudur. Yaklaşık olarak değeri ev/gauss olan µ B atomik ölçekte temel manyetik moment büyüklüğü olarak bilinir. Zeeman Etkisi Yeniden Bu bölümde Zeeman etkisini bir manyetik alan ile manyetik momentin etkileşmesi açısından ele alarak biraz daha farklı bir bakış açısı ortaya koyacağız. büyüklüğü bir Bohr magnetonu kadar ise atomun maksimum enerji değişimi kadar olacaktır. Burada frekans terimi: Atomik manyetik momentin E = ± µ B = ± e 2m B = h eb = ±hν (1.1.29) 4πm ν = eb 4πm. (1.1.30) Fakat elde edilen bu ifade tam da Lorentz tarafından öngörülen gibidir. Ayrıca bu, açısal momentum için hareket denkleminden de açıkça görülmektedir. Lineer dinamikte p momentum olmak üzere F = m a = m v = d p dt olduğunu biliyoruz. Dönme hareketi için benzer olarak d L dt = τ (1.1.31) yazabiliriz, burada L açısal momentumdur. Bu durumda hareket denklemi ise dl dt = µ B = e L 2m B = e B 2m L = ω L (1.1.32) olur. Elde edilen denklem lineer bir kuvvet etkisindeki mekaniksel olarak dönme (spin) hareketi

16 12 yapan cismin hareket denkleminin benzeri olup ω açısal frekansında Larmor presesyonu hareketidir. ω = 2πν olduğundan ν = eb 4πm (1.1.33) yazabiliriz. Artık bazı kuantum mekaniksel sonuçları yazabilecek durumdayız. Biliyoruz ki, Bohr un söylediği gibi sadece toplam açısal momentum değil, aynı zamanda momentumun herhangi bir eksen üzerindeki izdüşümü de kuantumlanmıştır. İzdüşüm kuantum sayılarının alacağı değerler açısal momentum kuantum sayısının değeri ile bunun negatif büyüklüğü aralığındadır. Yukardaki şekilde açısal momentum kuantum sayısı 1 dir ve z ekseni üzerine olası izdüşümleri ise m l = 1, 0, 1 ile belirlenir. Sonuç olarak, µ B ifadesi sadece kesikli değerler alarak atomik enerji seviyelerinde kaymalara yolaçacaktır. Kuantum mekaniğinden varılan bir diğer sonuç ise enerji seviyeleri arasındaki geçişlerde yayılan foton tarafından bir açısal momentum kuantumunun taşınacağıdır. Bu seçim kuralının bir sonucudur. Seçim kuralı ile enerji seviyeleri arası geçişler l = ±1 olacak biçimde sınırlandırılmıştır. Buna göre normal Zeeman etkisini üstteki diyagramı kullanarak açıklayabiliriz: Manyetik alanın moment ile etkileşmesi bir ayrışmaya yol açmaktadır. Genel olarak l açısal momentum kuantum sayılı bir durum (l, l 1,... 1 l, l) = 2l + 1 duruma ayrılacaktır ve enerjideki kayma miktarı ise µ B Bm l (1.1.34) kadar olacaktır. Burada m l izdüşüm kuantum sayısıdır. Sadece m l = 1, 0, 1 olan foton salınımlı geçişler izinlidir ve buna göre foton enerjisi E = E 0 + µ B B, E 0, E 0 µ B B (1.1.35)

17 13 büyüklüğünde olacaktır. Bu sonuç triplet durum için elde edilmiştir ve daha genel olan anormal Zeeman etkisini açıklamakta yeterli değildir. Bunu açıklamak için ise açısal momentumun bir diğer kaynağı olan spin olgusunu ortaya koymak zorundayız. Anormal Zeeman Etkisi Anormal Zeeman etkisini açıklamak amacı ile Uhlenbeck ve Goudsmit elektrona ait bir tür içsel özelliğin açısal momentumunun kaynağı olabileceğini öne sürmüşlerdi. Elektronun bu açısal momentumununun izdüşüm değerleri sadece ± /2 değerlerini alarak, elektronun µ B /2 kadarlık manyetik momente sahip olmasını gerektirir. Daha sonra ise Thomas tarafından relativistik denklemlerin çözülmesi ile bu spin manyetik momentinin manyetik alan ile etkileşme enerjisinin E = 2 µ B 2 B (1.1.36) olması gerektiği hesaplanmıştır. Buradaki 2 katsayısı spin g-faktörü olarak bilinir. Yörüngesel g-faktörü ise 1 dir. Bu durumda hem spin hem yörünge açısal momentumu olan bir elektronun g-faktörü ne olmalıdır? Acaba basitçe aşağıdaki gibi yazabilir miyiz? E = g L µ L B + g S µ S B (1.1.37) Ne yazık ki cevap hayır. Farklı g-faktörlerinin sonucu olarak yörüngesel ve spin açısal momentum vektörleri manyetik alan altında farklı presesyonlara sahip olacaklardır ve vektörlerin toplama işlemi verildiği gibi basitçe yapılamayacaktır.

18 14 Problemin çözümü için korunumlu bir nicelik olan J = L + S (1.1.38) toplam açısal momentumu tanımlayabiliriz. Böylece spin ve yörünge açısal momentumlarının J üzerine olan izdüşümlerini kullanabiliriz. Buna göre etkileşme enerjisi E = µ B (g LL + g SS) B µ B = ( L + 2S) B = µ B ( ( L + 2 S) J J ) ( ) J B J (1.1.39) olarak yazılabilir. Buradaki son terim manyetik alan vektörünün J üzerine izdüşümüdür ve J ve J arasındaki kuantumlu değerleri alır. Buna göre J B = J z B (1.1.40) yazılabilir. Böylece E = ( L + 2 S)( L + S)J z J 2 µ B B = L2 + 2S 2 + 3S L µ z J 2 B (1.1.41) içerisinde ve J 2 = ( L + S) 2 = L S L + S 2 (1.1.42) S L = J 2 L 2 S 2. (1.1.43)

19 15 eşitliklerini kullanarak etkileşme enerjisini şeklinde yazabiliriz. E = L2 + 2S (J 2 L 2 S 2 ) µ z J 2 B = 3J 2 L 2 + S 2 2J 2 µ z B. (1.1.44) J 2, L 2 ve S 2 hesabı Bulunduğmuz noktada J 2, L 2, S 2 niceliklerinin hesaplanmasına ihtiyaç duymaktayız. İyi bilindiği üzere J 2 = Jx 2 + Jy 2 + Jz 2 (1.1.45) olduğundan, herhangi bir izdüşümün ortalama değerini alarak J 2 = 3 < J 2 z > (1.1.46) şeklinde normu elde edebiliriz. Bu ortalamayı hesaplamak için izdüşüm kuantum sayısının olası 2j + 1 değeri üzerinden toplama yapmalıyız: < J 2 z >= (j )2 + ((j 1) ) 2...((1 j) ) 2 + ( j ) 2 2j + 1 = 2 j 0 x2 2j (1.1.47) Toplamın j 6 (j + 1)(2j + 1) olacağını kullanarak < J 2 z >= 1 3 j(j + 1) 2 (1.1.48) ve J 2 = j(j + 1) 2 (1.1.49) elde ederiz. Sonuç Sonuç olarak izlenen yol geneldir ve L ve S nin her ikisi için de uygulanabilirdir. Buna göre E = 3j(j + 1) l(l + 1) + s(s + 1) 2j(j + 1) µ z B, (1.1.50)

20 16 veya biraz daha düzenleyerek biçiminde yazılabilir. E = [ 1 + ] j(j + 1) l(l + 1) + s(s + 1) µ B m J B. (1.1.51) 2j(j + 1) Burada parantez içerisindeki terimlerin etkin g-faktörü olduğuna dikkat edilmelidir. İlk olarak, kuantum mekaniğini kullanmaksızın, Landé tarafından deneysel sonuçlara dayanılarak ortaya konduğundan Landé g-faktörü olarak bilinir. Burada s = 1/2, ve sistemin bulunduğu duruma göre j = l + s, l + s 1,...1 l s, (l + s) değeri alır. Yukarıdaki denklem anormal Zeeman etkisini tümüyle açıklar. Farklı l ve j değerlerine sahip enerji durumlarının manyetik alan içerisinde farklı büyüklüklerde ayrışacağını gösterir. Açıkça görülmektedir ki, anormal Zeeman etkisinde gözlenen üçten fazla çizgiye ayrışmanın sebebi spin olgusudur.

21 Stern-Gerlach Deneyi Manyetik Alanda Klasik Momentler Bir manyetik momentin manyetik alandaki enerjisi klasik olarak E = µ B, (1.1.52) ile verilir. Bu manyetik momenti, konuma bağlı olarak değişen manyetik alan içerisinde hareket ettirerek üzerinde bir kuvvet meydana getirebiliriz: F = de dz = +µ db dz. (1.1.53) Eğer bu manyetik moment L uzunluğunda bir bölgede v hızı ile hareket ediyor ise bu bölgede manyetik alan boyunca sapma miktarı: olacaktır. d = 1 2 at2 = 1 F 2 m ( ) 2 L = µ db v 2m dz ( ) 2 L (1.1.54) v Klasik manyetik momentler için konuşulacak olursa, momentlerinin yönelim dağılımı rastgele olacaktır. Oysa biliyoruz ki kuantum mekaniksel olarak momentlerin dağılımının bir eksen üzerine izdüşümü kuantize değerler almaktadır.

22 18 Deney Günümüzde neredeyse tüm ders kitapları, Stern-Gerlach yarılmasının elektron spininin varlığını ortaya koyduğunu belirtir, ama aslında deney sırasında keşfettikleri şeyin spin olduğunu deneyi yapanların bile bilmediğinden bahsedilmez - Bretislav Friedrich and Dudley Herschbach, yılında Otto Stern ve Walter Gerlach bir gümüş atomları demetinin yüksek değişime sahip bir manyetik alandan geçerkenki ayrılmalarını ölçerek Bohr modelini kanıtlamayı düşünmüşlerdi. Bohr tarafından önerilmiş olan kuantumlu açısal momentum değerlerine karşılık gelen kuantumlu manyetik momentler gözlenebileceğini öngörmüşlerdi. Fakat, bu meşhur deneyin aslında yanlış bir teori kullanılarak ve yanlış bir yorumla yapılmış olması şaşırtıcıdır: onların düşüncesine göre nötr gümüş atomları l = 1 açısal momentumuna sahiptir (yanlış!!), ve manyetik alan yönünde gözlenen ikiye yarılma m = 1 ve m = +1 izdüşüm kuantum sayısı sahip durumlara karşılık gelirler (oysaki bu varsayım altında m = 0 durumları da gözlenmeliydi!!!). Neyseki 1920 lerin sonunda Stern-Gerlach deneyinin sonuçları, Uhlenbeck ve Goudsmith in spin hipotezini destekleyecek şekilde yeniden yorumlanmıştır. Stern ve Gerlach ın kabulünün aksine gümüş atomları tam dolu olan bir 4d (l = 2)kabuğuna ve 5s durumunda bir tek elektrona sahiptir: [Kr]4d 10 5s 1. 5s kabuğundaki elektron için l = 0 olduğundan atomun yörünge açısal momentumu YOKTUR. Ancak, elektronun S = 1/2 değerine sahip bir içsel açısal momentumu (spin) VARDIR, ve bu da m s = ±1/2 değerleri ile atomların zıt iki yönde ayrılmalara sebep olur. S = 2, m S = ± 1 (1.1.55) 2 µ S = g s µ B S (1.1.56) burada g S = 2 dir. Demek ki polarize olmayan nötr atomlardan oluşmuş bir demet manyetik alan değişimine sahip bir bölgeden geçirilerek uzaysal olarak polarize edilebilir.

23 SPİN 1/2 NİN KUANTUM MEKANİĞİ Buraya kadarki kısımda spinin, elektronun bir içsel manyetik momenti olarak deneylerde ortaya çıktığından bahsettik ve şimdi ise spinin varlığını öngören teoriyi inceleyeceğiz. Elektron spini göreli kuantum mekaniğin bir sonucu olarak ortaya çıktığından incelemeye göreli Schrödinger denklemi olarak bilinen Dirac denklemi ile başlayacağız Schrödinger Denklemi Klasik Dalga Denklemi Göreli olmayan Schrodinger denklemini bir boyutlu düzlem dalgaların Ψ(x, t) = e i(kx ωt). (1.2.1) şeklindeki genel formunu kullanarak elde edebiliriz. Burada dalga sayısı k = 2π/λ ve açısal frekans ω = 2πν ile verilir. Elektromanyetik dalgalar gibi klasik dalgalar için λν = c olduğundan dağınımm bağıntısı ω = kc (1.2.2)

24 20 ve buradan Ψ(x, t) = e i(kx kct) (1.2.3) olduğu görülür. Burada c ışık hızıdır. Dalga denklemi kısmi diferansiyel denklemdir ve x ve t için birkaç kere türevinin alıması ile d Ψ = ikψ (1.2.4) dx d 2 dx 2 Ψ = k2 Ψ (1.2.5) ve t ye göre: d Ψ = ikcψ (1.2.6) dt d 2 dt 2 Ψ = k2 c 2 Ψ. (1.2.7) elde edilir. Bunların eşitlenmesi ile d 2 dx 2 Ψ = 1 d 2 c 2 dt 2 Ψ (1.2.8) klasik dalga denklemine ulaşılır. Madde Dalgaları Madde dalgaları için de Broglie hipotezi gereğince farklı bir dağınım bağıntısı sözkonusudur p = k (1.2.9) ve Einstein yasası gereğince E = ω. (1.2.10) Klasik mekanikten bilinen p = mv ile E = 1 2 mv2 = 1 2m p2 (1.2.11)

25 21 yazılabilir. De Broglie ve Einstein öngörülerinin uygulanması ile ω = 1 2m 2 k 2 (1.2.12) ω = 1 2m k2. (1.2.13) elde edilir ki bu madde dalgaları için aradığımız dağınım bağıntısıdır. Bu bize düzlem dalga çözümlerini verecektir; ve bunun ikinci derece türevi ile k2 i(kx Ψ(x, t) = e 2m t) (1.2.14) d 2 dx 2 Ψ(x, t) = k2 Ψ (1.2.15) elde edilir. Burada açıkça görülüyor ki, klasik mekanikten farklı olarak, zamana göre birinci derece türev ile elde edip ve bununla dalga denklemini d Ψ(x, t) = i k2 dt 2m Ψ (1.2.16) 1 d 2 2m d k 2 Ψ(x, t) = i dx2 k 2 Ψ(x, t) (1.2.17) dt 2 d 2 2m dx 2 Ψ(x, t) = i d Ψ(x, t) (1.2.18) dt şeklindeki zamana bağlı Schrödinger denklemine dönüştürmüş oluruz. Bu denklem E = p2 2m (1.2.19) bağıntısının kuantum mekaniksel ifadesi olup E i d dt (1.2.20) ve p i operatörlerini kullanarak enerji ve momentum için d dx. (1.2.21) E i d Ψ = ωψ (1.2.22) dt

26 22 ve p i d Ψ = kψ. (1.2.23) dx sonuçlarına ulaşılır. Potansiyel teriminin de eklenmesi ile Schrödinger denklemi [ 2 biçiminde olacaktır. Bu denklem d 2 ] 2m dx 2 + V (x) Ψ(x, t) = i d Ψ(x, t) (1.2.24) dt eşitliğinin kuantum mekaniksel karşılığıdır. E toplam = p2 2m + V (x) = E kinetik + E potansiyel (1.2.25) Değişkenlerin Ayrılması Zaman bağımlı denklemimizde yer alan x ve t değişkenlerini değişkenlere ayırma metodu ile ayırabiliriz. Bunu yaparken dalga fonksiyonu uzaysal ve zamansal iki dalga fonksiyonunun çarpımı olarak farzedilir: Böylece Schrodinger denklemi olacaktır. ψ(x)φ(t) ile bölerek [ 2 Ψ(x, t) = ψ(x)φ(t). (1.2.26) d 2 ] 2m dx 2 + V (x) ψ(x)φ(t) = i d ψ(x)φ(t). (1.2.27) dt Buna göre türevler değişkenlerden sadece biri üzerine etki edeceğinden terimleri 2 ψ(x) φ(t) + V (x) = i 2m ψ(x) φ(t). (1.2.28) elde edebiliriz. Burada tırnaklar konum, noktalar ise zamana göre türevleri temsil etmektedir. Bu noktada denklemin sol tarafı sadece konuma ve sağ tarafı ise sadece zamana bağlı olduğu için herbirinin bir sabite, enerji özdeğeri E ye, eşit olacağını söyleyebiliriz. Böylece birbirinden bağımsız i φ(t) = Eφ(t). (1.2.29) ve 2 2m ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x) (1.2.30)

27 23 denklemlerini elde ederiz. Birincisinin çözülmesi ile φ(t) = e iet (1.2.31) elde edilir ki E/ = ω olduğundan bu çözüm sürpriz değildir. İkinci denklem ise zamandan bağımsız Schrödinger denklemidir ve basitce bir özdeğer denklemi olarak yazılabilir: Hψ = Eψ. (1.2.32) Burada H diferansiyel operatörüne tarihsel nedenlerle Hamiltonyen adı verilir Dirac Denklemi Schrödinger denklemi [ 2 elde edilirken varsayılan E = p 2 /2m ile enerjinin momentumla d 2 2m dx 2 + V (x)]ψ = i d dt Ψ (1.2.33) E = (mc 2 ) 2 + p 2 c 2 (1.2.34) biçiminde ilişkili olduğunu söyleyen görelilik teorisi arasında uyumsuzluk görünmektedir. (Tamamen farklı gibi görünmelerine rağmen son yazılan ifade göreli olmayan durumlara da indirgenebilmektedir: E = mc p2 c 2 m 2 c 4 = mc2 (1 + p2 c 2 2m 2 c ) mc2 + p2 2m (1.2.35) Göreli olmayan limit için kinetik enerji terimi durgun kütle enerjisinden oldukça küçüktür ve sistemin dinamiği bununla belirlenir.) Enerjinin (mc2 ) 2 + p 2 c 2 Ψ = i d dt Ψ (1.2.36) şeklindeki göreli formu ile göreli Schrodinger denklemini elde etme girişimi, uzay ve zamanın özdeş ele alınması gerektiğini söyleyen göreli dinamiğe aykırı düşüyor gibi görünmektedir. Ancak kök içerisindeki terimin tam kare bir ifade olması durumunda uzay ve zaman birbirine denk

28 24 olarak ele alınabilecektir. Dirac ın katkısı bunun nasıl yapılacağını göstermekti: 3 m 2 c 4 + p 2 c 2 = (α 0 mc 2 + α j p j c) 2. (1.2.37) Burada j ile x, y, z uzaysal koordinatları gösterilmektedir. Bunun olabilmesi için koşul: j=1 α 2 i = 1, i = 0, 1, 2, 3 (1.2.38) ve α i α j + α j α i = 0, i j (1.2.39) durumlarının sağlanmasıdır. Clifford cebiri olarak bilinen bu koşullar skaler nicelikler tarafından sağlanamaz. Ancak, bu koşullar en basit temsili 4 4 olan dört adet matrisle sağlanabilir: α 0 = I 0 0 I (1.2.40) α j = 0 σ j σ j 0 (1.2.41) Burada, I 2 2 birim matris olmak üzere, σ j lar 2 2 lik Pauli matrisleridir. Bunlar 4 4 lük Dirac Hamiltonyen operatörünü (matrisini) oluştururlar 3 α 0 mc 2 + α j p j c (1.2.42) j=1 Benzer şekilde dalga fonksiyonu ψ de 4 bileşnli bir spinör halini alır (vektör benzeri yapılar olan spinörlerin sadece dönme dönüşümü özellikleri vektörden farklıdır). Dalga spinörünün 2 bileşeni elektrona ait olan 2 spin durumuna ait dalga genliği olarak yorumlanırken diğer 2 bileşen ise o zamanlar henüz keşfedilmemiş olan pozitron içindir. Carl Anderson 1932 yılında bu parçacığı keşfederek dört yıl sonra Nobel ödülünü almıştır. Dirac ise 1933 yılında Schrödinger ile birlikte Nobel ödülüne layık görülmüştür.

