FUZZY METRİK UZAYLAR YÜKSEK LİSANS TEZİ MELİH ÇINAR

Transkript

1 FUZZY METRİK UZAYLAR 2015 YÜKSEK LİSANS TEZİ MELİH ÇINAR

2

3 FUZZY METRİK UZAYLAR Melih ÇINAR Bülen Ecevi Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü Maemaik Anabilim Dalında Yüksek Lisans Tezi Olarak Hazırlanmışır. ZONGULDAK Haziran 2015

4

5

6

7 Bu ezdeki üm bilgilerin akademik kurallara ve eik ilkelere uygun olarak elde edildiğini ve sunulduğunu; ayrıca bu kuralların ve ilkelerin gerekirdiği şekilde, bu çalışmadan kaynaklanmayan büün aıfları yapığımı beyan ederim. Melih ÇINAR

8

9 ÖZET Yüksek Lisans Tezi FUZZY METRİK UZAYLAR Melih ÇINAR Bülen Ecevi Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü Maemaik Anabilim Dalı Tez Danışmanı: Prof. Dr. Erdal COŞKUN Haziran 2015, 89 sayfa Bu ez dör bölümden oluşmakadır. Birinci bölümde; fuzzy manığın oraya çıkma sebebi, arihçesi ve kullanım alanları hakkında bilgi verilmişir. İkinci bölümde; ez ile ilgili ön bilgilere, emel anım ve eoremlere yer verilmişir. Üçüncü bölümde; farklı fuzzy merik uzay anımları ele alınmışır. Özellikle; Kramosil ve Michalek Anlamında Fuzzy Merik Uzaylar, Kaleva ve Seikkela Anlamında Fuzzy Merik Uzaylar, George ve P. Veeramoni Anlamında Fuzzy Merik Uzaylar, Non- Archimedean Fuzzy Merik Uzaylar, Shaban Sedghi Anlamında M Fuzzy Merik Uzaylar, T- Bag Anlamında D Fuzzy Merik Uzaylar a yer verilmiş ve örneklerle deseklenmeye çalışılmışır. Dördüncü bölümde ise ezden çıkarılabilecek sonuçlara yer verilmişir. iii

10 ÖZET (devam ediyor) Anahar Kelimeler: Fuzzy küme, fuzzy sayı, fuzzy merik uzaylar Bilim Kodu: iv

11 ABSTRACT M. Sc. Thesis FUZZY METRIC SPACES Melih ÇINAR Bülen Ecevi Universiy Graduae School of Naural and Applied Sciences Deparmen of Mahemaics Thesis Advisor: Prof. Dr. Erdal COŞKUN June 2015,89 pages The hesis consiss of 4 chapers. In he firs chaper, he birh of fuzzy logic, is hisory and usage are discussed. In he second chaper, rudimens abou he hesis, basic definiions and heorems are given. In he hird chaper, differen fuzzy meric spaces are discussed in deails. Especially, Fuzzy Meric Spaces by Kramosil and Michalek, Fuzzy Meric Spaces by Kaleva and Seikkela, Fuzzy Meric Spaces by George and P. Veeramoni, Non- Archimedean Fuzzy Meric Spaces, M- Fuzzy Meric Spaces by Shaban Sedghi, D *- Fuzzy Meric Spaces by T- Bag... are examined in deail and suppored by examples. Keywords: Fuzzy se, fuzzy number, fuzzy meric spaces Science Code: v

12 vi

13 TEŞEKKÜR Bilgi ve birikimlerini hiçbir zaman esirgemeyen değerli hocalarım; Sayın Prof. Dr. Erdal COŞKUN, Sayın Doç. Dr. Tülin COŞKUN, Sayın Yrd. Doç. Dr. Nazmiye GÖNÜL e ve biricik aileme sonsuz eşekkürlerimi; bugünleri bize lüuf eden Yüce Allah a (c.c) ise sonsuz şükürlerimi sunarım. vii

14 viii

15 İÇİNDEKİLER Sayfa KABUL:... ii ÖZET... iii ABSTRACT... v TEŞEKKÜR... vii İÇİNDEKİLER... x ŞEKİLLER DİZİNİ... xi ÇİZELGELER DİZİNİ... xiv SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ... xvi BÖLÜM 1 GİRİŞ FUZZY (BULANIK) MANTIĞIN DOĞUŞU FUZZY MANTIĞIN TARİHÇESİ FUZZY MANTIĞIN AVANTAJ VE DEZAVANTAJLARI Avanajlar Dezavanajlar FUZZY MANTIĞIN UYGULAMA ALANLARI... 5 BÖLÜM 2 TEMEL TANIM VE TEOREMLER FUZZY KÜME KAVRAMI VE İLGİLİ TANIM VE TEOREMLER FUZZY SAYI KAVRAMI VE İLGİLİ TANIM VE TEOREMLER Fuzzy Sayı ve Çeşileri Fuzzy Sayılarda Arimeik İşlemler İki Fuzzy Sayı Arasındaki Uzaklık Fuzzy Sayı Dizileri FUZZY NOKTA KLASİK ANLAMDA METRİK UZAYLAR Tanım (Klasik Merik) Tanım (D Merik (ya da Genelleşirilmiş Merik) Uzaylar) (Sedghi vd. 2007) ix

16 2.4.3 Tanım (S Merik Uzaylar) BÖLÜM 3 FUZZY METRİK UZAYLAR KRAMOSİL VE MİCHALEK ANLAMINDA FUZZY METRİK UZAYLAR KALEVA VE SEİKKELA ANLAMINDA FUZZY METRİK UZAYLAR GEORGE VE P. VEERAMONİ ANLAMINDA FUZZY METRİK UZAYLAR NON-ARCHİMEDEAN FUZZY METRİK UZAYLAR SHABAN SEDGHİ VE NABİ SHOBE ANLAMINDA M FUZZY METRİK UZAYLAR TARAPADA BAG ANLAMINDA D FUZZY METRİK UZAYLAR BÖLÜM SONUÇLAR KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ x

17 ŞEKİLLER DİZİNİ No Sayfa Şekil 2.1 Klasik bir A kümesi... 8 Şekil 2.2 R de bir A fuzzy kümesi... 8 Şekil 2.3 A fuzzy kümesi... 9 Şekil 2.4 A nın B yi kapsaması Şekil 2.5 C ve D fuzzy kümeleri Şekil 2.6 C ve D fuzzy kümelerinin birleşimi Şekil 2.7 C ve D fuzzy kümelerinin kesişimi Şekil 2.8 C ve D fuzzy kümelerinin birleşimi Şekil 2.9 C ve D fuzzy kümelerinin kesişimi Şekil 2.10 A kümesinin α ve α kesimleri Şekil 2.11 Konveks fuzzy küme Şekil 2.12 Konveks olmayan fuzzy küme Şekil 2.13 Üs-yarı sürekli Şekil 2.14 Üs-yarı sürekli değil Şekil 2.15 Üs-yarı sürekli Şekil 2.16 Kompak Şekil 2.17 Kompak değil Şekil 2.18 Bir A = [a 1, a 2, a 3 ] fuzzy sayısı Şekil 2.19 A fuzzy sayısı Şekil 2.20 A üçgensel fuzzy sayısı Şekil 2.21 Yamuk A Fuzzy Sayısı Şekil 2.22 A, B ve A+B kümeleri Şekil 2.23 A ve B fuzzy sayıları Şekil 2.24 A ve B fuzzy sayıları Şekil 2.25 δ(a, B) mesafesi (alan meodu ile) Şekil 2.26 u k fuzzy sayısının u 0 fuzzy sayısına yakınsaması xi

18 xii

19 xiii

20 ÇİZELGELER DİZİNİ No Sayfa Çizelge 1.1 Fuzzy manığın bazı ürünlerdeki işlevi... 5 Çizelge 2.1 Fuzzy kümelerde bazı özellikler Çizelge 2.2 x in A ya ai olma derecesi Çizelge 2.3 x in B ye ai olma derecesi Çizelge 2.4 x in A B ye ai olma derecesini belirleme çizelgesi Çizelge 2.5 x in A B ye ai olma derecesi Çizelge 2.6 x in A B ye ai olma derecesini belirleme çizelgesi Çizelge 2.7 x in A B ye ai olma derecesi xiv

21 xv

22 SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ SİMGELER N R χ A (x) μ A (x) F(R) F(X) A α A α day(a) Core(A) L(R) 0 1 ε c(f) m(f) l r (x, λ) d D S G A W(A) A : Doğal sayıların cümlesi : Gerçel sayıların cümlesi : A kümesinin karakerisik fonksiyonu : x in A fuzzy kümesine ailik derecesi : R üzerindeki büün fuzzy kümelerin ailesi : X üzerindeki büün fuzzy kümelerin ailesi : A nın α kesimi : A nın kesin α kesimi : A fuzzy kümesinin dayanağı : A fuzzy kümesinin çekirdeği : R üzerindeki büün fuzzy sayıların ailesi : Fuzzy sayıların oplamaya göre birim : Fuzzy sayıların çarpmaya göre birim elemanı : İsenildiği kadar küçük seçilebilen poziif reel sayı : Büün yakınsak fuzzy sayı dizilerinin ailesi : Büün sınırlı fuzzy sayı dizilerinin ailesi : Sola olan uzaklık : Sağa olan uzaklık : Fuzzy noka : Klasik merik : Bir genelleşirilmiş merik ürü : Bir genelleşirilmiş merik ürü : Negaif olmayan büün fuzzy sayıların ailesi : A fuzzy sayısının büyüklüğü : A fuzzy sayısının uzunluğu : A fuzzy sayısının büyüklüğü xvi

