Hanoi Kuleleri. Gerekli hareket sayısı =7 (en az 7 aktarma yapılması gerekir)

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Hanoi Kuleleri. Gerekli hareket sayısı =7 (en az 7 aktarma yapılması gerekir)"

Ebru Bozer
6 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Haoi Kuleleri Aşağıdaki gibi, e büyük çaplı disk e altta ve e küçük çaplı disk e üstte olmak üzere, üst üste çapları küçüle 3 tae disk bir çubuğa geçirilmiş olsu. Diskleri birer birer alarak, bir diski daha küçük çaplı bir disk üzerie koymama şartıyla, boş çubuklarda birie, öreği e sağdakie ayı düzede olacak şekilde aktarmak içi gerekli hareket (aktarma) sayısı edir? Gerekli hareket sayısı =7 (e az 7 aktarma yapılması gerekir)

2 Soldaki çubukta tae (=1,2,...) disk bulusu. Bu diskleri boş cubuklarda birie, öreği sağ keardakie, yukarıda bahsedile kurala göre aktarmak içi gerekli aktarma sayısı a( ) olsu. E alttaki disk başka hiç bir disk üzerie gelemiyeceğide, buu yapılabilmesi içi diğer 1 tae disk ortadaki çubuğa aktarılmalı (buu içi gerekli hareket sayısı a( 1 ) ) ve daha sora e büyük disk boş ola kear çubuğa aktarılmalıdır. E büyük disk aktarıldıkta sora (bir hareketle) diğer 1 tae disk e büyük diski buluduğu sağdaki çubuğa aktarılacaktır (gerekli hareket sayısı a( 1 )). Bua gore, diski aktarılması içi gerekli hareket sayısı içi, a( ) = a( 1) + 1+ a( 1) = 2a( 1) + 1 idirgeme bağıtısı elde edilir. a( 1) = 1 başlagıç değerie dayalı olarak, a( ) = 2 a( 1) + 1 idirgeme bağıtısı içi, a(2) = 2 a(1) + 1= 3 a(3) = 2 a(2) + 1= 7 a(4) = 2 a(3) + 1= 15 a(5) = 2 a(4) + 1= 31 a(6) = 2 a(5) + 1= 63 a(7) = 2 a(6) + 1= 127 olmak üzere, çözümü a çıkmaktadır. Gerçekte, a ( ) = (2 1) 1 ve başlagıç değeri, = + 1 a (1) = 2 1= 1 ( ) = 2 1 biçimide olabileceğie dair bir izleim ortaya 2 1 değeri idirgeme bağıtısıı,

3 sağlamaktadır. Çözümü a ( ) = 2 1 olduğu tümevarım yötemi ile de gösterilebilir. Disk sayısı 10 olduğuda gerekli hareket sayısı 1023, disk sayısı 20 olduğuda gerekli hareket sayısı , disk sayısı 30 olduğuda gerekli hareket sayısı , disk sayısı 40 olduğuda gerekli hareket sayısı ve disk sayısı 64 olduğuda gerekli hareket sayısı dir. Đyimser olarak bir saiyede bir disk aktarıldığı düşüülürse, 64 diski aktarılması içi, /(60*60*24*365) = yıl gerekecektir. 64 diski aktarma işlemi içi yüzyılda daha çok bir zamaa ihtiyaç duyulacaktır. Bu sebepte ve tarihçeside dolayı uzakdoğulular bu problemi Düyaı Sou Problemi olarak isimledirmişlerdir. Haoi Kuleleri ilgiç bir tarihçeye sahiptir. I the great temple of Brahma i Beares, o a brass plate uder the dome that marks the ceter of the world, there are 64 disks of pure gold that the priests carry oe at a time betwee these diamod eedles accordig to Brahma's immutable law: No disk may be placed o a smaller disk. I the beggig of the world all 64 disks formed the Tower of Brahma o oe eedle. Now, however, the process of trasfer of the tower from oe eedle to aother is i mid course. Whe the last disk is fially i place, oce agai formig the Tower of Brahma but o a differet eedle, the will come the ed of the world ad all will tur to dust. (Scietific America)