29 Pauli Matrisleri Eğer sadece elektronla ilgileniyorsak, farklı spin durumlarına karşılık gelen iki bileşeni incelememiz yeterlidir. Bunun için ilk olarak Pauli matrislerinin elemanlarını türetmemiz gerekir. Genel bir Hamiltonyen H 11 H 12 H 21 H 22 (1.2.43) ve bunun sağladığı Schrödinger denklemini (Hψ = Eψ) ele alırsak : H 11 H 12 H 21 H 22 ψ 1 ψ 2 = E ψ 1 ψ 2 (1.2.44) Bu denklemin bariz olmayan çözümleri için det H 11 E H 12 H 21 H 22 E eşitliğinin sağlanması gerekir. Bunu açacak olursak = 0 (1.2.45) (H 11 E)(H 22 E) H 21 H 12 = 0 (1.2.46) E 2 (H 11 + H 22 )E + (H 11 H 22 H 21 H 12 ) = 0 (1.2.47) elde edilir. Bu ikinci derece denklemin çözümü ise: E = b ± b 2 4ac 2a = (H 11 + H 22 ) ± (H 11 + H 22 ) 2 4(H 11 H 22 H 21 H 12 ) 2 (1.2.48) E = H 11 + H 22 2 (H11 + H 22 ) ± 2 (H 11 H 22 H 21 H 12 ) (1.2.49) 4

30 26 E = H 11 + H 22 2 H 2 ± H 11 H 22 + H22 2 H 11 H 22 + H 21 H 12 (1.2.50) 4 E = H 11 + H 22 2 H 2 ± 11 2H 11 H 22 + H H 21 H 12 (1.2.51) 4 olarak elde edilir. E = H 11 + H 22 2 (H11 H 22 ) ± 2 + H 21 H 12 (1.2.52) 4 Düzgün Manyetik Alandaki Elektrona Kısa Bir Bakış Düzgün manyetik alan içerisindeki spinli elektronun enerjisini E = ±g S µ B 2 B = ±µ BB. (1.2.53) olarak elde etmiştik. Buna göre, z ekseni (düzgün manyetik alanın yönü) üzerine izdüşümü +1/2 ve 1/2 değerleri alan ve enerji özdeğerleri µ B B ve µ B B olan birbirine dik iki dalga fonksiyonu tanımlarsak ψ yukarı = 1 0, ψ aşağı = 0 1 (1.2.54) sağlamaları gereken matris denklemleri H 11 H 12 H 21 H = µ B B 1 0 (1.2.55) ve H 11 H 12 H 21 H = µ B B 0 1 (1.2.56) biçiminde olacaktır. Bu eşitlikler ancak ve ancak H 11 = µ B B and H 22 = µ B B değerleri için sağlanır.

31 27 Pauli Spin Matrisleri (Devam) göre Yukarıda elde edilen sonuç enerji denkleminde ilk terimin sıfır olmasını gerektirir. Buna E 2 = (H 11 H 22 ) H 21 H 12. (1.2.57) olacaktır. Elimizdeki keyfi manyetik alan B = B xˆx + B y ŷ + B z ẑ biçiminde ise biliyoruz ki, E 2 = µ 2 B ( B 2 x + By 2 + Bz 2 ). (1.2.58) ile (H 11 H 22 ) 2 + H 21 H 12 = µ 2 4 B(Bx 2 + By 2 + Bz) 2 (1.2.59) sonucunu verir. Ayrıca H 11 ve H 22 için ±µ B B olduğunu bildiğimizden: (H 11 H 22 ) H 21 H 12 = ( µ BB (+µ B B)) H 21 H 12 (1.2.60) µ 2 BB 2 z + H 21 H 12 = µ 2 B(B 2 z + B 2 x + B 2 y). (1.2.61) H 21 H 12 = µ 2 B(B 2 x + B 2 y). (1.2.62) sonucuna ulaşılır. H operatorünün Hermityen olması gerekliliğinden dolayı enerji özdeğerlerini reel sayılara sınırlayacak çözüm: H 12 = µ B B x ib y (1.2.63) H 21 = H 12 = µ BB x ± ib y (1.2.64) olacaktır. Buna göre, H = µ B B z B x + ib y B x ib y B z (1.2.65) = µ B B z B x B y 0 i i 0 (1.2.66)

32 28 = µ B (σ x B x + σ y B y + σ z B z ) = µ B σ B (1.2.67) elde edilir. Buradaki σ lar 2 2 Pauli spin matrisleridir ve kuantize olmuş spinin manyetik alanın kartezyen bileşenleriyle nasıl etkileştiğini gösterirler Zaman Bağımlı Spin Mekaniği Bu kısımda z ekseni boyunca düzgün ve x ekseni boyunca alternatif olarak değişen bir manyetik alan içerisinde yer alan spinin mekaniğini inceleyeceğiz. Önceki hesaplardan bilindiği üzere Hamiltonyen µ σ B (1.2.68) olup, manyetik alan ise B = Bẑ + A cos ωtˆx şeklinde alınmıştır. Böylece H = µ B 0 0 A cos ωt B A cos ωt + = µ 0 B A cos ωt 0 A cos ωt B. (1.2.69) Şimdi yapılması gereken bu Hamiltonyeni Schrödinger denkleminde kullanarak spin durumunun zamana göre değişimini elde etmektir: HΨ = i d Ψ. (1.2.70) dt Bunu denklemi çözerken bir tahminde bulunarak Ψ = C 1(t)e iω 1t C 2 (t)e iω 2t (1.2.71) biçimindeki çözümleri aramak uygun olacaktır. Buna göre γ = µa ve E 1,2 = ±µ B B ise, E 1 γ cos ωt γ cos ωt E 2 C 1(t)e iω 1t C 2 (t)e iω 2t = i d dt C 1(t)e iω 1t C 2 (t)e iω 2t (1.2.72)

33 29 Bu matris gösterimi iki adet çiftlenmiş diferansiyel denklem verecektir. Bunlar: γ cos ωtc 2 e iω2t + E 1 C 1 e iω1t = i [ C 1e iω1t ic 1 ω 1 e iω1t] (1.2.73) ve γ cos ωtc 1 e iω 1t + E 2 C 2 e iω 2t = i [ C 2e iω 2t ic 2 ω 2 e iω 2t ] (1.2.74) İlk olarak ω 1 = E 1 and ω 2 = E 2 ile her iki denklemdeki ikinci terimlerin yok olacağı ( görünmektedir. Böylece cos ωt = 1 2 e iωt + e iωt) yazarak ve γc 2 2 γc 1 2 elde edilir. ω 0 = ω 2 ω 1 kullanılırsa ( e iωt + e iωt) e iω 2t = i C 1e iω 1t ( e iωt + e iωt) e iω 1t = i C 2e iω 2t (1.2.75) (1.2.76) γc 2 2 ( e iωt + e iωt) e iω 0t = i C 1 (1.2.77) ve bulunur, ve tekrar dağıtarak, γc 1 2 ( e iωt + e iωt) e iω0t = i C 2 (1.2.78) γc 2 2 ( e i(ω ω 0)t + e i(ω+ω 0)t ) = i C 1 (1.2.79) ve γc 1 2 ( e i(ω+ω0)t + e i(ω ω0)t) = i C 2 (1.2.80) ω ω 0 koşulunu sağlayan rezonans durumları ile ilgilendigimiz için e ±i(ω ω0)t terimlerinin bire yakınsayacağı görülmektedir. Fakat e ±i(ω+ω0)t terimi ise hızlı salınımlar yapacaktir. Buna göre ve γc 2 2 ei(ω ω 0)t = i C 1 (1.2.81) γc 1 2 e i(ω ω 0)t = i C 2 (1.2.82)

34 30 denklemlerinden C 2 için olduğuna ulaşılır ve bunun sonraki denklemde kullanılması ile bulunur. Sadeleştirildiğinde C 2 = 2i γ e i(ω ω 0)t C 1 (1.2.83) γc 1 2 e i(ω ω 0)t = i 2i [ ] C 1 e i(ω ω0)t i(ω ω 0 )C γ 1e i(ω ω 0)t (1.2.84) C 1 = 4 2 γ 2 elde edilir. Bu biraz daha düzenlenecek olursak (C 1 i(ω ω 0 )C 1) (1.2.85) C 1 i(ω ω 0 )C 1 + γ2 4 2 C 1 = 0 (1.2.86) denklemine ulaşılır. Bu C 1 e lineer bağlı ikinci derece bir diferansiyel denklemdir. Bu denklem, RLC devrelerinde ve sürtünmeli yüzeyde harmonik harakette oldugu gibi elektronik ve fizikte sıklıkla karşılaşılan ve ile aynı formdadır. I + R L I + 1 LC I = 0 (1.2.87) X + η m X + k m X = 0 (1.2.88) Rezonans Rezonans durumunda iken, ω = ω 0. Damping terimi kaybolacak ve C 1 + γ2 4 2 C 1 = 0 (1.2.89) sonuç olarak Dolayısıyla C 1 = cos γ t. (1.2.90) 2 i C 2 = γ 2 cos γ t, (1.2.91) 2

35 31 ve integrasyon ile C 2 elde edilebilir. C 2 = i γ 2 cos γ 2 tdt = i sin γ 2 t (1.2.92) Spini yukarı 1 0 durumunda bulma olasılığı C 1 C 1 = cos 2 γ 2 t (1.2.93) ve aşağı 0 1 durumu icin C2 C 2 = sin 2 γ 2 t (1.2.94) ile verilir. Görüldüğü gibi, rezonans durumunda, elektron spini yukarı ve aşağı durumlar arasında salınım yapacaktır.

36 MANYETİK ÖZELLİKLER İlk iki bölümde, tek parçacık sistemlerinde yörünge açısal momentumu ve spin kaynaklı manyetik momentler üzerinde durulmuştur. Bu bölümde ise birbirleri ile etkileşmeyen çok sayıda manyetik momentin oluşturduğu sistemlerdeki makroskopik manyetizma incelenecektir Manyetizma Türleri Kısaca manyetizma; maddenin bir manyetik moment kazanmasıdır. Katı haldeki malzemelerde, dış manyetik alana verdikleri tepkiye göre sınıflanan pek çok manyetizma türü vardır. Manyetik malzemenin dış alana tepkisi açısından diyamanyetik, paramanyetik ve ferromanyetik davranış sözkonusu olabilmektedir. M makroskopik cismin kazandığı manyetik moment moment ve H dış manyetik alan olmak üzere tanımlayacağımız bir χ manyetik alınganlık parametresi χ = M H (1.3.1) ile bu temel manyetizma türleri birbirlerinden ayrı olarak ortaya konabilir. Burada kullanılan H dış manyetik alan büyüklüğü ve B madde içerisindeki net manyetik alandır. Bunlar arasında ilişki B = µ 0 (H + M) = µ 0 (1 + χ)h = µh (1.3.2) ile verilmektedir. Burada µ 0 serbest uzayın manyetik geçirgenlik katsayısı olarak bilinir. χ manyetik alınganlığının aldığı değerler üzerinden malzemelerin manyetik davranışlarını sınıflandırabiliriz: Paramanyetizma (χ > 0), Diyamanyetizma (χ < 0), Ferromanyetizma (χ ), ve Antiferromanyetizma Diyamanyetizma Lenz yasası, malzemelerin üzerinde meydana gelecek ani manyetik akı değişikliklerine karşı koyacak biçimde davranış sergileyeceğini söylemektedir. E = db dt biçiminde verilen Faraday yasasının bir sonucu olan Lenz yasasına dayanarak tüm maddelerin diyamanyetik davranış

37 33 M ferro- para- H dia- sergilemesi gerektiğini düşünebiliriz. Her ne kadar her madde diyamanyetik özelliğe sahip olsa da çoğu kez diğer manyetik özellikler yanında küçük kalması dolayısı ile etkin manyetik davranış olarak ortaya çıkmazlar. Diyamanyetizmanın etkin olarak gözlenmesi için maddenin çok düşük sıcaklıklara ya da yüksek manyetik alanlara maruz kalması gerekmektedir. Diyamanyetizma, malzemelere manyetik akıyı dışarlama özelliği katması dolayısı ile de ilgi çekici görünmektedir. Bir manyetik moment ve manyetize olmuş cisim arasındaki kuvveti hesaplayacak olursak F = de dx = d dm ( M H) = dx dx H + M dh dx (1.3.3) Cisimden uzaklaştıkça manyetik alanın şiddeti zayıfladığına ( dh dx manyetik alanıyla orantılı (M = χh) olduğuna göre: χ < 0, M < 0. F = dm dx H + M dh dx = 2χH dh dx Böylece F > 0 olduğundan moment bir yukarı itme kuvvetine maruz kalır. < 0) ve M mıknatıslanması H > 0. (1.3.4) Bu etkiyi dört tane kalıcı mıknatıs üzerine konacak grafit yada NdFeB bazlı bileşikler ile gözlemlemek mümkündür. Mıknatıslar merkezde bir mininmum manyetik alan oluşturacak biçimde düzenlenirler. Grafit örneği diyamanyetik özelliği ve Lenz yasası gereğince mıknatısların üzerinde havada asılı kalır.

38 Paramanyetizma Paramanyetizmanın Klasik Teorisi Paramanyetizmanın ilk olarak anlaşılması 19. Yüzyılda Langevin tarafından Boltzman ın kurduğu temel istatistik yasalarının manyetizmaya uygulanması ile gerçekleşmiştir. Paramanyetik malzemenin birbirleri ile etkileşmeyen çok sayıda manyetik momentten meydana geldiğini farzeden Langevin, uygulanacak bir dış alan etkisi ile bu manyetik momentlerin minimum enerji ilkesi gereğince alan boyunca düzenleceklerini ortaya koymuştur. Buna göre, H dış manyetik alanındaki µ manyetik momentinin dipol enerjisi E = µ H. (1.3.5) olduğundan, manyetik dipollerden oluşmuş bir sistemin ortalama manyetik momenti, alan boyunca ortalama moment ve içerdiği manyetik moment sayısının çarpımına eşttir: M = Nµ < cos θ >. (1.3.6) Boltzman ın istatistik mekaniğine göre moment doğrultularının dağılımına göre sistemin bir E enerjili durumda olma olasılığı e E k B T bir momentin bir θ açısında bulunma olasılığı faktörüne bağlıdır. Buna göre E = µ H olduğundan P (θ) = e µh cos θ k B T e µh cos θ k B T sin θdθ sin θdθ (1.3.7)

39 35 ile verilir. Burada payda tüm durumlar üzerinden olasılık toplamını içeren normalizasyon faktörüdür. sin θ terimi faz uzayının manyetik alan eksenine yaklaştıkça küçülmesini göstermektedir. Açılar cinsinden verilen bu olasılık bağıntısını sistemde manyetik alan doğrultusuna göre faklı farklı açılarda bulunan momentlerin cos θ değerlerinin ortalamasını hesaplamakta kullanabiliriz: Burada x = cos θ ve α = µh k B T < cos θ >= π 0 π 0 µh cos θ k e B T µh cos θ k e B T değişimlerini kullanarak cos θ sin θdθ. (1.3.8) sin θdθ < cos θ >= 1 1 eαx xdx 1 1 eαx dx (1.3.9) elde edilir. Paydaki integral 1 1 d dα eαx dx = d 1 e αx dx = d dα 1 dα (eα α ) = 1 α (eα + e α ) 1 α 2 (eα e α ) (1.3.10) ve payda olarak hesaplandığında 1 1 e αx dx = 1 α (eα e α ) (1.3.11) < cos θ >= 1 α (eα + e α ) 1 α (e α e α ) 2 1 = coth(α) 1 α (eα e α ) α (1.3.12) sonucuna ulaşırız. Bu ise iyi bilinen Langevin fonksiyonudur. α << 1 iken L(α) kuvvet serisine açılırsa (α = µh k B T ).

40 36 L(α) = α/3 α 3 / (1.3.13) Böylece yüksek sıcaklıklar ya da düşük manyetik alanlar için Langevin fonksiyonu yaklaşık olarak ile verilebilir ve sistemin mıknatıslanması için M = µn α 3 L(α) α/3 (1.3.14) ) µh = µn (N 3k B T = µ2 H (1.3.15) 3k B T yazılabilir. M = χh olduğunun kullanılması ile manyetik alınganlık χ = N µ2 3k B T = C T (1.3.16) olarak ifade edilir. Bu sıcaklığa ters bağlantılı oluş, Pierre Curie nin manyetizma üzerine yaptığı doktora çalışmaları sebebiyle, Curie yasası olarak bilinmektedir. Paramanyetizmanın Kuantum Teorisi Biliyoruz ki klasik manyetik momentler sürekli değerler alabilirken, spin gibi kuvantum mekaniksel nicelikler ise bir açısal momentum kuvantumlanmasının sonucu olarak ortaya çıkarlar. Paramanyetizmanın kuantum teorisi ile anlaşılması için basit bir sistem olan spin sisteminin incelenmesi uygun görünmektedir. Bu biçimdeki bir sistemde sadece bir yukarı bir de aşağı özdurum sözkonusu olacaktır. Mikroskopik manyetik momentlerin ortalama değerini verecek olan Boltzman istatistiği yalnızca bu iki durumun enerjilerini içeren toplam ile gerçekleştirilecektir. Toplamdaki herbir terim bir manyetik moment durumu ile bu durumun doldurulma olasılığının çarpımı olarak yazılır: M = N < µ >= N µe µh k B T + ( µ)e µh k B T e µh k B T + e µh k B T (1.3.17) M = Nµ e µh k B T e µh k B T e µh k B T + e µh k B T = Nµ tanh µh k B T = Nµ tanh α. (1.3.18)

41 37 yüksek sıcaklıklarda ya da düşük manyetik alanlarda tanh α α olduğu kullanılarak bir kez daha Curie yasasına ulaşırız: M = Nµα = (N µ2 )H (1.3.19) k B T χ = M H = N µ2 k B T = C T. (1.3.20) Yörüngesel açısal momentumu J > 1/2 ele alarak problemi çözecek olursak bu kez daha fazla durum olacağından toplama daha fazla terim gelecektir. Genel bir J açısal momentumlu durum için problemi genelleyecek olursak mıknatıslanmayı M = Nk B T d(ln Z) dh (1.3.21) şeklinde ve Z = j e ηm J. (1.3.22) j olmak üzere yazabiliriz. Burada Z bölüşüm fonksiyonu, ve η = gµ B H/k B T dir. d dx ln Z = 1 dz Z dx olduğu kullanılmıştır. İfadeyi yazarken J tamsayı ise Z = j e ηm J = j j e ηm J + 0 j e ηm J 1 (1.3.23) 0 olarak yazabiliriz. Her iki seride tekrar edilen m J = 0 terimi en sonda çıkarılmıştır. Bu terimlerin herbiri aşağıdaki gibi verilen yakınsak serilerdir Buna göre elde edilir. Biraz cebir kullanarak 1 + x + x x N = 1 xn+1 1 x. (1.3.24) Z = 1 e η(j+1) 1 e η + 1 eη(j+1) 1 e η 1 (1.3.25) Z = eηj (1 e η ) + e ηj (1 e η ) (1 e η ) + (1 e η ) (1.3.26)

42 38 ve Z = sinh η(j + 1). (1.3.27) sinh η/2 formuna indirgenebilir. Benzer işlemler buçuklu açısal momentum değerleri (J=3/2, 5/2,...) için tekrarlanırsa Z = j e ηm J = e η/2 (1 + e η e η(j 1/2) ) + e η/2 (1 + e η e η(j 1/2) ). (1.3.28) j Bununla η/2 1 e η(j+1/2) η/2 1 eη(j+1/2) Z = e 1 e η + e 1 e η (1.3.29) elde edilir ve biraz cebir ile aynı sonuca ulaşılır. Artık hesaplanan Z yi mıknatıslanma ifadesinde kullanabiliriz. Buna göre η = gµ B H/k B T olduğunu hatırlayarak dh = k BT gµ B dη (1.3.30) ve türevin sonucu olarak M = Nk B T 1 sinh(η(j+1) sinh(η/2) bulunur. Sadeleştirilmesi ile: (j + 1/2) cosh η(j + 1/2) sinh η/2 1/2 cosh η/2 sinh η(j + 1/2) sinh 2 η/2 (1.3.31) M = µn [(j + 1/2) coth η(j + 1/2) 1/2 coth η/2] = µnb J (η) (1.3.32) elde edilir. Burada B J (η) J. mertebe Brillouin fonksiyonudur. Ayrıca Brillouin fonksiyonu α nın kuvvet serisine açılırsa B J (α) = J + 1 3J α [(J + 1)2 + J 2 ](J + 1) 90J 3 α 3 (1.3.33) Görüldüğü gibi J = 1/2 iken seri tanh α açılımı ile aynıdır. Dahası α iken terimler Langevin fonksiyonu L(α) ile aynı olur.

