TEKRARLAMALI GAUSS-SEIDEL YARDIMCI DEĞİŞKENLER ALGORİTMASI İLE TRANSFER FONKSİYONU PARAMETRELERİNİN YANSIZ TAHMİNİ

Transkript

1 ldağ Üerstes ühedsl-arlı Faültes ergs, Clt 2, Sayı, 27 KAAA GASS-S YAC ĞİŞKN AGOİAS İ ANSF FONKSİYON PAAİNİN YANSZ AHİNİ et HAN Osa Hl KOÇA Özet: B aalede, doğrsal zaala değşeye ayrı-zaalı ssteler trasfer fosyo paraetreler yasız olara tah ete ç, Gass-Sedel terasyoları le yardıcı değşeler brlte llaıldığı terarlaalı br algorta öerlştr. Ayrıca, öerle algortaı stoast yaısaa aalz yapılış e yardıcı değşeler llaılası drda ölçe gürültüsüü rel gürültü olası drda ble oral deleler çözüüü ere yasız br estreç oldğ gösterlştr. Öerle algorta, yapıla br sülasyo çalışasıyla br öre c derece sste trasfer fosyo paraetreler tah edlesde llaılış e bezer algortalarla arşılaştıralı olara celeştr. lde edle soçlara göre, öerle algortaı şle yüü e yaısaa hızı açısıda dğer algortalara y br alteratf oldğ görülüştür. Aahtar Keleler: Sste Belrlee, Paraetre ah, Gass-Sedel, Yardıcı eğşeler, Yasız ah, Yaısaa Aalz. based stato of rasfer Fcto Paraeters wth ecrse Gass-Sedel stretal Varables Algorth Abstract: ths paper, a recrse algorth based o the se of Gass-Sedel teratos ad stretal arables together s trodced for based estato of trasfer fcto paraeters of lear te arat dscrete-te systes. Frtherore, a stochastc coergece aalyss of the proposed algorth s perfored ad t s show that the proposed algorth s a based paraeter estator that ges solto of oral eqatos ee f the easreet ose s colored. he proposed algorth s sed for estato of trasfer fcto paraeters of a saple secod order syste ad copared wth slar algorths by a slato stdy. Accordg to the reslts obtaed, t s show that the proposed algorth s a good alterate to the others by ewpots of coptatoal coplety ad coergece rate. Key Words: Syste detfcato, Paraeter stato, Gass-Sedel, stretal Varables, based stato, Coergece Aalyss.. GİİŞ Sste belrlee şle, gerçe zaada gerçelee br ço adaptf şaret şlee e adaptf otrol yglaasıı teel olştratadır Wdrow e Stears, 985, Hay, 22, Goodw e S, 984, sera e dğ. 992, Aströ e Wttear, 995, ada e dğ Özellle paraetr sste odeller deeysel erler llaılara gerçe zaada tah edles şle e b şle ç llaıla adaptf algortalar geçşte güüüze arta br lg çeştr jg e Söderströ, 983, Sha e Kszta, 983, Söderströ e Stoca, 989, Johasso, 993, Kaloptsds e heodords, 993, Walter e Prozato, 998, aol e dğ. 24, jg, 999, 26. B oda yayılaa lteratüre e blsel çalışalara göre, llaıla algortaları şle araşılığı e tah edle paraetreler yaısaa özelller, tah edle paraetreler llaıldıları yglaa alalarıa göre algorta seçde brer terch ede olatadır. Öreğ adaptf şaret şlee yglaalarıda hız açısıda çoğlla şle araşılığı az ola algortalar terch edlre, adaptf sste belrlee e otrol yglaalarıda yaısaa özelller y ola algortalar daha ço terch edletedr. Adaptf sste belrlee e otrol yglaalarıda yaygı olara llaıla S ecrse east Sqares algortasıı yaısaa özelller oldça y olasıa arşı, sste çıış şarete ldağ Üerstes, ühedsl-arlı Faültes, letro ühedslğ Bölüü, 659, Görüle, Brsa. 5

