Bir Fonksiyonun İlkeli. fonksiyonuna I üzerinde f nin ilkeli denir.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Bir Fonksiyonun İlkeli. fonksiyonuna I üzerinde f nin ilkeli denir."

Transkript

1 Bir Fonksiyonun İlkeli Tanım: Eğer bir I aralığındaki her x için F (x) = f(x) ise, F fonksiyonuna I üzerinde f nin ilkeli denir.

2 Bir Fonksiyonun İlkeli Örneğin, f = x 2 olsun. Eğer Kuvvet Kuralı nı aklımızda tutarsak, f nin bir ilkelini bulmak zor değildir. F (x) = 1 3 x3 ise F (x) = x 2 = f(x) dir. Fakat G(x) = 1 3 x fonksiyonu da G (x) = x 2 yi sağlar. Böylece hem F hem de G fonksiyonları f nin ilkelleridir. Gerçekten, C bir sabit olmak üzere, H(x) = 1 3 x3 + C biçimindeki her fonksiyon f nin bir ilkelidir.

3 Bir Fonksiyonun İlkeli Teorem: F fonksiyonu bir I aralığı üzerinde f nin bir ilkeli ise, C herhangi bir sabit olmak üzere, f nin I üzerindeki en genel ilkelidir. F (x) + C (1)

4 Örnek Örnek : Aşağıdaki fonksiyonların en genel ilkellerini bulunuz. (a) f(x) = sin x (b) f(x) = 1/x (c) f(x) = x n, n 1 Çözüm : (a) F (x) = cos x ise F (x) = sin x olur. Bu nedenle sin x in bir ilkeli cos x dir. Teoremden en genel ilkeli G(x) = cos x + C dir.

5 Örnek... (b) d dx (ln x) = 1 x olduğunu anımsayınız. Bu nedenle (0, ) aralığında 1/x in genel ilkeli ln x + C dir. Aynı zamanda, her x 0 için olduğunu öğrenmiştik. d dx (ln x ) = 1 x

6 Örnek... Teorem, f(x) = 1/x in genel ilkelinin sıfırı içermeyen herhangi bir aralıkta ln x + C olduğunu söyler. Özel olarak, (, 0) ve (0, ) aralıklarının herbirinde bu doğrudur. Böylece f nin genel ilkeli { ln x + C F (x) = 1 eğer x > 0 ln( x) + C 2 eğer x < 0 dir.

7 Örnek... (c) x n nin ilkelini bulmak için Kuvvet Kuralı nı kullanırız. Aslında, n 1 ise, ( ) d x n+1 (n + 1)xn = = x n dx n + 1 n + 1 dir. Böylece f(x) = x n nin genel ilkeli F (x) = xn+1 n C olur. f(x) = x n bir aralık üzerinde tanımlı olduğundan bu n 0 için geçerlidir. Eğer n negatif (fakat n 1) ise bu 0 ı içermeyen herhangi bir aralıkta geçerlidir.

8 İlkel Formüllerin Tablosu

9 İlkel Formüllerin Tablosu

10 İNTEGRAL

11 Alan ve Uzaklık Alan Problemi a dan b ye kadar y = f(x) eğrisinin altında kalan S bölgesinin alanını bulalım. Burada S bölgesi, Şekil 1 de gösterildiği gibi, [f(x) 0 olacak şekilde] sürekli bir f fonksiyonu x = a, x = b düşey doğruları ve x-ekseniyle sınırlanan bölgedir. Şekil 1: S = {(x, y) a x b, 0 y f(x)}

12 Alan Problemi Alan sözcüğünün anlamı nedir? Kenarları doğrulardan oluşan bir bölge için bu soruyu yanıtlamak kolaydır. Örneğin bir dikdörtgen için alan, uzunluğuyla genişliğinin çarpımı olarak tanımlanmıştır. Bir çokgenin alanı, onu üçgenlere ayırıp, bu üçgenlerin alanları toplanarak bulunur.

13 Alan Problemi Ancak, kenarları eğrilerden oluşan bir bölgenin alanını bulmak bu kadar kolay değildir. Alan hesabı için dikdörtgenler kullanarak, S bölgesine bir yaklaşım elde edeceğiz, sonra dikdörtgenlerin sayısını arttırarak dikdörtgenlerin toplam alanının limitini hesaplayacağız.

14 Örnek Örnek : Dikdörtgenler kullanarak, 0 dan 1 e kadar, y = x 2 eğrisinin altında kalan alanı yaklaşık olarak bulunuz. (Şekil 2 de gösterilen parabolik bölge). Şekil 2:

15 Örnek... Çözüm : Öncelikle, S nin alanının 0 ile 1 arasında olması gerektiğini görelim: kenar uzunluğu 1 olan bir kare S bölgesini kapsar. Şekil 3:

16 Örnek... Ancak bundan daha iyisini yapabiliriz. Şekil 4(a) daki gibi x = 1 4, x = 1 2, x = 3 4 düşey doğrularını çizerek S yi S 1, S 2, S 3 ve S 4 şeritlerine ayıralım. Şekil 4: (a)

17 Örnek... Bu şeritlerin her birinin tabanı kendi tabanına eşit, yüksekliği ise şeridin sağ kenar uzunluğuna eşit olan bir dikdörtgen gibi düşünebiliriz [Bkz. Şekil 5(b)]. Şekil 5: (b)

18 Örnek... Diğer bir deyişle, bu dikdörtgenlerin yüksekliği, f(x) = x 2 [ fonksiyonunun sırasıyla 0, 1 ] [ 1, 4 4, 1 ] [ 1, 2 2, 3 ] [ ] 3, 4 4, 1 alt aralıklarının sağ uç noktalarındaki değerleridir.

19 Örnek... Her dikdörtgenin genişliği 1 4 ve yükseklikleri, sırasıyla ( ) 1 2, 4 ( ) 1 2, 2 ( ) 3 2 ve 1 2 dir. 4 Bu dikdörtgenlerinin alanlarının toplamını R 4 ile gösterirsek R 4 = 1 4 elde ederiz. ( ) ( ) ( ) = =

20 Örnek... Şekilden, S nin alanının(a), R 4 den küçük olduğunu görüyoruz, dolayısıyla A < dir.

21 Örnek... Şekil 5(b) deki dikdörtgenlerin yerine Şekil 6 deki küçük dikdörtgenleri kullanırsak, Şekil 6:

22 Örnek... bu dikdörtgenlerin yüksekliklerini, f yi alt aralıkların sol uç noktalarında hesaplayarak dikdörtgenlerin toplam alanı L 4 = olur. ( ) ( ) ( ) 3 2 = =

23 Örnek... S nin alanının L 4 den büyük olduğunu görüyoruz, dolayısıyla A için alt ve üst sınırlarını elde ederiz < A <

24 Örnek... Bu işlemleri daha fazla sayıda dikdörtgen kullanarak yineleyebiliriz. Şekil 7, S bölgesinin genişlikleri eşit uzunlukta olan sekiz dikdörtgene bölüşünü gösteriyor. Şekil 7: R 8 ve L 8

25 Örnek... Küçük dikdörtgenlerin (L 8 ) alanları toplamını ve büyük dikdörtgenlerin (R 8 ) alanları toplamını hesaplayarak, A için öncekinden daha iyi alt ve üst sınır elde ederiz: < A < Dolayısıyla, soruya verilebilecek olası bir yanıt, S nin gerçek alanının ile arasında bir değer olduğudur.

26 Örnek... Bölgelerin sayısını arttırarak daha iyi sınırlar bulabiliriz. Tablo, n tane dikdörtgen için yapılan benzer hesaplarla, yüksekliklerin sol uç noktalarda hesaplandığı (L n ) ve sağ uç noktalarda hesaplandığı (R n ) değerlerini gösterir. n L n R n Tablodaki değerler, n arttıkça R n nin 1 3 e yaklaştığını düşündürür.bir sonraki örnek bunun doğruluğunu gösterir.

27 Örnek Örnek : İlk örnekdeki S bölgesi için büyük dikdörtgenlerin alanları toplamının 1 e yaklaştığını, diğer bir deyişle 3 olduğunu gösteriniz. lim n R n = 1 3

28 Örnek... Çözüm : toplamıdır. R n Şekil 8 de görülen dikdörtgenlerin alanlarının Dikdörtgenlerin genişlikleri 1/n, yükseklikleri ise f(x) = x 2 fonksiyonunun 1/n, 2/n, 3/n,..., n/n noktalarındaki değerleridir, bu yüzden dikdörtgenlerin yükseklikleri sırasıyla (1/n) 2, (2/n) 2, (3/n) 2,..., (n/n) 2 olur. Şekil 8:

29 Örnek... Böylece R n = 1 n ( ) n n ( ) n n ( ) ( n ) 2 n n n = 1 n 1 n 2 ( n 2 ) = 1 n 3 ( n 2 ) dir.

30 Örnek... Burada ilk n pozitif tam sayısının karalerinin toplamı formülüne gereksinim duyarız n 2 = Formül (2) i, R n nin ifadesine yerleştirince bulunur. n(n + 1)(2n + 1). (2) 6 R n = 1 n(n + 1)(2n + 1) (n + 1)(2n + 1) = n3 6 6n 2

31 Örnek... Böylece, lim n = lim (n + 1)(2n + 1) n 6n 2 1 = lim n 6 ( ) ( ) n + 1 2n + 1 n ( 1 = lim ) ( ) n 6 n n n = = 1 3

32 Örnek... Alt yaklaşık toplamlarının da 1 3 e yaklaştığı, diğer bir deyişle, lim n L n = 1 3 olduğu gösterilebilir.

33 Örnek...

34 Örnek...

35 Örnek...

36 Örnek...

37 Örnek...

38 Örnek...

39 Örnek... Şekillerden, n arttıkça, L n ve R n nin, S nin alanına daha yakın değerler aldığını görüyoruz. Bu yüzden A alanını, n sonsuza giderken R n ve L n nin limiti olarak tanımlarız. A = lim R n = lim n L n = 1 3.

40 Alan Problemi Örneklerdeki fikirleri uygulayarak, Şekil 1 deki daha genel bir S bölgesinin alanını bulalım. Önce Şekil 9 da görüldüğü gibi, S yi genişlikleri eşit olan n tane S 1, S 2,..., S n şeritlerine ayıralım. Şekil 9:

41 Alan Problemi [a, b] aralığının uzunluğu b a dır. Dolayısıyla her bir şeridin genişliği x = b a n olur.

42 Alan Problemi Bu şeritler, [a, b] aralığını, x 0 = a ve x n = b olmak üzere [x 0, x 1 ], [x 1, x 2 ], [x 2, x 3 ],..., [x n 1, x n ] şeklinde n alt aralığa böler.

43 Alan Problemi Bu alt aralıkların sağ uç noktaları dır. x 1 = a + x, x 2 = a + 2 x, x 3 = a + 3 x,...

44 Alan Problemi S i yi, genişliği x, yüksekliği f(x i ) olan bir dikdörtgen gibi düşünelim (Bkz. Şekil 10). Şekil 10: Dikdörtgenin alanı f(x i ) x dir.

45 Alan Problemi S nin alanını yaklaşık olarak, dikdörtgenlerin alanlarını toplayarak bulabiliriz, bu da dir. R n = f(x 1 ) x + f(x 2 ) x f(x n ) x

46 Alan Problemi Şekil 11:

47 Alan Problemi Şekil 11 bu yaklaşımı, n = 2, 4, 8, 12 için göstermektedir. Şeritlerin sayısı arttıkça, başka bir deyişle n iken, bu yaklaşımın gittikçe iyileştiğine dikkat ediniz.