43 39 Böylece düşük alanlarda veya yüksek sıcaklıklar için sadece ilk terimi kullanarak χ J = N g2 J(J + 1)µ 2 B 3k B T (1.3.34) yazabiliriz. Bant Elektronları Paramanyetizması Aşağı ve yukarı spin durumları bir manyetik alan altında Zeeman enerjisi ±µh kadar ayrışır. Ortaya çıkan net manyetik moment eşlenmemiş spin sayısıyla orantılı olacaktır M = µ B 2 (N N ). (1.3.35) Sıfır mutlak sıcaklık yaklaşımı ile aşağı ve yukarı spin durumlarının sayılarını analitik olarak belirlemek için tüm durum yoğunlukları üzerinden bir toplam alabiliriz: M = µ B 2 [ EF µ B H ] EF D(E µ B H)dE + D(E + µ B H)dE. (1.3.36) µ B H Bunun dönüştürülmesi ile M = µ B 2 [ EF µ B H 0 ] EF +µ B H D(E)dE + D(E)dE 0 (1.3.37) M = µ B 2 [ 0 E F µ B H ] EF +µ B H D(E)dE + D(E)dE 0 (1.3.38) M = µ B 2 inte F +µ B H E F µ B HD(E)dE (1.3.39) elde edilir. Manyetik alan küçük iken durum yoğunlukları integrasyon aralığı boyunca sabit olarak ele alınabilir. Böylece integral daha da basitleşerek M = µ B D(E F )[E F + µ B H (E F + µ B H)] = 2µ 2 BHD(E F ). (1.3.40)

44 40 E F E F +µ µ haline gelir. Böylece manyetik alınganlık için χ = M H = µ2 BD(E F ) (1.3.41) biçiminde verilen Pauli paramanyetizması hesaplanmış olur. Durum Yoğunlukları Fermi enerjisi civarıda durum yoğunluğu D(E F ) nedir? Bunu anlamak için serbest elektron gazı sistemine daha ayrıntılı bakalım. Bir potansiyelin yokluğunda üç boyutta Schrödinger denkleminin çözümü E = 2 2m (k2 x + k 2 y + k 2 z) (1.3.42) ile verilir. Sıfır sıcaklık yaklaşımı ile bu durumlar Pauli dışarlama ilkesi uyarınca doldurulacaktır. (E = 0 yani k x = k y = k z = 0) olduğu en düşük enerjili durumdan itibaren daha üst seviyelere sırayla tüm elektronlar yerleştirilir ve dolu olan en üst seviye Fermi enerjisidir. Sıfır sıcaklık yaklaşımı genel olarak metaller için doğrudur çünkü E F >> k B T. k uzayında Fermi yüzeyi (boş ve dolu durumlar arasındaki sınır), yarıçapı 2mE F 2 küredir olan bir k 2 x + k 2 y + k 2 z = 2mE F 2. (1.3.43) Küre içerisindeki tüm durumların toplanması ile gerçek uzaydaki parçacık yoğunluğuna ulaşmak

45 41 mümkündür: N V = n = 2 d 3 k kf sphere (2π) 3 = 2 4πk 2 dk 0 (2π) 3 (1.3.44) Parçacık yoğunluğunu k uzayındaki bir toplam yerine enerjiler üzerinden bir toplam yazmak istersek EF n = 2 D(E)dE. (1.3.45) 0 Bu değişimi yapmak için toplanan terimler 4πk 2 dk = D(E)dE. (1.3.46) (2π) 3 denklemi ile eşitlenir. Enerji için olduğuna göre ve burdan dk için olduğu bulunur. Yerine koyarak E = 2 2m k2 (1.3.47) k = 2mE 2, (1.3.48) dk = m m 2 k = 2 2 E 1/2 (1.3.49) 4πk 2 dk (2π) 3 = 1 2π 2 (2m 2 )3/2 E 1/2 de. (1.3.50) elde edilir. k uzayındaki integrale göre durum yoğunluğu hesaplanacak olursa kf n = 2 0 4πk 2 dk (2π) 3 = k3 F 3π 2 (1.3.51) ve Fermi enerjisi olarak tanımlandığı için bunu E F = 2 2m k2 F, (1.3.52) n = k3 F 3π 2 = 2 [ ] m 2mEF 3 3 π 2 E F. (1.3.53) olarak yazabiliriz. Parantez içerisindeki terimin Fermi enerjisindeki durum yoğunluğu olduğuna dikkat edilmelidir. Buna göre D(E F ) = 3 n (1.3.54) 2 E F

46 42 ve Pauli paramanyetizmasının formu da χ = 3µ2 B 2E F (1.3.55) biçiminde olacaktır. Landau tarafından türetilen diamanyetik katkı ise bunun 1/3 ü kadardır. katkı negatif olduğuna göre serbest elektron gazının toplam paramanyetik alınganlığı Diyamanyetik olarak hesaplanmış olur. χ = µ2 B E F. (1.3.56) 1.4 MAKROSKOPİK MANYETİZMA: FERROMANYETİZMA Paramanyetik malzemeler manyetik alınganlıkları sıcaklığa göre 1/T biçiminde değişen malzemelerdir. Sıfır dereceye soğutulan madde içerisindeki dalgalanmalar kaybolur ve mutlak düzenin getirdiği bir sonsuz manyetik alınganlık ortaya çıkar. 1/χ Ferromanyetik malzemelerde ise bu manyetik düzen daha yüksek sıcaklık değerlerinde de sürdüğü gibi, dış manyetik alanın yokluğunda da manyetik düzenlerini korumaya devam ederler. Bahsedilen bu özellikler deneysel olarak, sıcaklığa göre manyetik alınganlığın tersi ve mıknatıslanmadaki histerezis grafiklerinde görünmektedir. para- ferro- T C T

47 Manyetostatik Dipol Etkileşmesi Bu kısımda sıfırdan yüksek sıcaklıklarda madde içerisindeki düzenlenimi sağlayan nedir sorusu ile ilgileneceğiz. Malzemedeki düzenlenim ile en yakın komşular arasında bir E = βµ 1 µ 2 cos θ (1.4.1) çiftlenim enerjisi sözkonusu olacaktır. Burada β > 0 ferromanyetik durum içindir ve tersi ise antiferromanyetik durum için kullanılacaktır. Bu etkileşmenin büyüklüğü k B T C mertebesinde olmalıdır. Birbirlerine yakın momentler arasındaki manyetostatik enerjinin bu düzenli durumun oluşmasını sağlayıp sağlayamayacağına bakalım. Bir momentin oluşturduğu manyetik alanın diğer bir momentle etkileşmesine ait manyetostatik enerji E dipol-dipol = µ B = µ 1 µ 2 r 3 µ2 B a 3 (1.4.2) olarak yazılabilir. Burada a momentler arası uzaklığı veren örgü sabitidir. CGS birim sisteminde, µ B = e 2mc olup, karakteristik moment mesafesi birkaç Bohr yarıçapı kadardır. Bohr yarıçapı merkezkaç kuvvetinin Coulomb kuvvetine eşitlenmesi mv 2 r 0 = e2 r 2 0 r 0 = e2 mv 2 (1.4.3) ve yörüngede dolanan elektronun açısal momentumunun kuantumlanması ile yörünge yarıçapı için L = mvr = n v = r 0 = e2 m 2 r 2 0 m 2 r 0 = 2 e 2 m mr 0. (1.4.4) (1.4.5) elde edilir. Bulunan Bohr yarıçapı ifadesini manyetostatik enerjinin üst sınırını belirlemek amacı ile kullanabiliriz E dipol-dipol = µ2 B r 3 0 = ( e ) 2 2mc ( 2 e 2 m ) 3 = e8 m 4 c 2 = [ ] e 2 4 mc 2 (1.4.6) Parantez içerisindeki terim, α 1 137, ince yapı sabiti olup, elektronun durgun kütle enerjisi mc2 c

48 kev alınırsa E dipol-dipol = [ ] ev 1meV. (1.4.7) 137 Elde edilen bu değer T C = E k B 10K, sıcaklığına karşılık gelir. Bu sıcaklık 1000K civarlarındaki gözlenen Curie sıcaklıklarına kıyasla oldukça küçüktür. Bu durumda aradığımız mekanizmanın temelinde manyetostatik etkileşmenin olduğunu söyleyemeyiz. Bunun anlaşılması için elektrostatik enerjinin manyetostatik olandan çok daha büyük olduğunu göz önüne alarak, spin serbestlik derecesinin elektrik yüküyle Pauli dışarlama ilkesi yoluyla olan bağlantısını incelemek, ve spin değiş-tokuş enerjisi olarak bilinen mekanizmaya bakmak gerekmektedir Değiş-Tokuş Enerjisi Etkileşmekte olan iki elektronlu, örneğin Helyum atomu gibi, basit bir sistemi ele alalım. Hamiltonyen H = H 1 + H 2 + H 12 (1.4.8) şeklinde olacaktır. Burada H 1 birinci elektronun, H 2 ise ikinci elektronun çekirdek ile Coulomb etkileşme terimleri, ve H 12 ise iki elektron arasındaki itici etkileşme terimidir. Pauli Dışarlama İlkesi Problemi ele alırken çözümün ne olacağı üzerinden düşünmek hesaplamaları kolaylaştıracaktır. Bunu yapmak için 1 ve 2 numaralı elektronların ayırdedilemez oluşarı dolayısıyla 1 ve 2 yi ölçme olasılığının 2 ve 1 i ölçme olasılığına eşit olacağını gözönünde bulunduracağız: Ψ(1, 2) 2 = Ψ(2, 1) 2. (1.4.9) Burada 1 ve 2 etiketi ait oldukları elektrona ait, spin kuantum sayısı dahil, tüm kuantum sayılarını içermektedirler. Buna göre Ψ(1, 2) = ±Ψ(2, 1) (1.4.10) olcaktır. Burada + ya da işaretli oluş parçacığın doğası ile ilgilidir. Buna göre elektron gibi Fermi istatistiğine uyan parçacıklar, yani Fermiyonlar, için ve Bosonlar için + kullanılacaktır. Dirac denkleminden de bilindiği gibi Fermiyonlar buçuklu spinlere sahip olurken bozonlar tam

49 45 sayı spin değerleri alırlar. Bu spin istatistiği teoremi olarak bilinir. Parçacık değiş-tokuşu etkisi ile gelen asimetriyi aşağıaki dalga fonksiyonu ile basitçe elde edebiliriz: 1 ve 2 nin değiştirilmesi ile Ψ(1, 2) = 1 2 (ψ α (1)ψ β (2) ψ α (2)ψ β (1)) (1.4.11) Ψ(1, 2) = 1 2 (ψ α (2)ψ β (1) ψ α (1)ψ β (2)) = Ψ(2, 1). (1.4.12) elde edilir. Açıkça görülüyor ki tüm kuantum sayıları aynı iken dalga fonksiyonu sıfır olmaktadır. Bu Pauli dışarlama ilkesidir. Antisimetri Sonuç olarak görünüyor ki toplam dalga fonksiyonu parçacık değiş-tokuşu altında antisimetrik olmalıdır. Eğer dalga fonksiyonunun uzaysal kısmı simetrik ise spin dalga fonksiyonu antisimetrik olmak zorundadır, yada tam tersi de düşünülebilir. Eğer φ 1 (r 1 ) ve φ 2 (r 2 ) sırasıyla 1 ve 2 nolu tek-parcacık dalga fonksiyonları ise buna göre parcacık çiftinin dalga fonksiyonunun uzaysal kısmı Ψ S = 1 2 [φ 1 (r 1 )φ 2 (r 2 ) + φ 1 (r 2 )φ 2 (r 1 )] (1.4.13) şeklinde bir simetrik fonksiyon ya da Ψ A = 1 2 [φ 1 (r 1 )φ 2 (r 2 ) φ 1 (r 2 )φ 2 (r 1 )] (1.4.14) olan bir antisimetrik fonksiyon olabilir. Bu dalga foksiyonlarına karşılık gelen enerjiler Hamiltonyenin köşegen matris elementlerinin hesaplanması, HΨ = EΨ Ψ HΨ = Ψ EΨ = EΨ Ψ (1.4.15) ve integrali alınarak: Ψ HΨdr 1 dr 2 = E Ψ Ψdr 1 dr 2 = E (1.4.16) elde edilir.

50 46 Böylece H 1, H 2 ve H 12. terimlerini içeren integrallerin alınması gerektiği açıktır. Ilk iki terimin sadece r 1 ve r 2 koordinatlarına açıkça bağımlı olması birçok terimin sıfır olmasını gerektirecektir. Örneğin: 1 2 [φ 1 (r 1 )φ 2 (r 2 ) ± φ 1 (r 2 )φ 2 (r 1 )] H 1 (r 1 ) [φ 1 (r 1 )φ 2 (r 2 ) ± φ 1 (r 2 )φ 2 (r 1 )] dr 1 dr 2 (1.4.17) = ± 1 2 ± 1 2 φ 1 (r 1 ) φ 2 (r 2 ) H 1 (r 1 )φ 1 (r 1 )φ 2 (r 2 )dr 1 dr 2 (1.4.18) φ 1 (r 2 ) φ 2 (r 1 ) H 1 (r 1 )φ 1 (r 2 )φ 2 (r 1 )dr 1 dr 2 (1.4.19) φ 1 (r 1 ) φ 2 (r 2 ) H 1 (r 1 )φ 1 (r 2 )φ 2 (r 1 )dr 1 dr 2 (1.4.20) φ 1 (r 2 ) φ 2 (r 1 ) H 1 (r 1 )φ 1 (r 1 )φ 2 (r 2 )dr 1 dr 2 (1.4.21) H 1 sadece r 1 e bağımlı olduğu için, r 2 integralini ayrı hesaplamak mümkündür: ± 1 2 φ 2 (r 2 ) φ 1 (r 2 )dr 2 φ 1 (r 1 ) H 1 (r 1 )φ 2 (r 1 )dr 1 ± (1.4.22) 1 φ 1 (r 2 ) φ 2 (r 2 )dr 2 φ 2 (r 1 ) H 1 (r 1 )φ 1 (r 1 )dr 1 (1.4.23) 2 Dalga fonksiyonlarının ortogonal olması sebebi ile r 2 içeren integral sıfır olacaktır. Benzer durum H 2 integrali için de geçerli olacak ve çapraz terimler sıfır olacaktır. Bununla birlikte H 12 terimi hem r 1 hem de r 2 ye bağlı olduğundan hesaplama aynı biçimde kolay olmayacaktır. Çapraz terimlerin sıfır olmaması dolayısı ile simetri ve antisimetrinin getirdiğ ek terimler sözkonusu olacaktır. Bu terimler değiş-tokuş integralleri olarak bilinirler ve enerjiyi şu şekilde yazmak mümkündür. E = E 1 + E 2 + E 12 ± J. (1.4.24) Burada J değiş-tokuş integrali olarak bilinir. + işareti dalga fonksiyonunun uzaysal olarak simetrik, - işareti ise antisimetrik olduğu duruma karşılık gelmektedir. Değiş-Tokuş Kuvveti Bu kısımda değiş-tokuş etkisinin spin etkileşme enerjisini nasıl değiştirdişini inceleyeceşiz.

51 47 J < 0 olduğunu farzederek başlayalım. Buna göre simetrik uzaysal dalga fonsiyonu en düşük enerjili duruma karşılık gelecektir. Uzaysal ve spin dalga fonksiyonlarının çarpımlarının parçacık değiş-tokuşu altında antisimetrik olması gerekliliğinden dolayı spin dalga fonksiyonunun: 1 2 > 1 2 > (1.4.25) şeklinde antisimetrik olacağını söyleyebiliriz. Eğer spinlerden biri, mesela 1, ters çevrilecek olursa oluşacak yeni durum 1 2 > 1 2 > (1.4.26) olacaktır. Bu spin dalga fonksiyonu parçacık değiş-tokuşu altında simetriktir. Buna göre toplam dalga fonksiyonu asimetrisini sağlamak için uzaysal dalga fonksiyonunu antisimetrik olmalıdır. Bu ise enerjinin E = E 1 + E 2 + E 12 + J (1.4.27) değerinden E = E 1 + E 2 + E 12 J (1.4.28) değerine yükseleceği anlamına gelir (J < 0 olduğunu unutmayalım). Fark 2J kadardır. J nin büyüklüğü ev mertebesindeki elektrostatik etkileşmeler ile belirlendiğinden sistemin bu değiştokuş kuvvetinin üstesinden gelebilmesi için çok fazla miktarda enerjiyi dışardan temin etmesi gerekmektedir Heisenberg Modeli Değiş-tokuş etkileşmesi, Curie sıcaklığının yüksek değerlerini açıklamaktadır. Şimdi ise iki spin arasındaki etkileşmenin Hamiltonyenini olabilecek en basit halde yazarak değiş-tokuş etkileşmesini yalın haliyle anlamaya çalışacağız: H = J S 1 S 2 (1.4.29) etkileşme Hamiltonyeni ve S 1 = σ x1ˆx + σ y1 ŷ + σ z1 ẑ S 2 = σ x2ˆx + σ y2 ŷ + σ z2 ẑ (1.4.30) ile verilmektedir. Burada σlar 2 2 Pauli spin matrisleridir. Klasik bakış açısı ile açıkça, J < 0 iken, spinler aynı yöndeyken daha düşük enerjili durum gerçekleşeceği için, sistemin ferromanyetik durumu tercih edeceğini söyleyebiliriz. Asıl soru S 1 S 2 çarpımını nasıl hesaplay-

52 48 acağımızdır? sembolü ile gösterilen tensör çarpımını kullanarak A ve B gibi 2 2 matrisler için A B = a 11B a 12 B (1.4.31) a 21 B a 22 B yazabiliriz. Ve buna göre H = J S 1 S 2 = J [σ x1 σ x2 + σ y1 σ y2 + σ z1 σ z2 ] (1.4.32) ile H = J i i 0 0 i i (1.4.33) H = J + + = J (1.4.34) elde edilir. Bu Hamiltonyenin enerji seviyelerini hesaplak için zamandan bağımsız Schrödinger denkleminin çözülmesi yeterli olacaktır. HΨ = EΨ (1.4.35) Bu basit özdeğer probleminin çözümü aşağıdaki özvektörleri verecektir , , , (1.4.36)

53 49 Durumların Belirlenmesi Tensör çarpımının bilinen kurallarını kullanarak iki cisim durumunu tek cisim durumu bileşenleri ile yazabiliriz: = (1.4.37) = 1 1 (1.4.38) = (1.4.39) = 0 0 (1.4.40) Şu tanımlamaları yaparak 1 0 >, 0 1 > (1.4.41) spin yukarı ve spin aşağı diyeceğimiz elemanları kullanıp bir singlet (S toplam = 0) durumunu > > (1.4.42) olarak yazabiliriz ve üçlü S=1 durumu ise >, > + >, >, (1.4.43) olacaktır.

