PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ"

Transkript

1 PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ İnci BİRGİN Anabilim Dalı : Matematik Programı : Matematik Tez Danışmanı: Prof. Dr. Mehmet Ali SARIGÖL EYLÜL 2011

2

3

4 ÖNSÖZ Yüksek lisans öğrenimim tez çalışmalarım boyunca gösterdiği sabır, her türlü destek yardımdan dolayı çok değerli sayın hocam Prof. Dr. Mehmet Ali SARIGÖL e en içten dileklerimle teşekkür ederim. Ayrıca bu çalışmaların yapılması sırasında, maddi-manevi desteklerini hiç eksik etmeyen kıymetli aileme teşekkür ederim. Eylül 2011 İnci BİRGİN

5 İÇİNDEKİLER ÖZET... vi SUMMARY... vii 1. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Temel Tanım Teoremler Hausdorff Kompaktsızlık Ölçüsü Tanımı TOPLANABİLEN YA DA SINIRLI OLAN DİZİLERİN KÜMELERİ VE BU KÜMELERİN -DUALLERİ MATRİS DÖNÜŞÜMLERİ KOMPAKTSIZLIK ÖLÇÜSÜ VE DÖNÜŞÜMLER KAYNAKLAR Sayfa

6 ÖZET TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ Dört bölümden oluşan bu tezde, uzayları ile bazı BK uzayları arasındaki matris dönüşümleri kompakt operatörler incelenmiştir. Birinci bölümde daha sonraki bölümlerde kullanacağımız bazı temel kavram teoremler ifade edilmiştir. İkinci bölümde, uzaylarının bazı özelliklerini ifade eden Aljarrah Malkowsky (1998) ye ait olan teoremlerin ispatları rilmiştir. Üçüncü bölümde, uzayları ile bilinen uzaylar arasındaki matris dönüşümleri Malkowsky Rakočević ye ait olan teoremlerin ispatları rilmiştir. Dördüncü bölümde çokça faydalandığımız Hausdorff kompaktsızlık ölçüsünün temel teoremleri ile bazı matris dönüşümlerinin kompakt operatör olması gerek yeter şartları ifade eden teoremler detaylı olarak incelenmiştir. Anahtar Kelimeler: BK uzayı, baz, matris dönüşümleri, kompaktsızlık ölçüsü

7 SUMMARY PROPERTIES OF TRANSFORMATION BETWEEN SPACES OF SEQUENCES THAT ARE SUMMABLE OR BOUNDED In this thesis consisting of four chapters, some matrices transformation and compact operator between the spaces and BK spaces are studied. In the first chapter, some basic concepts and theorems which we will use in subsequent chapters are stated. In the second chapter, the proofs of theorems of Aljarrah and Malkowsky (1998) stating some properties of, are gin. In the third chapter, the proofs of theorems of Malkowsky and Rakočević and matrix transformations between, spaces and the known spaces are gin. In the fourth chapter, with theorems that we make use of so much, stating the basic theorems of Hausdorff measure of noncompactness, the theorems stating if and only if some matrix transformation to be compact operator, are studied in detail. Key Words: BK spaces, bases, matrix transformations, measure of noncompactness

8 1. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Bu bölümde daha sonraki bölümlerde kullanacağımız temel tanım teoremler rilmiştir. 1.1 Temel Tanım Teoremler Tanım (Çalışmada geçen bazı dizi örnekleri) : : Reel ya kompleks terimli bütün dizilerin kümesi : olacak şekilde sonlu dizilerin kümesi : : mevcut : : Reel ya kompleks terimli yakınsak serilerin kümesi, yani; kümesi, yani; : Kısmi toplamlar dizisi sınırlı olan reel ya kompleks terimli serilerin : : 1 p olmak üzere p. kuvtleri mutlak yakınsak seri oluşturan dizilerin kümesi, yani;

9 : dizisidir. Tanım (Vektör uzayı): L boştan farklı bir küme K reel ya kompleks sayıların cismini göstersin. Eğer x,y,z L, K olmak üzere : L L L : K L L fonksiyonları L (kapalılık özelliği), (birleşme özelliği), olacak şekilde L vardır (birim eleman), olacak şekilde L vardır (ters eleman), (değişme özelliği), L (skalerle çarpma işleminde kapalılık), K birim eleman olmak üzere şartları sağlanıyorsa, L ye bir ktör uzayı ya lineer uzay denir. Tanım (Normlu uzay): X, K cismi üzerinde bir lineer uzay olsun. Eğer : X fonksiyonu X, K, X X şartları sağlanıyorsa uzay denir. fonksiyonuna, X üzerinde bir norm X uzayına da normlu

10 Tanım (Banach uzayı): Norma göre tam olan uzaya yani her Cauchy dizisinin yakınsak olduğu uzaya Banach uzayı denir. Teorem 1.1.5: Eğer Y bir Banach uzayı ise B(X,Y) bir Banach uzayıdır (Kreyszig 1989). Tanım (FK uzayı): Koordinat fonksiyonelleri sürekli olan alt metrik uzayına FK uzayı denir (Malkowsky Rakočević 2004). nın tam lineer Normlu FK uzayına BK uzayı adı rilir. X, yi kapsayan bir BK uzayı olsun. Eğer X dizisi olacak şekilde bir tek gösterimi varsa, X e AK özelliğe sahiptir ya kısaca AK uzayı adı rilir. Tanım (Schauder bazı): X lineer metrik uzay olsun. Eğer X olacak şekilde skalerlerin bir tek dizisi bulunabiliyorsa, dizisine X lineer metrik uzayında Schauder bazı adı rilir. B(X,Y), X normlu uzayından Y normlu uzayı e olan bütün sınırlı lineer dönüşümlerin kümesini göstermek üzere Tanım (Sınırlı lineer operatör): X Y iki normlu uzay T: X lineer operatör olsun. Eğer X Y bir olacak şekilde bir reel sayısı varsa T ye sınırlı lineer operatör denir. (Burada eşitsizliğin solundaki norm Y uzayındaki, sağındaki norm ise X uzayındaki normdur.) Bu eşitsizliği sağlayan c sayılarının en büyük alt sınırına yani sayısına T nin normu denir. Bu norm aynı zamanda