48 Alan Problemi Bu yüzden S bölgesinin A alanı aşağıdaki gibi tanımlanır. Tanım : Sürekli bir f fonksiyonunun grafiği altında kalan bölgenin A alanı, yaklaştırım dikdörtgenlerinin toplam alanının limitidir: A = lim n R n = lim n [f(x 1) x + f(x 2 ) x f(x n ) x] (3)

49 Alan Problemi f sürekli olduğundan, tanımdaki limitin her zaman var olduğu kanıtlanabilir. Sol uç noktaları kullandığımızda sonucun değişmeyeceği de gösterilebilir: A = lim n L n = lim n [f(x 0) x+f(x 1 ) x+...+f(x n 1 ) x] (4)

50 Alan Problemi Aslında i inci dikdörtgenin yüksekliğini, sol ya da sağ uç noktalar yerine, f nin, [x i 1, x i ] alt aralığındaki herhangi bir x i deki değeri olarak alabilirdik. x 1, x 2,..., x n sayılarına örnek noktalar denir.

51 Alan Problemi Şekil 12, örnek noktaların uç noktalar olarak alınmadığı dikdörtgenlerle yaklaşımı göstermektedir. Şekil 12:

52 Alan Problemi Dolayısıyla S nin alanı daha genel olarak A = lim n [f(x 1) x + f(x 2) x f(x n) x] (5) şeklinde ifade edilir.

53 Alan Problemi Terim sayısı fazla olan toplamları kısaca göstermek için çoğunlukla sigma gösterimini kullanırız. Örneğin, n f(x i ) x = f(x 1 ) x + f(x 2 ) x f(x n ) x i=1

54 Alan Problemi Dolayısıyla, Denklem (3), (4) ve (5) deki alan ifadeleri olarak yazılabilir. A = lim n A = lim n A = lim n n f(x i ) x i=1 n f(x i 1 ) x i=1 n f(x i ) x i=1

55 Uzaklık Problemi Her andaki hızı bilinen bir cismin belli bir zaman diliminde gittiği uzaklığı bulunuz. (Bir anlamda bu daha önce ele aldığımız hız probleminin tersidir.) Eğer hız sabitse, uzaklık problemi formülüyle kolayca çözülür. uzaklık = hız zaman Eğer hız değişiyorsa gidilen uzaklığı bulmak bu kadar kolay değildir.

56 Örnek Örnek : Bir atletin hızı yarışın ilk üç saniyesinde artmaktadır. Atletin yarım saniyelik dilimlerdeki hızı tabloda gösterilmiştir. Atletin bu üç saniyede koştuğu yol için alt ve üst sınırlar bulunuz. Zaman t(sn) Hız v(ft/sn)

57 Örnek... Zaman t(sn) Hız v(ft/sn) Çözüm : Tablodan da görebileceğimiz gibi atlet sürekli hızlanmaktadır. O yüzden eğer her zaman aralığı için, o aralığın sonundaki hızı alırsak gittiği yolu fazla hesaplamış, eğer her zaman aralığı için o aralığın başındaki hızı alırsak da gittiği yolu az hesaplamış oluruz.

58 Örnek... Zaman t(sn) Hız v(ft/sn) Her zaman aralığını 0.5 sn olduğuna dikkat ederek, önce ilk duruma göre yaklaşık ne kadar yol gittiğini bulalım: R n = = 44.8

59 Örnek... Zaman t(sn) Hız v(ft/sn) Şimdide ikinci duruma göre yaklaşık olarak ne kadar yol gittiğini bulalım: L n = = 34.7 Buna göre atlet en fazla 44.8 ft en az 34.7 ft yol gitmiştir.

60 Belirli İntegral Alan hesaplarken lim n n i=1 f(x i ) x = lim n [f(x 1) x + f(x 2) x f(x n) x] şeklinde bir limitin ortaya çıktığını gördük. Bu tip limitler, f nin pozitif olmak zorunda olmadığı, birçok değişik durumlarda da karşımıza çıkar. (6) deki benzer limitlerle, eğrilerin uzunluğunu, cisimlerin hacmini, kütle merkezini, su basıncından kaynaklanan kuvveti ve yapılan işi bulmak gibi bir çok niceliği hesaplarken karşılaşıldığını göreceğiz. Dolayısıyla bu tip limitler için özel bir ad ve gösterim kullanacağız. (6)

61 Belirli İntegral Belirli İntegralin Tanımı f fonksiyonu a x b aralığında tanımlı ve sürekli olsun, [a, b] kapalı aralığını x = (b a)/n eşit uzunluğunda n alt aralığa ayıralım. Alt aralıkların uç noktaları x 0 (= a), x 1, x 2,..., x n (= b) olsun ve her alt aralıktan, x i noktası [x i 1, x i ] de olacak şekilde x 1, x 2, x 3,..., x n, örnek noktalarını seçelim. Bu durumda, a dan b ye f nin belirli integrali olarak tanımlanır. b a f(x)dx = lim n n f(x i ) x i=1

62 Belirli İntegral NOT 1 : b a f(x)dx gösteriminde f(x), integrali alınan fonksiyon, a, b integralin sınırları; a alt sınır, b üst sınır olarak adlandırılır. İntegrali hesaplama sürecine de integral almak denir. NOT 2 : b a bağlı değildir. f(x)dx belirli integrali bir sayıdır; x değişkenine Aslında x yerine istediğimiz harfi koyabiliriz, integralin değeri değişmez: b a f(x)dx = b a f(t)dt = b a f(r)dr

63 Belirli İntegral NOT 3 : Karşılaştığımız fonksiyonların çoğunun sürekli olmasına karşın, tanımdaki limit, f nin sonlu sayıda giderilebilir ya da sıçrama tipi süreksizliği olduğunda da vardır. Dolayısıyla, bu tip fonksiyonların da belirli integralini tanımlayabiliriz.

64 Belirli İntegral NOT 4 : Tanımda karşılaştığımız n f(x i ) x i=1 toplamına Riemann toplamı denir.

65 Belirli İntegral Eğer f pozitifse, Riemann toplamını, yaklaştırım dikdörtgenlerinin toplam alanı olarak yorumlayabileceğimizi biliyoruz (Bkz. Şekil 13). Şekil 13:

66 Belirli İntegral Buradaki tanım ile alan tanımını karşılaştırırsak, b a f(x)dx belirli integralinin a dan b ye kadar, y = f(x) eğrisinin altında kalan alan olduğunu görürüz. (Bkz. Şekil 14) Şekil 14:

67 Belirli İntegral Eğer f, Şekil 15 teki gibi hem pozitif hem de negatif değerler alıyorsa, Riemann toplamı x-ekseninin üstünde kalan dikdörtgenlerin toplam alanı ile, x-ekseni altında kalan dikdörtgenlerinin toplam alanının farkıdır. Şekil 15:

68 Belirli İntegral Bu tip Riemann toplamlarının limiti, 16 de gösterilen durumu ortaya çıkarır. Belirli integral, alanların farkı olan net alan olarak yorumlanabilir: b a f(x)dx = A 1 A 2 Burada A 1, x-ekseninin üstünde ve f nin grafiğinin altında kalan, A 2 ise x-ekseninin altında ve f nin grafiğinin üstünde kalan alını gösterir. Şekil 16:

69 Örnek Örnek : lim n n [x 3 i + x i sin x i ] x i=1 limitini [0, π] üzerinde bir integral olarak ifade ediniz. Çözüm : Verilen limiti tanım ile karşılaştırdığımızda, f(x) = x 3 + x sin x ve x i = x i seçersek aynı limit ifadelerini elde ederiz. (Bu durumda, örnek noktalar sağ uç noktalardır ve limit, Denklem 4 gibidir.) a = 0 ve b = π verildiğinden, integrali lim n n [x 3 i + x i sin x i ] x = i=0 olarak yazabiliriz. π 0 (x 3 + x sin x)dx

70 İntegralin Hesaplanması Bir belirli integrali, tanımı kullanarak hesaplarken, toplamlarla nasıl çalışacağımızı bilmeliyiz. Aşağıdaki üç denklem pozitif tam sayıların kuvvetlerinin toplamını verir. n i = i=1 n i 2 = i=1 n(n + 1) 2 n(n + 1)(2n + 1) 6 (7) (8) n [ ] n(n + 1) 2 i 3 = (9) 2 i=1

71 İntegralin Hesaplanması Geri kalan formüller sigma gösterimiyle çalışabilmek için basit kurallardır: n c = nc (10) i=1 n ca i = c i=1 n (a i + b i ) = i=1 n (a i b i ) = i=1 n a i (11) i=1 n a i + i=1 n a i i=1 n b i (12) i=1 n b i (13) i=1

72 Örnek Örnek : Çözüm : 3 0 (x 3 6x)dx integralini hesaplayınız. n alt aralık için, dir. x = b a n = 3 n x 0 = 0, x 1 = 3/n, x 2 = 6/n, x 3 = 9/n ve genel olarak dir. x i = 3i n

73 Örnek... Sağ uç noktaları aldığımızdan Deklem 3 ü kullanabiliriz: 3 0 (x 3 6x)dx = lim n n i=1 3 = lim n n f(x i ) x = lim n i=1 n f i=1 [ n (3i ) 3 ( 3i 6 n n n 3 = lim n n [ 81 = lim n n 4 i=1 [ 27 n 3 i3 18 ] n i n i=1 i 3 54 n 2 ] n i i=1 ) ] ( ) 3i 3 n n

74 Örnek [ (x 3 6x)dx = 81 lim n n 4 { 81 = lim n n 4 n i=1 i 3 54 n 2 [ n(n + 1) 2 ] n i i=1 ] } 2 54 n(n + 1) n 2 2 [ ( 81 = lim ( n 4 n) 1 ) ] n = = 27 4 = 6.75

75 Örnek... f hem pozitif hem de negatif değerler alındığından bu integral bir alan olarak yorumlanamaz. Ancak Şekil 17 da gösterilen A 1 ve A 2 alanlarının A 1 A 2 farkı olarak yorumlanabilir. Şekil 17: 3 0 (x 3 6x)dx = A 1 A 2 = 6.75

76 Belirli İntegrallerin Özellikleri 1. c bir sabit sayı olmak üzere c dx = c(b a) b a a b a a b a b f(x)dx = f(x)dx = 0 a [f(x) + g(x)]dx = f(x)dx b a b f(x)dx + g(x)dx a

77 Belirli İntegrallerin Özellikleri 5. c bir sabit olmak üzere b a b cf(x)dx = c a f(x)dx b a c a [f(x) g(x)]dx = b f(x)dx + c b a f(x)dx = b f(x)dx b a a f(x)dx g(x)dx

78 Örnek Örnek : İntegralin özelliklerini kullanarak (4 + 3x 2 )dx integralini hesaplayınız. 1 0

79 Örnek... Çözüm : 1 0 Özellik 4 ve 5 i kullanarak (4 + 3x 2 )dx = 1 elde ederiz. Özellik 1 den dx + olduğunu biliyoruz ve daha önce bulmuştuk. Buradan 1 0 bulunur. 0 (4 + 3x 2 )dx = 0 3x 2 dx = 1 4 dx = 4(1 0) = dx dx + 3 x 2 dx = 1/3 olduğunu 0 x 2 dx = = 5 0 x 2 dx

80 Örnek 10 8 Örnek : f(x)dx = 17 ve f(x)dx = 12 olduğu biliniyorsa, f(x)dx i bulunuz.

