PROJE ADI BİR POLİNOMUN KÖKLERİNİN KUVVETLER TOPLAMININ VEKTÖRASYON YÖNTEMİ İLE HESAPLANMASI AHSEN EKİNCİ IRMAK DAİ

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "PROJE ADI BİR POLİNOMUN KÖKLERİNİN KUVVETLER TOPLAMININ VEKTÖRASYON YÖNTEMİ İLE HESAPLANMASI AHSEN EKİNCİ IRMAK DAİ"

Transkript

1 PROJE ADI BİR POLİNOMUN KÖKLERİNİN KUVVETLER TOPLAMININ VEKTÖRASYON YÖNTEMİ İLE HESAPLANMASI AHSEN EKİNCİ IRMAK DAİ Özel Bahçeşehir Fen Teknoloji Lisesi Başakşehir/İSTANBUL

2 Projenin Adı: Bir Polinomun Köklerinin Kuvtler Toplamının Vektörasyon Yöntemi ile Hesaplanması Projenin Dalı: Matematik Projenin Amacı: Bu projedeki amacımız bir polinomun köklerinin kuvtleri toplamını soran, Newton formülüyle çözülebilen analiz-cebir sorularına alternatif bir çözüm getirmektir. Kullanılan Yöntem: Projenin hazırlanış yazılış aşamasında temel lise matematik bilgisinin (2. 3. derece denklemler, denklemlerin kökleri katsayıları arasındaki ilişki, ktörler) yanı sıra analiz cebrin temel konuları kullanılmıştır. Giriş. Matematikteki iki farklı konunun birleştirilmesinin öğrenmeye katkısı tartışılmazdır. Üreteç fonksiyonların kombinasyon sorularının çözümünde kullanılması (Dağ & Acar, 2014) bölünebilme kurallarının graf teoriyle açıklanması (Gülsüm & Esen, 2013) buna örnektir. Biz de yaptığımız bu çalışma ile matematiğin iki farklı konusu arasında köprü kurmuş olduk. Biz bir polinomun köklerinin kuvtleri toplamını soran sorulara alternatif bir çözüm getirebileceğimizi düşündük. Bu konuda Isaac Newton Albert Girard çalışmalar yapmıştır (Wikipedia, 2015). Bu tür sorular "Kuvtler Toplamı İçin Newton Formülü" ile çözülebiliyor. Newton formülü lise müfredatında bulunmadığı akılda tutması güç olduğu için farklı bir yöntem geliştirmeyi düşündük. Bu çalışmamızda Newton formülünden farklı olarak modelleme açısından elrişli bir konu olan ktörleri kullandık. Cebirsel bir formülü geometrik olarak ifade etmiş olduk. Böylece matematikteki iki konu arasında bağlantı kurulabileceğini gördük. Matematik olimpiyatı sorularıyla uğraşıyorduk. TÜBİTAK 20. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı A kitapçığındaki 23. soruyu (TÜBİTAK, 2012) çözemeyince sorunun çözümünü araştırdık Newton formülüyle çözülebildiğini öğrendik. Newton formülünü kullanarak benzer soruları çözmek istediğimizde bu formülü aklımızda tutmakta çok zorlandık. Newton formülü lise müfredatında gösterilmemektedir. Biz de bu formülü lisede öğretilen bir konuyla bağdaştırabileceğimizi düşündük. Soruyu Newton formülüyle çözerken denkleminin ktör dikliği denklemine çok benzediğini gördük. 9. sınıf müfredatında mevcut olan ktörler konusu, çarpımların toplamlarını ifade etmek için ideal bir konuydu. Formüldeki değerleri iki farklı ktör olarak yazmaya karar rdik. Soyut bir matematik konusunu modelleyerek akılda kalıcı pratik bir çözüm yöntemi ürettik. Projenin adını "Vektörasyon" koyduk çünkü cebirsel bir ifadeyi ktörleştirmiş olduk. Öncelikle projeyi açıklarken kullanacağımız bazı temel tanımları teoremleri relim. 2

