PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ

Transkript

1 PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ İnci BİRGİN Anabilim Dalı : Matematik Programı : Matematik Tez Danışmanı: Prof. Dr. Mehmet Ali SARIGÖL EYLÜL 2011

2

3

4 ÖNSÖZ Yüksek lisans öğrenimim tez çalışmalarım boyunca gösterdiği sabır, her türlü destek yardımdan dolayı çok değerli sayın hocam Prof. Dr. Mehmet Ali SARIGÖL e en içten dileklerimle teşekkür ederim. Ayrıca bu çalışmaların yapılması sırasında, maddi-manevi desteklerini hiç eksik etmeyen kıymetli aileme teşekkür ederim. Eylül 2011 İnci BİRGİN

5 İÇİNDEKİLER ÖZET... vi SUMMARY... vii 1. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Temel Tanım Teoremler Hausdorff Kompaktsızlık Ölçüsü Tanımı TOPLANABİLEN YA DA SINIRLI OLAN DİZİLERİN KÜMELERİ VE BU KÜMELERİN -DUALLERİ MATRİS DÖNÜŞÜMLERİ KOMPAKTSIZLIK ÖLÇÜSÜ VE DÖNÜŞÜMLER KAYNAKLAR Sayfa

6 ÖZET TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ Dört bölümden oluşan bu tezde, uzayları ile bazı BK uzayları arasındaki matris dönüşümleri kompakt operatörler incelenmiştir. Birinci bölümde daha sonraki bölümlerde kullanacağımız bazı temel kavram teoremler ifade edilmiştir. İkinci bölümde, uzaylarının bazı özelliklerini ifade eden Aljarrah Malkowsky (1998) ye ait olan teoremlerin ispatları rilmiştir. Üçüncü bölümde, uzayları ile bilinen uzaylar arasındaki matris dönüşümleri Malkowsky Rakočević ye ait olan teoremlerin ispatları rilmiştir. Dördüncü bölümde çokça faydalandığımız Hausdorff kompaktsızlık ölçüsünün temel teoremleri ile bazı matris dönüşümlerinin kompakt operatör olması gerek yeter şartları ifade eden teoremler detaylı olarak incelenmiştir. Anahtar Kelimeler: BK uzayı, baz, matris dönüşümleri, kompaktsızlık ölçüsü

7 SUMMARY PROPERTIES OF TRANSFORMATION BETWEEN SPACES OF SEQUENCES THAT ARE SUMMABLE OR BOUNDED In this thesis consisting of four chapters, some matrices transformation and compact operator between the spaces and BK spaces are studied. In the first chapter, some basic concepts and theorems which we will use in subsequent chapters are stated. In the second chapter, the proofs of theorems of Aljarrah and Malkowsky (1998) stating some properties of, are gin. In the third chapter, the proofs of theorems of Malkowsky and Rakočević and matrix transformations between, spaces and the known spaces are gin. In the fourth chapter, with theorems that we make use of so much, stating the basic theorems of Hausdorff measure of noncompactness, the theorems stating if and only if some matrix transformation to be compact operator, are studied in detail. Key Words: BK spaces, bases, matrix transformations, measure of noncompactness

8 1. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Bu bölümde daha sonraki bölümlerde kullanacağımız temel tanım teoremler rilmiştir. 1.1 Temel Tanım Teoremler Tanım (Çalışmada geçen bazı dizi örnekleri) : : Reel ya kompleks terimli bütün dizilerin kümesi : olacak şekilde sonlu dizilerin kümesi : : mevcut : : Reel ya kompleks terimli yakınsak serilerin kümesi, yani; kümesi, yani; : Kısmi toplamlar dizisi sınırlı olan reel ya kompleks terimli serilerin : : 1 p olmak üzere p. kuvtleri mutlak yakınsak seri oluşturan dizilerin kümesi, yani;