2 Hat,. e Koçal, O. H.: erarlaalı Gass-Sedel Yardıcı eğşeler Algortası arışa ölçe gürültüsüü rel gürültü olası drda yalı paraetre tahler elde edletedr Sha e Kszta, 983, Söderströ e Stoca, 989, jg, 999. B dezaatajda rtlaı e yasız paraetre tahler elde ete br yol yardıcı değşelerde yararlaatır. Yardıcı değşeler S algortasıyla brlte llaılası drda elde edle terarlaalı algorta lteratürde V ecrse stretal Varables algortası olara bletedr Yog, 984, Söderströ e Stoca, 98, 983, 989, 22, jg, 999. Yardıcı değşeler llaıldığı V algortası he S algortasıı hızlı yaısaa özellğe sahptr, he de ölçe gürültüsüü rel gürültü olası drda yasız paraetre tahler elde edlebletedr. Faat V algortasıı şle araşılığı S algortasıyla ayıdır. So yıllarda, zaa ortalaalı oral dele Gass-Sedel algortasıyla çözüü üzere rl ola terarlaalı br algorta öerlştr Koçal, 998. Ayı algorta farlı br baış açısıyla S cldea recto Search adı le de öerlş e bazı adaptf şaret şlee yglaalarıda llaılıştır X e dğ. 998, 999, Bose e X, 22, abey e dğ. 24, Bose, 24. B çalışalarda Gass-Sedel algortası adaptf F Fte plse espose fltre atsayılarıı adaptf olara ayarlaasıda llaılıştır. Öerle b algortaları şle yüü S algortasıda daha az olp, yaısaa hızı S algortasıa yaıdır e orelasyo atrs özdeğer yayılııı üçü olası drda S algortasıa ço yaı soçlar eretedr Koçal, 998, Bose, 24. B aale aacı, daha öce adaptf şaret şlee yglaalarıda F fltre atsayılarıı gücellee ç llaıla Gass- Sedel algortasıı trasfer fosyo paraetreler gücellee ç llaatır. B aalede, Gass-Sedel algortası trasfer fosyo paraetreler terarlaalı olara tah edlesde llaılış e elde edle paraetre tahler stoast yaısaa aalz yapılıştır. Sste çıış şarete arışa rel ölçe gürültüsüü steeye etsde rtla e yasız paraetre tahler elde ete ç yardıcı değşelerde yararlaılıştır. Yardıcı değşeler Gass-Sedel algortasıyla brlte llaıldığı ye algorta GSV ecrse Gass-Sedel stretal Varables erarlaalı Gass-Sedel Yardıcı eğşeler algortası olara adladırılıştır. B drda, yasız paraetre tahler elde edldğ yapıla stoast yaısaa aalzyle aalt olara gösterlştr. lde edle soçları doğrlğ, br öre c derece sste llaılara yapıla br sülasyo çalışasıyla gösterlştr e V algortasıyla arşılaştırılalı olara celeştr. 2. GSV AGOİAS İ SİS Bİ oğrsal zaala değşeye te grşl te çıışlı. derecede ayrı zaalı br sste trasfer fosyo z -doede aşağıda gb yazılablr. B z b z b z z az b, A z a Açı çerde sste belrlee şlede, llaıla sstee at grş e çıış şaretler se aşağıda şelde gb gösterleblr. Bleye Sste y Şel : Sste belrlee şlede llaıla sste odel Brada sstee yglaa grş şaret, e y sırasıyla sste gürültüsüz e gürültülü çıış şaret, se çıış şarete arışa ölçe gürültüsüü gösteretedr. Gass-Sedel algortası, sste belrlee şlede p le erle oral dele çözüüde llaılatadır, brada le adet sste paraetres çere boytl 52