23 SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ (devam ediyor) A A 1 M Ε R d D : A fuzzy sayısının yansıması : A fuzzy sayısının ersi : Kapalı aralıklar ve fuzzy sayılar için oplam sembolü : Kapalı aralıklar ve fuzzy sayılar için çıkarma sembolü : Kapalı aralıklar ve fuzzy sayılar için çarpma sembolü : Kapalı aralıklar ve fuzzy sayılar için bölme sembolü : Sürekli norm : George ve Veeramoni anlamında fuzzy merik : R de bir al aralık : Kramosil ve Michalek anlamında fuzzy merik : Kaleva ve Seikkela anlamında fuzzy merik : Tarapada Bag anlamında fuzzy merik KISALTMALAR N.A : Non-Archimedean Fuzzy Merik Uzay xvii

24 BÖLÜM 1 GİRİŞ 1.1 FUZZY (BULANIK) MANTIĞIN DOĞUŞU "Hamza çok uzun boyludur", "Zeynep güzel bir kızdır", "Galerideki koyu mavi araba çok pahalı bir arabadır" gibi cümleler; göreceli kavramlar içerdiğinden herkese aynı ekiyi bırakmaz, yani herkes için aynı doğruluk değeriyle nielendirilmez. (Unuulmamalıdır ki klasik manık sisemleri kesin doğruluk değerlerini içerir. Yani klasik manık sisemlerinde doğruluk değeri ya 0 dır, ya da 1. Dolayısıyla söz konusu eleman ya kümeye aiir, ya da ai değildir.) Yani Hamza bazıları arafından çok uzun boylu olarak nielendirilebilirken, bazıları arafından ora boylu ve haa kısa olarak bile nielendirilebilir. Benzer şekilde güzellik, çirkinlik ; ucuzluk, pahalılık ; açıklık, koyuluk gibi kavramlar ne bir şekilde anımlanmamış ve hep muğlak ifadeler olarak kalmışır. Faka öe yandan her ne kadar göreceli olsa da, insanların bu ür cümlelere olan ihiyacı kaçınılmazdır. Mulak siyah ve mulak beyazın arasında grinin binlerce onu vardır ve bunlara günlük hayaa illa ki bu onlara da ihiyaç duyulmakadır. Kişiler arasındaki bu ileişim sorununu çözmek; bu arz belirsiz kavramları herkese aynı ekiyi bırakacak şekilde anımlamakan geçiyordu. İşe bu belirsizliği oradan kaldırma çabaları fuzzy manık olarak adlandırılan yeni bir manık siseminin kapılarını açmışır. Peki bu arz kavramlara ek anlam ihiva edecek şekilde nasıl doğruluk verilebilirdi? Bu sorunun yanıı ise, sürekli veya dereceli biçimde bir doğruluk, yani bulanık doğruluk kavramını kullanmaka gizlidir. Yani klasik manık sisemlerindeki gibi doğruluk değeri sadece 0 ya da 1 den ibare değil; 0 ile 1 dahil olmak üzere arasındaki üm değerleri de içermekedir. Bulanık doğruluk kavramının, klasik (sıradan) doğruluk kavramıyla benzerlikleri vardır, faka daha geneldir, ve uygulama alanı daha genişir, belirsizliğin, doğruluk ölçüünün keskin bir şekilde anımlanamamasından kaynaklanan durumlardaki problemlerle uğraşmak için güzel bir olanak sağlar. 1

25 1.2 FUZZY MANTIĞIN TARİHÇESİ Manıksal paradokslar ve Heisenberg in belirsizlik ilkesi, 1920 ler ve 1930 larda çok değerli manık sisemlerinin gelişmesine yol açı. Kuanum eorisyenleri, iki değerli manık sisemlerinin doğru ve yanlış an oluşan değer kümesine, bir üçüncü veya ora doğruluk değeri ekleyerek belirlenemezlik in ifade edilebilmesine imkan sağladılar. Bundan sonraki aşamada, doğru ve yanlış, belirlenemezlik ayfının sınır koşulları olarak görülüp belirlenemezlik derecelendirildi. Heisenberg in belirsizlik ilkesi, belirlenemezlik inin sürekliliğiyle, bilimi çok değerliliğe zorladı. Pek az baılı filozof çok değerliliği benimsemesine rağmen, Lukasiewicz, Gödel, ve Black, ilk çok-değerli ya da bulanık manık ve küme sisemlerini gelişirdiler ların başlarında Polonyalı manıkçı Jan Lukasiewicz ilk üç-değerli manık sisemini gelişirdi. Lukaziewicz, daha sonra doğruluk değerlerinin kümesini üm sayılara genelleşirdi larda kuanum filozofu Max Black, sürekli değerlere sahip manığı, eleman düzeyinde kümelere uyguladı. Black, bulanık-küme üyelik fonksiyonlarından bahseden ilk kişi oldu. Black, ifade emeye çalışığı yapılardaki belirsizliği müphemlik olarak adlandırdı. Zadeh in bulanık-küme eorisinin aksine, Black in çok değerli kümelerindeki her bir eleman, sürekli değerlere sahip bir manık çerçevesinde ele alınan bir cümleyle eş-değerdi. Fuzzy kavramı ilk kez 1965 e, Azerbaycan doğumlu Lofi Askar Zadeh (Lüfü Askerzade) Fuzzy Kümeler (Fuzzy Ses) başlıklı bir makalesinde ele alındı. Berkeley Kaliforniya Üniversiesi nde profesör olan L. Askerzade, bu arihin dör yıl öncesinde, 1961 de, yayımladığı bir makalesinde olasılık dağılımıyla anımlanamayan bulanık ya da belirsiz nicelikler için farklı bir maemaiğe gereksinim olduğunu yazıyordu. Çünkü, Askerzade doğadaki görüngüler ile süreçlerin sonlu değerli manıkla açıklanamayacağını düşünüyordu ların sonlarında Askerzade nin makalesi kesinlik vurgusundan vazgeçmeyen bilimsel çevreler arafından kabul görmemiş, dahası ABD Kongresi nde ABD Ulusal Bilim Vakfı (NSF Naional Science Foundaion) kaynaklarının boşa harcanmasına örnek olarak anılmışı. 70 lerde ise Avrupalı, ve özellikle Japonyalı bilim adamlarının bu konuda aran araşırmaları ile mühendislik uygulamaları nedeniyle fuzzy manık ile fuzzy kümeler kuramı aran hızla gelişi. Günümüzde fuzzy manık oomobillerin vies kuularından bulaşık makinelerine, elekronik devreleri ile yapay zekanın karar verme algorimalarına kadar oldukça kapsamlı 2

26 eknik uygulamalara sahip; dahası Tokyo monorail sisemi fuzzy mero emelli bilgisayar ile mühendislik sisemleriyle işlemeke. Bilgisayar ile enformaik bilimleri, konrol sisemleri, karar-alma algorimaları fuzzy manığın yoğun olarak kullanıldığı alanlar olarak beliriyor. Fuzzy manığın başlıca özellikleri aşağıdaki gibi sıralanabilir: i) doğru, çok doğru, az çok doğru v.b. gibi sözel olarak ifade edilen (linguisik-dilseldeğişkenli)doğruluk derecelerine sahip olması, ii) Geçerliliği kesin değil faka yaklaşık olan çıkarım kurallarına sahip olması, iii) Her kavramın bir derecesi olması, iv) Her manıksal sisemin fuzzy sisemine akarılabilmesi, v) Fuzzy manıka bilginin, fuzzy kısılara ai değişkenlerin esnekliği veya denkliğiyle yorumlanması. 1.3 FUZZY MANTIĞIN AVANTAJ VE DEZAVANTAJLARI Fuzzy manıkan yola çıkılarak kullanılan fuzzy deneleyicilerle ilgili başlıca üsünlükler, zayıf nokalar ve eleşiriler aşağıda açıklanmışır Avanajlar Günlük hayaa olduğu gibi belirsiz, zamanla değişen, karmaşık, iyi anımlanmamış sisemlerin deneimine basi çözümler geirir. Sisem basi bir maemaiksel modelle anımlanabilen bir sisemse o zaman geleneksel bir deneim yeerli olacakır. Ama karmaşık bir siseme geleneksel bir manık uygulamak hem çok zor hem de yüksek maliyelidir. Buna karşılık fuzzy manık deneimi geleneksel manığa göre sisemi daha iyi analiz edebileceği gibi aynı zamanda da ekonomikir. 3

