T.C. BULANIK ESNEK TOPOLOJİK UZAYLARDA BAĞLANTILILIK

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "T.C. BULANIK ESNEK TOPOLOJİK UZAYLARDA BAĞLANTILILIK"

Transkript

1 T.C. ORDU ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BULANIK ESNEK TOPOLOJİK UZAYLARDA BAĞLANTILILIK Merve TELLİOĞLU YÜKSEK LİSANS TEZİ ORDU 2016

2 TEZ ONAY Ordu Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü öğrencisi Merve TELLİOGLU tarafından hazırlanan ve Yrd. Doç. Dr. Serkan KARATAŞ danışmanlığında yürütülen BULANIK ESNEK TOPOLOJİK UZAYLARDA BAĞLANTILILIK adlı bu tez, jürimiz tarafından 31/05/2016 tarihinde oy birliği ile Matematik Anabilim Dalında Yüksek Lisans tezi olarak kabul edilmiştir. Danışman: Yrd. Doç. Dr. Serkan KARATAŞ Başkan: Üye: Üye: Yrd. Doç. Dr. Kerim BEKAR Giresun Univ. Matematik Böl. Yrd. Doç. Dr. Erdal ÜNLÜYOL Ordu Univ. Matematik Böl. Yrd. Doç. Dr. Serkan KARATAŞ Ordu Univ. Matematik Böl. İmza: Bu tez kabulü, Enstitü Yönetim Kurulu nuıı P.X/G.^/2016 tarih ve ^'V ^sayılı kararı ile onaylanmıştır.

3 TEZ BİLDİRİMİ Tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu tezin yazılmasında bilimsel ahlak kurallarına uyulduğunu, başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunulduğunu, tezin içerdiği yenilik ve sonuçların başka bir yerden alınmadığını, kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapılmadığını, tezin herhangi bir kısmının bu üniversite veya başka bir üniversitedeki başka bir tez çalışması olarak sunulmadığını beyan ederim. N ot: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirimlerin, çizelge, şekil ve fotoğrafların kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.

4 ÖZET BULANIK ESNEK TOPOLOJİK UZAYLARDA BAĞLANTILILIK Merve TELLİOĞLU Ordu Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı, 2016 Yüksek Lisans Tezi, 59 sayfa Danışman: Yrd. Doç. Dr. Serkan KARATAŞ Bu çalışmada, ilk olarak bulanık küme, esnek küme ve bulanık esnek küme ile ilgili tanım ve bulanık esnek küme için temel özellikler ve teoremler verildi. Daha sonra bir bulanık esnek küme üzerinde topoloji tanımlandı. Bulanık esnek açık küme, bulanık esnek kapalı küme, bulanık esnek clopen küme, bulanık esnek proper küme, bulanık esnek kümenin içi, bulanık esnek kümenin kapanışı, bulanık esnek sürekli fonksiyon, bulanık esnek bağlantılı küme, bulanık esnek bağlantılı topolojik uzaylar ve F SC i bağlantılık tanımlandı. Son olarak F SC i bağlantılı uzaylar arasındaki ilişkiler incelendi. Anahtar Kelimeler: Esnek küme, bulanık esnek küme, bulanık esnek topolojik uzay, bulanık esnek bağlantılılık. I

5 ABSTRACT CONNECTEDNESS IN FUZZY SOFT TOPOLOGICAL SPACES Merve TELLİOĞLU Ordu University Institute for Graduate Studies in Science and Technology Department of Mathematics, 2016 MSc. Thesis, 59 pages Supervisor: Yrd. Doç. Dr. Serkan KARATAŞ In this study, it was firstly fuzzy set, soft set and fuzzy soft set related definition and for fuzzy soft set fundamental features and theorems. Later over one fuzzy soft set defined topology. It was defined fuzzy soft open set, fuzzy soft closed set, fuzzy soft clopen set, fuzzy soft proper set, the inside of fuzzy soft set, the closing of fuzzy soft set, fuzzy soft continuous function, fuzzy soft connected set, fuzzy soft connected topological spaces and (F SC i ) connected. Finally, examined the relationship between (F SC i ) connected spaces. Keywords: Soft set, fuzzy soft set, fuzzy soft topological space, fuzz soft connectedness. II

6 TEŞEKKÜR Bu yüksek lisans tez çalışmasını hazırlamamda bana destek olan, bilgisini, tecrübesini ve anlayışını esirgemeyen tez danışmanım, çok kıymetli hocam Yrd. Doç. Dr. Serkan KARATAŞ a, tez çalışmama değerli katkılar sağlayan Yrd. Doç. Dr. Kerim BEKAR a ve Yrd. Doç. Dr. Erdal ÜNLÜYOL a, tez yazımında yardımcı olan Burak KILIÇ a ve yüksek lisans eğitimim boyunca emeği geçen tüm bölüm hocalarıma teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca bu yoğun süreçte hep anlayışlı olan, maddi ve manevi destekleriyle yanımda olan canım eşim Uğur a, kızlarım Ceylin ve Nisa ya sonsuz teşekkürlerimi sunarım. III

7 İÇİNDEKİLER ÖZET I ABSTRACT II TEŞEKKÜR III SİMGELER VE KISALTMALAR VI 1. GİRİŞ 1 2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Sezgisel Bulanık Kümeler Esnek Kümeler BULANIK ESNEK KÜMELER Bulanık Esnek Küme Bulanık Esnek Fonksiyonlar BULANIK ESNEK TOPOLOJİK UZAYLAR Bulanık Esnek Topoloji Bulanık Esnek Sürekli Fonksiyonlar BULANIK ESNEK BAĞLANTILI TOPOLOJİK UZAYLAR Bulanık Esnek Bağlantılı Kümeler IV

8 5.2 F SC i Bağlantılılık TARTIŞMA VE SONUÇ 44 KAYNAKLAR 45 DİZİN 48 V

9 SİMGELER VE KISALTMALAR µ : Bulanık kümesinin üyelik fonksiyonu I X : X kümesi üzerindeki tüm bulanık kümeler ailesi : Supremum : İnfimum A c : A bulanık kümesinin tümleyeni A B : A ve B bulanık kümelerinin kesişimi A B : A ve B bulanık kümelerinin birleşimi S : X evrensel kümesi üzerindeki E parametre kümesi ile tanımlı tüm esnek kümelerin kümesi (F, E) : Molodstov anlamında (F, E) esnek kümesi F : Çağman anlamında F esnek kümesi E : Parametre kümesi U : Nesne Kümesi P(X) : X in kuvvet kümesi Φ : Boş esnek küme X : Evrensel esnek küme Φ : Bulanık esnek boş küme F G : G esnek kapsar F F G : F ile G nin esnek birleşimi F G : F ile G nin esnek kesişimi F c : F nin esnek tümleyeni f : f sezgisel bulanık esnek kümesi f g : g be-kapsar f f g : g, f yi be-kapsamaz f g : be-kümelerde birleşim f g : be-kümelerde kesişim f c : f sbe-kümesinin tümleyeni 0 E : be-boş küme 1 E : be-evrensel küme VI

10 FS X E : E parametreleriyle X üzerinde tanımlanan be-kümelerin kümesi φ : Bulanık esnek küme e f : be-nokta : be-aitlik VII

11 1. GİRİŞ Belirsizlik içeren problemleri matematiksel olarak modellemek klasik Aristo mantığıyla yani doğruluk değeri 1 veya 0 olan önermeler şeklinde modellemek her zaman mümkün değildir. Özellikle doğruluk değeri göreceli olan kavramlar bu durumu oldukça güçleştirir. Bu kavramlar çok karmaşık kavramlar olabileceği gibi günlük hayatta kullanılan güzel kitap, soğuk hava, küçük ev vb. basit ifadeler de olabilir. Günümüzde sosyal bilimler ve birçok alanda karşılaşılan belirsizliklerle başa çıkmak için çok farklı matematiksel mo- dellememeler kullanılmaktadır. Olasılık teorisi, aralık aritmetiği, bulanık küme teorisi [35], sezgisel bulanık küme teorisi ve esnek küme teorisi [28] en sık kullanılan ve iyi bilinen matematiksel yöntemlerdir. Belirsizliği modellemek için geliştirilen teorilerin en çok kullanılanı bulanık küme teorisidir. Bulanık küme teorisi 1965 yılında Zadeh tarafından ortaya atılmıştır. Bulanık küme teorisi belirsizliği modellerken üyelik değerinden faydalanır ve bunu bir üyelik fonksiyonu tanımlayarak yapar. Bulanık küme teorisi özellikle mühendislik bilimlerinde çok geniş uygulama alanına sahiptir. Bulanık kümelerdeki üyelik fonksiyonun yapısından kaynaklanan problemlerden kurtulmak için 1999 da Molodtsov tarafından esnek küme teorisi ortaya atılmıştır. Böylece esnek küme teorisinde bulanık küme teorisinin aksine reel değerli fonksiyon yerine bir seçim fonksiyonu alarak belirsizlik ortadan kaldırılmıştır. Bir küme için bağlantılık kavramı kabaca kümenin tek parça olması anlamına gelir. Bulanık kümeler için de bağlantılılık kavramı benzer şekildedir yılında Zhao bağlantılı bulanık topolojik uzaylar teorisini ortaya atmıştır. Ajmal ve Kohli [2] bağlantılı topolojik uzaylar hakkında çalışmalar yapmıştır. Son zamanlarda matematiğin birçok alanında bulanık esnek küme teorisi üzerine çalışmalar yapılmıştır. Molodtsov [28] un esnek küme teorisini ortaya atmasından sonra Maji ve ark. [27] tarafından esnek kümeler üzerine çeşitli küme işlemleri tanımlandı ve özellikleri incelendi. Aktaş ve Çağman [4] esnek küme ve esnek grupları inceledi. Kong ve ark. [23] esnek küme algoritmasını normal parametreyle indirgediler. Ali ve ark. [3] bulanık esnek küme teorisi üzerinde bazı yeni işlemler tanımladılar. 1

12 Kharal ve ark. [22] bulanık esnek fonksiyon tanımını ortaya attılar. Ahmat ve ark. [1] bulanık esnek kümeler üzlerine çalışmalarını yayımladılar. Daha sonra Çağman ve Enginoğlu [8] tümleyen ve fark işleminde ortaya çıkan sorunlar nedeniyle esnek küme işlemlerini yeniden tanımladılar. Shabir ve ark. [31] esnek topolojik uzaylar konulu bir makale yayımladılar. Hussain ve Ahmad [16] esnek topolojik uzayın bazı özelliklerini tanımladılar. Çağman, Karataş ve Enginoğlu [9] esnek topoloji üzerine çalışmalarını yayımladılar. Aygünoğlu ve Aygün [6] esnek topoloji üzerine bir makale yayımladılar. Gong ve ark. [13] tarafından birebir örten esnek küme, Roy ve ark. [30] bulanık esnek topolojik uzaylar üzerine bir makale yayımladılar. Tanay ve Kandemir [33] tarafından bulanık esnek topolojik yapılar incelendi. Varol ve Aygün [34] bulanık esnek topoloji üzerine çalışmalarını yayımladılar. Daha sonra Gain ve ark. bulanık esnek topoljik uzaylarda bazı yapısal özellikleri incelediler. Guan ve ark. [14] bulanık esnek kümede yeni bir düzen ilişkisi ve uygulamalar üzerine bir çalışma yaptılar. Peyghan ve ark. [29] esnek topolojik uzaylar hakkında bir makale yayımladılar. Gündüz ve ark. [15] bulanık esnek topolojik uzaylar üzerine çalışmalar yaptılar. Şimşekler ve ark. [32] bulanık esnek topolojik uzaylar üzerine bir makale yayımladılar. Daha sonra Çağman [10] tarafından esnek küme teorisi üzerine yeni bir yaklaşım geliştirildi. Hussain [17] tarafından esnek bağlantılılık üzerine bir makale yayımlandı. Bu tez çalışmasının beşinci bölümü Journal of Linear and Topological Algebra adlı dergide [21] yayımlanmıştır. 2

13 2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER 2.1 Sezgisel Bulanık Kümeler Tanım [35] X olsun. µ : X [0, 1] fonksiyonuna bulanık küme denir. { (x, ) } µ = µ(x) : x X, µ(x) [0, 1] şeklinde tanımlanır. X kümesi üzerinde tanımlı bütün bulanık kümelerin kümesi I ( X I = [0, 1] ) veya F (X) ile gösterilir. Tanım [5] X ve A, B I X A = { (x, A(x)) : x X } B = { (x, B(x)) : x X } olarak verilsin. Temel bulanık küme işlemleri i. A B ancak ve ancak her x X için B(x) A(x) ve A(x) B(x) (Kapsama) ii. A = B A B ve B A (Eşitlik) { (x, ) } iii. A B = A(x) B(x) : x X (Birleşim) { (x, ) } iv. A B = A(x) B(x) : x X (Kesişim) { (x, ) } v. A c = 1 A(x) : x X (Tümleyen) şeklinde tanımlanır. Tanım [11] {A i : i I} I X olsun. Bu takdirde; { (x, A i = Ai (x) ) : x X} şeklinde tanımlanır. i I A i = i I { (x, Ai (x) ) : x X} 3