9 : dizisidir. Tanım (Vektör uzayı): L boştan farklı bir küme K reel ya kompleks sayıların cismini göstersin. Eğer x,y,z L, K olmak üzere : L L L : K L L fonksiyonları L (kapalılık özelliği), (birleşme özelliği), olacak şekilde L vardır (birim eleman), olacak şekilde L vardır (ters eleman), (değişme özelliği), L (skalerle çarpma işleminde kapalılık), K birim eleman olmak üzere şartları sağlanıyorsa, L ye bir ktör uzayı ya lineer uzay denir. Tanım (Normlu uzay): X, K cismi üzerinde bir lineer uzay olsun. Eğer : X fonksiyonu X, K, X X şartları sağlanıyorsa uzay denir. fonksiyonuna, X üzerinde bir norm X uzayına da normlu

10 Tanım (Banach uzayı): Norma göre tam olan uzaya yani her Cauchy dizisinin yakınsak olduğu uzaya Banach uzayı denir. Teorem 1.1.5: Eğer Y bir Banach uzayı ise B(X,Y) bir Banach uzayıdır (Kreyszig 1989). Tanım (FK uzayı): Koordinat fonksiyonelleri sürekli olan alt metrik uzayına FK uzayı denir (Malkowsky Rakočević 2004). nın tam lineer Normlu FK uzayına BK uzayı adı rilir. X, yi kapsayan bir BK uzayı olsun. Eğer X dizisi olacak şekilde bir tek gösterimi varsa, X e AK özelliğe sahiptir ya kısaca AK uzayı adı rilir. Tanım (Schauder bazı): X lineer metrik uzay olsun. Eğer X olacak şekilde skalerlerin bir tek dizisi bulunabiliyorsa, dizisine X lineer metrik uzayında Schauder bazı adı rilir. B(X,Y), X normlu uzayından Y normlu uzayı e olan bütün sınırlı lineer dönüşümlerin kümesini göstermek üzere Tanım (Sınırlı lineer operatör): X Y iki normlu uzay T: X lineer operatör olsun. Eğer X Y bir olacak şekilde bir reel sayısı varsa T ye sınırlı lineer operatör denir. (Burada eşitsizliğin solundaki norm Y uzayındaki, sağındaki norm ise X uzayındaki normdur.) Bu eşitsizliği sağlayan c sayılarının en büyük alt sınırına yani sayısına T nin normu denir. Bu norm aynı zamanda

11 eşitliği ile de rilebilir. B(X,Y) yukarıdaki norma göre bir normlu uzaydır. X üzerindeki bütün sınırlı lineer fonksiyonellerin oluşturduğu B(X, ) normlu uzayına X in duali denir ile gösterilir. Açıktır ki üzerindeki norm dir (Kreyszing, 1980). Tanım 1.1.9: X Y metrik uzay dönüşümü rilmiş olsun. Eğer her sınırlı kümesi kümesi lokal kompakt, yani nun kapanışı Y de kompakt ise bu takdirde ye kompakt dönüşüm adı rilir. Teorem : X Y normlu uzay L: X Y lineer operatör olsun. Bu durumda L nin kompakt olması gerek yeter şart X deki her sınırlı dizisi dizisinin Y de yakınsak bir alt diziye sahip olmasıdır (Şuhubi 2001). Tanım (Çarpım Uzayı): X Y, nın iki alt kümesi olsun. Bu durumda kümesine X ile Y nin çarpım uzayı denir (Malkowsky, Rakočević, Žıvkovič, 2002). Herhangi iki dizileri olsun. X Y nın keyfi alt kümeleri herhangi bir dizi ise bu taktirde biçiminde tanımlanır. Eğer özel olarak alınırsa yakınsaktır