81 Örnek... Çözüm : Özellik 7 den 8 0 f(x)dx f(x)dx = f(x)dx 8 0 olur. Böylece dir f(x)dx = f(x)dx 0 f(x)dx = = 5

82 İntegralleri Karşılaştırma Özellikleri 8. a x b iken f(x) 0 ise f(x)dx 0 dır. b a b b 9. a x b iken f(x) g(x) ise f(x)dx g(x)dx dır. 10. a x b iken m f(x) M ise dır. b a a m(b a) f(x)dx M(b a) a

83 Örnek Örnek : Özellik 10 u kullanarak e x2 dx integraline alt ve üst sınır bulunuz. 1 0

84 Örnek... Çözüm : f(x) = e x2 fonksiyonu [0, 1] aralığında azalan bir fonksiyon olduğundan, mutlak maksimum değeri M = f(0) = 1, mutlak minimum değeri ise m = f(1) = e 1 dir. Özellik 10 dan e 1 (1 0) 1 0 e x2 dx 1(1 0) ya da dir. 1 e 1 e x2 dx 1 0

85 Örnek... e olduğundan e x2 dx 1 yazabiliriz. Bu örneğin sonucu Şekil 18 de gösterilmiştir.

86 Örnek... İntegral aşağıdaki dikdörtgenin alanından büyük, karenin alanından küçüktür. Şekil 18:

87 Belirli İntegrallerin Hesaplanması Değer Bulma Teoremi f fonksiyonu [a, b] aralığında sürekliyse, f fonksiyonunun herhangi bir F ilkeli, başka bir deyişle F = f için b a f(x)dx = F (b) F (a) dir.

88 Belirli İntegrallerin Hesaplanması Örneğin, f(x) = x 2 nin bir ilkelinin F (x) = 1 3 x3 olduğunu biliyoruz. Değer Bulma Teoremi bize 1 0 olduğunu söyler. x 2 dx = F (1) F (0) = = 1 3

89 Belirli İntegrallerin Hesaplanması Değer Bulma Teoremi ni uygularken ] b F (x) = F (b) F (a) a gösterimini kullanarak F = f olmak üzere b a ] b f(x)dx = F (x) a yazılabilir. Sıkça kullanılan diğer gösterimler F (x) b [F ve (x) a dir. ] b a

90 Örnek Örnek : 3 1 e x dx integralini hesaplayınız. Çözüm : f(x) = e x fonksiyonunun bir ilkeli F (x) = e x olduğundan Değer Bulma Teoremi ni kullanarak elde ederiz. 3 1 e x dx = e x] 3 1 = e3 e

91 Örnek Örnek : 0 b π/2 olmak üzere x = 0 dan x = b ye kadar kosinüs eğrisinin altında kalan alanı bulunuz. Çözüm : olduğundan f(x) = cos x fonksiyonunun bir ilkeli F (x) = sin x A = b 0 ] b cos x dx = sin x = sin b sin 0 = sin b 0 dir.

92 Örnek... Özel olarak b = π/2 alırsak, 0 dan π/2 ye kadar kosinüs eğrisinin altında kalan alanın, sin(π/2) = 1 olduğunu kanıtlamış oluruz.

93 Belirsiz İntegraller İlkeller ile integraller arasındaki ilişkiden dolayı f nin ilkelini göstermek için geleneksel olarak belirsiz integral olarak adlandırılan f(x)dx gösterimi kullanılır. Dolayısıyla, f(x)dx = F (x), F (x) = f(x) anlamına gelir.

94 Belirsiz İntegraller Belirli ve belirsiz integralin arasındaki ayrıma dikkat etmelisiniz. b f(x)dx belirli integrali bir sayı, f(x)dx belirsiz integrali ise a bir fonksiyondur.

95 Belirsiz İntegraller f fonksiyonunun I aralığındaki bir ilkeli F ise f nin bu aralıktaki en genel ilkelinin, C herhangi bir sabit olmak üzere F (x) + C şeklinde olduğunu anımsayınız. Örneğin, 1 dx = ln x + C x formülü (0 içermeyen her aralıkta) doğrudur, çünkü d dx ln x = 1 x gösterimi f nin herhangi bir ilkelini ya da (her C için bir tane olmak üzere), bütün ilkeller ailesini de gösterebilir.

96 Belirsiz İntegraller Tablosu [f(x) + g(x)]dx = cf(x)dx = c f(x)dx + f(x)dx g(x)dx x n dx = xn+1 + C n + 1 (n 1) 1 dx x = ln x + C e x dx = e x + C

97 Belirsiz İntegraller Tablosu a x dx = ax ln a + C sin xdx = cos x + C cos xdx = sin x + C sec 2 xdx = tan x + C csc 2 xdx = cot x + C

98 Belirsiz İntegraller Tablosu sec x tan xdx = sec x + C csc x cot xdx = csc x + C 1 x dx = tan 1 x + C 1 1 x 2 dx = sin 1 x + C

99 Örnek Örnek : Gösterim konusundaki uzlaşmamızı ve belirsiz integraller tablosunu kullanarak (10x 4 2 sec 2 x)dx = 10 x 4 dx 2 sec 2 xdx = 10 x5 5 2 tan x + C = 2x 5 2 tan x + C elde ederiz. Yanıtın türevini alarak doğruluğunu kontrol etmelisiniz.

100 Örnek Örnek : Çözüm : 3 0 (x 3 6x)dx integralini hesaplayınız. Değer Bulma Teoremi nden 3 0 ] 3 (x 3 6x)dx = x4 4 6x2 2 0 = ( ) ( ) = = 6.75 elde ederiz.

101 Örnek Örnek : Çözüm : 2 0 ( 2x 3 6x + 3 ) x 2 dx integralini bulunuz. + 1 Değer Bulma Teoremi nden 2 0 ( 2x 3 6x + 3 ) ] 2 x 2 dx = 2 x x tan 1 x 0 = 1 ] 2 2 x4 3x tan 1 x 0 dir. Bu, integralin kesin değeridir. = 1 2 (24 ) 3(2 2 ) + 3 tan = tan 1 2

102 Örnek Örnek : 9 1 2t 2 + t 2 t 1 t 2 dt integralini hesaplayınız. Çözüm : Önce integrali alınan fonksiyonu bölme yaparak sadeleştirmemiz gerekir: 9 1 2t 2 + t 2 t 1 t 2 dt = 9 1 (2 + t 1/2 t 2 )dt = 2t + t3/2 3 2 ] 9 t ] 9 = 2t t3/2 + 1 t 1

103 Örnek t 2 + t 2 t 1 t 2 dt = [ (9)3/ ] ( / ) = = 324 9

104 Uygulamalar F (x) in, x değişkenine göre y = F (x) in değişim hızını verdiğini ve F (b) F (a) nın x, a dan b ye değişirken, y deki değişikliği verdiğini biliyoruz. Dolayısıyla Değer Bulma Teoremi ni yeniden Toplam Değişim Teoremi Değişim hızının integrali toplam değişimi verir: b olarak ifade edebiliriz. a F (x)dx = F (b) F (a)

105 Uygulamalar Örneğin, V (t) bir su deposundaki suyun t anındaki hacmiyse V (t) türevi, t anında suyun depoya t anındaki akış hızını verir. Dolayısıyla t 2 t 1 V (x)dx = V (t 2 ) V (t 1 ) depodaki su miktarının, t 1 ile t 2 anları arasında farkıdır.

106 Uygulamalar Bir çubuğun, sol uçtan, herhangi bir x noktasına kadar kütlesi m(x) ise doğrusal yoğunluğu ρ(x) = m (x) dir. Dolayısıyla b a ρ(x)dx = m(b) m(a) çubuğun x = a ile x = b noktaları arasında kalan kısmının kütlesidir.

107 Uygulamalar Bir topluluğun nüfusunun artış hızı dn/dt ise t 2 t 1 dn dt dt = n(t 2) n(t 1 ) nüfusun t 1 den t 2 ye kadar olan zaman dilimindeki artışıdır.

108 Uygulamalar Bir cisim, düzgün bir doğru boyunca konum vektörü s(t) olacak şekilde hareket ediyorsa, hızı v(t) = s (t) dir. Dolayısıyla, t 2 t 1 v(t)dt = s(t 2 ) s(t 1 ) (14) cismin t 1 den t 2 ye kadar olan zaman dilimindeki yer değişikliğidir. Daha önce bunun pozitif yönde hareket eden bir cisim için doğru olduğunu tahmin etmiştik, şimdi, her durumda doğru olduğunu kanıtlamış olduk.

109 Uygulamalar Bir zaman diliminde gidilen yolu bulmak istersek, (parçacık sağa giderken) v(t) 0 ve (parçacık sola giderken) v(t) 0 olan aralıkları incelemeliyiz. Her iki durumda da uzaklık, v(t) fonksiyonunun integrali alınarak hesaplanır. Bu yüzden, olur. t 2 t 1 v(t) dt = gidilen toplam yol (15)

110 Uygulamalar Cismin ivmesi a(t) = v (t) dir. Dolayısıyla, t 2 t 1 a(t)dt = v(t 2 ) v(t 1 ) t 1 anından t 2 ye kadar hızdaki değişikliktir.

111 Örnek Örnek : Bir parçacık, bir doğru boyunca, (saniyede metre cinsinden) v(t) = t 2 t 6 hızıyla hareket etmektedir. (a) Parçacığın 1 t 4 zaman dilimindeki yer değişimini bulunuz. (b) Bu zaman diliminde gittiği yolu bulunuz.

112 Örnek... Çözüm : (a) Denklem (14) den, yer değişimi s(4) s(1) = = 4 1 [ t 3 v(t)dt = 4 3 t2 2 6t 1 ] 4 (t 2 t 6)dt 1 = 9 2 olur. Bu cismin t = 4 anındaki konumunun, başlangıç konumunun 4.5 m solunda olması anlamına gelir.

113 Örnek... (b) v(t) = t 2 t 6 = (t 3)(t + 2) olduğundan, [1, 3] aralığında v(t) 0 ve [3, 4] aralığında v(t) 0 dır.dolayısıyla, Denklem (15) ten gidilen yol dir. 4 1 v(t) dt = = = = [v(t)]dt + 3 ( t 2 + t + 6)dt + v(t)dt [ t3 3 + t t ] , 17m 4 3 [ t 3 (t 2 t 6)dt 3 t2 2 6t ] 4 3

114 Kalkülüsün Temel Teoremi, Kısım 1 f fonksiyonu [a, b], aralığında sürekli ise, x g(x) = f(t)dt a a x b olarak tanımlanmış olan g fonksiyonu f nin bir ilkelidir. Diğer bir deyişle a < x < b için g (x) = f(x) dir.

115 Kalkülüsün Temel Teoremi, Kısım 1 Türev için Leibniz gösterimini kullanarak, f sürekli olduğunda bu teoremi d x f(t)dx = f(x) dx a olarak yazabiliriz. Bu eşitlik kabaca, f nin önce integralini sonrada sonucun türevini alırsak, başlangıçtaki f fonksiyonuna geri döneceğimizi söyler.

116 Örnek Örnek : g(x) = x t 2 dt fonksiyonunun türevini bulunuz. Çözüm : f(t) = 1 + t 2 sürekli olduğundan, Kalkülüsün Temel Teoremi Kısım 1 bize verir. g (x) = 1 + x 2

117 Örnek Örnek : d dx x4 1 sec t dt yi bulunuz. Çözüm : Burada Kalkülüsün Temel Teoremi Kısın 1 i Zincir Kuralı yla birlikte kullanmamız gerektiğine dikkat ediniz. u = x 4 olsun d dx x4 1 sec t dt = d dx u 1 sec t dt = d du u 1 sec t dt du dx (Zincir K.) = sec u du dx (KTT 1 den) = sec(x 4 ) 4x 3 elde ederiz.

