DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ. Durağan ARIMA Modelleri: Hareketli Ortalama Modelleri MA(q) Süreci

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ. Durağan ARIMA Modelleri: Hareketli Ortalama Modelleri MA(q) Süreci"

Umut Hikmet
6 yıl önce
İzleme sayısı:

1 DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ Durağan ARIMA Modelleri: Hareketli Ortalama Modelleri MA(q) Süreci

2 Hareketli Ortalama Süreci:MA(q) Hareketli Ortalama sürecini yapısını ortaya koymak için önce hisse senedi fiyatının yapısını inceleyelim. Herhangi bir hisse senedinin fiyatına ait zaman dizisinin: Ortalaması sıfırdır, Sabit varyansla dağılmaktadır, Gözlemler arasında korelasyon yoktur.

3 Hareketli Ortalama Süreci:MA(q) Herhangi bir t günündeki hisse senedinin fiyatı P t ise fiyattaki değişme aşağıdaki gibi ifade edilebilir: Y t = P t -P t-1 = e t t=1,,..,t e t bilinen özelliklere sahip rassal değişkendir. e t nin modelde yer almasının nedenleri : Şirketin finansmanı hakkındaki yeni bilgilerin öğrenilmesi, Ürün satışındaki ani yükseliş ve düşüşler, Yeni rakipler nedeniyle şirketin durumundaki risk, Teknolojik gelişmeler ve bunlara şirketin verdiği tepki, Yönetim kademesinde meydana gelen olumsuzluklar, vd. 3

4 Hareketli Ortalama Süreci:MA(q) Herhangi bir t günündeki hisse senedinin fiyatı P t ise fiyattaki değişme aşağıdaki gibi ifade edilebilir: Y t+1 = e t+1 + e t e t+1 : t+1 gününün etkisi e t : t gününün etkisi Hareketli Ortalama Süreci Hareketli Ortalama Süreci, Y t+1 ekonomik değişkeninin cari ve geçmiş rassal bir kalıntının ağırlıklı ortalamasıdır. 4

5 Hareketli Ortalama Süreci:MA(q) Genel MA(q) süreci için istatistiki model: Y t = + e t + 1 e t-1 + e t q e t-q e t ~ IID (0,s ) i bilinmeyen parametreler sabit parametre 5

6 Hareketli Ortalama Süreci:MA(q) MA(q) sürecinin ortalaması: E(Y t )= MA(q) sürecinin varyansı: Var(Y t )= 0 =E[(Y t - ) ] E et 1 e t1... q etq 1 et1e t... s s... s e 1 e q e s (1... ) e 1 q 6

7 MA(1) Sürecinin Ortalaması ve Varyansı Birinci dereceden hareketli ortalama süreci: Y t = + e t + 1 e t-1 Sürecin Ortalaması: E(Y t )= Sürecin Varyansı: Var(Y t )= E[(Y t - ) ] 0 = s (1 θ) e 1 7

8 MA(1) Sürecinin Kovaryansı Cov(Y t, Y t-1 ) = E[(Y t - )(Y t-1 - )] 1 = = E[(e t + 1 e t-1 )(e t e t- )] 1s e Cov(Y t, Y t- ) = E[(Y t - )(Y t- - )] = E[(e t + 1 e t-1 )(e t- + 1 e t-3 )] = 0 Cov(Y t, Y t-k ) = E[(Y t - )(Y t-k - )] = E[(e t + 1 e t-1 )(e t-k + 1 e t-k )] k = 0 8

9 MA(1) Sürecinin Kovaryansı k=1 için kovaryans hesaplanabilmektedir. k>1 için kovaryanslar sıfırdır. Bu durumda MA(1) süreci yalnızca bir dönemlik belleğe sahiptir. Y t değeri, Y t-1 ve Y t+1 dönemleri ile korelasyonludur. 9

10 MA(1) Sürecinin Otokorelasyon Fonksiyonu k θ1 1+θ1 0 k >1 k k=1 0 10

11 MA(1) Sürecinin Tersine Çevrilmesi Aşağıda verilen AR(1) süreci Y t = + 1 Y t-1 + e t Aşağıdaki gibi tersine çevrilebilir. Y t = e e e e... 3 t 1 t1 1 t 1 t3 Böylece sınırsız dereceli bir MA süreci elde edilir. 11