27 Fuzzy manıka işarelerin bir ön işleme abi uulmaları ve oldukça geniş bir alana yayılan değerlerin az sayıda üyelik fonksiyonlarına indirgenmeleri nedeni ile fuzzy deneim genellikle daha küçük bir yazılımla daha hızlı bir şekilde sonuçlanır. Söz edilen az sayıda değerler üzerinde uygulanacak kural sayısı da az olduğundan sonuca ulaşmak daha da çabuklaşacakır. Bu durum geleneksel bilgisayar oramında böyledir.özel gelişirilmiş bir donanımla sonuca daha da hızlı ulaşmak olasıdır. Örneğin Sanyo-Fisher firması mühendisleri, video kayı cihazında kullanmayı düşündükleri mikro bilgisayarın yeersiz kalmasından dolayı, fuzzy deneim kullanmaya karar vermişlerdir. Fuzzy deneim yazılım boyularının daha küçük olmasını sağladığından, dış bellek kullanımına gerek kalmamışır. Fuzzy manık deneiminin sağladığı bir diğer avanaj ise doğrudan kullanıcı girişlerine ve kullanıcının deneyimlerinden yararlanabilmesine olanak sağlamasıdır. Bilindiği gibi oomaik vies değişimi moorun belli hızlara ulaşması sonucunda oomaik olarak gerçekleşir. Buna karşılık manuel viesli bir arabada ise sürücü, yol, yük ve kendi araba kullanış arzına göre belli durumlarda vies değişirir. Subaru arafından üreilen jusy ipi oomobilde kullanılan akarım organının değişirilmesi, bir kayışın konumunun fuzzy manık kullanılarak değişirilmesi ile sağlanır. Böylece arabanın ivmesi ve performansı sürekli olarak ayarlanır hale gelir. Subaru, bu oomobilde kullandığı fuzzy manık üyelik fonksiyonlarını, oomobili es şoförlerine kullandırarak ve onlardan ivme ve performans açısından en iyi akarım oranını öğrenerek ayarlamışır. Bu konuda Honda ve Nissan da benzer çalışmalar yapmışlardır Dezavanajlar Fuzzy deneimde kullanılan kurallar deneyime çok bağlıdır. Üyelik fonksiyonlarının seçiminde belirli bir yönem yokur.en uygun fonksiyon deneme ile bulunur. Bu da oldukça uzun bir zaman alabilir. Denelenen sisemin bir kararlılık analizi yapılamaz ve sisemin nasıl cevap vereceği önceden kesirilemez. Yapılacak ek şey benzeim çalışmasıdır. 4

28 1.4 FUZZY MANTIĞIN UYGULAMA ALANLARI Fuzzy manık uygulamaları ilk olarak çimeno seköründe kullanılmaya başlanmışır. Bu sekörde kireç aşı ve kil derece sıcaklıka reaksiyona girmekedir. Fırın içindeki sıcaklık ve oksijen oranı çimenonun kaliesini doğrudan ekilemekedir. Sadece bu konuda uzman operaörler isenilen limiler dahilinde ürün elde edebilmekedirler. Ama vardiyalı bir sisemle çalışan bu fabrikada çok sayıda operaör vardır ve her operaörün uzmanlıklarının farklı olması nedeniyle farklı nieliklerde ve verimlilike ürün elde edilmekedir. İsenilen kaliede ürün sadece bu işe yıllardır çalışan uzmanlar arafından sağlanabilmekedir. Zira çimeno üreimi fuzzy bir yapıya sahipir ve süreç konrolünü fuzzy kurallar sağlamakadır. Örneğin ısıyı 10 derece yüksel veya 5 derece azal gibi kesin kurallar değil biraz azal, biraz yüksel gibi bulanık erimlerle ifade edilen kurallarla konrol edilmekedir. Bir Danimarka firması bu sürecin konrolü için uzman operaörlerin kullandığı praik kuraldan harekele bir mikro konrolör oluşurmuşlar ve sonuç olarak sabi ürün kaliesi ve yakıa büyük asarruf elde emişlerdir. Daha sonraları fuzzy manık; Mühendislik, Tıp, Sosyoloji, Psikoloji, İşleme, Ulaşırma, Yapay Zeka, Kavşak Sinyalizasyonu gibi alanlarda yaygın olarak kullanılmaya başlandı. Günümüzde Fuzzy Manık hemen hemen her alanda kendine kolaylıkla uygulama alanı bulabilmekedir. Aşağıdaki çizelgede Fuzzy Manığı kullanan ürünler ve fuzzy manığın üründeki işlevi belirilmişir. Çizelge 1.1 Fuzzy manığın bazı ürünlerdeki işlevi ÜRÜN FUZZY MANTIĞIN İŞLEVİ Yolcu rafiğini değerlendirir. Asansör Deneimi Yolcu rafiğini değerlendirir. SLR Fooğraf Makinesi Ekranda birkaç obje olması durumunda en iyi fokusu ve aydınlamayı belirler Video Kayı Cihazı Cihazın elle uulması nedeniyle çekim sırasında oluşan sarsınıları oradan kaldırır. 5

29 Çizelge 1.1 (devam ediyor) Çamaşır Makinesi Çamaşırın kirliliğini, ağırlığını, kumaş cinsini sezer, ona göre yıkama programını seçer. Elekrik Süpürgesi Yerin durumun ve kirliliğini sezer ve moor gücünü uygun ayarlar. Su Isııcısı Isımayı kullanılan suyun mikar ve sıcaklığına göre ayarlar. Klima Oram koşullarını değerlendirerek en iyi çalışma durumunu algılar, odaya birisi girerse soğumayı arırır. ABS Fren Sisemi Tekerleklerin kililenmeden frenlenmesini sağlar. El Bilgisayarı El yazısı ile veri ve komu girişine olanak anır. Sendai Mero Sisemi Hızlanma ve yavaşlamayı ayarlayarak raha bir yolculuk sağlanmasının yanı sıra durma konumunu iyi ayarlar, güçen asarruf sağlar. Televizyon Ekran konrasını,parlaklığını ve rengini ayarlar 6

30 BÖLÜM 2 TEMEL TANIM VE TOREMLER 2.1 FUZZY KÜME KAVRAMI VE İLGİLİ TANIM VE TEOREMLER Tanım (Karakerisik Fonksiyon) X herhangi bir küme olmak üzere A X olsun. 1, x A ise χ A (x) = { 0, x A ise (2.1) şeklinde anımlı χ A (x): X {0,1} fonksiyonuna A kümesinin karakerisik fonksiyonu denir Tanım (Fuzzy Küme) X herhangi bir küme, A X ve I = [0,1] R olsun. Bu durumda μ A : X [0,1] fonksiyonu arafından karakerize edilen A = {(x, μ A (x)) x X} X I (2.2) kümesine X de bir fuzzy küme denir. Burada μ A ya A fuzzy kümesinin üyelik fonksiyonu ve Her x X için μ A (x) I değerine de x in A ya ai olma derecesi denir (Zadeh,1965). R üzerindeki üm fuzzy kümelerin ailesi F(R) ile göserilecekir. Klasik küme eorisinde A bir küme olmak üzere; A nın üyelik (karakerisik) fonksiyonu μ A (x), x A iken 1 ve x A iken 0 olmak üzere iki değer almakadır. Üyelik fonksiyonu sadece 0 ve 1 değerini alan bu kümelere adi veya basi küme denir. Özel olarak; X Fuzzy kümesi; μ X (x) = 1 olmak üzere X = {(x, 1) x X}, Fuzzy kümesi; μ (x) = 0 olmak üzere = {(x, 0) x X} şeklinde göserilir. 7

31 1 μ A (x) x Şekil 2.1 Klasik bir A kümesi μ A (x) 1 x Şekil 2.2 R de bir A fuzzy kümesi Örnek Üyelik fonksiyonu μ A : R [0,1] olan ve 0, x 1 1 μ A (x) = { (x 1), 3 1, 4 x 1 x 4 şeklinde anımlanan A = {(x, μ A (x)) x R} kümesi bir fuzzy kümedir. 8

32 μ A (x) x Şekil 2.3 A fuzzy kümesi Tanım (Sabi Fuzzy Küme) Her x X için üyelik derecesi μ A (x) = α [0,1] olan kümelere sabi fuzzy küme denir (Zadeh 1965) Örnek X = N ve μ A (x) = 0.7 olsun. A = {(x, 0.7) x N} fuzzy kümesi açıkça sabi bir fuzzy kümedir (Zadeh 1965) Tanım (Eşi Fuzzy Kümeler) X boşan farklı herhangi bir küme, A ve B; X kümesinde iki fuzzy küme olsun. Her x X için μ A (x) = μ B (x) ise A ve B ye eşi fuzzy kümeler denir (Zadeh 1965) Örnek X = {0,1} olmak üzere A ve B fuzzy kümelerinin üyelik fonksiyonları sırasıyla μ A (x) = x ve μ B (x) = x 2 olsun. Bu durumda A ve B eşi fuzzy kümelerdir. Gerçeken; her x X için μ A (x) = μ B (x) dir. Yani A = {(0,0), (1,1)}, B = {(0,0), (1,1)} dır. Dolayısıyla A ve B eşi fuzzy kümelerdir Tanım Kümeler eorisinde kullanılan kapsama, birleşim ve kesişim sembolleri yerine fuzzy kümelerde,, sembolleri kullanılır. X herhangi bir küme ve A, B, C fuzzy kümeler olsun. 9

33 i) Her x X için μ A (x) μ B (x) ise B fuzzy kümesi, A fuzzy kümesini kapsıyor denir ve A B ile göserilir. ii) A B {(x, μ A B (x)): Her x X için μ A B (x): = max{μ A (x), μ B (x)}} şeklinde anımlanan kümeye A ve B fuzzy kümelerinin birleşimi denir ve A B ile göserilir. iii) A B {(x, μ A B (x)): Her x X için μ A B (x): = min{μ A (x), μ B (x)}} şeklinde anımlanan kümeye A ve B fuzzy kümelerinin kesişimi denir ve A B ile göserilir. iv) A {(x, μ A (x)) : Her x X için μ A (x) 1 μ A (x)} şeklinde anımlanan A fuzzy kümesine A nın ümleyeni denir. v) X eki fuzzy kümelerinin bir ailesi {A i i N} olsun. Bu durumda i N A i ve i N A i fuzzy kümeleri sırasıyla C = A i i N {(x, μ C (x)): Her x X için μ C (x): = max i N {μ Ai (x)}} D = A i i N {(x, μ D (x)): Her x X için μ D (x): = min i N {μ Ai (x)}} şeklinde anımlıdır. vi) A B {(x, μ A B (x)) : Her x X için μ A B (x) min{μ A (x), μ B (x)}} şeklinde anımlanan kümeye A, B fuzzy kümelerinin farkı denir (Chang 1968) No Yukarıdaki anımları somu hale geirmek için aşağıda şekilli örneklere yer verilmişir. μ 1 B 0.5 A x Şekil 2.4 A nın B yi kapsaması 10