3 ldağ Üerstes ühedsl-arlı Faültes ergs, Clt 2, Sayı, 27 paraetre etörü, le boytl orelasyo atrs e p le boytl orelasyo etörü gösterletedr. atrs e p etörü aşağıda gb taılaatadır. ϕ ϕ ], p ϕ y ] 2 Brada belee değer operatörüdür, ϕ se sste grş-çıış şaretlerde olşa er etörüdür e aşağıda gb yazılablr. ϕ y y ] 3 Gass-Sedel algortasıyla terarlaalı paraetre tah şle başlagıç otası, zaa ortalaalı oral dele Gass-Sedel algortasıyla çözüü üzere rldr. Çüü prat yglaalarda atrs e p etörüü değer blees drda tah edlş değerler llaılara br yalaşılı yapılır. B yalaşı tah değerler adet er grb llaıldığıda aşağıda gb yazılablr, ϕ ϕ, p ϕ y 4 eya / çarpaı göz öüe alıada grş-çıış er öreler alıdıça teratf olara aşağıda gb gücelleeblr. ϕ ϕ, p p ϕ y 5 atrs e p etörü teratf olara gücelledte sora br adılı Gass-Sedel terasyo ˆ p olara yazıla zaa ortalaalı oral dele çözüüde ˆ ˆ ˆ p j j j j,,2, K, 6 j j şelde llaılır, ya terasyo ds ayrı zaa ds olara alııştır. Brada j orelasyo atrs. satırıa e j. süta de düşe eleaıı gösterr, p orelasyo etörüü. eleaıı gösterr e ˆ paraetre etörüü. eleaıı gösterr. Yarıda 5 e 6 le erle terarlaalı algorta GS ecrse Gass-Sedel algortası olara adladırılıştır. GS algortasıı S algortasıa göre e öel farı orelasyo atrs ters yere doğrda eds gücellees, ya atrs ters gücellee ç llaıla lae br terasyoa gere alaası e paraetre tahler gücellee ç alı hata blgs doğrda llaaasıdır. Ayrıca paraetreler saler olara gücelledğ de göz öüe aldığıızda, S algortasıa göre şle yüüü öel ölçüde azaldığı görületedr Koçal, 998, Bose, 24. GS algortasıda yardıcı değşeler llaılasıyla elde edle terarlaalı algorta GSV algortası olara adladırılıştır. Yardıcı değşeler e yaygı llaı bç aşağıda şelde görüldüğü gbdr. Bleye Sste y Yardıcı odel ˆ Şel 2: Sste belrlee şlede yardıcı değşeler elde edles Brada llaıla yardıcı odel sabt atsayılı ararlı br fltre eya paraetreler sste paraetreleryle eşzaalı olara gücellee br adaptf fltre olabletedr. Bları harcde gectrlş 53

4 Hat,. e Koçal, O. H.: erarlaalı Gass-Sedel Yardıcı eğşeler Algortası grş eya çıış şaretler de yardıcı değşe olara llaılabletedr Söderströ e Stoca, 98, 983, 989, 22, jg, 999. Brada yardıcı değşeler elde ete ç sstele ayı yapıya sahp br adaptf fltre llaıldığıda, llaıla yardıcı odele at er etörü ˆ ˆ ] z 7 olara yazılablr e b etörü eleaları ˆ z ˆ şelde öce adıda bla paraetre değerler llaılara hesaplaablr. GSV algortasıda hesaplaa b değşeler llaıldığıda orelasyo atrs e p orelasyo etörü z ϕ, p z y 8 şelde brl olara eya / çarpaı göz öüe alıada grş-çıış er öreler alıdıça teratf olara aşağıda gb gücelleeblr. z ϕ, p p z y 9 atrs e p etörü teratf olara gücelledte sora paraetre tahler br adılı Gass-Sedel terasyo llaılara 6 eştlğde gb gücelleeblr. 