11 eşitliği ile de rilebilir. B(X,Y) yukarıdaki norma göre bir normlu uzaydır. X üzerindeki bütün sınırlı lineer fonksiyonellerin oluşturduğu B(X, ) normlu uzayına X in duali denir ile gösterilir. Açıktır ki üzerindeki norm dir (Kreyszing, 1980). Tanım 1.1.9: X Y metrik uzay dönüşümü rilmiş olsun. Eğer her sınırlı kümesi kümesi lokal kompakt, yani nun kapanışı Y de kompakt ise bu takdirde ye kompakt dönüşüm adı rilir. Teorem : X Y normlu uzay L: X Y lineer operatör olsun. Bu durumda L nin kompakt olması gerek yeter şart X deki her sınırlı dizisi dizisinin Y de yakınsak bir alt diziye sahip olmasıdır (Şuhubi 2001). Tanım (Çarpım Uzayı): X Y, nın iki alt kümesi olsun. Bu durumda kümesine X ile Y nin çarpım uzayı denir (Malkowsky, Rakočević, Žıvkovič, 2002). Herhangi iki dizileri olsun. X Y nın keyfi alt kümeleri herhangi bir dizi ise bu taktirde biçiminde tanımlanır. Eğer özel olarak alınırsa yakınsaktır

12 elde edilir. Buna X in duali adı rilir. Eğer bir BK uzayı ise eşitliğin sağındaki seri yakınsak olmak üzere biçiminde tanımlanır. Eğer ise bu norm mevcuttur (Wilansky,1984). olmak üzere olan bütün dizilerinin kümesini ile gösterelim. olmak üzere olsun. operatörü; biçiminde tanımlanır. Tanım : reel ya kompleks terimli bir sonsuz matris herhangi bir dizi olsun. Eğer serileri yakınsak ise dizisine dizisinin matrisi ile elde edilen dönüşüm dizisi denir. Ayrıca dönüşüm dizisi mevcut Y uzayına ait ise ya uzayından Y uzayına bir matris dönüşümü denir bu tür matris dönüşümlerin kümesi ile gösterilir. Tanım : X, nın bir alt kümesi olmak üzere kümesine, matrisinin X deki toplama alanı denir. Örneğin, eğer E her şeklinde tanımlanan matris ise, o zaman yani yakınsak sınırlı serilerin kümeleri olur. göstereceğiz, yani sonsuz matrisini n. satır elemanlarının dizisini ile

13 alacağız. Bu durumda olur. Üstelik denk olarak yi ifade eder. Teorem : X Y BK uzayı olsun. Bu taktirde dir, yani = olacak şekilde vardır. Ayrıca, olması gerek yeter şart olmasıdır. Eğer in bir bazı, FK uzayı olmak üzere nin kapalı bir alt uzayı ise bu takdirde, olması gerek yeter şart olmasıdır (Malkowsky, Rakočević,1998). Teorem1.1.15: T bir üçgensel matris olsun. a-) X Y, nın keyfi iki alt kümesi olmak üzere olması gerek yeter şart olmasıdır. b-) Eğer X Y BK uzayı ise bu takdirde dir (Malkowsky, Rakočević, 1999).

14 1.2 Hausdorff Kompaktsızlık Ölçüsü Tanımı Tanım (Hausdorff Kompaktsızlık Ölçüsü): (X,d) metrik uzay Q X in bir alt kümesi olsun. a-) Eğer, olacak şekilde bir sayısı bulunabiliyorsa, Q ya X de total sınırlıdır denir kümesine ise Q nun -neti (ağı) adı rilir. Total sınırlı her küme sınırlıdır. Fakat tersi genel olarak doğru değildir (Maddox 1970). b-) Eğer Q sınırlı ise de sonlu ağına sahiptir sayısına Q kümesinin Hausdorff Kompaktsızlık Ölçüsü Hausdorff Kompaktsızlık Ölçüsü denir. fonksiyonuna ise Q yu örten yuvarların merkezlerinin Q ya ait olmak zorunda olmadığına dikkat edilmelidir. sahiptir. nun kapanışını ile gösterelim. Bu durumda χ fonksiyonu aşağıdaki özelliklere Lemma 1.2.2: metrik uzay in sınırlı alt kümeleri olsun. Bu taktirde a-) χ =0 olması gerekli yeter şart Q nun total sınırlı olmasıdır. b-) ise χ χ c-) χ =χ d-) χ = e-) χ dir (Akhmerov, Kamenskii, Potapov, Rodkina, Sadovskii, 1992, Banás, Goebl, 1980, Rakočević, 1994).

15 Teorem 1.2.3: X normlu uzay taktirde in sınırlı alt kümeleri olsun. Bu a-) χ b-) C χ = χ dır (Akhmerov, Kamenskii, Potapov, Rodkina, Sadovskii, 1992, Banás, Goebl, 1980, Rakočević, 1994). Tanım 1.2.4: X Y normlu uzay olsun. Bu durumda nın Hausdorff kompaktsızlık ölçüsü ile gösterilir. X de birim yuvar olacak şekilde biçiminde tanımlanır. Ayrıca nın kompakt olması gerekli yeter şart olmasıdır 1992, Banás, Goebl, 1980, Rakočević, 1994). dır (Akhmerov, Kamenskii, Potapov, Rodkina, Sadovskii, Teorem 1.2.5: X, sınırlı bir alt kümesi dönüşümü olsun. Bu takdirde Schauder bazına sahip Banach uzayı Q, X in kümesinin lineer gereni üzerine bir projektör dir. Burada dir (Akhmerov, Kamenskii, Potapov, Rodkina, Sadovskii, 1992, Banás, Goebl, 1980). Burada ki sayısını hesap edebiliriz : ise olduğunu gösterelim., olmak üzere

16 olduğu açıktır. Ayrıca olduğuna göre alınırsa buradan bulunur. den dır. Böylece elde edilir. olduğundan ise olduğunu gösterelim., nin Schauder bazı olacak şekilde skalerlerin dizisi mevcuttur. Eğer dönüşümünü biçiminde tanımlarsak bu durumunda

17 olacağından bulunur. Buradan olur. Öte yandan özel olarak alınırsa buradan yani bulunur. den dir. Böylece elde edilir.