34 μ 1 C 0.5 D x Şekil 2.7 C ve D fuzzy kümeleri (Şekil da kullanılacak) μ μ Şekil 2.6 C ve D fuzzy kümelerinin birleşimi x Şekil 2.5 C ve D fuzzy kümelerinin kesişimi x μ μ 1 1 x x Şekil 2.9 C ve D fuzzy kümelerinin birleşimi Şekil 2.8 C ve D fuzzy kümelerinin kesişimi 11

35 Örnek X = {a, b} ve A = {(a, 0.1), (b, 0.5)}, B = {(a, 0.2), (b, 0.7)} şeklinde anımlı iki fuzzy küme olmak üzere; A B, A B, A, A B fuzzy kümeleri aşağıdaki şekilde belirlenir. i) Her x X için μ A (x) μ B (x) olduğundan B, A fuzzy kümesini kapsar. Yani A B dir. ii) A B =: C olsun. Her x X için max {μ A (x), μ B (x)} = μ C (x) dır. Dolayısıyla μ C (a) = 0.1, μ C (b) = 0 olacağından A B = {(a, 0.2), (b, 0.7)} olur. iii) A B =: D olsun. Bu durumda μ D (a) = 0.1, μ D (b) = 0.5 olur. Böylece A B = {(a, 0.1), (b, 0.5)} olacakır. iv) A fuzzy kümesinin üyelik derecesi μ A (x) = 1 μ A (x) olduğundan μ A (a) = 0.9, μ A (b) = 0.5 A = {(a, 0.9), (b, 0.5)} bulunur. v) A B = A B şeklinde anımlı olduğundan A B fuzzy kümesinin üyelik derecesi μ A B = min{μ A (x), μ B (x)} yazılır. Böylece μ A B (a) = 0.1 ve μ A B (b) = 0.3 olduğundan A B = {(a, 0.1), (b, 0.3)} bulunur Teorem X bir küme ve A, B X iki fuzzy küme olsun. Bu durumda aşağıdaki özellikler geçerlidir (Chang 1968): 12

36 i) (A ) = A. (2.3) ii) A B B A. iii) (A B) = A B, (A B) = A B. (2.4) iv) ( i I A i ) = i I A i. (2.5) v) i I A i = i I A i İspa: (2.6) A fuzzy kümesinin üyelik fonksiyonu μ A, B fuzzy kümesinin üyelik fonksiyonu μ B olmak üzere; i) μ A (x) = 1 μ A (x) ve μ (A ) (x) = 1 (1 μ A(x)) = μ A (x) olduğundan (A ) = A dir. ii) μ A (x) = 1 μ A (x) ve μ B (x) = 1 μ B (x) dir. Dolayısıyla A B μ A (x) μ B (x) 1 μ A (x) 1 μ B (x) 1 μ B (x) 1 μ A (x) μ B (x) μ A (x) B A elde edilir. iii) (A B) = A B eşiliğini gösermek için; her x X olmak üzere μ (A B) (x) = μ A B (x) eşiliği göserilmelidir. μ A, μ B : X [0,1], A B fuzzy kümesinin üyelik fonksiyonu; min{1 μ A, 1 μ B }, A B fuzzy kümesinin üyelik fonksiyonu; max{μ A, μ B }, (A B) fuzzy kümesinin üyelik fonksiyonu da; 1 max{μ A, μ B } dır. 1 max{μ A, μ B } = min{1 μ A, 1 μ B } eşiliği göz önüne alınırsa; (A B) fuzzy kümesinin üyelik fonksiyonu; min{1 μ A, 1 μ B } olur. Dolayısıyla 13

37 her x X için μ (A B) (x) = μ A B (x), yani (A B) = A B dir. Benzer şekilde; A B fuzzy kümesinin üyelik fonksiyonu; max{1 μ A, 1 μ B }, (A B) fuzzy kümesinin üyelik fonksiyonu; 1 min{μ A, μ B } dır. Burada 1 min{μ A, μ B } = max{1 μ A, 1 μ B } eşiliği göz önüne alınırsa; (A B) fuzzy kümesinin üyelik fonksiyonu; max{1 μ A, 1 μ B } olur. Dolayısıyla her x X için μ (A B) (x) = μ A B (x) dir. iv) ( i I A i ) = max{μ Ai (x)} ve ( i I A i) = 1 max{μ Ai (x)} olduğundan ( i I A i) = min{1 μ Ai (x)} dir. Tümleyen alma özelliğinden ( i I A i) = min{μ A i (x)} = i I A i olur. v) i I A i = min{μ Ai (x)} ve ( i I A i ) = 1 min{μ Ai (x)} olduğundan ( i I A i ) = max{1 μ Ai (x)} = max{μ A i (x)} = i I A i bulunur Uyarı Fuzzy kümelerde birleşim, kesişim ve ümleyen işlemleri aşağıdaki özeliklere sahipir. Çizelge 2.1 Fuzzy kümelerde bazı özellikler Tek kuvve özelliği A A = A A A = A Değişme özelliği A B = B A A B = B A 14

38 Çizelge 2.1 (devam ediyor) Yuma özelliği A (A B) = A A (A B) = A Özdeşlik özelliği A X = A A = A Dağılma özelliği B ( T A ) = T (A B) B ( T A ) = T (A B) A X = X A = Birleşme özelliği A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C De Morgan kuralı özelliği ( T A ) = T A ( T A ) = T A Teorem A ve B, X kümesinde herhangi iki fuzzy küme olsun. i) A B fuzzy kümesi A ve B yi içeren en küçük fuzzy kümedir. ii) A B fuzzy kümesi A ve B arafından içerilen en büyük fuzzy kümedir. Kanı. i) A, B fuzzy kümelerinin üyelik fonksiyonları sırasıyla μ A ve μ B olsun. Her x X için μ A B (x) = max{μ A (x), μ B (x)} olduğundan A A B ve B A B dır. Öe yandan A ve B yi içeren herhangi bir fuzzy kümesi D olsun. Yani A D ve B D olsun. O halde her x X için μ A (x) μ D (x) ve μ B (x) μ D (x) dır. Dolayısıyla her x X için max{μ A (x), μ B (x)} μ D (x) μ A B (x) μ D (x) dır. Yani A B D 15

39 dir. Dolayısıyla A B fuzzy kümesi; A ve B yi içeren herhangi bir D fuzzy kümesi arafından içerildiğinden, A ve B yi içeren en küçük fuzzy küme A B dir. ii) A, B fuzzy kümelerinin üyelik fonksiyonları sırasıyla μ A ve μ B ; ve her x X için μ A B (x) = min{μ A (x), μ B (x)} olduğundan A B A, A B B dır. Öe yandan A ve B arafından içerilen herhangi bir fuzzy küme D olsun. Yani D A ve D B olsun. O halde her x X için μ D (x) μ A (x) ve μ D (x) μ B (x) dır. Dolayısıyla her x X için μ D (x) min{μ A (x), μ B (x)} μ D (x) μ A B (x) dır. Yani D A B dir. Dolayısıyla A B fuzzy kümesi; A ve B arafından içerilen herhangi bir D fuzzy kümesini içerdiğinden, A ve B arafından içerilen en büyük fuzzy küme A B dir Uyarı X herhangi bir küme ve A bir fuzzy küme olsun. Bu durumda i) A A = olmak zorunda değildir. ii) A A = X olmak zorunda değildir. Dolayısıyla klasik kümelerden farklı olarak; μ A A (x) = μ X (x) ve μ A A (x) = μ (x) eşilikleri geçerli olmak zorunda değildir. Aşağıda bu duruma aksi bir örnek verilmişir Örnek X = {a, b}, A = {(a, 0.2), (b, 0.9)} olsun. A A = ve A A = X olup olmadığını araşırınız. 16

40 Çözüm. A = {(a, 0.8), (b, 0.1)} dır. μ A A (x) = min{μ A (x), μ A (x)} şeklinde anımlandığından A A = {(a, 0.2), (b, 0.1)} bulunur. Ayrıca μ A A (x) = max {μ A (x), μ A (x)} olduğundan A A = {(a, 0.8), (b, 0.9)} X bulunur Tanım (Fuzzy Kümenin Kuvvei) A = {(x, μ A (x)): x X} fuzzy kümesinin n. Kuvvei A n = {(x, (μ A (x)) n ): x X} (2.7) şeklinde anımlanır Örnek A = {(3,0.7), (5,0.8), (6,0.9), (7,1)}fuzzy küme olsun. A fuzzy kümesi için A 2, A 3, A n A 2 = {(3,0.49), (5,0.64), (6,0.81), (7,1)} A 3 = {(3,0.343), (5,0.512), (6,0.729), (7,1)} A n = {(3, (0.7) n ), (5, (0.8) n ), (6, (0.9) n ), (7,1)} olarak elde edilir Tanım (α kesim, Kesin α kesim) A bir fuzzy küme ve α ]0,1] olsun. A fuzzy kümesinin α kesimi ve kesin α kesimi sırasıyla A α ve A α ile göserilir ve A α = {x X: μ A (x) α} ve A α = {x X: μ A (x) > α } (2.8) şeklinde anımlanır. 17

