KARTEZYEN ÇARPIM VE BAĞINTI

Transkript

1 KRTEZYEN ÇRPIM VE ĞINTI Sıralı İkili x ve y gibi herhangi iki eleman arasında belirli bir sıra gözetilerek oluşturulan (x,y) çiftine sıralı ikili veya ikili denir. (x,y) ikilisinde x birinci bileşen, y ikinci bileşendir. Sıralı ikililerde elemanların yazılış sırası önemli olduğundan (x, y) ikilisi (y, x) ikilisinden farklıdır. şağıda bileşenleri verilen sıralı ikilileri yazınız. a) irinci bileşen :, İkinci bileşen : b) irinci bileşen :, İkinci bileşen : c) İkinci bileşen : 0, irinci bileşen : d) İkinci bileşen : a, irinci bileşen : b+ Sıralı ikililerde ilk sıraya birinci bileşen, ikinci sıraya ikinci bileşen yazılır. una göre, a) (,) b) (,) c) (,0) d) (b+,a ) irbirine eşit olan sıralı ikililerin birinci bileşenleri ve ikinci bileşenleri ayrı ayrı birbirine eşittir. (a,b)=(c,d) ise a=c ve b=d (x, y+)=(7, 8) olduğuna göre, x ve y değerlerini bulunuz. (x+, y+5)=( x+6, y+) olduğuna göre, x ve y değerlerini bulunuz. (x, y+)=(7, 8) ise x =7 ve y+= 8 x=8 y= 9 x= y= (x+, y+5)=( x+6, y+) ise x+= x+6 ve y+5= y+ x+x=6 ve y+y= 5 x= y= x= y= Cevap: x=, y= Cevap: x=, y= (x y, 5)=(, x+y) olduğuna göre, (x, y) ikilisini bulunuz. (x y, 5)=(, x+y) ise x y= ve 5=x+y x y= } denklem sistemini çözelim. + x+y=5 7x= 7 ise x= x= ve x+y=5 ise.( )+y=5 +y=5 y=9 O halde (x, y)=(,9) Cevap: (x, y)=(,9)

2 Kartezyen Çarpım ve ağıntı soru soru 5 irinci bileşeni, ikinci bileşeni olan sıralı ikili aşağıdakilerden (5x,y+6)=( x+, y) olduğuna göre, (x,y) ikilisi aşağıdakilerden ) (,) ) (,) C) (, ) D) (, ) E) (0, ) ) (,) ) (,) C) (,) D) (, 6) E) (, ) soru soru 6 (x+,x+) sıralı ikilisinin ikinci bileşeni 0 olduğuna göre, birinci bileşeni aşağıdakilerden ) ) C) 8 D) 0 E) (x,y+)=( x+,x+5) olduğuna göre, x y farkı kaçtır? ) ) C) D) E) soru (x 5,y+)=(, ) olduğuna göre, x+y toplamı kaçtır? ) 9 ) 8 C) 7 D) 5 E) soru (x, 6y)=(5,) olduğuna göre, x.y çarpımı kaçtır? ) ) C) D) E) KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI soru 7 (x y,x+y)=( 7, ) olduğuna göre, x+y ifadesinin değeri kaçtır? ) 5 ) C) D) 9 E) 7 soru 8 (x y, 8)=(,x+y) olduğuna göre, x y farkı kaçtır? ) 6 ) C) 0 D) E) C C D 5 E 6 7 C 8

3 Kartezyen Çarpım ve ağıntı Kartezyen Çarpım oş kümeden farklı ve kümeleri için birinci bileşeni kümesinden, ikinci bileşeni kümesinden alınarak oluşturulan tüm ikililerin kümesine ile nin kartezyen çarpımı denir ve x ile gösterilir. una göre, x={(x,y): x ve y } ={,,), ={c,d} kümeleri veriliyor, a) x b) x c) x kümelerinin elemanlarını bulunuz. a) x kümesinin elemanlarını yazmak için birinci bileşeni kümesinden ikinci bileşeni kümesinden seçip yazalım. x={(,c),(,d),(,c),(,d),(,c),(,d)} b) x kümesinin elemanlarını yazmak için birinci bileşeni kümesinden ikinci bileşeni kümesinden seçip yazalım. x={(c,),(c,),(c,),(d,),(d,),(d,)} c) x kümesinin elemanlarını yazmak için birinci bileşeni kümesinden ikinci bileşeni kümesinden seçip yazalım. x={(c, c),(c, d),(d, c),(d, d)} x={(a,),(a,),(a,),(a,),(b,),(b,),(b,),(b,)} olduğuna göre, ve kümelerinin elemanlarını yazınız. x kümesinin elemanlarının birinci bileşenleri kümesini, ikinci bileşenleri kümesini verir. una göre ={a, b}, ={,,,} Cevap: ={a, b}, ={,,,} x={(,),(,),(,),(,)} xc={(,a),(,),(,),(,a),(,),(,)} olduğuna göre, xc kümesinin elemanlarını yazınız. x kümesinin elemanlarının birinci bileşenleri kümesini, ikinci bileşenleri kümesini verir. ={, }, ={,} xc kümesinin elemanlarının ikinci bileşenleri C kümesini verir. C={a,,} xc kümesinin elemanlarını yazmak için birinci bileşeni kümesinden, ikinci bileşeni C kümesinden seçip yazalım. xc={(,a),(,),(,),(,a), (,),(,)} Cevap: xc={(,a),(,),(,),(,a), (,),(,)} ={,,,a} ={,,b,c} C={,d} kümeleri veriliyor. ( )xc kümesinin elemanlarını bulunuz. ={,} ve C={,d} olduğuna göre ( )xc kümesinin elemanlarını yazmak için birinci bileşeni ( ) kümesinden ikinci bileşeni C kümesinde seçip yazalım. ( )xc={(,),(,d),(,),(,d)} Cevap: ( )xc={(,),(,d),(,),(,d)}

4 Kartezyen Çarpım ve ağıntı soru soru 5 ={,}, ={b,c} olduğuna göre, x kümesi aşağıdakilerden x={(,a),(,b),(,),(,a),(,b),(,)} olduğuna göre, kümesi aşağıdakilerden ) {(,b),(,c)} ) {(,c),(,c)} C) {(,b),(,c),(,b)} D) {(,b),(,c),(,b),(,c)} E) {(,b),(,c),(b,),(,c)} ) {a,b,} ) {a,b} C) {,} D) {a,,} E) {a,b,} soru soru 6 ={,}, ={,,} olduğuna göre, x kümesi aşağıdakilerden ) {(,),(,),(,)} ) {(,),(,),(,),(,),(,)} C) {(,),(,),(,),(,),(,),(,)} D) {(,),(,),(,),(,)} E) {(,),(,),(,),(,),(,),(,)} soru ={,5} olduğuna göre, x kümesi aşağıdakilerden ) {(,5),(5,)} ) {(,),(5,5)} C) {(,),(,5),(5,),(5,5)} D) {(,),(,5),(5,)} E) {(,),(5,),(5,5)} soru ={,,} ={,5} olduğuna göre, aşağıda verilen ikililerden hangisi x nin elemanlarından biri değildir? ) (,) ) (,) C) (,5) D) (,) E) (,) 5KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI x={(,a),(,b),(,a),(,b)} xc={(a,),(a,),(b,),(b,)} olduğuna göre, Cx kümesi aşağıdakilerden ) {(,),(,),(,),(,)} ) {(,),(,),(,),(,)} C) {(,),(,),(,)} D) {(,),(,),(,)} E) {(,),(,),(,)} soru 7 ={,,a} ={,,a} C={,b,c} olduğuna göre, Cx(\) kümesi aşağıdakilerden ) {(,),(,b),(,c)} ) {(,),(b,)} C) {(,),(b,),(c,)} D) {(,),(c,)} E) {(,),(,b),(c,)} soru 8 ={a,b,c} ={a,b,,} C={} olduğuna göre, ( )xc kümesi aşağıdakilerden ) {(a,)} ) {(b,)} C) {(,a),(,b)} D) {(a,),(,b) } E) {(a,),(b,)} D E C D C 8 E

5 Kartezyen Çarpım ve ağıntı Kartezyen Çarpım Eleman Sayısı ve boş kümeden farklı iki küme olsun. s(x)=s(x)=s().s() dır. ={,,} ={,,5,6,7} C={,,7,8} olduğuna göre, a) s(x) b) s(xc) s()=, s()=5, s(c)= olduğuna göre, a) s(x)=s().s()=.5=5 b) s(xc)=s().s(c)=5.=0 c) s(cx)=s(c).s()=.= d) s(x)=s().s()=.=9 c) s(cx) d) s(x) değerlerini bulunuz. s(x)=, s()= olduğuna göre, s() ifadesinin değerini bulunuz. s(x)=s().s() olduğuna göre, =.s() 8=s() Cevap: 8 ={x: x, x Z} ={x: <x<7, x Z} C={,,7,8} olduğuna göre, s(( )xc) ifadesinin değerini bulunuz. ve kümelerinin elemanlarını yazalım. ={,,} ={,,5,6} olduğuna göre, ={,,,,5,6} ve s( )=6 dır. s(( )xc)=s( ).s(c) =6.= Cevap: s()=.s() ve s(x)=8 olduğuna göre, s() ve s() değerlerini bulunuz. s()=.s() ise s()=x ve s()=x alalım. s(x)=s().s() olduğuna göre, 8=x.x 6=x =x x= ise s()=x=.= s()=x= Cevap: s()= s()= 6