14 Tanım [5] 0 = {(x, 0) : x X} ve 1 = {(x, 1) : x X} şeklinde tanımlanır. Teorem [5] A, B, C I X olsun. Bu durumda; i. A B ve C D ise (A B) (C D) ve (A B) (C D) dir. ii. (A B) ve (A C) ise A B C dir. iii. (A C) ve (B C) ise A B C dir. iv. (A B) ve (B C) ise (A C) dir. v. (A B) c = A c B c ve (A B) c = A c B c dir. vi. A B ise B c A c dir. vii. (A c ) c = A dır. viii. (1) c = 0 ve (0) c = 1 dir. Örnek X = {x 1, x 2, x 3 } evrensel kümesi üzerinde A ve B bulanık kümeleri A = { (x 1, 0.8), (x 2, 0.7), (x 3, 0.4) } B = { (x 1, 0.2), (x 2, 0.8), (x 3, 0.5) } şeklinde tanımlansın. Buradan i. A B = {(x 1, 0.2), (x 2, 0.7), (x 3, 0.4)} ii. A B = {(x 1, 0.8), (x 2, 0.8), (x 3, 0.5)} iii. A c = {(x 1, 0.2), (x 2, 0.1), (x 3, 0.6)} olarak 4

15 2.2 Esnek Kümeler Bu bölümde ilk önce Molodtsov [28] tarafından ortaya atılmış olan esnek küme tanımı verilcektir. Daha sonra Çağman [10] tarafından gözden geçirilmiş tanım verilecek ve tezin geri kalan kısmında bu tanım kullanılacaktır. Tanım [28] X evrensel küme ve E parametreler kümesi olsun. Bu durumda; E parametreler kümesini tüm alt kümelerin kümesi olan X kümesine götüren F dönüşümü ile birlikte (F, E) ikilisine X kümesi üzerinde bir esnek küme denir. Tanım [10] X evrensel küme ve E parametre kümesi olsun. F : E P(X) fonksiyonuna U üzerinde esnek küme denir. Yani, bir esnek küme { (e, ) } F = F (e) : e E şeklinde sıralı ikililerin bir kümesi olarak görülebilir. Eğer e E için F (e) = ise, (e, ) ikilisi esnek kümede gösterilmez. X üzerindeki E parametre kümesi ile tanımlı tüm esnek kümelerin kümesi S ile gösterilir. Örnek F esnek kümesi, Ordu iline yeni tayin olmuş bir memur çiftin çocuklarını göndereceği okulların parametrelendirilmiş şekli olarak tanımlansın. U : E : Göz önüne alınan tüm okulların kümesi Parametre kümesi (Her bir parametre kelime veya cümle olabilir.) olmak üzere E = {pahalı, ucuz, spor kompleksi mevcut, üniversite sınavı yerleştirme başarısı var, ingilizce eğitimi var, eve yakın, hafta sonu kursları mevcut} şeklinde tanımla- nıyor. Bu durumda esnek kümeyi tanımlamak pahalı okulları, ucuz okulları ve diğerlerini göstermek anlamına gelir. (i = 1, 7) e i ifadesi i nci parametre olmak üzere F (e i ) kümeleri keyfi olabilir. Tanım [10] F, G S olsun. Her e E için F (e) G(e) oluyorsa G, F yi esnek kapsar denir ve F G şeklinde gösterilir. Tanım [10] F S olsun. Her e E için F (e) = oluyorsa F ye esnek boş küme denir ve Φ ile gösterilir. 5

16 Tanım [10] F S olsun. Her e E için F (e) = X oluyorsa F ye esnek evrensel küme denir ve X ile gösterilir. Tanım [10] F, G S olsun. F ile G esnek kümelerinin esnek birleşimi her e E için (F G)(e) = F (e) G(e) şeklinde tanımlanır. Tanım [10] F, G S olsun. F ile G esnek kümelerinin esnek kesişimi her e E için (F G)(e) = F (e) G(e) şeklinde tanımlanır. Tanım [10] F S olsun. F esnek kümesinin esnek tümelyeni F c ile gösterilir ve her e E için F c (e) = X \ F (e) şeklinde tanımlanır. Teorem [8, 10] F, G, H S verilsin. Bu takdirde i. F F = F ii. F F = F iii. (F c ) (F ) = Φ iv. (F c ) (F ) = X v. (Φ c ) = X ve (X c ) = Φ vi. F G = G F vii. F G = G F viii. F (G H) = (F G) (F H) ix. F (G H) = (F G) (F H) x. (F G) c c = F G c xi. (F G) c c = F G c xii. F Φ = Φ ve F Φ = Φ xiii. F X = Ũ ve F X = F 6

17 Örnek E = {e 1, e 2, e 3 }, X = {u 1, u 2, u 3 } olsun. kümeleri F, G, H S esnek F = { (e 1, {u 1, u 2 }), (e 2, U) }, G = { (e 2, {u 2 }), (e 3, {u 1, u 3 }) }, H = { (e 1, {u 2 }), (e 2, {u 1, u 2 })} şeklinde tanımlansın. Bu takdirde: i. e 1 E için H(e 1 ) = {u 2 } ve F (e 1 ) = {u 1, u 2 } olduğundan H(e 1 ) F (e 1 ) Ayrıca e 2 E için H(e 2 ) = {u 1, u 2 } ve F (e 2 ) = {u 1, u 2, u 3 } olduğundan H(e 2 ) F (e 2 ) bulunur. Dolayısıyla H F ii. e 1, e 2, e 3 E için (F G)(e 1 ) = F (e 1 ) G(e 1 ) = {u 1, u 2 } Φ = Φ (F G)(e 2 ) = F (e 2 ) G(e 2 ) = U {u 2 } = {u 2 } (F G)(e 3 ) = F (e 3 ) G(e 3 ) = Φ {u 1, u 3 } = Φ olduğundan F G = { (e 2, {u 2 }) } iii. e 1, e 2, e 3 E için (H F )(e 1 ) = H(e 1 ) F (e 1 ) = {u 1 } {u 1, u 2 } = {u 1, u 2 } (H F )(e 2 ) = H(e 2 ) F (e 2 ) = {u 1, u 2 } {u 1, u 2, u 3 } = {u 1, u 2, u 3 } (H F )(e 3 ) = olduğundan H F = { (e 1, {u 2 }), (e 2, {u 1, u 2 }) } = H elde edilir 7

18 iv. F = { (e 1, {u 1, u 2 }), (e 2, X) } esnek kümesinin esnek tümleyenini bulalım. F c (e 1 ) = {u 3 }, F c (e 2 ) = Φ ve F c (e 3 ) = X olduğundan F c = {(e 1, {u 3 }), (e 3, X)} 8

19 3. BULANIK ESNEK KÜMELER Bu bölümde bulanık esnek kümelerin tanımı verilip temel özellikleri incelenecektir. Ahmat ve Kharal [1] tarafından yapılan bulanık küme tanımı, Çağman [10] ın esnek küme tanımı ile yeniden yorumlanmıştır. 3.1 Bulanık Esnek Küme Tanım [1] X bir evrensel küme, E parametreler kümesi ve A E olsun. F : A I X olmak üzere, (F, A) ikilisine X üzerinde bir bulanık esnek küme denir. Tanım [1] (F, A) ve (G, B), X üzerinde tanımlı iki bulanık esnek küme olmak üzere; (F, A), (G, B) nin bulanık esnek alt kümesidir ancak ve ancak i. A B ii. Her e A için F (e) G(e) dir. şartlarını sağlaması gerekir. Bu durum (F, A) (G, B) şeklinde gösterilir. Eğer (G, B), (F, A) nın sezgisel bulanık esnek alt kümesi ise, bu durumda (F, A) ya (G, B) nin bulanık esnek süper kümesi denir ve (F, A) (G, B) ile gösterilir. Tanım [1] (F, A) ve (G, B), X evrensel kümesi üzerinde iki bulanık esnek küme olsun. Bu durumda; (G, B) kümesi (F, A) nın bulanık esnek alt kümesi ve (F, A) kümesi (G, B) kümesinin bulanık esnek alt kümesi ise (G, B) ve (F, A) kümelerine bulanık esnek eşit kümeler denir. Tanım [25] (F, A) bulanık esnek kümesinin tümleyeni (F, A) c ile gösterilir. Burada (F, A) c = (F c, A) eşitliği mevcuttur ve F c fonksiyonu F c : A P(X) şeklinde tanımlı bir fonksiyondur. F c (e) ifadesi her e A için F ( e) ifadesinin sezgisel bulanık esnek tümleyenini göstermektedir. ((F, A) c ) c = (F, A) olduğu açık bir şekilde görülmektedir. 9

20 Tanım [1] (F, A), X kümesi üzerinde tanımlı bir esnek küme olsun. Her e A için F (e) = 0 ise bu durumda (F, A) kümesine bulanık esnek boş küme denir ve Φ ile gösterilir. Tanım [1] (F, A), X kümesi üzerinde tanımlı bir esnek küme olsun. Her e A için F (e) = 0 ise bu durumda (F, A) kümesine bulanık esnek evrensel küme denir ve à ile gösterilir. Bulanık esnek boş küme ve esnek evrensel küme tanımları göz önüne alındığında A c = Φ ve Φ c = A eşitliği kolayca görülür. Tanım [1] X üzerinde tanımlı olan (F, A) ve (G, B) bulanık esnek kümelerinin birleşimi de X üzerinde bulanık esnek küme olan (H, C) kümesidir ve C = A B dir. Ayrıca H fonksiyonu f(e), e A \ B H(e) = g(e), e B \ A f(e) g(e), e A B şeklinde tanımlanır. Bu durumda (F, A) (G, B) = (H, C) ile gösterilir ve bulanık esnek kümelerin birleşimi olarak adlandırılır. Tanım [25] X üzerinde tanımlı olan (F, A) ve (G, B) bulanık esnek kümelerinin kesişimi de X üzerinde bulanık esnek küme olan (H, C) kümesidir. Burada C = A B dir. Her e C için H(e) = F (e) G(e) şeklinde tanımlanır. (H, C) kümesine (F, A) ve (G, B) bulanık esnek kümelerinin kesişimi denir ve (F, A) (G, B) = (H, C) ile gösterilir. Tanım [25] Eğer (F, A) ve (G, B) iki bulanık esnek küme ise bu durumda (F, A) VE (G, B) ifadesi de bulanık esnek kümedir ve (F, A) (G, B) ile gösterilir. Her e A ve e B için H(e, e ) = F (e) G(e ) olmak üzere (F, A) (G, B) = (H, A B) şeklinde tanımlanır. Tanım [25] Eğer (F, A) ve (G, B) iki bulanık esnek küme ise bu durumda (F, A) VEYA (G, B) ifadesi de bulanık esnek kümedir. Bu küme; (F, A) (G, B) ile gösterilir ve O(e, e ) = F (e) G(e ) olmak üzere (F, A) (G, B) = (O, A B) şeklinde tanımlanır. 10

21 Tanım 3.1.4, her zaman mevcut değildir. Bu durumda dilbilimsel parametrelerde sürekli değişkenlik arzetmektedir. Dolayısıyla çalışmanın bundan sonraki kısmında Çağman [10] ın makalesi baz alınarak sezgisel bulanık esnek küme işlemleri tekrar inşa edilecektir. Tanım X evrensel küme ve E parametre kümesi olsun. f : E I X fonksi- yonuna X üzerinde bir bulanık esnek küme (be küme) denir. Dolayısıyla bir f be kümesi { (e, f = {(x, µf(e) (x)) : x X} ) } : e E şeklinde gösterilebilir. X üzerinde E parametre kümesi ile tanımlı bütün bulanık esnek kümelerin kümesi FS X E ile gösterelim. Tanım f, g FS X E olsun. Her e E için f(e) g(e) oluyorsa g, f yi bulanık esnek kapsar denir ve f g şeklinde gösterilir. Tanım f FS X E esnek boş küme denir ve 0 E ile gösterilir. Tanım f FS X E esnek evrensel küme denir ve 1 E ile gösterilir. olsun. Her e E için f(e) = 0 oluyorsa f ye bulanık olsun. Her e E için f(e) = 1 oluyorsa f ye bulanık Tanım f, g FS X E olsun. f ile g nin sezgisel bulanık esnek birleşimi her e E için (f g)(e) = f(e) g(e) şeklinde tanımlanır. Tanım f, g FS X E olsun. f ile g bulanık esnek kesişimi f g ile gösterilir ve her e E için (f g)(e) = f(e) g(e) şeklinde tanımlanır. Tanım f FS X E olsun. f nin bulanık esnek tümelyeni f c ile gösterilir ve her e E için f c (e) = (f(e)) c şeklinde tanımlanır. Burada (f(e)) c ifadesi f(e) sezgisel bulanık kümesinin tümleyenini göstermektedir. Teorem f, g, h FS X E verilsin. Bu takdirde aşağıdaki iddialar doğrudur. i. f f = f ii. f f = f 11