18 2. TOPLANABİLEN YA DA SINIRLI OLAN DİZİLERİN KÜMELERİ VE BU KÜMELERİN -DUALLERİ Bu kısımda uzaylarının birçok özelliğini ifade eden Aljarrah Malkowsky, (1998) e ait olan teoremlerin ispatlarını receğiz. pozitif bir dizi Q ise genel terimi olan diziyi göstersin. Ayrıca matrisini biçiminde tanımlayalım. Bu taktirde sıfıra sınırlı dizilerin kümelerini sırasıyla toplanabilen, toplanabilen, ile gösterelim. Bu taktirde bu uzaylar BK uzayıdır. Şimdi bu bağlamda Aljarrah Malkowsky, (1998) e ait teoremi ifade ispat edelim. Teorem 2.1: kümelerinin her biri şeklinde tanımlanan normuyla BK uzayıdır. İspat: kümesinin normuyla BK uzayı olduğunu gösterelim. Bu taktirde olmak üzere da bir Cauchy dizisi olsun.

19 dolayısıyla olur. Buradan... olduğundan elde edilir ki bu ise dizisinin de Cauchy dizisi olduğunu gösterir. tam olduğundan, de ki mutlak değer normuna göre olacak şekilde vardır. Şimdi normuyla bir Banach uzayı olduğunu gösterelim. Bunun olduğunu gösterelim. Cauchy dizisi tanımından öyle ki yani dir. Burada yi sabit tutup limite geçilirse

20 olur. Bu ise demektir. Buradan elde edilir. Dolayısıyla dır. Şimdi de fonksiyonelinin sınırlı olduğunu gösterelim. olsun. Bu taktirde olur. olduğundan sınırlıdır. Lineer fonksiyonellerde süreklilik sınırlılığa denk olduğu fonksiyoneli aynı zamanda süreklidir. Koordinat fonksiyonelleri sürekli olan Banach uzayı BK uzayı olduğuna göre, normuyla bir BK uzayıdır. kümeleri de benzer şekilde gösterilir. Ayrıca,eğer ise bu durumda AK özelliğe sahiptir üstelik dizisi olmak üzere

21 biçiminde bir tek gösterime sahiptir. Teorem 2.2: olsun. Bu taktirde, olur. İspat: Kısalık olsun biçiminde ifade edelim. Buradan yı çekip düzenlersek

22 olur. O halde (2.1) den dir. olsun. Bu taktirde dir. Buradan yazılabilir. Bu ise demektir. Buradan da elde edilir. olduğundan bulunur. Bu durumda olur. Öte yandan

23 olur. Buradan yazılabilir. Bunun sonucunda olduğundan elde edilir. olması denk olarak yi ifade ettiğine göre (2.2) den bulunur. O halde yani olur. Dolayısıyla elde edilir. Karşıt olarak olsun. Bu taktirde dir. O halde olur. Bu durumda elde edilir. Öte yandan dır. Bu ise dır. olduğundan

24 dur. Buradan yani yazılır. (2.2) den bulunur. olduğundan olur. Buradan da bulunur. Öyleyse dır. Bu ifade biçiminde yazılabilir. Yani dir. Dolayısıyla olup, elde edilir. den

25 olduğu görülür. olduğu da benzer şekilde ispatlanır. Önerme 2.3: uzaylarının her biri üzerinde normu tanımlıdır. İspat: Herhangi bir dizisi biçiminde tanımlansın negatif olmayan bir tam sayıyı göstersin. Ayrıca dizisini şeklinde tanımlayalım diyelim. Bu takdirde

26 yazılabilir. Burada her iki tarafının supremumunu alırsak; şartını sağlayan X üzerinden elde edilir. Karşıt olarak; keyfi bir tamsayı olsun. dizisini biçiminde tanımlayalım. Bu durumda, yani dir. Buradan olur. keyfi olduğundan yazabiliriz. eşitsizliklerinden elde edilir bu ise ispatı tamamlar.

27 3. MATRİS DÖNÜŞÜMLERİ Bu bölümde uzayları ile bilinen bazı uzaylar arasındaki matris dönüşümleri receğiz Malkowsky Rakočević e ait olan bazı teoremlerin ispatlarını ele alacağız. Teorem Önerme 2.3 den aşağıdaki sonuç rilebilir. Sonuç 3.1: pozitif bir dizi olsun. a-) olması gerek yeter şart olmasıdır. b-) olması gerek yeter şart koşulunun sağlanması olmasıdır. c-) olması gerek yeter şart koşulunun sağlanmasıdır. d-) olması gerek yeter şart koşulunun sağlanması

28 olmasıdır. e-) olması gerek yeter şart koşulunun sağlanması = olmasıdır. f-) olması gerek yeter şart, koşullarının sağlanması olmasıdır. g-) olması gerek yeter şart, koşullarının sağlanması olmasıdır. İspat: da tanımlı normu idi. Bu durumda buradan da

29 yazılabilir. a-) olsun. Teorem den dur. yazılır Teorem 2.2 den normunun yakınsak olmasından elde edilir. Karşıt olarak olsun. Bu ise olması demektir. olduğuna göre olur Teorem (1.1) den elde edilir. b-) olsun. Bu taktirde Teorem (1.1) den dur. yazılır Teorem 2.2 den normunun yakınsak olması nedeniyle elde edilir. Karşıt olarak olsun. Bu ise olması demektir. olduğundan yazılır Teorem (1.1) den elde edilir. c-) olsun. Bu taktirde Teorem (1.1) den, elde edilir. Karşıt olarak olsun. Buradan yazılabilir. Bu durumda Teorem 2.2 den dır. Dolayısıyla Teorem (1.1) den elde edilir. d-) ın bazı olduğundan