3. GSV AGOİASNN SOKASİK YAKNSAA ANAİZİ Paraetre tahler terarlaalı eya çer-ç o-le olara gücellee ç llaıla GS algortasıı etörel forda aşağıda gb yazablrz. ˆ ˆ p Brada, e sırasıyla orelasyo atrs alt üçge, öşege e üst üçge ısılarıı çere are atrsler gösteretedr. Yaısaa aalzde, orelasyo atrs e p orelasyo etörüü 4 le erle brl tah değerler llaıldığıı arsayalı. Sste çıış şaret doğrsal bağlaşılı bçde lear regresso for y ϕ olara yazablrz. Çıış şaret p orelasyo etörüü tah değerde yere yazdığıızda p ϕ y ϕ ϕ ϕ ] elde edlr. B değer 9 le erle etörel algortada yere yazıldığıda ˆ ˆ ϕ 2 elde edlr. B delede orelasyo atrs şelde yere yazılara dele düzeledğde ˆ ˆ eştlğ elde edlr. Brada ] ϕ ˆ ] ˆ ], ϕ ] ϕ ] ]

5 ldağ Üerstes ühedsl-arlı Faültes ergs, Clt 2, Sayı, abller llaılara 3 le erle dele her tarafıı belee değer alıdığıda ] ] ] ˆ ] ϕ 5 eştlğ elde edlr. B eştlte paraetre tahler belee değer ] ] ] ˆ ϕ 6 olara elde edlr. Brada atrs eştlğ llaıldığıda ] ] ˆ ϕ 7 soc elde edlr. lde edle b soç GS algortası le elde edle paraetre tahler değere yaısaası ç gerel şartları gösteretedr. B ç öcelle orelasyo atrs ters alıableldr. B ç orelasyo atrs poztf taılı olalıdır. Sste sürel olara yarılası drda b şart sağlaatadır. Korelasyo atrs poztf taılı olası drda GS terasyolarıı yaısaası sağlaış olatadır Hat e Koçal, 25. Prat yglaalarda başlagıçta orelasyo atrs poztf taılılığıı garatlee aacıyla. δ olara alıablr, brada yg boytl br atrs olp..,., δ gb üçü poztf değerler alablr. Algortaı ararlılığı sağladıta sora elde edle paraetre tahler değere yaısaası ç gerel ola dğer şart se grş-çıış öreler alıdıça ] ϕ etörüü sıfır etöre yaısaasıdır. B etörü çıış şaret y şelde yazara aşağıda gb celeyeblrz. ] y y ϕ 8 Brada ] e ] oldğ göz öüe alıdığıda ] r r ϕ 9 soc elde edlr. B drda ] ϕ etörüü sıfır etöre yaısayables ç,,2,, ] r K olara taılaa, bozc grşe at l adet oto-orelasyo atsayısıı sıfır olası gerer. B soca göre GS algortasıyla elde edle paraetre tahler değere yaısayables ç ölçe gürültüsüü beyaz gürültü olası gerer. GSV algortasıı yaısaa aalz de bezer şelde yapıldığıda 7 le erle soç ] ] ˆ z 2 olara elde edlr. B soca göre ye algortaı ararlılığıı sağlaables ç 8 e 9 le erle orelasyo atrs ters alıablr olalıdır. Brada yardıcı değşeler elde ete ç sstele ayı yapıya sahp br adaptf fltre llaıldığıda b şart ço rahat br şelde sağlaabletedr Söderströ e Stoca, 98, 983, 989, 22, jg, 999. Ayrıca, GSV algortasıda gürültü le lşsz değşeler llaıldığı ç grş-çıış öreler alıdıça zaala ] ˆ olata e ] z etörü

6 Hat,. e Koçal, O. H.: erarlaalı Gass-Sedel Yardıcı eğşeler Algortası ˆ ˆ z ] 2 şelde sıfır etöre yaısaatadır. B soca göre GSV algortası llaıldığıda 2 eştlğ gereğ algortaı ararlılığı sağladığı sürece, çıış şarete arışa ölçe gürültüsüü rel gürültü olası drda ble doğr paraetre tahler elde edldğ görületedr. 