22 iii. f c f = 0 E iv. f c f = 1 E v. 0 c E = 1 E ve 1 c E = 0 E vi. f g = g f vii. f g = g f viii. f (g h) = (f g) (f h) ix. f (g h) = (f g) (f h) x. (f g) c = f c g c xi. (f g) c = f c g c xii. f 0 E = 0 E ve f 0 E = f xiii. f 1 E = 1 E ve f 1 E = f İspat. i. Her e E için, (f f)(e) = f(e) f(e) = f(e) olup, be kümelerin be kesişimleri tanımından f f = f ii. Her e E için, (f f)(e) = f(e) f(e) = f(e) olup, be kümelerin be kesişimleri tanımından elde edilir f f = f 12

23 iii. Her e E için be tümleyen işlemi tanımı dikkate alınırsa; (f c f)(e) = f c (e) f(e) = (f(e)) c f(e) = 0 olduğundan f c f = 0 E iv. Her e E için be tümleyen işlemi tanımı dikkate alınırsa, (f c f)(e) = f c (e) f(e) = (f(e)) c f(e) = 1 olduğundan f c f = 1 E v. be boş küme ve be evrensel küme tanımları dikkate alındığında, her e E için f(e) = 0 olduğundan 0 c E = 1 E bulunur. Benzer şekilde, Her e E için f(e) = 1 olduğundan; 1 c E = 0 E vi. Her e E için (f g)(e) = f(e) g(e) = g(e) f(e) = (g f)(e) olup, f g = g f 13

24 vii. Her e E için (f g)(e) = f(e) g(e) = g(e) f(e) = (g f)(e) olup, f g = g f viii. Her e E için (f (g h))(e) = (f g)(e) (f h)(e)) = (f(e) g(e)) (f(e) h(e) olup, f (g h) = (f g) (f h) ix. Her e E için (f (g h))(e) = (f g)(e) (f h)(e)) = (f(e) g(e)) (f(e) h(e) olup, f (g h) = (f g) (f h) x. Her e E için olduğundan, (f g) c (e) = f c (e) g c (e) (f g) c = f c g c xi. Her e E için olduğundan; (f g) c (e) = f c (e) g c (e) (f g) c = f c g c 14

25 xii. Her e E için ve f(e) 0 = 0 f(e) 0 = f(e) olduğundan sırasıyla; f 0 E = 0 E ve f 0 E = f xiii. Her e E için ve f(e) 1 = 1 f(e) 1 = f(e) olduğundan sırasıyla f 1 E = 1 E ve f 1 E = f Örnek E = {e 1, e 2 }, X = {x 1, x 2 } ve { (e1 f =, {(x 1, 0.2), (x 2, 0.7)} )( e 2, {(x 1, 0.4), (x 2, 0.6)} )} { (e1 g =, {(x 1, 0.1), (x 2, 0.6)} )( e 2, {(x 1, 0.8), (x 2, 0.6)} )} { (e1 h =, {(x 1, 0.6), (x 2, 0.8)} )( e 2, {(x 1, 0.7), (x 2, 0.8)} )} olsun. Buradan i. f h dir: Her e 1 E için µ f(e1 )(x) µ h(e1 )(x) e 2 E için µ f(e2 )(x) µ h(e2 )(x) 15

26 olup, her e 1, e 1 E için f(e 1 ) h(e 1 ) ve f(e 2 ) h(e 2 ) olup bulanık esnek kapsama tanımından f h ii. f g be kümesini bulalım: (f g)(e 1 ) = f(e 1 ) g(e 1 ) ve (f g)(e 2 ) = f(e 2 ) g(e 2 ) olduğundan { (e1 f g =, {(x 1, 0.1), (x 2, 0.6)} )( e 2, {(x 1, 0.4), (x 2, 0.6)} )} olarak bulunur. iii. f g be kümesini bulalım: (f g)(e 1 ) = f(e 1 ) g(e 1 ) ve (f g)(e 2 ) = f(e 2 ) g(e 2 ) olduğundan { (e1 f g = {(x 1, 0.2), (x 2, 0.7)} )( e 2 {(x 1, 0.8), (x 2, 0.6)} )} olarak bulunur. iv. f c be kümesini bulalım: f c (e) = (f(e)) c olduğundan { (e1 f c = {(x 1, 0.8), (x 2, 0.3)} )( e 2 {(x 1, 0.6), (x 2, 0.4)} )} 3.2 Bulanık Esnek Fonksiyonlar Tanım FS X E ve FS Y K sırasıyla X ve Y üzerinde tüm be kümelerin kümesi olsun. φ : X Y ve : E K fonksiyonları verilsin. φ : FS X E IFS Y K ifadesine bulanık esnek fonksiyon (be fonksiyon) denir. 16

27 i. f FS X E nin φ altındaki görüntüsü φ (f) ile gösterilir ve e µ φ(f )(k) (y) = 1 (k), x φ 1 (x) µ f(e)(x), φ 1 (y) 0, φ 1 (y) = şeklinde tanımlanır. ii. g FS Y K nın φ 1 altındaki ters görüntüsü φ 1(g) ile gösterilir ve µ φ 1 (G)(u) = µ G((e)) (φ(u)) şeklinde tanımlanır. Dolayısıyla aşağıdaki diyagram anlamlıdır. E f I X K g φ I Y φ ve fonksiyonları birebir ise φ fonksiyonuna be birebir fonksiyon denir. φ ve fonksiyonları örten ise φ fonksiyonuna be örten fonksiyon denir. Örnek E = {e 1, e 2, e 3, e 4 }, K = {k 1, k 2, k 3 } ve Y = {y 1, y 2, y 3, y 4 } olsun. φ : X Y ve : E K fonksiyonları (e 1 ) = k 1, φ(x 1 ) = y 1 (e 2 ) = k 1, φ(x 2 ) = y 1 (e 3 ) = k 2, φ(x 3 ) = y 2 (e 4 ) = k 3, φ(x 4 ) = y 3 şeklinde tanımlansın. f FS X E ve g FS Y K kümeleri f = { (e1, {(x 1, 0.8), (x 2, 0.2), (x 3, 0.6), (x 4, 0.8)} ), ( e2, {(x 1, 0.2), (x 2, 0.5), (x 3, 0.1), (x 4, 0.8)} ), ( e3, {(x 1, 0.4), (x 2, 0.3), (x 3, 0.9), (x 4, 0.6)} ), ( e4, {(x 1, 0.8), (x 2, 0.7), (x 3, 0.2), (x 4, 0.4)} )} 17

28 g = { (k1, {(y 1, 0.5), (y 2, 0.3), (y 3, 0.4)} ), ( k2, {(y 1, 0.2), (y 2, 0.1), (y 3, 0.4)} ), ( k3, {(y 1, 0.3), (y 2, 0.5), (y 3, 0.4)} )} şeklinde tanımlansın. Buradan, φ (f) = { (k1, {(y 1, 0.8), (y 2, 0.6), (y 3, 0.8)} ), ( k2, {(y 1, 0.4), (y 2, 0.9), (y 3, 0.6)} ), ( k3, {(y 1, 0.8), (y 2, 0.2), (y 3, 0.4)} )} φ 1 (g) = { (e1, {(x 1, 0.8), (x 2, 0.8), (x 3, 0.6), (x 4, 0.8)} ), ( e2, {(x 1, 0.8), (x 2, 0.8), (x 3, 0.6), (x 4, 0.8)} ), ( e3, {(x 1, 0.4), (x 2, 0.4), (x 3, 0.9), (x 4, 0.6)} ), ( e4, {(x 1, 0.8), (x 2, 0.8), (x 3, 0.2), (x 4, 0.4)} )} Teorem f, f 1, f 2 FS X E ve φ : FS X E FS Y K bir be fonksiyon olsun. Bu takdirde i. f φ 1 (φ (f)) dır. Buradaki eşitlik ancak ve ancak φ fonksiyonu sbe birebir olduğunda sağlanır. ii. φ (f 1 f 2 ) = φ (f 1 ) φ (f 2 ) iii. φ (f 1 f 2 ) = φ (f 1 ) φ (f 2 ) İspat. i. f 1 f 2 olsun. Buradan, her e E için f 1 (x) f 2 (x) dir. Yani, her e E ve her x X inin µ f1 (e)(x) µ f2 (e)(x) olur. Dolayısıyla k K ve y Y için; e 1 (k) x 1 (y) µ f1 (e)(x) e 1 (k) x 1 (y) µ f2 (e)(x) 18

29 yazabiliriz. Bu ise bize, φ (f 1 ) φ (f 2 ) olduğunu gösterir. ii. f φ 1( φ (f) ) kapsamasını göstermek ile her e E için f(e) ( φ 1( φ (f) ) ) (e) kapsamasını göstermek eşdeğerdir. Dolayısıyla her e E ve her x X için olduğu gösterilmelidir. µ f(e) (x) µ φ 1 (φ(f))(e)(x) µ φ 1 (φ(f)(e))(x) = µ φ(f))(e)) (x) e 1 ((e)) µ f(e) (x), φ 1 (φ(x)) = x φ 1 (φ(x)) 0, φ 1 (φ(x)) = eşitliğinden istenen elde edilmiş olur. Dolyısıyla f φ 1 (φ (f)) bulunur. φ ve fonksiyonları ve birebir ise yani; φ be fonksiyonunun be birer ise aşitlik sağlanmaktadır. iii. k K ve y Y için µ (φ(f1 f 2 ))(k)(y) = = e 1 ((e)) x φ 1 (φ(x)) µ (f1 f 2 )(e)(x), φ 1 (φ(x)) 0, φ 1 (φ(x)) = {µ (f1 (e) µ (f2 (e)}(x), φ 1 (φ(x)) e 1 ((e)) x φ 1 (φ(x)) 0, φ 1 (φ(x)) = 19

30 = e 1 ((e)) x φ 1 (φ(x)) µ (f1 (e)(x), φ 1 (φ(x)) 0, φ 1 (φ(x)) = e 1 ((e)) µ (f2 (e)(x), φ 1 (φ(x)) x φ 1 (φ(x)) 0, φ 1 (φ(x)) = iv. (f 1 f 2 ) f 1 ve (f 1 f 2 ) f 2 kapsamalarından ve i. ile bulunur. Buradan da φ (f 1 f 2 ) f 1 ve φ (f 1 f 2 ) f 2 φ (f 1 f 2 ) φ (f 1 ) φ (f 2 ) Teorem g, g 1, g 2 FS Y K ve φ : FS X E FS Y K bir be fonksiyon olsun. i. φ (φ 1 (g)) g (Eşitlik ancak ve ancak fonksiyon be sürekli olduğunda sağlanır.) ii. φ 1 (g 1 g 2 ) = φ 1(g 1 ) φ 1(g 2 ) iii. φ 1 (g 1 g 2 ) = φ 1(g 1 ) φ 1(g 2 ) iv. φ 1 (g c ) = ( φ 1 (g)) c İspat. i. φ (φ 1 (g)) g kapsamasının sağlanması her k K için φ (φ 1 (g))(k) g(k) kapsamasına eş değerdir. e 1 ((e)){µ (f1 (e) µ (f2 (e)}(x), φ 1 (φ(x)) µ (φ(φ 1 )(g))(k)(y) = x φ 1 (φ(x)) 0, φ 1 (φ(x)) = µ g(k) (y) 20

31 ii. φ 1 (g 1 g 2 ) = φ 1 (g 1 ) φ 1 (g 2 ) olması için, e E olmak üzere φ 1 (g 1 g 2 )(e) = (φ 1 (g 1 ) φ 1 (g 2 ))(e) eşitliğinin sağlanması gerekir. Buradan her e E ve her x X için µ φ 1 (g 1 g 2 )(e)(x) = µ (g1 g 2 )((e))(φ(x)) = µ g1 ((e))(φ(x)) µ g2 ((e))(φ(x)) = µ φ 1 (g 1 )(e)(x) µ φ 1 (g 2 )(e)(x) iii. φ 1 (g 1 g 2 ) = φ 1 (g 1 ) φ 1 (g 2 ) olması için, e E olmak üzere φ 1 (g 1 g 2 )(e) = (φ 1 (g 1 ) φ 1 (g 2 ))(e) eşitliğinin sağlanması gerekir. Buradan her e E x X için µ φ 1 (g 1 g 2 )(e)(x) = µ (g1 g 2 )((e))(φ(x)) = µ g1 ((e))(φ(x)) µ g2 ((e))(φ(x)) = µ φ 1 (g 1 )(e)(x) µ φ 1 (g 2 )(e)(x) iv. Herhangi bir e E için (φ 1 (g c ))(e) = (φ 1 (g)) c (e) olduğu gösterilmelidir. Buradan her e E ve her x X için µ φ 1 (g c )(e)(x) = µ g c ((e))(φ(x)) = µ φ 1 (g) c (e)(x) Bu da ispatı tamamlar. Tanım f FS X E verilsin. Bir e E için f(e) 0 ve her e E \ {e} için f(e ) = 0 ise f be kümesine bulanık esnek nokta (be nokta) denir ve e f ile gösterilir. Tanım e f bir se nokta ve g FS X E olsun. Eğer f(e) g(e) ise e f be noktasına g be kümesine aittir denir ve e f g ile gösterilir. 21