41 μ A (x) A α α a 1 (α ) a 1 (α) a 2 (α) a 2 (α ) x A α A α Tanım (Normallik) A X bir fuzzy küme olsun. Eğer en az bir x 0 X için μ A (x 0 ) = 1 ise A fuzzy kümesine normaldir denir Örnek Şekil 2.10 A kümesinin α ve α kesimleri X = [ 5, 15 ], A X bir fuzzy küme ve A nın üyelik fonksiyonu 2 2 μ A (x) = { 2x 5 5 2x+15 5, x [ 5 2, 5[, x [5, 15 2 ] (2.9) olarak verilsin. μ A (5) = 1 olduğundan A fuzzy kümesi normaldir Tanım (Dayanak) A bir fuzzy küme olsun. A nın dayanağı üyelik derecesi sıfır olmayan büün nokaların kümesidir. Yani day(a) = {x X: μ A (x) > 0} (2.10) şeklinde anımlanır. 18

42 Örnek X = R, A R bir fuzzy küme ve A nın üyelik fonksiyonu x 2 μ A (x) = {, x 0 x , x = 0 (2.11) olarak verilsin. Bu durumda day(a) = R {0} dır Tanım (Boy) A bir fuzzy küme olsun. A nın boyu h(a) = sup μ A (x) (2.12) x X biçiminde anımlanır ve h(a) ile göserilir Örnek X = Z, A Z bir fuzzy küme ve A nın üyelik fonksiyonu μ A (x) = 1 x 4 (2.13) olarak verilsin. μ A (1) = μ A ( 1) = 1 ve her x Z { 1,1} için μ A (x) < 1 olduğundan h(a) = sup μ A (x) = 1 x X dir. Dolayısıyla A nın boyu 1 dir Tanım (Çekirdek) A bir fuzzy küme olsun. μ A (x) = 1 koşulunu sağlayan üm x X lerin oluşurduğu kümeye, A nın çekirdeği denir. Core(A) ile göserilir ve Core(A) = {x X: μ A (x) = 1} (2.14) şeklinde anımlanır. 19

43 Örnek X = Z, A Z bir fuzzy küme ve A nın üyelik fonksiyonu μ A (x) = 1 x 8 (2.15) olarak verilsin. A fuzzy kümesinin çekirdeği Core(A) = { 1,1} dir Tanım (Konvekslik) Her λ [0,1] ve her x 1, x 2 X için üyelik derecesi μ A (λx 1 + (1 λ)x 2 ) min{μ A (x 1 ), μ A (x 2 )} (2.16) eşisizliğini sağlayan A fuzzy kümesine konveksir denir. μ A μ A (λx 1 + (1 λ)x 2 ) μ A (x 2 ) μ A (x 1 ) x 1 x 2 x Şekil 2.11 Konveks fuzzy küme 20

44 μ A μ A (x 2 ) μ A (x 0 ) μ A (x 1 ) x 1 x 0 x 2 x Şekil 2.12 Konveks olmayan fuzzy küme Sonuç A X fuzzy kümesinin konveks olması için gerek ve yeer koşul her α ]0,1] için A α = {x X: μ A (x) α} kümesinin klasik anlamda konveks olmasıdır. Kanı: : A fuzzy kümesi konveks olsun. Yani, her λ [0,1] için ve her x 1, x 2 X için μ A (λx 1 + (1 λ)x 2 ) min{μ A (x 1 ), μ A (x 2 )} olsun. x 1, x 2 A α ve α = μ A (x 1 ) olarak seçilsin. O zaman her x 2 X için μ A (x 2 ) μ A (x 1 ) = α olur. λx 1 + (1 λ)x 2 X olduğundan her 0 λ 1 için μ A (λx 1 + (1 λ)x 2 ) min{μ A (x 1 ), μ A (x 2 )} = μ A (x 1 ) = α dır. Yani μ A (λx 1 + (1 λ)x 2 ) α eşisizliği elde edilir. Dolayısıyla λx 1 + (1 λ)x 2 A α olur. Yani A α klasik anlamda konveksir. 21

45 : A α kümesi klasik anlamda konveks olsun. A α nın anımına göre μ A (x 2 ) μ A (x 1 ) = α şarını sağlayacak şekilde x 1, x 2 X elemanları seçilsin. μ A (x 2 ) α olduğundan A α nın anımı gereğince x 1, x 2 A α dır. A α klasik anlamda konveks olduğundan her λ [0,1] için λx 1 + (1 λ)x 2 A α, yani μ A (λx 1 + (1 λ)x 2 ) α elde edilir. Dolayısıyla μ A (λx 1 + (1 λ)x 2 ) α = min{μ A (x 1 ), μ A (x 2 )} eşisizliğine ulaşılır. Yani A fuzzy kümesi konveks olur Teorem A ve B fuzzy kümeleri konveks ise A B fuzzy kümesi de konveksir. İspa C = A B olsun. Bu akdirde μ C (λx 1 + (1 λ)x 2 ) = min{μ A (λx 1 + (1 λ)x 2 ), μ B (λx 1 + (1 λ)x 2 )} olur. Şimdi de A ve B nin konveksliğinden, μ A (λx 1 + (1 λ)x 2 ) min{μ A (x 1 ), μ A (x 2 )} ve μ B (λx 1 + (1 λ)x 2 ) min{μ B (x 1 ), μ B (x 2 )} eşisizlikleri geçerlidir. Böylece μ C (λx 1 + (1 λ)x 2 ) min{min{μ A (x 1 ), μ A (x 2 )}, min{μ B (x 1 ), μ B (x 2 )}} min{min{μ A (x 1 ), μ B (x 1 )}, min{μ A (x 2 ), μ B (x 2 )}} min{μ A B (x 1 ), μ A B (x 2 )} min{μ C (x 1 ), μ C (x 2 )} 22

46 yazılabilir. Bu ise μ C (λx 1 + (1 λ)x 2 ) min{μ C (x 1 ), μ C (x 2 )} eşisizliğini verir. Bu ise ispaı amamlar. 2.2 FUZZY SAYI KAVRAMI VE İLGİLİ TANIM VE TEOREMLER Fuzzy Sayı ve Çeşileri Tanım (Fuzzy sayı) μ A : R [0,1] üyelik fonksiyonu ile belirli R nin bir A fuzzy al kümesi aşağıdaki özellikleri sağlarsa A ya bir fuzzy sayı denir: i) A normaldir: Yani μ A (x 0 ) = 1 olacak şekilde en az bir x 0 R mevcuur. ii) A fuzzy konveksir: Yani her x, y R ve 0 λ 1 için μ A (λx + (1 λ)y) min{μ A (x), μ A (y)} dir. iii) μ A üs-yarı süreklidir: Yani her [0,1] için {x: μ A (x) < } kümesi açık olmalıdır. Şekil 2.13 Üs-yarı sürekli Şekil 2.14 Üs-yarı sürekli değil Şekil 2.15 Üs-yarı sürekli vi) A 0 = {x R: μ A (x) > 0} kümesinin kapanışı kompak kümedir. Şekil 2.17 Kompak Şekil 2.16 Kompak değil 23

47 Bundan sonraki bölümlerde üm fuzzy sayıların kümesi L(R) ile göserilecekir. μ A (x) 1 a 1 a 2 a 3 x Şekil 2.18 Bir A = [a 1, a 2, a 3 ] fuzzy sayısı Önerme 0 α 1 olan her α için bir A fuzzy sayısının α kesimi [a 1 α, a 2 α ] şeklinde kapalı bir aralıkır (Diamond and Kloeden1994). Kanı. A, bir fuzzy sayı olsun. Konveks bir fuzzy sayının α kesimi de konveksir. Yani bir aralıkır. Ayrıca A normal olduğundan μ A ( 0 ) = 1 olacak şekilde bir 0 R vardır. μ A üs yarı-sürekli olduğundan μ A (s) = a olmak üzere her R ve ε > 0 için s < c = c() iken μ A () < a + ε olacak şekilde bir c > 0 vardır. α [0,1] olmak üzere, s A α ve ε α μ A(s) 2 c > 0 olmak üzere; olsun. Böylece s R A α ifadesi doğrudur. c < s < c olması için gerekli ve yeerli koşul s c < < c s olmasıdır. Açıkça bu eşisizlik s + c > > s c şeklinde de yazılabilir. μ A (s) < α ve A üs yarı sürekli olduğundan μ A () < μ A (s) + α μ A(s) 2 < α eşisizliği elde edilir. Yani μ A () < α dır. Dolayısıyla, A α aralığının elemanı değildir. O halde R A α olur ve (s c, s + c) A α = eşiliği elde edilir. Böylece (s c, s + c) R A α olup R A α açıkır. Dolayısıyla A α kapalıdır. 24

48 No i) Bir fuzzy kümenin konvekslik şarı aşağıdaki şekilde de verilebilir. A fuzzy sayısının α kesim kümesi A α = [a α 1, a α 3 ] aşağıdaki şarı sağlıyorsa ve A fuzzy kümesinin üyelik fonksiyonu sürekli ise A fuzzy kümesi konveksir denir. α < α A α A α yani α α < α a 1 a α α 1, a α 3 a 3 dır. ii) Bir fuzzy sayının her α kesimine karşılık gelen aralıklar, ayrık aralıkların birleşimi olarak değil yalnız bir aralık olarak ifade edilebiliyorsa o fuzzy sayı fuzzy konveks olur. Örnek x 2, x [2,3] ise μ A (x) = { x + 4, x [3,5] ise 0, diğer durumlarda (2.17) şeklinde anımlanan μ A : R [0,1] fonksiyonu ile karakerilize edilen A bir fuzzy sayıdır ve grafiği aşağıdaki gibidir. μ A (x) 1 A x Şekil 2.19 A fuzzy sayısı 25