12 elde edilir. Buna X in duali adı rilir. Eğer bir BK uzayı ise eşitliğin sağındaki seri yakınsak olmak üzere biçiminde tanımlanır. Eğer ise bu norm mevcuttur (Wilansky,1984). olmak üzere olan bütün dizilerinin kümesini ile gösterelim. olmak üzere olsun. operatörü; biçiminde tanımlanır. Tanım : reel ya kompleks terimli bir sonsuz matris herhangi bir dizi olsun. Eğer serileri yakınsak ise dizisine dizisinin matrisi ile elde edilen dönüşüm dizisi denir. Ayrıca dönüşüm dizisi mevcut Y uzayına ait ise ya uzayından Y uzayına bir matris dönüşümü denir bu tür matris dönüşümlerin kümesi ile gösterilir. Tanım : X, nın bir alt kümesi olmak üzere kümesine, matrisinin X deki toplama alanı denir. Örneğin, eğer E her şeklinde tanımlanan matris ise, o zaman yani yakınsak sınırlı serilerin kümeleri olur. göstereceğiz, yani sonsuz matrisini n. satır elemanlarının dizisini ile

13 alacağız. Bu durumda olur. Üstelik denk olarak yi ifade eder. Teorem : X Y BK uzayı olsun. Bu taktirde dir, yani = olacak şekilde vardır. Ayrıca, olması gerek yeter şart olmasıdır. Eğer in bir bazı, FK uzayı olmak üzere nin kapalı bir alt uzayı ise bu takdirde, olması gerek yeter şart olmasıdır (Malkowsky, Rakočević,1998). Teorem1.1.15: T bir üçgensel matris olsun. a-) X Y, nın keyfi iki alt kümesi olmak üzere olması gerek yeter şart olmasıdır. b-) Eğer X Y BK uzayı ise bu takdirde dir (Malkowsky, Rakočević, 1999).

14 1.2 Hausdorff Kompaktsızlık Ölçüsü Tanımı Tanım (Hausdorff Kompaktsızlık Ölçüsü): (X,d) metrik uzay Q X in bir alt kümesi olsun. a-) Eğer, olacak şekilde bir sayısı bulunabiliyorsa, Q ya X de total sınırlıdır denir kümesine ise Q nun -neti (ağı) adı rilir. Total sınırlı her küme sınırlıdır. Fakat tersi genel olarak doğru değildir (Maddox 1970). b-) Eğer Q sınırlı ise de sonlu ağına sahiptir sayısına Q kümesinin Hausdorff Kompaktsızlık Ölçüsü Hausdorff Kompaktsızlık Ölçüsü denir. fonksiyonuna ise Q yu örten yuvarların merkezlerinin Q ya ait olmak zorunda olmadığına dikkat edilmelidir. sahiptir. nun kapanışını ile gösterelim. Bu durumda χ fonksiyonu aşağıdaki özelliklere Lemma 1.2.2: metrik uzay in sınırlı alt kümeleri olsun. Bu taktirde a-) χ =0 olması gerekli yeter şart Q nun total sınırlı olmasıdır. b-) ise χ χ c-) χ =χ d-) χ = e-) χ dir (Akhmerov, Kamenskii, Potapov, Rodkina, Sadovskii, 1992, Banás, Goebl, 1980, Rakočević, 1994).

15 Teorem 1.2.3: X normlu uzay taktirde in sınırlı alt kümeleri olsun. Bu a-) χ b-) C χ = χ dır (Akhmerov, Kamenskii, Potapov, Rodkina, Sadovskii, 1992, Banás, Goebl, 1980, Rakočević, 1994). Tanım 1.2.4: X Y normlu uzay olsun. Bu durumda nın Hausdorff kompaktsızlık ölçüsü ile gösterilir. X de birim yuvar olacak şekilde biçiminde tanımlanır. Ayrıca nın kompakt olması gerekli yeter şart olmasıdır 1992, Banás, Goebl, 1980, Rakočević, 1994). dır (Akhmerov, Kamenskii, Potapov, Rodkina, Sadovskii, Teorem 1.2.5: X, sınırlı bir alt kümesi dönüşümü olsun. Bu takdirde Schauder bazına sahip Banach uzayı Q, X in kümesinin lineer gereni üzerine bir projektör dir. Burada dir (Akhmerov, Kamenskii, Potapov, Rodkina, Sadovskii, 1992, Banás, Goebl, 1980). Burada ki sayısını hesap edebiliriz : ise olduğunu gösterelim., olmak üzere