32 Örnek E = {a, b, c, d} ve X = {x, y, z} olsun. { (a, ) } f(a) = {(x, 0.8), (y, 0.5), (z, 0.6)} { (c, ) } f(b) = {(x, 0.7), (y, 0.4), (z, 0.3)} olarak tanımlanıyor. { (a, ) } a g = (x, 0.5), (y, 0.4), (z, 0.5) bir be noktadır ve a g f dir. Teorem Her be küme, tüm be noktalarının bir birleşimi olarak yazılır. İspat. f FS X E ve {e gk : k Λ} ailesi, f nin tüm be noktalarının kümesi olsun. Bu durumda, her e i E için f(e i ) = k Λ G k (e i ) olur. Buradan, f = { (e i, f(e i )) : e i E } Teorem [19] f, g FS X E olsun. f g ancak ve ancak her e h f için e h g olmasıdır. İspat. ( ) : f g olsun. Bu durumda here E için f(e) g(e) olur. Eğer; e h f ise f g dir. Çünkü h(e) g(e) g(e) buradan, h(e) g(e) olup; böylece e h g ( ) : Eğer, her e h f olması durumunda e h g oluyorsa, her bulanık esnek küme bulanık esnek noktaların bir birleşimi olarak yazılabileceğinden buradan olur. Böylece f g e h = f e h f e h g e h f 22

33 4. BULANIK ESNEK TOPOLOJİK UZAYLAR 4.1 Bulanık Esnek Topoloji Tanım τ FS X E küme ailesi aşağıdaki şartları sağlıyorsa bu aileye X üzerinde bir bulanık esnek topoloji (be topoloji) denir. i. 0 E, 1 E τ ii. Herhangi f, g τ için f g τ iii. Herhangi bir {f i : i I} τ için i I f i τ Eğer τ, X üzerinde bir be topoloji ise (X, τ, E) üçlüsüne X üzerinde sezgisel bulanık esnek topolojik uzay (be topolojik uzay) denir. τ nun her bir elemanına be açık küme denir. Eğer, f c τ ise bu durumda f kümesine X üzerinde be kapalı küme denir. κ τ = {f : f c τ} ile gösterilir. (X, τ, E) be topolojik uzayındaki tüm be kapalı kümeleri Örnek τ 1 = FS X E ve τ 0 = { 0 E, 1 E } olmak üzere (X, τ 1, E) ve (X, τ 0, E) sbe topolojik uzaydır. Bu iki be topolojik uzay üzerindeki tüm be açık kümeler aynı zamanda be kapalı kümelerdir. Tanım (X, τ, E) be topolojik uzay ve f FS X E olsun. Bu durumda f nin be içi f ile gösterilir ve şekilde tanımlanır. f = g τ g f Tanım (X, τ, E) be topolojik uzay ve f FS X E olsun. Bu durumda f nin be kapanışı f ile gösterilir ve şekilde tanımlanır. f = h c τ f h g h 23

34 Teorem (X, τ, E), X üzerinde be topolojik uzay olsun. aşağıdaki ifadeler denktir: Bu durumda i. 1 E ve 0 E, X üzerinde be kapalı kümedir. ii. Herhangi sayıdaki be kapalı kümenin kesişimi, X üzerinde yine be kapalı kümedir. iii. Herhangi iki be kapalı kümenin kesişimi, X üzerinde yine be kapalı kümedir. Teorem (X, τ, E), X üzerinde be topolojik uzay ve f FS X E durumda aşağıdaki özellikler sağlanır. olsun. Bu i. f f ii. f g ise f g iii. f τ iv. f be açık kümedir ancak ve ancak f = f v. (f ) = f vi. ( 0 E ) = 0 E ve ( 1 E ) = 1 E dır. İspat. i. f FS X E için, f nin be içi olduğundan; f f f = g τ g f g ii. f g ve f f olduğundan f g dir. i. den g g ve g nin kapsadığı en geniş açık küme g nin be içi olduğundan f g g 24

35 iii. f be kümesinin be içi tanımı gereğince olup f τ f = g τ g f iv. f be açık olsun. i. den f f dir. Diğer taraftan f be açık olduğundan f f ve f be açık kümesinin kapsadığı en geniş açık küme f olup g f f f dir. Buradan f f ve f f olduğundan f = f Tersine olarak f = f olsun. f açık olduğundan f açıktır. v. g = f olsun. iii. ve iv. den g = g olur. Böylece, g = g = (f ) = f = g elde edilmiş olur. vi. 0 E ve 1 E be açık kümeler olduğundan iv. den dolayı, ( 0 E ) = 0 E ve ( 1 E ) = 1 E Teorem (X, τ, E), X üzerinde be topolojik uzay ve f, g FS X E olsun. Bu durumda aşağıdaki özellikler sağlanır. i. f f ii. f g ise f g iii. (f) c τ iv. f be kapalı kümedir ancak ve ancak f = f v. f = f 25

36 vi. 0 E = 0 E ve 1 E = 1 E dır. İspat. i. be topolojik uzaylarda kapanış işlemi dikkate alındığında; f f olduğu açıktır. ii. f, g FS X E ve f g olsun. i. den g g O halde; f g olur. Ayrıca, be kapanış tanımından f yi kapsayan en küçük be kapalı küme f olduğundan; f f g ve buradan f g iii. Teorem iii. gereğince (f c ) τ olur. Buradan, be kapanış, be iç tanımları dikkate alınırsa olup, (f c ) τ (f) c = ( h c τ f h h) c = g τ g f h c = f c iv. f kapalı olsun. i. den dolayı f f dir. f τ c ve f f olmasından; f = h c τ f h h f olup, f f Bu ise, f = f demektir. Diğer taraftan, f = f olsun. Bu durumda iii. den dolayı f be kapalı kümedir. 26

37 v. g = f alalım. f be kapalı olduğundan g be kapalı ve iv. den dolayı, g = g = f = f olduğundan f = f vi. 0 E ve 1 E be kapalı kümeler olduğundan iv. den dolayı, 0 E = 0 E ve 1 E = 1 E Teorem (X, τ, E), X üzerinde be topolojik uzay ve f, g FS X E olsun. Bu durumda aşağıdaki özellikler sağlanır. i. f g = (f g) ii. f g (f g) iii. f g = f g iv. f g = f g v. (f ) c = (f) c vi. (f) c = (f ) c İspat. i. f g f ve f g ise f g olduğundan, (f g) f ve (f g) g olur. f f olduğundan f f ve g g olur. Buradan haraketle, f g (f g) için f g (f g) elde edilmiş olur. Sonuç olarak, f g (f g) ve (f g) f g olduğundan, f g = (f g) 27

38 ii. f f g ve g f g olup f g ise f g gereğince, f f g ve g f g olur. Buradan, f g f g (f g) be kümesi f g be kümesinin kapsadığı en geniş sbe küme olduğundan, f g (f g) f g elde edilir ve ispat tamamlanır. iii. f g f ve f g g den Teorem ii. ile f g f ve f g g olur. Buradan f g f g iv. f g f ve g g f den Teorem ii. ile f f g ve g f g bulunur. Buradan f g f g f f ve g g den f g f g bulunur. f g = f g v. f FS X E in içi f = i I olsun. Burada her i I için g i τ ve g i f dir. Her iki tarafın be-tümleyeni alınırsa ( ) c ( (f ) c = g i = g i i I i I g c i ) 28

39 olur. f c g c i ve g c i κ τ olduğundan ( ) = (f c ) i I g c i vi. v de f yerine f c alınırsa [ (f c ) ] c = (f c ) c = f bulunur. Böylece (f c ) = (f) c Örnek [19] τ = FS X E olmak üzere (X, τ, E) be topolojik uzayını ele alalım. Açıkca görülür ki her f be kümesi aynı zamanda hem be açık küme hem de be kapalı kümedir. Dolayısıyla, f = f = f dır. Teorem (X, τ, E) bir be topolojik uzay olsun. f FS X E bir be açık kümedir ancak ve ancak f nin tüm be noktalarının, be-komşuluğu olmasıdır. İspat. ( ) : İspatı açıktır. ( ) : f be küme ve {e hi : i I} ailesi f nın tüm be-alt kümelerinin ailesi olsun. Bu durumda her i I için öyle bir g i be açık kümesi vardır ki; e hi g i f böylece Teorem den olur. Dolayısıyla bulunur. Buradan da e hi g i f h i = f g i f i I i I g i = f i I 29

40 4.2 Bulanık Esnek Sürekli Fonksiyonlar Tanım (X, τ, E) ve (Y, σ, K) sırasıyla X ve Y kümeleri üzerinde tanımlı be topolojik uzaylar olsun. Ayrıca; φ : FS X E FS Y K bir be fonksiyon olsun. Her g σ için φ 1 (g) τ ise φ be fonksiyonuna bulanık esnek sürekli fonksiyon (be sürekli fonksiyon) denir. Örnek τ = FS X E alırsak, her φ : (X, τ, E) (Y, σ, K) be fonksiyonunun be sürekli fonksiyon olduğu görülür. Teorem f : (X, τ, E) (Y, σ, K) be süreklidir ancak ve ancak her g FS Y K için φ 1(g) (φ 1 (g)) olmasıdır. İspat. ( ): φ be sürekli olsun. Teorem i. den g g ve φ 1 (g ) φ 1 (g) bulunur. φ be sürekli olduğundan φ (g ) τ dur. Buradan Teorem v. den olur. Bu da istenendir. φ (g ) = φ 1 (g ) (φ 1 (g)) ( ): Her g FS Y K için φ 1 (g ) (φ 1 (g)) olsun. verilsin. Yeter şart ifadesinden ve Teorem iv. den Herhangi bir h σ φ 1 (h ) = (φ 1 (h)) (φ 1 (h)) Bu da φ 1 (h) τ anlamına gelir. O halde φ fonksiyonu be süreklidir. 30

41 5. BULANIK ESNEK BAĞLANTILI TOPOLOJİK UZAYLAR 5.1 Bulanık Esnek Bağlantılı Kümeler Tanım (X, τ, E) be topolojik uzay ve f FS olsun. f g h ve g h = 0 E olacak şekilde boştan farklı g, h τ varsa f ye be bağlantısız küme denir. Bu tanımda f yerine 1 E alınırsa, (X, τ, E) be topolojik uzayına be bağlantısız topolojik uzay denir. Bu koşulu sağlayan g, h τ yoksa, (X, τ, E) ye be-bağlantılı uzay denir. Örnek τ = { 1 E, 0 E } ve σ = FS X E Buna karşın, (X, τ, E) be bağlantısızdır. olmak üzere (X, τ, E) be bağlantılıdır. Teorem (X, τ, E) bir be topolojik uzay olsun. (X, τ, E) be bağlantılıdır ancak ve ancak bu uzayda hem be açık hem de be kapalı bir küme yoktur. İspat. ( ) : (X, τ, E) be bağlantılı olsun. Bu uzayda hem açık hem de kapalı bir f sbe-kümesinin var olduğunu kabul edelim. Bu takdirde, f f c = 1 E ve f f c = 0 E olur. f sbe -kapalı olduğundan f c τ dur. Bu durum, (X, τ, E) nin be bağlantılı olmasıyla çelişir. ( ) : (X, τ, E) topolojik uzayında hem açık hem de kapalı küme var olmasın. Buna karşın, (X, τ, E) be bağlantısız olsun. Bu durumda, f g = 1 E ve f g = 0 E olacak şekilde f, g τ vardır. Bu iki eşitlikten, f c = g alınırsa, hipotezle çelişen bir durum ortaya çıkar. Dolayısıyla (X, τ, E) be bağlantılıdır. Teorem (X, τ, E) bir be bağlantılı topolojik uzay ve σ τ olsun. takdirde, (X, τ, E) de bir be bağlantılı topolojik uzaydır. Bu 31

42 İspat. (X, τ, E) be bağlantılı uzay olduğundan f g = 1 E ve f g = 0 E olacak şekilde f, g τ bulunamaz. σ τ olduğundan bu iki koşulu sağlayan sbe -açık kümeler σ ailesinde de yoktur. Dolayısıyla (X, τ, E) de bir be bağlantılı topolojik uzaydır. Teorem (X, τ, E) ve (Y, σ, K) iki be topolojik uzay olsun. f FS X E ve φ : (X, τ, E) (Y, σ, K) bir be sürekli fonksiyon olmak üzere, f be bağlantılı ise φ (f) FS Y K de be bağlantılıdır. İspat. f FS X E be bağlantılı olsun. φ (f) nin be bağlantısız olduğunu varsayalım. Bu takdirde, φ (f) g h ve g h = 0 K olacak şekilde g, h τ vardır. Buradan Teorem i. ve Teorem ii.-iii. den ve f φ 1 (φ (f)) φ 1 (g h) = φ 1 (g) φ 1 (h) φ 1 (g h) = φ 1 (g) φ 1 (h) = 0 E φ be sürekli olduğundan φ 1 durum f nin be bağlantılı olmasıyla çelişir. (g), φ 1(h) τ dur. Dolayısıyla bu Sonuç Teorem f yerine 1 E alırsak, φ f yi be örten alırsak (X, τ, E) be bağlantılı ise (Y, σ, K) da be bağlantılıdır. Uyarı be bağlantılı bir be kümenin bir be fonksiyon altındaki ters görüntüsünün be bağlantılı olması gerekmez. Aşağıdaki örnek bu durumu resmetmektedir. Örnek X = {x 1, x 2, x 3 }, Y = {y}, E = {e 1, e 2, e 3 } ve K = {k 1, k 2, k 3 } olsun. φ : X Y ve : E K fonksiyonları φ(x 1 ) = y (e 1 ) = k 1 φ(x 2 ) = y (e 2 ) = k 2 32