30 olur. Öte yandan olduğu açıktır. Bu taktirde Teorem (1.2) ye göre olması gerek yeter şart olmasıdır. Buradan şıkkı nedeniyle koşulu olması nedeniyle yani elde edilir. e-) Açıktır ki dur. Bu taktirde Teorem (1.2) nedeniyle olması gerek yeter şart olmasıdır. Buradan şıkkı nedeniyle koşulu olması nedeniyle yani elde edilir. f-) nun bazı olduğundan şıkkından dır. Bu taktirde Teorem (1.2) den olması gerek yeter şart olmasıdır. O halde şıkkından koşulları sağlanır. Öte yandan ise yani

31 yani elde edilir. g-) Teorem (1.2) den olması gerek yeter şart olmasıdır. O halde şıkkından koşulları sağlanır. Öte yandan ise yani yani elde edilir. Teorem Teorem 2.1. den aşağıdaki sonuç rilebilir. Sonuç 3.2: X BK uzayı, pozitif bir dizi olsun.

32 a-) olması gerek yeter şart olmasıdır. b-) Eğer X in bir bazı ise bu durumda olması gerek yeter şart koşulunun sağlanması olmasıdır. c-) olması gerek yeter şart koşulunun sağlanması olmasıdır. İspat: a-) Teorem nedeniyle olması gerek yeter şart olmasıdır. Öte yandan dır. Teorem (1.1) e göre ise

33 dir. Bu durumda elde edilir. b-) Açıktır ki dur. Teorem (1.2) den olması gerek yeter şart olmasıdır. Buradan koşulu sağlanır. Öte yandan ise yani elde edilir. c-) Açıktır ki dur. Teorem (1.2) den olması gerek yeter şart olmasıdır. Buradan koşulu sağlanır. Öte yandan ise yani elde edilir.

34 Uyarı 3.3: a-) Eğer Y; uzaylarının herhangi biri ise bu durumda olması deki normuyla üzerindeki doğal norm olacak şekilde yer değiştirerek sırasıyla Sonuç 3.2 takip edilebilir. Yani; ile koşullarındaki terimi terimi ile değiştirmek yeterlidir. b-) Aşağıdaki koşulları göz önüne alalım:

35 Bu taktirde; koşullarının sağlanmasıdır. olması gerek yeter şart koşullarının sağlanmasıdır. olması gerek yeter şart sağlanmasıdır. olması gerek yeter şart koşulunun koşullarının sağlanmasıdır. olması gerek yeter şart sağlanmasıdır. olması gerek yeter şart koşullarının olması gerek yeter şart,, koşullarının sağlanmasıdır. olması gerek yeter şart,, koşullarının sağlanmasıdır.

36 4. KOMPAKTSIZLIK ÖLÇÜSÜ VE DÖNÜŞÜMLER Bu bölümde bazı matris dönüşümlerinin kompakt operatör olması gerek yeter şartları elde etmek amacıyla Hausdorff kompaktsızlık ölçüsünün uygulamalarını inceleyeceğiz. Bu konuda Akhmerov, Kamenskii, Potapov, Rodkina, Sadovskii, (1992), Banás, Goebl, (1980), Rakočević, (1994) tarafından rilen sonuçları ele alacağız. Teorem 4.1: matrisi Sonuç 3.1 şartlarını sağlasın. Ayrıca olacak şekildeki her tamsayıları alalım. a-) Eğer ya da ise bu taktirde dir. b-) Eğer ya da ise bu taktirde dir. c-) Eğer ya da ise bu taktirde dir.

37 İspat: Açıktır ki eşitliğinde r büyüdükçe supremum küçülür. azalan dizi alttan sınırlı olduğundan yakınsaktır yani limiti vardır. Bu nedenle deki limitler mevcuttur. a-) olsun. Önce, olmak üzere dir. Bu ise Teorem 1.2.5, Teorem yakınsak dizilerde sonsuz matrisini olmasından elde edilir. Şimdi biçiminde tanımlayalım. Bu durumda Sonuç 3.1 den yani bulunur. Böylece dan elde edilir. b-) Hatırlayalım ki; dizisinin, olacak şekilde biçiminde bir tek gösterimi vardır. olacak şekilde tanımlayalım. Teorem den

38 dan elde edilir. c-) projektör dönüşümünü tanımlayalım. Bu taktirde olacak şekilde yazabiliriz. Gerçekten ise olacak şekilde vardır. Öte yandan olduğuna göre dir. Bu ise olmasıdır. χ ölçüsünün özelliklerinden ise olur. Öte yandan olacak şekilde vardır. Buna göre yazılabilir buradan elde edilir. Burada dır. olması gerek yeter şart nın total sınırlı olmasıdır. nın total sınırlı olduğunu gösterelim. sınırlı, projektör dönüşümdür. İnfimum özelliğinden, olacak şekilde vardır. O

39 halde olacak şekilde sonlu bulunur ki bu da nın total sınırlı olması demektir. Bu taktirde Teorem Teorem ten elde edilir. Teoremin sonucu olarak aşağıdaki sonuç rilebilir. Sonuç 4.2: matrisi Teorem 4.1 in şartlarını sağlasın. Eğer ya ya da eğer ya ise bu taktirde kompakt olması gerek yeter şart olmasıdır. Ayrıca, ya olsun. Eğer ise bu durumda kompakttır. İspat: (Yeterlilik). ya olsun. Bu durumda Teorem 4.1 nedeniyle elde edilir. Şu halde Tanım den kompakttır. (Gereklilik). kompakt olsun. Aynı teorem tanımdan elde edilir. Eğer, ya ise benzer olarak nın kompakt olduğu görülür. Dikkat edelim ki,, ya olduğunda nın kompaktlığı yeter şart olup gerek şart değildir. Bunu görmek aşağıdaki örneği inceleyelim.