4. SİÜASYON SONÇA B ısıda, öerle GSV algortasıı yaısaa özellğ yapıla br sülasyo çalışasıyla V algortasıyla arşılaştıralı olara celeştr. Sülasyo çalışasıda llaıla öre c derece trasfer fosyo B z z A z z.5z.7 olara seçlştr jg, 26. Brada llaıla er etörü e doğr paraetre etörü y y 2 2 ] a a b b b ] ] ϕ olp sste çıışıa e e.2e 2 şelde elde edle rel gürültü eleştr, brada e gürültüsü sıfır ortalaalı aryası ola oral dağılıa sahp rastgele gürültü dzsdr. Sstee grş şaret olara gelğ e peryod 8 örelee peryoda eşt ola br are dalga yglaıştır. B drda sste gürültüsüz çıış şaret e y ϕ eştlğ llaılara elde edle gürültülü çıış şaret Şel 3 te görületedr. B drda GS algortasıyla yapıla sülasyo soçları Şel 4 te görületedr. Brada esl düz çzgler doğr paraetre değerler gösteretedr. GS algortası llaıldığıda 8 adı soda elde edle paraetre tahler ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ GS a a2 b ] ] değerlere yaısadığı görülüştür. B değerler 24 le erle doğr değerlere zatır, ya yalı paraetre tahler elde edlştr. 2 5 grs saret çs saret gürültülü çs saret sste grs e çs saretler öre Şel 3: Sülasyoda llaıla öre sste grş e çıış şaretler 56

7 ldağ Üerstes ühedsl-arlı Faültes ergs, Clt 2, Sayı, paraetre tahler b a a öre Şel 4: GS algortasıyla hesaplaa paraetre tahler aha sora sırasıyla GSV e V algortasıyla yapıla sülasyo socda elde edle paraetre tahler Şel 5 e Şel 6 da görületedr. Korelasyo atrs başlagıç değer GSV algortasıda., ters başlagıç değer se V algortasıda P olara alııştır. lde edle soçlara göre GSV algortası llaıldığıda 8 adı soda elde edle paraetre tahler ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ GSV a a2 b ] ] şelde 24 le erle doğr değerlere yaısadığı görülüştür, ya yasız paraetre tahler elde edlştr. V algortası llaıldığıda se ye 8 adı soda elde edle paraetre tahler ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ V a a2 b ] ] şelde doğr değerlere yaısadığı görülüştür. lde edle sülasyo soçlarıa baıldığıda öerle GSV algortasıı e üçü areler tabalı algortalara göre şle yüüü az olasıı yaıda V algortasıa yaı soçlar erdğ görületedr. Algortaı yaısaa hızıı orelasyo atrs özdeğer yayılııa bağılılığıda dolayı, başlagıçta V algortasıa göre daha yaaş yaısaasıa rağe V algortasıa oldça yaı soçlar erştr. Soç olara şle yüü e yaısaa hızı açısıda baıldığıda V algortasıa göre y br alteratf olara görüleblr paraetre tahler b a a öre Şel 5: GSV algortasıyla hesaplaa paraetre tahler 57

8 Hat,. e Koçal, O. H.: erarlaalı Gass-Sedel Yardıcı eğşeler Algortası paraetre tahler b a a öre Şel 6: V algortasıyla hesaplaa paraetre tahler 5. SONÇA B çalışada, Gass-Sedel algortası ayrı zaalı doğrsal ssteler trasfer fosyo paraetreler adaptf olara gücelleesde llaılıştır e hesaplaa paraetre tahler stoast yaısaa aalz yapılıştır. lde edle soca göre Gass-Sedel algortasıyla doğr paraetre tahler elde edlebles ç ölçe gürültüsüü beyaz gürültü olası geretğ gösterlştr. Ayrıca Gass-Sedel algortasıı yardıcı değşelerle brlte llaılasıyla elde edle GSV algortası öerlş e yapıla stoast yaısaa aalze göre algortaı ararlı oldğ sürece oral dele çözüüü ere yasız br estreç oldğ aalt olara gösterlştr. lde edle aalz soçları yapıla br sülasyo çalışasıyla doğrlaış e lteratürde yaygı olara llaıla eşdeğer V algortasıyla yaısaa hızı açısıda arşılaştırılıştır. lde edle soçlara göre öerle GSV algortasıı he şle yüü açısıda aatajlı oldğ he de yaısaa hızı açısıda V algortasıa yaı soçlar erdğ görülüştür. 