43 φ(x 3 ) = y (e 3 ) = k 3 şeklinde tanımlansın. σ = { 1 E, 0 E } ve τ = FS X E olmak üzere φ = (X, τ, E) (Y, σ, E) be süreklidir. Buna karşın, (Y, σ, E), be bağlantılıdır ama (X, τ, E) be bağlantılı değildir. Tanım (X, τ, E) bir be topolojik uzay ve f, g FS X E olsun. f g = 0 E ve f g = 0 E ise, f ve g be kümelerine be ayrılmış kümeler denir ve f g şeklinde gösterilir. Örnek (X, τ 1, E) bir be topolojik uzayında her f FS X E için f f c dir. Teorem (X, τ, E) bir be topolojik uzay ve f, g τ olsun. f g = 0 E ise f g dir. İspat. f, g τ için f g = 0 E olduğunu kabul edelim. Eşitliğin her iki yanına be tümleyen işlemi uygulanırsa Teorem v. ve x. dan f c g c = 1 E f g c ve g f c kapsamaları, g c, f c κ(τ) ile dikkate alınırsa, f g c = g c ve g f c = f c bulunur. Dolayısıyla f g = 0 ve f g = 0 E Teorem (X, τ, E) bir be topolojik uzay ve f, g κ(τ) olsun. f g = 0 ise f g dir. İspat. f, g κ(τ) olsun. Teorem den f = f ve g = g dir. Buradan, f g = f g = 0 E ve f g = f g = 0 E Bu ise f g demektir. Teorem (X, τ, E) bir be topolojik uzay ve f FS X E olsun. f be bağlantılıdır ancak ve ancak f ayrılmış iki kümenin birleşimi şeklinde yazılamaz. 33

44 İspat. ( ) : f = 0 E ise durum aşikardır. O halde f 0 E olsun. f be bağlantılı ve g h kümeleri f g h koşulunu sağlasın. g h g h = 0 E ve g h g h = 0 E kapsamalarından f nin bağlantısız olduğu sonucu Bu durum hipotezle çelişece- ğinden f, iki ayrık be kümenin birleşimi olarak yazılamaz. ( ) : f ayrılmış iki kümenin birleşimi şeklinde yazılamasın ama bağlantısız olsun. Bu takdirde, f g h, ve g h = 0 E olacak şekilde g, h τ vardır. Bir be kapalı kümenin kapanışı kendisi olduğundan g h = g h = 0 E Bu durum kabulümüzle çelişir. Teorem (X, τ, E) bir be topolojik uzay olsun. (X, τ, E) be bağlantılıdır ancak ve ancak 1 E, iki be ayrılmış kümenin birleşimi olarak yazılamaz. İspat. ( ) : 1 E = f g ve f g olsun. Buradan f g = 0 E ve f g = 0 E dir. Dolayısıyla Buradan f g = 0 E, f = g c ve g = f c f = f 1 E = f (f g) = (f f) (f g) = f Şu halde f κ(τ) dur. Benzer şekilde; g = g 1 E = g (f g) = (g f) (g g) = g 34

45 ve g κ(τ) f = g c ve g = f c eşitliklerinden f, g τ Bu ise (X, τ, E) nin be bağlantılı olmasıyla çelişir. ( ) : 1 E iki be ayrılmış kümenin birleşimi olarak yazılamasın. (X, τ, E) nin be bağlantı- sız olduğunu varsayalım. Teorem den bu uzayda hem be açık hem de be kapalı bir be küme vardır. Bu ise hipotezle çelişir. O halde (X, τ, E) be bağlantılıdır. 5.2 F SC i Bağlantılılık Tanım (X, τ, E) bir be topolojik uzay ve f FS X E olsun. i. f g h, g h f c, f g 0 E ve f h 0 E olacak şekilde be boştan farklı g, h τ varsa, f ye (X, τ, E) uzayında F SC 1 bağlantılıdır denir. ii. f g h, f g h = 0 E, f g 0 E ve f h 0 E olacak şekilde be boştan farklı g, h τ varsa, f ye (X, τ, E) uzayında F SC 2 bağlantılıdır denir. iii. f g h, g h f c, g /f c, h /f c olacak şekilde be boştan farklı g, h τ varsa f ye (X, τ, E) uzayında F SC 3 bağlantılıdır denir. iv. f g h, f g h = 0 E, g /f c ve h /f c olacak şekilde be boştan farklı g, h τ varsa f ye (X, τ, E) uzayında F SC 4 bağlantılıdır denir. Yukarıdaki tanım dikkate alındığında F SC i -bağlantılılık (i = 1, 4) kavramları arasındaki ilişki aşağıdaki diyagramda gösterildiği gibidir. F SC 1 F SC 2 F SC 3 F SC 4 Aşağıdaki örnekler tüm aksi durumları göstermektedir. 35

46 Örnek X = [0, 1] ve E = {a, b} olsun. f, g, h FS X E kümeleri f = { (a, {x, µ f(a) (x) : x X}), (b, {x, µ f(b) (x) : x X}) } g = { (a, {x, µ g(a) (x) : x X}), (b, {x, µ g(b) (x), : x X}) } h = { (a, {x, µ h(a) (x) : x X}), (b, {x, µ h(b) (x) : x X}) } burada her x X için µ f(a) (x) = µ f(b) (x) = µ g(a) (x) = < x < x µ g(b) (x) = < x < x µ h(a) (x) = < x x µ h(b) (x) = < x x 1 3 olarak tanımlanmaktadır. τ = { 1 E, 0 E, g, h, g h} olmak üzere (X, τ, E) bir be topolojik uzaydır. Bu takdirde, f F SC 4 bağlantılıdır fakat F SC 2 bağlantılı değildir. Örnek X = [0, 1] ve E = {a, b} olsun. f, g, h FS X E kümeleri g = { (a, {x, µ g(a) (x) : x X}), (b, {x, µ g(b) (x) : x X}) } h = { (a, {x, µ h(a) (x) : x X}), (b, {x, µ h(b) (x) : x X}) } f = g h 36

47 burada her x X için µ g(a) (x) = µ g(b) (x) = µ h(a) (x) = µ h(b) (x) = 1 0 < x x < x x < x x < x x τ = { 0 E, 1 E, g, h, g h} olmak üzere (X, τ, E) bir be topolojik uzaydır. takdirde, f F SC 4 bağlantılıdır ama F SC 3 bağlantılı değildir. Bu Örnek X = [0, 1] ve E = {a, b} olsun. f, g, h FS X E kümeleri g = { (a, {x, µ g(a) (x) : x X}), (b, {x, µ g(b) (x) : x X}) } h = { (a, {x, µ h(a) (x) : x X}), (b, {x, µ h(b) (x) : x X}) } f = { (a, {x, µ f(a) (x) : x X}), (b, {x, µ f(b) (x) : x X}) } şeklinde tanımlanıyor. Burada her x X için µ g(a) (x) = < x x µ g(b) (x) = < x x µ h(a) (x) = < x x µ h(b) (x) = < x x

48 µ f(a) (x) = 1 µ f(b) (x) = 1 3 olarak tanımlanıyor. τ = { 0 E, 1 E, g, h, g h, g h} olmak üzere (X, τ, E) bir be topolojik uzaydır. Bu takdirde, f bu be topolojik uzaya göre F SC 2 bağlantılıdır ama F SC 1 bağlantılı değildir. Örnek X = [0, 1] ve E = {a, b} olsun. f, g, h IFS X E kümeleri f = { (a, {x, µ f(a) (x) : x X}), (b, {x, µ f(b) (x) : x X}) } g = { (a, {x, µ g(a) (x) : x X}), (b, {x, µ g(b) (x) : x X}) } h = { (a, {x, µ h(a) (x) : x X}), (b, {x, µ h(b) (x) : x X}) } burada her x X için µ f(a) (x) = µ f(b) (x) = µ g(a) (x) = µ g(b) (x) = 1 2 < x < x < x x < x x < x x 2 3 olarak tanımlanıyor. τ = { 0 E, 1 E, g, h, g h} olmak üzere (X, τ, E) bir be topolojik uzaydır. f, bu uzayda F SC 3 bağlantıldır fakat F SC 2 bağlantılı ve F SC 1 bağlantılı değildir. Örnek Örnek de her x X için µ f(a) (x) = µ f(b) (x) = 2 3 alırsak, f bu uzayda F SC 2 bağlantılıdır ama F SC 3 bağlantılı değildir 38

49 Teorem (X, τ, E) ve (Y, σ, K) iki be topolojik uzay, φ : (X, τ, E) (Y, σ, K) bir be sürekli ve be örten fonksiyon ve f FS X E φ (f) de F SC 1 bağlantıldır. olsun. f, F SC 1 -bağlantılı ise İspat. f, (X, τ, E) uzayında F SC 1 bağlantılı olsun.φ (f) nin (Y, σ, K) uzayında F SC 1 bağ- lantılı olmadığını varsayalım. Buradan; φ (f) g h g h (φ (f)) c φ (f) g 0 K φ (f) h 0 K olacak şekilde g, h τ vardır. Teorem den ve φ 1 f (φ ) 1 (φ (f)) φ 1 (g h) = φ 1(g) φ 1 (h) φ 1 0 E φ 1 (φ (f) g) = φ 1 (g h) = φ 1 (g) φ 1 (h) ( (f)) c) φ = ( φ 1 (φ (f)) ) c f c (φ (f)) φ 1 (g) f φ 1 (g) 0 E φ 1 (φ (f) h) = φ 1 (φ (f)) φ 1 (h) f φ 1 (h) olur. Bu ise f nin F SC 1 bağlantılı olmasıyla çelişir. Teorem (X, τ, E) ve (Y, σ, K) iki be topolojik uzay, φ : (X, τ, E) (Y, σ, K) bir be sürekli ve be örten fonksiyon ve f FS X E φ (f) de F SC 2 bağlantıldır. olsun. f, F SC 2 bağlantılı ise İspat. f, (X, τ, E) uzayında F SC 2 bağlantılı olsun. Ama φ (f), F SC 2 bağlantılı olmasın.buradan, φ (f) g h φ (f) g h = 0 K φ (f) g 0 K φ (f) h 0 K 39

50 olacak şekilde 0 K dan farklı g, h τ vardır. Böylece f φ 1 f φ 1 (φ (f)) φ 1 (g h) = φ (g) φ (h) (g) φ 1 (h) φ 1 ( φ (g) g h) f φ 1 (g) φ 1 (φ (f) g) = φ 1 f φ 1 (h) φ 1 (φ (f) h) = φ 1 ) = φ 1 (φ (f)) φ (g) φ 1 (h) = 0 E ( φ (f) ) φ 1 (g) 0 E ( φ (f) ) φ 1 (h) 0 E φ 1 (g), φ 1 (h) τ olduğundan, bu durum f nin F SC 2 bağlantılı olmasıyla çelişir. Teorem (X, τ, E) ve (Y, σ, K) iki be topolojik uzay, φ : (X, τ, E) (Y, σ, K) sbe-örten ve sürekli fonksiyon ve f FS X E olsun. Eğer f, F SC 3 bağlantılı ise φ (f) de F SC 3 bağlantılıdır. İspat. f, F SC 3 bağlantılı olsun.φ (f) in F SC 3 bağlantılı olmadığını varsayalım. Buradan φ (f) g h g h (φ (f)) c g /(φ (f)) c h /(φ (f)) c olacak şekilde g, h σ vardır. Buradan, f φ 1 (φ (f)) φ 1 (g h) = φ 1 (g) φ 1 (h) ve (φ ) 1 (g h) = (φ ) 1 (g) (φ ) 1 (h) (φ ) 1 ((φ (f)) c ) f c φ sbe sürekli olduğundan φ 1 (g), φ 1(h) τ dur. Ayrıca g /(φ (f)) c ve h /(φ (f)) c 40

51 kapsamalarından öyle y 1, y 2 Y vardır ki; f, F SC 3 bağlantılı olsun.φ (f) in F SC 3 bağlantılı olmadığını varsayalım. Buradan φ (f) g h g h (φ (f)) c g /(φ (f)) c h /(φ (f)) c olacak şekilde g, h σ vardır. f (φ ) 1 ((φ (f))) (φ ) 1 (g h) = (φ ) 1 (g) (φ ) 1 (h) ve (φ ) 1 (g h) = (φ ) 1 (g) (φ ) 1 (h) (φ ) 1 ((φ (f)) c ) f c olur. φ psi be sürekli olduğundan (φ ) 1 (g), (φ ) 1 (h) τ dur. Ayrıca g /(φ (f)) c ve h /(φ (f)) c den öyle y 1, y 2 Y vardır ki; µ g(e) (y 1 ) 1 φ (f)(k)(y 1 ) (5.2.1) µ h(e) (y 2 ) 1 φ (f)(k)(y 2 ) (5.2.2) ve νg(e)(y 1 ) 1 φ (f)(k)(y 1 ) (5.2.3) ν h(e) (y 2 ) 1 φ (f)(k)(y 2 ) (5.2.4) dır. φ (g) f c olduğunu varsayalım. Bu durum, (5.1.1) ile çelişir. φ (h) f c olduğunu varsayarsak bu da (5.2.2) ile çelişir. O halde φ (f) de F SC 3 bağlantılıdır. Teorem (X, τ, E) ve (Y, σ, K) iki be topolojik uzay, φ : (X, τ, E) (Y, σ, K) be örten ve sürekli fonksiyon ve f FS X E olsun. Eğer f, SC 4 bağlantılı ise φ (f) de F SC 4 bağlantılıdır. 41