49 No α ]0,1] için herhangi bir fuzzy sayının α kesimi kapalı bir aralık olduğu için her fuzzy sayı bir konveks fuzzy kümedir. Faka bazı konveks fuzzy kümelerin α kesimi açık ya da yarıaçık bir aralık olabileceği için ersi doğru değildir Tanım (Üçgensel Fuzzy Sayı) Üyelik fonksiyonu aşağıdaki gibi anımlanan A fuzzy sayısına üçgensel fuzzy sayı denir ve A = (a 1, a 2, a 3 ) üçlüsü ile göserilir. (2.18) 0, x < a 1 veya x > a 3 μ A (x) = { x a 1, a a 2 a 1 x a 2 1 a 3 x, a a 3 a 2 < x a 3 2 μ A (x) A a 1 a 2 a 3 x Şekil 2.20 A üçgensel fuzzy sayısı Uyarı Her α [0,1] için A fuzzy sayısına α kesimi, a α 1 a 1 = α, a 3 α a 3 = α a 2 a 1 a 3 a 2 eşiliklerinden a 1 α = (a 2 a 1 )α + a 1 a 3 α = (a 3 a 2 )α + a 3 elde edilir. Buradan A α aralığı 26

50 A α = [a α 1, a α 3 ] = [(a 2 a 1 )α + a 1, (a 3 a 2 )α + a 3 ] olur. Örnek A = ( 5, 1,1) üçgensel fuzzy sayısı için üyelik fonksiyonu μ A (x) = { 0, x < 5 veya x > 1 x x 2, 5 x 1, 1 < x 1 (2.19) dir. A fuzzy sayısının α kesim aralığı x x 2 = α x = 4α 5 = α x = 2α + 1 A α = [a 1 α, a 3 α ] = [4α 5, 2α + 1] olarak bulunur. Örneğin α = 0.5 için, A 0.5 = [a 1 0.5, a ] = [ 3,0] aralığı elde edilir Tanım (Yamuk Fuzzy Sayılar) Üyelik fonksiyonu μ A (x) = { 0, x < a 1 veya x > a 4 x a 1, a 2 a 1 a 1 x < a 2 1, a 2 x a 3 a 4 x, a a 4 a 3 < x a 4 3 (2.20) şeklinde anımlı A fuzzy sayısına yamuk fuzzy sayısı denir ve A = (a 1, a 2, a 3, a 4 ) şeklinde göserilir. 27

51 μ A (x) 1 A a 1 a 2 a 3 a 4 x Şekil 2.21 Yamuk A Fuzzy Sayısı Uyarı Yamuk A fuzzy sayıları için α kesim aralığı aşağıdaki şekilde elde edilir. Her α [0,1] için A α = [(a 2 a 1 )α + a 1, (a 4 a 3 )α + a 4 ] (2.21) olur. Eğer a 2 = a 3 olursa, yamuk fuzzy sayısı, bir üçgensel fuzzy sayı belirir Fuzzy Sayılarda Arimeik İşlemler Fuzzy sayılardaki arimeik işlemler, aralıklardaki arimeik işlemler genelleşirilerek elde edilir. Bu yüzden öncelikle aralıklardaki arimeik işlemler haırlaılacakır Klasik Anlamdaki Aralıklarda Arimeik İşlemler Herhangi bir A = [a 1, a 2 ] için uzunluk, büyüklük, yansıma ve ers kavramları aşağıdaki şekilde anımlanır. Uzunluk ( W(A) ) : W(A): = W[a 1, a 2 ] = a 2 a 1 Büyüklük ( A ) : A : = [a 1, a 2 ] = max( a 1, a 2 ) = { a 1, a 1 a 2 a 2, a 1 a 2 Yansıma (A ) : A : = [ a 2, a 1 ] Ters (A 1 ) : A 1 : = [a 1, a 2 ] 1 = [min ( 1 a 1, 1 a 2 ), max ( 1 a 1, 1 a 2 )],(a 1 0, a 2 0) Örnek [3,7] aralığı için; Uzunluk: W(A) = W[3,7] = 7 3 = 4 28

52 Büyüklük : A = [3,7] = max( 3, 7 ) = 7 Yansıma : A = [ 7, 3] Ters : A 1 = [3,7] 1 = [ 1, 1 ] 7 3 a 1, a 2, b 1, b 2 R olmak üzere A = [a 1, a 2 ], B = [b 1, b 2 ] aralıkları için aşağıdaki işlemler anımlanabilir. Toplama: a [a 1, a 2 ] ve b [b 1, b 2 ] olsun. O halde a + b [a 1 + b 1, a 2 + b 2 ] dır. Çünkü a [a 1, a 2 ] ve b [b 1, b 2 ] ise a 1 a a 2 ve b 1 b b 2 dir. Dolayısıyla a 1 + b 1 a + b a 2 + b 2 dır. Sembolik olarak A B: = [a 1, a 2 ] [b 1, b 2 ]: = [a 1 + b 1, a 2 + b 2 ] (2.22) şeklinde göserilir. Çıkarma: a [a 1, a 2 ] ve b [b 1, b 2 ] olsun. Dolayısıyla a b [a 1 b 2, a 2 b 1 ] dır. O halde sembolik olarak A B: = [a 1, a 2 ] [b 1, b 2 ]: = [a 1 b 2, a 2 b 1 ] (2.23) şeklinde göserilir. Çarpma: a [a 1, a 2 ] ve b [b 1, b 2 ] olsun. Dolayısıyla ab [min(a 1 b 1, a 2 b 2, a 1 b 2, a 2 b 1 ), max(a 1 b 1, a 2 b 2, a 1 b 2, a 2 b 1 )] dır. O halde sembolik olarak A B: = [a 1, a 2 ] [b 1, b 2 ]: = [min(a 1 b 1, a 2 b 2, a 1 b 2, a 2 b 1 ), max(a 1 b 1, a 2 b 2, a 1 b 2, a 2 b 1 )] (2.24) şeklinde göserilir. 29

53 Bölme: a [a 1, a 2 ] ve b [b 1, b 2 ] olsun. Çarpma özelliğinden yararlanarak; b 1 0, b 2 0 olmak üzere A B : = A B 1 : = [a 1, a 2 ] [b 1, b 2 ]: = [a 1, a 2 ] [min ( 1 b 1, 1 b 2 ), max ( 1 b 1, 1 b 2 )] (2.25) göserimi kullanılır. Minumum: A B: = [a 1, a 2 ] [b 1, b 2 ]: = [min(a 1, b 1 ), min(a 2, b 2 )] Maksimum: A B: = [a 1, a 2 ] [b 1, b 2 ]: = [max(a 1, b 1 ), max(a 2, b 2 )] Sabi ile Çarpma: k R ise k A: = k [a 1, a 2 ]: = [ka 1, ka 2 ] No Eğer A ve B aralıkları poziif gerçel sayılarda anımlı ise yukarıdaki eşilikler basileşirilerek; Çarpma: A B: = [a 1, a 2 ] [b 1, b 2 ]: = [a 1 b 1, a 2 b 2 ] (2.26) Ters: A 1 : = [a 1, a 2 ] 1 : = [ 1 a 2, 1 a 1 ] (2.27) Bölme: A B =: [a 1, a 2 ] [b 1, b 2 ]: = [ a 1 b 2, a 2 b 1 ] (2.28) olarak anımlanabilir. No Sırasıyla 0 = [0,0] ve 1 = [1,1] aralıkları; aralıklar üzerindeki oplama ve çarpma işlemleri için ekisiz (birim) elemanlardır. Yani A 0 = 0 A = A 30

54 A 1 = 1 A = A dır. Örnek A = [4,8], B = [ 2,3] olsun. O halde; i) A B = [4 2,8 + 3] = [2,11] ii) A B = [4 3,8 ( 2)] = [1,10] iii) A B = [4,8] [ 2,3] = [min(4. ( 2), 8.3,4.3,8. ( 2)), max(4. ( 2), 8.3,4.3,8. ( 2))] = [min( 8,24,12, 16), max( 8,24,12, 16)] = [ 16,24] iv) A B = [4,8] [ 1 2, 1 3 ] = [min ( 2, 8 3, 4 3, 4), max ( 2, 8 3, 4 3, 4)] = [ 4, 8 3 ] v) A B = [min(4, 2), min(8,3)] = [ 2,3] vi) A B = [max(4, 2), max(8,3)] = [4,8] vii) k = 1 ise k A = 1 [4,8] = 4 4 [1. 4, 1. 8] = [1,2] 4 4 Arimeik İşlemlerde Bazı Özellikler A ve B herhangi iki kapalı aralık olmak üzere; i) A B = B A ii) A (B C) = (A B) C iii) Her A, B R + için A B = B A dır. iv) Her A, B, C R + için (A B) C = A (B C) dır. Gerçeken ([a 1, a 2 ] [b 1, b 2 ]) [c 1, c 2 ] = [a 1 b 1, a 2 b 2 ] [c 1, c 2 ] = [a 1 b 1 c 1, a 2 b 2 c 2 ] = [a 1, a 2 ] [b 1 c 1, b 2 c 2 ] = [a 1, a 2 ] ([b 1, b 2 ] [c 1, c 2 ]) dır. 31