54 50 N Parçacık Sistemi N tane moment içeren bir örgü için 2 parçacık problemini H = J i, j is i S j (1.4.44) Şeklinde genelleyebiliriz. Bunu daha da basitleştirmek amacı ile en yakın komşu etkileşmlerini ele alarak H = J i, δs i S i+δ (1.4.45) yazılabilir. Hamiltonyene bir dış manyetik alanın yol açacağı Zeeman terimini de eklersek H = [ is i J ] S i+δ µ i H (1.4.46) δ olur. S i = µi gµ B olduğundan H = i µ i H eff (1.4.47) yazabiliriz. Burada etkin alan: H eff = H J S i+δ. (1.4.48) gµ B δ Burada en yakın komşular üzerinden yapılan hesaplarda herbir elemanın aynı ortalama katkıyı yapacağını farzedeceğimiz ortalama alan yaklaşımını kullanıyor olacağız. Böylece H eff = H Jz < S i+δ >= H Jz gµ B g 2 µ 2 M = H + wm (1.4.49) B yazabiliriz. Burada w = Jz. Böylece bir H g 2 µ 2 eff etkin manyetik alanı içerisinde yer alan etkileşmeyen momentleri ele almış olacağız. Benzer uygulama etkileşmeyen momentlerden B oluşan paramanyetik malzemelerin bir dış alandaki durumları için de incelenmişti (H H + wm).

55 51 Ferromanyetik Durum (T < T C ) Spin 1/2 için, M = Nµ tanh α (1.4.50) ve α = µ(h + wm). (1.4.51) k B T H = 0 olduğunu farzedip ikinci mertebeye kadar seri açıldığında elde edilir ve bu bize şeklinde yazmayı sağlayacaktır. γ = µw k B T elde edilir. γ = 1 Nµ kritik Curie sıcaklığını verir M = Nµ tanh α Nµ(α α3 3 ) (1.4.52) M = Nµ(Mγ M 3 γ 3 ) (1.4.53) 3 M = olmak üzere sonuç olarak: 3 γ 3 (γ 1 Nµ ) (1.4.54) olduğunda sıfır manyetik alan altında mıknatıslanma yok olacaktır. Bu ise T C = Nµ2 w k B (1.4.55) T C Civarında Bulduğumuz M = ifadesinde yukarıdaki T C tanımının kullanılması ile olduğu görülür. M = 3 γ (1 1 Nγµ )1/2 (1.4.56) 3 γ (1 T T C ) 1/2 (1.4.57)

56 52 Paramanyetik Durum (T > T C ) Yüksek sıcaklıklarda α << 1, tanh α teriminin seri açılıp ilk teriminin alınması ile M = Nµα (1.4.58) yazabiliriz. Bunun denkleminde yazılması ile M = k BT M Nµ 2 w H w (1.4.59) elde edilir. Bu H 0 iken çözülebilir: M(1 k BT Nµ 2 w ) = H w (1.4.60) Böylece, bulunur. H M = w(1 k BT Nµ 2 w ) = Nµ2 /k B C T wnµ 2 H = H (1.4.61) /k B T T C χ = C T T C (1.4.62) Bu sonuç Curie yasası ile oldukça benzerdir fakat ferromanyetik değiş-tokuş enerjisi dolayısıyla gelen bir moleküler w alanı ile düzeltilmiştir. Bu Curie-Weiss yasası olarak bilinir Band Ferromanyetizması Weiss modeli gereğince ferromanyetik ve paramanyetik durumlar için manyetik momentin değeri aynı ve Bohr manyetonun tam sayı katları olmalıdır fakat deneysel sonuçlar bu biçimde değildir. Birincil olarak bunun sebebi manyetik momente katkı yaparak ferromanyetik oluşu saplayan elektronların örgü üzerinde lokalize olmamalarıdır. Bundan dolayı daha doğru bir model bant yapısı gözönüne alınarak yapılabilir. Bu modelleme için Pauli paramanyetizmasında yapılanın benzeri olarak serbest elektron gazı ele alınabilir. Tek ihtiyacımız olan moleküler alanın etkisini de hesaba dahil etmektir.

57 53 w=0 1/χ M 1/χ kt/e F Aşağı ve yukarı spinli elektronları sayı yoğunluğu N / = 0 D / (E)f / (E)dE (1.4.63) ile verilir, burada D / (E) = 3 4 N E 3/2 F E 1/2 (1.4.64)

58 54 ve şeklindedir. Manyetizasyon f / (E) = 1 e (E E F ±µ(h+wm))/k BT + 1. (1.4.65) M = µ(n N ), (1.4.66) ile verildiği için manyetizasyon için nonlineer bir denklem elde edilir. Ve dahası integrallerin analitik sonucu yoktur. Bununla birlikte farklı manyetik alan değerleri için mıknatıslanmayı numerik olarak çözebiliriz. w = 0 olduğu durumda Pauli paramanyetizması söz konusu demektir. Bu bize sıcaklık ile neredeyse değişmeyen sabit bir alınganlık değeri verecektir. Moleküler alan dahil olduğunda mıknatıslanma eğrisi aşağılara çekilir. Eğer eğri sıcaklık eksenini keserse kesişim noktası T C Curie sıcaklığını belirleyecektir. Paramanyetik durumda alınganlığın aldığı değerler T C üzerindeki sıcaklıklarda geçerli olur. T C sıcaklığı altında iken ferromanyetizma sözkonusu olur ve bir manyetik alanın yokluğundaki mıknatıslanma hesaplanabilir. SPIN SPIN 1950 lerin başında ilk olarak Stoner tarafından ortaya konan bu modele göre bir ferromanyette bir spin türüne ait enerji bantları tümden kayarak (yani enerji ekseninde ve şekil değiştirmeden kayarak) malzemede spin kutuplaşması ve kalıcı mıknatıslanmayı sağlarlar. Onyıllar sonra yapılan temel ilkelere dayalı hesaplar bu görüşü desteklemiştir. Özellikle Fermi seviyesinin d-bantlarında yeraldığı malzemelerde (Ni, Co, Fe gibi) ferromanyetizma ortaya çıkar. Fermi seviyeleri çok daha yukarıda yer alan Zn ve Cu gibi malzemeler ise ferromanyetik değildir çünkü kayan bu bantlar tamamen doludur.

59 SPİNTRONİK AYGITLAR Spinin işlevsel olarak kullanımını sağlayacak aygıtların tasarımı temel olarak, spin etkilerinin baskın olarak ortaya konabileceği yeni malzemelerin geliştirilmesi, spin kutuplu akımların oluşturulup manyetik ve elektrik alanlarla kontrol edilebileceği yapıların tasarımını gerektirmektedir. Bu bölümde örnek olarak Datta-Das spin-fet tranzistöründen bahsedilecektir Datta-Das spin-fet Ferromanyetik bir malzemede elektronların yukarı ve aşağı spin durumlarındaki dağılımı eşit değildir. Dolayısıyla bir ferromanyet-yarıiletken ekleminden akım geçirdiğimizde yarıiletkene giren elektronlar spin kutuplu olacaktır. Yarıiletken içinde spin durumlarının korunum süreleri yeterince uzun ise diğer uca taşınan elektronlar hala çoğunlukla belli bir spin durumunda olacaktır. Yarıiletkenin diğer ucuna da bir ferromanyetik malzeme eklediğimizde, elektronların yarıiletkenden ferromanyetik elektroda geçişleri ferromanyetiğin mıknatıslanma yönüyle uyumlu olmaları durumunda çok daha kolay olacaktır. Böylece FM-Yİ-FM şeklindeki bir yapının elektriksel direncinin FM tabakalar aynı mıknatıslanma yönünene sahipse düşük, ters mıknatıslanma yönüne sahiplerse yüksek olacağı tahmin edilebilir. Dev manyetodirenç (GMR) etkisi denilen bu özellik spintroniğin günümüzde kazandığı önem ve yaygınlığının temelinde

60 56 yatan en önemli bulgudur. Nitekim 2007 yılı fizik Nobel ödülü bu etkiyi ilk olarak keşfeden Albert Fert ve Peter Grünberg e verilmiştir yılında Datta ve Das tarafından bir spin tranzistörü modeli önerilmiştir. Şekilde görüldüğü gibi iki ferromanyetik elektrot arasına yerleştirilmiş bir yarıiletken üzerinden geçen akım elektronların spin özelliğini kullanarak ve uygulanan bir kapı potansiyeli ile açılıp kapanabilmektedir. Önerilen modelin çalışma ilkesi aynı yönde mıknatıslanmış ferromanyetik tabakaların birinden yarıiletkene belli bir spin durumunda giren elektronların, uygulanan elektrik alan altında yarıiletken boyunca hareket ederken diğer ferromanyetik tabakaya varıncaya kadar spin durumlarını döndürerek FM tabakaya geçişlerini engellemek üzerine kurulmuştur. Bu durum tranzistörün kapalı haline denk gelmektedir. Kapı potansiyel farkı uygulanmadığında, yani elektrik alan kapatıldığında ise giren ve çıkan elektronların spin durumları değişmediğinden daha yüksek bir akım geçecektir. Bu ise tranzistörün açık halidir. Elektron spinlerinin elektrik alan altında yarıiletkenden geçerken nasıl etkilendiklerini anlamak için 1960 yılında Rashba tarafından önerilen spin-yörünge etkileşmesini incelemeliyiz.

61 Spin-Yörünge Etkileşmeleri Bir atomun yörüngesinde bulunan elektron çekirdeğin oluşturduğu elektrik alan altında hareket etmektedir. Bu durum elektronun referans sisteminden bakıldığında sanki çekirdek elektronun etrafında dönüyormuş olacağından elektronun bulunduğu noktada bir etkin manyetik alan oluşturacaktır. Probleme Bohr modeli çerçevesinde yaklaşacak olursak, elektronun hissedeceği manyetik alan E = µ 0I 2r (1.5.1) olacaktır. Burada r elektronun çekirdeğe uzaklığı, I ise göreli olarak dönen çekirdeğin oluşturduğu dairesel akımdır. Akımı birim zamanda geçen yük olarak yazarsak I = dq dt = Ze 2πr/v (1.5.2) bulunur. Buna göre manyetik alan yazılabilir. Yörüngesel açısal momentumun B = µ 0Zev 4πr 2 (1.5.3) L = mvr (1.5.4) olduğunun kullanılması ile elde edilir. B = µ 0Ze L 4πmr 3 (1.5.5) Elektronun spin manyetik momenti bu manyetik alan ile etkileşecektir. Bu noktada spin manyetik momentini yazacak olursak µ s = g µ B S. (1.5.6) Buna göre spin yörünge etkileşme enerjisi H s-o = µ s B (1.5.7)

62 58 olur ve bunun ile orantılı olduğu açıktır. S L r 3 (1.5.8) Bilinen bazı bağıntıları kullanarak H s-o terimini elektrik alan cinsinden yazmak mümkündür. Etkin manyetik alanın olduğunu ve ışık hızının ile verildiğini kullanarak B = µ 0Zev 4πr 2 (1.5.9) B = elde edebiliriz. Bu ifadede birinci kesir E olduğundan c 2 = 1 ɛ 0 µ 0 (1.5.10) Ze v 4πɛ 0 r 2 c 2 (1.5.11) B = v E c 2 = p E mc 2 (1.5.12) formunda yazılabilir. S = e 2 σ, µ = 2m g S ve dolayısıyla µ = µ B σ eşitliklerinin kullanılması ile görelilik etkisi ile paydaya gelen fazladan bir 2 terimi ile birlikte H s-o = µ B = µ B 2mc 2 σ ( E p) (1.5.13) sonucuna ulaşılabilir. üzere Sonuç olarak Rashba spin-yörünge etkileşme terimi b bir sabit olmak H s-o = b ( E p) σ (1.5.14) şeklindedir. 2 Boyutlu Elektron Gazında Rashba Etkisi Bir katı içerisinde haraket eden elektronun bu biçimde bir etkileşmeye uğraması sonucu manyetik alan yokluğunda bile spin yarılmaları meydana gelecektir. Datta-Das tranzistörüne dönecek olursak, ince bir film şeklindeki yarıiletken tabakada elektronlar iki boyutlu bir elektron gazı oluştururlar. Elektron gazını x y düzleminde seçerek E = Eẑ elektrik alanı altında p momentumuna sahip elektronun dinamiğine baktığımızda H s-o ( E p) σ Rashba etkileşmesinin

63 59 formu ve E p = E(p x ŷ p y ˆx) (1.5.15) ( E p) σ = E(p x σ y p y σ x ) = E( p σ) z (1.5.16) olduğundan, α Rashba parametresi olmak üzere spin yörünge etkileşme enerjisini H s o = α(e) ( p σ) z (1.5.17) şeklinde ifade edebiliriz. açıkça görülmektedir. Burada etkileşmenin şiddetinin elektrik alanla kontrol edilebileceği 1 Boyutlu Elektron Gazında Rashba Etkisi Elektrik alan altında spin durumlarının hareketini açıkça görebilmek için bir boyutta Rashba spin yörünge etkileşmesini inceleyelim. Elektrik y yönünde olsun, E = E y ŷ. Hamiltonyen: Bir boyutta p = ( i d dx )ˆx olduğundan Daha açık yazacak olursak H = p2 2m b ( E p) σ. (1.5.18) d 2 H = 2 2m dx 2 b denklemine ulaırız. Burada biliyoruz ki d 2 ( E ( i d ) dx )ˆx σ. (1.5.19) H = 2 2m dx 2 ibe d yσ z dx σ z = (1.5.20). (1.5.21) Hamiltonyende birinci terimin 2 2 birim matrisiyle çarpıldığını bilerek, matris formunda elde edilir. H = 2 2m d 2 dx 2 ibe y d dx d 2 2m dx 2 + ibe y d dx. (1.5.22)

64 60 Buna göre dalga fonksiyonunun uzaysal kısmı olarak ψ k (x) = 1 L e ikx (1.5.23) seçildiğinde yukarı ve aşağı spin durumları ψ,k = 1 L e ikx 1 0, ψ,k = 1 L e ikx 0 1 (1.5.24) olacaktır. Buna göre enerji özdeğerleri E s,k = ψ s,k H ψ s,k ise E,k = 2 k 2 2m + be yk = 2 2m (k2 + 2k R k), k R = be ym 2 (1.5.25) ve aşağı spinler için enerji benzer şekilde olarak elde edilecektir. ortadan kalkacağını açıkça göstermektedir. E,k = 2 2m (k2 2k R k) (1.5.26) Bu sonuç spin-yörünge etkileşmeleri dolayısı ile spin dejenereliğinin

65 YARIİLETKEN FİZİǦİNDE TEMEL YÖNTEMLER - I Mauro F. PEREIRA SHEFFIELD HALLAM UNIVERSITY DERS ASİSTANI : Ümit KELEŞ (Bilkent Üniversitesi) DERS NOTU ASİSTANI : Ebru BAKIR (Gaziantep Üniversitesi) 61

66 BÖLÜM İKİ YARIİLETKEN FİZİǦİNDE TEMEL YÖNTEMLER - I 2.1 MADDE VE RADYASYON ETKİLEŞMESİ Klasik Optik Salınım Modeli Optiksel Alınganlık Elektriksel alan etkisiyle -e yüklü bir parçacık denge konumundan x kadar yerdeǧiştirdiǧinde oluşan elektriksel dipol moment ve mikroskopik polarizasyonu aşaǧıdaki gibi yazabiliriz. E + - d. Şekil 2.1: Doǧrusal polarize olmuş elektriksel alanın dielektrik malzemenin makroskobik polarizasyonu etkilemesi d = ex. (2.1.1) P = ( P L 3 ) = (Nex V ) = n 0ex (2.1.2) Burada V = L 3 hacmi, n 0 ise elektron yoǧunluǧunu temsil etmektedir. -e yüklü parçacıǧın salınım denklemi, sönümlü salınıcı için kullanılan Newton denklemi yardımı ile şöyle yazılabilir; m 0 d 2 x dt 2 + 2m 0γ dx dt + m 0ω 2 0x = eε(t). (2.1.3) Bu ifadede γ, m 0 ve ω 0 sönüm katsayını,kütle ve rezonans frekansını göstermektedir. Genellikle elektriksel alanı komplex bir alan olarak düşünüp, fiziksel sonuç hesaplandıǧında gerçel 62

67 63 kısmını almak uygundur. Ansatz yerdeǧiştirme ile elektriksel alanın gerçel kısmı alındıǧında; x = x 0 e iωt ε = ε 0 cos ωt ε 0 e iωt (2.1.4) ve denklem (2.1.4), denklem (2.1.3) de yerine yazıldıǧında aşaǧıdaki eşitlik kolayca elde edilebilir. m 0 ( ω 2 + 2iγω + ω 2 0)x 0 = eε 0 (2.1.5) Denklem (2.1.5) x 0 için çözülür ve polarizasyon denkleminde kullanılır ise, ( ) eε 0 /m x 0 = ω0 2, ω2 + 2iγω ( P = n 0 ex 0 = e 2 ε 0 /m ω 2 0 ω2 + 2iγω ) n 0. (2.1.6) P(ω) = x(ω)ε(ω) (2.1.7) Etkin rezonans frekansı ω 2 0 = ω 2 0 γ 2, denklemini kullanarak denklem (2.1.6) eşitliǧinin paydasını rezonans ve rezonans olmayan titreşim terimlerine ayırır isek, 1 ω ω + iγ 1 ω ω iγ = 2ω 0 ω 2 ω iγω γ2 Bu eşitlik denklem (2.1.7) ile karşılaştırıldıǧında optiksel alınganlık aşaǧıdaki gibi bulunur, x(ω) = 2ω 0 ω 2 ω iγω = n 0e 2 γ2 2m 0 ω 0 2 Optiksel alınganlıǧı, plasma frekansı ωpl 2 = 4πn 0e 2 m 0, ile tekrar yazarsak, ( ) x(ω) = ω2 pl 1 8ω 0 2 ω ω 0 + iγ 1 ω + ω 0 + iγ ( 0 ) 1 ω ω 0 + iγ 1 ω + ω 0 + iγ. (2.1.8) elde edilir. Etkin frekansla deǧişen alınganlık, ω = iγ ± ω 0 noktasında tekil olur. Bu ilişki sadece biçimsel olarak kompleks frekans, ω = ω + iω, ile saǧlanabilir. Denklem (2.1.8) den görülebildiǧi gibi, x(ω) alt yarı kompleks frekans düzleminde kutupludur, örneǧin ω < 0 için. Ancak tüm üst yarı düzlemde gerçel fonksiyondur. Alınganlıǧın bu özelliǧi nedensellik ilkesi ile

68 64 ilişkilendirelebilir. Nedensellik t anındaki polarizasyonun, P(t), sadece daha önceki zamanda uygulanmış, ε(t τ) alanından etkilendiǧini söyler, örneǧin τ 0. Alanla, polarizasyon arasındaki en genel doǧrusal ilişki denklemi aşaǧıdaki gibi gösterilir, P(t) = t dt χ(t, t )ε(t ). (2.1.9) Burada P(t) ve ε(t τ) gerçel deǧerlerdir, dolayısıyla χ(t) de gerçeldir. Cevap fonksiyonu χ(t, t ) sistemin önceki zamanlarda uygulanmış alanların oluşturduǧu etkilerin hafızasını tanımlar. Nedensellik ilkesi gelecek zamanda uygulanacak ε(t ) alanının, t anındaki polarizasyon P(t) ye etki edemeyeceǧini söyler. Aşaǧıdaki gibi yeni zaman deǧişkenleri tanımlayalım. T = t + t 2 and τ = t t (2.1.10) Eǧer sistem dengede ise hafıza fonksiyonu χ(t, τ) sadece zaman farkı τ ya baǧlı olur ve polarizasyon aşaǧıdaki gibi yazılır. P(t) = t dt χ(t t )ε(t ) = 0 dτχ(τ)ε(t τ). (2.1.11) Fourier dönüşümü ile bu denklem daha basit yazılabilir; f(ω) = P(ω) = = = dtf(t)e iωt, f(t) = 0 dt dt 0 0 dτχ(τ)ε(t τ)e iωτ, dω 2π f(ω)e iωt (2.1.12) dτχ(τ)ε(t τ)e iω(t τ)eiωτ, dτχ(τ)e iωτ dtε(t τ)e iω(t τ).