16 olduğu açıktır. Ayrıca olduğuna göre alınırsa buradan bulunur. den dır. Böylece elde edilir. olduğundan ise olduğunu gösterelim., nin Schauder bazı olacak şekilde skalerlerin dizisi mevcuttur. Eğer dönüşümünü biçiminde tanımlarsak bu durumunda

17 olacağından bulunur. Buradan olur. Öte yandan özel olarak alınırsa buradan yani bulunur. den dir. Böylece elde edilir.

18 2. TOPLANABİLEN YA DA SINIRLI OLAN DİZİLERİN KÜMELERİ VE BU KÜMELERİN -DUALLERİ Bu kısımda uzaylarının birçok özelliğini ifade eden Aljarrah Malkowsky, (1998) e ait olan teoremlerin ispatlarını receğiz. pozitif bir dizi Q ise genel terimi olan diziyi göstersin. Ayrıca matrisini biçiminde tanımlayalım. Bu taktirde sıfıra sınırlı dizilerin kümelerini sırasıyla toplanabilen, toplanabilen, ile gösterelim. Bu taktirde bu uzaylar BK uzayıdır. Şimdi bu bağlamda Aljarrah Malkowsky, (1998) e ait teoremi ifade ispat edelim. Teorem 2.1: kümelerinin her biri şeklinde tanımlanan normuyla BK uzayıdır. İspat: kümesinin normuyla BK uzayı olduğunu gösterelim. Bu taktirde olmak üzere da bir Cauchy dizisi olsun.

19 dolayısıyla olur. Buradan... olduğundan elde edilir ki bu ise dizisinin de Cauchy dizisi olduğunu gösterir. tam olduğundan, de ki mutlak değer normuna göre olacak şekilde vardır. Şimdi normuyla bir Banach uzayı olduğunu gösterelim. Bunun olduğunu gösterelim. Cauchy dizisi tanımından öyle ki yani dir. Burada yi sabit tutup limite geçilirse

20 olur. Bu ise demektir. Buradan elde edilir. Dolayısıyla dır. Şimdi de fonksiyonelinin sınırlı olduğunu gösterelim. olsun. Bu taktirde olur. olduğundan sınırlıdır. Lineer fonksiyonellerde süreklilik sınırlılığa denk olduğu fonksiyoneli aynı zamanda süreklidir. Koordinat fonksiyonelleri sürekli olan Banach uzayı BK uzayı olduğuna göre, normuyla bir BK uzayıdır. kümeleri de benzer şekilde gösterilir. Ayrıca,eğer ise bu durumda AK özelliğe sahiptir üstelik dizisi olmak üzere

21 biçiminde bir tek gösterime sahiptir. Teorem 2.2: olsun. Bu taktirde, olur. İspat: Kısalık olsun biçiminde ifade edelim. Buradan yı çekip düzenlersek

22 olur. O halde (2.1) den dir. olsun. Bu taktirde dir. Buradan yazılabilir. Bu ise demektir. Buradan da elde edilir. olduğundan bulunur. Bu durumda olur. Öte yandan

23 olur. Buradan yazılabilir. Bunun sonucunda olduğundan elde edilir. olması denk olarak yi ifade ettiğine göre (2.2) den bulunur. O halde yani olur. Dolayısıyla elde edilir. Karşıt olarak olsun. Bu taktirde dir. O halde olur. Bu durumda elde edilir. Öte yandan dır. Bu ise dır. olduğundan