3 Ön Bilgi Temel Tanımlar. Tanım(Kuvtler Toplamı İçin Newton Formülü). negatif olmayan bir tamsayı olmak üzere, denkleminin kökleri kuvtleri toplamı, ise denklemin katsayıları ile denklemin k. kuvtten köklerinin toplamları arasındaki ilişki,, dir. (Yücesan, 2012) Tanım(Vektör). Yönü uzunluğu belli olan büyüklükleri belirtmekte kullanılan yönlü doğru parçalarına ktör denir. (Karakuyu & Bağcı, 2014) Tanım(Vektörlerin Skaler Çarpımı). boyutlu ktörler olmak üzere, bu iki ktörün skaler çarpımı olarak tanımlanır. Nokta çarpımı ya da iç çarpım olarak da adlandırılır. (Şehirlioğlu, 2014) Tanım(Vektörlerin Dikliği). sıfırdan farklı ktörler olmak üzere; bu iki ktörün skaler çarpımı ise, birbirine diktir (ortogonal). (MIT OpenCourseWare, 2011) Tanım(Vieta Teoremi). sayılarının bir polinomunun kökleri olduğunu varsayalım. Bu takdirde, olur (ikinci satırda tüm köklerin ikişerli çarpımlarının toplamı; üçüncü satırda tüm köklerin üçerli çarpımlarının toplamı yazılmıştır.) (Aliyev & Karakaş, 2012) 3

4 Buraya kadar genel olarak kullanacağımız tanım teoremleri rdik. Bu kısımda da yöntemimizi açıklayalım. Yöntem. Bir denklemin köklerinin kuvtleri toplamı istenen sorular Vektörasyon yöntemi ile aşağıdaki adımlar takip edilerek çözülür: 1. Denklemin katsayılar ktörü yazılır. 2. Denklemin köklerinin kuvtler toplamı ktörü yazılır. 3. Oluşan iki ktör birbirine dik olacağından bu ktörlerin skaler çarpımı alınır. 4. Skaler çarpım ile T 1 'den başlanarak sırayla değerleri hesaplanır. Şimdi bu yöntemi detaylı olarak açıklayalım. negatif olmayan bir tamsayı olmak üzere, kuvtleri toplamı ktörel yazımı yazımı denkleminin kökleri kökler Buna göre, denklemin katsayılarının köklerin kuvtler toplamlarının ktörel olmak üzere; dır. için olur. olduğunda soruda istenen T k değerine göre denklemin katsayılar ktörü yazılırken ktörün tane bileşeni olacak şekilde 0 bileşeni eklenir. 4

5 Bulduğumuz bu yöntemi aşağıda rilen problemlerin üzerinde uygulayalım. Soru 1. denkleminin kökleri ise, (Özdemir, 2010) Çözüm. Soruyu ilk olarak küp açılımı Vieta teoremiyle çözelim. Vieta teoremine göre kökler toplamı yani Vieta teoreminden köklerin ikili çarpımlar toplamı yani, c Vieta teoremine göre köklerin çarpımı yani 11 Cevap: D Sorumuzu şimdi de kendi geliştirdiğimiz Vektörasyon yöntemi ile çözelim. Denklemin kökler kuvtleri toplamı polinom denkleminin katsayılar ktörünü yazalım: ise, Benzer biçimde ifadesinden Şimdi köklerin küpler toplamını bulalım. ifadesinden, ise, Cevap: D 5

6 Soru 2. denkleminin kökleri değerlerini bulunuz. (Newton's Sums, 2014) Çözüm. Vieta teoremine göre kökler toplamı, köklerin çarpımı, köklerin ikili çarpımlar toplamı = değerini Vieta teoremi yardımıyla hesaplayalım. Vieta teoremini kullanarak değerini hesaplayalım. ifadesinin açılımından yola çıkarak formunda yazdığımızda; -2 Şimdi de Vektörasyon yöntemiyle çözelim. Denklemin katsayılar ktörünü yazalım: Benzer biçimde, yani, 6

7 Soru 3. gerçel sayıları denkleminin farklı kökleri ise, nedir? (TÜBİTAK, 2012) Çözüm. Denklemin katsayılar ktörünü yazalım: i hesaplayarak başlayalım. Benzer düşünce ile, ) olarak hesaplanır. Cevap: D 7