6 Kartezyen Çarpım ve ağıntı soru ={,,7,8,9} ={,,,5} olduğuna göre s(x)+s(x) toplamı kaçtır? ) 0 ) 0 C) 0 D) 60 E) 80 soru 5 ={a,b,c} ={c,d,e,f} C={a,c,f,g,h} olduğuna göre s((c\)x) kaçtır? ) ) 8 C) D) 6 E) 0 soru ={x: x<, x Z} ={x: 5<x, x Z} s(x)+s(x) toplamı kaçtır? soru 6 ={x: x<6, x Z} ={x: 6<x, x Z} s(( )x( )) kaçtır? ) 8 ) 5 C) 60 D) 70 E) 75 ) 50 ) 55 C) 60 D) 66 E) 7 soru s(x)= ve s()=8 olduğuna göre s(x) kaçtır? ) ) C) 9 D) 6 E) 6 soru s(x)=5 ve s()= olduğuna göre s( ) en çok kaçtır? ) 7 ) 6 C) 5 D) E) 7KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI soru 7 s()=5.s() ve s(x)=0 ise s()+s() toplamı kaçtır? ) 6 ) C) 8 D) E) 0 soru 8 s()=.s() ve s(x)=8 ise s(x)+s(x) toplamı kaçtır? ) 0 ) 6 C) 0 D) E) 5 C D C 5 C 6 D 7 8 E

7 Kartezyen Çarpım ve ağıntı Kartezyen Çarpımın Özellikleri, ve C boş kümeden farklı kümeler olmak üzere, ) xø=øx=ø ) x x ( ise) Kartezyen çarpımın değişme özelliği yoktur. ) x(xc)=(x)xc=xxc Kartezyen çarpımın birleşme özelliği vardır. ) =x ={,,} ve ={,} kümeleri veriliyor. x ve x kümelerini yazarak a) x x olduğunu gösteriniz. b) (x) (x) kümesinin elemanlarını yazınız. c) (x)\(x) kümesinin elemanlarını yazınız. x={(,),(,),(,),(,),(,),(,)} x={(,),(,),(,),(,),(,),(,)} a) Sıralı ikililerde elemanların yazılış sırası önemli olduğundan (x,y) (y,x) dir. una göre, x x b) (x) (x)={(,)} c) (x)\(x)={(,),(,),(,),(,),(,)} s()=, s()= ve s(c)= olduğuna göre, s(xxc) kaçtır, bulunuz. xxc=x(xc) olduğuna göre, s(xxc)=s(x(xc)) =s().s(xc) =s().s().s(c) =..= Cevap: ={,,} kümesi veriliyor. kümesinin elemanlarını yazınız. =(x) olduğuna göre, ={(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)} 8

8 Kartezyen Çarpım ve ağıntı soru soru 5, ve C boş kümeden farklı olmak üzere, aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi doğrudur? I. ise x x dır. s()=, s()= ve s(c)= olduğuna göre, s(xxc) kaçtır? ) 6 ) C) 8 D) E) 6 II. s(x)=s(x) III. xø=ø IV. x(xc)=(x)xc V. s(xxc)=s().s().s(c) VI. =x ) ) C) D) 5 E) 6 soru soru 6 ={,,} ve ={,,} olduğuna göre, (x) (x) kümesinin elemanları aşağıdakilerden s()=, s()= ve s(xxc)=60 ise, s(cx)+s(cx) toplamı kaçtır? ) ) 8 C) 0 D) 5 E) ) {(,),(,)} ) {(,),(,)} C) {(,),(,), (,),(,)} D) {(,),(,), (,)} E) {(,),(,), (,)} soru ={a,b,} ve ={b,,} olduğuna göre, (x)\(x) kümesinin eleman sayısı aşağıdakilerden ) ) 5 C) 6 D) 7 E) 8 soru ={,a,b} ve ={a,b,,} olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi (x)\(x) kümesinin elemanı değildir? ) (,a) ) (,b) C) (,) D) (,b) E) (b,a) 9KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI soru 7 ={,} kümesi veriliyor. kümesinin elemanları aşağıdakilerden ) {(,),(,),(,),(,)} ) {(,),(,)} C) {(,),(,), (,)} D) {(,),(,), (,)} E) {(,),(,), (,)} soru 8 x={(,a),(,b),(,a),(,b),(,a),(,b)} s( )+s( ) toplamı kaçtır? ) 9 ) C) D) 5 E) 6 E C E 5 6 D 7 8 C

9 Kartezyen Çarpım ve ağıntı 5) Kartezyen çarpımın kümelerde birleşim, kesişim ve fark işlemleri üzerine dağılma özelliği vardır. x( C)=(x) (xc) x( C)=(x) (xc) x(\c)=(x)\(xc) şağıdaki ifadelerin eşitlerini yazınız. a) ( )xc b) (x) (xc) c) (xc)\(xc) d) (x) (xc) a) Dağılma özelliği kullanıldığında ( )xc=(xc) (xc) elde edilir. b) Her iki parantezde ortak olan kümesini parantez dışına alalım. O halde (x) (xc)=x( C) c) Her iki parantezde ortak olan C kümesini parantez dışına alalım. O halde (xc)\(xc)=(\)xc d) (x) (xc) her iki parantezde kümesi ortak olmasına rağmen ilk parantezde sağda, ikinci parantezde solda olduğundan kümesini parantez dışına alamayız. una göre (x) (xc) ancak kendisine eşittir. (x) (xc)=(x) (xc) dir. ={,}. ={a,b,c}, C={b,c,,} olduğuna göre, (x) (xc) kümesinin elemanlarını bulunuz. (x) (xc)=x( C) olduğuna göre, ={,} ve C={b,c} ise x( C)={(,b),(,c),(,b),(,c)} Cevap: x( C)={(,b),(,c),(,b),(,c)} \C={a,b,} ={,} olduğuna göre, (x)\(cx) kümesinin elemanlarını bulunuz. (x)\(cx)=(\c)x olduğuna göre, (\C)x={(a,),(a,),(b,),(b,), (,),(,)} Cevap: (\C)x={(a,),(a,),(b,),(b,), (,),(,)} x={(,a),(,b),(,c), (,a),(,b),(,c)} Cx={(,a),(,a),(,b), (,b),(,c),(,c)} olduğuna göre, ( C)x kümesinin elemanlarını yazınız. Dağılma özelliği kullanıldığında ( C)x=(x) (Cx) elde edilir. x ve Cx kümelerinin kesişimi, (x) (Cx)={(,a), (,b),(,c)} Cevap: (x) (Cx)={(,a), (,b),(,c)} 0

10 Kartezyen Çarpım ve ağıntı soru soru 5 Ø, Ø ve C Ø olmak üzere, şağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) x(\c)=(x)\(xc) ) ( C)x=(x) (Cx) C) (xc) (x)=x(c ) D) (xc)\(xc)=(\)xc E) (x) (xc)=x( C) ={,,}, C={a,b} olduğuna göre, (xc) (xc) kümesinin elemanları aşağıdakilerden ) {(,a),(,b),(,a),(,b),(,a),(,b)} ) {(,a),(,b),(,a),(,b)} C) {(a,),(a,),(a,), (b,),(b,),(b,)} D) {(,a),(,b),(,b)} E) {(,),(,),(,)} soru soru 6 ={,,} ={,a,b}, C={b,c,} olduğuna göre, (x)\(xc) kümesinin elemanları aşağıdakilerden \={c,d,e}, C={5,6} olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi (Cx)\(Cx) kümesinin elemanlarından biri değildir? ) (5,c) ) (5,d) C) (d,6) D) (6,c) E) (6,e) ) {(,),(,),(,)} ) {(,),(,),(,),(,a),(,a),(,a)} C) {(,),(,),(,),(,b),(,b),(,b)} D) {(,c),(,c),(,c),(,b),(,b),(,b)} E) {(,),(,),(,),(a,),(a,),(a,)} soru ={,,,}, ={,,5}, C={5,6,7} olduğuna göre, (x) (xc) kümesinin elemanları aşağıdakilerden KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI soru 7 x={(,),(,),(,),(,)} Cx={(,),(,),(,),(,)} olduğuna göre, (\C)x kümesinin elemanları aşağıdakilerden ) {(,5),(,5),(,5),(5,)} ) {(,5),(,5),(,5)} C) {(,5),(,5),(,5)} D) {(,5),(,5),(,5),(,5)} E) {(5,),(5,),(5,),(5,)} ) {(,),(,)} ) {(,),(,)} C) {(,),(,), (,)} D) {(,),(,),(,)} E) {(,),(,)} soru soru 8 ={,,,}, ={,5}, C={,,5,6,7} olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi (x) (Cx) nin elemanlarından biri değildir? ) (5,) ) (7,) C) (,) D) (6,) E) (,) xc={(a,),(a,),(a,)} xc={(a,),(a,),(a,),(b,),(b,),(b,)} olduğuna göre, Cx( ) kümesinin elemanları aşağıdakilerden ) {(a,),(a,),(a,)} ) {(,b),(,b),(,b)} C) {(,a),(,a)} D) {(,a),(,a),(,a)} E) {(,a),(,a),(,a),(,b),(,b),(,b)} E D C 5 6 C 7 E 8 D

11 Kartezyen Çarpım ve ağıntı s()=5, s( C)=8 olduğuna göre, s((x) (xc)) ifadesinin değerini bulunuz. (x) (xc)=x( C) olduğuna göre, s((x) (xc))=s(x( C)) =s().s( C) =5.8 =0 Cevap: 0 ={,,a,b} ={a,b,,,5} olduğuna göre, s((x) (x)) ifadesinin değerini bulunuz. (x) (x)=x( ) olduğuna göre ve kümelerinin eleman sayılarını bulalım. ={,,a,b,,,5} ve s()= ve s( )=7 ise ={x: x<, x Z} ={x: 0 x, x Z} C={x: <x<8, x Z} s((x) (x))=s(x( )) =s().s( ) =.7 =8, ve C kümelerinin eleman sayılarını yazalım. ={,,,0,} ={0,,,,} Cevap: 8 olduğuna göre, s((cx)\(x)) ifadesinin değerini bulunuz. C={,,5,6,7} (Cx)\(x)=(C\)x ve C\ ve kümelerinin eleman sayılarını bulalım. C\={5,6,7} ve s()=5 ve s(c\)= ise s((cx)\(x))=s((c\)x) =s(c\).s() =.5 =5 Cevap: 5, s()=s(), s((x) (x))= olduğuna göre, s()=.s() ise s()=x, s()=x dir. s(\) ifadesinin değerini bulunuz. ise s( )=x x x s(\)=x (x) (x)=x( ) olduğuna göre, s((x) (x))=s(x( ))=s().s( ) dir s((x) (x))=s().s( )= x.x= x = x = x= x= ve s(\)=x=.= Cevap:

12 Kartezyen Çarpım ve ağıntı soru soru 5 s()=6, s( C)= olduğuna göre, s((x) (xc)) kaçtır? ) ) 6 C) 8 D) 60 E) 7 ={a,b,c,d} ={c,d,,,} C={,,,,5,6} olduğuna göre, s((cx) (x)) kaçtır? ) ) 0 C) D) 50 E) 60 soru soru 6 s((cx) (Cx))=8, s( )=6 olduğuna göre, s(c) kaçtır? ) ) 6 C) 8 D) E) 6 ={x: 5<x, x Z} ={x: x, x Z} C={x: 7 x<, x Z} olduğuna göre, s((xc) (xc)) kaçtır? ) 0 ) C) 8 D) E) 6 KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI soru soru 7 ={,,,,5} ={,,5,6,7,8,9} olduğuna göre, s((x)\(x)) kaçtır? ) 5 ) 0 C) 5 D) 0 E) 5, s()=.s() ve s((x) (x))=6 olduğuna göre, s( ) kaçtır? ) ) 6 C) 8 D) E) 6 soru soru 8 ={a,b,c,d,e} ={d,e,f,g} olduğuna göre, s((x)\(x)) kaçtır? s()= ve s((x)\(x))=8 olduğuna göre, s( ) kaçtır? ) 0 ) 5 C) D) 0 E) 8 ) 8 ) 6 C) 5 D) E) E C D 5 D 6 7 C 8

13 Kartezyen Çarpım ve ağıntı Kartezyen Çarpımın Grafiği x ' nin grafiği çizilirken, kümesinin bütün elemanları (birinci bileşenler) x ekseni üzerinde işaretlenir ve her elemandan dikme çizilir. kümesinin bütün elemanları (ikinci bileşenler) y ekseni üzerinde işaretlenir ve her elemandan dikme çizilir. ütün bu dikmelerin kesim noktaları x kartezyen çarpımının grafiğini verir. ={,,} ve ={,5} olduğuna göre, x ' nin grafiğini çiziniz. Sonlu kümelerin kartezyen çarpımlarının grafiği sonlu sayıda noktalardan oluşur. ve kümelerinin elemanları sonlu sayıda olduğundan x nin elemanları da sonlu sayıda nokta olacaktır. x ' nin grafiğini çizmek için kümesinin elemanlarını x eksenine, kümesinin elemanlarını y eksenine yerleştirelim. x ' nin grafiği 5 5 (Kümelerin elemanlarından dikmeler çizilir) (Dikmelerin kesişim noktaları) ={,0,} ={,,} olduğuna göre, x ' nın grafiğini çiziniz. x ' nin grafiğini çizmek için kümesinin elemanlarını x eksenine, kümesinin elemanlarını y eksenine yerleştirelim. x' nın grafiği O O (Kümelerin elemanlarından dikmeler çizilir) (Dikmelerin kesişim noktaları) ={,,} olduğuna göre, x nın grafiğini çiziniz. x ' nın grafiğini çizmek için kümesinin elemanlarını x eksenine, kümesinin elemanlarını y eksenine yerleştirelim. x' nın grafiği O O (Kümelerin elemanlarından dikmeler çizilir) (Dikmelerin kesişim noktaları) x ' nin grafiği verilmiştir. ve kümelerini bulunuz. x eksenine çizilen dikmeler kümesinin elemanlarını, y eksenine çizilen dikmeler kümesinin elemanlarını verir. una göre ={,,} ={,,}

14 Kartezyen Çarpım ve ağıntı soru ={,,} ve ={,,} olduğuna göre, x kartezyen çarpımının grafiği aşağıdakilerden ) ) O O C) D) soru ={,0,} olduğuna göre, x kartezyen çarpımının grafiği aşağıdakilerden ) ) O O C) D) O E) O O E) O O soru ={,0,} ve ={,} olduğuna göre, x kartezyen çarpımının grafiği aşağıdakilerden KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI O ) ) O O soru C) O E) D) O O Yukarıda x kartezyen çarpımının grafiği verilmiştir. una göre \ kümesi aşağıdakilerden O ) {, } ) {} C) {,,} D) {,} E) {,,,,} E D C 5

15 Kartezyen Çarpım ve ağıntı Kümeye ait olmayan dikme kesikli çizgi ile çizilir. ununla ilgili olarak aşağıda verdiğimiz kavrama sorularını dikkatle inceleyiniz. ={,,} ve =(,] olduğuna göre, x ' nin grafiğini çiziniz. Sonlu küme ile sonsuz kümenin kartezyen çarpımlarının grafiği doğru parçalarından oluşur. Sonsuz küme x ekseni üzerinde ise doğru parçaları x eksenine paralel, y ekseni üzerinde ise doğru parçaları y eksenine paraleldir. kümesinin elemanlarını x eksenine, kümesinin elemanlarını y eksenine yerleştirelim. olduğu için dikme kesik kesik çizilir. x ' nin grafiği O (Kümelerin elemanlarından dikmeler çizilir) O (Dikmelerin kesişim noktaları) ={,,} ve =[,) olduğuna göre, x ' nin grafiğini çiziniz. kümesi sonlu elemanlardan oluştuğundan bu kümenin elemanlarının olduğu noktalardan doğrular çizeriz. sonsuz küme olduğundan bu kümenin olduğu bölgenin tamamını tararız. kümesinin elemanlarını x eksenine, kümesinin elemanlarını y eksenine yerleştirelim. olduğu için dikme kesik kesik çizilir. x ' nin grafiği O (Kümelerin elemanlarından dikmeler çizilir) O (Dikmelerin kesişim noktaları) ={x: x<, x Z} ={x: <x<, x R} olduğuna göre, x nin grafiğini çiziniz. ={,0,} =(,) kümesinin elemanlarını x eksenine, kümesinin elemanlarını y eksenine yerleştirelim. ve olduğu için dikmeler kesik kesik çizilir. x ' nin grafiği O O (Kümelerin elemanlarından dikmeler çizilir) (Dikmelerin kesişim noktaları) O x ' nin grafiği verilmiştir. ve kümelerini bulunuz. Doğru parçaları x eksenine paralel olduğundan kümesi sonsuz elemanlı, kümesi sonlu elemanlıdır. una göre, =(,] ={,0,,} 6

16 Kartezyen Çarpım ve ağıntı soru ={,,} ve =(,] olduğuna göre, x ' nin grafiği aşağıdakilerden soru ={x: <x, x Z} ={x: <x<, x R} olduğuna göre, x ' nin grafiği aşağıdakilerden ) O ) O ) ) C) O D) O O C) O D) E) O E) O O soru ={,,} ve =[,) olduğuna göre, KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI soru O x ' nın grafiği aşağıdakilerden ) ) O C) O O E) D) O O Yukarıda x ' nın grafiği verilmiştir. ve kümeleri aşağıdakilerden ) ={,} ) ={,0,} C) ={,0,} =[,) =[,) ={,,0,,,} D) =[,) E) =[,] ={,0,} =[,) O D E C 7

17 Kartezyen Çarpım ve ağıntı =[,] =[,] olduğuna göre, x ' nin grafiğini çiziniz. kümesinin elemanlarını x eksenine, kümesinin elemanlarını y eksenine yerleştirelim. x ' nin grafiği Sonsuz kümelerin kartezyen çarpımlarının grafiği düzlemsel bir bölge oluşturur. (Kümelerin elemanlarından dikmeler çizilir) (Dikmelerin kesişim noktaları) =(,] =[,) olduğuna göre, x ' nın grafiğini çiziniz. En az bir kesikli çizginin geçtiği nokta kartezyen çarpım kümesinin elemanı değildir. u nokta içi boş olarak gösterilir. kümesinin elemanlarını x eksenine, kümesinin elemanlarını y eksenine yerleştirelim. x ' nin grafiği (Kümelerin elemanlarından dikmeler çizilir) (Dikmelerin kesişim noktaları. En az bir kesikli çizginin geçtiği nokta içi boş gösterilir) ={x: <x<, x R} ={x: 0 x, x R} olduğuna göre, x ' nin grafiğini çiziniz. =(,) =[0,] kümesinin elemanlarını x eksenine, kümesinin elemanlarını y eksenine yerleştirelim. x ' nin grafiği (Kümelerin elemanlarından dikmeler çizilir) (Dikmelerin kesişim noktaları. En az bir kesikli çizginin geçtiği nokta içi boş gösterilir) 8

18 Kartezyen Çarpım ve ağıntı soru soru =[,] ve =[,5] olduğuna göre, x ' nin grafiği aşağıdakilerden ) ) 5 5 ={x: <x<, x R} ={x: x<, x R} olduğuna göre, x ' nin grafiği aşağıdakilerden ) ) O O C) 5 D) 5 C) D) O soru E) O O 5 KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI soru E) =(,] ve =(,] olduğuna göre, x ' nın grafiği aşağıdakilerden ) ) ={x: <x<0, x R} ={x: x, x R} olduğuna göre, x ' nın grafiği aşağıdakilerden ) ) C) D) C) D) E) E) C E D 9