40 Örnek 4.3: biçiminde tanımlanan matrisini göz önüne alalım olsun. Bu durumda Sonuç 3.1 den dur. Ayrıca olduğundan dır. Buna rağmen dönüşümü Teorem dan kompakttır. Şimdi de Lemma ile devam edelim. Lemma 4.4: Kabul edelim ki olsun. 33

41 şeklinde ifade edelim. ile operatörleri olacak şekilde olarak tanımlansın. Bu taktirde dir. İspat: İlk olarak eşitliğini gösterelim. olsun. olup Teorem 2.1 den 34

42 böylece elde edilir. dizisini biçiminde tanımlayalım. Bu taktirde 35

43 bulunur. Teorem 2.1 den dir. Ayrıca dır. Böylece Teorem 2.1 den olur. Bu durumda 36

44 dir. den eşitliği elde edilir. Şimdi eşitliğini gösterelim. olsun. dir. Teorem 2.1 den olur. X üzerinden supremum alırsak yani elde edilir. dizisini 37

45 biçiminde tanımlayalım. Bu taktirde bulunur. Böylece Teorem 2.1 den 38

46 yani dir. Ayrıca dir. Bu ise Teorem 2.1 den demektir. Bu durumda den eşitliği elde edilir. Kompaktsızlık ölçüsü Sonuç 3.2 den aşağıdaki teorem rilebilir. Teorem 4.5: matrisi Sonuç 3.2 şartlarını sağlasın. BK uzayı olsun. Ayrıca olacak şekildeki her tamsayıları alalım. a-) Eğer Schauder bazına sahip ise bu taktirde 39

47 olacak şekilde dir. b-) Eğer Schauder bazına sahip ise bu taktirde dir. c-) Eğer ise bu taktirde dur. İspat: Açıktır ki eşitliğinde r büyüdükçe supremum küçülür. azalan alttan sınırlı olduğundan yakınsaktır yani limiti vardır. Bu nedenle daki limitler mevcuttur. a-) alalım. Kabul edelim ki olsun. projektör dönüşümü Lemma 4.4 de ki gibi tanımlansın. Bu taktirde dan dir. Şimdi eşitsizliğini gösterelim. Teorem den olacak şekilde dir. Ayrıca Teorem 4.1 den 40

48 yakınsak dizilerde olmasından eşitsizliği elde edilir. b-) Hatırlayalım ki Schauder bazına sahiptir dizisinin, olacak şekilde biçiminde bir tek gösterimi vardır. projektör dönüşümünü biçiminde tanımlayalım. Bu durumda den dir. Şimdi in ispatı da c-) şekilde ye benzer olarak rilir. projektör dönüşümünü tanımlayalım. Açıktır ki olacak dır. χ ölçüsünün özelliklerinden bulunur. Buradan elde edilir. Şimdi bu teoremin bir sonucunu relim. Sonuç 4.6: BK uzayı olsun. matrisi Teorem 4.5 şartlarını sağlasın. Eğer Schauder bazına sahip ya da ise bu taktirde kompakt olması gerek yeter şart 41

49 olmasıdır. Ayrıca olsun. Eğer ise bu durumda kompakttır. İspat: (Yeterlilik). olsun. Bu durumda Teorem 4.5 den dır. Şu halde Tanım den kompakttır. (Gereklilik). kompakt olsun. Aynı tanım teoremden elde edilir. Eğer ise benzer olarak nın kompakt olduğu görülür. Dikkat edelim ki olduğunda nın kompaktlığı yeter şart olup gerek şart değildir. Uyarı 3.3 den aşağıdaki sonuçlar rilebilir. Sonuç 4.7: a-) Eğer ise bu taktirde ya da kompakt olması gerek yeter şart olmasıdır. b-) Eğer ya da ise bu taktirde kompakt olması gerek yeter şart olmasıdır. c-) olsun. Eğer 42

50 ise bu durumda d-) kompakttır. olsun. Eğer ise bu durumda kompakttır. İspat: a-) (Yeterlilik). olsun sağlansın. Uyarı 3.3 şıkkı, Sonuç 3.2 Teorem 4.5 den dir. Dolayısıyla olur. den elde edilir. Tanım den kompakttır. (Gereklilik). kompakt olsun. Benzer şekilde elde edilir. b-) Bu şıkta da şıkkına benzer olarak ispatlanabilir. c-) olsun sağlansın. Bu ise demektir. dan elde edilir. Tanım den kompakttır. d-) Bu şıkta da şıkkına benzer olarak ispatlanabilir. Sonuç 3.6, Teorem Uyarı 3.3 den aşağıdaki sonuç rilebilir. 43

51 Sonuç 4.8: Eğer ya ya da eğer ya ise bu taktirde kompakt olması gerek yeter şart olmasıdır. Ayrıca ya olsun. Eğer ise bu durumda kompakttır. İspat: Teorem , Uyarı 3.3 şıkkı, Teorem 4.5 Sonuç 4.6 dan dır. Bu durumda olur. Böylece Sonuç 4.6 dan ispat tamamlanır. 44

52 KAYNAKLAR Akhmerov, R. R., Kamenskii, M. I., Potapov, A. S., Rodkina, A. E., Sadovskii, B. N. (1992) Measures of Noncompactness and Condensing Operators, Operator Theory: Adnces and Applications, 55 Birkhauser Verlag, Basel Aljarrah, A. M., Malkowsky, E., (1998) BK Spaces, Bases and Linear Operators, Suppl. Rend. Circ. Mat. Palermo II, 52: Banás, J., Goebl, K., (1980) Measures of Noncompactness in Banach Spaces, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics 60, Marcel Dekker, New York and Basel Hardy, G. H., (1973) Dirgent Series, Oxford Unirsity Press Malkowsky, E., (1996) Linear Operators in Certain BK Spaces, Bolyai Soc. Math. Stud. 5: Malkowsky, E., Parashar, S. D., (1997) Matrix Transformations in Spaces of Bounded and Conrgent Difference Sequences of Order m. Analysis 17: Malkowsky, E., Rakočević, V., (1998) The Measure of Noncompactness of Linear Operators Between Certain Sequence Spaces, Acta Sci. Math (Szeged), 64: Malkowsky, E., Rakočević, V., (1999) The Measure of Noncompactness of Linear Operators Between Spaces of Order Difference Sequences, Studia Sci. Math. Hungar, 35: Rakočević, V., (1994) Funkcionalna Analiza, Naučna Knjiga, Beograd Wilansky, A., (1984) Summability Through Functional Analysis, North-Holland Mathematics Studies, 85 45