24 dur. Buradan yani yazılır. (2.2) den bulunur. olduğundan olur. Buradan da bulunur. Öyleyse dır. Bu ifade biçiminde yazılabilir. Yani dir. Dolayısıyla olup, elde edilir. den

25 olduğu görülür. olduğu da benzer şekilde ispatlanır. Önerme 2.3: uzaylarının her biri üzerinde normu tanımlıdır. İspat: Herhangi bir dizisi biçiminde tanımlansın negatif olmayan bir tam sayıyı göstersin. Ayrıca dizisini şeklinde tanımlayalım diyelim. Bu takdirde

26 yazılabilir. Burada her iki tarafının supremumunu alırsak; şartını sağlayan X üzerinden elde edilir. Karşıt olarak; keyfi bir tamsayı olsun. dizisini biçiminde tanımlayalım. Bu durumda, yani dir. Buradan olur. keyfi olduğundan yazabiliriz. eşitsizliklerinden elde edilir bu ise ispatı tamamlar.

27 3. MATRİS DÖNÜŞÜMLERİ Bu bölümde uzayları ile bilinen bazı uzaylar arasındaki matris dönüşümleri receğiz Malkowsky Rakočević e ait olan bazı teoremlerin ispatlarını ele alacağız. Teorem Önerme 2.3 den aşağıdaki sonuç rilebilir. Sonuç 3.1: pozitif bir dizi olsun. a-) olması gerek yeter şart olmasıdır. b-) olması gerek yeter şart koşulunun sağlanması olmasıdır. c-) olması gerek yeter şart koşulunun sağlanmasıdır. d-) olması gerek yeter şart koşulunun sağlanması

28 olmasıdır. e-) olması gerek yeter şart koşulunun sağlanması = olmasıdır. f-) olması gerek yeter şart, koşullarının sağlanması olmasıdır. g-) olması gerek yeter şart, koşullarının sağlanması olmasıdır. İspat: da tanımlı normu idi. Bu durumda buradan da

29 yazılabilir. a-) olsun. Teorem den dur. yazılır Teorem 2.2 den normunun yakınsak olmasından elde edilir. Karşıt olarak olsun. Bu ise olması demektir. olduğuna göre olur Teorem (1.1) den elde edilir. b-) olsun. Bu taktirde Teorem (1.1) den dur. yazılır Teorem 2.2 den normunun yakınsak olması nedeniyle elde edilir. Karşıt olarak olsun. Bu ise olması demektir. olduğundan yazılır Teorem (1.1) den elde edilir. c-) olsun. Bu taktirde Teorem (1.1) den, elde edilir. Karşıt olarak olsun. Buradan yazılabilir. Bu durumda Teorem 2.2 den dır. Dolayısıyla Teorem (1.1) den elde edilir. d-) ın bazı olduğundan

30 olur. Öte yandan olduğu açıktır. Bu taktirde Teorem (1.2) ye göre olması gerek yeter şart olmasıdır. Buradan şıkkı nedeniyle koşulu olması nedeniyle yani elde edilir. e-) Açıktır ki dur. Bu taktirde Teorem (1.2) nedeniyle olması gerek yeter şart olmasıdır. Buradan şıkkı nedeniyle koşulu olması nedeniyle yani elde edilir. f-) nun bazı olduğundan şıkkından dır. Bu taktirde Teorem (1.2) den olması gerek yeter şart olmasıdır. O halde şıkkından koşulları sağlanır. Öte yandan ise yani

31 yani elde edilir. g-) Teorem (1.2) den olması gerek yeter şart olmasıdır. O halde şıkkından koşulları sağlanır. Öte yandan ise yani yani elde edilir. Teorem Teorem 2.1. den aşağıdaki sonuç rilebilir. Sonuç 3.2: X BK uzayı, pozitif bir dizi olsun.