118 Birbirinin Tersi İşlemler Olarak Türev ve İntegtral Alma Şimdi, Temel Teoremin iki kısmını bir araya getireceğiz. İntegral ve türevi ilişkilendirdiği için Kısım 1 temel olarak alınır. Ancak Değer Bulma Teoremi de, integral ve türev arasında bir ilişki verir, dolayısıyla bu teoremi, Temel Teorem Kısım 2 olarak yeniden adlandırıyoruz.

119 Kalkülüsün Temel Teoremi x g(x) = f(t)dt ise g (x) = f(x) dir. a f nin herhangi bir F ilkeli, başka bir deyişle F = f için b a f(x)dx = F (b) F (a) dır.

120 Yerine Koyma Kuralı u = g(x) değer kümesi I aralığı olan türevlenebilir bir fonksiyon ve f fonksiyonu I aralığında sürekliyse, f(g(x)) g (x) dx = f(u) du (16) olur.

121 Örnek Örnek : x 3 cos(x 4 + 2) dx integralini bulunuz. Çözüm : du = 4x 3 dx diferansiyeli, 4 çarpanı dışında, integralin içinde yer aldığından, u = x değişken değişikliğini yaparız. Bu yüzden, x 3 dx = du/4 ve Yerine Koyma Kuralı ndan x 3 cos(x 4 + 2) dx = cos u 1 4 du = 1 4 = 1 4 sin u + C cos u du = 1 4 sin(x4 + 2) + C olur. Son aşamada başlangıçtaki x değişkenine dönmemiz gerektiğine dikkat ediniz.

122 Yerine Koyma Kuralı Yerine Koyma Kuralının temel fikri, karmaşık bir integrali daha basit bir hale dönüştürmektir. Bu başlangıçtaki x değişkeninden, x e bağlı bir fonksiyon olan u ya geçilerek yapılır.

123 Örnek Örnek : 2x + 1dx integralini hesaplayınız. Çözüm 1: Bu durumda u = 2x + 1 olsun. du = 2dx, ve dx = du/2 olur. Dolayısıyla, Yerine Koyma Kuralı 2x u du + 1 dx = 2 = 1 u 1/2 du 2 = 1 2 u3/2 3/2 + C = 1 3 u3/2 + C verir. = 1 3 (2x + 1)3/2 + C

124 Örnek... Çözüm 2: Olası bir başka değişken değişikliği de u = 2x + 1 dir. dx Bu durumda du = bundan dolayı 2x + 1 dx = 2x + 1 du = u du olur. (Ya da u 2 = 2x + 1, ve bundan dolayı 2u du = 2 dx olduğunu gözlemleyiniz.) Böylece 2x + 1 dx = u u du = u 2 du elde edilir. = u3 3 + C = 1 3 (2x + 1)3/2 + C

125 Örnek Örnek: x 1 4x 2 dx integralini bulunuz. Çözüm: u = 1 4x 2 olsun. Dolayısıyla du = 8x dx buradan x dx = 1 8du olur ve x dx = 1 1 4x du = 1 u 8 u 1/2 du bulunur. = 1 8 ( ) 1 2 u + C = 1 4x C

126 Örnek Örnek : e 5x dx integralini hesaplayınız. Çözüm : u = 5x alırsak, du = 5 dx, buradan dx = 1 5du olur. Bundan dolayı e 5x dx = 1 e u du = eu + C = 1 5 e5x + C dir.

127 Örnek Örnek : tan x dx integralini hesaplayınız. Çözüm : Önce tanjantı, sinüs ve cosinüs cinsinden yazalım: sin x tan x dx = cos x dx Bu, du = sin x dx ve buradan sin x dx = du olduğundan u = cos x seçmemiz gerektiğini gösterir: sin x 1 tan x dx = cos x dx = u du = ln u + C = ln cos x + C

128 Örnek... ln cos x = ln ( cos x 1) = ln (1/ cos x ) = ln sec x olduğundan, sonuç tan x dx = ln sec x + C biçiminde de yazılabilir.

129 Belirli İntegraller İçin Yerine Koyma Kuralı g fonksiyonu [a, b] aralığında, f fonksiyonu u = g(x) in değer kümesinde sürekliyse, olur. b a f(g(x))g (x) dx = g(b) g(a) f(u) du (17)

130 Örnek Örnek : 17 i kullanarak 4 0 2x + 1 dx integralini hesaplayınız. Çözüm : u = 2x + 1 ise dx = du/2 olur. İntegralin yeni sınırlarını belirlemek için x = 0, u = = 1 ve x = 4, u = = 9 olduğuna dikkat edelim. Dolayısıyla 9 2x + 1 dx = u du = ] 9 3 u3/2 1 olur. = 1 3 (93/2 1 3/2 ) = 26 3

131 Örnek i kullandığımızda, integrali aldıktan sonra x değişkenine dönmediğimizi gözlemleyelim. Diğer bir deyişle u cinsinden bir ifadeyi u nun uygun değerleri arasında hesaplıyoruz.

132 Örnek Örnek : 2 1 dx integralini hesaplayınız. (3 5x) 2 Çözüm : u = 3 5x olsun. du = 5dx buradan da dx = du/5 olur. x = 1 iken u = 2, x = 2 iken u = 7 dir. Böylece 2 1 dx (3 5x) 2 = du u 2 = 1 [ 1 ] 7 = 1 ] 7 5 u 2 5u 2 = 1 ( ) =

133 Örnek Örnek : e 1 ln x x dx integralini bulunuz. Çözüm : du = dx/x integralde göründüğünden u = ln x alırız. x = 1 iken u = ln 1 = 0; x = e iken u = ln e = 1 dir. Buradan e 1 ln x 1 x dx = 0 u du = u2 2 ] 1 0 = 1 2

134 Simetrik Fonksiyonların İntegralleri f fonksiyonunun [ a, a] aralığında sürekli olduğunu varsayalım. (a) f çift fonksiyonsa [f( x) = f(x)], f(x) dx = 2 f(x) dx dir. a a a 0 a (b) f tek fonksiyonsa [f( x) = f(x)], f(x) dx = 0 dır. a

135 Örnek Örnek : f(x) = x fonksiyonu, f( x) = f(x) eşitliğini sağladığından çifttir, dolayısıyla olur. 2 2 (x 6 + 1) dx = (x 6 + 1) dx [ ] 1 2 ( ) 128 = 2 7 x7 + x = = 284 7

136 Örnek Örnek : f(x) = tan x 1 + x 2 fonksiyonu, f( x) = f(x), + x4 eşitliğini sağladığından tektir, dolayısıyla olur. 1 1 tan x 1 + x 2 + x 4 dx = 0

137 Kısmi İntegral Alma f(x)g (x) dx = f(x)g(x) g(x)f (x) dx (18) formülü kısmi integral formülü olarak adlandırılır. Anımsanması daha kolay gösterim için u = f(x), v = g(x) olsun. Diferansiyelleri dv = g (x)dx ve du = f (x)dx dir, dolayısıyla Yerine Koyma Kuralı na göre kısmi integral alma formülü udv = uv vdu (19)

138 Örnek Örnek : x sin x dx integralini bulunuz. Çözüm : u = x, dv = sin xdx ise du = dx, v = cos x olur, dolayısıyla x sin x dx = x( cos x) ( cos x) dx = x cos x + cos x dx = x cos x + sin x + C olur.

139 Örnek Örnek : ln x dx integralini hesaplayınız. Çözüm : Burada u = ln x, dv = dx ise du = 1 dx, v = x dir. x Kısmi integral alarak, ln x dx = x ln x x dx x = x ln x dx = x ln x x + C elde ederiz. Bu örnekte f(x) = ln x türevi f den daha basit olduğundan kısmi integral alma etkili olmuştur.

140 Örnek Örnek : x 2 e x dx integralini bulunuz. Çözüm : x 2 nin türevi alındığında basitleştiğine dikkat ediniz. Bu yüzden u = x 2, dv = e x dx seçeriz. Buradan du = 2xdx, v = e x olur. Kısmi integral alma yöntemi, x 2 e x dx = x 2 e x 2 xe x dx verir.

141 Örnek... Elde ettiğimiz xe x dx integrali, başlangıçtaki integralden daha basittir ama hala apaçık ortada değildir. Bunun için u = x, dv = e x dx alarak kısmi integrali bir kez daha kullanırız. du = dx, v = e x olduğundan xe x dx = xe x e x dx = xe x e x + C dir. Bunu yukarıdaki denklemde yerine koyarak, x 2 e x dx = x 2 e x 2 xe x dx = x 2 e x 2xe x +2e x +C 1 (C 1 = 2C) elde ederiz.

142 Örnek Örnek : e x sin x dx integralini hesaplayınız. Çözüm : Türevi alınınca ne e x ne de sin x fonksiyonu basitleşir. u = e x, dv = sin x dx seçelim. O zaman, du = e x dx ve v = cos x polur, dolayısıyla, kısmi integral e x sin x dx = e x cos x dx + e x cos x dx (20) verir.

143 Örnek... Elde ettiğimiz e x cos x dx integrali için tekrardan kısmi integrali uygulayalım. Bu kez, u = e x ve dv = cos x dx alalım. Buradan du = e x dx ve v = sin x olur ve e x cos x dx = e x sin x e x sin x dx (21) dir. Denklem 21 i denklem 20 te yerine koyarsak e x sin x dx = e x cos x + e x sin x + e x sin x dx elde ederiz.

144 Örnek... İki yana e x sin x dx eklersek 2 e x sin x dx = e x cos x + e x sin x elde ederiz. Denklemi sadeleştirip, integral sabitini eklersek e x sin x dx = 1 2 ex (sin x + cos x) + C buluruz.

145 Kısmi integrasyon ve Değer bulma teoremi Kısmi integral formülünü, Değer Bulma Teoremi yle birleştirirsek, belirli integralleri, kısmi integrallerle hesaplayabiliriz. f ve g nün sürekli olduğunu varsayarak ve Değer Bulma Teoremi ni kullanarak, a dan b ye kadar denklem 18 in her iki yanını da hesapladığımızda b a elde ederiz. ] b b f(x)g (x) dx = f(x)g(x) a a g(x)f (x) dx (22)

146 Örnek Örnek : 1 0 tan 1 x dx integralini hesaplayınız. Çözüm : u = tan 1 x, dv = dx ise du = Denklem 22 dx 1 + x 2, v = x olur. 1 0 tan 1 x dx ] 1 1 = x tan 1 x x x 2 dx = 1 tan tan 1 0 = π x 1 + x 2 dx 1 0 x 1 + x 2 dx verir.

147 Örnek... Bu integrali hesaplamak için, t = 1 + x 2 değişken değişikliğini yapalım. Bu durumda, dt = 2x dx, dolayısıyla x dx = dt/2 olur. x = 0 iken t = 1; x = 1 iken t = 2 olduğundan, 1 0 x 1 + x 2 dx = 1 2 dt 2 2 = 1 ] 2 ln t = 1 2 (ln 2 ln 1) = 1 2 ln 2 dir. Dolayısıyla dir. 1 0 tan 1 x dx = π 4 ln 2 2

148 Trigonometrik İntegraller Trigonometrik integraller, altı temel trigonometrik fonksiyonun cebirsel kombinasyonunu içeren integrallerdir. Örneğin, sec x dx, cos 2 x sin 3 x dx, tan 4 x dx Genel fikir, bulmak istediğimiz karmaşık trigonometrik integralleri, trigonometrik özdeşlikler kullanarak daha kolay çözümlenebilen integrallere dönüştürebilmektir.