53 ÖZGEÇMİŞ Ad Soyad: İnci Birgin Doğum Yeri Tarihi: Alaşehir Adres: Cumhuriyet Mah. 331 Sok. No:1 Gündüz Sitesi A Blok Salihli/MANİSA Lisans Ünirsite: Ondokuz Mayıs Ünirsitesi 46

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2 SERBEST LİE CEBİRLERİNİN ALT MERKEZİ VE POLİSENTRAL SERİLERİNİN TERİMLERİNİN KESİŞİMLERİ * Intersections of Terms of Polycentral Series and Lower Central Series of Free Lie Algebras Zeynep KÜÇÜKAKÇALI

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SOFT TOPOLOJİK UZAYLAR ÜZERİNE Uğur ÇOŞKUN YÜKSEK LİSANS Matematik Anabilim Dalı HAZİRAN-2014 KONYA Her Hakkı Saklıdır TEZ BİLDİRİMİ Bu tezdeki bütün bilgilerin

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir.

14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 14.Konu Reel sayılarının topolojisi 1.Teorem: cismi tamdır. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 2.Tanım: ve verilsin. nın her komşuluğunda

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

T.C. İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI KÜME-DEĞERLİ FONKSİYON UZAYLARI VE BU UZAYLAR ARASINDAKİ OPERATÖRLERİN ANALİZİ ÜZERİNE Fatih TEMİZSU YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI MALATYA

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A

SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A 2.2 Ölçüler SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X kuvvet kümesi veriliyor. P (X üzerinde 0 ; A (A : 1 ; A şeklinde tanımlanan dönüşümü ölçü müdür? ÇÖZÜM 1: (i Tanımdan ( 0. (ii A

Detaylı

T.C. ADIYAMAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ ARALIK SAYI DİZİLERİNİN BAZI DİZİ UZAYLARI SİBEL YASEMİN MATEMATİK ANABİLİM DALI

T.C. ADIYAMAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ ARALIK SAYI DİZİLERİNİN BAZI DİZİ UZAYLARI SİBEL YASEMİN MATEMATİK ANABİLİM DALI T.C. ADIYAMAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ ARALIK SAYI DİZİLERİNİN BAZI DİZİ UZAYLARI SİBEL YASEMİN MATEMATİK ANABİLİM DALI 2013 T.C. ADIYAMAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz.

Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz. 1 BİR İŞLEMLİ SİSTEMLER Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz. 1.1 İŞLEMLER Bir kümeden kendisine tanımlı olan her fonksiyona birli işlem denir. Örneğin Z

Detaylı

Hamel Taban ve Boyut Teoremi

Hamel Taban ve Boyut Teoremi Hamel Taban ve Boyut Teoremi Mert ÇAĞLAR 1 VE Zafer ERCAN 2 1 Amaç Baştan söyleyelim: vektör uzay, vektör altuzay, doğrusal dönüşüm, izomorfik (eş yapılı) vektör uzaylar kavramlarına başlangıç seviyesinde

Detaylı

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011 ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Doktora 2010913070 Nisan, 2011 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup teorisi cebirin en temel dallarından biridir. Yarıgrup terimi ilk olarak 1904

Detaylı

İndirgenme Boyutu Üç Olan Fibonacci Simetrik Sayısal Yarıgruplarının Bir Sınıfı

İndirgenme Boyutu Üç Olan Fibonacci Simetrik Sayısal Yarıgruplarının Bir Sınıfı İndirgenme Boyutu Üç Olan Fibonacci Simetrik Sayısal Yarıgruplarının Bir Sınıfı Meral SÜER * ve Sedat İLHAN * Batman Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü,7060 Batman, Türkiye Dicle Üniversitesi,

Detaylı

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2) ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme

Detaylı

10. DİREKT ÇARPIMLAR

10. DİREKT ÇARPIMLAR 10. DİREKT ÇARPIMLAR Teorem 10.1. H 1,H 2,, H n bir G grubunun alt gruplarının bir ailesi ve H = H 1 H 2 H n olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir. a ) dönüşümü altında dır. b) ve olmak üzere her yi tek türlü

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocm.mit.edu/terms veya http://tuba.açık ders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ. YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ. Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ

ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ. YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ. Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ MATEMATİK ANABİLİM DALI Haziran, 2014 AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

Detaylı

FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular

FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular Ad ve Soyad : Numaras : FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular 30.11.2007 1. Aşa¼g daki ifadelerin do¼gru olup olmad klar n nedenlerini aç klayarak yaz n z. (a) (X; kk) bir normlu uzay ve M bunun

Detaylı

3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar

3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar 3. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 11, 2016 1 Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar Lie nin üçüncü teoremi oarak bilinen ve Cartan tarafından asağıdaki gibi güçlendirilmiş bir teorem ile başlayalım:

Detaylı

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50 Modül Teori Modüller Prof. Dr. Neşet AYDIN ÇOMÜ - Matematik Bölümü [01/07] Mart 2012 Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart 2012 1 / 50 Giriş M bir toplamsal değişmeli

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

DÜZGÜN ÖLÇÜM. Ali DÖNMEZ Doğuş Üniversitesi, Fen Bilimleri Bölümü. Halit ORHAN Atatürk Üniversitesi, Matematik Bölümü