69 65 Nedensellik gereǧi τ < o, χ(τ) < 0 χ(ω) = 0 dτχ(τ)e iωτ, P(ω) = χ(ω)ε(ω). Yine P(t) ve ε(t) gerçel olduǧu için χ(t) de gerçeldir. χ (t) = χ(t) dωχ (ω)e iωt = dωχ ( ω)e iωt = dωχ(ω)e iωt, dωχ(ω)e iωt, χ (ω) = χ(ω), χ ( ω) iχ ( ω) = χ(ω) + iχ (ω). ve χ ( ω) = χ (ω) χ ( ω) = χ (ω) ω 0 durumunda χ(ω) analitik bir fonksiyondur, ve τ 0 durumunda da e iω τ integrallenen fonksiyonu sıfıra gitmesi için zorlar. χ(ν) gerçel frekanslar için analitiktir, Cauchy ilişkisi kullanılarak tekrar yazıldıǧında χ(ω) = dν χ(ν) 2πi ν ω iδ, (2.1.13) δ pozitif ve ölçülemeyecek kadar küçük (infinitesimal) bir sayıdır. İntegral, Dirac identity kullanılarak çözülebilir. lim δ 0 1 ω iδ = P 1 ω + iπδ(ω), χ(ω) = P dν χ(ν) 2πi ν ω + π 2π dνδ(ν ω)χ(ν),

70 66 χ(ω) = P dν π χ(ν) ν ω ( i). Gerçel ve sanal kısımlar eşitlendiǧinde; χ (ω) = P χ (ω) = P dν π dν π χ (ν) ν ω, χ (ν) ν ω. (2.1.14) İntegrali iki kısma ayırır isek, χ (ω) = P 0 dν π χ (ν) ν ω + P dν χ (ν) 0 π ν ω ve χ (ω) = χ ( ω) ilişkisi kullanıldıǧında aşaǧıdaki eşitlikler bulunur, P 0 χ (ω) = P dν π 0 χ ( ν) ν ω = P dν 0 π dν π χ (ν) χ (ν) ν + ω ( 1 ν ω + 1 ν + ω ). χ (ω) = P 0 ( ) dν 2ν π χ (ν) ν 2 ω 2 (2.1.15) Bu eşitlik Kramers-Kronig baǧıntı olarak adlandırılır. Eǧer tüm pozitif frekans deǧerlerinde sanal kısım biliniyor ise, χ(ω) nın gerçel kısmıhesaplanabilir. Soǧurma ve Kırılma Yerdeǧiştirme alanıd(ω), polarizasyon P(ω) ve elektrik alanı ε(ω) ile aşaǧıdaki gibi ifade edilebilir. D(ω) = ε(ω) + 4πP(ω) = [1 + 4πχ(ω)]ε(ω) = ɛ(ω)ε(ω) (2.1.16)

71 67 Optiksel dielektrik fonksiyonu ɛ(ω) da optiksel alınganlıktan elde edilebilir, ( ɛ(ω) = 1 + 4πχ(ω) = 1 ω2 pl 2ω 0 1 ω ω 0 + iγ 1 ω + ω 0 + iγ ). (2.1.17) ω pl, elektron plazmasında ortalama yoǧunluǧu n 0 olan plazma frekansıdır. ω 2 pl = 4πn 0e 2 m 0 (2.1.18) Basitleştirme: Sadece Rotating Wave yaklaşımını, ω 0 γ ve dolayısıyla da ω 0 ω 0 alalım. ɛ (ω) = 1 ω2 pl ω ω 0 2ω 0 (ω ω 0 ) 2 + γ 2 (2.1.19) ɛ (ω) = ω2 pl 2γ 2ω 0 (ω ω 0 ) 2 + γ 2 (2.1.20) Optiksel Dielektrik Fonksiyonunun Taşıdıǧı Ortamda Yayılan Işın Demeti Fiziksel Bilgiler: Dielektrik optik frekanslarda, B = H(µ = 1) B = 1 c ε = 1 c D t B t (2.1.21) (2.1.22) ε = H = 1 c 2 2 D t 2 = ( ) baǧıntısını ile enlemsel elektrik alanı E = 0 olur. ε(r, t) 1 2 D(r, t) c 2 t 2 = 0 (2.1.23)

72 68 F ourier T ransformu ε(r, ω) + ω2 c 2 ɛ (ω)ε(r, ω) + i ω2 c 2 ɛ (ω)ε(r, ω) = 0 (2.1.24) k(ω) dalga sayısıyla yayılan düzlem dalgaları ve z yönündeki sönümlenme (extinction) katsayısı κ(ω) için şunları elde edebiliriz: ε(r, ω) = ε 0 (ω)e i[k(ω)+iκ(ω)]z Bu denklemin gerçel ve sanal kısımları eşitlendiǧinde: [k(ω) + iκ(ω)] 2 = ω2 c 2 [ɛ (ω) + iɛ(r, ω)] (2.1.25) elde edilir. k(ω) 2 + κ(ω) 2 = ω2 c 2 ɛ (ω), 2κ(ω)k(ω) = ω2 c 2 ɛ (ω), Kırılma İndisi n(ω): Ortamdaki dalga sayısı k(ω) nın, vakum dalga sayısı k 0 = ω/c ye olan oranıdır. k(ω) = n(ω) ω c (2.1.26) Soǧurma Katsayısı: Soǧurma katsayısı gerçek uzayda yoǧunluǧun azalmasını belirler. α(ω) = 2κ(ω) (2.1.27) I ε 2 = ε 0 2 e αz 1/α yoǧunluǧun e 1 kadar azaldıǧı mesafedir.

73 69 ω 2 c 2 n2 α2 4 = ω2 c 2 ɛ (ω) 2 ω c nα 2 = ω2 c 2 ɛ (ω) α = ω c ɛ n n 2 c2 ω 2 ω 2 ɛ 2 4c 2 ω 2 = ɛ n 4 ɛ 2 n 2 ɛ = 0 Kırılma indisi, Soǧurma katsayısı, n = 1 2 [ɛ + ɛ 2 + ɛ]. (2.1.28) α(ω) = ω n(ω)c ɛ (ω). (2.1.29) Yarıiletkenler İçin Tipik Yaklaşımlar: ɛ (ω) ɛ(ω) n b n ortam(background) ve n(ω) = ɛ (ω) α(ω) = ωɛ (ω) n b c = 4πω χ(ω) (2.1.30) n b c χ = χ b + δχ n = (ɛ b + 4πδχ ) n n b + 2π n b δχ (2.1.31)

74 Yarı Klasik Teori H = 1 2 i t ψ = Hψ (p e c A ) 2 + e 2 E ve A nın ışıǧın yayılma yönüne dik olduǧunu kabul edelim. Coulomb ayarını (enlemsel ayar) alırsak A = 0 olur ve enlemsel klasik elektrik alan şöyle yazılabilir, E = 1 c A t. 2r Daha sonra elektrik dipole yaklaşımı ile alanın zamana baǧlı deǧişmediǧini kabul edelim. A(r, t) A(0, t) olduǧunu ve ortam içinde fazla Şimdi birimsel (Unitary) bir operatör olan dönüştürme (Translational) operatörünü işlemlerimize dahil ederek momentum p yi e c A(0, t) ye çevireceǧiz. T = e i e c r A, ve dönüştürme operatörü birimsel bir operatör olduǧundan T T = I ψ >= T ψ > ψ >= T ψ > i ψ >= H ψ > t i t (T ψ >) = HT ψ > i T t (T ψ >) = T HT ψ > i (T T ) + T T t }{{} t ψ >= T HT ψ > } {{ } I

75 71 t T T = 0 = T T + T T t t i ( T } {{ t } T + t ) ψ > kolayca hesaplanabilir T = e i e r c A i T t = er c A t = ere ( ere + i ) ψ >= T HT t } {{ } ψ > (2.1.32) [ 1 2m 1 2m p }{{} 2 e c A + V e i e c ( i r e c A ) 2 + V ] r A e i e r c A Momentum operatörü, dönüşüm operatörüne uygulanarak şu sonuç elde edilebilir, ( i r ec A ) e i e r c A = T e c A ψ > +T p ψ > T e c A ψ >= T p ψ > ( i r ec A ) T p ψ >= T p 2 ψ > T (HT ψ >) = T T p 2 ψ >= p 2 ψ > ve denklem (2.1.32) te yerine koyulursa, ( ere + i ) ( ) p ψ 2 >= t 2m + V c ψ > i t ψ >= 2m + V c }{{} er E ψ > } {{ d } H p2

76 72 d:dipole moment H = p2 2m + V c de (2.1.33) i ψ >= H ψ > (2.1.34) t İkinci Kuantizasyon Yarı klasik hamiltonyeni yazılır ise, ˆ H sc = Ĥo + ĤI (2.1.35) Ĥ o = p2 2m + V Ĥ I = ere Schrödinger denklemini klasik dalga denklemi olarak düşündüǧümüzde, i ψ t H ˆ sc ψ = 0, ve ψ ve ψ ifadelerini baǧımsız deǧişkenler olarak kabul edersek, Lagrange denklemini şöyle yazabiliriz; ( L = ψ i ψ ) t H ˆ sc ψ. (2.1.36) δl δψ = t δl δ ψ t x i δl = 0 δ ψ x i ψ, t den baǧımsız ve x i ile deǧişmediǧinden Lagrange denkleminin ψ a göre deǧişimi sıfır olur. δl δψ = i ψ t Π = δl δ ψ t H ˆ sc ψ = 0 = i ψ Hamiltonyen Yoǧunluǧu h = Π ψ t L h = i ψ ψ t ψ i ψ t + ψ Hˆ sc ψ

77 73 h = 1 i Π ˆ H sc ψ. (2.1.37) Fermiyonlar İçin İkinci Kuantizasyon [ ˆψ, ˆψ] + = [ ˆψ, ˆψ ] = 0 (2.1.38) [ ˆψ(r, t), ˆΠ(r, t)] + = i δ(r-r ) [ ψ(r ˆ, t), ˆψ(r, t)] = δ(r-r ) ĥ = 1 i ˆΠ(r) H ˆ sc ψ(r) = ψ (r) H ˆ sc ψ(r) Ĥ = ĥd 3 r = ψ (r) ˆ H sc ψ(r)d 3 r İki parçacık durumu için; Ĥ = d 3 rψ (r) H ˆ sc ψ(r) d 3 rd 3 r ψ (r )ψ (r)v (r,r )ψ(r )ψ(r). Ĥ sc = Ĥo + ĤI Alan operatörlerini genişletirsek dalga fonksiyonları şöyle yazılabilir; ψ(r) = nk a nk φ nk (r) (2.1.39) ψ (r) = lk a lk φ lk (r). (2.1.40) Ĥ I = l,n,k,k Ĥ I = d 3 rψ (r)( ere)ψ(r) d 3 rφ lk (r)erφ nk (r) E a lk a nk } {{ } d l,n,k,k d ln (k) (sadece direk gecisler)

78 74 Ĥ I = Ed ln (k)a lk a nk (2.1.41) l,n,k Bu kısımda serbest taşıyıcılar için hamiltonyeni bulmaya çalışılacaktır. H o = p2 2m + V o (2.1.39) ve (2.1.40) denklemleri kullanalılarak Ĥ o = ψ (r )H o ψ(r ), Ĥ o = a lk a nk d 3 rφ lk (r )H oφ nk (r ). l,n,k,k } {{ } E nk δ ln (k)δ kk Direk geçişlerde k = k ve l = n koşulları varsayıldıǧında, H o = n,k, E nk a lk a nk olarak elde edilir. Coulomb etkileşim teriminin çözülmesi ise biraz güçtür, ψ (r)ψ (r )V (r r )ψ(r)ψ(r )d 3 rd 3 r bu ifadede r ve r için dalga fonksiyonlarını aşaǧıdaki gibi kullanaım, ψ lk 1 = nk 1 a nk 1 φ nk 1, ψ lk 2 = lk 2 a lk 2 φ lk 2,

79 75 ψ mk3 = mk 3 a mk3 φ mk3, ψ pk4 = pk 4 a pk4 φ pk4. l,n,m,p,k1,k2,k3,k4 φ nk 1 (r)φ lk 2 (r )V (r r )φ mk3 (r )φ pk4 (r)a nk 1 a lk 2 a mk3 a pk4 d 3 rd 3 r V n l m p k 1 k 2 k 3 k 4 a nk 1 a lk 2 a mk3 a pk4... Bu toplam ifadesi neredeyse her bilgiyi içerdiǧinden ve hesaplanması çok zor olduǧundan bazı yaklaşımlar kullanmamız gerekmektedir. Bunlardan birisi sadece bir elektron ve bir boşluk için problemi sınırlandırmaktır. Dolayısı ile artık elektron ve boşluk (deşik) için oluşturma ve yoketme operatörlerini işlemlerimizde dahil etmemiz gerekmektedir. Şekil 2.2: Bandlar arasıyarı-iletken optiǧi, elektron ve boşluk (deşik oluşumu) Elektron oluşturma operatörü, a c = â e = α, ve boşluk oluşturma operatörü, a vk = β k

80 76 yazıldıǧında toplam Hamiltonyenimiz; H = k [E ek α k α k + E hk β k β k ] ε(t)[d cv α k β k + d cvβ k α k ] k + 1 V q [α k+q 2 α k q α k α k + β k+q β k q β k β k 2α k+q β k q β k α k] k,k q 0 Bu denklemdeki ilk ifade, iletim bandındaki elektronun ve valans bandında bulunan boşluǧun enerjilerini içermektedir. Momentum baǧımlılıǧını ihmal edilmiştir. İkinci ifade elektriksel alan etkileşmesidir ve bu durumda iki durum sözkonusudur ya absorplama gerçekleşecek sonucunda elektron-boşluk oluşacak yada ışık oluşacak ve elektron-boşluk birleşerek birbirini yok edecektir. Son ifade ise coulomb etkileşmesidir. Tipik olarak bir yarı iletken 1 ev civarında yasak enerji aralıǧına sahiptir, Coulomb etkileşmesi ise her olası durum gözönünde bulundurulduǧunda mev mertebesindedir yani oldukça küçüktür. Bu ifadedeki oluşturma ve yoketme operatörleri, toplam taşıyıcı sayısını deǧiştirmez sadece momentum ve enerjiyi elektronlar veya boşluklar arasında tekrar daǧıtır. Elektron ve boşlukların yoǧunluklarını ve polarizasyonu operatörlerle yazarsak; n ek = α k α k (2.1.42) n hk = β k β k (2.1.43) P k = β k α k (2.1.44) ve bu ifadeleri kullanarak elektronlar ve boşluklar için tüm hareket denklemlerini elde edebiliriz. Elde edilen hamiltonyen kullanılarak elektron ve boşlukların yoǧunlukları ve polarizasyon elde edilebilir. Kuantum mekaniǧinde bütün operatörler zamandan baǧımsız olduǧu için ilk olarak hamiltonyeni de zamandan baǧımsız yazmaya çalışacaǧız. i ψ(t) = Hψ(t) t ψ(t) = exp iht ψ o

81 77 Polarizasyonu elde etmek için toplam hamiltonyeni, serbest taşıyıcıhamiltonyeni H o elektriksel alan etkileşmesi hamiltonyeni H I ve coulomb etkileşmesi hamiltonyeni H c toplamı şeklinde yazabiliriz, i P k t = [P k, H] = [P k, H o + H I + H c ]. Bu ifadedeki polarizasyonun hamiltonyen ile komutasyonunu inceleyelim. taşıyıcıhamiltonyeninin polarizasyonla komutasyonu bakarsak, İlk olarak serbest [P k, H o ] = [β k α k, k [E ek α k α k + E hk β k β k ]] ve buradan gelecek terimleri tek tek incelersek, [β k α k, α k α k ] = β k α k α k α k α k α k β k α k } {{ } β k α k α k α k = β k α k α k } {{ } α k [α k, α k ] = α k, α k α k α k = δ kk [β k α k, α k α k ] = β k α k α k α k β k ( δ kk + α k, α k )α k k=k [β k α k, α k α k ] = β k α k (2.1.45) [β k α k, β k β k ] = β k α k β k β k β k β k β k α k } {{ } α k β k β k } {{ } β k [β k, β k ] = β k β k β k β k = δ kk [β k α k, β k β k ] = β k α k β k β k α k (β k β k δ kk )β k

82 78 k=k [β k α k, β k β k ] = β k α k (2.1.46) [P k, H o ] = (E ek + E hk )P k (2.1.47) elde edilir. İkinci olarak hamiltonyenin ikinci ifadesi olarak yazdıǧımız elektriksel alan etkileşmesi hamiltonyeninin polarizasyonla komutasyonu bakalım, i P k t = [P k, H I ] dipole k dan baǧımsız olduǧundan; H I = ε(t)d cv k α k β k + h 1 [P k, H I ] = [β k α k, ε(t)d cv k α k β k + h 1 ] yine buradan gelecek terimleri tek tek incelersek, [β k α k, α k β k ] = β k α k α k β k α k β k β k } {{ } α k β k β k δ kk = β k α k α k β k + α k δ kk α k α k β k β k α k } {{ } β k α k α k } {{ } α k α k δ kk β k = α k α k + β k β k [P k, H I ] = ε(t)d cv (1 α k α k β k β k ) (2.1.48)

83 79 (2.1.42) ve (2.1.43) denklemlerini hatırlar isek, i P k t = [P k, H] = (E ek + E hk )P k + d cv ε(t)(1 n ek n hk ) (2.1.49) ε(t) = ε(ω)e iωt (2.1.50) P (k) = P(k) P (t) = P (ω)e iωt (2.1.51) edilir, Bu ifadeleri (2.1.49) da yerine koyduǧumuzda polarizasyon ve alınganlık aşaǧıdaki gibi elde Tam polarizasyon durumunda; ωp (ω) = (E ek + E hk )ωp (ω) + d cv ε(ω)(1 n ek n hk ), χ(ω) = P (ω) ε(ω) = d cv(1 n ek n hk ) ω E ek E hk + iδ. (2.1.52) χ(ω) = k d 2 cv(1 n ek n hk ) ω E ek E hk + iδ (2.1.53) Alt-Bandlar Arası Yarı-İletken Optiǧi 2 Band Modeli, Serbest Taşıyıcılar H = H o + H I Bandların aşaǧıdaki şekilde olduǧu gibi parabolik olduklarını kabul edersek enerjilerini şöyle yazabiliriz, a k a bandında elektron oluşturur