52 İspat. f, F SC 4 bağlantılı olsun. φ (f) nin F SC 4 bağlantılı olmadığını varsayalım. Buradan, φ (f) g h φ (f) g h = 0 K g /(φ (f)) c g /(φ (f)) c olacak şekilde g, h σ vardır.buradan, ve f φ 1 (φ (f)) φ 1 (g g) = φ 1 (g) φ 1 (h) φ 1 (φ (f) g h) = f φ 1 (g) φ 1 (h) = 0 E g /((φ (f)) c ) ve h ((φ (f)) c ) kapsamalarından, öyle y 1, y 2 Y vardır ki, µ g(e) (y 1 ) 1 φ (f)(k)(y 1 ) (5.2.5) µ h(e) (y 2 ) 1 φ (f)(k)(y 2 ) ve ν g(e) (y 1 ) 1 φ (f)(k)(y 1 ) (5.2.6) ν h(e) (y 2 ) 1 φ (f)(k)(y 2 ) φ (g) f c olduğunu varsayalım. Bu durum, (5.2.5) ile çelişir. φ (h) f c olduğunu varsayarsak bu da (5.2.6) ile çelişir. O halde φ (f) de F SC 3 bağlantılıdır. Teorem (X, τ, E) bir be topolojik uzay ve f 1, f 2 FS X E kümeleri F SC 1 bağlantılı ve f 1 f 2 = 0 E olsun. Bu taktirde f1 f 2 de F SC 1 bağlantılıdır. İspat. Aksini kabul edelim. f 1 f 2, F SC 1 bağlantılı olmasın. Buradan, f 1 f 2 g h g h (f 1 f ) c 2 (f 1 f 2 ) g 0 E (f 1 f 2 ) h 0 E 42

53 olacak şekilde 0 E den farklı g, h τ vardır. Buradan, f 1 f 2 = 0 E eşitliğiyle f 1 g h, f 2 g h g h f c 1, g h f c 2 f 1 g 0 E, f 1 h 0 E, f 2 g 0 E f 2 h 0 E elde edlir. Bu durum f 1 ve f 2 nin F SC 1 bağlantılı olmasıyla çelişir. Teorem (X, τ, E) bir be topolojik uzay ve f 1, f 2 FS X E kümeleri F SC 2 bağlantılı ve f 1 f 2 = 0 E olsun. Bu taktirde f1 f 2 de F SC 2 bağlantılıdır. İspat. f 1 f 2 nin F SC 2 bağlantılı olmadığını varsayalım. Buradan f 1 f 2 g h (f 1 f 2 ) g h = 0 E (f 1 f 2 ) g 0 E (f 1 f 2 ) h 0 E olacak şekilde g, h τ vardır. f 1 f 2 = 0 E eşitliği de kullanılırsa, f 1 g h, f 2 g h f 1 g h = 0 E, f 2 g h = 0 E f 1 g 0 E, f 1 h 0 E, f 2 g 0 E f 2 g 0 E Bu durumda f 1 ve f 2 nin F SC 2 bağlantılı olmasıyla çelişir. 43

54 6. TARTIŞMA VE SONUÇ Bu çalışmada bulanık topolojik uzay ve bulanık topolojik uzaylardaki bağlantılılık kavramlarından yola çıkılarak bulanık esnek bağlantılılık ve bulanık esnek F SC i (i = 1, 2, 3, 4) bağlantılık kavramı ve temel özellikleri ele alınarak incelenmiştir. 44

55 KAYNAKLAR [1] Ahmat, B., Kharal, A., On fuzzy soft sets, Hindawi Publishing Corporation, Advances in Fuzzy Systems, Article ID , [2] Ajmal, N., Kohli, J. K., Connectedness in fuzzy topological spaces, Fuzzy Sets and Systems, 31 (1989), [3] Ali, M. I., Feng, F., Liu, X., Min, W. K., Shabir, M., On some new operations in soft set theory, Computers and Mathematics with Applications, 57 (2009), [4] Aktaş, H., Çağman, N., Soft sets and soft groups, Information Sciences, 177 (2007), [5] Atanassov, K. T., Intuitionistic fuzzy sets, Fuzzy Sets and Systems, 20 (1986), [6] Aygünoğlu, A., Aygün, H., Some notes on soft topological spaces, Neural Comput and Applic, (2011), 1 7. [7] Chang, C. L., Fuzzy topological spaces, J. Math. Appl., 24 (1968), [8] Çağman, N., Enginoğlu, S., Soft set theory and uni-int decision making, European Journal of Operational, 207 (2010), [9] Çağman, N., Karataş, S., Enginoğlu, S., Soft topology, Computers and Mathematics with Applications, 62 (2011), [10] Çağman, N., Contributions to theory of soft sets, Journal of New Results in Science, 4 (2014), [11] Çoker, D., An introduction to intuitionistic fuzzy topological spaces, Fuzzy Sets and Systems, 88 (1997), [12] Gain, P. K., Mukherjee, P., Chakraborty, R. P., Pal, M., On some structural properties of fuzzy soft topological spaces, Intern. J. Fuzzy Mathematical Archive, 1 (2013),

56 [13] Gong, K., Wang, P., Xiao, Z., Bijective soft set decision system based parameters reduction under fuzzy environments, Applied Mathematical Modelling, 37 (2013), [14] Guan, X., Li, Y., Feng, F., A new order relation on fuzzy soft sets and its application, Soft Comput., 17(1) (2013), [15] Gündüz, Ç., Bayramov, S., Some results on fuzzy soft topological spaces, Hindawi Publishing Corporation Mathematical Problems in Engineering Volume 2013, Article ID [16] Hussain, S., Ahmad, B., Some properties of soft topological spaces, Computers and Mathematics with Applications, 62 (2011), [17] Hussain, S., A note on soft connectedness, Journal of Egyptian Mathematical Society 23(1) (2015), [18] Karataş, S., İşleyen, M. A., Sezgisel bulanık esnek topolojik uzaylarda bağlantılılık, Ordu üniversitesi fen bilimleri enstitüsü yüksek lisans tezi (2014). [19] Karataş, S., Akdağ, M., On intuitionistic fuzzy soft continuous mappings, Journal of New Results in Science, 4 (2014), [20] Karataş, S., İşleyen, M. A., Connectedness on intuitionistic fuzzy soft topological spsaces, Journal of New Theory, 1 (2015), [21] Karataş, S., Kılıç, B., Tellioğlu, M., On fuzzy soft connected topological spaces, Journal of Linear and Topological Algebra, 4(3) (2015), [22] Kharal, A., Ahmad, B., Mappings on fuzzy soft classes, Hindawi Publishing Corporation, Advances in Fuzzy Systems, Article ID , [23] Kong, Z., Gao, L., Wang, L., Li, S., The normal parameter reduction of soft sets and its algorithm, Computers and Mathematics with Applications, 56 (2008), [24] Li, Z., Cui, R., On the topological structure of intuitionistic fuzzy soft set, Annals of Fuzzy Mathematics and Informatics, 5(1) (2013),

SOFT TOPOLOJİK UZAYLARIN TERS SİSTEMLERİ

SOFT TOPOLOJİK UZAYLARIN TERS SİSTEMLERİ SOFT TOPOLOJİK UZAYLARIN TERS SİSTEMLERİ Sadi Bayramov 1, Çiğdem Gündüz (Aras) 2, Nesrin Demirci 1 1 Kafkas Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi-KARS 2 Kocaeli Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi-KOCAELİ

Detaylı

Esnek çoklu topolojide bazı sonuçlar. Some results on soft multi topology

Esnek çoklu topolojide bazı sonuçlar. Some results on soft multi topology SAÜ. Fen Bil. Der. 17. Cilt, 3. Sayı, s. 371-379, 2013 SAU J. Sci. Vol 17, No 3, p. 371-379, 2013 Esnek çoklu topolojide bazı sonuçlar İsmail Osmanoğlu, Deniz Tokat * Nevşehir Hacı Bektaş Veli Üniversitesi,

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ SOFT BAĞLANTILI UZAYLAR Zehra ER YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Matematik Anabilim Dalı Eylül-2015 KONYA Her Hakkı Saklıdır ÖZET YÜKSEK LĠSANS TEZĠ SOFT BAĞLANTILI

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SOFT TOPOLOJİK UZAYLAR ÜZERİNE Uğur ÇOŞKUN YÜKSEK LİSANS Matematik Anabilim Dalı HAZİRAN-2014 KONYA Her Hakkı Saklıdır TEZ BİLDİRİMİ Bu tezdeki bütün bilgilerin

Detaylı

Topolojik Uzaylarda Süreklilik Çeşitleri Üzerine

Topolojik Uzaylarda Süreklilik Çeşitleri Üzerine S Ü Fen Ed Fak Fen Derg Sayı 26 (2005) 43-50, KONYA Topolojik Uzaylarda Süreklilik Çeşitleri Üzerine Kemal USLU 1, Şaziye YÜKSEL Selçuk Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Kampüs-Konya

Detaylı

Yard. Doç. Dr. İrfan DELİ. Matematik

Yard. Doç. Dr. İrfan DELİ. Matematik Unvanı Yard. Doç. Dr. Adı Soyadı İrfan DELİ Doğum Yeri ve Tarihi: Çivril/Denizli -- 06.04.1986 Bölüm: E-Posta Matematik irfandeli20@gmail.com, irfandeli@kilis.edu.tr AKADEMİK GELİŞİM ÜNİVERSİTE YIL Lisans

Detaylı

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011 ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Doktora 2010913070 Nisan, 2011 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup teorisi cebirin en temel dallarından biridir. Yarıgrup terimi ilk olarak 1904

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

Yrd.Doç.Dr. SERDAR ENGİNOĞLU

Yrd.Doç.Dr. SERDAR ENGİNOĞLU Yrd.Doç.Dr. SERDAR ENGİNOĞLU ÖZGEÇMİŞ DOSYASI KİŞİSEL BİLGİLER Doğum Yılı : Doğum Yeri : Sabit Telefon : Faks : E-Posta Adresi : Web Adresi : Posta Adresi : 1977 BAYBURT T: 28621800181711 F: 2862180533

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı

BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1 Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı Mart 2015 0 SORU 1) Bulanık Küme nedir? Bulanık Kümenin (fuzzy

Detaylı

DERS 2 : BULANIK KÜMELER

DERS 2 : BULANIK KÜMELER DERS 2 : BULNIK KÜMELER 2.1 Gİriş Klasik bir küme, kesin sınırlamalarla verilen bir kümedir. Örneğin, klasik bir küme aşağıdaki gibi belirtilebilir: = { x x > 6 }, Kapalı sınır noktası burada 6 dır.burada

Detaylı

ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ. YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ. Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ

ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ. YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ. Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ MATEMATİK ANABİLİM DALI Haziran, 2014 AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

TOPOLOJİK ROUGH KÜMELERİ ÜZERİNE. Hatice Kübra SARI

TOPOLOJİK ROUGH KÜMELERİ ÜZERİNE. Hatice Kübra SARI TOPOLOJİK ROUGH KÜMELERİ ÜZERİNE Hatice Kübra SARI Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı Topoloji Bilim Dalı Prof. Dr. Abdullah KOPUZLU 2014 Her hakkı saklıdır ATATÜRK ÜNİVERİSTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Detaylı

1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi

1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi 1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi Euclidean R uzayının tabanının B = {(a, b) : a, b R} olduğunu biliyoruz. Demek ki bu uzayda belirleyiçi unsur açık aralıklar. Her açık aralık (a, b) için, olmak üzere, d

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c 0. Küme Cebri Bu bölümde verilen keyfikümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi özellikleri sağlayan eşitliklerle ilgilenceğiz. İlk olarak De Morgan kurallarıdiye bilinen bir Teoremi ifade

Detaylı

ÖZGEÇMİŞ. Derece Bölüm/Program Üniversite Yıl

ÖZGEÇMİŞ. Derece Bölüm/Program Üniversite Yıl ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı: Fatih Koyuncu Doğum Tarihi: 10 Haziran 1971 Akademik Ünvanı : Y. Doç. Dr. Çalışma Alanları: Cebir, Cebirsel Sayı Teorisi, Cebirsel Geometri, Kodlama Teorisi, Kriptoloji, Cebirsel Topoloji.