DÜZGÜN ÖLÇÜM. Ali DÖNMEZ Doğuş Üniversitesi, Fen Bilimleri Bölümü. Halit ORHAN Atatürk Üniversitesi, Matematik Bölümü DÜZGÜN ÖLÇÜM Ali DÖNMEZ Doğuş Ünirsitesi, Fen Bilimleri Bölümü Halit ORHAN Atatürk Ünirsitesi, Matematik Bölümü Özet: Düzgün ölçüm üzerine bazı teoremler ispatlandı. Anahtar sözcükler: Ölçüm, düzgün ölçüm,

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c 0. Küme Cebri Bu bölümde verilen keyfikümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi özellikleri sağlayan eşitliklerle ilgilenceğiz. İlk olarak De Morgan kurallarıdiye bilinen bir Teoremi ifade

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: KARDİNAL SAYILAR ÖĞRETİM GÖREVLİLERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR: DİRENCAN DAĞDEVİREN ELFİYE ESEN

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı 9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,

Detaylı

3. işleminin birim elemanı vardır, yani her x A için x e = e x = x olacak şekilde e A vardır.

3. işleminin birim elemanı vardır, yani her x A için x e = e x = x olacak şekilde e A vardır. 0.1 GRUPLAR Tanım 1 A kümesi boştan farklıolmak üzere işlemine göre aşağıdaki koşulları gerçekliyorsa (A, ) ikilisine bir Grup denir. 1. kapalılık özelliğine sahiptir, yani her x, y A için x y A olur.

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler

Detaylı

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve düzlem Geçen ders doğrusal cebir aracılığıyla izdüşümsel geometri için bir model kurduk. Şimdi bu modeli daha somut bir şekle sokalım, F = R durumunda kurduğumuz

Detaylı

T.C. ADIYAMAN ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ YÜKSEK LĠSANS TEZĠ SONSUZ MATRĠSLERLE TANIMLANAN ÖZEL OPERATÖRLER.

T.C. ADIYAMAN ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ YÜKSEK LĠSANS TEZĠ SONSUZ MATRĠSLERLE TANIMLANAN ÖZEL OPERATÖRLER. T.C. ADIYAMAN ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ YÜKSEK LĠSANS TEZĠ SONSUZ MATRĠSLERLE TANIMLANAN ÖZEL OPERATÖRLER Zeliha MAĞDEN MATEMATĠK ANABĠLĠM DALI ADIYAMAN 2012 TEZ ONAYI Zeliha MAĞDEN tarafından

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 İyi Sıralama 5 Bibliography 13 1 İyi Sıralama Well Ordering İyi sıralama kavramı, doğal sayıların

Detaylı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı 1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

7. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 17, 2016

7. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 17, 2016 7. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 17, 2016 Bu derste bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği sıfır olan k cismi üzerine tanımlı olduğunu varsayıyoruz. 1 Tekrar Gözden Geçirme: Basitlik,

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

MAT 302 SOYUT CEBİR II SORULAR. (b) = ise =

MAT 302 SOYUT CEBİR II SORULAR. (b) = ise = MAT 302 SOYUT CEBİR II SORULAR 1. : bir dönüşüm, olsunlar. a) ( ) = ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) olduğunu c) ( ) nin eşitliğinin sağlanması için gerekli ve yeterli bir koşulun nin 1 1 olması ile mümkün olduğunu

Detaylı

Topolojik Uzaylarda Süreklilik Çeşitleri Üzerine

Topolojik Uzaylarda Süreklilik Çeşitleri Üzerine S Ü Fen Ed Fak Fen Derg Sayı 26 (2005) 43-50, KONYA Topolojik Uzaylarda Süreklilik Çeşitleri Üzerine Kemal USLU 1, Şaziye YÜKSEL Selçuk Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Kampüs-Konya

Detaylı

A COMMUTATIVE MULTIPLICATION OF DUAL NUMBER TRIPLETS

A COMMUTATIVE MULTIPLICATION OF DUAL NUMBER TRIPLETS . Sayı Mayıs 6 A COMMTATIVE MLTIPLICATION OF DAL NMBER TRIPLETS L.KLA * & Y.YAYLI * *Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Matematik Bölümü 6 Tandoğan-Ankara, Türkiye ABSTRACT Pfaff [] using quaternion product

Detaylı

Salim. Yüce LİNEER CEBİR

Salim. Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR ISBN 978-605-318-030-2 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 2015, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış

Detaylı

Prof.Dr.Ünal Ufuktepe

Prof.Dr.Ünal Ufuktepe İzmir Ekonomi Üniversitesi, Matematik Bölümü 21 Ocak 2012 KLASİK ANLAMDA TÜREV Fiziğin en temel işlevlerinden biri hareketi tanımlamaktır. Newton ve Leibniz hareketi tanımlama ve tahmin etme konusunda

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR

1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR 1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR Bu bölümde ilk olarak Matematikte çok önemli bir yere sahip olan Bağıntı kavramnı verip daha sonra ise Fonksiyon tanımı verip genel özelliklerini inceleyeceğiz. Tanım 1 A B

Detaylı

Ders Kodu Dersin Adı Yarıyıl Teori Uygulama Lab Kredisi AKTS MATH 501 İleri Analiz

Ders Kodu Dersin Adı Yarıyıl Teori Uygulama Lab Kredisi AKTS MATH 501 İleri Analiz İçerik Ders Kodu Dersin Adı Yarıyıl Teori Uygulama Lab Kredisi AKTS MATH 501 İleri Analiz 1 3 0 0 3 8 Ön Koşul Derse Kabul Koşulları Dersin Dili Türü Dersin Düzeyi Dersin Amacı İçerik Kaynaklar Türkçe

Detaylı

AKÜ FEMÜBİD 17 (2017) ( ) AKU J. Sci.Eng.17 (2017) ( ) DOI: /fmbd Araştırma Makalesi / Research Article

AKÜ FEMÜBİD 17 (2017) ( ) AKU J. Sci.Eng.17 (2017) ( ) DOI: /fmbd Araştırma Makalesi / Research Article Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi A 1, 2 Afyon Kocatepe University Journal of Science and Engineering AKÜ FEMÜBİD 17 (2017) 021302 (488-493) AKU J. Sci.Eng.17 (2017) 021302