84 80 Şekil 2.3: Alt-bandlar arası yarı-iletken optiǧi 2 Band Modeli b k b bandında elektron oluşturur ɛ a = 2 k 2 2m e + E a, (2.1.54) ɛ b = 2 k 2 2m e + E b. (2.1.55) H o = k (ɛ a (k )a k a k + ɛ b (k )b k b k ) H I = k ε(t)(d ab a k b k + d abb k a k ) n a (k) = a k a k (2.1.56) n b (k) = b k b k (2.1.57) P k = b k a k (2.1.58) i P k t = [P k, H]

85 81 Serbest taşıyıcı hamiltonyeninden H o dan gelecek terimler tek tek incelenir ise; [b k a k, a k a k ] = b k a k a k a } {{ } k ak a k b k a k = δkk b k a k δkk +a k a k [b k a k, b k b k ] = δkk b k a k [P k, H o ] = k (ɛ a (k )δkk b k a k ɛ b(k )δkk b k a k k = k [P k, H o ] = (ɛ a (k) ɛ b (k))p k (2.1.59) elde edilir. Benzer şekilde etkilesim hamiltonyeni H I dan gelecek ifadelere bakarsak, [P k, H I ] [b k a k, a k b k ] = b k a ka k b k a k b k b k a k } {{ } b k b k +δ kk = b k a ka k b k + a k b k b k a k a k δ kk a k = b k a ka k b k + b k a k a k } {{ } b k a k δ kk a k a k a k +δ kk = b k a ka k b k b k a ka k b k + b k δ kk b k a k δ kk a k = b k δ kk b k a k δ kk a k

86 82 [b k a k, b k a k ] = 0 [P k, H I ] = d ab ε(t) k δ kk (b k b k a k a k ) k = k [P k, H I ] = d abε(t)(a k a k b k b k ) (2.1.60) elde edilir. Bulunan bu ifadeler toplam hamiltonyende yazılır ise, i P k t = (ɛ a (k) ɛ b (k))p k + d ab ε(t)(a k a k b k b k ) (2.1.61) bu eşitliǧin kuantum istatistiksel ortalamasını alırsak, i P k t = (ɛ a(k) ɛ b (k))p k + d ab ε(t)(a k a k b k b k ). (2.1.56),(2.1.57) ve (2.1.58) denklemleri kullanılarak eşitlik tekrar düzenlenir ise, ε(t) = ε o e i(ωt+iδ) (2.1.62) P k (t) = P (k)e i(ωt+iδ)) (2.1.63) δ = Γ ( ω + iγ)p = (ɛ a (k) ɛ b (k))p (k) + d ab ε o (n a (k) n b (k)) χ = P ε o

87 83 χ k (ω)[ ω ɛ a (k) + ɛ b (k) + iγ] = d ab (n a (k) n b (k)) χ k (ω) = d ab(n a (k) n b (k)) ω ɛ a (k) + ɛ b (k) + iγ χ(ω) = R V d abχ k (ω) k χ(ω) = 1 V k 2 d ab 2 (n a (k) n b (k)) ω ɛ a (k) + ɛ b (k) + iγ Yukarıdaki ifademizin payında bulunan 2 çarpanı, alt-bandlar arasıgeçişlerdeki spin seçeneǧinden kaynaklanmaktadır. V ile gösterdiǧimiz ifade ise hacim olup S.L dir. Bu işlemlerde a ve b alt-bandlarında kütlelerin aynı olduǧunu kabul edildi. (2.1.54) ve (2.1.55) denklemlerini hatırlayarak bu eşitliǧi tekrar düzenleyelim. χ(ω) = d ab 2 2(n a (k) n b (k)) V ω E a (k) + E b (k) + iγ = k 2 d ab 2 ω E a (k) + E b (k) + iγ k 2(n a (k) n b (k)) V Alınganlık ifadesi aşaǧıdaki gibi elde edilir, χ(ω) = d ab 2 (N a N b )L ω E a (k) + E b (k) + iγ. (2.1.64) Buradan alt-bandlar arası absorpsiyon (soǧurma) ifadesi için analitik bir ifade elde edebiliriz. α(ω) = 4πωχ (ω) = 4πω Γ(N a N b ) n b c n b cl ω E a (k) + E b (k) + p 2 (2.1.65)

88 84 Bu ifadeden de görülebildiǧi gibi eǧer alt band b de üst band a dan daha fazla taşıyıcı var ise soǧurma, tam tersi üst band a da alt band b den daha fazla taşıyıcı var ise emisyon olur ki bu durumda soǧurma ifadesi negatife gider yani kazanç durumu oluşur. Alt-bandlar arası yarı-ıletken optiǧi bandların azçok aynı eǧime sahip olduǧu yani kütlelerin eşit olduǧu durumda bandlar arasıoptik için asla elde edilemeyen analitik ifadeler elde edilebildiǧinden dolayıilginçtir. Ayrıca bu ifademizdeki Γ deǧerinin birkaç mev olduǧu ve teorisi gözönünde bulundurulursa altbandlar arası yarı-iletken optiǧinin kuantum nokta veya kuyu geçislerinden daha fazla atomik fiziǧe benzediǧi görülür.

89 YARIİLETKEN FİZİǦİNDE TEMEL YÖNTEMLER - II: OPTİK ÖZELLİKLER VE DİELEKTRİK TEPKİ Ceyhun BULUTAY BİLKENT ÜNİVERSİTESİ DERS ASİSTANI : Ümit KELEŞ (Bilkent Üniversitesi) DERS NOTU ASİSTANI : Ümit KELEŞ (Bilkent Üniversitesi) 85

90 BÖLÜM ÜÇ YARIİLETKEN FİZİǦİNDE TEMEL YÖNTEMLER - II : OPTİK ÖZELLİKLER VE DİELEKTRİK TEPKİ 3.1 GİRİŞ Yüzyılı aşkın bir süredir oturmuş bir konu olarak bilinen elektromanyetik kuramında, son 20 yılda hiç beklenmedik gelişmeler yaşanmakta. Bu da bize her zaman için sürprizlere açık olmamız gerektiǧine dair en güzel bir hatırlatma. Esasen söz konusu gelişmeleri malzeme ortamına ait varsayımlarımızın ve sınırlarımızın aşılmasına borçluyuz. Önemli kilometre taşlarını çok kabaca sıralayacak olursak, ilk önce periyodik yapılardaki fotonik bant aralıǧının kullanıma açılması ve bunun fiber dalga kılavuzlarına kadar uygulamaya geçirilmesi, daha sonra Elektromanyetik olarak Etkilenmiş Saydamlık ile ışıǧın neredeyse durdurulması ve daha yakın bir geçmişte ise sol elli malzemeler ile saǧ duyularımızı alt üst eden yansıma ilkelerine ve dalgaboyu altı çözünürlüǧün elde edilmesine tanık olduk. Bu denli klasik bir konuda yaşanan devrimlerden hareketle, bu ders notları, elektromanyetik dielektrik tepki ve yüzey plazmon polaritonlarına basit bir giriş olarak hazırlanmıştır. İlk olarak, homojen bir ortamın elektromanyetik tepkisinin boyuna ve enine şeklinde ayrıldıǧını göreceǧiz (Dressel ve Grüner, 2002). Daha sonra Kramers-Kronig baǧıntısı ile tepki fonksiyonlarının Fourier dönüşümü sonrasında nedensellik ilkesi gereǧi sahip olması gereken kompleks düzlemdeki analitik yapıyı anlayacaǧız. Bu bölümü, tepki fonksiyonlarının ilinti fonksiyonları ile olan ilişkisi ve Kubo formülü ile tamamlayacaǧız (Dressel ve Grüner, 2002, Pines ve Nozières, 1999). Bundan sonra, homojen ortam modelinden çıkarak, örgülerin dielektrik fonksiyonunu inceleyip, meşhur rasgele faz yaklaşımı (Ehrenreich ve Cohen, 1959, Adler, 1962, Wiser, 1963) ve yerel alan düzeltme etkilerine (Gorobchenko ve diğer., 1989) deǧineceǧiz. Homojen olmayan ortamları anlamak için önemli klasik bir yaklaşım olan Clausius-Mossotti modelini (Jackson, 1999) hem makroskopik hem de mikroskopik şekilde (Aspnes, 1982) türeteceǧiz. Bu kısım bizi plazmonik, fotonik gibi güncel araştırmalarda çok sıkça kullanılan Maxwell-Garnett ve Bruggeman Etkin Alan Yaklaşımlarına götürecek (Aspnes, 1982). En son olarak, yüzey plazmon polaritonları konusuna klasik yaklaşım altında bir giriş yapacaǧız (Maier ve Atwater, 2005, Pitarke ve diğer., 2007, Zayats ve diğer., 2005). Vurgulanmak istediǧimiz önemli bir nokta olarak, bu notlar, içerik olarak hiçbir özgün deǧer taşımayan bir derleme niteliǧindedir ve yararlanılan kaynaklar, Kaynakça Bölümünde sıralanmıştır. Bu Giriş Bölümünde en son olarak, Sayın Ümit Keleş e özel teşekkürlerimizi iletmek istiyoruz. El yazısı ile hazırlanan İngilizce notlardan, bu basılı Türkçe metnin elde 86

91 87 edilmesini, kendisinin titiz ve özverili çalışmalarına borçluyuz. Ayrıca, 2007 yılı Aǧustos ayında Erzurum da bu derslerin anlatıldıǧı Çalıştay ın düzenlenmesine maddi ve manevi olarak destek veren Atatürk Üniversitesi ne ve Çalıştay a katılan deǧerli genç fizikçi meslektaşlarımıza da şükran ve teşekkürlerimizi belirtmek isteriz. 3.2 GEREKLİ ELEKTROMANYETİK TEORİ BİLGİLERİ Bu çalışma boyunca Gauss birimlerini kullanacaǧız. Bu birim sistemi için boşlukta Maxwell denklemlerini hatırlayarak başlayalım: E(r, t) = 4πρ(r, t), (3.2.1) B(r, t) = 0, (3.2.2) E(r, t) + 1 c B(r, t) 1 c B(r, t) t E(r, t) t Ayrıca, yardımcı vektör potansiyelleri tanımlarsak: = 4π c = 0, (3.2.3) J(r, t). (3.2.4) E + 1 c B = A, (3.2.5) A t Yük korunumunu ifade eden süreklilik denklemi ise: ρ t = Φ. (3.2.6) = J. (3.2.7) Poisson denklemi ise yük yoǧunluǧunu skalar ve vektörel potansiyellerle ilişkilendirir: Ampère yasası E = 4πρ = 2 Φ 1 c ( A). (3.2.8) t ve vektör eşitliǧi ( A) = 2 A + ( A) beraber kullanıldıǧında vektör potansiyel A için dalga denklemi formu elde edilir: 2 A 1 c 2 2 A t 2 = 4π c J + 1 c Φ t + ( A). (3.2.9)

92 Boyuna ve Enine Tepkiler Dalga vektörü q yönünde ilerleyen harmonik karakterli elektromanyetik dalgayı ele alalım: E(r, t) = E o e i(q r ωt). (3.2.10) Bu formdaki dalga için türev işleminin sonucu dalgayı iq ile, t için ise iω ile çarpmaktır. Bu formda verilen dalga boyuna ve enine bileşenlere ayrılabilir: E = E L + E T = (ˆq E)ˆq + (ˆq E) ˆq. (3.2.11) Bu bilgi ışıǧında etkisi için iq ile çarpım uyarımız kullanılarak E L = 0, E T = 0 denklikleri gözlemlenebilir. Ayrıca bu durumda E = E T ve E = E L olduǧu da gözlemlenir. Benzer şekilde diǧer vektörler de boyuna ve enine bileşenlere ayrılabilir: J = J L + J T, (3.2.12) B = B L + B T, (3.2.13) A = A L + A T. (3.2.14) Bundan sonraki kısımlarda Coulomb Ayarını kullanacaǧız. Bu durumda: A = 0 q (A L + A T ) = 0, (3.2.15) A L = 0, (3.2.16) yani vektör potansiyel sadece eninedir. Süreklilik denklemini kullanırsak: ρ t = (JL + J T ) = J L, (3.2.17) ρ = 1 Φ Φ 4π t = 4π JL. (3.2.18)

93 89 Eşitlikler 3.2.9, ve bu son sonuç bir arada kullanıldıǧında: 2 A 1 c 2 2 A t 2 = 4π c JT, (3.2.19) eşitliǧi elde edilir. Böylece J L sadece skaler potansiyele, J T ise vektörel potansiyele baǧlıdır. Benzer şekilde: olduǧundan E = Φ 1 c A t, (3.2.20) E = E L + E T = iqφ iω A, (3.2.21) c bulunur. Burada E = E L = 4πρ olduǧundan ρ = 0 için E L kaybolur. Bundan sonra kayıpsız dielektrik bir ortamda olduǧumuzu düşünelim ve dielektrik sabiti tartışalım. İzotropik ve homojen bir ortam için boyuna ve enine dielektrik sabitler şu şekilde verilebilir: D L (q, ω) = ɛ L R(q, ω)e L (q, ω), (3.2.22) D T (q, ω) = ɛ T R(q, ω)e T (q, ω). (3.2.23) Böyle bir ortam için bileşenler birbirlerine karışmayan baǧımsız tepki fonksiyonlarıdır. Burada R alt-indisi reel bileşeni ifade eder. Eşitlik in gösterdiǧi gibi boyuna dielektrik sabit, ortamın skaler potansiyel Φ e verdiǧi tepkiyi ifade eder. Bu her ek yükün, başlangıç elektriksel yük daǧılımının tekrar düzenlenmesine yol açmasındandır. Enine dielektrik sabiti ise ortamın, elektromanyetik ışımanın varlıǧı ile ilişkili vektör potansiyel A ya tepkisini ifade eder. Başlangıçta yazdıǧımız Maxwell denklemlerini (q, ω) uzayına dönüştürürsek: iɛ L R(q, ω)q E(q, ω) = 4πρ(q, ω), (3.2.24) q B(q, ω) = 0, (3.2.25) q E(q, ω) = ω B(q, ω), (3.2.26) c iq H(q, ω) = iω c D(q, ω) + 4π J(q, ω). (3.2.27) c

94 90 Kaynaksız bir ortam için J(q, ω) = 0, bu denklemlerle beraber kullanılırsa, şu eşitlik elde edilebilir: [ ] c 2 ω 2 q2 ɛ T R(q, ω) q [q E(q, ω)] } {{ } +ɛl R(q, ω) [q E(q, ω)] q } {{ } = 0. E T : enine bileşen E L : boyuna bileşen (3.2.28) Aşikar olmayan çözümler için E L,T katsayılarının baǧımsız olarak sıfırlanması gerekir. Bu durumda: q 2 ω2 c 2 ɛt R(q, ω) = 0 ω=ωt, (3.2.29) ɛ L R(q, ω) = 0 ω=ωl, (3.2.30) yazarsak işte bu frekans (ω T,L ) deǧerleri için enine ve boyuna yönlerde salınımlar sürdürülür. Bu karakteristik ω T ve ω L frekansları, pozitif arka-plana göre rezonans frekansı ile hareket eden elektrik yüklerini ifade ettiǧinden, enine ve boyuna plazma frekansları adını alırlar. Ortamın ayrıca Ohm kuralına uyan iletkenlik gösterdiǧini de kabul edersek: J cond = σ R E total ve Ampère yasasını boyuna ve enine bileşenlere ayırırsak B L = 0 olduǧundan boyuna bileşen basitleşerek aşaǧıdaki şekli alır: 0 = iωɛ L RE L total(q, ω) + 4π(J L ext + J L cond), (3.2.31) ( iω ɛ L R + i 4πσ ) R E L ω total(q, ω) = ωqφ total 4πJ L ind(q, ω). (3.2.32) Eşitliǧin solundaki parantezin içini ɛ L c ilişkiyi elde edebiliriz: olarak adlandırıp, ωqφ total olduǧunu görürsek aşaǧıdaki J L ind(q, ω) = iω 4π (1 ɛl c )E L total(q, ω). (3.2.33) Benzer bir mantık T bileşeni için de uygulanabilir. Ancak bu durumda B T total 0 olduǧundan nihai sonucumuz biraz deǧişir: J T ind(q, ω) = iω ( [(1 ɛ Lc ) c2 4π ω 2 q2 1 1 )] E T µ total(q, ω). (3.2.34) R Kolayca fark edebileceǧimiz üzere, q 0 (uzun dalgaboyu limiti) her iki L ve T davranışı aynılaşır.

95 91 Bu beklenen bir durumdur; çünkü q = 0 durumunda L ve T bileşenleri anlamsızlaşır. buradaki iω 4π (1 ɛl,t c J L,T iω ind (q 0, ω) = 4π ( ) 1 ɛ L,T c E L,T total (q, ω), (3.2.35) ) = σc L,T (q, ω) kompleks iletkenlik olarak adlandırılır Boyuna Alanlara Tepki Dıştan ve boyuna elektrik alan E L uyguladıǧımızı düşünelim. Yazım sadeliǧi için toplam indisini kullanmayalım, E L total E L. Yer deǧiştirme vektörü dış yük ile Gauss yasası aracılıǧı ile ilişkilenir: D L (r, t) = 4πρ ext. D L varlıǧı yük yoǧunluǧunun düzenlenmesine ve E pol kutuplanmasına yol açar: E L (r, t) = D L (r, t) + E pol (r, t). (3.2.36) E pol = 4πρ ind (r, t) olduǧundan, E(r, t) = 4π [ρ ext (r, t) + ρ ind (r, t)], (3.2.37) eşitliǧi elde edilir. Daha sonra (r, t) (q, ω) Fourier dönüşümünü uygularsak, harmonik form için hatırlayacaǧımız üzere e i(q r ωt), iq, t iω olduǧundan iq D L (q, ω) = 4πρ ext (q, ω), (3.2.38) iq E L (q, ω) = 4π [ρ ext (q, ω) + ρ ind (q, ω)] } {{ }, ρ(q, ω) ρ total (q, ω) toplam perdelenmiş yük yoǧunluǧu (3.2.39) iq E pol (q, ω) = 4πρ ind (q, ω), (3.2.40) yazılabilir. Doǧrusal tepki yaklaşımında, E L ve D L, dielektrik fonksiyon aracılıǧı ile ilişkilendirilebilir: E L (q, ω) = DL (q, ω) ɛ L c (q, ω), (3.2.41) burada D L (q, ω) = E L (q, ω) + 4πP(q, ω) ayrıca kutuplanma için de P(q, ω) = 1 4π E pol(q, ω)

96 92 yazabiliriz. Öte yandan elektriksel alınganlıǧı da P(q, ω) = χ L c,e(q, ω)e L (q, ω), şeklinde taınımladıǧımız için, bu durumda yazılır. Benzer şekilde, χ L c,e(q, ω) = ɛl c (q, ω) 1, (3.2.42) 4π E pol (q, ω) = 4πχ L c,e(q, ω)e L (q, ω), (3.2.43) χ L c,e(q, ω) = 1 ρ ind (q, ω) 4π ρ(q, ω), (3.2.44) ɛ L c (q, ω) = 1 ρ ind(q, ω) ρ(q, ω) ve farklı şekilde ifade etmek istersek de, = ρ ext(q, ω) ρ(q, ω), (3.2.45) 1 ɛ L c (q, ω) = 1 + ρ ind(q, ω) ρ ext (q, ω), (3.2.46) ya da yazabiliriz. ( ) 1 ρ ind = ρ ext ɛ L, (3.2.47) c 1 için: Formülasyonumuzu skaler potansiyele dayandırmak istersek, toplam perdelenmiş potansiyel Φ(q, ω) = Φ ext (q, ω) + Φ ind (q, ω), (3.2.48) ve burada q 2 Φ(q, ω) = 4πρ(q, ω) = 4π [ρ ext (q, t) + ρ ind (q, ω)], yazılabilir. Böylece elektriksel alınganlık: χ L c,e(q, ω) = 1 q 2 ρ ind (q, ω) Φ(q, ω), (3.2.49) olarak bulunur. Bir başka tepki fonksiyonu ise χ c, yoǧunluk tepki (Lindhard) fonksiyonudur: χ c (q, ω) ρ ind(q, ω) Φ(q, ω) = q2 4π [1 ɛl c (q, ω)], (3.2.50) ya da ɛ L c (q, ω) = 1 4π q 2 χ c(q, ω). (3.2.51) Dikkat edersek χ c, toplam perdelenmiş perturbasyona ρ ind = χ L c Φ, tepkiyi ifade eder.