8 Soru 4. denkleminin kökleri ise, a) değerini hesaplayınız. b) değerini bulunuz. Çözüm. a) Payda eşitlenip, Vieta formüllerine göre olduğu kullanılırsa, elde edilir. Yani, 'ü bulmalıyız., b) için, 'yı da bulabiliriz. Bunun için, rilen polinomu 'in kuvtiyle çarparız. Bunun için, denklemini ile çarpalım. olur. bu denklemi sağlarlar. Taraf tarafa toplanırsa da, olur. Bulunan sonuçlar yerine yazılırsa olur. Benzer düşünce ile, elde edilir. (Özdemir, 2010) Sorunun çözümünde, bulunduktan sonra için bulunuyor ( için polinom ile çarpılmış). Hâlbuki biz, yöntemimizde ktörlerin skaler (iç çarpım) çarpımını kullandığımız için ek değişken çarpımına ihtiyaç duymadan sonuca ulaşıyoruz. Vektörasyon yöntemi ile çözelim. Kökler kuvtleri toplamına diyelim. 8

9 a) Payda eşitlenip, Vieta formüllerine göre olduğu kullanılırsa, elde edilir. Yani, 'ü bulmalıyız. Şimdi polinomun katsayılar ktörünü yazalım: değerini hesaplayarak başlayalım. b) değerini hesaplayarak devam edelim. Soru 5. denkleminin kökleri ise, Çözüm. denklemin kökleri,, eşitlikleri sağlanır. Bunları taraf tarafa toplarsak, elde edilir. Vieta formüllerine göre, (Özdemir, 2010) 9

10 Şimdi de Vektörasyon yöntemi ile Vieta teoremine gerek kalmadan çözelim. Denklemin katsayılar ktörünü yazalım: Soru 6. polinomunun üç farklı reel kökü =? (Özdemir, 2010) Çözüm. denklemi için katsayılar ktörünü yazalım: Soru 7.,, ise, (Yücesan, 2012) Çözüm. Bu soruda izleyeceğimiz yol diğerlerinden biraz farklı. Polinomun katsayıları yerine değerlerini biliyoruz. Bu rilerden yola çıkarak önce polinomun katsayılarını bulup, sonra 'ü hesaplayalım. 10

11 sayıları 3. dereceden bir polinomun kökleri olmak üzere, katsayısı ) Vektörasyon yöntemini kullanarak; olarak tanımlayalım. ( teriminin 3. dereceden bir polinomda olduğu görülür. Buna göre, Soru 8. denkleminin kökleri toplamını hesaplayınız. Çözüm. Denklemin katsayılar ktörünü yazalım: Bu iki ktörü modelleyelim: Şekil 1 11

12 Bu ktörlerin birbirine dik olduğunu görmekteyiz. (Şekil 1) buradan Şimdi de bu iki ktörü modelleyip dik olduklarını görelim. (Şekil 2) Şekil 2 Sonuçlar Tartışma. Biz bu çalışmayı yaparken, bir denklemin katsayılarını kökler kuvtlerinin toplamlarını ktör şeklinde yazdığımız için bu tür analiz-cebir problemlerini modellenebilir hale getirmiş olduk. Aynı zamanda bu ktörler arasındaki ilişkiyi inceledik birbirlerine dik olduklarını gördük. olmak üzere, değerlerinin ktörler kullanılarak hesaplanması konusunda çalışmaların yapılabileceğini düşünüyoruz. değerleri aynı olan farklı denklemler arasındaki ilişkinin incelenmesi konulu projeler yapılabilir. Çarpımlar toplamlarının kullanıldığı başka konularda da ifadelerin ktör olarak yazılmasıyla alternatif yöntemler geliştirilebilir. Birbirine dik herhangi iki ktör kullanılarak Vektörasyon yöntemi ile çözülebilecek soru yazılıp yazılamayacağı konusunda çalışmalar yapılabilir. Matematiğin farklı alanlarındaki iki konu arasında bir bağlantı kurulabileceğini gördük. 12