149 Sinüs ve Kosinüs Çarpımları m ve n negatif olmayan tamsayılar olmak üzere sin m x cos n x dx formundaki integraller.

150 Sinüs ve Kosinüs Çarpımları : Durum 1 m tek ise, m yi 2k + 1 olarak yazar ve sin m x = sin 2k+1 x = (sin 2 x) k sin x = (1 cos 2 x) k sin x eşitliğini kulanırız. Sonra tek kalan sin x i integraldeki dx ile birleştirerek sin x dx yerine d(cos x) yazarız.

151 Örnek Örnek : sin 3 x cos 2 x dx integralini hesaplayınız. Çözüm : sin 3 x cos 2 x dx = = = = sin 2 x cos 2 x sin x dx (1 cos 2 x) cos 2 x [ d(cos x)] (1 u 2 )(u 2 )( du) (u 4 u 2 ) du = u5 5 u3 3 + C = cos5 x 5 cos3 x 3 + C

152 Sinüs ve Kosinüs Çarpımları : Durum 2 m çift ve n tek ise, n yi 2k + 1 olarak yazar ve cos n x = cos 2k+1 x = (cos 2 x) k cos x = (1 sin 2 x) k cos x eşitliğini kullanırız. Sonra tek kalan cos x i integraldeki dx ile birleştirerek cos x dx yerine d(sin x) yazarız.

153 Örnek Örnek : cos 5 x dx integralini hesaplayınız. Çözüm : cos 5 x dx = = = = cos 4 x cos x dx (1 sin 2 x) 2 d(sin x) (1 u 2 ) 2 du (1 2u 2 + u 4 ) du = u 2 3 u u5 + C = sin x 2 3 sin3 x sin5 x + C

154 Sinüs ve Kosinüs Çarpımları : Durum 3 m ve n çift ise sin 2 x = trigonometrik özdeşliklerini kullanırız. 1 cos 2x, cos cos 2x x = 2 2

155 Örnek Örnek : sin 2 x cos 4 x dx integralini hesaplayınız. Çözüm : ( ) ( ) 1 cos 2x 1 + cos 2x 2 sin 2 x cos 4 x dx = dx 2 2 = 1 (1 cos 2x)(1 + 2 cos 2x + cos 2 2x) dx 8 = 1 (1 + cos 2x cos 2 2x cos 3 2x) dx 8 = 1 [ x + C sin 2x + C 2 ] (cos 2 2x + cos 3 2x) dx

156 Örnek... cos 2 2x terimini içeren integrali şu şekilde çözümleriz: cos 2 2x dx = 1 (1 + cos 4x) dx 2 = 1 (x + 14 ) 2 sin 4x + C 3

157 Örnek... cos 3 2x terimini içeren integrali ise şu şekilde çözümleriz: cos 3 2x dx = (1 sin 2 2x) cos 2x dx = 1 (1 u 2 ) du 2 = 1 ( sin 2x 1 ) 2 3 sin3 2x + C 4

158 Örnek... Çözümlediğimiz bu integralleri kullanarak sin 2 x cos 4 x dx = 1 [ x + C sin 2x + C 2 ] (cos 2 2x + cos 3 2x) dx = 1 8 [ x + C sin 2x + C 2 1 (x + 14 ) 2 sin 4x C 3 1 ( sin 2x 1 ) ] 2 3 sin3 2x C 4 = 1 16 ( x 1 4 sin 4x + 1 ) 3 sin3 2x + C

159 Kareköklerden Kurtulmak Örnek : π/ cos 4x dx integralini hesaplayınız. Çözüm : Karekökten kurtulmak için cos 2 θ = özdeşliğini kullanırız. 1 + cos 2θ 2 veya 1 + cos 2θ = 2 cos 2 θ

160 Örnek... Böylelikle π/4 π/4 π/4 1 + cos 4x dx = 2 cos 2 2x dx = 2 cos 2 2x dx = 2 π/4 0 cos 2x dx = 2 π/4 0 cos 2x dx = 2 sin 2x 2 ] π/4 0 = 2 (1 0) = 2 2 2

161 tan x ve sec x Kuvvetlerinin İntegralleri tan x, sec x ve karelerinin integrallerini ve tan 2 x = sec 2 x 1 sec 2 x = 1 + tan 2 x özdeşliklerini kullanarak tanjant ve sekant fonksiyonlarının kuvvetlerini içeren integralleri hesaplayabiliriz.

162 Örnek Örnek : tan 4 x dx integralini hesaplayınız. Çözüm : tan 4 x dx = = = = tan 2 x tan 2 x dx = tan 2 x (sec 2 x 1) dx tan 2 x sec 2 x dx tan 2 x dx tan 2 x sec 2 x dx (sec 2 x 1) dx tan 2 x sec 2 x dx sec 2 x dx + dx

163 Örnek = tan 2 x sec 2 x dx sec 2 x dx + dx ilk integralde u = tan x dönüşümünü yaparak, ikinci ve üçüncü integralde ise bildiğimiz integralleri kullanarak tan 4 x dx = 1 3 tan3 x tan x + x + C sonucunu elde ederiz.

164 Sinüs ve Kosinüslerin Çarpımları Uygulamada karşılaştığımız sin mx sin nx dx, sin mx cos nx dx, cos mx cos nx dx trigonometrik integrallerini hesaplamak için

165 Sinüs ve Kosinüslerin Çarpımları şu özdeşikleri kullanırız: sin mx sin nx = 1 [cos(m n)x cos(m + n)x] (23) 2 sin mx cos nx = 1 [sin(m n)x + sin(m + n)x] (24) 2 cos mx cos nx = 1 [cos(m n)x + cos(m + n)x] (25) 2

166 Örnek Örnek : sin 3x cos 5x dx integralini hesaplayınız. Çözüm : m = 3 ve n = 5 ile (24) eşitliğinden sin 3x cos 5x dx = 1 [sin( 2x) + sin 8x] dx 2 = 1 (sin 8x sin 2x) dx 2 cos 8x cos 2x = + + C 16 4 elde edilir.

167 Trigonometrik Dönüşümler a bir reel sayı olmak üzere a 2 + x 2 x 2 a 2 a 2 x 2 ifadelerini içeren integralleri hesaplamak için trigonometrik dönüşümler kullanırız.

168 Trigonometrik Dönüşümler - Durum 1 a 2 + x 2 ifadesinin olduğu integrallerde x = a tan θ dönüşümü kullanılır. Böylelikle a 2 + x 2 ve dx ifadeleri

169 Trigonometrik Dönüşümler - Durum 1 sırasıyla a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 θ = a 2 (1 + tan 2 θ) = a 2 sec 2 θ ve ifadelerine dönüşür. dx = a sec 2 θ dθ

170 Trigonometrik Dönüşümler - Durum 1 x = a tan θ dönüşümünde ilk değişken θ ya geri dönüş yapabilmek için, x = a tan θ dönüşümünün tersinir olmasını bekleriz. Dolayısıyla tan 1 fonksiyonunun tanımlı olmasını kullanarak, ( θ = tan 1 x ), π a 2 < θ < π 2 ters dönüşümünü yaparız.

171 Örnek Örnek : dx 4 + x 2 integralini hesaplayınız. Çözüm : x = 2 tan θ dönüşümünü yaparız. Böylelikle 4 + x 2 = tan 2 θ = 4(1 + tan 2 θ) = 4 sec 2 θ dx = 2 sec 2 θ dθ

172 Örnek... ifadelerini kullanarak dx 2 sec 2 θ dθ = 4 + x 2 4 sec 2 θ = = sec 2 θ dθ ( π sec θ 2 < θ < π olduğu için 2 sec θ dθ sec θ = sec θ olur) = ln sec θ + tan θ + C 4 + x 2 = ln + x C elde ederiz.

173 Trigonometrik Dönüşümler - Durum 2 x 2 a 2 ifadesini içeren integralleri hesaplamada x = a sec θ trigonometrik dönüşümünü kullanırız. Böylece x 2 a 2 ve dx ifadeleri

174 Trigonometrik Dönüşümler - Durum 2 sırasıyla x 2 a 2 = a 2 sec 2 θ a 2 = a 2 (sec 2 θ 1) = a 2 tan 2 θ dx = a sec θ tan θ dθ ifadelerine dönüşür.

175 Trigonometrik Dönüşümler - Durum 2 İntegrali almaya başladığımız ilk değişken θ ya geri dönüş yapabilmek için dönüşümümüzün tersinir olmasını bekleriz. Dolayısıyla sec 1 fonksiyonunun tanımından, x = a sec θ dönüşümünün ters dönüşümü olur. ( θ = sec 1 x ), a 0 θ < π 2, x a 1; π 2 < θ π, x a 1.

176 Örnek Örnek : x > 2 5 iken dx 25x 2 4 integralini hesaplayınız. Çözüm : Öncelikle paydadaki ifadeyi daha açık yazalım: ( 25x 2 4 = 25 x 2 4 ) ( ) 2 2 = 5 x x > 2 5 olduğu için dönüşümü olarak yaparız. x = 2 5 sec θ, dx = 2 5 sec θ tan θ dθ, 0 < θ < π 2

177 Örnek... Böylelikle x 2 ( ) 2 2 = sec2 θ 4 25 = 4 25 (sec2 θ 1) = 4 25 tan2 θ ve 0 < θ < π 2 için tan θ > 0 olduğundan x 2 ( ) 2 2 = tan θ = 2 5 tan θ bulunur.

178 Bu dönüşümleri integralde yerine koyarak dx dx (2/5) sec θ tan θ dθ = 25x x 2 (4/25) = 5(2/5) tan θ = 1 sec θ dθ = 1 ln sec θ + tan θ + C 5 5 = 1 5 ln 5x 25x C elde ederiz.

179 Trigonometrik Dönüşümler - Durum 3 a 2 x 2 ifadesini içeren integralleri çözmek için x = a sin θ trigonometrik dönüşümünü kullanırız. Böylece a 2 x 2 ve dx ifadeleri

180 Trigonometrik Dönüşümler - Durum 3 sırasıyla a 2 x 2 = a 2 a 2 sin 2 θ = a 2 (1 sin 2 θ) = a 2 cos 2 θ dx = a cos θ dθ ifadelerine dönüşür.

181 Trigonometrik Dönüşümler - Durum 3 İntegrali hesaplamayı sonuçlandırmak için orjinal değişken x e geri dönmemiz gerekir. Bunun için x = a sin θ dönüşümünün tersinir olmasını bekleriz. sin 1 fonksiyonun tanımından, ters dönüşüm olur. ( θ = sin 1 x ), a π 2 θ π 2

182 Örnek Örnek : x 2 dx 9 x 2 integralini hesaplayınız. Çözüm : dönüşümü ile x = 3 sin θ, dx = 3 cos θ dθ, π 2 < θ < π 2 9 x 2 = 9 9 sin 2 θ = 9(1 sin 2 θ) = 9 cos 2 θ

183 Örnek... x 2 dx 9 x 2 = = 9 9 sin 2 θ 3 cos θ dθ 3 cos θ sin 2 θ dθ 1 cos 2θ = 9 2 = 9 2 ( θ sin 2θ 2 dθ ) + C

184 Örnek... = 9 2 ( θ ) sin 2θ + C 2 = 9 (θ sin θ cos θ) + C 2 ( = 9 sin 1 x 2 3 x ) 9 x C 3 = 9 2 sin 1 x 3 x 2 9 x 2 + C elde edilir.