19 Kartezyen Çarpım ve ağıntı ={x: <x<, x R} olduğuna göre, x ' nın grafiğini çiziniz. =(,) kümesinin elemanları x ve y eksenlerine yerleştirelim. x ' nın grafiği (Kümelerin elemanlarından dikmeler çizilir) (Dikmelerin kesişim noktaları) =(,] =(,) olduğuna göre, x ' nın oluşturduğu bölgenin alanını bulunuz. x ' nın grafiğini çizelim. kümesinin elemanlarını x eksenine, kümesinin elemanlarını y eksenine yerleştirelim. x ' nın grafiği ( )=5 ( )=6 br lan=5.6=0 br Cevap: 0 br ={,,} ={,,,} olduğuna göre, x ' nin elemanlarını dışarda bırakmayan en küçük dörtgenin alanını bulunuz. x ' nin grafiğini çizelim. kümesinin elemanlarını x eksenine, kümesinin elemanlarını y eksenine yerleştirelim. ( )=7 br ( )= br En küçük dörtgenin alanı=.7=8 br Cevap: 8 br Yandaki şekilde Kesik kesik çizgilerden geçen noktalar ve olduğundan =(,] ve =[,) tür. Cevap: =(,] ve =[,) x ' nin grafiği verilmiştir. una göre, ve kümelerini yazınız. 0

20 Kartezyen Çarpım ve ağıntı soru soru ={x: <x<, x R} olduğuna göre, x nın grafiği aşağıdakilerden =(,5] ve =(,6) olduğuna göre, x nin oluşturduğu bölgenin alanı kaç br dir? ) 8 ) 6 C) 6 D) 7 E) 8 ) ) C) D) soru ={,,,} ve ={,,6} olduğuna göre, x nın elemanlarını dışarıda bırakmayan en küçük dörtgenin alanı kaç br dir? E) ) 55 ) 50 C) 5 D) 0 E) 5 soru ={x: <x, x R} olduğuna göre, x nın grafiği aşağıdakilerden KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI soru 5 Yanda x ' nin grafiği verilmiştir. ve kümeleri aşağıdakilerden ) ) ) =(,) ) =[,] =[,] =(,) C) D) C) ={,} D) =(,) =[,] ={,} E) =(,) =(,] E) E C D 5 E

21 Kartezyen Çarpım ve ağıntı ağıntı ve boş kümeden farklı iki küme olsun. ) x nin herhangi bir alt kümesine dan ye bağıntı denir. : ya da x şeklinde gösterilir. ) x nın herhangi bir alt kümesine den ya bağıntı denir. : ya da x şeklinde gösterilir. ) x nın herhangi bir alt kümesine dan ya veya da bağıntı denir. : ya da x şeklinde gösterilir. ={,,}, ={a,b} olduğuna göre, aşağıdakilerden kaç tanesi dan ye bağıntıdır, bulunuz. I) ={(,a),(,b),(,a)} II) ={(,a),(,b),(,b),(,b)} III) ={(,b)} IV) ={(,a),(,b),(,a),(,b),(a,)} I), x nin alt kümesi olduğundan dan ye bağıntıdır. II), x nin alt kümesi olduğundan dan ye bağıntıdır. III), x nin alt kümesi olduğundan dan ye bağıntıdır. IV) (a,) x olduğundan, dan ye bağıntı değildir. Cevap: ={a,b,c}, ={,} olduğuna göre, aşağıdakilerden kaç tanesi den ya bağıntıdır, bulunuz. I) ={(,a),(,c)} II) ={(,c),(,c),(,a),(,b)} III) ={(,b)} IV) ={(a,),(b,)} I), x nın alt kümesi olduğundan den ya bağıntıdır. II), x nın alt kümesi olduğundan den ya bağıntıdır. III), x nın alt kümesi olduğundan den ya bağıntıdır. IV) (a,) x olduğundan (b,) x olduğundan, den ya bağıntı değildir. Cevap: oş küme her kümenin alt kümesi olduğundan boş küme bağıntıdır. ={,,} olduğuna göre, aşağıdakilerden kaç tanesi da bağıntıdır? I) ={(,)} II) ={(,),(,),(,)} III) ={(,),(,),(,),(,)} IV) ={ } I), x nın alt kümesi olduğundan da bağıntıdır. II), x nın alt kümesi olduğundan da bağıntıdır. III), x nın alt kümesi olduğundan da bağıntıdır. IV) oş küme her kümenin alt kümesi olduğundan, da bağıntıdır. Cevap:

22 Kartezyen Çarpım ve ağıntı soru soru 5 ={,,}, ={a,b,c} olduğuna göre, aşağıdakilerden kaç tanesi dan ye bağıntıdır? ={a,b,c,d}, ={d,e,f} olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi den ya bağıntı değildir? ={(,a),(,b),(,c)} ={(,b),(,a),(,a),(,b)} ={(,b),(,c)} ={(,a),(,c),(b,)} 5 ={(a,)} ) {(d,d),(f,d),(b,f)} ) {(e,d),(e,b)} C) {(f,a),(f,b),(f,c)} D) {(d,d)} E) {(d,c),(d,b),(d,a),(d,d),(e,a)} ) ) C) D) E) 5 soru ={,,}, ={,} olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi dan ye bağıntı değildir? soru 6 ={,,}, ={a,b,c,d} ve : olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi bağıntısının elemanı değildir? ) {(,),(,)} ) {(,),(,),(,)} C) {(,)} D) {(,),(,),(,),(,)} E) {(,),(,),(,),(,),(,)} soru ={,,5}, ={,,} ve : olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi ' nin elemanı değildir? ) (,) ) (,) C) (5,) D) (,) E) (,5) KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI ) (b,) ) (a,) C) (a,) D) (c,) E) (,d) soru 7 ={,,a,b} olduğuna göre, aşağıdakilerden kaç tanesi da( dan ya ) bağıntıdır? ={(,a),(a,),(b,b)} ={(,),(,),(a,a),(b,b)} ={(,b),(b,)} ={(b,),(b,),(b,a),(a,b),(,)} 5 ={ } ) ) C) D) E) 5 soru soru 8 ={,}, ={a,b,c} olduğuna göre, aşağıdakilerden kaç tanesi den ya bağıntıdır? ={,,}, ={a,b} olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ={(a,),(b,),(c,)} ={(b,),(c,),(a,),(b,)} ={(c,),(b,)} ={(b,),(c,),(,a)} 5 ={ } ) ={(,a),(,b),(,a)} dan ye bir bağıntıdır. ) ={(b,),(a,),(a,),(a,)} den ya bir bağıntıdır. C) ={(,),(,)} da bir bağıntıdır. D) ={(,a),(,a),(,b),(b,),(,a)} dan ye bir bağıntıdır. E) 5 ={(a,a),(b,a),(a,b)} de bir bağıntıdır. ) 5 ) C) D) E) C D E 5 6 E 7 E 8 D

23 Kartezyen Çarpım ve ağıntı ağıntı Sayısı dan ye bağıntı sayısını bulmak için x nin alt küme sayısını bulmak gerekir. x ' nin alt küme sayısı : s(x) = s().s() dir. O halde dan ye veya den ya bağıntı sayısı s().s() dir. ={,,}, ={,,,5} olduğuna göre, dan ye bağıntı sayısını bulunuz. s()=, s()= olduğuna göre, dan ye bağıntı sayısı s().s() =. = dir. Cevap: ={,,,} olduğuna göre, da tanımlı ( dan ya) bağıntı sayısını bulunuz. s()= olduğuna göre, dan ya bağıntı sayısı s().s() =. = 6 dır. Cevap: 6 ={,,, }, ={a,b,c} olduğuna göre, dan ye tanımlı bağıntıların kaç tanesinde eleman olarak (,a) bulunur, (,b) bulunmaz? s()=, s()= s(x)=s().s()=.= x ' nin elemanından (,a) ve (,b) çıkarılırsa -=0 e- lemanı kalır. Geriye kalan 0 elemandan 0 tane bağıntı yazılır. 0 tane bağıntının içine (,a) eleman olarak eklenirse istenilen şartta 0 tane bağıntı yazılır. Cevap: 0 ={,,} kümesinde tanımlı a) elemanlı bağıntı sayısını bulunuz. b) elemanlı bağıntıların kaç tanesinde (,) eleman olarak bulunur? s()= ise s(x)=s().s()=.=9 a) 9 elemanlı kümenin elemanlı alt küme sayısı Cevap: 6 b) Seçilecek elemandan biri (,) olduğuna göre -= eleman kalır. O halde Cevap: 56

24 Kartezyen Çarpım ve ağıntı soru soru 5 s()=, s()= olduğuna göre, dan ye bağıntı sayısı kaçtır? ={,,}, ={,,,5,6} olduğuna göre, dan ye bağıntıların kaç tanesinde (,) bulunur, (,) bulunmaz? ) 6 ) 8 C) 56 D) 5 E) 0 ) 5 ) C) D) E) soru s()= ve den ya bağıntı sayıs olduğuna göre, s() kaçtır? ) ) C) D) 6 E) 8 soru 6 ={a,b,c,d}, ={,,} olduğuna göre, den ya bağıntıların kaç tanesinde (,a) ve (,b) bulunur, (,c) bulunmaz? ) ) C) 0 D) 9 E) 8 soru ={,,a} olduğuna göre, da tanımlı bağıntı sayısı kaçtır? ) 0 ) 5 C) 56 D) 8 E) 6 KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI soru 7 ={a,b,c,d} kümesinde tanımlı elemanlı bağıntı sayısı kaçtır? ) 0 ) 05 C) 9 D) 78 E) 66 soru soru 8 ={,,,}, ={a,b,c,d,e} olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ={,,a} kümesinde tanımlı elemanlı bağıntıların kaç tanesinde (a,) elaman olarak bulunur? ) dan ye bağıntı sayısı 0 dir. ) den ya bağıntı sayısı 0 dir. C) da tanımlı bağıntı sayısı 6 dır. D) de tanımlı bağıntı sayısı 5 dir. E) oş küme dışında da tanımlı bağıntı sayısı 5 dir. ) 8 ) 6 C) 5 D) 56 E) 8 C D E 5 C 6 D 7 8 5