4 Haoi Kuleleri olarak bilie bu problem ve bu problemi geellemeleri ola 4 veya daha çok sayıda çubuklu Haoi Kuleleri ile iligili çok sayıda makale yayılamış, web siteleride yazılar yazılmış ve aimasyo programları hazırlamıştır. Çoğumuzu bildiği gibi, satraç oyuuu bula Sissa Be Dahir ödülledirilmek istediğide, ödül olarak başlagıçta çok mütevazi görüe, satraç tahtasıı birici karesi içi 1, diğerleri içi bir öcekii iki katı ola buğday taesi istemiştir. = 1, 2,.. içi a( ) ilk kare içi istee toplam buğday taesii göstermek üzere, a( ) = = = 2 1 buluur. = 64 içi satraç tahtasıı 64 tae karesi içi istee buğday taesi, 64 tae diski aktarılması içi gereke aktarma sayısıa eşittir. Bu kadar buğday taesii kütlesii yada hacmii bir tarafa bırakarak buları saymak içi geçe zamaı gözöüe alalım. Büyük sayıları da dikkate alarak iyimser olarak bir saiyede bir buğday taesi sayıldığıı düşüürsek, yüzyılda daha çok bir zamaa ihtiyaç duyulacaktır. Haoi Kuleleri bilgisayar programlama algoritmaları ile uğraşalar içi özel bir yere sahiptir. Program ve programlama maharetleri bu problem üzeride sergilemektedir. Bazıları aimasyolu olmak üzere, Haoi Kuleleri ile ilgili değişik programlama dilleride çok sayıda program yazılmıştır. Buları bir çoğuu web siteleride idirebilirsiiz.

5 QBASIC dilide bir program aşağıdadır. INPUT "Disk sayısıı giriiz :", N PRINT "1-> HIC BEKLEMEDEN DEVAM ET" PRINT "2-> HER HAREKETTE ENTER ICIN BEKLE" PRINT "3-> HER DiZiLMEDE ENTER ICIN BEKLE" INPUT "Seceegiizi giriiz:", ENTER SCREEN 12 LINE (10, 400)-(610, 410), 4, BF LINE (110, 130)-(120, 400), 4, BF LINE (310, 130)-(320, 400), 4, BF LINE (510, 130)-(520, 400), 4, BF DIM X(N), Y(N), R(N), S(N), RE(7), DA(3), D(3, N) RE(1) = 4: RE(2) = 1: RE(3) = 5: RE(4) = 8: RE(5) = 9: RE(6) = 12: RE(7) = 7 H = INT(250 / N) EN = INT(180 / N) DA(1) = N DA(2) = 0 DA(3) = 0 TR = 1 FOR I = 1 TO N D(1, I) = I R(I) = RE(I - INT(I / 7) * 7 + 1) X(I) = (N - I + 1) * EN / 2 Y(I) = (I - 1) * H - 1 LINE (X(I), Y(I))-(X(I) + EN * (N - I + 1), Y(I) - H + 1), R(I), BF NEXT I AD = 1 ADIM = 0 10 O = 0 IF AD = 1 THEN AD1 = 2: AD2 = 3 IF AD = 2 THEN AD1 = 3: AD2 = 1 IF AD = 3 THEN AD1 = 1: AD2 = 2 IF DA(AD) > 0 THEN IF D(AD, DA(AD)) > D(AD1, DA(AD1)) THEN O = 1 DA(AD1) = DA(AD1) + 1 D(AD1, DA(AD1)) = D(AD, DA(AD)) J = DA(AD) 'ad deki disk sayisi I = D(AD, J)'AD IN EN USTTEKI DISK NUMARASI FOR Y = Y(I) TO 120 STEP -1 LINE (X(I), Y)-(X(I) + EN * (N - I + 1), Y), 0 IF Y > 129 THEN LINE (110 + (AD - 1) * 200, Y)-(120 + (AD - 1) * 200, Y), 4 LINE (X(I), Y - H)-(X(I) + EN * (N - I + 1), Y - H), R(I) X1 = X(I) X2 = (AD1-1) * (N - I + 1) * EN / 2 IF AD1 > AD THEN ART = 1: SIL =0: YAZ =EN * (N - I + 1) ELSE ART = -1: YAZ =0: SIL =EN * (N - I + 1) FOR X = X1 TO X2 STEP ART LINE (X + SIL, Y)-(X + SIL, Y - H - 1), 0 LINE (X + YAZ, Y)-(X + YAZ, Y - H), R(I) NEXT X J = DA(AD1) 'ad1 deki disk sayisi I = D(AD1, J)'AD1 IN EN USTTEKI DISK NUMARASI X(I) = (AD1-1) * (N - I + 1) * EN / 2 Y(I) = (J - 1) * H - 1'- DA(AD1) LINE (X(I), H)-(X(I) + EN * (N - I + 1), H), 0 FOR Y = 120 TO Y(I) LINE (X(I), Y - H)-(X(I) + EN * (N - I + 1), Y - H), 0 IF Y > H THEN LINE (110 + (AD1-1) * 200, Y - H)-(120 + (AD1-1) * 200, Y - H), 4