6. KAYNAKA. Aströ, K. J. ad Wttear B. 995 Adapte Cotrol, 2d d., Pretce-Hall, glewood Clffs. 2. Bose,. ad X, G. F. 22 he cldea drecto search algorth for adapte flterg, C rasactos o Fdaetals of lectrocs, Cocatos ad Copter Sceces, 85-A3, Bose,. 24 gtal Sgal ad age Processg, Joh Wley, New Jersey. 4. Goodw, G. C. ad S, K. S. 984 Adapte Flterg, Predcto ad Cotrol, Pretce-Hall, glewood Clffs, New Jersey. 5. Hat,. e Koçal, O. H. 25 Adaptf fltrelerde Gass-Sedel algortasıı stoast yaısaa aalz, ldağ Üerstes ühedsl-arlı Faültes ergs, 2, Hay, S. 22 Adapte Flter heory, 4th d., Pretce-Hall, pper Saddle er, New Jersey. 7. sera,., acha, K. H., ato,. 992 Adapte Cotrol Systes, Pretce-Hall, New Yor. 8. Johasso,. 993 Syste odelg ad detfcato, Pretce-Hall, glewood Clffs, New Jersey. 9. Kaloptsds, S. ad heodords, S. edtors 993 Adapte Syste detfcato ad Sgal Processg Algorths, Pretce-Hall, New Yor.. Koçal, O. H. 998 A ew approach to least sqares adapte flterg, teratoal Sypos o Crcts ad Systes, oterey, Calfora, ada,.., ozao,. Saad,. 998 Adapte Cotrol, Sprger-Verlag, odo. 2. jg,. ad Söderströ,. 983 heory ad Practce of ecrse detfcato, he Press, Cabrdge. 3. jg,. 999 Syste detfcato: heory for the ser, 2d d., Pretce-Hall, glewood Clffs, New Jersey. 58

9 ldağ Üerstes ühedsl-arlı Faültes ergs, Clt 2, Sayı, jg,. 26 Syste detfcato oolbo ser s Gde: For se wth AAB, Verso 6.2, he athwors, c. 5. abey, G.W., Gther, J., Bose,. 24 A cldea drecto based algorth for bld sorce separato sg a atral gradet, teratoal Coferece o Acostcs, Speech ad Sgal Processg, 5, aol,. J., Grja, G., Sgh, J. 24 odellg ad Paraeter stato of yac Systes, Boos, odo. 7. Sha, N. K. ad Kszta, B. 983 odelg ad detfcato of yac Systes, Va Nostrad ad ahold, New Yor. 8. Söderströ,. ad Stoca, P. 98 Coparso of soe stretal arable ethods: cosstecy ad accracy aspects, Atoatca, 7, Söderströ,. ad Stoca, P. 983 stretal Varable ethods for Syste detfcato, Sprger-Verlag, Berl. 2. Söderströ,. ad Stoca, P. 989 Syste detfcato, Pretce-Hall, New Yor. 2. Söderströ,. ad Stoca, P. 22 stretal Varable ethods for Syste detfcato, Crcts, Systes, ad Sgal Processg, 22, Walter,. ad Prozato,. 998 detfcato of Paraetrc odels Fro peretal ata, Sprger, Berl. 23. Wdrow, B. ad Stears, S Adapte Sgal Processg, Pretce-Hall, pper Saddle er, New Jersey. 24. X, G. F., Bose,., Schroeder, J. 998 Chael eqalzato sg a cldea drecto search based adapte algorth, Global elecocato Coferece, 6, X, G. F., Bose,., Schroeder, J. 999 he cldea drecto search algorth for adapte flterg, teratoal Sypos o Crcts ad Systes, 3, X, G. F., Bose,., Kober, W., hoas, J. 999 A fast adapte algorth for age restorato, rasacto o Crcts ad Systes-, 46, Yog, P. C. 984 ecrse stato ad e-seres Aalyss: A trodcto, Sprger-Verlag, Berl. aale tarhde alıış, tarhde abl edlştr. İletş Yazarı:. Hat eth@ldag.ed.tr. 59