185 z = tan(x/2) Dönüşümü Bu trigonometrik dönüşüm, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının bölümleri olduğunda kullanılır. Trigonometrik özdeşlikler yardımıyla cos x, sin x ve dx için kullanılacak ifadeleri şu şekilde bulabiliriz: 1 + tan 2 x 2 = sec2 x 2 = 1 cos 2 (x/2) özdeşliğinden bulunur. cos 2 x 2 = z 2

186 z = tan(x/2) Dönüşümü cos x = 2 cos 2 x 2 1 özdeşliğini ve cos 2 x 2 = 1 yi kullanarak 1 + z2 elde edilir. 1 cos x = z 2 1 = 1 z2 1 + z 2

187 z = tan(x/2) Dönüşümü Diğer taraftan cos x = 1 2 sin 2 x 2 özdeşliğinden ve cos x = 1 z2 1 + z 2 den bulunur. sin 2 x 2 = 1 cos x 2 = 1 1 z2 1 + z 2 2 = z2 1 + z 2

188 z = tan(x/2) Dönüşümü Bu kez sin x = 2 sin x 2 cos x 2 özdeşliğinden, cos 2 x 2 = z 2 ve sin2 x 2 = z2 1 + z 2 den elde edilir. sin x = 2 z z z 2 = 2z 1 + z 2

189 z = tan(x/2) Dönüşümü z = tan x 2 de türev alarak da dz = 1 2 sec2 x 2 dx = 1 2 ( 1 + tan 2 x ) dx = (1 + z2 )dx bulunur. Böylelikle olur. dx = z 2 dz

190 z = tan(x/2) Dönüşümü Özetle, z = tan x 2 trigonometrik dönüşümünü yaptığımızda cos x = 1 z2 2z, sin x = 1 + z2 1 + z 2, dx = z 2 dz eşitliklerini kullanırız.

191 Örnek Örnek : dx 1 + sin x + cos x integralini hesaplayınız. Çözüm : İntegral, sinüs ve kosinüs bölümlerini içerdiği için z = tan x 2 dönüşümünü uygularız. Böylece ifadelerini kullanarak z = tan x 2dz, dx = z 2 cos x = 1 z2 2z, sin x = 1 + z2 1 + z 2

192 Örnek... dx 1 + sin x + cos x = 2dz 1 + z z 1 + z z2 1 + z 2 2 = 1 + z 2 + 2z + 1 z 2 dz = = ln z C = ln 1 + tan x + C 2 dz z + 1 buluruz.

193 İntegralin Uygulamaları

194 Alan f ve g, [a, b] aralığındaki her x için f(x) g(x) eşitsizliğini sağlayan sürekli fonksiyonlar olmak üzere y = f(x), y = g(x) eğrileri, x = a ve x = b düşey doğruları arasındaki S bölgesini düşünelim.

195 Alan S bölgesinin A alanı b A = [f(x) g(x)] dx (26) a olarak tanımlanır. g(x) = 0 özel durumunda S, f nin grafiğinin altında kalan bölge olur.

196 Alan f ve g nin pozitif olduğu durumda, (26) nin neden doğru olduğunu şekilden görebilirsiniz. A = [y = f(x) in altındaki alan] [y = g(x) in altındaki alan] = b a b f(x) dx a g(x) dx = b a [f(x) g(x)] dx

197 Örnek Örnek : Üstten y = e x, alttan y = x ve kenarlardan x = 0 ve x = 1 ile sınırlı olan bölgenin alanını hesaplayınız. Çözüm : Bölge, Şekil 19 de gösterilmiştir. Şekil 19:

198 Örnek... Üst sınır eğrisi y = e x ve alt sınır eğrisi y = x dir. Dolayısıyla, (26) deki formülde f(x) = e x, g(x) = x, a = 0, ve b = 1 kullanırız: A = 1 0 (e x x) dx = e x 1 2 x2 ] 1 0 = e = e 1.5

199 Örnek Örnek : y = 2x x 2 ve y = x 2 parabolleriyle sınırlı olan bölgenin alanını bulunuz. Çözüm : Önce verilen denklemleri ortak çözerek, parabollerin kesiştikleri noktaları buluruz. Bu durumda, x 2 = 2x x 2 veya 2x 2 2x = 0 elde ederiz. Böylece, 2x(x 1) = 0 ve dolayısıyla x = 0 veya x = 1 buluruz. Kesişim noktaları (0, 0) ve (1, 1) dir. Şekil 20:

200 Örnek... Şekil 20 da gördüğümüz gibi üst ve alt sınırlar dir.dolayısıyla toplam alan y U = 2x x 2 ve y A = x 2 olur. A = 1 0 (2x 2x 2 ) dx = (x x 2 ) dx [ ] x 2 1 ( = 2 2 x3 1 = ) = 1 3 3

201 Alan Bazı bölgelerle çalışmak için, x değişkenini y nin fonksiyonu olarak düşünmek gerekir. f ve g sürekli ve her c y d için f(y) g(y) olmak üzere, x = f(y), x = g(y), y = c ve y = d denklemleriyle sınırlı olan bölgenin alanı olur. d A = [f(y) g(y)] dy c

202 Örnek Örnek : y = x 1 doğrusu ve y 2 = 2x + 6 parabolüyle sınırlı olan bölgenin alanını bulunuz. Çözüm : İki denklemi ortak çözersek, kesişim noktalarını ( 1, 2) ve (5, 4) olarak buluruz. Şekil 21:

203 Örnek... Parabolün denklemini x için çözeriz ve Şekil 21 den sağ ve sol sınır eğrilerini olarak buluruz. x L = 1 2 y2 3 ve x R = y + 1

204 Örnek... İntegrali, uygun y değerleri y = 2 ve y = 4 arasında hesaplamalıyız. Böylece A = = = 1 2 = 18 (x R x L ) dy [ (y + 1) ( 1 ] 2 y2 3) ( y 3 3 olarak buluruz. dy = 4 2 ( 1 ) 2 y2 + y + 4 ) ] 4 + y y = (64) ( ) dy

205 Örnek... Şekil 22: Örnekteki alanı, y yerine x e göre integral alarak da bulabilirdik ama bu durumda hesaplamalar daha karmaşık olurdu. Bölgeyi Şekil 22 de görüldüğü gibi, A 1 ve A 2 diye ikiye ayırmamız gerekirdi. Örnekte kullandığımız yöntem, çok daha basit.

206 Parametrik eğrilerin Sınırladığı Alanlar F (x) 0 olduğu zaman, a dan b ye y = F (x) eğrisinin altında kalan alanın A = b a F (x) dx olduğunu biliyoruz. Eğer eğri x = f(t), y = g(t), α t β parametrik denklemleriyle tanımlanmışsa, o zaman Belirli İntegraller İçin Yerine Koyma Kuralı nı kullanarak, alan formülünü şöyle hesaplayabiliriz: A = b a y dx = β α g(t) f (t) dt ya da α β g(t) f (t) dt

207 Örnek Örnek : x = r(θ sin θ) y = r(1 cos θ) sikliodinin bir yayının altında kalan alanı bulunuz. (Bkz. Şekil 23) Şekil 23:

208 Örnek... Çözüm : Sikliodin bir yayı, 0 θ 2π değerleriyle elde edilir. y = r(1 cos θ) ve dx = r(1 cos θ) dθ ile Yerine Kouma Kuralı nı kullanırsak, A = 2π 0 = r 2 = r 2 y dx = 2π 0 2π 0 2π 0 r(1 cos θ)r(1 cos θ) dθ (1 cos θ) 2 dθ = r 2 2π 0 (1 2 cos θ + cos 2 θ)dθ [1 2 cos θ + 12 ] (1 + cos 2θ) dθ

209 Örnek... A = r 2 [ 3 2 θ 2 sin θ sin 2θ ] 2π ( ) 3 = r 2 2 2π = 3πr 2 0 olarak buluruz.

210 Örnek

211 Örnek

212 Örnek

213 Örnek

214 Örnek

215 Hacimler S yi bir düzlemle kesip, S nin kesiti dediğimiz düzlemsel bölgeyi elde ederek başlayacağız. a x b olmak üzere, x-eksenine dik ve x noktasından geçen P x düzlemindeki S nin kesitinin alanı A(x) olsun. (Bkz. Şekil 24. S yi x ten geçen bir bıçakla dilimlediğimizi ve bu dilimin alanını hesapladığımız düşününüz.) x, a dan b ye arttıkça, kesitin alanı A(x) değişecektir. Şekil 24:

216 Hacim Tanımı S, x = a ve x = b arasında uzanan bir cisim olsun. A sürekli bir fonksiyon olmak üzere, x den geçen ve x-eksenine dik olan P x düzlemindeki S nin kesitinin alanı A(x) ise, o zaman S nin hacmi olarak tanımlanır. V = b a V = b a A(x) dx A(x) dx formülünü kullandığımız zaman hatırlamamız gereken önemli nokta, A(x) in, x den geçen ve x-eksenine dik dilimlemeyle elde edilen kesitin alanı olmasıdır.

217 Örnek Örnek : Yarıçapı r olan bir kürenin hacminin olduğunu gösteriniz. V = 4 3 πr3

218 Örnek... Çözüm : Küreyi, merkezi başlangıç noktasında olacak şekilde yerleştirirsek (bkz. Şekil 25), P x düzlemiyle kürenin kesişimi, yarıçapı y = r 2 x 2 olan bir çember olur (Pisagor Teoremi nden). Şekil 25:

219 Örnek... Dolayısıyla, bu kesitin alanı A(x) = πy 2 = π(r 2 x 2 ) olur. a = r ve b = r alarak hacim tanımını kullanırsak V = r r r A(x) dx = r r = 2π (r 2 x 2 ) dx 0 ] r = 2π [r 2 x x3 = 2π 3 = 4 3 πr3 0 π(r 2 x 2 ) dx ) (r 3 r3 3

220 Örnek Örnek : y = x eğrisi, x-ekseni ve x = 1 doğrusuyla sınırlanan bölgeyi x-ekseni çevresinde döndürmekle elde edilen cismin hacmini bulunuz. Şekil 26:

221 Örnek... Çözüm: Bölge, Şekil 220 da gösterilmiştir.eğer x-ekseni çevresinde döndürürsek, Şekil 221 deki cismi elde ederiz. x den geçen kesit, yarıçapı x olan bir çemberdir. Şekil 27:

222 Örnek... Bu kesitin alanı A(x) = π( x) 2 = πx olur. Bu cisim x = 0 ile x = 1 arasındadır. Dolayısıyla hacmi V = 1 0 A(x) dx = 1 0 πx dx = π x2 2 ] 1 0 = π 2

223 Örnek Örnek : y = x 3, y = 8 ve x = 0 ile sınırlı olan bölgeyi y-ekseni çevresinde döndürerek elde edilen cismin hacmini bulunuz. Şekil 28:

224 Örnek... Çözüm: Bölge, Şekil 28 de, cisim ise Şekil 29 de gösterilmiştir. Bölge y-ekseni çevresinde döndürüldüğü için y-eksenine dik biçimde dilimlemek ve integrali y ye göre almak daha mantıklı olur. Şekil 29:

225 Örnek... y yüksekliğindeki kesit, yarıçapı x olan çembersel bir disktir. x = 3 y olduğu için, y den geçen kesitin alanı A(y) = πx 2 = π( 3 y) 2 = πy 2/3

226 Örnek... Cisim, y = 0 ve y = 8 arasında kaldığı için hacmi olarak bulunur. V = = π 8 0 A(y) dy = [ 3 5 y5/3 ] = 96π 5 πy 2/3 dy

227 Örnek Örnek : y = x ve y = x 2 eğrileriyle çevrili olan R bölgesi, x-ekseni çevresinde döndürülmüştür. Oluşan cismin hacmini bulunuz.