13 Kaynakça (2011). MIT OpenCourseWare : adresinden alınmıştır Aliyev, İ., & Karakaş, H. İ. (2012). Analiz Cebirde İlginç Olimpiyat Problemleri Çözümleri. Ankara: Palme Yayıncılık. Dağ, E., & Acar, E. B. (2014). Dizi Dizi Üreteç. Tübitak Araştırma Projesi, İstanbul. Geogebra. (2014). Geogebra: adresinden alınmıştır Gülsüm, M., & Esen, M. Y. (2013). Bölmenin Patikalı Yollarında Seyahat. Tübitak Araştırma Projesi, İstanbul. Karakuyu, E., & Bağcı, O. (2014). Ortaöğretim Matematik 9 Ders Kitabı. Ankara: Dikey Yayıncılık. Newton's Sums. (2014). Art of Problem Solving: adresinden alınmıştır Özdemir, M. (2010). Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 4 Analiz-I. İzmir: Altın Nokta Basım Yayın Dağıtım. Şehirlioğlu, D. D. (2014). Vektörler. Dokuz Eylül Ünirsitesi: kisi.deu.edu.tr/userweb/kemal.sehirli/vektorler.pdf adresinden alınmıştır TÜBİTAK. (2012). 20. Ulusal Matematik Olimpiyatı 2012 Birinci Aşama Sınavı. A Kitapçığı 23. Soru. Wikipedia. (2014). Wikipedia: adresinden alınmıştır Wikipedia. (2015). Wikipedia: adresinden alınmıştır Wolfram Alpha. (2015). adresinden alınmıştır Yücesan, R. (2012). Meraklısına Lise Matematik. İzmir: Zambak Yayınları. 13

EN AZ SAYIDA AĞIRLIKLA AĞIRLIKLARI TARTMAK

EN AZ SAYIDA AĞIRLIKLA AĞIRLIKLARI TARTMAK EN AZ SAYIDA AĞIRLIKLA AĞIRLIKLARI TARTMAK Amaç: 1 den n ye kadar olan tamsayı ağırlıkları, toplamları n olan en az sayıda ağırlığı kullanarak tartmak. Giriş: Bu araştırmanın temelini Ulusal Bilgisayar

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

11. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ

11. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ 2012 11. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni 1.ÜNİTE: KARMAŞIK SAYILAR x 2 +3=0 gibi denklemlerin gerçek sayılarda çözümü olmadığından bu denklemlerin boş kümeden farklı çözüm kümeleri

Detaylı

Analiz I (Temel Gerçel Analiz)

Analiz I (Temel Gerçel Analiz) Ali Nesin Analiz I (Temel Gerçel Analiz) Nesin Yayıncılık A.Ş. İnönü Mahallesi Çimen Sokak No: 50/A Elmadağ Şişli/İstanbul Tel: 022 29 49 89 Faks: 022 234 7 77 nesin@nesinyayinevi.com www.nesinyayinevi.com

Detaylı

MERDİVENİN EN ÜST BASAMAĞINA KAÇ FARKLI YOLLA ÇIKILIR?

MERDİVENİN EN ÜST BASAMAĞINA KAÇ FARKLI YOLLA ÇIKILIR? MERDİVENİN EN ÜST BASAMAĞINA KAÇ FARKLI YOLLA ÇIKILIR? Amaç: n basamaklı bir merdivenin en üst basamağına her adımda 1, 2, 3, veya m basamak hareket ederek kaç farklı şekilde çıkılabileceğini bulmak. Giriş:

Detaylı

Eksikler: Composition factors Inverse limit and Hom

Eksikler: Composition factors Inverse limit and Hom Ali Nesin Okura Not: Henüz bitmemiş ve gözden geçirilmemiş kitap notlarıdır. İçinde yanlışlar, eksiklikler, dikkatsizlikler, yanlış ifadeler, kötü anlatımlar olabilir. anesin@nesinvakfi.org adresine yollanan

Detaylı

SAYMA. Ayrık iki kümenin bileşimindeki eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayıları toplamına

SAYMA. Ayrık iki kümenin bileşimindeki eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayıları toplamına SONLU MATEMATİK SAYMA SAYMANIN İKİ TEMEL PRENSİBİ TOPLAMA PRENSİBİ Ayrık iki kümenin bileşimindeki eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayıları toplamına eşittir. Örnek. Bir sınıftaki her öğrencinin, iki

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

ŞEKİL YETENEĞİ TEST 1

ŞEKİL YETENEĞİ TEST 1 SAYISAL MANTIK ŞEKİL YETENEĞİ TEST. + = = 4. I. a c a + b + c Yukarıdaki eşitliklerden,, sembolleri belli bir sayının yerine kullanılmıştır. b + nin değeri kaçtır? II. c b b c + m c A) B) C) D) 4 E) 5

Detaylı

Eşekliğin Alemi Yok!