32 a-) olması gerek yeter şart olmasıdır. b-) Eğer X in bir bazı ise bu durumda olması gerek yeter şart koşulunun sağlanması olmasıdır. c-) olması gerek yeter şart koşulunun sağlanması olmasıdır. İspat: a-) Teorem nedeniyle olması gerek yeter şart olmasıdır. Öte yandan dır. Teorem (1.1) e göre ise

33 dir. Bu durumda elde edilir. b-) Açıktır ki dur. Teorem (1.2) den olması gerek yeter şart olmasıdır. Buradan koşulu sağlanır. Öte yandan ise yani elde edilir. c-) Açıktır ki dur. Teorem (1.2) den olması gerek yeter şart olmasıdır. Buradan koşulu sağlanır. Öte yandan ise yani elde edilir.

34 Uyarı 3.3: a-) Eğer Y; uzaylarının herhangi biri ise bu durumda olması deki normuyla üzerindeki doğal norm olacak şekilde yer değiştirerek sırasıyla Sonuç 3.2 takip edilebilir. Yani; ile koşullarındaki terimi terimi ile değiştirmek yeterlidir. b-) Aşağıdaki koşulları göz önüne alalım:

35 Bu taktirde; koşullarının sağlanmasıdır. olması gerek yeter şart koşullarının sağlanmasıdır. olması gerek yeter şart sağlanmasıdır. olması gerek yeter şart koşulunun koşullarının sağlanmasıdır. olması gerek yeter şart sağlanmasıdır. olması gerek yeter şart koşullarının olması gerek yeter şart,, koşullarının sağlanmasıdır. olması gerek yeter şart,, koşullarının sağlanmasıdır.

36 4. KOMPAKTSIZLIK ÖLÇÜSÜ VE DÖNÜŞÜMLER Bu bölümde bazı matris dönüşümlerinin kompakt operatör olması gerek yeter şartları elde etmek amacıyla Hausdorff kompaktsızlık ölçüsünün uygulamalarını inceleyeceğiz. Bu konuda Akhmerov, Kamenskii, Potapov, Rodkina, Sadovskii, (1992), Banás, Goebl, (1980), Rakočević, (1994) tarafından rilen sonuçları ele alacağız. Teorem 4.1: matrisi Sonuç 3.1 şartlarını sağlasın. Ayrıca olacak şekildeki her tamsayıları alalım. a-) Eğer ya da ise bu taktirde dir. b-) Eğer ya da ise bu taktirde dir. c-) Eğer ya da ise bu taktirde dir.

37 İspat: Açıktır ki eşitliğinde r büyüdükçe supremum küçülür. azalan dizi alttan sınırlı olduğundan yakınsaktır yani limiti vardır. Bu nedenle deki limitler mevcuttur. a-) olsun. Önce, olmak üzere dir. Bu ise Teorem 1.2.5, Teorem yakınsak dizilerde sonsuz matrisini olmasından elde edilir. Şimdi biçiminde tanımlayalım. Bu durumda Sonuç 3.1 den yani bulunur. Böylece dan elde edilir. b-) Hatırlayalım ki; dizisinin, olacak şekilde biçiminde bir tek gösterimi vardır. olacak şekilde tanımlayalım. Teorem den

38 dan elde edilir. c-) projektör dönüşümünü tanımlayalım. Bu taktirde olacak şekilde yazabiliriz. Gerçekten ise olacak şekilde vardır. Öte yandan olduğuna göre dir. Bu ise olmasıdır. χ ölçüsünün özelliklerinden ise olur. Öte yandan olacak şekilde vardır. Buna göre yazılabilir buradan elde edilir. Burada dır. olması gerek yeter şart nın total sınırlı olmasıdır. nın total sınırlı olduğunu gösterelim. sınırlı, projektör dönüşümdür. İnfimum özelliğinden, olacak şekilde vardır. O