228 Örnek... Şekil 30:

229 Örnek... Çözüm: y = x ve y = x 2 eğrileri, (0, 0) ve (1, 1) noktalarında kesişir. Aralarındaki bölge, dönel cisim ve x-eksenine dik olan kesit Şekil 30 de gösterilmiştir. P x düzlemindeki kesit, iç yarıçapı x 2 ve dış yarıçapı x olan bir halka şeklindedir. Dolayısıyla, alanını bulmak için büyük çemberin alanından küçük çemberin alanını çıkarırız. A(x) = πx 2 π(x 2 ) 2 = π(x 2 x 4 )

230 Örnek... Bu durumda, elde ederiz V = A(x) dx = π(x 2 x 4 ) dx 0[ ] 0 x 3 1 = π 3 x5 = 2π 5 15

231 Yay Uzunluğu Yay Uzunluğu Formülü: Parametrik denklemleri x = f(t), y = g(t), a t b, olan bir düzgün eğri, t parametresi a değerinden b değerine doğru artarken tam olarak bir kez izleniyorsa, o zaman bu eğrinin uzunluğu L = b a (dx ) 2 + dt ( ) dy 2 dt dir. (27) dt

232 Örnek Örnek : x = t 2, y = t 3 eğrisinin (1, 1) ve (4, 8) noktaları arasındaki yayının uzunluğunu bulunuz. Bkz Şekil 31 Şekil 31:

233 Örnek... Çözüm: 1 t 2 değerlerinin, eğrinin (1, 1) ve (4, 8) noktaları arasındaki parçasını verdiğini x = t 2 ve y = t 3 denklemlerinden görüyoruz. Dolayısıyla, yay uzunluğu formülü 2 (dx ) 2 ( ) dy 2 2 L = + dt = (2t) dt dt 2 + (3t 2 ) 2 dt = t 2 + 9t 4 dt 1 verir. = 2 1 t 4 + 9t 2 dt

234 Örnek... L = 2 1 t 4 + 9t 2 dt u = 4 + 9t 2 değişken değişikliğini yaparsak, du = 18t dt olur. t = 1 olduğunda u = 13; t = 2 olduğunda u = 40 dır. Böylece L = u du = 18 2 ] 40 3 u3/2 13 = 1 [ 40 3/2 13 3/2] = 1 ( ) buluruz.

235 Yay Uzunluğu Elimizdeki eğri y = f(x), a x b denklemleriyle verilmişse, x değişkenini parametre olarak alabiliriz. O zaman parametrik denklemler x = x, y = f(x) olur ve denklem 27 biçimin alır. L = b a 1 + ( ) dy 2 dx (28) dx

236 Örnek Örnek : xy = 1 hiperbolünün (1, 1) noktasından (2, 1/2) noktasına kadar olan parçasının uzunluğunu yaklaşık olarak hesaplayınız. Çözüm: Elimizde y = 1 x dy dx = 1 x 2 olduğu için formül (28) den uzunluğu 2 L = 1 + dy 2 dx dx = x 4 dx = olarak elde ederiz. 1 1

237 Yay Uzunluğu Benzer biçimde bir eğrinin denklemi x = f(y), a y b ise, y değişkenini parametre olarak alabiliriz. O zaman parametrik denklemler x = f(y), y = y olur ve uzunluk b (dx ) 2 L = + 1 dy (29) dy olur. a

238 Yay Uzunluğu Formül (27),(28) ve (29) teki karekökten ötürü, yay uzunluğu hesabında ortaya çıkan integrali kesin olarak hesaplamak çoğu zaman çok zordur veya olanaksızdır.

239 Örnek Örnek : y 2 = x parabolünün (0, 0) noktasından (1, 1) noktasına kadar olan yayının uzunluğunu bulunuz. Çözüm : x = y 2 olduğu için dx dy = 2y olur ve formül (29) 1 (dx ) 2 1 L = + 1 dy = 4y dy dy = verir. 0 0

240 Örnek Örnek : x = r(θ sin θ), y = r(1 cos θ) sikloidinin bir yayının uzunluğunu bulunuz. Şekil 32:

241 Örnek... Çözüm: Bir yayı 0 θ 2π parametre aralığıyla elde edildiğini daha önce görmüştük. olduğu için L = = dx dθ 2π 0 2π 0 2π = r(1 cos θ) ve dy dθ = r sin θ (dx ) 2 + dθ ( ) dy 2 dθ dθ r 2 (1 cos θ) 2 + r 2 sin 2 θ dθ = r 2 (1 2 cos θ + cos 2 θ + sin 2 θ) dθ 0 = r 2π 0 2(1 cos θ) dθ = 8r.

242 Bir Fonksiyonun Ortalama Değeri Sonlu sayıda y 1, y 2,, y n sayılarının ortalama değerini hesaplamak çok kolaydır: y ort = y 1 + y y n n Ancak, sonsuz tane sıcaklık ölçümünün olanaklı olduğu bir durumda bir günün ortalama sıcaklığını nasıl hesaplayacağız?

243 Bir Fonksiyonun Ortalama Değeri Bir sıcaklık fonksiyonu T (t) nin grafiği ve ortalama sıcaklık T ort için bir tahmin şekil 33 de verilmiştir. Şekil 33: Burada t saat cinsinden T C cinsinden ölçülmüştür.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli

Detaylı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada

Detaylı

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2 1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.

Detaylı

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız Bölüm 4 Türev Uygulamaları 4.1 Bağımlı Hız Eğer bir balonun içine hava pompalarsak, balonun hem yarıçapı hem de hacmi artar ve artış hızları birbirine bağımlıdır. Fakat, hacmin artış hızını doğrudan ölçmek

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 1/ 172 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası)

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

MAT MATEMATİK I DERSİ

MAT MATEMATİK I DERSİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital

Detaylı

Hacimler ve Çift Katlı İntegraller

Hacimler ve Çift Katlı İntegraller Hacimler ve Çift Katlı İntegraller Kapalı bir Hacimler ve Çift Katlı İntegraller R [a, b] [c, d] {(x, y) R 2 a x b, c y d} dikdörtgeninde tanımlı iki değişkenli bir f fonksiyonunu göz önüne alalım ve önce

Detaylı

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları 2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4

Detaylı

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta)

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta) AĞIRLIK MERKEZİ STATİK (2. Hafta) Ağırlık merkezi: Bir cismi oluşturan herbir parçaya etki eden yerçeki kuvvetlerinin bileşkesinin cismin üzerinden geçtiği noktaya Ağırlık Merkezi denir. Şekil. Ağırlık

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3 Matematik 1 - Alıştırma 1 A) Denklemler 1. Dereceden Denklemler 1) Verilen denklemlerdeki bilinmeyeni bulunuz (x =?). a) 4x 6 = x + 4 b) 8x + 5 = 15 x c) 7 4x = 1 6x d) 7x + = e) 5x 1 = 10x + 6 f) 0x =

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 9 Ağırlık Merkezi ve Geometrik Merkez Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C. Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 9. Ağırlık

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

Hacimler ve Çift Katlı İntegraller. Kapalı bir. alalım ve önce f(x, y) 0 varsayalım. f nin grafiği, denklemi z = f(x, y) olan bir yüzeydir.

Hacimler ve Çift Katlı İntegraller. Kapalı bir. alalım ve önce f(x, y) 0 varsayalım. f nin grafiği, denklemi z = f(x, y) olan bir yüzeydir. Hacimler ve C ift Katlı Integraller Hacimler ve Çift Katlı İntegraller Kapalı bir R = [a, b] [c, d] = {(x, y) R 2 a x b, c y d} dikdörtgeninde tanımlı iki değişkenli bir f fonksiyonunu göz önüne alalım

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

ATALET MOMENTİ. Amaçlar 1. Rijit bir cismin veya rijit cisim sistemlerinin kütle atalet momentinin bulunması.

ATALET MOMENTİ. Amaçlar 1. Rijit bir cismin veya rijit cisim sistemlerinin kütle atalet momentinin bulunması. ATALET MOMENTİ Amaçlar 1. Rijit bir cismin veya rijit cisim sistemlerinin kütle atalet momentinin bulunması. UYGULAMALAR Şekilde gösterilen çark büyük bir kesiciye bağlıdır. Çarkın kütlesi, kesici bıçağa

Detaylı

Trigonometrik Fonksiyonlar

Trigonometrik Fonksiyonlar Trigonometrik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 6 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; açı kavramını hatırlayacak, açıların derece ölçümünü radyan ölçümüne ve tersine çevirebilecek, trigonometrik

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1 . ÇÖZÜM YOLU: (5) 8 =.8+5 = 3 3:2 = 6.2+ 6:2 = 3.2+0 3:2 =.2+ En son bölümden başlayarak kalanları sıralarız. (5) 8 = (0) 2 2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında

Detaylı

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan; . Bir havuzu bir musluk 6 saatte, başka bir musluk 8 saatte dolduruyor. Bu iki musluk kapalı iken, havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu saatte boşaltabiliyor. Üç musluk birden açılırsa,boş

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

Diferansiyel denklemler uygulama soruları

Diferansiyel denklemler uygulama soruları . Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur.

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur. Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 8 Haziran 6 Matematik II Soruları ve Çözümleri x, x. f(x) x ise fonksiyonu için,, x olduğuna göre, a b kaçtır? lim + x f ( x) a ve lim x f ( x) b A) B) C) D) E) Çözüm x x için

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

Hacimler ve Çift Katlı İntegraller

Hacimler ve Çift Katlı İntegraller Hacimler ve Çift Katlı İntegraller Kapalı bir Hacimler ve Çift Katlı İntegraller R [a,b] [c,d] {(x,y) R 2 a x b, c y d} dikdörtgeninde tanımlı iki değişkenli bir f fonksiyonunu göz önüne alalım ve önce

Detaylı

Bu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz.

Bu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz. Kısmi Türevler Genel olarak, f, x ve y değişkenlerinin iki değişkenli bir fonksiyonu olsun ve b bir sabit olmak üzere, y = b olacak şekilde y yi sabit tutalım ve yalnızca x in değişmesine izin verelim.

Detaylı

Manyetik Alanlar. Benzer bir durum hareketli yükler içinde geçerli olup bu yüklerin etrafını elektrik alana ek olarak bir manyetik alan sarmaktadır.

Manyetik Alanlar. Benzer bir durum hareketli yükler içinde geçerli olup bu yüklerin etrafını elektrik alana ek olarak bir manyetik alan sarmaktadır. Manyetik Alanlar Manyetik Alanlar Duran ya da hareket eden yüklü parçacığın etrafını bir elektrik alanın sardığı biliyoruz. Hatta elektrik alan konusunda şu sonuç oraya konulmuştur. Durgun bir deneme yükü

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II) 7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

MATEMATÝK GEOMETRÝ DENEMELERÝ

MATEMATÝK GEOMETRÝ DENEMELERÝ NM 1 MTMTÝK OMTRÝ NMLRÝ 1. o o = 75 ve y = 5 olduğuna göre,. 3 + 8 = 0 sin( y)cos( + y) + sin( + y)cos( y) sin( y)sin( + y) cos( + y)cos( y) denkleminin kaç tane farklı reel kökü vardır? ifadesinin eşiti

Detaylı

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket Bölüm-4 İki Boyutta Hareket Bölüm 4: İki Boyutta Hareket Konu İçeriği 4-1 Yer değiştirme, Hız ve İvme Vektörleri 4-2 Sabit İvmeli İki Boyutlu Hareket 4-3 Eğik Atış Hareketi 4-4 Bağıl Hız ve Bağıl İvme

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

ELEKTRİKSEL POTANSİYEL

ELEKTRİKSEL POTANSİYEL ELEKTRİKSEL POTANSİYEL Elektriksel Potansiyel Enerji Elektriksel potansiyel enerji kavramına geçmeden önce Fizik-1 dersinizde görmüş olduğunuz iş, potansiyel enerji ve enerjinin korunumu kavramları ile

Detaylı

g(a + h) g(a) g (a) = lim Bu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz. olduğundan, Denklem 1

g(a + h) g(a) g (a) = lim Bu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz. olduğundan, Denklem 1 Kısmi Türevler Kısmi Türevler Genel olarak, f, x ve y değişkenlerinin iki değişkenli bir fonksiyonu olsun ve b bir sabit olmak üzere, y = b olacak şekilde y yi sabit tutalım ve yalnızca x in değişmesine

Detaylı

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012 1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler

Detaylı

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY A. AÇI Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir. B. YÖNLÜ AÇI

Detaylı

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500 984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)

Detaylı

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.S.S. 7 MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * (+i) işleminin sonucu nedir? A) + 8i B) - 8i C) 8 + i

Detaylı

İNTEGRAL İŞLEMLER LEMLERİ

İNTEGRAL İŞLEMLER LEMLERİ İKTİSADİ DİNAMİKLİK K VE İNTEGRAL İŞLEMLER LEMLERİ 2 İktisat biliminde dinamiklik kavramı, değişkenlerin değişim süreçlerini, dengeye geliş ya da uzaklaşmalarını içeren bir analiz tipidir. Daha önce karşılaştırmalı

Detaylı

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır?