Detaylı

Bulanık Küme Kavramı BULANIK KÜME. Sonlu ve Sonsuz Bulanık Kümeler. Sonlu ve Sonsuz Bulanık Kümeler

Bulanık Küme Kavramı BULANIK KÜME. Sonlu ve Sonsuz Bulanık Kümeler. Sonlu ve Sonsuz Bulanık Kümeler ULNIK KÜME ulanık Küme Kavramı Elemanları x olan bir X evrensel (universal küme düșünelim. u elemanların ÌX alt kümesine aitliği, yani bu altkümelerin elemanı olup olmadığı X in {0,1} de olan karakteristik

Detaylı

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve düzlem Geçen ders doğrusal cebir aracılığıyla izdüşümsel geometri için bir model kurduk. Şimdi bu modeli daha somut bir şekle sokalım, F = R durumunda kurduğumuz

Detaylı

Derece Bölüm/Program Üniversite Yıl

Derece Bölüm/Program Üniversite Yıl DR. ALI S. NAZLIPINAR Dumlupınar Üniversitesi, Fen Ed. Fakültesi Matematik Bölümü, Kütahya, TÜRKİYE ali.nazlipinar@dpu.edu.tr Tel: +90 274 2652031 /3065 (Dahili) Öğrenim Durumu Derece Bölüm/Program Üniversite

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48 İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

KABA KÜME TEORİSİ (Rough Set Theory) Dr. Sedat TELÇEKEN

KABA KÜME TEORİSİ (Rough Set Theory) Dr. Sedat TELÇEKEN KABA KÜME TEORİSİ (Rough Set Theory) Dr. Sedat TELÇEKEN Giriş Bilgi teknolojisindeki gelişmeler ve verilerin dijital ortamda saklanmaya başlanması ile yeryüzündeki bilgi miktarı her 20 ayda iki katına

Detaylı

ÖZGEÇMİŞ. Derece Üniversite Alanı Yılı Bütünleşik Doktora Ege Üniversitesi Matematik (Cebirsel 2009-2014. Lisans Ege Üniversitesi Matematik 2009

ÖZGEÇMİŞ. Derece Üniversite Alanı Yılı Bütünleşik Doktora Ege Üniversitesi Matematik (Cebirsel 2009-2014. Lisans Ege Üniversitesi Matematik 2009 ÖZGEÇMİŞ 1. Adı Soyadı : ÖZGÜR EGE 2. Doğum Tarihi : 15.06.1987 3. Doğum Yeri : İZMİR 4. Ünvanı : Araştırma Görevlisi Doktor 5. Adres : Celal Bayar Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü

Detaylı

ÖZGEÇMİŞ. Çalışma Alanları: Cebir ve sayılar teorisi, cebirsel sayı teorisi, cebirsel geometri, cebirsel kodlama teorisi.

ÖZGEÇMİŞ. Çalışma Alanları: Cebir ve sayılar teorisi, cebirsel sayı teorisi, cebirsel geometri, cebirsel kodlama teorisi. ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı: Fatih Koyuncu Doğum Tarihi: 10 Haziran 1971 Ünvanı : Doç. Dr. Çalışma Alanları: Cebir ve sayılar teorisi, cebirsel sayı teorisi, cebirsel geometri, cebirsel kodlama teorisi. 1. Öğrenim

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

FUZZY İDEAL TOPOLOJİK UZAYLAR. Fadhil ABBAS YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ OCAK 2011 ANKARA

FUZZY İDEAL TOPOLOJİK UZAYLAR. Fadhil ABBAS YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ OCAK 2011 ANKARA FUZZY İDEAL TOPOLOJİK UZAYLAR Fadhil ABBAS YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ OCAK 2011 ANKARA Fadhil ABBAS tarafından hazırlanan "FUZZY İDEAL TOPOLOJİK

Detaylı

SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A

SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A 2.2 Ölçüler SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X kuvvet kümesi veriliyor. P (X üzerinde 0 ; A (A : 1 ; A şeklinde tanımlanan dönüşümü ölçü müdür? ÇÖZÜM 1: (i Tanımdan ( 0. (ii A

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR

1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR 1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR Bu bölümde ilk olarak Matematikte çok önemli bir yere sahip olan Bağıntı kavramnı verip daha sonra ise Fonksiyon tanımı verip genel özelliklerini inceleyeceğiz. Tanım 1 A B

Detaylı

ÖZGEÇMİŞ VE ESERLER LİSTESİ

ÖZGEÇMİŞ VE ESERLER LİSTESİ ÖZGEÇMİŞ VE ESERLER LİSTESİ ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı: R. TUNÇ MISIRLIOĞLU Doğum Tarihi: 1971 Adres: İstanbul Kültür Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik-Bilgisayar Bölümü Ataköy Kampüsü, 34156 Bakırköy-İstanbul

Detaylı

Tez adı: Genelleştirilmiş büzülme dönüşümleri için bazı sabit nokta teoremleri (2016) Tez Danışmanı:(ARAP DURAN TÜRKOĞLU)

Tez adı: Genelleştirilmiş büzülme dönüşümleri için bazı sabit nokta teoremleri (2016) Tez Danışmanı:(ARAP DURAN TÜRKOĞLU) HÜSEYİN IŞIK YARDIMCI DOÇENT E-Posta Adresi : h.isik@alparslan.edu.tr Telefon (İş) Telefon (Cep) Faks Adres : : : : 3122021084-5071865605 MUŞ ALPARSLAN ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ Öğrenim Durumu

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Kümeler Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Kümeler Kümeler Ayrık Matematiğin en temel konularından biridir Sayma problemleri için önemli Programlama dillerinin

Detaylı

10. DİREKT ÇARPIMLAR

10. DİREKT ÇARPIMLAR 10. DİREKT ÇARPIMLAR Teorem 10.1. H 1,H 2,, H n bir G grubunun alt gruplarının bir ailesi ve H = H 1 H 2 H n olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir. a ) dönüşümü altında dır. b) ve olmak üzere her yi tek türlü

Detaylı

ÖZGEÇMİŞ VE ESERLER LİSTESİ

ÖZGEÇMİŞ VE ESERLER LİSTESİ ÖZGEÇMİŞ VE ESERLER LİSTESİ ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı: Ahu Açıkgöz Öğrenim Durumu: Derece Bölüm/Program Üniversite Yıl Lisans Matematik Selçuk Üniversitesi 1998 Y. Lisans Matematik Selçuk Üniversitesi 2001 Doktora

Detaylı

Esnek Hesaplamaya Giriş

Esnek Hesaplamaya Giriş Esnek Hesaplamaya Giriş J E O L O J İ M Ü H E N D İ S L İ Ğ İ A. B. D. E S N E K H E S A P L A M A Y Ö N T E M L E R İ - I DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Esnek Hesaplama Nedir? Esnek hesaplamanın temelinde yatan

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

DÜZGÜN ÖLÇÜM. Ali DÖNMEZ Doğuş Üniversitesi, Fen Bilimleri Bölümü. Halit ORHAN Atatürk Üniversitesi, Matematik Bölümü

DÜZGÜN ÖLÇÜM. Ali DÖNMEZ Doğuş Üniversitesi, Fen Bilimleri Bölümü. Halit ORHAN Atatürk Üniversitesi, Matematik Bölümü DÜZGÜN ÖLÇÜM Ali DÖNMEZ Doğuş Ünirsitesi, Fen Bilimleri Bölümü Halit ORHAN Atatürk Ünirsitesi, Matematik Bölümü Özet: Düzgün ölçüm üzerine bazı teoremler ispatlandı. Anahtar sözcükler: Ölçüm, düzgün ölçüm,

Detaylı

1.3. Normal Uzaylar. Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak. baz temel özellikleri incelenecektir.

1.3. Normal Uzaylar. Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak. baz temel özellikleri incelenecektir. 1.3. Normal Uzaylar Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak baz temel özellikleri incelenecektir. Tan m 1.3.1. (X; ) bir Hausdor uzay olsun. E¼ger, 8F; K 2 F; F \ K = ;

Detaylı

Küme Temel Kavramları

Küme Temel Kavramları Kümeler Kümeler Küme, matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram "nesneler topluluğu veya yığını" olarak yorumlanabilir. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir; fakat her ne olursa

Detaylı

İKİ İDEMPOTENT MATRİSİN BAZI KOMBİNASYONLARININ GRUP TERSİNİ BULAN BİR ALGORİTMA

İKİ İDEMPOTENT MATRİSİN BAZI KOMBİNASYONLARININ GRUP TERSİNİ BULAN BİR ALGORİTMA BEYKENT ÜNİVERSİTESİ FEN VE MÜHENDİSLİK BİLİMLERİ DERGİSİ Sayı 7(1) 2014, 25-36 İKİ İDEMPOTENT MATRİSİN BAZI KOMBİNASYONLARININ GRUP TERSİNİ BULAN BİR ALGORİTMA Tuğba PİŞTOFOGLU (tugbapistofoglu@gmail.com)

Detaylı

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,

Detaylı

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ İnci BİRGİN Anabilim Dalı : Matematik Programı : Matematik

Detaylı

2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k Ba¼glant l Topolojik Uzaylar. Tan m (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k

2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k Ba¼glant l Topolojik Uzaylar. Tan m (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k 2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k 2.1. Ba¼glant l Topolojik Uzaylar Tan m 2.1.1. (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k iki aç ktan oluşan bir örtüsü yok ise, (X; ) topolojik

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

MATEMATİK BÖLÜMÜ BÖLÜM KODU:3201

MATEMATİK BÖLÜMÜ BÖLÜM KODU:3201 BÖLÜM KODU:01 011-01 01.Yarıyıl Dersleri 0.Yarıyıl Dersleri MTK 101 Analiz I Analysis I 4 1 5 6 MTK 10 Analiz II Analysis II 4 1 5 6 MTK 11 Lineer Cebir I Linear Algebra I 1 4 MTK 1 Lineer Cebir II Linear

Detaylı

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Fonksiyonlar Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Fonksiyonlar Tanım: A ve B boş olmayan kümeler. A dan B ye bir f fonksiyonu f: A B ile gösterilir ve A nın her

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

ASYMMETRIC TOPOLOGICAL SPACES ESRA KARATAŞ

ASYMMETRIC TOPOLOGICAL SPACES ESRA KARATAŞ ASİMETRİK TOPOLOJİK UZAYLAR ASYMMETRIC TOPOLOGICAL SPACES ESRA KARATAŞ HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ Lisansüstü Eğitim-Öğretim ve Sınav Yönetmeliğinin Matematik Anabilim Dalı için YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak hazırlanmıştır.

Detaylı

ÖZGEÇMİŞ. 1. Adı Soyadı : Kamile ŞANLI KULA İletişim Bilgileri : Ahi Evran Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Adres Matematik Bölümü, KIRŞEHİR

ÖZGEÇMİŞ. 1. Adı Soyadı : Kamile ŞANLI KULA İletişim Bilgileri : Ahi Evran Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Adres Matematik Bölümü, KIRŞEHİR Resim ÖZGEÇMİŞ 1. Adı Soyadı : Kamile ŞANLI KULA İletişim Bilgileri : Ahi Evran Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Adres Matematik Bölümü, KIRŞEHİR Telefon : 386 280 45 50 Mail : kskula@ahievran.edu.tr

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur

Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur Kümeler Kümeler ve küme işlemleri olasılığın temellerini oluşturmak için çok önemlidir Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur Sonlu sayıda, sonsuz sayıda, kesikli

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

SORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin. A := {B P (X) : B sonlu} SORU 2: X sayılamayan bir küme

SORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin. A := {B P (X) : B sonlu} SORU 2: X sayılamayan bir küme 2. ÖLÇÜLER 2.1 BazıKüme Sınıfları SORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin bir sınıfıolsun. A sınıfıx üzerinde bir σ cebir midir? ÇÖZÜM 1: A := {B P (X) : B sonlu} X / A

Detaylı

KÜMELER. İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Bir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. Bu nesneler somut veya soyut olabilir.

KÜMELER. İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Bir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. Bu nesneler somut veya soyut olabilir. 1 KÜMELER İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. ir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. u nesneler somut veya soyut olabilir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine eleman(öğe) denir.

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Mantık Kurallarının Elektrik Devrelerine Uygulanması... 14

İÇİNDEKİLER. Mantık Kurallarının Elektrik Devrelerine Uygulanması... 14 İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM MANTIK Giriş... 1 Genel Olarak Mantık... 1 Mantığın Tarihçesi ve Modern Mantığın Doğuşu... 1 Mantık Öğretimin Önemi ve Amacı... 2 Önerme... 3 VE İşlemi (Birlikte Evetleme, Mantıksal

Detaylı

Gerçel Sayılar Grubunda Tanımlı Grup Topolojilerin Sayısı. Zafer ERCAN 1

Gerçel Sayılar Grubunda Tanımlı Grup Topolojilerin Sayısı. Zafer ERCAN 1 Gerçel Sayılar Grubunda Tanımlı Grup Topolojilerin Sayısı Zafer ERCAN 1 Doğal sayılar kümesi, tamsayılar kümesi, rasyonel sayılar kümesi ve gerçel sayılar kümesi, her zaman olduğu gibi, sırasıyla, N, Z,

Detaylı

14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir.