97 93 Diǧer faydalı eşitlikler: ɛ L c (q, ω) = 1 + 4πi ρ ind(q, ω) q E L (q, ω), 1 ɛ L c (q, ω) = 1 4πi ρ ind(q, ω) q D L (q, ω). (3.2.52) Böylece, süreklilik denklemini kullanırsak ɛ L c ve σ L c birbiriyle ilişkilendirilir: Önemli Notlar: ɛ L c (q, ω) = 1 + 4πi w σl c (q, ω). (3.2.53) Boylamasına ve dik dielektrik tepkilerin ayrıştırılabilmesi sadece izotropik ve manyetik olmayan ortamlarda mümkündür. Anizotropik ortamda optik özellikler eksenlere göre deǧiştirilebilir ve enine bir uyarımın boylamasına bir tepki bileşeni de oluşur. İzotropik ve anizotropik ortamlar 9 bileşenli tensör, ɛ aracılıǧı ile ifade edilir; ancak bazı elemanlar baǧımlıdır. Dış manyetik alanın olmadıǧı durumlarda, tensörün reel ve sanal kısımları için Onsager simetrisi yazılır: ɛ R,ij = ɛ R,ji ve ɛ I,ij = ɛ I,ji. Yani ɛ R nin köşegenleşmiş yazılabileceǧi ana dielektrik eksenler bulunabilir. Ancak bu eksenler reel ve sanal kısımlar için farklıdır. Sadece ortorombik ve üzeri örgü simetrilerde aynıdır. Yüzeylerin varlıǧı boyuna ve enine bileşenlerin karışmasına yol açar! 3.3 KRAMERS-KRONIG BAĞINTILARI Kramers-Kronig baǧıntılarının temelinde nedensellik ilkesi yatmaktadır. Yani tepki her zaman etkiden sonra gelir. Doǧrusal tepki altında, (r,t) uzayında genel bir yapı olarak: χ c (r, t) = + + G c (r, r, t, t )f c (r, t )dr dt (3.3.1) yazılır. Burada f c bir etkidir, G c tepki fonsiyonu ve χ c yine tepkidir. Bulmak istediǧimiz tepki fonksiyonu için, zaman homojen olduǧundan, zaman farkını kullanmak kolaylık saǧlar G c (r, r, t, t ) G c (r, r, t t ). (3.3.2)

98 94 Yerel yaklaşım altında ise G c (r, r, t, t ) = δ(r r )G c (t t ), (3.3.3) yazabiliriz. Bu sayede: χ c (t) = + G c (t t )f c (t )dt, (3.3.4) şeklinde yazılır. Nedensellik, koşulu gereǧi tepki etkiden sonra gelmelidir: G c (t t ) = 0, t > t (3.3.5) sonuçta nedensellik altında χ c (t) = t G c (t t )f c (t )dt, (3.3.6) yazabiliriz. Daha sonra Fourier uzayına geçip Harmanlama özelliǧini kullanırsak: [ χ c (ω) = dte iωt G c (t t )f c (t )dt ], (3.3.7) [ ] = dt f c (t )e iωt G c (t t )e iω(t t ) dt, } {{ } } {{ } χ c (ω) = f c (ω) G c (ω) (3.3.8) yazabiliriz. Burada G c (ω): frekansa baǧlı genelleştirilmiş alınganlıktır. Reel kısmı, G c,r (ω) sinyalin zayıflamasını ve G c,i (ω) da dış etki ile tepki arasındaki faz farkını ifade eder. Genel olarak G c (ω) nin iki türlü tekilliǧi vardır: Kollektif uyarımlarla ilgili kesikli kutuplar ve sürekli bir frekans bölgsindeki uyarımlar için branch cut lar (dal kesiǧi). Nedensellik G c (t t ) = 0, t > t gereǧi olarak Fourier dönüşümün, G c (ω) üst kompleks düzlemde hiçbir tekilliǧinin olmaması gerekir. Yani: c G c (ω ) ω ω o dω = 0. (3.3.9) Rezidu ve Cauchy teoremleri aracılıǧı ile: f(z)dz = 2πi j Resf(z j ), (3.3.10)

99 95 Şekil 3.1: Kompleks düzlem ve Rezidu integrali. P + C katkısı G c (ω) C 0 için kaybolur. Böylece: G c (ω ) ω dω G c (ω ) + ω 0 c ω dω + = 0, (3.3.11) ω 0 C P + G c (ω ) ω ω o dω = +iπg c (ω o ), (3.3.12) elde ederiz. Şimdi G c (ω) = G R (ω)+ig I (ω) yerine yazarsak, Kramers-Kronig baǧıntılarını elde ederiz: G R (ω) = 1 π P + G I (ω) = 1 π P + G I (ω ) ω ω dω, (3.3.13) G R (ω ) ω ω dω, (3.3.14) G R ve G I birbirlerinin Hilbert dönüşümleridir. Nedensellik sonucunda tepki fonksiyon gerçel ve sanal kısımları (salınım ve kayıplara karşılık gelir) birbirlerini belirlerler. Örnekler: Kronig baǧıntısı olmalıdır. 1) J = σ c E Kompleks iletkenliǧin reel ve sanal kısımları arasında Kramers- σ R (ω) = 1 π P + σ I (ω ) ω ω dω, σ I (ω) = 1 π P + σ R (ω ) ω ω dω (3.3.15)

100 96 2) 4πP(ω) = [ɛ c (ω) 1] E(ω) ɛ R (ω) 1 = 1 π P + ɛ I (ω) ω ω dω, ɛ I (ω) = 1 π P + ɛ R (ω) 1 ω ω dω. (3.3.16) Alıştırma: 1) Fourier dönüşümü için harmanlama özelliǧini doǧrulayınız. 2) G c (ω) nın üst kompleks düzlemde hiçbir tekilliǧinin olmadıǧını gösteriniz. (Nedensel olan bütün tepki fonksiyonları bu analitik yapıya sahip olmak zorundadır.) 3.4 TEPKİ ve İLİNTİ FONKSİYONLARININ İLİŞKİSİ Önceki kısımda, ortamın, elektromanyetik alana tepkisini kavramsal olarak kompleks dielektrik fonksiyonun ya da iletkenliǧin frekans ve dalga vektöre baǧımlılıǧı üzerinden tartıştık. Şimdi bu deǧişkenleri katının elektriksel durumlarına ilişkilendirelim. Herhangi bir deney, bir sistemin dış bir etki tarafından uyarılmasına dayanır. Uyarıcı ve sistem arasındaki etkileşim yeterince zayıfsa sistemin tepkisi doǧrusal tepki olarak adlandırılır. Sistemin tepkisi sistemin içerisindeki parçacıkların ilintilerini yansıtacaǧından ilinti fonksiyonu hakkında doǧrudan bilgi verir. Belirli koşullar altında çok parçacıklı sistemlerde ilinti fonksiyonu ve temel uyarım spektrumu arasında bir ilişki vardır ve karşılıklı geçişi saǧlar. Genel bir durum için dış etki fiziksel bir nicelik A (yoǧunluk, akım, spin-yoǧunluǧu, vb.) ile baǧıntılıdır. Biz başka bir B niceliǧinin bu etkiye doǧrusal tepkisini ölçmek istiyoruz. Bu durum B A tepki fonksiyonu ile ifade edilir Akım-Akım İlinti Fonksiyonu: Kubo Formulü Çok parçacık sistemini elektromanyetik etki altında inceleyelim. Elektromanyetik alanı, vektör ve skalar potansiyellerle (A, Φ) tanımlayacaǧız. İkinci kuantumlanmaya gitmeden yarıklasik yaklaşımda çalışacaǧız. Çok parçacık Hamiltonyeni: H = 1 2m N i=1 [ p i + e ] 2+ c A(r N i) M i=1 j=1 V o j (r i R j )+ 1 2 N,N e2 r i r i N i=1,i =1,i i i=1 eφ(r i ), (3.4.1)

101 97 şeklinde yazılır. akım yoǧunluǧunu yazarsak: Öncelikle A ya tepki, enine akım yoǧunluǧunu tartışarak başlayalım. Enine J T (r) = e 2 N [v i δ(r r i ) + δ(r r i )v i ]. (3.4.2) Bir elektromanyetik alan varlıǧı altında: v = p m + ea. Bu durumda: mc J T (r) = e 2m i=1 i=1 N N [p i δ(r r i ) + δ(r r i )p i ] e2 δ(r r i )A(r) (3.4.3) mc yazılır. Burada birinci kısım paramanyetik, ikinci kısım ise diamanyetik akım olarak adlandırılır. Etkileşimi ifade edersek: H int = e 2mc i=1 i=1 N N [p i A(r i ) + A(r i ) p i ] e Φ(r i ), (3.4.4) Enine alanlar için Φ 0 olur. Görüleceǧi üzere H int ifadesini J T ve A cinsinden yazabiliriz. H int = 1 c i=1 J T (r) A(r)d 3 r (3.4.5) diamanyetik akım kısmı A 2 terimine yol açar ki doǧrusal tepki rejiminde bu da ihmal edilebilir. Bundan sonra akımın ve vektör potansiyelin harmonik uzamsal deǧişimi olduǧunu kabul edelim. Bu durumda: J T (r) = J T q e iq r + h.c., A(r) = J q e iq r + h.c., (3.4.6) yazılabilir. O halde, etkileşim Hamiltonyen yoǧunluǧu: H T int = 1 c JT q A q yazılabilir. Klasik elektromanyetik teoriden hatırlayacaǧımız üzere, E T alanı altında J T akım yoǧunluǧu oluşur: J T = σe T. Soǧurulan güç yoǧunluǧu için ise: P = J T E T = σ T E T 2 yazabiliriz. Bundan sonraki aşamada Fermi Altın Kuralını kullanarak seviyeler arası geçiş sıklıǧını hesaplayacaǧız. s ve s elektronik sistemin çok parçacık durumlarını ifade ederse, s den s ye geçiş oranı ifadesi: W s s = 2π 2 s H T int s 2 δ (ω (ω s ω s )), (3.4.7)

102 98 Şekil 3.2: Çok parçacık durumları arasında geçiş. şeklindedir. Bu durumda: s H int s = 1 c s J T q s A T q, (3.4.8) yazarak: W s s = 2π 2 c 2 s J T q s s J T q s A T q 2 δ(ω ω s + ω s ), (3.4.9) eşitliǧini elde ederiz. Burada da δ(ω ω s + ω s ) = 1 e i(ω ω s +ωs)t dt yazabiliriz. 2π Tüm başlangıç ve bitiş durumları s, s üzerinden toplam geçiş oranı için W = s,s W s s, (3.4.10) yazarsak W = s s 1 2 c 2 dte iωt s e iω s t J T q e iω st s s J T q s A T q 2, (3.4.11) elde ederiz. İşlemimizi sadeleştirmek için H o s = E s s e ih ot/ ifadesini kullanırsak ve bu durumda etkileşim resmine geçersek bu faz terimini operatöre transfer etmiş olacaǧız: J T q (t) = e ih ot/ J T q e ih ot/, (3.4.12) etkileşim resminde W = 1 2 c 2 s s W = 1 2 c 2 s dt s J T q (t) s s J T (t = 0) s e iωt A T q 2, (3.4.13) dte iωt s J T q (t)j T (t = 0) s A T q 2, (3.4.14)

103 99 yazabiliriz. Güç yoǧunluǧu cinsinden ifade edersek: P = ωw = A T q 2 ω } {{ } c 2 dt s J T q (t = 0)J T q (t) s e iωt, s ( c ) 2 E T 2 (3.4.15) ω ayrıca E T = 1 A T E T = iω c t c AT q olduǧundan yerine koyarsak: P = E T q 2 1 dt s J T q (t = 0)J T q (t) s e iωt. ω s } {{ } σ T (3.4.16) Böylece Kubo formülünü elde ederiz: σ T = s 1 ω dt s J T q (t = 0)J T q (t) s e iωt. (3.4.17) Alıştırma: Aynı işlemi aşaǧıdaki ilişkileri kullanarak boylamasına iletkenlik hesabı için tekrarlayınız. A Φ, Hint L = 1 c J ρ, ρ(r)φ(r)dr, N ρ(r) = e δ(r r i ). i=1

104 ÖRGÜLERİN DİELEKTRİK FONKSİYONU Örgü yapısındaki katılarla ilgili daha fazla bilgi vermek istersek ilk önce şunu söyleyebiliriz, genel bir ω frekansında elektronlar ve iyonlar beraber dielektrik kutuplanmaya katkıda bulunurlar. ɛ(q, ω) ω>>ω LO or ω T O ω 0 İyonlarin ve elektronların katkısı var Sadece iyonlar uyarıma geri tepkide bulunuyor ɛ 0 : Statik dielektrik fonksiyon ɛ : Optik dielektrik fonksiyon Lyddane-Sachs-Teller Baǧıntısı bu dielektrik fonksiyonları birleştirir; kübik örgüler için: ɛ 0 = ω2 LO, ɛ ω 2 T O ɛ(ω) = ω2 T O ɛ 0 ω 2 ɛ ω 2 T O ω2. (3.5.1) Daha önce de bahsettiǧimiz gibi ɛ(q, ω) esasında bir tensördür. Ancak izotropik serbestelektron gazı için boyuna ve enine tepkiler, ɛ L ve ɛ T yeterlidir. Diǧer bir deyişle, boyuna (enine) akım, enine (boyuna) elektrik alan tarafından indüklenmez. Uzun dalgaboyu limitinde (optik limit), lim q 0 ɛ L (q, ω) = lim q 0 ɛ T (q, ω) = ɛ(ω). Katılarda boyuna ve enine elektromanyetik uyarımlar arasında ikili etkileşim olur. Bu durum sadece yayılımın (q) bazı özel yüksek simetri yönlerinde olması halinde ortamdan kalkar. Örgü yapısındaki katılarda, dielektrik tepki fonksiyonu ɛ 1 (r, r ; t t ) için Fourier dönüşümü yaparsak ɛ 1 (r, r ; ω) elde ederiz. Homojen elektron-gazı modelinde (jöle modeli) çok küçük öteleme deǧişmezliǧi ile beraber

105 101 düşünüldüǧünde tepki fonksiyonu ɛ 1 ( r r ; ω) formundadır. Yani perturbasyon inceleme noktaları arasındaki farka baǧımlıdır. Oysa ki, gerçek örgü katılarında elektron yoǧunluǧu atomik boyutta homojen olmadıǧından tepki ɛ 1 ( r r ; ω) şeklinde konumlara baǧlıdır ki bu da mikroskopik ölçekte yerel alanlar kavramına yol açar. Örgünün periyodik yapısını kullanarak tepkiyi şu şekilde ifade edebiliriz: Φ(r, ω) = ɛ 1 (r, r ; ω)φ ext (r, ω)dr (3.5.2) tepki fonksiyonunun Fourier dönüşümünü alırsak, ters uzayda birinci Brillouin bölgesi içindeki her q için bir matris oluşur: ɛ 1 (r, r ; ω) = 1 Ω q,g,g e i(q+g) r ɛ 1 G,G (q, ω)e i(q+g) r, (3.5.3) burada Ω, toplam hacimdir. q, birinci Brillouin bölgesi içindedir. G ve G ise ters uzay vektörleridir. Burada ɛ 1 G, G köşegen elementler ei(q+g) (r r ) ifadesini içerdiǧinden r r homojen tepkiyi oluşturur. Köşegen olmayan elementler G G yerel alan katkılarını getirir. Basit metallerin tepki fonksiyonları jöle modeli ile verilebileceǧi halde, bu etkiler kovalent yarıiletkenler ve yalıtkanlar için daha önemlidir. ɛ G=0,G =0(q, ω) ifadesi band-band geçişlerini içerir. ɛ 00 (q, ω), ilk olarak Cohen ve Ehrenreich tarafından rasgele faz yaklaşımı (RPA) altında hesaplanmıştır. ɛ 00 (q, ω) = 1 4π 2 [f(e l,k q ) f(e n,k )] q 2 Ω n,l,k E l,k q E n,k + ω + iα l, k q e iq r n, k 2 (3.5.4) (atomik-hartree birimlerinde ifade edilmiştir.) Daha sonra, Adler ve Wiser tüm dielektrik matrisi yine RPA yardımıyla formüle etmiştir: 4π 2 ɛ G,G (q, ω) = δ G,G q + G q + G Ω n,l,k f(e l,k q ) f(e n,k ) E l,k q E n,k + ω + iα l, k q ei(q+g) r n, k n, k e i(q+g ) r l, k q. (3.5.5) Düzgün elektron gaz daǧılımına dayanan jöle modelinde bile yerel alan etkilerine rast-

106 102 larız. Bu etkiler kuantum kökenli deǧiş-tokuş ve baǧlılaşım etkileridir. Belirli bir yoǧunluktaki elektronlar, artı yüklü bir geri-planda ilerlerken elektriksel yükleri dolayısıyla (baǧlılaşım boşlukları oluşturarak ) ve paralel spinli elektronlar arasındaki Pauli dışlama ilkesi dolayısıyla (Pauli boşlukları oluşturarak) birbirlerini iterler. Komşu elektronların bu davranışları ikili baǧlılaşım fonksiyonu g(r) ile verilebilir: g(r) = 1 2 [g (r) + g (r)] (3.5.6) Bu durum, düzgün elektron-gazı için yerel alan düzeltmesi G(q, ω) gerektirir; bu düzeltme RPA hesaplarımızın sıfırıncı mertebe kutuplanma eklentisi (Lindhard fonksiyonu) π 0 (q, ω) ile geliştirilmesini gerektirir: ɛ RP A (q, ω) = 1 U c (q)π 0 (q, ω), (3.5.7) ɛ LF C (q, ω) = 1 U c(q) π 0 (q, ω) [1 G(q, ω)] 1 + U c (q) π 0. (3.5.8) (q, ω) G(q, ω) Clausius-Mossotti Modeli: (CM Modeli) Clausius-Mossotti İlişkisi: Makroskopik Türetim Clausius-Mossotti modelinin amacı, makroskopik alanları, mikroskopik alanlarla dolayısıyla da yerel alanlarla ilişkilendirmektir. Bir atomun oturduǧu noktadaki yerel elektrik alan E loc olsun. Düzgün basit kübik örgü noktasi R i deki atom için kutuplanma, α olsun. Bu durumda bu konumdaki atom için dipol momenti: p i = αe loc olarak yazılır. Ortamın dielektrik sabitinin ɛ olduǧunu kabul edersek, uygulanan düzgün E alanı, P dipole moment yoǧunluǧuna yol açar. Buradaki ilişki: D, = ɛ E = E + 4πP. (3.5.9) şeklinde verilir. Bu kısımdaki nihai amacımız atomik kutuplanma α ile ɛ yi ilişkilendirmek. Bir dipolün

107 103 yakın çevresinde oluşturacaǧı elektrik alan: ( ) p ˆr E(p, r) = = r 2 3(p ˆr)ˆr p r 3 (3.5.10) şeklindedir. Bu çok hızlı azalan bir etkidir. Biz r 0 yarıçaplı, r 0 a bir hayali küre düşünelim. Burada a örgüsabiti olsun. Şekil 3.3: Ortamdaki elektrik alanların ayrıştırılması. Burada hayali küre içindeki dipoller olduǧu gibi hesaba katılır, dışarıdakiler ise makroskopik olarak hesaba girer. E loc = E x + E d + E s + E. (3.5.11) E E x + E d makroskopik alanı teşkil eder. Burada E küre içi diplollerin etkisini ifade eder. Öncelikle yüzeyden kaynaklanan elektrik alanı, E s bulalım. P ˆn = P ( ˆr) olduǧundan P cos θ de s = ˆrda r 3 tüm yüzey üzerinden integre edersek: E s = P 2π π 0 E s = 2πP 2 0 cos 2 θ sin θdθ, (3.5.12) π/2 deǧişken deǧiştirerek integre edersek: u = cos θ, du = sin θ, sonucuna ulaşırız. E s = 4πP cos 2 θ sin θdθ, (3.5.13) u 2 du = 4 π P, (3.5.14) 3 Simetri gereǧi, E ifadesi sıfırlar. Bunun nedeni küresel bölgede ve kübik örgü yapısında

108 104 Şekil 3.4: Yüzeyden kaynaklanan elektrik alanın hesaplanması. dipol katkıların birbirlerini yok etmesidir. Sonuçta: E loc = E + 4π 3 P, (3.5.15) yazılır. Dipol momentleri için p = αe loc yazmıştık. Bunu makroskopik dipol moment yoǧunluǧu ile ilişkilendirebiliriz, P: P = 1, d 3 r r ρ(r) V V = 1 d 3 r p(r), V V = 1 p V i, (3.5.16) Burada n = 1 dipol yoǧunluǧuna karşılık gelmektedir. veriyor. a3 i P = np = nαe loc. (3.5.17) Bu aşamada eşitlikler ve , E loc üzerinden birleştirilirse: 4π 3 nα = ɛ 1 ɛ + 2 Clausius-Mossotti ilişkisi (3.5.18) bulunur. Alıştırma: ve eşitliklerini birleştirerek Clausius-Mossotti ilişkisini bulunuz.