12 MA(1) Sürecinin Tersine Çevrilmesi MA(1) süreci Y t, Y t-1,... de sınırsız bir seri olarak e t de tersine çevrilebilir: e t = Y Y Y... t 1 t1 1 t Gerekli düzenlemelerden sonra yukarıdaki ifade: Y Y Y... e t 1 t1 1 t t Bu son ifade AR() sürecini tanımlar. Kısmi otokorelasyonlar kesilmez fakat sıfıra doğru sönerler. Diğer taraftan otokorelasyonlar birinci gecikmeden sonra sıfır olur. 1

13 MA(1) Modeli ACF ve PACF Grafikleri Hareketli ortalama modelinde kısmi otokorelasyon değerleri gecikme sayısı arttıkça üstel olarak yavaş yavaş azalmaktadır. Ancak otokorelasyon değerlerinde bu azalma bir anda olmaktadır. Örneğin, MA(1) modelinde ilk gecikmeden sonra otokorelasyon değerleri 0 değerini almaktadır. 13

14 MA(1) Modeli ACF ve PACF Grafikleri 14

15 15

16 16

17 MA() Sürecinin Ortalaması ve Varyansı İkinci dereceden hareketli ortalama süreci: Y t = + e t + 1 e t-1 + e t- Sürecin Ortalaması: E(Y t )= Sürecin Varyansı: Var(Y t )= = 0 s (1 ) e 1 17

18 MA() Sürecinin Kovaryansı Cov(Y t, Y t-1 ) = E[(e t + 1 e t-1 + e t- )(e t e t- + e t-3 )] 1 = s s 1 e 1 e s ( ) e 1 1 Cov(Y t, Y t- ) = E[(e t + 1 e t-1 + e t- )(e t- + 1 e t-3 + e t-4 )] = s e Cov(Y t, Y t-3 ) = E[(e t + 1 e t-1 + e t- )(e t e t-4 + e t-5 )] 3 = 0 Cov(Y t, Y t-k ) = k = 0 18

19 MA() Sürecinin Kovaryansı k=1ve k= için kovaryans hesaplanabilmektedir. k> için kovaryanslar sıfırdır. Bu durumda MA() süreci yalnızca iki dönemlik belleğe sahiptir. 19

20 MA() Sürecinin Otokorelasyon Fonsiyonu 1 (1 ) k > k = < 1-1 < 1 < 1 0

21 MA() Modeli ACF ve PACF Grafikleri MA() modelinde otokorelasyon fonksiyonu grafiğinde ilk iki gecikmeye ait ilişki önemli olmaktadır. Kısmi otokorelasyon fonksiyonunun gecikme sayısı arttıkça yavaş bir şekilde azaldığı görülür. 1

22 MA() Modeli ACF ve PACF Grafikleri

23 3

24 4

25 5

26 6

27 MA(q) Sürecinin Özellikleri Y t = + e t + 1 e t-1 + e t q e t-q 0 = (1... ) s 1 q e i = E[(e t + 1 e t-1 + e t- +.+ q e t-q ) (e t-k + 1 e t-k + e t-k- +.+ q e t-k-q )] E e e e... e k tk k1 1 tk1 k tk q qk tqk γ i s θk θk+1θ1 θk+θ θqθq-i e k 1,,,q 0 k q 7

28 MA(q) Sürecinin Özellikleri 0 = 1 = 0 = (1 ) s 1 e ( ) s 1 1 e ( ) s e 3 = 4 =. =0 k q 0 k k1 1 k q qk k = 1,,,q k > q 8

29 MA(q) Sürecinin Tahmini S( 1 ) = Y t = T t1 e t e t + 1 e t-1 T t1 (Y q e ) t 1 t1 e 1 = Y 1 - e 0 e = Y - e 1 =Y - Y 1 + e 0 e 3 = Y 3 - e =Y 3 - Y + Y 1-3 e 0 e T = Y T - e T-1 =Y T - Y T-1 + Y T- + T-1 Y 1 - T e 0 9

30 MA(q) Sürecinin Tahmini S( 1 ) = T t1 e t e t = Y t - e t-1 t=1,,,t Lθ 1 θ 1-θ T+ 1T S θ 30

31 31

32 3

Benzer belgeler

DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ. Durağan ARIMA Modelleri: Otoregresiv Modeller AR(p) Süreci

DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ Durağan ARIMA Modelleri: Otoregresiv Modeller AR(p) Süreci Tek Değişkenli Zaman Serisi Modelleri Ekonomik verilerin analizi ile ekonomik değişkenlerin gelecekte alabilecekleri