25 Kartezyen Çarpım ve ağıntı ağıntının Gösterimi ) Venn Şeması ={,,,}, ={a,b,c} olduğuna göre, dan ye tanımlı ={(,a),(,b),(,a),(,c),(,b)} bağıntısını venn şemasıyla gösteriniz. (a,b) ikilisi venn şemasıyla a b şeklinde gösterilir. O halde, a b c Yukarıda venn şeması ile verilen, a) bağıntısının elemanlarını bulunuz. b) ()+()+() ifadesinin eşitini bulunuz. ) Ok Diyagram Yöntemi ={,,} kümesinde tanımlı ={(,),(,),(,),(,)} a) ={(,6),(,6),(,7)} b) (a,b) ise (a)=b dir. (,6) ise ()=6 dir. (,6) ise ()=6 dir. (,7) ise ()=7 dir. O halde ()+()+()=6+6+7=9 Cevap: 9 bağıntınsını ok diyagram yöntemiyle gösteriniz. (a,a) ok diyagram yöntemiyle a (a,b) ok diyagram yöntemiyle a şeklinde gösterilir. b a ={(a,a),(a,d),(a,c),(c,b),(d,d)} b c d ={a,b,c,d} tanımlı bağıntısının elemanlarını yazınız. 6

26 Kartezyen Çarpım ve ağıntı soru ={a,b,c,d}, ={,,} olduğuna göre, dan ye tanımlı ={(a,),(a,),(b,),(c,),(d,)} bağıntısının venn şeması yöntemiyle gösterilişi aşağıdakilerden soru ={a,b,c} kümesinde tanımlı ={(a,b),(a,c),(b,b),(c,b),(c,a)} bağıntısının ok diyagram yöntemiyle gösterilişi aşağıdakilerden ) C) a b c d a b c d soru E) a b c d ) D) a b c d a b c d a b c Yukarıda venn şeması ile verilen bağıntısının elemanları aşağıdakilerden ) {(,b),(,b),(,c)} ) {(,b),(,b),(,b)} C) {(,b),(,b),(,b),(,c)} D) {(,b),(,c),(,b),(,b)} E) {(,b),(,b),(,b),(,c)} KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI ) a ) a b c b c C) a D) a b c b c E) a b c soru 5 ={,,,} kümesinde tanımlı bağıntısının elemanları aşağıdakilerden ) {(,),(,),(,),(,)} ) {(,),(,),(,),(,),(,)} C) {(,),(,),(,),(,),(,),(,)} D) {(,),(,),(,),(,),(,)} E) {(,),(,),(,),(,),(,)} soru 5 5 Yukarıda bağıntısının elemanları venn şeması ile gösterilmiştir. una göre ()+() (5) kaçtır? soru 6 ={,,} kümesinde tanımlı bağıntısı ok diyagram yöntemiyle gösterilmiştir. una göre ()+()+() kaçtır? ) ) 5 C) 6 D) 7 E) 8 ) ) C) D) 5 E) 9 E C D 5 6 D 7

27 Kartezyen Çarpım ve ağıntı ) Grafik Yöntemi ={,,,}, ={,5,6} olduğuna göre, dan ye tanımlı ={(,),(,5),(,6),(,),(,5),(,)} bağıntısının grafiğini çiziniz. 6 5 (a,b) ikilisi grafik yöntemiyle y şeklinde gösterilir. b a x y b a (a,b) x olduğuna göre, ={(,),(,),(,),(,),(,),(,)} Yukarıda grafiği verilen bağıntınsının elemanlarını yazınız. ) Ortak Özellik Yöntemi ={0,,,}, ={,,,5} olduğuna göre, dan ye tanımlı ={(x,y):x+y=5, (x,y) x} bağıntısının elemanlarını yazınız. x ve y ve x+y=5 olmalıdır. x=0 için 0+y=5 y=5 x= için +y=5 y= x= için +y=5 y= x= için +y=5 y= ={(0,5),(,),(,),(,)} ={,0,,}, ={,,,5,7} olduğuna göre, dan ye tanımlı ={(x,y):y=x, (x,y) x} bağıntısının elemanlarını yazınız. x ve y ve y=x- olmalıdır. x= için y=.( ) = x=0 için y=.0 = x= için y=. = x= için y=. = olduğu için (,) dır. ={(, ),(0, ),(,)} 8

28 Kartezyen Çarpım ve ağıntı soru ={,,}, ={,,} olduğuna göre, dan ye tanımlı ={(,),(,),(,),(,),(,)} bağıntısının grafiği aşağıdakilerden soru ={0,,}, ={,,,} olduğuna göre, dan ye tanımlı ={(x,y):y=x+, (x,y) x} bağıntısının elemanları a- şağıdakilerden ) ) ) {(,0),(,),(,)} ) {(0,),(,)} C) {(0,),(,),(,)} D) {(,),(,)} E) {(0,),(,),(,),(,)} C) D) soru ={,0,,}, ={,,,,7} olduğuna göre, dan ye tanımlı ={(x,y):y=x+, (x,y) x} bağıntısının elemanları aşağıdakilerden E) ) {(, ),(0,)} KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI ) {(, ),(0,),(,)} C) {(, ),(0,),(,),(,5)} D) {(, ),(,)} E) {(0,),(,)} soru 5 soru 5 ={,0,,,}, ={,0,,6,0} olduğuna göre, dan ye tanımlı ={(x,y):y=x, (x,y) x} bağıntısının eleman sayısı kaçtır? ) ) C) D) E) 5 Yukarıda grafiği verilen bağıntısının elemanları aşağıdakilerden ) {(,),(,5),(,),(,),(,),(,)} ) {(,),(,),(,),(,),(,),(5,)} C) {(,),(,5),(,),(,),(,),(,5)} D) {(,),(,),(,),(,),(,),(5,)} E) {(,),(,5),(,),(,),(,),(,)} soru 6 ={,,0,,}, ={0,,,,} olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi dan ye tanımlı ={(x,y):x=y, (x,y) x} bağıntısının elemanı değildir? ) (,0) ) (,0) C) (,) D) (,) E) (,) D E C 5 C 6 9

29 Kartezyen Çarpım ve ağıntı ={,,} kümesinde tanımlı ={(x,y):y x, (x,y) x} bağıntısının elemanlarını yazınız. x ve y ve y x olmalıdır. x= için y= x= için y= veya y= x= için y= veya y= veya y= ={(,),(,),(,),(,),(,),(,)} Cevap:={(,),(,),(,),(,),(,),(,)} ={,0,,,,} kümesinde tanımlı ={(x,y):y=x, (x,y) x} bağıntısının elemanlarını yazınız. x ve y ve y=x olmalıdır. x= için y=( ) = x=0 için y=0 =0 x= için y= = x= için y= = x= için y= =9 x= için y= =6 olduğu için (,9) ve (,6) dir. ={(,),(0,0),(,),(,)} Cevap:={(,),(0,0),(,),(,)} Doğal sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y):x.y=0} bağıntısının elemanlarını yazınız. x ve y doğal sayı olmalıdır. x.y=0 eşitliğini sağlayan doğal sayıları bulalım. x= için y=0 x= için y=5 x=5 için y= x=0 için y= ={(,0),(,5),(5,),(0,)} Cevap:={(,0),(,5),(5,),(0,)} Gerçek sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y):x+my= 6} bağıntısı veriliyor. (,) olduğuna göre, m ' nin değerini bulunuz. x ve y gerçek sayı olmalıdır. (,) ise x=, y= dir. x+my= 6 eşitliğinde x=, y= yazalım..+m.= 6 6+m= 6 m= 6 Cevap: 6 0

30 Kartezyen Çarpım ve ağıntı soru ={,,} kümesinde tanımlı ={(x,y):x<y, (x,y) x} bağıntısının elemanları aşağıdakilerden ) {(,),(,)} ) {(,),(,)} C) {(,),(,),(,)} D) {(,),(,)} E) {(,)} soru 5 Doğal sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): y= } bağıntısının eleman sayısı kaçtır? ) ) C) 6 D) 8 E) soru ={,,,} kümesinde tanımlı ={(x,y):x+y<5, (x,y) x} bağıntısının eleman sayısı kaçtır? ) 5 ) 6 C) 7 D) 8 E) 9 soru 6 Pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): y+x=0 } bağıntısının eleman sayısı kaçtır? ) ) C) 5 D) 6 E) 8 soru ={,,0,,,} kümesinde tanımlı ={(x,y):x=y, (x,y) x} bağıntısının elemanları aşağıdakilerden KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI soru 7 Gerçek sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x+y=8 } bağıntısı veriliyor. (,m) olduğuna göre, m kaçtır? ) {(,),(,),(0,0),(,),(,)} ) {(,),(,),(0,0)} C) {(,),(, ),(,),(, )} D) {(. ),(,),(,),(,),(0,0)} E) {(, ),(,),(, ),(,),(0,0)} ) 6 ) 5 C) D) E) soru ={,,,} kümesinde tanımlı ={(x,y):x y =, (x,y) x} bağıntısının elemanları aşağıdakilerden soru 8 Gerçek sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): mx+y=0 } bağıntısı veriliyor. (,) olduğuna göre, m kaçtır? ) {(,),(,)} ) {(,),(,)} C) {(,),(,)} D) {(.),(,),(,)} E) {(, ),(,)} ) ) C) D) E) 6 C E D 5 C 6 7 8