39 halde olacak şekilde sonlu bulunur ki bu da nın total sınırlı olması demektir. Bu taktirde Teorem Teorem ten elde edilir. Teoremin sonucu olarak aşağıdaki sonuç rilebilir. Sonuç 4.2: matrisi Teorem 4.1 in şartlarını sağlasın. Eğer ya ya da eğer ya ise bu taktirde kompakt olması gerek yeter şart olmasıdır. Ayrıca, ya olsun. Eğer ise bu durumda kompakttır. İspat: (Yeterlilik). ya olsun. Bu durumda Teorem 4.1 nedeniyle elde edilir. Şu halde Tanım den kompakttır. (Gereklilik). kompakt olsun. Aynı teorem tanımdan elde edilir. Eğer, ya ise benzer olarak nın kompakt olduğu görülür. Dikkat edelim ki,, ya olduğunda nın kompaktlığı yeter şart olup gerek şart değildir. Bunu görmek aşağıdaki örneği inceleyelim.

40 Örnek 4.3: biçiminde tanımlanan matrisini göz önüne alalım olsun. Bu durumda Sonuç 3.1 den dur. Ayrıca olduğundan dır. Buna rağmen dönüşümü Teorem dan kompakttır. Şimdi de Lemma ile devam edelim. Lemma 4.4: Kabul edelim ki olsun. 33

41 şeklinde ifade edelim. ile operatörleri olacak şekilde olarak tanımlansın. Bu taktirde dir. İspat: İlk olarak eşitliğini gösterelim. olsun. olup Teorem 2.1 den 34

42 böylece elde edilir. dizisini biçiminde tanımlayalım. Bu taktirde 35

43 bulunur. Teorem 2.1 den dir. Ayrıca dır. Böylece Teorem 2.1 den olur. Bu durumda 36

44 dir. den eşitliği elde edilir. Şimdi eşitliğini gösterelim. olsun. dir. Teorem 2.1 den olur. X üzerinden supremum alırsak yani elde edilir. dizisini 37

45 biçiminde tanımlayalım. Bu taktirde bulunur. Böylece Teorem 2.1 den 38

46 yani dir. Ayrıca dir. Bu ise Teorem 2.1 den demektir. Bu durumda den eşitliği elde edilir. Kompaktsızlık ölçüsü Sonuç 3.2 den aşağıdaki teorem rilebilir. Teorem 4.5: matrisi Sonuç 3.2 şartlarını sağlasın. BK uzayı olsun. Ayrıca olacak şekildeki her tamsayıları alalım. a-) Eğer Schauder bazına sahip ise bu taktirde 39

47 olacak şekilde dir. b-) Eğer Schauder bazına sahip ise bu taktirde dir. c-) Eğer ise bu taktirde dur. İspat: Açıktır ki eşitliğinde r büyüdükçe supremum küçülür. azalan alttan sınırlı olduğundan yakınsaktır yani limiti vardır. Bu nedenle daki limitler mevcuttur. a-) alalım. Kabul edelim ki olsun. projektör dönüşümü Lemma 4.4 de ki gibi tanımlansın. Bu taktirde dan dir. Şimdi eşitsizliğini gösterelim. Teorem den olacak şekilde dir. Ayrıca Teorem 4.1 den 40

48 yakınsak dizilerde olmasından eşitsizliği elde edilir. b-) Hatırlayalım ki Schauder bazına sahiptir dizisinin, olacak şekilde biçiminde bir tek gösterimi vardır. projektör dönüşümünü biçiminde tanımlayalım. Bu durumda den dir. Şimdi in ispatı da c-) şekilde ye benzer olarak rilir. projektör dönüşümünü tanımlayalım. Açıktır ki olacak dır. χ ölçüsünün özelliklerinden bulunur. Buradan elde edilir. Şimdi bu teoremin bir sonucunu relim. Sonuç 4.6: BK uzayı olsun. matrisi Teorem 4.5 şartlarını sağlasın. Eğer Schauder bazına sahip ya da ise bu taktirde kompakt olması gerek yeter şart 41