Eşekliğin Alemi Yok! Eşekliğin Alemi Yok! Ali Sinan Sertöz Bilkent Üniversitesi, Ankara Anılar Matematikte eşek problemi denince Pisagor un dik üçgen teoremi akla gelir. Çocukluğumda okuduğum Hayat Ansiklopedisi bu yakıştırmayı

Detaylı

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI MEGEP (MESLEKÎ EĞİTİM VE ÖĞRETİM SİSTEMİNİN GÜÇLENDİRİLMESİ PROJESİ) ELEKTRİK ELEKTRONİK TEKNOLOJİSİ DOĞRU AKIM ESASLARI ANKARA 2007 Milli Eğitim Bakanlığı tarafından geliştirilen

Detaylı

PARALEL MEKANİZMALARIN KİNEMATİĞİ, DİNAMİĞİ VE ÇALIŞMA UZAYI

PARALEL MEKANİZMALARIN KİNEMATİĞİ, DİNAMİĞİ VE ÇALIŞMA UZAYI HAVACILIK VE UZAY TEKNOLOJİLERİ DERGİSİ OCAK 25 CİLT 2 SAYI 1 (19-36) PARALEL MEKANİZMALARIN KİNEMATİĞİ, DİNAMİĞİ VE ÇALIŞMA UZAYI Elmas ANLI Uçak Müh. Böl İstanbul Teknik Üni. anli@itu.edu.tr Hüseyin

Detaylı

ARAŞTIRMALARDA BİLİMSEL YÖNTEMİN KULLANILMASI ve ARAŞTIRMANIN TEMEL AŞAMALARI

ARAŞTIRMALARDA BİLİMSEL YÖNTEMİN KULLANILMASI ve ARAŞTIRMANIN TEMEL AŞAMALARI HAVACILIK VE UZAY TEKNOLOJİLERİ DERGİSİ OCAK 2004 CİLT 1 SAYI 3 (49-53) ARAŞTIRMALARDA BİLİMSEL YÖNTEMİN KULLANILMASI ve ARAŞTIRMANIN TEMEL AŞAMALARI Şerafettin Hava Harp Okulu Havacılık ve Uzay Teknolojileri

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Levent Çetin. Alternatif Gerilim. Alternatif Akımın Fazör Olarak İfadesi. Temel Devre Elemanlarının AG Etkisi Altındaki Davranışları

Yrd. Doç. Dr. Levent Çetin. Alternatif Gerilim. Alternatif Akımın Fazör Olarak İfadesi. Temel Devre Elemanlarının AG Etkisi Altındaki Davranışları Yrd. Doç. Dr. Levent Çetin İçerik Alternatif Gerilim Faz Kavramı ın Fazör Olarak İfadesi Direnç, Reaktans ve Empedans Kavramları Devresinde Güç 2 Alternatif Gerilim Alternatif gerilim, devre üzerindeki

Detaylı

Ö Z E L E G E L İ S E S İ

Ö Z E L E G E L İ S E S İ ÖZEL EGE İLKÖĞRETİM OKULU 2003-2004 ÖĞRETİM YILI 5. C MATEMATİK PROJESİ KONU: MATEMATİĞİN GELİŞİMİ Proje Danışman Öğretmeni: Zeliha ÇETİNEL HAZIRLAYANLAR Belir Beliz DERMAN Ece AYDIN Gözde ÖZKEBAPÇI Günsu

Detaylı

İmalat Alt Sektörlerinin Finansal Performanslarının TOPSIS ve ELECTRE Yöntemleri İle Değerlendirilmesi

