AKM 202. Akõşkanlar Mekaniği. Ders Notları. 7.Bölüm. Boyut Analizi ve Benzerlik. Gemi İnşaatõ ve Deniz Bilimleri Fakültesi.

Transkript

1 AKM 0 Akõşkanlar Mekaniği Ders Notları 7.Bölüm Boyut Analizi ve Benzerlik İTÜ Gemi İnşaatõ ve Deniz Bilimleri Fakültesi Hazõrlayan Yrd. Doç. Dr. Şafak Nur Ertürk Oda No:47 Tel: () e-posta: erturk@itu.edu.tr

2 DERS NOTARI BOYUT ANAİZİ E BENZERİK AKM 0 AKIŞKANAR MEKANİĞİ Giriş Çok az sayõdaki akõş analitik yöntemlerle tam olarak çözülebildiğinden, akõşkanlar mekaniğinin gelişimi deneysel sonuçlara bağlõ kalmõştõr. Gerçek problemlerin çözümü analiz ve deneylerin birlikte kullanõlmasõnõ gerektirir.önce çözüm oluşturacak basit bir matematik model oluşturulur. Daha sonra denysel sonuçlar analitik sonuçlarõn kontrolü için kullanõlõr. Ölçümlere dayanarak analizde gerekli ince ayarlar yapõlõr. Ancak laboratuvarda yapõlan deneysel çalõşmalar hem çok zaman alõr hem de pahalõdõr. Bu nedenle en önemli hedef en az deneyle en çok bilgiyi toplamaktõr. Boyutsal analiz bu hedefe ulaşmakta önemli bir araçtõr. 7. Temel Kavramlar Fizik kanunlarõ seçilen birim sisteminden bağõmsõzdõr. Sistem Kütle, M Uzunluk, Zaman, t Isõ, Q SI kg m s Kelvin Boyut analizinde temel birimleri sembolik olarak tanõmlarõz. M,, T, Q, kütle, uzunluk, zaman ve sõcaklõk. Köşeli parantez, verilen bir büyüklüğün boyutunun gösterilmesi için kullanõlõr. Örnek: [ µ ] M T, SI kg m. s Bağõmsõz Boyutlar Yukarõdaki dört boyut bağõmsõz boyut olarak tanõmlanõr. Mekanik sistemler için bu dört bağõmsõz boyut bütün boyutlu büyüklükleri tanõmlamak için yeterlidir. Tüm denklemler bu kurallara uymaz. 003, Şafak Nur ERTÜRK 7-7. Bölüm

3 DERS NOTARI BOYUT ANAİZİ E BENZERİK AKM 0 AKIŞKANAR MEKANİĞİ Boyutsal Homojenlik Temel fizik kurallarõndan çõkarõlan her denklem boyutsal homojenliğe sahiptir. erilen denkleme aşina olunmasa bile fiziksel büyüklüklerin arasõndaki ilişki ve tutarlõlõğõ boyut analizi ile görebiliriz. 7. Buckingham Π Teoremi Bağõmlõ parametrenin n- tane bağõmsõz parametrenin fonksiyonu olduğu fiziksel problemlerde, değişkenler arasõndaki ilişkiyi şu şekilde gösterebiliriz: q f (q,q 3,...,q Matematiksel olarak aynõ ilişkiyi aşağõdaki şekilde de yazabiliriz. g(q,q,...,q Bir küre üzerine tekiyen sürüklenme kuvveti için n n ) ) 0 F f (D,, ρ, µ ) ya da g (F, D,, ρ, µ ) 0 Buckingham Pi teoremine göre n sayõdaki parametre arasõndaki g ilişkisi mevcutsa, n sayõdaki parametre n-m sayõdaki bağõmsõz boyutsuz oran şeklinde gruplanabilir G( Π, Π,..., Π n m ) 0 m sayõsõ genellikle (ancak her zaman değil) tüm parametrelerin boyutlarõnõ belirlemek için kullanõlan minimum bağõmsõz boyut sayõsõdõr. (95) verilen fiziksel problem için bağõmsõz boyutsuz gruplarõn sayõsõnõn toplam değişken sayõsõndan az olduğu ispatlandõ. Tanõm olarak BG değişkenlerin cebirsel bir kombinasyonudur. Kural dõşõ boyutsuz gruplara rastlanabilir. Eğer problem sadece M,, ve T (3 bağõmsõz boyut) içeriyorsa n3. Eğer sõcaklõk da varsa n4 olur. İndis metodu ile Buckingham bu boyutsuz gruplarõn elde edilişini çõkarmõştõr. (Taylor) 003, Şafak Nur ERTÜRK 7-7. Bölüm