109 105 Clausius-Mossotti İlişkisi: Mikroskopik Türetim Yine bir örgü içerisinde her örgü noktasının atomik dipollerle dolu olduǧunu düşünelim. Ayrıca yapı içerisinde henüz tam belirlenmemiş düzgün bir alanın, E int uygulandıǧını varsayalım. R i yine bir örgü noktasını göstersin. Daha önceki tanımımız gereǧi de E(R i ) = E loc olur. Uygulanan (mikroskopik düzeydeki) E int alanına dipollerden de katkı gelir: E(r) = E int + i E(p i, r R i ), (3.5.19) toplam tüm örgü noktaları üzerinden alınır. Benzer şekilde, dipol daǧılımı için: p(r) = i p i δ(r R i ) = i αe(r i )δ(r R i ), (3.5.20) yazılır. E(r) her nokta için çalışır, örneǧin örgü noktaları, R i ve r = 0: E(0) = E loc = E int + E(αE loc, R i ), (3.5.21) i burada r = 0 daki dipol katkısını ayırıyoruz. Basit kübik örgü için r = 0 konumu için simetri sayesinde toplam içeren ifade sıfırlar. E(0) = E loc = E int. (3.5.22) Böylece, yerel alan kavramı kullanılarak E(r) ve p(r) tekrar yazılırsa: E(r) = E loc + i E(αE loc, r R i ), p(r) = i αe loc δ(r R i ), E loc = E int. (3.5.23) Şimdi de mikroskopik E(r) ve p(r) niceliklerinin hacim ortalamasını alarak, makroskopik E ve P ifadelerini elde edelim: P = 1 V V d 3 rp(r). (3.5.24) Burada p(r) = i αe locδ(r R i ) olur. Ayrıca, tanımı gereǧi E loc örgü noktalarındaki alandır.

110 106 Yani, konuma baǧlı deǧildir ve ortalama gerektirmez. N = i δ(r R i) alırsak: P = N V αe loc = nαe loc (makroskopik yaklaşımda bulunanın aynısı). (3.5.25) Makroskopik E için: V d 3 re(p, r) = = V S d 3 r (p ˆr), ( ) p ˆr d 2 r ˆn, r 2 = 4π p. (3.5.26) 3 Böylece, E = E loc 4π 3 nαe loc, E = E loc 4π 3 P (makroskopik yaklaşımın aynısı), (3.5.27) yani beklediǧimiz gibi tekrar Clausius-Mossotti ilişkisini elde ettik. Etkin Alan Yaklaşımları (EAY) Yukarıda kullandıǧımız mikroskopik yaklaşımı, heterojen dielektrik ortamlarda etkin alan yaklaşımları geliştirmek için kullanabiliriz. Bir kübik yapının örgü Mikroskopik alanlar yine aynı şekilde yazılır. noktalarında α a ve α b kutuplanmalarının olduǧunu farz edelim. E(r) = E int + i E(p i, r R i ), p(r) = i,j=a,b α j E(R i )δ(r R i ). (3.5.28) Daha önce yaptıǧımız gibi rasgele daǧılımı kullanarak : E loc = E(0) = E int. Hacim ortalaması sonucunda, n a = N a V ve n b = N b V alırsak: P = (n a α a + n b α b )E loc, E = E loc 4π 3 P, (3.5.29) ɛe = E + 4πP. eşitliǧimizi kullanarak ɛ 1 ɛ + 2 = 4π 3 (n aα a + n b α b )

111 107 Bu ifadeyi farklı bir şekilde yazarsak, tüm örgü noktaları j ile doluyken n = n a + n b olur ve j = a, b için 4π 3 nα j = ɛ j 1 ifadesini kullanarak: ɛ j + 2 ɛ 1 ɛ + 2 = f ɛ a 1 a ɛ a f ɛ b 1 b ɛ b + 2 burada hacim kesiri: f i = n i / j n j, i f i = 1. Lorentz-Lorenz EAY (3.5.30) Heterojen malzemeler ışıǧın dalgaboyu ile kıyaslandıǧında küçük olmasına karşın kendi dilektrik özelliklerini sergileyecek büyüklüǧe sahip mikroskopik bölgeler içerebilir. Örneǧin, dielektrik sabiti ɛ a olan r a yarıçaplı küresel malzeme, ɛ b dielektrik sabitli ortama gömülsün. E 0 alanı uygulaması altında mikroskopik çözüm: E(r) = 3ɛ b ɛ a + 2ɛ b E 0, r < r a E 0 + E(p a, r), r > r a (3.5.31) ve burada p a = ɛ a ɛ b ɛ a + 2ɛ b r 3 a E 0 şeklindedir. Birim hacim başına dipol moment: P j (r) = ɛ j 1 E(r), j = a, b olur. 4π Yine hacim ortalamalarını alarak ve ɛe = E + 4πP eşitliǧimizi kullanarak ɛ makroskopik deǧişkenler E ve P cinsinden ifade edilirse sonuçta ɛ ɛ b ɛ a ɛ b = f a, burada f a = ɛ + 2ɛ b ɛ a + 2ɛ } {{ b } Maxwell-Garnell EAY 4π 3 r3 a V a fazı tarafından işgal edilen hacim oranıdır. (3.5.32) L-L ve M-G EAY ifadeleri ilişkilendirilirse: ɛ ɛ h ɛ + 2ɛ h = f a ɛ a ɛ h ɛ a + 2ɛ h + f b ɛ b ɛ h ɛ b + 2ɛ h, (3.5.33) burada ɛ h ev sahibi ortamın dielektrik fonksiyonudur. Ayrıca, L-L: ɛ h = 1 (boşluk), M-G: ɛ h = ɛ b. Bruggeman yaklaşımında ɛ h = ɛ etkin ortam geçirgenliǧi olarak alınır. Sonuçta

112 108 yukarıdaki eşitlikte sol taraf sıfırlar. ɛ a ɛ 0 = f a ɛ a + 2ɛ + f ɛ b ɛ b ɛ b + 2ɛ Bruggeman EAY (3.5.34) 3.6 YÜZEY PLAZMON POLARİTONLARI (YPP) Yüzey plazmon polaritonları bir arayüzeye hapsolmuş ve arayüzey boyunca dalga benzeri ilerleyen elektromanyetik uyarımdır. Arayüzeyden ortamların içine doǧru ilerledikçe genliǧi üstel olarak azalır. Elektromanyetik alanın arayüzey boyunca baskınlaştırılması yüzey plazmon polaritonlarının yüzey koşullarına çok duyarlı olması sonucunu doǧurur. Bunun uygulama alanları arasında biyolojik ve kimyasal algılama, yüzey baskınlaştırılmış Raman spektroskopisi ve ikinci harmonik üretim sayılabilir Plazmonlar Bir serbest elektron için hareket denklemi mẍ = eee iωt, (3.6.1) için şeklinde bir çözüm vardır. χ(t) = χ 0 e iωt, (3.6.2) İşlemlerimizi devam ettirirsek: elde edilir. Hatırlayacaǧımız üzere: mω 2 χ 0 e iωt = eee iωt buradan χ 0 = e/m ω 2 E (3.6.3) p(t) = eχ(t) = e2 /m ω 2 Ee iωt, P = np(t) = ne2 /m ω 2 E, (3.6.4) bulunur. ilişkisini kullanırsak E + 4πP = ɛe, (3.6.5) ɛ = 1 4πne2 m 1 ω 2, (3.6.6)

113 109 burada ω p = 4πne 2 m elektron gazının plazma frekansıdır. ɛ(ω) = 1 ω2 p ω 2 Drude (serbest elektron) geçirgenliǧi (3.6.7) 1 ɛ(ω) = ω 2 ω 2 ωp 2 = 1 + ω p ω 2 ωp 2, (3.6.8) ɛ 1 bir tepki fonksiyonudur, E = ɛ 1 D. Nedensel yani üst yarı-düzlemde analitik olmalıdır. ω 2 p ɛ 1 = 1 + (ω + i0 + ) 2 ωp 2 (3.6.9) Fotonlarla melezleşen bütün madde dalgalarına polariton denir. Örnek: egziton-foton: egziton polaritonları fonon-foton: fonon polaritonları plazma-foton: plazma polaritonları Plazmonik: Plazma teknolojisi; dalgaboyu altı aygıtların üretilebilmesi plazmonik adı altında yeni bir disiplinin oluşmasına yol açmıştır (Maier ve Atwater, 2005) Metal Nanoparçacıklar Çevresinde Yerel Alan Baskınlaşması Yerel alan baskınlaşma faktörü uygulanan alanın oranından verilir: aynı faktör şu şekilde de verilebilir: L, metal yüzeyine yakın bölgelerdeki yerel alan E loc ve L = E loc E o, (3.6.10) L = L SP (ω)l LR. (3.6.11) L SP : Yüzey plazmon rezonansı. Rayleigh sınırındaki küresel parçacık için soǧurma baskın

114 110 bölgede sadece çift kutup yüzey plazmon rezonansı katkısı vardır. L SP ise 1000 e kadar çıkabilir. L LR : Paratoner etkisi. Küresel olmayan şekiller için frekansa çok az baǧlı, daha çok geometriye baǧlıdır. Sivri yüzey çıkıntılarında paratoner etkisi oluşur. Yüzey yükünün artışı elektrik alan çizgilerinin artışına böylece ek bir baskınlaşmaya yol açar. L LR en fazla 100 civarında olur. Pürüzlü bir metal yüzeydeki optik işlemlerde en yüksek baskınlaşma, SERS de gözlemlenmiştir. Raman spektroskopisinden plazmon rezonansı L(ω exc ) 2 L(ω RS ) 2 ölçütündedir ve paratoner etkisi ile baskınlaşma faktörü: (1000) = deǧerine ulaşır Yüzey Plazmon Polaritonları: Klasik Yaklaşım Şekil 3.5: z = 0 düzlemi ile ayrılmış ɛ 1 ve ɛ 2 dielektrik sabitli iki ortam. Dielektrik fonksiyonları ɛ 1 ve ɛ 2 olan iki manyetik olmayan ortam z = 0 arayüzeyi ile ayrılsın. i harfi farklı ortamları belirtmek üzere: z <0 ortamı için i = 1, z >0 ortamı için i=2; dış kaynakların yokluǧunda (ρ s = 0, J = 0), Maxwell denklemleri: 1 E i H i = ɛ i c t, (3.6.12)

115 111 E i = 1 c H i t, (3.6.13) (ɛ i E i ) = 0, (3.6.14) H i = 0. (3.6.15) Bu denklemlerin çözümleri iki ana sınıfta toplanabilir: elektrik alan E ya da manyetik alan H nin yüzeye paralel olması durumları sırasıyla s-kutuplu ya da p-kutuplu elektromanyetik kipleri oluşturur. İdeal bir yüzey için, arayüzeyde ilerleyen dalga için elektrik alanın bir bileşeni yüzeye dik olmalıdır (yani E z ). Ancak bu durumda da elektrik alan yüzeye paralel olmadıǧından s-kutuplu yüzey salınımları bulunamaz. O halde manyetik alan H nin arayüzeye paralel olduǧu ve dalga ilerleyişinin z = 0 yüzeyinde olduǧu p-kutuplu durumu inceliyoruz. Dalga ilerleyişini ˆx yönünde alırsak bu durum için elektrik ve manyetik alan şöyledir: E i = (E ix, 0, E iz )e Ki z e i(q ix ωt), (3.6.16) H i = (0, H iy, 0)e K i z e i(q i x ωt). (3.6.17) Bu alanları eşitlik , Ampère yasasında yerine koyarsak: Bu iki denklemin oranından ẑ H y x ˆx H y z = i ɛ c ω(ˆxe x + ẑe z ), (3.6.18) κ 1 H 1y = i ω c ɛ 1E 1x, κ 2 H 2y = i ω c ɛ 2E 2x, (3.6.19) elde ederiz. Eşitlik , Faraday yasasını kullanarak: iq i H iy = iɛ i ω c E iz, i=1,2 için. (3.6.20) κ 1 iq 1 = E 1x E 1z, κ 2 iq 2 = E 2x E 2z, (3.6.21) E x z E z x = i1 c ( iω)h y, (3.6.22) κe x iqe z = iω c H y, (3.6.23)

116 112 burada 1. ortam için - ve 2. ortam için + işareti kullanılıyor. ( κ 2 iq ) E z = iω c H y = iω c ωɛ cq E z, (3.6.24) κ 2 i + qi 2 = ω2 c 2 ɛ i κ i = qi 2 ɛ ω 2 i c 2. (3.6.25) Sınır koşullarını saǧlatırsak, ilk olarak E tan, H tan sürekli olmalı ve faz uyumundan q 1 = q 2 q: aşikar olmayan çözüm için determinant sıfır olmalıdır: E 1x = E 2x, κ 1 ɛ 1 H 1y + κ2 ɛ 2 H 2y = 0, (3.6.26) H 1y = H 2y, H 1y H 2y = 0, (3.6.27) Ayrıca, κ 1 = q 2 ɛ 1 ω 2 c 2, κ 2 = ɛ 1 κ 1 + ɛ 2 κ 2 = 0 Yüzey Plazmon Koşulu. (3.6.28) q 2 ω ɛ 2 2, yerine koyarsak, başka bir ifade şekli: c2 q(ω) = ω c ɛ1 ɛ 2 ɛ 1 + ɛ 2, (3.6.29) κ 1 ve κ 2 nin reel ve pozitif olmasıiçin ɛ 1 (ω) ve ɛ 2 (ω) de reel ve belirli ω deǧerlerinde ters işeretli olmalıdır. Hatırlarsak, ɛ(ω) = 1 ω2 p ω 2 şeklindeydi. ω q c gecikmesiz ortam için κ 1 = κ 2 = q; bu durumda gecikmesiz ortam yüzey plazmon koşulu: ɛ 1 + ɛ 2 = 0. Örnek: Boşluk içindeki yarı-sonsuz Drude metalini düşünürsek, 1. ortam metal ve 2. ortam boşluk için: ɛ 1 = 1 bu durumda yüzey-plazmon koşulu, ωp 2 4πne (ω + i0 + ) 2, ɛ 2 2 = 1 burada ω p = m (3.6.30) q(ω) = ω ω 2 ωp 2 c 2ω 2 ωp 2. (3.6.31)

117 Isik Polariton - Üst Dal p =cq/ 1 1/2 p /(1+ 1 )1/2 1 =1 0.5 Yüzey Plazmon Polariton - Alt Dal qc/ p Şekil 3.6: YPP daǧılım eǧrisi: alt dal yüzey plazmon polaritonları ve üst dal ise katı içersindeki ışık polariton daǧılımını göstermektedir Deri Kalınlıǧı Alan yerelleşmesi κ i parametresi ile ifade edilebilir: κ i = ω ɛ 2 i (3.6.32) c ɛ 1 + ɛ 2 bu ifade göz önüne alınarak e κi z teriminin e 1 e ulaştıǧı derinliǧe deri kalınlıǧı denir: l i = 1 κ i. Yüzey plazmon polaritonları enine ve boyuna elektromanyetik alan bileşenlerine sahiptir. Dielektrik ortamda (i=2) oranları: eşitliǧin son kısmı E 2z E 2x = i q κ 2 = i ɛ 1 (ω) ɛ 2 ωp 2 ω 2 = i ɛ 2 ω 2 (3.6.33) Drude metali için yazılmıştır. Enine bileşen q 0 ve düşük frekanslarda baskın yani saf elektromanyetik dalgalar yarı-sonsuz ortamda TEM dalga özelliǧi gösterir. q nun yüksek deǧerleri için ise hem enine hem de boyuna bileşenler karşılaştırılabilir deǧerlere

118 114 ulaşıyorlar, ve hatta frekansın ω ω p ɛ2 + 1 deǧeri için E 2x = 1 dir. E 2z Alıştırma: Bu analizi s-kutuplanmalı durum için tekrarlayın: E i = (0, E iy, 0)e κ i z e i(qx ωt). (3.6.34) İnce Filmlerde Yüzey Plazmon Polaritonları Şekil 3.7: x-yönünde ilerleyen p-kutuplu yüzey dalgasının incelenmesi. x-yönünde ilerleyen p-kutuplu yüzey dalgası için H-alanı: Ae iqx κ 1z iωt, z d H y (r, t) = e iqx [ Be κ mz + Ce κ m z ] e iωt, 0 z d (3.6.35) De iqx + κ sz iωt, z 0 formundadır. Aynı şekilde E alanlarını da yazıp, Maxwell denklemlerini ve sınır koşullarını saǧlatırsak A, B, C, D katsayılarınıve κ 1,m,s dalga sayıları elde edilir: ( ω ) 2, ( ω ) 2, ( ω ) 2. κ 1 = q 2 ɛ 1 κm = q c 2 ɛ(ω) κs = q c 2 ɛ s (3.6.36) c