İmalat Alt Sektörlerinin Finansal Performanslarının TOPSIS ve ELECTRE Yöntemleri İle Değerlendirilmesi Çankırı Karatekin Üniversitesi Y.2014, Cilt 4, Sayı 1, ss.237266 Y.2014, Volume 4, Issue 1, pp.237266 İmalat Alt Sektörlerinin Finansal Performanslarının TOPSIS ve ELECTRE Yöntemleri İle Değerlendirilmesi

Detaylı

YENİDEN YAPILANMA SÜRECİNDE FİZİK EĞİTİMİ ÖĞRENCİLERİNİN GENEL FİZİK KAVRAMLARI İLE İLGİLİ BİLGİ DÜZEYLERİNİN BELİRLENMESİNE İLİŞKİN BİR ÇALIŞMA

YENİDEN YAPILANMA SÜRECİNDE FİZİK EĞİTİMİ ÖĞRENCİLERİNİN GENEL FİZİK KAVRAMLARI İLE İLGİLİ BİLGİ DÜZEYLERİNİN BELİRLENMESİNE İLİŞKİN BİR ÇALIŞMA YENİDEN YAPILANMA SÜRECİNDE FİZİK EĞİTİMİ ÖĞRENCİLERİNİN GENEL FİZİK KAVRAMLARI İLE İLGİLİ BİLGİ DÜZEYLERİNİN BELİRLENMESİNE İLİŞKİN BİR ÇALIŞMA Ömer GEMİCİ 1, Hüseyin KÜÇÜKÖZER 1, Aysel MERGEN KOCAKÜLAH

Detaylı

ULUSLARARASI KT SAT NOT: Uluslararas Ekonomik Olaylar: NOT: Uzun Vadeli Sermaye Al mlar : K sa Vadeli Sermaye Al mlar :

ULUSLARARASI KT SAT NOT: Uluslararas Ekonomik Olaylar: NOT: Uzun Vadeli Sermaye Al mlar : K sa Vadeli Sermaye Al mlar : ULUSLARARASI İKTİSAT Az gelişmiş ülkeler kalkınma açısından dışa bağımlıdırlar. Üretim yapabilmek için dışardan mal ve hizmet satın almalıdır. 1980 lerden sonra küreselleşme ortaya çıkmıştır. Dünyadaki

Detaylı

BÖLÜM 9 Kök-yer Eğrisiyle Tasarım

BÖLÜM 9 Kök-yer Eğrisiyle Tasarım BÖLÜM 9 Kök-yer Eğrisiyle Tasarım GİRİŞ Kök-yer eğrisi bize grafik olarak sistemin geçici hal cevabı ve kararlılığı ile ilgili bilgi verir. Sistemin geçici hal cevabı ve kararlılığı ile ilgili bilgi almak

Detaylı

SU DALGALARINDA GİRİŞİM

SU DALGALARINDA GİRİŞİM SU DALGALARINDA GİRİŞİM Yukarıda iki kaynağın oluşturduğu dairesel su dalgalarının meydana getirdiği girişim deseni gösterilmiştir Burada kesikli çizgiler dalga çukurlarını, düz çizgiler dalga tepelerini

Detaylı

JEOLOJİ MÜHENDİSLERİNİN LİSANS ÖĞRENİMLERİ SIRASINDA ALDIKLARI MATEMATİK EĞİTİMİNE YÖNELİK GÖRÜŞLERİ

JEOLOJİ MÜHENDİSLERİNİN LİSANS ÖĞRENİMLERİ SIRASINDA ALDIKLARI MATEMATİK EĞİTİMİNE YÖNELİK GÖRÜŞLERİ JEOLOJİ MÜHENDİSLERİNİN LİSANS ÖĞRENİMLERİ SIRASINDA ALDIKLARI MATEMATİK EĞİTİMİNE YÖNELİK GÖRÜŞLERİ ÖZET: Matematik, sürekli değişen ve gelişen bir bilim dalı olmasının yanı sıra hemen her disiplinde

Detaylı

www.mehmetsahinkitaplari.org

www.mehmetsahinkitaplari.org MATEMA www.mehmetsahinkitaplari.org T T r. P ALME YA YINCILIK Ankara I PALME YAYINLARI: 76 Sinif Matematik Konu Anlatım / Mehmet Şahin Yaına Hazırlama : PALME Dizgi-Grafik Tasarım Birimi Yaın Editörü :