55 Fuzzy Sayılarda Arimeik İşlemler (Kaufmann and Gupa 1991) A ve B iki fuzzy sayı ise A ve B nin oplamı da bir fuzzy sayı mıdır? Diğer bir deyişle A ve B nin oplamı da konveks ve normal midir? Bu bölümde bu soruların cevapları araşırılacakır. Bu kesimde A B göserimi α kesimi A α B α = [a α 1 + b α 1, a α 2 + b α 2 ] ile belirli A ve B fuzzy sayılarının oplamını emsil edecekir. Teorem A ve B, R de iki fuzzy sayı ise A B fuzzy kümesi R de konveksir. Kanı: A ve B nin α kesim kümeleri sırasıyla A α = [a α 1, a α 2 ] B α = [b α 1, b α 2 ] α kesim kümeleri sırasıyla A α = [a 1 α, a 2 α ] B α = [b 1 α, b 2 α ] dır. A ve B konveks olduğundan (α < α ) [a 1 α, a 2 α ] [a 1 α, a 2 α ] (α < α ) [b 1 α, b 2 α ] [b 1 α, b 2 α ] olur. A α B α = [a 1 α + b 1 α, a 2 α + b 2 α ] α A α B α = [a α 1 + b α 1, a α 2 + b 2 ] dır. Dolayısıyla (α < α ) α [a α 1 + b α 1, a α 2 + b 2 ] [a α 1 + b α 1, a α 2 + b α 2 ] elde edilir. Yani A B konveksir. 32

56 Teorem A ve B, R de iki fuzzy sayısı ise A B de R de bir fuzzy al kümedir ve normaldir. Kanı: A ve B, R de iki fuzzy sayısı olduğundan μ A (x 0 ) = 1 ve μ B (y 0 ) = 1 olacak şekilde en az bir x 0 R ve y 0 R mevcuur. Yani A ve B fuzzy sayılarının α = 1 kesimi A 1 = [a 1 1, a 1 2 ] B 1 = [b 1 1, b 1 2 ] dır. O halde A 1 B 1 = [a b 1 1, a b 1 2 ] dır. Böylece A B normaldir. Fuzzy Sayılarda Toplama İşlemi A ve B iki fuzzy sayı ve α [0,1] için A ve B nin α kesim kümeleri sırasıyla A α = {x R: μ A (x) α} B α = {x R: μ B (x) α} olsun. Her α [0,1] için A α B α = [a α 1, a α 2 ] [b α 1, b α 2 ] = [a α 1 + b α 1, a α 2 + b α 2 ] eşiliği geçerlidir. Her x, y, z R için A B nin üyelik fonksiyonu μ A B (z) = (μ A(x) μ B (y)) z=x+y ile belirlidir. Örnek Her x R için üyelik fonksiyonu 33

57 x 0, x 5 μ A (x) = + 5, 5 x x + 1, 2 x { 0, x 1 (2.29) ve μ B (x) = { 0, x 3 x + 3, 3 x x + 12, 4 x , x 12 (2.30) şeklinde anımlı A ve B fuzzy sayıları için A α B α kümesini belirleyerek μ A B yi hesaplayınız. Çözüm: μ 1 A B A + B x Şekil 2.22 A, B ve A+B kümeleri α = a 1 α a 1 α = 3α 5 α = a 2 α a 2 α = 3α + 1 A α = [a α 1, a α 2 ] = [3α 5, 3α + 1] dır. 34

58 α = b 1 α α = b 2 α b 1 α = 7α b 2 α = 12 8α B α = [b 1 α, b 2 α ] = [7α 3, 12 8α] dır. A α B α = [3α 5, 3α + 1] [7α 3,12 8α] = [10α 8, 13 11α] x 0, x 8 μ A B (x) = + 8, 8 x x + 13, 2 x { 0, x 13 bulunur. Örnek Aşağıdaki abloda bazı x değerlerine ai üyelik dereceleri verilen A ve B fuzzy sayıları için μ A B (x) i belirleyiniz. Çizelge 2.2 x in A ya ai olma derecesi x μ A (x) Çizelge 2.3 x in B ye ai olma derecesi x μ B (x) Çözüm: Her x, y, z R için μ A B (z) = (μ A(x) μ B (y)) z=x+y olduğundan 35

59 A 0 B Çizelge 2.4 x in A B ye ai olma derecesini belirleme çizelgesi ,2 0,3 1 0,8 0,7 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 1 0,2 0,5 0,3 0,5 1 0,5 0,8 0,5 0,7 0,5 0,1 0,5 0,1 0,5 2 0,2 0,9 0,3 0,9 1 0,9 0,8 0,9 0,7 0,9 0,1 0,9 0,1 0,9 3 0,2 0,1 0,3 0,1 1 0,1 0,8 0,1 0,7 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 4 0,2 0,6 0,3 0,6 1 0,6 0,8 0,6 0,7 0,6 0,1 0,6 0,1 0,6 5 0,2 0,2 0,3 0,2 1 0,2 0,8 0,2 0,7 0,2 0,1 0,2 0,1 0,2 Bu ablodan yararlanarak μ A B (x) aşağıdaki gibi elde edilir. Çizelge 2.5 x in A B ye ai olma derecesi x μ A B (x) Fuzzy Sayılarda Çıkarma İşlemi A ve B iki fuzzy sayı ve α [0,1] için A ve B nin α kesim kümeleri sırasıyla A α = {x R: μ A (x) α} (2.31) B α = {x R: μ B (x) α} (2.32) olsun. Her x, y, z R için μ A B (z) = (μ A(x) μ B (y)) (2.33) z=x y şeklinde anımlıdır ve her α [0,1] için A α B α = [a α 1, a α 2 ] [b α 1, b α 2 ] = [a α 1 b α 2, a α 2 b α 1 ] aralığı ile belirlidir. 36

60 Örnek Yukarıdaki örneke verilen bilgileri kullanarak μ A B yi belirleyiniz. Çözüm: Her x, y, z R için μ A B (z) = (μ A(x) μ B (y)) z=x y olduğundan Çizelge 2.6 x in A B ye ai olma derecesini belirleme çizelgesi ,2 0,3 1 0,8 0,7 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 1 0,2 0,3 1 0,8 0,7 0,1 0,1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 2 0,2 0,3 1 0,8 0,7 0,1 0,1 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 3 0,2 0,3 1 0,8 0,7 0,1 0,1 0,1 0, , ,2 0,3 1 0,8 0,7 0,1 0,1 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 5 0,2 0,3 1 0,8 0,7 0,1 0,1 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 Böylece μ A B üyelik fonksiyonu Çizelge 2.7 x in A B ye ai olma derecesi x μ A B (x) şeklinde belirlenir. 37

61 Fuzzy Sayılarda Çarpma İşlemi A ve B, R da iki fuzzy küme olmak üzere A α B α = [a 1 α, a 2 α ] [b 1 α, b 2 α ] = [a 1 α b 1 α, a 2 α b 2 α ] şeklinde anımlıdır. Ayrıca her x, y, z R için μ A B (z) = z=x.y (μ A(x) μ B (y)) şeklinde de göserilebilir. Fuzzy Sayılarda Bölme İşlemi İki fuzzy kümenin bölümü R + da anımlı olup b 1 α, b 2 α > 0 ve her α [0,1] için A α B α = [a 1 α /b 2 α, a 2 α /b 1 α ] (2.34) ve Her x, y, z R + için μ A B (z) = (μ A(x) μ B (y)) (2.35) z=x/y olacak şekilde anımlanır İki Fuzzy Sayı Arasındaki Uzaklık Arnold Kaufman ve Madan M. Gupa Anlamında Fuzzy Sayılar Arasındaki Uzaklık Tanım Ε; R de bir aralık, bir işlem ve (X, Y) Ε Ε olmak üzere d(x, Y) R, fonksiyonu her X, Y, Z Ε için i) d(x, Y) 0, (2.36) ii) X = Y d(x, Y) = 0, (2.37) iii) d(x, Y) = d(y, X), (2.38) iv) d(x, Z) d(x, Y) d(y, Z) (2.39) özelliklerini sağlarsa d(x, Y) ye uzaklık denir. 38

62 Buradaki uzaklık kavramı klasik merik kavramından farklıdır. (Çünkü merik anımındaki X = Y d(x, Y) = 0 koşulu sağlanmaz.) Tanım A = [a 1, a 2 ], B = [b 1, b 2 ], C = [c 1, c 2 ], R de üç aralık olsun. l (A, B) = a 1 b 1, r (A, B) = a 2 b 2 (2.40) farkları sırasıyla sola olan uzaklık ve sağa olan uzaklık olarak adlandırılacakır. No Yukarıda anımlanan l ve r uzaklık kavramları ( ) koşullarını sağlar. Gerçeken Her A, B, C R için 1) l (A, B) 0, çünkü a 1 b 1 0 dır. 2) A = B l (A, B) = 0 dır. Çünkü a 1 = b 1 a 1 b 1 = 0 3) l (A, B) = l (B, A) çünkü a 1 b 1 = b 1 a 1 4) l (A, C) l (A, B) + l (B, C) çünkü a 1 c 1 a 1 b 1 + b 1 c 1 dır. r nın ispaı da benzer şekilde yapılabilir. Uyarı l ve r uzaklık kavramları ile belirli, (a, b): = l (A, B) + r (A, B) (2.41) şeklinde anımlı (a, b) bir uzaklıkır. ( ) koşullarının bu kabul için sağlandığını gösermek kolaydır. Tanım A = [a 1, a 2 ], B = [b 1, b 2 ], C = [c 1, c 2 ], keyfi aralıklar, β 1, β 2 ; A 0 ve B 0 kesimlerini çevrelemek için uygun keyfi değerler ve [β 1, β 2 ] R olsun. Bu durumda δ(a, B) = 1 2(β 2 β 1 ) d(a, B) (2.42) 39