49 olmasıdır. Ayrıca olsun. Eğer ise bu durumda kompakttır. İspat: (Yeterlilik). olsun. Bu durumda Teorem 4.5 den dır. Şu halde Tanım den kompakttır. (Gereklilik). kompakt olsun. Aynı tanım teoremden elde edilir. Eğer ise benzer olarak nın kompakt olduğu görülür. Dikkat edelim ki olduğunda nın kompaktlığı yeter şart olup gerek şart değildir. Uyarı 3.3 den aşağıdaki sonuçlar rilebilir. Sonuç 4.7: a-) Eğer ise bu taktirde ya da kompakt olması gerek yeter şart olmasıdır. b-) Eğer ya da ise bu taktirde kompakt olması gerek yeter şart olmasıdır. c-) olsun. Eğer 42

50 ise bu durumda d-) kompakttır. olsun. Eğer ise bu durumda kompakttır. İspat: a-) (Yeterlilik). olsun sağlansın. Uyarı 3.3 şıkkı, Sonuç 3.2 Teorem 4.5 den dir. Dolayısıyla olur. den elde edilir. Tanım den kompakttır. (Gereklilik). kompakt olsun. Benzer şekilde elde edilir. b-) Bu şıkta da şıkkına benzer olarak ispatlanabilir. c-) olsun sağlansın. Bu ise demektir. dan elde edilir. Tanım den kompakttır. d-) Bu şıkta da şıkkına benzer olarak ispatlanabilir. Sonuç 3.6, Teorem Uyarı 3.3 den aşağıdaki sonuç rilebilir. 43

51 Sonuç 4.8: Eğer ya ya da eğer ya ise bu taktirde kompakt olması gerek yeter şart olmasıdır. Ayrıca ya olsun. Eğer ise bu durumda kompakttır. İspat: Teorem , Uyarı 3.3 şıkkı, Teorem 4.5 Sonuç 4.6 dan dır. Bu durumda olur. Böylece Sonuç 4.6 dan ispat tamamlanır. 44

52 KAYNAKLAR Akhmerov, R. R., Kamenskii, M. I., Potapov, A. S., Rodkina, A. E., Sadovskii, B. N. (1992) Measures of Noncompactness and Condensing Operators, Operator Theory: Adnces and Applications, 55 Birkhauser Verlag, Basel Aljarrah, A. M., Malkowsky, E., (1998) BK Spaces, Bases and Linear Operators, Suppl. Rend. Circ. Mat. Palermo II, 52: Banás, J., Goebl, K., (1980) Measures of Noncompactness in Banach Spaces, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics 60, Marcel Dekker, New York and Basel Hardy, G. H., (1973) Dirgent Series, Oxford Unirsity Press Malkowsky, E., (1996) Linear Operators in Certain BK Spaces, Bolyai Soc. Math. Stud. 5: Malkowsky, E., Parashar, S. D., (1997) Matrix Transformations in Spaces of Bounded and Conrgent Difference Sequences of Order m. Analysis 17: Malkowsky, E., Rakočević, V., (1998) The Measure of Noncompactness of Linear Operators Between Certain Sequence Spaces, Acta Sci. Math (Szeged), 64: Malkowsky, E., Rakočević, V., (1999) The Measure of Noncompactness of Linear Operators Between Spaces of Order Difference Sequences, Studia Sci. Math. Hungar, 35: Rakočević, V., (1994) Funkcionalna Analiza, Naučna Knjiga, Beograd Wilansky, A., (1984) Summability Through Functional Analysis, North-Holland Mathematics Studies, 85 45

53 ÖZGEÇMİŞ Ad Soyad: İnci Birgin Doğum Yeri Tarihi: Alaşehir Adres: Cumhuriyet Mah. 331 Sok. No:1 Gündüz Sitesi A Blok Salihli/MANİSA Lisans Ünirsite: Ondokuz Mayıs Ünirsitesi 46