Detaylı

DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI

DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI T.C ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI ÖĞRETİM ÜYELERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR:

Detaylı

Soyut Cebir. Prof. Dr. Dursun TAŞCI

Soyut Cebir. Prof. Dr. Dursun TAŞCI Soyut Cebir Prof. Dr. Dursun TAŞCI Ankara 2007 674 ÖNSÖZ Bu kitap; Selçuk Üniversitesi ve Gazi Üniversitesinde uzun yıllar okutmuş olduğum Soyut Cebir ve Cebire Giriş ders notlarının düzenlenmesi ve daha

Detaylı

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon İçindekiler Cebir 1. Fonksiyonlar....... 1.1 Fonksiyonların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi...... 1.1.1 Fonksiyon.. 1.1. Görüntü Kümesi... 1.1.3 Eşit Fonksiyonlar. 1.1.4 Fonksiyonun Gösterimi. 1.1.4.1 Liste

Detaylı

Gerçel Sayılar Grubunda Tanımlı Grup Topolojilerin Sayısı. Zafer ERCAN 1

Gerçel Sayılar Grubunda Tanımlı Grup Topolojilerin Sayısı. Zafer ERCAN 1 Gerçel Sayılar Grubunda Tanımlı Grup Topolojilerin Sayısı Zafer ERCAN 1 Doğal sayılar kümesi, tamsayılar kümesi, rasyonel sayılar kümesi ve gerçel sayılar kümesi, her zaman olduğu gibi, sırasıyla, N, Z,

Detaylı

X normlu bir uzay olsun.x üzerindeki tüm gerçel veya karmaşık değerli sürekli (sınırlı) fonksiyoneller,x deki x ve α sayıları için

X normlu bir uzay olsun.x üzerindeki tüm gerçel veya karmaşık değerli sürekli (sınırlı) fonksiyoneller,x deki x ve α sayıları için HAHN-BANACH TEOREMİ VE SONUÇLARI G.F.Simmons 1963 tarihli Introduction to Topology and Modern Analysis adlı mükemmel kitabında soyut bir matematisel yapıyı anlamanın en iyi yollarından biri olarak o matematiksel

Detaylı

ndirgenme Boyutu Üç Olan Fibonacci Simetrik Sayısal Yarıgruplarının Bir Sınıfı

ndirgenme Boyutu Üç Olan Fibonacci Simetrik Sayısal Yarıgruplarının Bir Sınıfı ndirgenme Boyutu Üç Olan Fibonacci Simetrik Sayısal Yarıgruplarının Bir Sınıfı Meral SÜER * ve Sedat LHAN * Batman Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü,72060 Batman, Türkiye Dicle Üniversitesi,

Detaylı

ASYMMETRIC TOPOLOGICAL SPACES ESRA KARATAŞ

ASYMMETRIC TOPOLOGICAL SPACES ESRA KARATAŞ ASİMETRİK TOPOLOJİK UZAYLAR ASYMMETRIC TOPOLOGICAL SPACES ESRA KARATAŞ HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ Lisansüstü Eğitim-Öğretim ve Sınav Yönetmeliğinin Matematik Anabilim Dalı için YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak hazırlanmıştır.

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

' : (X; kk)! (R; jj) ; ' (x) = kxk fonksiyonunun

' : (X; kk)! (R; jj) ; ' (x) = kxk fonksiyonunun Fonksiyonel Analize Giriş I Aras nav Sorular 24. 11. 2006 1. (a) Normun tan m n yaz n z. (b) (X; kk) bir normlu uzay olsun. sürekli oldu¼gunu gösteriniz. ' : (X; kk)! (R; jj) ; ' (x) = kxk fonksiyonunun

Detaylı

Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması.

Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması. Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması. Projenin Amacı: Aritmetik bir dizinin ilk n-teriminin belirli tam sayı kuvvetleri toplamının

Detaylı

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır.

ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır. ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI. vektör uzayında yer alan w=(9 7) vektörünün, u=( -), v=(6 ) vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olduğunu ve z=( - 8) vektörünün ise bu vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48 İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS Bir Dönemde Okutulan Ders Saati MAT101 Genel I (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) 1 Kümeler, reel sayılar, bir denklem veya eşitsizliğin grafiği 2 Fonksiyonlar,

Detaylı

Matrisler ve matris işlemleri

Matrisler ve matris işlemleri 2.Konu Matrisler ve matris işlemleri Kaynaklar: 1.Uygulamalı lineer cebir. 7.baskıdan çeviri.bernhard Kollman, David R.Hill/çev.Ed. Ömer Akın, Palma Yayıncılık, 2002 2.Lineer Cebir. Feyzi Başar.Surat Universite

Detaylı

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu ünite çalışıldıktan sonra, Üstel fonksiyonun tanımı öğrenilecek Üstel fonksiyonun

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi

1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi 1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi Euclidean R uzayının tabanının B = {(a, b) : a, b R} olduğunu biliyoruz. Demek ki bu uzayda belirleyiçi unsur açık aralıklar. Her açık aralık (a, b) için, olmak üzere, d

Detaylı

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür. ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

SOFT TOPOLOJİK UZAYLARIN TERS SİSTEMLERİ

SOFT TOPOLOJİK UZAYLARIN TERS SİSTEMLERİ SOFT TOPOLOJİK UZAYLARIN TERS SİSTEMLERİ Sadi Bayramov 1, Çiğdem Gündüz (Aras) 2, Nesrin Demirci 1 1 Kafkas Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi-KARS 2 Kocaeli Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi-KOCAELİ

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 3

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 3 1.3. Kompleks Düzlemin Topolojisi Tanım 1. D ε (z 0 ) = {z C : z z 0 < ε} kümesine z 0 ın bir ε komşuluğu denir. Tanım 2. Bir A C kümesi verilsin. z 0 ın sadece A nın elemanlarından oluşan bir komşuluğu

Detaylı