4 DERS NOTARI BOYUT ANAİZİ E BENZERİK AKM 0 AKIŞKANAR MEKANİĞİ 7.3 Genel Boyutsuz (Π) Gruplarõn Bulunmasõ Boyutsuz gruplarõn belirlenmesinde kullanõlan yönteme bakõlmaksõzõn ilk iş bağõmsõz olarak, verilen akõşõ etkileyen tüm parametreleri listelemektir.. Tüm parametreleri listele. (n parametre sayõsõ olsun.) Eğer tüm önemli parametreler dahil edilmezse, bir bağõntõ elde edilir, ancak bu bağõntõ tüm hikayeyi anlatmaya yetmez. Eğer olayõn fiziğini etkilemeyen parametreler kullanõlõrsa, ya boyutsal analiz bu parametrelerin gereksiz olduğunu gösterecektir, ya da deneyler elde edilen bir veya birden fazla boyutsuz grubun aslõnda önemli olmadõğõnõ gösterecektir.. Ana boyutlarõ seç. Örneğin Mt veya Ft. 3. Tüm parametrelerin boyutlarõnõ ana boyutlar cinsinden listele. (r ana boyut sayõsõ olsun) Ya kuvvet (F) ya da kütle (M) ana boyut olarak seçilmelidir. 4. istedeki parametreler arasõndan ana boyutlarõn sayõsõ r ye eşit sayõda ve tüm ana boyutlarõ kapsayan parametreleri seç. İki parametre sadece üstel bir fonksiyonla ayrõlan birbirinin aynõ boyuta sahip olamaz (örneğin uzunluk () ve bir alanin atalet momentini ( 4 ) tekrar eden parametreler olarak seçemezsiniz.) Seçilen tekrar eden parametreler elde edilen tüm boyutsuz gruplarda görülebilir; dolayõsõyla bağõmlõ parametreyi seçilenler arasõna dahil etmeyin. 5. Madde 4 te seçilen parametreleri diğer parametrelerle sõrasõyla birleştirerek boyutsuz gruplarõ oluşturmak için boyut denklemlerini oluşturunuz..(n-m sayõda denklem olacaktõr) Boyut denklemlerini çözerek n-m sayõdaki boyutsuz grubu bulunuz. 6. Elde edilen herbir grubun boyutsuz olup olmadõğõnõ kontrol ediniz. Başlangõçta kütle ana boyut olarak seçildiyse, gruplarõn kontrolü sõrasõnda kuvveti ana boyut olarak kullanmak akõllõca olacaktõr. 7.4 Akõşkanlar Mekaniğinde Önemli Boyutsuz Gruplar Akõşkanlar mekaniğinde gözönüne alõnan kuvvetler, atalet, viskozite, basõnç, yerçekimi, yüzey gerilmesi, ve sõkõştõrõlabilirlikle ilgili kuvvetlerdir. Herhangi iki kuvvetin birbirine oranõ boyutsuz olacaktõr. 3 Atalet kuvveti m. a ( ρ )( / ) ρ. du iskoz kuvvet τ A µ A µ dy µ 003, Şafak Nur ERTÜRK Bölüm