6 LINE (X(I), Y)-(X(I) + EN * (N - I + 1), Y), R(I) DA(AD) = DA(AD) - 1 AD = AD2 ADIM = ADIM + 1 IF ENTER = 2 THEN LOCATE 22, 70: INPUT DUR ELSE IF D(AD, DA(AD)) > D(AD2, DA(AD2)) THEN O = 1 DA(AD2) = DA(AD2) + 1 D(AD2, DA(AD2)) = D(AD, DA(AD)) J = DA(AD) 'ad deki disk sayisi I = D(AD, J)'AD IN EN USTTEKI DISK NUMARASI FOR Y = Y(I) TO 120 STEP -1 LINE (X(I), Y)-(X(I) + EN * (N - I + 1), Y), 0 IF Y > 129 THEN LINE (110 + (AD - 1) * 200, Y)-(120 + (AD - 1) * 200, Y), 4 LINE (X(I), Y - H)-(X(I) + EN * (N - I + 1), Y - H), R(I) X1 = X(I) X2 = (AD2-1) * (N - I + 1) * EN / 2 IF AD2 > AD THEN ART =1: SIL =0: YAZ = EN * (N - I + 1) ELSE ART = -1: YAZ =0: SIL =EN * (N - I + 1) FOR X = X1 TO X2 STEP ART LINE (X + SIL, Y)-(X + SIL, Y - H - 1), 0 LINE (X + YAZ, Y)-(X + YAZ, Y - H), R(I) NEXT X J = DA(AD2) 'ad1 deki disk sayisi I = D(AD2, J)'AD1 IN EN USTTEKI DISK NUMARASI X(I) = (AD2-1) * (N - I + 1) * EN / 2 Y(I) = (J - 1) * H - 1'- DA(AD2) LINE (X(I), H)-(X(I) + EN * (N - I + 1), H), 0 FOR Y = 120 TO Y(I) STEP 1 LINE (X(I), Y - H)-(X(I) + EN * (N - I + 1), Y - H), 0 IF Y > H THEN LINE (110 + (AD2-1) * 200, Y - H)-(120 + (AD2-1) * 200, Y - H), 4 LINE (X(I), Y)-(X(I) + EN * (N - I + 1), Y), R(I) DA(AD) = DA(AD) - 1 ADIM = ADIM + 1 IF ENTER = 2 THEN LOCATE 22, 70: INPUT DUR END IF END IF ELSE AD = AD1 END IF IF O = 0 THEN AD = AD1 IF ENTER = 3 THEN IF DA(3) = TR OR DA(2) = TR THEN LOCATE 22, 70: INPUT DUR: TR = TR + 1 IF DA(3) < N AND DA(2) < N THEN 10 PRINT ADIM

Benzer belgeler

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre