Sistem Dinamiği. Bölüm 1- Sistem Dinamiğine Giriş. Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN

Transkript

1 Sistem Dinamiği - Sistem Dinamiğine Giriş Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN

2 Sunumlarda kullanılan semboller: El notlarına bkz. Yorum Soru MATLAB Bolum No.Alt Başlık No.Denklem Sıra No Denklem numarası Şekil No Şekil numarası Dikkat Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği 2

3 İlgili konular: Diferansiyel denklemler İşaret ve sistemler Laplace ve Fourier Dönüşümleri Statik-Dinamik Elektrik Devreleri 3

4 Ders Kaynakları: Ana ders kitabı: Systems Dynamics, William J Palm III, 3th edition, McGraw Hill, 2013 Diğer kaynaklar: Norman S. Nise. Control Systems Engineering, 6ed, Wiley, 2011 Ogata K. System Dynamics, 4th Edition, Prentice Hall,2004. Ogata K. Sistem Dinamiği, Palme Yayıncılık,

5 içeriği: Sistem Dinamiğine giriş Birimler Lineer (doğrusal) model geliştirme Fonksiyon tanımlama ve parametre tahmini 5

6 1.1. Sistem Dinamiğine Giriş

7 Giriş: Sistem dinamiği: Sistemlerin matematiksel model ve analizleri Bunları zamana bağlı davranışları ile ilgilenir. Bir sistemin dinamik davranışının doğru modellenmesi ve analizi o sistemin kontrolü ile yakından ilişkilidir. 7

8 1.1.1 Sistemler: Belirli bir işlevi yerine getirmek üzere biraraya getirilmiş elemanlar topluluğuna SİSTEM denir. SORU: Bir bisikletin mekanizmasındaki bir link sistem midir? 8

9 Odak: Tüm sistem düşünüldüğünde elemanların arasında nasıl bir ilişki var ve bu ilişkinin sistem davranışına olan etkisi nedir? 9

10 Sistem mi? Değil mi? f=bh m f: akış debisi h: yükseklik Şekil

11 İki tankın akış debileri birbirini etkiler SİSTEM Şekil

12 Simülasyon diyagramı veya blok diyagram f1 Alt sistem 1 (Tank 1) h1 Alt sistem 2 (Tank 2) f2 h2 Değişkenler, Bu diyagramlar diferansiyel denklemleri temsil eder 12

13 Giriş ve çıkış: Giriş nedendir. Çıkış bir etkidir. Örnek: Bisiklet pedalına uygulanan kuvvet giriş... Bisikletin hızı çıkış... 13

14 Sistem davranışı: Giriş ile çıkış arasındaki ilişki, Giriş çıkışı nasıl etkiliyor? Nedenà etki Newton un ikinci kuralı: a=f/m Giriş:? Çıkış:? 14

15 Giriş, çıkış ve sistem sınır koşulları: 15

16 Giriş Çıkış ilişkilerinin geri dönüştürülebilirliği: Akım gerilim ilişkisi: i=v/r, V=i.R à Geri dönüştürülebilir Hız-ivme-yerdeğiştirme: İvme hıza neden olur ama hız ivmelenmeye neden olmaz. Hızlanma yer değiştirmeye neden olur, tersi doğru değildir. İntegral nedenselliği... 16

17 1.1.3 Statik ve dinamik elemanlar: Eğer bir sistemin o andaki çıkışı bir elemanın o andaki değerine bağlı ise bu elemana statik eleman denir. Örnek: direnç 17

18 Statik eleman yaklaşımı: Ancak hiç bir fiziksel eleman hemen cevap vermez. Bu nedenle statik eleman kavramı bir yaklaşımdır. Modellemede kolaylık sağladığından ve sonuçları kabul edilebilir olduğundan kullanılır. 18

19 1.1.3 Statik ve dinamik elemanlar: Eğer bir sistemin o andaki çıkışı bir elemanın geçmiş değerlerine bağlı ise bu elemana dinamik eleman denir. Örnek: Bir bisikletin o andaki pozisyonu bisikletin başlangıçtan o ana kadar olan hız değişimine bağlıdır. 19

20 Statik ve dinamik sistem: Statik sistemlerin tüm elemanları statiktir. Dinamik bir sistemde bir tane dinamik eleman bulunması o sistemi dinamik sistem yapar. 20

21 Sistem dinamiğinde odak: Sistem dinamiği, dinamik elemanlar içeren sistemlerin davranışları ile ilgilidir. 21

22 Sistemlerin modellenmesi: Mühendislik problemi çözüm adımları: 22

23 Mühendislik problemi çözüm adımları: 23

24 Bu adımların 1 den 5 e kadar olanları problemin tanımlanmasına yöneliktir. 6 dan 10 a kadar olan adımlar ise problemin çözümü ile ilgilidir. 24

25 Modelleme, matematiksel model: Modelleme: Bir problemi basitleştirmek ve temel prensiplere uygulamak. Matematiksel model veya model: Sistem davranışını matematiksel metodlarla tanımlayabilmek. Modelleme bittikten sonra arzu edilen cevapları bulabilmek için matematiksel model çözülür. Modelin hesaplama karmaşıklığına göre bilgisayar kullanılabilir. 25

26 Modellemede yaklaşım: Şekil

27 Modelleme zorlukları: Modellemede tüm etkiler modellenemeyebilir. Bunun yerine parçalayarak amaca göre modelleme yapılabilir. Mesela bir elektrik devresinin elektrik, termal ve mekanik durumları olabilir. Bir modellemede bunun tamamı gerçekleştirilemeyebilir. 27

28 Matematiksel metodlar: Sistem dinamikleri zamana göre değiştiğinden bu sistemlerin matematiksel modelleri diferansiyel denklemlerle çözülür. Bölüm 2 de bu konuları inceleyeceğiz. 28

29 Kontrol Sistemleri: Kontrol sistem dizaynının önemi. Yeni konular: Robotik, Mekatronik, Aktif titreşim kontrol, Mikromekanik, Aktif gürültü önleme, 0 ve Otomatik Kontrol dersi 29

30 Endüstri devrimi 1.0 dan 4.0 a: Ref: motherboard.vice.com/read/life-after-the-fourth-industrial-revolution 30

31 Industry

32 Mekanik Sistemlerde Uygulamalar Bölüm 3 ve Bölüm 4 te uygulamalar, Kuvvet Kontrol Uygulamaları, Taşıt dinamikleri, Süspansiyon uygulamaları, Aktif süspansiyon sistemleri (yaylar, şok sönümleyiciler) Güvenlik Enerji verimliliği 32

33 Elektriksel ve elektromekanik sistem uygulamaları: Elektriksel ve mekanik sistemler içerir, Hareket kontrol sistemleri ve taşıt dinamikleri iki temel uygulama alanıdır. Bölüm 6 33

34 Akış sistemleri uygulamaları Bölüm 7 Şekil Şekil Şekil

35 Termal Sistem uygulamaları Soğutma sistemleri Buhar makineleri Bölüm 7 35

36 Bilgisayar Metodları MATLAB Simulink Ekler Uygulama dersleri Lab-3 36

37 Bilgisayar Metodları 37

38 1.2. BİRİMLER

39 FPS (Foot-pound-second) Units SI (International System of Unit) Units 39

40 SI ve FPS Birimleri: 40

41 Birim dönüşümleri: 41

42 1.2.3.Osilasyon Birimleri: Frekans: rad/sn yada Hertz 1Hz: Bir saniyedeki çevrim sayısı (one cycle per second=cps) Açısal hız: w=2.pi.f Periyot: T ya da Pà T=P=2.pi.w Dakikadaki dönme (revolutions per second=rpm) 1 rpm= 1 saniyedeki (2.pi/60) radyanlık dönme 42

43 1.3. Lineer (doğrusal) model Geliştirme:

44 Lineer model: Bir statik elemanın lineer modeli: y=mx+b; Burada; y:çıkış, x: giriş Lineer modeller diferansiyel denklem çözümü ile elde edilebilir. Ancak nonlineer modellerin çözümü bu kadar kolay değildir. Lineerleştirme modeli matematiksel model oluşturulurken tercih edilir. Beraberinde hatayı ortaya çıkarır. Kullanımında bu husus dikkate alınmalıdır. 44

45 Datadan lineer model geliştirme: Örnek 1.3.1: Şekil

46 Çözüm Eğim: f=k.x k=1/a Şekil

47 İnterpolasyon ve Ekstrapolasyon: İnterpolasyon(interpolation)=içdeğerbulma: Elimizdeki dataların sınırları içinde kalan bir değer için tahmin. Ekstrapolasyon(extrapolation)=dışdeğerbulma: Elimizdeki dataların sınırları dışında kalan bir değer için tahmin. Lineer model elde edememe durumunda daha sistematik yaklaşımlar (nümerik analiz) kullanılır. 47

48 Lineerleştirme(Linearization): Model nonlineer ise lineerleştirme teknikleri kullanılır. Burada dikkat edilmesi gereken belirli sınırlar içinde doğruluğun temin edilmesidir. 48

49 Örnek YOL: Θ=0 rad Θ=pi/3 rad Θ=2.pi/3 rad civarında lineeleştirme 2.YOL: Taylor serisine açma(inceleyiniz) Şekil

50 İnceleme: Örnek: ve Taylor serisi 50

51 1.4. Fonksiyon tanımlama ve parametre tahmini

52 Fonksiyon tanımlama ve parametre tahmini: Bir data setinden fonksiyonların tanımlanması işlemine fonksiyon tanımlama denir. Eğri uydurma(curve fitting) kavramı da parametre tanımlama için kullanılır. Bir data seti ile tanımlanmış olan fonksiyonun parametre yada katsayı değerlerine elde etmeye parametre tahmini denir. 52

53 Lineer, güç ve exponansiyel fonksiyonlar: Akım-Gerilim Sabit ivmeli bir nesnenin hız-zaman ilişkisi Serbest düşen bir cismin yol-zaman ilişkisi Soğumakta olan bir cismin sıcaklık-zaman ilişkisi 53

54 Şekil

55 Fonksiyon tanımlama adımları: 1. Orijin civarında veriyi tanımla. Üstel fonksiyonlar y=b(10) mx ve y=be mx, b=0 olmadığı müddetçe orijinden geçmez. Güç fonksiyonu y=bx m sadece m>0 olduğunda orijinden geçebilir. Şekilleri inceleyiniz. Şekil Şekil

56 Fonksiyon tanımlama adımları: 2. Lineer eksen takımı kullanarak verileri çiziniz. Eğer doğru şeklinde ise fonksiyon lineerdir. Aksi takdirde x=0 da fonksiyonun aldığı değere bakılır. a. y(0)=0 ise güç fonksiyonudur. b. y(0) eşit değildir 0 ise üstel fonksiyon Eğer x= 0 için elimizde veri yok ise 3. adıma geçilir. 3. Eğer bir güç fonksiyonu olduğu düşünülüyor ise log-log eksen takımlı grafik çizilir. Sadece güç fonksiyonu bu grafikte doğru şeklinde görülür. Eğer üstel fonksiyon olduğu düşünülüyor ise yarı logaritmik eksen takımı çizilir. Sadece üstel fonksiyon bu grafikte doğru şeklinde görülür. 56

57 Araştırma Ödevi 1.1. Şekil ve ü MATLAB de çizdiriniz. m-file ve grafikleri çıkış alarak uygulama dersinde ders asistanına teslim ediniz. Ders kitabı eklerinde MATLAB ile ilgili yardımcı ders notu bulunmaktadır. 57

58 Katsayı elde etme: Amaç b ve m katsayılarının elde edilmesidir. Lineer fonksiyon Güç fonksiyonu Eksponansiyel (üstel) fonksiyon Elde edilen veriler dağınık ise en küçük kareler metodu ile fonksiyon elde edilir. MATLAB de polyfit komutu ile bu işlem gerçekleştirilebilir. Katsayıları fonksiyon tipine göre nasıl elde ederiz? 58

59 Örnek 1.4.1: Ortam sıcaklığı 70 o F. Zamana bağlı olarak su sıcaklığını bulunuz. 59

60 Örnek 1.4.1: Lineer Şekil

61 Örnek 1.4.1: Semi-Log Şekil

62 Eğri uydurma: Şekil

63 Örnek (İnceleyiniz) Akış oranı ile yükseklik arasındaki ilişkiyi bulunuz. Şekil

64 Mekatronik Sistem Dizaynı (Aksiyomatik Yaklaşım)

65 65

66 1.5. Bölüm özeti: Statik ve dinamik eleman, statik ve dinamik sistemler, giriş ve çıkış kavramları İntegral nedenselliğinin temelleri Mühendislik problem çözümünün temel adımları FPS ve SI Birim Sistemleri Lineer model geliştirme Katsayıların bulunması Dizayn yaklaşımları 66

67 Referans: System Dynamics, William Palm III, McGraw-Hill Education; 3rd Edition Chapter 1