63 normalleşirilmiş uzaklık olarak anımlanır. 0 δ(a, B) 1 yazılabilir. (2.43) Aşağıdaki şekildeki gibi R de iki A ve B fuzzy sayıları ele alınsın. 1 δ(a α, B α ) = { } d(a [2(β 2 β 1 )] α, B α ) (2.44) yazılabilir. μ α A B β 1 β 2 Şekil 2.23 A ve B fuzzy sayıları δ(a α, B α ) nin α = 0 den α = 1 e inegrali alınırsa; (2.43) denklemini sağlayan uzaklıkların oplam uzaklığı elde edilir. δ(a, B) = α=1 α=0 δ(a α, B α )d α 1 α=1 = (A 2(β 2 β 1 ) α, B α ) dα (2.45) α=0 1 α=1 = a α 2(β 2 β 1 ) 1 b α 1 + a α 2 b α 2 dα (2.46) α=0 Bu denklem iki fuzzy sayı arasındaki uzaklığı verir. Örnek Her x R için 40

64 x 0, x 2 μ A (x) = 2, 2 x 10, 8 8 x + 13, 10 x 13, 3 3 { 0, x 13, (2.47) ve x 0, x 5, μ B (x) = 5, 5 x 7, 2 2 x + 15, 7 x { 0, x 15 (2.48) üyelik fonksiyonları ile belirlenen A ve B fuzzy sayıları arasındaki uzaklığı hesaplayınız. μ 1.0 B A β β 2 Şekil 2.24 A ve B fuzzy sayıları 41

65 μ 1.0 D E I A 0.5 C F 0.0 A B H β G 15.0 β 2 Şekil 2.25 δ(a, B) mesafesi (alan meodu ile) Her α [0,1] için A α = [2 + 8α, 13 3α] B α = [5 + 2α, 15 8α] dır α = 5 + 2α α = 0.5 ve x = 6 dır. 13 3α = 15 8α α = 0.4 ve x = 11.8 dır. O halde a α 1 b α 1 = 2 + 8α 5 2α = 3 + 6α a α 2 b α 2 = 13 3α α = 5α 2 0,5 1 0,4 1 ( 3 + 6α)dα + (6α 3)dα + ( 2 + 5α)dα + (5α 2)dα = 2,8. α=0 α=0,5 α=0 α=0,4 Eğer β 1 = 2 ve β 2 = 16 seçilirse 42

66 δ(a, B) = 1 (2,8) = 0,1 2(16 2) olur. Yukarıdaki şekildeki ABC, CDE, DEF, FGH üçgenlerin alanları oplanarak uzaklık ölçümünün doğruluğu konrol edilebilir. A(ABC) + A(CDE) + A(DEF) + A(FGH) = 3.0, , , ,4 2 = 2,8 dır Fuzzy Sayılar Arasındaki Uzaklık L(R), R deki üm fuzzy sayıların ailesi olmak üzere, A, B L(R) olsun. A ve B fuzzy sayıları arasındaki uzaklığı hesaplamak için bir sonraki bölümde d : L(R) L(R) R d (A, B) = sup d H (A α, B α ) = sup max{ a α 1 b α 1, a α 2 b α 2 } (2.49) α [0,1] α [0,1] meriği kullanılacakır Fuzzy Sayı Dizileri Tanım (Fuzzy Sayı Dizisi) Bir u = {u k } fuzzy sayı dizisi, u: N L(R) şeklinde anımlanan bir u dönüşümüdür. u k fuzzy sayısı fonksiyonun k N deki değerini göserir ve dizinin k yıncı erimi olarak adlandırılır (Maloka 1986) Tanım (Fuzzy Yakınsaklık) ε > 0 keyfi olmak üzere k > n 0 iken d (u k, u 0 ) < ε olacak şekilde bir n 0 sayısı mevcusa u = {u k } fuzzy sayı dizisi bir u 0 fuzzy sayısına yakınsakır denir ve lim k u k = u 0 şeklinde göserilir. lim k u k mevcusa {u k } dizisi yakınsakır, aksi halde ıraksakır denir. Büün yakınsak fuzzy sayı dizilerinin kümesi c(f) ile göserilecekir. 43

67 Örnek u k (x) = { k k+2 k k+2 2 2k x + k+2 4k+2 x + k+2 0, diğer durumlarda, x [2k 2, 3] ise k 4k+2, x [3, ] ise k (2.50) üyelik fonksiyonu ile belirli u = {u k } fuzzy sayı dizisinin limii x 2, x [2,3] ise u 0 (x) = { x + 4, x [3,4] ise 0, diğer durumlarda (2.51) üyelik fonksiyonuna sahip bir fuzzy sayısıdır. μ 1 u 1 u 0 u 2 x Şekil 2.26 u k fuzzy sayısının u 0 fuzzy sayısına yakınsaması Aşağıdaki iki eoremin ispaı klasik anlamdaki ispaa benzer olduğundan eoremler ispaına değinilmeden verilecekir. Teorem Yakınsak bir u = {u k } fuzzy sayı dizisinin limii ekir. Teorem Eğer lim k u k = u 0 ve lim k v k = v 0 ise i) lim k (u k + v k ) = u 0 + v 0, (2.52) ii) lim k (u k v k ) = u 0 v 0, (2.53) 44

68 iii) lim k (u kv k ) = u 0 v 0, (2.54) iv) lim k (u k ) = u 0, (her k N için 0 day(v) ve 0 day(v v k v 0 ) ) 0 özellikleri geçerlidir (Maloka 1986) Tanım (Fuzzy Cauchy Dizisi) Her ε > 0 ve her k > k 0 için d (u k, u m ) < ε olacak şekilde bir k 0 poziif amsayısı mevcu ise u = {u k } fuzzy dizisine bir Cauchy dizisi denir. Gerçel sayı dizilerinde olduğu gibi yakınsak her fuzzy sayı dizisi aynı zamanda fuzzy Cauchy dizisidir Tanım (Fuzzy Al Dizi) u = {u k } bir fuzzy sayı dizisi ve {k n } doğal sayıların aran bir dizisi olsun. Bu durumda {u kn } dizisine {u k } fuzzy dizisinin bir fuzzy al dizisi denir Teorem Yakınsak bir u = {u k } fuzzy sayı dizisinin her al dizisi de yakınsakır ve al dizisinin limii de u = {u k } fuzzy sayı dizisinin limii ile aynıdır Tanım (Sınırlılık) Eğer {u k : k N} fuzzy sayılar cümlesi sınırlı ise u = {u k } fuzzy sayı dizisine sınırlıdır denir. Yani sınırlı dizi; herhangi bir k sayısı için K u k M olacak şekilde K ve M gibi iki fuzzy sayısının mevcu olmasıdır. Tüm sınırlı fuzzy sayı dizileri m(ϝ) ile göserilecekir. Örnek u k (x) = { S 1, k ek ise S 2, k çif ise (2.55) şeklinde anımlı S 1 (x) = { 2x 1, x [ 1 2, 1] 2x + 3, x [1, 3 2 ] 0, diğer durumlarda (2.56) 45

69 2x 7, x [ 7, 4] 2 S 2 (x) = 2x + 9, x [4, 9 ] 2 { 0, diğer durumlarda (2.57) üyelik fonksiyonları ile belirli {u k } dizisi sınırlıdır. 2.3 FUZZY NOKTA Tanım (Fuzzy Noka) X, λ [0,1] ve her y X için λ, y = x x λ (y) = { 0, y x (2.58) olarak anımlanan fuzzy kümelere fuzzy noka denir (Ming and Ying-Ming 1980). Yani X olmak üzere X in herhangi bir fuzzy al kümesi; y = x X nokası hariç diğer büün nokalarda 0 değerini alıyorsa bu fuzzy kümeye X de fuzzy noka denir. Bu ezde fuzzy nokalar (x, λ) ile, X üzerindeki üm fuzzy nokaların kümesi ise P F (X) ile göserilecekir. Özel olarak X = R ise fuzzy nokalar, fuzzy skalerler olarak adlandırılacak üm fuzzy skalerlerin kümesi de S F (R) ile göserilecekir. Bir A fuzzy kümesi kendisine ai olan fuzzy nokaların kümesi olarak; A = {(x, λ): μ A (x) λ} (2.59) şeklinde düşünülebilir Tanım (a, λ) ve (b, λ) iki fuzzy skaler olsun. i) a > b ya da (a, λ) = (b, γ) ise (a, λ) skalerine (b, γ) skalerinden büyükür denir ve kısaca (a, λ) (b, γ) ile göserilir. ii) a b ise (a, λ),(b, γ) den küçük değildir denir ve (a, λ) (b, γ) ya da (b, γ) (a, λ) ile göserilir. iii) a 0 ise (a, λ)a negaif olmayandır denir ve üm negaif olmayan fuzzy skalerlerin kümesi S + F (R) ile göserilir. R, S + F (R) olarak düşünülürse (R, ) ve (R, ), (R, ) ile aynıdır. 46