31 Kartezyen Çarpım ve ağıntı Ters ağıntı dan ye tanımlı bir bağıntısının elemanları olan bütün ikililerin bileşenlerinin yer değiştirmesiyle elde edilen bağıntıya ' nin tersi denir ve ile gösterilir. una göre (x,y) ise (y,x) dir. Sonuç : ={(x,y):x ve y } iken ={(y,x):(x,y) } Sonuç : (x) iken (x) Sonuç : (x,y) b iken (y,x) ={,,,} kümesinde tanımlı ={(,),(,),(,),(,),(,),(,)} bağıntısının tersini bulunuz. nın tersini bulmak için bağıntısındaki bütün ikililerin bileşenlerinin yerlerini değiştirelim. ={(,),(,),(,),(,),(,),(,)} Cevap: ={(,),(,),(,),(,),(,),(,)} a b c Yukarıda venn şemasıyla verilen bağıntısının tersini bulunuz. İlk önce bağıntısını yazalım. ={(,b),(,a),(,b),(,c)} nin tersini bulmak için bağıntısındaki bütün ikililerin bileşenlerinin yerlerini değiştirelim. ={(b,),(a,),(b,),(c,)} Cevap: ={(b,),(a,),(b,),(c,)} ={,,} kümesinde tanımlı yukarıda grafiği verilen bağıntısının tersini bulunuz. İlk önce bağıntısını yazalım. ={(,),(,),(,),(,),(,)} nin tersini bulmak için bağıntısındaki bütün ikililerin bileşenlerinin yerlerini değiştirelim. ={(,),(,),(,),(,),(,)} Cevap: ={(,),(,),(,),(,),(,)} ={a,b,c,d} kümesinde tanımlı ={(a,a),(a,b),(b,d),(c,d),(d,b),(d,d)} bağıntısı veriliyor. una göre kümesinin elemanlarını bulunuz. ={(a,a),(a,b),(b,d),(c,d),(d,b),(d,d)} ise ={(a,a),(b,a),(d,b),(d,c),(b,d),(d,d)} dir. una göre ={(a,a),(b,d),(d,b),(d,d)} Cevap: ={(a,a),(b,d),(d,b),(d,d)}

32 Kartezyen Çarpım ve ağıntı soru soru 5 ={a,b,c} kümesinde tanımlı ={(a,a),(a,b),(b,c),(c,a),(c,c)} bağıntısının tersi aşağıdakilerden ) {(a,a),(b,a),(c,b),(c,a),(c,c)} ) {(a,a),(b,a),(b,c),(a,c),(c,c)} C) {(a,a),(b,a),(c,b),(a,c),(c,c)} D) {(a.a),(b,a),(c,b),(a,c)} E) {(a,a),(a,b),(b,c),(a,c),(c,c)} ={0,,} kümesinde tanımlı bağıntısının grafiği yanda verilmiştir. in elemanları aşağıdakilerden ) {(0,),(,),(,0),(,)} ) {(,0),(,),(0,),(,)} C) {(,0),(,),(,0),(,)} D) {(,0),(,),(0,)} E) {(0,),(,),(,0),(,)} soru ={,,} kümesinde tanımlı aşağıdaki bağıntıların kaç tanesinin tersi kendisine eşittir? ={(,),(,),(,)} ={(,),(,),(,),(,)} ={(,),(,),(,),(,)} ={(,),(,)} 5 ={(,),(,),(,)} ) ) C) D) E) 5 soru a b c KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI soru 6 ={0,,} kümesinde tanımlı bağıntısının grafiği yanda verilmiştir. şağıdakilerden hangisi in elemanı değildir? ) (,) ) (,) C) (,) D) (,) E) (,) soru 7 ={a,b,c} kümesinde tanımlı ={(a,b),(b,c),(c,b),(b,b),(c,c)} bağıntısı veriliyor. - kümesinin elemanı aşağıdakilerden Yukarıda venn şemasıyla verilen bağıntısının tersi aşağıdakilerden ) {(,b),(,a),(,c)} ) {(,b),(,c),(,c)} C) {(,b),(,a),(,c),(,b)} D) {(a,),(b,),(c,),(c,)} E) {(,b),(,a),(,c),(,c)} ) {(b,c),(c,b),(b,b),(c,c)} ) {(b,b),(c,c)} C) {(b,c),(b,b),(c,c)} D) {(a,b),(b,c),(b,b),(c,c)} E) {(c,b),(b,c),(b,b)} soru soru 8 ={,,,} kümesinde tanımlı bağıntısının şeması yanda verilmiştir. şağıdakilerden hangisi in elemanı değildir? ={,,} kümesinde tanımlı ={(,),(,),(,),(,),(,),(,)} bağıntısı veriliyor. şağıdakilerden hangisi - kümesinin elemanı değildir? ) (,) ) (,) C) (,) D) (,) E) (,) ) (,) ) (,) C) (,) D) (,) E) (,) C C E D 5 6 E 7 8

33 Kartezyen Çarpım ve ağıntı ={0,,} kümesinde tanımlı ={(x,y):x+y=} bağıntısının tersini bulunuz. İlk önce bağıntısını yazalım. x+y= x=0 için y= x= için y= x= için y=0 ={(0,),(,),(,0)} ise ={(,0),(,),(0,)} Cevap: ={(,0),(,),(0,)} ={,,,} kümesinde tanımlı ={(,),(,),(,),(,)} bağıntısı veriliyor. una göre ()+ () ifadesinin eşitini bulunuz. ={(,),(,),(,),(,)} ise ()= ={(,),(,),(,),(,)} ise ()= ()+ ()=+=6 Cevap: 6 Gerçek sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y):5x+my=0} bağıntısı veriliyor.(5, ) olduğuna göre, m ' nin değerini bulunuz. (5, ) ise (,5) dır. (,5) ise x=, y=5 dir. 5x+my=0 eşitlğinde x= ve y=5 yazalım. 5.( )+m.5=0 0+5m=0 5m=0 m=6 Cevap: 6 Gerçek sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y):x+y=} bağıntısı veriliyor. una göre kümesinin elemanlarını bulunuz. :x+y= eşitliğinde x ile y ' nin yerini değiştirirsek :y+x= elde edilir. için iki denklemin ortak ü yapılır. x+y= / x+y= ise + y= için x+y= x+= x= O halde ={(,)} x+y= x 9y= 6 8y= y= Cevap: {(,)}

34 Kartezyen Çarpım ve ağıntı soru ={,,,} kümesinde tanımlı ={(x,y):x y =} bağıntısı veriliyor. in elemanları aşağıdakilerden ) {(,),(,)} ) {(,),(,),(,)} C) {(, ),(,),(,)} D) {(,),(,),(,)} E) {(,),(,)} soru 5 Gerçek sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y):x+y=6} bağıntısı veriliyor. (,m) olduğuna göre, m kaçtır? ) 0 ) C) D) E) soru ={0,,,} kümesinde tanımlı ={(x,y):x y =} bağıntısı veriliyor. şağıdakilerden hangisi in elemanı değildir? ) (0,) ) (,) C) (,) D) (0,) E) (0,0) soru 6 Gerçek sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x+my= } bağıntısı veriliyor. (,) olduğuna göre, m kaçtır? ) ) C) D) E) 6 soru ={,,5,6} kümesinde tanımlı ={(,),(,6),(5,),(6,5)} bağıntısı veriliyor. (5)+ (6) toplamının değeri kaçtır? KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI soru 7 Gerçek sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y):x+y=5} bağıntısı veriliyor. una göre aşağıdakilerden hangisi kümesinin elemanıdır? ) 7 ) 8 C) 9 D) 0 E) ) (,9) ) (5,5) C) (6,) D) (,7) E) (7,) soru soru Gerçek sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y):mx+y=} bağıntısı veriliyor. ={(,)} olduğuna göre, m kaçtır? Yukarıda dan ye tanımlı bağıntısı verilmiştir. ()+ (5)+ () toplamının değeri kaçtır? ) ) C) D) E) 6 ) 6 ) 8 C) 0 D) E) C E D 5 D 6 E 7 8 C 5

35 Kartezyen Çarpım ve ağıntı ( ) = dır ve b bağıntısının grafiği ile bağıntısının grafiği y=x doğrusuna simetriktir. ununla ilgili olarak aşağıda verdiğimiz kavrama sorularını inceleyiniz. ={,,} kümesinde tanımlı ={(,),(,),(,)} ise ={(,),(,),(,)} bağıntısının ve tersinin grafiğini çiziniz. ={(,),(,),(,)} olur. ile i aynı koordinat düzlemine yerleştirelim. y=x Grafiğe bakıldığında ile i bağıntılarının y=x doğrusuna göre simetrik olduğunu görebilirsiniz. ={,,,} kümesinde tanımlı ={(x,y):x+y } bağıntısı veriliyor. bağıntısının grafiğini çiziniz. İlk önce bağıntsını yazalım. x+y x= için y= veya y= veya y= x= için y= veya y= x= için y= - ={(,),(,),(,),(,),(,),(,)} ise ={(,),(,),(,),(,),(,),(,)} olur. Doğal sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y):x+y=6} bağıntısı veriliyor. bağıntısının grafiğini çiziniz. İlk önce bağıntsını yazalım. x+y=6 x=0 için y= x= için y= x= için y= x=6 için y=0 ={(0,),(,),(,),(6,0)} ise ={(,0),(,),(,),(0,6)} olur