14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 14.Konu Reel sayılarının topolojisi 1.Teorem: cismi tamdır. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 2.Tanım: ve verilsin. nın her komşuluğunda

Detaylı

BULANIK AMAÇ KATSAYILI DOĞRUSAL PROGRAMLAMA. Ayşe KURUÜZÜM (*)

BULANIK AMAÇ KATSAYILI DOĞRUSAL PROGRAMLAMA. Ayşe KURUÜZÜM (*) D.E.Ü.İ.İ.B.F. Dergisi Cilt:14, Sayı:1, Yıl:1999, ss:27-36 BULANIK AMAÇ KATSAYILI DOĞRUSAL PROGRAMLAMA Ayşe KURUÜZÜM (*) ÖZET Çalışmada bulanık ( fuzzy ) katsayılı amaç fonksiyonuna sahip doğrusal programlama

Detaylı

ÖZGEÇMİŞ MATEMATİK PR. 1996 2000 MATEMATİK ANABİLİM DALI (YL)(TEZLİ) (DR) FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ BÖLÜMÜ ANABİLİM DALI DALI

ÖZGEÇMİŞ MATEMATİK PR. 1996 2000 MATEMATİK ANABİLİM DALI (YL)(TEZLİ) (DR) FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ BÖLÜMÜ ANABİLİM DALI DALI ÖZGEÇMİŞ PERSONEL AD: SOYAD: UĞUR DEĞER DİL ADI SINAV ADI PUAN SEVİYE YIL DÖNEM İngilizce ÜDS 72.5 İYİ 2010 Güz PROGRAM ADI ÜLKE ÜNİVERSİTE ALAN DİĞER ALAN BAŞ. TARİH BİTİŞ TARİH Lisans-Anadal TÜRKİYE

Detaylı

Üye : Yrd. Doç. Dr. Erdal ÖZYURT Adnan Menderes Üni. Üye : Yrd. Doç. Dr. Fatih KOYUNCU Muğla Üni.

Üye : Yrd. Doç. Dr. Erdal ÖZYURT Adnan Menderes Üni. Üye : Yrd. Doç. Dr. Fatih KOYUNCU Muğla Üni. iii T.C. ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÜDÜRLÜĞÜNE AYDIN Matematik Anabilim Dalı Yüksek Lisans Programı öğrencisi Koray KARATAŞ tarafından hazırlanan Genel Lineer Grupların Sylow

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DÖNEM PROJESİ İMAR ÖZELLİKLERİNİN TAŞINMAZ DEĞERLERİNE ETKİLERİ. Yeliz GÜNAYDIN

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DÖNEM PROJESİ İMAR ÖZELLİKLERİNİN TAŞINMAZ DEĞERLERİNE ETKİLERİ. Yeliz GÜNAYDIN ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DÖNEM PROJESİ İMAR ÖZELLİKLERİNİN TAŞINMAZ DEĞERLERİNE ETKİLERİ Yeliz GÜNAYDIN TAŞINMAZ GELİŞTİRME ANABİLİM DALI ANKARA 2012 Her hakkı saklıdır ÖZET Dönem Projesi

Detaylı

7. BAZI MATEMATİKSEL TEMELLER:

7. BAZI MATEMATİKSEL TEMELLER: 7. BAZI MATEMATİKSEL TEMELLER: Bilindiği üzere, matematikte ortaya konan her yeni kavram, kendinden önceki tanımlanmış kavramlar cinsinden, herhangi bir tereddüt veya muğlâklığa mahal bırakmayacak resmî

Detaylı

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2 SERBEST LİE CEBİRLERİNİN ALT MERKEZİ VE POLİSENTRAL SERİLERİNİN TERİMLERİNİN KESİŞİMLERİ * Intersections of Terms of Polycentral Series and Lower Central Series of Free Lie Algebras Zeynep KÜÇÜKAKÇALI

Detaylı

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Gruplar...3 Alt Gruplar...9 Simetrik Gruplar...13 Devirli Alt Gruplar...23 Sol ve Sağ Yan Kümeler (Kosetler)...32 Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 Grup Homomorfizmaları...41

Detaylı

B Ö L Ü M. ve kitaplar yayınlamış olan bir bilim adamıdır. 2 JULIUS WILHELM RICHARD DEDEKIND ( ), Gauss un öğrencilerinden biridir.

B Ö L Ü M. ve kitaplar yayınlamış olan bir bilim adamıdır. 2 JULIUS WILHELM RICHARD DEDEKIND ( ), Gauss un öğrencilerinden biridir. B Ö L Ü M 2 DOĞAL SAYILAR En basit ve temel sayılar doğal sayılardır, sayı kelimesine anlam veren saymak eylemi bu sayılarla başlamıştır. Fakat insanoğlunun var oluşundan beri kullanılan bu sayıların açık

Detaylı

İndirgenme Boyutu Üç Olan Fibonacci Simetrik Sayısal Yarıgruplarının Bir Sınıfı

İndirgenme Boyutu Üç Olan Fibonacci Simetrik Sayısal Yarıgruplarının Bir Sınıfı İndirgenme Boyutu Üç Olan Fibonacci Simetrik Sayısal Yarıgruplarının Bir Sınıfı Meral SÜER * ve Sedat İLHAN * Batman Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü,7060 Batman, Türkiye Dicle Üniversitesi,

Detaylı

3. işleminin birim elemanı vardır, yani her x A için x e = e x = x olacak şekilde e A vardır.

3. işleminin birim elemanı vardır, yani her x A için x e = e x = x olacak şekilde e A vardır. 0.1 GRUPLAR Tanım 1 A kümesi boştan farklıolmak üzere işlemine göre aşağıdaki koşulları gerçekliyorsa (A, ) ikilisine bir Grup denir. 1. kapalılık özelliğine sahiptir, yani her x, y A için x y A olur.

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

Hamel Taban ve Boyut Teoremi

Hamel Taban ve Boyut Teoremi Hamel Taban ve Boyut Teoremi Mert ÇAĞLAR 1 VE Zafer ERCAN 2 1 Amaç Baştan söyleyelim: vektör uzay, vektör altuzay, doğrusal dönüşüm, izomorfik (eş yapılı) vektör uzaylar kavramlarına başlangıç seviyesinde

Detaylı

DUMLUPINAR ÜNİVERSİTESİ AKADEMİK ÖZGEÇMİŞ BELGESİ

DUMLUPINAR ÜNİVERSİTESİ AKADEMİK ÖZGEÇMİŞ BELGESİ DUMLUPINAR ÜNİVERSİTESİ AKADEMİK ÖZGEÇMİŞ BELGESİ KİMLİK VE İLETİŞİM BİLGİLERİ Unvanı Adı Soyadı E posta Prof. Dr. Erhan ATA erhan.ata@dpu.edu.tr Telefon 507 7631676 Dumlupınar Ün. Evliya Çelebi Yerleşkesi

Detaylı

EGE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ (YÜKSEK LİSANS TEZİ)

EGE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ (YÜKSEK LİSANS TEZİ) EGE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ (YÜKSEK LİSANS TEZİ) ÖLÇEKLENEBİLİR H.264 VİDEO KODLAYICISI İÇİN SEVİYELENDİRİLEBİLİR GÜVENLİK SAĞLAYAN BİR VİDEO ŞİFRELEME ÇALIŞMASI Gül BOZTOK ALGIN Uluslararası

Detaylı

ÖZEL EGE LĠSESĠ. ġeklġndekġ ĠFADELERĠN. SADELEġTĠRĠLEMEZ VEYA SADELEġTĠRĠLEBĠLĠR OLMASI ĠÇĠN GEREKEN KOġULLAR

ÖZEL EGE LĠSESĠ. ġeklġndekġ ĠFADELERĠN. SADELEġTĠRĠLEMEZ VEYA SADELEġTĠRĠLEBĠLĠR OLMASI ĠÇĠN GEREKEN KOġULLAR ÖZEL EGE LĠSESĠ ġeklġndekġ ĠFADELERĠN SADELEġTĠRĠLEMEZ VEYA SADELEġTĠRĠLEBĠLĠR OLMASI ĠÇĠN GEREKEN KOġULLAR HAZIRLAYAN ÖĞRENCĠ: Ersin ĠSTANBULLU DANIġMAN ÖĞRETMEN: Defne TABU ĠZMĠR 2013 ĠÇĠNDEKĠLER 1.

Detaylı

TEZSİZ YÜKSEK LİSANS PROJE ONAY FORMU

TEZSİZ YÜKSEK LİSANS PROJE ONAY FORMU iii TEZSİZ YÜKSEK LİSANS PROJE ONAY FORMU Eğitim Bilimleri Anabilim Dalı, Eğitim Yönetimi, Teftişi, Planlaması ve Ekonomisi Bilim Dalı öğrencisi Rabia HOŞ tarafından hazırlanan " Okul Öncesi Eğitim Kurumlarında

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ FİBONACCİ DİZİLERİ YARDIMIYLA DEĞERİNİ HESAPLAYAN BİR FORMÜL

ÖZEL EGE LİSESİ FİBONACCİ DİZİLERİ YARDIMIYLA DEĞERİNİ HESAPLAYAN BİR FORMÜL ÖZEL EGE LİSESİ FİBONACCİ DİZİLERİ YARDIMIYLA DEĞERİNİ HESAPLAYAN BİR FORMÜL HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Tilbe GÖKÇEL DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Emel ERGÖNÜL İZMİR 2013 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI... 3 2. GİRİŞ... 3

Detaylı

AYRIK YAPILAR. ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FıRAT ÜNIVERSITESI TEKNOLOJI FAKÜLTESI YAZıLıM MÜHENDISLIĞI BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR. ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FıRAT ÜNIVERSITESI TEKNOLOJI FAKÜLTESI YAZıLıM MÜHENDISLIĞI BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

DEVLET VEYA ÖZEL OKUL SEÇİMİNDE KARAR VERME SÜRECİ VE MATEMATİKSEL KARAR YÖNETİMİ

DEVLET VEYA ÖZEL OKUL SEÇİMİNDE KARAR VERME SÜRECİ VE MATEMATİKSEL KARAR YÖNETİMİ DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ MATEMATİK YARIŞMASI DEVLET VEYA ÖZEL OKUL SEÇİMİNDE KARAR VERME SÜRECİ VE MATEMATİKSEL KARAR YÖNETİMİ ÖĞRENCİLER: CİHAN ATLİNAR KAAN YURTTAŞ DANIŞMAN: SERHAT GÖKALP MEV KOLEJİ

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 Denklik Bağıntıları 5 Bibliography 13 1 Denklik Bağıntıları 1 1denklik 1.1 Eşitlik Günlük

Detaylı

ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI MATEMATİK PROGRAMI DERS LİSTESİ

ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI MATEMATİK PROGRAMI DERS LİSTESİ Ders List ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI MATEMATİK PROGRAMI DERS LİSTESİ 17.11.2016 Yüksek Lisans Dersleri Kod Ders Adı Ders Adı (EN) T U L K AKTS MTK501 Reel

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI ÇUKUROV ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSNS TEZİ BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ MTEMTİK NBİLİM DLI DN,2010 ÇUKUROV ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ YÜKSEK LİSNS TEZİ

Detaylı

Sezgisel Kümeler Kuramı (Math 111) Birinci Vize Sorular ve Cevaplar

Sezgisel Kümeler Kuramı (Math 111) Birinci Vize Sorular ve Cevaplar Sezgisel Kümeler Kuramı (Math 111) Birinci Vize Sorular ve Cevaplar Sonbahar 2002 Ali Nesin 10 Ekim 2010 1. a) Verilen bir X kümesi için X şöyle tanımlansın: y X ancak ve ancak öyle bir x X var ki y x.

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: KARDİNAL SAYILAR ÖĞRETİM GÖREVLİLERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR: DİRENCAN DAĞDEVİREN ELFİYE ESEN

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER MANTIK MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER İçerisinde değişken olan ve değişkenin değerlerine göre doğru ya da yanlış olabilen önermelere açık önerme denir. Açık önermeler değişkenine göre P( x), Q( a)

Detaylı

4.3. Türev ile İlgili Teoremler

4.3. Türev ile İlgili Teoremler 4.. Türev ile İlgili Teoremler Bu kesimde ortalama değer teoremini vereceğiz. Ortalama değer teoremini ispatlarken kullanılacak olan Fermat teoremini ve diğer bazı teoremleri ispat edeceğiz. 4...Teorem

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu

Detaylı

ÖZGEÇMİŞ VE ESERLER LİSTESİ

ÖZGEÇMİŞ VE ESERLER LİSTESİ ÖZGEÇMİŞ VE ESERLER LİSTESİ DOÇ.DR. AYŞE FUNDA YALINIZ Adres : Dumlupınar Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Evliya Çelebi Yerleşkesi Tavşanlı Yolu 10.km. KÜTAHYA Telefon : 2742652031-3058

Detaylı

X ve Y boş olmayan iki küme olsun. İki küme arasında tanımlanmış olan bir bulanık ilişki R, X x Y nin bir bulanık alt kümesidir.

X ve Y boş olmayan iki küme olsun. İki küme arasında tanımlanmış olan bir bulanık ilişki R, X x Y nin bir bulanık alt kümesidir. Bulanık İlişkiler X ve Y boş olmayan iki küme olsun. İki küme arasında tanımlanmış olan bir bulanık ilişki R, X x Y nin bir bulanık alt kümesidir. R F(X x Y) Eğer X = Y ise R bir ikilik (binary) bulanık

Detaylı