Detaylı

FİZİK ÖĞRETİMİ YAZARLAR

FİZİK ÖĞRETİMİ YAZARLAR FİZİK ÖĞRETİMİ YAZARLAR Y Doç Dr Salih Çepni Doç Dr Alipaşa Ayas Dr Derek Johnson Prof Dr M. Fuat Turgut Panel Üyeleri Prof Dr Mehmet Ali Çorlu Prof Dr Ömer Ergin Prof Dr Nevzat Kavcar Prof Dr Mustafa

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

Özilinti. Hatalar İlintili ise Ne Olur? Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA Ekonometri 2 Ders Notları Sürüm 2,0 (Ekim 2011)

Özilinti. Hatalar İlintili ise Ne Olur? Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA Ekonometri 2 Ders Notları Sürüm 2,0 (Ekim 2011) Özilinti Hatalar İlintili ise Ne Olur? Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA Ekonometri 2 Ders Notları Sürüm 2,0 (Ekim 2011) Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial ShareAlike

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞTE KATSAYI UYGULAMASINA İLİŞKİN YÖK VE DANIŞTAY KARARLARI HAKKINDA İNCELEME VE DEĞERLENDİRME

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞTE KATSAYI UYGULAMASINA İLİŞKİN YÖK VE DANIŞTAY KARARLARI HAKKINDA İNCELEME VE DEĞERLENDİRME 2010 ÜNİVERSİTEYE GİRİŞTE KATSAYI UYGULAMASINA İLİŞKİN YÖK VE DANIŞTAY KARARLARI HAKKINDA İNCELEME VE DEĞERLENDİRME Esin ÖZDEMİR, Uzman TOBB AB Müzakere ve Uyum Müdürlüğü 24.04.2010 YÖNETĠCĠ ÖZETĠ - Ülkemizde

Detaylı

ölçme ve değerlendirme

ölçme ve değerlendirme kpss 2015 konu anlatımlı ayrıntılı çözümlü örnekler uyarılar pratik bilgiler çıkmış sorular ve açıklamaları ÖSYM tarzına en yakın özgün sorular ve açıklamaları ölçme ve değerlendirme 2014 kpss de 68 soru

Detaylı

BÖLÜM 5 TRANSİSTÖRLERİN DC ANALİZİ. Konular: Amaçlar:

BÖLÜM 5 TRANSİSTÖRLERİN DC ANALİZİ. Konular: Amaçlar: ÖLÜM 5 5 TRANSİSTÖRLRİN D ANALİZİ Konular: Amaçlar: 5.1 Transistörde D çalışma noktası 5.2 Transistörde temel polarama 5.3 eyz polarma 5.4 Gerilim bölücülü polarma devresi 5.5 Geribeslemeli polarma devresi

Detaylı

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI MEGEP (MESLEKİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM SİSTEMİNİN GÜÇLENDİRİLMESİ PROJESİ) ELEKTRİK ELEKTRONİK TEKNOLOJİSİ

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI MEGEP (MESLEKİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM SİSTEMİNİN GÜÇLENDİRİLMESİ PROJESİ) ELEKTRİK ELEKTRONİK TEKNOLOJİSİ T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI MEGEP (MESLEKİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM SİSTEMİNİN GÜÇLENDİRİLMESİ PROJESİ) ELEKTRİK ELEKTRONİK TEKNOLOJİSİ ALTERNATİF AKIM ESASLARI ANKARA 007 Milli Eğitim Bakanlığı tarafından geliştirilen

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ADAYLARININ ÖRNEK, ALIŞTIRMA, PROBLEM OLUŞTURMA ÇALIŞMALARININ İNCELENMESİ

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ADAYLARININ ÖRNEK, ALIŞTIRMA, PROBLEM OLUŞTURMA ÇALIŞMALARININ İNCELENMESİ MATEMATİK ÖĞRETMENİ ADAYLARININ ÖRNEK, ALIŞTIRMA, PROBLEM OLUŞTURMA ÇALIŞMALARININ İNCELENMESİ Doç Dr. Kürşat Yenilmez Eskişehir Osmangazi Üniversitesi İlköğretim Bölümü kyenilmez@ogu.edu.tr Yrd. Doç.

Detaylı