5 DERS NOTARI BOYUT ANAİZİ E BENZERİK AKM 0 AKIŞKANAR MEKANİĞİ Basõnç kuvveti ( p)a ( p) Yerçekimi kuvveti mg gρ Yüzey gerilmesi kuvveti σ Sõkõştõrõlabilirlik kuvveti E 3 A E Atalet kuvvetleri birçok akõşkanlar mekaniği problemi için onemlidir. Atalet kuvvetinin yukarõda siralanan diğer kuvvetlere oranõ beş temel boyutsuz grubu oluşturur. Reynolds sayõsõ atalet kuvvetlerinin viskoz kuvvetlere oranõdõr. Reynolds sayõsõ büyüdükçe akõş türbülanslõ hale gelir. Atalet kuvvetlerinin viskoz kuvvetlere oranõnõn küçük olduğu durumlarda akõş laminerdir. Re µ Aerodinamikte ve diğer model deneylerinde basõnç verilerini boyutsuz bir formda vermek daha uygundur. Euler sayõsõ basõnç kuvvetlerinin atalet kuvvetlerine oranõdõr ve basõnç katsayõsõ C p olarak da gösterilir. (kavitasyon sayõsõ C a ) Eu p Atalet kuvvetlerinin yerçekimi kuvvetine oranõ Froude sayõsõ olarak adlandõrõlõr ve serbest yüzey etkisinin mevcut olduğu akõşlar için önemlidir.froude sayõsõ birden küçükse kritikaltõ akõş, birden büyükse kritiküstü akõş sözkonusudur. F r g Weber sayõsõ, atalet kuvvetlerinin yüzey gerilimine oranõdõr. We σ Mach sayõsõ atalet kuvvetlerinin sõkõştõrõlabilirlik nedeniyle oluşan kuvvetlere oranõdõr. Akõşlardaki sõkõştõrõlabilirlik özelliğini temsil eder. M c dp dρ E ρ veya M E akõş hõzõ ve c ses hõzõdõr. Sõkõştõrõlamaz akõşlar için, c ve M 0 değerini alõr. 003, Şafak Nur ERTÜRK Bölüm

6 DERS NOTARI BOYUT ANAİZİ E BENZERİK AKM 0 AKIŞKANAR MEKANİĞİ 7.5 Akõş Benzerliği ve Model Çalõşmalarõ Bir model deneyinin yararlõ olabilmesi için elde edilen verilerin tam ölçekli prototipinde mevcut kuvvetlere, momentlere ve dinamik yüklere dönüştürülebilmesi gerekir. Model ve prototip akõşlarõnõn benzerliğinden emin olabilmek için hangi şartlar sağlanmalõdõr? Model ve prototip geometrik benzer olmalõdõr. Model ve prototip akõşlar kinematik benzer olmalõdõr. Kinematik benzer akõşlarda geometrik benzerlik şartõ da sağlanõr. İki akõşa ait kuvvet dağõlõmlarõnda kuvvetler paralel ise ve büyüklükleri sabit bit ölçek faktörü ile ilişkilendirilebiliyorsa, akõşlar dinamik benzerliğe sahiptirler. İki akõşõn dinamik olarak benzer olabilmesi için geometrik ve kinematik olarak benzer olmasõ gerekir. Model ve prototip akõş arasõnda dinamik benzerliğin olabilmesi için gerekn şartlar nelerdir? Bir akõşa ait temel boyutsuz gruplarõ bulabilmek için Buckingham Pi teoremi kullanõlabilir. Geometrik benzer iki akõş arasinda dinamik benzerliği sağlayabilmek için bu boyutsuz gruplarin biri hariç tümü model için de çoğaltõlabilmelidir. Direnç (sürüklenme) kuvveti F D ( D,, ρ µ ) F f, Buckingham Pi teoremi ile aşağõdaki ilişkiyi bulmuştuk; f D µ Boyutsuz gruplarõn aynõ zamanda kuvvetler arasõndaki oran olarak kabul edilebileceğini görmüştük. Öyleyse bir küre atrafõndaki model ve prototip akõşlarõ (geometrik benzer) değerlendirirken, bu akõşlarõn dinamik olarak da benzer olabilmeleri için şu eşitlikleri gerçeklemeleri gerekir: D µ mod el D µ prototip Re mod el Re prototip F D mod el F D prototip 003, Şafak Nur ERTÜRK Bölüm

7 DERS NOTARI BOYUT ANAİZİ E BENZERİK AKM 0 AKIŞKANAR MEKANİĞİ Akõşkanõn cisim üzerine etkittirdiği kuvvet model ve prototip için aynõ olmasa da, boyutsuz değerler aynõdõr. Model deneyinde Re sayõsõnõn değeri korunmak kaydõyla ayri bir akõşkan kullanõlabilir. Deneysel açõdan kolaylõk sağlamak için model rüzgar tünelinde test edilebilir. Elde edilen sonuçlar su içindeki direnci hesaplamada kullanõlõr. 003, Şafak Nur ERTÜRK Bölüm