36 Kartezyen Çarpım ve ağıntı soru soru şağıdaki bilgilerden kaç tanesi doğrudur? I., dan ye bağıntı ise, den ya bağıntıdır. II. (x,y) ise (y,x) dir. III. s()=s( ) IV. ( ) = V. ile bağıntılarının grafikleri y=x doğrusuna göre simetriktir. ) ) C) D) E) 5 soru ={,,, } kümesinde tanımlı ={(,),(,),(,),(,),(,)} bağıntısı veriliyor. ' in grafiği aşağıdakilerden KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI ={,,,} kümesinde tanımlı ={(x,y):x y } bağıntısı veriliyor. ' in grafiği aşağıdakilerden ) C) soru E) ) D) Doğal sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y):x+y=8} bağıntısı veriliyor. ' in grafiği aşağıdakilerden ), ) N ) 6 8 N ) N 6 8 N C) E) D) C) N 6 8 E) 8 6 N N D) N N 6 8 N E C D 7

37 Kartezyen Çarpım ve ağıntı ağıntının Özellikleri, kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun. ) Yansıma Özelliği: x için (x,x) ise yansıyan bir bağıntıdır. şağıda ={a,b,c} kümesinde tanımlı bağıntıların kaç tanesinde yansıma özelliği vardır, bulunuz. a) ={(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(a,c)} b) ={(a,a),(b,b),(c,c)} c) ={(a,a),(b,b),(b,a),(a,c)} d) ={(a,a),(b,a),(c,b)} ={,,} kümesinde tanımlı ={(x,y):x y} bağıntısının yansıyan olup olmadığını inceleyiniz. ={a,b,c} kümesinde tanımlı bir bağıntının yansıyan olması için (a,a),(b,b) ve (c,c) bağıntının elemanı olmalıdır. a) yansıyan bağıntıdır. b) yansıyan bağıntıdır. c) (c,c) olduğu için yansıyan bağıntı değildir. d) (b,b) ve (c,c) olduğu için yansıyan bağıntı değildir. Cevap: İlk önce bağıntısını yazalım. ={(,),(,),(,),(,),(,),(,)} (,), (,) ve (,) bağıntının elemanı olduğu için yansıyandır. Grafiği verilen bir bağıntının yansıyan olması için y=x köşegeni üzerindeki bütün elemanlar bağıntıya ait olmalıdır. ununla ilgili olarak aşağıdaki nu inceleyiniz. ={,,} kümesinde tanımlı aşağıda grafiği verilen bağıntıların kaç tanesi yansıyandır, bulunuz. s()=n olduğuna göre, da tanımlı yansıyan bağıntı sayısı y=x y=x y=x ve ' nin grafiklerinde y=x köşegeni üzerindeki bütün elemanlar bağıntıya ait olduğundan yansıyandır. ' ün grafiğinde y=x köşegeni üzerindeki (,) olduğu için yansıyan değildir. Cevap: dir. ={,,,a,b} kümesinde tanımlı yansıyan bağıntı sayısını bulunuz. s()=5 olduğuna göre, Yansıyan bağıntı sayısı sayısı = = 0 Cevap: 0 8

38 Kartezyen Çarpım ve ağıntı soru ={,,a} kümesinde tanımlanan aşağıdaki bağıntıların hangisi yansıyandır? soru 5 ={,,,} kümesinde tanımlı aşağıda grafiği verilen bağıntıların hangisi yansıyan değildir? ) {(,),(,a),(,),(a,)} ) {(,),(,),(a,a),(,),(,)} C) {(,),(a,a)} D) {(,),(a,a),(,),(,a)} E) {(,)} ) ) soru C) D) şağıda ={a,b,c} kümesinde tanımlanan aşağıdaki bağıntıların hangisi yansıyan değildir? ) {(a,a),(b,b),(c,c)} ) {(a,a),(a,b),(b,b),(c,a),(c,c)} C) {(a,a),(b,c),(b,b),(c,c)} D) {(a,a),(b,b),(c,a),(c,b),(b,a} E) {(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(b,a)} soru ={,,} kümesinde tanımlı ={(,),(,),(,),(,)} bağıntısına hangi eleman eklenirse yansıyan bağıntı elde edilir? ) (,) ) (,) C) (,) D) (,) E) (,) KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI soru 6 E) Yanda grafiği verilen ={a,b,c} kümesinde tanımlı bağıntı için aşağıdakilerden hangisi veya hangileri doğrudur? I. yansıyandır. c b a a b c II. s()=5 III. = ) I,II ve III ) Yalnız I C) I ve II soru şağıda ={,0,} kümesinde tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi yansıyandır? ) {(x,y):y=x+} ) {(x,y):y=x } C) {(x,y):x<y} D) {(x,y):y=x } E) {(x,y):x y} D) I ve III E) II ve III soru 7 ={a,b,{a,b}} kümesinde tanımlı yansıyan bağıntı sayısı kaçtır? ) 6 ) 8 C) 0 D) E) 0 D C E 5 C 6 7 9

39 Kartezyen Çarpım ve ağıntı ) Simetri Özelliği: (x,y) için (y,x) ise simetrik bir bağıntıdır. şağıda {,a,b} kümesinde tanımlı bağıntıların kaç tanesinde simetri özelliği vardır, bulunuz. a) ={(,),(,a),(b,b),(a,)} b) ={(,a),(a,b),(b,a),(a,)} c) ={(,),(a,a),(b,b)} d) ={(,a),(a,),(b,),(a,a)} a) (,) ve (b,b) ikilillerinin simetrikleri kendileridir. (,a) ve (a,) dir. simetrik bağıntıdır. b) (,a) ve (a,) (a,b) ve (b,a) olduğundan simetrik bağıntıdır. c) (,),(a,a) ve (b,b) ikililerinin simetrikleri kendileri olduğu için simetrik bağıntıdır. d) (b,) fakat (,b) olduğu için simetrik bağıntı değildir. Cevap: = {,,a,b} kümesinde tanımlı ={(,),(,a),(,b),(,),(a,)} bağıntısına hangi elemanlar ilave edilirse simetrik bağıntı elde edilir, bulunuz. (,b) için (b,) ve (,) için (,) olmalıdır. O halde bağıntıya (b,) ve (,) elemanları ilave edilmelidir. Cevap: (b,) ve (,) )Simetrik bağıntının grafiği y=x köşegenine göre simetriktir. ) simetrik bağıntı ise = - dir. ununla ilgili olarak aşağıda verdiğimiz nu dikkatle inceleyiniz. = {,,} kümesinde tanımlı aşağıda grafiği verilen bağıntıların kaç tanesi simetriktir, bulunuz. y=x y=x y=x ve nin grafikleri y=x köşegenine göre simetrik olduğu için ve simetrik bağıntıdır. O halde = - - ve = dir. ün grafiğine bakıldığında (,) elemanının y=x köşegenine göre simetriği olmadığından simetrik bağıntı değildir. Cevap: s()=n olmak üzere da tanımlı simetrik bağıntı sayısı, yansıyan ve simetrik bağıntı sayısı dir. ={a,b,c,d} kümesinde tanımlı a) simetrik bağıntı sayısını b) yansıyan ve simetrik bağıntı sayısını bulunuz. s()= olduğundan a) Cevap: 0 b) Cevap: 6 0

40 Kartezyen Çarpım ve ağıntı soru soru 5 ={a,b,c} kümesinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangisi simetriktir? şağıda ={,,,} kümesinde tanımlı grafiği verilen bağıntılardan hangisi simetrik değildir? ) {(a,a),(a,b),(b,a),(b,c)} ) ) ) {(a,b),(a,c),(c,a)} C) {(a,a),(b,b),(c,c),(a,c)} D) {(a,a),(c,c),(a,b),(b,a)} E) {(a,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b)} C) D) soru ={,,} kümesinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan han- gisi simetrik değildir? ) {(,),(,),(,)} ) {(,),(,),(,)} C) {(,),(,),(,),(,),(,)} D) {(,),(,),(,),(,)} E) {(,)} soru = {x,y,z} kümesinde tanımlı ={(x,x),(x,y),(y,x),(y,y),(x,z),(y,z),(z,x)} bağıntısından hangi eleman çıkarılırsa simetrik bağıntı elde edilir? KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI soru 6 E) ={m,n,p,r,s} kümesinde tanımlı simetrik bağıntı sayısı kaçtır? ) 0 ) 5 C) D) 0 E) 6 ) (x,x) ) (y,y) C) (y,x) D) (x,z) E) (y,z) soru ={,,5,6} kümesinde tanımlı ={(,),(,),(,5),(,)} bağıntısına hangi eleman ilave edilirse simetrik bağıntı elde edilir? ) (5,) ) (5,5) C) (5,) D) (5,6) E) (,) soru 7 ={x,y,z} kümesinde tanımlı yansıyan ve ters simetrik bağıntı sayısı kaçtır? ) ) 8 C) 6 D) E) 6 D C E 5 E 6 7

41 Kartezyen Çarpım ve ağıntı ) Ters Simetri Özelliği: x y olmak üzere (x,y) için (y,x) ise ters simetrik bağıntıdır. (x,x) biçimindeki bir ikilinin bağıntıda olması bağıntının ters simetri özelliğini bozmaz. şağıda ={m,n,p} kümesinde tanımlı aşağıdaki bağıntıların kaç tanesinde ters simetri özelliği vardır, bulunuz. a) ={(m,m),(n,n),(m,n)} b) ={(p,p),(m,p),(n,m),(m,m)} c) ={(m,m),(n,n),(p,p)} d) ={(m,n),(n,m),(m,p)} (m,m), (n,n), (p,p) gibi ikililerin bağıntıda olması ters simetri ö- zelliğini bozmayacağı için bu ikilileri incelemeye gerek yoktur. a) (m,n) ve (n,m) olduğu için ters simetrik bağıntıdır. b) (m,p) ve (p,m) (n,m) ve (m,n) olduğundan ters simetrik bağıntıdır. c) Ters simetri özelliğini bozan eleman olmadığı için ters simetrik bağıntıdır. d) (m,n) ve (n,m) olduğu için ters simetrik bağıntı değildir. Cevap: şağıda ={a,b,c} kümesinde tanımlı bağıntıların simetri ters simetri özelliklerini inceleyiniz. a) ={(a,a),(a,b),(b,a)} b) ={(a,a),(b,b),(b,c)} c) ={(a,a),(b,b),(c,c)} d) ={(a,b),(b,a),(b,c)} a) : simetrik fakat (a,b) ve (b,a) olduğu için ters simetrik değildir. b) : ters simetrik fakat (b,c) ve (c,b) olduğu için simetrik değildir. c) : hem simetrik hem de ters simetriktir. d) : (b,c) ve (c,b) olduğu için simetrik değildir. (a,b) ve (b,a) olduğu için ters simetrik değildir. Ters simetrik bağıntının grafiğinde y=x köşegenine göre simetrik nokta olmamalıdır. ununla ilgili olarak aşağıda verdiğimiz nu dikkatle inceleyinizi. ={,,} kümesinde tanımlı aşağıda grafiği verilen bağıntıların kaç tanesi ters simetriktir? y=x y=x y=x ve nin grafiklerinde y=x köşegenine göre simetrik nokta olmadığı için ve ters simetrik bağıntıdır. ün grafiğine bakıldığında (,) ve (,) noktaları y=x köşegenine göre simetrik olduğu için ters simetrik bağıntı değildir. Cevap:

42 Kartezyen Çarpım ve ağıntı soru şağıda ={a,b,c,d} kümesinde tanımlanan bağıntılardan hangisi ters simetriktir? soru 5 şağıda ={,,} kümesinde tanımlanan bağıntılardan hangisi simetrik ve ters simetrik değildir? ) {(a,b),(b,c),(c,b),(b,b)} ) {(a,a),(b,b),(b,a),(d,c),(c,b)} C) {(a,d),(d,d),(d,a)} D) {(b,b),(c,c),(c,d),(d,b),(d,c)} E) {(a,c),(c,a)} ) {(,),(,),(,)} ) {(,),(,)} C) {(,),(,),(,),(,),(,)} D) {(,),(,),(,),(,)} E) {(,),(,),(,),(,)} soru şağıda ={,,5} kümesinde tanımlanan bağıntılardan hangisi ters simetrik değildir? soru 6 şağıda ={,,} kümesinde tanımlı grafiği verilen bağıntılardan hangisi ters simetrik değildir? ) {(,),(,),(5,5)} ) ) ) {(,),(,5),(5,),(,),(,)} C) {(,5)} D) {(,),(,),(5,),(,)} E) {(,),(,5),(5,5),(,),(,5)} soru şağıda ={,,5} kümesinde tanımlanan bağıntılardan hangisi ters simetrik fakat simetrik değildir? KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI C) D) ) {(,),(,),(,5),(,5),(5,)} ) {(,),(,5),(5,),(,)} C) {(,),(,5),(,5),(,)} D) {(,),(,)} E) E) {(5,5)} soru şağıda ={,,6} kümesinde tanımlanan bağıntılardan hangisi simetrik fakat ters simetrik değildir? ) {(,),(,),(6,6),(,6)} ) {(,),(,5),(,)} C) {(,),(,),(6,6)} D) {(,),(6,6),(,),(,)} E) {(,6),(,6),(6,6),(,)} E C D 5 E 6 C

43 Kartezyen Çarpım ve ağıntı ) Geçişme Özelliği: (x,y) ve (y,z) için (x,z) ise geçişken bağıntıdır. Sonuç : (,) ve (,) iken (,) olmalıdır. Sonuç : (x,x) ve (x,z) iken (x,z) olacağından (x,x) gibi elemanları incelemeye gerek yoktur. Sonuç : (x,y) iken (y,z) ikilisi bağıntının elemanı değilse geçişme özelliği bozulmaz. Tek elemanlı bağıntılar geçişkendir. oş küme geçişken bağıntıdır. ={a,b,c} kümesinde tanımlı ={(a,a),(a,b),(b,c),(b,b),(a,c)} bağıntısının geçişken olup olmadığını inceleyiniz. (a,a), (b,b) gibi elemanları incelemeye gerek yoktur. (b,c) ve (a,c) ikilileri için c ile başlayan ikili olmadığından geçişme özelliği bozulmaz. O halde (a,b) ve (b,c) için (a,c) olduğundan geçişken bağıntıdır. ={,,} kümesinde tanımlı ={(,),(,),(,),(,),(,),(,)} bağıntısının geçişken olup olmadığını inceleyiniz. (,) ve (,) için (,) olmasına rağmen (,) ve (,) için (,) olduğu için geçişme özelliği yoktur. O halde geçişme özelliğini bozan bir tane örnek varsa geçişme özelliği yoktur denir. ={a,,} kümesinde tanımlı ={(a,a),(a,),(,),(,),(,),(,)} bağıntısına hangi eleman eklenirse geçişken bağıntı elde ederiz, bulunuz. (a,) ve (,) için (a,) olmalı. O halde (a,) elemanı eklenmelidir. ={,,} kümesinde tanımlı ={(,)} ve ={ } bağıntılarının geçişken olup olmadığını inceleyiniz. (,) için ile başlayan ikili olmadığından geçişme özelliği bozulmaz. O halde geçişken bağıntıdır. oş küme geçişken bağıntı olduğu için geçişken bağıntıdır.

44 Kartezyen Çarpım ve ağıntı soru ={,,} kümesinde tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi geçişkendir? ) {(,),(,),(,),(,)} ) {(,),(,),(,),(,)} C) {(,),(,),(,)} D) {(,),(,),(,),(,),(,)} E) {(,),(,),(,)} soru 5 ={,,,5} kümesinde tanımlı ={(,),(,),(,),(,5),(,)} bağıntısına hangi eleman eklenirse geçişken bağıntı elde edilir? ) (,) ) (5,5) C) (5,) D) (,5) E) (5,) soru soru 6 ={d,e,f} kümesinde tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi geçişkendir? ) {(d,d),(e,d),(d,f),(f,d)} ) {(d,d),(e,f),(f,e),(e,e),(f,d)} C) {(e,f),(f,e),(d,f),(d,e)} D) {(e,e),(f,f),(d,d),(d,e),(e,f)} E) {(e,d),(d,f),(e,f),(f,f)} soru ={a,b,c} kümesinde tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi geçişken değildir? KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI ={,,5} kümesinde tanımlı ={(,),(,5),(5,)} bağıntısına hangi eleman eklenirse geçişken bağıntı elde edilir? ) (5,5) ) (,) C) (,) D) (,) E) (5,) soru 7 ={,5,6,7} kümesinde tanımlı bağıntılar için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) {(a,a),(b,a),(a,c),(b,c)} ) {(a,a),(b,b),(c,c)} C) {(a,b),(b,c),(a,c),(b,a)} D) {(a,b),(c,b)} E) {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c)} ) {(,5)} geçişken bağıntıdır. ) {(,5),(6,7),(6,5)} geçişken bağıntıdır. C) { } geçişken bağıntıdır. D) ir elemanlı geçişken bağıntı sayısı 6 dır. E) kümesinde yazılan bütün yansıyan bağıntılar geçişkendir. soru ={,,6} kümesinde tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi geçişken değildir? ) {(,),(,6),(6,),(,),(6,6)} ) {(,6),(,),(,),(,),(,)} C) {(,),(,),(6,)} D) {(,),(6,)} E) {(,),(,),(,),(,)} soru 8 şağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) oş küme geçişken bağıntıdır. ) Tek elemanlı bağıntılar geçişken bağıntıdır. C) Tek elemanlı bağıntılar ters simetriktir. D) oş küme ters simetrik bağıntıdır. E) oş küme yansıyan bağıntıdır. D E C 5 D 6 7 E 8 E 5

45 Kartezyen Çarpım ve ağıntı ={,,} kümesinde tanımlı ={(,),(,),(,),(,),(,)} bağıntısının özelliklerini inceleyiniz. (,), (,), (,) olduğu için yansıyandır. (,) ve (,) olduğu için simetriktir. (,) ve (,) olduğu için ters simetrik değildir. (,) ve (,) için (,) ve (,) ve (,) için (,) olduğundan geçişkendir. Cevap: Yansıyan, Simetrik ve Geçişken ={a,b,c} kümesinde tanımlı ={(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(b,c),(a,c)} bağıntısının özelliklerini inceleyiniz. (a,a), (b,b), (c,c) olduğu için yansıyandır. (a,b) için (b,a) olduğu için simetrik değildir. (a,b) için (b,a) (b,c) için (c,b) ve (a,c) için (c,a) olduğu için ters simetriktir. (a,b) ve (b,c) için (a,c) olduğundan geçişkendir. Cevap: Yansıyan, Ters Simetrik ve Geçişken ={m,n,p} kümesinde tanımlı m ={(m,m),(n,n),(p,p),(m,n),(n,m),(n,p),(m,p)} (m,m), (n,n), (p,p) olduğu için yansıyandır. (n,p) için (p,n) olduğu için simetrik değildir. (m,n) için (n,m) olduğu için ters simetrik değildir. n p (m,n) ve (n,m) için (m,m) (n,m) ve (m,n) için (n,n) (n,m) ve (m,p) için (n,p) (m,n) ve (n,p) için (m,p) olduğundan geçişkendir. bağıntısının özelliklerini inceleyiniz. Cevap: Yansıyan ve Geçişken ={,,} kümesinde tanımlı yanda grafiği verilen bağıntısının özelliklerini inceleyiniz. ={(,),(,),(,)} y=x köşegeni üzerindeki bütün elemanlar bağıntıya ait olduğu için yansıyandır. (,), (,), (,) noktalarının simetrikleri kendileri olduğu için simetriktir. y=x köşegenine göre simetrik nokta olmadığı için ters simetriktir. Geçişme özelliğini bozan eleman olmadığı için geçişkendir. Cevap: Yansıyan, Simetrik, Ters Simetrik ve Geçişken 6