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır? . SINIF M Fonksionlar. f ( + a ) + vef( ) 7 olduğuna göre a kaçtır? E) TEST. f ( ) k + 6 fonksionu sabit fonksion olduğuna f ( ) göre aşağıdakilerden k E). f( ) 6 k ve f ( ) olduğuna göre k kaçtır? E)

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

EMAT ÇALIŞMA SORULARI

EMAT ÇALIŞMA SORULARI EMAT ÇALIŞMA SORULARI 1) A = 4. ı x 2. ı y ı z ve B = ı x + 4. ı y 4. ı z vektörlerinin dik olduğunu gösteriniz. İki vektörün skaler çarpımlarının sıfır olması gerekir. A. B = 4.1 + ( 2). 4 + ( 1). ( 4)

Detaylı

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 996 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır? A) B) 8 C) 6 D) E) Çözüm Toplam öğrenci

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

FİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A

FİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ FİNAL SORULARI 25-26 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... SINAV TARİHİ VE SAATİ : A A A A A A A Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav süresi 9 dakikadır.

Detaylı

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI BİREYSEL YARIŞMA SORULARI CEVAPLARI CEVAP KAĞIDI ÜZERİNE YAZINIZ. SORU KİTAPÇIĞINI KARALAMA MAKSATLI KULLANABİLİRSİNİZ 1

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

Projenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması

Projenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması Projenin Adı: Trigonometrik Oranlar için Pratik Yöntemler Projenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması GİRİŞ: Matematiksel işlemlerde, lazım olduğunda,

Detaylı

Fizik Dr. Murat Aydemir

Fizik Dr. Murat Aydemir Fizik-1 2017-2018 Dr. Murat Aydemir Ankara University, Physics Engineering, Bsc Durham University, Physics, PhD University of Oxford, Researcher, Post-Doc Ofis No: 35 Merkezi Derslikler Binasi murat.aydemir@erzurum.edu.tr

Detaylı

3-1 Koordinat Sistemleri Bir cismin konumunu tanımlamak için bir yönteme gereksinim duyarız. Bu konum tanımlaması koordinat kullanımı ile sağlanır.

3-1 Koordinat Sistemleri Bir cismin konumunu tanımlamak için bir yönteme gereksinim duyarız. Bu konum tanımlaması koordinat kullanımı ile sağlanır. Bölüm 3 VEKTÖRLER Bölüm 3: Vektörler Konu İçeriği Sunuş 3-1 Koordinat Sistemleri 3-2 Vektör ve Skaler nicelikler 3-3 Vektörlerin Bazı Özellikleri 3-4 Bir Vektörün Bileşenleri ve Birim Vektörler Sunuş Fizikte

Detaylı

KATI CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ

KATI CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ KATI CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ Bu bölümde, düzlemsel kinematik, veya bir rijit cismin düzlemsel hareketinin geometrisi incelenecektir. Bu inceleme, dişli, kam ve makinelerin yaptığı birçok işlemde

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

1998 ÖYS. orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı kaçtır? 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7

1998 ÖYS. orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı kaçtır? 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7 998 ÖYS. Üç basamaklı bir doğal sayısının 7 katı, iki basamaklı bir y doğal sayısına eşittir. Buna göre, y doğal sayısı en az kaç olabilir? orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı

Detaylı

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7.

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik -Bilgisayar Bölümü MB00 Analiz I 3 Aralık 03 Final Sınavı Öğrenci Numarası: Adı Soyadı: - Taatlar: Sınav süresi 0 dakikadır. İlk 30 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz.

Detaylı

Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 16 Haziran Matematik Soruları Ve Çözümleri

Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 16 Haziran Matematik Soruları Ve Çözümleri Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 6 Haziran 99 Matematik Soruları Ve Çözümleri. 0,80+ (0,+ ).0, işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E) Çözüm I. Yol 0,80+ (0,+ ).0, 80 00 + ( 0 + ). 80 + ( + ). 00 0 80

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 kışkan Statiğine Giriş kışkan statiği (hidrostatik, aerostatik), durgun haldeki akışkanlarla

Detaylı

Kesirli Türevde Son Gelişmeler

Kesirli Türevde Son Gelişmeler Kesirli Türevde Son Gelişmeler Kübra DEĞERLİ Yrd.Doç.Dr. Işım Genç DEMİRİZ Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü 6-9 Eylül, 217 Kesirli Türevin Ortaya Çıkışı Gama ve Beta Fonksiyonları Bazı

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ

DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ 3 DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ Gerilme Kavramı Dış kuvvetlerin etkisi altında dengedeki elastik bir cismi matematiksel bir yüzeyle rasgele bir noktadan hayali bir yüzeyle ikiye ayıracak olursak, F 3 F

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Noktanın Analitik İncelenmesi...3 Doğrunun Analitiği...11 Analitik Düzlemde Simetri...25 Analitik Sistemde Eşitsizlikler...34 Çemberin Analitik İncelenmesi...40 Elips...58 Hiperbol...70

Detaylı

EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm:

EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm: EKSTREMUM PROBLEMLERİ Ekstremum Problemleri Bu tür problemlerde bir büyüklüğün (çokluğun alabileceği en büyük (maksimum değer ya da en küçük (minimum değer bulunmak istenir. İstenen çokluk bir değişkenin

Detaylı

4. Çok büyük ve çok küçük pozitif sayıları bilimsel gösterimle ifade eder.

4. Çok büyük ve çok küçük pozitif sayıları bilimsel gösterimle ifade eder. LENDİRME ŞEMASI ÜNİTE Üslü 1. Bir tam sayının negatif kuvvetini belirler ve rasyonel sayı olarak ifade eder.. Ondalık kesirlerin veya rasyonel sayıların kendileriyle tekrarlı çarpımını üslü sayı olarak

Detaylı

RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ

RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ MUTLAK GENEL DÜZLEMSEL HAREKET: Genel düzlemsel hareket yapan bir karı cisim öteleme ve dönme hareketini eşzamanlı yapar. Eğer cisim ince bir levha olarak gösterilirse,

Detaylı

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun . UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ d belirli integralinin aşağıdaki çözümünün doğru olup olmadığını belirtiniz. Eğer çözüm yanlış ise sebebini açıklayınız.

Detaylı

Jeodezi

Jeodezi 1 Jeodezi 5 2 Jeodezik Eğri Elipsoid Üstünde Düşey Kesitler Elipsoid yüzünde P 1 noktasındaki normalle P 2 noktasından geçen düşey düzlem, P 2 deki yüzey normalini içermez ve aynı şekilde P 2 de yüzey

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08 LİSNS YRLŞTİRM SINVI- MTMTİK-GMTRİ SINVI MTMTİK TSTİ SRU KİTPÇIĞI 08 U SRU KİTPÇIĞI LYS- MTMTİK TSTİ SRULRINI İÇRMKTİR. . u testte 0 soru vardýr. MTMTİK TSTİ. evaplarýnýzý, cevap kâðýdýnın Matematik Testi

Detaylı

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 22. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 22. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 22. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI BİREYSEL YARIŞMA SORULARI CEVAPLARI CEVAP KAĞIDI ÜZERİNE YAZINIZ. SORU KİTAPÇIĞINI KARALAMA MAKSATLI KULLANABİLİRSİNİZ SORU-1.

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN

Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYIN KURULU Hazırlayanlar Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-I

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-I HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV UYGULAMALARI-I Artan ve Azalan Fonksiyonlar Fonksiyonların Maksimum ve Minimumu Birinci Türev Testi İkinci Türev Testi Türevin Geometrik Yorumu Türevin Fiziksel Yorumu MATEMATİK-1

Detaylı

MAT1009 Matematik I. Ders Notları. Dokuz Eylül Üniversitesi

MAT1009 Matematik I. Ders Notları. Dokuz Eylül Üniversitesi MAT9 Matematik I Ders Notları Dokuz Eylül Üniversitesi 26 2 İçindekiler Fonksiyonlar 5. Polinomlar................................................. 7.2 Trigonometrik Fonksiyonlar.......................................

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 4 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

1991 ÖYS. 9. Parasının 7. ünü kardeşine veren Ali nin geriye lirası kalmıştır. Buna göre, Ali nin başlangıçtaki parası kaç liradır?

1991 ÖYS. 9. Parasının 7. ünü kardeşine veren Ali nin geriye lirası kalmıştır. Buna göre, Ali nin başlangıçtaki parası kaç liradır? 99 ÖYS.,8 + (, + ), işleminin sonucu kaçtır? B) 7 D) 86 987 B) D). a, b, c birer pozitif gerçel sayı ve a=b b=c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? a

Detaylı

Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti

Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti Fonksiyonun Limiti x in 2 sayısına yakın değerleri için f(x) = x 2 x+2 ile tanımlanan f fonksiyonun davranışını inceleye. Aşağıdaki tablo, x in 2 ye yakın fakat 2 den farklı değerleri için f(x) değerlerini

Detaylı

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9 OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 015 01 1 Eylül 18 Eylül Kümelerde Temel Kavramlar 1. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler.

Detaylı

B: Bu şekildeki her bir nokta dikdörtgenin noktalarını temsil eder.

B: Bu şekildeki her bir nokta dikdörtgenin noktalarını temsil eder. 2. ÇOK KATLI İNTEGRALLER, DİFERENSİYEL DENKLEMLERE GİRİŞ 2.1. Çok Katlı İntegraller 2.1.1. İki Katlı İntegraller Fonksiyonu bir B bölgesinde sınırlı yani için olsun. B bölgesi alt bölgelere ayrılırsa;

Detaylı

Bölüm: Matlab e Giriş.

Bölüm: Matlab e Giriş. 1.Bölüm: Matlab e Giriş. Aşağıdaki problemleri MATLAB komut penceresinde komut yazarak çözünüz. Aşağıdaki formüllerde (.) ondalıklı sayı için, ( ) çarpma işlemi için kullanılmıştır. 1.. 8.5 3 3 1500 7

Detaylı

Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok

Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok Gauss Yasası Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok daha kullanışlı bir şekilde nasıl hesaplanabileceği

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 10

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 10 LİSNS YRLŞTİRM SINVI- MTMTİK-GOMTRİ SINVI MTMTİK TSTİ SORU KİTPÇIĞI 0 U SORU KİTPÇIĞI LYS- MTMTİK TSTİ SORULRINI İÇRMKTİR. . u testte 0 soru vardýr. MTMTİK TSTİ. evaplarýnýzý, cevap kâðýdýnın Matematik

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı